Leabhar IomlÃ¡n - Cogg

Clár1. Ailgéabar 1 11.1 Sloinn iltéarmacha 11.2 Feidhmeanna iltéarmacha, réamheolas 61.3 Sloinn ailgéabracha a fhachtóiriú 111.4 Codáin ailgéabracha a shimpliú 151.5 Ionannais ailgéabracha 191.6 Foirmlí a ionramháil 241.7 Patrúin ailgéabracha, réamheolas 281.8 Cothromóidí a réiteach 321.9 Cothromóidí líneacha comhuaineacha a réiteach 34Súil Siar (a) Croícheisteanna 41(b) Ardcheisteanna 42(c) Freagraí níos faide 432. Ailgéabar 2 462.1 Cothromóidí cearnacha 462.2 Cineál na bhfréamhacha cearnacha 512.3 Cothromóidí cearnacha agus líneacha a réiteach 562.4 Cothromóidí cearnacha agus líneacha i gcomhthéacs 582.5 Na fréamhacha a úsáid chun cothromóidí cearnacha a cheapadh 612.6 Uasphointe agus íosphointe graf cearnach 632.7 Surdaí 682.8 Cothromóidí ailgéabracha ina bhfuil surdaí 712.9 Teoirim na bhfachtóirí 742.10 Graif d'iltéarmaigh chiúbacha 78Súil Siar (a) Croícheisteanna 86(b) Ardcheisteanna 86(c) Freagraí níos faide 883. Uimhreacha Coimpléascacha 933.1 Uimhreacha éagóimheasta 933.2 Uimhreacha coimpléascacha 983.3 Uimhreacha coimpléascacha a roinnt 1013.4 Léaráid Argand – Modal 1053.5 Claochluithe uimhreacha coimpléascacha 1083.6 Teoirim na bhfréamhacha comhchuingeacha 1143.7 Uimhir choimpléascach san fhoirm pholach 1173.8 Torthaí agus líonta uimhreacha coimpléascachasan fhoirm pholach 1213.9 Teoirim de Moivre 1233.10 Feidhmeanna theoirim de Moivre 126Súil Siar (a) Croícheisteanna 130(b) Ardcheisteanna 131(c) Freagraí níos faide 132iii

4. Seichimh – Sraitheanna – Patrúin 1354.1 Seichimh 1354.2 Seichimh chomhbhreise 1394.3 Sraitheanna comhbhreise 1444.4 Seichimh iolraíocha 1504.5 Sraitheanna iolraíocha 1564.6 Súil arís ar phatrúin uimhreacha 161Súil Siar (a) Croícheisteanna 165(b) Ardcheisteanna 166(c) Freagraí níos faide 1685. Matamaitic an Airgeadais 1705.1 Ús iolraithe 1705.2 Dímheas 1755.3 Tráthchoigilteas (blianachtaí) 1795.4 Iasachtaí – Morgáistí 185Súil Siar (a) Croícheisteanna 187(b) Ardcheisteanna 188(c) Freagraí níos faide 1906. Fad – Achar – Toirt 1926.1 Súil siar 1926.2 Teascóga ciorcal 1976.3 Réada tríthoiseacha 2026.4 Riail thraipéasóideach chun achar a ríomh 209Súil Siar (a) Croícheisteanna 214(b) Ardcheisteanna 216(c) Freagraí níos faide 2197. Ailgéabar 3 2227.1 Súil siar 2227.2 Éagothromóidí cearnacha agus cóimheasta 2267.3 Modal 2317.4 Cruthúnas matamaiticiúil 2357.5 Cruthúnais éagothromóidí teibí 2377.6 Séana 2407.7 Cothromóidí easpónantúla 2447.8 Feidhmeanna easpónantúla 2467.9 Feidhmeanna logartamacha 2517.10 Graf ylog a (x) 2577.11 Fadhbréiteach le feidhmeannaeaspónantúla agus logartamacha 2597.12 Cruthúnais trí ionduchtú 264Súil Siar (a) Croícheisteanna 272(b) Ardcheisteanna 273(c) Freagraí níos faide 275Freagraí 278iv

RéamhráScríobhadh agus cuireadh an leabhar seo i dtoll a chéile le haghaidh Tionscadal Mata –Snáithe 3 agus 4 de Chúrsa Ardleibhéil na hArdteistiméireachta a bheidh á scrudú in 2013agus ar aghaidh. Tá an cur chuige ginearálta i leith theagasc na matamaitice, mar atásonraithe sna torthaí foghlama le haghaidh Tionscadal Mata, le sonrú sa leabhar.Spreagann sé ní hamháin forbairt ar eolas agus scileanna matamaiticiúla na ndaltaí ach, inatheannta sin, forbairt ar an tuiscint a theastaíonn chun na scileanna sin a chur i bhfeidhm.Tá réimse sármhaith ceisteanna ar gach topaic ar fáil, ceisteanna atá scríofa le samhlaíochtagus a thabharfaidh dúshlán na ndaltaí. Cabhróidh na ceisteanna leis na daltaí chun anméid atá siad a dhéanamh a thuiscint agus chun a gcuid scileanna i réiteach fadhbannaa fhorbairt. Tá dóthain ceisteanna, a chuimsíonn gach pointe ar an scála deacrachta,curtha ar fáil chun riachtanais fhormhór mór na ndaltaí ag an leibhéalAn dearadh spreagúil lándaite, mar aon leis an méid mór léaráidí dea-thógtha, ba cheartgo gcabhróidís le tuiscin an dalta ar an topaic a bhfuil sé/sí ag déanamh staidéir uirthi.Ag tús gach caibidle tá liosta dar teideal Focail Thábhachtacha. Beifear ag súil leis gombeidh na focail sin ar eolas ag na daltaí, agus tuiscint acu orthu, faoin am a mbíonn anchaibidil críochnaithe. Ag deireadh gach caibidle tá cleachtaí súil siar ina bhfuil trí chuid:(a) Croícheisteanna (b) Ardcheisteanna agus (c) Ceisteanna ina n-iarrtar freagra níos faide.Bíonn na ceisteanna sin grádaithe in ord deacrachta agus, dá bhrí sin, cuireann siad archumas an dalta dul siar ar na rudaí bunúsacha a bhaineann le topaic ar bith sula dtugannsé/sí aghaidh ar na cleachtaí níos dúshlánaí.Paul CookeO.D. MnórisFrances O’ReganIúil 2012v

(i) 7(x 3 2x 2 5x) 2(2 3x 4x 2 2x 3 ) 7x 3 14x 2 35x 4 6x 8x 2 4x 3 11x 3 6x 2 41x 4(ii) 3x 2 (4x 2 5x 6) 4x(8x 3 2x 3) 12x 4 15x 3 18x 2 32x 4 8x 2 12x 44x 4 15x 3 10x 2 12x2. Sloinn iltéarmacha a iolrú faoina chéileChun sloinn ailgéabracha a iolrú, úsáidimid dlí an dáilte, i.e. a(b c) ab ac.Sampla 2Simpligh é seo a leanas: (x 5)(2x 2 3x 6)(x 5)(2x 2 3x 6) x(2x 2 3x 6) 5(2x 2 3x 6) 2x 3 3x 2 6x 10x 2 15x 30 2x 3 13x 2 21x 30Nóta: Go minic, tugtar forbairt ar shloinn iltéarmacha a iolrú.3. SlánchearnógaSlánchearnóg a thugtar ar aon iltéarmach a scríobhfaí san fhoirm (x a) 2 .(x a) 2 (x a)(x a) (x)(x a) (a)(x a) x 2 ax ax a 2 x 2 2ax a 2Ar an gcaoi chéanna, (x a) 2 x 2 2ax a 2 .M.sh. (2x 3) 2 (2x) 2 2(2x)(3) (3) 2 4x 2 12x 9(x a) 2 x 2 2ax a 2(x a) 2 x 2 2ax a 2Sampla 3Glac leis gur slanchearnóg é 25x 2 px 16 agus p > 0. Faigh luach p.Ó tá 25x 2 (5x) 2 agus 16 (4) 2 , 25x 2 px 16 (5x 4) 22(5x)(4) px 40x px ⇒ p 40.(Nóta: 16 (4) 2 2(5x)(4) px ⇒ p 40, nach bhfuilbailí mar p 0)2

Sampla 4Roinn (2x 3 11x 6) ar (2x 3 4x 3).Ós rud é nach bhfuil aon chumhacht de chuid x 2 san iltéarmach ciúbach seo, is maith annós é an t-iltéarmach a athscríobh agus spás a fhágáil do chomhéifeachtaí x 2 mar seo:x 2__________________2x 2 4x 3 ) 2x 3 11x 6 roinn 2x 3 ar 2x 2 chun x a fháil2x 3 4x 2 3x iolraigh x faoi 2x 2 4x 3 agus ansin dealaigh4x 2 8x 64x 2 8x 6 (2x 3 11x 6) ÷ (2x 2 4x 3) x 2 roinn 4x 2 ar 2x 2 chun 2 a fháil iolraigh 2 faoi 2x 2 4x 3 agus ansin dealaighTabhair faoi deara freisin, nuair a roinnimid 2x 3 11x 6 ar x 2, go bhfaighimid 2x 2 4x 3.Is iad (x 2) agus (2x 2 4x 3) fachtóirí aniltéarmaigh 2x 3 11x 6i.e. 2x 3 11x 6 (x 2)(2x 2 4x 3).Úsáidfimid an t-airí seo ar bhealach níos iomláinesa chaibidil a bhaineann le fachtóiriú.2x 2 4x 3___________________x 2 ) 2x 3 11x 62x 3 4x 24x 2 11x 64x 2 8x3x 63x 6Cleachtadh 1.11. Tugtar an t-iltéarmach 4x 3 3x 2 9x 5. Scríobh síos(i) comhéifeacht x 2(ii) comhéifeacht x(iii) an téarma atá neamhspleách ar x (an téarma tairiseach).2. Luaigh céim gach ceann de na sloinn iltéarmacha seo a leanas.(i) 3x 2 5x 1 (ii) 4x 3 4x 2 9x 3 (iii) 7 3x 3x 3 6x 43. Tabhair dhá fháth nach iltéarmach é 3x 2 __ 4 x x 3_24. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas.(i) 3x 2 6x 7 5x 2 2x 9(ii) x 3 4x 2 5x 3x 3 6x 2 x(iii) x(x 4) 3x(2x 3) (iv) 3(x 2 7) 2x(3x 1) 7x 25. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas.(i) 3x 2 (4x 2) 5x 2 (2x 5) (ii) x 3 (x 2) 4x 3 (2x 6)(iii) x(x 3 4 x 2 7x) 3x 2 (2x 2 3x 4) (iv) 3x(x 2 7x 1) 2x 2 (6x 5)4

6. Forbair gach ceann díobh seo a leanas.(i) (x 4)(2x 5) (ii) (2x 3)(x 2) (iii) (3x 2)(x 3)(iv) (3x 2)(4x 1) (v) (3x 1)(2x 5) (vi) (4x 1)(2x 6)(vii) (x 2)(x 2) (viii) (2x 5)(2x 5) (ix) (ax by)(ax by)7. Forbair gach ceann de na slánchearnóga seo.(i) (x 2) 2 (ii) (x 3) 2 (iii) (x 5) 2(iv) (a b) 2 (v) (x y) 2 (vi) (a 2b) 2(vii) (3x y) 2 (viii) (x 5y) 2 (ix) (2x 3y) 28. Sloinn gach ceann díobh seo san fhoirm ax 2 bx c.(i) (x 1_2 )2 (ii) 8(x 1_4 )2 (iii) (1 x) 29. Cé acu díobh seo a leanas ar slánchearnóga iad? Mínigh do chuid freagraí.(i) x 2 5x 25 (ii) 9x 2 6x 1 (iii) 4 12x 9x 210. Más slánchearnóg é 25x 2 tx 4 maidir le gach luach ar x, faigh luach t.11. Más slánchearnóg é px 2 4x 1 maidir le gach luach ar x, faigh luach p.12. Más slánchearnóg é 9x 2 24x s maidir le gach luach ar x, faigh luach s.13. Forbair agus simpligh gach ceann díobh seo.(i) (x 2)(x 2 2x 6) (ii) (x 4)(2x 2 3x 1)(iii) (2x 3)(x 2 3x 2) (iv) (3x 2)(2x 2 4x 2)14. Taispeáin go bhfuil (x y)(x 2 xy y 2 ) x 3 y 3 .15. Fíoraigh go bhfuil (x y)(x 2 xy y 2 ) x 3 y 3 .16. Faigh comhéifeacht x má fhorbraítear (2x 3)(3x 2 2x 4).17. Forbair go hiomlán agus simpligh (x 3)(x 4)(2x 1).18. Forbair go hiomlán agus simpligh (x 2 3x 2)(2x 2 4x 1).19. Faigh comhéifeacht x 2 má fhorbraítear (3x 2 5x 1)(2x 2 6x 5).20. Simpligh gach ceann de na líonta seo a leanas:(i)3x 6 ______3(ii)x 2 2x _______x(iii)3x 3 6x 2 _________3x(iv)15x 2 y 10xy 2_____________5xy21. Simpligh gach ceann de na líonta seo a leanas:(i)6x 2 y 9xy 2 3xy________________3xy(ii)6x 4 9x 3 12x 2_______________3x 25

22. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas:(i)12a 2 b _____3ab(ii)12a 2 bc ______3ac(iii)4xy 2 z _____2xy(iv)____ 3xy2 ___ 46x 223. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas:(i)2x 2 5x 3____________2x 1(ii)2x 2 2x 12_____________x 3(iii)8x 2 8x 6____________4x 224. Roinn gach ceann díobh seo a leanas:(i) x 3 8x 2 19x 12 (x 1) (ii) 2x 3 x 2 2x 1 (2x 1)(iii) 3x 3 4x 2 3x 4 (3x 4) (iv) 4x 3 7x 2 21x 18 (x 3)(v) x 3 22x 15 (x 5) (vi) 2x 3 x 2 12 (x 2)25. Cuir na hoibríochtaí seo i gcrích:(i) x 3 2x 2 2x 4 (x 2 2) (ii) x 3 9x 2 27x 27 (x 2 6x 9)(iii) 3x 3 2x 2 7x 2 (x 2 x 2) (iv) 5x 3 14x 2 7x 2 (5x 2 4x 1)26. Roinn gach ceann díobh seo a leanas:(i) x 3 8 (x 2) (ii) 8x 3 27y 3 (2x 3y)Mír 1.2 Feidhmeanna iltéarmacha, réamheolasTagann feidhmeanna iltéarmacha chun cinn nuair a bhímidag plé le fadhbanna laethúla.Bíodh x mar fhad dronuilleoige.Má tá leithead na dronuilleoige 5 cm níos giorra ná a fad,ansin is é (x 5) cm an leithead.Braitheann A, achar na dronuilleoige, ar an bhfad agus ar anleithead agus, dá réir sin, ar x.Scríobhtar siombail an achair a bhraitheann ar x mar A(x).6Mar sin, A(x) x(x 5) x 2 5x. De réir mar a athraíonn x, athraíonn an t-achar A.An athróg neamhspleách a thugtar ar x agus an athróg spleách a thugtar ar A(x).Is é A(x) an t-iltéarmach cearnach x 2 5x de chéim 2.Tugaimid faoi deara, má tá x 10 cm, go bhfuil A(10) (10) 2 5(10) 50 cm 2 .Tugaimid faoi deara freisin gurb é (x 5) ⇒ x 5 0⇒ x 5 cm(x 5) cmx cm

Sampla 1Is é (2x 3) cm fad dronuilleoige. Má thugann an fheidhm iltéarmachA(x) 2x 2 7x 6 achar na dronuilleoige, faigh(a) slonn do leithead na dronuilleoige(b) slonn do P(x), imlíne na dronuilleoige sin(c) íosluach x.Bíodh w mar leithead na dronuilleoige.(a) Achar A(x) 2x 2 7x 6 w(2x 3) w ____________2x2 7x 6(2x 3)(2x 3)(x 2) ______________ (x 2).(2x 3)(b) An imlíne P(x) 2(2x 3) 2(x 2) 4x 6 2x 4 6x 10.(c) Ós é (2x 3) fad na dronuilleoige,⇒ (2x 3) 0⇒ x 1.5w(2x 3)A(x) 2x 2 7x 6Nóta 1: Caithfear glacadh le A(x) mar aon choincheap amháin; ní chiallaíonn sé gon-iolraítear A faoi x.Ciallaíonn sé go mbraitheann an chainníocht A ar athróg x.Nóta 2: Is féidir feidhmeanna iltéarmacha a shuimiú le chéile agus a dhealú óna chéile mara rinneadh thuas, ach na téarmaí cosúla a bhailiú agus a shimpliú.Sampla 2Glac le f(x) 3x 3 4x 2 3x 4 agus g(x) 5x 3 14x 2 7x 2. Faigh(a) 2f (x) g(x) agus luaigh a chéim(b) f (x) 2g(x) agus luaigh a chéim.(a) 2f (x) g(x) 2(3x 3 4x 2 3x 4) (5x 3 14x 2 7x 2) 6x 3 8x 2 6x 8 5x 3 14x 2 7x 2 x 3 22x 2 13x 10, céim 3(b) f (x) 2g(x) (3x 3 4x 2 3x 4) 2(5x 3 14x 2 7x 2) 3x 3 4x 2 3x 4 10x 3 28x 2 14x 4 13x 3 24x 2 11x, céim 3Luach feidhmeanna iltéarmacha a fháilFaighimid luach feidhme iltéarmaí ach luach tugtha a chur in ionad na hathróige neamhspleáicheagus í a shimpliú.Má tá p(x) 2x 2 5x 6, ansin p(1) 2(1) 2 5(1) 6 3agus p(3) 2(3) 2 5(3) 6 39.7

8. Tugann an t-iltéarmachd(n) __ n22 ___ 3n líon na dtrasnán, d, i bpolagán a bhfuil n slios air.2Mínigh cad atá i gceist le (i) d(4) (ii) d(5) agus faigh luachanna ar d(4), d(5), d(6).Déan cóip de gach polagán thíos agus fíoraigh do fhreagra i ngach cás.Mínigh an fáth a bhfuil d(3) 0.9. Má tá f(x) x 5, faigh, i dtéarmaí a, f(a 2 ) 3f(a) 2.10. Má tá f(x) x 2 3x 6, faigh(i) f (2t) (ii) f (t 2 ) (iii) f (t 2)Luaigh céim gach ceann de na feidhmeanna iltéarmacha in t.11. Tugtar V(r, h), toirt cóin, dúinn san fhoirmle V(r, h) 1 3 r2 h, áit arb é r an gaagus h airde ingearach an chóin. Faigh(i) i dtéarmaí , toirt cóin ar airde dó 21 cm agus ar ga dó 14 cm.(ii) i dtéarmaí r agus , toirt cóin a bhfuil a airde ar comhfhad le r, ga an chóin(iii) i dtéarmaí h agus , toirt cóin má tá ga an bhoinn dhá oiread níos mó ná anairde h.12. Má tá f(x) 3x 6, faigh f(10).Má tá f(x) 2x 8, faigh f(10).Féach ar phatrún na dtorthaí thuas agus uaidh sin, scríobh g(x) san fhoirm ax b,má tá g(10) 47.__13. Úsáid an fhoirmle T 2 √__ lgg 10 m s 1 .chun luach l, i dtéarmaí , a fháil má tá T 4s agus14. Úsáid an fhoirmle V 4 3 r3 chun luach r a fháil má tá V 7927 m3 agus 22 7 .15. Gach maidin, croitheann gach dalta sa rang lámh le gach dalta eile mar bheannú.Tugann an slonn H(x) __ x (x 1) líon na gcroití láimhe, H, idir x dalta.210

Úsáid an fhoirmle sin chun iad seo a fháil:(i) líon na gcroití láimhe idir 5 daltaí(ii) líon na gcroití láimhe idir 6 daltaí(iii) líon na gcroití láimhe idir 10 daltaí.Úsáid patrún a eascraíonn as seo, nó úsáid bealach eile, chun líon na ndaltaí sa seomramaidin áirithe a fháil, má tugadh 136 croitheadh láimhe an mhaidin sin.Mír 1.3 Sloinn ailgéabracha a fhachtóiriúRoinneann fachtóir ailgéabrach isteach in iltéarmach go cothrom, gan aon fhuílleach a fhágáil.Is fachtóir é (x 3) de 2x 3 9x 2 10x 3mar (2x 3 9x 2 10x 3) (x 3) (2x 2 3x 1).Is fachtóirí iad (x 4) agus (x 3) araon de x 2 x 12 mar(i) (x 2 x 12) (x 4) (x 3) agus (ii) (x 2 x 12) (x 3) (x 4).Chun cothromóidí ailgéabracha a réiteach, is gá bheith ábalta sloinn ailgéabracha éagsúla aréiteach ar dtús.Is féidir a lán teicnící éagsúla a úsáid chun sloinn a fhachtóiriú agus léirítear iad seo thíos.1. An fachtóir coiteann is airde a aimsiú trí iniúchadh(i) 3x 2 9xy 3x(x 3y) ⇒ is iad 3x agus (x 3y) na fachtóirí(ii) 2a 2 b 4ab 2 12 abc 2ab(a 2b 6c) ⇒ is iad 2ab agus (a 2b 6c) na fachtóirí2. Fachtóiriú trí théarmaí a ghrúpáil6x 2 y 3xy 2 12x 6y 3xy(2x y) 6(2x y) (2x y)(3xy 6)⇒ is iad (2x y) agus (3xy 6) na fachtóirí3. An difríocht idir dhá chearnógÓ tá (x y)(x y) x 2 y 2 , is iad (x y) agus (x y) fachtóirí x 2 y 2 .Nóta:Nuair a shimplímid líonta, tá sé tábhachtach bheith ábalta sloinn, ina bhfuil andifríocht idir dhá chearnóg, a fhachtóiriú go hiomlán.(i) c 2 d 2 (c d )(c d )(ii) x 2 9y 2 x 2 (3y) 2 (x 3y)(x 3y)(iii) x 2 8y 2 x 2 ( √ __8 y) 2 (x √ __8 y)(x √ __8 y)(iv) x 9 ( __√ x ) 2 3 2 ( __√ x 3) ( __√ x 3)11

Sampla 1Déan iad seo a fhachtóiriú go hiomlán: (i) x 4 y 4 (ii) 12x 2 75y 2(i) x 4 y 4 (x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 (x 2 y 2 )(x 2 y 2 ) (x y)(x y)(x 2 y 2 )(ii) 12x 2 75y 2 3(4x 2 25y 2 ) 3[(2x) 2 (5y) 2 ] 3 (2x 5y)(2x 5y) scríobh mar an difríocht idir dhá chearnóg difríocht idir dhá chearnóg arís aimsigh an fachtóir coiteann is airde trí iniúchadh scríobh mar an difríocht idir dhá chearnógSampla 2Simplighx 2 9y 2 ________3x 9y________ x 2 9y 23x 9y _______________(x 3y)(x 3y)3(x 3y)x 3y ______34. Sloinn chearnacha a fhachtóiriúTá dhá shlí ann chun sloinn chearnacha san fhoirm ax 2 bx c 0 a fhachtóiriú:(i) triail is earráid nó(ii) foirmle na cothromóide cearnaí, má tá na comhéifeachtaí mór nó éagóimheasta.(i) x 2 3x 18 (x ?)(x ?) péirí fachtóirí 18 uile a thriail (x 6)(x 3) (1, 18), (2, 9), (3, 6) is é (6, 3) an péirefachtóirí a thugann 3 don téarma láir nuair a shuimítear iad(ii) 3x 2 17x 20 ax 2 bx c → a 3, b 17, c 20.b √ ________bMá úsáidimid x ______________2 4ac,2aMá tá ax 2 bx c 0,17 √ ______________(17) 2 4.3.20x ____________________ 17 √ ____b √ ________289 240 ansin x ______________ b 2 4ac _______________2a2.36⇒ x ______ 1776 ( 24 ___6 or ___ 106) (4 or __3)5Má tá x 4, ansin is é (x 4) an fachtóir.Agus má tá x 5 3 3x 5, dá bhrí sin is é (3x 5) an dara fachtóir. 3x 2 17x 20 (3x 5)(x 4).12

Sampla 3Fachtóirigh (i) 3x 2 10x 8(ii) x 2 2 √ __2 x 6(i) 3x 2 10x 8 (3x ?)(x ?) is iad (1, 8), (2, 4) péirí fachtóirí 8 (3x 4)(x 2) a thugann téarma láir 10x(ii) x 2 2 √ __2 x 6 ax 2 bx c → a 1, b 2 √ __2 , c 6b √ ________bx _______________2 4ac2a2 √ __2 √ __________________(2 √ 2 ) 2 4(1)(6)→ x _________________________ 2 √ __2 √ ___ __________ 322.12Mar sin, x 2 √ __2 4 √ ____________ 2 √ __2 2 √ __2 3 √ __2 nó ( √ __2 ).2Is iad (x √ __2 ) agus (x 3 √ __2 ) na fachtóirí.5. Sloinn san fhoirm x 3 y 3 agus x 3 y 3 a fhachtóiriúAch úsáid a bhaint as roinnt fhada, is féidir athaispeáint gur fachtóir de chuid x 3 y 3 é (x y) agustugann sé seo an dara fachtóir dúinn, x 2 xy y 2 .Mar sin, scríobhaimidx 3 y 3 (x y)(x 2 xy y 2 ).Ar an gcaoi chéanna, tá sé seo againn:x 3 y 3 (x y)(x 2 xy y 2 ).Más féidir linn iltéarmach a scríobh i gceann amháinde na foirmeacha seo, is féidir linn na péirí fachtóiríseo a úsáid mar theimpléid chun fachtóirí an iltéarmaigh a aimsiú.Mar shampla, scríobhaimid(i) 27x 3 y 3 (3x) 3 y 3(ii) 64x 3 125y 3 (4x) 3 (5y) 3 .x 2 xy y 2___________________x y ) x 3 y 3x 3 x 2 y x 2 y y 3 x 2 y xy 2 xy 2 y 3 xy 2 y 3x 3 y 3 (x y)(x 2 xy y 2 )x 3 y 3 (x y)(x 2 xy y 2 )x 2 y 2 (x y)(x y)Freisin(ax) 3 (by) 3 (ax by)(a 2 x 2 abxy b 2 y 2 )(ax) 3 (by) 3 (ax by)(a 2 x 2 abxy b 2 y 2 )(ax) 2 (by) 2 (ax by)(ax by)13

Sampla 4Fachtóirigh (i) a 3 8b 3 (ii) 64c 3 125d 3(i) a 3 8b 3 a 3 (2b) 3 nóta: bíodh x a agus y 2b sa bhosca ar an leathanach roimhe seo (a 2b)(a 2 2ab b 2 )(ii) 64c 3 125d 3 (4c) 3 (5d) 3 nóta: bíodh x 4c agus y 5d (4c 5d)[(4c) 2 (4c)(5d) (5c) 2 ] (4c 5d)(16c 2 20cd 25c 2 )Cleachtadh 1.3Bain leas as an bhfachtóir coiteann is airde chun gach ceann díobh seo a fhachtóiriú:1. 5x 2 10x 2. 6ab 12bc 3. 3x 2 6xy4. 2x 2 y 6x 2 z 5. 2a 3 4a 2 8a 6. 5xy 2 20x 2 y7. 2a 2 b 4ab 2 12abc 8. 3x 2 y 9xy 2 15xyz 9. 4r 2 6rhGrúpáil tearmaí chun gach ceann díobh seo a fhachtóiriú:10. 3a(2b c) 4(2b c) 11. x 2 ax 3x 3a12. 2c 2 4cd c 2d 13. 8ax 4ay 6bx 3by14. 7y 2 21by 2ay 6ab 15. 6xy 12yz 8xz 9y 216. 6x 2 3y(3x 2a) 4ax 17. 3ax 2 3ay 2 4bx 2 4by 2Úsáid an difríocht idir dhá chearnóg chun gach ceann díobh seo a fhachtóiriú:18. a 2 b 2 19. x 2 4y 2 20. 9x 2 y 221. 16x 2 25y 2 22. 36x 2 25 23. 1 36x 224. 49a 2 4b 2 25. x 2 y 2 1 26. 4a 2 b 2 16c 227. 3x 2 27y 2 28. 45 5x 2 29. 45a 2 2030. (2x y) 2 4 31. (3a 2b) 2 9 32. a 4 b 4Fachtóirigh gach ceann de na sloinn chearnacha seo:33. x 2 9x 14 34. 2x 2 7x 3 35. 2x 2 11x 1436. x 2 9x 14 37. x 2 11x 28 38. 2x 2 7x 339. 3x 2 17x 20 40. 7x 2 18x 8 41. 2x 2 7x 1542. 3x 2 11x 20 43. 12x 2 11x 5 44. 6x 2 x 1545. 3x 2 13x 10 46. 6x 2 11x 3 47. 36x 2 7x 448. 15x 2 14x 8 49. 6y 2 11y 35 50. 12x 2 17xy 5y 214

51. Úsáid foirmle na cothromóide cearnaí chun gach ceann díobh seo a fhachtóiriú:(i) x 2 3 √ __3 x 6 (ii) x 2 2 √ __5 x15 (iii) 2x 2 5 √ __2 x 652. Úsáid suim dhá chiúb agus an difríocht idir dhá chiúb chun gach ceann díobh seo a fhachtóiriú:(i) a 3 b 3 (ii) a 3 b 3 (iii) 8x 3 y 353. (i) 27x 3 y 3 (ii) x 3 64 (iii) 8x 3 27y 354. (i) 8 27k 3 (ii) 64125a 3 (iii) 27a 3 64b 355. (i) a 3 8b 3 c 3 (ii) 5x 3 40y 3 (iii) (x y) 3 z 3Mír 1.4 Codáin ailgéabracha a shimpliúDéantar codáin ailgéabracha a shuimiú, a dhealú, a iolrú agus a roinnt, mar a dhéantar le codáinuimhreacha.Súil siar:(i)(ii)(iii)2_ 3_5 7 __ 14 __ 15 __ 2935 35 352_ 3_5 7 __ 6352_5 3_7 2_5 7_3 __ 1415( ní féidir codáin a shuimiú nó a dhealú ach amháin nuair a bhíonnan t-ainmneoir céanna acu.)( iolráitear codáin ach na huimhreoirí agus na hainmneoirí a iolrúastu féin)(roinntear codáin ach an roinnt a athrú ina toradh.)2 2 4______ 6 12 2431 1______ 6 12 63Ar an gcaoi chéanna (maidir le téarmaí ailgéabracha):(i)_____ 2x 1 ______ 2x2x 3 ______________2(2x 3)(x 1)(2x 3) ______________2x(x 1)(x 1)(2x 3) comhainmneoir a fháil ________________4x 6 2x 2 2x ______________2x 2 2x 6(x 1)(2x 3) (x 1)(2x 3) an t-uimhreoir a shimpliú(ii)_____ 2x 1 ______ 2x2x 3 ______________ 4x(x 1)(2x 3) uimhreoirí a iolrú agus ainmneoirí a iolrú(iii)_____ 2x 1 ______ 2x2x 3 _____ 2x 1 ______ 2x 3 _________ 2(2x 3)2x 2x(x 1) ________ (2x 3)x(x 1) an roinnt a athrú go hiolrúagus ansin roinnt arfhachtóir coiteann thuasagus thíos15

Mar sin, go hiondúil nuair a bhímid ag obair le codáin ailgéabracha:(i) Is gá comhainmneoir a bheith againn chun codáin a shuimiú nó a dhealú.(ii) Ní féidir codán a laghdú (a shimpliú) ach amháin má tá fachtóir coiteann ag anuimhreoir agus ag an ainmneoir.(iii) Má tá codáin atá suimithe nó dealaithe san ainmneoir nó san uimhreoir, caithfeariad a shimpliú go haon chodán amháin sula leantar ar aghaidh.(iv) Chun codáin a roinnt, iolraímid faoin ainmneoir inbhéartaithe.Sampla 1Simpligh(i)(ii)(iii)(i)5ax __________15a 10a 2 t 2 3t 4 __________t 2 165______ 8 y__________ 5ax15a 10a 2 (ii) __________ t 2 3t 4t 2 16 ( 5_1_81___________ (5a)x(5a)(3 2a) 11x ______3 2a____________(t 4)(t 1)(t 4)(t 4) _____ t 1t 48 y ) . 8 5 8y1(iii)5______ 8 y1_8Sampla 2Simpligh gach ceann díobh seo a leanas(i)_________ 6yx(x 4y) ___ 32x(ii)______ 53x 4 ______ 2x 53(i)_________ 6yx(x 4y) ___ 32x __________ 2(6y)2x(x 4y) __________ 3(x4y)2x(x 4y)2(6y) 3(x4y)_______________2x(x 4y)3x __________2x(x 4y) 3 _________2(x 4y)12y 3x 12y______________2x(x 4y)16

(i)______ 53x 4 ______ 2x 53_________ 3(5)3(3x 4)(2x 5)(3x 4) _______________3(3x 4) comhainmneoir: 3(3x 4)15 6x 2 7x 20_________________3(3x 4)6x 2 7x 5____________3(3x 4)(2x 1)(3x 5)_______________3(3x 4)Sampla 3Simplighy _______x2 y 2__________ y1__x __ 1 y.y _______x2 y 2__________ y1__x __ 1 y_____________y 2 (x 2 y 2 )_____________ y_______ (y x)xy________ x 3 yy( y x) _____ x 3y x____ x 2_______ y_______ (y x)xy____ x 2 _______ xyy (y x)Cleachtadh 1.41. Simpligh gach ceann de na codáin seo a leanas:(i)___ 8y2y 3 (ii) ______ 7a 6 b 314a 5 b 4 (iii) _____ (2x) 24x(iv)7y 2y 2 ________7y(v)5ax __________15a 10a 22. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas ina chodán singil:(a)___ 2x5 ___ 4x3(b)___ 3x5 __ x 2(c)______ 2x 34 x __3(d)_____ x 14 ______ 2x 15(e)______ 3x 4 ______ 2x 16 3(f)______ 3x 2 _____ x 36 4(g)______ 5x 1 ______ 2x 44 5(h)______ 3x 5 ______ 2x 3 ___ 16 4 12(i)______ 3x 24 3 __5 ______ 2x 110(j)___ 13x ___ 15x(k)___ 34x ___ 58x(l)1__x _____ 1x 317

(m)_____ 2x 2 _____ 3x 4(n)_____ 2x 2 ______ 32x 1(o)______ 53x 1 _____ 2x 3(p)______ 32x 7 ______ 15x 2(q)______ 23x 5 __ 14(r)______ 52x 1 _____ 3x 2(s)_____ xx y _____ yx y(t)3__x ___ 43y ____ 23xy(u)3__x _____ 2x 1 ________ 4x(x 1)(x 2 a 2 ) (x a)(x a)3. Fachtóirigh an t-ainmneoir agus an t-uimhreoir go hiomlán agus uaidh sin, simpligh gachceann díobh seo a leanas:(i)(iv)2z 2 4z _________2z 2 10z______ xx 2 4 _____ 1x 2(ii)(v)y 2 7y 10____________y 2 25_____ 2a 4 ______ a 2a 2 9(iii)(vi)t 2 3t 4 __________t 2 3t 2______ x 1x 2 4 _____ 1x 24. Fachtóirigh an t-ainmneoir agus uaidh sin, simpligh gach ceann díobh seo a leanas:(i)____________ 102x 2 3x 2 _____ 2x 2(ii)___________ x 22x 2 x 1 _____ 1x 15. Simpligh iad seo a leanas:(i)______ 1x 2 9 __________ 2x 2 x 6(ii)__________ 3x 2 x 2 ___________ 2x 2 3x 2(iii)____________ 26x 2 5x 4 ________ 39x 2 16(iv)_______ 1xy x 2 _______ 1y 2 xy6. Simpligh gach ceann de na codáin choimpléascacha seo a leanas:(i)1__2 __ 3________ 41__4(ii)2__3 __ 5________ 63__8(iii)x1__________ x1 1__x7. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas:(i)1__x 1 ________1__x 1(ii)1__x 2 4 ________1__x 2(iii)_______ x y1__x __ 1y8. Sloinn an t-uimhreoir mar chodán singil agus uaidh sin, simpligh na codáin seo a leanas:(i)4y3___________ 22(ii)21__________ x2(iii)3x 1___________ x2(iv)y 1__________ 41__218

9. Sloinn an t-uimhreoir agus an t-ainmneoir mar chodáin shingile agus uaidh sin, scríobhna codáin a leanas san fhoirm is simplí díobh.(i)z1__________ 3z1__2(ii)2x 1___________ 2x 1__410. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas.(iii)z ___ 1_________ 2zz ___ 13z(iv)x _____ 1___________ x 1x 1(i)1 2__________ x_____ x 2x 2(ii)2 1___________ x2x 2 x(iii)x _____ 2x___________________ x 21 _____________ 4(x 2)(x 2)11. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas.(i)_____ a ba b _____ a b_______________ a b1 _____ a ba b(ii)x 3__________ xx9__x 3(iii)9 1______________ y 29 6__y __ 1y 212. Léirigh go simplíonn ______ 3x 5x 2 _____ 12 xgo tairiseach i gcás x 2.Mír 1.5 Ionannais ailgéabrachaÚsáidtear an focal ionannas iréimsí éagsúla matamaitice.Úsáidtear é sa triantánacht, snatacair, sna feidhmeanna agussan ailgéabar.In ionannas, bíonn comhéifeachtaí uile na gcumhachtaíatá mar an gcéanna cothrom.Caithfidh ionannas bheith fíor i gcás gach luacha ar anathróg neamhspleách.Má tá 3x 7 ax b i gcás gach luacha ar x, ionannas ailgéabrach a thugtar air.Má tá sé seo fíor, bainimid de thátal as go bhfuil a 3 agus b 7.Nuair a bhíonn dhá shlonn cothrom le chéile i gcás gach luacha ar x, is ionannas í anchothromóid a eascraíonn astu.Go hiondúil, má tá ax 3 bx 2 cx d px 3 qx 2 rx s i gcás gach luacha ar x,ansin a p, b q, c r, d s.Freisin, má tá ax 3 bx 2 cx d qx 2 s i gcás gach luacha ar x,ansin a c 0 agus b q, d s.Úsáidtear an t-airí seo chun comhéifeachtaí anaithnide a aimsiú i gcothromóidí áirithe.19

Sampla 1Má tá (2x a) 2 4x 2 12x b, i gcás gach luacha ar x, faigh luach a agus b.Má tá (2x a) 2 4x 2 12x b, i gcás gach luacha ar x, 4x 2 4ax a 2 4x 2 12x b 4a 12 (cuir cumhachtaí cosúla x i gcomparáid) a 4 agus a 2 b (cuir na tairisigh i gcomparáid) 4 2 16 b.Sampla 2Má tá 3t 2 x 3px c 2t 3 0 i gcás gach luacha ar x, faigh c i dtéarmaí p.Má tá 3t 2 x 3px c 2t 3 0 i gcás gach luacha ar x, (3t 2 3p)x c 2t 3 (0)x (0) scríobh an dá thaobh mar iltéarmaigh in x 3t 2 3p 0 (cuir cumhachtaí cosúla x i gcomparáid) t √ __pagus c 2t 3 0 (cuir na tairisigh i gcomparáid) c 2t 3 c 2( √ __p ) 3 2 p 3_2Is féidir ionannais ailgéabracha a úsáid freisin chun páirtchodáin a dhéanamh as codán ar leith.i.e._____________ 1(x 1)(x 2) _______ A(x 1) _______ B(x 2)Sampla 3áit a bhfuil A agus B Q.Má tá_____________ 1(x 1)(x 2) _______ A(x 1) _______ B(x 2)i gcás gach luacha ar x, faigh luachA agus luach B._____________ 1(x 1)(x 2) _______ A(x 1) _______ B(x 2) 1 A(x 2) B(x 1) i gcás gach luacha ar x.A(x 2) B(x 1) ___________________(x 1)(x 2)Is féidir linn luachanna A agus B a fháil ar dhá mhodh éagsúla.Modh 1:Má tá an chothromóid seo fíor i gcás gach luacha ar x, is furasta luachA agus B a fháil, má phiocaimid dhá luach oiriúnacha ar x.Ó tá 1 A(x 2) B(x 1)Bíodh x 2 1 A(0) B(2 1) B 1_3Bíodh x 1 1 A(1 2) B(0) 1 3A ⇒ A 1_320

Modh 2:Comhéifeachtaí cumhachtaí cosúla a ionannú agus iad a réiteachle cothromóidí comhuaineacha.1 A(x 2) B(x 1)1 Ax 2A Bx B1 Ax Bx 2A B1 x(A B) 2A Bx(0) 1 x(A B) 2A B i gcás gach luacha ar x. 0 A B agus 1 2A B comhéifeachtaí cumhachtaí cosúla x agustéarmaí tairiseacha a ionannú A B agus trí ionadaíocht, 1 2(B) B 3B. B 1_3 agus A 1_3_____________ 1(x 1)(x 2) _______ A(x 1) _______ B(x 2) ________ 13(x 1) 1________3(x 2)Ionannais ailgéabracha agus fachtóiríMás fachtóir é x 2 ax b de x 3 2ax 2 4bx c, is féidir linn coibhneas idir nacomhéifeachtaí a, b agus c a aimsiú ach ionannais ailgéabracha a úsáid.Tabhair faoi deara nach mbíonn aon fhuílleach ann nuair a roinntear slonn ar fhachtóir,toisc gur fachtóir é.x 3a__________________x 2 ax b ) x 3 2ax 2 4bx cx 3 ax 2 bxFuílleach3ax 2 3bx c3ax 2 3a 2 x 3ab x(3b 3a 2 ) c 3abMar nach féidir aon fhuílleach a bheithann, glacaimid leis, i gcás gach luachaar x,(i) 3b 3a 2 0, i.e. b a 2 agus(ii) c 3ab 0, i.e. c 3abIs féidir na torthaí céanna a aimsiú ach an fachtóir atá ar iarraidh a bheith (x k). (x k)(x 2 ax b) x 3 2ax 2 4bx cMá fhorbraímid taobh na láimhe clé, gheobhaimidx 3 ax 2 bx kx 2 akx bk x 3 2ax 2 4bx c i gcás gach luacha ar x. x 3 (k a)x 2 (b ak)x bk x 3 2ax 2 4bx c cuir téarmaí cosúla le chéile.Comhéifeachtaí x 2 a chur i gcomparáid: (k a) 2a, mar sin k 3a mar atá thuas.Comhéifeachtaí x a chur i gcomparáid: (b ak) 4b(b 3a 2 ) 4b, mar sin 3b 3a 2 , i.e. b a 2 mar atá thuas.Ar deireadh, téarmaí tairiseacha a chur i gcomparáid: bk c 3ab c, mar atá thuas.21

Sampla 4Glac leis gur fachtóir é (x t) 2 de x 3 3px c. Uaidh sin, taispeáin go bhfuilp t 2 agus c 2t 3 .(x t) 2 x 2 2xt t 2 agus trí roinnt fhada, faighimid:x 2t__________________x 2 2xt t 2 )x 3 3px c (tabhair faoi deara nach bhfuilx 3 2tx 2 t 2 x aon téarma x 2 ann)2tx 2 t 2 x 3px c2tx 2 (3p t 2 )x c2tx 2 4t 2 x 2t 3(3p 3t 2 )x c 2t 3 ( fuílleach)Níor cheart dúinn aon fhuílleach a fháil; mar sin (3p 3t 2 )x c 2t 2 0i gcás gach luacha ar x. (3p 3t 2 )x c 2t 3 (0)x 0 i gcás gach luacha ar x. 3p 3t 2 0 p t 2agus c 2t 3 0 c 2t 3 .(Nóta: Is iad x 2 2xt t 2 agus x 2t fachtóirí x 3 3px c).Sampla 5Is fachtóir é 2x √ __3 de 4x 2 2(1 √ __3 )x √ __3 ; faigh an dara fachtóir.Glac leis go bhfuil an dara fachtóir san fhoirm (ax b).(Nóta: Caithfimid a a thabhairt isteach mar gurb é 4 comhéifeacht x 2 ; ba cheart gombeadh sé soiléir go bhfuil a 2).Ansin (2x √ __3 )(ax b) 4x 2 2(1 √ __3 )x √ __3 2ax 2 2bx √ __3 ax √ __3 b 4x 2 2(1 √ __3 )x √ __3 2ax 2 (2b √ __3 a)x √ __3 b 4x 2 2(1 √ __3 )x √ __3Comhéifeachtaí cumhachtaí cosúla á gcothromú,(i) (x 2 ) 2a 4 a thugann a 2(ii) (x) (2b √ __3 a) 2(1 √ __3 )ó tá a 2, ⇒ 2b 2 √ __3 2 2 √ __3 b 1(iii) (na tairisigh a chur i gcomparáid) √ __3 b √ __3 , a fhíoraíonn go bhfuil b 1.Mar sin is é 2x 1 an dara fachtóir.22

Cleachtadh 1.51. Má tá ax 2 bx c (2x 3)(3x 4) i gcás gach luacha ar x, faigh luachanna a, b agus c.2. Má tá (3x 2)(x 5) 3x 2 px q i gcás gach luacha ar x, faigh luachanna p agus q.3. Má tá x 2 6x 16 (x a) 2 b i gcás gach luacha ar x, faigh luachanna a agus b.4. Faigh na réaduimhreacha a agus b má tá x 2 4x 6 (x a) 2 b i gcás gach x R.5. Má tá 2x 2 5x 6 p(x q) 2 r i gcás gach luacha ar x, faigh luachanna p, q agus r.6. Faigh luachanna a agus b má tá (2x a) 2 4x 2 12x b i gcás gach x.7. Má tá x 2 4x 5 (x n) 2 m, i gcás gach x, faigh luachanna m agus n.8. Tugann an fheidhm V(x) ax 4 bx 2 cx dtoirt, V, an bhosca seo dúinn, áit a bhfuil a, b, cagus d Z.(i) Faigh luachanna a, b, c agus d.Tugann an chothromóid S(x) px 2 qx rachar dhromchla seachtrach an bhosca, S(x),dúinn, áit a bhfuil p, q agus r Z..(x 5)(x 3)(x 2)(ii) Faigh luachanna p, q agus r.9. Má tá 3(x p) 2 q 3x 2 12x 7 i gcás gach x, faigh luachanna p agus q.10. Tugann V(x) x 3 12x 2 bx 30toirt bosca sholadaigh.Má tá achar bharr an bhosca cothrom lex 2 cx 4 agus más é x a a airde,faigh luachanna a, b agus c.x 2 cx 4(x a)11. Má tá (x 4) 3 x 3 px 2 qx 64 i gcás gach x, faigh luachanna na dtairiseach p agus q.12. Má tá (x a)(x 2 bx 2) x 3 2x 2 x 6 i gcás gach x, faigh luachanna nadtairiseach a agus b.13. Faigh luachanna b agus c má tá (x 2)(x 2 bx c) x 3 2x 2 5x 6 i gcás gachluacha ar x.14. Má tá (5a b)x b 2c 0 i gcás gach luacha ar x, faigh a i dtéarmaí c.15. Má tá (4x r)(x 2 s) 4x 3 px 2 qx 2 i gcás gach x, faigh luach pq.23

16. Tá (x s)(x t) x 3 bx 2 cx d i gcás gach luacha ar x.Úsáid an t-ionannas seo chun a thaispeáint go bhfuil bc ad.17. Má tá _____________ 1(x 1)(x 1) _______ A(x 1) _______ B(x 1)18. Má tá _____________ 1(x 2)(x 3) _______ C(x 2) _______ D(x 3)i gcás gach x, faigh luachanna ar A agus B.i gcás gach x, faigh luachanna ar C agus D.19. Scríobh _____________ 1(x 1)(x 4) i bhfoirm na bpáirtchodán _______ A(x 1) _______ B(x 4) .20. Más fachtóir é (x 3) 2 de x 3 ax b, faigh luach a agus luach b.21. Más fachtóir é (x 2) 2 de x 3 px q, faigh luach p agus luach q.22. Más fachtóir é (x 2 4) de x 3 cx 2 dx 12, faigh luachanna na gcomhéifeachtaíc agus d.Uaidh sin, fachtóirigh an t-iltéarmach ciúbach go hiomlán.23. Más fachtóir é (x 2 b) de x 3 3x 2 bx 15, faigh luach b.24. Más fachtóir é x 2 px 9 de x 3 ax b, sloinn (i) a (ii) b i dtéarmaí p.Uaidh sin, faigh luachanna p má tá a b 17.25. Más fachtóir é x 2 kx 1 de ax 3 bx c, léirigh go bhfuil c 2 a(a b).26. Más fachtóir é (x a) 2 de x 3 3px c, léirigh go bhfuil (i) p a 2 (ii) c 2a 3 .27. Más fachtóir é x 2 ax b de x 3 k, léirigh go bhfuil (i) a 3 k (ii) b 3 . k 2 .28. Úsáid roinnt fhada chun a thaispeáint gur fachtóir é 2x √ __3 de 4x 2 2(1 √ __3 )x √ __3agus uaidh sin, faigh an dara fachtóir.29. Faigh luachanna A, B agus C sa chaoi go bhfuil5x 3 Ax(x 3) Bx(x 1) C(x 1)(x 3) i gcás gach luacha ar x.Mír 1.6 Foirmlí a ionramháilTugann an fhoirmle A r 2 achar diosca.Deirtear go bhfuil A sainithe i dtéarmaí r (is é ran athróg neamhspleách).A r 2Má tá a fhios againn cad é r, is féidir linn A a fháil.Mar shampla, má tá r 3, tá A 9; má tá r 8, ansin tá A 64 agus mar sin de.Uaireanta, iarrtar orainn r a fháil i dtéarmaí A, i.e. r a bheith mar ábhar na cothromóide.24

2 A ⇒ r 2 __ A __ ⇒ r √__ A. Tá r sainithe anois i dtéarmaí A.Mar sin, má tá achar an chiorcail ar eolas againn, is féidir linn an ga a fháil.__ ___m.sh. Má tá A 9, ansin r √__ A ⇒ r √___ 9 √ __9 3.Sampla 1(i) Má tá v 2 u 2 2as, sloinn a i dtéarmaí v, u agus s.______x y(ii) Má tá √_____x y __ 1 , sloinn y i dtéarmaí x. Uaidh sin, faigh luach y nuair atá x 5.2(i)v 2 u 2 2asu 2 2as v 22as v 2 u 2 a _______ v2 u 22s(ii)√ ___________ x yx y __ 1 2_____ x yx y __ 1 4 an dá thaobh a chearnú4(x y) x y an dá thaobh a iolrú faoi 4(x y)4x 4y x y taobh na láimhe clé a fhorbairty 4y x 4x na y-théarmaí amháin a bhailiú le chéile ar thaobh na láimhe clé5y 3xy ____ 3x y a fháil i dtéarmaí x5Nuair atá x 5, y ______ 3(5) 3.5Sampla 2Úsáidtear coimeádán atá i gcruth cóin inbhéartaithechun leacht a choimeád.Má tá tan __ r , sloinn an toirt, V, i dtéarmaí h,hdoimhneacht an leachta, agus na huillinne .Toirt cóin, V 1_3 r2 hAch tan r __h ⇒ h tan rV 1_3 r2 h (h tan ) 2 h h 3 tan 2 hr25

Sampla 3Glac leis go bhfuil x ______ t 4 . Faigh t i dtéarmaí x.3t 1x ______ t 43t 1x(3t 1) t 4 an dá thaobh a iolrú faoi 3t 13tx x t 4 forbair taobh na láimhe clé3tx t 4 x na t-théarmaí amháin a bhailiú ar thaobh na láimhe clét (3x 1) 4 x t a fhachtóiriút ______ 4 x an dá thaobh a roinnt ar 3x 13x 1Cleachtadh 1.61. I ngach ceann díobh seo a leanas, sloinn x i dtéarmaí na n-athróg eile.(i) 3x 2y 4 (ii) 2x b 4c (iii) 5x 4 __ y 2(iv) 5(x 3) 2y (v) 3y __ x 2 (vi) xy xz yz32. Sloinn x i dtéarmaí na n-athróg eile i ngach ceann díobh seo a leanas.(i) 2x __ y 3 __ 1 3(ii) z y 2x ______3(iii)a__x b c3. (a) Tugann V r 2 h toirt sorcóra.Faigh an ga r i dtéarmaí V agus h.(b) Tugann A 2rh achar cuarsorcóra.Faigh an ga r i dtéarmaí A agus h.(c) Uaidh sin, léirigh go bhfuil A 2 4hV.rh4. Tarraingítear ciorcal ar ga dó r taobh istigh de chearnóg, mar a léirítear.(a) Faigh achar an chiorcail, A.(b) Faigh achar na cearnóige, i dtéarmaí r.(c) Uaidh sin, faigh slonn ar achar na gcúinní scáthaithei dtéarmaí r.(d) Má dhúblaítear slios na cearnóige agus má laghdaítearga an chiorcail faoina leath, faigh slonn ar an acharscáthaithe i dtéarmaí r.(e) Má imscríobhtar ciorcal thart ar an mbunchearnógh,cruthaigh gurb ionann achar an diosca sheachtraighagus dhá oiread achar an diosca inmheánaigh.r26

5. Tomhaiseann ceamara luais an t-athrú ar mhinicíocht tonnta ó f go f . Carr ag gluaiseachtfcis cúis leis an athrú seo. Úsáideann an ceamara an fhoirmle f _____ , áit ar luas nac udtonnta é c agus luas an chairr é u. Faigh(i) u, luas an chairr, i dtéarmaí na n-athróg eile f , f agus c.(ii) c, luas na dtonnta, i dtéarmaí na n-athróg eile f , f agus u.__6. Tugann T 2 √__ lan t-am a ghlacann sé ar luascadán ciogalgiomlán amháin a dhéanamh, áit arb é l fad an luascadáin agus arbé g an luasghéarú de bharr domhantarraingthe.(i) Faigh l i dtéarmaí na n-athróg eile.(ii) Glac leis go bhfuil T 3 s agus g 10 m s 2 .Ríomh fad an luascadáin ceart go dtí ionad amháinde dheachúlacha.l7. I ngach ceann díobh seo a leanas, sloinn a i dtéarmaí na n-athróg eile:(i)x__y _____ a b (ii) bc ac ac.a b8. Sloinn v i dtéarmaí na n-athróg eile i ngach ceann díobh seo a leanas:(i) y 3(u v) ________4(ii) S __ t (u v)29. Tugann an fhoirmle A P (1 ____ i100) 3 luach cumaisc P, a infheistítear ar feadh 3 blianaar i%. Faigh i i dtéarmaí P agus A. Má tá luach reatha 2650 ag 2500 a infheistíodh tríbliana ó shin, faigh an ráta úis (ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha).10. Scríobh c i dtéarmaí na n-athróg eile i ngach ceann díobh seo.______(i) d √_____ a b(ii) b ______ 2c 1acc 111. Ga r cm agus airde ingearach h cm atá ag cón.Má tá an chlaon-airde l 15 cm, úsáid TeoirimPhíotagarás(i) chun h a shloinneadh i dtéarmaí r.(ii) Uaidh sin, faigh luach h nuair atá r 5 cm.(iii) Cén luach atá ar h nuair atá an ga r cothrom leleath na claon-airde l?Tabhair do fhreagra ceart go dtí an cm is gaire.hrl 15 cm27

12. Tá 300 m dfhálú ag feirmeoir. Teastaíonnuaidh an fálú uile seo a úsáid chun banrachdhronuilleogach a dhéanamh in aice le ballaatá ann cheana féin, mar a léirítear.(i) Faigh L, fad na banraí, i dtéarmaí aleithid (W).(ii) Uaidh sin, faigh achar na banraí (A)i dtéarmaí an leithid amháin.(iii) Faigh toisí na banraí más é 10,000 m 2an t-achar féideartha is mó.BALLAW leitheadL fadMír 1.7 Patrúin ailgéabracha, réamheolas1. Líneach Cruthaíonn gach feidhm iltéarmach patrún arféidir é a scrúdú go huimhriúil agus gografach.Déanann an fheidhm f(x) (y) 3x, áit a bhfuil x 0,cur síos ar phatrún ar nós 0, 3, 6, 9, Ar an gcaoi chéanna, déanann an fheidhm f(x) (y) 3x 1,áit a bhfuil x 0, cur síos ar an bpatrún 1, 4, 7, 10,Freisin, léiríonn an fheidhm f(x) (y) 2 4x,áit a bhfuil x 0, an patrún 2, 2, 6, 10 2y 3x 1y6543211O11 2y 3xxI gcás gach ceann de na patrúin uimhreacha seo, tá méid tairiseachsuimithe leis, nó bainte de, idir théarmaí agus nuair aléirítear aon cheann acu mar ghraf, cruthaíonn sé líne dhíreach.Feidhmeanna líneacha a thugtar ar fheidhmeanna san fhoirmf(x) y mx c.I bpatrún líneach, tugann an difríocht idir théarmaí leantacha mfána na líne. An 1ú difríocht a thugtar ar an difríocht idir théarmaí leantacha.2345y 2 4xy mx cPatrún 0 3 6 9 12 f (x) ( y) 3x1ú Difríocht 3 3 3 3Patrún 1 4 7 10 13 f (x) ( y) 3x 11ú Difríocht 3 3 3 3Cinneann túsphointegach patrúin c, antéarma tairiseach.Nuair atá x 0, gocéimseatúil, faighimididirlíne na yaise, c.Patrún 2 2 6 10 14 f (x) ( y) 2 4x1ú Difríocht 4 4 4 428

2. Cearnach I gcás patrún ar nós 0, 1, 4, 9, 16, níl méid tairiseach suimithe leo, nábainte díobh, idir théarmaí. Má fhéachaimid ar na chéad difríochtaí idirthéarmaí, feicfimid 1, 3, 5, 7, .Ach is tairiseach é 2, an dara difríocht (3 1), (5 3), .Léiríonn an fheidhm f(x) (y) x 2 i gcás x 0 patrúin mar seo.Cruthaíonn feidhmeanna san fhoirm f(x) x 2 b patrúin den chineál céanna.Patrún 0 1 4 9 16 25 f (x) ( y) x 21ú Difríocht 1 3 5 7 92ú Difríocht 2 2 2 2Patrún 2 3 6 11 18 27 f (x) ( y) x 2 21ú Difríocht 1 3 5 7 92ú Difríocht 2 2 2 2Patrún 3 2 1 6 13 22 f (x) ( y) x 2 31ú Difríocht 1 3 5 7 92ú Difríocht 2 2 2 2Patrún 2 1 2 7 14 23 f (x) ( y) 2 x 21ú Difríocht 1 3 5 7 92ú Difríocht 2 2 2 2Mar a fheictear sna graif, tá na cuair siméadrach thart ar anlíne x 0 (an yais).Bíonn cruth ar phatrúin san fhoirm f(x) x 2 b.Bíonn cruth ar phatrúin san fhoirm f(x) b x 2 .Féach ar an bpatrún thíos.Patrún 4 7 16 31 52 79An 1ú difríocht 3 9 15 21 27An 2ú difríocht 6 6 6 6Toisc gur tairiseach í an dara difríocht, tá a fhios againngur patrún cearnach é seo san fhoirmax 2 b, x 0. 3 2y x 2 2y65432 1 O 11 2 31 2 3xy x 2y x 2 3y 2 x 2Is é 4 an luach tosaithe, i.e. nuair atá x 0, b 4.Nuair atá x 1, ax 2 b a(1) 4 7 a 3.(Tugaimid faoi deara freisin gurb é 6 an dara difríocht, i.e.2 3 2a)Má tá f(x) ax 2 bx c,tá an dara difríocht 2a. Is féidir an patrún uimhreacha seo a léiriú leis an bhfeidhm iltéarmach f(x) 3x 2 4.29

Sampla 1Scrúdaigh na patrúin uimhreacha seo a leanas agus cinn an bhfuil coibhneas líneach nócearnach idir na téarmaí.Scríobh slonn ailgéabrach do gach tacar uimhreacha:(a) 2, 1, 4, 7, (b) 3, 5, 11, 21, Patrún 2 1 4 71ú Difríocht 3 3 3Patrún 3 5 11 211ú Difríocht 2 6 102ú Difríocht 4 4(a) Is tairiseach í an chéad difríocht.Mar sin, léiríonn sé seo coibhneaslíneach f(x) ax b.a 3 agus b 2, f (x) 3x 2, x 0.(b) Is tairiseach í an dara difríocht.Mar sin, léiríonn sé seo coibhneascearnachf (x) ax 2 b.4 2a ⇒ a 2 agus b 3, f (x) 2x 2 3, x 0.Is féidir patrúin chearnacha níos casta, san fhoirm ax 2 bx c, a chruthú in dhá chéim; ar dtús,an chuid chearnach x 2 a shainaithint agus ansin é sin a bhaint ón bpatrún chun an chuid líneachbx c a dhéanamh.Sampla 2Rinneadh seicheamh patrúnas cipíní singile mar aléirítear.Aimsigh slonn cearnachailgéabrach do líon nagcipíní is gá chun gachpatrún a dhéanamh.Cé mhéad cipín a theastódh chun an deichiú patrún a dhéanamh?Nuair a chomhairimid na cipíníis gá do na chéad cheithre phatrún,faighimid an patrún uimhreacha4, 10, 18, 28, Patrún 4 10 18 281ú difríocht 6 8 102ú difríocht 2 2Tugann an dara difríocht 2, 2, 2, srl dúinn.Mar sin, tá cuid chearnach (x 2 ) leis an bpatrún seo.30

Nuair a thriailimid f(x) x 2 4 i gcás x 0, faighimid an patrún 4, 5, 8, 13. Ní hésin an patrún a theastaíonn uainn.Nuair a bhainimidPatrúnx 2 40101184289f(x) x 2 0, 1, 4, 9, i gcásPatrún Nua 4 9 14 19x 0 ó 4, 10, 18, 28, , faighimidan patrún nua 4, 9, 14, 19, 1ú Difríocht 5 5 5Is é 5, 5, 5, 5, . srl an chéad difríocht sa seicheamh seo coibhneas líneach san fhoirm 5x 4 i gcás x 0.Nuair a chuirimid an dá choibhneas le chéile, faighimid f(x) x 2 5x 4 i gcás x 0.Chun an 10ú patrún a fháil, glacaimid le x 9 (ó tá an chothromóid fíor i gcás x 0,i.e. tosaíonn sé ar 0). f(9) 9 2 5(9) 4 130 cipín ag teastáil.[Nóta: Dá mbeadh x 1, dhealóimis 1, 4, 9, srl agus dhéanfaimis seicheamh nua 3, 6, 9, le coibhneas líneach 3x. Á gcur le chéile, faighimid f(x) x 2 3x i gcás x 1, agusnuair a úsáidimid an fhoirmle seo, f(10) 10 2 3(10) 130 arís.]Nóta: Déantar staidéar níos mine ar phatrúin líneacha agus chearnacha i gCaibidil 4.Cleachtadh 1.71. Scrúdaigh gach ceann de na patrúin uimhreacha seo a leanas agus cinn an bhfuil coibhneaslíneach nó cearnach ag an bpatrún.(a) 4, 7, 10, 13, 16, (b) 2, 2, 6, 10, 14, (c) 4, 3, 0, 5, 12, (d) 2, 1, 2, 7, 14, 23, (e) 2, 7, 22, 47, (f) 3, 1, 5, 15, 29, (g) 1, 4, 19, 44, 79, (h) 3, 2, 7, 12, 17, (i) 0, 3, 12, 27, 48, (j) 1, 17, 37, 65, 101, 2. Scríobh slonn ailgéabrach chun gach ceann de na patrúin uimhreacha seo a léiriú.(a) 1, 3, 15, 35, 63, (b) 4, 3, 0, 5, 12, 21, 32, 3. Is féidir gach ceann de na patrúin uimhreacha seo a leanas a scríobh san fhoirmf(x) ax b, x 0. Faigh luachanna a agus b.(i) 2, 7, 12, 17, 22, (iii) 3, 2, 1, 0, 1, 2, (v) 3, 3.5, 4, 4.5, 5, (ii) 6, 2, 2, 6, 10, (iv) 2, 7, 12, 17, 22, 27, (vi) 1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 4. Má tá x 3, faigh slonn ailgéabrach líneach don phatrún 11, 13, 15, 17, 19, 5. Má tá x 2, faigh a agus b sa chaoi go seasann f(x) ax b don phatrún uimhreacha1, 3, 5, 7, 9, 31

6. Iompaigh gach ceann de na dearaí a leanas ina phatrún uimhreacha. Faigh slonn cearnachailgéabrach do líon na gcipíní is gá chun gach patrún a dhéanamh agus uaidh sin, faighlíon na gcipíní is gá chun an 15ú ball de gach patrún a dhéanamh.(a)(b)(c)7. Tairgeann comhlacht dhá phlean billí éagsúla chun teilifíseán a cheannach thar roinntmíonna. I bPlean A, aisíoctar 35.00 sa mhí agus íoctar éarlais 70.00. I bPlean B,aisíoctar 24.00 sa mhí agus íoctar éarlais 125.00. Má sheasann x do líon na míonna saphlean, scríobh slonn do gach plean billí. Scríobh seicheamh uimhreacha a sheasann donchostas sa mhí maidir le gach plean (A agus B) do na chéad cheithre mhí. Cé mhéad mí aghlacfadh sé sula mbeadh an méid céanna aisíoctha ar an dá phlean?8. Chomhair bitheolaí líon na gceall baictéarach a dfhás i saothrán gach uair an chloig.Taifeadadh an patrún 4, 7, 14, 25, 40, . do na chéad chúig uaire. Ba é 4 líon na gceall agan tús. Léirigh go bhfuil cuid líneach agus cuid chearnach sa seicheamh seo. Aimsighslonn do líon na mbaictéar i ndiaidh t uair, i.e. faigh f(t). Úsáid do shlonn do f(t), chomhmaith le triail is earráid, le fáil amach cén uair an chloig ina sroichfidh an choilíneacht 500ceall.Mír 1.8 Cothromóidí a réiteachChun cothromóid a réiteach, caithfimid luachanna na hathróige tugtha, a shásaíonn anchothromóid, a fháil.Má tá 4x 12 0, is é x 3 an t-aon réiteach amháin ar an gcothromóid seo.Má tá x 2 5x 6 0, is réitigh ar an gcothromóid iad x 2 agus x 3.Má tá y 4x 12, tá (x, y) (4, 4) ar cheann den iliomad luachanna ar (x, y) a shásaíonn anchothromóid seo.yMá tá f(x) y 4x 12, is é x 3 an luacha shásaíonn f(x) y 0.Mar sin, is é (x, y) (3, 0) an réiteach ashásaíonn y 4x 12.Ar an gcaoi chéanna, is réitigh iad (2, 0) agus(3, 0) ar f(x) y x 2 5x 6.Fréamhacha na cothromóide a thugtar ar naluachanna ar x a shásaíonn y f(x) 0.13 2 1 O1Má bhreactar graf feidhme, is iad na fréamhacha na pointí ag a dtrasnaíonn an graf an x-ais.4322Fréamhacha1 2 34xy 4x 12y x 2 5x 632

Cothromóidí líneacha a réiteachDéanann aon chothromóid san fhoirm y ax b líne dhíreach nuair a ghraftar í.Cothromóidí líneacha a thugtar ar chothromóidí den sórt seo.Chun an chothromóid 2x 1 0 a réiteach, caithfimid an luach ar x a fhágann go bhfuil y 0a fháil, i.e. an áit ina dtrasnaíonn an líne an xais.2x 1 0⇒ x 1 ___2 0.5Ar an gcaoi chéanna, chun an chothromóid 2x 1 2 aréiteach, caithfimid an luach ar x a fhágann go bhfuil y 2a fháil, i.e. an áit ina dtrasnaíonn an líne an líne y 2.2x 1 2⇒ x 1 __2 0.5I ngach cás, ní fhaightear ach luach amháin ar x (fréamhamháin).y1(0.5, 0)2 1 O(1, 1) 1(2, 3)543223(0.5, 2)(0, 1)(2, 5)y 2x 1(1, 3)1 2 3y 2xSampla 1Réitigh an chothromóid líneach ______ 2t 35 1 ___20 _____ t 14 .______ 2t 35 1 ___________ 4(2t 3)2020 _____ t 14 1 ___20 _______ 5(t 1)20 an comhainmneoir is lú a fháil 4(2t 3) 1 5(t 1) 8t 12 1 5t 5 á fhorbairt 3t 6 t 2Cleachtadh 1.81. Mínigh an fáth ar cothromóidí neamhlíneacha iad gach ceann díobh seo.(i) y 2x 2 2x 1(ii) y _______ 2 2(x 1)1(x 1)(iii) y 2 3x 433

2. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas.(i) 5x 3 32 (ii) 3x 2 x 8 (iii) 2 5x 8 3x3. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo.(i) 2(x 3) 5(x 1) 3 (ii) 2(4x 1) 3(x 2) 14(iii) 3(x 1) 4(x 2) 6(2x 3) (iv) 3(x 5) 2(x 1) 3x 224. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas.(i) ______ 2x 1 1(ii) ______ 3x 1 854(iii)_____ x 3 _____ x 24 55. Faigh luach na hanaithnide i ngach ceann de na cothromóidí seo a leanas.(i) ___ 2a3 __ a4 __ 5(ii) _____ b 2 _____ b 31__ (iii) ______ 3c 1 _____ c 34__64 3 26 4 36. Faigh luach na hanaithnide i ngach ceann de na cothromóidí seo a leanas.(i)(iii)_____ x 2 ______ 2x 31__5 10 23p 2 ______63p 1 ______ 42__37. Réitigh gach ceann díobh seo a leanas.(ii)(iv)_______ 3y 12 3 ________ 3( y 5)52______ 3r 2 ______ 2r 31__5 4 2(i)3_4 (2x 1) 2_3 (4 x) 2 (ii) 2_3 (x 1) 1_ (x 3) x 1Mír 1.9 Cothromóidí líneacha comhuaineacha a réiteach1. Cothromóidí líneacha comhuaineacha ina bhfuil dhá athróg a réiteachIs féidir an chothromóid líneach y 2 3 x 3 aathchóiriú mar seo:y 2_3 x 33y 2x 9Is é 2x 3y 9 0 cothromóid na línecéanna, sloinnte san fhoirm chaighdeánach.Tá dhá athróg (x, y) ag an gcothromóid seo agus isiomaí réiteach atá ann.Ach, má tá dhá chothromóid againn in x agus y, tásiad(a) comhthreomhar, gan aon phointe trasnaithe(b) trasnaíonn siad ag pointe (x 1 , y 1 ), i bpáirt ag andá líne.Sa léaráid seo, graftar na línte 2x y 1 0 agus3x y 4 0.5Foirm chaighdeánach cothromóidlíne:ax by c 03x y 4y543212 1O12A2x y 11 2 3x34

Tá pointe trasnaithe A(x, y) ( 3 5 , 11 5) acu a shásaíonn an dá chothromóid ag an am céannai.e. go comhuaineach.Tá trí mhodh againn chun dhá chothromóid líneacha a réiteach (i.e. a bpointe trasnaithe a aimsiú):(i) ionadaíocht (ii) díbirt (iii) go grafach (féach thuas).Sampla 1Réitigh na cothromóidí 3x y 1 agus x 2y 8.Tóg x 2y 8 agus athchóirigh na téarmaí, chun x a fháil i dtéarmaí y, x 8 2yCuir an slonn seo in áit x sa dara cothromóid líneach.Athraíonn 3x y 1 go 3(8 2y) y 124 6y y 1 á fhorbairt 5y 25 y 5Má tá y 5, ansin athraíonn x 8 2y go x 8 2(5) 2Mar sin, is é (x, y) (2, 5) an pointe trasnaithe.[Nóta: Ó tá 3(2) 5 1 agus (2) 2(5) 8, tá an pointe (2, 5) ar an dá líne.]Nóta 1: Níos faide anonn, úsáidfimid teicníc na hionadaíochta chun cothromóidí a réiteachchun an pointe trasnaithe / na pointí trasnaithe idir líne agus cuar a aimsiú.Nóta 2: Is féidir ceachtar athróg a ionadú.(Roghnaigh an athróg is fusa a aonrú, i gcónaí).Sampla 2Réitigh na cothromóidí 2x 5y 9 agus 3x 2y 4.Bíodh A 2x 5y 9Bíodh B 3x 2y 4 3A 6x 15y 27agus 2B 6x 4y 819y 19 Dealaigh chun x a dhíbirty 1Má chuirimid y 1 isteach in A, gheobhaimid 2x 5(1) 92x 4x 2Is é (x, y) (2, 1) an pointe trasnaithe.[Nóta: 2(2) 5( 1) 9 agus 3(2) 2(1) 4 agus mar sin, tá an pointe seo ar an dá líne.]35

2. Cothromóidí comhuaineacha ina bhfuil trí athróg a réiteachIs cothromóid agus trí athróg (trí thoise) inti éx y z 6.zChun an chothromóid seo a bhreacadh, is gá trí ais,x-ais, y-ais agus z-ais, a úsáid, iad dronuilleach le chéile.Agus í breactha, seasann an chothromóid seo do phlánapointí.xyMá bhreactar trí phlána ar na haiseanna céanna, beidh pointe trasnaithe (x, y, z) amháin ann,fad is nach bhfuil aon dá cheann de na plánaí comhthreomhar.Chun cothromóid, agus trí anaithnid inti, a réiteach,(i) díbir ceann de na hanaithnidí chun na trí chothromóid a laghdú go dhá cheann(ii) roghnaigh an anaithnid is fusa a aonrú(iii) roghnaigh na cothromóidí péire ar phéire agus díbir an anaithnid seo ó na trí chothromóid(iv) réitigh an dá chothromóid a thiocfaidh as sin mar a rinneadh thuas(v) úsáid na luachanna atá agat ar na hanaithnidí seo i gceann de na cothromóidí bunaidhchun an tríú hanaithnid a réiteach(vi) cinntigh do fhreagraí i ngach cothromóid.Sampla 3Réitigh na cothromóidí comhuaineacha: A: x y z 6B: 2x y z 1C: 4x 3y 2z 4Má dhíbrímid z ó na trí chothromóid, gheobhaimidA: x y z 6 2B: 4x 2y 2z 2B: 2x y z 1 C: 4x 3y 2z 4D: 3x 2y 7 ag suimiú A agus B E: 8x y 6 ag suimiú 2B agus CD: 3x 2y 72E: 16x 2y 1219x 19 ag suimiú D agus 2Ex 1 Ag úsáid D: 3(1) 2y 72y 4y 2Ar deireadh, ag úsáid A(1) (2) z 6z 3 is é (x, y, z) (1, 2, 3)an pointe trasnaithe[Nóta: A: (1) (2) (3) 6, agusB: 2(1) (2) (3) 1, agusC: 4(1) 3(2) 2(3) 4 agus mar sin, sásaíonn an pointe seo na trí chothromóid].36

3. Cothromóidí comhuaineacha i gcomhthéacsSampla 4Bhí 240 duine i láthair ag ceoldráma. Bhí ticéid ar fáil ar dhá phraghas, 31 agus 16.Má caitheadh 5595 san iomlán ar thicéid an oíche sin, faigh, ag úsáid an eolais seo,(i) dhá chothromóid líneacha a nascann an dá shórt ticéid a díoladh(ii) líon na dticéad ar 31 a díoladh(iii) líon na dticéad ar 16 a díoladh.Seasadh x do líon na dticéad ar 16 a díoladh agus y do líon na dticéad ar 31 adíoladh.(i) Ó bhí 240 duine i láthair san iomlán, A: x y 240 Má caitheadh 5595, B: 16x 31y 5595(ii) Á réiteach, faighimid 16A: 16x 16y 3840B: 16x 31y 5595 (á dhealú)15y 1755y 117, i.e. díoladh 117 ticéad ar 31 an ceann.(iii) Agus uaidh sin, x (117) 240x 123, díoladh 123 ticéad ar 16 an ceann.Sampla 5Bailíodh boinn caoga cent, fiche cent agus deich cent as meaisín bonn. Comhaireadh iad.32 luach iomlán na mbonn. Agus é ag comhaireamh, thug an t-airgeadóir faoi dearagurbh ionann trí oiread líon na mbonn caoga cent agus dhá oiread líon na mbonn fichecent suimithe le líon na mbonn deich cent. Ansin, thug sé faoi deara gurbh ionann séoiread líon na mbonn fiche cent agus ceithre oiread líon na mbonn caoga cent suimithe lelíon na mbonn deich cent.Faigh líon gach sórt boinn a bhí sa mheaisín.Bíodh x líon na mbonn 50 centBíodh y líon na mbonn 20 centBíodh z líon na mbonn 10 cent.(i) 50x 20y 10z 3200 32 3200c(ii) 2y z 3x(iii) 4x z 6yNuair a athchóirímid na cothromóidí le go mbeidh A: 50x 20y 10z 3200siad san fhoirm chaighdeánach, faighimidB: 3x 2y z 0C: 4x 6y z 0Nuair a shuimímid B agus C, cuirimid z as an áireamh B C ⇒ 7x 8y 0.37

Nuair a shuimímid A agus 10B, cuirimid zas an áireamh freisin (agus y sa chás seo)Ó tá 7x 8y 0 ⇒ 7(40) 8y 0⇒ 280 8y 0⇒ y 35 A: 50x 20y 10z 320010B: 30x 20y 10z 0A 10B ⇒ 80x 3200 x 40Freisin, 3x 2y z 0 ⇒ 3(40) 2(35) z 0 z 120 70 50. (x, y, z) (40, 35, 50) i.e. bhí 40 bonn 50 cent, 35 bonn 20 cent agus 50 bonn 10 centsa mheaisín.Cleachtadh 1.91. Faigh pointe trasnaithe gach ceann de na péirí línte seo a leanas.(i) 3x 2y 8 (ii) 3x y 1 (iii) 2x 5y 1x y 6 x 2y 8 4x 3y 9 02. Réitigh gach ceann de na péirí cothromóidí comhuaineacha seo a leanas.(i) 4x 5y 22 (ii)x__2 __ y 6 __ 1 (iii) ______ 4x 2 ___ 8y65 107x 3y 15 0 x 2y 8 18x 20y 43. Réitigh do x agus y, má tá ______ 2x 53 y __5 6 agus3x ___10 2 ______ 3y 5 .24. Má tá y 3x 23 agus y __ x 2, faigh luachanna y agus x.25. Réitigh na cothromóidí seo a leanas, ina bhfuil trí anaithnid.(i) 2x y z 8 (ii) 2x y z 6 (iii) 2x y z 95x 3y 2z 3 3x 2y 3z 3 x 2y z 67x y 3z 20 4x y 2z 3 3x y 2z 176. Faigh pointe trasnaithe gach ceann de na tacair plánaí seo a leanas.(i) 2a b c 8 (ii) x y 2z 3 (iii) x y z 25a 3b 2c 3 4x 2y z 13 2x 3y z 77a 3b 3c 1 2x y 2z 9x__2 __ y 6 __ z 3 __ 2 37. Faigh an réiteach (x, y, z) ar6x 4y 2z 5 3x 2y 4z 10 5x 2y 6z 13 0.8. Téann an cuar f(x) y ax 2 bx c trí na trí phointe (1, 2), (2, 4) agus (3, 8). Úsáid napointí seo chun trí chothromóid in a, b agus c a fháil. Uaidh sin, réitigh chun f(x) a fháil.38

9. Tarraingítear cuar san fhoirm f(x) y ax 2 bx cmar a léirítear.Pioc trí phointe ar bith ar an gcuar agus uaidh sin,scríobh síos trí chothromóid a nascann nacomhéifeachtaí a, b agus c. Uaidh sin, réitigh chun f(x)a fháil.y214 3 2 1O1234567891 2x10. Bhí 44,000 duine i láthair ag cluiche i bPáirc an Chrócaigh. 30 agus 20 an dá phraghas abhí ar thicéid an lá sin. 1.2 milliún euro an méid iomlán airgid a tháinig isteach don chluiche.Cé mhéad duine a díoc an praghas níos airde ar an ticéad?11. I gceann trí bliana, beidh Colm dhá oiread níos sine ná mar a bhí Laobhaise cúig bliana ó shin.Faoi láthair, is ionann 16 agus leath a naoiseanna suimithe le chéile. Faigh a n-aoiseanna.12. Maidir leis an líne a cheanglaíonn A agus B,y ax b, bain úsáid as an dá phointe aran líne a thugtar duit chun dhá chothromóidchearnacha in a agus b a cheapadh agus, aran gcaoi sin, faigh cothromóid na líne.Fíoraigh go dtéann do líne trí phointe amháineile ar a laghad idir A agus B.y7654A (2, 3)3212 1 01 2 3 4 5 6 7B (6, 7)x13. Brúnn dhá fhórsa, N 1 agus N 2 , ar leathsféar atá socair.Má tá 1 4 N 1 N 2 0 agus N 1 1 2 N 2 99 0,faigh luachanna N 1 agus N 2 .14. Má tá _____ ax 2 _____ bx 2 _____________ 4i gcás gach luacha ar x,(x 2)(x 2)scríobh síos dhá chothromóid i dtéarmaí a agus b amháin, ag úsáid ionannais ailgéabracha.Uaidh sin, réitigh do a agus b.Fíoraigh do chuid freagraí ag úsáid na cothromóide bunaidh.39

15. Má tá _____ cz 3 _____ dz 2 _____________ 4i gcás gach luacha ar z, réitigh do c agus d.(z 3)(z 2)Fíoraigh do chuid freagraí trí ionadaíocht.16. Cé mhéad lítear ina bhfuil 70% alcóil is gá a chur le 50 lítear ina bhfuil 40% alcóil chuntuaslagán 50% a dhéanamh?17. Is é 26 suim dhá uimhir.Má dhealaítear cúig oiread na huimhreach níos lú ó cheithre oiread na huimhreach níos mó,gheofar 5 mar fhreagra. Abraimis gurb é x an uimhir níos mó agus y an uimhir níos lú.(i) Scríobh síos dhá chothromóid chomhuaineacha in x agus y.(ii) Réitigh na cothromóidí do x agus y.(iii) Fíoraigh do chuid freagraí trí ionadaíocht.18. Rinne mac léinn staidéar ar charr a bhí ag rolladh síos plána ar fiar. Thomhais sé luas anchairr faoi dhó, ag dhá am éagsúla.Tar éis 7 soicind, bhí luas 2 m s 1 ag an gcarr; tar éis 13 shoicind, mhéadaigh an luas go5 m s 1 .Úsáid an chothromóid v u at, áit arb é v an luas agus t an t-am, chun dhá chothromóidlíneacha in u agus in a a scríobh síos.Réitigh na cothromóidí seo chun luachanna u agus a a fháil.19. Úsáideann feirmeoir 60 m dfhálú chun cró fadacúng a thógáil do chaoirigh.Má dhúblaíonn sé an leithead agus má laghdaíonn séan fad faoina leath, ní bheidh gá ach le 42 m dfhálú.Faigh toisí an dá chró.(Mar a fheictear ón léaráid, ní athraíonn achar an dá chró.Mínigh an fáth go n-úsáidtear níos lú fálaithe don dara cró.)20. Tá na pointí (0, 1), (2, 9) agus (4, 41) ar an gcuar y ax 2 bx c.(i) Scríobh trí chothromóid chomhuaineacha in a, b agus c, ag úsáid na bpointí seo.(ii) Uaidh sin, réitigh na cothromóidí chun luachanna a, b agus c a fháil.21. Réitigh na cothromóidí comhuaineacha.(i) y z 3x 2y z 4x 2y 11(ii)x__3 y __2 z 7x__4 ___ 3y2 __ z 2 6x__6 y __4 z __3 122. Téann an ciorcal x 2 y 2 ax by c 0 trí na pointí (1, 0), (1, 2) agus (2, 1).Faigh luachanna a, b agus c.40

Súil Siar (Croícheisteanna)1. Simpligh gach ceann de na sloinn ailgéabracha seo a leanas.(i)________ 12m 2 n 33 __ 1(6m 4 n 5 ) 2 (ii) ______ x5__x 42. Réitigh do x agus y:(i) y x 4 (ii) 3x y 75y 2x 6 x 2 y 2 13(iii)2 __ x_______ 2x 2 163. Úsáid roinnt fhada chun (x 3 x 2 7x 3) (x 3) a fháil.4. Roinn 3x 4 9x 2 27x 66 ar x 2.5. Réitigh na cothromóidí.(i) x 4 9x 2 0 (ii) (2x 1) 3 (2 x) 06. Más slánchearnóg í 4x 2 20x k, faigh k.7. Faigh na slánuimhreacha a agus b sa chaoi go bhfuil(i) (3 √ __2 ) 2 a b √ __2 (ii) ( 1 √ _________ 21 √ 2) a √ __2 b.8. Fachtóirigh x 3 27.9. Má tá p(x q) 2 r 2x 2 12x 5 i gcás gach luacha ar x, faigh luachanna p, q agus r.10. Réitigh na cothromóidí comhuaineacha 3x 5y z 32x y 3z 9x 3y 2z 7.11. Simpligh (b 1) 3 (b 1) 3 .12. Aimsigh an riail a bhaineann le gach ceann de na patrúin chearnacha seo a leanas.(i) 3, 12, 27, 48, 75 (ii) 5, 20, 45, 80, 125 (iii) 0.5, 2, 4.5, 8, 12.5 13. Aimsigh an riail a bhaineann leis an bpatrún 6, 12, 20, 30, 42 ag úsáid na gcéad difríochtaíagus na ndara difríochtaí. Uaidh sin, faigh an 100ú téarma sa phatrún seo.14. Tá trí oiread leithead dronuilleoige áirithe 3 cm níos faide ná dhá oiread a faid.Tá ceithre oiread a faid 12 cm níos mó ná a himlíne.Faigh toisí na dronuilleoige.41

15. Is é __ 1 u __ 1v __ 2an fhoirmle do scáthán comhchruinn ( sféarúil) ar ga dó r cm, áit arb éru cm fad na frithne (object distance) agus v cm fad na híomhá go dtí an scáthán.Tugann m _____ v ran formhéadú sa scáthán.r u(i) Faigh m i dtéarmaí v agus u amháin.(ii) Faigh m i dtéarmaí v agus u amháin.Súil Siar (Ardcheisteanna)1. Tiontaigh na dearaí seo a leanas go patrún uimhreacha agus uaidh sin, scríobh riail don phatrún.Úsáid an riail le fáil amach cé mhéad bríce a theastódh chun an 49ú dearadh a thógáil.2. Cé mhéad ithreach ar gaineamh 55%di is gá a chur le 1 m 3 dithir argaineamh 25% di, chun ithir argaineamh 35% di a dhéanamh.Leid: Tabhair x m 3 ar mhéid na hithreach abheidh ag teastáil.423. Tá miotalóir ag déanamh 8.4 kg de chóimhiotal ina mbeidh 50% óir. Tá sé chun dháchóimhiotal a leá, ceann amháin ina bhfuil 60% óir agus ceann eile ina bhfuil 40% óir.(i) Tabhair x kg agus y kg ar an méid den dá chóimhiotal a theastaíonn.Scríobh dhá chothromóid a nascann an dá anaithnid x agus y.(ii) Réitigh na cothromóidí chun an méid den dá chóimhiotal a theastaíonn a fháil.4. Má tá (3p 2t)x r 4t 2 0, i gcás gach luacha ar x, taispeáin go bhfuil r 9p 2 .5. Simpligh an chothromóid ______ x y2x 2 _____ x 1x 1 agus uaidh sin, aimsigh an cóimheas x 2 le y 2 .6. I rang ceimice, teastaíonn tuaslagán aigéid 15% ó ghrúpa daltaí chun triail a chríochnú. Nílach tuaslagán aigéid 10% agus tuaslagán aigéid 30% ar fáil sa tsaotharlann. Socraíonn nadaltaí ar an dá thuaslagán a mheascadh chun an tuaslagán 15% a fháil.Má theastaíonn 10 lítear den tuaslagán nua uathu, faigh(i) líon na lítear den tuaslagán 10% a theastóidh uathu(ii) líon na lítear den tuaslagán 30% a theastóidh uathu.7. Ritheann Brian agus Lúcás rás 50 méadar. Ritheann Brian sa chaoi go dtógann sé a soicindair 1 mhéadar a rith. Ritheann Lúcás sa chaoi go dtógann sé b soicind air 1 mhéadar a rith.Buann Lúcás an rás agus é 1 soicind chun tosaigh. An chéad lá eile, ritheann siad rás eile 50méadar (agus ar na luasanna céanna) ach tugann Lúcás tús 3 mhéadar do Bhrian. Mar sin níritheann Brian ach 47 méadar. Buann Lúcás an rás seo freisin agus é 0.1 soicind chun tosaigh.Faigh(i) luachanna a agus b (ii) luas Lúcáis.

Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtar freagra níos faide)1. Theastaigh ó chumann peile Lá na dTeaghlach a eagrú chun airgead a thiomsú don chumann.Shocraigh siad ar thicéid a dhíol roimh ré ar 5 an ceann do dhaoine fásta agus 2.50 anceann do pháistí in aois a 6 bliana nó níos óige.Anuraidh, bhí 13,000 duine i láthair nuair a deagraigh siad an ócáid chéanna. Anuraidh, níraibh ach praghas amháin acu ar thicéid.Theastaigh ón lucht eagraíochta meastachán a dhéanamh ar an ioncam a ghnothóidís ar an lá.Shocraigh siad ar an eolas a fuair siad ó réamhdhíolachán na dticéad a úsáid chun anmeastachán a dhéanamh. Ach níor coimeádadh taifead ar leith ar líon na ndaoine fásta aguslíon na bpáistí a cheannaigh ticéad. Bhí a fhios acu gur díoladh 548 ticéad ar fad agus gurbailíodh 2460.(a) Cum cothromóidí fóirsteanacha chun(i) líon na dticéad do dhaoine fásta a díoladh roimh ré a fháil(ii) líon na dticéad do pháistí a díoladh roimh ré a fháil(iii) comhréir na dticéad do dhaoine fasta a díoladh a fháil.(b) Bunaithe ar an tinreamh céanna i mbliana, déan meastachán ar an ioncam a mbeidís agsúil leis don ócáid seo.2. Déanann monarcha dhá shórt toilg. Dhá uair an chloig oibre sa roinn déantúsaíochta agusuair an chloig oibre sa roinn ballchríochnaithe a ghlacann an tolg bunúsach.Dhá uair go leith oibre sa roinn déantúsaíochta agus uair go leith oibre sa roinnballchríochnaithe a ghlacann an tolg deluxe.Tá uasmhéid 48 uair an chloig dam oibrithe ar fáil sa roinn déantúsaíochta agus uasmhéid26 uair ar fáil sa roinn ballchríochnaithe in aghaidh an lae.(i) Má dhéantar x tolg bhunúsacha agus y tolg deluxe in aghaidh an lae, agus go bhfeidhmíonnan roinn déantúsaíochta i mbarr a hacmhainne, mínigh an fáth a bhfuil 2x 2.5y 48.(ii) Aimsigh an dara cothromóid in x agus y má fheidhmíonn an roinn ballchríochnaithe imbarr a hacmhainne freisin.(iii) Cé mhéad tolg bunúsach agus tolg deluxe is féidir a dhéanamh má fheidhmíonn an dároinn i mbarr a n-acmhainne?3. Tá bonn cearnógach x cm ar fad ar bhosca dronuilleogach dúnta. Tá an bosca h cm ar airde.Is é 40 cm 3 toirt an bhosca.(i) Scríobh slonn do h i dtéarmaí x.(ii) Taispeáin go dtugann S 2x 2 ____ 160x achar dhromchla an bhosca seo, S cm2 .(iii) Tarraing sceitse de S in aghaidh x.(iv) Faigh na luachanna féideartha ar x agus h i gcás go bhfuil achar dromchla 72 cm 2 ag anmbosca seo.4. Díolann comhlacht áirithe cluichí ar 11.50 an ceann. 3500 an costas tosaigh ar an táirgeadhagus 10.50 in aghaidh gach cluiche a tháirgtear ansin.Tabhair x ar líon na gcluichí a tháirgtear.(i) Más é C(x) an costas ar x cluiche a tháirgeadh, faigh slonn ar C(x) i dtéarmaí x.(ii) Má sheasann I(x) don ioncam a bhailítear tar éis x cluiche a dhíol, faigh slonn ar I(x)i dtéarmaí x.43

(iii) Breac graif I(x) agus C(x) ar na haiseanna céanna. (Scálaigh an x-ais in aonaid de500 agus an y-ais in aonaid de 10,000).(iv) Cé mhéad cluiche is gá a dhíol chun na costais ar an táirgeadh a thabhairt isteach?(v) Bíodh P I C. Cad dó a seasann P?(vi) Cé mhéad cluiche is gá a dhíol chun brabús 2000.00 a dhéanamh?5. Tá 15 lá ag Síle chun cuilt a chríochnú don Díolachán Saothair. Fuálann sí cearnóga gormana cuilte ar ráta 4 chearnóg in aghaidh an lae; fuálann sí cearnóga bána na cuilte ar ráta 7gcearnóg in aghaidh an lae. Beidh 96 cearnóg sa chuilt iomlán. Cosnaíonn an t-éadachgorm 0.80 an chearnóg agus cosnaíonn an t-éadach bán 1.20 an chearnóg.(a) Faigh costas na cuilte.(b) Déantar dronuilleog as na 96 cearnóg. Beidh fad agus leithead na dronuilleoige sachóimheas 3:2.Socraíonn Síle ar dhronuilleog de chearnóga gorma a chur i lár na cuilte, aguscearnóga bána a chur mórthimpeall ar an dronuilleog ghorm sin.Tarraing leagan amach na gcearnóg gorm agus na gcearnóg bán a thabharfadh dearadhsiméadrach.6. Déanann comhlacht beag baraí rotha don mhargadh a dhéanann soláthar do gharraithe.Tá forchostais 30,000 in aghaidh na bliana ag an gcomhlacht.Cosnaíonn sé 40 orthu gach bara rotha a dhéanamh.(i) Scríobh riail a dhéanann amach C, costas iomlán x bara rotha a tháirgeadh sa bhliain.(ii) Más é 6000 bara rotha sa bhliain an meántáirgeadh, cad é an costas foriomlán inaghaidh an bhara rotha?(iii) Cé mhéad bara rotha is gá a dhéanamh sa chaoi gurb é 46 in aghaidh an bhara rothaan meánchostas?(iv) Díoltar na baraí rotha le miondíoltóirí ar 80 an ceann. Scríobh riail a dhéanannamach an t-ioncam, R, a thagann ó x bara rotha a dhíol le miondíoltóirí.(v) Breac na graif do C agus R ar na haiseanna céanna. Cuir x, líon na mbaraí rotha, ar anais chothrománach.(vi) Cad é íosmhéid na mbaraí rotha is gá a dhíol in aghaidh na bliana chun brabús adhéanamh?(vii) Scríobh riail a dhéanann amach P, an brabús a thagann ó x bara rotha a tháirgeadhagus a dhíol.7. Tá scuaine fhada ag an doras isteach go ceolchoirm. Seasann Séan ag deireadh na scuaine.Gach uair a ligtear duine amháin isteach, scipeálann Seán (a) dhá spás nó (b) trí spás chun tosaigh.Líon isteach an tábla a leanas chun patrún uimhreacha a chruthú a thaispeánfaidh líon nandaoine a fuair cead isteach roimh Sheán, bunaithe ar fhad na scuaine.Ag úsáid an phatrúin a chruthaigh tú, faigh líon na ndaoine a fuair cead isteach roimhSheán má tá 70 duine sa scuaine nuair a shroicheann sé é.44

Líon na ndaoine sascuaine sular sheas Seánisteach45678910111213141570(a) Líon na ndaoine afuair cead isteach roimhSheán (ag scipeáil dhá spás)(b) Líon na ndaoine afuair cead isteach roimhSheán (ag scipeáil trí spás).45

2Ailgéabar 2 ionadú idirdhealaí an chearnóg a shlánú fréamhacha réadacha ar leithsamhailteach cóimheasta rinn parabóil uasphointe íosphointe surdaéagóimheasta an t-ainmneoir a chóimheasMír 2.1 Cothromóidí cearnachaMar a luadh cheana, nuair is é a dó an chumhacht is airde atá ag athróg in iltéarmach, slonncearnach a thugtar ar an slonn a thagann as sin.Baintear úsáid as sloinn chearnacha chun cothromóidí cearnacha a dhéanamh. Seo roinnt samplaí:(i) 3x 2 4x 5 0 (ii) 6 3t 8t 2 (iii) A 2rh 2r 2Dhá réiteach a bhíonn ar an gcothromóid chearnach, i.e. dhá fhréamh a bhíonn léi.Cothromóidí cearnacha a réiteachSeo roinnt modhanna chun cothromóidí cearnacha a réiteach:(i) fachtóiriú (ii) foirmle na cothromóide cearnaí (iii) modhanna a bhaineann le graf (iv) ionadú.(i) Modhanna a bhaineann le fachtóiriú (mar atá i gCaibidil 1)Más féidir cothromóid ( 0) a fhachtóiriú,caithfidh ceann amháin ar a laghad dáfachtóirí a bheidh cothrom le nialas.Má tá (a)(b) 0, tá a 0 nó b 0.Sampla 1Bain úsáid as fachtóirí chuniad seo a réiteach: (i) x 2 5x 6 0 (ii) y 2 5y 0 (iii) 4t 2 100 0(i) x 2 5x 6 0 (ii) y 2 5y 0 (iii) 4t 2 100 0(x 6)(x 1) 0 y(y 5) 0 4(t 2 25) 0 x 6 0 → x 6 y 0 4(t 5)(t 5) 0nó x 1 0 → x 1 nó y 5 0 → y 5 t 5 0 → t 5nó t 5 0 → t 5Réitigh (fréamhacha) (i) x (6, 1) (ii) y (0, 5) (iii) t (5, 5)46

(ii) Foirmle na cothromóide cearnaíb √ ________bIs féidir foirmle na cothromóide cearnaí x _______________2 4ac2aa úsáid chun cothromóid chearnach ar bith atá san fhoirmax 2 bx c 0.Má tá ax 2 bx c 0,táb √ ________bx _______________2 4ac2aIs maith an cleachtas é na comhéifeachtaí a, b agus c a scríobh amach sula gcuireann tú anfhoirmle i bhfeidhm.Sampla 2Réitigh x 6 3__x .( Nóta: Ní bhíonn sé soiléir i gcónaí gur ag plé le cothromóidsan fhoirm ax 2 bx c 0 atáimid.)x 6 3__xAtheagrú → x 2 6x 3 ⇒ x 2 6x 3 0b √ ________b a 1, b 6, c 3, uaidh sin x _______________2 4ac 6 √ ________________ _____________________(6) 2 4(1)(3)2a2(1)6 √ ___48x ________ 6 4 √ __ ________ 3 3 2 √ __32 2 is iad x 3 2 3 nó x 3 2 3 fréamhacha (réitigh) na cothromóide.(iii) Modhanna atá bunaithe ar ghrafAch an slonn y x 2 5x 1, 0 x 5, a ghrafadh,faighimid na pointí(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 3), (5, 1).Nuair a bhreacaimid iad sin, faighimid cuar a bhfuilcruth air, cuar atá feicthe go minic cheana againn.Chun y x 2 5x 1 0 a réiteach ón ngraf, ní mórdúinn na pointí ar an gcuar ina bhfuil y 0 a aimsiú,i.e. na pointí G(0.2, 0) agus H(4.8, 0). is iad 0.2 agus 4.8 na fréamhacha.y3211O1234GH1 2 3 4 5 6x547

Nuair a bhreactar an slonn y x 2 3x 2,faighimid graf a bhfuil cruth air.Arís, is sna háiteanna a dtrasnaíonn an cuar anx-ais (i.e. nuair atá y 0) atá fréamhacha nacothromóide x 2 3x 2 0, i.e. na pointíG(3.6, 0) agus H(0.6, 0).Ní féidir le modhanna atá bunaithe arghraf ach garluachanna a thabhairt arfhréamhacha cothromóide.Chun an chothromóid x 2 3x 2 3 a réiteach, is féidir linn ceachtar de dhá chur chuige a úsáid:(i) Na pointí ar an gcuar y x 2 3x 2 ina bhfuil y 3 a aimsiú (i.e. S, P) nó(ii) An cuar nua y x 2 3x 2 3 x 2 3x 1 a chruthú agus x 2 3x 1 0a réiteach.Tá an dá chuar difriúil lena chéile ach is iad na réitigh chéanna atá orthu (i.e. na fréamhachacéanna atá leo), Q S (x, y) (2.6, 0) agus P R (x, y) (0.4, 0).(iv) IonadúIs féidir na saghsanna cothromóide seo a leanas a réiteach ach ionadú oiriúnach a roghnú,ionadú a chruthaíonn cothromóid chearnach nua san fhoirm chaighdeánach.(i) (t 6 __t) 2 6 (t 6 __t) 5 0 bíodh u (t 6 __t) , mar sin u 2 6u 5 0(ii) x 4 x 2 6 0 bíodh u 2 , mar sin u 2 u 6 0(iii) 2x 3 √ __x 5bíodh u √ __x , mar sin 2u 2 3u 5 0Ach na luachanna le haghaidh u a bheith aimsithe, is féidir na luachanna le haghaidh x afháil ansin.Sampla 3Réitigh x 4 x 2 6 0 i gcás x R.Bíodh u x 2 , ⇒ u 2 x 4 .y x 2 3x 1x 4 x 2 6 0 ⇒ u 2 u 6 0⇒ (u 3)(u 2) 0u 3 0 ⇒ u 3 ⇒ x 2 3 ⇒ x √ _____(3)nó u 2 0 ⇒ u 2 ⇒ x 2 2 ⇒ x √ ___(2)x √ _____(3), dhá fhréamh shamhailteacha nach dteastaíonn. is iad x √ ___(2), √ ___(2) na réitigh.√ ___2y x 2 3x 21G Q R4 3 2 1O1[Nóta: (√ ___(2)) 4 (√ ___(2)) 2 6 0 agus ((2)) 4 (√ ___(2)) 2 6 0]SyP 342y 3H y 01 2 xag réiteach x 2 3x 2 348

Sampla 4Réitigh 2x 3 √ __x 5 i gcás x R.Bíodh u √ __xDá bhrí sin, √ __x 1 ⇒ x 1⇒ u 2 x ⇒ 2x 3 √ __x 5 ⇒ 2u 2 3u 5 0⇒ 2u 2 3u 5 (u 1)(2u 5) 0⇒ u 1 nó u ___ 52nó __√ x ___ 52 ⇒ x ___ 254Dearbhú go bhfuil na réitigh bailí: x 1 ⇒ 2x 3 __√ x 2(1) 3( √ __1 ) 5Freisin, x ___ 25 ⇒ 2x 3 √__ x 2 ___4( 25___4) 3 ( √___ 254) 5Dá bhrí sin níl ach aon réiteach réadach amháin ann: x 1.Cleachtadh 2.11. Bain úsáid as fachtóirí chun na cothromóidí seo a leanas a réiteach:(a) (i) (x 4)(x 5) 0 (ii) x 2 7x 12 0 (iii) x 2 4x 5 0(b) (i) x 2 2x 15 0 (ii) 2x 2 7x 15 0 (iii) 3x 2 13x 10 0(c) (i) 5x 2 13x 6 0 (ii) 9x 2 3x 20 0 (iii) 8x 2 2x 15 0(d) (i) x 2 9 0 (ii) 3x 2 10x 0 (iii) 5x 2 8x 0(e) (i) 15 7x 2x 2 0 (ii) 10 x 3x 2 0 (iii) 12 6x 6x 2 0(f) (i) (x 5)(x 2 16) (ii) (x 3)(4x 2 4) 0(g) (i) (x 2 4)(3x 4) 0 (ii) (2x 8)(x 2 2x 15) 02. Bain úsáid as foirmle na cothromóide cearnaí chun gach ceann díobh seo a réiteach.Bíodh do chuid freagraí ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.(a) (i) x 2 2x 2 0 (ii) x 2 3x 2 0 (iii) 2x 2 6x 3 0(b) (i) x 2 6x 3 0 (ii) 3x 2 8x 1 0 (iii) 2x 2 4x 5 03. Bain úsáid as foirmle na cothromóide cearnaí chun gach ceann díobh seo a réiteach.Fág do chuid freagraí i bhfoirm surda.(a) (i) 3x 2 4x 5 0 (ii) 2x 2 12x 5 0 (iii) (2x 3) 2 8(b) (i) x 2 4x 8 0 (ii) 5x 2 4x 2 0 (iii) x 2 x 1 04. Réitigh na cothromóidí seo a leanas:(a) (i) _____ x 7 __ 23 x 4 (ii) _____ 1x 1 __ 4 x 3 (iii) _____ 3x 1 _____ 2x 1 1(b) (i)1__x _____ 2x 2 3 (ii) _____ x 2x 4 ______ 2x 1x 2(iii)_____ 2x 2 __ 3 x _____ 5x 449

5. Trí ionadú oiriúnach a aimsiú, réitigh gach ceann díobh seo:(a) (i) x 4 7x 2 10 0, x R (ii) (x1) 2 3(x 1) 2 0(iii) x 4 2x 2 2 0 (iv) 2(k 2) 2 3(k 2) 4 0(b) (i) (2y 1) 2 3(2y 1) 28 0 (ii) (2y 3) 2 1 0(c) (y __y) 4 2 9 ( y __y) 4 20 0(d) (2t 5 __t) 2 12 (2t 5 __t) 27 06. Réitigh 2x 2 √ __3 x 3 0.7. Agus tú ag úsáid na ngraf, faigh gar-réitigh ar gach ceann de na cothromóidí seo a leanas.(a) x 2 3x 5 0 (b) x 2 x 1 2 (c) p(x) 0 (d) g(x) 0(e) x 2 x 1 0 (f) g(x) f (x) (g) h(x) 5 (h) p(x) h(x)y21f(x) x 2 3x 5O5 4 3 2 111 2 3x234567g(x) x 2 x 1p(x) 0.4x 2 4x 2y87654321h(x) x 2 3x 3O1098765432111 2 3 4x508. Agus tú ag úsáid na ngraf thuas, mínigh cén fáth nach bhfuil réiteach réadach ar bith arx 2 3x 3 0.

9. Más iad x 1 agus x 2 fréamhacha nacothromóide f(x) 0.2x 2 5x 9 0agus má tá x 1 > x 2 , bain úsáid as anngraf chun garluach a fháil le haghaidh(a) (x 2 x 1 )(b) (x 2 x 1 )f(x) 0.2x 2 5x 9y252015105252015105O5101520255x10. Féach ar ghraif na bhfeidhmeannaf (x) 2x 2 3x 2 agus g(x) ______ 4x 35ar dheis. Bain úsáid as na graif chun naréitigh ar na cothromóidí seo a leanas amheas:(a) f (x) 0(b) g(x) 0(c) f (x) g(x).y4321O 43211231 2 3 4g(x) xf(x) 2x 2 3x 2(4x 3)511. Bain úsáid as an ionadú u √ __x , chun gach ceann de na cothromóidí seo a leanas a réiteach.Mínigh an fáth nach bhfuil ach réiteach amháin ar gach cothromóid.(i) 2x 3 √ __x 5(ii) x 3 √ __x 4 012. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas. Tabhair do chuid freagraí i bhfoirm surda.(i) x 2 √ __7 x 14 0 (ii) 2x 2 7 √ __5 x 15 0Mír 2.2 Cineál na bhfréamhacha cearnacha1. An t-idirdhealaíb √ ________bTá úsáid bainte againn as an bhfoirmle x ______________2 4acchun cothromóidí cearnacha2asan fhoirm ax 2 bx c 0 a réiteach, áit a bhfuil a, b, c R.Is é luach an tsloinn (b 2 4ac) a chinnfidh cén cineálfréamhacha a bheidh leis an gcothromóid seo. Idirdhealaína cothromóide a thugtar air.(b 2 4ac) idirdhealaí51

2. Fréamhacha réadacha ar leithBíonn fréamhacha réadacha ar leith annnuair atá (b 2 4ac) 0.m.sh. 3x 2 5x 2 0 ; a 3, b 5, c 2 ; (b 2 4ac) [5 2 4(3)(2)] 49 0.x b √ _______________________ b 2 4ac→ x 5 √ ____________ 492a6→ x _______ 5 7 , _______ 5 7 (0.33, 2)6 6Sa chás seo, trasnaíonn an graf an x-ais ag dhá áitar leith, (2, 0) agus (0.33, 0).y3213 2 1O1234f(x) 3x 2 5x 21x523. Fréamhacha réadacha cothromaBíonn fréamhacha réadacha cothroma annnuair atá (b 2 4ac) 0.m.sh. 4x 2 12x 9 0 ; a 4, b 12, c 9 ; (b 2 4ac) [144 4(4)(9)] 0.x b √ ______________________ b 2 4ac 12 √___→ x _________ (0)2a2.4 ___ 128 __ 3 2Ní bhíonn ach aon réiteach amháin ann agus teagmhaíonnan graf leis an x-ais sa phointe seo: A( 3 2 , 0).4. Fréamhacha samhailteachaBíonn fréamhacha samhailteacha annnuair atá (b 2 4ac) 0.m.sh. x 2 4x 5 0 ; a 1, b 4, c 5 ; (b 2 4ac) [16 4(1)(5)] 4 0.x b √ _______________________ b 2 4ac→ x __________ 4 √_____ (4)2a2.1→ x 4 √ ___________ 4, 4 √ ___________ 42 2Bíodh √ ___1 i. Ansin is féidir linn na réitigh aathscríobh mar leanas:x ______ 4 2i, ______ 4 2i 2 i, 2 i2 2b 2 4ac 0b 2 4ac 0Ní féidir na pointí sin a léiriú ar an bplána réadach. (Déanfaimid a thuilleadh staidéir aruimhreacha den sórt sin sa chéad chaibidil eile, an chaibidil ar na huimhreacha coimpléascacha.)Tugaimid faoi deara nach ngearrann (nach dtrasnaíonn) an cuar an x-ais.y543211O1y6543211O1A1 2b 2 4ac 0f(x) 4x 2 12x 931 2 3 4xf(x) x 2 4x 5x

5. Fréamhacha cóimheastaMás slánchearnóg é (b 2 4ac), is uimhir chóimheasta é√ __________(b 2 4ac) agus ciallaíonn sé sin gur fréamhachacóimheasta atá leis an gcothromóid.f(x) 3x 2 5x 2(Is iad na slánchearnóga ná 1, 4, 9, 16, 25, 36, etc.)m.sh. 3x 2 5x 2 0 ; a 3, b5, c 2 ; (b 2 4ac) [25 4(3)(2)] 1 atá ina shlánchearnóg.b √ ________bx _______________2 4ac 5 √ _________⇒ x ________________ (25 24)2a2.3⇒ x 5 1 _______6___ 66 , ___ 46 (1, 2_3 )y2.521.510.5A B2 1.5 1 0.5O1xAchoimre1. Má tá (b 2 4ac) > 0 dhá fhréamh réadacha dhifriúla (ar leith)2. Má tá (b 2 4ac) 0 dhá fhréamh réadacha chothroma3. Má tá (b 2 4ac) < 0 dhá fhréamh shamhailteacha4. Más slánchearnóg é (b 2 4ac) fréamhacha cóimheastaNóta: Nuair a deirtear i gceist go bhfuil fréamhacha réadacha le cothromóid éigin, tugann sé sin letuiscint gur dhá fhréamh réadacha ar leith nó dhá fhréamh réadacha chothroma ( ilfhréamh) atá léi.Fréamhacha réadacha a bhíonn ann má tá (b 2 4ac) 0Sampla 1Faigh luach an idirdhealaí i ngach ceann díobh seo a leanas.Abair cén sórt fréamhacha atá leis an gcothromóid:(i) dhá fhréamh réadacha ar leith(iii) gan aon fhréamh réadach.(ii) dhá fhréamh réadacha chothroma(a) 3x 2 5x 1 0 (b) 49x 2 42x 9 0(c) 2x 2 8x 9 0 (d) 2x 2 7x 4 0(a) 3x 2 5x 1 0 → a 3, b 5, c 1. (b 2 4ac) 25 4(3)(1) 37 0 dhá fhréamh réadacha ar leith.(b) 49x 2 42x 9 0 → a 49, b 42, c 9. (b 2 4ac) 1764 4(49)(9) 0 dhá fhréamh réadacha chothroma.(c) 2x 2 8x 9 0 → a 2, b 8, c 9. (b 2 4ac) 64 4(2)(9) 8 0 gan aon fhréamh réadach.(d) 2x 2 7x 4 0 → a 2, b 7, c 4. (b 2 4ac) 49 4(2)(4) 17 0 dhá fhréamh réadacha ar leith.53

Sampla 2Faigh na luachanna ar k a fhágann gur fréamhacha cothroma atá le 8 kx 2x 2 0.8 kx 2x 2 0 ⇒ a 2, b k, c 8.I gcás fréamhacha cothroma, (b 2 4ac) 0. (b 2 4ac) [k 2 4(2)(8)] k 2 64 0 k 8Sampla 3Tugtar duit an chothromóid px 2 ( p q)x q 0.(i) Taispeáin go bhfuil na fréamhacha réadach i gcás gach luacha ar p agus q R.(ii) Taispeáin go bhfuil na fréamhacha cóimheasta.(iii) Uaidh sin faigh(a) na fréamhacha, i dtéarmaí p agus q(b) na fachtóirí, i dtéarmaí p agus q.px 2 ( p q) x q 0 → a p, b ( p q), c q.(i) I gcás fréamhacha cothroma, caithfimid a thaispeáint go bhfuil (b 2 4ac) 0. (b 2 4ac) ( p q) 2 4( p)(q) p 2 2pq q 2 4pq p 2 2pq q 2 ( p q) 2Ós rud é nach féidir (uimhir ar bith) 2 a bheith diúltach ⇒ (p q) 2 0. (b 2 4ac) 0 tá na fréamhacha réadach.(ii) I gcás fréamhacha cóimheasta, caithfidh (b 2 4ac) a bheith ina shlánchearnóg.Ó tá (b 2 4ac) (p q) 2 , i.e. slánchearnóg, tá na fréamhacha cóimheasta freisin.(iii) (a) Is iad na fréamhacha ná x b √ _______________________ b 2 4ac ( p q) √ ________ ____________________ ( p q) 22a2p ( p q)( p q) __________________2p x ( 2q ____2p , ____ 2p(b) Is iad na fachtóirí ná x q pagus x 1,i.e. (xp q) agus (x 1).2p ) ( ___ qp , 1 )54

Cleachtadh 2.21. Féach ar an léaráid ar dheis. Ón méid a fheiceanntú, abair cé acu de na cuair f, g nó h a bhfuil(i) fréamhacha réadacha ar leith leo(ii) fréamhacha réadacha cothroma leo(iii) fréamhacha samhailteacha leo.(iv) I gcás fréamhacha réadacha, tabhair meastachánón ngraf ar fhréamhacha gach cothromóide.y54321O 11gf1 2 3 4 5 6x2h2. Féach ar an gcuar ar dheis. Tá a chothromóid san fhoirmax 2 bx c 0.Faigh comhordanáidí na bpointí A agus B i dtéarmaía, b agus c.y321O 11A1 2 3B4 5 6 7x233. I gcás gach ceann de na cothromóidí seo a leanas, faigh an t-idirdhealaí agus abair an bhfuilna fréamhacha(a) réadach agus difriúil (b) réadach agus cothrom (c) samhailteach.(i) 2x 2 x 5 0 (ii) 2x 2 3x 1 0 (iii) 3x 2 2x 1 0(iv) 3 2x x 2 0 (v) x 2 8x 16 0 (vi) 25 10x x 2 04. Tarraing sceitse de chuar cearnach ar bith atá deimhneach i gcás gach luacha ar x. Má tá3x 2 kx 12 deimhneach i gcás gach luacha ar x, faigh raon na luachanna féideartha ar k.5. I gcás gach ceann de na cothromóidí seo a leanas, cén luach/cé na luachanna ar k a fháganngur fréamhacha cothroma atá léi?(i) x 2 10x k 0 (ii) 4x 2 kx 9 0 (iii) x 2 x(2k 2) 5k 1 06. Faigh luach k más fréamhacha cothroma atá leis an gcothromóid k 2 x 2 2(k 1) 4 0.7. Ag cuimhneamh duit go bhfuil (réaduimhir ar bith) 2 0, cruthaigh gur fréamhacha réadachaatá leis na cothromóidí seo a leanas i gcás gach luacha ar k R.(i) x 2 3kx k 2 0 (ii) kx 2 2x (2 k) 08. Taispeáin gur réadach atá fréamhacha na cothromóide x 2 3x 2 c 2 0 i gcás gachluacha ar c R.9. Cruthaigh gur fréamhacha réadacha atá leis an gcothromóid (k 2)x 2 2x k 0, cumacén luach atá ar k.10. Faigh an luach ar k a fhágann gur fréamhacha cothroma atá leis an gcothromóid(k 2)x 2 x(2k 1) k 0.55

11. Taispeáin gur fréamhacha cothroma atá leis an gcothromóid(m 3)x 2 (6 2m)x m 1 0 má tá m 3 2 .12. Más fréamhacha cothroma atá leis an gcothromóid ax 2 bx 1 0, scríobh a i dtéarmaí b.Scríobh síos uaidh sin fréamh na cothromóide i dtéarmaí b.13. Taispeáin nach féidir fréamhacha réadacha a bheith leis an gcothromóid x 2 2px 3p 2 q 2 0i gcás p, q R.Mír 2.3 Cothromóidí cearnacha 7 líneacha a réiteachChun na pointí ina dtrasnaíonn líne aguscuar a chéile a fháil, bainimid úsáid asteicníc ar a dtugtar ionadú.Bhaineamar úsáid as an modh seo cheanaagus muid ag réiteach cothromóidílíneacha comhuaineacha.Tarlóidh ceann amháin de thrí rud sa chás seo:(i) Trasnóidh an líne an cuar inAdhá phointea: x y 1(ii) Trasnóidh an líne an cuar ibpointe amháin(iii) Ní thrasnóidh an líne an cuar ar b: x y 3chor ar bith.Mura mbíonn ach aon phointe trasnaithe amháin ann, deirtear gur tadhlaí leis an gcuar í an líne.Trasnaíonn an líne x y 1 an cuar y x 2 5x 1 in dhá phointe, A(4, 3) agus B(0, 1).Is tadhlaí leis an gcuar y x 2 5x 1 í an líne x y 3 sa phointe E(2, 5).Ní thrasnaíonn an líne x y 5 an cuar.Sampla 1Faigh an pointe/na pointí trasnaithe idirf(x) x 2 5x 1(i) x y 1 (ii) x y 3 agus an cuar y x 2 5x 1.(i) Ó tá x y 1 Ach y (1 x) a ionadú isteach in y x 2 5x 1,→ y 1 x faighimid (1 x) x 2 5x 1.→ y (1 x) 0 x 2 5x 1 1 x x 2 4x. 0 x(x 4) (x 4) 0 nó x 0, i.e. x 4 nó 0. y 1 4 3 → (x, y) (4, 3)agus y 1 0 1 → (x, y) (0, 1) iad na pointí trasnaithe i gcás x y 1 ná (4, 3) agus (0, 1).yO 543211E2123456B1 23 4 5 6 7c: x y 5x56

(ii) x y 3 Ach y (3 x) a ionadú isteach in y x 2 5x 1,→ y 3 x (3 x) x 2 5x 1→ y (3 x) 0 x 2 5x 1 3 x x 2 4x 4 (x 2)(x 2) 0 x 2 (ilréiteach) y 3 2 5 → (x, y) (2, 5) is é an pointe trasnaithe i gcás x y 3 ná (2, 5). is tadhlaí leis an gcuar y x 2 5x 1 í an líne x y 3 sa phointe (2, 5).Mar achoimre, chun an pointe/na pointí trasnaithe idir líne agus cuar a fháil,(i) tabhair ceann amháin de na hathróga i gcothromóid na líne go taobh amháin den chothromóidléi féin, m.sh. y ax b.(ii) Ionadaigh an slonn seo le haghaidh x isteach i gcothromóid an chuair y cx 2 dx e,i.e. ax b cx 2 dx e agus simpligh.(iii) Réitigh an chothromóid chearnach a thagann as sin.Sampla 2Taispeáin nach dtrasnaíonn an líne x y 5 agus an cuar y x 2 5x 1 a chéilei bpointe ar bith.x y 5 Ach y (5 x) a ionadú isteach in y x 2 5x 1,→ y 5 x faighimid (5 x) x 2 5x 1.→ y (5 x) 0 x 2 5x 1 5 x0 x 2 4x 6.Mura bhfuil pointe trasnaithe ar bith ann, tugann sé sin le fios nach bhfuil fréamh réadachar bith le 0 x 2 4x 6. (b 2 4ac) 00 x 2 4x 6 → a 1, b 4, c 6. (b 2 4ac) [4 2 4(1)(6)] (16 24) 8 0. ní thrasnaíonn an líne x y 5 an cuar y x 2 5x 1.Cleachtadh 2.3Réitigh na péirí cothromóidí comhuaineacha seo a leanas, ceann líneach agus ceann cearnach.1. y x 2 2. x 2 y 2 5 3. 4x 2 y 02x y 3 x y 1 0 2x y 24. y x 2 6x 5 5. x 2 y 2 25 6. 3x 2 y 2 3x y 1 0 x y 7 2x y 17. y x 2 4x 6 8. x 2 y 2 4x 2 0 9. x 2 4y 2 4y 3x 4 x y 4 0 x 2y 2 057

10. xy 4 11. y 2 xy 2 12. x 2 y 2 2x 4y 3 02x y 2 0 2x y 3 x y 3 013. s 2t 1 14. 2s 2 t 2 1 15. 2t 3s 13t 2 2ts s 2 9 2s t 3 t 2 ts 4s 2 2Mír 2.4 Cothromóidí cearnacha aguslíneacha i gcomhthéacsIs féidir a lán fadhbanna ón ngnáthshaol a réiteach ach úsáid a bhaint as an ailgéabar.Más féidir linn athróg a chur in iúl le siombail, agus an gaol idir na hathróga a scríobh i bhfoirmcothromóid líneach nó cearnach, is féidir na cothromóidí a thagann as sin a réiteach ach úsáid abhaint as na teicnící a phléamar níos luaithe.Sampla 1Tá triantán dronuilleach le déanamh as téad atá24 m ar fad. Más 10 m ar fad atá taobhagán (AB)an triantáin, faigh(i) cothromóid i dtéarmaí x agus y d'imlínean triantáin(ii) cothromóid i dtéarmaí x agus y dothaobhagán an triantáin.(iii) Réitigh na cothromóidí chun faidfhéideartha a fháil le haghaidh bhonn(x) agus airde (y) an triantáin.A10 mxByC(i) Imlíne an triantáin x y 10.⇒ x y 10 24 ⇒ x y 14.(ii) An (taobhagán) 2 x 2 y 2 10 2 .(iii) Ó tharla go bhfuil x y 14 ⇒ x 14 y. Nuair atá y 6 (14 y) 2 y 2 10 2 ⇒ x 14 y 14 6 8. 196 28y y 2 y 2 10 2 2y 2 28y 96 0 Freisin, má tá y 8 y 2 14y 48 0 ⇒ x 14 y 14 8 6.( y 6)( y 8) 0 y 6 nó y 8 más 8 m atá an bonn, 6 m atá an airde, nó a mhalairt go cruinn.58

Sampla 2Tá satailít ar aistear go dtí gealachaPhlútoin chun faisnéis a bhailiú.Léiríonn an chothromóid x y 3 aconair. Tagtar ar chóiméad atá aggluaiseacht i gcuar sa phlána céannaleis an tsatailít. Más í an chothromóidx 2 y 2 36x 224 0 a léiríonnconair an chóiméid, abair an dtrasnóidha gcuid conairí a chéile.x y 3(conair na satailíte)x 2 y 2 36x 224 0(conair an chóiméid)Má tá an dá chonair le bualadh le chéile, caithfidh réitigh réadacha a bheith ar thrasnúan dá chothromóid.i.e. b 2 4ac 0.Má tá x y 3,tá y x 3. Ach é sin a ionadú isteach in x 2 y 2 36x 224 0,faighimid x 2 (x 3) 2 36x 224 0 2x 2 42x 233 0 réitigh réadacha ag teastáil. a 2, b 42, c 233. b 2 4ac [(42) 2 4(2)(233)] 100 0 Níl aon réiteach réadach ann agus ní thrasnaíonn na conairí a chéile.Cleachtadh 2.41. Faigh luach dhá uimhir leantacha, a bhfuil suim a gcearnóg cothrom le 61.2. Faigh dhá ré-uimhir leantacha, a bhfuil suim a gcearnóg cothrom le 52.3. Úsáidtear 62 m de chlaí chun cró dronuilleogach ar achardó 198 m 2 a dhéanamh.(i) Faigh dhá chothromóid a nascann fad agus leitheadna dronuilleoige.(ii) Réitigh na cothromóidí chun toisí na dronuilleoige afháil.imlíne 62 machar 198 m 24. Tá triantán dronuilleach le déanamh. Úsáidfear tríshlánuimhir leantacha mar shleasa.Faigh fad imlíne an triantáin.5. Is féidir an fad slí atá déanta ag carr a fháil ach an fhoirmle s 12t t 2 a úsáid.Faigh an dá am ag a ngabhann an carr thar phointe atá 25 m ar shiúl. Tabhair do chuidfreagraí ceart go dtí dhá ionad de dheachúlacha.59

6. Laghdaítear cearnóg uimhreach de 15. Is ionann an luach a thagann as sin agus dhá oireadna bunuimhreach. Faigh an uimhir/na huimhreacha.7. Ciceáiltear liathróid suas san aer. Is féidir airde na liathróide a shamhaltú ach úsáid abhaint as an gcothromóid h 16t 2 24t 1, áit a bhfuil h an airde ina méadair agust am ina shoicindí.Céard iad na hamanna ag a mbeidh an liathróid ag airde 6 m?8. Tá slios amháin ar thriantán dronuilleach 4 cm níos faide ná an slios eile. Tá an taobhagán20 cm ar fad. Faigh fad an tsleasa is giorra ar an triantán.9. Is lú de 1 toradh dhá chorr-shlánuimhir leantacha ná ceithre oiread a suime.Faigh an dá shlánuimhir.10. Tá an taobhagán ar thriantán dronuilleach 6 cm níos faide ná an slios is giorra.Tá an tríú slios 3 cm níos faide ná an slios is giorra. Fad fad an tsleasa is giorra.11. Tá fad gairdín dhronuilleogaigh 4 mhéadar níos faide ná a leithead.Más ionann achar an ghairdín agus 60 m 2 , faigh toisí an ghairdín.12. Faigh trí shlánuimhir leantacha sa chaoi is gurb ionann trí oiread a suime agus toradh andá cheann is mó.13. Tá deic adhmaid timpeall ar linn snámha chiorclach artrastomhas di 28 méadar.Más ionann achar na deice agus 60m 2 , faigh leithead na deice.28 m14. Má dhúblaítear slios amháin ar chearnóg agus má laghdaítear an slios cóngarach de 2 cm,beidh achar na dronuilleoige a thagann as sin 96 cm 2 níos mó ná an bhunchearnóg.Faigh toisí na dronuilleoige.15. Cruth cuair atá ar rampaclárscátála. Seo anchothromóid atá agan gcuar:h 0.1x 2 x 2.5.Is dhá ardán iad anpointe imeachta agusan ceann scríbe,mar atá le feiceáil.y3210GCxMá tá an pointe imeachta C ag airde 3 m agus má tá an ceann scríbe G ag airde 1.5 m, ríomhan fad slí idir bhoinn an dá ardán, ceart go dtí dhá ionad de dheachúlacha.60

16. Is í an chothromóid 3t s 4 a thugann an chonair a ghabhann roicéad, áit a seasann tdon am agus s don fhad slí ón talamh.Is í an chothromóid 2t 2 s 2 43 a thugann an chonair a ghabhann cóiméad.Déan amach cá bhfuil an pointe ina dtrasnaíonn an dá chonair a chéile.Tabhair fáth nach bhfuil ach aon réiteach amháin ann, i.e. aon phointe trasnaithe amháin.17. Is í an chothromóid x 3y 5 aythugann an chonair a ghabhann eitleán.5(Conair an eitleáin) x 3y kTuairiscítear go bhfuil fronta4aimsire i gconair an eitleáin. x 2 6y 2 40Má úsáidtear an chothromóid3x 2 6y 2 40 chun an fronta2a shamhaltú, déan amach an1dtrasnóidh an t-eitleán an fronta seo.IHxMá thugann x 3y k conair an 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6eitleáin, faigh an t-íosluach ar k a fhágfaidh go seachnóidh an t-eitleán an fronta aimsire.Mír 2.5 Na fréamhacha a úsáid chun cothromóidícearnacha a cheapadhMá bhíonn fréamhacha cothromóide ar eolas againn, is féidir linn an chothromóid a fháil ach(i) fachtóirí na cothromóide a fháil(ii) na fachtóirí a iolrú chun an chothromóid a fháil.An cás ginearálta: más iad x r 1 agus x r 2 na fréamhacha le cothromóid chearnach,is iad (x r 1 ) agus (x r 2 ) na fachtóiríagus is é (x r 1 )(x r 2 ) 0 an chothromóid.i.e. x 2 xr 2 xr 1 r 1 r 2 0x 2 x(r 2 r 1 ) r 1 r 2 0.Más iad r 1 , r 2 na fréamhacha le cothromóid, is é an chothromóid náx 2 x(r 1 r 2 ) r 1 r 2 0,i.e. x 2 x (suim na bhfréamhacha) toradh na bhfréamhacha 0.Sampla 1Scríobh an chothromóid atá ag cuar arb iad 7 agus 5 a chuid fréamhacha.Ós rud é nach bhfuil ach dhá fhréamh leis an gcothromóid, caithfidh sé gur cothromóidchearnach atá ann. x 2 x (suim na bhfréamhacha) toradh na bhfréamhacha 0 is é x 2 x [7 (5 )] [(7)(5)] 0 an chothromóid. x 2 x(2) 35 0Is é an chothromóid ná x 2 2x 35 0.61

Sampla 2Más iad x √ __3 agus x √ _______ 32faigh a, b agus c.na fréamhacha le cothromóid chearnach ax 2 bx c 0,Tá a fhios againn go bhfuil x 2 x (suim na bhfréamhacha) toradh na bhfréamhacha 0.⇒ is é x 2 x ( √ __⇒ x 2 x ( 2 √ ______ 3⇒ x 2 x ___( √__3 √ _______ 32) √ __3 ( √ _______ 32) 0 an chothromóid.2 ___ √__ 32) __ 3 2 032) __ 3 2 02x 2 √ __3 x 3 0 dhá thaobh na cothromóide a iolrú faoi 2 a 2, b √ __3 agus c 3.Cleachtadh 2.51. Luaigh (i) suim agus (ii) toradh na bhfréamhacha le gach ceann de na cothromóidícearnacha seo a leanas.(a) x 2 9x 4 0 (b) x 2 2x 5 0(c) x 2 7x 2 0 (d) x 2 9x 3 0(e) 2x 2 7x 1 0 (f) 7x 2 x 1 0(g) 3x 2 10x 2 0 (h) 5x 2 10x 1 0(i) 3 2x x 2 0 ( j) 5 3x 4x 2 02. Sa tábla seo a leanas, tugtar duit suim agus toradh na bhfréamhacha le cothromóidícearnacha. I ngach cás, faigh an chothromóid chearnach san fhoirm ax 2 bx c 0.Bíodh a, b agus c ina slánuimhreacha.(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)Suim 3 6 7 2_3 5_2 3_2 1_4 1 2_3Toradh 1 4 5 7_3 2 5 1_31_23. Faigh na cothromóidí cearnacha a bhfuil na péirí fréamhacha seo a leanas leo (r 1 , r 2 ).(i) (4, 6) (ii) (2, 3) (iii) (5, 1) (iv) ( √ __5 , 4)(v) (a, 3a)(vi) __( 2 5 , __ 3 (vii) __5) ( 2 b , __b) 3 (viii) __( 5 2 , __ 3 5)62

Mír 2.6 Uasphointe agus íosphointe graf cearnachIs féidir an slonn cearnach x 2 6x 11 a athscríobh mar seo:x 2 6x 9 9 11 (x 3)(x 3) 9 11 (x 3) 2 2. x 2 6x 11 (x 3) 2 2.An chearnóg a shlánú a thugtar air sin.Is féidir linn eolas an-úsáideach maidir leis an bhfeidhm chearnach a fháil ón bhfoirm seo dechothromóid chearnach.(i) Uasphointí nó íosphointí.Ag x 3, (x 3) 0. is é (x 3) 2 2 2 íosluach antsloinn seo.(ii) Fréamhacha réadacha nó samhailteacha.Bíodh (x 3) 2 2 0 chun na fréamhachaa fháil. Mar sin (x 3) 2 2x 3 √ ___2x 3 √ ___2 ⇒ Fréamhacha samhailteacha.(iii) Luachanna ar x a fhágann gur deimhneach nó diúltach atá an fheidhm.Bíonn (x 3) 2 deimhneach i gcás gach x R. bíonn (x 3) 2 3 deimhneach i gcás gach x R.(iv) Bíonn pointe casaidh ag gach graf, ar a dtugtar rinn.Is é an rinn seo uasphointe nó íosphointe an ghraif.(v) Bíonn ais siméadrachta i ngach graf, a bhíonn comhthreomhar leis an y-ais agus ag dul trídan rinn.(vi) Parabóil a thugtar ar ghraf feidhme cearnaí.Sampla 1Slánaigh an chearnóg sna sloinn chearnacha seo a leanas.Uaidh sin, faigh íosluach gach sloinn.(i) x 2 8x 10 (ii) 4x 2 4x 2(i) x 2 8x 10 (ii) 4x 2 4x 2 x 2 8x 16 16 10 4(x 2 x 1_2 ) (x 4)(x 4) 6 4(x 2 x 1_4 1_4 1_2 ) (x 4) 2 6 4[(x 1_2 )2 1_4 ]Íosluach 6 4(x 1_2 )2 1Íosluach 1y543211O1(3, 2)1 2 3 4 5 6(x 3) 2 2 x 2 6x 11x63

Mar riail ghinearálta, chun an chearnóg a shlánú igcás cothromóidí san fhoirm x 2 bx c 0,suimigh leath chomhéifeacht x 2 leis an slonnagus dealaigh an rud céanna ón slonn. Ansintabhair cuid na slánchearnóige i leataobh léi féin.x 2 bx c (x b__2) 2 __( b 2) 2 ci.e. x 2 bx c x 2 bx __( b 2) 2 __( b 2) 2 c 0 (x b__2) 2 __( b 2) 2 c 0.Nóta: Murab é 1 comhéifeacht x 2 , ní mór comhéifeacht x 2 a fhachtóiriú amach sular féidirleanúint ar aghaidh, m.sh.,(i) x 2 2x 5 x 2 2x 1 1 5 (x 1) 2 4(ii) 4 2x x 2 4 (x 2 2x) 4 (x 2 2x 1 1) 4 [(x 1) 2 1] 5 (x 1) 2(iii) 3x 2 3x 2 3(x 2 x 2_3 ) 3(x2 x 1_4 1_4 2_3 ) 3[(x 1_2 )2 5 __12 ] 3(x 1_2 )2 5_4Is féidir gach cothromóidchearnach (ax 2 bx c) ascríobh san fhoirma(x p) 2 q, graf a bhfuilcruth airnó q a(x p) 2 , graf a bhfuilcruth air.y4321(3, 2)h(x) (x 3) 2 2g(x) (x 3) 221O(0, 0)1 2f(x) x 2 p(x) 3(x 3) 2 1(3, 0)3 4 5x1(3, 1)Teicneolaíocht Faisnéise agusCumarsáide (TFC): Ach úsáid af(x) xbhaint as áireamhán grafaicí nó as2 (x 0) 2 0bogearraí ríomhaireachta (m.sh. g(x) x 2 6x 9 (x 3) 2 0GeoGebra), is féidir sceitsí de nah(x) xcuair seo a leanas a chur i2 6x 11 (x 3) 2 2gcomparáid lena chéile, agus an p(x) 3x 2 18x 26 3(x 3) 2 1t-íosphointe agus ais na siméadrachta a fháil i gcás gach ceann díobh.Íosphointe(0, 0)(3, 0)(3, 2)(3, 1)64

Is é an pointe (p, q) íosphointe an chuair a(x p) 2 q.Ag x p, (x p) 0.⇒ a(x p) 2 q 0 q q, an t-íosluach.Ar an gcaoi chéanna, bíonn uasphointe (p, q) ag cothromóid chearnach san fhoirm q a(x p) 2agus bíonn uasluach q aici ag an bpointe x p.Nuair is féidir sloinn chearnacha a scríobh san fhoirm a(x p) 2 q, bíonn íosphointe (p, q)ann. Nuair is féidir sloinn chearnacha a scríobh san fhoirm q a(x p) 2 , bíonn uasphointe(p, q) ann.yf(x) x 2 4x 5f(x) (x 2) 2 1 (2, 1)3Íosphointe (2, 1) 215 4 3 2 1O1(2, 1)1 2 3 4 5x2f(x) x 2 4x 3f(x) 1 (x 2) 2Uasphointe (2, 1)Sampla 2Scríobh an chothromóid chearnach x 2 4x 1 san fhoirm (x p) 2 q agus, uaidh sin,(i) faigh íosphointe agus íosluach x 2 4x 1(ii) réitigh an chothromóid x 2 4x 1 0. Fág an freagra i bhfoirm surda.(i) x 2 4x 1 x 2 4x 4 4 1 (x 2) 2 3⇒ is é (2, 3) an t-íosphointe⇒ is é 3 íosluach an tsloinn.(ii) Ag réiteach x 2 4x 1 0,⇒ (x 2)2 3 0⇒ (x 2)2 3⇒ x 2 √ __3⇒ x 2 √ __3 .(Nóta: Ba chóir a fhíorú go bhfaightear an toradh céanna nuair a bhaintear úsáid asfoirmle na cothromóide cearnaí.)65

Sampla 3(i) Scríobh cothromóid an ghraif thíos san fhoirm y q a(x p) 2 . Is é (p, q)uasphointe an chuair agus is tairiseach é a.(ii) Roghnaigh pointe oiriúnach ar bith ar an gcuar agus, ar an gcaoi sin, faigh a.(iii) Uaidh sin scríobh an chothromóid san fhoirm y ax 2 bx c.(i) An t-uasphointe (1, 3) (p, q).y q a(x p) 2 y 3 a(x 1) 2(ii) Roghnaímis (x, y) (1, 1),⇒ 1 3 a(1 1) 2 3 4a⇒ a 1_2(iii) y 3 (1_ ) (x 1)22 y 3 __ x22 x 1_2 __ x22 x 2 1_y32154321O12321 2 3xCleachtadh 2.61. Faigh an luach ar c a shlánaíonn an chearnóg i ngach ceann díobh seo a leanas:(i) a 2 28a c (ii) x 2 6x c (iii) y 2 5y c2. Slánaigh an chearnóg i ngach ceann díobh seo a leanas:(i) x 2 8x 3 0 (ii) x 2 2x 5 0 (iii) x 2 2x 1 03. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm (x p) 2 q 0.(i) x 2 4x 6 0 (ii) x 2 9x 4 0 (iii) x 2 7x 3 04. Tá íosphointe (p, q) ag graf y a(x p) 2 q.Tríd an gcearnóg a shlánú, faigh íosphointe gach ceann de na cothromóidí cearnacha seoa leanas:(i) 2x 2 4x 5 0 (ii) 3x 2 6x 1 0 (iii) 4x 2 x 3 05. Slánaigh an chearnóg i gcás an tsloinn x 2 6x k.Faigh an t-íosluach ar k sa chaoi is go bhfuil x 2 6x k deimhneach i gcás gach luacha ar x.6. Sloinn 2x 2 2x 7 san fhoirm a(x b) 2 c.7. Má tá g(x) x 2 8x 20, taispeáin go bhfuil g(x) 4 i gcás gach luacha ar x.66

8. (i) Maidir le gach ceann de na graif seo,scríobh síos comhordanáidí angíosphointe (p, q).(ii) Scríobh cothromóid gach graif san fhoirm(a) y (x p) 2 q(b) y ax 2 bx c.(iii) Roghnaigh pointe oiriúnach ar gach graf(nach é an t-íosphointe é) agus, ar an gcaoisin, fíoraigh gach cothromóid.y21O 4321123451 2 3 4 5x9. Má tá f(x) x 2 4x 7, faigh(i) an luach is lú a d'fhéadfadh a bheith ar f(x)(ii) an luach ar x ag a dtarlaíonn an luach is lú sin(iii) an luach is mó a d'fhéadfadh a bheith ar ____________ 1(x 2 4x 7) .10. An chothromóid y 2x 2 6x a thugann an chonair a ghabhann liathróid ghailf.Tríd an gcearnóg a shlánú, faigh uasphointe na conaire agus, uaidh sin, an airde is mó a baineadhamach. Sceitseáil an cuar san fhearann 0 < x < 6 le dearbhú go bhfuil an freagra a fuair tú bailí.11. I gcás gach ceann de na cothromóidí seo,scríobh síos cé acu graf lena mbaineann sé.(i) y x 2 6x 8(ii) y x 2 6x 9(iii) y x 2 6x 10.yABSloinn gach cothromóid san fhoirmy a(x p) 2 q.O1234C5x12. Is féidir na cuair C agus D a léiriúle cothromóidí san fhoirmp a(x q) 2 .Faigh luach p, a agus q i gcás gach cuair.Cy4321D21O 1 2 3 4 5 61x13. Trasnaíonn parabóil an x-ais ag 6 agus 3 agus gabhann sí tríd an bpointe (1, 10).Faigh cothromóid na parabóile.14. (1, 3) na comhordanáidí atá ag íosrinn parabóile agus trasnaíonn sí an y-ais ag 4.Faigh cothromóid na parabóile.67

15. Tugtar thíos an chonair a ghabhann liathróid ghailf.(i) Agus tú ag úsáid uasphointe (p, q) na conaire, críochnaigh an chothromóidf(x) q 0.1(x p) 2 don chuar seo.(ii) Réitigh an chothromóid f(x) 0 chun an pointe ónar thosaigh an liathróid a fháil,agus chun an pointe ag ar chríochnaigh an liathróid ar thalamh chothrom a fháil (fágdo fhreagra i bhfoirm fréamh chearnach).(iii) Uaidh sin faigh an fad cothrománach a thaistil an liathróid.Tabhair do fhreagra san fhoirm a √ __b .y43212111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15xMír 2.7 SurdaíIs éard atá i surda ná fréamh chearnach nach féidir a shloinneadh ina slánuimhir, m.sh. √ __2 , √ __3 , √ __5 , √ __6 , √ __7 , Má tá x 2 2, tá x √ __2 1.414213562 Uimhir éagóimheasta atá i surda dá bhrí sin, uimhirnach féidir a shloinneadh ina codán.Ní surdaí iad √ __1 , √ __4 , √ __9 , √ ___16 , mar gur slánchearnóga iad 1, 4, 9, 16 srl agus go bhfuilfréamhacha cearnacha leo.Nóta: Is freagra cruinn é x √ __2 .Is garfhreagra nó freagra ceartaithe é x 1.414 213 562 agus ní cóir é a thabhairt achamháin má iarrtar a leithéid.1. Surdaí a laghdú go dtí an fhoirm is simplíNí féidir √ __5 , √ __6 , √ __7 a shimpliú a thuilleadh,ach √ __8 √ _____4 2 √ __4 √ __2 2 √ __2 ,ós rud é go bhfuil fachtóir ag 8 atá ina shlánchearnóg.√ ___ab √ __ a √ __b2. Líonta i bhfoirm surda a shimpliú√ ______ 5064 √ _______ 50√ √ ___25 √ __ _________ 25 √ ______ 264 8 8√ __a____b ___√ a√ b3. Surdaí a shuimiú nó a dhealú2 √ __3 4 √ __3 6 √ __3 .√ ___27 √ ___12 √ _____9 3 √ _____4 3 3 √ __3 2 √ __3 √ __3 .a √ __b c √ __b (a c) √ __b68

4. Surdaí a iolrú faoi chéile√ __4 √ __4 ( √ __4 ) 2 4.√ __5 √ __6 √ ___30 .(7 √ __2 )(7 √ __2 ) 49 7 √ __2 7 √ __2 2 47.√ __ a √ __b √ ___ab5. Roinnt ar shurdaíIs gnách gan surda (uimhir éagóimheasta) a fhágáil in ainmneoir lín agus is dá bhrí sin adhéanaimid an t-ainmneoir a chóimheas.___ 5√ ___ 53 √ 3 . √ _____ 3 5√ √ __ ____ 33 3(Nóta: Is ionann iolrú faoi ___ √__ 3√ agus iolrú faoi 1.3)_______ 17 √ _______ 12 7 √ 2 . 7 √ _________ 27 √ 2An t-ainmneoir a chóimheas:7 √ __________ 27 2 √ 2 7 √ _________ 2_______ 12 47 a √ b _______ 1a √ b . a √ _________ ba √ bSampla 1(i) Sloinn √ ___80 san fhoirm a √ __5 , áit a bhfuil a ina shlánuimhir.(ii) Sloinn (4 √ __5 ) 2 san fhoirm b c √ __5 , áit a bhfuil b agus c ina slánuimhreacha.(i) √ ___80 √ ______16 5 4 √ __5(ii) (4 √ __5 ) 2 (4 √ __5 )(4 √ __5 ) 16 8 √ __5 25 41 8 √ __5Sampla 2Simpligh(i)√ _____________ 125 √ 3 √ 27(ii)__________ 7√ 13 √ 11(i)(ii)√ _____________ 125 √ 3 √ 27__________ 7√ 13 √ 11√ __________________ 4 35 √ 3 √ 9 32 √ __3 __________ 25 √ 3 3 √ √ __ ____ 33 2 √ 13__________ 7√ 13 √ 11 . √ ___13 √ _____________ 11 7( √ ___13 √ ___√ 13 √ ____________ 11 ) 7( √ ___13 √ ___ ____________ 11 )11 13 11269

Cleachtadh 2.71. Simpligh gach ceann díobh seo:(i) √ __8 (ii) √ ___27 (iii) √ ___45 (iv) √ ____200 (v) 3 √ ___182. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm is simplí:(i) 2 √ __2 6 √ __2 3 √ __2 (ii) 2 √ __2 √ ___18 (iii) √ ___32 √ ___18(iv) √ ___27 √ ___48 2 √ __3 (v) √ __8 √ ____200 √ ___18 (vi) 7 √ __5 2 √ ___20 √ ___803. I gcás gach ceann de na líonta seo, déan an t-ainmneoir a chóimheas.(i) ___ 1√ (ii) ___ 23√ (iii) ____ 285 √ (iv) ____ 202√ 50(v)_____ 8√ 1284. Simpligh gach ceann díobh seo:(i) √ __8 √ ___12 (ii) 3 √ __2 5 √ __2 (iii) √ __2 ( √ __6 3 √ __2 )(iv) (5 √ __3 )(5 √ __3 ) (v) ( √ __7 √ __5 )( √ __7 √ __5 ) (vi) (a 2 √ __b )(a 2 √ __b )5. Tríd an ainmneoir a chóimheas, scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm is simplí.(i) _______ 4√ (ii) _______ 122 5 13 √ √ __(iii) _______ 522 √ (iv) ________ 15√ 8 √ 26. Simpligh gach ceann díobh seo:(i) _______ 1√ 2 1 _______ 1√ 2 1(ii)_______ 12 √ _______ 13 2 √ 37. Simpligh(i) (2 √ __3 √ __5 )(2 √ __3 √ __5 ) (ii)_______ 42 √ _______ 25 2 √ 58. Bíodh X 4 √ _________ 3√ agus Y 4 √ _________ 32√ . Faigh, san fhoirm is simplí,2(i) X Y (ii) X Y (iii) XY (iv)X__Y9. Taispeáin go bhfuil (2 √ __5 3 √ __2 )(2 √ __5 3 √ __2 ) 2.10. Simpligh_______ 99 √ .911. Simpligh (2 √ __2 )(3 √ __5 )( √ _________________________ 5 2)( √ 5 1)(1 √ .2 )70

Mír 2.8 Cothromóidí ailgéabracha ina bhfuil surdaíIs minic sloinn ar nós √ ______2x 1 le feiceáil san ailgéabar.Chun an chothromóid √ ______2x 1 5 a réiteach, tugaimid faoi ar an gcaoi seo:( √ ______2x 1 ) 2 5 2 cearnaímid an dá thaobh chun an fhréamh chearnach a bhaint2x 1 252x 24⇒ x 12Nóta: Agus muid ag plé le surdaí, tá sé tábhachtach gach réiteach a sheiceáil sabhunchothromóid mar go bhféadfadh cuid de na réitigh a bheith samhailteach.Ag x 12, √ ______2x 1 √ ________2.12 1 √ ___25 5, atá ceart.Sampla 1Réitigh_______ 1√ ________ 1x 2 √ 2.4x 8_______ 1√ ________ 1x 2 √ 24x 8_______ 1√ _________ 1 2 simplímid an t-ainmneoir sula bhfaighimid comhainmneoir.x 2 4(x 2)√ _______________ 1√ ________ 1x 2 2 √ 2x 2________ 22 √ ________ 1x 2 2 √ 2x 2________ 2 12 √ 2 faighimid comhainmneoirx 21 4( √ _____x 2 ) iolraímid an dá thaobh faoi 2 √ _____x 21 16(x 2) cearnaímid an dá thaobh1 16x 3216x 31Anois seiceálaimid an freagra. Is éard a fhaighimid: x 31 ____16__________ 1√ _____________ 1____ 3116 2 √ ___________ 4(31) 816_____ 1√ ____ 1___ 116 √ 2 (fíor).1__471

Mura mbíonn ach aon surda amháin ann, tabhair i leataobh leis féin é.Ansin cearnaigh an dá thaobh agus réitigh. Má bhíonn dhá shurda ann, bíodh ceann amháin ar gach taobh den chothromóid.Cearnaigh an dá thaobh agus, má bhíonn surda ar bith fágtha, tabhair i leataobh leis féin é.Cearnaigh an dá thaobh arís chun surda ar bith atá fágtha a bhaint. Réitigh an chothromóid a thagann as sin. Seiceáil do chuid freagraí.Sampla 2Réitigh √ ______5x 6 √ ___2x 2.√ ______5x 6 √ ___2x 2√ ______5x 6 √ ___2x 2( √ ______5x 6 ) 2 ( √ ___2x 2) 2 cearnaigh an dá thaobh5x 6 2x 4 √ ___2x 43x 2 4 √ ___2x(3x 2) 2 (4 √ ___2x ) 29x 2 12x 4 (16)2x9x 2 20x 4 0(9x 2)(x 2) 0. x 2 nó x 2_9 bíodh surda amháin ar gach taobh fág an surda as féin ar thaobh amháin den chothromóid cearnaigh an dá thaobh arísNóta: Tá sé tábhachtach an dá réiteach a thástáil sa bhunchothromóid lena chinntiú go bhfuil siad bailí,i.e. √ _______5.2 6 √ ___2.2 2 agus √ _______5. 2_9 6 √ ___2. 2_9 24 4 (fíor) √ ____ 649 √ __4_9 28_3 2_3 2 8_3 (fíor)Cleachtadh 2.81. (x 2) m ar fad atá taobh amháin de pháirc dhronuilleogach agus (x 2) m ar leithead atáan taobh eile. Faigh slonn d'fhad an trasnáin. Fág an freagra agat i bhfoirm surda.72

2. (a) Faigh fad an trasnáin [AC] sa pháircdhronuilleogach ABCD.(b) Déanann reathaí amháin cuaird(2 3) kmiomlán ABCDA ar chosán, agráta 1.5 ms 1 .BRitheann reathaí eile ó A go C agusansin ar ais go A trasna na páirceag ráta 1.4 ms 1 .(i) Sloinn, i bhfoirm surda, an difríocht idir na faid slí a thaistil an bheirtreathaithe.(ii) Ríomh an difríocht ama idir an bheirt reathaithe, ceart go dtí ansoicind is gaire.A(2 3) kmDC3. Tosaíonn Máirtín ag G agus siúlann ar chosán idtreo an phointe F. Ag F, tógann sé an cosáningearach go dtí E. Ansin tógann sé an cosán EK,atá ar comhfhad le [EF] agus ag dronuillinneachale [EG]. Ó K, filleann sé go díreach ar G.Faigh an fad cruinn, i bhfoirm surda, a thaistilMáirtín.EK1 kmFG4. Taispeáin go bhfuil 1 √ __________ 31 √ 3 2 √ __3 .5. Sloinn√ _________ 31 √ __ ___ 13 √ 3ina chodán aonair. Ansin déan an t-ainmneoir a chóimheas agus simpligh.6. Má tá x __√ a ___ 1__agus y √__ a ___ 1√ a __√ aUaidh sin faigh luach √ _______x 2 y 2 .agus a 0, faigh (i) x y (ii) x y.7. Réitigh na cothromóidí seo a leanas agus seiceáil an réiteach i ngach cás:(i) √ ______2x 1 3 (ii) √ _______3x 10 x(iv) √ ______3x 5 x 1(v) √ ______2x 5 x 18. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo agus seiceáil gach réiteach.(i) √ _____x 5 5 √ __x(iii) √ _____x 7 √ __x 7(ii) √ ______5x 6 √ ___2x 2(iii) √ ______2x 1 √ _____x 8(vi) √ _______2x 2 7 x 3(iv) √ ______3x 2 √ _____x 2 29. Má tá x √ __ a 1 ___√ __ a 1 áit a bhfuil a > 0, sloinn x2 2x i dtéarmaí a.73

10. Má tá (a √ __3 )(b √ __3 ) 7 3 √ __3 , agus más slánuimhreacha deimhneacha iad a agus b,faigh luach a agus luach b.11. Cruth dronuilleoige atá ar bhosca oscailte.Is mó de 2 m a fhad ná a airde.Is giorra de 2 m a leithead ná a airde.Tabhair x ar an airde ina méadair agusfaigh slonn(i) don trasnán [IC](ii) don trasnán [ID].Má tá |ID| 56, faigh x.BGIDCEMír 2.9 Teoirim na bhfachtóiríI gCaibidil 1 chaitheamar súil siar ar theicnící chun sloinn ailgéabracha a fhachtóiriú.Is teicníc níos ginearálta í teoirim na bhfachtóirí, ar féidir í a chur i bhfeidhm le sloinn igcumhachtaí níos airde. Agus muid ag úsáid roinnt fhada, is féidir linnf(x) x 3 3x 2 4x 12 a roinnt ar x 3 mar a rinneamar cheana.x 2 4__________________x 3 )x 3 3x 2 4x 12 f (x) x 3 3x 2 4x 12 (x 2 4)(x 3).x 3 3x 2 4x 12 is iad fachtóirí f(x) ná (x 2 4) agus (x 3).4x 12gan fuílleach is iad fréamhacha f(x) ná (x 3) 0 ⇒ x 3agus (x 2 4) 0 ⇒ x 2.Luach na feidhme a fháil ag x 3, 2, 2 ;f (3) (3) 3 3(3) 2 4(3) 12 0f (2) (2) 3 3(2) 2 4(2) 12 0f (2) (2) 3 3(2) 2 4(2) 12 0 , mar a bhíonn i gcás gach fréimhe.Déanfaimid é sin a ghinearálú do gach iltéarmach f(x): má tá f(k) 0, is fachtóir é x k.A choinbhéarta sin: más fachtóir é x k, tá f(k) 0.Teoirim na bhFachtóirí:Má tá f(k) 0, is fachtóir é (x k).A choinbhéarta sin: más fachtóir é (x k), tá f(k) 0.Freisin, más fachtóir é (ax k), tá f __( k 0.a)74

Sampla 1Taispeáin gur fachtóir de 2x 3 5x 2 5x 3 é (2x 3).Más fachtóir é (2x 3), is fréamh é (2x 3) 0, i.e. is fréamh é x 3 2 .Más fachtóir é (2x 3), caithfidh sé go bhfuil f( 3 2) cothrom le 0.f (x) 2x 3 5x 2 5x 3f ( 3_ 3_) 2(2 2 )3 5( 3_2 )2 5( 3_2 ) 3 (__274 ) (__454 ) (__152 ) 3 0. is fachtóir de f(x) 2x 3 5x 2 5x 3 é (2x 3).Sampla 2Más fachtóirí de ax 3 3x 2 9x b iad (x 2) agus (x 1), faigh naluachanna a agus b.Más fachtóir é (x 2), tá f(2) 0.Más fachtóir é (x 1), tá f(1) 0.(i) f (2) a(2) 3 3(2) 2 9(2) b 0 (ii) f (1) a(1) 3 3(1) 2 9(1) b 0⇒ a.8 3.4 18 b 0 ⇒ a(1) 3.1 9 b 0⇒ 8a 12 18 b 0 ⇒ a 3 9 b 0⇒ 8a b 6⇒ a b 12Úsáidfimid cothromóidícomhuaineacha: ⇒ a b 12⇒ 8a b 6a b 129a 18a 2 a 2 and b 10.1. Sloinn chiúbacha a fhachtóiriúIs féidir linn úsáid a bhaint as teoirim na bhfachtóirí anois chun iltéarmaigh i gcumhachtaíníos airde a fhachtóiriú, m.sh. iltéarmaigh chiúbacha san fhoirm f(x) ax 3 bx 2 cx da bhfuil fréamh amháin ar a laghad leo atá ina slánuimhir.Agus muid ag úsáid triail agus earráid', faighimid luach f(0), f(1), f(1), f(2), f(2), f(3) etc.,go bhfaighimid nialas.Anois tá an fhréamh atá ina slánuimhir faighte againn.Má tá f(2) 0, is fachtóir é (x 2).Má tá f(3) 0, is fachtóir é (x 3).Nuair a roinnimid ar an bhfachtóir sin faighimid slonn cearnach. Is féidir é sin a fhachtóiriúleis féin ach úsáid a bhaint as péirí fachtóirí nó as foirmle na cothromóide cearnaí.75

Sampla 3Fachtóirigh f (x) 2x 3 x 2 13x 6.f (x) 2x 3 x 2 13x 6f (0) 0 0 0 6 6 0f (1) 2(1) 3 (1) 2 13(1) 6 4 0f (1) 2(1) 3 (1) 2 13(1) 6 18 0f (2) 2(2) 3 (2) 2 13(2) 6 0 is fachtóir é (x 2).Roinnimid 2x 3 x 2 13x 6 ar (x 2):2x 2 5x 3__________________x 2 )2x 3 x 2 13x 62x 3 4x 25x 2 13x 65x 2 10x3x 63x 60 0⇒ is iad (x 2)(2x 2 5x 3) fachtóirí f(x)⇒ is iad (x 2)(x 3)(2x 1) fachtóirí f(x).2. Cothromóidí ciúbacha a réiteachIs é an bealach le cothromóidí ciúbacha san fhoirm f(x) ax 3 bx 2 cx d 0 a réiteach,le nialas ansin chun na fréamhacha (réitigh) a fháil.Sampla 4Réitigh an chothromóid 2x 3 4x 2 22x 24 0.Bíodh f (x) 2x 3 4x 2 22x 24⇒ f (0) 2(0) 3 4(0) 2 22(0) 24 24⇒ f (1) 2(1) 3 4(1) 2 22(1) 24 0⇒ is fachtóir é (x 1).Is iad (x 1)(2x 2 2x 24) na fachtóiríDéanaimid é sin a fhachtóiriú a thuilleadh:(x 1)(2x 6)(x 4) f (x) 0 ⇒ (x 1) 0 ⇒ x 1.Freisin, (2x 6) 0 ⇒ x 3agus (x 4) 0 ⇒ x 4.Ach an roinnt a dhéanamh, faighimid2x 2 2x 24____________________x 1 )2x 3 4x 2 22x 242x 3 2x 22x 2 22x 242x 2 2xIs iad x (1, 3, 4) na réitigh24x 2424x 2476

Cleachtadh 2.91. Taispeáin gur fachtóir de x 2 8x 15 é (x 3).2. Taispeáin gur fachtóir de x 3 x 2 9x 9 é (x 1).3. Taispeáin gur fachtóir de x 3 6x 2 11x 6 é (x 2).4. Taispeáin gur fachtóir de 2x 3 3x 2 12x 20 é (x 2).5. Féach an fachtóir de x 3 5x 2 8x 4 é (x 2).6. Taispeáin gur fachtóir de 2x 3 7x 2 2x 3 é (2x 1).7. Féach an fachtóir de 2x 3 x 2 5x 2 é (2x 1).8. Más fachtóir de x 3 kx 2 x 8 é (x 1), faigh luach k.9. Faigh p más fachtóir de x 3 6x 2 px 6 é (x 2).10. Taispeáin gur fachtóir de x 3 2x 2 5x 6 é (x 3) agus faigh an dá fhachtóir eile.11. Taispeáin gur fachtóir de x 3 2x 2 9x 18 é (x 3) agus faigh an dá fhachtóir eile.12. Bain úsáid as teoirim na bhfachtóirí chun gach ceann díobh seo a leanas a fhachtóiriú gohiomlán:(i) x 3 4x 2 x 4 (ii) x 3 8x 2 19x 12(iii) x 3 6x 2 x 30 (iv) 3x 3 4x 2 3x 4(v) 2x 3 3x 2 8x 3 (vi) 2x 3 3x 2 12x 20.13. Tá f(x) 2x 3 13x 2 13x 10.Taispeáin go bhfuil f(2) 0 agus faigh uaidh sin trí fhachtóir f(x).14. Más fachtóir de x 3 ax 2 x 2 é (x 2), faigh a agus faigh uaidh sin an dá fhachtóir eile.15. Fachtóirigh x 3 x 2 14x 24 go hiomlán.Réitigh uaidh sin an chothromóid x 3 x 2 14x 24 0.16. Taispeáin gur fréamh leis an gcothromóid x 3 5x 2 2x 8 0 é x 1 agus faigh an dáfhréamh eile.17. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas(i) x 3 4x 2 x 4 (ii) x 3 2x 2 11x 12(iii) 3x 3 4x 2 3x 4 (iv) x 3 7x 6.18. Más fachtóirí de 2x 3 ax 2 bx 3 iad (x 1) agus (x 3) araon, faigh luach a agusluach b.Faigh an tríú fachtóir agus réitigh uaidh sin an chothromóid 2x 3 ax 2 bx 3 0.77

19. Más fachtóir de x 3 5x 2 kx 12 é (x 1), faigh luach k agus an dá fhachtóir eileden slonn ciúbach.20. Más fachtóirí de 2x 3 ax 2 17x b iad (x 2) agus (x 3) araon, faigh luach a agusluach b.Faigh uathu sin an tríú fachtóir.21. Má tá an slonn ax 3 8x 2 bx 6 inroinnte go cothrom ar x 2 2x 3, faigh luach aagus luach b.Réitigh uaidh sin an chothromóid ax 3 8x 2 bx 6 0.22. Faigh luach x sna cothromóidí seo a leanas:(i) ax 3 b c(ii) a(x b) 3 cMír 2.10 Graif d'iltéarmaigh chiúbachaMaidir le hiltéarmach ciúbach f(x) ax 3 bx 2 cx d, is iad na comhéifeachtaí a chinneann cruthdeireanach gach graif. Ní mór roinnt gnéithe tábhachtacha a thabhairt faoi deara agus béim a leagan orthu.TFC: Cuir isteach gach ceann de na feidhmeanna seo a leanas agus tú ag úsáid áireamhángrafaicí nó bogearraí ríomhaireachta (m.sh. GeoGebra). Athraigh na comhéifeachtaí agusscrúdaigh cén éifeacht atá aige sin ar chruth gach graif.Nóta: Tá foirm na bhfachtóirí de gach feidhm an-oiriúnach i gcásanna áirithe.1. Trí fhréamh réadachaf (x) 2x 3 4x 2 22x 24f (x) (x 1)(2x 6)(x 4)Trí fhréamh réadacha atá leisan ngraf seo, 3, 1, 4.Agus an graf ag dul trí fhréamh,athraíonn luach na feidhme ó ()go () nó ó () go ().Tá dhá phointe casaidh ag an ngraf,uasphointe logánta agus íosphointelogánta.(3, 0)4uasphointe logántay24020O20(1, 0) (4, 0)2 4xíosphointelogántaf(x) 2x 3 4x 2 22x 24 (2x 6)(x 1)(x 4)78

2. Trí fhréamh réadacha, ar ilfhréamh iad dhá cheann díobhf (x) x 3 x 2 8x 12 (x 3)(x 2) 2Trí fhréamh atá leis an ngraf seo freisin, 3, 2, 2,ach is ilfhréamh ceann amháin de na fréamhacha.Ní thrasnaíonn an graf seo an x-ais ach aon uairamháin mar gheall ar an ilfhréamh.Dhá phointe casaidh atá ag an ngraf.y1510 5 (3, 0) (2, 0)4321O1 2 3 4 5x3. Fréamh réadach amháin,dhá fhréamh shamhailteachaf (x) x 3 2x 4 (x 2)(x 2 2x 2) (x 2)(x 1 √ ___1 )(x 1 √ ___1 ) foirmle naFréamh réadach amháin agus dhá fhréamhshamhailteacha atá leis an iltéarmach seo.Trasnaíonn sé an x-ais uair amháin agusdhá phointe casaidh atá aige.cothromóide cearnaíf(x) x 3 x 2 8x 12 (x 3)(x 2)(x 2) (x 3)(x 2) 24. f(x) x 3 3x 2 2x agus g(x) 2x 3 6x 2 4x 2f(x)a chur i gcomparáid lena chéilef(x) x 3 2x 4 (x 2)(x 2 2x 2)Is iad na fréamhacha céanna yatá leis an dá iltéarmach, 1x 0, 1, 2.f(x) x 3 3x 2 2x (x)(x 1)(x 2) tá na fachtóirí (x),0.5(x 1) agus (x 2)i bpáirt ag na hiltéarmaigh.Ach tá fachtóir 2, ar 1 O 1 2 3 4 5 xslánuimhir é, ag g(x) freisin,rud a iolraíonn gach luachden chuar, ach amháin nuairis ionann an luach agusnialas, i.e. ag na fréamhacha.0.51g(x) 2x 3 6x 2 4x 2(x)(x 1)(x 2)Feidhmíonn an fachtóir seo, ar slánuimhir é, mar fhachtóir aimpliúcháin.y1321O123451 2x79

5. f(x) x 3 3x 2 2x agus g(x) x 3 3x 2 2x f(x)a chur i gcomparáid lena chéileSa chás seo freisin, isiad na fréamhachacéanna atá leis an dáiltéarmach agus, marsin, tá fachtóirí ibpáirt acu. Tá na graifsiméadrach trasna nax-aise.1y10.5O0.51f(x) x 3 3x 2 2x (x)(x 1)(x 2)1 2 3 4xg(x) x 3 3x 2 2x (x)(x 1)(x 2)80g(x) x 3 3x 2 2x (x 3 3x 2 2x) f (x).Nuair a iolraítear faoi mhíneas, iompaíonn sé sin an graf bunoscionn.6. Graif f(x) ax 3Gabhann na graif go léir trí (0, 0).I gcás a > 0, tá na graif go léir ag méadú agus, de réirmar a théann a i méid, is géire a ardaíonn na graif.I gcás a < 0, tá na graif ag laghdú.Nóta:(i) Má tá f(x) 3x 3 agus g(x) 3x 3 ,⇒ f (x) g(x), i.e. is é f(x) frithchaitheamh g(x)san x-ais.(ii) f(x) g(x), i.e. frithchaitheann f(x) agus g(x) achéile sa y-ais.Nóta: Níl aon uasphointe logánta ná íosphointe logántaanseo mar a bhí sna graif roimhe seo.Achoimre:x 3 3x 3 y 3x 3 x 35( 3)x3( 3)x 343 2 1 O1(i) Trasnaíonn gach iltéarmach ciúbach an x-ais uair amháin ar a laghad, i.e. tá fréamh réadachamháin léi.(ii) As gach fréamh tagann fachtóir den iltéarmach.(iii) Tá ilfhréamhacha ag roinnt iltéarmach.Teagmhaíonn an graf leis an x-ais sa phointe seo ach ní thrasnaíonn sé í.(iv) Má bhíonn comhéifeacht x 3 deimhneach, tosaíonn an graf faoi bhun na x-aise, i.e. tosaíonn séle y-luach diúltach agus méadaíonn sé de réir mar a mhéadaíonn na x-luachanna.(v) Má bhíonn comhéifeacht x 3 diúltach, tosaíonn an graf os cionn na x-aise, i.e. tosaíonn sé ley-luach deimhneach agus laghdaíonn sé de réir mar a mhéadaíonn na x-luachanna.(vi) Tá uasphointí casaidh logánta agus íosphointí casaidh logánta ag roinnt graif chiúbacha.(vii) Agus tú ag ceapadh iltéarmaigh óna chuid fréamhacha, féach an bhfuil fachtóir ann atá inashlánuimhir.32121 2 3x

Sampla 1Scrúdaigh an graf agus faigh slonn don iltéarmach ciúbach seo.(i) Trasnaíonn an graf an x-aisag x 2.(ii) ⇒ is fréamh é x 2⇒ is fachtóir é (x 2).(iii) Teagmhaíonn an graf leis an x-aisag x 1.⇒ is ilfhréamh é x 1⇒ is fachtóir é (x 1) 2 .(iv) B'fhéidir go mbeadh fachtóir saghraf atá ina shlánuimhir,i.e. f (x) a(x 2)(x 1) 2 .3Ón sceitse den ghraf seo,nuair atá x 0, tá f(x) 4. 4 a(2)(1) 2 2a a 2. f (x) 2(x 2)(x 1) 2 2x 3 6x 4.21y87654321O1(0, 4)1 2x7. Iltéarmaigh i gcumhachtaí níos airdeSampla 2Tugtar graf an iltéarmaigh f(x) a(x b)(x c)(x d)(x d) sa léaráid. Faigh luacha, b, c agus d.Ón léaráid, is iad x 2, 1, 3 na fréamhacha.Tá fréamh dhúbailte ag x 3.Mar sin is iad (x 2), (x 1), (x 3)agus (x 3) na fachtóirí. f (x) a(x 2)(x 1)(x 3)(x 3).Ag x 0, f (x) 18.y3020(0, 18)10 18 a(0 2)(0 1)(0 3)(0 3) 18a a 132 1 O1 2 3 4x a 1, b 2, c 1, d 3.1081

Cleachtadh 2.101. Faigh slonn ciúbach do gach ceann de na graif seo a leanas. Tabhair do chuid freagraí sanfhoirm f(x) ax 3 bx 2 cx d.(i)y43212 1 O123(0, 3)1 2 3x(ii)y24222018161412108642(0, 8)4321O21 2 3x2. Scríobh slonn iltéarmach do gach ceann de na graif chiúbacha seo a leanas.(i)y25201510532O 1510151(1, 4)(1, 12)2 3x(ii)y12108642(0, 12)(0, 6)32O 121 2 3x82

3. Trasnaíonn graf y f(x) ax 3 bx 2 cx d an x-ais ag x 1, x 2 agus x 1 2 .Trasnaíonn sé an y-ais freisin sa phointe (0, 6).Faigh na comhéifeachtaí a, b, c agus d.4. Is iad (x 3), (x 1) agus (x 2) na fachtóirí atá ag an iltéarmach f(x).Má tá f(x) x 3 ax 2 bx c, faigh luach a, b agus c.5. Féach ar an léaráid seo. I gcás gach ceann de na trí shlonniltéarmacha, scríobh síos cé acu graf lena mbaineann sé:(i) x 3 2(ii) x 3(iii) 2x 3 ,Faigh comhordanáidí an phointe A.y432ATFC: Tabhair faoi deara gur féidircuid mhaith freagraí sa chleachtadhseo a fhíorú ach úsáid a bhaint asáireamhán grafaicí nó as bogearraíríomhaireachta (m.sh. GeoGebra).1 212 1 Og(x) h(x)f(x) 1x6. Má tá f(x) (x)(x 4)(x 6), faigh luach f(2) agus luach f(5).Uaidh sin tarraing sceitse garbh den chuar.7. Má tá f(x) (x 2)(x 1)(x 3), faigh luach f(0), f( 1 2) agus f(2).Uaidh sin tarraing sceitse garbh den chuar.8. Tugtar sa léaráid graf an iltéarmaighf (x) ax 4 bx 3 cx 2 dx e(i) Faigh fachtóirí an tsloinn.(ii) Uaidh sin faigh luach a, b, c, d agus e.y54(0, 4)32121O1 2 3x183

9. Tá graif dhá fheidhm f(x) agus g(x) lefeiceáil sa léaráid ar dheis.Má tá f(x) ag(x),(i) faigh luach a(ii) faigh cothromóidí le haghaidh f(x) agus g(x).f(x)y54321(0, 4)3g(x)21O1231(0, 2)2x10. Scríobh, san fhoirm ax 3 bx 2 cx d 0, cothromóid chiúbach leis na fréamhacha seoa leanas:(i) 1, 2, 5 (ii) 3, 1, 0 (iii) 2, 1_4 , 3 (iv) 1_ , 2, 4.211. Faigh slonn ciúbach do gach ceann de na cuair seo a leanas.(i) y30(1, 30)(ii)20y4020(0, 20)10(0.5, 0)54321 O(2.5, 0)1 2 3 x(0.5, 0)1O1 2 3 4 5 6x201040206012. Sa léaráid taispeántar graf den fheidhmf (x) 3x 3 17x 2 bx 8.Trasnaíonn an graf an x-ais sna pointía, 2 agus 4.Faigh luach a agus luach b.y105O 1 1 2 3 45x1084

13. Taispeántar sa léaráid graf de f(x) x 3 x 2 2xagus g(x) x.Bain úsáid as an ngraf chun iad seo a réiteach:(i) f (x) 0(ii) f (x) g(x).(iii) Trí na cothromóidí a réiteach, ceart go dtíionad amháin de dheachúlacha, seiceáil céchomh cruinn is atá do chuid freagraí.yg(x) x32f(x) x 3 x 2 2x12 1O1 2 3 4 x1214. Toisí x cm, (x 1) cm agus (x 1) cm atá ag bosca,mar a thaispeántar.(i) Faigh toirt an bhosca i dtéarmaí x.(ii) Más ionann toirt an bhosca agus 24 cm 3 , bainúsáid as teoirim na bhfachtóirí chun luach x a fháil.(x 1)x(x 1)15. V r 2 h a thugann toirt sorcóra, áit arb é r an gaagus h an airde.Má tá an trastomhas cothrom leis an airde, taispeáingur féidir an toirt a scríobh mar seo:V ah 3 .Agus tú ag glacadh leis go bhfuil 3.14, faigh luach aceart go dtí dhá ionad de dheachúlacha.Agus tú ag úsáid na feidhme seo, ríomh toirt sorcóra artrastomhas dó 11 cm.Faigh trastomhas sorcóra ar toirt dó 215.58 cm 3 , ceart godtí ionad amháin de dheachúlacha.trastomhasairde16. Ga 3 cm atá ag soitheach i bhfoirm sféir. A bhfuil sasoitheach sin, líonann siad go hiomlán ciúb ar fadsleasa dó x cm.Má thugann an fhoirmle V 4_3 x3 4.19x 3 toirt sféir,áit arb é x an ga, bain úsáid as na graif chiúbacha chungarluach ar x, fad shlios an chiúib, a fháil.Cén garluach ar x a d'fhágfadh go mbeadh toirt sféir150 cm 3 níos mó ná toirt an chiúib, má sheasann anlíne bhriste do (V 150) cm 3 ?[i.e. (4.19x 3 150) cm 3 ]V30025020015010050OV ( 4 )x 33 4.19x 3V x 31 2 3 4 5 6 7x85

Súil Siar (Croícheisteanna)1. Réitigh an chothromóid x 2 6x 5 0.Uaidh sin, réitigh go hiomlán an chothromóid(t 6 __t) 2 6 (t 6 __t) 5 0.2. Faigh fréamhacha na cothromóide 2(x 1)(x 4) (x 2) 2 0. Fág do chuid freagraí ibhfoirm surda.3. Faigh an raon luachanna ar p a fhágann nach bhfuil réiteach ar bith ar px 2 2x 1 0.4. Taispeáin gur réadach atá fréamhacha na cothromóide x 2 (a d)x (ad b 2 ) 0.5. Más fachtóirí de 6x 4 x 3 ax 2 6x b iad (x 1) agus (x 2), faigh luach a agus luach b.6. Bain úsáid as triail agus earráid' chun iad seo a fháil:(i) fréamh leis an iltéarmach f(x) x 3 4x 2 11x 30(ii) fachtóirí f(x), agus(iii) réitigh uaidh sin an chothromóid x 3 4x 2 11x 30 0.7. Bain úsáid as an idirdhealaí le déanamh amach cén cineál fréamhacha atá le gach ceann díobh seo:(i) x 2 2x 5 0 (ii) x 2 4x 6 0 (iii) 6 4x x 2 08. Bain úsáid as an ionadú y 3 x chun an chothromóid 3 2x 12(3 x ) 27 0 a scríobh idtéarmaí y. Uaidh sin, réitigh an chothromóid chun x a fháil.Súil Siar (Ardcheisteanna)1. Sloinn 2x 2 4x 5 san fhoirm a(x h) 2 k agus, uaidh sin,(i) réitigh an chothromóid 2x 2 4x 5 0(ii) faigh íosphointe an chuair seo.2. Forbair (2 √ __2 √ __3 ) 2 .3. Simpligh√ ___________ 5√ 7 √ __80 √ __ agus ansin déan an t-ainmneoir a chóimheas.54. Réitigh √ _____x 2 x 4.5. An chothromóid 8t 2 4t s a thugann gluaisne cairr, áit arb é s an fad slí a thaistil an carrina mhéadair.(i) Trí iniúchadh, meas an t-am, t, a thóg sé ar an gcarr dul thar phointe 10 méadar ar shiúl.(ii) Faigh, ceart go dtí dhá ionad de dheachúlacha, an t-am a tógadh agus mínigh cén fáthnach bhfuil ach aon am amháin den sórt sin ann.(iii) Ríomh an earráid chéatadánach a bhí ann nuair a ceartaíodh an freagra go dtí dhá ionadde dheachúlacha.86

6. Is í an fhoirmle _________√________ p(1 p)a thugann earráid chaighdeánach, , na comhréire p denshampla, áit arb é p an chomhréir agus n an líon sa sampla.Agus tú ag úsáid fhoirmle na cothromóide cearnaí, faigh p, an chomhréir, i dtéarmaí agus n.7. Líon isteach an tábla thíos. I ngach spás, scríobh síos cé acu deimhneach () nódiúltach () atá an chainníocht.k 0 0 k 1_4 k 1_4k Diúltach Deimhneach4k4k 1k(4k 1)Agus tú ag úsáid an tábla atá líonta isteach agat, faigh an raon luachanna ar k a fhágann gobhfuil an slonn cearnach x 2 4kx k deimhneach i gcás gach luacha ar x.8. Is tairisigh dheimhneacha iad a, b agus c agus is réadach agus neamhchothrom (uathúil)atá fréamhacha uile ax 2 2bx c agus bx 2 2cx a. Taispeáin nach bhfuil fréamhachacx 2 2ax b 0 réadach.9. Tá f(x) 2x 2 5x 3agus g(x) x 2 5x 1.Faigh comhordanáidí nabpointí A agus B. Fágdo chuid freagraí ibhfoirm surda.yg(x) x 2 105x 18 A6428642O2 4 6 8 x24B6f(x) x 2 5x 3810. Faigh an raon luachanna ar k a fhágann gur fréamhacha réadacha atá le kx 2 2kx 3k 12 0.11. Más iad r 1 agus r 2 fréamhacha na cothromóide x 2 3x 6 0, faigh luach r 1 r 2 .12. Réitigh na cothromóidí comhuaineacha 3x y 1 agus x 2 y 2 53.13. Más ionann fad cistine dronuilleogaí agus leath na cearnóige ar a leithead agus más é 48 ma himlíne, faigh toisí na cistine.14. Má tá x réadach, faigh tacar na luachanna féideartha ar an bhfeidhm y x 2 _____x 1 .87

15. Faigh cothromóid an chuair chearnaigh a ghabhann trí na pointí(2, 1), (1, 2), (3, 16).16. (i) Luaigh cén tuiscint atá agat ar theoirim na bhfachtóirí agus ar a coinbhéarta.(ii) Má tá f(x) x 3 6x 2 11x 6, faigh luach f(0), f(1), f(2), f(3) agus f(4) agus,uathu sin, réitigh an chothromóid x 3 6x 2 11x 6 0.(iii) Sceitseáil an cuar.17. Tá cuid de ghraf an iltéarmaighf (x) ax 3 bx 2 cx dtarraingthe sa léaráid seo.(i) Faigh fréamhacha an iltéarmaigh seo.(ii) Scríobh slonn le haghaidh f(x) i dtéarmaífhachtóirí an iltéarmaigh seo.(iii) Faigh luach a, b, c agus d.(iv) Faigh slonn le haghaidh íomhá an chuairseo agus é frithchaite san x-ais.(v) Faigh slonn le haghaidh íomhá an chuairseo agus é frithchaite sa y-ais.y87654321(3, 8)O 1 1 2 3 4 5 6 71xSúil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtar freagra níos faide)1. Teastaíonn cóir leighis le druga ar leith ó dhuine a dtagann galar áirithe air.Is í an chothromóid C(t) 0.02t at 3 a thugann tiúchan C an druga sin i sruth na fola, tuair an chloig tar éis dáileog den druga a thógáil. Tomhaistear an tiúchan C cúig huaire anchloig tar éis an chéad dáileog a thógáil, agus 0.075 a fhaightear.(i) Faigh luach an tairisigh a.(ii) Ar feadh cé mhéad uair an chloig atá cuid den druga fós i sruth na fola?(iii) Mínigh an fáth a bhfuil graf C(t) líneach a bheag nó a mhór go dtí t 10 n-uaire an chloig.2. Déantar póstaer mór dronuilleogach a fhoroinnt ina 6 chearnóg chorcra.x m ar fad atá sleasa na gcearnóg sin. y m ar leithead atá na stiallacha aroinneann na cearnóga, mar a thaispeántar.xxy(i) Faigh achar an phóstaeir iomláin i dtéarmaí x agus y.(ii) Más féidir achar na stiallacha a roinneann na cearnóga a scríobhsan fhoirm kxy 2y 2 , faigh k.(iii) Más é 1.5 m 2 achar iomlán an chorcra, agus más é 1 m 2 acharna stiallacha a roinneann na cearnóga, faigh x agus, uaidh sin,faigh cothromóid le haghaidh x agus réitigh í.y88

3. Is éard atá le déanamh le haghaidh tionscadal idirbhliana ná bosca treisithe a dhéanamh,mar a thaispeántar sa léaráid. Seo mar atá an plean don bhosca: Gearrtar cearnóga dar slios x cm de na ceithre chúinne de phíosa dronuilleogachcairtchláir atá 48 cm faoi 96 cm. Tá línte an fhillte léirithe le línte briste. Déantar liopa a fhilleadh ansin ag a, le cairtchlár atá dhá oiread chomh tiubh.Líne an fhilltegearrthaamachLínte anfhilltegearrthaamach(a) Faigh slonn do thoirt V an bhosca oscailte.(b) Tugtar cuid de ghraf an tsloinn seo sa léaráid thíos.Toirt16000A1400012000100008000600040002000O 52000C5 10 15 20 25B30 35x(i) Cén tacar fearainn de luachanna ar x atá bailí le haghaidh an bosca seo adhéanamh?(ii) Mínigh cén fáth a bhfuil na pointí A, B agus C suntasach.(iii) Déan meastachán ón ngraf ar uastoirt an bhosca agus ar an luach ar x ag adtarlaíonn sé sin.(iv) Faigh toirt an bhosca nuair atá x 10 cm.(v) Cinntear go bhfuil 0 < x < 5 cm. Faigh an toirt is mó a d'fhéadfadh a bheith ann.(vi) Má tá 5 x 15 cm, céard é íostoirt an bhosca?(c) Is féidir achar an dromchla sheachtraigh ar an mbosca a fháil ach úsáid a bhaintas an bhfoirmleA a(b x)(c x). Faigh luach a, b agus c.89

4. Ní mór banracha breise sealadacha a chur le stáblaímarcaíochta le haghaidh seó capall a bheidh ar siúl go luath.Tá dóthain airgid ar fáil chun 120 m d'fhálú slabhrach a fháilar cíos. Is é an plean ná dhá bhanrach a dhéanamh le fál salár a bheidh i bpáirt ag an dá bhanrach.(i) Taispeáin gur féidir achar na mbanrach a léiriú leisan gcothromóid chearnachA 3_2 w2 60w, áit a seasann A don acharagus w do leithead na banraí.(ii) Faigh fréamhacha na cothromóide seo agus, uaidhsin, tarraing sceitse garbh den chuar.(iii) Tríd an gcearnóg a shlánú sa chothromóid donachar A, faigh uasachar na banraí, agus(iv) an luach ar w ag a dtarlaíonn an t-uasachar seo.(v) Uaidh sin faigh toisí an dá bhanrach.Banrach 1Banrach 25. Buailtear liathróid ghailf ó bharr tí (tee) atá 2 m arairde. Más í an chothromóid h 2 4t t 2 a thugannairde (h) na liathróide os cionn leibhéal na talún, áitarb é t an t-am agus é tomhaiste ina shoicindí,(a) déan meastachán ón ngraf(i) ar na hamanna, t, ag a bhfuil an liathróid5 m os cionn leibhéal na talún,(ii) ar an am a thógann sé ar an liathróid titimar an talamh.(b) Faigh an t-am a thógann sé ar an liathróid antalamh a shroicheadh, ceart go dtí dhá ionad dedheachúlacha.(c) Is féidir an chothromóid h 2 4t t 2 a scríobh san fhoirm q (t p) 2 i gcás gachluacha ar t, áit arb é q an pointe is airde os cionn talún a shoicheann an liathróid, ag amp. Faigh (p, q).6. Bhí tú i do bhainisteoir ar scéim chíosa rothar in ionad saoire cois farraige ar feadh antsamhraidh. Nuair a ghearr tú 12.00 sa rothar sa lá, lig tú 36 rothar ar cíos sa lá, ar meán.Le haghadh gach méadaithe de 50 cent ar an bpraghas cíosa, tháinig laghdú de 2 rothar armeán ar an líon rothar a ligeadh ar cíos sa lá.Líon isteach an tábla seo a leanas.Líon na méaduithe Praghas sa rothar Líon na rothar Ioncam iomlán (I)Méadú amháin2 mhéadú3 mhéadúx méadú ar an bpraghas12 36h(m)65432CA1B1O11 2 3 4 56 7 t(s)90

(i) Scríobh cothromóid i dtéarmaí x don ioncam I.(ii) Scríobh an chothromóid seo san fhoirm q (x p) 2 , áit arb é (p, q) uasphointe anchuair.(iii) Úsáid an fhaisnéis sin chun an t-uasioncam a fháil.(iv) Céard ba chóir duit a athrú chun an t-ioncam a mhéadú?7. Tá plean gairdín in aghaidh balla le feiceáil ar dheis.y m ar fad agus x m ar leithead atá an dronuilleogGCED. Tá imeall le bheith ag an ngairdín ag an dáthaobh. Ceathrú ciorcail a bheidh sa dá imeall.x m ar fad atá ga an chiorcail. Tá claí le tógáil feadhBCEF.(a) Scríobh slonn d'achar A an ghairdín i dtéarmaí x agus y.(b) Má tá an claí le bheith 100 m ar fad, faigh(i) y i dtéarmaí x(ii) A i dtéarmaí x(iii) an t-uasfhearann do luachanna x don achar A in (ii).BallaB GD Fx mx mx m x mCEy m(c) Faigh na luachanna ar x i gcás gairdín ar achar dó 1000 m 2 , ceart go dtí ionad amháinde dheachúlacha.(d) Déantar cinneadh an gairdín a thógáil suas go hairde ___ x m. Más é 100 m fad an chlaí,50faigh, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha,(i) an toirt V m 3 d'ithir a theastaíonn, i dtéarmaí x,(ii) an toirt d'ithir a theastaíonn le haghaidh gairdín ar achar dó 1000 m 2 ,(iii) an luach/na luachanna ar x a dteastaíonn 500 m 3 d'ithir lena (n-)aghaidh.8. Scrúdaigh an graf ar dheis.(a) Bain úsáid as an bhfaisnéis saghraf chun comhordanáidí nabpointí A(x 1 , y 1 ) agus B(x 2 , y 2 )a fháil. Tabhair do chuidfreagraí i bhfoirm surda.(b) Scríobh slonn don fhadceartingearach, d, idirna graif, i dtéarmaí x.(c) Ar aiseanna ar leith, tarraingsceitse den fhad d(x) idir andá ghraf.(d) Scríobh an chothromóid do d(x) san fhoirm y q a(x p) 2 tríd an gcearnóg ashlánú.(e) Scríobh síos comhordanáidí uasphointe (p, q) an ghraif seo agus tabhair léirmhíniúar chiall na gcomhordanáidí (p, q).(f) Faigh raon na luachanna ar d(x).y12108642dy 2xA(x 1 , y 1 )2 1 O 1 2 3 4 5 6 7B(x 2 , y 2 ) 2y (x 1)(6 x)x91

9. Scrúdaigh an cuar y √ _____x b c.(i) Má thrasnaíonn an líne y x an cuar seo sa phointe (a, a), taispeáin go bhfuila 2 a(2c 1) c 2 b 0.(ii) Más tadhlaí leis an gcuar í an líne, taispeáin go bhfuil c ______ 4b 1 .4(iii) Sceitseáil an graf y √ __ x 1_ i gcás an fhearainn 0 x 4. Léirigh an4x-idirlíne agus an y-idirlíne.(iv) Faigh na comhordanáidí ag a bhfuil an líne y x ina tadhlaí le y √ __ x 1_4 .(v) Maidir le y x k a bheith ag bualadh leis an gcuar y √ __ x 1_4luachanna ar k(a) ag a dtarlaíonn sé faoi dhó(b) ag a dtarlaíonn sé uair amháin(c) nach dtarlaíonn sé ar chor ar bith.92

Uimhreacha Coimpléascacha3 uimhir éagóimheasta slánuimhir chóimheasta neamh-athfhillteachneamhchríochta surdaí uimhir choimpléascachcomhchuingeach coimpléascach foirm pholach réadach samhailteachfoirm dhronuilleogach foirm mhodail-argóna teoirim de Moivre léaráid ArgandMír 3.1 Uimhreacha éagóimheastaSa staidéar a rinne tú ar an matamaitic go dtí seo, tá na córais uimhreacha seo feicthe agat:(i) Uimhreacha aiceanta: N {1, 2, 3, 4, } slánuimhreacha deimhneacha.(ii) Slánuimhreacha: Z {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } slánuimhreacha, uimhreachadeimhneacha agus uimhreacha diúltacha, lena n-áirítear nialas.(iii) Uimhreacha cóimheasta: Q {a_ | a, b Z, b 0}, i.e. codáin, m.sh.1_b 2 , 7_3 , ___ 3, 6_5 1 , __ 109 , ___ 42 srl.Nóta: Áirítear i dtacar Q deachúlacha is féidir a scríobh mar chodáin.Má dhéanaimid iarracht an chothromóid x 2 2 7, a réiteach, gheobhaimidx 2 7 2 5x √ __5Uimhir é √ __5 nach bhfuil san áireamh in aon cheann de na tacair uimhreacha thuas.Má úsáidtear áireamhán, feicfimid go bhfuil √ __5 2.236067978 , deachúil neamh-athfhillteach,neamhchríochta.Toisc nach féidir √ __5 a scríobh mar chóimheas (codán), deirtear gur uimhir éagóimheasta é.Samplaí d'uimhreacha éagóimheasta iad √ __2 , √ __3 , √ __5 , √ __6 , √ __7 RéadachNóta: Tá cur síos déanta againn ar na huimhreacha seo marshurdaí cheana.Tá ar cheann de na huimhreacha éagóimheasta is cáiliúla, is ésin cóimheas imlíne ciorcail lena thrastomhas. 3.141592654Ceann eile is ea uimhir Euler, e, bonnuimhir na logartam aiceanta.e 2.71828182845De nition: Sainmhíniú: Is ionann uimhir éagóimheasta agus aon réaduimhir nach féidir ashloinneadh san fhoirma_ mar ar slánuimhreacha iad a agus b, agus nach nialas é b.b ,52eQZN2021274 3 593

Ó tharla nach féidir le haon uimhir a bheith sa tacar cóimheasta agus sa tacar éagóimheasta araon, idteannta a chéile is iad tacar na n-uimhreacha aiceanta, tacar na slánuimhreacha, tacar na n-uimhreachacóimheasta agus tacar na n-uimhreacha éagóimheasta tacar rannach na Réaduimhreacha (R).Is léir go bhfuil N Z Q.Chomh maith leis sin, R \ Q an tacar uimhreacha éagóimheasta.Nóta: Ní uimhreacha éagóimheasta iad na fréamhacha cearnacha ar fad, m.sh. √ __4 2, √ __9 3 srl.Mar a léiríodh sa mhír ar shurdaí, is féidir uimhreacha éagóimheasta a shimpliú ach péire fachtóiría fháil, agus fachtóir amháin ina shlánchearnóg.M.sh. √ ___18 √ _____9 2 √ __9 √ __2 3 √ __2 .Sampla 1Simpligh gach ceann díobh seo a leanas, ag tabhairt do fhreagraí san fhoirm a √ __b , a, b Z.(i) √ ___48 √ ___75 (ii) √ ____180 √ ___20(i)(ii)√ ___48 √ ______16 3 √ ___16 √ __3 4 √ __3√ ___75 √ ______25 3 √ ___25 √ __3 5 √ __348 √ ___75 4 √ __3 5 √ __3 9 √ __3√ ____180 √ ______36 5 6 √ __5√ ___20 √ _____4 5 2 √ __5180 √ ___20 6 √ __5 2 √ __5 4 √ __5√ ___√ ____Líne atá √ __2 ar fad a thógáilCé gur deachúil neamhchríochta é √ __2 1.414214... is féidir líne atá √ __2 ar fad a thógáil ar anuimhirlíne mar a thaispeántar sa sampla seo a leanas.Sampla 2Gan ach compás agus corr dhíreach a úsáid, tóg mírlíne atá √ __2 ar fad agus uaidh sinmarcáil √ __2 ar an uimhirlíne.(i) Úsáid corr dhíreach chun mírlíne [AM]a tharraingt.(ii) Ag tosú ag A, marcáil spásanna cothroma0, 1, 2 (A, B, C) le compás.(iii) Úsáid compás chun déroinnteoiringearach a thógáil trí [AC], is ésin, tarraing líne ingearach trí B.(iv) Ceangail D agus E.DF2A0 B 1 G C 2EM94

(v) Marcáil an pointe F ar [DE] ionas go bhfuil AB BF.(vi) Úsáid A mar an lárphointe agus AF mar gha agus tarraing an stua FG chuig an uimhirlíne.(vii) Marcáil G ar an uimhirlíne, √ __2 .Cruthúnas: Féach ar an triantán ABF:|AB| 1, |BF| 1, ABF 90°Ag úsáid theoirim Phíotagarás: |AF| 2 |AB| 2 |FB| 2 |AF| 2 1 2 1 2 2 |AF| √ __2 ⇒ |AG| √ __2Nóta: Ach tógálacha den sórt céanna a úsáid, is féidir uimhreacha éagóimheasta eile a bhreacadhar an uimhirlíne.21052111 13213318Sampla 3Tóg mírlíne atá √ __3 ar fad ar an uimhirlíne.(i) Marcáil pointe A ar líne dhíreach AB.H(ii) Úsáid compás chun spásanna cothromaAJ agus JC (atá 1 aonad araon)a mharcáil feadh AB.(iii) Úsáid A mar an lárphointe agus ACmar gha agus tarraing stua.(iv) Úsáid C mar an lárphointe agus CAmar gha agus tarraing stua.AJOC1K3B(v) Ceangail pointí trasnaithe na stuannaHI.I(vi) Ónár dteoirimí céimseatan, tá a fhiosagainn go bhfuil HI ingearach le ABagus go ndéroinneann sé [AC] ag J.Féach ar an triantán AJH.95

|AJ| 1, |AH| 2, AJH 90° |AH| 2 |AJ| 2 |JH| 2 ag úsáid theoirim Phíotagarás 2 2 1 2 |JH| 2 4 1 |JH| 2 3 |JH| 2 JH √ __3Úsáid J mar an lárphointe agus JH mar gha agus tarraing stua HK a dhéroinneann an línechothrománach ag K. |JK| √ __3Cleachtadh 3.11. Trí fhachtóirí a fháil, agus ceann amháin ina shlánchearnóg, scríobh iad seo a leanas sanfhoirm is simplí:(i) √ ___18 (ii) √ ___12 (iii) √ ___45 (iv) √ ___282. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas, ag tabhairt do fhreagraí san fhoirm a √ __b , a, b Z.(i) √ ___18 √ ___50 (ii) √ ___48 √ ____1473. Más rud é gur tacar uimhreacha aiceanta é N,gur tacar slánuimhreacha é Z,gur tacar uimhreacha cóimheasta é Q,agus gur tacar réaduimhreacha é R tabhair dhá bhall de gach ceann de na tacair seo a leanas:(i) Z \ N (ii) Q \ Z (iii) R \ Q4. Déan cur síos i bhfocail ar na tacair seo a leanas:(i) Z (ii) Q \ Z (iii) Q \ N (iv) R \ Z (v) R \ Q5. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas, ag fágáil do fhreagraí san fhoirm a √ __b , a, b Z:(i) √ ____125 √ ___20 (ii) √ ___32 √ ___18 √ __8(iii) 3 √ __8 5 √ __2 (iv) 4 √ ___18 2 √ ___27 3 √ __3 √ ____2886. Úsáid compás agus corr dhíreach chun dhá mhírlíne atá 12 cm ar fad a thógáil.Marcáil gach mírlíne in aonaid de 4 cm (0, 1, 2, 3).Ar na huimhirlínte sin, marcáil pointe(i) √ __3 aonad ó 0 (ii) √ __2 aonad ó 0.7. Scríobh √ ___18 san fhoirm a √ __2 agus uaidh sin tarraing líne atá √ ___18 ar fad.8. Scríobh √ ___12 san fhoirm a √ __3 agus uaidh sin tarraing líne atá √ ___12 ar fad.9. Má thugtar mírlíne [AB] atá √ __2 , ar fad, déan cur 2síos ar an gcaoi le mírlíne atá √ __3 ar fad a thógáilgan ach compás agus corr dhíreach a úsáid.0(A)1(B)96

10. Faigh fad imlíne an triantáin seo.Bíodh do fhreagra san fhoirm a √ __b , a, b N .11. Cé acu díobh seo a leanas ar uimhreacha éagóimheasta iad:√ __3 , ,1_3 , e , 0 , 5 √ __ 222 , __7 , √ ___3645 208012. Faigh fad na sleasa a, b, c, d, e, f agus g.111dcb11fea111gCé acu de na faid seo nach uimhir éagóimheasta é?13. Tá uillinn 45° leis an gcothromán ag staighre.A2 2 mMá tá bonn an staighre 2 √ __2 m, ar fad, mar a thaispeántar, faigh fad an chairpéid atheastaíonn chun an staighre a chlúdach ó A go B. Tabhair do fhreagra san fhoirm a √ __2 .Dá méadófaí uillinn an staighre go 60°, faigh amach cé mhéad cairpéad breise a theastódh.Tabhair do fhreagra san fhoirm 2( __√ a √ __b ).14. (i) Scríobh síos luach amháin do x a d'fhágfadh an slonn √ _____3 x cóimheasta.(ii) Déan cur síos i bhfocail ar an tacar luachanna do x a d'fhágfadh an slonn √ _____3 xcóimheasta.45°B97

Mír 3.2 Uimhreacha coimpléascachaChun cothromóid ar nós x 2 9 0 a réiteach, d'fhéadfaimis tabhairt faoi mar seo:x 2 9 0x 2 9x √ __9 3Ach má tá x 2 9 0x 2 9x √ ___9agus toisc nach bhfuil 9 ina thoradh ar aon réaduimhir atá iolraithefúithi féin, ní féidir le haon réaduimhir an chothromóid seo a shásamh.Chun déileáil le fréamh chearnach uimhreach diúltaí, cruthaítear uimhir nua √ ___1 .i a thugtar ar an uimhir sin.Uaidh sin,√ ___9 √ _______9 1 √ __9 √ ___1 3i.Ar an gcaoi chéanna, √ ____16 √ ________16 1 √ ___16 √ ___1 4iagus√ ___5 √ _______5 1 √ __5 √ ___1 √ __5 i.Uimhreacha samhailteacha a thugtar ar na fréamhacha cearnacha atá ag uimhreacha diúltachaagus scríobhtar san fhoirm bi iad, mar ar réaduimhir é b, m.sh. 3i.Sampla 1Réitigh an chothromóid x 2 25 0.x 2 25 0x 2 25x √ ____25 √ ________25 1 √ ___25 √ ___1x 5ii √ ___1⇒ i 2 1Sampla 2Réitigh an chothromóid x 2 2x 2 0.Nuair a úsáidtear foirmle na cothromóide cearnaí, tá a 1, b 2, c 2.b √ ________bUaidh sin, x _______________2 4ac2a2 √ ___________2 2 4( 1)(2)x __________________2(1)x 2 √ _____________ 42 √ _____________________ 4 1 ________ 2 2i222x 1 iDá bhrí sin, x 1 i , 1 i.98

Uimhreacha coimpléascacha a thugtar ar uimhreacha ar nós 1 i agus léirítear iad leis anlitir z de ghnáth.Tá dhá chuid (thoise) ag uimhir choimpléascach ar nós z 3 6i: cuid réadach aguscuid shamhailteach.Is é an chéad chuid den uimhir choimpléascach seo ná an tairiseach réadach 3.Tá an dara cuid den uimhir choimpléascach seo samhailteach; an tairiseach réadach 6 iolraithe faoi i.Tagraítear do 3 mar an chuid réadach agus scríobhtar marRe(z) 3 é.Tagraítear do 6 mar an chuid shamhailteach agus scríobhtarmar Im(z) 6 é.Cuireann C an tacar uimhreacha coimpléascacha in iúl.Uimhir choimpléascach (z) Cuid réadach, Re(z) Cuid shamhailteach, Im(z)4 3i 4 33 i 3 15 5 02i 0 23 √ __5 i 3 √ __5Uimhreacha coimpléascacha a shuimiú agus a dhealúNuair atá uimhreacha coimpléascacha á suimiú nó á ndealú, suimímid (nó dealaímid) na codannaréadacha agus samhailteacha leo féin.Mar shampla:(i) (4 3i) (3 2i) 4 3i 3 2i (4 3) (3i 2i) 7 i(ii) (3 7i) (4 5i) 3 7i 4 5i 3 4 7i 5i 1 12iUimhreacha coimpléascacha a iolrúMar shampla: (i) (3 5i)(4 3i) 3(4 3i) 5i(4 3i) 12 9i 20i 15i 2 12 9i 20i 15(1) 12 9i 20i 15 12 15 9i 20i 27 11i(ii) (2 4i)(2 4i) 2(2 4i) 4i(2 4i) 4 8i 8i 16i 2 4 16(1) 20Uimhir choimpléascach (z):z x iyRe(z) x agus Im(z) yi 2 199

Sampla 3Má tá z 1 2 3i, z 2 3 4i agus z 3 1 5i, sloinn gach ceann de na huimhreachacoimpléascacha seo a leanas san fhoirm a bi.(i) z 1 z 3 (ii) z 2 .z 3 (iii) z 1 (z 2 z 3 )(i) z 1 z 3 2 3i 1 5i 2 1 3i 5i 3 8i(ii) z 2 .z 3 (3 4i)(1 5i) 3 15i 4i 20i 2 3 20 15i 4i 23 11i(iii) z 1 (z 2 z 3 ) (2 3i)(3 4i 1 5i) (2 3i)(4 i) 8 2i 12i 3i 2 8 3 2i 12i 3i 2 3 5 14iCleachtadh 3.21. Scríobh gach ceann de na huimhreacha seo a leanas i dtéarmaí i:(i) √ ___4(ii) √ ____36 (iii) √ ____27(iv) √ ____202. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas, ag tabhairt do fhreagraí san fhoirm bi,mar ar réaduimhir é b.(i) x 2 9 0 (ii) x 2 12 03. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi:(i) (3 2i) (5 i) (ii) (7 2i) (3 4i) (iii) (3 4i) (6 4i)(iv) (3 i) (2 6i) (v) (5 3i) (5 6i) (vi) (1 i) (2 3i)4. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas:(i) (2 6i) (1 4i) (ii) (3 5i) (2 4i) (iii) (4 7i) (1 3i)(iv) 3 (1 4i) (v) (3 6i) 4i (vi) (3 2i) (4 7i)5. Iolraigh gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas agus tabhair dofhreagraí san fhoirm a bi, a, b R:(i) (3 2i)(2 3i) (ii) (4 i)(3 5i) (iii) (5 2i)(3 5i)(iv) (3 4i)(3 4i) (v) (5 i) (5 i) (vi) (3 2i) 26. Má tá z 1 2 4i, z 2 3 i agus z 3 4 2i, sloinn gach ceann díobh seo a leanas sanfhoirm a bi, a, b R.(i) 3z 1 (ii) z 2 z 3 (iii) 2z 1 z 2 (iv) 3z 2(v) z 1 .z 2 (vi) z 2 .z 3 (vii) i(z 3 ) (viii) z 2 (z 1 z 2 )100

7. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas le foirmle nacothromóide cearnaí agus tabhair do fhreagraí san fhoirm a bi,a, b R:(i) x 2 2x 17 0 (ii) x 2 4x 13 0(iii) x 2 10x 26 0 (iv) x 2 8x 52 0b √ _______________________ bx 2 4ac2a8. Réitigh an chothromóid 2z 2 8z 9 0.9. Críochnaigh an tábla, má tá i √ ___1 agus i 2 1.i i 1 ii i i 2 1i i i i 3 i i i i i 4 i i i i i i 5 i i i i i i i 6 Déan cur síos ar an bpatrún a chruthaíonn an seicheamh seo.Cén straitéis a d'fhéadfaí a úsáid chun i n , n N? [m.sh., i 32 .]10. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas:(i) i 30 (ii) i 11 (iii) i 19 (iv) i 21 (v) i 411. Simpligh iad seo a leanas:(i) i 16 i 10 i 6 i 12 (ii) i 3 i 11 i 17 i 2912. Simpligh iad seo a leanas:(i) i 2 .i 6 .i 5 (ii) 3i 3 .2i 5 .4i 2 (iii) (2i 7 ) 313. Scríobh 4i 3 7i 9 san fhoirm bi mar a bhfuil b Z.Mír 3.3 Uimhreacha coimpléascacha a roinntIs féidir uimhreacha coimpléascacha a roinnt ar réaduimhir mar seo a leanas.2 5i ______22__2 5 __2 i 1 5 __2 iChun uimhir choimpléascach a roinnt ar uimhir choimpléascach eile, caithfimid an t-ainmneoir aathrú go réaduimhir trí chomhchuingeach coimpléascach a úsáid.Comhchuingeach coimpléascachMá thógtar aon uimhir choimpléascach z a bi, ansin is é comhchuingeach coimpléascach zná a bi. Is mar seo a scríobhtar an comhchuingeach coimpléascach: _ zMar shampla, má tá z 3 4i,ansin tá _ z 3 4i, mar ar comhchuingeach coimpléascach z é _ z .101

Toradh z. _ z (3 4i)(3 4i) 9 12i 12i 16i 2 9 16 25, réaduimhirNóta: z _ zComhchuingeach coimpléascach: Má tá z a bi,ansin tá _ z a ib agus z _ 3 7i 3 7iz (a bi)(a bi)2 4i 2 4i a 2 b 2 3 i 3 iTríd an gcomhchuingeach coimpléascach a úsáid, féadaimid uimhreacha coimpléascacha a roinntmar a thaispeántar sa sampla seo a leanas.Sampla 1Sloinn 3 4i ______2 5isan fhoirm a bi.4i4i______ 3 4i2 5i ______ 3 4i2 5i ______ 2 5i2 5i6 15i 8i 20i 2__________________4 10i 10i 25i 26 23i 20____________4 2514 23i __________29ó tharla go bhfuil i 2 1 ___ 1429 ___ 23i29Uimhreacha coimpléascacha a bheith cothromMá tá dhá uimhir choimpléascacha le bheith cothrom, caithfidh a gcodanna réadacha a bheithcothrom agus caithfidh a gcodanna samhailteacha a bheith cothrom.Má tá (x 2) 4i 6 (y 2)i,tá x 2 6 agus 4 y 2⇒ x 4 agus6 yMá tá a bi x yi,tá a x agus b y102

Sampla 2Faigh x agus y má tá x 2i 2(3 5yi) 8 13i.x 2i 2(3 5yi) 8 13i⇒ x 2i 6 10yi 8 13i⇒ x 6 (2 10y)i 8 13iCothromaímid na codanna réadacha:x 6 8x 2Cothromaímid na codanna samhailteacha:2 10y 13 10y 1510y 15y __ 1510 3_2Sampla 3Má tá (z 1)(2 i) 3 4i, faigh z san fhoirm x yi, mar a bhfuil x, y R.(z 1)(2 i) 3 4i⇒ z 1 ______ 3 4i2 i _____ 2 i2 i ______ 3 4i2 i _____ 2 i2 i _______________6 3i 8i 4i 24 2i 2i i 2 _______ 10 5i5z 1 2 i z 2 i 1 1 iSampla 4SloinnBíodh√ _______5 12i san fhoirm a bi, mar a bhfuil a, b R.a bi √ _______5 12i(a bi) 2 5 12i⇒ a 2 2abi b 2 i 2 5 12i⇒ a 2 b 2 2abi 5 12i a 2 b 2 5 agus 2ab 12⇒ a ___ 122b __ 6 b103

__( b) 6 2 b 2 56 2 b 4 5b 2⇒ b 4 5b 2 36 0(b 2 9)(b 2 4) 0 ⇒ b 2 9 nó b 2 4b √ ___9 b 2b 3iÓ tharla go bhfuil a 6 __b , nuair atá b 2, a 6 __2 3nuair atá b 2, a ___ 62 3 √ _______5 12i (3 2i) nó (3 2i)[Nóta: b 3i ó tharla go bhfuil b R]Cleachtadh 3.31. Scríobh síos comhchuingeach coimpléascach na n-uimhreacha coimpléascacha seo a leanas.(i) 3 4i (ii) 2 6i (iii) 5 2i (iv) 8 3i2. Tugtar z, mar sin faigh _ z sna cásanna seo a leanas.(i) z 2 5i (ii) z 3 4i (iii) z 1 7i (iv) z 5 i3. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi, mar a bhfuil a, b R:(i)2 3i ______4 i(ii)4 3i ______5 i(iii)8 i ______2 3i(iv)2 5i ________3 2i4. Má tá z 2 6i, sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi, mar a bhfuila, b R:(i) z. _ z (ii) z _ z (iii) z _ z (iv) z 25. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas.(i)(iii)(v)(3 4i) (2 i)________________4 i3(2 4i) ________5i(3 2i)(1 i)_____________2 4i(ii)(iv)(vi)(2 6i) (3 2i)_________________2 2i(2 i) (3 2i)________________(4 i) (3 2i)(3 i)(2 i)____________(4 i)(2 i)6. Faigh luach x agus luach y i ngach ceann díobh seo a leanas:(i) x yi 4 2i (ii) x yi (2 i)(3 2i)(iii) x yi _____ 7 i2 i(iv) x yi (2 3i) 2104

7. Faigh luach a agus luach b i ngach ceann díobh seo a leanas:(i) a bi 3 2i 4(2 5i)(ii) a (1 2i) b(3 4i) 58. Má tá z x yi agus 3(z 1) i(3 i), faigh luach x agus luach y.9. Más dhá uimhir choimpléascacha iad z 1 3 4i agusz 2 1 2i agus má tá z 1 (p iq)z 2 0 mar a bhfuil p, q R,faigh luach p agus luach q.Nod: 0 0 0i10. Má tá z √ ______3 4i , faigh z san fhoirm a bi, mar a bhfuil a, b R.11. Má tá (x iy) 2 8 6i, faigh luach x agus luach y, x, y R.12. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi, a, b R:(i) √ __________12 16i(ii) √ _________15 8i(iii) √ _______9 40i13. Má tá z 1 2 3i agus z 2 1 5i, faigh(i) ______z 1 z 2(ii) ____ z 1 z 2Mír 3.4 Léaráid Argand – ModalTugann an léaráid Argand léiriú céimseatúil d'uimhir choimpléascach mar phointe ar an bplánacoimpléascach.Is féidir réaduimhreacha a bhreacadh ar uimhirlíne amháin ach i gcás uimhreacha coimpléascacha, abhfuil dhá chuid - cuid réadach agus cuid shamhailteach - acu, teastaíonn plána pointí chun iad a léiriú.Tá an plána coimpléascach cosúil leis an bplánaCairtéiseach, leis an gcuid réadach Re(z) denuimhir choimpléascach á léiriú ag an x-ais agusan chuid shamhailteach Im(z) á léiriú ag an y-ais.Sa léaráid seo tá na huimhreacha coimpléascacha aleanas breactha againn:(i) z 1 5 2i(ii) z 2 0 4i 4i(iii) z 3 2 0i 2(iv) z 4 2 4i(v) _ z 1 5 2i2 4iIm(z)04i25 2iRe(z)5 2iModal uimhreach coimpléascaíCiallaíonn modal uimhreach coimpléascaí an fad ón mbunphointe go dtí an pointe ar an bplána aléiríonn an uimhir.105

3 4i04 3iTugtar modal z 1 3 4i mar seo:|z 1 | √ _______3 2 4 2 √ ___25 5Tabhair faoi deara gurb é modal z 2 4 3i:|z 2 | √ _____________(4) 2 (3) 2 √ ______16 9 √ ___25 5Má tá z a bi, is mar seo ascríobhtar modal z ( z):|z| √ _______a 2 b 2 .Taispeánann sé seo go bhfuil modail chothroma ag 3 4i agus 4 3i agus uaidh sin go bhfuilsiad ar imlíne an chiorcail chéanna.Sampla 1Má tá z 1 4 i agus z 2 2 2i, breac iad seo a leanas ar léaráid Argand:0 , z 1 , z 2 agus (z 1 z 2 ).Chomh maith leis sin, ríomh z 1 , z 2 agus z 1 z 2 .An bhfuil |z 1 | |z 2 | |z 1 z 2 | ?z 1 4 i ⇒ |z 1 | √ _______4 2 1 2 √ ___17z 2 2 2i ⇒ |z 2 | √ ___________(2) 2 (2) 2 √ _____4 4 √ __8z 1 z 2 4 i (2 2i) 2 3i|z 1 z 2 | √ _______2 2 3 2 √ ___13⇒ |z 1 | |z 2 | √ ___17 √ __8|z 1 z 2 | √ ___13⇒ |z 1 | |z 2 | |z 1 z 2 |.Im(z)z 2z 1 z 20z 1Re(z)106

Cleachtadh 3.41. Breac gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas ar léaráid Argand:(i) z 1 3 5i (ii) z 2 3 i (iii) z 3 5i (iv) z 4 1 3i2. Má tá z 1 2 i agus z 2 4 3i, breac na huimhreacha seo a leanas ar léaráid Argand:(i) z 1 (ii) z 2 (iii) _ z 1 (iv) _ z 2z(v) z 1 z 2 (vi) z 1 z 2 (vii) z 1 z 2 (viii) __ 1z 23. Má tá z 1 3 i agus z 2 2 4i, breac na huimhreacha seo a leanas ar léaráid Argand:(i) z 1 . _ z 1 (ii) z 1 _ z 1 (iii)1__z 1(iv) z 1 z 24. (a) Má tá z 1 3 i agus z 2 1 3i, breac na huimhreacha z 1 , z 2 agus z 1 z 2 ar léaráidArgand. Ceangail na pointí 0, z 1 , z 2 , agus z 1 z 2 .(b) Má tá z 3 2 2i agus z 4 1 4i, breac na huimhreacha z 3 , z 4 agus z 3 z 4 arléaráid Argand. Ceangail na pointí 0, z 3 , z 4 , agus z 3 z 4 .(c) Cén tuairim chéimseatúil is féidir leat a thabhairt faoin ngaol idir 0, z 1 , z 2 , agus z 1 z 2 ?5. Má tá z 1 3i, breac gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas arléaráid Argand:(i) 2 (ii) 2 z (iii) 3i (iv) 3i z(v) 1 i (vi) 1 i z (vii) 3i z (viii) 2 i zCén tuairim chéimseatúil is féidir a thabhairt faoin uimhir choimpléascach chéanna z ashuimiú le huimhreacha coimpléascacha eile?6. Má tá z 3 2i, faigh gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas sanfhoirm a bi:(i) iz (ii) i 2 z (iii) i 3 zBreac na huimhreacha coimpléascacha z , iz , i 2 z , i 3 z.7. Faigh modal na n-uimhreacha coimpléascacha seo a leanas:(i) 5 2i (ii) 4 2i (iii) 2 4i (iv) 3 i8. Breac an uimhir z 1 2 5i.Scríobh síos trí uimhir choimpléascacha dhifriúla a bhfuil an modal céanna le z 1 acu.9. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:(i) ________ 3 i|2 3i| (ii) |(4 2i)(3 i) | (iii) |______ 13 5i|10. Má tá z 1 2 3i agus z 2 3 i, faigh an uimhir choimpléascach __ z 1.z 2|zImscrúdaigh an bhfuil ___ 1 ||z 2 | | __ z 1z 2|107

11. Tá na huimhreacha coimpléascacha u, v agus w gaolta mar gheall ar an gcothromóid1__u __ 1v __ 1w .Má tá v 3 4i agus w 4 3i, faigh u san fhoirm x yi.12. Má tá z 4 2i, faigh z, 2z agus 3z. An bhfuil 2z 2z?Mínigh do fhreagra.13. Imscrúdaigh an bhfuil |z| | _ z | i gcás gach z C.14. Bíodh z 1 s 8i agus z 2 t 8i, mar a bhfuil s, t R agus i 2 1.(i) Má tá z 1 10, faigh luach s.(ii) Má tá z 2 2z 1 , faigh luach t.15. Faigh modali _____1 i .16. Déan cur síos ar an tacar réiteach do z 1z 1 1.17. Tugtar dhá uimhir choimpléascacha ar bith z 1 agus z 2 mar a thaispeántar.Léirigh z 1 , z 2 agus (z 1 z 2 ) ar léaráid Argand.Cé na coinníollacha a theastódh ionas go mbeadh z 1 z 2 z 1 z 2 ?Im(z)TFC: Úsáid bogearraí ríomhaireachta ar nósGeoGebra chun ceist 17 a imscrúdú. Tóg any-ais mar an ais shamhailteach. Úsáid feidhman pholagáin chun 0, z 1 , z 2 agus (z 1 z 2 ) abhreacadh mar chomhthreomharán. Trí (z 1 z 2 )a bhogadh, imscrúdaigh na coinníollacha atheastódh ionas go mbeadh z 1 z 2 z 1 z 2 .z 20z 1Re(z)Mír 3.5 Claochluithe uimhreacha coimpléascacha1. Uimhir choimpléascach a iolrú faoi réaduimhirMá iolraítear an uimhir choimpléascach z 1 3 2ifaoi 4, faighimid 4z 1 4(3 2i) 12 8i.Méadaítear an chuid réadach de réir fachtóir 4 agusméadaítear an chuid shamhailteach de réir fachtóir 4 freisin.Is cosúil go bhfuil an uimhir choimpléascach ritefeadh líne ón mbunphointe de réir fachtóir 4.Mar shampla, mapáiltear 3 2i ar 12 8i.y864z 2 1 2i200(4)4z 2 4 8i(4)z 1 3 2i2 4 64z 1 12 8i8 10 12x108

5 6i2.5 3i1(2)y6543215 4 3 2 1O3 i 13 i1 2 3 x(1)Má iolraítear an uimhir choimpléascach faoi 1 2, tarlaíonn crapadh.Mar shampla, mapáiltear (-5 6i ) ar 2.5 3i.Má iolraítear faoi (-1) athraítear an treo, is é sin, frithchaitear an uimhir tríd anmbunphointe. Mar shampla, mapáiltear (3 i) x (1) ar 3 i.Má tá z x iy, tá na torthaí seo a leanas ag an gclaochlú az:(i) a > 1, ríochan ón mbunphointe mar thoradh air(ii) 0 < a < 1, crapadh i dtreo an bhunphointe mar thoradh air(iii) a < 0, frithchaitear az sa bhunphointe agus rítear nó craptar é mar atá in (i) nó in (ii)2. Uimhreacha coimpléascacha a shuimiú(i) Nuair a shuimítear uimhir choimpléascach z arleithligh le huimhreacha coimpléascacha eile z 1 , z 2 , z 3 cruthaíonn sé aistriú de chuid an phlána.Bíodh z 2 3iagus z 1 3 2i, z 2 1 4i, z 3 2 2i.Ansin z z 1 2 3i 3 2i 1 5iz z 2 2 3i 1 4i 1 7iz z 3 2 3i 2 2i iy1 7i76542 3i3211 4i3 2iTabhair faoi deara go n-aistríonn an uimhirchoimpléascach z 1 go z 1 z.3 2 1O121 2 3 42 2ixAistriú a mhapálann z 1z 1 z(ii) Nuair a shuimítear z 1 le z 2 chun an uimhir choimpléascach nua (z 1 z 2 ) a chruthú,cruthaíonn na trí uimhir choimpléascacha comhthreomharán leis an mbunphointe (0 0i).109

Bíodh z 1 2 2i agus z 2 3 2i,ansin z 1 z 2 2 2i 3 2i 1 4i.Cruthaíonn 0 0i, 2 2i,3 2i agus 1 4icomhthreomharán, mar athaispeántar.z 1 2 2iy43214 3 2 1 Oz 1 z 2 (2 2i) (3 2i) 1 4iz 2 3 2i1 2 3 4 x3. Uimhreacha coimpléascacha a iolrú(i) Nuair a iolraítear uimhir choimpléascach ar nós4 i faoi i, déantar an uimhir choimpléascacha rothlú ceathrú casaidh tuathal thart ar anmbunphointe.Mar shampla, (4 i).i 4i i 21 4i 14 3 2 1 1 4iO4 i 1 rothlú 90°2Chomh maith leis sin, (4 i)(i 2 ) (4 i)(i)(i)3Nóta: (4 i)(i) 4i i 2(1 4i)(i) i 4i 2 4i 1 i 4 1 4i rothlú 90° 4 i rothlú 180°z i , rothlaíonn z 90°z (i) 2 , rothlaíonn z 180°z (i) 3 , rothlaíonn z 270°z (i) 4 , rothlaíonn z 360°z (i) , rothlaíonn z (-90°)(ii) Nuair a iolraítear z 1 2 i faoi z 2 3 i, is féidir an toradh a fheiceáil mar chumascde chlaochlú rite agus de chlaochlú rothlaithe mar seo a leanas:z 1 z 2 (2 i)(3 i) 2(3 i) i(3 i)Cruthaíonn 2(3 i) éifeacht rite ó(3 i) go 6 2i.Cruthaíonn i(3 i) rothlú 90° ó(3 i) go 1 3i.2(3 i) i(3 i) 6 2i 3i 1 5 5iCumasc den dá chlaochlú é seo.1 3i1 4iy543214 3 2 1 O123y43241 2 3 43 i5 5i1 2 3 4 5 6 74 ix6 2ix110

Sampla 1(i) Breac na huimhreacha coimpléascacha z 1 3 2i, z 2 3 3i, z 3 4 2iar an léaráid Argand.(ii) Úsáid na haiseanna céanna chun na huimhreacha coimpléascacha 3z 1 , 3z 2 agus 3z 3a bhreacadh.(iii) Breac an rothlú z 1 (i) 2 , z 2 (i) 2 agus z 3 (i) 2 .(iv) Íomhánna de z 1 , z 2 , z 3 tríd an aistriú a bi iad na huimhreacha coimpléascacha4 i, 4, 5 i. Faigh luach a agus luach b.(i)Im(z)9876543213 3i3 2i 4 2i9 6i9 9i(3)12 6i5 4 3 2 1 O13 2i4 2i23 3i31 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 124 i 5 iRe(z)(ii) Má tá z 1 3 2i , 3z 1 9 6iMá tá z 2 3 3i , 3z 2 9 9iMá tá z 3 4 2i , 3z 3 12 6i(iii) z 1 (i) 2 (3 2i)(1) 3 2iz 2 (i) 2 (3 3i)(1) 3 3iz 3 (i) 2 (4 2i)(1) 4 2i(iv)z 1 a bi 4 ia bi 4 i z 1a bi 4 i (3 2i) 1 3i⇒ a 1, b 3[Ag seiceáil z 3 : 4 2i (1 3i) 5 i atá ceart. ]111

Sampla 2Déan cur síos ar an gclaochlú i ngachceann díobh seo a leanas:(i) z 1 , z 2 z 3 , z 4(ii) z 1 , z 2 z 5 , z 6Réiteach:(i) z 1 , z 2 z 3 , z 4crapadh 1 2 z 3 ( 1_2 ) z 1(ii) z 1 , z 2 z 5 , z 6rothlú 90° deiseal z 5 (i) z 1z 2z 1Im(z)6z 4543z 32z 5 z 612 1O1 2 3 4 5 6Re(z)Cleachtadh 3.51. Breac na huimhreacha coimpléascacha z 1 1 i, z 2 3 2i, z 3 4 i ar léaráid Argand.Ar an léaráid chéanna, breac na huimhreacha coimpléascacha 3z 1 , 3z 2 , 3z 3 .2. Má tá z 1 2 i, breac na huimhreacha coimpléascacha 3z 1 , 3z 1 , 4z 1 agus 2z 1 ar an léaráidArgand chéanna.Sonraigh an ghné atá i bpáirt ag na pointí z 1 , 3z 1 , 4z 1 agus 2z 1 ar fad.Déan cur síos ar an éifeacht atá ag iolrú, faoi réaduimhir, ar na huimhreacha coimpléascacha seo.3. Scríobh síos na huimhreacha coimpléascacha a léiríonn na litreacha A, B, C, D, E, F, N.Dy5432N1ABC5 4 3 2 1O12F E1 2x(i) Cén claochlú sa phlána coimpléascach a bhogann an triantán ABC ar DEF?(ii) Déan cóip den léaráid seo agus cuir íomhá ABC faoin gclaochlú (ABC)(i) in iúl.(iii) Cén rothlú agus claochlú ina dhiaidh a theastaíonn chun ABC a chlaochlú ar DEN?4. Breac na huimhreacha coimpléascacha z 1 4 i, z 2 7 2i, z 3 5 5i.Má tá w 3 4i, breac na huimhreacha coimpléascacha z 1 w, z 2 w, z 3 w.Sonraigh an claochlú a chruthaítear anseo.112

5. Breac na huimhreacha coimpléascacha (i) z 1 6 2i (ii) z 2 (z 1 )i (iii) z 3 (z 1 )i 2 .Cén claochlú a chruthaíonn an t-iolrú seo?6. Má tá(i) z 2 a z 1 , faigh luach a(ii) z 3 b z 1 , faigh luach b(iii) z 4 c z 1 , faigh luach c.Im(z)z62543z2 1z 313 2 1 O 1 2 3 Re(z)1z 427. Déan cóip den léaráid seo agus breac anuimhir choimpléascach w.Breac an uimhir choimpléascach w, agusuaidh sin breac an uimhir choimpléascach z w.Im(z)654321(z w) 3 6iz 4 2i2 1O1 2 3 4 5Re(z)8. Déan cur síos ar gach ceann de na claochluithe seo a leanas ar an bplána coimpléascach.(i) z z k, mar a bhfuil k a bi.(ii) z k z, mar a bhfuil k R, k 0.(iii) z k z, mar a bhfuil k C, k 0.9. Seasann na huimhreacha z 1 , z 2 , z 3 , z 4do dhronuilleog ar an bplánacoimpléascach.Déan cóip den léaráid seo agus marcáilíomhá na dronuilleoige seo ar an léaráidfaoi na claochluithe seo a leanas(i) z 2 z,(ii) z (i) z(iii) z (2 i) zIm(z)9876543215 4 3 2 1 O123z 3 z 2z 4 z 11 2 3 4 5Re(z)113

10. Taispeántar sa léaráid triantán a chruthaíonn na huimhreacha coimpléascacha z 1 , z 2 , z 3 .Im(z)654321z 1z 2z 3Re(z)9 8 7 6 5 4 3 2 1 O1234561 2 3114Déan cur síos ar na claochluithe a theastaíonn chun na triantáin eile a chruthú.Mír 3.6 Teoirim na bhfréamhacha comhchuingeachaNuair atáthar ag plé le huimhreacha coimpléascacha, úsáidtear z in áit x mar athróg de ghnáth.Ansin bíonn an chothromóid chearnach san fhoirm az 2 bz c 0.Féach ar an gcothromóid chearnach z 2 2z 2 0.Agus foirmle na cothromóide cearnaí in úsáid, tá a 1, b 2 agus c 2.⇒ z b √ _______________________ b 2 4ac2a2 √___________2 2 4(1)(2) __________________2(1) 2 √ _____________ 4 ________ 2 2i 1 i22Is iad fréamhacha na cothromóide seo z 1 1 i agus z 2 1 i.Tabhair faoi deara gur comhchuingigh choimpléascacha a chéile iad seo.Suim na bhfréamhacha (1 i) (1 i) 2 (réaduimhir).Toradh na bhfréamhacha (1 i)(1 i) 1 i i i 2 1 1 2 (réaduimhir). z 2 (Suim na bhfréamhacha)z (Toradh na bhfréamhacha) z 2 (2)z 2 0 z 2 2z 2 0.Dá bhrí sin, is ina bpéirí comhchuingeacha a bhíonn fréamhacha cothromóide cearnaí a bhfuilcomhéifeachtaí réadacha aici.

Sampla 1Más fréamh de chuid na cothromóide az 2 bz c 0 é z 1 5i, mar a bhfuila, b, c R, faigh luachanna a, b, c.Más fréamh amháin é 1 5i agus ó tharla go bhfuil na comhéifeachtaí réadach, dábhrí sin bíonn na fréamhacha i bpéirí comhchuingeacha; is é 1 5i an fhréamh eile. is iad 1 5i agus 1 5i an dá fhréamh z 2 (Suim na bhfréamhacha)z Toradh na bhfréamhacha 0⇒ z 2 (1 5i 1 5i)z (1 5i)(1 5i) 0⇒ z 2 2z 1 5i 5i 25i 2 0z 2 2z 26 0 a 1, b 2 agus c 26Sampla 2Más fréamh de z 2 4z 5 0 é z 2 i, taispeáin gur fréamh é _ z freisin.z 2 i ⇒ _ z 2 iÓ tharla go bhfuil f (z) z 2 4z 5 0⇒ f (2 i) (2 i) 2 4(2 i) 5 4 4i i 2 8 4i 5 4 1 8 5 0 2 i is fréamh é 2 i de z 2 4z 5 0 freisin.Anois déanaimid an toradh seo a ghinearálú chun gach iltéarmach a bhfuil comhéifeacht réadachaige a áireamh agus teoirim na bhfréamhacha comhchuingeacha a lua mar seo a leanas:Teoirim na bhfréamhacha comhchuingeachaMás fréamh de chuid na cothromóide az n bz n1 . dz c 0 é z, nuair atáa, b, c, d, ... uile R, ansin is fréamh é _ z freisin den chothromóid seo.Sampla 3Más fréamh de z 3 z 2 3z 5 0 é z 1 2i, taispeáin gur fréamh é _ z freisin.Uaidh sin faigh an tríú fréamh.Ó tharla go bhfuil na comhéifeachtaí réadach, is fréamh é z 1 2i⇒is fréamh é _ z 1 2i freisin.115

Cruthúnas: f (z) z 3 z 2 3z 5f (1 2i) (1 2i) 3 (1 2i) 2 3(1 2i) 5 11 2i (3 4i) 3 6i 5 11 2i 3 4i 3 6i 5 0 is fréamh é 1 2i freisin.Más fréamhacha iad 1 2i agus 1 2i ⇒ z 2 (1 2i 1 2i)z (1 2i)(1 2i) 0⇒ is cothromóid chearnach é z 2 2z 5 0a dhéantar le péire de na fréamhacha. Is féidir an tríú fachtóir a fháil tríd an slonn ciúbach a roinnt ar an slonncearnach.z 1nó (z a)(z 2 2z 5)________________z 2 2z 5 ) z 3 z 2 3z 5 z 3 z 2 3z 5z 3 2z 2 5zz 2 2z 5⇒ 5a 5 cothromú comhéifeachtaíz 2 2z 5a 10 z 1 0agus is é z 1 an tríú fréamh.Cleachtadh 3.61. Taispeáin gurb é 2 4i fréamh na cothromóide z 2 4z 20 0, agus scríobh síos andara fréamh.2. Réitigh na cothromóidí seo, ag tabhairt do fhreagraí san fhoirm a bi, a, b R.(i) z 2 2z 17 0 (ii) z 2 4z 7 03. Déan cothromóid chearnach, nuair atá péire fréamhacha agat do gach cás.(i) 1 3i (ii) 2 i (iii) 4 2i (iv) 5i4. Más fréamh de z 2 8z 17 0 é z 4 i, taispeáin gur fréamh é _ z freisin.5. Taispeáin gur fréamh den chothromóid z 3 3z 2 4z 8 0 é 2 2i, agus faigh nafréamhacha eile.6. Más fréamh amháin den chothromóid 2z 3 9z 2 30z 13 0 é 2 3i, faigh an dáfhréamh eile.7. Taispeáin gur fréamh den chothromóid z 2 (1 5i)z 14 7i 0 é 1 2i. Taispeáinfreisin nach fréamh den chothromóid seo é an comhchuingeach 1 2i. Mínigh cén fáth.116

8. Is fréamh den chothromóid az 2 bz 5 0 é ______ 1 2i1 2iFaigh luach do a agus luach do b.mar a bhfuil a, b R.9. Má tá z 3 1 (z 1)(z 2 az b), faigh a agus b agus uaidh sin réitigh an chothromóidz 3 1 0, ag tabhairt na bhfréamhacha coimpléascacha san fhoirm a bi.10. Déan an chothromóid chearnach arb iad a fréamhacha 2 i. Más fréamh den chothromóidz 3 z 2 7z 15 0 é 2 i, faigh an dá fhréamh eile.11. Déan an chothromóid chearnach arb iad a fréamhacha 3 2i.Uaidh sin déan an chothromóid chearnach arb iad a fréamhacha 3 2i agus 2.12. Déan slonn ciúbach le comhéifeachtaí réadacha, a bhfuil na fréamhacha 2 agus 1 i ag péire díobh.13. Fréamhacha ciúbacha na haontachta a thugtar ar fhréamhacha na1_cothromóide z 13 . Más iad na fréamhacha sin 1, , , faigh agus agus cruthaigh go bhfuil(i) 2 (ii) 1 0Nod: féach Ceist 9.Mír 3.7 Uimhir choimpléascach san fhoirm pholachMá dhéanaimid staidéar ar an léaráid seo, feicimid go bhfuil dhá bhealach ann chun pointe aaimsiú ar an bplána coimpléascach.Im(z)x iyryOxRe(z)(i) Comhordanáidí Cairtéiseacha (x, y) or (ii) Comhordanáidí polacha (r, )sin y__rcos x__r⇒ y r sin ⇒ x r cos Dá bhrí sin, is féidir aon uimhir choimpléascach x yi a scríobh mar r cos ri sin .⇒ x iy r(cos i sin )Feicimid ón léaráid freisin go bhfuil(i) r √ _______x 2 y 2 modal na huimhreach(ii) tan y__x⇒ tan 1 ( y __x) , mar a dtugtar argóint na huimhreach ar .Foirm dhronuilleogach / Foirm Chairtéiseach: x iyFoirm pholach / Foirm mhodail-argóna: r(cos i sin )117

Sampla 1Sloinn na huimhreacha coimpléascacha seo san fhoirm x iy:(a) z 1 12 __ (cos 6 i sin __ 6 ) (b) z 2 5 __ (cos 8 i sin __ 8 )(a) cos __ 6 √ _____ 32 and sin __ 6 __ 1 (Foirmlí agus Táblaí, lch 13)2z 1 12 __ (cos 6 i sin __ 6 ) 12 ___( √__ 32 i __ 12) 6 √ __3 6i(b) sin __ 8 0.382 agus cos __ 8 0.924z 2 5 __ (cos 8 i sin __ 8 ) 5[0.924 i(0.382)] 4.62 1.92iCuimhnigh go gcaithfear radmode' a úsáid ar an áireamhánnuair atá á úsáid.Sampla 2Sloinn (1 i √ __3 ) san fhoirm r(cos i sin ).1 3iIm3r23 1O 3Rer √ _______x 2 y 2 √ _____________(1) 2 ( √ 3 ) 2 √ __4 2 tan 1 ( __ y x) ( tan1 √_____ 3 1)[Nóta: tan __ ( 3 ) tan ( __ __ 3 or ___ 2 33 ) tan ___( 2 3) 1.7321 ]Tríd an uimhir choimpléascach a bhreacadh, feicimid gurb é an argóint a theastaíonn ___ 2 3 . r(cos i sin ) 2 ___ 2(cos 3 i sin ___ 2 3).118

Nóta 1: Nuair atá argóint uimhreach coimpléascaí áríomh, glactar le príomhluach mar luachidir agus , is é sin, < < .ImNóta 2: Nuair atá áireamhán in úsáid chun anargóint () a fháil, tá sé tábhachtach asheiceáil go n-aimsíonn an uillinn a thugannan t-áireamhán an cheathrú cheart donuimhir choimpléascach áirithe sin.Tríd an uimhir choimpléascach a bhreacadh ar léaráid Argandar dtús, cabhraíonn sé leis an bhfadhb seo a réiteach.Im ImRe()()()()()Re()()()ReBíonn an cóimheas tan diúltach sa2ú agus sa 4ú ceathrú.Bíonn an cóimheas tan deimhneach san1ú agus sa 3ú ceathrú.Sampla 3Scríobh an uimhir choimpléascach 1 i √ __ 3 san fhoirm mhodail/argóna.x iy 1 i √ __ 3Modalr √ _______x 2 y 2 √ ___________1 2 ( √ 3 ) 2 √ __4 2Argóint tan y 1 __x tan 1 √ _______ 311 i 3 ____ 3Ó tharla go bhfuil an uimhir choimpléascach sa 4ú ceathrú, is é ____ an argóint cheart.3⇒ (r, ) ____(2, 3 ) 1 i √ __3 ____[2cos ( ____r3 ) i sin ( 3 )] ImRe119

Sampla 4Scríobh √ __3 i i san fhoirm pholach.ModalArgóint⇒x iy √ __3 i√ __r √ _______x 2 y 2 √ ______________(√ 3 ) 2 (1) 2 √ _____3 1 2 tan y 3 i1 __x _____ 1√ ___ 13 √ 3 __ (6 (30°) ó tharla go bhfuil an uimhir sa 3ú ceathrú,) __ 6 _____ 5 6 _____ 5 (150°)63 i 2 _____[cos ( 5 6) i sin _____( 5 6)]rSar6Re120Cleachtadh 3.71. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi.(i) 4 __(cos 2 i sin __ 2 ) (ii) 2 ___(cos 5 6 i sin ___ 5 6)(iii) √ __2 ___(cos 3 4 i sin ___ 3 4) (iv) 2 __(cos 3 i sin __ 3 )2. Breac gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas ar léaráid Argand, agcur mhodal agus argóint gach uimhreach in iúl.(i) 2 2i (ii) 3i (iii) 4 (iv) √ __3 i3. Sloinn gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas san fhoirm pholach.(i) 1 i(ii) √ __3 i (iii) 2 i √ __2 (iv) 2 i √ __2(v) 4i (vi) 5 (vii) 3i (viii)1__2 ___ √__ 32 i4. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas, ag tabhairt do fhreagraí san fhoirm r(cos i sin ).(i) (1 i √ __3 ) 2 (ii) ________ 2√ 3 i5. Má tá z 1 √ __3 i, faigh na huimhreacha coimpléascacha:(i) iz (ii) i 2 z (iii) i 3 zBreac na huimhreacha z, iz, i 2 z agus i 3 z ar léaráid Argand.Faigh argóint () gach uimhreach:(i) z (ii) iz (iii) i 2 z (iv) i 3 zCéard is féidir a thabhairt faoi deara ó thaobh na céimseatan de maidir le huimhirchoimpléascach a iolrú faoi i?

6. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm pholach:(i) 2i(ii) 3 i √ __3 (iii)2 _______1 i7. Réitigh an chothromóid z 2 2z 2 0 agus bíodh do fhreagra san fhoirm r(cos i sin ).8. Bíodh z 2 t 8i, t R agus i 2 1. Má tá arg(z 2 ) ___ 3 , faigh luach t.4Mír 3.8 Torthaí agus líonta uimhreachacoimpléascacha san fhoirm pholachFéach ar na huimhreacha coimpléascacha z 1 r 1 (cos 1 i sin 1 ) agus z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 ).Ansin z 1 z 2 r 1 (cos 1 i sin 1 ) r 2 (cos 2 i sin 2 ) r 1 r 2 [cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 ] r 1 r 2 [cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )] r 1 r 2 [cos( 1 2 ) i sin ( 1 2 )] (Foirmlí agus Táblaí, lch 15)⇒ Modal z 1 .z 2 r 1 .r 2 agus argóint z 1 .z 2 1 2Chomh maith leis sin, __ z 1 _________________r 1 (cos 1 i sin 1 )z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 )⇒ Modal __ z 1z 2__ r 1r _________________1 (cos 1 i sin 1 )r 2 (cos 2 i sin 2 ) _______________(cos 2 i sin 2 )(cos 2 i sin 2 )r __ 1 ______________________________________________________[cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 ]r 2 [cos 2 2 i cos 2 sin 2 i sin 2 cos 2 i 2 sin 2 2 ]r __ 1 ___________________________________________________r 2[ cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i (sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )cos 2 2 sin 2 2] __r 1 _________________________r 2[ cos( 1 2 ) i sin ( 1 2 )agus argóint __ z 1 r 2 z 1 2 .21] (Foirmlí agus Táblaí, lch 15)Im⇒1__ 1__ [cos(z 2 r 2 ) i sin( 2 )]2 z 1z 2( 1 2)Má tá z r (cos i sin ),1__z __ 1r [cos() i sin ()] z 2Rez 1. z 2Má tá z 1 r 1 (cos 1 i sin 1 )agus z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 ),z 1ansin z 1 z 2 r 1 r (2[cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]1 2)z 2zagus __ 1 r __ 1[cos( z 2 r 1 2 ) i sin( 1 2 )].Re2ImNóta: __ z 1 zz 12( __ 1z 2) __ r 1[cos(r 1 2 ) i sin( 1 2 )]2z 1121

Sampla 1Má tá z 1 2 __(cos 4 i sin __ 4 ) agus z 2 5 ___(cos 5 12 i sin ___ 5 12), faigh(i) z 1 z 2(i) z 1 z 2 __[2(cos 4 i sin __ (2 5) __[cos ( (ii)z 2 __z 14 ) ] [5 (cos 5 4 ___ 5 10 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 12) i sin ( 3) 10 (san fhoirm a ib.___12 i sin ___ 5 12)]___12)]__4 5 1__2 ___ √__ 32 i ) 5 5 √ __3 i(ii)z5 _____ 2(cos 5 12 i sin ___ 5 12)___________________z 1 2 __(cos 4 i sin __ 4 ) __( 5 ___2) [cos ( 5 12 __ 4) i sin ___( 5 12 __ __ 5 __2 [cos 6 i sin __ 6 ] __ 5 ___2( √__ 32 i __2)15 √ ______ 34 __ 5 4 i4) ]Cleachtadh 3.81221. Má tá z 1 4 ___(cos 3 4 i sin ___ 3 4) agus z 2 2 __(cos 4 i sin __ 4 ) , faigh(i) z 1 z z2(ii) __ 1, ag tabhairt do fhreagra san fhoirm r(cos i sin ).z 22. Má tá z 2 __(cos 3 i sin __ 3 ) , faigh z2 ag tabhairt do fhreagra san fhoirm r(cos i sin ).3. Má tá z 1 3 __(cos 2 i sin __ 2 ) agus z 2 4 __(cos 3 i sin __ 3 ), faigh modal agusargóint(i) z 1 (ii) z 2 (iii) z 1 z 2 (iv)4. Iolraigh 4 __(cos 6 i sin __ 6 ) faoi 3 __(cos 3 i sin __ 3 ) .5. Roinn 9 ___(cos 5 6 i sin ___ 5 6) ar 6 __(cos 3 i sin __ 3 ) .6. Simpligh 2 cos __( 9 i sin __ 9 ) __ 1( cos __ 3 9 i sin __ fhreagra san fhoirm a bi.7. Simpligh ___(cos 3 7 i sin ___ 3 ___7)(cos 2 7 i sin ___ 2 7) 2 .9 ) 6 cos ( z 1 __z 2__9 i sin __ 9 ), ag tabhairt do

8. Simpligh (a) __ [2(cos 3 i sin __ 3 ) ] 3 (b) [2 (cos9. Má tá z 3(cos i sin ), sloinn __ 1 san fhoirmz(i) r(cos i sin )(ii) a ib.10. Sloinn z 2 2 √ __3 i san fhoirm pholach.__ 3 i sin __ 3 ) ] 4Uaidh sin sloinn (a) z 2 (b) z 3 (i) san fhoirm pholach (ii) san fhoirm Chairtéiseach.11. Taispeáin má tá z cos i sin , go bhfuil 1 __z _ z .12. Má tá z (cos __ 4 i sin __ 4 ) 1, faigh z san fhoirm a ib.13. Má tá z cos i sin , taispeáin go bhfuil z 1__ 2 cos .zMír 3.9 Teoirim de MoivreSa mhír roimhe seo, chonaiceamar go bhfuil(cos 1 i sin 1 )(cos 1 i sin 1 ) cos( 1 1 ) i sin( 1 1 ) cos 2 1 i sin 2 1Is é sin go bhfuil (cos 1 i sin 1 ) 2 cos 2 1 i sin 2 1Chomh maith leis sin,(cos 1 i sin 1 ) 3 cos 3 1 i sin 31Teoirim de Moivre a thugtar ar chás ginearálta an toraidh seo.Teoirim de Moivre(cos i sin ) n cos n i sin n,do gach luach réadach ar n.Cruthúnas theoirim de Moivre trí ionduchtúA: Nuair is slánuimhir dheimhneach é n, cruthaigh go bhfuil (cos i sin ) n (cos n i sin n)(i) Bíodh n 1 ⇒ (cos i sin ) 1 cos i sin atá fíor(ii) Glac leis go bhfuil (cos i sin ) k cos k i sin k(iii) Cruthaigh go bhfuil sé fíor do n k 1, i.e.,(cos i sin ) k 1 [cos(k 1) i sin(k 1)]Cruthúnas: (cos i sin ) k 1 (cos i sin ) k (cos i sin ) (cos k i sin k)(cos i sin ) glactha leis cos k cos i cos k sin i sin k cos sin k sin cos k cos sin k sin i(cos k sin sin k cos ) cos (k 1) i sin (k 1)123

Dá bhrí sin, má tá sé fíor do n k, tá sé fíor do n k 1.Ach tá sé fíor do n 1.Mar sin, tá sé fíor do n 1 1 2.Dá bhrí sin, tá an teoirim fíor do n 1, 2, 3, . i.e. do gach slánuimhir dheimhneach.B: Nuair is slánuimhir dhiúltach é n,bíodh n p mar ar slánuimhir dheimhneach é p.Anois cruthaímid go bhfuil (cos i sin ) n (cos n i sin n)⇒ (cos i sin ) p _______________ 1(cos i sin ) p _______________ 1 ag úsáid theoirim de Moivrecos p i sin p _______________ 1cos p i sin p _______________cos p i sin p cos p i sin p cos p i sin p _______________ cos 2 p sin 2 p cos p i sin pAch p n.cos() cos (cos i sin ) n cos(n) sin(n)sin() sin cos n i sin n(Foirmlí agus Táblaí, lch 13) (cos i sin ) n cos n i sin n do gach slánuimhir dhiúltach.Nóta: Do n 0, as (cos i sin ) n (cos n i sin n)faighimid (cos i sin ) 0 (cos 0 i sin 0)1 1Dá bhrí sin, (cos i sin ) n (cos n i sin n) do gach luach slánuimhriúil.Má tá z r (cos i sin ), trí theoirim de Moivre a úsáid:z n [r(cos i sin )] n r n (cos n i sin n) do gach n Z.Sampla 1Faigh luach __ (cos 6 i sin __ 6 ) 3 .__ (cos 6 i sin __ 6 ) 3 cos ___ 3 6 i sin ___ 3 6 cos __ 2 i sin __ 2 0 i i124

Sampla 2Scríobh 1 √ __3 i san fhoirm pholach agus uaidh sin faigh luach (1 √ __3 i) 9 .x iy 1 √ __3 iModal r √ _______x 2 y 2 √ _________1 2 ( √ 3 ) 2 2Argóint tan y 1 __ ___ √__ 3tan1x 1 r__ 3 z 1 √ __3 i 2 __(cos 3 i sin __ 3 ) 2 9 z 9 (1 √ __3 i) 9 2 9 __(cos 3 i sin __ 3 ) 9 2 9 ___(cos 9 3 i sin ___ 9 3) 2 9 (cos 3 i sin 3) 2 9 (1 i 0)Im1 3iReCleachtadh 3.91. Úsáid teoirim de Moivre chun gach ceann díobh seo a leanas a shimpliú, agus sloinn dofhreagraí san fhoirm a bi:(i) __(cos ( 8 ) i sin __( 8 )) 4 (ii) __(cos ( 6 ) i sin __( 6 )) 7(iii) ___(cos 12 i sin ___ 12) 8 (iv) ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3) 3(v) __(cos 4 i sin __ 4 ) 6 (vi) ___(cos 2 5 i sin ___ 2 5) 10(vii) ____(cos 18 i sin ____ 18 ) 9 (viii) __(cos 6 i sin __ 6 ) 32. Má tá z √ __2 __(cos 3 i sin __ 3 ) , sloinn z4 san fhoirm a bi.3. Má tá z 3 ___(cos 10 i sin ___ 10) , sloinn z5 san fhoirm a bi.4. Sloinn (i) __(cos 3 i sin __ 3 ) 2 (ii) ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3) 4 san fhoirm cos i sin .Uaidh sin sloinn __(cos 3 i sin __ 3 ) 2 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3) 4 san fhoirm a bi.125

5.Im(z)Im(z)z 1z 2236Re(z)23Re(z)Úsáid an t-eolas sna léaráidí Argand thuas agus sloinn iad seo a leanas san fhoirmpholach.(i) z 1 (ii) z 2 (iii) _ z 1(iv) _ z 2 (v) z 1 z z2 (vi) __ 1z 26. Athraigh gach ceann díobh seo a leanas go dtí an fhoirm pholach agus ansin úsáid teoirimde Moivre chun do fhreagraí a shloinneadh san fhoirm a bi:(i) (1 i) 4(ii) (1 i √ __3 ) 3 (iii) (2 2i) 47. Faigh luach (1 i) 4 .8. Sloinn 4 4i san fhoirm pholach.Uaidh sin faigh luach ________ 1(4 4i) 3 .9. Simpligh (i) (3 √ __3 i) 6 (ii) (2 2i √ __3 ) 6 .10. Sloinn√ _________ 3 i1 i √ __ san fhoirm r(cos i sin ).3Uaidh sin faigh luach ( √__ 6_______ 3 i1 i √ 3) .Mír 3.10 Feidhmeanna theoirim de MoivreSloinn san fhoirm (cos i sin ) n a shimpliúBaineann teoirim de Moivre le (cos i sin ) agus ní le (cos i sin ).Ach ó tharla go bhfuil sin sin () agus cos cos (),táUaidh sin,cos i sin cos () i sin ().(cos i sin ) n [cos () i sin ()] n [cos (n) i sin (n)]126

Sampla 1Simpligh __(cos 3 i sin __ 3 ) 6 , ag tabhairt do fhreagra san fhoirm dhronuilleogach.cos __ 3 i sin __ 3 cos __ ( ⇒ __(cos 3 i sin __ 3 ) i sin (__ 3 ) ___ 6 3) cos (2) i sin (2)3 ) 6 __(cos (3 ) i sin __(3 )) 6 cos ___ 6( 3) i sin ( 1 i 0 1cos n agus sin n a shloinneadh i dtéarmaí cos agus sin Sampla 2Sloinn (a) cos 2 i dtéarmaí cos (b) sin 3 i dtéarmaí sin .(a) cos 2 : (cos i sin ) 2 cos 2 i sin 2⇒ cos 2 i sin 2 (cos i sin ) 2 cos 2 2i cos sin i 2 sin 2 cos 2 i sin 2 cos 2 sin 2 i(2 cos sin )Ag cothromú na gcodanna réadacha: cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 [1 cos 2 ] [sin 2 cos 2 1]cos 2 2 cos 2 1(Nóta: Má theastaíonn sin 2 uainn, cothromaímid na codanna samhailteacha.)(b) sin 3 :(cos i sin ) 3 cos 3 i sin 3⇒ cos 3 i sin 3 (cos i sin ) 3Ag cothromú na gcodanna samhailteacha: cos 3 3i cos 2 sin 3i 2 cos sin 2 i 3 sin 3 cos 3 3 cos sin 2 i(3 cos 2 sin sin 3 )sin 3 3 cos 2 sin sin 3 3[1 sin 2 ] sin sin 3 [cos 2 1 sin 2 ] 3 sin 3 sin 3 sin 3 sin 3 3 sin 4 sin 3 127

Ag fáil an nú fréamh d’uimhir choimpléascachMá tá z n a bi ⇒ z (a bi ) 1__n , an nú fréamh de a bi.Ansin (i) z 3 1 i ⇒ z (1 i ) 1_3, fréamh chiúbach (1 i)(ii) z 4 0 8i ⇒ z (0 8i ) 1_4, ceathrú fréamh 8i.Chun teoirim de Moivre a úsáid chun an nú fréamh d'uimhir choimpléascach a fháil, caithfimidan uimhir choimpléascach a shloinneadh i bhfoirm pholach ghinearálta.Toisc gur feidhmeanna peiriadacha iad na feidhmeanna triantánúla comhshíneas agus síneas, le peiriad 2,cos cos( 2n) agussin sin( 2n) do n N. a bi r [cos( 2n) i sin( 2n) ] .Sampla 3Réitigh an chothromóid z 3 8i.Modalz 3 8i ⇒ z (8i ) 1_3r √ _______x 2 y 2 √ _______0 2 8 2 8Argóint __ 2 0 8i 8 __ (cos 2 i sin __ 2 ) san fhoirm pholach.8i 8 __(cos( 2 2n ) i sin __( 2 2n )) san fhoirm ghinearálta pholach.⇒ z (8i ) 1_3 81_ 21__(cos3 __(cos ( 2 2n ) i sin __( 2 2n )) 1_3__2 2n ) i sin __ 13 ( Bíodh n 0 : z 21__(cosBíodh n 1 : z 21__(cos__2 ) i sin __ 13 ( 3 ( __2 2n ) ) ag úsáid theoirim de Moivre3 ( __3 ( 2 )) 2 (cos__2 2 ) i sin __ 1 2 ___(cos ( 5 6) i sin ___( 5 6)) 2 ( √ _______ 3 i1__2 2) √ __3 iMá tá z a bi, is éz r [cos( 2n) i sin( 2n) ] mar abhfuil n N, foirm ghinearálta pholach z. 2 ___( √__ √ __3 i3 ( __ 6 i sin __ 6 )2)32 i __ 1__2 2 ) )Im8642(0 8i)rRe128

Bíodh n 2 : z 2 __(cos 1 __3 ( 2 4 ) i sin __ 1 2 ___(cos 9 6 i sin ___ 9 6) 2 ___(cos 3 2 i sin ___ 3 2) 2(0 i(1)) 2iIs iad fréamhacha ciúbacha 8i√ __3 i , √ __3 i , 2i.__2 4 ) )3 ( Sampla 4Réitigh an chothromóid z 2 2 2 √ __3 i.ModalArgóintz 2 2 2 √ __3 i ⇒ z (2 2 √ __3 i ) 1_2r √ _______x 2 y 2 √ _______________(2) 2 (2 √ 3 ) 2 4 tan y 1 __x tan 1 2 √ ________ 32 tan1 √ __3 __ 3Tá tan deimhneach sa chéad cheathrú agus sa tríú ceathrú. 2 2 3i⇒ ___ 2 32 2 √ __z (2 2 √ __3 i ) 1_2 4 1_Bíodh n 0 :3 i 4 ___ 2(cos ( 3) i sin ___ 2( 3))2(cos (2 2 (cos 1 __2(z 2 (cos 1 _____3 2n ) i sin ___ 2( 3 2n ))2(___ 2 3 2n ) i sin __ 1___ 2 3) i sin __ 1 2 ___ 2(cos ( 6) i sin (Bíodh n 1 :z 2 (cos 1 __2(2(___ 2 2(___ 2 ___ 2 3 2 ) i sin __ 1 2 ___(cos ( 2 3) i sin ___( 2 z 1 √ __3 i, 1 √ __3 i3) )6) ) 2 ( 1 __2(3) ) 2 (1_2Im3 2 11r234___ 2 3 2n ))2 i √ ______ 32) 1 √ __3 i___ 2 3 2 ))1__2 i √ ______ 32) 1 √ __3 i3Re129

Cleachtadh 3.101. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi:(i) (cos i sin ) 5(ii) __(cos 5 i sin __ 5 ) 10(iii)________________ 1__(cos 3 i sin __ 3 ) 3 (iv) __(cos 2 i sin __ 2 ) 42. Úsáid teoirim de Moivre agus sloinn(i) sin 2 i dtéarmaí sin agus cos (ii) cos 3 i dtéarmaí cos .3. Úsáid an t-ionannas (cos 4 i sin 4) (cos i sin ) 4 chun iad seo a thaispeáint:(i) cos 4 8 cos 4 8 cos 2 1 (ii) sin 4 4 cos 3 sin 4 cos sin 3 .4. Úsáid teoirim de Moivre chun an chothromóid z 3 8 a réiteach.5. Faigh luachanna z a bhfuil z 3 8 dóibh, ag tabhairt do fhreagra san fhoirm a bi:6. Breac an pointe 2 2 √ __3 i ar léaráid Argand.Úsáid an léaráid seo chun 2 2 √ __3 i a shloinneadh san fhoirm r(cos i sin )Uaidh sin faigh tacar réitigh z 2 2 2 √ __3 i.7. Breacadh an uimhir choimpléascach z 1 ar an léaráidArgand seo.Scríobh síos modal agus argóint na huimhreach seo.(a) Sloinn z 1 san fhoirm ghinearálta pholach agusuaidh sin faigh fréamhacha ciúbacha na haontachta,is é sin, faigh luachanna z a bhfuil z 1 1_13.(b) Cruthaigh go bhfuil suim na bhfréamhacha sin cothrom le náid.8. Faigh fréamhacha ciúbacha 27i.Im1O1(1 0i)1Re9. Úsáid teoirim de Moivre chun iad seo a leanas a réiteach:(i) z 2 1 √ __3 i (ii) z 2 2 2 √ __3 i (iii) z 2 4i.10. Úsáid teoirim de Moivre chun cúig fhréamh na cothromóide z 5 1 a fháil san fhoirm pholach.Roghnaigh ceann de na fréamhacha w, mar a bhfuil w 1, agus cruthaigh go bhfuilw 2 w 3 réadach.Súil Siar (Croícheisteanna)1. Simpligh √ ___80 √ ___20 , ag sloinneadh do fhreagra san fhoirm a √ __b mar a bhfuil a, b N.2. (x 1) yi y 4i ; faigh x agus y.3. Réitigh an chothromóid z 2 4z 3 0, ag tabhairt do fhreagra san fhoirm a bi.130

4. Má tá z 1 5 i agus z 2 2 3i.(i) Faigh (z 1 ) 2 (ii) Taispeáin go bhfuil |z 1 | 2 2|z 2 | 25. Bíodh z ina uimhir choimpléascach 1 i √ __3 .(i) Sloinn z 2 san fhoirm a bi.(ii) Faigh luach na huimhreach réadaí p a fhágann go bhfuil z 2 pz réadach.6. Sloinn an uimhir choimpléascach z 1 i san fhoirm r(cos i sin ) agus uaidhsin faigh luach do z 4 san fhoirm p qi mar a bhfuil p, q R.7. Sloinn 1 i √ __3 san fhoirm r(cos i sin ).8. Taispeáin gur fréamh é 2 3i de z 2 4z 13 0.Uaidh sin faigh an fhréamh eile.9. Má tá z 1 2 3i agus z 2 1 4i, imscrúdaigh an bhfuil z 1 .z 2 z 1 .z 2 10. Scríobh 5 5i ______2 i11. Simpligh 4i 13 3i 3 .san fhoirm a bi, a, b R.12. Má tá fréamhacha z 1 2 3i agus z 2 1 4i ag f(z), faigh f(z).13. Breac na huimhreacha coimpléascacha a 3 3i agus b 1 2i ar léaráid Argand.Breac an uimhir choimpléascach a b ar an léaráid chéanna.Faigh an uimhir choimpléascach c a d'aistreodh(i) a go a b (ii) b go a b (iii) a go b.14. Sa léaráid seo, déan cur síos ar naclaochluithe a theastódh dóibh seo:(i) R → S(ii) S → T(iii) Má tá z R, faigh z 1 le gombeidh zz 1 S.(iv) Má tá z R, faigh z 3 le gombeidh zz 1 z 3 T.(4, 0)(3, 2)RIm(z)6543214 3 2 1 O1(0, 6)(3, 4.5)S(4, 5)T1 2 3 4 5 6 7(4, 1)(7, 3)Re(z)Súil Siar (Ardcheisteanna)1. Má tá z x iy agus 3(z 1) i(z 1), faigh luach x agus luach y.2. Má tá 2 3i ina fhréamh den chothromóid 2z 3 9z 2 30z 13 0, faigh an dá fhréamh eile.3. Sloinn √ __3 i i san fhoirm r(cos i sin ).Úsáid teoirim de Moivre chun ( √ __3 i) 11 a shimpliú.131

4. Is iad 1 i agus 4 3i fréamhacha na cothromóide cearnaí z 2 pz q 0.Faigh luach p agus luach q.5. Má tá w 1 __ 12 ___ √__ 32 i agus w 2 (w 1 ) 2 , faigh w 2 .Cruthaigh go bhfuil w 1 w 2 1.6. Má tá p 2 __(cos 3 i sin __ __3 ), faigh p , comhchuingeach coimpléascach p.Cruthaigh gur réaduimhir é p _ p.7. Sloinn(1 2i)2 ________1 isan fhoirm a bi.8. Faigh luach k más é 3 an chuid réadach de 3 i _______1 ki , k 0.9. Simpligh __(cos 3 i sin __ ___3 ) (cos 12 i sin ___ 12) 2 .10. Taispeáin gurfréamh leis an gcothromóid z 2 (3 3i)z 5i 0 é 1 2i agus faighan fhréamh eile.11. Simpligh an slonn seo a leanas agus tabhair do fhreagra san fhoirm a bi, a, b R:__(cos 3 i sin __ 3 ) 2 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3) 412. Tá 1 3i ar cheann de fhréamhacha z 3 z 2 4z 0, agus tá réadach.Faigh luach agus an dá fhréamh eile.13. Tá x iy √ ______8 6i .Trí dhá thaobh na cothromóide a chearnú, úsáid cothromóidí comhuaineacha chunluachanna x agus y a fháil.14. Faigh luach t a fhágann go bhfuil ti ina réiteach ar an gcothromóidz 4 2z 3 7z 2 4z 10 0.Uaidh sin faigh gach réiteach don chothromóid seo.15. Más é _ z comhchuingeach z agus má tá z a bi nuair atá a agus b réadach, faighluachanna féideartha z má tá z _ z 2iz 7 4i.16. Cinn an p agus q réadach a fhágann go bhfuil (p iq) 2 15 8i.Uaidh sin réitigh an chothromóid (1 i)z 2 (2 3i)z 3 2i 0Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtar freagra níos faide)1. Tá p 3 __(cos 6 i sin __ 6 ) agus q 2 2i √ __3 .(i) Faigh pq san fhoirm a bi.(ii) Faigh p, q, pq, p q.132

2. Tá an uimhir choimpléascach z 1 i √ _________ 31 i √ .3(i) Sloinn z san fhoirm a bi.(ii) Breac z ar léaráid Argand.(iii) Sloinn z san fhoirm r(cos i sin ). (iv) Taispeáin go bhfuil z 3 1.3. Tá an uimhir choimpléascach z (1 3i)(p qi), mar a bhfuil p agus q R agus p > 0.(i) Scríobh z san fhoirm a bi.Má thugtar go bhfuil argóint z __ , taispeáin go bhfuil p 2q 0.4(ii) Má thugtar freisin go bhfuil |z| 10 √ __2 , faigh luachanna p agus q.4. z 1 3 __(cos 6 i sin __ 6 ) agus z 2 __(cos 4 i sin __ 4 ) ; faigh(i) |z 1 z 2 | (ii) arg (z 1 z 2 ) (iii) |z 1 | 2(iv) |z 2 | 2 (v) arg (z 12 ) (vi) arg (z 22 )(vii) Cinn an bhfuil na ráitis seo a leanas fíor nó bréagach d'aon dá uimhirchoimpléascacha z, w C.(a) |zw| |z||w|(b) arg(zw) arg(z) arg(w)5. Má tá z 2 __(cos 6 i sin __ 6 ) , faigh z2 , z 4 agus z 6 .(i) Breac z 2 , z 4 , z 6 .(ii) Déan cur síos ar an gclaochlú a tharlaíonn nuair a iolraítear z 2 gach uair.6. Sloinn1 i √ __ san fhoirm r(cos i sin ). Uaidh sin faigh luach3( √__ 6_______ 3 i1 i √ 3) .√ _________ 3 i7. Breac aon dá uimhir choimpléascacha z 1 , z 2 .Tríd an gcomhthreomharán a chríochnú, faigh an uimhir choimpléascach z 1 z 2 .Úsáid an comhthreomharán seo chun cur síos céimseatúil a dhéanamh ar chruthúnasdéagothromóid an triantáin z 1 z 2 z 1 z 2 .Cé na coinníollacha a theastódh ionas go mbeadh z 1 z 2 z 1 z 2 ?8. Deirtear gurb é z deilín w má tá zw 1.(i) Bíodh z a bi agus w c di, agus faigh dhá ghaol ailgéabracha idir nacodanna réadacha agus na codanna samhailteacha a, b, c agus d.(ii) Úsáid cothromóidí comhuaineacha chun a agus b a fháil i dtéarmaí c agus d.(iii) Cruthaigh go bhfuil __ 1 z ___ z|z| 2 . (iv) Breac z, __ 1 z agus _ z ar an léaráid Argand chéanna.(v) Cruthaigh go mbíonn __ 1 agus z comhlíneach le 0 0i i gcónaí.z9. Cruthaigh go bhfuil(i) comhchuingeach suim na uimhreacha coimpléascacha cothrom le suim nagcomhchuingeach(ii) comhchuingeach dhifríocht na n-uimhreacha coimpléascacha cothrom le difríocht nagcomhchuingeach(iii) comhchuingeach líon na uimhreacha coimpléascacha cothrom le líon na gcomhchuingeach(iv) comhchuingeach toradh uimhreacha coimpléascacha cothrom le toradh nagcomhchuingeach133

13410. (a) Tá w 1 √ __3 i, mar a bhfuil i 2 1.(i) Scríobh w san fhoirm pholach.(ii) Úsáid teoirim de Moivre chun z 2 1 √ __3 i a réiteach, ag tabhairt dofhreagra san fhoirm dhronuilleogach.(b) Taispeántar ceithre uimhir choimpléascachaz 1 , z 2 , z 3 agus z 4 ar léaráid Argand.Sásaíonn siad na coinníollacha seo a leanas:z 2 i z 1z 3 k z 1 , mar a bhfuil k Rz 4 z 2 z 3 .Im(z)98765(Nóta: úsáideadh an scála céanna ar4an dá ais.)3(i) Sainaithin cén uimhir a ghabhann2le gach pointe trí lipéad a chur ar1gach pointe sa léaráid.(ii) Scríobh síos luach cuí do k.4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 Re(z)(iii) Sonraigh cén coinníoll a chabhraigh leat na huimhreacha a shainaithint ar dtús.Mínigh do fhreagra. (In oiriúint as Páipéar Samplach, Tionscadal Mata,Páipéar 1, 2011 ó Choimisiún na Scrúduithe Stáit)11. (a) (i) Scríobh an uimhir choimpléascach 1 i san fhoirm pholach.(ii) Bain úsáid as teoirim de Moivre chun luach(1 i) 9 a fháil, agus tabhair do fhreagra ibhfhoirm dhronuilleogach.Im(z)(b) Tá modal níos mó ná 1 ag uimhir choimpléascach z.Taispeántar ar léaráid Argand na trí uimhir z, z 2 agus z 3 .Tá ceann díobh ar an ais shamhailteach, mar a thaispeántar.(i) Lipéadaigh na pointí chun a thaispeáint cé nahuimhreacha a bhfreagraíonn na pointí dóibh.(ii) Faigh , argóint z.(iii) Mínigh an tábhacht a bhaineann leis an eolas go bhfuil modal z níos mó ná 1.(c) Féach ar an uimhir choimpléascach z a ai, a > 1, a R.(i) Faigh na huimhreacha coimpléascacha z 2 , z 4 , z 6 , srl, agus tabhair do chuidfreagraí i bhfoirm dhronuilleogach.(ii) Déan cur síos céimseatúil ar an bpatrún a chruthaíonn z, z 2 , z 4 , z 6 , (In oiriúint as Scrúdú na hArdteistiméireachta, Tionscadal Mata, Páipéar 1, 2011ó Choimisiún na Scrúduithe Stáit)12. (i) Má tá z cos i sin , úsáid teoirim de Moivre chun slonn a scríobh do z ki dtéarmaí , nuair is slánuimhir dheimhneach é k.(ii) Uaidh sin, taispeáin go bhfuil __ 1 k cos k i sin k.z(iii) Oibrigh amach sloinn do cos k agus sin k i dtéarmaí z k .(iv) Taispeáin go bhfuil cos 2 sin 2 ___ 116 (z 2 __ 1z ) 2 2 .(v) Uaidh sin taispeáin go bhfuil cos 2 sin 2 a b cos 4, mar ar tairisigh a agus b.Re(z)

Seichimh --- Sraitheanna --- Patrúin4 seicheamh uimhreacha seicheamh comhbhreise sraith sigme ()seicheamh iolraíoch seicheamh easpónantúil sraith iolraíochdeachúil athfhillteach difríocht chríochta feidhm ilchodach feidhm chearnachMír 4.1 SeichimhIs tacar uimhreacha scríofa in ord cinnte é seicheamh uimhreacha.Bíonn riail áirithe ann a cheanglaíonn gach téarma sa seicheamh.Scrúdaigh na seichimh seo a leanas agus scríobh síos i bhfocail an riail a cheanglaíonn téarmaamháin leis an chéad téarma eile. Uaidh sin faigh an chéad dá théarma eile sa seicheamh.(i) 1, 3, 5, 7, (vii) 1, 4, 9, 16, (ii) 2, 5, 8, 11, (viii) 1, 2, 6, 24, 120, (iii)1_3 , 1_6 , __ 112 , __ 1, (ix) 1,2_24 3 , 3_9 , __ 427 ,(iv) 1, 2, 4, 8, (x) 4, 2, 0, 2, (v) 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , (xi) 1, 1, 1, 1, (vi)1_2 , 2_3 , 3_4 , 4_ , (xii) 1, 1_5 2 , 1_4 , 1_8 ,Is é an seicheamh uimhreacha is bunúsaí ná tacar na n-uimhreacha aiceanta, N {1, 2, 3, 4, n};is féidir gach seicheamh eile a chur i gcomparáid leis.Smaoinigh ar na huimhreacha aiceanta 1, 2, 3, 4, 5, nagus cuir i gcomparáid iad leis an seicheamh → 1, 3, 5, 7, 9, 2n 1T 1 , T 2 , T 3 , T 4 , T 5 , T nIs é T 1 an chéad téarma; is é T 2 an dara téarma.T n a thugtar ar an nú téarma agus tugann sé an riail dúinn atá de dhíth chun téarma ar bith saseicheamh a fháil.T n 2n 1Bíodh n 1, T 1 2(1) 1 1Bíodh n 2, T 2 2(2) 1 3Bíodh n 3, T 3 2(3) 1 5Bíodh n 4, T 4 2(4) 1 7 etc.}Uaidh sin tugann an riail T n 2n 1an seicheamh 1, 3, 5, 7, Díorthaítear seichimh go minic ó phatrúin a chruthaíodh trí phróisis éagsúla. Sa bhitheolaíocht isféidir cur síos a dhéanamh ar leagan amach na nduilleog ar ghas leis an seicheamh Fibonacci0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 135

Úsáidtear seichimh i mbogearraí ríomhaireachtúla. San fhisic, baineann seichimh le staidéar nadtonnta; rialaíonn patrúin seichimh gluaiseachtaí róbait agus baintear úsáid fhorleathan astu sateicneolaíocht dhigiteach.Smaoinigh ar na patrúin seo a leanas agus déan cur síos ar an gcaoi le dhá ghné eile a chur le gach patrún.(i)(ii)(iii)Sampla 1Scríobh síos na chéad cheithre théarma i ngach ceann de na seichimh seo a leanas:(i) T n n 2 n(ii) T n 2 n 3n(i) T n n 2 n(ii) T n 2 n 3nBíodh n 1, T 1 1 2 1 2Bíodh n 1, T 1 2 1 3(1) 1n 2, T 2 2 2 2 6n 2, T 2 2 2 3(2) 2n 3, T 3 3 2 3 12n 3, T 3 2 3 3(3) 1n 4, T 4 4 2 4 20 n 4, T 4 2 4 3(4) 4Is é an seicheamh ná 2, 6, 12, 20. Is é an seicheamh ná 1, 2, 1, 4.Sampla 2Déantar na patrúin dhronuilleogacha seo a leanas as dhá thacar de thíleanna daite.(i) Tarraing an chéad dá phatrún tíleanna eile.(ii) Scríobh seicheamh uimhreacha do na tíleanna gorma i ngach ceann de na patrúin seo.(iii) Scríobh seicheamh uimhreacha do líon iomlán na dtíleanna atá in úsáid i ngach ceannde na patrúin seo.(iv) Scríobh seicheamh uimhreacha do na tíleanna bána i ngach ceann de na patrúin seo.(v) Scríobh amach na chéad 3 théarma i ngach seicheamh in (ii), (iii), (iv).136

(i)(ii) 6, 10, 14, 18, 22, sin an seicheamh do líon na dtíleanna gorma(iii) 6, 12, 20, 30, 42, sin an seicheamh do líon iomlán na dtíleanna(iv) 0, 2, 6, 12, 20, sin an seicheamh do líon na dtíleanna bána.4 4 4 4(v) (ii) Tugaimid faoi deara sa seicheamh seo 6, 10, 14, 18, 22, go méadaítear gach téarma de 4.22 4 26}⇒ is iad na chéad trí théarma eile ná 26 4 30 26, 30, 3430 4 346 8 10 12(iii) 6, 12, 20, 30, 42, méadaítear gach téarma de réir an phatrúin6, 8, 10, 12 , i.e. tá an bhearna idir na huimhreacha ag méadú de 2 gach uair.⇒ is iad na chéad trí théarma eile ná 42 14 56}56 16 72 56, 72, 9072 18 90(iv) Is é seicheamh na dtíleanna bána ná 0, 2, 6, 12, 20, agus tá airídronuilleogach aige (0 1), (1 2), (2 3), (3 4), (4 5), ⇒ is iad na chéad trí théarma eile ná (5 6), (6 7), (7 8) 30 42 56[Nóta: Is féidir an seicheamh seo a fháil chomh maith trí sheicheamh (ii)a dhealú ó sheicheamh (iii)]Cleachtadh 4.11. Scríobh síos na chéad trí théarma eile i ngach ceann de na seichimh seo a leanas:(i) 6, 12, 18, 24, (vi) 78, 70, 62, 54, (xi)3_4 , 1_4 , 1_4(ii) 7, 12, 17, 22, (vii) 10, 5, 0, 5, 10, (xii) 1, 2, 4, 7, 11, (iii) 4.7, 5.9, 7.1, 8.3, (viii) 64, 55, 46, 37, (xiii) 0, 3, 8, 15, 24, (iv) 2, 1, 4, 7, (ix) 2, 6, 18, (xiv) 3, 6, 12, 24, (v) 2, 3, 6, 11, 18, 27, (x) 2, 6, 12, 20, (xv)1_2 , 1_ __ __20 ,6 , 112 , 12. Faigh na chéad cheithre théarma sna seichimh seo a leanas, agus an nú téarma (T n ) ar eolasagat i ngach cás.(i) T n 4n 2 (iv) T n (n 3)(n 1) (vii) T n 2 n(ii) T n (n 1) 2 (v) T n n 3 1 (viii) T n (3) n(iii) T n n 2 2n(vi) T n _____ n(ix) Tn 2n n.2 n137

3. Dhreap damhán alla suas balla. Dhreap sé 5 cm sa chéad nóiméad. Gach nóiméad i ndiaidhan chéad nóiméid, dhreap sé 4 cm níos faide ná an nóiméad roimhe.(i) Scríobh seicheamh leis an bhfad a dhreap an damhán alla gach nóiméad a thaispeáint.(ii) Cá fhad a dhreap an damhán alla sa chuigiú nóiméad?4. Bhí Siún ag traenáil le haghaidh rás maratóin. Mhéadaigh sí an fad a rith sí gach seachtain le1, 2, 3, 4, 5, chiliméadar. Sa chéad seachtain, rith sí 1 chiliméadar.(i) Scríobh síos an fad a rith sí gach seachtain i rith na gcéad 6 seachtaine.(ii) Cén tseachtain inar rith sí 29 ciliméadar?5. Má tá T n 4n 3, faigh T 1 , T 5 , T 10 .6. Má tá T n (2) n 1 , faigh T 1 , T 6 , T 11 .7. Tarraing na chéad trí phatrún eile i ngach ceann de na seichimh seo a leanas, trí na léaráidí ascrúdú. Scríobh seicheamh uimhreacha do gach tacar patrún.(i)(ii)(iii)8. Meaitseáil gach nú téarma (T n ) le ceann de na seichimh thíos:(i) T n 4n 2(ii) T n 2n 2(iii) T n n(n 1)(iv) T n 2 nA: 2, 4, 8, 16, B: 2, 8, 18, 32, C: 2, 6, 10, 14, D: 2, 6, 12, 20, 9. Maidir leis na huimhreacha aiceanta, ? 1, 2, 3, 4, 5, n, faigh an nú téarma (T n ) i ngachceann de na seichimh seo a leanas, trí na figiúirí a scrúdú:(i) 5, 6, 7, 8, 9, (vi) 1, 1, 1, 1, 1, (ii) 2, 4, 6, 8, 10, (vii) 1, 5, 9, 13, 17, (iii) 2, 5, 8, 11, 14, (viii) 1, 1_2 , 1_3 , 1_4 , 1_ 5(iv) 1, 4, 9, 16, 25, (ix)2_3 , 3_4 , 4_ 5 6 , 6_7 , (v) 2, 5, 10, 17, 26, (x) (2 3), (3 4), (4 5), (5 6), 10. Tugtar na chéad ocht dtéarma i seicheamh Fibonacci thíos. Déan cur síos i bhfocail ar an gcaoi andéantar an seicheamh agus uaidh sin scríobh amach na chéad cheithre théarma eile sa seicheamh.0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .138

11. Taispeántar na chéad 5 líne deThriantán Pascal thall.Cóipeáil na 5 líne seo agus, tríd an bpatrún a aimsiú,lean de thriantán Pascal a fhad le líne 8.Tríd an triantán a scrúdú, faigh an nú téarma, T n , don Líne 5(i) seicheamh a dhéantar leis an dara huimhir i ngach líne(ii) seicheamh uimhreacha a thairgtear leis an tríú huimhir i ngach líne(iii) seicheamh a dhéantar le suim na n-uimhreacha i ngach líne(iv) seicheamh a chruthaítear tríd an dara agus tríú huimhir i ngach líne a shuimiú.Mír 4.2 Seichimh chomhbhreiseSeicheamh comhbhreise a thugtar ar sheicheamh ina n-athraíonn gach téarma le huimhirthairseach gach uair.4 4 4Mar shampla,3, 7, 11, 15, ..... cuirtear 4 le gach téarma.2 2 23, 1, 1, 3, ..... baintear 2 ó gach téarma.Más ionann an chéad téarma agus a ( T 1 ), agus más ionann an difríocht idir théarmaí leantachaagus d (ar a dtugtar an chomhbhreis), ansin tugtar gach seicheamh comhbhreise leis seo:d d dDon seicheamh:}T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . . . . . T na, a d a 2d, a 3d, . . . . . a (n 1)d3, 7, 11, 15, a 3 T n a (n 1)dd 7 3 4 3 (n 1)4Sampla 1 3 4n 4T n 4n 1.Faigh an nú téarma (T n ) sa seicheamh comhbhreise:2, 3, 8, 13, . . . . .agus uaidh sin faigh (i) T 20 (ii) T 21 (iii) T 21 T 20 .a 2}d 3 (2) 5(chomh maith, d 8 3 5) T 20 5(20) 7 agus T 21 5(21) 7 93 98⇒ T 21 T 20 98 93 5 (d).T n a (n 1)dT n 2 (n 1)5 2 5n 5T n 5n 7Líne 1Líne 2Líne 3Líne 411 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1I ngach seicheamh comhbhreise,T 1 aT 2 T 1 dT n T n 1 dT n a (n 1)d139

Sa seicheamh 3, 1, 1, 3, .... tá líon éigríochta téarmaí ann.Sa seicheamh 3, 1, 1, 3, .... 35 tá líon críochta téarmaí ann.Má tá T n 35, is féidir linn líon na dtéarmaí (n) sa seicheamh a fháil má tá an fhoirmlele haghaidh T n ar eolas againn.Sampla 2Faigh líon na dtéarmaí sa seicheamh1, 3, 7, 11, 251.Sa seicheamh seo, a 1}T n a (n 1)dd 3 1 4T n 251251 1 (n 1)(4)Tá 64 téarma sa seicheamh seo.251 1 4n 44n 256n ___ 2564 64Sampla 3I seicheamh comhbhreise, tá T 4 6 agus 3T2 T 10 . Faigh luach a agus luach d agusuaidh sin scríobh amach na chéad 6 théarma sa seicheamh.T n a (n 1)dT 4 a (4 1)d a 3dT 2 a (2 1)d a dT 10 a (10 1)d a 9dT 4 6 agus 3T 2 T 10⇒ a 3d 6 3(a d) a 9dAg úsáid cothromóidí comhuaineacha3a 3d a 9d2a 6d 0⇒ a 3d 0a 3d 0 Chomh maith a 3d 0a 3d 6 3 3d 02a 6 ag suimiú na línte 3d 3a 3 d ( 3 ___3) 1Is é an seicheamh ná 3, 4, 5, 6, 7, 8, 140

Maidir leis an seicheamh comhbhreise T 1 , T 2 , T 3 , T 4 , T 5 , T n ,T 3 T 2 T 4 T 3 T 5 T 4 an chomhbhreis (d).Go ginearálta:T n 1 T n d (an chomhbhreis).Is é atoradh an eolais thuas ná:Más mian linn a chruthú gur seicheamh comhbhreise é seicheamh áirithe, ní mór dúinna thaispeáint gur tairiseach é T n 1 T n> Freisin, má tá T n 1 T n 0, ansin tá an seicheamh méadaitheachmá tá T n 1 T n 0, ansin tá an seicheamh laghdaitheach.Nóta: Chun T n 1 , a fháil, ionadaigh (n 1) do n in T n .Má tá T n 3n 1,T n 1 3(n 1) 1 3n 4.Sampla 4Más trí théarma leantacha iad p 2, 2p 3 agus 5p 2 i seicheamh comhbhreise,faigh luach p, p R.Cionn is go bhfuil trí théarma leantacha de sheicheamh comhbhreise againn,⇒ (2p 3) (p 2) (5p 2) (2p 3)2p 3 p 2 5p 2 2p 3p 1 3p 52p 6p ( 6 ___2) 3.Nóta: Is iad na chéad trí théarma sa seicheamh ná 5, 9, 13.Sampla 5Má tá (i) T n _____ n 12(ii) T n _____ 2, déan amachn 1(a) an seicheamh comhbhreise é(b) cé acu atá an seicheamh méadaitheach nó laghdaitheach.141

(i) T n _____ n 12(n 1) 1T n 1 ___________2 _____ n 22T n 1 T n _____ n 22 _____ n 12 n 2 n 1_____________2T n 1 T n 1 __2 Is tairiseach é T n 1 T n Is seicheamh comhbhreise é T nChomh maith leis sin, ós rud égo bhfuil T n 1 T n 1 __2 ,i.e. 0,⇒ Is seicheamh méadaitheach éT n .(ii)T n _____ 2n 1T n 1 ___________ 2(n 1) 1 _____ 2n 2T n 1 T n _____ 2n 2 _____ 2n 12(n 1) 2(n 2) __________________(n 2)(n 1) _______________2n 2 2n 4(n 2)(n 1)T n 1 T n _____________ 2(n 2)(n 1) tairiseach ós rud é gobhfuil an luach ag brath ar n. Ní seicheamh comhbhreise é T nFreisin,T n 1 T n _____________ 2(n 2)(n 1) 0.Ós rud é go bhfuil n N agus go mbíonnsé deimhneach i gcónaí, Is seicheamh laghdaitheach é T n .Cleachtadh 4.21. Faigh T n , an nú téarma sna seichimh chomhbhreise seo a leanas.Uaidh sin faigh T 22 i ngach seicheamh.(i) 8, 13, 18, 23, (ii) 16, 36, 56, 76, (iii) 10, 7, 4, 1, 2. Is é T n 5n 2 an nú téarma i seicheamh comhbhreise.Scríobh síos na chéad cheithre théarma.3. Faigh an méid téarmaí i ngach ceann de na seichimh chomhbhreise seo a leanas:(i) 5, 1, 3, 7, 75 (ii) 2, 5, 8, 11, 59 (iii) 3_2 , 1, 1_ , 0, 14.24. I seicheamh comhbhreise, T 1 4 agus T 7 22. Bain úsáid as cothromóidí comhuaineachaagus faigh(i) luach a agus luach d (ii) na chéad chúig théarma sa seicheamh (iii) T 20 .5. Rinne Niamh táipéisí balla agus na dearaí seo in úsáid aici:Dearadh 1 Dearadh 2 Dearadh 3142

(i) Cá mhéad tíl dhearg agus tíl oráiste a bheidh de dhíth uirthi le haghaidh dhearadh 8?(ii) An mbeidh 38 tíl de dhíth uirthi le ceann ar bith dá cuid dearaí? Mínigh do fhreagra.6. I seicheamh comhbhreise, tá T 13 27 agus tá T 7 3T 2 . Faigh sloinn i dtéarmaí n do T 13 ,T 7 agus T 2 agus uaidh sin faigh luach a agus luach d.Scríobh síos na chéad sé théarma sa seicheamh.7. (i) Más trí théarma leantacha iad 2k 2, 5k 3 agus 6k i seicheamh comhbhreise,faigh luach k, k Z.8.(ii) Ag glacadh leis gur trí théarma leantacha iad 4p, 3 p agus 5p 16 i seicheamhcomhbhreise, faigh luach p, p Z.Cruth 1Cruth 2Cruth 3Tarraingíodh trí chruth ar bhalla.Baineadh an dara cruth de thaisme. Ag glacadh leis gur tarraingíodh na cruthanna iseicheamh comhbhreise, tarraing cruth 2.(i) Scríobh seicheamh uimhreacha don mhéid ciorcal a úsáidtear i ngach cruth agusuaidh sin faigh T n don seicheamh.(ii) Cá mhéad ciorcal atá de dhíth le haghaidh chruth 15?(iii) Cén cruth a bhfuil 164 ciorcal de dhíth air?9. Is é T n 4n 2 an nú téarma i seicheamh áirithe.Fíoraigh gur seicheamh comhbhreise é.10. Má tá T n n(n 2) do sheicheamh áirithe, fíoraigh nach seicheamh comhbhreise é.11. Lean den phatrún trí dhá chruth eile a chur leis.Cruth 1 Cruth 2 Cruth 3(i) Cá mhéad tíl le dath éadrom a bheidh de dhíth le haghaidh chruth 7?(ii) Cá mhéad tíl le dath dorcha a bheidh de dhíth le haghaidh chruth 7?(iii) Scríobh slonn le haghaidh T n , líon na dtíleanna atá de dhíth don nú cruth.(iv) Cruthaigh nach seicheamh comhbhreise é an seicheamh a ghintear.143

12. Rinne Sorcha an patrún heicseagán seo a leanas ag úsáid cipíní.1 heicseagán 2 heicseagán 3 heicseagánLean sí ar aghaidh leis an phatrún seo. Ba mhian léi slonn a aimsiú le haghaidh T n .Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla seo a leanas.Líon na “heicseagán” 1 2 3 4 10 ( ) 30Imlíne 6 10 ( ) ( ) ( ) 82 ( )(i) Nuair a bhí líon áirithe heicseagán críochnaithe aici, chuntais Sorcha go raibh 87cipín fágtha. An bhfuil go leor aici le dearaí eile a dhéanamh, sa chaoi nach mbeidhcipín ar bith fágtha? Mínigh do fhreagra.(ii) Cruthaigh gur seicheamh comhbhreise é an seicheamh a dhéantar le líon na gcipíní snacruthanna.(iii) Shocraigh Sorcha an dearadh a athrú ansin, chun patrún le heicseagán cruachta achruthú, agus na cipíní sa lár bainte.bainte Cá mhéad leibhéal críochnaithe adfhéadfadh sí a dhéanamh le 122cipín, agus cá mhéad cipín a bheadhfágtha?13. Tar éis obráid a bheith agat ar do ghlúin, athraíonn do thraenálaí do chlár reathaíochta deréir a chéile. Molann sé reathaíocht ar feadh 12 nóiméad gach lá i rith na chéad seachtaine.Gach seachtain ina dhiaidh sin, molann se go méadaíonn tú an t-am sin le 6 nóiméad gach lá.Cén tseachtain ina mbeidh tú ag rith 60 nóiméad in aghaidh an lae?Mír 4.3 Sraitheanna comhbhreiseNuair a shuimítear téarmaí seichimh, déantar sraith.Is seicheamh é T 1 , T 2 , T 3 , T 4 , T n ; m.sh. 3, 6, 9, 12, Is sraith é T 1 T 2 T 3 T 4 , T n ; m.sh. 3 6 9 12 Úsáidtear S n le suim n téarma na sraithe a léiriú.i.e. S n T 1 T 2 T 3 T 4 T nChun slonn a aimsiú do S n , maidir le seicheamh comhbhreise tugaimid faoi deara go bhfuil,T n a (n 1)d⇒ T n 1 a [(n 1) 1]d a (n 2)dT 3 a 2dT 2 a dT 1 a(áit a bhfuil a T 1 , an chéad téarma, agus d an chomhbhreis)144

Uaidh sin,S n T 1 T 2 T 3 T n 1T n⇒ S n a a d a 2d . a (n 2)d a (n 1)dFreisin, S n a (n 1)d a (n 2)d a (n 3)d a d a(an t-ord a aisiompú)⇒ 2S n 2a (n 1)d 2a (n 1)d 2a (n 1)d . 2a (n 1)d 2a (n 1)d⇒ 2S n n[2a (n 1)]d ós rud é go bhfuil n téarma chomhionanna sa tsuim.⇒ S n __ n [2a (n 1)]d áit arb é a an chéad téarma, d an chomhbhreis, n líon na dtéarmaí.2Sampla 1Faigh suim na sraithe 4 11 18 25 . . . . . 144.Ag scrúdú na sraithe, faighimid: a 4d 11 4 7Chun n a fháil, an méid téarmaí suas go dtí an téarma 144, úsáidimidT n a (n 1)d144 4 (n 1)7 4 7n 7144 7n 37n 147n ____( 1477) 21 i.e. tá 21 téarma sa seicheamh seo. S n __ n {2a (n 1)d}2 ___ 21 {2(4) (21 1)7}2S n 1554.Sampla 2Chun breithlá a neachta a cheiliúradh, tairgeann fear cuntas coigiltis a oscailt agus 50a chur ann. Tairgeann sé chomh maith 10 de bhreis ar an méid a chuir sé ann an bhliainroimhe a chur sa chuntas gach bliain go dtí go mbeidh a neacht 21 bliain daois.(i) Faigh slonn le haghaidh S n , suim an airgid atá i dtaisce tar éis n bliain.(ii) Faigh S 21 , an méid iomlán atá coigilte tar éis 21 bliain.a 50d 10}S n __ n {2a (n 1)d}2 __ n {2(50) (n 1)10}2 __ n {100 10n 10)}2⇒ S n __ n {10n 90}2S 21 ___ 21 {10(21) 90} 31502145

Tugaimid faoi deara S 1 T 1S 2 T 1 T 2S 3 T 1 T 2 T 3 etc.Agus S n agat faigh T n :S n S n 1 T nDe ghnáth, S 3 S 2 T 3S n S n 1 T nSampla 3Má tá S n n2 4n, faigh slonn le haghaidh T n agus uaidh sin déan amach anseicheamh comhbhreise é.S n n 2 4nS n 1 (n 1) 2 4(n 1) cuir isteach n 1 in áit n n 2 2n 1 4n 4⇒ S n 1 n 2 6n 5T n S n S n 1 n 2 4n (n 2 6n 5) n 2 4n n 2 6n 5.T n 2n 5Más seicheamh comhbhreise é, caithfidh T n T n 1 a bheith tairiseach.⇒ T n T n 1 2n 5 [2(n 1) 5] 2n 5 (2n 7) 2n 5 2n 7 2 , i.e. tairiseach.Mar sin de, is seicheamh comhbhreise é.Sampla 4Tá comhlacht soilsiúcháin ag déanamh painéil solais ina bhfuil líon na mbolgán i ngachpainéal i seicheamh comhbhreise.Do na chéad 10 bpainéal, úsáideadh 165 bolgán.Más é an tríú painéal atá sa léaráid thíos, faigh a, an chéad téarma sa seicheamh, agus d,an chomhbhreis.3ú painéal (9 mbolgán)Uaidh sin tarraing léaráid de na chéad cheithre phainéal.146

T n a (n 1)d Freisin, S n T 3 a (3 1)dn__ {2 a (n 1)d}2T 3 a 2d 9 ..... tá a fhios againn go bhfuil S n 165 áit a bhfuil n 10⇒ S 10 ___ 10{2 a (10 1)d}2S 10 10a 45d 165.a 2d 9⇒ 10a 20d 90agus 10a 45d 16525d 75 ag dealú⇒d ____( 75 325)Má tá d 3, tá a 2(3) 9⇒ a 3Is é seicheamh na mbolgán sna painéil ná 3, 6, 9, 12.Nodaireacht sigme (Σ)Is bealach éifeachtúil í nodaireacht sigme le sraith a léiriú.S n T 1 T 2 T 3 T 4 . . . . . T nn ∑r 1T r a léitear mar shuim gach luacha ar T r de réir mar a athraíonn r ó 1 go n.6∑(2r 1) 3 5 7 9 11 13 (n 6 théarma)r 15∑r 24∑__ r 23 __ 43 __ 93 ___ 163 ___ 25(n 4 théarma)3r(r 1) 0(0 1) 1(1 1) 2(2 1) 3(3 1) 4(4 1)r 0 0 2 6 12 20 (n 5 théarma)∑ suim4∑T r suim T 1 T 2 T 3 T 4r 1147

Sampla 5(i) Úsáid nodaireacht sigme (∑) le 2 6 10 14 . . . . . a léiriú lehaghaidh 45 téarma.(ii) Cén luach ar n a thugann ∑3r 5 90 ?(iii) Faigh luach ∑4r 1.8r 1(i) 2 6 10 . . . . . a 2nr 1}T n a (n 1)dd 4 2 (n 1)4T n 4n 2⇒ T r 4r 2.r 45 2 6 10 ..... do 45 téarma ∑(4r 2)n(ii) ∑(3r 5 ) [3(1) 5] [3(2) 5] [3(3) 5)] ..... 3n 5r 1⇒ a 2r 1 2 1 4 . . . . . 3n 5.d 1 (2) 3S n 90⇒ 3n 2 7n 180 0(3n 20) (n 9) 0⇒ n 9 0 nó 3n 20 0 n 9 nó n 20 ____3 n 9 ós rud é go bhfuil n N8S n __ n {2a (n 1)d}290 __ n {2(2) (n 1)(3)}2180 n(4 3n 3)180 n(3n 7)(iii) ∑4r 1 3 7 11 ..... (n 8 dtéarma)r 18 ∑r 1a 3}d 7 3 44r 1 136} S n __ n {2a (n 1)d}2S 8 __ 8 {2(3) (8 1)4}2 4(34) 136148

Cleachtadh 4.31. Faigh S n agus S 20 i ngach ceann de na seichimh chomhbhreise seo a leanas:(i) 1 5 9 13 ..... (ii) 50 48 46 44 .....(iii) 1 1.1 1.2 1.3 ..... (iv) 7 3 1 5 .....2. Faigh suim gach ceann acu seo a leanas:(i) 6 10 14 18 . . . . . 50 (ii) 1 2 3 4 . . . . . 100(iii) 80 74 68 62 . . . . . 343. Cá mhéad téarma ón tsraith 5 8 11 14 a chaithfear a shuimiú chun iomlán de98 a dhéanamh?4. Má tá T n 5 3n, scríobh síos an chéad téarma a, agus an chomhbhreis d. Uaidh sin faigh S 10 .5. Coiglíonn Anna airgead gach seachtain chun printéir a cheannach a chosnaíonn 190. An pleanatá aici ná 10 a chur i leataobh ar dtús agus 2 níos mó gach seachtain ina dhiaidh sin (i.e.12, 14, etc.) go dtí go mbeidh go leor airgid aici chun an printéir a cheannach. Ag an rátaseo, cá mhéad seachtain a thógfaidh sé ar Anna an t-airgead a choigilt le haghaidh an phrintéara?66. Faigh luach (i) ∑(3r 1) (ii) ∑(4r 1) (iii) ∑rr 17. Scríobh gach ceann de na sraitheanna seo a leanas i nodaireacht sigme.(i) 4 8 12 16 ..... 124 (ii) 10 91_2 8 7 1_2 ..... 4(iii) 10 10.1 10.2 10.3 ..... 505r 08. I sraith chomhbhreise, tá T 4 15 agus tá S 5 55.Faigh na chéad chúig théarma den tsraith.9. Is é 18 an tríú téarma i seicheamh comhbhreise agus is é 30 an seachtú téarma.Faigh suim an chéad 33 téarma.10. I rang ealaíne, déanann dalta tástáil ar an dearadh le haghaidh líon taibhreamh, ag úsáidtfáinní agus snáitheanna. Taispeántar na chéad trí dhearadh thíos. Ba mhian leis leanúintar aghaidh le patrún na ndearaí. Cá mhéad fáinne a bheidh de dhíth air le haghaidh(i) dhearadh 10 (ii) dhearadh 20?Cá mhéad fáinne san iomlán a bheidh de dhíth air le haghaidh gach ceann den 20 dearadh?100r 1Dearadh 1Dearadh 2Dearadh 3149

11. Is é 12 an chéad téarma i seicheamh comhbhreise agus is é 40 an téarma deiridh. Más é196 suim na sraithe, faigh líon na dtéarmaí sa seicheamh agus an chomhbhreis.12. Taispeáin gurb é __ n (n 1) suim na n-uimhreacha aiceanta ó 1 go n, agus úsáid an2fhoirmle chun suim 1 2 3 4 99 a aimsiú.13. Is é 5 1 2 an t-aonú téarma is fiche i seicheamh comhbhreise agus is é 941 2suim an chéad 21téarma.Faigh an chéad téarma agus an chomhbhreis.Uaidh sin, faigh S 30 , suim an chéad 30 téarma.14. I seicheamh comhbhreise, T 21 37 agus S 20 320. Faigh suim na gcéad deich dtéarma.n(a l)15. Taispeáin gurb é S n ________2téarma deiridh.suim seicheamh comhbhreise go n téarma, áit arb é l an16. Mínigh an fáth nach féidir S ∞ (an tsuim go héigríoch) a fháil do sheicheamh comhbhreise.Mír 4.4 Seichimh iolraíochaSeicheamh iolraíoch a thugtar ar sheicheamh ina bhfaightear gach téarma ach an téarma roimhesin a iolrú faoi mhéid tairiseach.3 3 3Mar shampla, 2, 6, 18, 54, ..... gach téarma ag méadú de réir fachtóir 3.1_2 1_4, 2, 1,2 1_21_2 , . . . . . gach téarma ag laghdú de réir fachtóir 1 2 .I gcás seicheamh iolraíoch ar bith, le a a chuirtear an chéad téarma in iúl agus le r a chuirtear ancóimheas idir théarmaí leantacha in iúl (tugtar an comhiolraitheoir ar r); mar sin, is féidir gachseicheamh iolraíoch a scríobh mar seo:r r r rT 1 , T 2 , T 3 , T 4 , T 5 , . . . . . T na, ar, ar 2 , ar 3 , ar 4 , . . . . . ar n 1Féach ar an seicheamh:2, 6, 18, 54, ..... a.r n 1 }a 2 2, 2 3, 2 3 2 , 2 3 3 , ..... 2 3 n 1 r 6_2 3T n ar n 1T n 2.3 n 1150

Sampla 1Faigh T n agus T 10 sa seicheamh iolraíoch 1, 1_a 11_4r __1 1_4}T n a.r n 1 1. ( 1_4 ) n 11 _____4 n 14 , __ 116 , __ 1T n 4 n 1 4 1 nT 10 4 1 10 4 9 _______ 1262 14464 , I ngach seicheamhiolraíoch:T 1 aT 2 ___T 1 rT n ar n 1_____ T n 1 rT nSampla 2I seicheamh iolraíoch, T 3 32 agus T 6 4.Faigh luach a agus r agus uaidh sin, scríobh síos na chéad sé théarma sa seicheamh.T n a.r n 1T 3 a.r 3 1 ar 2 32T 6 a.r 6 1 ar 5 4Roinn na téarmaí seo:___ ar 5ar 2 __ 432r 3 1_8r 3 √__1_8 1_2Is é 128, 64, 32, 16, 8, 4 an seicheamh.Má tár 1_2 ,tá ar 2 32⇒ a. ( 1_4 ) 32a 128.Nóta:> Má thugtar trí théarma leantacha, T 1 , T 2 , T 3 , i seicheamh iolraíoch dúinn, feicfimid go bhfuil___ T 2 ___ T 3 (r, an comhiolraitheoir).T 1 T 2> Feicfimid freisin gur trí théarma leantacha i seicheamh iolraíoch iad __ a , a, ar áit arb éra__ an chéad téarma agus r an comhiolraitheoir.rNuair a iolraímid na téarmaí seo, faighimid __ a r a ar a3 , i.e. ciúb an téarma láir.Mar shampla: Tá 2, 6, 18 i seicheamh iolraíoch,⇒ 2 6 18 216 6 3Freisin, tá 1, 1 4 , 1 16i seicheamh iolraíoch,⇒1 1_4 __ 116 __ 164 (1_4 ) 3151

Sampla 3Is iad 3, x, x 6, na chéad trí théarma i seicheamh iolraíoch ina bhfuil natéarmaí deimhneach.Faigh (i) luach x(i) I gcás seicheamh iolraíoch, x 2 3x 18(ii) an deichiú téarma sa seicheamh. x 2 3x 18 0 (x 6) (x 3) 0⇒ x 6 nó x 3.___ T 2 ___ T 3, i.e.,T 1 T 2x__3 _____ x 6xx 6 mar go bhfuil na téarmaí deimhneach is é 3, 6, 12, an seicheamh.(ii) T n a.r n 1T 10 a.r 10 1 a.r 9 3.2 9 1536Sampla 4Is é 216 an toradh nuair a iolraítear na chéad trí théarma i seicheamh iolraíoch faoinachéile. Is é 21 a suim. Glac leis go bhfuil an comhiolraitheoir níos lú ná 1.Faigh na chéad trí théarma sa seicheamh.Bíodh na chéad trí théarma __ a , a, arr⇒a__r a ar a3 216____⇒ a 3 √ 216 6Freisin, __ a a ar 21r6__ 6 6r 21r6__ 6r 15 0r6 6r 2 15r 0 6r 2 15r 6 0(2r 1) (r 2) 0⇒ r 1_ or r 2.2Ó tá r 1 ⇒ r 1_2 .Mar sin, is iad __ a r , a, ar ____ 6( 1_2, 6, 61_(2)) 12, 6, 3 na chéad trí théarma.152

Sampla 5Faigh líon na dtéarmaí sa seicheamh iolraíoch 81, 27, 9, __ 127 .a 81}Bíodh T n ___ 127r ___ 2781 __ 1 T3n a.r n 1⇒ 81. __( 3) 1 n 1 1_____ 13 n 1 _______ 127 81⇒ 3 n 1 27 81⇒ 3 n 1 3 3 3 4 3 7 n 1 7n 8 ⇒ tá ocht dtéarma sa seicheamh.___27Nóta: Nuair a bhímid ag réiteach cothromóide ar nós 4 n 1 4096, is féidir linn dhá mhodhéagsúla a úsáid.Modh A: Sloinn 4096 mar chumhacht de 4 Modh B: Logartaim a úsáid.ag úsáid áireamháin agus triail4 n 1 4096agus earráid.⇒ log4 n 1 log 4096 4 n 1 4096 4 6 (n 1) log 4 log 4096n 1 6n 7n 1 ________ log 4096 6log 4 n 7(Féach caibidil 7).Seichimh easpónantúlaCruthaíonn feidhmeanna easpónantúla san fhoirm y Aa x ,áit arb é A an bunluach agus a an t-iolraitheoirnó an comhiolraitheoir, seichimh iolraíocha. 109Samhlaigh liathróid ag titim ó airde 10 m.8Má phreabann an liathróid ar ais suas go 2 3 dá76hairde bunaidh ar gach preab, tugann an patrún5seo airde na liathróide:4I ndiaidh aon phreibe amháin: 10 2_ 102_3( ) 133I ndiaidh dhá phreab: 10 2_3 2_ 102_3( ) 2 23 1I ndiaidh trí phreab: 10 2_3 2_3 2_ 102_3( ) 33 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11I ndiaidh n preab: 10 ( 2_ ) n 1 Líon na bpreabanna3Airde i ndiaidh gach preibe (m)153

Sampla 6Ligtear do liathróid titim ó airde 27 m. Cailleann an liathróid 2 3dá hairde ar gach preab.(i) Faigh airde na liathróide ar gach preab dá céad cheithre phreab.(ii) Uaidh sin, scríobh síos airde na liathróide i ndiaidh an 10ú preab.(iii) I ndiaidh cé acu preab a mbeidh an liathróid 2.5 m os cionn na talún, ar a mhéid?(i) I ndiaidh na chéad phreibe, beidh an liathróid 27 1 3 9 m os cionn na talún.I ndiaidh an dara preab, beidh an liathróid 27 1 3 1 3 3 m.I ndiaidh an tríú preab, beidh an liathróid 27 1 3 1 3 1 3 1 m.I ndiaidh an ceathrú preab, beidh an liathróid 27 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 m.(ii) I ndiaidh an 10ú preab, beidh an liathróid 27 ( 1_3 ) n 27 ( 1_3 ) 10 0.00046 m.(iii) Chun n, líon na bpreabanna a thabharfaidh airde 2.5 m, a fháil,bíodh 27 ( 1_3 ) n 2.5( 1_3 ) n 0.093ln ( 1_3 ) n ln (0.093)n ln ( 1_3 ) ln (0.093) ⇒ n (_________ ln (0.093)ln ( 1_ 2.16 preab.3 ) )Mar go gcaithfidh líon na bpreabanna a bheith ina uimhir scoite (ina shlánuimhir),i ndiaidh dhá phreab beidh an liathróid os cionn 2.5 m.Mar sin, glacfaidh sé trí phreab ar an liathróid le bheith cinnte go mbeidh anliathróid faoi 2.5 m.Cleachtadh 4.41. Déan amach cé acu de na seichimh seo a leanas atá ina seiceamh iolraíoch.Faigh comhiolraitheoirí na seicheamh seo agus scríobh síos an chéad dá théarma eile ingach seicheamh.(i) 3, 9, 27, 81, (ii) 1, 1_3 , 1_9 , 127 , .. .(iii) 1, 2, 4, 8, (iv) 1, 1, 1, 1, (v) 1, 11_2 , 1 1_4 , 1 1__8, (vi) a, a2 , a 3 , a 4 , (vii) 1, 1.1, 1.21, 1.331, (viii)1_2 , 1_6 , 112 , 136 , (ix) 2, 4, 8, 16, (x)3_4 , 9_ , 27, 162, 22. Is seicheamh iolraíoch é gach ceann de na seichimh a leanas.Faigh a agus r agus uaidh sin, faigh an téarma a luaitear.(i) 5, 10, (T 11 ) (ii) 10, 25, (T 7 )(iii) 1.1, 1.21, (T 8 ) (iv) 24, 12, 6, (T 10 )154

3. Má tá T 2 12 agus T 5 324, faigh a agus r agus uaidh sin, scríobh síos na chéad chúigthéarma sa seicheamh.4. Faigh luach r más é 6 an tríú téarma agus 1458 an t-ochtú téarma.5. Scríobh síos na chéad chúig théarma sa seicheamh iolraíoch arb é 4 an dara téarma annagus 1 16an cúigiú téarma ann.6. A:B:etc.etc.C:D:etc.etc.Trí iniúchadh, socraigh cé acu ceann de na patrúin thuas a chruthaíonn seicheamh iolraíoch.Tarraing an chéad phatrún eile i gcás na seicheamh atá iolraíoch.7. Is trí uimhir leantacha i seicheamh iolraíoch iad n, 2 agus n 3. Faigh luach n agusuaidh sin, scríobh síos na chéad cheithre théarma eile sa seicheamh.8. Is é 63 an tríú téarma i seicheamh iolraíoch. Is é 189 an ceathrú téarma. Faigh(i) luachanna a agus r(ii) slonn ar T n .9. Is é 16 an chéad téarma i seicheamh iolraíoch agus is é 9 an cúigiú téarma.Cad é luach an seachtú téarma?10. Is é 27 toradh na gcéad trí théarma i seicheamh iolraíoch. Is é 13 a suim.Faigh na chéad cheithre théarma sa seicheamh.11. Is é T n 3 2 n 1 an nú téarma, T n , i seicheamh iolraíoch.Scríobh síos na chéad chúig théarma sa seicheamh san fhoirm is simplí díobh.12. Má tá T n 8 ( 3_4 ) n , scríobh amach na chéad cheithre théarma sa seicheamh.13. Scríobh amach na chéad cheithre théarma sa seicheamh a shainíonn T n (1) n 1 _____ 52 n 4 .155

14. Más iad seo a leanas na chéad trí théarma i seicheamh iolraíoch, faigh dhá luach fhéidearthaar x agus uaidh sin, scríobh síos dhá sheicheamh fhéideartha do gach ceann.(i) x 3, x agus 3x 4 (ii) x 1, x 4 agus 3x 2(iii) x 2, x agus x 3 (iv) x 6, 2x agus x 2 .15. Taispeáin gur seicheamh iolraíoch é an seicheamh arb éT n 2 3 n an nú téarma ann.16. Fiosraigh an seicheamh iolraíoch é an seicheamh T n 3 n 2 .Chun a léiriú go bhfuil seicheamhiolraíoch, caithfear a léiriú gurTtairiseach (r) é _____ n 1.T n17. Faigh líon na dtéarmaí i ngach ceann de na seichimh iolraíocha seo:(i) 5, 15, 45, . .... 3645 (ii) 48, 6, ¾, . . . . . _____ 3204818. Ligtear do chruinneog rubair titim ó airde 27 m, síos ar urlár coincréite. Gach uair abhuaileann sí an choincréit, preabann sí ar ais suas go 2 3na hairde bunaidh. Faigh(i) airde gach ceann de na chéad cheithre phreab(ii) foirmle dairde an nú preab(iii) airde an 12ú preab, ag úsáid na foirmle a fuair tú in (ii).19. Tugann A 4000 (1.03) t , áit arb é t líon blianta an infheistithe, luach suim airgid acuireadh i dtaisce ar ús iolraithe 3% sa bhliain. Faigh(i) an tsuim airgid a cuireadh i dtaisce(ii) luach an infheistithe ag deireadh gach ceann de na chéad cheithre bliana(iii) luach an infheistithe ag deireadh an 10ú bliain(iv) líon na mblianta, ceart go dtí an bhliain is gaire, a ghlacfaidh sé ar an infheistíocht aluach a dhúbailt.20. Tugann A P(1 i) t luach infheistíochta áirithe, áit arb é P an tsuim a cuireadh i dtaisce,t líon na mblianta agus i an ráta úis, sloinnte mar dheachúil.Má mhéadaigh 2500 i dtaisce go 3047, thar thréimhse 10 mbliana, ríomh an ráta úis(ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha).Mír 4.5 Sraitheanna iolraíochaNuair a shuimímid téarmaí seichimh iolraíoch, faighimid sraith iolraíoch.Mar shampla, is sraith iolraíoch é 2 6 18 54 .Chun suim sraithe iolraíche a fháil, úsáidimid an modh seo a leanas:S n a ar ar 2 . . . . . ar n 3 ar n 2 ar n 1⇒ r.S n Dealaímid: S n rS n a ar n S n (1 r) a(1 r n ) S n ar ar 2 . . . . . ar n 3 ar n 2 ar n 1 ar na(1 r n ) _________1 r gach téarma aiolrú faoi r156

a(1 r n )Is é S n _________1 rsuim n téarma i seicheamh iolraíoch, áit arb é a anchéad téarma agus r an comhiolraitheoir.Sampla 1Faigh T 5 agus S 5 i ngach ceann díobh seo a leanas:(i) 1 3 9 ii) 1 ( (i) a 1 T n ar n 1r 3_ }1 3 T n 1.3 n 1 3 n 1(ii) a 11_4r __1 1_Sampla 24} T 5 3 5 1 3 481T n ar n 1 1. ( 1_4 ) n 1T n _____ 14 n 1 T 5 ____ 14 5 1T 5 1__4 4 1 ____2561_4 __ 116 a(1 r n )S n _________1 r1(1 3 n ) _________1 3 ______ 1 3 n2S n ______ 3 n 12S 5 ______ 3 5 1 1212S n a(1 r n ) _________1 r1 (1 ( 1_4 ) n ) ___________1 1_41 1__4 n ______3_4S n S 5 4__3(1 4__3(1 1__4) n1__4) 5 ____ 341256I sraith iolraíoch, T 3 32 agus T 6 4; faigh a agus r agus uaidh sin, faigh S 8 , suimna gcéad ocht dtéarma.T n ar n 1T 3 ar 3 1 ar 2 32T 6 ar 6 1 ar 5 4Ag roinnt na gcothromóidí seo, faighimid___ ar 2ar 5 __ 3241__r 3 8r 3 1_8r 3 √__1_8 1_2157

Má tá r 1_ , ansin a1_2( ) 2 322a ( 1_ ) 4 32 S n a(1 r n ) _________1 r128 (1 (1_2 ) n ) _____________1 1_2___2) n2) 8 252S n 256 (1 1S 8 256 (1 1 __a 128.Tá sé an-tábhachtach tionchar luach r ar shuim sraithe iolraíche a thuiscint. Féach ar thrí sheicheamhiolraíocha A, B agus C áit arb é r 2 comhiolraitheoir A; r 1 comhiolraitheoir B agusr 1 2comhiolraitheoir C. Má thosaímid le 1 mar luach an chéad téarma, faighimid:158Seicheamh r T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 . . . . . T 100A 2 1 2 4 8 16 32 6.3 10 29B 1 1 1 1 1 1 1 1C1_2 1 1_1_1_ __ 12 4 8__321.6 1030161⇒ Sraith r S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 . . . . . S 100A 2 1 3 7 15 31 63 1.3 10 30B 1 1 2 3 4 5 6 100C1_21 1.5 1.75 1.875 1.9375 1.96875 2Má tá r 1, méadaíonn ar luachannaT n agus S n go han-tapa, de réir mar amhéadaíonn ar n.Má tá r 1, ansin feidhmíonn anseicheamh ar an gcaoi chéanna is afheidhmíonn seicheamh comhbhreise cuirtear méid tairiseach le gach téarma.Má tá r 1, deirtear go bhfuil luachteorantach ag luach S n .Sa tsraith C thuas, druideann an tsuimS n i dtreo an luacha 2.Má thógaimid luach sách ard do n, isféidir linn S n a chur chomh gar do 2 agusa theastaíonn uainn, i.e. is féidir linn2 S n a dhéanamh chomh beag agus atheastaíonn uainn.11109876543210U 2 U 2U 1 U 1 U1S 1| r | 1U 3S 2 S 3 S 4 S 5 S 6S n sraithe iolraíche| r | 1| r | 1S 100

Deirimid go ndruideann S n le luach teorantach 2 de réir mar a dhruideann n leis an eígríoch.Scríobhtar é seo mar: S n → 2 de réir mar n → ∞ nó limn → ∞ S n 2.I bhfocail, deirimid, Is é 2 teorainn na páirtsuime S n , de réir mar a dhruideann n i dtreo na héigríche.Anois féach ar an bhfoirmle don tsuim go n téarma i sraith iolraíoch, má tá r < 1.S n a(1 r n ) _________1 rNuair atá r < 1, neasóidh rn go dtí an nialas i gcás luachanna móra ar n, i.e. r n 0 de réir mar n ∞.a(1 r n )Mar sin, athraíonn S n _________a(1 0)go S1 rn ________1 rI gcás sraith iolraíoch S n _____ ade réir mar n → ∞. agus r < 1,1 rnó lim S nn → ∞ _____ alim S nn → ∞ _____ a1 r .1 rSampla 3Faigh suim na sraithe iolraíche 16 12 9 go héigríoch.a 16 ⇒ lim S12r __16 3_ }nn → ∞ _____ a1 r4 _____ 161 3_ 644Deachúlacha athfhillteachaIs féidir deachúlacha athfhillteacha a shloinneadh mar shuim seichimh iolraíoch go héigríoch, áita bhfuil an comhiolraitheoir r < 1. __ 110 __ 110 __ 110Mar shampla, 0.3 . 0.3333 . .... ___ 310 ___ 310 2 ___ 310 3 ___ 310 4 . . . . .áit a bhfuil a 0.3 agus r ___ 110 .Ar an gcaoi chéanna,0.23 . 5 . 0.2353535 . .... 0.2 [0.035 0.00035 . . . . .] 0.2 _____ 351000 _______ 35100000 . . . . . 0.2 sraith iolraíoch go héigríocháit a bhfuil a _____ 35agus r ____ 11000100 .159

Sampla 4Scríobh an deachúil athfhillteach 0.2 . 3 . mar chodán san fhoirm __ a , a, b, N.b0.2 . 3 . 0.232323 ..... 0.23 0.0023 0.000023 ..... ____ 23100 ______ 2310000 ________ 231000000 .....⇒ a 23 ____100agus r ______ 2310000 ____ 23100 ____ 1100___ 23⇒ lim S nn → ∞ _____ a1 r _______ 1001 ___ 1 ____ 23100 ____ 10099 ___ 2399100[Nóta: Go minic, scríobhtar lim S nn → ∞ mar S ∞ . Mar sin, S ∞ ___99]23Nóta: Má tá x 0.232323 ,ansinCleachtadh 4.5100x 23.232323 ⇒ 99x 23 ag dealú na chéad líne ón dara líne x ___ 23991. Faigh suim na gcéad deich dtéarma sa tsraith 2 6 18 54 2. Faigh n, líon na dtéarmaí, sa tsraith seo a leanas:1024 512 256 . . . . . 32. Uaidh sin, faigh suim na sraithe.3. Faigh S 8 sa tsraith 1 2 4 8 4. Faigh S 10 sa tsraith 32 16 8 5. Faigh S 6 sa tsraith 4 12 36 108 6. Faigh líon na dtéarmaí sa tsraith 729 243 81 1 3 .Uaidh sin, faigh suim na sraithe.7. Scríobh amach na chéad trí théarma sa tsraith∑4 r agus uaidh sin, faigh suim na sraithe.8. Faigh luach ∑23 r .8r 1109. Faigh suim ∑r 16 ( 1_6r 12 ) r ceart go dtí trí ionad de dheachúlacha.10. Scríobh gach ceann de na deachúlacha athfhillteacha seo mar shraith iolraíoch éigríochta.Uaidh sin, sloinn gach ceann mar dheachúil san fhoirma__ , a, b N... ... .b. .. .(i) 0. 7 (ii) 0. 3 5 (iii) 0.23(iv) 0. 3 70(v) 0.162 (vi) 0.321160

11. Faigh S n , an tsuim go n téarma, sa tsraith 1 1_2faigh S ∞ , suim na sraithe go héigríoch.Faigh íosluach n sa chaoi go bhfuil S ∞ S n 0.001. (1_2 ) 2 ( 1_2 ) 3 . . . . . ( 1_2 ) n 1 agus uaidh sin,Mír 4.6 Súil arís ar phatrúin uimhreachaPatrúin líneacha, chearnacha agus chiúbachaAgus muid ag déanamh staidéir ar an ailgéabar, thugamar faoi deara gur féidir patrúin a aithint iseichimh uimhreacha áirithe ach na difríochtaí a ríomh.Is é 4 an chéad difríocht sa seicheamh Seicheamh 4 0 4 8 124, 0, 4, 8, 12, ; cruthaíonn sé seo foirmle An chéad difríocht 4 4 4 4do T n 4n a, áit a bhfuil n 1, 2, 3, Mar sin, má tá n 1, ansin T 1 4(1) a 4⇒ a 8 Má bhíonn an chéad difríocht tairiseach bíonn patrún comhbhreise (líneach) ann, T n 4n 8.Mar a léiríonn an tábla a leanas, níl an chéad Seicheamh 7 17 31 49 71difríocht sa seicheamh 7, 17, 31, 49, 71, An chéad difríocht 10 14 18 22tairiseach.An dara difríocht 4 4 4Léiríonn dara difríocht thairiseach patrún cearnach (n 2 ), an 2 bn c.Féach ar T n an 2 bn c, i gcás gach luacha ar n 1.Faigheann an tábla a leanas luach na gcéad difríochtaí agus na ndara difríochtaí i dtéarmaí a, b agus c.T 1 T 2 T 3 T 4 T 5a b c 4a 2b c 9a 3b c 16a 4b c 25a 5b c3a b c 5a b c 7a b c 9a b c An chéad difríocht2a 2a 2a An dara difríochtÓn tábla seo, feicimid gurb é 2a, dhá oiread chomhéifeacht n 2 , an dara difríocht i bpatrún cearnachuimhreacha i gcónaí. más é 4 an dara difríocht ⇒ 2a 4a 2 T n 2n 2 bn c do n 1, 2, 3, etc.Chun b agus c a aimsiú, úsáidfimid cothromóidí comhuaineacha mar seo a leanas:T n 2n 2 bn c do n 1, 2, 3, etc.Bíodh n 1, T 1 2(1) 2 b(1) c 7⇒ b c 5Bíodh n 2, T 2 2(2) 2 b(2) c 17⇒ 2b c 9b c 5 b 4161

Má tá b 4, ansin 4 c 5,⇒ c 1 T n 2n 2 4n 1 do n 1, 2, 3, etc.Is féidir modh na ndifríochtaí críochta a úsáid chun iniúchadh a dhéanamh ar phatrúin uimhreacha,a bhfuil cumhachtaí níos airde acu.Má bhíonn an tríú difríocht tairiseach, bíonn patrún ciúbach againn, T n an 3 bn 2 cn d srl.PatrúnChun a a aimsiúTairiseach na chéad difríochta T n an b a an chéad difríochtTairiseach an dara difríocht T n an 2 bn c 2a an dara difríochtTairiseach an tríú difríocht T n an 3 bn 2 cn d 6a an tríú difríochtSampla 1Scríobh an nú téarma sa phatrún uimhreacha 1, 13, 51, 125, 247, mar iltéarmachciúbach.Ó tá an 3ú difríocht ciúbach, tá páirtchiúbach sa phatrún uimhreacha agustá 6a an tríú difríocht.⇒ a 1_6 12 2Seicheamh 1 13 51 125 247An chéad difríocht 14 38 74 122An dara difríocht 24 36 48An tríú difríocht 12 12T n 2n 3 bn 2 cn d for n 1T 1 2 b c d 1⇒ b c d 3T 2 2(2) 3 b(2) 2 c(2) d 13⇒ 4b 2c d 3T 3 2(3) 3 b(3) 2 c(3) d 51⇒ 9b 3c d 3Na cothromóidí a réiteach:1. b c d 32. 4b 2c d 33. 9b 3c d 3faighimid b 0, c 0, d 3 T n 2n 3 3 do n 1.Sampla 2Déantar patrún mósáice ar urlár, mar a léirítear.Faigh líon na dtíleanna is gá chun an 30ú patrún a dhéanamh.162

Cruthaíonn líon na dtíleanna is gá a úsáid an patrún 1, 3, 6, 10, Má sheiceálaimid na difríochtaí, feicfimidgo bhfuil an dara difríocht tairiseach.Mar sin, tá patrún cearnachT n an 2 bn c i gceist.Agus 2a 1 ⇒ a 1_2 T n 1_2 n2 bn cT 1 1_2 (1)2 b(1) c 1⇒ b c 1_2T 2 1_2 (2)2 b(2) c 3⇒ 2b c 1Seicheamh 1 3 6 10An chéad difríocht 2 3 4An dara difríocht 1 1Nuair a réitímid na cothromóidí seo, faighimidb 1_2 , c 0 T n 1_2 n2 1_ n, for n 12 T 30 1_2 (30)2 1_ (30) 465.2Go hachomair, nuair a scrúdaítear próiseas agus go n-aithnítear patrún uimhreacha, is féidir foirmle achruthú deilimintí leantacha faoi cheannlínte ar nós (i) Comhbhreise (Líneach) (ii) Cearnach(iii) Ciúbach (iv) Iolraíoch (Easpónantúil) ach an nasc idir eilimintí an phatrúin a aithint.Cleachtadh 4.61. Úsáid modh na ndifríochtaí chun T n , an nú téarma, a fháil do gach ceann de na patrúinuimhreacha seo a leanas:(i) 5, 9, 13, 17, 21, (ii) 1, 4, 7, 10, 13, (iii) 11, 16, 21, 26, 31, 2. Faigh foirmle do T n , an nú téarma, i ngach ceann de na patrúin uimhreacha seo a leanas:(i) 2, 1, 0, 1, 2, (ii) 0, 2, 4, 6, 8, (iii) 6, 4, 2, 0, 2, 3. Más é 5 mm X 5 mm toise gach ceann de na cearnóga sa phatrún seo, faigh(i) achar(ii) imlíne an 28ú patrún.4. Má tá achar 1 cm 2 i ngach triantán thíos, tiontaigh an patrúntriantánach seo ina phatrún uimhreacha. Uaidh sin, faigh(i) achar an 30ú cuid dendearadh(ii) cé acu cuid ag a mbeadhachar 441 cm 2 ?163

5. Má leantar leis an bpatrún uimhreacha seo, faigh(i) achar an 100ú triantán (ii) cé acu triantán ag a mbeidh achar 240 cm 2 ?2 cm2 cm3 cm4 cm4 cm6 cm6. Is féidir gach ceann de na patrúin uimhreacha seo a leanas a scríobh san fhoirman 3 bn 2 cn d. Faigh luachanna a, b, c agus d i ngach cás:(i) 6, 27, 74, 159, 294(ii) 3, 1, 1, 9, 35(iii) 1, 2, 17, 50, 1077. Dear riail a aimsíonn líon na dtíleanna geala i ngach ceann de na patrúin seo a leanas.Aimsigh líon na dtíleanna geala agus dorcha is gá don 24ú patrún i ngach ceann.(a)(b)(c)8. Scríobh foirmle don nú téarma i ngach ceann de na seichimh uimhreacha seo a leanas.(i) 7, 16, 31, 52, 79, (ii) 1, 0, 3, 8, 15, (iii) 1, 14, 53, 128, 251, (iv) 2, 2, 6, 10, 14, (v) 4, 31, 98, 223, 424, 164

Súil Siar (Croícheisteanna)1. Aimsigh na chéad cheithre théarma sna seichimh seo ina dtugtar an nú téarma i ngach cás:(i) T n 3n 4(ii) T n 6n 1(iii) T n 2 n 1(iv) T n (n 3)(n 4)(v) T n n 3 12. Is é 71 an tríú téarma i seicheamh comhbhreise. Is é 55 an seachtú téarma.Aimsigh an chéad téarma agus an chomhbhreis.3. I sraith iolraíoch, is é 12 an chéad téarma agus is é 36 an tsuim go héigríoch.Faigh an comhiolraitheoir.4. Faigh an comhiolraitheoir i ngach ceann de na seichimh iolraíocha seo agus, uaidh sin,scríobh slonn don nú téarma, T n .(i) 2, 4, 8, (ii) 1, 1_2 , 1_4 , (iii) 2, 6, 18, 5. Déantar sraith ciúbanna as cipíní agus cuirtear le chéile iad mar chiúbóidigh, mar aléirítear.(i) Aimsigh líon na gcipíní is gá chun an nú ciúbóideach a dhéanamh.(ii) Aimsigh uaslíon na gciúbanna sa chiúbóideach má tá 2006 cipín fágtha le haghaidhna tógála.6. Is é 21 an dara téarma i seicheamh iolraíoch.Is é 63 an tríú téarma.Aimsigh (i) an comhiolraitheoir (ii) an chéad téarma.7. Infheistítear 2000 i scéim choigiltis a thugann ús iolraithe 2.5%. Mínigh conas asheasann an slonn A 2000(1.025) 5 do luach na hinfheistíochta i ndiaidh 5 bliana.8. Faigh suim an chéad 200 uimhir aiceanta.9. Is ionann an cúigiú téarma i seicheamh comhbhreise agus dhá oiread an dara téarma.Is é 9 an difríocht idir an dá théarma.Faigh suim na gcéad 10 dtéarma sa seicheamh.10. Faigh luach ∑(2r 1).16r 3165

Súil Siar (Ardcheisteanna)1. Leagtar amach roinnt scáthán, mar a léirítear. Lonraíonn lampa 2000 lúman orthu sa chaoigo bhfrithchaitear an solas go leanúnach ó scátháin leantacha.(Nóta: Is tomhas gile é an lúman.)ScáthánLampaFrithchaitheann gach scáthán 3 5den solas a bhuaileann é.(i) Faigh déine an tsolais a fhrithchaitear ón 10ú scáthán.(ii) Scríobh cothromóid a sheasann do dhéine an tsolais a fhrithchaitear ón nú scáthán.(iii) Tar éis cé mhéad frithchaitheamh (scáthán) a laghdófar déine an tsolais go dtí 1 10 dáluach bunaidh?2. Tugann A P(1 i) t luach P, suim airgid a infheistíodh ar feadh t bliain. Is é i an rata úisthar an tréimhse coigiltis.(i) Maidir le hinfheistíocht ar bith, taispeáin gur ar an ráta úis i agus air sin amháin abhraitheann an t-achar ama a thógann sé ar an infheistíocht tosaigh a luach a dhúbailt,agus nach mbraitheann sé ar an tsuim a infheistíodh. Uaidh sin, faigh slonn, i dtéarmaíi, an ráta úis, don achar ama a thógann sé ar infheistíocht a luach a dhúbailt.(ii) Uaidh sin, ríomh an t-achar ama a thógfaidh sé ar shuim airgid a luach a dhúbailt máinfheistítear í ar rata úis(a) 2% (b) 5% (c) 10%.3. Ligtear do liathróid titim ó airde 10 m.Preabann sí aníos arís go 6 m agus ansinpreabann sí aníos go 3.6 m agus mar sinde, mar a fheictear sa léaráid. Déan cóipden ghraf agus cuir isteach na chéadchúig airde eile a shroicheann anliathróid ón talamh.Airde (m)(i) Scríobh síos sraith uimhreacha asheasann don fhad iomlán a .ghluaiseann an liathróid(ii) Déan cur síos ar an sórt sraithe achruthaítear.(iii) Cad é an fad iomlán a ghluaiseannan liathróid?(iv) Cén chaoi a gcuirtear méid naliathróide san áireamh san fhadhb seo?1098765432100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Líon na bpreabanna166

4. (i) Scríobh cothromóid don nú téarma sa seicheamh 3, 6, 12, 24, 48(ii) Úsáid logartaim chun an chéad téarma atá níos mó ná aon mhilliún amháin a aimsiú saseicheamh seo.5. Bíonn áthas ar aintín shaibhir leat nuair a thosaíonn tú agimirt fichille. Chun tú a spreagadh, deir sí go gcuirfidh sícent amháin ar an gcéad chearnóg den bhord agus gondúblóidh sí an tsuim gach seachtain a leanann tú ort agfoghlaim an chluiche.Cé mhéad airgid (in euro) a bheidh le tabhairt ag daintínduit ag deireadh(i) sheachtain 32(ii) sheachtain 64?1cent2cent4centSeachtain32Seachtain646. Tá trí théarma leantacha i seicheamh comhbhreise a shuimíonn go 33 agus is é 935 a dtoradh.Cad iad na téarmaí?7. Dímheasann luach cairr 13% in aghaidh na bliana. Má ceannaíodh an carr agus é nua ar 30 000,(i) faigh foirmle a nascann V, luach an chairr, lena aois a(ii) faigh luach an chairr i ndiaidh cúig bliana(iii) faigh an bhliain ina mbeidh luach an chairr faoi bhun 6000.8. Tugann an fhoirmle T n 3 ( 2_3 ) n 1 seicheamh uimhreacha, áit ar slánuimhir dheimhneach é n.(i) Faigh T 1 , T 2 , T 3 sa seicheamh seo.(ii) Taispeáin go bhfuil T n1 2 ( 2_3 ) n 1.(iii) Má tá 3T n 1 2T n k, faigh k má tá k N.15(iv) Taispeáin go bhfuil ∑9. Más é S n suim sraithe go n téarma,1[3( 2_ ) n 13] 9.014 ceart go dtí 4 fhigiúr bhunúsacha.(i) taispeáin go bhfuil T n S n S n 1 , áit arb é T n an nú téarma sa tsraith.(ii) faigh slonn do T n má tá S n 3n 2 n(iii) faigh slonn, i dtéarmaí n, do ∑(T r ) 2nr 110. Sloinn log 4 x i dtéarmaí log 2 x san fhoirm is simplí de.Uaidh sin, taispeáin gur trí théarma leantacha i sraith iolraíoch iad log 2 x, log 4 x agus log 16 x.Scríobh síos luach an chomhiolraitheora.Más é k log 2 x suim na sraithe iolraíche go héigríoch, faigh luach k.(Féach Caibidil 7 do na rialacha a bhaineann le logartaim).167

Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtar freagra níos faide)1. Is féidir seicheamh ciúbach a léiriú mar seo: T n , an nú téarma, an 3 bn 2 cn d, áit abhfuil a, b, c R agus a 0.(i) Comhlánaigh Tábla 1 thíos i dtéarmaí a, b agus c.T 1 T 2 T 3 T 4 T 5a b c dAn chéad difríochtAn dara difríochtAn tríú difríochtTábla 1(ii) Bunaithe ar an tábla seo, déan cóip den ráiteas seo a leanas agus comhlánaigh é:Is é . an tríú difríocht i ngach seicheamh ciúbach i gcónaí.(iii) Comhlánaigh an dá ráiteas seo a leanas maidir le seichimh chearnacha:(a) Is é . an dara difríocht i ngach seicheamh cearnach i gcónaí.(b) Is é . an chéad difríocht, T 2 T 1 , i ngach seicheamh cearnach igcónaí.(iv) Comhlánaigh Tábla 2 don seicheamh 5, 12, 25, 44, .T 1 T 2 T 3 T 45 12 25 44An chéad difríochtAn dara difríochtTábla 2(v) Úsáid na sloinn a fuair tú don chéad agus don dara difríocht in (iii) chun a, b agus c a fháil.(vi) Uaidh sin, faigh luach T 20 .2. Ligtear do liathróid titim óna hairde bhunaidh i.e. 40 m anuas ar urlár coincréite.Ar an deichiú preab, preabann an liathróid 1 m aníos ón talamh.(i) Scríobh slonn dairde na liathróide i ndiaidh n preab.(ii) Cén céatadán den airde ónar thit an liathróid a phreabann sí aníos ar gach preab?(iii) Aimsigh airde na liathróide i ndiaidh gach ceann de na chéad chúig phreab agus uaidhsin, comhlánaigh an tábla:Preab 1ú 2ú 3ú 4ú 5úAirde(iv) Tarraing graf a léiríonn airde na liathróide i ndiaidh gach preibe.(v) Déan meastachán ón ngraf ar líon na bpreabanna is gá sula mbeidh an phreab 2 m nóníos lú.(vi) Úsáid an slonn i gcuid (i) chun íoslíon na bpreabanna is gá sa chaoi go bhfanfadh anliathróid faoi 2 m a fháil.(vii) De réir an tsloinn i gcuid (i) agus an ghraif i gcuid (iv), dfhéadfadh an liathróidleanacht ar aghaidh ag preabadh de shíor. Mínigh an fáth nach dtarlaíonn sé seo.168

3. Tá Rónán i mbliain na hArdteiste.Ag deireadh an cúigiú bliain, thug a thuismitheoirí 20 sa tseachtain dó mar airgead póca.Chun é a spreagadh chun níos mó oibre a dhéanamh sa séú bliain, thairg a thuismitheoirírogha de dhá shórt scéim airgead póca do Rónán.Scéim 1: 20 i seachtain 1. 22 i seachtain 2 agus mar sin de, ag méadú 2 inaghaidh na seachtaine.Scéim 2: 20 i seachtain 1. 21 i seachtain 2 agus mar sin de, ag méadú faoinbhfachtóir tairiseach 2120in aghaidh na seachtaine.(i) Faigh an méid iomlán in euro a gheobhadh sé i seachtain n do Scéim 1 agus do Scéim2 (2 fhreagra ar leith). Bíodh gach freagra san fhoirm is simplí de.(ii) Glac leis go mbíonn 36 seachtain 5 lá i mbliain scoile. Cé acu scéim ba cheart doRónán a roghnú, dar leat? Seas le do fhreagra.(iii) Ba mhaith le Rónán airgead a chur i dtaisce i gcomhair consól cluichí nua. Cosnaíonnan consól 400. Mura gcaitheann sé ach 1.50 sa lá scoile agus go gcuireann sé anchuid eile dá chuid airgead póca i dtaisce, cén tseachtain is luaithe a bhféadfadh sé anconsól a cheannach? Glac leis gur Scéim 2 thuas atá roghnaithe aige dá chuid airgead póca.4. Coimeádtar leacht áirithe i mbairille. Ag tús na bliana2010, cuirtear 160 lítear leachta isteach sa bhairille.Má chailltear 15% de thoirt an leachta trí ghalú i rithna bliana,(i) faigh méid an leachta sa bhairille ag deireadh nabliana(ii) léirigh go mbeidh timpeall ar 31.5 lítear leachtasa bhairille ag deireadh 2020.Ag tús gach bliana, ag tosú in 2010, líontar bairille nua le 160 lítear leachta.Leantar leis an bpróiseas seo go ceann 20 bliain, go dtí 2030.(iii) Ríomh méid iomlán an leachta sna bairillí, i ndiaidh galaithe, ag deireadh na bliana 2030.2030.5. Cheannaigh comhlacht áirithe meaisín grafaicí ar 15 000 ag tús na bliana 2005.Gach bliain, laghdaíonn luach an mheaisín 20% óna luach ag tús na bliana.(i) Léirigh gurbh é 9,600 luach an mheaisín ag tús 2007.(ii) Tá sé i gceist ag an gcomhlacht meaisín nua a fháil ina áit, nuair a thiteann a luach faoibhun 500. Cén bhliain ina mbeidh an meaisín le hathsholáthar?(iii) Cuireann an comhlacht 1000 i gcuntas coigiltis ag tús gach bliana, mar phleanathsholáthair. 5% sa bhliain an ráta úis a bhaineann leis an gcuntas seo. Má rinneadh anchéad íocaíocht nuair a ceannaíodh an meaisín, agus má dhéantar an íocaíocht deiridh agtús na bliana ina mbeidh an meaisín le hathsholáthar, úsáid do fhreagra ó chuid (ii) chunluach an chuntais, nuair a athsholáthraítear an meaisín, a fháil.(iv) Má tá an méid a choiglítear chun íoc as costas iomlán an mheaisín nua, ríomh anuasteorainn ar an meánráta boilscithe thar thréimhse na hinfheistíochta.169

5Matamaitic an Airgeadais luach cumaisc luach láithreach ús iolraithe dímheas blianachttráthchoigilteas tráthíocaíochtaí iasachtaí morgáisteTá sraitheanna iolraíocha an-tábhachtach i gcúrsaí eacnamaíochta áit a mbímid ag plé le téarmaí ar nós(i) Ús Iolraithe (ii) Luach Cumaisc (iii) Luach Láithreach (iv) Pinsin (v) Blianacht(vi) Aisíocaíochtaí morgáiste (vii) Tráthchoigilteas, srl.Mír 5.1 Ús iolraitheNuair nach n-aistarraingítear an t-ús a thuilleann suimairgid atá i dtaisce i mbanc, cuirtear leis anbpríomhshuim é don dara bliain.Fásann an t-ús bliain ar bhliain agus deirtear go bhfuilsé athiolraithe.Ar ráta 5% in aghaidh na bliana, is féidir an méadú aran ús a thuilleann 10 000 a fheiceáil bliain ar bhliainsa tábla.Bliain Príomhshuim Úsa haon 10 000 500a dó 10 500 525a trí 11 025 551a ceathair 11 576 579a cúig 12 155 60812 763Má aistarraingítear an t-ús seachas é a athinfheistiú gach bliain, tuilltear 5 500 2500 gach bliain.Má dhéantar an t-ús a athiolrú, 2763 an méid iomlán a thuilltear.Mar riail ghinearálta, más é i (faoin gcéad, sloinnte ina dheachúil) an ráta úis, is é i P an t-ús athuilltear, áit arb é P an phríomhshuim nó an infheistíocht i dtús na bliana.I dtús an dara bliain, tá P iP P(1 i) 1 i dtaisce sa bhanc.Tá an t-athrú ar an bpríomhshuim, bliain ar bhliain, le feiceáil sa tábla seo a leanas:Bliain (deireadh) Príomhshuim Úsa haona dóa tríbliain tPi PP iP P(1 i) 1 i P(1 i)P(1 i) iP(1 i) P(1 i)(1 i) P(1 i) 2 i P(1 i) 2P(1 i) 2 iP(1 i) 2 P(1 i) 2 (1 i) P(1 i) 3 P(1 i) t170

Ag deireadh bhliain t, tá P(1 i) t i dtaisce.Mar shampla, is ionann an t-ús ar 10 000, infheistithe ar feadh 5 bliana ar 5% athiolraithe gobliantúil, agus 10 000 (1 0.05) 5 12,763.Is é an Ráta Céatadánach Bliantúil (APR i mBéarla) an fíor-ráta bliantúil úisa ghearrtar nuair a thugtar airgead ar iasacht.Is é an Ráta Coibhéiseach Bliantúil (AER i mBéarla) an ráta úis a íoctar ar infheistíochtaí.1. Luach cumaiscMá bhíonn an t-ús seasta ar feadh tréimhse ama t, luach cumaisc P a thugtar ar anbpríomhshuim P suimithe leis an ús iolraithe.Is é luach cumaisc suim airgid P, infheistithe anois ar i% ar feadh t bliain, náLuach cumaisc (F) €P(1 i) tÚs a thuilltear €P(1 i) t €PSampla 1Faigh luach cumaisc 5000 infheistithe ar 4% (AER) in aghaidh na bliana, athiolraithego bliantúil, ar feadh 6 bliana. Faigh freisin an t-ús a thuilltear i gcaitheamh na tréimhse.Luach cumaisc P(1 i) t 5000 (1 0.04) 6 6326.60Ús a thuilltear 6326.60 5000 1326.60tt Sampla 2Tugann banna infheistíochta toradh 15% ach é a infheistiú ar feadh 4 bliana.Ríomh an ráta coibhéiseach bliantúil (AER) don bhanna seo, ceart go dtí dhá ionad dedheachúlacha.Ciallaíonn toradh 15% faoi cheann 4 bliana gurb ionann an méid (luach cumaisc) agus1.15 oiread na suime a infheistíodh, P. P(1 i) 4 P(1.15) (1 i) 4 1.151_(1 i) 1 .154 1.03555 an ceathrú fréamh a thógáil ar an dá thaobh i (ráta coibhéiseach bliantúil) .03555 3.555% 3.56%171

Is gnáthchleachtas anois é ús a chur go míosúil le cuntas coigiltis.Sa chás seo cuirtear ráta úis míosúil i bhfeidhm atá coibhéiseach leis an ráta bliantúil.Más é r an ráta míosúil agus más é i 5% an ráta coibhéiseach bliantúil (AER), i gcás 12íocaíocht(1 r) 12 (1 i ) (1 0.05) 1.05__ 1 (1 r) ( 1.05 )12 1.004074 r 1.004074 1 0.004074 0.4074% Tá 5% sa bhliain coibhéiseach le 0.4074% in aghaidh na míosa.Nóta: Sloinntear i ina dheachúil i gcónaí, m.sh. 5% 0.05Chun rátaí úis míosúla, r%, a ríomh:(1 r) 12 (1 i ) r% in aghaidh na míosa, i% in aghaidh na blianatt Sampla 3Infheistítear 5000 ar AER 4%. Má chuirtear an t-ús leis go míosúil, faigh luach cumaiscna hinfheistíochta seo faoi cheann (i) 3 bliana go leith (ii) 5 bliana 2 mhí.Faightear an glanráta míosúil r ach an chothromóid (1 r) 12 1.04 a réiteach.__ 112 (1 r) 1 .04 1.003274 r 0.003274 0.3274% in aghaidh na míosa.An luach cumaisc faoi cheann(i) 3 bliana go leith 3 1 2X 12 42 mí⇒ F 5000(1.003274) 42 5735.77(ii) 5 bliana 2 mhí 62 mí⇒ F 5000(1.003274) 62 6123.26.2. Luach láithreachChun luach láithreach 10 000 atá dlite i gceann trí bliana a fháil, ní mór dúinn an cheist seoa fhreagairt cén tsuim airgid, infheistithe ar i% (m.sh. 5% 0.05) athiolraithe go bliantúil,a mbeadh luach cumaisc 10 000 uirthi?Luach cumaisc Luach láithreach (1 i) t⇒ Luach láithreach ________________Luach cumaisc(1 i) t⇒ Luach láithreach ______ 10 000(1.05) 3 8638.38Luach láithreach ______________Luach cumaisc(1 i) tMar sin, ar ráta coibhéiseach bliantúil 5%, is é luach láithreach 10 000 (i gceann 3 bliana)ná 8638.38.172

tt Sampla 4Reáchtálann an club CLG áitiúil crannchur.Buann tú an chéad duais agus tugtar rogha duit:(a) 15 000 anois nó(b) 18 000 i gceann ceithre bliana.Cén duais ba chóir duit a roghnú ionas go mbeidhan luach is mó agat? Glac leis gurb é 4% an ráta lascaine.Is ionann luach láithreach 18 000 bunaithe ar ráta lascaine 4% agusLuach láithreach ______________Luach cumaisc(1 i) t ______ 18 0003 15 386.48(1.04)Agus an luach láithreach á ríomh,is minic a thugtar anráta lascaine ar an ráta i%.Mar sin is é an duais is fearr ó thaobh luacha de, bunaithe ar ráta lascaine 4%, ná rogha(b), 18 000 i gceann ceithre bliana.AchoimreLuach cumaisc: F P(1 i) tLuach láithreach: P _______ F(1 i) tSampla 5Cé mhéad bliain a thógfadh sé ar 5000 méadú go 6500 dá mbeadh sé infheistithear AER 3.5%?Modh 1 (Triail agus earráid) F P(1 i) t 6500 5000 (1.035) tBain triail as t 4 ⇒ 5000 (1.035) 4 5737.62 6500 t 4 róbheagBain triail as t 8 ⇒ 5000 (1.035) 8 6584.05 6500 t 8 rómhórBain triail as t 7 ⇒ 5000 (1.035) 7 6361.40 6500 t 7 róbheagBain triail as t 7.5 ⇒ 5000 (1.035) 7.5 6471.76 6500 t 7.5 róbheagBain triail as t 7.75 ⇒ 5000 (1.035) 7.75 6527.36 6500 t 7.75 rómhórBain triail as t 7.6 ⇒ 5000 (1.035) 7.6 6494.07 6500 t 7.6 róbheagBain triail as t 7.65 ⇒ 5000 (1.035) 7.65 6505.25 6500 t 7.65 rómhórBain triail as t 7.63 ⇒ 5000 (1.035) 7.63 6500.77 6500 t 7.63 rómhórBain triail as t 7.625 ⇒ 5000 (1.035) 7.625 6499.65 6500 t 7.625 róbheagFreagra t 7.63 bliain, ceart go dtí 2 ionad de dheachúlacha.173

Modh 2 (Logartaim)(féach caibidil 7)F P (1 i) t 6500 5000 (1.035) t⇒ (1.035) t 6500 _________5000 1.3⇒ ln(1.035) t ln 1.3 logartam an dá thaobh a thógáil⇒ tln(1.035) ln 1.3 lnA n n lnA⇒ t ________ ln1.3 7.63 bliainln(1.035)Cleachtadh 5.11. Faigh luach cumaisc 3000 nuair a infheistítear é ar feadh 10 mbliana ar ráta coibhéiseachbliantúil (AER) 3%. Bíodh an freagra ceart go dtí 2 ionad de dheachúlacha.2. Más AER 2.5% atá ann, faigh luach cumaisc 5000 nuair a infheistítear ar feadh 8 mbliana é.Bíodh an freagra ceart go dtí 2 ionad de dheachúlacha. Cén t-ús a díocfaí ar an infheistíocht seo?3. Má tá (1 r) 12 (1 i ), áit arb é r an ráta úis in aghaidh na míosa agus i an ráta úis inaghaidh na bliana, faigh r i dtéarmaí i.4. Cén ráta úis míosúil, ceart go dtí 2 ionad de dheachúlacha, atá coibhéiseach le ráta bliantúil(i) 6%, (ii) 2.5%, (iii) 4%?5. D'infheistigh Seán 4500 ar feadh cúig bliana in EUROBANK.5607.82 an méid a bhí san infheistíocht ag deireadh an téarma.Faigh an AER a bhain lena infheistíocht.6. Buann Sandra 15 000 i gcrannchur agus infheistíonnsí i gcomhar creidmheasa é, áit arb é 3.5% an AER.Cóipeáil agus comhlánaigh an chairt seo le taispeáintcén chaoi a n-athraíonn luach a cuid airgid igcaitheamh chúig bliana na hinfheistíochta.Bliain Príomhshuim ÚsA haon 15 000A dóA tríA ceathairA cúig7. Iarrann Colm go gcuirfí ús lena chuntas uair sa leathbhliain.Má thugann an banc AER 4%, faigh an ráta leathbhliantúil coibhéiseach. Bíodh an freagraceart go dtí ceithre fhigiúr bhunúsacha.8. Faigh luach cumaisc 6500 a infheistítear ar feadh 6 bliana 4 mhí más é 1.932% an rátacoibhéiseach míosúil.174

9. Infheistítear 12,000 ar AER 3.5%.Faigh luach na hinfheistíochta faoi cheann(i) 5 bliana 3 mhí (ii) 8 mbliana 2 mhí (iii) 10 mbliana 6 mhí.10. Má thugann banc ráta lascaine 4.2%, faigh luach láithreach 10 000 a bheidh le híoc igceann 10 mbliana.11. Tá Seán 12 bhliain daois. Tá sé chun 25 000 a fháil le hoidhreacht nuair a bheidh bliainis fiche slánaithe aige.Céard é luach láithreach a oidhreachta má ghlacaimid leis gurb é 4.5% an ráta lascaine?12. Infheistítear 50,000 i mbanc a thugann AER 3.5%.Cá fhad a thógfaidh sé ar an infheistíocht seo a luach a dhúbailt?13. Tá sé beartaithe agam 175 000 a fháil ar iasacht chun teach a cheannach.Má ghearrann an banc AER 4.5%, cé mhéad a bheidh san iasacht seo i gceann 20 bliain,má ghlacaimid leis nach mbeidh aisíocaíocht ar bith á déanamh?14. Bain úsáid as (a) triail agus earráid agus (b) logartaim le déanamh amach cé mhéad bliain athógfaidh sé ar 1130 luach cumaisc 3000 a bheith air má infheistítear é ar ús iolraithe5% in aghaidh na bliana.15. Úsáidtear an fhoirmle (1 r) 12 (1 i ), áit arb é r an ráta úis in aghaidh na míosa agus ian ráta úis in aghaidh na bliana, chun an glanráta úis míosúil a ríomh.(i) Má thugtar ús 6% sa bhliain, ríomh an glanráta míosúil, ceart go dtí ceithre ionad dedheachúlacha.(ii) Mura mbeadh le déanamh chun r a ríomh ach an t-ús bliantúil a roinnt ar 12, bainúsáid as an dá mhodh chun an difríocht idir an dá luach cumaisc ar 10 000 i gceann3 bliana ar 6% in aghaidh na bliana a ríomh, má dhéantar an t-ús a athiolrú go míosúil.(iii) Céard é an líon is lú dionaid dheachúlacha is gá a chur san áireamh agus r á ríomh sulambíonn difríocht le sonrú idir na luachanna cumaisc?16. Infheistíonn Anna 15 000 ar AER 3%. I ndiaidh dhá bhliain, aistarraingíonn sí 2000 achfágann sí an chuid eile dá hinfheistíocht ar feadh trí bliana eile.Céard é luach na hinfheistíochta ag deireadh na tréimhse sin?Mír 5.2 DímheasSa mhír roimhe seo, bhíomar ag plé le hairgead a chuirfí i dtaisce i gcuntas coigiltis agus adtiocfadh méadú ar a luach. Ba mhó an luach cumaisc ná an luach láithreach.Bíonn dímheas ann nuair is lú luach cumaisc sócmhainne ná an luach láithreach.Tagann dímheas ar luach carranna, ríomhairí agus fearais tí le himeacht ama de ghnáth.Bhí méadú ag teacht ar luach tithe in Éirinn go dtí 2007 ach tá laghdú mór tagtha ar a luach ó shini gcomparáid leis an mbuaic sin. Féachfaimid anois ar dhá chineál dímheasa.1. Bíonn dímheas dronlíneach ann nuair a thagann laghdú de mhéid tairiseach ar luach rudagach bliain. Mar shampla, cuir i gcás carr a chosnaíonn 20 000 a chailleann 10% dábhunluach gach bliain. Cailleann an carr seo 2000 dá luach gach bliain agus mar sin níbhíonn luach ar bith ar an gcarr faoi cheann 10 mbliana.175

2. Bíonn dímheas de réir comhardú laghdaitheach ann nuair a thagann laghdú de chéatadánseasta dá luach ar luach ruda gach bliain. Cuir i gcás carr a chosnaíonn 20 000 a chailleann10% dá luach gach bliain ar chomhardú laghdaitheach.Luach an chairr faoi cheann 10 mbliana 20 000 (1 0.1) 10 6973.57.Euro ()20 00018 00016 00014 00012 00010 00080006000400020000A1DímheasdronlíneachDímheas de réircomhardú laghdaitheach2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Blianta(Nóta: Leagann an cúrsa againne béim ar mhodh an chomhardaithe laghdaithigh chundímheas a ríomh.)Cosúil le hús iolraithe nuair atá F P(1 i) t , is í an fhoirmle F P(1 i) t a thugannluach cumaisc ruda, bunaithe ar chomhardú laghdaitheach.BDímheas: F P(1 i ) t F luach cumaisci an dímheas ar P in aghaidh na bliana mar chéatadánt líon na mbliantaP luach tosaightt Sampla 1Ceannaíonn comhlacht áirithe meaisín nua a bhfuil praghas 35 000 air.Tagann dímheas 20% ar an meaisín gach bliain, ar mhodh an chomhardaithe laghdaithigh.(i) Cén luach a bheidh ar an meaisín i gceann 4 bliana?(ii) Cé mhéad de dhímheas atá tagtha ar luach an mheaisín i gcaitheamh an ama seo?(i) Luach cumaisc: F P(1 i) t 35 000 (1 0.2) 4(ii) Dímheas 35 000 14 336 20 664. 35 000 (0.8) 4 14 336.176

tt Sampla 2100 000 lítear peitril atá ag garáiste.Má mheasann an bainisteoir (a) go ndíolfaidh sé 4000 lítear sa lá(b) go ndíolfaidh sé 5% dá stoc sa lá,ríomh an difríocht idir an dá mheastachán tar éis 20 lá.Tar éis 20 lá: 4000 X 20 80 000 lítear díolta⇒ 100 000 80 000 20 000 lítear fágtha.Tar éis 20 lá, tá an stoc cumaisc (laghdaithe), F P(1 i) tMar sin is é an difríocht idir an dá mheastachán ná 15 849 lítear. 100 000 (1 0.05) 20 35 849 lítearCleachtadh 5.2(Sa chleachtadh seo, úsáidtear dímheas ar mhodh an chomhardaithe laghdaithigh mura ndeirteara mhalairt.)1. Cén luach a bheidh ar charr, a chosnaíonn 30 000,(i) i gceann cúig bliana (ii) i gceann deich mbliana bunaithe ar dhímheas 15% sa bhliain?2. 1400 atá ar theilifíseán nua. Má ghlacaimid leis gurb é 8% in aghaidh na míosa an rátadímheasa, faigh luach an teilifíseáin faoi cheann 15 mhí.3. Cosnaíonn carr 44 000. Tagann dímheas 20% ar a luach sa chéad bhliain, agus tagann dímheas15% sa bhliain ar a luach, ar mhodh an chomhardaithe laghdaithigh, do gach bliain ina dhiaidh sin.Faigh luach an chairr faoi cheann (i) 3 bliana (ii) 6 bliana.4. Ceannaíonn comhlacht áirithe meaisín a chosnaíonn 140 000.Le go mbeidh siad in ann meaisín nua a cheannach nuair a bheidh an ceann seo caite,infheistíonn an comhlacht 25 000 i mbanc a thugann ús iolraithe 3.5% in aghaidh na bliana.Má thagann dímheas ar an meaisín ar ráta 20% sa bhliain, faigh(a)(i) luach an mheaisín i gceann 4 bliana(ii) luach na hinfheistíochta coigiltis i gceann 4 bliana.(b) Más é 2% in aghaidh na bliana an meánráta boilscithe i gcaitheamh na 4 bliana, faigh(i) an costas a bheidh ar mheaisín nua a cheannach i gceann 4 bliana(ii) an méid airgid a chaithfidh an comhlacht a chur lena gcoigilteas d'fhonn meaisínnua a cheannach, má chuirtear san áireamh luach athláimhe an mheaisín atá annfaoi láthair i gceann 4 bliana.(Nóta: Is éard is boilsciú ann ná ardú ar leibhéal ginearálta na bpraghsanna ar earraí agusar sheirbhísí i ngeilleagar.)5. Tagann laghdú ar luach sócmhainne áirithe atá ag comhlacht, ó 175 000 go 73 187.09, arráta dímheasa 16% in aghaidh na bliana thar t bliain.(i) Bain úsáid as triail agus earráid chun luach t a mheas.(ii) Bain úsáid as logartaim chun luach t a fháil.177

6. Tá stoc 60 000 kg de phúdar bainne triomaithe ag uachtarlann i ndeireadh Eanáir 2004.Má laghdaítear an stoc ar ráta 15% in aghaidh na míosa, faigh stoc an bhainnethriomaithe, go dtí an kg is gaire, i dtús Aibreáin 2005.7. Ceannaíonn feirmeoir tarracóir ar 180 000.Glacann sé leis go mbeidh luach trádála isteach 80 000 ar an tarracóir i gceann 10 mbliana.(i) Ríomh an ráta dímheasa in aghaidh na bliana, bunaithe ar na figiúirí sin. Bíodh anfreagra ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.(ii) Ar an ráta sin, cathain a thitfidh luach an tarracóra faoi bhun 60 000?8. Ceannaítear ríomhaire ar 2500.Déan comparáid idir luachanna trádála isteach an ríomhaire faoi cheann 4 bliana bunaithe ar(a) glanchaillteanas luacha de 550 in aghaidh na bliana, nó(b) caillteanas 35% in aghaidh na bliana.9. Ceannaítear córas ríomhaireachta ar 23 500. Tagann dímheas air ar ráta 28% sa bhliain.Faigh luach an ríomhaire faoi cheann(i) 2 bhliain (ii) 5 bliana (iii) 7 mbliana.10. 8000 a bhí ar chóras aerchóirithe. Taispeántar thíos líne le haghaidh dímheas dronlíneachagus cuar le haghaidh dímheasa de réir comhardú laghdaitheach don chóras seo.Euro ()80007000600050004000300020001000012 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Blianta(i) Bain úsáid as an ngraf chun an ráta dímheasa a mheas.(Bíodh an luach faoi cheann 20 bliain 1.)(ii) Mínigh cén fáth nach féidir luach nialais a bheith ar chuar an chomhardaithe laghdaithighgo brách.(iii) Faigh fána na líne dírí a sheasann do dhímheas.(iv) Déan meastachán ar phointe trasnaithe an dá ghraf.(v) Cén luach atá ar an gcóras faoi cheann 5 bliana ar bhonn an chomhardaithe laghdaithigh?(iv) I do thuairim, cén modh dímheasa a thugann an luach is réalaíche ar an gcóras? Mínighdo fhreagra.178

Mír 5.3 Tráthchoigilteas (blianachtaí)1. TráthchoigiltMá choiglítear méid tairiseach airgid gach mí ar feadh 3 bliana ar fad, tuilleann gachtráthchuid méid úis (iolraithe) difriúil, mar go n-infheistítear í ar feadh méid difriúil ama. Táan chéad tráthchuid sa bhanc ar feadh 3 bliana 36 mí; níl an tráthchuid dheireanach sabhanc ach ar feadh mí amháin.Infheistítear P i dtús gach míosa ar feadh 3 bliana ar ráta míosúil i%.Luach P(1 i) 36 atá ar an gcéad íocaíocht faoi cheann 36 mí.Luach P(1 i) 35 atá ar an dara híocaíocht faoi cheann 35 mí, srl Is ionann luach iomlán na hinfheistíochta agus suim an 36 méid aonair sin.Ríomhtar an tsuim sin mar leanas:P(1 i ) 36 P(1 i ) 35 P(1 i ) 34 P(1 i ) 2 P(1 i ) 1 .Ach an t-ord a iompú droim ar ais faighimidP(1 i ) 1 P(1 i ) 2 P(1 i ) 3 P(1 i ) 35 P(1 i ) 36Is ionann é sin agus suim na sraithe iolraíche áit a bhfuilan chéad téarma, a P(1 i ) 1an comhiolraitheoir, r (1 i )líon na dtéarmaí, n 36}Ach úsáid a bhaint as an bhfoirmle lehaghaidh suim n téarma i seicheamha(1 r n )iolraíoch, S n _________ , faighimid(1 r)luach cumaisc P(1 i )[1 (1 i ) 36 ]____________________1 (1 i )P(1 i )[1 (1 i ) 36 ] ____________________iP(1 i )[(1 i ) 36 1] ____________________iLuach cumaisc, F, tráthchoigiltis thar t tráthchuid:€P(1 i)[(1 i)F P(1 i ) 1 P(1 i ) 2 P(1 i ) 3 . . . . P(1 i ) t _____________________t 1]iP an méid coigilte i dtús gach míosa/blianat líon na n-íocaíochtaí (míonna/blianta)i an ráta úis, scríofa ina dheachúil179

Tráthchoigilteas thar 3 bliana ar 9%25 25 25 LC(deireadh)bliain 1bliain 225(1.09) 3bliain 3 25(1.09) 127.2525(1.09) 229.5032.38Luach deiridh 89.13Mar shampla, dá gcoigleoinn 25 gach bliain ar feadh 3 bliana, b'ionann iomlán carntha (luach cumaisc) mo choigiltis agus 89.13.tt Sampla 1Coiglíonn Caitríona 400 uair sa ráithe ar feadh cúig bliana ar ghlanráta ráithiúil 0.9%.(i) Léirigh a coigilteas le sraith iolraíoch.(ii) Faigh luach a hinfheistíochta i ndeireadh na tréimhse.i 0.9% 0.0095 bliana (5 4) ráithe 20 íocaíocht(i) Seo mar a léirítear coigilteas Chaitríona:400(1.009) 400(1.009) 2 400(1.009) 3 400(1.009) 20(ii) a 400(1.009)r (1 i ) 1.009}n 20S n S n a(1 r n ) ________(1 r)400(1.009)[1 (1.009) 20 ]______________________1 1.009 8800.89a an chéadtéarmaNóta: Agus an ríomh á dhéanamh, tiontaítear an ráta i ó chéatadán go deachúil.M.sh. i 5% 0.05.180

tt Sampla 2Faigh an tsuim airgid, P, is gá a choigilt gach mí chun díol as costas saoire 1500 igceann 18 mí. Is é an ráta úis atá á thairiscint ná 0.4% in aghaidh na míosa.An luach cumaisc (LC) a theastaíonn 1500F P(1 i ) P(1 i ) 2 P(1 i )[(1 i )n 1]____________________ii 0.4%} i 0.004 ⇒ 1 i 1.009n 18 FV 1500 P(1.004) P(1.004) 2 P(1.004) 18P(1.004)[(1.004) 18 1]1500 _____________________ ___________ P 0.0748 P 18.700.0040.004 P 1500 18.7 80.21 in aghaidh na míosa2. PinsinAmhail tráthchoigilteas, is féidir linn ríomh a dhéanamh ar an tsuim airigid is gá a infheistiúanois chun pinsean seasta a bheidh le híoc thar líon áirithe blianta a chinntiú.Mar shampla, má tá mé ag iarraidh pinsean P in aghaidh na bliana ar feadh an chéad 20 bliaineile, caithfidh mé luach láithreach gach ceann de na híocaíochtaí, P, a gheobhaidh mé a ríomh.Is ionann iomlán na méideanna luach láithreach sin agus an tsuim airgid is gá a infheistiú.Seo luach láithreach na suime P a íocfar leat i ndeireadh na chéad bhliana:Seo luach láithreach na suime P a íocfar leat i ndeireadh an dara bliain:Faightear an tsuim is gá a infheistiú ach na méideanna sin go léir a shuimiú.P _______(1 i ) .P _______(1 i) 2 ._______ P(1 i ) _______ P(1 i ) 2 _______ P(1 i ) 3 ________ P(1 i ) 20Seo suim sraithe iolraíche ina bhfuil 20 téarma, áit a bhfuil S n _________ a(1 r n ) _______ P(1 r)( 1 _____ 1((1 i ) 1 i) 20 )______________(1 _____ 1(1 i) ){n 20a P _______(1 i )r _______ 1(1 i )181

Luach láithreach ciste pinsin:PV _______ P(1 i ) _______ P(1 i ) 2 _______ P(1 i ) 3 _______ P(1 i ) n _______ PP pinsean bliantúiln líon blianta (saolré an phinsin)i ráta seasta úis thar théarma an phinsin( n1 _____ 1((1 i ) 1 i) )______________(1 _____ 1(1 i) )Nóta: Feidhmíonn an chuid is mó de phinsin ar ráta úis ráthaithe.Ach d'fhéadfadh cuid acu a bheith ag brath ar fheidhmíocht an mhargaidh agus gombeadh níos mó nó níos lú le fáil astu ná mar a bheadh le fáil ar an ráta seasta (ráthaithe).Plean pinsin thar 3 bliana ar 9%LL (tús) 25 25 2525 bliain 1 bliain 2 bliain 322.94(1.09) 2521.04(1.09) 2 2519.30(1.09) 3Luach láithreach (costas) 63.82Is é sin, má tá pinsean 25 uaim gach bliain ar feadh 3 bliana, caithfidh mé 63.82 a infheistiú anois.tt Sampla 3Cén méid airgid a theastaíonn anois chun pinsean 25 000 in aghaidh na bliana arfeadh 20 bliain a sholáthar, má ghlacaimid leis gur AER 4% atá ann?i 4% 0.04 ⇒ 1 i 1.04Léiríonn an tsraith iolraíoch seo a leanas an méid a theastaíonn, nó luach láithreach(P), an phinsin seo:25 ______ 0001.04 ______ 25 000(1.04) 2 ______ 25 000(1.04) 3 _______ 25 000(1.04) 20P }a _______ 25 000S(1.04)n 20r _____ 11 i ____ 11.04a(1 r n )(1 r)n _________25 000 __________1.04) 20 )_____________(1 ____(1.04) 1 )(1.04) (1 ( 1 339 758.16Mar sin soláthróidh ciste pinsin 339 758.16 a infheistitear anois 20 íocaíochtbhliantúil de 25 000.182

AchoimreLuach cumaiscn íocaíocht P ar i%1 (1 i )nLuach cumaisc P(1 i ) ___________(1 (1 i ) ) P(1 i ) ( (1 i )n 1___________i)Luach láithreach (costas)n íocaíocht P ar i%Luach láithreach _____ P(1 i) [P _______n1 _____ 1(____________ 1 i)]1 _____ 1(1 i)___________i)(1 i ) n ( (1 i )n 1Nóta: Cé gur féidir an chuid is mó de cheisteanna ar thráthchoigilteas agus ar phinsin a fhreagairtach úsáid a bhaint as an bhfoirmle chuí, is maith an nós é an tsraith iolraíoch atá mar bhonnagus mar thaca ag an gceist a leagan amach. Tá sé tábhachtach an chéad téarma, ancomhiolraitheoir agus líon na dtéarmaí sa tsraith a shainaithint i gcás gach ceiste.tt Sampla 4Ríomh luach cumaisc plean tráthchoigiltis atá bunaithe ar 600 a choigilt i dtús gachbliana ar 4% in aghaidh na bliana ar feadh 5 bliana.(i) Ríomh luach láithreach na n-íocaíochtaí seo.(ii) Taispeáin uaidh sin, dá gcuirfí an luach láithreach i dtaisce ar an ráta céanna arfeadh an fhaid chéanna ama, go mbeadh an luach cumaisc céanna air.Plean coigiltis: LC 600(1.04) 600(1.04) 2 600(1.04) 3 600(1.04) 4 600(1.04) 5 600(1.04) ( (1.04)5 1 __________0.04) 3 379.79 (i ndeireadh 5 bliana)(i) Luach láithreach (LL) 600 ______ 600(1.04) 1 ______ 600(1.04) 2 ______ 600(1.04) 3 ______ 600(1.04) 4____1.04) 5 )_____________ ______ 600 __________ 600 ( 1 ( 11.04) )(1 ( 1 ____ 2777.94 (i dtús na 5 bliana)(1.04) 4 ( (1.04)5 10.04)(ii) Má infheistítear 2777.94 ar 4% ar feadh 5 bliana, is ionann a luach cumaisc agus2777.94(1.04) 5 3379.79.183

TFC: Ach úsáid a bhaint as áireamhán grafaicí nó as bogearraí ríomhaireachta, tá sééasca comparáid a dhéanamh idir tráthchoigilteas agus luach cumaisc (méid) suimairgid a chuirtear i dtaisce.600 a choigilt in aghaidh na bliana ar 4%: FV( y) 600*(1.04)(1.04 x 1)/(0.04)2778 i dtaisce ar 4%: FV( y) 2778(1.04) x y: an LC in eurox: líon na mbliantaEuro ()4000350030002500200015001000500(2, 3004.68)(4, 3249.28)(3, 3124.36)(1, 2899.69)(0, 2777.7)(1, 638.98)600 coigilte in aghaidh na míosa ar 4%(2, 1269.86)(3, 1955.03)(4, 2648.12)(5, 3394.7)00 1 2 3 4 5 6 7Míonna2778 i dtaisce ar 4%Cleachtadh 5.31841. Ríomh luach cumaisc 36 tráthchuid mhíosúil de 20.00 ar ráta úis 0.5% in aghaidh namíosa. Céard é an t-ús iomlán a thuillltear ar an gcoigilteas seo?2. Tá 30 in aghaidh na míosa coigilte ag Máire óna 18ú breithlá i leith.Má tá ráta úis 4% in aghaidh na bliana ráthaithe ag a banc di, faigh(i) an ráta úis míosúil coibhéiseach, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha(ii) luach a coigiltis ar a 21ú breithlá.3. Tugann cuntas coigiltis speisialta AER 4% in aghaidh na bliana. Má infheistím 2000 inaghaidh na bliana sa chuntas seo, cén luach a bheidh ar an infheistíocht i gceann 5 bliana?4. Maidir le luach cumaisc sraith n íocaíocht, ar fiú P gach ceann díobh, a thuilleann ráta úisi% in aghaidh na bliana, taispeáin gur féidir é a scríobh mar seo:Luach cumaisc P(1 i ) ___________( (1 i )n 1i)5. Maidir le luach láithreach sraith n íocaíocht, ar fiú P gach ceann díobh, a thuilleann rátaúis i% in aghaidh na bliana, taispeáin gur féidir é a scríobh mar seo:Luach láithreach _______ P ___________(1 i )( (1 i )n 1n i)

6. Fuair Áine seic le haghaidh 6523.33 sa phost tar éis di a bheith ag coigilt ar feadh 5bliana lena banc i scéim a bhí ag tabhairt 9% in aghaidh na bliana. Má d'infheistigh síA in aghaidh na bliana,(i) scríobh síos sraith iolraíoch a léiríonn luach a hinfheistíochta thar na 5 bliana(ii) faigh luach A.7. Bain úsáid as foirmle an luacha cumaisc chun an luach deiridh a fháil má infheistítear200 gach mí ar feadh 2 bhliain. 9% in aghaidh na bliana an ráta úis, athiolraithe gach mí.8. Is mian le Seoirse íocaíochtaí rialta a dhéanamh isteach i gcuntas a íocann ús iolraithe 8.5%in aghaidh na bliana, d'fhonn 10 000 a bheith aige faoi cheann 7 mbliana. Faigh méidgach íocaíochta bliantúla.9. Tá Ella ag iarraidh go mbeadh 5000 aici i gceann 3 bliana.Infheistíonn sí i mblianacht a íocann 7.2% in aghaidh na bliana, athiolraithe go ráithiúil.Cé mhéad a chaithfidh sí a chur i dtaisce gach ráithe chun sprioc an 5000 a bhaint amach?10. Cruthaigh gur mar seo a fhaightear luach láithreach blianachta (tráthchodanna a íoctar idtús gach tréimhse):Luach cumaisc (a ríomhtar i ndeireadh gach tréimhse) (1 i) n .11. Maidir le luach láithreach blianachta, lena mbaineann 3000 in aghaidh na bliana a chur idtaisce i gcuntas ar feadh 6 bliana, taispeáin an chaoi lena scríobh mar shraith iolraíoch,más é 8% in aghaidh na bliana an ráta úis.(i) Ríomh an luach láithreach.(ii) Ríomh luach cumaisc na blianachta.(iii) Dá gcuirfí luach láithreach na blianachta in (i) i dtaisce mar infheistíocht aonair ar 8%in aghaidh na bliana, taispeáin gurb ionann an luach a bheadh air faoi cheann 6 blianaagus luach cumaisc na blianachta a fuair tú in (ii).Mír 5.4 Iasachtaí – MorgáistíMás mian linn na haisíocaíochtaí a theastaíonn le haghaidh iasacht chairr nó le haghaidhmorgáiste ar heach a ríomh, úsáidimid an modh céanna chun an luach láithreach a fháil is ad'úsáideamar sa mhír roimhe seo.Caithfidh suim na luachanna láithreacha ar na haisíocaíochtaí go léir thar an tréimhse ama atá igceist a bheith cothrom le luach na hiasachta cairr nó an mhorgáiste.Morgáiste Íocaíocht __________1 ia ( Íocaíocht __________1 i) [ __________ Íocaíocht(1 i ) 2 __________ Íocaíocht(1 i ) 3 . ... __________ Íocaíocht(1 i ) nrn1 _____ 1(____________ 1 i)]1 _____ 1(1 i)185

Morgáiste ( Íocaíocht __________1 i) [(foirmlí agus táblaí, lch 31)n1 _____ 1(____________ 1 i)]1 _____ 1(1 i) Morgáiste (i)(1 i )n Íocaíocht ____________________(1 i ) n 1__________( Íocaíocht1 i) [ __________( Íocaíocht___________(1 i ) n 1]____________ (1 i ) n_____ i(1 i)___________(1 i ) ] ni) [ (1 i)n 1i an glanráta úis míosúil (scríofa inadheachúil)n líon na n-íocaíochtaí (blianta/míonna) M méid an mhorgáiste nó na hiasachta P an aisíocaíocht in aghaidh na míosatt Sampla 1Ríomh méid na n-aisíocaíochtaí a theastaíonn le haghaidh iasacht chairr 10 000 mátá an iasacht le haisíoc thar théarma 5 bliana ar ghlanráta míosúil 0.72%.i 0.72% 0.0072 ⇒ 1 i 1.0072n 5 12 60 aisíocaíochtIasacht(i )(1 i )n Aisíocaíocht ________________(1 i ) n 110 000(0.0072)(1.0072)60_______________________(1.0072) 60 1 206 ceart go dtí an euro is gaireNóta: Agus an fhoirmle le haghaidh morgáiste nó iasachta in úsáid, íoctar gach (ais)íocaíocht indeireadh na tréimhse cuntasaíochta, i.e. i ndeireadh míosa nó i ndeireadh bliana.tt Sampla 2Faigh na haisíocaíochtaí míosúla a theastaíonn le haghaidh morgáiste 150 000, bunaithear ráta bliantúil 4.5% thar 20 bliain.An chéad rud a dhéanaimid ná an glanráta míosúil a fháil:(1 r) 12 (1 i ), áit a bhfuil r% ráta in aghaidh na míosaagus i% ráta in aghaidh na bliana.⇒ (1 r) 12 1.045__ 1⇒ (1 r) (1.045)12 1.00367⇒ r 0.00367 in aghaidh na míosa 0.367% in aghaidh na míosan 20 12 240 íocaíochtnMorgáiste (i)(1 i ) Íocaíocht ____________________ 150 000 (0.00367)(1.00367)240(1 i ) n ___________________________ 1(1.00367) 240 941.22 1Mar sin is é an aisíocaíocht mhíosúil ná 941.22.186

Cleachtadh 5.41. Ríomh na haisíocaíochtaí míosúla a theastaíonn le haghaidh morgáiste 200 000 a íoctarthar thréimhse 30 bliain ar ráta úis bliantúil 6%.2. Is mian le hAilís morgáiste 20 bliain a fháil.8% in aghaidh na bliana an meánráta úis thar shaolré an mhorgáiste.Tá Ailís in ann aisíocaíochtaí 850 in aghaidh na míosa a íoc.Céard é an morgáiste is mó is féidir léi a aisíoc?Bíodh do fhreagra ceart go dtí an 100 is gaire.3. Céard é an íocaíocht mhíosúil, ceart go dtí an euro is gaire, ar mhorgáiste 75 000, más é8% an ráta úis, ar feadh(a) 20 bliain (b) 25 bliain (c) 30 bliainCé mhéad úis a íoctar i gcás gach rogha?4. Tugann an fear díolta carranna áitiúil rogha duit idir dhá phlean íocaíochta chun carr15 000 a cheannach.Plean A: Lascaine 10% ar phraghas an chairr agus iasacht le haghaidh an chuid eile arráta bliantúil 9% ar feadh 5 bliana.Plean B: Gan lascaine ar bith ach iasacht le haghaidh an phraghais iomláin, 15 000, arráta bliantúil 3% ar feadh 5 bliana.Cé acu plean ba chóir duit a roghnú?5. Tá 250 000 coigilte ag bean chun pinsean a mhaoiniú agus anois tá sé i gceist aici dul arscor. Is mian léi tráthchodanna bliantúla cothroma a tharraingt anuas ón gcoigilteas seo arfeadh an chéad 25 bliain eile.Más 5% atá sa ráta úis, ríomh luach na dtráthchodanna bliantúla.6. Tá beirt ag iarraidh do theach a cheannach. Tá an chéad duine sásta 200 000 a thabhairtduit ar an bpointe boise. Is éard a ofrálann an dara duine duit ná 25 íocaíocht bhliantúil,15 000 an ceann. Más féidir leat ráta bliantúil 5% a fháil ar do chuid airgid, cén tairiscintar chóir duit glacadh léi?7. Tá 400 in aghaidh na míosa ar feadh 3 bliana ag teastáil ó Mhaolcholaim fad is atá sé ina mhacléinn ar an gcoláiste. Cén méid airgid is gá dá thuismitheoirí a infheistiú, ar 6.6% in aghaidh nabliana arna athiolrú go míosúil, chun an t-airgead a theastaíonn ó Mhaolcholaim a chur ar fáil?Súil Siar (Croícheisteanna)1. Infheistíonn bean 1000 gach bliain ar ús iolraithe 8% in aghaidh na bliana.Faigh luach na hinfheistíochta faoi cheann 5 bliana.2. Infheistítear 300 gach mí ar feadh ocht mbliana.Faigh luach iomlán na hinfheistíochta faoi cheann ocht mbliana, más ráta tairiseach 6% inaghaidh na bliana atá i gceist.187

3. Tá iasacht chairr 20 000 le haisíoc ina 25 tráthchuid chothrom.Más 2% atá sa ghlanráta úis, ríomh méid gach tráthchoda, ceart go dtí an euro is gaire.4. Tá Sílbhe ag pleanáil turas thar lear a mhairfidh 3 bliana agus measann sí go mbeidh síag caitheamh 600 in aghaidh na míosa.Cé mhéad airgid is gá a choigilt chun íoc as an turas seo?Glac leis gur meánráta úis 4% a bheidh i gceist i gcaitheamh thréimhse an turais.5. Ofrálann comhlacht cártaí creidmheasa 1.25% in aghaidh na míosa do chliaint mar rátaúis tosaigh ar iarmhéideanna gan íoc, agus 2.5% in aghaidh na míosa mar ráta rialta faoicheann bliana.Faigh na rátaí úis coibhéiseacha (AER) in aghaidh na bliana.6. Coiglíonn Seán 200 sa mhí ar feadh 5 mhí ar ghlanráta míosúil 0.75%.Sloinn an coigilteas seo mar shraith iolraíoch.Scríobh síos an chéad téarma, an comhiolraitheoir agus slonn le haghaidh shuim na gcúigthéarma.7. Bain úsáid as foirmle an luacha cumaisc le fáil amach cé mhéad ab fhiú 1600 dán-infheisteofaí gach bliain ar feadh 5 bliana é, ar ús iolraithe 6% in aghaidh na bliana.8. Is éard atá i gceist le blianacht áirithe ná 3000 in aghaidh na bliana a choigilt ar feadh 8mbliana.(i) Bain úsáid as foirmle an luacha láithrigh chun ríomh a dhéanamh ar an méid aonairairgid a d'fhéadfaí a infheistiú ar an ráta céanna agus ar feadh an méid céanna amachun an méid deiridh céanna a fháil.(ii) Bain úsáid as foirmle an úis iolraithe (luach cumaisc) chun méid deiridh nahinfheistíochta a fháil.(iii) Agus tú ag úsáid fhoirmle an luacha cumaisc do bhlianachtaí, seiceáil go dtugann anbhlianacht an méid deiridh céanna.Súil Siar (Ardcheisteanna)1. Meastar gur 500 000 an dliteanas pinsean bheidh ar do chomhlacht i gceann 10 mbliana.(i) Cé mhéad airgid a theastódh uait anois chun díol as an dliteanas ionchais seo?Glac leis gurb é 9% an ráta bliantúil.(ii) Cé mhéad ba ghá duit a chur i leataobh i ndeireadh gach bliana ar feadh na gcéad 10mbliana eile chun díol as an dliteanas (glac leis gurb é an ráta céanna atá i bhfeidhm)?2. Cé acu is fearr i ndeireadh 20 bliain?(i) Infheistíocht 100 000 ar 12% in aghaidh na bliana, athiolraithe go míosúil, nó(ii) 1000 a infheistiú gach mí ar 12% in aghaidh na bliana, athiolraithe go míosúil.188

3. Tá graif dhá chuntas bainc éagsúla, C agus D, le feiceáil thíos.Tá an ráta úis mar an gcéanna i gcás an dá chuntas.Bain úsáid as na sonraí sna graif chun an ráta úis a bhaineann leis an dá chuntas a ríomh.Déan cur síos ar an difríocht idir na cuntais.Ríomh luach chuntas C faoi cheann 5 bliana.3500Euro ()30002500200015001000500DC(5, 638.14)01 2 3 4 5 6 7 8Blianta4. Ofrálann banc áirithe ráta 10% duit ar mhorgáiste 20 bliain a bheidh le híoc inaaisíocaíochtaí míosúla.Más é 700 an méid is mó is féidir leat a íoc mar aisíocaíocht mhíosúil, faigh luach anmhorgáiste is mó a bheadh sé d'achmhainn agat a íoc ar ais.5. Glac leis go mbeidh tú ag dul ar scor i gceann 25 bliain.Tá morgáiste 100 000 uait anois chun síneadh a chur le do theach agus chun é a athchóiriúach tá tú ag iarraidh go mbeidh sé íoctha go hiomlán sula dtéann tú ar scor. 800 anaisíocaíocht is mó a cheadóidh do bhuiséad in aghaidh na míosa. Ag úsáid atrialla (triail agusearráid) duit, céard é an ráta úis a theastaíonn uait ón mbanc le go n-aisíocfaidh tú an iasachtin 300 íocaíocht mhíosúil (i.e. 25 bliain)?6. Tá ciste pinsin deich mbliana ar fiú127 953 é le tarraingt anuas ar ráta15 000 in aghaidh na bliana.Más ráta bliantúil 3% a bhaineann leisan gciste, cóipeáil agus comhlánaighan chairt seo a thugann luach an chistei dtús gach bliana.Bliain Ciste pinsin Ús ÍocaíochtA haon 127 953 3838.59 15 000A dó 116 791.59 3503.75 15 000A trí 105 295.38 15 000A ceathair 15 000A cúig 15 000A sé 15 000A seacht 15 000A hocht 15 000A naoi 15 000A deich 15 000189

Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtar freagra níos faide)1. Glac leis gurb é 5% an ráta céatadánach bliantúil (APR) a ghearrann banc áirithe, arnaathiolrú go bliantúil. Cóipeáil agus comhlánaigh na cairteacha seo a leanas a thaispeánannan phríomhshuim atá fós gan íoc tar éis aisíocaíocht(i) 6000 (ii) 12 000 in aghaidh na bliana ar iasacht 100 000.Ríomh an méid atá fós gan íoc faoi cheann 10 mbliana i gcás an dá scéim aisíocaíochta.Bliain Príomhshuim Ús Íocaíocht Bliain Príomhshuim Ús Íocaíocht12345678910100 00099 00097 950500049504659.96000 1 100 000 5000 12 0006000 2 93 000 4650 12 0006000 3 85 65012 0006000 412 0006000 512 0006000 612 0006000 712 0006000 82150.3 12 0006000 912 0006000 1012 0001902. Tá tú 35 bliain d'aois inniu agus tá tú ag pleanáil le haghaidh do chuid riachtanas nuair arachaidh tú ar scor. Tá sé i gceist agat dul ar scor nuair a bheidh tú 65 bliain d'aois agus, deréir staidéir achtúireacha, mairfidh tú go mbeidh tú 100 bliain d'aois.Tá tú ag iarraidh bogadh amach faoin tuath nuair a rachaidh tú ar scor.Measann tú go mbeidh costas 300 000 ag baint leis an mbogadh (ar do 65ú lá breithe) agusgur 20 000 in aghaidh na bliana an costas maireachtála a bheidh i gceist, ag tosú agdeireadh na chéad bhliana tar éis dul ar scor.Más é 4% an meánráta bliantúil i gcaitheamh shaolré an phlean,(i) cé mhéad a chaithfidh a bheith coigilte agat faoin am a rachaidh tú ar scor le go mbeidhtú in acmhainn an plean seo a bheith agat?(ii) Tá 40 000 de choigilteas agat anois. Más féidir leat an t-airgead seo a infheistiú (saoró cháin) ar 5% in aghaidh na bliana, cé mhéad airgid a chaithfidh tú a choigilt gachbliain le go mbeidh sé d'acmhainn agat íoc as do phlean scoir?(iii) Mura mbeadh coigilteas ar bith agat agus mura mbeifeá in ann tosú ag coigilt go ceann5 bliana eile, cé mhéad a chaithfeá a chur i leataobh gach bliain sa chás sin le go mbeadhsé d'acmhainn agat íoc as an bplean seo?3. Tá tú ag iarraidh morgáiste 100 000 a fháil ó chumann foirgníochta. 9% in aghaidh nabliana an ráta atá fógartha.Ach níl tú in ann ach 800 in aghaidh na míosa a aisíoc.(i) Scríobh cothromóid le haghaidh aisíocaíochtaí morgáiste. Mínigh gach téarma sachothromóid.(ii) Ríomh an ráta úis míosúil atá coibhéiseach le 9% in aghaidh na bliana.(iii) Ríomh an líon íocaíochtaí a theastaíonn chun an morgáiste a ghlanadh.(iv) Cá fhad a thógfadh sé ort an morgáiste seo a ghlanadh ina iomláine?

4. Tógann Risteard agus Natalie amach iasacht 150 000 thar 30 bliain ar ús 8.25% in aghaidh nabliana, arna athiolrú go míosúil. Tá a gcuid aisíocaíochtaí socraithe ag 1127 in aghaidh na míosa.(i) Bain úsáid as scarbhileog cosúil leis an gceann thíos agus ríomh an méid den iasacht abheidh fós le híoc faoi cheann 5 bliana.1234567A B C D EMorgáiste Ús Íocaíocht Iarmhéid150000149863149725.1149586.3149446.6990989.0958988.1856987.2695986.347211271127112711271127149863149725.1149586.3149446.6149305.9(Nóta: Ach líne 3 a aibhsiú agus an chros in íochtar ar dheis a shracadh, is féidir ant-iarmhéid ar an gcuntas a fheiceáil mí ar mhí.Tar éis dóibh an iasacht a aisíoc ar feadh 5 bliana, déanann siad íocaíocht chnapshuime 40 000.(ii) Cá fhad a thógfaidh sé an iasacht a aisíoc i ndiaidh na híocaíochta seo?(iii) Cé mhéad a shábháiltear tríd an íocaíocht chnapshuime a dhéanamh?5. Ofrálann cluiche crannchuir i Stáit Aontaithe Mheiriceá pota óir $21.5 milliún marphríomhdhuais. Tá an duais seo le tabhairt in 26 tráthchuid bhliantúil ar fiú $A an ceann iad.Tugtar an chéad tráthchuid ar an spota.Tá sé ráthaithe go dtiocfaidh méadú 4% ar luach na híocaíochta gach bliain.(i) Scríobh síos, i dtéarmaí A, méid gach ceann de na chéad cheithre íocaíocht.(ii) Scríobh síos uaidh sin sraith iolraíoch a sheasann don phota óir $21.5 milliún.(iii) Faigh, ceart go dtí an dollar is gaire, luach gach tráthchoda $A.(iv) Bain úsáid as do luach ar A agus as do fhreagra ar (i) chun cairt a chomhlánú lehaghaidh na gcéad cheithre íocaíocht.Uimhir íocaíochta 1 2 3 4Méid iarbhír $504 607 $545 783(v) Tá rogha airgead síos ann freisin. Má ghlacann duine an rogha sin faigheann sé/síluach láithreach gach ceann de na híocaíochtaí anois.Is é 4.78% an ráta úis a úsáidtear le haghaidh airgead síos.Ag úsáid na cairte in (iv) duit, comhlánaigh an tábla seo a leanas:Uimhir íocaíochta 1 2 3 4Luach láithreach $485 199 $478 002(vi) Scríobh síos, i dtéarmaí n, slonn do luach láithreach an nú híocaíocht bhliantúil.(vii) Faigh suim iomlán na luachanna láithreacha, i.e. an t-airgead atá iníoctha faoin roghaairgead síos.(viii) Buadh an pota óir seo le déanaí. Roghnaigh an buaiteoir airgead síos. Tar éis cáin aíoc, fuair sí $7.9 milliún. Agus tú ag úsáid an fhreagra a fuair tú ar (vii), faigh ancéatadán cánach a gearradh ar an airgead a bhuaigh sí. (In oiriúint as Scrúdú nahArdteistiméireachta, Tionscadal Mata, Páipéar 1, 2011 ó Choimisiún na Scrúduithe Stáit.)191

6Fad --- Achar --- Toirt polagán achar imlíne trasnán traipéisiam ceathairshleasán ciorclachstua teascóg raidian ceathairshleasánMír 6.1 Súil siarSa tábla seo a leanas, déanfaimid achoimre ar phríomhairíonna cruthanna déthoiseacha a chonaictú cheana féin agus tú i mbun na matamaitice.Cruth Léaráid AiríonnaCearnógx> tá an fad céanna ag gach slios> tá gach uillinn 90°> imlíne 4x> achar x 2> trasnán √ __2 x> déroinneann na trasnáin a chéile go hingearach> tá an fad céanna ag sleasa urchomhaireachax> tá gach uillinn 90°> imlíne 2(x y)Dronuilleogy> achar xy> trasnán √ _______x 2 y 2> tá an fad céanna ag na trasnáin> déroinneann na trasnáin a chéiley> tá an fad céanna ag sleasa urchomhaireacha> tá uillinneacha urchomhaireacha cothromComhthreomharánxh x sin > imlíne 2(x y)> achar yh yx sin > déroinneann na trasnáin a chéile192

imlíne x y zTriantánzyh z sin x> achar 1 2 x.h 1 2 x.z.sin y> _____sin _____ zsin > tá cineálacha éagsúla triantán ann, m.sh. triantáinchomhchosacha, chomhshleasacha,chorrshleasacha, dhronuilleacha> 180 o> triantáin speisialta dhronuilleacha le sleasa 3, 4, 5 (36.9 o , 53.1 o , 90 o ) 1, √ __3 , 2, (30 o , 60 o , 90 o ) 1, 1, √ __2 (45 o , 45 o , 90 o )1. TraipéisiamCeathairshleasán é traipéisiam a bhfuil péire amháinde shleasa comhthreomhara air.aAchar traipéisiam ah comhthreomharán 1 2 (b 1) h triantán ah 1_ bh 1_2 2 ahh 1_ ah 1_22 bh _____( a b2) h leatshuim fhaid na sleasacomhthreomhara faoin airde.b(b a)Sampla 1Má tá bonn 10 cm ag comhthreomharán,agus má tá bonn 14 cm ag traipéisiama bhfuil an t-achar céanna agus anairde chéanna aige, faigh x, fad shlioseile comhthreomhar an traipéisiam.airdex cm10 cm 14 cmAchar comhthreomharáin Bonn airde ingearach (h) 10hAchar traipéisiam 1 2 (x 14) airde ingearach (h) 1 2(x 14)h∴ 10h 1_ (x 14)h2⇒ 20 x 14⇒ x 6 ⇒ an slios eile comhthreomhar 6 cm193

POLAGÁINtriantánceathairshleasánpeinteagánheicseagánheipteagán2. PolagáinCruth plánach (déthoiseach) é polagán a bhfuil sleasa díreacha air.Tá polagáin rialta siméadrach, agus bíonn buntriantáin chothroma i bpolagáin a bhfuil níos mó ná4 shlios orthu. Is iad seo a leanas na huillinneacha inmheánacha i bpolagáin rialta:Triantán 60°, Ceathairshleasán 90°, Peinteagán 108°, Heicseagán 120°, Heipteagán 128.6°Sampla 2Is ionann achar an pheinteagáin rialta a thaispeántar anseo agus 600 cm 2 .Ríomh fad sleasa amháin, x, den pheinteagán.Ó tharla go bhfuil an uillinn iomlán i lár an pheinteagáin 360°,∴ tá gach uillinn sa lár 3605 ° 72°.Tá gach triantán iomchuí agus tá bonnuillinneacha cothroma acu Is ionann achar gach triantáin agus ( 600 ____5) cm 2 120 cm 2 .Tan 54° h ___x__2⇒ h __ x tan 54°2Achar an triantáin __ 1 2 bonn h __ 1 x h 120 cm22x __ 1 2 x __ x tan 54° 120 cm22⇒ x 2 _______ 480 348.74 ⇒ x 18.675 18.7 cmtan 54°___________(180 72)° 54°272°h54° 54°x2x2194

Cleachtadh 6.11. Tarraingítear comhthreomharán laistigh dedhronuilleog mar a thaispeántar.Agus na tomhais a thugtar á n-úsáid agat, faigh(i) an codán, i dtéarmaí a, d'achar nadronuilleoige atá sa chomhthreomharán(ii) an luach ar a a theastaíonn le go mbeadh achar anchomhthreomharáin 4 5d'achar na dronuilleoige.ax2x2x2. Ríomh, i dtéarmaí x,(i) achar na coda dorcha den dronuilleog2x5x(ii) achar na coda gile den dronuilleogx(iii) cóimheas na gcodanna sin.2x3. Má tá airde triantáin 5 cm níos lú ná fad a bhoinn, agus más ionann achar an triantáin agus 52 cm 2 ,faigh fad an bhoinn agus airde an triantáin.4. Má tá taobhagán triantáin dhronuilligh cothrom le 41 cm, agus má tá suim shleasa an triantáincothrom le 49 cm, faigh fad an dá shlios eile.5. Tógtar fráma adhmaid dronuilleogach chun dúshraith choincréite a thógáil do phaitió.Chun tacú leis an bhfráma fad is a dhoirtear an choincréit, socraítear cáblaí cruach gotrasnánach ar an dronuilleog agus gobann siad amach thar an bhfráma 50 cm.Más ionann imlíne an fhráma agus 14 m, agus má tá fad an fhráma aon mhéadar níosfaide ná a leithead, faigh fad an chábla cruach a theastaíonn.6. I dtriantán corrshleasach, is ionann méid na huillinne is lú agus dhá thrian de mhéid na huillinne láir,agus is ionann méid na huillinne láir agus trí sheachtú de mhéid na huillinne is mó.Faigh tomhas na n-uillinneacha ar fad.7. Is é E lárphointe [DC]. A DTarraing íomhá an traipéisiam ABCD rothlaithe 180° thartar an bpointe E.(i) Cén cruth a dhéanann an íomhá agus an buntraipéisiamle chéile?(ii) Céard é achar an chrutha ilchodaigh seo?(iii) Mínigh cén chaoi a gcruthaíonn sé seo an fhoirmle Bd'achar traipéisiam.8. I gcás dronuilleog áirithe, tá trí oiread a leithid 3 cm níos faide ná dhá oiread a faid,agus tá ceithre oiread a faid 12 cm níos faide ná a himlíne.Faigh toisí na dronuilleoige.EC195

9. Tá trí shlat chaola ag Peadar ag a bhfuil faid p, q agus r,áit a bhfuil p > q > r .Teastaíonn uaidh cruth traipéisiam a dhéanamh inapmbeadh dhá dhronuillinn mar a thaispeántar.qrCríochnaíonn an líne bhriste an traipéisiam.Tarraing trí bhealach ina bhféadfaí na slata a shocrú.I bhfianaise na héagothromóide thuas, faigh amach cén socrú a chruthaíonn an t-achar is mó.(Nóta: má tá a > b, tá ac > bc, toisc go bhfuil c > 0)10. Taispeántar léaráid de thrasghearradh scipe bruscair.An comhlacht a chuir an scipe ar fáil, teastaíonn uathulíne a tharraingt ar thaobh an scipe le léiriú go bhfuilsé leathlán. Agus na toisí a thugtar á n-úsáid agat,faigh(i) fad na líne x agus(ii) airde, y, na líne os cionn an bhoinn.8 cmy20 cmxleathlán10 cm11. (i) Is ionann achar triantáin chomhshleasaigh agus 173 cm 2 . Faigh fad sleasa amháin.(ii) Is ionann fad sleasa amháin de thriantán comhshleasach agus 10.75 cm.Faigh airde ingearach an triantáin agus uaidh sin faigh achar an triantáin.Deimhnigh do fhreagra trí úsáid a bhaint as an bhfoirmle d'achar triantáin 1 2ab sin C.12. Faigh achar na fíorach seo i méadair chearnacha,ceart go dtí trí ionad dheachúlacha.5 m8.4 m13. Tá ciorcal a bhfuil ga 5 cm aige imscríofa thart arheicseagán rialta. FaighAB(i) méid na huillinne EOD(ii) méid na huillinne ODE(iii) achar an heicseagáin ABCDEFA.FOCED14. Taispeántar dearadh ilchodach de pholagáin.(i) Faigh méid na n-uillinneacha , , .(ii) Má tá slios 4 cm ar an gcearnóg,faigh achar an chrutha ilchodaigh seoceart go dtí ionad deachúlach amháin.196

15. Agus na tomhais a thugtar á n-úsáid agat,faigh achar an traipéisiam seo.5 cm6 cm5 cm14 cm16. (i) Taispeáin go bhfuil achar ABD : CBD AD :DC.(ii) Is traipéisiam é ABCD thíos.Cruthaigh go bhfuil Achar c Achar d.B(iii) Uaidh sin, taispeáin go bhfuil achar antraipéisiam ABCD Achar a Achar b 2√ ___ab .ADCTFC: Trí leas a bhaint as bogearraí ríomhaireachtaoiriúnacha, is féidir traipéisiamaícosúil leis sin a tharraingt le trasnáin mara thaispeántar. Is féidir an fhoirmle achairseo a fhíorú ansin trí na bogearraí a úsáidchun na hachair ar leith a ríomh.____ 2r _______________ (céimeanna) __________ (raidiain)3602 Achar bDMír 6.2 Teascóga ciorcal1. Súil siar ar chiorcail agus ar theascóga ciorcal imlíne ; ó tharla go bhfuil __ 2r ⇒ 2rr achar r 2Ciorcal/Dioscar is ionann ceathairshleasán ciorclach agusceathairshleasán atá inscríofa i gciorcal triantán dronuilleach é gach triantán ainscríobhtar i leathchiorcalo 360 2 raidian2. Stua ciorcailSa chaibidil ar an triantánacht, pléadh fad stua, acharteascóige, agus tomhas ina raidiain den chéad uair.mionstua Faightear fad stua i gciorcal trí na cóimheasa seo a úsáid:AmórstuaAchar cAchar aAchar dCB197

(céimeanna) Fad stua () 2r _____________ 2r __________ (raidiain)3602 r ( ina raidiain)3. Achar teascóigeAr an gcaoi chéanna, faightear achar teascóige i gciorcal ach na cóimheasa seo a úsáid____ Ar 2 ____________ (céimeanna)360__________ (raidiain)2 (céimeanna) Achar teascóige (A) r 2 ____________ (raidiain) r3602 __________2 1_2 r 2 ( ina raidiain)Sampla 1Cuirtear ceapach bláthanna, a bhfuil cruthcuid de theascóg ciorcail uirthi, i lár plásóigedronuillí, mar a thaispeántar sa léaráid.Ríomh(i) fad na ciumhaise a theastaíonn doncheapach bláthanna(ii) achar an fhéir sa ghairdín.IJ3 m5 mKHCeartaigh gach freagra go dtí ionad deachúlach amháin. (céimeanna)(i) fad an stua mhóir IH 2r ____________ ____360( 90360 2 8 ) m 4 mfad an stua bhig JK ( 90 ____360 2 3 ) m 4 ___ 3 2 (2 5) ____( 11 2 10 ) m___ 3 2 m 27.3 m. ... an chiumhais a theastaíonn(ii) Achar na teascóige (an cheapach bláthanna) Achar na teascóige móire Achar na teascóige bige ____(360) 90 8 2 m 2 ____(360) 90 3 2 m 2 ____(360) 90 55 m 2 43.197 m 2Achar na dronuilleoige (8 16)m 2 128 m 2 Achar an fhéir (128 43.197)m 2 84.8 m 2Imlíne iomlán 198

Sampla 2Iompraíonn mionstua CD de chiorcal, a bhfuil lárphointe O agus ga 20 cm aige,uillinn x raidian ag O. Iompraíonn an mórstua CD den chiorcal uillinn 5x raidian ag O.Faigh, i dtéarmaí , fad an mhionstua.CAn mionstua CD r 20x.An mórstua CD r 20 5x 100xAn mórstua 2 r an mionstua imlíne 2 r. 100x 2 20 20x 120x 40 x __ 3⇒ an mionstua CD 20x ____ 20 3 cm.(Nóta: Is tomhas beacht é seo. Faightear neasfhreagra nuair a chuirimidluach isteach do .)20 cmxO5xDTFC: Tá cruthanna céimseatúla in go leor de na ceisteanna thíos a d'fhéadfaí a thaispeáintgo héasca le bogearraí ríomhaireachta, m.sh. GeoGebra. Is féidir na freagraí a dheimhniúmar sin, agus staidéar a dhéanamh ar fhreagraí malartacha, má tá dóthain ama ann.Cleachtadh 6.21. Taispeántar léaráid de cheapach bláthanna chuar.Is é scála na líníochta 1 cm : 1 m.Ríomh, ceart go dtí ionad amháin deachúlach,(i) imlíne na ceapaí(ii) achar na ceapaí.80°7 cm3 cm2. Faigh:(i) an t-achar iomlán, ceart go dtí an cm 2 is gaire(ii) an imlíne iomlán atá iniata ag an bhfíor ilchodach seo,ceart go dtí an cm is gaire.leathchiorcal12 cm8 cm199

3. Scríobh foirmle do na hachair dhaite seo a leanas.(a) r (b)rR(c)xa(d)a(e)x(f )ba4. Scríobh foirmle do gha teascóg ciorcail i dtéarmaí imlíne P na teascóige agus na huillinne raidian atá á hiompar ag an lárphointe.5. Tá na pointí R agus S ar imlíne ciorcail a bhfuil lárphointe O agus ga 8.5 cm aige.Tá an pointe T ar an mórstua RS.Má tá RTS 0.4 raidian, ríomh fad an mhionstua RS.a6. Inscríobhtar cearnóg i gciorcal a bhfuil ga r aige. Faigh(i) achar na cearnóige BCDE(ii) achar na coda daite i dtéarmaí r.CrBADE7. Tá 80 méadar d'fhálta ag feirmeoir chun bothán cearc ciorclach a thógáil.Faigh ga agus achar an bhotháin go céim chruinnis oiriúnach.Mínigh cén fáth nach féidir an ga a thomhas go hiomlán cruinn.8. (i) Taispeántar ciorcal a bhfuil cearnóg inscríofa ann agus cearnóg eileimscríofa thart air.Faigh cóimheas achar na cearnóige inmheánaí le hachar nacearnóige seachtraí.(ii) Taispeántar triantán comhshleasach a bhfuil ciorcal inscríofaann agus ciorcal imscríofa thart air.Ríomh cóimheas achar an imchiorcaille hachar an inchiorcail.200

9. Inscríobhtar ciorcal a bhfuil imlíne 12 cm aige i gcearnóg. 2 cmInscríobhtar an chearnóg i gciorcal seachtrach.Tadhlaíonn an ciorcal seachtrach seo sleasa comhthreomharatraipéisiam mar a léirítear.Faigh achar an traipéisiam, ag tabhairt do fhreagraísan fhoirm a √ ______ b .5 cm10. Tá an chuid dhaite den leathchiorcal le gearradh as leathánmór miotail.A(i) Scríobh síos i raidiain tomhas na huillinne AOB.(ii) Faigh fad beacht imlíne na coda daite.(iii) Faigh achar na coda daite agus(iv) uaidh sin faigh achar an teascáin nach bhfuil daite.Br 2 cm23O11. Díorthaigh foirmle i dtéarmaí r agus raidiand'achar an mhionteascáin faoin gcorda BC.Uaidh sin, faighcóimheas achar an mhórtheascáin le hacharan mhionteascáin á iompar ag uillinn__ 2 raidian.BrrmórtheascánCmionteascán12. Suíonn cúig dhiosca go beacht i bhfráma dronuilleogach atá20 cm ar leithead.Faigh achar an spáis eile sa fhráma.20 cm13. Más ionann achar teascóige i gciorcal agus 48 cm 2 , agus má táan imlíne 28 cm ar fad, faigh fad an gha.14. Tá cró ag feirmeoir atá 4 m faoi 5 m i lár féarghoirt mhóir.Ceanglaíonn sé gabhar de choirnéal amháin den chró seo le rópa atá 8 m ar fad,agus ligeann sé dó an féar an ithe.(i) Tarraing léaráid a thaispeánann an limistéar ina mbíonn an gabhar ag ithe.(ii) Léirigh ar an léaráid na teascóga difriúla de chiorcail a chuireann an limistéar sin in iúl.(iii) Ríomh achar iomlán an limistéir seo ina n-itheann an gabhar, ceart go dtí an m 2 is gaire.201

Mír 6.3 Réada tríthoiseacha1. PriosmaíFíor thríthoiseach é priosma a bhfuil antrasghearradh céanna aige feadh a fhaid.Taispeántar gnáthphriosma triantánach anseo.An toirt (A ) m 3Achar an dromchla sheachtraigh [2A 3( b)] m 2bAbbPriosma é scipe bruscair freisin nuair is traipéisiam an bonn.Sa chás go bhfuil leithead agus airde ingearach an scipe bruscairseo 1.8 m ar fad araon,an toirt V Achar traipéisiam 1.8 m 3 (________ 3.5 2.32) 1.8 1.8 m 3 9.369 m 3 9.4 m 3 .2.3 m3.5 mIs fearr achar an dromchla ar phriosma a fháil trí eangach an phriosma a leathnú amach.An chlaon-airde √ __________0.6 2 1.8 2 1.9 mAchar gach foircinn (E) 1.9) m 2Tá achar an dromchla sheachtraigh ar an scipe bruscairseo cothrom le:Achar 2 ________ 3.5 2.3(2) 1.8 1.8 2.3 2(1.8 1.9) 21.42 m 21.9 mE0.6 m1.8 m1.8 m3.5 m 2.3 mE2. Súil siar: an sorcóir, an cón agus an sféarCruth Léaráid AiríonnarToirt r 2 hAchar an Dromchla 2 r 2 2r hEangach sorcóra:Sorcóirh2rhr202

Toirt 1_3 r 2 hAchar an Dromchla r 2 rlEangach cóin:lCónhlrsrNóta: (i) I ndronchón ciorclach, tá an bhuaicdíreach os cionn lár an bhoinn.Uaidh sin, l 2 r 2 h 2 .(ii) Fad stua na teascóige (s) imlíne an bhoinn (2r).Toirt sféar 4 3 r3rToirt leathsféar 2 3 r3SféarAchar an dromchla ar an sféar 4r 3Achar an dromchla ar an leathsféar 3r 2Toirt 1_3 a2 hAchar an Dromchla a 2 4(1_2 al ) a2 2alhl 2 h 2 __ a24PirimidaalEangach pirimide:alNóta: Is féidir le priosma agus pirimid go leor bonn a bheith acu a bhfuil cruthanna difriúlaorthu (boinn pholagánacha).De ghnáth, (i) toirt priosma (achar an bhoinn) h(ii) toirt pirimide 1 3(achar an bhoinn) h203

3. Céimeanna cruinnisNuair a thógtar tomhas go céim áirithe chruinnis, cruthaítear earráid ar an tomhas.Más é x an tomhas, d'fhéadfadh an fíorthomhas a bheith sa réimse x x.M.sh. Más 10.3 cm atá i bhfad éigin, ceartaithe go dtí ionad amháintugann sé seo le fios go bhfuil íosfhad féideartha de 10.25 cmagus uasfhad féideartha de 10.34 cm i gceist.Más achar nó toirt atá sa tomhas, beidh raon densórt céanna ag gach toise.z ∆zy ∆yx ∆xSampla 1Faigh toirt an chóin bharrscoite seo (frustam)ceart go dtí ionad amháin deachúlach.4 cmAch trasghearradh a tharraingt trí lár an chóinbharrscoite agus ansin an cón is lú ar an mbarra dhealú ón gcón is mó, feicimid gurb ionannan fuílleach agus toirt an fhrustaim.Ó thriantáin chomhchosúla, tá sé seo a leanas againn:_____ h 84 h __62h 48h 24.Toirt an chóin is mó ⇒ 6h 48 4hAirde an chóin is lú |PC| h8 16 cm1_3 r 2 h 1_3 62 24 288 Toirt an chóin is lú 1_3 r 2 h 1_3 42 16 ___ 2563 Toirt an fhrustaim 288 ___ 2563 ___ 608 636.7 cm336 cm8 cmA E D2 cm6 cmPhB 4 cm C8 cmSampla 2Déanann comhlacht gráin iompair (sféir) do mheaisín. 12 mm an trastomhas atá ag nagráin iompair.Maíonn siad go dtáirgtear iad le cruinneas 0.02 mm.Faigh toirt an ghráin iompair is mó agus toirt an ghráin iompair is lú a tháirgtear.Faigh an earráid chéatadánach ar (i) an trastomhas(ii) an toirt.204

Trastomhas 12 mm Trastomhas uas 12.02 mm, Trastomhas íos 11.98 mmToirt 4_3 r 3 ⇒ Uastoirt 4_3 (6.01)3 909.310 mm 3⇒ Íostoirt 4_3 (5.99)3 900.262 mm 3(i) earráid % ar an trastomhas 0. 0212 100% 0.167%(ii) Toirt 4_3 (6)3 904.779 mm 3⇒ earráid % ar an toirt ________________909.310 904.779 100% 0.5%904.779Cleachtadh 6.31. Imscrúdaigh gach ceann de na cruthanna seo a leanas go cúramach agus(i) trí eangach oiriúnach a tharraingt do gach ceann acu, ríomh an t-achariomlán ceart go dtí ionad amháin deachúlach(ii) faigh toirt gach crutha ceart go dtí ionad amháin deachúlach.(a)1.3 m(b)2 m0.8 m2 m2.5 m(c)(d)8 cm40 mm10 cm(e)10 cm(f)12 cm20 cm7 cm205

2. I rang adhmadóireachta, iarradh ar na scoláirí na réada tríthoiseacha seo a leanas a chur inord ón gceann is mó go dtí an ceann is lú, de réir (1) a dtoirte (ii) achar iomlán an dromchla,agus gach freagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.Déan dhá liosta ar leith do (i) na hachair (ii) na toirteanna,agus iad in ord íslitheach.(a)(b)20 mm(c)3 mm20 mm30 mm12 mm(d)(e)(f)30 mm12 mm32 mm24 mm(g)10 mm26 mm(h)12 mm16 mm11 mm(i)14 mm4 mm 3 mm10 mm3. Úsáideann comhlacht athchúrsála an scipe bruscair seo.(i) Faigh toirt an scipe bruscair, ceart go dtí dháionad dheachúlacha.(ii) Cuireann an comhlacht bailiúchán toirte ar fáilag 80 in aghaidh an m 3 nó bailiúchán meáchainag 30 in aghaidh 100 kg, ag glacadh leis go meánnscipe bruscair lán 1.3 tona. Cén rogha a thugannan luach ar airgead is fearr don chustaiméir?(iii) Scríobh cothromóid do thoirt an scipe bruscairi dtéarmaí a, h, w agus .2.5 m1.6 m1.2 m2 m(iv) Teastaíonn ón gcomhlacht athchúrsála an scipe bruscair a athdhearadh agus uillinnnua 45° aige. Más gá go mbeadh an leithead, airde agus toirt iomlán fós mar angcéanna le go rachaidh sé ar an trucail, faigh, ceart go dtí ionad amháin deachúlach,toisí nua bhun agus bharr an scipe bruscair.ahw206

4. Taispeántar eangach fíorach 3T sa léaráid.Tá an dá thriantán comhchosach agus iomchuí.(i) Ríomh fad an tsleasa atá x cm ar fad.(ii) Tarraing sceitse den fhíor 3T agus ainmnigh é.(iii) Ríomh a toirt.(iv) Dear priosma traipéasóideach a bhfuil an toirtchéanna aige.x cm3 cm8 cm2 cm5. (i) Iarrtar ar scoláire i rang adhmadóireachta an sféaris mó is féidir a dhéanamh den chiúb thall.Cén toirt den adhmad a chaithfear a smiotadhden chiúb?(ii) Iarrtar ar an scoláire ansin toirt an sféir islú a d'fhéadfadh an ciúb a chlúdach inaiomlán a ríomh.10 cm10 cm10 cm6. Tá umar uisce, a bhfuil cruth ciúbóidigh (solad dronuilleogach)air, lán d'uisce. Draenáiltear uisce ón umar ag an ráta 8 lítearin aghaidh an nóiméid.Tugtar toisí an umair go dtí na 10 cm is gaire.1.3 mTugtar an ráta ag a ndraenáiltear an t-uisce ón umar go dtían 0.5 lítear in aghaidh an nóiméid is gaire.Ríomh, ceart go dtí an nóiméad is gaire,(i) an méid is lú ama a thógfadh sé an t-umar a dhraenáil(ii) an méid is mó ama a thógfadh sé an t-umar a dhraenáil.1 m1.5 m7. Tá bonn dronuilleogach ag an bpirimid thall.Tá an pointe X díreach os cionn lárphointe an bhoinn.(i) Faigh toirt na pirimide.(ii) Tarraing dhá eangach fhéideartha don phirimidagus uaidh sin (ag úsáid ceann acu) faighachar iomlán an dromchla sheachtraigh aran bpirimid.14 cm15 cmX10 cm8. Tá taca cruach le déanamh as bloc dronuilleogach 18 cmmiotail atá 4 cm tiubh, mar a thaispeántar.Má bhaintear ceathrúchiorcal, ríomh achar iomlánan dromchla ar an taca agus toirt iomlán an taca.20 cm4 cm(Ceathrúchiorcal bainte)207

9. Má sheasann x, y agus z d'fhaid, agus más uimhreacha gan toisíiad agus a, abair an seasann na foirmlí seo a leanas do(i) fad (ii) achar (iii) toirt.(a) x 2 y 2 z 2 (b) ax y (c) axz (d) ay(e) axy az (f) ax xy (g) axyz (h) x 2 y y 2 z z 2 x10. Má sheasann A d'achar, V do thoirt, agus más faid iad x, y, z,cé acu de na foirmlí seo atá comhsheasmhach agus cé acu atá ar neamhréir, i dtéarmaí toisí?Mínigh do fhreagraí.(i) Ax z 3 (ii) x ___ V (iii) V xy z (iv) A xAy2 y 2 z 2(v) V A(x y z)(vi) A V __x y(vii) x y z11. Is é an fhoirmle do thoirt pirimideV 1_ (achar an bhoinn) airde ingearach.3(i) Don phirimid thall a bhfuil bonn cearnógach aici,faigh an toirt i dtéarmaí a agus h.Faigh toirt na pirimide má tá an bonn 6 cm arfad agus má tá sí 7 cm ar airde.haa(ii) Pirimid eile a bhfuil bonn cearnógach aici, tá a bonn 5 cmar fad agus tá toirt 100 cm 3 ag an bpirimid.Faigh a hairde ingearach. Uaidh sin,agus trína heangach a tharraingt, faigh achar iomlán an dromchla.(iii) Gearradh an phirimid thall ó phirimid a bhfuil bonncearnógach aici. Faigh a toirt i dtéarmaí m.Déan cur síos ar an bpirimid seo. Tarraing a heangachagus achar iomlán a dromchla i dtéarmaí m.mmm12. (i) Suíonn sféar soladach go beacht i mbosca ciúbach, mara thaispeántar. Má tá ciumhais an bhosca 14 cm ar fad,agus má tá 227 , faigh(a) toirt an bhosca in cm 3(b) toirt an sféir in cm 3(c) céatadán an spáis nach bhfuil an sféar ann.Bíodh do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.(ii) Suíonn an sféar soladach céanna i sorcóir go beacht.Cinn an bhfuil céatadán an spáis nach bhfuil an sféar ann sa sorcóir níos mó nó níoslú ná an spás nach bhfuil an sféar ann sa bhosca ciúbach.14 cm208

13. Faigh, ceart go dtí ionad amháin deachúlach,toirt an stopalláin rubair seo.6 cm7 cm3 cmMír 6.4 Riail thraipéasóideach chun achar a ríomhChun achar cruthanna a bhfuil teorainneacha neamhrialta acu a ríomh, m.sh. páirceanna, locha, srl.,de ghnáth roinneann suirbhéirí an t-achar i sraith stiallacha comhthreomhara, i gcruth traipéisiamde ghnáth; ceathairshleasán a bhfuil péire de na ceithre shlios comhthreomhar le chéile.yAAAh h h h h h h h h h hB B BTarraingítear líne dhíreach trí lár an achair, á roinnt i sraith de dhá achar dhifriúla,A agus B.Is féidir achar gach limistéir, os cionn na líne agus fúithi, a ríomh ar leithligh trí leas a bhaintas an bhfoirmle d'achar traipéisiam agus na torthaí a shuimiú le chéile.Feadh na líne agus ag eatraimh chothroma de h, tarraingítear línte ingearachago dtí an teorainn. Is iad na hordanáidí (taobhingir) seo y 1 , y 2 , y 3 , srl. sleasa comhthreomhara an traipéisiam.Trí leas a bhaint as an bhfoirmle achair do thraipéisiam,_____ a b h, faighimid A21 _______ y 1 y 2 h.2Ar an gcaoi chéanna, A 2 _______ y 2 y 3 h, agus mar sin de.2Dá bhrí sin, tá achar iomlán A A 1 A 2 A 3 A 4 ._______2_______2y 1y 2y 3y 4y 5A 1A 2 A 3 A 4h h h h_______2_______ h2) ( y 1 y 2 h ) ( y 2 y 3 h ) ( y 3 y 4 h ) ( y 4 y 5 h __2 (y 1 y 2 y 2 y 3 y 3 y 4 y 4 y 5 ) h __2 [y 1 2( y 2 y 3 y 4 ) y 5 ]209

I bhfocail, Achar leithead eatraimh__________________2[an chéad airde an airde dheiridh 2(na hairdí atá fanta)]Nuair a dhéantar n stiall, athraíonn an fhoirmle thraipéasóideach go dtíAchar h __2 [y 1 y n 2( y 2 y 3 y 4 . . . . y n 1 ) ]Nóta 1: Mar nach bhfuil barr gach traipéisiam cothrom leis an teorainn ag gach pointe, níl sanachar a fhaightear leis an bhfoirmle seo ach neas-achar.Braitheann a chruinneas ar leithead na bearna h; dá laghad é leithead na bearna, is é isfearr é an cruinneas.Nóta 2: Má thomhaistear na taobhingir ó na pointí céanna taobh thuas agus taobh thíos den líne,is féidir an t-achar (A B) a fháil leis an bhfoirmle thíosAchar h __2 [y 1 y 7 2( y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 ) ]Ahy 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7BSampla 1Agus na tomhais a chuirtear ar fáil á n-úsáidagat, faigh achar an chrutha seo má táh 1 aonad.y 1 0, y 2 3, y 3 3.62, y 4 2.86,y 5 3, y 6 3.58, y 7 2.66.h3 3.62 2.86 3 3.58 2.66Achar __ h2 [y 1 y 7 2( y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 )]1_[0 2.66 2(3 3.62 2.86 3 3.58) ] 17.390 aonad cearnach2210

Sampla 2Tá an chothromóid x 2 y 2 25 ag an gciorcala thaispeántar.(i) Faigh y i dtéarmaí x.(ii) Uaidh sin críochnaigh an tábla seo.x 0 1 2 3 4 5y(iii) Úsáid an tábla chun achar an cheathrúchiorcaila mheas. Bíodh eatraimhh 1 aonad agat.(iv) Críochnaigh an tábla thíos.Bíodh eatraimh h 0.5 aonad agat.y54x 2 y 2 2532100 1 2 3 4 5 xx 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y(v) Cuir an dá fhreagra i gcomparáid leis an bhfreagra a fuair tú ón bhfoirmle d'achardiosca (ceart go dtí trí ionad dheachúlacha). Cén tátal is féidir a bhaint as seo?(i) x 2 y 2 25 ⇒ y 2 25 x 2⇒ y √ _______25 x 2(ii) x 0 1 2 3 4 5y 5 √ ___24 √ ___21 4 3 0(iii) Achar 1_2 [5 0 2( √ ___24 √ ___21 4 3) ] 18.982 aonad cearnachx 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y 5 4.975 4.899 4.77 4.583 4.33 4 3.571 3 2.179 0(iv) Achar __ 0.5Achar 1 4 diosca 1_4 r 2 2[5 0 2(4.975 4.899 4.77 4.584 4.33 4 3.571 3 2.179) ] 19.404 aonad cearnach1_4 52 19.635 aonad cearnach(v) De réir mar a théann h i laghad, bíonn an neasfhreagra níos gaire do fhreagrafhoirmle an diosca. Feicimid freisin go bhfuil an dá neasfhreagra níos lú náan fíorfhreagra, mar a bheifí ag súil leis ó chruth an ghraif.Nóta: Má tá 5 stiall ann, beidh 6 ordanáid ann.Má tá 10 stiall ann, beidh 11 ordanáid ann.Má tá n stiall ann, beidh n 1 ordanáid ann.211

Cleachtadh 6.41. Is mian le feirmeoir achar ceann dá pháirceannaa bhfuil an cruth thall uirthi a ríomh.Úsáideann sé léarscáil a bhfuil scála 1000:110 mmaici. Roinneann sé léarscáil na páirce inadhá leath, ag úsáid líne chothrománach, agustarraingíonn sé taobhingir ingearacha ageatraimh 10 mm. Trí fhad na dtaobhingear athomhas, úsáid an riail thraipéasóideach chun achar A B a mheas.Bíodh do fhreagra i heicteáir, ceart go dtí 2 ionad dheachúlacha.(Nóta: Heicteár amháin 10 000 m 2 )AB2. Má tá h 1 cm agus má tá faid nadtaobhingear mar atá thall, faigh achar na léarscáile seo.(i) Más é 17.23 cm 2 achar na léarscáile,faigh an earráid chéatadánach abhaineann leis an riail thraipéasóideachagus h 1 cm a úsáid.(ii) Trí thoisí nua a thógáil le h 1 2 cm,faigh an dara meastachán ar an achar.h2 5.42 314.36 3.663. Trí úsáid a bhaint as an riail thraipéasóideach, yagus as luach eatraimh de (i) h 1 cm agus(ii) h 0.5 cm, meas an t-achar faoin gcuar4y 3x (0.5)x 2 .3y 3x (0.5)x 221O1 2 3 4 5 6x212

124. Cóipeáil na haiseanna seo agus úsáid iad chun an yfheidhm y __√ x a bhreacadh i gcás 0 x 2.2Úsáid ceithre thraipéasóideach chun an t-achar faoingcuar a mheas i gcás 0 x 2.1.55. y1.210.80.6(1.75, 0.66)(1.5, 0.4)0.4(1.25, 0.24)0.2 (1, 0.15)(0.25, 0.03) (0.5, 0.05)(0, 0.02)(0.75, 0.09)O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.510.5O(2.0, 1.1)(2.25, 0.97)(2.5, 0.86)(2.75, 0.76)0.5 1 1.5 2(3.0, 0.67)(3.25, 0.59)(3.5, 0.52)(i) Agus leithead eatraimh 0.25 á úsáid agat, faigh cóimheas na limistéar daite faoin gcuar.(ii) Meas, trí thriail is earráid, an t-uasluach ar x ionas go mbeidh an dá achar cothrom.6. Tugtar imlíne de léarscáil na hÉireann. Má úsáidtear scála 1 cm 20 km,úsáid an riail thraipéasóideach chun achar oileán na hÉireann a mheas.Tógtar taobhingir gach 3 cm.xx3 139.838.23314.639.237.3360213

Súil Siar (Croícheisteanna)1. Taispeántar sa léaráid cearnóg, trasnán agus línea cheanglaíonn rinn le lárphointe sleasa.Céard é cóimheas achar P le hachar Q?(TFC: Seiceáil do fhreagra tríd an bhfíor seo a tharraingtle clár ríomhghrafaice, m.sh. GeoGebra)QP2. Faigh achar iomlán an dromchla agus an toirt i gcás gach ceann de na fíorachailchodacha seo a leanas. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.(a)(b)R 6 mm(c)60 cmleathchiorclach20 cm10 mm75 cm10 cm15 cmrr 1.5 mm75 cm3. Tá lárphointe O agus mionstua [CB] atá 6.4 cm ar fad ag ciorcala bhfuil ga 5 cm aige, mar a léirítear.(i) Ríomh, i raidiain, méid na géaruillinne COB.angle COB.(ii) Ríomh achar na mionteascóige COB.(iii) Ríomh an cóimheasmionteascóg : mórtheascóg san fhoirm 1 : p.Tabhair p ceart go dtí 3 fhigiúr bhunúsacha.O5 cmBC6.4 cm4. Cinn toilleadh linn snámha a bhfuil na toisí seo aici.Má tá an príomhlíonra uisce in ann uisce a sholáthar ag ráta 10 lítear in aghaidhan nóiméid, cá fhad a thógfaidh sé an linn a líonadh?25 m1.5 m3 m8 m214

5. Faigh luach x i ngach ceann de na ciorcail seo a leanas.1.2 radsx raidiainx cm124.5 cmA 15 cm 2A 12 cm 2 x cmA 20 cm 26. Taispeántar eangach cóin sa léaráid. Úsáid an léaráid seochun a thaispeáint gur féidir achar cuar an dromchla ar angcón a scríobh mar A r, nuair is ionann r agus ga anbhoinn chiorclaigh agus nuair is é claon-airde an chóin.(Nóta: is é s fad an mhionstua.)rs7. Taispeántar graf na feidhme y (1 2x 2 ) 0.3 . y(i) Úsáid an dronuilleog OPRQ agus antriantán KPR chun an t-achar faoinngraf a mheas i gcás 0 < x < 5.(ii) Úsáid an riail thraipéasóideach, agusna taobhingir mar a léirítear, chun andara meastachán a fháil don achar.4321PK(1, 1.39)y (1 2x 2 ) 0.3R(5, 3.24)(4, 2.85)(3, 2.42)(2, 1.95)8. Faigh(i) imlíne agus(ii) achar na fíorach ilchodaí seo.Fág do fhreagraí i bhfoirm surda.LOQ1 2 3 4 5 62 m2 mx2 m4 m9. Déantar suaitheantas as sraith ciorcal atá 16 cmnasctha le chéile mar a thaispeántar anseo.Faigh(i) fad na himlíne(ii) achar na fíorach ilchodaí.215

10. Tugtar an costas a bhaineann le cruinneachán gloine leathsféarúil a dhéanamh marCostas (5200 35A), nuair is ionann A agus achar an dromchla i méadair chearnacha.Faigh an costas a bheadh ar leathsféar a bhfuil ga 10 m aige a dhéanamh.11. Déantar caiseal as ciúb, sorcóir 2 cm agus cónmar a thaispeántar sa léaráid seo.Tugtar líníocht trasghearrtha agus na toisí.Faigh toirt an chaisil,ceart go dtí ionad amháin deachúlach.2 cm8 cm 2 cm4 cmSúil Siar (Ardcheisteanna)1. Taispeántar an mhionteascóg BCE den chiorcal C, a bhfuil Clárphointe E agus ga r cm aige, san fhíor seo.Is é 100 cm imlíne na teascóige agus is é A cm 2 achar na teascóige.(i) Taispeáin go bhfuil A (50r r 2 ) cm 2 .(ii) Má deirtear leat gur féidir le r athrú,faigh (tríd an gcearnóg a shlánú) an luach ar ra fhágann go bhfuil A ina uasachar agus taispeáin gur uasachar é A.(iii) Faigh luach CEB don uasachar seo.(iv) Faigh uasachar na teascóige.EA cm 2r cmB2. 1 m1 m1 m1 mABTá poill chiorclacha, a bhfuil ga 1 cm acu, le gearradh as leathán miotail.Tá an leathán miotail 1 m 1 m.D'fhéadfaí dhá mhodh, A nó B, a úsáid, mar a thaispeántar thuas.(i) I gcás an dá mhodh, ríomh an líon poll is féidir a ghearradh.(ii) Ríomh an céatadán fuíollábhair as gach leathán miotail.216

3. Sa léaráid seo, tá achar an triantáin dhaite PNQ trí oireadchomh mór le hachar an teascáin a chruthaíonnan corda [OQ].Faigh, i dtéarmaí r agus ,(i) achar PQO(ii) achar an teascáin a dhéanann [OQ](iii) achar PQN.Uaidh sin taispeáin go bhfuil 3 4 sin 0.NQr P r O4. Faigh achar iomlán an dromchla agus toirt an mhiotail i gcás gach ceann de na réadaseo a leanas, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.(a)(b)(c)8 cm40 cm45 cm100 cm10 mm20 mm15 mm22 cm5. Taispeántar imlíne dearaidh do shiogairlín gaoithe.Tá sreang chiorclach thart ar theascóg ciorcail.Más ionann uillinn na mionteascóige agus ___ 2 3 raidian,faigh (i) achar na mionteascóige(ii) achar an mhionteascáin.Má tá 1.895 raidian, taispeáin go ndéroinneannan líne chothrománach bhriste achar na teascóige.r 2 cm6. Nascann cosán díreach dhá phointe C agus D ar chuidchuar d'iarnród.Is é 44 m ga an iarnróid chiorclaigh.(i) Taispeáin go bhfuil an uillinn COD cothrom le 1.84 raidian.(ii) Ríomh fad an iarnróid a thaispeántar.(iii) Ríomh an fad is gaire ó O go dtí an cosán.(iv) Ríomh achar an limistéir a bhfuil an cosán agusan t-iarnród ina dteorainneacha aige.C44 mIarnródDCosán (70m)44 mO217

7. Taispeáin gurb ionann achar an mhionteascáin Mórtheascánagus 1 2 r 2 ( sin ).(i) Má tá achar an mhórtheascáin cothrom le 23.32 cm 2nuair atá 2 raidian, is 23.32faigh r, ceart go dtí ionad amháin deachúlach.(ii) Má léiríonn an léaráid seo trasghearradhbabhla ina bhfuil uisce,faigh achar dromchla an uisce.8. Léirítear gluaiseacht veainle graf luais/ama mar athaispeántar.(i) Déan trácht ar nadifríochtaí i ngluaiseachtna veain idir phointíA go B, C go D agusE go F.(ii) Cén chainníocht a fhaightearnuair a iolraítear anluas faoin am?Luas (km/uair)6050403020BCDrAm (nóim.)Mionteascán10AEF1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11(iii) Úsáid an riail thraipéasóideach agus léamha ón ngraf chun an fad iomlán a thaistilan veain in 10 nóiméad a mheas.9. Tá ceithre éadan ar theitrihéadrán rialta agusis triantán comhshleasach é gach ceann díobh.Cuirtear teitrihéadrán rialta mar seo i sorcóiragus éadan amháin cothrom ar an mbun.Má tá imeall amháin ar an teitrihéadrán 2aar fad, taispeáin gurb é 8 √ ______ 6 an toirt atá9 a3sa choimeádán sorcóireach is lú is féidir é achur isteach ann.2a2a2a2a(In oiriúint as Páipéar Samplach 2011,Páipéar 2 ó Choimisiún na Scrúduithe Stáit.)2a2a10. Faigh achar an traipéisiam dhaite.Nóta: níl na sleasa de réir scála.78 mm10 mm24 mm104 mm218

Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtar freagra níos faide)1. Lúbtar sreang atá 4 m ar fad i gcruth teascóg ciorcaila bhfuil ga r méadar agus uillinn raidian aici.(i) Luaigh, i dtéarmaí agus r,r(a) fad an stua(b) achar A na teascóige.(ii) Uaidh sin taispeáin go bhfuil A 2r r 2 .(iii) Tríd an gcearnóg a shlánú, athscríobh an chothromóid seo san fhoirm A q (r p) 2 .(iv) Tarraing graf de A in aghaidh r, 0 r 5.Scríobh síos an t-uasphointe ar an ngraf agus uaidh sin faigh an t-uasluach ar ra chruthóidh uasachar.(v) Oibrigh amach luach comhfhreagrach .2. (i) Iarradh ar ghrúpaí scoláirí achar triantáin chomhshleasaigha chur i gcomparáid le hachar leathchiorcail, nuair a bhíbonn an triantáin chomhshleasaigh ar comhfhad le trastomhasan leathchiorcail.Dúirt Grúpa 1 go raibh siad ar comhachar.Dúirt Grúpa 2 go raibh an triantán níos mó faoi 10.27%.Dúirt Grúpa 3 go raibh difríocht 9.24% i gceist.Imscrúdaigh maíomh gach grúpa.(ii) Ansin iarradh ar na grúpaí méid na mbonnuillinneachai dtriantán comhchosach,a raibh an t-achar ceannanncéanna aige leis an leathchiorcal, a ríomh.Bhí an bonn ar comhfhad le trastomhas an leathchiorcailarís. Céard í an mhéid uillinne atá ceart?(iii) Má rothlaítear na hachair chothroma thart ar líne ingearach trí stuaic an triantáin,cruthaítear cón agus leathsféar.Imscrúdaigh an bhfuil na toirteanna mar an gcéanna.x3. Tugtar léaráid d'eangach tarraiceáin.Nuair a thógtar é, tá cruth ciúbóidigh atáoscailte ar an mbarr aige.(i) Faigh, i dtéarmaí h, slonn d'achar anbhoinn chearnógaigh.(ii) Cén luach a bheadh ar h dá mba chiúbgan bharr an tarraiceán?(iii) Faigh slonn do thoirt an tarraiceáini dtéarmaí h.Tarraing sceitse den toirt mar fheidhm deh ó h 0 cm go h 14 cm.(iv) Úsáid do ghraf chun an luach ar h auasmhéadaíonn toirt an tarraiceáin a mheas.hh20 cm20 cm219

(v) Teastaíonn tarraiceán a bhfuil toirt 500 cm 3 aige.Meas ó do ghraf na trí luach dhifriúla a bheadh ar h chuntoirt 500 cm 3 a chruthú.(vi) Mínigh an fáth nach bhfuil gach luach de h indéanta go fisiceach.4. Teastaíonn ó ríomhchláraitheoir ríomhchlár a dhearadh chun acharciorcail a mheas trí úsáid a bhaint as an riail thraipéasóideach.Ina chéad imscrúdú tarraingíonn sé leathchiorcal a bhfuil ga10 cm aige. Roinneann sé an trastomhas ansin inaar8 n-eatramh chothroma.(i) Tóg leathchiorcal a bhfuil ga 10 cm aige agus trí fhadgach eatraimh a thomhas, meas achar an leathchiorcailag úsáid na rialach traipéasóidí.(ii) Faigh an earráid chéatadánach sa mhodh seo tríd an achar a chur i gcomparáid leisan bhfíorachar 1 2 r2 .(iii) Agus a thógáil in úsáid aige, ríomh an ríomhchláraitheoir fad gach eatraimhi dtéarmaí r.Úsáid an léaráid thuas chun luach do a, do b agus do c a ríomh,ceart go céim chruinnis réasúnta.(iv) Dhíorthaigh an ríomhchláraitheoir an neasachar marAchar __ r 2(2a 2b 2c 1).4Taispeáin go soiléir an chaoi ar díorthaíodh an fhoirmle seo.(v) Úsáid do luachanna ríofa do a, do b agus do c i gcothromóid anríomhchláraitheora chun foirmle a fháil d'achar leathchiorcail a bhfuil ga r cm aige.(vi) Úsáid an fhoirmle seo chun achar leathchiorcal a bhfuil gathanna 5 cm, 10 cm agus15 cm acu a mheas.(vii) Déan trácht ar chruinneas fhoirmle an ríomhchláraitheora.brr4crrr2205. Tá bosca le déanamh asleathán mór cairtchláir22 cm 31 cm.Tá toirt 500 cm 3 le bheithsa bhosca.Is éard atá sna codanna scáthaithená flapaí atá 1 cm ar leithead.Tá an bosca h cm ar airde,mar a thaispeántar sa léaráid.Scríobh, i dtéarmaí h,31 cmTaobhBarr Taobh Bun Taobh 22 cm(i) (a) fad (b) leithead (c) airde an bhosca.(ii) Scríobh slonn do thoilleadh an bhosca i dtéarmaí h.(iii) Faigh luach h don bhosca má tá bonn cearnógach le bheith air.(iv) Taispeáin go dtugann an luach seo ar h an toilleadh a theastaíonn.Taobhhh

(v) Faigh, ceart go dtí ionad amháin deachúlach, an luach eile ar h a thuganntoilleadh 500 cm 3 .(vi) Tarraingítear graf den toilleadh mar fheidhm de h. Léirigh ar an ngraf seodo fhreagraí ar (iv) agus ar (v).Toilleadh (cm 3 )5004003002001001 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15100hh (cm)(vii) An féidir toilleadh an bhosca a mhéadú 10% le píosa cairtchláir atá ar an méidchéanna? Mínigh.(In oiriúint as Páipéar Samplach 2012, Páipéar 1 ó Choimisiún na Scrúduithe Stáit.)221

7Ailgéabar 3 éagothromóid éagothromóid chearnach éagothromóid chóimheasta modalcothromóidí modalacha éagothromóidí modalacha cruthúnas díreachcruthúnas trí bhréagnú luach uimhriúil éagothromóidí teibí séana bonnuimhirfás easpónantúil meath easpónantúil logartam cruthúnas trí ionduchtúMír 7.1 Súil siarTeastaíonn na siombailí éagothroime , , , nuairatáthar ag réiteach fadhbanna ina sásaíonn réimse luachannaféideartha na coinníollacha tugtha.m.sh. Má tá 3x 4 5, níos lú ná3x 9, níos lú ná nó cothrom leagus x 3, rud a chiallaíonn go sásaíonn gach luachar x is mó ná 3 an éagothromóid 3x 4 > 5.Éagothromóid a thugtar ar shloinn ar nós 3x 4 > 5.Bunrialacha éagothromóidí níos má ná níos mó ná nó cothrom leTairiseach, a, a shuimiúnó a dhealúIolrú faoi uimhirdheimhneach nó roinnt aruimhir dheimhneach, a 0x yx yx a y aax ayx__a __ yaAgus sinn ag iolrú faoi uimhir dhiúltach nó ag roinnt ar uimhir dhiúltach, aisiompaítear antsiombail éagothroime.M.sh. 5 > 2 ; má iolraítear an dá thaobh faoi (1), faightear 5 (1) < 2 (1), i.e. 5 < 2.Iolrú faoi uimhir dhiúltachnó roinnt ar uimhirdhiúltach, a 0x yax ayx__a __ ya222

Chomh maithleis sin,Éagothromóidí a chónascadhx yy zx y 0a b 0x zax byTógáil ghrafachMá thugtar graf na feidhme nó má tá sé éasca é a thógail, teicníc bhreise is ea é sin a chabhraíonnle héagothromóidí a thuiscint agus a réiteach.Má tá f (x) (x 3)(x 1)(x 4) 0,is iad na pointí x 3, x 1 agus x 4 na pointícriticiúla chun an tacar réitigh a chinneadh.Is féidir na luachanna ar x ina bhfuilf (x) (x 3)(x 1)(x 4) 5a mheas freisin.y20104 3 2 1O1 2 3 4 5 x10y 5Nóta:(i) Agus éagothromóidí á réiteach, is minic nach mbíonn feidhm ag an réiteach ach maidir lecórais uimhreacha ar leith, i.e. N, Z, R, agus an réimse uimhreacha a bhreactar dáthoradh ar an uimhirlíne. m.sh. 5x 1 > 14, x N.(ii) Cruthaíonn éagothromóid ordphéire (a, b);Má tá a > b, má aisiompaítear an t-ord (b, a), aisiompaítear an éagothromóid freisin, i.e. b < a.Sampla 1Réitigh an éagothromóid 3x 7 x 2, x Z, agus breac an réiteach ar uimhirlíne.3x 7 x 22x 7 2 ag dealú x ón dá thaobh2x 5 ag dealú 7 ón dá thaobhx ___ 52 , x Z.(Sásóidh gach luach slánuimhriúil níos mó ná nó cothrom le 2 1 2an éagothromóid tosaigh.)5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6Sampla 2Réitigh an éagothromóid 1 6 (x 1) 1 3(x 4), x R.Graf do réiteach ar uimhirlíne.223

1_ (x 1) 1_(x 4)6 3⇒ x 1 2x 8 ag iolrú an dá thaobh faoi 6⇒ x 7 ag suimiú 1 leis an dá thaobh agus ag dealú 2x ón dá thaobh⇒ x 7 ag iolrú an dá thaobh faoi (-1) agus ag aisiompú an chomhartha éagothroime.4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8(Nóta: Tugann ciorcal dúnta ar 7 le fios go bhfuil 7 san áireamh sa réimse.)Sampla 3Réitigh an éagothromóid 9 < 3 4x 1, x R.Graf do réiteach ar an uimhirlíne. 9 3 4x 1⇒ 12 4x 2 ag dealú 3 ó gach páirt den éagothromóid⇒ 3 x 1_ ag roinnt gach páirt den éagothromóid ar 4 agus ag aisiompú2⇒1_2an chomhartha éagothroime x 3 ag aisiompú an oird1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5(Nóta: Tugann ciorcal oscailte ar 3 le fios nach bhfuil sé san áireamh.)Sampla 4(i) Faigh an tacar réitigh A, {x 7 10 3x, x R}.(ii) Faigh an tacar réitigh B, {x 2 > 4 3 2x, x R}.(iii) Faigh an tacar A B agus graf an réiteach ar an uimhirlíne.A: 7 10 3x B: 2 4_3 2x3x 3 2x 4_3 2x 12x ___ 23x ___ 13 is é A B an tacar luachanna 1 3 < x 1.1 01 2224

Cleachtadh 7.11. Graf ar uimhirlíne an tacar luachanna ar x N mar a bhfuil(i) 3x 5 x 3 (ii) 6x 5 2x 1 (iii) 1 3x 10.2. Réitigh na héagothromóidí seo a leanas agus breac an tacar réitigh ar uimhirlíne.(i)x__2 2 7, x N (ii) 1_ (x 1) 1_(x 4), x Z6 3(iii) _____ 4 x _____ 2 x , x R2 33. Breac réiteach na n-éagothromóidí seo a leanas ar uimhirlíne, x R.(i) 12x 3(x 3) 45 (ii) x(x 4) x 2 2 (iii) x 2(5 2x) 114. Breac ar uimhirlíne an tacar luachanna ar x R mar a bhfuil(i) 2 x 1 3 (ii) 11 1 3x 7 (iii) 3 4x 1 1.5. Réitigh gach ceann de na héagothromóidí seo a leanas, x R.(i) 3 3_ (x 2) 0 (ii) 4 2_(1 3x) 1 (iii) 3 2 __ x5 5 7 46. Faigh an tacar luachanna mar a bhfuil 3(x 2) > x 4 agus 4x 12 > 2x 17, x R,agus breac do fhreagraí ar uimhirlíne.7. (i) Faigh an tacar réitigh A do 2x 5 < x 1, x R.(ii) Faigh an tacar réitigh B do 7(x 1) > 23 x, x R.(iii) Breac an tacar réitigh A B ar uimhirlíne.8. (i) Faigh an tacar réitigh C do 2x 3 > 2, x R.(ii) Faigh an tacar réitigh D do 3(x 2) < 12 x, x R.(iii) Breac an tacar réitigh C D ar uimhirlíne.9. (i) Faigh an tacar réitigh E do 15 x < 2(11 x), x Z.(ii) Faigh an tacar réitigh F do 5(3x 1) > 12x 19, x Z.(iii) Faigh an tacar luachanna E F.10. (i) Faigh an tacar luachanna G mar a bhfuil 3x 8 20, x N.(ii) Faigh an tacar luachanna H mar a bhfuil 2(3x 7) x 6, x N.(iii) Faigh an tacar luachanna G H.11. Úsáidtear rópa atá 38 m ar fad chun limistéar dronuilleogach a chruthú lá spóirt.Má chaithfidh leithead na dronuilleoige a bheith 2 m ar a laghad, agus má chaithfidh an fada bheith 1 m go díreach níos faide ná an leithead, faigh uastoisí na dronuilleoige.12. Má tá a < n < b, agus 100 < 2 n < 200,faigh luachanna ar a agus b, nuair atá a, n, b N.225

13. Tabhair sampla amháin chun a thaispeáint má tá a > b > 0 agus n > 0 a n > b n .Anois tabhair sampla chun a thaispeáint má tá a > b > 0 agus n < 0 a n < b n .Scríobh síos tacar coibhéiseach tátal dóibh seo:Má tá a < b < 0 agus n > 0 .....,ach má tá a < b < 0 agus n < 0 .....14. Faigh x má tá x Z agus Z {5 3x < 10} {4x 6 < 32}.Mír 7.2 Éagothromóidí cearnacha agus cóimheasta1. Éagothromóidí cearnachaax 2 bx c 0, seo sampla déagothromóid chearnach.Chun éagothromóid chearnach san fhoirm ax 2 bx c 0 (nó 0) a réiteach, déan marseo:1. Réitigh ax 2 bx c 0 chun fréamhacha (réadacha) na cothromóide cearnaí a fháil.2. Tarraing sceitse garbh den ghraf leis na fréamhacha sin.(i) Má tá a > 0, tá cruth ar an ngraf.(ii) Má tá a < 0, tá cruth ar an ngraf.3. Úsáid an graf chun tacar luachanna ar x a fháil a shásaíonn an éagothromóid.Sampla 1Réitigh an éagothromóid x 2 2x 8 0.Céim 1. Réitigh x 2 2x 8 0.⇒ x 2 2x 8 (x 2)(x 4) 0⇒ x 2 nó x 4Céim 2. Ó tharla go bhfuil a 1, i.e. > 0, graf a bhfuil cruth air.y15105(2, 0) 2 x 4 (4, 0)x4 3 2 1O1 2 3 4 5510x 2 2x 8 0x 2 2x 8 0Céim 3. Is é réiteach na héagothromóide an tacar luachanna ar x a thugann na pointíar an ngraf atá ar an x-ais nó fúithi, i.e. x 2 2x 8 0.Is é an réiteach ná 2 x 4.226

I gcás ceisteanna ina bhfuil luachanna a bhfuil fréamhacha na cothromóide réadach dóibh,i.e. b 2 4ac 0, faightear éagothromóidí cearnacha mar a léirítear sa chéad sampla eile.Sampla 2Faigh réimse luachanna ar k a bhfuilfréamhacha réadacha ag an gcothromóidx 2 (k 4)x (k 1) 0 dó.Coinníoll do fhréamhacha réadacha:b 2 4ac 0.a 1, b (k 4), c (k 1)⇒ b 2 4ac (k 4) 2 4(1)(k 1) k 2 8k 16 4k 4 k 2 12k 20b 2 4ac 0 ⇒ k 2 12k 20 0.y10k 2 12k 20 05k 2k 104 2O52 4 6 8 10 12 14 16 k101520 k 2 12k 20 0(i) Ag réiteach k 2 12k 20 0; (ii) Sceitseáil an graf; a 1, i.e. > 0,⇒ (k 2)(k 10) 0⇒ is iad k 2 agus k 10 na fréamhacha. graf a bhfuil cruth air.Is é réiteach na héagothromóide an tacar luachanna ar k a thugann na pointí ar an ngrafatá ar an k-ais nó os a cionn, i.e. k 2 12k 20 0.Is é an réiteach ná k 2 agus k 10.2. Éagothromóidí cóimheastaFeidhm chóimheasta éf (x) 3x 2 ______x 1Éagothromóid chóimheasta é ______ 3x 2x 1 2toisc gur iltéarmaigh in x iad an t-ainmneoir agusan t-uimhreoir araon.Ó tharla nach bhfuil a fhios againn an bhfuil (x 1) deimhneach nó diúltach, ní féidir linn andá thaobh a iolrú faoi (x 1) chun réiteach ar x a fháil mar go mbeadh orainn an tsiombailéagothroime a aisiompú dá mbeadh (x 1) diúltach.Ach má iolraímid an dá thaobh faoi (x 1) 2 , féadfaimid an comhartha éagothroime céanna achoinneáil ó tharla go mbíonn (x 1) 2 deimhneach i gcónaí.⇒3x 2 ______x 1 (x 1)2 2 (x 1) 2⇒ (3x 2)(x 1) 2(x 2 2x 1)⇒ 3x 2 x 2 2x 2 4x 2⇒ x 2 3x 4 0 , ag cruthú éagothromóid chearnach (leis an tacar réitigh céanna)ón éagothromóid chóimheasta.227

Sampla 3Faigh an réimse luachanna ar x mar a bhfuil 2x 1 ______x 2 1 __2 .Ó tharla go bhfuil ______ 2x 1x 2 __ 1 2 ,iolraigh an dá thaobh faoi (x 2) 2 .[Bíonn (x 2) 2 deimhneach i gcónaí do gachluach ar x.]⇒ ______ 2x 1x 2 (x 2)2 __ 1 (x 2)22⇒ (2x 1)(x 2) __ 1 2 (x2 4x 4)⇒ 2x 2 5x 2 1 __2 (x2 4x 4)⇒ 4x 2 10x 4 x 2 4x 4⇒ 3x 2 6x 0⇒ x 2 2x 0.[Nóta: Tá an tacar réitigh céanna ag 2x 1 ______x 2 1 __2 agus atá ag x2 2x < 0.](i) Agus an chothromóid x 2 2x 0 á réiteach: (ii) Sceitseáil an graf; a 1, i.e. > 0,⇒ (x)(x 2) 0 graf a bhfuil cruth air.⇒ is iad x 0 agus x 2 na fréamhacha.⇒ Is é réiteach na héagothromóide an tacar luachanna ar x a thugann na pointí ar anngraf atá faoin x-ais (i.e. x 2 2x < 0).Is é an réiteach ná 2 < x < 0.y x 2 2xy2x 2 2x 01(2, 0)(0, 0)3 2 1O1 xx 2 2x 01Cleachtadh 7.2I ngach ceann de na ceisteanna seo a leanas, tá x R mura ndeirtear a mhalairt.1. Réitigh gach ceann de na héagothromóidí cearnacha seo a leanas:(i) x 2 x 6 0 (ii) x 2 3x 10 0 (iii) 2x 2 5x 2 0.2. Réitigh gach ceann de na héagothromóidí seo a leanas do x:(i) 6 x x 2 0 (ii) 12 5x 2x 2 0 (iii) 2x 2 7x 0.3. Faigh an tacar luachanna ar x mar a bhfuil(i) 6x 2 x 15 (ii) 16 x 2 0 (iii) 2(x 2 6) 5x.4. Faigh an tacar luachanna ar x mar a bhfuil (4 x)(1 x) < x 11.5. Má tá x 2 6x 2 0, taispeáin go bhfuil 3 √ __7 x 3 √ __7 .228

6. Faigh an réimse luachanna ar k a bhfuil fréamhacha réadacha ag an gcothromóidx 2 (k 1)x 1 0 dó.7. Faigh an réimse luachanna ar k a bhfuil fréamhacha réadacha ag an gcothromóidkx 2 4x 3 k 0 dó.8. Faigh an réimse luachanna ar p a bhfuil fréamhacha réadacha ag an gcothromóid chearnachpx 2 (p 3)x p 0 dó. Más fréamh de chuid na cothromóide é x 2, faigh luach p.9. Réitigh gach ceann de na héagothromóidí cóimheasta seo a leanas do x.(i) _____ x 3x 2 2, x 2 (ii) _____ x 5x 3 1, x 3 (iii) ______ 2x 1 3, x 3x 310. Faigh an réimse luachanna ar x mar a bhfuil(i) ______ 3x 4x 5 2, x 5 (ii) ______ 1 2x4x 2 2, x ___ 12(iii)______ 3 4x5x 1 3, x __ 1511. Faigh an tacar luachanna ar x a bhfuil gach ceann de na héagothromóidí seo a leanas fíor dó.(i) ______ x2x 3 1, x __ 3(ii) ______ 2x 42x 1 1, x 1 (iii) _____ x 5x 1 3, x 112. Réitigh na cothromóidí seo.(i) ______ 2x 7x 3 1, x 3 (ii) ______ 2x 3x 5 __ 32 , x 5 (iii) _____ x 2x 1 3, x 113. Imscrúdaigh na graif y 2x 2 4xagus y x 2 x 6 agus meas anréimse luachanna ar x mar a bhfuil2x 2 4x x 2 x 6.Simpligh an éagothromóid chearnachagus faigh an réimse luachanna ar xmar a bhfuil 2x 2 4x > x 2 x 6,x R.y 2x 2 4xy86424 3 2 1O1 2 3 4 x246y x 2 x 6TFC: Imscrúdaigh na feidhmeanna i gCeist 13 le bogearraí grafaice. Méadaigh an scála ar anx-ais agus dírigh go sonrach ar an bhfearann 3 < x < 2.14. Taispeáin go bhfuil x 2 x 1 > 0 do gach luach ar x.15. Conair liathróide is ea an slonn f(t) 11 13t 2t 2 , nuair a sheasann t don am.Faigh an réimse luachanna ar t a shásaíonn na héagothromóidí seo a leanas.(i) f (t) 4(ii) f (t) 7 , agus uaidh sin oibrigh amach an tacar luachanna ar t a shásaíonn(iii) 4 f (t) 7.229

16. Imscrúdaigh graif na bhfeidhmeannacearnacha seo a leanas.Faigh, chomh beacht agus is féidir leisan ngraf, an réimse luachanna ar x ashásaíonn na héagothromóidí seo a leanas.(i) f (x) 0(ii) g(x) 8(iii) f (x) g(x)(iv) g(x) 0y10f(x)8g(x)6425 4 3 2 1O1 2 3 4 5 x2417. Tá leithead dronuilleoige le bheith 3 m níos giorra ná a fad. Má tá cóimheas an fhaid leis anleithead le bheith níos lú ná 5, faigh an réimse toisí féideartha(i) dfhad na dronuilleoige(ii) do leithead na dronuilleoige.18. Taispeántar na graif x 2 2px p 6 dop 1.5, 2, 2.5.Faigh an réimse luachanna ar p a bhfuil nagraif deimhneach dó i gcónaí, do gach luachréadach ar x.y10864p 1.5p 2p 2.522 1O1 2 3 4 5 6 x19. Faigh an réimse luachanna ar x mar a bhfuil(i) imlíne na dronuilleoige seo níos lú ná50 m(ii) achar na dronuilleoige seo níos mó ná12 m 2(iii) imlíne na dronuilleoige seo níos lú ná50 m agus an t-achar níos mó ná 12 m 2 .(x 3) m(x 2) m20. Faigh an réimse luachanna ar x, x Z, le gombeidh imlíne an triantáin seo idir 8 m agus12 m ar fad.x m3 m230

Mír 7.3 Modal1. Cothromóidí modalachaIs é modal uimhreach tomhas a méide nóluacha agus scríobhtar mar | x| é.3 3, -4 4, 15.5 15.5, -6.2 6.2 .... i bhfocail eile,do gach x R, is é x luach deimhneach na huimhreach.Má tá x a, táx a nó aagus x 2 a 2 .Ar an láimh eile, má tá x 6, tá x 6 nó 6.Agus dá bhrí sin, x 2 36.Go céimseatúil, iolraíonn an fheidhm mhodail aon pháirt dhiúltach den ghraf faoi (1).Cuir na graif seo a leanas i gcomparáid le chéile:y xy21y xy21y 2x 3y21y 2x 3y212 1O1 2 x122 1O1 2 x121O1 2 3 x1231O1 2 3 x123Faightear an graf f(x) x ón ngraf f(x) x tríd an bpáirt sin den ghraf ina bhfuil f(x) < 0a fhrithchaitheamh san x-ais.Sampla 1Sceitseáil an graf f(x) 3x 5 agus uaidh sin réitigh an chothromóid 3x 5 2(i) go céimseatúil agus (ii) go hailgéabrach.(i) Go céimseatúil:Tugtar f(x) 3x 5.Ag x 0, f(x) 5 is é (0, 5) an idirlíne f(x).Ag f (x) 0 ; 0 3x 5 ⇒ x ___ 53 ⇒is é ___( 53 , 0 ) idirlíne na x-aise.Is é f(x) 3x 5 an líne a ghabhann trí (0, 5) agus ___ 5(3 , 0 ).231

Má fhrithchaitear réigiún diúltach anghraif ar an x-ais cruthaítear an graff (x) |3x 5|.Tugann x-chomhordanáidí na bpointítrasnaithe do f(x) 3x 5 agusf(x) 2 an réiteach don chothromóid|3x 5| 2.Is iad na x-chomhordanáidí ná x 1agus x 2.3.y5 f(x) 3x 543f(x) 2214 3 2 1O1 2 x12(ii) Go hailgéabrach:Modh 2Modh 1Is é an réiteach ná x ___ 73 nó x 1 ⇒ (3x 7)(x 1) 0Ó tharla go bhfuil |3x 5| 2, |3x 5| 2⇒ 3x 5 2 x 1 ⇒ (3x 5) 2 (2) 2nó 3x 5 2 x ___ 7 ⇒ 9x 2 30x 25 43 ⇒ 9x 2 30x 21 0⇒ 3x 2 10x 7 0⇒ Is é an réiteach ná (7_3 , 1 )Nóta 1: Bíonn an modh ina gcearnaítear an dá thaobh de chothromóid mhodalach úsáideach nuaira bhíonn an comhartha modail ar an dá thaobh den chothromóid, m.sh. 3x 5 x 2.Nóta 2: Luach uimhriúil sloinn a fháil, a deirtear uaireanta, mar mhalairt ar mhodal sloinn afháil.2. Éagothromóidí modalachaMá tá x < 1, caithfidh luach x a bheith idir 1 agus 1, i.e. 1 < x < 1.Má tá x > 1, caithfidh luach x a bheith lasmuigh den réimse seo, i.e. x > 1 nó x < 1.Sampla 2Sceitseáil an graf f(x) 2x 5 agus uaidh sin réitigh an éagothromóid|2x 5| 3.232

tarraingítear f(x) 2x 5 ar dtús trí dhá phointear an líne a úsáid, m.sh. (2.5,0) agus (4, 3).Ansin tarraingítear f(x) 2x 5 tríd an gcuiddhiúltach den ghraf a fhrithchaitheamh ar an x-aismar a rinneamar cheana.Nuair a tharraingítear an líne f(x) 3 ar nahaiseanna céanna, seasann an mhír dhearg donáit a bhfuil 2x 5 < 3.y4321f(x) 2x 52x 5 3f(x) 31O1 2 3 4 5 x1Is iad na x-luachanna a chruthaíonn an chuid sin den ghraf ná 1 < x < 4.Nóta: Má tá 2x 5 3, tá 2x 5 3 nó 2x 5 3.Má tá 2x 5 < 3, tá 3 < 2x 5 < 3.Tugann sé seo an tacar réitigh céanna agus atá thuas.Sampla 3 2 2x 8 ag suimiú 5 le gach páirt den éagothromóid1 x 4 ag roinnt gach páirt den éagothromóid ar 2Tarraing graf f(x) x 3 agus f(x) 3x 7.Réitigh an éagothromóid x 3 < 3x 7 go hailgéabrach agus cuir an tacar réitighin iúl go grafach.|x 3| |3x 7|⇒ (x 3) 2 (3x 7) 2⇒ x 2 6x 9 9x 2 42x 49⇒ 8x 2 48x 40 0⇒ x 2 6x 5 0.y2x 2 6x 5 011 O 1 2 3 4 5 6 x1234x 2 6x 5 0233

Ag réiteach x 2 6x 5 0,(x 5)(x 1) 0⇒ x 5 nó x 1Dá bhrí sin, is iad na luachanna ar x mar abhfuil x 2 6x 5 > 0 ná x < 1 agus x > 5.y876543f(x) x 321f(x) 3x 74321O1 2 3 4 5 6 xCleachtadh 7.31. Réitigh gach ceann de na héagothromóidí seo a leanas do x R.(i) |x 3| 1 (ii) |x 2| 4 (iii) |2x 1| 5(iv) |3x 2| x (v) 2|x 3| 2 (vi) |x 5| |x 1|2. Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla seo a leanas agus uaidh sin sceitseáil graf de f(x) 3x 2.x 3 2 1 0 1 2 3f (x) |3x 2|Úsáid do ghraf chun an chothromóid 3x 2 5 a réiteach.3. Scríobh cothromóid le haghaidh gachceann de ghraif na bhfeidhmeannamodalacha gaolmhara, f(x), g(x), h(x),a thugtar sa léaráid.Faigh luach f(2), h(5) agus g(2)agus fíoraigh uaidh sin go bhfuilgach cothromóid ceart.y43h(x) f(x) g(x)216 5 4 3 2 1O1 2 3 4 5 6 7 8 x4. Tugtar graif trí cinn dfheidhmeanna modalachafsan fhoirm f(x) ax b.Faigh luach a agus luach b do gach ceann de natrí ghraf. Fíoraigh gach cothromóid ag x 2.h(x)y321g(x)f(x)5 4 3 2 1O1 2 3 x5. Ar an tacar céanna aiseanna, sceitseáil graif na bhfeidhmeannaf : x → | x 2| agus g : x → | x 6|.Uaidh sin réitigh an chothromóid x 2 x 6.Fíoraigh do fhreagra go hailgéabrach.234

6. Réitigh gach ceann de na héagothromóidí seo a leanas do x R.(i) | x 6| 2 (ii) | x 2| 4 (iii) |2x 1| 5(iv) |2x 1| 11 (v) |3x 5| 4 (vi) |x 4| 37. Réitigh gach ceann de na héagothromóidí seo a leanas, x R.(i) |2x 1| 7 (ii) |3x 4| | x 2| (iii) 2| x 1| | x 3|8. Ar an tacar céanna aiseanna, sceitseáil graif na bhfeidhmeannaf (x) | x| 4 agus g(x) 1_2 x.Uaidh sin réitigh an éagothromóid x 4 1 2 x.9. Sceitseáil graf na feidhme f(x) 1 4x 3 agus uaidh sin réitigh an éagothromóidx 3 3. 1 410. Réitigh an éagothromóid 1 2x < x 2 do x R.11. Cé na luachanna réadacha ar x R a bhfuil ______ 1|1 2x| 1, x 1__2 ?Uaidh sin réitigh an éagothromóid ______ 1|1 2x| 1.12. Úsáid graif na bhfeidhmeanna f(x) x 1, g(x) 3x 6 agus h(x) 3 chun anréimse luachanna ar x a sásaíonn na héagothromóidí seo a leanas a mheas.(i) f(x) h(x)(ii) h(x) f (x)(iii) g(x) f (x)(iv) g(x) h(x) f (x)(v) g(x) f (x) h(x)(vi) f (x) h(x) g(x)(vii) f (x) g(x) h(x)h(x)y4321f(x)g(x)4 3 2 1O1 2 3 4 x13. Réitigh gach ceann de na héagothromóidí seo a leanas do x R.(i) ______ x2x 1 2 (ii) | x 3| 2| x 1| (iii) | x 1| | 2x 1| 0Mír 7.4 Cruthúnas matamaiticiúilSa mhatamaitic, úsáidimid réasúnaíocht dhéaduchtach chun a chruthú go bhfuil ráiteas fíor i gcónaí.Teoirim a thugtar ar ráiteas a cruthaíodh a bheith fíor.m.sh. teoirim De Moivre, teoirim Phíotagarás, srl.I measc na modhanna éagsúla cruthaithe tá cruthúnas díreach, cruthúnas trí bhréagnú aguscruthúnus trí ionduchtú (féach Mír 7.12).235

1. Cruthúnas díreachI gcruthúnas díreach úsáidtear aicsímí, sainmhínithe agus teoirimí cruthaithe eile chun anráiteas nua a fhíorú.Sampla 1Cruthaigh go bhfuil suim dhá ré-shlánuimhir x agus y ina ré-uimhir i gcónaí.Cruthúnas:Ó tharla gur ré-uimhir é x, is féidir é a scríobh mar x 2a, mar a bhfuil a Z.Chomh maith leis sin, ó tharla gur ré-uimhir é y, tá y 2b, mar a bhfuil b Z.Dá bhrí sin, x y 2a 2b 2(a b).Ó tharla gur fachtóir de x y é 2 caithfidh x y a bheith ina ré-uimhir. Bíonn suim dhá ré-shlánuimhir ina ré-uimhir i gcónaí.2. Cruthúnas trí bhréagnúI gcruthúnas trí bhréagnú, taispeánaimid má áitímid go bhfuil ráiteas éigin fíor, go dtarlaíonnbréagnú loighciúil a chruthaíonn go gcaithfidh an chéad ráiteas a bheith bréagach.Sampla 2Cruthaigh go mbíonn √ __2 éagóimheasta i gcónaí.Cruthúnas: Glac leis gur uimhir chóimheasta é √ __2 . Is féidir √ __ 2 a scríobh mar a ba, b Z agus b 0, agus níl aon fhachtóircoiteann ag a agus b. 2 __ a22 ag cearnú an dá thaobhb a 2 2b 2 tá a 2 ina ré-uimhir ó tharla go bhfuil sé cothrom le 2 (b 2 ) is ré-uimhir é a.... aon slánuimhir a iolraítear faoi 2, is ré-uimhir í is féidir a a scríobh mar a 2c ó tharla go bhfuil a inroinnte ar 2 a 2 4c 2 2b 2 2c 2 b 2 is ré-uimhir é b freisin tá fachtóir coiteann 2 ag a agus b, rud a bhréagnaíonn ár mbonn tuisceana. ní uimhir chóimheasta é √ __2 . is uimhir éagoimheasta é √ __2 i.e. ní féidir é a scríobh mar a bgan aon fhachtóircoiteann.236

Cleachtadh 7.41. Cruthaigh trí bhréagnú nach bhfuil aon réiteach ar x 2 y 2 1 atá ina shlánuimhir dheimhneach.(Nod: Glac leis gur slánuimhreacha deimhneacha iad x agus y agus úsáid an difríocht idirdhá chearnóg.)2. Cruthaigh trí bhréagnú más uimhir chóimheasta é a agus más uimhir éagoimheasta é b, guruimhir éagoimheasta é a b.3. Cruthaigh trí bhréagnú nach bhfuil aon réiteach ar x 2 y 2 10 atá ina shlánuimhir dheimhneach.(Nod: Glac leis gur slánuimhreacha deimhneacha iad x agus y agus úsáid an difríocht idirdhá chearnóg.)4. Cruthaigh más féidir b a roinnt ar a, agus más féidir c a roinnt ar b, gur féidir c a roinnt ar a.5. Cruthaigh más féidir b a roinnt ar a, agus más féidir c a roinnt ar a, gur féidir (b c) aroinnt ar a.6. Más réaduimhreacha iad a agus b, cruthaigh go bhfuil a 2 b 2 2ab. (Cruthúnaséagothromóide teibí.)7. Cruthaigh go bhfuil suim dhá uimhir chóimheasta ina huimhir chóimheasta.8. Cruthaigh go mbíonn suim dhá chorruimhir ina ré-uimhir i gcónaí.Mír 7.5 Cruthúnais éagothromóidí teibíMá tá a 0 agus b 0, is sampla é __ a b __ b 2 déagothromóid theibí (féach Sampla 2).aChun a chruthú go bhfuil ráiteas éagothromóide fíor, úsáidfimid dhá fhíric thábhachtacha:(i) (Réaduimhir ar bith) 2 0(ii) (Réaduimhir ar bith) 2 0.Má chearnaítear dhá thaobh na héagothromóide, níchoinnítear an comhartha éagothroime ach amháinmá bhíonn dhá thaobh na héagothromóide deimhneach.Mar shampla, 4 > 3 4 2 > 3 2 , i.e. 16 > 9.Ach má bhíonn taobh amháin nó an dá thaobh diúltach,ní bhíonn sé fíor.M.sh. 2 3 2 2 (3) 2 ,i.e. 4 9.Chun éagothromóid theibí a chruthú:Más réaduimhreacha iad a agus b,tá a 2 0 agus b 2 0(a b) 2 0(a b) 2 0(a b) 2 0(a b) 2 01. Scríobh síos an ráiteas a iarrtar ort a chruthú.2. Úsáid rialacha na n-éagothromóidí chun an éagothromóid a oiriúnú go dtí 3. go dtagann tú ar éagothromóid atá fíor go cinnte.237

Sampla 1Cruthaigh go bhfuil a 2 b 2 2ab do gach a, b R.Má tá: a 2 b 2 2ab,táa 2 2ab b 2 0 ag dealú 2ab ón dá thaobh. (a b) 2 0 ag fachtóiriú thaobh na láimhe clé.atá fíor i gcónaí. a 2 b 2 2ab.Sampla 2Má tá a 0 agus b 0, cruthaigh go bhfuil a __b b __a 2.Má tá: a __b b __a 2,táa 2 b 2 2ab iolraigh gach téarma faoin gcomhainmneoir ab. a 2 2ab b 2 0 (a b) 2 0 atá fíor i gcónaí.a__b b __a 2.Sampla 3Taispeáin go bhfuil x 2 4x 6 > 0 (i.e. deimhneach) do gach x R.Má tá: x 2 4x 6 0,táx 2 4x 4 4 6 0 ag suimiú agus ag dealú ( 4 2 )2 chun an chearnóg a shlánú.⇒ (x 2) 2 4 6 0 ag slánú na cearnóige.⇒ (x 2) 2 2 0 atá fíor do gach luach ar x, ó tharla go bhfuil (x 2) 2 > 0do gach luach ar x. x 2 4x 6 0 do gach x R.238

Sampla 4Taispeáin i gcás gach réaduimhreach a, b > 0 go bhfuil (a b) __( 1 a __b) 1 4.Má tá: (a b) __( 1 a __b) 1 4,tá(a b) _____( a bab) 4 ag úsáid an chomhainmneora ab chun na codáin a shuimiú.________ (a b) 2 4 ag simpliú.ab (a b) 2 4ab ag iolrú an dá thaobh faoi ab. a 2 2ab b 2 4ab ag leathnú thaobh na láimhe clé. a 2 2ab b 2 0 ag dealú 4ab ón dá thaobh. (a b) 2 0 atá fíor do gach a, b R. (a b) __( 1 a __b) 1 4.Cleachtadh 7.51. Cruthaigh go bhfuil (i) a 2 2ab b 2 0 (ii) a 2 2ab 2b 2 0 do gach a, b R.2. Cruthaigh go bhfuil (a b) 2 4ab do gach a, b R.3. Cruthaigh go bhfuil (a 2 2ab b 2 ) 0 do gach a, b R.4. Má tá a > 0 agus b > 0, taispeáin go bhfuil(i) a 1 __a 2(ii) __ 1a __ 1 b _____ 2a b .5. Cruthaigh go bhfuil a 2 6a 9 b 2 0 do gach luach réadach ar a agus b.6. Cruthaigh do gach luach réadach ar x,(i) x 2 6x 9 0 (ii) x 2 10x 25 0 (iii) x 2 4x 6 0(iv) x 2 6x 10 0 (v) 4x 2 12x 11 0 (vi) 4x 2 4x 2 0.7. Cruthaigh go bhfuil (i) x 2 10x 25 0 (ii) x 2 4x 7 0 do gach x R.8. Cruthaigh do gach réaduimhir p agus q go bhfuil(i) p 2 4q 2 4pq (ii) ( p q) 2 2( p 2 q 2 ).9. Fachtóirigh a 3 b 3 .Uaidh sin cruthaigh go bhfuil a 3 b 3 > a 2 b ab 2 do gach a > 0 agus b > 0 réadach.239

10. Má tá a 2 b 2 2ab, oibrigh amach slonn do (i) a 2 c 2 agus (ii) c 2 d 2 .Úsáid na torthaí sin chun a chruthú go bhfuila 2 b 2 c 2 ab bc ca do gach luach réadach ar a, b agus c.11. Má tá p > 0 agus q > 0 agus p q, cruthaigh go bhfuil ______ p q √ ___pq .212. Taispeáin go bhfuil (ax by) 2 (a 2 b 2 )(x 2 y 2 ) do gach a, b, x, y R.13. Cruthaigh go bhfuil a 4 b 4 2a 2 b 2 do gach a, b R.14. Más uimhreacha deimhneacha iad a agus b agus má tá b > a, taispeáin go bhfuil(a 2b) ( 1 __a ___2b) 1 4.15. Taispeáin i gcás gach réaduimhreach a, go bhfuila ________(a 1) 2 1 __4 , a 1.16. (i) Sloinn a 4 b 4 mar thoradh trí fhachtóir.(ii) Fachtóirigh a 5 a 4 b ab 4 b 5 .(iii) Úsáid na torthaí ó (i) agus (ii) chun a thaispeáint go bhfuil a 5 b 5 > a 4 b ab 4 , nuairis réaduimhreacha deimhneacha éagothroma iad a agus b.17. Má tá a 2 b 2 1 agus c 2 d 2 1, taispeáin go bhfuil ac bd < 1.(Nod: Úsáid an toradh go bhfuil a 2 b 2 2ab.)18. Cruthaigh go bhfuil √ ___ab _____ 2aba bmá tá a agus b deimhneach agus éagothrom.19. Cruthaigh go bhfuil a _____ 9 4, mar a bhfuil a 2 > 0.a 220. Más uimhreacha deimhneacha iad a, b, c, d agus má tá __ a b __ c , cruthaigh go bhfuil ______ a cd b d __ c d .21. Mínigh an fáth a bhfuil (a 3 b 3 )(a b) deimhneach i gcónaí do a > b.Uaidh sin cruthaigh go bhfuil a 4 b 4 a 3 b ab 3 do gach a, b R and a > b.Mír 7.6 SéanaNuair a iolraítear uimhir fúithi féin go minic, úsáidimid an fhoirm séan chun an toradh a léiriú.4 4 4 4 4 4 5 , i.e. 4 i.e. 4 i gcumhacht 5.Sa chás seo, is é 5 an séan (séana an t-iolra) agus is é 4 an bhonnuimhir.240

Achoimre ar rialacha na séan.SamplaRiail1. 6 3 6 4 6 7 a m . a n a m n2. __ 4 54 2 43 , chomh maith le __ 4 57 ___ am424 a n am n3. (2 4 ) 3 2 12 (a m ) n a m.n4. 3 0 5 0 9 0 (3) 0 ( 1_4 ) 0 1 a 0 15.3 1 1_3 , 34 __ 13 4 a n __ 1a n6. 7 1_2 2 √ __7 , 5 1_3 3 √ __5 a 1_ n n __√ a7. 8 2_3 ( 8 1_3 ) 2 nó (8 2 ) 1_3a m__ n n √ ___a m ( n √ __a ) m8. (2 5) 2 2 2 5 2__( 5 6) 4 __ 54(a. b) n a n . b n__6 ( a ___4 b nb) n anIs féidir gach ceann de na rialacha seo a fhíorú trí na cumhachtaí a leathnú agus a shimpliú, m.sh.(2 4 ) 3 2 4 2 4 2 4 2 12 4096Nóta:__√ x 2 __√ x x 1_2 fréamh chearnach x.3 __ 1_√ x x3 fréamh chiúbach x.4 __ 1_√ x x4 ceathrú fréamh x etc.Nóta: 2 5 3_2 (2 5 1_2 ) 3 (5) 3 125 (go minic, tá sé níos éasca an fhréamh a fháil ar dtús agusansin an chumhacht a ardú.)Sampla 1Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas.(i) 27 1_3(ii) 36 3_2(iii) 64 2_3(iv) ( ___ 27125) 2_3(i) 2 7 1_3 3 √ ___27 3 (i.e. 3 iolraithe faoi 3 iolraithe faoi 3 27)(ii) 3 6 3_2 (3 6 1_2 ) 3 ( √ ___36 ) 3 6 3 216(iii) 6 4 2_3(iv) ( ___125) 27 2____ 164 2_3___)2_273 ( 125______ 1(6 4 1_3 ) ____ 12 (4) __ 12 16___)1_273 [ ( 1253] 2 ( 5_3 ) 2 25 __9241

Sloinn uimhriúla ina bhfuil codáin chasta agus séana, is féidir iad ashimpliú agus a luach a fháil le háireamhán.Ó tharla go bhféadfadh an tslí ina ndéantar seo a bheith beagáinín difriúilar gach áireamhán, tá sé tábhachtach dul i dtaithí ar dáireamhán féin, goháirithe nuair atá tú ag plé le cumhachtaí codánacha.Tá sé níos tábhachtaí, áfach, rialacha na séan a thuiscint agus a bheith inann iad a chur i bhfeidhm ar fhadhbanna ginearálta ina bhfuil athróga.Sampla 2Simpligh gach ceann díobh seo1_x 4 y ) 5(i) ( x2 y 3 _____(ii)√ ___________ a 34 __√ a 3 √ __a 21_x 4 y ) 5(i) ( x2 y 3 _____2 (x 6 y 8 ) 1_2 (x 6 ) 1_2(y 8 ) 1_a 3_2_______a 1_4 a 2_3a 3_2____ a ____ 3 8122(ii)2 x 3 y 4 a 3_2___a __ 1112 a 3_2 __ 11√ ___________ a 34 __√ a 3 √ __a 2x 3 __y 412 a__ 712Sampla 3Taispeáin go bhfuil___________5 n 1 4.5 n5 n 2 5 ___ 25n 26 .___________5 n 1 4.5 n5 n 2 5 ___________5 n . 5 1 4.5 nn 5 n . 5 2 5 n __________ 5.5 n 4.5 n___ 5 n25 5n5 n __________5 n 25.5 n _________25______ 5 n_____ 26.5 n2525 ___26Cleachtadh 7.61. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas:(i) a 2 a 3 (ii) x . x . x 2 (iii) 2x 3 3x 3 (iv)(vi) a 0(vii) 3 √ ___27 (viii) (a 3 ) 2 (ix)__ x 5x 2 (v) __ x 4x 5(x 3 ) 2_____x 3(x) (3ab)22. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas mar uimhir chóimheasta:(i) 3 √ ___64 (ii) 3 2 (iii) ___ 12 3 (iv) ___ 2 23 2 (v) ___ 124 1_242

3. Sloinn iad seo a leanas mar uimhreacha cóimheasta:(i) 8 2_3(ii) 1 6 3_4(iii) 2 7 2_3(iv) 8 1 3_4(v) 12 5 2_3.4. Simpligh gach ceann díobh seo:(i) __( 2 3) 2 (ii) __( 4 9) 1_2(iii) ( 95. Sloinn4 2 16 1_2________64 2_3 4 san fhoirm 3 4n , n Z.8) 1_3___25) 3_2(iv) ____(125) 27 2_3(v)3__(36. Faigh luach na réaduimhreach p mar a bhfuil 3 1_4 3 3 1_6__________√ 3 p .37. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas, agus scríobh do fhreagraí le séana deimhneacha.(xy 2 ) 3 (x 2 y) 2(i) ______________xy(iv) ___( y22_3y ) (v)3(ii) ( p2 4_____ qp 1 q ) 3(a √ __________ b ) 3√ a 3 b(iii) a 1_4 a 5_4(vi)4 √ ______ x 7√ __x 38. Simpligh gach ceann díobh seox 1_2(i) x 1_2________(ii) (x x 1_2)(x x 1_2) (iii)2x 1____________√ x 3__√x √ __x1_9. Iolraigh an t-uimhreoir agus an t-ainmneoir faoi (x 1)2, ansin simpligh(x 1 ) 1_2 (x 1 ) 1_2__________________(x 1 ) 1_2.10. Is féidir an slonn √ _____3 2n 1 3 √ ____3 3n a scríobh san fhoirm 3 k ; faigh k.11. Cuirtear pianó i dtiúin le go gcasfaidh gach eochair(idir dhubh agus bhán) nóta a bhfuil minicíocht aiciatá 2 (__1 ) 12uair níos airde ná an nóta roimhe.Má thiúntar an A-eochair (2 eochair faoi C meánach)ag minicíocht 220 Hz, faigh, ceart go dtí an tslánuimhiris gaire, minicíocht (i Hz) C meánach.ABC meánach12. Tugtar achar dromchla sféir marA 4r 2 agus a thoirt V mar 4 3 r3 , nuair is é r ga an sféir.Taispeáin má tá dhá sféar againn a bhfuil ga r 1 agus r 2 faoi seach acu, gur féidir cóimheasna n-achar dromchla a scríobh mar ___ A 1A 2( V 2____ 1 3V 2) .243

Má tá toirt 162 cm 3 agus 384 cm 3 faoi seach ag dhá sféar mar seo, faigh cóimheas a n-achar,ag sloinneadh do fhreagra san fhoirm a b, nuair atá a, b N.13. Má tá f(n) 3 n , faigh sloinn le haghaidh (i) f(n 3) (ii) f(n 1).Uaidh sin faigh luach k mar a bhfuil f(n 3) f(n 1) k f (n), nuair atá k N.14. Má tá f(n) 3 n 1, faigh luach k mar a bhfuil f(n 3) f(n) k f (n), nuair atá k N.Mír 7.7 Cothromóidí easpónantúlaSampla dfheidhm easpónantúil é y 3 x .Sampla de chothromóid easpónantúil é 3 x 27.Mar a bhí sa mhír dheireanach, is é 3 an bhonnuimhir agus is é x an séan (cumhacht) nó easpónant.Agus cothromóidí easpónantúla á réiteach, tá sé tábhachtach an bhonnuimhir (uimhir phríomhade ghnáth) atá i bpáirt ag gach téarma sa chothromóid a shainaithint.m.sh. 3 x 27 ; is é 3 an bhonnuimhir don dá thaobh. (3 x 3 3 )25 x 125 ; is é 5 an bhonnuimhir. (5 x 5 3 )Sampla 1Réitigh na cothromóidí seo.(i)1_1__x 163(ii) 278 x 3 3 9 x 2(i)1_1__x 163(is é 2 an bhonnuimhir)8_____ 1(2 3 ) x (24 )1_32 3x 4_ 23⇒ 3x 4_3⇒ x 4_(is é 3 an bhonnuimhir)(3 3 ) x 3 3 (3 2 ) x 2⇒ 3 3x 9 3 1 3 2x 4⇒ 3 3x 9 3 2x 39(ii) 27 x 3 3 9 x 2⇒ 3x 9 2x 3⇒ x 6Ach athrú athróige oiriúnach a úsáid, is féidircothromóid chearnach a dhéanamh de chothromóideaspónantúil agus í a réiteach ansin.Nóta: Má tá 2 x y,⇒ 3 . 2 x 3y⇒ 2 2x (2 x ) 2 y 2⇒ 2 x 2 2 x . 2 2 4y244

Sampla 2Má tá y 3 x , sloinn 3 2x i dtéarmaí y.Uaidh sin réitigh an chothromóid 3 2x 4.3 x 3 0.(i) 3 2x (3 x ) 2 y 2(ii) Tá 3 2x 4.3 x 3 0.⇒ y 2 4y 3 0 ag úsáid an ionadaithe 3 x y agus 3 2x y 2⇒ ( y 1)( y 3) 0⇒ y 1 or y 3 is iad sin réitigh na cothromóide cearnaí nua⇒ 3 x 1 or 3 x 3 ag athionadú chun luachanna x a fháil⇒ 3 x 3 0 or 3 x 3 1 ag úsáid na bonnuimhreach 3 is iad x 0 nó x 1 na réitigh.Cleachtadh 7.71. Faigh luach x i ngach ceann de na cothromóidí seo:(i) 2 x 32 (ii) 16 x 64 (iii) 25 x 125 (iv) 3 x __ 1272. Réitigh gach ceann de na cothromóidí séan (easpónantúla) seo.(i) 9 x __ 127 (ii) 4x __ 132 (iii) 4x 1 2 x 1 (iv)1__9 x 273. Faigh luach x i ngach ceann de na cothromóidí seo:(i) 2 x ___ √__ 22(ii) 25 x ____ 125√ 5(iii)1__8 x √ __2 (iv) 7 x ___ 13√ 74. Scríobh √ ___32 i gcumhacht 2 agus uaidh sin réitigh an chothromóid 16 x 1 2 √ ___32 .5. Má tá 27 x 9 agus 2 x y 64, faigh luach x agus luach y.6. Sloinn (i) 2 x 2 agus (ii) 2 x 2 x san fhoirm k2 x , nuair atá k N.Uaidh sin réitigh do c sa chothromóid 2 x 2 x 2 x 2 (c 2).7. Má tá 3 x y, réitigh an chothromóid 3 2x 12(3 x ) 27 0.8. Réitigh an chothromóid 2 2x 3(2 x ) 4 0 agus fíoraigh do fhreagra trí ionadú.9. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo: (i) 2 2x 9(2 x ) 8 0 (ii) 3 2x 10(3 x ) 9 010. Má tá y 2 x , scríobh (i) 2 2x (ii) 2 2x 1 agus (iii) 2 x 3 i dtéarmaí y.Uaidh sin réitigh an chothromóid 2 2x 1 2 x 3 2 x 4 0.245

11. Úsáid an t-ionadú y 3 x chun an dá luach ar x a fháil mar a bhfuil 3.3 x 3 x 4 agusfíoraigh gach réiteach trí ionadú sa chéad chothromóid easpóntantúil.12. Réitigh an chothromóid 2(4 x ) 4 x 3.13. Réitigh an chothromóid 3 x 28 27(3 x ) 0.14. Má tá 2 x y, réitigh an chothromóid 2 x 1 2(2 x ) 5 0.15. Réitigh an chothromóid easpónantúil 3 x 81(3 x ) 30 0.Mír 7.8 Feidhmeanna easpónantúlaÚsáidtear feidhmeanna easpónantúla ar nós f (x) a x chun rudaí éagsúla a tharlaíonn saghnáthshaol a shamhaltú.Áirítear orthu sin:(i) fás cille bitheolaíche(ii) athruithe ar dhaonra, m.sh. fás algaí ar bhodharuisce(iii) ús iolraithe agus dímheas(iv) meath radaighníomhach(v) an ráta ag a gcailleann corp teas (dlí fuaraithe Newton).TFC: Is féidir staidéar grafach a dhéanamh ar fheidhmeanna san fhoirmy a x , a tairiseach. Ná déan dearmad, nuair atá méarchlár in úsáidagat, an cnaipe ^ a úsáid chun cumhacht (easpónant) a ardú, i.e.y 2 ^ x. Ní mór na lúibíní a úsáid i gceart, i.e. y 2 ^ (2x) 2 2x .Tá cruth saintréitheach ar gach graf a ghabhann le feidhmeanna easpónantúla agus is féidir iad ashainaithint go héasca. Ón léaráid seo, feicimid go bhfuily 3 xna saintréithe seo a leanas ag graif na foirme f(x) a x ,y 10 x y 2 xnuair atá a > 0 agus a 1:f(x)y 1.6 x61. Ag x 0, f(0) a 0 1.⇒ Pointe ar gach graf is ea (0, 1).542. Ag x 1, f(1) a 1 a.y 1.3 x3⇒ Pointe ar gach graf is ea (1, a).2y 1 1 x3. Ag x 1, f (1) a 1 1__1a .246a)⇒ Pointe ar gach graf is ea (1,1 __3 2 1O1 2 3 4 5 6 x

4. Sainítear iad do gach luach réadach ar x.5. Asamtóit chothrománach í an x-ais leis na cuairar fad bíonn f(x) a x deimhneach i gcónaí.6. Má tá a > 1, méadaíonn na cuair ar fad de réirmar a mhéadaíonn x. De réir mar a mhéadaíonna, téann ardú na gcuar i ngéire.7. Má tá 0 < a < 1, frithchaitheann an cuar f(x) a xsa y-ais, ag cruthú tacar cuar a laghdaíonn gotapa de réir mar a mhéadaíonn x.f(x) 0.1 x 10 x f(x) 10 xf(x)6543f(x) 0.5 x 2 x2f(x) 2 x14 3 2 1O1 2 3 4 xNóta: Má tá a ( 1_2 ) 21⇒ f (x) ( 1_2 ) x (2 1 ) x 2 xNóta: Is é an ghnáthfhoirmle dfheidhmeaspónantúil mhéadaitheach náf(x) Aa x , nuair is é A an luachag an tús, i.e. nuair atá x 0.Feidhmeanna easpónantúla f (x) A.a xFeidhmeanna easpónantúla méadaitheacha a > 1.Feidhmeanna easpónantúla laghdaitheacha 0 < a < 1.Is é (0, A) idirlíne na y-aise.Is féidir feidhmeanna laghdaitheacha a scríobhsan fhoirmf (x) A.a xSampla 1Méadaíonn coilíneacht bhaictéarach faoi dhó gach uair an chloig. Má bhí 10 gcillbhaictéaracha ann ag tús an turgnaimh, (i) comhlánaigh an tábla seo a leanas (ii) tarrainggraf den líon baictéar a bheadh ann suas go dtí 5 uair an chloig.Am in uaireanta 0 1 2 3 4 5Líon baictéar(iii) Cén méadú a thiocfadh ar an daonra sa 6ú huair?(iv) Cén céatadán dardú sa daonra a tharla sa 6ú huair le hais na chéad uaire?(v) Scríobh slonn do mhéid an daonra (N) tar éis t uair an chloig.(i) Am in uaireanta 0 1 2 3 4 5Líon baictéar 10 20 40 80 160 320247

(ii)Líon baictéar160140120100806040(2, 40)(3, 80)(4, 160)20 (1, 20)(0, 10)2 1O1 2 3 4 5Uaireanta(iii) Ag t 5 huaire, tá 320 baictéarann.Ag t 6 huaire, tá 640 baictéarann.⇒ méadú 320 baictéar.(iv) Céatadán ardaithe ____( 32010) ____ 1001 % 3200%(v) Tar éis t uair, N A.a t .Ag t 0, N 10 A.a 0 .⇒ 10 A.Ag t 1, N 10.a 1 20.⇒ a 2. N 10.2 t .Sampla 2Tugtar graif dhá fheidhm easpónantúla, y Aa x , sa léaráid seo.Faigh luach A agus luach a do gach graf.(i) f (x) Aa xf (0) 1, Aa 0 1 ⇒ A 1.f (1) 2, a 1 2 ⇒ a 2[ Feidhm mhéadaitheach é f(x)] f (x) 2 x2 (1, 2)1(0, 1) h(x)3 2 1O1 2 3 4 5 6 7 x(ii) h (x) Aa xf (0) 4, Aa 0 4 ⇒ A 4.f (1) 2, 4a 1 2 ⇒ a 2_4 1_2 .[ Feidhm laghdaitheach é f(x)]h (x) 4 ( 1_y6543(0, 4)f(x)Le linn creathanna talún, tomhas de dhéine an chreatha é aimplitiúid ghluaiseacht an domhain.Más é M méid an chreatha ar an scala Richter, agus más é A aimplitiúid ghluaiseachtaí andomhain, tugtar déine an chreatha talún leis an bhfoirmle easpónantúil A 10 M , agus is ionannan fuinneamh a scaoileann an crith talún dar méid M agusE 10 1.5M 4.8 giúl.248

Sampla 3Ó tharla go seasann an fhoirmle A 10 M do dhéine creatha talún, agus go seasann anfhoirmle E 10 1.5M 4.8 , don fhuinneamh a scaoiltear le linn creatha, nuair is é A anaimplitiúid agus M an méid ar an scála Richter, déan comparáid idir(i) déine (ii) fuinneamh dhá chrith talún, dar méid 6.1 agus 4.7 faoi seach ar an scálaRichter.(i) M 1 6.1 ⇒ A 1 10 6.1 (ii) E 1 10 1.5M 4.8 10 1.5 6.1 4.8 10 13.95M 2 4.7 ⇒ A 2 10 4.7 E 2 10 1.5M 4.8 10 1.5 4.7 4.8 10 11.85A⇒ ___ 1 ____ 106.1A 2 10 E 4.7 101.4 25 ⇒ ___ 1 1013.95 ______E 2 10 11.85 102.1 126A 1 25A 2 E 1 126E 2Cleachtadh 7.81. Meaitseáil gach ceann de na feidhmeannaeaspónantúla seo le ceann de na graif.(i) y 2 x(ii) y (0.1) x(iii) y 10 x(iv) y (0.5)2 xBy321Cy321Ay3212 1O1 2 xDy3212 1O1 2 x2 1O1 2 x2 1O1 2 x2. Tugann feithideolaí atá i mbun monatóireachta ar phlá dreoilíní teaspaigh faoi deara godtugtar achar an cheantair ina bhfuil na dreoilíní teaspaigh mar A(n) 1000 2 0.2n heicteár,nuair is é n an líon seachtainí ó cuireadh tús leis an mbreathnóireacht. Faigh(i) an t-achar ina raibh na dreoilíní teaspaigh ar dtús(ii) an t-achar ina bhfuil na dreoilíní teaspaigh tar éis (a) 10 seachtaine (b) 12 sheachtain.(iii) Tarraing graf de A(n) in aghaidh n do 0 n 10.(iv) Ón ngraf, nó ar bhealach eile, ríomh an t-am a thógann sé ar an gcoilíneacht dúbailt.3. Abair an bhfuil na graif seo a leanas ag méadú nó ag laghdú.(i) y ( 1_4 ) x (ii) y (0.8) x (iii) y 4 2 x (iv) y 3 4 x249

4. Céard í an y-idirlíne do gach ceann de na cuair seo a leanas?(i) y (0.6)2 x (ii) y 3.2 x (iii) y 8.2 x (iv) y 6.4 x5. Do gach ceann díobh seo a leanas, úsáid tacar amháin aiseanna chun na graif (-2 x 4)a sceitseáil.(i) y 2 x agus y 3 x (ii) y 2 x agus y 3 x (iii) y 3.2 x agus y 2.3 x(iv) Cé na luachanna ar x a bhfuil 2 x > 3 x ?(v) Cé na luachanna ar x a bhfuil 2 x < 3 x ?(vi) Cén luach/cé na luachanna ar x a bhfuil 2 x 3 x ?(vii) Cé na luachanna ar x a bhfuil ( 1_2 ) x ( 1_3 ) x ?6. Is é an líon laethanta, D, a fhanann iógart úr, má stóráiltear é ag an teocht T °C, náD 18(0.72) T .(i) An sampla dfhás nó de mheath easpónantúil é seo? Mínigh do fhreagra.(ii) Cé mhéad lá a bhfanfaidh an t-iógart úr má stóráiltear é ag(a) 5°C (b) 2°C (c) 0°C ?(iii) Meas an teocht a theastaíonn chun an t-iógart a choinneáil úr ar feadh 5 lá ar a laghad.7. Meathann Carbón 14, dúil radaighníomhach carbóin, de réir na foirmle P 100(0.99988) n ,nuair is é P an céatadán de bhunmhais an Charbóin 14 atá ann fós tar éis n bliain.(a) Faigh céatadán an Charbóin 14 a bheadh ann fós tar éis (i) 200 bliain (ii) 500 bliain.(b) Meas (trí thriail is earráid) an fad a thógfadh sé ar an sampla Charbón 14 meath go leatha bhunmhaise. Bíodh do fhreagra ceart go dtí na 10 mbliana is gaire.(c) I bportach i gContae Uíbh Fhailí, thángthas ar chnámh ina raibh 79% dá bhun-Charbón14. Meas a aois.8. Tugann taighdeoir eolaíochta atá i mbun monatóireachta ar phlá muiscítí faoi deara go dtugtarachar an cheantair ina bhfuil na muiscítí mar A(n) 1000 2 0.2n heicteár, nuair is é n anlíon seachtainí ó cuireadh tús leis an mbreathnóireacht.(i) Faigh an t-achar ina raibh na muiscítí ar dtús.(ii) Faigh an t-achar ina bhfuil na muiscítí tar éis (a) 5 seachtaine (b) 10 seachtaine(c) 12 sheachtain(iii) Úsáid na freagraí ar (i) agus (ii) chun graf A(n) in aghaidh n a tharraingt.9. Tugtar ráta cuisle reathaí, P(t), t nóiméad i ndiaidh dó críochnú lena thraenáil, marP(t) 90 3 0.25t 50.(i) Sceitseáil graf P(t) ag úsáid na luachanna t 0, 2, 4, 6, 8, 10 nóiméad.(ii) Faigh an ráta cuisle díreach i ndiaidh na traenála.(iii) Cá fhad a thóg sé ar a chuisle titim go(a) 70 buille in aghaidh an nóiméid (b) 55 buille in aghaidh an nóiméid?(iv) Céard é gnáthráta cuisle an reathaí? Mínigh do fhreagra.10. Tugtar an fuinneamh a scaoileann crith talún mar E 10 1.5M 4.8 uair is é A an aimplitiúidagus M an méid ar an scála Richter. Cé chomh mór is atá an fuinneamh a scaoileann crith talúndar méid 7 le hais an fhuinnimh a scaoileann crith talún dar méid 5?250

11. Infheistíonn Clíona 5000 i gcuntas téarma sheasta a íocann ús iolraithe 0.55% sa mhí.Más é A an tsuim airgid tar éis t mí, faigh an tsuim tar éis(i) 1 mhí amháin (ii) 2 mhí (iii) 3 mhí (iv) t mí.12. I dturgnamh a bhain le daonra cuileog, bunaíodh an tsamhail P(t) 40b t don daonra P(t)tar éis t lá ó thús an turgnaimh, t 0.(i) Cé mhéad cuileog a bhí ann ar dtús?(ii) I ndiaidh lá amháin bhí 48 cuileog ann. Faigh luach b agus faigh míniú air.(iii) Sceitseáil graf P(t) in aghaidh t do 0 t 5.Mír 7.9 Feidhmeanna logartamachaFeidhm é an logartam a dhíríonn ar shéan (nó easpónant) uimhreach.Má tá y 2 5 , is féidir y 32 a ríomh go héasca.Ach má tá 200 2 x , níl sé chomh héasca céanna an séan x a fháil a bhfuil 200 mar thoradh air.Chun x a fháil, úsáidimid logartaim (nó log go gairid).Cuimhnigh ar an toradh 32 2 5 ; má úsáidtear nodaireacht logartaim tá log 2 32 5.Léitear seo mar log 32 ar bhonn 2, cothrom le 5,i.e., is é 5 an séan (an chumhacht) a gcaithfear an bhonnuimhir 2 a ardú ann chun 32 a fháil.Ar an gcaoi chéanna, is féidir 10 2 100 a athscríobh ag úsáid logartam mar log 10 100 2(log 100 ar bhonn 10, cothrom le 2),i.e., is é 2 an séan (an chumhacht) a gcaithfear an bhonnuimhir 10 a ardú ann chun 100 a fháil.Dá bhrí sin, tá na cothromóidí 2 3 8 agus log 2 8 3 comhionann agus in-idirmhalartaithe.Foirm an tséin Foirm an logartaim32 2 5 log 2 32 5100 10 2 log 10 100 2200 2 x log 2 200 xIs é logartam uimhreach an chumhachta gcaithfear an bhonnuimhir a ardú intichun an uimhir sin a fháil.Tá a x y coibhéiseach le log a y xÓn sainmhíniú seo ar logartam, is léir go bhfuil(i) log 5 25 2 (ii) log 3 27 3 (iii) log 2 16 4 (iv) log 3 81 4,i.e. cén chumhacht a gcaithfear 5 a ardú inti, chun 25 a fháil ? Freagra 2 etc.Mura slánuimhir an logartam nó an bonn, lean ar aghaidh mar seo a leanas.251

Sampla 1Faigh luach (i) log 9 27 (ii) lo g 1_3 9 (iii) lo g √ __28.(i) Bíodh log 9 27 x. (ii) Bíodh lo g 1_3 9 x. (iii) Bíodh lo g √ __28 x.⇒ 9 x 27 ⇒ ( 1_3 ) x 9 ⇒ ( √ __2 ) x 8⇒ (3 2 ) x 3 3 ⇒ (3 1 ) x 3 2 ⇒ ( 22 ) x 2 3⇒ 2x 3 ⇒ x 2 ⇒x__2 3⇒ x 3_2 ⇒ x 2 ⇒ x 61_1. Dlíthe na logartamNuair a shloinntear dlíthe na séan i bhfoirmlogartaim, táirgimid dlíthe na logartam atáthar a bheith tábhachtach.Ligeann na dlíthe seo dúinn go leorcothromóidí casta a réiteach.Úsáid dáireamhán chun gach ceann díobh seo a leanas a fhíorú.1. log 10 4 log 10 3 log 10 12 1.07922. log 10 8 log 10 6 log 10 ( __ 86) 0.12493. log 10 8 3 3 log 10 8 2.70934. log 10 10 15. log 10 1 0Dlíthe na Logartam1. log a xy log a x log a y2. log a( __ xy) log a x log a y3. log a x n nlog a x4. log a a 15. log a 1 06. log a x log b x _____log b aTá dlíthe na logartam infheidhmithe ar aon bhonn, ach is iad an bonn 10 agusan bonn e (2.718) na boinn is mó a úsáidtear i logartaim.Úsáidtear logartaim bhonn 10, m.sh. log 10 1000, chun críche ríomha agus glaoitear logartaimchomónta orthu.Úsáidtear bonn e ( 2.718), m.sh. log e 1000, nuair atáthar ag plé le himeachtaí nádúrtha,m.sh. creathanna talún, fás coilíneachtaí, srl., agus dá bhrí sin glaoitear logartaim nádúrthaorthu agus scríobhtar iad mar log e x ln x.252

Sampla 2Gan áireamhán a úsáid, simpligh an uimhir seo a leanas:2log 10 3 log 10 16 2log 10 ( __ 65)2log 10 3 log 10 16 2log 10 ( __ 65) log 103 2 log 10 16 log 10 ( __ 65) 225) log 10 (3 2 16) log 10 ( 36 ___ log ______ 9 1610___( 3625) log 10 100 2Sampla 3Gan áireamhán a úsáid, simpligh an uimhir seo a leanas:log 2 128 log 3 45 log 3 5log 2 128 log 3 45 log 3 5 log 2 128 log 3 ( 45 ___5) log 2128 log 3 9(Ó tharla go bhfuil na boinn difriúil, ní féidir na logartaim seo a shuimiú!)Bíodh log 2 128 x ⇒ 128 2 x chomh maith leis sin, bíodh log 3 9 y ⇒ 9 3 y2 7 2 x 3 2 3 y7 x 2 y log 2 128 log 3 9 7 2 9Sampla 4Faigh luach na huimhreach seo a leanas ceart go dtí dhá fhigiúr bhunúsacha:log 8 11 log 6 4log 8 11 log 1011 _______log 10 8 log a x log b x _____log b aalso, log 6 4 log 104______log 10 6 _____ 1.0410.903 1.153 0.602 _____0.778 0.774 log 8 11 log 6 4 1.153 0.774 0.38253

Nóta: I gcás gach boinn,(i) má tá log e (e) k x⇒ k log e (e) xchomh maith leis sin (ii) má tá a (log an) x⇒ log a a (log an) log a x ag tógáil log an dá thaobh.ach log e (e) 1 log a n. log a a log a x⇒ k x Is é log uimhreach log a n. 1 log a xar a bonn féin ná⇒ n x1.Más slánuimhir dheimhneach é e, tá e 2, k > 0 (i) log e (e) k k agus (ii) e (log e k) k2. Cothromóidí logartamacha a réiteach Nuair atá cothromóidí logartamacha á réiteach, seiceáil i gcónaí go bhfuil an bonn céannaag gach téarma. Mura bhfuil, caithfear an riail i dtaobh bonn a athrú a úsáid ar dtús chuniad a athrú go bonn comónta. Mura dtugtar bonn, bíonn an chothromóid fíor do gach bonn. Má tá log a b log a c, tá b c. Má tá log a b k, tá b a k . Seiceáil na réitigh uile chun a chinntiú nach gcruthaíonn siad logartaim uimhreachadiúltacha mar nach sainítear iad sin. (Féach ar leathanach 257.)Sampla 5Réitigh an chothromóid 2log 3 x log 3 (18 x) 1.2log 3 x log 3 (18 x) 1⇒ log 3 x 2 log 3 (18 x) 1⇒ log 3 ( ______ x 218 x) 1⇒ ______ x(2 318 x) 1 3⇒ x 2 54 3x⇒ x 2 3x 54 0⇒ (x 6)(x 9) 0⇒ x 6 nó x 9.Má tá x 9, athraíonn an chothromóid go2log 3 (9) log 3 (18 9) 1.Ó tharla go bhfuil log 3 (-9) neamhshainithe,diúltaítear do x 9 mar fhreagra.⇒ x 6.254

Sampla 6Réitigh an chothromóid log 3 x 3 log x 3 4.Tá logartaim a bhfuil boinn dhifriúla acu sa chothromóid seo.Dá bhrí sin, caithfimid bonn 3 a athrú go bonn x (nó a mhalairt).log 3 x _____ log x xlog x 3 _____ 1mar go bhfuil loglog x 3x x 1 log 3 x 3 log x 3 4 ⇒ _____ 1log x 3 3 log x 3 4Ag úsáid an ionadaithe log x 3 y,1__y 3y 4⇒ 1 3y 2 4y3y 2 4y 1 0(3y 1)( y 1) 0 y 1 nó y 1_3 log x 3 1 ⇒ 3 x 1⇒ 3 xnó log x 3 1_3 ⇒ 3 x 1_3⇒ 3 3 x⇒ 27 x x 3 nó 27 (tugann an dá réiteach logartaim dheimhneacha agus tá an dá cheanninghlactha mar sin).(Nóta: Is féidir an toradh seo a fhíorú ach an gnáthamh a dhéanamh arís leis anmbonn 3 in áit an bhoinn x: log x 3 _____ log 33log 3 x _____ 1log 3 x) .Cleachtadh 7.91. Scríobh síos luach gach ceann díobh seo a leanas:(i) log 2 4 (ii) log 3 81 (iii) log 10 1000 (iv) log 2 642. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:(i) log 8 16 (ii) log 9 27 (iii) log 16 32 (iv) log 1_ 8 (v) lo g 1_ 812 33. Athraigh gach ceann díobh seo a leanas go foirm an tséin agus réitigh do x.(i) lo g 27 x (ii) lo g 1_√ __ 4 x (iii) log2 8 x 2 (iv) log 64 x 1_234. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas:(i) log 2 x 1 (ii) log 3 √ ___27 x (iii) log x 2 2 (iv) log 2 (0.5) x5. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas, ag sloinneadh do fhreagraí gan logartaim.(i) log 4 2 log 4 32 (ii) log 6 9 log 6 8 log 6 2 (iii) log 6 4 2log 6 36. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm log a x agus ansin simpligh:(i) log 3 2 2log 3 3 log 3 18 (ii) log 8 72 log 8 ( __ 98)255

7. Má tá log 3 5 a, faigh i dtéarmaí a,(i) log 3 15 (ii) log 3 ( 5 __3) (iii) log 3 (81_) 3 (iv) log 3 ( ___ 2527) (v) log 375.8. Úsáid logartaim chomónta (i.e. logartaim ar bhonn 10) chun luach x a fháil ingach ceann díobh seo a leanas, ceart go dtí trí fhigiúr bhunúsacha:(i) 200 2 x (ii) 5 x 500 (iii) 3 x 1 25 (iv) 5 2x 3 519. Bíodh y 2 x 1 3.(i) Sloinn x i dtéarmaí y trí logartaim chomónta a úsáid.(ii) Uaidh sin faigh, ceart go dtí 4 ionad dheachúlacha, luach x mar a bhfuil y 8.10. Má tá log 10 x 1 a agus log 10 y 1 a, taispeáin go bhfuil xy 100.11. Má tá p log a ( ___ 214) , q log a ( __ 73) agus r log a ( __ 72)12. Má tá log a x 4 agus log a y 5, faigh luachanna beachta:(i) log a x 2 y (ii) log a axy (iii) log ___ √__ xay, taispeáin go bhfuil p q 2r.13. Úsáid an dlí i dtaobh bonn a athrú chun a thaispeáint go bhfuil log 25 x 1 2 log 5 x.14. Úsáid áireamhán chun luach gach ceann de na logartaim seo a leanas a fháil ceart go dtítrí fhigiúr bhunúsacha:(i) log 10 4 (ii) log 10 27 (iii) log 10 356 (iv) log 10 5600(v) log 10 29 000 (vi) log 10 350 000 (vii) log 10 3 870 000.15. Má tá log 10 x 3.123, bain úsáid as torthaí Cheist 14 chun uasluach agus íosluach x afháil gan dáireamhán a úsáid.16. Coinbhéartaigh go dtí bonn 10 agus faigh, ceart go dtí trí fhigiúr bhunúsacha, luachlog 3 15 log 2 5.17. Úsáid an riail i dtaobh bonn a athrú chun luach (i) log 27 81 (ii) log 32 8 a fháil.18. Taispeáin go bhfuil log b a 1 _____log a b .19. Má tá x > 0 agus x 1, taispeáin go bhfuil_____ 1log 2 x _____ 1log 3 x _____ 1log 5 x ______ 1log 30 x .20. Má tá log r p log r 2 3log r q, úsáid dlíthe na logartam chun p a shloinneadh i dtéarmaí q.21. Má tá log 3 a log 9 a 3_ , a 0, faigh luach beacht a.422. Faigh luach 3ln41.5 ln250, ceart go dtí trí fhigiúr bhunúsacha.256

Réitigh na cothromóidí logartamacha seo a leanas:23. log 2 (x 2) log 2 x 3 24. log 10 (x 2 6) log 10 (x 2 1) 125. log2x log(x 7) log3 26. log(2x 3) log(x 2) 2logx27. log 10 (17 3x) log 10 x 1 28. log 10 (x 2 4x 11) 0.29. Má tá 2log 2 x y agus log 2 (2x) y 4, faigh luach x.30. Má tá log 6 x log 6 y 1, x, y > 0, taispeáin go bhfuil x 6 __y .Uaidh sin réitigh na comhchothromóidí log 6 x log 6 y 15x y 17.31. Úsáid an riail i dtaobh bonn a athrú chun na cothromóidí seo a leanas a réiteach:(i) 4log x 2 log 2 x 3 0 (ii) 2log 4 x 1 log x 4.Mír 7.10 Graf y log a (x)Úsáidtear bogearraí ríomhaireachta chun graiflog 10 (x), log e (x) [i.e. ln(x)] agus log 2 (x)a tharraingt san fhearann 0 x 10.Tar éis na graif a chur i gcomparáid le chéile,bainimid de thátal astu go bhfuil na hairí seoa leanas ag y log a (x):1. log (aon bhonn ar bith) 1 0.2. log 2 2 log ee log 10 10 1.3. Tá gach graf dfheidhmeanna logartaimag méadú.4. Sainítear y log a (x) do x > 0 amháin.5. Ní shainítear y log a (0).6. Asamtóit ingearach do gach cuar í an y-ais.f(x)4g(x) log 2(x)3f(x) log e(x)2(2, 1)h(x) log 10(x)1(2.72, 1)(1, 0)(10, 1)1O11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x2Ag cur log a (x) i gcomparáid le y a xMá deirimid go bhfuil a 2; ag cur y 2 x igcomparáid le y log 2 (x), gheobhaimidx y 2 x x y log 2 x0 y 2 0 1 1 y log 2 1 01 y 2 1 2 2 y log 2 2 12 y 2 2 4 4 y log 2 4 23 y 2 3 8 8 y log 2 8 34 y 2 4 16 16 y log 2 16 4y5y 2 x(2, 4)y x4y log 2 (x)3(1, 2)2(4, 2)(0, 1)1 (2, 1)(1, 0)2 1O1 2 3 4 5 6 7 x257

Tá na pointí (0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), ar an gcuar y 2 x .Tá na pointí (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4), ar an gcuar y log 2 (x). is é y log 2 (x) feidhm inbhéartach y 2 x .Chomh maith leis sin, is é y log 10 x feidhm inbhéartach y 10 x .Frithchaitear graif y 2 x agus y log 2 (x) sa líne x y.Cleachtadh 7.101. Úsáid an t-eolas atá agat faoi shéana chun airí 1, 2 agus 5 ar an leathanach roimhe seo a mhíniú.2. Úsáid áireamhán grafaice nó bogearraí ríomhaire chun y 10 x agus y log 10 x a bhreacadhar na haiseanna céanna agus faigh ais na siméadrachta.Ó do ghraf, meas, ceart go dtí ionad amháin deachúlach, luach y 10 1.5 tríd an scála ar any-ais a mhéadú.3. Cuimhnigh ar an bhfeidhm y log 3 x.(i) Comhlánaigh an tábla seo a leanas.x1_9 1 3y log 3 x 1 2(ii) Úsáid na luachanna sa tábla seo chun graf y log 3 x a sceitseáil.(iii) Meas luach log 3 2.5 ó do ghraf.(iv) Úsáid an riail i dtaobh bonn a athrú, log 3 x ______ log 10 xlog 10 3 , chun luach y log 32.5 a fháil.4. Ar na haiseanna céanna, sceitseáil graif(i) y 5 x , 0 x 2 (ii) y log 5 x , 0 x 25(iii) Céard é an gaol idir an dá ghraf?5. Ar na haiseanna céanna, sceitseáil graif(i) y log 2 x at x 1, 2, 4, 8.(ii) y log 2 2x ag x 1, 2, 4, 8.(iii) y log 2 (x 2) ag x 3, 4, 10.6. Ar na haiseanna céanna, sceitseáil graif y log 10 x, y log 10x __2 agus y log 10(x 2).7. Má tá y 3 x 2 5,(i) sloinn x i dtéarmaí y trí logartaim chomónta a úsáid.(ii) Má tá y 30, faigh luach x ceart go dtí 3 ionad dheachúlacha.8. Cóipeáil graf na feidhme y log 10 x ar dheis i dochóipleabhar (nó úsáid ríomhaire) agus úsáid é chunsceitsí garbha a tharraingt de na feidhmeanna seo a leanas:(i) y log 10 x 2 (ii) y log 10 (x 2)(iii) y log 10 x 2 (iv) y 2log 10 x(v) y log 10 xy3211O1 2 3 4 5 6 x1258

9. Cóipeáil graf na feidhme y log 10 x ar dheis i dochóipleabhar agus úsáid é chun sceitsí garbha atharraingt de na feidhmeanna seo a leanas:(i) y log 10 (2x)(ii) y log __ 10 ( x 2)y3211O1 2 3 4 5 6 x110. Cóipeáil graf na feidhme y 2 x ar dheis i dochóipleabhar agus úsáid é chun sceitsí garbhaa tharraingt de na feidhmeanna seo a leanas:(i) y 2 x 1(ii) y 1 2 x(iii) y 2 x 1(iv) y ( 1_2 ) .2xy43213 2 1O1 2 3 xMír 7.11 Fadhbréiteach le feidhmeannaeaspónantúla agus logartamachaMar a dúradh cheana, úsáidtear feidhmeanna easpónantúla agus logartamacha chun réimse mórfadhbanna a shamhaltú. Tá treise fuaimeanna, aigéadacht tuaslagáin agus déine creatha talún ar anscála Richter i measc an iliomad samplaí dá gcur i bhfeidhm.Sampla 1Cinntear aigéadacht substainte le foirmle tiúchan iain pH log[H ], mar a shainítearpH 7 mar neodrach, 7 mar alcaileach.Cinn aigéadacht na substaintí seo a leanas.(a) Sú úill a bhfuil tiúchan iain [H ] de 0.0003 aige.(b) Amóinia a bhfuil tiúchan iain [H ] de 1.3 10 9 aige.(a) [H ] 0.0003 ⇒ pH log[H ] log[0.0003] 3.52 tá an sú úill aigéadach(b) [H ] 1.3 10 9 ⇒ pH log[H ] log[1.3 10 9 ] 8.87 tá an tuaslagán amóinia alcaileach259

Sampla 2Tugtar treise fuaime a bhfuil déine I aici leis an bhfoirmle dB 10 log ( I __I o) , áit adtomhaistear dB ina dheicibeilí agus áit arb é I o tairiseach déine na héisteachta(I o 1 10 12 Wm 2 ).(a) Faigh treise (ina deicibeilí) fuaime ag tairseach na héisteachta.(b) Más féidir le nochtadh fada dfhuaimeanna thar 85 deicibeil dochar a dhéanamhdon éisteacht, agus má tá déine I 2.5 10 13 I o ag urchar gunna raidhfil .22, archeart duit cluaschosaint a chaitheamh agus an gunna seo in úsáid agat?(a) Tairiseach na héisteachta 1 10 12 Wm 2dB 10 log ( __ II o) 10 log _________( 1 1012(b) I 2.5 10 13 I odB 10 log ( I __1 10 12 ) 10 log 1 0 dB, i.e. níl treise fuaime i gceist.I o) 10 log 2.5 10 13 ___________ I o 10 log 2.5 10I 13 134 dB.oBa cheart duit cluaschosaint a chaitheamh mar go bhfuil an treise fuaime i bhfadníos airde ná 85 dB.Ús iolraithe (luach méadaitheach)Tugtar luach cumaisc, A, suim airgid, P, a infheistítear ag ráta úis iolraithe i% ar feadh t bliain,leis an bhfoirmle A P(1 i) t . Go minic, caithfear an t-am, t (an séan), a thógfaidh sé arinfheistíocht shonrach teacht in aibíocht, a ríomh. Is féidir é seo a dhéanamh le logartaim marseo a leanas:Má tá A P(1 i ) t ,⇒A__P (1 i )t ag roinnt an dá thaobh ar P⇒ ln ( A __P) ln(1 i ) t ag tógáil log nádúrtha an dá thaobh⇒ ln ( A __P) t. ln(1 i ) lnB n n. lnBln __( A⇒P)________ln(1 i ) t.260

Sampla 3Cá fhad a thógfadh sé ar 5000 méadú go 6000, dá n-infheisteofaí é i gcomharcreidmheasa ag ráta úis iolraithe 2% sa bhliain?Ó tharla go bhfuil A P(1 i) t , nuair a infheistítear P ar feadh t bliain ag i%,A 6000 P 5000 i 2% 0.02 1 i 1.02⇒ 6000 5000 (1.02) t6000 _____5000 (1.02)t1.2 (1.02) tln 1.2 ln(1.02) t ag tógáil log nádúrtha an dá thaobhln 1.2 t. ln 1.02______ ln 1.2ln 1.02 t9.21 bliain t 9 mbliana agus 77 láDímheas (luach laghdaitheach)Má laghdaíonn cainníocht de shuim sheasta thar théarma socraithe (m.sh. in aghaidh na bliana), isféidir an chothromóid chéanna a oiriúnú chun an luach laghdaitheach le himeacht aimsire a rianú.Athraíonn an daonra reatha P go P P 0 (1 i) t nuair ba é P 0 an daonra ag an tús.Mar shampla, má tá daonra ioraí rua ag laghdú ag ráta 5% in aghaidh na bliana, is éP P 0 (1 0.05) t P 0 (0.95) t líon na n-ioraí rua tar éis t bliain.Sampla 4Meastar daonra ioraí rua i réigiún sonrach ag 5000 ag tús 2003. Ag glacadh le rátalaghdaithe 5% sa bhliain, meas méid an daonra in 2013.Ó tharla go bhfuil P P 0 (1 i) t agus i 5% 0.05,agus má thugtar go bhfuil P 0 5000 agus t 10 mbliana, P 5000(1 0.05) 10 5000(0.95) 10 2994 iora ruaAm dúbailteIs é an t-am dúbailte an t-am a theastaíonn chun go méadóidh méid nó luach cainníochta faoi dhó.Má tá cainníocht ag fás go heaspónantúil, is féidir an líon (nó luach) ag am t a shloinneadh ley A.e bt , nuair is é A an líon nó luach ag an tús (i.e. t 0) agus is tairiseach fáis é b, a bhaineanngo sonrach le horgánach faoi leith.261

Má dhúblaíonn an chainníocht seo, tá 2A i láthair. 2A Ae bT , nuair is é T an t-am a thógann sé chun 2A a tháirgeadh, i.e. an t-am dúbailte. 2 e bT ln 2 ln e bT bT ln e bT⇒ ____ ln 2 T, an t-am dúbailte.bln x n n.ln xagus ln e 1Sampla 5Tá cineál áirithe baictéar ag fás go heaspónantúil, nuair is é y A e bt an líon baictéar atái láthair tar éis t (uair an chloig) agus is é b an tairiseach fáis. Faoi chúinsí áirithe,dúblaíonn daonra na mbaictéar gach 6.5 uair an chloig. Má tá 100 baictéar i láthair ag túsan turgnaimh faoi na cúinsí sin, faigh (i) an tairiseach fáis b (ii) an méid baictéar a bheidhi láthair tar éis 2 lá.Ó tharla go bhfuil y A e bt , tá 200 100e 6.5b ó tharla go ndúblaíonn 100 go 200 in 6.5 uair an chloig 2 e 6.5b ln 2 ln e 6.5b 6.5b ln e 6.5b.(i) An tairiseach fáis b ____ ln 2 0.1066 uair an chloig6.5(ii) Dhá lá 48 uair an chloig0.1066 48An líon i láthair tar éis 48 uair an chloig 100 e 16 734 baictéar.Cleachtadh 7.111. Infheistíonn Áine 5000 i gcuntas téarma sheasta a íocann ús iolraithe 0.6% sa mhí.Faigh(i) an méid airgid i gcuntas Áine tar éis(a) 1 mhí amháin (b) 2 mhí (c) 3 mhí(ii) foirmle don mhéid a bheidh coigilte ag Áine tar éis t mí(iii) an íostréimhse a gcaithfidh Áine a cuid airgid a infheistiú lena haghaidh mátheastaíonn uaithi a cuid airgid a dhúbailt.2. Cuireann bitheolaí 100 baictéar i dtimpeallacht rialaithe ag tús turgnaimh.Sé huaire níos déanaí, filleann sí agus comhaireann sí 450 baictéar sa choilíneacht.Ag glacadh le fás easpónantúil san fhoirm y Ae bt nuair is é b an tairiseach fáis, faighluach ar b, ceart go dhá ionad dheachúlacha.3. Fágtar bainne do leanbh, a téadh go 45°C, ar leataobh go bhfuaróidh sé. Tugtar teocht T°Can bhainne, tar éis t nóiméad ag fuarú, leis an riail T 15 30 10 0.02t .262

(i) Fíoraigh gurb é 45°C an teocht ag an tús.(ii) Má tá an bainne le tabhairt don leanbh nuair a bheidh sé fuaraithe go 35°C, faighamach cá fhad a thógfaidh sé air fuarú go dtí an teocht seo.(iii) Úsáid an riail seo chun teocht an tseomra a fháil, agus mínigh do fhreagra.4. Tugtar treise L (tomhaiste i dB) fuaime leis an bhfoirmle L 10 log 10 ( I __I o) nuair is é I otairseach na héisteachta (1 10 12 Wm 2 ) agus is é I déine na fuaime.(i) Má tá réimse treise idir 100 agus 110 dB ag toirneach, céard é an réimsecomhfhreagrach déine i Wm 2 ?(ii) Glactar leis gurb é 10 Wm 2 tairiseach na péine.Vatanna in aghaidhFaigh i dB treise fuaime a thosaíonn ag cur pian ar dhuine. m 2 Wm 25. Tugtar aimplitiúid creatha talún mar A 10 M , nuair is é M méid an chreatha ar an scálaRichter. Is é an fuinneamh a scaoileann an crith talún E 10 1.5M 4.8 giúl. Úsáid rialachalogartam chun a agus b a fháil mar a bhfuil E 10 ab , a, b Q.6. Tomhaiseann an praghasinnéacs tomhaltóirí (CPI) costas earraí agus seirbhísí ar bhonnbliantúil. Ag glacadh leis go raibh luach 100 ar thráchtearra in 2000, agus go bhfuil an CPIag ardú go heaspónantúil ag 4.5% ón mbliain sin i leith, faigh(i) luach an tráchtearra sin in , t bliain tar éis 2000(ii) costas tuartha an tráchtearra sin in 2010.(iii) Ag úsáid an ráta chéanna thuartha méadaithe, cén luach a bhí ar an tráchtearra sin i1995?7. Le linn na luathchéimeanna forbartha, tugtar meáchan W kg mamaigh áirithe, t mí tar éis abhreithe, leis an bhfoirmle W 0.6 1.15 t .(i) Cén meáchan a bhí sa mhamach nuair a rugadh é?(ii) Luaigh an tairiseach fáis in aghaidh na bliana mar chéatadán.(iii) Cá fhad a thógann sé ar an mamach seo a mheáchan a dhúbailt?8. Tugtar meath Polóiniam-210, substaint radaighníomhach, leis an bhfoirmleM M 0 e kt , nuair is é M 0 an mhais ag an tús,nuair is é M an mhais tar éis t lá,nuair is tairiseach meatha é k a bhaineann go sonrach le Polóiniam.Má tá M 10 g nuair atá t 0, agus má tá M 5 g nuair atá t 140 lá, faigh(i) luach M 0 agus k(ii) mais an Pholóiniam tar éis 70 lá(iii) an líon laethanta go dtí nach mbeidh ach 2 g Polóiniam fanta.263

Mír 7.12 Cruthúnas trí ionduchtúCruthaítear go leor teoirimí sa mhatamaitic a bheith fíor trí ionduchtú matamaiticiúil.Chun a chruthú go bhfuil ráiteas fíor trí ionduchtú, leanaimid céimeanna a shainítear go soiléir.(i) Tá an ráiteas fíor do luach seasta éigin, de ghnáth n 1 nó n 2.(ii) Glactar leis ansin go bhfuil an ráiteas fíor do luachanna suas le n k.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint go bhfuil an ráiteas fíor don k 1.(iv) Mar chonclúid, cruthaítear cruthúnas rollach:a. Ó tharla go bhfuil sé fíor do n 1,b. tá sé fíor anois do n 1 1 2.c. Ó tharla go bhfuil sé fíor do n 2, tá sé fíor do n 2 1 3, srl.d. Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach n.Sampla 1Cruthaigh go bhfuil 1 2 3 4 ... . n __ n (n 1) do gach luach ar n.2Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 1.⇒ 1 1_ (1 1) 1_(2) 1, atá fíor.2 2(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k.⇒ 1 2 3 4 .... k __ k (k 1).2(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint go bhfuil an ráiteas fíordo n k 1.1 2 3 4 .... k (k 1) __ k (k 1) (k 1) ag suimiú (k 1) leis2an dá thaobh. Tá sé fíor do n k 1. (k 1)( k __2 1 ) ag fachtóiriú (k 1) ó thaobhna láimhe deise. (k 1) ( k 2 _____2) ag fáilchomhainmneora. _____( k 12)(k 2) ag atheagrú anainmneora. _____( k 12)[(k 1) 1](iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 1, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 1 1 2.Agus má tá sé fíor do n 2, tá sé fíor do n 2 1 3, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach ar n.264

Nóta 1: Cé go bhféadfaimis a chruthú go bhfuil an ráiteas seo fíor do go leor luachanna scoite n,is é an ghné thábhachtach den mhodh cruthúnais seo go gcruthaíonn sé go bhfuil anráiteas fíor do gach luach ar n.Nóta 2: Ní modh é ionduchtú matamaiticiúil chun toradh a aimsiú, ach nuair a bhíonn toradhagainn a bhfuil an chuma air go bhfuil sé fíor, tugann an modh seo cruthúnas beacht dúinn.Nóta 3: Is féidir cruthúnas trí ionduchtú a chur i bhfeidhm ar chúpla catagóir dhifriúil torthaí, lena n-áirítear:(i) Torthaí ina bhfuil sraitheanna uimhreacha m.sh.1 2 3 4 .... n __ n (n 1).2(ii) Torthaí ina bhfuil fachtóirí slonn m.sh. is féidir 10 n 7 n a roinnt ar 3.(iii) Torthaí ina bhfuil éagothromóidí m.sh.3 n 3n 1, do n 2.Sampla 2Cruthaigh go bhfuil 3 3 2 3 3 3 4 3 5 . . . . 3 n 3_2 (3n 1) do gach luach ar n N.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 1.3 1 3_2 (31 1) 3_ (2) 3 atá fíor.2(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k.3 3 2 3 3 3 4 3 5 . . . . 3 k 3_2 (3k 1).(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.3 3 2 3 3 3 4 3 5 . . . . 3 k 3 k 1 3_2 (3k 1) 3 k 1 . ag suimiú 3 k 1 leisan dá thaobh. 3_2 (3k 1) 3 k .3 1 Tá sé fíor do n k 1. 3 ________( (3k 1) 3 )2k ag fachtóiriú 3. 3 ____________( 3k 1 2.3 k2) comhainmneoir 3_2 (3.3k 1) ag atheagrú. 3_2 (3k 1 1)(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 1, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 1 1 2.Agus má tá sé fíor do n 2, tá sé fíor do n 2 1 3, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach ar n.265

Sampla 3Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil ___ 11.2 ___ 12.3 ___ 13.4 .... ________ 1n(n 1) Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 1.________ 11(1 1) _____ 11 1 __ 1 atá fíor.2(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k.___ 11.2 ___ 12.3 ___ 13.4 .... ________ 1k(k 1) _____ kk 1 , k N._____ nn 1 , n N.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.___ 11.2 ___ 12.3 ___ 13.4 .... ________ 1k(k 1) _____________ 1(k 1)(k 2) _____ kk 1 _____________ 1(k 1)(k 2) Tá sé fíor do n k 1.k(k 2) 1_____________(k 1)(k 2) _____________k 2 2k 1(k 1)(k 2)(k 1)(k 1) _____________(k 1)(k 2) ___________ (k 1)(k 1) 1(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 1, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 1 1 2.Agus má tá sé fíor do n 2, tá sé fíor do n 2 1 3, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach ar n.Cleachtadh 7.12(A)I ngach ceann de na ceisteanna seo a leanas, cruthaigh na torthaí trí ionduchtú matamaiticiúil dogach luach slánuimhriúil deimhneach ar n.n1. 2 4 6 8 .... 2n ∑2n n(n 1).n 12. 1 4 7 10 .... (3n 2) __ n (3n 1).23. 1.2 2.3 3.4 4.5 .... n(n 1) ∑n(n 1) __ n (n 1)(n 2).34.5.nn 1___ 12.3 ___ 13.4 ___ 14.5 ___ 15.6 .... _____________ 1(n 1)(n 2) ________ n2(n 2) .___ 14.5 ___ 15.6 ___ 16.7 ___ 1n7.8 .... _____________ 1(n 3)(n 4) _____________ 1∑(n 3)(n 4) ________ n4(n 4) .n 1266

6. 1 3 2 3 3 3 4 3 . . . . n 3 ∑nnn 1n(n 1)(n 2)7. ∑n(n 2) ______________.6n 1n 3 __ n24 (n 1)2 .8. x x 2 x 3 x 4 . . . . x n x(xn 1) _________x 1 , x 1.Cruthúnais inroinnteachtaSampla 4Cruthaigh do gach n N go bhfuil 3 ina fhachtóir de chuid 4 n 1.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 1.Tá 3 ina fhachtóir de chuid 4 1 1 3 fíor.(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k.⇒ Tá 3 ina fhachtóir de chuid 4 k 1, k N.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.An bhfuil 3 ina fhachtóir de chuid 4 k 1 1 ? 4 k .4 1 1 4 k .(3 1) 1 3.4 k 1.4 k 1 3.4 k (4 k 1).Ó tharla go bhfuil 3.4 k inroinnte ar 3 agus go nglactar leis go bhfuil (4 k 1) inroinnte ar 3, Tá 3.4 k (4 k 1) inroinnte ar 3. Tá sé fíor do n k 1.(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 1, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 1 1 2.Agus má tá sé fíor do n 2, tá sé fíor do n 2 1 3, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach ar n.267

Sampla 5Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil 8 n 7n 6 inroinnte ar 7 do gach n N.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 1.Tá 7 ina fhachtóir de chuid 8 1 7.1 6 7 atá fíor.(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k.⇒ Tá 7 ina fhachtóir de chuid 8 k 7k 6, k N.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.An bhfuil 7 ina fhachtóir de chuid 8 k 1 7(k 1) 6 ? 8 k .8 1 7k 7 6 8 k . (7 1) 7k 7 6 7.8 k 1.8 k 7k 7 6 7.8 k (8 k 7k 6) 7Ó tharla go bhfuil 7.8 k inroinnte ar 7, glactar leis go bhfuil (8 k 7k 6) inroinntear 7 agus tá 7 inroinnte ar 7, Tá 8 k 1 7(k 1) 6 inroinnte ar 7. Tá sé fíor do n k 1.(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 1, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 1 1 2.Agus má tá sé fíor do n 2, tá sé fíor do n 2 1 3, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach ar n.Sampla 6Taispeáin go bhfuil n(n 1)(n 2) inroinnte ar 3 do n N.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 1.Tá 3 ina fhachtóir de chuid n(n 1)(n 2) 1(1 1)(1 2) 6. atá fíor.(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k.⇒ Tá 3 ina fhachtóir de chuid k(k 1)(k 2), k N.268

(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.An bhfuil 3 ina fhachtóir de chuid (k 1)(k 1 1)(k 1 2) ? (k 1)(k 2)[k 3] (k 1)(k 2)k (k 1)(k 2)3 k(k 1)(k 2) 3(k 1)(k 2)Ó tharla go nglactar leis go bhfuil 3 ina fhachtóir de chuid k(k 1)(k 2), agusgo bhfuil 3 ina fhachtóir de chuid 3(k 1)(k 2), Tá (k 1)(k 2)(k 3) inroinnte ar 3. Tá sé fíor do n k 1.(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 1, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 1 1 2.Agus má tá sé fíor do n 2, tá sé fíor do n 2 1 3, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach ar n.Cleachtadh 7.12(B)Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil1. 6 n 1 inroinnte ar 5 do n N.2. 5 n 1 inroinnte ar 4 do n N.3. 9 n 5 n inroinnte ar 4 do n N.4. 3 2n 1 inroinnte ar 8 do n N.5. 7 n 2 n inroinnte ar 5 do n N.6. 7 2n 1 1 inroinnte ar 8 do n N.7. 2 3n 1 3 inroinnte ar 7 do n N.8. 5 n 4n 3 inroinnte ar 4 do n N.9. 7 n 4 n 1 inroinnte ar 6 do n N.10. n (n 1)(2n 1) inroinnte ar 3 do n N.11. n 3 n inroinnte ar 3 do n N.12. 13 n 6 n 2 inroinnte ar 7 do n N.269

Cruthúnais ar éagothromóidíNuair a bhíomar ag plé le héagothromóidí, thugamar dhá asbheirt thábhachtacha faoi deara, eadhon(i) Má tá a > b, tá a b > 0(ii) (réaduimhir ar bith) 2 > 0.Sampla 7Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil 2 n > n 2 do n 5, n N.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 5.2 5 5 232 25 atá fíor.(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k, k 5.⇒ 2 k k 2 , k N agus k 5.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.An bhfuil 2 k 1 (k 1) 2 ?Ó tharla go bhfuil 2 k > k 2 (glactar leis sin) 2 k . 2 2k 2 2 k 1 2k 2 caithfimid a chruthú go bhfuil 2k 2 > (k 1) 2 .2k 2 k 2 2k 1k 2 2k 1 0k 2 2k 1 1 1 0 ag slánú na cearnóige trí leath chomhéifeacht kk 2 2k 1 2 0 chearnaithe a shuimiú agus a dhealú(k 1) 2 2 0 atá fíor do k 5. 2 k 1 2k 2 (k 1) 2 Tá sé fíor do n k 1.(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 5, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 5 1 6.Agus má tá sé fíor do n 6, tá sé fíor do n 6 1 7, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach n 5, n N.Sampla 8Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil n! > 2 n , n 4, n N.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 4.4! 2 424 16 atá fíor.270

(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k, k 4.⇒ k! 2 k , k N agus k 4.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.An bhfuil (k 1)! 2 k 1 ?An bhfuil (k 1)k! 2 k . 2 ? (k 1)k! (k 1)!Ó tharla go bhfuil k! > 2 k (glactar leis sin), (k 1)k! (k 1)2 k caithfimid a chruthú go bhfuil (k 1)2 k 2 k . 2(k 1)2 k 2.2 k atá fíor cinnte má tá k > 1. (k 1)! 2 k 1 Tá sé fíor do n k 1.(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 4, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 4 1 5.Agus má tá sé fíor do n 5, tá sé fíor do n 5 1 6, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach n 4, n N.Sampla 9Cruthaigh go bhfuil (1 x) n 1 nx do n 1, n N, x R.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 1.⇒ (1 x) 1 1 1. x atá fíor.(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k, k 1.(1 x) k 1 kx, k N agus k 1.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.An bhfuil (1 x) k 1 1 (k 1)x ?An bhfuil (1 x) k (1 x) 1 kx x ?Ó tharla go bhfuil (1 x) k 1 kx (glactar leis sin). (1 x) k (1 x) (1 kx)(1 x) caithfimid a chruthú go bhfuil (1 kx)(1 x) 1 kx x1 x kx kx 2 1 kx x.⇒ kx 2 0 atá fíor do k 1 agus x R. Tá sé fíor do n k 1.(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 1, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 1 1 2.Agus má tá sé fíor do n 2, tá sé fíor do n 2 1 3, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach n 1, n N.271

Cleachtadh 7.12(C)Cruthaigh na ráitis seo a leanas trí ionduchtú:1. 2 n 2n 1 do n 3, n N.2. 3 n n 2 do n 1, n N.3. 3 n 2n 2 do n 2, n N.4. n! 2 n 1 do n 3, n N.5. (n 1)! 2 n do n N.6. (1 2x) n 1 2nx do x > 0, n N.7. (1 ax) n 1 2ax do a > 0, x > 0, n N.Súil Siar (Croícheisteanna)1. Faigh na luachanna ar x a shásaíonn an éagothromóid seo a leanas:1 ______ 2x 4 2 , x R.32. (a) Úsáid na cnaipí log agus 10 x ar dáireamhán chun iad seo a leanas a mheas:(i) 10 3.5 (ii) log 10 4.5 (iii) 10 3t , nuair atá t 0.04 (iv) log 5 n, nuair atá n 100.(b) Úsáid na cnaipí ln agus e x ar an áireamhán chun iad seo a leanas a mheas(i) e 3.4 (ii) ln 589 (iii) e 0.02t 4 , nuair atá t 40 (iv) ln ( 10 ___k) , nuair atá k 3.7.3. Sainítear feidhm easpónantúil le f(x) 3 4x. Faigh(i) luach a má tá (a, 6) ar f(x)(ii) luach b má tá ( 1 ___2 , b ) ar f(x).4. Réitigh an chothromóid x 8 3.5. Réitigh gach ceann díobh seo a leanas:(i) 5 2n 25 2n 1 625 (ii) 27 n 2 9 3n 26. Taispeántar sa léaráid graf den chuar easpónantúily a2 x b.(i) Scríobh síos dhá chothromóid i dtéarmaí a agus b.(ii) Réitigh na comhchothromóidí chun luachanna aagus b a fháil.y4321(0, 2.5)(2, 4)2 1O1 2 3 x272

7. Taispeántar graif na bhfeidhmeanna logartamacha(i) ln(x)(ii) ln(x 1)(iii) ln(x) 1sa léaráid seo. Sainaithin gach cuar, agus tabhaircúis le do fhreagraí.y3A2B1C2 1O1 2 3 4 5 x18. Réitigh an chothromóid ln(x 1) ln(x 2) ln(6x 8).9. y Ae bt . Má tá y 6 nuair atá t 1, agus y 8 nuair atá t 2, faigh luachannaA agus b.10. Faigh luachanna a agus b má théann an graf y alog 2 (x b) trí na pointí (5, 2)agus (7, 4).11. Réitigh 32 x 1 28 do x, ceart go dhá ionad dheachúlacha.12. Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil3 6 9 12 ... . 3n ___ 3n (n 1), do gach luach slánuimhriúil deimhneach.213. Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil8 n 6 inroinnte ar 7 do n N.14. Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuiln 2 4n 3 do n 5, n N.Súil Siar (Ardcheisteanna)1. Faigh an réimse luachanna do x a shásaíonn3x 4 x 2 6 9 2x.2. Tugtar mais M ábhair radaighníomhaigh atá fanta tar éis t bliain leis an bhfoirmleM 30 2 0.001t gram. Faigh(i) an mhais ag an tús(ii) an fad a thógfaidh sé ar an ábhar meath go dtí 10 ngram(iii) an fad a thógfaidh sé air meath go dtí an leibhéal sábháilte, i.e. 1% dá mhais ag an tús.3. Tomhaiseann an cuar easpónantúil I I 0 10 0.1S treise fuaimeanna i gcomparáid le tairiseachdéine na héisteachta I 0 , nuair is é S an treise bhraite (ina deicibeilí).(i) Cé mhéad níos airde ná an tairiseach déine atá 30 deicibeil?(ii) Cé mhéad níos airde atá fuaim 28 dB ná fuaim 15 dB? Tabhair do fhreagra ceart go dtían tslánuimhir is gaire.273

4. Roghnaigh bonn oiriúnach agus réitigh an chothromóid seo a leanas do x.log 5 x 1 6 log x 55. Réitigh 0.7 x 0.3 do x, ag tabhairt do fhreagra ceart go dtí 3 fhigiúr bhunúsacha.6. Úsáid na haiseanna céanna chun sceitse a tharraingt de gach ceann díobh seo a leanas sanfhearann 3 x 3.(i) f (x) | x|(ii) g(x) | x| 2(iii) h(x) | x 2|.(iv) Faigh luachanna x a shásaíonn f(x) h(x).(v) Cé na luachanna ar x a fhágann go bhfuil g(x) > h(x)?7. Sceitseáil graf y ln(x 3).Sloinn x i dtéarmaí y agus uaidh sin sceitseáil íomhá y ln(x 3) sa líne y x.8. Sceitseáil graf na feidhme f(x) 1 4x 3 agus uaidh sin réitigh an éagothromóid 1 4x 3 3.9. Simpligh x 3_2 x ___ 12_______2 x ___ 1x 1_2.10. Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil_______ 1(1 r) n ______ 11 nrdo r > 0 agus n N.11. Cruthaigh go bhfuil________ 4x2 1 do gach x R, x 1.(x 1)12. Más réaduimhir é k, faigh an tacar luachanna do k a fhágfaidh i gcás fhréamhacha nacothromóide cearnaí (1 2k)x 2 10x (k 2) 0(i) gur réaduimhreacha iad(ii) go bhfuil a suim níos mó ná 513. Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil1 2.2 3.2 2 4.2 3 . . . . n.2 n 1 (n 1)2 n 1.14. Má tá u n (n 20)2 n do gach slánuimhir n, scríobh slonn do u n 1 , u n2 .Uaidh sin fíoraigh go bhfuil u n 2 4u n 1 4u n 0.274

15. Réitigh na comhchothromóidí seo a leanas do x, y 0.2 log y log 2 log x agus 2 y 4 x16. Fásann daonra cathrach de réir an dlí P 40 000 (1.03) n , nuair is é n an tréimhse ama imblianta agus P méid an daonra.(i) Cén saghas feidhme é sin?(ii) Meas méid an daonra i gceann 12 bhliain.(iii) Cérbh é daonra tosaigh na cathrach sular thosaigh an chathair ag fás?(iv) Cinn nuair a bheidh an daonra dúbailte (go dtí an leathbhliain is gaire).17. Ba é 8000 duine daonra baile ag tús na bliana 2000 agus 15 000 duine an daonra agdeireadh na bliana 2007. Ag glacadh leis go raibh an fás easpónantúil,(i) scríobh slonn dfhás an daonra, ag sainiú na dtéarmaí a úsáidtear(ii) faigh an daonra ag deireadh na bliana 2009.(iii) Cén bhliain a mbeidh an daonra cothrom le dhá oiread dhaonra na bliana 2007?Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtar freagra níos faide)1. Maíonn déantóir uachtar éadain GLÉGHLAN go mbeidh an daonra baictéar a chruthaíonngoiríní laghdaithe de leath laistigh de chúig lá ón uair a úsáidtear an t-uachtar den chéad uair.Le linn trialach ina shaotharlann, faigheann an tOllamh Snape amach go dtugtar líon nambaictéar N sa daonra leis an bhfoirmle N 5000e 0.15t , nuair is é t an t-am, á thomhas ilaethanta.Líon baictéary50004000300020001000O2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 xLaethanta(i) Úsáid an fhoirmle seo chun an maíomh go laghdóidh daonra na mbaictéar deleath i gcúig lá a thástáil.(ii) Dar le cothromóid an Ollaimh Snape, cén leibhéal baictéar a bheidh ann tar éis10 lá?(iii) Cé mhéad baictéar a bhí ann ag tús na trialach?(iv) Cé mhéad lá a thógfaidh sé ar an daonra laghdú go 100?(v) Cóipeáil an eangach seo agus sceitseáil graf de líon na mbaictéar sa daonra lelinn triail 20 lá.275

2.2760.02 mm 2 B5 m ATaispeántar snáithín gloine cónúil sa léaráid.Tá an t-achar trasghearrthach ciorclach ag taobh B cothrom le 0.02 mm 2 .Laghdaíonn an t-achar trasghearrthach feadh an fhaid ó B go A trí fhachtóir(0.92) (__1 ) 10in aghaidh an mhéadair feadh fhad an tsnáithín.Tá an snáithín 5.0m ar fad san iomlán.(i) Scríobh síos riail dachar trasghearrthach an tsnáithín ag achar x m ó B.(ii) Céard é achar trasghearrthach an tsnáithín aon trian dá fhad ó B?(iii) Méadaíonn láidreacht an tsnáithín ó B go A.Ag fad x m ó B, tugtar láidreacht an tsnáithín leis an bhfoirmleS (0.92) 10 3x .Má thugtar an meáchan is féidir leis an snáithín a iompar ag gach pointe sulambriseann sé mar Meáchan Láidreacht Achar trasghearrthach, scríobh síos slonn,i dtéarmaí x, don mheáchan a iompróidh an snáithín ag fad x m ó B.(iv) Teastaíonn píosa snáithín gloine chun meáchain suas le 0.02 (0.92) 2.5 aonad aiompar. Cé mhéad den 5 m a dfhéadfaí a úsáid chun na críche sin?3. Tháinig fadhb chun cinn sna córais soilsithe in dhá charráiste, A agus B, ar thraeinthras-Eorpach. Sular tharla sé seo, ba é an déine solais i gcarráiste A I aonad agus ba é andéine solais i gcarráiste B 0.66I aonad.Ag gach stáisiún inar stop an traein, laghdaigh déine an tsolais 17% i gcarráiste A agus11% i gcarráiste B.(i) Scríobh síos sloinn easpónantúla do dhéine thuartha an tsolais i ngach carráiste taréis n stop i stáisiún.(ii) Am éigin i ndiaidh na faidhbe tosaigh, bhí déine an tsolais sa dá charráiste mar angcéanna. Cé mhéad stáisiún ag ar stop an traein sular tharla sé seo?4. Tá thart ar dheich n-uaire níos mó ioraí rua ná ioraí liatha i gceantar faoi leith.Má tá daonra na n-ioraí rua ag laghdú ag ráta 5% in aghaidh na bliana, agus daonra nan-ioraí liatha ag méadú ag ráta 11% in aghaidh na bliana,(i) scríobh slonn do mhéid dhaonra na n-ioraí liatha tar éis t bliain(ii) scríobh slonn do mhéid dhaonra na n-ioraí rua tar éis t bliain(iii) Cé mhéad bliain, ceart go hionad amháin deachúlach, a thógfaidh sé ar dhaonraí andá speiceas a bheith cothrom (ag glacadh leis go leanfaidh na rátaíméadaithe/laghdaithe reatha ar aghaidh mar atá)?(iv) Cé mhéad bliain a thógfaidh sé (arís, ag glacadh leis go leanfaidh na rátaíméadaithe/laghdaithe reatha ar aghaidh mar atá) sula mbeidh comhréireannadhaonraí na n-ioraí droim ar ais?(v) Úsáid na haiseanna céanna chun graif easpónantúla a tharraingt ag cur do fhreagraíar (i), (ii), (iii), (iv) thuas in iúl.

5. Tugtar líon baictéar i gcoilíneacht leis an bhfoirmle n A(1 e bt ), nuair is é nméid an daonra tar éis t uair an chloig.Tairisigh dheimhneacha iad A agus b.(i) An graf fáis nó meatha é seo? Mínigh do fhreagra.(ii) Má tá t 2 nuair atá n 10000, agus t 4 nuair atá n 15000, taispeáin go bhfuil2e 4b 3e 2b 1 0.(iii) Úsáid an t-ionadú a e 2b chun a thaispeáint go bhfuil2a 2 3a 1 0.(iv) Réitigh an chothromóid seo do a.(v) Faigh luach beacht b.(vi) Faigh luach beacht A.(vii) Sceitseáil graf n in aghaidh t.(viii) Cé mhéad uair an chloig a thógfaidh sé go dtí go mbeidh daonra na mbaictéarag 18,000?277

FreagraíCaibidil 1: Ailgéabar 126. (i) x 2 2x 4 (ii) 4x 2 6xy 9y 2 21. (4x 5y)(4x 5y)Cleachtadh 1.2Cleachtadh 1.11. (i) 3 (ii) 9 (iii) 52. (i) 2 (ii) 3 (iii) 43. (i) Ní slánuimhir í 3 2 .(ii) -4x -1 , ní cumhacht dhearfach í -14. (i) 8x 2 4x 2 (ii) 4x 3 2x 2 6x(iii) 7x 2 5x (iv) 9x 2 9x 195. (i) 22x 3 19x 2 (ii) 9x 4 26x 3(d) ___ a 2(iii) 7x 4 5x 3 5x 2 (iv) 15x 3 31x 2 3x16 ___ 3a4 66. (i) 2x 2 13x 20 (ii) 2x 2 x 6(iii) 3x 2 7x 6 (iv) 12x 2 11x 2(v) 6x 2 13x 5 (vi) 8x 2 22x 6(vii) x 2 4 (viii) 4x 2 25(ix) a 2 x 2 b 2 y 27. (i) x 2 4x 4 (ii) x 2 6x 9(iii) x 2 10x 25 (iv) a 2 2ab b 2(v) x 2 2xy y 2 (vi) a 2 4ab 4b 2(iii) t 2 7t 16 (2)(vii) 9x 2 6xy y 2 (viii) x 2 10xy 25y 2(ix) 4x 2 12xy 9y 211. (i) 1372 cm 3 (ii)8. (i) x 2 x 1_4 (ii) 12. 36, 28, 4x 78x2 4x 1_2(iii) x 2 2x 113. ___ 40 2 m9. (i), (ii) Ní slánchearnóg í (iii) Is slánchearnóg í.Ní féidir codanna (i) agus (ii) a shloinneadh sanfhoirm (ax b) 210. p 4 11. t 20 12. s 16Cleachtadh 1.313. (i) x 3 4x 2 10x 12(ii) 2x 3 5x 2 1. 5x(x 2) 13x 4(iii) 2x 3 3x 2 2. 6b(a 2c) 5x 6(iv) 6x 3 16x 2 3. 3x(x 2y) 14x 44. 2x 2 (y 3z)14. Cruthúnas5. 2a(a 2 2a 4)15. Cruthúnas6. 5xy(y 4x)16. 147. 2ab(a 2b 6c)17. 2x 3 x 2 25x 128. 3xy(x 3y 5z)18. 2x 4 10x 3 9x 2 5x 29. 2r(2r 3h)19. 4710. (3a 4)(2b c)20. (i) x 2 (ii) x 211. (x 9)(x 3)(iii) x 2 2x(iv) 3x 2y12. (c 2d)(2c 1)21. (i) 2x 3y 1 (ii) 2x 2 3x 413. (2x y)(4a 3b)22. (i) 4a (ii) 4ab (iii) 2yz (iv)y__14. (y 3b)(7y 2a)x23. (i) x 3 (ii) 2x 4 (iii) 2x 3 15. (2x 3y)(3y 4z)24. (i) x 2 7x 12 (ii) x 2 116. (2x 3y)(3x 2a)(iii) x 2 1 (iv) 4x 2 5x 617. (x y)(x y)(3a 4b)(v) x 2 5x 3 (vi) 2x 2 3x 618. (a b)(a b)25. (i) x 2 (ii) x 319. (x 2y)(x 2y)(iii) 3x 1 (iv) x 220. (3x y)(3x y)2781. (i) x 2 4x (ii) 4x 82. (i) 2x 2 (ii) 10x 23. (a) 2x 3 5x 2 3x(b) 8x 2 15x 6(c) (i) 390 cm 3 (ii) 281 cm 24. (a) 4 (b) 8 (c) 14(d) 54a 3 9a 2 15a 45. (a) 6 (b) 46 (c) 7.756. (a) 2x 2 xy 3y 2 (b) 6x 4y7. (a) 2x 3 10x 2 (b) 18x 2 50x8. (i) Líon na dtrasnán i bpolagán a bhfuil 4 shlios air (2)(ii) Líon na dtrasnán i bpolagán a bhfuil 5 shlios air (2),(5), (9)Níl aon trasnán i dtriantán9. a 2 3a 810. (i) 4t 2 6t 6 (2) (ii) t 4 3t 2 6 (4)1_3 r3 (iii)14. 3 m15. (i) 10 (ii) 15 (iii) 45; 174_3 h3

22. (6x 5)(6x 5)23. (1 6x)(1 6x)24. (7a 2b)(7a 2b)25. (xy 1)(xy 1)26. (2ab 4c)(2ab 4c)27. 3(x 3y)(x 3y)28. 5(3 x)(3 x)29. 5(3a 2)(3a 2)30. (2x y 2)(2x y 2)31. (3a 2b 3)(3a 2b 3)32. (a b)(a b)(a 2 b 2 )33. (x 2)( x 7)34. (2x 1)( x 3)35. (2x 7)( x 2)36. (x 2)( x 7)37. (x 4)( x 7)38. (2x 1)(x 3)39. (3x 5)(x 4)40. (7x 4)(x 2)41. (2x 3)(x 5)42. (3x 4)(x 5)43. (4x 5)(3x 1)44. (3x 5)(2x 3)45. (3x 2)(x 5)46. (3x 1)(2x 3)47. (9x 4)(4x 1)48. (5x 2)(3x 4)49. (3y 5)(2y 7)50. (4x y)(3x 5y)51. (i) (x 2 √ __3 )(x √ __3 )(ii) (x 3 √ __5 )(x √ __5 )(iii) (2x √ __2 )(x 3 √ __2 )52. (i) (a b)(a 2 ab b 2 )(ii) (a b)(a 2 ab b 2 )(iii) (2x y)(4x 2 2xy y 2 )53. (i) (3x y)(9x 2 3xy y 2 )(ii) (x 4)(x 2 4x 16)(iii) (2x 3y)(4x 2 6xy 9y 2 )54. (i) (2 3k)(4 6k 9k 2 )(ii) (4 5a)(16 20a 25a 2 )(iii) (3a 4b)(9a 2 12ab 16b 2 )55. (i) (a 2bc)(a 2 2abc 4b 2 c 2 )(ii) 5(x 2y)(x 2 2xy 4y 2 )(iii) (x y z)((x y) 2 z(x y) z 2 )Cleachtadh 1.41. (i)(iv)2. (a)3__y 2 (ii) ___ a2b7 2y ______726x ____15(v)x ______3 2a(b)x ___10(iii) x(c)(e)(g)(i)(k)(m)(o)(q)(s)(u)3. (i)(iii)(v)4. (i)5. (i)(ii)(iii)(iv)______ 2x 912_________ (x 6)617x 11 ________2011x 4 _______201 ___8x5x 14 _____________(x 2)(x 4)17 x ______________(3x 1)(x 3)_________ 13 3x4(3x 5)_______ x 2 y 2(d)(f)(h) 0( j)(l)(n)(p)(r)13x 1 _______203x 5 ______128 ____15x2x 3 ________x(x 3)7x 8 ______________(x 2)(2x 1)13x 13_______________(2x 7)(5x 2)x 7______________(2x 1)(x 2)x 2 y 2 (t) ___________4x 9y 23xyx 7 ________x(x 1)z 2 _____z 5t 4 _____t 2a 8 _____________(a 3)(a 3)4 ________(2x 1)x 4___________________(x 3)(x 3)(x 2)x 5___________________(x 1)(x 1)(x 2)(ii)(iv)(vi)(ii)5______________________(3x 4)(3x 4)(2x 1)1 ___xyy 2 _____y 52 _____________(x 2)(x 2)2x 1 _____________(x 2)(x 2)1 ______2x 16. (i) 5 (ii) 4 (iii) x 17. (i)8. (i)(iii)9. (i)(iii)10. (i)11. (i)1 x _____1 x8y 3 ______43x 2 1 _______2x6z 2 ______6z 36z 2 3 _______6z 2 2x 2 _____x2b _____9 b(ii)(ii)(ii)1 2x ______x(ii)(iv)(ii)(iv)(iii) xy______ 2x 12x______ 4y 128x 2 ______4x 1x 2 x 1 __________x 2 11__x 2 (iii) x 2x 2 ______x 2 312. Cruthúnas (tairiseach = 3)(iii)3y 1 ______3y 1279

Cleachtadh 1.51. a 6, b 1, c 122. p 13, q 103. a 3, b 74. a 2, b 105. p 2, q 5_4 , r 2386. a 3, b 97. m 9, n 28. (i) a, b, c, d 1, 10, 31, 30(ii) p, q, r 5, 33, 529. p 2, q 510. a 7.5, b 37.75, c 4.511. p 12, q 4812. a 3, b 113. b 4, c 314. a ____ 2c515. pq 816. Cruthúnas17. A 1_2 , B 1_218. C 1_ 5 519. A 1_3 , B 1_320. a 27, b 5421. p 12, q 1622. c 3, d 4; (x 2)(x 2)(x 3)23. 524. a 9 p 2 , b 9p, p 8, 125. Cruthúnas26. Cruthúnas27. Cruthúnas28. 2x 129. A 2, B 1, C 1Cleachtadh 1.61. (i) x ______ 4 2y3(iii) x _____ y 810(v) x 9y 62. (i) x y 1 _____6(iii) x _____ ab c___3. (a) r √___ Vh(b) r ____ A2h4. (a) r 2 (b) 4r 2(c) r 2 (4 ) (d)5. (i) v c( f 1 f ) ________f 16. (i) l T 2 g ____4 2(ii) x ______ 4c b22y 15(iv) x _______5yz(vi) x _____y z(ii) x ______ y 3z2__ r 2(16 )4(ii) c f 1 v ______f 1 f(ii) l 2.3 m(c) Cruthúnasb(x y)7. (i) a ________ (ii) a __ bx y23u 4y8. (i) v _______ (ii) v _______ 2s ut3t9. (i) i 100 3 √ __A__ 100 (ii) 2.0%P10. (i) c _____ a bad 2 (ii) c _____ b 1b 211. (i) h √ ________225 r 2 (ii) h 10 √ __2(iii) h 13 cm12. (i) L 300 2W(ii) A W(300 2W)(iii) W 50, L 200 nó W 100, L 100Cleachtadh 1.71. (a) Líneach (b) Líneach(c) Cearnach (d) Cearnach(e) Cearnach (f) Cearnach(g) Cearnach (h) Líneach(i) Cearnach (j) Cearnach2. (a) 4x 2 1 (b) 4 x 23. (i) 5x 2 (ii) 4x 6 (iii) 3 x(iv) 2 5x4. 2x 5(v)x__2 3 (vi) 1 __ x 55. 2x 56. (a) 3x; 45 (b) 4x; 60 (c) 2x 1; 317. 70 35x; 125 24x; 5 mhí8. f (t) 2t 2 t 4; sa 16ú huair an chloigCleachtadh 1.81. (i) Ní de chéim 1 é x 2(ii) Ní de chéim 1 é (x 1) -1(iii) y 2 3x 4 ⇒ y √ ______3x 4 ;ní de chéim 1 é2. (i) 7 (ii) 3 (iii) 33. (i) 2 (ii) 2 (iii) 1 (iv) 2.54. (i) 2 (ii) 11 (iii) 75. (i) 2 (ii) 12 (iii) 36. (i) 3 (ii) 9 (iii) 5 (iv) 1.57. (i) 2.5 (ii) 2Cleachtadh 1.91. (i) (4, 2) (ii) (2, 5) (iii) (3, 1)2. (i) (3, 2) (ii) (2, 5) (iii) (3, 21_2 )3. (10, 5)4. (10, 7)5. (i) (x, y, z) (2, 3, 1)(ii) (x, y, z) (2, 3, 1)(iii) (x, y, z) (5, 0, 1)6. (i) (a, b, c) (1, 4, 2)(ii) (x, y, z) (2, 3, 1)(iii) (x, y, z) (3, 1, 2)7. (x, y, z) (1, 2.5, 0.5)8. (a, b, c) (1, 1, 2)280

9. (a, b, c) (2, 5, 6)10. 32 00011. 17 mbliana, 15 bliana12. y 1_2 x 413. N 1 88, N 2 2214. a 1, b 115. c 4_ 4_5 516. 25 lítear17. x 15, y 1118. a 0.5, u 1.519. (4, 26), (8, 13)20. (a, b, c) (3, 2, 1)21. (i) (x, y, z) (3, 4, 1)(ii) (x, y, z) (6, 4, 3)22. (a, b, c) (2, 2, 1)Súil Siar (Croícheisteanna)1. (i) ______ 13m 6 n 7 (ii) ______ 3x 1(iii) ______ 15 4x 2x 82. (i) (x, y) (2, 2)(ii) (x, y) ( 6_ 5 5), (2, 3)3. x 2 2x 14. 3x 3 6x 2 3x 335. (i) (0, 3, 3) (ii)1_2 , 26. 57. (i) a 11, b 6 (ii) a 2, b 38. (x 3)(x 2 3x 9)9. ( p, q, r) (2, 3, 13)10. (x, y, z) (2, 1, 4)11. 6b 2 212. (i) 3n 2 (ii) 5n 2 (iii) __ n 2213. n 2 3n 2; 10 30214. l 21 cm, w 15 cm15. (i) r 2uv _____u v(ii) m v __uSúil Siar (Ardcheisteanna)1. ________ n(n 1); 122522. 0.5 m 33. (i) x y 8.4, 0.6x 0.4y 0.5(x y)(ii) 4.2 kg4. Cruthúnas5. 1_26. (i) 7.5 l (ii) 2.5 l7. (i) a 0.28; b 0.3 (ii)__ 103 m\sSúil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtarfreagra níos faide)1. (a) (i) 436 (ii) 112 (iii) 0.7956(b) 58 3582. (ii) x 1.5y 26(iii) 14 tholg bhunúsacha, 8 dtolg deluxe3. (i) h 40 ___x 2(iii)S15001000500O(ii) Cruthúnas10 20(iv) x 4, h 2.5 cm nó x 2.9, h 4.76 cm4. (i) C(x) 3500 10.5x(ii) I(x) 0.5x(iii)I/C4000300020001000O(iv) 3500(v) Brabús(vi) 5500 cluiche5. (a) 110.40(b) 12 chearnóg ghorma,84 cearnóg bhán6. (i) C 40x 30 000(ii) 45(iii) 5000(iv) R 80x(v) R/C300200100O1000 2000 3000 40001000 2000 3000(vi) 751(vii) P 40x 30 000x126xxR 80x28C 80x 3000281

7. Líon na ndaoine sa scuaine (a) (b)4 2 15 3 26 2 37 3 48 4 29 3 310 4 411 5 512 4 313 5 414 6 515 5 670 24 19Caibidil 2: Ailgéabar 2Cleachtadh 2.11. (a) (i) 5, 4 (ii) 3, 4 (iii) 1, 5(b) (i) 3, 5 (ii) 5, 3_2 (iii) 2_3 , 5(c) (i) 2_ 5 (ii) 5_3 , 4_3 (iii) 5_4 , 3_2(d) (i) 3 (ii) 0, 1038_(iii) 0,5(e) (i) 5, 3_2 (ii) 5_ , 23(iii) 2, 1(f) (i) 5, 4 (ii) 3, 1(g) (i) 4_ , 2 (ii) 4, 3, 532. (a) (i) 0.7, 2.7 (ii) 3.6, 0.6 (iii) 0.6, 2.4(b) (i) 0.6, 5.4 (ii) 0.1, 2.5 (iii) 2.9, 0.92 √ ___193. (a) (i) _________6 √ ___(ii) ________ 4632(iii)3 2 √ __________ 22(b) (i) 2 2 √ __3 (ii)2 √ ____________ 1451 √ __5(iii) _______24. (a) (i) 2, 3 (ii)2_ , 2 (iii) 2, 339 √ ___57(b) (i) ________6(ii) 0, 7(iii)3_25. (a) (i) √ __2 , √ __ 5 √ ___175 (ii) _________2(iii) √ _______1 √ 3 (iv)11 √ ____________ 414(b) (i) 3_ , 42(ii) 1, 2(c) 1, 2, 4(d) 1, 1_2 , 5_2 , 56. ___ 32 , √ __37. (a) 4.2, 1.2 (b) 2.3, 1.3(c) 9.5, 0.5 (d) 1.6 x 0.6(e) 1.6, 0.6 (f) 3, 1(g) 3.6, 0.6 (h) 4.2 x 0.88. Ní thrasnaíonn an graf an x-ais9. (a) 21 aonad (b) 25 aonad10. (a) 0.5, 2 (b) 0.8(c) 0.5, 2.411. (i) 1 (ii) 4Níl réadach ach aon réiteach amháin i ngach cás12. (i) √ __7 , 2 √ __7 (ii) 3 √ __5 , √ _____ 5Cleachtadh 2.21. (i) Cuar f (ii) Cuar h (iii) Cuar g(iv) 1. Tá fréamhacha 1.5 agus 4.5 le cuar f2. Tá fréamhacha 3 le cuar h3. Níl fréamh réadach ar bith le cuar g2. A ( b b √ ________________________ b 2 4ac, 02a)B ( b b √ ________________________ b 2 4ac, 02a)3. (i) 39 0 Gan fréamh réadach ar bith(ii) 17 0 Réadach agus difriúil atá na fréamhacha(iii) 16 0 Réadach agus difriúil atá na fréamhacha(iv) 8 0 Gan fréamh réadach ar bith(v) 0 Réadach agus cothrom atá na fréamhacha(vi) 0 Réadach agus cothrom atá na fréamhacha4. k 12 nó k 125. (i) k 25 (ii) k 12(iii) k 0, 36. k 1_3 , 110.1k __1212. a __ b24 ; __ 2bCleachtadh 2.31. x 3, y 9 nó x 1, y 12. x 2, y 1 nó x 1, y 23. x 1, y 4 nó x 1_2 , y 14. x 1, y 0 nó x 4, y 35. x 3, y 4 nó x 4, y 36. x 2, y 37. x 2, y 2 nó x 5, y 118. x 3, y 19. x 2, y 0 nó x 0, y 110. x 2, y 2 nó x 1, y 411. x 1, y 1 nó x 7_2 , y 412. x 0, y 3 nó x 2, y 113. t 2, s 3 nó t 4_3 , s __ 11314. t 7, s 5 nó t 1, s 115. t 2, s 1 nó t 11, s 7Cleachtadh 2.41. 6, 5 nó 5, 62. 6, 4 nó 4, 63. (i) 2x 2y 62; xy 198(ii) Fad 22 m, leithead 9 m2282

4. Is iad 3, 4, 5 na sleasa agus imlíne 12 aonad5. t 2.68 nó t 9.326. x 3 nó x 57. 0.25 soicind nó 1.25 soicind8. 12 cm9. 1, 1 nó 7, 910. 9 cm11. Fad 10 m, leithead 6 m12. 1, 0, 1 nó 7, 8, 913. Leithead 2m14. Fad 24 m, leithead 10 m15. 9.35 m16. t 3, s 5Níl luachanna diúltacha bailí17. (2.2, 2.4); (6.2, 0.4)k 10Cleachtadh 2.51. (a) (i) 9 (ii) 4(b) (i) 2(ii) 5(c) (i) 7 (ii) 2(d) (i) 9(ii) 3(e) (i)7_2 (ii) 1_2(f) (i) 1_7 (ii) 1_710(g) (i) __3 (ii) 2_3(h) (i) 2(ii)1_5. k 953_4 (ii) 5_4√ __3. (i) ___ 335 )x 4 √ __5 0(iii) __ 13__ 252 )2 __ 6542 )2 __ 6142 , 2) (b)(i) (i) 2 (ii) 3( j) (i)2. (a) x 2 3x 1 0(b) x 2 6x 4 0(c) x 2 7x 5 0(d) 3x 2 2x 7 0(e) 2x 2 5x 4 0(f) 2x 2 3x 10 0(g) 12x 2 3x 4 0(h) 6x 2 10x 3 03. (i) x 2 10x 24 0(ii) x 2 x 6 0(iii) x 2 6x 5 0(iv) x 2 (4 √ __(v) x 2 4ax 3a 2 0(vi) 25x 2 25x 6 0(vii) b 2 x 2 5bx 6 0(viii) 10x 2 31x 15 0Cleachtadh 2.61. (i) 196 (ii) 9 (iii)42. (i) (x 4) 2 19 (ii) (x 1) 2 6(iii) (x 1) 23. (i) (x 2) 2 10 (ii) (x 9_(iii) (x 7_4. (i) (1, 7) (ii) (1, 4)(iii) (1_6. 2(x 3) 2 118. (i) (1, 5), (2, 1), (4, 1)(ii) (a) y (x 1) 2 5(b) y x 2 2x 4(a) y (x 2) 2 1(b) y x 2 4x 3(a) y (x 4) 2 1(b) y x 2 8x 179. (i) 3 (ii) 2 (iii)10. Uasphointe (3, 9)Airde is mó 9 n-aonad11. (i) C; y (x 3) 2 1(ii) B; y (x 3) 2(iii) A; y (x 3) 2 1212. Cuar C: y 16 (x 2) ⇒ p 16, a 1, q 22Cuar D: y 4 (x 2) ⇒ p 4, a 1,q 213. f (x) 1_2 x2 11_2 x 9 nóf (x) 9 1_2 (x 1 1_2 )214. f (x) x 2 2x 4 nó f (x) (x 1) 2 315. (i) f (x) 4 (0.1)(x 6) 2(ii) (6 2 √ ___10 , 0) agus (6 2 √ ___10 , 0)(iii) 4 √ ___10Cleachtadh 2.71. (i) 2 √ __2 (ii) 3 √ __3 (iii) 3 √ __5(iv) 10 √ __2 (v) 9 √ __22. (i) 5 √ __2 (ii) 5 √ __2 (iii) 7 √ __2(iv) 5 √ __3 (v) 9 √ __2 (vi) 7 √ __5(ii)(iv) 2 √ __2 (v)√ _____ 22√ _____ 2(iii)1_3√ _____ 224. (i) 4 √ __6 (ii) 30 (iii) 6 2 √ __3(iv) 22 (v) 2 (vi) a 2 4b5. (i) √ __12(3 √ __2 )5 1 (ii) __________7(iii) 9 4 √ __5 (iv)√ _____ 226. (i) 2 (ii) 47. (i) 7 (ii) 12 2 √ __58. (i) 4 √ __2 (ii) √ __62 (iv) 19 8 √ ___________ 31310. 5(2 √ __3 )11. √ __2Cleachtadh 2.81. √ _________2(x 2 4) m2. (a) √ ___14 km(i) 2(4 √ ___14 ) km(ii) 12 shoicind5283

3. (8 2 √ __6 ) km5.9 5 √ ___________ 366. (i) 2 __√ a(ii) ___ 2√ a ; 27. (i) x 4 (ii) x 5(iii) x 9 (iv) x 2, 3(v) x 2 (vi) x 2, 88. (i) x 4 (ii) x 2_9 , 2(iii) x 9 (iv) x 2, 69. a 1__a 110. a 2, b 511. (i) √ _______2x 2 8(ii) √ _______3x 2 8 ; x 4 mCleachtadh 2.95. Fíor7. Fíor8. k 89. p 1110. (x 1)(x 2)11. (x 2)(x 3)12. (i) (x 1)(x 4)(x 1)(ii) (x 1)(x 3)(x 4)(iii) (x 2)(x 3)(x 5)(iv) (x 1)(x 1)(3x 4)(v) (x 1)(x 3)(2x 1)(vi) (x 2) 2 (2x 5)13. (x 2)(x 5)(2x 1)14. a 2; (x 1)(x 1)15. (x 2)(x 3)(x 4); x 2, 3, 416. 4, 217. (i) 1, 1, 4 (ii) 1, 4, 3(iii) 1, 1, 4_318. a 7, b 2; (2x 1); 1, 3, 1_219. k 8; (x 2)(x 6)20. a 3, b 30; (2x 5)21. a 5, b 19; 1, 3, 2_522. (i) _____( b c1_a)(iv) 1, 2, 33(ii) ( c __a) 1_3 bCleachtadh 2.101. (i) f(x) x 3 3x 2 x 3(ii) f(x) x 3 x 2 10x 82. (i) f(x) x 3 x 2 6xg(x) 3x 3 3x 2 18x(ii) f(x) x 3 6x 2 11x 6g(x) 2x 3 12x 2 22x 123. a 6, b 3, c 15, d 64. a 0, b 7, c 65. (i) f(x) x 3 2(ii) g(x) x 3(iii) h(x) 2x 3A ( 2 1_3, 4)6. f(2) 16, f(5) 57. f(0) 6f(1_2 ) 3 3_8f(2) 48. (i) f(x) 1(x 1)(x 1)(x 2) 2(ii) a 1, b 4, c 3, d 4, e 49. (i) a 2(ii) f(x) (x 2) 2 (x 1) 2g(x) 1_2 (x 2)2 (x 1) 210. (i) x 3 6x 2 3x 10 0(ii) x 3 4x 2 3x 0(iii) 4x 3 5x 2 23x 6 0(iv) 2x 3 13x 2 22x 8 011. (i) f(x) 2x 3 17x 2 27x 18(ii) f(x) 4x 3 8x 2 37x 2012. a 1_3 , b 1813. (i) 1, 0, 2(ii) 11_4 , 0, 2 1_4(iii) 1.3, 0, 2.314. (i) V x(x 1)(x 1)(ii) x 3 cm15. V __ 4 h3 ah 3a 0.79V 1051.49 cm 3d 6.5 cm16. x 4.8 (ón ngraf); x 4.84 (ailgéabar);x 3.6Súil Siar (Croícheisteanna)1. x 1, 5; t 2, 1, 3, 62. x 1 √ ___133. p 15. a 21, b 86. (i) Ceann amháin de 2, 3, 5(ii) (x 2)(x 3)(x 5)(iii) Is iad 2, 3, 5 na fréamhacha7. (i) Fréamhacha réadacha(ii) Fréamhacha samhailteacha(iii) Fréamhacha samhailteacha8. y 2 12y 27 0; x 1, 2Súil Siar (Ardcheisteanna)1. 2(x 1) 2 7(i) 1 √ __7_2(ii) (1, 7)2. 11 4 √ __63.√ ___________ 35 5254. 75. (i) Luach beagán níos nó ná 1 atá ar t(ii) t 0.90 (iii) 0.486%6. p 1_1 4n 2 222 __________√_________284

7.k 0 0 k 1_4 k 1_4k Diúltach Deimhneach Deimhneach4k Diúltach Deimhneach Deimhneach4k 1 Diúltach Diúltach Deimhneachk(4k 1) Deimhneach Diúltach Deimhneach0 k 1_49. B(√ __2 , 1 5 √ __2 ) A( √ __2 , 1 5 √ __2 )10. 3 k 011. 612. (2, 7), __ 13( , __ 345 5)13. Fad 18 m, leithead 6 m14. 4 y 015. y 2x 2 x 516. (iii) f(0) 6, f(1) 0, f(2) 0, f(3) 0, f(3) 0, f(4) 663O361 2 3 417. (i) 2, 5(ii) f(x) p(x 2)(x 5) 2(iii) a 2, b 24, c 90, d 100(iv) f(x) 2x 3 24x 2 90x 100(v) f(x) 2x 3 24x 2 90x 100Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtarfreagra níos faide)1. (i) a 0.0002(ii) 10 n-uair an chloig(iii) Toisc go bhfuil a chomh beag sin, ní thugtar faoideara éifeacht at 3 go dtí go bhfuil sé gar do 102. (i) 6x 2 7xy 2y 2(ii) k 7(iii) x 1_2 m3.5y 2y 2 1⇒ y 1_4 m3. (a) V x (96 4x)(48 2x) 8x(24 x) 2(b) (i) 0 x 24(ii) Ag A atá an uastoirtNíl aon toirt ann ag B agus C(iii) Uastoirt 16 400 cm 3 ; x 8 cm(iv) 15 680 cm 3 (v) 14 440 cm 3(vi) 9720 cm 3(c) a 4, b 24, c 484. (ii) Fréamhacha 0, 40A600400200O10 20 30 40(iii) A 600 (w 20) 2Uasachar 600 m 2(iv) w 20 m(v) Leithead 20 m, fad 15 m5. (a) (i) 1 soicind nó 3 shoicind(ii) 4.5 soicind(b) 4.45 soicind(c) h 6 (t 2) 2 ; ( p, q) (2, 6)6.Líon na méaduithear an bpraghasPraghas sarotharwLíon narotharIoncam iomlán(I)12 36 432Méadú amháin 12.5 34 4252 mhéadú 13 32 4163 mhéadú 13.5 30 405x méadú 12 0.5x 36 2x (12 0.5x) (36 2x)(i) I (12 0.5x)(36 2x) 432 6x x 2(ii) 441 (x 3) 2(iii) 441(iv) An praghas cíosa a laghdú7. (a) A xy __ 2 x2(b)(c)(d)(i) y 100 x(ii) A 100x __ 2 x2(iii) 0 x ____ 100 12.4 m(i) ___ x 250 (100 __ 2 x )(ii) 247.6 m 2(iii) 18.8 m8. (a) A ( 3 √ ___________ 33, 3 √ ___332),B ( 3 √ ___________ 33, 3 √ ___332)(b) d 6 3x x 2(c)86422 1 O 1 2 3 4 5 6285

(d) y 81_4 (x 1 1_2 )2(e) (11_2 , 8 1_4 )(f) 0 d 81_49. (iii) y21O11 2 3 4(iv) (1_4 , 1_4 )(v) (a) k 0 (b) k 0 (c) k 0Caibidil 3: UimhreachaCoimpléascachaCleachtadh 3.11. (i) 3 √ __2 (ii) 2 √ __3 (iii) 3 √ __5 (iv) 2 √ __72. (i) 8 √ __2 (ii) 11 √ __33. (i) Z\N {3, 5}(ii) Q\Z {2_3 , 7_8 }(iii) R\Q { √ __2 , }4. (i) Is é Z tacar na slánuimhreacha deimhneachaagus diúltacha, lena n-áirítear nialas.(ii) Is é Q\Z tacar na n-uimhreacha cóimheasta (codáin)nach féidir a shimpliú go slánuimhir(iii) Is é Q\N tacar na n-uimhreacha cóimheasta (codáin)nach féidir a shimpliú go huimhir aiceanta(iv) Is é R\Z tacar na réaduimhreacha go léir ach amháinslánuimhreacha(v) Is é R\Z tacar na réaduimhreacha go léir ach amháinuimhreacha cóimheasta, i.e. uimhreacha éagóimheasta5. (i) 3 √ __5 (ii) √ __2 (iii) 11 √ __2 (iv) 3 √ __36. Tógálacha7. 3 √ __2 , tógáil8. 2 √ __3 , tógáil9. Tógáil10. 9 √ __511. √ __3 , , e, 5 √ __212. √ __2 , √ __3 , √ __5 , √ __6 , √ __7 , √ __813. 4 √ __2 , 2( √ __6 √ __2 )14. (i) x 1(ii) Luach ar bith ar x a fhágann gur slánchearnógé 3 xCleachtadh 3.21. (i) 2i (ii) 6i (iii) 3 √ __3 i (iv) 2 √ __5 i2. (i) 3i (ii) 2 √ __3 i3. (i) 8 i (ii) 10 6i (iii) 3 0i(iv) 5 5i (v) 0 3i (vi) 3 2i4. (i) 1 2i (ii) 1 9i (iii) 5 10i(iv) 2 4i (v) 3 10i (vi) 7 5ix5. (i) 0 13i (ii) 17 17i (iii) 5 31i(iv) 25 0i (v) 26 0i (vi) 5 12i6. (i) 6 12i (ii) 7 3i (iii) 7 7i(iv) 9 3i (v) 10 10i (vi) 10 10i(vii) 2 4i (viii) 2 16i7. (i) 1 4i, 1 4i (ii) 2 3i, 2 3i(iii) 5 i, 5 i (iv) 4 6i, 4 6i8. 2 ___ √__ 2i, 2 ___ √__ 22 2 i9. i 3 i, i 4 1, i 5 i, i 6 1Ó tá i 4 i 8 i 12 1, roinn cumhacht i ar 4 agusfaigh an fuílleach,i.e. i 29 i 4.7 1 (i 4 ) 7 i 1 i 110. (i) 1 (ii) i (iii) i(iv) i (v) 111. (i) 2 (ii) 012. (i) i (ii) 24 (iii) 8i13. 3iCleachtadh 3.31. (i) 3 4i (ii) 2 6i(iii) 5 2i(iv) 8 3i2. (i) 2 5i (ii) 3 4i(iii) 1 7i(iv) 5 i53. (i) __17 1417 i (ii) __ 2326 1126 i(iii) 1 2i(iv) __ 4 __13 1913 i4. (i) 40 0i (ii) 4 0i(iii) 0 12i(iv) 32 24i155. (i) __17 2517 i (ii) 9_4 7_4 i12(iii) __ i5 5(iv) 3 2i3(v) __10 1110 i (vi) __ 4385 856. (i) x 4, y 2 (ii) x 8, y 113(iii) __ i5 5(iv) x 5, y 127. (i) a 11, b 22 (ii) a 10, b 58. x 2_3 , y 19. p 1, q 210. 2 i, 2 i11. x 3, y 1 agus x 3, y 112. (i) 2 4i, 2 4i (ii) 1 4i, 1 4i(iii) 5 4i, 5 4i13. (i) 1 2i (ii) 13 13iCleachtadh 3.41. Breac2. (iii) 2 i (iv) 4 3i(v) 2 4i(vi) 6 2i(vii) 11 2i (viii) 1_ 5 53. (i) 10 (ii) 6 0i3(iii) __10 1 i10(iv) 10 10i4. (c) Ach na reanna a cheangal le chéile faighimidcomhthreomharán5. z a shuimiú le gach ceann, aistríonn sé gach pointe6. (i) 2 3i (ii) 3 2i (iii) 2 3i286

7. (i) √ ___29 (ii) 2 √ __5 (iii) 2 √ __5 (iv) √ ___108. 2 5i, 2 5i, 5 2i2. (i) 29. (i) √ ____ 1013 (ii) 10 √ __√ ___√ __2 , __ 4342 (iii) ____34(iii) 4, 0°10. Fíor11.7_2 1_2 i3. (i) √ __2 __(cos 4 i sin __ 4 )12. , 6 √ __5 , tá(ii) 2 __13. Tá(cos 6 i sin __ 6 )14. (i) s 6 (ii) t 4 √ ___21(iii) 6 ___(cos 3 15. ___ 14 i sin ___ 3 4)√ 2(iv) √ __6 ___ 316. Ciorcal, lárphointe (1, 0), ga 1(cos ( 2 √ __5 , 4 √ __517. Caithfidh z 1 agus z 2 a bheith ina n-uimhreacha réadachaaraon nó ina n-uimhreacha samhailteacha araon nó z 2 az 1 ,i.e. caithfidh z 2 agus z 1 a bheith ar an líne chéanna ón(v) 4 __(cos 2 i sin __ 2 )(vi) 5(cos i sin )mbunphointeCleachtadh 3.51. Breac2. Pointí comhlíneacha3. (i) Aistriú 3 4i(ii) Breac(iii) Rothlú (i 2 ) agus ansin aistriú (3)4. Breac5. z 2 2 6i, z 3 6 2i6. (i) a 3(ii) b i(iii) c i 2 17. Breac8. (i) Aistriú de chuid an phlána(ii) Ríochan de réir fachtóir k(iii) Ríochan agus rothlú9. Breac10. (i) Ríochan de réir fachtóir 3(ii) Crapadh de réir fachtóir 1 2Cleachtadh 3.61. 2 4i2. (i) 1 4i (ii) 2 √ __3 i3. (i) z 2 2z 10 0 (ii) z 2 4z 5 0(iii) z 2 8z 20 0 (iv) z 2 25 04. Cruthúnas5. 2 2i, 16. 2 3i, 1_27. Níl na comhéifeachtaí réadach8. a 2, b 29. a 1, b 1. Is iad na fréamhacha ná 1, 1_10. z 2 4z 5 0, 3, 2 i11. z 2 6z 13 0: z 3 4z 2 z 26 012. z 3 2z 4 013. 1_2 ___ √__ 32 i, 1_2 ___ √__ 32 iCleachtadh 3.71. (i) 0 4i (ii) √ __3 i(iii) 1 i(iv) 1 √ __3 i32 i2 ___ √__(vii) 3 __ (cos ( (ii) 3, __ 2(iv) 2, ___ 5 64) i sin ___ 3( 4))2 ) i sin __ ( 2 ))(viii) 1 __ (cos ( 3 ) i sin (4. (i) 4 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3)(ii) 1 __(cos 6 i sin __ 6 )__ 3 ) )5. (i) √ __3 i (ii) 1 √ __3 i(iii) √ __3 i(i)__ 3(ii)(iv) ____ 11, rothlú 9066. (i) 2 __(cos 2 i sin __ 2 )(ii) 2 √ __(iii) √ _____ 5 6(iii)3 ___ 5(cos ( 6) i sin ___ 5( 6))2 ___ 3(cos ( 4) i sin ___ 3( 4))7. √ __2 __(cos 4 i sin __ 4 ) ,2 __ (cos ( 4 ) i sin __ ( 4 ))√ __8. t 8Cleachtadh 3.81. (i) 8(cos i sin )(ii) 2 __(cos 2 i sin __ 2 )2. 4 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3)3. (i) 3, __ 2(iii) 12, ___ 5 64. 12 __(cos 2 i sin __ 2 )5.3__ __2(cos 2 i sin __ 2 )6. 2 2 √ __3 i(ii) 4, __ 3(iv)3__4 , __ 6___ 4 3287

7. cos i sin 8. (a) 8(cos i sin )(b) 16cos( ( ___ 2 3) i sin ( 16cos ___( 4 ___ 2 3)___3)3) i sin ( 4 9. (i)1_ (cos () i sin ())3(ii) 1_3 0i10. 4 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3)(a)z 2 16 ___(cos ( 4 3) i sin ___( 4 3)) 16 ___ 2(cos ( 3) i sin ( 8 8 √ __3 i)___ 2 3) )(b) z 3 64(cos (2) i sin (2)) 64 0i11. Cruthúnas12. ___ 1√ ___ 12 √ i213. CruthúnasCleachtadh 3.91. (i) 0 i (ii) √ _____ 32 1__2 i(iii) __ 12 ___ √__ 3i (iv) 1 0i2(iv) 1 0i(v) 0 i(vi) 1 0i(vii) 0 i(viii) 0 i2. 2, 2 √ __3 i3. 0 243i4. (i) cos ___ 2 3 i sin ___ 2 3(ii) cos ___ 2 3 i sin ___ 2 3 , __ 12 ___ √__ 32 i5. (i) 2 __(cos 6 i sin __ 6 )(ii) 3 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3)(iii) 2 __ (cos ( 6 ) i sin (__ (iv) 3 ___ 2(cos ( 3) i sin (6 ) )___ 2 3) )(v) 6 ___(cos 5 6 i sin ___ 5 6)(vi)2__ __ 3(cos ( 2 ) i sin __ ( 2 ))6. (i) 4 0i (ii) 8 0i (iii) 64 0i7. 48. 4 √ __ 2 __ (cos ( 4 ) i sin __(4 )) ; 19. (i) 1728 0i (ii) 409610. cos __ ( 6 ) i sin (11. 128 128 √ __3i__ 6 ) ; 1____256 ____ 1256 iCleachtadh 3.101. (i) 1 0i (ii) 1 0i(iii) 1 0i(iv) 1 0i2. (i) sin 2 2 sin cos (ii) cos 3 4 cos 3 3 cos 3. Cruthúnas4. 2, 1 √ __3 i, 1 √ __3 i5. 2, 1 √ __3 i, 1 √ __3 i6. 4 __(cos 3 i sin __ 3 ) ; √ __3 i, √ __3 i7. (a) (cos 2n i sin 2n), 1, __ 12 ___ √__ 32 i, __ 12 ___ √__ 32 i8. 3i, 3 √ ______ 32 __ 3 2 i, 3 √ ______ 32 __ 3 2 i√ __39. (i) ___√ 1__2 2 i, √ _____ 3√ 1__2 2 i(ii) √ __3 i, √ __3 i(iii) √ __2 √ __2 i, √ __2 √ __2 i10. cos ____( 2n 5) i sin ____( 2n 5),n {0, 1, 2, 3, 4}. CruthúnasSúil Siar (Croícheisteanna)1. 2 √ __52. x 5, y 43. 2 3i4. 24 10i, cruthúnas5. (i) 2 2 √ __3 i (ii) p 26. √ __2 __(cos 4 i sin __ 4 ) ; z4 4 0i7. 2 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3)8. 2 3i9. Tá10. 1 3i11. i12. f(z) z 2 (1 7i)z 14 5i13. (i) 1 2i (ii) 3 3i (iii) 2 5i14. (i) Rothlú (90°) agus ríochan de réirfachtóir 1 1 2(ii) An t-aistriú (4 i)(iii) Má tá z x iy, z 1 11_2 i(iv) z 3 (4 i)Súil Siar (Ardcheisteanna)1. x 4_ 5 52. 2 3i, 1_23. 2 __(cos 6 i sin __ 6 ) ; 210 ( √ __3 i)4. p 5 4i, q 1 7i288

5. w 2 __ 12 ___ √__ 3i. Cruthúnas26.__p 2 __(cos 3 i sin __ 3 ) , __ p p 47. 7_2 1_2 i8. k 1_39. i10. 2 i11. __ 12 ___ √__ 32 i12. p 30, 1 3i, 313. x 3, y 1 agus x 3, y 114. t √ __2 , √ __2 ; √ __2 i, √ __2 i, 1 2i, 1 2i15. 2 i, 2 3i16. p 4, q 1 nó p 4, q 1; z 1nó z 1_2 5_2 iSúil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtarfreagra níos faide)1. (i) pq 6 √ __3 6i(ii) | p| 3, | q| 4, | pq| 12, |p q| 52. (i) __ 12 ___ √__ 32 i(iii) 1 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3)(iv) Cruthúnas3. (i) p 3q (3p q)i(ii) Cruthúnas(iii) p 4, q 24. (i) 3 (ii) ___ 5 (iii) 912(iv) 1(v) __ (vi) __ 32(a) Fíor (b) Fíor5. z 2 2 2 √ __3 i, z 4 8 8 √ __3 i, z 6 64(iii) Rothlú agus ríochan (rothlú 60°)____ 6. 1(cos ( 6 ) i sin (6 )) ; 17. Caithfidh na pointí 0, z 1 , z 2 a bheith comhlíneach8. (i) ac bd 1, ad bc 0(ii) b _______ dc 2 d , a _______ c2 c 2 d 2(iii) Cruthúnas(v) Cruthúnas9. Cruthúnas10. (a) (i) 2 ___(cos 2 3 i sin ___ 2 3)(ii) z ( ___ √__22 i ___ √__ 62) , (2 i ___ √__ 62)√_____ 2(b)(i)Im (z)9z 48z 37z 2654z 134 3 2211 O1 2 3 4 5 6 Re (z)(ii) k 1_2(iii) z 3 kz 1 . Seasann sé seo do ríochan feadhlíne tríd an mbunphointe,i.e. is iad z 3 agus z 1an t-aon dá phointe amháin atá ar aon líneleis an mbunphointe11. (a) (i) √ __2 __ (cos ( __ (b)(ii) 16 16i(i)zIm4 ) i sin (4 ))z 4z 2(ii) 150° ___( 5 6)(iii) Má tá |z| 1tá |z 2 | |z|agus tá |z 3 | > |z 2 | i.e. déanann napointí bís amach ón mbunphointe.(c) (i) z 2 2a 2 i, z 4 4a 4 , z 6 8a 6 i(ii) Déanann na pointí bís amach ón mbunphointeagus tá siad teoranta don ais réadach agusdon ais shamhailteach12. (i) z k (cos k i sin k)(ii) Cruthúnas(iii) cos k 1_2 (zk z k ),sin k 1 __2i (zk z k )(iv) Cruthúnas(v) cos 2 sin 2 1_8 1_8Rcos 4, a 1_8 , b 1_8289

Caibidil 4: Seichimh – Sraitheanna– PatrúinCleachtadh 4.11. (i) 30, 36, 42 (ii) 27, 32, 37(iii) 9.5, 10.7, 11.9 (iv) 10, 13, 16(v) 38, 51, 66 (vi) 46, 38, 30(vii) 15, 20, 25 (viii) 28, 19, 10(ix) 54, 162, 486 (x) 30, 42, 56(xi) 3_4 , 1 1_4 , 1 3_4(xii) 16, 22, 29(xiii) 35, 48, 63 (xiv) 48, 96, 1921(xv) __ 30 , 142 , 1562. (i) 2, 6, 10, 14 (ii) 4, 9, 16, 25(iii) 1, 0, 3, 8 (iv) 8, 15, 24, 35(v) 0, 7, 26, 63 (vi)1_3 , 2_4 , 3_ 5 6(vii) 2, 4, 8, 16 (viii) 3, 9, 27, 81(ix) 2, 8, 24, 643. (i) 5, 9, 13, 17 (ii) 21 cm4. (i) 1, 2, 4, 7, 11, 16 (ii) 85. u 1 1, u 5 17, u 10 376. u 1 4, u 6 128, u 11 40967. (i) 5, 9, 13, 17, 21, 25(ii) 1, 5, 10, 17, 26, 37(iii) 2, 4, 8, 16, 32, 648. (i) C (ii) B (iii) D (iv) A9. (i) n 4 (ii) 2n (iii) 3n 1(iv) n 2 (v) n 2 1 (vi) (1) n(vii) 4n 3(viii)1__n(ix)n 1 _____n 2(x) (n 1)(n 2)10. Déantar an seicheamh ach an dá théarma roimhesin a shuimiú; 34, 55, 89, 14411. 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1(i) 1, 2, 3, 4, 5, T n nn(n 1)(ii) 1, 3, 6, 10, 15, T n ________2(iii) 1, 2, 4, 8, 16, T n 2 n 1(n 1)(n 2)(iv) 3, 6, 10, 15, 21, T n _____________2Cleachtadh 4.21. (i) T n 5n 3, T 22 113(ii) T n 20n 4, T 22 436(iii) T n 13 3n, T 22 532. 3, 8, 13, 183. (i) 21 (ii) 20 (iii) 324. (i) a 4, d 3(ii) 4, 7, 10, 13, 16(iii) T 20 615. (i) 8 dtíl dhearga agus 22 tíl oráiste(ii) Ní bheidh mar T n 3n 6 38.6. a 3, d 2; 3, 5, 7, 9, 11, 137. (i) k 4(ii) p 28. (i) 12, 20, 28; T n 8n 4(ii) 124(iii) cruth 209. d 4 i.e. tairiseach is seicheamh comhbhreise é.10. d 2n 3 ní tairiseach é.11. (i) 8(ii) 49(iii) T n n 2 8(iv) Cruthúnas12. (i) Níl, mar T n 4n 2 87(ii) Ní tairiseach é T n T n- 1(iii) 5 leibhéal chríochnaithe agus 32 fágtha.13. 9 seachtaineCleachtadh 4.31. (i) S n 2n 2 n; S 20 780(ii) S n 51n n 2 ; S 20 620(iii) S n ________ n2 19n; S20 20 39(iv) S n 2n 2 9n; S 20 6202. (i) n 12, S 12 336(ii) n 100, S 100 5050(iii) n 20, S 20 4603. 7 dtéarma4. a 2, d 3; S 10 1155. 10 seachtaine6. (i) 69 (ii) 54 (iii) 5050317. (i) ∑ 4nn 1451(iii) ∑n 1n 99 ______108. 3, 7, 11, 15, 199. S 33 198010. (i) 51 fáinne(ii) 101 fáinne; S 20 107011. 14 théarma; d 412. 495013. a 3.5, d 0.1; S 30 148.514. 60Cleachtadh 4.41. (i) r 3; 243, 729(ii) r 1_ __ ___3 ; 181 , 124329(ii) ∑n 1(iii) r 2; 16, 32(iv) r 1; 1, 1(v) Ní seicheamh comhbhreise é(vi) r a; a 5 , a 6(vii) r 1.1; 1.4641, 1.61051(viii) Ní seicheamh comhbhreise é(ix) Ní seicheamh comhbhreise é(x) r 6; 972, 5832n 21 ______2290

2. (i) a 5, r 2; T 11 5120(ii) a 10, r 2.5; T 7 2441.41(iii) a 1.1, r 1.1; T 8 2.1436(iv) a 24, r 0.5; T 10 0.046875 (3. a 4, r 3; 4, 12, 36, 108, 324, 4. r 35. 16, 4, 1, 1_4 , __ 1166. Is seicheamh comhbhreise é ANí seichimh chomhbhreise iad B, C, D7. n 6; 4, 6, 9, 13.58. a 7, r 3; T n 7(3) n 19. 6.7510. 1, 3, 9, 27 nó 9, 3, 1, 1_311. 3, 6, 12, 24, 48__ 3) 6412. 6, 41_2 , 3 3_8 , 2 __ 173213. 40, 20, 10, 514. (i) x 11_2 ; 4 1_2 , 1 1_2 , 1_ nó x 4; 1, 4, 162(ii) x 31_2 ; 4 1_2 , 7 1_2 , 12 1_ nó x 2; 1, 2, 42(iii) x 6; 4, 6, 9(iv) x 10; 4, 20, 10015. Cruthúnas16. Ní hea.17. (i) n 7 (ii) n 618. (i) 18, 12, 8, 163 (ii) T n 27(2_3 )n(iii) 0.21 m19. (i) 4000(ii) 4120, 4243.6, 4370.91, 4502.04(iii) 5375.67(iv) 23 bliain20. r 2%Cleachtadh 4.51. S 10 59 0482. n 6; S 6 20163. S 8 2554. S 10 63.945. 7286. 8 dtéarma; S 8 5462_37. 4, 16, 64; S 6 54608. S 8 19 6809. S 10 5.99410. (i)7_9 (ii) __ 3599 (iii) __ 73010(iv) __27 (v) ___ 161990 (vi) ___ 5316511. S n 2 _____ 12 ; S n 1 ∞ 2, n 11Cleachtadh 4.61. (i) T n 4n 1 (ii) T n 3n 2(iii) T n 5n 62. (i) T n 3 n (ii) T n 2 2n(iii) T n 2n 83. (i) 10 150 mm 2 (ii) 560 mm4. (i) 900 cm 2 (ii) An 21ú dearadh5. (i) 10 100 cm 2 (ii) An 15ú triantán6. (i) T n 2n 3 n 2 4n 1(ii) T n n 3 4n 2 n 5(iii) T n n 3 4n 27. (a) T n n 2 1; 575 tíl gheal, 1 tíl dhorcha(b) T n n 2 2; 574 tíl gheal, 2 thíl dhorcha(c) T n n 2 n; 552 tíl gheal, 24 tíl dhorcha8. (i) T n 3n 2 4(ii) T n 2n n 2(iii) T n 2n 3 n 4(iv) T n 4n 6(v) T n 3n 3 2n 2 1Súil Siar (Croícheisteanna)1. (i) 7, 10, 13, 16 (ii) 5, 11, 17, 23(iii) 1, 2, 4, 8 (iv) 20, 30, 42, 56(v) 2, 9, 28, 652. a 79, d 43. r 2_34. (i) r 2; T n (2) n(ii) r 1_2 ; T n ( 1_ 2(iii) r 3; T n 2(3) n 15. (i) T n 8n 4 (ii) 250 ciúb6. (i) r 3 (ii) a 77. Míniú8. 19 9009. 19510. 280Súil Siar (Ardcheisteanna)1. (i) 12 lúman (ii) T n 2000 ( 3_5) n(iii) An 5ú scáthán2. (i) t ________ ln2ln(1 i)(ii) (a) 35 bliain(b) 14.2 bliain(c) 7.3 bliain3. (i) 10 2(6 3.6 2.16 )(ii) Sraith iolraíoch go héigríoch(iii) 40 m4. (i) T n 3(2) n 1(ii) An 20ú téarma5. (i) 4.295 10 7(ii) 1.845 10 176. 5, 11, 177. (i) V P(1 i) a(ii) 14 953(iii) Deireadh an 12ú bliain8. (i) 1, 1_3 , 1_9(iii) k 19. (ii) T n 6n 2(iii) 2n(6n 2 3n 1)10.1_2 log 2x; r 1_2 ; k 2291

Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtarfreagra níos faide)1. (i) T 2 4a 2b c; T 3 9a 3b c;T 4 16a 4b cAn chéad difríocht 3a b; 5a b; 7a bAn dara difríocht 2a, 2a(ii) (a) 2a (is tairiseach é a)(b) 3a b(iii) An chéad difríocht 7, 13, 19An dara difríocht 2(iv) T n 3n 2 2n 4(v) T 20 11642. (i) T n 40(0.69) n(ii) 69%(iii) 27.6, 19.04, 13.14, 9.07, 6.26(v) 9 bpreab(vi) 9 boreab3. (i) Scéim 1: S n n(n 19)(ii) Scéim 2: S n 400 [( 21) 120](ii) Scéim 1(iii) An 16ú seachtain4. (i) 136 lítear (ii) Cruthúnas(iii) 872 lítear5. (i) Cruthúnas (ii) 2020(iii) 22 657 (iv) 2.8%Caibidil 5: Matamaitic an AirgeadaisCleachtadh 5.11. 4031.752. 6092.01, 1092.013. r (1 i ) 112 14. (i) 0.49% (ii) 0.21% (iii) 0.33%5. 4.5%6. Bliain Príomhshuim Ús1 15 000 5252 15 525 543.833 16 068.38 562.394 16 630.77 582.075 17 212.85 602.457. 1.98%8. 27 830.109. (i) 14 375.34(ii) 15 892.57(iii) 17 220.8610. 6627.0911. 16 822.6112. 20.15 bliain13. 422 049.9514. 20.01 bliain15. 0.4867%; 56.88; 316. 15 203.66Cleachtadh 5.21. (i) 13 311.16 (ii) 5906.232. 400.823. (i) 25 432 (ii) 15 618.434. (i) 57 344 (ii) 28 688.075(iii) 151 540.50 (iv) 65 508.435. t 5 bliana6. 6166 kg7. (i) 7.8% (ii) 13.53 bliain8. (i) 300 (ii) 446.279. (i) 12 182.4 (ii) 4547.06(iii) 2357.1910. (i) 36% (iii) 1600(iv) (4.2, 1280) (v) 859Cleachtadh 5.31. 790.66; 70.662. (i) 0.33% (ii) 1148.553. 11 265.954. Cruthúnas5. Cruthúnas6. P(1.09) P(1.09) 2 P(1.09) 5 ; A 10007. 5257.318. 1017.239. 371.4910. Cruthúnas11. (i) 14 978.13 (ii) 23 768.41Cleachtadh 5.41. 1178.662. 103 766.073. 614; 565; 536; 72 394; 94 455; 117 7984. Plean B5. 17 738.116. Is fearr an dara tairiscint7. 13 068.78Súil Siar (Croícheisteanna)1. 6335.932. 36 778.583. 1023.784. 20 344.375. 16.1%; 34.5%6. 200 (1.0075) 200(1.0075) 2 200(1.0075) 3 a 200(1.0075), r (1.0075)S 5 200(1.0075) __________[ 1.00755 10.0075]7. 9560.518. (i) 19 000.13 (ii) 33 385.23Súil Siar (Ardcheisteanna)1. (i) 211 205.4 (ii) 32 910.042. (i) 100 000: tugann sé 964 629.32;(ii) 1000: tugann sé 919 857.373. i 5%4. 74 7345. i 8.75%292

6. Ciste pinsin Ús127 953 3838.59116 791.59 3503.75105 295.38 3158.8693 454.24 2803.6381 257.87 2437.7468 695.61 2060.8755 756.48 1672.6942 429.17 1272.8828 702.01 861.0614 563.07 436.89Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtarfreagra níos faide)1. 87 422.1; 11 954.752. (i) 673 292.26 (ii) 7173.3(iii) 13 435.363.M(i)(1 i)n(i) P ____________(1 i) n 1(ii) i 0.72% go míosúil(iii) 321(iv) 26 bliain 9 mí4. (i) 13 bliana 2 mhí(ii) 160 0345. (i) A A(1.04) A(1.04) 2 A(1.04) 3(ii) S 26 A ( (1.04)26 1___________1.04 1)(iii) 485 199.00(iv) Íocaíocht 1: 485 199;Íocaíocht 3: 524 791.00(v) Íocaíocht 2: 481 587;Íocaíocht 4: 474 443.85485 199(1.04) n(vi) _____________(1.0478) n(vii) 11 508, 316(viii) 31%Caibidil 6: Fad – Achar – ToirtCleachtadh 6.11. (i) _____ a2 a(ii) a 82. (i) 10x 2 (ii) 5x 2 (iii) 2 : 13. Bonn 13 cm, airde 8 cm4. 9 cm, 40 cm5. 12 m6. 30°, 45°, 105°7. (i) Comhthreomharán(ii) (|AD| |BC|) h(iii) Is ionann achar an traipéisiam agus leathachar na dronuilleoige:(|AD| |BC|)Achar _____________ h28. 15 cm, 21 cm9. (i) p(iii)rpqrq(ii)qr(iii) a chruthaíonn an t-achar is mó10. (i) x 15.8 cm(ii) y 4.65 cm11. (i) 19.99 cm(ii) h 9.31 cm, achar 50.04 cm 2 : freisin achar 1_ (10.75)(10.75) sin 60° 50.04 cm2212. 38.605 m 213. (i) EOD 60°(ii) ODE 60°(iii) 64.95 cm 214. (i) 135°, 150°, 120°(ii) 134.8 cm 215. 30 cm 216. CruthúnasCleachtadh 6.21. (i) 29.7 cm (ii) 35.6 cm 22. (i) 73 cm 2 (ii) 38 cm3. (a)r 2 ___2(c) (x 2a) 2 a 2 (d)(e)a__2 √ _______x2 __ a244. r _____ P2 5. 6.8 cm6. (i) 2r 2 (ii)7. Ga ___ 40 12.73 m,__ r 2p(b) (R 2 r 2 )(f)( 2)4a 2 ____4 ab√ _______ 3 a 2Achar 1600 _____ 509.30 m2 mar go n-úsáidimid garluachle haghaidh 8. (i) 1 : 2 (ii) 4 : 19.42 √ _______ 2 10. (i)(iii)__ 3 raidian (ii) 6 ___ 4 3 cm___ 4 3 √ __3 cm 2 (iv)42 3 √ ___________ 3311. Achar __ r2 ( sin ); 3 2 : 2212. 153.71 cm 213. r 3.429 cm293

14. 170 m 25cró411. (i) 84 cm 3 (ii) 12 cm, 148 cm 2(iii) Toirt ___ m 36 , Achar ___ m 22 ( 1 √ __2 √ __5 )12. (i) (a) 2744 cm 3(b) 14371_3 cm3(c) 48%(ii) níos lú, 33 1 3 %13. 496.4 cm 3Cleachtadh 6.31. (i) (a) 10.5 m 2 (b) 18.5 m 2(c) 2771.3 cm 2 (d) 560 cm 2(e) 336 cm 2 (f) 749.4 cm 2(ii) (a) 2.1 m 3 (b) 4.3 m 3(c) 8000 cm 3 (d) 800 cm 3(e) 254 cm 3 (f) 1128.5 cm 32. (i) f : 2427 mm 2 , d: 2121 mm 2 , b\a: 1257 mm 2 ,e: 905 mm 2 , g: 805 mm 2 , h: 720 mm 2 ,c: 283 mm 2 , i: 153 mm 2(ii) f : 7238 mm 2 , d: 7069 mm 2 , a: 4189 mm 2 ,b: 2962 mm 2 , e: 1810 mm 2 , g: 1257 mm 2 ,h: 1056 mm 2 , c: 339 mm 2 , i: 144 mm 23. (i) 4.92 m 3(ii) rogha 2 (30 in aghaidh 100 kg): 390(iii) V ___________h tan 2a.h.w2(iv) bun 1.45 m, barr 2.65 m4. (i) x 2.5 cm(ii)(iii) 24 cm 3(iv)3 cm5 cm3 cm, priosma triantánach2 cm5. (i) 476.4 cm 3 (ii) 1481.0 cm 36. (i) 3 u 23 nóim (ii) 4 u 46 nóim7. (i) 700 cm 3(ii) 505 cm 28. Toirt 422 cm 3 , Achar 484.16 cm 29. (a) achar (b) fad (c) achar(d) fad (e) achar (f) fad(g) toirt (h) toirt10. (i) comhsheasmhach (ii) ar neamhréir(iii) ar neamhréir (iv) comhsheasmhach(v) comhsheasmhach (vi) ar neamhréir(vii) comhsheasmhachCleachtadh 6.41. 13.10 ha2. (i) 2.2% (ii) 17.01 cm 23. (i) 17.5 u 2 (ii) 17.875 u 24. 1.82 u 25. (i) 1 : 2.14 (ii) 2.5636. 81 720 km 2Súil Siar (Croícheisteanna)1. 2 : 12. (a) Achar 1464 cm 2 ; toirt 3589 cm 3(b) Achar 434 cm 2 ; toirt 523 cm 3(c) Achar 25 500 cm 2 ; toirt 225 000 cm 33. (i) 1.28 raid (ii) 16 cm 2 (iii) 1:1.3914. Toilleadh 450 m 3 , 750 uair an chloig5. (i) x √ ___20 (ii) x 3.96 cm(iii) x 0.99 raid6. Cruthúnas7. (i) 10.6u 2 (ii) 16.73u 28. 4 2 √ __5 2 √ __69. (i) 16 cm 50.3 cm(ii) 32 cm 2 10 0.5 cm 210. 38 186.7211. 112.7 cm 3Súil Siar (Ardcheisteanna)1. (i) Cruthúnas (ii) r 25(iii) 2 raidian (iv) A 625 cm 22. (i) A: 2500 poll; B: 2822 poll(ii) A: 21.46%; B: 11.34%3. (i) Achar PQO 1_2 r2 sin (ii) Achar an teascáin 1_2 r2 ( sin )(iii) Achar PQN 1_2 r2 (sin ( ))4. (d) Achar an dromchla 56 077 cm 2 ;toirt 133 518 cm 3(e) Achar an dromchla 1092 cm 2 ;toirt 1767 cm 3(f) Achar an dromchla 332 cm 2 ;toirt 435.63 cm 35. (i) 4.189 cm 2 (ii) 2.4567 cm 26. (i) 1.84 raid (ii) 80.96 m(iii) 26.7 m (iv) 848 m 27. Cruthúnas(i) r 3.3 cm (ii) A 24.22 cm 28. (i) A B: ag luasghéarú beagnach gohaonfhoirmeach294

C D: tosaíonn sí ag moilliú(vi) A 5 37 cm 2 , A 10 148 cm 2 ,E F: Tar éis don veain a bheith stopaithe,A 15 333 cm 2tosaíonn sí ag gluaiseacht arís(ii) Fad(vii) Tharla go bhfuil A ___ r 22 1.57r2 , tá an meastachán(iii) 5.47 kmar an achar de réir na foirmle róbheag faoi 5.78%9. Cruthúnas5. (i) l 15 h, w 20 2h, airde h10. 854 u(ii) Toirt 2h 3 50h 2 300h(v) A __ r 24 (5.92) 6. 3 k 11.48r2Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtarfreagra níos faide)(iii) h 5 cm(iv) V 50 0 cm 3(v) h 2.9 cm1. (i) (a) l r(vi)(b) A 1_2 r2 520(ii) A 2r r 2 Cruthúnas500(iii) A 1 (r 1) 2(iv) yO 2 4 6 8 10h(vii) Ní féidir, 500 50 550 cm 3 a bheadh satoilleadh nua agus ní thabharfadh luach ar bith arh toilleadh 550 cm 3O 1 2 3 xCaibidil 7: Ailgéabar 3Cleachtadh 7.11. (i) x 4 (ii) x 1 (iii) x 3(v) 2 raidian2. (i) x 10 (ii) x 7 (iii) x 82. (i) Tá siad ar comhachar bréagach3. (i) x 4 (ii) x 1_ (iii) x 72An triantán níos mó faoi 10.27% fíor4. (i) 3 x 2 (ii) 2 x 4Difríocht 9.24% fíor(ii) 57.52°(iii) 1_2 x 1_2(iii) Níl5. (i) 2 x 7 (ii) 1_3. (i) A 4h 2 2 x 3 2_3 80h 400(iii) 14 x 720(ii) h __3 cm6. x 2.5(iii) V 4h 3 80h 2 400h7. (i) x 4 (ii) x 2 (iii) 2 x 410008. (i) x 21_2 (ii) x 3 (iii) 2 1_2 x 39. (i) x 7 (ii) x 8 (iii) 80010. (i) x 4 (ii) x 4 (iii) x 411. Fad 10 m, leithead 9 m60012. a 6.645, b 7.64513. (i) a n b n (ii) a n b n40014. x 6200Cleachtadh 7.21. (i) 2 x 3 (ii) 5 x 2O (iii)1_2 4 6 8 10 12 142 x 22. (i) 3 x 2(iv) h 3.5 cm(v) h 1.95, 5, 13.2 cm(iii) 31_2 x 0(ii) 4 x 11_2(vi) h 10 ⇒ 20 2(10) 0 ⇒ níl aon toirt ann 3. (i) 11_4. (i) A 148 cm 22 x 1 2_ (ii) 4 x 43(ii) 5.78%(iii) 11_2 x 4(iii) a 0.64, b 0.86, c 0.96(iv) Díorthú4. 1 x 75. CruthúnasToilleadh295

7. 4 k 18. 1 p 3; p 29. (i) 2 x 1 (ii) x 3(iii) 10 x 310. (i) 14 x 5 (ii) 1_2 x __ 310(iii)1_ 5 1111. (i) 11_2 x 3 (ii) 1 x 3(iii) 1 x 112. (i) 3 x 10 (ii) 9 x 5(iii) 1 x 21_213. 3 x 214. Gan aon fhréamh réadach15. (i) 11_ t 52(ii) 2 t 4.5(iii) 11_ t 2 agus 4.5 t 5216. (i) 3 x 1_2 (ii) 1 x 3(iii) 11_ x 0.52(iv) 1 x 517. (i) Fad 3.75 (ii) leithead 0.7518. 2 p 319. (i) x 10(ii) x 1(iii) 1 x 1020. x 2 m nó 3 mCleachtadh 7.31. (i) (4, 2) (ii) (2, 6) (iii) (2, 3)(iv) (1_ , 1)2(v) (2, 4) (vi) 22. 1, 21_33. f(x) |x|, g(x) |x 4|, h(x) |x 3|,f(2) 2, g(2) 2, h(5) 24. f(x) |x 1|, g(x) |2x 2|, h(x) |3x 3|5. 46. (i) 4 x 8 (ii) 6 x 2(iii) 2 x 3 (iv) 5 x 67.(v) 3 x 1_3 (vi) 1 x 7(i) 3 x 4 (ii) 11_2 x 1(iii) 1_3 x 58. 22_3 x 89. 24 x 010. 1 x 111. x 1, 0; 1 x 012. (i) 4 x 2 (ii) 4 x 2(iii) 11_4 x 3 1_2 (iv) 2 x 3(v) 11_4 x 2 (vi) 2 x 3(vii) 3 x 31_213. (i)2_ 5 2 (ii) x 1, 1 2_3(iii) 2 x 0Cleachtadh 7.51. Cruthúnas 2. Cruthúnas 3. Cruthúnas4. Cruthúnas 5. Cruthúnas 6. Cruthúnas7. Cruthúnas 8. Cruthúnas9. (a b)(a 2 ab b 2 ); cruthúnas10. Cruthúnas 11. Cruthúnas 12. Cruthúnas13. Cruthúnas 14. Cruthúnas 15. Cruthúnas16. (i) (a b)(a b)(a 2 b 2 )(ii) (a b) 2 (a b)(a 2 b 2 )17. Cruthúnas 18. Cruthúnas 19. Cruthúnas20. Iolraigh an dá thaobh faoi d(b d);ansin roinn an dá thaobh ar bd21. CruthúnasCleachtadh 7.61. (i) a 5 (ii) x 4 (iii) 6x 6 (iv) x 3(v) x 1 (vi) 1 (vii) 3 (viii) a 6(ix) x 3 (x) 9a 2 b 22. (i) 4 (ii)1_9 (iii) 8(iv)9_4 (v) 23. (i) 4 (ii) 8 (iii) 9(iv) 27 (v) 254. (i)9_4 (ii) 3_2 (iii) ___ 1252725(iv) __9 (v) 3_25. 4 26.__ 11127. (i)8. (i)__ y 3x 2 (ii) ___ p 12q 8 (iii) 1_9(iv) y 2_3(v)x 1 _____x9. _____ xx 110. k 1_211. 262 Hz912. __1613. k 2414. k 28____ 1(vi) x 1_a a_42b 2(ii) x 2 x(iii) 1 xCleachtadh 7.71. (i) 5 (ii)3_2 (iii) 3_2(iv) 32. (i) 3_2 (ii) 5_2 (iii) 3 (iv) 3_23. (i) 1_2 (ii) 5_4 (iii) 1_6 (iv) 1_34. 2 5_2; 1585. x 2_3 , y __ 1636. 4.2 x ; 2.2 x ; c 5_27. x 1, 28. x 29. (i) x 0, 3 (ii) x 0, 210. (i) y 2 (ii) 2y 2(iii) 8y; x 1, 211. x 1, 0 12. x 1_2 , 0296

13. x 0, 3 14. x 115. x 1, 3Cleachtadh 7.81. (i) B (ii) A (iii) D (iv) C2. (i) 1000 ha(ii) (a) 4000 ha (b) 5278 ha(iii) A(ha)8000600040002000O 2 4 6 8 10 12Seachtainí(iv) 5 seachtaine3. (i) ag laghdú (ii) ag laghdú(iii) ag méadú (iv) ag laghdú4. (i) 0.6 (ii) 3 (iii) 8 (iv) 65. (iv) 2 x 0 (v) 0 x 4(vi) x 0 (vii) 0 x 46. (i) Meath(ii) (a) 3 lá(b) 9 lá(c) 18 lá(iii) 3.9°C7. (a) (i) 97.6% (ii) 94.2%(b) 5780 bliain(c) 1964 bliain8. (i) 1000 ha9. (i) R(t)14040O 2 4 6 8 10Nóiméid(ii) 140 buille in aghaidh an nóiméid(iii) (a) 55 nóiméad(b) 10.5 nóiméad(iv) 50 buille in aghaidh an nóiméid10. 100011. (i) 5027.5 (ii) 5055.15(iii) 5082.95(iv) 5000 (1.0055) t12. (i) 40(ii) b 1.2; b 1 tá líon na gcuileogag méadúCleachtadh 7.91. (i) 2 (ii) 4 (iii) 3 (iv) 62. (i)4_3 (ii) 3_2 (iii) 5_4(iv) 3(v) 43. (i) 3 (ii) 4 (iii) 64 (iv) 84. (i)1_2 (ii) 3_2 (iii) √ __2 (iv) 15. (i) 3 (ii) 2 (iii) 26. (i) 0 (ii) 27. (i) a 1 (ii) a 1 (iii) 2a 1(iv) 2a 3 (v) 2a 18. (i) 7.64 (ii) 3.86 (iii) 1.93(iv) 0.2799.log(y 3)(i) x 1 __________log 2(ii) x 3.321910. Cruthúnas11. Cruthúnas12. (i) 13 (ii) 10 (iii) 313. Cruthúnas14. (i) 0.602 (ii) 1.43 (iii) 2.55(iv) 3.75 (v) 4.46 (vi) 5.54(vii) 6.5915. Íosluach 10 3 1000Uasluach 10 4 1000016. 0.14317. (i)4_3 (ii) 3_518. Cruthúnas 19. Cruthúnas20. p 2q 3 21. a √ __322. 5.66 23. x 424. x 4_325. x 2126. x 3 27. x 2_3 , 528. x 2, 6 29. x 1_830. x 3, y 2, nó x 2_ 531. (i) x 1 , 2 (ii) x 1_4 , 216Cleachtadh 7.103. (i) x1_91_3 1 3 9y log 3 x 2 1 0 1 2(iii) 0.8 (iv) 0.8344. Is ionann graf amháin agus inbhéarta an ghraif eile5. Graf6. Graf7.log(y 5)(i) x __________ 2 nó loglog 33 (y 5) 2(ii) 1.2368. Graf9. Graf10. GrafCleachtadh 7.111. (i) (a) 5030 (b) 5060.18 (c) 5090.54(ii) 5000 (1.006) t(iii) 116 mí2. 0.253. (ii) 8.8 nóiméad (iii) 15°4. (i) 0.1 Wm 2 agus 0.01 Wm 2(ii) 130 dB297

5. Cruthúnas [E A 1.5 .10 4.8 ]6. (i) 100 (1.045) t (ii) 155.30(iii) 80.257. (i) 0.6 kg (ii) 15% (iii) 5 mhí8. (i) M 0 10 g, k 0.00495(ii) 7 g(iii) 325 láSúil Siar (Croícheisteanna)1. 3.5 x 12. (a) (i) 3162 (ii) 1.65(iii) 1.32 (iv) 2.7(b) (i) 30 (ii) 6.38(iii) 0.00823 (iv) 0.993. (i) a 1_24. x 5, x 11(ii) b 3_2105. (i) n 1 (ii) n __6. (i) a b 2.5, 4a b 4(ii) a 0.5, b 27. C ln x, A ln x 1, B ln (x 1)8. x 2, 39. A 9_ , b ln4_2 310. k ____ 4ln 311. a 2, b 312. x 1.96Súil Siar (Ardcheisteanna)1. 5 x 22. (i) 30 g (ii) 1585y (iii) 6644y3. (i) 1000 (ii) 204. 125, 1255. x 3.386. (ii) x 1 (iii) 3, x 07. x e y 38. 24 x 039. x 110. Cruthúnas11. Cruthúnas12. (i) 3 k 41_2(ii) 1_2 k 1_213. Cruthúnas14. u n 1 (n 19)2 n 1 , u n 2 (n 18)2 n 215. x 1_2 , y 116. (i) Feidhm easpónantúil(ii) 57 030(iii) 40 000(iv) 23.5 bliain17. (i) P Ae kt , áit a bhfuil k 0.078576 agust líon na mblianta(ii) 17 550(iii) 2016Súil Siar (Ceisteanna ina n-iarrtarfreagra níos faide)1. (i) t 0, N 5000; t 5, N 2362;tá an maíomh bailí(ii) 1115.65(iii) 5000(iv) 26.1 lá2. (i) 0.02 (0.92) x10(ii) 0.0197 mm 2(10 2.9x)(iii) 0.02 (0.92)(iv) x 2.593. (i) A (0.83) n I; B (0.66) (0.89) n I(ii) 6 stáisiún4. (i) A(1.11) t (ii) 10A(0.95) t(iii) 14.8 bliain (iv) 29.6 bliain(v) Graif5. (i) Fás (ii) Cruthúnas(iii) Cruthúnas (iv) a 1, 1_2(v) a 1, b 0; a 1_2 , b 1_2 ln 2(vi) A 20 000(vii) 6.65 uair an chloig298

Leabhar IomlÃ¡n - Cogg

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?