Contributions Ã l'Etude du Vertex Topologique en ThÃ©orie ... - Toubkal

UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDALFACULTÉ DES SCIENCESRabatN d’ordre : 2454THÈSE DE DOCTORATPrésentée parHOUDA JEHJOUHDiscipline :Spécialité :PhysiquePhysique des Hautes EnergiesTitre :Contributions à l’Etude du Vertex Topologique enThéorie des CordesSoutenue le 27/06/2009,devant le juryPrésident :M. Daoud Professeur, Faculté des Sciences, AgadirExaminateurs :M. Ait Ben Haddou Professeur, Faculté des Sciences, MeknèsA. Belhaj Dr Chercheur, CNESTEN, RabatE. H. El Kinani Professeur, Faculté des Sciences et Techniques, ErrachidiaA. Jellal Professeur, Faculté des Sciences, El JadidaT. Lhallabi Professeur, Faculté des Sciences, RabatE. H. Saidi Professeur, Faculté des Sciences, RabatJ. Zerouaoui Professeur, Faculté des Sciences, KenitraFaculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – MarocTel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma

Table des matières1 Introduction Générale 112 Variétés de CY et Géométrie Torique 232.1 Généralités sur les variétés de CY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.1 Variétés complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.2 Variétés de Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Exemples des variétés de Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Conifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.1 Conifold singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.2 Conifold déformé et conifold résolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.3 Transitions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Variétés de CY toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 Variétés toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2 Variétés de Calabi-Yau toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Sous-variétés spéciales lagrangiennes (SSL) . . . . . . . . . . . . . . 372.3.4 Diagrammes toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Cordes et Invariants Topologiques 473.1 Théorie des cordes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.1 Modèle sigma non linéaire N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.2 Modèles A et B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.3 Modèle sigma linéaire jaugé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.4 Branes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Dualité corde ouverte / corde fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 Dualité jauge/ gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.2 Dualité de Gopakumar-Vafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

TABLE DES MATIÈRES3.3 Invariants topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.1 Invariants de Gromov-Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.2 Invariants de Gopakumar-Vafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.3 Boucle de Wilson, invariants de noeuds et d’entrelacs . . . . . . . . 663.4 Modèle B et espace twistoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.1 Espace Twistoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.2 Contribution : Pure fermionic twistor like model . . . . . . . . . . . 723.4.3 Contribution : Théorie des cordes twistorielles . . . . . . . . . . . . 724 Modèle Cristallin du Vertex C 3 1054.1 Variétés de CY toriques et cristal fondu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1.1 Variété de Calabi-Yau quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1.2 Cristal de CY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.1.3 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.2 Fonction de partition perpendiculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2.1 Formule P λ,µ,ν (q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2.2 Calcul de la fonction de partition perpendiculaire . . . . . . . . . . 1134.3 La fonction perpendiculaire raffinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.3.1 Fonction de partition avec un nombre infini de paramètres . . . . . 1164.3.2 P λµν (q, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4 Modèle du cristal fondu et conifold résolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.4.1 Modèle cristallin avec un seul mur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.4.2 Modèle cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5 Invariants topologiques dans le modèle cristallin . . . . . . . . . . . . . . . 1234.5.1 Invariant unknot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.5.2 Invariant Entrelacs de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.6 Contribution : Generalized MacMahon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265 Vertex Topologique Usuel 1575.1 Vertex topologique I : formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.1.1 Vertex et amplitude de la corde ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.1.2 Symétrie de vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.1.3 Collage des vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.1.4 Règles de collage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612

TABLE DES MATIÈRES5.2 Vertex topologique II : Calcul des amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2.1 L’espace complexe C 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2.2 Variété locale P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2.3 Les branes non-compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.2.4 La ”casquette” et le ”pantalon” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.3 Vertex Topologique et Théorie de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3.1 Ingrédients de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3.2 Expression de l’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.4 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.4.1 Topological String on Toric CY3s in Large Complex Structure Limit 1745.4.2 Non Planar Topological 3-Vertex Formalism . . . . . . . . . . . . . 1756 Vertex Topologique Raffiné 2106.1 Formalisme du vertex raffiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.1.1 Vertex raffiné et fonction de partition de la corde ouverte . . . . . . 2126.2 Fonctions de partitions raffinées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.2.1 O(−1) ⊕ O(−1) ↦→ P 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.2.2 O(0) ⊕ O(−2) → P 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.2.3 Variété P 1 × P 1 locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.3 Vertex topologique sous la transition de flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.4 Vertex raffiné et homologie des entrelacs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.4.1 Unknot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.4.2 Entrelac de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.5 Contribution : Refining the Shifted 3-Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257 Conclusion et Perspectives 2388 Annexe : Fonctions de Schur et MacMahon 2438.1 Diagrammes et tableaux de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.1.2 Diagrammes de Young et groupes de symétrie . . . . . . . . . . . . 2498.1.3 Notation de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2508.1.4 Diagramme de Maya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2518.1.5 Partitions planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528.1.6 Partitions strictes et diagramme de Young shifté . . . . . . . . . . . 2533

TABLE DES MATIÈRES8.2 Fonctions de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2558.2.1 Propriétés de la fonction de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2588.2.2 Opétareurs vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598.3 Fonction de MacMahon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638.3.1 Conjecture de MacMahon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2648.3.2 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654

Je dédie cette thèse àA mes très chers parentsqui m’ont accompagnée tout au long de ce parcours périlleux ; qui ont toujours étélà dans mes moments de détresse, qui se sont toujours dévoués et sacrifiés pourmoi. Merci pour leur amour inconditionnel et pour avoir toujours cru en moi. Je netrouverai jamais les mots suffisants pour dire merci. Mes réussites sont aussi lesleurs. Enfin ! Merci tout simplement d’être… mes parents.A mes très chères sœurs Mounia et Safaequi m’ont toujours aidée, écoutée, soutenue et encouragée tout au long de monparcours ; qui ont toujours été présentes pour moi.

Avant ProposCe travail à été effectué au Laboratoire/ UFR de Physique des Hautes Energies à laFaculté des Sciences de Rabat et sous la direction de Mr le professeur El Hassan Saidi. Cetravail n’aurait pu être réalisé sans l’accord, le soutien et l’aide de plusieurs personnes.Mes plus sincères remerciements vont à mon directeur de thèse, Mr El Hassan Saidi,professeur à la Faculté des sciences de Rabat. Je le remercie de m’avoir accueillie et intégréedans l’équipe de recherche au sein du Laboratoire/ UFR Physique des Hautes Energieset de m’avoir très vite encouragée à participer à des échanges scientifiques qui m’ont étébénéfiques. Ses conseils, sa disponibilité et ses connaissances ont largement contribué àla réussite de cette thèse. Je le remercie pour sa rigueur et son souci de clarté qui m’ontaidé à aller plus loin. J’ai particulièrement apprécié l’intérêt qu’il a porté à mes travauxet la réelle collaboration qu’il entretient avec l’équipe de recherche du Laboratoire/ UFRPhysique des Hautes Energies. Ces encouragements constants m’ont donné suffisammentde confiance en moi pour mener cette thèse à bout. Soyez assuré, Monsieur, de toute monestime et de mon profond respect.J’adresse mes vifs remerciements à Monsieur M. Daoud Professeur à la Faculté desSciences, Agadir qui m’a fait l’honneur d’accepter la présidence du jury. Veuillez agréer,Monsieur, l’assurance de mon profond respect.Je tiens à exprimer ma très vive reconnaissance envers Madame T. Lhallabi Professeurà la Faculté des Sciences, Rabat. De me faire l’honneur de participer au jury de cette thèseet pour l’intérêt qu’elle a porté à ce travail. Sa grandeur scientifique et sa gentillesse ont été6

Avant Propospour moi de véritables atouts. Veuillez recevoir, Madame, l’expression de mes respectueuxsentiments.Un grand merci à M. Ait Ben Haddou Professeur à la Faculté des Sciences, Meknès,qui a investi beaucoup de temps dans une lecture minutieuse de la thèse, ses remarques ontpermis de corriger des erreurs et d’apporter des précisions en vue d’améliorer la qualité dece document. Veuillez recevoir, Professeur, l’assurance de ma considération distinguée.J’adresse mes remerciements à Monsieur E. H. El Kinani Professeur à la Faculté desSciences et Techniques, Errachidia, qui a bien voulu faire partie du jury et d’apporter leursvives contributions à l’enrichissement de ce travail. Veuillez agréer, Monsieur, l’assurancede mon profond respect.Je tiens également à adresser mes remerciements à Monsieur A. Jellal Professeur à laFaculté des Sciences El Jadida, pour l’honneur et le privilège qu’il me fait de juger cemodeste travail. Veuillez recevoir, Monsieur, l’expression de mes respectueux sentiments.Je tiens également à remercier Monsieur J. Zerouaoui Professeur à la Faculté desSciences, Kenitra. Pour l’intérêt qu’il a porté à ce travail et dont les remarques et lessuggestions m’ont permis d’améliorer le présent manuscrit. Veuillez agréer, Monsieur, l’expressionde mon respect et de ma profonde gratitude.J’adresse mes remerciements aussi à Monsieur A. Belhaj Docteur Chercheur, CNES-TEN à Rabat, pour avoir accepté de faire partie de mon jury de thèse et d’avoir reluet commenté des chapitres de ma thèse de manière si approfondie. Merci aussi pour sesconseils scientifiques, et son regard critique. Veuillez trouver ici l’expression de ma respectueuseconsidération.Je voudrais adresser un remerciement particulier à tous le corps professoral du DESA,pour leur soutien et pour leur patience. A Prof M. Ait Ben Haddou, Dr A. Belhaj, Dr L.BDrissi, Prof A. El Kenz, Dr M. Kessabi, Prof T. Lhallabi, Dr A. Moujib, Prof E.H. Saidi,Prof M.B. Sedra, Prof J.Zerouaoui. Ils ont contribué à nous transmettre leur savoir pourassurer notre formation..7

Lab/UFR PHEUne thèse représente un parcours long et difficile, mais dans mon cas il fut agrémentépar une atmosphère détendue.A Lalla Btissam Drissi, je tiens à te témoigner toute ma reconnaissance pour la qualitéde sa collaboration. C’est à cette occasion que je te remercier pour tout ce que tu asfait pour moi pendant mon DESA, puis ma thèse. Je tiens enfin à te remercier pour tonimplication dans ce travail de thèse, pour ton aide, ta disponibilité, tes nombreux conseilset ton soutien sans faille. Sois assuré, Btissam, de ma profonde gratitude et de toute monamitié.A Asmaâ Moujib, Je t’exprime ma reconnaissance pour le temps passé à corriger deserreurs et d’apporter des précisions en vue d’améliorer la qualité de ce document. Je teremercie également pour tes nombreux conseils amicaux et pour tous ces bons momentspassés. Sois assuré, Asmaâ, de toute mon amitié..Si j’en suis arrivée là aujourd’hui, c’est sans doute parce que j’ai rencontré sur mon chemindes personnes qui m’ont apporté beaucoup. Je remercie l’ensemble de l’équipe de recherchedu Laboratoire/ UFR Physique des Hautes Energies pour les nombreuses et toujours fructueusesdiscussions. Travailler avec eux a été un réel plaisir.Plus particulièrement à Rachid Ahl Laamara, Adil Belhaj, Abdelouahed Jraifi, AzizRhalami, Hanane Sebatta, A. Soumili. Abdou qui ont également contribué à cette thèsepar des réflexions, des précisions et des appuis technique.Je ne peux pas oublier tous mes amies qui m’ont accompagnée tout au long de ceparcours et qui n’ont pas cessé de me soutenir moralement et de m’encourager, et plusparticulièrement à Fatimazahra Elhassani, Nabila Mamouni, Souad Nekhlaoui.Je tiens aussi à remercier l’ensemble de l’équipe de recherche du Laboratoire de Magnétismeet Physique des Hautes Energies..Ne pouvant malheureusement pas citer toutes les personnes que j’ai rencontré durant monparcours et qui ont contribué d’une façon ou d’une autre, de près ou de loin, à l’aboutissementde cette thèse, je leur dis à toutes merci d’avoir été là à cette instant précis où je8

Avant Proposles ai rencontrées et où ils m’ont apportée cette aide qui a surement contribuée à aller aubout de cette thèse.Je tiens à remercier- Le programme de la bourse d’excellence, CNRST. Grâce à cet appui stimulant,j’ai été capable de me concentrer davantage sur mes études.- Le programme Protars III D12/25 CNRST.- Le groupement national de Physique des Hautes Energies GNPHE.- Le centre international de Physique Théorique, ICTP.Je ne pourrais trouver un épanouissement complet dans le travail si ma vie privée n’étaitpas elle-même épanouie. Je tiens donc à remercier mes chers parents qui rendent toutsimplement ma vie belle au quotidien, pour leurs encouragements inestimables, pour leurspatiences, leurs présences a mes côtes, leurs contributions à l’élaboration de ce manuscrit.Ma chère Safae, merci d’être toujours là, même quand le temps est plus maussade. Ungrand merci à Mounia et son mari Jamal, à mon frère Rachid. Et Enfin Merci Marwa etImane de me faire sourire chaque jour.Je suis seul à signer cette thèse et pourtant de nombreuses personnes ont contribué par leuraide, leur soutien et leurs conseils à la faire exister. Je tiens à remercier très sincèrementtous ceux qui ont participé de près ou de loin à ce travail. Je terminerai en disant que“Scientific thought is the common heritage of mankind”Abdus Salam9

10Lab/UFR PHE

Chapitre 1Introduction GénéraleL’une des grandes quêtes de la physique des hautes énergies est l’unification des quatreforces fondamentales (électromagnétique, faible, forte et gravitationnelle) en une seule théorie.A l’heure actuelle, seule la théorie des supercordes propose un cadre assez large pourunifier de manière cohérente ces quatre interactions de la nature [1]-[10]. La théorie dessupercordes, depuis son apparition dans le monde de la physique, ne cesse de surprendrepar des applications dans des domaines très variés des sciences fondamentales ; en particulieren physique des particules élémentaires, la physique mathématique, la physiquestatistique des phénomènes critiques [11, 12, 13], les théories des champs conformes à deuxdimensions [14, 15], la physique des branes, la physique des trous noirs [16, 17] et la théoriedes noeuds [18, 19]. Avant de passer à la présentation du contenu de ce mémoire de thèse,qui traite certains aspects des modèles des supercordes tout en s’appuyant sur la théoriedes cordes topologiques et en faisant usage de la méthode du 3-vertex topologique et sonlien avec des modèles critiques de la physique statistique, il est utile de commencer parrappeler brièvement des résultats fondamentaux en théorie de supercorde permettant à lafois d’introduire rapidement certains concepts facilitant la lecture de ce travail de rechercheet situant le cadre générale de cette étude.Théorie des supercordesGénéralement, on distingue differents types de cordes dont certaines sont physiques etd’autres non physiques comme c’est le cas de la corde bosonique X µ (τ, σ) vivant dansun espace temps à 26 dimensions (µ = 0, .., 25) [20]-[30] et la corde topologique sur desvariétés de Calabi-Yau 3-folds que nous aurons l’occasion d’analyser avec détails dans cetravail de thèse. Dans toutes ces théories, les cordes lors de leurs mouvements dans l’espacetemps décrivent une surface d’univers à deux dimensions (dont la version euclidienne cor-11

Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordesrespond à une surface de Riemann) paramétrisée par des coordonnées locales ξ α = (τ, σ).La dynamique d’une corde libre bosonique représentée par les champs X µ (ξ) est donnéepar l’action S NG de Nambu-Goto [2, 7]. Cette dernière est décrite de façon plus appropriéepar l’action de Polyakov S P olyakov faisant usage de champs auxiliaires portés par le champgravitationelle h αβ (ξ) à 2D [20, 21]. Les cordes bosoniques (ouvertes avec 0 ≤ σ ≤ π etfermées avec 0 ≤ σ ≤ 2π ) présentent des modes de vibration α µ n qui donnent naissanceà des particules similaires à celles qui transportent les interactions de jauge A µ (x) oude gravitation G µν (x). Les cordes X µ (ξ) peuvent être alors ouvertes avec des extrémitésX µ (ξ) | σ=0,π libres ou fermées lorsque les deux extrémités se bouclent l’une sur l’autre ;c.à.d X µ (τ, σ = 0) = X µ (τ, σ = 2π).Dans le cas des cordes ouvertes, il est nécessaire de specifier la nature des conditions à leursextrémités. On distingue essentiellement deux types de conditions aux bords ; il s’agit : (i)condition de Dirichlet :X µ (τ, σ) |éxtrémités= constante,et (ii) condition de Neumann,∂ σ X µ (τ, σ) |éxtrémités= 0. (1.1)La quantification de la corde bosonique libre fait apparaître un état tachyonique (de massecarrée négative m 2 < 0). Ce problème est surmonté si des fermions ψ µ ± (τ, σ), convenablementassociés aux bosons par supersymétrie sont introduits sur la surface d’univers de lacorde conduisant ainsi à la théorie des supercordes de dimension critique réduite à D = 10.Selon le nombre de charges supersymétriques, on distingue cinq théories de supercordescomme il est mentionné dans le tableau suivant [1]-[22] :supercorde type IIA type IIB hétérotique hétérotiquetype ISO (32) E 8 × E 8ferméenature fermée fermée fermée ferméeouverte# de supersymétries 32 32 16 16 16symétrie de jauge − − SO (32) E 8 × E 8 SO (32)Finalement, à cause de l’absence de divergences ultraviolettes et de l’existence d’une particulede spin 2 et de masse nulle (graviton G µν ) dans leurs spectres perturbatifs, les théoriesdes supercordes sont actuellement les seules candidats pour une théorie quantique de gravitation.Ces théories, qui existent seulement à 10-dimensions, mais pouvant être aussi12

Introduction Généraleréduites vers des dimensions inférieures par compactification, sont étroitement reliées lesunes aux autres par des relations de dualité [2]. Il existe essentiellement trois types derelations de dualité :– dualité S qui relie le régime de couplage faible d’une première théorie est au régimede couplage fort d’une seconde théorie. Cette symétrie S inverse la constante decouplage S : g ←→ 1/g,– dualité T : Deux théories de supercordes compactifiées sur un cercles de rayon Rsont dites T- duales si elles sont invariantes sous la transformation R ←→ 1/R. Ladualité T agit par inversion du rayon de compactification R.– dualité U : échange les dualités S et T, soit U : g ←→ 1/R.Les théories de supercordes type IIA et type IIB compactifiées sur un cercle sont T -duales. C’est le cas aussi des supercordes hétérotiques E 8 × E 8 et SO(32) à 9 dimensions.La supercorde hétérotique SO(32) et la supercorde de type I sont S duales : la limite decouplage faible de la théorie effective de l’une correspond à la limite de couplage fort del’autre. La limite de couplage fort de la corde de type IIB s’identifie à elle-même.Fig. 1.1 – Quelques dualités entre les cinq types de théories des supercordes à 10D et 9D.Dans le régime perturbatif des théories de supercordes de type IIA et type IIB, il existedans le spectre des états de masse nulle des (p + 1)-formes C p+1 = C µ0 .. µp dx µ 0 ∧ .. ∧ dxµ pqui généralisent le champ de Maxwell et qui admettent une interprétation remarquable.13

Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des CordesLes champs C µ0 .. µp sont antisymétriques en les (p + 1) indices et sont associés à des étatsnon perturbatifs en occurence les branes Dp auxquelles nous nous référons par Dp- branes.Ces objets solitoniques ont aussi la propriété d’être des états BPS de la théorie, c’est à direqu’elles préservent la moitié des charges supersymétriques de la théorie des supercordes[130]. Pour se faire une idée plus précise sur ces objets, nous donnons dans ce qui suitcertaines de leurs propriétés caractéristiques.D-branesUne D-brane, ou plus exactement, une Dp-brane avec p entier positif prenant des valeursentre zero et 7 est un objet étendu apparaissant dans le spectre non perturbatif de lathéorie des supercordes type II. Le nombre p est le nombre de dimensions spatiales danslesquelles la brane a des extensions. Il faut rajouter à ce nombre une dimension temporellepour obtenir le nombre total de (p + 1) dimensions. Une des propriétés remarquables desD-branes est qu’elles sont intimement liées aux supercordes ouvertes. Une D-brane est unebrane sur laquelle sont fixées les extrémités des supercordes ouvertes qui sont à l’origine dela matière qu’elle contient et et offre ainsi un lien avec le modèle standard de la physiquedes particules. Signalons au passage que le suffix "D" dans la terminologie D-brane réfèreà la condition de Dirichlet (1.1). Il est également possible que les deux extrémités d’unesupercorde ouverte soient fixées dans deux D-branes distinctes n’ayant pas forcément lemême nombre de dimensions. Lorsqu’on veut préciser le nombre de dimensions dans lequella D-brane a des extensions, on parle alors de Dp-brane qui engendre un volume d’universde dimension p + 1. Notons aussi que les D- branes dans la théorie des de supercordeIIA sont : D0, D2, D4, D6. Celles de la supercorde IIB sont : D1, D3, D5 et D7. Ilexiste d’autres types de branes ; en particulier celles admettant des dimensions compactesenroulant des cycles de variétés de compactifications.Avec ces outils en main, nous sommes maintenant en position d’aborder la théorie descordes topologiques constituant un des objectifs principaux de memoire de thèse.Théorie des cordes topologiquesA partir de la théorie des supercordes sur une variété Calabi-Yau non compacte et avec desD-branes qui enroulent certaines p-cycles des variétés, les propriétés de la théorie de jaugesont alors exprimées dans la structure géométrique de la variété Calabi-Yau. A priori, onpeut calculer plusieurs quantités physiques à basses énergies dans le cadre de cette théorie; en particulier le superpotentiel effectif qui décrit la structure des vides de la théoriede jauge. Il se trouve que ces calculs ont des interprétations remarquables dans le cadre dela théorie des cordes topologiques que nous décrivons rapidement dans ce qui suit.14

Introduction GénéraleLa théorie des cordes topologiques à été introduite par Witten dans [34]- [37] comme unmodèle simplifié de la théorie des supercordes qui contient des informations topologiquesde l’espace cible. Elle est considérée comme un sous secteur de la théorie des supercordesmuni de plusieurs applications physiques et mathématiques. Les amplitudes de la théoriedes cordes topologiques sont profondément liées aux amplitudes de la théorie des supercordesde type II. La description d’espace-temps des cordes topologiques en termes dethéorie des champs se réduit essentiellement à des théories de jauge.On peut obtenir une théorie des cordes topologiques à partir d’un modèle sigma non linéairesupersymétrique N = 2 à deux dimensions par le biais de twist topologique. Cedernier peut être effectué de deux manières différentes [34]- [36] et conduit à deux modèlesdifférents à savoir le modèle topologique A et le modèle topologique B (en anglais topologicalA-model et topological B- model) [37]-[39].La richesse des domaines liés aux théories de cordes topologiques constitue un objet d’étudepassionnant. L’étude de la théorie des cordes topologiques a connu un grand intérêt aprèsla découverte de la conjecture de Maldacena qui relie la théorie des supercordes type IIBvivant sur l’espace AdS 5 ×S 5 (AdS = Anti de Sitter) à la théorie de jauge supersymétriqueconforme N = 4 à 4 dimensions d’espace temps [40]. On parle aussi de dualité AdS/CFT[41] qui ouvre des issues pour l’examen d’autres conjectures au niveau des supercordes.Face aux difficultés majeures liées au tests de ces conjectures, un certain nombre de travauxse sont consacrés à l’étude des équivalences entre des théories de jauge topologiqueset des modèles de théorie des cordes topologiques [42]-[44]. Ces modèles sont plus simplesque les théories de supercordes usuelles [8]-[9] constituant ainsi un laboratoire pour testerces conjectures de dualités.L’étude des cordes topologiques a également permis de mieux comprendre le calcul microscopiquede l’entropie des trous noirs en théorie des supercordes [45]-[50]. Le succèsmajeur de l’étude de la théorie des cordes topologiques a été largement dû à la conjecturede Ooguri, Strominger, et Vafa [46] qui relie la fonction de partition du trou noir Z T R etcelle de la théorie des cordes topologiques Z top comme suit [46, 47]Z T R = |Z top | 2 .L’étude des amplitudes Z top des théories de cordes topologiques a connu des avancéesmajeures ces dix dernières années [51, 52, 53, 54]. Dans le cas de la théorie de cordetopologique type A, les amplitudes Z top sont utilisées pour calculer les prepotentiels desthéories de jauge supersymétriques N = 2 à quatre et à cinq dimensions. Tandis que les15

Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordesamplitudes de la théorie des cordes topologiques du modèle B, avec des flux et/ou branes,sont utilisées pour calculer les superpotentiels des théories de jauge supersymétriques N =1 à quatre dimensions. Il se trouve qu’il y a un accord entre la fonction de partition dumodèle-A associé à la variété de Calabi-Yau torique et la fonction de partition de la théoriede jauge de Nekrasov N = 2 SU(N) [55]-[57].L’approche standard du calcul des amplitudes Z (A)top de la théorie des cordes topologiquesde type A qui donne accès au calcul des invariants N g,nA de Gromov-Witten (voir eq(1.3))est définie sur une variété de Calabi-Yau 3-folds comme suit∞∑= e Ftop = exp 2g−2 F g (t i ) , (1.2)Z (A)topoù est le couplage de la corde, t i sont les paramètres de Kahler et F g est la fonction departition de la théorie des cordes topologiques de surface d’univers de genre g. Notons aupassage que l’énergie libre F top de la corde topologique est exprimée en terme des invariantsde Gromov-Witten commeF top = ∑ g≥0∑g=0n A ≥0∈H 2N g,nA g 2g−2top e −n.t . (1.3)L’utilisation de ces fonctions de partition qui contiennent toutes les informations sur laphysique du système, nous a permis de compter les états BPS de la théorie de supercordetype IIA sur la variété de Calabi-Yau 3-folds torique en présence de graviphoton self dualF 12 = F 34 = .Bien que cette procédure soit très bien connue, la complexité du calcul augmente, ce quinous a permis d’introduire plusieurs dualités remarquables qui peuvent aider à résoudrece problème. Au cours de la dernière décennie, Vafa et ses collaborateurs ont élaboré unetechnique puissante pour le calcul des amplitudes de la théorie des cordes topologiques.En utilisant les variétés de Calabi-Yau toriques [58, 59], ils ont exprimé les fonctions departition en termes des invariants topologiques. De cette manière, ils ont pu déterminerles invariants de Gromov-Witten, Gopakumar-Vafa et Donaldson-Thomas de la variété deCalabi-Yau torique. Dans ce cadre, la fonction de partition du modèle de corde topologiqueA sur le conifold résolu n’est autre que la fonction de partition de la théorie deChern-Simons sur S 3 [60]. C’est une conséquence de la transition géométrique entre leconifold résolu et celui déformé [62]. Les amplitudes des théories des cordes topologiques,en particulier celle du modèle A, fournissent ainsi une nouvelle technique pour approcherles calculs complexes en théorie des supercordes. C’est dans cette optique que s’inscrit en16

Introduction Généralepartie le travail de ce mémoire de thèse qui consiste à étudier certains aspects de la théoriedes cordes topologiques sur des variétés de Calabi-Yau toriques à trois dimensions avec unaccent particulier sur la dualité entre la théorie des cordes topologiques, le vertex topologiqueet le modèle statistique du cristal fondu. Rappelons au passage que le calcul de lafonction de partition Z top du modèle A peut être fait de deux façons ; soit par le biais duvertex topologique C R1 R 2 R 3[63, 64, 65] ou par usage du formalisme de la matrice de transfertT qui sera développée dans une de nos contributions. Le lien entre ces deux méthodesest à l’origine d’une dualité entre le modèle de la physique statistique et la théorie descordes topologiques [66, 69, 70]. Pour se faire une idée sur ces méthodes, nous rappelonsbrièvement dans ce qui suit les grandes lignes de ces méthodes.Du cristal fondu à la corde topologiqueDans une récente et belle contribution de A.Okounkov, N.Reshetikhin, et C.Vafa [91], il aété montré qu’il existe un lien remarquable entre l’étude de la physique de la fusion descristaux et la théorie des cordes topologiques. Dans le premier lieu, le calcul de fonctionde partition Z cristal repose sur le comptage des différentes configurations {n} du systèmecanonique,Z cristal = ∑ ne − E nT (1.4)où E n est l’énergie de la configuration n. A.Okounkov, N.Reshetikhin et C.Vafa ont montréque les différentes amplitudes du modèle topologique type A sur l’espace complexe C 3pourront être exprimées en termes de la fonction Z cristal du cristal fondu. La relation avecle cristal repose sur le fait que la fusion se manifeste par des départs progressifs d’atomesdu cristal.Fig. 1.2 – Cristal fondu et la partition plane 3d.17

Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des CordesUne configuration du cristal fondu est décrite par une partition π, représentée par undiagramme de Young à 3 dimensions généralisant le diagramme de Young usuel. Chaquepartition contribue par un facteurq = e −µToù µ est le potentiel chimique. La fonction de partition génératrice Z cristal de la fusioncristal est alorsZ cristal = ∑ πq |π| . (1.5)Cette fonction, qui dépend de la température et du potentiel chimique, est aussi celle dela corde topologique du modèle A conduisant ainsi à l’identification suivanteZ cristal (q) = Z top (q) , (1.6)où la constante de couplage de la corde g s est maintenant interprétée en terme de températureg s = 1 T .Notons que le paramètre q qui satisfait la condition 0 < q < 1 joue le rôle du potentiel chimique; soit l’énergie de l’arrachement d’un atome du cristal. La fonction ∑ q |π| représentela somme de toutes les partitions planaires π. Une telle fonction est bien connue dans lalittérature et est égale à la fonction de MacMahon à trois dimensions∞∏Z 3D = M(q) = (1 − q n ) −n . (1.7)L’un des résultats principaux de la dualité cristal/corde (1.6) est l’emergence du vertextopologique C R1 R 2 R 3comme objet fondamental à l’instar des vertex de la théorie quantiquedes champs. Les trois pattes externes suivant les directions x, y et z de ce vertex sont interprétéesen termes de représentations R 1 , R 2 , R 3 du groupe SU (N) ; soit aussi en termesdes diagrammes de Young à 2 dimensions. L’expression explicite du vertex topologiqueC R1 R 2 R 3peut être obtenu en utilisant le formalisme de la matrice de transfert [91]∑C R1 R 2 R 3= M(q) −1 q |π| . (1.8)n=1π→{R 1 R 2 R 3 }Dans le cas le plus simple du vertex topologique C ∅∅∅ , qui est aussi la fonction de partitionde C 3 , où les représentations portées par les pattes externes sont des représentations18

Introduction Généraletriviales c.à.d R 1 = R 2 = R 3 = ∅, on retrouve précisément la fonction de MacMahon quidécrit l’amplitude de la théorie de corde fermée du modèle A sur C 3 ,∞∏C ∅∅∅ = M 3 (q) = (1 − q n ) −n . (1.9)Cet objet, qui fut conjecturé par MacMahon en 1912 [92], est également la fonction génératricepour toutes les fonctions indexées par les partitions vides. En fait la relation M 3 (q)est un cas particulier de la généralisation M d (q) associée avec l’octant positif du cube àd-dimensions et dont l’expression conjecturée est donnée par :n=1M d (q) = ∏ (1 − q i ) − (i+d−3)!(i−1)!(d−2)!i≥1(1.10)En ce qui est de la fonction de MacMahon à 3 dimensions, elle intervient dans plusieursdomaines physiques et mathématiques. Elle apparaît comme la fonction génératrice dedegré zéro dans l’étude des invariants de Donaldson-Thomas de la variété de Calabi-YauX dont la fonction de partition est donnée parZ (q) = M(q) χ(X) (1.11)et où χ (X) est la caractéristique d’Euler classique. Les fonctions de partition du modèlecristallin à 1D et 2D sont [93, 94]Z 1D = (1 − q) −1 ,Z 2D =∏ ∞ (1 − q n ) −1 .n=1(1.12)Celle à 3D est donnée par la relation (1.9) mais les expressions de Z pD pour p > 4 restentencore une question ouverte. Concernant les relations conjecturées (1.10), nous avons démontrédans [93] l’origine de ces relations en utilisant la méthode de matrice de transfertet nous avons donné une interprétation de ces objets en théorie des champs conformes à2 dimensions. Toutefois, il faut noter que ces fonctions ne peuvent être des fonctions departition des ”hypersolides” de dimension supérieure.Avant de clôturer cette introduction générale, il est utile de dire quelques mots sur laméthode du vertex topologique C R1 R 2 R 3vu que c’est un outil très puissant pour étudierégalement l’équivalence entre la théorie de jauge N = 2 à 4D et la fonction de partitionde la corde topologique [71], [72]. Cette puissance découle de la ressemblance formelle avecla méthode des diagrammes de Feynman de la théorie quantique des champs. Le vertex19

Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordestopologique permet, ensemble avec le propagateur, de calculer toutes les amplitudes dela corde topologique en présence des branes [73]-[76]. Ici les diagrammes de Feynman nesont autre que les diagrammes toriques des variétés locales de Calabi-Yau dont les lignesgénérent les cycles de la fibration torique et dont les sommets sont des vertex trivalents.Ces diagrammes toriques forment la base de la variété de Calabi-Yau torique C 3 [77], [78].Le vertex C R1 R 2 R 3avec R i ≠ ∅ représente des cordes ouvertes qui se terminent sur desempilements de branes, dont les configurations sont codées par des diagrammes de YoungR i , i = 1, 2, 3. Le calcul des amplitudes topologiques utilise C R1 R 2 R 3qui est fonction deq = e −g set qui peut être exprimé sous plusieurs formes ; soit en terme de fonctions deSchur commeC λ,µ,ν (q) = q k(µ) s ν t(q −ρ ) ∑ ηs λ t /η(q −ν−ρ )s µ/η (q −νt −ρ ) , (1.13)définissant une fonction génératrice des invariants de Gromov-Witten, soit en fonction desinvariants topologiques donnés par la relation suivante [80, 88] :C λµ t ∅ (q) = q − k(µ)2 Wλµ (q) , (1.14)où λ, µ et ν sont des partitions 2d et W λµ (q) est une expression combinatoire reliée àl’invariant d’entrelac de Hopf. L’éq(1.14) est remarquable dans le sens où elle établit unerelation naturelle entre les invariants de Gromov-Witten [83, 84, 85, 86] et les invariantsde la théorie de Chern Simons [87].Signalons également que le vertex topologique C λ,µ,ν (q) peut être généralisé en une fonctiondépendant de deux arguments q et t,q = e iɛ 1, t = e −iɛ 2,pour donner naissance au vertex topologique raffiné C λµν (q, t). La fonction de partition dedeux paramètres ɛ 1,2 avec ɛ 1 + ɛ 2 ≠ 0 est la fonction de partition raffiné de la corde topologiquefournissant à son tour un raffinement des théories de Gromov-Witten et Donaldson-Thomas de la variété de CY 3 torique. Cet axe de recherche connaît actuellement une grandeimportance à la fois en physique théorique et en mathématique. Nous aurons donc affaireà différentes connections entre des propriétés mathématiques et des applications physiquesoù s’entremêlent plusieurs objets tels que la fonction de partition, les fonctions de Schur,les diagrammes de Young à 2D et 3D, le cristal fondu et la théorie des cordes topologiques.Tous ces objets constituent un champ de recherche très prometteur.20

Introduction GénéralePlan de thèseCe mémoire de thèse est composé de cinq chapitres, une conclusion et une annexe. Descontributions sont reportées à la fin des chapitres. Dans le chapitre 2 nous présentons desoutils de base dont nous avons besoin. Nous commençons par une introduction sur lesvariétés de Calabi-Yau (CY) et la géométrie torique dont les propriétés essentielles sontillustrées sur des exemples explicites. C’est le cas de plusieurs notion telle que la conditionde CY ou encore la transition géométrique qui joue un rôle crucial dans l’obtentionde plusieurs résultats et que nous illustrons sur l’exemple du conifold. Nous terminons lechapitre par introduire les variétés toriques qui permettent le calcul explicite des fonctionsde partition et en général des amplitudes topologiques. Dans le chapitre 3, nous traitonsdans la première section la théorie des cordes topologiques avec ses deux versions A et Bet les D-branes topologiques. La dualité des cordes ouverte / fermée sont présentées dansla deuxième section. Ensuite, nous étudions de près les invariants topologiques intervenantdans la description des fonctions de partition des cordes topologiques. Nous terminons cechapitre par l’une de nos contributions intitulée ”Pure fermionic twistor like model & targetspace supersymmetry” dans laquelle nous avons étudié la théorie des cordes twistorielles.Dans le chapitre 4, nous étudions la dualité entre le modèle statistique et la théorie descordes topologiques. Les propriétés du modèle cristallin sont exprimées dans la structuregéométrique de la variété de Calabi-Yau, d’où le nom de variété de Calabi-Yau cristalline (en anglais Calabi-Yau crystal). Nous nous contenterons ici de montrer comment le modèledu cristal fondu peut être mis en correspondance avec les partitions à 3 dimensions. Parla suite, nous explicitons le calcul de la fonction de partition en utilisant la méthode de lamatrice de transfert. Dans cette logique des choses, nous discuterons le modèle du cristalfondu en présence de D-branes placées aux bords. Ce modèle permet ainsi d’obtenir desrésultats qui servent à comprendre le rôle que joue les modèles cristallins dans la descriptiondes invariants de la théorie topologique. A la fin du chapitre, nous présenterons notrecontribution "Generalized MacMahon G(q) as q-deformed CFT Correlation Function” oùnous avons réussi à démontrer la conjecture de MacMahon en utilisant la dualité entre lemodèle cristallin et la théorie de corde topologique.Dans le chapitre 5, nous introduisons une approche basée sur les variétés de Calabi-Yautoriques et les règles de collage. Cette approche originale part de la bonne connaissancedes espaces de Calabi-Yau toriques et vise à en extraire plus d’information à partir desdiagrammes toriques. Dans ce cas, nous calculons les amplitudes et les fonctions de partitiondes cordes topologiques sur les espaces de Calabi-Yau toriques en utilisant juste21

Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordesle formalisme de vertex topologique. Ce chapitre se termine par nos deux contributions”Topological String on Toric CY3s in Large Complex Structure Limit” et ”Non Planar Topological3-Vertex Formalism”.Dans le chapitre 6, on montre comment le raffinement de vertex topologique permet d’établirles expressions des amplitudes et les fonctions de partitions à deux paramètres ainsi queles relations avec les invariants de la théorie de Chern-Simons. Finalement, nous introduisonsnotre contribution ”Refining the Shifted Topological Vertex” qui a pour but d’étudierla version raffinée de vertex topologique shifté.Nous achevons ce mémoire de thèse par une conclusion où nous résumons nos principauxrésultats et où nous examinons quelques perspectives et des applications. Pour plus dedétails sur le calcul des amplitudes et les fonctions de partitions, nous avons juger utile decollecter quelques notions fondamentales en annexe.Ce travail de thèse a donné lieu à plusieurs résultats dont certains sont déjà parus sousforme de publications de recherche. Dans la liste ci-dessous, nous présentons nos travauxoriginaux :- Topological String on Toric CY3s in Large Complex Structure Limit,Nuclear Physics B, Volume 813, Issue 3, 1 June 2009, Pages 315-348, arXiv :0812.0526.- Refining the Shifted Topological Vertex,J.Math.Phys.50 :013509,2009, arXiv : 0812.0513.- Generalized MacMahon G(q) as q-deformed CFT Correlation Function,Nuclear Physics B, Volume 801, Issue 3, 1 October 2008, Pages 316-345, arXiv :0801.2661.- Non Planar Topological 3-Vertex Formalism,Nuclear Physics B, Volume 804, Issue 3, 1 December 2008, Pages 307-341, arXiv : 0712.4249.- De la théorie des cordes twistorielles à la Supergravité Conforme N=4, D=4African Journal of Mathematical physics Volume 4 Number (2007) pages 65-96.- Pure fermionic twistor like model & target space supersymmetry,http ://xxx.lanl.gov/hep-th/0605167.22

Chapitre 2Variétés de CY et Géométrie ToriqueL’étude des variétés de Calabi-Yau est devenue un domaine de recherche très passionnantet constitue une des plus importantes collaborations entre physiciens théoriciens etmathématiciens. Non seulement ces variétés sont considérées comme un type particulierde variétés complexes intervenant dans des domaines comme la géométrie algébrique [95]-[96], mais elles apparaissent également en physique des hautes énergies notamment dansla théorie des supercordes où elles jouent le rôle d’espace de compactification [97]. Dansce chapitre, nous présentons différentes propriétés géométriques et homologiques sur lesvariétés de Calabi-Yau toriques. Dans la première section, nous considérons les variétés deCalabi-Yau comme étant des variétés complexes Kahleriennes ayant un groupe d’holonomieSU(n) et une première classe de Chern nulle. Dans la deuxième section de ce chapitre,nous introduisons la transition géométrique entre le conifold résolu et celui déformé etdans la section 3, nous exposons les variétés de Calabi-Yau toriques qui forment une classed’espaces jouant un grand rôle dans plusieurs domaines physiques notamment dans l’étudedu vertex topologique qui sera considéré avec détails dans le chapitre 5 de ce mémoire.Nous terminons ce chapitre par la construction des diagrammes toriques tout en donnantdes exemples d’applications.2.1 Généralités sur les variétés de CYNous nous intéressons dans cette section aux structures géométriques sur les variétéscomplexes compactes admettant une métrique de Kähler à courbure de Ricci nulle [95].Mais avant d’aborder les propriétés remarquables de ces variétés, il est intéressant decommencer par rappeler quelques notions géométriques utiles.23

2.1 Généralités sur les variétés de CY2.1.1 Variétés complexesa) Généralités : Les variétés complexes M de dimension complexe n (dim C = n) sontavant tout des variétés de dimension réelle dim R = 2n où chaque point (x 1 , ..., x 2n ) peutêtre décrit par n coordonnées locales complexes (z 1 , . . . z n ) avec z k = x k + ix n+k . Sur cesvariétés complexes M, vivent entre autres, les objets suivants :i) Une structure presque complexe portée par un champ d’opérateur J vérifiant J 2 = −I d ;il définit une transformation linéaire globale dans l’espace tangent à M en tout point P :J : T p M → T p M ∀ P ∈ M.ii) Une métrique hérmitienne G satisfait la condition :G(X, Y ) = G(JX, JY ),où X, Y sont des champs de vecteurs sur M. En coordonnées complexes (z 1 , . . . z n ), lamétrique G peut être réalisée comme suit :G = G j¯k dz j ∧ d¯z¯k.(2.1)Nous allons nous intéresser surtout aux variétés complexes compactes dont les plus étudiéesdans la littérature sont les variétés algébriques projectives X . Ces variétés sont des sousvariétés de l’espace projectif complexe à n dimensions X ⊂ CP n avec :CP n = {droites vectorielles de C n }= { C n+1 \ {0} /C ∗} . (2.2)A titre d’exemple, signalons que les courbes complexes compactes, qui ne sont autres queles surfaces réelles de Riemann, sont des sous variétés compactes à une dimension complexequi se réalisent comme des hypercourbes dans CP 2 .b) Variétés Kahlériennes : Une variété Kahlérienne K ou variété de Kahler tout courtest la donnée d’une structure presque complexe J sur une variété différentielle M et d’unemétrique hermitienne G. La 2- forme antisymétrique K associée à K définie par :K(X, Y ) = G(X, JY ), (2.3)vérifie la condition de fermeture suivante :dK = 0. (2.4)La forme de Kahler K, qui s’écrit en coordonnées réelles comme K = 1J 2 [µν]dx µ ∧ dx ν avecµ, ν = 1, · · · , 2n, peut être exprimée en coordonnées complexes comme :K = i 2 G j¯kdz j ∧ d¯z, j, k = 1, · · · , n, (2.5)24

Variétés de CY et Géométrie Toriqueoù la métrique G vérifiant (2.4) est définie localement en terme du potentiel de Kahler Kcomme suit :G i¯j = ∂ i ∂¯jK. (2.6)Les composantes G ij et leurs complexes conjuguées Gī¯j sont nulles.c) Formes différentielles sur M : Sur une variété complexe Kahlerienne M, on définitgénéralement les formes différentielles réelles ω = ω [µ1···µ s ]dx µ 1 · · · dxµ s de degré s ≤ 2navec les (p, r)-formes de degré d’holomorphicité p ≤ n et d’antiholomorphicité r ≤ n sontdonnées par :ω = ω i1···i p j 1···j rdz i 1∧ · · · ∧ dz i p∧ d¯z¯j 1∧ · · · ∧ d¯z¯j r(2.7)Par conséquent, il est possible de décomposer l’espace Λ s (M) des s-formes differentiablesréelles en une somme directe de (p, r)- espaces Ω p,r (M) comme suit :Λ s (M) =⊕ Ω p,r (M), (2.8)s=p+rconduisant à une décomposition du groupe de cohomologie H s (M) en une somme directedes groupes H p,r (M) [58, 59],et leurs dimensions sont notées parH s (M) =⊕ H p,r (M) (2.9)s=p+rb s = dim H s (M) ,h p,r = dim H p,r (M) ,b s = ∑ s=p+r hp,r ,(2.10)avec b s connu sous le nom de nombre de Betti et vérifie les conditions :h p,r = h r,p , h p,r = h n−p,n−r , dim C M = n , (2.11)Pour le cas de H 3 (M, R), nous avonsH 3 (M, C) = H 3,0 ⊕ H 2,1 ⊕ H 1,2 ⊕ H 0,3 , (2.12)Une autre propriété importante de la variété M est la caractéristique d’Euler notée χ(M)qui est un nombre associé à tout espace topologique. C’est un invariant topologique donnépar la somme alternée des nombres de Betti :χ(M) = ∑ s(−1) s b s = ∑ p,r(−1) p+r h p,r (2.13)25

2.1 Généralités sur les variétés de CYLa caractéristique d’Euler χ(M) est assez facile à calculer si on exprime ce nombre pourles polyèdres selon la formule :χ(M) = V − E + F.Les nombres V , E et F sont respectivement le nombre de sommets (vertex), d’arêtes(”edges”) et de faces dans un polyèdre donné. Pour un cristal cubique avec huit sommets,douze arrêtes et six faces, la caractéristique d’Euler estχ(M) = V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2Ce nombre peut être identifié avec la caractéristique d’Euler du cristal de Calabi-Yau [91].Nous terminons cette sous section par rappeler également les paramètres t i de Kähler quisont donnés par le volume des 2- cycles S i de la variété M :t i = ∫ S iK , i = 1, · · · b 2 (M) ,Les S i définissent une base du groupe d’homologie H 2 (M, Z) des 2-cycles réelles de M.2.1.2 Variétés de Calabi-YauLes variétés de Calabi-Yau sont particulièrement utilisées en théorie des supercordes[97]. Elles préservent une partie des charges supersymétriques de la théorie originale à10 dimensions compactifiées vers des dimensions d’espaces temps inférieures. Initialementintroduite par le mathématicien E. Calabi qui a conjecturé en 1957 que ces variétés admettentnécessairement une métrique avec un tenseur de Ricci nul. Cette conjecture futdémontrée par S.Yau en 1977 [98]. Dès lors, la définition précise de ces variétés est devenuetrès technique dont les lignes de base sont comme suit :Les variétés de Calabi-Yau M de dimension n sont des espaces complexes, Kahlériens,compacts ayant un tenseur de Ricci nul R i¯j = 0.Cette condition de courbure de Ricci nulle est équivalente aux équations suivantes :i) Le groupe d’holonomie de M est SU(n).ii) La première classe de Chern c 1 est nulle ; c 1 (T M) = 0.Les variétés de Calabi-Yau admettent de types de déformations : déformations de KahlerK et déformation de la structure complexe Ω (n,0) . Les déformations de la structureKahlerienne d’une variété de Calabi-Yau M de dimension n sont associées au groupe d’homologieH (1,1) de dimension h (1,1) qui classifie les formes avec un indice holomorphique et26

Variétés de CY et Géométrie Toriqueanti-holomorphique.Par ailleurs, sachant que les variétés de Calabi-Yau sont classifiées par les nombres de Bettidéterminant le nombre de formes harmoniques de divers rangs [98], on peut donc décrireexplicitement l’ensemble des paramètres qui caractérisent la structure cohomologique dela variété en considérant le diamant de Hodge :h 0,0h 1,0 h 0,1 . ..(2.14). ..h n,m−1h n,0 · · · h 0,nh n,n h n−1,nParmi les différentes classes des variétés de Calabi-Yau qui ont été utilisées en théorie dessupercordes, on trouve des variétés non compactes qui sont des variétés de Calabi-Yaulocales correspondant à la limite de découplage des degrés de liberté supergravitationnels.2.1.3 Exemples des variétés de Calabi-YauIl n’existe relativement que quelques exemples de variétés de Calabi-Yau connues. Leursconstructions sont généralement justifiées par des applications physiques notamment dansle cadre de la conjecture de symétrie miroir [37],[99] reliant les supercordes type IIA ettype IIB. Dans cette sous section, nous donnons trois exemples.1) Courbes complexesL’exemple le plus simple des variétés de Calabi-Yau compactes de dimension dim C = 1est donné par les courbes complexes (surfaces de Riemann) dont la ligne projective CP 1isomorphe à la sphère S 2 réelle et le tore T 2 = S 1 × S 1 constituent les deux premierséléments. Le diagramme de Hodge du tore est donné par :11 11(2.15)Il a un seul paramètre de Kahler t puisque h 1,1 = 1 et un paramètre complexe τ.27

2.1 Généralités sur les variétés de CY2) Surfaces complexesAu dimension complexe 2, il n’existe que deux variétés de Calabi-Yau à isomorphismeprès. Il s’agit du tore T 4 et de l’espace K3. Sur ce dernier, aucune métrique explicite deRicci n’est connue. Il en va de même pour tous les Calabi-Yau de dimensions supérieuresnon-triviales. Le diagramme de Hodge de la surface K3 est :10 01 20 10 01(2.16)A partir de ce tableau on apprend que h 1,1 = 20 et le nombre de Betti b 2 = 22.3) Dimension complexe 3A partir de la dimension complexe 3 (6 dimensions réelles), le nombre de variétés deCalabi-Yau devient infini et il n’existe pas encore une classification générale. On peutconstruire toutefois un grand nombre de variétés possédant, en plus, la propriété d’être desvariétés toriques.i) Variété locale CP 1De la même façon, la variété complexe locale CP 1 est représentée par quatre coordonnées(x 1 , x 2 , z 1 , z 2 ) soumises à la condition (z 1 , z 2 ) ≠ (0, 0) où C ∗ est une action torique qui agitsur C 2 de la façon suivante (x 1 , x 2 , z 1 , z 2 ) ∼ (λ −1 x 1 , λ −1 x 2 , λz 1 , λz 2 ).L’espace total résultant est donné par la fibration de la surface O(−1) ⊕ O(−1) au dessusde la base CP 1 ; soit : O(−1) ⊕ O(−1) → CP 1 et peut être vu comme la somme de deuxfibrés en ligne sur la courbe projective complexe CP 1 paramétrisée par les deux variables(z 1 , z 2 ) en ajoutant 4 directions non compactes portées par les variables (x 1 , x 2 ) . Signalonsau passage que cet exemple représente le conifold résolu qui sera examiné en détail lors dela prochaine section.ii) Variété locale CP 2C’est une variété de Calabi-Yau non compacte à trois dimensions complexes pramétrisée28

Variétés de CY et Géométrie ToriqueFig. 2-1 – Une représentation géométrique de la courbe locale de base CP 1 et de fibreO(−1) ⊕ O(−1).par quatre coordonnées complexes (x, z 1 , z 2 , z 3 ) modulo la relation d’équivalence :{(z1 , z 2 , z 3 ) ≠ (0, 0, 0) | (x, z 1 , z 2 , z 3 ) ∼ ( λ −3 x, λz 1 , λz 2 , λz 3), λ ∈ C∗ } (2.17)Fig. 2-2 – Représentation de la géométrie CP 2 locale.Cet espace peut être considéré mathématiquement comme l’espace total du fibré enligne O(−3) → CP 2 . Autrement dit, la variété locale CP 2 peut être vu localement commeétant le produit de CP 2 ×C où la base CP 2 est paramétrisée par les coordonnées (z 1 , z 2 , z 3 )sur lesquelles vit une courbe complexe C paramétrisée par la coordonnée complexe x. Dansce cas, on a quatre directions réelles compactes et deux non compactes.iii) Variété locale CP 1 ×CP 1Pour décrire la variété locale CP 1 ×CP 1 , il faut utiliser cinq coordonnées complexes (x, y 1 , y 2 , z 1 , z 2 )29

2.2 Conifoldavec (y 1 , y 2 ) ≠ (0, 0), (z 1 , z 2 ) ≠ (0, 0) et l’identification(x, y 1 , y 2 , z 1 , z 2 ) ∼ (λ −1 µ −1 x, y 1 , y 2 , µz 1 , µz 2 ).L’espace total donné par O(−2, −2) → CP 1 ×CP 1 ; est paramétrisé par quatre directionscompactes et deux directions non-compactes dont le fibré normal est isomorphe àO(−2, −2).2.2 ConifoldUne autre classe des exemples concernant les variétés de Calabi-Yau est étalée dans[108, 111] dont les grandes lignes sont présentées comme suit. Nous présentons dans unpremier temps le conifold singulier et ses déformations de Kahler et complexe. Ensuite, nousconsidérons la transition géométrique qui permet de relier les deux versions du conifold.2.2.1 Conifold singulierLe conifold singulier est une variété algébrique définie par la relation suivante [111],z1 2 + z2 2 + z3 2 + z4 2 = 0. (2.18)C’est donc une hypersurface de l’espace complexe de C 4 ∼ R 8 . En décomposant z en partieréelle et partie imaginaire z i = x i + iy i , l’équation ci-dessus se scinde comme suit :∑ 4k=1 (x2 k − y2 k ) = 0 ,2i ∑ 4k=1 x ky k = 0 .(2.19)Pour déterminer la base du conifold, nous considérons l’intersection entre l’équation (2.18)et la sphère réelle S 7 de dimension 7 et de rayon r contenue dans l’espace réelle R 8 ,|z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 + |z 4 | 2 = r 2 . (2.20)qui s’écrit également sous la forme :∑ 4k=1 (x2 k + y2 k ) = r2 , avec z i = x i + iy i (2.21)les équations de l’intersection peuvent être exprimées comme suit :⃗x 2 = r2 2et ⃗y 2 = r2 ,2⃗x.⃗y = 0. (2.22)30

Variétés de CY et Géométrie ToriqueLe premier terme de ces relations décrit la sphère S 3 d’équation ⃗x 2 = r2 2 . L’équation ⃗y2 = r2 2avec ⃗x.⃗y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 = 0 paramétrise la sphère S 2 fibrée sur la sphère S 3 .Ainsi, nous interprétons les variables x k comme des coordonnées de la sphère S 3 ∼ SU(2)et les y k comme celles de la sphère S 2 ∼ SU(2) de rayon r/ √ 2. En fixant les xU(1)k , les variablesy k doivent être orthogonales à ⃗x et se déplacent sur la sphère S 2 . Ainsi, le conifold singulierest un cône de base S 3 × S 2 et la singularité correspond au point x = y = 0 comme lemontre la figure (2-3) suivanteFig. 2-3 – Conifold singulierLa base S 3 × S 2 du conifold singulier peut alors être vue comme la variété :B = SU(2) × SU(2)U(1) , (2.23)qui est isomorphe à SO(4) . Après avoir décrit la singularité du conifold, nous étudionsU(1)maintenant la levée de la dégénérescence qui peut être déformée de deux façons : (i) parremplacement du point singulier en utilisant une sphère S 2 , ce qui conduit au conifoldrésolu. (ii) en remplaçant le point singulier par une sphère S 3 , ce qui conduit au conifolddéformé [60, 97, 99, 111, 112].2.2.2 Conifold déformé et conifold résoluDans ce paragraphe, nous étudions les deux façons de résoudre la singularité du conifold,à savoir la déformation de la structure complexe et la résolution de la structure de Kahler.a) Conifold déforméDans le système de coordonnées locales (z i ), la déformation complexe de la singularité duconifold correspond tout simplement à la déformation de l’éq.(2.18) qui devient alors :z1 2 + z2 2 + z3 2 + z4 2 = µ, (2.24)31

2.2 Conifoldoù µ est un nombre complexe. Cette hypersurface algébrique de C 4 décrit précisément leconifold déformé T ∗ S 3 dont la base S 3 est donnée par la partie réelle de cette relation. Parune transformation linéaire des coordonnées w 1,3 = z 3 ∓ iz 4 et w 2,4 = iz 1 ∓ z 2 , on peutramener l’equation ci-dessus à la forme usuelle suivante :w 1 w 2 − w 3 w 4 = µ. (2.25)En outre, le fait que la base S 3 est obtenue en posant w 2 = ¯w 1 , w 4 = − ¯w 3 , cette relationest généralement invariante sous l’action(w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ) → ( )e −iα w 1 , e iα w 2 , e −iβ w 3 , e iβ w 4 (2.26)où les paramètres α et β sont associés respectivement aux 1-cycles (1, 0) et (0, 1) de T 2 .Ces deux 1-cycles se dégénèrent respectivement aux lieux w 1 = w 2 = 0 ou w 3 = w 4 = 0qui correspondent aux deux géométries cylindriques suivantes :w 3 w 4 = −µ ,w 1 w 2 = +µ .(2.27)Ces géométries décrivent des courbes complexes ; soit des surfaces de Riemann non compactes.La structure de la fibration du conifold déformée est donnée par la base R 3 paramétriséepar les axes de ces cylindres et Re (w 1 w 2 ) . Ainsi la fibre T 2 × R du conifold estreprésentée par les cycles α et β et l’imaginaire de w 1 w 2 .Fig. 2-4 – Conifold déformé32

Variétés de CY et Géométrie Toriqueb) Conifold résoluLa singularité conique peut également être résolu par déformation de la structure de Kahler.Cette résolution consiste à remplacer le conifold singulier z1 2 + z2 2 + z3 2 + z4 2 = 0 par unevariété lisse appelée conifold résolu dont l’expression est défini par :− |z 1 | 2 − |z 2 | 2 + |z 3 | 2 + |z 4 | 2 = t, (2.28)ensemble avec une action U(1)(z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) → ( )e −iα z 1 , e −iα z 2 , e iα z 3 , e iα z 4 . (2.29)Le conifold résolu est donné par O(−1) ⊕ O(−1) → P 1 où la droite projective P 1 estidentifiée à S 2 . Les deux pièces O(−1) correspondent aux ouverts U 123 = (z 1 , z 2 , z 3 ) avecz 4 ≠ 0 et U 124 = (z 1 , z 2 , z 4 ) avec z 3 ≠ 0.Fig. 2-5 – Conifold résoluDans ce qui suit nous fixons notre attention sur l’étude de la transition géométriquedu conifold vue ses nombreuses applications en théorie des cordes topologiques et dans lacompréhension de certaines dualités en théorie des supercordes type II [107, 108].2.2.3 Transitions géométriquesUne transition géométrique de l’espace de compactification d’une théorie des supercordesest un changement de sa topologie pour lequel la physique est inchangée. On distingueessentiellement deux types de transitions : la transition du conifold et la transitionde flop (flop transition).33

2.3 Variétés de CY toriquesFig. 2-6 – Transition géométrique entre le conifold déformé T ∗ S 3 et le conifold résolu.Il est intéressant de remarquer que la théorie des cordes puisse donner des résultats équivalentsau niveau de la théorie effective à 4 dimensions lorsqu’elle est compactifiée sur deuxvariétés de Calabi-Yau à trois dimensions différentes reliés par une transition géométrique.C’est le passage du conifold résolu O(−1) ⊕ O(−1) → CP 1 à celui défomé T ∗ S 3 [110],[111]et vice versa [106] :O(−1) ⊕ O(−1) → CP 1 ↔ T ∗ S 3 .La dégénérescence du 2-cycle S 2 du conifold résolu est accompagnée de l’apparition d’un3-cycle S 3 du conifold déformé et réciproquement comme le montre la figure (2-6). En effet,la transition géométrique permet de relier les versions du conifold et constitue une dualitéentre les théories des cordes vivant sur ces deux géométries non-singulières. Cette propriétéest à la base de la conjecture de Gopakumar et Vafa qui ont proposé que la théorie de cordetopologique ouverte sur le conifold résolu est duale à la théorie de la corde topologiquefermée sur le conifold déformé. En language de théorie des champs, cette dualité relie lesthéories de jauge et celles gravitationnelles ; elle est communément connue sous le non dedualité jauge-gravité ou dualité corde ouverte-corde fermée. Cette dualité sera étudiée dansle chapitre 3 dans le cadre de la théorie de cordes topologiques.2.3 Variétés de CY toriquesLes variétés toriques constituent un sujet d’actualité et possèdent un grand intérêt enthéorie des cordes. Elles forment une classe de variétés suffisamment riche pour permettreà la fois de tester et illustrer diverses conjectures en théorie de cordes. Elles ont ses applicationsdans de nombreuses branches en mathématiques, notamment en topologie et dans34

Variétés de CY et Géométrie Toriquela compactificatoion des théories des supercordes.L’un des objectifs de cette section est d’exhiber explicitement la condition de Calabi-Yaudans le cadre de la géométrie torique [114, 115]. Ainsi, après avoir introduit quelques propriétésessentielles, nous étudierons différentes formulations de la condition de Calabi-Yaupour les variétés toriques. Nous montrons en particulier que la variété de Calabi-Yau toriquedoit être non compacte. Nous donnons également une description intuitive de la géométrietorique en utilisant le ”quotient symplectique” [113]. Cette description diffère de laprésentation mathématique habituelle de la géométrie torique, mais permet néanmoins decomprendre les constructions géométriques des variétés toriques, leur sous-variétés lagrangiennesspéciales et leurs réalisations en terme des modèles sigma linéaires supersymétriques[116].2.3.1 Variétés toriquesLes variétés toriques peuvent être décrites soit à l’aide de Fans [117]- [118] et descoordonnées homogènes [119], ou être considérées comme des variétés symplectiques, ouencore comme une branche de Coulomb de l’espace des états supersymétriques du modèlesigma linéaire Jaugé (GLSM : Gauged Linear Sigma Model) [50]- [122].Rappelons tout d’abord la définition d’une variété torique. Pour cela, on considère l’espacecomplexe C m muni d’une action par un tore algébrique (C ∗ ) p , p < m ainsi que le sousensemble U ⊂ C m fixé par un sous-groupe de (C ∗ ) p . Le quotient géométriqueM = Cm \UG(2.30)dont les classes d’équivalence suivantes :(w 1 , ..., w m ) ∼ (λ Q1 aw 1 , ..., λ Qm aw m ) a = 1, ..., m − 3. (2.31)est une variété torique de dimension trois complexe. De cette définition découle que, lesespaces complexes projectifs CP n sont des variétés toriques. A titre d’exemple le planprojectif CP 2 est une variété torique donnée par,CP 2 = (C 3 \{0})/C ∗ ,où le quotient est défini par la relation d’équivalence suivante :(x, y, z) ∼ λ(x, y, z), où λ ∈ C ∗ . (2.32)35

2.3 Variétés de CY toriquesEn général, une variété torique de dimension complexe n est une fibration en tore T n (d’oùle nom torique) sur un espace de base B n réelle linéaire (pas nécessairement compact) avecdes bords où des 1-cycles de T n dégénèrent. Dans le cas où la base B n est compacte, lavariété torique résultante sera aussi compacte. Cette variété torique est bien adaptée àl’espace complexe C n qui est alors réalisé comme une fibration en tore T n sur une sousvariétéLagrangienne L de C n en utilisant l’action U(1) :z i → z i e iθ i, θ i ∈ [0, 2π] . (2.33)Localement, nous pouvons écrire C n comme suit :C n ≈ O + × T noù O + désigne le "octant positif" (|z i | 2 0). Cette réalisation signifie que chaque point deO + ∼ R n + est attaché au produit de n cercles obtenus en fixant |z i | et en laissant θ i variable.Il s’ensuit que la sous variété lagrangienne pour θ i = cte est isomorphe au segment positifR n qui est représenté par |z i | 2 ≥ 0, avec i = 1, · · · n, au lieu de |z i | afin de rendre la baselinéaire 1 . L’action de T n avec l’action de U(1) n qui agit sur |z i | 2 recouvrent la variété C n .Par la suite, on peut construire un grand nombre de variétés de Calabi-Yau qui possèdent,en plus, la propriété d’être des variétés toriques.2.3.2 Variétés de Calabi-Yau toriquesLes variétés de Calabi-Yau toriques à n-dimensions ; en particulier à trois dimensionscomplexes, possèdent une application moment particulière 2 . En effet considérons les coordonnéescomplexes z 1 , · · · , z k de la variété C k etµ a : C k → C (2.34)l’application moment avec a = 1, · · · , k − 3 est défini comme suit :k∑Q i a|z i | 2 = Re(t a ), (2.35)i=1où t a sont des modules complexes. La condition de Calabi-Yau impose quek∑Q i a = 0, (2.36)i=11 la projection de l’espase de base ∣ ∣z i∣ ∣ → ∣ ∣z i∣ ∣ 2 est appelée aussi le moment map2 l’action hamiltonnien d’un groupe de Lie sur une variété symplectique est associée à une applicationappelée l’application moment.36

Variétés de CY et Géométrie Toriqueet l’action du groupe G = U(1) k−3 sur les coordonnées est définie par :z j → exp(iQ j aα a )z j , a = 1, ..., k − 3. (2.37)Il s’avère qu’il existe une procédure très générale, dite de quotient symplectique, qui permetde définir la variété de Calabi-Yau torique à trois dimensions comme suit :M = ∩k−3 a=1µ −1 (Re(t a )), (2.38)Goù les k − 3 paramètres t a sont les modules de Kahler complexifiés.La description de la variété torique a également une réalisation physique en terme demodèles sigma linéaires supersymétriques. C’est une théorie de jauge à deux dimensionsde groupe de jauge U(1) k−3 impliquant k − 3 superchamps vectoriels V a = V a(x, θ± , ¯θ ±)et k superchamps chiraux Φ iΦ i (x, θ ± ) = z i (x) + θ + ψ −i (x) + θ − ψ +i (x) + θ + θ − F −i (x) , (2.39)dont les éléments scalaires sont précisément les variables z i et ou les Q i a sont alors les chargesdes superchamps Φ i sous le groupe de jauge U(1) k−3 . Il s’ensuit que dans la branche deCoulomb, les états supersymétriques de la théorie sont représentés par les équations deschamps auxiliaires D a = V a | θ 2 l’éq(2.35). En d’autres termes, la branche de Coulomb de±¯θ2 ±l’espace des états supersymétriques du GLSM est une variété torique M définie commedans éq(2.38). Une variété torique est de Calabi-Yau si et seulement si les charges Q i a∑satisfont la condition k Q i a = 0 quelque soit la valeur de a.i=12.3.3 Sous-variétés spéciales lagrangiennes (SSL)Une sous variété spéciale lagrangienne L de dimension réelle n d’un espace de Calabi-Yau de dimension complexe n munie d’une (1, 1)-forme de Kahler ω et de (n, 0)- formeholomorphe Ω est définie par [77, 78] :ω| L ≡ 0, Im Ω = 0. (2.40)Dans l’espace Euclidien R 2n = C n de coordonnées complexes (z 1 · · · z n ) avec z i = |z i | e iθ i,on distingue deux types (SSL) que nous noterons dans ce qui suit par L et M :(1) Sous variété spéciale lagrangienne LUne sous-variété spéciale lagrangienne L de dimension réelle n dans C n telle que la restrictionde ωω =n∑d |z i | 2 ∧ dθ i , (2.41)i=137

2.3 Variétés de CY toriquessur L est nulle. Cette condition correspond à fixer les angles θ iθ i = constante . (2.42)Ainsi, la sous variété lagrangienne spéciale L n’est autre que R n + comme on peut le voirsur la relation ci-dessus en prenant θ i = 0 mod 2π. A titre d’exemple, le plan complexe C 2de coordonnée (z 1 , z 2 ) = ( |z 1 | e iθ 1, |z 2 | e 2) iθ peut être vue comme une fibration T 2 sur R 2 +.Notons que la fibre T 2 dégénère en un cercle S 1 sur les bords |z i | = 0 ; soit sur les deuxdemi droites R + = ∂R 2 + et en un point à l’origine (0, 0). La sous-variété Lagrangienne Lde C 2 correspond tout simplement θ 1,2 = const qui est isomorphe au quart du plan réel.Fig. 2-7 – C 2 est une fibration T 2 sur (R + ) 2 .(2) Sous variété spéciale lagrangienne MCe type de variété spéciale lagrangienne M = D r × T n−r de l’espace complexe C n estréalisée comme une fibration en tore T n−r sur chaque point du sous-espace linéaire D r dedimension r ≤ n. Le sous espace D r ∼ R r + est caractérisé par les (n − r) contraintes :n∑i=1qui réduisent l’espace R n + en D rq α i∣ zi ∣ ∣ 2 = c α α = 1, · · · , n − r. (2.43)∼ R r + paraméterisé par r coordonnées réelles s β . Pourchaque valeur fixée α, nous définissons un hyperplan où les nombres entiers q α i avec i =1..., n sont des vecteurs des charges normales et c α sont des constantes. Il s’ensuit que |z i | 2sont exprimées en fonction des s β par le biais r vecteurs vβ i dont l’équation est donnée par :∣ zi ∣ ∣ 2 = v i βs β + d i β = 1, · · · r (2.44)où d i sont des constantes et s βsont des coordonnées qui paramétrisent la sous variété38

Variétés de CY et Géométrie Toriquelagrangienne D r avec les deux conditions ∑ ni=1 qα i vβ i = 0 et qα i d i = c α . La restriction de ωn∑ω = d ∣ ∣ zi 2 ∧ dθ ii=1= ∑ vβds i β ∧ dθ i (2.45)i,β= ∑ i,βds β ∧ d ( v i βθ i) .sur M est nulle et correspond à imposer la contrainte suivante :n∑vβθ i i = 0. (2.46)Cette condition est satisfaite en utilisant la condition q α i v i βcontrainte :i=1θ i = q i αϕ α ,= 0 et en choisissant laoù les ϕ α représentent les angles qui paramétrisent le tore T n−r . En fait, l’informationsur la fibration torique d’une variété de Calabi-Yau torique est codée dans le diagrammetorique qui paramétrisent le lieu de dégénérescence de la fibration [63, 70, 113].2.3.4 Diagrammes toriquesLes diagrammes toriques des variétés de Calabi-Yau sont des graphes qui représententle lieu de dégénérescence de la fibration. Dans le cas des CY3, on trouve deux types degraphes selon la fibration en tore T 3 ou la fibration en R × T 2 [71, 113]. Dans cette soussectionnous illustrons quelques exemples de fibrations.Fibration en T 3Le diagramme torique de O(−3) → CP 2 avec une fibration T 3 est défini comme étantun graphe à trois dimensions et correspond au bord de L où T 3 dégénère en T 2 jusqu’àce qu’il soit un point sur le sommet. Afin de trouver ce diagramme, nous commençons pardéfinir l’application moment donnée par :|z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 − 3 |z 4 | 2 = t, (2.47)où t est le paramètre de Kahler. L’intersection des plans|z 1 | 2 = 0, |z 2 | 2 = 0, |z 3 | 2 = 0 et |z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 = tf permet de représenter le diagramme torique de O(−3) → CP 2 .39

2.3 Variétés de CY toriquesz3z1z2Fig. 2-8 – La base torique de P 2 .Fibration T 2 × RDans cette fibration, un diagramme torique de la variété de Calabi-Yau torique noncompacte à 3 dimensions est un diagramme à deux dimensions qui représente les lieux dedégénérescence de la fibration T 2 × R sur la base de R 3 .1) Le Vertex C 3La variété C 3 est un espace total de la fibration T 2 × R sur R 3 . Nous pouvons l’interprétercomme un espace de phase avec des coordonnées canoniques z i et le moment conjugué ¯z i∑où i = 1, 2, 3 où la forme symplectique donnée par ω = i 3 dz i ∧ d¯z i . Nous considéronsles trois Hamiltoniens suivants :i=1r α = |z 1 | 2 − |z 3 | 2r β = |z 2 | 2 − |z 3 | 2r γ = Im(z 1 z 2 z 3 ),(2.48)qui définissent la base R 3 de la fibration. Le crochet de poisson {., .} associé à ω généretrois flux sur C 3 :∂ ɛ z i = {r ɛ , z i } .Alors que l’action de T 2 est donnée par :e iαr α+iβr β : (z1 , z 2 , z 3 ) → ( )e iα z 1 , e iβ z 2 , e −i(α+β) z 3avec α, β ∈ [0, 2π] tandis que la fibre R est générée par l’hamiltonien r γ .40

Variétés de CY et Géométrie Torique(0,1)(1,0)(−1,−1)Fig. 2-9 – Le lieu de dégénérescence de la fibration T 2 × R de C 3 dans la base, R 3 = (r α , r β , r γ )En effet, le vertex trivalent correspond au lieu de dégénérescence du tore T 2 dans le sousespace R 2 de la base R 3 . Cette base est représentée par trois vecteurs v i = (p i , q i ) à deuxdimensions : v 1 = (−1, −1) , v 2 = (0, 1) et v 3 = (1, 0) et satisfait les conditions suivantes :∑ 3i=1 v i = 0v i ∧ v j = p i q j − q i p j = 1.Le cycle paramétrisé par α = (0, 1) dégénère sur le sous-espace r α = r γ = 0, r β ≥ 0 oude manière équivalente sur z 1 = z 3 = 0. Le cycle indexé par l’indice β = (1, 0) dégénèresur le sous-espace r β = r γ = 0, r α ≥ 0 ou en terme de z i sur z 2 = z 3 = 0. Finalement, lecycle indexé par α + β dégénère sur le sous-espace r β − r α = r γ = 0, r α ≤ 0, de manièreéquivalent sur z 2 = z 1 = 0.2) La variété CP 1 Locale : O(−1) ⊕ O(−1) → CP 1Le conifold résolu est une variété de Calabi Yau non compacte qui admet une descriptiontorique paramétrisée par quatre coordonnées complexes :z 1 z 2 z 3 z 4Q i 1 1 −1 −1où les charges Q i sont les charges qui correspondent à l’action torique sur les coordonnéeshomogènes z i avec la condition de Calabi-Yau ∑ Q i = 1 + 1 − 1 − 1 = 0. Cette variété estidéfinie comme un espace avec la condition suivante :|z 1 | 2 + |z 2 | 2 − |z 3 | 2 − |z 4 | 2 = t. (2.49)41

2.3 Variétés de CY toriquesFig. 2-10 – la base torique de la géométrie locale CP 1On peut représenter le conifold résolu de deux manières selon la fibration :i) la fibration en tore T 3 dont les équations de bords de la base sont données par leséquations suivantes :|z 1 | 2 = 0,|z 2 | 2 = 0,|z 3 | 2 = 0,|z 1 | 2 + |z 2 | 2 − |z 3 | 2 = t.Les intersections de ces plans donnent le diagramme torique du conifold résolu.ii) la fibration en tore T 2 × R. Dans ce cas, le conifold résolu peut être représenté d’unemanière systématique via la procédure de collage de deux vertex C 3 . Le premier U 1 peutêtre défini par z 1 ≠ 0 ou représenté en termes de trois coordonnées (z 2 , z 3 , z 4 ), dont leshamiltoniensr α = |z 3 | 2 − |z 2 | 2(2.50)r β = |z 4 | 2 − |z 2 | 2caractérisent le graphe trivalent de C 3 . Alors que pour le vertex U 2 défini par z 2 ≠ 0, lesfonctions (2.50) peuvent être réécrites en termes de coordonnées (z 1 , z 3 , z 4 ) en utilisant lacondition (2.49), et les hamiltoniens seront donnés par :r α = |z 1 | 2 − |z 4 | 2 − tr β = |z 1 | 2 − |z 3 | 2 − t.Ces fonctions génèrent l’action de cercle :exp(iαr α + iβr β ) : (z 1 , z 3 , z 4 ) → (e i(α+β) z 1 , e −iβ z 3 , e −iα z 4 ).Dans ce vertex U 2 :Le cycle (0, 1) dégénère lorsque r α ≤ −t et r β = −t.42

Variétés de CY et Géométrie ToriqueLe cycle (−1, 0) dégénère lorsque r α = −t et r β ≤ −t.Le cycle (1, −1) dégénère lorsque r α − r β = 0 et r α ≥ −t.Les deux vertex sont reliés par le point commun donné par r α − r β = 0 avec t est leparamètre de Kahler associé au volume de CP 1 .Dans l’espace total O(−m 1 ) ⊕ O(−m 2 ) → P 1 qui s’est décrit comme le quotient de C 4 par(0,1)U1(1,0)(−1,−1)(−1,0)(1,1)U2(0,−1)Fig. 2-11 – Les vecteurs sont représentés par les cycles dégénérés sur les lignes.l’action suivante :(z 0 , z 1 , z 3 , z 4 ) → (sz 0 , sz 1 , s −m 1z 2 , s −m 2z 3 ), s ∈ C ∗ ,où la condition de Calabi-Yau est satisfaite lorsque m 1 + m 2 = 2. Les quatre diagrammestoriques sont représentés dans la figure (2-12).Fig. 2-12 – Quatre diagrammes toriques de l’espace total O(−m 1 ) ⊕ O(−m 2 ) → P 13) La variété CP 2 Locale : O(−3) → P 2Le diagramme torique de la variété de Calabi-Yau torique O(−3) → P 2est construit à43

du vertex U 3r α = |z 1 | 2 − |z 0 | 22.3 Variétés de CY toriquespartir la règle de collage de trois vertex C 3 . Dans ce cas, on considère quatre coordonnéesz 0 , z 1 , z 2 , z 3 , avec la contrainte de D-terme :|z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 − 3|z 0 | 2 = t (2.51)Alors, on définit trois patchs U i avec z i ≠ 0, i = 1, 2, 3, puisque l’une de ces trois coordonnéesdoit être non nulle dans la variété X.(−1,2)U2(0,−1)(1,−1)U 3(0,1)(−1,1)U1(−1,−1)(1,0)(−1,0)(2,−1)Fig. 2-13 – Diagramme torique O(−3) → P 2 . Le collage de trois vertex trivalent C 3 .a) Dans le vertex U 3 = (z 0 , z 1 , z 2 ) où z 3 ≠ 0, les hamiltoniens r α et r β sont donnés parr α = |z 1 | 2 − |z 0 | 2r β = |z 2 | 2 − |z 0 | 2 .b) Dans le cas de vertex U 2 = (z 0 , z 1 , z 3 ) où z 2 ≠ 0, l’hamiltonien r α est le même que celuiEn revanche nous utilisons la contrainte éq(2.51), r β s’écrit comme :r β = t + 2|z 0 | 2 − |z 1 | 2 − |z 3 | 2avecexp(iαr α + iβr β ) : (z 0 , z 1 , z 3 ) → (e i(−α+2β) z 0 , e i(α−β) z 1 , e −iβ z 3 ).c) Le dernier vertex U 1 avec z 1 ≠ 0 est exprimé en termes de (z 0 , z 2 , z 3 ). En utilisant lacontrainte (2.51), les hamiltoniens sont donnés par :r α = t + 2|z 0 | 2 − |z 2 | 2 − |z 3 | 2r β = |z 2 | 2 − |z 0 | 244

H.JehjouhLes diagrammes toriques sont fréquemment confondus avec ceux de Feynman. Ces diagrammessemblent être un premier pas vers une meilleure compréhension de vertex topologique.Les variétés toriques sont caractérisées par un graphe torique où les cycles d’unefibration T 2 se dégénèrent. On montre dans les chapitres suivants comment calculer toutesles fonctions de partition des variétés de Calabi-Yau grâce aux diagrammes toriques. C’estdonc un outil utile et très puissant pour réaliser les calculs des amplitudes en théorie descordes topologiques.45

Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordes46

Chapitre 3Cordes et Invariants TopologiquesSuite aux développements réalisés dans le cadre de la théorie des supercordes et leurscompactifications à 4 dimensions [9, 39, 45, 79, 90], la corde topologique quoique non physiques’est avérée un outil approprié pour approcher la description d’un grand nombre degrandeurs physiques. Elle a fourni plusieurs prédictions totalement imprévues en géométriecomplexe symplectique [37, 102]. C’est le cas par exemple du lien des cordes topologiquesavec les invariants de noeuds [18, 126, 127], les invariants de Gromov-Witten [128, 129]et les diagrammes toriques des variétés de Calabi-Yau interprétées comme des graphes deFeynman de la théorie topologique [97, 153]. Ces aspects géométriques ont joué un rôleimportant dans le développement de la théorie des supercordes type II sur les variétés deCY à trois dimensions complexes ; en particulier dans l’étude des trous noirs [17, 46, 47].Dans ce chapitre, nous introduisons certains aspects de la théorie des cordes topologiques ;en particulier ses deux versions type A et type B. Ensuite nous étudions les branes topologiquesdu modèle A et du modèle B ; après quoi, nous considérons la dérivation de diversinvariants topologiques.3.1 Théorie des cordes topologiquesLa théorie des cordes topologiques est essentiellement une théorie conforme bidimensionnelletwistée couplée à la gravité à 2D. C’est aussi un modèle sigma non linéairebidimensionnel dont l’espace cible X est une variété de Calabi-Yau à trois dimensionscomplexes [138, 140]. Il existe deux versions principales de corde topologique :(1) le modèle de corde topologique type A auquel nous nous référons souvent par modèleA et qui conduit aux invariants de Gromov-Witten.47

3.1 Théorie des cordes topologiques(2) le modèle topologique type B ou modèle B lié aux déformations de la structure complexede la variété de Calabi-Yau X.Les amplitudes dans la théorie de corde topologique incluent toutes les quantités holomorphesde la théorie de supercorde standard dont les valeurs sont protégées par la supersymétried’espace-temps. Les calculs de ces invariants topologiques sont étroitementliés à la théorie de Chern-Simons, aux invariants Gromov-Witten et bien d’autres modèles[39, 60, 136, 139, 140, 141, 142, 143].Dans cette section, nous étudions quelques aspects de la théorie supersymétrique N = (2, 2)que nous noterons généralement comme N = 2. Pour cela, nous commençons par introduirel’algèbre superconforme N = 2 et deux types de modèles ayant cette superalgèbrecomme symétrie sous-jacente en occurrence le modèle sigma non-linéaire N = 2 et le modèleGinzburg-Landau supersymétrique. Ensuite, nous examinons avec quelques détails lemodèle A et le modèle B qui sont liés entre eux par la symétrie miroir.3.1.1 Modèle sigma non linéaire N = 2En théorie quantique des champs, un modèle sigma non linéaire désigne une théoriedans laquelle les champs fondamentaux représentent des coordonnées dans une variétéRiemannienne souvent désignée par espace-cible [35],[144]. En théorie des supercordes compactifiéessur des variétés de Calabi-Yau locale (correspondant à la limite à basse énergie),l’action classique de la supercorde se réduit essentiellement à un modèle non linéaire surdes variétés toriques.L’intérêt de ce modèle provient du fait que la théorie des cordes topologiques peut êtreconstruite à partir des modèles sigma non linéaire N = 2 dont l’espace cible est une variétéde Calabi-Yau de trois dimensions complexes. Dans cette optique, nous proposons de revoirbrièvement et dans un premier temps certains résultats utiles sur la supersymétrie N = 2et son twist. Ensuite nous abordons la corde topologique proprement dite.a) Supersymétrie N=(2,2)Dans les théories superconformes N = 2, le point de départ est la symétrie superconformeN = (2, 2). Cette symétrie se scinde en deux copies isomorphes chacune engendrée parquatre courants conservés vivant sur la surface d’univers : Il s’agit de la super-algèbreconforme hétérotique (2, 0) et sa cousine la superalgèbre (0, 2) dont les courants conservés48

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-branesont respectivement donnés par :super-algèbre (2, 0) : T L , J L , G + L , G− L,super-algèbre (0, 2) : T R , J R , G + R , G− R . (3.1)Ces courants, qui décrivent le tenseur énergie impulsion (T L , T R ), la symétrie R (J L , J R )et les transformations supersymétriques conformes ( G ± L , G± R), correspondent aux secteursholomorphe et anti-holomorphe de la surface d’univers ; c’est à dire :T L = T L (z) , J L = J L (z) , G + L = G+ L (z) , G− L = G− L (z)T R = T R (¯z) , J R = J R (¯z) , G + R = G+ R (¯z) , G− R = G− R (¯z) .Ces courants engendrent respectivement la superalgèbre (2, 0) et (0, 2) qui sont des algèbresgraduées de dimensions infinies.Surperalgèbre (2, 0)Une façon de définir la super-algèbre conforme (2, 0) est en terme des produits des courantsà courtes distances. Ces produits d’opérateurs sont donnés par les relations suivantes :T (z) T (ω)∼T (z) G ± (ω) ∼ 3 2T (z)J(ω) ∼ J(ω)G + (z)G − (ω) ∼ 2c/3(z−ω) 3 + 2J(ω)J(z)G(ω) ∼ ± G± (ω)z−ωJ(z)J(ω) ∼ c/3c/2 2T (ω)+ + ∂ ωT (ω)+ termes reguliers(z−ω) 4 (z−ω) 2 (z−ω)G ± (ω)+ ∂ ωG ± (ω)+ termes reguliers(z−ω) 2 (z−ω)+ ∂ωJ(ω) + termes reguliers(z−ω) 2 (z−ω)(3.2)+ 2T (ω)+∂ ωJ(ω)+ termes reguliers(z−ω) 2 z−ω+ termes reguliers+ termes reguliers z−ωDans ces relations, les variables complexes z et w réfèrent aux coordonnées de la surfaced’univers et le nombre c est la charge centrale de la théorie dont la valeur dépend du typede degrés de libertés dans la théorie. Un fermion libre a un c = 1/2 et un boson réel ac = 1. Les quatre courants intervenants dans la superalgèbre conforme sont des opérateurslocaux exhibant les expansions de Laurent suivantes :T (z) = ∑ n∈ZL n z −n−2 ,J (z) = ∑ n∈ZJ n z −n−1 ,(3.3)G ± (z) = ∑ n∈ZG n±a z −(n±a)− 3 2 .Le paramètre a (0 ≤ a ≤ 1) contrôle les conditions de bords des fermions. Des relationssimilaires sont également valables pour la superalgèbre (0, 2) . Il faudrait noter au passage49

3.1 Théorie des cordes topologiquesque l’étude des représentations de ces superalgèbres était à la base du développement dela théorie des supercordes et des phénomènes critiques de la mécanique statistique à 2D.b) Modèle sigma non linéaireLe modèle sigma non linéaire avec la supersymétrique N = 2 vivant sur une surface deRiemann Σ g (surface d’univers) est une théorie supersymétrque de champs bidimensionnelle.Les champs de base dans cette théorie sont des champs scalaires complexes φ i (z, ¯z)qui peuvent être vus comme des applications de la surface Σ g vers une variété KahlerienneX de dimension n.φ i : Σ g → X ,(z, ¯z) → φ i (z, ¯z) .(3.4)Vu que la théorie est supersymétrique N = 2, il existe également des partenaires deschamps scalaires : ce sont des champs fermioniques ψ i ± et ψī± reliés au φ i par des transformationssupersymétriques.L’action du modèle sigma supersymétrique N = 2 décrivant le couplage de ces champss’écrit sous la formeS = 2t ∫ Σ d2 zg iī(∂z φ i ∂¯z φī + ∂¯z φ i ∂ z φī)+2t ∫ Σ d2 ziψī −D z ψ i −gīi + iψī +D¯z ψ i +gīi + R iīj¯jψ i +ψī +ψ j −ψ¯j− ,(3.5)où t est la constante de couplage qui jouera un rôle important en théorie de corde topologique.Le champg i¯j = ∂ i ∂ j K(φ, ¯φ) (3.6)est la métrique de Kahler alors que le tenseur R iīj¯j est le tenseur de courbure construit àpartir de la connectionΓ i jk = g i¯k∂ j g k¯k. (3.7)La dérivée covariante intervenant dans l’eq(3.5) est définie comme :D¯z ψ i + = ∂ ∂¯z ψi + + ∂φj∂¯z Γi jkψ k +, (3.8)où les fermions ψ i ± et ψī± sont des sections des fibrés()()ψ i + ∈ Γψ i − ∈ ΓK 1 2 ⊗ φ ∗ (T 1,0 X)( )1 ¯K 2 ⊗ φ ∗ (T 1,0 X)où K, ¯K sont les fibrés canoniques et anticanonique de Σ., ψī+ ∈ Γ K 1 2 ⊗ φ ∗ (T 0,1 X)( )1, ψī− ∈ Γ ¯K 2 ⊗ φ ∗ (T 0,1 X) .(3.9)L’action S du modèle sigma non linéaire N = 2 ci-dessus est invariante sous les transformationssupersymétriquesδ = ɛ + Q − − ɛ − Q + − ¯ɛ + ¯Q− + ¯ɛ − ¯Q+ , (3.10)50

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-braneoù Q ± et ¯Q ± sont les générateurs de l’algèbre supersymétrique N = 2 qui est une sousalgèbre de la superalgèbre conforme. Les paramètres fermioniques ɛ − , ¯ɛ − sont les paramètresdu groupe de supersymétrie N = 2 sur la surface d’univers ; ce sont des sections de K 1 2tandis que ɛ + , ¯ɛ + des sections de ¯K 1 2 . Les transformations supersymétriques échangentbosons et fermions et s’écrivent explicitement comme suit :δφ i = ɛ − ψ i + − ɛ + ψ i − , δφī = −¯ɛ − ψī + + ¯ɛ + ψī−δψ i + = −i¯ɛ − ∂ z φ i + ɛ + ψ j −Γ i jmψ m + , δψī + = −iɛ − ∂ z φī − ¯ɛ + ψ¯j−Γī¯j ¯m ψ ¯m +δψ i − = −i¯ɛ + ∂¯z φ i − ɛ − ψ j +Γ i jmψ m − , δψī − = −iɛ − ∂¯z φī + ¯ɛ − ψ¯j+Γī¯j ¯m ψ +. ¯m(3.11)Notons au passage que l’action du modèle sigma non linéaire ne peut pas être globalementdéfinie sur une surface d’univers de genre g ≠ 1. Dans le cas du tore de genre g = 1, lefibré canonique est trivial et les fermions sont donc des scalaires.c) Modèle Landau GinzburgLe modèle Landau-Ginzburg N = 2 sur une variété Kahlerienne de potentiel de Kahler Kest une théorie supersymetrique vivant sur une surface d’univers bidimentionnelle (surfacede Riemann Σ ). En language des superchamps, l’action de ce modèle s’écrit en fonctiondes superchamps chiraux comme suit :∫S Σ = d 2 xd 4 θK ( Φ, ¯Φ ) ∫+ΣΣd 2 xd 2 θW (Φ) + cc, (3.12)où ( x, θ ÷ ±, θ − ±)est le superespace N = 2 à 2D, K = K(Φ, ¯Φ) est le superpotentiel de Kahleret où W = W (Φ) est le superpotentiel holomorphe en Φ.Avec ces rappels sur l’algèbre supersymétrique et les théories superconformes N = 2 à 2D,nous abordons la théorie de corde topologique.d) Algèbre twistée N=2Pour fixer les idées, nous commençons par rappeler les deux propriétés utiles suivantes : (1)La théorie des cordes topologiques est une théorie superconforme N = 2 à 2D twistée. Nousintroduisons les types de twistes possible juste après. (2) Il y a deux manières d’obtenir unethéorie des champs topologiques à partir d’une théorie superconforme N = 2. Ce sont lemodèle-A et le modèle-B auxquels nous avons fait référence auparavant. Ces deux modèlessont évidemment liés et la relation entre eux est donnée par la symétrie miroir.L’algèbre définissant la symétrie sous jacente à toute théorie topologique sur une variété deKahler X peut être formellement obtenue à partir d’un changement de variables linéairesdes courants de l’algèbre superconforme. Ce changement, communément désigné par twist,est défini comme suit :T (z) → ˜T (z) = T (z) ± 1 ∂J(z) , (3.13)251

3.1 Théorie des cordes topologiquesoù le tenseur énergie impulsion T (z) est translaté par un terme 1 ∂J(z). Ce twist translate2les spins conformes s (valeurs propores de L 0 ) de tous les champs chargés Φ q s sous laR-symétrie de charge qs → s ± q 2 .Le tenseur énergie impulsion twisté satisfait les mêmes propriétés que celui de l’algèbrede Virasoro mais avec une charge centrale c = 0 comme le montre les produits à courtesdistances suivants :T (z) T (ω) ∼2T (ω)+(z−ω) 2∂ωT (ω)(z−ω)(3.14)T (z) G (ω) ∼ 2G(ω) + ∂ ωG(ω)(z−ω) 2 (z−ω)T (z)Q(ω) ∼ Q(ω) + ∂ ωQ(ω)(z−ω) 2 (z−ω)T (z)J(ω) ∼ − ĉ + J(w) + ∂ωJ(ω)(z−w) 3 (z−w) 2 (z−ω)Q(z)G(ω) ∼ĉ+ J(w) + T (ω)(z−w) 3 (z−w) 2 z−ωJ(z)J(ω) ∼ĉ(z−w) 2J(z)G(ω) ∼ − G(ω)z−wJ(z)Q(ω) ∼ Q(ω)z−wavec ĉ = c et au lieu des générateurs supersymétriques 3G± , nous avons deux nouvellesquantités G (z) , Q (z) avec les poids conformes 2, 1 respectivementG (z) = ∑ nG n z n−2Q (z) = ∑ nQ n z n−1 . (3.15)Ainsi, étant donné une algèbre superconforme N = (2, 2), on distingue deux choix distinctspour le twist topologique. Ces deux choix qui sont associés aux signes dans l’éq(3.13)mènent à deux théories des cordes topologiques. La théorie avec un signe (−) dans l’éq(3.13)est une théorie de corde topologique de type A ou modèle A tandis que la théorie avec unsigne (+) est associée à la corde topologique de type B ou le modèle B.3.1.2 Modèles A et BIci, nous étudions les modèles topologiques A et B à partir des twists du modèle sigmanon linéaire N = 2 avec les deux courants gauche J L et droit J R dont les groupes decharges R associés seront notés U(1) V et U(1) A . Dans cette objectif, rappelons que laversion euclidienne du groupe de Lorentz SO (1, 1) de la surface de l’univers vue commeune surface Riemann est SO (2) ∼ U(1) E . En utilisant ces groupes de charges, les théories52

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-branede cordes topologiques A et B de groupe de symétrie U(1) tw E sont définies par les twistssuivantsmodèle A : U(1) E → U(1) tw E = U(1) E×U(1) V,U(1)modèle B : U(1) E → U(1) tw E = U(1) E×U(1) A.U(1)Les deux théories twistées sont appelées modèles A et B. Il s’avère que l’algèbre superconformetwistée N = (2, 2) reste inchangée sous la transformation Z 2 .J (z) → J (z) ¯J (¯z) → − ¯J (¯z)Par contre, les spineurs sous U(1) E deviennent après le twist des scalaires de spin conformes ′ = 0 et des vecteurs avec s ′ = 1 sous le groupe U(1) tw E .s = 1 ( 12 → s′ =2 2)− q = 0, 1 pour q = 1, −1. (3.16)Les supercharges scalaires dans les deux modèles A et B sont nilpotantes et sont vuescomme des opérateurs BRST dans les deux modèles :Modèle A : Q A = Q + + ¯Q − , Q 2 A = 0Modèle B : Q B = ¯Q + + ¯Q − , Q 2 B = 0 (3.17)Il est connu que le modèle A dépend des modules de Kähler tandis que le modèle B dépendde la structure complexe de la variété de Calabi-Yau.Modèle AAfin d’obtenir le modèle A, nous redéfinissons les spins des champs comme suit :ψ i + ≡ χ i ∈ Γ (φ ∗ (T 1,0 X)) , ψī + ≡ ψī z ∈ Γ (φ ∗ (K ⊗ T 0,1 X))ψ i − ≡ ψ ī z ∈ (φ ∗ (K ⊗ T 1,0 X)) , ψī− ≡ χī ∈ Γ (φ ∗ (T 0,1 X)).Les champs fermioniques se combinent en un scalaire χ ∈ Φ ∗ (T X) et des 1-formes holomorpheset anti-holomorphes. A la lumière de ces constructions, nous arrivons maintenantà écrire l’action en termes de nouvelles quantités :∫ ( (S = 2t d 2 z g iī ∂z φ i ∂¯z φī + ∂¯z φ i ∂ φī) )z + iψī z∂¯z χ i gīi + iψī ¯z∂ z χīgīi − R iīj¯jψ ī zψī zχ j χ¯jΣ(3.18)Maintenant, nous posons ɛ + = ¯ɛ − = 0 et nous dénotons ɛ − = ¯ɛ + = −ɛ où ɛ est uneconstante fermionique. Nous posons également δ = ɛ(Q + + ¯Q − ). La supersymétrie de typeA est dans ce cas une symétrie scalaire et peut être définie sur des surfaces d’universarbitraires. Dans ce modèle, l’opérateur BRST quiQ A = Q + + ¯Q − , Q 2 A = Q + ¯Q− + ¯Q − Q + = 0,53

3.1 Théorie des cordes topologiquesagit sur les champs via l’anticommutateur et se transforment comme suit :δφ i = ɛχ i δφī= ɛχīδχ i = 0 δχī = 0δψī z = −iɛ∂ z φī + ɛχ¯j Γī¯j ¯m ψ ¯m z δψ ī z = −iɛ∂¯z φ i + ɛχ j Γ i jmψ m¯z .(3.19)La remarque cruciale est que l’action peut être écrite comme suit :∫∫S = it d 2 z {Q, V } + t φ ∗ (K) (3.20)avec(V = g i¯j ψ īz∂¯z φ j + ∂ z∫Σ φ∗ (K) = ∫ Σ d2 zΣΣ)φīψj¯z(∂ z φ i ∂¯z φ¯j g i¯j − ∂¯z φ i ∂ z φ¯j g i¯j) (3.21)Ayant introduit le modèle A, nous passons à la discussion des opérateurs physiques quisont des fonctions de φ et χ. A toute n-formesur X, nous pouvons lui associer l’opérateur local :W = W i1···i ndφ i1 · · · dφ i n(3.22)O W (P ) = W i1···i nχ i1 · · · χ i n(P ) , (3.23)où P est un point sur la surface d’univers. On peut alors montrer que {Q, O W } = −O dW .Modèle BDans le modèle B, les champs sont donnés par les relations suivantes :ψ i + ∈ Γ (K ⊗ φ ∗ (T 1,0 X)) , ψī± ∈ Γ (φ ∗ (T 0,1 X)) , ψ i − ∈ ( ¯K ⊗ φ ∗ (T 1,0 X) ) (3.24)Il est convenable de faire les redefinitions suivantes( )ηī = ψī + + ψī − , θ i = g iī ψ ī+ + ψī−(3.25)En outre, nous combinons ψ i ± à une forme ρ ∈ Φ ∗ (T 1,0 X), où ψ i + = ρ i z et ψ i − = ρ ī z. L’actionen termes de nouveaux champs se présente comme suit :⎛ (∫ g iī ∂z φ i ∂¯z φī + ∂¯z φ i ∂ φī) ⎞z + iηī (D z ρ ī z + D¯z ρ i z) g iīS = 2t d 2 z ⎜⎟⎝⎠ (3.26)Σ+iθ i (D¯z ρ i z − D z ρ ī z) + R iīj¯jρ i zρ ī zηīθ k g k¯j54

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-braneSi on pose ɛ + = ɛ − = 0 et ¯ɛ − = −¯ɛ + = ɛ, on a δ = ɛ( ¯Q + + ¯Q − ). Comme dans le casdu modèle A, la supersymétrie dans le modèle B peut être globalement définie sur chaquesurface d’univers. Dans ce cas, l’opérateur BRST est :Q B = ¯Q + + ¯Q − . (3.27)La variation supersymétrique du modèle B se présente comme suit :δφ i = 0 ,δρ i = −iɛdφ i ,δ¯φī= −ɛηī ,δηī = δθ i = 0 .L’action ci dessus peut être donnée de la manière suivante :∫∫S = it {Q, V } + t W, (3.28)avecV = g i¯jΣ()ρ i z∂¯z φ¯j + ρ ī z∂ z φ¯jW = ∫ Σ(−θi Dρ i − i 2 R iīj¯jρ i ∧ ρ j ηīθ k g k¯j ) .Σ,(3.29)C’est une théorie topologique dans le sens qu’elle est indépendante de la structure complexeet de la métrique de Kahler sur X. Par la suite, nous discutons les observables locales dumodèle B. Nous considérons les (0, p)-formes V dans X avec ses valeurs dans ∧ q T 1,0 XAlors, nous pouvons définir l’opérateur suivant :j 1···j qV = d¯zī1 · · · d¯zīp Vī 1···ī pψ j1···ψ jq(3.30)j 1···j qO V = ηī1 · · · ηīp Vī 1···ī pψ j1···ψ jq(3.31)Avant de conclure ce paragraphe, nous donnons les relations suivantes selon que les cordessont ouvertes et fermées.corde topologique ouverte ferméemodèle A Théorie de Chern-Simons Théorie de Gromov Wittenmodèle B Théorie de Chern-Simons holomorphe Théorie de Kodaira-SpencerSymétrie miroirLa symétrie miroir est une propriété d’origine physique qui jusqu’à présent n’a pas une définitionmathématique définitive. En théorie des supercordes compactifiées sur des variétés55

3.1 Théorie des cordes topologiquesde Calabi-Yau, la symétrie miroir est une symétrie qui échange deux espaces de Calabi-Yau de même dimension. En d’autre terme, si deux espaces de Calabi-Yau différents Xet son image Y (dimX = dimY ) par la symétrie miroir sont utilisés en tant que deuxespaces cibles, ils conduisent alors à la même physique [101, 102, 104, 105]. Presque toutesles variétés de Calabi-Yau à trois dimensions possèdent une variété « miroir » où les h (1,1)modules de Kahler et h (2,1) modules complexes sont échangées. Cela veut dire que déformerla structure de Kahler de X serait équivalent à déformer la structure complexe de Y,h 1,1 (X) = h 2,1 (Y ), h 2,1 (X) = h 1,1 (Y ). (3.32)La symétrie miroir joue un rôle très important en théorie des cordes ; elle permet entre autrede relier les deux modèles topologiques A et B. Le modèle A est sensible à la géométriesymplectique via des D-branes lagrangiennes ( lagrangian D-branes en anglais) alors que lemodèle B est sensible à la géométrie complexe. Ainsi, étant donné une variété de Calabi-Yau X, il doit exister une variété de Calabi-Yau miroir Y tel que l’énergie libre Fg A (t; X)dans modèle A sur X et l’énergie libre Fg B (t; Y ) du modèle B sur Y coincident,Fg A (t; X) = Fg B (˜t; Y ), (3.33)où g, t et ˜t désignent respectivement le genre de la surface d’univers, les paramètres deKahler et les paramètres complexes. Dans le contexte de la symétrie miroir, les deuxversions topologiques A et B sont reliées comme le montre la figure suivante :Fig. 3-1 – Dualité N largeDans la sous section suivante, nous allons examiner brièvement la correspondance entreLandau-Ginzburg/Calabi-Yau, qui identifie le modèle sigma linéaire avec un certain superpotentiel.56

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-brane3.1.3 Modèle sigma linéaire jaugéLe modèle sigma linéaire jaugé à 2D avec une supersymétrique N = 2 peut être vucomme la réalisation des variétés complexes toriques en termes de superchamps chiraux Φ iet un certain nombre de superchamps de jauge V a portant la symétrie de jauge du modèle.Rappelons qu’un superchamp chiral Φ est une fonction sur le super-espace N = 2, D = 2 ;il contient un boson complexe φ et des fermions complexes gauche ψ + et droit ψ − ainsiqu’un champ complexe auxiliaire F .Cette théorie de jauge à 2 dimensions avec un groupe de jauge abélien U (1) s est représentéepar des vecteurs superchamps V 1 · · · V s et n superchamps chiraux Φ 1 · · · Φ n dont la chargeest notée par Q a i . La forme du Lagrangien du modèle sigma est :L = L cin + L W + L gauge + L F I,θ (3.34)où L cin et L gauge décrivent respectivement les termes cinétiques des champs chiraux et dejauge, L W le superpotentiel et L F I,θ le terme de Fayet IIliopolos (FI) avec le facteur thêtausuelle. En langage des superchamps, l’action du modèle supersymétrique s’écrit comme :avecS = S cin + S jauge + S W + S F I,θ , (3.35)S cin = ∫ d 2 x d 4 θ ∑ i Φ i(e2 P a Qa i V a)Φi ,∫S jauge = − 14e d 2 xd 4 θ ¯ΣΣ ,2S W = ∫ (3.36)d 2 y d 4 θW + cc ,∫S F I,θ = it2 √ 2 d 2 x dθ + d¯θ − Σ + c.c ,où e est le couplage de jauge et Σ est le superchamp chiral twisté qui vérifie la condition :¯D + Σ = D − ¯Σ = 0 (3.37)et où t = ir + θ avec r est le paramètre de Fayet-IIiopoulos.2πNous allons maintenant examiner une théorie avec n superchamps chiraux S i de charge 1et un superchamp chiral P de charge −n dont les éléments bosoniques sont respectivements i et p. Le superpotentiel est donné par une fonction invariante de jaugeW = P.G (S 1 , · · · S n ) , (3.38)avec G un polynôme homogène de degré n et le potentiel bosonique s’écrit :U = |G (s i )| + |p| ∑ ∣ ( )2 ∂G ∣∣∣2 ∑∣ + 2 |σ| 2 |s i | 2 + n 2 |p| 2 , (3.39)∂si ii57

3.1 Théorie des cordes topologiquesavecD = −e 2 ( ∑i¯s i s i − n¯pp − r). (3.40)Dans le cas r ≫ 0 et p = 0, l’annulation du D-terme mène à :∑¯s i s i = r. (3.41)iPour trouver les états supersymétriques, nous prenons en considération la symétrie dejauge(s 1 , · · · , s n ) ∼ ( )e iϕ s 1 , · · · , e iϕ s n (3.42)qui traduit le fait que s i vit sur l’espace projectif CP n−1 ∼ C n \0/C ∗ . Nous concluons quel’espace des vides supersymétriques classiques (D = 0) est isomorphe à une hypersurfacede degré n dans CP n−1 qui est une variété de Calabi-Yau. Dans ce cas, le modèle sigmasupersymétrique N = 2 à 2D décrit une réalisation physique des variétés de Calabi-Yau.Dans le régime non-géométrique (r ≪ 0), on peut réalisé également le modèle sigmalinéaire comme un modèle de Landau-Ginzburg. Les deux régions r > 0 et r < 0 sontséparées par une singularité en r = 0.3.1.4 Branes topologiquesSelon le type de modèle de cordes topologiques, on distingue des branes du type A etdes branes du type B pour désigner respectivement les D-branes des modèles topologiquesA et B [131], [132]. Il s’ensuit que les conditions de bords dans la théorie des cordestopologiques doivent être compatibles avec le twist topologique. En particulier, les branesdans les modèles A et B doivent préserver respectivement la supersymétrie de type A etde type B.Nous représentons les branes de type A comme des sous variétés L a de l’espace de Calabi-Yau X à trois dimensions,L a ⊂ X. (3.43)De plus, les applications φ i de la surface d’univers Σ g vers la variété de Calabi-Yau etqui définissent les champs φ i (z, ¯z) de la corde topologique, φ i : z ∈ Σ g → φ i (z, ¯z) ∈ X,obéissent à la condition :φ i (∂Σ g ) ⊂ L a ,⋃a58

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-braneLes branes-A sont alors définies par des conditions de géométrie symplectique induites parla forme de Kahler et enroulent les sous variétés lagrangiennes L qui possèdent la propriété :ω |L = 0, (3.44)où ω est la forme sympléctique de la variété de Calabi-Yau X.Les branes-B du modèle B sont définies par des conditions de géométrie complexe et portentdes fibrés holomorphes. La structure complexe sur les branes B préserve leurs directionsnormales et tangentes et par conséquent elle enroule les cycles holomorphiques dans lavariété X.Fig. 3-2 – La symétrie miroir entre les deux modèles A et B.Les branes topologiques A et B vérifient également d’autres conditions de stabilité ; pourplus de détails voir [76, 130].3.2 Dualité corde ouverte / corde ferméeL’une des propriétés remarquables de la théorie des cordes topologiques est la correspondanceJauge/Gravité. Cette correspondence est considérée comme l’un des sujetsimportants dans le récent développement de la théorie des cordes non-perturbative. Dupoint de vue technique, la découverte de cette équivalence est réalisée concrètement grâceà l’étude des D-branes. Dans la théorie des cordes topologiques, cette correspondance estréalisée par une équivalence entre les fonctions de partitions Z des modèles A et B. Cesfonctions de partition représentent des fonctionnelles génératrices des invariants topologiquesdes invariants de Gromov-Witten et Gopakumer-Vafa. Un exemple de cette dualitéest donné par la transition géométrique entre le conifold résolu et celui déformé. Il s’agit, eneffet, de l’équivalence entre les invariants de Gromov-Witten définis sur le conifold résolud’une part et les invariants de la théorie de Chern-Simons définis sur S 3 d’autre part.59

3.2 Dualité corde ouverte / corde fermée3.2.1 Dualité jauge/ gravitéEn théorie de supercordes, les bosons de jauge A a µ, avec une constante de couplage dejauge g Y M et un groupe de jauge G que nous prenons dans la suite comme étant SU (N),correspondent aux états non massifs de la corde ouverte, tandis que le graviton G µν estassocié à l’état non massif de la corde fermée. La dualité entre cordes ouvertes et ferméesest interprétée alors en terme de correspondance Jauge/Gravité. Ce genre de dualité a étéréalisé pour la première fois en 1974 par ’t Hooft dans la limite termodynamique N → ∞avec le paramètre gY 2 MN est fixé [137].Les amplitudes F de la théorie de jauge SU(N) ont un développement de typeF = ∑ gN 2−2g F g , (3.45)où la fonction F g représente la somme de tous les diagrammes de genre g. Un tel développementressemble formellement à celui d’une théorie des cordes avec une constante decouplage g s = 1 N fig(3-3).Fig. 3-3 – Développement en termes de diagrammes de genre g.Dans ce cadre, une découverte clé a été faite par Maldacena qui a conjecturé la théorie deYang-Mills SU(N) superconformes à D = 4, N = 4 est duale à la théorie des supercordesde type IIB définie sur une variété AdS 5 × S 5 . Ce résultat intéressant est connue souscorrespondance AdS/CF T [40, 87].3.2.2 Dualité de Gopakumar-VafaUn cas particulier de correspondance corde ouverte / corde fermée est connu sousle nom de la dualité de Gopakumar-Vafa. Cette correspondence peut être réalisée d’unefaçon précise dans le cadre de la théorie de corde topologique. En 1998, Gopakumar etVafa ont montré qu’il existe une équivalence entre les théories de jauge topologiques, quisont intrinsèquement plus simples que la théorie de super Yang-Mills, et les modèles dethéorie des cordes topologiques, qui à leurs tours sont aussi plus simples que les théories60

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-branedes supercordes usuelles. La correspondance proposée par Gopakumar et vafa est l’un desexemples des dualités pour laquelle la théorie de Chern-Simons, avec un groupe de jaugeSU(N) formulée sur la sphère à trois dimensions S 3 , est équivalente dans la limite N largeà la théorie des cordes topologiques fermées de type A sur le conifold résolu. Ceci se traduitpar :Cordes topologiques fermées sur le conifold résolu ⇐⇒ Théorie de Chern-Simons sur S 3 .(3.46)La puissance de cette dualité réside dans le contexte de la théorie de Chern-Simons correspondanteà la théorie de jauge à 3 dimensions qui vit sur le volume d’univers de D-brane.En effet, une action peut être décrite entièrement en termes des formes différentielles :S CS = k ∫T r(A ∧ dA + 2 )4π3 A ∧ A ∧ A (3.47)Mavec A est une connection de jauge sur la variété M à trois dimensions et k est uneconstante de couplage. De plus, l’action ne dépend pas de la métrique et le résultat sera unethéorie topologique. Dans cette situation, la fonction de partition représente un invarianttopologique de la variété M∫Z (M) =[DA] e iS . (3.48)La classe des observables de cette théorie est donnée par la valeur moyenne des boucles deWilson :WR K =〈T r R P e R 〉 ∫K A =DAe iSCS T r R P e R K A . (3.49)D’autre part, la comparaison entre les amplitudes des deux théories de Chern-Simons et lathéorie de corde fermée est possible grâce à l’existence d’un lien entre les paramètres desthéories de jauge et de cordesλ =2πk + N ,t = 2πiNk + N , (3.50)où λ est la constante de la corde topologique et t est le module de Kahler de la sphèreS 2 . Il est intéressant de voir qu’il existe un lien entre la constante de couplage de la cordetopologique et le couplage de ’t Hooftλ = g 2 CS t = iNg 2 CS. (3.51)La correspondance proposée par Gopakumar et vafa a permis d’identifier les amplitudesde Chern-Simons FgCSle conifold résolu,(t) et celles F conifoldgdes cordes topologiques fermées du type A surFgCS (t) = Fg conifold (t). (3.52)61

3.3 Invariants topologiquesNotons au passage que la fonction de partition de la corde topologique est défnie par :Z top = e F top. F top = ∑ g=0F g g 2g−2s . (3.53)Signalons également que l’énergie libre F g de genre g ≥ 1 de la théorie des cordes peut êtredirectement évaluée comme une somme sur le secteur des instantons à l’instar du modèlesigma topologiqueF g (t) = ∑ N g,β Q β , (3.54)βavec N g,β sont les invariants de Gromov-Witten de la variété de Calabi-Yau. En effet,l’énergie libre de la théorie des cordes définie ici peut être directement obtenue en calculantles invariants topologiques de la variété de Calabi-Yau.Il est intéressant de remarquer qu’il existe d’autres dualités. A trois dimensions, Witten amontré que les théories effectives de la corde topologique ouverte peuvent être exactementrésolues en les reliant à la théorie de Chern-Simons, via la correspondance :Cordes topologiques ouvertes sur T ∗ M ⇐⇒ Théorie de Chern-Simons sur M (3.55)où M est une sous variété lagrangienne de dimension 3 d’une variété de Calabi-Yau T ∗ M.Selon cette correspondance, le rang N du groupe de Jauge dans la théorie de Chern-Simonsdevient un ensemble de N branes du type A enroulées sur la variété M dans la théorie descordes ouvertes.Il faut remarquer que la découverte de ces deux dualités éq(3.46, 3.55) a montré aussi unlien inattendu dans la limite N large entre les cordes topologiques ouvertes du modèle Asur T ∗ S 3 et les cordes topologiques fermées sur le conifold résolu.Cordes topologiques ouvertes sur T ∗ S 3 ⇐⇒ Cordes topologiques fermées sur le conifold résolu(3.56)Dans la suite, nous nous limitons au modèle A et nous considérons l’étude des invariantsde Gromov-Witten et Gopakumar-Vafa.3.3 Invariants topologiquesLes invariants topologiques constituent un outil fort pour étudier les amplitudes dela théorie des cordes topologiques. Parmi ces invariants topologiques, on distingue les62

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-braneinvariants de Gromov-Witten, ceux de Gopakumar-Vafa [9, 52] et les invariants des noeuds.Nous avons :corde fermée : Gromov-Witten Gopakumar-Vafa/ Donaldson-Thomascorde ouverte : Gromov-Witten ouverte invariants Ooguri-VafaDans la première sous section , nous étudions les invariants de Gromov-Witten, ensuitenous considérons les invariants de Gopakumar-Vafa et nous terminons par les invariantsde noeuds.3.3.1 Invariants de Gromov-WittenConnus comme une classe d’invariants, les invariants de Gromov -Witten comptentle nombre de courbes de genre g dans une variété compacte symplectique ou projective.D’une manière générale, pour une famille de variétés de Calabi-Yau X de dimension 3,il est possible de déterminer les invariants de Gromov-Witten en calculant la fonctionde partition de la corde topologique du modèle A. L’une des méthodes appliquée pourcalculer les invariants de Gromov Witten consiste à considérer l’énergie libre F top de lathéorie de corde de type A qui encode les invariants énumératifs des applications φ stablesholomorphes des surfaces de Riemann Σ g de genre g vers X :φ : Σ g → X avec φ (Σ g ) = [β] ∈ H 2 (X, Z) , (3.57)où β sont des classes d’homologie. La structure de l’énergie libre F top= F (t, X) où leprépotentiel de Gromov-Witten dépend du paramètre de Kahler t = (t 1 , · · · t h 1,1) , de laforme de Kahler K et de la constante de couplage g s et elle peut se mettre sous la forme :F (t, X) = ∞ ∑g≥0g 2g−2s F g (t) avec F g (t) =∑[β]∈H 2 (X,Z)N g β e(K.β) , (3.58)avec(K.β) = (n 1 t 1 , · · · n h 1,1t h 1,1) (3.59)et où N g βsont les invariants de Gromov-Witten de genre g qui correspondent à la classe β.On peut aussi écrire l’amplitude de la corde topologique de type A en terme de la fonctionde MacMahon :Z top = e F top= e P F g gs2g−263= M(q) χ(M)2 e F class+F(3.60)

3.3 Invariants topologiquesoù F est la contribution des instantons des surfaces d’univers qui est donnée par l’énergielibre F,F = ∑ g≥0∑βg 2g−2s N g β Qβ , (3.61)et où F class encode le nombre d’intersections a ijk des 2-cycles de genre g = 0F class = ∑ 1a6gs2 ijk t i t j t k + ∑ 124 b it i . (3.62)Les termes pour le genre g = 1 sont reliés à la seconde classe de Chern c 2 (M) comme∑∫bi t i = K ∧ c 2 (M) , (3.63)Mtandis que les applications constantes de genre g > 1 contribue par une puissance à lafonction de MacMahon comme exhibé dans l’eq(3.60),M(q) = ∏ n=1(1 − q n ) −n avec q = e −gs . (3.64)Dans le cas où la variété de Calabi-Yau est M = C 3 , les invariants de Gromov-Witten sontdonnés par [89, 135] :N g 0 = (−1)g |B 2g B 2g−2 |2g (2g − 2) (2g − 2)! , g ≥ 2 (3.65)avec B 2g est le nombre de Bernoulli [61]. Ce résultat donne l’amplitude de la corde topologiquesur la variété de Calabi-Yau C 3 dont la caractéristique d’Euler est χ(C 3 ) = 2. Cetteamplitude est exactement la fonction de MacMahon à 3 dimensionsZ (q) C3top = M(q) = ∏ n=1(1 − q n ) −n . (3.66)Une telle fonction a de nombreuses interprétations : En physique, elle permet d’effectuer lescalculs des amplitudes de théorie des cordes et des modèles de la physique statistique. Enmathématique, elle permet de calculer explicitement le lien avec les invariants topologiques.3.3.2 Invariants de Gopakumar-VafaNous commençons par rappeler que la compactification de la théorie de supercordetype IIA sur une variété de Calabi-Yau M donne la théorie de supergravité N = 2, D = 4avec h 1,1 est un vecteur multiplet [1, 10]. Chaque multiplet contient un champ gravitonnel64

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-branedont la courbure est R, un gravi-photon de courbure F ph et un champ scalaire complexeφ i qui correspond au module de kahler de la variété M. Dans ce cadre, l’action effective dela théorie des supercordes devient une action de la théorie de supergravité de genre g ≥ 1∫d 4 xF g(φi ) R 2 +F 2g−2ph,+ , (3.67)avec + représente la partie self dual. Ce terme décrit une diffusion de graviton et graviphotonsdont les expressions sont encodées dans la fonction F g . Les F g sont identifiées auxamplitudes de la corde topologique de type A de genre g. Dans cette identification, leschamps scalaires sont interprétés en termes des modules t i de la variété M. Il s’avère quel’amplitude F 0(φi ) de genre g = 0 permet de calculer le prépontentiel de la théorie dejauge N = 2 dont la constante de couplage de jauge est donnée par :τ ij = ∂ i ∂ j F 0 (3.68)En suivant l’étude [89] et interprétant la courbure du graviphoton comme une constanteF (ph,+) = g s , l’éq(3.67) se réduit à∫d 4 xR 2 +F top (t) . (3.69)L’analyse de la section précédente montre que la partie instantonique de l’énergie libre dela théorie de corde doit être nécessairement sous la forme [89] :F (t i ) =∑∞∑∞∑n g ββ∈H 2 (M) g=0 d=1Q dβd[d] 2−2g avec [d] = e d 2 − e − d 2 , et Q = e −t . (3.70)dont les nombres n g β, qui caractérisent l’amplitude de manière élégante, ne sont autres queles invariants Gopakumar-Vafa.Ces invariants ont un lien avec les invariants de Gromov-Witten ; ce sont des combinaisonslinéaires des invariants Gromov-Witten. Par comparaison aux éqs (3.58) et (3.70), nousvoyons que les contributions des instantons F g , encodées dans les invariants de Gromov-Witten N g β , sont déterminées par les invariants Gopakumar-Vafa nk β pour des genres g ≥ k.A titre d’exemple, l’usage du développement de l’éq(3.70), nous obtenons les contributionsdes instantons de genre g = 0 de l’énergie libre de l’éq(3.54) :F 0 =∑∞∑β∈H 2 (M) d=165n 0 Q dββ(3.71)d 3

3.3 Invariants topologiquesDans le cas d’un seul invariant n 0 1 = 1 où l’indice β est identifié à une sphère S 2 , le termeinstantonique dans l’énergie libre du conifold résolu est donné par [60, 89] :−Q nF conifold = ∑ n [n] 2 = − ∑ n≥1g≥0g 2−2gs|B 2g |2g (2g − 2)! Li 3−2g (Q) (3.72)Q nn kavec Li k (Q) = ∑ et Q = e −t , t est la taille de P 1 . De plus, le termen≥1identifié aux invariants de Gromov-Witten comme suit :|B 2g |2g(2g−2)!est|B 2g |2g (2g − 2)! × ( −n 2g−3) = N g n (3.73)Notons que toutes les informations nécessaires codées dans un nombre infini d’invariantsde Gromov-Witten du conifold résolu sont maintenant représentées par l’invariant deGopakumar-Vafa n 0 1.3.3.3 Boucle de Wilson, invariants de noeuds et d’entrelacsEnsemble avec les deux types d’invariants considérés ci-dessus, il existe d’autres invariantstopologiques ayant des interprétations physiques et mathématiques. Witten a montréque certains invariants peuvent être obtenus à partir de la théorie quantique des champspar l’intégral de Feynman. Ces invariants sont exprimés comme la fonction de partitionde système quantique [134]. L’exemple standard est donné par la théorie de Chern-Simonsoù l’interaction entre les particules est décrite par des opérateurs de Wilson. La valeurmoyenne dans le vide qui décrit la propagation le long du chemin C, donne l’invariant dejauge suivant :∮W R (C) = T r(P exp A), (3.74)Coù R est une représentation du groupe de jauge. Un autre aspect de ces observables estqu’elles fournissent des invariants de noeuds et de liens. Ces derniers sont des objets mathématiquesinsensibles à la déformation de métrique. Et pour les illustrer, il est intéressentd’utiliser la dualité de Gopakumer-Vafa (GV). On commence par considérer la théoriede Chern-Simons sur S 3 avec une boucle de Wilson W R (Γ) le long d’un noeud Γ qui estreprésenté par [126]q(s) ∈ S 3 (0 ≤ s ≤ 2π) , (3.75)Selon la dualité entre la théorie de Chern-Simons sur S 3 et la corde topologique sur T ∗ S 3éq(3.55), la configuration correspondante W R (Γ) en théorie de corde ouverte sur T ∗ S 3 est66

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-branedonnée par N branes type A enroulant la base S 3 . Comme conséquence, il existe uneconstruction canonique de fibré conormale{}˜C Γ = (q(s), p)∣ p dq iids = 0, (0 ≤ s ≤ 2π)(3.76)pour laquelle on associe à chaque point q ∈ Γ qui est un noeud q(s) ∈ S 3 , une sous-variétéà 2 dimensions de T ∗ q S 3 orthogonale à dqds . En effet, ˜C K est une sous variété à 3 dimensionsde T ∗ S 3 d’une topologie R 2 × S 1 . La forme symplectiqueω =3∑dq i ∧ dp i ,i=1(q ∈ S 3 , p ∈ T q S 3) . (3.77)s’annule donc sur ˜C Γ . Ce qui rend le 3-cycle ˜C Γ une sous variété Lagrangienne, qui intersectela base S 3 le long de la boucle q(s).pdqdsS 3q(s)Fig. 3-4 – Sous variété lagrangienne ˜C K intersecte S 3 dans T ∗ S 3 le long d’un noeud.En considérant M D-branes qui enroulent la sous-variété ˜C Γ , on trouve la théorie de Chern-Simons sur ˜C Γ ainsi que la théorie de Chern-Simons sur S 3 , où les modes non massifs dusystème sont :- les champs de jauge A de la théorie de Chern-Simons SU(N) sur S 3 .- les champs de jauge Ã sur ˜C Γ ainsi qu’un champ scalaire φ dans une représentationfondamentale de SU(N) × SU(M) qui existe sur l’intersection de S 3 ∩ ˜C Γ = Γ.Dans ce cas, les boucles de Wilson qui décrivent les propagations des champs de jauge Aet Ã le long du chemin Γ sont données par :∮U = P exp A∮V = P expÃ (3.78)ΓΓ67

3.3 Invariants topologiquesL’action des champs des cordes devient une somme des actions de Chern-Simons pour lesdeux champs de jauge S CS CS(A) et S (Ã)∮ ( )T r¯φ d + A − Ã φ. (3.79)ΓLe premier terme correspond tout simplement à l’action de la théorie de jauge qui correspondau terme cinétique ¯φdφ. Il suffit d’effectuer une intégration sur ces champs pourobtenir l’opérateur de Ooguri-Vafaexp∞∑n=11n (T rU n ) (T rV n ) = ∑ R(T r R U) (T r R V ) . (3.80)Alors, l’action de la théorie de Chern-Simons des champs de jauge A en présence de probebrane 1 est sous la forme :∫DA e ∑ −S Cs(A)T r R UT r R V = ∑RR〈 ∮WRT Γ r R V, WR Γ = T r R P expΓA〉. (3.81)Ce qui prouve que la fonction de partition de la théorie de corde topologique est unefonction génératrice des invariants des noeuds pour toutes les représentations possibles.L’action effective des champs de jauge sur ˜C K est sous cette forme :) )S(Ãouverte = S(ÃCS + F ouverte (V ) (3.82))avec les corrections F(Ãouverte qui sont déterminées en intégrant sur les champs φ et A.Pour terminer cette analyse, nous allons voir l’action effective des champs de l’autre côtéde dualité. Sur le conifold résolu, l’action effective des champs s’écrit comme :) )S(Ã = S(ÃCS + F (V ) , (3.83))avec S(ÃCS est l’action de la théorie de Chern-Simons en présence des corrections F (V ).Ces corrections sur la corde fermée proviennent des instantons de surface d’univers quienroulent les S 2 et qui finissent sur ˜C Γ .Dans le cas où Γ = ”unknot”, on trouve un accord entre les corrections des deux côtés dedualité. Ces corrections sont analysées en détail dans [126]F open (V ) | Γ=unknot = F (V ) | Γ=unknot .1 Probe brane désigne une brane qui ne va pas affecter le background.68

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-braneUn autre résultat intéressant est l’étude de l’ensemble N des noeuds où la valeur moyennedans le vide du produit de boucles de Wilson s’écrit comme :〈γ W 1R 1(A) . . . W γ nR n(A) 〉 = 1 ∫ ( n)∏[DA] W γ n iRZ (M)nie iS , (3.84)les R i sont des représentations irréductibles du groupe de jauge SU(N). Cette expressionest extrêmement concise grâce à la prescription du produit de boucle de Wilson. En effet,on peut calculer l’invariant de deux représentations correspondantes à un même noeud.L’exemple intéressant dans ce cas est la construction du nombre d’entrelacs de Hopf quiconsiste à entrelacer deux noeuds :〈 ∮∮W R1 R 2= T r R1 P exp AT r R2 P expΓ 1i=1Γ 2A〉(3.85)Fig. 3-5 – Entrelac de HopfCette relation est importante car si on a une représentation triviale, cela permet de déterminerl’invariant ”unknot” W R• . Il faut souligner qu’il existe une identification entrel’invariant ”unknot” et la fonction de Schur|R| (−NW R = q 2 sR 1, q, q 2 , · · · q N−1) . (3.86)qui est exactement la dimension quantique d’une représentation R :dim q R ≡ W R (q) = W R (q) = s R (q ρ )De même pour les invariants des entrelacs de Hopf W λµ = W µλ en termes de fonctions deSchur est sous la forme :W µλ = W µ s λ (q µ+ρ ).69

3.4 Modèle B et espace twistorielIl est possible ainsi d’établir la fonction de partition Z d’un système de probe branesenroulant S 2 en appliquant la dualité de corde ouverte-fermée. Cependant, on peut calculerexactement la fonction de partition des configurations de plusieurs boucles de Wilson lelong de l noeuds Γ 1 , · · · Γ L dans S 3 qui est exactement la fonctionnelle génératrice desinvariants de liensZ (V 1 , · · · V L ) =∑W Γ 1···Γ LR 1···R LR 1···R LL∏i=1T r Ri V i . (3.87)Notons finalement que ce résultat demande un bon entraînement avec les théories desnoeuds et entrelacs dans l’étude des amplitudes des théories des cordes topologiques. Onpourrait simplifier fortement le calcul des fonctions de partitions d’une manière analogue àcelle utilisée dans la technique de vertex topologique. Cela permet d’évaluer la correspondanceentre les fonctions de partitions de la corde topologique sur C 3 et la fonctionnellegénératrice des invariants d’entrelace de Hopf pour des représentations quelconques.3.4 Modèle B et espace twistorielDans cette section, nous présentons les résumés de nos deux contributions dans lagéométrie twistorielle. En s’intéressant premièrement aux notions de base de la géométriede l’espace twistoriel [162, 163, 164]. Par la suite nous présentons la contribution qui traitela dualité entre l’espace twistoriel et la théorie de super-gravité N = 4 à 4 dimensions [165].Cette dualité est motivée par la suggestion de Witten, qui a conjecturé les contributionsdu modèle B dans le super-espace twistoriel CP 3|4 et les amplitudes de diffusion de lathéorie de super Yang-Mills N = 4, D = 4 [166]. Finalement, la dernière contribution estconsacrée à notre modèle twistoriel purement fermionique et sa relation avec l’espace cibleà 4 dimensions.3.4.1 Espace TwistorielEspace des twisteurs de Roger Penrose introduit en 1970 a retrouvé un grand intérêtrécemment dans le cadre de l’étude de la théorie de Yang-Mills et la théorie de supergravitévia la théorie des cordes. L’espace twisoriel est un espace de vecteurs à quatre (complexe)dimensions, défini comme étant un espace de spineurs où les variables considérées sont desdoublets de spineurs de Weyl Z α = (λ a , µȧ), qui se transforment par une représentation70

Théories de cordes topologiques, invariants et D-branede SU(2, 2) à quatre dimensions comme suit :Z α = (Z 0 , Z 1 , Z 2 , Z 3 ) ←→ (λ a , µȧ) (3.88)Le complexe conjugué de Z est défini par :¯Z α = ( ¯Z 0 , ¯Z 1 , ¯Z 2 , ¯Z 3 ) ←→ (µ a , λȧ) (3.89)SpineursA quatre dimensions, le groupe de Lorentz complexifié est isomorphe à :SO(3, 1, C) ∼ = SL(2, C) × SL(2, C) (3.90)De plus, ses représentations en dimensions finies sont classifiées comme (p, q) avec p et qsont des entiers ou des demi entiers. Les spineurs de chiralités positives et négatives setransforment respectivement selon les représentations ( 1 2 , 0) et (0, 1 2 ).Nous écrivons généralement λ a , a = 1, 2 pour un spineur qui se transforme comme ( 1 2 , 0)et ˜λȧ, ȧ = 1, 2 pour un spineur qui se transforme comme (0, 1 ). Nous pouvons former2l’invariance de Lorentz de deux spineurs de chiralité négative :〈λ, λ ′ 〉 = ɛ ab λ a λ ′b (3.91)avec 〈λ, λ ′ 〉 = − 〈λ ′ , λ〉. En particulier 〈λ, λ ′ 〉 = 0 si λ a = cλ ′a . Le vecteur moment p µ ,µ = 0, 1, 2, 3 peut être représenté comme un bi-spineur : p µ = σ aȧµ p aȧ où le symbôleσ aȧµ apparaît comme le lien entre les trois représentations fondamentales de SO(3, 1). Endéfinissant, le vecteur genre lumière par :p µ p µ = det (p aȧ ) = 0 (3.92)tel que, les bispineurs(peuvent être représentés par p aȧ = λ a λ ′ ȧ. Les spineurs λ, ˜λ sonttransformés comme λ, ˜λ) (→ tλ, t −1˜λ).Variétés twistoriellesLa géométrie conforme de l’espace de Minkowski complexe CM est représentée dans l’espacetwistoriel T tel que :(λ a , µȧ) ∈ T ←→ {x aȧ : λ a = ix aȧ µȧ} ⊂ CM (3.93)où le point x aȧ ∈ CM est représenté dans PT(CP 3 ) par un sous espace twistoriel projectifpassant par x aȧ . Ainsi, on peut représenter la géométrie conforme CM dont l’espace71

H. Jehjouhprojectif complexe -PT définit comme l’ensemble des classes d’équivalence des éléments T= C ∗ = {Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 }, sous l’action du groupe de multiplication C − {0}. L’expressionde l’espace twistoriel est la suivante :PT =TC − {0} = CP3 (3.94)CP 3 est une variété complexe équivalente à un espace projectif complexe de dimensions 3,définit comme un espace des lignes complexes passant par l’origine de C ∗ .Super-variétés twistoriellesUne supervariété complexe (X, O) est une variété complexe X (variété bosonique ), enrichiepar les directions fermioniques sur la variété X. Les plus importants exemples desupervariétés complexes sont les super-espaces projectifs CP (n|m) tel que :X = CP n et O = O(1) ⊕ . . . ⊕ O(1)} {{ }m3.4.2 Contribution : Pure fermionic twistor like modelRésuméhep-th/0605167. (3.95)Motivés par les résultats de l’espace twistoriel de Penrose et les propriétés spéciales del’espace de deux temps étudier par Bars, nous avons dérivé puis étudié le modèle twistorielpurement fermionique dont sa construction est fondée sur la résolution de la propriéténilpotente (Υ m ) 2 de la ligne d’univers de fermions Υ m = Υ m (τ). Nous avons égalementtiré l’action des champs twistoriels qui décrit les champs fermioniques. Finalement, nousavons discuté le lien entre le modèle twistoriel purement fermionique et l’espace cibleR (d,4−d) à 4 dimensions.3.4.3 Contribution : Théorie des cordes twistoriellesAfrican Journal of Mathematical physics Volume 4 Number (2007) pages 65-97RésuméCe papier est consacré à l’étude de la théorie des cordes twistorielles. Cette théorie est unecombinaison de la théorie des cordes et les propriétés d’espace twistoriel. Plus particulièrement,nous sommes intéressés au modèle B dans la super-variété de Calabi-Yau. Cettedernière est un espace twistoriel en ajoutant des directions fermioniques, d’où l’espace72

H. JehjouhCP 3|4 . De plus nous avons étudié une autre version de la théorie de corde dans l’espacetwistoriel conduisant à la théorie de supergravité conforme N = 4 ; D = 4 et en particulierles cordes ouvertes dans l’espace twistoriel. Cette dualité est un caractère spécial del’espace de Twistor après utilisation de la correspondance de Penrose.73

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Chapitre 4Modèle Cristallin du Vertex C 3Depuis la découverte de la théorie des cordes topologiques, plusieurs voies ont étéexplorées pour calculer leurs amplitudes. La méthode du vertex topologique, qui sera traitéedans les chapitres suivants et qui consiste à évaluer l’expression de ces amplitudes surles variétés de CY3 toriques, est sans doute une méthode sophostiquée vue son analogieformelle avec la méthode des graphes de Feynmann des théories quantiques des champs.Dans ce chapitre, qui peut être vu comme étude préliminaire au vertex topologique, nousétudions la fonction de partition de la corde topologique type A pour le cas d’une variété deCY3 simple à savoir l’espace complexe C 3 . Ainsi, nous montrerons à travers cette étude quela fonction de partition de la corde toplogique du modèle A sur C 3 est fortement liée à unmodèle classique de la mécanique statistique [11], [149, 150] à savoir le cristal fondu et d’oùle nom de variété de CY cristalline [91], [63]-[68]. Les premiers calculs exacts de ce modèledans le cadre de la théorie des cordes topologiques sont dus à Okounkov, Reshetikhin etVafa [91, 71, 151] qui proposèrent une dualité entre les cordes topologiques du modèle Asur une variété de CY3 et le cristal fondu sur lequel on impose des contraintes aux bords.L’origine de cette équivalence découle de l’identification de la constante de couplage de lacorde topologique g S avec l’inverse de la température absolue T,g S = 1 T . (3.1)Avant d’étudier cette dualité, rappelons qu’un cristal à géométrie tri-dimensionnelle peutêtre naïvement imaginé comme fait de cubes dont les atomes sont répartis de façon régulièredans l’espace 3D. Les excitations correspondent à la suppression des cubes élémentairesdu cristal et par suite nous permettent d’associer à chaque atome A un poids q donné par,q = e µ/T , (3.2)105

4.1 Variétés de CY toriques et cristal fonduinterprété comme le poids de Boltzmann d’une configuration physique donnée. C’est aussil’énergie de la suppression de l’atome A avec un potentiel chimique µ et une températureT .Dans la première section de ce chapitre, on présente avec quelques détails la constructiondu modèle de mécanique statistique décrivant le cristal en utilisant la variété de Calabi-Yautorique. Après avoir donné la définition de Calabi-Yau quantique ainsi que celle du cristalde Calabi-Yau, nous discutons la méthode de matrice de transfert pour laquelle la fonctionde partition de la théorie de corde topologique sur la variété de Calabi-Yau torique C 3s’exprime en termes des opérateurs de création et d’annihilation. Dans les sections 4.2 et4.3, nous exhibons en détails la formulation de la fonction de partition perpendiculaire ducristal fondu dans les deux cas standard et raffiné. Dans la section 4.4, nous analysonsla fonction de partition du conifold résolu. Dans les sections 4.5 et 4.6, nous étudions lesinvariants topologiques dans le modèle cristallin. Nous terminons ce chapitre par notrecontribution sur la fonction de MacMahon généralisée interprétée comme une fonction decorrelation en théorie de champs conformes c = 1.4.1 Variétés de CY toriques et cristal fonduL’étude de la dualité entre les amplitudes de la théorie de corde topologique et les fonctionsgénératrices des configurations du cristal a été une source d’inspiration importantepour interpréter la variété de Calabi-Yau quantique C 3 comme une fonte de cristal.4.1.1 Variété de Calabi-Yau quantiqueL’exemple le plus important des variétés de Calabi-Yau quantiques est la variété C 3ayant une structure de fibration T 2 × R sur la base R 3 et une forme symplectique quis’écrit :3∑3∑3∑ω = dz j ∧ d¯z j = d|z j | 2 ∧ dθ j = dp j ∧ dθ j (3.3)j=1j=1j=1Il se trouve que (x, y, z) = (p 1 , p 2 , p 3 ) = (|z 1 | 2 , |z 2 | 2 , |z 3 | 2 ) sont des coordonnées qui paramétrisentl’octant positif de R 3 qui devient une base de la fibration T 2 × R et θ i sont descoordonnées dans la fibre T 3 . En effet, nous pouvons considérer θ i comme des positions etp i comme des moments dont la condition de quantification canonique est donnée par :[θ j , p k ] = ig s δ jk106

Modèle Cristallin du Vertexoù g s joue le rôle de la constante de Planck . Il s’ensuit que la base de l’espace de Hilbertest définie comme :3∑ψ n1 ,n 2 ,n 3(θ k ) = exp(i n j θ j ), (3.4)avec 0 ≤ n j ∈ Z, dont les états peuvent être identifiés avec les boîtes dans la position(n 1 , n 2 , n 3 ) ∈ Z 3 . L’unité de distance est déterminée par le paramètre quantique g s . Cettevariété de Calabi-Yau quantique est gelée à la température T = 0, dans ce cas, l’octantpositif Z 3 est complètement rempli. Par contre dans le cas de la température non nulle,le cristal commence à fondre. C’est sur ce modèle cristallin qu’il existe un lien avec lesdiagrammes de Young généralisés.j=14.1.2 Cristal de CYLa relation entre le modèle topologique C 3 et le modèle de la physique statistique estréalisée concrètement grâce à l’équation (3.1) qui relie la constante de couplage avec latempérature. En particulier, lorsque g s → 0, le paramètre q → 1, en fait la limite où lecristal commence à fondre. Par ailleurs, une configuration d’énergie zéro décrit un octantFig. 3-1 – Représentation de la fusion du cristalpositif dans un espace R 3 rempli par des atomes qui représentent des boîtes localisées à despoints entiers dans un réseau à 3 dimensions. Cette analyse est due uniquement à la formesymplectique dans la limite de grand paramètre de kahler (3.3). Un atome à la position(x 0 , y 0 , z 0 ) représente une boîte remplie ayant la forme suivante :{(x + s x , y + s y , z + s z ) | 0 ≤ s x , s y , s z ≤ 1}107

4.1 Variétés de CY toriques et cristal fondudont l’excitation peut être interprétée comme l’arrachement des atomes d’un coin du cristalavec la condition qu’aucun atome ne sera dans la région{(x, y, z) | x < x 0 , y < y 0 , z < z 0 } .Chaque arrachement contribue un facteur de l’éq(3.2) et donne lieu à une autre configurationappelée les diagrammes de Young à 3D et la fonction de partition aura la formesuivante :Z = ∑ q |π| (3.5)πFig. 3-2 – Cristal fondu et la partition plane 3d.avec |π| est le nombre d’atomes arrachés. Il est important de savoir que la somme surtoutes les configurations fondues reproduit la fonction de partition de la corde topologiquede C 3 . Un résultat intéressant de cette analyse est que la fonction de partition de la cordetopologique du modèle A sur C 3 est liée à la fonction génératrice éq(3.5) qui est connuecomme la fonction de Macmahon à 3 dimensions :Z C3top = ∑ πq |π| = M(q) =∞∏n=11(1 − q n ) n . (3.6)Avant d’entamer la méthode de matrice de transfer, il faut mentionner que les atomes dansla région x ≥ N ne peuvent pas être arrachés, l’entier N doit être relié au module deKahler par t = g s N. Cette condition est interprétée comme un “mur”, qui avec les deuxmurs originaux constituent le diagramme torique du conifold résolu.4.1.3 Matrice de transfertDans ce paragraphe, nous allons étudier un formalisme particulièrement utile pourconstruire des amplitudes de la théorie des cordes topologiques. Okounkov et Reshetikhin108

Modèle Cristallin du Vertex[152] ont proposé la méthode de matrice de transfert. Cette méthode peut être définiecomme l’opérateur d’évolution qui porte l’information d’une tranche à autre. Conformémentà certains résultats en théorie combinatoire, notamment ceux de Percy MacMahon[92], Okounkov et Reshetikhin ont pu retirer le résultat classique de MacMahon sur lafonction génératrice des partitions planairesZ fermée (q) = M(q) :=n=1(1 ∏ − q n ) −n . (3.7)En effet, cette fonction génératrice n’est autre que la fonction de partition du cristal fondu,définie comme une somme sur toutes les configurations de partition possibles et l’exposantde q n’est autre que le nombre d’atomes fondus.Z cristal (q) =∑q #boxes . (3.8)3d partitionLa méthode d’Okounkov et Reshetikhin est généralisée pour faire face au vertex topologiquedu modèle A sur les variétés de Calabi-Yau à trois dimensions. Or, la connaissance de laméthode de matrice de transfert permet de déterminer la fonction de partition de l’ensembledes cristaux, en termes des opérateurs de la théorie des champs conforme à deux dimensions(fermion libre à 2d). La fonction de partition du cristal s’exprime comme une séquenced’opérateurs qui agissent sur les états associés aux asymptôtes des diagrammes de Young.Le principe de cette méthode consiste à associer à chaque partition 3d une séquence departitions 2d. On pourra trouver ce résultat à partir de la coupure diagonale de π par desplans x = y − a, (voir Figure (3-3)) .Fig. 3-3 – Coupure en tranche diagonale de la partition 3D π par des plans x = y − a,Ces partitions 2d obéissent à la condition d’entrelacement :µ(t) < µ(t + 1), t < 0, µ(t + 1) < µ(t) t ≥ 0 (3.9)109

4.1 Variétés de CY toriques et cristal fonduSi ces deux partitions 2D µ et ν s’entrelacent, alorsµ 1 ≥ ν 1 ≥ µ 2 ≥ ν 2 ...Dans ce qui suit, µ k désigne le nombre de boites dans la k-ème ligne de µ. Dans ce formalisme,on utilise la correspondance entre les partitions 2d des tranches diagonales et lesétats de Fock dans le secteur NS d’un fermion complexe ou un boson (via la bosonisation).d∏|µ〉 = ψ ∗ −a iψ −bi |0〉 (3.10)avecψ (z) = ∑ ψ n+1 z −n−1 ,2n∈Zi=1ψ ∗ (z) = ∑ n∈Zψ ∗ n+ 1 2z −n−1 ,{ψ n+12}, ψ ∗ −m−= δ 1 m,n (3.11)2et |0〉 est l’état qui est annihilé par tous les ˜ψ r , r ∈ Z + 1/2. Pour un diagramme de Youngν, on peut définir ses coordonnées de Frobenius par :{ }boite noire : µi − i + 1 | i = 1, 2, · · ·2boite blanche :{j − µtj − 1 2| j = 1, 2, · · ·}(3.12)où µ t est le transposé de diagramme de Young. Il s’avère que dans le formalisme de matricede transfert, les éléments matriciels entre les partitions sont donnés par les opérateursvertex qui sont définis comme des opérateurs de création et d’annihilation. En termes demodes J ±k , sont les modes de courant de Noether U(1) 1 , ces opérateurs sont donnés parΓ ± (z) = exp( ∑ n>0z ∓nn J ±n) J(z) =: ψ(z) ∗ ψ(z) : = ∑ m∈Z z−m−1 J m ,et satisfont les relations de commutation suivantes :(3.13)[J n , J m ] = −nδ n+m,0 , [J n , ψ k ] = ψ k+n , [J n , ψ ∗ k] = −ψ ∗ k−n . (3.14)Etant donné deux partitions λ et µ, les opérateurs de création et d’annihilation Γ ± vérifientles équations suivantes :1 courant fermioniqueΓ + (x)Γ − (x) =〈λ| Γ + (x) |µ〉 =〈µ| Γ − (x) |λ〉 =( )1 − x Γy − (x)Γ + (x),{Sµ/λ (x) λ ≺ µ0 sinon{Sµ/λ (x) λ ≺ µ0 sinon,.(3.15)110

Modèle Cristallin du VertexEn comparant ces formules avec les relations d’entrelacement dans l’éq.(3.9), nous remarquonsque Γ ± décrit l’évolution des partitions. Plus précisément, l’évolution négative à unmoment x ≤ −1 est donnée par Γ + tandis que l’évolution à un moment positif x ≥ 0 estnotée par Γ − . La fonction de MacMahon, nommée aussi la fonction génératrice de nombrede partition plane Z 3D (q) := Z ∅∅∅ (q), sera reproduite en utilisant la notion de matrice detransfert(∏ ∞)Z cristal (q) = Z ∅∅∅ (q) = 〈∅| q L 0Γ + (1)avec l’opérateur q L 0t=0q L 0( −1 ∏t=−∞Γ − (1) q L 0)|∅〉 (3.16)qui déplace la tranche diagonale par une unité. Le mode zéro deVirasoro L 0 est l’hamiltonien qui compte le nombre de boîtes |µ| dans le diagramme deYoung µL 0 |ν >= |ν||ν > q L 0|ν >= q |ν| |ν > . (3.17)Nous allons décrire en détail l’analyse intuitive pour comprendre la forme de la fonctionde partition en termes des opérateurs de création et d’annihilation :Tout d’abord, on commence par l’état de vide qui décrit une tranche ou une partition 2dà la position a = −∞.Lorsqu’on agit sur cet état par l’opérateur de création, on obtient une somme sur toutesles partitions possibles. En passant de a = −∞ à 0 en faisant agir l’opérateur de créationΓ − sur cette somme de façon à ce qu’il entrelace ces partitions dans la tranche précédente.Ainsi de suite jusqu’à ce qu’on atteigne la tranche principale a = 0.On procède de la même manière pour la tranche principale. Lorsqu’on agit sur cet étatavec l’opérateur d’annihilation Γ + , on détruit les partitions précédemment créées dans latranche ”a” et qui sont entrelacées sur la tranche précédente a − 1 avec a est positive.Cette analyse, avec les opérateurs q L 0, donne la somme sur toutes les partitions 3D q |π| quisatisfont à la condition d’entrelacs. Notons qu’on définit l’état du vide comme l’état quiest annulé par l’opérateur Γ + . Alors, nous pouvons déplacer l’opérateur d’annihilation surla droite et utiliser les relations de commutation entre les deux opérateurs Γ ± éq(3.15). Lafonction génératrice des partitions 3D est la fonction de MacMahon à 3 dimensionsZ 3D (q) = M(q) := ∏ n=1(1 − q n ) −n (3.18)Nous remarquons que cette expression est égale à la fonction de partition du modèle Afermé sur C 3Z C3top = M (q) = ∑ πq |π| avec q = e −gs . (3.19)111

Cela a fait apparaître d’autres équivalences qui se relient à d’autres variétés de Calabi-Yaubeaucoup plus complexes ainsi que des ensembles de partitions planes plus compliquées[69, 70, 133]. En particulier, les amplitudes de vertex topologiques C λµν (q) seront reliéesaux comptages d’un ensemble particulier de partitions planes avec des conditions de bordsdonnées par les partitions (λ, µ, ν) sur les trois axes de C 3 [91]∑C λµν (q) ∼ M (q) −1 q |π| (3.20)π→{R 1 R 2 R 3 }Dans la suite, nous nous référons donc régulièrement à la fonction de MacMahon pourtrouver les amplitudes du modèle de type A.4.2 Fonction de partition perpendiculaireSuivant les deux derniers paragraphes, de nombreux résultats ont été obtenus à partirdu formalisme de matrice de transfert. Le cristal Calabi-Yau qui est défini comme unesomme statistique sur les partitions 3d, a été construit à partir des tranches diagonalesqui satisfont la condition d’entrelacement. Dans ce cas, la fonction de partition de la cordetopologique de C 3 est égale à la fonction de MacMahon à trois dimensions, qui est unefonction génératrice des partitions. Dans ce paragraphe, nous allons montrer que la fonctionde partition asymptotiques aux diagrammes de Young λ, µ, ν est égale à l’amplitude devertex topologique C λµν (q) multipliée par la fonction de Macmahon M (q)M(q)C λµν (q) = q 1 2 (‖λ‖2 +‖µ‖ 2 +‖ν‖ 2) P λµν(q cristal ) (3.21)avec q cristal = q −1 . En fait, il existe une relation qui transforme le q vertex au q cristalq vertex → 1 q = q cristal, (3.22)une telle opération est connue dans la théorie de cordes topologiques pour laquelle onéchange les branes dans le cristal aux anti-branes dans le vertex. On en déduit alors unerelation entre les paramètres du vertex topologique et les modèles cristaux.4.2.1 Formule P λ,µ,ν (q)Notre objectif est la construction de la fonction de partition perpendiculaire P (λ, µ, ν)par l’utilisation de la technique de matrice de transfert. Cette partition perpendiculaire112

Modèle Cristallin du Vertexest la fonction génératrice dont les asymptotes en direction des trois axes de coordonnéessont donnés par trois partitions λ, µ et ν. Avant de calculer cette fonction, il convient derappeler qu’une partition 3D est définie à l’intérieur du boite π et s’écrit sous cette forme :[1, N 1 ] × [1, N 2 ] × [1, N 3 ] , (3.23)avec les conditions de bords données par trois partitions dans les plans x i = N i , pour plusde détails sur les partitions planes voir l’annexe. En effet, lorsque la face de π se trouvedans le plan x i = N i , on parle d’un diagramme de Young orienté de sorte que sa longueurλ 1 soit dans la direction de x 2 . De même pour les deux autres partitions qui sont définiesd’une manière cycliquement symétrique. Alors, on peut aisément présenter les différentespartitions à l’intérieur de la boite π. Dans cet exemple, on présente les partitions λ = (3, 2),µ = (3, 1) et ν = (3, 1, 1) dans la figure.3-4Fig. 3-4 – Une partition 3D où les conditions de bords sont les partitions 2D.Cependant, on peut calculer la fonction P (λ, µ, ν) qui existe comme une série de puissanceformelle en q en terme de la fonction de partition P N1 ,N 2 ,N 3(λ, µ, ν) :P (λ, µ, ν) = lim N1 ,N 2 ,N 3 →∞q −N 1|λ|−N 2 |µ|−N 3 |ν| P N1 ,N 2 ,N 3(λ, µ, ν). (3.24)dont chaque boite π est associée à un poids q vol(π)4.2.2 Calcul de la fonction de partition perpendiculaireIl est maintenant possible de calculer la fonction perpendiculaire en utilisant la techniquede matrice de transfert. Il faut mentionner que cette technique consiste à diviser la113

4.2 Fonction de partition perpendiculairepartition 3d en tranches diagonales. En comparant ces dernières avec les tranches perpendiculaires,la fonction P λµν(q) peut être obtenue en ajoutant des boites à la partition et parconséquent, un nouveau facteur de la forme q −n(λt )−n(µ) sera aussi ajouté à l’expression dela fonction de partitionP λµν(q) = q −n(λt )−n(µ) P diag (λ, µ, ν) (3.25)avec n(µ) = ∑ (i − 1) µ i . Et la fonction de partition diagonale se présente sous la formeisuivante :P diag (λ, µ, ν) = ∑ π\π 0∏a∈Zq |π a|(3.26)où la somme est sur toutes les partitions 3D dont la fonction de partition P diag compte lespatitions 3D où les conditions de bords sont définies au long des trois axes et π 0 est unepartition 3D avec le minimum de boîtes.Fig. 3-5 – Une partition π (λ, µ, ν) avec extra boites sur une partition π • (λ, µ, ν).En appliquant le formalisme de matrice de transfert et en introduisant des opérateursde création et d’annihilation, la fonction diagonale peut s’écrire comme suit :⎛⎞ ⎛⎞P diag (λ, µ, ν) = 〈 λ t∣ ∣ ⎜ ∏⎝q L 0⎟Γ + (1) ⎠ q L 0⎜ ∏⎝ Γ − (1)q L 0⎟⎠ |µ〉 (3.27)N 1 −1termesN 2 −1termesoù λ, µ, ν sont des partitions 2d et λ t est une partition transposée. Dans cette expression,nous avons un nombre infini d’opérateurs Γ ± (1) qui agissent sur les deux états. Leurs ordressont déterminés par la forme de la partition ν. Donc, il s’agit par la suite de déterminerl’expression générale de la fonction de partition perpendiculaire en termes des fonctions deSchur.114

Modèle Cristallin du VertexFormule d’opérateurMaintenant, nous appliquons à la formule (3.27) les trois transformations suivantes : Commutons les opérateurs q L 0à l’extérieur. Les opérateurs de création et d’annihilationseront conjugués aux Γ ± (q ... ) Commutons les opérateurs de création à gauche et les opérateurs d’annihilation àdroite en utilisant la formule (3.15). Ecrivons l’expression résultante comme une somme sur tous les états intermédiaires|η〉〈η| .Résultat :L’expression la plus générale de la fonction diagonale est la suivante :avec q −ν−ρP diag (λ, µ, ν) = Z(ν)q ‖ − ‖λ‖2 µ t ‖ 2− 2 2∑s λ t /η(q −ν−ρ )s µ/η (q −νt−ρ ) (3.28)η={q −ν 1+ 1 2 , q −ν 2+ 3 2 , q −ν 3+ 5 2 · · · } et Z(ν) est un facteur multiplicatif obtenu àpartir de la relation de commutation des opérateurs de création et d’annihilation. Il dépendseulement de la forme de ν et peut être déduit en utilisant la symétrie cyclique commesuit :P (∅, ∅, ν) = P (ν, ∅, ∅). (3.29)En appliquant cette dualité sur les deux côtés d’équation (3.28)Z(ν) = q − ‖ν‖22 s ν t(q −ρ )M(q). (3.30)Finalement, en tenant compte des équations (3.21,3.28,3.30), nous retrouvons l’amplitudede vertex topologique en termes des fonctions de Schur,C λ,µ,ν = q k(µ) s ν t(q −ρ ) ∑ ηs λ t /η(q −ν−ρ )s µ/η (q −νt −ρ ). (3.31)Dans le chapitre suivant, nous utiliserons le vertex topologique pour le calcul des fonctionsde partition des cordes topologiques ouvertes et fermées.4.3 La fonction perpendiculaire raffinéeDans la section précédente, nous avons exposé de façon systématique la méthode decalcul de la fonction de partition perpendiculaire Z 3D (q) où nous avons limité notre étude115

4.3 Version raffinée de la fonction perpendiculaireà un seul paramètre q. Dans cette section, on va suivre la même démarche de calcul afinde déterminer la fonction de partition raffinée en termes d’autres paramètres (q, t), ce quiva motiver l’introduction des invariants Gopakumar-Vafa [55].4.3.1 Fonction de partition avec un nombre infini de paramètresL’analyse effectuée dans ce qui suit, concerne le calcul de la fonction de partition entenant compte d’un nombre infini de paramètres. En liaison avec ce qui est introduit auparavant,l’entier ”a” est utilisé pour décrire la position de chaque tranche sur le diagrammede Young. Pour toute partition 2D, nous pouvons répartir les coins de la représentationd’une partition correspondante en deux groupes : coin intérieur et extérieur.Nous présentons les coins intérieur et extérieur par leurs coordonnées u i et v i respectivement.Leur projection sur la ligne réelle est représentée dans la Fig 3-6−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5Fig. 3-6 – Coins intérieur et extérieurM∑i=0v i = M−1 ∑i=0u i M = # de coins exérieur (3.32)Il est commode de présenter un autre ensemble de paramètres { x ± m|m ∈ Z + 1 2}et lesidentifier sous la forme q a :x + m+1x +m= q m+12m > v M or u i − 1 > m > v i ,x + x − u i − 1 u 2 i + 1 2x − x + v i + 1 v 2 i − 1 2= q −1u i,= q vi ,(3.33)x − mx − m= q m+12m < v 1 or v i+1 − 1 > m > u i .116

Modèle Cristallin du VertexEn utilisant la méthode de matrice de transfert, la fonction de MacMahon raffinée estcalculée de la même manière que dans le cas standard. En effet la fonction de MacMahonen termes d’opérateurs de création et d’annihilation est sous la forme suivante :Z 3D (q) = ∑ ∏0∏ ( )q |η aa |∏ ∞ ( )= 〈0| Γ − x + Γ−k+ 1 + x − |0〉−k+ 1 π a∈Zk=−∞2 k=12∏= ∞ ∞∏ () −1 (3.34)1 − x + x − k 1 − 1 −k 2 2 + 1 2k 1 =1 k 2 =1Les variables x + et x − sont exprimées en termes des variables q comme suit :x + k+ 1 2x − − 1 2= k−1 ∏i=0q i , k ≥ 1= 1 , x − −k+ 1 2= k−1 ∏i=0q −i k ≥ 2(3.35)Nous déduisons alors l’expression de la fonction de MacMahon :()∞∏ ∞∏k∏1 −1 k 2 −1 −1∏Z 3D (q) = 1 − q i q −j . (3.36)k 1 =1 k 2 =1Quand q i = q où i ∈ Z, nous obtenons la fonction de MacMahon standard à 3 dimensions :∞∏ (Z 3D (q) =) 1 − qk −k(3.37)k=1Après avoir démontré que l’égalité pour laquelle tous les paramètres sont ègaux l’un àl’autre est en accord avec celle initialement obtenue, il est naturel d’étendre l’étude en introduisantdes partitions λ et µ non-triviales. La fonction de partition, où ν est la partition2D le long de la direction préférée et λ = µ = ∅, est donnée par :νi=0j=1q tλ µFig. 3-7 – ν est une partition 2D représentée le long de la direction préférée.Z ν (q) = P ∅∅ν =∏(i,j)∈ν c (1 − q (i,j) ) −1 , q (i,j) =117∏(a,b)∈H(i,j)q b−a , (3.38)

4.3 Version raffinée de la fonction perpendiculaireoù H(i, j) est la longueur d’équerre de l’ensemble des boites (i, j). La fonction de partitionZ 3D (q) peut être exprimée comme un produit sur toutes les boîtes. Chaque boîte contribuepar un facteur de (1 − x) −1 où x est le produit de paramètres q i indexé par la longueurd’équerre.Nous considérons maintenant la fonction de partition perpendiculaire raffinée sur laquellenous imposons des conditions de bords :P λ,µ,ν (q) = ∑ π\π 0∏k∈Zq |λ(k)|k(3.39)où la somme est sur toutes les partitions 3D. Chaque partition π peut être tranchée detelle sorte que nous obtenons des partition 2D π(a) le long de la diagonale. La fonction departition perpendiculaire dans le cas où λ et µ sont des partitions non triviales, prend laforme :P λµν (q) = Z ν (q) ∑ ηs λ t /η(x + )s µ/η (x − ) (3.40)avec x ± = {x ± m|m ∈ Z + 1 }. Dans la sous-section suivante, nous allons limiter notre analyse2à l’étude de l’expression de la fonction de partition en termes de deux paramètres q et t.4.3.2 P λµν (q, t)Comme nous avons vu dans la section précédente, nous pouvons calculer la fonction departition en choisissant les paramètres q t . Si ces derniers se réduisent à :{q , α ≥ 0q t =t , α < 0alors la fonction de partition sera comme :Z 3D (t, q) =(3.41)∞∏(1 − t i q j−1 ). (3.42)i,j=1Par la suite on va considérer le cas où ν est non trivial. Il existe une transformation entrex ± = {x ± m|m ∈ Z + 1 } et {t, q} qui est représentée par :2{x + m|m ∈ D + } = {t i q −ν i| i = 1, 2, 3, · · · }{x − m|m ∈ D − } = {q j−1 q −νt j | j = 1, 2, 3, · · · }(3.43)avec D + et D − représentent respectivement l’ensemble des boîtes noires et blanches dansle diagramme de Maya correspondant à la partition ν 2 . Si nous considérons la i-ème boîte2 Voir l’annexe.118

Modèle Cristallin du Vertexblanche du côté gauche, le nombre de boîtes noires à droite sera donné par ν i . Ce quiimplique qu’il y’a une correspondance une à une{(m 1 , m 2 )| m 1 ∈ D − , m 2 ∈ D + , m 1 ≥ m 2 } → {(i, j) ∈ ν}{(m 1 , m 2 )| m 1 ∈ D − , m 2 ∈ D + , m 1 < m 2 } → {(i, j) /∈ ν}(3.44)et la fonction Z ν est donnée comme suit :∏Z ν =(1 − x + m 2x − m 1) −1 =m 1

4.4 Modèle du cristal fondu et conifold résoluEt en utilisant la relation entre les variables du diagramme de Maya et celles des diagrammesde Young nécessite une expression de la fonction diagonale en termes des paramètresq et tP diag (λ, µ, ν) = t − |λ|2 q −|µ|2 Z ν (t, q) ∑ η( qt) |η|/2sλ t /η(t −ρ q −ν )s µ/η (t −νt q −ρ ) .En multipliant par q −n(λt) t −n(µ) , la fonction perpendiculaire s’écrit en termes de P diag (λ, µ, ν)comme suit :P λ,µ,ν (t, q) = = q −n(λt )− |µ||µ|−n(µ)− 2 t 2 Z ν (t, q) ∑ η( qt) |η|/2sλ t /η(t −ρ q −ν )s µ/η (t −νt q −ρ )= q − |λ||22 t − ||µt || 22 Z ν (t, q) ∑ η( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η(t −ρ q −ν )s µ/η (t −νt q −ρ ).(3.52)La connaissance de la fonction de partition perpendiculaire (3.52) aussi bien que l’expressionde la fonction de MacMahon à 3 dimensions (3.46) , est suffisante pour donnerl’expression explicite de vertex topologique raffiné en termes des fonctions de schur :C λµν (t, q) = q f(ν) t g(ν) q ‖λ‖2 + ‖µ‖2 P λµν (t,q)2 2M(t,q)= q f(ν) t ( ) g(ν) ‖µ‖ 2q 2t k(µ) Z2 ν(t,q)tM(t,q)∑= q f(ν) t ( ) g(ν) ‖µ‖ 2q 2t k(µ)2 ˜Zν (t, q) ∑ tηη( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ)( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ)(3.53)les fonctions f(ν) et g(ν) sont données par f(ν) + g(ν) = ||ν||2 . Il s’avère que cette relation2n’est pas suffisante pour fixer les deux fonctions f(ν) et g(ν). Or, le choix le plus courantest de prendre g(ν) = 0 et par conséquent le vertex topologique raffiné s’exprime en termesde la généralisation de la fonction de Schur :⎧⎪⎨C ∅∅ν (t, q) = q ||ν||22 ˜Zν (t, q)⎪⎩= q k(ν)2 Q ν (q −ρ ; t, q),= ( ) ||ν|| 2q 2Pt ν t(t −ρ ; q, t)(3.54)où P ν t(t −ρ ; q, t) et Q ν (q −ρ ; t, q) sont respectivement des fonctions de Macdonald et leurduales. Finalement, après la considération des éq(3.54) et (3.53), la forme générale duvertex topologique raffiné est :C λµν (t, q) = ( ) ‖µ‖ 2 +‖ν‖ 2q 2t k(µ)2 Ptν t(t −ρ ; q, t) ∑ η( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ)Notons que pour le cas où t = q, le vertex topologique raffiné n’est autre que le vertextopologique standard en prenant P ν (q −ρ ; q, q) = s ν (q −ρ ).120

Modèle Cristallin du Vertex4.4 Modèle du cristal fondu et conifold résoluDans le contexte du modèle cristallin, il est démontré que l’analyse du cristal fondupermet de reproduire la fonction de partition sur le conifold résolu. Nous allons analyseren détails le modèle C 3 avec un nombre arbitraire de "murs". A partir de ce modèle, onétablit une relation entre l’amplitude du modèle cristallin et les invariants des noeuds. Icinous n’allons évoquer que trois exemples parmi bien d’autres des modèle cristallins duvertex.4.4.1 Modèle cristallin avec un seul murEn se basant sur les résultats fournis dans la section précédente, nous calculons l’amplituderésultante du modèle cristallin fondu d’un conifold résolu. Ce dernier est une simplemodification d’un modèle de cristal C 3 dont les atomes sont dans la région x ≥ N.Fig. 3-8 – Géométrie torique du conifold résolu se termine sur un mur sur l’axe y à une distancequi correspond au paramètre de kahler.Un ”mur” à la position x = N sur l’axe x est un axe interne ou compact au delàduquel le cristal ne peut pas être fondu, l’axe y est considéré comme un axe externe ouune direction non compacte et N est lié au module de Kähler t par l’équation suivantet = g s N. Le fait de considérer le mur sur la N me tranche est représenté en insérant lesN opérateurs Γ − qui agissent sur le vide. Alors, la fonction de partition du modèle crisal121

4.4 Modèle du cristal fondu et conifold résolufondu sur le conifold résolu est de la forme suivante :( ∞) (∏N)Zcristal P1 (q, t = g s N) = 〈0| q L 0∏Γ + (1) q L 0Γ − (1) q L 0|0〉n=1m=1∏Z cristal (q, t = g s N) = 〈0| ∞ ) ∏ NΓ +(q n− 1 2 Γ −(q − (m− 1 2) ) |0〉n=1= 〈0| e − P n>0= M(q)e − P nm=1αnn[n] e− P n>0Q nn[n] 2 .1−q Nnn[n] α −n|0〉(3.55)où Q = e −t = q N . Lorsque N → ∞, on trouve un accord parfait avec la fonction de partitiondu modèle cristallin C 3 . Ce modèle peut être obtenu par la réécriture de l’expression de lafonction de partition de la théorie de Chern-Simons sur S 3 .4.4.2 Modèle cubiqueLe modèle cubique est une généralisation naturelle des modèles avec des parois présentésdans la section précédente. On verra donc comment calculer la fonction de partition detoutes les partitions 3d placées dans un cube de taille N × M × L. Il est donc nécessaired’introduire un nombre fini de termes dans Z cube = 1+· · ·+q LMN , avec LMN est le volumedu cube. En d’autres termes, nous mettons trois murs, dans les positions suivantes : x = M,y = L et z = N comme le montre la figure(3-9) ci-dessous :Fig. 3-9 – Modèle cristallin cubique de la taille M × L × N.Dans ce cas, la fonction de partition, grâce au formalisme de matrice de transfert,est représentée par un nombre fini de Γ ± alors que le troisième mur est représenté par122

Modèle Cristallin du Vertexl’opérateur de projection 1 d t ≤N(∏ L )Z cube = 〈0| Γ +(q ) (∏ M n− 12 1 d t ≤N Γ −(q − (m− 1 2) )) |0〉 . (3.56)n=1Cette fonction génératrice est égale au produit du la fonction de partition de la cordefermée en utilisant le formalisme de vertex topologique par la fonction de MacMahonm=1Z cube = M (q) Z C .De manière simple, l’évaluation de la fonction de partition est non triviale, puisque la formedu projecteur est plus compliquée. Or, c’est exactement le type de fonctions génératricesdes partitions planes que l’on peut obtenir à partir des outils combinatoires démontréspar MacMahon [92]. Ainsi, en utilisant ce résultat, on obtient finalement l’expression desfonctions de partition :Z cube = Z 1 Z 2 =∏ 1 − q N+i+j−11 − q h(i,j)(i,j)∈M Loù M L désigne la partition 2d avec L lignes et h(i, j) est la longueur d’équerre avec leséléments (i, j) (voir l’annexe). Il est important de souligner que le résultat de l’équation(3.47) se réduit en fonction de MacMahon standard à la limite M, N, L → ∞.Le modèle cristallin dans un cube est très prometteur pour étudier autres modèles pluscompliqués. Nous avons jugé utile que le collage de tels cubes correspond à la constructiondes modèles cristallins plus complexes liés aux espaces de CY toriques. Ces modèlesauraient deux caractéristiques : le paramètre g s lié à la taille d’une boîte élémentaire, etles paramètres de Kahler des variétés de CY donnés par q M , q N , et q L . L’étude du cristalCY reste encore un problème ouvert. Il s’agit, dans ce cas, d’un nouveau terrain encore àexplorer.4.5 Invariants topologiques dans le modèle cristallinLa question qui se pose : comment peut-on concilier les invariants des noeuds et entrelacssous le modèle cristallin du conifold. En fait, pour dévoiler les invariants dans lemodèle cristallin, il faut insérer des branes qui correspondent aux invariants de la théoriede Chern-Simons. Dans cette section, nous allons présenter une étude directe des invariantsde la théorie de Chern-Simons dans le modèle cristallin.123

4.5 Invariants topologiques dans le modèle cristallinFig. 3-10 – Branes et anti-branes dans les slices positives et négatives de cristal C 3 .4.5.1 Invariant unknotConsidérons l’exemple d’une seule brane sur l’axe y du vertex qui est décrite par lemodule a dans le cristal. La fonction de partition s’écrit donc en termes de la fonction deMacMahon comme :Z(a, q) = M(q)L(a, q), (3.57)où L(a, q) est la fonction génératrice des invariants unknot 3 . On la développe de la manièresuivante avec [n] = q n 2 − q −n2 :L(a, q) = e P ∞n=1 ann[n] a= 1 + „ « + a 2 q2+ · · ·q 1 2 −q −1 (q 2 −1)(q−1)2= ∑ (3.58)R W R•a |R|de sorte que cette fonction peut être exprimée par une somme sur toutes les représentationsR associées aux lignes dans les diagrammes de Young, par exemple 1 = □, 2 = □□, etc.D’où W R• correspond à un invariant unknot. Une telle fonction de partition des invariantsdénoués (unknot) qui est en accord avec les résultats des théories de Chern-Simons étudiésdans le cadre de la transition géométrique, ne peut exister que si nous avons une seulebrane insérée dans le cristal C 3 .3 dénoué en français124

H. Jehjouh Generalized MacMahon G(q) as q-deformed CFT Correlation Function4.5.2 Invariant Entrelacs de HopfCherchons à déterminer la fonction de partition ˜Z(a, b, q) qui régit la fonction génératricedes invariants d’entrelacs de Hopf. Pour cela, insérons une antibrane sur l’axe des xet une brane sur l’axe y. La fonction de partition sera sous cette forme :˜Z(a, b, q) =Z(a, b, q)M(q)(3.59)avecZ(a, b, q) = ∑ Rq k R +k R2 W R t P ta|R| b |R| (3.60)où k R = |R| + ∑ i R i (R i − 2i) et M(q) est la fonction de MacMahon à trois dimensions. Ilest intéressant de remarquer que le vertex avec une représentation triviale est fortement liéaux termes des invariants de Hopf d’entrelacs W P R , qui peuvent être exprimés en termesdes fonctions de schur comme :W P R = q k R/2 C P R t •= s P (q ρ ) s R(qρ+R )= q 1 2 (k R+k P ) ∑ η s R t /η (q ρ ) s P t /η (q ρ ) .(3.61)En appliquant la même procédure des deux cas précédents, on peut effectuer une fonctiongénératrice des invariants d’entrelacs de Hopf avec n branes sur l’axe des y et m antibranessur l’axe des x. Alors, la fonction de partition aura la forme suivante :˜Z(a 1 , · · · a n ; b 1 , · · · b m ; q) = ∑ ∑ q k R +k R2 W P t R ta|R 1|1 · · · a |R n|n b |P 1|1 · · · b |P m|m (3.62)où R = (R n , ..., R 1 ) et P = (P m , ...P 1 ) sont des partitions 2D. Enfin, l’un des aspects lesplus intéressants est que les résultats obtenus puissent donner des informations utiles surla fonction de partition des invariants de la théorie des cordes topologiques en présence desbranes.Pour conclure ce chapitre, remarquons que la découverte de la dualité entre le modèlede la physique statistique et la théorie de corde topologique du modèle-A sur une variétéde Calabi-Yau de dimension 3 a montré un lien inattendu entre les efforts fournis pourconstruire les amplitudes de la théorie des cordes topologiques type A et B sur le conifoldrésolu. Tout cela suggère que la variété de Calabi-Yau cristal pourrait être un bon candidatpour déduire la relation entre la théorie des cordes topologiques et les modèles de lamécanique statistique.125

4.6 Contribution : Generalized MacMahon4.6 Contribution : Generalized MacMahonNuclear Physics B, Volume 801, Issue 3, 1 October 2008, Pages 316-345, arXiv :0801.2661.RésuméDans ce papier, nous nous sommes basés sur deux outils très importants : la méthode dematrice de transfert et la théorie de champs quantique q-deformée afin de construire lathéorie de champs conforme à 2d de la fonction MacMahon généraliséeG d (q) =∞∏k=1[ (1 ) ]− qk − (k+d−3)!(k−1)!(d−2)!, d ≥ 2, (3.63)Différents résultats furent obtenus. En effet, nous avons montré que les opérateurs de vertexΓ ± (z) de la théorie des champs conformes à 2 dimensions, apparaissent comme le premierniveau de l’hiérarchieΓ (p)− (z) |0〉 = exp( ∞∑n=1)iz n J −nn (1 − q n ) p−1 |0〉 , p ≥ 1 (3.64)Nous avons dérivé l’expression explicite de la fonction de MacMahon généralisée G d (q) entermes de ces opérateurs de vertex Γ ± (z) q-déformés. Suite à sa forme générale, nous avonsinterprété cette fonction G d (q) comme une fonction de corrélation de (d + 1)-points dansla théorie de champs q-déformée c = 1.126

Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345www.elsevier.com/locate/nuclphysbGeneralized MacMahon G d (q) as q-deformed CFT 2correlation functionLalla Btissam Drissi a,b , Houda Jehjouh a,b , El Hassan Saidi a,b,c,∗a Lab/UFR-Physique des Hautes Energies, Faculté des Sciences, Rabat, Moroccob GNPHE, Groupement National de Physique des Hautes Energies, Siège Focal: FS, Rabat, Moroccoc Académie Hassan II des Sciences et Techniques, Collège des Sciences Physiques et Chimiques, Rabat, MoroccoReceived 18 January 2008; received in revised form 27 February 2008; accepted 4 March 2008Available online 16 March 2008AbstractUsing Γ ± (z) vertex operators of the c = 1 two-dimensional conformal field theory, we give a 2d-quantumfield theoretical derivation of the conjectured d-dimensional MacMahon function G d (q). We interpretthis function G d (q) as a (d + 1)-point correlation function G d+1 (z 0 ,...,z d ) of some local vertex operatorsO j (z j ). We determine these operators and show that they are particular composites of q-deformedhierarchical vertex operators Γ (p)± , with a positive integer p. In agreement with literature’s results, we findthat G d (q), d 4, cannot be the generating functional of all d-dimensional generalized Young diagrams.© 2008 Elsevier B.V. All rights reserved.Keywords: Topological string; Vertex operators; Young diagrams and solid partitions; c = 1 2d conformal field model;Generalized MacMahon function; q-deformed QFT 21. IntroductionThe study of two-dimensional (2d) MacMahon function G 2 , and its 3d-generalization G 3 appearin many areas of statistical physics, such as crystals growth, crystals melting, Bose–Einsteinstatistics and dimer model [1–7]. Recently, these functions have known a revival of interest inconnection with topological string theory [8–10]; in particular in the study of BPS black holes,given by branes wrapping collapsed cycles in Calabi–Yau orbifolds, and in the infinite n limit* Corresponding author at: Lab/UFR-Physique des Hautes Energies, Faculté des Sciences, Rabat, Morocco.E-mail addresses: drissilb@gmail.com (L.B. Drissi), jehjouh@gmail.com (H. Jehjouh), h-saidi@fsr.ac.ma(E.H. Saidi).0550-3213/$ – see front matter © 2008 Elsevier B.V. All rights reserved.doi:10.1016/j.nuclphysb.2008.03.006

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 317of quiver gauge theories[11–15]. MacMahon functions G 2 (q) and G 3 (q) arealsousedintheexplicit computation of the amplitudes of A-model topological string on local Calabi–Yau manifolds[5,16–18].In [5], it has been shown that the topological A-model partition function Z 3d on the complexspace C 3 , which coincides exactly with the 3d-crystal melting partition function Z crystal ,isgiven by 3d-generalized MacMahon function G 3 . This is an important result since topologicalamplitudes for the full class of toric Calabi–Yau threefolds X 3 with a planar toric geometry arerecovered just by gluing the C 3 -vertices [16]. Amplitudes involving open strings are also recoveredup on inserting special Lagrangian D-branes captured by boundary conditions on the edgesof the 3-vertices [18]. An evidence for a “topological 4-vertex”, in the case of toric Calabi–Yauthreefold with non planar toric geometry, has been also studied in [19] and would, roughly, bedescribed by a 4d-extension of the generalized MacMahon function G 3 .MacMahon functions G 2 and G 3 appear as well in representation theory of infinite dimensionalLie algebras and in topologically twisted U(1) gauge theories [20–23]. They are respectivelythe (specialized) character ch R of the basic representations of the sl(∞) and the affinealgebra ŝl(∞) at large central charge c [22,24–26]. In the limit c →∞, it has been moreoverobserved in [27] that the basic representation of ŝl(∞) is closely related to the partition functionof a three-dimensional free field theory. MacMahon G 2 and G 3 are also the partition functionsof the 4d- and 6d-topologically twisted U(1) gauge theory given by a D4- and D6-branes fillingrespectively C 2 and C 3 [11,15].For higher dimensions, it has been checked in [28] that G 4 (q) cannot be the generating functionalof the 4d-generalized Young diagrams leading then to the two basic questions:(i) What is the right generating functional of generalized d-dimensional Young diagrams ford 4?(ii) What is the exact interpretation of G 4 (q) and G d (q) in general?These questions are not trivial and their answer needs developing more involved mathematicalmachinery. Nevertheless, a first step towards the answer of these questions is to start by deepeningthe study of the conjectured generalized d-dimensional MacMahon function G d . In particularthe issues regarding its interpretation in 2d-quantum field theory and its explicit derivation usingcorrelation functions of local vertex operators.A natural way to reach this goal is to use the “transfer matrix” approach [5,18,29] and borrowideas from q-deformed QFT 2 [30–32]. This method has been successfully used for the particularcase d = 3 and could, à priori, extended to higher d-dimensions. In topological string onlocal Calabi–Yau threefolds, the key idea in getting topological closed string partition functionrelies on expressing Z3dclosed as a particular vev 〈0|T |0〉 of some hermitian transfer matrix operatorT . This operator can be factorized as A + A − with A + and A − being composite local vertexoperators of the two-dimensional c = 1 conformal field theory. Implementation of open stringsleads to Z open3d∼ C νμλ and is achieved as 〈ν t |A + (λ)A − (λ t )|μ〉 by inserting boundary states |σ 〉,σ = ν, λ, μ, described by asymptotic 2d-Young diagrams. If we let string interpretation aside,this construction could be applied as well for higher d-dimensions where G d is expected to playa central role.This paper has two main objectives:

318 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345(1) Give a conformal field theoretical derivation of the conjectured d-dimensional generalizedMacMahon function G d expressed by the following formula,G d (q) =∞∏ [(1 − qk ) − (k+d−3)! ] (k−1)!(d−2)!, d 2,k=1together with the two special ones filling the hierarchy,G 1 (q) = 11 − q , G 0(q) = 1.Recall that in combinatorial analysis, the function G 3 (q) can be defined as the generating functionalof 3-dimensional partitions Π (3) extending the usual 2d-partitions μ = Π (2) to higher3-dimensions. Refined studies regarding G 4 function have revealed that it is not the generatingfunctional of 4d partitions [18,28,33].To fix the ideas, it is interesting to recall that expanding G 2 (q) as a q n power series like,∞∏( ) 1∞∑G 2 (q) =1 − q k = p 2 (n)q n ,k=1n=0one gets the number p 2 (n) of 2d-partitions (Young diagrams) containing n boxes. From thisview, G 2 can be physically interpreted as the exact partition function Z 2 = Tr(q H ) of a twodimensionalstatistical physics system with,(q = exp− 1KT),and energy spectrum E k = k. HereT is the absolute temperature and the constant K is theBoltzmann one. For instance, G 2 (q) is the partition function of the c = 1 free Bose gas. There,the Hamiltonian is given by H = ¯hω ∑ kN k with N k = a + k a k being the operator number ofparticles and energy spectrum E k = ¯hωk.Similar expansions can be also made for G d (q) which then read as followsG d (q) =∞∑p d (n)q n , d 3.n=0For the case d = 3, the number p 3 (n) is precisely the number of 3d-partitions; but for d = 4, thenumber p 4 (n) is not the total number of 4d-partitions as it has been explicitly checked in [28].(2) The second objective of the present study is to show that G d (q) can be remarkably interpretedas a (d +1)-point correlation function G d+1 of some q-deformed vertex operators O j (x j ),i.e.(1.1)G d (q) = G d+1 (x 0 ,x 1 ,x 2 ,...,x d )with x j = q j , j = 0,...,d; and(1.2)G d+1 =〈0|O 0 (x 0 )O 1 (x 1 )O 2 (x 2 ) ···O d (x d )|0〉.The O j (x j )’s will be determined in terms of the usual vertex operators Γ ± = exp(Φ ± ) of thec = 1 two-dimensional bosonic conformal field theory [34]; but also others, denoted like Γ (p)± ,involving q-deformed QFT 2 . This result gives:(1.3)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 319vertex operators. In Section 4, we derive the generalized MacMahonfunction G n for 4d and 5d using transfer matrix method and q-deformed vertex operators Γ ±(3)and Γ (4) . In Section 5, we give the result for generic d-dimensions. In Section 6, we derive(i) A q-deformed 2d quantum field theoretical proof of the conjectured MacMahon functionG d .(ii) An interpretation of G d using q-deformed c = 1 conformal field theory rather than CFT 2free field theory with central charge c →∞.(iii) For d 4 G d cannot be the generating function of d-generalized partitions; but rather ofa subclass of d-partitions with very specific boundary conditions.The organization of this paper is as follows:In Section 2, we introduce the usual vertex operators Γ ± of the c = 1 2d conformal modeland give some of their properties essential for the next steps. In Section 3, we revisit the CFT 2derivation of 3d-generalized MacMahon function G 3 using transfer matrix method. We also introducethe q-deformed Γ (2)±±O j (x j ) vertex operators involved in G d (q) re-interpreted as (d + 1)-point correlation functionG d+1 (z 0 ,...,z d ) in q-deformed c = 1CFT 2 . In the conclusion section, we summarize the mainresults of the paper accompanied with a discussion. In Appendices A and B, we give more detailson the proofs of identities used in the present study.2. Vertex operators: Useful propertiesIn this section, we explore some basic properties of the vertex operators Γ ± (z) in c = 1 2dconformalfield theory. We study their commutation relations algebra in connection with thecounting of the Hilbert space states and the 2d-partitions (Young diagrams). We also give specialfeatures of Γ ± (z) which has motivated us to look for the relations (1.2)–(1.3).2.1. Vertex operators in c = 1 CFT 2As the c = 1 field vertex operators Γ ± (z), z ∈ C, have been well studied and are quite knownin 2d conformal field theory [29,35,36], we shall come directly to the main points by consideringthe three following materials needed for the study of Γ ± (z) and their extensions to be consideredin this study:(1) U(1) Kac–Moody algebraIn CFT 2 on the complex line C parameterized by the coordinate z, theU(1) Kac–Moodyalgebra is generated by the holomorphic current J(z) obeying the following operator productexpansion (OPE)1J(z 1 )J (z 2 ) = + regular terms.(z 1 − z 2 ) 2(2.1)Using the Laurent expansion,J(z)= ∑ z −n−1 J n ,n∈Z∮ dzJ n =2iπ zn J(z),(2.2)the above OPE algebra reads as follows[J n ,J m ]=nδ n+m,0 .We have, amongst others, (J n ) † = J −n and J n |0〉=0forn 1.(2.3)

320 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345(2) c = 1 conformal modelIn the 2D conformal field theoretic realization of Eqs. (2.1)–(2.3), one distinguishes two freefield theoretic realizations of the c = 1 conformal representation:(i) The free bosonic realization using a single real (chiral) boson Φ(z) with the usual two-pointcorrelation function,Φ(z 1 )Φ(z 2 ) =−ln(z 1 − z 2 ) + regular terms.(ii) The free fermionic realization using a complex one component fermion ψ(z). In this case,the two-point correlation function that have a singular term is,ψ ∗ (z 1 )ψ(z 2 ) = 1z 1 − z 2+ regular terms.The two-point functions ψ(z 1 )ψ(z 2 ) and ψ ∗ (z 1 )ψ ∗ (z 2 ) are regular.The U(1) Kac–Moody current J(z)is given, in the bosonic representation, by:J(z)= ∂Φ(z)i∂z ,while it has the following form J(z) =:iψ ∗ (z)ψ(z): in terms of fermions. Below, we shallmainly focus on the bosonic case; the link with fermionic representation can be done by usingbosonization ideas.Expanding the 2d chiral scalar field as(2.4)(2.5)(2.6)Φ(z) = ∑ n∈Zz −n Φ nand rearranging it as Φ(z) = Φ − (z) + Φ 0 + Φ + (z), we can write the above expansion as,Φ − (z) = i ∑ n>01n zn J −n , Φ + (z) =−i ∑ 1n z−n J nn>0(2.7)(2.8)wherewehaveusedΦ n = 1(2.9)in J n, n∈ Z ∗ .This identity follows directly by comparing Eqs. (2.6)–(2.7) and (2.2). Notice also that the zeromode Φ 0 acts trivially; it will be ignored in follows.(3) Vertex operators: Level 1There are various local field vertex operators that we will encounter in this present study. Thesimplest ones, named as level 1,aregivenbyΓ ± (z) = exp ( Φ ± (z) ) , z∈ C.(2.10)The other vertex operators Γ (p)± (z), to be introduced later on, will be named as level p vertexoperators. Substituting Φ ± (z) by their expression (2.8), thelevel 1 vertex operators (Γ ± (z) ≡Γ ± (1) (z)) read also as follows(Γ − (z) = exp i ∑ )1n zn J −n ,n>0

(Γ + (z) = exp −i ∑ )1n z−n J n .n>0L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 321(2.11)These objects may be interpreted as the generating functionals of monomials of the J m operators.For instance, we have for the leading terms,J −1 = ∂Γ −(0),i∂z(J2−1 − iJ −2)=∂ 2 Γ − (0)(i∂z) 2(2.12)and similar relations for their adjoints. Notice that since the states of the Hilbert space of c = 1conformal theory representation are given by∏(J −ni ) λ i|0〉, J ni |0〉=0, n i ,λ i ∈ N,(2.13)i1it follows that the stateΓ − (z)|0〉,is the generating functional of the basis states (2.13) of the c = 1CFT 2 Hilbert space.(2.14)2.2. Algebra of the Γ ± vertex operatorsThe action of the local operators Γ ± (z) on the Hilbert space states of the c = 1 2d-conformalfield theory exhibits a set of special properties inherited from the algebra of the J ±n modes (2.3).Some of these properties are revisited in what follows:(1) The Γ ± (z) operators obey the algebra,Γ ± (x)Γ ± (y) = Γ ± (y)Γ ± (x), x, y ∈ C,(Γ + (x)Γ − (y) = 1 − y ) −1Γ − (y)Γ + (x),x(2.15)which can be easily established by using Eqs. (2.4)–(2.3).(2) The operator q L 0 acts on Γ + (1) and Γ − (1) as a translation operator as shown below,q L 0Γ ± (1)q −L 0= Γ ± (q).This relation will play a crucial role later on, in particular when using transfer matrix method.(3) Using the properties J n |0〉=0 and 〈0|J −n = 0forn>0, we have moreover:(i) For all positions z, the operators Γ ± (z) act on the vacuum as the identity operator:(2.16)So we haveΓ + (z)|0〉=|0〉, 〈0|Γ − (z) =〈0|.(2.17)and〈0|Γ − (z)|0〉=1,〈0|Γ + (z)|0〉=1,(2.18)〈0|Γ − (z)Γ + (w)|0〉=1,〈0|Γ ± (z)Γ ± (w)|0〉=1.(2.19)Notice in passing that, viewing Γ ± (z) as local operator fields, Eqs. (2.18) and (2.19) may beinterpreted respectively as 1-point and 2-point Green functions. Notice moreover that since Γ + (z)

322 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345and Γ − (w) are non-commuting operators, we have,〈0|Γ + (z)Γ − (w)|0〉 ≠〈0|Γ − (z)Γ + (w)|0〉.(2.20)We will develop this issue much more later when we come to the derivation of Eqs. (1.2)–(1.3)by using correlation functions.(ii) As Γ − (z) involves all monomials in J −ni ,J λ −n ≡ ∏ i1(J −ni ) λ i,(2.21)where λ = (λ 1 ,λ 2 ,...) is a 2d-partition, the state Γ − (z)|0〉 is reducible and is given by a sumover all possible 2d-partitions λ. In particular we have for z = 1,∑Γ − (1)|0〉= |λ〉.(2.22)2d partitions λA similar relation is also valid for 〈0|Γ + (1). More generally, this relation extends as Γ − (1)|μ〉and involves the Schur function SμSchur (q) [35]. With these tools, we are in position to proceedfor higher dimensional generalizations.3. The 3d-MacMahon function revisitedOur main objectives here are:(i) revisit the derivation of Z 3d ,(ii) use CFT 2 explicit computations to give arguments which support the existence of a hierarchyof level p vertex operators Γ (p)± .To reach this goal, we first give some details on 3d-partitions (known also as plane partitions)and its generating functional Z 3d . Then we present the explicit computation of the function Z 3dusing transfer matrix method. As mentioned in the introduction, Z 3d is precisely the amplitudeof the topological 3-vertex of closed strings on C 3 . There, the q-parameter is given byq = exp(−g s ),(3.1)with g s being the topological string coupling constant. Z 3d is also the partition function of cornermelting 3d-crystals.3.1. Plane partitions and 3d-Hilbert statesTo begin notice that, from the view of combinatory analysis, the 3d-MacMahon function G 3dcan be defined by the following partition function∑Z 3d =q |Π (3)| ,(3.2)3d partitions Π (3)where |Π (3) | is the number of boxes of the 3d-generalized Young diagram. This relation may bealso written as∑ 〈Z 3d =Π(3) ∣ qH ∣ Π(3) 〉 ,(3.3)3d partitions Π (3)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 323withH ∣ ∣Π (3)〉 = E ∣ ∣Π (3)〉 , E = ∣ ∣Π (3)∣ ∣.The Hilbert space states |Π (3) 〉, to which we shall refer as “3d-Hilbert states”, are the quantumstates associated with Π (3) . The relation (3.2) has a remarkable combinatorial interpretation; itis the generating function of the p 3 (n) number of 3d-partitions Π (3) with n boxes. The p 3 (n)number can be determined by expanding Z 3d like,Z 3d (q) =∞∑n=0p 3 (n)q n , p 3 (n) = ∂n Z 3d (0)n!∂q n .Notice also that 3d-partitions Π (3) are 3d-generalizations of Young diagrams and can be decomposedas a sequence 1 of 2d-partitions Π t(2) like,Π (3) = ∑ t∈ZΠ (2)t ,where t parameterizes the slices. For fixed integer t, the 2d-partition Π t(2) = (Π a,a+t ) a∈N ∗ liveson the diagonal plane b = a + t of the cubic lattice N ∗ × N ∗ × N ∗ parameterized by the positiveintegers (a,b,c). The diagonal decomposition (3.6) is useful here in the sense it is used in thetransfer matrix method for computing Z 3d . There exist an other decomposition of Π (3) namelythe so-called perpendicular decomposition relevant for the study of the topological vertex.Expressing the number |Π (3) | of boxes of 3d-partition in terms of 2d ones, namely∣ Π(3) ∣ ∑= ∣ (2)Π ∣ ,(3.7)we can put Eq. (3.2) in the form∑( ∏Z 3d =3d partitions Π (3) ttt(2)|Πq t |).To get “3d-generalized Hilbert states” |Π (3) 〉, it is interesting to first recall 2d-generalized Hilbertspace states |Π (2) 〉≡|λ〉. In the language of the U(1) Kac–Moody algebra representations, theHilbert space states of the c = 1CFT 2 have the structure|λ〉=|λ 1 ,...,λ i ,...〉,and are completely characterized by 2d-partitions,λ = (λ 1 ,...,λ i ,...), λ 1 λ 2 ···,λ i ∈ N.(3.4)(3.5)(3.6)(3.8)(3.9)(3.10)The generating functional of these states is given by Γ − (1)|0〉= ∑ λ |λ〉,Eq.(2.22). GeneralizedHilbert space states |Π (3) 〉, associated to 3d-partitions Π (3) may be built out 2d-partitions withinterlacing relations [5].1 3d-partitions Π (3) have integer entries (Π a,b 0) such that Π a,b Π a+i,b+j i, j 0. These are 3d generalizationsof the usual Young diagrams described by the 2d-partitions λ = (λ 1 ,λ 2 ,...) with λ a λ a+1 . The partitions Π (3) haveseveral properties; in particular the diagonal slicing in terms of 2d partitions Π t(2) used in the transfer matrix method.The diagonal slicing of Π (3) = (Π a,b ) is obtained by setting b = a + t where t ∈ Z parameterizes the sequence Π t (2) .For fixed t, Π t (2) may be thought of as λ with parts λ a = Π a,a+t .

324 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345The generating functional of 3d partitions requires, in the framework of transfer method, thefollowing 2 ( ∏−1(Ψ − (1)|0〉= Γ− (1)q L )) 0|0〉,(3.11)t=−∞together with(∏ ∞(〈0|Ψ + (1) =〈0| qL 0Γ + (1) )) .t=0(3.12)Notice in passing that in Eqs. (3.11)–(3.12), the products ∏ −1t=−∞ (···) and ∏ ∞t=0 (···) are takenover diagonal slices of the 3d partitions. These products are typical ones in the transfer matrixmethod where a 3d partition is thought of as a bound state from the slice at t =−∞(in-state) tothe slice at t =+∞(out-state). The action by the operator Γ − (1) allows to generate all possible2d-partitions on a given diagonal slice as shown on Eq. (2.22). The relation (2.16) permits tomove from a slice to an other by creating all possible partitions interlacing with the partitions inthe previous slice.Therefore, using Eq. (2.16) and q L 0|0〉=|0〉, the states (3.11)–(3.12) can be rewritten as(∏ ∞(Ψ − (1)|0〉= Γ − qk )) |0〉,(3.13)k=0and similar relation for 〈0|Ψ + (1). We deduce from this relation the two following:(i) 3d partitions can be realized in terms of an infinite 2d ones,(ii) the generating functional of 3d partitions are captured by the local vertex operators 3( s∏(Ψ − (1) = lim Γ − qk )) q sL 0,(3.14)s→∞k=0and its dual Ψ + (1). These Ψ ± operators will be denoted later asΨ ± (z) = Γ ± (2) (z),(3.15)but to keep the notations simpler, we will momentary use Ψ ± (z) and come later to the Γ ±(2)when we consider p-dimensional generalization.3.2. More on 3d generating functionThe partition function Z 3d generating 3d-generalized Young diagrams is given, in the transfermatrix language, as follows( ∞) (∏−1)∏Z 3d =〈0| q L 0Γ + (1) q L 0Γ − (1)q L 0|0〉.(3.16)t=0t=−∞2 Note that Ψ ± (1) corresponds to Ψ ± (z) with z = 1. Note also that Ψ ± (1) depend on the q-parameter; it has beendropped out for simplicity of notations.3 It should be noted that a 3d partition is a collection of Young diagrams. However, an arbitrary collection of Youngdiagrams do not correspond to a 3d partition.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 325Splitting q L 0 as q L 02 q L 02 and commuting each of the operators q L 02 to the left and the other tothe right by using Eq. (2.15), we get∞∏ (Z 3d =〈0| Γ + q−t− 21 ) ∏∞ (Γ − ql− 1 )2 |0〉.t=0l=1Then commuting the Γ − ’s to the left of Γ + , we obtain( ∞[∏ ∏ ∞ ( ) ]) 1Z 3d =(1 − q j+l .)l=0j=1By setting j + l = k, we can bring this relation to(∏ ∞ ( ) ]) 1Z 3d =(1 − q k ,)and then toZ 3d =k=1[ k∏j=1∞∏( )1(1 − q k ) k ,k=1(3.17)(3.18)(3.19)(3.20)which is precisely the usual form of the 3d-MacMahon function. Before proceeding ahead noticethe four following:(1) Z 3d asafreeCFT 2 with central charge c →∞The expression (3.18) of Z 3d is very suggestive. Setting∞Z (l)2d = ∏( )1(1 − Q l q j , Q l = q l ,)j=1which, roughly, describes a partition function Z 2d , we could then rewrite Eq. (3.18) like∞∏Z 3d ∼ Z (l)2d .l=0(3.21)(3.22)Seen that each Z (l)2d is associated with a c = 1 free CFT 2 representation, it follows that Z 3d couldbe interpreted as the partition function of a free CFT 2 representation with c →∞. In Section 6,we develop an alternative interpretation of Z 3d using correlation of c = 1 q-deformed vertexoperators.(2) Vertex operators Ψ ± (z): Level 2Using Eqs. (2.11)–(3.11), it is not difficult to check that Ψ ± (z) is also a local vertex operatorwhose explicit expression in terms of the J ±n modes, reads as,(Ψ − (z) = exp i ∑ 1nn>0(Ψ + (z) = exp −i ∑ n>0( zn1 − q n )J −n),1n( z−n1 − q n )J n).The explicit derivation of these relations is given in Appendix A, Eq.(A.2). Notice that:(3.23)

326 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345(i) Γ ± (z) and Ψ ± (z) are related by the mappingz ±n →z±n1 − q n .(3.24)Since for q → 0, Γ ± (z) and Ψ ± (z) coincide, it follows that the operators Ψ ± (z) can be interpretedas a q-deformation Γ ± (z).(ii) Γ ± (z) and Ψ ± (z) share most of the basic quantum properties since both of them involvethe same Kac–Moody mode operators J ±n ,(3) TranslationsThe operator q L 0 acts also as a translation operator on Ψ ± (z) in the same manner like forΓ ± (z)q L 0Ψ ± (z)q −L 0= Ψ ± (qz).(3.25)This property allows us to define 4d-generalization from 3d one in quite similar manner as wehave done in going from 2d to 3d. We will come back to this feature later.(4) Z 3d as a “2-point correlation” functionUsing Ψ ± (1) vertex operators, the partition function Z 3d can be put in the simplest formZ 3d =〈0|Ψ + (1)q L 0Ψ − (1)|0〉.By help of the identity q L 0Ψ − (1)q −L 0 = Ψ − (q) Eq. (3.25),wealsohave(3.26)Z 3d =〈0|Ψ + (1)Ψ − (q)|0〉,(3.27)where Z 3d appears as just the 2-point correlation function of the level 2 vertex operators Ψ + (1)and Ψ − (q). It happens that Eq. (3.27) is not the unique way to define Z 3d . Let us comment brieflyaspects of this issue; general results will be given in Sections 5 and 6.(i) Eq. (3.27) can be also expressed as follows( −1)∏Z 3d =〈0|Γ + (1)q L 0Ψ − (1)q L 0|0〉.(3.28)t=−∞This expression will allow us to get the definition of higher dimensional generalizations ofMacMahon function; see Eq. (5.2). This relation can be put in the simple formZ 3d =〈0|Γ + (1)q L 0Ω − (1)|0〉,or equivalentlyZ 3d =〈0|Γ + (1)Ω − (q)|0〉,where we have set( s∏(Ω − (1) = lim Ψ − qk )) q sL 0.s→∞t=0(3.29)(3.30)(3.31)This local vertex operator should be thought of as the level 3 of the hierarchy we have refereedto earlier; i.e.Ω ± (1) = Γ (3)± .(3.32)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 327(ii) Along with the two representations (3.27) and (3.30) the partition function Z 3d can beexpressed as well like( ) 1Z 3d =〈0|Ω + Γ − (1)|0〉,(3.33)qwhere we have used the correlation of Ω + (x) and Γ − (y) rather than Γ + (x) and Ω − (y).(iii) The diversity in expressing Z 3d as a 2-point correlation function, let us suspect that Z 3dcould be expressed as a more basic objects. In exploring this idea, we have found that the adequateinterpretation of Z 3d (q) is as a special 4-point correlation functionZ 3d (q) = G 4 (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ),(3.34)of vertex operators O j (x j ) involving different Γ (p)± levels,G 4 =〈0|O 0 (x 0 )O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )O 3 (x 3 )|0〉.(3.35)To fix the ideas keep in mind the two following:(α) the vertex operator O 0 (x 0 ) stands for Γ + (1) and the other operators will be explicitlygiven in Section 6;seeEqs.(6.34).(β) the observed diversity in defining Z 3d (q) corresponds just to decomposing (3.35) by usingWick theorem combined with Eqs. (2.18)–(2.19).4. Extension to 4d and 5dWe first show that the leading terms of the generalized MacMahon function can be realized as2-point functions of some vertex operators of c = 1 2d conformal field theory.Then, we use this feature to derive the general formula for G d (q). In Section 5, we considerthe interpretation of G d (q) as (d + 1)-points correlation function G 4 (x 0 ,x 1 ,...,x d ) involvingvertex operators O j (x j ) as in Eq. (1.2).4.1. Z 1d and Z 2d as 2-point functionsBefore studying 4d and 5d generalizations, it is interesting to start by revisiting the 1d and2d cases. This is an important thing for getting the full picture on the conjectured MacMahonfunction G d .We start by noting the two following:(1) Recall that the 1d-MacMahon function corresponds to,Z 1d = 1(4.1)1 − q .This function can be exactly interpreted as the two-point correlation 4Z 1d = G 2 = G 2 (z 0 ,z 1 ),(4.2)of the vertex operators Γ + (1) and Γ − (q) as shown below,Z 1d =〈0|Γ + (1)Γ − (q)|0〉.(4.3)4 Z pd is the MacMahon function G pd ; it should not be confused with its interpretation as (p + 1)-points correlationfunction G p+1 = G(x 0 ,x 1 ,...,x p ) to be studied in Section 6; see also Eqs. (1.1).

328 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345This relation describes just the bosonization of Eq. (2.5) and can be rewritten, by using theHamiltonian L 0 , as follows,Z 1d =〈0|Γ + (1)q L 0Γ − (1)|0〉.(2) A quite similar interpretation can be also given for 2d-MacMahon function,Z 2d = ∏ k1(1 − qk ) −1 .(4.4)(4.5)This relation can be expressed in terms of operators vertex as follows,( ∏)Z 2d =〈0|Γ + (1)q L 0Γ − (1)q L 0|0〉.k1(4.6)Indeed using (2.16), we can bring it to( ∏ (Z 2d =〈0|Γ + (1) Γ − qk )) |0〉.k1(4.7)Then moving the operators Γ − (q k ) to the left and Γ + (1) to the right by using Eqs. (2.15), we getthe desired result.Notice that using Eq. (3.11), we learn that Z 2d can be also defined as two-point correlationfunction as followsZ 2d =〈0|Γ + (1)Ψ − (q)|0〉.(4.8)This relation involves the correlation of two vertex operators of different levels namely Γ +(level 1) and Ψ − (q) (level 2). Remark also that though Γ + and Γ − do not appear on equalfooting in Eqs. (4.6)–(4.8), positivity of Z 2d is ensured because Γ + and Γ − are positive definedoperators. Notice moreover that we also haveZ 2d = G 3 = G 3 (z 0 ,z 1 ,z 3 ),but this feature will be discussed later on once we give the derivation proof of the conjecturedMacMahon function G d .4.2. Z pd derivation for p = 4, 5The property that Z 1d (4.3), Z 2d (4.8) and Z 3d (3.27) can be all of them interpreted as 2-pointcorrelation functions of some given vertex operators is very remarkable. It happens in fact thatthis feature is a more general property valid also for higher-dimensional generalizations. Let usdescribe this feature here for the 4d and 5d cases.Motivated by the above analysis, 4d- and 5d-generalizations of the MacMahon function canbe then defined as well as 2-point correlation functions of some local operators as followsZ 4d =〈0|Ψ + (1)Ω − (q)|0〉,Z 5d =〈0|Ω + (1)Ω − (q)|0〉,(4.9)(4.10)where Ω ± (q) are vertex operators of some hierarchy level (level 3) which remain to be specified.These relations have been motivated by the following,

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 329and alsoZ 2d =〈0|Γ + (1)Ψ − (q)|0〉,Z 3d =〈0|Ψ + (1)Ψ − (q)|0〉,(4.11)Z 0d =〈0|I id (1)Γ − (q)|0〉,Z 1d =〈0|Γ + (1)Γ − (q)|0〉,(4.12)where I id stands for the identity operator (of level zero). To get the Ω ± (z) operators, we require:(i) The Ω + (z) and Ω − (z) are local CFT 2 vertex operators that should obeyΩ − (x)Ω − (y) = Ω − (y)Ω − (y),Ω − (x)Ψ − (y) = Ψ − (y)Ω − (y),Ω − (x)Γ − (y) = Γ − (y)Ω − (y),Ω − (0) = 1,and similar relations for Ω + (x).(ii) We should also haveso thatΩ − (q) = q L 0Ω − (1)q −L 0Z 4d =〈0|Ψ + (1)q L 0Ω − (1)|0〉,Z 5d =〈0|Ω + (1)q L 0Ω − (1)|0〉,in analogy with the transfer matrix method used previously.(iii) We impose the commutation relations(4.13)(4.14)(4.15)Ψ + (1)Ω − (q) = G 4 (q)Ω − (q)Ψ + (1),Ω + (1)Ω − (q) = G 5 (q)Ω − (q)Ω + (1),(4.16)where G 4 (q) and G 5 (q) stand for the 4d- and 5d-generalized MacMahon functions given by,G 4 (q) =G 5 (q) =∞∏[( ) (k+1)! ] 1 (k−1)!2!1 − q k ,k=1∞∏[( ) (k+2)! ] 1 (k−1)!3!1 − q k .k=1A solution of these constraint relations is given by( −1( ∏ ∏−1(Ω − (1) =Γ− (1)q L )) )0q L 0,Ω + (1) =t 2 =−∞( ∞∏t 2 =0q L 0t 1 =−∞(∏ ∞(qL 0Γ + (1) ))) ,t 1 =0(4.17)(4.18)

330 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345or equivalently likeΩ − (1) =( −1 ∏t=−∞(Ψ− (1) ) q L 0( ∞)∏Ω + (1) = q L 0Ψ + (1) .t=0),(4.19)To check that these relations solve indeed the above constraint equations, let us give some explicitdetails.4d caseFirst consider the 4d-partition function Z 4d expressed in (4.15) which we rewrite by substituting(4.19) as follows,( −1)∏Z 4d =〈0|Ψ + (1)q L 0Ψ − (1)q L 0|0〉.(4.20)t=−∞By help of Eq. (4.14), it reads also like(∏ ∞(Z 4d =〈0|Ψ + (1) Ψ − ql )) |0〉.l=1Then commuting Ψ − (q l ) to the left by using the identity[ ∞()]∏ 1Ψ + (1)Ψ − (x) =(1 − xq k−1 ) k Ψ − (x)Ψ + (1), x < 1,k=1 l=1k=1see also Appendix A Eqs. (A.6) for general case, we get∞∏ ∞∏()1∞∏ s∏(Z 4d =(1 − q l+k−1 ) k =s=1 k=1)1(1 − q s ) kwhich, up on using ∑ sk=1 k = s(s+1)2, can be also put in the formZ 4d =∞∏(s=11(1 − q s ) s(s+1)2),(4.21)(4.22)(4.23)(4.24)that should be compared with Eq. (4.17). Notice that like for Z 3d , the 4d partition function canbe expressed in different, but equivalent, ways: We have the results⎧〈0|Ψ + (1)Ω − (q)|0〉,⎪⎨ 〈0|Ω + (q 1 Z 4d =)Ψ −(1)|0〉,(4.25)〈0|Γ + (1)Υ − (q)|0〉,⎪⎩〈0|Υ + (q 1 )Γ −(1)|0〉,where we have set

(∏ ∞(Υ − (q) = Ω − qk ))k=1which should be thought of as Υ − = Γ (4)− .L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 3315d caseSimilarly, we have for the 5d-generalization (4.15),(∏ ∞)Z 5d =〈0| q L 0Ψ + (1) q L 0Ω − (1)|0〉,t=0(4.26)(4.27)where we have substituted Ω + in terms of product of Ψ + (4.19). Next using the fact that q L 0 actsas a translation operator, we can put Z 5d as follows(∏ ∞(Z 5d =〈0| Ψ + q−l )) Ω − (1)|0〉.(4.28)l=1Then using the identity( ) [1 ∏ ∞ ( ) s(s+1) ] ( )1 21Ψ + Ω − (1) =x1 − xq s Ω − (1)Ψ + ,xwe obtainZ 5d =∞∏ ∞∏[(s=1 l=1s=1) s(s+1)121 − q l+sThe next step is to put it in the form∞∏ k∏[( ) s(s+1)1 2Z 5d =1 − q kwhich givesZ 5d =k=1 s=1k=1],].∞∏[( ) k(k+1)(k+2) ]161 − q k .In getting this relation, we have used the identityk∑ s(s + 1) k(k + 1)(k + 2)= ,26s=1(4.29)(4.30)(4.31)(4.32)(4.33)proved in Appendix B. Here also we have different, but equivalent, ways to define Z 5d . Later on,we will give the exact numbers of ways for generic Z pd .5. Result by inductionFirst notice that the expression (3.27) of the partition function Z 3d can be also put in the formZ 3d =〈0|Γ + (1)q L 0( −1 ∏t 2 =−∞(Ψ− (1)q L 0 )) |0〉(5.1)

332 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345or equivalently by using Eq. (3.11), like( −1[( ∏ ∏−1Z 3d =〈0|Γ + (1)q L 0t 2 =−∞t 1 =−∞(Γ− (q)q L 0 )) q L 0This relation as well as Eqs. (4.4)–(4.6) suggest us the structure of the p-dimensional partitionfunction Z pd in terms of CFT 2 ’s vertex operators Γ ± . For doing so, we need to introduce thefollowing hierarchy of local vertex operators( −1[( ∏Γ − (n+1)∏−1∏−1((1) = ···Γ− (1)q L )) ] )0q L 0···q L 0(5.3)for n 1, together withΓ (0)t n =−∞t 2 =−∞− = I id, Γ −(1) (z) = Γ −(z).Eq. (5.3) can be also defined as follows,Γ (n+1)− (1) =−1∏t=−∞t 1 =−∞( (n) ) Γ − (1)qL 0, n 1.A similar relation can be written down for Γ + (n+1) (1). TheΓ (p)− , referred to as the level p vertexoperator, obey quite similar relations that the ones associated to Γ − (1), in particularΓ (p)− (q) = qL 0Γ (p)− (1)q−L 0, p 0.])|0〉.(5.2)(5.4)(5.5)More details, concerning these high level operators, are presented in Appendix A.Based on the preceding results realized for lower dimensions, it follows that the p-dimensional partition functions Z pd can be defined as,Z pd =〈0|Γ + (1)Γ (p)− (q)|0〉, p 0.This relation, which has been explicitly checked for p = 0, 1, 2, 3, 4 and 5, reads also asZ pd =〈0|Γ + (1)q L 0Γ (p)− (1)|0〉.Commuting Γ (p)− (q) to the left of Γ +(1), we can show by induction that for p 2Z pd =∞∏[( ) (k+p−3)! ] 1 (k−1)!(p−2)!1 − q k .k=1Proof by inductionWe suppose that Eq. (5.9) holds for level p; then prove that it holds as well for level (p + 1);that is,Z (p+1)d =〈0|Γ + (1)Γ (p+1)− (q)|0〉,and find that it is given by∞∏[( ) (k+p−2)! ] 1 (k−1)!(p−1)!Z (p+1)d =1 − q k .k=1(5.6)(5.7)(5.8)(5.9)(5.10)(5.11)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 333Indeed, we start from the definition of Z (p+1)d ,Z (p+1)d =〈0|Γ + (1)Γ (p+1)− (q)|0〉and express it, by using (5.5), as( ∏−1Z (p+1)d =〈0|Γ + (1)q L 0or equivalently likeZ (p+1)d =〈0|Γ + (1)( ∞∏l=1t=−∞Γ (p)− (1)qL 0Γ (p) (− ql )) |0〉.)|0〉(5.12)(5.13)(5.14)Then we commute Γ (p)− (ql ) to the left of Γ + (1) in Eq. (5.10), we get after some computations,∞∏ ∞∏[( ) (k+p−3)!1] (k−1)!(p−2)!Z (p+1)d =(5.15)1 − q l+k .l=1 k=1Setting s = (l + k), we can rewrite this relation as followsZ (p+1)d =∞∏s=1 k=1s∏[( ) (k+p−3)! ] 1 (k−1)!(p−2)!1 − q s .(5.16)At first sight, this expression seems different from the desired result; however explicit computationleads exactly to the right result; thanks to the combinatorial identity,s∑ (k + p − 3)! (s + p − 2)!= , p 2,(5.17)(k − 1)!(p − 2)! (s − 1)!(p − 1)!k=1which is showed in Appendix B.These computations give an explicit proof for the derivation of the expression of generalizedMacMahon function. Thanks to the “transfer matrix method” and to the hierarchy of level pvertex operators Γ (p)± Eq. (5.5).6. G n (q) as (n + 1)-point correlation functionSo far we have seen that n-dimensional generalization of MacMahon function G n (q) withn 2, can be interpreted as 2-point correlation functions of some composite vertex operators.We have also seen that there are different, but equivalent ways, to express G n (q) as 2-pointcorrelation functions. Using Γ ± (r) (s)and Γ ± vertex operators, one can check that for any positivedefinite integers r and s such that r + s − 1 = n,wehave,G n (q) =〈0|Γ (n−s+1)+ (1)Γ − (s)(q)|0〉, 1 s n, n 1.The 2( r+s−22) + 1 possibilities are all of them equal to each other. This diversity in definingG n (q) suggests us to look for a more refined definition of it. We have found that the adequateway to define G n (q) is like a (n + 1)-point correlation function as given below,(6.1)G n (q) = G n+1 (x 0 ,x 1 ,x 2 ,...,x n )(6.2)

334 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345withG n+1 =〈0|O 0 (x 0 )O 1 (x 1 )O 2 (x 2 ) ···O n (x n )|0〉,where the x j = x j (q) and O j (x j ) are some vertex operators that have to be specified. In thisway, the diversity (6.1) appears just as a manifestation of applying Wick theorem to (6.3) for itsdecomposition in terms of two-points correlation functions. To fix the ideas, think about O 0 (x 0 )as given byO 0 (x 0 ) = Γ + (1)and all remaining others as given by vertex operators involving products of Γ − (y) only, that is:(6.3)(6.4)O j (x j ) ∼ ∏ Γ − (y), j = 1,...,n.Since Γ − (y) and any product of Γ − (y) has vacuum expectation values equal to one,)〈0|Γ − (y)|0〉=1 =〈0|(∏Γ− (y) |0〉,it follows thatn∏〈0| O l (x l )|0〉=1.l=1Then, by using Wick theorem G n+1 reduces to(6.5)(6.6)(6.7)G n+1 = ∏ k〈0|O 0 (x 0 )O k (x k )|0〉,k= 1,...,n.(6.8)Let us build the Green function G n+1 step by step, starting from Eq. (5.7) and using the resultsobtained above:6.1. Leading termsBelow, we give the explicit computation of G n for n = 2, 3, 4, 5.(1) G 1 (q) as 2-point propagatorComparingG 1 (q) =〈0|Γ + (1)Γ − (q)|0〉withG 2 =〈0|O 0 (x 0 )O 1 (x 1 )|0〉we getO 0 (x 0 ) = Γ + (1),O 1 (x 1 ) = Γ − (q).(2) G 2 (q) as a 3-point functionStarting from the expression Eq. (5.7) for G 2 ,G 2 (q) =〈0|Γ + (1)Γ −(2) (q)|0〉,and using the special property established in Appendix A;seeEq.(A.26),(6.9)(6.10)(6.11)(6.12)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 335Γ (2)−(q) = Γ(1)−(2)( (q)Γ − q2 )we can bring G 2 (q) into the formG 2 (q) =〈0|Γ + (1)Γ (1)−Then, comparing with(q)Γ(2)−G 3 =〈0|O 0 (x 0 )O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )|0〉,(q2 ) |0〉.we get, in addition to Eqs. (6.11), the following:O 2 (x 2 ) = Γ +(2) (q2 ) .(6.13)(6.14)(6.15)(6.16)(3) G 3 (q) as a 4-point functionWe start from the expression of G 3 (q),G 3 (q) =〈0|Γ + (1)Γ −(3) (q)|0〉then use the identity,Γ (3)−(q) = Γ(2)−and substitute Γ (2)(3)( (q)Γ − q2 ) ,(6.17)(6.18)(q2 )) Γ (3) (q3 ) .(6.19)− (q) by Eq. (6.13), we get( 2∏Γ − (3) (1)(q) = Γ − (q) l=1Comparing withΓ (2)−−we obtainG 3 =〈0|O 0 (x 0 )O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )O 3 (x 3 )|0〉,(6.20)O 0 (x 0 ) = Γ + (1),O 1 (x 1 ) = Γ −(1)( (q),2∏O 2 (x 2 ) = Γ (2) (− q2 )) ,l=1O 3 (x 3 ) = Γ −(3) (q3 ) .(6.21)(4) G 4 (q) as a 5-point functionStarting fromG 4 (q) =〈0|Γ + (1)Γ −(4) (q)|0〉then using the identities,Γ − (4) (3) (4)( (q) = Γ − (q)Γ − q2 ) ,Γ −(4) (q2 ) = Γ −(3) (q2 ) Γ −(4) (q3 ) ,Γ −(4) (q3 ) = Γ −(3) (q3 ) Γ −(4) (q4 ) ,(6.22)(6.23)

336 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345we obtain at a first stageΓ (4)−(q) = Γ(3)−(q)Γ(3)−(q2 ) Γ (3)−(q3 ) Γ (4) (q4 ) .At a second stage, we substitute Γ − (3)(3)(q) and Γ − (q2 ) by Eq. (6.18), we getΓ − (3) (2) (3)( (q) = Γ − (q)Γ − q2 ) ,Γ −(3) (q2 ) = Γ −(2) (q2 ) Γ −(3) (q3 ) .Putting back into Eq. (6.24), we obtainΓ − (4) (2) (2)( (q) = Γ − (q)Γ − q2 ) Γ −(2) (q2 ) Γ −(3)Next replacing Γ (2)−(q3 ) Γ (3)−(q3 ) Γ (3)−(q3 ) Γ (4) (q4 ) .−(6.24)(6.25)− (q) by Eq. (6.13), we end with the following, (q2 ))( 3∏ (q3 )) Γ (4) (q4 ) .(6.26)( 3∏Γ − (4) (1)(q) = Γ − (q) l=1Comparing withwe obtainΓ (2)−l=1Γ (3)−G 5 =〈0|O 0 (x 0 )O 1 (x 1 )O 2 (x 2 )O 3 (x 3 )O 4 (x 4 )|0〉,O 0 (x 0 ) = Γ + (1),O 1 (x 1 ) = Γ −(1)( (q),3∏O 2 (x 2 ) = Γ (2) (− q2 )) ,l=1−(6.27)( 3∏O 3 (x 3 ) = Γ (3) (− q3 )) ,l=1O 4 (x 4 ) = Γ −(4) (q4 ) .With these results on lower values of p, it is straightforward to derive the generic picture.6.2. Generic result(6.28)We start from the expression ofG p (q) =〈0|Γ + (1)Γ (p)− (q)|0〉, p 1.Then we use the identity,withΓ (p)−p k =p−1(q) = ∏k=0( pk∏l k =1Γ −(k+1) (qk+1 )) ,(p − 1)!k!(p − k − 1)! , 0 k p − 1,whichisprovedinAppendix A,Eq.(A.37), we can bring G p (q) into the form,(6.29)(6.30)(6.31)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 337∏G p (q) =〈0|Γ + (1)By comparing with,we obtain(p−1 pkk=0∏l k =1Γ −(k+1) (qk+1 )) |0〉, p 1.G p+1 =〈0|O 0 (x 0 )O 1 (x 1 )O 2 (x 2 ) ···O p (x p )|0〉,(6.32)(6.33)O 0 (x 0 ) = Γ + (1), O 1 (x 1 ) = Γ − (1)( (q), ∏ pj[ (j)( O j (x j ) = Γ qj )]) , j 2.(6.34)l j =1−For more details on the derivation of this relation, see Appendix A: Eqs. (A.27)–(A.37).Eqs. (6.34) complete the interpretation of G d as a (d + 1)-points Green function.7. Discussion and conclusionIn this paper, we have given a 2d-conformal field theoretical derivation of the generalizedMacMahon function by using ideas from “transfer matrix method” and q-deformed QFT 2 .Among our results, we mention:(1) The usual vertex operators Γ ± (z) of the bosonic c = 1 conformal field theory appear asthe level one of the following hierarchy,( ∞Γ (p)− (z)|0〉=exp ∑n=1)iz n J −nn(1 − q n ) p−1 |0〉, p 1where q = exp(−g s ). These local operators, which coincide in the limit q → 0; that is when g sgoes to ∞, can be obtained from Γ ± (z) by making the substitutionz n →z n(1 − q n , p 2.) p−1The Γ (p)− s form then an infinite hierarchy of q-deformed vertex operators and obey commutationrelations quite similar to those satisfied by the level one Γ −(1) (z) = Γ −(z). In particular we have,Γ (1)+(7.1)(7.2)(1)Γ(p)−(q) = G p(q)Γ (p) (1)(q)Γ + (1),−where G p (q) is precisely the generalized p-dimension MacMahon function. We also have thefollowing general relation,〈0|Γ + (1) (z 1)Γ − (l+1) (z l )|0〉= ∏ ··· ∏ [ ∏() ] 1(7.4)(1 − q k 0+k 1 +···+k l z l.k l =0 k 1 =0 k 0 =0z 1)This relation can be given an interpretation as l copies of c =∞free CFT 2 representations.Indeed, setting z lz 1= q, q k 0+k 1 +···+k l= Q k q k 0 with Q k = q k 1+···+k landZ 2 (Q k ,q)=∞∏(k 0 =01(1 − Q k q k 0)we can put the right-hand side of (7.4) like,), k = (k 1 ,...,k l ),(7.3)(7.5)

338 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345∞∏(k 1 ,...,k l )=0Z 2 (Q k ,q)∼ ( [Z 2 ] ∞) l .This factorization suggests that, roughly, G l+1 (q) could be interpreted as given by the productof l copies of infinite products of Z 2 . Since from 2d conformal free field theory view, each Z ∞ 2copy should be described by a free field CFT 2 representation with c =∞,theG l+1 (q) partitionfunction would then correspond to a central chargec = k l ,with k →∞.(2) Using the above level p vertex operators, we have shown that the p-dimensional generalizedMacMahon function is given by the following two-point correlation functionG p (q) =〈0|Γ (1)+(p)(1)Γ − (q)|0〉.(3) The level p vertex operators Γ (p)− satisfy several remarkable properties, in particular theycan be realized as condensates of vertex operators of lower levels as shown below,Γ (p)−(z) = Γ(p−1)−(z)Γ (p)− (qz),so that G p (q) can be defined as a particular (p + 1)-point correlation function as given below,G p+1 =〈0|O 0 (x 0 )O 1 (x 1 )O 2 (x 2 ) ···O p (x p )|0〉,(7.6)(7.7)(7.8)(7.9)(7.10)where the O j (x j ) are given by Eqs. (6.32)–(6.33). This correlation function can be expressed indifferent forms by using Wick theorem and the property (6.7).(4) Based on the field theoretical derivation given in the present study, we learn that the functionG p (q) with p 4 cannot be the generating functional of the p-dimensional generalizedYoung diagrams.Recall that for the case p = 3, solid partitions Π (3) extending Young diagrams have generallythree boundaries given by 2d partitions λ, μ and ν. The typical generating functional ofall possible 3d partitions Ψ (3) with boundaries ∂(Ψ (3) ) = (λ,μ,ν) is given by the correlationfunction C λμνC λμν =〈ν t (|A + (λ)A − λt ) |μ〉,(7.11)where A + (λ)A − (λ t ) is the transfer matrix operator described previously. For the simplest casewhere ∂(Ψ (3) ) = (∅, ∅, ∅), the correlation function C ∅∅∅ is precisely the generating functional of3d partitions.For higher values of p;sayp = 4, one has 4d generalized Young diagrams Ψ (4) . This 4d partitionshave generally four 3-dimensional boundaries captured by 3d partitions Λ (3) , Σ (3) , Υ (3)and Π (3) . The typical generating functional of all possible 4d partitions Π (4) with boundaries∂(Ψ (4) ) = (Λ (3) ,Σ 3 ,Υ (3) ,Π (3) ) is given by the correlation function C ΛΣΥ Ψ . This functionalextends (7.11) and can be defined as〈〈Λ(3) ∥ ( A′− Σ 3 ,Υ (3)) A ′ (+ Σ 3 ,Υ (3))∥ ∥ Π(3) 〉〉 ,(7.12)where A ′ − (Σ3 ,Υ (3) )A ′ + (Σ3 ,Υ (3) ) is some generalized transfer matrix operator acting on 3dpartition states ‖Π (3) 〉〉. It is this function that would generate the 4d generalized Young diagramswith boundaries Λ, Σ, Υ and Π.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 339Moreover, using the fact that 3d partitions Π (3) may themselves be sliced in terms of 2dpartitions, one can usually bring the correlation function C ΛΣΥ Ψ to the form,〈〈ς,τ,υ‖A ′ +[(λ,μ,ν); (ζ,η,θ)]A′−[(λ t ,μ t ,ν t) ; ( ζ t ,η t ,θ t)] ‖α, β, γ 〉〉,(7.13)where ‖ϑ, σ, ϱ〉〉 is a 3d partition boundary state expressed in terms of 2d partitions |ϑ〉⊗|σ 〉⊗|ϱ〉. In the particular case α = β = γ =∅and ς = τ = υ =∅, the correlation function becomes〈〈∅, ∅, ∅‖A ′ +[(λ,μ,ν); (ζ,η,θ)]A′−[(λ t ,μ t ,ν t) ; ( ζ t ,η t ,θ t)] ‖∅, ∅, ∅〉〉.In the special case ζ = η = θ = λ = μ = ν =∅, the above quantity simplifies as(7.14)〈〈∅, ∅, ∅‖A ′ + [∅]A′ − [∅]‖∅, ∅, ∅〉〉.(7.15)From this general relation, we see that the MacMahon function G 4 (q) =〈0|Ψ + (1)Ω − (q)|0〉Eq. (4.10) appears as a very particular correlation function and then cannot be the generatingfunctional of all possible 4d partitions.AcknowledgementsThis research work is supported by the program Protars III D12/25. H.J. would like to thankICTP for kind hospitality where part of this work has been done. The authors thank B. Szendroifor helpful suggestion.Appendix A. Vertex operators Γ (n)± (x)In this appendix we describe the vertex operators Γ ± (n) (x) and their commutation relationsalgebra.We first study the level n vertex operators Γ ± (n) (x) and their main properties starting byΓ ± (2) = Ψ ±. Then, we give their algebra.A.1. Level 2 vertex operatorTo begin notice that the operators Ψ ± (1) Eq. (3.11), denoted also as Γ ± (2) (1), can be put in theform,[( s∏(Ψ − (1) = lim Γ − qt )) ]q sL 0,s→∞t=0[ ( s∏Ψ + (1) = lim q sL (0Γ + q−t ))] .(A.1)s→∞t=0Using the expression of Γ ± (z) Eq. (2.11), we can rewrite Ψ ± (1) as follows:( −1)∏∞∏Ψ − (y) = Γ − (y)q L (0= Γ − q k y ) ,t=−∞k=0( ∞)∏∞∏Ψ + (x) = q L (0Γ + (x) = Γ + q −k x ) ,t=0t=0(A.2)

340 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345or equivalently like( ∑ i y n )Ψ − (y) = expn (1 − q n ) J −n ,n1(Ψ + (x) = exp − ∑ i x −n )n (1 − q n ) J n .n1(A.3)Let us compute the algebra of these vertex operators.First, we have,q L 0Ψ ± (z)q −L 0= Ψ ± (qz),showing that q L 0 acts as a translation operator. We also have(A.4)Ψ ± (x)Ψ ± (y) = Ψ ± (y)Ψ ± (x).(A.5)To get the commutator between Ψ + (x) and Ψ − (y), we can do it in two ways which, by theircomparison, allow us to get a new identity:(i) Computation by using products of Γ ± .Wehave,Ψ + (x)Ψ − (y) = ∏ (Γ + q l x ) ∏ (Γ − q k y )l0 k0∞∏(= 1 − q s y ) −(s+1)Ψ − (y)Ψ + (x),(A.6)xs=0in particular(∏ ∞(Ψ + (1)Ψ − (q) = 1 − qt ) )−tΨ − (q)Ψ + (1).Noticet=1Γ + (1)Ψ − (y) = Γ + (1) ∏ k0Γ −(q k y )(A.7)= ∏ k0(1 − q k y ) −1 Ψ− (y)Γ + (1)(A.8)and alsoΓ + (x)Ψ − (y) = Γ + (x) ∏ k0Γ −(q k y )= ∏ (1 − q k y ) −1Ψ − (y)Γ + (x).xk0(A.9)We also haveΨ + (x)Γ − (1) = ∏ k0Γ +(q −k x ) Γ − (1)= ∏ k0(1 − q k x −1) −1 Γ− (1)Ψ + (x).(A.10)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 341(ii) Computation using directly Eqs. (A.3). We get,( ∑ 1 y n x −n )Ψ + (x)Ψ − (y) = expn (1 − q n ) 2 Ψ − (y)Ψ + (x).n1By comparing the two expressions (A.6) and (A.11), we get the following identity( ∑ 1 y n x −n ) ∞∏(expn (1 − q n ) 2 = 1 − q s y ) −(s+1),xn1s=0or equivalently like,∑ 1 y n x −n ∞n (1 − q n ) 2 =− ∑[ ((s + 1) ln 1 − q s y )].xn1s=0(A.11)(A.12)A.2. Generic q-deformed operatorsHere we give the expressions of the generic q-deformed operators and some useful propertiesof their algebra.The starting point is the vertex operators(Γ − (z) = exp i ∑ )(1n zn J −n , Γ + (z) = expn>0−i ∑ n>0)1n z−n J n(A.13)and the aim is:(1) compute for n 1, the following hierarchy of composite vertex operators( ∞[Γ − (n+1) ∏ ∞(∏ ∞) ] )∏(z) = ··· Γ − (z)q L 0q L 0···q L 0.t n =1t 2 =1t 1 =1(A.14)For n = 0, we have just Γ −(1) (z) = Γ −(z). Similar quantities can be written down for Γ + (n+1) (z);we shall not report them here.(2) Derive the identity (6.30).For these purposes, we proceed by using inductive method:q-deformed vertex operators Γ (2)−(a) Case Γ −(2) (z)In this case, we have(3)(z) and Γ − (z):Γ (2)−Notice thatΓ (2)−∞ (z) = ∏( Γ− (z)q L ) 0.t=1(z) = lims→∞t=1s∏ (Γ− (z)q L ) 0.(A.15)(A.16)

342 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345By using the fact that q L 0 acts as translation operator on Γ − (z), we get([ s∏Γ −(2)( ((z) = lim Γ− q k z ))] )q sL 0.s→∞k=0(A.17)For simplicity, we consider the action of Γ − (2) (z), on the vacuum, that reads as( (z)|0〉= ∏ ∞(Γ − q k z )) |0〉.(A.18)Γ (2)−k=0Substituting Γ − (q k z) by its expression (A.13), we find(Γ − (2) (z)|0〉=exp i ∑ )∞∑ q knn zn J −n |0〉n>0 k=0(= exp i ∑ 1 z n )n (1 − q n ) J −n |0〉.n>0(A.19)Notice that Γ − (2) (z)|0〉 can be decomposed as follows, (Γ − (2) (z)|0〉=exp i ∑ ) (1(A.20)n zn J −n exp i ∑ ∞ )∑q n q knn zn J −n |0〉n>0n>0 k=0or equivalently like(Γ − (2) (z)|0〉=exp i ∑ ) (1n zn J −n exp i ∑ 1 (qz) n )n (1 − q n ) J −n |0〉n>0n>0(A.21)showing that we have:Γ (2)−(1) (2)(z)|0〉=Γ (z)Γ (qz)|0〉, z∈ C.−t 2 =1−(b) Case Γ −(3) (z)Here, we have∞Γ −(3) (z)|0〉= ∏ [ (2) ] ∞∏ (Γ − (z)qL 0 (2)( |0〉= Γ − q k z )) |0〉.k=0Substituting Γ −(2) (qk z) by its expression (A.2), we find(Γ − (3) (z)|0〉=exp i ∑ )1∞∑q kn z nn (1 − q n ) J −n |0〉n>0 k=0(= exp i ∑ 1 z n )n (1 − q n ) 2 J −n |0〉.n>0Finally, if we rewrite the above relation as follows( ∑Γ − (3) (z)|0〉=exp iz n ) (J −n ∑ i(qz) n )J −nn(1 − q n exp) n(1 − q n ) 2 |0〉n>0n>0(A.22)(A.23)(A.24)(A.25)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345 343we obtain the relationΓ (3)−(z)|0〉=Γ(2)−(3)(z)Γ − (qz)|0〉as claimed in Section 6 Eq. (6.18).(A.26)Higher levelsFrom the above analysis, it is not difficult to check that the explicit expression of the vertexoperators Γ (p)− (z) acting on the vacuum is given by, (A.27)( ∞Γ (p)− (z)|0〉=exp ∑n=1Moreover using the identity,z n p−1(1 − q n ) p−1 = ∑ (qz) n(1 − q n ) k−1 ,k=1)iz n J −nn(1 − q n ) p−1 |0〉, p 1.we can decompose the above relation as followsΓ (p)−(z)|0〉=Γ(1)−p−1(z) ∏k=2Γ −(k) (qz)|0〉.Thenextstepistousetherelationz n(1 − q n ) p−1 = z n(1 − q n ) p−2 + (qz) n(1 − q n ) p−1 ,that imply the equalityΓ (p)−(p−1)(z)|0〉=Γ (z)Γ (p) (qz)|0〉.−−Doing the same for the first term for the right-hand sidez n(1 − q n ) p−2 = z n(1 − q n ) p−3 + (qz) n(1 − q n ) p−2 ,Eq. (A.30) can be brought to the formz n(1 − q n ) p−1 = z n(1 − q n ) p−3 + (qz) n(1 − q n ) p−2 + (qz) n(1 − q n ) p−1 ,leading then toΓ (p)−(z)|0〉=Γ(p−2)−(z)Γ (p−1)−(qz)Γ (p)− (qz)|0〉.We can repeat this operation successively to end with the two following:(i) the expression of level p vertex operator as we have used it in Section 6 Eq. (6.32),(A.28)(A.29)(A.30)(A.31)(A.32)(A.33)(A.34)withZ pd =〈0|T |0〉,∏p jT = Γ + (1) (z) Γ (j+1) (− q j z ) ,i=1(A.35)(A.36)

344 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 801 [FS] (2008) 316–345where p j are given byp j =(p − 1)!, j = 0,...,p− 1.j!(p − j − 1)!(A.37)(ii) Using the decomposition for Γ (p)− (z),Γ (p)− (z) = O 0(x 0 )O 1 (x 1 )O 2 (x 2 ) ···O p−1 (x p−1 )(A.38)we getO j+1 (x j+1 ) =∏p ji=1Γ (j+1) (− q j z ) , j = 0,...,p− 1.(A.39)Appendix B. Combinatorial Eq. (5.17)Here we want to derive the identity (5.17) namely,s∑k=1C p−2k+p−3 = Cp−1 s+p−2, p 2.This is a standard combinatorial identity; its proof follows from basic property [37],C k n+1 = Ck−1 n + C k n .(B.1)(B.2)Applying this identity to Cn k and putting it back into the above relation, we get,(B.3)Cn+1 k = Ck−1 n + C k−1n−1 + Ck n−1 .By induction, it results,C k n+1 =n∑j=k−1C k−1j.Setting k = p − 1 and n = s + p − 3, we recover the identity (B.1).(B.4)References[1] H.N. Temperley, Statistical mechanics and the partition of numbers I: The transition to liquid helium, Proc. R. Soc.London A 199 (1949) 361;H.N. Temperley, Statistical mechanics and the partition of numbers II: The form of crystal surfaces, Proc. CambridgePhilos. Soc. 48 (1952) 683.[2] E.J. van Rensburg, The Statistical Mechanics of Interacting Walks, Polygons, Animals and Vesicles, Oxford Univ.Press, Oxford, 2000.[3] C. Weiss, M. Holthaus, From number theory to statistical mechanics: Bose–Einstein condensation in isolated traps,Chaos Solitons Fractals 10 (1999) 795.[4] V. Elser, Solution of the dimer problem on a hexagonal lattice with boundary, J. Phys. A 17 (1984) 1509.[5] A. Okounkov, N. Reshetikhin, C. Vafa, Quantum Calabi–Yau and classical crystals, hep-th/0309208.[6] R. Kenyon, An introduction to the dimer model, math.CO/0310326.[7] R. Kenyon, A. Okounkov, S. Sheffield, Dimers and amoebae, math-ph/0311005.[8] D. Ghoshal, C. Vafa, c = 1 string as the topological theory of the conifold, Nucl. Phys. B 453 (1995) 121, hepth/9506122.[9] E. Witten, Ground ring of two-dimensional string theory, Nucl. Phys. B 373 (1992) 187, hep-th/9108004.

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Chapitre 5Vertex Topologique UsuelDans le cadre de la théorie des cordes topologiques sur les variétés de CY3 toriques,le calcul des amplitudes A top correspondantes a constitué un défi important pour la communautédes physiciens des théories des supercordes. Les recherches entreprises dans cedomaine ont permis d’explorer plusieurs voies comme nous l’avons déjà évoqué dans cemanuscrit. Dans leur travail original [71], Aganagic et al ont élaboré un formalisme basésur l’introduction du vertex topologique C λµν qui s’est avéré un outil sophitiqué pour lecalcul des expressions explicites des l’amplitudes topologiques. L’objectif principal de cechapitre consiste à contribuer à l’étude du vertex topologique usuel 1 et à l’utiliser pourcalculer la fonction de partition Z top ainsi que les amplitudes A top de la théorie des cordestopologiques. Après avoir introduit le vertex topologique C λµν et les ingrédients qui lesaccompagnent comme le framing et les règles de collage, nous illustrons le formalisme duvertex topologique sur quelques exemples concrets. Nous établirons également la relationentre des invariants topologiques et le vertex topologique. Nous clôturons ce chapitre parla pésentation de nos travaux dans cette matière.5.1 Vertex topologique I : formalismeDans cette première partie, nous étalons les grandes lignes présentées dans [71, 93] quipermettent le calcul des amplitudes du modèle A sur les variétés de Calabi-Yau toriqueslocales. L’idée est de placer les paires lagrangiennes D-brane/anti-D-brane sur les axes dudiagramme torique afin de découper l’ensemble des variétés de Calabi-Yau en C 3 . Notons1 Dans le chapitre suivant, nous considérons une version raffinée de ce vertex.157

5.1 Formalisme du Vertex topologique I : (Ingrédients de base)que chaque vertex correspond à un patch C 3 , sa topologie ainsi que sa structure complexesont obtenues en précisant la manière dont les C n doivent être collées ensemble. Or, cetteprocédure de collage est obtenue en sommant sur les diagrammes de Young. Ainsi, on seretrouve avec des amplitudes de la corde topologique ouverte sur C 3 en présence de troisLagrangiennes D-branesZ (V i ) = ∑ C λµν T r λ V 1 T r µ V 2 T r ν V 3 . (3.1)λ,µ,νL’amplitude du vertex peut être présentée sous différentes formes et peut être obtenue entermes de fonctions de Schur commeC λ,µ,ν = q k(µ) s ν t(q −ρ ) ∑ ηs λ t /η(q −ν−ρ )s µ/η (q −νt −ρ ). (3.2)Dans ce qui suit, nous explicitons l’expression des amplitudes de la théorie de corde ferméeen termes des fonctions de partitions des cordes ouvertes.5.1.1 Vertex et amplitude de la corde ouverteLes Lagrangiennes de D-branes qui ont été découvert par Harvey et Lawson [123] jouentun rôle très important dans le contexte du vertex topologique. L’ensemble des lagrangiennesD-branes L 1,2,3 avec une topologie C × S 1 qui enroule la fibre T 2 et ses projections sur labase R 3 qui sont des lignes, données par :L 1 : r α = 0, r β = r ∗ 1, r γ ≥ 0L 2 : r β = 0, r α = r ∗ 2, r γ ≥ 0L 3 : r α − r β = 0, r α = r ∗ 3, r γ ≥ 0.(3.3)avec ri∗ correspond au module de L i . L’amplitude de la corde topologique ouverte correspondanteaux nombres de N i D-branes sur la i me Lagrangienne L i sur C 3 est de laforme :∑3∏Z =⃗ k (1) , ⃗ k (2) , ⃗ k (3) C ⃗k (1) , ⃗ k (2) , ⃗ k (3)1z ⃗k (i)i=1T r ⃗k (i)V i (3.4)où V i est la source de ligne de Wilson sur la i me D-brane, V i = P exp[ ∮ A 1 ] le long de S 1 ,∞∏T r ⃗k V = (trV j ) k j, (3.5)j=1158

Amplitudes des cordes topologiquesL2L3L1Fig. 3-1 – C 3 avec trois piles de D-branes lagrangienne.etz ⃗k = ∏ jk j ! j k j.Notons qu’il existe k j trous d’indice j de sorte que la somme h = | ⃗ k| = ∑ j k j est le nombretotal des trous sur une D-brane, et l = ∑ j jk j est le nombre d’enroulement. L’amplitude duvertex C ⃗k (1) , ⃗ k (2) , ⃗ ks’exprime en terme de constante de couplage g (3) s de la théorie des cordes.Il se trouve que le vertex C est l’objet de base qui est utilisé pour calculer l’amplitude dumodèle A avec bords. En utilisant la règle de collage, nous pouvons déduire les amplitudesde la corde fermée sur les géométries toriques.5.1.2 Symétrie de vertexConsidérons une transformation SL(2, Z) qui agit sur la fibre T 2 de C 3 en présence deD-branes. Le vertex dépend directement de trois paires (f i , v i ) avecf i ∧ v i = 1 (3.6)où (f i , v i ) forme une base orientée de H 1 (T 2 ). En outre, si nous orientons les axes à l’intérieurvers le vertex, nous écrivons :∑v i = 0 v i ∧ v j = ± 1 pour i = j (3.7)iNous choisissons alors un ordre cyclique des vecteurs v i dans R 2 , dans ce cas nous avons :v 2 ∧ v 1 = v 1 ∧ v 3 = v 3 ∧ v 2 = 1. (3.8)159

5.1 Formalisme du Vertex topologique I : (Ingrédients de base)Un choix naturel de framing f i basé sur cette symétrie est la suivante :avec la propriété f i ∧ v i = 1.(f 1 , f 2 , f 3 ) = (v 2 , v 3 , v 1 )TSv 2v3ST −1v 3’v1 = v 1’TSST −1v 2’Fig. 3-2 – Les transformations SL(2, Z) agissent sur les branes situer aux lignes externes dansle diagramme torique de conifold résolu.D’où le vertex a une symétrie cyclique dans le framing canoniqueC R1 ,R 2 ,R 3= C R3 ,R 1 ,R 2= C R2 ,R 3 ,R 1.5.1.3 Collage des vertexDans cette sous section, nous cherchons à exprimer le produit de deux fonctions departitions de la théorie des cordes ouvertes en termes de l’amplitude de la corde fermée. Ils’agit en effet de découper le diagramme torique en deux graphes, dont chacun d’eux peutêtre associé aux amplitudes de la théorie des cordes ouvertes.Z(Γ) ∼ Z(Γ L ) × Z(Γ R )En effet, le diagramme Γ est décomposé en Γ L et Γ R qui peuvent être identifiés commedes surfaces de Riemann de la corde ouverte en termes des genres g et les nombres d’enroulement.L’expression de l’amplitude de la corde fermée consiste alors à coller les deuxdiagrammes entre eux par leurs pattes∑ exp(−l(Z(Γ L ) ⃗ k)t)⃗k ∏ Z(Γk j !j k j R ) ⃗k .⃗ kj160

Amplitudes des cordes topologiquesoù t est la taille du P 1 . Dans la procédure de collage, nous devons être attentifs à ce queles deux branes soient définies sur le même framing. En outre, nous ne devons pas oublierque les variétés X L et X R qui correspondent aux graphes Γ L et Γ R , sont s’équipées parle choix des structures complexes, ce qui induit l’orientation naturelle des bords des deuxdisques dans X L,R . Afin de coller les deux disques dans P 1 , il faut que les deux bords soientorientés de façon opposés, ce qui mène à remplacer les branes par des anti-branes. Or, celaest équivaut à multiplier les amplitudes par un facteur (−1) h , où h est le nombre de bordsde la surface de Riemann. Il se trouve que le collage a une interprétation physique de tellesorte d’avoir les N D-branes sur la patte de X L et les anti D-branes sur X R . A partir deces résultats, l’opération de collage se traduit tout simplement par la fonction suivante :Z(X) = ∑ QZ(X L ) Q (−1) l Qe −l(Q)t Z(X R ) Q t5.1.4 Règles de collagePour calculer les amplitudes de la corde fermée à partir du formalisme de vertex topologique,nous utilisons les diagrammes toriques des variétés de CY qui respectent touteune série de règles biens définies, que l’on appelle : les règles de collage :i) Les axes du graphe sont marqués par des vecteurs v i qui encodent un des cycles dela fibre T 2 et se dégénère sur la i-ème ligne. Pour chaque axe de diagramme torique, onassocie une représentation R i .ii) Pour une variété de Calabi-Yau, le graphe peut être divisé en vertex trivalents tel quechaque C 3 correspond à un patch U a avec a = 1, 2.iii) On associe à chaque vertex un triplet de vecteurs (v i , v j , v k ) qui se réunissent au sommet.Dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, le vertex −(v i , v j , v k ) est équivalent à(v j , v k , v i ).iv) Si les pattes du vertex sont des lignes entrantes, alors à chaque patch U a est associé lefacteur C RI ,R J ,R K. Sinon, nous remplaçons la représentation correspondante par son transposéque multiplie le facteur (−1) l(R) . Par exemple, on considère le vertex U a qui partageavec le vertex U b la i me axe donné par un triplet de vecteurs (v i , v′ j , v′ k ). En supposant icique le vecteur v i est représenté par une ligne sortante de U a et entrante à U b . L’amplitudecorrespondante est obtenue en faisant la somme sur les représentations le long de l’i-èmeaxe qui connecte les deux vertex sous cette forme :∑R iC Rj R k R ie −l(R i)t i(−1) (n i+1) l (R i) q −n iκ Ri /2 C R ti R′ j R′ k(3.9)161

5.2 Formalisme du Vertex topologique II : (Calcul des amplitudes)où l’entier n i est défini comme suit :n i = |v k ′ ∧ v k |avec |v k ′ ∧ v k | est égal à v k ′ ∧ v k si les deux vecteurs v k ′ et v k sont des lignes entranteset −v k ′ ∧ v k dans le cas contraire . Ce facteur reflète le fait que le framing sur l’ième axedevrait être le même sur les deux côtés de collage. Le facteur (−1) (n i+1) l (R i) dans (3.9) estle signe associé au framing.v) Notons que les pattes du graphe sont des lignes droites dans le plan. Nous associons unparamètre de Kahler t i =x i .x i √p 2 +t 2 pour la i-ème axe dans la direction (p i, q i ) de longueurvi) Pour une patte non-compacte du graphe, la représentation correspondante est nécessairementtriviale R = 0 (notée aussi R = •).Naturellement, le vertex peut être utilisé pour calculer les amplitudes de la corde ouvertesur les variétés de Calabi-Yau toriques aussi bien pour les cordes fermées. Lorsque on placeles D-branes sur les axes non-compacts du graphe, nous modifions simplement la (vi)èmerègle, en sommant sur toutes les représentations arbitraires R. Cette règle est représentéepar l’introduction de T r R V où V est la matrice d’holonomie sur la D-brane. Supposonsque la D-brane est sur l’i-ème axe de diagramme torique, l’amplitude correspondante peutêtre obtenue en modifiant la (v)ème règle de collage :v′) Pour le cas d’une seule D-brane sur l’i-ème axe qui connecte les deux vertex U a et U b ,l’amplitude est donnée en sommant sur toutes les représentations gauche et droite Q L i , Q R idéfinies sur les deux cotés du D-brane par :∑R i Q L i ,QR iC Rj ,R k ,R i ⊗Q L i (−1)s(i) q f(i) e −L(i) C R ti ⊗Q R i ,R′ j,R′ kT r Q LiV i T r Q RiV −1i (3.10)avec L(i), f(i) et s(i) sont respectivement la longueur, le framing et les signes des facteurssur cet axe :L(i) = l(R i )t i + l(Q L i )r i + l(Q R i )(t i − r i )f (i) = p i k Ri ⊗Q L/2 + (n + p i) ki R ti ⊗Q R/2is (i) = l (R i ) + p i l ( )R i ⊗ Q L i + (n + pi ) l ( Ri t ⊗ Q R i).(3.11)Par la suite, nous allons formaliser ce que nous avons évoqué dans des exemples intéressants.Ces applications vont nous permettre de donner une démonstration rigoureuse des règlesde collage.162

Amplitudes des cordes topologiques5.2 Vertex topologique II : Calcul des amplitudesDans la section précédente, nous avons présenté tout les ingrédients nécessaires dansl’usage du formalisme du vertex topologique pour le calcul des amplitudes de la cordetopologique. Pour ce formalisme, l’idée centrale est d’associer une amplitude à chaquediagramme torique. Afin de mieux illustrer ce fait et dans l’objectif de mieux comprendreles différentes régles de la première partie concernant le vertex topologique, nous consacronsla partie qui suit à des exemples concrets très pratiques et utilisables dans le cadre descordes topologiques.5.2.1 L’espace complexe C 3On va calculer la fonction de partition de la corde topologique en utilisant le vertextopologique lorsqu’une pile de lagrangiennes D-branes se terminent sur l’un des axes duC 3Z(q; V ) = ∑ C ∅ ∅ ν (q −1 ) T r ν V (3.12)νavec T r ν V =s ν (x) et dont x = {x 1 , x 2 , · · · } sont les valeurs propres de la matrice d’holonomieVZ(q; V ) = ∑ ν C ∅ ∅ ν(q −1 ) s ν (x)= ∑ ν s ν(q ρ ) s ν (x)∏= ∞ (1 + q −i+ 1 2 x j )i,j(3.13)Dans le cas d’une seule lagrangienne D-brane, x = (−Q, 0, 0, 0, ), la fonction de partitionest définie comme suit :Z(q; Q) = ∏ (1 − Qq −i+ 1 2 ) (3.14)i5.2.2 Variété locale P 2Nous allons maintenant examiner un exemple plus complexe, à savoir la variété deCalabi-Yau non-compacte O(−3) → P 2 connue sous le nom locale P 2 . Il s’agit, en effet, dedéterminer l’amplitude correspondante en utilisant le formalisme du vertex topologique. Ilest commode de formuler cette amplitude en utilisant le diagramme torique décrit dans lechapitre 2. La variété de Calabi-Yau X = O(−3) → P 2 peut être décrite dans le languagedu modèle sigma linéaire N = 2 à 2d par 4 champs chiraux z µ (µ = 0, 1, 2, 3),|z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 − 3|z 0 | 2 = t (3.15)163

5.2 Formalisme du Vertex topologique II : (Calcul des amplitudes)avec l’action U (1) qui agit sur z i sous cette forme:(z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ) → ( e −3iα z 0 , e iα z 1 , e iα z 2 , e iα z 3). (3.16)Cette équation est le D-terme de GLSM qui définit une sous variété de C 4 . Nous enroulonsN D4-branes respectivement suivant les diviseurs D i qui sont défini par (3.15) et par leséquations suivantes :D i : X i = 0, i = 1, 2, 3. (3.17)Ces sous variétés ne sont que l’espace total d’une ligne fibrée de degrés −3 sur P 1 .Di ∼ O(−3) → P 1 .Chaque deux diviseurs D i et D j s’intersectent le long d’un plan complexe donné par z i =z j = 0. La base de ⋃ D i est une chaîne de trois plans projectifs P 1 qui se connecte en uniseul point p i . Pour trouver une relation entre l’amplitude de la corde ouverte topologique etla théorie de Yang-Mills, il est utile d’ajouter les M D4-branes enroulées les sous variétésLagrangiennes.L 1 : |X 1 | 2 − |X 0 | 2 = 0 , |X 2 | 2 − |X 0 | 2 = c 1L 2 : |X 2 | 2 − |X 0 | 2 = 0 , |X 3 | 2 − |X 0 | 2 = c 2(3.18)L 3 : |X 3 | 2 − |X 0 | 2 = 0 , |X 1 | 2 − |X 0 | 2 = c 3avec c i sont des constantes et satisfont la condition 0 < c i < t. On enroule les piles MD4-branes sur les trois sous variétés Lagrangiennes.Grâce aux régles de collage, l’amplitude de P 2 local est donnée par :Z P 2 =∑R 1 ,R 2 ,R 3(−1) P i l(R i) e − P i l(R i)t q P i k R iC•R2R t 3 C •R 1 R t 2 C •R 3 R t 1(3.19)où t est le paramètre de kahler de O(−3) → P 2 . L’intérêt de cette amplitude (3.19) résidedu fait qu’elle est compatible avec celle obtenue dans [170]. Le vertex peut être écrit entermes des invariants des noeuds comme suit :C •R2 R t 3 = W R 2 R 3q −k R 3 /2 . (3.20)5.2.3 Les branes non-compactesOn utilise le vertex topologique, l’amplitude des branes non compactes du conifold résolupeut être calculer au différentes positions. Dans cette sous-section, nous allons décrire164

Amplitudes des cordes topologiquesQ 1(−2)R 2R 1(−2)QR 3(−2)Q3 2Fig. 3-3 – Diagramme torique de O(−3) → P 2 est obtenu à partir de collage de trois vertextrivalent.les branes non-compactes dans le contexte de vertex topologique, basé sur l’exemple de conifoldrésolu. On considère l’insertion des branes sur les lignes sortantes dans le diagrammetorique de conifold résolu [172]. L’amplitude de branes non-compactes sur la patte externepeut être obtenue par la succession suivante :C ν∅∅ − → ∑ µ(e −r ) |µ| (−1) p|µ| q 1 2 pk µC ν∅µ T r µ V (3.21)où p désigne le framing. Par conséquent, l’amplitude des A-branes ”f 3 ”, avec le framing pà la position ”r” sur l’axe externe v 3 du diagramme torique de conifold résolu est donnéeen appliquant le formalisme de vertex topologiqueZ f 3A (V, r, p) = 1Z tv (g s , t)[∑ ∑µ ν(e −r ) |µ| (−1) p|µ| q 1 2 pk µC ∅∅ν t(−e −t ) |ν| C ν∅µ]T r µ V (3.22)avec Z tv (g s , t) correspond à la fonction de partition de la corde topologique du modèle Asur le conifold résolu éq(2.18).En termes des fonctions de schur, la fonction de partition est donnée par :[Z f 1 ∑3A(V, r, p) = (e −r ) |µ| (−1) p|µ| q 1Z tv 2 (p+1)k µµ165]∑s ν t(−e −t q ρ )s µ t /λ(q ρ )s ν/λ (q ρ ) T r µ V.ν,λ(3.23)

5.2 Formalisme du Vertex topologique II : (Calcul des amplitudes)v 3’v 2v3f3v1 = v 1’v 2’Fig. 3-4 – A-brane f 3 sur la ligne externe v 3 .Il est clair que l’amplitude au cas des branes non-compactes sur la patte externe v′ 3 estexprimée par :v 2v3v 3’f 3’v1 = v 1’v 2’Fig. 3-5 – A-brane f ′ 3 sur la ligne externe v′ 3.Z f ′ 3A (V, r, p) = 1Z tv (g s , t)[∑ ∑µ ν(e −r ) |µ| (−1) p|µ| q 1 2 pkµ C ∅µν t(−e −t ) |ν| C ν∅∅]T r µ V (3.24)Cette fonction est identique à la fonction de partition Z f 3. Ceci est possible grâce à lasymétrie du vertex topologique.Dans le cas des anti-branes, ces fonctions de partitions peuvent être obtenues par l’inversion166

Amplitudes des cordes topologiquesde l’orientation de branes. Par conséquent, l’amplitude des anti-branes à la position ”r”sur la ligne externe v 3 est donnée par :[ ]Z f 1 ∑ ∑3Ā(V, r, p) =(e −r ) |µ| (−1) p|µt| q 1Z tv 2 pk µ t C ∅∅ν t(−e −t ) |ν| C ν∅µ t T r µ V (3.25)(g s , t)µ νIl paraît que les amplitudes dans les deux cas branes et anti-branes sont complètementdifférentes dans le cas de conifold résolu. D’autre part, étant donné, les (anti) A-branes surles pattes externes v 2 et v ′ 2, il existe deux expressions des amplitudes en utilisant le vertextopologique :v 23v 2v3vf 2v 3’v1 = v 1’v 3’v1 = v 1’f ’ 2v 2’v 2’Fig. 3-6 – A-brane f 2 sur la ligne externe v 2 et A-brane f ′ 2 sur la ligne externe v ′ 2.Z f 21A(V, r, p) == ∑ µ[ ] ∑(e −r ) |µ| (−1) p|µt| q 1 2 pkµ C ∅∅ν t(−e −t ) |ν| C νµ∅ T r µ Vν)]T r µ V∑Z tv µ([(e −r ) |µ| (−1) p|µt| q 1 2 pkµ q 1 2 N|µ| s µ q N 2 −i+ 1 2(3.26)etZ f 2Ā(V, r, p) = ∑ µ(−1) |µ| [ (e −r ) |µt| (−1) p|µt| q 1 2 pk µ t q − 1 2 N |µ t | sµ(q N 2 −i+ 1 2)]T r µ V .(3.27)Ceci nous conduit à trouver la relation entre les deux amplitudes des (anti) A-branes surles lignes externes v 2 , v 3 de la manière suivanteZ f 2Ā= Z f 3A (V, r, −p − 1) , Zf 2A= Z f 3Ā(V, r, −p − 1)5.2.4 La ”casquette” et le ”pantalon”L’amplitude de la théorie de corde topologique de modèle A est déterminée entièrementà l’ordre g de la théorie des perturbations en termes de la théorie des champs topologiques167

5.2 Formalisme du Vertex topologique II : (Calcul des amplitudes)v 23v 2v3vf 2v 3’v1 = v 1’v 3’v1 = v 1’f ’ 2v 2’v 2’Fig. 3-7 – A-brane f 2 sur la ligne externe v 2 et A-brane f 2 ′ sur la ligne externe v′ 2.quantiques sur la surface de Riemann [167, 168].X = L 1 ⊕ L 2 → Σ. (3.28)L’espace total X est une variété de Calabi-Yau définie comme les fibres holomorphes derang 2 sur la surface de Riemann dont la classe de Chern de la fibre normale annule laclasse canonique d’une surface de Riemanndeg(L 1 ) ⊕ deg(L 2 ) = −χ (g) (3.29)où (χ = 2 − 2g) est la caractéristique d’Euler. La surface de Riemann est obtenue à partirdu collage de pantalon (P), annuli (A) et casquettes (C).(−1,0)(1,0)Fig. 3-8 – Les surfaces de Riemann correspondant à l’amplitudes de cap C (−1,0) de la premièreclasse Chern (−1, 0) et pantalon P (1,0) avec (1, 0) .Les transformations holomorphiques de la surface d’univers au variété de Calabi-Yau Xsont des transformations holomorphiques g et h. Afin d’obtenir une telle transformation,on ajoute des lagrangiennes D-branes. Ajouter et annuler des D-branes dans une variété deCalabi-Yau correspond à couper ou coller les bases des surfaces de Riemann. L’opérationde collage permet la composition de l’amplitude du modèle topologique.Pour calculer les amplitudes de la corde topologique ouverte du modèle A des variétésde Calabi-Yau, nous commençons tout d’abord par calculer la fonction de partition de la168

Amplitudes des cordes topologiquesFig. 3-9 – La surface de Riemann est obtenu à partir le collage de pantalon (P), annuli (A) etcasquettes (C)variété de Calabi-Yau du casquette et pantalon et par la suite nous appliquons le formalismede collage. Alors, avant de procéder à ce formalisme, nous rappelons que l’expression de lafonction de partition de la variété de ”casquette” et de ”pantalon” est donnée par :Z top (C (−1,0) ) = ∑ Rd q (R)q −k R/4 T r R U. (3.30)où R est une représentation de groupe de Lie SU(∞) et le paramètre q est lié à la constantede couplage g s . La matrice d’holonomie du champ de Jauge sur les D-branes autour d’uncercle qui provient de l’intersection entre une D-brane et Σ est donnée par :U = P e i H A .Le coefficient d q (R) est la dimension quantique de la représentation des groupes symétriquescorrespondant aux tableaux de Youngd q (R) = ∏ □∈R1[h(□)] q. (3.31)Dans cette expression, le produit porte sur toutes les cases dans les tableaux de Young deR, h est la longueur d’équerre et d q (R) est le même que l’amplitude de vertex topologiqueC R,0,0 :d q (R) q k(R)/4 = C R,0,0 = W R0 . (3.32)169

5.2 Formalisme du Vertex topologique II : (Calcul des amplitudes)Dans ce cas, nous examinons le modèle A avec une pile des D-branes de Calabi-Yau X = C 3 .De la même manière, nous pouvons calculer la fonction de partition de ”pantalon” Calabi-Yau P (1,0) . Maintenant, pour 3 séries de représentations correspondent à trois piles deD-branes avec holonomies U i , i = 1, 2, 3. La fonction de partition est donnée par :Z top ( P (1,0)) = ∑ R1d q (R) qk R/4 T r R U 1 T r R U 2 T r R U 3 . (3.33)Il suffit de considérer les deux équations (3.30, 3.33) et recoller l’ensemble de Σ L et Σ R auniveau de leur bord commun pour former l’amplitude de Σ L∪R . La formule d’orthogonalitédes caractères :∫dU T r R1 U T r R2 U −1 = δ R1 R 2(3.34)permet de définir les cercles de bord des deux surfaces qui sont orientées dans des sensopposés. Elle est munie d’une opération d’inversion qui agit sur l’holonomie U → U −1 . Lafonction de partition de Σ L∪R est formellement définie par l’intégrale de chemin suivant :∫Z top (Σ L∪R ) = dU Z top (Σ L ) (U) Z top (Σ R ) ( U −1) . (3.35)On calcule cette fonction de partition à l’aide de la propriété suivante :Z top (Σ) (U) = ∑ RZ topR (Σ) T r RU (3.36)Le résultat sera sous la forme suivante :Z top (Σ L∪R ) = ∑ PZ topP(Σ L) Z topP (Σ R) . (3.37)Par exemple, on considère l’amplitude du modèle-A correspondant à la variété de Calabi-Yau dont la première classe de Chern est donnée par (2g − 2 + p, −p). L’espace totalcomporte une fibre sur une surface de Riemann. Une manière de réaliser une surface deRiemann fermée de genre g et (g − 1) poignées est de prendre (2g − 2) pantalons de typeP (1,0) avec l’insertion de p annuli de type A (−1,1) . Ce dernier est obtenu à partir du collageentre le pantalon P (1,0) et la casquette C (0,−1) . La fonction de partition est donnée par :Z top (Σ g ) = ∑ R( ) 2g−2 1q kR/2(p+g−1) e −t|R| . (3.38)d q (R)Notons que dans la limite N → ∞, d q (R) est la dimension quantique dim q (R) de lareprésentation de U(N). Dans la suite, nous allons considérer comme autre exemple, une170

Amplitudes des cordes topologiquessurface de Riemann de genre g mais avec h trous. Cela correspond à l’insertion de hpantalons. On Choisit (h − r) de type P (1,0)et r de type P (0,1) . Nous obtenons unenouvelle réalisation de Calabi-Yau et la condition de CY est satisfaite quand((deg (L 1 ) , deg (L 2 )) = 2g − 2 + h + p ′ , −p ′) , (3.39)avec p′ = p − r. L’amplitude de la corde topologique sera de la forme suivante :Z top (Σ g,h ) = ∑ R( ) 2g−2 1q k R/4(deg(L 1 )−deg(L 2 )) e −t|R| T r R U 1 · · · T r R U h . (3.40)d q (R)Alors que, l’amplitude associée à une surface de Riemann de genre g et h trous en présencedes D-branes dans la fibre est exprimée sous cette forme :Z top (Σ g,h ) = ∑ RW RR1 · · · W RRhq k R/4(deg(L 1 )−deg(L 2 )) T rW 2g−2+hR V 1 · · · T r Rh V h . (3.41)R0Nous avons utilisé le fait que W R0 = d R q k R/4 . Cette étude a ouvert de nouveaux perspectivespour une compréhension plus profonde des invariants de la théorie de Chern-Simon et leformalisme de vertex topologique.5.3 Vertex Topologique et Théorie de Chern-SimonsLa correspondance clé entre la théorie de Chern-Simons et la théorie de corde topologiqueest considérée comme un des exemples importants [155, 156, 157, 158]. Du pointde vue mathématique, son application a permis de donner une description rigoureusepour les invariants de Gromov-Witten [64],[128], des noeuds et des invariants d’entrelacs[125, 126, 159]. D’autre part, l’une des applications à la physique les plus intéressantes oùcette correspondance est réalisée concrètement a été possible grâce au formalisme du vertextopologique qui a permis d’obtenir une solution complète de la théorie de corde topologiquesur la variété de Calabi-Yau. Dans cette section, nous démontrons des résultats analoguesà ceux qui précèdent, mais dans le contexte de la théorie de Chern-Simons, dans laquelleon dérive le vertex trivalent en termes des observables de la théorie de Chern-Simons.5.3.1 Ingrédients de Chern-SimonsDans le but de trouver les amplitudes et extraire la formule explicite de vertex, nousaurons besoin tout d’abord de définir certains invariants de Chern-Simons des entrelacs de171

5.3 Vertex Topologique et Théorie de Chern-SimonsHopf W λµ = W µλ dans les représentations de SU(N). Dans un premier temps, nous allonsbrièvement rappeler les différents ingrédients importants pour notre étude qui sont donnéspar les relations suivantes :q = exp(g s ) = exp( ) 2πi, λ = q N .k + NDans la dualité avec la théorie des cordes topologiques sur une classe de variété de Calabi-Yau [155], nous avons t = Ng s et λ = e t . Considérons W R ≡ W R0 qui est liée aux invariantsde Chern-Simons dénoués dans une représentation arbitraire R. Pour le cas de l’invariantd’entrelacs de Hopf, les invariants W R1 R 2pour les représentations R 1 , R 2 sont donnés par :(W R1 R 2) U(N)= q l 1 l 2N (WR1 R 2) SU(N)(3.42)où l i est le nombre total de boîtes dans le tableau de Young R i , i = 1, 2. Le préfacteurq l 1 l 2N apparaît dans l’éq(3.42) est une correction qui a été établie dans [171].5.3.2 Expression de l’amplitudeEnergie libreNous rappelons certaines propriétés des amplitudes du modèle A topologique. On définitalors l’énergie libre du modèle A topologique F (X) comme la série formelle :F (X) =∞∑g=0gs2g−2 F g (t)où F g (t) est l’énergie libre de genre g. Elle peut être définie comme une somme sur les deuxclasses d’homologies des instantons de surface d’univers de genre gF g (t) = ∑ QN g,Q e −Q.t .où le vecteur Q ∈ H 2 (X, Z) est nommé par la classe d’homologie, t est le paramètre deKahler et N g,Qsont des invariants de Gromov-Witten. L’énergie libre F (X) peut êtreutilisée pour compter les états BP S sur les variétés de Calabi-Yau associées aux D2-branes enroulant les courbes holomorphes dans X. Cela implique que l’énergie libre est dela forme :F (X) =:∞∑∑∞∑n=1 Q∈H 2 (X) g=0n g Q (2sinh(ng 2g−2 e−nQ.ts/2))n .172

Amplitudes des cordes topologiquesDans cette formule, q = e g sest liée au nombre quantique SU(2) L ⊂ SO(4) indiquant lareprésentation de spin de la particule à 4 + 1 dimensions, Q.t est la masse des états BP Set n g Qest un entier qui compte le nombre des états BPS avec les nombres quantiques Q etg.Expression de l’amplitudeL’expression de vertex trivalent dans le modèle A est déduit grâce à la dualité topologiquede N large [155] qui relie les amplitudes de Chern-Simons avec celles des cordestopologiques.Dans sa formulation originale, cette conjecture qui a été annoncée dans [169], et démontréedans l’article [67], stupile que l’équivalence du modèle A de la théorie de corde topologiqueouverte de N D-brane sur S 3 de T ∗ S 3 et le modèle A de la théorie de corde fermée surY = O(−1) ⊕ O(−1) → P 1 est maintenant bien établie [155][126, 160, 161].On considère la variété T ∗ S 3 avec N D-branes sur S 3 , avec l’enroulement de N 2 D-branesautour de lagrangienne L 2 sur la ligne de S 3 , ainsi que les N 1 et N 3 D-branes autour L 1 etL 3 respectivement sur les deux autres pattes.Nous introduisons les holonomies des champs de Jauge sur les branes L i notées respectivementcomme V i et calculées dans la représentation R i . La fonction de partition est donnéepar :Z (V 1 , V 2 , V 3 ) =∑1Z S3 R 1 ,R 2 ,R 3(−1) |R 1|+|R 2 |+|R 3 | 〈〉T r R t1U 1 T r R2 U 2 T r R t3U 3× T r R t1V 1 T r R2 V 2 T r R⊗R3 V 3 T r R1 V1−1(3.43)où le facteur Z S3est une fonction de partition de S 3 . La valeur moyenne〈T rR t1U 1 T r R2 U 2 T r R t3U 3〉est considérée comme un observable dans la théorie de Chern-Simons qui correspond auxinvariants des entrelacs de Hopf. Pour la théorie duale, nous nous retrouvons avec unevariété Y = O(−1) ⊕ O(−1) → P 1 . Les D-branes qui enroulent les cycles compacts disparaissent,alors que les D-branes sur les cycles non-compacts survivent après la transition.Après avoir effectuer la limite N large où t = Ng s tend vers l’infini, Y devient une variétéC 3 . On peut cependant déduire l’amplitude de la théorie de corde topologique. Lesquantités ainsi obtenues sont données comme suit :〈T rR t1U 1 T r R2 U 2 T r R t3U 3〉= ZS 3 W R t1 R 1W R3 R 1W R1 •173

H. JehjouhL’amplitude des produits de deux boucles de Wilson correspond au même noeud mais avecdes représentations différentes〈T r R1 UT r R2 U〉 = ∑ RN R R 1 R 2〈T r R U〉 .Et le vertex topologique peut être dérivé en utilisant la transition de Gopakumar VafaC R1 R 2 R 3= q k R +k 2 R32∑Wc R 1P 3 P 1c Rt 3 R t1 R 1W R3 R 1P 3 P 2W R1 •P 1 ,P 2 ,P 3Pour conclure, nous avons développer un méthode de calcul très puissant permet, d’unepart de calculer les amplitudes de la théorie des cordes topologiques sur des variétés deCalabi-Yau toriques et d’autre part de trouver les invariants topologiques. Il est importantde pouvoir insérer ces résultats dans un cadre plus général afin d’avoir une fonction departition plus raffinée.Pour conclure, on vient de développer des méthodes de calcul trèspuissantes, d’une part pour leur relations avec les invariants des théories topologiques,et d’autre part pour le calcul des fonctions de partitions d’un ensemble des variétés deCalabi-Yau. Il est important de pouvoir insérer ces résultats dans un cadre plus généralafin d’avoir une fonction de partition plus raffinée.5.4 ContributionsDans cette section, nous étalons deux articles de recherche, le premier traite la dérivationde la fonction de partition de la théorie de corde topologique sur les variétés deCalabi-Yau toriques dans la limite large de structure complexe. Le deuxième propose lemodèle sigma supersymétrique jaugé N = 2 à 2D pour une nouvelle classe de variétéde Calabi-Yau torique à 3 dimensions ainsi que le formalisme du vertex topologique nonplanaire.5.4.1 Topological String on Toric CY3s in Large Complex StructureLimitNuclear Physics B, Volume 813, Issue 3, 1 June 2009, Pages 315-348,arXiv :0812.0526.RésuméDans cette contribution, une étude explicite de la théorie de corde topologique sur une174

H. Jehjouhclasse importante des variétés de Calabi-Yau toriques fut étalée. Plus précisément, nousnous sommes intéressés aux variétés qui décrivent le vide supersymétrique du modèle sigmalinéaire jaugé N = 2 à 2D avec le superpotentiel W (Φ) qui est non nul. Pour ce fait, nousavons présenté, tout d’abord, la méthode de vertex topologique planaire qui est associéeau D-terme dans le modèle sigma supersymetrique dans le cas où le superpotentiel W (Φ)est nul. Puis, nous avons donné la liaison entre la fonction génératrice des variétés de CYtoriques et les invariants de Gromov-Witten. Par la suite, nous avons dérivé la structuregénérale du vertex topologique C (np) tout en montrant que ce vertex est associé avec lesF et D-termes dans le modèle sigma supersymetrique. Nous avons également calculé lafonction de partition Z top de la courbe elliptique locale en se basant sur le formalisme nonplanaire déjà introduit dans la publication précédente.5.4.2 Non Planar Topological 3-Vertex FormalismNuclear Physics B, Volume 804, Issue 3, 1 December 2008, Pages 307-341,arXiv : 0712.4249.RésuméDans cette publication, nous avons proposé un nouveau formalisme décrivant un vertextopologique que nous avons baptisé « non planaire » puisqu’il va au delà du 3- vertexusuel. Ce formalisme permet de calculer les amplitudes des cordes topologiques sur lafamille de Calabi-Yau locale donnée par :X (m,m−,0) = O(m) ⊕ O(−m) → E (t,µ) ,dans la limite où sa structure complexe est large, ce qui revient à poser |µ| → ∞. Notonsque la base E (t,µ) correspond à la courbe elliptique avec t est le paramètre de Kahlerdégénéré. Dans la limite où la structure complexe est large |µ| → ∞, la courbe elliptiqueE (t,∞) est réalisée comme le bord de la variété torique locale P 2 . Dans cette contribution,la réalisation développée du modèle sigma supersymmetrique N = 2 à 2D pour la nouvelleclasse de variété de Calabi-Yau torique précitée. Nous proposons une représentation toriquepour cette famille de classe de CY. Avec tout ce matériel en main, nous avons appliqué notreanalyse pour le cas des surfaces de Riemann locales de genre g O(m)⊕O(2−2g−m) → Σ g .175

176H. Jehjouh

Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341www.elsevier.com/locate/nuclphysbNon-planar topological 3-vertex formalismLalla Btissam Drissi a,b , Houda Jehjouh a,b , El Hassan Saidi a,b,∗a Lab/UFR – Physique des Hautes Energies, Faculté des Sciences, Rabat, Moroccob GNPHE, Groupement National de Physique des Hautes Energies, Siège focal: Faculté des Sciences, Rabat, MoroccoReceived 4 January 2008; accepted 15 April 2008Available online 30 April 2008AbstractUsing embeddings of complex curves in the complex projective plane P 2 ,wedevelopanon-planar topological3-vertex formalism for topological strings on the family of local Calabi–Yau threefolds X (m,−m,0) =O(m) ⊕ O(−m) → E (t,∞) . The base E (t,∞) stands for the degenerate elliptic curve with Kähler parametert; but a large complex structure μ;i.e.|μ|→∞. We also give first results regarding A-model topologicalstring amplitudes on X (m,−m,0) . The 2D U(1) gauged N = 2 supersymmetric sigma models of the degenerateelliptic curve E (t,∞) as well as for the family X (m,−m,0) are studied and the role of D- and F-termsis explicitly exhibited.© 2008 Elsevier B.V. All rights reserved.Keywords: Topological string; Topological vertex; Hypersurfaces in the local projective plane; Supersymmetric linearsigma models with D- and F-terms1. IntroductionTopological string theory [1–3] is a powerful method to deal with the 4D N = 2 supergravityPlanck limit of the compactification of type II superstring on Calabi–Yau (CY) threefolds X 3[4,5]. The study of local Gromov–Witten theory of curves in non-compact Calabi–Yau threefolds[6–10] and the OSV conjecture [11], relating microscopic 4D black holes to 2D q-deformedYang–Mills theory [12–18] and [41–43], have given an additional impulse to the revival interestin the study of the topological field and string theories [19–26] and [27]. Several important resultshave been obtained in the few last years; in particular the development of the topological tri-* Corresponding author at: Lab/UFR – Physique des Hautes Energies, Faculté des Sciences, Rabat, Morocco.E-mail addresses: drissilb@gmail.com (L.B. Drissi), jehjouh@gmail.com (H. Jehjouh), h-saidi@fsr.ac.ma(E.H. Saidi).0550-3213/$ – see front matter © 2008 Elsevier B.V. All rights reserved.doi:10.1016/j.nuclphysb.2008.04.025

308 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341vertex (to which we refer below as planar 3-vertex) method for computing the A-model partitionfunction for non-compact toric CY3s [28,29] and the interpretation of this vertex in terms of 3dpartitions of melting crystals generalizing U(∞) Young tableau [30,31].Moreover the planar 3-vertex and its refined version [32,33] have been shown particularlypowerful. They agree with the Nekrasov’s partition function of N = 2 SU(N) gauge theory[34–40] and provide more insights into non-perturbative dynamics of string field theory. Thepower of the topological 3-vertex method may be compared with the power of Feynman graphstechnique in perturbative φ 3 quantum field theory (QFT). This formal similarity between thetoric web-diagrams and the Feynman graphs opens a window on the following issues:First, the use of perturbative QFT results to motivate topological stringy analogues, in particulartoric web-diagrams with higher-dimensional vertices such as the typical φ 4 to be consideredin this study;Second, the development of new techniques to enlarge the class of toric Calabi–Yau threefoldsto which the topological vertex formalism applies.Recall that for non-compact toric Calabi–Yau threefolds X 3 with toric web-diagram Δ(X 3 ),the planar 3-vertex method allows to compute explicitly the A-model topological string amplitudes.The topological vertex method is a Feynman-rules like technique where the Feynmangraphs, the vertices of these graphs, the momenta, and the propagators correspond respectivelyto the toric web-diagrams Δ(X 3 ), the 3-valent vertices C λμν , Young diagrams λ, and the weights(−) (n+1)|λ| e −t|λ| q − n 2 κ(λ) where n encodes the framing.Motivated by:(1) the formal correspondence between toric web-diagrams of local Calabi–Yau threefolds andQFT Feynman graphs,(2) the two classes of toric Calabi–Yau threefolds describing the vacua of supersymmetric sigmamodel with (W(Φ i ) ≠ 0) and without superpotential (W(Φ i ) = 0), and(3) a special feature 1 of the local 2-torus O(m) ⊕ O(−m) → E (t,∞) where the elliptic curve 2E (t,μ)(1.1)is in the base of the local Calabi–Yau threefold X (m,−m,0) rather than in the fiber.We address in this paper, the two following points:(a) We propose in this study a toric representation for the family of the local 2-torii with fixedfinite Kähler parameter t and a large complex structure μ; say |μ|→∞,O(m) ⊕ O(−m) → E (t,∞) ,(1.2)with integer m. Thedegenerate elliptic curveE (t,∞) ,(1.3)1 In toric Calabi–Yau 3-folds X 3 with typical fibration B × F , the torii appear generally in the fiber F . In the localelliptic curve we are considering in this paper, the 2-torus is in the base B.2 The 2-torus has one Kähler parameter t and one complex parameter μ. As these parameters play an important rolehere, we will exhibit them below by referring to the elliptic curve as E (t,μ) . Further details are given in Appendix A.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 309describing the base of the above local Calabi–Yau threefolds (1.2), will be realized as the(toric) boundary of the complex toric projective plane P 2 ; see Sections 3, 5 and 6 as wellas Appendix A for more details.With this representation at hand, we can then:(α) circumvent, at least for the particular case of the degenerate E (t,∞) , the usual difficultyregarding the lack of a toric diagram for the 2-torus.In addition to the large complex structure limit constraint |μ|→∞, the other price to payin this set up is to consider a non-planar 3-vertex formalism rather than the standard planar3-vertex one based on the R × T 2 special Lagrangian fibration of C 3 . The reason behindthe emergence of the non-planar 3-vertex is that the toric Calabi–Yau 3-fold X (m,−m,0) isrealized as a non-compact toric hypersurface of the complex four-dimensional toric manifoldO(m) ⊕ O(−m) → P 2 .(1.4)For later use, we will refer to the local geometries (1.2) and (1.4) as H 3 and Y 4 respectively.The geometry Y 4 will be also promoted to the Calabi–Yau 4-fold X 4 = O(−m − 3) →W P 3 1,1,1,m .(β) Draw the lines for computing the topological amplitudes by using a non-planar 3-vertexformalism.In the present study, we will mainly set up the key idea by:(i) building the toric web-diagram Δ(X 3 ) of the local degenerate elliptic curve X (m,−m,0) ,(ii) give first results regarding the structure of the topological non-planar 3-vertex and the partitionfunction of X (m,−m,0) as well as their relation to the 4-vertex of the ambient C 4 localpatch and to the generalized Young diagrams.(b) We develop the supersymmetric linear sigma model field theory setting of the local degenerateelliptic curve X (m,−m,0) .More precisely, we show the two main following things:(α) theplanar 3-vertex method is associated with the auxiliary D-terms in supersymmetricsigma models.The non-planar 3-vertex formalism we will be considering here corresponds to the case wherewe have both D-terms and F-terms.(β) We use the sigma model for local P 2 to induce the N = 2 supersymmetric gauged model forthe local elliptic curve X (m,−m,0) . The underlying complex geometry of a such constructionwas noticed in the Witten’s original work [47]. Here, we give explicit details regarding theimplementation of F-terms.

310 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341The organization of this paper is as follows: In Section 2, we give an overview of the topologicalplanar 3-vertex method. In Section 3, we exhibit briefly first results concerning thetopological non-planar 3-vertex by considering the example of a Calabi–Yau threefold H 3 .Thetoric 3-fold H 3 is realized as a hypersurface of a four-dimensional complex Kähler manifold. InSection 4, we review the main points of the U(1) gauged supersymmetric sigma model realizationof the local P 2 . In Section 5, we consider the sigma model for the degenerate local ellipticcurve X (m,−m,0) . As the question of the toric realization of T 2 is a crucial point, we divide thissection in three parts: We first study the realization of the degenerate elliptic curve E (t,∞) byusing the compact divisor of P 2 . Then we give explicit details regarding the U(1) gauged supersymmetricsigma model realization of the local degenerate elliptic curve X (m,−m,0) .Next,westudy the moduli space of the supersymmetric vacua associated with X (3,−3,0) . In Section 6, weextend the construction to the case of local elliptic curve X (m,−m,0) . In Section 7, wegivetheconclusion and in Appendix A where we show that ∂(P 2 ) is precisely E (t,∞) .2. Topological vertex methodIn this section, we consider the topological 3-vertex method used for the computation of theA-model topological string amplitudes. We illustrate this method through some examples of noncompacttoric Calabi–Yau threefolds namely:(1) the complex space C 3 , with special Lagrangian fibration as R × T 2 , playing the role of theplanar 3-vertex,(2) the resolved conifold obtained by gluing two planar 3-vertices,(3) local P 2 made of three planar 3-vertices.Then, we consider an example of toric Calabi–Yau threefold (1.2) where one needs introducingnon-planar 3-vertices (and 4-vertices). This local Calabi–Yau threefold is precisely the onegiven by the local degenerate elliptic curve X (m,−m,0) = O(m) ⊕ O(−m) → E (t,∞) realized asa hypersurface in (1.4).2.1. Tri-vertex method: A brief reviewThe topological 3-vertex formalism computes the partition functionZ X3 (q)of the local toric Calabi–Yau threefolds X 3 . In this formalism, the toric web-diagram of X 3 isthought of as resulting from gluing copies of planar 3-vertices C λμν along their edges.Recall that the topological vertex C λμν has three legs ending on stacks of Lagrangian D-branes(C × S 1 ) represented by 2d partitions λ, μ and ν.The partition function Z X3 (q) depends on the following quantities:(i) The parameter q which reads in terms of the string coupling as e −g s; it plays the role of theBoltzmann weight.(ii) The Kähler parameters {t i } of the local Calabi–Yau threefold X 3 (i = 1,...,h 1,1 (X 3 )).Below, we will consider simple examples whereh 1,1 (X 3 ) = 1.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 311Fig. 1. The toric web-diagram of C 3 . It appears as local patches in toric Calabi–Yau threefolds. The three edges end onstacks of Lagrangian D branes. λ, μ and ν are 2d partitions which, in QFT set up, may be thought of as the externalmomenta.(iii) The boundary conditions (open strings) described by 2d partitions μ (generic representationsof U(∞)). In the QFT language where Feynman graphs play a quite similar roleas the toric web-diagrams, the 2d partition μ corresponds to the “external momentum” ofFeynman graph. Recall that a 2d partition μ is a Young diagram with columns(μ 1 ,μ 2 ,...), μ i μ i+1 , μ i ∈ Z + .Columns of the 2d partition are associated with Lagrangian D-branes and rows with Lagrangiananti-D-branes.(iv) Lagrangian D-brane/anti-D-brane pairs are needed for the gluing of the vertices. The gluingoperation is achieved by inserting 2d partitions ν and their transpose ν T at the cuts andsumming over all possible ν’s. In QFT language, ν corresponds to “internal momenta”.The topological 3-vertex 3 method for computing the partition function Z X3 (q) is illustrated onthe three examples given below.2.2. ExamplesExample 1 (The 3-vertex of C 3 ). The toric graph of C 3 is given by Fig. 1. Following [28], thepartition function of the 3-vertex, with a stack of Lagrangian D-branes ending on its legs capturedby the boundary conditions (λ,μ,ν), is given byZ X3 (q) = ∑C λμν (q)(Tr λ V Tr μ V Tr ν V).(2.2)λ,μ,νIn this relation, the trace Tr λ of the holonomy matrix V, with eigenvalues x = (x 1 ,x 2 ,...),isgiven by the Schur function S λ (x). The latter depends on the 2d partition λ = (λ 1 ,λ 2 ,...) andthe x i = q i−1/2−λ i. The rank three tensorC (3) = C λμν ,is the topological 3-vertex whose explicit expression reads asC λμν (q) = q[S κ(λ) (ν T q−ρ ) ∑with ρ = (ρ 1 ,ρ 2 ,...)and ρ i = 1/2 − i.2d partitions η(S λ T /η q−ν−ρ ) (S μ/η q−ν T −ρ )](2.1)(2.3)(2.4)3 For simplicity, we use 3-vertex to refer to the planar 3-vertex.

312 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341Fig. 2. Resolved conifold O(−1) ⊕ O(−1) → P 1 made of two planar 3-vertices.Fig. 3. Toric web-diagram of O(−3) → P 2 made of three planar vertices.Eq. (2.4) involves the product of skew-Schur functions S μ/η . It reduces, for the closed topologicalstring case, to∞∏ (Z C 3(q) = C ∅∅∅ (q) = 1 − qn ) −nn=1(2.5)which is nothing but the 3d MacMahon function.Example 2 (Resolved conifold X 3 = O(−1) ⊕ O(−1) → P 1 ). The resolved conifold has oneKähler parameter t parameterizing the size of the projective line P 1 . Fig. 2 describes its toricweb-diagram.This local threefold X 3 is obtained by gluing two 3-vertices along one edge leaving then fouropened external legs.In the simplest case where there is no boundary terms on the external legs, the partition functionof the closed topological string on the resolved conifold is given by,∑Z X3 (q, t) = C ∅∅ν (q)(−1) |ν| e −|ν|t C ∅∅ν T (q).(2.6)2d partitions νIn this relation, ν T is the transpose of the 2d partition ν with |ν| boxes and C ∅∅ν (q) is as inEq. (2.4) by setting the boundary conditions as λ =∅and μ =∅.Example 3 (Local P 2 : X 3 = O(−3) → P 2 ). The local P 2 has one Kähler modulus t parameterizingthe size of the projective plane P 2 . Fig. 3 describes its toric web-diagram.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 313This local threefold is obtained by gluing three 3-vertices. For simplicity, we consider herealso the case where there is no boundaries. The corresponding partition function reads as follows:Z X3 (q, t) = ∑C ∅μν T (q)C λμ T ∅ (q)C λ T ∅ν (q)( −e −t) |ν|+|λ|+|ν| qκ(λ)+κ(μ)+κ(ν)(2.7)withλ,μ,νκ(λ) = 2 [( ‖λ‖ 2 −|λ| ) − (∥ ∥λ T ∥ ∥ 2 − ∣ ∣λ T ∣ ∣ )] ,being the Casimir of the 2d partition.(2.8)3. Beyond the planar vertex methodFirst, we describe briefly the field theory setting of the local elliptic curve geometry leavingtechnical details for next sections. Then we give our first results regarding the topological nonplanar3-vertex formalism and the explicit expression of the partition function associated withEq. (1.2).3.1. Field theory set upThe local CY3 examples we have described above have toric web-diagrams involving planar3-vertices; see Figs. 1–3. These toric threefolds X 3 have a very remarkable field theory setup; they describe supersymmetric vacua of 2D N = 2 linear sigma model with U r (1) gaugesymmetry and (r + 3) matter multiplets Φ i ,U r (1): Φ j ≡ e iqa j Φ j , a = 1,...,r.The defining equation of X 3 is given by the field equation of motion of the D a auxiliary fields,X 3 :r+3δLδD a = ∑qi a |z i| 2 = 0,i=1where the field coordinates z i are the leading components of the chiral superfields Φ i and wherer+3∑qi a = 0,i=1a = 1,...,r,stands for the Calabi–Yau condition.Toric Calabi–Yau threefolds can be also realized as hypersurfaces H 3 in higher d dimensioncomplex Kähler toric manifolds Y d ,H 3 ⊂ Y d , d 4.Locally, the Kähler toric d-fold Y d may be imagined as given by the toric fibration R d × T d or asR d × F d with fiber F d = R × T d−1 . The toric web-diagram of Y d involve d-dimensional verticeswhere shrink all the 1-cycles of the toroidal fibration (see Fig. 4).The toric CY3 hypersurfaces H 3 have also a supersymmetric field theory setting. It will bedeveloped in details in forthcoming sections, see also the analysis of [47]. TheH 3 ’s describe aswell supersymmetric vacua of 2D N = 2 linear sigma model with gauge {V a } and matter {Φ i }multiplets, i = 1,...,r + d.(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)

314 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341Fig. 4. A generic toric web-diagram of a 4-vertex. In toric geometry, this web-diagram corresponds to the real base of thelocal patch C 4 .The defining equation of the toric CY hypersurface H 3 is given by the field equations ofmotion of both the D- and the F -auxiliary fields,{ δLδDH 3 :a = 0, a = 1,...,r(3.5)δLδF α = 0, α= 1,...,m∣ ,with m = d − 3 and d 4. The first r equations, which are similar to Eq. (3.2), reduce thedimension down to (d −r). The second equations, which are gauge invariant constraint relations,⎧f ⎪⎨ α (z 1 ,...,z d ) = 0f α (λ 1 z 1 ,...,λ d z d ) = 0, α= 1,...,m,(3.6)⎪⎩λ j = e iqa j α a∣reduce the number of free field variables down to 3; say (w 1 ,w 2 ,w 3 ). Up to solving Eqs. (3.5),one can express all the z i field variables in terms of the w’s as shown belowz i = z i (w 1 ,w 2 ,w 3 ), i = 1,...,r + d.In the next subsection, we study in details the case d = 4.3.2. Results on non-planar vertex formalismThe results we will give below concern the following:(1) the toric realization of the local degenerate elliptic curve (1.2),(2) the set up of the non-planar 3-vertex formalism and(3) the computation of the partition function Z H3 .3.2.1. Local degenerate elliptic curveConsider the local Calabi–Yau threefold (1.2) and focus on the particular local degenerateelliptic curve,H 3 = O(+3) ⊕ O(−3) → E (t,∞) , m= 3.(3.8)The degenerate elliptic curve E (t,∞) is given by the toric boundary (divisor) of the complexprojective plane P 2 ,E (t,∞) = ∂ ( P 2) .This is just a compact divisor (hyperline) of P 2 . The toric web-diagram associated to (3.8) isgiven by Fig. 5.The non-compact toric 4-fold Y 4 of Eq. (3.4) is given byY 4 = O(−3) → WP 3 1,1,1,3 ,(3.7)(3.9)(3.10)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 315Fig. 5. Non-planar toric web-diagram of O(+3) ⊕ O(−3) → E (t,∞) . This is a toric CY3 divisor of the four dimensioncomplex Kähler manifold O(+3) ⊕ O(−3) → P 2 . The hollow triangle ABC refers to the degenerate elliptic curveE (t,∞) . The full triangles ABD, ZCD, BCD refer to the three other projective planes.Fig. 6. Toric web-diagram of O(+3) → E (t,∞) . This figure looks like a “toric cap” obtained by gluing three triangles asshown on the figure.where WP1,1,1,3 3 stands for the complex 3 dimension weighted projective space. To keep in touchwith the Calabi–Yau condition, we promote Y 4 to the toric Calabi–Yau 4-foldX 4 = O(−6) → WP1,1,1,3 3 ,and in general toX 4 = O(−3 − m) → WP1,1,1,m3with m 1.(3.11)(3.12)3.2.2. Toric cap and toric cylinderFrom Eq. (3.8), one distinguishes two special divisors of the local degenerate ellipticcurve H 3 :(1) “Toric cap”: see Fig. 6This divisor corresponds to H 3 taken as the fibration O(−3) → Y 2 . The base Y 2 is a compactcomplex surface given byY 2 = O(+3) → E (t,∞) .(3.13)The toric web-diagram of the complex surface Y 2 is exhibited in Fig. 5.ThefirstChernclassc 1 (T ∗ Y 2 ) is equal to +3. The toric web-diagram of E (t,∞) is given bythe boundary of the triangle and O(+3) is a compact line.

316 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341Fig. 7. On left, the real skeleton of the toric web-diagram of the fibration of O(−3) → E (t,∞) . It could be interpreted asa triangulation of the cylinder of base E (t,μ) , given by the boundary of a triangle, and a non-compact line as a fiber. Onright, the usual cylinder R × S 1 .The toric web-diagram of Y 2 is non-planar and can be thought of as the triangulation of thetopological cap of [28]. Below, we will refer to Y 2 as the “toric cap”. Notice also the followingfeatures:(a) The complex surface Y 2 is a compact divisor of H 3 ; it is made of the union of three complexprojective planes, which we denote as P 2 1 , P2 2 and P2 3 .The projective planes P 2 i belong to three different C3 spaces of the ambient C 4 .(b) The toric web-diagram of Y 2 is made of three triangles as shown 4 in Fig. 6. Recall that thetoric web-diagram of a generic projective plane is given by a triangle (Fig. 3).The projective planes (triangles) have mutual intersections I ij along complex projective lines(edges) and a non-planar tri-intersection vertex I 123 .(2) Toric cylinderThis divisor corresponds to think about H 3 as the fibration O(+3) → Ỹ 2 .Here the base Ỹ 2 is a non-compact complex surface given byỸ 2 = O(−3) → E (t,∞) .(3.14)Its first Chern class c 1 (T ∗ Ỹ 2 ) is equal to −3. Here also the toric web-diagram of E (t,∞) is theboundary of the triangle and O(−3) is a non-compact line. The toric web-diagram of Ỹ 2 is nonplanar;it can be thought of as the triangulation of the cylinder R × S 1 . We will refer to Ỹ 2 as the“toric cylinder” whose toric web-diagram is shown in Fig. 7.The Ỹ 2 divisor of H 3 is made of the union of three sheets O(−3) → P 1 ibelonging to threedifferent C 3 spaces of the ambient C 4 .From Eqs. (3.13) and (3.14), it is clear that the elliptic curve E (t,∞) is an intersecting curveof the complex surfaces Y 2 and Ỹ 2 .3.3. Topological partition functionTo build the non-planar 3-vertex formalism for the local elliptic curve H 3 , we will follow theconstruction used in the derivation of the usual topological 3-vertex method [28].4 Y 2 can be imagined as the triangulation of the cap.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 317However since the local elliptic curve is a CY3 hypersurface in X 4 ,withH 3 ⊂ X 4 ,(3.15)X 4 = O(−3 − m) → WP 3 1,1,1,m ,a convenient way to achieve the goal is to proceed as follows:(3.16)(1) develop the 4-vertex formalism for the ambient toric CY4-fold X 4 ,(2) compute the partition function for X 4 . Actually this step may be also viewed as alternativeway to get the 4d generalization of the MacMahon function [50],(3) impose the appropriate constraint relations to get the non-planar 3-vertex and the topologicalpartition function for the local elliptic curve H 3 .It is interesting to note here the emergence of a 4-vertex formalism in the construction. This isnot surprising since the toric web-diagrams of H 3 and X 4 have quite similar skeletons. In thefirst case the tetrahedron is hollow and in the second it is full.The first step to realize these objectives is specify the special Lagrangian fibration of the toricCY4-fold like X 4 ∼ R 4 × F 4 with fiber taken asF 4 ∼ R × T 3 .(3.17)On the hypersurface H 3 in X 4 , real 1-cycles of F 4 shrink and one is left with the usual specialLagrangian fibration of the toric CY3-folds H 3 ∼ R 3 × F 3 withF 3 ∼ R × T 2 .(3.18)In [49], we give the explicit expressions of the various Hamiltonians and the values of the verticesof the web-diagrams solving the Calabi–Yau conditions.The next step is to study the 4-vertex formalism of X 4 and its reduction down to the torichypersurface H 3 .3.3.1. Toric web-diagrams and generalized partitionsThe toric web-diagrams of X 4 and H 3 have been described above (Fig. 5). For the case X 4 ,the toric web-diagram can be decomposed into four local patchesU 1 , U 2 , U 3 , U 4 .(3.19)To each patch U i ∼ C 4 with fibration R 4 × F 4 it is associated a topological 4-vertex C (4) .Thisvertex depends on the boundary conditions on its external legs. We will see that, using 3d generalizedYoung diagrams, it can be either defined asC (4) = C ΛΣΥ Γ ,or equivalently by using 2d partition like(3.20)C (4) = C (αβγ )(δɛε)(ζ ηθ)(λμν) .(3.21)The toric web-diagram of H 3 is induced from the one of X 4 . It can be also decomposed into fourlocal patches as follows,U ∗ 1 , U ∗ 2 , U ∗ 3 , U ∗ 4 ,(3.22)

318 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341where the asterix refers to the projection∗ : X 4 → H 3 , U i → U ∗ i .(3.23)To each patch U ∗ i∼ C 3 with fibration R 3 × F 3 it is associated a non-planar topological 3-vertexC ∗ (3) , (3.24)∗ : C (4) → C ∗ (3) .To get the 4-vertex C (4) , the partition function Z X4 and the topological partition function Z H3 ofthe local elliptic curve, we need first introducing some key tools.In the standard 3-vertex formalism of [28,30], one uses a set of basic objects; in particular 2dand3d-partitions. In the 4-vertex formalism, we have to build the analogue of these mathematicalingredients.α) 3d partitions Roughly, a 3d partition Π can be thought of as an integral N 1 × N 2 rank twotensor (Π ia ) with the property,Π ={Π i,a ∈ Z + ,Π i,a Π i+j,a+b 0},(3.25)where i, j = 1, 2,...,N 1 and a,b = 1, 2,...,N 2 .The 3d partition, which has been used for various purposes, has a set of remarkable combinatorialfeatures. Below, we give useful ones.(i) 3d partitions are generalizations of the usual 2d partitions λ = (λ 1 ,λ 2 ,...) with λ 1 λ 2 ··· 0 and the integers λ i ∈ Z + .By setting N 3 = Π 1,1 , the 3d partitions can be imagined as a cubic sublattice of Z 3 +[1,N 1 ]×[1,N 2 ]×[1,N 3 ].(3.26)The cubic diagram of Π can be considered as a set of unit cubes (i,j,k)with integer coordinatessuch that (i, j) ∈ λ and 1 k Π(i,j). The integers Π(i,j) define the height of the stack ofcubes on the (x 1 ,x 2 ) plane. The projection of Π on the (x 1 ,x 2 ) plane is just the 2d partition λ.(ii) A subclass of 3d partitions solving the conditions (3.25) is given by the particular representationΠ = λ ⊗ μ, Π ia = λ i μ a , λ i μ a λ i+j μ a+b ,where λ and μ are 2d partitions as in Eq. (2.1).(3.27)We also have the following associated ones:Π T = λ T ⊗ μ, ˜Π = λ ⊗ μ T , ˜Π T = λ T ⊗ μ T ,where λ T stands for the usual transpose of the Young diagram λ.(3.28)(iii) Like in the case of 2d partitions, one may associate to each 3d partition Π a Fock spacestate |Π ia 〉 with norm 〈Π|Π〉≡‖Π‖ 2 ,‖Π‖ 2 = ∑ ( ∑)ia ) (3.29)i1 a1(Π 2 = ∑ ( ∑)ia )a1 i1(Π 2 .

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 319〈Π ia | stands for the dual state associated with the dual partition Π + = ˜Π T .Wealsohavethefollowing relationI id =∑|Π ia 〉〈Π ia |, 〈Π ia |Π jb 〉=δ ij δ ab ,(3.30)3d partitionsdefining the resolution of the identity operator I id .(iv) The number |Π| of unit boxes (cubes) of the 3d partition is defined as|Π|= ∑ i,aΠ i,a .(3.31)(v) The boundary (∂Π) of the 3d partition Π is given by the 2d profile of the correspondinggeneralized Young diagram. As this property is important for the present study, let give somedetails.Given a 3d partition Π,theboundary term on the plane x i = N i is a Young diagram (2d partition).On the planes x 1 = N 1 , x 2 = N 2 and x 3 = N 3 , the boundary of Π is composed of by three 2dpartitions λ, μ and ν. So we then have:∂Π = (λ,μ,ν).(3.32)Particular boundaries are given by the case where a 2d partition is located at infinity; that is thereis no boundary. We distinguish the following situations:∂Π = (∅,μ,ν),∂Π = (∅, ∅,ν),∂Π = (∅, ∅, ∅),where ∅ stands for the vacuum.(3.33)(vi) A convenient way to deal with 3d partitions is to slice them as a sequence of 2d partitionswith interlacing relations. We mainly distinguish two kinds of sequences of 2d partitions:perpendicular and diagonal. We will not need this property here; but for details on this mattersee for instance [30] and references therein.β) 4d partitions The 4d partitions P are extensions of the 3d partitions Π considered above.They can be imagined as 4d generalized Young diagrams described by the typical integral rank3-tensor,P iaα ∈ Z + , with P iaα P (i+j)(a+b)(α+β) ,(3.34)with 1 i N 1 ,1 a N 2 and 1 α N 3 .Several properties of 2d and 3d partitions extend to the 4d case; there are also specific propertiesin particular those concerning their slicing into lower-dimensional ones. Below we describesome particular properties of 4d partitions by considering special representations.Sub-classes of 4d partitions are given by:(i) the product of a 2d and a 3d partitions μ and Π likeP = μ ⊗ Π, (P iaα ) = (μ i Π aα ),(3.35)

320 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341with i = 1,...,N 1 ; a = 1,...,N 2 and α = 1,...,N 3 ,(ii) the product of three kinds of 2d partitionsP = λ ⊗ μ ⊗ ν, (P iaα ) = (λ i μ a ν α ).(3.36)The boundary ∂P of a generic 4d partition P can be defined in two ways. First in terms of 3dpartitions as follows∂P = (Λ,Π,Σ,Υ).We also have the following particular boundary conditionscase I:case II:case III:case IV:∂P = (∅,Π,Σ,Υ),∂P = (∅, ∅,Σ,Υ),∂P = (∅, ∅, ∅,Υ),∂P = (∅, ∅, ∅, ∅),where ∅ stands for the “3d vacuum” (no boundary condition).Second by using 2d partitions to define boundary of P like(3.37)(3.38)∂P = ( [a, b, c]; [d, e, f]; [g, h, i]; [j, k, l] ) ,where [a, b, c],...and [j, k, l] stand for the boundaries of the 3d partitions Λ,...and Υ .Notice that the second representation is more richer since along with the configuration(3.39)∅ =[∅, ∅, ∅],we have moreover the two following extra configurations(3.40)[∅, b, c],[∅, ∅, c].For the case I of Eq. (3.38) correspond then the three following boundary configurations⎧⎪⎨case i: ([∅, b, c]; [d, e, f]; [g, h, i]; [j, k, l])∂P = case ii: ([∅, ∅, c]; [d, e, f]; [g, h, i]; [j, k, l]),⎪⎩case iii: ([∅, ∅, ∅]; [d, e, f]; [g, h, i]; [j, k, l]) ∣(3.41)(3.42)where the last one (case iii) is the case I described by the first relation of Eq. (3.38).This property indicates that one disposes of different ways to deal with 4d partitions eitherthe simplest one using 3d-partitions or the more refined on involving 2d partitions. Below weconsider both representations.Notice moreover that given a 4d partition P, we can associate to it various kinds of transposepartitions. Using the particular realization Eq. (3.36), the corresponding transposes read asλ T ⊗ μ ⊗ ν, λ ⊗ μ T ⊗ ν, λ ⊗ μ ⊗ ν T ,λ T ⊗ μ T ⊗ ν, λ ⊗ μ T ⊗ ν T , λ T ⊗ μ ⊗ ν T , λ T ⊗ μ T ⊗ ν T ,(3.43)where λ T stands for the usual transpose of the Young diagram λ.The exact mathematical definitions and the full properties of 4d partitions are not our immediateobjective here; they need by themselves a separate study. Here above we have given just theneeded properties to set up the structure of the 4-vertex formalism and its restricted non-planar3-vertex method.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 3213.3.2. Tetra-vertex C (4) and Z X4α) The 4-vertex C (4) The 4-vertex C (4) of the toric Calabi–Yau X 4 can be built by extending the3-vertex construction Eq. (2.3).In the 3d partition set up, the vertex C (4) has four external legs L Λ ,L Σ ,L Υ ,L Γ with boundaryconditions as in Eq. (3.37). The 4-vertex C (4) with boundary conditions (ΛΣΥ Γ ) can be definedas a function of the Boltzmann weight q = e −β as follows:C ΛΣΥ Γ ≡ C ΛΣΥ Γ (q).(3.44)In the case where Λ = Σ = Υ = Γ = ∅, the corresponding 4-vertex C ∅∅∅∅ should be equal tothe generating function Z C 4 of the 4d generalized Young diagramsC ∅∅∅∅ = Z C 4.Recall that the generating functional Z C 4 can be defined as a power series like,∑Z C 4 =q |P| ,4d partitions P(3.45)(3.46)where |P| is the number of hypercubes in P.In the generic case, C ΛΣΥ Γ should be given by the generalization 5 of the 3-vertex (2.4) andcould a priori be expressed in terms of the product of some hypothetic generalized Schur functionsS Λ (q).In the 2d partition set up, one can C (4) in quite similar manner. Using Eqs. (3.37)–(3.39), wecan generally define it as in Eq. (3.21). This is a kind of rank 12 objectC (abc)(def)(ghi)(jkl) ,(3.47)depending on the Boltzmann weight and the boundary conditions (external momenta) a,...,l.To obtain its explicit expression, we use the following:(i) the relation between the 4-vertex and composites of planar 3-vertices,(ii) the results on the usual 3-vertex formalism.The first property follows by noting that 4-vertices of the toric web-diagram of X 4 with thespecial Lagrangian fibrationR 4 × R × T 3 ,(3.48)corresponds to the intersection of the planar 3-vertices of three triangles. To fix the ideas, considerFig. 5 and focus on the point A representing a 4-vertex of the toric web-diagram of X 4 .Thepoint A is the intersectionA = Δ 1 ∩ Δ 2 ∩ Δ 3 ,(3.49)of the triangles,5 The partition function Z C 3 can be also defined as the generating function of 3d partitions [30].

322 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341Fig. 8. A typical 4-vertex in O(−3 − m) → WP1,1,1,m 3 using 2d partitions. This is a spatial vertex made of three planar3-vertices: (abc), (def) and (ghi).Δ 1 = triangle ABC,Δ 2 = triangle ABD,Δ 3 = triangle ACD.These triangles are boundary faces of the tetrahedronABCD.Inside of the tetrahedron, the toric fiber isT 3 = S 1 × S 1 × S 1 .(3.50)(3.51)(3.52)On each triangle face, a circle shrinks leaving T 2 .On each edge of a triangle, one more circle shrinks leaving S 1 .At the vertex A, all 1-cycles of T 3 shrinks down to zero.The property captured by Eqs. (3.49) means that we may relate the 4-vertex C ΛΣΥ Γ tothree planar vertices of the triangles (3.50). This can be done by expressing the 3d partitions(Λ,Σ,Υ,Γ)in terms of 2d partitions (a, b, c), (d, e, f), (g, h, i) and (j, k, l) as followsΛ = (a, d, g),Υ = (e, ∅, f),Σ = (b, c, ∅),Γ = (∅, h, i).(3.53)The decomposition (3.53) is illustrated on the formal Fig. 8 where the three triangles are representedin different colors.Substituting (ΛΣΥ Γ ) as in Eq. (3.53), we can first rewrite C ΛΣΥ Γ like C (adh)(bc∅)(e∅f)(∅hi) .The latter reads immediately from Fig. 8 and is given byC (adg)(bc∅)(e∅f)(∅hi) = C abc C def C ghi ,where C abc , C def and C ghi are topological 3-vertices with the explicit expression Eq. (2.4).(3.54)β) The function Z X4 The toric web-diagram of the X 4 4-fold is given by Fig. 9.The corresponding partition function Z X4 can be computed by specifying the 4-vertices, propagators,framings and using Feynman like rules. Notice that in the 2d partition set up, the toricwebs of X 4 and H 3 are as in Fig. 10.Using the momenta prescriptions described by the Young diagrams of the Fig. 10 as wellas trivial boundary conditions for the external legs, the partition function reads in terms of theKähler modulus t of X 4 as follows:Z H3 = ∑ [(Aτν T ωϕ T ρσ T)(B ετ T χρ T ψς T)(F υɛ T ιψ T κω T)(G ϕκ T χσ T ις T)H τυωϕρσεχικψς],{ϰ} (3.55)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 323Fig. 9. A typical the toric web-diagram of X 4 with boundary conditions (ΛΠΣΥ ).Fig. 10. Toric web-diagram of the local elliptic curve using 2d partitions. External and internal momenta have beenexpressed in terms of 2d partitions.where the sum over {ϰ} stands for the collective sum over the 2d partitions ϰ = τ , υ, ω, ϕ, ρ, σ ,ε, χ, ι, κ, ψ, ς and where we have setA τυ T ωϕ T ρσ T = C ∅τυ TC ∅ωϕ TC ∅ρσ T,B ετ T χρ T ψς T = C ∅ετ TC ∅χρ TC ∅ψς T,andF υε T ιψ T κω T = C ∅υε TC ∅ιψ TC ∅κω T, (3.56)G ϕκ T χσ T ις T = C ∅ϕκ TC ∅χσ TC ∅ις T,H τυωϕρσεχικψς =∏ϰ=τ,υ,ω,ϕ,ρ,σ,ε,χ,ι,κ,ψ,ς(−e−t ) |ϰ| q κ(ϰ) ,(3.57)where κ(μ) is the second Casimir of the 2d partition μ (2.8). The factors C αβγ are given byEq. (2.4).

324 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–3413.3.3. Partition function for the local 2-torusThe partition function Z H3 of the local elliptic curve may be obtained by implementing inZ X4 the constraint relations (3.24) capturing the projection X 4 → H 3 .Choosing trivial boundary conditions for the external legs and using:(i) the expression of the 4-vertex (3.54),(ii) the rules of the planar vertex formalism of [28],we can write down directly the expression of the partition function Z H3 . We find∑ (Z H3 =A∗ωϕ T ρσ T B ∗ χρ T ψς T F ∗ ιψ T κω T G ∗ ϕκ T χσ T ις T Hωϕρσχικψς) ∗ ,withξ,ρ,σ,η,υ,τ,ς,θA ∗ ωϕ T ρσ T = C ∅ωϕ TC ∅ρσ T,B ∗ χρ T ψς T = C ∅χρ TC ∅ψς T,F ∗ ιψ T κω T = C ∅ιψ TC ∅κω T,G ∗ ϕκ T χσ T ις T = C ∅ϕκ TC ∅χσ TC ∅ις T,(3.58)(3.59)together withH ∗ ωϕρσχικψς =∏μ={ω,ϕ,ρ,σ,χ,ι,κ,ψ,ς}(−e−t ) |μ| q κ(μ) ,(3.60)where the factors C αβγ areasinEq.(2.4).In what follows, we turn to study the field theory set up of the local 2-torus by starting bylocal P 2 model.4. Sigma model for local P 2In this section, we first review briefly the supersymmetric sigma linear model realization ofthe local P 2 model. This model is useful for the purpose of this paper.We also use this field realization to fix convention notations and to introduce some mathematicalobjects and their physical interpretations.The local P 2 model is nicely formulated in the language of 4D, N = 1 supersymmetry whichis, roughly, equivalent to the usual 2D, N = 2 supersymmetry. The complex two dimensionprojective plane P 2 has one Kähler parameter t, interpreted as the Fayet–Iliopoulos (FI) couplingconstant in the supersymmetric gauge theory.The U(1) gauged linear sigma theory describing the local P 2 target space geometry involvesthe following 4D, N = 1 superfields (supersymmetric representations):(1) A U(1) gauge superfield V = V(x,θ,¯θ) which reads, in the Wess–Zumino gauge, as follows:V =−θσ μ ¯θA μ − i ¯θ 2 θλ+ iθ 2 ¯θ ¯λ + 1 2 θ 2 ¯θ 2 D,(4.1)where (x μ ,θ a , ¯θȧ) stands for the 4D, N = 1 superspace coordinates.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 325In this relation, A μ (x) and (λ a (x), ¯λȧ(x)) are respectively the U(1) gauge vector and gauginofields.The scalar field D is the usual auxiliary field capturing the local Calabi–Yau geometry. It capturesas well as part of the scalar field potential V of the gauge theoryV = D 2 + ∑ i|F i | 2 ,(4.2)where the F i terms will be introduced below.(2) Four chiral superfields {Φ 0 ,Φ 1 ,Φ 2 ,Φ 3 }, with θ-expansionΦ i = z i + θψ i + θ 2 F i ,(4.3)with z i being the field coordinates of local P 2 , ψ i the Weyl spinors and F i the so-calledF -auxiliary fields.The Φ i complex superfields carry the following q i -charges under the U(1) gauge symmetry,(q 0 ,q 1 ,q 2 ,q 3 ) = (−3, 1, 1, 1).(4.4)The q i ’s add exactly to zero as required by the Calabi–Yau condition3∑q i = 0,i=0(4.5)of local P 2 .The superfield Lagrangian density L local P 2 = L(Φ, V ) of the local P 2 model reads, in theN = 1 D = 4 formalism, as follows,∫L(Φ, V ) =d 4 θ3∑i=0∫¯Φ i e 2qiV Φ i − 2td 4 θV + L gauge (V ).Here L gauge (V ) is the superspace Lagrangian density for the U(1) vector multiplet that can befound in [47].The equation of motion of the auxiliary field D leads to,(4.6)|z 1 | 2 +|z 2 | 2 +|z 3 | 2 − 3|z 0 | 2 = t.(4.7)It is nothing but the defining equation of the local projective plane O(−3) → P 2 .The compact part P 2 of this threefold is a complex plane given by the divisor z 0 = 0; it isparameterized by the complex coordinates (z 1 ,z 2 ,z 3 ) describing a complex surface embeddedin C 3 and has a U(1) gauge symmetry rotating the phases of the coordinates variables.By setting x i =|z i | 2 , the complex surface z 0 = 0 can be represented by the planar triangle[48],x 1 + x 2 + x 3 = t(4.8)with Kähler modulus t; see also Fig. 1.Because of the symmetry under permutation of the x i ’s, the triangle is equilateral. The lengthof its edges are equal to t and then it has an area given by A = t2√ 32.

326 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–3415. Field model for O(−3) → E (t,∞)We first study the gauge invariant supersymmetric field model with target space given by thecurve E (t,∞) = ∂P 2 . For details on the degenerate elliptic curve E (t,∞) ,seeAppendix A. Then,we consider the extension to O(−3) → E (t,∞) .5.1. Divisors of local P 2To begin, notice that the local P 2 Eq. (4.7) has several divisors; i.e., codimension one subspacesdescribing boundary patches of the normal bundle of the projective plane.The standard ones are obtained by setting one of the z i ’s to zero; z i = 0 with i = 0, 1, 2, 3.5.1.1. Toric boundary of P 2In this paragraph, we consider the three following complex surfaces [D 1 ], [D 2 ] and [D 3 ],[D 1 ]: |z 2 | 2 +|z 3 | 2 − 3|z 0 | 2 = t ⇔ z 1 = 0,[D 2 ]: |z 3 | 2 +|z 1 | 2 − 3|z 0 | 2 = t ⇔ z 2 = 0,[D 3 ]: |z 1 | 2 +|z 2 | 2 − 3|z 0 | 2 = t ⇔ z 3 = 0,and their union [D]=[D 1 ]∪[D 2 ]∪[D 3 ].To see what this local geometry describes precisely; let us set |z 0 | 2 = 0 in above equationsfrom where one sees that each relation describes a complex one dimension projective line P 1 .Todistinguish between these complex projective lines, we use the convention notation P 1 iwhere thesubindex i refers to z i = 0. Thus we have(5.1)P 1 1 : |z 2| 2 +|z 3 | 2 = t,P 1 2 : |z 3| 2 +|z 1 | 2 = t,P 1 3 : |z 1| 2 +|z 2 | 2 = t.(5.2)As we see, these projective lines have the following intersection matrix 6( )−2 1 1P 1 i ∩ P1 j = 1 −2 1 ,(5.3)1 1 −2from which one sees that the complex curveE (t,∞) = P 1 1 ∪ P1 2 ∪ P1 3 ,is elliptic (E (t,∞) ∼ T 2 ). Indeed, computing3∑E (t,∞) ∩ E (t,∞) = P 1 i ∩ P1 i + 2( P 1 1 ∩ P1 2 + P1 2 ∩ P1 3 + P1 3 ∩ 1) P1 ,i=1we get, up on using (5.3),E (t,∞) ∩ E (t,∞) =−3 × 2 + 2 × 3 = 0.(5.4)(5.5)(5.6)6 Denoting by {α 1 ,α 2 ,α 3 },abasisofH 2 (P 2 ,R), and by {A 1 ,A 2 ,A 3 }, the dual basis of H 2 (P 2 ,R)with ∫ A i α j = δ i j ,the intersection matrix Eq. (5.3) is given by I ij = ∫ P 2 α i ∧ α j .

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 327Fig. 11. (a) Left: Toric graph of P 2 . (b) Right: Toric graph of E (t,∞) where we have added a hole to avoid confusion.From the toric diagram of P 2 , one also see that E (t,∞) describes indeed a toric complex onedimensionalcurve defining the toric boundary of P 2 ; i.e.:E (t,∞) ≡ ∂P 2 .It is this curve that will be used to deal with the local 2-torus in the large complex structure limit.5.1.2. Elliptic curve E (t,∞)An interesting question concerns the derivation of the defining equation describing the ellipticcurve E (t,∞) . From the above analysis, it is not difficult to see that E (t,∞) is given by thefollowing system of equations (see Fig. 11),⎧⎨ |z 1 | 2 +|z 2 | 2 +|z 3 | 2 = t,z (5.8)⎩ i ≡ z i e iqiα ,z 1 z 2 z 3 = 0.In these relations, we have three complex variables (z 1 ,z 2 ,z 3 ) subject to three constraint equations.The two first equations, which are real, are just the defining linear sigma model equationof P 2 . They will be interpreted as the field equation of motion of the auxiliary D-field in supersymmetricsigma model.The third relation, which is covariant under U(1) gauge symmetry, is an extra complex conditionimplemented in order to restrict P 2 geometry to its toric boundary ∂P 2 . It will be interpretedlater as the equation of motion of the auxiliary F-fields.Notice that, the implementation of the boundary condition is a new feature. It can be thenviewed as:(i) a generalization of the usual approach for dealing with sigma model realization of toricmanifolds,(ii) a way to approach genus g Riemann surfaces,(iii) a method that can be used to describe the toric boundary of more general complex n-dimensionaltoric Calabi–Yau manifolds. We will make a comment regarding this point in theconclusion section.Notice finally that for t ≠ 0 the three complex variables cannot vanish simultaneously, i.e.,(5.7)(z 1 ,z 2 ,z 3 ) ≠ (0, 0, 0).(5.9)

328 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341In the particular case t = 0, the geometry collapses to the origin (0, 0, 0) whereliveaP 2 singularityand an elliptic one.5.1.3. Divisor O(−3) → E (t,∞)Using the above result on the toric realization of the elliptic curve, one can immediately writedown the defining equation of the divisor O(−3) → E (t,∞) of the local P 2 .Wehave⎧⎨ |z 1 | 2 +|z 2 | 2 +|z 3 | 2 − 3|z 0 | 2 = t,z (5.10)⎩ i ≡ z i e iqiα , i = 0, 1, 2, 3,z 1 z 2 z 3 = 0,where (q 0 ,q 1 ,q 2 ,q 3 ) areasinEq.(4.4) and where the complex variable z 0 parameterizes thenon-compact direction O(−3).If we do not worry about the Calabi–Yau condition, the first relation can be extended as|z 1 | 2 +|z 2 | 2 +|z 3 | 2 − m|z 0 | 2 = t,where m is an arbitrary positive integer.(5.11)5.2. Superfield actionHere we give the supersymmetric field description of (5.11). We start by studying the fieldrealization of the toric curve E (t,∞) . Then we consider its extension to the local geometry.5.2.1. Gauge invariant model for the elliptic curveTo build the supersymmetric model describing the toric curve E (t,∞) , we start from the superfieldcontent Eq. (4.7) of local P 2 theory and implement the constraint equation (5.10) by usingLagrange multiplier method together U(1) gauge invariance.The appropriate Lagrange superfield multiplier is given by a chiral superfield Υ with chargeq Υ =−3 under U(1) gauge symmetry so that the chiral superfield monomialW(Φ,Υ)= Φ 1 Φ 2 Φ 3 Υ,(5.12)is gauge invariant. Thus the supersymmetric Lagrangian super-density with target space E (t,∞)is given by the density,( ∫)L E = L P 2 + g d 2 θW(Φ,Υ)+ hc ,(5.13)where g is a complex coupling constant. Since Υ has no kinetic term, its elimination through theequation of motiongivesδL EδΥ = 0(5.14)gΦ 1 Φ 2 Φ 3 = 0,(5.15)whose lowest term is precisely z 1 z 2 z 3 = 0.Notice that contrary to P 2 , the superfield realization of the curve E (t,∞) has a non-trivial chiralsuperpotential. As we see, this result is a particular situation that can be extended to build toricrealization of other toric manifolds.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 329Notice also that the Lagrange superfield multiplier Υ can be given a geometric interpretation.This superfield has no kinetic term ῩΥ nor couplings to the gauge superfield V ; i.e., no termtype∫d 4 θ Ῡe 2qV Υ,(5.16)in the Lagrangian super-density. The lack of (5.16) can be interpreted as corresponding tofreezing the supersymmetric gauge invariant dynamics of Υ . This property explains why theCalabi–Yau condition for the complex toric curve E (t,∞) should read as,3∑q i + q γ =i=13∑q i − 3 = 0.i=1(5.17)We will turn to this property when we consider the local threefold O(m) ⊕ O(−m) → E (t,∞) .Notice also that the chiral superpotential (5.12) is not the unique gauge invariant term onemay have. The general form of W(Φ,Υ) is given byW(Φ,Υ)=∑n 1 +n 2 +n 3 =3g n1 ,n 2 ,n 3Φ n 11 Φn 22 Φn 33 .(5.18)We will discuss this point in Section 5 when we study the generalization to higher dimension CYmanifolds.For the moment, let us complete this discussion by giving the gauged superfield realization ofthe complex surface O(−m) → E (t,∞) .5.2.2. Field model for the divisor O(−m) → E (t,∞)In addition to the U(1) gauge superfield V , this model involves five chiral superfields(Φ 0 ,Φ 1 ,Φ 2 ,Φ 3 ,Υ)with charges(q 0 ,q 1 ,q 2 ,q 3 ,q γ ) = (−m, 1, 1, 1, −3).The Lagrangian super-density L divisor is given by,∫L divisor =d 4 θ( ∫+ g3∑i=0∫¯Φ i e 2qiV Φ i + L gauge (V ) − 2t)d 2 θW(Φ,Υ)+ hc ,d 4 θV(5.19)(5.20)where the chiral superpotential W(Φ,Υ)is as in Eq. (5.12). Here also the first Chern class of thecomplex surface has a contribution coming from Υ and reads as3∑q i + q γ =−mi=0showing, as expected, that O(−m) → E (t,∞) is not a Calabi–Yau surface.(5.21)5.3. Moduli space of supersymmetric vacuumHere we study the supersymmetric vacuum of the field model (5.20). We show that the surface(5.10) corresponds to a particular vacuum given by the vev z γ = 0.

330 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–3415.3.1. Moduli space of vacuaIn the supersymmetric vacuum, the vanishing condition of the scalar potential V = V(z) ofthe model (5.13) reads as|D| 2 +|F 0 | 2 +|F 1 | 2 +|F 2 | 2 +|F 3 | 2 +|F γ | 2 = 0.(5.22)The dependence of the scalar potential V in the scalar fields z is obtained by replacing theauxiliary fields D and F i by their explicit expressions in terms of the matter fieldsD = D(z 0 ,z 1 ,z 2 ,z 3 ,z γ ),F i = F i (z 0 ,z 1 ,z 2 ,z 3 ,z γ ).(5.23)These expressions are obtained by using the equations of motionδLδD = 0,δLδ ¯F i= 0.Eq. (5.22) is solved as follows,D = 0, F i = 0.(5.24)(5.25)As noted before, D = 0 leads to|z 1 | 2 +|z 2 | 2 +|z 3 | 2 − m|z 0 | 2 = t(5.26)and describes local P 2 for the particular case m = 3.F i = 0 involves five terms: F 0 which is trivial, and the remaining F γ , F 3 , F 2 , and F 1 lead to:z 1 z 2 z 3 = 0,z 1 z 2 z γ = 0,z 3 z 1 z γ = 0,z 2 z 3 z γ = 0,(5.27)where z γ stands for the lowest component field of the chiral superfield Υ . There are severalsolutions of these relations. These solutions may be classified into two sets:(1) The first set is given byz γ = 0.(5.28)Consequently Eqs. (5.27) reduce to the first equation z 1 z 2 z 3 = 0.The moduli background associated with this solution describes exactly the complex surfaceO(−3) → E (t,∞) .(2) The second set corresponds toz γ ≠ 0(5.29)and two variables amongst the three z 1 , z 2 and z 3 vanish.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 331So Eqs. (5.26) becomez 2 = z 3 = 0: |z 1 | 2 − m|z 0 | 2 = t,z 1 = z 3 = 0: |z 2 | 2 − m|z 0 | 2 = t,z 1 = z 2 = 0: |z 3 | 2 − m|z 0 | 2 = t.(5.30)5.3.2. Case z γ = 0Let us now consider the interesting case z γ = 0 and study the solution of constraint equationz 1 z 2 z 3 = 0. Here also there are several solutions which we list below:(1) Case z 3 = 0but(z 1 ,z 2 ) ≠ (0, 0)In this case the geometry reduces to|z 1 | 2 +|z 2 | 2 − 3|z 0 | 2 = t.(5.31)It describes the local complex projective lineO(−3) → P 1 ,(5.32)which we denote as O(−3) → P 1 3 where the sub-index 3 on P1 3 refers to z 3 = 0.The same thing is valid for z 1 = 0 and z 2 = 0.They describe respectively the local surfaces O(−3) → P 1 1 and O(−3) → P1 2 .(2) Case z 1 = 0, z 2 = 0, z 3 = √ tThis solution describes one of the three possible vertices of O(−3) → E (t,∞) ; the two othervertices are associated with the points:(i) z 1 = 0, z 2 = √ t, z 3 = 0 and,(ii) z 1 = √ t, z 2 = 0, z 3 = 0.(3) Case z 1 = z 2 = z 3 = 0isaP 2 singularityThis solution corresponds to the limit t = 0 where both E (t,∞) and so P 2 collapse down to apoint.The above analysis can be viewed as an interesting step towards the study of topologicalvertex of local genus g-Riemann surfaces (in particular g = 1) by using toric diagrams based onthe curve E (t,∞) . To that purpose, one first has to build the toric realization of basic objects ofthe topological vertex method. For instance, the complex coordinates associated with the verticesof the elliptic curve E (t,∞) are given by the local patchesU 1 : z (1)0 , z(1) 1 , z(1) 2 , z(1) 3= 0,U 2 : z (2)0 , z(2) 1 , z(2) 3 , z(2) 2= 0,U 3 : z (3)0 , z(3) 2 , z(3) 3 , z(3) 1= 0.(5.33)

332 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341The upper index of z (i)jrefers to the corresponding chart U i . Note that on each chart, we have therelationz (i)1 z(i) 2 z(i) 3= 0, i = 1, 2, 3.(5.34)The patches U i could be interpreted as the three “toric pants” needed for building E (t,∞) andmay be related to the topological pant considered in [30]. By gluing these three patches, onereproduces E (t,∞) .6. Local 2-torusThe local complex surface X 2 = O(−m) → E (t,∞) we have considered so far is not a Calabi–Yau 2-fold. The first Chern class c 1 (T ∗ X 2 ) of this variety is equal to −m. For our concern, thissurface is thought of as a divisor of the local Calabi–Yau threefold,O(m) ⊕ O(−m) → E (t,∞) .(6.1)6.1. Field modelThe supersymmetric field model relations describing the toric Calabi–Yau threefold (6.1) canbe easily derived from previous study. They are given by the following system of componentfield equations,{|z1 | 2 +|z 2 | 2 +|z 3 | 2 + 3|z 4 | 2 − 3|z 0 | 2 = t,(6.2)z 1 z 2 z 3 = 0.Here z 0 and z 4 parameterize the non-compact directions and (z 1 ,z 2 ,z 3 ) are as before. The toricgraph of this local threefold is shown on Fig. 12; it has three tetra-valent vertices.To get the superfield Lagrangian density L locT 2, we think about Eqs. (6.2) as the field equationsof motion of the D and F i auxiliary fields.The first relation is associated withδL locEδD = 0,while the second follows from,δL locE= 0.δF iThe result is∫ 3∑∫L locE = d 4 θ ¯Φ i e 2V Φ i +i=1∫+ L gauge (V ) − 2td 4 θ ( ¯Φ 0 e −2mV Φ 0 + ¯Φ 4 e 2mV Φ 4)( ∫d 4 θV + g)d 2 θΦ 1 Φ 2 Φ 3 Υ + hc ,(6.3)(6.4)(6.5)where Υ is a Lagrange superfield multiplier capturing the constraint restricting the field variablesto the boundary of P 2 .In addition to the U(1) gauge multiplet V , the chiral superfields of this model are(Φ 0 ,Φ 1 ,Φ 2 ,Φ 4 ,Φ 5 ,Υ)(6.6)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 333Fig. 12. Toric graph of O(−3) → E (t,∞) . The compact part is E (t,∞) = (∂P 2 ) with the usual three vertices. Its toricfrontier consists of three intersecting P 1 ’s in the homology class of 2-torus. (a) Figure (on left) represents real skeleton.(b) Figure (on right) gives its fattening.and carry the following q i -charges under the U(1) gauge symmetry,(q 0 ,q 1 ,q 2 ,q 3 ,q 4 ,q γ ) = (−m, 1, 1, 1,m,−3),where m is a priori equal to 3; but in general can take any integral value.(6.7)6.2. GeneralizationThe construction we have developed here above can be generalized to other Calabi–Yau manifolds.Below we make a comment on two kinds of generalizations. The first extension deals withthe gauged sigma model realization of local genus g-Riemann surfaces for g 2. The secondgeneralization concerns sigma model approach for higher complex dimensional compact toricCalabi–Yau manifolds.6.2.1. Local genus g-Riemann surfacesSo far we have seen that for each local elliptic curve, it is associated a U(1) gauge symmetry.This gauge symmetry is inherited from the P 2 model. Since local genus g-Riemann surfaces canbe engineered by gluing several local elliptic curves, we conclude that a class of local genusg-Riemann surfaces could be described by higher rank Abelian U n (1) gauged supersymmetricfield model type. The rank n of the gauge symmetry depends on the way the gluing is done.To illustrate the idea, let us give the example of g = 2-Riemann surface described by a 2DU 2 (1) gauged N = 2 supersymmetric sigma model.The local g = 2-Riemann surface in the large complex structures limits can be engineered bygluing two local elliptic curves with compact base E (t,∞)1= ∂P 2 1and E(t,∞)2= ∂P 2 2. In the sigmamodel approach, we distinguish different representations according to whether P 2 1 and P2 2 havean intersection point or edge.In the first case, the sigma model involves five complex field variables,(z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 ,z 5 )and a U 2 (1) gauge invariance under which these complex variables have the following gaugecharges(q1i)= (1, 1, 1, 0, 0),(6.9)(q2i)= (0, 0, 1, 1, 1).(6.8)

334 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341The field theoretic equations describing the compact part of the moduli space of supersymmetricvacua are given by,{ {|z1 | 2 +|z 2 | 2 +|z 3 | 2 = t 1 , |z3 | 2 +|z 4 | 2 +|z 5 | 2 = t 2 ,(6.10)z 1 z 2 z 3 = 0,z 3 z 4 z 5 = 0,where t 1 and t 2 are respectively the Kähler moduli of the projective planes P 2 1 and P2 2 .Theholomorphic constraint equations z 1 z 2 z 3 = 0 and z 3 z 4 z 5 = 0 are implemented in the gauged supersymmetricsuperfield model by two chiral superfields Υ 1 and Υ 2 with gauge charges (q 1 γ ,q2 γ )equal to (−3, 0) and (0, −3) respectively.Notice that Eq. (6.10) describes indeed a complex curve with genus g = 2. The toric threefoldbased on this genus g = 2 curve is parameterized by seven complex variables,(z 0 ,z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 ,z 5 ,z 6 ),(6.11)with gauge charges as(q1i)= (−3, 1, 1, 1, 0, 0, −3),(6.12)(q2i)= (−3, 0, 0, 1, 1, 1, −3).The gauged supersymmetric field theoretical equation−m|z 0 | 2 +|z 1 | 2 +|z 2 | 2 +|z 3 | 2 + m|z 6 | 2 = t 1 , z 1 z 2 z 3 = 0,−n|z 0 | 2 +|z 3 | 2 +|z 4 | 2 +|z 5 | 2 + n|z 6 | 2 = t 2 , z 3 z 4 z 5 = 0,(6.13)where m and n are in general arbitrary integers; but can be set equal to 3 to keep in touch withthe first Chern class of the complex two-dimensional projective plane.These relations involve seven complex variables constrained by four complex constraint equationsleaving then three complex variables free. Note also that the first relation of the above equationdescribes O(m) ⊕ O(−m) → E (t,∞)1while the second describes O(n) ⊕ O(−n) → E (t,∞)2.6.2.2. Higher-dimensional toric CY manifoldsThe gauged supersymmetric sigma model for the boundary surface of local P 2 that we haveconsidered in this paper can be extended for compact divisors of local P n−1 . The latter is givenby the following U(1) gauge invariant complex dimension n hypersurfacen∑n|z 0 | 2 + |z i | 2 = t,(6.14)i=1embedded in C n+1 parameterized by the local coordinates {z 0 ,z 1 ,z 2 ,...,z n } with gauge charge(q 0 ,q 1 ,q 2 ,...,q n ) = (−n, 1, 1,...,1).(6.15)In Eq. (6.14), t is the usual Kähler parameter of P n−1 . To describe the compact (divisor) boundary∂(P n−1 ) of the toric n-fold, we supplement the hypersurface equation by the following extragauge covariant constraint relation,n∏z i = 0.(6.16)i=1

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 335Extending the analysis of Section 4, theU(1) gauged supersymmetric sigma model describing∂(P n−1 ) reads as follows( ∫)L ∂P n−1 = L P n−1 + g d 2 θW(Φ,Υ)+ hc(6.17)with chiral superpotentialW(Φ,Υ)= Υn∏Φ i .i=1(6.18)The gauge charge q γ of the Lagrange multiplier superfield Υ is equal to (−n). Here also the firstChern class of ∂(P n−1 ) is identically zero. As noted before, this property is not a new featuresince the most general gauge invariant chiral superpotential extending Eq. (6.18) is given by( )W(Φ,Υ)=∑g {mi }m 1 +···+m n =nΥn∏i=1Φ m ii,(6.19)where g {mi } are complex coupling constants.The equation of motion of Υ gives a degree n homogeneous polynom describing a complex(n − 2) dimension holomorphic CY hypersurface with complex structures g {mi }.7. ConclusionIn this paper, we have set up the basis of the non-planar topological 3-vertex method to computethe topological string amplitudes for the family of local elliptic curvesO(m) ⊕ O(−m) → E (t,μ) , m∈ Z,in the limit of large complex structure μ; i.e.,(7.1)|μ|→∞.Generally speaking, the base E (t,μ) stands for an elliptic curve with Kähler parameter t andcomplex structure μ embedded in the projective plane P 2 . In the large limit μ; the correspondingelliptic curve E (t,∞) is realized as the toric boundary of P 2 ;seeAppendix A for more details; inparticular Eqs. (A.5), (A.12), (A.17).First, we have reviewed the main idea of the usual (planar) topological 3-vertex method fornon-compact toric threefolds.Then, we have drawn the first lines of the non-planar topological 3-vertex method for the localdegenerate 2-torus. The latter is a non-compact toric Calabi–Yau threefold given by a hypersurfacein a complex Kähler 4-fold.The key idea in getting the particular toric representation of the local 2-torus with large complexstructure is based on thinking about E (t,∞) as given by the toric boundary of the complexprojective plane P 2 .Inthisview,O(m) ⊕ O(−m) → E (t,∞) becomes a toric threefold and soone may extend the results of the topological 3-vertex method of [28] to the case of the local(degenerate) 2-torus. Obviously, to compute the topological amplitudes, we have to use the nonplanar3-vertex method rather than the usual planar 3-vertex one. Regarding this matter, wehave given first results concerning the local degenerate elliptic curve O(m) ⊕ O(−m) → E (t,∞) .More analysis is however still needed before getting the complete explicit results.(7.2)

336 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341We have also developed the gauged supersymmetric sigma model realization that underliesthe geometry the local 2-torus with |μ|→∞and exhibited explicitly the role of D- and F-terms.We have discussed as well how this construction could be extended to local genus g-Riemannsurfaces O(m) ⊕ O(2 − 2g − m) → Σ g in the limit of large complex structures.The results obtained in the field theory part of the paper may also be viewed as an explicitanalysis regarding implementation of F-terms in the Witten’s original work on phases of N = 2supersymmetric theories in two dimensions [47].AcknowledgementsThe authors thank the International Centre for Theoretical Physics, and S. Randjabar Daemifor kind hospitality at ICTP. This research work is supported by Protars III CNRST-D12/25.Appendix AIn this appendix, we give useful properties on the complex projective plane and on particularaspects on the complex curves in P 2 .More precisely denoting by P 2 t , the projective plane with Kähler parameter t and by E(t,μ)the following elliptic curve in P 2 t ,E (t,μ) : z 3 1 + z3 2 + z3 3 + μz 1z 2 z 3 = 0we want to show that the boundary ∂(P 2 t ) is nothing but the degenerate limit μ →∞of E(t,μ) ;that is∂ ( P 2 )t ≃ E (t,∞) .(A.1)This question can be also rephrased in other words by using the fibration,P 2 = B 2 × T 2 ,(A.2)where B 2 is real 2-dimensional base (an equilateral triangle). The boundary ∂(P 2 ) is a toricsubmanifold with fibration∂ ( P 2) = Δ 1 × S 1 ,(A.3)where Δ 1 = (∂B 2 ) is the boundary of a triangle.Clearly, thought not exactly the standard 2-torus S 1 × S 1 , the boundary ∂(P 2 ) has somethingto do with it. It is the large complex structure μ of the elliptic curve E (t,μ) ;say|μ|→+∞.(A.4)As we need both Kähler and complex structures to answer the question (A.1), let us first givesome useful details and then turn to derive the identity ∂(P 2 t ) ≃ E(t,∞) .Projective plane P 2There are different ways to deal the complex projective plane P 2 . Below, we give two dualdescriptions by using the so-called type IIA and type IIB geometries [51].Type IIA geometryIn this set up, known also as toric geometry, the projective plane P 2 is defined by the followingreal 4-dimensional compact hypersurface in C 3 ,|z 1 | 2 +|z 2 | 2 +|z 3 | 2 = t,(A.5)

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 337where (z 1 ,z 2 ,z 3 ) stand for local complex coordinates. In the above relation, the complex variablesobey the gauge identificationsz ′ k ≡ eiϕ z k ,(A.6)where the real phase ϕ is the parameter of the U(1) gauge symmetry. The phase ϕ can be used tofix one of the three phases of the z k =|z k |e iϕ kcomplex coordinates leaving then two free phases;say ϕ 1 and ϕ 2 . These free phases are precisely the ones used to parameterize the 2-torus in thefibration (A.2).The positive parameter t is the Kähler modulus of the projective plane; it controls the sizeof P 2 . Indeed, in the singular limit t → 0, we have the two following:(i) the size of the complex surface P 2 vanishes[ (lim vol P2 )] = 0,t→0(A.7)in agreement with both the relation vol(P 2 ) ∼ t 2 (footnote 7) and Eq. (A.5) which becomesthen singular.(ii) the size of the complex boundary ∂(P 2 ) vanishes as well[ [ (lim vol ∂ P2 )]] = 0.t→0(A.8)The two above relations show that the Kähler parameter t of P 2 and the Kähler parameter r of itboundary ∂(P 2 ) are intimately related. We will show later that they are the same. 7Notice in passing that in the field theory language, the relation (A.5) has an interpretation asthe field equation of motion of the D-auxiliary field in the U(1) gauged sigma model realizationof P 2 . There, the Kähler parameter t is interpreted as the Fayet–Iliopoulos coupling constantterm. This description is well known; some of its basic aspects have been studied in Section 4 ofthis paper; we will then omit redundant details.Type IIB geometryIn the type IIB geometry, one thinks about the complex projective surface P 2 as a complexholomorphic algebraic surface obtained by taking the coset of the complex space C 3 \{(0, 0, 0)}by the complex Abelian group C ∗ ;P 2 = [ C 3 \ { (0, 0, 0) }] /C ∗ .(A.9)The C ∗ group action allows to make the following identifications,(z 1 ,z 2 ,z 3 ) ≡ (λz 1 ,λz 2 ,λz 3 )(A.10)with λ being an arbitrary non-zero complex number. This identification reduces the complex 3dimension down to complex 2 dimensions. Here also, one can make gauge choices by workingin a particular local coordinate patch. A standard gauge choice is the one given by the conditionλz 3 = 1.7 From Eq. (A.5), it is not difficult to see that the volume of P 2 is proportional to t 2 while the volume of its boundary∂(P 2 ) is proportional t.

338 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341Complex curves in P 2Complex curves (real Riemann surfaces) in P 2 are complex codimension one submanifoldsobtained by imposing one more complex constraint relation f(z i ) = 0 on the projective complexvariables z 1 ,z 2 and z 3 . The most common curves in P 2 are obviously the projective lines P 1 ,conics and elliptic curves.Generally speaking, the constraint equation f(z i ) = 0 can be stated as follows,f(λz 1 ,λz 2 ,λz 3 ) = λ n f(z 1 ,z 2 ,z 3 ) = 0,(A.11)where n stands for the degree of homogeneity of the curve. The case n = 3 is given by thefollowing typical cubicz 3 1 + z3 2 + z3 3 + μz 1z 2 z 3 = 0.(A.12)This relation describes an elliptic curve E of degree 3 with a complex structure μ. This curve Ehas been extensively used in physical literature; in particular in the geometric engineering of4D superconformal field theories embedded in 10D type IIB superstring on elliptically fiberedCalabi–Yau threefolds [44–46] and [51,52].Before proceeding further, it is interesting to notice that the elliptic curve E is a genus oneRiemann surface having a real 3d moduli space; parameterized by(μ 1 ,μ 2 ; r)(A.13)with μ = μ 1 + iμ 2 is the complex structure and r is its Kähler modulus. So, elliptic curves maybe generally denoted as followsE (r,μ) .(A.14)Regarding the complex parameter μ of the elliptic curve E (r,μ) , it is explicitly exhibited in typeIIB geometry set up as shown on Eq. (A.12).However, it is interesting to notice that the Kähler parameter r cannot be exhibited explicitlysince E (r,μ) has no standard type IIA geometry realization 8 of the type given by Eq. (A.5).The construction developed in this paper gives a way to circumvent this difficulty by usingthe degenerate representation (A.3).With the above features in mind, we turn now to the derivation of Eq. (A.1).∂(P 2 ) as the degenerate elliptic curve E (r,∞)Here we would like to show that ∂(P 2 ) is E (r,μ) but with a large complex structure μ; that is|μ|→∞.To get the key point behind the identity (A.1) as well as the degeneracy of the elliptic curveE (r,μ) , we give the two following properties:(a) the projective plane P 2 has three particular intersecting divisors D i . These are associatedwith the hyperlinesz i = 0in P 2 which, up on using Eq. (A.5), lead to the following relations(A.15)8 In toric geometry the real base of the fibration B n × T n of complex n-dimensional toric manifolds involves projectivelines. Torii appear rather in the fiber.

L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341 339D 1 : |z 2 | 2 +|z 3 | 2 = t,D 2 : |z 1 | 2 +|z 3 | 2 = t,D 3 : |z 1 | 2 +|z 2 | 2 = t.(A.16)From these equations, we see that each divisor D i is a projective line with Kähler parameter t.The equality of the Kähler parameters t 1 = t 2 = t 3 = t of these projective lines may be also interpretedas due to the permutation symmetry of the {z i } projective coordinate variables of P 2 .Thisfeature translates, in the language of toric geometry, as corresponding to having an equilateraltriangle for the real base B 2 .(b) The divisors {D i } are precisely the ones we get by taking the large complex structure limit(A.4) of the complex curve Eq. (A.12). Under this condition, Eq. (A.12) reduces then to thedominant monomialμz 1 z 2 z 3 = 0.(A.17)Notice that the above relation is obviously invariant under the C ∗ transformations (A.10) sinceμ(λz 1 )(λz 2 )(λz 3 ) = λ 3 (μz 1 z 2 z 3 ) = 0.(A.18)To have more insight about the elliptic curve E (t,∞) with large complex structure; |μ|→∞,itis interesting to solve Eq. (A.17). There are three solutions classified as follows:(i) z 1 = 0, what ever the two other complex variables z 2 and z 3 are; provided that(z 2 ,z 3 ) ≠ (0, 0),(z 2 ,z 3 ) ≡ (λz 2 ,λz 3 ).(A.19)But these relations are nothing but the definition of the divisor D 1 in type IIB geometry.(ii) z 2 = 0, what ever the other complex variables z 1 and z 3 are; provided that(z 1 ,z 3 ) ≠ (0, 0),(z 1 ,z 3 ) ≡ (λz 1 ,λz 3 ),(A.20)describing then the divisor D 2 .(iii) z 3 = 0, what ever the other complex variables z 2 and z 1 are; provided that(z 1 ,z 2 ) ≠ (0, 0),(z 1 ,z 2 ) ≡ (λz 1 ,λz 2 ),(A.21)associated with the divisor D 3 .To conclude the boundary (∂P 2 t ) of the projective plane P2 t is indeed described by an ellipticcurve with a Kähler parameter t inherited from the P 2 t one; but with a large complex structureμ; see also footnote 7. The limit μ →∞explains the degeneracy property in the baseΔ 1 (A.3).

340 L.B. Drissi et al. / Nuclear Physics B 804 [PM] (2008) 307–341References[1] M. Marino, Chern–Simons theory and topological strings, Rev. Mod. Phys. 77 (2005) 675–720, hep-th/0406005.[2] R. Dijkgraaf, E. Verlinde, H. Verlinde, Notes on topological string theory and two-dimensional topological gravity,in: String Theory and Quantum Gravity, World Scientific, 1991, p. 91.[3] M. Bershadsky, S. Cecotti, H. Ooguri, C. Vafa, Kodaira–Spencer theory of gravity and exact results for quantumstring amplitudes, Commun. Math. Phys. 165 (1994) 311, hep-th/9309140.[4] G.L. Cardoso, B. de Wit, J. Kappeli, T. Mohaupt, Stationary BPS solutions in N = 2 supergravity with R 2 -interactions, JHEP 0012 (2000) 019, hep-th/0009234.[5] A. Ceresole, R. D’Auria, S. Ferrara, The symplectic structure of N = 2 supergravity and its central extension, Nucl.Phys. B (Proc. Suppl.) 46 (1996) 67–74, hep-th/9509160.[6] T. Graber, E. Zaslow, Open string Gromov–Witten invariants: Calculations and a mirror ‘theorem’, hep-th/0109075.[7] M. Aganagic, A. Klemm, C. Vafa, Disk instantons, mirror symmetry and the duality web, hep-th/0105045.[8] J. Bryan, R. Pandharipande, Curves in Calabi–Yau and topological quantum field theory, Duke Math. 126 (2005)369–396;J. Bryan, R. Pandharipande, On the rigidity of stable maps to Calabi–Yau threefolds, Geom. Topol. Monogr. 8(2006) 97–104.[9] J. Bryan, R. Pandharipande, The local Gromov–Witten theory of curves, math.AG/0411037.[10] D. Karp, C. Liu, M. Marino, The local Gromov–Witten invariants of configuration of rational curves, Geom. Topol.Monogr. 10 (2006) 115–168.[11] H. Ooguri, A. Strominger, C. Vafa, Black hole attractors and the topological string, Phys. Rev. D 70 (2004) 106007,hep-th/0405146.[12] C. Vafa, Two dimensional Yang–Mills, black holes and topological strings, hep-th/0406058.[13] A. Dabholkar, Exact counting of black hole microstates, Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 241–301, hep-th/0409148.[14] H. Ooguri, C. Vafa, E. Verlinde, Hartle–Hawking wave-function for flux compactifications, Lett. Math. Phys. 74(2005) 311–342, hep-th/0502211.[15] R. Dijkgraaf, R. Gopakumar, H. Ooguri, C. Vafa, Baby universes in string theory, Phys. Rev. D 73 (2006) 066002,hep-th/0504221.[16] A. Belhaj, L.B. Drissi, E.H. Saidi, A. Segui, N = 2 supersymmetric black attractors in six and seven dimensions,Nucl. Phys. B 796 (2008) 521–580, arXiv: 0709.0398.[17] E.H. Saidi, M.B. Sedra, Topological string in harmonic space and correlation functions in S 3 stringy cosmology,Nucl. Phys. B 748 (2006) 380–457, hep-th/0604204.[18] M. Aganagic, A. Neitzke, C. Vafa, BPS microstates and the open topological string wave function, hep-th/0504054.[19] E. Witten, Topological sigma models, Commun. Math. Phys. 118 (1988) 411.[20] M. Bershadsky, S. Cecotti, H. Ooguri, C. Vafa, Holomorphic anomalies in topological field theories, Nucl. Phys.B 405 (1993) 279–304.[21] H. Ooguri, C. Vafa, Knot invariants and topological strings, Nucl. Phys. B 577 (2000) 419, hep-th/9912123.[22] J. Walcher, Extended holomorphic anomaly and loop amplitudes in open topological, string, arXiv: 0705.4098[hep-th].[23] S. Yamaguchi, S.T. Yau, Topological string partition functions as polynomials, JHEP 0407 (2004) 047, hep-th/0406078.[24] M. Alim, J.D. Lange, Polynomial structure of the (open) topological string partition function, JHEP 0710 (2007)045, arXiv: 0708.2886 [hep-th].[25] M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Marino, C. Vafa, Topological strings and integrable hierarchies, Commun.Math. Phys. 261 (2006) 451, hep-th/0312085.[26] V. Bouchard, B. Florea, M. Marino, Topological open string amplitudes on orientifolds, JHEP 0502 (2005) 002,hep-th/0411227.[27] M. Aganagic, C. Vafa, Mirror symmetry, D-branes and counting holomorphic discs, hep-th/0012041.[28] M. Aganagic, A. Klemm, M. Marino, C. Vafa, The topological vertex, Commun. Math. Phys. 254 (2005) 425–478,hep-th/0305132.[29] A. Iqbal, A.-K. Kashani-Poor, The vertex on a strip, hep-th/0410174;A. Iqbal, A.-K. Kashani-Poor, Instanton counting and Chern–Simons theory, Adv. Theor. Math. Phys. 7 (2004)457–497, hep-th/0212279.[30] A. Iqbal, C. Kozcaz, C. Vafa, The refined topological vertex, hep-th/0701156.[31] P. Sulkowski, Crystal model for the closed topological vertex geometry, JHEP 0612 (2006) 030, hep-th/0606055.[32] A. Iqbal, C. Kozcaz, C. Vafa, The refined topological vertex, hep-th/0701156.

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Chapitre 6Vertex Topologique RaffinéGrâce au vertex topologique C µνλ (q), nous avons pu calculé explicitement les amplitudesde la corde topologique de type A sur les variétés de CY3 torique. Dans cette partie,nous continuons l’étude entreprise dans le chapitre précédent en insérant les résultats baséssur le vertex topologique usuel dans un cadre plus général. Il s’agit de généraliser le formalismeprécédent dans le but d’obtenir des invariants topologiques au delà des invariantsGromov-Witten et Donaldson-Thomas [174].Dans ce chapitre, nous présentons le formalisme du vertex topologique raffiné dont le 3-vertex topologique raffiné C λµν (t, q) dépend de deux paramètres q = e −iɛ 1, et t = e iɛ 2. Ceformalisme qui a été introduit dans [177, 178, 179, 180] et qui a pour origine les travaux deIqbal et al [151, 159], a une intérprétation en terme de l’instanton de Nekrasov [55, 56, 177].Signalons également qu’en utilisant le formalisme du vertex topologique raffiné, on obtientla fonction de partition raffinée de la corde topologique sur les variétés de CY3 toriques.Dans la section 1, Nous introduisons le vertex topologique raffiné. La section 2 est consacréeaux exemples des fonctions de partitions des variétés de Calabi-Yau toriques et nousexhibons dans la section 3 l’invariance de la fonction de partition raffinée des cordes topologiquessous la transition de flop. Dans la section 4, on développe le lien entre le vertextopologique raffiné et les invariants topologiques.6.1 Formalisme du vertex raffinéNotre objectif consiste à trouver l’expression du vertex topologique raffiné qui provientdu calcul microscopique de la solution de Seiberg-Witten [57, 79]. De ce fait, le vertexraffiné C λµν (t, q) a la même interprétation combinatoire en termes de partitions 3D210

Vertex topologique raffinéνq tλ µFig. 3-1 – Vertex topologique raffiné C λµν (t, q)Rappelons que les tranches diagonales d’une partition 3D sont des diagrammes de Young2D qui s’enchaînent les unes aux autres. Ces partitions 2D apparaissent dans les plansx − y = a avec a ∈ Z. Dans le cas du vertex usuel, la ième tranche est pondérée par q |π| où|π| est le nombre de boîtes.Fig. 3-2 – les tranches diagonales 2D d’une partition plane.∏q |πa| = q P a∈Z |πa| = q≠a∈Zde boites dans πAlors que dans le cas du vertex raffiné, la partition 3D est représentée de différentesmanières. Pour le cas où a < 0, les tranches sont représentées par le paramètre t et poura ≥ 0, celles-ci sont paramétrisées par le paramètre q∏t ∏ |πa| q |πa| = t P a≺0 |πa| q P a≥0 |πa|a≺0 a≥0211

5.1 Raffinement du vertex topologiqueLa fonction génératrice des partitions 3D est une généralisation de la fonction de MacMahondonnée par :M (q, t) = ∑ πq P ∞i=1 |π(−i)| t P ∞j=1 |π(j−1)| =∞∏ (1 − q i−1 t j) −1.i,j=1L’introduction des paramètres q et t dans les tranches est représentée de la manière suivante.Si nous commençons par a > 0, le mouvement de la tranche est davantage orientévers la gauche en passant par l’origine. En fait, chaque fois que nous déplaçons la tranchevers la gauche, il faut compter avec le paramètre t. Or si la tranche se déplace vers le haut(qui se produit quand nous allons de a = i à a = i − 1, i = 0, 1, 2), nous comptons avec leparamètre q. Après avoir pris en considération le framing, le vertex raffiné est donné par[91] :C λµν (t, q) = G λµν(t,q)avecM(t,q)= ( ) ‖µ‖ 2 +‖ν‖ 2q 2t k(µ)2 Ptν t (t −ρ ; q, t) ∑ ηG λµν (t, q) =( qt∑η) ‖µ‖ 2 +‖ν‖ 22t k(µ)( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ) .(3.1)2 M (t, q) P ν t (t −ρ ; q, t) ×( q) |η|+|λ|−|µ|(2st λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η t−ν t q−ρ) (3.2)et P ν t (t −ρ ; q, t) est la fonction de Macdonald donnée par l’expression suivante [175] :P ν t (t −ρ ; q, t) = (t) ‖ν‖22 ˜Zν (t, q)∏ (= 1 − t a(i,j)+1 q l(i,j)) −1, avec a (i, j) = νtj − i, l (i, j) = ν i − j.(i,j)∈ν(3.3)6.1.1 Vertex raffiné et fonction de partition de la corde ouverteLe vertex raffiné a également une interprétation en termes des amplitudes topologiquesdes cordes ouvertes généralisées en présence des piles des A-branes. En fait, les résultatsde [176] suggèrent que raffinement des amplitudes de la théorie des cordes ouvertes sontliées aux invariants de noeud de Khovanov.En utilisant le formalisme du vertex raffiné, la fonction de partition de la corde ouvertedépend de l’arête sur laquelle la pile des branes est mise. Cela est du à l’absence des212

Vertex topologique raffinépropriétés de symétrie cyclique dans le vertex raffiné. En effet, nous avons trois choix(3.4)correspondants aux trois arêtes de C 3 . Les résultats sont les suivants :I : C λ∅∅ (t, q) = ( ) |λ|q 2st λ t (t −ρ ) ,II : C ∅µ∅ (t, q) = ( )‖ µt ‖ 2 −|µ|q 2stµ t (q −ρ )III : C ∅∅ν (t, q) =‖ν‖ 2q 2Qs∈ν (1−t1+a(s) q l(s) ) .Dans le cas I : La fonction de partition de la corde ouverte est comme suit :Z (t, q, x) = ∑ C λ∅∅ (t −1 , q −1 ) s λ (x) = ∑ ( ) |λ|t 2sq λ t (t ρ ) s λ (x)λλ∏= ∞ ( √ ) ∏t1 + xq t−i+ 1 2 = ∞ ( )√ (3.5)1 − Qt −i+ 1 t2 , Q = −x . qi=1Dans le cas I : La fonction de partition de la corde ouverte est donnée par :i=1Z (t, q, x) = ∑ C ∅µ∅ (t −1 , q −1 ) s µ (x) = ∑µµ∏= ∞ ( )∏1 + xq −i+ 1 2 = ∞i=1i=1(tq)‖µ t ‖−|µ|2(1 − Qq −i+ 1 2s µ t (q ρ ) s µ (x)), Q = −x.(3.6)Dans les deux résultats ci-dessus, la fonction de partition est celle obtenue à partir duvertex ordinaire sauf qu’ici elle dépend de t ou q selon l’arête sur laquelle la brane est finie.Un cas intéressant est celui du troisième exemple dans lequel la brane finit sur l’axe préféré.Dans ce cas, l’amplitude de la corde ouverte en utilisant le vertex raffiné est donnée par :Z (t, q, V ) = ∑ λ= ∑ λC ∅∅ν (t −1 , q −1 ) T r ν VC ∅∅ν (t −1 , q −1 ) s ν (x)(3.7)où x = {x 1 , x 2 , · · · } et le vertex raffiné s’écrit sous la forme suivante :C ∅∅ν (t, q) =Q‖ν‖ 2q 2s∈ν ( 1−t 1+a(s) q l(s) )‖ νt ‖ 2C ∅∅ν (t −1 , q −1 ) = (−1)|ν| t 2 ( q) t |ν|/2Q( 1−t 1+a(s) q l(s) )s∈νPar conséquent, pour le cas x = {−Q, 0, 0, · · · } , le résultat est la suivante :Z (t, q, Q) = ∑ ∑C ∅∅ν (t −1 , q −1 ) s ν (x) = ∞ C ∅∅k (t −1 , q −1 ) (−Q) kνk=0∑= ∞ ( ) k ∏ kQ √ tk(1 − tq n−1 ) −1 .k=0n=1(3.8)(3.9)213

5.2 Fonctions de partitions du vertex raffinésC’est exactement la fonction de partition en utilisant la série de Hilbert raffinée de produitsymétrique C [151].6.2 Fonctions de partitions raffinéesDans cette section, nous explicitons l’expression de la fonction de partition de la variétéde Calabi-Yau locale en utilisant le vertex topologique raffiné :6.2.1 O(−1) ⊕ O(−1) ↦→ P 1La théorie des cordes de type-IIA compactifiée sur une variété de Calabi-Yau donne lieuà une théorie de jauge N = 2 sur la direction transversale de C 2 . En utilisant le formalismede vertex topologique, la fonction de partition de la corde topologique est donnée par :Z(q, Q) = ∑ ν= ∑ νQ |ν| (−1) |ν| C ∅ ∅ ν (q) C ∅ ∅ ν t(q)Q |ν| (−1) |ν| s ν t(q −ρ )s ν (q −ρ ) (3.10)=∞∏ ( ) 1 − Q qi+j−1=i,j=1k=1∞∏ (1 − q k Q ) koù T = ln(Q) est à la fois le paramètre de Kahler et la taille de P 1 .Par la suite, on considère le vertex topologique raffiné pour déterminer la fonction departition. Dans ce cadre, le diagramme torique de X et le collage des vertex raffinés sontprésentés dans la Fig. 3-3. On obtient alors l’expression explicite de la fonction de partitionFig. 3-3 – Diagramme torique O(−1) ⊕ O(−1) ↦→ P 1 . Les vertex sont collés autour de leurdirection préférée.raffinée de la corde topologique de type AZ(t, q, Q) := ∑ νQ |ν| (−1) |ν| C ∅ ∅ ν (t, q) C ∅ ∅ ν t(q, t). (3.11)214

Vertex topologique raffinéAvecC ∅ ∅ ν (t, q) = q ||ν||22 ˜Zν (t, q) = q ||ν||22∏(1 − t a(s)+1 q l(s) ) −1s∈νIl existe une autre formule due à la combinaison de deux vertex selon leur arête x (directionnon préférée), où le paramètre sur chaque arête de collage doit être différent l’un de l’autre.Cela a permis, entre autre d’écrire la fonction de partition raffinée dont le diagrammetorique correspondant est schématisé dans la figure (3-4)Fig. 3-4 – Diagramme torique O(−1) ⊕ O(−1) → P 1 . Les vertex sont collés autour leursdirections impréférées.Dans ce cas la fonction de partition est sous la forme :Z(t, q, Q) = ∑ λ Q|λ| (−1) |λ| C λ ∅ ∅ (t, q) C λ t ∅ ∅(q, t)= ∑ ( ) |λ| ( ) |λ|λ (−Q)|λ| q 2st λ t(t −ρ t 2) sq λ (q −ρ )= ∑ λ (−Q)|λ| s λ t(t −ρ ) s λ t(q −ρ )= ∏ ∞i,j=1 (1 − Q qi− 1 2 t j− 1 2 ).(3.12)6.2.2 O(0) ⊕ O(−2) → P 1Nous avons déjà vu deux manières de combiner deux vertex mais il en existe beaucoupd’autres. Par exemple, dans le cas de P 1 ×P 1 locale, on peut avoir deux géométries obtenuesen prenant la taille d’un des P 1 très grande. Cette limite donne deux copies de O(0) ⊕O(−2) → P 1On s’intéresse premièrement au cas de vertex topologique usuel. Le formalisme de la215

5.2 Fonctions de partitions du vertex raffinésFig. 3-5 – Deux choix possibles de deux directions préférées (a) la ligne interne et b) leslignes externes parallèlesfonction de partition est donné par :Z(q, Q) = ∑ νQ |ν| (−1) |ν| C ∅ ∅ ν (q) (−1) |ν| q κ(ν)2 C ∅ ∅ ν t(q)= ∑ νQ |ν| s ν t(q −ρ ) q κ(ν)2 s ν (q −ρ ) = ∑ νQ |ν| s ν t(q −ρ ) s ν t(q −ρ ) (3.13)=∞∏ ( ) ∏ ∞1 − Q qi+j−1 −1 ( )= 1 − Q qk −k.i,j=1k=1Dans le cas de vertex raffiné, nous avons deux choix concernant la direction préférée commeil a été figuré dans (3-5) : pour le cas (a) la fonction est donnée par :Z (t, q, Q) = ∑ ν= ∑ ν= ∑ νQ |ν| (−1) |ν| C ∅ ∅ ν (t, q)f ν (t, q) C ∅ ∅ ν t(t, q)(−Q) |ν| ˜Zν (t, q) ˜Z ν t(q, t) q ‖ν‖22 t ‖νt ‖ 22 f ν (t, q)(Q √ qt ) |ν| t ‖ ν t ‖ 2Qs∈ν (1−ta(s)+1 q l(s) )(1−t a(s) q l(s)+1 )216(3.14)

Vertex topologique raffinéavec T r λ V 1 = s ν (x) où x = (x 1 , x 2 , · · · ) sont les valeurs propres de la matrice d’holonomieV . La fonction Zλ,µ I (q, Q) est donnée par la formule suivante :Zλµ I (q1, Q) = ∑ (−Q) |ν| C λµν (q)C ∅∅ν t(q)ν∏= s λ t(q −ρ )s µ t(q −ρ−λ , Qq ρ ) ∞ (3.20)(1 − Qq i+j−1−λt j )On obtient ainsi la fonction de partition de la corde ouverte normalisée en divisant par lafonction de partition de la corde ferméei,j=1˜Z λµ(q, I Q) := ZI λµ (q, Q)Z∅∅ I (q, Q) = s λ t(q−ρ )s µ t(q −ρ−λ , Qq ρ ) ∏(i,j)∈λ(1 − Qq j−i ) (3.21)Par la suite, on va suivre le même calcul de la fonction de partition après la transition deflop que celle décrite ci-dessus. A partir du diagramme torique du conifold résolu (voir lafigure ci-dessus),Fig. 3-8 – Deux différentes résolutions de conifold sont liées les unes aux autres par latransition flop.la fonction de partition après la transition de flop est donnée par :Z IIλµ(q, ˆQ) = ∑ ν(− ˆQ) |ν| C ∅µν (q)C λ∅ν t(q) (3.22)en termes de fonction de schurZλµ(q, II ˆQ)∑= q κ(µ)2 (− ˆQ) |ν| s ν (q −ρ )s ν t(q −ρ )s λ t(q −ρ−νt )s µ (q −ρ−νt ) (3.23)ν219

5.4 Vertex raffiné et homologie des entrelacsAinsi, nous remarquons que les deux fonctions de partition ne sont égales que si les deuxparamètres de Kahler avant et après la transition flop sont liés par l’équation :Q = ˆQ −1 (3.24)En effet, la fonction de partition de la corde ouverte en utilisant le vertex topologique usuelest invariant sous la transition de flop. La même procédure sera appliquée cette fois aucas de vertex topologique raffiné. La fonction de partition correspondante au diagrammetorique du conifold résolu en appliquant les règles de collage est exprimée sous cette forme :Z (a) (Q, t, q) = ∑ α (−Q)|α| C α1 αβ 1(t, q)C β2 α t α 2(q, t)= ∑ α,τ,σ (−Q)|α|( ) 1q 2 (‖α‖2 +‖β 1 ‖ 2 ) 1tt(× s α t1/τ(t −ρ q −β 1 )sα/τ (q −ρ t −βt 1 ) ×(× P α t2(q −ρ ; t, q)tq2 κα P β t1(t −ρ ; q, t) ( q) 12 (|τ|+|α 1|−|α|)t) 1t 2 (||αt || 2 +||α 2 || 2 ) (3.25)qq− 1 2 κα) 12 (|σ|+|β 2 |−|α|) s β t2 /σ(q −ρ t −α 2)s α t /σ(t −ρ q −αt 2 ).Un calcul analogue à celui qui a donné la fonction de partition avant la transition de flop,donne la fonction de partition après la transition correspondante (voir la figure 3-8b)Z (b) (Q, t, q) = ∑ α (−Q)|α| C α,β2 ,β 1(t, q)C α t ,α 1 ,α 2(q, t)= ∑ α,τ,σ (−Q)|α|( ) 1q 2 (||β 2 ||2 +||β 1 || 2 ) 1tt(× s α t /τ(t −ρ q −β 1 )sβ2 /τ(q −ρ t −βt 1 ) ×(× P α t2(q −ρ ; t, q)tq) 12 κ β 2 P β t1(t −ρ ; q, t) ( qtq) 12 (||α 1|| 2 +||α 2 || 2 )q12 κα 1t) 12 (|τ|+|α|−|β 2 |)2 (|σ|+|α|−|α 1|)sα/σ (q −ρ t −α 2)s α1 /σ(t −ρ q −αt 2 ).(3.26)Le formalisme du vertex topologique que nous avons étudi donne le même résultat pour lesdeux géométries (avec branes) liées par la transition de flop. Cette ”symétrie”, cependant,n’est pas conservée dans le formalisme du vertex topologique raffiné. La section suivantemontre que les fonctions de partition que nous avons étudié, ont un lien très étroit avec lesinvariants des cordes topologiques.6.4 Vertex raffiné et homologie des entrelacsL’une des propriétés les plus intéressantes du vertex topologique raffiné est la relationdes invariants d’homologie d’entrelacs de Hopf [127] [176] avec les fonctions des partitionsraffinées [159]. Dans cette section, nous déterminons les fonctions de partition des théoriesdes cordes topologiques ouvertes raffinées d’une configuration de deux branes sur le conifold220

Vertex topologique raffinérésolu et leurs relations avec les invariants polynomials d’entrelacs de Hopf. Le point dedépart sera le vertex topologique raffin ayant l’expression suivante :C λµν (t, q) = ( ) ‖µ‖ 2 −|µ|q 2t k(µ)2 (t) ‖ν‖22 ˜Zν (q, t) ∑ tη( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ)(3.27)L’expression de la fonction de partition raffinée en utilisant la figure (3-8), est donnée sousla forme suivante :Z λµ (q, t, Q) = ∑ ν(−Q) |ν| C ∅µν (q, t) C λ∅ν t (q, t) . (3.28)avecC ∅µν (q, t) = ( ) ‖µ‖ 2q 2t k(µ)2 (t) ‖ν‖2 ( )2 ˜Zν (q, t)stµ t −ρ q −νtC λ∅ν t (q, t) = ( ) |λ|q 2(q) ‖ ν t ‖ 2( )2 ˜Zν t(q, t)stλ t t −ρ q −νt(3.29)En utilisant les deux expressions de l’éq(3.29) , la fonction de partition en termes desfonctions de Schur s’écrit de la manière suivante :Z λµ (q, t, Q) = h λµ (q, t) ∑ ν(−Q) |ν| (q) ‖ ν t ‖ 22(t) ‖ν‖22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)s λ t(t −ρ q −νt )sµ(t −ρ q −νt )h λµ (q, t) = ( ) ‖µ‖ 2 −|λ|q 2t k(µ)2tLa fonction de partition normalisée est donnée par la formule suivante :(3.30)Ẑ λµ (q, t, Q) = Z λµ(q,t,Q)Z ∅∅ (q,t,Q)(3.31)avecZ ∅∅ (q, t, Q) = ∑ (−Q) |ν| (q) ‖ ν t ‖ 22(t) ‖ν‖22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)ν∏= ∞ () (3.32)1 − Qq i− 1 2 t j− 1 2i,j=1Nous évoquons par la suite les invariants d’entrelacs de Hopf et nous présentons la relationavec la fonction de partition de corde ouverte en utilisant le vertex topologique raffiné.En donnant un entrelacs coloré par une collection de représentations R 1 · · · , R l de sl(N),l’invariant polynomial correspondant est donné par :¯P sl(N)R 1···R k(q) (3.33)221

5.4 Vertex raffiné et homologie des entrelacsPour chaque R a , a = 1, · · · , l qui est la représentation fondamentale de sl(N), nous avonsl’expression suivante 1¯PN (q) =sl(N) ¯P□···□(q) (3.34)Les invariants polynomials (3.34) sont liés aux valeurs moyennes des opérateurs de bouclede Wilson W (L) = W R1 ,···R l(L) dans la théorie de Chern-Simons. Par exemple, l’invariantsl(N) polynômial P N (q) est associé avec les valeurs moyennes de boucle de Wilson W (L) =W □···□ (L),¯P N (L) = q −2Nlk(L) 〈W (L)〉 (3.35)où lk(L) = ∑ a

Vertex topologique raffinéraffinée [159] :¯P ( λµ (Q 1 , Q 2 , a) = (−1) |λ|+|µ| qt[ ∑=ν) |λ|+|λ||µ|fλ (q, t)(Q −1 ( qt) )1|ν|+|µ|22Ẑ λµ (q, t, Q) (3.39)(−Q) |ν| (t) ‖ν‖22(q) ‖ ν t ‖ 22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)s λ(t −ρ q −νt) s µ(t −ρ q −νt)]( √ ) q |λ|+|µ|[Z ∅∅ (q, t, Q)] −1 Q −1 2 ( q) |λ||µ|× (−1) |λ|+|µ| .ttC’est l’un des principaux résultats dans l’étude du vertex topologique raffiné. La relationentre la théorie des noeuds paramétrisée par (Q 1 , Q 2 , a) et le vertex avec les paramètres(q, t, Q) est donnée par :√ q = Q1 (3.40)√t = −Q1 Q 2Q = −Q 2 a −2où a = Q N 1 . Dans le cas Q 2 = −1 et q = t, on obtient le vertex topologique usuel.6.4.1 UnknotOn calcule le polynôme de Poincaré (3.34) d’homologie des représentations (λ, µ) =(□, ∅), qui est exactement le super-polynôme unknot suivant :P □,∅ (Q 1 , Q 2 , a) = -a= -a(= aPν (−Q)|ν| t ‖ν‖22∞Q “1−Qq i− 1 2 t j− 1 2(i,j=1 √t √− Q √t t1−t q 1−t1Q 1 −Q −11−”q ‖ ν t ‖ 22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)s □(t −ρ q −νt ))a−2Q 1 −Q −11)= a−a−1Q 1 −Q −11avec a = Q N 1 .,,(3.41)La fonction de partition dénouée (unknot) dépend de deux paramètres Q 1 et Q 2 .223

5.4 Vertex raffiné et homologie des entrelacs6.4.2 Entrelac de HopfConsidérons maintenant l’entrelacs de Hopf coloré par la représentation suivante :(R 1 , R 2 ) = (□, □). Dans ce cas, en utilisant les équations (3.40) et (3.39), nous obtenonsP □,□ (Q 1 , Q 2 , a) = Q −1 √ qtqt∑ν (−Q)|ν| t ||ν||22 t ||νt || 22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(t, q) s □ (t −ρ q −νt ) 2∏ ∞i,j=1 (1 − Q qi− 1 2 t j− 1 2 )= a 2 q(1 − t) − Q t 12 1 + q − t + qt+ Q 2 t 2 q (1 − t) 2 q1 − t + tq(1 − t) 2= a 2 q 1 + q − t + qt −4 1 − t + qt− a−2 + a (3.42)(1 − t)2(1 − t) 2 (1 − t) 2= a −2 1 − Q2 1 + Q 4 1 Q 2 2(1 − Q 2 1) 2 − a 2 1 + Q2 1 Q 2 2 − Q 2 1 + Q 4 1 Q 2 2(1 − Q 2 1) 2 + a 4 Q 2 1 Q 2 2(1 − Q 2 1) 2Ce résultat obtenu est en accord avec le super-polynôme d’entrelacs de Hopf calculé dans[159]. Le succès du vertex topologique raffiné a permis d’ouvrir une nouvelle directiondans l’étude des invariants d’entrelacs de Hopf. La fonction de partition de la corde a étéreliée aux invariants sl(N) d’entrelac de Hopf coloré par d’autres représentations sl(N).Cependant, même si ces résultats sont encore bien loin d’avoir des interprétations dans lathéorie des noeuds. Il s’agit donc d’un nouveau terrain encore à explorer.224

H. Jehjouh6.5 Contribution : Refining the Shifted 3-VertexJ.Math.Phys.50 :013509,2009, arXiv : 0812.0513RésuméDans ce travail, notre objectif principal consistait à l’étude des propriétés raffinées et «shiftées » du vertex topologique usuel C λµν . Pour ce fait, nous avons étalé différentespropriétés de base sur le vertex topologique standard C λµν et sa version raffinée R λµν dansle cadre de la corde topologique. Nous avons aussi consacré une partie du papier à lafonction de MacMahon « shiftée » S 3 utilisée dans l’hiérarchie BKP. Nous avons développéles aspects des propriétés de la fonction de MacMahon à 3 dimensions raffinée. Ceci fait,nous avons dérivé les expressions explicites du vertex topologique « shifté » Sˆλˆµˆν(q) enprésence des conditions de bords données par les partitions 2d ainsi que de sa versionraffinée Tˆλˆµˆν(q, t).225

226H. Jehjouh

JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS 50, 013509 2009Refining the shifted topological vertexL. B. Drissi, 1,2,a H. Jehjouh, 1,2,b and E. H. Saidi 1,2,c1 Faculté des Sciences, Laboratory/UFR-Physique des Hautes Energies,Rabat, 1014 Morocco2 Groupement National de Physique des Hautes Energies (GNPHE), Siège focal:FS,Rabat, 1014 MoroccoReceived 29 April 2008; accepted 6 November 2008; published online 7 January 2009We study aspects of the refining and shifting properties of the 3d MacMahonfunction C 3 q used in topological string theory and BKP hierarchy. We derive theexplicit expressions of the shifted topological vertex S q and its refined versionT q,t. These vertices complete results in literature. © 2009 American Instituteof Physics. DOI: 10.1063/1.3040186I. INTRODUCTIONIn the past few years, there has been some interest in the study of the topological vertexformalism of toric Calabi–Yau threefold CY3. 1 This interest has followed the basic result, accordingto which the topological vertex C is a powerful tool to compute toric CY3 topologicalstring amplitudes. 1–4,23 It also came from the remarkable relation between C and the Gromov–Witten invariants of genus g-curves in toric CY3s. 5–7Recently it has been shown that the standard topological three-vertex C q may have twokinds of generalizations: one known as the refining of C q and the other as its shifting.In the first case, the refined topological vertex R q,t is a two parameter function computingthe refined topological string amplitudes of toric CY3s. 8–10 It has been found also thatR q,t computes as well the Nekrasov’s 11 instantons of the topological string free energyFX I , 1 , 2 of four dimensional SUN gauge theories. 12 In Nekrasov’s extension, the usualtopological string coupling constant g top =ln1/q gets replaced by the pair of parameters 1 and 2 . 13 In the second case, the standard MacMahon function C 3 q Refs. 3 and 14 has been extendedto the so-called shifted partition function S 3 q. This is the generating function of the shifted planepartitions and it is used in the study of BKP hierarchy. 15–18The aim of this paper is to contribute to this matter by combining both the refining and theshifting operations to get the refined-shifted topological vertex T q,t extending R q,t andS 3 q obtained recently in literature. More precisely, we want to complete the missing relationspresented in the two following tables:iFirst, we determine the refined version of the shifted MacMahon function S 3 q obtainedby Foda and Wheeler. The refined version of S 3 q, denoted below as T 3 q,t, is missing.It is a two parameter function generating shifted 3d-partitions needed to complete the table,C 3 q = known: Eq. 2.4refining→shifting ↓ ↓ shiftingS 3 q = known: Eq. 2.9refining→R 3 q,t = known: Eq. 2.8T 3 q,t = ... ?. 1.1a Electronic mail: drissilb@gmail.com.b Electronic mail: jehjouh@gmail.com.c Electronic mail: h-saidi@fsr.ac.ma.0022-2488/2009/501/013509/12/$25.0050, 013509-1© 2009 American Institute of PhysicsDownloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-2 Drissi, Jehjouh, and Saidi J. Math. Phys. 50, 013509 2009iiSecond, we extend the generalized MacMahon functions S 3 q and T 3 q,t by implementingboundary conditions captured by the strict notice that refers to a 2d-partition and ˆ toa strict 2d-partition. The hat is sometimes dropped out for simplicity of notations 2dpartitions ˆ , ˆ , and ˆ. The resulting S ˆ ˆ ˆq and T ˆ ˆ ˆq,t are also needed to complete thefollowing table:C q = known Eq. 2.1refining→shifting ↓ ↓ shiftingS ˆ ˆ ˆq = ... ?refining→R q,t = known: Eq. 2.6T ˆ ˆ ˆq,t = ... ?. 1.2The organization of this paper is as follows: In Sec. II, we give generalities on topologicalvertices. In particular, we review briefly the expression of the constructions of the standardtopological vertex C q: the refined one R q,t and the shifted MacMahon functionS 3 q. In Sec. III, we derive the explicit expression of the shifted topological vertex S ˆ ˆ ˆqof Eq. 1.2. In Sec. IV, we compute the its refined version T ˆ ˆ ˆq,t. In Sec. V we give aconclusion, and in Sec. VI we collect some useful tools as an Appendix.II. TOPOLOGICAL VERTEX: A REVIEWIn this section, we review briefly some basic tools; in particular, the explicit expressions of thethree following topological vertices:1 The standard topological vertex denoted as C q.23The refined topological vertex R q,t. This is a two parameter generalization of C q.The standard 3d-MacMahon function C 3 q, its refined version R 3 q,t as well as the shifted3d-MacMahon function S 3 q obtained in Ref. 15.These objects have interpretations in a the topological string A-model in which q=e −g s withg s being the topological string coupling constant. b The statistical mechanical models in whichthe parameter q describes the Boltzmann weight q=e −1/KT with T being absolute temperature. 14,19A. Vertex C „q…Following Ref. 3, the standard topological vertex C q, with boundary conditions in thex i ,x j orthogonal planes of Z 3 lattice given by the 2d partitions ,,, can be defined in thetransfer matrix method as follows:C q = f t q L 0 + q − q 0 Lt=0−1t=− − q −t q L 0,where is a generic 2d partition state a Young diagram, t its transpose and L 0 = with being the number of boxes of the Young diagram. The operators x are vertex operators ofthe c=1 bosonic CFT 2 , whose explicit expressions can be found in Ref. 14, and f is a realnumber given byf = q1/22 + 2 + 2 q n+nn=01−q n n.2.12.2For the particular case where there is no boundary condition, i.e., ===, the vertex C qcoincides exactly with the 3d-MacMahon function C 3 ,Downloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-3 Refining the shifted topological vertex J. Math. Phys. 50, 013509 2009C 3 q = q L 0 + 1q 0 Lt=0−1t=−The function C 3 , which reads explicitly as, see also Eq. 1.1,C 3 q = n=11 nn1−q − 1q L 0 .2.32.4has several interpretations. It is the amplitude of the A-model topological closed string on C 3 ; i.e.,C 3 =C . It is also the generating function of 3d partitions,C 3 q =3d-partitions Likewise, the vertex C q inherits the interpretations of C 3 q with a slight generalization andmore power since it allows gluing 1 to topological amplitudes of all non compact toric CY3s.It is the partition function of A-model topological string of C 3 with open strings on boundariesand, up on using the gluing method, 1 it allows to compute the partition function of toric CY3s.C q has also a combinatorial interpretation in terms of the generating function of the planepartitions with the boundary conditions ,, where , , and are 2d-partitions.The explicit expression of C can be exhibited in different, but equivalent forms. Its expressionin terms of the product of three Schur functions can be found in Refs. 3 and 8.q .2.51. ExtensionsTwo kinds of generalizations of the topological vertex C have been considered in literature.These are as follows:i The refined vertex R q,t having a connection with Nekrasov’s 11 partition function ofSUN gauge theories and with the link invariants. 13ii The shifted MacMahon function S 3 q used in BKP hierarchy. 15 The S q extension ofthe shifted vertex by implementing boundary conditions was not computed before; it is aresult of the present paper.Let us give some details on R and S 3 ; then we turn back to the computation of S q.B. Refined vertex: R „q,t…The refined topological vertex R q,t is a two parameter extension of C q. As notedbefore, it has a topological string interpretation in connection with Nekrasov’s instantons. Itsexplicit expression has been first derived by Iqbal et al. and can be expressed in different butequivalent ways. It is given, in the transfer matrix method, byR q,t =r t t L 0 + q − it 0 Lt=0where , q L 0, and x are as before, and−1t=− − q − j t q L 0,2.6r = q1/22 + 2 + 2 1−q k−1 t l .2.7q nt t n k,l=1For the particular case ===, the vertex R q coincides exactly with the refined3d-MacMahon function mentioned in Sec. I 1.1,Downloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-4 Drissi, Jehjouh, and Saidi J. Math. Phys. 50, 013509 2009R 3 q,t = 1−q k−1 t l .k,l=12.8By setting t=q back in 2.8, we get the standard C 3 q relation. The explicit expression of therefined R q,t in terms of Schur functions can be found in Ref. 8.C. Shifted S 3 „q…The shifted 3d MacMahon S 3 q is the generating functional of strict plane partitions. Theexplicit expression of S 3 q has been derived by Foda and Wheeler by using transfer matrixmethod. It reads asS 3 q = n=1 n1+qn n, 2.91−qand has an interpretation in the BKP hierarchy of the so-called neutral free fermions. It wasclaimed in Ref. 15 that S 3 q could be relevant to the topological string dual to ON Chern–Simon theory in the limit N→.III. SHIFTED TOPOLOGICAL VERTEXThe expression Eq. 2.9 of the shifted topological vertex has been derived in the absence ofany kind of boundary conditions. Here, we want to complete this result by considering the derivationof the shifted topological vertex S with generic boundary conditions with the property,S = S q, S = S 3 q. 3.1Notice that S q generates the shifted 3d partitions with boundary conditions given by the strict2d partitions ,, along the axis x 1 ,x 2 ,x 3 . For the definitions of the shifted 3d and strict 2dpartitions, see the Appendix.The main result of this section is collected in the following proposition where some terminologyhas been borrowed from: 8Proposition 1: The perpendicular shifted topological vertex S q with generic boundaryconditions, given by three strict 2d-partitions ,,, reads as follows:L q = f S 1−qn1+q nn, 3.2which can be also put in the normalized formn=1In relation 3.2, the numerical factor f isS = S L ,L q =1.3.3f =2 l+l+l q 1/22 + 2 + 2 ,f q =1,where 2 = i i 2 and l is the length of the strict partition that is the number parts of the strict2d partition = 1 ,..., l ,0,....The function S q is the perpendicular partition function of shifted 3d-partitions. It reads interms of Schur functions P t / and Q / as follows:3.4Downloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-5 Refining the shifted topological vertex J. Math. Phys. 50, 013509 2009withS = P t /q −− Q / q −t− Z h ,strict 2d = 1 , ..., i , ... ,,3.5 k = 1 2 − k,3.6as well asandn = 1 2 t 2 − ,h =2 −l−l q −nt −n q −/2−/2 ,q −− = q − 1 − 1, ...,q − i − i,...,3.7Z = 2−l P tq − q +/2+nt n=11+q n1−q nn .The function P x is the Schur function associated with the strict 2d partition ; it is defined as3.8 − x =strict 2d partition P / x,where / is the complement of in . We also have the orthogonality relation3.9Q x =2 −l P x,Q x,P x = ,3.10where = i i i.To establish this result, we consider shifted 3d-partitions 3 inside of a cube with sizeN 1 N 2 N 3 and boundary conditions given by the strict 2d-partitions ,,. More precisely, thestrict 2d-partition belongs to the plane x 2 ,x 3 of the ambient real three-dimensional space, belongs to the plane x 3 ,x 1 and to the plane x 1 ,x 2 ,Then proceed by steps as follows:Step 1: Compute the perpendicular partition function S q by using the transfer matrixapproach. 3 This method has been used for calculating the topological vertex C of the A-modeltopological string on C 3 which lead to Eqs. 2.1–2.4. S reads in terms of products x asfollows:S = q−n−nt q N 2 +N 1 t N 1 N 2q L 0 + q − jq 0L − q − i t q L 0.j=1i=13.11By using the relation q −kL 0 zq kL 0= zq k and q L 0=2 l q , the function S can bebrought towithS = t j=1N 1 + q − j − jN 2 − q − i t − i ,i=13.12Downloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-6 Drissi, Jehjouh, and Saidi J. Math. Phys. 50, 013509 2009The vertex operators z are given by = q−/2+n−/2+nt 2 l+l . 3.13 + z = exp mNodd2m zm m, − z = exp mNodd2m zm −m,3.14with m being operators satisfying the following commutation relations: m , n =− m 2 n+m,0, m, n Z odd . 3.15Notice that in the particular limit N 1 , N 2 , and N 3 →, the vertex S gets identified withS 3 q =shifted 3d 2 p q , 3.16whose explicit expression is precisely 2.9.Step 2: Commuting the vertex operators + z i to the right of − z j by using the commutationrelations + x − y = 1+xy1−xy − y + x, x y = y x,3.17we getS = strict 2d t N 1 N 2 − q − t j− j + q − i − i,j=1i=13.18with =Z q−/2+n−/2+nt 2 l+l . 3.19This relation can be simplified further by using the Schur functions P t /x j = t − x j andQ t /x i = t + x j following from the identities t N 2 j=1 − x j = P / x 1 ,...,x N , t N 1 j=1 = x j =Q / x 1 ,...,x N , as well asDownloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-7 Refining the shifted topological vertex J. Math. Phys. 50, 013509 2009 x j =strict 2d L / x j ,N 1 x j = L / x 1 ,x 2 ,...,j=1strict 2d with x=x 1 ,x 2 ,... and where we have set L −/ = P / and L + / =Q / .Then, the partition function S becomesS q = Z q−/2+n−/2+nt 2 l+l P t /q −t− Q / q −− .strict 2d 3.203.21To determine the factor Z, we first use the identity S =Z, then the cyclic propertyS =S =S which implies in turns that S =S ; from which we learn the followingresult:Z = q−/2−nt 1+qn2 l 1−q nnP tq − . 3.22n=1Step 3: The shifted MacMahon function S 3 q can be recovered from the above analysis byusing the identity S 3 q=S =Z.This ends the proof of Eq. 3.2. Notice that L q can be also put in the formL q = q k/2 P tq − strict 2d P t /q −− Q / q −t − ,where k=2 2 − t 2 is the Casimir associated to strict 2d partition.3.23IV. REFINING THE SHIFTED VERTEXIn this section, we derive the explicit expression of the refining version T q,t of theshifted topological vertex S q. This is a two parameters q and t with boundary conditionsgiven by the strict 2d partitions , and .Notice that like for R of Eq. 2.6, the function the refined-shifted topological vertex T is noncyclic with respect to the permutations of the strict 2d partitions ,,; T T T . It obeys, however, the propertiesT q,q = S q, T q,t = T 3 q,t. 4.1Proposition 2: The explicit expression of the refined-shifted topological vertex T reads asfollows:K t,q =f T 1+qj−1 t i1−q j−1 t i,4.2where the factor f =f q is the same as in Eq. 3.4.T =T q,t is the refining version of S q of Eq. 3.5; it is the perpendicular partitionfunction generating the strict plane partitions. Its explicit expression reads in terms of the skewSchur functions P t / and Q / as follows:i,j=1T =h˜q,t Z t,qstrict 2d partitions q,tP t /q − t − Q / t −t q − ,4.3where h˜ is the refinement of h 3.7 and it is given byDownloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-8 Drissi, Jehjouh, and Saidi J. Math. Phys. 50, 013509 2009We also haveh˜ q,t =2 −l−l q −nt −/2 t −n−/2 .Z t,q = q t 2 /22 −l P tt − i,j=1 1+qj−1 t i1−q j−1 t i.as well as q,t=q/t /2 . Notice that for q=t=1, q,t=1.To establish this result, we use the following steps.Step 1: Compute the refined expression T 3 q,t of the shifted 3d MacMahon’s function S 3 qin terms of the two parameters q and t. To that purpose, we start from the defining relation ofT 3 q,t by using strict 2d-partitions,T 3 q,t =strict 2d partition 4.44.52 p q a=1 −at a=1a−1, 4.6where we have used the diagonal slicing of shifted 3d-partitions in terms of the strict 2d-onesa as shown below = a,aZa = i,i+a .iNotice that the slices with a0 are weighted by the factor q a while the slices with a0 areweighted by t a .Then, we use the transfer matrix method which allows to express T 3 q,t as the amplitudeT q,t; that is,T q,t = 0 t L 0 + 1t 0 La=0−a=−1 − 1q L 00.By using q −kL 0 zq kL 0= zq k , we can also put T in the formT q,t = 0 + t i − q j−1 0.i0j0Next commuting the − ’s to the left of the + ’s by help of relations 3.17, we obtain 1+qj−1 t i1−q j−1 t i, T 3 q,t = T q,t = j=1i=14.74.84.94.10which reduces to S 3 q Eq. 3.16 by setting t=q.Step 2: To get the expression of the perpendicular partition function T for arbitrary boundaryconditions, we mimic the approach in Ref. 1 and factorize T as follows:T q,t = g t,q T diag ,where T diag stands for the diagonal partition function and g t,q given by4.11g t,q = q −nt t −n4.12describing the change from diagonal slicing to perpendicular one. To compute T diag , we use thetransfer matrix method. We first haveT diag = t t L 0 + q i 0− tL − t − t jq 0 L .i0j0By using q −kL 0 zq kL 0= zq k , we can bring it to the form4.13Downloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-9 Refining the shifted topological vertex J. Math. Phys. 50, 013509 2009T diag = t + t i q i− − q j−1 t − j ti0j0Then using q L 0=2 l q and Eq. 3.17, we end with.4.14withdiag = Z T t − q − t − + t −t q − ,j0i04.15 q,t =2 −l−l q −/2 t −/2 , q,t = q t /2 .4.16Using Eq. 3.20 and the skew Schur functions P t / and Q / , the partition function 4.11 readsaswhereT =h˜ Z stricttq /2P t /q − t − Q / t −t q − ,h˜ q,t = q,t g t,q,=2 −l−l q −nt −/2 t −n−/2 .4.174.18To determine the factor Z, we need two data: first we use the identity T =Z q,t andsecond, we require that Z = =T 3 q,t, asinEq.4.1. We findZ q,t = q t 2 /22 −l P tt − 1+qj−1 t i1−q j−1 t i.4.19j,i=1This ends the proof of Eq. 4.2.Notice that K q,t can be also put in the closed formK = q t 2 + 2 /2t k/2 P tt − tq +−/2P t /x , Q / y , ,4.20with x , =q − t − , y , =t −t q − and the property T =T K as well as the normalizationK =1.V. CONCLUSIONIn this paper we have studied the refining and the shifting properties of the standard topologicalvertex C . After having reviewed some basic properties on the following:1 The standard vertex C q and its refined version R used in the framework of topologicalstrings.2 The shifted MacMahon function S 3 q used in BKP hierarchy,we have completed the missing relations in Eqs. 1.1 and 1.2. In particular, we havederived the explicit expressions of the following:aThe shifted topological vertex S ˆ ˆ ˆq with boundary conditions given by generic strict 2dpartitions. The shifted MacMahon function S 3 q, given by Eq. 2.9 and first obtained inRef. 15, follows by putting ˆ =ˆ =ˆ =.Downloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-10 Drissi, Jehjouh, and Saidi J. Math. Phys. 50, 013509 2009FIG. 1. Shifted Young diagram of =4,2,1.bThe topological vertex T ˆ ˆ ˆq,t describing the refined version shifted topological vertexS ˆ ˆ ˆq. Putting ˆ =ˆ =ˆ =, wegetT 3 q,t = j=1 □i=1 i1+qj−1 t i1−q j−1 t5.1describing the refined version of Foda–Wheeler relation recovered by setting t=q.In the end, notice that it would be interesting to seek whether T ˆ ˆ ˆq,t could be associatedwith some gauge theory instantons as does R q,t with the Nekrasov’s ones.ACKNOWLEDGMENTSThis research work was supported by Protars III D12/25.APPENDIX: STRICT PARTITION AND SCHUR FUNCTIONIn this Appendix, we give some useful tools on the strict 2d-partitiions, the shifted planepartitions and on Schur functions.1. Strict 2d- and shifted 3d-partitionA2d-partition, or a Young diagram, denoted as = 1 , 2 ,..., r ,... is a sequence of decreasingnon-negative integers 1 2¯ r ¯.A strict 2d-partition is a sequence of strictly decreasing integers 1 2 ¯. The sum of theparts i of the 2d-partition is the weight of denoted by = 1 + 2 + ¯ + r + ¯ .A2d strict partition is said a partition of n if =n and is represented by its shifted Youngdiagram obtained from the usual diagram by shifting to the right the ith row by i−1 squares asshown on Fig. 1.The shifted Young diagram is given by a collection of boxes with coordinatesA1i, ji =1, ...,l, i j i + i −1. A2A shifted plane partition of shape is determined by the sequence ...,. −1 , 0 , 1 ,..., where 0 the 2d-partition on the main diagonal and k is the 2d-partition on the diagonal shifted by aninteger k. All diagonal partitions are strict 2d-partitions forming altogether a shifted plane partitionwith the propertyDownloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-11 Refining the shifted topological vertex J. Math. Phys. 50, 013509 2009FIG. 2. A strict plane partition.For illustration, see the example Fig. 2... −1 0 1 ... A3 −2 = 3, −1 = 4,3, 0 = 5,3, 1 = 3,2, 2 = 2, 3 = 1.2. Property of Schur function for strict partitionThe shifted topological vertex is defined by using skew Schur P and Q functions. 20–22 Theseare symmetric functions that appear in topological amplitudes and are defined by a sequence ofpolynomials P x 1 ,x 2 ,...,x n , nN, with the property= P / x 1 , ...,x n Tx T , 0, otherwise, A4where the sum is over all shifted Young tableaux of shape /. The skew Schur function Q / isrelated to P / as in Eqs. 3.9 and 3.10. We also havestrict Q xP y = i,j1+x iy j1−x i y j.The relation between the Schur function P for strict partition that we have used here above andthe usual Schur functions S ˜ for the double partition ˜ is given byA5S ˜t =2 −l P 2t 2,A6where t/2 is t 1 /2,t 3 /2,t 5 /2,... and P t/2= P t 1 /2,t 3 /2,t 5 /2,.... Notice that the doublepartition ˜ in Frobenuis notation reads in terms of the strict partition =n 1 ,n 2 ,...,n k as˜ = n1 ,n 2 , ...,n k n 1 −1,n 2 −1, ...,n k−1 −1.A71 M. Aganagic, A. Klemm, M. Marino, and C. Vafa, Commun. Math. Phys. 254, 425 20052 A. Iqbal and A.-K. Kashani-Poor, Adv. Theor. Math. Phys. 7, 457 2004.3 A. Okounkov, N. Reshetikhin, and C. Vafa, Prog. Math., 244, 597 2006.4 L. B. Drissi, H. Jehjouh, and E. H. Saidi, Nucl. Phys. B to be published.5 T. Graber and E. Zaslow, e-print arXiv:hep-th/0109075.6 M. Aganagic, A. Klemm, and C. Vafa, Z. Naturforsch., A: Phys. Sci. 57, 12002.7 D. Karp, C. Liu, and M. Marino, Geom. Topol. 10, 1152006.8 A. Iqbal, C. Kozcaz, and C. Vafa, e-print arXiv:hep-th/0701156.Downloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

013509-12 Drissi, Jehjouh, and Saidi J. Math. Phys. 50, 013509 20099 M. Taki, e-print arXiv:hep-th/0710.1776.10 P. Ginsparg, e-print arXiv:hep-th/9108028.11 N. A. Nekrasov, Adv. Theor. Math. Phys. 7, 8312004.12 N. Nekrasov and A. Okounkov, e-print arXiv:hep-th/0306238.13 S. Gukov, A. Iqbal, and C. Kozçaz, e-print arXiv:hep-th/07051508.14 L. B. Drissi, H. Jehjouh, and E. H. Saidi, Nucl. Phys. B 801, 316 2008.15 O. Foda and M. Wheeler, e-print arXiv:math-ph/0612018.16 E. Ramos and S. Stanciu, Nucl. Phys. B 427, 3381994.17 E. H. Saidi and M. B. Sedra, J. Math. Phys. 35, 3190 1994.18 E. H. Saidi, M. B. Sedra, and J. Zerouaoui, Class. Quantum Grav. 12, 1567 1995.19 H. N. Temperley, Proc. R. Soc. London, Ser. A 199, 361 1949.20 A. Y. Orlov, e-print arXiv:math-ph/0302011.21 M. Vuleti, e-print arXiv:math.Co/0707.0532.22 M. Vuleti, e-print arXiv:math-ph/0702068.23 J. J. Heckman and C. Vafa, e-print arXiv:hep-th/0610005.Downloaded 24 Mar 2009 to 140.105.16.64. Redistribution subject to AIP license or copyright; see http://jmp.aip.org/jmp/copyright.jsp

Chapitre 7Conclusion et PerspectivesLe travail présenté dans ce mémoire de thèse est essentiellement articulé autour ducalcul des fonctions des partitions Z top et des amplitudes A top des modèles des cordestopologiques sur une classe de variétés de CY3 à savoir les variétés CY toriques X 3 . Généralementparlant, ces amplitudes topologiques apparaissent sous forme de prépotentiels Fen théorie des supercordes type II compactifiées sur les variétés X 3 ; et d’ou l’importancedu calcul des quantités. Rappelons aussi que les amplitudes A top des cordes topologiques,en particulier la fonction de partition Z top , ont été approchées de deux façons :(1) en utilisant le formalisme du 3- vertex topologique qui est considéré comme un outilefficient pour étudier les invariants topologiques. Cette méthode, inspirée des diagrammesde Feynman de la théorie quantique des champs, permet de calculer de manière simple etrigoureuse les fonctions de partitions Z top et les amplitudes A top des cordes topologiques.(2) en exploitant la relation de dualité entre la théorie de cordes topologiques type A surC 3 et le modèle statistique de fusion des cristaux à 3D basé sur la matrice de transfert.Cette représentation cristalline puise sa force dans les théories de champs conformes c = 1avec ses réalisations bosonique et fermionique ainsi que son interpretation en terme desdiagrammes et tableaux de Young à 2D et leurs généralisations à des espaces à 3D.La dualité cristal/3-vertex nous a permis de réaliser entre autres les amplitudes de lathéorie de cordes topologiques de modèle A vivant dans une classe de variétés CY toriquesqui sont interprétés en terme de cristaux dont O (−3) → CP 2 et le conifold résoluO (−1) ⊕ O (−1) → CP 1 constituent deux exemples explicites parmi plusieurs d’autres.Par ailleurs et dans l’objectif de mieux expliciter ces techniques, nous avons jugé utiled’organiser ce mémoire de thèse en cinq chapitres en plus d’une introduction générale,cette conclusion et une annexe sur des outils mathématiques et qui est reportée à la fin238

Conclusion et perspectivesde ce document. Dans ce qui suit, nous survolons rapidement quelques idées de base quiont été exposées au long de ce manuscrit tout en dressant un bilan général de nos travauxoriginaux et mettant en exergue quelques perspectives.Dans le but de faciliter la lecture de ce mémoire de thèse, nous avons initié ce manuscritpar une étude synthèse de quelques aspects fondamentaux des variétés de CY3 en mettantl’accent sur les variétés de CY3 toriques qui nous ont intéressé en premier lieu. Après avoirdécrit certains aspects des supercordes sur des CY à trois dimensions, nous avons montréentre autres comment ces diagrammes toriques permettent le calcul des amplitudes de lathéorie des cordes topologiques.Avec ces outils en main, nous nous sommes penchés sur l’étude de la théorie des cordestopologiques avec ses deux versions type A et type B et sur la dualité entre cordes ouverteset cordes fermées. Par la suite, nous avons étudié les invariants de la théorie des cordestopologiques. Dans le contexte du modèle B, nous avons présenté nos contributions danscette matière à savoir : ”De la théorie des cordes twistorielles à la Supergravité ConformeN =4, D=4 ” et ”Pure fermionic twistor like model & target space supersymmetry”. Dansle premier travail, nous avons étudié la théorie des cordes twistorielles. Nous sommes intéressésau modèle B dans la super-variété de Calabi-Yau CP 3|4 et sa relation avec la théoriede supergravité conforme N =4, D=4. Dans la deuxième contribution, nous avons dévelopéun modèle twistoriel purement fermionique. Nous avons également construit l’action deschamps twistoriels décrivant les champs fermioniques. Finalement, nous avons discuté lelien entre le modèle twistoriel purement fermionique et l’espace cible R (d,4−d) à 4 dimensions.Ensuite, nous nous sommes intéressés à l’étude du modèle statistique du cristal fondu. Lesconfigurations pour ce modèle sont des collections de cubes qui ont une interprétation enterme du 3- vertex topologique C ∅∅∅ représentant le diagramme torique de la variété deCalabi-Yau C 3 . Ce vertex a une remarquable interprétation en terme de diagramme deYoung à trois dimensions. En utilisant la matrice de transfert T de la physique statistique,nous avons calculé les fonctions de partition du modèle cristallin avec des conditions debords. Nous avons montré entre autres que ces amplitudes sont compatibles avec la fonctiongénératrice des invariants topologiques à l’instar des invariants de noeud de la théorie deChern-Simons sur la 3-sphère. Ces études ont été couronnées par la contribution ”GeneralizedMacMahon G(q) as q-deformed CFT Correlation Function” utilisant des techniquesde la matrice de transfert et des méthodes de la théorie conforme c = 1.Puis, nous avons porté une attention particulière au vertex topologique. Nous avons d’abord239

construit les amplitudes A top de la théorie des cordes topologiques type A en utilisant leformalisme de 3-vertex topologique. Après avoir rappelé certaines propriétés sur les 3- vertex,notamment en ce qui concerne le framing, leurs symétries et leurs règles de collage,nous avons étudié des exemples de calcul des amplitudes des cordes topologiques sur desvariétés de Calabi-Yau toriques. Parmi nos contributions dans cette matière, nous citonsles travaux ”Non Planar Topological 3-Vertex Formalism”, et ”Topological String on ToricCY3s in Large Complex Structure Limit”, où nous avons développé le formalisme de vertextopologique non planaire. Nous avons remarqué que le vertex topologique non planaireC (np) va au delà du 3- vertex usuel C µνλ de ”Aganagic, Klemm, Marino, et Vafa” faisantintervenir des diagrammes de Young à 2D. La différence entre les deux vertex réside essentiellementdans les deux faits suivants : (a) C (np) est associé avec les modèles sigma linéaireN = 2 à 2D avec superpotentiel W ≠ 0 et (b) semble décrire une des configurationsparticulières d’une représentation plus générale faisant intervenir des vertex topologiquestetra-valent C ΣΥΓϜ où Σ, Υ, Γ, et Ϝ sont des diagrammes de Young généralisés.Motivés par la fonction de partition de Nekrasov de la théorie de jauge N = 2 SU(N), nousnous sommes également intéréssés au 3-vertex topologique raffiné Cµνλ R . Dans ce contexte,nous avons calculé la fonction de partition de la théorie des cordes topologiques ouvertesen utilisant le formalisme de vertex topologique raffiné. Nous avons donné des exemplesillustratifs et discuté le formalisme de vertex topologique utilisant de la ”flop transition”.Nous avons aussi étudié la relation entre le vertex raffiné et les invariants topologiques dela théorie de Chern-Simons sur la sphère S 3 . Cette étude a été couronnée par la contribution”Refining the Shifted Topological Vertex” où nous avons dérivé l’expression explicitedu vertex topologique shifté et sa version raffinée.A la fin de cette présentation, de nombreuses questions sans réponses émergent et dontles études pourraient faire l’objet de développements ultérieurs. Grâce au formalisme duvertex topologique non planaire que nous avons développé dans [69, 70], il serait aussiutile de calculer la fonction de partition pour d’autre classes des variétés de Calabi-Yautoriques et dériver les invariants des noeuds. La notion de vertex topologique tetravalentque nous avons introduit et qui généralise le 3- vertex topologique mérite aussi davantaged’exploration. D’autres aspects que nous avons rencontré le long de ce mémoire de thèsenécessitent également des études approfondies ; c’est le cas par exemple de la fonctionde MacMahon M d (q) à d dimensions. Il serait intéressant de dériver le raffinement de lafonction de MacMahon M d (q) en termes des arguments t et q ; c.à.d trouver l’expressionde l’extension M d (q, t), et d’élaborer leurs interpretations à la fois en théorie de cordes240

Fonctions de Schur et MacMahontopologiques et en théorie des champs conformes utilisant la matrice de transfert. Tousces problèmes nécessitent des études approfondies, nous espérons les examiner dans desoccasions futures.241

242

Chapitre 8Annexe : Fonctions de Schur etMacMahonLes diagrammes et les tableaux de Young à deux dimensions constituent un des ingrédientsprincipaux dans ce mémoire de thèse. Ils jouent un rôle crucial dans la dérivationde plusieurs résultats de la théorie des cordes topologiques et les théories conformes sousjacentes. Ce sont des objets combinatoires qui ont été introduits par Young au début du20 ème siècle pour l’étude des représentations irréductibles des groupes de symétries. Lesdiagrammes et les tableaux de Young à 2D sont représentés sous forme d’empilement deboites de longueur décroissante et ont été généralisés récemment pour des dimensions supérieures; en particulier à trois dimensions.Dans cette annexe, nous introduisons dans un premier temps les diagrammes et tableauxde Young à 2D. Puis nous examinons les fonctions symétriques et les propriétés des polynômesde Schur s(X). Grâce à leur interprétation combinatoire en terme de tableaux deYoung, ces fonctions de Schur permettent de déterminer entre autres les fonctions génératricesde nombreuses familles de partitions planaires, en particulier fonction de MacMahonM 3d (q) qui sera considérée dans la dernière section de cette annexe.8.1 Diagrammes et tableaux de YoungCette section présente les notions de base pour les partitions d’entiers ainsi que plusieursdéfinitions s’y rattachant [182, 183, 184]. En donnant les propriétés de l’ensemble destableaux de Young, un entier naturel n peut être décomposé de différentes façons en somme243

Diagrammes et tableaux de Youngd’entiers naturels non nuls.8.1.1 Définitions et propriétésPrenons un nombre entier positif n fixé. Une partition de n est une suite d’entiers nonnégatifs décroissante, tels que λ r ≥ λ r+1 pour tout r ≥ 1. Elle admet la notation classiqueλ = (λ 1 , λ 2 , ..., λ r )et représenté par un ensemble de points de coordonnées (i, j) avec 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ λ i .On associe à chaque partition de poids n une représentation graphique donnée par undiagramme de Young, ou diagramme de Ferrer. La taille d’une partition est la somme desentiers qu’on la note :|λ| = ∑ iλ iLes entiers λ i , pour i ∈ {1, ..., r} sont les parts de λ. On dira que λ est paire lorsque toutesses parts le sont. La longueur d’une partition est sous la forme l (λ) = r = max{i ∈ N|λ i > 0}. Il est souvent pratique de décrire une partition par ses ordres de multiplicité, onnotem i = m i (λ) = Card {j : λ i = i} .Ainsi la partition s’écrit aussi sous forme exponentielle comme⎛⎞λ =⎝1, · · · 1, 2, · · · 2, · · · n, · · · n⎠} {{ } } {{ } } {{ }m 1 fois m 2 fois m n foisλ = (1 m 1, 2 m 2..., r mr )Dans ce cas, le poids de la partition associée est représenté par|λ| = ∑ k≥1km kLa partition conjuguée de λ, notée λ ′ est celle dont le diagramme de Young est symétriqueau diagramme de λ par rapport à la diagonale principale ; avec :λ ′ i = Card {j : λ j ≥ i}On ne fait pas la distinction entre une partition et son diagramme.Exemple1 : La suite d’entiers (5, 4, 2, 2, 1, 1, 1) est une partition de 17 dont l’écriture exponentielleest (1 3 2 2 3 0 4 1 5 1 ). Son diagramme de Young est representé dans la figure (3-1)244

Fonctions de Schur et MacMahonFig. 3-1 – Diagramme de Young à 2 dimensionsIl est constitué d’un ensemble de cases justifiées à gauche et en bas et le nombre de cases dechaque ligne correspond aux éléments de la partition associée. Etant donné un diagrammede Young λ et une case s = (i, j) de celui-ci, on définit alors les quantités suivantes :n(λ) = ∑ i≥1(i − 1) λ iAutrement dit, c’est la somme obtenue :n(λ) = ∑ i≥1(λ′i2si on introduit des 0 dans la première ligne du diagramme de Young associé à λ et des 1dans la seconde ligne, et ainsi de suite. De même pour le partage conjugué, on a :)n(λ ′ ) = ∑ s∈λ ′ l ′ (s) = ∑ s∈λ,a ′ (s)Par la suite, on donne quelques définitions, associées au diagramme de Young.On définit le nombre de cases de λ droite d’une case s qui est appelé le bras de s, notéa(s) tandis que le nombre de cases à sa gauche est appelé co-bras de s et il est noté a′(s).Le nombre de cases de λ au dessus d’une case s est appelé la jambe de s et il est notél(s) pour le cas du nombre de cases au dessous de s est appelé co-jambe de s et il est notél′(s). La longueur de bras a(s), la co-longueur de bras a′(s), la longueur de jambe l(s) etla co-longueur de jambe l′(s) sont données par les formules suivantes :a(s) = λ i − j, l(s) = λ j − ia′(s) = j − 1, l′(s) = i − 1Elles sont représentées dans la figure (3-2)245

Diagrammes et tableaux de YoungFig. 3-2 – Une case dans le diagramme de YoungFig. 3-3 – a) la longueur de bras b) la co-longueur de bras c) la longueur de jambe d) la colongueurde jambeCes valeurs a(s) = 1, a ′ (s) = 1, l(s) = 1, l ′ (s) = 2 peuvent être visualisées de la façonsuivante :Le contenu de s, noté c(s), correspond à la diagonale de la case s et il est donné parc(s) = j − i. La longueur d’équerre de s est notée commeh(i, j) = λ i + λ t j − j − i + 1où l’équerre d’un élément d’un diagramme de Young est l’ensemble des cases à droiteFig. 3-4 – la longueur d’équerresur la ligne (bras), au-dessus dans la colonne (jambe). Etant donné une partition µ, la246

Fonctions de Schur et MacMahondimension quantique correspondante est donnée par :dim q R =∏(i,j)∈Rq κ(R)/4[h(i, j)]Une partition gauche est un couple de deux partitions λ, µ telle que le diagramme de µ soitcontenu dans celui de λ. On la note λ/µ, et la taille d’une partition gauche est donnée par :|λ/µ| = |λ| − |µ|. Par exemple, une partition gauche (8, 7, 6, 4, 1) / (4, 2, 1) est représentéepar la figure(3-5).Fig. 3-5 – a) Diagramme de Young de la partition (8, 7, 6, 4, 1) . b) Diagramme gauche(8, 7, 6, 4, 1) / (4, 2, 1) .La frontière d’une partition λ est une suite de cases noires et blanches : la case noirecorrespond à un pas horizontal, tandis que la case blanche correspond à un pas vertical.Par exemple, la frontière de (6, 4, 4, 3, 1) est montrée dans la figure(3-6)==Fig. 3-6 –247

Diagrammes et tableaux de YoungTableaux de YoungUn tableau de Young T est un diagramme de Young dont les cases sont remplies par desentiers compris entre 1 et m. Une forme standard d’un tableau répond aux règles suivantes :dans une même ligne les nombres sont croissants et ils sont strictement croissants dans unecolonne. La partition est appelée la forme du tableau. Il existe deux types de tableaux :• Un tableau standard T est un tableau contenant les entiers (1, 2, · · · , n) de sorte que lesnombres soient placés de façon strictement croissante de gauche à droite dans les lignes,et de bas en haut dans les colonnes où le nombre de tableaux standard de la forme λ estaussi la dimension d’une représentation irréductible et il est donné par :n!∏h(i, j)i,j(3.1)Exemple de tableau standard de forme λ = (5, 4, 3, 2)13 1410 11 126 7 8 91 2 3 4 5• Un tableau semi-standard est un tableau dans lequel les nombres sont placés de façoncroissante de gauche à droite dans les lignes et strictement croissante de bas en haut dansles colonnes. Les nombres de tableaux semi-standard d’une partition λ = (2, 1) s’écriventsous la forme :d (2,1) = ∏(i,j)∈λm + j − ih(i, j)= 3 + 1 − 1h(1, 1) = 3 × 3 + 2 − 1h(1, 2) = 1 × 3 + 1 − 2h(2, 1) = 1 = 8Exemple de tableau semi-standard de forme λ = (5, 4, 3, 2)7 84 5 62 2 3 51 1 2 3 4Il existe aussi un tableau semi standard de forme λ/µ qui est une application T de λ/µdans l’ensemble des entiers strictement positifs tels que les indices vont en décroissant248

Fonctions de Schur et MacMahonstrictement de bas en haut dans les colonnes et en décroissant au sens large de gauche àdroite dans les lignes. C’est l’exemple du tableau semi standard de forme (5, 4, 3, 2) /(2, 1)7 84 5 62 3 52 3 48.1.2 Diagrammes de Young et groupes de symétriea) Relations entre une partition d’ordre n et les classes des éléments degroupe de permutationLes états physiques d’un système selon la nature fermionique ou bosonique à N particulessont des états de base des représentations irréductibles complètement symétriquesou complètement antisymétriques de groupe des permutations S n . Les représentations irréductiblesde S n sont liées aux différentes écritures possibles de l’ordre n comme sommesd’entiers décroissants et non-nuls, appelées ”partitions” et peuvent être caractérisées parun diagramme de Young [191, 192, 193, 194]. Par exemple le nombre n = 3 admet 3 partitions: {3} {2, 1} et {1, 1, 1} et il y a ainsi exactement 3 représentations irréductibles dugroupe symétrique d’ordre 3.Fig. 3-7 – Diagramme de Young shiftéLes representations irréductibles de S prouvent une utilité pour analyser les représentationsirréductibles des groupes classiques GL(n) et SU(n).b) Relations entre les diagrammes de Young et les poids de SU(n)Chaque diagramme de Young avec n lignes représente une représentation irréductiblede groupe SU(n). Dans ce cas, il suffit de limiter le nombre des lignes du diagramme deYoung à k ≤ n − 1 pour obtenir toutes les représentations irréductibles. Le i me poidsfondamental est représenté par un diagramme de Young fait d’une colonne de hauteur i.249

Diagrammes et tableaux de YoungLa correspondance entre le plus haut poids avec ses indices de Dynkin f i et le tableau Yavec ses lignes de longueur λ i est donnée par :∑n−1f i = (λ 1 , · · · , λ n−1 ) ↔ Y = (λ = λ j ).Autrement dit, λ k est le nombre de colonnes de Y de hauteur k.Par exemple : pour le groupe SU(3), il y a 5 types de representations qui sont donnéescomme suit :j=28.1.3 Notation de FrobeniusOn retrouve aussi une autre notation d’une partition, appelée notation de Frobenius[181]. On suppose premièrement une partition λ qui est un diagramme de Young de poidsn. On note d la longueur de la « diagonale » du diagramme, ensuite on suppose que ladiagonale principale du diagramme de Young λ est constituée de r noeuds, avec α i est lenombre des noeuds dans le iéme ligne de λ à droite de (i, i) (1 ≤ i ≤ r) par contre β i est lenombre des noeuds dans le iéme colonne de λ au dessous de (i, i) pour (1 ≤ i ≤ r) . Si λ estun diagramme de Young, alors on peut, de même, lui associer une configuration de pointsdans R ∗ via les coordonnées modifiées de Frobenius :α i = λ i − i,β i = λ ′ i − iIl existe un entier unique r, à savoir la longueur de la diagonale, tel que :on note alors la partition λ comme suit :α 1 > · · · α r ≥ 0 et β 1 > · · · β r ≥ 0(α 1 , · · · , α r | β 1 , · · · , β r )oùα 1 > α 2 > · · · > α r ≥ 0 et β 1 > β 2 > · · · > β r ≥ 0Notons que la longueur de λ est le nombre d’éléments non nuls de la suite, noté par l(λ)en termes de coordonnées de Frobenius et il est donné par deux formules :l(λ) = α 1 et |λ| = ∑ α i + ∑ β i + r250

Fonctions de Schur et MacMahonFig. 3-8 – Coordonnée de Frobenius modifiée d’un diagramme de YoungFinalement, il est facile de voir que la conjuguée de (α | β) est (β | α) .8.1.4 Diagramme de MayaLe diagramme de Maya est une suite de cases noires et blanches, étiquetées par desnombres entiers et arrangées sur une ligne horizontale. Les carrés sont tous noirs (blancs)et ils s’interprètent comme une bijection m : Z → Z, où m(j) j> 0Correspondance entre les Diagrammes de Maya et YoungSoit M e l’ensemble des diagrammes de Maya de charge e et Y l’ensemble des diagrammesde Young telle qu’il existe une bijection entre les deux diagrammesY → M eAlors, à chaque diagramme de Young, on peut associer un diagramme de Maya M = (M × ,M 0 ) où les cases blanches M × (noires M 0 ) sont les positions j ∈ Z des pas horizontales( pas verticals). Autrement dit, si on considère un diagramme de Young d’une partitionλ = (λ 1 , · · · , λ s ) où λ r ≥ · · · ≥ λ s > 0, alorsM 0 = ∪ s j=0 {k ∈ Z | λ j+1 − (j − 1) < k < λ j − j} (λ 0 = ∞, λ s+1 = 0).Inversement, si on a M 0 = {m(j) j≥1 } avec m 1 < m 2 < · · · , alors le diagramme de Youngassocié estλ = (1 r 1, 2 r 2, 3 r 3...) r j = m j+1 − m j − 1.251

Diagrammes et tableaux de YoungFig. 3-9 – a) diagramme de Young b) diagramme de Maya8.1.5 Partitions planesUne partition plane π est un réseau fini de points de R 3 , considéré comme une matriceπ = (π ij ) dont les entrées non nulles sont des nombres non négatifs (i, j) et vérifie π ij ≤ πi+1j et π ij ≤ π ij+1 pour i, j ≥ 1⎛⎞π 11 π 12 π 13 · · ·π 21 π 22 π 23 · · ·⎜ π⎝ 31 π 32 π 33 · · · ⎟⎠.. . . ..La représentation graphique des partitions planes est donnée par un empilement de cubesπ(x) sur chaque case dans le diagramme de Young x ∈ π. Elle s’interprète aussi comme undiagramme à trois dimensions composé des points (i, j, k) ∈ π tel que :(i, j) ∈ λ 1 ≤ k ≤ π (i, j)L’exemple suivant représente une partition plane de forme R = (7, 5, 3, 1)11 11 12 2 13 3 1 1 16 3 3 2 1 1 1252

Fonctions de Schur et MacMahonFig. 3-10 – Partition plane 3DLa mise des cubes sur les cases (i, j) dans le diagramme de gauche λ/µ, donne unepartition gauche à 3 dimensions. Les composantes de π sont des parts π (x) et le nombrede cubes est donné par :|π| = ∑ π (x)x∈λIl est appelé le poids d’une partition plane π. En effet, dans le plan, on peut représenterune partition plane par un diagramme de Young où chaque case est munie d’un entierreprésentant le nombre de cubes correspondants dans l’axe vertical, c’est-à-dire qu’on aun tableau constitué d’un diagramme de Young rempli d’entiers de manière décroissante(mais pas nécessairement strictement) sur les lignes et les colonnes. Toute partition planese décompose en tranches diagonales, notées π (m) où m ∈ Z, qui satisfont aux conditionssuivantes :· · · π(−2) < π(−1) < π(0) > π(1) > π(2) > · · · ,et plus précisément la relation d’entrelace entre deux partitions λ et µ à 2dimensions esttelle queµ > λ ⇔ µ 1 ≥ λ 1 ≥ µ 2 ≥ λ 2 ≥ µ 3 ≥ · · ·Chaque tranche diagonale d’une partition plane π est une partition linéaire π (m) à (2dimensions). Par exemple la diagonale principale de π est une partition π (0) = (π 11 , π 22 · · · ).8.1.6 Partitions strictes et diagramme de Young shiftéUne partition stricte λ est une suite d’entiers strictement positifs non nuls dont lescomposantes de λ sont des parts strictement distincts [190]. Plus précisément, une partition253

Diagrammes et tableaux de Youngstricte λ de degré ou de poids n se définit comme suit :λ = (λ 1 , λ 2 , · · · , λ r ) λ 1 > λ 2 > · · · > λ r ≥ 0La somme des parts λ i est une partition de poids n, notée|λ| = λ 1 + λ 2 + · · · + λ r + · · ·Pour une partition stricte λ = (n 1 , n 2 , · · · , n r ) avec n 1 > n 2 > · · · > n r ≥ 0 où r est paire.Pour n k = 0, la partition correspondante est λ = (n 1 , n 2 , · · · , n k−1 ) et si n k >0, nous avonsλ = (n 1 , n 2 , · · · , n k ).On définit une partition double λ” de poids 2n dont la notation de Frobenuis est la suivanteλ” = (n 1 , n 2 , · · · , n k | n 1 − 1, n 2 − 1, · · · , n k−1 − 1)Une partition stricte λ = (λ 1 , λ 2 , · · · , λ r ) à 2 dimensions peut se représenter dans le réseaucartésien Z × Z par un ensemble de points de coordonnées (i, j) avec :{(i, j) | i = 1 · · · l(λ), i ≤ j ≤ λ i + i − 1}En pratique, à partir de cet ensemble de points, on construit un diagramme de cases obtenude manière à déplacer dans le diagramme usuel, la (i − 1) case à droite dans la i iéme ligne.Un tel diagramme s’appelle un diagramme de Young modifié.Exemple : La suite d’entiers (7, 4, 3, 1) est une partition stricte de 7 dont le diagramme deYoung shifté associé est donné par la figure (3-11).Fig. 3-11 – Diagramme de Young shiftéL’exemple suivant, montre le diagramme d’une partition (ν) de 2n. L’aire A 1 dans cediagramme est le diagramme de la partition modifiée et l’aire A 2 est la partition conjuguéelorsque λ = (6, 3, 1) pour une partition double ν = (7, 5, 4, 2, 1, 1).254

Fonctions de Schur et MacMahonFig. 3-12 – Diagramme de Young shifté à partir d’une partition 2dL’analogue de la formule (3.1) est due à I.G.Macdonald [198]. Pour les partitions strictesλ est définit comme suit|λ|!∏h(i, j)i,j(3.2)avec h(i, j) la formule de hook pour la partition double ν. Une partition plane stricte π deforme λ est une suite (..., .λ −1 , λ 0 , λ 1 , ...) qui vérifie la propriété suivante :· · · ⊂ λ −1 ⊂ λ 0 ⊃ λ 1 ⊃ · · ·où λ 0 correspond à une partition ordinaire sur la diagonale principale.Exemple : Soit la partition plane ˆπ = {(3) , (4, 3) , (5, 3) , (3, 2) , (2) (1)}. Chaque partitiondiagonale π (x) est une partition stricte (2d). Le poids d’une partition plane stricte estnoté comme suit :|π| = ∑ π (x)x∈λavec la condition que π 1 (x) > π 2 (x) .8.2 Fonctions de SchurLes fonctions de Schur jouent un rôle trés important dans ce qui va suivre. Nous endonnons ici diverses définitions ainsi que certaines propriétés qui les concernent.A toute représentation du groupe symétrique est associée une fonction symétrique. C’estainsi que les fonctions de Schur S λ sont associées aux représentations irréductibles. Lestableaux de Young fournissent un moyen élégant pour exprimer ces polynômes. Par ailleurs,il existe une règle purement combinatoire qui fait appel aux tableaux de Young et quipermet de décomposer le produit de deux polynômes de Schur. Ceci implique en particulierque les tableaux permettent de décomposer le produit tensoriel de deux représentationsirréductibles de GL(E) en somme directe de représentations irréductibles.255

Fonctions de SchurBien qu’elles ont été définies par Jacobi, les fonctions de Schur jouent un rôle fondamentaldans la théorie des representations. Nous commençons par rappeller la définition originale.La fonction de Schur est définie par :s λ = a λ+δa δavec a δ est le déterminant de Vandermondea δ =∏(x i − x j ) = det(x n−ji ).1≤i

Fonctions de Schur et MacMahonProposition (Cauchy) : Etant donné deux ensembles de variables x = (x 1 , x 2 , · · · ) et y =(y 1 , y 2 , · · · ) , les séries génératrices des fonctions de Schur vérifient les conditions suivantes :∑s λ (x)s λ (y) = ∏ (1 − x i y j ) −1 ∑, s λ (x)s λ t(y) = ∏ (1 + x i y j )i,ji,jλet la somme s’effectue sur tous les tableaux de Young. Pour le cas de la fonction de Schurgauche (ou en anglais skew Schur, elle vérifie les conditions suivantes :∑s λ/η (x)s µ/η (y) = ∏ (1 − x i y j ) ∑ s η/λ (x)s η/µ (y)ηi,jη∑s λ/η (x)s µ/η (y) = ∏ (1 + x i y j ) −1 ∑ s η t /λ(y)s η/µ (x)ηi,jη∑s η/λ (x)s η (y) = s λ (y) ∑ s µ (y)s µ (x)ηµ∑s η t /λ(x)s η (y) = s λ (y) ∑ s µ (y)s µ t(x)ηµ∑s λ/η (x)s η/µ (y) = s λ/µ (x, y)η∑s λ/η (x)s η (y) = s λ (x, y)ηPour une représentation fondamentale λ = •, la fonction de Schur est définie pars λ/• = s λet si λ ⊂ µ alors s λ/µ = 0. Les fonctions de Schur forment une base orthonormée pour leproduit scalaire 〈., .〉{0, si λ ≠ µ〈s λ (x), s ν (y)〉 = δ (λ,ν) =1, si λ = µoù δ (.,.) est le symbole de Kronecker. C’est une conséquence de la formule de Cauchy entermes des variables x = (x 1 , x 2 · · · ) et y = (y 1 , y 2 · · · )∑s λ (x)s λ (y) = ∏ (1 − x i y j ) −1i,jλNotons que l’une des motivations principales à la sommation des fonctions de Schur sur desensembles de partitions est la détermination de fonctions génératrices de partitions planes.Considérons une autre forme de fonction de Schur gauche ”fonction Schur gauche”, avecλ et µ sont deux partitions telles que le diagramme gauche λ/µ soit une représentationprincipale de sa classe d’équivalence :λs λ/µ = ∑ νc λ µνs ν257

Fonctions de Schuroù c λ µν est le nombre de tableaux gauche semi-standard de type λ − µ qui exprime ladécomposition du produit de deux fonctions de Schur :s µ s ν = ∑ λc λ µνs λPar exemple, prenons λ = (5, 4, 3), µ = (3, 1), ν = (4, 3, 1), alors c λ µν = 2. En effet, enchoisissant un tableau de Young T , il y a deux tableaux de forme λ/µ indiqués dans cettefigure.T =52 6 7λ/µ :5 6 72 3 45 6 72 3 81 3 4 81 81 4En fonction des variables (x 1 , . . . , x n ), la fonction de Schur est exprimée comme :s λ/µ (x 1 , . . . , x n ) =plus particulièrement,∑λ≻λ(1)≻···≻λ(n−1)≻µx |λ|−|λ(1)|1 x |λ(1)|−|λ(2)|2 . . . x |λ(n−1)|−|µ|n⎧⎨x |λ|−|µ|1 , µ < λ ,s λ/µ (x 1 , 0, . . . ) =⎩0 , µ ⊀ λ .La proposition précédente peut donc être réécrite comme suit :s λ/µ (x 1 , . . . , x n ) = ∑ λ≻λ(1)≻···≻λ(n−1)≻µ s λ/λ(1)(x 1 )s λ(1)/λ(2) (x 2 ) . . . s λ(n−1)/µ (x n )Alors, la fonction de Schur est le caractère de la représentation irréductible de GL(n).8.2.1 Propriétés de la fonction de SchurConcluons cette section en donnant quelques propriétés de la fonction de Schur, quiseront très utiles pour la suite :s λ (cx) = c |λ| s λ (x)s λ/µ (cx) = c |λ|−|µ| s λ/µ (x)s λ (q −ρ ) = q − k λ2 s λ t(q −ρ )Dans le cas de fonctions de Schur-gauche, elles vérifient les conditions suivantes :s λ/µ (cx) = c |λ|−|µ| s λ/µ (x)s λ/µ (q ρ ) = (−1) |λ|−|µ| s λ t /µ(q −ρ )258

Fonctions de Schur et MacMahonOn peut aussi représenter la fonction de schur-gauche en termes d’éléments de matricesdes opérateurs vertexS R/Q (x) = 〈R| V − (x i ) |Q〉 = 〈Q| V + (x i ) |R〉Finalement, nous terminons par les formules qui seront très utiles dans le calcul de la fonctionde partition de la corde topologique en utilisant le formalisme de vertex topologique.On considère un diagramme de Young λ et une case d’une partition λ (i, j). On rappelleque le contenu c(i, j) de la case est c(i, j) = j − i, la longueur de crochet h(i, j) estλ ′ i + λ j − i − j + 1 et le poids minimum d’une partition est donné par m (λ) = ∑ iles fonctions de Schur sont données par les formules suivantes :∏n+c(i,j)s λ (1, 1; · · · , 1) =} {{ }h(i,j)(i,j)∈λn fois∏s λ (q, q 2 ; · · · , q n ) = q m(λ)s λ (q −ρ ) = q |λ|(i,j)∈λ∏2 +n(λ)(i,j)∈λ1−q c(i,j)+n1−q h(i,j)11−q h(i,j)iλ i . AlorsExemple : Prenons la partition λ = (2, 2). La fonction de Schur est sous la forme suivante8.2.2 Opétareurs vertexs (2,2) (q, q 2 , q 3 ) = q 6 (1−q 3 )(1−q 4 )(1−q 2 )(1−q 3 )(1−q 3 )(1−q 2 )(1−q 2 )(1−q 1 )= q 6 + q 7 + 2q 8 + q 9 + q 10 .Cette partie vise à définir la relation entre les états de la théorie des champs conformes(champs fermioniques libres à 2d) et le diagramme de Young. La représentation irréductiblede SU(N) peut être caractérisée par les états dans l’espace de Hilbert qui est généré parles états d’espace de Fock. En effet, soit une partition à 2dλ = (λ 1 , λ 2 , λ 3 , · · · ) , λ i ≥ λ i+1 , (3.3)nous pouvons associer à un état quantique |λ〉 , l’énergie E = ∑ r i qui est le nombre total deboîtes dans le diagramme de Young (n 1 , n 2 , · · · , n r ). Nous commençons par définir l’espacedes états de Fock fermionique :V = V 0 ⊕ V 1 ⊕ V 2 · · ·Le seul état de V 0 est le vide |0〉, qui par définition ne contient aucune particule. Pourcompléter cette définition sur V n , nous allons maintenant définir les générateurs ψ i et ψ ∗ i259

Fonctions de Schurd’algèbre de Clifford qui sont des fermions libres qui vérifient les relations suivantes :{ψ i , ψ ∗ j} = δ ij{ψ i , ψ j } = 0{ψ ∗ i , ψ ∗ j} = 0Ces opérateurs de création et d’annihilation sont définis par ses actions sur les états debase de l’espace de Fock qui passent de V n à V n+1 .ψ j |x 1 , x 2 , · · · x n > = |x 1 , x 2 , · · · x n >ψ ∗ j|x 1 , x 2 , · · · x n > = |x 1 , x 2 , · · · x n >On construit V en choisissant un vecteur |0〉 et en agissant par des opérateurs de créationet d’annihilation. Ceci induit à une représentation irréductible de l’algèbre de Cliffordψ ∗ i s · · · ψ ∗ i 1ψ jr · · · ψ j1|0〉 avec j r > · · · > j 1 > 0 ≥ i 1 > · · · > i sψ j |0 >= 0 j ≤ 0 et ψ ∗ j|0 >= 0 j > 0Les fermions libres vérifient les séries génératrices :ψ(z) = ∑ ψ n+1 z −n−1 ,2n∈Zψ ∗ (z) = ∑ n∈Zψ ∗ n+z −n−112Le courant de Noether U(1) est donné par :J(z) =: ψ(z)ψ ∗ (z) := ∑ m∈Zz −m−1 J met il vérifie les relations de commutation :[J n , J m ] = −nδ n+m,0 [J n , ψ k ] = ψ k+n [J n , ψ ∗ k] = −ψ ∗ k−nOn prend l’ordre normal de champ fermionique qui est défini par :ψ(z)ψ ∗ (z) =: ψ(z)ψ ∗ (z) : + 1z − w ,|z| > |w|Dans le calcul des amplitudes de la corde topologique, le boson libre est donné en termesdes oscillateurs par :∑L 0 = ∞ α −n α nn=1[L 0 , α n ] = nα nQ L 0α n Q −L 0= Q −n α n260

Fonctions de Schur et MacMahona) Bosonisation dans l’espace de HilbertPar la suite, nous allons voir comment l’espcae de Fock fermionique est isomorphe àl’espace de Fock bosonique des champs scalaires. Mais tout d’abord, considérons la sériegénératrice de champs chiral à deux dimensions :φ(z) = i ∑ n≠0α nnz n .On peut donc exprimer les bosons à l’aide des fermions. Cette correspondance est dueà la bosonisation qui est une construction propre à une dimension d’espace permettantd’exprimer les champs fermioniques d’une théorie en fonction de champs de Bose. Il s’agitd’une relation d’équivalence quantique exacte entre deux théories (une de fermions et unede bosons), connue sous le nom de la correspondance bosons-fermions telles que les bosonslibres α n sont issus de la bosonisation des fermions complexes qui vérifient les relationssuivantes :∑α n = ψ k+n ψ ∗ k, n = ±1, ± 2, · · ·k∈Z+ 1 2i∂φ = : ψψ :ψ = : e iφ :ψ ∗ = : e −iφ : .L’algèbre de l’oscillateur ou algèbre de Heisenberg est l’algèbre de Lie de base n vérifiantles relations de commutation suivantes :[α n , α m ] = −nδ n+m,0[α n , ψ k ] = ψ k+n[α n , ψ ∗ k] = −ψ ∗ k−nIl se trouve que l’action de l ’opérateur de création α −n sur le diagramme de Young estdonnée en ajoutant une seule bande de longueur n dans tous les chemins possibles. De lamême manière, en faisant agir l’opérateur d’annihilation α n sur le diagramme, cela conduità éliminer une bande de frontière du diagramme voir la figure (3-13).Cette équivalence s’établit en utilisant les opérateurs de vertex qui ont les mêmes dimensionsconformes que le fermion complexe :Γ ± (z) = exp ∑ n>0261z ±nn α ±n .

Fonctions de SchurFig. 3-13 – Appliquation de α −3 à une partition.Ils vérifient les conditions suivantes :avecΓ + (x)Γ − (y) =11− x yΓ − (y)Γ + (x) ,Γ + (x) |0〉 = |0〉 ,〈0| Γ − (y) = 〈0| .Γ ± (1)q nL 0= q nL 0Γ ± (q n ) q nL 0Γ ± (1) = Γ ± (q −n )q nL 0Γ ± (x)q nL 0= q nL 0Γ ± (xq n ) q nL 0Γ ± (x) = Γ ± (xq −n )q nL 0b) Connection entre le diagramme de Young et les fermions libresIl est bien connu que les états de Fock fermioniques sont étiquetés par les diagrammesde Young (2D) indiqués par µ = (µ 1 ≥ µ 2 .. ≥ µ n ) dont la notation de Frobenius est donnéepar les coordonnéesa i = µ i − i + 1 2b i = µ t i − i + 1 2alors l’état fermionique associé à une partition µ est donné par :|µ〉 =d∏ψ ∗ −a iψ −bi |0〉i=1où d est le nombre des cases sur la diagonale de µ.Γ + (1) |λ〉 = ∑ λ≻µ |µ〉Γ − (1) |λ〉 = ∑ µ≻λ |µ〉262

Fonctions de Schur et MacMahonLe mode zéro de Virasoro est L 0 qui compte le nombre |µ| de boîtes dans le diagramme deYoung µ :∞∑L 0 |µ〉 = |µ| |µ〉 . avec L 0 = α −n α nPlus particulièrement, le produit des opérateurs vertex agit sur l’état fermionique qui setraduit par la fonction de Schur gauche :n=1Γ − (x n )|ν >= ∑ s µ/ν (x n )|µ >µ⊃νΓ − (x n )|ν >= ∑ s ν/µ (x n )|µ >µ⊃ν(3.4)8.3 Fonction de MacMahonLes fonctions génératrices, dites fonctions de Macmahon, interviennent dans plusieursdomaines que ce soit en physique, dans l’étude de la théorie de corde topologique ou enmathématiques [194, 195, 196, 197, 198].Dans cette section, on présente diverses fonctions génératrices des partitions standard, raffiné,coloré et shifté via le formalisme de matrice de transfert de Okounkov–Reshetikhin–Vafa [199]. Ces fonctions possédent aussi une interprétation physique dans la théorie descordes, les théories des noeuds et théories de Doladson-Thomas.Le premier paragraphe concerne l’expression de la fonction génératrice associé aux diagrammesde Young standard ; le second paragraphe évoque les différentes expressions desz02yxFig. 3-14 – Une partition 2D (3, 2, 1, 1) dans la tranche diagonale à t = −2. L’état fermionique|µ〉 = ψ ∗ −7/2ψ ∗ −5/2ψ ∗ −1/2ψ −1/2 |0〉 .263

Fonction de MacMahonfonctions génératrices associées aux diagrammes de Young standard, raffiné, shifté, et coloré.8.3.1 Conjecture de MacMahonLes partitions planes ont été énumérées par Percy Macmahon en 1912, qui a donné labelle fonction génératrice [92, 194]. Alors si on considère s l’ensemble des partitions planes,la fonction génératrice de s est le polynôme ou la série suivante :∑q |π| (3.5)π∈sLa fonction de Macmahon est la fonction génératrice pour l’ensemble des fonctions indexéespar les partitions∞∏M(q) = (1 − q n ) −n = 1 + q + 3q 2 + 6q 3 + 13q 4 + ...n=1Fig. 3-15 –dont le coefficient de q n est le nombre de partitions planes de volume n. Cependant, onutilise une fonction génératrice pour calculer le nombre de partitions de n qui est noté p(n),qui veut dire le nombre de manières distinctes (et d’ordre indépendant) de représenter ncomme une somme d’entiers. Par convention p(0) = 1, p(n) = 0 pour n négatif. On vacommencer par une partition à 2-dimensions qui est une partition linéaireλ = (λ 1 , λ 2 , ...λ m )264

Fonctions de Schur et MacMahonavec λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · . La fonction génératrice du nombre de partitions s’écrit∑p 1 (n)q n = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x 5 + 11x 6 + 15x 7 + 22x 8 + · · ·n=0= ∏ (1 − x i ) −1i≥1où q est une variable indéterminée et p 1 (n) indique le nombre de partitions de taille n. Lapreuve de cette fonction de partition est donnée en terme d’une partition λ et satisfait àla condition suivante :|λ| = λ 1 + λ 2 + ...λ m = ∑ iid i d i = λ i − λ i+1et la fonction génératrice en terme de l’indéterminé est donné par∑q |λ| =λ∑d 1 ,d 2 ,···q d 1+2d 2 +··· = ∏ i≥1∑q id i= ∏ ( ) 1 − xi −1i≥1Une partition à trois dimensions est souvent appelée une partition plane avec la fonctiongénératrice s’écrivant sous la forme suivante :∑p 2 (n)q n = 1 + x + 3x 2 + 6x 3 + 13x 4 + 24x 5 + 48x 6 + 86x 7 + 160x 8 + · · ·n=0= ∏ (1 − x i ) −ii≥1d ioù p 2 (n) est le nombre des partitions planes. MacMahon a conjecturé l’identité suivantedans la terminologie des partitions planes : la fonction génératrice d’une partition à ddimensions (d-partition) du cube à d-dimension est donnée parG d (q) = ∏ (1 − q i ) − (i+d−3)!(i−1)!(d−2)!i≥1(3.6)Il est important de souligner que cette expression qui a été conjecturé par Macmahon, futdémontrée via le formalisme de matrice de transfert [93]. Et elle possède une interprétationphysique en termes des théories des champs conformes.8.3.2 Fonctions génératricesLa fonction de Macmahon développée en mathématique semble avoir trouvé aussi d’intéressanteapplication dans le domaine de la physique, notamment dans la physique statistique,théorie des cordes. Grâce au formalisme de la matrice de transfert, il existe un lienétroit entre la fonction de Macmahon et le modèle de cristal fondu qui est exactement la265

Fonction de MacMahonfonction de partition de la théorie des cordes topologiques sur la variété de CY.Dans cette dernière section, nous énonçons et démontrons le résultat analogue à ceux quiprécèdent, mais dans le contexte de formalisme de matrice de Transfert permettant d’atteindreles expressions des fonctions de Macmahon standard, raffiné, shifté et coloré.Le formalisme de matrice de transfert 1 peut désormais être exprimé selon deux opérateursde création et d’annihilation qui consiste à décomposer une partition 3d en tranches diagonales,ce qui permet d’effectuer une suite des partitions 2d. Alors la fonction génératricedu nombre de partitions s’écrit :∑Z (q) :=q |π| (3.7)π−3d partitionsFig. 3-16 – une suite des partitions standard 2D et partition 3D.La décomposition de partition 3D sera une suite des partitions 2D rangées par ordre croissantde a = −∞ jusqu’à 0 et décroissant de a = 1 jusqu’à ∞. Okounkov–Reshetikhin–Vafa,montrent que la fonction (3.7) peut s’exprimer en fonction des opérateurs de création etd’annihilation. Ce qui donne une expression simple de la série génératrice correspondante,c’est à dire la fonction de Macmahon généralisée à 3D〈 ( ∞) (∏∞) 〉Z (q) : = 0 | q L 0∏Γ + (1) q L 0Γ − (1) q L 0| 0〈 n=1m=1Z (q) : = 0 | ∏ ) ∏ (Γ +(q n− 1 2 Γ − q − (m− 1 2) ) 〉| 0(3.8)n>0m>0= ∏ ∞( )k=1 1 − qk −k= M (q) .Ce résultat était principalement obtenu en utilisant le formalisme de matrice de transfert(voir chapitre cristal Calabi-Yau), on peut de même trouver la fonction de Macmahon de1 Ce formalisme est détaillé dans le chapitre I.266

Fonctions de Schur et MacMahonla manière suivante : Etant donnés deux partitions λ et ν, une partition gauche est unepartition 3D de la forme λ/ν avec {π i,j | (i, j) ∈ λ/ν}. La fonction génératrice correpondantaux partitions planes de la forme ν c est donnée parZ ν (q) := ∑ π(ν c )q |π| =∏ ( )1 − qĥ(i,j) . (3.9)(i,j)∈ν coù ĥ (i, j) = j − ν i + i − ν t j − 1 est la longueur d’equerre d’une boîte (i, j) ∈ ν c . Si unepartition ν est égale à ∅, alors la fonction génératrice devient la fonction de Macmahon à3DM (q) := Z ∅ (q) =∞∏ ( ) 1 − qk −k. (3.10)Cette fonction est exactement la fonction de partition de la corde topologique de type Asur C 3 . Nous avons eu l’occasion de détailler ce résultat au chapitre 1.k=1Fonctions de MacMahon raffinéDans la version raffiné, la fonction de Macmahon à 3 dimensions est donnée en termesdes opérateurs de création et d’annihilation par l’expression suivante :M (q, t) = ∑ q P ∞i=1 |π(−i)| t P ∞i=1 |π(j−1)|〈 π= 0 | ∏ ) ∏ (Γ +(q n− 1 2 Γ − t −(m− 1 2) ) 〉| 0(3.11)n>0m>0∏M (q, t) . = ∞ (1 − q i−1 t j ) −1i,j=1Ce résultat constitue un premier pas vers la composition de vertex topologiques raffiné etpermet d’avoir une relation avec les invariants des noeuds de Khovanov.Fonction de MacMahon shiftéNous proposons maintenant comment associer un diagramme de Young shifté à unefonction de Macmahon via le formalisme de matrice de transfert [185, 186, 188, 189]. Avantde démontrer la fonction de partition, il est utile de rappeler quelques outils, à savoir lesopérateurs vertex, opérateurs de création et annihilation en fonction des diagrammes deYoung shifté.( ∑ )2Γ + (x) = expm∈N impaire m zm λ m( ∑ )2Γ − (y) = expm∈N impaire m zm λ −m267,.

Fonction de MacMahonavec[λ m , λ n ] = − m 2 δ n+m,0 m, n ∈ Z impaireles relations de commutations entre les opérateurs vertex(Γ + (x)Γ − (y) =1+xy1−xyΓ ± (x)Γ ± (y) = Γ ± (y)Γ ± (x))Γ − (y)Γ + (x)Pour établir la forme explicite de la fonction de Macmahon shifté, nous estimons de décomposerles partitions 3d stricte comme suite des partitions shifté 2d. En utilisant leformalisme de matrice de transfert, la fonction génératrice des partitions est donnée parM shif (q) = ∑ 3d shifté 2p(π) q〈|π|〉∏= 0 | ∞ ) ∏ ∞ )Γ +(q −j+ 1 2 Γ −(q k− 1 2 | 0(3.12)j=1k=1∏M shif (q) = ∞ ( ) n1+q n1−q nn=1Il s’agit en effet d’une fonction génératrice d’une partition stricte [189].Fonction génératrice pour les diagrammes de Young coloré à 3 dimensionPassons maintenant aux fonctions de Macmahon qui apparaissent comme des fonctionsgénératrices des diagrammes de Young colorés. Cette fonction est liée à la fonction departition Donaldson-Thomas de l’orbifold C 3 /Z 3 .Fig. 3-17 – Diagramme de Young coloréPrenons une partition colorée 3d, les tranches diagonales sont des partitions colorées à 2d268

Fonctions de Schur et MacMahonayant les mêmes couleurs voir la figure (3-18) une séquence d’entrelacement des diagrammesde Young. En d’autres termes, si, pour k ≥ 1, nous définissons les diagrammes de Young µµ −k = { π k,0 , π (k+1),1 , π (k+2),2 , · · · }µ 0 = {π 0,0 , π 1,1 , π 2,2 , · · · }µ k = { π 0,k , π 1,(k+1) , π 2,(k+2) , · · · }Nous aurons besoin d’attribuer une couleur à chaque diagramme de Young avec la conditionsuivante :π = { ∅ = µ −m < · · · < µ −1 < µ 0 > µ 1 > · · · > µ n = ∅ }pour certains m, n ≥ 1. Fixons un ensemble des couleurs et remplaçons la variable q avecun ensemble des variables :Q = {q g | g ∈ C}où C est l’ensemble des couleurs. En particulier, C est le sous groupe abélien fini G = Z n degroupe SO(3). Il se trouve que la variable Q compte le nombre des boites d’un diagrammede YoungQ |λ〉 = q |λ| |λ〉Fig. 3-18 – Séquence de diagrammes de Young à 2d coloréPour chaque g ∈ G, on peut définir les opérateurs diagonaux par :Q g |λ〉 = q g|λ| |λ〉269

Fonction de MacMahonavec les opérateurs de création et d’annihilation qui satisfont les conditions suivantes :Γ + (x)Q g = Q g Γ + (q g x) , Q g Γ − (x) = Γ − (q g x)Q g . (3.13)Le problème se réduit alors à trouver l’expression de l’opérateur vertex qui calcule lafonction de partition Z ZnavecQ = {q 0 , · · · , q n−1 } , q = q 0 q 1 · · · q n−1et l’opérateur de création et d’annihilation sont comme suit :Ā ± (x) = Γ ± (x)Q 1 Γ ± (x)Q 2 · · · Q n−1 Γ ± (x)Q 0 . (3.14)Il se trouve que le produit des opérateurs compte la fonction de partition du diagrammede Young Z n coloré à 3 dimension. Nous utilisons les relations suivantesA + (x) = Q · Γ + (xq 1 q 2 q 3 · · · q n−1 q 0 ) Γ + (xq 2 q 3 · · · q n−1 q 0 ) · · · Γ + (xq 0 )A − (x) = Γ + (x)Γ + (xq 1 ) · · · Γ + (xq 1 q 2 · · · q n−1 ) · Q= Γ +(xqq−11 q −12 · · · q −1n−1q0−1la relation de commutation est définie comme suit :)Γ+(xqq−12 q −13 · · · q −1n−1q0−1) ( )· · · Γ+ xqq−10 · Q(3.15)A + (x)A − (y) = C(x, y) · A − (y)A + (x) A + (x) = Q −1 A + (x); A − (x) = A − (x)Q −1avecC(x, y) =(11−qxy) n ∏(· ∏0≤a≤b

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UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDALFACULTÉ DES SCIENCESRabatDOCTORATRésumé de la ThèseDiscipline :PhysiqueSpécialité :Physique des Hautes EnergiesUFR :Physique des Hautes EnergiesResponsable de l’UFR : El Hassan SaidiPériode d’accréditation : 2005/2009Titre de la thèse :Contributions à l’Etude du Vertex Topologiqueen Théorie des CordesPrénom, Nom : Houda JehjouhRésumé :Le travail de recherche présenté dans ce mémoire de thèse porte sur l'étudedu vertex topologique en théorie des cordes et la relation de dualité « théoriede cordes topologiques type A sur C 3 / modèle statistique de fusion descristaux utilisant la matrice de transfert. Nous commençons par introduire lesgéométries toriques des variétés de Calabi-Yau, la théorie des cordestopologiques et les invariants topologiques. Par suite, nous étudions lemodèle de fusion des cristaux et son lien avec la théorie des cordestopologiques tout en présentant une de nos contributions originales enrelation avec la fonction de MacMahon généralisée. Nous exposons ensuiteles vertex topologique standard et raffiné qui permet de trouver exactementl'amplitude de la théorie des cordes topologiques que nous illustrons àtravers des exemples avec un accent sur des invariants topologiques bienconnus à l’instar des invariants de Gromov-Witten et Gopakumar-Vafa.Nous terminons par exposer nos résultats concernant le vertex topologiquenon planaire ainsi que le vertex topologique raffiné-shifté.Mots-clefs (5) : Théorie des cordes, Variétés de Calabi-Yau et Géométrietorique, Modèle de fusion des cristaux, Vertex topologiques standard etraffiné, Fonction de MacMahon et Diagrammes de Young.Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – MarocTel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma

Contributions Ã l'Etude du Vertex Topologique en ThÃ©orie ... - Toubkal

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