Slovak University of Technology in Bratislava Faculty of Civil Engineering and Slovak Society of Mechanics SAS 13 t h International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Conference Proceedings October 15 – 16, 2015 Bratislava, Slovakia Proceedings of 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Edited by Norbert Jendželovský Alžbeta Grmanová Published by Slovak University of Technology in Bratislava Authors of contributions are responsible for the statements or opinions expressed in the papers. All papers have been reproduced from camera ready manuscripts supplied by authors. Papers were reviewed by members of the Scientific Committee. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in retrieval system or transmitted in any form or by any means, without permission of the publisher. Copyright © Slovak University of Technology in Bratislava Printing: 100 copies Edition 2015 ISBN 978-80-227-4463-8 PREFACE Welcome to the 13th International Conference "New Trends in Statics and Dynamics of Buildings" in Bratislava, Slovakia. The purpose of this conference is to provide a forum for scientists and experts for getting the recent knowledge in topic technologies and development of the numerical methods in the statics and dynamics of buildings and discussing actual problems in theoretical and experimental trends in structural analysis. The conference is focused to major problems in research and development in following areas: • Seismic Behavior of Structures, • Aeroelasticity of Structures, • Thermomechanics and Fire Resistance, • Structure-Subgrade Interaction, • Optimization of Structures, • Life Span and Safety of Structures, • Damage and Crash of Structures, • Diagnostics and Experimental Analysis, • Moving Load Effects on Structures. The aim of this conference is to enhance the efficiency and quality of building structures, their safety and reliability. The conference is organized by Faculty of Civil Engineering at Slovak University of Technology in Bratislava and Slovak Society of Mechanics at Slovak Academy of Science in Bratislava. The Organizing Committee expresses sincere thanks and appreciation to the authors, participants and all others, who contributed to the organization of the conference. We hope you will enjoy your staying in Bratislava and you will benefit from the new knowledge presented and discussed during the conference. Prof. Ing. Norbert Jendželovský, PhD. Chairman of the Conference Scientific committee: Chairman: Jendželovský Norbert Slovak University of Technology Bratislava, Slovakia Members: Benčat Ján Györgyi József Janas Petr Králik Juraj Máca Jiří Melcer Jozef Novák Drahomír Partov Doncho Ravinger Ján Skrzypczyk Jerzy Sokol Milan University of Žilina, Slovakia Budapest University of Technology and Economics, Hungary VŠB-Technical University of Ostrava, Czech Republic Slovak University of Technology Bratislava, Slovakia Czech Technical University in Prague, Czech Republic University of Žilina, Slovakia Brno University of Technology, Czech Republic Higher School of Civil Engineering (VSU) Sofia, Bulgaria Slovak University of Technology Bratislava, Slovakia Silesian University of Technology, Gliwice, Poland Slovak University of Technology Bratislava, Slovakia Conference organized by: Slovak University of Technology in Bratislava Faculty of Civil Engineering Department of Structural Mechanics and Slovak Society for Mechanics SAS, Bratislava Organizing committee: Jendželovský Norbert Grmanová Alžbeta Ivánková Oľga Chairman Secretary Reviewers of the papers published in the Proceedings: Dický Jozef, Hubová Oľga, Ivánková Oľga, Jendželovský Norbert, Koleková Yvonna, Konečná Lenka, Králik Juraj, Prekop Ľubomír, Psotný Martin, Ravinger Ján, Sokol Milan, Tvrdá Katarína, Véghová Ivana. Tri významné jubileá na Katedre stavebnej mechaniky SvF STU Narodenie človeka je významným krokom, ktorý posúva dopredu rodinu a rovnako aj vznik novej inštitúcie posúva dopredu rozvoj ľudskej spoločnosti. Ak si pripomíname výročie narodenia človeka, obvykle spomíname a hodnotíme najdôležitejšie kroky a činy v jeho živote a jeho podiel na rozvoji rodiny, pracoviska i spoločnosti. Ak si pripomíname výročie vzniku inštitúcie, nezabúdame zhodnotiť jej hlavné úspechy a pomoc pri rozvoji ľudskej spoločnosti. Napriek tomu, že Katedra stavebnej mechaniky, neslávi v tomto roku okrúhle jubileum, pripomenieme najvýznamnejšie míľniky jej rozvoja na pozadí spoločenských premien v histórii jej existencie. Pôvodnými pracoviskami, z ktorých neskôr vznikla Katedra stavebnej mechaniky boli Ústav mechaniky založený prof. A. Buganom v roku 1938 pri vzniku SVŠT a Ústav stavebnej mechaniky založený A. Tureckým v roku 1940. Po vzniku FIS bola z týchto ústavov vytvorená Katedra mechaniky (1950 - O. Novák) a neskôr Katedra stavebnej mechaniky (1955 - A. Turecký). Po vzniku FAPS bola založená Katedra mechaniky a konštrukcií pozemných stavieb (1953 - J. Ducháček, J. Harvančík). Zlúčením týchto dvoch katedier na FIS a FAPS vznikla Katedra stavebnej mechaniky na SvF (1960 - V. Balažovjech). Vývojom obsahu a počtu predmetov, výuku ktorých KSM zabezpečovala, ako i rastom počtu poslucháčov, prudkým rozvojom teórie i praktických aplikácií a tiež zavádzaním výpočtovej techniky dochádzalo postupne k zvyšovaniu počtu pracovníkov na katedre, ich kvalifikácie a k diferencovaniu organizačnej štruktúry katedry. Zatiaľ čo na spomínanom Ústave stavebnej mechaniky a Ústave mechaniky pracovali 2-3 pracovníci, po vytvorení KSM v roku 1950 pôsobili už 2 riadni profesori a 6 odborných asistentov a asistentov. V roku 1959 po úmrtí Prof. Tureckého mala katedra 2 docentov a 11 odborných asistentov a asistentov. V roku 1971 pracovali na katedre 3 profesori, 5 docentov, 14 odborných asistentov a 2 asistenti. Z toho 9 učiteľov získalo hodnosť kandidáta vied a 1 hodnosť doktora vied. V roku 1980 mala katedra 2 profesorov, 5 docentov, 14 odborných asistentov a 1 asistenta. V roku 1985 pracovali na katedre 2 profesori, 8 docentov, 13 odborných asistentov a 1 asistent. V roku 1995 pracoval na katedre 1 profesor, 8 docentov, 14 odborných asistentov. Okrem toho na katedre pracovali 2-3 vedeckí a odborní pracovníci a 2-3 technickí, resp. administratívno-hospodárski pracovníci. Katedra permanentne školila interných a externých ašpirantov, resp. doktorandov. V odraze tejto histórie, na ktorú môžeme byť právom hrdí, nemožno zabudnúť ani na desiatky tých, ktorí sa na nej podieľali teraz i v minulosti. Na tento fakt nemožno zabúdať hlavne vtedy, ak niekto z kolektívu katedry dovŕšil okrúhle životné jubileum. V tomto kalendárnom roku si naše pracovisko, Katedra stavebnej mechaniky SvF STU, spolu s našimi kolegami pripomína okrúhle jubileá troch významných pracovníkov. Naši milí kolegovia, Prof. Ing. RNDr. Ján Lovíšek, DrSc., Dr.h.c. prof. Ing. Ján Ravinger, DrSc. a Prof. Ing. RNDr. Mgr. Jozef Sumec, DrSc. oslávili okrúhle narodeniny. Všetci traja patria ku špičke v našom odbore, o čom svedčí aj ich bohatá pedagogická a publikačná činnosť a medzinárodné ohlasy na ich práce. Počas ich pôsobenia na tejto katedre, výsledky ktorého hodnotíme osobitne na inom mieste, dosiahli vo všetkých oblastiach pedagogickej a vedecko-výskumnej činnosti také výsledky, ktoré sa zapísali do histórie katedry, fakulty a univerzity a stovky, ba tisíce absolventov našej alma mater, na formovaní ktorých sa podieľali, budú aj v budúcnosti šíriť výsledky ich tvorivej činnosti. Boli a ešte stále sú prínosom pre svojich mladších kolegov, pre stavebnú fakultu ale aj pre celú inžiniersku komunitu v oblasti navrhovania konštrukcií. Sme veľmi radi, že sú stále aktívni a naďalej spolupracujú s katedrou, zdieľajú svoje skúsenosti a prispievajú tak k jej ďalšiemu rozvoju. Želáme im aj touto cestou veľa zdravia, pohody a ešte mnoho tvorivých síl. Kolektív pracovníkov Katedry stavebnej mechaniky SvF STU Životné jubileum profesora Jána Lovíška V júli 2015 oslávil prof. RNDr. Ing. Ján Lovíšek, DrSc. významné životné jubileum – 80. rokov. Prof. Lovíšek sa narodil 11.7.1935 v Považskej Bystrici. Maturoval na Gymnáziu v Púchove. Po ukončení štúdia na SVŠT krátko pôsobil ako stavbyvedúci v podniku Železničné staviteľstvo Bratislava. V roku 1962 nastúpil na miesto asistenta na Katedru stavebnej mechaniky, kde následne pôsobil po celý svoj aktívny pracovný život. Po získaní vedeckej hodnosti CSc. (1965) sa v roku 1967 ako 32 ročný habilitoval, čím sa stal jedným z najmladších docentov na SVŠT. V roku 1970 úspešne ukončil diaľkové štúdium matematiky na Univerzite Komenského v Bratislave. Doktorom vied sa stal v roku 1990 a titul profesora mu bol udelený v roku 1997. V pedagogickom procese pôsobil 36 rokov, z toho 32 rokov prednášal teoreticky náročné predmety na odboroch Pozemných stavieb, Materiálového inžinierstva a Ekonomiky stavebníctva. Išlo predovšetkým o predmety: Technická pružnosť, Matematická pružnosť, Plasticita, Stavebná mechanika I a II, Teoretická mechanika a Statika. Na odbore PS – špecializácia Statika garantoval a viedol predmet Nelineárna mechanika, kde odovzdával študentom poznatky zo svojej vedeckej činnosti. V rokoch 1976 – 1985 externe prednášal pre 4. ročník odboru Matematická analýza na MFF UK v Bratislave kmeňové predmety Mechanika kontinua a Variačné nerovnice, pre ktoré vytvoril, formoval a inovoval učebné osnovy a plány. Je autorom jednej vysokoškolskej učebnice a autorom a spoluautorom šiestich skrípt. Počas svojho pôsobenia na fakulte úspešne viedol krúžky ŠVOČ, 10 diplomantov a vyškolil 5 doktorandov. V oblasti vedy a výskumu sa prof. Lovíšek sústavne venoval štúdiu eliptických, parabolických a hyperbolických variačných nerovníc s aplikáciou na kontaktné úlohy tuhých telies pri uvážení trenia na kontaktnej ploche. Z tejto práce rezultovalo množstvo vedeckých článkov, pravidelne publikovaných v časopisoch, zborníkoch a na konferenciách, z ktorých najvýznamnejšie boli uverejnené v karentovaných časopisoch. Najvýznamnejšia je monografia HLAVÁČEK, I. – HASLINGER, J. – NEČAS, J. – LOVÍŠEK, J.: Solution of Variational Inequalities in Mechanics, Springer Verlag, New York 1988, ktorá vyšla v niekoľkých vydaniach v zahraničí a je pravidelne citovaná. Vo svojej ďalšej vedeckej práci sa prof. Lovíšek zaoberal riešením úloh optimálneho riadenia (sizing or shape) tuhých telies, a to ako pre koercívne variačné nerovnice tak aj pre semikoercívne úlohy a problémy s neurčitými vstupnými dátami pre metódu najhoršieho scenára s aplikáciou v optimálnom návrhu konštrukcií s uvážením nelineárnych fyzikálnych vlastností a jednostranných väzieb. Bol riešiteľom a zodpovedným riešiteľom mnohých grantových úloh. V rámci projektu TEMPUS ako jeho hlavný garant pre Slovensko a riešiteľ medzinárodnej výskumnej úlohy Optimal Control of Nonlinear Elliptic Systems sa zaslúžil o vycestovanie 10 ašpirantov zo Stavebnej a Strojníckej fakulty STU na 6- mesačné študijné pobyty do krajín Európskej únie. Publikoval viac ako 120 článkov vo vedeckých časopisoch, aktívne vystupoval na vedeckých a odborných konferenciách doma i v zahraničí. V roku 1993 na vyzvanie prednášal v Banach International Mathematical Centre vo Varšave. Od roku 2009 pôsobí prof. Lovíšek ako emeritný profesor na Stavebnej fakulte STU a aj naďalej vedecky pracuje. V súčasnosti sa zaoberá riešením úloh z oblasti homogenizácie a optimalizácie hrúbky konštrukcie (dosky, škrupiny, steny) pre materiály s „functional graded“ vlastnosťami. Je stálym spolupracovníkom – recenzentom pre časopisy Zentralblatt MATH a Mathematical Reviews, pre ktoré ročne vypracováva cca 40-50 posudkov karentovaných článkov a knižných publikácií. Kvalitné výsledky, medzinárodné renomé, široké skúsenosti a profesionálny prístup sú aj v súčasnosti inšpiráciou a motiváciou pre jeho kolegov na Katedre stavebnej mechaniky a na Stavebnej fakulte. Vzácnemu jubilantovi želáme do ďalšieho obdobia primerané zdravie, príjemné chvíle prežité v kruhu rodiny a priateľov, a ešte mnoho úspechov v jeho pokračujúcich činorodých vedeckých aktivitách. Kolektív pracovníkov Katedry stavebnej mechaniky SvF STU. Životné jubileum profesora Jána Ravingera V máji 2015 oslávil Dr.h.c. prof. Ing. Ján Ravinger, DrSc. životné jubileum 70 rokov. Narodil sa 14.5.1945 v Nitre. Strednú priemyselnú školu stavebnú začal študovať v Nitre a dokončil v Bratislave. Stavebnú fakultu SVŠT, odbor Inžinierske konštrukcie a dopravné stavby, ukončil v roku 1968. Ako najlepší študent bol vybraný a zúčastnil sa stretnutia s prezidentom Ludvíkom Svobodom. Po krátkom pôsobení v Doprastave Bratislava nastúpil na Ústav stavebníctva a architektúry SAV. Ako vedecký pracovník Slovenskej akadémie vied mal možnosť absolvovať študijné pobyty v Bulharsku, Poľsku, Belgicku, Veľkej Británii a v Kanade. Štvormesačný študijný pobyt absolvoval v Sovietskom zväze. V rokoch 1983 až 1985 pôsobil na univerzite v Damašku. Postupne sa vypracoval na medzinárodne uznávaného odborníka pre teóriu konštrukcií. V roku 1994 po konkurze nastúpil na miesto vedúceho Katedry stavebnej mechaniky Stavebnej fakulty STU. Funkciu vedúceho katedry zastával do roku 2000. Bol členom Vedeckej rady SvF a zastupoval fakultu vo viacerých vedeckých a odborných komisiách s celoslovenskou pôsobnosťou. Jeho článok „Girder with Unstiffened Slender Web“ publikovaný v roku 1983 v časopise Journal of Constructional Steel Research, bol zaradený do odporúčanej literatúry v dokumente Steel Structures, Materials and Design. ISO TC 167/SC 1 N 182 E, čím sa zaradil medzi renomovaných odborníkov z USA, Japonska a západnej Európy. Jeho článok „Dynamic PostBuckling Behaviour of Plate Girders“ bol v roku 1992 zaradený do špeciálneho čísla časopisu Journal of Constructional Steel Research, mapujúceho výskum v oblasti oceľových konštrukcií v strednej a východnej Európe. Ako vedecky najhodnotnejší možno označiť jeho dvojčlánok „Vibration of Imperfect Thin-Walled Panel. Part 1. Theory and Illustrative Examples. Part 2. Numerical Results and Experiments, publikovaný v časopise Thin-Walled Structures v roku 1994. Nezvyklým spôsobom spracovaná kniha PROGRAMY – statika, stabilita a dynamika stavebných konštrukcií (1990), obsahuje kompaktný prehľad teórie metódy konečných prvkov doplnený o kompletné výpisy programov a ilustračné príklady. V knihách Structural Mechanics (2010) a Numerical Methods in Theory of Structures (2014) bol tento spôsob spracovania vylepšený pripojením elektronického nosiča s programami. Súhrn svojich dlhoročných vedecko-výskumných aktivít publikoval prof. Ravinger v knihe Stability & Vibration (2012). Bohatá je i pedagogická činnosť prof. Ravingera. Prednášal na všetkých stupňoch univerzitného štúdia. Ku každému prednášanému predmetu spracoval i vhodnú a hodnotnú literatúru. Vyškolil mnohých doktorandov a bol vedúcim viacerých diplomových prác. Ako pedagóg má podiel na výchove odborníkov pre prax. Mnoho súčasných autorizovaných inžinierov pre statiku stavieb začínalo práve pod jeho vedením. Okrem pedagogickej a vedecko-výskumnej činnosti je prof. Ravinger aktívny i v riešení úloh nastolených praxou. Za zmienku stojí jeho pôsobenie v komisii pre vyšetrovanie príčin havárie vrát plavebnej komory v Gabčíkove. Okrem množstva odborných posudkov je zodpovedným projektantom statiky pre mnoho stavieb. Známe sú: nadstavba Krajského úradu v Trnave, rekonštrukcia budovy tabakovej fabriky v Nitre, kontajnerová hojdačka pre otvárací koncert ECC Košice. Za výsledky dosiahnuté vo vedeckej a pedagogickej práci mu boli udelené viaceré ocenenia. Univerzita stavebného inžinierstva a architektúry „Ljuben Karavelov“ v Sofii mu v roku 2010 udelila čestný titul „Doctor honoris causa“. Nášmu kolegovi k jeho životnému jubileu želáme veľa zdravia a spokojnosti a veľa úspechov v pracovnom i osobnom živote. Kolektív pracovníkov Katedry stavebnej mechaniky SvF STU. Životné jubileum profesora Jozefa Sumca V januári 2015 sa dožil vzácneho životného jubilea 70 rokov náš dlhoročný kolega a spolupracovník Prof. RNDr. Ing. Mgr. Jozef Sumec, DrSc. Narodil 21. januára 1945 vo Zvolene. Po absolvovaní SPŠ strojníckej a stavebnej vo Zvolene - odbor PS, nastúpil na štúdium na SVŠT, ktoré zavŕšil s vyznamenaním v r. 1968. Prvým pracoviskom, na ktoré nastúpil ako čerstvý absolvent, bol ÚSTARCH SAV v Bratislave. Pod vedením Dr. Hanušku sa začal venovať problematike plošných úloh v teórii pružnosti a väzkopružnosti a v roku 1975 úspešne obhájil dizertačnú prácu na tému „Statika regulárnych mriežkových škrupín“. Zároveň zahájil štúdium na Fakulte prírodných vied Univerzity Komenského (Matematicko-fyzikálna fakulta), ktoré úspešne zavŕšil v roku 1980 získaním titulu RNDr. V roku 1990 mu bol udelený titul doktor vied. V rokoch 1990 - 1996 absolvoval štúdium na Rímskokatolíckej cyrilometodskej bohosloveckej fakulte UK v Bratislave, študijný odbor Katolícka teológia. V rámci svojej vedeckej aktivity sa venoval tematike matematického modelovania reologických vlastností materiálov. Po habilitácii v odbore Mechanika tuhých a poddajných telies a prostredí v roku 1992 nastúpil na Katedru stavebnej mechaniky SvF STU do funkcie docenta. Titul profesor mu bol udelený v roku 1997. Počas svojho pôsobenia na Katedre stavebnej mechaniky SvF STU zabezpečoval prednášky, cvičenia a ostatné aktivity na všetkých stupňoch vysokoškolského vzdelávania. Vyučoval predmety Pružnosť a pevnosť, Stavebná mechanika, Pružnosť a plasticita, Statická analýza budov, Plošné a priestorové konštrukcie, Theory of elasticity (v anglickom jazyku), Teória väzkopružnosti, Nosné konštrukcie pozemných stavieb, Statika, Vybrané kapitoly z elastostatiky (postgraduálne štúdium), Biomechanika. Ako učiteľ bol a je známy svojím priateľským prístupom ku študentom. Za svoju pedagogickú činnosť bol v roku 2005 ocenený medailou akademika K. Havelku. Bol vedúcim, resp. zástupcom vedúceho viacerých grantových projektov CEEPUS, VEGA, KEGA. Absolvoval niekoľko študijných a výskumných pobytov na zahraničných univerzitách (v Ríme, Florencii, Miláne, Grenobli, Krakove, Varšave, Opole, Gliwiciach, Sofii a v Stuttgarte), z ktorých vyplynuli bohaté odborné kontakty a vzájomná spolupráca. Výsledky svojej výskumnej činnosti publikoval vo dvoch monografiách: Regulárne mriežkové dosky a škrupiny, VEDA SAV, Bratislava 1985, 125 s., The Regular Lattice Plates and Shells, Elsevier, Amsterdam, Oxford, N.Y., Tokyo 1990. Je spoluautorom vysokoškolských učebníc Pružnosť a plasticita v stavebníctve I (1. vyd. 2005, 2. vyd. 2007, 3. vyd. 2010), Pružnosť a plasticita v stavebníctve II (1. vyd. 2006), Vydavateľstvo STU Bratislava, Moderná učebnica statiky. Vydavateľstvo STU Bratislava 2009. Publikoval viac ako 200 prác v domácich a zahraničných časopisoch a recenzovaných zborníkoch z konferencií, jeho práce si našli odozvu vo viac ako 90-tich citáciách a ohlasoch, v pozvaných prednáškach. Za svoju publikačnú činnosť bol ocenený Cenou vedeckého kolégia SAV (1979), Cenou Slovenského literárneho fondu (1983) a Prémiou Slovenského literárneho fondu (1985). Aktívne pôsobí v odbornej komunite (mechanika, biomechanika a aplikovaná matematika) ako člen domácich a medzinárodných vedecko-odborných organizácií a komisií, výborov vedeckých konferencií. Je členom redakčnej rady časopisov: Journal of Applied Mathematics, Statistics and Informatics, Acta of Biomechanics and Bioengineering. V januári 2015 bol menovaný emeritným profesorom. Nášmu kolegovi želáme veľa zdravia, tvorivých síl ako aj spokojnosti a osobnej pohody v kruhu rodiny. Kolektív pracovníkov Katedry stavebnej mechaniky SvF STU. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS LIST OF PAPERS Krzywon Rafal WARMING OF VARIOUS TYPES OF EBR FRP UNDER DIRECT SUN EXPOSITION Krzywon Rafal LABORATORY TESTS OF RC BEAMS UNDERREINFORCED IN SHEAR ZONE AND STRENGTHENED WITH SRP OVERLAYS Šimonová Hana, Vyšvařil Martin, Žižlavský Tomáš, Keršner Zbyněk, Schmid Pavel, Rovnaníková Pavla VZTAH MEZI VYBRANÝMI TRVANLIVOSTNÍMI A LOMOVÝMI PARAMETRY MODIFIKOVANÝCH OMÍTEK S LEHKÝM KAMENIVEM Sumec Jozef, Hruštinec Ľubomír MODELING OF SOME EFFECTS IN THE VISCOELASTIC SELECTED TYPE OF MATERIALS Melcer Jozef, Lajčáková Gabriela, Kuchárová Daniela ÚČINKY POHYBLIVÉHO ZAŤAŽENIA NA ŽELEZOBETÓNOVÚ DOSKU V KONTAKTE S PODLOŽÍM Topolář Libor, Timčaková Kristýna, Misák Petr, Pazdera Luboš VLIV VODNÍHO SOUČINITELE NA VYBRANÉ PARAMETRY SIGNÁLŮ AKUSTICKÉ EMISE ZÍSKANÉ BĚHEM TUHNUTÍ A TVRDNUTÍ BETONOVÝCH SMĚSÍ Slávik Ivan VYŠETROVANIE POTENCIÁLU STEKUTENIA POPOLOV ODKALÍSK VPLYVOM SEIZMICKÉHO ZAŤAŽENIA PENETRAČNÝMI TESTAMI Antal Roland, Jendželovský Norbert MODELOVANIE VPLYVU VETRA NA KOMPLEX BUDOV PANORAMA CITY BRATISLAVA Pazdera Luboš, Smutný Jaroslav, Vymazal Tomáš, Topolář Libor, Daněk Petr EVALUATION OF ACOUSTIC EMISSION SIGNALS DURING THREE POINT BEND TEST OF CONCRETE SPECIMENS WITH PLASTICIZER Lausová Lenka, Michalcová Vladimíra, Skotnicová Ivana NUMERICAL ANALYSIS OF TEMPERATURE FIELD IN STEEL HOLLOW CROSS-SECTIONS EXPOSED TO FIRE LOADING Skrzypczyk Jerzy GP-INTERVAL PERTURBATION METHODS – ALGEBRA AND FUNCTIONS: NEW ALGEBRAIC METHODOLOGY Belina Aleksandra FUZZY TRIANGULAR VARIABILITY FACTOR METHOD IN ANALYSIS OF TRUSS STRUCTURES WITH FUZZY PARAMETERS Psotný Martin POSTBUCKLING ANALYSIS OF AN IMPERFECT SLENDER WEB SUBJECTED TO THE SHEARING LOAD I th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Niewiadomski Leslaw, Zamorowski Jan SECOND-ORDER LOADS OF ROOF BRACINGS IN ROOFS WITH VERTICAL BRACINGS Niewiadomski Leslaw THE INFLUENCE OF THE GEOMETRICAL IMPERFECTIONS ON THE FORCES IN THE ROOF BRACINGS OF TWO-NAVE STEEL HALL Elshoura Ahmed Saad, Máca Jiří COMPARISON BETWEEN DIFFERENT SEISMIC ANALYSIS PROCEDURES APPLIED TO MASONRY BUILDING Kortiš Ján, Sabol Slavomír AUTOMATIZÁCIA NÁVRHU A POSÚDENIA KONŠTRUKCIE DREVENÉHO KROVU Drienovská Jana, Jendželovský Norbert VPLYV SEIZMICKÉHO ZAŤAŽENIA NA NÁVRH DILATAČNEJ ŠKÁRY PRIĽAHLÝCH OBJEKTOV Šána Vladimír VYUŽITÍ BIODYNAMICKÝCH MODELŮ PRO MATEMATICKÝ POPIS PRŮBĚHU KONTAKTNÍCH SIL PŘI ZATÍŽENÍ LÁVEK PRO PĚŠÍ Matysík Michal, Timčaková Kristýna SLEDOVÁNÍ KARBONATACE BETONU METODOU NELINEÁRNÍ ULTRAZVUKOVÉ SPEKTROSKOPIE Smutný Jaroslav, Pazdera Luboš ANALYSIS OF DYNAMIC PARAMETERS OF RAIL FASTENING BY BORN-JORDAN TRANSFORMATION Galman Iwona BEHAVIOUR OF CLAY BRICK MASONRY WALLS UNDER CYCLIC COMPRESSION – INFLUENCE OF LOAD DIRECTION Galman Iwona ON UNLOADING METHOD DURING CYCLIC COMPRESSION OF MASONRY WALLS ON THEIR MECHANICAL PARAMETERS AND STRESS–STRAIN RELATIONSHIP Skrzypczyk Jerzy, Belina Aleksandra FEM ANALYSIS OF UNCERTAIN SYSTEMS WITH SMALL GP-FUZZY TRIANGULAR PERTURBATIONS Jendželovský Norbert, Baláž Ľubomír VPLYV ZEMETRASENIA NA VALCOVÉ NÁDRŽE Cybulski Robert, Walentynski Ryszard, Cybulska Monika NUMERICAL INVESTIGATION OF SINGLY CORRUGATED COLD-FORMED PANELS Cybulski Robert, Walentynski Ryszard, Cybulska Monika NUMERICAL INVESTIGATION OF DOUBLY CORRUGATED COLD-FORMED PANELS Križma Martin, Bolha Ľubomír DLHODOBÉ PRETVORENIA VYSTUŽENÝCH, SPEVNENÝCH, LINEÁRNYCH BETÓNOVÝCH PRVKOV Dudek Daniel, Knap Przemyslaw WPŁYW PARAMETRÓW MONTAŻOWYCH NA NOŚNOŚĆ ŁĄCZNIKÓW II th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Havran Jozef, Psotný Martin STABLE PATHS IN THE POSTBUCKLING OF AN IMPERFECT PLATE LOADED IN COMPRESSION Kšiňan Filip, Vodička Roman ANALÝZA ŠMYKOVÉHO SPOJENIA NA ROZHRANÍ OCEĽ- BETÓN S UVÁŽENÍM KOHÉZNEHO TYPU KONTAKTU A TRENIA Kováč Michal, Vaník Zsuzsanna GLOBÁLNY VZPER RÁMOV S PRIEHRADOVÝMI PRÚTMI Rduch Lukasz, Rduch Aleksandra REVIEW OF THE SOLUTION FOR THE CONSTRUCTION OF A SWIMMING POOL BASIN Rduch Lukasz, Rduch Aleksandra SELECTION OF THE OPTIMAL DESIGN SOLUTION FOR THE CONSTRUCTION OF A SWIMMING POOL BASIN Avila-Haro Jorge, Máca Jiří A COMPARISON BETWEEN METHODOLOGIES IN THE SEISMIC ASSESSMENT OF MASONRY BUILDINGS Hruštinec Ľuboš, Sumec Jozef ANALÝZA DEFORMÁCIÍ PLOŠNÝCH ŠTVORCOVÝCH ZÁKLADOV PREMENLIVEJ TUHOSTI Hokeš Filip VLIV REDUKCE POČTU NÁVRHOVÝCH PROMĚNNÝCH PŘI INVERZNÍ IDENTIFIKACI PARAMETRŮ NELINEÁRNÍCH MATERIÁLOVÝCH MODELŮ S POMOCÍ OPTIMALIZAČNÍCH ALGORITMŮ Verner Martin, Plachý Tomáš, Polák Michal EXPERIMENTÁLNÍ ANALÝZA CHOVÁNÍ DIVÁKŮ A JIMI VYVOLANÝCH VIBRACÍ TRIBUNY PŘI FOTBALOVÉM UTKÁNÍ Padevět Pavel, Bittnar Petr POROVNÁNÍ DOTVAROVÁNÍ CEMENTOVÝCH PAST S PŘÍMĚSEMI POPÍLKU Benčat Ján, Papán Daniel, Stehlíková Mária PROPAGATION OF VIBRATIONS DUE TO A TRAMWAY LINE Kowolik Bernard STRENGTH ANALYSIS OF THE BUILT-UP TRIHEDRAL COLUMN TAKING INTO ACCOUNT THE IMPERFECTIONS Kowolik Bernard ANALYSIS OF THE TEMPERATURE IN CROSS –SECTIONS OF BUILDING STRUCTURES EXPOSED TO FIRE Rokoš Ondřej, Máca Jiří HUMAN-INDUCED LOADS ON GRANDSTANDS AS NON-STATIONARY GAUSSIAN PROCESSES Véghová Ivana, Sumec Jozef MODELS AND MODELING OF PHENOMENA TRANSPORT IN CONTINUOUS BODIES Šnirc Ľuboš, Ravinger Ján STABILITY AND VIBRATION OF IMPERFECT CONTINUOUS BEAM III th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Partov Doncho, Kantchev Vesselin AGE ADJUSTED EFFECTIVE MODULUS METHOD (AAEM) OF BAŽANT VERSUS NUMERICAL SOLUTION WITH VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS IN INVESTIGATION OF COMPOSITE STEELCONCRETE BEAMS REGARDING CREEP OF CONCRETE Kupczyk Radoslaw THE INFLUENCE OF THE VARIOUS FACTORS ON THE STIRRUPS HOOK 90o ANCHORAGE CAPACITY Kupczyk Radoslaw THE INFLUENCE OF THE STIRRUPS ANCHORAGE HOOK SHAPE ON THE SHEAR CAPACITY OF REINFORCEMENT CONCRETE BEAMS Kováčiková Janka, Ivánková Oľga, Drobný Dušan VPLYV TVARU DEFEKTU NA VEĽKOSŤ NAPÄTÍ NA NOSNÍKU Tvrdá Katarína PROBABILISTIC SAFETY ANALYSIS Uliniarz Rafal A NEW ELASTO-PLASTIC CRITICAL STATE MODEL RU+MCC FOR OVERCONSOLIDATED SOIL Kečkemétyová Mária, Bock Igor AN OPTIMAL DESIGN PROBLEM FOR A MINDLIN-TIMOSHENKO BEAM VIBRATING AGAINST AN ELASTIC FOUNDATION Bock Igor DYNAMIC CONTACT OF BEAMS WITH RIGID OBSTACLES Kormaníková Eva FAILURE OF COMPOSITE MATERIALS WITH SHORT RANDOMLY ORIENTED FIBRES Harabinová Slávka, Kotrasová Kamila, Kormaníková Eva, Panulinová Eva NUMERICAL EXPERIMENT OF SOIL - LIQUID – COMPOSITE STORAGE TANK Zabáková Vráblová Kristína, Jendželovský Norbert, Konečná Lenka EXPERIMENTÁLNE OVERENIE VÝPOČTU PRVEJ VLASTNEJ FREKVENCIE DOSKY Z PLEXISKLA Kotrasová Kamila INFLUENCE OF MESH PARAMETER "PATTERN" FOR FLUID REGION USING 2D FLUID FINITE ELEMENTS Panulinová Eva, Harabinová Slávka, Kotrasová Kamila STABILITA SVAHOV OCHRANNEJ HRÁDZE Medvecká Soňa, Ivánková Oľga ANALÝZA VPLYVU SKLONU STĹPU NA REDUKCIU HORIZONTÁLNEHO PREMIESTNENIA VÝŠKOVEJ BUDOVY Polák Michal, Míčka Tomáš, Klier Tomáš, Plachý Tomáš, Šimler M. EXPERIMENTÁLNÍ ANALÝZA NADMĚRNÝCH VIBRACÍ VYBRANÝCH ZÁVĚSŮ ZAVĚŠENÉHO MOSTU Fajman Petr, Máca Jiří SCARF JOINTS WITH PEGS OR KEYS IV th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Pancza Dávid, Bock Igor DYNAMIC CONTACT OF MINDLIN-TIMOSHENKO BEAM WITH A RIGID OBSTACLE Hubová Oľga, Konečná Lenka VPLYV PRÚDENIA OKOLO VOĽNÝCH KONCOV OBJEKTU NA EXTERNÉ SÚČINITELE TLAKU VETRA Wieczorek Miroslaw EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF DESTRUCTION OF INTERNAL FIELD OF A SLAB-COLUMN STRUCTURE Wieczorek Miroslaw ANALYSIS OF FLAT SLABS CONNECTED WITH WIDE BEAMS Klabník Maroš NECHRÁNENÝ BETÓNOVÝ PRIEREZ ZA POŽIARU Marko Ľubomír THICKNESS OPTIMIZATION OF A DYNAMIC AXISYMMETRIC CIRCULAR PLATE ON AN ELASTIC FOUNDATION Slowik Leszek NUMERICAL ASSESSMENT OF THE TERRAIN SLOPE IMPACT ON DEFLECTION OF THE BUILDING FROM THE VERTICAL, IN MINING WORKS CONDITIONS Uliniarz Rafal THE INFLUENCE OF ORGANIC MATTER ON SOIL PROPERTIES AND ITS BEHAVIOR Tomašovičová Dominika, Jendželovský Norbert RIEŠENIE KONTAKTNÝCH ÚLOH POUŽITÍM MKP Venglár Michal, Sokol Milan, Ároch Rudolf, Budaj Ján EXPERIENCE WITH DYNAMIC MEASUREMENT OF THE PORT BRIDGE Slowik Ondřej, Lehký David, Šomodíková Martina, Novák Drahomír POST-TENSIONED COMPOSITE BRIDGE: RELIABILITY-BASED OPTIMIZATION OF SELECTED DESIGN PARAMETERS Otcovská Tereza, Padevět Pavel MIKROSTRUKTURA NEPÁLENÉ HLÍNY A JEJÍ SMRŠTĚNÍ PŘI VYSYCHÁNÍ Méri Dávid, Ivánková Oľga NÁVRH KONŠTRUKČNÉHO SYSTÉMU VÝŠKOVEJ OBYTNEJ BUDOVY NA ZÁKLADE JEJ STATICKEJ A DYNAMICKEJ ANALÝZY Cincio Andrzej, Kozlowski Marcin, Kadela Marta, Dudek Daniel NUMERICAL DEGRADATION ANALYSIS OF FOAMED CONCRETE BEAM Kozlowski Marcin, Kadela Marta, Gwozdz-Lason Monika XFEM FRACTURE ANALYSIS OF NOTCHED FOAMED CONCRETE BEAMS Baláž Ivan, Kamenická Zuzana, Koleková Yvonna HISTORICAL TIMBER BOTTOM BRIDGE IN GELNICA OVER HNILEC RIVER Hubová Oľga, Konečná Lenka, Králik Juraj Jr. CFD SIMULATED AIR-FLOW OVER A “QUARTER-CIRCULAR” OBJECT V th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Králik Juraj, Králik Juraj Jr., Klabník Maroš, Grmanová Alžbeta NONLINEAR PROBABILISTIC ANALYSIS OF THE FAILURE PRESSURE OF NPP HERMETIC COVER Wieczorek Barbara INFLUENCE OF THE DIAMETER OF THE REINFORCEMENT ON THE LOAD-BEARING CAPACITY OF THE BOTTOM REINFORCEMENT BARS PASSING OVER THE COLUMN Wieczorek Barbara THEORETICAL METHOD OF CALCULATION TO DETERMINATION OF AXIAL FORCE IN A REINFORCING BAR IN THE COURSE OF ITS DEFORMATION Hokeš Filip, Nevařil Aleš, Totková Lucie, Krňávek Ondřej NUMERICKÁ SIMULACE PROCESU DOTVAROVÁNÍ A SMRŠŤOVÁNÍ BETONU NA SUBMODELU PROFILU OCELOBETONOVÉHO SPŘAŽENÉHO MOSTU Nevařil Aleš, Hrubý Pavel, Totková Lucie MODELLING OF LAMELLAR BREATHING EFFECT Olekšáková Ivana, Hubová Oľga EXPERIMENTÁLNE STANOVENIE TLAKOV NA STRECHE KOCKY Hüttner Miloš, Máca Jiří, Fajman Petr LANOPLACHTOVÁ KONSTRUKCE – NUMERICKÁ ANALÝZA A PRAKTICKÁ APLIKACE Prekop Ľubomír MODELOVANIE A STATICKÁ ANALÝZA POTRUBNÉHO MOSTA Prekop Ľubomír NUMERICKÉ OVERENIE ZAŤAŽOVACEJ SKÚŠKY PILOTY Novák Drahomír, Lehký David, Slowik Ondřej, Řoutil Ladislav FROM FRACTURE EXPERIMENTS TO ADVANCED DESIGN AND ASSESSMENT OF PRECAST STRUCTURAL MEMBERS Hollý Ivan, Gajdošová Katarína, Sonnenschein Róbert KORÓZIA VÝSTUŽE V BETÓNE A JEJ VPLYV NA SÚDRŽNOSŤ VI th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS WARMING OF VARIOUS TYPES OF EBR FRP UNDER DIRECT SUN EXPOSITION R. Krzywon1 Abstract The negative impact of elevated temperature on polymers is well known. For epoxy adhesives that are commonly used in strengthening systems of FRP EBR as dangerous temperature is considered to 50°C. At this temperature they can start process called glass transition meaning the rapid decrease of the modulus of elasticity. The paper gives an overview of selected studies on this subject. In the second part shows the results of temperature measurements of several samples subjected to direct exposure of the sun for summer conditions in the southern Poland. Finally, on the basis of the received results, recommendations for the protection of composites from the sun are formulated. Key Words FRP strengthening; epoxy resin; glass transition temperature; sun exposition. 1 INTRODUCTION Externally bonded, fiber-reinforced laminates has become very popular in strengthening of existing RC structures. Their success results from the advantages, such as mechanical properties, high strength-to-weight ratio and relatively good durability. However, the FRP-strengthening technique is not free of weaknesses, the most severe seems to be a lack of resistance to elevated temperatures. This applies poor performance under fire but also other environments where high temperatures may occur, including areas exposed to direct sun exposure. FRP strengthening system is based on the polymer materials (matrix material joining the fibers of FRP laminates, primer for the concrete substrate, the bonding adhesive/resin). Most commonly used epoxies have a relatively low glass transition temperature Tg, estimated in the range of 45°C to 82°C [1, 6]. When an epoxy polymer is subjected to a service temperature over Tg, it transforms into a soft and viscous material. As a result, the bond strength between the FRP laminate and the concrete substrate deteriorates. At a temperature of 100°C around 50% to 80% of the bond strength can be lost [5, 10]. The second of the aspects of sun exposure is the UV resistance of FRP laminates. Article not addressed this issue, however UV resistance can be simply improved by addition of chemical stabilizers. 2 GLASS TRANSITION TEMPERATURE AND THE BOND PROPERTIES The term “glass transition temperature” does not mean precisely determined value of temperature leading to a sudden changes of material properties. Transition from a solid (glasslike) to a rubberlike or viscous state is a continuous process passing in temperature range of about 10÷20°C [8]. Figure 1 shows a schematic decrease of the elastic modulus as a function of the temperature. It can be observed that the initial decrease of the modulus of elasticity is slow, then accelerates and finally reaching the rubber state slows again. The temperature at which 1 Dr. Eng. R. Krzywon, Silesian University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Akademicka 5, 44-100 Gliwice, Poland, +48 32 2372262, rafal.krzywon@polsl.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava the decrease has clearly higher rate is defined as glass transition temperature. Standards in different ways define the value of the glass transition temperature (Fig. 1). As can be observed, the evaluation technique may provide to large differences in values of Tg. Glass transition is usually considered by Differential Scanning Calorimetry or Dynamic Mechanical Analysis. Differences in those two methods makes that they usually provide to slightly different results for identical curing conditions [11]. Fig. 1. Graphic interpretation of glass transition temperature according to actual standards Michels [11] measured the glass transition temperature of three commercially available epoxy resins used for structural strengthening of concrete members with CFRP strips. They were S&P Resin 220, Sikadur 30 and Sikadur 30 LP. Finally measured glass transition temperatures showed relatively low values, of about 40÷50 °C. What is important, they are in the range of service temperatures that might occur in civil structures. Glass transition temperature growths with the epoxy resin's age. Laboratory tests carried by Mousa [12] on samples aged in room conditions showed an increase of Tg from the initial 43 °C to 62 °C. Between the period of one to seven years, growth was approximately quasi-linear. Comparative samples cured outdoors showed even better increase due to their exposure to variable temperature ranges (> 30°C during summer). In terms of practical applications, this may imply that an epoxy resin will lose its stiffness under higher glass transition temperatures, nevertheless, this improvement requires post-curing of an unstressed and unloaded externally bonded CFRP reinforcement [11]. Accelerated curing at high temperature gives a stronger chain cross-linking. It allows the resin to exhibits higher values for Tg. Thanks to that phenomenon, the heating is effective post-curing method, allowing for enhancement of glass transition temperature. Othman [13] studied behavior of strips made of Sikadur 330 epoxy resin, cured at either 24±1ºC in the laboratory or 50±1ºC in a drying oven. They were tested in 3, 7, 14 or 28 days after casting. Samples cured in dry conditions at 50°C reached a glass transition temperature after 28 days of 85°C, 22°C higher than cured at 24°C. A little worse growth was observed for saturated adhesive (57°C and 68°C). Carbas [4] performed the thermal influence tests for various curing temperatures. He found a significant correlation between the curing temperature of the epoxy adhesive and the glass transition temperature. For specimens made of Araldite® 2011 optimum cure temperature was equal to 60°C. Over that temperature the decrease in the Tg appeared. Another factor which may decrease the glass transition temperature is the moisture content. Moisture affects the Van der Waals bonds between polymer chains and play an important role in physical ageing, reducing the Tg. Cited tests of Othman [13] are showing minimal effect of time aging on growth of Tg, regardless of the curing conditions (normal or heating). Heating effect is visible only in the initial phase of curing, after 3 days samples cured at 50°C reached a Tg equal to 67°C when cured in normal conditions only 55°C, a further increase of Tg up to last measure in 28th day in both cases did not exceed 2°C. As described earlier, above the Tg value the mechanical properties of the resin will significantly decrease and the material changes from a hard and glass-like material to a more rubber-like material. The reduction of the mechanical properties of the adhesive at elevated temperatures has relevant importance for the strengthened structures, mostly in relation to the bond performance. In fact, the effectiveness of the externally adhered FRP 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava reinforcement significantly depends on the properties of the FRP–adhesive and adhesive–concrete interfaces. Knowledge about the reduction of the properties of the FRP–concrete interface at elevated temperatures is crucial for durability and unfortunately still very limited. Tadeu [14] has studied the effect of elevated service temperature (20, 30, 60, 90 and 120°C) on the bond between external steel reinforcement and concrete. In the double face shear tests he observed a significant decrease of the failure load with increasing the temperature. Comparing to the specimens tested at room temperature (20°C) the largest observed drop of the bond strength was 31.8% for the specimens tested at 30°C, 55.3% at 60°C; 72.2% at 90°C and 92.7% at 120°C. Bending tests performed by Aguiar [2] showed a rapid loss of resistance when cyclic thermal degradation increased to or above a temperature of 60°C. Specimen tested at 60°C lost almost 50% of capacity growth given by strengthening, while at 80°C there was no visible effect of strengthening in comparison to not strengthened beam. Gamage [7] tested nine specimens in bonding test at elevated temperatures. He reported, that the adhesive bond strength between the CFRP sheet and the concrete is not visibly affected by the epoxy temperature under 36°C, while rapid strength loss appears when the epoxy reaches the temperature range between 60°C and 70°C. Slightly different characteristic of the failure load was obtained by Klamer [9]. His double face shear tests were conducted at a different temperatures (-20 °C, 20 °C, 40 °C, 50 °C, 70 °C, 80 °C or 100 °C). He tested FRP strips, with adhesive layer 1.2 mm and 1.5 mm thick, the bond length was 300 mm. Klamert noted, that the ultimate load increased up to 50 °C, while it decreased above that temperature (19%). Authors observed also two models of debonding. The specimens tested at temperatures from -20°C till 50°C failed in an brittle way by failure of the concrete at the interface with the adhesive (leaving a small layer of concrete attached to the adhesive), while the specimens tested at temperatures higher than 50°C failed at the adhesive layer (no concrete remained attached to the adhesive). Similar growth of resistance was observed by Blontrock [3]. In double face shear tests on concrete specimens reinforced with CFRP laminates at service temperatures of 20°C, 50°C, 65°C and 75°C he reported constant ultimate capacity from 20 to 50°C (the failure load increased around 5%). The comparison with the specimens tested at 75 °C showed a decrease of the bond strength of around 38%. Leone [10] provided double-face pure shear test at temperatures: 20°C, 50°C, 65°C and 80°C. She used a three types of FRP reinforcement: CFRP sheet and laminate and GFRP sheet. The maximum bond stress decrease was observed at 80 °C in comparison to the room temperature (54% in the case of CFRP sheet, 72% for GFRP sheet and 25% for CFRP laminate). Concluding the presented researches it can be stated, that the beginning of weakening resulting from the glass transition temperature appears in a temperature range of 40°C ÷ 50°C. Above 50°C occurs rapid decrease in adhesion, and its effects are visible not only as a drop in load capacity, but also as change of the model of destruction. Specimens tested below 50°C show cohesion failure within the concrete, while under higher temperatures, an adhesion failure at the interface may be observed. The initial transfer length (related to the anchorage length) increases 2,5–3 times with the temperature (when compared to that at 20 °C) [10]. 3 WARMING TESTS OF EBR FRP LAMINATE UDER SUN EXPOSURE 3.1 Outline of the experiment Four samples were prepared, two concrete and two timber. Dimensions of concrete specimens were 350 mm x 350 mm x 60 mm. On their upper surface there was adhered samples of strengthening materials. These are CFRP strip 60x1,4mm, one layer of CFRP laminate, SRP tape type 3X2-12 (Steel Reinforced Polymer) with unfinished surface and finished by sand plaster. Timber prisms dimensions were 250 mm x 150 mm x 80 mm. They were made of pine wood. One of them was finished with the CFRP strip 60x1,4mm, second unfinished SRP tape 3X2-12. The thickness of the adhesive layer was about 1 mm. CFRP sheet was laminated with S&P Resin 55, the remaining samples adhered with the use of SikaDur 330. Resistant thermocouples Pt100 where used to measure thermal changes, one placed inside each specimen, and two in the adhesive layer under each sample of strengthening. Measures were recorded using RTD thermometer type CHY 804. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 2. Test set-up Figure 2 shows the schematic set-up and the samples during the measures. The samples were exposed to direct sunlight in open air. There was no protection against wind, no shadow. Conditions were chosen to simulate reality as well as possible. Temperature measurements were carried out in the warmest days of June, July and August. Samples were sunny hours on average from 6.00 am to 6.00 pm. 3.2 Temperature measures Figure 3 presents the maximum measured daily temperatures during selected days of the test period. Additionally information about weather conditions is added (air temperature, cloudness). As can be seen, for all models recorded temperatures exceeded 50°C. The highest increases were observed for timber specimens. This phenomenon can be explained by good thermal resistance of timber, and consequently worse transfer of heat from the surface of the sample. Samples based on carbon fibers heat up a little more than SRP. It is probably associated with black color of CFRP. The temperature is more dependent on the intensity of sun exposure (the height of the sun above the horizon, purity of the sky) than the air temperature. The highest temperatures occur in the early hours of the afternoon, around 2 pm. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 3. Measured maximum daily temperatures of the adhesive layer 4 CONCLUSION Solar exposure may induce adhesive temperatures that can attain values higher than 60°C. It means, that even in solar exposure of a strengthened concrete or timber element, it is possible to achieve temperatures high enough to cause some problems. What is important, only one exceeded the glass transition temperature is enough to lose the efficiency of externally bonded strengthening. Temperature seems to be one of the most danger actions that must be considered into account from a design point of view. On the basis of the Tg there should be given limit service temperature. The epoxy adhesive is very sensitive to exceeded temperatures. Use of strengthened systems bonded with epoxies in warm locations needs to be carried out very carefully. The structural designer has to evaluate suitability of epoxy adhesive for a specific strengthening application foreseeing the structure's temperature exposure. For higher service temperatures the bond stress slip reduction should be taken into account. Nevertheless safer and more efficient method is to select epoxies with an elevated Tg (usually cured in elevated temperatures) or to provide the application of protective insulation systems. REFERENCES [1] ACI (American Concrete Institute). (2008). “Guide for the design and construction of externally bonded FRP systems for strengthening concrete structures.” ACI 440.2 R-08, Farmington Hills, MI. [2] Aguiar J. B., Camoes A., Vaz N. F.: Effect of temperature on RC elements strengthened with CFRP. Materials and Structures (2008) 41, p. 1133–1142. [3] Blontrock H, Taerwe L, Vanwalleghem H.: Bond testing of externally glued FRP laminates at elevated temperature. In: Proceeding of the international conference ‘‘bond in concrete- from research to standard”, Budapest, Hungary, 2002, p.648–54. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [4] Carbas R.J.C., Marques E.A.S., Lopes A.M., da Silva L.F.M.: Effect of cure temperature on the glass transition temperature of an epoxy adhesive. Proceedings of the 15th International Conference on Experimental Mechanics ICEM2015, University of Porto 2012. [5] Dai, J. G., Gao, W. Y., and Teng, J. G. (2013). “Bond-slip model for FRP laminates externally bonded to concrete at elevated temperature.”, J. Compos. Constr., pp. 217–228. [6] fib (Féderation International du Béton). (2001). “Externally bonded FRP reinforcement for RC structures.” fib Bulletin 14, fib Task Group 9.3, Lausanne, Switzerland. [7] Gamage J.C.P.H., Wong M.B., Al-Mahaidi R.: Performance of CFRP strengthened concrete members under elevated temperatures. Proceedings of the International Symposium on Bond Behaviour of FRP in Structures (BBFS 2005), p. 113-118. [8] Hülder G., Dallner C., Ehrenstein G.W.: Curing of epoxy-adhesives for the supplementary reinforcement of buildings with bonded CFRP-straps (in German). Bauingenieur 2006; 81:449-454. [9] Klamer E.L., Hordijk D.A., Kleinman C.S.: Debonding of CFRP laminates externally bonded to concrete specimens at low and high temperatures. Proceedings of Third International Conference on FRP Composites in Civil Engineering (CICE 2006) December 13-15 2006, Miami, Florida, USA [10] Leone, M., Matthys, S., and Aiello, M. A. (2009). “Effect of elevated service temperature on bond between FRP EBR systems and concrete.”, Compos. Part B Eng., 40(2009), pp. 85–93. [11] Michels J., Widmann R., Czaderski C., Allahvirdizadeh R., Motavalli M.: Glass transition evaluation of commercially available epoxy resins used for civil engineering applications. Composites Part B 77 (2015) p. 484-493. [12] Moussa O., Vassilopoulos A.P., Castro J.D., Keller T.: Long-term development of thermophysical and mechanical properties of cold-curing structural adhesives due to post-curing. Jornal of Applied Polymer Science 2013;127(4):2490-2496. [13] Othman D., Stratford T. J., Bisby L. A.: A Comparison of On-Site and Elevated Temperature Cure of an FRP Strengthening Adhesive, Proceedings of the FRPRCS11, UM, Guimarães, 2013. [14] Tadeu A., Branco F.: Shear tests of steel plates epoxy bonded to concrete under temperature. Journal of Materials in Civil Engineering 2000;12(1):74–80. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS LABORATORY TESTS OF RC BEAMS UNDERREINFORCED IN SHEAR ZONE AND STRENGTHENED WITH SRP OVERLAYS R. Krzywon1 Abstract The laminates reinforced with steel wires made of UHTS steel only slightly inferior popular carbon strips in mechanical properties. Competitive price makes it increasingly willing to apply it to strengthen concrete structures. The paper presents the results of laboratory tests of beams underreinforced in shear zone and strengthened along the side surfaces by the L-type overlays made from SRP tapes. In addition, in order to ensure a high load-bearing bending capacity, beams were strengthened against bending. The effectiveness of reinforcement in a comparative test of unreinforced model was analyzed including ultimate capacity, deflection, failure model and strains. Key Words Steel Reinforced Polymers; FRP Strengthening, UHTS steel. 1 INTRODUCTION Nowadays market offers a wide range of high strength fibers with different mechanical properties and price. Probably the most popular are organic carbon fibers, but it is not always necessary to apply the most expensive product, especially when similar properties can offer also modern steel. An alternative could be found among the other organic fibers (glass, aramid), but also steel industry offers comparative product. This is SRP (Steel Reinforced Polymer), initially used as blast protective material, later introduced to the construction industry. Based on ultra-high tensile strength steel) tapes are representing a relatively new material which can be used as reinforcement of composite. It is made of steel wires twisted into the strands (Fig. 1a) This processing gives better bond with composite matrix, forming mechanical interlock and additionally integrates filaments. The negative effect of this treatment is slight deterioration of mechanical properties. Unidirectional tendons are joined into a fabric by knitting in the transverse yarns based on glass fibers (Fig. 1b). Coupled fabric can be stretched or bent, without losing its integrity. Producer offers three groups of cord densities, adjusted to the required fabric parameters – 4, 12 and 20 cords per inch. Filaments in actually produced fabrics are spaced up to 6mm in light, what allows the use of a wide range of matrices with different viscosity: from high viscosity epoxy resins to the cementitious mixtures. Especially in the second case are possible special applications, such as the renovation of historic structures. Ultra High Tensile Steel is about 5 times stronger than normal one. So good mechanical properties are obtained by proper selection of chemical composition, heat and mechanical treatment allowing to build the crystal structure of pearlitic steel. The carbon content of steels of this type is in the range of 0.8-0.96 %. Steel in the form of wire is treated by drawing to a diameter of 0.20-0.35 mm. Such steels have better strength properties and good ductility. 1 Dr. Eng. R. Krzywon, Silesian University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Akademicka 5, 44-100 Gliwice, Poland, +48 32 2372262, rafal.krzywon@polsl.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Another important aspect in terms of the cost and easiness of application, is the weight of the tapes. Composites based on steel wires are, in dependence of filaments density, up to five times lighter than steel. Those advantages are creating possibilities of wide range of applications in practice, they are used for strengthening slabs, beams, ring beams, columns, nodes in frame structures, walls, wall panels. Fig. 1. The most popular 3x2 cord type and SRP tape Effectiveness of SRP strengthening in terms of capacity has been confirmed in many laboratory trials. In the bending tests of Mitolidis et al. [6], flexural strengthening of R/C beams with SRP strips allowed to increase the loading capacity by 90% for specimens compared to the unstrengthened one. Slightly smaller effect reached Wobbe et al. [7] and Ceroni et al [2], reaching the strengthening level of 70% and Huang et al. [3], who noticed a strength increase of about 30%. Less impressive results were achieved in enhancing the deflection capacity. Mitolidis et al. [6] noticed just 17% reduction of deflection, Ceroni et al. [2] did not found any advantageous effect, deflections were similar to those recorded for the unstrengthened beams. This outcome is understandable since the deflection is more influenced by the active cross-section of the concrete. Better results can be realized only by prestressing of SRP tapes. That was proved by Balsamo et al. [1], he achieved more than 20% reduction of the ultimate load, and much spectacular result for service load levels. 2 MECHANICAL PROPERTIES OF THE UHTS STEEL AND SRP/SRG TAPES As other FRP reinforcing materials, also SRP composites have an excellent tensile strength in the direction of the filaments and negligible strength in the transverse direction. It is the result of a one-way orientation of steel cords, transverse properties are mainly provided by additional glass fibers (knitting yarns) and polymeric matrix of laminate. It means, that the arrangement of the fabric must be aligned to the direction of principal tensile stresses in the structure. Theoretically the strength of the iron crystals is estimated to reach 10000 - 13000 MPa. Today, drawing technology allows to get the structural pearlitic steel of strengths up to 6000MPa for wires with diameters of 40 microns. Wires used in the production of SRP fabrics have a diameter of 2mm and strength of up to 3500MPa. Comparing the mechanical properties it can be stated that the UHTS steel rival carbon fibers and is significantly better than the glass and aramid fibers. Because of the large carbon amount, ductility is not comparable with conventional steels, however still is much better than most of the composites based on high-strength organic fibers. In addition, used steel fibers are continuous, so that there are no special requirements for quality of matrix ensuring adherence to the reinforced element. The matrix does not have to transfer the shear forces between the fibers, what allows to use a relatively large spacing between strands. Stress – strain relationship of SRP laminate is nearly linear in the range of 80% of total strength. As for the other high carbon steels, there is no visible yield level and only a slight weakening appears just below the rupture level. As was pointed by the author of this contribution in the study [4]. simplification of the nonlinear stressstrain relationship by constant modulus of elasticity, equal to 200 GPa only slightly worsens the accuracy of the design models. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 3 October 2015, Bratislava EXPERIMENT SET-UP The article reports comparative tests on 3 full scale RC beams strengthened using SRP tapes and CFRP strips. Compared parameters were capacity, total deflection, cracking and debonding strain. Investigation, due to the number of models had a reconnaissance character. In details test included: • one reference beam, strengthened in bending zone using 2 layers of SRP 3X2-12 tape without additional shear reinforcement, further described as BWSRV, • one beam strengthened in bending zone with 2 layers of SRP 3X2-12 and along the shear zone double-sided strengthened with L-type overlay made of single layer of SRP 3X2-12, further described as USRV1, • one beam strengthened in bending zone with 2 layers of SRP 3X2-12 and along the shear zone double-sided strengthened with L-type overlay made of single layer of SRP 3X2-12, additionally equipped with an innovative strain tensor based on carbon fibers, further described as USRV2. Fig. 2. Details of the specimens (test scheme, measurements) All the beams were tested in four point bending showed in Figure 2. The mean cube compressive strength of concrete was 44.7MPa, and the tensile strength of concrete estimated from the Brazilian probe had a mean value of 3.2MPa. All the specimens were reinforced with combination of three Ø12 ribbed bars (fy=570.1MPa, fu=660.8MPa at 11%) and two Ø8 ribbed bars (fy=588.2MPa, fu=635.4MPa at 8%) along the bottom and two Ø8 ribbed bars along the top. Shear reinforcement, made of double cut stirups Ø6 was placed rarely (distance 150mm) to achieve effect of shear weakening. Reinforcement set-up is shown in Figure 3. Fig. 3. Reinforcement set-up In accordance with the recommendations of the manufacturers of the SRP systems Sikadur 330 was used for the lamination of the SRP tape (due to the high density of strands tape SRP require the use of products with a viscosity intermediate between the conventional adhesives and resins). In addition, to improve bond performance, the day before application beams were impregnated with the S&P Resin 55. 4 TEST RESULTS The experimental tests evidenced the good effectiveness of SRP tapes used as shear strengthening. Both tested beams achieved a relevant flexural strength increase compared with the reference one. The main results are summarized in Table 1 reporting the failure force, cracking force, maximum deflection, the strain of the composite in the midspan zone, in the support zone (anchorage debonding strain) and the vertical strain in the shear zone. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Beam Shear overwrap BWSRV USRV1 USRV2 no yes yes Failure force [kN] 84,1 96,2 105 Max deflection [mm] 12,63 20,34 25,5 Midspan strain [‰] 3,94 7,74 9,63 October 2015, Bratislava Anchorage strain [‰] 1,24 1,14 3,06 Shear strain [‰] 1,59* 1,04 3,06 Tab. 1. Comparison of main test results (* before a strain gauge failure) 4.1 Failure model Reference model was destroyed by delamination of SRP tape going from the edge of shear crack. Despite the significant shear crack opening and the steel yield of stirrups, finally BWSRV beam failed due to bending after detachment of flexural strengthening. It should be underlined that the described failure model is not the effect of tape delamination the tape, but separation of the part of concrete cover appearing with the development of an diagonal crack. For the first time, it was described by Meier [5]. Other beams, strengthened in shear zone, were failed after the delamination occurred in the adhesive. Figure 4 shows the form of the destruction of the BWSRV and USRV1 beam. For all the strengthened beams, first cracking appeared when the maximum moment was in the range 27÷30 kNm. There was no visible differences in the cracking propagation for the tested beams, however, strengthening of the shear zone made complete observation impossible. Fig. 4. Observed forms of destruction: BWSRV detachment of concrete cover; USRV1 delamination under overwraping. 4.2 Ultimate capacity Transverse reinforcement of the shear zone allowed to significant raise of carrying capacity of both strengthened models. USRV1 beam attained a mean load increasing of about 15%, while the USRV2 beam 26%. Better results obtained in a USRV2 model are due to application of additional reinforcement in the zone of constant bending moment. It has a form of strain gauge made of carbon fibres. L-type overlays made from SRP-3x2 proved to be a much more effective form of anchoring than also tested overwrapping with CFRP sheet (although it was not a full wrap). This is probably related to the increased transverse rigidity of the SRP laminate. The moment-deflection curves are reported in Figure 5. As the flexural strengthening of all the beams were identical, the differences in the first phase are almost imperceptible, only for loads close to the ultimate limits deflection begin to grow faster, which is due to the development of diagonal crack and deformation of shear zone. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 5. Load - deflection curves for tested specimens 4.3 Ultimate strains The effectiveness of the SRP strengthening may be proved by observed vertical strains of laminate. They are highest approximately in the half of distance between the support and the point of load transfer. Those strains are shown in Figure 6. Although during the tests shear failure was not achieved, but it should be noted, that in the USRV2 model maximum strain reached already a high value of 3 ‰. Observed delamination strain in the midspan zone was greater than 7‰ (excluding reference beam). These values are consistent with the Wobbe [7] and Balsamo studies [1]. Anchorage strains ares generally up to 3 times lower than midspan once. The largest measured strain near the support zone was 3,06‰. Fig. 6. Transverse strains of laminate of USRV1 beam 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 5 October 2015, Bratislava CONCLUSIONS Described tests of SRP shear strengthened beams, due to the short series, should be considered as reconnaissance, although they indicated the potential of SRP tape as an additional shear reinforcement, playing also the role of anchorage for flexural strengthening. This research will be continued for other forms of wrap in the shear zone. ACKNOWLEDGEMENT Research program partly supported by the National Science Centre of Poland, grant no 1231/B/T02/2011/40. REFERENCES [1] Balsamo A., Nardone F., Iovinella I. Ceroni F.: Flexural strengthening of concrete beams with EB-FRP, SRP and SRCM, Experimental investigation, Composites: Part B 46 (2013) pp. 91-101. [2] Ceroni F., Pecce M., Prota A., Manfredi G.: Flexural Strengthening of RC Beams using Emerging Materials: Cracking Behavior. Proceedings of FRP Composites in Civil Engineering – CICE 2004, Adelaide, Australia 2004. [3] Huang X, Birman V, Nanni A, Tunis G.: Properties and potential for application of steel reinforced polymer (SRP) and steel reinforced grout (SRG) composites. Composites: Part B 2005; 36 (1): pp. 73–82. [4] Krzywon R.: Properties of steel reinforced polymers in comparision with other fiber reinforced composites. Proceedings of 11th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, Slovakia 2013, pp. 121-122 + pendrive. [5] Meier U., Strengthening of structures using carbon fibre/epoxy composites. Construction and Building Materials, Vol. 9, No. 6, Elsevier Science, Great Britain, 1995. [6] Mitolidis G. J., Salonikios T. N., Kappos A. J.: Test results and strength estimation of R/C beams strengthened against flexural or shear failure by the use of SRP and CFRP, Composites: Part B 43 (2012) pp. 1117-1129. [7] Wobbe E, Silva Pf, Barton Bl, Dharani Lr, Birman V, Nanni A, Alkhrdaji T, Thomas J, Tunis T.: Flexural capacity of RC beams externally bonded with SRP and SRG. In: Proceedings of SAMPE symposium, Long Beach, Ca, USA; 2004. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS VZTAH MEZI VYBRANÝMI TRVANLIVOSTNÍMI A LOMOVÝMI PARAMETRY MODIFIKOVANÝCH OMÍTEK S LEHKÝM KAMENIVEM H. Šimonová1, M. Vyšvařil2, T. Žižlavský3, Z. Keršner4, P. Schmid5 a P. Rovnaníková6 Abstract Comparison of values of mechanical and fracture properties (compressive strength, modulus of elasticity, effective fracture toughness, and specific fracture energy) and durability (frost resistance coefficient) parameter of mortars with waste brick powder and light aggregate are introduced. Brick powder was added into mortars, and sand 0–4 mm was replaced in amount of 25, 50, 75 and 100 % of weight by light aggregate from burnt clays. Effective fracture toughness was measured using the Effective Crack Model, which combines the linear elastic fracture mechanics and effective crack length approaches. A three-point bending test of a specimen with a central edge notch is used in this approach. The nominal size of the notched beams was 40×40×160 mm, the depth of the central edge notch was about 1/3 of the depth of the specimen, and the loaded span was equal to 120 mm. A continuous record of the load–deflection (F–d) diagram was obtained for computation of this value. An estimation of the fracture energy was computed from the recorded F–d diagram according to the RILEM method (work-of-fracture). Klíčová slova Vápenná omítka; cihelný prach; lehké kamenivo; pevnost v tlaku; modul pružnosti; lomové parametry; mrazuvzdornost. 1 ÚVOD Historické technologie přípravy vápenných malt využívaly přídavky různých reaktivních příměsí, které zvyšovaly hodnoty mechanických vlastností omítek. Jedním z často používaných reaktivních materiálů je jemně drcený, nebo mletý keramický střep [1, 2]. Při obnově fasád historických staveb je požadavek na obdobné 1 Ing. Hana Šimonová, Ph.D., Vysoké učení technické v Brně (VUT), Fakulta stavební (FAST), Ústav stavební mechaniky, Veveří 331/95, 602 00 Brno, Česká republika, tel. +420-541 147 116, e-mail simonova.h@fce.vutbr.cz. 2 Mgr. Martin Vyšvařil, Ph.D., VUT FAST, Ústav chemie, tel. +420-541 147 639, e-mail vysvaril.m@fce.vutbr.cz. 3 Bc. Tomáš Žižlavský, VUT FAST, Ústav chemie, e-mail zizlavskyT@study.fce.vutbr.cz. 4 Prof. Ing. Zbyněk Keršner, CSc., VUT FAST, Ústav stavební mechaniky, tel. +420-541 147 362, e-mail kersner.z@fce.vutbr.cz. 5 Doc. Ing. Pavel Schmid, Ph.D., VUT FAST, Ústav stavebního zkušebnictví, tel. +420-541 147 491, e-mail schmid.p@fce.vutbr.cz. 6 Prof. RNDr. Pavla Rovnaníková, CSc., VUT FAST, Ústav chemie, tel. +420-541 147 633, e-mail rovnanikova.p@fce.vutbr.cz. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava složení opravné či doplňující malty, proto byla věnována pozornost vápenným maltám s přídavkem cihelného prachu také v tomto příspěvku. Pucolánová aktivita cihelného prachu vykazuje upraveným Chapelleho testem spotřebu 400 až 600 mg Ca(OH)2/1 g střepu v závislosti na jeho měrném povrchu. V maltách lze snížit množství primárního pojiva, vápna a/nebo cementu, a nahradit tato pojiva cihelným prachem až do množství odpovídajícímu pucolánové aktivitě. Cihelný prach je v současné době k dispozici ve velkých objemech, vzniká jako odpad při broušení kalibrovaných tepelně-izolačních cihelných bloků, které se již neukládají do ložné malty, ale pojí se tenkou vrstvou speciálního tmelu. Vápenné (LV) a vápenocementové (LVC) malty vykazují nízkou mrazuvzdornost; zvýšení počtu zmrazovacích cyklů, kterým by malty odolaly, bylo řešeno úplnou či částečnou náhradou křemenného písku lehkým kamenivem – liaporem. Byly vyrobeny série zkušebních těles také pro lomové experimenty – tříbodové ohyby trámců s centrálním zářezem – a z odezvy těles na kvazistatické zatěžování se stanovovaly základní lomověmechanické parametry. Obsahem nabízeného příspěvku je vztah mezi pevnostmi, lomovými parametry a technologickými charakteristikami (vodním součinitelem a mrazuvzdorností) zkoumaných omítek. 2 MATERIÁL A ZKUŠEBNÍ TĚLESA Vápenné a vápenocementové malty s liaporem byly připraveny z vápenného hydrátu CL90-S (Carmeuse, s. r. o. Mokrá), cihelného obrusu FAMILY (Heluz cihlářský průmysl v. o. s., závod Hevlín), portlandského cementu CEM I 42,5 R (Českomoravský cement, a. s. Mokrá), křemenného písku 0–4 mm a liaporu 0–4 mm (Lias Vintířov, lehký stavební materiál, k. s.). Složení směsí a jejich označení je uvedeno v tabulce 1. Vápenný hydrát [g] Cihelný obrus [g] Liapor [g] Písek 0–4 mm [g] Voda [ml] Vodní součinitel [–] Vápenný hydrát [g] Cihelný obrus [g] Cement [g] Liapor [g] Písek 0–4 mm [g] Voda [ml] Vodní součinitel [–] LV-I-5-5 50 50 50 0 128 1,28 LVC-I-5-5 50 50 25 50 0 120 0,96 LV-II-5-5 50 50 37,5 12,5 110 1,10 LVC-II-5-5 50 50 25 37,5 12,5 95 0,76 LV-III-5-5 50 50 25 25 85 0,85 LVC-III-5-5 50 50 25 25 25 80 0,64 LV-IV-5-5 50 50 12,5 37,5 78 0,78 LVC-IV-5-5 50 50 25 12,5 37,5 65 0,52 Tab. 1. Složení vápenných a vápenocementových malt Konzistence čerstvých malt, stanovená podle ČSN EN 1015-3, byla nastavena na rozliv 160±5 mm. Z připravených směsí byla vyrobena zkušební tělesa pro stanovení pevnosti v tlaku, mrazuvzdornosti a lomových parametrů. 3 ZKOUŠKY MRAZUVZDORNOSTI Stanovení mrazuvzdornosti malty bylo provedeno podle ČSN 72 2452 Zkouška mrazuvzdornosti malty. Mrazuvzdornost se zkouší na tělesech 40×40×160 mm. Pro zkoušku se zhotoví potřebný počet sad, přičemž každá sada sestává ze tří zkušebních těles. Počet sad se stanoví s ohledem na předpokládanou mrazuvzdornost. Zkušební tělesa se nasytí vodou předepsaným způsobem a ihned po nasycení se zmrazují. Jeden zmrazovací cyklus sestává nejméně ze 4 hodin zmrazování v mrazicím boxu při teplotě -20±3°C a nejméně 2 hodin rozmrazování ve vodě o teplotě +20°C. Po ukončení zmrazovací etapy se tělesa zváží, změří a stanoví se pevnost v tahu za ohybu Rf a tlaku Rc. Zkouška musí být provedena nejpozději do 30 minut po vyjmutí těles z vody. Jedna sada se zkouší na začátku zmrazování, další sady po ukončení zmrazovacích etap. Jako výsledek zkoušky se uvádí součinitel mrazuvzdornosti Sm, vypočítaný podle vztahu Smf=RfSi/RfREF, resp. Smc=RcSi/RcREF, kde RfSi je pevnost v tahu za ohybu a RcSi pevnost v tlaku pro tělesa ze směsi Si, RfREF a RcREF představují pevnost v tahu za ohybu a pevnost 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava v tlaku referenční nezmrazované malty. Poznamenejme, že zmiňované pevnosti jsou aritmetickými průměry typicky ze tří měření. Malta se považuje za mrazuvzdornou na ten počet zmrazovacích cyklů, při kterém je pokles k pevnostem nezmrazovaných těles menší než 25 %. Pro účely této studie bylo zvoleno 15 zmrazovacích cyklů pro jednu etapu zkoušky. 4 LOMOVÉ ZKOUŠKY Zkušební tělesa o nominálních rozměrech 40×40×160 mm byla před lomovou zkouškou opatřena uprostřed délky diamantovou pilou zářezem přibližně do třetiny výšky vzorku. Zkoušky tříbodovým ohybem (rozpětí podpor 120 mm) – proběhly na mechanickém lisu Heckert FP 10/1, přičemž zatěžování zkušebních vzorků probíhalo spojitě za požadavku konstantního přírůstku posunu – průhybu uprostřed rozpětí. Během zatěžování byly zaznamenávány diagramy zatížení–posun, které po potřebných korekcích posloužily k vyhodnocení základních lomově-mechanických parametrů zkoušených materiálů – statického modulu pružnosti, efektivní lomové houževnatosti a specifické lomové energie. Detaily metodiky a podmínek lomových zkoušek těchto tzv. kvazikřehkých materiálů a stanovování jejich lomově-mechanických parametrů lze nalézt např. v [3, 4]. 5 VÝSLEDKY ZKOUŠEK Součinitele mrazuvzdornosti po 15 zmrazovacích cyklech, vypočítané na základě pevností v tahu za ohybu i pevností v tlaku, jsou uvedeny v tabulce 2. Součinitel mrazuvzdornosti z Rf po 15 cyklech Součinitel mrazuvzdornosti z Rc po 15 cyklech Součinitel mrazuvzdornosti z Rf po 15 cyklech Součinitel mrazuvzdornosti z Rc po 15 cyklech LV-I-5-5 1,82 1,64 LVC-I-5-5 1,26 1,88 LV-II-5-5 LV-III-5-5 LV-IV-5-5 1,22 1,15 1,16 1,24 1,22 1,04 LVC-II-5-5 LVC-III-5-5 LVC-IV-5-5 0,88 0,80 0,82 1,00 1,18 1,02 Tab. 2. Koeficienty mrazuvzdornosti malt Výsledky provedených zkoušek na tělesech omítek – aritmetické průměry a plus/mínus výběrové směrodatné odchylky ze tří měření – jsou zobrazeny v následujících grafech v závislosti na vodním součiniteli (poměru dávky vody a pojiva): pevnost v tlaku na zlomcích těles po lomových experimentech (Obr. 1), statický modul pružnosti (Obr. 2), efektivní lomová houževnatost (Obr. 3) a specifická lomová energie (Obr. 4). Obr. 1. Pevnost v tlaku omítek v závislosti na vodním součiniteli 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 2. Statický modul pružnosti omítek v závislosti na vodním součiniteli Obr. 3. Efektivní lomová houževnatost omítek v závislosti na vodním součiniteli 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 4. Specifická lomová energie v závislosti na vodním součiniteli Koeficienty vzájemné korelace vybraných lomově-mechanických a trvanlivostních parametrů malt LV a LVC jsou uvedeny v tabulce 3 a 4. Pevnost v tlaku na zlomcích Rcz Statický modul pružnosti E Efektivní lomová houževnatost KIcef Specifická lomová energie GF Součinitel mrazuvzdornosti Smf z Rf po 15 cyklech Součinitel mrazuvzdornosti Smc z Rc po 15 cyklech Rcz 1,00 0,99 0,98 0,97 -0,91 -0,90 E KIcef GF Smf Smc 1,00 0,99 0,98 -0,92 -0,94 1,00 0,99 -0,96 -0,96 1,00 -0,98 -0,96 1,00 0,95 1,00 Tab. 3. Koeficienty vzájemné korelace [–] lomově-mechanických a trvanlivostních parametrů malt LV Pevnost v tlaku na zlomcích Rcz Statický modul pružnosti E Efektivní lomová houževnatost KIcef Specifická lomová energie GF Součinitel mrazuvzdornosti Smf z Rf po 15 cyklech Součinitel mrazuvzdornosti Smc z Rc po 15 cyklech Rcz 1,00 0,99 0,99 -0,57 -0,71 -0,65 E KIcef GF Smf Smc 1,00 1,00 -0,53 -0,81 -0,75 1,00 -0,57 -0,79 -0,72 1,00 0,30 0,01 1,00 0,95 1,00 Tab. 4. Koeficienty vzájemné korelace [–] lomově-mechanických a trvanlivostních parametrů malt LVC 6 ZÁVĚR V článku jsou uvedeny výsledky vzájemného vztahu trvanlivostních vlastností (mrazuvzdornosti) a lomověmechanických parametrů lehkých vápenných a vápenocementových omítkových malt. Tyto parametry jsou prezentovány také v závislosti na vodním součiniteli malt. Výsledky ukazují, že hodnoty parametrů pevnost v tlaku, modul pružnosti a lomová houževnatost malt jsou podstatně ovlivněny hodnotou vodního součinitele, s jeho rostoucí hodnotou hyperbolicky klesají, přičemž parametry malt vápenocementových a vápenných na sebe víceméně plynule navazují. Hodnoty lomové energie 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava z těchto tendencí vybočují, vápenocementové malty s nízkou hodnotou vodního součinitele pravděpodobně obsahují množství mikrodefektů, které tento parametr citlivě vystihuje. Všechny hodnoty lomově-mechanických parametrů vápenných malt vysoce korelují s hodnotami součinitelů mrazuvzdornosti v úzkém rozmezí -0,90 až -0,98. Obdobné trendy korelací lze u vápenocementových malt pozorovat u hodnot tlakové pevnosti, modulu pružnosti a lomové houževnatosti, tentokráte ale v rozmezí -0,65 až -0.81; hodnoty lomové energie těchto malt vykazují spíše nezávislost na hodnotách součinitele mrazuvzdornosti. PODĚKOVÁNÍ Příspěvek vznikl za podpory projektu MPO č. FR-TI4/01 „Řešení povrchových vrstev cihlových budov s využitím cihelného obrusu“ a projektu č. LO1408 "AdMaS UP – Pokročilé stavební materiály, konstrukce a technologie" podporovaného Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy v rámci účelové podpory programu „Národní program udržitelnosti I". LITERATURA [1] Moropoulou, A.; Bakolas, A.; Bisbikou, K.: Investigation of the technology of historic mortars. Journal of Cultural Heritage. 2000, 1(1), 45-85. ISSN 1296-2074. [2] Gillot, C.: The use of pozzolanic materials in Maya mortars: new evidence from Río Bec (Campeche, Mexico). Journal of Archeological Science. 2014, 47, 1-9. ISSN 0305-4403. [3] Karihaloo, B. L.: Fracture mechanics of concrete. Longman Scientific & Technical, New York, 1995. [4] RILEM TC-50 FMC (Recommendation, 1985) Determination of the fracture energy of mortar and concrete by means of three-point bend test on notched beams. Materials & Structures, Vol. 18, 285–290. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS MODELING OF SOME EFFECTS IN THE VISCOELASTIC SELECTED TYPE OF MATERIALS J. Sumec1 and Ľ, Hruštinec2 Abstract Selection of materials with viscoelastic response and their characteristics. Mathematical models of viscoelastic effects. Linear and nonlinear models in viscoelasticity and conditions of their application. Constitutive functional and its transformation into a form of Stieltjes integral. Physical system B(O) as a Boreal measurable subset of Euclidean space E3. Modeling of effects and responses by using generalized functions for materials of hereditary type. Key Words Viscoelastic response; mathematical models of viscoelastic effects; constitutive functional; Stieltjes integral. 1 GENERAL DESCRIPTION AND ASSUMPTIONS It is known that in the linear elasticity theory, we assume a relationship between the state of stress and deformation as linear, independent of time. This assumption is valid, however, only for a small group of materials and environments, and based on this solution gives us only the "first" approximation to real response. On the other hand, most real materials don’t behave in accordance with the above assumption and therefore to describe the physical and mechanical properties it is necessary to establish yet another parameter - time. The material which, in dependence of the stress-strain state additionally contains a parameter of time, is called the viscoelastic material. The group of viscoelastic materials includes various types of composite-based materials, PVC, and silicates. Further, soil, concrete, light metals, alloys, steel under high temperature, etc. It should be noted that the polymers form a separate group of materials having a rich variety of specific physical-mechanical properties, e.g. timetemperature dependence in a deformation process, irreversibility feature in the ageing process, crystallization and recrystallization effects, influence of molecular and macromolecular structure, etc., e.g. [1 - 6]. Any such specificity requires a special approach to studying the mechanical properties of polymeric materials. Regardless of the type of physical and mechanical characteristics of materials their dependence on time is obvious, described by the process of relaxation, creep, dynamic damping effects, relation between stress and strain, depending on the loading rate, etc., e.g. [6, 7 - 11]. 2 MATHEMATICAL MODELING OF VISCOELASTIC EFFECTS Many experimental measurements at the different types of materials have proved that, for some of them the linear theory is sufficient for the analytical description of the field of deformation and stress, e.g. [3, 12, 13]. In other cases it is necessary to apply the theories of non-linearity e.g. [14, 15]. Taking into account these facts, to a given physical system B(O) * (body + external effects) can be assigned a mathematical model, i.e. the constitutive 1 Prof. Ing. RNDr. Mgr. J. Sumec, DrSc., Faculty of Civil Engineering, STU, tel.: 00421259274455, e-mail: jozef.sumec@stuba.sk 2 Doc. Ing. Ľ. Hruštinec, PhD., Faculty of Civil Engineering, STU, tel.: 00421259274678, e-mail: lubos.hrustinec@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava equation defined by relationship F (𝜎𝑖𝑗 , 𝜎𝑖𝑗̇ ; 𝜀𝑖𝑗 , 𝜀̇𝑖𝑗 , … ; 𝑡 ; ⊖ ; 𝒓 ) = 0 (1) where σij is the stress tensor, εij is the strain tensor, r is the position vector of material point X∈B(O), t is a time, Ɵ is a temperature and (') denotes the derivative with respect to time. In terms of mathematical modeling we consider the continuum body as the set model created by algebra of Borel’s subsets of the space E 3 and topological space with a metric of space E3. In the following we shall not consider the effect of temperature. As it was noted above, for some types of materials, which are located within a certain stress field the linear theory is adequate for the mathematical modeling. The results will be considered a "first approximation" to the real response of the modeled materials. However, when using the linear theory analysis of state variables in physical body continuum models, or multicomponent environments, we need to know in advance the boundaries of its applicability. From a mathematical point of view, to be able to formulate assumptions on linear behavior of a physical model of the viscoelastic system, certain relations between "effect" (system input) and the corresponding "reaction" (output system) must be valid. Let us denote a particular reaction (from the physical point of view, e.g. stress or deformation) by the symbol R for the effects U (e.g. external forces, the displacements on the surface of the body, etc.), then it holds ℛ = ℛ[𝒰(𝑡 − 𝜏)]𝑡𝜏=𝑡0 (2) where the value of R depends on the changes of history of the U, and not only on her instantaneous value. Thus, the reaction of R in this case acts as a functional. This functional is linear if and only if ℛ[𝑐 𝒰(𝑡 − 𝜏)]𝑡𝜏=𝑡0 = 𝑐 ℛ[𝒰(𝑡 − 𝜏)]𝑡𝜏−𝑡0 , c = const (3) and simultaneously ℛ[ 𝒰𝑎 (𝑡 − 𝜏) + 𝒰𝑏 (𝑡 − 𝜏)]𝑡𝜏=𝑡(∙) = = ℛ[ 𝒰𝑎 (𝑡 − 𝜏)]𝑡𝜏=𝑡(∙) + ℛ[ 𝒰𝑏 (𝑡 − 𝜏)]𝑡𝜏=𝑡(∙) (4) where symbol τ = t(*) means the time of the onset of the effects. Equation (3) is a condition of homogeneity and the equation (4) is a condition of superposition. Although the superposition condition in general does not follow from the condition of homogeneity, it can be shown that the condition of homogeneity for any rational numbers c1, c2, (including c = 0) is satisfied when the material fulfills a condition of superposition [11, 16]. This proves that although experimental measurements realized on samples of materials satisfy the condition (3), they need not to satisfy the condition (4). In this case, the material (or structural elements made of it) behave in accordance to the laws of nonlinear continuum mechanics. The consequence of non-linear behavior of the material, for example, is the presence and spread of micro-cracks within the material, a high concentration of stresses (in the composite material near the fibers). The well-known Mullins effect [1, 17] shows the course of σ ̴ ε for repeatedly stretched and pressed vulcanized rubber containing carbon particles. Mullins effect can also be observed in disorders of the molecular chains in the polymeric material, known in the literature as the so-called reonomial Mullins effect (eg. [2]) for polyurethanes under varying hydrostatic pressure. That means, that when at least one of the conditions, Eq. (3) or Eq. (4) is not satisfied, this material has to be considered as non-linear. When we are studying the viscoelastic properties of materials, for modelling of "effect" we frequently use socalled step function (Heaviside function) H(x), for which it is valid 𝐻(𝑥) ≡ { 0 1 𝑓𝑜𝑟 𝑥 ≤ 𝜏 𝑓𝑜𝑟 𝑥 > 𝜏 (5) For its first derivative H'(x) ≡ dH(x)/dx it is valid 𝐻´(𝑥) ≡ 𝛿(𝑥) = { 0 ∞ 𝑓𝑜𝑟 𝑥 ≠ 0 𝑓𝑜𝑟 𝑥 = 0 (6) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava where δ(x) is the Dirac function. For further simplification of notation, the "response" to the effect of H(t) will be indicated by the symbol RH, i.e. it holds true ℛ𝐻 ≡ ℛ𝐻 (𝑡 , 𝜏) = ℛ[ 𝐻(𝑡 − 𝜏)] (7) where, in according to (5), we have 𝐻(𝑡 − 𝜏) ≡ { 0 1 𝑓𝑜𝑟 𝑡 < 𝜏 𝑓𝑜𝑟 𝑡 > 𝜏 We can see that the reaction the RH (the current time) depends on time t and the moment of time τ, preceding the time t (τ <t), when the effect of H (t) was considered. From a physical point of view it also follows that RH=0 for τ> t. When it is valid ℛ𝐻 = ℛ𝐻 (𝑡 , 𝜏) = ℛ𝐻 (𝑡 − 𝜏) (8) then materials whose response is in accordance with the equation (8) are called non-ageing materials (invariant with respect to the time difference). If we assign to symbols R and U a specific form, then if U = U(X∈B(O), t) = const. is the constant stress acting on the element, the function RH represents the process of creep. Vice-versa, if U=U (X∈ B(O), t) = const. is a constant deformation, then its response (RH) represents the process of relaxation. Integral representation of reactions R= R(t) due to effect of 𝒰(𝑋, 𝑡) = ∑𝑖 𝒰𝑖 (𝑋, 𝜏𝑖 ) can be obtained based on the principle of superposition of effects acting in times τ1, τ2, ..., τn and by limit transfer of the integral sum we get 𝑡 ℛ(𝑡) = ∫0 ℛ𝐻 (𝑡 − 𝜏)(𝑑𝒰(𝑋, 𝜏)/𝑑𝜏)𝑑𝜏 (9) Since U(X, τ) = 0 for τ <0, we can "extend" the lower limit of the integral (9) to -∞. This adjustment will prove useful when examining the function U (X, τ) from the beginning of time interval. Equation (9) shows the behavior of the material of a hereditary type, e.g. [18]. Provided that the functional reactions–relation(9) is linear, the "components" of the reaction can be expressed from it. E.g. six components of stress tensor, which operate around the particles X∈B(O), deformation tensor components, etc. If we are interested in a response Rα to the effect Uβ (X, τ), then the equation (9) can be expressed in the form 𝑡 ℛ𝛼 (𝑡) = ∫−∞ ℛ𝐻𝛼𝛽 (𝑡 − 𝜏)(𝑑𝒰𝛽 (𝑋, 𝜏)/𝑑𝜏)𝑑𝜏 (10) Provided that the actual value of the components of deformation tensor in time t depends on the history of (t-τ) changes of the components of deformation tensor, the equation (1) can be expressed in the form [11] ∞ [𝜀̂ 𝜎̂(𝑋, 𝑡) = Φ𝜏=0 (𝑋, 𝑡 − 𝜏), 𝜀̂(𝑋, 𝑡)] 𝑋𝜖𝔹(0) (11) where tensor functional Φ(*) shows change of history of deformation in infinitesimal neighborhood of the material particles X∈B(O) into stress values in time t. From equation (11) it is evident that the value of the functional parametrically depends on the history of the tensor of deformation during the period t-τ, as well as on the tensor of instantaneous deformation. Let the history of deformation 𝜀̂(X, t) be continuous and functional Φ(*) satisfies the assumptions of the homogeneity and superposition. Then eq. (11) can be expressed in the form, e.g. [19, 20] ∞ 𝜎𝑖𝑗 (𝑋, 𝑡) = ∫0 𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡 − 𝜏) 𝑑𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝜏) 𝑑𝜏 𝑑𝜏 (12) where Cijkl is the tensor of 4th order representing the relaxation modules, (i, j, k, l = 1,2,3), while C ijkl(t) = 0 for t < 0. The functions Cijkl need to have bounded variation on any final interval, e.g. [11]. C ijkl(t) is a symmetric 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava tensor, as stress and deformation tensors are symmetric tensors, too. As εkl (t) = 0 for t <0 and Cijkl (t) are continuous on (0, ∞), it is possible to express the relationship (12) in the form (in expression (12) must be integrand expressed in generalized form). ∞ 𝜎𝑖𝑗 (𝑋, 𝑡) = ∫ (𝐻(𝑡 − 𝜏)𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡 − 𝜏) 0 𝑑 [𝐻(𝜏)𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝜏)]𝑑𝜏 = 𝑑𝜏 ∞ = ∫ (𝐻(𝑡 − 𝜏)𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡 − 𝜏)𝛿(𝜏) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝜏)𝑑𝜏 + 0 ∞ + ∫ (𝐻(𝑡 − 𝜏)𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡 − 𝜏) 0 𝑡 𝑑𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝜏) 𝑑𝜏 = 𝑑𝜏 = 𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡)𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (0+ ) + ∫0 𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡 − 𝜏) 𝑑𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝜏) 𝑑𝜏 𝑑𝜏 (13) By integration of the second term in equation (13) by parts and introducing the substitution s = t-τ we finally get 𝑡 𝑑𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝜏) ∫ 𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡 − 𝜏) [ ] 𝑑𝜏 = 𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 0+ )𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝑡) − 𝑑𝜏 0 𝑡 −𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡)𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (0+ ) + ∫0 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝑡 − 𝑠) 𝜕𝜀𝑘𝑙 (𝑋,𝑠) 𝜕𝑠 𝑑𝑠 (14) Putting the s = τ (we do this formally due to the previous matter of the parameter τ), then 𝑡 𝜎𝑖𝑗 (𝑋, 𝑡) = 𝜀𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡)𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (0+ ) + ∫0 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝑡 − 𝜏) . 𝜕𝜀𝑘𝑙 (𝑋,𝜏) 𝜕𝜏 𝑑𝜏 (15) The relationship between the components of the tensor of deformation and stress tensor was derived, provided that the material has a “memory”, presented functions are sufficiently smooth and a representation theorem, is used e.g. [11, 19]. Analogously we can derive a relationship 𝑡 𝜀𝑖𝑗 (𝑋, 𝑡) = 𝜎𝑘𝑙 (𝑋, 𝑡)𝑆𝑖𝑗𝑘𝑙 (0+ ) + ∫0 𝑆𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝑡 − 𝜏) . 𝜕𝜎𝑘𝑙 (𝑋,𝜏) 𝜕𝜏 𝑑𝜏 (16) If the analyzed material should be of a composite structure, it would be appropriate under certain conditions, e.g. [21] to use a method of so-called effective modules. 3 CONCLUSION The theory of mathematical modeling of materials whose physical characteristics are time – depended is a part of the modeling of mechanical properties of materials. It represents an exact scientific discipline that incorporates ways of identifying the phenomena in materials under the external effects on the basis of analysis and synthesis. The aim of the solution is to develop methods of optimal design of structural elements and systems, with proper use of material resources without forgetting to meet the requirements of safety and reliability. The paper is devoted to the formation of constitutive equations that describe viscoelastic response during isothermal processes. We are concerned with the phenomenological description of mechanical phenomena in bodies and environment, based on the quantitative characteristics of the modeled environment, e.g. [22]. For modeling of the problem, the integral representation of constitutive equations of the form of Stieltjes integral is used. We can do this by using the Riesz representation theorem, e.g. [19]. In the derivation of constitutive equations it was assumed that the functional describing properties of outlining the "action" and "reaction" of the physical model fulfills the conditions of homogeneity and superposition. Note that these conditions may not apply in certain types of composite materials. The Mullins effect can be mentioned as a known example [1, 2]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava ACKNOWLEDGEMENT This paper has been supported by Grant Agency VEGA (Project No. 1/0544/15). REFERENCES [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] Ferry, J.D.: Viscoelastic Properties of Polymers. New York, London: John Wiley and Sons, 1961. Farris, R.J.: Polymer Networks: Structural and Mechanical Properties. New York, London: Plenum Press, 1971. Sobotka, Zd.: Rheology of Materials and Structures. Prague: Academia, 1981. (In Czech). Schermergor, T.D.: Rheological Characteristics of Viscoelastic Materials Having Non-symmetrical Spectra. Moscow: MTT, 1967. (In Russian). Hajek, J.: Deformation of Concrete Structures. Bratislava: VEDA Publishing House SAS, 1974. (In Slovak). Rabotnov, N.J.: Creep of Structural Elements. Moscow: Nauka, 1966. (In Russian). Arutjunian, N.Ch.: Some Questions in Creep Theory. Moscow, Leningrad: Gostechizdat, 1952. (In Russian). Zaretskiy, Yu,K.: Soil Viscoplasticity and Design of Structures. Rotterdam: Balkema, 1993. Prokopovic, J.E. - Zedgenidze, A.V.: Numerical Theory of Creep. Moscow: Stroizdat, 1980. (In Russian). Sumec, J. - Veghova, I.: Constitutive Equations in Linear Viscoelasticity. Proc. of the 8 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, Oct., 21-22, 2010 Bratislava, Slovakia, Faculty of Civil Engng, STU Bratislava. (In Slovak). Christensen, R.M.: Theory of Viscoelasticity. An Introduction. Moscow: Mir, 1974. (In Russian). Coleman, B. - Noll, W.: Foundation of Linear Viscoelasticity. Review of Modern Physics, Vol. 33, pp. 239-249, 1961. Brilla, J.: Linear Viscoelastic Bending of Anisotropic Plates. ZAMM Sonderheft XLVIII, 1968. Green, A.E. - Rivlin, R.S.: The Mechanics of Non-linear Materials with Memory. Arch. Mech. Anal., Vol. 1, 81, 1957, (Part I); Vol. 2, 82, 1959, (Part II); Vol. 5, 83, 1960, (Part III). Christensen, R.M.: On Obtaining Solutions in Non-linear Viscoelasticity. J. Appl. Mech., Vol. 35, 129, 1968. Lee, E.H.: Stress Analysis in Viscoelastic Bodies. Quart. of Appl. Math., Vol. 13, 2, pp. 183-190, 1955. Dijani, J. – Fayolle, B. - Gilormini, P.: A Review on the Mullins Effect. European Polymer Journal. Elsevier, 2009, pp. 601-612. Coleman, B.: Thermodynamics of Materials with Memory. Arch. for. Rat. Mech. and Analysis, Vol. 17, pp. 1-46, 1964. Riesz, F. - Sz-Nagy, B.: Functional Analysis. New York: McGraw-Hill, 1954. Kolmogorov, A.N. - Fomin, S.V.: Elements of Functions Theory and Functional Analysis. Moscow: Nauka, 1976. Schapery, R.A.: Viscoelastic Behavior of Composite Materials. In: Mechanics of Composite Materials, Vol. 2, (Eds: J.L. Broutman and R.H. Krock), New York and London: Academic Press, 1974. Eringen, A.C.: Mechanics of Continua. New York, London: John Wiley and Sons, 1967. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS ÚČINKY POHYBLIVÉHO ZAŤAŽENIA NA ŽELEZOBETÓNOVÚ DOSKU V KONTAKTE S PODLOŽÍM J. Melcer1, G. Lajčáková2 a D. Kuchárová3 Abstract During the building of temporary or permanent road structures the concrete slabs are often used. This structure is in contact with elastic foundation and it is subjected to moving load dynamic effect. It has often character of isolated prefabricated slab at the temporary structures. The submitted paper analyses the dynamic effect of moving load on such structure by numerical way. The computing model of vehicle, computing model of the slab and the method of numerical solution are introduced. The dynamic response of the structure is declared in time domain by graphical and numerical way. Kľúčové slová Pohyblivé zaťaženie; železobetónová doska; pružné podložie; dynamický ohlas; numerické riešenie. 1 ÚVOD Pri výstavbe cestných komunikácií dočasného alebo trvalého charakteru sa často používajú železobetónové doskové konštrukcie. Vo veľkej väčšine prípadov majú charakter samostatne pôsobiacej prefabrikovanej železobetónovej dosky. Sú to konštrukcie v kontakte s pružným podložím vystavené účinkom dynamicky pôsobiaceho pohyblivého zaťaženia. Pre spoľahlivé posúdenie správania sa takejto konštrukcie je potrebné poznať jej dynamický ohlas v čase. Predstavu o dynamickom správaní sa takejto konštrukcie je možné získať numerickou alebo experimentálnou cestou. Predkladaný príspevok numerickou cestou analyzuje dynamické účinky pohyblivého zaťaženia na takúto konštrukciu. Je predstavený výpočtový model vozidla, výpočtový model železobetónovej dosky na pružnom podklade i metóda numerického riešenia. Dynamický ohlas v časovej oblasti je prezentovaný prostredníctvom grafických i číselných výstupov. 2 VÝPOČTOVÝ MODEL VOZIDLA Pre potrebu tohto príspevku je použitý štvrtinový výpočtový model vozidla, obr. 1. Model môže modelovať dynamické účinky vo zvislom smere jednej nápravy ťažkého nákladného automobilu. Výpočtový model na obr. 1 je diskrétny výpočtový model, ktorý má dva hmotné a jeden nehmotný stupeň voľnosti. Kmitanie hmotných bodov modelu vo zvislom smere popisujú dve funkcie času ri(t), (i = 1, 2). Nehmotnému stupňu voľnosti korešponduje kontaktná sila v mieste kontaktu kolesa s doskou F2(t). Pohybové rovnice pre výpočet hľadaných funkcií ri(t) sú obyčajné diferenciálne rovnice a majú tvar 1 Prof. J. Melcer, Žilinská univerzita, Stavebná fakulta, 041 5135612, jozef.melcer@fstav.uniza.sk Doc. G. Lajčáková, Žilinská univerzita, Stavebná fakulta, 041 5135649, gabriela.lajcakova@fstav.uniza.sk 3 Doc. D. Kuchárová, Žilinská univerzita, Stavebná fakulta, 041 5135600, daniela.kucharova@fstav.uniza.sk 2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava &r&1 (t ) = {−k1 ⋅ d 1 (t ) − b1 ⋅ d&1 (t )} / m1 , &r&2 (t ) = {+ k1 ⋅ d1 (t ) − k 2 ⋅ d 2 (t ) + b1 ⋅ d&1 (t ) − b2 ⋅ d&2 (t )} / m2 . (1) Výraz pre výpočet kontaktnej sily je nasledovný F2 (t ) = −G2 + k 2 ⋅ d 2 (t ) + b2 ⋅ d&2 (t ) . (2) Hodnota di(t), (i = 1, 2) predstavuje deformácie spojovacích členov v čase t a derivácie podľa času sú značené bodkou nad znakom závisle premennej. G2 predstavuje hodnotu gravitačnej sily pôsobiacej v mieste kontaktu. m1 k1 b1 m2 k2 b2 w2(t) Obr. 1. Výpočtový model vozidla Funkcia w2(t) predstavuje zložku kinematického budenia v mieste kontaktu kolesa vozidla s doskou. 3 VÝPOČTOVÝ MODEL DOSKY Výpočtový model betónovej dosky je založený na Kirchhofovej teórii tenkých dosiek na pružnom podklade [1]. Rovnica popisujúca kmitanie takejto dosky má tvar  ∂4w ∂4w  ∂w ∂ 4w ∂ 2w D 4 + 2 2 2 + 4  + K ⋅ w + µ 2 + 2 µωb = p ( x, y , t ) . ∂t t x x y ∂ y ∂ ∂ ∂ ∂   (3) Je to parciálna diferenciálna rovnica, ktorá sa bude riešiť tzv. Fourierovou metódou. Príjme sa predpoklad o tvare ohybovej plochy dosky vplyvom zaťaženia w0(x,y) a hľadaná funkcia w(x,y,t), popisujúca tvar ohybovej plochy strednicovej roviny dosky v čase t, sa vyjadrí v tvare w( x, y, t ) = q(t ) ⋅ w0 ( x, y ) , (4) kde w0 ( x, y ) = sin πx πy ⋅ sin . lx ly (5) Funkcia w0(x,y) vystupuje ako známa funkcia a je závislá iba od súradníc polohy x, y. Funkcia q(t) vystupuje ako neznáma funkcia a je závislá iba od času t. V tomto prípade hrá úlohu zovšeobecnenej Lagrangeovej súradnice. Predstavuje koeficient úmernosti medzi dynamickou a statickou výchylkou v čase t. Význam ostatných symbolov je nasledovný: D predstavuje tzv. doskovú tuhosť [Nm2/m], K je modul stlačiteľnosti pružného podkladu [N/m3], µ intenzita hmotnosti dosky [kg/m2], ωb je uhlová frekvencia útlmu [rad/s]. Výraz p(x,y,t) na pravej strane rovnice (3) je intenzita spojitého dynamického zaťaženia. Dosadením predpokladu (4) do rovnice (3) dostaneme   πx πy  πx πy  q&&(t ) ⋅  µ ⋅ sin ⋅ sin  + q& (t ) ⋅ 2 µ ⋅ ωb ⋅ sin ⋅ sin  + lx l y  lx l y    13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings   πy π  πx + q(t ) ⋅ sin ⋅ sin ⋅ D ⋅   l l l x y   x October 2015, Bratislava 4    + K   = p(x, y, t ) . (6)  D    V prípade zaťaženia pohyblivým vozidlom musí byť diskrétna kontaktná sila Fj(t) transformovaná na spojité zaťaženie p(x,y,t). Môže sa to urobiť spôsobom, ktorý navrhol Dirac [1]. ( 4  π  + 2    lx  ) ( 2 π   ly  2  π  +   ly   ) p(x, y, t ) = ∑ ε j ⋅ F j (t ) ⋅ δ x − x j ⋅ δ y − y j , (7) j ∞ ∞ p(x, y, t ) = ∑ ε j ∑∑ pmn , j (t ) ⋅ m =1 n =1 j mπx nπy , ⋅ sin lx ly (8) kde p mn, j (t ) = 2 2 ⋅ lx ly lx l y mπx n πy 4 ∫ ∫ F (t ) ⋅ δ (x − x )⋅ δ (y − y )⋅ sin l ⋅ sin l ⋅ dxdy = F (t ) ⋅ l l j j j x 0 0 ⋅ sin j y x y mπx j lx ⋅ sin nπy j ly . (9) Potom ∞ ∞ p(x, y, t ) = ∑ ε j ∑∑ F j (t ) ⋅ j m =1 n =1 mπx j nπy j 4 mπx nπy . ⋅ sin ⋅ sin ⋅ sin ⋅ sin lxl y lx ly lx ly (10) Pri štvrtinovom výpočtovom modeli vozidla pôsobí len jedna kontaktná sila F2(t) podľa vzťahu (2). Kompletný tvar pohybovej rovnice (3) dostaneme dosadením výrazu (10) pre p(x,y,t) na pravú stranu rovnice (6). Ak sa zaujímame len o výchylky uprostred dosky, potom x = lx/2 a y = ly/2, a výsledný tvar pohybovej rovnice dosky je nasledovný 2 4 2   4  π π π π K q&&(t ) ⋅ µ + q& (t ) ⋅ 2 µ ⋅ ωb + q(t ) ⋅ D   + 2    +   +  =      l x  D  lx   l y   l y      πx 2 πy  4  = ⋅ sin 2  + − G 2 + k 2 r2 (t ) − h2 (t ) − q(t ) ⋅ sin lx l y  lxl y      πv  πx πy πx πy   πx πy + b2 r&2 (t ) − h&2 (t ) − q& (t ) ⋅ sin 2 ⋅ sin 2 − q(t ) ⋅   ⋅ cos 2 ⋅ sin 2   ⋅ sin 2 ⋅ sin 2 . (11) lx lx l y   lx ly ly  lx    Ak uvážime , že x2 = v⋅t (v je rýchlosť pohybu vozidla v [m/s]), je možné rovnicu (11) vyjadriť v anulovanom tvare nasledovne 2 2   4b2  πvt   πy 2     ⋅ sin q&&(t ) ⋅ {µ} + q& (t ) ⋅ 2 µ ⋅ ωb + ⋅  sin + lxl y  l x   l y     2 4 2 4 2 2    π π π  πvt   πy 2  4 k K   π  2  +  ⋅  sin + q(t ) ⋅  D   + 2    +   +  + ⋅  sin     D  l x l y  l x   l y   lx   ly   l y    l x   4b + 2 lxl y  πv  πvt πvt ⋅   ⋅ cos ⋅ sin lx lx  lx   πy ⋅  sin 2  ly   4k  4b πy  πy  πvt πvt − r2 (t ) ⋅  2 ⋅ sin ⋅ sin 2  − r&2 (t ) ⋅  2 ⋅ sin ⋅ sin 2  + lx l y  lx l y   l x l y  l x l y 4G2 πy πy πvt 4 πvt + ⋅ sin ⋅ sin 2 + k 2 ⋅ h2 (t ) + b2 ⋅ h&2 (t ) ⋅ sin ⋅ sin 2 = 0 . lxl y lx ly l xl y lx ly ( )     2   −  (12) Funkcia h2(t) predstavuje nerovnosti povrchu jazdnej dráhy. Pre zjednodušenie zápisu je možné rovnicu (12) zapísať v tvare q&&(t ) ⋅ ad 1 + q& (t ) ⋅ ad 2 + q(t ) ⋅ ad 3 + r2 (t ) ⋅ ad 4 + r&2 (t ) ⋅ ad 5 + ad 6 + ad 7 = 0 . (13) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava NUMERICKÉ RIEŠENIE Synchrónne kmitanie systému vozidlo – doska popisuje v našom prípade sústava troch obyčajných diferenciálnych rovníc druhého rádu. Dve rovnice (1) popisujú kmitanie vozidla a jedna rovnica (13) popisuje kmitanie dosky. Pre numerické riešenie danej sústavy rovníc a zobrazovanie získaných výsledkov bol vytvorený jednoduchý program v prostredí systému MATLAB. Pohybové rovnice sa integrujú krok po kroku s pomocou metódy Runge – Kutta 4. rádu [2]. Číselné parametre modelu vozidla sú nasledovné: m1 = 5860,1544 kg; m2 = 910 kg; k1 = 287433 N/m; k2 = 2550600 N/m; b1 = 19228 kg/s; b2 = 2746 kg/s; g = 9,81 m/s2; G2 = (m1 + m2)⋅ g = 66 415,214664 N. Model dosky na pružnom podklade, zobrazený na obr. 2, má nasledovné číselné parametre: hrúbka dosky h = 0,24 m; rozmery dosky v pozdĺžnom a priečnom smere lx = 6,0 m; ly = 3,75 m; modul pružnosti betónu E = 37500 MPa; Poissonov súčiniteľ ν = 0,20;. Vrstvy 2 – 5 podkladu sú zavedené do výpočtu ako Winklerov pružný podklad. Modul stlačiteľnosti podkladu K = 171,8 MN/m3 bol pre danú skladbu podložia vypočítaný pomocou programu LAYMED [3]. Intenzita hmotnosti dosky µ = ρ⋅h = 2500⋅0,24 = 600 kg/m2, uhlová frekvencia útlmu ωb = 0,1 rad/s. CB/I; 240 mm; E = 37500 MPa; ν = 0,20 h = 240 mm E = 37500 MPa OK II; 40 mm; E = 4500 MPa; ν = 0,21 SC I; 200 mm; E = 2000 MPa; ν = 0,23 OV; POD; 250 mm; E = 120 MPa; ν = 0,35 ∞; E= 30 MPa; ν = 0,35 K = 171,8 MN/m3 Obr. 2. Skladba vozovky so železobetónovou doskou. 5 VÝSLEDKY NUMERICKÉHO RIEŠENIA Vozidlo prichádza na dosku vždy rozkmitané. Výsledky numerického riešenia sú ovplyvnené počiatočnými podmienkami na vozidle v okamihu, keď vozidlo vstupuje na dosku. V rámci numerického riešenia boli uvažované 2 varianty. Variant 1 – pružiny vozidla sú priťažené, výkmit hmotných bodov modelu vozidla sa realizuje smerom nadol od rovnovážnej polohy. Počiatočné podmienky na vozidle sú nasledovné: r1(0) = - 0.02 m; r2(0) = - 0.002 m; r&1 (0) = 0.0 m/s; r&2 (0) = 0.0 m/s; Variant 2 – pružiny vozidla sú odľahčené, výkmit hmotných bodov modelu vozidla sa realizuje smerom nahor od rovnovážnej polohy. Počiatočné podmienky na vozidle sú nasledovné: r1(0) = + 0.02 m; r2(0) = + 0.002 m; r&1 (0) = 0.0 m/s; r&2 (0) = 0.0 m/s; Numerické riešenia sa realizovali v závislosti od rýchlosti pohybu vozidla v intervale rýchlostí 5 – 130 km/h s krokom 5 km/h. Pre každú rýchlosť pohybu vozidla sa numerickou cestou vypočítal časový priebeh vertikálnych výchyliek uprostred dosky a časový priebeh kontaktných síl pôsobiacich na dosku. Maximá dynamických výchyliek uprostred dosky a rozptyl kontaktných síl sa zobrazili v závislosti od rýchlosti pohybu vozidla. Ukážky získaných výsledkov pre variant 1 sú zobrazené na obr. 3, 5, 7 a pre variant 2 na obr. 4, 6, 8. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Max. vychylky uprostred rozp. dosky wmax [mm] 0.058 0.056 0.054 0.052 0 20 40 60 80 100 V [km/h] Fozptyl kontaktnych sil Fmax - Fmin 0 20 40 0 20 40 60 80 100 V [km/h] Fozptyl kontaktnych sil Fmax - Fmin 0 20 40 120 140 delta F [kN] 10 8 6 4 2 wmax [mm] 60 80 100 120 140 V [km/h] Obr. 3. Variant 1, maximálne výchylky uprostred dosky a rozptyl kontaktných síl v závislosti od rýchlosti pohybu vozidla. Max. vychylky uprostred rozp. dosky 0.06 0.058 0.056 0.054 0.052 120 140 delta F [kN] 10 8 6 4 2 60 80 100 120 140 V [km/h] Obr. 4. Variant 2, maximálne výchylky uprostred dosky a rozptyl kontaktných síl v závislosti od rýchlosti pohybu vozidla. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Vychylky uprostred rozp. dosky v case t 0.02 w(t) [mm] 0 -0.02 -0.04 -0.06 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 t [s] Kontaktne sily posobiace na dosku v case t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.8 0.9 F(t) [kN] -60 -65 -70 -75 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t [s] Obr. 5. Variant 1, časový priebeh výchyliek uprostred dosky a kontaktných síl pôsobiacich na dosku pri rýchlosti pohybu vozidla V = 25 km/h Vychylky uprostred rozp. dosky v case t 0.02 w(t) [mm] 0 -0.02 -0.04 -0.06 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 t [s] Kontaktne sily posobiace na dosku v case t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.8 0.9 F(t) [kN] -60 -65 -70 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t [s] Obr. 6. Variant 2, časový priebeh výchyliek uprostred dosky a kontaktných síl pôsobiacich na dosku pri rýchlosti pohybu vozidla V = 25 km/h. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Vychylky uprostred rozp. dosky v case t w(t) [mm] 0 -0.02 -0.04 -0.06 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t [s] Kontaktne sily posobiace na dosku v case t 0 0.05 0.1 0 0.05 0.1 0 0.05 0.1 0.25 -64 F(t) [kN] -66 -68 -70 -72 w(t) [mm] 0.15 0.2 0.25 t [s] Obr. 7. Variant 1, časový priebeh výchyliek uprostred dosky a kontaktných síl pôsobiacich na dosku pri rýchlosti pohybu vozidla V = 90 km/h. Vychylky uprostred rozp. dosky v case t 0 -0.02 -0.04 -0.06 0.15 0.2 t [s] Kontaktne sily posobiace na dosku v case t 0.25 -60 F(t) [kN] -62 -64 -66 -68 0.15 0.2 0.25 t [s] Obr. 8. Variant 2, časový priebeh výchyliek uprostred dosky a kontaktných síl pôsobiacich na dosku pri rýchlosti pohybu vozidla V = 90 km/h. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 6 October 2015, Bratislava ZÁVERY Pohyb vozidiel po izolovaných železobetónových doskách na pružnom podklade je reálna inžinierska úloha, ktorú je možné modelovať numerickou cestou. Je možné sledovať dynamické výchylky dosky, priebehy vnútorných síl a priebehy kontaktných síl od vozidla počas prechodu vozidla po doske. Výsledky sú ovplyvnené počiatočnými podmienkami na vozidle v okamihu, keď vozidlo vchádza na dosku. Aby sa poukázalo na podstatu problému, skúmal sa daný jav pri 2 variantoch protichodných počiatočných podmienok na vozidle. Absolútne maximum dynamických výchyliek uprostred dosky v intervale rýchlostí 5 – 130 km/h je prakticky rovnaké pre obidva sledované prípady (variant 1, wmax = 0.05779 mm, V = 25 km/h; variant 2, wmax = 0.05980 mm, V = 130 km/h). Rozdiel je len v tom, pri ktorej rýchlosti sledovaný extrém vzniká. V prípade, že vozidlo vchádza na dosku s priťaženými pružinami (variant 1), extrémna výchylka sa objavuje pri nízkych rýchlostiach, cca 20 – 30 km/h. V prípade, že vozidlo vchádza na dosku s odľahčenými pružinami (variant 2), extrémna výchylka sa objavuje pri vysokých rýchlostiach, V > 120 km/h. Rozptyl kontaktných síl je v obidvoch prípadoch prakticky rovnaký. Extrém je dosiahnutý pri variante 1 v hodnote ∆F = 8.44680 kN, pri rýchlosti V = 25 km/h. Pokiaľ sa jedná o časové priebehy kontaktných síl, tak v prípade, že vozidlo vchádza na dosku s priťaženými pružinami (variant 1), hodnota kontaktnej sily je najvyššia pri vstupe vozidla na dosku a s časom klesá. V prípade, že vozidlo vchádza na dosku s odľahčenými pružinami (variant 2), hodnota kontaktnej sily je najnižšia pri vstupe vozidla na dosku a s časom vzrastá. POĎAKOVANIE Tento príspevok vznikol s podporou grantovej agentúry VEGA, projekt č. G1/0259/12. LITERATÚRA [1] Frýba, L.: Vibration of Solids and Structures under Moving Load. ACADEMIA, Praha, Noordhoff International Publishing, Groningen, 1972. [2] Melcer, J. - Lajčáková, G.: Aplikácia programového systému MATLAB pri riešení úloh dynamiky stavebných konštrukcií. EDIS, ŽU Žilina, 2011, ISBN 978-80-554-0308-3, 166 s. [3] Novotný, B. – Hanuška, A.: Teória vrstevnatého polpriestoru. VEDA, SAV, Bratislava, 1983. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS VLIV VODNÍHO SOUČINITELE NA VYBRANÉ PARAMETRY SIGNÁLŮ AKUSTICKÉ EMISE ZÍSKANÉ BĚHEM TUHNUTÍ A TVRDNUTÍ BETONOVÝCH SMĚSÍ L. Topolář1 , K. Timčaková2 , P. Misák3 a L. Pazdera4 Abstract Application of Acoustic Emission Method during concrete hardening and setting with different water-cement ratio will be the aim of this article and his influence on selected parameters of acoustic emission. Concrete hardening and setting processes are the most critical phases during construction work, influencing the properties of concrete structure. For this reason applying non-destructive testing in the early age of concrete lifetime can be useful. Acoustic emission method is a powerful tool for determination of lifetime concrete structures. Nevertheless, its application in civil engineering area is not easy because many building structures are inhomogeneous. This method can describe material changes during concrete lifetime. Acoustic Emission Method monitors concrete structure continuously. Changes in the whole concrete structure are recorded. The acoustic emission phenomenon is directly associated with nucleation of cracks in building materials, therefore the changes result from the volumetric expansion causing formation micro and macro cracking in structure, which we can recognize. A comprehension of microstructure-performance relationships is the key to true understanding of material behaviour. Klíčová slova vodní součinitel, tuhnutí a tvrdnutí betonu, metoda akustické emise, doba trvání signálů akustické emise, energie signálů akustické emise 1 ÚVOD Pro sledování změn napětí resp. vzniku trhlin je použita metoda akustické emise. Tato metoda umožňuje sledování aktivních (dynamických) dějů uvnitř struktury. Metoda akustické emise patří k technikám nedestruktivního zkoušení. Na rozdíl od jiných nedestruktivních technik je metoda akustické emise pasivní kontrolní metodou, která může prověřovat celou objemovou strukturu konstrukce. Výhodou akustické emise oproti jiným defektoskopickým metodám je kontinuální monitorování objektu a úspora času v porovnání s postupným testováním jinými metodami. Avšak metoda akustické emise detekuje pouze aktivní poruchy. K akustické emisi dochází ve zdroji akustické emise při uvolnění energie vlivem stimulace vnitřním nebo vnějším napětím viz Obr. 1 [1, 2]. Metoda akustické emise na rozdíl od většiny ostatních postupů nedestruktivního testování sleduje aktivní defekty probíhající uvnitř sledované struktury. Tyto poruchy mohou vzniknout pouze při zatížení sledované struktury. Pasivní defekty či tvar struktury nemá na lokalizaci akustické emise zásadní vliv. Dr. L. Topolář, Veveří 331/95, Brno 602 00, tel.: +420 541 147 664, topolar.l@fce.vutbr.cz. K. Timčaková, Veveří 331/95, Brno 602 00, tel.: +420 541 147 655, timcakova.k@fce.vutbr.cz. 3 Dr. P. Misák, Veveří 331/95, Brno 602 00, tel.: +420 541 147 831, misak.p@fce.vutbr.cz. 4 Prof. L. Pazdera, Veveří 331/95, Brno 602 00, tel.: +420 541 147 657, pazdera.l@fce.vutbr.cz. 1 2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Událost akustické emise je emitována nevratnými dislokačními a degradačními procesy v mikrostruktuře a makrostruktuře materiálu. Uvolněná energie se transformuje na mechanický napěťový impuls šířící se materiálem jako elastická podélná nebo příčná vlna. Jakmile vlna dopadne na povrch materiálu, částečně se odrazí a částečně dochází k její transformaci na jeden nebo více módů. U deskových struktur se vlna šíří převážně Rayleghovou, tj. povrchovou vlnou. Kromě povrchové vlny dochází také k transformaci např. na Lambovy, tj. deskové vlny. Každá z těchto vln se šíří různou rychlostí. Signál detekovaný na snímači akustické emise a převedený na elektrický se označuje jako signál akustické emise [3, 4]. Obr. 1. Princip metody akustické emise Tuhnutí a tvrdnutí betonu lze považovat za nejkritičtější období v průběhu životnosti betonové konstrukce. V zájmu předcházení problémům se životností betonové konstrukce je nezbytné mít k dispozici spolehlivé informace o ranných stádiích betonu. Existuje mnoho způsobů pro určení vlastnosti betonu. Jejich aplikace v raných stádiích je velmi složitá, nebo dokonce nemožné [4, 5]. A v takových situacích je vhodné použít akustický vlnovod (Obr. 2). Jedná se o mechanické zařízení sloužící k zjednodušení a zpřesnění měření při přenosu akustických vln ve vzorku z pasty, malty nebo betonu. Obr. 2. Vlnovod se snímačem AE Vlnovod umožňuje jednoduché umístění snímačů příp. generování mechanických impulzů. Tedy prováděné experimenty mají podobnou statistickou chybu, která se neliší od přímého umístění na vzorku. Používá se např. pro měření chování betonových směsí v čase – v uvedeném případě i měření aktivity akustické emise. 2 EXPERIMENT Měření pomocí metody akustická emise bylo provedeno na zařízení DAKEL XEDO s použitím vhodných snímačů a vlnovodů. Snímače akustické emise byly připevněny na vlnovod, který byl zapuštěn do čerstvé směsi. Vzorky byly od namíchání ponechány dvacet čtyři hodin v silikonových formách. Ve kterých probíhalo prezentované měření. Pro vyhodnocení vzniku a případně charakteru mikrotrhlin jsme se zaměřili na tyto parametry signálů AE:  Počet událostí – událost je definována pomocí prahových hodnot uživatelem (práh začátku (ES); práh konce události (EE)). Událost začíná v čase prvního kladného překmitu přes ES a končí v okamžiku, kdy se alespoň po „mrtvou dobu“ nevyskytl překmit přes EE.  Doba trvání signálů – je čas mezi ES a EE, respektive te - ts.  Energie signálů – je úměrná ploše pod obálkou elektrického signálu AE [6]: 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava t1 Ei   Vi (t ) 2 dt (1) t0 kde i t0 t1 zaznamenané napětí (Vt) z jednotlivého kanálu čas začátku události čas konce události. Od každé směsi se měřily tři vzorky dvěma snímači (viz Obr. 3), tedy pro vyhodnocení bylo využito signálů ze šesti snímačů akustické emise. Vlastnosti měřených směsí jsou v Tab. 1. Pro porovnání byly vybrány směsi s odlišnými vodními součiniteli. Vodní součinitel [–] Objemová hmotnost [kg·m-3] Rozlití [mm] Sednutí [mm] Obsah vzduchu [%] 0,40 2260 320 50 5,7 0,48 2270 340 65 4,5 Tab. 1. Vlastnosti měřených čerstvých betonových směsí Obr. 3. Reálné umístění vlnovodů a snímačů akustické emise ve vzorcích 3 VÝSLEDKY EXPERIMENTŮ Z grafu na Obr. 4 (vlevo) je vidět, že počet události u směsi s vodním součinitelem 0,40 je menší, než u směsi s vodním součinitelem 0,48. což je zřejmě způsobeno rychlejším hydratováním cementového zrna u směsi s nižším vodním součinitelem během prvních 24 hodin od namíchání. Stejně tak doba trvání signálů AE (Obr. 4 vpravo) je vyšší u směsi s vodním součinitelem 0,40. Pevnější struktura neutlumuje signály AE, tak jako větší množství vody ve směsi s vodním součinitelem 0,48, i když rozdíl v dobách trvání signálů AE není tak významný. Z porovnání grafů na Obr. 5 je patrná podobnost získaných hodnot jednak z měření AE a jednak z měření jednodenních pevností v tlaku. Lepší vazba matrice při vytvoření mikrotrhliny vygeneruje větší množství energie signálů AE, což odpovídá i hodnotám jednodenních pevností v tlaku. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 1400 Doba trvání signálů AE [–] 120 Počet událostí AE [–] October 2015, Bratislava 100 80 60 40 20 1350 1300 1250 1200 1150 1100 0 0,40 0,48 Vodní součinitel [–] 0,40 0,48 Vodní součinitel [–] Obr. 4. Závislost počtu událostí AE (vlevo) a doby trvání signálů AE (vpravo) na vodním součiniteli 30 0,35 Pevnost v tlaku fce [MPa] Energie signálů AE 10-5 [V·s] 0,40 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 25 20 15 10 5 0 0,40 0,48 Vodní součinitel [–] 0,40 0,48 Vodní součinitel [–] Obr. 5. Závislost energie signálů AE (vlevo) a pevnosti v tlaku (vpravo) na vodním součiniteli 4 ZÁVĚR Příspěvek ukazuje možnosti použití této metody akustické emise pro sledování chování betonové směsi na počátku tuhnutí, tedy během prvních 24 hodin. Použití vlnovodů se jeví jako velmi výhodné pro sledování tuhnutí čerstvé betonové směsi. Vlnovod umožňuje umístění senzoru v raném stadiu tuhnutí a tvrdnutí betonu a zároveň zlepšuje citlivost snímače, díky čemuž jsou přijaté vlny lépe detekovatelné. Při studiu signálů AE vzniklých při tvorbě mikrotrhlin v průběhu tuhnutí bylo zjištěno, že vodní součinitel má vliv na počet událostí AE a to tím způsobem, že je nižší u směsi s nižším vodním součinitelem. Doba trvání signálů AE nám zase ukazuje, že struktura u směsi vodním součinitelem 0,40 je vhodnější pro šíření vlnění a tedy i v dané fázi tuhnutí je cementové zrno více hydratované. Hodnoty energie signálů AE nám korelují s hodnotami jednodenních pevností v tlaku. Z experimentů tedy vyplývá, že metoda akustické emise může významnou měrou přispět k 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava detailnějšímu pohledu na chování jednotlivých směsí v průběhu raného stadia jejich života. Metoda akustické emise se jeví jako zajímavá doplňující metoda pro měření chování stavebních konstrukcí, struktur či materiálů ať už při jejich vzniku tak i při jejich zatěžování. POĎAKOVANIE Příspěvek byl vytvořen v rámci řešení projektu č. LO1408 "AdMaS UP - Pokročilé stavební materiály, konstrukce a technologie" podporovaného Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy v rámci účelové podpory programu „Národní program udržitelnosti I" a projektu specifického výzkumu na Vysokém učení technickém v Brně, projekt číslo FAST-S-15-2774. LITERATÚRA [1] KREIDL, M., ŠMÍD, R. Technická diagnostika – 4. díl. BEN – technická literatura, Praha 2006, ISBN 807300-158-6. [2] PAZDERA, L., SMUTNÝ, J., MAZAL, P. Využití akustické emise při sledování vlastností zatěžovaných materiálů a konstrukcí, Vysoké učení technické v Brně, Brno 2004, ISBN 80-214-2802-3. [3] KOPEC, B a kol. Nedestruktivní zkoušení materiálů a konstrukcí. CERM, Brno 2008. ISBN 978-80-7204591-4. [4] POLLOCK, R. A. Practical guide to acoustic emission testing, Physical Acoustic Corporation – Princeton, New Jersey, 1988. [5] MAZAL P. Acoustic emission method using in evaluation of fatigue properties of materials in Proceeding of European Conference on Advances in Mechanical Behaviour, Plasticity and Damage (EUROMAT 2000), Miannay D., Costa P., Francois D., Pineau A., eds., Tours, France, November, 2000, pp. 1137-1142. ISBN 0-08-042815-0. [6] SAGAR R.V., RAGHU PRASAD B.K. An experimental study on acoustic emission energy as a quantitative measure of size independent specific fracture energy of concrete beams, Construction and Building Materials, Volume 25, Issue 5, May 2011, Pages 2349-2357, ISSN 0950-0618, http://dx.doi.org/10.1016/j.conbuildmat.2010.11.033. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS VYŠETROVANIE POTENCIÁLU STEKUTENIA POPOLOV ODKALÍSK VPLYVOM SEIZMICKÉHO ZAŤAŽENIA PENETRAČNÝMI TESTAMI I. Slávik1 Abstract Ashes are non-cohesive geomaterials with typical low specific weight and high porosity. Such type of geomaterial is significantly prone to liquefaction as a result of dynamic – seismic load. Investigation of ashes that are prone to liquefaction due to seismic load can use certain field methods, which are currently most frequently used in solving the same issue in sandy or silty–sandy soils. These field methods are dominated by two types of penetration tests: SPT - standard penetration test and CPT - cone penetration test. The method of investigating liquefaction caused by seismic activity was developed based on numerous penetration tests of sandy or silty–sandy soils and was elaborated in detail at the Workshop on Evaluation of Liquefaction Resistance of Soil, NCEER, Salk Lake City, USA, 1996. In the present paper, the results of penetration CPT test conducted at the ash impoundment in Zemianske Kostoľany are analyzed using methodology NCEER. Kľúčové slová odkalisko; popoly; seizmické zaťaženie; stekutenie; CPT test; stupeň bezpečnosti proti stekuteniu 1 ÚVOD Popoly patria ku nesúdržným geomateriálom, ktoré možno charakterizovať nízkou objemovou tiažou a vysokou pórovitosťou. Hodnoty objemových tiaží popolov sedimentovaných na odkaliskách sa pohybujú v rozmedzí n = 11,0 – 14,0 kN.m-3 a hodnoty pórovitostí popolov sa pohybujú v rozmedzí n = 50 – 65 %. Takýto druh geomateriálov je vplyvom dynamického – seizmického zaťaženia výrazne náchylný ku stekuteniu. Pri výskume popolov náchylných k stekuteniu v dôsledku seizmického zaťaženia je možné aplikovať niektoré terénne metódy, ktoré sú v súčasnosti najčastejšie používané pri riešení identického problému u piesčitých resp. prachovito - piesčitých zemín. V týchto terénnych metódach prevládajú dva typy penetračných testov : SPT standard penetration test a CPT - cone penetration test. Metodika výskumu problematiky stekutenia v dôsledku seizmickej aktivity bola vypracovaná na základe veľkého počtu penetračných skúšok piesčitých resp. prachovito - piesčitých zemín a podrobne dokumentovaná na pracovnom stretnutí pre výskum odolnosti zemín proti stekuteniu : Workshop on Evaluation of Liquefaction Resistance of Soil, National Center for Earthquake Engineering Research (NCEER), Salk Lake City, USA, 1996. Podľa jeho záverov vytvorila americká spoločnosť Civil Tech Corporation program LiquefyPro pre posúdenie náchylnosti zemného prostredia zaťaženého seizmickou aktivitou k stekuteniu, zhodnotením výsledkov terénnych penetračných skúšok. Využitím toho 1 Doc. Ing. I. Slávik, PhD., STU, Stavebná fakulta, Katedra geotechniky, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, tel.: 00421259274672, e-mail: ivan.slavik@stuba.sk th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava softwarového produktu bola skúmaná a posudzovaná aj odolnosť proti stekuteniu popolových sedimentov uložených na odkaliskách ENO, a.s. v Zemianskych Kostoľanoch [2], [3], [4], [5], [8]. 2 METODIKA STANOVENIA POTENCIÁLU STEKUTENIA CPT TESTAMI Stupeň bezpečnosti proti stekuteniu FSliq (Factor of Safety to Liquefaction) vplyvom seizmického zaťaženia možno stanoviť na základe vzťahu : FSliq  CRR CSR (1) V prípade ak FSliq  1,0 k stekuteniu zeminy v dôsledku pôsobenia uvažovanej seizmickej aktivity nedôjde, naopak ak FSliq < 1,0 zemina stekutie. CSR (Cyclic Stress Ratio) – zaťaženie seizmickou aktivitou možno vyjadriť na základe vzťahu, ktorý uvádza [7] v nasledovnom tvare :   a   0,65. max FSliq   av ,   g   vo     vo  . , .rd    vo  (2) pričom : amax – je maximálna hodnota horizontálnej akcelerácie zemského povrchu spôsobená seizmickou aktivitou; g – je tiažové zrýchlenie; vo – je totálne a ´vo – je efektívne geostatické napätie; rd – je redukčný koeficient, ktorého zmenu v závislosti na hĺbke pod povrchom terénu uvádza Obr. 1. Obr. 1. Závislosť zmeny redukčného koeficientu rd na hĺbke pod povrchom terénu [7] CRR (Cyclic Resistance Ratio) – odolnosť zeminy proti stekuteniu možno stanoviť na základe výsledkov terénnych penetračných testov (napr. statickými penetračnými testami CPT – cone penetration test). Existuje niekoľko metód pre vyjadrenie CRR z výsledkov CPT - testov (Seed, Suzuki, Olsen, Robertson&Wride). Všetky metódy vychádzajú zo zhodnotenia veľkého počtu penetračných testov na lokalitách, ktoré boli postihnuté seizmickou aktivitou, pričom na niektorých bolo pozorované stekutenie zemín v podloží a na iných k stekuteniu nedošlo. Popri výsledkoch penetračných meraní bola na každej lokalite dodatočne overená aj intenzita seizmického zaťaženia. Výsledkom uvedených pozorovaní bola potom tzv. krivka CRR vyjadrená v súradnicovom systéme CSR (zaťaženie seizmickou aktivitou) – qc1 (korigovaná veľkosť penetračného odporu) oddeľujúca merania s preukázaným stekutením od meraní, pri ktorých nebolo pozorované stekutenie na lokalite. Korekcia nameraného penetračného odporu qc spočíva v zohľadnení veľkosti pôsobiaceho geostatického napätia resp. v zohľadnení obsahu jemnozrnných častíc v zemine. Príklady kriviek CRR používané v jednotlivých metódach uvádza Obr. 2a, b, c [1], [6], [9]. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Hodnoty CRR boli vyjadrené pre magnitúdu seizmickej aktivity M = 7,5. Z toho dôvodu sa používa označenie CRR7,5. Pre prispôsobenie týchto základných kriviek k magnitúdam menším resp. väčším ako 7,5 bol zavedený korekčný faktor – MSF. Tento korekčný faktor pri stanovení stupňa bezpečnosti proti stekuteniu FSliq, zohľadňuje na základe hodnôt CRR7,5 požadovanú magnitúdu seizmickej aktivity, ktorá sa líši od hodnoty 7,5. Stupeň bezpečnosti proti stekuteniu FSliq vyjadrený vzťahom (1) je možné v prípade požadovanej magnitúdy seizmickej aktivity menšej resp. väčšej ako 7,5 vyjadriť na základe hodnôt CSR a CRR7,5 pomocou vzťahu : FSliq  CRR 7,5.MSF (3) CSR Veľkosť MSF – faktoru zohľadňujúceho škálu magnitúd seizmickej aktivity možno stanoviť vzťahom : MSF  102, 24 M 2,56 (4) Obr. 2a, b, c Krivky CRR oddeľujúce merania na podloží s preukázaným stekutením od meraní bez stekutenia (Obr. 2a – [1]; Obr. 2b – [6]; Obr. 2c - [9]) 3 REALIZÁCIA CPT TESTOV V TERÉNE Uvedenú metodiku, ktorá bola vyvinutá pre vyšetrovanie potenciálu stekutenia piesčitých resp. prachovito piesčitých zemín v dôsledku ich seizmického zaťaženia bola aplikovaná pri riešení obdobného problému na hnedouhoľných popoloch nachádzajúcich sa na „Pôvodnom odkalisku“ v Zemianskych Kostoľanoch. Hnedouhoľné popoly možno zrnitostne prirovnať k jemnozrnným až prachovitým pieskom. Na lokalite boli zrealizované tri statické penetračné sondy SP – 1 až SP – 3. Sondy boli umiestnené v osi odkaliska v jeho údolnom profile – dve v hrádzovom systéme (SP – 1 a SP – 2) a jedna SP – 3 v zátopovej oblasti. Sondy situované v údolnom profile odkaliska boli približne rovnomerne rozmiestnené v smere od základnej hrádze ku kalovému jazeru. Takéto rozmiestnenie bolo zvolené zámerne, aby bolo možné sledovať prípadné zmeny penetračných odporov v smere od základnej hrádze do kalového jazera. Umiestnenie sondy do zátopovej oblasti umožnilo prerušenie prevádzky odkaliska pri nadvyšovaní hrádzového systému. Situácia a údolný profil odkaliska s umiestnením penetračných sond je na Obr. 3a, b. V údolnom profile na Obr. 3b je vykreslený tvar telesa odkaliska s jeho podložím. Vyznačená je poloha penetračných sond a zakreslené sú polohy základných hrádzí v hrádzovom systéme odkaliska. Pôvodnou požiadavkou bolo preverenie celej mocnosti popolového sedimentu na odkalisku (35 – 45 m). Dĺžka penetračných sond však vyplývala z technických možností použitej penetračnej súpravy a bola približne 30 m. Statické penetračné sondy boli realizované súpravou typu MAIHAK vybavenou hrotom typu MDS – 73. Technické parametre statickej penetračnej súpravy boli nasledovné : priemer hrotu Ø = 35,7 mm; prierezová plocha hrotu – 10 cm2; vrcholový uhol hrotu – 60o; priemer sútyčia Ø = 32 mm; rýchlosť zatláčania hrotu – 25 cm.min-1. Počas statickej penetračnej skúšky bol zaznamenávaný odpor na hrote qst [MPa] a celkový odpor pri penetrácii Qr [kN]. ,00 315 DN200 DN200 DN200 DN200 DN200 DN200 ces ta PO¼N Á CESTA ¾ná R IGOL PO ¼N Á T: CES TA BE R IGOL R IGOL Sonda SP 1 285 ,00 R IGOL R IGOL 305,00 305,00 ,90 314 ,40 314 ,90 3 14 R IGOL základná hrádza podložie Sonda SP1 RK OV Á CE ST A BE CE STA R IGO L T. R IGOL L R IGO vým ol R IGOL BE Obr. 3b Údolný profil „Pôvodného odkaliska“ v Zemianskych Kostoľanoch s vyznačením polohy penetračných sond naplavený popo l Sonda SP2 R IGOL ŠT mo ¾ vý T. R IGOL BE T. v ýmol ŠAC HTA BET. CEST A ŠAC PA TR ÁV A TR ÁVA BET.C HODN IK HTA N ELO BET VÁ CES TA ÓN PAN HTA EL ŠAC SKL AD ÓN TR AFO TR ÁV N IK BET t.m ost pane l od jamka a l. be voje nsk ta . ces asf panel. cesta th Legenda : Sonda SP3 Obr. 3a Situácia „Pôvodného odkaliska“ v Zemianskych Kostoľanoch s rozmiestnením penetračných sond ,00 315 Sonda SP 3 DN200 315,50 315,50 DN200 DN200 Sonda SP 2 296,00 292,50 R IGOL BAZEN DN200 po GO L 5,0 0 DN200 RI 270 ,00 25 DN200 rigol 0,0 0 ná cesta po¾ 24 l rigo ÁD ZKO D OVA VÁ . EV BET BU C ESTA PR KOVÁ SKLAD L GO BU D OVA .ce sta ST PR AV IEMS EB NÁ TAV s.r .o. asf ŠTR sta ce R IGOL ia lov a ac RI ý obje kt od jamka rigol 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava L R IGO štr k pa ne lov asf . ces ta asf.c es ta th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava VYHODNOTENIE VÝSLEDKOV CPT TESTOV Stupeň bezpečnosti proti stekuteniu bol vyjadrený na základe nameraných penetračných odporov v statických penetračných sondách SP-1 až SP-3 pomocou softwaru : „LiquefyPro-Liquefaction and Settlement Analysis“. Uvedený softwarový balík využíva pre stanovenie stupňa bezpečnosti proti stekuteniu vplyvom seizmického zaťaženia metodiku uvedenú v časti 2 tohto príspevku. Stupeň bezpečnosti proti stekuteniu popolového sedimentu odkaliska bol vyjadrený na základe parametrickej štúdie. Parametrom bola úroveň hladiny presakujúcej vody v telese odkaliska a objemová tiaž popola. Hladina presakujúcej vody bola uvažovaná v úrovni terénu (predstavuje havarijný stav na odkalisku) resp. ako kritická hladina predpísaná projektantom (predstavuje reálny najnepriaznivejší stav). Objemová tiaž v prirodzenom uložení hnedouhoľných popolov sa na odkaliskách ENO a.s. Zemianske Kostoľany pohybuje v rozpätí n = 11,0 – 14,0 kN.m-3. Vo výpočtoch boli uvažované okrajové hodnoty objemovej tiaže – minimálna a maximálna hodnota (n = 11,0 a 14,0 kN.m-3). Seizmické zaťaženie pre posúdenie náchylnosti popolového sedimentu odkaliska k stekuteniu bolo uvažované hodnotou magnitúdy M a hodnotou akcelerácie PGA vyjadrenej z návrhového seizmického zrýchlenia ag. Magnitúda M pridelená zemetraseniu s makroseizmickými účinkami bola vypočítaná pomocou empirického vzorca z epicentrálnych intenzít. Epicentrálne intenzity boli určené v stupňoch makroskopickej stupnice MSK-64. Pre územie Slovenska, pri neznámej hĺbke ohniska možno určiť magnitúdu M podľa vzťahu : (5) M  0,55.I0  0,95 Pre oblasť Prievidze (stredné Slovensko), v blízkosti ktorej sa odkalisko nachádza, možno uvažovať s magnitúdou M = 0,55 . 7 + 0,95 = 4,8  5,0 a základným seizmickým zrýchlením pre túto oblasť ar = 0,3 m.s-2. S návrhovým seizmickým zrýchlením bolo uvažované ako 1,5 násobkom základného seizmického zrýchlenia ag = 1,5 . ar = 1,5 . 0,3 = 0,45. Akcelerácia bola uvažovaná hodnotou PGA = ag/g = 0,45/9,81  0,05. Výsledky analýzy stekutenia popolového sedimentu odkaliska sú pre vybranú penetračnú sondu SP – 3 pre ktorú boli zistené najnepriaznivejšie penetračné odpory a každú uvažovanú alternatívu uvedené na Obr. 4 (Obr. 4a – hladina vody v úrovni terénu HPV = 0,0 m, objemová tiaž popola n = 11,0 kN.m-3; Obr. 4b – hladina vody v úrovni terénu HPV = 0,0 m, objemová tiaž popola n = 14,0 kN.m-3; Obr. 4c – hladina vody kritická HPV = - 4,75 m, objemová tiaž popola n = 11,0 kN.m-3; -3 Obr. 4d – hladina vody kritická HPV = - 4,75 m, objemová tiaž popola n = 14,0 kN.m ). V každej alternatíve sú vykreslené priebehy hodnôt CSR (zaťaženie seizmickou aktivitou) a hodnôt CRR (odolnosť popolového sedimentu proti stekuteniu) pre celú mocnosť testovaného popolového sedimentu na odkalisku. Oblasti profilu kde dochádza k stekuteniu CSR > CRR sú zvýraznené šrafúrou. Okrem priebehov hodnôt CSR a CRR je pre celý profil graficky vyjadrený priebeh stupňa bezpečnosti proti stekuteniu FSliq. Takéto grafické vyjadrenie výsledkov statických penetračných testov dáva okamžitú predstavu o miestach, ktoré by v dôsledku uvažovanej seizmickej aktivity boli postihnuté stekutením. 5 ZÁVER Z výsledkov analýzy stekutenia popolového sedimentu na „Pôvodnom odkalisku" v Zemianskych Kostoľanoch vykonanej pomocou statických penetračných sond sú zrejmé nasledovné dôležité trendy :  nárast stupňa bezpečnosti proti stekuteniu s rastúcou hodnotou objemovej tiaže popolov;  nárast stupňa bezpečnosti proti stekuteniu s poklesom hladiny vody v telese odkaliska. Vyhodnotenia stupňov bezpečnosti proti stekuteniu popolov uvedenou metodikou dokazujú, že pri charakterizovaní uloženého popolového sedimentu „Pôvodného odkaliska" v Zemianskych Kostoľanoch priemernou hodnotou objemovej tiaže a pri dodržaní kritickej hladiny vody v telese odkaliska možno považovať popolový sediment za bezpečný z hľadiska možného stekutenia v dôsledku seizmického zaťaženia očakávaného v hodnotenej lokalite. Uvedený spôsob a metodiku zhodnotenia bezpečnosti popolového sedimentu proti stekuteniu vplyvom seizmického zaťaženia by bolo možné využiť pri hodnotení ľubovoľného odkaliska v ktorom zrnitostné zloženie sedimentovaných materiálov možno prirovnať k pieskom resp. prachovitým pieskom. Medzi takéto odkaliská možno zaradiť aj rudné odkaliská na ktoré sú ukladané geomateriály produkované ťažbou a úpravou rudných a nerastných surovín. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Obr. 4a SP 3 - HPV na teréne - npopla = 11,0 kN.m-3 Obr. 4c SP 3 - HPV kritická - npopla = 11,0 kN.m-3 October 2015, Bratislava Obr. 4b SP 3 - HPV na teréne - npopla = 14,0 kN.m-3 Obr. 4d SP 3 - HPV kritická - npopla = 14,0 kN.m-3 th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava LITERATÚRA [1] Kramer, S.L.: Geotechnical Earthquake Engineering, Prentice-Hall Civil Engineering and Engineering Mechanics series, 1996, ISBN 0-13-374943-6, 653 p. [1] Masarovičová, M. - Slávik, I . - Jesenák, J.: Problematika stekutenia popolov na zložiskách ENO o.z., I. etapa, Analýza a zhodnotenie súčasného stavu, STU Bratislava, 1999, 72 s. [2] Masarovičová, M. - Slávik, I . - Jesenák, J.: Problematika stekutenia popolov na zložiskách ENO o.z., II. etapa, Experimentálny výskum „potenciálu stekutenia“, STU Bratislava, 1999, 34 s. [3] Masarovičová, M. - Slávik, I . - Jesenák, J. - Boháč, J. - Kořán, P.: Problematika stekutenia popolov na zložiskách ENO o.z., III. etapa, Popoly – kolapsibilné geoamteriály, STU Bratislava, 2000, 56 s. [4] Masarovičová, M. - Slávik, I. - Jesenák, J.: Problematika možného stekutenia popolov na zložiskách ENO o.z., IV. etapa, STU Bratislava, 2001, 86 s. [6] Robertson, P.K. - Wride, C.E.: Cyclic liquefaction and its evaluation based on the SPT and CPT, Proc. NCEER Workshop on Evaluation of Liquefaction Resistance of Soils, Youd, T.L., and Idriss, I.M., eds., Technical Report NCEER 97-0022, 1997, ISSN 1088-3800, 41-88 pp. [7] Seed, H.B. - Idriss, I.M. : Simplified procedure for evaluating soil liquefaction potential, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, Vol. 107, No. SM9, 1971, 1249-1274 pp. [8] Slávik, I.: Monitoring geotechnických STU Bratislava, 2012, 173 s. [9] Suzuki, Y. - Koyamada, K. - Tokimatsu, K.: Prediction of liquefaction resistance based on CPT tip resistance and sleeve friction, Proc. XIV International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Hamburg, Germany, 1997, ISBN 9789054108955, 603-606 pp. vlastností geometeriálov odkalísk, Habilitačná práca, Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS MODELOVANIE VPLYVU VETRA NA KOMPLEX BUDOV PANORAMA CITY BRATISLAVA Roland Antal1 a Norbert Jendželovský2 Abstract Analysis of wind flow upon a structure is very common topic these days. The reason why we have to find solution for these problems is, that there are no general or analytical ways how to analyze wind effects on irregular shaped buildings in urban areas. Moreover, still more architects design very unusual shaped buildings, which cannot be solved by analytical or numerical ways. Scaled experiments tested in wind tunnels are best for precise solutions, however they are time consuming and expensive too. Therefore we use computational modeling software to analyze these effects and then, thanks to these analysis we can design structures and optimize them. Paper deals with simplified analysis of wind effects on high-rise buildings complex "Panorama city" situated in Bratislava-Slovakia. Through 2D and 3D analysis of this residential complex, we obtain results for wind speed near objects and external pressure coefficient, which will be helpful to gain insight, for future constructions or verification of already constructed ones. Kľúčové slová Vplyv vetra; Súčiniteľ tlaku vzduchu; ANSYS Fluent; ANSYS CFX, Panorama city; 1 ÚVOD Problematika modelovania veterného prúdu v súvislosti so stavebnými konštrukciami je v súčasnosti veľmi aktuálna. Nakoľko nie je možné vplyv vetra na stavebné objekty vystihnúť všeobecne formou analytických riešení prípadne normatívnymi predpismi pre rôzne mestské a sídelné útvary, tvary a typy konštrukcií, je vhodné použiť jeden z viacerých spôsobov pre stanovenie rýchlosti vetra v okolí stavby a taktiež získanie veľkosti tlaku pôsobiaceho na dané konštrukcie. Tento článok je zameraný na analýzu troch výškových budov ako celku, ktoré sú vzájomne v relatívne malej vzdialenosti. Keďže veterný prúd je rozrážaný vpredu stojacou budovou, vzadu stojace objekty sú touto budovou ovplyvnené a prúd vetra sa stáva nesúmerným a analyticky resp. všeobecne neriešiteľným. Zjednodušený 2D model prúdenia vzduchu modelovaný v software ANSYS FLUENT a ANSYS CFX má poskytnúť približný obraz o vzájomnom ovplyvnení týchto troch výškových budov, poskytnúť obraz o veľkosti tlaku vzduchu pôsobiaceho na budovy a tiež stanoviť rýchlostí vetra v tesnej blízkosti objektov. Pre zjednodušený 2D model sa výsledky získané z tejto analýzy môžu mierne odlišovať v porovnaní s 3D modelom resp. so zmenšeným modelom analyzovaným vo veternom tuneli. Pokiaľ by sme chceli model vystihnúť presne, bolo by nutné definovať okrajové podmienky ako napr. intenzita turbulencie a i. s vysokou presnosťou a taktiež 1 Ing. Roland Antal, Department of structural mechanics, Faculty of Civil Engineering, STU Bratislava, Slovakia, e-mail: roland.antal@stuba.sk 2 prof. Ing. Norbert Jendželovský, PhD., Department of structural mechanics, Faculty of Civil Engineering, STU Bratislava, Slovakia, e-mail: norbert.jendzelovsky@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava presne definovať okrajové podmienky zvoleného matematicko-softwarového modelu, čo by viedlo k nutnosti problém riešiť aj experimentálne. Tento typ zjednodušenej 2D resp. 3D analýzy je vhodný a dostatočne presný v situáciách kedy projektant potrebuje získať lepší obraz o veľkosti tlaku vzduchu a rýchlostiach prúdenia v súvislosti so stavebnou konštrukciou, ale normatívne alebo iné postupy mu to neumožňujú z dôvodu ich veľkej všeobecnosti, nedostatku času, prípadne sú nedostatočné z iného dôvodu. Súčasťou príspevku je tiež zjednodušená 3D analýza. V závere je uvedené grafické porovnanie dosiahnutých výsledkov. 2 OBJEKT PANORAMA CITY A LOKALITA KOMPLEXU Budovy sa nachádzajú v Bratislave v mestskej časti Ružinov na Landererovej ulici. Jedná sa o dve, pôdorysne identické výškové budovy stojace v tesnej blízkosti tretej administratívnej výškovej budovy s označením Tower 115 - Obr.1. Budovy "Panorama city" sú trojuholníkového pôdorysu s dĺžkou hrany(objektu) približne 50m. Ich susediaca budova Tower 115 je obdĺžnikového pôdorysu. Celková výška budov Panorama city je 108m, pričom Tower 115 má výšku 104m. Jedná sa teda o približne rovnako vysoké objekty. Tento komplex sa nachádza v okolí administratívnej zástavby rôznej výšky s možnosťou budúcej výstavby a preto je charakterizovaný ako kategória územia IV. Pre územie Bratislavy-Mlynskej doliny, ktoré sa nachádza ku komplexu najbližšie, spomedzi meteorologických zariadení, je podľa [1] najpočetnejším prúdením severozápadné prúdenie predstavujúce približne 21% z celkovej početnosti a preto bude vybrané aj pre softwarovú analýzu. Obr. 1. Komplex budov Panorama city + Tower 115 3 SOFTWAROVÁ ANALÝZA-ANSYS Fluent 3.1 Rýchlosť vetra a okrajové podmienky 3.1.1 Rýchlosť vetra Pri 2D analýze budeme uvažovať s hodnotou rýchlosti vetra v strede výšky komplexu (teda vo výške 54m). Podľa [1] je priemerná základná rýchlosť vetra pre danú lokalitu 12m/s (vo výške 10m nad terénom). Prostredníctvom vzťahov uvedených v [2] bola vypočítaná stredná rýchlosť vetra v m(54m)=11,2 m/s. V rámci 3D analýzy, bude aplikovaná v prostredí ANSYS Fluent konštantná rýchlosť vetra (rovnako ako pri 2D analýze) a v programe ANSYS CFX bude použitá logaritmická závislosť rýchlosti vetra od výšky. Pozn. pri takto malej rýchlosti vetra (12m/s) a relatívne veľkých budovách má aplikácia logaritmického zákona rýchlosti vetra iba minimálny vplyv na výsledky. 3.1.2 Zvolený matematický model V rámci softwarového riešenia bol zvolený bol matematický model k-ε. Výsledky analýzy jednoduchého objektu (kruhu) preukázali dostatočnú presnosť analytického riešenia, experimentov a 2D softwarového riešenia modelom k-ε. Tento dvoj rovnicový matematický model pracuje na báze dvoch diferenciálnych rovníc pre kkinetickú energiu turbulencie (1) a ε- disipáciu energie turbulencie (2). Vzhľadom k zložitosti riešenia týchto rovníc bude táto problematika zjednodušená a uvedené budú iba vzťahy na základe ktorých pracuje tento matematický model. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings     k      k  ui     t xi x j            ui     t xi x j kde: October 2015, Bratislava  ut k     2ut  Eij  Eij      k x j  (1)  ut    2    C1   2  ut  Eij  Eij  C2    k k   x j  (2) ui je zložka rýchlosti prúdenia v danom smere Eij je zložka miery deformácie 3.1.3 Okrajové podmienky Nakoľko je riešenie iteračné, je potrebné stanoviť počet iterácií a sledovať konvergenciu riešenia minimálne pre súčinitele tlaku vzduchu. Ustálenie grafu resp. krivky konvergencie súčiniteľov tlaku vzduchu (vertikálna os) a iterácií (horizontálna os) na približne rovnakej hodnote, ktorá sa už zvýšením iterácie nemení, znamená, že riešenie je ustálené a nie je predpoklad jeho zmeny. Pre 2D analýzu bol stanovený počet 6000 iterácií, avšak k úplnej konvergencii riešenia neprišlo, pretože úplavové víry spôsobujú zmenu veľkosti rýchlosti a tlakov v závislosti od iterácie a tento proces je cyklický. V rámci 2D riešenia pri aplikácií zjednodušených okrajových podmienok a zložitých tvarov objektov je nájsť presné a ustálené riešenie veľmi zložité. V rámci 3D riešenia bol zvolený počet iterácií 3000 (Ansys Fluent) a 300 (Ansys CFX). Obr. 2. Okrajové podmienky modelov a 3D model komplexu 3.1.4 Sieť konečných prvkov (meshing) V oboch analýzach boli automaticky (softwarom) generované FLUID prvky, ktorých neznáme-rýchlosti prúdenia, prislúchajú a sú počítané k ťažiskám prvkov. Pri 2D analýze sa jedná o model s 34 142 prvkami, kde bola zvolená trojuholníková sieť so zhustením na 0,4m v oblasti objektov-Obr.3. Táto sieť sa postupne zväčšuje až na prvok o hrane 50m (vo veľkej vzdialenosti od sledovaných objektov). Pri 3D analýze je model vytvorený z 1 412 279 prvkov tvaru ihlanu (pyramid) s veľkosťou 1,5m (v oblasti budov) resp. 38m (vo vzdialenejších miestach)-Obr.3. Obr. 3. Sieť konečných prvkov v okolí objektu pre 2D a 3D model 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.2 Výsledky 2D analýzy Obr. 4. Rýchlosti prúdenia vetra v oblasti budov (závislé od iterácie) v [m/s]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 5. Externé súčinitele tlaku vzduchu (závislé od iterácie) v [/]. Z výsledkov je zrejmé, že v úplavovej oblasti sa formujú víry a je preto veľmi náročné presne stanoviť hodnoty rýchlosti vetra a taktiež presné hodnoty súčiniteľov tlaku vzduchu. Zjednodušene sa dá povedať, že v záveternej oblasti je vhodné uvažovať s intervalom hodnôt vhodne zvolených podľa grafických výsledkov a túto skutočnosť aplikovať pri návrhu podľa danej situácie a typu návrhu. Obr. 6. Ukážka konvergencie súčiniteľov tlaku vzduchu na objektoch v závislosti od iterácie 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.3 Výsledky 3D analýzy Vzhľadom k podobných okrajových podmienok sa výsledky 2D a 3D riešenia líšia minimálne. Najväčšie rozdiely sú zreteľné v záveternej oblasti budov. Uvedené budú výsledky pre vektory rýchlosti a externé súčinitele tlaku vzduchu. Obr. 7. Vektorové rýchlosti a smer prúdenia vetra v oblasti budov (ANSYS Fluent) v [m/s]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 8. Vektorové rýchlosti a turbulencie vetra v oblasti budov (ANSYS CFX) v [m/s]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 9. Externé súčinitele tlaku vzduchu v [/] - aplikácia konštantnej rýchlosti vetra 11,2 [m/s] (ANSYS Fluent) Obr. 10. Externé súčinitele tlaku vzduchu v [/] pri aplikací log. rýchlosti vetra po výške budovy (ANSYS CFX). POĎAKOVANIE Tento príspevok bol podporený grantovou agentúrou VEGA, číslo projektu: 1/0544/15. LITERATÚRA [1] [2] POLČÁK, N., ŠŤASTNÝ, P., Vplyv reliéfu na veterné pomery Bratislavy. In: Mikroklima a mezoklima krajinných struktur a antropogenních prostředí. Skalní mlýn, 2. – 4.2. 2011, ISBN 978-80-86690-87-2 STN EN 1991-1-4 Eurokód 1: Zaťaženia konštrukcií. Časť 1-4: Všeobecné zaťaženia. Zaťaženie vetrom Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS EVALUATION OF ACOUSTIC EMISSION SIGNALS DURING THREE POINT BEND TEST OF CONCRETE SPECIMENS WITH PLASTICIZER VYHODNOCENÍ SIGNÁLŮ AKUSTICKÉ EMISE BĚHEM TŘÍBODOVÉHO OHYB BETONOVÝCH VZORKŮ S PLASTIFIKÁTOREM L. Pazdera1, J. Smutný2, T. Vymazal3, L. Topolář4, P. Daněk5 Abstract The article is aimed to the determination of the mechanical properties of the concrete specimens at three point bending test by application of the Acoustic Emission Method. It is known that the Acoustic Emission Method is a very sensitive method to determine active cracks into structure. However, evaluation of acoustic emission signals is very difficult. The Joint Time Frequency Analysis can serve to better description of acoustic emission signals. There are three basic views on the signal – in time, frequency and/or time-frequency domain. Each of domains has itself advantages and disadvantages. Three different types of prism concrete samples 100 mm × 100 mm × 400 mm were subjected to the three point bend test. The specimens were differed in the amount of the plasticizer Sika ViscoCrete and therefore mechanical properties. The Acoustic Emission Method by XEDO system (Dakel) was applied during the experiments. Four acoustic emission sensors were placed on the sample surface during the loading test. Frequency spectra of acoustic emission events (signals) generated at different loading were used to evaluate the experiments. This article has been worked out under the project No. LO1408 and under the project No 13-18870S. Key Words acoustic emission; concrete; plasticizer; 1 Prof. Luboš Pazdera, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Veveří 331/95, +420 pazdera.l@fce.vutbr.cz 2 Prof. Jaroslav Smutný, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Veveří 331/95, +420 smutny.j@fce.vutbr.cz 3 Doc. Tomáš Vymazal, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Veveří 331/95, +420 vymazal.t@fce.vutbr.cz 4 Dr. Libor Topolář, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Veveří 331/95, +420 topolar.l@fce.vutbr.cz 5 Dr. Petr Daněk, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Veveří 331/95, +420 danek.p@fce.vutbr.cz 541147657, 541147323, 541147818, 541147664, 541147492, th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Abstrakt Tento článek je zaměřen na stanovení mechanických vlastností betonových vzorků na tříbodovou zkoušku ohybem při aplikaci metody akustické emise. Je známo, že metoda akustické emis je velmi citlivá metoda pro stanovení aktivní trhliny ve struktuře. Nicméně, vyhodnocování signálů akustické emise, je velmi obtížné. Časověfrekvenční analýza může sloužit k lepšímu popisu signálů akustické emise. Existují tři základní pohledy na signál - v čase, frekvenci a/nebo časověfrekvenční oblasti. Každá z domén má výhody a nevýhody. Tři různé typy vzorků betonu 100 mm × 100 mm × 400 mm byly podrobeny testu tříbodovým ohybem. Vzorky se lišily v množství plastifikátoru Sika ViscoCrete a tedy mechanických vlastnostech. Pro metodu akustické emise XEDO systémem (DAKEL) byl během experimentů použit. Čtyři senzory akustické emise byly umístěny na povrchu vzorku během zkoušky. Frekvenční spektra akustické emise událostí (signály), vytvořených na různé zatížení byly použity pro vyhodnocení experimentů. Klíčová slova akustická emise; beton; plastifikátor; 1 ÚVOD Beton je jedním ze základních materiálů stavebnictví. [3] Z hlediska stavby, popis změn materiálových vlastností betonu během testu je nezbytné pro navrhování konstrukcí. [2] Je zřejmé, že použití netradičních metod a jejich neobvyklé vyhodnocení je vhodné, jak pro výrobce tak pro výzkumné pracovníky jak aplikovaného tak zejména základního výzkumu. [7] Metoda akustické emise patří k nedestruktivním metodám, které mohou popisují chování materiálu v průběhu procesu, např. zatěžování, bez ovlivnění sledované struktury. [6] Uvedená metoda sleduje pouze aktivní trhliny ve sledované struktuře, tudíž vznik a šíření vad, ne geometrické nespojitosti. [1], Jak je dobře známo posouzení akustické je velmi obtížné. [4] Konkrétní vzorky s plastifikátorem byly podrobeny zkoušce tříbodovým ohybem. [8] Současně bylo použito několik zkušebních metod, ale pouze hodnocení metody akustické emise metody je uvedena v tomto článku. [5] Pro vyhodnocení sledovaných vzorků resp. signálů akustické emise, byla použita metoda výpočtu spektra pomocí Fourierovy transformace a její zobrazení ve 3D grafu, tedy jako pseudo časově frekvenční transformace. 2 Experiment Sledované .vzorky rozměrů 100 mm x 100 mm x 400 mm měli rozličné složení dle tab. 1. Hlavní měněný parametr byl plastifikátor. Vzorky byly namáhány tříbodovým ohybem (viz. obr. 1).. Materiál CEM I 42,5 [kg] Písek [kg] Jemné kamenivo [kg] Střední kamenivo [kg] Voda [kg] Plastifikátor [kg] Vodní součinitel [-] P1 300 930 190 690 180 0,71 0,55 P2 350 900 190 690 180 0,91 0,46 P3 400 850 190 690 180 0,95 0,43 Tab. 1. Složení sledovaných směsí Materiál 28 denní krychelná pevnost v tlaku [MPa] 28 denní pevnost v tahu ohybem [MPa] Rozlití [mm] Sednutí [mm] Tab. 2. Vlastnosti vzorků P1 P2 P3 45 50 55 3.8 4.9 5.6 360 350 360 60 50 60 th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 1. Foto experimentu Měření byla prováděna na vzorcích stáří 28 dní, jak je obvyklé pro betonové směsi. Z hlediska mechanických vlastností je dle Tab. 2 zřejmé, že s rostoucím množstvím plastifikátoru roste 28 denní krychelná pevnost v tlaku a také 28 denní pevnost v tahu ohybem. Závislost krychlové pevnosti fck (MPa) na množství plastifikátoru mp (kg) lze pak usuzovat následující rovnicí f ck = 10 − 6 ⋅ exp(17 ⋅ m p ) + 44 (1) Obdobně lze získat rovnici pro pevnost v tahu ohybem fcf (MPa) f cf = 4 ⋅ 10 −5 ⋅ exp(11 ⋅ m p ) + 3,7 (2) Lze uvažovat, že pro uvedené množství plastifikátoru (mezi 0,7 kg a 0,95 kg) platí exponenciální závislost. Vyhodnocení výsledků akustické emise tříbodovým ohybem je provedeno do okamžiku lomu. Aktivita akustické emise je v případě lomu výrazná, neboť v této chvíli dochází k velkému množství vznikajících a šířících se vad, tedy k velkému uvolnění energie, která se formou elastických vln přenáší ke snímačům. Jelikož pro chování materiálu je důležitější doba do lomu, jsou vyhodnocení uvažovány do tohoto stavu. Způsob vyhodnocení je ukázán na snímači umístěném nejblíže k trhlině. S rostoucím množstvím plastifikátoru (Tab. 1) a tím i pevnosti se zvyšuje počet událostí akustické emise od zachycení první události do lomu (viz. obr. 2 až 4). Na grafech v obr. 2 až 4 jsou vyneseny frekvenční spektra jednotlivých událostí v daném čase, tj. při dané zatěžující síle. Nejvýznamnější frekvenční složka přibližně 100 kHz odpovídá rezonanční frekvenci vzorku. U frekvenčních složek nad 0,5 kHz je velký útlum. Obdobné vyjádření frekvenčních spekter jednotlivých událostí akustické emise je na obr.5 až 7, ovšem je nutné si uvědomit, že na těchto grafech je svislá osa číslo události, tedy není zřejmý časový odstup těchto událostí. Avšak je zde zřetelnější, že významné hodnoty spekter jsou v oblasti nízkých frekvencí.poznamenejme, že barevná nebo černobílá škála ukazuje intenzitu spektra. Průběh zatěžování na vybraných vzorcích z daných skupin je ukázán na grafu v obr. 8. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Obr. 2. Vzorek P1 – spektrum signálů akustické emise Obr. 3. Vzorek P2 – spektrum signálů akustické emise October 2015, Bratislava th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Obr. 4. Vzorek P3 – spektrum signálů akustické emise Obr. 5. Vzorek P1 – spektrum signálů akustické emise October 2015, Bratislava th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Obr. 6. Vzorek P2 – spektrum signálů akustické emise Obr. 7. Vzorek P3 – spektrum signálů akustické emise October 2015, Bratislava th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 8. Časový průběh zatížení na uvedených vzorcích 3 ZÁVĚR Příspěvek shrnuje možnost využití nestandardní měřící techniky metody akustické emise. Na této metodě je aplikováno pseudo časově frekvenční zobrazení analyzovaných signálů akustické emise. Metoda akustické emise tak přispívá k detailnějšímu popisu průběhu zkoušky tříbodovým ohybem. Akustická emise lépe detekuje použitelnost daného vzorku, neboť detekuje vznik a šíření trhlin v průběhu zatěžování bez ovlivnění struktury vzorku. PODĚKOVÁNÍ Tento článek byl vypracován v rámci projektu č LO1408 a v rámci projektu č 13-18870S. Literatura [1] Carpinteri A, Lacidogna G, Niccolini G, Puzzi S, INTERNATIONAL JOURNAL OF DAMAGE MECHANICS, 18 (3) (2009) 259-282, DOI: 10.1177/1056789508098700 [2] Ferro G, Carpinteri A, Ventura G, INTERNATIONAL JOURNAL OF FRACTURE, 146 (4) (2007) 213231.DOI: 10.1007/s10704-007-9162-6 [3] Gu A, Luo Y, Xu B, SMART STRUCTURES AND SYSTEMS, 16 (1) (2015) 10.12989/sss.2015.16.1.067 [4] Iturrioz I, Lacidogna G, Carpinteri A, INTERNATIONAL JOURNAL OF DAMAGE MECHANICS, 23(3) (2014) 327-358, DOI: 10.1177/1056789513494232 [5] Pullin R, Eaton MJ, Pearson MR, Pollard C, Holford KM, KEY ENGINEERING MATERIALS, 518 (2012) 57-65, DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.518.57 [6] Qiao Y, Sun W, Jiang J, CONSTRUCTION AND BUILDING MATERIALS, 93 (2015) 806-811, DOI: 10.1016/j.conbuildmat.2015.05.087 [7] Topolar L, Pazdera L, Cikrle P, APPLIED MECHANICS AND MATERIALS, 486 (2014) 267-272, DOI: 10.4028/www.scientific.net/AMM.486.267 [8] Wolf J, Pirskawetz S, Zang A, ENGINEERING FRACTURE MECHANICS, 146 (2015) 161-171, DOI: 10.1016/j.engfracmech.2015.07.058 67-79 DOI: th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NUMERICAL ANALYSIS OF TEMPERATURE FIELD IN STEEL HOLLOW CROSS-SECTIONS EXPOSED TO FIRE LOADING L. Lausova1, V. Michalcova2 and I. Skotnicova3 Abstract Standard methods of calculation consider the uniform temperature distribution in steel cross-sections exposed to fire. This paper is concerned with an analysis and numerical solution of temperature fields in steel hollow crosssections exposed to elevated temperature from three sides. The study compares the temperature field of hollow steel profiles of various sizes and thicknesses. The results of numerical modelling by finite element method in the ANSYS software are compared with calculations according valid standard. The analysis can be useful in calculations of steel structures where thermal expansion is restrained and influence of non-uniform temperature distribution causes additional bending moments. Key Words Numerical modeling, temperature field, steel hollow cross-section, fire loading. 1 INTRODUCTION The valid standards for fire design situation allow simplified calculation methods based on empirical formulae for thermal analysis of structures [1,2,3,7]. These assumptions may result in conservative solutions, which can be suitable for structural element calculations, but they cannot be used e.g. for structures where elevated temperature causes additive internal forces due to restraining conditions. Then the task has to be solved as a combined one both in thermal and structural analysis. Variable values of material properties depended on growing temperature must be taken into account. The paper evaluates steel hollow non-protected sections exposed to elevated temperature with the special attention to non-uniformly distributed temperature over the section. 2 SOLUTION OF STEEL STRUCTURES EXPOSED TO FIRE 2.1 Standard Solution Temperature distribution can be calculated in the section for a given temperature load on the basis of Fourier equation [7] if there are known thermal characteristics of the materials from which the structural element is composed. The simplest way to determine the temperature of steel sections is the simplified method according to 1 Ing. Lenka Lausova, Ph.D., VSB-TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, L.Podeste1875, 708 33, Ostrava, +420 597 321 326, lenka.lausova@vsb.cz 2 Ing. Vladimira Michalcova, Ph.D., VSB-TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, L.Podeste 1875, 708 33, Ostrava, tel., +420 597 321 348, vladimira.michalcova@vsb.cz 3 doc. Ing. Iveta Skotnicova, Ph.D., VSB-TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, L.Podeste 1875, 708 33, Ostrava, tel., +420 597 321 957, iveta.skotnicova@vsb.cz 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava the valid standard EN 1993-1-2 [2] by heat transfer from the gas temperature. Thus, the temperature can be determined in the open and hollow cross sections, with or without fire protection and also temperature rise at the beam heated on three sides. Furthermore, it is possible to determine the temperature in the cross-section with the incremental method [3,7], which assesses the temperature change for a given time period. Increment temperature is calculated from the temperature of the gas through the heat flow and it is dependent on the so called section factor, specific heat and density of the material. Slowing rise of temperature at the protected sections is influenced by thermal characteristics of the protective material and its thickness. The section factor may generally be determined by dividing of the circumference part exposed to fire and the cross-sectional area. The section factor of hollow cross-sections where t (thickness of the section) is much smaller than b (width of the section) is determined by relation 1/t [2]. Calculation of the section factor for all above mentioned cases of crosssections can be found in [1,2,3,7] with the exception of the hollow cross-section heated from three sides, what is the aim of this article. Due to the high value of thermal conductivity of material the temperature distribution in steel crosssections is more uniform than e.g. in concrete elements. To simplify the problem a uniform temperature distribution in the whole cross section is assumed [2]. This temperature is derived from the temperature of the bottom flange exposed to fire. Under certain conditions it is useful to apply numerical methods for temperature field calculation [4,5,6,7]. Generally, at steel cross-sections exposed to fire from three sides the temperature of the bottom flange and the web is almost identical. However, the temperature of the upper flange is lower. This is due to heat losses at the top surface of the upper flange to the relatively cold concrete slab. Steel hollow cross-sections show bigger differences in temperature gradient compared to the open ones. 2.2 CALCULATIONS OF STATICALLY INDETERMINATE STRUCTURES This paper is focused on the calculation of non-uniform temperature distribution across the section which causes additional moments in structures where the thermal expansion is prevented by restrain conditions. The assumption of necessity to monitor temperature and stress-strain state at the beginning of the fire at statically indeterminate structures is confirmed in [4,5]. The influence of non-uniform heating of the section at simultaneous relatively low total temperature at the beginning of fire may decide further progression of stress because of additional bending moments. During following minutes this influence does not show itself as much as in the beginning from two reasons: 1) participation of the total temperature (it means uniform part of temperature) becomes more important and 2) at elevated temperature above 200 °C the Young's modulus of elasticity decreases and thus the internal forces drop down. On the other hand, in steel structures at elevated temperatures above 400 °C the yield stress decreases, which means the carrying capacity of the section. All these assumptions must be taken into account when calculating statically indeterminate structures under fire loading. 2.3 NUMERICAL SOLUTION In this study the steel cross-sections without any fire protection exposed to elevated temperature from three sides are evaluated using finit element numerical approach. Thermal task is solved as a transient nonlinear thermal analysis in the ANSYS software [8] and the temperature distribution is obtained in the section in time of experimental testing [6]. Four different types of the hollow squared cross-sections (50/4, 70/4, 100/4, 200/10) are evaluated, and also three squared hollow cross-sections of the same size (50 mm) with different thicknesses (t = 2,3,4 mm). The thermal loading is set in steps at simultaneous change of all necessary thermal characteristics of material (heat conductivity, specific heat) related to the temperature in the structure. 2.3.1 Boundary conditions The surface temperature measured during the experiment carried out at the VSB-TU Ostrava [4,5] are used for the boundary conditions in this work (Dirichlet boundary conditions). Surface temperatures of steel profile, concret slab or plasterboard are set directly on the nodes according to the measured values in time of the experiment. Detail of the ceiling structure and the graph of measured temperatures on the structure are described in detail in [4,5]. The initial temperature of the frame was 21 °C. 2.3.2 Numerical model The model is created using finite elements of PLANE55 type, element has four nodes with a single degree of freedom, temperature, at each node. The element is applicable to a two-dimensional, steady-state or transient 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava thermal analysis [8]. The investigated cross-sections are discretized and modelled as rectangular elements. The grids of finite elements are used to calculate the temperature distribution across each cross-section considered. The mesh size is chosen to be 0.002 m. 2.4 Results of the numerical study In this paper the results are evaluated for the first 15 minutes of experimental measurement. 2.4.1 Profiles 50/4, 70/4, 100/4, 200/10 Thermal fields in the 4th minute of testing at investigated squared hollow cross-sections profiles 50/4, 70/4, 100/4, 200/10 are shown in the Fig. 1a-d), the values relate to Table 1. The temperature of gas was 357 °C, the temperature of part of the profile exposed to fire was 284 °C, the bottom part of the concrete was 23 °C (boundary conditions). High temperature of the exposed side of the sections can be seen as well as investigated temperature on the upper side of the cross-sections during the experiment. Temperature in the upper flange vary from 209 °C (profile 50/4) to 51 °C (profile 200/10). The differences between the upper and bottom part of the sections are calculated in Table 1, varying from 75 °C to 232 °C in the 4th minute of the time of the experiment. (a) (b) (c) (d) Fig. 1. Thermal field in the 4th minute: a) profile 50/4 b) 70/4 c) 100/4 d) 200/10 Fig. 2a) graph shows growing temperature of the upper flange of the chosen cross-sections in time of the experiment and the temperature rise of the part exposed to fire. Fig. 2b) graph illustrates the differences of the temperature between upper and bottom flanges of the calculated profiles. From both graphs there can be clearly seen that the difference between the upper and the bottom flange vary for different dimensions of the hollow profiles, bigger profiles have bigger temperature difference between upper and bottom side of the section. 2.4.2 Profiles 50/2, 50/3, 50/4 This study also compares the thermal field of the squared hollow cross-sections of the edge size 50 mm with different thicknesses: 2, 3, 4 mm. The study shows that in the same dimension’s sections of different thickness the difference of the temperature in the upper and bottom flange rapidly changes, see Table 2 and Fig. 3a,b). The profile with the smallest value of the thickness (2 mm) has the biggest temperature gradient compared to the thicknesses 3 and 4 mm. Fig. 3a) illustrates the temperature rise of the part exposed to fire and experimental 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava measured temperature values of the upper flange. Fig. 3b) graph illustrates differences of the temperature between upper and bottom flanges of calculated profiles. Tab. 1. Temperature of the upper flange and temperature difference of the upper and bottom sides of the sections Tab. 2. Temperature of the upper flange of the hollow section in dependence on the thickness of the section (a) (b) Fig. 2. a) Temperature of the upper flange of the sections in time of the experiment, b) differences in temperature of the upper and bottom flanges of profiles 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings (a) October 2015, Bratislava (b) Fig. 3. a)Temperature of the upper flange of the sections in time of the experiment, b) differences in temperature of the upper and bottom flanges of profiles 3 CONCLUSION Based on the results of the study reported in this paper, the following conclusions can be drawn: • A numerical study of the heat field in the hollow cross-sections exposed to fire loading from three sides is presented. For calculations the finite element method in the commercial software ANSYS was used. The main focus is on determining the value of non-uniform temperature distribution in the section. • Investigated profiles show big differences in thermal gradient at hollow sections exposed to elevated temperature at the same boundary conditions depending on the size and the thickness of the profile. • The overall findings indicate that any general simplified procedure for calculations of temperature in the steel hollow cross-sections exposed to fire from three sides is not applicable. The exact knowledge of temperature distribution is important for advanced calculations especially in structures where the thermal expansion is prevented by restrain conditions and subsequently internal forces arise. ACKNOWLEDGEMENT The work was financially supported from the funds of the Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic allocated to the Conceptual development of science, research and innovation for 2015 at VŠBTechnical University of Ostrava and to the SGS project SP2012/100. REFERENCES [1] Buchanan, A. H., Structural Design for Fire Safety, John Wiley a Sons Ltd, England, 2003. [2] EN 1993-1-2: Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-2: General rules - Structural fire design. [3] Handbook 5, Design of Buildings for the Fire Situation, Book by Leonardo da Vinci Pilot Project CZ/02/B/F/PP-134007, 2005. [4] Lausova, L., Michalcova, V., Skotnicova, I., Konecny, P., Effect of Non-Uniform Temperature Distribution over the Cross-Section in Steel Frame Structure, AMM, Vol. 769, pp. 65-68, Jun. 2014. [5] Lausova, L., Skotnicova, I., Brozovsky, J., Numerical Analysis of Effects of Fire to Steel Frame Structures, in: ICCST, Naples, Italy, September 2-5, 2014. [6] Skotnicova, I., Lausova, L., Brozovsky J., Dynamic Heat Transfer Through the External Wall of a Timber Structure, submitted to AMM, 2014, vol. 617, pp. 162-166. [7] Wald, F. et al, Calculation of Fire Resistance of Structures, CVUT, Prague, 2005. [8] www.ansys.com Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS GP-INTERVAL PERTURBATION METHODS – ALGEBRA AND FUNCTIONS: NEW ALGEBRAIC METHODOLOGY J. Skrzypczyk1 Abstract The aim of the paper is to present a new algebraic system with specifically strictly defined new numbers, addition and multiplication operations. The new introduced numbers are called GP-interval perturbation numbers and are defined as ordered pairs of real number and the GP-interval -perturbation number with specially defined addition and multiplication. It can be proved that the new algebraic system is the extension of the system of real numbers and so GP-interval perturbation numbers are generalization of real ones. Some additional properties as subtraction, inversion and division are presented too, as well as extensions of elementary functions such as: power, exponential, logarithmic, trigonometric, square root type etc. Applications to numerical methods of elementary applied mechanics are presented. Key Words GP-interval, G-interval, perturbation numbers, interval numbers, dependent intervals, uncertain systems. 1 INTRODUCTION Theory of perturbations is a part of science of the great theoretical and practical meaning. Following papers [3,10-14] the new, unique algebraic system over intervals is presented. Calculations with use of new perturbation numbers lead to applications which are similar to classical perturbation methods. Unfortunately, the classical interval analysis suffers from the so-called dependency phenomenon, [1,2,7,9] which often introduces a high amount of overestimation leading to practically useless results for real sized structures. This is due to the inability of ordinary interval arithmetic to keep the dependency between interval variables. Therefore, when the operands are partially dependent on each other, not all combinations of values in the given intervals will be valid and the exact result interval can generally be smaller than the one produced by the classical formulas. In an attempt to limit the catastrophic effects of the dependency phenomenon, the generalized interval analysis [5,6] and the affine arithmetic [4-6,8] have been introduced in the literature. With the new algebraic system we get a set of very simple and useful mathematical tools which can be easy used in analytical and computational analysis of complex application problems. 2 ELEMENTARY GP-INTERVAL NUMBERS Introduce some elementary dependent intervals ei  0 ,1 , called further extra positive unitary interval (EPUI) variables. In the context of the stochastic analysis of structures with uncertain-but-bounded parameters, following the philosophy of the affine arithmetic, an improved interval analysis based on the definition of the so1 Prof. dr hab. eng. J. Skrzypczyk, Akademicka 5, 44-100 Gliwice, Poland, telephone (+48) 32 2371814, (+48)322372189, mobile: (+48) 604540510, mail: jerzy.skrzypczyk@polsl.pl. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava called extra positive unitary interval variable ei  0 ,1 cf. [4-6,8]. We assume further that two arbitrary EPUIs ei and ek are independent intervals for icf. k. Let further ei , ek , denote two EPUI intervals. 2.1 Improved algebraic operations over EPUI-intervals The subscript i in the interval variable ei indicates that the variable is associated to the i-th uncertain-butbounded parameter. Moreover, unlike the unitary interval used in the ‘‘ordinary’’ interval analysis, the EPUI is defined in such a way that the following properties hold. Notice that algebraic operations for EPUI dependent intervals are defined as follows: ei + ei = hulla  a; a  ei   2ei , (1)    0,1  e ei - ei = hull a  a; a  ei  0 ,0 , ei Since ei and e j  ei    2 ei   hull aa ; a  ei ei / ei  1,1 .    i (2) , (3) (4) are assumed to be independent for ij, then, ei ei  e j  eij  0 ,1, i  j , (5) e j (6) / for i  j is non permissible, where e  0 ,1 denotes some new genetic elementary unit interval, been a genetic descendant of „parent  ik intervals“ ei and ek , cf. [4,8]. 2.2 Algebraic operations over GPUI-intervals Notice that algebraic operations for dependent GPUI intervals are defined as follows: xei * yei : xa * ya : a  ei , where * = {+, -,  , /},  xei  yei xei   x  y  , : xa  ya  xy   xy0 ,1  xye x / ye : xa / ya : a  e   , y  0 . y xei  yei  : xa  ya : a  ei ei 2 ei : a  ei  i  i (8) ,  i For independent EPUI intervals operations are defined as xei * yek : xa * yb : a  ei ,b  ek  xyei * ek , particularly xei  yek : xa * yb : a  ei ,b  ek  xyei  ek  xyeik .    3  (7) (9) (10) (11) (12) GP-INTERVAL PERTURBATION NUMBERS Therefore, if we use affine theory of intervals, we can write further GP-interval (GPIR(M) or generalized interval notation) as  a  a   ai ei , (13) iM where ai is a real number (generalized interval radius) while ei is a unit positive interval genetic interval), i.e. ei  0 ,1 for each i=1,2,….,m and M={1,2,…,m}. The set of GP-interval numbers will be denoted as GPIR(M). Each GP -interval number in the form (2) is in fact the m+1 couple of real numbers, so we’ll use for simplicity  the notion a  a0 , a1 , a2 , a3 ,....,a M G . We write further symbolically   a  a  ,a  ,  a  : a , min0 , a1 , min0 , a2 ,.....,min0 , a M  ,  a  : a , max 0 , a1 , max0 , a 2 ,.....,max0 , a M  . th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.1 GP-Interval -perturbation numbers In GPIR(M) notation from now we write that each GP-interval -number has the form   a  a0  a1   ai ei , (14) iM   where a0  a1 is a perturbation number, ei  0 ,1 denotes an elementary unit interval, ai R, for each i=1,2,….,m and M={1,2,…,m}. Assume, that each GP-interval width ai of a is a pure -perturbation number i.e. ai = ai , ai R, ai R for each i=1,2,…m.  Then the GP-interval perturbation number a can be in fact written as the ordered couple of the real number a and the GPinterval number  a1   ai ei . (15) iM In further considerations we symbolically write GPinterval -perturbation number in the form   a  a0  a1    ai ei . (16) iM Each GP -interval -perturbation number in the form (16) is in fact the m+2 couple of real numbers, so we’ll use    for simplicity the notion a   a0 , a1 ,a1 ,a2 ,a3 ,....,am  . The set of GP-interval perturbation numbers will be mM   denoted as GPIR. In symbolic matter we write further    a    a0 , a1 , min0 ,a1 , min0 ,a2 , min0 ,a3 ,....,min0 ,a m  ,   mM   . (17)      a   a0 , a1 , max0 ,a1 , max 0 ,a2 , max0 ,a3 ,....,max0 ,am  .   mM   for left and right interval bounds of a . Algebraic operations over GP--intervals     Let further a  a0  a1    ai ei , b  b0  b1   3.1.1 iM  bi ei , denote two GP--interval numbers. Notice that iM algebraic operations for GP- interval numbers are defined as follows. Thus for addition we get         a  b  a0  a1    ai ei  b0  b1    bi ei  a0  b0   a1  b1    ai  bi ei . iM  iM  (18) iM Similarly for subtraction            a  b  a0  a1    ai ei   b0  b1    bi ei   a0  b0   a1  b1    ai  bi ei . (19) iM iM iM   In symbolic notion we have respectively     a  b  a0  b0 , a1  b1 ,a1  b1 ,a2  b2 ,........,am  bm , (20)     a  b  a0  b0 , a1  b1 ,a1  b1 ,a2  b2 ,........,am  bm . (21) Remind that M = {1,......,m} denote the set of indices; further let M = Mc  Mx  My where Mc is the set of indices of those components that are shared by both x and y while Mx and My denote the sets of indices of the     independent components of x and y , respectively. We suppose that Mc  Ø and hence, the GP-intervals are not independent. Using the above notion we obtain     x  x0  x1   xi ei and y  y0  y1   yi ei . iM c  M x iM c  M y Notice that algebraic operations over intervals are defined in the sense of algebraic operations for independent and dependent GP--intervals, as well. For multiplication we get               a b   a0  a1    ai ei  b0  b1    bi ei   a0 b0   b0 a1  a0 b1    b0 ai  a0bi ei . (22) iM iM iM        th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Denote further the special crisp -interval numbers as: The element 0GP   1GP := 1,0GPM  1    0ei   1,0 ,0 ,0 ,.....,0  , m times  iM    0GP := 0 ,0GPM  0    0ei   0 ,0 ,0 ,0 ,.....,0  . m times  iM  has properties of neutral element of addition, notice that   (23)   (24) a + 0GP = a , (25) since and alternatively 1GP       a0  a1    ai ei    0    0ei   a     iM iM     is the neutral element of multiplication      a0  a1    ai ei  1    0ei   a , (26)    iM iM    for any interval a  GPIR. Notice that all basic operations: addition, subtraction, multiplication and division are not identical with the same operations for usual interval numbers.   We can prove that there isn’t the inverse element x  x0  x1    xi ei of an usual interval -number iM   a  a0  a1    ai ei , but for affine operations it’s possible. To prove it notice, that we must have iM       a x   a0  a1    ai ei  x0  x1    xi ei   iM iM              a0 x0    x0 a1  a0 x1     x0 ai  a0 xi ei  1GP . (27)   a0 x0  1 ,    x0 a1  a0 x1  0 ,   x0ai  a0xi  0 for all i  1,2 ,....,m . (28) (29) (30) iM From eq. (27) we get Equations (28) - (30) are satisfied if 1   x0   , a0  0 , a0    xa a   x1   0 1    12 , a0  0 , a0 a0  x a a  xi   0 i    2i , a0  0 for all i  1,2 ,....,m . a0 a0 (31) (32) (33) So we can write further that    a 1   a0  a1    ai ei  iM   1  a 1 a      12  ε   2i ei . a0 a0 iM a0 (34) It’s easy to verify that   1   1   a1 a   a 1     a a   a0  a1    ai ei      2  ε   2i ei   1      ai ei  a0  2i ei   1GP . a    a0 a0 iM iM a0 iM  a0   0   The equations (33) are not satisfied in the classic interval theory, since it must be xi >0, for each i=1,2,…,m. So eqs. (31-33) have no solutions since all values in eq. (33) must be positive. In GP--interval theory we can accept the solution given by eqs. (31-33). If we use the name of inverse interval we can define a division of GP--intervals, namely th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava a : a b 1 . b (35) It follows that 1     a     a0  a1    ai ei  b0  b1    bi ei   b  iM iM   (36)       a0  a1 a0 b1   ai a0bi     1 b  b    1 i   a0  a1    ai ei      2  ε   2 ei          2         2 ei .   b b b0 b0  iM  b0 b0  iM iM b0   b0 0   0 From eq. (36) we get the final formula for division    a1 a0 b1   a a b  a a0         2       i  0 2 i ei . (37) b b b0 b0  iM  b0 b0   0 Division of two -perturbation numbers may be defined in another way. Notice, that                a0  a1    ai ei  a0  a1    ai ei   a02    a0 a1  a1 a0     a0ai  a0ai ei  a02 .(38)    iM iM iM    Then following eq. (38) we get          a0  a1    ai ei  a0  a1    ai ei  b0  b1    bi ei  a iM iM   iM          b b0  b1    bi ei     b0  b1    bi ei  b0  b1    bi ei  iM    (39) iM iM              a0 b0     a0 b1  a1b0    ai b0 ei  a0bi ei     a1 a0 b1   a a b a0 iM            2       i  0 2 i 2 b b0 b0 b0  iM  b0 b0  0 Notice that results (37) and (39) are identical. Operation Addition Formula     a  b  a0  b0   a1  b1    ai  bi ei Subtraction     a  b  a0  b0   a1  b1    ai  bi ei Multiplication         a b  a0 b0   b0 a1  a0 b1    b0ai  a0 bi ei       iM iM iM    a 1 a a 1      12  ε   2i ei a0 a0 iM a0 Inversion    a1 a0 b1   a a b a a0         2       i  0 2 i b b b0 b0  iM  b0 b0  0 Division   ei   Tab. 1. Algebraic operations over two GP--intervals 3.1.2 Example Let a  10  e1  e2 and b  10  e2  e3 . Then we can code these GP- intervals as     a  a0  a1    ai ei , where a0  10 , a1  0 , a1  1 a2  1, a3  0 , iM   ei .   th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings   b  b0  b1   Calculate the GP--quotient   b0  10 , b1  0 , b1  0 b2  1, b3  1 .  bi ei , where iM 10  e1  e2 10  e2  e3 October 2015, Bratislava . From eq. (37) we have a 10 1  1   0 10 * 0   1 10 * 0    1 10 * 1    0 10 * 1        e1    e 2    e3  1  e1  e3 10 100 10 100 10 100 10 100 10 10 b 10         The result is as follows 10  e1  e2 10  e2  e3 Operation Addition Subtraction Multiplication  1 1  1  e1  e3 . 10 10 Formula     a  b  a0  b0 , a1  b1 ,a1  b1 ,a2  b2 ,........,am  bm     a  b  a0  b0 , a1  b1 ,a1  b1 ,a2  b2 ,........,am  bm   (40)                a b   a0 b0 ,b0 a1  a0b1 ,b0a1  a0b1 ,b0a2  a0b2 ,....,b0am  a0bm    mM   Inversion  1   a  1   2  a0 ,a1 ,  a1 ,a2 ,.....,am    a0  mM  Division    a 1             2  a0b0 , a1b0  a0b1 ,b0a1  a0b1 ,b0a2  a0b2 ,.....,b0am  a0bm    b b0  mM  Tab. 2. Algebraic operations over two GP--intervals in symbolic notion 4 INTERVAL GP--PERTURBATION FUNCTIONS Let the function f(y), yR has an expansion into the Taylor‘s series at the point x, which can be described in the form k k   f  x  f  y   f x    y  x   f x   y  x 2  .......  f x    d kf x   y  x  , x , y  R 1 . (41) 1! 2! k! k  1 dx 4.1 Definition of GP--affine interval functions From eq. (41) follows, that its expansion f GP . on GP--intervals may be defined as 2     f  x0      f x0         x1   xi ei    ......   x1   xi ei   f GP  x0  x1    xi ei  : f x0      1!  2!   (42) iM iM iM            f x0   f  x0 x1  f x0   xi ei , x0 ,xi  R , for each i  M . iM Following eq. (42) we obtain the very useful formula         f G  x0  x1    xi ei   f x0   f x0 x1  f  x0   xi ei , x0 ,xi  R , for each i  M . (43) iM iM   Eq. (43) can be used in further considerations to easy calculations of perturbation values of functions with GP-interval -perturbation arguments. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4.2 October 2015, Bratislava Examples of GP--affine interval functions 4.2.1 Function sinGP    Let a   a0  a1    ai ei  . Directly from the formula (43) we obtain iM          sin GP a   sin GP  a0  a1    ai ei   sina0   a1 cosa0    cosa0   ai ei . iM iM   (44) 4.2.2 Function square rootGP Square root function is differentiable for all nonnegative reals except the point 0, then we can use the formula (43). We get     1     a  a1   ai ei  , :  a0  a1    ai ei   a0        .     GP (45) 2 a0  iM iM   G  a0  0 ,ai  R , for each i  M .  We define further  a  : 0 , if a0  0 ,ai  R , for each i  M .   GP 4.2.3 Function moduleGP The function module(.) (absolute value) is no differentiable, so we have no possibility to use the eq. (43). We use the definition of the GP--interval function. We obtain  a GP =    a0   a1   ai ei iM GP{aGP;    a0   a1   a a , a GPIR} =  ai ei iM    a0   a1    ai ei , where ei  ei  0 ,1, for each i  M . Final formula is as follows     a GP  a0   a1   ai ei  a0   a1  iM 5 (46) iM  ai ei . (47) iM CANTILEVER BEAM WITH 3-GENETIC TYPE PARAMETER AND LOAD GP-INTERVAL PERTURBATIONS We calculate the displacement of the end of the cantilever beam of length l, stiffness EJ, loaded at the end with the force P. Assume, that all values are of interval uncertainty. The displacement of the end of the beam equals Pl 3   . (48) 3E J Assume that uncertainties of all values are of 3-type genetic perturbations: loads – first type - e1 , dimensions – second type - e2 , material properties – third type - e3 and all values are equal to 10% of the nominal value, i.e.: P = (570.0 + 57.0 e1 ) N, l = (10.0 +1.0 e2 ) m, E = (2.0*1011 + 2.0*1010 e3 ) N , m2 J =(1.94*10-5 + 1.94*10-6 e2 ) m4. We obtain l 2 = (10.0 +1.0 e2 ) (10.0 +1.0 e2 ) = 100.0 + 20.0 e2 , l 3 = (100.0 +20.0 e2 ) (10.0 +1.0 e2 ) = 1000.0 + 300.0 e2 , P l 3 = (570.0 + 57.0 e1 )(1000.0 + 300.0 e2 ) = 570000.0 +  e1 + 171000.0 e2 = = 57000.0(10.0 + e1 +  e2 ). th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Since 3 E J = 3(2.0*1011 + 2.0*1010 e3 )(1.94*10-5 + 1.94*10-6 e2 ) = = 3(3.88*106 + 3.88*105 e2 + 3.88*105 e3 ) = 11.64*105(10.0 +  e2 +  e3 ), finally we obtain  GP     4.896908  10 6  57000 10  e1  e2 Pl 3 0.570 10  e1  e2    11.64 10  e2  e3 3 E J 11.64 * 10 5 10  e2  e3 2  1  0.1e1   0.1e3  m. (49) CONCLUSIONS Advantages of the new algebraic system are as follows: we can omit all complex analytical calculations which are typical for expanding approximated values of solutions in infinite series, we get a great simplification of all interval-type arithmetic calculations which appear in analytical formulation and analysis of the mathematical and engineering problems with uncertain, interval-type parameters. Most of known numerical algorithms can be simply adapted for the new interval algebraic system without any serious difficulties. REFERENCES [1] Alefeld, G. - Herzberger, J.: Introduction to Interval Computations. Academic Press, New York, 1983. [2] Bauch, H. - Jahn, K.U. – Oelschlagel, D. - Susse, H. - Wiebigke, V.: Interval-mathematik. BSG B.G. Teubner Verlagsgeselschaft, Berlin, 1987. [3] Belina, A.: FEM For Civil Engineering Structures With Intervally Perturbed Parameters And Load. XIV Konferencja Doktorantów Wydziałów Budownictwa, Szczyrk 8-9 maja 2014, Gliwice, 2014. [4] Gao W.: Interval natural frequency and mode shape analysis for truss structures with interval parameters. Finite Elements in Analysis and Design 42 (2006), 471 – 477. [5] Kolev, L.V.: New Formulae for Multiplication of Intervals. Reliable Computing 12 (2006), 281–292. [6] Kolev, L.V.: Optimal Multiplication of G-intervals. Reliable Computing 13 (2007), 399–408. [7] Moore, R.E.: Interval Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1966. [8] Muscolino G. - Sofi A.: Zingales M., One-dimensional heterogeneous solids with uncertain elastic modulus in presence of long-range interactions: Interval versus stochastic analysis. Computers and Structures 122 (2013), 217–229. [9] Neumaier, A.: Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge University Press, Port Chester, New York, Melbourne, Sydney, 1990. [10] Skrzypczyk, J.: Perturbation Methods For Systems With Interval Parameters. Proc. of International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 20-21, 2005, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia. [11] Skrzypczyk, J.: Perturbation Methods I, Algebraic Methodology, Applications in Mechanics and Acoustics. Publ. Silesian Technical University, Gliwice 2010, in polish. [12] Skrzypczyk, J.: New Computational Methodology for Calculations with Interval Numbers. Proc. of 11th International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 3-4, 2013, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, Bratislava, 213-216, 2013. [13] Skrzypczyk, J. – Belina, A.: FEM Analysis of Uncertain Systems with Small Interval Perturbations. Proc. of 11th International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 3-4, 2013, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, Bratislava, 2013, 217-220. [14] Skrzypczyk J. - Winkler–Skalna A.: Sound Wave Propagation Problems New Perturbation Methodology. Archives of Acoustic 2006; 31(N.4) Suplement: 115–122. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS FUZZY TRIANGULAR VARIABILITY FACTOR METHOD IN ANALYSIS OF TRUSS STRUCTURES WITH FUZZY PARAMETERS A. Belina1 Abstract A new method called the fuzzy triangular variability factor method (FTVFM) for the analysis of truss structures with fuzzy triangular parameters is presented in this paper. Using the FTVFM, the structural physical parameters and geometric dimensions can be considered as fuzzy triangular variables. The structural stiffness and mass matrices can then be, respectively, divided into the product of two parts corresponding to the fuzzy factors and the deterministic matrix. The computational expressions for the lower and upper bound and fuzzy change ratio of the displacements and internal forces are derived by means of the fuzzy operations. The influences of the change of the structural parameters on the mechanical values are demonstrated by using truss structures. Key Words Interval parameters; Fuzzy parameters; Interval factor method; Fuzzy factor method; Truss structures. 1 INTRODUCTION Since the mid-1960s, a new method called the interval analysis has appeared. Moore [14] and Alefeld [1] have done the pioneering work, cf. [2, 17]. Hansen [8-11] in his papers discussed the global optimization using interval analysis. Mathematically, linear interval equations, nonlinear interval equations and interval eigenvalue problems in the method have been resolved. However, because of the complexity of the algorithm, it is difficult to apply these results to practical engineering problems. In 1964 a new method, based on the so called fuzzy values has appeared. It was introduced by Zadeh in his work [22]. It was the extension of interval methods and is intensively analyzed till now. In this paper, a new method called fuzzy factor method (FFM) is proposed. Mechanical structures are used to illustrate examples of this method, in which structural physical parameters (Young’s modulus and mass density) and geometry (length and cross-sectional area of bar) are considered as interval/fuzzy variables. [15,21] The procedure of the FFM is as follows. Firstly, structural parameter fuzzy/interval variables are expressed as fuzzy/interval factors multiplied by the mean value (midpoint value) of these structural parameters. Secondly, the structural mass and stiffness matrices are expressed as interval/fuzzy factors of the structural parameters multiplied by their deterministic values, respectively. Finally, the structural values are expressed as the functions of these interval/fuzzy factors. Therefore, the effect of the change of structural parameters on the structural outputs can be easily identified. [3, 18, 19] 1 Mgr eng. A. Belina, Akademicka 5, 44-100 Gliwice, Poland, telephone (+48)322371542, mobile: (+48) 667012811, mail: aleksandra.belina@polsl.pl. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava This method allows for uncertainty in the material parameters and geometric dimensions, and compared to other methods, the computational work to obtain the structural dynamical characteristics is very small. 2 INTERVAL VARIABILITY FACTOR WITH SYMMETRIC REFERENCE POINT Generally, the methods of perturbation calculations were formulated in the previous papers [3-4, 18]. Now some new definitions are introduced. 2.1 Interval variability factor with symmetric reference point Following papers [7,16] each interval can also be expressed in the relative (radial) form i.e.   a  a  , a   a  a , a  a , (1)  where a and a denote the mean value (or midpoint value) of a and the uncertainty (or the radial/maximum width) of a , respectively. In this chapter, an interval a is called an uncertain interval and the midpoint is called   the symmetric reference point. An arbitrary interval a  a  a , a  a can be written as the sum of its   midpoint (mean value) and its uncertain interval a   a , a , cf. [1, 2, 13, 16]. Therefore,  a  a  a . (2) Eq. (2) can also be expressed as    a   a   a  1   ,  1    a 0     a  a    a   a    a   a      a  a 1   , a 1       a  1    ,  1    . (3)    a   a     a   a         a  a          a   1  a  ,  1  a   a  0        Following considerations we get a    a   a  a   a    a a  a 1   , 1     a 1  (4)  ,1   . a a  2a 2 a    Now, we introduce the special interval, called further the interval variability factor of a :  a a   a   a  a  a  aSF : aF , aF  1   , 1     1  (5)  ,1   a a   2a 2 a   and then substituting eq. (4) into eq. (5) we obtain  a  aaSF . (6)  Because a is a deterministic value and the uncertainty of a is fully described by aSF , the interval aSF is named as the interval variability uncertainty factor of a in this chapter. Elements of interval factor aSF can be easily obtained i.e.:   aSF 1  a  a a   1  , 2a a aSF  aF  aSF 1  aF 2 a  a a aF  aF  1   1   , aSF  2a a 2 a  a  1    1    a  a  a    ,. 2 a (7) (8)  where aSF and aSF denote the mean value (or midpoint value) of aSF and the uncertainty (or the radial/maximum width) of aSF , respectively. In addition, aSF can be considered as the interval change ratio value (that is the maximum width of interval variable divided by its module of mean value) to assess the dispersal degree of the interval aSF . Likewise, aSF can be written as the sum of its midpoint value (mean value) and its uncertain interval  a a  a    aSF  aSF ,aSF  aSF  a SF  1  a SF  1    ,    1   , (9) a  a a    th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava where a SF   aSF , aSF  . Notice, that results in [7,16] are true for positive parameters only! 2.2 Interval variability factors with symmetric reference point for cantilever beam with parameter and load perturbations We calculate the displacement of the end of the cantilever beam of length l, stiffness EJ, loaded at the end with the force P. Assume, that all values are of interval uncertainty. The displacement of the end of the beam equals Pl 3 . 3EJ Assume that uncertainties of all values are equal to 10% of the nominal value, i.e.:   P = [570.0 - 57.0, 570.0 + 57.0] N, (10) l = [10.0 - 1.0, 10.0 + 1.0 ] m, E = [1.8*1011, 2.2*1011] N , m2 J = [1.746*10-5, 2.134*10-5] m4. 3 E J = [9.4284, 14.0844] 106 Nm 2 . We obtain   l 3  l 3 ; l  [10.0  1.0 , 10.0  1.0]  729.0 , 1331.0  m3, P l  513.0 , 627.0 729.0 , 1331.0  10  373977.0 , 834537.0 Nm3 3 and then   6 Pl 3 373977.0 , 834537.0   0.373977 , 0.834537   0.02655, 0.0885   9.4284 , 14.0844 3 E J 9.4284 , 14.0844 10 6  5.7525  3.0975 , 5.7525  3.0975 10  2  2.655, 8.85 10  2 m . From the above calculations we have    5.7525  10 2 m , a  3.0975  10 2 m and finally  3.0975 3.0975     SF   SF , SF  1   ,   1   0.5385 ,0.5385  .  5.7525 5.7525   3  INTERVAL VARIABILITY FACTOR WITH NON-SYMMETRIC REFERENCE POINT Following paper each interval can also be expressed in the relative form i.e.   a  a  a1 ,a  a2  (11)  where a denote the reference value (or non symmetric midpoint reference value) of a and ai ,i  1,2 are the uncertainties (or the radials/maximum widths) of a , left and right respectively. In this chapter, an interval a is  called an uncertain variability interval and the reference midpoint a is called the non symmetric reference point.   An arbitrary interval a  a  a1 ,a  a2  can be written as the sum of its reference value and its uncertain non symmetric interval a   a1 , a2  . Therefore,  a  a  a , (12) a   a1 , a2  . (13)   a   a     a  a  a1 , a  a2   a 1   1 , a 1   2  , a  0 a   a    (14)   a    a   a  a a  a  a  a  1   1  , a  1   2   a  1  2  1 , 2  1  .   a   a  2a 2a    r (15) where Eq. (12) can also be expressed as and further th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava We can write the result in classical interval notion too, as follows   a a   a 1   1 ,1   2  a  0 a a    a   a    a  a 1   1  , a 1   2     . (16)   a   a     a  a   2 1 a 1   ,1    a  0   a a    Now, we introduce the special interval, called further the interval non symmetric factor of a :  a  a a  a    aNSF : aNSF , aNSF  mid aNSF ,rad aNSF r   1  2  1 , 2  1  , (17)   2a 2a  r or in classical notion  a a   1   1 ,1   2  a  0  a a  1  a1 ,a2  a  0 1  aNSF    1    1    a1 , a2  . (18)  a  a1 ,a2  a  0 a 1  a2 ,1  a1  a  0     a a   Then substituting eq. (18) into eq. (16) we obtain  a  aaNSF . (19)  Because a is a deterministic value and the uncertainty of a is fully described by aNSF , the interval aNSF is named in this chapter as the non symmetric interval uncertainty factor of a . Elements of interval factor a NSF can be easily obtained:   aNSF  a1 1  a ,   a 1   2 , a    a 0  a 0  , aNSF aNSF   a2 1  a ,   a 1   1 , a   a 0  a 0 a  a  , aNSF  1  2  1 2a aF  aF a2  a1  ,  2 2a (20) (21)  where aNSF and aNSF denote the mean value (or midpoint value) of aNSF and the uncertainty (or the radial/maximum width) in aNSF , respectively. In addition, aNSF can be considered as the interval change ratio value (that is the maximum width of interval variable divided by its module of mean value) to assess the dispersal degree of the interval aNSF . Likewise, aNSF can be written as the sum of its midpoint value (mean value) and its uncertain interval 4 INTERVAL VARIABILITY FACTORS OF PHYSICAL PARAMETERS WITH NON-SYMMETRIC REFERENCE POINT In the following, we consider the structural physical parameter Ee and geometric dimensions (Ae, le). We assume that they are members of I(R) simultaneously, that is, they are all interval variables with non-symmetric reference points. Because there many structures that are consisted of one kind of material or all elements are manufactured by the same means in engineering cases, we can suppose that the interval change ratios are of the same kind and interval structural parameters of each element are equal and symmetrical, for example, E11 E21 E E E12 E22 E E     .......   N 1   1 ,     .......   N 2   2 . (22) E1 E2 EN E E1 E2 EN E Then, the Young’s modulus Ee, cross sectional area Ae and length le can be, respectively, expressed as    Ee  Ee EeNSF , Ae  Ae AeNSF , le  leleNSF , (23) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava    where EeNSF , AeNSF and leNSF are interval factors, Ee , Ae and le are reference values (or midpoint values) of Ee , Ae and le respectively, cf. [7]. Furthermore, the uncertainties of interval change ratio values of Young’s modulus, cross-sectional area and length can be respectively expressed as l l E E A A E NSF 1   1 , E NSF 2   2 , ANSF 1   1 , ANSF 2   2 , l NSF 1  1 , l NSF 2  2 , (24) E E A A l l where E NSF 1 , ENSF 2 , ANSF 1 , ANSF 2 , and lNSF 1 , l NSF 2 are uncertainties of non-symmetric interval change ratio values of Ee , Ae and le respectively. Along with the new system of calculation we obtain extremely simple tool for analytical and numerical considerations of complex issues perturbation problems of mechanics. 5 FUZZY TRIANGULAR VARIABILITY FACTORS Generally, the methods of fuzzy triangular number (FTrianN in short FTN) calculations were formulated in many previous publications [5, 6, 12]. Now some new definitions are introduced. Following [5, 6, 12, 15] each FTN can be expressed in the relative form i.e. the 3-couple of real numbers, see fig. 1, ~ A  A , A0 , A  A0  A , A0 , A0  A , (25) ~   where A0 , A , A denote the mean value (or midpoint value) of A and the uncertainty (or the left and right ~ ~ spreads) of A , respectively. In this chapter, an FTN A is called an uncertain variability fuzzy triangular ~ number. An arbitrary FTN A  A , A0 , A can be written as the sum of its midpoint (centre triangle value) A0             and corresponding FTN  A ,0 , A , where ~ A  A , A0 , A  A0  A , A0 , A0  A  A0   A ,0 ,A ,             A  A0  A , A  A0  A , A  A0  A , A  A  A0 . (26)   ~  x; A 1.0 ~ A  x A- A0 A+ Fig. 1. Membership function of fuzzy triangular number [19,20] ~ From eq. (26) we can also expressed the -cuts of FTN A as ~ A  A0  1      A , A  A0  1    A , A0  1    A      A   A  A   A   A0  1  1    ,1    ,   2 A0 2 A0  r since any IN can be written in “radial form”  (27) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava     rad a    a  a  rad a , a  rad a  : a ,rad a r  a  1,   , a  0 .   a  r In conventional notion we have    A   A  A   A  A   A  A   A   ~ A  A0  1  1     ,    2 A 2 A 2 A 2 A    0 0 0 0   and in consequence    A   A  A   A  A   A  A   A   ~  . A  A0  1    ,0 ,     2 A 2 A 2 A 2 A 0 0 0 0    ~ ~ Now, we introduce the special FTN AF , called further the FT factor of A as (28) (29)   A   A  A   A  A   A  A   A  ~ , AF  1    ,0 ,    2 A0 2 A0 2 A0 2 A0   (30) or in another form     A  A   ,0 , 1   A0  ~   A0 AF     1    A ,0 ,   A    A A0    0  A0  0 1    A0  0 1     1   A ,0 ,  A A0 1   A ,0 , A A0   A0  0 A0  0 . (31) A0  0 . (32) Eq. (31) can also be expressed as   A A  , 0, 1    A0 A0  ~  AF  AF , AF 0 , AF      1   A , 0 ,  A    A A0    0   Substituting Eq. (31) or (32) into eq. (29) yields ~ Elements of FT factor AF can be easily obtained:    A   A0 AF  1     A  A0 6 A0  0 , A0  0 FUZZY TRIANGULAR PARAMETERS A0  0 1 A0  0  1  A , 0 , A A0  ~ ~ A  A0 AF .   A   A0 AF  1      A  A0 VARIABILITY (33) A0  0 , AF 0  1 . (34) A0  0 FACTORS OF PHYSICAL In the following, we consider the structural physical parameter Ee and geometric dimensions (Ae, le). We assume that they are members of FTN simultaneously, that is, they are all fuzzy triangular variables. Because there many structures that are consisted of one kind of material or all elements are manufactured by the same means in engineering cases, we can suppose that the fuzzy change ratios are of the same kind and fuzzy structural parameters of each element are equal and non-symmetrical, for example, E1 E2 E N E  E1 E2 E N E    .......   ,   .......   . (35) E10 E20 EN 0 E0 E10 E20 EN 0 E0 Then, the Young’s modulus Ee, cross sectional area Ae and length le can be, respectively, expressed as ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ee  Ee0 EeF , Ae  Ae0 AeF , le  le0 leF , (36) ~ ~ ~ where EeF , AeF and leF are fuzzy factors, Ee0 , Ae0 and le0 are mean triangle values (or midpoint values) of ~ ~ ~ Ee , Ae and le respectively, cf. [7,16]. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Furthermore, the uncertainties of fuzzy change ratio values of Young’s modulus, cross-sectional area and length for any fuzzy finite element can be respectively expressed as   E   E E  0 E0  0   0  E0  E0   EF  1   , EF  1   , (37)    E   E E0  0 E0  0  E0  E0    A   A AF  1   0   A  A0 A0  0 , A0  0   A   A AF  1   0    A  A0 A0  0 (38) , A0  0  l l0  0   l , l F  1   0  . (39) l  l0  0 l0  0  l0 Along with the new system of calculation we obtain extremely simple tool for analytical and numerical considerations of complex issues uncertain perturbation problems of mechanics.  l   l l F  1   0   l  l0 7 l0  0 EXAMPLE To illustrate calculation methods the space truss with perturbed loads and parameters as shown in fig. 1 was analyzed cf. [3-4, 13, 18]. The truss has 24 bars, 13 nodes and 6 supports. Only one concentrated force acting vertically on the node 1-st was considered, it has perturbations of FTN type with 10% left and right spreads of 2type, (-.22046D+03- 0.22046D+02, -.22046D+03, -.22046D+03+ 0.22046D+02)r kN. Truss parameters are as follows: A = (0.155E-01-0.755E-03, 0.155E-01, 0.155E-01+0.755E-03) m2, E=300 GPa, and 5% spread FTN perturbation of type 1. for positions of the nodes, dimensions cf. [18]. It follows that displacements, stresses, bending moments and shear forces will be FT values too. Results are presented in tabs. 1-2. Displacements are shown in many variants dependent on used perturbations. As was written the disorders can be in loads or cross-sectional. Mean value of FT Spread radius of FT Node Displacement [m] factor factor left/right  0.1 e2 1 - 0.20640986 2-7 0.1 e2  0.0091778035 Tab. 1. Sample -FT variability factor displacements in z-direction Member 1,5,9,13, 17,21 Fuzzy parameters Mid/triangle centre e1 FT factor DL -0.97839224D-02 0.0 Force -0.46075955D+03 0.0 Stress -0.29726423D+05 0.0 -0.1 -0.1 -0.1 2,6,10,14 18,22 e2 FT factor Mid/triangle centre e1 FT factor 0.74318903D-02 0.0 0.35111117D+03 0.0 0.22652334D+05 -0.05 0.1 0.1 0.1 -0.24987993D-02 0.0 -0.93395883D+02 0.0 -0.60255410D+04 -0.05 0.1 0.1 0.1 3,4,7,8,11, 12,15,16, 19,20,23, 24 e2 FT factor Mid/triangle centre e1 FT factor e2 FT factor Tab. 2. Sample FT-deformations, force and stress FT factors for truss members th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 8 October 2015, Bratislava CONCLUSIONS It is essential for investigations in structural engineering to take advantage of recent developments in the treatment of uncertainty. Uncertainties in structural engineering appear in forms of stochastic, interval and fuzzy types. Such uncertainty types have received great attention by researchers and engineers. Additional research is needed in modeling the fuzzy types of uncertainty to obtain generalized models and measures. Structural and reliability analyses need to consider cognitive and non-cognitive uncertainties. Analysis methods can be categorized as deterministic analysis for cases without uncertainty, random analysis for cases with non-cognitive uncertainty, perturbation analysis for cases with cognitive uncertainty, and perturbationrandom analysis for cases with both uncertainty types. For a variable containing both cognitive and non-cognitive uncertainties, a fuzzy-perturbation methods can be proposed. For example, perturbation-random variables can have a non-perturbation mean and a perturbation standard deviation. We can analyze series and parallel configurations systems as well as mixed ones. 20 3 4 10 8 4 7 6 3 2 23 2 0 1 21 5 24 22 17 1 0 10 12 -20 -10 0 10 9 13 20 14 11 -10 18 16 19 20 15 -20 -20 20 12 -10 0 10 20 20 13 7 10 10 6 11 2 1 8 0 0 5 3 4 -10 -10 10 9 -20 -20 -20 -10 0 10 20 0 1 2 3 4 Fig. 1. Scheme of the frame with perturbed parameters [4,13,18] REFERENCES [1] Alefeld, G. - Herzberger, J.: Introduction to Interval Computations. Academic Press, New York, 1983. [2] Bauch, H. - Jahn, K.U. – Oelschlagel, D. - Susse, H. - Wiebigke, V.: Interval-mathematik. BSG B.G. Teubner Verlagsgeselschaft, Berlin, 1987. [3] Belina, A.: FEM For Civil Engineering Structures With Intervally Perturbed Parameters And Load. XIV Konferencja Doktorantów Wydziałów Budownictwa, Szczyrk 8-9 maja 2014, Gliwice, 2014. [4] Belina, A.: Przedziałowa mes dla konstrukcji inżynierskich z perturbowanymi parametrami i obciążeniami. XV Konferencja Doktorantów Wydziałów Budownictwa. Szczyrk 7-8 maja 2015, Gliwice, 2015. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [5] Cai, Kai-Yuan: Introduction to Fuzzy Reliability. Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London 1996. [6] Czogała, E. – Pedrycz, W.: Elementy i metody teorii zbiorów rozmytych. PWN, Warszawa 1985. [7] Gao W.: Interval natural frequency and mode shape analysis for truss structures with interval parameters. Finite Elements in Analysis and Design 42 (2006), 471 – 477. [8] Hansen, E.: Bounding the Solutions of Interval Linear Equations. J. SIAM Numer. Anal. 29, 1992, 14931502. [9] Hansen, E.: Interval Arithmetic in Matrix Computations, Part I. J. SIAM Numer. Anal. Ser.B 2, 1965, 308320. [10] Hansen, E.: Preconditioning Linearized Equations. Computing 58, 1997, 187-196. [11] Hansen, E. – Smith, R.: Interval Arithmetic in Matrix Computations, Part II. J. SIAM Numer. Anal. Ser.B 4, 1967, 1-9. [12] Kacprzyk, J.: Zbiory rozmyte w analizie systemowej. PWN, Warszawa 1986. [13] Levy, R.: Analysis Of Geometrically Nonlinear Structures. Chapman & Hall, New York 1995. [14] Moore, R.E.: Interval Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1966. [15] Möller, B. – Beer M.: Fuzzy Randomness, Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanic. Springer, Berlin – Heidelberg – New York et. al., 2004. [16] Muscolino G. - Sofi A.: Zingales M., One-dimensional heterogeneous solids with uncertain elastic modulus in presence of long-range interactions: Interval versus stochastic analysis. Computers and Structures 122 (2013), 217–229. [17] Neumaier, A.: Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge University Press, Port Chester, New York, Melbourne, Sydney, 1990. [18] Skrzypczyk, J.: FEM Analysis Of Uncertain Systems With Small Fuzzy Perturbations. Proc. of International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 1617, 2014, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, Bratislava, 2014. [19] Skrzypczyk, J.- Witek, H.: Fuzzy Boundary Element Methods: A New Perturbation Approach for Systems with Fuzzy Parameters. Proc. of International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 2005, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, Bratislava, 2005, 21-24. [20] Skrzypczyk J., Witek H., New Concepts of Solution Interpretation In Fuzzy Boundary Problems, Proc. International Conference 70 YEARS OF FCE STU, December 4 - 5, 2008 Bratislava, Slovakia, Bratislava 2008, CD. [21] Uncertainty Modelling and Analysis in Uncertainty in Civil Engineering . Ed. by Ayyub, Bilal M., CRC Press, Boca Raton - Boston – London et. al., 1998. [22] Zadeh, L.A.: Fuzzy sets. Inform. and Control 8 (1965), 338-353. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS POSTBUCKLING ANALYSIS OF AN IMPERFECT SLENDER WEB SUBJECTED TO THE SHEARING LOAD M. Psotny1 Abstract The stability analysis of an imperfect slender web subjected to the shearing load is presented, a specialized code based on FEM has been created. The nonlinear finite element method equations are derived from the variational principle of minimum of total potential energy. To obtain the nonlinear equilibrium paths, the Newton-Raphson iteration algorithm is used. Corresponding levels of the total potential energy are defined. The peculiarities of the effects of the initial imperfections are investigated. Special attention is paid to the influence of imperfections on the post-critical buckling mode. Obtained results are compared with those gained using ANSYS system. Key Words Stability; buckling; postbuckling; geometric nonlinear theory; initial imperfection. 1 INTRODUCTION TO NONLINEAR THEORY Restricting to the isotropic elastic material and to the constant distribution of the residual stresses over the thickness, the total potential energy can be expressed as: U =∫ 1 2 A where (εm − ε0 m )T t D(εm − ε0 m )dA + ∫ 1 (k − k0 )T t 2 A 3 12 D(k − k0 )dA − ∫ q T p dA , (1) A εm , k are strains and curvatures of the neutral surface, ε0 m , k0 are initial strains and curvatures, q, p are displacements of the point of the neutral surface, related load vector. The system of conditional equations [1] one can get from the condition of the minimum of the increment of the total potential energy δ ∆ U = 0 . This system can be written as: K inc ∆ α + Fint − Fext − ∆ Fext = 0 , where 1 K inc is the incremental stiffness matrix of the slender web, Fint is the internal force of the slender web, Fext is the external load of the slender web, ∆Fext is the increment of the external load of the web. (2) Assoc. Prof. Ing. Martin Psotný, PhD. Department of Structural Mechanics, Slovak University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, Slovakia. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Eq. (2) represents the base for the Newton-Raphson iteration and the incremental method as well. The Gauss numerical integration (5 points) was used to evaluate the stiffness matrices and the load vectors. 2 FINITE ELEMENT METHOD The FEM computer program using a 48 DOF element [2] has been created for analysis. Used FEM model [3] consists of 8x8 finite elements. Full Newton-Raphson procedure, in which the stiffness matrix is updated at every equilibrium iteration, has been applied [4]. The fundamental path of the solution starts from the zero load level and from the initial displacement. It means that the nodal displacement parameters of the initial displacements and the small value of the load parameter have been taken as the first approximation for the iterative process. To obtain other paths of the solution, random combinations of the parameters as the first approximation have been used. Interactive change of the pivot member during calculation is necessary for obtaining required number of L-D paths. Obtained results were compared with results of the analysis using ANSYS system, where 32x32 elements model was created (Fig. 1b). Element type SHELL143 (4 nodes, 6 DOF at each node) was used [5]. The arclength method was chosen for analysis, the reference arc-length radius is calculated from the load increment. Only fundamental path of nonlinear solution has been presented. Shape of the web in postbuckling has been also displayed. 3 ILLUSTRATIVE EXAMPLES Illustrative example of steel plate loaded in shear (Fig. 1) is presented. Results of eigenvalue buckling analysis are presented first. These serve to prepare shapes of initial geometrical imperfection [6], [7] as a linear combination of eigenvectors. Also offer an image about location of critical points of nonlinear solution, help with settings in the management of nonlinear calculation process. Results of fully nonlinear analysis follow. a p wA wB wC p b a=b=260mm t=2mm E=210 GPa ν=0.3 b a Fig. 1. a) Notation of the quantities of the slender web loaded in shear, b) ANSYS FEM model In order to better describe post-buckling shape of the web, nodal displacements wA, wC have been taken as the reference nodes. 3.1 Eigenvalue Buckling Analysis Eigenvalue buckling analysis predicts the theoretical buckling strength of an ideal linear elastic structure and is a problem of eigenvalues and eigenvectors [8]. Eigenvalues define the buckling load multipliers and the corresponding eigenvectors buckling mode shapes of the structure. Results for perfect slender web [9] from Fig.1 can be seen in the Table 1. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 209.07 [N/mm] 258.86 554.57 598.53 685.41 721.70 896.66 983.59 Tab. 1. Buckling loads and buckling modes 3.2 Nonlinear analysis The geometrically nonlinear theory represents a basis for the reliable description of the postbuckling behaviour of the slender web [10], [11]. The result of the numerical solution of steel web loaded in shear is presented as load – displacement paths. The initial displacements were assumed as the out of plane displacements only [12] as a combination of first three buckling modes d 0 = ∑ α i * MODEi (3) Parameters αi are mentioned below. In order to better describe post-buckling shape of the web, nodal displacements wA, wC have been taken as the reference nodes (Fig. 1). These presented nonlinear solutions of the postbuckling behaviour of the slender web are divided into two parts. On the left side, there is load versus nodal displacement parameters relationship, on the right side the relevant level of the total potential energy is drawn [13]. (Unloaded web represents a zero total potential energy level.) Following Figures present two cases, in which the web in a post-buckling mode buckles in the shape that is identical to a shape of initial imperfection (different from the first buckling mode obtained from eigenvalue buckling analysis). The difference consists in a fact, that while in first case the fundamental path represents the path with minimum value of the total potential energy for a given load, in the second case there exists also a path with the total potential energy level lower than that of the fundamental path [14]. Load [N/mm] 700 600 500 400 300 200 100 wC wA fund. path path2 path3 Displacement [mm] Energy [J] 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -150000 Fig. 2. Results for α1=0.3 mm, α2=0.2 mm, α3=0.1 mm - -50000 0 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Figure 2 presents a nonlinear analysis of the slender web with initial imperfection whose shape was formed from first three eigenmodes. According to (3.1), following parameters α were considered: α1=0.3 mm, α2=0.2 mm, α3=0.1 mm. There are presented first three loading paths representing various forms of changes between buckling shapes. Displacement wC has been plotted by a solid line, wA by a dashed line. The Figure illustrates also shapes of the buckling area for particular paths and selected load values. In the right part, respective values of total potential energy can be seen. Fundamental path corresponds with the minimum value of total potential energy, thus there is no presumption of a snap-through. For comparison with an analysis of the same web using ANSYS software system, the fundamental path of solution is presented (see Figure 3). q = 500 scale 6 q = 200 scale 30 Fig. 3. Fundamental path for α1=0.3 mm, α2=0.2 mm, α3=0.1 mm from ANSYS In Figure 4 one can observe analysis of a thin plate with initial imperfection of a shape identical to a shape of the 2nd eigenmode. Parameter α2 of a value 0.1mm has been considered. 600 Load [N/mm] 600 500 500 400 400 300 300 200 200 fund. path path2 path3 100 0 -6 -4 -2 100 wC wA Energy [J] Displacement [mm] 0 0 2 4 6 -1E5 Fig. 4. Results for α2=0.1 mm -5E4 0 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Displacement wC has been plotted by a solid line, wA by a dashed one again. Shapes of the buckling area are located next to the paths. On the right side of the Figure one can see, that the total potential energy for the fundamental path (blue line) is higher than energy for path 2 (red line). This path 2 represents buckling according to the 1st buckling mode, thus there is presumption of a snap-through. For comparison with an analysis of the same plate using ANSYS software system, the fundamental path of solution is presented (see Figure 5). q=400 (scale 12) q=200 (scale 70) Fig. 5. Fundamental path for α2=0.1 mm from ANSYS 4 CONCLUSIONS The influence of the value of the amplitude and the mode of the initial geometrical imperfections on the postbuckling behaviour of the slender web subjected to the shearing load was presented. As the important result one can note, that the level of the total potential energy of the fundamental stable path can be higher than the total potential energy of the secondary stable path. This is the assumption for the change in the buckling mode of the web. The evaluation of the level of the total potential energy for all paths of the non-linear solution is a small contribution to the investigation of the post buckling behaviour of slender webs. To be able to give a full answer for the mechanism of the snap-through effect, more in-depth research will be required. ACKNOWLEDGEMENT This paper has been supported by Grant Agency (grant No. 1/0272/15) REFERENCES [1] Washizu, K.: Variational Methods in Elasticity and Plasticity. Pergamonn Press, NY, 1982, 630 p. [2] Saigal, S. – Yang, I.: Nonlinear Dynamic Analysis with 48 DOF Curved Thin Shell Element. Int. J. Numer. Methods in Engng. 1985, 22, pp. 1115-1128. [3] Zienkiewicz, O. C. – Taylor, R. L.: The Finite Element Method. Vol. 2. Solid and Fluid Mechanics. Dynamics and Non-Linearity. McGraw-Hill, London, 1991. [4] Crisfield, M. A.: Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley&Sons, London, 1996, 360 p. [5] ANSYS User´s Manual 13.0. Swanson Analysis Systems, Inc., 2010. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [6] Kala, Z. – Kala, J. – Škaloud, M. – Teplý, B.: Sensitivity Analysis of the Effect of Initial Imperfections on the Stress State in the Crack-Prone Areas of Breathing Webs. Proc. of the Fourth Int. Conf. on Thin-walled Structures, Loughborough (England, UK), 2004, pp. 499-506. [7] Psotný, M. – Ravinger, J.: Post-Buckling Behaviour of Imperfect Slender Web. Engineering Mechanics, Vol. 14, 2007, No. 6, p. 423-429. [8] Voľmir, A. S.: Ustojčivosť deformiruemych sistem. Nauka, Moskva, 1967. (in Russian) [9] Bulson, P. S.: The Stability of Flat Plates. Chatto&Windus, London, 1970, 470 p. [10] Bloom, F. – Coffin, D.: Handbook of Thin Plate Buckling and Postbuckling. Chapman&Hall/CRC, Boca Raton, 2001, 770 p. [11] Rhodes, J.: Some observations on the post – buckling behaviour of thin plates and thin – walled members. Thin-walled structures, Elsevier, 2001, s. 69-84. [12] Ravinger, J.: Vibration of Imperfect Thin-Walled Panel. Part 1: Theory and Illustrative Examples. Part 2: Numerical Results and Experiment. Thin-Walled Structures. Vol. 19, No 1, 1994, 1-36. [13] Psotný, M.: Total Potential Energy Levels in the Post-Buckling. 13th International Scientific Conference VSU 2013, Sofia, Bulgaria. Vol. I. pp. I- 296-299. [14] Ravinger, J. – Psotný, M.: Stable and Unstable Paths in the Post-Buckling Behaviour of Slender Web. Coupled Instabilities in Metal Structures, Roma, 2004, p. 67 – 75. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS SECOND-ORDER LOADS OF ROOF BRACINGS IN ROOFS WITH VERTICAL BRACINGS L. Niewiadomski1 and J. Zamorowski2 Abstract In compliance with the standard PN-EN 1993-1-1 [4] calculations concerning the transversal bracings in the roof ought to take into account the effect of equivalent geometrical imperfections in the form of initial bows in the top flanges of the trusses out of their plane or as equivalent stabilizing forces. In a simplified flat standard model of calculating the transversal bracings the spatial character of the behaviour of the roof structure is not taken into account. Aforementioned approach leads to undervaluation of the forces in the bars of the bracings. The paper “The load of transversal bracings resulting from geometric imperfections of single-span trusses of roofs” [3] presented the author’s way of determining the stabilizing load, replacing the initial bow of the top flange in a spatial model. This load was determined basing on the initial standardized bow of the top flange and the elastic bow of the bottom flange. The present paper deals with the possibilities of applying this way practically in calculations concerning a single-nave hall provided with vertical bracings in the roof according, among others, to the procedure of determining elastic bow of the bottom flange, the numbers of vertical bracings of the trusses, the type of the truss as well as the flexibility of the transversal bracing. Ways of determining the elastic bow of the bottom flange of trusses with two or even more vertical bracings which may be used in practice, have been suggested. The obtained results have been compared with those concerning a spatial model with geometrical imperfections, analyzed by a geometrically non-linear model of calculation and with the results concerning a flat standard model of calculating the bracing. Key Words Geometrical imperfections, roof trusses, bracings. 1 WSTĘP Rzeczywiste konstrukcje budowlane i ich elementy są obarczone niedoskonałościami i wadami początkowymi. Wady te wprowadza się do globalnej analizy konstrukcji w postaci zastępczych imperfekcji globalnych (wstępne przechyły) i lokalnych (wstępne wygięcia). W obliczeniach dachowych stężeń poprzecznych należy, zgodnie z przepisami normy PN-EN 1993-1-1 [4], uwzględnić wpływ zastępczych imperfekcji geometrycznych w postaci wstępnych wygięć górnych pasów wiązarów z ich płaszczyzny lub w postaci równoważnych sił stabilizujących. W uproszczonym, płaskim normowym modelu obliczeniowym stężeń poprzecznych nie uwzględnia się przestrzennego charakteru pracy konstrukcji dachowej, co prowadzi do zaniżenia sił w prętach stężeń. 1 2 Lesław Niewiadomski PhD, Silesian University of Technology in Gliwice, Faculty of Civil Engineering, Poland, 44-100 Gliwice, Akademicka 5, e-mail: leslaw.niewiadomski@polsl.pl Assoc. Prof. Jan Zamorowski PhD DSc, University of Bielsko-Biala, Faculty of Materials, Civil and Environmental Engineering, Poland, 43-309 Bielsko-Biała, Willowa 2, e-mail: Zamski@interia.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava W referacie pt. „Obciążenie stężeń poprzecznych wynikające z geometrycznych imperfekcji jednoprzęsłowych wiązarów dachowych” [3] przedstawiono autorski sposób wyznaczania obciążenia stabilizującego, zastępującego wstępne wygięcie pasa górnego w modelu przestrzennym. Obciążenie to wyznaczono na podstawie wstępnego przechyłu wiązarów, wynikającego z wstępnego normowego wygięcia górnego pasa oraz ze sprężystego wygięcia pasa dolnego. Mechanizm powstawania sprężystego wygięcia dolnego pasa przedstawiono w [1], [2], [3] . Sprężyste wygięcie dolnego pasa wynika z działania obciążenia pionowego P na wiązar pochylony na skutek wstępnego wygięcia lub załamania górnego pasa (Rys. 1). Siła H2 powoduje sprężyste poziome wygięcie dolnego pasa i zwiększenie przechyłu wiązara, co prowadzi do zwiększenia oddziaływań wiązara na stężenie poprzeczne. Rys. 1. Segment konstrukcji dachowej z załamanym pasem górnym (zwroty pokazują oddziaływanie sił na węzły) W niniejszym referacie przedstawiono możliwości praktycznego zastosowania zaproponowanego autorskiego sposobu [3] w obliczeniach hali jednonawowej z pionowymi tężnikami dachowymi, w zależności m. in. od procedury wyznaczania sprężystych wygięć pasa dolnego, liczby pionowych stężeń wiązarów, typu wiązara, a także od podatności stężenia poprzecznego. Zaproponowano praktyczne sposoby wyznaczania sprężystego ugięcia dolnego pasa dla wiązarów z dwoma lub więcej tężnikami pionowymi. Uzyskane wyniki porównano z wynikami otrzymanymi dla przestrzennej konstrukcji z imperfekcjami geometrycznymi, analizowanej nieliniowym geometrycznie modelem obliczeniowym oraz z wynikami dla płaskiego, normowego modelu obliczeniowego stężeń poprzecznych. 2 PRZESTRZENNE MODELE OBLICZENIOWE HALI W celu dokładnego określenia sił w prętach poprzecznego stężenia połaciowego obliczono, za pomocą programu Robot [6], segment hali o rozpiętości 24,0 m, długości 42,0 m i wysokości do poziomu oparcia wiązarów 9,8 m (rys. 2). Przyjęto wiązary dwutrapezowe o pasach z kształtowników HEA i skratowaniu typu W, z słupkami wykonanymi z rur kwadratowych, z wygięciem początkowym górnego pasa w jedną stronę o strzałce eg,0 obliczonej wg [4]: eg,0 = αm·L/500 = 0,791·24,0/500 = 0,03797 m. Współczynnik korekcyjny αm wyznaczono dla 4 elementów stężanych. Wygięcia pasów przyjęto wg funkcji sinus. Obliczenia wykonano dla 4 przestrzennych modeli obliczeniowych różniących się konstrukcją wiązarów w strefie podporowej oraz liczbą stężeń pionowych: - model 1 – dolne pasy wiązarów połączone przegubowo z słupami z możliwością przesuwu wzdłuż osi pasa, stężenie pionowe wiązarów w połowie szerokości hali (rys. 2), - model 2 – dolne pasy wiązarów nie dochodzą do słupów, stężenie pionowe wiązarów w połowie szerokości hali. - model 3 – dolne pasy wiązarów połączone przegubowo ze słupami z możliwością przesuwu wzdłuż osi pasa, dwa stężenia pionowe wiązarów. - model 4 – dolne pasy wiązarów nie dochodzą do słupów, dwa stężenia pionowe wiązarów. We wszystkich modelach założono przy tym przegubowe podparcie wiązarów na poziomie górnych pasów. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 2. Model 2 hali Założono, że pręty stężeń poprzecznych mogą przenosić tylko siły rozciągające. Przyjęto stężenia z prętów okrągłych φ 20 mm. Modele hali zostały obciążone pionowymi siłami skupionymi przyłożonymi w węzłach górnego pasa. Zostały one wyznaczone dla obciążenia przyjętego jak dla połaci dachowej z lekkim pokryciem z płyt warstwowych, obciążonej śniegiem wg strefy I. W celu uniknięcia wpływu różnic w ugięciach wiązarów na siły w prętach stężenia poprzecznego, wiązary skrajne zostały obciążone tak samo jak wiązary pośrednie. Obliczenia przeprowadzono wg teorii nieliniowej, określonej w programie Robot jako teoria nieliniowa z uwzględnieniem efektów II rzędu. Rezultaty obliczeń zestawiono w zbiorczej tablicy wyników (tab. 2) zamieszczonej w punkcie 4. Służą one do oceny dokładności wyników otrzymanych przy zastosowaniu uproszczonych modeli obliczeniowych stężenia poprzecznego hali. 3 OBCIĄŻENIE STĘŻEŃ POPRZECZNYCH 3.1 Obciążenie wg normy PN-EN 1993-1-1 [4] Obciążenie stężenia poprzecznego obliczono wg [4] zastępując wstępną imperfekcję łukową górnych pasów o strzałce eg,0 = 0,03797 m równoważną siłą stabilizującą qd. Schemat obliczeniowy stężenia wraz z numeracją prętów i węzłów przedstawiono na rysunku 3. Rys. 3. Płaski model obliczeniowy stężenia poprzecznego Obliczona wartość obciążenia stabilizującego bez uwzględnienia ugięcia stężenia od obciążenia stabilizującego wynosi qd = 0,512 kN/m, a odpowiadające mu obciążenia węzłowe stężenia w węzłach skrajnych Hs = 0,768 kN i pośrednich Hp = 1,536 kN. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Po uwzględnieniu ugięcia stężenia od obciążenia stabilizującego, wartości obciążenia stabilizującego i odpowiadające mu obciążenia węzłowe wyniosły odpowiednio qd = 0,541 kN/m, Hs = 0,812 kN i Hp = 1,623 kN. Rezultaty obliczeń statycznych stężenia poprzecznego zestawiono w zbiorczej tablicy wyników (tab. 2) zamieszczonej w punkcie 4. 3.2 Autorski sposób wyznaczania obciążeń [3] W referacie [3] przedstawiono autorski sposób wyznaczania obciążenia dachowych stężeń poprzecznych. Uwzględnia on, oprócz wstępnego normowego wygięcia górnego ściskanego pasa wiązara ug,i, wygięcie sprężyste dolnego pasa ud,el,i, będące wynikiem działania obciążenia pionowego Pi na wiązar ze wstępnie wygiętym pasem górnym (rys. 4). Całkowite wygięcie pasa górnego ug,i = ug,0,i+ ug,el,i jest sumą wstępnego wygięcia normowego (wstępnej imperfekcji łukowej) oraz sprężystego wygięcia stężenia poprzecznego [4]. Rys. 4. Obciążenie wynikające z pochylenia wiązara Znając całkowite wygięcie górnego i dolnego pasa ug,i i ud,el,i oraz obciążenie pionowe Pi w osi dowolnego węzła „i” górnego pasa, poziome obciążenie w węźle „i” przekazywane na stężenie poprzeczne można wyznaczyć ze wzoru (1). H i = Pi ∆u g ,i−d ,i gdzie ∆u g,i-d,i = ug,i + ud,el,i , hi (1) Wstępne wygięcie górnego pasa przyjęto w postaci funkcji trygonometrycznej sinus. Proponowane sposoby wyznaczania sprężystego wygięcia dolnego pasa przedstawiono w punkcie 3.3. 3.3 Sposoby wyznaczania sprężystego wygięcia pasa dolnego Poniżej przedstawiono sposoby wyznaczania wartości liczbowych oraz kształtu linii wygięcia dolnego pasa. 1) Sposób 1: założono, że sprężyste wygięcie dolnego pasa nastąpi między stężeniami pionowymi wg funkcji trygonometrycznej sinus, wg wzoru (2) – rys. 5. u d ,el ,i = ed ,el ⋅ sin π ⋅ xi Ld , j , (2) gdzie Ld,j – odległość między stężeniami pionowymi. Strzałki sprężystego wygięcia dolnego pasa ed,el przyjęto o takiej wartości aby siły osiowe w prętach stężenia poprzecznego, obliczone na podstawie modelu płaskiego (por. rys. 3), odpowiadały siłom obliczonym za pomocą przestrzennych modeli obliczeniowych całej hali (por. rys. 2). Na podstawie wykonanych obliczeń testowych przyjęto wstępnie wg [3] następujące wartości strzałek poziomego wygięcia pasa dolnego: - model 1: ed,el = 0,5·Lg / 800, - model 2: ed,el = 0,5·Lg / 350. W celu uogólnienia otrzymanych wyników należy przeprowadzić dalsze analizy obejmujące wiązary o różnych rozpiętościach, kształtach i wysokościach, przy różnej liczbie stężeń pionowych. W niniejszym referacie zamieszczono i analizowano wyniki dla hali z jednym pionowym stężeniem wiązarów. 2) Sposób 2: w sposobie tym uwzględniono zbliżony do rzeczywistego kształt wygięcia dolnego pasa jako belki ciągłej podpartej stężeniami pionowymi, a maksymalne wartości strzałek poziomego wygięcia pasa dolnego 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava przyjęto jak w sposobie 1(rys. 6). W przypadku jednego pionowego stężenia wiązarów (w kalenicy), kształt linii wygięcia dolnego pasa między przegubową podporą skrajną a stężeniem pionowym przyjęto jak dla jednoprzęsłowej belki podpartej z jednej strony przegubowo a z drugiej utwierdzonej, obciążonej obciążeniem równomiernie rozłożonym. W przypadku wystąpienia większej liczby stężeń pionowych wiązarów, kształt linii wygięcia pasa dolnego między stężeniami można przyjąć jak dla jednoprzęsłowej belki obustronnie utwierdzonej, obciążonej obciążeniem równomiernie rozłożonym. Wzory opisujące równania linii ugięcia oraz strzałki ugięcia przyjęto wg tablic do projektowania konstrukcji metalowych [5], (np. wydanie z 1984 r., tablica 158, pozycja 21 i 26). 3) Sposób 3: wygięcie dolnego pasa wiązara wyznaczono stosując jednowiązarowe modele przestrzenne ze wstępnie wygiętym, wg przepisów normy [4] górnym pasem (rys. 7), obciążone w węzłach górnego pasa siłami pionowymi Pi [1], [2]. Podparcie górnego pasa przez tężnik poprzeczny i dolnego przez pionowe stężenie wiązarów zamodelowano za pomocą podpór przegubowo przesuwnych. Rys. 5. Uproszczony kształt linii wygięcia pasa dolnego wiązara dla Modeli 1 i 2 Rys. 6. Zbliżony do rzeczywistego kształt linii wygięcia pasa dolnego wiązara dla Modeli 1 i 2 Rys. 7. Jednowiązarowe modele przestrzenne wiązarów 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava ANALIZA WYNIKÓW OBLICZEŃ Analizie poddano stężenie poprzeczne usytuowane po lewej stronie modelu hali (por. rys. 2). W tablicy 1 zestawiono, obliczone wg autorskiego sposobu przedstawionego w punkcie 3.2, wartości poziomych przemieszczeń pasów wiązarów z ich płaszczyzny oraz odpowiadające im siły poziome obciążające stężenie poprzeczne. Sprężyste przemieszczenia górnego pasa ug,el,i obliczono w jednym kroku iteracyjnym, rozwiązując modelem liniowym układ płaski jak na rys. 3. Dalsze przybliżanie wartości sprężystego wygięcia górnego pasa okazało się mało istotne z uwagi na wartości poziomych obciążeń. W analizowanych modelach wpływ sprężystego wygięcia górnego pasa na wartości poziomych obciążeń wyniósł w pierwszym kroku iteracyjnym kilka %, a w drugim nie przekraczał już 0,5 %. W kolumnie nr 8 tablicy 1 zestawiono wartości sił poziomych wynikające z przemieszczeń jednego wiązara, a w kolumnie nr 9 dla czterech wiązarów stabilizowanych przez jedno stężenie poprzeczne. Model 1 Sposób wygięcia pasa 2 1 1 2 3 1 2 2 3 „i” oś węzła 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Przemieszczenia poziome [cm] Siły poziome [kN] ug,0,i ug,el,i ud,el,i ∆ug,i-d,i Hi 4 . Hi 4 0 1,45 2,68 3,51 3,79 0 1,45 2,68 3,51 3,79 0 1,45 2,68 3,51 3,79 0 1,45 2,68 3,51 3,79 0 1,45 2,68 3,51 3,79 0 1,45 2,68 3,51 3,79 5 0 0,101 0,176 0,221 0,234 0 0,099 0,171 0,213 0,227 0 0,100 0,170 0,212 0,225 0 0,137 0,236 0,291 0,305 0 0,132 0,225 0,274 0,288 0 0,122 0,202 0,246 0,260 6 0 -1,061 -1,50 -1,061 0 0 -1,219 -1,445 -0,677 0 0 -1,755 -1,393 -0,577 0 0 -2,425 -3,429 -2,425 0 0 -2,789 -3,305 -1,549 0 0 -3,548 -2,324 -0,925 0 7 0 2,614 4,359 4,788 4,029 0 2,770 4,299 4,396 4,022 0 3,307 4,246 4,295 4,020 0 4,014 6,348 6,222 4,100 0 4,373 6,213 5,329 4,083 0 5,122 5,209 4,677 4,055 8 0 0,328 0,508 0,521 0,411 0,000 0,348 0,501 0,478 0,410 0,000 0,415 0,495 0,467 0,410 0,000 0,504 0,740 0,677 0,418 0,000 0,549 0,724 0,580 0,416 0,000 0,643 0,607 0,509 0,413 9 0 1,312 2,032 2,083 1,643 0,000 1,390 2,004 1,912 1,640 0,000 1,660 1,979 1,868 1,639 0,000 2,015 2,959 2,707 1,672 0,000 2,195 2,896 2,318 1,665 0,000 2,571 2,428 2,035 1,654 Tab. 1. Przemieszczenia poziome pasów wiązarów i odpowiadające im obciążenie stężenia poprzecznego W tablicy 2 zestawiono wartości sił osiowych w prętach stężenia poprzecznego obliczone za pomocą różnych modeli obliczeniowych. Numerację prętów przyjęto jak na rys. 3. Wzięto pod uwagę następujące modele obliczeniowe: − model 0 – przestrzenny model hali z wiązarami prostymi bez wstępnych wygięć. − modele 1, 2, 3 i 4 – przestrzenne modele hali z wygiętymi górnymi pasami wiązarów wg normy [4], o charakterystykach opisanych w punkcie 2. − model 5 – model płaski stężenia (por. rys. 3) z obciążeniem stabilizującym równomiernie rozłożonym qd obliczonym wg normy [4]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava − model 6 – jak model 5, w którym równomiernie rozłożone obciążenie stabilizujące zastąpiono siłami skupionymi. − modele 7 i 8 – płaskie modele obliczeniowe (por. rys. 3) w których obciążenie stężenia poprzecznego obliczono za pomocą wzoru (1), a wygięcia pasów dolnych wiązarów wyznaczono wg sposobu 1 (por. rys.5). − modele 9 i 10 – płaskie modele obliczeniowe (por. rys. 3) w których obciążenie stężenia poprzecznego obliczono za pomocą wzoru (1), a wygięcia pasów dolnych wiązarów wyznaczono wg sposobu 2 (por. rys.6). − modele 11 i 12 – płaskie modele obliczeniowe (por. rys. 3) w których obciążenie stężenia poprzecznego obliczono za pomocą wzoru (1), a wygięcia pasów dolnych wiązarów wyznaczono wg sposobu 3 (por. rys.7). Wartości poziomych przemieszczeń pasów wiązarów oraz odpowiadające im obciążenia stężenia poprzecznego w płaskim modelu obliczeniowym (por. rys. 3) przedstawiono w tab. 1. Lp 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 Siły w prętach stężenia [kN] (wg rys. 3) 1 2 3 4 5 -7,470 -5,391 -2,326 -1,273 -8,737 -6,187 -1,372 -2,392 -6,266 -4,419 -2,123 -1,160 -6,818 -4,727 -1,243 -1,116 - 5 -6,530 -4,490 -2,735 -0,901 - 6 -6,340 -4,539 -2,722 -0,905 - 7 -6,979 -5,515 -3,247 -0,920 - 8 -9,511 -7,264 -3,962 -0,942 - 9 -6,841 -5,291 -3,056 -0,917 - 10 -9,202 -6,756 -3,527 -0,934 - 11 -6,945 -5,157 -2,990 -0,916 - 12 -8,516 -5,801 -3,801 -0,925 - Model Przestrzenny hali 6 normowy 7 9 10 11 12 13 Płaski 8 ud,el,i wg sposobu 1 ud,el,i wg sposobu 2 ud,el,i wg sposobu 3 Siły w pasach górnych [kN] 6 243,645 245,305 244,103 244,427 243,106 +6,554 250,199 +6,487 250,132 +7,451 251,096 +9,695 253,340 +7,202 250,847 +9,131 252,776 +7,158 250,803 +8,234 251,879 7 243,645 243,007 244,207 244,282 245,145 -6,151 237,494 -6,082 237,563 -7,039 236,606 -9,273 234,372 -6,792 236,853 -8,713 234,932 -6,749 236,896 -7,820 235,825 Tab. 2. Siły w prętach stężenia obliczone wg analizowanych modeli (znakowanie sił: „–” rozciąganie, „+” ściskanie) Siły w prętach stężenia poprzecznego obliczone za pomocą uproszczonych modeli obliczeniowych (modele 5 do 12) porównano z siłami obliczonymi przy zastosowaniu odpowiednich przestrzennych modeli hali z jednym stężeniem pionowym wiązarów, z imperfekcjami łukowymi pasów górnych przyjętymi wg normy [4] (modele 1 i 2). W przypadku hali, w której dolny pas wiązarów jest doprowadzony do słupów, maksymalne wartości sił w prętach stężenia poprzecznego obliczone za pomocą płaskich modeli normowych (modele 5 i 6) są mniejsze od wartości sił otrzymanych z modelu przestrzennego (model 1) odpowiednio o 12,6% i 15,1%. W hali z pasami dolnymi wiązarów nie dochodzącymi do słupów (model 2), odpowiednie wartości sił obliczone za pomocą modeli normowych są mniejsze o 25,3% i 27,4% od wartości sił otrzymanych za pomocą modelu przestrzennego. Najbardziej zbliżone do rzeczywistych, maksymalne siły w prętach stężenia poprzecznego obliczone za pomocą modeli normowych, otrzymano dla hali z dwoma stężeniami pionowymi wiązarów i pasami dolnymi wiązarów doprowadzonymi do słupów (model 3). Różnice wartości sił wynoszą 4,2% przy zastosowaniu modelu normowego 5 i 1,2% dla modelu 6. Różnice te są nieco większe dla hali z wiązarami w których ich dolne pasy nie dochodzą do słupów (model 4). Wynoszą one odpowiednio 4,4% i 7,5%. Przy zastosowaniu płaskich, autorskich modeli obliczeniowych, w których przy wyznaczaniu obciążenia stężenia poprzecznego uwzględniono wygięcia sprężyste dolnych pasów wiązarów (modele 7 do 12), najbliższe do rzeczywistych maksymalne wartości sił w prętach stężenia poprzecznego otrzymano stosując sposób 3 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava wyznaczania wygięcia sprężystego dolnego pasa, za pomocą jednowiązarowych modeli przestrzennych wiązarów (por. rys. 7). Otrzymane wartości sił są mniejsze od rzeczywistych o 7,6% dla modelu 1 hali i o 2,6% dla modelu 2. W niniejszym referacie nie analizowano wyników dla modeli hali z dwoma stężeniami pionowymi (modele 3 i 4). Maksymalne różnice między wynikami obliczeń otrzymanymi przy zastosowaniu modeli autorskich (modele 7 do 12) wynoszą 2,0% w przypadku przestrzennego modelu 1 hali oraz 11,7% w przypadku modelu 2. Różnice między wynikami otrzymanymi przy zastosowaniu sposobu 1 (modele 7 i 8) oraz 2 (modele 9 i 10) do wyznaczenia sprężystego wygięcia pasa dolnego są niewielkie i wynoszą 2,0% dla modelu 1 hali i 3,4% dla modelu 2 hali. Maksymalne wartości sił osiowych w górnych pasach wiązarów, obliczone przy wykorzystaniu płaskich modeli normowych 5 i 6, są nieznacznie większe (maksymalnie o ok. 2,4%) od wartości rzeczywistych, obliczonych za pomocą modeli przestrzennych. W przypadku zastosowania modeli autorskich otrzymane siły w pasach są większe od rzeczywistych maksymalnie o ok. 2,4% (model 1 hali) i 3,7% (model 2 hali). Uwzględniając podatność stężenia poprzecznego w płaskich modelach obliczeniowych uzyskano wzrost maksymalnych wartości sił w prętach stężenia poprzecznego o ok. 5,7% (modele normowe 5 i 6) i o ok. 4,5% (modele autorskie 7 do 12). 5 WNIOSKI Na podstawie przeprowadzonych w referacie analiz obliczeniowych można sformułować następujące wnioski: 1) Płaskie normowe modele obliczeniowe (modele 5 i 6) pozwalają w większości przypadków tylko na przybliżoną ocenę wartości sił w elementach poprzecznych tężników połaciowych. Pominięcie w obliczeniach wygięć sprężystych dolnych pasów wiązarów, powoduje zaniżenie wartości poziomego obciążenia tężników poprzecznych i w konsekwencji maksymalnych sił w prętach stężenia. Zadowalające, zbliżone do rzeczywistych, wyniki w analizowanych przypadkach uzyskano jedynie w modelu 3 hali, w którym zastosowano dwa pionowe stężenia wiązarów, a pasy dolne wiązarów doprowadzono do słupów. 2) Przedstawiony w referacie autorski sposób wyznaczania obciążenia tężników poprzecznych od imperfekcji łukowych górnych pasów wiązarów uwzględnia zarówno wygięcia pasów górnych jak i dolnych. Przy odpowiednim skalibrowaniu krzywych opisujących wygięcia dolnych pasów wiązarów (modele 7 do 10), otrzymane wyniki odpowiadają wartościom otrzymanym z przestrzennych modeli imperfekcyjnych. 3) Wpływ podatności stężeń poprzecznych na zwiększenie wartości sił w prętach stężeń jest niewielki i w analizowanych halach nie przekroczył 6% w modelach normowych i 4,5% w modelach autorskich. 4) W celu ustalenia ostatecznych krzywych opisujących wygięcia dolnych pasów wiązarów w różnych sytuacjach projektowych, należy przeprowadzić szerszą analizę obliczeniową obejmującą wiązary o różnych rozpiętościach, kształtach i wysokościach oraz liczbie pionowych stężeń wiązarów. 5) Zadowalające wyniki uzyskano stosując do wyznaczania wygięć dolnych pasów jednowiązarowe modele przestrzenne wiązarów (modele 11 i 12). Sposób ten nie wymaga arbitralnego ustalania wygięcia pasa dolnego i powinien dać miarodajne wyniki dla różnorodnych rozwiązań konstrukcyjnych hal. LITERATURA [1] Niewiadomski L.: Wpływ imperfekcji geometrycznych stalowych dźwigarów dachowych na stan naprężeń i przemieszczeń konstrukcji dachowej. Praca doktorska, Pol. Śląska, Gliwice 2007. [2] Niewiadomski L., Zamorowski J.: The influence of geometrical imperfections of roof trusses on the internal forces in the elements in the structure of the roof of an assembly hall. 11th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, October 3-4, 2013 Bratislava, Slovakia. [3] Niewiadomski L., Zamorowski J.: The load of transversal bracings resulting from geometric imperfections of single-span trusses of roofs. 12th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, October 16-17, 2014 Bratislava, Slovakia. [4] PN-EN 1993-1-1:2006/AC 2009: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. [5] Bogucki W., Żyburtowicz M.: Tablice do projektowania konstrukcji metalowych. [6] Robot Millenium – podręcznik użytkowania, Firma Informatyczna RoboBAT Sp. z o.o. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS THE INFLUENCE OF THE GEOMETRICAL IMPERFECTIONS ON THE FORCES IN THE ROOF BRACINGS OF TWO-NAVE STEEL HALL L. Niewiadomski1 Abstract According to the standard PN-EN 1993-1-1[5], calculations concerning building structures of steel ought to take into consideration geometrical imperfections in the form of equivalent global imperfections (initial tilts) and local ones (initial bows). These imperfections are taken into account directly in the model of calculations as a tilting of the whole system and or bows of its respective elements. They may also be replaced by adequate equivalent loads. In the analysis of the bracings of the roof the influence of imperfections is taken into consideration by assuming an initial bow in the top flanges of the trusses out of their plane or by assuming equivalent stabilizing forces. The paper „The influence of imperfections of roof trusses on the forces in the bracings of a steel hall” [3] deals with an analysis of the influence of various factors on the values of forces in the bars of bracings in a single-nave hall, which are not taken into account in a flat standard model of calculations. The present paper analyzes the effect of similar factors on the values of the forces in the bars of roofs with two-span continuous trusses. This analysis was performed on the example of several selected spatial static diagrams of two-nave halls, taking into consideration such factors as: the localization of the transversal bracings along the hall, the shape of imperfections in the top flanges of the trusses, the type of the bracing system and the structure of the trusses in the supporting zone, the positioning and number of vertical bracings of the trusses as well as the inclination of the top flanges of the trusses. The obtained results were compared with the results concerning a single-nave hall and a two-nave hall applying the flat standard model of calculation. Key Words Geometrical imperfections, roof trusses, bracings. 1 WSTĘP Rzeczywiste konstrukcje budowlane i ich elementy są obarczone imperfekcjami strukturalnymi, technologicznymi i geometrycznymi. Zgodnie z normą PN-EN 1993-1-1 [5], w obliczeniach stalowych konstrukcji budowlanych należy uwzględnić wpływ geometrycznych imperfekcji w postaci zastępczych imperfekcji globalnych (wstępne przechyły) i lokalnych (wstępne wygięcia). Imperfekcje te uwzględnia się wprost w modelu obliczeniowym w postaci przechyłów całego układu oraz wygięć poszczególnych jego elementów lub zastępuje się je odpowiednimi równoważnymi obciążeniami. W analizie stężeń dachowych wpływ imperfekcji można uwzględnić przez przyjęcie wstępnego wygięcia górnych pasów wiązarów z ich płaszczyzny lub przez przyjęcie równoważnych sił stabilizujących. 1 Lesław Niewiadomski PhD, Silesian University of Technology in Gliwice, Faculty of Civil Engineering, Poland, 44-100 Gliwice, Akademicka 5, e-mail: leslaw.niewiadomski@polsl.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava W celu uproszczenia obliczeń norma [5] pozwala na stosowanie w analizie stężeń płaskiego modelu obliczeniowego. W referacie pt. „Wpływ geometrycznych imperfekcji wiązarów kratowych na siły w stężeniach hali stalowej” [3] przeanalizowano wpływ różnych czynników na wartości sił w prętach stężeń hali jednonawowej, takich które nie są uwzględnione w płaskim, normowym modelu obliczeniowym. W niniejszym referacie przeanalizowano wpływ podobnych czynników na wartości sił w prętach stężeń dachowych lecz z dwuprzęsłowymi wiązarami ciągłymi. Analizę wykonano na przykładzie kilku wybranych, przestrzennych schematów statycznych hal dwunawowych. Uwzględniono takie czynniki jak: lokalizacja stężenia poprzecznego na długości hali, kształt imperfekcji górnych pasów wiązarów, typ skratowania i konstrukcja wiązarów w strefie podporowej, pochylenie górnych pasów wiązarów oraz liczba pionowych stężeń wiązarów. Uzyskane wyniki porównano z wynikami otrzymanymi przy zastosowaniu płaskiego normowego modelu obliczeniowego dla hali jednonawowej oraz dwunawowej. 2 PRZESTRZENNE MODELE OBLICZENIOWE HALI Model Siły wewnętrzne w elementach stężeń hali obliczono za pomocą programu Robot [6], dla hali dwunawowej o szerokości naw 24,0 m, długości 42,0 m i wysokości do poziomu oparcia wiązarów 10,4 m. W modelach nr 1 ÷ 12 przyjęto wiązary dwutrapezowe o wysokości w środku rozpiętości 2,4 m i pochyleniu górnego pasa 5%, a w modelach nr 13 ÷ 16 wiązary o tej samej wysokości i pasach równoległych (Tab. 1). Przyjęto skratowanie typu W z słupkami wykonane z rur kwadratowych, a pasy z kształtowników HEA z wygięciem początkowym górnego pasa w jedną stronę o strzałce e0 obliczonej wg [5]: e0 = αm·L/500 = 0,791·24,0/500 = 0,03797 m. Współczynnik korekcyjny αm obliczono dla 4 elementów stężanych. Wygięcia pasów przyjęto wg funkcji sinus. Rozpatrzono dwie formy wstępnego wygięcia dwuprzęsłowego, ciągłego górnego pasa; wygięcie pasów w obu przęsłach w tę samą stronę oznaczone jako „C” oraz wygięcia pasów przęseł w przeciwnych kierunkach oznaczone jako „S” (rys. 2). 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Typ wiązara 2 + + + + 3 + + + + + + + + + + + + Skrajna strefa podporowa wiązara 4 + + + + + + 5 Lokalizacja stężenia poprzecznego 6 + + + + 7 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Liczba pionowych stężeń wiązarów Wstępne wygięcie pasów górnych 1 2 „C” „S” 8 + + 9 10 + 11 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Tab. 1. Analizowane modele hali Obliczenia przeprowadzono dla 16. podstawowych modeli obliczeniowych przedstawionych w tablicy 1, różniących się kształtem wiązarów (typ wiązara), konstrukcją wiązarów w strefie podparcia na słupach skrajnych (pas dolny dochodzący i niedochodzący do słupów), lokalizacją stężeń poprzecznych na długości hali (w polach skrajnych lub przedskrajnych), liczbą pionowych stężeń wiązarów (1 lub 2) oraz kształtem wstępnego wygięcia górnych pasów („C” lub „S”). W celu sprawdzenia wpływu typu skratowania wiązarów na siły 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava w stężeniach wprowadzono dodatkowo model 16N, w którym w stosunku do modelu 1 skratowanie typu W zastąpiono skratowaniem typu N. Wiązary oparto na poziomie górnego pasa. W przypadku doprowadzenia dolnego pasa do słupów skrajnych, połączono go przegubowo z słupami z możliwością przesuwu wzdłuż osi pasa. Na słupie środkowym pasy zamodelowano jako ciągłe. Przykładowy model hali (model 1) przedstawiono na rysunku 1. Rys. 1. Model 1 hali wraz z oznaczeniami poprzecznych stężeń dachowych Elementy skratowania stężeń poprzecznych oraz pionowych stężeń wiązarów przyjęto z prętów okrągłych, mogących przenosić tylko siły rozciągające. Płatwie wykonano z kształtowników IPE, a pionowe stężenia ścienne z kątowników równoramiennych, pracujących tylko na rozciąganie (stężenie typu N). Modele hali zostały obciążone pionowymi siłami skupionymi przyłożonymi w węzłach górnego pasa. Zostały one wyznaczone dla obciążenia przyjętego jak dla połaci dachowej z lekkim pokryciem z płyt warstwowych, obciążonej śniegiem wg strefy I. Obciążenie wiązarów skrajnych wynosi połowę obciążenia wiązarów pośrednich. Obliczenia przeprowadzono wg teorii nieliniowej, określonej w programie Robot [6] jako teoria nieliniowa z uwzględnieniem efektów II rzędu. Wybrane rezultaty obliczeń podstawowych modeli hali zestawiono w zbiorczych tablicach wyników (tab. 2 i 3) zamieszczonych w punkcie 3. 3 WYNIKI OBLICZEŃ ANALIZOWANYCH MODELI HALI Na rysunkach 2 i 3 przedstawiono numerację prętów stężeń dla których zestawiono wyniki w zbiorczych tablicach (tab. 2 i 3). Rys. 2. Stężenie połaciowe poprzeczne Rys. 3. Stężenie pionowe wiązarów 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Oznaczenia stężeń (LL, LP, PL i PP) zamieszczono na rys. 1. Pierwsza litera oznacza lewą lub prawą stronę hali w kierunku długości a druga w kierunku szerokości. W przypadku wystąpienia dwóch stężeń pionowych wiązarów w każdej nawie hali, stężenia te oznaczono jako lewe L i prawe P, patrząc na model hali od strony prawej do lewej (por. rys. 1). Przy jednym stężeniu pionowym w kalenicy, wyniki zamieszczono w wierszach dla stężenia o nazwie L. St. St. Pasy pion. P pion. L Płatwie Stężenie poprzeczne (wg rys. 2) Nr pręta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 20 21 22 23 24 25 26 27 17 18 28 29 30 28 29 30 1 -6,899 2 -7,487 3 -5,641 Model (wg tab. 1) 4 5 6 7 -5,819 -5,106 -4,891 -7,962 -4,709 -5,389 -3,804 -3,946 -3,179 -3,307 -5,330 -5,838 -3,707 -3,843 -1,733 -2,211 -2,317 -2,018 -1,900 -1,017 -1,088 -0,758 -1,205 -0,300 -0,891 -1,577 -1,161 -0,254 -1,404 -3,528 -0,367 -0,016 -0,711 -2,055 -0,251 -2,288 -3,539 -2,407 -0,508 -2,075 -0,596 8 -8,553 9 -6,067 10 -5,905 -0,638 -2,128 -0,690 -2,495 -0,569 -2,860 -4,493 -6,445 -3,647 -4,538 -4,197 -7,185 -4,428 -6,435 -4,164 -7,151 -5,815 5,569 4,390 1,784 0,390 14,929 0,358 2,238 4,100 9,431 102,09 166,59 -15,67 -2,982 6,111 4,995 2,212 0,363 13,559 0,310 0,450 5,884 1,726 98,28 171,37 -13,57 -4,540 4,488 3,540 2,360 14,056 1,141 10,988 2,648 3,322 7,256 107,31 160,91 -14,60 -1,817 4,667 3,660 2,088 14,199 1,724 8,316 -0,053 4,203 1,136 103,12 162,03 -14,74 -5,900 2,840 3,387 2,593 0,918 2,395 0,867 2,574 4,286 6,589 180,44 179,07 -5,470 2,662 3,494 1,794 0,923 5,818 1,687 2,417 5,736 5,004 188,02 193,64 -5,741 6,344 4,984 1,431 0,415 14,465 0,341 2,170 4,038 9,320 101,85 166,34 -14,81 -2,985 6,881 5,451 1,133 0,381 12,938 0,292 0,404 5,883 1,731 97,57 171,21 -12,77 -5,856 3,232 4,012 2,493 1,008 3,167 0,853 2,535 4,250 6,566 180,20 179,21 -5,436 3,095 4,141 1,655 0,999 6,600 1,726 2,421 5,710 4,978 187,64 194,23 -0,428 -0,399 -0,238 -11,38 -0,245 -8,48 -4,119 2,271 -8,496 4,847 -0,583 -0,549 -4,972 2,689 -9,360 5,290 -0,317 -0,273 Tab. 2. Siły w prętach stężenia dachowego LL dla modeli 1÷ 10 [kN], (znakowanie sił: „–” rozciąganie, „+” ściskanie) W referacie, z uwagi na ograniczoną ilość miejsca, zamieszczono wyniki tylko dla stężenia LL. Analiza wyników obejmuje natomiast rezultaty obliczeń otrzymane dla wszystkich czterech stężeń dachowych. W celach porównawczych, w trzech ostatnich kolumnach tablicy nr 3 zamieszczono wyniki uzyskane za pomocą normowych płaskich modeli obliczeniowych (modele 0, 0C i 0S). Model 0 odpowiada jednoprzęsłowemu modelowi normowemu, natomiast modele 0C i 0S są modelami dwuprzęsłowymi z wygięciem pasów w obu przęsłach w tę samą stronę (0C) oraz w przeciwnych kierunkach (0S). Obciążenie tych modeli wyznaczono wg normy [5], zastępując wstępną imperfekcję łukową górnych pasów wiązarów równoważnymi siłami stabilizującymi Hi (por. rys. 2). Uwzględniono podatność stężenia poprzecznego, a siły osiowe w górnych pasach wiązarów obliczono wykorzystując przestrzenny model hali z prostymi (bez imperfekcji) ciągłymi wiązarami dwutrapezowymi ze skratowaniem typu W. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings St. St. Pasy pion. P pion. L Płatwie Stężenie poprzeczne (wg rys. 2) Nr pręta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 20 21 22 23 24 25 26 27 17 18 28 29 30 28 29 30 October 2015, Bratislava Model (wg tabl. 1) 15 16 16N -4,385 -5,784 -5,865 11 -4,808 12 -4,838 13 -7,886 14 -9,353 0C -3,652 0S -3,985 0 -3,973 -2,830 -3,093 -6,123 -6,982 -2,866 -3,841 -3,892 -2,524 -2,856 -2,844 -1,138 -0,147 -3,185 -1,676 -2,003 -0,644 -0,474 -1,387 -1,718 -1,706 -0,682 -0,250 -0,580 -0,567 -1,879 -0,006 -1,939 -1,151 -0,885 -0,554 -0,567 -0,466 -0,776 -1,706 -2,313 -2,341 -1,370 -0,924 -0,680 -3,493 -3,247 -2,441 -2,355 -2,245 -2,013 -1,693 -1,706 -3,150 -4,639 -4,221 -4,031 -3,458 -3,407 -5,654 -3,185 -2,831 -2,844 -4,564 2,593 3,088 2,096 1,177 0,670 2,583 1,796 3,275 5,058 178,70 179,00 -3,238 2,531 3,360 1,284 1,171 1,329 5,451 2,126 3,936 2,990 182,05 187,65 -4,378 6,582 5,625 2,971 0,825 13,090 1,169 3,007 3,797 7,229 89,47 142,35 -13,63 -4,214 7,680 6,460 1,866 0,450 12,048 0,934 2,802 3,625 6,959 88,84 141,80 -12,51 -4,155 2,561 2,994 2,445 0,818 2,080 0,852 2,462 3,303 4,681 153,24 150,98 -4,087 3,222 4,100 1,827 0,962 3,113 0,838 2,400 3,251 4,629 152,93 150,85 -4,178 3,197 4,011 1,646 0,922 4,143 1,208 3,127 4,456 4,765 158,96 157,64 -4,184 3,778 3,270 2,257 1,240 1,016 1,804 2,831 3,808 8,592 +3,495 -3,383 -3,960 4,077 3,568 2,554 1,536 1,016 1,513 2,532 3,545 3,542 +4,087 -3,839 -3,973 4,064 3,557 2,543 1,525 1,016 1,525 2,543 3,557 4,064 +4,065 -3,811 -2,396 1,243 -2,132 1,127 -0,139 -0,630 -4,273 2,363 -5,426 2,957 -6,415 3,494 -3,064 1,746 -7,707 4,472 Tab. 3. Siły w prętach stężenia dachowego LL dla modeli 11 ÷ 0 [kN], ( „–” rozciąganie, „+” ściskanie) 4 ANALIZA WYNIKÓW OBLICZEŃ Na podstawie uzyskanych wyników przeanalizowano wpływ następujących czynników na wartości sił w prętach stężeń: lokalizacja stężeń poprzecznych na długości hali, liczba pionowych stężeń wiązarów, konstrukcja wiązarów w strefie podporowej, pochylenie górnych pasów wiązarów, kształt imperfekcji górnych pasów wiązarów oraz typ skratowania wiązarów. Dokonano również porównania wyników otrzymanych z modeli przestrzennych z wynikami otrzymanymi za pomocą płaskich modeli normowych. Modele (por. tab. 1) do poszczególnych analiz dobrano tak, aby zminimalizować wpływ innych czynników na wyniki uzyskane dla analizowanego czynnika. 4.1 Lokalizacja stężeń poprzecznych w różnych modelach Na przykładzie modeli 1 i 5 oraz 8 i 10 przeanalizowano wpływ lokalizacji stężeń poprzecznych na wartości sił w stężeniach hali. Analizowano maksymalne wartości sił w prętach stężeń. Usytuowanie stężenia w polu skrajnym powoduje zwiększenie wartości sił w stężeniach. Maksymalna siła w prętach stężenia poprzecznego wystąpiła w stężeniu LL. Jej wartość w modelu 1 jest większa o 16,9% od wartości w modelu 5, a w modelu 8 o 44,8% od wartości w modelu 10. Maksymalna wartość tej siły w modelu 1 jest większa od wartości uzyskanej w modelu normowym 0C o 64,9% w przypadku modelu 8 hali o 100,4%. Największe wartości sił w pręcie pionowego, kalenicowego stężenia wiązarów wystąpiły w stężeniu PL modelu 1 i stężeniu LP modelu 8. Wartość tej siły w modelu 1 jest 5,7-krotnie większa od wartości uzyskanej w modelu 5, i 3-krotnie większa 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava w przypadku modeli 8 i 1. Usytuowanie stężenia w polu skrajnym powoduje również bardzo duży, ponad 6-krotny, wzrost wartości siły ściskającej w płatwi kalenicowej stężenia LL i blisko 8-krotny w stężeniu PL modelu 1 w stosunku do modelu 5. W modelach 8 i 10 wzrost wartości tej siły jest ok. 3,4-krotny. Tak duże wzrosty wartości sił są spowodowane różnym obciążeniem pionowym wiązarów skrajnych i pośrednich, powodującym różne ugięcia tych wiązarów i w konsekwencji odkształcenie postaciowe stężenia pionowego oraz jego obrót w kierunku środka hali. Siły w górnych pasach dźwigarów pośrednich są większe w modelach 5 i 10 od sił w modelach 1 i 8 o odpowiednio o 8,3% i 13,5%. 4.2 Lokalizacja stężeń w ramach poszczególnych modeli Zależność wartości sił w stężeniach od lokalizacji stężeń w ramach poszczególnych modeli przeanalizowano w oparciu o modele hali 1, 8 i 9. W prętach stężenia poprzecznego największe wartości sił we wszystkich trzech modelach uzyskano w stężeniu LL. Maksymalna wartość tej siły wystąpiła w modelu 8. Największe wartości sił w pręcie pionowego, kalenicowego stężenia wiązarów wystąpiły w stężeniu PL modeli 1 i 9, a w modelu 8 w stężeniu LP. Maksymalne wartości sił w płatwi kalenicowej uzyskano natomiast w modelach 1, 8 i 9 w stężeniu PL. Różnice między wartościami sił w górnych pasach wiązarów pomiędzy analizowanymi modelami nie są duże i wynoszą między modelami 1 i 8 - 2,8%, 8 i 9 - 4,7% a 1 i 9 - 7,6%. 4.3 Liczba pionowych stężeń wiązarów W analizie wpływu liczby pionowych stężeń wiązarów na wartości sił w stężeniach hali porównano wyniki uzyskane dla modeli 9 i 11, 1 i 3 oraz 2 i 4. Maksymalne wartości sił w prętach stężeń poprzecznych otrzymano dla stężenia LL w modelach 9, 1 i 2. Różnice wartości sił wynoszą 26.2% dla modeli 9 i 11, 22,3% dla modeli 1 i 3 oraz 28,7% dla modeli 2 i 4. Różnice w maksymalnych wartościach sił w prętach stężeń pionowych wiązarów otrzymano dla stężenia PL i wynoszą one dla porównywanych par modeli odpowiednio 63,3%, 33,7% i 56,4%. Podobnie różnice między maksymalnymi wartościami sił w płatwiach wynoszą dla modeli 9 i 11 – 30,5%, 1 i 3 – 19,0% a 2 i 4 – 34,8%. Można stwierdzić, że zwiększenie liczby stężeń pionowych wiązarów powoduje istotną redukcję wartości sił w prętach stężeń dachowych hali. Różnice między wartościami sił w górnych pasach analizowanych par modeli nie przekraczają maksymalnie 6% (modele 2 i 4). Przy dwóch stężeniach pionowych, maksymalna siła w prętach stężenia poprzecznego w modelu 9 (stężenie LL) jest o ok. 45% większa od wyznaczonej modelem normowym 0C. 4.4 Konstrukcja wiązarów w strefie podporowej Wpływ konstrukcji wiązarów w strefie podporowej na wartości sił w stężeniach hali oceniono wykorzystując modele 5 i 9 oraz 6 i 10. Doprowadzenie dolnych pasów wiązarów do słupów (modele 5 i 6) powoduje zmniejszenie maksymalnej wartości sił w prętach stężeń. W przypadku prętów skratowania stężenia poprzecznego LP zmniejszenie wartości największej siły wynosi 2,8% dla modeli 5 i 9 oraz 6,4% dla modeli 6 i 10. W prętach pionowego stężenia wiązarów różnice te wynoszą odpowiednio 17,0% i 9,1%. Różnice między największymi wartościami sił w płatwiach nie przekraczają 0,4% między modelami 5 i 9 oraz 12,0% między modelami 6 i 10. Praktycznie nieistotne, mniejsze od 0,3%, są różnice między wartościami sił w górnych pasach wiązarów. 4.5 Pochylenie górnych pasów wiązarów Wpływ pochylenia górnych pasów wiązarów na wartości sił w stężeniach hali przeanalizowano na przykładzie modeli 5 i 15 oraz 9 i 16. W przypadku modeli 9 i 16 wpływ ten w prętach skratowania stężenia poprzecznego jest niewielki, a różnica wartości sił między tymi modelami dla stężenia LP wynosi 4,9%; natomiast największa siła w modelu 5 jest o 34,5% większa niż w modelu 15. Różnice te w prętach skratowania stężenia pionowego wiązarów w stężeniu poprzecznym PL wynoszą 3,9% (modele 5 i 15) oraz 10,1% (modele 9 i 16). W modelach z wiązarami o pasach równoległych (modele 15 i 16) maksymalne wartości sił w płatwiach są mniejsze niż w modelach z wiązarami o pasach pochylonych (modele 5 i 9) o ok. 29%. 4.6 Kształt imperfekcji górnych pasów wiązarów Do analizy wpływu kształtu imperfekcji górnych pasów wiązarów („C” i „S”) przyjęto modele 5 i 6 oraz 9 i 10. Maksymalne wartości sił w prętach stężeń otrzymano dla stężenia poprzecznego LP. Większe wartości sił wystąpiły przy kształcie imperfekcji „S” (modele 6 i 10). Różnice wartości sił w prętach stężenia poprzecznego wynoszą 23,3% dla modeli 5 i 6 oraz 19,3% dla modeli 9 i 10. Znacznie większe są różnice w maksymalnych wartościach sił w prętach stężeń pionowych wiązarów i wynoszą dla porównywanych par modeli 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava odpowiednio 113,5% oraz 94,7%. Kształt imperfekcji nie wpływa istotnie na wielkość maksymalnych sił w płatwiach (stężenie LL). Maksymalne wartości sił w górnych pasach wiązarów są w modelach z imperfekcjami „S” o ok. 8% większe niż w modelach z imperfekcjami „C”. 4.7 Typ skratowania wiązarów Wpływ typu skratowania wiązarów na wartości sił w stężeniach hali sprawdzono na przykładzie modeli 16 i 16N. Wpływ ten na maksymalne wartości sił w prętach stężenia poprzecznego LL jest niewielki i wynosi 1,4%. Maksymalna wartość siły w prętach stężenia kalenicowego (stężenie poprzeczne PL) w modelu 16N jest większa od wartości siły w modelu 16 o 18,0%. Niewielkie, mniejsze od 4%, różnice pomiędzy porównywanymi modelami występują również w przypadku wartości sił w płatwiach i górnych pasach wiązarów. 4.8 Maksymalne różnice między siłami w stężeniach dla wszystkich modeli przestrzennych Największą wartość maksymalnej siły w prętach stężenia poprzecznego uzyskano w stężeniu LL modelu 14, a najmniejszą w stężeniu PL modelu 13. Różnica ta wynosi 130,6%. Odpowiednia różnica dla maksymalnej wartości siły w pionowym stężeniu kalenicowym dla modeli 8 (stężenie PL) i 5 (stężenie LL) jest blisko 7-krotna. Bardzo duże są również różnice maksymalnych wartości sił w płatwiach. Dla modeli o wiązarach dwutrapezowych 8 (PL) i 9 (PL) różnica ta jest 6,2-krotna a dla modeli o wiązarach z pasami równoległymi 13 (PL) i 15 (PL) 5,6-krotna. Tak duże różnice w wartościach sił są wynikiem przede wszystkim usytuowania stężeń poprzecznych w polach skrajnych lub przedskrajnych hali. Różnice między wartościami sił w górnych pasach wiązarów są niewielkie – kilkuprocentowe. 4.9 Obliczeniowe modele normowe Porównano wyniki uzyskane za pomocą modeli 0, 0C oraz 0S i odniesiono je do wyników otrzymanych za pomocą modeli przestrzennych. Analizowane modele przestrzenne przedstawiają różne układy konstrukcyjne hali, mogące wystąpić w rzeczywistości. Modele normowe powinny być uniwersalne i uwzględniać różnorodność konstrukcyjną obiektów, dlatego wyniki uzyskane przy ich zastosowaniu porównano z wartościami maksymalnymi uzyskanymi dla wszystkich analizowanych modeli przestrzennych. Największe wartości maksymalnych sił w prętach stężeń poprzecznych uzyskano dla modeli 8 (LL) i 14 (LP). Są one ok. 2-krotnie większe od maksymalnej wartości obliczonej za pomocą modelu normowego 0C. Jest to wynikiem usytuowania stężeń poprzecznych w skrajnych polach hali. Przy usytuowaniu tych stężeń w polach przedskrajnych różnice są już mniejsze i wynoszą, np. dla modeli 5 (LL) i 0C - 41%. Modele normowe nie są miarodajne do wyznaczania sił w płatwi kalenicowej w przypadku usytuowania stężeń poprzecznych w polach skrajnych hali. Dla modelu 8 (stężenia PL) wartość obliczonej siły w płatwi kalenicowej jest 25-krotnie większa od obliczonej za pomocą modeli normowych i 3-krotnie większa od maksymalnej wartości siły we wszystkich płatwiach wyznaczonej za pomocą modelu 0C (płatew w osi słupów środkowych hali). Spośród trzech analizowanych modeli normowych największe wartości sił w prętach stężeń uzyskano dla modelu 0C . Różnice maksymalnych wartości sił w prętach stężeń poprzecznych między modelami normowymi wynoszą 5,3%. Maksymalna wartość siły w płatwiach otrzymana za pomocą modelu 0C jest ok. 2-krotnie większa od uzyskanej w modelach 0S i 0. 5 WNIOSKI Na wartości sił w elementach stężeń hali, pochodzących od wstępnych wygięć górnych pasów wiązarów, wpływ ma wiele czynników związanych z rozwiązaniami konstrukcyjnymi zastosowanymi w danym obiekcie. Czynników tych nie uwzględnia płaski, normowy model obliczeniowy stężeń poprzecznych. Na podstawie przeprowadzonych w referacie analiz obliczeniowych można sformułować następujące wnioski: 1) Lokalizacja stężeń poprzecznych na długości hali ma znaczący wpływ na wartości sił w różnych elementach stężeń dachowych. Usytuowanie tych stężeń w polach skrajnych (np. modele 1 i 8) powoduje znaczny, kilkudziesięcioprocentowy wzrost maksymalnych wartości sił w prętach stężeń poprzecznych i bardzo duży, ok. 6-krotny wzrost wartości sił w prętach stężeń pionowych kalenicowych oraz w płatwiach kalenicowych tych stężeń, w stosunku do wartości sił uzyskanych przy usytuowaniu stężeń poprzecznych w polach przedskrajnych (np. modele 5 i 10). Zastosowanie płaskiego modelu normowego (model 0C) prowadzi w tym przypadku do znacznego 2-krotnego zaniżenia wartości sił w prętach stężenia poprzecznego. 2) Zwiększenie liczby pionowych stężeń wiązarów powoduje zmniejszenie wartości sił w prętach stężeń dachowych hali. W analizowanych modelach hali, wprowadzenie dwóch stężeń pionowych zamiast jednego, 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava spowodowało blisko 30% zmniejszenie maksymalnej siły w prętach stężenia poprzecznego i ponad 60% w prętach pionowego stężenia wiązarów. 3) Największe wartości sił w prętach stężeń poprzecznych występują w analizowanych modelach z reguły w stężeniu LL usytuowanym po lewej stronie hali (por. rys. 1). W prętach stężenia pionowego oraz w płatwiach maksymalne wartości sił stwierdzono w stężeniach LP i PL, usytuowanych odpowiednio po lewej i prawej stronie hali. 4) Doprowadzenie dolnych pasów wiązarów do słupów (modele 5 i 6) powoduje niewielkie, kilkuprocentowe zmniejszenie maksymalnych wartości sił w prętach skratowania stężeń poprzecznych i ok. 17% w prętach pionowych stężeń wiązarów. 5) Wpływ pochylenia górnych pasów wiązarów (modele 5 i 15) na wartości sił w elementach stężeń poprzecznych sięga ok. 35%, przy czym większa siła wystąpiła w modelu z wiązarami z pochylonymi pasami górnymi. Mniejsze różnice, dochodzące do 10%, stwierdzono w prętach skratowania pionowych stężeń wiązarów (modele 2 i 16). 6) Kształt imperfekcji („C” lub „S”, por. rys. 2) wpływa na wartości sił w prętach stężeń. Większe wartości sił w analizowanych modelach uzyskano przy kształcie imperfekcji „S” – o ponad 20% w prętach stężenia poprzecznego i ok. 115% w prętach pionowych stężeń wiązarów. 7) Wpływ typu skratowania (W lub N) ma znikomy wpływ na maksymalne wartości sił w prętach stężeń poprzecznych oraz ok. 20% na wartości sił w stężeniu pionowym. 8) Maksymalne różnice między wartościami sił w prętach stężeń pomiędzy analizowanymi modelami przestrzennymi są znaczne, niekiedy kilkukrotne. Tak duże różnice są przede wszystkim wynikiem usytuowania stężeń poprzecznych w polach skrajnych hali, przy identycznej konstrukcji wiązarów skrajnych i pośrednich. W przypadku usytuowania stężeń poprzecznych w polach skrajnych hali, zmiana konstrukcji skrajnego, mniej obciążonego wiązara, tak aby jego ugięcie było zbliżone do ugięć wiązarów pośrednich, pozwala radykalnie zmniejszyć siłę w płatwi kalenicowej oraz w prętach stężenia pionowego. 9) Wpływ wstępnych wygięć górnych pasów wiązarów na maksymalne wartości sił w tych pasach jest kilkuprocentowy w większości analizowanych modeli. 10) Płaskie, normowe modele obliczeniowe stężenia poprzecznego pozwalają tylko w przybliżeniu ocenić dodatkowe siły w prętach tego stężenia oraz w płatwiach. Przybliżenie to jest dość dobre jedynie dla przypadku dachu ze stężeniami pionowymi wiązarów, przy dolnych pasach doprowadzonych do słupów i z wiązarami o takich samych ugięciach. W innych przypadkach normowe modele obliczeniowe mogą okazać się niewystarczające do oceny bezpieczeństwa stężeń dachowych. Nie pozwalają one na ocenę sił w pionowych stężeniach wiązarów oraz pozostawiają poza kontrolą np. dodatkowe siły przekrojowe (siły poprzeczne i momenty zginające) w prętach poziomo zginanego dolnego pasa wiązarów, które mogą mieć znaczący wpływ na jego nośność [1], [2]. Znacznie dokładniejsze i pełniejsze wyniki obliczeń stężeń poprzecznych można uzyskać stosując modele normowe, w których obciążenie wyznaczono za pomocą autorskiego sposobu, dodatkowo uwzględniającego sprężyste poziome wygięcie pasa dolnego wiązarów [4]. LITERATURA [1] Niewiadomski L.: Wpływ imperfekcji geometrycznych stalowych dźwigarów dachowych na stan naprężeń i przemieszczeń konstrukcji dachowej. Praca doktorska, Pol. Śląska, Gliwice 2007. [2] Niewiadomski L., Zamorowski J.: The influence of geometrical imperfections of roof trusses on the internal forces in the elements in the structure of the roof of an assembly hall. 11th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, October 3-4, 2013 Bratislava, Slovakia. [3] Niewiadomski L.: The influence of imperfections of roof trusses on the forces in the bracings of a steel hall. 12th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, October 16-17, 2014 Bratislava, Slovakia. [4] Niewiadomski L., Zamorowski J.: Second-order loads of roof bracings in roofs with vertical bracings. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia. [5] PN-EN 1993-1-1:2006/AC 2009: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. [6] Robot Millenium – podręcznik użytkowania, Firma Informatyczna RoboBAT Sp. z o.o. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS Comparison between different seismic analysis procedures applied to masonry building A.S.Elshoura1 and J.Máca2 Abstract Evaluating the performance of structures subjected to seismic actions is really crucial so as to figure out the local and global dynamic behavior specifically for masonry structures; that is they are able to resist vertical loads sufficiently whilst problems appear when they are applied to earthquakes since their shear capacities are not too high to withstand earthquakes owing to low shear stiffness due to propagation of cracks. To do that, the response of the structure should be determined corresponding to different seismic actions. Within this paper, the response of a masonry structure will be determined by applying three different procedures according to Eurocode 8 in order to understand practically to which extend the accuracy will vary by comparing the results with experimental work that has been done at ELSA (European Laboratory for Structural Assessment) reactionwall laboratory at Ispra, Italy in 2007. The three procedures are; elastic response spectrum analysis, non-linear static procedure, and time history analysis. Key Words Dynamic analysis; Masonry building; Time history analysis; Pushover; Modal analysis; ATENA. 1 INTRODUCTION Recently, several seismic design and evaluation procedures have been developed that are based on performancebased design concepts[15]. The main differences between those methods are in respect to the accuracy of the structural response, the simplicity of the basic assumptions. According to Eurocode 8, there are two categories of analysis; linear and nonlinear which three procedures of them will be applied here to a masonry building to assess the difference of accuracy between them. First of all, elastic response spectrum procedure will be used to estimate the top displacement. Then, non-linear static procedure (N2 method), or pushover method, will be applied to determine the capacity curve and the structural response using elastic spectrum. Finally, the top displacements will be determined by subjecting the structure to dynamic excitation in form of accelerations which is called time history analysis. Applying this method will be throughout numerically modeling the structure in ATENA software which is considered a not easy task as there are no past researches in this field using ATENA. Besides, the response of the structure will be obtained corresponding to eleven different peak ground accelerations ranging from 0.02g to 0.22g. Then, the results will be compared with the results of the experimental work that has been done to the same model at ELSA (European Laboratory for Structural Assessment) reaction-wall laboratory at Ispra, Italy in 2007 to figure out to the difference in the accuracy between the three methods practically. Over and above, mode shapes of vibration of the model are determined using a numerical model in ATENA and then comparing the results with those which are calculated at ELSA laboratory to distinguish the effect of changing the elastic modulus of slabs and walls on the results. It is important to refer that the two tests that have been done at ELSA are; the pseudo-dynamic test to evaluate the 1 2 Eng. Ahmed Saad Elshoura, Mansoura University- Egypt, (+20)1090984198, a.el-shoura@hotmail.com. Prof. Jiří Máca, Czech Technical University in Prague, (+420)224354500, maca@fsv.cvut.cz. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava response of the model when it is subjected to eleven peak ground accelerations ranging from 0.02g to .22g, and hammer impact test to determine modes of vibration. 2 DESCRIPTION OF THE MODEL As stated before, the examined model is the same one that has been tested experimentally at ELSA laboratory in Italy, 2007. Consequently, as mentioned in [2], the model is a kind of a typical building that called "terraced house" which is simplified at ELSA laboratory in order to ease interpretation of the results. Moreover, the two storey model is an unreinforced masonry building which has a rectangular shape in plan with and area of 9.5*5.3 square meters, and 5.4 meters high (Figure 1). Regarding the walls, the bearing wall model consists of three types of walls; the long walls (W1) which extend 9.5 meters in X-direction, the four walls (W2) that are located on the corners with 1.175 meters length, and the entire walls (W3) that have a length of 1.5 meter in Y-direction. Besides, the walls (W1) and (W3) have a width of 17.5 centimeters while walls (W3) are 25 centimeters wide. Furthermore, the model consists of a reinforced concrete flat slab with a thickness of 20 centimeters which is placed directly above the walls [2]. Also, each slab has an opening between the entire walls (W3) with dimensions of 2.8*1.2 meters (Figure 1). Fig. 1. Plan and 3D of the model Over and above, as shown in figure 1, the model can resist seismic actions in X-direction by the long walls (W1) while the resistance in Y-direction results from the contribution of inertia of walls (W2) and (W3). As a result, the building is much weaker in Y-direction than X-direction. This is the reason for testing the model at ELSA laboratory only in Y-direction, specifically in positive Y-direction, and also will be analyzed numerically in ATENA in the same direction to assess the results and the accuracy of the procedures. Concerning the mechanical properties for the walls, the following table 1 collects the mechanical properties of the three walls that have been determined at ELSA laboratory before performing the tests. Last but not least, during the experimental tests, the slabs were subjected to the self weight and 30% of the live load which are 10.54 KN/m2 and 9.843 KN/m2 for the first and the second floor, respectively. Properties The characteristic compressive strength (MPa) The characteristic initial shear strength (MPa) Maximum limit for shear stength (MPa) Horizontal characteristic compressive stregth (MPa) Modulus of elasticity (MPa) Shear modulus (MPa) Specific masonry weight (Kg/m3) Friction coefficient Wall 1 6.7 0.24 0738 0.35 4960 1984 917.75 0.68 Wall 2 6 0.3 0.648 0.35 4528 1811.2 815.77 0.6 Tab. 1. The mechanical properties of the three types of walls Wall 3 16.5 0.35 0.39 0.731 8852 3540.8 1733.5 0.6 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 3 October 2015, Bratislava EXPERIMENTAL WORK The present work will be compared with experimental results that have been done at ELSA (European Laboratory for Structural Assessment) reaction-wall laboratory at Ispra, Italy in 2007. There, two tests are carried out. First, hammer impact test has been done for dynamic identification and interpretting the dynamic behaviour by determining mode shapes and frequencies. To this extend, the first seven modes are determined (Figure2). Second,Pseudo-dynamic test (Figure 3) has been done for dynamic assessment and seismic evaluation so that it has been carried out by subjecting the model to eleven peak ground accelerations ranging from 0.02g to 0.22g and the results can be summarized in table 2 as stated in [4]. . Consequently, the results from hammer impact test will be compared with modal response spectrum analysis whilst, the results from the three procedures, elastic response spectrum analysis, non-linear pushover procedure and time history analysis will be evaluated by comparing them with Pseudo-dynamic results. It is important noting that the experimental tests have been done for only half of the model as shown in figure 3. On the other hand, the analysis using the three procedures will be done for the whole model. For this reason, the results from modal analysis will not be easy to be compared with the experimental hammer impact test results because distiguishing between local and global mode shapes is not usually feasible, whilst there will be no problem in comparing the results of pseudo-dynamic test with the three procedures. a) b) c) d) e) Fig. 2. a) 1st longutiduinal bending, b)1st torsion, c) 1st transversal bending, d) 2nd longitudinal bending, and e) 1st bending of the second floor 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 3. Testing set up for pseudo-dynamic test at ELSA laboratory [3] PGA 0.02g 0.04g 0.06g 0.08g 0.10g 0.12g 0.14g 0.16g 0.18g .020g 0.22g Top displacement (mm) .9 1.7 4.3 6.4 10.3 26.6 28 28.8 40.9 62.6 77 Tab. 2. Pseudo-dynamic test results at ELSA laboratory [4] 4 MODAL RESPONSE SPECTRUM ANALYSIS Usually, the first step in applying the dynamic analysis is to figure out the mode shapes of vibration of the structure without taking into account the damping effect, and calculating the corresponding natural frequencies [1]. This is to characterize the dynamic behavior of the building and to give a general indication of how the response of the structure will be when it is applied to dynamic loads. The model is analyzed as free vibration, which means the motion without any dynamic excitations, and without damping. Equation (1) is the equation of motion that governs the free vibration un-damped system with N degrees-of-freedom, where M is N x N diagonal mass matrix, K is N x N stiffness matrix, and u(t) and ȕ(t) are the displacement and acceleration vectors respectively [7]. Also, then the natural frequencies and mode shapes can be calculated from equation (2) which is called eigenvalue problem equation where 𝞥n is the deflected shape that does not change with time [7]. .. M u (t )  Ku  0.0 (1) K   m (2) 2 n n  0.0 Within this work, using ATENA finite element software, the modal analysis has been performed and the first five mode shapes (Figure 4) and the corresponding natural frequencies (Table 3) are determined. The modal analysis is performed, using problem type of dynamic and under a load case of self weights and 30% of the live loads. This load case is the same as that has been decided during experimental hammer impact test and also as stated in [9]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 4. The first five modes of vibrations Mode of vibration 1 2 3 4 5 Frequency (HZ) 8.05 19.81 22.34 25.55 28.78 Natural frequency (sec^-1) 50.9 124.5 140.4 160.6 180.7 Tab. 3. Detailed results for the first five modes from numerical modal analysis in ATENA 4.1 Comparison between numerical analysis and hammer impact test results The first step to check the accuracy and efficiency of the numerical model is to compare the calculated modes of vibrations and the corresponding eigenvalues with those which have been determined at ELSA laboratory using the hammer impact test. However, as stated before, owing to the difference between the experimentally tested model and the computer analyzed model, it is difficult to distinguish between the global and local modes of vibrations. As a result, only two modes can be compared; the first longitidunal bending mode and the first torsion mode. Table 4 shows the comparison between these two modes and the percentage of the error. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Mode of vibration 1st longitudinal bending (mode 1) 1st torsion (mode 2) fexp 7.4 17.1 October 2015, Bratislava fnum 8.05 19.81 Error % 8.7 15.7 Tab. 4. comparison between frequencies from experimental results and ATENA numerical model As clearly shown in the table above, the percentage of error between the experimental and numerical results is acceptable. However, to get better results for the numerical model, the elastic of elasticity of structural elements should be updated. To do that, two cases are tried to interpret the effect of changing the elastic modulus on the calculated frequencies. Case 1, the modulus of elasticity of the slabs are reduced by approximetly 33.3%. Then,in the second case, the modulus of elasticity for each wall is reduced only 10%. Consequently, the results of updating the elastic modulus are shown in table 5 which illustrate that decreasing the elastic modulus of the walls highly affects the results and reduces the percentage of error. Mode of vibration 1st longitudinal bending (mode 1) 1st torsion (mode 2) Case 1 7.67 19.34 Error % 3.65 13.1 Case 2 7.72 18.82 Error % 4.3 9.9 Tab. 5. Comparison between the two cases of updating the elastic modulus 5 ELASTIC RESPONSE SPECTRUM PROCEDURE The first method to be used to assess the model is the elastic modal response spectrum procedure. The main assumption for this procedure is that the slab of each floor is totally rigid and the mass of each storey will be taken as lumped mass at the level of floor height [9]. As a result, the model is simplified to have only two degrees of freedom, i.e. one translation at each floor level. The main aim of using this procedure is to determine the modal response uin,max , modal horizontal forces acting on each storey Vin,max, and modal base shear force Vbn,max, where i is the number of the storey and n is the number of mode shape. Subsequently, using SRSS principle, the maximum displacement and maximum horizontal force of each storey and the corresponding maximum base shear are determined. To do that, the stiffness of each wall can be determined by assuming that the walls are fixed from both ends from equation 3 [7] . Then, the stiffness of each floor is the summation of the stiffness of all walls at the floor which means the summation of stiffness of four walls of W2 and two walls of W3. Subsequently, the mass matrix and stiffness matrices of the whole model are constructed and by substituting in det K   n2 m  0.0 , eigenvalues can be obtained [7], and the results are 𝜔1 = 43.24 Rad/sec and 𝜔2 = 4109.72 Rad/sec. After that, it is important to determine eigenvector or mode shapes using equation 2and the results are 𝞥12=1and 𝞥11=0.634 for the first mode, and 𝞥22=1 and 𝞥21=0.634 for the second mode. In order to determine the effective modal masses Mneff and modal participation factor (Г), the mass matrix should be normalized firstly and consequently resulting in new values for the mode shapes determined before [9]. As a result, the effective modal mass and modal participation factor can be easily determined using equations 6 and 7, respectively and they give M1eff =95.1% and M2eff =4.9%. The next step is to determine the maximum displacement at each floor for every mode, and the corresponding maximum horizontal forces at each floor and then the maximum base shear for each mode from equations 8, 9, and 10, respectively, where Sa,n is the spectral acceleration calculated from response spectrum using the period of vibration of each mode T1 = 0.145 sec and T2 = 0.057 sec. Table 6 shows all calculated results of each mode and the final maximum response using SRSS for eleven peak ground accelerations ranging from 0.02g to 0.22g. 12 EI x (3) K wall  h3 (4) M n   nT .m . n  nN  M neff  L2n Mn 1 Mn 1 Ln  nT . m.1 (5) (6) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings n  Ln Mn (7) u in,max   nN .n . PGA uin,max (mm) ω1 ω2 0.02g .232 .366    .00078   .0006   0.04g .454 .714   0.06g S a ,n (8)  n2 Vin, max  K .u in, max (9) Vbn  M neff .S a , n (10) Vin,max (KN) ω1 October 2015, Bratislava SRSS Vbn (KN) ω2 ω1 ω2 ui,max (mm) 283 379   61.51   39    661.7 22.37 .233 .366   290  381   662  .0015   .00113   552 739    118   75   1290 43 .454 .714   564 743   1290 .691  1 .1     .0023   .00173    840  1125   181  115   1962 66  .69  1.086    859  1130   1964 0.08g .947  1 .5     .0031   .00225   1151 1543    237  150   2691 86 .94 1.5    1175 1550   2693 0.1g 1.14  1. 8     .0038   .0028   1391 1864    300  190   3252 109 1.145  1.8    1423 1874   3254 0.12g 1.4   2 .2     .0046   .0035   1679  2250    363   230   3925 132 1.38  2.17   1718 2261   3927 0.14g 1.6   2 .5     .0055   .0042   1919  2571   434   276   4486 158 1.58  2. 5    1967  2586   4488 0.16g 1.8   2 .9     .006   .0045   2255  3021    473   300   5271 172 1.85  2 .9    2304 3036    5274 0.18g 2.05 3.23    .0071   .0053   2495 3342   552   351   5832 201 2.05 3.23   2555 3360   5835 0.2g 2.32 3.66     .0076   .0056   2830 3792    591   376   6617 215 2.33 3.66   2892 3810    6620 0.22g 2.56 4.04    .0081   .006   3118 4178    631   401   7290 230 2.57 4.06   3182  4197   7293 Vi,max(KN) Tab. 6. Results of elastic modal response spectrum method for different PGA Vb,max(KN) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 6 October 2015, Bratislava NON-LINEAR STATIC PROCEDURE The second seismic assessment of model will be done by applying non-linear static procedure (N2-method) according to [9] using ATENA finite element software. At the first stage, the capacity curve is determined by the process of incrementally pushing the structure horizontally with prescribed modal load pattern according to first mode of vibration. It is important noting that the capacity curves are cut when the base shear decreases to reach 80% of the maximum base shear force [10]. Figure 5 shows a comparison between the capacity curve obtained from numerical modelling and that which has been calculated experimently and as it is clear that both curves are very close which gives an indication for accurate numerical model in ATENA. Fig. 5. Comparison between the capacity curve from ATENA and experimental test for +Y-direction According to [9], the capacity curve is transformed firstly to force-displacement curve for an equivalent single degree of freedom system using the transformation factor Г (Equation 11). Subsequently, the next step is to transfer the capacity curve for an equivalent SDOF system to capacity spectrum, acceleration (Sa)-displacement (Sd) format. The capacity spectrum is idealized so that the first part that represents the initial stiffness intersect the plastic part that corresponds with the maximum spectral acceleration in such a way that the area below and above the capacity curve are the same. Figure 6 shows the capacity spectrum and its idealization elastic perfectly plastic curve. m* (11)   mi (i ) 2 Fig. 6. Capacity curve and its bilinear representation in Sa-Sd format Subsequently, it is crucial to combine the bilinear representation described above with the elastic response spectrum , in Sa-Sd format, in the same graph so as to obtain the target displacement [10]. Hereby, the elastic response spectra are generated using SeismoArtif software corresponding to spectrum type "I" and damping ratio "ζ" equal to 5%, and a ground type "B" to exactly simulate the experimental tests as stated in [4]. Figure 7 illustrates the bilinear representation combined with the response spectrum corresponding to peak ground acceleration of 0.1g. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava It is important to recall that within this work, eleven peak ground accelerations are used and the target displacements are obtained for each case by extending the first part of the bilinear curve, which represents the initial stiffness, until intersect the elastic spectrum at a point which corresponds to the target displacement for an equivalent single degree of freedom. Then, using the transformation factor Г, the obtained target displacement is transformed to multi-degree of freedom. To sum up, table 7 shows the target displacement that obtained for each peak ground acceleration. Fig. 7. Combination of bilinear representation (SDOF) and response spectrum in Sa-Sd format (PGA=0.1g) PGA Target displacements (m) 0.02 g 0.04 g 0.007 0.014 0.06 g 0.021 0.08 g 0.028 0.10 g 0.035 0.12 g 0.042 0.14 g 0.049 0.16 g 0.056 0.18 g 0.063 0.20 g 0.07 0.22 g 0.0775 Tab. 7. Target displacements for positive Y-direction using ATENA 7 TIME HISTORY ANALYSIS The non-linear time history (dynamic) analysis is an alternative procedure, along with non-linear static method, for analyzing the nonlinear behavior of structures subjected to seismic actions. As specified in [9], the seismic motion may be represented in term of ground acceleration time history and related quantities; velocities and displacements. The equation of motion that governs an N-degree-of-freedom system subjected to an earthquake is defined by equation 12, where u(t), ú (t), and ü(t) represent the relative displacement, velocity, and acceleration vectors of the structure, respectively, while m, c, and k are the mass, damping, and stiffness N * N matrices of the structure respectively and P(t) refers to the external applied dynamic load vector which depends on the ground motion acceleration, üg (t) ; and t expresses time step [7]. . .. m.u(t )  c. u (t )  k. u(t )  P(t ) (12) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava As specified in [9], the description of the seismic actions can be made using artificial accelerograms. Herein, The non-linear dynamic analysis will be performed using artificial accelerograms that are generated in such a way to match with the response spectrum of type "I" for soil class "B" for 5% viscous damping and by means of SeismoArtif. Moreover, the total time duration of the accelerogram generated by SeismoArtif was set equal to 10.06 seconds. Furthermore, for each peak ground acceleratioin, the minimum number of accelerograms to be generated is three [9]. As a result, for each selected reference peak ground acceleration three synthetic accelerograms are generated and the corresponding artificial accelerograms are obtained and the analyses are carried out for these three accelerograms and the average response is calculated. Also, like what has been done in elastic response spectrum analysis and non-linear static analysis, the non-linear dynamic analysis is performed for eleven reference peak ground acceleraions ranging from 0.02g to 0.22g in order to compare the results with pseudo-dynamic test. Figure 8 shows an example of a response spectrum and one of its synthetic accelerogram and the corresponding artificial accelerogram is shown in figure 9. Fig. 8. Elastic response spectrum for PGA= 0.1g, (ζ=5%), and one of the corresponding synthetic accelerogram generated from SeismiArtif Fig. 9. One of an artificial accelerograms generated using SeismoArtif for PGA=0.1g In order to perform dynamic non-linear analyses, the finite element software ATENA is used. During the analysis, the most important part is defining the damping matrix of the structural system. This is because there is no past dynamic time history analysis has been done using ATENA software to be taken as a guideline. As a result, there are two formulas are used in order to construct the classical damping matrix based on an assumption related to the damping ratio (ζ). First of all, the classical damping is simulated by considering Rayleigh viscous damping which can be defined as a procedure for constructing a classical damping matrix based on a linear combination of the mass m and stiffness k matrices of the structural system as presented in equation 13. The parameters ao and a1 are the Rayleigh constants, stiffness proportional damping and mass proportional damping respectively, which have units of sec-1 and sec respectively [7]. The stiffness proportional damping can be interpreted to model the energy dissipation arising from storey deformation whilst, the mass proportional damping model the air damping which is small, and can be neglected for most structures, and not easy to be interpreted [7]. c  a o m  a1 k (13) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Further, the damping ratio (ζn) for the nth mode of vibration of the system can be given by equation 14, where 𝜔n is the natural or angular frequency. The constants ao and a1 can be determined from equations 15 and 16 by assuming the same damping ratio (ζ) for both modes ith and jth [7]. Throughout this work, the first and second modes are selected with frequencies equal to 7.72 Hz and 18.82 Hz, respectively, with the same damping ratio for both modes. For Regarding assuming the damping ratio, many values ranging from 0.5% to 5% are tired for different accelerograms but the results were not accurate. Figures 10 shows the relation between the base shear and the average top displacement for peak ground accelerations of 0.1g and assumed damping ratio of 1.5% . a 1 a1 (14) n  o  n 2 n 2 ao   a1   2 i  j i   j 2 i   j (15) (16) Fig. 10. The relation between base shear and average displacement at the top for PGA= 0.1g and ζ=1.5 % Because of the scattered results presented above, other formulas are used with an assumption of the damping ratio ζ that is calculated from equation 14 which indicates that the damping ratio will be calculated for only one mode [18]. Subsequently, by assuming the fundamental mode shape (𝜔i = 𝜔1) and determine the first derivation, the constants ao and a1 could be calculated from; ao= ζ1𝜔1 and a1 = ζ1/𝜔1 respectively. Regarding the damping ratio, several values are tried for different accelerograms and also for different peak ground accelerations in order to get the best and most accurate results comparing with psedo-dynamic test. Finally the selected damping ratio is taken to be 3% and the corresponding constants are α = 1.45599 sec -1, and 𝞫 = 0.00061813 sec. Last but not least, figures 11, 12, and 13 show one artificial accelerogram, the corresponding variation of displacement with time, and the displacement-base shear relationship, respectively. However, all results of time history analysis are collected in table 8 and compared with non-linear static (N2-method). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 11. First artificial accelerogram for PGA=0.1g, (ζ=5%) Fig. 12. The variation of top displacement for the first accelerogram Fig. 13. Displacement-base shear relationship for the first accelerogram 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings PGA Disp. (mm) 4.2 0.02g 0.04g 0.06g 0.08g 0.1g 0.12g 0.14g 0.16g 0.18g 0.20g 0.22g 4.4 Time history analysis Aver. disp. Base shear(KN) (mm) 708 4.4 794 4.7 833 8.1 1830 11.6 10.1 1850 10.7 1345 12 2340 10 11.3 1470 12.3 2130 18 2800 10.6 15.0 1890 16.6 3250 21 3440 19 19.9 2970 20 3442 24.2 4490 17.11 23.4 3110 29.1 4540 31.9 4780 22.5 28.4 3380 31 4740 32.4 4500 31.5 30.4 3870 27.2 5930 39.3 5970 28.4 36.5 4410 40.2 6210 45 6950 30 40.1 4590 45.3 6950 57.2 8730 32 47.2 45.5 4910 Aver. base shear (KN) October 2015, Bratislava Non-liear static procedure Disp. Base (mm) shear(KN) 778 7 314 1675 14 628.3 1980 21 950.5 2647 28 1264.6 3284 35 1586.8 4047 42 1901 4300 49 2215 4767 56 2537.3 5530 63 2859.6 6163 70 3181.7 6993 77.5 3503.9 7340 Tab. 8. Comparison between time history analysis and pushover method for different PGA 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 8 October 2015, Bratislava COMPARISON BETWEEN EXPERIMENTAL RESULTS AND COMPUTERANALYZED RESULTS In order to distinguish clearly the difference between pseudo-dynamic test results that has beeen done at ELSA laboratory and the results from the three different procedures, it is better to combine the data in tables 2, 6, and 8 in one figure. As it is shown in figure 14, the elastic response spectrum proceudre gives very low and not accurate response comparing with the experimental results. Moreover, non-linear static procedure is very conservative method that gives linearly change results. On the other hand, time history analysis gives the most accurate response that varies at the same manner of the pseudo-dynamic test. Fig. 14. Comparison between the the expermintal pseudo-dynamic test and the computer-analyzed procedures 9 CONCLUSION It can be concluded that the elastic response spectrum procedure gives too low response of the model comparing with not only the other linear and non-linear methods but also the experimental results. Regarding N2-method, although, the capacity curve obtained by ATENA is approximately the same as that determined at ELSA laboratory, the top displacements change linearly and do not match with the experimental results. Structural responses obtained from non-linear dynamic analysis are more accurate than non-linear pushover analysis and closer to experimental results because it represents better simulation of seismic actions as in the analysis an artificial accelerogram or real records which change with time is used. Additionally, the capacity curve resulted from pushover is independent of earthquake as it is an intrinsic characteristic to the structure, and its geometry and resistance characteristics of the materials. Also, it can be noticed that the influnce of changing the elastic modulus of the walls on calculating eigenvalues is more significant than for slabs ; that is reducing the elastic modulus of slabs by only 10% improves the results as it reduces the error by 44%. On the other hand, reducing the elastic modulus of slabs by more than 33% modifies the calculated eigenvalues only by 34%. Generally, the lower value of elastic modulus of slabs, the lower stiffness of the slabs which means more flexible slabs, and the better results of eigenvalues. However, changing the modulus of elasticity of walls and slabs does not affect the mode shapes. ACKNOWLEDGEMENT This paper has been supported by the CTU Grant “Advanced numerical modeling in mechanics of structures and materials” (grant No. SGS15/031/OHK1/1T/11). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava REFERENCES [1] Andres Braga, Study of the Armenian Church in Famagusta, SAHC master dissertation, July, 2014. [2] Anthoine, A, Definition and design of the test specimen. Deliverable 8.1, ESECMaSE, 2007, www.esecmase.org. [3] Anthoine, A., Tirelli, D.: Preliminary tests and dynamic identification of the specimens. Deliverable 8.2, ESECMaSE, 2008; www.esecmase.org. [4] Anthoine, A.; Capéran, P.: Earthquake tests and analysis of the experimental results, Deliverable 8.3, ESECMaSE, 2008; www.esecmase.org. [5] Applied Technology Council (ATC-40), seismic evaluation and retrofit for concrete buildings, SSC 96-01, November 1996. [6] Chopra, A. K. and Goel, R. K. (2002). A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings, Earthq. Engrg. Struc. Dyn., 31(3):561-582. [7] Chopra A. K., Dynamics of structures- Theory and applications to earthquake engineering, Prentice Hall, New Jersey, Fourth edition, 2012. [8] Elena Brenker, Modellierung der pseudodynamischen verrsuche an reihenhausern aus kalksandstein-und ziegelmauerwerk am JRC Ispra mit hilfe der equivalent frame methode, June, 2010. [9] Eurocode 8, Design of structures for earthquake resistance, Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings, European standards EN 1998-1. European committee for standerization (CEN), Brussels [10] Federal Emergency Management Agency (FEMA), Improvement of non-linear static seismic analysis procedures- FEMA-440, Washington, DC, June 2005. [11] Federal Emergency Management Agency (FEMA), Prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of building,- FEMA-356, Washington, DC, November 2000. [12] Indrajit Chowdhury and Shambhu P. Dasgupta, Computation of Rayleigh damping coefficients for large systems. [13] Mehmed Causevic and Sasa Mitrovic, Comparison between non-linear dynamic and static seismic analysis of structures according to European and US provision, Bull earthquake engineering, July 2010. [14] Michele Betti, Luciano Galano and Andrea Vignoli, Comparative analysis on the seismic behavior of unreinforced masonry buildings with flexible diaphragm, Engineering Structure 61 (2014) 195-208. [15] Peter Fajfar and M.Eeri, A nonlinear analysis method for performance based seismic design. Earthquake spectra, August 2000; Vol.16 (3),PP.573-592. [16] Phaibon Panyakapo, March 2014. Cyclic Pushover Analysis procedure to estimate seismic demands for buildings, Engineering Structure 66 (2014) 10-23. [17] R. Bento, S. Falcao, and F. Rodrogues, Non-linear static procedures in performance based seismic design, 13th World Conference on Earthquake Engineering, No. 2522, August 1-6, 2004. [18] Zdeněk Bittnar and Petr Řeřicha, Metoda konečných prvků v dynamice konstrukcí, SNTL, Praha, 1981. [19] A.S.Elshoura, Dynamic analysis of masonry building subjected to seismic loading, SAHC master dissertation, July, 2015. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS AUTOMATIZÁCIA NÁVRHU A POSÚDENIA KONŠTRUKCIE DREVENÉHO KROVU Ján Kortiš1 a Slavomír Sabol2 Abstract This part of the paper must be written in English language, max. 10 lines, simple lines, Times New Roman, size 10 pt, italic Many engineers, in recent years, are seeking for the fast and reliable tools that help them during the process of design of building structures. The development of software has been following these demands and the result is that there are new possibilities available now. The main aim is to offer practical tools that are suitable for many applications in practical engineering. However, it is difficult to cover requirements of all customers. One way is to use program language that can be used to manage the processes that are done by software. In the case, which is presented in the article, is used XML markup language to send set of instruction for managing processes in the SciaEnginner software which is generally used to design bearing parts of buildings. The practical example of the design of timber roof structure is chosen to describe the application of this powerful way to design building structures.. Kľúčové slová drevený krov, návrh konštrukcie, automatizácia, výpočtový model 1 ÚVOD V posledných rokoch stúpajú požiadavky na rýchlosť, efektivitu a kreativitu práce stavebných inžinierov pri návrhu a posudzovaní stavebných konštrukcií. Toto je predovšetkým spojené s vývojom nových programových produktov, ktoré pomáhajú splniť tieto náročné požiadavky zákazníkov. Avšak aj napriek komplexne vybaveným softwérovým produktom sú stále určité obmedzenia dané možnosťami užívateľského prostredia. Dôvodom je najmä náročný a drahý vývoj pri implementácii nových funkcií, ktorý v mnohých prípadoch nie je možné zaplatiť vzhľadom na malý záujem zákazníkov o daný produkt. Možnosťou ako sa tomuto obmedzeniu vyhnúť je implementovať do programu vlastný programovací jazyk. Ten potom umožňuje kombinovať už pripravené funkcie v programe a tým vytvárať vlastné prostredie priamo určené na riešenie požadovaných úloh. V takomto prípade je postačujúce mať naprogramované len silné výpočtové jadro poprípade grafické prostredie, v ktorom je možné pracovať. Podobný spôsob práce je možné aplikovať aj v prostredí programu SciaEngineer, ktorý ako riadiaci programovací jazyk používa XML programovací jazyk. V rámci tohto jazyka je možné vytvárať a meniť geometriu, zaťaženie ako aj statické pôsobenie elementov. 1 Ing. Ján Kortiš PhD, Žilinská univerzita v Žiline, Stavebná fakulta, Katedra stavebnej mechaniky Univerzitná 8215/1, 010 26 Žilina, +421 41 513 5616, jan.kortis@fstav.uniza.sk 2 Bc. Slavomír Sabol, Žilinská univerzita v Žiline, Stavebná fakulta, Katedra stavebnej mechaniky Univerzitná 8215/1, 010 26 Žilina, +421 41 513 5616, slavko012@gmail.com 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava Popis krokov automatizácie návrhu Prvým krokom pri automatizácii návrhu a posúdenia ľubovoľnej stavebnej konštrukcie v programe SciaEngineer je vytvoriť výpočtový model stavebnej konštrukcie. Geometria a materiálové charakteristiky tak ako aj zaťaženie môžu byť definované ako parametre. Každý parameter má svoje meno a podľa neho je možné ho identifikovať pri ďalších krokoch automatizácie výpočtu (Obr. 1). Obr. 1. Geometria konštrukcie dreveného krovu so základnými parametrami Pred ďalšou prípravou modelu pre účely automatizácie je vhodné spustiť výpočet a overiť, či je konštrukcia správne podopretá a výpočet bude správne ukončený. Taktiež je dobré skontrolovať výsledky, či spĺňajú očakávania, pretože výstupy z automatizovaného výpočtu sú už v určitej miere obmedzené a nie je možné ich správnosť kontrolovať v takej miere. Takto vytvorený a overený výpočtový model je potrebné uložiť vo formáte programu SciaEngineer, ktorý neskôr bude použitý pri riešení konštrukcie. Pri nasledujúcom riešení však už nedôjde k zapnutiu grafického okna programu, ale spustí sa len samotný riešič. Posledným krokom, ktorý je nutné vykonať v rámci grafického prostredia programu SciaEngineer je vytvoriť výstupný dokument a zadefinovať v ňom požadované výsledky z riešenia v programe SciaEngineer. Ďalším krokom je vygenerovať XML kód, ktorý neskôr bude použitý pri zmene vstupných parametrov výpočtového modelu. Tento krok je možné vykonať automaticky priamo v prostredí programu SciaEngineer, alebo je možné napísať vlastný XML kód v ľubovoľnom textovom editore. Druhý prístup je oveľa náročnejší a vyžaduje si určité skúsenosti s programovaním v jazyku XML. Prvá možnosť je vodná aj pre menej skúsených programátorov. V tomto prípade stačí sa vedieť zorientovať v XML kóde a následne vedieť ho upraviť podľa vlastných požiadaviek. Ako už bolo spomenuté XML kód slúži na zmenu vstupných parametrov riešenej konštrukcie, Aby však vstupné parametere nebolo nutné v XML kóde upravovať ručne je vhodné jeho úpravu zautomatizovať využitím programu Excel a programovacieho jazyka Visual Basic for Application. Základnou podstatou je prepojiť zošit a hodnoty v jednotlivých bunkách so zadanými hodnotami vstupných parametrov v generovanom XML kóde. K tomuto účelu je vytvorený riadiaci súbor Excel, ktorý obsahuje vstupné parametre a riadiace funkcie písané v programovacom jazyku VBA. Takto vytvorený a vygenerovaný XML kód sa uloží do súboru s koncovkou xml. Celý proces je riadený pomocou funkcií napísaných v programovacom jazyku VBA, ktorý je súčasťou programu Excel. Tento súbor sa spoločne so súborom obsahujúcim geometriu využije pri spustení riešiča programu SciaEngineer. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 2. Vstupné parametre a tlačidlo na spustenie výpočtu Na spustenie riešiča sa použije príkaz v programovacom jazyku VBA „Shell()“. Súčasťou príkazu sú spúšťacie parametre pre program. V tomto prípade to bude cesta k programu Esa_XML.exe a cesty k súborom obsahujúcim geometriu a kód XML. Posledným parametrom je cesta a názov generovaného súboru obsahujúceho požadované výstupy, ktoré boli na začiatku zadefinované pomocou výstupného dokumentu. Príklad pre príkaz Shell: Shell ("C:\Program Files\Scia\Engineer2009.0\Esa_XML.exe LIN C:\sciaexcel1\hambalok.xml /tHTML /oC:\sciaexcel1\hambalokout.xls") C:\sciaexcel1\hambalokbakalarka.esa V prípade riešenej konštrukcie dreveného krovu sú výstupom vnútorné sily v požadovaných miestach na prvkoch. Tieto hodnoty sú potom ďalej presunuté do tabuľky v programe Excel pomocou funkcie napísanej v jazyku VBA. Základnou podstatou funkcie je otvoriť výstupný súbor s koncovkou xls ako samostatný hárok a presunúť hodnoty z tohto hárku na miesto v tabuľke určenej na zápis výsledných vnútorných síl. Obr. 3 Úlohy vykonávané v rámci programov SciaEngineer a Excel 3 Posúdenie prvkov dreveného krovu Súčasťou riadiaceho súboru v programe Excel je aj posudok pre jednotlivé prvky dreveného krovu. V tomto prípade je posudok vykonaný v súlade s platnými technickými normami pre návrh drevených konštrukcií EN 1995-1-1:2004/A1:2008. Ako vstupy pre posúdenie sa využívajú vypočítané vnútorné sily. V rámci riadiaceho súboru Excel v hárku, v ktorom je posudok spracovaný, je vytvorená aj tabuľka obsahujúca materiálové charakteristiky dreva. Vďaka tomu je možnosť zvoliť si pevnostnú triedu dreva a na jej základe sa potom automaticky generujú príslušné materiálové parametre. Celá databáza materiálových parametrov jednotlivých pevnostných tried je uvedená v tabuľkách v druhom zošite riadiaceho súboru Excel. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr.4 Tabuľka obsahujúca materiálové vlastnosti dreva s ohľadom na zvolenú triedu pevnosti Samotné posudky sú vykonávané pomocou zápisu príslušných funkcií v tabuľkách s odkazmi na požadované vstupné parametre. V prípade ak je dovolené napätie v prvku prekročené, je zmenené formátovanie bunky obsahujúcej daný údaj a namiesto zeleného pozadia je tam červené pozadie. Takto je ľahké identifikovať, že navrhnuté prvky nemajú dostatočnú pevnosť a zadanému zaťaženiu nevyhovujú. Obr.5 Príklad posudku dreveného prvku 4 Záver V článku je prezentovaný spôsob automatizácie výpočtu a návrhu konštrukcie jednoduchého dreveného krovu. K tomuto účelu bol využitý komerčný program využívaný pri návrhu stavebných konštrukcií SciaEngineer a najmä programovací jazyk XML, ktorý slúžil na zmenu parametrov výpočtového modelu. V spolupráci s programom Excel a programovacím jazykom VBA bolo možné vytvoriť plne automatizovanú aplikáciu, ktorá po zadaní vstupných parametrov a spustení výpočtu automaticky generuje výsledky vo forme vnútorných síl. Posledným krokom v rámci automatizácie výpočtu je využitie vnútorných síl na posúdenie jednotlivých prvkov dreveného krovu. LITERATÚRA [1] EN 1995-1-1:2004 (E) Eurocode 5 Design of timber structures Part 1-1: General – Common rules and rules for buildings Autor, A. - Autor, B.: Názov práce. Prameň. [2] Mark Flamer, Astrid Bastiaens, Advanced Structural Optimization Capabilities of Scia Engineer, AECbytes Tips and Tricks Issue #56, Jan 31, 2011 [3] Jiží Podval, Scia Engineer Optimizer Tutorial (Scia Engineer 2011), Jan 2011 Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS VPLYV SEIZMICKÉHO ZAŤAŽENIA NA NÁVRH DILATAČNEJ ŠKÁRY PRIĽAHLÝCH OBJEKTOV J. Drienovská1 a N. Jendželovský2 Abstract This paper is concerned with an interaction between two adjacent buildings with respect to the dynamic response of a structure to a seismic load. Vibration of the adjacent building can cause large damages to a structure hence it is important to avoid their interaction. Two buildings were analyzed - a high-rise building and a longitudinal building, which are founded either on a common foundation slab, or on two separate slabs with a dilatation gap between them. The seismic load was determined using the response spectra method. The effects of structure interaction on the values of horizontal displacements were investigated. Kľúčové slová seizmicita, dilatačná škára, spektrum odozvy, horizontálne premiestnenia 1 ÚVOD Analyzovali sme komplex administratívneho objektu a výškového objektu, vzájomne prepojených s dilatačnou škárou, ktoré boli koncipované za účelom poskytovania priestorov pre obchody a služby, administratívu a bývanie. Navrhovaný výškový objekt má 25 nadzemných podlaží a 3 podzemné podlažia. Pozdĺžny objekt pre administratívu má 5 nadzemných podlaží a 3 podzemné podlažia. V súvislosti s dynamickou odozvou konštrukcie je späté aj spolupôsobenie dvoch objektov delených dilatačnou škárou. Kmitanie priľahlej budovy môže spôsobiť veľké škody, preto je dôležité sa vyhnúť ich vzájomnému vplyvu. Pri návrhu šírky dilatačnej škáry je dôležité predstaviť si dynamické správanie podľa reálnej situácie, ktorá môže nastať. 2 SEIZMICKÉ ZAŤAŽENIE 2.1 Spektrálna analýza seizmický účinkov Seizmické zaťaženie sa vo svojej fyzikálnej podstate prejavuje kmitaním podložia vo všetkých smeroch, väčšinou výraznejšie v horizontálnych smeroch. Kmitanie podložia v mieste, kde sa konštrukcia nachádza, sa pri výpočte konštrukcie dá uvažovať ako zrýchlenie podložia v uvažovanom smere ag(t) v časovom intervale trvania zemetrasenia. Záznam dvojíc údajov, času a zrýchlenia sa nazýva akcelerogram [2]. Ak poznáme funkciu zrýchlení podložia v čase ag(t), potom môžeme definovať seizmickú budiacu silu na sústave s jedným stupňom voľnosti s hmotnosťou m (kg) ako zotrvačnú silu F(t) (kN) 1 Ing. Jana Drienovská, Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta STU, e-mail.: jana.drienovska@stuba.sk Prof. Ing. Norbert Jendželovský, PhD., Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta STU, e-mail.: norbert.jendzelovsky@stuba.sk 2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings F ( t) October 2015, Bratislava −m⋅ag( t) (1) Metóda seizmického výpočtu zo spektra odozvy je jedna zo základných metód výpočtu. Okrem nej je možné použiť kvázi-statickú metódu alebo zložitejšiu metódu priamej integrácie v čase. Pre sústavy s jedným stupňom voľnosti možno fyzikálne charakteristiky konštrukcie – tuhosť k a hmotnosť m previesť do parametra, ktorým je vlastná perióda T (s) m 1 2π ⋅ T k f (2) Pre nami posudzovanú konštrukciu získame frekvencie kmitania a periódy vlastných tvarov z výpočtového programu. Seizmické zrýchlenie pre stavebné konštrukcie je v norme [3] definované v tvare spektier odozvy zrýchlení vo frekvenčnej oblasti. Priebeh funkcie horizontálneho spektra odozvy zrýchlenia Se(T) na úrovni voľného poľa v závislosti od vlastnej periódy konštrukcie je definovaný pre kategórie podložia a návrhového seizmického zrýchlenia [2]. Seizmické zaťaženie objektu bolo stanovené v zmysle STN EN 1998-1 a národnej prílohy STN EN 19981/NA/Z2 [1]. Toto zaťaženie je charakterizované nasledovnými parametrami: Tab. 1 Výpočtové parametre spektra typu 1 pre horizontálny a vertikálny smer 2.2 Požiadavka dilatačnej škáry podľa noriem 2.1.1 Norma STN 73 0036 Pri seizmickom návrhu susedných priľahlých budov sa musí zabrániť ich nárazu tak, že sa navrhne väčšia dilatácia, ako je súčet ich očakávaných vodorovných výchyliek. Pri konštrukčnom zabezpečení styku oproti nárazu sa môže dilatácia redukovať na hodnotu min. 50 mm s tým, že vo výpočte sa overí vplyv ich interakcie pri zemetrasení [4]. 2.1.2 Eurokód 8 V odseku 4.4.2.7 je stanovené, že vzdialenosť medzi dvoma susediacimi objektami je potrebné deklarovať výpočtami. Dilatačné škáry musia splniť podmienky seizmických spojov: 1. pre budovy alebo konštrukčne nezávislé celky vlastníkov, ak vzdialenosť od hraničnej čiary budovy pre potenciálne narážajúce body nie je menšia ako maximálne horizontálne premiestnenie budovy na zodpovedajúcej úrovni, 2. ak vzdialenosť medzi nimi nie je menšia ako odmocnina súčtu štvorcov maximálnych horizontálnych premiestnení dvoch budov alebo celkov na zodpovedajúcej úrovni. Ak navrhované úrovne stropov budov alebo nezávislého celku sú v rovnakej výške ako úrovne stropov susednej budovy, potom vyššie uvedenú minimálnu vzdialenosť možno redukovať súčiniteľom 0,7 [3]. Dilatačná škára musí byť bez výplne, aby neumožnila kontakt dvoch konštrukcií. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 1. Model administratívneho a výškového objektu v počítačovom programe Scia Engineer 3 DYNAMICKÁ ANALÝZA 3.1 Modálna analýza Vytvorený 3D model (obr.1) vo výpočtovom programe Scia Engineer sme skúmali na účinky seizmického zaťaženia metódou spektier odozvy. Modálna analýza bola počítaná so 40 vlastnými tvarmi. Pre zhodnotenie vplyvu podložia na deformáciu konštrukcie od seizmicity sme uvažovali s konštrukciou votknutou do podložia a s konštrukciou pružne uloženou na základovej doske. Účinok seizmicity pre 1. smer (x, y, z) sme uvažovali plnou hodnotou a účinky spektier v ostatných smeroch sme redukovali na 30%. Horizontálne premiestnenia sme skúmali z triedy výsledkov od seizmickej kombinácie zaťaženia vo všetkých smeroch. 3.1.1 Model so separovanými základovými doskami na pevnom podloží Prvý variant skúmania konštrukcie je zanedbanie interakcie s podložím. Dilatačnú škáru sme uvažovali po celej výške konštrukcie a oddeľovala aj základovú dosku medzi objektami. Sledovali sme výchylky od seizmicity v úrovni 5. nadzemného podlažia. Maximálna výchylka modelov je zobrazená v tabuľke : Tuhé podložie; oddelené základové dosky Výšková časť |Δx| [mm] 19,90 Administratívna časť 16,70 2 Σ ∆x v + ∆x a 36,60 25,98 2 Tab.2. 1. model výpočtu – horizontálne premiestnenia v smere x 3.1.2 Model so separovanými základovými doskami na pružnom podloží Pri pružnom uložení sme tuhosť podložia počítali podľa Winklerovho modelu. Koeficient ložnosti k (MN/m3) pri statickom zaťažení podľa vzorca prevzatého z literatúry [4] je pomerom kontaktného napätia p (kN/m2) a sadania základovej konštrukcie s (m): p k s (3) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Koeficient ložnosti pre statický výpočet má hodnotu kz=6,45MN/m3. Modul pružnosti pre dynamické riešenie Edyn je približne desaťnásobok Estat, vzhľadom na odporúčané hodnoty podľa literatúry [1]. Pružné podložie; oddelené základové dosky Výšková časť |Δx| [mm] 23,10 Administratívna časť 18,50 2 Σ ∆x v + ∆x a 41,60 29,60 2 Tab.3. 2. model výpočtu – horizontálne premiestnenia v smere x Prvá vlastná frekvencia kmitania konštrukcie založenej na poddajnom podloží je väčšia, ako tá v prípade tuhého uloženia. Pre vnútorné sily a ohybové momenty má uváženie interakcie pozitívny vplyv. Pri posudzovaní výchylky je pružné podložie nepriaznivejšie. 3.1.3 Model so spoločnou základovou doskou na pružnom podloží V poslednom variante sme chceli overiť vzájomný vplyv oboch konštrukcií pri vzniku zemetrasenia, ak by boli založené na spoločnej základovej doske bez dilatačnej škáry. Pružné podložie; spoločná základová doska Výšková časť |Δx| [mm] 18,60 Administratívna časť 18,30 2 Σ ∆x v + ∆x a 36,90 26,09 2 Tab.4. 3. model výpočtu – horizontálne premiestnenia v smere x Ak sa založia oba objekty na spoločný základ bez prerušenia dilatačnou škárou, maximálne výchylky sú takmer zhodné. Každá budova pritom kmitá osobitne a v iným vlastných tvaroch kvôli konštrukčnému a tuhostnému rozdielu. 4 ZÁVER Výsledkom dynamického spolupôsobenia konštrukcie s podložím je seizmická odozva poddajne podopretej konštrukcie, ktorá sa líši od tej istej konštrukcie založenej na pevnom podloží. Pre určenie vodorovných výchyliek je vhodné modelovať konštrukciu na pružnom podloží, ktoré zapríčiní väčšie deformačné účinky seizmického zaťaženia. V zmysle predchádzajúcej normy STN bola minimálna šírka dilatačnej škáry stanovená 50 mm. Podľa Eurokódu 8 , minimálna vzdialenosť konštrukcií by musela byť 41,60 mm v prípade, ak by boli objekty vlatníctvom dvoch rôznych subjektov. V opačnom prípade by bola potrebná šírka dilatačnej škáry 30 mm. Ak by sme vzali do úvahy redukciu šírky súčiniteľom 0,7, bola by minimálna šírka 21 mm. Uvedené hodnoty platia pri zaťažení seizmicitou, pretvorenia konštrukcie od teplotných zmien a dotvarovania sme neuvažovali. POĎAKOVANIE Článok vznikol za pomoci Grantovej agentúry VEGA v Slovenskej republike č. 1/0544/15. LITERATÚRA [1] JENDŽELOVSKÝ, N. – Modelovanie základových konštrukcií v MKP. Bratislava: STU v Bratislave, 2009, 94 s. [2] SOKOL, M. / TVRDÁ, K.: Dynamika stavebných konštrukcií. Bratislava: STU v Bratislave, 201, 213 s. [3] STN EN 1998-1 Eurokód 8. Navrhovanie konštrukcií na seizmickú odolnosť. Časť 1: Všeobecné pravidlá, seizmické zaťaženia a pravidlá pre budovy. + NA STN 73 0036: Navrhovanie konštrukcií na seizmickú odolnosť. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS VYUŽITÍ BIODYNAMICKÝCH MODELŮ PRO MATEMATICKÝ POPIS PRŮBĚHU KONTAKTNÍCH SIL PŘI ZATÍŽENÍ LÁVEK PRO PĚŠÍ V. Šána1 Abstract The forces induced by humans are important for design of footbridges with respect to the assessment of their serviceability. Human´s periodic activities, such as walking, running, jumping or swaying, may cause unacceptable accelerations of the structure, due to resonance behaviour. This is the reason why the presented paper is dealing with the mathematical description of these forces, which are mostly described as periodic stationary loading or by triangular pulses. Therefore, alternative models based on the biodynamic properties of human body are introduced and used for mathematical description of ground reaction forces in this paper. Despite the nonlinearity of the human body, linear models are used as simplification of this problem. Klíčová slova Biodynamické modely; Dynamická analýza; Lávky pro pěší. 1 ÚVOD Dynamická analýza lávek pro pěší je nedílnou součástí posouzení provozuschopnosti lávky z hlediska chodců pokud se některé vlastní frekvence dané konstrukce nacházejí v intervalu, který je typický pro lidskou chůzi resp. běh což je 1; 3 Hz pro kmitání ve vertikálním směru a 0.5; 1.5 Hz pro kmitání horizontální příčné. Modely, které se v současné době používají pro popis zatížení vyvolaného chodci případně vandaly, jsou nejčastěji založené na deterministickém přístupu, který aproximuje tyto účinky pomocí periodické síly. Tato síla je ve výpočtech uvažována jako stacionární. Místo působení se volí s přihlédnutím k maximální pořadnici příslušného vlastního tvaru. Díky tomu, že se působiště síly v čase nemění, je možné tento model používat při výpočtech v běžných MKP softwarech, v kterých se často vytváří výpočetní model konstrukce pro statické výpočty a modální analýzu. Na druhou stranu jeho nevýhodou je právě jeho neměnné působiště. Důvodem je to, že ve skutečnosti chodec v čase mění svoji polohu, kdežto DLF model je pevně spjatý s buzením jednoho bodu a tím může dojít k tomu, že lávka bude vykazovat větší úroveň kmitání než v případě pohyblivého zatížení. Dalším modelem je přímé modelování kontaktních sil, které byly experimentálně měřeny. Tyto průběhy jsou závislé na rychlosti pohybu – se zvyšující se rychlostí se průběh přibližuje trojúhelníkovému impulzu. Tyto síly jsou znázorněny např. v [1]. Vandalismus je v normách definován jako záměrné rozkmitávání konstrukce za účelem dosažení maximální úrovně kmitání. Při tomto typu zatížení jsou velmi často překročeny limity omezující zrychlení jednotlivých částí nosné konstrukce (MSP). Pro vyjádření účinků vandalů je také možné použít přístup periodické síly případně přístupů, které přímo modelují sílu vzniklou při skákání na pevném podkladu (trojúhelníkové a sinusové pulzy). Ing. V. Šána, Katedra mechaniky, České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Thákurova 7 166 29 Praha 6 – Dejvice, tel.: (+420) 22435 4478, e-mail: vladimir.sana@fsv.cvut.cz. 1 th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava BIODYNAMICKÉ MODELY LIDSKÉHO TĚLA Lidské tělo je složitý systém, který je podpírán kostrou a poháněn a stabilizován svalstvem. Díky této složitosti vykazuje lidské tělo, z hlediska dynamických účinků, nelineární chování z čehož vyplývá, že dynamické charakteristiky popisující lidské tělo jsou závislé na úrovni vibrací. Pokud je úroveň zrychlení nízká, lidské tělo má tendenci být tužší než při vyšších zrychleních. Pro běžně se vyskytující inženýrské konstrukce, kde jsou tato zrychlení omezena pohodlím uživatelů, je možné tyto nelinearity zanedbat a uvažovat ve výpočtech pouze lineární chování. Tyto modely, viz Obr. 1, popisují pasivního stojícího chodce. V principu je možné tyto modely rozdělit na systémy s jedním stupněm volnosti (SDOF) a na systémy s více stupni volnosti (MDOF). V praxi je poměrně složité obdržet hodnoty, které popisují viskózní tlumiče a pružiny neboť tyto hodnoty jsou ovlivňovány mnoha faktory jako je např. rychlost chůze/běhu, pozice nohy při došlapu atd. Obr. 1. Biodynamické modely pasivního chodce a trajektorie lidského těla v sagitální rovině. 3 MODELOVÁNÍ CHODCŮ Jak již bylo zmíněno, biodynamické modely vyjadřují pasivního chodce, který do konstrukce vnáší dodatečné zatížení ve formě vlastní tíhy a také ovlivňuje kmitání konstrukce. Pokud chceme popsat pohybujícího se chodce, je nutné, aby tento model byl schopen danou konstrukci aktivně zatěžovat, což se nedocílí pouhým posouváním tohoto modelu po konstrukci. V [4] je například biodynamický chodec aktivován tak, že do kontaktního bodu je umístěna periodická síla, v [2] byl tento model buzen s přihlédnutím k fenomenologickým aspektům trajektorie těžiště lidského těla v sagitální rovině, viz Obr. 1. Tento časový průběh trajektorie byl následně použit jako kinematické buzení kontaktního bodu mezi biodynamickým modelem - konstrukcí a tím byla de facto tato úloha převedena na dynamické zatížení mostní konstrukce vyvolané pohybujícím se automobilem s uvažovanými nerovnostmi vozovky. Tyto nerovnosti odpovídají již zmíněné trajektorii. Proces řešení byl uvažován tak, že oba dynamické systémy člověk – konstrukce byly řešeny zvlášť. Nejprve byla vypočtena odezva modelu chodce na kinematické buzení trajektorií těžiště. Následně byly vypočteny ekvivalentní síly, kterými byla zatížená konstrukce a vypočtena odezva konstrukce. Nakonec byla trajektorie upravena o maximální vypočtené průhyby konstrukce a celý proces se iterativně opakoval. Obr. 2. Zatížení konstrukce pohyblivým biodynamickým modelem (vlevo) a pohyb viskoelastického kyvadla (vpravo). th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava V [3] byl představen model chodce založený na pohybu inverzního matematického kyvadla tzv. „Rimless wheel“ model. Inverzní matematické kyvadlo popisuje stojnou fázi krokového cyklu, při které dochází k přenosu váhy z paty na špičku. V tomto článku je tento model rozšířen o biodynamické vlastnosti lidského těla, inverzní kyvadlo obsahuje pružinu a viskózní tlumič, viz Obr. 2. Během krokového cyklu můžeme pozorovat několik fází. V první fázi dochází k prvotnímu kontaktu a následuje fáze přitěžování. Poté začíná fáze přenosu váhy, při které kontaktní síla (GRF) poklesne pod statickou tíhu chodce (záleží na rychlosti chůze). V závěrečné fázi se chodec odráží od špičky a tím dochází k opětovnému nárůstu GRF. 3.1 Odvození pohybových rovnic Při uvážení „Rimless wheel“ modelu s pružinou a viskózním tlumičem byla doba kontaktu rozdělena na dvě fáze. V první fázi se uvažuje lidské tělo jako jednoduchý SDOF oscilátor, kterému je předepsána počáteční rychlost (předpokládá se, že úhel kontaktu mezi nohou chodce a konstrukcí je 90°). Tato počáteční rychlost odpovídá vždy rychlosti ve směru osy y v čase, kdy dojde ke kontaktu nohy s podložkou/konstrukcí. Druhá fáze je poté popsána pohybem matematického kyvadla, které obsahuje lineární pružinu a viskózní tlumič. Pro sestavení pohybových rovnic popisujících pohyb hmotného bodu během druhé fáze byl využit Lagrangeův přístup, podle kterého je možné sestavit pohybové rovnice na základě znalosti kinetické ( T ) a potenciální energie ( U ). Nejprve je nutné sestavit Lagrangián L( s, s, t)  T  U a poté je možné odvodit pohybové rovnice z Lagrange-Eulerových rovnic druhého druhu jako d  L  L P  0   dt  si  si si i =1, 2, …, n (1) kde si jsou zobecněné souřadnice s jejich časovými derivacemi si a P je disipovaná energie. Sestavením těchto rovnic v Kartézských souřadnicích a provedením příslušných derivací obdržíme soustavu diferenciálních rovnic mx  k p x my  k p y x 2  y 2  Lp ,0 x y 2 2 x 2  y 2  Lp ,0 x y 2 2  cp x  cp y xx  yy 0 x2  y 2 xx  yy  mg x2  y 2 (2) kde m je hmotnost chodce, k p je tuhost lineární pružiny, c p je součinitel tlumení viskózního tlumiče, g je gravitační zrychlení, které působí proti kladnému směru osy y a Lp ,0 je počáteční délka kyvadla. 4 MODELOVÁNÍ VANDALŮ Vandalové se na lávkách mohou projevovat velmi různě. Mohou například po konstrukci přebíhat případně přecházet v rezonanci, tak aby danou konstrukci rozkmitali v příslušném vlastním tvaru, nebo se mohou pohupovat/poskakovat stacionárně v místě očekávané největší amplitudy daného vlastního tvaru. V tomto článku je představen biodynamický model poskakujícího vandala, který se skládá z hmotného bodu a lineární pružiny, viz Obr. 3. Předpokládá se, že daný model je nezávislý na kmitání konstrukce. 4.1 Odvození pohybových rovnic Fáze skoku byla rozdělena na dvě základní fáze, 1. fáze přitěžování – počáteční fáze, v které se tělo pohybuje směrem dolů a člověk se připravuje na odraz (pružina hromadí potenciální energii svým stlačováním); 2. fáze odrazu – po maximálním stlačení pružiny dojde k jejímu uvolnění a hmotný bod se pohybuje směrem vzhůru. Délka pružiny dosáhne své délky v nezatíženém stavu a dochází ke ztrátě kontaktu mezi pružinou a konstrukcí, hmotný bod stoupá až do výšky ymax . Poté nastává volný pád hmotného bodu z výšky ymax a dochází k opětovnému dopadu na konstrukci. Celý proces se pak následně opakuje. Při posouzení konstrukce z hlediska MSP nás zajímá zejména rezonanční chování, a proto je účelné ovlivňovat frekvenci skákání tohoto modelu. Nejprve je nutné stanovit délku trvání první t1 a druhé fáze t2 , což odpovídá th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava periodě skákání  jump  t1  t2 . Čas t1 určíme jednoduše řešením pohybové rovnice popisující pohyb harmonického oscilátoru t1   g   1   arcsin   0 wv0  0 0  (3)  kde 0 je vlastní kruhová frekvence oscilátoru, wv0 je počáteční rychlost udělená hmotnému bodu. Druhá fáze začíná okamžikem, kdy se člověk odráží od podložky a končí dopadem zpět na původní místo. Fyzikálně toto odpovídá svislému vrhu vzhůru. Čas t2 je tedy možné určit jako t2  2 w(t1 ) g (4) kde w(t1 ) je rychlost hm. bodu v čase odrazu t  t1 . Celková doba trvání tedy může být zapsána ve tvaru  jump (0 , wv0 )   g  2 w0  1   v cos(0  )  arcsin   0 wv0  0 0 g  (5)   Celková perioda byla tedy převedena na funkci dvou proměnných, kterými je možné tuto periodu ovlivnit. Je to vlastní kruhová frekvence SDOF modelu 0 a počáteční rychlost, která se volí na počátku první fáze wv0 . Tyto proměnné ovšem nemůžou být voleny zcela libovolně. Obr. 3. Rimless wheel model chodce (vlevo), fáze skákání – biodynamický model (vpravo). Jak je patrné, funkce f : arcsin( x) , x  je definována pouze pro interval D f  -1; 1 . Pokud toto kritérium použijeme na výraz obsahující danou funkci v rovnici (3), obdržíme po několika matematických úpravách kritérium pro volbu počáteční rychlosti w0v  g 0 (6) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 4. Hraniční podmínka pro volbu počáteční rychlosti (vlevo), závislost frekvence skoků na počáteční rychlosti a vlastní kruhové frekvenci biodynamického modelu (vpravo). Obr. 5. Porovnání průběhu měřené GRF pro normální chůzi [1] (červeně) s vypočtenou – biodynamický model (černě) a viskoelastické inverzní matematické kyvadlo (zeleně). 5 ŘEŠENÁ KONSTRUKCE Pohybová rovnice dané konstrukce je dána soustavou N diferenciálních rovnic druhého řádu Mw(t )  Cw(t )  Kw(t )  p(t ) (7) kde M je matice hmotnosti konstrukce, C je matice útlumu a K je matice tuhosti. Vektory w(t ) , w(t ) a w(t ) znamenají neznámé uzlové posuny/natočení a jejich časové derivace – rychlosti a zrychlení a p(t ) je vektor zatížení. Výhodné je tuto rovnici transformovat do modálních souřadnic pomocí rozkladu do tvarů vlastního kmitání. Pokud předem známe z modální analýzy vlastní tvary a vlastní frekvence dané konstrukce, můžeme (s využitím substituce w(t )  Φq(t ) ) přepsat pohybovou rovnici (7) na tvar q j (t )  2 j j q j (t )   2j q j (t )  jT p(t ) (8) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Tato transformace je možná pouze za předpokladu, že rovnice (7) je lineární, vlastní tvary jsou normovány vzhledem k matici hmotnosti a útlum je uvažován jako proporcionální, např. Rayleighův model. Výhodou je možnost značně omezit náročnost řešené úlohy uvažováním pouze některých vlastních tvarů, které jsou dané frekvenčním složením zatížení p(t ) . V rovnici (8) je  j součinitel kritického útlumu j-tého vlastního tvaru,  j je vlastní kruhová frekvence j-tého tvaru a  Tj je příslušný vlastní tvar. Řešená konstrukce byla uvažována jako prostý (Bernoulli-Eulerův) nosník. Parametry použité pro numerické simulace jsou uvedeny v Tab. 1. Veličina ohybová tuhost spojitá hmota dekrement útlumu rozpětí Označení EI   L Hodnota 5.1106 5.18 103 0.09 25.1 Jednotka kNm2 kg/m m Tab.1. Parametry popisující řešenou konstrukci. Obr. 6. Numerické výsledky kmitání prostředního uzlu prostého nosníku, zleva vandalismus – biodynamický model, sinusové pulzy, periodické trojúhelníky, jedna realizace náhodného provozu – biodynamický model. 6 ZÁVĚR V tomto příspěvku byly představeny modely chodců a vandalů, které jsou založeny na biodynamických vlastnostech lidského těla. Při výpočtech byly použity například pro popis běžného provozu na lávce, poskakování na místě, případně k popisu účinku osamoceného chodce přecházejícího přes konstrukci s budící frekvencí shodnou s vlastní frekvencí lávky. Jak ukazují provedené výpočty [2] a Obr. 6, tyto modely je možné použít jako alternativu k již existujícím modelům založených na deterministickém přístupu (DLF) případně na přímém modelování průběhu kontaktní síly (GRF). Nevýhodou DLF modelů je zejména jejich stacionarita, v důsledku čehož může tento model vyvozovat větší průhyby než model pohyblivý. PODĚKOVÁNÍ Tento článek vznikl za finanční podpory projektu SGS14/122/OHK1/2T/11. LITERATURA [1] [2] [3] [4] Bachmann, H. - Ammann, W.: Vibrations in Structures Induced by Man and Machine, Structural engineering documents, Zurich, International Association for Bridge and Structural Engineering, 1987. Šána, V.: Dynamic Analysis of the Structure Exposed to the Moving Periodic Force and Viscoelastic Models of the Human Body, Applied Mechanics and Materials, 2015, in print. Šána, V. - Polák, M.: Oscillation of Structure Excited by Simple Kinematic Pedestrian Model, In: NMM 2014, Prague, 2014, pp. 167-172, ISBN: 978-80-01-05570-0. Venuti, F. - Racic, V. - Corbetta, A.: Pedestrian-Structure Interaction in the Vertical Direction: Coupled Oscillator-Force Model for Vibration Serviceability Assessment, In: EURODYN 2014: the 9th international conference on structural dynamics, Porto, 2014, pp. 915-920, ISBN: 978-972-752-165-4. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS SLEDOVÁNÍ KARBONATACE BETONU METODOU NELINEÁRNÍ ULTRAZVUKOVÉ SPEKTROSKOPIE M. Matysík1, K. Timčaková-Šamárková2 Abstract The aim of this paper is to evaluate the possibility of using the nonlinear ultrasonic spectroscopy with a single exciting harmonic frequency for concrete carbonation monitoring. Carbonation of concrete is related with the corrosion of steel reinforcement and with carbonation shrinkage. Due to the conditions in the laboratory were as close as possible to practical terms, we used reinforced concrete samples. For the research, the concrete beams with one standard reinforcing bar passing through the centre of the sample were made. Prepared samples were exposed to an atmosphere with increased carbon dioxide content. The measurements using the nonlinear ultrasonic spectroscopy with a single exciting harmonic frequency were realized before and after carbonation of concrete. Klíčové slova beton; karbonatace; nelineární ultrazvuková spektroskopie; nedestruktivní testování. 1 ÚVOD Ocelí vyztužený beton může být ohrožen korozí. Koroze ocelových prvků v betonu snižuje životnost postižených konstrukcí a negativně mění jejich vlastnosti. Ocel v betonu je obvykle v pasivním stavu. Pokud se však chloridy dostanou do struktury betonu a poruší pasivující vrstvy chránící ocel, mohou způsobit korozi. Dalším důvodem koroze ocelové výztuže v betonu je karbonatace. Alkalické prostředí v betonu chrání ocel před korozí. Problém způsobuje působení atmosférického oxidu uhličitého, které má za následek snížení hodnoty pH betonu. Za těchto podmínek již ocel pasivovaná není a může korodovat (mezní hodnota vodíkového exponentu pH = 9,6). [1, 2] Tento příspěvek popisuje sledování karbonatace betonu metodou nelineární ultrazvukové spektroskopie. Nelineární ultrazvuková spektroskopie je nová nedestruktivní metoda testování založená na aktivním akustickém zkoušení materiálu. Jedná se o aktivní metodu detekce vad v materiálu ultrazvukovým vlněním, kdy je zkoumané těleso akusticky buzeno k dosažení zvýšeného napětí uvnitř hmoty tak, aby bylo možno sledovat jeho nelineární odezvu. Materiály mají zpravidla lineární chování. Případný výskyt nelinearity je způsoben změnami v materiálu, jako jsou např. trhliny a strukturální odlišnosti. [3, 4] 1 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Veveří 331/95, 602 00 matysik.m@fce.vutbr.cz 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Veveří 331/95, 602 00 samarkova.k@fce.vutbr.cz Brno, Česká republika, Brno, Česká republika, th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava V tomto příspěvku jsme se zaměřili na jednu z metod nelineární ultrazvukové spektroskopie - metodu buzení jedním harmonickým ultrazvukovým signálem. Tato metoda byla použita v experimentální části. Při měření s jedním harmonickým ultrazvukovým budícím signálem (frekvence f1) vznikají vyšší harmonické frekvence dle Fourierova rozvoje: fv = n ∙ f1. Obecně platí, že amplitudy těchto frekvenčních složek klesají s růstem přirozeného čísla n. V případě, že účinek nelinearity není zcela symetrický, mohou nastat změny sudých a lichých amplitud. Dále mohou ve frekvenčním spektru vznikat nové neharmonické složky. [5, 6] 2 EXPERIMENTÁLNÍ ČÁST Pro výzkum byly vyrobeny trámce o rozměrech 50 x 50 x 330 mm. Ty byly armovány jednou standardní ocelovou výztuží průměru 10 mm, délky 400 mm procházející středem vzorku. Pro výrobu betonu byla použita směs skládající se z 300 kg cementu CEM II/B-S 32,5, 1350 kg písku (frakce kameniva 0 - 4 mm) a 225 litrů vody. Vysoký vodní součinitel byl zvolen proto, aby se urychlila karbonatace betonu. Po 24 hodinách od vybetonování byly vzorky uloženy na 27 dní do vody. Následně byly ponechány v laboratoři až do ustálení jejich vlhkosti. Takto připravené vzorky byly vystaveny atmosféře dvacetiprocentního oxidu uhličitého při osmdesátiprocentní vlhkosti a teplotě 26 °C. Karbonatace trvala 60 dnů a hodnota pH klesla pod hodnotu 9,6 v celém objemu vzorku. Měření bylo prováděno před a po karbonataci betonu. Na základě studia metod nelineární ultrazvukové spektroskopie byla navržena a sestavena měřící aparatura pro metodu s jedním budícím ultrazvukovým signálem. Blokové schéma měřícího zařízení je uvedeno na obr. 1. Skládá se ze dvou hlavních částí, vysílací a přijímací. Vysílací část tvoří čtyři hlavní bloky:  generátor harmonického signálu s řízením úrovně Agilent 33220A,  vysokofrekvenční výkonový zesilovač s dostatečně nízkým zkreslením,  výstupní filtr typu dolní propust,  výkonový piezokeramický vysílač (budič) pro buzení ultrazvukem. Přijímací část je složena z:  piezokeramického senzoru (většinou snímač DAKEL MIDI-04),  nízkošumového předzesilovače PA15,  nízkošumového zesilovače AMP 30 s pásmovými propustmi,  paměťového osciloskopu pro záznam a analýzu dat (Handyscope HS3),  řídícího počítače, do kterého byla vyhodnocená data ukládána. snímač Generátor signálu Výkonový zesilovač budič Nízkošumový předzesilovač Testovaný objekt Výstupní filtr Zesilovač s pásmovými filtry porucha Osciloskop PC Obr. 1. Blokové schéma měřícího zařízení s jedním budícím signálem Vysokofrekvenční budící měnič musí mít dobře definovanou frekvenční charakteristiku a na jeho vhodném umístění závisí do jisté míry citlivost metody. Senzor, případně více senzorů vhodně rozmístěných po povrchu zkoušeného tělesa, musí být širokopásmový s velmi dobře definovanou přenosovou charakteristikou. [7] Vhodné rozmístění vysílače a senzorů lze navrhnout na základě modální analýzy tělesa nebo experimentálně. Předpokladem pro správnou interpretaci zaznamenávaných signálů je vysoká kvalita všech měřících přístrojů, které by měly splňovat následující kritéria: nezbytná linearita všech přístrojů (generátory, zesilovače, senzory, vysílače, …), vysoké rozlišení ve frekvenční oblasti, vysoká dynamika (90 – 130 dB), efektní filtrace th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava detekovaných signálů, frekvenční rozsah 10 kHz – 1000 kHz, optimalizace polohy senzorů a vysílačů. Jednou z nejdůležitějších součástí je vhodné programové vybavení pro řízení měřícího procesu i vyhodnocení zkoušky. Výsledkem zkoušky jsou hodnoty různě definovaných nelineárních parametrů. [8] 3 VÝSLEDKY A DISKUZE Měření jsme provedli na mnoha vzorcích. Typické naměřené hodnoty prezentujeme na frekvenčních spektrech vzorku B132 a B135. Frekvenční spektrum získané metodou nelineární ultrazvukové spektroskopie s jedním budícím ultrazvukovým signálem vzorku B132 před a po karbonataci je na obrázku 2. Frekvenční spektrum vzorku B135 před a po karbonataci uvádíme na obrázku 3. Pro měření před a po karbonataci jsme požili stejný budící výkon a frekvenci. Budič i snímač byl na betonu (obrázek 4). Na frekvenčních spektrech vzorků po karbonataci můžeme vidět pokles amplitud dominantních frekvencí (zejména lichých). U vzorků po karbonataci došlo také k nárůstu počtu a amplitud neharmonických frekvencí. Obdobné výsledky byly získány i při měření dalších trámců. Obr. 2. Frekvenční spektrum získané metodou nelineární ultrazvukové spektroskopie s jedním budícím ultrazvukovým signálem vzorku B132 před (vlevo) a po karbonataci (vpravo) Obr. 3. Frekvenční spektrum získané metodou nelineární ultrazvukové spektroskopie s jedním budícím ultrazvukovým signálem vzorku B135 před (vlevo) a po karbonataci (vpravo) Obr. 4. Podélná orientace budiče a snímače th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava ZÁVĚR Tento článek prezentuje naše výsledky monitorování karbonatace metodou nelineární ultrazvukové spektroskopie s jedním budícím ultrazvukovým signálem. Pro tuto metodu je nezbytné minimalizovat jakékoliv harmonické zkreslení signálu ve vysílací i přijímací větvi měřící aparatury. Dále je nutné zajistit dobré akustické spojení mezi budičem a vzorkem, snímačem a vzorkem. Prokázali jsme, že karbonatace betonu způsobuje nárůst nelineárních efektů ve frekvenčních spektrech. Můžeme sledovat změny amplitud, zejména třetí harmonické frekvence a nárůst počtu a amplitud neharmonických frekvencí. PODĚKOVÁNÍ Příspěvek byl vytvořen v rámci řešení projektu č. LO1408 "AdMaS UP - Pokročilé stavební materiály, konstrukce a technologie" podporovaného Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy v rámci účelové podpory programu „Národní program udržitelnosti I" a projektu GAČR 13-18870S „Hodnocení a predikce trvanlivosti povrchové vrstvy betonu“ a dále za podpory programu specifického výzkumu na Vysokém učení technickém v Brně - projekt FAST-S-15-2622. LITERATURA [1] CHOBOLA, Z.; ŠAMÁRKOVÁ, K.; ŠTEFKOVÁ, D. The Corrosion Status of Reinforced Concrete Structure Monitoring by Impact-echo method. In International Conference on Advanced Material and Manufacturing Science, ICAMMS 2012, Advanced Materials Research. Switzerland, Trans Tech Publications. 2014. p. 445 - 449. ISBN 978-3-03785-993-3, ISSN 1022-6680. [2] MATYSÍK, M.; PLŠKOVÁ, I.; CHOBOLA, Z. Estimation of Impact-echo Method for the Assessment of Long-term Frost Resistance of Ceramic Tiles. In ICEBMP 2014, Advanced Materials Research. Switzerland, Trans Tech Publications. 2014. p. 285 - 288. ISBN 978-80-87397-16-9, ISSN 1022-6680. [3] VAN DEN ABEELE, K.E.; SUTIN, A.; CARMELIET, J.; JOHNSON, P.A. Micro-damage diagnostics using nonlinear elastic wave spectroscopy (NEWS). NDT and E International, 34(4). 2001. p. 239-248. ISSN: 09638695 [4] ZAITSEV, V.; NAZAROV, V.; GUSEV, V.; CASTAGNEDE, B. Novel nonlinear-modulation acoustic technique for crack detection. NDT and E International, 39(3). 2006. p. 184-194. ISSN: 09638695 [5] MATYSÍK, M.; KOŘENSKÁ, M.; PLŠKOVÁ, I. NDT of freeze-thaw damaged concrete specimens by nonlinear acoustic spectroscopy method. In 10th International Conference of the Slovenian Society for Non-Destructive Testing: Application of Contemporary Non-Destructive Testing in Engineering. Ljubljana, Slovenian NDT. 2009. p. 317 - 323. ISBN 978-961-90610-7-7. [6] PAZDERA, L.; TOPOLÁŘ, L.; SMUTNÝ, J.; TIMČAKOVÁ, K. Nondestructive Testing of Advanced Concrete Structure during Lifetime. Advances in Materials Science and Engineering. 2015. 2015(7). p. 1 5. ISSN 1687-8434. [7] PLŠKOVÁ, I.; MATYSÍK, M.; CHOBOLA, Z. Evaluation of ceramic tiles frost resistance using Impact Echo Method. In 10th International Conference of the Slovenian Society for Non-Destructive Testing: Application of Contemporary Non-Destructive Testing in Engineering. Ljubljana, Slovenian NDT. 2009. p. 333 - 340. ISBN 978-961-90610-7-7. [8] HAVLÍKOVÁ, I.; BÍLEK, V.; TOPOLÁŘ, L.; ŠIMONOVÁ, H.; SCHMID, P.; KERŠNER, Z. Modified Cement-based Mortars: Crack Initiation and Volume Changes. Materiali in tehnologije. 2015. 49(4). p. 557 - 561. ISSN 1580-2949. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS ANALYSIS OF DYNAMIC PARAMETERS OF RAIL FASTENING BY BORN-JORDAN TRANSFORMATION J. Smutný1, L. Pazdera2 Abstract The method using Born-Jordan transformation has been developed for the evaluation of response signals obtained by rail fastening analysis. In the paper the laboratory measurements and dynamic parameters analyses of flexible fastening of Vossloh SKL14 type have been descripted. This method can also be used for designing new fastening systems and their parts, for comparison of various rail fastening types and so on. Key Words Vibration response, signal analysis, time frequency transformation, railway transport, rail fastening 1 INTRODUCTION Dynamic loading on railway line from passing trains leads to the development of defects and faults. With the introduction of high speed rail transport, there are new sets of problems. New problems occur, which were not apparent in previous years. This is also true for corridor routes in the Czech Republic that are (after modernization) being run on at speeds up to 160 km·h-1. Therefore, it is necessary to find new means of evaluating of especially the dynamic phenomena. The constant increase in demands on the load capacity of railway structures leads to greater stiffness of construction layers and subgrade. Also, concrete sleepers are almost exclusively used, because they have much higher bending stiffness and less flexibility than wooden sleepers. All these factors lead to greater loading on track bed, which changes its shape under increasing load and thereby affects the track geometry parameters. In a conventional rail line, for the reasons described above, gravel bench behind the heads of sleepers tends to crash. Open spaces between the sleeper and gravel are created, due to the high bending stiffness of concrete sleepers. When a train passes the sleepers rest on the collapsed gravel bench, which creates uneven sleeper support and enhance the dynamic effects, which accelerates the degradation of track bed. To avoid such undesirable phenomena as much as possible, considerable financial resources must be spent on new construction evolution and research, as well as on diagnostic quality of track geometry and their potential maintenance. Contemporary modern railway lines put high demands on the rail fastening systems. Among these requirements belong particularly high reliability, low maintenance, great rails resistance against longitudinal displacement and thereby the high level of safety, shock and vibration reduction and easy mounting of fastening system. Generally it can be noted that each type of rail fastening is necessary to be put under the comprehensive assessment of the appropriateness of the use, taking into account local conditions, such as line speed, curve 1 Prof. Jaroslav Smutný, Brno University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Veveri 331/95, +420 541147323, smutny.j@fce.vutbr.cz 2 Prof. Luboš Pazdera, Brno University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Veveri 331/95, +420 541147657, pazdera.l@fce.vutbr.cz 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava radius, traffic load, etc. As in other areas of technology, it is necessary to be mainly engaged in transient and random processes in the field of railway building. 2 TIME FREQUENCY TRANSFORMATION Information concerning technical or physical activities within the signal can be presented by time changes on actual values of physical quantities which the signal describes. Direct evaluation of time amplitude representation is neither easy nor suitable during some applications. That is the reason why signal transformations are carried outwards from time- areas towards some other ones. Important information about signal can be obtained, especially in the frequency domain. The Fourier’s transformation and its modifications is the most used and known method for the transformation from time towards frequency area. Fourier’s transformation, eventually its modifications and some parameter methods are especially suitable for elaboration of stationary signals. For determination of time localization of frequency components within non-stationary or transient signals there is no possibility of using classical procedures of frequency analyses but it is necessary to apply some different transformation procedures and other calculation methods. One of the possible procedures is the application of so called time-frequency transformation. Time frequency transformations can be divided according to calculating methods into two basic classes:  Linear (including especially short-tome Fourier’s transformation, transformation Wavelet etc.)  non-linear (including especially quadratic Cohen’s, affinity and hyperbolical transformations, eventually other special proceedings) The main disadvantage of all linear and time-frequency transformations is the fact that the resulting determination within the time and frequency is limited by so called Heisenberg’s principle of indefinitely. The frequency signal component can be presented only inside the rectangle tf given in time-frequency area (t represents minimal time interval – time step, f represents minimal frequency interval – frequency step). That is the reason why it is sometimes necessary to look for more precious proceedings. Among these belongs especially non-linear time–frequency transformation. Within non-linear procedures there are the most suitable especially quadratic methods from Cohen class. It includes so-called quadratic time-and frequencyinvariant transformations. A characteristic feature of non-linear transformations is the fact that their resulting differentiation in time and frequency is not limited by the Heisenberg principle of indefinity. This fact includes the high distinguishing ability in the time frequency level that gives rise to “precise” localisation of important frequency components in time. On the other hand, a characteristic feature of the most quadratic transformations is that, in the final display time-frequency spectrum are contained "false" contributions from cross components. This is due to the fact that the calculation represents a bilinear operation on the processed signal, and when it is formed there are "false" contributions from the aforementioned cross-component in the final calculation of the time-frequency spectrum display, which then deteriorate the reproducibility of view. There are several options how to significantly reduce these cross components. One of these is the calculation of a time-frequency spectrum using the Born-Jordan transformation. This transformation belongs to the class of the Cohen transformations (quadratic, time and frequency invariant) but it has got the suitable kernel function. The theory assumes that every quadratic, time and frequency invariant transformations can be expressed by the relation [1]: : CTx t , f       A  ,    ,   e x  j  t  e  j  d  d , (1)  where the symbol  represents time-shifting, f is angle frequency,  frequency shifting, (,) is the kernel function of particular time-frequency transformation and Ax  ,  represents time-frequency autocorrelation function. This function is given by the equation Ax  ,       x t  2   x  *    j t  t    e  dt .  2 (2) It is worth noting that this "narrow-band" function is complex and represents the rate of time-frequency correlation of signal, or expresses the degree of similarity between the signal and its shifted version in time-frequency plane. In essence it represents the time-frequency autocorrelation function. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Kernel function (,) at the same time unambiguously determines the features of given transformation and by this way also determines the suitability of particular transformations for the given applications. Multiplication of Ax is also known under the name characteristic function. Because function Ax  ,  represents a bilinear operation on the processed signal and calculating the contributions arising from the above-mentioned cross-components, which in turn deteriorate the resolution of the given transformation. This effect can be reduced by a suitable choice of kernel function. The kernel function then explicitly determines the properties of the transformation. In practice, the coefficients of the transformation from Cohen's class for discrete signals may be calculated by fast two-dimensional discrete Fourier transformation of the characteristic function Ax(n, k)(n, k). It should be noted that the kernel function of the Born-Jordan transformation has got the form   ,    sin     t  .    t (3) In this case kernel function (,) is a low-pass function, and according to (1) this parameterization function will reduce the interferences [2]. The spectrograms are gained by the representation of the calculated values of BornJordan transformation or of the amplitude time-frequency spectrum in the graph. These spectrograms can also be represented in the three-dimensional space (frequency, time, amplitude or the spectral output density etc.). Alternatively, a two-dimensional representation by means of density spectrograms is also used, in which an amplitude or a value of the spectral function a certain shade is added to. When analysing some complex signals, it is appropriate to supplement the time frequency representation of spectrum with possible frequency and time sections. Then, these sections offer a distinctive graphic support in the analysis of the results of the time frequency analysis [3]. 3 CASE STUDY Following is a model example of laboratory measurements and analysis of the dynamic parameters of of sample rail mounting. The test piece was built from concrete sleepers B91P on which was mounted rail construction UIC60 with elastic fastening Vossloh SKL14. Kit Brüel&Kjaer comprising of Pulse analyser, two cube acceleration sensors and an excitation hammer was used for measuring the dynamic parameters. Mechanical shock was excited with a special hammer from Brüel&Kjaer, which had force sensor, in a radial direction on the rail head. The response was measured by accelerometric sensors at two points of the structure of the rail (heel of the rail, sleeper) see Fig. 1. Fig. 1. View of the test sample and the position of sensors 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava From response signals were calculated two frequency transfer function due to standardization of excitation. These were recalculated inverse Fourier transform to the time plane. The obtained standard time signals were analysed in time, frequency and time-frequency domain. Maximum positive acceleration value of 300 ms-2 is reached after about 1 ms from the intended beginning of the graph. The maximum negative acceleration -300 ms-2 is captured 2 ms from the intended beginning of the graph. The left graph in Fig. 2 shows the amplitude spectrum of this response calculated by direct application of the Fourier transform. The graph shows some significant frequencies (1.9 kHz, 3.3 kHz, 4.3 kHz and 4,9kHz). Observe that as a significant component are considered those components which have up to 20 dB attenuation from the maximum value of the amplitude spectrum. Time-frequency amplitude spectrum calculated by application of the Born-Jordan transformation to the measured signal is shown in the middle graph of Fig. 2. As shown in this graph, the time course of prominent frequency components differs considerably. The frequency of 1.9 kHz takes the highest values and is present during nearly the entire course of measured signal, up to 32 ms after the intended beggining at attenuation of 30 dB. It reaches its maximum of approximately 135 dB at 1 ms from the intended beginning and gradually decreases. Its occurrence is significantly shorter. It occurs within the signal to the time of 15 ms at attenuation of 30 dB. Other significant components at frequencies of 4.3 kHz and 4.9 kHz have slightly different course. They occur within the signal from the excitation response and gradually run to its maximum (140 dB) at time of approximately 4 ms, and then gradually decrease to the value of 110 dB at time of 15 ms. Other components acquire lower values and appear in the signal over a shorter period. The signal captured by second sensor mounted on a concrete sleeper has a different character. The time record (see upper graph of Fig. 3) shows that the maximum positive value of the acceleration acquires lower values due to process of waves through the mounting rail, the pad under the rail and sleeper to accelerometric sensor and reaches values of around 50 ms-2 at the time of 2 ms. The amount of the maximum negative value is about 25 ms-2 (5 ms). The acceleration values are therefore considerably lower than in the sensor located at the foot of the rail (Fig. 2), which was located closer to the source of mechanical impulse. The left graph in Fig. 3 shows the amplitude spectrum of the vibration acceleration. The course of the spectrum is different from the spectrum captured by the sensor located on the foot of the rail. The spectrum includes a greater number of frequency components. Individual frequencies mostly acquire lower values. It is also seen that some important components of the spectrum were almost inhibited due to the passage of waves through the fastening knot. The most distinctive component of the spectrum is at 160 Hz and acquires value of 96 dB. Other important components of the spectrum are at 600 Hz, 1.9 kHz, 3.9 kHz and 4.1 kHz. Others acquire lower values. The middle graph of Fig 3 provides similar conclusions; the graph expresses the time-frequency representation of the coefficients of Born-Jordan transformation. From this graph it can be determined that the individual frequency components acquire lower values. It is also apparent from the graph that the time occurrence of frequencies is, except for the component values at 160 Hz and 1.9 kHz, considerably shorter than those of the signal from the sensor located at the foot of the rail. 4 CONCLUSION Analysis of signals obtained during the measurement and analysis of responses to mechanical shock provides a new detailed view of the transition and transient characteristics of railway constructions. This provides valuable insights for a thorough analysis of these structures, which may be important for subsequent optimization of the construction and operating conditions. Based on the measurement and analysis it possible to say that the methodology is very useful for analysing the dynamic parameters of rail fastening of various types. It significantly extends the capabilities of the classical methods of analysis by providing the illustration of time frequency spectrum which is particularly in transient processes very important. The methodology is applicable both for laboratory measurements and for measurements in situ. Presented Born-Jordan transformation has excellent resolution in both time and frequency domains and significantly reduces so called cross- components which deteriorate the data analysis with different quadratic time-frequency transformations. ACKNOWLEDGMENTS This paper has been supported by the research project FAST-S-15-2806, „The analysis of dynamic response of the railway line structure”. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 2. Accelerometric sensor located on the rail foot, time, frequency and time-frequency analysis by Born-Jordan transformation Fig. 3. Accelerometric sensor located on concrete sleeper, time, frequency and time-frequency analysis by Born-Jordan transformation REFERENCES [1] Baraniuk R. G., Jones D. L.: A Signal Dependent Time-Frequency representation, IEEE Trans. Signal Processing, Vol. 41, pp. 1589-1602, January, 1994. [2] Poularikas A. D.: The Transform and Applications Handbook, IEEE Press, 1996. [3] Smutný J., Pazdera L.: New Techniques in Analysis of Dynamic Parameters Rail Fastening, InSight, The Journal of The British Institute of Non-Destructive Testing. Vol 46. No 10. October. 2004. pp. 612-615. ISSN 13542575. Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS th BEHAVIOUR OF CLAY BRICK MASONRY WALLS UNDER CYCLIC COMPRESSION – INFLUENCE OF LOAD DIRECTION Iwona Galman1 Abstract The paper presents the laboratory tests results performed on twelve masonry walls made from clay-brick on cement–lime mortar. Tested elements were subjected to cyclic and monotonic compression in the direction perpendicular and parallel to bed joints. The influence of the load direction (parallel, perpendicular to bed joints) and load type (monotonic, cyclic) on the σ = σ(ε) relationship as well as basic parameters and properties of the walls was compared. The character of damage and the type of failure of the tested elements was analysed. The paper presents also the modes of failure of the analysed elements. Key Words uniaxial compression tests; brick masonry; cyclic loading; load direction 1 Wstęp Zachowanie się konstrukcji murowych poddanych obciążeniom cyklicznym bądź dynamicznym, z uwagi na występującą anizotropię muru ściśle zależy od zorientowania względem spoin wspornych kierunku oddziaływania wymuszającego. W analizach tak obciążonych konstrukcji, często składowa pozioma obciążenia dynamicznego jest bardzo istotna. Stąd konieczność poprawnego przyjmowania do obliczeń parametrów mechanicznych muru zarówno wyznaczonych dla kierunku obciążania prostopadłego, jak i równoległego do spoin wspornych. Zagadnienie to było już, w zakresie doraźnych obciążeń statycznych, omawiane np. w pracach [4, 7]. Obok kierunku obciążenia, istotnym czynnikiem decydującym o zachowaniu się i parametrach mechanicznych muru jest sposób obciążenia: doraźnie – w jednym cyklu, dynamicznie czy też statycznie cyklicznie. Abrams [1] jako pierwszy zajął się tematyką cyklicznego obciążenia konstrukcji murowych. Przedstawił wyniki badań, w których wytrzymałość muru obciążonego cyklicznie była aż o 30% mniejsza w porównaniu z murem obciążonym doraźnie w jednym cyklu. Obszerne badania murów poddanych cyklicznej sile ściskającej przeprowadzili AlSchebani, Senthivel, Narine z zespołem [2, 3, 5, 8] oraz Oliveira z zespołem [6]. Obwiednie z badań murów poddanych obciążeniom cyklicznym były zbliżone do zależności  otrzymanych podczas ściskania muru w jednym cyklu. Informacje wynikające z tych analiz są ciekawe pod względem jakościowym. Jednak z tego względu, że badania prowadzono na murach wykonanych z elementów nie używanych w Europie wschodniej wyniki nie mają u nas praktycznego zastosowania. Dlatego też, zasadnym wydało się przeanalizowanie powyższego zagadnienia opierając się na badaniach własnych murów wykonanych z najpopularniejszych komponentów: cegły pełnej na zaprawie cementowo - wapiennej. 1 PhD Eng. Silesian University of Technology, Poland; iwona.galman@polsl.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava BADANIA DOŚWIADCZALNE Program badań zakładał oprócz standardowego, zalecanego przez normę EN 1052-1:1998 [9] toku badania w kierunku prostopadłym do spoin wspornych, dodatkowo także przebadanie murów ściskanych w kierunku równoległym do tych spoin. Program badań przedstawiono zbiorczo w tablicy 1. oznaczenie serii sposób obciążenia liczba elementów badawczych w serii CV-d ściskanie do zniszczenia w jednym cyklu 3 CV-c ściskanie cykliczne 3 CH-d ściskanie do zniszczenia w jednym cyklu 3 CH-c ściskanie cykliczne 3 Tab. 1. Program badań Łącznie przebadano 12 murów wykonanych z cegły ceramicznej pełnej klasy „15” (fb = 18.7 N/mm2) i zaprawy cementowo – wapiennej (1 : 1 : 6) klasy M5 (fm = 6.8 N/mm2). Przyjęto następujący sposób oznaczania poszczególnych serii badanych fragmentów murów: normowe elementy próbne ściskane w kierunku prostopadłym do spoin wspornych, oznaczono jako CV, natomiast obciążane równolegle do spoin wspornych jako CH. Trzy elementy w każdej serii (oznaczone jako CV-d, CH-d) obciążano doraźnie, natomiast pozostałe trzy mury poddano obciążeniom cyklicznym (elementy CV-c oraz CH-c). Kształt oraz wymiary elementów badawczych poddanych obciążeniu prostopadle do spoiny wspornej pokazano na rys. 1 a, natomiast obciążanych równolegle do spoiny wspornej na rys. 1 b. a) b) Rys. 1. Kształt oraz wymiary elementów badawczych [mm]: a) mur typu CV; b) mur typu CH Badania przeprowadzono w prasie hydraulicznej o zakresie 2000 kN. Przed umieszczeniem elementów badawczych w maszynie wytrzymałościowej górną i dolną powierzchnię wyrównywano warstwą zaprawy cementowej. W celu wyeliminowania wpływu tarcia pomiędzy głowicami prasy a powierzchnią elementów próbnych zastosowano podkładkę z płyty teflonowej o grubości 10 mm. Na płaszczyznach bocznych murów osadzono ramki, do których umocowano czujniki indukcyjne o dokładności odczytu 0,0002 mm. Baza pomiarowa rejestrująca odkształcenia pionowe i poziome wynosiła 300 mm. Widok elementów badawczych przygotowanych do badań zamieszczono na rys. 2. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a) October 2015, Bratislava b) Rys. 2. Widok elementów badawczych przygotowanych do badań: a) mur typu CV; b) mur typu CH Mury serii CV-c i CH-c obciążano cyklicznie w sposób narastający w każdym kolejnym cyklu. Pierwszy poziom obciążenia wynosił 50 kN, a kolejne były zwiększane o 50 kN. W czasie każdego cyklu obciążenie utrzymywano około 3 minuty w celu ustabilizowania się stanu odkształcenia. Elementy badawcze serii CV-d i CH-d obciążano w jednym cyklu, aż do zniszczenia. Prędkość obciążania wszystkich murów była stała i wynosiła 2 kN/s. Historię obciążenia cyklicznego przedstawiono na rys. 3. Rys. 3. Historia obciążenia cyklicznego 3 REZULTATY BADAŃ 3.1 Sposób zniszczenia Zniszczenie elementów badawczych obciążonych prostopadle do spoin wspornych (seria CV) następowało w wyniku pojawienie się pionowych zarysowań dzielących mur na niezależnie pracujące kolumny oraz w wyniku pojawienia się rysy w osi muru (rys. 4a). Mury obciążone równolegle do spoin wspornych (seria CH) ulegały zniszczeniu w wyniku pojawiających się rys w spoinach wspornych (rys. 4b). Nie zaobserwowano wyraźnej różnicy pomiędzy obrazem zniszczenia elementów obciążonych doraźnie i cyklicznie. a) b) Rys. 4. Obraz zniszczenia: a) mur typu CV; b) mur typu CH 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.2 Podstawowe wyniki badań Podstawowe wyniki badań obejmujące: wartość naprężenia: rysującego σcr, niszczącego σu oraz odpowiadające im wartości odkształceń cr i u, a także wartość moduły sprężystości (wyznaczonego jako tangens konta nachylenia siecznej zależności  w przedziale od = 0 do = 0,33u) zaprezentowano w tabeli 1. Ponadto w kolumnie 6 zamieszczono korelacje naprężenia rysującego i niszczącego, a w kolumnie 8 liczbę cykli do zniszczenia. Nazwa elementu badawczego σcr [N/mm2] σu [N/mm2] εcr [x 10-3] εu [x 10-3] σcr/σu CV-d-1 6.83 13.14 1.02 2.61 CV-d-3 6.98 13.98 0.93 2.63 1 CV-d-2 CV-c-1 CV-c-2 CV-c-3 CH-d-1 CH-d-2 CH-d-3 CH-c-1 CH-c-2 CH-c-3 2 7.31 6.52 7.34 7.11 2.67 2.51 2.72 2.39 2.87 2.28 3 14.92 12.48 14.57 11.85 11.49 11.69 13.26 11.11 13.86 9.94 4 0.93 0.93 1.04 1.17 0.35 0.34 0.34 0.49 0.36 0.47 5 2.54 2.89 3.29 2.91 2.41 2.76 2.54 3.34 3.35 3.69 Tab. 2. Wyniki badań E [MPa] Liczba cykli 0.52 8182 1 0.50 7208 1 6 0.49 0.52 0.50 0.60 0.23 0.21 0.21 0.22 0.21 0.23 7 7460 8 1 7627 16 5751 15 7285 7022 7014 7544 18 1 1 1 4641 16 4824 14 7498 18 Pierwsze zarysowanie murów obciążonych prostopadle do spoin wspornych (seria CV) pojawiły się na poziomie cr = 6.52 ÷ 7.34 MPa. Znacznie niższy poziom naprężeń przy którym zaobserwowano pojawienie się pierwszych rys odnotowano w przypadku murów serii CH – cr = 2.28 ÷ 2.87 MPa. Wartość naprężenia niszczącego u niezależnie od sposobu obciążenia (cyklicznie, doraźnie) wszystkich murów mieściła się w przedziale 9.94 ÷ 14.92 MPa. Warto wspomnieć, że pomimo różnić w wartościach naprężeń rysujących i wartościach naprężeń niszczących w poszczególnych seriach stosunek cr do u był zbliżony i wynosił 0.49 ÷ 0.60 w przypadku murów serii CV i 0.21 ÷ 0.23 elementów badawczych obciążanych równolegle do spoin wspornych. Sposób obciążenia (cyklicznie, doraźnie) nie wpłynął na wartości naprężeń. Maksymalną wartość modułu sprężystości – zgodnie z oczekiwaniami – odnotowano w przypadku murów ściskanych doraźnie prostopadle do spoin wspornych (seria CV-d, 7208-8182 MPa). Zmiana sposobu obciążenia z doraźnego na cykliczny spowodowała obniżenie wartości modułu sprężystości (seria CV-c, 5751-7627 MPa). Jeszcze większy wpływ sposoby obciążenia (doraźny, cykliczny) na wartość modułu sprężystości zaobserwowano w przypadku murów ściskanych równolegle do spoin wspornych. Wartość modułu sprężystości została zredukowana z 7014-7544 MPa do 4641-7498 MPa murów obciążonych w jednym cyklu (seria CH-d) w porównaniu z murami obciążanymi cyklicznie (seria CH-c). 3.3 Obwiednie z badań Typową zależność naprężenie – odkształcenie murów serii CV i CH podczas cyklicznego obciążenia zaprezentowano na rys. 5. Proces narastającej degradacji - zgodnie z oczekiwaniami bardziej widoczny jest w przypadku murów obciążanych równolegle do spoin wspornych. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 15 October 2015, Bratislava σ [N/mm 2] 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 CH-c-2 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 CV-c-3 3 3,2 3,4 ε [x 10-3] Rys. 5. Typowa zależność naprężenie – odkształcenia z badania cyklicznego murów serii CV i CH Na podstawie badań cyklicznych określa się obwiednię graniczną zależności naprężenie – odkształcenie (–ε). Przykładową zależność  muru poddanego obciążeniu cyklicznemu z zaznaczeniem krzywej charakterystycznej przedstawiono na rys. 6. Rys. 6 Przykładowa zależność  muru poddanego obciążeniu cyklicznemu z zaznaczeniem krzywej charakterystycznej Na rys. 7 i 8 zamieszczono obwiednie z badań cyklicznych oraz zależności badań doraźnych. σ [N/mm 2] 15 14 13 12 11 CV-d-1 10 CV-d-2 9 CV-d-3 8 CV-c-1 7 CV-c-2 6 CV-c-3 5 4 3 2 1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 ε [x 10-3] Rys. 7. Obwiednie z badań cyklicznych oraz zależności naprężenie – odkształcenia murów serii CV 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 15 October 2015, Bratislava σ [N/mm 2 ] 14 13 12 11 10 9 CH-d-1 CH-d-2 CH-d-3 CH-c-1 CH-c-2 CH-c-3 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 ε [x 10-3] Rys. 8. Obwiednie z badań cyklicznych oraz zależność naprężenie – odkształcenie murów serii CH Kolorem żółtym, pomarańczowym i czerwonym oznaczono krzywe z badań doraźnych, szarościami obwiednie badań cyklicznych. Obwiednie z badań cyklicznych (z wyjątkiem CH-c-2) plasują się poniżej zależności z badań murów niszczonym w jednym cyklu. Krzywe z badań doraźnych wykazują prostoliniowość przez dłuższą część badania w porównaniu z obwiedniami z badań cyklicznych. Podczas badania murów niszczonych w jednym cyklu znaczny wzrost odkształceń (a co za tym idzie zmiana krzywizny zależności następuje dopiero w końcowej fazie badania. Cykliczne ściskanie powoduje zatem szybsze narastanie uszkodzeń. 4 PODSUMOWANIE I WNIOSKI Na podstawie przeprowadzonych badań laboratoryjnych 12 murów wykonanych z cegły ceramicznej pełnej i zaprawy cementowo – wapiennej poddanych cyklicznym obciążeniom ściskającym prostopadłym (seria CV) bądź równoległym (seria CH) do spoiny wspornej można sformułować następujące wnioski:  Zaobserwowano kruchą postać zniszczenia murów niezależnie od kierunku i sposobu obciążenia. Elementy badawcze obciążane cyklicznie ulegały zniszczeniu pomiędzy 14 a 18 cyklem.  W przypadku murów obciążonych równolegle do spoin wspornych zarysowania powstają już przy wartości naprężeń w granicach ok. 20% naprężeń niszczących, natomiast elementy ściskane prostopadle rysowały się na poziomie co najmniej 50% tych naprężeń.  Mury ściskane równolegle do spoin wspornych rysowały się na poziomie 1/3 naprężeń rysujących, wyznaczonych dla elementów obciążanych prostopadle do spoin wspornych.  Pomimo wyraźnej różnicy w wartościach naprężeń rysujących i niszczących stosunek tych dwóch wielkości uzyskano zbliżony.  Obwiednie  elementów obciążanych cyklicznie wykazują bardziej nieliniowy charakter w porównaniu z zależnościami z badań doraźnych.  Obwiednie z badań cyklicznych plasują się poniżej zależności z badań doraźnych.  Mury ściskane cyklicznie charakteryzowały się niższą wartością modułu sprężystości w porównaniu z murami niszczonymi w jednym cyklu. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings  October 2015, Bratislava Wnioski z zaprezentowanych wyników badań z uwagi na małą ilość elementów badawczych a także przetestowanie tylko jednego typu materiału należy rozpatrywać jedynie pod kontem jakościowym. Aby móc postawić uniwersalne wnioski konieczne jest wykonanie obszerniejszych badań także na innym materiale (pustaki, bloczki betonowe). REFERENCES [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Abrams D., Noland J., Atkinson R., “Response of clay unit masonry to repeated compressive forces”, Proc. of the 7th International Brick Masonry Conference, 1985, pp. 565-576. AlShebani M.: Permissible Stress Level of Brick Masonry under Compressive Cyclic Loading. Journal of Civil Engineering and Architecture, Vol. 7, 2013, pp.153-157. AlShabani M., Sinha S. N.: Stress-strain characteristics of brick masonry under uniaxial cyclic loading, Journal of Structural Engineering, June 1999. Kubica J., Drobiec Ł., Jasiński R.: Badania siecznego modułu sprężystości murów z cegły. XLV Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN PZITB. Wrocław – Krynica, 1999, s. 133-140. Naraine K., Sinha S. N.: Behavior of brick masonry under cyclic compressive loading. Proc. of the 9th International Brick/block Masonry Conference. Berlin, 1991, pp.1432-1445. Oliveira D. V., Lourenço P. B., Roca P.: Cyclic behaviour of stone and brick under uniaxial compressive loading. Materials and Structures, Vol. 39,2006, pp.247-257 Piekarczyk A., Drobiec Ł., Kubica J.: Badania murów z bloczków z betonu komórkowego ściskanych prostopadle oraz równolegle do spoin wspornych. XLVI Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN PZITB. Wrocław – Krynica, 2000, s. 251-258. Senthivel R., Sinha S., “Behavior of calcium silicate brick masonry under cyclic uni-axial compression”, Proc. of the 6th International Masonry Conference, London 2002, pp. 412-422. EN 1052-1:1998 Methods of test for masonry – Part 1: Determination of compressive strength. Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS th ON UNLOADING METHOD DURING CYCLIC COMPRESSION OF MASONRY WALLS ON THEIR MECHANICAL PARAMETERS AND STRESS–STRAIN RELATIONSHIP Iwona Galman1 Abstract The paper presents the results of laboratory experiments carried out on 12 clay brick masonry walls (four series) under cyclic compressive loading. Series differed in method of unloading during cyclic compressive loading. The walls were made with the most popular thickness used in the construction of load-bearing walls(1 brick, i.e. 250 mm) and were built using Dutch/Flemish bond of masonry units. In the paper, the procedure adapted for testing is described and the results are discussed. The failure models and cracking patterns of the tested specimens are presented. The effects of the repeated load and the method of unloading on the behaviour and mechanical properties of the walls are investigated and discussed. Based on the results the analytical formula for the failure envelope curve determination is also proposed. Key Words uniaxial compression tests; brick masonry; cyclic loading; envelope curve 1 Wstęp Konstrukcje i obiekty budowlane zwykle projektuje się i oblicza z uwzględnieniem różnego rodzaju obciążeń, które przykłada się w sposób statyczny. W wielu przypadkach, tego rodzaju obciążenia są dominującymi w projektowaniu danych obiektów. Niemniej coraz częściej zachodzi konieczność uwzględniania w obliczeniach obciążeń o charakterze niestatycznym, będących wynikiem zadziałania różnego rodzaju wpływów. Tego typu obciążenia są zatem nie tylko związane z naturalną sejsmiką, ale także mogą towarzyszyć działalności górniczej lub być wynikiem prowadzonych w sąsiedztwie budynków robót tunelowych oraz coraz intensywniejszego ruchu kołowego i szynowego – szczególnie w obszarach śródmiejskich. Stąd zagadnienie ściskania murów w sytuacjach, gdy obciążenie działa wielokrotnie, jest niezwykle istotne, ponieważ dotyczy zachowań i zmian jakie zachodzą zarówno w samym materiale, jak i konstrukcji w wyniku zadziałania obciążeń o charakterze cyklicznym, dynamicznym, sejsmicznym bądź parasejsmicznnym. Znajomość zachowania się murów pod wpływem obciążenia cyklicznego może więc pozwolić na lepsze zabezpieczenie zarówno istniejących, jak i nowoprojektowanych obiektów przed tego rodzaju obciążeniami i wpływami. Wydaje się być raczej pewnym, że rola i udział tego rodzaju obciążeń w analizie budynków i różnego rodzaju konstrukcji budowlanych w najbliższych latach będzie coraz istotniejsza. Za pioniera badań cyklicznych konstrukcji murowych należy uznać Abrams i in. [1]. Przeprowadzone badania pozwoliły im stwierdzić zmniejszenie wytrzymałości muru aż o 30% w porównaniu z wytrzymałością elementu badawczego poddanego obciążeniu doraźnemu w jednym cyklu. Stwierdzona redukcja wytrzymałości była – zdaniem autorów – związana z niesprężystymi odkształceniami zaprawy, szczególnie w zakresie naprężeń większych niż rysujące. W przeciągu następnych trzech dekad (lata 1989-2013) grupa naukowców: Sinha, Nazar, Narine, AlShebani, Chaubey) [2-8] przeprowadziła obszerne badania murów poddanych obciążeniu cyklicznemu. Badaniom poddano mury wykonane z elementów murowych specjalnie zaprojektowanych do badań (elementy drobnowymiarowe samoklinujące się podczas pracy). Badacze opisali związki pomiędzy zależnościami  badania doraźnego, obwiednią z badania cyklicznego a także krzywą punktów wspólnych. Znajomość przebiegu tych krzywych charakterystycznych jest niezbędna przy tworzeniu i opisie powierzchni plastyczności. Dlatego 1 PhD Eng. Silesian University of Technology, Poland; iwona.galman@polsl.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava też postanowiono w badaniach własnych prześledzić zachowanie się fragmentów ścian wykonanych z najpopularniejszego materiału na naszym terenie, jakim jest cegła pełna na zaprawie cementowo – wapiennej. Ponadto postanowiono sprawdzić czy sposób odciążenia przy cyklicznym ściskaniu ma wpływ na parametry wytrzymałościowe i zachowanie się muru. 2 BADANIA DOŚWIADCZALNE 2.1 Elementy badawcze Badania dotyczyły murów o wymiarze 1180  1160 mm i o grubości 250 mm – najczęściej stosowanej w Polsce przy wykonywaniu ścian nośnych (na jedną cegłę). Zastosowanie wiązania pospolitego (jednego z najczęściej stosowanych wiązań w Polsce) spowodowało powstanie w co drugiej warstwie spoiny podłużnej. Elementy badawcze wykonano z cegły ceramicznej pełnej klasy „15” (fb = 18.7 N/mm2) i zaprawy cementowo – wapiennej (1 : 1 : 6) klasy M5 (fm = 6.8 N/mm2). Kształt i wymiary gabarytowe badanych fragmentów ścian zamieszczono na rys. 1a, natomiast na rys. 1b przedstawiono widok elementu badawczego przygotowanego do testów. a) b) Rys. 1. Element badawczy a) kształt i wymiary gabarytowe; b) ustawiony w maszynie wytrzymałościowej i przygotowany do badań 2.2 Program, technika i przebieg badań Program badań murów przedstawiono zbiorczo w tablicy 1. oznaczenie serii MW-d MW-c(0) MW-c(0,33) MW-c(0,67) sposób obciążenia ściskanie do zniszczenia w jednym cyklu (wg rys. 2a) ściskanie cykliczne - pełne odciążenie (wg rys. 2b) ściskanie cykliczne - odciążenie do 1/3 wytrzymałości doraźnej (wg rys. 2c) ściskanie cykliczne - odciążenie do 2/3 wytrzymałości doraźnej (wg rys. 2d) liczba elementów badawczych w serii 1 5 3 3 Tab.1. Program badań Ze względu na przyjęty sposób obciążania, badania podzielono na cztery serie. Pierwsza seria, jako porównawcza, obejmuje mury obciążane w jednym cyklu aż do zniszczenia (seria MW-d) – czyli badane 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava doraźnie wg schematu pokazanego na rys. 2a. Pozostałe trzy serie poddano obciążeniom cyklicznym. Różnica miedzy nimi polegała na sposobie odciążania muru w każdym cyklu. W serii drugiej (seria MW-c(0)) następowało całkowite odciążenie badanego elementu próbnego (schemat obciążenia jak na rys. 2 b). W serii trzeciej (seria MW-c(0,33)) mur w poszczególnych cyklach odciążany był do 1/3 spodziewanej wytrzymałości (wg schematu jak na rys. 2 c), natomiast w serii czwartej (seria MW-c(0,67)) odciążanie prowadzono zawsze do poziomu 2/3 spodziewanej wytrzymałości – rys. 2d. W każdym kolejnym cyklu wartość maksymalnej siły obciążającej wzrastała. Pierwszy poziom obciążenia wynosił 300 kN, następne: 600, 900 i 1200 kN, a kolejne cykle – aż do zniszczenia badanego elementu – były stopniowane co 150 kN. W czasie każdego cyklu, maksymalne obciążenie utrzymywano przez ok. 2 minuty, w celu ustabilizowania się stanu odkształcenia, a następnie element odciążano. a) b) c) d) Rys. 2. Schematy obciążenia: a) – seria MW-d; b) – seria MW-c(0); c) – seria MW-c(0,33); d) – seria MW-c(0,67) Badania prowadzono w prasie hydraulicznej o zakresie do 6000 kN. W trakcie obciążania prowadzono odczyt siły z siłomierza i przemieszczeń z czujników indukcyjnych o dokładności wskazania 0,002 mm. Przemieszczenia rejestrowano na bazie 600  600 mm. Ze względu na to, że krawędzie badanego muru nie były dostatecznie równe, elementy badawcze osadzono w prasie na warstwach wyrównawczych z zaprawy cementowej, a w celu wyeliminowania niepożądanej składowej poziomej obciążenia, między elementem a dolną powierzchnią stalowej głowicy prasy umieszczono po dwie przekładki z folii, pomiędzy którymi znajdował się smar grafitowy. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Podczas badań używano automatyczną aparaturę rejestrującą zmianę sił i przemieszczeń z częstotliwością zapisu co 0,1 sekundę. 3 REZULTATY BADAŃ 3.1 Sposób zniszczenia Fragmenty ścian, niezależnie od sposobu obciążenia (doraźnie czy cyklicznie) i odciążenia (całkowicie, częściowo) niszczyły się w podobny sposób. Zniszczenie następowało na skutek pojawienia się rys prostopadłych do spoiny wspornej oraz w wyniku rozwarstwienia w płaszczyźnie spoiny podłużnej. Zarysowanie równoległe do płaszczyzny licowej muru, podzieliło badany mur na dwie niezależnie pracujące tarcze. Na rys. 3 zamieszczono przykładowe fotografie zarysowanych murów serii MW-c Rys. 3. Obraz zniszczenia wybranych elementów badawczych MW-c 3.2 Podstawowe wyniki badań Uzyskane w trakcie badań wartości naprężenia rysującego, naprężenia niszczącego, odkształcenia odpowiadającemu naprężeniu niszczącemu a także stosunek naprężenia rysującego do naprężenia niszczącego (σcr / σu) w danym badaniu oraz liczbę cykli do zniszczenia przedstawiono zbiorczo w tablicy 2. Ponadto w kolumnie 7 podano wyznaczone wartości doraźnego modułu sprężystości, a w kolumnie 9 współczynnika Poissona. Średnie wartości modułu sprężystości i współczynnika Poissona murów danej serii zamieszczono w kolumnie 8 i 10. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Element badawczy 1 MW-d MW-c(0)-1 MW-c(0)-2 MW-c(0)-3 MW-c(0)-4 MW-c(0)-5 MW-c(0,33)-1 MW-c(0,33)-2 MW-c(0,33)-3 MW-c(0,67)-1 MW-c(0,67)-2 MW-c(0,67)-3 σcr [MPa] 2 6,38 5,55 5,48 6,15 4,78 5,96 8,21 7,02 7,84 8,02 7,21 6,92 σu [MPa] 3 10,42 9,94 9,36 10,71 8,67 9,89 12,99 10,34 11,62 12,29 11,58 10,72 εu [mm/m] 4 2,35 2,50 2,65 2,40 2,45 2,70 2,31 2,11 2,26 2,34 2,71 2,43 σcr/σu liczba cykli 5 6 0,56 0,59 0,57 0,55 0,60 15 14 15 13 16 0,61 0,63 0,68 0,67 0,65 0,62 0,65 1 21 16 18 21 18 16 Tab.2. Wyniki badań October 2015, Bratislava Moduł sprężystości [MPa] Ei Emean 7 6951 7714 6813 8771 8342 8783 9263 8261 9150 8222 7012 8171 8 x 8085 8891 7802 Współczynnik Poissona xi/yi mean 0,17 x 9 0,17 0,19 0,17 0,19 0,16 0,18 0,18 0,19 0,19 0,19 0,18 10 0,18 0,18 0,19 Pierwsze zarysowania murów obciążanych cyklicznie z pełnym odciążeniem (MW-c(0)) pojawiły się przy naprężeniach rzędu 4,78 – 6,15 MPa, natomiast w przypadku obciążenia cyklicznego z częściowym odciążeniem (MW-c(0,33), MW-c(0,67)) pierwsze zarysowania zaobserwowano dla nieco wyższego poziomu naprężeń ściskających, wynoszącego 6,92 – 8,21 MPa. Podobną tendencję (niższe wartości w przypadku badania murów serii MW-c(0)) zaobserwowano przy wartościach naprężeń niszczących. Interesujący jest fakt, iż pomimo rozbieżności w wartości naprężenia rysującego cr i naprężenia niszczącego u, ich stosunek był zbliżony (od 0,55 do 0,68). Nie zaobserwowano różnić w wartościach naprężeń pomiędzy murami obciążonymi cyklicznie a doraźnie. Wartość odkształcenia odpowiadającego naprężeniu niszczącemu wszystkich elementów badawczych była zbliżony i mieściła się w przedziale: 2,11 – 2,71 mm/m. Mury z niepełnym odciążeniem (MWc(0,33), MW-c(0,67)) ulegały zniszczenie w wyniku 16 – 21 cykli podczas gdy mury odciążane całkowicie niszczyły się już przy 13 – 16 cyklach. Doraźny moduł sprężystości murów serii MW-c(0,33) był nieco wyższy (o około 10%) w porównaniu z wartością doraźnego modułu sprężystości murów z pozostałych serii. Nie odnotowano różnicy w wielkości współczynnika Poissona w zależności od sposobu obciążenia (doraźnie czy cyklicznie) i sposobu odciążenia (całkowite, częściowe). 3.3 Zależność naprężenie –odkształcenie Na rys.4 przedstawiono przykładowe wyznaczone, z uśrednienia pomiarów z czterech czujników pionowego przemieszczenia, charakterystykę  – ε, czyli pionowe naprężenie normalne – odpowiadające mu odkształcenie normalne. Aby porównać zależność  – ε badań cyklicznych z badaniami murów zniszczonymi w jednym cyklu konieczne jest wyznaczenie obwiedni z badań cyklicznych. Obwiednia powstaje poprzez połączenie punktów odpowiadającym maksymalnemu odkształceniu przy maksymalnym naprężeniu w danym cyklu. Niezbędne jest również wyznaczenie krzywej punktów wspólnych. Punkt wspólny to miejsce przecięcia krzywej obciążenie z krzywą odciążenia poprzedniego cyklu. Ponadto, aby przy porównaniu wyników z badań poszczególnych elementów wyeliminować nieznaczne różnice materiałowe i wytrzymałościowe, na rys. 5 przedstawiono znormalizowane, uśrednione w danej serii charakterystyki i / max – εi / ε(max). Linią ciągłą zaznaczono obwiednie, natomiast linią kreskowaną odpowiadające im krzywe punktów wspólnych. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a) b) c) d) October 2015, Bratislava Rys. 4. Przykładowe zależności : a) mur MW-d; b) mur MW-c(0)-1; c)mur MW-c(0,33)-1; d) mur MW-c(0,67)-1 Rys. 5. Znormalizowane zależności i / max, – εi / ε(max) modeli MW Analizując powyższe zależności można zauważyć, że przyjęty sposób realizacji obciążenia cyklicznego (różny w poszczególnych seriach) nie wpłynął w istotny sposób na kształty i przebiegi uzyskanych zależności zarówno 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava w odniesieniu do krzywych obwiedni granicznych (linie ciągłe), jak i krzywych reprezentujących punkty wspólne (linie kreskowane). Krzywe punktów wspólnych biegną równolegle względem „swoich” obwiedni i dopiero przekroczenie wartości cr powoduje zmianę krzywizny. Obserwuje się zmianę krzywizny krzywej punktów wspólnych na poziomie naprężenia rysującego (cr). Zatem po przekroczeniu naprężenia rysującego zaczyna się proces narastania odkształceń. Proces ten związany jest zarówno z pojawieniem się trwałych deformacji plastycznych, które pomimo odciążenia elementu badawczego nie zanikają, jak również z postępującym rozwojem zarysowań na skutek cyklicznego ściskania. 4 PODSUMOWANIE I WNIOSKI Przeprowadzenie badań laboratoryjnych 12 fragmentów ścian wykonanych z cegły ceramicznej pełnej i zaprawy cementowo – wapiennej poddanych cyklicznym obciążeniom ściskającym o różnym sposobie odciążenia pozwoliło na sformułowanie następujących wniosków:       Mur poddany osiowemu, ściskającemu obciążeniu cyklicznemu wykazuje podobną wytrzymałość jak mur obciążony siłą ściskającą doraźnie. Krzywa zależności  – ε uzyskana z badań cyklicznych wykazuje większą krzywoliniowość w porównaniu z zależnością  – ε z badania doraźnego; Ściskanie cykliczne powoduje szybszy przyrost odkształceń trwałych w odniesieniu do badań doraźnych. Przebieg krzywej punktów wspólnych uwarunkowany jest obwiednią z badań cyklicznych i wartością u (krzywa punktów wspólnych biegnie równolegle do obwiedni, aż do przekroczenie wartości naprężenia rysującego – gdzie zmienia swoją krzywiznę). Nie stwierdzono, aby postać zniszczenia zależała od sposobu obciążenia (cyklicznie czy doraźnie) i odciążenia (pełne odciążenia, częściowe odciążenie). Powyższe wnioski, z uwagi na niewielką liczbę badań, należy rozpatrywać jedynie pod względem jakościowym. REFERENCES [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] Abrams D., Noland J., Atkinson R., “Response of clay unit masonry to repeated compressive forces”, Proc. of the 7th International Brick Masonry Conference, 1985, pp. 565-576. AlShebani M.: Permissible Stress Level of Brick Masonry under Compressive Cyclic Loading. Journal of Civil Engineering and Architecture, Vol. 7, 2013, pp.153-157. AlShabani M., Sinha S. N.: Stress-strain characteristics of brick masonry under uniaxial cyclic loading, Journal of Structural Engineering, June 1999. Chaubey U., Sinha S.: Cyclic compressive loading response of brick masonry. Journal of Masonry International, Vol.4, No. 3, 1991, p.94-98. Narin K., Sinha S.: Loading and Unloading Stress-Strain Curves for Brick Masonry. Journal of Structural Engineering, 1989, pp. 2631-2644. Naraine K., Sinha S. N.: Behavior of brick masonry under cyclic compressive loading. Proc. of the 9th International Brick/block Masonry Conference. Berlin, 1991, pp.1432-1445. Nazar M., Sinha S.: Mathematical model for loading/unloading stress-strain curves of interlocking brick masonry.Proc. 7 th International Masonry Conference, London 2006. Senthivel R., Sinha S., “Behavior of calcium silicate brick masonry under cyclic uniaxial compression”, Proc. of the 6th International Masonry Conference, London 2002, pp. 412-422. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS FEM ANALYSIS OF UNCERTAIN SYSTEMS WITH SMALL GP-FUZZY TRIANGULAR PERTURBATIONS J. Skrzypczyk1, A. Belina2 Abstract In the paper, an GP-fuzzy triangular perturbation-oriented methodology to model structural and loading uncertainties within an GP-Fuzzy Finite Element Method (GP-FFEM) is presented. We discuss potential applications of GP-fuzzy triangular perturbation numbers theory to determine bounds of response quantities. We focus our attention on perturbation-theoretic and non-stochastic description of uncertain phenomena in FEM, and will refer to these approaches as GP-Fuzzy Perturbation Finite Element Method (GP-FPFEM). All structural and load perturbations are assumed to be fuzzy triangular values with GP-fuzzy perturbations and the structure is discretized using FEM. This yields the elements of the stiffness matrix and the components of the force vector with uncertainties to be defined as fuzzy triangular values. Key Words GP-interval, GP-fuzzy number, fuzzy triangular number, interval number, uncertain systems. 1 INTRODUCTION Theory of perturbations is a part of science of the great theoretical and practical meaning. Following papers [6, 7, 16] the new, unique algebraic system over intervals is presented. Now we try to extend calculations with use of new fuzzy perturbation numbers leading to applications which are similar to classical perturbation methods. Unfortunately, the classical interval/fuzzy analysis suffers from the so-called dependency phenomenon, [3-4, 5, 6-7, 16] which often introduces a high amount of overestimation leading to practically useless results for real sized structures. This is due to the inability of ordinary interval/fuzzy arithmetic to keep the dependency between uncertain variables. Therefore, when the operands are partially dependent on each other, not all combinations of values in the given intervals/fuzzy values will be valid and the exact uncertainties can generally be smaller than the one produced by the classical formulas. In an attempt to limit the catastrophic effects of the dependency phenomenon, the generalized fuzzy analysis and the affine arithmetic [5-7, 16] have been introduced in the literature. With the new algebraic system we get a set of very simple and useful mathematical tools which can be easy used in analytical and computational analysis of complex application problems. 1 Prof. dr hab. eng. J. Skrzypczyk, Akademicka 5, 44-100 Gliwice, Poland, telephone (+48) 32 2371814, (+48)322372189, mobile: (+48) 604540510, mail: jerzy.skrzypczyk@polsl.pl. 2 Msc eng. A. Belina, Akademicka 5, 44-100 Gliwice, Poland, telephone (+48)322371542, mobile: (+48) 667012811, mail: aleksandra.belina@polsl.pl. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava FUZZY TRIANGULAR NUMBERS ~ Usually the classical triangular (symmetric) fuzzy number A has a membership function of a triangular (symmetric) shape as on Fig.1, cf. [3-4, 8, 16]. ~ Having in mind that each fuzzy triangular number A (FTN) can be presented as an ordered couple of 3 real ~ numbers A  A , A0 , A  A0  A  A0 , 0 , A  A0 we further write ~ ~ ~ A  A , A0 , A  A0  A  A0 , 0 , A  A0  A0   sl A , 0 , sr A , (1) where ~ ~ ~ ~ ~ s A  A , A  A0  A  A0 , A  A0  A0   sl A , sr A  A0  sl A  sr A (2) ~ ~ sl A  A  A0 ,0 , sr A  0 , A  A0 . ~ Denote the left and the right spreads of A respectively as ~ ~ A0  A  sl A , A  A0  sr A . ~ ~ ~ ~ Then the whole spread of A is s( A ) = sl( A ) + sr( A ) and ~ ~ ~ sl A  A  , sr A  A  , s A  A   A   A   A  (3) ~ A  A  , A0 , A   A0  A   A0 ,0 , A   A0  A0   A  ,0 , A  . Thus the support interval is ~ s A  A , A  A0    A , A . ~ Assume that the fuzzy dispersion of A is now defined as a FTN of the form ~ ~ d A :  A ,0 ,A . Denote further the -cut of the fuzzy dispersion as ~ ~ ~ ~ ~ d A   A,0, A   d  A ,d  A , d A   A, A , (4)                                                              ~ A  A , A   A  A  A ,0 , A  A   A   A ,0 , A   ~ ~ ~  A  1    A , A   A  1   d A   A  1   sl A   1   sr A  .          0 3  0 0  0   0   0 (5) 0 GP-FUZZY TRIANGULAR -PERTURBATION NUMBERS Introduce some elementary dependent intervals ei  0 ,1 , called further extra positive unitary interval (EPUI) variables, similar to these introduced in [5-7]. In the context of the stochastic analysis of structures with uncertain-but-bounded parameters, following the philosophy of the affine arithmetic, an improved interval analysis based on the definition of the so-called extra positive unitary interval variable ei  0 ,1 cf. [5-7]. We assume further that two arbitrary EPUIs ei and ek are independent intervals for i  k, cf. [5-7, 13-14]. ~ Assume that the fuzzy spreads (dispersion) (left and right) of A are pure GP--perturbation numbers i.e.   ~   sl A  A   A0  A   ε  a0   ai ei     a0 , a1 ,a 2 ,......, a m  , mM   iM            ~ sr A  A   A   A0  ε  a0   ai ei     a0 , a1 ,a 2 ,......, a m mM  iM   In symbolic notion     ~     sl A      a0   ai ei  ,0       a0 , a1 ,a 2 ,......, a m  ,0  , mM     iM        (6)     ~   sr A  0 ,  a0   a i ei    0 ,  a0 , a1 ,a 2 ,......, a m mM iM          .      .  (7) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings   October 2015, Bratislava ~ Denote further the -cut of the fuzzy set A  A , A0 , A as ~ ~ ~ ~ A  A , A  A0  1   s A  A0  1    sl A  sr A             A0   1     a0   ai ei ,a0   a i ei  . iM iM   From eq.’s (1) and (6-7) we get ~ A  A  , A0 , A   A0    a0 ,a1 ,a 2 ,a 3 ,...., a m ,0 , a0 ,a1 ,a 2 ,......, a m . Let define a   a0 ,a1 ,a 2 ,....., a m , a   a0 ,a1 ,a 2 ,....., a m , then we can write in short ~ A  A  , A0 , A   A0    a  ,0 ,a  . In further considerations we use two equivalent definitions, the first – classical one                    ~ A  A  , A0 , A   A0  a  , A0 , A0  a   A0    a  ,0 ,a  and the second one  ~ A : a  , A0 ,a    A    a  0 r   ,0 ,a  ,             , a     a  ,0 , a    1      a  , a   1   s a~    (11)   Similarly to eq. (5), we can write a     (9) (10) called further the radial triangular form (in short “r”) of the -GPFTN. Further we define the perturbation FTN (perturbation term)      a~   a  ,0 ,a      a0   ai ei  ,0 , a0   ai ei     iM iM      and we get that ~ A  A , A0 , A  A0    a  ,0 ,a   A0  a~ . Following considerations we obtain a~   a,0, a  a  a ,a ,where sa~   a , a .  (8) (12)  (13)  (14) and having in mind eq. (13) we can write the -cuts ~ A  A0   1      a  , a  . (15) The set of GP-fuzzy triangular perturbation numbers (reals) will be denoted as -GPFTN’s (GPFTR).   3.1 Algebraic operations over GP-fuzzy triangular perturbation numbers Two FTN’s (FTR’s) are called independent if their support intervals are independent. The set of independent fuzzy triangular -perturbation numbers will be denoted as GPFTR or - GPFTN’s. ~ ~ ~ ~ Let further A  A , A0 , A , B  B  , B0 , B  denote two independent -GPFTN’s, even if A  B and ~ A  A , A0 , A  A0    a  ,0 ,a   A0  a~  a  , A0 ,a  r (16) ~ ~ B  B  , B0 , B   B0    b  ,0 ,b   B0  b  b  , B0 ,b  r . (17) Further      a~   a  ,0 ,a      a0   ai ei  ,0 , a0   ai ei   ,   iM iM      (18)        ~       ~ A  A , A0 , A  A0  a  A0      a0   ai ei  ,0 , a0   ai ei   ,   iM iM                          th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings  October 2015, Bratislava       ~ b   b  ,0 ,b      b0   bi ei  ,0 , b0   bi ei   ,   iM iM      (19)      ~ ~ B  B  , B0 , B   B0  b  B0      b0   bi ei  ,0 , b0   bi ei   .   iM iM      denote two independent -FTN’s. Remember that according to (18) we have     (20)   (21)      ~ A  A0   1      a  , a   A0   1     a0   ai ei  , a0   ai ei     iM iM     and similarly      ~ B  B0   1      b  , b   B0   1     b0   bi ei  , b0   bi ei   .   iM iM     For further considerations we use only the following notion ~ A  A0   1      a  , a  , ~ B  B0   1      b , b .     (22) (23) 3.2 Algebraic operations over GP-fuzzy triangular perturbation numbers Notice that algebraic operations for dependent -GPFTN’s are defined as follows: ~ ~ ~ ~ ( A  B ) = A  B for each [0,1], ~ ~ where  =”+,-,*,/” and even if A  B for each [0,1]. Thus for addition operation we get ~ ~ ~ ~ A  B   A  B  A0  B0   1      b  , b     a  , a         A0  B0   1      a   b , a   b or finally A~  B~   A 0      (24)      B0   1      a    b  , a    b  . (25) According to (18-19) and (25) we get ~ ~ A  B  A0  B0     a    b  ,0 ,  a    b     a     b , A  0      B0 ,  a   b   .  (26) r Similarly for subtraction ~ ~ ~ ~ ( A - B ) = A  B   A0  B0   1      a    b  , a    b  . Finally ~ ~ A  B  A0  B0     a    b  ,0 ,  a    b     a    b  , A0  B0 ,  a    b               (27)  . r (28) Notice that algebraic operations over -GPFTN’s are defined in the sense similar to algebraic operations for dependent intervals, cf. [12-14]. For multiplication we get ~~ ~ ~ A B   A B                    A0   1      a0   a i ei  , a0   ai ei    B0   1      b0   bi ei  , b0   bi ei          iM iM iM iM                   A0 B0   1    A0b0  B0 a0   A0bi  B0 ai ei , A0b0  B0 a0   A0bi  B0ai ei  iM iM   th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava or finally         ~~ A B  A0 B0     A0 b0  B0a0   A0bi  B0ai ei ,0 , A0 b0  B0a0   A0 bi  B0 ai ei  . iM iM   Denote further the special crisp -GPFTN’s numbers as: ~ 1GPFTN  := 1  0GPM ,0 ,0GPM   1,1,1 , (29) ~ 0GPFTN  := 0  0GPM ,0 ,0GPM   0 ,0 ,0  . (30) ~ The element 0GPFTN  has properties of neutral element of addition, notice that ~ ~ ~ A  0GPFTN   A , (31) since   ~ A  A  , A0 , A   A0     a0   ai ei ,0 ,a0   ai ei   0 ,0 ,0   iM iM       ~  A0     a0   ai ei ,0 ,a0   a i ei   A . iM iM   Alternatively 1GPFTN  is the neutral element of multiplication     ~ ~ A1GPFTN   A 1,1,1  A0     a0   a i ei ,0 ,a0   a i ei  1      0 ei ,0 ,  0 ei      iM iM iM    iM    ~  A0     a0   a i ei ,0 ,a0   a i ei   A , iM iM   (32) ~ for any fuzzy A  -GPFTN. Notice that all basic operations: addition, subtraction, multiplication and division are not identical with the same operations for usual fuzzy numbers. We can prove that there isn’t the inverse element   ~ X  X  , X 0 , X   X 0     x0   xi ei ,0 ,x0   xi ei  , iM iM     ~ of an usual fuzzy GP--number A  A  , A0 , A   A0     a0   ai ei ,0 ,a0   ai ei  , but for affine iM iM   operations it’s possible. To prove it notice, that we must have ~~ AX              A0     a0   ai ei ,0 ,a0   ai ei   X 0     x0   xi ei ,0 ,x0   xi ei       iM iM iM iM          A0 X 0     A0x0  X 0a0   A0xi  X 0ai ei ,0 , A0x0  X 0a0   A0 xi  X 0ai ei  . iM iM   From eq. (33) we get A0 X 0  1 ,    A0 xi A0xi    A0 x0  A0 x0  X 0 ai  0 X 0ai  0  X 0 a0 X 0a0 (33)  (34) 0 , (35) 0, (36) for all i  1,2 ,....,m , (37) for all i  1,2 ,....,m . (38) Equations (34) - (38) are satisfied if X0  1 , A0 A0  0 , (39) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava x0   X 0 a0 a    20 , A0 A0 A0  0 , (40) x0   X 0a0 a    20 , A0 A0 A0  0 , (41) xi   X 0ai a    2i , A0  0 for all i  1,2,....,m , A0 A0 (42) xi   X 0 ai a    2i , A0  0 for all i  1,2 ,....,m . A0 A0 (43) We can write further that  ~ A 1  A  , A0 , A   1   a   a  a  a  1    20   2i ei ,0 ,  20   2i ei     A0 A0 iM A0  A0 iM A0  (44)  a   a  a  a  1      20   2i ei ,0 , 20   2i ei  .   A0 A0 iM A0  A0 iM A0  It’s easy to verify that ~~ A A 1          A0     a0   ai ei ,0 ,a0   a i ei   X 0     x0   xi ei ,0 ,x0   xi ei       iM iM iM iM         a      1 a  a  a    A0     a0   ai ei ,0 ,a0   a i ei      20   2i ei ,0 ,  20   2i ei     A    A0 iM A0 iM iM    A0  0 iM A0   1  A0  A0        a  a  1    a  a  1 1 1       A0 20  a0      A0 2i  ai ei ,0 ,  A0 20  a0     A0 2i  ai  ei           A0 A0 A0 A0 A0 A0 A0 A0 iM   iM       ~  1  0 ,0 ,0   1GPFTN  . The equations (39-43) are not satisfied in the classic fuzzy theory, since it must be xi >0, for each i=1,2,…,m. So eqs. (39-43) have no solutions since all values in eq. (40-43) must be positive. In GP--fuzzy theory we can accept the solution given by eqs. (39-43). If we use the name of inverse fuzzy number we can define a division of GP--FTN, namely ~ A ~ ~ 1 (45) ~ : A B . B It follows that ~~ A B 1    b      1 b  b  b   . A0     a0   ai ei ,0 ,a0   ai ei      02   i2 ei ,0 ,  02   i2 ei    B    B0 B0 iM B0 iM iM     0 iM B0    A 1   0   2  A0 b0  B0a0   A0bi  B0 ai ei ,0 ,  A0 b0  B0a0    A0 bi  B0 ai ei  . B0 B0  iM iM  From eq. (44) we get the final formula for division A ~~ A B 1  0  B0 (46)  1    2    A0 b0  B0 a0    A0bi  B0ai ei ,0 ,  A0b0  B0a0    A0 bi  B0ai ei  . B0  iM iM                  th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Operation Formula ~ ~ A  B  A0  B0  Addition           a0  b0   ai  bi ei  ,0 , a0  b0   ai  bi ei     iM iM            ~ ~ A  B  A0  B0  Subtraction             a0  b0   ai  bi ei ,0 , a0  b0   ai  bi ei     iM iM        Multiplication   A0 b0  B0a0     ~~ A B  A0 B0            A  b  B  a e , 0 , A  b  B  a  A  b  B  a e  0 i 0 i i 0 i i 0 0 0 0  0 i iM  iM  Inversion  a  1 a  a  a   ~ A 1      20   2i ei ,0 , 20   2i ei   A  A0 A0 iM A0 iM A0 0   Division       A ~~ A B 1  0  B0    A0 b0  B0 a0    1   2           A  b  B  a e , 0 ,  A  b  B  a   A  b  B  a e  0 i 0 i i 0 i 0 i i 0 0 0 0 B0   iM  iM        Tab. 1. Algebraic operations over two GP--FTN’s 4 GP--FT FUNCTIONS Let the function f(y), yR has an expansion into the Taylor‘s series at the point x, which can be described in the form k k   f  x  f  y   f x    y  x   f x   y  x 2  .......  f x    d kf x   y  x  , x , y  R 1 . (47) 1! 2! k! k  1 dx 4.1 Definition of GP--affine fuzzy triangular functions ~ From eq. (47) follows, that its expansion f GPFTN  . on GP--FTN’s may be defined as    ~ f GPFTN   X 0     x0   xi ei ,0 ,x0   xi ei   :   iM iM     f  X 0     x0   xi ei ,0 ,x0   xi ei    f X 0      1!  iM iM   f  X 0        x0   xi ei ,0 ,x0   xi ei    ......    2!   iM iM  2    f  X 0   f  X 0   x0   xi ei ,0 ,x0   xi ei  , iM iM   x0 ,x0 ,xi ,xi  R , for each i  M . (48) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Following eq. (48) we obtain the very useful formula    ~ f GPFTN   X 0     x0   xi ei ,0 ,x0   xi ei      iM iM    (49)              f  X 0   f  X 0   x0   xi ei ,0 ,x0   xi ei  , x0 ,x0 ,xi ,xi  R , for each i  M . iM iM   Eq. (49) can be used in further considerations to easy calculations of perturbation values of functions with GP-FTN -perturbation arguments. 4.2 Examples of GP--affine fuzzy triangular functions 4.2.1 Function sinGPFTN      ~ Let A  A , A0 , A  A0  a~  A0      a0   ai ei ,0 , a0   ai ei   . Directly from the formula   iM iM      (49) we obtain       ~ ~ ~             sinGPFTN  A  sinGPFTN  A0      a0   ai ei  ,0 ,  a0   a i ei     iM iM         (50)              sin A0    cos A0   a0   ai ei ,0 ,a0   ai ei  , a0 ,a0 ,ai ,ai  R , for each i  M . iM iM      4.2.2 Function square rootGPFTN Square root function is differentiable for all nonnegative reals except the point 0, then we can use the formula (49). We get ~         ~   A   A0      a0   ai ei  ,0 , a0   ai ei           GPFTN   iM iM         GPFTN   A0            a0   ai ei  ,0 , a0   ai ei   ,      2 A0   iM iM    1 . (51) A0  0 ,a0 ,a0 ,ai ,ai  R , for each i  M . ~ ~ We define further  A   0 ,0 ,0 GPFTN  , if   GPFTN  5 A0  0 ,a0 ,a0 ,ai ,ai  R , for each i  M . EXAMPLE To illustrate calculation methods the space truss with perturbed loads and parameters as shown in fig. 1 was analyzed cf. [3-4, 13, 18]. The truss has 24 bars, 13 nodes and 6 supports. Only one concentrated force acting vertically on the node 1-st was considered, it has perturbations of FTN type with 10% left and right spreads of 2type, ~ P  0.22046 D  03    0.22046 E  02e2 ,0 ,0.22046 E  02e2 kN. ~ Truss parameters are as follows: A  0.155D  01    0.755D  03e1 ,0 ,0.755D  03e1 m2, E=300 GPa, and 5% spread FTN perturbation of type 1. for positions of the nodes, dimensions cf. [8, 3-4, 14-15] It follows that displacements, stresses, bending moments and shear forces will be FT values too. Results are presented in tabs. 1-2. Displacements are shown in many variants dependent on used perturbations. As was written the disorders can be in loads or cross-sectional.     th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava - 0.20640986 Mean value of FT perturbation  Spread radius of FT left/right 0.020640986 e2 0.0091778035  0.00091778035 e2 Node Displacement [m] 1 2-7 Tab. 1. Sample -GPFT displacements in z-direction Member 1,5,9,13, 17,21 2,6,10,14 18,22 3,4,7,8,11, 12,15,16, 19,20,23, 24 Fuzzy parameters Mid triangle centre e1 FTN pert. DL -0.97839224D-02 0.0 Force -0.46075955D+03 0.0 Stress -0.29726423D+05 0.0 e2 FTN pert. Mid triangle centre e1 FTN pert. -0.97839226D-03 -0.46075955D+02 -0.29726423D+04 0.74318903D-02 0.0 0.35111117D+03 0.0 0.22652334D+05 -0.11326167D+04 e2 FTN pert. Mid triangle centre 0.74318904D-03 0.35111117D+02 0.22652334D+04 FTN pert. -0.24987993D-02 0.0 -0.93395883D+02 0.0 -0.60255410D+04 0.30127705D+03 FTN pert. -0.24987993D-03 -0.93395883D+01 -0.60255410D+03 e1 e2 Tab. 2. Sample FTN-deformations, forces and stresses for truss members 6 CONCLUSIONS It is essential for investigations in structural engineering to take advantage of recent developments in the treatment of uncertainty. Uncertainties in structural engineering appear in many forms such as: probabilistic, interval or fuzzy. Such uncertainty types have received great attention by researchers and engineers. Additional research is needed in modeling the fuzzy types of uncertainty, and merging them with earlier types to obtain generalized models and measures. Structural and reliability analyses need to consider different types of uncertainties. Analysis methods can be categorized as deterministic analysis for cases without uncertainty, random analysis for cases with non-deterministic types of uncertainty, perturbation analysis for cases with small uncertainties, and perturbation-fuzzy analysis for cases with both uncertainty types. In present paper the new type methodology based on genetic type fuzzy numbers is introduced. Most of known numerical algorithms can be simply adapted for the new fuzzy genetic algebraic system without any serious difficulties. REFERENCES [1] Alefeld, G. - Herzberger, J.: Introduction to Interval Computations. Academic Press, New York, 1983. [2] Bauch, H. - Jahn, K.U. – Oelschlagel, D. - Susse, H. - Wiebigke, V.: Interval-mathematik. BSG B.G. Teubner Verlagsgeselschaft, Berlin, 1987. [3] Belina, A.: FEM For Civil Engineering Structures With Intervally Perturbed Parameters And Load. XIV Konferencja Doktorantów Wydziałów Budownictwa, Szczyrk 8-9 maja 2014, Gliwice, 2014. [4] Belina, A.: Fuzzy Triangular Variability Factor Method In Analysis Of Truss Structures With Fuzzy Parameters. Proc. of 13th International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 15-16, 2015, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, Bratislava, 2015, this issue. [5] Gao W.: Interval natural frequency and mode shape analysis for truss structures with interval parameters. Finite Elements in Analysis and Design 42 (2006), 471 – 477. [6] Kolev, L.V.: New Formulae for Multiplication of Intervals. Reliable Computing 12 (2006), 281–292. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [7] Kolev, L.V.: Optimal Multiplication of G-intervals. Reliable Computing 13 (2007), 399–408. [8] Levy, R.: Analysis Of Geometrically Nonlinear Structures. Chapman & Hall, New York 1995. [9] Moore, R.E.: Interval Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1966. [10] Muscolino G. - Sofi A. - Zingales M., One-Dimensional Heterogeneous Solids With Uncertain Elastic Modulus In Presence Of Long-Range Interactions: Interval Versus Stochastic Analysis. Computers and Structures 122 (2013), 217–229. [11] Neumaier, A.: Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge University Press, Port Chester, New York, Melbourne, Sydney, 1990. [12] Skrzypczyk, J.: Perturbation Methods For Systems With Interval Parameters. Proc. of International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 20-21, 2005, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia. [13] Skrzypczyk, J.: Perturbation Methods I, Algebraic Methodology, Applications in Mechanics and Acoustics. Publ. Silesian Technical University, Gliwice 2010, in polish. [14] Skrzypczyk, J.: New Computational Methodology for Calculations with Interval Numbers. Proc. of 11th International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 3-4, 2013, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, Bratislava, 213-216, 2013. [15] Skrzypczyk, J.: FEM Analysis Of Uncertain Systems With Small Fuzzy Perturbations. Proc. of 12th International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 1617, 2014, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, Bratislava, 2014. [16] Skrzypczyk, J.: GP-Interval Perturbation Methods – Algebra And Functions: New Algebraic Methodology. Proc. of 13th International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 15-16, 2015, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, Bratislava, 2015, this issue. [17] Skrzypczyk, J. – Belina, A.: FEM Analysis of Uncertain Systems with Small Interval Perturbations. Proc. of 11th International Conference NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, October 3-4, 2013, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, Bratislava, 2013, 217-220. [18] Skrzypczyk J. - Winkler–Skalna A.: Sound Wave Propagation Problems New Perturbation Methodology. Archives of Acoustic 2006; 31(N.4) Suplement: 115–122.   ~  x; A 1.0 ~ A  x A- A0 A+ Fig. 1. Membership function of fuzzy triangular number [4, 15] Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS VPLYV ZEMETRASENIA NA VALCOVÉ NÁDRŽE Norbert Jendželovský1 a Ľubomír Baláž 2 Abstract This paper deals with a problem of earthquake of the cylindrical tank. During the seismic event, the load acts in one direction only, i.e. in the direction of earthquake. This load imposes a non-symmetrical loading of a structure. At seismic load of structure of cylindrical tank was used accelerogram. In final part of the paper some crucial results are presented both in a graphical and numerical way. Kľúčové slová valcová nádrž; seizmické zaťaženie; metóda konečných prvkov; vnútorné sily; deformácie; zemetrasenie 1 ÚVOD Valcové nádrže sa využívajú skoro vo všetkých odvetviach národného hospodárstva. Ide o zásobníky rôznych druhov tekutín. Pri súčasnej technológii výstavby má približne 70% všetkých nádrží a zásobníkov kruhový pôdorys. Zo statického hľadiska sú tieto valcové nádrže výhodné, lebo obvodové steny sú vo vodorovnom smere namáhané len ťahom alebo tlakom, pričom v pravouhlých nádržiach je namáhanie kombinované. Valcové nádrže sú výhodné aj vzhľadom na spotrebu materiálu, pretože v porovnaní s inými tvarmi, pri rovnakom obsahu náplne, majú menšiu dĺžku stien a tým aj menší objem obvodových stien. Ako zásobárne vody (vodojemy) sa využívajú monolitické železobetónové nádrže hlavne pre malé a stredne veľké obsahy od 50 až do 1000 m3 kvapaliny a bežne sa robia s priemerom 3 až 15 m. Výška hladiny kvapaliny býva 2,5 až 6,0 m. Na čistenie kanalizačnej vody sa používajú zväčša nádrže pôdorysne väčšieho priemeru s menšou výškou. V oblasti bioplynového hospodárstva sú to nádrže s objemom od 300 až do 10500 m3, ktoré sú charakteristické nafúknutou membránou, pod ktorou sa zbiera bioplyn. Ich objem závisí od toho v ktorej časti výrobného procesu sú umiestnené. Môžu byť použité ako uskladňovacie nádrže, miešacie nádrže, plniace zásobníky alebo ako fermentory. V tomto článku sa chceme zamerať na dynamický (seizmický) výpočet železobetónových nádrží používaných vo vodnom a bioplynovom hospodárstve. 2 SEIZMICKÉ ZAŤAŽENIE VALCOVÝCH NÁDRŽÍ V stavebnej praxi je veľa systémov výpočtu valcových nádrží. Okrem namáhania nádrží hydrostatickým tlakom je potrebné počítať konštrukciu zaťaženú aj hydrodynamickými zaťažením. Konštrukciu od dynamického zaťaženie môžeme počítať tromi spôsobmi: kvázistatickým riešením, metódou spektier odozvy, alebo priamou integráciou v čase [6,7]. V článku sa venujeme výpočtu konštrukcie práve touto poslednou možnosťou. 1 Prof. Ing. Norbert Jendželovský, PhD. Stavebná fakulta STU Bratislava, e-mail.: norbert.jendzelovsky@stuba.sk 2 Ing. Ľubomír Baláž. Stavebná fakulta STU Bratislava, e-mail.: lubomir.balaz@stuba.sk th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Zaťaženie konštrukcie v tomto prípade je zaťaženie zrýchlením v jednotlivých časových okamžikoch. Na obr.1 je uvedený záznam zemetrasenia. Akcelerogram 3,00E-01 2,00E-01 a/g 1,00E-01 0,00E+00 -1,00E-01 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 -2,00E-01 -3,00E-01 -4,00E-01 t (msec) Obr. 1. Priebeh zrýchlení počas 15 sekúnd 2.1 Model nádrže s rozdelenou hmotou Konštrukciu valcovej nádrže modelujeme cez škrupinové prvky MKP. Na vytvorenie konštrukcie valcovej nádrže sme použili škrupinový prvok. Ide o štvoruzlový, trojrozmerný plošný prvok, ktorý umožňuje v každom uzle definovať 3 posuny a 3 pootočenia [1,3,4]. Pri konkrétnej úlohe bol použitý softvér Ansys. Z jeho knižnice ide o prvok typu SHELL63. Prvok je vďaka svojim dobrým ohybovým a membránovým vlastnostiam vhodný predovšetkým na modelovanie škrupinových konštrukcií. Hmotu náplne valcovej nádrže rozdelíme do uzlov konštrukcie. Rozdelenie impulzívnej hmoty je do jednotlivých bodov plášťa valcovej nádrže. Konvektívna hmota mk je pripojená pomocou pružinového konečného prvku s tuhosťou Kn k stenám nádrže podľa obr.2. Na modelovanie jednotlivých hmôt bol použitý prvok Ansysu - MASS21 [2,5]. Obr. 2. Model valcovej nádrže s rozdelenými hmotami th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 3 October 2015, Bratislava PRAKTICKÝ PRÍKLAD NÁDRŽE Ako podklad pre výpočtový model bola použitá reálna valcová nádrž s vnútorným priemerom 8,23m, s hrúbkou steny 400 mm a hrúbkou dna 400 mm. Výška nádrže je 6,0m a jej objem je 320 m3. Výpočtový model konštrukcie bol urobený pomocou MKP vo výpočtovom prostredí Ansys (obr.3). Pri seizmickom zaťažení konštrukcie bol použitý akcelerogram uvedený na obr. 1, ktorý pôsobil v smere osi x. Obr. 3. Model valcovej nádrže pomocou MKP Pri tomto riešení bola železobetónová nadrž modelovaná škrupinovými prvkami obr.3. Hmota náplne bola rozdelená do jednotlivých singulárnych hmôt a rozdelená na plášť nádrže. Výslednú konvektívnu hmotu mk sme umiestnili v zmysle obr. 2. Pri riešení konštrukcie bol sledovaný bod (č.b. 12845) na hornom okraji nádrže s najväčšou x-ovou súradnicou a súradnica y=0. Na obr. 4 uvádzame vodorovný posun sledovaného bodu v čase trvania zemetrasenia. Najväčšia kladná výchylka je v čase t = 6,28 sec má hodnotu ux = 0,1654 mm. Najväčšia záporná výchylka je v čase t = 2,83sec a má hodnotu ux = -0,1651mm. Pre čas 6,28sec. je na obr.5 aj graf posunov ux na celej konštrukcii. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Obr. 4. Záznam pohybu ux, bodu 12845 v čase Obr. 5. Deformácia konštrukcie v čase t = 6,28sec. October 2015, Bratislava th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Pre takto zdeformovanú konštrukciu uvádzame aj niektoré získané napätia. Napríklad napätia σy čo sú obvodové ťahy. Obr. 6. Obvodové ťahy - σy (kPa) Obr. 7. Zvislé napätia σz (kPa) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava ZÁVER Vidíme že od dynamického riešenia dochádza k deformácii, ktorá nie je rotačne symetrická. Prie staticko riešení valcovej nádrže máme výsledky osovo symetrické, či už deformácie alebo napätie. Pri sčítaní účinkov statického a dynamického riešenia dochádza k narušenie rotačne symetrických grafov statického riešenie. POĎAKOVANIE Tento príspevok vznikol za finančnej podpory grantovej agentúry MŠ SR, ako projekt VEGA 01/0544/15. Prepojenie vedeckého výskumu a stavebnej praxe umožnila spoločnosť Bioplyn Budča spol. s.r.o. Elektrárenská 1 Bratislava 831 04. Zodpovedný: Ing. Viliam Bendel, Šípová 3/A , Bratislava, t.č. +421903900654, e-mail : bendel@europea.sk LITERATÚRA [1] K. Kotrasova, I. Grajciar, Analysis of hydrodynamic pressures in water filled rectangular container considering slightness γ = 1 exposed to the earthquake, in: Civil and environmental engineering, vol. 5, no. 2 (2009), pp. 079-087. ISSN 1336-5835. (in Slovak) [2] M. Mrozek, A. Nevaril, Z. Cada, M. Bratka, Contemporary approaches to seismic analysis of tank with fluid, in: Engineering mechanics, National conference with international participation, May 11-14, 2009, Svratka, Czech Rep., pp. 186-187. ISBN 978-80-86246-35-2. [3] K. Kotrasova Sloshing of Liquid in Rectangular Tank. in: Advanced Materials Research: SPACE 2013: 2nd International Conference on Structural and Physical Aspects of Civil Engineering: High Tatras, Slovakia, 27-29 November 2013. No. 969 (2014), p. 320-323. ISBN 978-303835147-4 - ISSN 1662-8985. [4] E. Juhasova, J. Bencat, V. Kristofovic, S. Kolcun, Expected seismic response of steel water tank, 12th European Conference on Earthquake Engineering, London 2002. [5] K. Kotrasova, I. Grajciar Dynamic Analysis of Liquid Storage Cylindrical Tanks Due to Earthquake. in: Advanced Materials Research: SPACE 2013: 2nd International Conference on Structural and Physical Aspects of Civil Engineering: High Tatras, Slovakia, 27-29 November 2013. No. 969 (2014), p. 119-124. ISBN 978303835147-4 - ISSN 1662-8985. [6] STN EN 1998 – 1, Design of structures for earthquake resistance – Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings. Bratislava, SUTN, 2005. (in Slovak) [7] STN EN 1998 – 4, Design of structures for earthquake resistance – Part 4: Silos, tanks and pipelines. Bratislava, SUTN, 2010. (in Slovak) th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NUMERICAL INVESTIGATION OF SINGLY CORRUGATED COLD-FORMED PANELS R. Cybulski1 and R. Walentyński2 and M. Cybulska3 Abstract The proper use of numerical stability analyses in FEM systems for cold-formed elements is very important. This paper investigates different numerical analyses for cold-formed panels including possible geometrical imperfections. It shows how to add geometrical imperfections to numerical model and discusses advantages and disadvantages of such procedures. Key Words cold-formed panel; Stabilization Method; Riks Method, geometrical imperfections. 1 INTRODUCTION The singly corrugated cold-formed panels are obtained from first stage of prefabrication process in ABM (Automatic Building Machine) technology. It is a mobile factory used to fabricate and construct arch steel buildings based on self-supporting panels made of MIC 120 profile. This technology comes from the USA and belongs to M.I.C. Industries Inc. Such technology was commonly used by US army to built temporary buildings and nowadays those structures become popular solution in civilian life. The singly corrugated cold-formed panels in ABM technology are used as gable walls at the ends of the steel halls. More information about ABM system can be found in [2], [3], [8] and [9]. 2 NUMERICAL ANALYSES In Fig. 1 the boundary conditions and location of applied load is presented. U=0 stands for restrained displacement and all rotations are free. Plates and clamps are modeled as “rigid body” elements. Singly corrugated panel is modeled from “shell” elements with 26913 “quad-dominated” mesh elements of type S4R (a 4 node doubly curved shell with reduced integration, has six degrees of freedom at each node- three translations and three rotations). Thickness of flanges and web is equal to 1 mm. Flat lip directed towards inside is 1,13 mm thick and flat lips directed towards outside is 1,2 mm thick. Three different main types of analyses and their combinations (conducted in ABAQUS FEM system) are used in order to investigate the post-buckling behavior of a straight panel: • “Linear perturbation/ Buckle” [1]: it is based on eigenvalue problem; • “Riks Method” [7]: it is based on arc length iteration method; • “Automatic Stabilization Method” [5]: it is based both on the Newton-Raphson iteration method and on the artificial mass proportional damping. 1 Dr. R. Cybulski, SUT Gliwice, Poland, 0048-32-2372994, robert.cybulski@polsl.pl. Prof. R. Walentyński, SUT Gliwice, Poland, 0048-32- 2372118, ryszard.walentynski@polsl.pl. 3 BSc. MSc. M. Cybulska, SUT Gliwice, Poland, 0048-32-2372994, mc@meraeng.com. 2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava According to producers panels were fabricated from the steel sheet of grade S320GD+ZA. Fig. 1. Supports and load conditions for a singly corrugated panel 2.1 Linear buckling together with Riks analysis Fig. 2 presents conducted steps during the numerical analysis. Firstly, linear bucklinganalysis is conducted in order to obtain critical buckling load at the bifurcation point (which lies somewhere on the equilibrium path). Such critical load is connected to the first eigenmode (deformation mode) and to the first eigenvalue λ. Unit concentrated load placed at the gravity centre of gross cross-section is applied. So the value of critical buckling load is equal to unit load times first λ (result in Newton “N”). That is why critical buckling load Pcr,B = 17,74 kN. In this case first eigenmode corresponds to the situation where web deforms to a single half-wave towards inside of the cross-section. In the next step, obtained deformation field is exported to the Riks analysis based on arc length iteration method. Because for this nonlinear analysis concentrated load is applied at the effective gravity centre of the effective cross-section, which means that location of the concentrated load moved up. The deformation field scale factor is equal to 0,55 and it is with the minus sign (value is negative). So now the single half-wave is directed toward outside of cross-section- similar to the deformation obtained from preliminary laboratory tests. Such move helps to destroy straight element much faster than in case where deformation field would be taken straight from the linear buckling analysis. The value “0,55” stands for the UY displacement which is obtained from the classic nonlinear static analysis, where value of Pcr,B was applied at the effective gravity centre. In such case where thickness of the wall is equal 1 mm, value of the imperfection is less important (as long as it is less than 1) and does not influence the final results. The sign of the imperfection value (positive or negative) is more important due to maximum failure load. From Riks analysis at the fy compression stress level (355,9 MPa) the ultimate load PU is equal to 61,12 kN. This value is similar to the value of ultimate load based on Eurocode 3 calculations which is equal to 58,5 kN- please refer to [4]. The straight element collapse is observed at the compression stress level 369,9 MPa and this corresponds to failure force Pcr,M = 63,77 MPa. The load displacement path obtained from the Riks analysis is presented in Fig. 3. Shortening of the straight element is presented on horizontal axis as the absolutely value of displacement UZ in mm. So axial displacement means that the displacement UZ is measured at the point of effective gravity centre. Vertical axis presents the values of concentrated load (in kN) applied at the point of effective gravity centre. From Fig. 2 it is observed that pre-buckling behavior is till Pcr,B and post-buckling between Pcr,B and Pcr,M. It can be stated the singly corrugated cold formed elements (with smooth walls) have the post-buckling strength and do not collapse at the bifurcation point. In such case a secondary load path at a bifurcation point is considered as an ascendant branch of the load path. This is true according to Eurocode 3 where cross-section Class 4 for thin-walled elements is defined. A value of ultimate load based on Eurocode 3 calculation is also similar to the value obtained from this numerical analysis. From the combined numerical analysis (linear buckling and Riks analysis) it can be concluded that singly corrugated cold formed elements can be classified as cross-section of the Class 4 [6]. It also proves that Eurocode 3 provides very good procedure for effective area calculation for thin-walled (cold-formed) elements under axial compression load. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 2. Combined analysis in ABAQUS: linear buckling and Riks Method Fig. 3. Load-displacement path (linear buckling together with Riks Method) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 2.2 Linear buckling together with Stabilization analysis Fig. 4 presents the analysis methodology where two types of analyses (linear buckling and Automatic stabilization) are combined together. Analysis methodology is similar to the one presented in Section 2.1. Firstly, linear buckling analysis is conducted in order to obtain critical buckling load at the bifurcation point. Unit concentrated load placed at the gravity centre of gross cross-section is applied. So the critical buckling load is equal to Pcr,B = 17,74 kN. In the next step, obtained deformation fields is exported to Stabilization analysis. The deformation field scale factor is equal to ”-0,55”. From Stabilization analysis at the fy compression stress level (355,9 MPa) the ultimate load PU is equal to 61,69 kN. This value is similar to the value of ultimate load based on Eurocode 3 calculations which is equal to 58,5 kN. The straight element collapse is observed at the compression stress level 383,2 MPa and this corresponds to failure force Pcr,M = 65,0 MPa. Such results are obtained for the case where damping factor c is equal to 0,0002. The load displacement path obtained from Stabilization analysis is presented in Fig. 5. Shortening of the straight element is presented on horizontal axis (in mm). Vertical axis presents the values of concentrated load (in kN) applied at the point of effective gravity centre. Conclusions concerning Automatic Stabilization Method are the same as these for Riks Method. Fig. 4. Combined analysis in ABAQUS: linear buckling and Stabilization Method 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 5. Load-displacement path (linear buckling together with Stabilization Method) 2.3 Comparison of numerical methods It has been observed that obtained results from Riks analyses and Stabilization analyses are the same. Combined Riks Method analysis was done for the case where estimated total arc length is equal to 1 and arc length increments are as follows: initial 0,001, minimum 1*10-15, maximum 0,1. For the same arc length increments, different values of arc lengths (0,5 and 2) were also investigated. Obtained load-displacement paths are presented in Fig. 6. It is observed that a change of total arc length does not influence the results. It was observed that for smaller value of arc length, Riks analysis needs smaller increments to reach PU than for bigger value of the arc length. Changing the value of total arc length does not influence the final results because such value only has influence on initial increment (0,01; 0,1; 1,0) was also investigated. Obtained ultimate loads for above cases were very similar (without significant differences in results). Load- displacement path for smallest value of maximum arc length increment is the smoothest one. Bigger values result in slightly ragged paths. So far, it can be concluded that the combined analysis using Linear buckling and Riks Method is not too sensitive to the change of analysis iteration parameters. Fig. 6. Load paths for different total arc lengths Combined Stabilization Method analysis was done for the case where damping factor c is equal to 0,0002 and increments sizes are as follows: initial 0,001, minimum 1*10-15, maximum 0,01. For the same increments sizes, different values of c (7*10-6 and 9 *10-5) were also investigated. Obtained load-displacement paths are presented in Fig. 7. This can lead to the following conclusions: bigger value of c results in higher value of failure load; • c does not influence much the panel’s axial stiffness; 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings • • October 2015, Bratislava there is no relation between the c value and the shape of curvature peak zone (further research is needed to investigate it); c equal to 9*10-5 gives the load path shape similar to the one obtained from Riks Method (see Fig. 8). Fig. 7. Load paths for different c Fig. 8. Riks and Stabilization Methods 3 CONCLUSIONS It was observed that for singly corrugated panels linear stability analysis ends up with local buckling mode due to the bifurcation point. A value of critical compression force at this point lies on the elastic part of equilibrium path. Such behavior of singly corrugated panel corresponds to the Class 4 cross-section described in [6]. Obtained values of ultimate loads from Riks and Automatic Stabilization analyses compression tests were similar to the one obtained from Eurocode calculations [4]. It has been observed that obtained results from Riks analyses and Stabilization analyses are the same. Both analyses are not very sensitive to the change of input data. REFERENCES [1] Cook, R. - Malkus, D. - Plesha, M. - Witt, R.: Concepts and applications of finite element analysis. John Wiley & Sons, Inc, 4 edition, 2002. [2] Cybulski, R.: Analysis of local stability of doubly corrugated thin-walled structures. PhD Thesis. Civil engineering Department, Silesian University of Technology, 2015. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [3] Cybulski, R.: Numerical model of doubly corrugated thin-walled elements based on 3D optical scanning. Proceedings of 11th International Conference on New Trends of Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, 3-4.10, 2013. [4] Cybulski, R. - Walentyński, R. - Cybulska, M.: Local buckling of cold-formed elements used in arched building with geometrical imperfections. Journal of Constructional Steel Research. 05/2014 (96). [5] DS Simulia: Abaqus Analysis User’s Manual, Volume II: Analysis, 7.1.1 Solving Nonlinear Problems, 2011. [6] Eurocode 3- Part 1-1. Design of steel structures- Part 1-1: General rules and rules for buildings, EN 19931-1, 2007. [7] Memon, B. - Su, X.: Arc-length technique for nonlinear finite element analysis. Journal of Zhejiang University SCIENCE, 5(5):618–628, 2004. [8] Walentyński, R. - Cybulski, R.: Modern investigation of techniques for doubly corrugated cold formed structural elements. Proceedings of 10th International Conference on New Trends of Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, 3-5.10, 2012. [9] Walentyński, R. - Cybulski, R. - Kozieł, K.: Achilles’ heel of the ABM 120 double corrugated profiles. Proceedings of 9th International Conference on New Trends of Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, 20-21.10, 2011. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NUMERICAL INVESTIGATION OF DOUBLY CORRUGATED COLD-FORMED PANELS R. Cybulski1 and R. Walentyński2 and M. Cybulska3 Abstract The proper use of numerical stability analyses in FEM systems for cold-formed elements is very important. This paper investigates different numerical analyses for cold-formed panels including transverse geometrical imperfections due to prefabrication process. It discusses advantages and disadvantages of different FEM procedures. Key Words cold-formed panel; Stabilization Method; Riks Method, geometrical imperfections; prefabrication process. 1 INTRODUCTION The doubly corrugated cold-formed panels are obtained from second stage of prefabrication process in ABM (Automatic Building Machine) technology. It is a mobile factory used to fabricate and construct arch steel buildings based on self-supporting panels made of MIC 120 profile. This technology comes from the USA and belongs to M.I.C. Industries Inc. Such technology was commonly used by US army to built temporary buildings and nowadays those structures become popular solution in civilian life. The doubly corrugated cold-formed panels in ABM technology are used as self-supporting load-carrying elements of the arch steel halls. More information about ABM system can be found in [2], [3], [8] and [9]. 2 NUMERICAL ANALYSES These sections investigate curved panels (doubly corrugated) cut out from arch elements with different radiuses. The supports and load conditions are presented in Fig. 1. U = 0 stands for restrained displacement and all rotations are free. Plates and clamps from test setup are modeled as “rigid body” elements. A straight panel is modeled from “shell” elements with 80000 “quad-dominated” mesh elements of type S4R (a 4 node doubly curved shell with reduced integration, has six degrees of freedom at each node- three translations and three rotations). Thickness of flanges and web is equal to 1 mm. Flat lip directed towards inside is 1.13 mm thick and flat lips directed towards outside is 1.2 mm thick. As in the case of the straight panel (singly corrugated), three different types of analyses (conducted in ABAQUS FEM system) are used in order to investigate the local buckling behavior of a curved panel: • “Linear perturbation/ Buckle” [1]: it is based on eigenvalue problem; • “Riks Method” [7]: it is based on arc length iteration method; 1 Dr. R. Cybulski, SUT Gliwice, Poland, 0048-32-2372994, robert.cybulski@polsl.pl. Prof. R. Walentyński, SUT Gliwice, Poland, 0048-32- 2372118, ryszard.walentynski@polsl.pl. 3 BSc. MSc. M. Cybulska, SUT Gliwice, Poland, 0048-32-2372994, mc@meraeng.com. 2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava “Automatic Stabilization Method” [5]: it is based both on the Newton-Raphson iteration method and on the artificial mass proportional damping. According to producers panels were fabricated from the steel sheet of grade S320GD+ZA. • Fig. 1. Supports and load conditions for doubly corrugated panel In this case, combined numerical methods are neglected due to the fact that geometrical imperfections are already on panel’s surface and there is no need to add extra ones. Each of the mentioned above analyses were performed for panels samples cut out from arches with the following radiuses: 5 m, 7.5 m and 10 m. Models geometries were obtained from 3D optical scanning. For Linear Buckling analysis, concentrated load equal to 1 N was applied at the cross-section gravity. The first eigenmode obtained from this analysis is presented in Fig.2. First eigenvalue is equal to 1.27 * 104 and corresponds to critical buckling load Pcr;B = 127 kN. This value is much larger than the post-critical load carrying capacity equal to 80.1 kN- based on Eurocode 3 calculations, please refer to [4]. It means that transverse geometrical imperfections have significant influence on the cold-formed buckling behavior. This is a reason why this analysis is neglected for further investigation. Deformation and failure for doubly corrugated panel was obtained in the form of the squeeze of corrugations (accordion behavior) and it is presented in Fig, 3. The only way to achieve satisfactory results is to use nonlinear types of analyses e.g. Riks Method or Automatic Stabilization Method. Fig. 2. First eigenmode Fig. 3. Accordion behavior 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 2.1 Riks analysis In order to run Riks analysis, the concentrated load equal to 30 kN was applied at the equivalent gravity centre of corrugated panel cross-section. Those analyses were done for the case where estimated total arc length is equal to 1 and arc length increments are following: initial 0.001, minimum 1*10-15, maximum 0.1. The position of the equivalent gravity centre was found by searching the location in which obtained failure load is the greatest one. Such assumption was necessary due to the low axial stiffness of surface with corrugations. In Fig. 4 load paths for different arch radiuses are presented. From that it is observed that failure load has the smallest value for samples cut out from the arch of radius 5 m, middle value for sample from the arch of radius 7.5 m and the highest value for panel cut out from the arch of radius 10 m. The reason for that is as follows: for the biggest arch radius the corrugations are the smallest, so the failure load has the highest value; for the smallest arch radius the corrugations are the biggest, so the failure load has the lowest value. This phenomenon is caused by the prefabrication process of the curved panels. Fig. 4. Load paths acc. to Riks Method 2.2 Stabilization analysis In order to run Riks analysis, the concentrated load equal to 50 kN was applied at the equivalent gravity centre of corrugated panel cross-section. Stabilization Method analysis was done for the case where damping factor c is equal to 7 *10-6 and increments sizes are as follows: initial 0.001, minimum 1*10-15, maximum 0.01. In Fig. 5 load paths for different arch radiuses are presented. Fig. 5. Load paths acc. to Stabilization Method 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava As for Riks Method, the failure load has the smallest value for samples cut out from the arch of radius 5 m, middle value for sample from the arch of radius 7.5 m and the highest value for panel cut out from the arch of radius 10 m. 2.3 Comparison of numerical methods Let us now consider a model cut out from the arch of radius 10 m. Due to corrugations it is inconvenient to search for ultimate load at the fy compression stress level because such value can be found locally only between two corrugations (see Fig. 6). A value of the load which causes this stress is equal to 27.3 kN. Based on this it can be stated that panel’s capacity is much underestimated. For a straight panel, almost all corners’ area was covered by compression stress 355.9 MPa in longitudinal direction. So another approach for ultimate load is proposed for corrugated panels based on Fig. 7. In this figure, curvature peak represents the corrugated panel failure under axial compression load. The load carrying capacity PU is determined by drawing a line parallel to the straight portion of the curve and at the distance from this equivalent to the prescribed percentage contraction equal to 0.01 %. The point at which this line intersects the curve gives the desired proof ultimate load. According to that, the ultimate elastic strength is a stress level, at which the measuring length of specimen suffers permanent reduction equal to 0.01 % of the initial measuring length. In our case there is no clear elastic and plastic part of the load (stress) path. So such method is applied in order to find proof ultimate load. Fig. 6. Locally placed compression stress Fig. 7. Load-displacement path for corrugated panel of radius 10 m In Fig. 8 compression stresses at the level of assumed ultimate load PU are presented. The distance prescribed by 0.01 % of the initial measuring length seems to be reasonable because greater part of panel’s corners (blue color) is in compression with the value of normal stresses around 355.9 MPa. The Riks analysis was done for the case where estimated total arc length is equal to 1 and arc length increments are following: initial 0.001, minimum 1*10-15, maximum 0.1. Like for straight panel, change of the total arc length value does not influence the final results. The change of the value of the maximum arc length increment (0.01, 0.1, 1.0) also does not significantly influence the load- displacement paths (see Fig. 9). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 8. Compression stress at the corner of panel's cross-section Fig. 9. Riks Method: load-displacement path The Automatic Stabilization analysis was done for the case where damping factor c is equal to 7*10-6 and increments sizes are as follows: initial 0.001, minimum 1*10-15, maximum 0.01. For the same increments sizes, different values of c (0.0, 9 *10-5 and 0.0002) have been investigated, too. Obtained load-displacement paths are presented in Fig. 10 and the following things can be concluded: • the panel is vulnerable to change of parameter c; • bigger value of c results in higher stiffness of the panel; • there is no relation between the c value and the shape of the curvature peak zone; • very small value of c must be chosen (close to c = 0) in order to get the load path shape similar to the one obtained from Riks Method (see Fig. 11). Fig. 10. Stabilization Method: load-displacement path 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 11. Stabilization and Riks Methods: comparisson 3 CONCLUSIONS It is observed that the deformation of corrugated panels has local character but it is different from straight panels where deformation occurred as regular plate buckling mode. In this case corrugations squeezed each other so the ultimate load (and the failure load) shows that loss of stability reached by the plastic deformation of steel. So in this case we cannot talk about the secondary path at a critical point which corresponds to an ascendant or descendent branch of load path because there is no such phenomenon. It is caused by linear buckling analysis overestimating the critical load and the only way to obtain reasonable solution for corrugated panels is to use nonlinear analyses. The values of ultimate loads are much smaller than the value of ultimate load based on Eurocode 3-please refer to [4]. So far it can be concluded that corrugated panel’s cross-section cannot be classified as Class 4 cross-section due to the different buckling phenomenon. In order to verify obtained results, laboratory compression tests on curved samples must be conducted. REFERENCES [1] Cook, R. - Malkus, D. - Plesha, M. - Witt, R.: Concepts and applications of finite element analysis. John Wiley & Sons, Inc, 4 edition, 2002. [2] Cybulski, R.: Analysis of local stability of doubly corrugated thin-walled structures. PhD Thesis. Civil engineering Department, Silesian University of Technology, 2015. [3] Cybulski, R.: Numerical model of doubly corrugated thin-walled elements based on 3D optical scanning. Proceedings of 11th International Conference on New Trends of Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, 3-4.10, 2013. [4] Cybulski, R. - Walentyński, R. - Cybulska, M.: Local buckling of cold-formed elements used in arched building with geometrical imperfections. Journal of Constructional Steel Research. 05/2014 (96). [5] DS Simulia: Abaqus Analysis User’s Manual, Volume II: Analysis, 7.1.1 Solving Nonlinear Problems, 2011. [6] Eurocode 3- Part 1-1. Design of steel structures- Part 1-1: General rules and rules for buildings, EN 19931-1, 2007. [7] Memon, B. - Su, X.: Arc-length technique for nonlinear finite element analysis. Journal of Zhejiang University SCIENCE, 5(5):618–628, 2004. [8] Walentyński, R. - Cybulski, R.: Modern investigation of techniques for doubly corrugated cold formed structural elements. Proceedings of 10th International Conference on New Trends of Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, 3-5.10, 2012. [9] Walentyński, R. - Cybulski, R. - Kozieł, K.: Achilles’ heel of the ABM 120 double corrugated profiles. Proceedings of 9th International Conference on New Trends of Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, 20-21.10, 2011. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS DLHODOBÉ PRETVORENIA VYSTUŽENÝCH, SPEVNENÝCH, LINEÁRNYCH BETÓNOVÝCH PRVKOV Martin Križma1 a Ľubomír Bolha2 Abstract We are amplifying elements we looked at the conference "New Trends in 2014". We focused on analyzing the characteristics of resistance and serviceability limit states for the damaged and subsequently reinforced elements for short-term load. The introduction amplifying elements implemented these procedures - topping of the coupling plates, respectively. combination of plates and the application of glass-fiber fabric (GFRP). The problem was at augmenting the type of contact (reinforced / unreinforced) - impairment element / the coupling plate and its effect on reliability and serviceability of the type of infringement. When unreinforced contact we applied some type of surface treatment amplifying element. Currently we are dealing with the influence of the time factor and repeated loading on reinforced elements. The results correspond to reinforced contact. The values are compared with short-term results reinforced beams and also with long-term results beams designed to gain. Kľúčové slová linear concrete elements; non-strengthened and strengthened beams; strengthening by coupling slab; short-term and long-term loading; influence of time factors on selected deformation quantities and resistance of beams 1 ÚVOD Dnes je aplikácia dominantných stavebných materiálov s vyššími pracovnými charakteristikami bežnou praxou. V dôsledku toho navrhujeme estetické a ekonomicky príťažlivé štíhle konštrukcie. V mnohých prípadoch z hľadiska prevádzky nemusí rozhodovať únosnosť konštrukcie, ale medzný stav používateľnosti. Pri vodorovných nosných konštrukciách je následne dôležitá kontrola deformácií. Ide o deformácie okamžité, ale aj tie, ktoré sú funkciou veľkosti dlhodobo pôsobiaceho zaťaženia v čase. V deväťdesiatych rokoch ostatného storočia pracovná skupina organizácie CEB (Comité Euro-International du Betón) TG 2/4 „Models for limit states of serviceability“ konštatovala nedostatok experimentálnych výsledkov pretvorení dlhodobo zaťažených lineárnych prvkov s členitým priečnym rezom. Organizácie autorov, ktorí sú uvedení v príspevku, reagovali na toto konštatovanie realizáciou projektov agentúry VEGA – 2/4086/1997 a 2/7034/2000. V rámci týchto projektov sme odskúšali sériu nosníkov I - prierezu pri stupňovite rastúcom krátkodobom zaťažení do porušenia (nosníky s označením B-STL) a tiež pri dlhodobo pôsobiacom zaťažení (B(i)-LTL). Dlhodobo pôsobiace zaťaženie sa realizovalo pri hladinách zaťaženia γ = (35, 50, 65) %. Celkové výsledky , vrátane vstupných veličín sú uvedené napr. v [1], [3]. V príspevku uvedieme výsledky pre γ = 50 % (nosníky B(i)-LTL). 1 Ing. Martin Križma, PhD., Ústav stavebníctva a architektúry SAV v Bratislave, tel. 02 59309 228, e-mail. martin.krizma@savba.sk 2 Doc. Ing. Ľubomír Bolha, CSc., Stavebná fakulta STU, Radlinského 11, 813 68 Bratislava, tel. 02 59274 387, e-mail. lubomir.bolha@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Témou zosilňovania lineárnych betónových prvkov sa na ÚSTARCH-u SAV v Bratislave zaoberáme od roku 2008. Ide o teoreticko – experimentálny program v spolupráci so Stavebnou fakultou Žilinskej univerzity v Žiline . Členený je na dve etapy – krátkodobé zaťažovanie – projekt VEGA 2/0143/12 a dlhodobé a cyklické zaťažovanie – projekt VEGA 2/0033/2015. Výsledky pre prvú etapu sú uvedené napr. v [4], [5], [6], [7] (ide o nosníky nespevnené – ST(i)-STL-n, spevnené ST(i)-STL-s, kde i=1,2). Pre dlhodobé a cyklické zaťažovanie sme z hľadiska kontinuity na ostatné experimenty zvolili hladinu zaťaženia γ = 50 % (ST(i)-LTL-s. Program bol zameraný hlavne na poškodené prefabrikované prvky, ktoré sa aplikujú napr. v mostnom staviteľstve (miera poškodenia γ = 75 %). Prefabrikácia úzko súvisí s technológiou spriahovania ako účinná metóda spájania hlavne tyčových prefabrikátov s monoliticky zhotovenou doskou. Analogická technológia sa výrazne využíva pri sanácii poškodených konštrukcií. Nadbetónovaná doska v spojení so sanovanými prefabrikátmi a spriahovacími prvkami výrazne plní aj efekt zosilnenia. Problematika sanácie a použitia spevňovacích prvkov sa rozširuje aj o druh kontaktu - poškodený prvok/spriahovacia doska. V príspevku sa zameriame na problematiku interakcie poškodených železobetónových nosníkov so zosilňujúcimi prvkami pri krátkodobom a dlhodobom zaťažovaní. Pri experimentoch sme použili dva prístupy. Pri spevňovaní sme realizovali vystužený kontakt „poškodený nosník/spriahovacia doska“ a nevystužený kontakt. Pri druhom prístupe sa aplikovala technologická (najmä geometrická) úprava povrchu poškodeného nosníka podľa [9]. Dlhodobé výsledky experimentov boli publikované iba pre nespevnené nosníky [1], [3]. Výsledky pre spevnené nosníky pri dlhodobom zaťažení sú v súčasnosti v tlači. 2 EXPERIMENTÁLNY PROGRAM Geometrické a vystužovacie charakteristiky nespevnených a spevnených nosníkov typu ST so spriahovacími prvkami sú znázornené na obr. 1. Obr. 1 Geometrické a vystužovacie charakteristiky nespevnených a spevnených nosníkov Niektoré materiálové charakteristiky skúšaných nosníkov v čase cca (28-35) dní sú uvedené v tab. 1. Použitá výstuž bola definovaná týmito priemernými pracovnými charakteristikami: medza sklzu fst = 577 MPa, medza pevnosti fsu = 724 MPa, modul pružnost v ťahu Es = 200 GPa, ide o výstuž s periodickým povrchom. Pri krátkodobých aj dlhodobých skúškach pôsobila zaťažovacia sila F v strede nosníka, ktorého teoretické rozpätie bolo lt = 3,6 m. Pri krátkodobo zaťažených nosníkoch bol realizovaný stupňovite rastúci mäkký zaťažovací režim. Pri dlhodobo zaťažených nosníkoch boli aplikované zaťažovacie valce s aretovacími objímkami pre zabezpečenie veľkosti dlhodobého zaťaženia. Pri skúškach sme zaznamenávali pretvorenia základní násobnej priehradovej sústavy [1], [3] , priamo merané priehyby a charakteristiky procesu rozvoja trhlín. Násobná priehradová sústava je zrejmá aj z obr. 2. Zaťažovacia sústava pre aplikáciu dlhodobého zaťaženia je na obr. 3. Pri charakteristikách používateľnosti (hlavne pri priehyboch) majú relevantný vplyv na výsledné hodnoty tieto údaje – spriahovacia doska zvyšuje hodnotu tvarového súčiniteľa  a súčasne sa mení pomer  = l/h (l – rozpätie, h – výška). Pre nespevnené nosníky sú potom  = 7.5,  = 1.875, pre spevnené nosníky  = 6,2, 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Označenie nosníkov Nosník October 2015, Bratislava Spevňovacia doska fct,f (MPa) 6,313 Ec (GPa) 38,42 fcc (MPa) - fct,f (MPa) - Ec (GPa) - Fmax (kN) ST-STL-n fcc (MPa) 59,96 ST1-LTL-s 59.87 5.98 39.26 61.22 6.00 41.13 680 ST2-LTL-s 62.47 6.72 39.73 61.44 6.83 40.00 670 B1-LTL-n 54.34 5.22 35.40 - - - 497 B2-LTL-n 61.89 4.43 38.36 - - -0 506 502 Tab. 1. Priemerné hodnoty: kocková pevnosť fcc, pevnosť v ťahu za ohybu fct,f, modul pružnosti v tlaku Ec , maximálna experimentálna sila Fmax.  = 2,173. Zmene odpovedá aj zmena pomeru  = a(sh)/a(tot), kde a(sh) je priehyb od účinku priečnych síl, a(tot) je celkový priehyb. Pri hladine zaťaženia  = 0,5 je pre nespevnené nosníky  = 0,24, pre spevnené  = 0,43. V oboch prípadoch celkové priehyby a(tot) aj separované priehyby a(sh) a a(fl) (účinok ohybu) boli stanovené na základe pretvorení priehradovej sústavy podľa Williot – Mohrových translokačných obrazcov v numerickej forme. Realizácia skúšok nie je jednoduchá. Skúšky sa skladajú z troch častí – skúšky nespevnených nosníkov do hladiny zaťaženia γ = 0,75, spevnenie nadbetónovanou doskou a následne realizácia dlhodobého zaťaženia. Záverečná etapa predstavuje porušenie nosníka a stanovenie „dlhodobej odolnosti“ a charakteristík rozvoja trhlín. 2.1 Relevantné výsledky pre krátkodobé skúšky Kompletné výsledné hodnoty pre odolnosť a medzné stavy používateľnosti nespevnených a spevnených (aj vystužených) nosníkov sú uvedené napr. v [4]. V práci je zohľadnený aj typ kontaktu – vystužený, nevystužený s technologickou úpravou geometrie povrchu kontaktnej škáry. Zameriavame sa na vystužené spevnené nosníky typu ST. Spôsob porušenia nespevnených a vystužovaním spevnených nosníkov pomocou spriahovacej dosky je na obr. 2. a) b) Obr. 2. Spôsob porušenia – a) nespevnený nosník, b) spevnený nosník 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Pri nespevnených nosníkoch dochádza k porušeniu horného pásu v tlaku pri ohybe. Pri spevnených vystužených nosníkoch dochádza k porušeniu steny v strede diagonálneho ťahu. Hodnoty Fmax odpovedajúce odolnosti sú uvedené v tab. 1. Relevantné rozdiely priehybov medzi oboma typmi nosníkov sú uvedené na obr. 3. Na obr. 3a sú uvedené vzťahy pre nespevnený a spevnený nosník ST1. Rozdiely pri zaťažovacej sile F = 250 kN (γ = 0,5 pre nespevnené nosníky) sú nasledovné – „nespevnený/spevnený“ nosník – pre a(sh) – 2,38/2,032 = 1,17, pre a(tot) =10,02/5,02 = 2,00. Na obr. 3b je porovnanie priehybov pre nosníky ST pre experimentálne aj teoretické pozadie. Uvedené sú hodnoty odpovedajúce experimentom, ďalej vzťahy odpovedajúce predpisu [9] a náhradné numerické vzťahy podľa [2]. Grafická interpretácia upozorňuje na konzervatívnosť normy [9] a na relevantnú zhodu programov [2] s experimentom. Súčasne sa potvrdzuje dobrá zhoda experimentálnych výsledkov pre oba skúšobné nosníky. a) b) Obr. 3 Krátkodobé priehyby pre obe skupiny nosníkov – a) rozdiely pre nespevnený a spevnený nosník ST1, b) porovnanie experimentálnych, normatívnych a numerických vzťahov pre nosníky ST1 a ST2 2.2 Relevantné výsledky pre dlhodobé skúšky Súčasná zaťažovacia sústava je znázornená na obr. 4. Zostavy odpovedajúce krátkodobému zaťažovaniu sú uvedené v prácach [1], [3], [4]. Obr. 4 Zaťažovacia sústava pre dvojicu skúšobných nosníkov ST(i) Popis experimentov pre nespevnené aj spevnené nosníky je uvedený v úvode príspevku. Zamerali sme sa na oba nosníky série B(i)-LTL. Vzhľadom na rozsah výsledkov, grafická interpretácia bude zameraná na nosník B(2)- 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava LTL. Pri spevnených nosníkoch na ST(1)-LTL. Vplyv časového faktora na celkový priehyb a(tot) a oba separované priehyby pre nosník B(2)-LTL je znázornený na obr. 5a. Na obr. 6b je uvedený analogický vzťah pre spevnený nosník ST1-LTL. Priebeh priehybov potvrdzuje uvedené pomery a(sh)/a(tot) pre obe skupiny. Pre náhradu experimentálnych výsledkov v čase sme zvolili funkciu odpovedajúceho koeficienta dotvarovania v tvare: )= ·. , (1) Ide o analógiu s normou STN 73 1201 [10]. Vo vzťahu (1) sú ai a bi parametre funkcie, pričom tr odpovedá retardačnému času, to odpovedá času realizácie dlhodobého zaťaženia. Pri priehyboch je index i = sh, fl, tot. Funkcia popisuje vývoj celého reologického priehybu s uvážením dotvarovania a zmrašťovania. Funkcia je použiteľná všeobecne, týka sa to hlavne krivostí a tiež skosení pre oba povrchy. Na základe experimentálnych pretvorení vieme zdokumentovať desiatky sledovaných veličín, ktoré sú ovplyvnené časovým faktorom. Na základe vlastných dlhodobých skúseností v mnohých prípadoch však používame aj funkciu definujúcu súčiniteľ dotvarovania podľa [10]. Jej tvar je nasledovný: (2) Označenie vo vzťahu (2) je identické ako vo vzťahu (1), ci je ďalší parameter funkcie. Na obr. 5 sú uvedené najdôležitejšie výsledky pre nespevnený nosník. Obr. 5b dokumentuje vypočítané hodnoty a(tot) na základe meraní a náhradnej funkcie (2). Pri hodnotách a(tot) je prírastok v čase oproti počiatočným hodnotám 64, 5 %, pre a(sh) je to 75,9 %, pre a(fl) 58,1 %. Na obr. 5c sú náhradné krivky (2) pre priehyby a(i) , krivosti a skosenia. a) b) c) Obr. 5 Vplyv časového faktora na priehyby nespevneného nosníka- a) celkové priehyb a(i), b) súčiniteľ dotvarovania pre a(tot), c) súčinitele dotvarovania pre vybrané sledované veličiny Parametre náhradnej krivky (1) pre sledované priehyby a(i) oboch nespevnených nosníkov B(i) sú uvedené v tab. 2. Parametre náhradnej krivky (2) pre vybrané veličiny na obr. 5c sú v tab. 3. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Sledovaný priehyb Nosník a(sh) a(fl) a(tot) a(sh) a(fl) a(tot) a(sh) a(fl) a(tot) B(1) LTL B(2) LTL ST(1)-LTL October 2015, Bratislava Parametre funkcie (1) a retardačný čas t(r) a(i) b(i) t(r) [-] [-] [dni]/[hod]* 0,576 0,418 173 0,483 0,418 173 0,510 0,419 173 0,649 0,391 173 0,559 0,369 173 0,582 0,376 173 0,376 2,819 2765 * 0,221 2,045 2505 * 0,277 2,329 2520 * Index korelácie R2 [-] 0,998 0,996 0,997 0,997 0,996 0,997 0,990 0,967 0,982 Tab. 2 Prehľad parametrov funkcie (1), retardovaných časov tr a korelačných indexov R2 Nespevnený nosník B2-LTL Sledované veličiny priehyb a(sh) priehyb a(fl) priehyb a(tot) skosenie γ krivosť ρ a(i) 2,660 1,830 2,000 2,450 1,755 Parametre funkcie (2) b(i) 0,598 0,595 0,602 0,600 0,593 c(i) 49,88 46,80 49,22 53,55 44,00 Tab. 3 Prehľad parametrov funkcie (2) pre priehyby a(i), skosenia γ a krivosti ρ Pre spevnený nosník ST1-LTL sú všetky relevantné výsledky uvedené na obr. 6. Obr. 6a dokumentuje vplyv časového faktora na priehyby a(i) , potvrdzuje sa pomer a(sh)/a(tot) z krátkodobých skúšok. a) b) c) Obr. 6 Vplyv časového faktora na priehyby spevneného nosníka - a) celkové priehyb a(i), b) súčiniteľ dotvarovania pre a(tot), c) súčinitele dotvarovania pre vybrané sledované veličiny 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 6b popisuje prírastok priehybu a(tot) v čase pôsobenia dlhodobého zaťaženia, súčasne je uvedená náhradná krivka (2) a odpovedajúci koeficient korelácie. Obr. 6c uvádza náhradné funkcie pre celkový a separované priehyby podľa (2). Parametre funkcie a čas retardácie sú v tab. 4. Sledovaný priehyb a(sh) a(fl) a(tot) a(i) [-] 0,342 0,216 0,284 Parametre funkcie (2) a čas retardácie t(r) b(i) t(r) [-] [hod] 3,000 2482 2,133 2625 2,293 2650 R2 [-] 0,990 0,967 0,985 Tab. 4 Spevnený nosník – sledovaný priehyb a(i), parametre funkcie, čas retardácie a koeficienty korelácie Výsledky dokumentujú, že pre spevnené nosníky ST(i) sú prírastky priehybov v čase oproti počiatočným priehybom nasledovné: a(tot) prírastok 28,6 %, a(fl) – 21,4 %, a(sh) – 42,4 %. Výsledky pre a(sh) dokumentujú zhodu s predikciou experimentálnych hodnôt. Nárast pretvorení pre sledované nosníky sme zaznamenali hlavne v oblastiach diagonálneho ťahu, odpovedá tomu aj prírastok pre a(sh). ZÁVERY A DISKUSIA Relevantné výsledky krátkodobých aj dlhodobých skúšok pre obe skupiny sledovaných nosníkov odpovedajú okrajovým podmienkam experimentov (ide hlavne o skutočnosť, že nejde o typické rovnomerné zaťaženie). Laboratórne pozadie takéto skúšky neumožňuje. Pri dlhodobých skúškach sa plne osvedčila aplikácia valcov s aretovacími objímkami. Ide o metódu s výhodným ekonomickým pozadím, spôsob zaťažovania je dostatočne presný s chybou do 2 %. Meranie pretvorení v základniach násobnej priehradovej sústavy umožňuje separovať účinky od priečnych síl a ohybových momentov. Porovnanie s priamo meranými priehybmi dokumentuje rozdiel do 3 %. Pri oboch skupinách nosníkov dlhodobé zaťaženie nemá vplyv na výslednú odolnosť skúšobných nosníkov. Vplyv časového faktora sa prejaví hlavne pri medzných stavoch druhej skupiny a to hlavne pri priehyboch. Pri nespevnených nosníkoch je pri a(tot) prírastok v čase oproti počiatočným hodnotám 64, 5 %, pre a(sh) je to 75,9 %, pre a(fl) 58,1 %. Pre spevnené nosníky ST(i) sú prírastky priehybov v čase oproti počiatočným priehybom nasledovné: a(tot) prírastok 28,6 %, a(fl) – 21,4 %, a(sh) – 42,4 %. Uvedené výsledky experimentov tvoria úvodné a porovnávacie hodnoty pre dlhodobé skúšky nosníkov nevystužených s geometrickou úpravou a pre nosníky namáhané opakovaným zaťažením. V oboch prípadoch skúšky budú realizované pri hladine zaťaženia γ = 0,50. V súčasnosti sa zaoberáme porovnaním s náhradnými modelmi – napr. podľa [9]. POĎAKOVANIE Príspevok bol čiastočne sponzorovaný grantovou agentúrou VEGA MŠ SR a SAV, číslo grantu 2/0033/2015. LITERATÚRA [1] BOLHA, Ľ., KRIŽMA, M., JERGA, J.,: Vplyv časového faktora na deformácie železobetónových nosníkov, In: Betonárske dni, 2000, Bratislava, Slovensko, ss. 15-21, ISBN 80-227. [2] KABELE, P., ČERVENKA, V., ČERVENKA, J.: Example Manual. ATENA Engineering, Prague, Czech Republic, 2005. [3] KRIŽMA, M., BALÁŽ, M., JERGA, J., BOLHA, Ľ., : Reologické pretvorenia železobetónových nosníkov, In: Betonárske dni, 2000, Bratislava, Slovensko, ss. 21-26, ISBN 80-227. [4] KRIŽMA, M., MORAVČÍK, M., PETRŽALA, J., BAHLEDA, F. : Resistance and serviceability characteristics of strengthened linear concrete elements. In: Engineering Buildings, 06/2013, p. 118 – 123, The Fourth International fib Congress and Exhibition, Mumbai, India. National Report of the Slovak Republic, ISSN 1335-0846. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [5] KRIŽMA, M., PETRŽALA, J., KOVAČOVIC, M., : Resistance between Concrete Surfaces of Composite Members. In: Building Research Journal, 2012, vol. 60, no. 3-4, pp. 211-222, (2012 – Emerald Abstracts, Emerald), ISSN 1335-8863. [6] KRIŽMA, M., PETRŽALA, J., MORAVČÍK, M., BAHLEDA, F. : Influence of contact of repaired RC beams and strengthening slabs on failure of strengthened elements. In: Proceedings: „ Testing and quality in building“, 7. – 8. 10. 2014, FS VUT, Brno, pp. 181 – 187. ISBN 978-80-214-5032-5. [7] KRIŽMA, M., PETRŽALA, J., MORAVČÍK, M., BAHLEDA, F., : Influence of type of strengthening on limit states of resistance and serviceability. In: Zborník „Sanácie betónových konštrukcií“,Smolenice 3.–4. 12. 2013, ss. 125 – 130, ISBN 978 – 80 – 8076 – 109 – 7. [8] KRIŽMA, M., PETRŽALA, J., KIŠAC, M., : Influence of type of contact of RC beam and strengthening slab on limit states of strengthened element. In: Applied mechanics and materials, 2015, vol. 769, p. 294301. ISSN 1660-9336. [9] STN EN 1992 1-1, Eurocode 2, Navrhovanie betónových konštrukcií. Časť 1-1: Všeobecné pravidlá a pravidlá pre budovy, 2004. [10] STN 73 1201, Navrhovanie betónových konštrukcií, Príloha P4. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS WPŁYW PARAMETRÓW MONTAŻOWYCH NA NOŚNOŚĆ ŁĄCZNIKÓW D. Dudek1, P. Knap2 Abstrakt Każda konstrukcja powinna być tak zaprojektowana, by przez cały zamierzony okres użytkowania spełniała swoje zadania w zakresie użytkowalności, nośności i stateczności, bez istotnego obniżenia swojej przydatności oraz bez nadmiernych, nieprzewidzialnych kosztów utrzymania. Dlatego każdorazowo dobierając odpowiedni łącznik należy określić już na etapie projektowania obciążenia, jakie mogą na niego działać podczas pracy. Obliczeń dokonuje się dla podłoża pracującego w warunkach normalnych. W rzeczywistości jednak łącznik taki może pracować w warunkach odbiegających od normalnych. Wpływ temperatury pracy oraz wilgotności na nośność łączników różnych typów został określony w ramach pracy. Badania przeprowadzono dla podkładów betonowych o różnej wytrzymałości Słowa kluczowe Łączniki rozporowe, łączniki tworzywowe, łączniki wklejane, beton, zamocowania 1 WPROWADZENIE W obecnie nowo wznoszonych bądź też istniejących budowlach konstrukcyjnych stosowane są coraz to nowsze techniki oraz technologie montażowe ogólnodostępnych zamocowań. Dotyczy to w szczególności stalowych łączników wklejanych, stalowych łączników rozporowych oraz tworzywowo-metalowych łączników rozporowych do zamocowań konstrukcyjnych. Parametry montażowe łączników zależą w dużej mierze od systemów zamocowań ofertowanych przez polskich, jak i europejskich producentów. Obowiązujące Europejskie [1,2,3] i Światowe wykładnie [4], [5], [6], określające wyznaczenie nośności na wyrywanie, określają zależności zmian nośności przy zadanych parametrach, w szczególności od głębokości zakotwienia, momentu instalacyjnego, wytrzymałości podłoża budowlanego, zarysowania podłoża budowlanego niezależnie od temperatury pracy łącznika. Określenie nośności dla rzeczywistych warunków stanowi ważny aspekt w większości nowo powstałych jak i istniejących budowlach o konstrukcjach betonowych czy ceramicznych, w szczególności na terenach działalności eksploatacji górniczej. Na potrzeby artykułu przeprowadzono badania laboratoryjne stanowiskach badawczych w Oddziale Śląskim Instytutu Techniki Budowlanej [7], [8], [9]. 2 CEL I ZAKRES BADAŃ W ramach badań określono nośność na wyrywanie stalowych łączników wklejanych za pomocą żywicy epoksydowej (Epoxy) oraz żywicy poliestrowej (Polyester), trzpień stanowił pręt gwintowany kl. 10.9. Drugą konstrukcją łącznika stanowiły tworzywowo-metalowe łączniki rozporowe do zamocowań konstrukcyjnych (TM), gdzie koszulki wykonano z poliamidu oraz polipropylenu. Parametry montażowe zawarto w tabeli 1. 1 2 D. Dudek M.Sc., Instytut Techniki Budowlanej, d.dudek@itb.pl P. Knap M.Sc., Instytut Techniki Budowlanej, p.knap@itb.pl Oznaczenie łącznika M10 - Epoxy M10 - Polyester M10 - TM Średnica wiercenia Głębokość Głębokość otworu montażowa zakotwienia dcut [mm] h1 [mm] hef [mm] dcut, nom = 12,30 85 80 dcut, nom = 12,30 85 80 dcut, nom = 10,30 75 70 Temperatura badawcza (pracy): 23ºC i 80ºC 1) dla TM-PP M10 2) dla TM-PA M10 Moment instalacyjny Tinst [Nm] ─ ─ 101) / 202) fc,test,C20/25 = 29,2 MPa Nośność na wyrywanie określono dla łączników zamocowanych prawidłowo, tj. prostopadle do podłoża budowanego oraz pod kątem 60º, pozorując niewłaściwy montaż. Tab. 1. Parametry montażowe badanych łączników Rys. 1. Żywice stosowane w badaniach stalowych łączników wklejanych (epoxy z lewej, winylowa z prawej) Rys. 2. Obrazy zniszczeń stalowych łączników wklejanych za pomocą żywicy epoksydowej (Epoxy) 3 WYNIKI BADAŃ Metodyka badań była następująca:  w podłożu betonowym wiercono otwory za pomocą wiertarki udarowej z wiertłem o odpowiedniej średnicy,  otwór czyszczono przez przedmuchanie powietrzem,  instalacja łącznika z kontrolą momentu instalacyjnego (w przypadku łączników tworzywowometalowych) lub poprzez wklejenie za pomocą odpowiedniej zaprawy,  kondycjonowanie próbek w komorze grzewczej przez 24 h,  wyrwanie osadzonego łącznika w temperaturze normalnej oraz po kondycjonowaniu. Wstępne wyniki średnich sił niszczących oraz średnie nośności na wyrywanie, uzyskane dla łącznika wklejanego żywicą epoksydową M10, przedstawiono na rys. 3, natomiast obrazy zniszczeń pokazano na rys.4. Rys. 3. Nośność na wyrywanie stalowych łączników wklejanych za pomocą żywicy epoksydowej (Epoxy) Rys. 4. Obrazy zniszczeń stalowych łączników wklejanych za pomocą żywicy epoksydowej (Epoxy) Wyniki średnich sił niszczących oraz średnie nośności na wyrywanie, uzyskane dla łącznika wklejanego żywicą poliestrową M10, przedstawiono na rys. 5, natomiast obrazy zniszczeń pokazano na rys.6. Rys. 5. Nośność na wyrywanie stalowych łączników wklejanych za pomocą żywicy poliestrowej (Polyester) Rys. 6. Obrazy zniszczeń stalowych łączników wklejanych za pomocą żywicy poliestrowej (Polyester) Wyniki średnich sił niszczących oraz średnie nośności na wyrywanie, uzyskane dla tworzywowo-metalowych łączników M10, przedstawiono na rys. 7, natomiast obrazy zniszczeń pokazano na rys.8. Rys. 7. Nośność na wyrywanie tworzywowo-metalowych łączników M10 (TM-PA M10) Rys. 8. Nośność na wyrywanie tworzywowo-metalowych łączników M10 (TM-PP M10) Rys. 9. Obrazy zniszczeń tworzywowo-metalowych łączników M10 (TM) 4 WNIOSKI W ramach pracy określono i porównano nośność łączników wklejanych oraz tworzywowych w podłożu niezarysowanym klasy C20/25 równą:  łączniki osadzone za pomocą żywicy epoksydowej,  łączniki osadzone za pomocą żywicy poliestrowej,  łączniki tworzywowe. Spadek nośności wywołany podwyższoną temperaturą wyniósł 63% dla łączników osadzonych za pomocą żywicy epoksydowej oraz odpowiednio 41% dla łączników osadzonych za pomocą żywicy poliestrowej. W przypadku łączników tworzywowych spadek ten wyniósł 55% dla tworzywa z poliamidu PA oraz 53% dla polipropylenu. Instalacja łączników pod kątem 60º nie miała wpływu na nośność łączników w żywicy poliestrowej niezależnie od temperatury pracy a w przypadku żywicy epoksydowej spadek nośności był nieznaczny (< 2,5%) w granicach błędu pomiarowego. Badania wykazały, że nośność łączników wklejanych (żywica epoksydowa i poliestrowa) oraz łączników tworzywowo-metalowych (poliamid i polipropylen) cechuje duża wrażliwość na podwyższoną temperaturę. Należy jednak zaznaczyć, iż większą odpornością na podwyższoną temperaturę cechowała się żywica poliestrowa, natomiast żywica epoksydowa oznacza się spadkiem nośności zbliżonym do nośności łączników tworzywowo-metalowych w podwyższonej temperaturze. LITERATURA ETAG 001 (2013): Metal anchors for use in concrete. Part 1: General. EOTA 2013 ETAG 001 (2013): Metal anchors for use in concrete. Annex A: Details of tests. EOTA 2013 ETAG 001 (2013): Metal anchors for use in concrete. Annex C: Design methods for anchorages. EOTA 2013 fib Model Code for Concrete Structures 2010, Ernst&Sohn. Berlin, 2013 fib Code-type models for concrete behavior 2013, Ernst&Sohn. Berlin, 2013 Projekt normy europejskiej prPN-prEN 1992-Część 4. Eurokod 2: Projektowanie zamocowań do stosowania w betonie 7. PN-EN 206:2014-4, Beton – Wymagania, właściwości, produkcja i zgodność. 2014 8. PN-EN 12390-2:2011, Badania betonu -- Część 2: Wykonywanie i pielęgnacja próbek do badań wytrzymałościowych, 2011 9. PN-EN 12390-3:2011, Badania betonu -- Część 3: Wytrzymałość na ściskanie próbek do badań, 2011. 10. Dudek D.: Nośność stalowych łączników rozporowych w funkcji ich parametrów montażowych, Współczesny stan wiedzy w inżynierii lądowej, Monografia, Gliwice 2015, str. 187-194 11. Knap P. Konieczny K. (2010) Właściwości i ocena zamocowań łącznikami tworzywowo-metalowymi. XI Konferencja naukowo-techniczna: Problemy rzeczoznawstwa budowlanego, Warszawa Miedzeszyn, 14-16 kwietnia 2010 r. s. 247-261 12. Runkiewicz, L.; Konieczny, K. Nowoczesne techniki zamocowań za pomocą kotwi i kołów w konstrukcjach żelbetowych. 2002 13. EOTA ETAG 020. ETAG 020 Łączniki tworzywowe do stosowania w betonie i konstrukcjach murowych w niekonstrukcjnych zamocowaniach wielopunktowych Cześć 1: Zagadnienia ogólne.EOTA, 2012 14. EOTA ETAG020 Aneks A. ETAG 020 – Łączniki tworzywowe do stosowania w betonie i konstrukcjach murowych wniekonstrukcjnych zamocowaniachwielopunktowych Aneks A: Szczegóły badań. 2012 15. EOTA ETAG020 Część 2. ETAG 020 – Łączniki tworzywowe do stosowania w betonie i konstrukcjach murowych wniekonstrukcjnych zamocowaniachwielopunktowych Cześć 2: Łączniki tworzywowe do stosowania w betonie zwykłym. s.l. : EOTA 16. Knap P. Wpływ temperatury na nośność zamocowań tworzywowo-metalowych łączników rozporowych w betonie. Przegląd Budowlany 11/2011 1. 2. 3. 4. 5. 6. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS STABLE PATHS IN THE POSTBUCKLING OF AN IMPERFECT PLATE LOADED IN COMPRESSION J. Havran1 and M. Psotny2 Abstract The stability analysis of a thin plate loaded in compression is presented. The non-linear FEM equations are derived from the variational principle of minimum of potential energy. The peculiarities of the effects of the initial imperfections are investigated using user program. Special attention is paid to the influence of imperfections on the post-critical buckling mode. Stable load-displacement paths are investigated. The FEM computer program using a 48 DOF element has been used for analysis. FEM model consists of 4x4 finite elements. Full Newton-Raphson procedure has been applied. Key Words Initial imperfections, stability, postbuckling, stable paths, Newton-Raphson iteration. 1 INTRODUCTION In the presented paper behaviour of thin plate loaded in compression has been explained [1]. The geometrically nonlinear theory represents a basis for the reliable description of the postbuckling behaviour of the plate. Influence of initial imperfection on the load-displacement path is investigated. The result of the numerical solution represents a lot of the load versus displacement paths. Solution from the user program is compared with results gained using ANSYS system. 2 THEORY Let us assume a rectangular plate simply supported along the edges (Fig. 1) with the thickness t. The T displacements of the point of the neutral surface are denoted q  u, v, w and the related load vector is p   px , 0, 0 . By formulation of the strains, non-linear terms have to be taken into account. Then it can be written as T ε  εl  εn  εb ,     (1)   T 1 2 w,x , w,y2 , 2w,x w,y , εb  z  k  z  w,xx , w,yy , 2w,xy T , the indexes denote the 2 partial derivations and w represents the global displacement. The initial displacements have been assumed as the out of plane displacements only and so it yields where εl  u ,x , v,y , u ,y  v,x T , εn  1 Ing. Jozef Havran, Slovak University of Technology in Bratislava, Faculty of Civil Engineering, Department of Structural Mechanics, Radlinskeho 11, 810 05 Bratislava, jozef.havran@stuba.sk. 2 Assoc. Prof. Ing. Martin Psotny, PhD., Slovak University of Technology in Bratislava, Faculty of Civil Engineering, Department of Structural Mechanics, Radlinskeho 11, 810 05 Bratislava, martin.psotny@stuba.sk. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava ε0  ε0n  ε0b ,    (2)  T 1 2 w0,x , w02,y , 2w0 ,x w0,y , εb  z  k0  z  w0 ,xx , w0,yy , 2w0,xy T and w0 is the part related to the initial 2 displacement. where ε0n  t = 2 mm a = 260 mm b = 260 mm E = 210 GPa ν = 0.30 p wB wA b p wC a a SHELL 143 256 elements Initial imperfection mode: w0  α01S x1S y1  α02 S x 2 S y1 b S x1  sin x a , S x 2  sin 2x y , S y1  sin b a Fig. 1. Thin plate: a) Notation of quantities, b) FEM model The linear elastic material has been assumed σ  D  (ε  ε0 ), (3) 1 ν 0  E  ν 1 where D  0  . E, ν are the Young´s modulus and Poisson´s ratio. 1  ν2  1 ν  0 0  2   The total potential energy can be expressed as 1 ε  ε0 T σ dV   qT pdA. V2 A U  Ui  Ue   (4) After modification; Eq. 4 can be written as 3 1 ε  ε0 T t Dε  ε0  dA   1 k  k0 T t Dk  k0 dA   qT p dA, 12 A2 A2 A U (5) where ε , k are strains and curvatures of the neutral surface, ε0 , k0 are initial strains and curvatures, q , p are displacements of the point of the neutral surface, related load vector. The system of conditional equations can be obtained from the condition of the minimum of the increment of the total potential energy [5]. δ ΔU  0. (6) K inc Δα  Fint  Fext  Δ Fext  0, (7) This system can be written as th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings  K incD where Kinc    K incSD K incDS  K incS  October 2015, Bratislava is the incremental stiffness matrix, F  Fint   intD   FintS  is the vector of the internal forces, F  Fext   extD   FextS  is the vector of the external load of the plate,  F   Fext   extD    FextS  is the increment of the external load of the plate, B  αD  q  B α   D   and  q  B   α . BS  αS   For more details see [2]. In the case of the structure in equilibrium 1 Kinc  α   Fext   α  Kinc  Fext and Fint  Fext  0 , one can do the incremental step α  α  α . i 1 i The Newton-Raphson iteration can be arranged in the following way: supposing that α i does not represent the i 1 i  r i . The corrected parameters are α i 1  α i  Δα i , where αi   Kinc r . exact solution, the residua are Finti  Fext The identity of the incremental stiffness matrix with the Jacobbian of the system of the nonlinear algebraic equation J  Kinc has been used in analysis. To be able to evaluate the different paths of the solution, the pivot term of the Newton-Raphson iteration has to be changed during the solution. 3 NUMERICAL RESULTS Illustrative examples of compressed steel plate from Fig. 1 are presented as load – displacement paths for different amplitudes of initial geometrical imperfection. From Figs. 2 and 4 it is obvious that two almost identical modes of initial imperfection at the beginning of the loading process offer two different solutions in postbuckling mode. Due to the mode of the initial imperfection the nodal displacements denoted wA and wC have been taken as the reference values (see Fig. 1a). The aim of this paper was to try to give an answer to the problem of the threat of collapse of the thin plate loaded in compression in the second mode of buckling. Load p (N/mm) 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Displacement w (mm) ‐6 a w_A w_C ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5 6 th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava wA wB wC b Fig. 2. The postbuckling of the thin plate with initial displacement: w0  0.05  sin x a  sin y b  0.33  sin 2 x y  sin a) user program [2] [3], b) ANSYS system a b Fig. 2 shows the solution for the initial displacement parameters α01  0.05 and α02  0.33 . One can see that the fundamental path is in the postbuckling phase in 1st mode of buckling. The thick line in Fig. 2a represents displacement of node A and the thin line represents displacement of node C. Shape of the plate in buckling and in postbuckling is also displayed. Load p (N/mm) 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 w_A_stable w_A_unstable w_C_stable Displacement w (mm) ‐6 ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 w_C_unstable 0 1 Fig. 3. The thin plate with initial displacement: w0  0.05  sin 2 x a  sin 3 y b (stable and unstable load – displacement paths) 4  0.33  sin 5 6 2 x y  sin a b th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava For the stable path the incremental stiffness matrix K inc must be positively defined; all minors must be positive as well; and the incremental stiffness matrix must be evaluated for the load as the pivotal term. Stable and unstable paths are shown in Fig. 3 and Fig. 5 (The thick lines represent stable load – displacement paths). a Load p (N/mm) 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 w_A w_C Displacement w (mm) ‐6 ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5 6 wA wB wC b Fig. 4. The postbuckling of the thin plate with initial displacement: w0  0.05  sin x a  sin y b  0.35  sin 2 x y  sin a) user program [2] [3], b) ANSYS system a b Increasing the effect of the 2nd mode in the shape of the initial displacement ( α01  0.05 and α02  0.35 ) the postbuckling mode of the thin plate is 2nd mode (Fig. 4). th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The FEM computer program using a 48 DOF element (4 nodes, 12 DOF at each node) [4] has been used for analysis. FEM model consists of 4x4 finite elements (Fig. 1a). Full Newton-Raphson procedure, in which the stiffness matrix is updated at every equilibrium iteration, has been applied. Obtained results were compared with results of the analysis using ANSYS system, where 16x16 elements model was created (Fig. 1b). Element type SHELL143 (4 nodes, 6 DOF at each node) was used. Load p (N/mm) 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 w_A_stable w_A_unstable w_C_stable Displacement w (mm) ‐6 ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 w_C_unstable ‐1 0 1 2 Fig. 5. The thin plate with initial displacement: w0  0.05  sin 3 x a  sin 4 y b 5  0.35  sin 6 2 x y  sin a b (stable and unstable load – displacement paths) 4 CONCLUSION The influence of the value of the amplitude and the mode of the initial geometrical imperfections on the postbuckling behaviour of the thin plate is presented. In postbuckling can be obtained more load – displacement paths. One can see that two almost identical modes of initial imperfection at the beginning of the loading process offer two different solutions in postbuckling mode. For solving models of thin plate, it is necessary to take into account initial geometrical imperfections. ACKNOWLEDGEMENT Presented results have been arranged due to the research supported by the Slovak Scientific Grand Agency, project No. 1/0272/15. REFERENCES [1] Bloom, F. - Coffin, D.: Handbook of Thin Plate Buckling and Postbuckling. ChapmanHall/CRC. Boca Raton, 2001. 770 p. [2] Psotny, M. - Ravinger, J.: Post-Buckling Behaviour of Imperfect Slender Web. Engineering Mechanics. 2007, Vol. 14, No. 6, p. 423-429. [3] Ravinger, J.: Vibration of Imperfect Thin-Walled Panel. Part 1: Theory and Illustrative Examples. Part 2: Numerical Results and Experiment. Thin-Walled Structures. 1994, Vol. 19, No 1, p. 1-36. [4] Saigal, S. - Yang, I.: Nonlinear Dynamic Analysis with 48 DOF Curved Thin Shell Element. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1985, 22, p. 1115-1128. [5] Washizu, K.: Variational Methods in Elasticity and Plasticity. New York: Pergamonn Press, 1982. 630 p. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS Analýza šmykového spojenia na rozhraní oceľ- betón s uvážením kohézneho typu kontaktu a trenia F. Kšiňan1, R. Vodička2 Abstract A new progressive contact model of shear connection between steel and concrete has been developed. Mathematical concept of delamination problem considers the cohesive contact at the steel-concrete interface. The numerical analysis of the interface damage mechanism at plane model coupling the cohesive layer and frictional contact is considered. The concept of solution is based on quasi-static rate-independent evolution of debonding process at the interface. The essential idea is to consider that friction occurs only on the partially or fully damaged interface. The numerical model captures the influence of the friction at the interface during the interfacial damage under compression and tangential loading and it has been applied for a contact problem of steel-concrete reinforcement. In particular, the coupling of non-linear phenomena of friction and interface damage mechanisms occurring in shear connections of steel-concrete composites has been analysed. The proposed mathematical approach is based on an energetic formulation. The solution is approximated by a time stepping procedure and Symmetric Galerkin Boundary Element Method (SGBEM). Conclusion presents the acquired result, its significance and application in engineering practice. Kľúčové slová kohézny model; šmykové spojenie; Coulombovo trenie; oceľobetónový prvok; SGBEM; energetická formulácia 1 ÚVOD Súčasný progres v oblasti vývoja a výskumu kompozitných materiálov značne ovplyvňuje ich aplikáciu a častejšie využitie v stavebnom inžinierstve. Experimentálne a numerické analýzy mechanizmu porušenia zahrňujú vplyv tzv. delaminácie [13], postupného oddeľovania priliehajúcich vrstiev pri ktorých je uvážený vplyv trenia [4][7][8] na čiastočne, alebo plne porušenom rozhraní. Numerické modelovanie nelineárnych fenoménov na rozhraní, akými sú delaminácia a trenie, je v súčasnosti intenzívne skúmaný. Hlavnou motiváciou práce bolo navrhnúť energetickú formuláciu modelu porušenia na rozhraní vyvinutú v [1] za účelom implementácie trenia medzi spriahnutými prvkami. Medzi hlavné ciele patrí aj poukázanie na vývoj tvaru spriahovacieho prvku, medzi oceľou a betónom a vplyv dosiahnutých tvarov na priebeh napäťových a deformačných veličín na rozhraní. V numerickom modeli je na rozhraní prezentovaný kohézny typ kontaktu [1] za prítomnosti trenia po porušení s vyvinutým vlastným modelom pre jeho implementáciu. Pre dosiahnutie uvedeného konceptu energetického riešenia je potrebná časová a priestorová diskretizácia. Matematické riešenie bolo dosiahnuté aplikáciou variačných metód akou je Symetrická Galerkinova metóda hraničných prvkov [14][15][16][17][18], založená na tzv. energetickej formulácii, ktorá predpokladá rovnovážny stav medzi energiou uloženou a energiou disipovanou [19][20], ktorá sa zo systému uvoľní. 1 2 Ing. F. Kšiňan, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, Slovensko, filip.ksinan@tuke.sk. Doc. Ing. R. Vodička PhD., Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, Slovensko, roman.vodicka@tuke.sk. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava KONCEPT MODELU PORUŠENIA ROZHRANIA Uvažujme základný model telesa, zloženého z viacerých vrstiev, ktorý reprezentuje dvojdimenzionálnu úlohu. Uvažujme rovinnú oblasť   R 2 ohraničenú Lipschitzovskou hranicou [15], čo znamená, že v každom bode vieme určiť smer von aj smer dnu. Neprípustné sú teda: trhliny, hroty a podobne,    . S vzhľadom na dekompozíciu oblasti, získame dve neprekrývajúce sa podoblasti  A a  B s príslušnými hranicami  A   A a  B   B , označíme ich ako     A, B . Nech s   označuje hladkú časť  A   A . Na hladkej časti   označme jednotkový normálový vektor n definovaný na s a podobne definujme jednotkový vektor v tangenciálnom smere s  (orientovaný proti smeru hodinových ručičiek). Spoločnú časť hraníc  A a  B označme ako rozhranie  C   A   B . Hraničné podmienky sú reprezentované posunutiami u  predpísanými na vonkajšej časti hranice u v tvare u   w . Na vonkajšej hranici t je predpísané vonkajšie zaťaženie t  f  , kde f  reprezentuje zaťaženie vonkajšími silami. Obr. 1. Model rozhrania- kontakt dvoch podoblastí [10]. Predpokladajme, že k šíreniu trhliny dochádza pozdĺž rozhrania  C , proces delaminácie považujeme za kvázistatický a rýchlostne nezávislý. Mechanizmus porušovania je popísaný parametrom porušenia. Tento parameter porušenia nadobúda na rozhraní hodnoty  :  C  1,0, ktorý definuje stupeň porušenia rozhrania.  ( x)  0 vyjadruje úplné prelomenie adhézie, t.j. kompletné oddelenie vrstiev v príslušnom bode.  ( x)  1 predstavuje neporušené rozhranie, to znamená 100% väzbu. Proces začína s úplnou adhéziou   1 [1][2][3]. 2.1 Kohézny model rozhrania V inžinierskej praxi ako aj v lomovej mechanike je rozšírený a často uvažovaný koncept, ktorý predpokladá súvislý a spojitý vývoj napätí na rozhraní, ktorý zahrňuje tzv. periódu zmäkčenia. Ide o kohézny typ kontaktu, ktorý je implementovaný v numerickom modeli. Mechanizmus porušenia rozhrania je definovaný tzv. parametrom porušenia, ktorý je popísaný vyššie. Mechanické napätie t narastá lineárne s posunutiami u , až kým hnacia sila trhliny G nadobudne hodnotu lomovej energie G d , ktorej dosiahnutie je potrebné k inicializácií jednotkovej trhliny [1]. Priebeh jednotlivých veličín v závislosti od deformácie rozhrania je znázornený na Obr. 2. Obr. 2. Priebeh hnacej sily G , parametra porušenia  a mechanického napätia t na rozhraní s kohéznym kontaktom podľa [1]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Mechanické napätie v normálovom smere, sa vyvíja v závislosti na parametri porušenia  , podľa vzťahu t n  (k n1  k n 2 2 )un [1], kde u n  u nA  u nB . Vývoj napätí v prvej časti grafu, je lineárnou funkciou u n , na Obr. 2 označený ako u , až kým nebude dosiahnutá kritická hodnota napätia t nc  (k n1  k n 2 ) k n1  2k n 2 2Gd . Po dosiahnutí tejto kritickej hodnoty sa napätia vyvíjajú nelineárne až do úplného porušenia rozhrania, ktoré nastane pri kritickej hodnote posunutí u c  2Gd / k n1 . Podobne je možné získať vzťahy v tangenciálnom smere. 3 ŠMYKOVÉ TRENIE Zohľadnenie vnútorného trenia pri procese delaminácie patrilo medzi základné ciele a súčasne medzi hlavné prínosy pri rozvoji matematického modelu na analýzu spriahnutých prvkov, ale aj pre riešenie ostatných kontaktných úloh. V tejto kapitole bude podrobnejšie opísaný kontaktný model s trením, ktorý je prezentovaný v nasledujúcej kapitole. 3.1 Kontaktný model so zohľadnením trenia V súčasnosti je skúmanie mechanizmu porušenia v oblasti kompozitných materiálov rozhodujúcim aspektom pri procese vývoja a predikcie delaminácie. Medzi vhodné a použiteľné prístupy pre matematické modelovanie porušenia rozhrania, obzvlášť pre modelovanie iniciácie a šírenie trhliny, je aplikácia kohézneho modelu v kombinácií s kontaktom, ktorý uvažuje trenie. Numerická analýza tohto nelineárneho javu je dosť náročná a v súčasnosti len v štádiu rozvoja a výskumu. Ohraničíme teda náš záujem na formuláciu, ktorá vedie k odvodeniu základných rovníc kontaktu s trením. V matematickej formulácií numerického modelu je implementovaný najčastejšie používaný vzťah pre klasické Coulombovo trenie. 3.1.1 Coulombovo trenie Pre prípad, keď sily v tangenciálnom smere dosiahnu určitý prah, limitnú hodnotu (viď. Obr. 3.), tak kontaktné plochy už nie sú vzájomne spojené, ale dochádza k vzájomnému relatívnemu pohybu. Tento relatívny pohyb v tangenciálnom smere je označený ako kĺzanie a je opísaný pomocou Coulombovho zákona vo forme: ts   tn pričom ak t s =  t n tak t s    t n (1) u s u s Kde  je koeficient trenia. Tento koeficient je v klasickom zákone Coulombovho trenia konštantou. Vo všeobecnosti, koeficient trenia závisí od viacerých parametrov ako drsnosť povrchu, relatívna rýchlosť kĺzania u s medzi spojenými povrchmi a od normálového tlaku t n . Obr. 3. Coulombovo trenie [4]. Teda môžeme upraviť formuláciu Coulombovho trenia    (u s , t n ) . Ako vidno na Obr. 4, pri dosiahnutí limitnej hodnoty tangenciálneho napätia t sc , môžeme získať dve základné závislosti, ktoré opisujú správanie sa trenia, zmäkčujúcu časť (1), alebo spevňujúcu časť (2). Časť spevnenia bola experimentálne dokázaná v [5], Obr.4. Správanie trenia môže viesť k druhému variantu, ktorý vyplýva z faktu, že koeficient kĺzania zo zákonu trenia je menší ako koeficient opisujúci kontakt, súdržnosť a vedie k zmäkčujúcej časti. Tieto experimenty 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava odporúčajú aplikovať klasický elasto- plastický prístup, ktorý predpokladá zmenšenie celkovej hodnoty tangenciálneho poklzu u s , o elastickú časť (kontaktu) u se a dospieť tak k plastickej časti (klzu) u ss [4]. Obr. 4. Správanie trenia [4]. 3.2 Funkcia trenia Navrhnutý matematický model v práci uvažuje s kombináciou porušenia rozhrania a trenia v kohéznom modeli, ktorý je schopný predpokladať porušenie rozhrania s uvážením Coulombovho trenia na kontakte oddeľujúcich sa povrchov. Interpretácia Coulombovho zákona vo formulácií potenciálu disipovanej energie je reprezentovaná pomocou funkcie trenia závislej na poškodení rozhrania f ( ) . Funkcia f ( ) rastie pre klesajúce hodnoty parametra porušenia  : 0  f ( )   , f (0)   . Funkcia ovplyvňujúca inicializáciu účinku je zvolená tak, že závisí od parametra porušenia a od zvolenej mocniny p , pričom platí: f ( )   (1   ) p , 1  p  ,   0 Tak, že pre: (2)   1 je f ( )  0   0 je f ( )   Z hľadiska výpočtovej implementácie, funkciu f ( ) volíme konvexnú. Kde  je koeficient trenia, parameter p je možné zvoliť v závislosti od aplikácie. 4 ENERGETICKÁ FORMULÁCIA MODELU S TRENÍM V súlade s koncepciou kohézneho kontaktu prezentovanú v [1], možno uviesť formuláciu funkcionálu uloženej energie systému v čase  . V dôsledku uvažovania nelineárneho kvadratického člena  2 s príslušným kohéznym parametrom tuhosti v tangenciálnom k s 2 a normálovom k n 2 smere, získavame požadovanú nelineárnu závislosť vyšetrovaných parametrov rozhrania, viď. Obr. 2 [1] . Funkcionál uloženej energie pre kohézny typ kontaktu na rozhraní možno definovať vzťahom: 1 A A A 1 u . t u  dS   B u B . t B u B  dS  2 2 1   k n 1   2 k n 2 u 2n   k s1   2 k s2 C 2 EC  , u,     A     u  2 s  k g u    dS (3)  2 n  s predpísanými posunutiami u n  w n na hranici u a vektorom deformácií     (u ) . Štandardná podmienka Signoriniho jednostranného kontaktu je nahradená modelom s normálovou tuhosťou k g , v člene 1   k g (u n ) 2 ,kde u n  min( 0, u n ) , ktorý predstavuje penalizačný faktor. Potenciálnu energiu vonkajších síl 2 uvažovaných len na hranici možno vyjadriť vzťahom: 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings F  , u    tA f A . u A d   tB October 2015, Bratislava f B  u B d (4) Disipačný potenciál R reprezentujúci energiu uvoľnenú zo systému za jednotku času v dôsledku delaminácie možno definovať ako homogénny funkcionál stupňa 1, ktorý vyjadruje nezávislosť procesu na rýchlosti viď [10]. V procese delaminácie je disipačný potenciál daný vzťahom:   R u,  , u,    C  f   k g un  u s  G  d  d (5) Energetická formulácia je uvažovaná v zmysle teórie kohézneho kontaktu publikovaná v práci [1] platiaca pre premenné u,  . Uvedený proces je riadený nelineárnou variačnou formuláciou [10]:      u E  , u,     u R u,  ; u,    u F t , u   0,   E  , u,      R u,  ; u,   0. (6) Riešenie energetického funkcionálu implementujeme numericky v časových krokoch k , striedavou minimalizáciou, pri začiatočných podmienkach definovaných u 0  0 a  0  1 . Striedavá minimalizácia prebieha nasledovne, najprv minimalizácia:    H k    E k , u k 1 ,   R u k 1 ,  k 1 ;0,    k 1  (7) pričom vypočítané minimum odpovedá    k , a následne minimalizácia:    H uk u   E k , u ,  k  R u k 1 , k ; u  u k 1 ,0  (8) pričom minimum odpovedá u  u k . 5 NUMERICKÝ PRÍKLAD Numerická implementácia na dosiahnutie vyššie uvedeného konceptu energetického riešenia vyžaduje časovú a priestorovú diskretizáciu. Časová diskretizácia uvažuje vhodnú semiimplicitnú formuláciu pre istý typ slabého riešenia [2][19]. Priestorová diskretizácia je formulovaná prostredníctvom SGBEM [14][15][16][17][18] s použitím metód kvadratického programovania. Prezentovaná formulácia bola numericky implementovaná v programe MATLAB. 5.1 Modely šmykového spojenia Aplikácia je ukázaná na prvku zloženého z dvoch oblastí: oceľovej spriahovacej lišty a z betónovej vrstvy. Obr. 5. Tvar modelov spriahnutia uvažovaných pri výpočte. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Oceľový prvok je pozdĺž spodnej strany votknutý. Zaťažovací proces je aplikovaný v dvoch krokoch. V prvom kroku dochádza k vertikálnemu zaťaženiu na hornom povrchu betónovej vrstvy viď. Obr.6, aby bol zabezpečený normálový kontakt rozhrania medzi jednotlivými oblasťami. V druhom kroku je zaťažovaná horná, betónová vrstva v tangenciálnom smere. Zaťažovací proces v oboch krokoch je definovaný pomocou predpísaných posunutí, ktoré narastajú v jednotlivých časových krokoch nasledovne:  zaťaženie v normálovom smere: w2k  ut k pre k  1,2,..50 u  0,01 mm a t k  kt0 , t 0  1 s, pre k  50 platí w2k  ut 50 a w1k  ut k pre k  25,..400 u  0,01 mm k k t  (k  24)t 0 , t 0  1 s , pre k  25 platí w1  0 Celkový počet krokov výpočtu je k  400 . Dĺžka jednotlivých hraničných prvkov na rozhraní bola v intervale od 0,5;2 mm, pričom sieť výpočtu bola najhustejšia v mieste spriahnutia. Pri numerickej aplikácií, je ukázaná  zaťaženie v tangenciálnom smere : závislosť priebehu napäťových a deformačných veličín na tvare spriahovacieho prvku. Boli uvažované štyri modely, ktoré sú ukázané na Obr. 5. Geometria, spôsob zaťažovania je pri všetkých modeloch totožný, rozdiel je len v tvare spriahovacieho prvku, konkrétna geometria Modelu „D“ je zobrazená na Obr.6. Na modeloch je ukázaná postupnosť vývoja modelu, na základe priebehu napätí a požiadavok pri spriahnutí. 5.2 Rozmery modelu a parametre výpočtu Horná oblasť je tvorená betónovou vrstvou, ktorej Youngov modul E c  38 GPa a Poissonovo číslo  c  0,2 . Betónová vrstva je uložená na oceľovej spriahovacej lište. Rozhranie je zobrazené na Obr. 5 červenou farbou. Rozmery oceľovej spriahovacej lišty sú nasledovné: L=220mm, L1=200mm, L2=20mm, H=80mm, H1=40mm, H2=15mm, r1=4mm, r2=2mm s modulom pružnosti E s  200 GPa a Poissonovou konštantou  s  0,3 . Na rozhraní boli uvažované nasledovné parametre tuhosti, ktoré boli v tangenciálnom a normálovom smere rovnaké k n  k s  16 MPa. Parametre výpočtu boli prevzaté z [11]. Z dôvodu získania spojitej, nelineárnej odozvy vyšetrovaných premenných, obe tuhosti v normálovom a tangenciálnom smere boli rozdelené do dvoch zložiek podľa vzťahov: k n  k n1  k n 2 , k s  k s1  k s 2 , k n1  0,01k n , k n 2  0,99k n , k s1  0,01k s , k s 2  0,99k s . Koeficient Coulombovho trenia   0,5 . Parameter tuhosti, ktorý je potrebný pri výpočte kontaktného modelu je nastavený k g  100k n . Poškodenie rozhrania betónu je definované pomocou lomovej energie G d , ktorá závisí na veku betónu. Hodnota lomovej energie mladého betónu, prevzatá z [12] je Gd  100 kJ.m-2. Kritická hodnota napätia v tangenciálnom smere t s ,c  1,3 MPa bola vypočítaná z hodnoty lomovej energie, podľa vzťahu uvedeného v kapitole 2.1. Obr. 6. Geometria šmykového spojenia Modelu „D“ oceľobetónového prvku. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 5.3 Analýza dosiahnutých výsledkov V kapitole sú prezentované dosiahnuté numerické výsledky vyšetrovaného rozhrania kontaktného modelu . Obr. 7. Priebeh napätia na rozhraní a celkové deformácie v závislosti od tvaru šmykového spojenia v časovom kroku k  100 , faktor zväčšenia deformácií 5. Na Obr. 7 je znázornená závislosť priebehu normálového napätia na tvare šmykového spojenia. Napätia pre všetky modely sú vykreslené v časovom kroku k  100 , takže všetky modely boli namáhané rovnakou veľkosťou zaťaženia. Na obrázku je písmenom L , označená celková dĺžka rozhrania, t.j. rozvinutá dĺžka rozhrania. V Modeli „A“ je dosiahnutá hodnota napätia v normálovom smere t nA  31 MPa, ale pri namáhaní v tangenciálnom smere dochádza k nadvihovaniu betónovej vrstvy, čo je z hľadiska spriahnutia nevhodné. Z tohto dôvodu bol navrhnutý ďalší tvar rozhrania. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava V Modeli „B“ v snahe eliminovať nadvihovanie betónovej vrstvy, boli navrhnuté kolmé strany spriahovacieho prvku, v následku toho sa zvýšilo napätie v normálovom smere na t nB  66 MPa. Tvar spriahnutia bol z hľadiska nadvihovania stále nepostačujúci. Model „C“ bol navrhnutý zošikmením strán, z tohto dôvodu bolo nadvihovanie takmer úplne vylúčené. Z hľadiska nadvihovania bol navrhnutý tvar vyhovujúci. Ako vidno na Obr. 7 v miestach rohov dochádza ku koncentrácií napätí, napätia dosahujú hodnoty t nC  107 MPa, čo je z hľadiska návrhu betónu nevhodné. Model „D“ sme získali zaoblením rohov predchádzajúceho modelu, čím sme odstránil singularity napätí, maximálna hodnota normálového napätia je t nD  58 MPa, čo je z hľadiska pevnosti betónu vyhovujúce. Súčasne bolo eliminovaná aj nadvihovanie betónovej vrstvy. Z tohto dôvodu možno označiť Model „D“ ako najvhodnejší z prezentovaných modelov. V nasledujúcich častiach sa budeme venovať analýze Modelu „D“. Obr. 8. Priebeh normálových a tangenciálnych napätí na rozhraní pre Model „D“ v časovom kroku k  100 . Na Obr. 8 vidno, že koncentrácia normálových napätí je práve v mieste spriahovacieho prvku, čo spĺňa predpoklady. Priebeh tangenciálnych napätí je závislý od parametra porušenia a od funkcie trenia, ktorá bola ukázaná v predchádzajúcej kapitole. K aktivácií napätia v tangenciálnom smere dôjde pri porušení rozhrania, t.j. ak parameter porušenia  začína klesať. Priebeh parametra porušenia v jednotlivých časových krokoch je ukázaný na Obr. 9. Obr. 9. Priebeh parametra porušenia  vo vybraných časových krokoch k . Z priebehu časového priebehu hodnôt parametra porušenia možno určiť, že k inicializácií trhliny dochádza na pravej strane rozhrania. Po inicializácií trhliny sa porušenie začína šíriť z obidvoch strán rozhrania. Na Obr. 9 vidno, že práve v mieste spriahnutia ešte nedošlo k oddeleniu a porušeniu rozhrania. Na základe tohto možno 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava usúdiť, že spriahovací prvok bol pri stanovenom namáhaní účinný. Na Obr. 10 je znázornená postupná deformácia spriahovacieho prvku. Obr. 10. Celková deformácie Modelu „D“ oceľobetónového prvku vo vybraných časových krokoch k , faktor zväčšenia deformácií 5. 6 ZÁVER V práci bol analyzovaný numerický model spriahnutého oceľobetónového prvku s definovaným kohéznym typom kontaktu a Coulombovým trením na rozhraní. Vyvinutý model bol implementovaný pomocou SGBEM kódu, ktorý využíva metódy kvadratického programovania pri riešení optimalizačných problémov. Model rozhrania bol testovaný na modeli spriahnutia ocele a betónu, sledovaná bola závislosť správania sa napäťových a deformačných veličín v závislosti na tvare spriahovacieho prvku. Pri výpočte je ukázaný postupný vývoj tvaru rozhrania, kde bol hľadaný tvar spriahnutia, ktorý by spĺňal požiadavky pri praktickej aplikácii. Model preukazuje pri procese porušovania ako aj v priebehu napätí očakávané správanie v zhode s aplikovaným teoretickým konceptom. Prezentované výsledky potvrdzujú potenciál modelu pre jeho využitie v praktickej aplikácií spriahnutia pri hľadaní optimálneho tvaru spriahovacieho prvku. POĎAKOVANIE Tento článok vznikol vďaka podpore Vedeckej grantovej agentúre MŠ SR. Číslo projektu je VEGA, č. 1/0477/15. LITERATÚRA [1] Roubíček, T. – Kružík, M. – Zeman, J. Delamination and adhesive contact models and their mathematical analysis and numerical treatment, In. V. Mantič Ed., Mathematical Models in Composites, Imperial College Press., 2013, pp. 349-400. [2] Vodička, R., Mantič, V. An SGBEM implementation with quadratic programming for solving contact problems with Coulomb friction. Advances in Boundary Element and Meshless Techniques XIV, Eastleigh: EC ltd. 2013, p.444-449. [3] Vodička, R., Mantič, V. and Roubíček, T. Energetic versus maximally-dissipative local solution of a quasistatic rate-independent mixed-mode delamination model. Meccanica. 2014, vol. 49, p. 2993-2963. [4] Wriggers P. Computational Contact Mechanics. 2nd ed. Berlin: Springer; 2006. [5] Courtney-Pratt J.S. and Eisner E. The efect of a tangential force on the contact of metallic bodies. Proceedings of the Royal Society of London, 1957;238-A:529–550. [6] Frémond M. Dissipation dans l’adh´erence des solides. CR Acad Sci Paris Ser II 1985; 300: 709-714. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [7] Raous M. Interface models coupling adhesion and friction. C. R. Mecanique.2011; 339: 491-501. [8] Raous M., Cangémi L., Cocu M. A consistent model coupling adhesion, friction and unilateral contact. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.1999; 177: 383–399. [9] Tvergaard, V. E_ect of fiber debonding in a whisker-reinforced metal, Math. Sci. Engrg. 1990; A 125:203– 213. [10] Vodička, R. – Mantič, V. – Roubíček, T. An SGBEM implemention of quasi-static rate-independent mixed-mode delamination model: submitted to Meccanica, 2014. [11] Raous, M., Karray, M. A. Model coupling friction and adhesion for steel-concrete interfaces. International Journal of Computer Applications in Technology, Inderscience, 2009, 34 (1), p.42-51. [12] Bažant, Z.P., Zhengzbi, L. and Thomas, M. Identification of stress-slip law for bar or fibre pullout by size effect test. Journal of Engineering Mechanics, 1995, pp.620-625. [13] CARG, A.C. Delamination - a damage mode in composite structures. Engineering Fracture Mechanics. vol. 29, pp.557-584, 1988 [14] Ivančo, V. – Vodička, R. Numerické metódy mechaniky telies a vybrané aplikácie, first ed, in: Technická univerzita v Košiciach, Košice, 2012, pp. 265-298, ISBN 978-80-533-1257-6. [15] Rektorys, K. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, SNTL, Prague, 1974, pp. 119-323 [16] Sutradhar, A. – Paulino, G.H. – Gray, L.J. Symmetric Galerkin boundary element method. Springer-Verlag Berlin Heidlberg, 2008, ISBN 978-3-540-68770-2 [17] Távara, L. Damage initiation and propagation in composite materials. Boundary element analysis using weak interface and cohesive zone models. PhD. Thesis, Universidad de Sevilla, Escuela Superior de Ingenieros, Seville, 2010 [18] Vodička, R. – Mantič, V. – París, F. Two variational formulations for elastic domain decomposition problems solved by SGBEM enforcing coupling conditions in a weak form, Eng. Anal. Bound. Elem. vol. 35, 2011, pp. 148-155 [19] Roubíček, T. – Mantič, V. – Panagiotopoulos, C. Quasistatic mixed-mode delamination model. Discrete and Cont. Dynam. Syst., 2013, pp. 591-610 [20] Roubíček, T. Nonlinear Partial Differential Equations with applications. 153. Basel: Birkhäuser, 2004, ISBN 3-7643-7293-1 Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS GLOBÁLNY VZPER RÁMOV S PRIEHRADOVÝMI PRÚTMI M. Kováč1 a Zs. Vaník2 Abstract The planar frames from trusses are often used in civil engineering practice. Despite that, there are often only the local buckling on the member domain in the analyses covered. However, an additive forces arise in the global buckling mode, the influences of which are the main topic of the paper. Kľúčové slová Rovinný priehradový rám; členený tlačený prút s priehradovými spojkami; teória 2. rádu; globálny vzper v rovine; imperfekcia 1 ÚVOD DO PROBLEMATIKY Pri návrhu konštrukcií pozostávajúcich z členených prútov s priehradovými spojkami (priehradových prútov) namáhaných tlakom sa v praxi väčšinou vyšetruje vplyv vzperu len jednotlivých pásových prútov na vzpernej dĺžke rovnej vzdialenosti styčníkov pásových prútov metódou náhradného prúta. Pri zvislom zaťažení imperfektnej rámovej konštrukcie (napr. portálový rám) sa môže vyskytnúť nakláňanie tlačených stĺpov deformácia zodpovedajúca globálnemu tvaru vybočenia. Pri takomto type dodatočnej deformácie, ako výsledku vplyvu teórie 2. rádu, sa v pásových prútoch priehradových stĺpov indukujú dodatočné namáhania, ktoré sa v bežnej stavebnej praxi väčšinou nezohľadňujú. Norma STN EN 1993-1-1 Navrhovanie oceľových konštrukcií poskytuje možnosť posúdiť členené tlačené prúty s priehradovými spojkami ako individuálne prúty na koncoch kĺbovo uložených. Uvádza postup, v ktorom sa čiastkové prúty posudzujú s použitím návrhových síl zohľadňujúcich účinky 2. rádu na oblasti individuálneho prúta a pre imperfekciu v tvare zakrivenia prúta. Cieľom článku je nájsť jednoduchý a pritom dostatočne presný spôsob ako kvantifikovať vplyv teórie 2. rádu na dodatočné namáhanie pásových prútov priehradových stĺpov, vznikajúce pri vybočovaní (deformácii) rámových konštrukcií v globálnom tvare. Pritom sa bude vychádzať z normového postupu pre posúdenie individuálnych členených tlačených prútov s priehradovými spojkami ale s dĺžkou rovnou vzpernej dĺžke priehradových stĺpov rámovej konštrukcie. Nájsť vzpernú dĺžku priehradových stĺpov, pri ktorej reálne nastáva ich zakrivenie ako celku je pomerne obtiažne, zvlášť ak sa konštrukcia skladá z veľkého množstva čiastkových prútov, kedy vznikne veľké množstvo vlastných tvarov zodpovedajúcich vybočeniam jednotlivých prútov na medzi styčníkmi. Preto je tu použitá transformácia členených stĺpov s priehradovými spojkami na stĺpy s celistvým prierezom a ekvivalentnou ohybovou tuhosťou. 1 2 Ing. M. Kováč, PhD. Radlinského 11, 810 05 Bratislava, +421 259274376, michal.kovac@stuba.sk. Ing. Zs. Vaník, PhD. Radlinského 11, 810 05 Bratislava, +421 259274376, zsuzsanna.csolleova@stuba.sk. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava KONCEPCIA VÝPOČTU ÚČINKOV VZPERU V GLOBÁLNOM TVARE Výpočet prídavných osových síl v pásových prútoch priehradových stĺpov prislúchajúcich deformácii rámovej konštrukcie v globálnom tvare pri nakláňaní stĺpov sa vykoná zjednodušeným postupom, ktorý sa bude konfrontovať s výsledkami globálnej analýzy so zohľadnením účinkov 2.rádu na danej rámovej konštrukcií s danými imperfekciami. Reálna rámová konštrukcia sa transformuje do náhradnej konštrukcie (náhradný rám) (Obr.1) skladajúcej sa z prútov celistvých prierezov a zodpovedajúcich ohybových tuhostí. Na náhradnom ráme sa vykoná stabilitný výpočet na nájdenie vlastného tvaru vybočenia v globálnom tvare - s naklonenými stĺpmi. Pre tento tvar sa určí vzperná dĺžka stĺpa, na ktorej sa definuje náhradný členený prút - členený prút s priehradovými spojkami (s geometriou podľa danej reálnej konštrukcie) a uložený na oboch koncoch kĺbovo (Obr.1). Na takomto náhradnom členenom prúte sa definuje imperfekcia a vykoná sa analýza teóriou 2. rádu. Pre túto časť analýzy bude možné použiť postup z čl. 6.4 normy [1] pre návrh individuálnych členených prútov s priehradovými spojkami. Výsledkom analýzy bude ohybový moment v strede vzpernej dĺžky, z ktorého je možné priamo vyjadriť veľkosť ohybového momentu na reálnej rámovej konštrukcii v rozhodujúcom priereze a prídavné osové sily na pásových prútoch. e0 nxF/2 Lcr /2 nxF/2 h h nxF Lcr nxF/2 Obr. 1. Koncepcia výpočtu 2.1 Transformácia priehradového rámu na náhradný rám Daná rámová konštrukcia s priehradovými prútmi sa transformuje na ekvivalentnú konštrukciu s celistvými prierezmi s rovnakými ohybovými tuhosťami ako pôvodná konštrukcia. Pre výpočet kvadratického momentu účinného prierezu priehradových členených prútov udáva norma [1] vzťah: I eff  0,5h0 Ach 2 (1) kde: Ach je plocha prierezu jedného čiastkového prúta h0 je vzdialenosť medzi ťažiskami čiastkových prútov Tento kvadratický moment sa použije pre výpočet tuhosti prútov náhradného rámu s celistvými prierezmi. 2.2 Stabilitná analýza náhradnej konštrukcie Na náhradnej konštrukcii sa vykoná stabilitná analýza za účelom stanovenia vlastného tvaru vybočenia konštrukcie v jej rovine v globálnom tvare - pri naklonení stĺpov. Zaťaženie pri stabilitnej analýze sa uváži ekvivalentné zaťaženiu danej konštrukcie. Určí sa vzperná dĺžka stĺpov pre globálny vlastný tvar a príslušná kritická sila: N cr   2 EI eff Lcr 2 (2) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 2.3 Definovanie imperfektného náhradného členeného prúta Na vzpernej dĺžke rámu zodpovedajúcej globálnemu tvaru vybočenia sa zadefinuje náhradný členený prút s pásovými prútmi a s priehradovými spojkami so šírkami priehrad podľa skutočnej konštrukcie. Náhradný členený prút je na oboch koncoch kĺbovo uložený, zaťažený zodpovedajúcou osovou silou ako stĺp skutočného rámu. Jeho imperfekcia sa odvodí od imperfekcie pre poschodové rámy. Norma [1] definuje pre poschodové rámy globálnu imperfekciu v tvare naklonenia stĺpov definovanú hodnotou uhla Φ, z ktorého sa môže vypočítať veľkosť posunutia priečle s vo výške h (Obr.2). Táto imperfekcia je tu aproximovaná zakrivením stĺpa, polvlnou funkcie sínus s amplitúdou e0 na vzpernej dĺžke stĺpa - dĺžke náhradného členeného prúta. Vybočenie rámu v globálnom tvare je zobrazené na Obr. 2 vľavo. Veľkosť amplitúdy e0 náhradného členeného prúta s dĺžkou rovnou vzpernej dĺžke stĺpa náhradného rámu sa určí z geometrických pomerov podľa Obr.2. nxF/2 Lcr e0 nxF/2 nxF/2 II MEd II MEd.h Lcr /2 Lcr /2 h s e0 Obr. 2. Odvodenie imperfekcie pre náhradný členený prút 2.4 Analýza účinkov teórie 2. rádu na náhradnom členenom prúte Na zadefinovanom náhradnom členenom prúte (Obr.2 vpravo) sa vykoná analýza teóriou 2. rádu. Keďže sa jedná o náhradný prút kĺbovo uložený na oboch koncoch, s konštantnou osovou silou a ohybovou tuhosťou, ktorý má imperfekciu v tvare vlastného tvaru vybočenia takéhoto prúta (polvlna sínusu) o amplitúde e0 , je prídavná deformácia afinná imperfekcii a veľkosť príslušného ohybového momentu teórie 2. rádu v strede rozpätia je možné určiť zo vzorca: II M Ed  I N Ed e 0  M Ed N N 1  Ed  Ed N cr SV (3) podľa normy [1], kde: I návrhová hodnota momentu v strede náhradného členeného prúta bez účinkov 2. rádu M Ed Sv šmyková tuhosť priehradových spojok členených prútov. 2.5 Výpočet šmykovej tuhosti Sv Tuhosť priehradových spojok v prípade kosouhlej sústavy priehradoviny (Obr.3) bez zvislíc môže byť vypočítaná pomocou vzťahu: SV  kde: n je počet rovín s priehradovými spojkami Ad je prierezová plocha prvkov spojenia – diagonál nEAd ah0 2d 3 2 (4) th October 2015, Bratislava a d 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings h0 Obr. 3. Šmyková tuhosť priehradových spojok členených prútov 2.6 Výpočet prídavnej sily ΔN Vplyv vzperu v globálnom tvare je vyjadrený prírastkom osových síl ΔN na pásových prútoch náhradného členeného prúta: N  II M Ed .h h0 (5) kde: II M Ed . h je návrhová hodnota ohybového momentu na náhradnom členenom prúte v rozhodujúcom priereze skutočnej konštrukcie (Obr.2) 50kN 50kN 50kN 50kN 50kN 25kN 1000 9500 2714 25kN 1000 2.7 Vybraný príklad Pre lepšie znázornenie vyššie popísaného postupu uvedieme jeho aplikáciu na konkrétny príklad rovinného dvojkĺbového rámu, skladajúceho sa z členených prútov s priehradovými spojkami (Obr. 4). Prúty konštrukcie majú rúrkový prierez CHS 139.7/5, materiálom je oceľ S 355. Konštrukcia je kĺbovo uložená, a je zaťažená v uzloch horného pása (Obr.4). Všetky spoje prútov sú uvažované ako kĺbové. 14000 1000 Obr. 4. Geometria a zaťaženie analyzovanej konštrukcie V prvom kroku bol priehradový rám transformovaný na náhradný rám (Obr.5) z celistvých prierezov s kvadratickým momentom účinného prierezu Ieff = 1,06.10-3m4. Následne bola vykonaná stabilitná analýza, th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava pričom na výpočet vzpernej dĺžky stĺpa náhradného rámu Lcr = 24,924m bol použitý program IQ100. Imperfekcia náhradného členeného prúta e0 = 30,3mm bola vypočítaná na základe naklonenia stĺpov (Obr.2), ktoré bolo určené podľa (5.5) [1]. 150kN 10000 150kN 15000 Obr. 5. Geometria a zaťaženie náhradného rámu V zmysle predošlých kapitol bola vypočítaná hodnota prídavnej osovej sily ΔN = 4,53kN, vyjadrujúcej vplyv vzperu v globálnom tvare na najviac namáhanom prúte konštrukcie (vyznačený hrubou čiarou na Obr.4). 3 GLOBÁLNA ANALÝZA KONŠTRUKCIE SO ZOHĽADNENÍM ÚČINKOV TEÓRIE 2. RÁDU A PRÍSLUŠNEJ IMEPERFEKCIE 9500 50kN 50kN 50kN 50kN 50kN 25kN 25kN s 1000 Aby sa overila správnosť postupu popísaného v tomto článku bola vykonaná globálna analýza vyšetrovaného priehradového rámu so zohľadnením účinkov teórie 2. rádu a danej imperfekcie. Konštrukcia bola modelovaná najprv bez imperfekcie (Obr.4) a následne s naklonenými stĺpmi (Obr. 6). Spôsob zaťaženia a uloženia konštrukcie, prierezy a použitý materiál boli modelované v súlade s 2.7. 1000 14000 1000 Obr. 6. Geometria a zaťaženie konštrukcie pre globálnu analýzu Na vykonanie tejto analýzy bol použitý program Scia Engineer. Na modeli bez imperfekcie boli vypočítané osové sily v prútoch priehradového rámu aj podľa teórie 1. rádu - lineárny výpočet, aj podľa teórie 2. rádu nelineárny výpočet vykonaný pomocou Newton-Raphsonovej metódy. Na modeli s imperfekciou bol vykonaný výpočet osových síl podľa teórie 2. rádu. Hodnoty sledovaných tlakových osových síl na najviac namáhanom th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava prúte konštrukcie (vyznačený hrubou čiarou) sú v Tab.1. Veľkosť prídavnej osovej sily ΔNMKP, zohľadňujúcej vplyv vzperu v globálnom tvare, bola vyčíslená ako rozdiel osových síl vypočítaných teóriou 2. rádu na konštrukcii s imperfekciou a bez nej. (Tab.1). NimpII [kN] -251.95 Nbez_impII [kN] - 247.62 Nbez_impI [kN] - 247.11 ΔNMKP = NimpII- Nbez_impII [kN] 4.33 Tab.1. Tlakové osové sily a prídavná osová sila ΔNMKP V Tab.2 je porovnaná hodnota prídavnej osovej sily vypočítanej pomocou vyššie popísaného postupu (ΔN) s hodnotou získanou pomocou globálnej analýzy v programe na báze MKP (ΔNMKP). ΔN [kN] 4.53 ΔNMKP = NimpII- Nbez_impII [kN] 4.33 Odchýlka [%] 4.6 Tab.2. Porovnanie hodnôt prídavných osových síl 4 ZÁVER V predloženom článku je prezentovaný postup výpočtu vplyvu vzperu v globálnom tvare na prírastok osových síl v pásoch priehradových prútov rámových konštrukcii. Na základe dobrej zhody medzi výsledkami prezentovaného postupu a globálnej analýzy so zohľadnením teórie 2. rádu a imperfekcie konštatujeme, že popísaným postupom bolo možné vyjadriť prídavné namáhanie pásových prútov priehradových stĺpov s dostatočnou presnosťou. Odchýlka veľkosti 4,6% môže byť zapríčinená rôznymi faktormi. Pri transformácií skutočného priehradového rámu na náhradný rám s celistvými prierezmi sa uvažovalo s približným vzťahom pre kvadratický moment účinného prierezu Ieff. Delením náhradného členeného prúta diagonálami nie je možné vždy vystihnúť delenie na skutočnom prúte. Ďalej na náhradnom členenom prúte sa uvažuje s imperfekciou v tvare polvlny sínusu, ktorá bola pri globálnej analýze konštrukcie aproximovaná len naklonením stĺpov bez ich zakrivenia. Toto zjednodušenie môže viesť pri menších vzperných dĺžkach stĺpov k väčšej odchýlke. Možné spôsoby odstránenia týchto nepresností, ako aj vyšetrenie veľkosti ich vplyvu v prípade iných priehradových rámov s rôznymi proporciami bude predmetom ďalších analýz a parametrických štúdií. POĎAKOVANIE V článku sú prezentované výsledky výskumu podporeného grantom VEGA 1/0748/13. LITERATÚRA [1] STN EN 1993-1-1: Navrhovanie oceľových konštrukcií. Časť 1-1: Všeobecné pravidlá a pravidlá pre budovy. Slovenský ústav technickej normalizácie. 2006 th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS REVIEW OF THE SOLUTION FOR THE CONSTRUCTION OF A SWIMMING POOL BASIN. Ł. Rduch1 and A. Rduch2 Abstract The object of this article is to review various technologies, materials and structures of the swimming pools. The article includes photos of different types of pools, schematics, cross-sections and stages of building pools. For each type of pool construction there is a description of structure ,technology, the method of building and installation. At the end of the paper there are presented different ways the foundation of reinforced concrete basins of pools.. Key Words Swimming pool, reinforced constructions, various technologies 1 INTRODUCTION In this paper reviewed different technologies of swiming pool basin and selected optimal solution due to the materials and structures. First, described all the technology of buildnig swimming pool basin. Then selected the most preffered technology and it were made calculations in program which use numerical method for 6 different options of support. 2 CLASSIFICATION OF THE POOL BASINS DUE TO THE TYPE OF CONSTRUCTION AND THE MATERIAL 2.1 Plastic basin Basin made of plastic panels.They consist of two outer layers of polyester and an inner layer of polyurethane foam with a total thickness of about 4cm.It is transported to the place of installation in its entirely or in segments bonded in place to facilitate transport , can then be of any size. 1 2 Mgr inż. Łukasz Rduch, ul. Centralna 79F, 44-323 Połomia, tel. 695-459-968, lukasz.rduch@polsl.pl. Mgr inż. Aleksandra Rduch, ul. Centralna 79F, 44-323 Połomia, tel. 605-740-629, aleksandra.rduch@polsl.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 1. Plastic basin. 2.2 Steel basin Stainless steel basin, galvanized or painted, consisting of segments assembled at the construction site and fixed to the reinforced concrete bottom slab. Pool can be temporary. There are ready-made systems for example Skypool, Avalon, Iglu. Basin of this type are exposed to external corosion, in the event of damage to the coating also to internal corosion. Fig. 2. Steel basin. 2.3 Wooden basin Wooden basin made in the Swedish system.Wooden frame is covered with waterproof plywood and film. Basin can be made at the construction site or transported in the form of ready- segments. Images show the successive stages of construction building 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 3. Stages of building of the wooden basin. 2.4 Masonry basin Basin are made in brick technology on the concrete base slab. Masonry elements can be concrete or polystyrene with left holes in which are placed reinforcing bars with a diameter of 4.5 or 6 mm and a concrete. Images show the pool during construction and after completion Fig. 4. Basin of masonry structures. 2.5 Reinforced concrete basin Prefabricated - the walls and bottom are made of rigid reinforced concrete segments which are U or Lshaped.Segments weigh between 1.5 to 2 tons , are laid on a gravel ballast or on a lean concrete. Fig. 5. Basin of prefabricated reinforced concrete elements [1]. Monolithic- carried out at the place of installation, require formwork, but there is no need to use a crane.They can be sited directly on the ground-what is used for smaller pools, either through columns or walls-required for larger pools . 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 6. Monolithic reinforced concrete basin set on the ground. Fig. 7. Reinforced concrete basin. 2.6 Compressed reinforced concrete basin Concrete basin can be compressed if they are heavily strenuously. It may be necessary in pools based on three columns. Compressed can be of the reservoir wall as well as the binding joists and beams.Prestressing can also eliminate tensile stresses in the concrete. This allows to make prefabricated reservoir walls and provides tightness with no scratches. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 8. Compressed monolithic reinforced concrete basin [1]. 3 FOUNDATION OF BASIN 3.1 Direct foundation on the ground Direct foundation on the ground are used in smaller pools.Technical space for equipment and systems can be placed in the corridors around the perimeter of the pool or along multiple sides.Very difficult in this case is leakage control and any repairs bottom of the pool. Compilation of loads must take into account possibility dig up the walls of basin filled with water as well as the earth pressure on the walls of the empty pool and passive earth pressure impinging on the bottom. Fig. 9. Foundation of basin on the ground. 3.2 Foundation on pillars or walls This solution is used in larger pools. This allows the passing and mounting of equipment and installations under the basin , it makes easier to control leakage and any repairs. Basin is based on direct foundation by intermediate elements such as columns or walls. Foundation can be in form of pad foundadions, grillage foundations or foundation plate. Due to the design of static it is preferable to eject the edge of the ceiling and making of cantilever. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Another reason for the use of basing on the columns is reduction the effect of uneven ground subsidence or mining deformation. Fig. 10. Basin set on the ground. Support of basin can be provided in several ways: • Slab of basin can be based on columns.Prefered are grid with a mesh -like squares •It is necessary to check punching zone both in the foundation and in slab. •The advantage of slab- column system is their simplicity of construction •Usually it is necessary to strengthen the punching zone of bottom slab with additional reinforcement , heads or rigid steel inserts . •To achieve sufficient post-accidental lifting capacity of the system it is necessary to use continuous reinforcement for pole top and bottom. During the destruction of the slab bottom reinforcement works as a tie. Ceiling collapse followed after breaking the bottom reinforcing bars. •Slab based on the pillars via the ribs acting in one or two directions •Slab acting as appropriate, one or two-directions. •In the case of support on the three pillars it is necessary to use the main beams and secondary beams •Also it is necessary to check punching zone in foundation, it can also be necessary to check the punching of the beam or slab •Slab based on the walls. The walls provide a rigid support of slab so that the slab less bends and cracks. •The construction is less complicated and time-consuming but significantly increases the consumption of materials needed to complete the wall •Access under basin is provided by breaking the walls at the appropriate sections 3.3 Foundation partly on the ground Foundation of pool is partly made on the ground and partly on pillars or walls. It is possible to place the installation and equipment under raised basin minimizing the height of structural basin at the same time. Fig. 11. Foundation partly on the ground. REFERENCES [1] Kappler H. P.: Baseny kąpielowe, Warszawa, Arkady 1977. [2] Starosolski W.: Konstrukcje żelbetowe. Według PN-B-03264: 2002, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 2003. [3] Łapko A.: Projektowanie konstrukcji żelbetowych wg Eurocodu 2 i PN-B-03264: 1999, Arkady 2001. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [4] Kamiński M., Pędziwiatr J., Styś D.: Konstrukcje betonowe. Projektowanie belek, słupów i płyt żelbetowych, DWE, Wrocław 2000. [5] Starosolski W.: Wybrane zagadnienia komputerowego modelowania konstrukcji inżynierskich, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2003. [6] Sieczkowski J., Kapela M.: Projektowanie konstrukcji budowlanych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1996. [7] Kliszczewicz R.: Konstrukcje betonowe. Obliczanie elementów żelbetowych w Stanach Granicznych Nośności wg PN-B-03264: 1999 i jej nowelizacji, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2002. [8] Grabiec K.: Konstrukcje betonowe. Przykłady obliczeń statycznych, PWN, Warszawa-Poznań, 1995. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS SELECTION OF THE OPTIMAL DESIGN SOLUTION FOR THE CONSTRUCTION OF A SWIMMING POOL BASIN. Ł. Rduch1 and A. Rduch2 Abstract Objective of this paper is selection optimal solution due to the materials and structures for the swimming pool basin. Among all technology focused on reinforced concrete basin which is the most common and preffered solution. It was analysed 6 different slab support variants in program which use numerical method and select the most optimal option taking into account effort of reinforced concrete basin, vertical and horizontal deformations and also consumption of building materials: concrete and reinforcing steel. Key Words Swimming pool, strength analysis, reinforced constructions, consumption of building material analysis 1 INTRODUCTION In this paper reviewed different technology of swiming pool basin and selected optimal solution due to the materials and structures. First, described all the technology of buildnig swimming pool basin. Then selected the most preffered technology and it were made calculations in program which use numerical method for 6 different options of support. 2 SELECTION OF OPTIMAL TECHNOLOGY Among the above described technology this paper focused on reinforced concrete basin which is the most common and preffered solution taking into account requirement of providing acces for service from the bottom. Carry out analysis of influence of 6 different variant support condition on effort of reinforced concrete swimming pool basin, vertical and horizontal deformations and also on consumption of building materials: concrete and reinforcing steel. It was Adopted basin with dimensions of layout 25mx15m and variable depth from 1m to a maximum of 2 m.The basin is raised, dilatated from ceiling with full access from the bottom. Headroom under the basin ranges from 1.8 m to 2.8 m. There was Analyzed slab- column system without heads , slab- column system with heads, beam system , grillage system , column-longwall system and a longwall system.This analysis was made with ABC Obiekt program which use numerical method. There were selected optimal solution taking into account punching and consumption of building materials: concrete, reinforcing steel and effort to build of basin and support elements. 3 CALCULATION ASSUMPTION It was designed concrete class C35/45, reinforcing steel class A-IIIN. It was assumed the self- weight load. The weight of the finishing layers , the thrust hydrostatic water and shrinkage of concrete. It was assumed for all variants the thickness of the floor slab and walls of 20 cm basin , basin depth variable from 1.0 m to 2.0 m. Supports were designed in grid system 5,0x5,0m.Pillars were designed with cross-section of 0,3x0,3m, supporting walls thickness of 0,3m.Bottom slab was put forward cantilevered off column axis by 0.5 m. 1 2 Mgr inż. Łukasz Rduch, ul. Centralna 79F, 44-323 Połomia, tel. 695-459-968, lukasz.rduch@polsl.pl. Mgr inż. Aleksandra Rduch, ul. Centralna 79F, 44-323 Połomia, tel. 605-740-629, aleksandra.rduch@polsl.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava DESCRIPTION OF VARIANTS 4.1 Slab-column system It was checked punching zone. Lift capacity was insufficient, it is also impossible to provide sufficient bearing capacity by reinstate rigid inserts in columns 1 and 3. Lift capacity of the column 2 can be provided by reinstate of rigid insert. Fig. 1. Slab-column system. 4.2 Slab-column system with heads Fig. 2. Slab-column system with heads. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Because the lift capacity of the support zone for a slab thickness of 20 cm is insufficient, increased slab thickness to 40cm at the length of 1 m from the axis of the column. For this variant carry out calculations of lift capacity for the support zone of column No. 1,2,3. Lift capacity is sufficient , without requiring any additional reinforcement. 4.3 Beam system Another way to protect against punching is the use of beams. In this option, it were modeled beams along a long side of the pool based on the columns , slabs based on the beams. Fig. 3. Beam system. 4.4 Grillage system A variant of the beams in both directions, cross working slabs . 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Fig. 4. Grillage system. 4.5 Longwall-column system. Grillage system was modificated by adding walls in the central zone of the basin. Fig. 5. Longwall-column system. October 2015, Bratislava 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 4.6 Longwall system The basin is based only on the walls. The walls farthest from the middle of section of basin are significant stresses due to shrinkage. In order to reduce this impact external walls were designed segmentally. Fig. 6. Longwall system. 5 ANALYSIS OF THE RESULTS 5.1 Deformations in selected cross-sections Vertical deformation of walls are smaller than for columns. resulting in less vertical deformation for longwall system variant.The largest deformations occured in slab-column option. Introduction of beams , heads or grillage significantly reduces the vertical deformation of slab in the span, but it doesn't have significant influence on the vertical deformation of columns.Beam system is in the middle between grillage and slab-column system.Horizontal deformation of the basin are larger in longwall variant,which is caused by the shrinkage deformations of supporting walls much bigger than displacements of columns.Adding the walls in the central part of the grillage system reduced vertical deformation in the region of walls but it doesn't have significant impact on horizontal deformations of basin. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Fig. 7. Deformation in cross-section A-A. Fig. 8. Deformation in cross-section B-B. October 2015, Bratislava 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Fig. 9. Deformation in cross-section C-C. Fig. 10. Deformation in cross-section D-D. October 2015, Bratislava 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Cross-section A-A [mm] variant -22,59 slab-column -15,68 beam -13,3 grillage -14,5 with heads -15,01 longwall-column -11,95 longwall Cross-section C-C variant [mm] slab-column -22,57 beam -15,51 grillage -13,3 with heads -14,53 longwall-column -15,01 longwall -11,68 October 2015, Bratislava Cross-section B-B [mm] variant -18,83 slab-column -10,56 beam -9,69 grillage -11,92 with heads -11,18 longwall-column -11,86 longwall Cross-section D-D variant [mm] slab-column -17,33 beam -14,21 grillage -9,19 with heads -11,35 longwall-column -8,16 longwall -2,65 Tab. 1. Maximum deformations in selected cross-sections. 5.2 Bending moments in selected cross-sections Values of moments depend on the element inflexibility. More rigid elements take over the greater part of the moment. In supporting cross-sections i.e. running along the axis of the support , the gratest moments occured in options which have beams in this cross-sections. The greatest span moments are for slab-column system.For longwall-columns systems there are disorders of moments in the place of the wall due to thermal influences. Fig. 11. Bending moments in cross-section A-A. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Fig. 12. Bending moments in cross-section B-B. Fig. 13. Bending moments in cross-section C-C. October 2015, Bratislava 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 14. Bending moments in cross-section D-D. Cross-section A-A variant max [kNm] min [kNm] 27,1 -54,02 slab-column 19,74 -41,94 beam 17,5 -43,06 grillage 18,63 -45,86 with heads 34,12 -45,63 longwall-column 80,05 -32,9 longwall Cross-section C-C variant slab-column beam grillage with heads longwall-column longwall max [kNm] 22,66 15,68 11,9 12,99 10,47 34,43 Cross-section B-B variant max [kNm] min [kNm] 337,8 -62,69 slab-column 824,1 -444,8 beam 495,6 -411,7 grillage 486,9 -49,77 with heads 392,1 -446,5 longwall-column 81,3 -34,57 longwall Cross-section D-D min [kNm] variant max [kNm] min [kNm] -47,48 329,9 -57,24 slab-column -46,99 146 -52,88 beam -40,33 478,5 -389,8 grillage -41,78 472,1 -46,97 with heads -38,6 430,7 -358,6 longwall-column -106,5 129,7 -17,56 longwall Tab. 2. Extreme bending moments in selected cross-sections 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 5.3 Consumption of structural concrete The greatest consumption of concrete is required for slab-column system.For the same reasons, the slab- column variant is characterized by a high demand of concrete Consumtion for same basin but for columns is much lower. Beam and grillage system have similar needs for concrete. The worst of the column variants is option with heads. Fig. 15. Consumption of structural concrete. The greatest consumption of concrete is required for slab-column system.For the same reasons, the slab- column variant is characterized by a high demand of concrete Consumtion for same basin but for columns is much lower. Beam and grillage system have similar needs for concrete. The worst of the column variants is option with heads. 5.4 Total consumption of reinforcing steel Fig. 16. Total consumption of reinforcing steel. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Total demand for whole steel structure is more aligned to the different options than considered separately consumption due to strength and limiting the width of the crack. The difference between the most divergent variants does not exceed 20 %. The weakest option is a longwall-slab system, having several times larger demand for steel for the supporting elements than other options, despite approximately twice lower demand for same basin.Similar demand is for a variant of slab- column system , with the least need for supporting elements , but the biggest for the same basin. The most preferred variant has proven to be a column system with head, like the grillage system. A little worse proved to be longwall-slab system with less need for the same basin but more for the walls supporting 6 COMPARISON OF THE COST OF CONSTRUCTION MATERIALS Compared to the cost of construction materials necessary computationally. Adopted the price of concrete C35 / 45 290 zł / m3, reinforcing steel A- IIIN , grade RB500W 1990 zł / t Fig. 17. Comparison of the cost of construction materials. Most preferably, the cost of materials is a grillage option. slightly worse is beam and column with head system. The most expensive is a variant of longwall, also adding walls to longwall-column system significantly increased it's cost.There is greater effort of building variants with beams or columns with heads what increased it's cost. 7 CONCLUSIONS Among the analyzed variants the worst variant turned out to slab- column system It is impossible to ensure sufficient capacity of the support zone, deformation are the biggest and the reinforcing steel consumption is almost the highest. Also longwall system turn out to be negative. This option has the greatest demand for materials , both in concrete and reinforcing steel , therefore has the highest cost of construction materials. Has the greatest horizontal deformation of shrinkage , the only advantage here are only the smallest vertical deformation The best option turned out to be a grillage system , with very low consumption of concrete and reinforcing steel.It also has a small deformations. Marginally worse turned out to be a slab-column variant with heads , with the smallest demand for steel , but slightly higher for concrete , which slightly increased the price.Deformation slab-column variant with heads are slightly larger than the grillage.Beam system is intermediate option between grillage and column-slab variant.Consumption of concrete is slightly smaller, but steel consumption is significantly higher.Adding of the walls in the longwall-column system significantly reduces the deformation in the area of the walls, but uses more concrete and reinforcing steel. To the detriment of beam , grillage and the head variant compared to the longwall supports is a large effort of building and higher cost building. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava REFERENCES [1] Kappler H.P.: Baseny kąpielowe, Warszawa, Arkady 1977. [2] Starosolski W.: Konstrukcje żelbetowe. Według PN-B-03264: 2002, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 2003. [3] Łapko A.: Projektowanie konstrukcji żelbetowych wg Eurocodu 2 i PN-B-03264: 1999, Arkady 2001. [4] Kamiński M., Pędziwiatr J., Styś D.: Konstrukcje betonowe. Projektowanie belek, słupów i płyt żelbetowych, DWE, Wrocław 2000. [5] Starosolski W.: Wybrane zagadnienia komputerowego modelowania konstrukcji inżynierskich, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2003. [6] Sieczkowski J., Kapela M.: Projektowanie konstrukcji budowlanych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1996. [7] Kliszczewicz R.: Konstrukcje betonowe. Obliczanie elementów żelbetowych w Stanach Granicznych Nośności wg PN-B-03264: 1999 i jej nowelizacji, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2002. [8] Grabiec K.: Konstrukcje betonowe. Przykłady obliczeń statycznych, PWN, Warszawa-Poznań, 1995. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS A COMPARISON BETWEEN METHODOLGOIES IN THE SEISMIC ASSESSMENT OF MASONRY BUILDINGS J.A. Avila-Haro1 and J. Máca2 Abstract The use of increasingly accurate and complex analysis methods for the evaluation of the dynamic response of structures has augmented due to the development of the computational power and methods. Nevertheless, the non-linear dynamic analysis (NDA) still requires considerable computational efforts and time consumption, and therefore, the use of non-linear static procedures (NSPs) has become and attractive alternative for engineers due to their ease and promptness of implementation, as well as their recognized accuracy. The performance of two NSPs is evaluated in this work for a case study consisting of a seven-storey unreinforced masonry (URM) building, fully representative of the residential building typology of the district of L’Eixample in Barcelona, Spain. The accuracy of the NSPs is evaluated by comparison with the results obtained from incremental dynamic analyses (IDA), which are considered as reference values. Seven ground motion records and different levels of seismic intensity have been used in order to take into account the uncertainties of the demand. Key Words Performance-based seismic design; non-linear static procedures; incremental dynamic analysis; unreinforced masonry 1 INTRODUCTION Despite the fact that the recent development of computational power and methods has permitted the use of more sophisticated analysis for the evaluation of the dynamic response of structures, their application is still only affordable in a few particular cases due to the considerable time consumption and computational efforts associated to them. Therefore, the use of transparent and sufficiently simple and accurate procedures is needed to evaluate existing constructions, as well as to adequately design new earthquake resistant structures. In recent years, and in order to overcome the abovementioned drawbacks, a series of simplified methodologies commonly known as non-linear static procedures (NSPs) have been developed. These procedures have become widely accepted due to their ease, promptness and adequate accuracy when compared to more complex and timeconsuming methodologies such as the non-linear dynamic analysis (NDA) [1, 2]. The work carried out in this paper assesses the vulnerability of a seven-story unreinforced masonry (URM) building by means of the incremental dynamic analysis (IDA) methodology, developed by Vamvatsikos and Cornell [3], and by two selected NSPs: the N2 method [4] adopted by the Eurocode 8 [5]; and the 10% fit approach [6]. Being considered one of the most sophisticated and accurate methodologies in the seismic 1 Ing J. A. Avila-Haro; EUETIB-UPC, Comte d’Urgell 187, Barcelona 08036; (+34) 93-4016497; jorge.avilaharo@upc.edu 2 Prof. J. Máca; Czech Technical University in Prague, (+420)224354500, maca@fsv.cvut.cz 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava assessment of structures, the results obtained from the IDA will be used as reference values in order to compare determine the accuracy of the simplified NSPs. The possible uncertainties and variability of the demand are considered by an adequate selection of seven ground motion records [7] as well as a range of intensities of the seismic action through the conditional spectrum (CS) method [8, 9]. 2 NON-LINEAR STATIC PROCEDURES The simplicity and accuracy in the prediction of seismic response parameters in structures are some of the main reasons why non-linear static procedures (NSPs) are now widely used in engineering practice. As the name implies, different elements modeled by non-linear mathematical relationships compose the structure, which is subjected to a static analysis performed through the application of incremental static loads until its ultimate state is achieved. Within the different NSPs available in the literature, some of them are recent and some others remain valid despite being proposed, adapted and/or modified several years ago. Nevertheless, the different NSPs share common basis and goals, and have been incorporated in design codes and guidelines as a powerful tool for performance evaluation due to their ease, versatility and promptness. Their key aspects can be summarized in two parts: one corresponding to the capacity, and another one corresponding to the demand. The capacity part is accomplished by means of a non-linear static analysis from which the so-called capacity curve (pushover curve) is obtained. The latter is achieved applying a monotonically increasing predefined load pattern to the structure with an outcome that characterizes the relation between the roof displacement (roof) of a selected control node (usually at the center of masses) and the corresponding base shear (Vb) at each monotonic increment. With regard to the demand part, a proper design/response spectrum must be selected and used in order to characterize the possible expected ground motions. The possible spectra can be obtained from national codes and guidelines, as well as from more specific micro-zonation studies performed in the area of interest. Depending on the NSPs to be applied, the response spectra to be used can be either an elastic response spectrum or an inelastic response spectrum. In order to compare both, capacity and demand, their results must be properly treated and transformed into an equivalent format and units. The procedure accomplishes this through a series of steps, which include: 1) the transformation of the capacity curve of the multi-degree of freedom (MDOF) system into a capacity curve of an equivalent single-degree of freedom (SDOF) system; 2) the calculation of the inelastic displacement (target displacement) that corresponds to the seismic action imposed to the structure in acceleration-displacement units; and 3) the transformation of the obtained target displacement of the equivalent SDOF system back to the MDOF [10]. 2.1 The N2 method / Eurocode 8 The N2 method was proposed by Professors Peter Fajfar and Matej Fishinger in the late 1980s [11, 12], and subsequently matured and updated in the following decades [4, 13-16]. The original N2 method [4] was adopted by the Eurocode 8 [5], and combines the non-linear static analysis of a MDOF model with the response spectrum analysis of an equivalent SDOF system. The major difference with respect to the some other previous approaches (e.g. ATC-40 [17]) is the use of inelastic demand response spectra, which are indirectly determined from the elastic demand response spectra by means of reduction factors [18]. 2.2 The 10% fit Proposed by De Luca, Vamvatsikos and Iervolino [6], this bilinear fit improvement aims to decrease the error introduced in the conventional static pushover analysis by the piecewise linear fitting of the capacity curve. The approach stands up for the intersection between the capacity curve and the fitted elastic segment at 10 % of the maximum base shear in order to better capture the initial stiffness. Another main difference of this approach 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava is the setting of a subsequent plastic segment at the maximum strength value (peak base shear value), ignoring the equilibrium of energies, as happens in other procedures [19]. As in the N2 method, the seismic demand is represented by means of an inelastic response spectrum, which results from the scaling of the elastic response spectra and the use of the proper R-μ-T relations. 3 THE BUILDING 3.1 General description An isolated seven-storey unreinforced masonry (URM) building, representative of the district of L’Eixample in Barcelona, Spain, is analyzed. To date, the district of L’Eixample has approximately a quarter of a million of inhabitants, 8,658 buildings and a population density of 33,148 inhabitants per km 2. A large number of these buildings are more than 100 years old, the majority of which were built before 1960, being 1931 the average year of construction. Nowadays, nearly the 73% of the buildings of the district of L’Eixample correspond to unreinforced brick masonry buildings [20]. 20 20 30 300 300 1775 20 300 20 1270 300 20 300 20 280 3.2 Walls system The structure presents a load-bearing walls system and shallow foundations running through surface pads under the walls. The base of the structure is rectangular with a diaphanous base level mainly used for commercial purposes, characterized by high ceilings and the use metallic columns and girders instead of walls. The upper levels are commonly used as dwellings, having lower ceilings and the presence of symmetrical bearing and partition walls (Fig. 1). 500 20 45 Front façade Ground floor Upper levels Fig. 1. Elevation of the front façade and plan views of the base floor and upper levels of the case study building (dimensions in [cm]) Depending on the type and location of the wall, different wall thickness can be found in the structure. Some of the most common dimensions for each type of wall are: 1) intermediate lateral walls, with 30 cm thickness at the ground floor and 15 cm thickness at upper levels; 2) façades, with a 45 to 60 cm thickness at ground level and 30 cm thickness at upper levels; 3) stairwell and central core, with 30 cm thickness at ground level and 15 to 30 cm thickness at upper levels; 4) internal load-bearing walls, with 10 to 15 cm thickness; and 5) internal partition walls, with less than 10 cm thickness. Further details about the architectonic characteristics of the distinctive masonry buildings of the district of L’Eixample can be found in Paricio [21]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.3 Floor system The floor system is composed of unidirectional slabs oriented in parallel with the shorter direction of the area to be enclosed, mainly built with metallic girders 70 to 80 cm apart, and small thin vaults placed in-between with an average thickness of 15 to 20 cm. The vaults are composed of two to three layers of thin bricks, which are then infilled by a compression layer made of rubble and plaster and covered with a compression layer on top. This layer is then leveled and covered with tile pavement (Fig. 2). The slabs are simply supported on bearing walls or main beams, depending on the level of the building, presenting barely sufficient connection to these elements. The support length directly depends on the thickness of the receiving element. Common support lengths are: 15 cm for intermediate lateral walls; 30 cm for façades in lower levels; and 10-15 cm for façades in upper levels. Fig. 2. Unidirectional slabs composed of iron beams and brick vaults a) Components of the floor system: 1.- double layer of thin brick, 2.- lime mortar, 3.- I type iron beam, 4.- rubble and plaster infill, 5.- pavement; b) separation of the iron beams (70 to 80 [cm]) 3.4 Loads and materials The load values used in this work are in accordance with the contemporary city council regulation documents, prior to the first codes and guidelines that started to appear in the 1960’s [22, 23]. A permanent load of 350 kg/m2 is assigned to all levels, consisting of 200 kg/m2 corresponding to the floor weight; 100 kg/m 2 corresponding to the load from the partition walls; and 50 kg/m2 corresponding to weight of tiled floor pavement. On the other hand, a variable load of 200 kg/m2 is assigned to the intermediate floors, and a 100 kg/m2 load for the last floor (terrace) [2]. According to the thickness of the wall, different brickworks can be found in the structure. The quality of the bricks and the mortar also varies depending the location of the element and the load to be supported, passing through ordinary bricks and lime mortar for low range loads up to high resistance bricks with Portland cement for main loads and slender pillars. The mechanical properties used in this work (Table 1) were obtained and extrapolated from contemporary documents and existing tests results, taking into account the expertise and sound opinion of architects and civil engineers. Mechanical parameter Specific weight,  Compressive strength, f’m Elastic modulus, E Shear modulus, G Shear strength,  Inferior limit -215 107500 35833 6.45 Average value 18 300 150000 50000 9.00 Superior limit -385 192500 64167 11.55 Table 1. Mechanical properties of masonry Units kN/m3 N/cm2 N/cm2 N/cm2 N/cm2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.5 Computational model The 3D non-linear model of the building under study in this work was developed and analyzed using the computer program TreMuri [24], which is widely used and recognized in the analysis and simulation of the nonlinear behavior of masonry structures The analysis is performed by means of constitutive laws derived from experimental tests and a macroelement approach [25], which reduces the computational load. The analyzed building was modeled on the basis of original floor plans, architectural drawings, and diverse technical documents that provided relevant data. The latter was seconded with the use of guidelines and manuals contemporary to the construction time of the structure, as well as the expert judgment of architects and civil engineers, and several field visits. 4 THE DEMAND The city of Barcelona is located in a low-to-moderate seismic hazard region in the northeast of the Iberian Peninsula, with a VI to VII macroseismic intensity in accordance with the European macroseismic scale, EMS’98, and is divided in 10 districts. In the framework of the Risk UE project [26], several studies were performed in order to better characterize the different types zones and soils of the city [27]. A deterministic and a probabilistic seismic scenario resulted as an outcome of this work. Similarly, different microzoning studies [28, 29] were carried out in order to obtain specific site response spectra for these two scenarios [1]. 4.1 Record selection The conditional spectrum approach (CS) procedure [9, 30, 31] was applied in order to select seven compatible horizontal acceleration components from the PEER earthquake database [32], that matched the deterministic scenario target response spectrum corresponding to the soil Zone II of the city of Barcelona in which the district of L’Eixample is located. The seven selected records were properly scaled to different intensity values, i.e. pga, in order to evaluate the dynamic response of the structure for different possible states. The considered pga values for the scaling process yield between 0.2 and 0.22 g, at every 0.01 g. The upper limit was selected taking into account that the maximum expected pga in Barcelona for the deterministic scenario of soil Zone II is 0.141 g. 5 RESULTS AND COMPARISONS 5.1 Modal Analysis The results from the performed modal analysis are summarized in Table 2. The first and second modes of vibrations are translational for both directions of the structure Mode 1 2 1 2 T [s] 0.80 0.27 0.61 0.58 Mx [%] 87.64 9.77 0.60 0.14 My [%] 0.30 0.01 72.39 5.79 Direction Table 2. Modal analysis results 5.2 Capacity curve (pushover) The capacity curves obtained for both directions are shown in Fig. 3. X Y 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 3. Capacity curve of the structure. +X direction (left), +Y direction (right) 5.3 Non-linear static procedures (NSPs) The results obtained from the different NSPs for both directions of the structure are shown next. Fig. 4. Results for the +X direction. N2-method (left), 10%-fit (right) Fig. 5. Results for the +Y direction. N2-method (left), 10%-fit (right) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 5.4 Incremental Dynamic Analysis (IDA) The incremental results of the non-linear dynamic analysis are presented hereafter. The mean values are also calculated and included in the graphics in order to ease the comparison of an average response. Fig. 6. IDA results for the different records and their average value. +X direction (left), +Y direction (right) 5.5 NSPs vs. IDA Finally, the comparison between the different NSPs analyzed in this work and the IDA results is presented for the different pgas and ground motion records used. The roof displacement was selected as the structural parameter to evaluate the performance and accuracy of the simplified methods. It can be observed that the NSPs approaches tend to provide higher values than those obtained through the IDA for almost all the intensity measures considered in the analysis. The latter is in accordance with what is reported in the literature and with what would be expected from more conservative methodologies that incorporate simplifying assumptions that lead to the use of higher safety factors in order to surpass the different uncertainties. The 10% fit shows closer results to those reported by the IDA since it captures in a better way the initial stiffness oft he elastic branch of the capacity curve, which results to be a very sensitive parameter in the performance of these methodologies. Fig. 7. Comparison between mean results of the analyzed NSPs and the IDA. +X direction (left), +Y direction (right) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 6 October 2015, Bratislava FINAL REMARKS AND CONCLUSIONS The validity and applicability of the static pushover analysis have been extensively studied in literature, becoming an attractive alternative and useful tool for the seismic assessment of structures. Regarding the NSPs, it is clear that most of them share the same basics and principles, differing mainly in the idealization of the capacity as a bilinear representation, and in the response spectra to be used in order to represent the demand. Special attention is required for the selection and subsequent processing of the ground motion records that will represent the demand to be imposed to the structure, since the response of the structure and therefore the obtained results are highly sensitive. The conditional spectrum (CS) approach can be considered an appropriate and useful approach in order to select different ground motion records since it takes into account several of the structure itself. The correct definition and modeling of the structure and its elements is fundamental in order to reduce the possible uncertainties in the input data of the model. The sufficient knowledge of the mechanical parameters and particularities of the materials would lead to a better understanding and therefore results. The results obtained in this work show that the applied NSPs can successfully characterize the response of the analyzed building with sufficient accuracy, leading to vast savings in time and computational efforts, without compromising the results. ACKNOWLEDGEMENT The work performed for this paper has been supported by the grant obtained from the Consortium of the Masters in Structural Analysis of Monuments and Historical Constructions (SAHC) in cooperation with the Erasmus Mundus programme during the academic year 2014/2015. The paper has been also supported by the CTU Grant “Advanced numerical modeling in mechanics of structures and materials” (grant No. SGS15/031/OHK1/1T/11). REFERENCES [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] Pujades, L., et al., Seismic Performance of a Block of Buildings Representative of the Typical Construction in the Eixample District in Barcelona (Spain). Bulletin of Earthquake Engineering, 2012(10): p. 331-349. González-Drigo, R., et al., Modernist URM buildings of Barcelona. Seismic Vulnerability and Risk Assessment. International Journal of Architectural Heritage, 2013. Vamvatsikos, D. and C.A. Cornell, Incremental Dynamic Analysis. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2002. 31(3): p. 491-514. Fajfar, P. and P. Gašperšič, The N2 method for the seismic damage analysis of RC buildings. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1996. 25: p. 31-46. Eurocode-8-1, Design of Structures for Earthquake Resistance. Part 1: General Rules, Seismic Actions and Rules for Buildings, 2004, Comité Européen de Normalisation. De Luca, F., D. Vamvatsikos, and I. Iervolino, Improving Static Pushover Analysis by Optimal Bilinear Fitting of Capacity Curves, in Computational Methods in Earthquake Engineering, M. Papadrakis et al., Editor. 2013, Springer Netherlands. p. 273-295. Avila-Haro, J., et al., Deterministic and Probabilistic Earthquake Scenarios for the Seismic Risk Analysis of URM buildings. Key Engineering Materials, 2013. 525-526: p. 537-540. Baker, J.W., et al., New Ground Motion Selection Procedures and Selected Motions for the PEER Transportation Research Program, 2011, PEER Technical Report 2011/03. p. 106. Jayaram, N., T. Lin, and J.W. Baker, A Computationally Efficient Ground Motion Selection Algorithm for Matching a Target Response Spectrum Mean and Variance. Earthquake Spectra, 2011. 27(3): p. 797-815. de Almeida e Fernandes Bhatt, C.A., Seismic Assessment of Existing Buildings Using Nonlinear Static Procedures (NSPs) - A New 3d Pushover Procedure, 2011, Universidade Técnica de Lisboa. Instituto Superior Técnico. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] October 2015, Bratislava Fajfar, P. and M. Fischinger, Non-linear seismic analysis of RC buildings: implications of a case study. European Earthquake Engineering, 1987. 1: p. 31-43. Fajfar, P. and M. Fischinger. N2 - A method for non-linear seismic analysis of regular buildings. in Ninth World Conference on Earthquake Engineering. 1988. Tokyo-Kyoto, Japan. Gašperšič, P., P. Fajfar, and M. Fischinger, An approximate method for seismic damage analysis of buildings, in Tenth World Conference on Earthquake Engineering1992: Rotterdam, Netherlands. Fajfar, P., Capacity Spectrum Method Based on Inelastic Demand Spectra. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1999(28): p. 979-993. Fajfar, P., et al. Extension of the N2 method - Asymetric buildings, infilled frames and incremental N2. in Performance-based seismic design concepts and implementation. 2004. Bled, Slovenia: Pacific Earthquake Engineering Research Center, PEER. Kreslin, M. and P. Fajfar, The extended N2 method considering higher mode effects in both plan and elevation. Bulletin of Earthquake Engineering, 2012. 10: p. 695-715. ATC-40, Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings, 1996, California Seismic Safety Commission: California, U.S.A. Fajfar, P., A Nonlinear Analysis Method for Performance Based Seismic Design. Earthquake Spectra, 2000. 16(3): p. 573-592. De Luca, F., D. Vamvatsikos, and I. Iervolino, Near-optimal piecewise linear fits of static pushover capacity curves for equivalent SDOF analysis. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2013. 42(4): p. 523-543. Lantada, N., Aplicación de Técnicas GIS a Estimación de Riesgos Naturales, 2007, Universitat Politècnica de Catalunya. Paricio, A., Secrets d'un Sistema Constructiu. 2001, Barcelona, España: Edicions UPC. Ministerio de la Vivienda, Norma MV 101-1962. Acciones en la Edificación., in Spanish Official Bulletin1963, Ministerio de la Vivienda: Madrid, Spain. Ministerio de la Vivienda, NBE-AE/88 Norma Básica de la Edificación. Acciones en la Edificación, in Spanish Official Bulletin1988, Ministerio de la Vivienda: Madrid, Spain. Galasco, A., S. Lagomarsino, and A. Penna, TREMURI Program: Seismic Analyser of 3D Masonry Building, 2002: University of Genoa. Lagomarsino, S., A. Galasco, and A. Penna, Pushover and dynamic analysis of URM buildings by means of a non-linear macro-element model, in International Conference on Earthquake Loss Estimation and Risk Reduction2002, RISK-UE project: Bucharest. Milutinovic, Z.V. and G.S. Trendafiloski, WP4: Vulnerability of Current Buildings, in RISK-UE Project Handbook. 2003. p. 111. Irizarry, J., An Advanced Approach to Seismic Risk Assessment. Application to the Cultural Heritage and the Urban System of Barcelona, 2004, Universitat Politècnica de Catalunya, UPC: Barcelona, Spain. p. 406. Cid, J., onación s smica de la ciudad de Barcelona asada en métodos de simulación numérica de efectos locales, 1998, Universitat Politècnica de Catalunya, UPC: Barcelona, Spain. p. 215. Secanell, R., et al., Seismic hazard zonation of Catalonia, Spain, integrating uncertainties. Journal of Seismology, 2004. 8: p. 24–40. Abrahamson, N.A. and L. Al Atik, Scenario Spectra for Design Ground Motions and Risk Calculation, in 9th US National and 10th Canadian Conference on Earthquake Engineering2010: Toronto, Canada. NIST, Selecting and Scaling Earthquake Ground Motions for Performing Response-History Analyses, NIST GCR 11-917-15, 2011, by NEHRP Consultants Join Venture for the National Institute of Standards and Technology: Gaithersburg, Maryland. PEER, New Ground Motion Selection Procedures and Selected Motions for the PEER Transportation Research Program, 2011, Pacific Earthquake Engineering Research Center: California, USA. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS ANALÝZA DEFORMÁCIÍ PLOŠNÝCH ŠTVORCOVÝCH ZÁKLADOV PREMENLIVEJ TUHOSTI Ľ. Hruštinec1, J. Sumec2 Abstract Príspevok sa zaoberá analýzou deformácií a relatívnych pretvorení (pomerným sadnutím, relatívnym priehybom a flexibilitou) plošných základových konštrukcií štvorcového tvaru v závislosti od zmeny relatívnej tuhosti. Pri riešení je využitá numerická metóda konečných prvkov za teoretických predpokladov lineárne pružného polpriestoru. Na kontakte základu a podložia bolo zohľadnené pôsobenie jednostrannej a obojstrannej väzby. Kľúčové slová Interakcia základu s podložím, plošné základy, numerické riešenie, Metóda konečných prvkov (MKP), ANSYS® software. 1 ÚVOD Pri navrhovaní základových konštrukcií a posudzovaní základovej pôdy z hľadiska medzných stavov musíme poznať veľkosť a rozdelenie kontaktného napätia (posúdenie na 1. skupinu medzných stavov) a pretvorenie základovej konštrukcie (posúdenie na 2. skupinu medzných stavov). Na rozdelenie kontaktného napätia a pretvorenie základovej konštrukcie vplýva množstvo rôznych faktorov. Vo všeobecnosti je možné konštatovať, že rozdelenie kontaktného napätia a pretvorenie základu závisí od relatívnej tuhosti základovej konštrukcie vzhľadom na podložie. V pojme relatívna tuhosť sú zahrnuté viaceré faktory, ktoré v rôznej miere ovplyvňujú celkovú tuhosť stavebnej konštrukcie. Medzi najvýznamnejšie faktory patria: - geometrický tvar, rozmery a deformačné parametre základovej (stavebnej) konštrukcie; - vrstevnatosť, nehomogenita, anizotropia a deformačné parametre podložia, Uvedené faktory významne vplývajú na definovanie vstupných údajov a predurčujú zložitosť okrajových podmienok riešeného problému. V príspevku je podrobnejšie analyzovaný vplyv zmeny relatívnej tuhosti systému „základ – podložie“ a väzby v základovej škáre na deformácie (sadnutie) a relatívne pretvorenie (pomerné sadnutie, relatívny priehyb a flexibilitu) plošných základov štvorcového pôdorysného tvaru. Konečné sadnutie a nerovnomerné pretvorenie základovej konštrukcie v rozhodujúcej miere ovplyvňuje dimenzovanie a posudzovanie základovej konštrukcie z hľadiska 2. skupiny medzných stavov (medzný stav používateľnosti). Pri riešení problému interakcie základovej konštrukcie s podložím je využité matematické modelovanie metódou konečných prvkov (MKP). MKP je v súčasnosti považovaná za jednu z najuniverzálnejších a najefektívnejších metód analýzy konštrukcií všetkých druhov (všeobecného tvaru, premenlivej hrúbky, fyzikálnych vlastností, geometrických parametrov a pod.). Interakcia základových konštrukcií s podložím je podrobnejšie riešená napr. 1 2 Doc. Ing. Ľ. Hruštinec, PhD., Stavebná fakulta STU, tel.: 00421259274678, e-mail: lubos.hrustinec@stuba.sk Prof. Ing. RNDr. Mgr. J. Sumec, DrSc., Stavebná fakulta STU, tel.: 00421259274455, e-mail: jozef.sumec@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava v [1, 5, 8, 10, 12, 13, 14]. Využitie MKP pri riešení interakcie základových konštrukcií s podložím uvádzajú napr. autori [2, 3, 4, 6, 9, 15]. Úloha je riešená výpočtovým programom ANSYS [7]. 2 RELATÍVNA TUHOSŤ SYSTÉMU “ZÁKLAD – PODLOŽIE“ V inžinierskej praxi používané predpoklady stanovenia relatívnej tuhosti, resp. poddajnosti základovej (resp. stavebnej) konštrukcie sú vo všeobecnosti stanovené pre systém “základová konštrukcia – podložie“ alebo systém “konštrukcia hornej stavby - základová konštrukcia - podložie“. Prevažná väčšina vzťahov používaných v praktických výpočtoch pre určenie relatívnej tuhosti je definovaná pre systém “základ - podložie“ a vychádza z pomeru ohybovej tuhosti základovej konštrukcie k tuhosti podložia vyjadrenej modulom deformácie, resp. pružnosti. Uvedený predpoklad pre stanovenie relatívnej tuhosti systému “základ - podložie“ je použitý aj v STN 73 1001 [11] podľa vzťahu : k kde Ef Edef t L je Ef Edef t   L 3 (1) modul pružnosti základovej konštrukcie modul deformácie základovej pôdy výška základu šírka (dĺžka) základu. Ak relatívna tuhosť k1 základ je poddajný (ohybný, flexibilný) a k1 základ je tuhý. Z hľadiska praktických inžinierskych výpočtov “ostrá“ hranica kritéria relatívnej tuhosti (k1 – ohybný základ , k1 – tuhý základ) nevystihuje dostatočne presne skutočné pretvorenie základových konštrukcií a rozdelenie kontaktných napätí v základovej škáre. Reálnejšie a výstižnejšie je možné zohľadniť relatívnu tuhosť systému “základ – podložie“ pri výpočte pretvorenia základu a zmeny napätostného stavu v podloží základu pomocou interakčných výpočtov s využitím MKP. 3 DEFINOVANIE GEOMETRICKÝCH A MATERIÁLOVÝCH OKRAJOVÝCH PODMIENOK VÝPOČTOVÉHO MODELU Pri tvorbe výpočtových modelov bolo rozhodujúcimi kritériom zachovanie fyzikálnej podstaty riešeného problému, t.j. vystihnutie skutočného správania plošnej štvorcovej základovej konštrukcie a podložia tvoreného zeminou s reálnymi fyzikálnymi a deformačnými vlastnosťami. Preto boli vstupné údaje a okrajové podmienky do výpočtových modelov definované podľa skutočných geometrických parametrov a materiálových vlastností vyplývajúcich z výsledkov laboratórneho experimentu na fyzikálnych modeloch plošných základov položených na piesčitom podloží, ktoré uskutočnil Matani [8]. Základová konštrukcia štvorcového pôdorysného tvaru premenlivej hrúbky (od 2,5 mm do 100 mm) bola z ocele a podložie tvoril hutný piesok. Materiálové charakteristiky fyzikálneho modelu základu a podložia použité v numerických výpočtoch sú uvedené v Tab. 1. Schéma fyzikálneho modelu štvorcového základu na piesčitom podloží podľa [8] s geometrickými charakteristikami je zobrazená na Obr. 1. Pre numerickú analýzu bol zvolený štvorcový pôdorysný tvar základovej konštrukcie s rôznou hrúbkou (označenie modelu “A“), resp. relatívnou tuhosťou “k“, ktorá sa pohybovala v intervale od “dokonale“ tuhých až po “dokonale“ ohybné (flexibilné) základy. Geometrické charakteristiky a relatívne tuhosti numericky analyzovaných modelov štvorcových základov sú uvedené v Tab. 2. Z hľadiska vplyvu väzby a trenia na kontaktnej ploche medzi základom a podložím sú porovnávané nasledujúce tri prípady:  dvojstranná väzba (prenos ťahových aj tlakových síl a trenia pevným spojením v úrovni kontaktnej plochy základu a podložia) - označenie výpočtového modelu “A“,  jednostranná väzba bez trenia (prenos iba ťahových síl bez trenia medzi základom a podložím, t.j. uhol vnútorného trenia zeminy =0°) - označenie výpočtového modelu “Ac – bez trenia“,  jednostranná väzba s trením (prenos iba ťahových síl a trenia na kontaktnej ploche základu s podložím ak uhol vnútorného trenia =35°) - označenie výpočtového modelu “Ac – s trením“ Všeobecne známou nevýhodou výpočtového modelu s dvojstrannou väzbou je prenos ťahových síl medzi základovou konštrukciou a podložím. Nepriaznivý vplyv dvojstrannej väzby sa prejaví hlavne pri modeloch ohybných základov zaťažených silou väčšej intenzity, pri ktorej dochádza k oddeleniu základu od podložia 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava v oblasti rohov a okrajov základu. Významnou výhodou modelu s dvojstrannou väzbou je numerická stabilita a jednoduchosť výpočtu. Výpočtový model s jednostrannou väzbou reálnejšie vystihuje správanie sa skutočných základových konštrukcií pri ktorých dochádza na určitej (ťahanej) oblasti kontaktnej plochy k oddeleniu základu od podložia. K takémuto stavu dochádza hlavne pri ohybnejších základoch a pri pôsobení väčšej intenzity zaťaženia. Nevýhodou výpočtového modelu je numerická nestabilita a časová náročnosť výpočtov vyplývajúca z nespojitosti úlohy (na kontaktnej ploche), geometrickej nelinearity, resp. relatívne veľkých priehybov (pretvorení) základu. Fyzikálne vlastnosti Model Materiál Základ Podložie Modul pružnosti E ( MPa ) Poissonove číslo  (-) Hutnosť ID ( - ) Oceľ 210 000 0,20 - Piesok 26 0,28 0,7 Tab. 1. Fyzikálne vlastnosti modelu základu a podložia MODEL “ A “ MODEL “ A “ PÔDORYS : PÔDORYS : 1 21 b b I I MODEL “ B “ MODEL “ B “ l Fi l Fi 1 21 2 I´ b 2 I´ I´ b I Fi I I´ Fi 3 3 3 10 800 mm REZ I - I´ : 800 mm 10 10 Fi 1 Fi 1 10 10 Fi 1 Fi t REZ I - I´ : 800 mm 10 10 1 t LEGENDA : t 800 mm t 10 3 42 4 3 2 – oceľový valec 3 – podložie (hutný piesok) 2 3 3 4 – železobetónový (tuhý) podklad 4 2 800 mm 800 mm 2 3 800 mm 800 mm 1 – model základu (oceľ) 4 LEGENDA : 1 - MODEL PLOŠNEJ ZÁKLADOVEJ KONŠTRUKCIE Obr. 1. Fyzikálny model štvorcového 2 - OCEĽOVÝ VALEC základu na piesčitom podloží LEGENDA : 31 -- PODLOŽIE MODEL PLOŠNEJ ZÁKLADOVEJ KONŠTRUKCIE TVORENÉ HUTNÝM PIESKOM TRIEDY S2 - SP ( STN 73 1001 / 1 OCEĽOVÝ VALEC 42 -- TUHÝ ŽELEZOBETÓNOVÝ PODKLAD 3 - PODLOŽIE TVORENÉ HUTNÝM PIESKOM TRIEDY S2 - SP ( STN 73 1001 4 - TUHÝ ŽELEZOBETÓNOVÝ PODKLAD 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Rozmery základu October 2015, Bratislava Šírka základu Dĺžka základu Výška základu Relatívna tuhosť základu B / mm / L / mm / t / mm / k /-/ A (100), Ac (100) 100 1009,620 Tuhý A (25), Ac (25) 25 15,780 Tuhý 15 3,407 Tuhý A (10), Ac (10) 10 1,009 Tuhý až ohybný A (5), Ac (5) 5 0,126 Ohybný A (2,5), Ac (2,5) 2,5 0,016 Ohybný Označenie výpočtového modelu štvorcového základu (A – obojstranná väzba; Ac – jednostranná väzba) A (15), Ac (15) 200 200 Posúdenie relatívnej tuhosti základu Tab. 2. Geometrické charakteristiky a tuhosť základov 4 POUŽITÁ METÓDA RIEŠENIA A DELENIE VÝPOČTOVÉHO MODELU NA KONEČNÉ PRVKY Úloha je riešená ako priestorová (3D) v zmysle predpokladov teórie lineárne pružného polpriestoru. Pri riešení bol využitý výpočtový program ANSYS [7], ktorý je založený na teoretických predpokladoch numerickej metódy konečných prvkov. Pri delení spojitých oblastí modelu podložia a základu boli použité 3-D konečné prvky SOLID45. Prvkami SOLID45 bola modelovaná dvojstranná väzba medzi základom a podložím. Pri jednostrannej väzbe sú na modelovanie kontaktu medzi základom a podložím použité 8-uzlové 3-D kontaktné prvky (TARGE 170 + CONTA 174). Kontaktné prvky sú definované základnou materiálovou vlastnosťou tzv. koeficientom trenia (MU=tg) a celkom 13 reálnymi konštantami, ktoré modelujú fyzikálne správanie na kontaktnej ploche základu a podložia. Trenie medzi základom a podložím je predpokladané podľa Coulombovej teórie. V numerických výpočtoch pre jednostrannú väzbu (modely Ac) je trenie medzi základom a podložím uvažované za nulové (=0), t.j. MU=0 (model Ac – bez trenia), resp. je uvažované s trením MU=0,7, t.j. =35 (model Ac – s trením). Pri delení jednotlivých výpočtových modelov na konečné prvky bola uplatňovaná všeobecne platná zásada, ktorá spočíva v podrobnejšom rozdelení oblastí predpokladaných koncentrácií napätí (rohy, resp. okraje základu a kontakt základu s podložím). Použité delenie výpočtového modelu pre tuhý základ (hrúbka základu t=100mm) na konečné prvky je zobrazené na Obr. 2. Pri voľbe matematického aparátu a teoretických predpokladov modelových výpočtov bolo rozhodujúcim kritériom výstižne opísať fyzikálne správanie sa plošnej základovej konštrukcie na hutnom homogénnom piesčitom podloží pri pôsobení relatívne malého vonkajšieho zaťaženia, resp. relatívne nízkej úrovni napätí v podloží vyvolaných zaťažením základovej konštrukcie, ktoré nepresahujú kritické hodnoty zaťaženia a pri pôsobení ktorých nedochádza v podloží základu ku vzniku výraznejších plastických oblastí. Preto modely základov boli zaťažené centrickou silou “F“, ktorá vyvolá priemerné kontaktné napätie (m=F/A , kde “A“ je plocha základu) v úrovni základovej škáry o intenzite od m=3,2 kPa do m=76,5 kPa, t.j. v pružnej oblasti pretvorenia hutného piesčitého podložia. Zo zvolených okrajových podmienok (geometrický tvar modelu a pôsobenie centrického silového zaťaženia) vyplýva, že riešená úloha je symetrická (Obr. 1). Symetria úlohy bola využitá pri tvorbe riešeného výpočtového modelu, keď pre ďalšie výpočty boli vyňaté z celkového modelu 90-stupňové valcové výseče, t.j. 1/4 z celkového výpočtového modelu podložia a základu. Využitie symetrie umožnilo významne znížiť potrebné množstvo konečných prvkov na definovanie modelu a hlavne výpočtový čas na riešenie úlohy, resp. požadované nároky na hardwarové vybavenie osobného počítača. Zobrazenie výpočtového modelu štvorcového základu s dvojstrannou a jednostrannou väzbou s výsledným delením na konečné prvky a statickými okrajovými podmienkami je uvedené na Obr. 3. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava x 800 mm y “SOLID 45“ 800 mm t Fi z x Obr. 2. Numerický model tuhého štvorcového základu s dvojstrannou väzbou “A(100)“ (statické a geometrické okrajové podmienky) Obr. 3. Riešený numerický model (1/4 modelu) tuhého štvorcového základu s dvojstrannou väzbou “A(100)“ a jednostrannou väzbou “Ac(100) – delenie modelu na konečné prvky a statické okrajové podmienky 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava ZHODNOTENIE VÝSLEDKOV NUMERICKÝCH VÝPOČTOV 5 Z realizovaných numerických výpočtov vyplynulo množstvo kvalitatívnych a kvantitatívnych poznatkov o vplyve väzby (dvojstranná, jednostranná) a relatívnej tuhosti na veľkosť zvislej deformácie (sadnutia) a pretvorenia (priehybu, pomerného sadnutia, relatívneho priehybu, flexibility) štvorcových základových konštrukcií. Poloha reprezentatívnych bodov (os, okraj, roh) štvorcového základu a vypočítaných zvislých deformácií pod ohybným (flexibilným) a tuhým základom je uvedená na Obr. 4. Z vypočítaných zvislých posunov (sadnutí) štvorcových modelov základov v reprezentatívnych bodoch (Obr. 4) boli vyhodnotené nasledujúce charakteristiky pretvorenia základovej konštrukcie: a) priehyb vypočítaný podľa vzťahu s  s max  s min ( 2) b) pomerné sadnutie vypočítané podľa vzťahu so smax - pre os základu : - pre okraj základu (B, L): sb s max c) relatívny priehyb vypočítaný podľa vzťahu d) flexibilita vypočítaná podľa vzťahu resp. (3a) sl smax (3b) s B (4) s smax (5) Obr. 4. Poloha reprezentatívnych bodov (os, okraj, roh) štvorcového základu a poloha vypočítaných zvislých deformácií pod ohybným (flexibilným) a tuhým základom 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Izoplochy zvislých posunov (sadnutí) pre tuhé “A(100)“ a ohybné “A(2,5)“ štvorcové základy s dvojstrannou (A) a jednostrannou (Ac) väzbou na kontaktnej ploche bez trenia ( = 0) pre priemerné zvislé normálové napätie m = 50 kPa je uvedené na Obr. 5. Grafická interpretácia vplyvu relatívnej tuhosti a väzby (dvojstrannej a jednostrannej) a trenia na veľkosť priehybu, pomerného sadnutia, relatívneho priehybu a flexibility je uvedená na Obr. 6 až 9. Z výsledkov numerických výpočtov je zrejmé, že:  Vplyv relatívnej tuhosti na pretvorenie (priehyb, pomerné sadnutie, relatívny priehyb, flexibilitu) je veľmi významný. Štvorcové základy je možné považovať za dokonale tuhé pri hodnote relatívnej tuhosti k≥10. Výraznejšie pretvorenia základu sa začínajú prejavovať pri relatívnej tuhosti k<3. Za dokonale ohybné je možné považovať základy s relatívnou tuhosťou k≤0,1.  Vplyv väzby na kontaktnej ploche na pretvorenie (priehyb, pomerné sadnutie, relatívny priehyb, flexibilitu) základu sa významnejšie prejavuje iba pri ohybných základoch s relatívnou tuhosťou k≤0,1. Pri hodnote k≤0,1 dochádza pri jednostrannej väzbe k oddeleniu základu od podložia.  Vplyv trenia pri jednostrannej väzbe na pretvorenie (priehyb, pomerné sadnutie, relatívny priehyb, flexibilitu) základu je relatívne malý a praktických inžinierskych výpočtoch je možné ho zanedbať. Obr. 5. Izoplochy zvislých deformácií (sadnutí) tuhého a ohybného štvorcového základu s dvojstrannou a jednostrannou väzbou na kontaktnej ploche (pre m = 50,0 kPa) Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS Obr. 6. Grafické vyhodnotenie vplyvu väzby, trenia a tuhosti na priehyb v rohovom bode štvorcového základu Obr. 7. Grafické vyhodnotenie vplyvu väzby, trenia a tuhosti na pomerné sadnutie v rohovom bode štvorcového základu 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 8. Grafické vyhodnotenie vplyvu väzby, trenia a tuhosti na relatívny priehyb v smere uhlopriečky štvorcového základu Obr. 9. Grafické vyhodnotenie vplyvu väzby, trenia a tuhosti na flexibilitu v smere uhlopriečky štvorcového základu 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 6 October 2015, Bratislava ZÁVER Správne určenie veľkosti konečného a nerovnomerného sadnutia (pretvorenia) základových konštrukcií je nevyhnutné pre ich spoľahlivý návrh z hľadiska limitných požiadaviek 2. skupiny medzných stavov (v zmysle STN 73 1001), t.j. posúdenie používateľnosti stavebného objektu. Doterajšie výsledky teoretických a experimentálnych výskumných prác preukázali, že vo všeobecnosti je za najvýznamnejší faktor ovplyvňujúci spolupôsobenie stavebnej konštrukcie s podložím možné považovať tuhosť systému “základová konštrukcia podložie“, resp. “horná stavba - základ - podložie“. Tradičné výpočtové postupy, ktoré sú uplatňované aj v STN 73 1001, spravidla neuvažujú s interakčným pôsobením medzi stavebnou (základovou) konštrukciou a podložím. Zanedbanie účinkov spolupôsobenia môže mať vplyv nielen na celkovú spoľahlivosť ale aj na hospodárnosť založenia stavebného objektu. Rozvoj výpočtovej techniky umožnil využívanie matematického aparátu numerických metód (najmä MKP) aj pri komplexnejšom prístupe k riešeniu zložitého interdisciplinárneho problému interakcie základovej konštrukcie s podložím. POĎAKOVANIE Tento príspevok vznikol v rámci riešenia grantovej agentúry VEGA MŠ SR, projekt č. 1/0544/15. LITERATÚRA [1] Hruštinec, Ľ.: Analýza spolupôsobenia plošného základu s podložím. Dizertačná práca, Bratislava, 2002, 689 s. [2] Hruštinec, Ľ.: Numerical Analysis of the Interaction between Shallow (Square, Circular, Strip) Foundations and Subsoil. Journal of Civil Engineering and Architecture, USA, vol. 7/issue 7, p. 875-886, 2013, ISSN 1934-7359. [3] Jendželovský, N.: Modelovanie základových konštrukcií v MKP. Bratislava, STU v Bratislave, 2009, 94 s., ISBN 978-80-227-3025-9. [4] Jendželovský, N.: Circular Plate on the Elastic Subsoil. Proc. of the Int. Conference “XI. Ansys User's Meeting”, Czech Republic, Znojmo, 2003. [5] Kolář, V. - Němec, I.: Modelling of Soil Structure Interaction. 2. ed., Praha, Academia, 1989, 336 s. [6] Kolář, V. - Němec, I. - Kanocký, V.: Principy a praxe Metody konečných prvků. 1.vyd., Praha, Coputer Press, 1997, 402 s. [7] Kolektív autorov: ANSYS - Manuály k výpočtovému programu, Zväzok I. až IV, Swanson Analysis Systems Inc., 2000. [8] Matani, M.: Niektoré problémy interakcie základovej konštrukcie a podložia. Kandidátska dizertačná práca, Bratislava, Stavebná fakulta SVŠT, 1989, 126 s. [9] Prekop, L.: Analýza základových konštrukcií pre objekty ČOV. In XII.mezinárodní vědecká konference.Brno, 20.-22.4.2009: sekce 9:Stavební mechanika. Brno: CERM, 2009, s. 8184. ISBN 978-807204-629-4. [10] Selvadurai, A. P. S.: Elastic Analysis of Soil-Foundation Interaction. Amsterdam, 1979, 543 p. [11] STN 73 1001/2010: Geotechnické konštrukcie. Zakladanie stavieb. Bratislava, 2010. [12] Tvrdá, K.: Frame on elastic foundation. Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava. - ISSN 1213-1962. - Roč.12, č. 2 (2012), pp. 391-400. [13] Tvrdá, K.: Some Problems of the Circular Plate Rested on Winkler´s Foundation. In 13th International scientific conference VSU´ 2013. Volume 1: Proceedings. Sofia, Bulgaria, 6.-7.6.2013. Sofia: L. Karavelov Civil engineering higher school Sofia, 2013, pp. I-325-329, ISSN 1314-071X. [14] Wünsch, J.: Tuhý základ a pružný poloprostor. Konstrukter 25, Praha, 1947, 164 s. [15] Zienkiewicz, O. C. - Taylor, R.L.: The Finite Element Method. Vol. 2 - Solid and Fluid Mechanics. 4. ed., London, McGRAW-HILL, 1991, 807 p. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS VLIV REDUKCE POČTU NÁVRHOVÝCH PROMĚNNÝCH PŘI INVERZNÍ IDENTIFIKACI PARAMETRŮ NELINEÁRNÍCH MATERIÁLOVÝCH MODELŮ S POMOCÍ OPTIMALIZAČNÍCH ALGORITMŮ F. Hokeš1 Abstract Inverse identification of physico-mechanical and fracture mechanical parameters of non-linear material models can be advantageously performed with aid of optimization techniques. The optimization problem is defined as effort to minimize the difference between curve obtained experimentally and curve originating from non-linear numerical simulation. The design vector of variables of optimization task is thus formed by parameters of used non-linear constitutive relation. The full design vector of variables can sometimes be reduced because some of parameters have low sensitivity to final shape of the curve. This reduction have positive effect to time consumption of the numerical solution but there is a question, how is the effect to accuracy of value of objective function. The submitted article deals with comparison of two optimization studies in which the influence of the reduction of the design vector to the value of the objective function and the time consumption was analyzed. Key Words FEM, non-linear material model, optimization, inverse identification, design variables. 1 ÚVOD Potřeba návrhu efektivnějších konstrukcí nepochybně vede ke snahám o implementací komplexních nelineárních materiálových modelů do výpočtových systémů založených na metodě konečných prvků. Lze říci, že aplikace těchto pokročilých konstitutivních vztahů při numerických výpočtech stavebních konstrukcí posunuje metody matematického modelování blíže k reálnému působení stavebních konstrukcí [5]. Některé z těchto materiálových modelů jsou vzhledem ke komplikovanosti chování reálného materiálu poměrně složité a vyznačují se tím, že pro adekvátní popis chování daného materiálu, například betonu, využívají poměrně rozsáhlého množství parametrů. Tyto parametry mohou mít význam mechanicko-fyzikální, lomověmechanický, ale mohou mít také nefyzikální podstatu. Znalost hodnot těchto parametrů je tedy klíčem k úspěšné aplikaci vybraného materiálového modelu. Vzhledem k tomu, že hodnoty těchto parametrů nejsou často tabelovány či dokonce vůbec známy, lze využít metod inverzní analýzy k jejich zjištění. Metody inverzní analýzy jsou v oblasti identifikace parametrů nelineárních materiálových modelů a v oblastech pokrývající další inženýrská témata stále častěji používány. Jejich obliba opět souvisí s výše uvedenou snahou o zefektivnění a zdokonalení výsledného produktu [7]. Z hlediska inverzní identifikace se nejčastěji využívají metody založené na cvičení umělých neuronových síti [11] a s výhodou lze využít také optimalizačních algoritmů. V případě využití optimalizace pro identifikaci parametrů nelineárních konstitutivních vztahů lze optimalizační problém definovat jako minimalizaci vzájemného rozdílu mezi křivkou pocházející 1 Ing.. F. Hokeš, Veveří 331/95 60200 Brno, Česká republika, +420541148207, hokes.f@fce.vutbr.cz. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava z experimentálního měření na skutečném vzorku a křivkou, která je výstupem z numerického řešení stejné úlohy. V případě takové optimalizační úlohy jsou proměnné v návrhovém vektoru reprezentovány hledanými parametry. V některých specifických případech namáhání, mezi které lze zařadit tah za ohybu vyvozovaný při zkoušce v tříbodovém ohybu, se však všechny parametry na podobě výsledné zatěžovací křivky neuplatňují. Parametry vykazující nízkou citlivost na výsledný tvar zatěžovací křivky pak lze z plného návrhového vektoru vyloučit a provést optimalizaci jen s redukovaným návrhovým vektorem. 2 DEFINICE PROBLÉMU Uvedená problematika možné redukce návrhového vektoru při identifikaci parametrů materiálového modelu byla testována ve výpočtovém systému ANSYS [1] a s využitím nelineárního materiálového modelu MenétreyWillam z podpůrné databáze elasto-plastických materiálových modelů multiPlas [3]. Jako referenční křivka byla zvolena závislost zatížení a posunu naměřená při zkoušce betonového trámce se zářezem v konfiguraci tříbodového ohybového testu [11]. Vzhledem k úspoře výpočetního času nelineární simulace byla redukována komplexnost úlohy z 3D na 2D úlohu rovinné napjatosti. V rámci zjednodušení byly modifikovány také okrajové podmínky, kdy namísto modelování kovových podporových segmentů s kontaktem mezi materiály bylo z hlediska korektní idealizace úlohy zabráněno pouze svislému posunu v místech těchto podpor. Zjednodušení se týkalo také oblasti vnášení zatížení, kde opět nebyl modelován kontakt, ale namísto toho byl předepsán patřičný svislý posun. S ohledem na řešitelnost daného problému bylo navíc zabráněno vodorovnému posunu v místě vnášeného zatížení, čímž byla zachována symetrie experimentu. Výsledná podoba idealizace řešené úlohy včetně rozměrů zkušebního vzorku je vyobrazena na obr. 1. Obr. 1. Schéma řešené úlohy 3 PROCES INVERZNÍ IDENTIFIKACE Proces inverzní identifikace byl řešen v optimalizačním programu optiSLang [4] celkem ve dvou fázích. V rámci první fáze bylo provedena analýza citlivosti v podobě 300 náhodných simulací. Rovnoměrné rozdělení těchto simulací v oblasti mezi empiricky zjištěnými krajními křivkami bylo zajištěno prostřednictvím metody ALHS [6]. Zmíněné hraniční křivky byly předem určeny za účelem omezení rozsahu intervalů jednotlivých parametrů a dále také jako důkaz existence řešení pro tyto krajní hodnoty. Ve druhé fázi byly provedeny dvě optimalizační úlohy pro plný a redukovaný návrhový vektor neznámých parametrů. V režii optimalizačního programu bylo přivolání výpočtového systému ANSYS, spuštění nelineárního výpočtu pro vygenerované hodnoty parametrů v návrhovém vektoru a následné porovnání referenční a spočítané křivky s vyhodnocením velikosti cílové funkce. Rozdíl mezi oběma fázemi spočíval ve způsobu generování hodnot parametrů, kdy v případě analýzy citlivosti bylo, jak už bylo zmíněno, zajištěno rovnoměrné pokrytí návrhového prostoru náhodnými realizacemi, zatímco při optimalizačním procesu bylo generování parametrů řízeno pomocí evolučního algoritmu s cílem dosáhnout optimální hodnoty cílové funkce. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.1 Výpočtový model Jak již bylo zmíněno, výpočtový model úlohy ohybového testu byl sestavován v programu ANSYS 15.0. Geometrie výpočtového modelu v rozměrech odpovídajících schématu na obr. 1 byla pokryta sítí konečných prvků PLANE182 s délkou hrany 6 mm. Konečný prvek PLANE182 je čtyřuzlový rovinný prvek umožňující řešení úlohy rovinné napjatosti. Vzhledem k této vlastnosti mohla být redukována komplexnost úlohy z 3D na 2D, přičemž prvkům byla zadána tloušťka 58 mm. Zářez byl ve výpočtu modelován zdvojením linií, které měly společný uzel v místě kořene koncentrátoru. Rozmístění okrajových podmínek dle schématu na obr. 1 si však vyžádalo úpravu výpočtového modelu z hlediska definice materiálu. V oblastech nad podporami byl prvkům v pásu v šířky 60 mm předepsán lineární materiál. Úprava byla vyvolána výskytem lokálních špiček napětí v těsné blízkosti okrajových podmínek. Tato modifikace výpočtového modelu je však mimo zájmovou oblast s nelineárním chováním nad kořenem zářezu a tak výsledky negativně neovlivnila. Ostatním prvkům výpočtového modelu byl předepsán nelineární materiálový model Menétrey-Willam z knihovny multiPlas. Tento materiálový model, na rozdíl od modelů založených čistě na ploše plasticity Drucker-Prager, bere do úvahy vedle prvního invariantu tenzoru napětí a druhého invariantu deviatorického tenzoru napětí také tzv. lode angle, čímž dochází k zjemnění okrajů plochy plasticity [3]. Z hlediska modelování trhlin se využívá konceptu rozetřených trhlin [8] a zabránění závislosti řešení na velikosti sítě konečných prvků je dosahováno použitím Bažantova konceptu Crack Band [2]. Post-kritické chování je založeno na energetickému principu s využitím specifické lomové energie Gf. Finální podoba výpočtového modelu je uvedena na obr. 2. Obr. 2. Výpočtový model 3.2 Analýza citlivosti Analýza citlivosti je v podstatě úlohou hledající míru toho, jak jsou nejistoty výstupních dat ovlivněny variabilitou vstupních dat [10]. Analýza citlivosti byla provedena pro celkem 300 náhodných simulací. Jak již bylo zmíněno, dostatečné a efektivní pokrytí návrhového prostoru náhodnými realizacemi bylo zajištěno pomocí metody ALHS, což dokazuje graf na obr. 3. Na základě výsledků analýzy citlivosti byly detekovány ty parametry, které se nejvíce podílely na požadovaném tvaru zatěžovací křivky. Možnosti vyhodnocování v programu optiSLang umožňují dokonce odhalit přesně, ve kterých částech se daný parametr uplatňoval. Analýza citlivosti prokázala, že pro nalezení odpovídající podoby L-d křivky se nejvíce uplatňovaly následující parametry materiálového modelu: Youngův modul pružnosti E, poissonův koeficient υ, specifická lomová energie v tahu Gft a relativní hodnota reziduální pevnosti v tahu Ωtr. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Z této analýzy bylo dále vybráno celkem 10 nejlepších realizací s nejnižšími hodnotami cílové funkce, které posloužily následně jako startovací návrhové vektory v počáteční generaci v navazující optimalizační fázi. Obr. 3. Realizace v rámci analýzy citlivosti 3.3 Optimalizace Pojem optimalizace lze dle [9] definovat jako snahu o získání nejlepšího výsledku za daných podmínek. Optimalizace se využívá k minimalizaci potřebného úsilí či k maximalizaci účinku. Optimalizační problém byl v uvedeném případě definován jako minimalizace vzájemného rozdílu mezi referenční a spočítanou zatěžovací křivkou. Objektivní funkce této úlohy měla tvar: n * ERROR   (y i  y i ) 2 , (1) i 1 kde yi* byla hodnota síly odečtená z referenční křivky a yi byla hodnota síly pocházející z křivky vystupující z numerické simulace. Jednalo se tedy o předpis využívaný při výpočtu chyby měření. V rámci studie vlivu redukce počtu návrhových proměnných na hodnotu cílové funkce byly provedeny dvě optimalizační procedury. První optimalizační procedura byla provedena s plným návrhovým vektorem ve tvaru: T X  E, , f c , f t , , ml , k ,  ci ,  cr , G fc ,  tr , G ft  , (2) Při druhé optimalizační úloze byl návrhový vektor redukován s ohledem na výsledky analýzy citlivosti. Redukovaný návrhový vektor měl tvar: T X red  E, , f t , , ml ,  tr , G ft  , (3) Z hlediska použití optimalizačních algoritmů byl dle doporučení [7] použit populační evoluční algoritmus: Omezující podmínky vycházely z předpokladů, za nichž byl použitý materiálový model odvozen. 4 ROZBOR VÝSLEDKŮ Při analýze senzitivity byla nalezena nejlepší realizace s hodnotou cílové funkce 1092,99. V obou optimalizačních procedurách se podařilo nalézt optimum s nižší hodnotou. Při optimalizaci prováděné s plným návrhovým vektorem neznámých parametrů byla hodnota cílové funkce vůbec nejnižší. Její velikost dosáhla hodnoty 912,149, přičemž při optimalizaci s redukovaným návrhovým vektorem byla hodnota cílové funkce vyšší o pouhých 1,5 % tedy o velikosti 926,103. Uvedené výsledky ukazují, že redukce počtu neznámých parametrů návrhového vektoru v dané úloze významně neovlivnila hodnotu cílové funkce a tedy požadovaný tvar zatěžovací křivky. Tvar výsledných zatěžovacích křivek je vyobrazen v grafu na obr. 4. Srovnání výsledných identifikovaných parametrů potvrzujících, že vliv redukce parametrů návrhového vektoru na tvar výsledné křivky je zanedbatelný, shrnuje tabulka 1. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 4. Porovnání dosažených výsledků Parametr Jednotka E ν fc ft k ψ εml Gfc Ωci Ωcr Gft Ωtr [Pa] [Pa] [Pa] [Pa] [-] [ͦ] [-] [Nm/m2] [-] [-] [Nm/m2] [-] Sensitivita ERROR = 1092,99 40,55∙109 0,1913 46,18∙106 2,3645∙106 1,2563 11 0,00166 919 0,7570 0,085167 46 0,009854 Optimalizace bez redukce Optimalizace s redukcí ERROR = 912,149 ERROR=926,103 38,974∙109 39,0699 0,1911 0,195 47,713∙106 48,00∙106 2,4000∙106 2,3766∙106 1,1892 1,2000 9 8 0,00210 0,00210 1022 1000 0,7955 0,7500 0,092762 0,100000 47 47 0,003590 0,008963 Tab. 1. Porovnání výsledných identifikovaných hodnot Zajímavější je však pohled na počet potřebných iterací v rámci optimalizačního procesu pro dosažení optima. V případě s plným návrhovým vektorem bylo provedeno celkem 420 iterací, přičemž optima bylo dosaženo v 321 iteraci. Při optimalizaci s redukovaným návrhovým vektorem provedl optimalizační algoritmus celkem 360 iterací, kdy minima bylo dosaženo v 267 iteraci. Vzhledem k tomu, že provedení jedné numerické simulace trvalo v průměru 10 minut, jednalo se o úsporu výpočetního času o velikosti přibližně 9 hodin. Přehledně je historický vývoj hodnoty cílové funkce v rámci obou optimalizačních procedur vidět v grafech na obr. 5. Obr. 4. Historický vývoj hodnoty cílové funkce 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 5 October 2015, Bratislava ZÁVĚR Vzhledem k výše uvedeným výsledkům lze konstatovat, že v případě identifikace parametrů materiálového modelu betonu na úloze 3 bodového ohybového testu je vliv redukce počtu parametrů v návrhovém vektoru na hodnotu výsledné cílové funkce zanedbatelný. Nevýhodou redukce je fakt, že parametry, které se z návrhového vektoru odstraňují nelze považovat za identifikované. K jejich identifikaci by bylo zapotřebí jiných experimentálních dat odpovídajících jinému typu namáhání. Ukázalo se však, že použití redukce pozitivně ovlivňuje spotřebu výpočetního času, což může mít příznivý dopad hlavně v případě širší aplikace tohoto postupu v praxi. PODĚKOVÁNÍ Příspěvek byl vytvořen za finanční podpory projektu specifického vysokoškolského výzkumu Vysokého učení technického v Brně FAST-J-15-2875 „Vliv rychlosti deformace na parametry nelineárních materiálových modelů betonu“. LITERATURA [1] ANSYS Inc.: ANSYS Mechanical Theory Reference Release 15.0, 2014. [2] Bažant, Z. P. – Oh, B. H.: Crack Band theory for fracture of concrete. Material and Structures, Rilem, vol. 16, pp 155-177, 1983. [3] Dynardo GmbH.: Multiplas, User’s manual Release 5.1.0 for ANSYS 15.0, Weimar, 2014 [4] Dynardo GmbH.: Method for multidisciplinary optimization and robustness analysis, Německo, 2014. [5] Hokeš, F.: Vybrané aspekty modelování nelineárního chování nelineárního chování betonu s pomocí knihovy multPlas. Proceedings of the 13th International conference Modelling in Mechanics, Ostrava, Czech Republic, VŠB-Technical University of Ostrava, Faculty of Civil Engineering, 2015. [6] Hungtington, D. E. – Lyrintzis, C. S.: Improvement to limitations of Latin hypercube sampling. Probabilistic Engineering Mechanics, Elsevier, vol. 13, pp. 245-253, 1998. [7] Kunath, S. - Most, T. – Niemeier, R.: Effective Parameter Identification to Validate Numerical Simulation Model. NAFEMS World Congress, San Diego, 2015. [8] Pölling, R.: Eine praxisnahe, schädigungsoriente Strukturanalysen. PhD Thesis, 2000. [9] Rao, S. S.: Engineering Optimization: Theory and Practice, Wiley, 2009. Materialbeschreibung von Stahlbeton für [10] Saltelli, A. – Ratto, M. – Andres, T. – Campologno, F. – Cariboni, J. – Gatelli, D. – Saisana, M. – Tarantola, S.: Global Sensitivity Analysis: The primer, Wiley, 2008. [11] Zimmerman, T. – Straus, A. – Lehký, D. – Novák, D. – Keršner, Z.: Stochastic fracture mechanical characteristics of concrete based on experiments and inverse analysis. Construction and Building Materials, Elsevier, vol. 73, pp 535-543, 2014. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS EXPERIMENTÁLNÍ ANALÝZA CHOVÁNÍ DIVÁKŮ A JIMI VYVOLANÝCH VIBRACÍ TRIBUNY PŘI FOTBALOVÉM UTKÁNÍ M. Verner1, T. Plachý2 a M. Polák3 Abstract The major results of an experimental study that was concentrated on behaviour of spectators and simultaneously on the induced vibrations of a selected cantilever grandstand area during a football match are stated in the paper. The current types of cheering of spectators, the changes in behaviour of spectators during the match, relative proportion of active and passive spectators, the features and the levels of induced grandstand vibrations were examined in detail. Klíčová slova Chování diváků; fotbalový stadion; tribuna; experiment; vibrace. 1 ÚVOD Je známo, že synchronizovaný pohyb větší skupiny diváků na sportovním stadionu (např. hromadné skákání, houpání, kývání, náhlé vyskočení nebo mexická vlna) může způsobit významné dynamické zatížení nosné konstrukce tribuny a následně vyvolat její kmitání. V některých extrémních případech jsou vyvolané vibrace pro diváky nepříjemné a dokonce pozorovatelné vizuálně. Nadměrné kmitání tribuny může iniciovat davovou paniku a následně úprk a tlačenici u východu z tribuny, a to může vést ke zraněním a dokonce i ke smrti prchajících diváků [4]. Historie ukazuje, že ve výjimečných případech nadměrné vibrace tribuny mohou způsobit dokonce zřícení tribuny [4]. Osoby jsou při intenzivním pohybu, jako je například běh nebo skákání, schopny vyvolat dynamické síly, které jsou několikanásobně větší než jejich vlastní tíha. Dynamické zatížení způsobené skupinou pohybujících se lidí je ale obtížné předvídat, protože u tohoto zatížení se významně mění jeho velikost a frekvenční složení v závislosti na typu pohybové aktivity jednotlivých osob tvořících skupinu. V současnosti platných návrhových normách vhodné dynamické zatížení pro tribuny stadionů není uvedeno. Avšak nové modely dynamického zatížení, které více či méně výstižně zachycují účinky davu diváků, byly a jsou hledány [4, 5, 7, 8, 9]. Vhodné experimenty [1, 2, 3, 4, 6, 10, 11], které by bylo možné použít pro ověření výstižnosti těchto nových modelů zatížení, jsou ale prováděny méně často. 1 Ing. M. Verner, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, Thákurova 7, 166 29, Praha 6, +420 2435 4495 martin.verner@fsv. cvut.cz. 2 Ing. T. Plachý, Ph.D., ČVUT v Praze, Fakulta stavební, Thákurova 7, 166 29, Praha 6, +420 2435 4401, plachy@fsv.cvut.cz. 3 prof. Ing. M. Polák, CSc., ČVUT v Praze, Fakulta stavební, Thákurova 7, 166 29, Praha 6, +420 2435 4476, polak@fsv.cvut.cz. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava V České republice se v posledních dvou desetiletích chování sportovních diváků změnilo, a to zejména na fotbalových a hokejových stadionech. Oproti minulosti fanoušci v současnosti své sportovní týmy podporují vášnivějším a intenzívnějším fanděním. V tomto článku jsou uvedeny hlavní výsledky experimentální analýzy, která byla zaměřena na chování diváků a současně na jimi vyvolané vibrace tribuny ve vybraném sektoru fotbalového stadionu, kde byly soustředěni nejaktivnější fanoušci, v průběhu jednoho fotbalového utkání. Podrobně byly zkoumány použité typy fandění, reakce diváků a změny v jejich chování při různých situacích v průběhu zápasu, relativní poměr mezi aktivními a pasivními diváky, frekvenční parametry a úroveň vyvolaného kmitání tribuny. 2 STRUČNÝ POPIS EXPERIMENTU Experiment, který je popsán v tomto článku, byl proveden na domácím fotbalovém stadionu klubu AC Sparta Praha v Praze na Letné při zápasu 21. kola České fotbalové ligy mezi celky AC Sparta Praha a FK Teplice, který byl odehrán 21. března 2015. Toto utkání skončilo výhrou domácího mužstva 1:0, přičemž vítězná branka byla vstřelena Bořkem Dočkalem až v samotném závěru zápasu v 89. minutě z penalty. Stadion na Letné byl pro realizaci popisovaného experimentu velmi vhodný ze dvou důvodů. Zaprvé příznivci domácího klubu jsou historicky jedni z nejaktivnějších fanoušků v České republice. Zadruhé nosná konstrukce tribuny (viz Obr. 1), která byla využita pro experiment, je složena z hlavních ocelových nosníků, které staticky působí jako konzola, a betonových příčných nosníků (viz Obr. 1). Tento konstrukční typ je citlivější na svislé dynamické zatížení než jiné typy nosných konstrukcí tribun [4, 6, 10, 11]. Během vlastního experimentu byla sledována část stadionu, ve které se nacházela nejradikálnější skupina fanoušků, která je nazývána „Ultras“ nebo také „Kotel“. Tato skupina diváků je v současnosti soustředěna v prvním patře stadionu (viz Obr. 2), to tedy znamená, že nejvýraznější potenciální zdroj dynamického zatížení od diváků je nyní soustředěn oblasti stadionu, kde působí na konstrukci, která je nejvíce citlivá na dynamické buzení. Chování diváků bylo po celý průběh zápasu zaznamenáváno kamerou umístěnou na novinářské lávce pod střechou hlavní tribuny stadionu. Vibrace tribuny byly měřeny na koncích tří hlavních nosníků, kde byla očekávána maximální úroveň vyvolaného kmitání (viz Obr. 2). Ve všech třech sledovaných bodech tribuny bylo měřeno vertikální zrychlení, na středním nosníku bylo zaznamenáváno zrychlení i v horizontálním směru (viz Obr. 2). Obr. 1. Spodní pohled na nosnou konstrukci sledované tribuny. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 2. Pohled na sledovanou tribunu, na které byly soustředěni sparťanští „Ultras“, s vyznačenou polohou a orientací čtyř snímačů zrychlení použitých při experimentu. Pro experiment byly použity piezoelektrické akcelerometry typu 4507 B005 dodávané firmou Brüel&Kjær. Pro zaznamenávání sledovaných vibrací byl použit měřicí systém Pulse a měřicí ústředna Front-end 3050-B-040 Brüel&Kjær. Snímače, které byly k nosné konstrukci tribuny přichyceny pomocí magnetů, byly s ústřednou spojeny pomocí kabelů. Operátor byl při experimentu umístěn spolu s měřicí ústřednou v hledišti v dolním patře stadionu v blízkosti zkoumané tribuny. Toto občas vedlo k potenciálně nebezpečné situaci, kdy jak operátor tak i měřicí ústředna byli ovlivněni kouřem a někdy i ohněm z pyrotechniky použité při fandění. 3 ZAZNAMENANÉ TYPY CHOVÁNÍ DIVÁKŮ Při popisu různých způsobů chování fanoušků, které byly zachyceny v průběhu popisovaného experimentu, byly využity typy dynamického zatížení davem osob, které jsou popsány v práci [4], rozšířené o další druhy chování, které byly zaznamenány v průběhu sledovaného zápasu. 3.1 Chůze a běh (Walking and Running) Chůze, rychlejší chůze a běh je pro člověka typický pohyb. Během sportovního utkání toto chování diváků nastává většinou mimo vlastní hrací dobu, především před začátkem zápasu, kdy diváci přicházejí na místu pro ně určené ke sledování zápasu, na konci zápasu, kdy většinou hromadně opouští stadion a o přestávce. V jihoamerických zemích tento způsob chování diváků nastává i při vstřelení gólů, kdy se všichni členové „Ultras“ rozeběhnou k zábranám ve spodní části svého sektoru. 3.2 Skákání (Jumping) Druhů skákání, které jsou diváky během sportovních utkání používány, je několik. V průběhu sledovaného zápasu byly v pozorovaném sektoru diváků zaznamenány čtyři typy skákání. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 1. typ - V České republice je velmi populární hromadné skákání diváků za současného skandování pokřiku „Kdo neskáče, není Čech (respektive Sparťan, fanoušek apod.)! Hop! Hop Hop!“ 2. typ a 3. typ - Z německých zemí se do Čech rozšířil druh skákání, kdy se jednotlivé řady diváků chytí kolem ramen a začnou společně skákat. Jednotlivé řady skáčou buď všechny svisle na místě (2. typ), nebo se při skákání vodorovně posouvají, zprava doleva a zpět nejčastěji obřadu protisměrně (3. typ). 4. typ – Dále byl zachycen typ skákání „Sedni si a vyskoč (Sit and Jump)“. Diváci se v celém sektoru tribuny posadili a na pokyn svého vedoucího vyskočili a začali poskakovat. 3.3 Pohupování (Bouncing/Bobbing/Jouncing) V tomto případě se jedná o typ pohybu diváků podobný skákání, ale na rozdíl od skákání při pohupování chodidla diváků neopustí povrch tribuny. Při pohupování se člověk daleko lépe synchronizuje s kmitáním tribuny. 3.4 Kymácení (Swaying) Tento typ pohybu diváků nejčastěji vzniká při povzbuzování v součinnosti se sousední tribunou. „Ultras“ a diváci na sousední tribuně při sledovaném zápasu společně křičeli určitý slogan. Například „Ultras“ zvolali „Sparta“ a sousední tribuna odpovídala „Praha“. Pro umocnění pokřiku se fanouškové nakláněli dopředu a celý pohyb byl navíc umocňován pohybem ruky. 3.5 Tleskání (Hand-clapping) Tleskání je nejběžnější typ povzbuzování týmu. Sparťanští „Ultras“ používají dva druhy potlesku. Prvním druhem tleskání je pohyb, kdy ruce trvale zůstávají na úrovni hrudníku. Druhý způsob tleskání představuje pohyb, kdy je tleskání prováděno nad hlavou a diváci následně vzpaží ruce do tvaru písmene „V”. 3.6 Statické sledování utkání (Static) Diváci nejsou schopni po celý zápas intenzivně povzbuzovat svůj tým. Nastávají chvíle, kdy se na tribuně nic neděje a diváci jen staticky sedí nebo postávají a pasivně sledují utkání. 3.7 Ostatní typy chování (Other) Během zápasu byly zaznamenány další dva speciální typy chování diváků, které se nedají jednoznačně zařadit mezi výše definované druhy. 1. typ - Chování fanoušků v okamžiku, kdy podporovaný tým vstřelí branku. Toto chování představuje typ ležící někde mezi pohupováním, skákáním a potleskem. 2. typ - Dalším typem chování diváků je tzv. mexická vlna, která opět představuje typ ležící mezi pohupováním, kymácením a formou „sedni si a vyskoč“. Mexickou vlnu většinou provozují všichni diváci na stadionu. Pokud se jedná o sedící diváky, tak ti se při příchodu vlny postaví a mávnou rukama. Jelikož „Ultras“ ve sledovaném sektoru tribuny po většinu zápasu stály, tak vlnu vytvořily pouze mávnutím rukou. 4 ZÁKLADNÍ VÝSLEDKY EXPERIMENTU Experiment byl realizován od nástupu hráčů na hrací plochu před zahájením utkání až po poděkování hráčů fanouškům po ukončení zápasu. Utkání navštívilo celkem 8 502 diváků. Ve sledované oblasti tribuny se nacházelo 910 fanoušků, což je 10,7 % z celkového počtu diváků přítomných na stadionu. Základní vyhodnocené výsledky experimentu jsou shrnuty v Tab. 1, kde jsou přehledně shrnuty vyhodnocené doby trvání jednotlivých typů chování diváků v průběhu celého utkání, a v Tab. 2, kde jsou uvedeny zaznamenané největší výkmity zrychlení tribuny při jednotlivých typech chování diváků a relativní poměr mezi aktivními a pasivními diváky. Příklady časových průběhů zrychlení nosné konstrukce tribuny se zachycenou velkou úrovní kmitání jsou vykresleny na Obr. 3 až Obr. 5. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Typy chování diváků 1. Statický sledování utkání 2. Chůze 3. Skákání - 1. typ – hromadné skákání jednotlivců 4. Skákání – 2. typ jednotlivé řady svisle 5. Skákání – 3. typ jednotlivé řady vodorovně 6. Skákání – 4. typ – „Sedni a vyskoč“ 7. Pohupování 8. Kymácení 9. Tleskání 10. Vstřelení branky 11. Mexická vlna October 2015, Bratislava Doba trvání [min] [%] Doba trvání [min] [%] Ostatní části utkání Doba trvání [min] [%] 11:53 26.6 7:26 15.4 2:08 27.6 21:27 21.3 - - - - 0:59 12.7 0:59 1.0 2:23 5.3 2:46 5.7 - - 5:09 5.1 - - 0:05 0.2 0:46 9.9 0:51 0.8 - - 0:59 2.0 - - 0:59 1.0 1:17 2.9 - - - - 1:17 1.3 5:23 12:11 11:14 0:22 12.0 27.2 25.1 0.8 5:59 9:07 19:28 2:13 0:05 12.4 18.9 40.4 4.6 0.2 1:56 0:27 1:28 - 25.0 5.8 19.0 - 13:18 21:45 32:10 2:13 0:27 13.2 21.6 32.0 2.2 0.4 První poločas Druhý poločas Celkem Doba trvání [min] [%] Tab.1. Doby trvání jednotlivých typů chování diváků, které byly zaznamenány při sledovaném utkání Aktivní diváci Typy chování diváků 1. Statický sledování utkání 2. Chůze 3. Skákání - 1. typ – hromadné skákání jednotlivců 4. Skákání- 2. typ jednotlivé řady svisle 5. Skákání – 3. typ jednotlivé řady vodorovně 6. Skákání – 4. typ – „Sedni a vyskoč“ 7. Pohupování 8. Kymácení 9. Tleskání 10. Vstřelení branky 11. Mexická vlna Výkmity zrychlení tribuny Nosník Nosník Nosník Nosník Minimální podíl č. 1 č. 2 č. 3 č. 2 vertikálně vertikálně vertikálně horizont. [%] [ms-2] [ms-2] [ms-2] [ms-2] 80 0.094 0.119 0.128 0.072 100 0.272 0.279 0.209 0.192 15 0.309 0.471 0.450 0.113 100 0.855 1.135 0.860 0.315 100 0.799 0.979 0.910 0.362 100 0.483 0.558 0.757 0.163 15 20 20 85 85 0.431 0.311 0.187 0.636 0.313 0.575 0.286 0.183 0.602 0.329 0.226 0.390 0.300 0.511 0.430 0.165 0.214 0.081 0.256 0.134 Tab.2. Podíl aktivních diváků a zaznamenané výkmity zrychlení tribuny při jednotlivých typech chování diváků 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 3. Záznam vertikálního zrychlení konce hlavního nosníku č. 2 při skákání jednotlivých řad (2. typ) Obr. 4. Záznam horizontálního zrychlení konce hlavního nosníku č. 2 při skákání jednotlivých řad (2. typ) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 5. Záznam vertikálního zrychlení konce hlavního nosníku č. 2 při událostech spojených se vstřelením vítězné branky 5 ZÁVĚR V článku jsou popsány hlavní výsledky experimentální analýzy, která byla soustředěna na charakter chování diváků a zároveň na jimi vyvolané kmitání tribuny ve vybrané oblasti domácího stadionu fotbalového mužstva AC Sparta Praha, ve které byly soustředěni nejaktivnější fanoušci, v průběhu soutěžního utkání mezi AC Sparta a FK Teplice v březnu 2015. Výsledky experimentu, které jsou shrnuty v Tab. 1 a Tab. 2, ukazují, jak se měnilo chování fanoušků během zápasu, jak velká část diváků se aktivně do fandění zapojila a jak velké kmitání tribuny bylo vyvoláno. Z výsledků mimo jiné vyplynulo:  Nejčastěji využitým typem fandění bylo „Tleskání“, které bylo uplatněno prakticky při třetině utkání (32,0 % času), nicméně zapojení diváků do tohoto typu fandění bylo nízké (cca 20 % aktivních diváků).  Aktivní zapojení diváků do jednotlivých typů fandění se během fotbalového zápasu velmi měnilo. Největší zapojení nastalo při „Skákání“ 2., 3. a 4. typu, kterého se zúčastnili všichni fanoušci přítomní ve sledovaném sektoru tribuny (100 %).  Největší úroveň dynamické odezvy tribuny byla zaznamenána při způsobech fandění, při kterých došlo k maximálnímu aktivnímu zapojení diváků („Skákání“ 2., 3. a 4. typu). Největší výkmit vertikálního zrychlení 1,14 m·s-2 byl vyhodnocen při „Skákání – 2. typ“ a maximální výkmit horizontálního zrychlení 0,36 m·s-2 byl zjištěn při „Skákání – 3. typ“. Platnost výše uvedených závěrů bude ověřena na základě výsledků získaných při prakticky shodných experimentech, které na jaře 2015 proběhly i při několika dalších soutěžních utkáních AC Sparta Praha. PODĚKOVÁNÍ Tato práce byla podpořena Českou grantovou agenturou v rámci projektu číslo GA15-15728S. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava LITERATURA [1] Bertero, R.D. - Lehmann, A. - Mussat, J. - Vaquero, S.: Vibrations in neighborhood buildings due to rock concerts in stadiums, Journal of Structural Engineering 139 (2013), 1981 – 1991, http://dx.doi.org/ 10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0000756. [2] Caprioli, A. - Vanali, M. - Cigada, A.: One year of structural health monitoring of the Meazza Stadium in Milan: Analysis of the collected data (2009), in proc.: Proceedings of the IMAC-XXVII, Society for Experimental Mechanics Inc., Orlando Florida USA, 9p. [3] Comer, A. - Blakeborough, A. - Williams, M.S.: Grandstand Simulator for Dynamic Human-Structure Interaction Experiments, Experimental mechanics 50 (2010), 825 834, http://dx.doi.org/10.1007%2Fs11340-010-9334-6. [4] Jones, C. A. - Reynolds, P. – Pavic, A.: Vibration serviceability of stadia structures subjected to dynamic crowd loads: A literature review Prameň. Journal of Sound and Vibrations 330 (2011), 1531 – 1566, http://dx.doi.org/10.1016/j.jsv.2010.10.032. [5] Rajic, V. - Pavic, A.: Stochastic approach to modeling of near-periodic jumping loads, Mechanical systems and signal processing 24 (2010), 3037 - 3059, http://dx.doi.org/10.1016/j.ymssp.2010.05.019. [6] Reynolds, P. - Pavic, A.: Vibration performance of a large cantilever grandstand during an international football match, Journal of Performance of Constructed Facilities 20 (2006), 202 – 212, http://dx.doi.org/10.1061/(ASCE)0887-3828(2006)20:3(202). [7] Rokoš, O. - Máca, J.: The response of grandstands driven by filtered Gaussian white noise processes, Advances in engineering software 72 (2014), 85 – 94, http://dx.doi.org/10.1016/j.advengsoft.2013.05.008. [8] Rokoš, O. - Máca, J.: Stochastic approach in the human-induced vibration serviceability assessment of grandstands. Proceedings of the IX International Conference on Structural Dynamics, EURODYN2014, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto (2014), 1019 – 1026. [9] Sim, J. - Blakeborough, A. - Williams, M.S.: Modeling effects of passive crowds on grandstand vibration, Proceedings of the institution of civil engineers-structures and buildings 159 (2006), 261 - 272, http://dx.doi.org/10.1680/stbu.2006.159.5.261. [10] Verner, M.: Experimental analysis of vibration grandstand caused by crowd of spectators, Proceedings of the 5th Conference Nano & Macro Mechanics, Czech Technical University in Prague Faculty of Civil Engineering, Prague (2014), 207 - 212. [11] Verner, M. – Polák, M. - Plachý, T.: An Experimental Study Focused to Spectators-induced Vibrations of a Cantilever Grandstand during two Sport Matches, Proceedings of 53rd International Conference on Experimental Stress Analysis 2015, Czech Technical University in Prague Faculty of Civil Engineering, Prague (2015), 73 – 78. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS POROVNÁNÍ DOTVAROVÁNÍ CEMENTOVÝCH PAST S PŘÍMĚSEMI POPÍLKU P. Padevět1 a P. Bittnar2 Abstract The article is devoted to compare the size of the creep for a time period of cement pastes with admixture of different amounts of fly ash. Attention is given to the size of the deformations that occur in materials saturated with water and also in the dried matrices. The presented results comparing creep size for cement pastes containing fly ash 30 and 50%. Influence of the amount of ash and the amount of water to the creep size is evaluated in the conclusion. Klíčová slova Cementová pasta, popílek, dotvarování, smrštění, materiálové vlastnosti.. 1 ÚVOD Článek se věnuje porovnání velikosti dotvarování cementových past s příměsemi různého množství popílku za časové období 25 dní. Pozornost je věnována velikosti deformací, které vznikají v materiálech saturovaných vodou a také ve vysušených matricích. Prezentované výsledky porovnávají velikost dotvarování pro cementové pasty s obsahem popílku 30 a 50 %. 2 CEMENTOVÉ PASTY S POPÍLKEM Dotvarování cementových past je na Katedře mechaniky Stavební fakulty ČVUT v Praze věnována dlouhodobá pozornost. Množství popílku, které se do cementové pasty přidává, řídí nejen rychlost nárůstu pevnosti, ale také velikost dotvarování [1]. Zapracováním elektrárenského popílku dochází ke zhodnocení, v této době diskutované suroviny [2]. V minulosti byl popílek považován za odpadní materiál. Nazírání na použití tohoto materiálu se změnilo také používáním tohoto materiálu ve stavebnictví. Využívání popílku nejen ve stavebnictví změnilo nazírání na tento materiál a nyní je považován za surovinu. Tomu vděčí popílek pro své vlastnosti, které ho předurčují k vhodnému použití ve stavebnictví [3]. Přítomností křemičité fáze je vhodný jako plnivo do jiných výrobků. Kromě SiO2 jsou v popílku zastoupeny složky Fe2O3 a Al2O3. Pokud by byl použit fluidní popílek, který ale v této práci použit nebyl, bylo by přítomno vyšší zastoupení CaO – volný oxid vápenatý. Prezentovaná měření byla provedena s elektrárenským popílkem z elektrárny Mělník. Ten obvykle obsahuje 53 % SiO2, 31 % Al2O3 a 6 % Fe2O3. Popílek v elektrárně Mělník vzniká spalování hnědého uhlí. 1 Ing. P. Padevět, Ph.D., ČVUT v Praze, Thákurova 7, 166 29, Praha 6, Česká republika, +420 224 354 484, pavel.padevet@fsv.cvut.cz. 2 Ing. Petr Bittnar, ČVUT v Praze, Thákurova 7, 166 29, Praha 6, Česká republika, +420 224 354 484, petr.bittnar@fsv.cvut.cz. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Jak již bylo zmíněno, popílek je použitelný jako zásypový materiál při tvoření podkladních vrstev inženýrských staveb. Mimo toto využití je popílek přidáván do směsných cementů, kde je využívána jeho latentní hydraulicita [4]. Naše práce je zaměřena na použití popílku do Portlandského cementu, nejen jako plnivo, ale také jako materiál, který vylepší vlastnosti betonu tvořeného z Portlandského cementu CEM I. Výhodou přidání popílku do betonu je snížení – odložení vývinu hydratačního tepla, které je významné pro masivní konstrukce. V dlouhodobém pohledu je přidání popílku do betonu příznivé pro dosažení vyšších pevností, než je pro danou betonovou směs deklarováno. Daní za tyto příznivé vlastnosti je pomalejší nárůst pevnosti v počátku. 3 CEMENTOVÉ PASTY PRO EXPERIMENT Předmětem výzkumu bylo zjištění vlastností dotvarování cementových past s obsahem popílku [5]. Byly zvoleny dvě záměsi. První směs obsahovala 50 % hmotnostní náhradu cementu v připravované cementové pastě. Druhá směs obsahovala 30 % náhradu hmotnosti cementu v pastě. K výrobě byl použit v obou případech Portlandský cement CEM I 42,5 R z cementárny Radotín (výrobce Českomoravský cement – Heidelberg Cement group). Obě záměsi byly vyrobeny použitím vodního součinitele 0,4. Vodní součinitel v tomto případě znamená poměr hmotnosti vody k hmotnosti cementu, včetně náhrady popílkem. Výroba těles pro měření dotvarování byla provedena do plastových forem válcovitého tvaru. Délka takto vyrobeného tělesa je přibližně 10 cm. Vyrobené válečky mají průměr 10 mm. Výhodou betonáže do plastové formy je snadná manipulace s čerstvou směsí, jednoduché odformování těles z forem. Po vybetonování byla tělesa uložena do vodní lázně a ponechána ve vodě až do doby testování. Před počátkem testu dotvarování byla tělesa zkrácena na délku 70 mm, která je použitelná pro měření změn deformací v pákovém mechanismu, viz obr.1. Obr. 1. Pákové mechanismy pro měření dotvarování a smrštění. V popředí jsou patrná závaží pro aplikaci zatížení. V obou případech cementových past byla tři tělesa vyjmuta z vodní lázně a umístěna na 24 hodin do sušárny. Tam byla vysušena při teplotě 105°C. Následně byla tělesa zabalena do fólie a umístěna do pákových mechanismů. V každé měřené sadě byla použita tři tělesa pro měření dotvarování a smrštění ve vodou saturovaném stavu a tři tělesa pro dotvarování a smrštění za vysušeného stavu. V každé vlhkostní sadě byla dvě tělesa použita pro měření dotvarování a jedno těles pro měření smrštění. Smrštění bylo taktéž měřeno v pákovém mechanismu, ale bez zatížení pomocí závaží. Deformace v čase byly měřeny pomocí tří optoelektronických snímačů deformace. Na počátku měření dotvarování byla tělesa jeden rok stará. Toto stáří zaručuje vyzrálost cementových past obsahujících popílek. Délka měření dotvarování byla 25 a 28 dní. Před ukončením měření byla tělesa odlehčena odejmutím závaží. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava VÝSLEDKY MĚŘENÍ DOTVAROVÁNÍ Grafy měření dotvarování zobrazují výsledná měření vodou nasycených a vysušených těles. V případě měření dotvarování vysušených těles se jedná o basic creep. V obou případech jsou výsledky očištěny o účinek smrštění. Měření smrštění bylo odečteno od měření dotvarování, protože data z měření dotvarování v sobě obsahují i účinek smrštění. Prezentované grafy v obrázcích 2 – 5 obsahují dotvarování těles vztažené k délce testovaných vzorků. Creep (relative values), No.1 Creep (relative values), No.2 2 1,8 1,4 Strain (*10^-3) Strain (*10^-3) 1,6 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 28 0 2 4 6 8 10 Time (days) 12 14 16 18 20 22 24 26 28 24 26 28 30 32 Time (days) Obr. 2. Dotvarování saturované cementové pasty s 50 % náhradou cementu popílkem. Basic creep (relative values), No.1 Basic creep (relative values), No.2 0,35 0,4 0,35 0,3 Strain (*10^-3) Strain (*10^-3) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,05 0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 0 28 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Time (days) Time (days) Obr. 3. Basic creep cementové pasty s 50 % náhradou cementu popílkem. Creep (relative values), No.2, 30 % fly ash 2 1,8 1,8 1,6 Relative deformation (*10^-3) Relative deformation (*10^-3) Creep (relative values), No.1, 30 % fly ash. 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Time (Days) 20 22 24 26 28 30 32 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Time (Days) Obr. 4. Dotvarování saturované cementové pasty s 30 % náhradou cementu popílkem. 26 28 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Basic creep (relative values), No. 2, 30 % fly ash Basic creep (relative values), No. 1, 30 % fly ash 1,2 Relative deformation (*10^-3) 1,6 Relative deformation (*10^-3) October 2015, Bratislava 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2 0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Time (Days) 20 22 24 26 28 30 32 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 Time (Days) Obr. 5. Basic creep cementové pasty s 30 % náhradou cementu popílkem. 5 ZÁVĚR Dotvarování cementové pasty s 50 % obsahem popílku dosahovalo hodnoty 2 mikrostrainů po 25 dnech, viz obr. 2. V porovnání s dotvarováním pasty, která obsahovala 30 % popílku je tato deformace větší. Cementová pasta s 30 % náhradou cementu popílkem dosáhla velikosti dotvarování 0,9 mikrostrainů za stejné časové období. Basic creep cementové pasty s 50 % obsahem popílku dosáhl průměrné velikosti 0,275 mikrostrainů po 25 dnech, viz obr.3. Naproti tomu cementová pasta, v které byl obsah cementu nahrazen 30 % popílku dosáhla velikosti basic creep 0,1 microstrainu po 25 dnech, jak je patrné z grafů na obrázku 5. Porovnáním obou cementových past je patrné, že na velikost dotvarování cementové pasty, která obsahuje popílek má podstatný význam množství popílku v cementové matrici. Saturovaná cementová pasta se liší o 1,1 mikrostrainu ve prospěch menší hodnoty dotvarování u cementové pasty s 30 % množstvím popílku. Cementová pasta, která byla vysušená, dosáhla menšího dotvarování v případě, když obsahovala menší množství popílku. Velikost dotvarování pro basic creep se odlišuje o 0,175 mikrostrainů. Velikost dotvarování za určitou časovou jednotku je ovlivněna nejen množstvím vody v cementové pastě, ale také množstvím popílku, který je použit k náhradě cementu v cementové matrici. PODĚKOVÁNÍ Článek vznikl za podpory projektu Studentské grantové soutěže SGS pod číslem 14/122/OHK1/2T/11. LITERATÚRA [1] Padevět, P. – Otcovská, T, - Zobal, O.: Variation of material properties of cement pastes with various types of fly ash during maturation, WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics,{Volume 9.} (2014) 88--96, ISSN: 19918747. [2] Šmilauer, V. - Zobal, O. - Bittnar, Z. - Hela, R. - Snop, R. - et al.: Využití úletových popílků pro betonáž masivních konstrukcí, BETON-technologie, konstrukce, sanace. 2014, roč. 14, č. 2, s. 60-65. ISSN 12133116. [3] Zobal, O. - Šmilauer, V. - Leal Da Silva, W. - Mužíková, B. - Padevět, P.: Vliv popílků na vybrané vlastnosti cementových pojiv, BETON-technologie, konstrukce, sanace. 2015, roč. 15, č. 2, s. 42-47. ISSN 1213-3116. [4] Bentz, D. P. - Hansen, A. S. - Guynn, J. M.: Optimization of cement and fly ash particle sizes to produce sustainable concretes, Cement \& Concrete Composites 33 (2011), pp. 824–831, http://www.elsevier.com/locate/cemconcomp. [5] Padevět, P. - Bittnar, P.: Creep of cementitous materials with addition of fly ash in time, Advanced Materials Research {Volume 742.} (2013) ed. 182—186. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS PROPAGATION OF VIBRATIONS DUE TO A TRAMWAY LINE J. Benčat1, D. Papán2 and M. Stehlíková3 Abstract The growing tramway traffic volume, the higher population density in urban area and the diminishing distance between the tramway track and the structure can be considered to be responsible for increasing vibration nuisance due to tramway traffic. The vibration velocity level in a building is predicted based on a separate characterization of the source, the wave propagation and the receiver. The numerical results in time domain are presented as the time histories damped amplitudes of the half space vibration at the distance. In frequency domain free–field response is presented via response spectra and frequency response function (FRF) of the viscoelastic soil medium. Also for practical case study the analytic–experimental approach were used the test and the theory data combination to asses actual and calculates the prediction vibration level of ground and buildings after the tramway structure reconstruction. Key Words railway dynamics, wave propagation, moving loads, vibrations, tramway, microtremor, experimental tests, ground and structure vibration 1 INTRODUCTION The growing tram traffic volume in urban area, the higher population density and the diminishing distance between the tram track and the building structure can be considered to be responsible for increasing vibration nuisance due to railway traffic. As a consequence, more frequently than in the past, the assessment of the impact due to vibrations is carried out. In order to reduce the vibrations induced by road and tram traffic, different actions can be implemented, such as the improvement of tramway (pavement) structures and the realization of screens and barriers into the soil. For these mitigations can be economically very costly, it is very important to make a prediction study that, assessing the exact vibratory levels at receivers, allows determining the right implementations and the most effective technical solutions. Nevertheless, to correctly determine building structure vibration levels, it is necessary to study the dynamic characteristics of sources – spectral content, levels of excitation, energy etc. – as well as the wave’s propagation in the ground [1,2,3]. That is a considerably complex matter, since characteristics and geological structure of soils could be difficult to determine. The implementation of calculation methods has been addressed, in order to predict vibration levels induced by tram transport systems – tramways with conventional speed trains. The aim of this work has been to assess and to predict tool based on predictive models from the literature combined with accurate measurements prof. Ing. Ján Benčat, PhD., University of Žilina, Univerzitná 1, 010 26, Žilina, Slovakia, +421 41 513 5602, jan.bencat@fstav.uniza.sk 2 Ing. Daniel Papán, PhD., University of Žilina, Univerzitná 1, 010 26, Žilina, Slovakia, +421 41 513 5615, daniel.papan@fstav.uniza.sk 3 Ing. Mária Stehlíková, PhD., University of Žilina, Univerzitná 1, 010 26, Žilina, Slovakia, +421 41 513 5614, maria.stehlikova@fstav.uniza.sk 1 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava and characterization of vibrational waves in the soil under consideration to allow end–users and designers to assess the vibration impact with a sufficient accuracy [1]. In the paper for practical case study the analytic–experimental approach proposes. The test and the theory data combination were used to assess and calculate the prediction level of ground and building vibrations caused by tramway passages in Bratislava, Slovakia. In this process as an input signal can be used accelerations spectra or accelerations spectrum measured at nearest ground point to the tram track for individual case study. The frequency response function (FRF) of the ground can be derived via experimental impulse seismic method (ISM) or SASW test data, from which elastic and attenuation parameters of the ground can be obtained, too. Also the measuring output response acceleration spectrum at the distance due to (tram) an input accelerations spectrum the FRF can be derived. In the next step this functions are applied for building structure dynamic response calculation due to tramway traffic via relevant computational building structure model. The calculation results (for the existing building, today’s tram traffic and predicted buildings dynamic response due to tram traffic on modernized track in urban area) using measured input experimental data as the case study examples are introduced. 2 VIBRATION GENERATION AND PROPAGATION MECHANISMS IN THE GROUND The project of the conventional tram lines modernization in Bratislava has required information regarding the ground and buildings vibration levels near the actual tram railways and to predict vibration levels in the same localizations after the reconstruction and modernization tram lines with new tram cars service. Finally actual and predicted vibration levels relevant calculated data values were compared with relevant standards prescription values and criteria [1,2,3]. To avoid costly numerical simulations of vibration propagation through the ground and inside the buildings, vibration measurements and numerical calculations have been combined to benefit from their particular advantages. The sound propagation paths due to vibrations induced on the surface and subway tracks are shown in Figure 1. For numerical calculations of the building structure response and assessment of their actual or predicted vibration levels it was need to determine the transfer function (TF). The TF of vibration from the track to the foundation of a building was determined by the vibration velocity measurements excited by artificial impulse shaped excitations or by measurements of the input velocities power spectra (near the track) and output velocities power spectra (near the building foundation) in the ground. Fig. 1. Tram view and vibration sound propagation paths process layout For the object in view the 28 existing residential building (RB) in urban area due to today’s tram traffic dynamic response were investigated using measured input experimental data [1]. The distances between buildings and tram track were approximately from 12 m to 30 m. It was complicated to experimental measure dynamic response storey floors for such number of RB and for practical calculations the propagation of vibrations from buildings foundation to the storey floors generic transfer functions available from common codes of practice have been applied. The application of generic foundation–floor transfer functions (or FRF) was required because either residential buildings were not accessible for vibration measurements at the inside, or the vibrations had even to be predicted for buildings currently under development (or under designing). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 3 October 2015, Bratislava EXPERIMENTAL TESTS NEARBY TRACK AND BUILDINGS The ground vibrations due to trams were measured at the test site adjacent to the track by accelerometers Bruel & Kjaer Type 4508 (BK). The output signals from the accelerometers were preamplified and recorded on portable PC equipped with A/D converters software packages NI and DISYS. During the experimental measurements were used data wireless transmissions to portable PC with relevant NI software and hardware, see Figure 2. The experimental analysis has been carried out in the laboratory. The ground vibrations frequencies were obtained using spectral analysis of the recorded soil response dynamic components, which are considered ergodic and stationary. Spectral analysis was performed via National Instruments software package NI LabVIEW. The wave velocities has been investigated by means of the correlation analysis and spectral analysis in order to obtain cross correlation functions Rxy(t) and coherence function γxy2(f). The frequency response spectrum has also been obtained by using PULSE Reflex Modal Analysis, analyzer Type 8720, Bruel & Kjaer. The same procedures and hardware were applied in the ISM experimental tests. 3.1 Soil characteristics experimental in situ tests To calculate prediction vibration level and dynamic response for buildings in urban area near the tram track it was needs to know soils dynamic parameters and transfer Fig. 2. The experimental measurement data wireless transmissions to portable PC arrangement function (TF) or frequency response function (FRF) in these sites. Therefore the in situ impulse seismic method (ISM) tests in the relevant area were performed [1, 2]. In the ISM common practice is to use a linear source– receiver array with two or more receivers located at distance 1(m) from source (Light Falling Weight Device – LFWD), see also [3]. Propagation of body waves generated by the source is monitored with receivers (A iz) at the same depth as the source, (Figure 2). The approach used in the in situ tests to determine shear wave velocity (vs) is based on correlation and spectral analysis theories [4]. In ISM tests time interval of the wave travelling between e.g. the first (A4z) and second (A1z) receivers are determined using crros–correlation functions, velocities are calculated via dividing distance (l) by appropriate times. Application of ISM is described by the example of the building site of RB No.B8 situated nearby the tram line Vajnory Radial Line in Bratislava (sandy loam –3.5m and gravel sand –12.0 m). This permits the ground to be modelled as a damped, viscoelastic half space. The viscoelastic model of soil simulation using the complex modulus conception E*=E(1+δE) and G*=G(1+δG) respectively, offers a very good approach to the actual soil behavior (E,G and δE  δG are real and imaginary components of complex modulus). The Raleigh’s and shear waves propagation vR and vS in half space with this form are analyzed in [4,5,6]. The experimental tests for the purpose of the evaluation of elastic and attenuation soil parameters are described in [1,3]. The RB No.B8 building site layout, accelerometers (Aiz) and impact loading positions (Iz) during the tests are shown in Figure 3. The impulse test results: vR =145.10 ms–1; G = 0.117; E0 = 109.20 MPa; G0 = 41.10 MPa. The ISM B8–6 test time history v(t) and cross correlation functions Rxy(t) are plotted on Figure 4. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The calculation includes data: λR = 9.2 m, (R–waves length ); ρ = 1950kgm–3,(soil mass density); α = 0.0398 m–1, (the attenuation coefficient obtained by standard deviations σ(0), σ(y) of displacement amplitude vibration at the distance lo, ly from source of excitation using the displacement power spectral densities (Gii(0) and Gkk(y)) or RMS displacement amplitude values, [2]. LEGEND: ■ ........ IZ - impulse, LFWD (1000 cm2, Q = 12.5 kg) ○ …...A1,… A4 - accelerometers B–K 4508 Fig. 3. Layout of accelerometers (Aiz) and LFWD (Iz) position at B8.6 vicinity 3.1 Vibration propagation process due to tram – experimental investigation For the object in view the 28 existing residential building (RB) in urban area due to today’s tram traffic dynamic response (TDR) were investigated using measured input experimental data [1]. The distances between buildings and tram track were variable approximately from 12 m to 30 m. Experimental studies of ground vibration transmission from a track was carried out in the relevant sites (area with extreme vibration levels or RB and buildings with very high sensitivity devices) adjacent to the tram lines Vajnory Radial Line (VRL) and Ružinov Radial Line (RRL) in Bratislava planned on reconstruction and modernization. The object of the experimental measurements was to find spectral characteristics → Gii(f), Gkk(f), Gik(f), Hik(f) of the vibration components in: (i) ground areas between track and nearby buildings – input spectra, (ii) buildings foundation – output spectra and also (iii) ground near the buildings foundation (output spectra for soils medium). This experimental procedure enables in each  experimental test to find: extreme values velocities amplitudes vibration and RMS values max vx , max vz and max vrms on the building structure foundation or on basement wall – induced by passing tram on existing tram lines, [7, 8],  ground spectral characteristics as input power spectra to soil medium Gii(f), output power spectra in soil medium Gkk(f), then cross spectra Gik(f) and and ground transfer function track – soils near foundation Hik(f), – induced by passing tram on conventional tram lines,  building structure basic spectral characteristics Sbb(f) and extreme vibration levels on the floors, etc. via numerical computing using building design project and input power spectra to building structure measured on the foundation (A1) → Gbb(f)) – induced by passing tram on conventional tram lines, 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 4. The B8.6 test correlation analysis results at points A1, A2 and A4 example  building structure basic spectral characteristics Sbb(f) via numerical computing using building design project and input power spectra to building structure measured on the foundation (A1 → Gbb(f)) and extreme vibrations level on the floors, etc. – induced by passing tram on modernization tram lines (in future). During the test series accelerometers were situated as follow: near track (A3, ~ 1.0 m); pavement near the building (A2, 0.7 m) and on the building basement wall (A1, + 0.3 m over the pavement). Receiver’s positions are shown in Figure 5. The building and ground accelerations of the vibrations in two directions (x, z) were recorded using portable notebook computer with relevant software and hardware facilities for data wireless transmissions to portable PC, see also Figure 2. LEGEND: ◄........ A1x, A1z … B–K 4508 (basement wall) ○........ A2(x,z), A3(x,z) … B–K 4508 Fig. 5. Position of the receivers layout and view on accelerometers arrangement during the experimental tests: near track, building basement wall and pavement 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 6. The ISM TDR B8.1 test amplitude and spectral analysis results at points A1, A2 and A3 examples The test experimental procedure and results of the analysis of all tests are in detail presented in [2]. As an example of the vibrations spectral analysis results (PS) in the ground at measured point BK1 are plotted on Figure 6. 4 GROUND DYNAMIC RESPONSE DUE TO TRAM – NUMERICAL APPROACH In the case of a tramway line, a 2D model can be used to predict the behaviour for the propagation analysis of the corresponding vibrations, considering a halfspace model for the soil and using exact dynamic stiffness matrices, see also [6]. The finite element method (FEM) was used for modelling the body wave propagation processes in the ground – modelled as an viscoelastic medium in this case study, see also [6,9,10,11,12]. FEM 2D simulation was performed in the time domain and then the spectral characteristics were calculated. The shape of a half– circle with a diameter of 50 meters was used to define the subgrade [9]. The zero displacements are prescribed at the edge of the model (Figure 7). The soil mechanical characteristics of the subgrade used in FEM calculation were taken from the ISM tests results near the building site of RB No.B8 where the vibration propagation processes – VPP due to tram experiment tests were performed, too. As an input function was used vibration velocities time history v(t) measured in the TDR B8.1 test. This time history as the discrete function was divided into the time steps Δt = 0.001 sec. Dynamic response of the subgrade at the building foundation nearest point was calculated by VISUAL FEA software package [13]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava d = 10 m Measured excitation point A3 x Response point A2 d = 50 m z Fig. 7. The FE–model for numerical simulation layout The numerical calculations results at response point A2(cal.) are comparable to the experimental tests results measured at point A1(test) on building fundament structure because the pavement vibrations at point A2(test) represent different type vibrations (pavement layer, reflected waves, etc.). The numerical calculations results examples in time and frequency domain are depicted in Figures 8, 9, 10. 3,00E-02 0,0008 2,50E-02 0,0006 2,00E-02 0,0004 1,50E-02 0,0002 v [m/s] v [m/s] 1,00E-02 5,00E-03 0,00E+00 0 -5,00E-03 -0,0002 -1,00E-02 -0,0004 -1,50E-02 -0,0006 -2,00E-02 -0,0008 -2,50E-02 0 1 2 3 4 5 0 6 1 2 3 4 5 6 4 5 6 t [s] t [s] The vibration velocity time history vi(t) in point A3z and A2z 0,0004 1,50E-02 0,0003 1,00E-02 0,0002 0,0001 v [m/s] v [m/s] 5,00E-03 0,00E+00 0 -0,0001 -0,0002 -5,00E-03 -0,0003 -1,00E-02 -0,0004 -0,0005 -1,50E-02 0 1 2 3 t [s] 4 5 6 0 1 2 3 t [s] The vibration velocity time history vi(t) in point A3x and A2x Fig. 8. FEM results – time histories in test RB No.B8 nearby subgrade area 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2,50E-09 4,50E-07 20.38 Hz 16.11 Hz 20.38 Hz 4,00E-07 2,00E-09 3,50E-07 3,00E-07 1,50E-09 18.79 Hz 2,50E-07 [m/s]^2 [m/s]^2 October 2015, Bratislava 2,00E-07 1,50E-07 1,00E-09 5,00E-10 1,00E-07 5,00E-08 31.25 Hz 0,00E+00 0,00E+00 -5,00E-10 -5,00E-08 0 10 20 30 40 50 60 70 0 80 10 20 30 40 50 60 70 80 60 70 80 f [Hz] f [Hz] The vibration velocity power spectrum Gii(f) in point A3z and A2z 1,60E-07 7,00E-10 16.11 Hz 1,40E-07 20.38 Hz 5,00E-10 [m/s]^2 1,00E-07 [m/s]^2 18.79 Hz 6,00E-10 1,20E-07 8,00E-08 6,00E-08 4,00E-10 3,00E-10 14.52 Hz 24.78 Hz 2,00E-10 4,00E-08 33.01Hz 1,00E-10 2,00E-08 0,00E+00 0,00E+00 -2,00E-08 -1,00E-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 f [Hz] 50 f [Hz] The vibration velocity power spectrum Gii(f) in point A3x and A2x Fig. 9. FEM results – power spectra in test RB No.B8 nearby subgrade area 3,00E-08 3,00E-08 18.79 Hz (x) 2,50E-08 (z) 2,00E-08 [m/s]^2 2,00E-08 [m/s]^2 18.79 Hz 2,50E-08 1,50E-08 24.78 Hz 1,00E-08 1,50E-08 24.78 Hz 1,00E-08 32.83 Hz 32.83 Hz 5,00E-09 5,00E-09 0,00E+00 0,00E+00 -5,00E-09 -5,00E-09 0 10 20 30 40 f [Hz] 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 80 f [Hz] Fig. 10. The velocity vibration cross spectra G32(f) between points A2 and A3 in direction x and z in test RB No.B8 nearby subgrade area The comparison of the experimental and numerical velocity amplitude RMS values at relevant points give results with 10 – 15% higher experimental velocity RMS amplitude values in compare with numerical values. 5 CONCLUSIONS Based on the results presented in this paper the following conclusions can be drawn:  The numerical prediction model approach. To predict the level of ground vibration in the vicinity of railways via numerical calculations for practical demand it needs to calculate the response spectrum (or PSD) at distance point in the ground G(f) using the input PSD measured near the track, soil mechanical characteristic from ISM test and relevant software program. The results from the described case study demonstrate applicability of proposed approach for such type of practical demand.  The numeric – experimental prediction model. In this process as an input signal can be used the accelerations spectrum S ww ( f ) measured at nearest ground point to the tramway track for individual case study. The frequency response function (FRF) of the ground can be derived via experimental impulse seismic method (ISM) or cross–hole test data or SASW from which elastic and attenuation parameters of the ground can 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava be obtained, too. The calculation output response acceleration spectrum at the distance Sẅẅ(f) is then calculated multiplying FRF– H(f) by input accelerations spectrum S ww ( f ) . The calculation results building dynamic response assessment using relevant input experimental data as the case study example are introduced, too. The 28 existing residential building (RB) in Bratislava dynamic response due to today’s tram traffic intensity were investigated, using measured input experimental data. The relevant calculated data values following from experimental spectral and amplitude analysis of the actual building dynamic response (spectral picks limit, vibration levels, etc.) were compared with relevant standards prescription values and criteria (STN EN 1998 – 1/NA/Z1 (2010) Slovak Standard STN 73 0032, etc. The comparison of the measured vibration velocities level and standard limits level suggests fulfilling standards required main standard criterion [7] max vRMS < 2,5 (mm/s) on RB foundation structure. According to results of the structure spectral analysis the structure basic natural frequencies have values f(n) < 10 Hz it means there is no resonance effect due to tramway traffic because the measured frequencies were over the 15 Hz, see Figure 6. ACKNOWLEDGEMENT We kindly acknowledge the project “Research Centre of University of Zilina”– ITMS 26220220183, supported by European regional development fund and Slovak state budget. REFERENCES [1] Bencat, J. et al.: “Studies on the tramway traffic effects on building in Bratislava”, Technical Report P– 009/2014, RC Zilina, 2014. [2] Bencat, J.: “Microtremor due to Traffic”, Research report A – 4 – 92/b, (in Slovak), UTC Zilina, SK, 1992. [3] Bencat, J. et al.: “Studies on the TEN–T railway traffic effects on IBM Data Centrum – ST building in Bratislava”, Technical Report PC 16/SvF/2009, UZ SvF, Zilina, 2008. [4] Bendat, J. S. - Piersol, A. G.: “Engineering Applications of Correlation and Spectral Analysis”, Wiley & Sons, New York, 1993. [5] Grundmann, H. - Lieb, M. - Trommer, E.: “The response of a layered half–space to traffic loads moving along its surface”, Archive of Applied Mechanics 69, 55–67,1999. [6] Maldonado, M. - Le Houedec, D.: “Propagation in Soil of Vibrations due to a Tramway”, Proceedings of the Eighth International Conference on Computational Structures Technology. Paper 52, Civil–Comp Press, Stirlingshire, Scotland, (2006). [7] Slovak National Annex to Eurocode 8: “Design of structures for earthquake resistance. Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings” (in Slovak). STN EN 1998 – 1/NA/Z1. Slovak Institute of Standards, SUTN, Bratislava, 2010. [8] Slovak Standard: “Calculation of building structures and foundations loaded by dynamic effect of machines” (in Slovak). STN 73 0032. Slovak Institute of Standards, SUTN, Bratislava, 2010. [9] Papánová, Z. - Kortiš, J. - Papán, D.: “Microtremor vibrations in the soil experimental investigation and FEM simulation”, Communications: scientific letters of the University of Žilina, Vol. 16, no. 4, 2014. [10] Sheng, X. – Jones, C. – Thompson, D.J.: “A comparison of a theoretical model for quasi–statically and dynamically induced environmental vibration from trains with measurements”, Journal of Sound and Vibr.267, pp. 621–635, 2003. [11] Mesgouez, G. – Laghrouche, O. - Le Houedec, D. – Jones, D.V.: “Theoretical and numerical models for the prediction of surface ground vibration on an elastic layer over a rigid foundation”, Computer Techniques for Civil and Structural Engineering, Civil–Comp Press, Edinburgh, pp. 111–118, 1999. [12] Jones, D. V. – Petyt, M.: „Ground Vibration in the vicinity of a strip load: an elastic layer on a rigid foundation“, Journal of Sound and Vibration, 152(3), pp. 501–515, 1992. [13] Visual FEA electronic manual: www.visualfea.com th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS STRENGTH ANALYSIS OF THE BUILT-UP TRIHEDRAL COLUMN TAKING INTO ACCOUNT THE IMPERFECTIONS B. Kowolik1 Abstract The publication of the conference "New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2014" [1] presented procedure of determining the continuous shear stiffness SV of the built-up trihedral column with a cross section of three CHS profiles. In this paper bearing capacity of this column was determined based on adapted procedure given in section 6.4 of Eurocode EN 1993-1-1 [2]. Simultaneously carried out analysis the column of secondorder nonlinear P-delta with the global imperfections of the arrow L/500 and the local imperfections of the arrow a/200 and a/300. The results allow to conclude on the adequacy of the proposed procedure. Key Words Built-up compressed members, global and local imperfection, shear stiffness, non-linear P-delta theory 1 PROCEDURY PROJEKTOWANIA ELEMENTÓW ZŁOŻONYCH W punkcie 6.4 Eurokodu EN-1993-1-1 [2] przedstawiono zasady projektowania elementów złożonych o pasach równoległych. Elementy takie traktuje się jako słupy pełnościenne ze wstępną imperfekcję o strzałce wygięcia równej eo = L/500 (rys.1.). Uwzględnia się również deformację sprężystą skratowania lub przewiązek za pomocą ciągłej (rozmytej) sztywności postaciowej słupa Sv. Przedstawiona w normie procedura jest przewidziana dla elementów połączonych w jednej lub w dwóch prostopadłych płaszczyznach. W materiałach konferencji „New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2014” [1] przedstawiono sposób wyznaczania sztywności postaciowej Sv oraz siły osiowej w bardziej wytężonej gałęzi słupa o przekroju trójściennym. Model w tym zakresie został zweryfikowany numeryczne. Alternatywny sposób sprawdzania nośności słupa złożonego polega na wykonaniu obliczeń statycznowytrzymałościowych zgodnie z nieliniową teorią II rzędu z uwzględnieniem imperfekcji globalnej elementu o wartości strzałki wygięcia eo = L/500 oraz imperfekcji lokalnych gałęzi pomiędzy skratowaniem lub przewiązkami o wartości strzałki wygięcia eo,loc = a/(150÷350) w zależności od typu przekroju gałęzi. Otrzymane wówczas naprężenia w przekroju gałęzi i przewiązek porównuje się z granicą plastyczności stali z uwzględnieniem współczynnika materiałowego. 2 TOK PROJEKTOWANIA TROJŚCIENNEGO ELEMENTU ZŁOŻONEGO Projektowanie złożonego słupa trójściennego składa sie z niżej przedstawionych etapów. 1. Wyznaczenie obciążenia słupa, przyjęcie geometrii i przekroju poprzecznego słupa 2. Określenie klasy przekroju gałęzi; wyznaczenie charakterystycznej i obliczeniowej nośności gałęzi słupa ze względu na siłę osiową, moment zginający i siłę poprzeczną. 1 PhD Bernard Kowolik, Silesian University of Technology in Gliwice, Faculty of Civil Engineering, Poland, 44-100 Gliwice, ul. Akademicka 5, e-mail: bernard.kowolik@polsl.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 1. Model słupa złożonego z przewiązkami 3. Wyznaczenie sztywności postaciowej słupa o przekroju trójściennym. Zakłada się, że wszystkie ściany mają jednakową sztywność postaciową oznaczoną jako Sv1 : S v1 = 24 EI ch 2 2I h  a 1 + ch o  Io a   . gdzie : a – osiowy rozstaw przewiązek, ho – osiowy rozstaw gałęzi (pasów słupa), Ich – moment bezwładności pasa w płaszczyźnie układu, Ib – moment bezwładności jednej przewiązki w płaszczyźnie układu. Sztywność postaciowa słupa jako całości wynosi (rys.2) [3], [1]: Rys. 2. Pręt złożony o przekroju trójściennym a) przekrój i geometria pręta, b) odkształcenie od siły poprzecznej w płaszczyźnie ZX, c) w płaszczyźnie YX ([1] wg [3]) (1) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava - w płaszczyźnie ZX : Sv = 3 S v1 , 2 (2a) Sv = 4 SV 1 . 5 (2b) - w płaszczyźnie YX: 4. Obliczenie zastępczej siły krytycznej. Zastępczą siłę krytyczną Ncr wyznacza się następująco: N cr = π 2 EI eff L2cr . (3) Efektywny moment przekroju w przypadku trójściennego przekroju słupa złożonego może być wyznaczony z warunku: I eff = 0,5ho2 Ach + 3µI ch , (4) w którym wskaźnik efektywności µ zależny od smukłości słupa i jest wyznaczony z Tablicy 6.8 normy [2]. 5. Obliczenie momentu przęsłowego i siły poprzecznej w słupie. Moment przęsłowy, przy braku obciążenia zewnętrznego powodującego zginanie elementu, wyznacza się ze wzoru: M Ed = N Ed eo , N Ed N Ed 1− − N cr Sv (5) a siłę poprzeczną: VEd = π M Ed . Lcr (6) 6. Obliczenie siły osiowej w pojedynczej gałęzi słupa. Siłę osiową w pasie elementu złożonego oblicza się na podstawie siły podłużnej NEd oraz momentu przęsłowego MEd . Siłę osiową Nch,Ed w bardziej wytężonym pasie, przy założeniu że siła obciążająca NEd jest przyłożona w środku ciężkości przekroju gałęzi słupa, można wyznaczyć z warunków [1]: przy wyboczeniu w płaszczyźnie ZX: N ch ,Ed = - N Ed M Ed (0,5ho )Ach + , 3 I eff (7a) przy wyboczeniu w płaszczyźnie YX: N ch ,Ed N = Ed + 3   M Ed  3 ho  Ach 3   . I eff (7b) 7. Obliczenie siły poprzecznej Vch ,Ed i momentu zginającego M ch ,Ed pojedynczą gałąź w przedziale między przewiązkami. 8. Wyznaczenie smukłości i współczynnika wyboczeniowego pojedynczej gałęzi w przedziale między gałęziami. 9. Sprawdzenie warunku nośności i stateczności elementu: 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings N ch ,Ed χ ⋅ N Rk + k yy ⋅ October 2015, Bratislava M ch ,Ed ≤1. M ,Rk (8) γ M1 γ M1 W warunku tym interakcję ściskania i zginania uwzględniono za pomocą współczynników kij gdzie i, j = y lub x. Wartości tych współczynników wyznacza się dwiema alternatywnymi metodami. Pierwsza z nich oparta jest na teoretycznym rozwiązaniu sprężystym pręta ściskanego i zginanego, a druga na wynikach symulacji komputerowych i badań doświadczalnych. 10. Sprawdzenie warunku nośności przekroju zginanego i ściskanego. W przypadku przekroju klasy 1 i 2 warunek interakcyjny ma postać: M ch ,Ed < M N ,Rd = M pl ,Rd ( 1 − n )( 1 − a w ) ≤ M pl ,Rd , (9) gdzie: n= N ch ,Ed N pl .Rd , a w = 0,5 (dla przekroju rurowego). (10) W przypadku analizy sprężystej warunek nośności przekroju można zapisać w postaci: N ch ,Ed N Rd + M ch ,Ed M el ,Rd ≤ 1,0 . (11) 11. Sprawdzenie nośności przewiązki i jej połączenia z gałęziami. 3 ANALIZA NIELINIOWA II RZĘDU – MODEL NUMERYCZNY W modelu numerycznym uwzględniono − imperfekcje globalne elementu o wartości eo = L/500 − imperfekcje lokalne gałęzi pomiędzy przewiązkami o strzałce wyjęcia eo,loc = a/200 w przypadku kształtowników wykończonych na gorąco oraz eo,loc = a/300 w przypadku kształtowników wykończonych na zimno. Rozważano lokalne imperfekcje symetryczne i antysymetryczne. Zagadnienie to omówiono w publikacji [4], a dla jego zobrazowania na rys. 3 pokazano postacie imperfekcji globalnych i lokalnych dla słupa dwugałęziowego. Rys. 3. a) Pręt wstępnie wygięty bez imperfekcji lokalnych, b), c), d) i e) pręt wstępnie wygięty z lokalnymi imperfekcjami łukowymi między przewiązkami 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obliczenia sił wewnętrznych w pasach słupa złożonego przeprowadza się zgodnie z nieliniową teorią II rzędu. Wyznaczono również krzywe interakcji pomiędzy momentem zginającym a siłą osiową. Na rys. 3 przedstawiono je dla przekroju rurowego okrągłego w układzie bezwymiarowym m-n, gdzie m = M N ,Rd / M Rd , n = N N ,Rd / N Rd . W przypadku analizy sprężystej (przekrój kl. 3) zależność ta jest odcinkiem prostym (el). W przypadku analizy plastycznej przekrojów klasy 1 lub 2 przedstawiono dwie krzywe. Pierwsza z nich (plEN) wynika z zależności normowej przedstawionej równaniem (9) a drugą wyznaczono numeryczne. 1 0,9 0,8 0,7 m 0,6 pl 0,5 pl-EN 0,4 el 0,3 YX ZX 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 n Rys. 3. Krzywe interakcji m-n dla przekroju rurowego okrągłego oraz uzyskane wyniki z obliczeń sprawdzających Rys. 4. Rozkład naprężeń w przekroju rurowym a) przy pełnym uplastycznieniu, b) przy analizie sprężystej Rozkłady naprężeń dla przekroju rurowego przedstawiono na rys. 4. Na podstawie rozkładu naprężeń przy pełnym uplastycznieniu można zapisać zależności (rys. 4a): 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings M N ,Rd = N M ⋅ eM = AM ⋅ eM ⋅ f y / γ M 0 ; October 2015, Bratislava M Rd = M pl = W pl ⋅ f y / γ M 0 N N ,Rd = AN ⋅ f y / γ M 0 = ( A − AN ) ⋅ f y / γ M 0 ; N Rd = A ⋅ f y / γ M 0 (12). (13). Weryfikacja przyjętego modelu będzie pozytywna, gdy trzymane z nieliniowej analizy statycznowytrzymałościowej słupa złożonego z imperfekcjami pary sił Nch,Ed – Mch,Ed dla każdego przekroju poprzecznego na długości gałęzi słupa zapisane w układzie bezwymiarowym będą leżeć poniżej krzywych interakcji przedstawionych na rys.3. 4 WYNIKI OBLICZEŃ SPAWDZAJĄCYCH Obliczenia sprawdzające wykonano dla trójściennego słupa dwuprzegubowego o wysokości L = 11,00 m złożonego z rur w 3 wariantach przekroju CHS 76,1x6,3, CHS 101,6x6,3, CHS 159,0x6,3, przy rozstawie gałęzi ho = 500 mm (rys.5). Gałęzie słupa powiązano co a = 1000 mm przewiązkami o przekroju CHS 76,1x5,6. Rozważano deformacje w płaszczyźnie ZX i YX (wyboczenie względem osi y-y oraz z-z) – patrz rys. 2. Uwzględniono łukowe imperfekcje lokalne o strzałce eo,loc = a/300 i eo,loc = a/200, co odpowiada krzywej wyboczeniowej a i c oraz parametrowi imperfekcji α = 0,21 i α = 0,49. Obliczenia nośności słupa trójściennego wykonano zgodnie z procedurą opisaną w p. 2. Wartości sił osiowych dobrano w taki sposób, aby dla ściskanego i zginanego pasa był spełniony warunek nośności (8) oraz (9). Wartości współczynników interakcji kyy obliczono metodą 2. Wyniki tych obliczeń zamieszczono w tablicy 1. Przyjęte przekroje spełniają warunki klasy 1. Gałęzie słupa: CHS 76,1x6,3: Ach = 13,8 cm2, Ich = 84,8 cm4, ich = 2,48 cm, Wpl = 30,7cm3 CHS 101,6x6,3: Ach = 18,90 cm2, Ich = 215 cm4, ich = 3,38 cm, Wpl = 57,3cm3 CHS 159,0x6,3: Ach = 30,2 cm2, Ich = 882 cm4, ich = 5,40 cm, Wpl = 147,0cm3 y z z y 500,0 Przewiązki: CHS 76,1x5,6: Ab = 12,4 cm2, Jb = 77,5 cm4, ich = 2,50 cm. Rys. 5. Szkic analizowanego trójściennego słupa i charakterystyka jego elementów Sprawdzające obliczenia statyczno-wytrzymałościowe wykonano programem ROBOT uwzględniając analizę nieliniową P-delta. Imperfekcje łukowe o wartości eo = L/500 nadano poprzez modyfikację współrzędnych węzłów. Lokalne imperfekcje łukowe odcinkom gałęzi słupa między przewiązkami zostały uwzględnione dzięki wykorzystaniu odpowiedniej opcji w programie. Z programu otrzymano siły wewnętrzne w gałęzi słupa, a w szczególności moment zginający Mch,Ed oraz siłę osiowa Nch,Ed. Dla najbardziej wytężonych przekrojów gałęzi słupa uzyskane wartości sił wewnętrznych Mch,Ed - Nch,Ed – uwzględniając płaszczyzny wyboczenia słupa jako całości, symetryczne i antysymetryczne postacie wyboczenia lokalnego gałęzi słupa, wartości strzałki imperfekcji lokalnych – naniesiono na układ bezwymiarowym m-n w formie punktów (rys. 3). Można stwierdzić, że nie zanotowano przekroczenia krzywych granicznych interakcji m-n wyznaczonych z uwzględnieniem rezerwy plastycznej przekroju. W większości przypadków najbardziej wytężony przekrój 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava znajdował się w skrajnym lub przedskrajnym przedziale słupa (ze względu na siłę poprzeczną i moment zginający) przy symetrycznej postaci wyboczenia lokalnego gałęzi. Przekrój gałęzi 1 CHS 76,1x6,3 CHS 101,6x6,3 CHS 159,0x6,3 Płaszcz. deform. 2 Sv ·10-3 kN 3 YX 3,061 ZX 2,551 YX 4,307 ZX 3,588 Y X 5,386 4,480 Krzywa wyb. 4 a c a c a c a c c c N Ed M Ed VEd N ch, Ed kN 5 664,9 630,5 667,5 634,2 945,7 934,0 947,0 939,5 1535,0 1529,5 kNm 6 20,1 23,8 28,5 25,8 37,6 36,8 41,1 40,4 68,5 76,8 kN 7 7,446 6,786 8,132 7,380 10,75 10,51 11,72 11,52 19,56 21,93 kN 8 241,0 264,2 275,6 262,3 399,8 394,0 395,8 391,7 659,4 653,4 Warunek (8) 9 1,000 1,000 1,000 1,000 0,983 1,000 0,979 1,000 0,966 0,962 Warunek (9) 10 0,963 0,633 0,998 0,668 1,000 0,865 1,000 0,906 1,000 1,000 Tab. 1. Wyniki obliczeń słupa trójściennego według p. 2. 5 PODSUMOWANIE Pasy elementów dwu i wielogałęziowych mogą ze sobą być połączone skratowaniem lub przewiązkami. W pierwszym przypadku obowiązują reguły teoretyczne i praktyczne wyprowadzone dla układu kratowego. Natomiast w drugi przypadku słup pracuje jak układ ramowy i należy zastosować wszystkie reguły opracowane dla belki Vierendeela. Jednak numeryczna analiza układu kratowego lub ramowego jest pracochłonna, dlatego w p. 6.4 normy [3] podano uproszczoną procedurę projektowania słupów złożonych. Metodę tę jednak ograniczono do elementów skratowanych w jednej lub dwóch prostopadłych płaszczyznach. W referacie przedstawiano możliwość zastosowania tej metody w przypadku słupa trójściennego. Wykonano obliczenia statyczno-wytrzymałościowe dla modelu teoretycznego oraz numerycznego takiego słupa z uwzględnieniem analizy nieliniowej II rzędu oraz imperfekcji globalnej i lokalnych. Poprawność rozwiązania teoretycznego potwierdzono dla kilku słupów złożonego z gałęzi o przekroju rurowym okrągłym klasy 1 lub 2 poprzez porównanie uzyskanych wyników z obliczeń teoretycznych i z obliczeń numerycznych. REFERENCES [1] Kowolik, B.: Trihedral built-up compresson members. 12th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, Slovakia, October 16-17, 2014. Conference proceedings. Ed. by N. Jendzelovsky, A. Grmanova. Slovak University of Technology in Bratislava. Faculty of Civil Engineering, Slovak Society of Mechanics SAS. Bratislava : Slovak University of Technology, 2014. [2] PN-EN 1993-1-1: 2006. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. [3] Brezina, V.: Stateczność prętów konstrukcji metalowych. Arkady. Warszawa 1966 r. [4] Zamorowski, J. – Kowolik, B.: Uniform built-up compression members with monosymmetrical chords. Proceedings of the 8th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, October 21-22, 2010 Bratislava, s. 225-228 + CD th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS ANALYSIS OF THE TEMPERATURE IN CROSS -SECTIONS OF BUILDING STRUCTURES EXPOSED TO FIRE B. Kowolik1 Abstract The effect of fire on building structures is considered to be an exceptional load. An analysis of building structures affected by a conflagration comprises thermal aspects as well as problems concerning their loadcarrying capacity. The procedure of designing building structures with regard to the hazard of fire, suggested in the Eurocode EN 1991-1-2, comprises the choice of the most adequate scenario of a conflagration and the corresponding calculation concerning such a fire outbreak, an analysis of the growth of temperature in the element, as well a mechanical analysis of the structure, connected with an assessment of its load-carrying capacity and rigidity. The paper presents an analysis of the temperature in the cross-section of steel, aluminum, concrete, composite steel and concrete, masonry and timber structures Key Words Fire, temperature, procedures of designing, Eurocode 1 WPROWADZENIE Pożar jest to niekontrolowany proces spalania, który przebiega w miejscu do tego nieprzeznaczonym. Charakteryzuje się emisją cieplną oraz towarzyszy mu dym i/lub płomień [1], [2]. Opis przebiegu i rozprzestrzeniania się pożaru jest bardzo złożony ze względu na potrzebę uwzględnienia wielu czynników, które mogą być ze sobą powiązane. Zależy między innymi od stopnia zapalności materiałów, wentylacji, kształtu i wyposażenia pomieszczeń oraz budynku, zastosowanych zabezpieczeń ognioochronnych, itd. Przebieg pożaru w budynku można podzielić na fazy przedstawione na rys. 1 [3]. Po inicjacji pożaru (zapłonie) następuje rozgrzanie powietrza, które unosi się do góry (faza I). W momencie, gdy temperatura gazu staje się wysoka, następuje rozgorzenie pożaru (czas t = 0) i pożar przechodzi w fazę intensywnego spalania (faza II, pożar rozwinięty) a temperatura gazów (θg) w całym pomieszczeniu jest prawie jednakowa. Po wyczerpaniu paliwa lub tlenu następuje faza stygnięcia (faza III). Pożar jest traktowany jako oddziaływanie na konstrukcję. Oddziaływania na konstrukcje w warunkach pożaru zostały przedstawione w części 1-2 Eurokodu 1 (EN 1991-1-2) zatytułowanej „Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Cześć 1-2: Oddziaływania ogólne. Oddziaływania na konstrukcje w warunkach pożaru” [4]. Natomiast projektowanie i obliczenie konstrukcji lub jej elementów z uwagi na warunki pożarowe odbywa się na podstawie części 1-2 Eurokodów, a mianowicie: − PN-EN 1992-1-2. Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1-2: Reguły ogólne – Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe [5], − PN-EN 1993-1-2. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-2: Reguły ogólne – Obliczanie konstrukcji z uwagi na warunki pożarowe [6], 1 PhD Bernard Kowolik, Silesian University of Technology in Gliwice, Faculty of Civil Engineering, Poland, 44-100 Gliwice, ul. Akademicka 5, e-mail: bernard.kowolik@polsl.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 1. Fazy pożaru − PN-EN 1994-1-2. Eurokod 4: Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych. Część 1-2: Reguły ogólne – Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe [7], − PN-EN 1995-1-2. Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych. Część 1-2: Postanowienia ogólne – Projektowanie konstrukcji z uwagi na warunki pożarowe [8], − PN-EN 1996-1-2. Eurokod 6: Projektowanie konstrukcji murowych. Część 1-2: Reguły ogólne Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe [9], − PN-EN 1999-1-2. Eurokod 9: Projektowanie konstrukcji aluminiowych. Część 1-2: Projektowanie konstrukcji na wypadek pożaru [10]. Należy mieć na uwadze, że wymienione wyżej Eurokody zawierają wyłącznie reguły różne lub dodatkowe w stosunku do reguł projektowania przy normalnej temperaturze otoczenia. Wobec tego powinny być one stosowane łącznie z podstawowymi Eurokodami. Eurokody nie służą ocenie stanu konstrukcji po pożarze. W Eurokodzie 1991-1-2 [4] zapisano, iż w częściach pożarowych Eurokodów Konstrukcyjnych zajęto się specyficznymi aspektami biernej ochrony przeciwpożarowej z uwzględnieniem projektowania konstrukcji oraz ich części w celu zapewnienia odpowiedniej nośności i ograniczenia rozprzestrzeniania się pożaru. Eurokody nie ingeruje w ogólnobudowlane przepisy ochrony przeciwpożarowe (np. podziału na strefy pożarowe, lokalizacji wyjść ewakuacyjnych czy stosowania instalacji zraszających systemów gaśniczych), pozostawiając je w gestii innych aktów prawnych o wymiarze europejskim lub krajowym. 2 Procedury projektowania konstrukcji na warunki pożarowe W procedurach projektowania konstrukcji z uwagi na warunki pożarowe można wyróżnić dwa podejścia: − bazujące na pożarach nominalnych, czyli tradycyjne, − oparte na właściwościach użytkowych, posługujące się parametrami fizyko-chemicznymi rozwoju pożaru. Określenie oddziaływań mechanicznych i warunków brzegowych można przeprowadzić na podstawie: − danych tabelarycznych, jeśli są dostępne (tylko przy analizie elementu opartej na regułach tradycyjnych), − prostych modeli obliczeniowych (jeśli są dostępne), − zaawansowanych modeli obliczeniowych. Alternatywne procedury projektowania przedstawiono na rys. 2 Dane tabelaryczne dostępne są w Eurokodach dotyczących projektowania konstrukcji np. betonowych [5] i zespolonych [7] z uwagi na warunki pożarowe. Zawierają one wymagania dla danej odporności ogniowej „R” (np. dotyczące przekrojów poprzecznych elementów, powierzchni zbrojenia, otulinach). Proste modele obliczeniowe pozwalają w niektórych sytuacjach na sprawdzenie w miarę nieskomplikowany sposób nośności elementów (np. stalowych słupów ściskanych, stalowych belek zginanych, zespolonych płyt, zespolonych belek, zespolonych słupów). Natomiast zaawansowane modele obliczeniowe powinny umożliwić realistyczną analizę konstrukcji narażonej na pożar. Metoda ta powinna odzwierciedlać podstawowe procesy fizyczne w taki sposób, aby można było uzyskać wiarygodne przybliżenie rzeczywistego zachowania się rozpatrywanego elementu 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava konstrukcji w warunkach pożaru. Zaawansowana metoda może być stosowana do dowolnego typu elementu i przekroju oraz dla dowolnego przebiegu pożaru. Metoda ta powinna być zweryfikowana badaniami. Rys. 2. Alternatywne procedury projektowania [4] Jednocześnie zwrócono uwagę w Eurokodach, że w pełni analityczna procedura projektowania konstrukcji na warunki pożarowe mogłaby uwzględniać zachowanie systemu konstrukcyjnego w podwyższonych temperaturach, potencjalne oddziaływania ciepła i korzystne efekty czynnych i biernych systemów ochrony przeciwpożarowej, łącznie z niepewnościami związanymi z tymi trzema cechami oraz ważność konstrukcji (konsekwencje zniszczenia). Obecnie możliwe jest stosowanie procedury określającej odpowiednie właściwości użytkowe, która zawiera przynajmniej kilka – jeżeli nie wszystkie – z tych parametrów oraz wykazuje, że konstrukcja, lub jej elementy, zapewni odpowiednie właściwości użytkowe w warunkach rzeczywistego pożaru budynku. Jednakże jeśli procedura dotyczy pożaru nominalnego (standardowego), system klasyfikacji – który wymaga określonych klas odporności ogniowej – uwzględnia (choć niezbyt jasno) opisane wyżej cechy i niepewności (patrz wprowadzenia do Eurokodów). 3 SCENARIUSZ POŻAROWY I POŻAR OBLICZENIOWY 3.1. Modele pożaru Wybór właściwych scenariuszy pożarowych oraz ustalenie odpowiadających im pożarów obliczeniowych są to dwa pierwsze etapy projektowania konstrukcji na warunki pożarowe (rys. 3). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Etapy analizy konstrukcji w warunkach pożaru Wybór właściwych scenariuszy pożarowych Ustalenie odpowiadających im pożarów obliczeniowych Obliczenia przebiegu temperatury w elementach konstrukcyjnych Obliczenia mechanicznego zachowania się konstrukcji poddanej oddziaływaniu pożaru Rys. 3. Etapy analizy konstrukcji na warunki pożarowe Zgodnie z definicją podaną w Eurokodzie PN-EN 1991-1-2 [4] scenariusz pożarowy to jakościowy opis przebiegu pożaru w czasie, podający kluczowe zdarzenia, które charakteryzują pożar i odróżniają go od innych możliwych pożarów. Typowy scenariusz opisuje proces zapalenia i rozwoju pożaru, fazę pełnego rozwoju, fazę zaniku oraz charakteryzuje środowisko budowlane i systemy które wpływają na przebieg pożaru. Natomiast obliczeniowy scenariusz pożarowy to określony scenariusz pożaru na podstawie którego będzie przeprowadzana analiza. Do każdego obliczeniowego scenariusza pożarowego przyjmuje się odpowiedni pożar obliczeniowy. wybór odpowiedniego projektowego scenariusza pożaru jest dokonany przez właściwy wykwalifikowany i doświadczony personel lub jest podany w odpowiednich przepisach krajowych. Na rys. 4 przedstawiono klasyfikację modeli pożaru. Rys. 4. Klasyfikacja modeli pożarów 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.2. Nominalne krzywe temperatura – czas Krzywe nominalne opisują zależność temperatury gazu w strefie pożarowej w otoczeniu elementu θg [oC] od czasu t [min]. W normie PN-EN 1991-1-2 [4] zaproponowano trzy krzywe opisane równaniami (1a) ÷ (1c) i przedstawione na rys.5 : − krzywa standardowa temperatura – czas (N): θ g = 20 + 345 log10 ( 8t + 1 ) , − (1a) krzywa pożaru zewnętrznego (E): ( ) θ g = 660 1 − 0,687e −0 ,32t − 0,313e −3,8t + 20 , − (1b) krzywa węglowodorowa (H): ( ) θ g = 1080 1 − 0 ,325e −0 ,167 t − 0 ,675e −2 ,5t + 20 . (1c) 1200 1000 θg [oC] 800 N H E 600 400 200 0 0 20 40 60 80 100 120 t [min] Rys. 5. Nominalne krzywe temperatura – czas Jak można zauważyć, wzrost temperatury gazu zależy tylko od czasu trwania pożaru. Nie wpływają na niego żadne inne czynniki związane np. z geometrią pomieszczenia, gęstością obciążenia ogniowego. Nie opisuje się tutaj fazy studzenia gazów i powietrza. Z spośród podanych krzywych największe zastosowanie ma krzywa standardowa, zwana również normową lub ISO, gdyż wcześniejszy dokument ISO 834 [11] zaakceptował j ą do celów badawczych np. materiałów budowlanych. 3.3. Uproszczone modele pożaru Uproszczone modele pożaru są oparte na przyjęciu ograniczonej liczby jego parametrów fizycznych. Najczęściej uwzględnia się tylko warunki wentylacji i gęstości obciążenia ogniowego. Przy pożarach strefowych przyjmuje się równomierny, a przy lokalnych – nierównomierny rozkład temperatury w funkcji czasu. W załączniku A do normy PN-EN 1991-1-2 [4] podano parametryczne krzywe temperatura-czas, które są ważne dla strefy pożarowej o powierzchni podłogi do 500 m2, bez otworu w dachu i maksymalnej wysoko ści 4 m. Opisują one fazę nagrzewania i fazę studzenia. Dla fazy nagrzewania maj ą postać: ( ) θ g = 20 + 1325 1 − 0 ,324e −0 ,2t* − 0 ,204e −1,7t* − 0 ,472e −19t* , (2a) gdzie O t* = t ⋅ Γ [h], Γ =   b 2 2 Av heq  0 ,04  2 0,5   [-], b = ρcλ [J/m s K] , O = At  1160  [m0,5]. (2b) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava oraz t – czas, w tym przypadku liczony w [h], ρ – ciężar objętościowy elementów ograniczających [kg/m3], c – ciepło właściwe elementów ograniczających [J/kgK], λ – przewodność cieplna elementów ograniczających [W/mK], O – wskaźnik otworów (0,02 ≤ O ≤ 0,20) [m0,5] , Av – całkowita powierzchnia otworów pionowych we wszystkich ścianach [m2], At – całkowita powierzchnia elementów ograniczających (ścian, sufitu, podłogi, łącznie z otworami) [m2], heq – średnia ważona wysokości okien we wszystkich ścianach [m]. Maksymalna temperatura θmax w fazie nagrzewania jest osiągana w czasie tmax: t max gdzie:  0 ,2 ⋅10 −3 qt ,d  = max  , O t  lim q d ,t = q f ,d Af (3a) , At (3b) oraz: qt,d – obliczeniowa wartość gęstości obciążenia ogniowego odniesiona do całkowitego pola powierzchni ograniczających At [MJ/m2], qf,d – obliczeniowa wartość gęstości obciążenia ogniowego odniesiona do pola powierzchni podłogi Af , tlim – w zależności od prędkości rozwoju pożaru [h], tlim = 25 min, tlim = 20 min, tlim = 15 min (patrz tablica E5 w Załączniku E normy PN-EN 1991-1-2 [4]). Jeżeli tmax = 0,2·10-3qt,d/O to pożar jest kontrolowany za pomocą wentylacji. Natomiast jeżeli tmax = tlim to pożar jest kontrolowany za pomocą paliwa. Faza chłodzenia jest opisana zależnościami: θ g = θ max − 625(t * −t *max ⋅ x ) dla t *max ≤ 0,5 , (4a) θ g = θ max − 250(3 − t *max )(t * −t *max ⋅x ) dla 0,5 < t *max < 2 , (4b) θ g = θ max − 250(t * −t *max ⋅x ) (4c) dla t *max ≥ 2 , gdzie: t *max = x =1 0,2 ⋅ 10 −3 qt ,d O jeżeli Γ , t max > tlim , x = t lim Γ/t *max jeżeli t max = t lim . (4d) (4f) (4g) Gęstość obciążenia ogniowego może zostać ustalona indywidualnie dla konkretnego projektu lub na podstawie sposobu użytkowania. Wytyczne w tym zakresie zawiera załącznik E w normie PN-EN 1991-1-2 [4]. Dodatkowo przy określaniu wartości obliczeniowej gęstości obciążenia ogniowego uwzględnia się szereg współczynników związanych z ryzykiem pożaru i środkami ochrony przeciwpożarowej budynku. Przykładowe krzywe parametryczne pokazano na rys. 6. Wykreślono je dla obliczeniowej wartości obciążenia ogniowego odniesionej do całkowitej powierzchni ograniczającej At równej qf,d = 500 MJ/m2 i 1500 MJ/m2 oraz wskaźnika otworów O = 0,04 m0,5 i 0,1 m0,5. Ponadto przyjęto Af /At = 0,25 i b = 1100. Wartość wskaźnika otworów wpływa na intensywność pożaru, zaś gęstość obciążenia ogniowego wpływa na czas trwania pożaru i tym samym na maksymalną temperaturę gazów, a nie wpływa na prędkość pożaru. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 1400 1200 θg [oC] 1000 800 N 500;0,04 1500;0,04 500;0,1 1500;0,1 600 400 200 0 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 t [min] Rys. 6. Przebieg pożaru parametrycznego przy różnych wartościach wskaźnika otworów O i obliczeniowej gęstości obciążenia ogniowego qf,d 3.4. Zaawansowane modele pożaru Zaawansowane modele pożaru są oparte na zasadach zachowania masy i energii. Uwzględnia się w nich zmienne termodynamiczne i aerodynamiczne. Wymagają rozwiązania skomplikowanych równań różniczkowych metodami numerycznymi. W związku z tym przydatne są programy komputerowe do modelowania przebiegu pożarów i wyznaczania temperatury w elementach konstrukcyjnych. Zaawansowane modele pożaru zgodnie z normą PN-EN 1991-1-2 [4] (patrz rys. 4) dzieli się na: − modele jednostrefowe zakładające równomierny, zależny od czasu rozkład temperatury w strefie; − modele dwustrefowe zakładające wyższą warstwę z zależną od czasu grubością i z zależną od czasu jednorodną temperaturą oraz niższą warstwę z zależną od czasu równomierną i niższą temperaturą; − modele numerycznej mechaniki płynów przedstawiające rozwój temperatury w strefie w sposób całkowicie zależny od czasu i położenia. 4 ANALIZA TEMPERATURY 4.1. Informacje ogólne Obliczanie temperatury w elementach konstrukcyjnych jest kolejnym etapem projektowania konstrukcji z uwagi na warunki pożarowe (patrz rys. 3). Polega ono na określeniu wzrostu temperatury na podstawie oddziaływań termicznych oraz termicznych właściwości materiałowych elementów i powierzchni ochronnych. Gorące gazy w ogarniętym pożarem pomieszczeniu przekazuję ciepło elementom konstrukcyjnym. Transport ciepła zachodzący w elemencie i jego izolacji ogniochronnej opisuje się za pomocą równania Fouriera-Kirchhoffa z odpowiednimi warunkami brzegowymi: ∇ 2θ + w którym: ρ - gęstość masy, c - ciepło właściwe, λ - współczynnik przewodności cieplnej, q& - gęstość strumienia cieplnego. 1 λ q& = ρc δθ λ δt (5) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 4. 2. Temperatura w przekrojach stalowych Przyrost temperatury ∆θa,t w przedziale czasu ∆t w stalowych elementach nieosłoniętych można wyznaczać ze wzoru podanego w normie [6]: & ∆θ a ,t = k sh Am h net ∆t , V ca ρ a (6) w którym: ksh Am/V Am V h& net – współczynniki poprawkowy uwzględniający efekt zacienienia, – wskaźnik ekspozycji przekroju elementów nieosłoniętych [m-1], – pole powierzchni elementu na jednostkę długości [m2/m], – objętość elementu na jednostkę długości [m3/m], – wartość obliczeniowa przyjętego strumienia cieplnego na jednostkę powierzchni [W/m2], ∆t – przedział czasu [s], przy czym ∆t ≤ 5 s. W związku z tym, ze strumień ciepła zależy od temperatury gazów θg,t i temperatury stali θa,t w danym czasie t obliczenia należy prowadzić iteracyjnie, przyjmując interwał czasowy ∆t nie większy niż 5s. Zgodnie ze wzorem (6) wzrost temperatury ∆θa,t w jednostce czasu zależy od wskaźnika ekspozycji przekroju nieosłoniętego Am / V. Sposób obliczania wskaźnika ekspozycji przekroju dwuteowego przedstawiono na rys. 7. Na rys. 8a pokazano zależność temperatury elementu stalowego θa od czasu trwania pożaru t dla wybranych wartości wskaźników ekspozycji przekrojów ksh (Am/V) : 10 m-1, 25 m-1, 50 m-1, 100 m-1, 200 m-1, 500 m-1. Linia oznaczona „N” przedstawia temperaturę gazu θg. Z kolei na rys. 8b pokazano wpływ wskaźnika ekspozycji na temperaturę przekroju stalowego θa po 15 min, 30 min, 60 min trwania pożaru [12]. Rys. 7 Wskaźnik ekspozycji przekroju Am/V i Ap/V dla przekrojów dwuteowych 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a) October 2015, Bratislava b) N 50 100 25 500 200 10 0 10 20 30 40 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 60min 30min 15min o θ [ C] o θ [ C] 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 50 60 0 t [min] 50 100 150 200 250 300 350 400 -1 ksh(Am/V) [m ] Rys. 8 Temperatura w przekroju stalowy nieosłoniętym w zależności od czasu t: a) dla wybranych wskaźników ekspozycji Am/V w [m-1] , b) w zależności od wskaźników ekspozycji po czasie 15min, 30min i 60 min [12] Dla zapewnienia odporności ogniowej, wymaganej przez przepisy ochrony przeciwpożarowej, elementy stalowe zabezpiecza się izolacją ogniochronną. Wówczas przyrost temperatury ∆θa,t w przedziale czasu ∆t w stalowych elementach osłoniętych izolacją ogniochronną wyznacza się z zależności [6]: ∆θ a ,t = λ p Ap dp ⋅ V ⋅ 1 ⋅ 1 ca ρ a ( 1 + φ / 3 ) (lecz ∆θ a ,t ≥ 0 przy czym: (θ g ,t − θ a ,t )⋅ ∆t − (eφ / 10 − 1)⋅ ∆θ g ,t , (7a) gdy ∆θ g ,t > 0 ) φ = dp ⋅ c p ρ p Ap ⋅ ca ρ a V (7b) w którym: ApV – wskaźnik ekspozycji przekroju elementów chronionych przez materiał izolacji ogniochronnej [m-1], Ap – odpowiednie pole powierzchni materiału izolacji ogniochronnej na jednostkę długości [m2/m], V – objętość elementu na jednostkę długości [m3/m], ∆t – przedział czasu [s], ∆t ≤ 30 s, dp – grubość warstwy materiału izolacji ogniochronnej – gęstość masy materiału izolacji ogniochronnej [kg/m2], cp – ciepło właściwe izolacji ogniochronnej niezależne od temperatury [J/kgK], λp – przewodność cieplna zabezpieczenia ogniochronnego [W/mK], θa,t – temperatura stali w czasie trwania pożaru t [oC], θg,t – temperatura gazu w otoczeniu elementu w czasie trwania pożaru t [oC], ∆θg,t – przyrost temperatury gazu w jednostce czasu ∆t [oC]. ρp Temperatura przekroju stalowego zależy od właściwości fizycznych materiału izolacji ogniochronnej. Podobnie jak poprzednio temperaturę elementu stalowego osłoniętego izolacją ogniochronną przy wymaganej odporności ogniowej tfi,req wyznacza się iteracyjne licząc przyrosty temperatury ∆θa,t w przedziale czasu ∆t z równania (7), przyjmując interwał czasowy nie większy niż 30 s. Przykład nomogramów uzyskanych analitycznie pokazano na rys. 9 [12]. Z takich nomogramów można odczytać temperaturę przekroju stalowego w zależności od ekspozycji przekroju Ap /V przy wymaganej odporności ogniowej, np. R60 (t = 60 min), R120 (t = 120 min). Można z nich również określić wymaganą grubość izolacji znając temperaturę krytyczną przekroju. Temperaturę stalowych elementów chronionych ekranami wyznacza się zgodnie z procedurami podanymi wyżej, przy czym w odpowiednich zależnościach przyjmuje się temperaturę gazów w przestrzeni ekranowej. Natomiast temperaturę w przestrzeni ekranowej określa się na podstawie pomiarów wykonanych zgodnie z odpowiednimi normami. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a) October 2015, Bratislava b) t = 60 mim (R60) t = 120 mim (R120) 1000 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 900 800 o θa [ C] 600 25mm 500 400 50mm 300 75mm 200 100mm 100 0 0 50 100 150 200 15mm 25mm o θa [ C] 15mm 700 250 300 50mm 75mm 100mm 0 50 100 Ap/V [1/m] 150 200 250 300 Ap/V [1/m] Rys. 9 Temperatura w przekroju stalowy osłoniętym izolacją ogniochronną w zależności od wskaźników ekspozycji i grubości izolacji po czasie: a) 60 min i b) 120 min trwania pożaru [12] Temperaturę węzła można przyjąć na podstawie: − wskaźników A/V wyznaczonych dla poszczególnych elementów składowych węzła (patrz Załącznik D3.1(1) normy PN-EN 1993-1-2 [6]), − największej wartości współczynnika A/V prętów stalowych w przekrojach przywęzłowych, zakładając równomierny rozkład temperatury w węźle (patrz Załącznik D3.1(2) normy PN-EN 1993-1-2 [6]), − temperatury pasa dolnego belki w połowie rozpiętości przęsła w sytuacji, gdy belka podpiera strop żelbetowy (patrz Załącznik D3.1(3) normy PN-EN 1993-1-2 [6]), − temperatury pasa dolnego belki poza strefą węzła, przyjmując zmienną temperaturę na wysokości belki według niżej podanych zależności (rys.10) : dla D ≤ 400 mm:  θ h = 0,88θ o 1 − 0 ,3  h , D (8a) dla D > 400 mm gdy h ≤ 0,5D gdy h > 0,5D θ h = 0,88θ o ,    θ h = 0,88θ o 1 + 0231 − 2  (8b) h   , D   (8c) w którym: θh θo h D – temperatura belki (węzła) na wysokości h, – temperatura w pasie dolnym belki poza strefą węzła, – przewyższenie rozpatrywanego elementu składowego węzła względem pasa dolnego belki, – wysokość belki. Profile D < 400mm Profile D > 400mm 0.70 0.62 0.75 D θh 0.88 h 0.88 Rys. 10 Gradient temperatury na wysokości węzła zespolonego [6] 0.88 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 4. 3. Temperatura w przekrojach ze stopów aluminium Przyrost temperatury w stopach aluminium wyznacza się z zależności analogicznych do podanych dla stali. Wskaźniki ekspozycji Am/V i Ap/V wyznacza się według ogólnie znanych reguł a dodatkowo pomocne są tablice 3 i 4 w Eurokodzie 1999-1-2 [10]. 4. 4. Temperatura w przekrojach betonowych a) b) c) d) e) f) Rys. 11 Profile temperatury dla a) płyty o grubości 200 mm, b) belki o przekroju 600x300 mm (R60), c) słupa o przekroju 300x300 mm (R60), d) słupa o średnicy 300 mm oraz e), f) izotermy 500oC dla słupów [5] 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava W normie EN 1994-1-2 [5] podano, że wartości temperatury w konstrukcjach z betonu poddawanych oddziaływaniu pożaru ustalać można na podstawie badań lub obliczeń. W załączniku A tej normy podano profile temperatury dla wybranych przekrojów betonowych oraz tzw. izotermy 500oC . Przykłady pokazano na rys. 11. 4. 5. Temperatura w przekrojach zespolonych stalowo-betonowych Rozkład temperatury w belkach zespolonych z płytą pokazano na rysunku 12. Temperaturę nieobetonowanej belki stalowej wyznacza się według reguł podanych dla elementów stalowych nieosłoniętych lub osłoniętych, oddzielnie dla każdej części elementu stalowego, tzn. wyznacza się temperaturę θ1 pasa dolnego, θw środnika i θ2 pasa górnego. Wobec tego w zależnościach (6) i (7) uwzględnia się wskaźniki ekspozycji poszczególnych części przekroju. Rozkład temperatury na grubości płyty można przyjmować na podstawie rys. 13 w zależności od czasu trwania pożaru lub wymaganej odporności ogniowej. Temperaturę elementów składowych płyty zespolonej (tj. dolnej półki, środnika oraz górnej półki stalowego szalunku – blachy trapezowej, betonu oraz zbrojenia) wyznacza się zgodnie z procedurą przedstawioną w załączniku D normy [7]. Natomiast z załączniku G tej normy podano sposób wyznaczenia temperatury przekroju stalowego, betonu i prętów zbrojeniowych dla słupów zespolonych. Rys. 12. Rozkład temperatury w belkach zespolonych z płytą [7]. Rys. 13. Rozkład temperatury w pełnej płycie grubości 100 mm wykonanej z betonu zwykłego bez izolacji [7] 4. 6. Temperatura w przekrojach konstrukcji murowych Rozkład temperatury w poprzek przekroju muru oraz wartość temperatury, w której mur traci wytrzymałość, w funkcji czasu oddziaływania ognia, należy określać na podstawie wyników badań lub wykorzystując bazę danych wyników badań [9]. Jeżeli brak jest wyników badań lub bazy danych, można wykorzystywać rysunki C.3(a) do (d) w normie [9]. Przykładowy rozkład temperatury na grubości muru z elementów ceramicznych po 30, 60, 90 i 120 min trwania pożaru pokazano na rys. 14. Zaznaczono również nieefektywną grubość ściany po 30 i 90 min oddziaływania pożaru. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 14. Rozkład temperatury w murze z elementów ceramicznych [9] 4. 7. Temperatura w przekrojach drewnianych Przekroje drewniane na skutek pożaru ulegają zwęgleniu. W Eurokodzie [8] podano sposób określenia początku, prędkości i głębokości zwęglenia w przypadku powierzchni niezabezpieczonych i zabezpieczonych na działanie pożaru. W tym drugim przypadku wyznacza się również czasy zniszczenia okładzin elementów drewnianych. 4.8. Zaawansowane modele obliczeniowe Zaawansowane modele obliczeniowe odpowiedzi termicznej są oparte na zasadach i założeniach teorii przepływu ciepła (patrz równanie (5)). Uwzględnia się w nich oddziaływania termiczne oraz zmianę właściwości termicznych materiałów. Zaawansowane modele obliczeniowe powinny umożliwić realistyczną analizę konstrukcji narażonej na pożar (patrz Eurokody). Jak już wspomniano, metoda ta powinna odzwierciedlać podstawowe procesy fizyczne w taki sposób, aby można było uzyskać wiarygodne przybliżenie rzeczywistego zachowania się rozpatrywanego elementu konstrukcji w warunkach pożaru. Zaawansowana metoda może być stosowana do dowolnego typu elementu i przekroju oraz dla dowolnego przebiegu pożaru. Niektóre arkusze krajowe do Eurokodów mogą narzucać pewne ograniczenia stosowania tej metody, co pokazano na przykładzie arkusza polskiego w referacie [13] 5 PODSUMOWANIE W referacie opisano procedury wyznaczenia temperatury gazów w czasie pożaru oraz temperatury w przekrojach konstrukcji wykonanych z takich materiałów budowlanych jak stal, aluminium, beton, drewno oraz elementów murowych i zespolonych stalowo-betonowych. Bardziej szczegółowo omówiono te, które należą do metod prostych lub tabelarycznych. Należy zdawać sobie sprawę, że zaawansowane metody analizy pożarowej nie znajdą zastosowania w inżynierskim projektowaniu typowych konstrukcji budowlanych i elementów na warunki pożarowe. Wynika to między innymi z braku konkretnych procedur i konieczności dobrej znajomości przez projektantów praw fizyki, chemii termodynamiki, aerodynamiki oraz konieczności stosowania zaawansowanego aparatu matematycznego. Zachodzi potrzeba współpracy specjalistów z różnych dziedzin oraz ośrodków badawczych i naukowych. Bardzo słuszna jest uwaga podana w Eurokodach, iż oczekuje się, że pomoce w projektowaniu oparte na modelach obliczeń podanych w poszczególnych częściach Eurokodów zostaną przygotowane przez zainteresowane organizacje zewnętrzne. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava REFERENCES [1] PN-EN 2:1998. Podział pożarów. [2] PN-ISO 8421-1:1997. Ochrona przeciwpożarowa. Terminologia. Terminy ogólne i dotyczące zjawiska pożaru. [3] Kosiorek, M. – Szlendak, J. - Laskowska, Z. – Pilich, K.: Odporność ogniowa konstrukcji budowlanych. Arkady. Warszawa 1988. [4] PN-EN 1991-1-2:2006. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-2: Oddziaływania ogólne. Oddziaływania na konstrukcje w warunkach pożaru. [5] PN-EN 1992-1-2:2008. Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1-2: Reguły ogólne – Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe. [6] PN-EN 1993-1-2:2007. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-2: Reguły ogólne – Obliczanie konstrukcji z uwagi na warunki pożarowe. [7] PN-EN 1994-1-2:2008. Eurokod 4: Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych. Część 12: Reguły ogólne - Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe. [8] PN-EN 1995-1-2:2008. Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych. Część 1-2: Postanowienia ogólne - Projektowanie konstrukcji z uwagi na warunki pożarowe [9] PN-EN 1996-1-2:2010. Eurokod 6: Projektowanie konstrukcji murowych. Część 1-2: Reguły ogólne Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe. [10] PN-EN 1999-1-2:2007. Eurokod 9: Projektowanie konstrukcji aluminiowych. Część 1-2: Projektowanie konstrukcji na wypadek pożaru. [11] Fire resistance tests elements of building construction, International Standard ISO 834, International Organization for Standardization, Geneva 1975. [12] Kowolik, B.: Projektowanie konstrukcji metalowych z uwagi na warunki pożarowe. Referat zamówiony na XXVII Ogólnopolskie Warsztaty Projektanta Konstrukcji „Nowoczesne rozwiązania konstrukcyjnomateriałowo-technologiczne. Konstrukcje metalowe”. Szczyrk 7-10 marca 2012 r., tom III, s.241-350. [13] Kowolik, B.: Procedures of designing metal structures in fire in compliance with the national annex of Eurocode. 11th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, October 3-4, 2013. Conference proceedings. Ed. by N. Jendzelovsky, A. Grmanova. Slovak University of Technology in Bratislava. Faculty of Civil Engineering, Slovak Society of Mechanics SAS. Bratislava : Slovak University of Technology, 2013, s. 113-116, bibliogr. 7 poz. Toż na USB PenDrive Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15–16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS HUMAN-INDUCED LOADS ON GRANDSTANDS AS NON-STATIONARY GAUSSIAN PROCESSES O. Rokoš1 and J. Máca2 Abstract In this contribution, we employ non-stationary filtered Gaussian processes as an enrichment of a periodic mean value in order to approximate crowd loads on grandstands. Our work generalizes previous considerations where the superposition of a mean value and a stationary filtered Gaussian noise was used, and helps therefore to better predict the response of a structure mainly in the transition stages. We specify general theory of stochastic differential equations within the context of grandstands by recalling particular moment equations, and demonstrate its benefits or drawbacks on two simple examples. Overall performance is measured in terms of the second moment evolutions in time and in terms of the total up-crossings of the system’s response compared to previously developed stationary approximation and Monte Carlo simulation. Throughout, only an active part of the crowd is assumed. Key Words grandstand; dynamic analysis; crowd load; Gaussian white noise; filtration; modulation 1 INTRODUCTION Considerable uncertainties typical to human-induced loads cause that behaviour predictions of grandstand structures exposed to crowd loading are not yet resolved satisfactorily. Two main issues withstand endeavour of researchers: first, no final consensus on how to quantify structure response from serviceability point of view has been presented. This is mainly because of various definitions of serviceability limits presented in available literature, see e.g. [4, 9, 10] just to name few. It is common practise to verify multiple criteria when particular structure is being designed or directly push structure’s eigenfrequencies out of the load’s frequency range. Altogether, however, employed measures are usually expressed in terms of integral quantities such as Root Mean Square (RMS) value (stationary or floating with various integration lengths), or Vibration Dose Value (VDV). Second, no satisfactory theoretical approach to the entire problem exists. Multiple procedures have been suggested, being based on deterministic approximations of induced loads (too conservative), based on equivalent static load approximations (too oversimplifying), or on Monte Carlo (MC) simulation using artificial generators designed for that purpose, see e.g. [11, 12, 16]. The last one of previously mentioned methods is supposedly the most accurate one, though also computationally most intensive. Approach that we pursue in this contribution tackles outlined problem from slightly different point of view, using standard theory of random structural vibrations and aiming somewhere in between the simple approximate methods and direct MC simulation. 1Ing. Ondřej Rokoš, Ph.D., CTU in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Thákurova 7, 166 29 Prague 6, tel.:(+420) 22435 4478, e-mail: ondrej.rokos@fsv.cvut.cz. 2Prof. Ing. Jiří Máca, CSc., CTU in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Thákurova 7, 166 29 Prague 6, tel.:(+420) 22435 4500, e-mail: maca@fsv.cvut.cz. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Grandstand itself (under reasonable conditions) can be captured quite well from theoretical point of view using standard linear structural dynamics. Contrary to that, crowd which occupies the structure represents great unknown, cf. [18, 19] where the variability in crowd loading is verified experimentally. It is convenient to separate the crowd in two parts: to a passive and an active part. Passive one influences the structure’s properties whereas the active one induces external loading. Since active part of the crowd is also in (limited) contact with the structure, it influences its properties too; it is common practise, however, to neglect this interaction and represent the active part of the crowd only through loading forces, [5]. Needless to say that description of both above mentioned constituents of the crowd is problematic due to high level of randomness (in both spatial and time domain); yet quite exact and reliable predictions are required in order to prevent excessive vibrations, fast structure degradation, or even instantaneous failure. In order to simulate single spectator’s forcing on a grandstand, F (t, ω), usually an approximation via explicit analytical expression involving a set of nr ∈ N+ random variables, collected in a random vector Y : (Ω, F ) → (Rnr , B nr ), is used (the so-called parametric process): (1) F (t, ω) ≈ h(t; Y (ω)), having thus nr degrees of randomness. Above, random variable is defined on an abstract probability space (Ω, A , P) as a mapping to nr -dimensional real-valued space (Rnr , B); the process F (t, ω) is unitary (the weight of a spectator is one, though generally it might be described as a random variable [8]). Usually, Eq. (1) is employed as input forcing in MC simulation; generating sufficient number of realizations y i of Y (ω), i = 1, . . . , N , one obtains (after solving appropriate physical problem) response realizations xi (t) that finally yield probabilistic description of the system response (moments, upcrossings, etc.). Though above described procedure can be easily carried out on computer using standard Finite Element (FE) packages, analytical or semi-analytical approximations provide simple and efficient alternatives. Our approach relies on the formulation that employs standard Stochastic Differential Equations (SDEs) driven by Brownian forcing with all its benefits and drawbacks [7, 17]. Below, we are interested mainly in the second-order description of the outputs for which the main motivation is that the serviceability criteria are usually expressed in terms of some integral quantities (RMS or VDV as already mentioned) that can be obtained as a solution to SDEs, see [6, 7, 17] and Section 2.3; moreover, by virtue of the Rosenblatt’s theorem, see e.g. [6, Section 5.2], the response processes converge to Gaussian, see also [13, Section 4.2.1.5]. Entire theory presented below is built on previously introduced approximation presented in [15], where following decomposition of single spectator’s load was used F (t, ω) ≈ µ(t) + Y (t, ω), (2) where µ(t) is suitable trigonometric approximation to E F (t, ω), and Y (t, ω) is a linear combination of independent second-order Auto-Regression processes, AR(2) for short, approximating the noise; for further details on AR(•) processes see e.g. [3]. Since we are mostly interested in non-stationary evolution during the initial stages, we employ slightly different definition. To this end, the definition (2) is enriched with a suitable modulation function m(t), i.e. (3) F (t, ω) ≈ µ(t) + m(t)Ye (t, ω), meaning that approximation is also covariance non-stationary; note that we have used different notation for the noise term though Ye (t, ω) is again a linear combination of AR(2) processes; generally, the two processes differ in variance and mainly in spectral properties. 2 METHODOLOGY Underlying physics of our problem, i.e. the dynamic behaviour of a grandstand, is described through the system of second-order differential equations in the form M Z̈(t, ω) + C Ż(t, ω) + KZ(t, ω) = GF (t, ω), t ≥ 0, (4) where ω ∈ Ω, Z(t, ω) and F (t, ω) are ndof and na -valued random processes, M , C, and K are ndof × ndof constant deterministic real matrices of mass, (proportional Rayleigh) damping, and stiffness specifying together structure under consideration. Matrix G, ndof × na real deterministic matrix, then spatially distributes the load over the structure—as mentioned above, we assume fixed spatial distribution of an active crowd and neglect the passive part of a crowd; naturally, ndof denotes the number of degrees of freedom whereas na is a number of active spectators occupying given structure. Entire problem is assumed to be physically and geometrically linear as mentioned above in order to allow for the use of standard tools of stochastic structural dynamics, see e.g. in [7, 17]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 approx. 2 E F (t, ω) 2 0 October 2015, Bratislava approx. var F (t, ω) 1 0 1 2 t 3 4 5 0 0 1 (a) mean values 2 t 3 (b) variances 4 5 Fig. 1: The first two moments of an active spectator’s load: (a) the mean value E F (t, ω) and its approximation µ(t) defined in Eq. (6) for nµ = 4, (b) variance var F (t, ω) and its approximation m2 (t) defined in Eq. (8) for nm = 4 (stationary approximation var Y (t, ω) depicted in dash-dot line). Moments of F (t, ω) were computed from 10, 000 realizations according to Eq. (1), generator after Sim for jumping frequency fp = 2.7 Hz developed in [16] was used. 2.1 Description of Load The forcing term takes following decomposition F (t, ω) ≈ 1µ(t) + m(t)Ye (t, ω), (5) where 1 denotes na -dimensional column vector of ones; cf. also Eq. (3). Deterministic functions of time, µ(t) and m(t), reflect the level of synchronization of the spectators; Eq. (5) means that spectators are able to synchronize in the mean and variance, whereas the level of randomness is reflected through the coloured noise Ye (t, ω). Let us further recall or specify individual constituents of Eq. (5). 2.1.1 Approximation of µ(t) The mean value µ(t) is conveniently expressed as a trigonometric approximation to E F (t) in the form µ(t) = α b0 + nµ X k=1 α bk cos (2kπfp t) + βbk sin (2kπfp t) (6) found via linear Least Squares (LS) method; see [13, Section 4.2.1.5] for derivation and particular coefficients minimizing the error. It has been demonstrated at the same reference that four harmonics, i.e. nµ = 4 in Eq. (6), performs satisfactorily for structures with rather low vertical eigenfrequencies, fmin < 6, that are likely to be in resonance with applied external loading. 2.1.2 Approximation of m(t) The next step consists in construction of appropriate approximation to the modulation function m(t). To this end, we assume that the underlying noise Yel (t, ω), l = 1, . . . , na , is a zero-mean stationary Gaussian coloured noise with a unit variance, i.e. var Yel (t, ω) = 1. Referring to Eq. (5), we can write for each l q p (7) m(t) = m2 (t) var Ye (t, ω) ≈ var F (t, ω) = σF (t), where σF (t) denotes the standard deviation, now considered as a function of time. Since σF (t) is almost periodic, cf. Fig. 1b, we make use of trigonometric approximation analogous to Eq. (6), i.e. m(t) = κ b0 + nm X k=1 bk sin (2kπfp t), κ bk cos (2kπfp t) + λ (8) whose coefficients, that can be found again via linear LS method, are specified for one jumping frequency fp = 2.7 Hz and for nm = 4 in Tab. 1; note that minimizers of the error are without hats. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava fp = 2.7 Hz κ0 0.7948 κ1 0.0277 λ1 0.4600 κ3 0.1920 λ1 −0.0377 κ2 −0.0037 λ2 0.0678 κ4 −0.0196 λ2 0.0019 Tab. 1: Coefficients of trigonometric series specifying the modulation function m(t) for jumping frequency fp = 2.7 Hz, cf. Eq. (8) with nm = 4. fp = 2.7 Hz m (1) cm cm (2) cm (3) fm 1 25.0046 0.0875 0.0272 2.7 2 47.0472 0.0421 0.0409 5.3 Tab. 2: Coefficients cm of AR(2) processes employed in Eq. (9) for nar = 2 and fp = 2.7 Hz. 2.1.3 Approximation of Yb (t, ω) The noise term in Eq. (5) is assumed in the form Yel (t, ω) = nar X m=1 Ybm (t, ω), l = 1, . . . , na , (9) where Ybm (t, ω) are for all l and m mutually independent AR(2) scalar processes with known spectral densi(i) cm ), where ξ denotes frequency and b cm stores three coefficients cm for m-th AR(2) process, cf. ties SYbm Ybm (ξ, b e.g. [13, Section 4.2.1.5], defined as c(2) m d b d2 b b Ym (t, ω) + c(3) Ym (t, ω) + c(1) m m Ym (t, ω) = dB(t, ω)/dt, dt2 dt (10) where dB(t, ω)/dt denotes time derivative to Brownian motion process (though formally non-existing), see e.g. [7, Section 3.13] for further details. Spectral density of Yel (t, ω) (for each l are similar) then simply reads as SYel Yel (ξ, b c) = nar X m=1 SYbm Ybm (ξ, b cm ), b c = [b c1 , . . . , b cnar ]. (11) In order to approximate the input noise, we have to solve for c the following minimization problem where c = arg min ||SF̊ F̊ (ξ) − SYel Yel (ξ, b c)||L2 (ξ1 ,ξ2 ) , b c∈R3·m F̊ (t, ω) = F (t, ω) − E F (t, ω) σF (t) ξ1 < ξ2 , (12) (13) denotes normalized load noise and SF̊ F̊ (ξ) its spectral density estimate obtained from MC simulation via periodograms or other techniques, cf. e.g. [1]. Minimization in (12) guarantees that the frequency content of F̊ (t, ω) and Yel (t, ω) will be as close as possible with respect to L2 -norm and chosen level of approximation nar ; naturally, one can make use of weighted L2 -spaces in order to emphasize certain frequency ranges that are of special interest. Particular AR(2) coefficients leading to best fits are presented in Tab. 2 for nar = 2 and for the jumping frequency fp = 2.7 Hz; corresponding spectral densities together with their spectral distribution functions are depicted in Fig. 2. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 20 0 −20 −40 −60 1 SF̊ F̊ SYe Ye 0.5 0 0 2 4 ξ 6 8 October 2015, Bratislava 10 (a) spectral densities (in decibel) 2 0 4 ξ 6 SF̊ F̊ SYe Ye 8 10 (b) spectral distribution functions Fig. 2: One-sided spectral density functions SF̊ F̊ (ξ), SYel Yel (ξ, c) (in decibels), and their spectral distribution functions (integrals of spectral densities) SF̊ F̊ (ξ), SYel Yel (ξ, c) for jumping frequency fp = 2.7 Hz; cf. e.g. [7, Section 3.7.2] for further details on S(ξ). 2.2 Stochastic Differential Equations Entire problem described so far can be conveniently handled in terms of SDEs and Itô’s calculus, cf. [7, Section 4]. First, we rewrite Eq. (4) in Cauchy form and augment the state-space variable to include also all AR(2) processes; then, we can write dX(t, ω) = a(t)X(t, ω)dt + h1µ(t)dt + bdB(t, ω), t ≥ 0, (14) where X(t, ω) = [Z(t, ω), Ż(t, ω), S(t, ω)] and dB(t, ω), analogously to Eq. (10), denotes time increment of vector Brownian motion process B(t, ω); note that S(t, ω) collects state-space variables of all the AR(2) processes described in Section 2.1.3. The drift a(t), the stationary diffusion b, and h matrices from Eq. (14) are expressed as follows       0 0 I 0 0 (15) a(t) =  −M −1 K −M −1 C M −1 GD(t)  , b =  0  , h =  M −1 G  , bar 0 0 aar 0 where I denotes ndof × ndof identity matrix, 0 denotes zero matrix of proper dimensions, and D(t) represents load-distribution matrix that locate state-space variable S(t, ω) to na components of Ye (t, ω) in Eqs. (5) and (9); note that D(t) includes the modulation function m(t) which makes it dependent on time contrary to all the other matrices. Matrices aar (c) and bar (c) specify drift and diffusion of input noise terms from Eq. (9) that are explicit functions of filter coefficients c obtained from (12). Dimensions of S(t, ω), aar (c), bar (c), and D(t) clearly depend on chosen level of approximation, nar . 2.3 Moment Equations and Solution Strategies Using Itô’s formula while taking into account Eq. (14), one can derive the first two moments of the system’s response, see e.g. [7, Section 7.2.1.1], µ̇X (t) = a(t)µX + h1µ(t), T T ċX (t, t) = a(t)cX (t, t) + cX (t, t)a(t) + bb , ∂cX (t, s) = a(t)cX (t, s), ∂t t≥0 (16a) t≥0 (16b) t > s ≥ 0, (16c) where µX (t) = E X(t) and c(t, s) = E (X(t) − µ(t))(X(s) − µ(s))T denote the mean value and the covariance function of the process X(t). The mean value µX (t) can be obtained from Eq. (16a) solving first-order Ordinary Differential Equation (ODE). Alternatively, one can apply expectation operator E in Eq. (4) where F (t, ω) is approximated according to Eq. (5) which yields a second order ODE in terms of µZ (t) rather than µX (t) = [µZ (t), µ̇Z (t), 0]T , and can be conveniently handled using e.g. standard Newmark’s integration scheme [2]. As a second step, Eq. (16b) is discretized in time (using e.g. Generalized Midpoint Rule) which yields a Lyapunov equation at each time step. As an alternative, one can rewrite Eq. (16b) as vec(ċ(t, t)) = [a(t) ⊕ a(t)]vec(a(t)) + vec(bbT ), (17) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava where ⊕ denotes the Kronecker sum, and solve it as a standard first-order ODE. The last Eq. (16c) is of no particular interest at this point since employed measures of the system’s response relate only to cX (t, t), cf. Section 2.4, and can be therefore skipped. Standard part of the solution approach to problem Eq. (16) is its transformation to modal coordinates, or projection to other subspaces, specified in more detail e.g. in [13, Section 4.2.1.3]. Note that these techniques are employed in Section 3.2. 2.4 System Performance To evaluate approximation quality of presented method in comparison with direct MC simulation or stationary noise approximation, we have decided to concentrate on two quantities: on evolution of displacement and velocity variance for a selected node in the vertical direction, and on total mean up-crossings of the response displacement process. 2.4.1 Variance Evolutions This quantity can be presented quite easily by plotting appropriate component of cX (t, t) in time. Mean value is of no particular interest since it has been already demonstrated that the approximation performs satisfactorily [13, 14, 15]. It is interesting to present also, mainly for the MC simulation, the coefficients of skewness γ3 and kurtosis γ4 that measure deviation of the actual response from the assumption of normal distribution; note that Gaussian approximations have γ3 = 0 and γ4 = 3. 2.4.2 Mean Level Crossing The mean x-upcrossing rate of a Gaussian process X(t, ω) is expressed as, [17, Section 7.3],        µ b(t) µ b(t) µ b(t) x − µ(t) σ b(t) + Φ φ + φ , t ≥ 0, νx (t) = σ(t) σ b(t) σ b(t) σ b(t) σ(t) where µ b(t) = µ̇(t) + and σ b(t) = σ̇ 2 (t) − ∂c(t, s) ∂t t=s  ∂c(t, s) ∂t = Z x − µ(t) , σ 2 (t) t=s 2 1 . σ 2 (t) (18) (19) (20) Above, µ(t) = E X(t, ω), c(t, s) = E (X(t, ω) − µ(t))(X(s, ω) − µ(s)), σ 2 (t) = var X(t, ω), and σ̇ 2 (t) = var Ẋ(t, ω). The number of mean x-upcrossings in a time interval [0, T ] then reads as n+ x (T ) 3 0 T νx+ (t) dt. (21) NUMERICAL EXAMPLES Having described necessary theory, we can proceed to its demonstration on two simple examples. The first one serves as a prove of concept shoving results for single-degree-of-freedom (SDOF) system whereas the second one shows response of a cantilever multi-degree-of-freedom (MDOF) grandstand. 3.1 SDOF Example An SDOF system is exposed to a scalar load defined in Eq. (3), see also Eq. (5). System’s mass has been chosen as mS = 0.5 t, eigenfrequency f1 = 4 Hz, and relative damping ζ = 0.05. Since artificial generator simulates loads that start at some t0 > 0, we have to correspondingly adjust the modulation function: m(t) b = χ[t≥t0 ] · m(t), (22) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 0.5 0 0 5 MC approx. m approx. m(t) b 1 0.5 1.5 2 γ3 var X(t, ω) ×10−4 1 2.5 October 2015, Bratislava γ3 (X(t, ω)) γ3 (Ẋ(t, ω)) 0 −5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1.5 2 2.5 20 var Ẋ(t, ω) 0.04 γ4 10 0.02 0 0 0.5 1 t 1.5 (a) variances 2 2.5 0 t (b) higher moments Fig. 3: SDOF example: (a) evolution of var X(t, ω) and var Ẋ(t, ω) (vertical displacement and velocity) in time, (b) evolutions of skewness γ3 and kurtosis γ4 of X(t, ω) and its derivative Ẋ(t, ω) in time. where χ• denotes the indicator function of a set •. Analogously, one should adjust the approximation of the mean value defined in Eq. (6). For comparative purposes, we will present also results for the step modulation function defined as m(t) = χ[t≥t0 ] · σs , (23) where σs denotes stationary standard deviation of the forcing (basically the time average of m(t)). Results corresponding to MC simulation have been obtained by averaging of 10, 000 realizations. Evolution of variances, depicted in Fig. 3a, indicate that periodic modulation captures much better the initial stages of the system’s response compared to the simple step modulation. Nevertheless, peak magnitudes are still not reflected well enough (note that increasing nm in Eq. (8) does not help); this can be explained by the fact that higher-order moments of actual load (periodic with quite high peak values, but with rather limited time averages) also contribute to the second-order moments. Therefore, they affect transient response considerably, while the time-averaged values are affected slightly. In Fig. 3b we verify that the response process is quite far from being Gaussian (structure is geometrically too simple with only one loading force). Comparing mean upcrossings of the response process in Fig. 4, we see that periodic modulation achieves generally better results compared to step + modulation. Note, however, that support of n+ MC,x (T ) remains limited whereas napprox.,x (T ) is non-zero for arbitrary x ∈ R and for both modulations since the actual response is non-Gaussian. Note also that for the case e ω) = X(t, ω) − E X(t, ω), of better comparison, we have presented upcrossings of centered process, i.e. of X(t, since the mean value is of no particular interest. 3.2 MDOF Example The second example represents a cantilever grandstand, cf. Fig. 5a, that is loaded by 36 active spectators. Their spatial distribution is random, but fixed throughout 10, 000 MC simulations. Structure offers 72 positions for spectators in total with maximal mass ratio γm = mh /ms = 0.5, where mh denotes the mass of all spectators and ms the mass of the structure (γm = 0.5 is therefore rather light-weight structure). The first vertical eigenfrequency of the structure in empty configuration is f1 = 5.0 Hz. Structure’s damping is realized through Rayleigh damping with ζ1 = 0.05 and ζ2 = 0.08 for the first two vertical eigenfrequencies. The response of the grandstand is measured in vertical direction of the left-corner node, see Fig. 5a. Since the spectrum of MDOF system is quite broad, we have employed increased approximation quality of applied load, i.e. nm = 6 and nar = 6; coefficients + n+ M C,x (T )/napprox.,x (T ) 3 approx. m(t) approx. m(t) b 2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 1 0 0.01 x 0.02 20 0.04 n+ x (T ) MC approx. m(t) approx. m(t) b 10 0 0.03 0 0.01 0.03 x 0.02 (a) number of upcrossings 0.04 + n+ M C,x (T )/napprox.,x (T ) 0 October 2015, Bratislava 3 approx. m(t) approx. m(t) b 2 1 0 0.04 0.02 0.03 x (b) upcrossing ratios 20 MC Fig. 4: SDOF example: (a) number of upcrossings n+ (21), and (b) ratios m(t) x (T ) in time horizon T = 2.5 s, cf. Eq.approx. of exact MC to approximation upcrossings. approx. m(t) b 10 0.01 n+ x (T ) 0 of improved approximations are not specified for brevity. Both solution strategies, MC and presented one, employ 0 modal decomposition, see Section 2.3. 0.01 0.03 modulation 0.04 In Fig. 6a we see again that transient response approximation 0is improved considerably x 0.02 for periodic compared to the step modulation; nevertheless, the peak values are fairly underestimated. In MDOF case the response is well Gaussian, cf. Fig. 6b, mainly due to higher complexity and number of active spectators. In spite of that, the response upcrossings are approximated quite poorly, see Fig. 5b, where upcrossings for the centered response are depicted. We see that periodic modulation is much more accurate compared to the one based on the step modulation though it is still too crude. 4 SUMMARY AND CONCLUSIONS In this contribution, we have presented two different modulation functions of a random noise that provide better approximation to active spectator’s loading. The main advantage of presented methodology is that the description of jumping processes is quite simple and transparent compared to sophisticated MC algorithms. Moreover, instead of solving many MC simulations we solve only once for the covariance function providing quantities that are usually required in serviceability or safety assessments. Improved level of detail comes, however, for the price that transient covariance problem has to be solved. ACKNOWLEDGEMENTS Financial support of this work from the Czech Science Foundation (GAČR) under project No. 15-15728S is gratefully acknowledged. REFERENCES [1] J. Anděl. Statistická analýza časových řad. SNTL, 1976. [2] K.J. Bathe. Finite Element Procedures. Prentice-Hall Inc., 1996. [3] P.J. Brockwell, R.A. Davis, and Y. Yang. Continuous-time gaussian autoregression. Statistica Sinica, 17:63– 80, 2007. [4] G.G. Browning. Human Perception of Vibrations due to Synchronized Crowd Loading in Grandstands. PhD thesis, University of Bath, 2011. [5] B.R. Ellis and T. Ji. Floor vibration induced by dance-type loads: Verification. The Structural Engineer, 72(3):45–50, 1994. [6] M. Grigoriu. Applied Non-Gaussian Processes: Examples, Theory, Simulation, Linear Random Vibration, and MATLAB Solutions. Prentice Hall, 1995. + n+ M C,x (T )/napprox.,x (T ) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 20 approx. m(t) approx. m(t) b 10 2 0.01 20 −2 Measured node 0 2 −2 4 x 10 2 0 0 y (a) MDOF geometry 0.02 0.015 MC approx. m(t) approx. m(t) b n+ x (T ) z 0.005 0 30 0 −2 0 October 2015, Bratislava 0 0.005 x 0.01 0.015 0.02 (b) upcrossing ratios and number of upcrossings Fig. 5: MDOF example: (a) geometry, spatial distribution of an active crowd, measured node, and (b) exact number of upcrossings to approximation ratios, see definition in Eq. (21), for time horizont T = 5 s. 0.5 0 1 2 3 4 0 γ3 (X(t, ω)) 5 −1 γ3 (Ẋ(t, ω)) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 t 3 4 5 3.5 6 4 γ4 var Ẋ(t, ω) 0 ×10−3 1 MC approx. m(t) approx. m(t) b γ3 var X(t, ω) ×10−5 1 3 2 0 0 1 2 t (a) variances 3 4 5 2.5 (b) higher moments Fig. 6: MDOF example: (a) evolution of var X(t, ω) and var Ẋ(t, ω) (vertical displacement and velocity of corner node emphasized in Fig. 5) in time, (b) evolutions of skewness γ3 and kurtosis γ4 of X(t, ω) in time. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [7] M. Grigoriu. Stochastic Calculus: Applications in Science and Engineering. Birkhäuser, 2002. [8] M. Hermanussen, H. Danker-Hopfe, and G.W. Weber. Body weight and the shape of the natural distribution of weight, in very large samples of german, austrian and norwegian conscripts. International Journal of Obesity, 25:1550–1553, 2001. [9] Mechanical vibration and shock – evaluation of human exposure to whole body vibration – part 1: General requirements, 1997. [10] Mechanical vibration and shock – evaluation of human exposure to whole body vibration – part 2: Vibration in buildings, 1997. [11] V. Racic and A. Pavic. Stochastic approach to modelling of near-perioadic jumping loads. Mechanical Systems and Signal Processing, 8:3037–3059, 2009. [12] V. Racic and A. Pavic. Mathematical model to generate near-periodic human jumping force signals. Mechanical Systems and Signal Processing, 24:138–152, 2010. [13] O. Rokoš. Dynamic Analysis of Grandstands. PhD thesis, CTU in Prague, 2014. [14] O. Rokoš and J. Máca. Stochastic approach in the human-induced vibration serviceability assessment of grandstands. In EURODYN 2014, pages 1019–1026. [15] O. Rokoš and J. Máca. The response of grandstands driven by filtered gaussian white noise processes. Advances in Engineering Software, 72(0):85 – 94, 2014. Special Issue dedicated to Professor Zdeněk Bittnar on the occasion of his Seventieth Birthday: Part 2. [16] J.H. Sim. Human structure interaction in cantilever grandstands. PhD thesis, University of Oxford, 2006. [17] T.T. Soong and M. Grigoriu. Random Vibration of Mechanical and Structural Systems. Prentice Hall, New Jersey, 1993. [18] M. Verner, T. Plachý, and M. Polák. Experimentální analýza chování diváků a jimi vyvolaných vibrací tribuny při fotbalovém utkání. In New Trends in Statics and Dynamics, 2015. [19] M. Verner, M. Polák, and T. Plachý. An experimental study focused to spectators-induced vibrations of a cantilever grandstand during two sport matches. In Proceedings of 53rd International Conference on Experimental Stress Analysis, pages 73–78, 2015. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS MODELS AND MODELING OF PHENOMENA TRANSPORT IN CONTINUOUS BODIES I. Véghová1 and J. Sumec2 Abstract Molecular - statistic and phenomenological description of physical phenomena by set theories. Application of mathematical structures and their basic characteristics. Set model of continuous bodies by algebra of borelian subsets of arithmetic three- dimensional Euclidean space E3. Definitions of basic principles and axioms in the phenomenological theory of constitutive equations. Key Words Mathematical modeling; Application of mathematical structures; Phenomenological and molecular-statistic models; Continuous bodies and topological space; Basic axioms in the constitutive equations modeling 1 INTRODUCTION MODELS, MODELING - AN INTRODUCTION In general, we can say that the theory of homothety and modeling theory covering almost all areas of scientific knowledge, starting with macro – word till to research the formation of stellar nebulae research of socio – social phenomena, neurosystems and psychology [1-8]. In the modeling process, we meet with the terms of “model”. By term of model we express material or immaterial “imitation” of the modeled object. The creation of models is usually accessed, when they are either difficult or impossible to examine the phenomenon in the natural form e.g. [8, 9-12]. 1.1 Models classification In the natural, technical, but now and social sciences creation of model can by used natural or synthetic – made objects, When modeling complex systems, if is possible to create a prototype objects. From the set of numerous systems theories and applied them modeling procedures we will devote attention to so-called mathematical modeling, e.g. [8, 13]. 1.2 Mathematical modeling and its individual stages In mathematical modeling process the following stages are distinguished: • formulation of the model and • model analysis. In the case of modeling more complex physical processes (systems, subsystems) both stages have a common name called systems analysis, e.g. [14]. 1 Ing. Ivana Véghová, PhD., Department of Structural Mechanics, Faculty of Civil Engineering, STU in Bratislava, Slovakia, ivana.veghova@stuba.sk 2 Prof. Ing. RNDr. Mgr. Jozef Sumec, DrSc., Department of Structural Mechanics, Faculty of Civil Engineering, STU in Bratislava, Slovakia, jozef.sumec@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 1.2.1 Formulation of a mathematical model In the mathematical modeling we shall meet with the following stages: • formulation of the problem as an abstract concept from which it is seen and realized the corresponding system and are clear major tasks of the solution. • developing a theoretical model of the problem: is given by the physical notion of solver about of modeled problem through verbal text. Apply the laws of physics and hypothesis in deterministic and stochastic process covering conceptual content of modeled. However, this step can be manifest as unsuccessful in cases when used inappropriate laws or hypotheses. This means that we can say: “The mathematical model is a system of equations or inequalities (including additional condition to differential equations) which are sufficient to calculate all unknown quantities of theoretical model and supplemented by parameters and variables on the boundary of analyzed body.” The mathematical model may also include the empirical equations, which can also be the result of a large number of the experimental tests. For practical reasons, a mathematical model can be “show” in the form of a flowchart, which is given in Fig.1. MATHEMATICAL MODEL PROBABILISTIC MODEL BY DIFFERENTIAL EQUATIONS DETERMINISTIC MODEL BY ALGEBRAIC EQUATIONS BY DIFFERENCE EQUATIONS UNDIRECTIONAL PROBLEMS ORDINARY DIFF. EQUATIONS STATIONARY STATE DIFFERENCE DIFF. EQUATIONS NON - STATIONARY STATE DIFFERENCE EQUATIONS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS MULTIDIRECTIONAL PROBLEMS PARTIAL DIFF. EQUATIONS STATIONARY STATE NON - STATIONARY STATE DIFFERENCE EQUATIONS AND PARTIAL DIFF. EQUATIONS Fig. 1. Flow diagram of mathematical modeling 1.2.2 Analysis of mathematical model Comprises the following sequence of processes: • choice of methodology solutions, • algorithm solutions, • interpretation of results. BY INTEGRAL EQUATIONS 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava In some cases it is necessary the solution of the mathematical model by the computer to replace evaluating the experimental results on the real system, i. e. experimental simulation. In the case of mathematical simulation in stationary processes in the system with respect to the diversity of the methods solutions used we distinguish so-called open simulation and control simulation, e. g. [13, 15]. Last step of the mathematical modeling is evaluation of the mathematical model adequacy. 1.3 Deterministic and probabilistic mathematical models From the literature, e. g. [16], it is known that the alone mathematical models can be sorted according to a number of aspects: • depending on the type of the variables that be situated in the model, • according to the principles of formulating equations, • according to the mathematical structure of the relationships in the model. In the first case, when the internal states and inputs quantities are reproduced to an accuracy of experimental errors, the outputs: • may be reproduced with an accuracy of experimental errors (relate to a deterministic systems) • if they are not reproduced with accuracy of experimental errors, then we talk about probabilistic systems. In the deterministic systems all values of variables behave with probability equal to one [17]. 2 MOLECULAR - STATISTICAL AND PHENOMENOLOGICAL DESCRIPTION OF THE PHYSICAL MEDIUM From a macroscopic point of view it is at first sight evident that the substances, respectively, physical environments (media) appear to be compact, completely filling the space and are "infinitely divisible". But on the other hand, various physical and chemical experimental methods has shown that the compounds respectively, physical medium consists of a finite number of elementary particles moving so - called entities with their own internal structure, e.g. [18]. Individual entities mutually affect one another by a force field and the energy transfer. Theoretical model of such a material medium manifests so - called molecular model. Of course, such a model also requires adequate mathematical procedures (which in the given case is the application of equilibrium or non-equilibrium statistical mechanics) as well as the corresponding computer technology. At the present time a successfully of such model is relatively more weakly – is applied in particular to the modeling of the diluted gases. An alternative to molecular-statistical modelings of material media are phenomenological theories. According to these basic quantitative characteristics are such phenomena that manifest themselves macroscopically (e. g. volume, weight, temperature, pressure, etc.). The theoretical basis for a phenomenological description of the modeling is the theory of continuous field, continuous medium and arithmetic three - dimensional Euclidean space E3, e.g. [19, 20]. 2.1 Notions and properties of selected algebraic structures In terms of mathematical modeling of the physical medium needs to be analyzed models assign certain mathematical objects. One of the methods for the development of the mathematical model is an expression of the continuum physical model using set theory, measure theory and topological spaces, expressed in particular in [21, 22]. These authors, as well as further e.g. [23] for the bodies of continuum models applies algebra of Borel subsets of the space E3 and topological space. These issues in terms of functional analysis are devoted to monographs, e.g. [24, 25]. • Let O is given fixed set, then subsets of set O call the system of subsets space O and considers them to be elements of the system O. • A non-empty system Ω of the subsets certain fixed choose of set O is called a set’s algebra (or algebra of subsets of space O) if: 0 ∈ Ο ; Ι ∈ Ω (i. e. unit of the system Ω ) and if for any sets A, B ,C ∈ Ω realize finite number of set operations (conjunction, unification, difference), the result of each of them belonging to the Ω . • Set’s algebra is a special case of Boolean algebra. Boolean algebra is an algebraic structure that models the properties of set and logical operations. Represents the abstract formal system containing a set {a ,b ,c ,K} over of which are defined two binary operations symbolized by set operators ∨ a ∧ . Boolean algebra is defined as distributive complementary ring. Boolean 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings algebra is a sextriplet October 2015, Bratislava (Α ,∧ ,∨ ,− ,0 ,Ι ) , where A is non-empty set; 0 ∈ A the minimal element; Ι ∈A is the maximum element, - a unary operation (complement); ∨ and ∧ are binary operations (conjunction, unification) on set A, which satisfying the following axioms: (commutability, distributivity, neutrality 0 and I, complementarity, etc.) [26]. Boolean algebra has an interpretation in various scientific disciplines, see Tab. 1. Boolean algebra a, b, c, ... elements ∨ (set operation) ∧ (set operation) a∨b=b∨a set algebra A, B, C, ... subset of set I ∪ (unification) ∩ (penetration) A∪B=B∪A logic algebra P, q, r, ... predicatios of set ∪ ∨ (disjunction) ∧ (conjuction) p∨q=q∨p Tab. 1. Various applications of Boolean algebra • Non - empty system o Θ ∈Ο o I ∈ Ο mostly o Ω of subsets a certain fixedt chosen set O call σ - algebra subsets of space O if: I =O for arbitrary sets A, B ∈ Ωσ applies (1) A ∈ Ωσ ⇒ A′ ∈ Ωσ A , B ∈ Ωσ ⇒ A ∪ B ∈ Ω σ (2) A, B ∈ Ω σ ⇒ A ∩ B ∈ Ω σ o for A1 ,K , An ,K , where Aj ∈ Ωσ ( j = 1,2 ,K n ,K) U A ∈ Ωσ j j =1 (3) I A ∈ Ωσ j j =1 • Each σ - algebra is a set algebra. By sufficient to put A1 = A a U Aj = B , then relation (3) is valid. Then j =2 if • Ai ∈ Ωσ and arbitrary finite or enumerable set operations are realized, then result´s each of then is set belongs Topological space [28] is the ordered pair, where X is a set and τ, whose elements are called the open sets is a set of subsets of X, for which three conditions are fulfilled: o Empty set and the set X are opened 0 ∈ τ ; X ∈ τ . o Unify of any number of open sets is open set, i.e. for ∀S ⊆ τ UY ∈τ (4) Y ∈S o Penetrating every two open sets is an open set, so A ∈τ ∧ B ∈τ ⇒ A ∩ B ∈τ (which is equivalent to a condition that says that penetration of any finite number of open sets is an open set). (5) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Fig. 2. Examples of topological spaces on the set o Metric space [27] is usually indicated a non-empty ordered couple function (i.e. metric) with the following characteristics:
ϑ (x , y ) ≥ 0 a ϑ (x , y ) = 0 ⇔ x = y
October 2015, Bratislava {1,2 ,3} (O ,ϑ ) , if on the set OxO defined ϑ (x , y ) = ϑ ( y , x ) - symmetry, ϑ (x , z ) ≤ ϑ (x , y ) + ϑ ( y , z ) triangular inequality.
The concept of a metric space was created by abstraction from the concept of Euclidean space. Metric space of classical mechanics is so – called arithmetic 3D Euclidean space E3. o The most general concepts of mathematical structures are open and closed subsets of the space O. o Topological spaces are generalized metric spaces where metric spaces are their important subgroup. To characterize the continuum body is possible by metric topological space whose topology is derived from the metrics of space E3. This space must be complete separable, normal, locally compact and completely regular, e.i. [24, 27]. These characteristics ensure continuity, differentiability and other necessary properties for sets functions used for to process of mathematical modeling transmission phenomena in continuous bodies. 2.2 Continuous body as a subspace of topological Space Examination bodies that exist in space and time depends on the viewing angle. In the case of classical mechanics the time in any inertial reference system flowing equally quickly and the space is Euclidean space E3. In the case of rational continuum mechanics the space O representing a continuum separate off physical space. Here, the space O is given by set of material particles. The space O is "immersed" into the space E3. The existence of bodies in a physical space is „transformation“ subspaces of space O into space E3. Space O is three-dimensional metried with a given topology defined condition, that space O is homomorphic mapping [25, 28] continuous and bounded (or unbounded) subspace E3 with certain property for its arbitrary subsets A and B, e.g. [28]. Algebra of borel´s subsets of space O is called closed space O is a unit of space Ω Ω [25]. Empty set O is zero body of space Ω . Set . In terms of real intuition of real bodies in space E3 is a continuum body in space Ω each continuous closed subset B ∈ Ω which can be considered as a closure of opened subset. The elements of body B are transform homomorfly in to E3 as the end points of the position vector. At each connecting line of any two elements in the continuous body is an infinite number of elements. These elements are called particles X, or material points of body of B. Supplies of bodies according to relation (2) are open subsets, which we call physical surroundings bodies. Physical surroundings of body B we shall indicate by symbol Β ′ ≡ 0 − Β . To the basic sets operations, relations (1) - (3) as well as space Ω can be given the physical meaning, - if A ,B ∈ Ω ⇒ A ∪ B is the smallest space body of space - A ∩ B is a most common part of these bodies, Ω containing of bodies A and B, - the bodies A, B ∈ Ω are separated from each other if A ∩ B = 0 . The topological space is an abstract space in which we can distinguish the particles of the material, bodies physical surroundings bodies, their weight etc., but not the shape of their bodies and geometry. Namely for this will serve us space E3, in which we cannot identity their weight. The shape and dimensions of the bodies are only their images in E3. As a matter of fact the real bodies in E3 are represented by their models and space O is their topological image. Particle X is according to the model of continua is a real particle of a real body in E3 and always 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava corresponds to certain position in E3. Procedure homomorphic mapping of body B into E3 is a process of assigment positions to its material particles, where these positions correspond to physical reality. Mathematical formality allowing us homomorphic mapping subset E3 in which is "embedded" the real body into a number of subset of E3, which distinguish by shape and dimensions. So we distinguish “right” image of continuous body (assignment of real positions) and “false” images. If we suppose material medium as a continuum, then in classical mechanics we speak that fulfill continuity hypothesis. Corresponding mathematical apparatus is the theory of continuous field and theory of material variables, e.g. [29]. 3 PHENOMENOLOGICAL MODELS - PRINCIPLES AND CREATION When in material medium it carries out mass transfer, transfer of momentum and energy we talk about transmission of phenomena. Transmission of phenomena we describe by corresponding mathematical models in the form of equations and restrict conditions. Creation of the equations is binded to the fundamental laws (axioms), which describe the course of transmission phenomena in all material media. In rational continuum mechanics the basic laws phenomenological theory transmission phenomena are conservation laws - (mass, momentum and angular momentum), and entropy inequality as well as the of constitutive equations theory, e. i. [21, 23]. If we have a material medium which under the external effects deforms or be in progress self – acting actions (e.g. diffusion, transfer of the heat, change of the mechanical energy to the inner, etc.), and the corresponding mathematical models developed on the basis of conservation laws they contain the quantities such, density, diffusion mass flow, density distribution of internal energy, strain tensors, etc. The number of balance equations and boundary conditions (we are talking about bodies) is less than the number of unknowns in these equations. For the analysis of specific tasks need to be independent balance equations (valid for each material medium) supplemented by equations which express flows density, energy, etc., i.e., constitutive equations. Simple constitutive equations were formulated before elaboration of a rational continuum mechanics as hypothesis whose validity has been verified experimentally e. g. [30]. They are known as laws, for example. Hooke's Law, Ohm's law, Fick's law of diffusion, etc. Theory of constitutive equations and methodology of their compilation for density flow was solved by terms of dynamic postulates, elaborating of which was developed the thermodynamics of irreversible processes, as reported, for example in [31]. Axiomatic way of development physical science is based on the creation of an abstract model of the minimum number of independent properties (axioms), while other properties can be obtained by mathematical derivation as a result of a mathematical proposition. 3.1 Axioms of constitutive equations Axiom of causality: A state of the body B at the time t is determined only by its history and not its future. Axiom of determination: Stress in particle X ∈ B in time t is determined by its history xt of the body motion till time t T(x,t ) = F (x´ ( X´,t´; x,t )) , t (6) t →−∞ where F is a general operator transforming admissible functions of body motion on its stresses. This operator must fulfill certain conditions of invariants e.g. [21]. Operator F is a constitutive operator. Axiom of local effect: According to principle of determinism, motion of particle Y ∈ B which doesn’t lie in close surroundings of point X ∈ B, X ≠ Y can influence the stress in the point X. In the sense of the contact stresses definition, these are determined by their mutual effect of particles in infinitesimally small surroundings of point X. According to this axiom, if x*t = (Y,s ) = x t where N(X) is surrounding of point X, then it is valid ( s ≥ 0, Y ∈ N ( X ) , ) ( ) F x*t ;Y,t = F x*t ; X,t . (7) (8) Axiom of objectivity: Properties of materials determined by constitutive operator are independent on the observer therefore are objective. It means, if 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava T(x,t ) = F ( x(t ); X,t ) . (9) Then for constitutive operator it must be valid ( ) ( ( ) ) T x∗ ,t ∗ = F x∗ t ∗ ; X,t ∗ , * (10) * where x*, T are dynamical quantities equivalent to x and T . Axiom of equipresence: All constitutive functionals describing the same ideal materials must be determined by the same independent constitutive variables. Axiom of surrounding: Values of constitutive functionals related to particle X ∈ B in given time t influence history of independent constitutive quantities for other particles in given domain within inverse proportion to their distances. 4 CONCLUSION In the paper we describe the problems of creating models and modeling of the transmission phenomena in the physical media of a continuous type. In the beginning of the paper we focus our attention to the application of the modeling transmission phenomena in almost all areas of the scientific knowledge. We propose a classification of models in terms of the type of model objects. We analyze the process of mathematical modeling its different stages, starting with the model building to its analysis and the evaluation objectives. The very process of modeling is presented by a flow chart. The complexity of the issue in some cases requires to replace the mathematical modeling on the computer, so experimental simulation of the real system. In our problem, we focused on the mathematical models of the deterministic type, where the value of variables output with probability equal to one. Because we are “moving” in the area of mathematical modeling it is necessary to express the models of given objects by mathematical structures. We are used to this problem a set model of continuous bodies made using algebra Borel subset of the space E3, the field theory of continuous functions, e. g. [24, 29]. The third Chapter is devoted to the principles and development of phenological models of constitutive equations using the corresponding modeling axioms, e. g. [23]. ACKNOWLEDGEMENT This paper has been supported by Grant Agency (grant No. 1/0272/15) REFERENCES [1] Segal, I.E.: Mathematical Cosmology and Extragalactic Astronomy. New York: Academic Press, Inc., 1976. OSTI: 726 5171. [2] Craig, I.-Brown, J.: Inverse Problems in Astronomy. Acord, MA: Adam Hillger, Ltd., 1986. ISBN: 0852741696. [3] Half, A.: Mathematical Models and Statistical Methods in Astronomy from Hipparchus to Kepler and Galileo. New York, Toronto: John Wiley & Sons, Inc., 1990 [4] Thamwattana, N.-Hill, J.M.: Mathematical Modeling in Nanotechnology. School of Mathematics and Appl. Statistics, University of Wollongong, Australia, e-mail:ngamta@uow.edu.au. [5] Sorensen, Aage, B.: Mathematical Models in Sociology. Annual Review of Sociology, Vol. 4, 1978, pp.345-371. EISSN: 15452115. [6] Kandel, E.R.-Schwartz, J.H.-Jessell, T.M.: Principles of Neural Science. (5th Ed.) New York: McGrawHill, 2012. ISBN 0-8385-7701-6. [7] Krempasky, J.: Synergetic. Foundations of Non-Linear Dynamics of Systems.{In Publishing house STU Bratislava, 1994, 411 pp. ISBN: 80-227- 0707-4. [8] Xin-She Yang (ed.): Mathematical Modeling with Multidisciplinary Application. New York, Toronto: John Wiley & Sons, Ltd., 2013, 592pp, ISBN: 978-1-118-29441-3. [9] Zierep, J.: Similarity Laws and Modeling. New York: Marcel Dekker, 1971. Slovak), Bratislava: 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [10] Filkorn, V.: Character of Contemporary Science and her Methods. (In Slovak). Bratislava: Publishing house VEDA, 1998. 379 pp., ISBN: 8022405647. [11] Noskievic, P.: Modeling and Systems Identification. (In Czech). Ostrava: Montanex, 1999, 276 pp., ISBN; 80-7225-030-2. [12] Heinz, S.: Mathematical Modeling. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2011, 460 pp, ISBN: 978-3-64244388-6. [13] Bena, J.-Kossaczky, E: Foundations of the Modeling Theory. (In Slovak). Bratislava: Publishing house VEDA, Bratislava, 1981, 552 pp., 71-074-81. [14] Veghova, I.-Sumec, J.: Some Aspects of Mechanical-Mathematical Modeling in Linear Viscoelasticity. In: 15th International Scientific Conference VSU’ 2015, May 2015, Part I, pp. 218-223. ISSN: 1314-071X. [15] Sumec, J.-Lichardus, S.: Mechanical-Mathematical Modeling of Materials whose Physical Properties are Time – dependent. (In Slovak). Internal Research Report III-3-4/9.4. Bratislava: Institute of Construction and Architecture of the SAS, 1983, 130 pp. [16] Chaves, E. WV. (ed.): Notes on Numerical Methods in Engineering Sciences. Barcelona: International Center for Numerical Methods in Engineering, 2013. ISBN: 978-94-007-5985-5. [17] Dill, H. Ellis: Continuum Mechanics. Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. Boca Raton, London, New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2007, 352 pp. ISBN: 0-8493-9779-0. [18] Feynman, R.P. et al: The Feynman Lectures on Physics. Massachusetts, Palo Alto, London: AdisonWesley Publ., 1963. (6th Ed.) 1977. ISBN: 0-201-02116-1-p. [19] Thamburaja, P.: A Finite Deformation Based Phenomenological Theory for Shape Memory Alloys. Intern. J. of Plasticity. Vol. 26(8), 2010, pp. 1195-1219. ISSN: 0749-6419. [20] Ho, Kwangsoo: A Phenomenological Constitutive Model for the Pseudo plastic Behavior of Shape Memory Alloys. Journal of Mechanical Science and Technology, Vol. 28(3), 2014, pp.979-988. ISSN: 1738-494X. [21] Truesdell, C.: A First Course in Rational Continuum Mechanics (General Concept). N.Y., San Francisco, London: Academic Press, 1977 (Re-elaborated book [22]). 280 pp. ISBN: 10 0127013016. [22] Truesdell, C.: A First Course in Rational Continuum Mechanics. Baltimore: The John Hopkins University, 1972. [23] Eringen, A.C.: Mechanics of Continua. New York, London, Sydney: John Wiley & Sons, 1967. [24] Kolmogorov, A.N.-Fomin, S.V.: Elements of Functions Theory and Functional Analysis. (In Russian). Moscow: Nauka, 1976. [25] Halmos, P.R.: Measure Theory. (12th Ed.). Toronto: Van Nostrand, 1968. [26] Birkhoff, G.-McLane, S.: Algebra (3rd Ed.) Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publ. house, 1999. [27] Sutherland, W.: Introduction to Metric and Topological Spaces. New York, London: Oxford University Press, 2009. [28] Shalat, T. et al: Small Encyclopedia of Mathematics. (In Slovak) Bratislava: Publishing house OBZOR, 1967, pp. 692, 65-083-67. [29] Truesdell, C.-Toupin, R.: Classical Field Theories. In: Handbuch der Physik. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer-Verlag (Ed. S. Flőgge) 1960, or Truesdell, C.-Noll, W.: Handbuch der Physik. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag (Ed. S. Flőgge) 1965, Band 3/3. [30] Timoshenko, S.P.: Strength of Materials, Part I and Part II (3rd ed.), New York, London: Krieger Publ. Co., 480pp. 1983. ISBN-13: 978-0898746211. [31] Callen, H.B.: Non-Equilibrium Thermodynamics, Variational Technique and Stability. Chicago, London: University of Chicago Press, 1965. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS STABILITY AND VIBRATION OF IMPERFECT CONTINUOUS BEAM L. Snirc 1 and J. Ravinger2 Abstract We get frequency limited to zero in the case of stability and vibration combination of a beam taking into account linear stability theory in the level of elastic critical load. This result is not in agreement with the nature appearance and it is against the results from laboratory experiments. To get proper theoretical result we must accept geometric nonlinear theory with a special focus on boundary conditions. Key Words stability, vibration, geometric non-linear problem, continuous beam, finite element method. 1 INTRODUCTION Problem of stability was introduced by Euler 250 years ago. Book written by Bažant and Cedolin [1] is really extensive but there are not solved all stability tasks. Special group of problems is the combination of stability and dynamics. We can get an overview about this group of problems from Bolotin [2] and Voĺmír [3] papers. The problem of stability and vibration of beam was processed by Wedel-Henen [4], Ravinger and Kleiman [5]. An introduction to the nonlinear geometric tasks focused on stability and also complete processing of the problem in the combination of stability and vibration is in Ravinger´s book [6]. We can see in the work from Štafa, Frantík and Pail [7], that there is still an unanswered question in the problem of buckling and vibration of beam. It was based on old work by Ržanicin [8]. Main differences are in the behaviour of beam, that has large deformations. This article deals with the problem in stability and vibration of imperfect continuous beam. Theoretical and numerical analysis is confrontated with the results from an experimental measurement, that was done on the beam model. 2 INCREMENTAL FORMULATION FOR THE SOLUTION OF NON-LINEAR GEOMETRIC PROBLEMS With invention of the finite element method came also an idea to use actively discretization of finite element method for the solution of non-linear geometric problems. Thus is how so called „up-dated“ model was created. This approach has many theoretical and numerical complexities and that is the reason why it has succeeded only 1 Ing. Lubos Snirc, Slovak University of Technology in Bratislava, Faculty of Civil Engineering, Department of Structural Mechanics, Radlinskeho 11, SK-810 05 Bratislava, Slovakia, lubos.snirc@stuba.sk 2 Dr.h.c. prof. Ing. Jan Ravinger, DrSc., Slovak University of Technology in Bratislava, Faculty of Civil Engineering, Department of Structural Mechanics, Radlinskeho 11, SK-810 05 Bratislava, Slovakia, jan.ravinger@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava in a small group of problems. It still appears to be suitable and sufficient to use so called “total description“ model, which is based on the principles that have been set out by Euler. Theory for incremental and iterative solution could unite in the incremental formulation. We can consider an elongation in case of the beam or beam system at this form: 1 2 1 2  x  u,x  u, x 2  w, x 2  z .wxx (1) where indexes behind comma represent derivation, u – displacement in the direction of axis (axial displacements), w – displacement perpendicular to axis (bending displacements). We assume a linear elastic material   E  0  (2) where index „0“ means initial elongation and we can count with the initial displacement of beam in this element. Proper definition of increment in elongation as well as its variation is very important [6]. 1 2 1 2   u,x  u,x .u,x  u,x 2  w,x .w,x  w,x 2  z .wxx (3)   u, x  u, x .u, x  u, x .u, x  w, x .w, x  w, x .w, x  z.wxx (4) where δ is a sign of variation. Problem leads to the system of conditional equations using Hamilton principle.   K INC q  FINT  FEXT  FEXT  0 K M q where f INT (5) K M is mass matrix, K INC - incremental stiffness matrix, which is a function of structure deformations,  - internal load vector, f EXT - external load vector, f EXT - increment of external load vector, q increment of acceleration vector, q - increment of displacement vector. K M q  0 in static tasks and we will use the combination of incremental solution and Newton-Raphson iteration. According to properties of incremental stiffness matrix K INC , we are We neglect mass inertia forces able to distinguish stable and unstable branches and define bifurcation point. We can get circular frequencies and modes of vibration from the equation K INC   2 K M det 0 (6) Level of load, structure deformations and initial displacements are included in the incremental stiffness matrix. Presented equation gives circular frequency (eigen values) as well as mode of vibration (eigen modes). 3 STABILITY AND VIBRATION OF CONTINUOUS BEAM Authors have processed the program for the solution of planar beam and based on nonlinear geometric theory. Program had many special modifications. It was necessary to change boundary conditions in the process of incremental loading and also distinguish boundary conditions in the process of load growth and vibration. There was used the special device for an experimental verification. It was made for the research of stability and vibration of beams (Fig. 1). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Manometer Side view Middle support Accelerometer Screw Bearing Tested beam Groundplan Fig. 1. Scheme of device for the verification of stability and vibration of beams Timber beam was used for the experimental verification. All required parameters are listed in Fig. 2. d F wg=40 mm c w0 Timber e I  6.49 mm A Fcr   2 EI l2  1661.8 N E=13700 MPa ρ=454.2 kg/m3 43 mm l=1885 mm r 22.5 0   4 EI  100.2 s 1 Al 4 Fig. 2. Dimensions and mechanical properties of experimentally tested beam 3.1 Test procedure First of all we measured precisely all dimensions of a timber beam. We used the scale to determine the weight. Thereafter we were able to determine bulk density too. In the first state beam acted as a single pole simply supported beam. Force had been measured by the manometer after a gradual turnig of the screw. In one moment we could see a situation, when the displacement grew but the force did not. That is Euler critical force and we can define the modulus of elasticity from this force. Subsequently measured frequency was in a full compliance with the theoretical frequency. Loading of a beam was implemented step by step. Displacements and circular frequencies were measured. Two accelerometers together with appropriate equipment (preamplifier, converter, LABVIEW) were used for the measurement of frequnecies. Hit to the tested beam caused an impuls, so we were able to measure the frequency. It is important to note, that the way how we had increased the load using a screw seems as the moveable support. However, this support is not moveable, if we measure the frequency. This is an important detail in the mechanism of stability and vibration combination of a beam. First state is represented by single pole simply supported beam.After the timber beam touches prepared support in the middle, it had started to act as a double pole continuous beam (second stage) (Fig. 3). F First stage- static First stage -vibration Second stage- static Second stage -vibration F Fig. 3. Two states of beam behaviour 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 4 shows overall view of the experimental testing of a beam in the last stage. Fig. 4. View of the experimental testing You can see obtained results in Fig. 5 and Fig. 6. For clarity, the results were processed in to propotional nondimensional forms. Good conformity of theory and experiment excels in this type of elaboration. F/Fcr F/Fcr 4.0 4.0 STATIC 3.0 N=-F THEORY e e d d 3.0 Second stage EXPERIMENT 2.0 2.0 c c 1.0 1.0 First stage 0 2 4 6 w/r w/r 8 0 2 4 6 Fig. 5. Dependence between load and displacement F/Fcr 4.0 THEORY 3.0 EXPERIMENT 2.0 VIBRATION 1.0 (ω/ω0)2 0 1 4 8 12 16 Fig. 6. Dependence between load and squared circular frequency of a beam 8 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava CONCLUSION Submitted result documents really good conformity between theory and experiment. First of all it is an evidence, that Euler theory for the buckling of a beam is correct. Authors have handled the solution of non-linear geometric problems. Variant of finite element method was used. For the function of bending displacements („w“) it is common to use four parameter cubic polynomial. Important detail is a need to use this polynomial also for axial displacements ( „u“ ). For theoretical-numerical analysis it was necessary to prepare many programs. (Linear problem, solution of linear stability, problem of vibration). Non-linear analysis must be able to distinguish in the solution stable and unstable branches. If we want to obtain solution for the top of a load curvature (displacement) and be able to model so called declining branches, it is necessary to have prepared the program with an option for operative changes of pivot term. It is important to come out from the equation (6), if we want to get correct evaluation of circular frequency. There is a problem to model the hinged support in the case of experimental investigation. Authors had successfully made it, because they had used the pair of bearings. However this modification can model only the cylindrical hinged support. Authors are preparing so called Kardan hinge for the modeling of a spatial hinged support. There was an effort to minimize complexity of the device, when it was prepared. Therefore the measurement was done only by a mechanical moveable apparatus. Screw (diameter 32 mm) with the thread pitch 1.5 mm was used for the applying of load. Prepared device is able to apply the force 20000 N. Comparison of theoretical and numerical evaluated frequency with the frequency, which is measured on a real structure is a basis for the group of non-destructive methods of property or quality identification in structures. This is the motto for authors to continue in this research. ACKNOWLEDGEMENT This paper has been supported by Grant Agency (grant No. 1/0272/15) REFERENCES [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] BAŽANT, Z. P. – CEDOLIN, L.: Stability of Structures: Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories. Oxford University Press, New York, Oxford, 1991. BOLOTIN, V. V.: The Dynamic Stability of Elastic System. Holden Day. San Francisco, 1994. VOĽMIR, A.S.: Nelinejnaja dinamika plastinok i oboloček. (Non-Linear Dynamic of Plates and Shells) . Nauka, Moskva, 1972. (Russian) WEDEL-HEINEN, J.: Vibration of Geometrically Imperfect Beam and Shell Structures. Int. J. Solids & Structures 1, 29-47. RAVINGER, J. – KLEIMAN, P.: Natural Vibration of Imperfect Columns and Frames. Building Research Journal. Vol. 50, No 1., 2002, 49-67. RAVINGER, J.: Stability & Vibration. STU Bratislava , 2012. ŠTAFA, M. – FRANTÍK, P. – PAIL, T.: Frekvenční analýza vzpíraného prutu. In. Proc. 8-th Int.Conf. New Trends in Statics and Dynamics of Buildings. Bratislava 2010, 187-188, ISBN 978-80-227-3373-1 RŽANICIN, A. P.: Stability and equilibrium of elastic system. Gos. Izd. Techničeskoj Liter. Moskva 1955. (Russian) th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS AGE ADJUSTED EFFECTIVE MODULUS METHOD (AAEM) OF BAŽANT VERSUS NUMERICAL SOLUTION WITH VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS IN INVESTIGATION OF COMPOSITE STEEL-CONCRETE BEAMS REGARDING CREEP OF CONCRETE D. Partov1 and V.Kantchev2 Abstract The paper presents analysis of the stress-strain changes due to creep in statically determinate composite steelconcrete beam according to Age Adjusted Effective Modulus Method (AAEM) of Bažant in comparison with the results obtained by numerical solution with Volterra integral equations, used the EC2 provisions for creep of concrete. The mathematical model involves the equation of equilibrium, compatibility and constitutive relationship, i.e. an elastic law for the steel part and an integral-type creep law of Boltzmann – Volterra and algebraic-type creep law of Trost- Bažant for the concrete part considering the above mentioned models. On the basis of the theory of the viscoelastic body of Arutyunian–Trost-Bažant it is analyzed the migration of stresses from concrete plate to steel beam using two independent Volterra integral equations of the second kind and two independent algebraic equations, derived for determining the redistribution of stresses in beam section between concrete plate and steel beam with respect to time “t”. The closeness of the results obtained by the two methods is shown with an example from the bridge practice. Key Words steel-concrete section, integral equations, rheology, EC2 model, AAEM method . 1 INTRODUCTION Steel-concrete composite beams are wide spread form of construction in both buildings and bridges. A reinforced concrete slab is mechanically connected to the top flange of a rolled or fabricated steel beam, thereby forming a composite member that is considerably stronger and stiffer than the steel beam acting on its own. The time-varying behaviour of composite steel-concrete members under sustained service loads drawn the attention of engineers who were dealing with the problems of their design more than 60 years[3,4,5]. The solution of structural problems involving creep and shrinkage phenomena in composite steel-concrete beams has been an important task for engineers since the first formulation of the mathematical model of linear viscoelasticity. If on one hand the definition of a suitable formulation of creep laws involved scientists and researchers in past decades and many prediction models have been developed, starting from experimental data and from the direct observation of the long term behaviour of concrete structures[10,11,12], the development of structural analysis procedures, based on the creep models, is on the other hand, of great interest for engineers who need to investigate the effects of creep and shrinkage on the structures they design. From an historical point of view the evolution of the research on this topic, as in many other research fields, has been dramatically influenced by the 1 2 Prof. D. Partov, PhD, 1373 Sofia, Suhodolska Str.175, Univ. Str. Eng. and Arch., partov@vsu.bg Assoc. Prof. V. Kantchev, PhD, 1373 Sofia, Suhodolska Str.175, Univ.Str. Eng. and Arch, kantchev@vsu.bg. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava diffusion of computer technology, starting from the early seventies of past century. Before this event the research was mainly oriented on finding closed form solutions of simple analytic formulations of the creep models. The theory of heritage and the theory of aging, the use of exponential formulations of creep have developed and largely adopted because of their capability to generate closed form solutions of structural problems. Creep and shrinkage have a considerable impact upon the performance of composite beams, causing increased deflection as well as affecting stress distribution. Creep in concrete represents dimensional change in the material under the influence of sustained loading. Failure to include creep and shrinkage effects in the analysis of the composite steel-concrete beams may lead to excessive deformation and caused significant redistribution of stress between concrete plate and steel beam. In general, time-dependent deformation of concrete may severely affect the serviceability, durability and stability of structures[5,16]. 2 ABOUT SOME METHODS FOR TIME DEPENDENT ANALYSIS OF COMPOSITE STEEL-CONCRETE BEAMS REGARDING RHEOLOGIE WITH ACCENT OF AAEM METHOD 2.1. Common considerations The first works, which give the answer to this problem are based on the Law of Glanville(1933) – Dischinger(1937,1939) - theory of aging[6,7], or also called the rate - of - creep methods, which first formulated a time-dependent stress-strain differential relationship for concrete. Its refinement is known as the improved “Dischinger theory of aging” was proposed from Rüsch-Jungwirth-Hilsdorf(1973)[15] or rate of flow method proposed from England and Illston(1965). In this theory the compliance function was simplified to a form that allows reducing structural creep problems to ordinary linear differential equations in transformed time, with constant coefficients, one first –order equation for each static or kinematic unknown. Another scientific works which give the answer to this problem used the theory of Maslov(1940)[9] Arutyunyan(1952)[3] –Prokopovich-(1963)[13]-Aleksandrovskii(1966)[2]. This Soviet researches used another(purportedly better) simplification of J ( t ,τ ) , allowing to reduced the creep problems to ordinary linear first –order differential equations with time dependent coefficients. This equations which can be solved analytically in terms of an incomplete gamma function. This theory is obviously much more complicated than the „theory of aging”, but the theory of aging, is substantially more complicated than the effective modulus method(EMM). This method connected with the name of McMilan(1916) transform the creep solution for time t from the problem of the ”viscoelasticity” in elastic structural analysis based on the so called effective modlus: Eeff = 1/ J (t ,τ ) = E (τ ) /1 + ϕ (t ,τ ) . For the designers of the composite steel-concrete construction, is better to know that this method is exact only if the loads and stresses in a structure have a single-step history, which means that they are constant from the moment of first loading. This fact is more far from true, in internally statically indeterminate system with significant stress redistributions induced by creep or shrinkage, as in the case of composite steel-concrete construction. The same problems we met in the statically indeterminate system, where the changes in the structural system during the construction arise, or if the permanent loads are not applied at once. According Bažant and Najjar(1973) the degree of deviation from a single-step history of load and stress governs the error magnitude, which can be very large, especially for long-time response of structural loaded at a young age. Many books and papers connected with the Law of Dischinger represent one independent group for which it is characteristic that by writing equilibrium and compatibility equations and the constitutive laws for the two materials, the problem is governed by a system of two simultaneous differential equations, which have been derived and solved. As known in this differential equations it exists a group of normal forces N c ,r (t ) , N a ,r (t ) and bending moments M c ,r (t ) , M a ,r (t ) , which influence the general stress conditions of the statically determinate composite plate beam is expressed by the decrease of the stresses in the concrete plate and in the increase of stresses in the steel beam (fig. 1). Further development of rheology as a fundamental science and its application to concrete as well as a great number of investigations in the field of creep of concrete have led to new formulations of the time-dependent behavior of concrete. These new formulations giving the relationship between σ c (t ) and ε c (t ) are formulated by integral equations, which present the basis of the theory of linear viscoelastic bodies. The integral-type creep law, i.e., the superposition equation for uniaxial prescribed stress history σ t , is expressed by: () 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings ε c (t , t 0 ) = ε (t ) + σ (t0 )J (t , t0 ) + ∫ dσ (τ ) J (t ,τ )dτ . October 2015, Bratislava t sh t0 dτ (1) Since the solutions of structural creep problems with realistic compliance function , such as in ACI209R-92, EC2 and G&L models for creep of concrete provisions cannot be performed analytically and require a deep knowledge in the higher level of mathematics theory( integral equations of Volterra, numerical solutions of such of type equations, using formulae of quadratures - such as : trapecoidal rules, Simpson, Chebyshov, Gaus, EulerGregory -Macloren , simplified approximate methods have been favoured by designers. Besides, it makes little sense to embark on a very accurate linear creep analyse of structure if the nonlinear effect of drying with inherent cracking and the large statistical uncertainty of creep and shrinkage are not taken into account[4]. (This last words not supporting from the first of the author in the paper). 2.2. Formulation of the age-adjusted effective modulus method However, in order to avoid the mathematical problems in solving of the integral equations of Volterra for treating the problem connected with the creep of concrete structures, it has been revised the integral relationship into new algebraic stress-strain relationship : ε ct = σ c0 Ec0 [1 + ϕ t ] + σ ct − σ c0 [1 + ρϕ t ] , Ec0 (2) where ρ is the relaxation coefficient known from Trost-Zerna works[14,17]. When more extensive test date and data of long duration became available and were systematically analysed from Bažant[4, 8], it turned out that the afore-mentioned theory leading to differential equations are overall not more accurate than the effective modulus methods(Partov and Kantchev-[10,11,12]), which leads to algebraic linear equations with respect to time t. According Bažant and Jirasek[8] none of them is sufficiently accurate compared to the computer solutions for e realistic (un - simplified) compliance function based on long – time – measurements with a broad range of ages at loading. A remedy that is sufficiently accurate in most basic situations we can found in the age-adjusted effective modulus method, proposed and mathematically proven by Bažant[8], as a modification and refinement of the relaxation method, semi-empirically developed by Trost[14,17]. The age-adjusted effective modulus (AAEM) method is formulated for a one-step loading history. A load – that is applied at age t1 and then is either constant until the current time t or varies monotonically at a gradually decreasing rate. The response to multistep load histories can, of course, be obtained by superposing the solutions for several one-step histories. While the effective modulus methods takes one step from the unstressed state of structure at time t1− just prior to the first loading to the current state at time t, the AAEM takes one step from the initial stressed state at time t1+ just after application of the load to the current state at time t. So the initial state after just after loading, which plays no role in the effective modulus method, must be calculated separately, which is accomplished by standard elastic analysis of the structure based on the initial elastic modulus E (t1 ) . The AAEM methods is development from Bažant[4,8] as follows. The history of stress and strain between the initial and the current state is approximated by a linear combination of creep at constant stress and relaxation at constant strain. Let,s now recall that the strain α , suddenly applied at time t1 and subsequently kept constant, produces stress history: σ (t ) = α .R(t , t1 ) , where R(t , t1 ) suddenly applied at time is the relaxation function[ ]. Also, the stress β, t1 and subsequently kept constant, produces strain history: ε (t ) = β .J (t , t1 ) , where J (t , t1 ) is the compliance function. Now using the principle of superposition he state, that the strain and stress histories correspond to each other, what mean that the two expressions satisfy the viscoelastic constitutive equations: ε (t ) = α + β .J (t , t1 ) ; σ (t ) = α .R (t , t1 ) + β ; by: t ≥ t1 . After that, he admit that the coefficient α and β can be expressed in σ (t ) = σ 1 + ∆σ , at current terms of the stress values σ (t1+ ) = σ 1 , just after load application, and t . Substituting these values into σ (t ) = α .R(t , t1 ) and recalling that: R (t1 , t1 ) = 1/ J (t1 , t1 ) = E (t1 ) = elastic modulus at age t1 , we obtained a set of two linear equations for α and β : α .E (t1 ) + β = σ 1 ; α .R (t , t1 ) + β = σ 1 + ∆σ ; from which it is possible to calculate the coefficients: time 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings α = ∆σ /( R(t , t1 ) − E (t1 ) and β = [ ∆σ .E (t1 ) / E (t1 ) − ( R(t , t1 )] + σ 1 . evaluate from ε (t ) = α + β .J (t , t1 ) the initial (elastic) strain: ε1 = ε (t1+ ) = α + β .J (t1 , t1 ) = α + β / E (t1 ) = σ 1 / E (t1 ) ; and the October 2015, Bratislava Using this results, it is easy to strain (3) increment: E (t1 ).J (t , t1 ) − 1 ∆ε = ε (t ) − ε (t +1 ) = β [ J (t , t1 ) − J (t1 , t1 ) ] == ∆σ + σ 1 [ J (t , t1 ) − 1/ E (t1 )] ; (4). E (t1 ) − R(t , t1 ) If the expressions : E (t1 ).J (t , t1 ) − 1 is recognized as the creep coefficient: ϕ (t , t1 ) . So, if we introduce the so called age-adjusted effective modulus as follows: E (t1 ) − R(t , t1 ) E (t1 ) − R(t , t1 ) = ; E (t1 ).J (t , t1 ) − 1 ϕ (t , t1 ) If we replace: σ 1 / E (t1 ) by ε1 according the above mentioned formulae, the formulae (4) ∆σ assumes a convenient form: ∆ε = // + ε1.ϕ (t , t1 ) ; E (t , t1 ) E // (t , t1 ) = (5) (6) This is the fundamental equation of AAEM, stating by brilliant way from Bažant[8], that the increment of strain over the interval (t1 , t ) is equal to the increment of stress divided by the effective modulus plus the initial(elastic) strain multiplied by the creep coefficient. For convenience the age-adjusted effective modulus, whose primary definition is (5), can be expressed in the form : E // (t , t1 ) = E (t1 ) ; 1 + χ (t , t1 )ϕ (t , t1 ) (7) which represent a correction of the effective modulus. This has the advantage that the so- called aging χ (t , t1 ) = coefficient: E (t1 ) 1 − ; E (t1 ) − R(t , t1 ) ϕ (t , t1 ) (8) varies relatively little (usually from 0,5 to 1,0, where the 0,8 is as the most typical value). The values χ = 1 characterizes the limiting case of non-aging material well. Indeed if there is no aging, as in the case of shorter creep durations for concrete loaded at old age, the optimal value of χ is closed to 1(about 0,992), and E // is nearly equal to Eeff . . Tables of χ computed for certain compliance functions, have been included in ACI Committee 209 design recommendations. To avoid a computer solution of the relaxation function R (t , t1 ) for a given compliance function J (t , t1 ) , one may use the following semi-empirical approximate formula with correct asymptotic properties [8]: R(t , t1 ) = 0,992 0,115  J (t − ∆, t1 )  t − t1 − − 1 ; ∆ = ;  J (t , t1 ) J (t , t − 1)  J (t , t1 + ∆ )  2 (9) For normal concrete the error of this formula(recommended for calculating χ in CEB-FIP Model Code 1990, (Eqs.5.8-7 and 5.8-3) is generally under 1%)[4, 8]. By using algebraic approach a new simpler forms for (1) are obtained from Bažant[8]. His methods are based on the hypothesis that the strain in the concrete fibers can be considered as a linear function of the creep coefficient. This permits transforming (1) in to (10): ϕ ( t , t0 )  1 + 28 + Ec 28   Ec ( t0 )  ε c ( t , t0 ) = ε sh ( t ) + σ c ( t0 )   1 χ ( t , t0 ) ϕ 28 ( t , t0 )  + σ c ( t ) − σ c ( t0 )   +  Ec 28  Ec ( t0 )  (10) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings where: χ ( t , t0 ) = is the aging coefficient; Ec ( t0 ) Ec ( t0 ) − R ( t , t0 ) − Ec 28 (11) Ec ( t0 ) ϕ 28 ( t , t0 ) ϕ (t , t 0 ) - the creep coefficient ; R(t , t 0 ) to a constant unit strain applied at the time October 2015, Bratislava - relaxation function, i.e., the stress response t 0 ; Ec - the elastic modulus of concrete at 28 days. The age-adjusted effective method (AAEM) directly assumed the expression provided by (11) for the aging coefficient. In this case, it is necessary to evaluate previously the relaxation function R (t , t 0 ) . This function is calculated numerically by applying the step-by-step procedure of the general method to the integral type relation between the creep and the relaxation function. For the computation of the values of the χ aging coefficient at any desired time t and for any desired value of influencing parameters, on the base of prediction models CEB90, GL2000 and B3 a software tool is available at www.polito.it/creepanalysis/. The main advantage of the method, consequent to the adoption of the algebraic formulation instead of the hereditary integral formulation for the constitutive viscoelastic equations of the different parts, consists in avoiding the need to store the time history of each sub-element. The AAEM algebraic simplification of the hereditary integral constitutive law may be adopted in the frame of the force(compatibility) or deformation(equilibrium) methods for the analysis of the effects of creep and shrinkage on the overall response of structures. The AAEM methods is frequently adopted for the basic investigation of stress redistribution in non-homogenous cross-section, like prestressed concrete section with prestressing and reinforcing steel in one or multiple layers, and steel-concrete composite section. One other advantage of the AAEM method is the fact that χ (t , t , ) varies relatively little with the age t , for sufficiently long elapsed times. Its long-term values are in , a range between 0,5 and 1,0, the most common values, for typical values of t and other influencing parameters, being contained in a narrower range between 0,7 and 0,9, in particular for B3 and GL2000 creep prediction models. Therefore, considering in uncertainties in creep prediction and the fact that the aging linear viscoelasticity approach on which the aging coefficient is based is also only an approximation, the adoption of a fixed long-term value for the aging coefficient comprised in this narrower range, independently of creep properties of the structural element being considered, leads often to satisfactory accuracies in the evaluation of the long-term structural responses, particularly in the conceptual and preliminary design stages and in the assessment of structures of low sensitivity to time –dependent effect. It is often adequate to use the value χ = 0,8. In the papers [10,11] using the mathematical model in fig.1, the authors introduce the system of linear Volterra integral equation of second kind and obtain the results from their numerical solutions. The kernels of the integral equations contain the respective creep functions corresponding to the model EC2 [1]. 3 BASIC ASSUMPTION AND MATERIAL CONSTITUTIVE RELATIONSSHIP The hypotheses in the elastic analysis of composite steel-concrete sections with stiff (rigid) shear connectors are assumed as following: a) Bernoulli’s concerning plane strain of cross-sections (Preservation of the plane cross section for the two elements considered compositely). b) No vertical separation between parts, in other words identical vertical displacement at the slab-beam interface is assumed. c) The connection system is distributed continuously along the axis of the beam. d) The cross sections are free to deform (because they belong to statically determinate structures) e) Concrete is not cracked σ c ≤ (0.4 ÷ 0.5)Rc . f) For the service load analysis of these cross sections the stress levels are small and, therefore , linear elastic behavior may be assumed for the steel beam, in another words Hooke’s law applies to steel as well as to concrete under short-time loads. g) Moreover , for the concrete part, if the dependence of strains and stresses upon histories of water content and temperature is disregarded, with the exclusion of large strain reversals, and under normal environment conditions, the strain can be considered as a linear functional of the previous stress history alone. This linearity implies the principle of superposition, which states that strain response due to stress increments applied at different times may be added. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava h) In the range of service ability loads concrete behaves in a way allowing to be treated as a linear viscoelastic body. On the basis of our assumptions for the purpose of structure analysis the total strain for concrete subjected to initial loading at time t 0 with a stress σ (t 0 ) and subjected to subsequent stress variations ∆σ (ti ) at time ti t ε tot (t ,t 0 ) − ε sh (t , t 0 ) = σ (t 0 )J (t , t 0 ) + ∫ may be expressed as follows: elapsed from casting of concrete; ε tot (t ,t 0 ) t0 - total axial strain; ε sh dσ (τ ) J (t ,τ )dτ , where t is the time dτ (t , t0 ) - strain due to shrinkage, i.e. an elastic strain. Then the stress-strain behavior of concrete can be described with sufficient accuracy by the integral equations (1) by Bolztmann-Volterra ε c (t ) = σ c ( t0 ) Ec ( t0 ) t 1 + φ ( t − t0 )  + ∫ t0 dσ c (τ ) dτ 1 1 + φ ( t − τ )  dτ ; Ec (τ )  (12), Where, according EC2: the creep (compliance) function proposed by the 1990 CEB Model Code (“CEBFIP”1991) is given by the relationship: J (t , t 0 ) = φ (t , t0 ) 1 , where ϕ (t ,t0 ) = the creep coefficient; and + Ec (t0 ) Ec Ec (t0 ) and Ec = modulus of elasticity at the age of t 0 and 28 days, respectively. The creep coefficient is evaluated φRH = 1 + with the following 1 − RH /100 0.46 ( h0 /100 ) coefficient. 0.33 formula: φ (t , t 0 ) = φ RH β ( f cm )β (t 0 )β c (t − t 0 ) where - is a factor to allow for the effect of relative humidity on the notional creep RH is the relative humidity of the ambient environment in % . β ( f cm ) = factor to allow for the effect of concrete strength on the notional creep coefficient. β (t0 ) = 5.3 ( f cm /10 ) 0.5 - is a 1 - is a 0.2 0.1 + (t 0 ) factor to allow for the effect of concrete age at loading on the notional creep coefficient (for continuous process we consider the function). β (τ ) = 1 is a function of aging, depending on the age of concrete and it 0.2 0.1 + (τ ) characterizes the process of aging. 0.3  t − t0  β c (t − t 0 ) =   is a function to describe the development of creep with time after loading. β + ( t − t ) H 0   18   RH   h0 β H = 1501 + 1.2 + 250 ≤ 1,500 coefficient depending on the relative humidity (RH in %) and   100 100     f cm = f ck + 8 = the mean compressive strength of concrete at the 2 Ac age of 28 days (megapascals); and h0 = = the notional size of member (millimeters) ( Ac = the cross u notional member size ( h0 in mm), where section; and u = the perimeter of member in contact with the atmosphere). Constant Young’s modulus is given = 10 4 ( f cm )3 . Variable Young’s modulus is given by: Ec (t ) = β cc0.5 Ec , where Ec = 10 4 ( f cm )3 1 by Ec ( 1 ) and β cc = exp  s 1 − 5.3 / t 0.5  , where s = 0.25 for normal and rapid hardening cements.    5.3   0.5  0.25  1−  t    φ0 = φ RH β ( f cm )β (t 0 ) is a final creep coefficient. ϕ (t − τ ) = φ RH β ( f cm )β (τ )β c (t − τ ) = ϕ N k (τ ) f (t − τ ) , where k (τ ) = β (τ ) and f (t − τ ) = β c (t − τ ) . So Ec (t ) = 336190e , 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings The function October 2015, Bratislava β c (t − τ ) - (where t is the time interval during which the structure is under observation, τ is the running coordinate of time) – characterizes the process of creeping. The creep (compliance) function proposed by the EC2, is composed of the elastic and creep strains.The elastic strain is reciprocal of the modulus of elasticity at the age of loading Ec (t0 ) and the creep strain is the 28 day creep coefficient φ28 (t , t0 ) devided by the modulus of elasticity at 28 days ( Ecm 28 ).The creep coefficient φ28 (t , t0 ) is the ratio of the creep strain to the elastic strain due to the load applied at the age of 28 days. So: J (t , t 0 ) = φ (t , t0 ) 1 ; Where; Ec (t0 ) is the modulus of elasticity of concrete at the time of loading + Ec (t0 ) Ec t0 ; - Ec - is the mean modulus of elasticity concrete at 28 days (MPa); 1/ Ec (t0 ) - represents the initial strain per unit stress at loading. So: φ (t , t0 ) gives the ratio of the creep strain since the start of loading at the age t0 to the elastic strain due to a constant stress applied at a concrete age of 28 days. The creep of concrete in the service stress range is characterized in currently EC2 model in terms of the compliance function. Its use is made possible by the fact that the creep of concrete can be considered as approximately linear with regard to stress, following the principle of superposition. The design codes :EC2, ACI209R-92 and G&L model should specify the compliance function J ( t ,τ ) rather than creep coefficient: where: t . is the current age of concrete , τ is the age of loading. For structural creep analysis it is make convenient to use the creep coefficient , but its value can always be calculated easily from the compliance function specified in the codes as follows: φ = EJ − 1 . This approach prevents combining the creep coefficient value with an incorrect value of the elastic modulus, which has been a frequent source of error in practice. One reason for preferring J ( t ,τ ) is the E values specified in the EC2 model are not defined on the basis of the initial strains measured in typical creep tests. A more profound reason is that concrete creep in the range of short load duration from 0,1sec to 0,1 day is already quite significant, which means that 1/E is inevitably an arbitrarily chosen point t 0 on the smoothly rising creep curve for unit stress. Depending on t 0 , the corresponding E values vary widely( and different creep date correspond to very different choices of t 0 ). If the creep coefficient φ is given to te structural analyst, there is always the danger that he might combine it with some non-corresponding value of E , which then implies an incorrect. When J ( t ,τ ) is specified this kind of mistakes is prevented. i) According to our proposal, the influence of the development of the bending moment member, upon the redistribution of the normal force of concrete M c ,r (t ) in the concrete N c ,r (t ) can be neglected. j) For the service load analysis no slip and uplift effects occurs between the steel and concrete. k) A single theory of interaction ignoring shear lag effects is considered. With another word we can say that shear lag phenomenon of the deck slab is considered by using the appropriate effective slab width . 4 BASIC EQUATION OF EQUILIBRIUM Let us denote both the normal forces and the bending moments in the cross-section of the plate and the girder after the loading in the time t = 0 with N c ,0 , M c ,0 , N a , 0 , M a , 0 and with N c ,r (t ) , M c ,r (t ) , N a,r (t ) , M a,r (t ) a new group of normal forces and bending moments, arising due to creep and shrinkage of concrete. For a composite bridge girder with Jc = Ac (nI c )n ≤ 0.2 according to the suggestion of (Sonntag 1951) we As I s can write the equilibrium conditions in time t as follows N (t ) = 0; ∑ M ( t ) = 0; N c ,r (t ) = N a ,r (t ) ; M c,r ( t ) + Nc ,r ( t ) r = M a ,r ( t ) . (12) (13) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Due to the fact that the problem is a twice internally statically indeterminate system, the equilibrium equations (7), (8) are not sufficient to solve it. It is necessary to produce two additional equations in the sense of compatibility of deformations of both steel girder and concrete slab in time t (Fig. 1). Fig. 1. Mechano-Mathematical model for deformations in cross-section in composite steel-concrete beam, regarding creep of the concrete 4 DERIVING OF THE GENERALISED MECHANIC-MATHEMATICAL MODEL USING INTEGRAL EQUATION OF VOLTERRA ACCORDING EC2 5.1 Strain compatibility on the contact surfaces between the concrete and steel members: For constant elasticity module of concrete strain compatibility on the contact surfaces between the concrete and steel members of composite girder is as following: ε sh (t 0 ) f (t − t 0 ) + 1 Ec (t 0 ) Ac N a ,0 Ea Aa − t ∫ N c,0 Ec (t 0 ) Ac dN c ,r (τ ) t0 1 Ea Aa dτ t ∫ t0 [1 + φ RH β ( f cm )β (t0 )β c (t − t0 )] − [1 + φRH β ( f cm )β (τ )β c (t − τ )]dτ + dN a ,r (τ ) dτ dτ = M a,0 Ea I a r+r 1 Ea I a t ∫ t0 dM a ,r (τ ) dτ (14) dτ 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 5.2. Compatibility of Curvatures when τ M c, 0 E c (t0 )I c =t: [1 + φRH β ( f cm )β (t0 )βc (t − t0 )] − M a,0 1 + Ea I a Ea I a t ∫ dM a,r (τ ) t0 dτ October 2015, Bratislava 1 Ec (t0 )I c t ∫ t0 dM c ,r (τ ) dτ [1 + φRH β ( f cm )β (τ )βc (t − τ )]dτ = (15) dτ Here is the place to explain the meaning of the second term of the integral relations (9-10). This type of integral, known as a hereditary integral of Stieltjes expresses time history of loading. (If in 1854 Georg F.B.Rieman gave a set of necessary and sufficient conditions under which a bounded function is said to be integrable and if Rieman dominated the field of integration until 1894, then a Dutch mathematician named Thomas Jan Stieltjes(1856-1894) developed the Rieman- Stieltjes integral while investigating a very specific problem concerning a thin rod of nonuniformly distributed mass).Since in our case the stress history σ c,r (τ ) , which represents the distribution of stress between concrete plate and steel beam, is continuous summing the strain histories due to all small stress increments before time t yields to perfect satisfying the strain compatibilities. After integrating the two equations by parts transforming the integrals into Riemann ones and using the (12) and (13) for assessment of normal forces N c ,r (t ) and bending moment M c ,r (t ) two linear integral Volterra equations of the second kind are derived. t N c ,r (t ) = λ N ∫ N c ,r (τ ) t0 d [1 + ϕφRH β ( f cm )β (τ )β (t − τ )]dτ + λN N c,0φRH β ( f cm )β (t0 )β c (t − t0 ) + dτ (16) + λ N N sh β c (t − t 0 ) t M c ,r (t ) = λM ∫ M c ,r (τ ) t0 d [1 + φRH β ( f cm )β (τ )β c (t − τ )]dτ + λM M c,0φRH β ( f cm )β (t0 )β c (t − t0 ) − dτ (17) EI − λM c c N c ,r (t )r Ea I a  E A In which: λ N = 1 + c c  Ea Aa −1 −1  EI   A r 2  1 + a  ; λM = 1 + c c  . I a    Ea I a  In each of these equations the functions: λN N c,0 Φ (tc ) β c ( t − t0 ) , λM M c ,0 Φ (tc ) β c ( t − t0 ) , d (1 + Φ (tc ) β (t − τ ) - are given. dτ 6 DERIVING OF THE GENERALISED MECHANIC - MATHEMATICAL MODEL USING ALGEBRAIC EQUATION ACCORDING AAEM MODEL OF BAŽANT Using the above mentioned approach, for constant elasticity module of concrete for assessment of normal forces N c ( t ) and bending moment M c ( t ) two algebraic expressions are derived: N c (t0 )ϕ (t , t0 ) N c (t0 )ϕ (t , t0 )λN = ; λ + χ (t ,τ )ϕ (t ,τ )  [1 + χ (t ,τ )ϕ (t ,τ )λN ] M (t )ϕ (t , t0 ) N c (t )r Ec J c M c (t ) = −1 c 0 − −1 λM + χ (t ,τ )ϕ (t ,τ )  λM + χ (t ,τ )ϕ (t ,τ )  Ea J a N c (t ) = −1 N M c (t0 )ϕ (t , t0 )λM N c (t )rλM Ec J c = − [1 + χ (t ,τ )ϕ (t ,τ )λM ] [1 + χ (t ,τ )ϕ (t ,τ )λM ] Ea J a (18) (19) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 7 October 2015, Bratislava NUMERICAL EXAMPLE The two methods presented in the previous paragraph is now applied to a simply supported beam, subjected to a uniform load, whose cross section is shown in fig. 2. The following parameters are chosen according EC2 model. Nc,r ( t ) N c ,o Mc,r (t ) M c ,o M0 = = 1237,00kNm Ns,r ( t ) N s ,o Ms ,r ( t ) M s ,0 Fig. 2. Composite beam with cross-section characteristic E c = 3, 2 .10 4 MPa , E a = 2 ,1 . 10 5 MPa , Ac = 8820 cm 2 , Aa = 383 , 25 cm 2 , n = Ea = 6 ,56 Ec I c = 661500 cm 4 , I a = 1217963 , 7 cm 4 , rc = 23 , 039 cm , ra = 80 ,829 cm , r = 103 ,868 cm , Ai = 2453 , 05 cm 2 , I i = 4536360 , 758 cm 4 .M 0 = 1237 kNm , N c ,o = 846 ,60 kN , M c ,o = 27 ,56 kNm M a ,o = 330 ,13 kNm , λ N  E A  A r2 = 1 + c c  1 + a E a Aa  Ia      −1 = 0 ,060545358 , λ M  E I  = 1 + c c  Ea I a   −1 = 0 ,922950026 18 h0 = 2 AC / u = 300 mm ; β H = 150 1 + (1.2*80 /100 )  h0 /100 + 250 = 915,82 < 1500 ;   β ( f cm ) = φRH = 1 + 5.3 ( fcm /10 ) = 3.06 0.5 f cm =30 1 − RH /100 0.46 3 β (t0 ) = ( h0 /100 ) RH =80, h =300 = 1,30146 ; 1 0.2 0.1 + (t 0 ) = 0,4223 ; t0 =60 φ0 = φ RH β ( f cm )β (t 0 ) =1,6817; 0 β c (36500 − 60) = 0,9925811 ; φt =36500 = φ0 β c (36500 − 60) = 1,669242 ; 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 7. 1 Numerical solution using integral equation of Volterra The integral equation (16,17 ) are weakly singular Volterra integral equation of the second kind: t t ∈ [t 0 , T ], 0 < t 0 < T < ∞ y(t ) = g (t ) + λ ∫ Κ (t ,τ ) y(τ )dτ (20), t0  E A  A r 2  where g (t ) = λ N N c ,0ϕ N k (t 0 ) f (t − t 0 ) , λ = λ N = 1 + c c 1 + s   I s   Es As  −1 ; and −1  EI  EI g (t ) = λ N N c ,0ϕ N k (t0 ) f (t − t0 ) − λM c c N c ,r (t ) , λ = λM = 1 + c c  ; and Es I s  Es I s  d [1 + ϕ N k (τ ) f (t − τ )] = ϕ N  f (t − τ ) d (k (τ )) + k (τ ) d ( f (t − τ )) Κ (t ,τ ) = dτ dτ dτ   The singular kernel function Κ (t ,τ ) can be written in the form : Κ (t , τ ) = L(t , τ )(t − τ ) −0.7  0 .2 L(t ,τ ) = −ϕ N  0.2  0.1 + τ ( , where ) 1 2 τ 0.8  t −τ 241.455 − . (804.85 + t − τ )0.3 0.1 + τ 0.2 (804.85 + t − τ )1.3  ( ) So in our case discontinuous kernel function Κ (t ,τ ) has an infinite singularity of type (t − τ ) In order to solve (20), we use the idea of product integration by considering the special case of: γ −1 t y(t ) = g (t ) + λ ∫ L(t ,τ )(t − τ ) γ −1 t ∈ [t 0 , T ], 0 < t 0 < T < ∞ (21), y(τ )dτ where ,γ > 0 . the given t0 functions g (t ) and L(t ,τ ) are sufficiently smooth which guarantee the existence and uniqueness of the solution y (t ) ∈ C[t0 ,T ] (see Yosida,(1960), Miller&Feldstein, (1971)). To solve (21) we use the method called product trapezoidal rule. Let n ≥ 1 be an integer and points {t = t 0 + jh}j =0 ∈ [t 0 ,T ]. Then for general y (t ) ∈ C[t0 ,T ] we n j define (L(t ,τ ) y(τ ))n = 1 [(t j − τ )L(t , t j −1 )y(t j −1 ) + (τ − t j −1 )L(t , t j )y(t j )] h This is piecewise linear in τ and it interpolates [ for t j −1 ≤ τ ≤ t j t ∈ t0 , T ] (21) L(t ,τ ) y (τ ) at τ = t 0 ,K , t n . Using numerical approximation we obtain the following method for solving the integral equation: [ ] ~y (t ) = g (t ) + λ ω (t ) L(t , t )~y (t ) for i = 0 ,1,K , n ∑ n,j i i j n j n i i i j =0 with weights γ −1 t 1 1 ω n ,0 (ti ) = ∫ (t1 − τ )(ti − τ ) dτ h t0 t γ −1 1 n ω n ,n (t n ) = ∫ (τ − )(t n − τ ) dτ h tn −1 tj γ −1 1 1 ω n , j (ti ) = ∫ (τ − t j −1 )(ti − τ ) dτ + h t j −1 h γ −1 t j +1 ∫ (t tj j +1 − τ )(ti − τ ) dτ for i = 0 ,1,K , n . (22), 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Calculating analytically the weights, we compute the approximate solution values y n (t i ) from the system (22). Theorem 1 Consider the numerical approximation defined with piecewise linear interpolation (21). Then for all sufficiently large n, the equation (20) is uniquely solvable and moreover if y (t ) ∈ C [t0 ,T ] , then we have 2 ch 2 y − yn ≤ 8 max τ t 0 ≤t , ≤T ∂ 2 L(t ,τ ) y (τ ) . ∂ 2τ (23) Since L(t , .) ∈ C [t0 ,T ] , t 0 ≤ t ≤ T the estimate (23) is immediate consequence of theorem 4.2.1 in Atkinson. So: the integral equations are solved by a numerical method using quadratic formulas. These methods represent a replacement of the integral equations by approximate linear equations with triangle matrix related in view of a discrete value of the unknown function. The replacement is achieved on the basis of approximation of the integral equation operator by quadrature formulas. The increase of the parameter τ is related to the growth of the descretizating points, so that the application of certain quadratic formulas of Simpson, Gauss, Markoff, Chebishev is rather troublesome. That is why integrals are approximated with quadrature formulas of trapeze[4,5,16]. 2 7. 1.1 Analysis of the results obtained from the numerical solution of integral equation of Volterra In fig. 3, 4 and 5 it is shown the values of normal forces and bending moments in time t. A numerical method for time-dependent analysis of composite steel-concrete sections according EC2, ACI 209R-92 and G&L. Models is develop using MATLAB code and numerical algorithm which was successfully applied to a simple supported beam. These numerical procedures, suited to a PC, are employed to better understand the influence of the creep of the concrete in time-dependent behaviour of composite section. For a good accuracy of the time values, the numerical results are presented on logarithmic time scales. The choice of the length of time step of the proposed numerical algorithm is based on numerous numerical experiments with different steps (seven, three and one days). So we conclude that good results can be achieved from practical point of view with one day step. For our purpose we consider a period of about 33-35 years. For the service load analysis, the proposed numerical method makes it possible to follow with great precision the migration of the stresses from the concrete slab to the steel beam, which occurs gradually during the time as a result of the creep of the concrete. We derive our mathematical model using a Stieltjes hereditary integral, which represents time loading history. It would be very interesting to investigate models with very short time steps for early ages and which to be increased afterwards. The parametric analysis results are characterized by the following effects:-the stress in the top flange of the steel section increases strongly with time;-the stress in the bottom flange undergoes small variations. From the fig.3, fig.4 and fig. 5 it’s clearly seen, that according to the proposed method, according GL2000, the forces N c ,r , N a ,r and M a ,r are much greater (between 25 % -30 % ) than the same ones in the CEB MC90-99 method. It reminds the differences obtained from the results, when solving the same task using the methods based on the theory of viscoelastic body and the theory of aging of Dischinger and modified theory of aging of Rüsch-Jungwirth. Then we explain this facts through the assumptions of the viscoelastic body theory. According to this theory, which takes into account the delayed elastic strain, developing in constrained conditions, it leads to appearance of recovery of the stresses. They themselves decrease the relaxation of stresses in concrete of composite beams. That’s why this fact leads to lower N c ,r and respectively M a ,r . So as a result, we have had according the theory of viscoelastic body less stresses in the steal beam, which lead to the more economic designing of composite beam. To our opinion the neglecting of the “reversal of the creep recovery curves obtained from the GL2000 model according to the principle of superposition” denoted from Bažant in (Bažant&Baweja 2000), can be reason for the significance differences between the results obtained with the GL2000 and CEB MC90-99 methods. It means, that in the light of theory of viscoelastic body, the relaxation process in the concrete plate will be essentially greater compared with the results when we take into account the creep recovery correctly according to CEB FIP model. (ENV 1992-I-I:1991, ENV 1994-I-I:1994). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Fig. 3. Normal forces October 2015, Bratislava N c , r ( t ) = N a ,r (t ) in time t = 12060 days Fig. 4. Bending moment M c ,r (t ) in time in time t = 12060 days 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 5. Bending momen M a ,r (t ) in time in time t = 12060 days 7. 2. Prediction of Concrete creep effect Using AAEM Let,s consider the next following initial data: t0 = 60 days; t∝ = 12060 days; Ec (t0 ) = 32000 MPa ; The creep coefficient:  t − t0 = 12060 − 60  1 7.2.1 φ ( t = 12060, t0 = 60 ) = φRH β ( f cm ) β ( t0 ) β c ( t − t0 ) = 1,30146.3, 06.  0,2  0,1 + (t0 = 60)  β H + (t − t0 ) = 12915,82  = 1,30146.3, 06.0, 4223.0, 97817747 = 1, 645095488 7.2.1.1 J (t = 12060, t = 60) = 1 + ϕ (t , t0 ) = 1 + 1,145095488 = 0, 0000826059 ; 0 Ecmt0 32000 1  t − t = 12060 − 12059 = 1  0   7.2.2 ϕ (t , t0 = (t − 1)) = (12060,12059) = 1,30146.3.06 0,1 + (12059)0,2  β H + (t − t0 ) = 915,82 + 1  0,3 = 0,3 = = 1,30146.3, 06.0,150368792.0,129215548 = 0,079087302; 7.2.2.1 J (t = 12060, t − 1 = 12059) = 7.2.3 ∆ = 1 + ϕ (t , t − 1) 1 + 0, 079087302 = = 0, 000033721; Ecmt0 32000 t − t1 12060 − 60 = = 6000 ; 2 2 1  t − t0 = 6000  0,2  0,1 + 60  915,82 + 6000  = 1, 611666145.3, 06.0.422309218.0,958279661 = 1, 611666145; 7.2.3.1 ϕ (t − ∆, t1 ) = ϕ (12060 − 6000, 60) = ϕ (6060, 60) = 1,30146.3, 06. 0,3 = 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 7.2.3.2 7.2.4 J (t − ∆, t1 ) = October 2015, Bratislava 1 + ϕ (t − ∆, t1 ) 1 + 1, 611666145 = = 0, 000081614 ; Ecmt0 32000 φ (t , t1 + ∆ ) = ϕ (t = 12060, t1 = 6060) = 0,3 1 12060 − 6060 = 6000  = 1,30146.3.06. = 0, 657063792 ; 0,2  0,1 + 6060  915,82 + 6000  1 + ϕ (t , t1 + ∆ ) 1 + 1, 657063792 = = 0, 000051783 ; 7.2.4.1 J (t , t1 + ∆ ) = Et0 32000 7.2.4.2 R (t , t 0 ) - relaxation function: R(t , t0 ) = 0,992 0,115  J (t − ∆, t1 )  − − 1 =  J (t , t0 ) J (t , t − 1)  J (t , t1 + ∆ )  0,992 0,115  0, 000081614  − − 1 = 10036, 49555 0, 000082659 0, 000033721  0, 000051783  7.2.5 The aging coefficient: χ (t , t0 ) = χ (12060, 60) = E (t0 ) 1 32000 1 − = − = 0,849094942 E (t0 ) − R (t , t0 ) φ (t , t0 ) 32000 − 10036, 49555 1, 645095488 Then: : N (t , t ).ϕ (t , t0 ).λN 84660.1, 645095488.0, 060545358 N c (t ) = c 0 = = 7774, 752314daN 1 + χ (t , t0 ).ϕ (t , t0 )λN 1 + 0,849094942.1, 645095488.0, 060545358 (according AAEM). 7.2.6 Calculating M c (t ) using the formulae: Ec I c M c (t0 ).ϕ (t , t0 ).λM Ea I a M c (t ) = − = 1 + χ (t , t0 ).ϕ (t , t0 )λM 1 + χ (t , t0 ).ϕ (t , t0 ).λM N c (t ).r.λM 2756.1, 645095488.0, 0922950026 7774, 75.1, 0387.0,922950026.0, 082760998 − = 1 + 0,849094942.1, 645095488.0, 0922950026 1 + 0,849094942.1, 645095488.0,922950026 = 1827,939487 − 269, 459628 = 1558, 479859daNm. 7.2.7. Calculating M a (t ) using the formulae: M a (t ) = M c (t ) + N c (t ).r = 1558, 479859 + 7777, 75.1, 0387 = 9634,112684 daNm. Comparisons between the results obtained from the numerical solution and AAEM methods are as follows N c (t ) =7774,752314 daN (by ААЕМ) and N c (t ) =7660,20 daN (by numerical method); ( ∆ =1,495%). M c (t ) =1558,4798596 daNm (by ААЕМ) and M c (t ) = 1520,60 daNm (by numerical method) ( ∆ =2,49%). M a (t ) = 9634,112684 daNm (by ААЕМ) and M a (t ) = 9477,24 daNm (by numerical method). ( ∆ =1,65%). 8 CONCLUSION The most important conclusion of our investigation is that considering the creep effect, using the integral equations (16,17) a universal numerical method has been elaborated for statically determinate bridge composite plate girder according to GL2000 model, ACI 209R-92 model and CEB MC 90-99 model. This method allows the use of a perfect linear theory of concrete creep i. e. the theory of the viscoelastic body of Boltzman-VoltteraMaslov-Arutyunyan-Trost- Bažant. It is observed from figure 3-5 that GL2000 model in comparison with CEB 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava MC90-99 provision overestimate to our opinion, the influence of creep on time dependent behavior of composite steel-concrete beams. It is observed from figure 3-5 that ACI 209 code provisions in comparison with CEB FIB model code-1990 underestimate to our opinion, the influence of creep on time dependent behavior of composite steel-concrete beams. Finally, the creep effect must be carefully evaluated in order to fully understand the behavior of the structure. The age-adjusted effective modulus method(AAEM) must to know that is development to be theoretically exact for any creep function deriving in EC2, ACI209R-92 and G&L model. In our case to solve the creep problem in the composite steel-concrete beams, we used the EC2 model for describing the creep evaluation. The results obtained by the AAEM method of Bažant are completely comparable with the results based on numerical method according to the EC2 provision. ACKNOWLEDGEMENT This paper was supported by Ministry of Education in Bulgaria (grant No. 16/2015). REFERENCES [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] ACI 209.2R-08, Guide for Modeling and Calculation of Shrinkage and Creep in Hardened Concrete, American Concrete Institute, ACI 209.2R-08, ACI, (2008), 48 pp. Alexandrovskii S. V. (1966), Analysis of Plain and Reinforced Concrete Structures for Temperature and Moisture Effects (with Account of Creep) (in Russian), Stroyizdat, Moscow, (1966), pp 443. Arutyunian N. Kh., Some Problems in the Theory of Creep (in Russian), Techteroizdat, Moscow, (1952) (French transl., Eyrolles 1957, English transl., Pergamon Press 1966), pp 319. [14] Bažant Ž. P., Editor , Mathematical Modeling of Creep and Shrinkage of Concrete, John Wiley & Sons, (1988), pp 459. Chiorino, M. A., An Internationally harmonized Format for Time dependent Analysis of Concrete Structures, Proceedings IABSE-FIP Conference Dubrovnik,(2010), Vol.1, pp.473-480. Dischinger F., Untersuchungen über die Knicksichereit, die Elastische Verformung und das Kriechen des Betons bei Bogenbrücken, Der Bauingenieur, Vol.18, (1937), pp. 487-520, 539-52, 595-621. Dischinger F., Elastische und Plastische Verformungen der Eisenbetontragwerke und Insbesondere der Bogenbrücken , Der Bauingenieur, Vol.20, (1939), pp. 53-63, 286-94, 426-37, 563-72. Jirasek M. and Bažant Z.P. (2002), Inelastic Analysis of Structures, J.Wiley & Sons, (2002), 734 pp. Maslov G. N., Thermal Stress States in Concrete Masses, with Account of Concrete Creep (in Russian), Izvestia NIIG, 28, (1941), pp 175-188. Partov, D., Kantchev, V., „Time-dependent analysis of composite steel-concrete beams using integral equation of volterra, according EUROCODE-4“, Engineering MECHANICS, Vol. 16, 2009, No 5, pp 367392. Partov, D., Kantchev, V., „Level of creep sensitivity in composite s steel-concrete beams, according to ACI 209R-92 model, comparison with EUROCODE-4(CEB MC90-99)“, Engineering MECHANICS, Vol. 18, 2011, No 2, pp 91-116. Partov,D., Kantchev V., “Gardner and Lockman model (2000) in Creep analysis of composite steelconcrete section “, ACI Structural Journal, Vol.111, No. 1(January-February), 2014, pp 59-69. Prokopovich I. E. Fundamental study on application of linear theory of creep, (In Russian),Vyssha shkola, Kiev, (1978), 143 pp. Trost, H. (1967), Auswirkungen des Superpositionsprinzips auf Kriech- und Relaxationsprobleme bei Beton und Spannbeton, Beton-und Stahlbetonbau, Vol. 62, (1967), No. 10, pp. 230-238; No. 11, pp. 261269. Rüsch H. and Jungwirth, D., Berücksichtigung der Einflüsse von Kriechen und Schwinden des Betons auf das Verhalten der Tragwerke, Werner Verlag, (1976), Düsseldorf. Šmerda, Z., Křistek, V., Creep and Shrinkage of Concrete Elements and Structures, Elsevier, AmsterdamOxford- New York – Tokyo (1988), pp 296. Zerna W., Trost H.: Rheologische Beschreibung des Werkstoffes Beton, Beton und Stahlbetonbau, Vol. 62, H.7, (1967), pp. 165–170. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS THE INFLUENCE OF THE VARIOUS FACTORS ON THE STIRRUPS HOOK 90o ANCHORAGE CAPACITY R. Kupczyk 1 Abstract The paper presents the influence on the thickness of concrete cover, concrete stiffness, friction between steel bar and concrete on capacity of the stirrup hook 90o anchorage. For this purpose the simple technical models were used. The results of the analyze were compered to results of experimental research. Key Words Anchorage; stirrup; hook; concrete cover, technical model, steel bar. 1 WSTĘP W pracy [3] przedstawiono uproszczony techniczny model pracy zakotwienia strzemienia ϕ10 mm zakończonego w betonie hakiem 90o wg EC2 [11]. Model ten powstał, aby odpowiedzieć na pytanie: co jest główną przyczyną obserwowanego w badaniach belek żelbetowych na ścinanie [7] zjawiska otwierania się zagiętych ramion zbrojenia poprzecznego. Niniejsza praca stanowi uzupełnienie i rozszerzenie artykułu [3] o wpływ: - średnicy pręta ϕ8 oraz ϕ12 mm, - warunków kotwienia zbrojenia (dobre i słabe warunki wg EC2 [11]) - grubości otuliny (sztywności otuliny 10, 15 i 20 mm), - sztywności betonu pod prętem na łuku, - sztywności podłoża w miejscu występowania zbrojenia podłużnego (na końcu łuku), - tarcia pomiędzy prętem a betonem na łuku, na rozkład sił (w szczególności rozłupujących otulinę) przekazywanych z haka pręta na beton. Otrzymane wyniki analizy porównano z wynikami badań doświadczalnych [8, 12, 13]. 2 ZAŁOŻENIA MODELU TECHNICZNEGO 2.1 Uproszczony schemat pracy zakotwienia Przyjęto płaski schemat analityczny zakotwienia wg Rys. 1, w którym to zagięty pod kątem 90o stalowy pręt ϕ8, 10 i 12 mm podparto: a) na wewnętrznej części łuku za pomocą podpory sprężystej liniowej o sztywności K1, nie przenoszącej naprężeń odrywających, natomiast z występowaniem sił tarcia; b) na odcinku prostym za zagięciem, za pomocą podpór skupionych (w rozstawie co 2,5 mm) o różnej sztywności na ściskanie K1 (beton pod strzemieniem) i odrywanie K2 (tzw. sztywność otuliny). 1 Dr. R. Kupczyk, Poland, 44-100 Gliwice, Akademicka Street 5, radoslaw.kupczyk@polsl.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 1. Model badawczy wg [8, 12, 13] i schemat statyczny 2D zakotwienia pręta hakiem prostym 90o w betonie wg [3] (przyjęto standardową średnicę gięcia pręta 4ϕ) Założono również, że bezpośrednio na końcu łuku (na odcinku po 5 mm w każdą stronę – szczegół rozwiązania pokazano na Rys. 9) pręta mamy do czynienia z większą sztywność podłoża (zmiana z K1 na K3), z uwagi na występowanie w tym miejscu zbrojenia podłużnego o średnicy strzemienia. 2.2 Tarcie po wewnętrznej części zagięcia pręta We wszystkich modelach w badaniach [8, 12, 13] zauważono, że na zagięciu pręta od strony wewnętrznej doszło do zmiażdżenia betonu, a od strony zewnętrznej do odspojenia się od siebie obu materiałów. Analogicznych obserwacji dokonano w badaniach [10] – Rys. 2. a) b) Rys. 2. Wcięcie się pręta w beton: a) wyniki badań doświadczalnych, b) schemat dokonanych obserwacji [10] Przyjęto upraszczające obliczenia założenie, że siły które przeciwstawiają się przemieszczeniu (wysuwaniu) strzemienia w zakotwieniu na odcinku jego zagięcia, wynikają tylko z tarcia, jakie występuje na styku obu tych materiałów. Przyjęto minimalną wartość tarcia wg [16] jako wynoszącą 0,45 dla sytuacji w której to dochodzi do ścięcia betonu wokół elementu (pręta, blachy) z żeberkami. W przypadku gdy nie dojdzie do ścięcia przyczepności na styku obu materiałów, i jeżeli całe oddziaływanie pomiędzy oboma materiałami zastąpimy jedynie tarciem, wówczas wartość poszukiwanego współczynnika rośnie i może osiągać wartość nawet powyżej 1 [2]. Na tej podstawie oraz wyników badań [14] autor przyjął, że górne oszacowanie współczynnika tarcia będzie wynosić 0,75. 2.3 Sztywność podłoża Sztywności podpór K1, K2 i K3 (Rys. 1) zostały wyznaczone przy przyjęciu szeregu uproszczeń. Jednym z nich było obliczenie charakterystyki podłoża, jako elementów pracujących niezależnie w płaskim stanie odkształcenia (PSO) (Rys. 3). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 3. Przyjęcie wymiarów geometrycznych do określenia sztywności podpór pod i nad prętem. PSO – płaski stan odkształcenia, PSN – płaski stan naprężenia, F – siła jednostkowa, ϕ – strzemię, ϕp – pręt zbrojenia podłużnego, h – wysokość przyjętej warstwy pręta podłużnego W przyjętych modelach zróżnicowano średnicę strzemienia tj.: ϕ8, ϕ10 i ϕ12 mm oraz odpowiadające im grubości otulenia, tj.: 10, 15 i 20 mm dla ϕ8 i ϕ10 oraz 15 i 20 mm dla ϕ12. Pręt zbrojenia podłużnego (o różnej średnicy) do obliczenia sztywności podłoża K3 (występującego na długości 10 mm w schemacie wg Rys. 1, został zastąpiony warstwą o przekroju prostokąta o wysokości h wyznaczonej wg wzoru (1). Pozwoliło to zachować jego rzeczywistą sztywność pionową. Wyniki tych obliczeń zamieszczono w Tab. 1. ℎ (1) = = = 64 12 gdzie: – moment bezwładności pręta zbrojenia podłużnego ϕp, – moment bezwładności pręta w przyjętym modelu 2D (przyjętym o przekroju prostokątnym b x h, gdzie b = 10 mm ), ϕp – średnica zbrojenia podłużnego zlokalizowanego na końcu zagięcia strzemienia (8, 10, 12 lub 16 mm), Lp. 1 2 3 4 Pręt (mm) ϕ8 ϕ10 ϕ12 ϕ16 Wysokość h warstwy zbrojenia podłużnego (mm), przy b = 10 mm 6,4 8,4 10,7 15,7 Tab. 1. Przyjęta wysokość pręta (o przekroju prostokątnym) w modelu 2D 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Wyznaczone w ten sposób sztywności (zebrane z odpowiedniej długości) przypisano do poszczególnych podpór w schemacie statycznym zakotwienia pręta w betonie wg Rys. 1. W wyniku przeprowadzenia powyższej analizy, otrzymano wyniki w postaci parametrów sztywności podłoża, które zamieszczono w Tab. 2. Lp. 1 2 3 4 5 6 7 8 Pręt (mm) Otulina (mm) 10 15 20 10 ϕ10 15 20 15 ϕ12 20 Przyjęto dla podpór wartości średnie ϕ8 ↓(K1) ↑(K2) 127 131 134 130 135 138 141 144 105 113 119 105 114 119 114 121 135 114 Obliczone sztywności podłoża K1, K2 i K3 (kN/mm/cm) ↓(K3) ↓(K3) ϕ10 ↓(K3) ϕ12 ϕ8 mm mm mm 149 154 158 160 164 167 174 178 ↓(K3) ϕ16 mm 170 174 179 175 180 184 185 189 168 Tab. 2. Parametry sztywności podłoża wyznaczone na podstawie analizy 2D w programie Abaqus. Przyjęto następujące parametry materiałowe: a) beton: Ec = 30 GPa, υc = 0,2; b) stal: Es =200 GPa, υs = 0,3, c) tarcie na styku obciążonego pręta i betonu: f = 0,45 2.4 Sztywność zakotwienia prostego odcinka pręta Podczas wyrywania pręta zbrojeniowego z betonu na styku obu materiałów powstają naprężenia przyczepności, przeciwdziałające wysuwaniu się zbrojenia z zakotwienia. W przyjętym modelu technicznym (Rys. 1) zjawisko to opisuje sztywność zadana w podporach punktowych o wartości K4 wyznaczona wg przepisów CEB-FIB [1], w których to podano krzywą opisującą przebieg powstałych wartości naprężeń przyczepności, przy danym poślizgu pręta w zakotwieniu wg Rys. 4. Rys. 4. Krzywa opisująca relację naprężenie przyczepności - poślizg pręta w zakotwieniu wg CEB-FIP Model Code 2010 [1] Parametry opisujące punkty charakterystyczne krzywej wg CEB-FIB [1] zamieszczono w Tab. 3. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Wyrwanie [Pull-Out] Dobre Pozostałe warunki. warunki 1 2 τmax s1 s2 s3 α τf Wyłamanie otuliny [Splitting] Dobre warunki Pozostałe warunki nieskręopowny strzemiona nieskręopowny strzemiona 3 4 5 6 7,0( 2,5 1,25 1,0 mm 2,0 mm cclear 0,4 0,40τmax 1,8 mm 3,6 mm cclear 0,4 0,40τmax October 2015, Bratislava 20 ) , s(τmax) s1 1,2s1 0,4 0 8,0( 20 ) , s(τmax) s1 0,5cclear 0,4 0,40τmax 5,0( 20 ) , 5,5( s(τmax) s1 1,2s1 0,4 0 20 ) , s(τmax) s1 0,5cclear 0,4 0,40τmax Tab. 3. Parametry opisujące kształt krzywej z Rys. 4 wg CEB-FIB [1] Hak pręta został skrępowany tylko i wyłącznie betonową otuliną (unconfined) o niewielkiej grubości (do 20 mm < 5ϕ), dlatego też w tym wypadku mamy do czynienia ze schematem zniszczenia typu splitting (SP). Wartości maksymalnych naprężeń przyczepności τmax (działających wzdłuż pręta), obliczono dla betonu serii zasadniczej XII [8, 12, 13] wg wzorów zawartych w Tab. 3 a uzyskane wyniki zawarto w Tab. 4. Seria (strzemiona kotwione hakiem prostym 90o) Zasadnicza XII Wytrzymałość betonu na ściskanie fc,cube Wg normy PN-EN [9] fck = 0,8 × fc,cube 25,0 MPa 20 MPa Wg tabeli 3, Wg tabeli 3, Wg tabeli 3, kolumna 3 kolumna 5 kolumna 1 "#$% "#$% "#$% ()* ()* = &, '( )',+, = ,, '( )',+, = +, , (-. +' +' 7,0 MPa 5,0 MPa 11,2 MPa Wg tabeli 3, kolumna 2 "#$% = /, +, (-. 5,6 MPa Tab. 4. Obliczone maksymalne naprężenia przyczepności przy zniszczeniu zakotwienia poprzez pull-out i splitting 2.5 Oddziaływanie zagiętego pręta zbrojeniowego na otulinę Pręty zakotwione krawędziowo hakiem normowym prostym 90o w bloku żelbetowym, w badaniach [8, 12, 13] utraciły zdolność do przenoszenia obciążenia wskutek wyłamania otuliny przez prostujący się zagięty koniec pręta (Rys. 5Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.). Obserwowany mechanizm zniszczenia wg autora jest efektem sumy dwóch oddziaływań zbrojenia na beton. Pierwsze z nich jest szeroko opisane w literaturze np.: [15] i polega na powstaniu w betonie podczas wyrywania zbrojenia żebrowanego, naprężeń radialnych tzw. „rozłupujących” (Rys. 6a). Natomiast drugie związane jest z oddziaływaniem poprzecznym odcinka strzemienia za zagięciem, związanym ze zginaniem pręta podczas jego naciągu (Rys. 6b). Rys. 5. Suma i efekt działania sił tj. od zginania i od naprężeń radialnych przekazywanych z pręta żebrowanego na beton 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a) October 2015, Bratislava b) Rys. 6. Siły działające na otulinę betonową w zakotwieniu strzemienia hakiem prostym 90o od: a) naprężeń radialnych wg [15] i b) zginania pręta Podczas analizy otrzymanych wyników obliczeń wg programu Robot (pkt. 4) wyznaczono siłę działającą w kierunku otuliny (od naprężeń radialnych przyczepności przy założeniu kąta przekazania obciążenia z pręta na otaczający go beton za pracą [15] jako wynoszący 45o) na podstawie reakcji poziomej danej podpory na odcinku prostym pręta za jego zagięciem wg wzoru: 012 = 12 φ 34 = 5 φ 34 = 06 06 φ 34 = φ 34 (2) gdzie: Fsp – siła przekazywana przez pręt na wybranym kierunku np.: pionowym na otulinę, fsp – naprężenia radialne (rozłupujące), ϕ – średnica pręta, τ – składowa naprężeń przyczepności, działająca na kierunku wzdłuż pręta, lb - długość przyczepności pręta w betonie Fr – reakcja pozioma podpory Powyższy wynik obliczeń zsumowano dla każdej podpory z otrzymaną w nich reakcją pionową, wynikającą ze zginania pręta. W ten sposób wyznaczono wartości sił wyłamujących otulinę na poszczególnych odcinkach pręta o długości 2,5 mm. 3 TECHNICZNY MODEL KOMPUTEROWY 3.1 Geometria haka i definicja obciążenia pręta Model zakotwienia pręta hakiem prostym 90o w betonie wg pkt. 2 został wprowadzony do programu komputerowego Robot. Pręt obciążono maksymalną siłą wyrywającą uzyskaną w badaniu danego modelu z prac [8, 12, 13] – Rys. 7. a) Rys. 7. Modele wprowadzone do programu Robot na podstawie schematu statycznego wg Rys. rys. 1 dla pręta: a) ϕ8 mm, b) ϕ10 mm i c) ϕ12 mm (wszystkie wymiary na rysunkach podano w mm) wraz z pokazaniem miejsca przyłożenia obciążenia w postaci siły skupionej 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava b) c) 0 cd. Rys. 7. 3.2 Charakterystyka podpór Charakterystyka podpór punktowych na odcinku prostym pręta na kierunku pionowym została zadana jako nieliniowa (nazwa wg programu), ponieważ reakcja podłoża w zależności od kierunku działania siły była różna (mniejsza w stronę otuliny). Wartość sztywności wg Tab. 2, po przeliczeniu na odcinek przypadający podpór (1,25 lub 2,5 mm) zamieszczono w Tab. 5. Sztywność pionowa punktowej podpory na kierunku w górę na kierunku w dół K2 × 0,25 cm = 114 kN/mm/cm × 0,25 cm = 29 kN/mm K2 × 0,25 cm = 114 kN/mm/cm × 0,25 cm = 29 kN/mm K1 × 0,25 cm = 135 kN/mm/cm × 0,25 cm = 34 kN/mm K3 × 0,25 cm = 168 kN/mm/cm × 0,25 cm = 42 kN/mm K3× 0,125 cm +K1 × 0,125 cm = 168 kN/mm/cm × 0,125 cm + 135 kN/mm/cm × 0,125 cm = 38 kN/mm K3 × 0,125 cm = 168 kN/mm/cm × 0,125 cm = 21 kN/mm K1 × 0,125 cm = 135 kN/mm/cm × 0,125 cm = 17 kN/mm K2 × 0,25 cm = 114 kN/mm/cm × 0,25 cm = 29 kN/mm K2 × 0,125 cm = 114 kN/mm/cm × 0,125 cm = 14,5 kN/mm K2 × 0,125 cm = 114 kN/mm/cm × 0,125 cm = 14,5 kN/mm Numery węzłów wg Rys. 10 dla danego pręta 14 ÷ 43 17 ÷ 53 19 ÷ 64 12 15 17 13 Średnica strzemienia ϕ8 mm ϕ10 mm ϕ12 mm ϕ8 mm ϕ10 mm ϕ12 mm ϕ8 mm 16 ϕ10 mm 18 11 14 16 44 54 65 ϕ12 mm ϕ8 mm ϕ10 mm ϕ12 mm ϕ8 mm ϕ10 mm ϕ12 mm Tab. 5. Zadana charakterystyka podpór punktowych rozmieszczonych wzdłuż odcinka prostego haka Charakterystyka podpór punktowych na odcinku prostym pręta na kierunku poziomym została zadana jako nieliniowa, zgodnie z kształtem krzywej wg Rys. 4 (dla zniszczenia poprzez „splitting“), zdefiniowanym wartościami wg tabeli 3 (kolumna 3 i 5) i tabeli 4 (τmax = 7,0 i 5,0). Następnie dokonano przeliczenia naprężeń przyczepności (pionowa składowa krzywej) na wartość siły Fr. W tym celu przeprowadzono obliczenia zgodnie ze wzorem: 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 0 =5∙ ∙ 2,5 mm gdzie: Fr – reakcja pozioma podpory, τ – składowa naprężeń przyczepności, działająca na kierunku wzdłuż pręta, πϕ – obwód pręta, 2,5 mm – długość pręta przypadająca na podporę skupioną. (3) Ostatecznie przyjęto relację siła pozioma reakcji podpory - wysunięcie (przemieszczenie poziome) pręta wg Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.Rys. 8. Rys. 8. Wykresy zmiany wartości reakcji podpory na kierunku poziomym przy danym przemieszczeniu (wysuwie) pręta średnic 8, 10 i 12 mm, przy założeniu otuliny równej ϕ zbrojenia. Linia przerywana dotyczy dobrych, a ciągła słabych warunków zakotwienia Na odcinku wewnętrznym zagięcia zbrojenia przyjęto, że mamy do czynienia z podporą sprężystą działającą na całej długości pręta (nie punktowo). Założono, że jest ona tzw. jednostronna tzn., że nie przenosi odrywania. Wartość sztywności podłoża została określona zgodnie z analizą w pkt. 2.3 (Tab. 2) jako wynosząca K1 = 13,5 kN/mm/mm. Na ostatnich dwóch odcinkach zagięcia pręta (Rys. 9) przyjęto parametry wzmocnionego podłoża (wpływ obecności zbrojenia podłużnego) i wprowadzono wartość K3 = 16,8 kN/mm/mm. Rys. 9. Odcinek (≈ 5 mm) pręta na łuku ze wzmocnionym podłożem W każdym analizowanym przypadku zamodelowane zbrojenie podzielono na łuku na krótkie odcinki proste. Tarcie występujące na zagięciu pomiędzy strzemieniem a betonem przyjęto, poprzez przyłożenie siły osiowej wzdłuż każdego wydzielonego fragmentu pręta (13 odcinków na łuku) w połowie jego długości. Wartość wprowadzanej siły określono na drodze iteracji, aż do uzyskania zgodności równania: 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava (4) 9= : gdzie: T – wprowadzona na drodze iteracji siła osiowa powstała wskutek tarcia pomiędzy strzemieniem a betonem, P – siła poprzeczna (nacisk na łuku), – współczynnik tarcia przyjęto jako równy od 0,5 do 0,75. 3.3 Parametry materiałowe Pręt zamodelowano jako wykonany z materiału o charakterystyce sprężysto – plastycznej ze wzmocnieniem. Obliczono moduł wzmocnienia stali na podstawie wykresów σ - ε z badań rzeczywistych prętów φ8, 10 i 12 mm (użytych w badaniach zakotwień strzemion [8, 12, 13]) a wyniki zamieszczono w Tab. 6. Średnica pręta ϕ8 mm ϕ10 mm ϕ12 mm Granica plastyczności (MPa) ≈ 592 ≈ 549 ≈ 515 Moduł sprężystości Es (MPa) ≈ 200000 ≈ 194000 ≈ 194000 Moduł wzmocnienia E1 (MPa) ≈ 2050 ≈ 800 ≈ 860 Stosunek E/E1 ≈ 0,0127 ≈ 0,0042 ≈ 0,0044 Tab. 6. Parametry materiałowe stali przyjęte do obliczeń wg [8, 12, 13] Poszczególne pręty obciążono maksymalną siłą wyrywającą (w miesjcu wg Rys. 10) uzyskaną w badaniu danego modelu [8, 12, 13] – Tab. 7 . Elementy Seria Strzemienia (mm) Obojętne Zasadnicza XII ϕ8 ϕ10 ϕ12 Nośność zakotwienia (MPa/kN) Otulina 10 mm 15 mm 20 mm 484/24,3 636/32,0 690/34,7 523/41,1 549/43,1 643/50,5 531/60,0 563/63,6 Tab. 7. Siły niszczące uzyskane w analizowanych seriach/elementach wg [8, 12, 13] (wszystkie pręty wyrwano) 4 WYNIKI I ANALIZA OBLICZEŃ MODELU TECHNICZNEGO 4.1 Wpływ tarcia pręta o beton na łuku i warunków kotwienia zbrojenia Wpływ tarcia przyjętego na zagięciu haka, na zmianę wartości siły podłużnej mierzonej na końcu łuku pręta, przedstawiono na Rys. 10. Rys. 10. Wpływ współczynnika tarcia z zakresu od 0,5 do 0,75 (przyjętego na zagięciu haka), na zmianę wartości siły podłużnej przekazywanej na odcinek prosty haka za jego łukiem. Do strzemienia przyłożono obciążenie powodujące zniszczenie zakotwienia wg Tab. 7. Kolorem czerwonym oznaczono dobre, a niebieskim słabe warunki kotwienia zbrojenia 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava cd. Rys. 10. Przyjęta wartość współczynnika tarcia wpływała w sposób liniowy na zmianę wartości siły podłużnej, występującej w miejscu końca łuku pręta, przy każdym z analizowanych poziomów obciążenia zbrojenia. Im wyższą wprowadzono jego wartość, tym niższe były siły przenoszone przez odcinek prosty pręta za jego zagięciem. Zastosowanie dobrych warunków kotwienia zbrojenia spowodowało, że siła w strzemieniu za jego łukiem była wyższa. Podczas analizy wyników zaobserwowano, że strzemię bezpośrednio za zagięciem haka oddziaływuje na otulinę, próbując ją wyłamać. Oddziaływanie to zostało w dalszej części określone jako pochodzące od zginania pręta. Niezależnie od zastosowanej średnicy zbrojenia, odcinek na którym następowało powyższe przekazanie siły na otulinę miał długość 3,75ϕ pręta – Rys. 11. Rys. 11. Przykładowy rozkład sił wyłamujących otulinę od zginania pręta ϕ10 mm, przy obciążeniu strzemienia siłą F = 41,1 kN i przyjęciu współczynnika tarcia 0,75 i 0,5. Kolorem czerwonym oznaczono dobre, a niebieskim słabe warunki zakotwienia 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Zmianę wartości sumy sił wyłamujących otulinę od zginania pręta, z całego odcinka na którym występują (3,75ϕ pręta), dla poszczególnych średnic zbrojenia przedstawiono na Rys. 12 (a). Na tym fragmencie strzemienia działają również siły związane z naprężeniami radialnymi powstałymi wokół pręta podczas jego wyrywania z zakotwienia (opis pkt. 2.5). Odczytane z programu Robot wartości reakcji poziomych w podporach punktowych pozwoliły na podstawie wzoru (2)(2) wyznaczyć oddziaływanie pionowe przekazywane przez dany odcinek prosty pręta na beton podczas jego wyrywania. Otrzymane wyniki sił zsumowano z fragmentu strzemienia, na którym miało miejsce wyłamywanie haka od zginania (długość 3,75ϕ) i przedstawiono na Rys. 12 (b). a) b) Rys. 12. Wpływ współczynnika tarcia z zakresu od 0,5 do 0,75 (przyjętego na zagięciu haka) na zmianę wartości sumy sił działających na otulinę na odcinku 3,75ϕ pręta od jego zginania (a, c, e) i od naprężeń przyczepności (b, d, f) (składowej pionowej, rozłupującej). Do strzemienia przyłożono obciążenie powodujące zniszczenie zakotwienia wg Tab. 7 dla elementów obojętnych. Kolorem czerwonym oznaczono dobre, a niebieskim słabe warunki kotwienia zbrojenia Wartości sumy sił wyłamujących otulinę na odcinku 3,75ϕ w obu niezależnie analizowanych przypadkach, tj. od zginania pręta oraz od składowej pionowej przyczepności, były zmienne w sposób prawie liniowy, w zależności od zadanego współczynnika tarcia f na łuku pręta. Siły przekazywane przez fragment strzemienia (3,75ϕ), w obu rozpatrywanych oddziaływaniach malały, wraz z przyjmowaniem większej wartości współczynnika tarcia. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Zasadniczo siła wyłamująca otulinę wyrażona jako część % przyłożonego do pręta obciążenia wyrywającego, wynosiła dla: a) słabych warunków zakotwienia: – dla oddziaływania od zginania pręta: od około ≈ 10 do ≈ 16% – dla oddziaływania od składowej pionowej przyczepności: od ≈ 2 do ≈ 4% b) dobrych warunków zakotwienia – dla oddziaływania od zginania pręta: od około ≈ 5 do ≈ 8% – dla oddziaływania od składowej pionowej przyczepności: od ≈ 3 do ≈ 5% Z powyższego zestawienia wynika, że oddziaływanie przekazywane na otulinę na długości 3,75ϕ od zginania pręta jest czasami większe nawet czterokrotnie, od siły powstałej od składowej pionowej przyczepności dla słabych warunków kotwienia zbrojenia. W warunkach dobrych różnica jest dużo mniejsza i stosunek obu oddziaływań nie przekracza 1,6. Siły powodujące wyłamywanie otuliny na odcinku 3,75ϕ pręta i dla przedziału zredukowanego do (3,75/2)ϕ (dającego możliwie największą wartość), od zsumowania wartości otrzymanych od zginania strzemienia i od składowej pionowej (rozłupującej) naprężeń przyczepności przedstawiono na Rys. 13. Rys. 13. Suma sił wyłamujących otulinę na odcinku 3,75ϕ i 3,75/2ϕ. Do strzemienia przyłożono obciążenie powodujące zniszczenie zakotwienia wg Tab. 7 dla elementów obojętnych. Kolorem czerwonym oznaczono dobre, a niebieskim słabe warunki kotwienia zbrojenia 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Wpływ tarcia okazał się zbliżony do tego przedstawionego, dla każdego z oddziaływań osobno. Suma sił wyłamujących otulinę wyrażona jako część % przyłożonego do pręta obciążenia wyrywającego, wynosiła dla: a) słabych warunków zakotwienia: – całej długości wyłamywania 3,75ϕ: od ≈ 12 do ≈ 19% – pomniejszonej długości wyłamywania (3,75/2)ϕ: od ≈ 8 do ≈ 14% b) dobrych warunków zakotwienia – całej długości wyłamywania 3,75ϕ: od 8 do 13% – pomniejszonej długości wyłamywania (3,75/2)ϕ: od ≈ 6 do prawie ≈ 9% Wartości sił wyłamujących wynosiły nawet prawie 20% siły obciążającej strzemię. Słabe warunki kotwienia zbrojenia powodują, że oddziaływania przekazywane z pręta na otulinę są większe, aniżeli przy warunkach dobrych. Redukując odcinek, na którym następuje przekazanie sił z pręta na beton o połowę, spadek oddziaływania pręta zmniejszył się w dużo mniejszym stopniu (o mniej niż 50%). Dokonano również odczytu maksymalnych reakcji poziomych w podporach punktowych na odcinku prostym pręta za jego zagięciem a uzyskane w ten sposób wartości porównano z siłami wyznaczonymi na podstawie maksymalnych naprężeń przyczepności obliczonych w tabeli 4. Wyniki przedstawiono zbiorczo na Rys. 15. Rys. 14. Wyniki maksymalnych reakcji poziomych w podporach na odcinku prostym pręta za jego zagięciem. Do strzemienia przyłożono obciążenie powodujące zniszczenie zakotwienia wg Tab. 7 dla elementów obojętnych. Kolorem czerwonym oznaczono dobre, a niebieskim słabe warunki kotwienia zbrojenia. Linia kropkowana oznacza siłę obliczoną dla maksymalnych naprężeń przyczepności wg zniszczenia typu splitting (dla otuliny o grubości równej ϕ pręta) a kreskowana dla typu pull-out W wypadku słabych warunków zakotwienia w rozważanym zakresie współczynnika tarcia nie osiągnięto maksymalnych naprężeń przyczepności wg [1]. W drugim przypadku przy współczynniku równym 0,55 i mniejszym, doszło dla pręta ϕ10 i ϕ12 mm do niewielkiego przekroczenia wyznaczonej wartości, co może sugerować możliwość lokalnego zniszczenia przyczepności poprzez splitting. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 4.2 Wpływ sztywności podłoża na łuku W celu określenia wpływu sztywności podłoża K1 na odcinku łuku (podpora liniowa) wprowadzono modyfikację tego parametru (z podstawowej wartości 13,5 kN/mm/mm) przyjmując: a) 8,5 kN/mm/mm – tzw. „podłoże słabe”, b) 18,5 kN/mm/mm – tzw. „podłoże mocne”. Pozostałe sztywności podpór zachowano nie zmienione i przyjęto zgodnie z Tab. 5. Analizę przeprowadzono na wybranym modelu charakteryzującym się strzemieniem ϕ10 mm i przyłożonym obciążeniem niszczącym F = 41,1 kN (otulina 10 mm). Współczynnik tarcia na łuku zróżnicowano z zakresu 0,75 do 0,7. Otrzymane rezultaty porównano z wartościami, które uzyskano przy przyjęciu podstawowej wartości sztywności podłoża (13,5 kN/mm/mm) i zamieszczono na Rys. 15. Rys. 15. Wpływ zmiany sztywności podpory liniowej na łuku (K1). Do strzemienia ϕ10 mm przyłożono obciążenie powodujące zniszczenie zakotwienia F = 41,1 k N Kolorem czerwonym oznaczono dobre, a niebieskim słabe warunki kotwienia zbrojenia Dla słabych warunków zakotwienia różnice w otrzymanych wynikach, przy analizowanych sztywnościach podłoża były stosunkowo niewielkie i wynosiły do 3% wartości siły wyłamującej otulinę otrzymanej, przy założeniu wartości podstawowej parametru K1 (13,5 kN/mm/mm). Inna sytuacja miała miejsce przy warunkach dobrych, w których: – dla „podłoża mocnego” otrzymano redukcję siły przekazywanej na otulinę do ≈ 92% – dla „podłoża słabego” uzyskano zwiększenie siły wyłamującej o ≈ 15 – 16% w stosunku do wartości otrzymanej dla podłoża podstawowego. Długość odcinka wyłamywania otuliny przez pręt od zginania, nie uległa zmianie i w dalszym stopniu wynosiła 3,75ϕ. 4.3 Wpływ sztywności otuliny W celu określenia wpływu sztywności otuliny (K2) na odcinku prostym pręta za jego zagięciem (podpora punktowa), wprowadzono zmianę jej wartości (z podstawowej 29 kN/mm) przyjmując: a) 75 kN/mm/cm × 0,25 cm = 19 kN/mm – tzw. „otulina słaba”, b) 185 kN/mm/cm × 0,25 cm = 46 kN/mm – tzw. „otulina mocna”, Pozostałe sztywności podpór zachowano nie zmienione i przyjęto zgodnie z tabelą 5. Analizę przeprowadzono przy przyjęciu średnicy pręta, obciążenia i wartości współczynników tarcia analogicznych jak w pkt. 4.2. Otrzymane rezultaty porównano z wartościami, które uzyskano przy przyjęciu podstawowej wielkości sztywności otuliny (29 kN/mm) i zamieszczono na Rys. 16. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 16. Wpływ zmiany sztywności otuliny (K2). Do strzemienia ϕ10 mm przyłożono obciążenie powodujące zniszczenie zakotwienia F = 41,1 kN Kolorem czerwonym oznaczono dobre, a niebieskim słabe warunki kotwienia zbrojenia Zmiana sztywności otuliny w bardzo małym stopniu wpłynęła na otrzymywane wielkości sił wyłamujących, przekazywanych z pręta na beton na całym odcinku, na którym występowało oddziaływanie od zginania. Zmiana parametru K2 spowodowała natomiast wydłużenie przy „otulinie słabej” (4,25ϕ) i skrócenie przy „mocnej” (3,25ϕ) długości, na której dochodziło do wyłamywania betonu. 4.4 Wpływ sztywności podłoża w miejscu występowania pręta zbrojenia podłużnego W celu określenia wpływu zwiększenia sztywności podłoża na końcu zagięcia strzemienia (lokalizacja w tym miejscu zbrojenia podłużnego), zastosowano modyfikację parametru K3. Dokonano tego zarówno na części łuku pręta (dwa ostatnie odcinki wg Rys. 9), jak również na początkowym fragmencie (o długości 5 mm) odcinka prostego haka (podpora punktowa). Wprowadzono zmianę wartości sztywności parametru K3 (z podstawowej: 168 kN/mm/cm na łuku i 42 kN/mm za zagięciem pręta) przyjmując: a) na łuku: 11,8 kN/mm/cm, na początku odcinka prostego haka: 118 kN/mm/cm × 0,25 cm = 30 kN/mm, b) na łuku: 21,8 kN/cm/mm, na początku odcinka prostego haka: 218 kN/mm/cm × 0,25 cm = 55 kN/mm. Pozostałe sztywności podpór zachowano nie zmienione i przyjęto zgodnie z tabelą Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. i pkt. Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.. Analizę przeprowadzono przy przyjęciu średnicy pręta, obciążenia i wartości współczynników tarcia analogicznych jak w pkt. 4.2. Otrzymane rezultaty porównano z wartościami, które uzyskano przy przyjęciu podstawowej wielkości sztywności podłoża K3 (168 kN/mm/cm na łuku i 42 kN/mm za zagięciem pręta) i zamieszczono na Rys. 17. Rys. 17. Wpływ zmiany sztywności podpory na końcu łuku haka (K3). Do strzemienia ϕ10 mm przyłożono obciążenie powodujące zniszczenie zakotwienia F = 41,1 kN Kolorem czerwony oznaczono dobre, a niebieskim słabe warunki kotwienia zbrojenia Zmiana sztywności podłoża w miejscu występowania zbrojenia podłużnego miała niewielki wpływ, na otrzymywane w wyniku przeprowadzonej analizy wartości sił przekazywanych przez strzemię na otulinę. Wyniki dla wzmocnionego podłoża, w porównaniu do rezultatów otrzymanych dla parametru K3 o podstawowej wartości, 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava okazały się być wyższe o około 4%, zarówno w warunkach dobrych jak i słabych zakotwienia. Zastosowanie zmniejszonej sztywności podłoża spowodowało spadek siły wyłamującej. Odcinek na którym następowało wyłamywanie haka (od zginania) nie uległo zmianie i w dalszym ciągu odbywało się na długości 3,25ϕ. 4.5 Nośność niezarysowanej otuliny na wyłamanie Nośność otuliny niezarysowanej na wyłamanie Fcal,1 obliczono zgodnie ze wzorem (5). Na podstawie badań wg prac [4, 5, 6], wzór ten może być brany pod uwagę do szacowana cienkich warstw betonu. 0 ;<,= = >? ∙ @2 ∙ A (5) gdzie: >? – wytrzymałość betonu na rozciąganie (kolumna wg obliczeń normy PN [8]), @2 – średnia arytmetyczna obwodów: powierzchni, na którą działa siła (przyjęto jako równą średnicy pręta 10 mm × długość wyłamywania otuliny 3,75ϕ) i powierzchni powstającej na zewnętrznej części elementu przy założeniu, że płaszczyzny boczne ostrosłupa pochylone są pod kątem 45o. Wszystkie niezbędne dane do wzoru (5) zamieszczono w Tab. 8, a wynikami obliczeń nośności otuliny w Tab. 9. Pręt / otulina (mm) 10 ϕ8 15 20 10 ϕ10 15 20 15 ϕ15 20 Wytrzymałość betonu na ściskanie fc,cube [8, 12, 13] Wg normy PN-EN [11] fc,core = 0,8 × fc,cube Wytrzymałość na rozciąganie wg PN-EN [11] fctm=0,3×fc,core2/3 Obwód kontrolny up 3,75ϕ Obwód kontrolny up (3,75/2)ϕ d (MPa) (MPa) (MPa) 20 2,21 (mm) 120 136 151 142 158 174 180 196 (mm) 90 106 121 102 118 134 135 151 (mm) 14 19 24 15 20 25 21 26 25,0 ν=3,8% Seria Zasadnicza 12 elementy obojętne Tab. 8. Dane do wyznaczenia nośności otuliny na wyłamanie Pręt / otulina mm ϕ8 ϕ10 ϕ15 10 15 20 10 15 20 15 20 Nośność otuliny betonowej na wyłamanie B)CD,/ up 3,75ϕ (kN) 3,71 5,70 8,03 4,71 6,98 9,59 8,35 11,24 up (3,75/2)ϕ (kN) 2,78 4,44 6,44 3,39 5,21 7,38 6,26 8,66 Tab. 9. Nośności otuliny betonowej na wyłamanie, obliczona na podstawie wzoru (5) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 4.6 Porównanie wyników obliczeń przy użyciu modelu technicznego do nośności zakotwień prętów uzyskanych w badaniach doświadczalnych Siły działające na otulinę pręta od jego zginania oraz od naprężeń przyczepności powstałe w trakcie wyrywania zbrojenia w stosunku do nośności otuliny na wyłamanie zamieszczono w Tab. 10. Siła Siła Siła Siła Siła niszcząca wyłamująca wyłamująca / wyłamująca wyłamująca z badań nośności / nośność słabe/dobre słabe/dobre (tabela otuliny wg otuliny wg Przyjęty warunki warunki Średnica Błąd! Nie Otulina współ. tabeli 9 tabeli 9 kotwienia kotwienia pręta można tarcia na odnaleźć łuku na odcinku 3,75ϕ na odcinku (3,75/2)ϕ źródła odwołania.) (mm) (mm) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN) 0,75 3,38 / 2,19 0,911 / 0,59 2,50 / 1,51 0,899 / 0,543 0,7 3,75 / 2,31 1,011 / 0,623 2,79 / 1,59 1,004 / 0,572 0,65 4,03 / 2,47 1,086 / 0,666 2,99 / 1,70 1,076 / 0,612 10 24,3 0,6 4,24 / 2,63 1,143 / 0,709 3,13 / 1,80 1,126 / 0,647 0,55 4,42 / 2,78 1,191 / 0,749 3,26 / 1,90 1,173 / 0,683 0,5 4,60 / 3,01 1,24 / 0,811 3,39 / 2,07 1,219 / 0,745 0,75 4,33 / 2,19 0,76 / 0,384 3,21 / 2,00 0,723 / 0,45 0,7 4,51 / 2,89 0,791 / 0,507 3,38 / 2,11 0,761 / 0,475 0,65 4,73 / 3,06 0,83 / 0,537 3,54 / 2,30 0,797 / 0,518 ϕ8 15 32,0 0,6 4,90 / 3,32 0,86 / 0,582 3,73 / 2,50 0,84 / 0,563 0,55 5,08 / 3,60 0,891 / 0,632 3,93 / 2,69 0,885 / 0,606 0,5 5,25 / 3,88 0,921 / 0,681 4,12 / 2,87 0,928 / 0,646 0,75 4,49 / 3,12 0,559 / 0,389 3,29 / 2,16 0,511 / 0,335 0,7 4,76 / 3,38 0,593 / 0,421 3,42 / 2,34 0,531 / 0,363 0,65 5,04 / 3,66 0,628 / 0,456 3,82 / 2,54 0,593 / 0,394 20 34,7 0,6 5,32 / 3,93 0,663 / 0,489 3,95 / 2,73 0,613 / 0,424 0,55 5,60 / 4,19 0,697 / 0,522 4,08 / 2,90 0,634 / 0,45 0,5 5,88 / 4,44 0,732 / 0,553 4,21 / 3,05 0,654 / 0,474 0,75 5,51 / 3,49 1,17 / 0,741 3,91 / 2,26 1,153 / 0,667 0,7 5,83 / 3,72 1,238 / 0,79 4,13 / 2,40 1,218 / 0,708 0,65 6,03 / 3,96 1,28 / 0,841 4,24 / 2,54 1,251 / 0,749 10 41,1 0,6 6,26 / 4,18 1,329 / 0,887 4,35 / 2,68 1,283 / 0,791 0,55 6,48 / 4,55 1,376 / 0,966 4,49 / 2,92 1,324 / 0,861 0,5 6,73 / 4,96 1,429 / 1,053 4,64 /3,19 1,369 / 0,056 0,75 5,73 / 3,66 0,821 / 0,524 4,06 / 2,38 0,779 / 0,457 0,7 5,94 / 3,91 0,851 / 0,56 4,19 / 2,52 0,804 / 0,484 0,65 6,17 /4,13 0,884 / 0,019 4,30 / 2,65 0,825 / 0,509 ϕ10 15 43,1 0,6 6,39 / 4,44 0,915 / 0,636 4,43 / 2,85 0,85 / 0,547 0,55 6,63 / 4,85 0,95 / 0,695 4,58 / 3,12 0,879 / 0,599 0,5 6,89 / 5,24 0,987 / 0,751 4,74 / 3,38 0,91 / 0,649 0,75 6,17 / 4,28 0,643 / 0,446 4,31 / 2,77 0,584 / 0,375 0,7 6,40 / 4,57 0,667 / 0,477 4,45 / 2,96 0,603 / 0,401 0,65 6,65 / 4,97 0,693 / 0,518 4,60 / 3,23 0,623 / 0,438 20 50,5 0,6 6,91 / 5,38 0,721 / 0,561 4,76 / 3,48 0,645 / 0,472 0,55 7,19 / 5,73 0,75 / 0,597 4,93 / 3,70 0,668 / 0,501 0,5 7,48 / 6,10 0,78 / 0,636 5,11 / 3,90 0,692 / 0,528 Kolorem czerwonym oznaczono przekroczoną nośność otuliny na wyłamanie 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Tab. 10. Porównanie siły wyłamującej otulinę wg modelu technicznego z nośnością otuliny betonowej Siła Siła Siła wyłamująca niszcząca wyłamująca / / nośność Siła Siła nośności z badań otuliny wg wyłamująca wyłamująca (tabela otuliny wg Przyjęty tabeli Błąd! słabe/dobre słabe/dobre Średnica Błąd! Nie tabeli Błąd! Nie Otulina współ. Nie można warunki warunki pręta można można tarcia na odnaleźć kotwienia kotwienia odnaleźć odnaleźć źródła łuku źródła źródła odwołania. odwołania. odwołania.) na odcinku 3,75ϕ na odcinku (3,75/2)ϕ (mm) (mm) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN) 0,75 7,73 / 4,96 0,926 / 0,594 5,68 / 3,37 0,907 / 0,538 0,7 8,09 / 5,30 0,969 / 0,635 5,93 / 3,58 0,947 / 0,572 0,65 8,37 / 5,61 1,002 / 0,672 6,10 / 3,76 0,974 / 0,601 15 60,0 0,6 8,64 / 5,95 1,035 / 0,713 6,26 / 3,99 1 / 0,637 0,55 8,91 / 6,48 1,067 / 0,776 6,43 / 4,35 1,027 / 0,695 0,5 9,18 / 7,01 1,099 / 0,84 6,59 / 4,71 1,053 / 0,752 ϕ12 0,75 8,01 / 5,29 0,713 / 0,471 5,88 / 3,58 0,679 / 0,413 0,7 8,30 / 5,60 0,738 / 0,498 6,06 / 3,77 0,7 / 0,435 0,65 8,57 / 5,92 0,762 / 0,527 6,23 / 3,98 0,719 / 0,46 20 63,6 0,6 8,85 / 6,40 0,787 / 0,569 6,40 / 4,32 0,739 / 0,499 0,55 9,13 / 6,94 0,812 / 0,617 6,56 / 4,67 0,758 / 0,539 0,5 9,41 / 7,45 0,837 / 0,663 6,73 / 5,01 0,777 / 0,579 Kolorem czerwonym oznaczono przekroczoną nośność otuliny na wyłamanie cd. Tab. 10. Na podstawie powyższej tablicy wyników można zauważyć, że bardziej niekorzystne wartości (obciążenie otuliny do jej nośności) otrzymuje się dla odcinka o długości 3,75ϕ. Przy obciążeniu pręta poniżej jego granicy plastyczności, nośność otuliny zostaje wykorzystana już przy wysokim współczynniku tarcia, wynoszącym powyżej 0,65. Przy wyższym poziomie naciągu zbrojenia stal „płynie”, współczynnik tarcia maleje i może osiągać granicznie wartość nawet 0,45 (opis pkt. 2.2). W takim wypadku siła działająca na otulinę rośnie, co może skutkować jej wyłamaniem. 5 PODSUMOWANIE Wyniki przeprowadzonej analizy obliczeniowej z uwagi liczebność elementów badawczych jak również na szereg przyjętych uproszczeń powinny być traktowane jako jakościowe przedstawienie możliwych zjawisk zachodzących w pręcie kotwionym w betonie hakiem prostym 90o. W rozpatrywanym przypadku pomimo, że mamy do czynienia ze słabymi warunkami zakotwienia (hak został umiejscowiony powyżej 250 mm od spodu deskowania), to przeprowadzono w celu porównawczym obliczenia również dla sytuacji dobrej. W pierwszej z nich uzyskano większą wartość całkowitej siły wyłamującej otulinę. Składowe ją tworzące określono jako pochodzące od zginania pręta i od naprężeń radialnych przyczepności. Ich wzajemny stosunek wyniósł od 2 do nawet 5 na korzyść tego pierwszego i w największym stopniu był zależny od warunków zakotwienia pręta. Długość wyłamywania cienkiej warstwy betonu przez zagięty pręt w zależności od przyjętej sztywności otuliny mieścił się w zakresie od 3,25 do 4,25ϕ, przy czym dla betonu o E = 30 GPa otrzymano wartość 3,75ϕ. W niniejszych obliczeniach nie uwzględniono sytuacji, że może mieć miejsce zmiana promienia łuku zagięcia haka, wskutek obserwowanego w badaniach [8, 12, 13] „wcięcia” się pręta w beton. Dochodzi wówczas m.in. do zmniejszenia się długość kontaktu obu materiałów a tym samym siła na odcinku prostym haka przypuszczalnie rośnie. Dodatkowo pręt pod wpływem znacznych przemieszczeń jest bardziej zginany. Zjawisko to zasymulowano poprzez zmianę sztywności podpory liniowej strzemienia na łuku (pkt. 4.2). Uzyskano w wyniku jej przeprowadzenia niewielki wzrost siły wyłamującej otulinę, wynikający z pracy pręta w stadium wzmocnienia stali (mały moduł). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava W wykonanej analizie pominięto wpływ jaki na nośność otuliny ma jej zarysowanie. W przeprowadzonych badaniach [6] czynnik ten miał niewielkie znaczenie przy użyciu krótkiego fragmentu pręta o długości 20 mm (osadzonego na trzpieniu). Otulina w tym wypadku „pracowała” dwukierunkowo, prostopadle i równolegle do rysy. Przy użyciu dłuższego odcinka pręta osadzonego na blasze i wymuszeniu pracy jednokierunkowej zarysowanej cienkiej warstwy betonu, uzyskiwano znaczny spadek jej nośności. Według analizy wyników przyjętego modelu obliczeniowego, wyłamywanie otuliny odbywało się na długości 3,75ϕ, co daje wartość 30 mm dla pręta ϕ8 mm, 37,5 mm dla ϕ10 mm i 45 mm dla ϕ12 mm. Przy zadaniu mniejszej sztywności cienkiej warstwy betonu (a taka występuje, gdy element się zarysuje), można spodziewać się większego odcinka przekazania obciążenia (pkt. 4.3). W takim wypadku wpływ zarysowania ujawni się w większym stopniu (wydłuża się odcinek, na którym cienka warstwa betonu pracuje prostopadle do rysy). W efekcie uzyskuje się mniejszą nośność otuliny. Kolejny wpływ jaki jest obecny w badanych elementach, to osłabienie betonu pod prętem na łuku, w wyniku zarysowania powstałego w płaszczyźnie haka. Jak podano w analizie w pkt. 4.2 przy mniejszej sztywności podparcia pręta na jego zagięciu (a z taką sytuacją mamy wtedy do czynienia), dochodzi do zwiększenia siły wyłamującej przekazywanej z pręta na otulinę. LITERATURA [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] fib Model Code 2010 - Final draft, fib Bulletin 55. International Federation for Structural Concrete (FIB), March 2010. Gambarova, P. G. - Karakoς, C.: Schear-confinement interaction at the bar-to-concrete interface, Proc. Int. Conf. "Bond in Concrete", London, 1982, s. 82-96. Kupczyk, R.: A simplified model of the stirrup hook 90o anchorage in concrete. 12th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, Bratislava, Slovakia, October 16-17, 2014, s. 309-320. Kupczyk, R.: Load capacity of the concrete cover on punching shear. Proceeding of 5-th International Interdisciplinary Technical Conference of Young Scientists, 16-18 May 2012, Poznań, s. 211 – 214. Kupczyk, R.: Nośność otuliny betonowej na przebicie. Badania doświadczalne i teoretyczne w budownictwie. Wydawnictwo Politechniki Śląskie,. Gliwice 2012, s. 295 – 302. Kupczyk, R.: Nośność zarysowanej otuliny na wyłamanie. Roczniki Inżynierii Budowlanej – Zeszyt 13/2013, Opole 2013, s. 41 – 44. Jasiński R., Kupczyk R., Starosolski W., Wieczorek M.: Badania belek żelbetowych zbrojonych na ścinanie stalą o zróżnicowanej ciągliwości. 53 Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN PZITB Krynica 2007, tom II, s. 79-86. Kupczyk, R.: Wpływ wybranych czynników na nośność zakotwienia strzemion w konstrukcjach żelbetowych. Inżynieria i Budownictwo, Nr. 3, 2010, s. 147 – 151. Marques, J. L. G. - Jirsa, J. O.: A study of hooked bar anchorages in beam-column joints. ACI Journal, May 1972, s. 198-209. Minor J., Jirsa J. O.: Behavior of bent bar anchorages, ACI Journal, April 1975, s. 141-149 PN-EN 1992-1-1: Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. PKN, Warszawa, Wrzesień 2008. Starosolski, W. - Kupczyk, R.: Badania zakotwień strzemion. XXV Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji 2010, Szczyrk 10-13 marzec, tom IV, s. 21 – 66. Starosolski, W. - Kupczyk, R.: Badania zakotwień strzemion wykonanych ze stali o wysokiej ciągliwości. Biuletyn techniczny nr 3 firmy Centrum Promocji Jakości Stali sp. z o.o., Marzec 2011, s. 48. Tassios, T. P.: Proporties of bond between concrete and steel under load cycles idealizing seismic actions. AICAP-CEB Symposium, Rome, May 1979, s. 67-122. Tepfers, R.: A theory of bond applied to overlapped tensile reinforcement splices for deformed bars. Chalmers Tekniska Högskola, Bygg-och miljöteknik, Konstruktionsteknik, Betongbyggnad, Göteborg, 1973. Xu, Y.: Experimental study of bond-anchorage proporties for deformed bars in concrete. Proc. Int. Conf. "Internacional Conference Bond in Concrete From Research To Practice", Riga, Latvia, 1992, Vol. 1, s. 917. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS THE INFLUENCE OF THE STIRRUPS ANCHORAGE HOOK SHAPE ON THE SHEAR CAPACITY OF REINFORCEMENT CONCRETE BEAMS R. Kupczyk 1 Abstract Two reinforced concrete beams with stirrups ended with two different hook shapes were tested. As a result of research, beam with a hook shape „out of norm“, gave a slightly higher shear capacity. Key Words Stirrup; shear, anchorage; hook, beam. 1 WSTĘP W latach 2008÷2011 na Wydziale Budownictwa Politechniki Śląskiej przeprowadzono badania skuteczności zakotwień strzemion łącznie na 216 betonowych elementach drobnowymiarowych (o maksymalnym wymiarze gabarytowym 300×300×300 mm) [2, 4 , 5] – Rys. 1. Wynika z nich, że najpewniejszym i zarazem najskuteczniejszym rodzajem zakotwienia jest stosowanie haka tzw. „pozanormowego” o dwóch zagięciach (Rys. 2a). W celu weryfikacji poprawności zaproponowanego rozwiązania zakotwienia zbrojenia poprzecznego o fyk ≥ 500 MPa ze stali klasy B i C wg EC2 [3], przebadano dwie jednoprzęsłowe belki żelbetowe. Otrzymane wyniki porównano do analogicznych modeli wykonanych w roku 2007 [1], w których to strzemiona zagięte hakiem prostym 90o (Rys. 2b) wg [3] nie osiągnęły pełnej nośności i uległy wyciągnięciu z betonu – Rys. 3. Rys. 1. Przykładowy element badawczy z naniesionymi maksymalnymi wymiarami zewnętrznymi z badań [2, 4, 5] 1 Dr. R. Kupczyk, Poland, 44-100 Gliwice, Akademicka Street 5, radoslaw.kupczyk@polsl.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a) October 2015, Bratislava b) Rys. 2. Przyjęte sposoby kotwienia strzemion: a) rozwiązanie „pozanormowe”, b) hak 90o a) b) c) Rys. 3. Zniszczona strefa zakotwienia strzemion zakończonych hakiem prostym 90o w badaniach [1]: a) wyłamana otulina, b) rozgięty hak strzemienia, c) widok wykutego z belki strzemienia 2 MODELE, STANOWISKO I PRZEBIEG BADANIA Badania wykonano na 2-ch jednoprzęsłowych belkach żelbetowych długości całkowitej 4,0 m o stałym prostokątnym przekroju poprzecznym o wymiarach 0,2×0,4 m. Zbrojenie podłużne stanowiły pręty proste w ilości: 8ϕ20 ułożone w dolnej części elementu w dwóch warstwach po 4 pręty, kotwione na czole modeli za pomocą przyspawanych blach oporowych. Jako zbrojenia górnego, będącego wzmocnieniem strefy ściskanej betonu użyto, 4 prętów ϕ20, rozmieszczonych ze względów wykonawczych w dwóch rzędach po 2 szt. Zbrojenie poprzeczne wykonano ze strzemion średnic ϕ8 (belka B/8) i ϕ10 mm (belka C/10), w rozstawie zapewniającym zbliżoną obliczeniową nośność odcinków przypodporowych obu modeli. Strzemiona kotwiono w sposób „pozanormowy” hakiem o dwóch zagięciach (Rys. 2a) zlokalizowanym zawsze po tej samej stronie belki, natomiast w elementach porównawczych [1] hakiem prostym 90o (Rys. 2b) przy ułożeniu naprzemiennym. Zakotwienie drugiego końca strzemion było dwojakiego rodzaju. Pierwsze rozwiązanie obejmowało 2/3 długości belki (strzemiono A na Rys. 4) a drugie pozostałą część (strzemiono B na Rys. 4). W modelach wg [1] zastosowano tylko jeden kształt strzemion (strzemiono C na Rys. 4). Zbrojenie poprzeczne otulono we wszystkich modelach identyczną grubością betonu wynoszącą cnom = 15 mm. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 4. Aktualne (B/8 i C/10) oraz porównawcze wg [1] (C/8, B/10 i C/10) modele badawcze Stanowisko badawcze (Rys. 5) składało się ze stalowej ramy 1 ustawionej współosiowo z badaną belką. Modele oparto na dwóch podporach: przegubowo przesuwnej „A” i przegubowo nieprzesuwnej „B” w rozstawie osiowym 3,4 m. Obciążenie z siłownika hydraulicznego 2 przekazywano na belkę przez stalowy trawers 4 za pośrednictwem siłomierza 3 rejestrującego siłę F. Trawers 4 rozdzielał obciążenie na dwie siły skupione, które były przekazywane na belki za pośrednictwem stalowych łożysk wałkowych 5. Belki obciążano monotonicznie, stopniując siłę co 5÷20 kN, do chwili gdy zaobserwowano przyrost ugięć modeli przy jednoczesnym znacznym spadku przyłożonej siły – co uznano za zniszczenie elementów. Po wyczerpaniu nośności pierwszej strefy przypodporowej belek następowało jej wzmocnienie (Rys. 6) i powtórzenie badania do czasu zniszczenia drugiej strony modelu. W trakcie badań dokonywano za pośrednictwem automatycznego stanowiska pomiarowego (ASP-1) rejestracji wartości siły oraz przemieszczeń odczytywanych z czujników indukcyjnych rozmieszczonych w połowie wysokości i po obu stronach belek. Ponadto, przy wybranych poziomach obciążenia prowadzono pomiar rozwarcia rys ukośnych na wybranych strzemionach (Rys. 13) za pomocą lupy Brinella z dokładnością 0,05 mm. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 5. Stanowisko badawcze Rys. 6. Wzmocniona strefa przypodporowa belek za pomocą skręconych kształtowników stalowych 3 MATERIAŁY Do wykonania modeli zastosowano beton towarowy z jednej dostawy. W dniu badania średnie parametry mechaniczne określono na 6 próbkach, a wyniki zamieszczono w Tab. 1. Przeprowadzono również badania materiałowe cech mechanicznych stali zbrojeniowej. Parametry określono dla każdej partii zbrojenia na 6 nieobrobionych prętach, a otrzymane wartości średnie zestawiono w Tab. 2. Zbrojenie podłużne wszystkich modeli charakteryzowało się zbliżonymi parametrami mechanicznymi. Elementy badawcze Aktualne Wg [1] B/8 C/10 C/8 [1] C/10 [1] B/10 [1] Moduł sprężystości Ecm [MPa] Wytrzymałość na ściskanie fc,core [MPa] Wytrzymałość na ściskanie fc,cube [MPa] Wytrzymałość na rozciąganie fctm [MPa] 30630 29,5 30,7 2,50 28900 26,6 32,2 2,15 Tab. 1. Średnie wartości parametrów mechanicznych betonu 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Elementy Typ stali Aktualne B C Wg [1] C B Średnica pręta [mm] Moduł sprężystości E [MPa] 8 10 8 10 10 200136 193791 192300 190500 189051 Granica plastyczności umowna umowna Rp0,2 Rp0,2 [MPa] [MPa] 591,5 549,4 524,0 536,0 516,5 - October 2015, Bratislava Wytrzymałość na rozciąganie Rm [MPa] 716,3 634,7 616,0 624,7 558,5 Całkowite procentowe wydłużenie przy największej sile Agt [%] 6,62 11,01 8,92 8,59 5,06 Tab. 2. Średnie wartości parametrów mechanicznych prętów nieobrobionych badanych wg PN-EN 10002-1:1998 4 PRZEBIEG BADAŃ I ANALIZA W aktualnie przeprowadzonych badaniach, a także w badanych belkach wg [1] pierwsze widoczne gołym okiem rysy o rozwartości 0,05 mm powstały w przęśle. Przy kolejnych krokach obciążania modeli pojawiły się zarysowania ukośne w strefie przypodporowej. Rysy te wraz ze wzrostem siły obciążającej zwiększały swoją rozwartość i jednocześnie następowała ich propagacja w kierunku do miejsc przyłożenia obciążenia i punktów podparcia belek. W stadium zniszczeniu obu aktualnych modeli doszło do pęknięć podłużnych, a w dalszej kolejności do zarysowań poprzecznych górnej powierzchni belek (Rys. 7) wraz ze zwiększeniem się rozwartości rys ukośnych. W badanych belkach nie doszło do zerwania ramion strzemion. a) od podpory „A” b) od podpory „B” c) od podpory „A” d) od podpory B” Rys. 7. Widok od strony podpór na pęknięcia podłużne i zarysowania poprzeczne górnej powierzchni modeli: a) i b) B/8, c) i d) C/10 Zbliżony schemat utraty nośności zaobserwowano w badaniach [1], gdzie ponadto na górnej powierzchni modeli doszło do wyłamania fragmentów betonu przez prostujące się zagięte haki strzemion – Rys. 3a. Wartości sił rysujących i niszczących zamieszczono w Tab. 3. Strefy przypodporowe aktualnych modeli uległy zniszczeniu przy siłach nieznacznie większych od tych uzyskanych w badaniach [1] (zbrojonych stalą klasy C), tj.: o ≈ 6% do 11% dla modeli zbrojonych strzemionami ϕ8 mm oraz o ≈ 4% do 8% dla elementów zbrojonych poprzecznie prętami ϕ10 mm. Po zniszczeniu elementów odczytano wartość siły „resztkowej” Flast (Tab. 4), która w dalszym ciągu obciążała badane belki i którą zarazem były one w stanie przenieść. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Siły rysujące [kN] Strefa przypodporowa Środek Odcinek Elementy badawcze od strony przęsła przypodporowy podpory Fcr Fcr,u Vcr,u B/8 Przesuwnej 122,4 64,6 72,0 B/8 Nieprzesuwnej 142,9 74,8 Aktualne C/10 Przesuwnej 143,0 74,9 45,7 C/10 Nieprzesuwnej 95,0 50,9 C/8 [5] Przesuwnej 140,8 73,8 52,0 C/8 [5] Nieprzesuwnej 110,9 58,8 C/10 [5] Przesuwnej 140,3 73,5 Wg [5] 46,1 C/10 [5] Nieprzesuwnej 120,7 63,7 B/10 [5] Przesuwnej 142,7 74,8 31,9 B/10 [5] Nieprzesuwnej 121,7 64,2 Siły F uwzględniają ciężar osprzętu na nich spoczywającego Siły V uwzględniają ciężar własny belek i osprzętu na nich spoczywającego October 2015, Bratislava Siły niszczące [kN] Fu Vu 522,5 501,1 500,4 482,3 nie zbadano 471,4 nie zbadano 464,0 nie zbadano 492,0 265,9 255,1 254,8 244,6 nie zbadano 239,1 nie zbadano 235,4 nie zbadano 249,4 Tab. 3. Wartości pomierzonych sił rysujących i niszczących Siła odczytana Stabilizacja siły przy z siłomierza po zniszczeniu dalszym obciążaniu Elementy badawcze Flast Vlast Flast,∞ Vlast,∞ [kN] [kN] [kN] [kN] Przesuwnej ≈410 ≈209 ≈350 ≈180 B/8 Nieprzesuwnej ≈424 ≈215 nie badano nie badano Aktualne Przesuwnej ≈370 ≈190 ≈300 ≈156 C/10 Nieprzesuwnej ≈348 ≈178 ≈300 ≈156 C/8 [5] Nieprzesuwnej ≈280 ≈143 C/10 [5] Nieprzesuwnej ≈219 ≈113 Siła przy dalszym obciążaniu Wg [5] B/10 [5] Nieprzesuwnej ≈172 ≈89 spadała (nie utrzymywała się) C/10 [1] Unmovable ≈219 ≈113 B/10 [1] Unmovable ≈172 ≈89 Siły F uwzględniają ciężar osprzętu na nich spoczywającego Siły V uwzględniają ciężar własny belek i osprzętu na nich spoczywającego Strefa przypodporowa od strony podpory Tab. 4. Obciążenie i nośność belek po zniszczeniu stref przypodporowych Po zniszczeniu strefy przypodporowej belek rozpoczęto próbę dalszego zwiększenia pozostającego na modelach obciążenia Flast. Proces ten skutkował znacznym narastaniem ugięć modeli, co w efekcie stosowania wymuszenia układem hydraulicznym powodowało spadek wartości siły odczytanej na siłomierzu do wartości, przy której nastąpiła jej stabilizacja, i tym samym utrzymanie nośności (Tab. 4): w modelu B/8 na poziomie ≈ 350 kN, a w elemencie C/10 ≈ 300 kN, dla każdej strefy przypodporowej. W badaniach belek [1], po zniszczeniu strefy ścinanej, siły „resztkowe” odczytane na siłomierzu były zdecydowanie mniejsze aniżeli w modelach aktualnych, a przy kolejnym cyklu obciążania nie ulegały stabilizacji tylko ciągłemu spadkowi. Wyniki pomierzonych sił w badaniach aktualnych modeli, a także w [1] przedstawiono w formie zbiorczej na Rys. 8. October 2015, Bratislava 600 523 501 500 482 500 424 471 410 350 370 348 300 300 nie badano 100 280 brak stabilizacji 300 219 172 brak stabilizacji 400 200 492 464 brak stabilizacji Obciążenie F [kN] 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 0 B/8 przy podporze nieprzesuwnej Siła niszcząca B/8 przy C/10 przy C/10 przy C/8 [1] przy C/10 [1] przy B/10 [1] przy podporze podporze podporze podporze podporze podporze przesuwnej nieprzesuwnej przesuwnej nieprzesuwnej nieprzesuwnej nieprzesuwnej Siła odczytana z siłomierza po zniszczeniu Stabilizacja siły przy dalszym obciążaniu Rys. 8. Zestawienie sił działających na badane aktualnie modele oraz na belki [1] Na podstawie oględzin zbadanych elementów wydaje się, iż różnica w zachowaniu się modeli po zniszczeniu wynika z zakotwienia strzemienia. Modele wg [1] po utracie otuliny traciły w pełni swoją nośność na skutek otwierania się zagiętych haków prętów, natomiast w aktualnych badaniach z uwagi na to, że koniec pręta ulokowano głęboko wewnątrz betonu, uzyskano dodatkowy „poziom bezpieczeństwa” (nośność po zniszczeniu Flast,∞), który mimo znacznych deformacji elementu wynosił około 60% maksymalnej siły niszczącej. Wydaje się, że prawdopodobnym powodem wyłamania otuliny górnej aktualnie zbadanych belek są krzyżulce ściskane betonowe, które to uległy przemieszczeniu, wysuwając się między ściskanymi prętami podłużnymi, rozpychając to zbrojenie na boki (Rys. 9) i powodując tym samym obserwowane zarysowania podłużne na powierzchni górnej modeli (Rys. 7). Rys. 9. Betonowe krzyżulce ściskane powodujące wyłamanie otuliny strzemion Dalsze obciążanie zniszczonych już aktualnych modeli, przenoszących siły na poziomie ≈ 300÷350 kN (tzw. nośność Flast,∞), powodowało znaczną ich deformację i wygięcie haków strzemion (Rys. 10) przez wysuwające się krzyżulce betonowe, co w efekcie końcowym skutkowało rozkruszeniem betonu w strefie zakotwienia prętów i ich wyrwaniem (Rys. 11). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 10. Wygięcie zakotwienia strzemion przez wysuwający się betonowy krzyżulec ściskany belki Rys. 11. Rozkruszenie betonu w obrębie zakotwienia strzemion W trakcie badań prowadzono monitoring rys ukośnych na wybranych strzemionach. Uzyskane rozwartości zarysowań, jako wartość średnią z ich sumy z dwóch ramion tych samych prętów przy różnym poziomie obciążenia zamieszczono na Rys. 12. Zaobserwowano w stadium bliskim zniszczenia, że w modelach wg [1] na 3-cim strzemieniu znajdującym się od strony podpory nieprzesuwnej „B” nastąpił zdecydowany przyrost rozwartości rys ukośnych. Ponieważ ma to miejsce przy obciążeniu ≈440 kN, czyli o ≈30 kN mniejszym niż siła niszcząca w tym elemencie, więc mamy tutaj prawdopodobnie do czynienia z poślizgiem pręta w zakotwieniu, co w dalszym etapie mogło być powodem niższej nośności tej strefy przypodporowej, która to w dalszym etapie obciążania okazała się być decydująca. Na analogicznym strzemieniu zlokalizowanym przy podporze przesuwnej nie zaobserwowano tego zjawiska i następował tam prawie liniowy charakter wzrostu rozwartości rys. Elementy, w których zastosowano zakotwienie strzemion w postaci haka typu „pozanormowego” przy analizowanych poziomach obciążenia modelów, wykazywały w całym zakresie zbliżoną do liniowej zmianę szerokości rozwartości rys, co świadczy o skuteczności zakotwienia, które nie doznawało poślizgów i okazało się spośród analizowanych najpewniejszym rozwiązaniem. ф10 B 500 Obciążenie F [kN] Obciążenie F [kN] 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2-gie strzemię przy podporze A ф8 C 450 ф10 C 400 ф8 C 350 2-gie strzemię przy podporze B ф10 B ф8 C 500 450 400 350 B/8 300 ф10 C B/8 300 C/10 250 October 2015, Bratislava C/10 250 C/8 [5] 200 C/8 [5] 200 B/10 [5] 150 ф8 C A 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 450 3-cie strzemię przy podporze A ф8 C ф10 C 400 ф10 B ф8 C 350 450 1,4 ф10 C 400 1,6 469 kN 2,2 mm ф10 B ф8 C 350 B/8 300 C/10 250 C/8 [5] 250 200 B/10 [5] 200 150 C/10 C/8 [5] B/10 [5] 150 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Suma szerokości rozwarcia rys [mm] 4-te strzemię przy podporze A 500 ф10 C 450 ф8 C 400 ф10 B 350 1 1,2 1,4 1,6 Suma szerokości rozwarcia rys [mm] Obciążenie F [kN] Obciążenie F [kN] 1,2 3-cie strzemię przy podporze B ф8 C 500 B/8 300 1 Suma szerokości rozwarcia rys [mm] Obciążenie F [kN] Obciążenie F [kN] Suma szerokości rozwarcia rys [mm] 500 B/10 [5] B 150 4-te strzemię przy podporze A 500 ф10 C 450 ф8 C 400 ф10 B 350 ф8 C 300 B/8 250 ф8 C 300 C/10 B/8 C/10 250 C/8 [5] 200 C/8 [5] 200 B/10 [5] 150 B/10 [5] 150 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 Suma szerokości rozwarcia rys [mm] 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 Suma szerokości rozwarcia rys [mm] Rys. 12. Średnia z sumy rozwartości rys ukośnych z dwóch ramion strzemion 5 PODSUMOWANIE W aktualnie przeprowadzonych badaniach nie udało się doprowadzić do zerwania prętów zbrojenia poprzecznego. W stadium utraty nośności elementów doszło do znacznych zniszczeń w strefie zakotwienia strzemion spowodowanych przypuszczalnie przez betonowe krzyżulce ściskane, które, przemieszczając się względem siebie, uległy wysunięciu między górnymi prętami zbrojenia podłużnego, powodując w pierwszej kolejności wyłamanie otuliny, a w dalszym etapie nacisk na haki i ich rozgięcie. W wypadku badań [1], w stadium zniszczenia hak prosty uległ wyśliźnięciu z zakotwienia, po czym na skutek wyłamania otulenia przez prostujący się zagięty pręt utracił zdolność do przenoszenia jakiegokolwiek obciążenia. Dla kotwienia zbrojenia hakiem „pozanormowym” osiągano większe nośności, aniżeli miało to miejsce przy pręcie z hakiem 90o [1]. Rozwiązanie to pozwoliło również na przenoszenie znacznych sił w stadium po zniszczeniu (≈ 300 kN, co daje ≈ 60% uzyskanej w badaniach nośności modeli) pomimo dużych deformacji, pęknięć i odspojeń betonu w strefie przypodporowej i zakotwienia pręta. Utrata otuliny w tym wypadku nie wywoływała tak negatywnych konsekwencji dla pracy zakotwienia, jak miało to miejsce przy kotwieniu zbrojenia hakiem prostym. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Wyjaśnienia wymaga, co jest zasadniczą przyczyną utraty nośności odcinków przypodporowych w belkach zbrojonych poprzecznie stalą o dużej ciągliwości. Czy jest to górna krawędź elementu rozrywana poprzecznie strzemionami, czy też wypychanie jej poprzez ściskane krzyżulce betonowe elementu? LITERATURA [1] Jasiński R., Kupczyk R., Starosolski W., Wieczorek M.: Badania belek żelbetowych zbrojonych na ścinanie stalą o zróżnicowanej ciągliwości. 53 Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN PZITB Krynica 2007, tom II, s. 79-86. [2] Kupczyk R., Starosolski W.: Wpływ sposobu zakotwienia strzemion na ich nośność. 55 Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN PZITB Krynica 2009, s. 239-248. [3] PN-EN 1992-1-1:2008 – Eurokod 2. projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. [4] Starosolski W., Kupczyk R.: Badania zakotwień strzemion. XXV Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji 2010, tom IV, s. 21 – 66. [5] Starosolski, W. - Kupczyk, R.: Badania zakotwień strzemion wykonanych ze stali o wysokiej ciągliwości. Biuletyn techniczny nr 3 firmy Centrum Promocji Jakości Stali sp. z o.o., Marzec 2011, s. 48. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS VPLYV TVARU DEFEKTU NA VEĽKOSŤ NAPÄTÍ NA NOSNÍKU Janka Kováčiková1, Oľga Ivánková 2 a Dušan Drobný 3 Abstract This paper is focused on an influence of different types of flaws which occur on beams on values of stress in them. The task is 2 – dimensional. Specifically, there were analyzed 4 – point loaded glulam beams in this paper. There were considered four types of beams, first was without the flaw, the remaining three were with flaws. Second type of the beam contained a central crack in the middle of spin on the bottom edge. Third variety contained also the central crack in the middle of spin but it was not located on the edge. The last one type had modeled a knot in the middle of spin. Beams were loaded by forces 20kN. The analysis was performed in ANSYS. There were compared and analyzed values of stress in the x and y directions in those types of modeled beams. The main goal was to determine which type of flaw has the worst influence on behavior of beam. Kľúčové slová drevo; defekt; napätia; metóda konečných prvkov 1 ÚVOD Drevo je prírodný materiál, ktorý obsahuje imperfekcie, no zároveň je to jeden z najzaujímavejších stavebných materiálov s množstvom pozitívnych vlastností. Množstvo jeho pozitív zatieňuje jeho negatíva, preto je dôležité o jeho správaní sa vedieť čo najviac. Žiaden iný stavebný materiál nemá taký prínos pre životné prostredie ako drevo. Nejde len o jeden z najpoužívanejších stavebných materiálov, ale aj materiál, ktorý je vďaka jeho vlastnostiam možné používať aj v iných odvetviach. V súčasnosti už nemáme len surové drevo získané priamo z lesa, ale stretávame sa aj s vysokokvalitnými drevoplastmi, vystuženými drevom, vysokokvalitne spracovanými drevnými surovinami a to vďaka efektivite, užitočnosti, trvanilvosti a vlastnostiam tohto jedinečného materiálu. V poslednej dekáde sa koncept takzvaných „zelených budov“ dostal do popredia. Je to pravdepodobne spôsobené tým, že ľudia si uvedomujú enviromantálny potenciál dreva a jeho výhody oproti iným stavebným materiálom. Hlavná myšlienka zelených budov je zníženie spotreby energie a k výstavbe pristupovať ekologicky a to aj prostredníctvom výberu vhodného konštrukčného materiálu. Dá sa tvrdiť, že najvhodnejší materiál pre tento typ výstavby je drevo. Jedná sa o jediný stavebný materiál, ktorý za predpokladu stáleho vysádzania, budeme mať dostupný stále. [1, 2] V tomto príspevku sme sa zamerali na riešenie lepených drevených nosníkov aj s chybami, ktoré môžu v realite obsahovať. Je síce pravda, že drevo má množstvo výhod, ale vieme povedať, že nikdy nebudeme schopný surové drevo vyprodukovať bez imperfekcií. Pre tieto a mnoho iných dôvodov je potrebné zaoberať sa problémami, ktoré tieto nedokonalosti spôsobujú. Ako vplývajú na jeho vlastnosti a správanie sa. Kedy je imperfekcia ešte prijateľná a keď už nie. Preto si v tomto príspevku kladieme otázku, ako ovplyvní tvar defektu veľkosť napätí v okolí defektu. [3, 4] 1 Ing. Janka Kováčiková, KSM, SvF STU Bratislava, janka.kovacikova@stuba.sk Doc. Ing. Oľga Ivánková, KSM, SvF STU Bratislava, +421 (2) 59 274 260, olga.ivankova@stuba.sk 3 Ing. Dušan Drobný, Samsung Electronics Slovakia, Hviezdoslavovo 807, Galanta, drdusan6@gmail.com 2 th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava CHARAKTERISTIKA RIEŠENÉHO PROBLÉMU V príspevku sme sa zamerali na analýzu vplyvu tvaru defektu na veľkosť napätí na nosníku. Ide o 2-D úlohu riešenú v programe ANSYS. Konkrétne sa jedná o 4-bodovo zaťažené nosníky. Prvý model je nosník bez trhliny, druhý model je nosník s trhlinou v strede rozpätia, ktorá bola umiestnená na spodnej hrane, tretí obsahuje trhlinu v strede nosníka, ktorá je posunutá od spodného okraja o 2 cm a posledný nosník má namodelovaný kruhový otvor v strede nosníka ako simuláciu hrče. Presná geometria modelov je uvedená na Obr. 1. Obr. 1. Geometria riešených nosníkov: a)model bez defektu; b) model s trhlinou v strede rozpätia na spodnom okraji; c) model s trhlinou v strede rozpätia; d) model s kruhovým otvorom v strede rozpätia Materiál nosníkov je drevo. Uvažovali sme 12 charakteristík, ktoré sú uvedené v (Tab.1). Jedná sa o ich priemerné hodnoty, ktoré sú uvedené v tabuľkách podľa triedy dreva. Keďže ide o lepené lamelované nosníky, môžeme im pripísať trasvenzálno - axialálnu anizotropiu. O takýchto nosníkoch môžeme hovoriť, že sa správajú priečne izotropne, nakoľko v smere osi x a v smere osi y (kolmo na vlákna, v našom prípade z a x), sú ich mechanické vlastnosti takmer rovnaké [1]. A z tohto dôvodu, aj v našom prípade platí, že: Ey=Ez, νxy=νyx=νyz=νzy, Gxy=Gxz. Preto bola úloha riešená ako 2-D. Ex [MPa] 11600 Ey [MPa] 539 Ez [MPa] 539 νxy=νyx [-] 0,5 νyz=νzy [-] 0,5 νzx=νxz [-] 0,02 Gxy [MPa] 532 Gyz [MPa] 59 Gxz [MPa] 532 Tab.1. Uvažované mechanické vlastnosti dreva Všetky riešené nosníky boli modelované v programe ANSYS. Na vytvorenie modelu boli použité 2 – D elementy PLANE183, ktoré majú 6 alebo 8 uzlov, pričom každý uzol má dva stupne voľnosti a vďaka jeho vlastnostiam je vhodný na riešenie nášho problému. [5] 3 NAPÄTIA V MIESTACH DEFEKTU A ICH ANALÝZA Simuláciou nosníkov v programe ANSYS sme získali výsledky napätí na nosníkoch a v príslušných rezoch, ktoré boli zvolené tak, aby sme zistili napätia v miestach defektu. K týmto výsledkom patria aj priebehy napätí σx, ktoré sú uvedené na nasledujúcom obrázku (Obr. 2), pre všetky riešené prípady. Ide o napätia v Reze 1 (pozri Obr. 1). Ďalej sú uvedené priebehy napätí σy. (Obr. 3). th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava a) b) c) d) Obr. 2. Priebeh napätí σx pre nosník: a) bez defektu, b) s trhlinou na okraji, c) s trhlinou v nosníku, d) s kruhovým otvorom v nosníku a) b) c) d) Obr. 3. Priebeh napätí σy pre nosník: a) bez defektu, b) s trhlinou na okraji, c) s trhlinou v nosníku, d) s kruhovým otvorom v nosníku th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Ďalej sú tu uvedené priebehy napätí v miestach, ktoré sú v tejto úlohe pre nás najzaujímavejšie. Na Obr. 4 sú uvedené hodnoty špičkových napätí v smere rovnobežnom aj kolmom na vlákna v reze 2-1, 3-1 a 4-1B. Teda napätia v okolí trhliny pre variant modelu s trhlinou pri spodnom okraji. Na Obr. 5 sú uvedené priebehy špičkových napätí pre tretí variant nosníkov. Teda nosník s trhlinou, ktorá je posunutá od okraja o 2 cm. A na Obr. 6 je vyobrazený priebeh špičkových napätí pre posledný model nosníkov. Model s kruhovým otvorom v strede rozpätia. Označenie jednotlivých rezov je zobrané na Obr.2. a) b) c) d) e) f) Obr. 4. Priebehy špičkových napätí v rezoch pre nosník s trhlinou v strede rozpätia na okraji hrany: a) σx v 2-1, b) σy v 2-1, c) σx v 3-1, d) σy v 3-1, e) σx v 4-1B a f) σy v 4-1B th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava a) b) c) d) e) f) Obr. 5. Priebehy špičkových napätí v rezoch pre nosník s trhlinou posunutou od okraja o 2 cm: a) σx v 2-2, b) σy v 2-2, c) σx v 3-2, d) σy v 3-2, e) σx v 4-2 a f) σy v 4-2 a) b) th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava c) d) e) f) Obr. 6. Priebehy špičkových napätí v rezoch pre nosník s kruhovým otvorom: a) σx v 5-3, b) σy v 5-3, c) σx v 13B, d) σy v 1-3B, e) σx v 1-3C a f) σy v 1-3C 4 ZÁVER Napätie v reze 1 na Obr. 2a, 3a a 4a je približne rovnaké ako podľa technickej teórie pružnosti. Hodnota napätia σx.= 12,6Mpa (Obr.2a) v tomto prípade zodpovedá skutočnosti. Čo sa týka napätí kolmých na vlákna (Obr. 3a), tieto sú veľmi malé, čo je pravdepodobné. Môžeme zhodnotiť, že pre nosník bez defektu sme dostali výsledky ktoré zodpovedajú skutočnosti. Výsledkom pre druhý model, ktorému sme sa v príspevku venovali, teda nosník s trhlinou v strede rozpätia na okraji nosníka, sa budeme venovať v tomto odseku. Trhlina bola namodelovaná v strede nosníka, bola dlhá 2cm a široká 1 cm. Na Obr. 2b sú uvedené hodnoty napätia v smere rovnobežnom s vláknami ich priebeh a hodnoty vyzerajú logicky a mohli by odpovedať realite. Problém, nám ale vzniká na hornom okraji, kde by podľa skutočnosti mala byť jeho hodnota nulová, v zmysle okrajovej podmienky. Nám, ale vychádza tlaková hodnota. Jedná sa o numerickú nepresnosť použitého programu alebo použitej metódy. Rovnako priebehy napätí σx (Obr. 3b) vyzerajú logicky. Ďalej si rozoberieme výsledky pre tretí variant nosníkov. Tento model mal trhlinu umiestnenú v strede rozpätia, ale táto bola posunutá 2 cm od okraje vyššie. Trhlina mala dĺžku 2cm a šírku 1cm. Priebeh a hodnoty napätí môžu zodpovedať realite (Obr. 2c, 3c). Pre nosník s kruhovým otvorom v strede rozpätia, ktorý mal priemer 2 cm a bol od spodného okraja posunutý tiež o 2cm, môžeme konštatovať podobné závery ako pre predchádzajúce prípady. A teda, že výsledky, ktoré sme získali zodpovedajú realite a sú logické (Obr. 2d, 3d). Jediné čomu musíme venovať v budúcnosti väčšiu pozornosť je rozdiel medzi napätiami pri hornom a dolnom okraji otvoru (Obr. 2d, 3d). Je to pravdepodobne dôsledok nesprávne zvolenej siete konečných prvkov . Na nasledujúcich obrázkoch je uvedené porovnanie napätí v reze 1 pre všetky varianty riešených nosníkov. Na Obr. 7a je porovnanie napätí σx v strede rozpätia nosníka a tiež napätia σy (Obr. 7b) v tom istom priereze. Z grafov na obrázkoch jasne vyplýva, že najnebezpečnejší defekt pre ohybovo namáhané nosníky je trhlina na okraji nosníka v strede jeho rozpätia. Ďalej je to trhlina posunutá o 2 cm a nosník s kruhovým otvorom v strede rozpätia. Táto postupnosť potvrdzuje náš predpoklad. Po aplikácii zaťaženia na nosník s trhlinou na okraji, táto th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava sa okamžite začne roztvárať v najnepriaznivejšom mieste, v mieste maximálnych hodnôt ohybu. Teda nič jej nebráni v jej šírení a tento model je teda najnebezpečnejší, čo sa týka rýchlosti šírenia sa trhliny a kolapsu konštrukcie. Napätia sa koncentrujú v koreni trhliny čo spôsobí jej rýchle šírenie. Pre nosníky s trhlinou posunutou od 2 cm od okraja platí, že špičkové napätia sa koncentrujú v spodnom aj hornom koreni trhliny a teda si energiu, ktorá tam vzniká rozdeľujú. Preto sú napätia aj rýchlosť šírenia trhliny menšie ako v predchádzajúcom prípade. Posledný prípad, kruhový otvor v nosníku, ukazuje výhodu tohto tvaru defektu. V okolí kruhového otvoru dochádza k prerozdeleniu napätia po jeho okraji s koncentráciami na hornom aj spodnom okraji, ale otvor po stranách je namáhaný viac ťahovo a veľkosti tlakových napätí sú menšie ako v predchádzajúcich prípadoch. Na záver môžeme konštatovať, že naše predpoklady sa naplnili, ale ešte je potrebné venovať pozornosť rozdeleniu siete konečných prvkov v okolí trhliny. Zvážiť aj iné typy defektov, geometrií nosníkov a venovať sa aj iným dotupným prístupom. Obr. 7. Porovnanie napätí a) σx a b) σy pre všetky varianty modelov. POĎAKOVANIE Tento príspevok bol vypracovaný za pomoci projektov VEGA 1/0272/15 a 1/0544/15 LITERATÚRA [1] POŽGAJ, A. - CHOVANEC, D. - KURJATKO, S. - BABIAK, B.: Štruktúra a vlastnosti dreva. Príroda, 1997, ISBN 8007009604, str. 485 [2] Wood Handbook - Wood as an Engineering Material. Forest Products Laboratory, United States Department of Agriculture Forest Service, Madison, Wisconsin, Apríl 2010 [3] HALLER, P. – GUSTAFSSON, P.J: An Overview of Fracture Mechanics Concepts. Division of Structural Mechanics, Lund University, Box 118, SE-221 00 Lund, Sweden, 1998, 16 pages [4] AICHER, S.: Stress Intensity Factor Approach. Department of Wood and Timber Engineering, FMP A Otto-Graf-lnstitute, Pfaffenwaldri~g 4, D-70569 Stuttgart, Germany, 1996, 1+31 pages [5] Manuál ANSYS. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS PROBABILISTIC SAFETY ANALYSIS K. Tvrda1 Abstract This paper deals with the probabilistic safety analysis of a plate rested on Winkler's foundation. The plate is designed by FEM method, elastic foundation is modeled through Winkler's model. During a probabilistic analysis, software ANSYS executes multiple analysis loops to compute the random output parameters as a function of the set of random input variables. For the probabilistic design the RSM method was used, based on the approximation of the Monte Carlo simulation. At the end some probabilistic and safety analysis of the deflection of the foundation are presented. The probabilistic analyses gives us more complex information about the safety of structures than the deterministic analysis. Key Words FEM, foundation plate, probabilistic analysis, safety, RSM method, Monte Carlo simulation 1 INTRODUCTION The importance of probabilistic design of the structures at the global level continually increases. Many world leading universities deal with this problem not only in the civil engineering, but also in all industries. In the design of structures or parts there is one of the most important tasks of assessing the reliability of the structure. Structures must be designed and carried out so as to withstand all the loads and impacts that may arise during the design life of the structure. The quality of the design and methods used for the assessment of structures are being developed with increasing levels of theoretical and practical knowledge and, of course, by increasing the quality of the computer equipment. Reliability assessment method of construction can be divided into deterministic and probabilistic analysis, or simulation, half-probabilistic analysis, and others. Probability calculation takes into account the effect of the variability of the thickness of the structure, the load effect, the material parameters, the geometric characteristics and variability of soil compressibility modules. It also allows an assessment of structure in terms of higher safety and reliability of the structure. Calculation on probability sampling is concerned with a number of authors (see [2-14]). 2 PROBABILITY ANALYSIS To determine the reliability of probabilistic methods are first defined performance criteria on the basis of functional relationship between the first n input variables, called bases random variables Xi, where i = 1, 2, ..., n. This relationship is called a function of reliability (security, usability, feature or function, or function failure reliability reserves) and is marked as Fs  g  X1 , X 2 ,..., X n  . 1 (1) Assoc. prof. Katarina Tvrda, PhD., Slovak University of Technology, Department of Structural Mechanics, Radlinskeho 11, 810 05 Bratislava, Slovak Republic, e-mail: katarina.tvrda@stuba.sk. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava A functional dependency g  X 1 , X 2 ,..., X n  is a computational model that is based on simplifying assumptions and represents the idealization of physical reality. In deterministic calculation we entered the input parameters as the fixed constants. When we used probability calculation, the input parameters specified in the range were accidental due to inaccuracies in manufacture and the determination of material characteristics. The individual parameters varied according the diagrams. 2.1 Response surface analysis design Response Surface Methods are based on the fundamental assumption that the influence of the random input variables on the random output parameters can be approximated by mathematical function. Hence, Response Surface Methods locate the sample points in the space of random input variables such that an appropriate approximation function can be found most efficiently; typically, this is a quadratic polynomial. In this case the approximation function Û is described by ̂ ∑ ∑ ∑ (2) where c0 is the coefficient of the constant term, ci, i = 1,...NRV are the coefficients of the linear terms and cij, i = 1,...NRV and j = i, ...,NRV are the coefficients of the quadratic terms. To evaluate these coefficients a regression analysis is used and the coefficients are usually evaluated such that the sum of squared differences between the true simulation results and the values of the approximation function is minimized. Hence, a response surface analysis consists of two steps:  Performing the simulation loops to calculate the values of the random output parameters that correspond to the sample points in the space of random input variables.  Performing a regression analysis to derive the terms and the coefficients of the approximation function. The fundamental idea of Response Surface Methods is that once the coefficients of a suitable approximation function are found, then we can directly use the approximation function instead of looping through the finite element model. To perform a finite element analysis might require minutes to hours of computation time; in contrast, evaluating a quadratic function requires only a fraction of a second. Hence, if using the approximation function, we can afford to evaluate the approximated response parameter thousands of times. A quadratic polynomial is sufficient in many cases of engineering analysis (for example, the evaluation of the thermal stress mentioned above). For that evaluation, the Young's modulus and the thermal expansion coefficient both have a linear effect on the thermal stresses, which is taken into account in a quadratic approximation by the mixed quadratic terms. However, there are cases where a quadratic approximation is not sufficient; for example, if the finite element results are used to calculate the lifetime of a component. For this evaluation, the lifetime typically shows an exponential behavior with respect to the input parameters; thus the lifetime results cannot be directly or sufficiently described by a quadratic polynomial. But often, if you apply a logarithmic transformation to the lifetime results, then these transformed values can be approximated by a quadratic polynomial. The ANSYS PDS offers a variety of transformation functions that you can apply to the response parameters, and the logarithmic transformation function is one of them. 2.1.1 Central Composite Design Sampling A central composite design consists of a central point, the N axis point plus 2 N-f factorial points located at the corners of an N-dimensional hypercube. Here, N is the number of random input variables and f is the fraction of the factorial part of the central composite design. A fraction f = 0 is called a full factorial design, f = 1 gives a half-factorial design, and so on. The PDS gradually increases the fraction f as you increase the number of random input variables. This keeps the number of simulation loops reasonable. The fraction f is automatically evaluated such that a resolution V design is always maintained. A resolution V design is a design where none of the second order terms of the approximation function are confined with each other. This ensures a reasonable accuracy for the evaluation of the coefficients of the second order terms. The locations of the sampling points for a problem with three random input variables are illustrated below. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 1. Locations of Sampling Points for Problem with Three Input Variables for CCD The number of sample points (simulation loops) required for a central composite design as a function of the number of random input variables is given in the table below: Number of random input variables Number of coefficients in a quadratic function (with crossterms) Factorial number f Number of sample points (simulation loops) 1 3 N/A N/A 2 6 0 9 3 10 0 15 4 15 0 25 5 21 1 27 6 28 1 45 Tab. 1. The number of simulation loops required for a central composite design 3 PROBABILITY DESIGN OF FOUNDATION PLATE The foundation plate is located under the hotel building, which has seven above ground and one underground floors. The plate is made of concrete of the class B25 / 30 and it is rested on elastic foundation with material properties as follows: Ex = 31GPa, ν = 0.2 and elastic foundation stiffness k = 25 MN/m3. The foundation plate is loaded with singular forces from columns and the linear loads. The forces of the columns are F = 3769 - 5515 kN according to the loading area of the various underground and above-ground floors. The linear load from the walls is between qdet = 65-113 kN / m (Fig.2). The easiest way to implement the subsoil to the model is to use the SHELL 63 element [1] with thickness 0.95 m and elastic foundation stiffness EFS equal 25 MN/m3. It was originally designed by the designer with thickness 0.95 m and 1.300 m around the columns. Finally, the plate was realized with the uniform thickness 0.950 m and Cobiax system was built into the base plate (dark) mainly outside of singular loads (light).  When modeling the whole plate we used KP, KP Hard surfaces and the surface by using the HPTCREATE, AREA, and then put the applied load.  In this case, the plate was modeled for two different modules of elasticity.  At a location of the Cobiax balls the elastic modulus E was reduced to 89%, as recommended by the manufacturer. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava EX1 EX2 Fig. 2. Model of the foundation plate The deterministic model has 5 parameters that are regarded as random input variables. A list of these random input variables, the distribution they are subjected to, and their distribution parameters are provided in Table 2 . No. Name Type Par1 Par2 1 EX2 [kPa] GAUS 2.75900E+07 1.37950E+06 2 EX1 [kPa] 3 3 KK [kN/m ] 2.75900E+07 1.37950E+06 1250.0 25000. 4 Qvar GAUS GAUS LOG1 5 H1 UNIF 1.0 0.1 0.94 0.96 Tab. 2. Deterministic and stochastic inputs for probability calculation Resulting from variability of input quantity 27 simulations on the base of RSM method were realized. The probability of exceeding the limit deflection of plate structures was calculated from 106 Monte Carlo simulations for 25 simulations of approximation method RSM on the structural FEM model. The probability of failure is equal to 1.69e-2 for the limit deflection -0.011 m exceed. Fig. 2. The relative frequencies of the random quantity 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava ANSYS PDS [1] calculates an appropriate number of classes based on the number of samples. The number of classes is equal to the number of bars shown in the histogram. The range between the smallest and largest sample value has been divided into classes of equal width. A histogram is derived by counting the number of hits in the individual classes and dividing this number by the total number of samples. Hence, a histogram represents the relative frequencies of the random quantity it is plotted for (Fig.2). The evaluation of the probabilistic sensitivities is based on the correlation coefficients between all random input variables and a particular random output parameter. Either Spearman rank order correlation coefficients or Pearson linear correlation coefficients may be used based on user's specifications. To plot the sensitivities of a certain random output parameter, the random input variables are separated into two groups: those that are significant (important) and those that are insignificant (not important) for the random output parameter. The sensitivity plots will only include the significant random input variables. The dominant impact to reliability of foundation displacement plate has the input parameter qvar. Fig. 3. Result set from variability of input 4 CONCLUSION The aim of this analysis was to determine the probability of the failure of structure, and then to determine its reliability depending on the input parameters. In our case, there has been a failure (1.69e-2), if we have exceeded the limit deflection -0.011 m. The statistics of the random output parameters were computed using the ANSYS results and illustrate the properties of the output parameters using histogram plots, cumulative distribution curves, and/or history plots. ACKNOWLEDGEMENT The work has been supported by the grant from Grant Agency of VEGA in Slovak republic No. 1/0544/15. REFERENCES [1] ANSYS [2] KOTRASOVÁ, K. & KORMANÍKOVÁ, E. Frekvenčná analýza základovej dosky na Winklerovom modeli podložia. Pozemné komunikácie a dráhy. 2010, Roč. 6, č. 1-2, s. 17-24. ISSN 1336-7501. [3] KOTRASOVÁ, K. & KORMANÍKOVÁ, E. The ground plate on the Winkler foundation. In: Modelování v mechanice 2009. Ostrava: VSB TU, 2009 P. 1-6. - ISBN 9788024820163. [4] HRUSTINEC, L. Numerical Analysis of the Interaction between Shallow (Square, Circular, Strip) Foundations and Subsoil. Journal of Civil Engineering and Architecture. vol. 7, no. 7, July 2013 (Serial No. 68), p. 875-886. [5] JENDZELOVSKY, N. & PREKOP, L. Analysis of Foundation Conditions of Water Pumping Station. In: Jubilee international scientific conference VSU´2008: Proceedings Vol.1.Sofia, Bulgaria, 2008 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [6] TOMLINSON, M. J. Foundation Design and Construction. Pearson Education Ltd, England, 2001. [7] JANČO, R. & KRČÍN, J. & PUSTKA, D. & ŘEZNÍČEK, J. & TVRDÁ, K. & FRYDRÝŠEK, K. Nosníky a rámy na pružném podkladu 2. Beams and frames on elastic foundation 2, VŠB TU Ostrava, 2008, 97880-248-1743-9 [8] ZIENKIEWICZ, O. C. & CAMPBELL, J. S. Optimum Structural Design, Wiley: New York, 1973 [9] KORMANIKOVA, E. & MAMUZIC. I. Optimization of laminates subjected to failure criterion. Metalurgija. Vol. 50, no. 1, 2011, p. 41-44. - ISSN 0543-5846 [10] SØRENSEN, S.N. & LUND, E. Topology and Thickness Optimization of Laminated Composites Including Manufacturing Constraints, Structural and Multidisciplinary Optimization, Volume 48, Issue 2, 2013 [11] MAREK, P. & BROZZETTI, J. & GUSTAV, M. Probabilistic Assessment of Structures Using Monte Carlo Simulation Background, Exercises and Software, ITAM CAS, Prague, Czech Republic, 2003, pp.471. [12] KRALIK, J. Reliability analysis of structures using stochastic finite element method. Edition of scientific papers. Iss. 77, STU Bratislava, 2009, 138 p. [13] KMET, S. & TOMKO, M. & BRDA, J. Time-dependent analysis of cable trusses Part II. Simulation-based reliability assessment. Structural Engineering and Mechanics. 2011, Vol. 38, Iss. 2, p. 171-193. [14] DUAN, J. & DUAN, G. & JIN, W.L. J. Probabilistic approach for durability design of concrete structures in marine environments. Journal of Materials in Civil Engineering, Vol. 27, Iss 2, 2015. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS A NEW ELASTO-PLASTIC CRITICAL STATE MODEL RU+MCC FOR OVERCONSOLIDATED SOIL R. Uliniarz1 Abstract The paper presents a reasonably advanced constitutive law for soil – a hybrid of the Modified Cam Clay and the new RU development. The Modified Cam Clay model is an isotropic hardening elasto – plastic one originated by Burland (1967) within the critical state soil mechanics. This model is widely applied in today’s geotechnical analysis. It describes realistically mechanical soil behaviour in the normal consolidation states. The other one is designed to ensure more adequate soil responses to reloading paths (within the overconsolidation stress subspace), particularly in the range of small strains. The model has been implemented in the FEM computer code Z_SOIL.pc. To test the influence of the small strain nonlinearity on soil – structure interaction as well as to exhibit the ability of the proposed model to simulate realistically this effect, a comparative study based on the FEM solution has been carried out. As a benchmark a trial loading of strip footing will be discussed. Key Words Constitutive model; RU+MCC; small strain; Modified Cam-Clay; model parameters. 1 WPROWADZENIE Nieliniowość charakterystyk „naprężenie-odkształcenie” dla gruntów jest faktem znanym od dawna. Ujawnia się nawet w najprostszych badaniach, takich jak badania edometryczne, badania trójosiowe, badania w aparacie bezpośredniego ścinania, czy też próbne obciążenia. Trudno tam, wzdłuż jakiejkolwiek charakterystyki, znaleźć linię prostą. Podobnie jest w zakresie odkształceń małych (jako odkształcenia małe przyjęto za Atkinsonem i Sallforsem [1] przedział 10-6 ÷ 10-3), z tym, że nieliniowość ta jest dużo ostrzejsza, występuje bowiem w bardzo wąskim zakresie odkształcenia. Prawo Hooke’a obowiązuje jedynie w zakresie bardzo małych odkształceń, z wartością 10-6 jako górną granicą. Zważywszy, że praktyka projektowa stara się nie dopuścić do osiągnięcia stanu granicznego (a więc powstania dużych odkształceń) zakresy małych i bardzo małych odkształceń są najbardziej istotne w pracy układu „konstrukcja – podłoże”, patrząc przez pryzmat praktycznego zastosowania. Całe ćwierćwiecze ubiegłego stulecia, od początku lat siedemdziesiątych do połowy dziewięćdziesiątych, poświęcone było budowaniu podstaw pojęciowych i eksperymentalnych omawianego nurtu rozwojowego mechaniki gruntów, od pionierskich prac Richarta i in. [22], Hardina i Drnevicha [10,11], Iwasakiego i in. [14] począwszy, kończąc na zaawansowanych studiach Jardine’a [19], Smitha i in. [24], Jamiołkowskiego i in. [15]. Już w trakcie tego etapu pojawiły się próby teoretycznego opisu zjawisk w przedziale małych odkształceń i budowania modeli konstytutywnych uwzględniających w różny sposób owe zjawiska. Od samego początku zaobserwować było można równoległy rozwój dwóch, różniących się ogólnością i zaawansowaniem teoretycznym podejść. Spotkać można także próby uproszczonego uwzględniania zjawiska [21]. 1 Dr. R. Uliniarz, rafal.uliniarz@polsl.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Pierwsze, uznające bezwzględnie priorytet silnej nieliniowości fizycznej ośrodka w zakresie małych deformacji, budowane było we wczesnym stadium rozwojowym, w ramach nieliniowej sprężystości, bądź hiposprężystości. Za prekursorską propozycję w tym zakresie uznać należy popularny model hiperboliczny Duncana-Changa [6], oraz model Imperial College, zapoczątkowany przez Jardine’a i in. [17], a dalej dopracowany w kierunku zastosowań przez Jardine’a i in. [18]. Druga opcja aplikacyjnego podejścia, zasadzającego się w umiejscowieniu modeli w ramach nieliniowej sprężystości, różni się od koncepcji Imperial College wykorzystaniem jako argumentów funkcji materiałowych, opisujących moduły ścinania i ściśliwości, niezmienników naprężenia. Opcja ta, będąca prostym rozwinięciem i uogólnieniem modelu Duncana i Changa [6], znalazła główną realizację w modelu Fahey’a-Cartera [8]. Propozycja ta góruje nad prototypem (modelem Duncana-Changa) elastycznością dopasowania charakterystyk sztywnościowych do wyników eksperymentów. Elastyczność tę zawdzięcza model FC zwiększeniem do 2 liczby parametrów opisujących zależność modułu od niezmienników naprężenia. Mimo, że zależność modułu ścinania od naprężenia dewiatorowego jest mniej klarowna od tej, wiążącej ów moduł z odkształceniem postaciowym i obarczona jest wpływem naprężenia początkowego, jego zależność od naprężenia średniego jest zbyt uproszczona, a funkcja materiałowa, opisująca moduł ściśliwości K nie ma należytych podstaw eksperymentalnych i razi dowolnością, model FC cieszy się pewną popularnością i doczekał się rozszerzeń w kierunku sprężysto-plastyczności. Wymienić tu można model Coquillay [5], który poszerza opis odkształceń sprężystych w ujęciu Fahey’a-Cartera o składnik wyznaczający odkształcenia trwałe w ramach idealnej plastyczności. Jeszcze dalej idzie w tym kierunku autorski model FC+MCC [9,26,27], który włącza do koncepcji Fahey’a-Cartera, obowiązującego w obszarze prekonsolidacji, model Modified Cam-Clay, ważny w obszarze normalnej konsolidacji. Model RU+MCC także wpisuje się w drugie podejście i jest rozwinięciem przez autora wcześniej opracowanych praw konstytutywnych. Osobną grupą są modele o wzmocnieniu kinematycznym. Przyznać trzeba, że przewidywanie reakcji tak sformułowanych modeli na obciążenia budowlami geotechnicznymi jest zadaniem ekstremalnie trudnym konceptualnie, numerycznie i w zakresie identyfikacji funkcji materiałowych i parametrów. Wywodzą się one ze znanej koncepcji modeli o wzmocnieniu izotropowo-kinematycznym, z interpolacyjnie określonym polem modułu wzmocnienia i same w sobie stanowią barierę aplikacyjności, przez co nie mogą być porównywane do modeli wcześniej scharakteryzowanych. 2 MODEL RU+MCC Autorska koncepcja modelu RU+MCC jest rozszerzeniem klasycznej teorii stanu krytycznego. Spełnia wszystkie warunki stawiane modelom tej klasy. Zdefiniowane są mianowicie: powierzchnia plastyczności i potencjału plastycznego, prawo plastycznego płynięcia, prawo izotropowego wzmocnienia objętościowego, prawa sprężystości, a także warunek zgodności. Bazą modelu RU+MCC jest klasyczny model Modified CamClay (MCC). Nowatorstwo modelu polega na ulepszonym opisie reakcji na zmiany naprężenia mieszczące się wewnątrz powierzchni plastyczności. Proponowane funkcje materiałowe rządzące tym procesem wpisują sią w obecny stan wiedzy, ujmując zależność sztywności od naprężenia średniego (co w warunkach in situ, przed rozpoczęciem budowy odpowiada zmianie głębokości) oraz od postępu odkształceń. Nie zaniedbano jednak aspektu plastyczności, stanowiącego bardzo istotne dopełnienie. a) b) Fig. 1. Powierzchnia plastyczności modelu RU+MCC w przestrzeni p’-q (a) oraz jej przekrój dewiatorowy (b) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Powierzchnia modelu jest podobna do klasycznej powierzchni modelu MCC, o eliptycznym przekroju w przestrzeni niezmienników p’-q (Fig. 1a). Różni się od niej jednak przekrojem dewiatorowym. Klasyczny, kolisty przekrój ulepszony został zgodnie z propozycją van Eekelena [7], co widoczne jest na Fig. 1b. Kluczowym elementem pracy nad modelem było znalezienie funkcji materiałowych o kształcie zbliżonym do wyników uzyskiwanych doświadczalnie. Kształt ten określany jest w literaturze mianem „sigmoidalnego” i jest stosunkowo popularny w biologii, statystyce, czy w zagadnieniach dotyczących sieci neuronowych. Wytypowano funkcję atan(x), co po przekształceniach ilustruje równanie (1).  (− arctg (t 2 (log10 (ε S ) + 6 )t1 ))  + 0,52  , GS = G0  π   ν = const. (1) (2) gdzie: G0 – początkowy moduł ścinania, εS – odkształcenie postaciowe, t1, t2 – stałe materiałowe. W modelu przyjęto stały współczynnik Poissona, co jest dopuszczalnym uproszczeniem w tej klasie modeli. W równaniu (1) istotną rolę pełni początkowy moduł ścinania G0. Początkowo moduł ten był utożsamiany stricte z dynamiką. Najlepiej przyjętą próbą jego zdefiniowania była ta podjęta przez Hardina [13] pod koniec lat siedemdziesiątych XX wieku. Oparta była na wcześniejszych próbach Rowe’a [23], Janbu [16], a także Hardina i Blacka [12]. Od tego czasu większość sformułowań G0 ma postać: m  p'  G0 = A f (e ) OCR   ,  pa  k (3) gdzie: OCR – wskaźnik prekonsolidacji, p’ – średnie naprężenie efektywne, f(e) – funkcja zależna od wskaźnika porowatości e, A, k, m – stałe materiałowe, pa – ciśnienie atmosferyczne lub jednostka 1kPa (w zal. od źródła). Równanie (3) sugeruje, iż w ogólności G0 zależne jest od porowatości materiału, aktualnego stanu naprężenia, a także jego historii. Zauważyć należy, że zależności te są znacząco różne dla różnych gruntów. W zestawieniu opracowanym przez Benza [2] zauważyć można główne rozróżnienie na grunty spoiste i niespoiste. Dla gruntów niespoistych istotny jest element dotyczący porowatości, podczas gdy w gruntach spoistych, szczególnie tych o przerobionej strukturze, element ten jest właściwie bez znaczenia. Zastosowane w modelu uproszczone równanie (4) jest prawie tożsame z wykorzystanym do tego samego celu równaniem określającym moduł początkowy w modelu Duncana-Changa [6] i ma postać: n  p'  G0 = G   ,  pa  * (4) W równaniach (1), (2) i (4) występuje łącznie pięć parametrów, przy czym dwa z nich (G* i n) określają zmienność modułu ścinania wraz ze wzrostem naprężenia średniego, co utożsamiać można ze zmiennością modułu na głębokości. Kolejne dwa (t1 i t2) określają zmienność modułu ścinania wraz ze wzrostem odkształceń. Komplet parametrów fazy sprężystej pracy modelu uzupełnia stały współczynnik Poissona. Parametry fazy sprężysto-plastycznej pracy modelu są tożsame z oryginalnym modelem MCC, a ich definicja powszechnie znana. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 3 October 2015, Bratislava WERYFIKACJA MODELU W ROZWIĄZANIU ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Analiza zagadnienia opiera się na serii próbnych obciążeń stóp fundamentowych o różnych wymiarach (1.0÷3.0 m), wykonanych na poletku doświadczalnym Uniwersytetu w Texasie [3,4]. Wszystkie obiekty były rozmieszczone w niewielkiej, ale wystarczającej ze względu na wzajemny brak wpływu, odległości od siebie. Zapewniało to możliwie zbliżone warunki gruntowe dla każdego fundamentu. Obciążenie realizowane było za pomocą siłownika hydraulicznego. Konstrukcja wsporcza zakotwiona była w podłożu na głębokości 11÷18 m, co gwarantowało brak wpływu na wyniki osiadań. Widok poletka wraz z podziałem na warstwy geotechniczne przedstawia Fig. 2. Fig. 2. Widok poletka doświadczalnego [3,4] Ideą doświadczenia, w którym brało udział ponad 30 ośrodków badawczych z całego świata, była chęć rozpoznania ówczesnych możliwości przewidywań osiadań, na podstawie wielu rodzajów badań laboratoryjnych i in situ. Punkt ciężkości przesunięty był przy tym na badania w terenie. Występowała pełna dowolność w wykorzystaniu wyników badań towarzyszących, nie podano natomiast wyników osiadań próbnych obciążeń. Wyniki analiz przesłane przez uczestniczące zespoły badaczy potwierdziły potrzeby dalszego rozwoju mechaniki gruntów, bowiem rozrzut przewidywań był bardzo wysoki, sięgał nawet 300% w obydwie strony. Podłoże gruntowe poddano w omawianym przypadku szerokiemu spektrum badań. Wykonane były między innymi badania: SPT, DMT, CPT, presjometryczne, RC, trójosiowe oraz prędkości propagacji fali sejsmicznej metodą Cross-Hole. Przytoczone poniżej wyniki badań doświadczalnych będą wykorzystane do oszacowania parametrów modelu. W podłożu gruntowym rozróżniono pięć warstw geotechnicznych o miąższościach od 1.4 m do 22 m (Fig. 2), w symulacjach zdecydowano jednak o połączeniu warstw 2 i 3. Cztery powierzchniowe warstwy zbudowane są głównie ze średnio zagęszczonego piasku. Piąta to ciemnoszary ił w stanie zwartym. Wynika stąd fakt znacznej prekonsolidacji podłoża, co daje mocne podstawy dla zastosowania modelu autorskiego RU+MCC. Szeroki wachlarz przeprowadzonych badań pozwolił na łatwe wyznaczenie potrzebnych parametrów obszaru małych odkształceń. Nieco trudniej było w przypadku odkształceń umiarkowanych i dużych, odpowiadających sprężysto-plastycznej fazie pracy. Jak zauważono w poprzednim rozdziale duże znaczenie dla precyzyjnego oszacowania osiadań ma prawidłowe zidentyfikowanie granicy obszaru normalnej konsolidacji. Tutaj niestety możliwości były ograniczone co najwyżej do zależności korelacyjnych, zdecydowano zatem o metodzie kombinowanej, czyli doborze części parametrów na podstawie towarzyszących badań doświadczalnych (kalibrowanie lokalne), a pozostałych przy zastosowaniu analizy wstecznej (kalibrowanie globalne). Parametry określające początkowy moduł ścinania wyznaczone zostały na podstawie serii badań sejsmicznych typu Cross-Hole, których wyniki przedstawione są w Tab. 1. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Głębokość [m] 2 4 6 8 10 Różnica Prędkość fali czasu poprzecznej [ms] 10 8 8.5 12 10 [m/s] 240 300 281 199 238 October 2015, Bratislava Początkowy moduł ścinania [kPa] 104 162 142 71 102 Tab. 1. Wyniki badań prędkości propagacji fali sejsmicznej (Cross-Hole) pomiędzy punktami cht-2 i cht-1 [3] Do estymacji parametrów małych odkształceń wykorzystano wyniki badań RC (kolumny rezonansowe). Funkcje materiałowe zostały skalibrowane do odpowiedniej charakterystyki doświadczalnej, z uwzględnieniem wyznaczonego wcześniej modułu początkowego. Fig. 3. Wyniki badań w kolumnach rezonansowych (RC) wykorzystane do szacowania parametrów małych odkształceń na głębokości 6.0 m [3] Ciśnienie prekonsolidacji i nachylenie linii normalnej konsolidacji wyznaczane były w analizie wstecznej stopy o wymiarach 3x3 m, z użyciem wcześniej wyznaczonych parametrów w sposób lokalny. Wartości otrzymane przy optymalnym dopasowaniu wyników odpowiedzi teoretycznej ośrodka w stosunku do pomiarów zostały przyjęte do obliczeń innych wielkości stóp fundamentowych. Komplet danych uzupełniło nachylenie linii stanu krytycznego, wyznaczone na podstawie standardowych badań trójosiowych. Wszystkie wartości stałych zestawiono w Tab. 2. Tab. 2. Parametry modelu RU+MCC warstwy I 0-3.5m II 3.5-7.0m III 7.0-11.0m IV 11.0-33.0m υ model pc0 [kPa] λ Mc e0 G* n RU+MCC 270 0.1 1.41 0.25 0.75 18 000 0.5 RU+MCC 350 0.1 1.41 0.25 0.78 30 000 0.5 RU+MCC 450 0.1 1.41 0.25 0.75 18 000 0.5 Elastic E=200000 [kPa] 0.3 t1 6 5 5 t2 2 4 1.67 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava OBLICZENIA Rozważaną stopę fundamentową poddano obciążeniu, jednocześnie monitorując jej osiadania [3,4]. Uzyskane w ten sposób wyniki będą porównane z wynikami symulacji numerycznych. W tym celu wykonano trójwymiarowy model dyskretny, obejmujący ćwiartkę zadania, o wymiarach w planie 12x12 m i głębokości 32.5 m. Widok modelu, z zaznaczeniem stref materiałowych pokazano na poniższym rysunku. Oznaczono także trzy elementy skończone, w których porównane będzie działanie modeli konstytutywnych (elementy numer 85, 95 i 106). Fig. 4. Model dyskretny zadania brzegowego stopy fundamentowej (Z_Soil): widok ogólny i powiększenie z zaznaczeniem warstw i analizowanych elementów 0 2000 4000 6000 8000 10000 0 Siła osiowa [kN] 10 20 pomiar 30 symulacja RU+MCC symulacja HS-Small 40 50 60 70 80 90 Stopa 3 x 3 m 100 110 120 130 140 150 Osiadanie [mm] 160 Fig. 5. Krzywe osiadania – stopa 3x3 m Uzyskane wyniki symulacji będą w dalszej części poddane analizie porównawczej. Na końcu porównane będą krzywe osiadania, łącznie z krzywą doświadczalną. Jak wspomniano wcześniej pierwszy fundament stopowy wykorzystano do wyznaczenia brakujących parametrów metodą analizy wstecznej. Optymalne dopasowanie odpowiedzi ośrodka do pomiarów osiadań przedstawia Fig. 5. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings RU+MCC October 2015, Bratislava HS-Small Fig. 6. Mapa odkształceń postaciowych – stopa 3x3 m RU+MCC HS-Small Fig. 7. Mapa naprężeń dewiatorowych – stopa 3x3 m 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Zaznaczyć tu trzeba, że prawdopodobnie obydwa modele są w stanie lepiej się dopasować do charakterystyki osiadania, ponieważ największe różnice zauważa się w początkowej fazie obciążenia. Generalną przyczyną może tu być niedoszacowanie początkowej sztywności gruntu, trudno jednak kwestionować poprawność badań w kolumnach rezonansowych i pomiarów prędkości propagacji fali poprzecznej, z których wielkości te były wyznaczane. Obydwa porównywane modele znacznie się od siebie różnią. Mimo uzyskania prawie identycznych charakterystyk osiadania, rozkład odkształceń i naprężeń w masywie gruntowym jest znacząco różny. Liczne doświadczenia pozwalają domniemywać, przy takim zagadnieniu brzegowym, wystąpienia pod fundamentem sztywnego klina, tj. pojawienia się znacznych odkształceń postaciowych w płaszczyznach klin ten określających. Zachowanie takie jest znacznie bardziej widoczne przy zastosowaniu modelu RU+MCC (Fig. 6), chociaż na mapie naprężeń jest odwrotnie (Fig. 7). Jednak to odkształcenia są decydujące, ponieważ to one są bezpośrednio obserwowane lub mierzone, a więc ich zgodność jest decydująca. 400 RU+MCC Nr 95 q [kPa] RU+MCC Nr 85 350 RU+MCC Nr 106 300 HS-Small Nr 95 250 HS-Small Nr 85 200 HS-Small Nr 106 150 100 50 εs [-] 0 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 Fig. 8. Charakterystyki ścinania Kolejne rozważane przypadki stóp fundamentowych, które zasadniczo różnią się wyłącznie wielkością, stanowią tło porównawcze modeli RU+MCC i HS-Small. 0 2000 4000 6000 8000 0 Siła osiowa [kN] 10 20 pomiar 30 symulacja RU+MCC symulacja HS-Small 40 50 60 70 80 90 100 Stopa 2.5 x 2.5 m 110 120 130 140 150 Osiadanie [mm] 160 Fig. 9. Krzywe osiadania – stopa 2.5x2.5 m 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 0 1000 2000 3000 October 2015, Bratislava 4000 0 Siła osiowa [kN] 10 20 pomiar 30 symulacja RU+MCC symulacja HS-Small 40 50 60 70 80 90 Stopa 1.5 x 1.5 m 100 110 120 130 140 150 Osiadanie [mm] 160 Fig. 10. Krzywe osiadania – stopa 1.5x1.5 m 0 500 1000 1500 2000 0 Siła osiowa [kN] 10 20 pomiar 30 symulacja RU+MCC symulacja HS-Small 40 50 60 70 80 90 Stopa 1 x 1 m 100 110 120 130 140 150 Osiadanie [mm] 160 Fig. 10. Krzywe osiadania – stopa 1.0x1.0 m Przeprowadzone badania numeryczne wykazują dobrą zgodność krzywych osiadania, zarówno ilościową, jak i jakościową, z wynikami pomiarów. Przewidywania obydwu modeli są zbliżone, przy czym w przypadku najmniejszej stopy pojawia się niedoszacowanie osiadań w fazie silnego uplastycznienia. Błąd ten występuje w symulacjach obydwoma modelami i jest związany ze sformułowaniami sprężysto-plastyczności, a więc w przypadku modelu autorskiego RU+MCC odpowiedzialna za to jest część MCC. Bardzo dobrze natomiast przewidywane są początkowe fragmenty charakterystyk osiadania. Niezależnie od wymiaru stopy, błędy uzyskiwane w tej części są niewielkie. Można zauważyć także, że są mniejsze przy mniejszych stopach (1m, 1.5m), niż w przypadku większych (2.5m, 3m), gdzie początkowa sztywność podłoża gruntowego wydaje się być niedoszacowana. Celem modelu RU+MCC jest adekwatny opis fazy prekonsolidacji, a więc szczególnie istotny jest właśnie początkowy fragment charakterystyk osiadania. Jest to zgodne z praktyką geotechniczną, która unika dużych deformacji, szczególnie w zagadnieniach fundamentowania. Przed przystąpieniem do analiz numerycznych planowano dla porównania wykonać także identyczną procedurę obliczeniową przy użyciu popularnego modelu 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Mohra-Coulomba. Niestety wyniki okazały się tak dalekie od pozostałych, że z porównania tego zrezygnowano. W wyniku szacowania brakujących parametrów w analizie wstecznej (w tym przypadku jedyną wielkością, która nie była precyzyjnie określona w badaniach towarzyszących był moduł Younga i współczynnik Poissona) nie było możliwe nawet przybliżone dopasowanie wyników osiadań uzyskanych z symulacji do wyników pomiarów. Dopiero zmiana kąta tarcia wewnętrznego pozwoliła na zbliżenie się do tych wyników. Nastąpiło to jednak przy wartości zaniżonej o ponad 30% w stosunku do uzyskanych wyników konwencjonalnych badań trójosiowych, a także od wartości uzyskiwanych powszechnie dla takiego rodzaju gruntu. Wynika z tego ogromna przepaść jakościowa pomiędzy klasą nawet prostych modeli uwzględniających nieliniowość w zakresie małych odkształceń, a klasycznym modelowaniem sprężysto-idealnie plastycznym. 5 WNIOSKI Zaprezentowany w pracy model realistycznie opisuje pierwszy z wymienionych aspektów. Precyzję przewidywania osiadań, uwarunkowanego ową nieliniowością góruje nad istniejącymi propozycjami w klasie modeli sprężysto-plastycznych o izotropowym wzmocnieniu. Autorski model RU+MCC został wykalibrowany na podstawie kompleksowych badań własnych w aparacie trójosiowego ściskania, a następnie zweryfikowany na poziomie badań elementowych, wykazując dobrą zgodność jakościową i ilościową teoretycznych przewidywań z wynikami eksperymentów. Model został przez autora wdrożony do analiz zagadnień brzegowych w drodze adaptacji programu MES o kryptonimie Z_Soil. Konfrontacja tego wdrożenia z wynikami dostępnych w literaturze kompleksowych badań amerykańskich pokazuje dobrą zgodność wyników analizy MES z wynikami tych badań. Świadczy to o przydatności modelu RU+MCC do komputerowych analiz zagadnień współdziałania z podłożem fundamentów stopowych i konstrukcji oporowych. REFERENCES [1] Atkinson, J. H. i Sallfors, G.: Published. Experimental determination of stress-strain-time characteristics in laboratory and in situ tests. General report. Proc. 10th ECSMFE. Firence, 1991, p. 915-956. [2] Benz, T.: Small-strain stiffness of soils and its numerical consequences. PhD Thesis, 2007. [3] Briaud, J. i Gibbens, R. M.: Predicted and measured behavior of five spread footings on sand, New York, ASCE, 1994. [4] Chua, K. M., Xu, L., Pease, E. i Tamare, S.: Settlement of the test footings: Predictions from the University of Mexico. In: Briaud, J. & Gibbens, R. M. (eds.) Results of a Spread Footing Prediction Symposium. ASCE, 1994. [5] Coquillay, S.: Prise en compte de la non linéarité du comportement des sols soumis à de petites déformations pour le calcul des ouvrages géotechniques PhD thesis, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 2005. [6] Duncan, J.M. – Chang, C.: Nonlinear analysis of stress and strain in soils. Journal of the Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, 96, 1970, p. 1629-1653. [7] Eekelen, H.A.M.: Isotropic yield surface in three dimensions for use in soil mechanics. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 4, 1980, p. 89-101. [8] Fahey, M. i Carter, J. P.: A finite element study of the pressuremeter in sand using a nonlinear elastic plastic model. Canadian Geotechnical Journal, 30, 1993, p. 348-362. [9] Gryczmański, M. i Uliniarz, R.: A simple critical state model with small strain nonlinearity for overconsolidated soils. Foundations of Civil and Environmental Engineering, 2008, p. 49-60. [10] Hardin, B. O. i Drnevich, V. P.: Shear modulus and damping in soils: design equations and curves. Journal of the Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, 98, 1972, p. 667-692. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [11] Hardin, B. O. i Drnevich, V. P.: Shear modulus and damping in soils: measurements and parameter effects. Journal of the Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, 98, 1972, p. 603-624. [12] Hardin, B.O. - Black, W.L.: Vibration modulus of normally consolidated clay. Journal of the Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, 95, 1968, p. 1531-1537. [13] Hardin, B.O.: The nature of stress-strain behaviour for soils. State-of-the-art report. Proceedings of specialty conference on earthquake engineering and soil dynamics, ASCE, 1978, p. 3-90. [14] Iwasaki, T., Tatsuoka, F. i Takagi, Y. (). Shear moduli of sands under cyclic torsional shear loading. Soils and Foundations, 18, 1978, p. 39-56. [15] Jamiołkowski, M., Lancellotta, R. i Lo Presti, D. C. F.: Published. Remarks on the stiffness at small strains of six Italian clays. 1st Int. Conf. 'Pre-failure Deform. Character. Geomater.'. Sapporo 1994, p. 817-836. [16] Janbu, N.: Soil compressibility as determined by oedometer and triaxial tests. Proceedings of 3rd European Conference on Soil Mechanics, Wiesbaden, 1, 1963, p. 19-24. [17] Jardine, R. J., Potts, D. M., Fourie, A. B. i Burland, J. B.: Studies of the influence of nonlinear stress-strain characteristics in soil structure interaction. Geotechnique, 36, 1986, p. 377-396. [18] Jardine, R. J., Potts, D. M., St. John, H. D. i Hight, D. W.: Published. Some practical applications of a nonlinear ground model. Proc. 10th ECSMFE. Firence, 1991, p. 223-228. [19] Jardine, R. J.: Published. Characterising soil behaviour at small to moderate strains. Int. Symp. "Pre-failure Deformation Characteristics of Geomaterials-Measurement and Application. Is-Hokkaido, Sapporo 1994. [20] Łupieżowiec, M.: Konsystentny jednopowierzchniowy sprężysto-lepkoplastyczny model o silnie nieliniowym wzmocnieniu anizotropowym dla gruntów spoistych. Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, 2004. [21] Młynarek, Z., Gogolik, S., Gryczmański, M. i Uliniarz, R.: Settlement analysis of a cylindrical tank based on CPTU and SDMT results. Geotechnical and Geophysical Site Characterization 4. Edited by Paul W . Mayne. CRC Press, 2012, p. 1585–1590. [22] Richart, F. E., Hall, J. R. i Woods, R. D.: Vibrations of soils and foundations, Englewood Cliffs, New York, 1970, Prentice-hall. [23] Rowe, P.W.: Theoretical meaning and observed values of deformation parameters for soils. In stress-strain behaviour for soils, Cambridge, 1971, p. 143-194. [24] Smith, P. R., Jardine, R. J. i Hight, D. W.: The Yielding of Bothkennar Clay. Geotechnique, 42, 1992, p. 257-274. [25] Sternik, K.: Analiza efektywności i numeryczna implementacja jednopowierzchniowego sprężystoplastycznego modelu gruntu o silnie nieliniowym wzmocnieniu anizotropowym. Rozprawa Doktorska, Politechnika Śląska, 2003. [26] Uliniarz, R.: Kalibrowanie modelu konstytutywnego FC+MCC. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Budownictwo, z. 113, 2008, p. 343-350. [27] Uliniarz, R.: Ulepszony model Modified Cam-Clay z silną nieliniowością w obszarze prekonsolidacji według Fahey'a-Cartera. Teoretyczne i Praktyczne Aspekty Geotechniki. Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej 2007. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS AN OPTIMAL DESIGN PROBLEM FOR A MINDLIN-TIMOSHENKO BEAM VIBRATING AGAINST AN ELASTIC FOUNDATION M. Kečkemétyová1 and I. Bock2 Abstract Shape design optimization problems belong to frequently solved problems with many engineering applications. We deal here with an optimal design problem for an elastic Mindlin-Timoshenko beam vibrating against an elastic foundation. A variable thickness of a beam plays the role of a control variable. The state problem has a form of a nonlinear hyperbolic initial-boundary value problem. Solving the state problem we apply the Galerkin method. The compactness method will be used in solving the minimum problem for a cost functional. Key Words Mindlin-Timoshenko beam; dynamic contact; Winkler foundation; variable thickness; optimal design. 1 INTRODUCTION AND FORMULATION OF THE STATE PROBLEM Shape design optimization problems belong to the frequently solved problems with many engineering applications. We deal here with an optimal design problem for an elastic Mindlin-Timoshenko beam vibrating against an elastic foundation of the Winkler type. The similar problems for the axisymmetric plate and the stationary elastic Bernoulli beam are investigated in [5] and [6] respectively. A variable thickness of a beam plays the role of a control variable. We have considered the control problem for an elastic beam vibrating against an elastic foundation in [2]. We shall apply the Galerkin method in order to solve the state problem in a similar way as in [1], where the unilateral problem with an obstacle on one end of the beam is considered. The compactness method will be used in solving the minimum problem for a cost functional. We consider a cantilever beam of the length L > 0. Its variable thickness is expressed by a positive continuous function x 7→ e(x), x ∈ [0, L], the constant κ > 0 denotes the shear correction coefficient, a > 0 is the material constant. For simplicity we assume the constant density of the material, a positive function x 7→ q(x), x ∈ [0, L] represents the stiffness of the foundation. We study vibrations of the beam in the time interval (0, T ) and set Q = (0, T ) × (0, L) the time-space domain. Let f, g : Q 7→ R represent a perpendicular load and a shear force acting on the beam respectively, u0 : (0, L) 7→ R, v0 : (0, L) 7→ R be the initial displacement and velocity, φ0 : (0, L) 7→ R, ω0 : (0, L) 7→ R the initial angle of the rotation and its initial velocity. Then using the approach from [3], where MindlinTimoshenko plates are considered, we obtain that the vertical displacement u : Q 7→ R and the angle of the rotation φ : Q 7→ R solve the hyperbolic initial-boundary value problem 1 M. Kečkemétyová, Institute of Computer Science and Mathematics FEI STU, 81219 maria.keckemetyova@stuba.sk 2 I. Bock, Institute of Computer Science and Mathematics FEI STU,81219 Bratislava, igor.bock@stuba.sk Bratislava, 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava e(x)utt − κ[e(x)(ux − φ)]x + q(x)[u + 12 (e(x) − emax )]+ = f on Q, 1 3 e (x)φtt − a[e3 (x)φx ]x − κe(x)(ux − φ) = g on Q, 12 u(t, 0) = φ(t, 0) = ux (t, L) = φx (t, L) = 0, t ∈ (0, T ), u(0, x) = u0 (x), φ(0, x) = φ0 (x), (1) (2) (3) (4) ut (0, x) = v0 (x), φt (0, x) = ω0 (x), x ∈ (0, L), where v + = 12 (v + |v|) is the positive part of any function v and e : [0, L] → R is a variable thickness of the beam fulfilling 0 < e(x) ≤ emax . 2 VARIATIONAL FORMULATION OF THE STATE PROBLEM We introduce the Hilbert spaces ∫ H ≡ L2 (0, L) = {y : (0, L) 7→ R : L y 2 dx < ∞}, 0 H 1 (0, L) = {y ∈ L2 (0, L) : y ′ ∈ L2 (0, L)}, V = {y ∈ H 1 (0, L) : y(0) = 0}, H 1 (Q) = {y ∈ L2 (Q) : yt , yx ∈ L2 (Q)}, with the inner products and the norms ∫ L (y, z) = y(x)z(x) dx, |y|0 = (y, y)1/2 , y, z ∈ H, 0 ∫ L (y, z)1 = [y(x)z(x) + y ′ (x)z ′ (x)] dx, ∥y∥1 = (y, y)1 , y, z ∈ H 1 (0, L), 1/2 0 ∫ L ((y, z)) = y ′ (x)z ′ (x) dx, ∥y∥ = ((y, y))1/2 , y, z ∈ V, ∫0 [y(t, x)z(t, x) + yt (t, x)zt (t, x) + yx (t, x)zx (t, x)] dx dt, y, z ∈ H 1 (Q), (y, z)Q = Q 1/2 ∥y∥Q = (y, y)Q , y ∈ H 1 (Q). Let X be a Banach space X, X ∗ the dual space of all linear continuous functionals over X and I = (0, T ). We denote by Lp (I; X) the Banach space of all functions y : (0, T ) 7→ X such that ∥y(·)∥X ∈ Lp (0, T ), ¯ X) and p ∈ [1, +∞]. The functions y are essentially bounded for p = ∞. Further we denote by C(I; ¯ ¯ ¯ Cw (I; X) the spaces of continuous respectively weakly continuous functions y : I 7→ X, I = [0, T ]. We set V = L2 (I; V ), W = H 1 (Q) ∩ V. We denote by ẇ and ẅ the first and the second time derivatives of a function w : I → X. We assume f, g ∈ L2 (Q); u0 , φ0 ∈ V ; v0 , ω0 ∈ H, e ∈ E, E = {e ∈ H 1 (0, L) : 0 < emin ≤ e(x) ≤ emax ∀x ∈ [0, L]}. We formulate a weak solution of the problem (1)-(4) as a solution of a system consisting of a variational inequality for a deflection u and the hyperbolic equation for an angle of the rotation φ. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Definition 1 A couple of functions {u, φ} ∈ W × W is a weak solution of the problem (1)-(4) if ü, φ̈ ∈ L2 (I; V ∗ ) and ∫ ∫ ∫ ] [ ⟨ü, ey⟩ + κe(x)(ux − φ)yx + q(x)[u + 12 (e(x) − emax )]+ y dx dt = f y dx dt ∀ y ∈ L2 (I, V ), (5) Q I Q ∫ ∫ ∫ 1 ⟨ φ̈, e3 ψ⟩ dt + [ae3 (x)φx ψx − κe(x)(ux − φ)ψ] dx dt = gψ dx dt ∀ ψ ∈ L2 (I; V ), (6) 12 I Q Q u(0) = u0 , u̇(0) = v0 , φ(0) = φ0 , φ̇(0) = ω0 (7) We remark that the expression ⟨·, ·⟩ means the duality between the spaces V ∗ and V . Using the Galerkin method and the Gronwall lemma the existence and uniqueness of a weak solution {u, φ} with e-independent a priori estimates can be verified in a same way as in [1] . Theorem 2 There exists a unique solution {u, φ} ∈ W × W of the problem (5) − (7), fulfilling the estimate ∥u̇∥L∞ (I,H) + ∥u∥L∞ (I,V ) + ∥φ̇∥L∞ (I,H) + ∥φ∥L∞ (I,V ) ≤ C1 , ∥ü∥L2 (I,V ∗ ) + ∥φ̈∥L2 (I,V ∗ ) ≤ C2 , Ci ≡ Ci (a, emin , emax , u0 , v0 , φ0 , ω0 , f, g, q), i = 1, 2. 3 (8) OPTIMAL CONTROL PROBLEM We consider a cost functional J : V 2 × C 2 ([0, L]) 7→ R+ fulfilling the assumption {un , φn } ⇀ {u, φ} in V 2 , en → e in C 2 ([0, L]) ⇒ J(u, φ; e) ≤ lim inf J(un , φn ; en ). n→∞ Let Ead = {e ∈ H 1 (0, L) : 0 < emin ≤ e(x) ≤ emax ∀x ∈ [0, L], ∥e∥1 ≤ ê} be the set of admissible thicknesses. We remark that Ead is compact in C([0, L]). Optimal control problem P : To find a control e∗ ∈ Ead such that J(u(e∗ ), φ(e∗ ); e∗ ) ≤ J(u(e), φ(e); e) ∀e ∈ Ead , (9) where {u(e), φ(e)} is a (unique) weak solution of the Problem (1)-(4). Following the approach from [2] the existence of an optimal control can be verified. Theorem 3 There exists a solution of the Optimal control problem P. Proof. We use the weak lower semicontinuity property of the functional J and the compactness of the admissible set Ead of thicknesses in the space C([0, L]). Let {en } ⊂ Ead be a minimizing sequence for (9). The set Ead is convex and closed and hence a weakly closed in H 2 (0, L) as the closed convex set. Then there exists a subsequence of {en } (denoted again by {en }) and an element e∗ ∈ Ead such that en ⇀ e∗ in H 2 (0, L), en → e∗ in C([0, L]). (10) The a priori estimates (8), Sobolev imbedding theorems and the Ascoli theorem on uniform convergence on I¯ imply the existence of a couple of functions ¯ V )]2 {u∗ , φ∗ } ∈ [C(I; 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava and the convergences {ü(en ), φ̈(en )} ⇀ {ü∗ , φ̈∗ } in [L2 (I; V )]2 , ¯ V ∗ )]2 , {u̇(en ), φ̇(en )} ⇀∗ {u̇∗ , φ̇∗ } in [L∞ (I; H)]2 , {u̇(en ), φ̇(en )} → {u̇∗ , φ̇∗ } in [C(I; ¯ C(Q̄))]2 {u(en ), φ(en )} ⇀∗ {u∗ , φ∗ } in [L∞ (I; V )]2 , {u(en ), φ(en )} → {u∗ , φ∗ } in [C(I; (11) for a chosen subsequence. Couples of functions {un , φn } ≡ {u(en ), φ(en )} solve the initial value state problem (5)-(7) for e ≡ en . We have then {u∗ , φ∗ } ≡ {u(e∗ ), φ(e∗ )} {u(en ), φ(en )} ⇀ {u(e∗ ), φ(e∗ )} in V 2 , en ⇀ e in H 1 (0, L). The weak lower semicontinuity of the functional J implies that {u(e∗ ), φ(e∗ )} is a minimum of J. Example We can take as the cost functionals ∫ ∫ [(u − z1 )2 + (φ − ψ1 )2 dx dt + α i) J1 (u, φ, e) = Q |e(x)| dx; z1 , ψ ∈ L2 (Q), (12) 0 ∫ ii) J2 (u, φ, e) = ∥u − z2 ∥2V + ∥φ − ψ2 ∥2V + α L L |e(x)| dx; z2 , ψ2 ∈ V, (13) 0 {u.φ} ∈ V 2 , e ∈ C([0, L]), α ≥ 0 (14) with the weight of the beam involved in the case α > 0. Remark 4 In the case of α = 0 in the previous example we can consider instead of the admissible set of thicknesses Ead its subset ∫ L Ẽad = {e ∈ Ead : e(x) = ẽ} 0 expressing the assumption of the constant weight of the beam. ACKNOWLEDGEMENT The work presented here was supported by the Ministry of Education of Slovak Republic under VEGA grant 1/0426/12 and by grant of Science and technology Assistance Agency no. APVV-02460-12. References [1] Araruna, F.D. - Feitosa, J.R. - Oliveira, M.L.: A boundary obstacle problem for the MindlinTimoshenko system Math. Meth. Appl. Sci. 32 (2009), 738–756. [2] Bock, I. - Kečkemétyová, M.: Regularized optimal control problem for a beam vibrating against an elastic foundation. Tatra Mountains Math. Publ. 63 (2015), to appear. [3] Lagnese, J.E. - Lions, J.-L.: Modelling Analysis and Control of Thin Plates, Masson Paris and Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1989. [4] Lions, J.L.:Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. Dunod, Gauthier-Villars Paris 1969. [5] Salač, P.: Shape optimization of elastic axisymmetric plate on an elastic foundation. Applications of Mathematics 40 (1995), 319-338. [6] Šimeček, R.: Optimal design of an elastic beam with a unilateral elastic foundation: Semicoercive case. Applications of Mathematics 58, No.3 (2013), 329–346. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS Dynamic contact of beams with rigid obstacles. I. Bock1 Abstract We deal with initial-boundary value problems describing the perpendicular vibrations of a viscoelastic and an elastic beam in a contact with a rigid inner obstacle. Weak formulation of the problem are in the form of hyperbolic variational inequalities. We solve the problems using the penalty method. The time derivative of the function representing the nonstationary deflection of the beam middle line is not continuous due to the hitting the obstacle. The acceleration term appears only implicitly in the viscoelastic case and has the form of a vector measure in the elastic case. Key Words Elastic beam; viscoelastic beam; dynamic contact; variational inequalities; penalization 1 INTRODUCTION AND FORMULATION OF THE PROBLEM The dynamic contact problems are not frequently solved in the framework of variational inequalities. Due to the character of hyperbolic variational inequalities modeling the problem there is no general existence and uniqueness theory as in the stationary and quasistationary case. The case of an elastic membrane is still not solved. We deal here with a viscoelastic and an elastic beam vibrating in the presence of a rigid obstacle. We consider a simply supported beam of the length L > 0. Its variable thickness is expressed by a positive function x 7→ e(x), x ∈ [0, L], the constant a > 0 is a rotary inertia term, the constants d0 > 0, d1 ≥ 0 involve the material and geometrical characteristics. For simplicity we assume ρ = 1 the density of the material. If f : (0, T ] × (0, L) 7→ R is a perpendicular load acting on the beam, a function Ψ : [0, L] 7→ R expresses a rigid obstacle, u0 : (0, L) 7→ R, v0 : (0, L) 7→ R are the initial displacement and velocity respectively, then its vertical displacement u : Q 7→ R, Q = (0, T ] × (0, L) of the middle line solves the following hyperbolic initial-boundary value problem with an unknown contact force g and the complementary conditions. ) e(x)utt − a[e3 (x)uttx ]x + [e3 (x)(d1 utxx + d0 uxx )]xx , = f + g, on Q, (1) u ≥ Ψ, g ≥ 0, (u − Ψ )g = 0 u(t, 0) = uxx (t, 0) = u(t, L) = uxx (t, L) = 0, t ∈ (0, T ], (2) u(0, ·) = u0 ≥ Ψ, ut (0, ·) = v0 on (0, L). (3) The Einstein summation convection has been applied above. The beam is acting under upon a perpendicular load f and an unknown contact force g between the beam and the rigid obstacle y = Ψ −e/2. 1 Prof.RNDr.I. Bock,PhD,Institute of Computer Science and Mathematics FEI STU,81219 Bratislava, igor.bock@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava For any η > 0 we define the penalized problem in a form ü − a[e3 (x)uttx ]x + [e3 (x)(d1 utxx + d0 uxx )]xx= , f + η −1 (u − Ψ )− on Q, (4) u(t, 0) = uxx (t, 0) = u(t, L) = uxx (t, L) = 0, t ∈ (0, T ], (5) u(0, ·) = u0 , ut (0, ·) = v0 on (0, L). (6) We introduce the Hilbert spaces H ≡ L2 (0, L), H k (0, L) = {y ∈ H : y (k) ∈ H}, k ∈ N with the standard inner products (·, ·), (·, ·)k , k ∈ N and the norms | · |0 , k · kk . The spaces H01 (0, L) = {y ∈ H 1 (0, L) : y(0) = y(L) = 0}, V = H 2 (0.L) ∩ H01 (0, L) with the inner products and the norms Z L 1/2 y 0 z 0 dx, kyk0 = (y, y)0 , y, z ∈ H01 (0, L); (y, z)0 = 0 L Z 1 (eyz + ae3 y 0 z 0 ) dx, kykr = (y, y)1/2 r , y, z ∈ H0 (0, L); (y, z)r = 0 Z ((y, z)) = L y 00 z 00 dx, kyk = ((y, y))1/2 , y, z ∈ V. 0 The inner product (·, ·)r and the norm kykr correspond to the rotation inertia term. We denote by V ∗ the dual space of linear bounded functionals over V with duality pairing hF, yi∗ = F (y), F ∈ V ∗ , y ∈ V. It is a Banach space with a norm k · k∗ . The spaces V, H, V ∗ form the Gelfand triple meaning the dense and compact embedings V ,→,→ H ,→,→ V ∗ . For a Hilbert space X we denote by L2 (I; X) the Hilbert space of all functions y : I 7→ X such that ky(·)kX ∈ L2 (0, T ) with the inner product Z (u, v)L2 (I,X) = (u, v)X dt, u, v ∈ L2 (I, X), I ¯ X) the space by L∞ (I; X) the space of essentially bounded functions with values in X, and by C(I; k ¯ ¯ ¯ of continuous functions y : I 7→ X, I = [0, T ]. For k ∈ N we denote by C (I; X) the spaces of k-times continuously differentiable functions defined on I¯ with values in X and we set k ¯ X) : d v ∈ L2 (I; X)} H k (I; X) = {v ∈ C k−1 (I; dtk the Hilbert spaces with the inner products Z (u, v)H k (I,X) = [(u, v)X + I k X (uj , v j )X ] dt, k ∈ N. j=1 If Y is a Banach space, then L1 (I; Y ) is a Banach space of functions y : I 7→ Y such that ky(·)kY ∈ L1 (0, T ) with the norm Z kykL1 (I;Y ) = ky(t)kY dt. I We define the bilinear forms by A(e; w, y) = d1 e w00 y 00 , B(e; w, y) = d0 e w00 y 00 ; d0 > 0, d1 > 0; w, y ∈ H 2 (0.L). (7) Further we assume a > 0, 0 < e ∈ H 1 (0, L), Ψ ∈ C[0, L], Ψ < 0; u0 , v0 ∈ V, f ∈ L2 (Q). (8) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava Solving the viscoelastic problem We start with the viscoelastic case. It differs from the elastic case in the positivity d1 > 0 of the viscosity constant. 2.1 Penalized problem We formulate a weak solution of the penalized problem (4)-(6) for the viscoelastic case. Problem Pηv . We look for u ∈ L2 (I; V ) such that u̇ ∈ L2 (I; V ), ü ∈ L2 (I; H01 (Ω)), the equation Z Z   üz + ∇ü · ∇z + A(u̇, z) + B(u, z) − η −1 (u − Ψ )− z dx dt = f z dx dt Q (9) Q holds for all z ∈ L2 (I; V ) together with the initial conditions (6). We derive the a priori estimates for solutions of the Problem Pηv . We insert ( u̇ for t ≤ s z= 0 for t > s in (9) for arbitrary s ∈ I, denote Qs = (0, s) × (0, L) and obtain  Z Z 
1 2 3 2 −1 − 2 f u̇ dx dt. ∂t eu̇ + ae u̇x + B(u, u) + η ((u − Ψ ) ) + A(u̇, u̇) dx dt = Qs Qs 2 (10) Applying the expressions (7) of bilinear forms A, B and the assumptions (8) we obtain the η−independent a priori estimates ku̇kL2 (I,V ) + ku̇kL∞ (I,H 1 (0,L))) + kukL∞ (I,V ) ≤ C1 ≡ C1 (f, u0 , v0 , e, Ψ ) (11) We have directly from (9) the η−dependent estimate ku̇kL∞ (I,H 1 (0,L))) ≤ C2 (η) (12) and formulate the existence and uniqueness theorem of a solution to the penalized problem. Theorem 1 There exists a unique solution of the problem Pηv . Proof. Let {wi ∈ V ; i ∈ N} be an orthonormal with respect to the inner product (·, ·)r basis of V . We construct the Galerkin approximation um of a solution in a form um (t) = m X αi (t)wi , αi (t) ∈ R, i = 1, ..., m, m ∈ N i=1 given by the solution of the approximated problem Z L
ae3 ümx (t)wix + eüm (t)wi + A(u̇m (t), wi ) + B(um (t), wi ) − η −1 (um (t) − Ψ )− wi dx 0 Z = (13) L f (t)wi dx, i = 1, ..., m, 0 um (0) = u0m , u̇m (0) = v0m ; u0m → u0 , u0m → v0 in V. (14) Applying the estimates (11), (12) and the imbedding theorems in Sobolev spaces we obtain the subsequence of {um } (denoted again by {um }), and a function u such that the following convergences um *∗ u ∗ in L∞ (I; V ), u̇m * u̇ in L∞ (I; H 1 (0, 1), u̇m * u̇ in L2 (I; V ), üm * ü 1 in L2 (I; H (0, L), u̇m → u̇ in L2 (I; H 1 (0, L). (15) hold and u solves (9). The initial conditions (6) follow due to (14) and the existence part of the proof is completed. The uniqueness follows using the Gronwall lemma. 2.2 The original problem To state the variational formulation of this problem we shall use the closed convex set K := {y ∈ L2 (I; V ); ẏ ∈ L2 (I; H 1 (0, L), y ≥ Ψ }. (16) Performing the integration by parts both with respect to t and x we obtain the formulation without an acceleration term. Problem P v We look for u ∈ K such that u̇ ∈ L2 (I; V ) and the inequality Z
A(u̇, y − u) + B(u, y − u) − ae3 u˙x (y˙x − u˙x ) − eu̇(ẏ − u̇) dx dt Q Z L + Z
ae3 u˙x (yx − ux ) + u̇(y − u) (T, ·) dx 0 L
ae3 v0 x(yx (0, ·) − u0x ) + v0 (y(0, ·) − u0 ) dx + ≥ 0 (17) Z f (y − u) dx dt. Q holds for any y ∈ K . Using the solutions of the penalized problem Pηv , η > 0, we verify the following existence theorem. Theorem 2 There exists a solution of the Problem P v . Proof. The solution {uη } of Pηv fulfils the η-independent estimate ku̇η kL2 (I,V ) + ku̇η kL∞ (I,H 1 (0,L)) + kuη kL∞ (I,V ) ≤ C1 ≡ C1 (f, u0 , v0 , e, Ψ ). (18) After putting u = uη , z = w − uη in (9) we obtain in the same way as in the case of clamped plate in [1] the following crucial estimate 3 kη −1 u− η kL1 (Q) + k − ae üηxx + eüη kL1 (I;V ∗ ) ≤ C3 (f, u0 , v0 , e, Ψ ) (19) After applying the generalization of the Aubin lemma derived in [6], the relative compactness of the sequence {−ae3 üηk xx + üηk }, ηk → 0+ implies the strong convergence u̇k → u̇ in L2 (I; H 1 (0, L). The other convergences are of the same type as in the first triple of (15) and the existence of a solution follows from the penalized problems Pηv , η > 0. 3 Solving the elastic problem We assume d1 = 0 and hence A = 0 in this case. 3.1 Elastic penalized problem We formulate a weak solution of the penalized problem (4)-(6) for the elastic case. Problem Pηe . We look for u ∈ L2 (I; V ) such that ü ∈ L2 (Q), the equation Z Z
eüz + ae3 üx z) + B(u, z) − η −1 u− z dx dt = f z dx dt Q (20) Q holds for all z ∈ L2 (I; V ) together with the initial conditions (6). In the same way as in the viscoelastic case we obtain η-independent a priori estimates of solutions u ≡ uη : ku̇kL∞ (I,H 1 (0,L)) + kukL∞ (I,V ) ≤ C4 ≡ C4 (f, u0 , v0 , e, Ψ ) (21) and formulate the existence and uniqueness theorem of a solution to the penalized problem. Theorem 3 There exists a unique solution of the problem Pηe . 3.2 Elastic contact problem In this case we do not have the strong convergence of a sequence of time derivatives u̇ηk as in the viscoelastic case. The L1 (Q) estimate of the penalty term implies the boundedness of the corresponding acceleration terms in the space M (I; L2 (0, L)) of vector measures (see [3] for details). We introduce the closed convex set ¯ V ); y ≥ Ψ }, C := {y ∈ Cw (I; (22) ¯ V ) is the set of weakly continuous functions mapping the time interval I¯ into V . We are where Cw (I; looking for a solution in the convex set ¯ V ), v̇ ∈ Rw (I, ¯ H 1 (0, L)), v̈ ∈ M0 (Q), y ≥ Ψ }. Y = {v ∈ Cw (I; 0 (23) ¯ H 1 (0, L)) the set of all weakly right continuous weakly regulated maps mapping I¯ We denote by Rw (I, 0 1 to H0 (0, L)) and by M0 (Q) the set of signed measures M on Q fulfilling Z ϕ dM ≤ c|ϕ|C0 (I;L2 (0,L)) ∀ϕ ∈ C0 (Q). Q We remark that C0 (I; L2 (0, L)) and C0 (Q) are the sets of continuous functions from R to L2 (Ω) vanishing outside I and from R3 to R vanishing outside Q respectively. Problem P e To find u ∈ Y such that the inequality Z Z (1 − a∆)(y − u) dü ≥ [f (y − u) − B(u, y − u)] dx dt Q (24) Q holds for all y ∈ C and the initial conditions (3) are fulfilled. Using the penalized Problem Pηe with the estimates (21) and the L1 (Q) estimate of the penalty term we obtain after applying the technique of vector measures from [3] (see also [4], [7]) the existence of a solution in Theorem 4 There exists a solution of the Problem P e . Remark 5 The set W in (23) can be experssd also in the form W = {v ∈ L∞ (I; V ) : v̇ ∈ L∞ (I, H01 (Ω)), v̈ ∈ M0 (Q)}. The representation (23) enables to express directly the initial conditions (3). Remark 6 The interpretation of accelerations through vector measures is possible also in the viscoelastic case. ACKNOWLEDGEMENT The work presented here was supported by the Ministry of Education of Slovak Republic under grant VEGA-1/0426/12 and by grant of Science and technology Assistance Agency no. APVV-02460-12. References [1] I. Bock and J. Jarušek: Unilateral dynamic contact of viscoelastic von Kármán plates. Adv. Math. Sci. Appl. 16 (2006), 175-187. [2] I. Bock and J. Jarušek: Solvability of dynamic contact problems for elastic von Kármán plates. SIAM J. Math. Anal. 41 (2009), 37-45. [3] I. Bock, J. Jarušek and M. Šilhavý : Existence of solutions to a dynamic contact contact problem for a thermoelastic von Kármán plate. (in preparation). [4] E. Casas, Ch. Clason and K. Kunisch: Approximation of elliptic control problems in measure spaces with sparse solutions . SIAM J. Control Optim. 50 (2012), 1735-1752. [5] C. Eck, J. Jarušek and M. Krbec: Unilateral Contact Problems in Mechanics. Variational Methods and Existence Theorems. Monographs & Textbooks in Pure & Appl. Math. No. 270 (ISBN 1-57444-629-0). Chapman & Hall/CRC (Taylor & Francis Group), Boca Raton – London – New York – Singapore 2005. [6] J. Jarušek, J. Málek, J. Nečas and V. Šverák: Variational inequality for a viscous drum vibrating in the presence of an obstacle. Rend. Mat., Ser. VII, 12 (1992), 943–958. [7] K. Pieper and B. Vexler: A priori error analysis for discretization of sparse elliptic optimal control problems in measure space. SIAM J. Control Optim. 51 (2013), 2788-2808. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS FAILURE OF COMPOSITE MATERIALS WITH SHORT RANDOMLY ORIENTED FIBRES E. Kormaníková1 Abstract This paper pertains to the micromechanical analysis of composite materials with short fibers. The micromechanical analysis takes into account the nature of the constituents and their distribution. It can be used to evaluate the material properties of composites. The micromechanical analysis has been carried out using the program in MATLAB. Finite Element Method is used as a tool to predict the laminate strength. Numerical simulation has been prepared by using a commercially available ANSYS code. Key Words Micromechanical analysis, composite materials, failure, strength. 1 INTRODUCTION Composite materials have become common engineering materials due to their good mechanical and electrochemical properties. Specifically fiber-reinforced composites are one of the most widely used man-made composite materials; they are constituted by reinforcing fibers embedded in a matrix material (Fig. 1). Modeling can play an important role in the analysis and design of fiber-reinforced composite materials. Their mechanical properties and possible failure modes can be predicted early during the design stage using effective modeling techniques [1, 2]. Many analytical techniques of homogenization are based on the equivalent eingestrain method, which considers the problem of a single ellipsoidal inclusion embedded in an infinite elastic medium. The Eshelby solution develops a method, which considers a random distribution of inclusions in an infinite medium. Homogenization of composites with periodic microstructure has been accomplished by using various techniques including an extension of the Eshelby inclusion problem, the Fourier series technique, and variational principles. Fig. 1. RVE with randomly distributed fibers [3] 1 doc. Ing. E. Kormaníková, PhD., TU Košice, Civil Engineering Faculty, Department of Structural Mechanics, +421 55 6024168, eva.kormanikova@tuke.sk. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava MICROMECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS WITH SHORT FIBERS 2.1 Tsai and Pagano model The classical laminate theory is the most commonly used theory for analysis of composites with randomly oriented short fibers. The laminates with the orientation of angles [0/ ± 45 /90] and [0/ ± 60 ] are particularly very suitable for practical applications. In order to predict the strength of this type of composite, it is best to use the maximum strain criterion and then the strength of a composite with randomly-oriented short fibers can be determined by using the properties of unidirectionally reinforced composites with short fibers. In order to evaluate the elastic matrix E of a composite layer, the simplified relations are defined by Tsai and Pagano as U 1 = (3( E11 ) L + 2( E12 ) L + 3( E22 ) L + 4( E66 ) L ) / 8 U 2 = (( E11 ) L − ( E12 ) L ) / 2 U 3 = (( E11 ) L − 2( E12 ) L + ( E22 ) L − 4( E66 ) L ) / 8 U 4 = (( E11 ) L + 6( E12 ) L + ( E 22 ) L − 4( E66 ) L ) / 8 U 5 = (( E11 ) L − 2( E12 ) L + ( E22 ) L + 4( E66 ) L ) / 8 (1) where the subscript L means the local coordinate system. The components of elastic matrix in global coordinate system can be calculated as E11 = U 1 + U 2 cos 2θ + U 3 cos 4θ E12 = U 4 − U 3 cos 4θ 1 E14 = U 2 sin 2θ + U 3 sin 4θ 2 E 22 = U 1 − U 2 cos 2θ + U 3 cos 4θ 1 E 24 = U 2 sin 2θ − U 3 sin 4θ 2 E 44 = U 5 − U 3 cos 4θ (2) where θ is angle of fiber orientation. 2.2 Periodic microstructure model A random microstructure results in transversely isotropic properties on a mezzo-scale. A simple alternative is to assume that the random microstructure is well-approximated by a periodic microstructure model (Fig. 2). Periodic microstructure mechanics exploits the geometric periodicity of the system in order to simplify mechanical field variables, such as stress, strain, and stiffness. In general, there is a correlation between all of these terms and the position inside the representative volume element (RVE) [4-6]. Fig. 2. A periodic microstructure model The elastic properties of a homogenized material can be computed by 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava  S32 2 S 6 S3 aS3 S62 − S72  − − + ( m )2 µ (m )2 g µ (m )c µ ( m )2 g 2 ξ (f )  µ E11 = λ(m ) + 2 µ ( m ) − D  aS6 + bS7 a 2 − b 2 + +  4c 2 µ ( m ) gc  E12 = λ(m ) + ξ (f )  S3 b D  2cµ (m ) E22 = λ( m ) + 2 µ ( m ) −  +      S −S a+b  − 6 (m ) 7 − 2cµ g 4c 2  E44 = µ aS aS 6 a 2 − b2   − ( m3 ) +  + (m ) D  2 µ c 2 µ gc 4c 2  (  2S − ξ  − (m3) + µ (m ) − µ (f )  µ (f ) where D= aS 32 2µ ( ( m )2 c − ) ) −1 + ( µ (m ) ( ) ( and (6) (7) )    −1 ) ( (8) ) aS 6 S3 a S 62 − S 72 S3 b 2 − a 2 + + + µ (m )2 gc 2 µ (m )2 g 2c 2 µ (m )c 2 ( (5) −1 4S7 2 − 2ν (m ) S a − b 2 + S 7 ab + b 2 a 3 − 2b 3 − 3ab 2 + 6 + 2 µ (m ) gc 2 8c 3 2 (4) ξ (f )   S −1  E14 = µ ( m ) − ξ ( f )  − (3m ) + (µ ( m ) − µ ( f ) )   µ  (f) 2  aS  ba + b ξ 7   E 24 = λ( m ) + − D  2 µ ( m ) gc 4c 2  (m ) (3) ) a = µ (f ) − µ (m ) − 2 µ (f )ν (m ) + 2 µ (m )ν (f ) , b = − µ ( m )ν (m ) + µ (f )ν (f ) + 2 µ (m )ν (m )ν (f ) − 2 µ (f )ν (f )ν ( m ) (9) (10) (11)  µ (f ) − µ (m ) + µ (f )ν (f ) − µ (m )ν ( m ) + 2µ (m )ν (f ) −   c = µ ( m ) − µ (f )  (f ) ( m) ( m ) (f ) ( m ) ( f ) ( m ) (f )   − 2µ ν + 2 µ ν ν − 2 µ ν ν  (12) ( (13) ( ) g = 2 − 2ν (m ) λ= E , (1 + ν )(1 − 2ν ) ) µ =G= E 2(1 + ν ) (14) The constants S3, S6, S7 are given by S 3 = 0,49247 − 0,47603ξ (f) − 0,02748ξ (f)2 S 6 = 0,36844 − 0,14944ξ (f) − 0,27152ξ (f)2 (15) S 7 = 0,12346 − 0,32035ξ (f) + 0,3517ξ (f)2 When we can derived the components of elastic matrix E, we can calculate material characteristics needed for modeling at macroscopic level E1 = E11 − E2 = 2E122 E22 + E23 (2E11 E22 + 2E11E23 − 4E122 )(E22 − E23 + 2E44 ) 3E11E22 + E11E23 + 2E11 E44 − 4E122 (16) (17) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings G12 = E 66 , ν 12 = October 2015, Bratislava E12 E22 + E23 (18) 2.3 Failure criteria The failure criteria are used to calculate a failure index (FI) from the computed stresses and user-supplied material strengths. The failure index as a response of quantity is used for several FEA packages and it is defined as IF = stress strength (19) Failure criteria predict the first occurrence of failure in one of the laminate layers. A value less than 1 denotes no failure and failure is predicted when IF ≥ 1. The strength ratio is the inverse of the failure index. It is important to distinguish between the fibre failure (FF) and the inter-fibre failure (IFF). In the case of shear plane stress, the IFF criteria discriminates three different modes [6]. The IFF Mode A is when perpendicular transversal cracks appear in the lamina under transverse tensile stress with or without in-plane shear stress. The IFF Mode B denotes perpendicular transversal cracks, but in this case they appear under inplane shear stress with small transverse compression stress. The IFF Mode C indicates the start of oblique cracks when the material is under significant transversal compression. The FF and the three IFF modes yield separate failure indices. 3 NUMERICAL EXAMPLE In this example, a composite with randomly oriented fibers is assumed with its material characteristics for the fibers Ef = 210GPa, ν f = 0.3 and for the matrix (C25/30) Em = 31GPa, ν m = 0.15 . The geometrical characteristics of the DRAMIX fibers [7] are L = 6 cm, d = 0.75 mm. The fiber volume fraction is 30kg/m3. Find the flexural bending strength of the composite. A simply supported square plate was analysed with a side length of 3m, a thickness of 0.2m, and there are the flexural uniform loading. 3.1 Results and discussion The material characteristics of the composite material given for a variable amount of fibers are shown in Tables 1 and 2, including their Young’s Moduli E and Poisson’s Ratios. E Young’s Moduli [GPa] ν Poisson’s Ratio 31.24 0.15 Tab. 1. Material characteristics calculated using the periodic microstructure model Young’s Moduli [GPa] ν Poisson’s Ratio 331.47 0.147 Tab. 2. Material characteristics calculated using the classical laminate theory with Tsai and Pagano model The moduli of elasticity – the first-ply E1FAIL, the second-ply E2FAIL and the ultimate failure E3FAIL in a fictitious laminate [0/45/-45/90]S – are used instead of these in a composite with short fibres. Their values calculated using the classical laminate theory are given in Table 3. E1FAIL [GPa] E2FAIL [GPa] E3FAIL [GPa] 31.47 23.66 15.75 Tab. 3. Moduli of elasticity of a composite calculated using the classical laminate theory 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava For given variable amounts of fibers 30kg/m3 there are minimal changed the material characteristic solved by help of periodic microstructure model and classical laminate theory with Tsai and Pagano model. Then the flexural tensile strength and characteristic flexural tensile strength of composite with short fibers were calculated and compared with DRAMIX fibers RC80/60-BN (Table 4). 30kg/m3 f fctm,eq [MPa] 2.448 30kg/m3 RC80/60-BN 2.26 f fctk ,eq [MPa] 1.714 1.83 Tab. 4. Flexural tensile strength and characteristic flexural tensile strength for the fibers Fig. 3. The maximum failure index in a composite plate with the fiber content of 30kg/m3 Fig. 4. The maximum failure index in an unreinforced plate 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava CONCLUSION Some methods for the calculation of the modulus of elasticity and the strength of randomly reinforced composite materials are derived in the example [9]. There are no significant differences in the modulus of elasticity by using the periodic microstructure model and the classical laminate theory with Tsai and Pagano model. There was used the fictitious laminate [0/45/-45/90]S in the Classical laminate theory. The main characteristic is the strength of a composite with short fibers. This characteristic was determined theoretically and compared with DRAMIX fibers RC80/60-BN. The maximum stress criterion was used for the calculation of the failure index using the FEM ANSYS code [10-15]. There is used the quadrilateral finite element SHELL91. In Figures 3 and 4, the maximum failure indices for a reinforced plate and an unreinforced plate, respectively are shown. The maximum failure index appears in the middle of the plate. According to the maximum stress criterion, the maximum failure index IF,MAX S for 30kg/m3 is 0.589 and for the unreinforced plate is 0.906. ACKNOWLEDGEMENT This work was supported by the Scientific Grant Agency of the Ministry of Education of Slovak Republic and the Slovak Academy of Sciences under Project VEGA 1/0477/15. REFERENCES [1] V. Las: Mechanics of Composite Materials, West Bohemia University, 2008 (in Czech). [2] P.K. Mallick: Fiber-Reinforced Composites: Materials, Manufacturing and Design, CRC Press, Taylor & Francis, 2007. [3] S. Kari - H. Berger - U. Gabbert: Numerical evaluation of effective material properties of randomly distributed short cylindrical fibre composites. In: Computational Materials Science. 2007, vol. 39, pp. 198204. [4] E. Carrera: Theories and Finite Elements for Multi-layered Plates and Shells, Arch. Comput. Meth. Engng, 10 (3), 2003, pp. 215 - 296. [5] R. Luciano - Barbero, E. J.: Formulas for the Stiffness of Composites with Periodic Microstructure, Int. Journal of Solids and Structures, 31 (21) (1995) pp. 2933-2944. [6] Barbero: Finite Element Analysis of Composite Materials, CRC Press, Taylor & Francis Group, 2008. [7] DRAMIX Guideline: Design of Concrete Structures, Nr. 4, 1995. [8] H. Falkner - M. Teutsch - H. Klinkert,: Power Class of Iron Fibre-Concrete, Braunschweig, booklet 143, 1999. [9] J. Sykora - M. Sejnoha - J. Sejnoha: Homogenization of coupled heat and moisture transport in masonry structures including interfaces, Applied Mathematics and Computation, 219 (13), pp. 7275-7285, 2013. [10] N. Jendzelovsky: Analysis of the 3D state of stress of a concrete beam, Advanced Materials Research, Volume 969, pp. 45-50, 2014. [11] K. Tvrda: Probability and sensitivity analysis of plate, Applied Mechanics and Materials, Volume 617, pp. 193-196, 2014. [12] M. Zmindak - Z. Pelagic - M. Bvoc: Analysis of high velocity impact on composite structures, Applied Mechanics and Materials, Volume 617, pp. 104-109, 2014. [13] J. Melcer - G. Lajcakova: Comparison of finite element and classical computing models of reinforcement pavement, Advanced Materials Research, Volume 969, pp. 85-88, 2014. [14] E. Kormanikova - I. Mamuzic: Optimization of laminates subjected to failure criterion, Metalurgija, vol. 50 (1), pp. 41-44, 2011. [15] J. Králik: A RSM Method for Nonlinear Probabilistic Analysis of the Reinforced Concrete Structure Failure of a Nuclear Power Plant – Type VVER 440, In: Engineering Mechanics, Ed. AEM Prague, Vol.18, 2011, No. 1, ISSN 1802-1484, p.3-22. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NUMERICAL EXPERIMENT OF SOIL - LIQUID – COMPOSITE STORAGE TANK S. Harabinová1, K. Kotrasová2, E. Kormaníková3, E. Panulinová4, Abstract Ground-supported tanks are used to store a variety of liquids. The fluid develops hydrodynamic impulsive and convective pressures on walls and bottom of tank during an earthquake. This paper provides theoretical background for specification of hydrodynamic actions of fluid in liquid storage cylindrical container by using analytical methods. Numerical model of seismic response of fluid - structure -soil interaction of cylindrical tank was obtained by using of Finite Element Method (FEM). Key Words fluid, earthquake, Finite Element Method (FEM). 1 INTRODUCTION Storage tanks containing liquids can be found in many industries, including: - petroleum production and refining, - petrochemical and chemical manufacturing, - bulk storage and transfer operations, and - other industries consuming liquids. Tanks are used to store a variety of liquids, e.g. water for drinking and fire fighting, petroleum, chemicals, and liquefied natural gas. Several cases of damage to tanks have been observed in the past as a result of earthquakes. Ground-supported circular tanks are critical and strategic structures, and damage to them during earthquakes may endanger drinking water supply, cause failure in preventing large fires and contribute to substantial economic loss. The seismic analysis and design of liquid storage tanks is, due to the high complexity of the problem, in fact, really complicated task. Number of particular problems should be taken into account, for example: dynamic interaction between contained fluid and tank - fluid/structure interactions (FSI), sloshing motion of the contained fluid; and dynamic interaction between tank and sub-soil - soil/structure interaction (SSI). The knowledge of 1 Ing. S. Harabinová, PhD., Technical University of Košice, Civil Engineering Faculty, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, +421 55 602 4178, slavka.harabinova@tuke.sk. 2 Ing. K. Kotrasová, PhD., Technical University of Košice, Civil Engineering Faculty, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, +421 55 602 4394, kamila.kotrasova@tuke.sk. 3 Doc. Ing. E. Kormaníková, PhD., Technical University of Košice, Civil Engineering Faculty, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, +421 55 602 4168, eva.kormanikova@tuke.sk. 4 Ing. E. Panulinová, PhD., Technical University of Košice, Civil Engineering Faculty, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, +421 55 602 4266, eva.panulinova@tuke.sk. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava fluid effects acting onto walls and the bottom of containers during an earthquake plays essential role in reliable and durable design of earthquake resistance structure/facility - tanks [1,4,10]. 2 PROPERTIES OF RANDOMLY REINFORCED COMPOSITE WITH SHORT FIBERS In order to predict the material characteristics of randomly reinforced composite, it is possible to use HalphinTsai equations for unidirectionally reinforced composites with short fibres. The material characteristics of these composites can be expressed [1]: E1 = E (m) l ζ Eη Lξ d 1 − η Lξ 1+ G12 = G (m ) 1 + ζ Eη G ξ 1 − η Gξ 3 5 E = E1 + E2 8 8 E 2 = E (m ) ν 12 = ν (m ) 1 + ζ EηT ξ 1 − ηT ξ 1 + ζ Eην ξ 1 − ην ξ 1 1 G = E1 + E2 8 4 ν = (E / 2G ) − 1 (1) where ηL = E( f ) −1 E (m ) E( f ) l (m ) + ζ E d E (f ) G (m ) − 1 G ηG = ( f ) G +ζ E G (m ) E( f ) (m ) − 1 ηT = E( f ) E +ζ E E (m ) ν (f ) (m ) − 1 ην = ν( f ) , ν +ζ E ν (m ) (2) ζ E is a reinforcing factor. It depends on the geometry of the fibres in a composite, the packing arrangement of the fibres and its loading conditions. It ranges in value between 1 and 2. However, only when a reliable experimental value of the E2 is available for a composite, the factor ζ E can be derived and then applied to predict the E2 for a range of fibre-volume ratios of the same composite. l is length of the fibre, d is diameter of the cross section, ξ is fibre volume fraction. 3 SEISMIC ANALYSIS OF LIQUID FILLED TANKS The seismic analysis of a liquid-filled tank may by carried out using the concept of generalized single-degree-offreedom systems representing the impulsive and convective modes of vibration of tank-liquid system. The problem of fluid-structure interaction is very important in case of high of tanks. The motion of fluid in the tank is possible to define using the simple quasistatic model, in which the inertial forces are defined by hydrostatic and hydrodynamic pressure on the tank wall. Hydrodynamic pressure The seismic loads acting on wall and bottom of cylindrical tanks (Figure 1a) can be divided into the following components:
The rigid impulsive component, caused by the inertia of the liquid, if the rigid tank moves together with the foundation,
the convective load component; the fluid vibration in the rigid tank (sloshing),
the impulsive flexible tank shell (e.g. steel tanks) with the liquid. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava z,ζ kcn ζ=1 z=H mcn kcn hcn w(t) g H ρ kc1 mc1 kc1 hc1 y ζ=z=0 mi x,r,ξ uB(t) 2R ξ=1 r=R Fig. 1a. Cylindrical tank hi Fig. 1b. Spring-mass analogy for ground supported circular tanks The motion of the fluid contained in a rigid cylinder may by expressed as the sum of two separate contributions, called “rigid impulsive” and “convective”, respectively. The “rigid impulsive” component satisfies exactly the boundary conditions at the walls and the bottom of the tank, but gives (incorrectly, due to the presence of the waves in the dynamic response) zero pressure at the original position of the free surface of the fluid in the static situation. The “convective” term does not alter those boundary conditions that are already satisfied, while fulfilling the correct equilibrium condition at the free surface. Use is made of a cylindrical coordinate system: r, z, θ, with origin at the centre of the tank bottom and the radius are denoted by H and R, respectively, ρ is the mass density of the fluid, while ξ=r/R is dimensionless radius and ζ=z/H is nondimensional coordinate. Rigid impulsive component The spatial-temporal variation of the “rigid impulsive” pressure is given by the expression pi (ξ , ζ ,θ , t ) = C i (ξ , ζ )ρH cos θAg (t ) (3) where (− 1)n cos(ν ζ )I  ν n ξ  n 1 '. 2  n = 0 I1 (ν n γ )ν n γ  ∞ Ci (ξ , ζ ) = 2∑ (4) 2n + 1 and γ = H R , I1 (⋅) is the modified Bessel function of order 1 and I1' (⋅) is derivate can be 2 dI (x ) I (x ) expressed in terms of modified Bessel function of order 0 and 1 I1' ( x ) = 1 = I 0 (x ) − 1 . The function Ci dx x gives the distribution along the height of pi. θ is angle of circumference, γ=H/R is slenderness, Ag(t) is the ground νn = π horizontal acceleration time-history in free-field with peak value denoted by ag as a result of an equivalent single-degree-of-freedom system with a impulsive period Ti. Impulsive base shear is at the base of the wall is given Qi (t ) = mi Ag (t ) (5) mi is termed impulsive mass, denoted the mass of the contained fluid which moves together with the walls and is given by the expression: I1 (ν n γ ) 3 ' n =0 ν n I1 (ν n γ ) ∞ mi = m 2γ ∑ Where m = ρπR 2 H is total contained mass of the fluid. (6) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The total moment with respect to an axis orthogonal to the direction of the seismic action motion, M i* , immediately bellow the tank bottom includes the contributions of the pressures on the walls from expression (3) and of those on the tank bottom. The total moment M i immediately above the tank bottom includes only the contributions of the pressures on the walls. Impulsive base moment immediately below the tank bottom: M i* = mi hi* A'g (t ) (7) where ∞ ν + 2(− 1) I1 (ν n γ ) 1 + 2γ ∑ n ν n4 I1' (ν n γ ) 2 n =0 hi* = H ∞ I (ν γ ) 2γ ∑ 31 ' n n =0 ν n I1 (ν n γ ) . n +1 (8) Impulsive base moment immediately above the tank bottom: M i = mi hi Ag (t ) (9) where (− 1)n I1 (ν n γ ) (ν (− 1)n − 1) ∑ ν 4 I ' (ν γ ) n = H n=0 n 1∞ n I1 (ν n γ ) ∑ 3 ' n =0 ν n I1 (ν n γ ) ∞ hi (10) Convective pressure component The spatial-temporal variation of the “convective” pressure component is given by the expression ∞ pc (ξ , ζ , θ , t ) = ρ ∑ψ n cos(ν nγζ )J 1 (ν nξ ) cos θAcn (t ) n =1 where ψ n = (λ 2R 2 n ) ( ) (11) ( ) − 1 J 1 λ n cosh λ n γ (12) J1 is Bessel function of the first order, λn are the roots of the first-order Bessel function of the first kind (λ1=1.8412; λ2=5.3314; λ3=8.5363, λ4=11.71, λ5=14.66 and λ5+i=λ5+5 i (i=1,2,...)). Acn (t ) is acceleration timehistory of the response of a single degree of freedom oscillator having a circular frequency ωcn = ωcn was given by gλn tanh (λnγ ) R (13) 2π gλn tanh (λnγ ) R (14) so Tcn = and a damping ratio appropriate for the sloshing of the fluid. Only the first oscillating, or sloshing, mode and frequency of the oscillating liquid (n=1) needs to be considered in expression for design purposes. ωc1 = 4,2 R which, for the usual values of R yields periods of oscillation of the order of few seconds. Convective base shear is given 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava ∞ Qc (t ) = ∑ mcn Acn (t ) n =1 (15) where mcn = m 2 tanh (λ n γ ) λ n γ λ 2n − 1 ( ) (16) Moment immediately below the bottom plate of the tank: ∞ ∞ n =1 n =1 * M c/ (t ) = ∑ (mcn Acn (t ))hcn* = ∑ Qcn (t )hcn (17) where  2 − cosh (λnγ )  *  hcn = H 1 + λnγ sin (λnγ )   (18) Moment in tank wall immediately above the bottom plate ∞ ∞ n =1 n =1 M c (t ) = ∑ (mcn Acn (t ))hcn = ∑ Qcn (t )hcn (19) where  1 − cosh (λnγ )   hcn = H 1 + λnγ sin (λnγ )   (20) The convective component of the response may be obtained from that of oscillators having masses mcn , attached to the rigid tank through springs having stiffness k n = ω mcn . The tank is subjected to the ground 2 n * or hcn is the level where acceleration time-history Ag(t) and the masses respond with accelerations Acn (t ) . hcn * the oscillator needs to be applied in order to give the correct value of M cn or M cn , respectively. Flexible component It is normally unconservative to consider the tank as rigid (especially for steel tanks). In flexible tanks the fluid pressure is usually expressed as the sum of tree contributions, referred to as: “rigid impulsive”, “sloshing” and “flexible”. The third satisfied the condition that the radial velocity of the fluid along the wall equals the deformation velocity of the tank wall, as well as the conditions of zero vertical velocity at the tank bottom and zero pressure at the free surface of the fluid. The dynamic coupling between the sloshing and the flexible components is very weak, due to the large differences between the frequencies of the sloshing motion and of the deformation of the wall, which allows determining the third component independently of the others. The radial distribution of the flexible impulsive pressure on the tank bottom is qualitatively the same as for the rigid impulsive pressure. Assuming the modes as known, the flexible pressure distribution on the walls has the form ∞ p f (ζ , θ , t ) = ρHψ cos θ ∑ cos(ν n ζ )A fn (t ) (21) n =1 4 FEM – FLUID STRUCTURE INTERACTION For the fluid-structure interaction analysis, there are possible three different finite element approaches to represent fluid motion, Eulerian, Lagrangian and mixed methods. In the Eulerian approach, velocity potential (or pressure) is used to describe the behavior of the fluid, whereas the displacement field is used in the Lagrangian 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava approach. In the mixed approaches, both the pressure and displacement fields are included in the element formulation. In fluid-structure interaction analyses, fluid forces are applied into the solid and the solid deformation changes the fluid domain. For most interaction problems, the computational domain is divided into the fluid domain and solid domain, where a fluid model and a solid model are defined respectively, through their material data, boundary conditions, etc. The interaction occurs along the interface of the two domains. Having the two models coupled, we can perform simulations and predictions of many physical phenomena. In many fluid flow calculations, the computational domain remains unchanged in time. Such the problems involve rigid boundaries and are suitable handled in Eulerian formulation of equilibrium equations [15]. In the case where the shape of the fluid domain is expected to change significantly, modified formulation called Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation was adopted to simulate the physical behavior of the domain of interest properly. The ALE description is designed to follow the boundary motions rather than the fluid particles. Thus, the fluid particles flow through a moving FE-mesh. Basically there are two different algorithms available for generation of possible moving mesh: 5 NUMERICAL EXPERIMENT OF FLUID - COMPOSITE STORAGE TANK In this study, a ground supported cylindrical storage tank, without a roof, with inner radius R = 7 m, and height Hw = 7.25 m. The walls have the uniform thickness 0.25 m and the base slab of the tanks is 0.4 m. The water filled tank is grounded on gravel sub-soil. Tank is made from irregularly reinforced concrete with short steel fibers, l = 5cm, d = 4mm, ξ = 0,85 %. Tank is located on hard soil. Seismic excitation is along x - direction. The height of water filling is 6 m. H2O is given by bulk modulus B = 2,1⋅109 N/m2, density ρw = 1 000 kg/m3. As the excitation input we consider horizontal earthquake load given by the accelerogram (Figure 2) of the earthquake in Loma Prieta, California (18.10.1989). Seismic excitation acts along y - direction. 0,2 0,1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -0,1 -0,2 Fig. 2. Accelerogram Loma Prieta, California Fig. 3. Pressure of fluid in time 21.36 s Dynamic time-history response of concrete open top cylindrical liquid storage tank was performed by application of Finite Element Method (FEM) utilizing software ADINA. Arbitrary-Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation was used for the problems. Two way Fluid-Structure Interaction (FSI) techniques were used for simulation of the interaction between the structure and the fluid at the common boundary. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The maximum value pmax = 68721 Pa measured at node “RD” (right down edge of fluid region) in time 21.36 s as in the Figure 3. 6 NUMERICAL EXPERIMENT OF SOIL- COMPOSITE STORAGE TANK The cylindrical tank is founded at depth of 0.5 m below the surface on the circular base with diameter of 7.5 m with a thickness of 0.5 m. The concrete tanks – water reservoirs – resting on gravel and silt subsoil have been analyzed. The subsoil has been modeled using 3 various types of subsoil : – soil group G1 – well-graded gravel (GW) with deformation modulus Edef = 320 MPa, – soil group G4 –silty gravel (GM) with deformation modulus Edef = 70 MPa, – soil group F1 – gravelly silt (MG) with deformation modulus Edef = 7.5 MPa, and three basic models – load conditions: 1. empty tank – static analysis, 2. tank with water – static analysis, 3. tank with water – seismic analysis. The tank has been verificated according to theory of Limit States - I. the ultimate limit state (ULS) and II. the serviceability limit state (SLS) under EC 7. It was computed vertical and horizontal bearing capacity, settlement and rotation of a footing. The results from numerical solutions have been presented and compared in tables. Load condition Soil group G1 Design bearing capacity of found.soil Rd Extreme contact stress σ Horizontal bearing capacity Rdh Extreme horizontal force H Foundation settlement Depth of influence zone Max. rotation of foundation Max. compress. foundation edge settlement Min. compress. foundation edge settlement (kPa) (kPa) (kN) (kN) (mm) (m) (mm) (mm) 1 2 3576.39 34.4 4189.72 0.0 0.4 6.79 0.0 0.1 0.1 3576.39 83.0 10092.09 0.0 1.7 11.94 0.0 0.8 0.8 3 3085.63 86.10 10092.09 906.0 1.7 11.94 0.011 0.9 0.8 Tab. 1. Soil group G1 - Results of assessment ULS and SLS Load condition Soil group G4 Design bearing capacity of found.soil Rd Extreme contact stress σ Horizontal bearing capacity Rdh Extreme horizontal force H Foundation settlement Depth of influence zone Max. rotation of foundation Max. compress. foundation edge settlement Min. compress. foundation edge settlement (kPa) (kPa) (kN) (kN) (mm) (m) (mm) (mm) 1 2 1335.60 34.40 3666.98 0.0 1.6 7.38 0.0 0.6 0.6 1335.60 83.00 8329.88 0.0 6.6 12.56 0.0 3.3 3.3 Tab. 2. Soil group G4 - Results of assessment ULS and SLS 3 1153.69 86.10 8317.16 906.0 6.6 12.56 0.039 3.6 3.0 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Load condition Soil group F1 Design bearing capacity of found.soil Rd Extreme contact stress σ Horizontal bearing capacity Rdh Extreme horizontal force H Foundation settlement Depth of influence zone Max. rotation of foundation Max. compress. foundation edge settlement Min. compress. foundation edge settlement October 2015, Bratislava (kPa) (kPa) (kN) (kN) (mm) (m) (mm) (mm) 1 2 845.37 34.40 3555.87 0.0 6.3 7.38 0.0 2.3 2.3 845.37 83.00 7560.52 0.0 26.2 12.56 0.0 13.2 13.2 3 731.21 86.10 7535.08 906.0 26.2 12.56 0.153 14.3 12.0 Tab. 3. Soil group F1 - Results of assessment ULS and SLS Evaluation of the results If we compare the results for I. the ultimate limit state (ULS) it is seen that the biggest value of bearing capacity of foundation soil have soil group G1. By comparing of the results for II. the serviceability limit state (SLS), the greater settlement is for soil group F1. The settlement of the circular plate calculated for 2. load condition was 4 times higher than for 1. load condition for all types of soils. If we compare 2. and 3. load condition it can be seen than the torque effect of seismic loading may cause to "lifting" of the tank edge. Maximum rotation of foundation is growing with the reduction of the stiffness of the subsoil. ACKNOWLEDGEMENTS Preparation of the paper was supported by the Scientific Grant Agency of the Ministry of Education of Slovak Republic and the Slovak Academy of Sciences under Project 1/0477/15. REFERENCES [1] Ľ. Baláž, N. Jendželovský. Dynamic analysis of a cylindrical tank In: Dyn-Wind 2014: international scientific conference: Donovaly, May 26-29, 2014 S. 16-20 ISBN: 978-80-554-0844-6. [2] G. K. Batchelor. An introduction to fluid dynamics. Cambridge: Cambridge University Press. 1967. [3] J. Benčat, Z. Papánová. Dynamic response of structures due to industrial machinery effects. In: 20th International Congress on Sound and Vibration 2013, ICSV 2013. Bangkok; Thailand; 7 July 2013 through 11 July 2013; Code 103420. Volume 4, Pages 3313-3320. [4] A. Di Carluccio, G. Fabbrocino, E. Salzano, G. Manfredi. Analysis of pressurized horizontal vessels under seismic excitation In: ICSV18: 18th The World Conference on Earthquake Engineering: October 12 - 17. 2008, Beijing, China. [5] N. Jendželovský, J. Sumec, Stress - strain fields of the reinforced water tower under seismic loads. In: 9th international scientific conference VSU' 2009: 4 - 5 June, 2009, Sofia, Bulgaria : Vol. 1. Sofia : "L. Karavelov" civil engineering higher school, 2009. P. I76-I-80. ISBN 978-954-331-023-4. [6] E. Kock, L. Olson. Fluid-structure interaction analysis by the finite element method-a variational approach. International Journal for Numerical Methods in Engineering. Volume 31, Issue 3, pages 463491, March 1991, John Wiley & Sons, Ltd. [7] K. Králik, J. Králik jr. Probability assessment of analysis of high-rise buildings seismic resistence, Advanced Materials Research, Volume 712-715, 2013, Pages 929-936. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [8] M. Krejsa, P. Janas, V. Krejsa. Software application of the DOProC method In: International Journal of Mathematics and Computers in Simulation Vol. 8, no. 1 (2014), p. 121-126 ISSN: 1998-0159. [9] K. Kotrasová, I. Grajciar. Seismic analysis of shipping channel. In: Selected Scientific Papers: Journal of Civil Engineering. Roč. 5, č. 3 (2010), s. 13-20. - ISSN 1336-9024. [10] K. Kotrasová. Sloshing of Liquid in Rectangular Tank / Kamila Kotrasová. In: Advanced Materials Research. No. 969 (2014), p. 320-323. - ISBN 978-303835147-4 - ISSN 1662-8985. [11] K. Kotrasová, I. Grajciar, E. Kormaníková. ACase Study on the Seismic Behavior of Tanks Considering Soil-Structure-Fluid Interaction. In: Journal of Vibration Engineering and Technologies. Vol. 3, no. 3 (2015), p. 315-330. - ISSN 2321-3558. [12] K. Kotrasová, I. Grajciar. Dynamic Analysis of Liquid Storage Cylindrical Tanks Due to Earthquake. In: Advanced Materials Research. No. 969 (2014), p. 119-124. - ISBN 978-303835147-4 - ISSN 16628985. [13] K. Kotrasová, I. Grajciar, E. Kormaníková. Dynamic of Civil Engineering and Transport Structures and Wind Engineering. In: Applied Mechanics and Materials. No. 617 (2014), p. 66-69, ISSN 1660-9336 [14] K. Kotrasová, E. Kormaníková. Influence of Mesh Parameter "PATTERN" for Fluid Region Using 3D Fluid Finite Elements. In: New Trends in Static and Dynamics of Buildings: 12th International Conference: Conference Proceedings : October 16-17, 2014, Bratislava. - Bratislava: STU, 2014. S. 1-6. - ISBN 978-80-227-4259-7 [15] H. Lamb. Hydrodynamics. 6th ed New York, Dover Publications; 1945. [16] I. S. Leoveanu, K. Kotrasová, K. Kormaníková. Using of computer fluid dynamics in simulation of the waste reservoirs processes. In: Advanced Materials Research. No. 969 (2014), p. 351-354. - ISBN 978303835147-4 - ISSN 1662-8985. [17] L. Meirovitch. Computational Methods in Structural Dynamics. Sijthoff & Noordhoff, 1980. Netherlands. [18] J. Melcer. Experimental testing of a bridge. Applied Mechanics and Materials, Volume 486, 2014, Pages 333-340. [19] B. Taraba, Z Michalec, V. Michalcová, T. Blejchař, M Bojko, M Kozubková. CFD simulations of the effect of wind on the spontaneous heating of coal stockpiles. Fuel. 2014, vol. 118, p. 107-112, ISSN 0016-2361, DOI: 10.1016/j.fuel.2013.10.064 [20] Manual ADINA. 71 Elton Ave, Watertown, MA 02472, USA, ADINA R&D, Inc., October 2005. [21] EN 1998-4: 2006 Eurocode 8. Design of structures for earthquake resistance. Part 4: Silos, tanks and pipelines. CEN, Brussels, 2006. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS EXPERIMENTÁLNE OVERENIE VÝPOČTU PRVEJ VLASTNEJ FREKVENCIE DOSKY Z PLEXISKLA K. Zabáková Vráblová1, N. Jendželovský 2 a L. Konečná3, Abstract In this article we verified the methodology of experimental measurements on plexiglass plate. We compared the first natural frequency of plate calculated by finite element program ANSYS with results from experiment using a portable dynamic measuring apparatus in laboratory. Kľúčové slová Prvá vlastná frekvencia; MKP; plexisklo; experiment. 1 ÚVOD V súčasnej dobe sú analytické metódy výpočtov postupne vytláčané numerickými metódami. Metóda konečných prvkov je najčastejšie využívaná a univerzálna metóda pri numerických riešeniach problémov mechaniky. MKP patrí medzi variačné metódy. Hlavné výhody MKP sú, že môžeme pracovať s komplexnou geometriou celej riešenej oblasti, aplikovať komplexné zaťaženie a analyzovať aj rôzne fázy výstavby. Výsledky však nie sú všeobecne platné a vždy sa jedná iba o konkrétny model, navyše je táto metóda aproximačná, výsledky teda nie sú presné. Najdôležitejšie je , že pre vytvorenie dobrého numerického modelu a jeho vyhodnotenie je nutné mať skúsenosti a určité odborné znalosti. Preto netreba zabúdať aj na metódy experimentálneho overovania. Dôležité sú nielen experimenty realizované v laboratóriách, ale aj experimenty „in situ“[1,2]. 2 POPIS MODELU V tomto článku sa venujeme porovnaniu prvej vlastnej frekvencie dosky z plexiskla. Táto frekvencia bola vypočítaná pomocou numerického výpočtu vytvoreného v programe ANSYS. Následne sme ju porovnávali s výsledkami experimentálneho merania, ktorého priebeh popisujeme nižšie. Doska z plexiskla mala rozmery 542 x 549 mm, dala by sa teda považovať za štvorcovú. Hrúbka dosky bola 15 mm. Materiálové vlastnosti plexiskla boli: modul pružnosti (E) 3100 MPa, Poissonove číslo (ν) 0,17 a objemová hmotnosť 1180 kg/m3. Doska bola podopretá bodovo vo všetkých štyroch rohoch 25 mm od okraja. Geometria modelu, schéma umiestnenia akcelerometrov a fotka z priebehu experimentu sa nachádzajú na Obr. 1. Ing. Kristína Zabáková Vráblová, Stavebná fakulta STU Bratislava, kristina.vrablova@stuba.sk Prof. Ing. Norbert Jendželovský, PhD., Stavebná fakulta STU Bratislava, norbert.jendzelovsky@stuba.sk 3 Ing. Lenka Konečná , PhD., Stavebná fakulta STU Bratislava, lenka.konecna@stuba.sk 1 2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 1. Geometria modelu, schéma umiestnenia akcelerometrov a fotka z priebehu experimentu 3 NUMERICKÝ VÝPOČET Numerický model bol vytvorený v programe ANSYS. Na modelovanie dosky sme zvolili prvok SHELL 63 s maximálnou dĺžkou hrany 12,5 mm. SHELL 63 je plošný konečný prvok so šiestimi premiestneniami v uzle. Sieť konečných prvkov bola vygenerovaná programom automaticky (Obr.2). Model bol podopretý vo všetkých štyroch rohoch podľa schémy. V každom rohu bolo zabránené posunom v smere osi z a v jednom rohu sme uchytili stupeň voľnosti aj v smere x a y, aby sme zabezpečili uchytenie telesa v priestore [3]. Obr. 2. Model dosky z plexiskla , ANSYS Na takomto modeli sme zrealizovali modálnu analýzu. V numerickej analýze MKP sa na výpočet vlastných čísel používa niekoľko metód: Bloková Lanczosova metóda, PCF Lanczosova metóda, Metóda iterácie podpriestoru a Redukovaná metóda. My sme ako extrakčnú metódu použili blokovú Lanczosovu metódu. Bloková Lanczosova metóda je vhodná pre nájdenie viacerých tvarov vlastných čísel pri veľkých modeloch, ktoré sa skladajú z viacerých objemových prvkov a nevhodne tvarovaných škrupinových prvkov. Pracuje rýchlejšie, ale potrebuje o 50 % viac pamäte ako metóda iterácie podpriestoru. Prvá vlastná frekvencia modelu vo zvislom smere bola 34,69 Hz. A prvý vlastný tvar môžeme vidieť na obrázku 3. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava . Obr. 3. Prvý vlastný tvar modelu 4 PRIEBEH EXPERIMENTU Numerické riešenie bolo overené experimentálnym meraním na modeli v mierke 1:1. Opis modelu (materiálové riešenie, rozmery, jeho podopretie) bolo spomenuté vyššie. Vykonali sme niekoľko meraní, po prvom meraní sme si všimli, že pri údere dochádza k nadvihovaniu rohov modelu nad podperami, preto sme tomu zabránili prichytením rohov. Následne namerané výsledky sa pomerne dobre zhodovali s numerickým výpočtom. Počas testov bola použitá prenosná dynamická meracia aparatúra pozostávajúca z hardvéru a softvéru použitého na zaznamenanie signálu (LabView od National Instruments). Zrýchlenia konštrukcie boli merané pomocou troch snímačov zrýchlenia (PCB Piezotronics, typ 393B05), rozmiestenia snímačov počas meraní sú uvedené na obr. 1. Akcelerometre boli k modelu prichytené pomocou magnetov (na konštrukciu boli prilepené tenké pliešky). Počas meraní bol neustále kontrolovaný kontakt medzi konštrukciou a snímačmi. Signál zo snímačov bol spracovaný pomocou prevodníka (National Instruments, typ cDAQ-9181 s modulom NI 9234). Vzorkovacia frekvencia pre všetky kanály bola 10 000 vzoriek za sekundu. Čas merania bol 7 sekúnd. Pred meraním boli všetky snímače kalibrované kalibrátorom (PCB Piezotronics, Model 699A02). Budenie konštrukcie bolo robené pomocou jednorazových impulzov vyvolaných úderom budiaceho kladivka v presne vybraných miestach konštrukcie (typ kladivka 8202, Bruel and Kjaer). Kladivko obsahuje snímač sily, takže budiaci impulz v závislosti od meniaceho sa času, bol zaznamenaný. Priebeh zrýchlení so všetkých akcelerometrov a priebeh impulzu je zobrazený na obrázku 4, pričom záznamy sú orezané na časový úsek v ktorom nastal impulz a model sa ustálil (0,85 s-1,4s). Obr. 4. Záznam z akcelerometrov a budiaceho kladivka 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 5 October 2015, Bratislava ZÁVER Pri analýze výsledkov sme dospeli k dobrej zhode s numerickým výpočtom. Následne sme tieto merania analyzovali. V tejto fáze vyhodnocovania sme sa venovali tzv „modrému akcelerometru“, ktorý bol umiestnený v ťažisku modelu, resp. v mieste úderu kladivka. Pri tomto meraní impulz dosiahol najväčšiu hodnotu v čase 0,8908 sekundy. Maximálna výchylka modelu nastala v sekunde 0,8991. po odznení impulzu sme sledovali kmitanie konštrukcie v prvej vlastnej frekvencii okolo 1,3 sekundy. Frekvenciu sme vypočítali ako prevrátenú hodnotu periódy zo záznamu. Z experimentálneho merania nám vyšla prvá vlastná frekvencia modelu 33,84 Hz. Môžeme teda konštatovať, že medzi numerickým výpočtom a experimentom nám nastala veľmi dobra zhoda, keďže chyba je necelé 3 %. Obr. 5. Priebeh zrýchlení z modrého akcelerometru POĎAKOVANIE Tento príspevok vznikol za finančnej podpory grantovej agentúry MŠ SR, ako projekt VEGA 1/0544/15. LITERATÚRA [1] [2] [3] Jeary A.: Designer`s guide to the dynamic response of structure, E & FN Spon, London, 1997. Sokol M.- Tvrdá K.: Dynamika stavebných konštrukcií, Nakladateľstvo STU v Bratislave, 2011. ANSYS Release 11.0 Documentation for ANSYS. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS INFLUENCE OF MESH PARAMETER "PATTERN" FOR FLUID REGION USING 2D FLUID FINITE ELEMENTS K. Kotrasová1 Abstract Ground-supported tanks are used to store a variety of liquids. The fluid was developed the hydrodynamic effects on walls and bottom of tank during an earthquake. This paper presents influence of mesh parameter „PATTERN“ for fluid region in numerical model of seismic response of fluid in rectangular tank - the endlessly long shipping channel using of Finite Element Method (FEM) in software Adina. Key Words fluid, earthquake, Finite element method (FEM). 1 INTRODUCTION Seismic event is certainly one of the most critical external events regarding safety of industrial plants, as demonstrated by recent earthquakes. If industrial facilities store large amount of hazardous materials, accidental scenarios as fire, explosion or toxic dispersion may be triggered, thus possibly involving working people within the installation, population living in close surrounding or in urban area where the industrial installation is located. Liquid storage tanks are considered essential lifeline structures. Containers are used to store a variety of liquids, e.g. water for drinking and fire fighting, petroleum, chemicals, and liquefied natural gas. When subjected earthquake liquid-containing structures are challenging to design due to sloshing effects and hydrodynamic effect can cause unexpected instability or even failure of these structures [1,3-7]. The seismic analysis and design of liquid storage tanks is, due to the high complexity of the problem, in fact, really complicated task. Number of particular problems should be taken into account, for example: dynamic analysis of contained fluid and tank, sloshing motion of the contained fluid; and dynamic interaction dynamic interaction between contained fluid - tank - sub-soil. The goal of this paper is dynamic analysis of contained fluid and the knowledge of fluid behavior during an earthquake plays essential role in reliable and durable design of earthquake resistance structure/facility - tanks [9, 13, 18, 21]. 2 NUMERICAL SIMULATION OF FLUID USING FEM For the fluid-structure interaction analysis, there are possible three different finite element approaches to represent fluid motion, Eulerian, Lagrangian and mixed methods. In the Eulerian approach, velocity potential (or pressure) is used to describe the behavior of the fluid, whereas the displacement field is used in the Lagrangian approach. In the mixed approaches, both the pressure and displacement fields are included in the element formulation [2, 8-17, 19, 20]. Remeshing of fluid domain, which is computationally expensive procedure. 1 Ing. K. Kotrasová, PhD., Technical University of Košice, Civil Engineering Faculty, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, +421 55 602 4394, kamila.kotrasova@tuke.sk. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rezoning of FE-mesh of fluid domain. This procedure is quite fast while precise enough if no dramatic, changes of fluid domain is expected. Fluid Domain, Free Surface, Boundary conditions Dynamic boundary condition for free surface express balance of forces between interactive forces of liquid and gas f l .n + σ K = −f g n , f l . t + σ K = −f g t , (1) f l . s + σ K = −f g s , where f l resp. f g are forces exerted by liquid, resp. gas, t and n are tangent and normal to FSI surface and s is surface tension (if present). Kinematic boundary condition states the velocity at a point of free surface moves together with point of FEmesh. Thus (2) ( v − v b ).n = 0 . Discretization by Finite Elements Node i Possible DOF: Solid …u Fluid … v, p 3 4 2 Snat 1 Element Sess Fig. 1. Example of two dimensional solid finite element Any of unknown physical variables in Finite element method is express in terms of nodal values instead of field value. That causes local discontinuity of the problem, but globally, with regards to whole FE model all governing equations are satisfied. Unknown variables (displacement, velocity and pressure) are approximated using so called shape functions N. (3) uˆ = N U, vˆ = N V , pˆ = N P , where U, V , resp. P are nodal values of initially unknown fields, N are shape functions. Applying one of appropriate variation principle, governing equations are transformed into integral form, in which interpolations (33) are being easily incorporated and followingly proceeded in numerical calculation. As the governing equations are basically nonlinear and time dependent, an appropriate linearization should be used together with a discretization in time domain. Plenty of methods by linearization and time discretization were published in the past. ADINA has implemented some of most popular of them [17, 20]. 3 SOLUTION, RESULTS AND DISCUSSION As an example case we will assume the ground supported rectangular endlessly long shipping channel, with the length L = 2 m. Shipping channel is filled with water up to the height of 2 m. There is no roof slab structure covering the channel. This water filled tank is grounded on hard soil, Figure 6. As the excitation input we consider horizontal earthquake load given by the accelerogram of the earthquake in Loma Prieta, California (18.10.1989), Figure 7. In the analysis we use just the accelerogram for the seismic excitation in y - direction. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 2m z 2m x y A(t) Fig. 2. Details of tank geometry Dynamic time-history response of liquid domain in liquid storage tanks - chipping channel was performed by application of Finite Element Method (FEM) utilizing software ADINA 8.3.1. The fluid inside the shipping channel was modeled by using 2D FLUID finite elements. As the excitation input was considered the load of input time dependent horizontal displacement measured during the earthquake Loma Prieta in California. Fig. 3 shows the kinds of mesh parameter „PATTERN“ for 2D FLUID finite elements of fluid region in numerical model using of Finite Element Method (FEM) in software Adina. Fig. 3. Mesh parameter "PATTERN" Pressure of liquid domain in liquid storage tanks for nine kinds of mesh parameter „PATTERN“ for 2D FLUID finite elements of fluid domain are documented in Fig. 4. PATTERN 1: PATTERN 2: PATTERN 3: 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava PATTERN 4: PATTERN 5: PATTERN 6: PATTERN 7: PATTERN 8: PATTERN 9: The maximal pressure of fluid, maximal height of wave and number of finite element of fluid region for nine type of mesh parameter in fluid region are listed in Table 1. The maximal pressure of fluid excites in fluid region during subjected earthquake in time 21.36 s and the maximal height of wave of fluid excites in fluid region in time 21.08 s. Mesh parameter Number of finite elements Maximal pressure of fluid [kPa] Maximal height of wave [m] PATTERN 1 400 21.604 28.87 PATTERN 2 200 21.629 26.63 PATTERN 3 200 21.629 26.99 PATTERN 4 200 21.627 27.12 PATTERN 5 200 21.629 26.40 PATTERN 6 200 21.620 26.96 PATTERN 7 200 21.632 27.16 PATTERN 8 200 21.630 26.59 PATTERN 9 200 21.629 25.99 Tab. 1. The maximal pressure of fluid, maximal height of wave and number of finite element of fluid region for nine type of mesh parameter in fluid region 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Tab. 1. shows, that fluid region has 400 finite elements by option of mesh parameter “PATTERN 1”, and 200 finite elements by option of other mesh parameter “PATTERN“. It is seeing that values of maximal pressure of fluid are similar for all mesh parameters and value of maximal height of wave of fluid region by option of mesh parameter “PATTERN 1” is more accurately than the others. ACKNOWLEDGEMENTS Preparation of the paper was supported by the Scientific Grant Agency of the Ministry of Education of Slovak Republic and the Slovak Academy of Sciences under Project 1/0477/15. REFERENCES [1] Ľ. Baláž, N. Jendželovský. Dynamic analysis of a cylindrical tank In: Dyn-Wind 2014: international scientific conference: Donovaly, May 26-29, 2014 S. 16-20 ISBN: 978-80-554-0844-6. [2] G. K. Batchelor. An introduction to fluid dynamics. Cambridge: Cambridge University Press. 1967. [3] J. Benčat, Z. Papánová. Dynamic response of structures due to industrial machinery effects. In: 20th International Congress on Sound and Vibration 2013, ICSV 2013. Bangkok; Thailand; 7 July 2013 through 11 July 2013; Code 103420. Volume 4, Pages 3313-3320. [4] A. Di Carluccio, G. Fabbrocino, E. Salzano, G. Manfredi. Analysis of pressurized horizontal vessels under seismic excitation In: ICSV18: 18th The World Conference on Earthquake Engineering: October 12 - 17. 2008, Beijing, China. [5] N. Jendželovský, J. Sumec, Stress - strain fields of the reinforced water tower under seismic loads. In: 9th international scientific conference VSU' 2009: 4 - 5 June, 2009, Sofia, Bulgaria : Vol. 1. Sofia : "L. Karavelov" civil engineering higher school, 2009. P. I76-I-80. ISBN 978-954-331-023-4. [6] E. Kock, L. Olson. Fluid-structure interaction analysis by the finite element method-a variational approach. International Journal for Numerical Methods in Engineering. Volume 31, Issue 3, pages 463491, March 1991, John Wiley & Sons, Ltd. [7] K. Králik, J. Králik jr. Probability assessment of analysis of high-rise buildings seismic resistence, Advanced Materials Research, Volume 712-715, 2013, Pages 929-936. [8] M. Krejsa, P. Janas, V. Krejsa. Software application of the DOProC method In: International Journal of Mathematics and Computers in Simulation Vol. 8, no. 1 (2014), p. 121-126 ISSN: 1998-0159. [9] K. Kotrasová, I. Grajciar. Seismic analysis of shipping channel. In: Selected Scientific Papers: Journal of Civil Engineering. Roč. 5, č. 3 (2010), s. 13-20. - ISSN 1336-9024. [10] K. Kotrasová. Sloshing of Liquid in Rectangular Tank / Kamila Kotrasová. In: Advanced Materials Research. No. 969 (2014), p. 320-323. - ISBN 978-303835147-4 - ISSN 1662-8985. [11] K. Kotrasová, I. Grajciar. Dynamic Analysis of Liquid Storage Cylindrical Tanks Due to Earthquake. In: Advanced Materials Research. No. 969 (2014), p. 119-124. - ISBN 978-303835147-4 - ISSN 16628985. [12] K. Kotrasová, I. Grajciar, E. Kormaníková. Dynamic of Civil Engineering and Transport Structures and Wind Engineering. In: Applied Mechanics and Materials. No. 617 (2014), p. 66-69, ISSN 1660-9336 [13] K. Kotrasová, E. Kormaníková. Influence of Mesh Parameter "PATTERN" for Fluid Region Using 3D Fluid Finite Elements. In: New Trends in Static and Dynamics of Buildings : 12th International Conference : Conference Proceedings : October 16-17, 2014, Bratislava. - Bratislava : STU, 2014. S. 16. - ISBN 978-80-227-4259-7 [14] H. Lamb. Hydrodynamics. 6th ed New York, Dover Publications; 1945. [15] I. S. Leoveanu, K. Kotrasová, K. Kormaníková. Using of computer fluid dynamics in simulation of the waste reservoirs processes. In: Advanced Materials Research. No. 969 (2014), p. 351-354. - ISBN 978303835147-4 - ISSN 1662-8985. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [16] L. Meirovitch. Computational Methods in Structural Dynamics. Sijthoff & Noordhoff, 1980. Netherlands. [17] J. Melcer. Experimental testing of a bridge. Applied Mechanics and Materials, Volume 486, 2014, Pages 333-340. [18] B. Taraba, Z Michalec, V. Michalcová, T. Blejchař, M Bojko, M Kozubková. CFD simulations of the effect of wind on the spontaneous heating of coal stockpiles. Fuel. 2014, vol. 118, p. 107-112, ISSN 0016-2361, DOI: 10.1016/j.fuel.2013.10.064 [19] Manual ADINA. 71 Elton Ave, Watertown, MA 02472, USA, ADINA R&D, Inc., October 2005. [20] EN 1998-4: 2006 Eurocode 8. Design of structures for earthquake resistance. Part 4: Silos, tanks and pipelines. CEN, Brussels, 2006. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS STABILITA SVAHOV OCHRANNEJ HRÁDZE E. Panulinová1, S. Harabinová2 K. Kotrasová3 Abstract This paper considers the failure of a levees along the right bank of the river Laborec and its possible remediation. To assess the stability of the levee slope, as well as for the design of remediation measures, the calculation of stability degree was made by using GEO 5. The paper presents various solutions to ensure slope stability of protection levee of Laborec river. Kľúčové slová ochranná hrádza; stabilita svahov; porucha hrádze; sanačné opatrenia 1 ÚVOD Hrádze sú umelo vybudované steny, násypy alebo valy, tvorené, podobne ako priehradné hrádze, z miestnych materiálov, zo zeminy alebo kameňa a stavebného materiálu, vybudované okolo relatívne rovného, nízko ležiaceho územia na ochranu pred povodňami. Sú to vodné stavby, ktoré vymedzujú priestor na zachytenie povodňových prietokov na tokoch a pritom plnia funkciu protipovodňového líniového prvku v systéme protipovodňovej ochrany [6]. Ochrana pred povodňami je v súčasnosti vysoko aktuálnou témou nie len na Slovensku, ale v súvislosti s klimatickými zmenami aj v celosvetovom meradle. Živelné pohromy, medzi ktoré patria aj povodne, neobchádzajú ani Slovensko. Najúčinnejšou ochranou pred povodňami je prevencia. Neoddeliteľnou súčasťou preventívnych opatrení na ochranu pred povodňami sú opatrenia v povodiach, avšak – zvlášť na veľkých tokoch sa nezaobídu bez technických úprav v korytách, na brehoch a inundačných územiach. Na zabezpečenie ochrany územia pred povodňami v rámci preventívnych opatrení na zamedzenie vzniku škôd na majetku štátu, samosprávy, ako aj na súkromnom majetku obyvateľov ohrozeného územia sa budujú ochranné hrádze. Ide o násypové zemné teleso, ktoré musí spĺňať určité technické a stabilitné požiadavky. Príspevok sa venuje posúdeniu stability svahov ochrannej hrádze rieky Laborec. 2 PORUCHA NA OCHRANNEJ HRÁDZI RIEKY LABOREC Pravobrežná hrádza rieky Laborec južne od obce Odorín bola vybudovaná v 1964. Hrádza bola postavená ako homogénna, pričom na jej výstavbu bol použitý materiál z blízkeho okolia. Výška telesa hrádze je do 5 m. 1 Ing. Eva Panulinová, PhD., Technická univerzita v Košiciach, Stavebná fakulta, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, +421 55 602 4268, eva.panulinova@tuke.sk 2 Ing. Slávka Harabinová, PhD. Technická univerzita v Košiciach, Stavebná fakulta, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, +421 55 602 4178, slavka.harabinova@tuke.sk 3 Ing. Kamila Kotrasová, PhD., Technická univerzita v Košiciach, Stavebná fakulta, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, +421 55 602 4294, kamila.kotrasova@tuke.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Hladina podzemnej vody bola zistená v hĺbke 7,2 m pod korunou hrádze. Pri vysokých vodných stavoch v toku Laborca môže hladina podzemnej vody vystúpiť až po úroveň terénu. V čase extrémnych zrážok v máji a júni roku 2010 bol pozorovaný zosuv vzdušného svahu pravobrežnej ochrannej hrádze rieky Laborec v km 3,4 v dĺžke približne 20 m s poklesom zeminy o cca 30 cm. V popisovanom období bola hladina vody v mieste zosuvu približne 1 m od koruny hrádze. V najkritickejšom momente bol pokles hrádze v mieste odlúčenej hrany 30 až 40 cm [4]. Príčinami vzniku poruchy boli s najväčšou pravdepodobnosťou [4]: • materiál použitý na výstavbu hrádze – íly s veľmi vysokou plasticitou (CV), ktoré sú pre homogénne hrádze málo vhodné, pretože ich pevnosť pri nasýtení vodou je malá a veľmi ťažko sa zhutňujú, • dlhotrvajúce extrémne vysoké vodné stavy na Laborci – zatopenie územia v medzihradnom priestore, ktoré umožnili dlhodobé sýtenie zemín telesa hrádze. Výsledkom týchto dvoch činiteľov bola následne strata pevnosti a vznik poruchy ochrannej hrádze. Pre komplexné posúdenie a prípadný návrh sanačných opatrení je potrebné poznať teleso hrádze (jeho tvar, sklony, výšku, šírku, a pod.), inžiniersko – geologické pomery telesa a podložia hrádze a na základe toho zvoliť správnu metódu na posúdenia stability svahov hrádze. Sklony svahov hrádze sa navrhujú podľa zloženia zeminy, pričom návrh vychádza z posúdenia stability a tvaru priesakovej krivky, ale aj ďalších faktorov, ako je začlenenie hrádze do okolitej krajiny, údržba hrádze, dostupnosť plôch a materiálu na výstavbu [8], [3]. Na výpočet a posúdenie stability svahov je potrebné poznať presný geologicky profil ochrannej hrádze, ktorý bol zistený pomocou prieskumných prác. Geotechnické parametre zemín nachádzajúcich sa v telese ako aj v podloží hrádze boli zistené laboratórnymi skúškami [4]. 3 STABILITA ZEMNÝCH HRÁDZÍ Pre sypané zemné hrádze sa posudzuje hlavne stabilita svahov, zriedkavejšie aj stabilita proti posunutiu v základovej škáre a vplyv seizmicity na stabilitu svahov[7]. Sklony svahov hrádzí musia byť navrhnuté tak, aby vplyvom zmien vlastností zemín alebo vonkajších účinkov nedošlo k prekročeniu šmykovej pevnosti v zemine, čo by znamenalo porušenie zemného telesa. Aktivovaná zemina sa dáva do pohybu po šmykových plochách. Mechanizmus porušenia sa zastaví, ak nastane rovnováha síl. Stupeň stability svahu môžeme definovať ako pomer síl prispievajúcich k stabilite, k silám zmenšujúcim stabilitu. Výpočtami pomocou rôznych metód sa zisťuje minimálny stupeň bezpečnosti pre kritickú šmykovú plochu pri rôznych zaťaženiach. Pri výpočtoch sa vychádza z mechanizmu vzniku šmykovej plochy, ktorá je ovplyvnená tvarom a zložením uvažovaného svahu. Do výpočtu vstupujú nasledujúce faktory : • geometria skúmaného svahu, • typológia hrádze a jej zodpovedajúca heterogenita prostredia, • tvar očakávanej šmykovej plochy, • pôsobiace zaťaženie. Uvažovať s uvedenými faktormi súčasne je zložité, preto je vhodné použiť programy pre výpočet stability svahov zemných konštrukcií. V príspevku je použitý softvér GEO 5 firmy FINE s.r.o.. Program GEO5 je určený na výpočet stability svahov všeobecne vrstevnatého zemného telesa, čo je vhodné aj pre posúdenie heterogénnych zemných hrádzí [2]. Na výpočet stability svahov zemných konštrukcií existuje viacero metód, napr. Petterson, Bishop, Janba, Morgenstern-Pricea, Sarma. Výpočtové metódy využívajú kruhovú a polygonálnu šmykovú plochu a vychádzajú z podmienok zachovania medznej rovnováhy. Odvodzuje sa z existencie stavu napätosti prostredia tak, že sa hľadá plocha, pre ktorú by mohlo dôjsť k pošmyknutiu (tzv. kritická šmyková plocha). Výsledkom je stupeň stability, udávajúci podiel medzi pasívnymi silami (sily prispievajúce k stabilite svahu) a aktívnymi silami (sily prispievajúce k nestabilite svahu). Vo všeobecnosti pre súdržné zeminy platí, že pokiaľ interval výpočtu stupňa stability svahu je 0-1, je svah nestabilný. Pokiaľ vyjde interval 1-1,5, svah je podmienečne stabilný s nízkym stupňom bezpečnosti. Hodnota intervalu > 1,5 poukazuje na to, že svah je stabilný. Porušenie rovnováhy vedie často ku vzniku nadmerných deformácií a zosuvov, čím hrádza stráca svoju opodstatnenosť. Každý svah, a to platí aj o svahoch ochranných hrádzí, musí byť navrhnutý tak, aby bola zabezpečená jeho stabilita. 4 SANAČNÉ OPATRENIA NA HRÁDZI RIEKY LABOREC Vzhľadom na to, že na ochrannej hrádzi rieky Laborec došlo ku vzniku porúch, čím bola narušená stabilita jej svahov, bolo potrebné navrhnúť sanačné opatrenia. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Pre porovnanie bol výpočet stability ochrannej hrádze urobený pre nasledujúce varianty, kde sú navrhnuté 3 sanačné opatrenie pre stav po povodni v roku 2010: • variant 01 - pôvodný stav hrádze, pred povodňou v roku 2010, • variant 02 - pôvodný stav hrádze počas povodne v roku 2010, • variant 3 - sanačné opatrenie – stabilizačný prísyp, kde bol použitý štrk dobre zrnený - GW, • variant 4 - sanačné opatrenie – úprava tvaru násypového telesa, • variant 5 - sanačné opatrenie – odvodnenie telesa. Na výpočet a posúdenie stability svahov ochrannej hrádze Laborec po aplikovaní sanačných opatrení bol použitý podprogram Stabilita svahov programu GEO 5. Na základe podkladov z dostupných IG profilov je možné konštatovať, že teleso hrádze bolo vytvorené z jemnozrnných zemín. Z toho dôvodu bol pre modelovanie prijatý predpoklad kruhového tvaru šmykovej plochy a pre výpočet a posúdenie stability svahov hrádze bolo vhodné použiť Pettersonovu a Bishopovu metódu. Uvedenými výpočtovými metódami bol zistený minimálny stupeň stability pre kritickú šmykovú plochu pre všetky navrhnuté varianty riešenia, ktorý bol porovnaný s limitnou hodnotou, čo je pre jemnozrnné zeminy 1,5. Výpočet bol realizovaný v súlade s STN EN 1997 [7]. Posúdenie stability svahov hrádze bolo urobené na vzdušnej strane hrádze, tzn. v mieste poruchy hrádze, v štyroch priečnych rezoch. Výsledky výpočtu uvedených variantov, pre zvolené priečne rezy, sú uvedené v tab. 1 a 2. Priečny rez číslo 1 2 3 4 Variant 01 Variant 02 Variant 3 Variant 4 Variant 5 1,43 1,54 1,24 1,33 0,96 1,02 0,85 0,90 1,51 1,50 1,83 1,76 1,55 1,55 1,62 1,61 1,63 1,73 1,48 1,60 Tab.1 Priečny rez číslo 1 2 3 4 Porovnanie stupňa stability (Pettersonova metóda) Variant 01 Variant 02 Variant 3 Variant 4 Variant 5 1,54 1,66 1,32 1,43 0,99 1,06 0,85 0,91 1,58 1,57 1,80 1,76 1,68 1,68 1,67 1,68 1,84 1,96 1,57 1,73 Tab.2 Porovnanie stupňa stability (Bishopova metóda) Výsledné vypočítané stupne stability uvedené v tabuľke 1 a 2 sú pre všetky navrhnuté varianty priaznivejšie pri použití Bishopovej metódy ako pri Pettersonovej metóde. Táto skutočnosť bola očakávaná vzhľadom na fakt, že Bishopova metóda je presnejšia, pretože vo výpočte sa uvažuje aj s trením medzi jednotlivými prúžkami. 5 ZÁVER Na základe výpočtov a výsledkov uvedených v tabuľke 1 a 2 je možné konštatovať, že stabilita svahov ochrannej hrádze nevyhovovala z hľadiska posúdenia stability svahu už pred povodňovou situáciou (Variant 01), okrem priečneho rezu č. 2. K porušeniu rovnováhy svahu by síce nedošlo, pretože všetky vypočítané stupne stability sú väčšie ako 1,00, ale poukazuje to na nutnosť riešiť sanáciu svahu na celom území, nielen v úseku, kde bol svah porušený po povodni. Počas povodne (Variant 02), keď bola hrádza zaliata vodou až po svoju korunu, bola preukázateľne narušená jej rovnováha, čo dokazujú výsledky výpočtu stupňa stability pod 1,00 (okrem priečneho rezu č. 2, kde bola hodnota 1,06). Výsledky zodpovedajú skutočnosti, ku ktorej v roku 2010 došlo, keď sa na hrádzi objavili poruchy. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Po analýze konkrétnych sanačných opatrení je možné uviesť, že štrkový stabilizačný prísyp (Variant 3), je síce jedným z možných a rýchlo aplikovateľných sanačných opatrení. Na základe výpočtov však nepostačuje ako riešenie stability vzdušnej strany hrádze počas prípadnej ďalšej povodňovej situácie. Variant 4, ktorý uvažuje so zvýšením koruny hrádze a vzdušného svahu do možnej miery síce zvýšil stupeň stability svahu, ale navrhnuté opatrenie je vhodné len pri zvýšení stability pôvodného stavu. Pri modelovaní vodnej hladiny počas povodne (ako pri Variante 02), vychádza stupeň stability pri takomto sanačnom opatrení pre všetky rezy nevyhovujúci. To znamená, že návrh zmeny rozmerov telesa pre extrémnu hladinu vody v rieke by už bol nevyhovujúci. Vo variante 5 je navrhnuté podpovrchové odvodnenie telesa hrádze pomocou vertikálnych drénov. Tento variant, by riešil zvýšenie stability samotného telesa hrádze, t.j. odstránením vody z telesa hrádze by došlo k urýchleniu konsolidácie zeminy a k dodatočnému zhutneniu zemného násypu. Popísané varianty analyzujú možnosti zvýšenia stability vzdušného svahu hrádze po povodni. Existuje ešte veľa iných možností, ktorými by sa takáto situácia dala riešiť, avšak sú finančne náročnejšie. Vhodným a účinným riešením by bolo napríklad zhotovenie štrkového jadra, ktoré by zabezpečilo vystuženie a zároveň aj odvodnenie telesa hrádze. Realizácia štrkového jadra, by však znamenala pomerne veľký zásah do existujúceho telesa hrádze. POĎAKOVANIE Príspevok bol spracovaný vďaka podpore projektu VEGA 1/0477/15. LITERATÚRA [1] HARABINOVÁ, S. a kol.: Posúdenie stability svahov ochrannej hrádze rieky. In: 34. Priehradne dni : ezborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 2014. Horný Smokovec. ISBN 978-80971596-6-5 [2] http://www.fine.cz/geotechnicky-software/stabilita-svahu [3] LAMBOJ, L., ŠTĚPÁNEK, Z.: Mechanika zemin a zakládání staveb. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2005, ISBN 80-01-03094-6 [4] ONDREJKA J., SYČEVOVÁ M.: Oborín – PB hrádza Laborca zosuv v km 3,4 km: Záverečná správa. Košice, 2010. 12 s PANULINOVÁ, E., HARABINOVÁ, S.: Methods for Analyzing the Stability of an Earthen Dam Slope. In: Advanced Materials Research. Vol. 969 (2014), p. 245-248. - ISSN 1022-6680 [5] [6] ŘIHA J.: Ochranné hráze na vodních tocích. Grada Publishing, 2010. ISBN 978-80-247-3570-2 [7] STN-EN 1997-1, Eurokód 7: 2005: Navrhovanie geotechnických konštrukcií, Časť 1: Všeobecné pravidlá. [8] ŠVECOVÁ A., ZELEŇÁKOVÁ M.: Vodné stavby. 2005. Košice: TU. [9] WEIGLOVÁ, K., GLISNÍKOVÁ, V., MASOPUST, J.: Mechanika zemin a zakládání staveb pro kombinované studium. Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2003, ISBN 80-214-2376-5 [10] ZÁKON NR SR č. 50/1976 Z.z. o územnom plánovaní a stavebnom poriadku (stavebný zákon) o územnom plánovaní a stavebnom poriadku (stavebný zákon) Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS ANALÝZA VPLYVU SKLONU STĹPU NA REDUKCIU HORIZONTÁLNEHO PREMIESTNENIA VÝŠKOVEJ BUDOVY Soňa Medvecká1 a Oľga Ivánková 2 Abstract This article describes the analysis of effect of inclination of columns on the change of horizontal displacement of high-rise buildings. Building is with circular floor plan. Analysis was made for the building loaded by forces induced by wind and seismic loads. We analyzed from viewpoint of horizontal displacements five various highrise buildings with columns with different inclination. The comparison was made with horizontal displacements of the high-rise building, where columns were inclined and vertical. Kľúčové slová Stĺp; premiestnenie; vietor; sklon; výšková budova 1 ÚVOD Stúpajúce ceny pozemkov ako aj zvyšujúca hustota obyvateľstva v mestských aglomeráciách si vyžadujú výstavbu viacpodlažných budov. Súčasný trend teda vedie k výstavbe výškových budov. S rastúcou výškou objektu narastá aj účinok horizontálneho zaťaženia od vetra a seizmicity [1]. Následkom je horizontálne premiestnenie, ktoré musí vyhovovať z hľadiska medzného stavu používateľnosti. Preto pri návrhu musíme zvoliť konštrukčný systém s dostatočnou tuhosťou. Jedným zo spôsobom je použitie stĺpov so sklonom, čím sme modifikovali klasický stĺpový systém (vertikálne stĺpy s bezprievlakovou doskou). 2 MODEL A ZAŤAŽENIE VÝŠKOVEJ BUDOVY Výškový objekt analyzovaný v článku bol modelovaný a riešený pomocou programu Scia Engineer ako 3D model [2]. Objekt sa skladá z 20 nadzemných podlaží, kde konštrukčná výška je 3,5m. Tvar budovy je valec o výške 70m a priemeru 30m. Stropné konštrukcie sú tvorené zo železobetónu triedy C20/25 a majú hrúbku 250mm. Zvislé konštrukcie sú tvorené železobetónovými stĺpmi o priemere 400mm. Stĺpy sú namodelované z betónu C30/37. Prvý variant je budova bez sklonu stĺpov. Pre variant 2 až 4 sú stĺpy v sklone, a to prvé dva rady od obvodu budovy podľa Obr. 1. Tieto stĺpy sú vzájomne zrkadlovo v sklone, čím je redukovaný torzný účinok budovy. Stĺpy situované v centrálnej oblasti sú bez sklonu. Piaty variant vychádza z Variantu III s ktorým má totožné 2 rady obvodových stĺpov a ich sklon (β=12,44). Ďalej je doplnený o sklon vnútorných stĺpov. Z toho vyplýva, že všetky stĺpy sa nachádzajú v sklone. Axonometrie jednotlivých variant sa nachádzajú na Obr. 2. Budovu uvažujeme ako votknutú. Objekt sme zaťažili: vlastnou tiažou, tiažou preskleného obvodového plášťa, vetrom a seizmickým zaťažením. Vlastná tiaž je automaticky vygenerovaná pomocou programu. 1 Ing. Soňa Medvecká, Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, STU Bratislava, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, mail: sona.medvecka@stuba.sk 2 doc. Ing. Oľga Ivánková, PhD., Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, STU Bratislava, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, tel.: 02/59274260, mail: olga.ivankova@stuba.sk th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Pri zaťažení vetrom sme aplikovali horizontálne líniové zaťaženie v zmysle normy [4]. Pri seizmickom výpočte sme použili metódu spektier odozvy, ktorá je v súčasnosti najpoužívanejšia. Uvažujeme s referenčným špičkovým zrýchlením podľa mapy oblasti seizmického rizika na Slovensku s hodnotou agr=0,65m/s2. Triedu dôležitosti uvažujeme γI = 1,0 [5]. Obr. 1. Geometria sklonu stĺpov Obr. 2. Axonometria jednotlivých variant. 3 ANALÝZA HORIZONTÁLNYCH PREMIESTNENÍ 3.1 Vyhodnotenie vodorovných účinkov od vetra Horizontálne premiestnenia sme analyzovali pre medzný stav používateľnosti, pričom sme uvažovali štádium výstavby (s preskleným obvodovým plášťom), preto sme objekt zaťažili iba vlastnou tiažou, tiažou obvodového plášťa a vetrom. Táto kombinácia je veľmi nepriaznivá (avšak reálna) pre výškové stavby, čo sa prejavuje na väčších horizontálnych deformáciách v porovnaní s deformáciami pri plnom zaťažení. Následne bola vytvorená kombinácia pre medzný stav používateľnosti s parciálnym súčiniteľom 1,0. V Grafe 1 sa nachádzajú výchylky vo vrchole Ux (v smere osi X) a Uy (v smere osi Y) pre túto kombináciu. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Graf.1. Porovnanie horizontálnych premiestnení pre jednotlivé sklony stĺpov od vetra 3.2 Vyhodnotenie vodorovných účinkov od seizmicity Pre vyhodnotenie horizontálnych výchyliek od seizmického zaťaženia sme vytvorili kombinácie pre medzný stav používateľnosti v zmysle normy [3]. Boli vytvorené kombinácie Sx (v smere osi X), Sy (v smere osi Y) a Sz (v smere osi Z). Vodorovné premiestnenia (Ux, Uy) vo vrchole od týchto kombinácií sa nachádzajú v Grafe 2 a 3. Graf 2. Porovnanie horizontálnych premiestnení od seizmicity th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Graf 3. Porovnanie extrémnych horizontálnych premiestnení od seizmicity 4 ZÁVER Pri výškovej budove so zvislými stĺpmi je horizontálne premiestnenie veľmi nepriaznivé a extrémne premiestnenie od vetra bolo až 310,4 mm. Avšak už pri sklone stĺpa od vertikálnej osi o 8,37° sa zredukuje toto premiestnenie o 40%, čo je veľmi výrazný pokles aj bez použitia typických stužujúcich systémov. Pri sklone stĺpov od vertikálnej osi o 12° sa redukuje toto premiestnenie až o 70%. Pri poslednom variante, pri uvážení všetkých stĺpov v sklone (Variant V) sa horizontálna výchylka redukovala najviac, až o 72,1%. Pri seizmickej analýze sa porovnanie zvýšenia tuhosti vplyvom šikmých prútov prejavila zhodne ako pri zaťažení vetrom. Pokles maximálnej horizontálnej výchylky je pri použití šikmých stĺpov približne o 23% v porovnaní s objektom s kolmými stĺpmi. POĎAKOVANIE Tento príspevok bol vypracovaný v rámci projektu VEGA 1/0544/15 LITERATÚRA [1] HARVAN, I. : Betónové konštrukcie. Vysoké budovy: Navrhovanie podľa spoločných európských noriem. Bratislava: STU v Bratislave, 2011 [2] Jendželovský, N., Modelovanie základových konštrukcií v MKP. Nakladateľstvo STU, Bratislava 2009. [3] Sokol M., Juhásová E., Benko V.: Navrhovanie konštrukcií na seizmickú odolnosť, Slovenská komora stavebných inžinierov, Bratislava, október 2007. [4] STN EN 1991: Zaťaženie konštrukcií. [5] STN EN 1998: Navrhovanie konštrukcií na seizmickú odolnosť. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS EXPERIMENTÁLNÍ ANALÝZA NADMĚRNÝCH VIBRACÍ VYBRANÝCH ZÁVĚSŮ ZAVĚŠENÉHO MOSTU M. Polák1, T. Míčka2, T. Klier3, T. Plachý4 a M. Šimler5 Abstract The dynamic experiment described in the paper was carried out on the cable-stayed bridge at the inner ring road in Prague in the Czech Republic because of the large amplitudes of vibrations which were observed visually on some medium-length cable-stays in April 2015. The experimental analysis was concentrated on the ten day long continual observation of the selected six cable-stays vibrations during the standard bridge operational state. The parsing of likely causes and the recommended measures to decrease observed large cable-stay vibrations are stated in the conclusions. Klíčová slova Zavěšený most; závěs; kmitání; experiment; monitoring; dopravní proud; vítr; experimentální analýza. 1 ÚVOD Zavěšený most na vnitřním silničním okruhu v Praze v České republice byl uveden do provozu v roce 1997. Vodorovná nosná konstrukce mostu (komorový nosník z předpjatého betonu) je v podélné ose zavěšena prostřednictvím 56 závěsů poloharfového uspořádání na jednosloupový pylon (viz Obr. 1). Nejdelší 7. pole mostu je podporováno čtrnácti páry závěsů a dalších čtrnáct párů závěsů je umístěno symetricky na druhé straně pylonu, kde vynášejí mostovku v 8. a 9. poli mostu. Od uvedení mostu do provozu je deset nejdelších párů závěsů (pět párů na jedné a pět párů na druhé straně pylonu) navzájem pevně propojeno spojkami (viz Obr. 1), aby bylo u jednotlivých nejdelších závěsů zabráněno jejich kmitání vyvolaného větrem. Důvodem provedení experimentu, který je popsán v tomto článku, bylo vizuálně pozorované nadměrné kmitání několika středně dlouhých závěsů mostu, které trvalo zhruba hodinu, přitom největší vibrace byly zjištěny na závěsu 8AP a kmitání bylo pozorováno pouze u závěsů, které leží blíže k dopravnímu pásu sloužícímu pro směr jízdy na Štěrboholy, pro které je dále v článku na třetí pozici jejich označení použito písmeno P. Očitý svědek toto kmitání popsal jako ustálené kmitání závěsů ve vertikální rovině s amplitudou kolem 15 cm v tvaru vynuceného ustáleného kmitání, který byl blízký 1. tvaru vlastního kmitání. 1 prof. Ing. M. Polák, CSc., ČVUT v Praze, Fakulta stavební, Thákurova 7, 166 29, Praha 6, +420 2435 4476, polak@fsv.cvut.cz. 2 Ing. T. Míčka, Pontex spol. s r. o., Bezová 1658, 147 14, Praha 4, +420 241 096 756, micka@pontex.cz. 3 Ing. T. Klier, Pontex spol. s r. o., Bezová 1658, 147 14, Praha 4, +420 241 096 754, tkl@pontex.cz. 4 Ing. T. Plachý, Ph.D., ČVUT v Praze, Fakulta stavební, Thákurova 7, 166 29, Praha 6, +420 2435 4401, plachy@fsv.cvut.cz. 5 Ing. M. Šimler, Freyssinet CS, a. s., Zápy 267, 250 01, Brandýs nad Labem, +420 326 377 930, simler@freyssinet.cz. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 1. Pohled na závěsy zavěšeného mostu v Praze na vnitřním silničním okruhu. Základním cílem provedeného experimentu bylo zjistit informace o úrovni a četnosti nadměrných vibrací středně dlouhých závěsů a získat podklady pro stanovení pravděpodobné příčiny tohoto kmitání. Od uvedení do provozu byl most několikrát upravován a rekonstruován. Poslední podstatná úprava nosné konstrukce tohoto mostu proběhla v roce 2012. Při této úpravě byly na nosné konstrukci především ztuženy koncové příčné průřezy mostu nad oběma krajními opěrami pomocí koncových příčníků z předpjatého betonu a byla vyměněna ložiska včetně ložiska na pilíři č. 9 zabezpečeného proti nadzvednutí mostu. Výsledky dynamického experimentu zaměřeného na vliv těchto úprav nosné konstrukce mostu na dynamické chování mostovky je popsán v článcích [5] a [6]. 2 ZNAČENÍ ZÁVĚSŮ MOSTU POUŽITÉ V TOMTO ČLÁNKU Popis závěsů použitý v tomto článku je složen ze tří znaků „XαY“. Pozice X označuje pořadové číslo dvojice závěsů směrem od pylonu, nejkratší závěsy mají číslo 1, nejdelší závěsy číslo 14. Písmeno A na pozici α označuje závěsy v 7. nejdelším poli mostu a písmeno B popisuje závěsy v 8. a 9. poli mostu. Písmeno L na pozici Y označuje závěs v dvojici závěsů ležící severněji (blíže k dopravnímu pásu sloužícímu pro směr jízdy na Barrandov) vlevo ve směru staničení mostu. Písmeno P na této pozici popisuje závěs v dvojici závěsů ležící jižněji (blíže k dopravnímu pásu sloužícímu pro směr jízdy na Štěrboholy) vpravo ve směru staničení mostu. 3 PRVOTNÍ DIAGNOSTICKÉ PRÁCE Vzhledem k tomu, že po dobu osmnácti let provozování mostu nebyly dosud nadměrné vibrace jeho závěsů pozorovány, byly prvotní diagnostické práce zaměřeny na kontrolu stavu mostu, zda nedošlo k poruše nějaké konstrukční části, která by mohla způsobit pozorované nadměrné kmitání závěsů. Nejprve byla provedena vizuální prohlídka nosné konstrukce mostu, která se zejména zaměřila na kontrolu stavu mostních ložisek a kotvení závěsů do mostovky a do pylonu. Podrobně bylo kontrolováno ložisko na pilíři č. 9, zda nedošlo k poruše části ložiska zabezpečující mostovku proti jejímu nadzvednutí, protože do oblasti tohoto pilíře jsou zakotveny závěsy 7BP, 7BL, 8BP a 8AL. Nebyla zjištěna žádná vizuálně pozorovatelná porucha. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Velikost sil v závěsech byla již od výstavby mostu pravidelně kontrolována pomocí frekvenční metody. V rámci prvotních diagnostických prací bylo na všech závěsech mostu realizováno měření, jehož cílem bylo ověřit, zda nedošlo k významné změně osových sil v závěsech mostu a zejména pak v těch, na kterých bylo pozorováno nadměrné kmitání. Žádná významná změna ve vlastních frekvencích závěsů oproti předchozím měřením nebyla zjištěna. 4 POPIS EXPERIMENTU Experiment, který je hlavní náplní tohoto článku, byl proveden v polovině května 2015 a trval celkem deset dní. Protože nadměrné vibrace byly vizuálně pozorovány především na závěsu 8AP, byl experiment soustředěn na sledování vibrací pouze šesti vybraných závěsů 8BP, 8BL, 7AP, 8AP, 8AL a 9AP s obdobnou délkou a tedy i s obdobnými vlastními frekvencemi jako závěs 8AP. Uspořádání experimentu odpovídalo očekávanému charakteru nadměrného kmitání závěsů podle vizuálního pozorování. Snímače byly umístěny zhruba do poloviny délky sledovaných závěsů (viz Obr. 2), kde byla očekávána maximální úroveň vibrací, protože předpokládaný tvar vynuceného ustáleného kmitání zde měl mít největší pořadnici. Použitá měřicí ústředna měla omezený počet měřicích míst (8 kanálů), proto na čtyřech závěsech (8BP, 8BL, 7AP a 9AP) byly sledovány pouze vibrace ve vertikální rovině ve směru kolmém k podélné ose závěsu a na dvou závěsech (8AP a 8AL), na kterých bylo očekáváno nejintenzivnější kmitání, byly vibrace sledovány i ve směru vodorovném (viz Obr. 2). K měření byly použity piezoelektrické snímače zrychlení 4507 B005 dodávané firmou Brüel&Kjaer. Experiment probíhal kontinuálně s jedním třídenním přerušením způsobeným poruchou dodávky elektrického proudu do měřicí ústředny. Pro snadnější práci s naměřenými údaji bylo soustavně sledované kmitání závěsů ukládáno do samostatných čtyřminutových souborů. To znamená, že pro každý den experimentu bylo vytvořeno 360 souborů dat. Z každého pořízeného čtyřminutového záznamu vibrací sledovaných závěsů bylo vyhodnoceno pět maximálních a pět minimálních rozkmitů zrychlení a RMS hodnota zrychlení určená z doby celého záznamu, tedy z intervalu dlouhého 240 sekund. Obr. 2. Snímače zrychlení 4507 B005 uchycené na závěsech 8AP (bližší závěs) a 8AL (vzdálenější závěs). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 5 October 2015, Bratislava ZÁKLADNÍ VÝSLEDKY EXPERIMENTU Extrémní hodnoty výkmitů zrychlení pro jednotlivé dny sledování, které byly vyhodnoceny z kmitání zkoumaných závěsů, jsou přehledně shrnuty v Tab. 1 a Tab. 2 a extrémní efektivní hodnoty zrychlení jsou uvedeny v Tab. 3. Den experimentu Čtvrtek 7.5. Pátek 8.5. Úterý 12.5. Středa 13.5. Čtvrtek 14.5. Pátek 15.5. Sobota 16.5. Neděle 17.5. Pondělí 18.5. Úterý 19.5. 8AP Vertikálně [m·s-2] Min. Max. -0.41 0.37 -0.39 0.30 -1.11 1.11 -0.79 0.86 -0.64 0.60 -0.43 0.49 -0.65 0.62 -0.58 0.64 -0.62 0.54 -0.66 0.71 Sledovaný závěs a směr vibrací 8AP 8AL 8AL Horizontálně Vertikálně Horizontálně [m·s-2] Min. Max. -0.34 0.42 -0.46 0.37 -1.08 0.57 -0.83 0.65 -0.79 0.62 -0.44 0.50 -0.38 0.36 -0.40 0.44 -0.56 0.67 -0.49 0.65 [m·s-2] Min. Max. -0.31 0.38 -0.39 0.41 -1.14 0.41 -1.21 0.42 -0.46 0.46 -0.45 0.52 -1.06 0.38 -1.14 0.42 -0.64 0.49 -0.68 0.58 [m·s-2] Min. Max. -0.64 0.65 -0.77 0.71 -1.05 0.97 -0.77 0.82 -1.11 1.23 -0.80 0.95 -0.76 0.78 -1.04 1.06 -1.11 1.06 -1.19 0.89 Tab. 1. Maximální a minimální hodnoty výkmitů zrychlení zachycené na závěsech 8AP a 8AL při jednotlivých dnech experimentu se zvýrazněnými extrémními hodnotami. Den experimentu Čtvrtek 7.5. Pátek 8.5. Úterý 12.5. Středa 13.5. Čtvrtek 14.5. Pátek 15.5. Sobota 16.5. Neděle 17.5. Pondělí 18.5. Úterý 19.5. 7AP Vertikálně [m·s-2] Min. Max. -0.47 0.53 -0.39 0.46 -0.66 0.72 -0.72 0.87 -0.61 0.70 -0.50 0.65 -0.55 0.48 -0.76 0.75 -0.54 0.48 -0.63 0.56 Sledovaný závěs a směr vibrací 9AP 8BP Vertikálně Vertikálně [m·s-2] Min. Max. -0.87 0.94 -0.95 0.95 -1.57 1.66 -2.08 2.11 -1.20 1.26 -1.00 0.88 -1.13 1.04 -1.11 1.10 -1.32 1.24 -0.89 0.94 [m·s-2] Min. Max. -1.00 0.96 -0.77 0.74 -1.47 1.39 -1.32 1.21 -1.45 1.43 -1.23 0.99 -1.25 1.00 -1.08 1.23 -0.83 1.02 -1.60 1.04 8BL Vertikálně [m·s-2] Min. Max. -1.29 1.26 -0.88 1.01 -1.91 0.98 -2.27 1.07 -1.16 1.09 -1.04 1.12 -1.37 0.75 -2.07 1.27 -1.19 0.89 -1.23 1.27 Tab. 2. Maximální a minimální hodnoty výkmitů zrychlení zachycené na závěsech 7AP, 9AP, 8BP a 8BL při jednotlivých dnech experimentu se zvýrazněnými extrémními hodnotami. Při experimentu byly zachyceny tři typy výrazného kmitání sledovaných závěsů: 1. typ - výrazné ustálené kmitání závěsů, které trvalo déle než několik sekund, se podařilo zachytit pouze jednou. Bylo to kolem půlnoci z úterý 12. 5. na středu 13. 5. 2015. Toto kmitání trvalo zhruba 40 minut s vrcholem prakticky přesně o půlnoci (záznam číslo 360 v Obr. 3 a Obr. 8) a bylo pozorováno především na závěsech 9AP, 8AP a 8BP, přičemž na závěsu 9AP bylo toto kmitání největší. U všech těchto závěsů kmitání probíhalo dominantně v první vlastní frekvenci kmitání (viz Obr. 6 a Obr. 9). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 2. typ - výrazné kmitání, které se svých charakterem podstatně odlišovalo od prvního typu, bylo zaznamenáno pouze na závěsu 9AP. Při tomto typu kmitání se závěs rozkmital pouze na několik sekund (viz Obr. 10) a kmitání probíhalo dominantně ve vysoké vlastní frekvenci kmitání závěsu (f(8) = 11,6 Hz, viz Obr. 11). Toto kmitání bylo ve výsledcích experimentu detekováno celkem dvakrát. 3. typ - výrazné kmitání, které se svým charakterem podstatně odlišovalo od předchozích dvou typů, bylo detekováno několikrát na závěsu 8BP a zejména pak na závěsu 8BL. Při tomto typu kmitání, jehož charakter je dobře patrný z Obr. 12, se ve vibracích závěsu občas projevil výrazný osamocený výkmit zrychlení. Pro zachycené kmitání 1. typu je dlouhodobější nárůst úrovně vibrací na postižených závěsech dobře patrný z Obr. 3 a Obr. 7. Z těchto obrázků je navíc zřejmé, že k menšímu dlouhodobějšímu nárůstu úrovně kmitání závěsu na zhruba 15 minut došlo na závěsech 9AP, 8AP a 8BP i později kolem 3. hodiny ranní (v Obr. záznam číslo 405). V okamžiku dosažení extrémních výkmitů zrychlení při kmitání 1. typu na závěsu 8AP v úterý 12.5. kmital závěs více méně ustáleně (viz Obr. 4) dominantně ve své 1. vlastní frekvenci f(1) = 1,40 Hz (viz Obr. 6) a prakticky v jedné rovině mírně skloněné od vertikály (viz Obr. 5). Extrémní výkmity výchylek ve vertikální rovině, které byly určeny pomocí dvojnásobné integrace naměřeného signálu zrychlení, byly u tohoto závěsu velké -9,2 mm a +8,7 mm, tomu odpovídá největší rozkmit cca 17,9 mm. Na závěsu 9AP bylo kmitání 1. typu také více méně ustálené (viz Obr. 8) a také probíhalo dominantně v první vlastní frekvenci kmitání závěsu f(1) = 1,34 Hz (viz Obr. 9). Maximální výkmity zrychlení na tomto závěsu (viz Tab. 2) dosáhly hodnot +1,66 m·s-2 a -1,57 m·s-2 a výchylek -12,6 mm a +12,4 mm, tomu odpovídá největší rozkmit výchylek cca 25,0 mm. U kmitání 2. typu na závěsu 9AP ve středu 13. 5., které trvalo cca 10 sekund (viz Obr. 10), byly extrémní výkmity zrychlení ve svislém směru (viz Obr. 10) spojené s 8. vlastní frekvencí kmitání závěsu f(8) = 11,6 Hz (viz Obr. 11), proto amplitudy výchylek tohoto závěsu v oblasti s největšími výkmity zrychlení dosáhly relativně malých hodnot -2,9 mm a +3,3 mm, tomu odpovídá největší rozkmit cca 6,2 mm. Charakteristiky větru použité při vyhodnocení experimentu byly naměřeny meteorologickou stanicí trvale umístěnou na mostovce mostu. Při nadměrném vizuálně pozorovaném kmitání závěsů rychlost větru kolísala v rozmezí mezi 3 až 5 m·s-1 a směr větru se měnil v úzkém rozmezí 235 až 270o, to znamená, že vítr vanul prakticky rovnoběžně s podélnou osou mostu (a tedy i s rovinou závěsů) v hlavním poli, jejíž směr je 243o. Během kontinuálního sledování vibrací závěsů vítr několikrát vanul rovnoběžně s rovinou závěsů v hlavním poli mostu. Nicméně nepříznivou shodou okolností rychlost větru prakticky nedosáhla rychlosti, při které bylo vizuálně pozorováno nadměrné kmitání závěsů. Při výrazném kmitání závěsů 1. typu, které bylo zachyceno experimentem, se rychlost větru pohybovala v rozmezí od 0,6 do 1,2 m·s-1 a směr větru se měnil v rozmezí 240 až 260o. To znamená, že opět vanul prakticky rovnoběžně s rovinou závěsů v hlavním poli. Den experimentu Čtvrtek 7.5. Pátek 8.5. Úterý 12.5. Středa 13.5. Čtvrtek 14.5. Pátek 15.5. Sobota 16.5. Neděle 17.5. Pondělí 18.5. Úterý 19.5. Sledovaný závěs a směr vibrací 8AP 8AP 8AL 8AL 7AP 9AP 8BP 8BL Vert. Horiz. Vert. Horiz. Vert. Vert. Vert. Vert. 0.09 0.06 0.44 0.37 0.13 0.10 0.15 0.15 0.09 0.10 0.08 0.05 0.12 0.11 0.08 0.08 0.08 0.07 0.08 0.07 0.06 0.07 0.07 0.07 0.07 0.06 0.06 0.06 0.08 0.08 [m·s-2] 0.13 0.10 0.13 0.07 0.15 0.17 0.16 0.12 0.17 0.12 0.14 0.07 0.12 0.11 0.15 0.14 0.20 0.09 0.17 0.09 0.16 0.15 0.57 0.47 0.25 0.18 0.24 0.29 0.24 0.18 0.19 0.11 0.36 0.23 0.29 0.17 0.24 0.30 0.16 0.16 0.16 0.22 0.19 0.18 0.19 0.19 0.15 0.19 0.21 0.20 Tab. 3. Maximální RMS hodnoty zrychlení zachycené na sledovaných závěsech při jednotlivých dnech experimentu se zvýrazněnými extrémními hodnotami. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 3. Průběh RMS hodnot zrychlení příčného kmitání závěsu 8AP ve vertikální rovině (V) v noci z úterý 12. 5. na středu 13. 5., na vodorovné ose je vyznačeno číslo záznamu. Obr. 4. Časový průběh s extrémy zrychlení zaznamenanými na závěsu 8AP v noci z úterý 12. 5. na středu 13. 5. – kmitání 1. typu. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 5. Trajektorie pohybu závěsu 8AP - průběh zrychlení závěsu v noci z úterý 12. 5. na středu 13. 5. v okamžiku dosažení extrémního zrychlení – kmitání 1. typu. Obr. 6. Frekvenční spektrum zrychlení z úseku záznamu s extrémy zrychlení zaznamenanými na závěsu 8AP v noci z úterý 12. 5. na středu 13. 5., který je nakreslen na Obr. 4. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 7. Průběh RMS hodnot zrychlení příčného kmitání závěsu 9AP ve vertikální rovině (V) v noci z úterý 12. 5. na středu 13. 5., na vodorovné ose je vyznačeno číslo záznamu. Obr. 8. Časový průběh s extrémy zrychlení zaznamenanými na závěsu 9AP v noci z úterý 12. 5. na středu 13. 5. – kmitání 1. typu. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 9. Frekvenční spektrum zrychlení z úseku záznamu s extrémy zrychlení zaznamenanými na závěsu 9AP v noci z úterý 12. 5. na středu 13. 5., který je nakreslen na Obr. 8. Obr. 10. Časový průběh s extrémy zrychlení zaznamenanými na závěsu 9AP ve středu 13. 5. – kmitání 2. typu. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 11. Frekvenční spektrum zrychlení z úseku záznamu s extrémy zrychlení zaznamenanými na závěsu 9AP ve středu 13. 5., který je nakreslen na Obr. 10. Obr. 12. Časový průběh s extrémy zrychlení zaznamenanými na závěsu 8BL ve Středu 13. 5. těsně před 1. hodinou ranní – kmitání 3. typu. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 6 October 2015, Bratislava ROZBOR MOŽNÝCH PŘÍČIN NADMĚRNÉHO KMITÁNÍ ZÁVĚSŮ Z výsledků experimentu vyplynulo několik skutečností: Doprava pohybující se po mostu ovlivňuje vibrace závěsů. V noci úroveň vibrací závěsů klesá, přes den roste. Nicméně výrazná kmitání 1. a 3. typu, která byla zjištěna při experimentu, jednoznačně nejsou způsobována dopravou a vibracemi mostovky, které dopravní proud vyvolává. U zachyceného kmitání 2. typu je naopak pravděpodobnou příčinou doprava. Výrazné kmitání 1. typu je s vysokou pravděpodobností způsobováno větrem vanoucím zhruba od jihozápadu rovnoběžně s rovinou závěsů v hlavním poli mostu. Vzhledem k relativně nízkým rychlostem větru, při kterých jev nastal, se velmi pravděpodobně jedná o ztrátu aerodynamické stability. Kmitání 3. typu bylo zaznamenáno pouze na závěsech 8BP a 8BL, které jsou do mostovky ukotveny v oblasti pilíře číslo 9, na kterém je umístěno „tahové ložisko“ zabezpečující mostovku proti jejímu nadzvednutí. Příčinou kmitání 3. typu může být nestandardní chování konstrukce, například náhlé uvolnění deformace od teplotních změn mostovky v „tahovém ložisku“. 6.1 Rozbor možných ztrát aerodynamické stability závěsů U kruhových závěsů může podle [1], [2], [3] a [4] dojít k těmto třem základním typům ztráty aerodynamické stability - k odtrhávání Strouhalových vírů, k jednoduchému gallopingu a k interferenčnímu gallopingu. 6.1.1 Odtrhávání Strouhalových vírů Pro závěs 8AP kritické rychlosti větru při odtrhávání Strouhalových vírů vycházejí 1,2 m·s-1 (rezonance s 1. vlastní frekvencí závěsu), 2,4 m·s-1 (rezonance s 2. vlastní frekvencí), 3,6 m·s-1 (rezonance s 3. vlastní frekvencí) a 4,8 m·s-1(rezonance se 4. vlastní frekvencí). Pro závěs 9AP jsou kritické rychlosti podobné 1,1 m·s-1 (rezonance s 1. vlastní frekvencí), 2,2 m·s-1 (rezonance s 2. vlastní frekvencí), 3,4 m·s-1 (rezonance se 3. vlastní frekvencí) a 4,5 m·s-1 (rezonance se 4. vlastní frekvencí). I když některé výše uvedené kritické rychlosti spadají do intervalu rychlosti větru 3 až 5 m·s-1, při kterých byly vizuálně pozorovány nadměrné vibrace závěsů, proti této variantě ztráty aerodynamické stability jako potenciální příčině pozorovaných nadměrných vibrací mluví dvě okolnosti: a) Při směru větru rovnoběžném s osou mostu má kmitání závěsů probíhat kolmo na směr větru. Pozorované i experimentálně zjištěné výrazné kmitání závěsů bylo se směrem větru více méně rovnoběžné. b) Podle pozorování očitých svědků závěs 8AP nadměrně kmital ve tvaru podobném 1. vlastnímu tvaru kmitání, pokud by ale mělo dojít k rezonanci odtrhávaných vírů s 3. nebo 4. vlastní frekvencí, závěs by měl kmitat ve 3. nebo 4. vlastním tvaru. 6.1.2 Jednoduchý galloping Jednoduchý galloping podle [2], [3] a [4] může nastat při rychlostech větru vyšších, než je kritická rychlost. Pro závěs 8AP podle vzorce uvedeného v [1] s uvažovaným logaritmickým dekrementem útlumu 0,01 kritická rychlost vychází 22,6 m·s-1 a pro závěs 9AP pak 21,7 m·s-1. Výše uvedené kritické rychlosti jsou příliš veliké, při rychlostech větru zaznamenaných v okamžiku vizuálního pozorování nadměrných vibrací závěsů a během experimentu jev nemohl nastat. 6.1.3 Interferenční galloping Interferenční galloping, nazývaný také úplavový galloping, je jev, který se podle [4] týká dvou či více navzájem nespojených válců stojících v řadě při větru mírně odchýleném od roviny jejich zákrytu (do cca β K = 10o), které jsou od sebe vzdáleny méně než 25 jejich průměrů. V [1] je uveden vzorec pro kritickou rychlost větru pro závěsy vzdálené maximálně do trojnásobku jejich průměru. Pro závěs 8AP podle tohoto vzorce s uvažovaným logaritmickým dekrementem útlumu závěsu 0,01 vychází kritická rychlost při interferenčním gallopingu 5,1 m·s-1 a pro závěs 9AP pak 4,9 m·s-1. I když kritická rychlost větru pro interferenční galloping dvou válců vzdálených méně než tři jejich průměry byla při vizuálně pozorovaných nadměrných vibracích dosažena, tato varianta ztráty aerodynamické stability jako potenciální příčina pozorovaných vibrací nepřipadá do úvahy, pro vznik tohoto jevu by musel vítr vanout ve směru kolmém k rovině závěsů. Závěsy sledovaného mostu mají poloharfové uspořádání, to znamená, že ve směru podélné osy mostu závěsy nejsou navzájem rovnoběžné. Jejích vzdálenost se mění v rozmezí od cca 1,0 m do cca 2,2 m. Tato vzdálenost 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava v rovině závěsů je tedy menší než 25 průměrů závěsů a v [4] je uvedeno, že při interferenčním gallopingu závěs může kmitat napříč i ve směru větru, tedy při větru rovnoběžném s podélnou osou mostu mohou závěsy kmitat i v rovině závěsů. Na základě informací uvedených v [1] a [4] je možné, že nadměrné vibrace na sledovaných závěsech při větru vanoucím zhruba rovnoběžně s rovinou závěsů vznikly v důsledku interferenčního gallopingu. Bohužel v [1], [2], [3] ani v [4] nejsou uvedeny podklady, jak problém jednoznačněji posoudit. 7 ZÁVĚR Tak intenzivní nadměrné kmitání, které bylo na některých závěsech mostu pozorováno vizuálně, pokud očití svědci odhadli parametry tohoto kmitání dostatečně přesně (amplituda kmitání závěsu 8AP kolem 15 cm, tvar vynuceného ustáleného kmitání závěsu blízký 1. tvaru vlastního kmitání), při experimentu, který je popsán v tomto článku, zachyceno nebylo. Největší rozkmit výchylky 25 mm byl zaznamenán na závěsu 9AP a to je pouze 10 % z odhadnuté úrovně kmitání pozorovaného vizuálně. Z výsledků experimentu vyplývá, že výrazné kmitání závěsů je podle všeho způsobováno větrem a že se velmi pravděpodobně jedná o interferenční galloping. Dopravní proud pohybující se po mostovce byl jako možný zdroj zjištěných nadměrných vibrací závěsů vyloučen. Na základě provedeného experimentu byla navržena dvě opatření: Všechny jevy, které jsou zařazovány mezi ztráty aerodynamické stability, jsou ovlivňovány útlumem kmitání závěsů, proto bylo doporučeno prověřit, zda tlumiče závěsů neztratily svojí funkčnost a případně je vyměnit. Interferenční galloping je možné odstranit vzájemným propojením problematických závěsů, proto bylo doporučeno propojit dvojice středně dlouhých závěsů tak, jak je to provedeno u nejdelších závěsů mostu. PODĚKOVÁNÍ Tato práce byla podpořena Technologickou agenturou České republiky v rámci projektu číslo TA04030307. LITERATURA [1] ČSN EN 1991-1-4 Eurokód 1: Zatížení konstrukcí – Část 1-4: Obecná zatížení – Zatížení větrem. Český normalizační institut, 2007. [2] Dyrbye, C. – Hansen, S. O.: Wind Loads on Structures. John Wiley & Sons Ltd., Chichester, England, 1999. [3] Holmes, J. D.: Wind Loading of Structure. Spon Press - Tylor & Francis Group, London, England, 2001. [4] Pirner, M. – Fischer, O.: Zatížení staveb větrem. Informační centrum ČKAIT, s. r. o., Praha, 2003. [5] Polák, M. – Fajman, P. – Máca, J. – Plachý, T.: The dynamic load test and diagnostics of an existing cable stayed bridge. Proceedings of the 12th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, str. 415 – 432, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, Bratislava, 2014. [6] Polák, M. – Fajman, P. – Máca, J. – Plachý, T.: Diagnostics of an existing cable-stayed bridge by means of the dynamic load test. Applied Mechanics and Materials Vol 769 (2015), pp 200-205, Trans Tech Publications, Switzerland, http://dx.doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMM.769.200. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS SCARF JOINTS WITH PEGS OR KEYS P. Fajman1 a J .Maca2 Abstract Bearing capacity of scarf joint depends on length of joint and type of connection. It is possible to use circular bolts or squared dowels. Both connection tools using in repair of historical timber structures are made from wood according to requirement of heritage authority. Klíčové slova Plát dřevo spoj hmoždík kolík. 1 ÚVOD Vyzkoušené a jednoduché způsoby opravy jsou základním požadavkem rekonstrukcí historických objektů. Nastavovací plátový spoj je velmi často používán, protože vyhovuje požadavku na co největší zachování původního materiálu. Statické řešení rozložení sil však není jednoduché ani se specializovanými výpočetními softwéry. Pro praxi jsou vhodnější jednodušší modely, které vychází z experimentů. Na jejich základě lze pak určit únosnost a tuhost daného nastavovaného prutu. V zahraničí je pozornost věnována pouze specializovaným typům spojů typickým pro jednotlivé státy. O různorodosti svědčí i literatura např. v [1, 7, 8, 9]. 2 TEORETICKÉ ŘEŠENÍ Tvar plátového spoje je nakreslen v obr.1. Část původního trámu (část 1) je nahrazena novým materiálem (část 2). Z konstrukčního hlediska je vhodný plát se šikmým čelem, kde se podílí na přenášení sil i kontaktní síla v opření čela. Správný počet a typ spojovacích prostředků není znám. Např. V Německu doporučují plát s 8 svorníky, ale ze statického hlediska to není opodstatněné. Chování se čtyřmi kolíky je srovnatelné. Pro teoretické řešení je nutné udělat několik zjednodušení: a) Konstrukce je v lineárním stavu – deformace x napětí b) Napětí je nahrazeno výslednicí c) U konstrukce, která je svisle zatížena vzniká v místě plátu ohyb kolmo na rovinu zatížení a kroutící moment. Tyto veličiny lze zanedbat při zamezení vodorovném posunu – například u stropních trámů to zajišťuje záklop. 1 2 Doc. P. Fajman, CVUT, Praha, e-mail. fajman@fsv.cvut.cz Prof. J. Maca, CVUT, Praha, e-mail. maca@fsv.cvut.cz 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava B) A) Hmoždíky a kolík Část 1 kolíky Část 2 Obr. 1. Plát s kolíky a s hmoždíky s kolíky Rozložení sil, které působí na jednu část plátu při spojení dvěma hmoždíky a jedním kolíkem je nakresleno v obr. 2. Kontakt na čele je nahrazen normálovou silou a třecí sílou závislou na tlaku. Jejich pozice není známa. Spojení kolíky se nahradí dvěma silami, spojení hmoždíkem pak normálovou silou a momentem. VF MF La h lk l1 L Mk1 N1 Va z1 Na Nk1 l2 Mk2 Nk3 μk2.Nk2 μk1.Nk1 k1.N1 N2 Nk2 z2 Va Na k2.N2 Vk1 Obr. 2. Síly působící v plátu se dvěma hmoždíky a jedním kolíkem Spojení dvou částí je realizováno 12ti silami, pro které máme tři podmínky rovnováhy a čtyři podmínky pro tření V=µN. Po vyčíslení zbývá pět neznámých sil a dvě neznámá působiště sil v čelech. Tyto polohy lze získat z experimentů. Z provedených výpočtů pak bylo zjištěno, že menší nepřesnosti nemají významný vliv na rozložení sil více v [2,3]. Důležitým prvkem je tuhost kolíků resp. hmoždíků [3]. Tyto hodnoty lze získat různými způsoby – experimentálně, numerickým modelováním nebo z norem. Pro kolík jde o tuhost rovnoběžně s vlákny ku a kolmo na vlákna kv. Hodnoty jsou rozdílné, protože otlačení kolmo a rovnoběžně s vlákny je rozdílné. Pro hmoždík zjišťujeme tuhost ve vodorovném směru ku a v natočení km viz obr. 3 φ = φ1+φ2 = 1 φ2 T = km φ1 U = ku U u=1 V v=1 u=1 T h b Obr. 3. Význam tuhostí hmoždíku a kolíku U= ku V= kv 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Daná konstrukci je tedy 5x staticky neurčitá a lze ji řešit různými způsoby. Jednou z možností je silová metoda, kde se musí sestavit pět podmínek spojitosti. Jedná se o vzájemné posuny i mezi částí 1 a částí 2, která jsou nulová. 1  X 1 11  11r   X 2 12  12r   X 3 13  13r   1F  0, kde, MiM j část I Ni N j EA )dx;  iir  1 1 k ik 2 ,  ijr    U k  2,3  U k, j k ,i kUk  Vk ,i U V M  M i M F Ni N F  )dx.   U k ,i k , F  Vk ,i k , F  M k ,i k , F EI EA kUk kVk k Mk k  2,3  X1.k1  iF   ( EI  1.k1  ij   ( část I X1 c1 X1 Vk , j kVk  M k ,i M k, j  ; k Mk     11 1 X3 Rozpojeno v místech X X4 Pružně spojeno 1 X2 část II 2 Obr. 4. Rozpojení konstrukce v místech s neznámou silou X, 3 část II 1.k1 X5 X2 X2.k2 1 c2 2 vpravo grafické vyjádření veličiny 11 POROVNÁNÍ VÝSLEDKU S EXPERIMENTY Optimální tvar plátu musí brát ohled na statické i ekonomické hledisko. Ze statického hlediska je nejlepší sklon cela co nejmenší, z ekonomického je tomu naopak. Pokud přidáme pracnost spoje, pak se jako optimální jeví sklon 45. Délku plátu lze volit v rozmezí od 3h do 6h a počet spojovacích prostředků min. tři. Z hlediska únosnosti je hmoždík lepší, z hlediska pracnosti je kolíkový spoj méně pracný. Základní požadovanou veličinou je únosnost spoje. Ta závisí na modech porušení, které byly získány z experimentů. Nejčastějším je rozštěpení čela, dalším je porušení kolíku, nebo v okolí kolíku a o porušení tahem v oslabeném průřezu.    Mezní síla v čele je odvozena ve tvaru V = A.fck90 = 0,5.l.b/2 . fck90, kde l je vzdálenost spojovacího prostředku od čela, a dále je uvažován i vliv výsušných trhlin hodnotou 0,5, která je v souladu s experimenty na trámech uložených v běžných vlhkostních poměrech a o rozměrech používaných ve stavební praxi. Maximální zatížení kolíku závisí na jeho průměru a materiálu – pro průměr 24mm je Fx = 5,8kN, Fz = 3,25kN pro hmoždík 50x50mm je Fx = 30kN, M = 4,6kNm. Tahové napětí v ohybu je omezeno v souladu s experimentem na  = 40MPa. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Tvar testované konstrukce je na obr. 5. Trám byl zkoušen v tříbodovém ohybovém testu v laboratořích Teoretické a Aplikované Mechaniky v Praze (UTAM). Více se lze dočíst v [4, 5, 6]. 230 nebo 460 F b= 200 400 or 1100 h= 240 45° 800 700 or 1400 820 3000mm Obr. 5. konstrukce s dvěma hmoždíky a kolíkem a konstrukce se čtyřmi kolíky V grafu na obr. 6 je vykreslena vypočítaná závislost momentu a normálové síly pro dva spoje různých délek. Plnou čarou jsou vykresleny výsledky 4kolikového spoje s délkou plátu 3h a 6h. Čárkovanou čárou jsou výsledky spoje s dvěma hmoždíky a jedním kolíkem. Graf potvrzuje doporučení, že únosnost delšího plátu je výrazně větší. Zároveň je vidět rozdíl mezi únosnosti plátu pouze s kolíky, nebo plátu s hmoždíky a kolíkem. Experimentální výsledky jsou označeny značkou. Více naměřených údajů je doposud k dispozici jen u čtyřkolíkového spoje. Důležitým poznatkem je to, že výpočtem vychází mírně menší únosnost než v experimentu, což je na straně bezpečné. Obr. 6. Únosnost jednotlivých spojů 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava ZÁVĚRY    Výsledky výpočtu a experiment jsou v dobré shodě. Nejčastěji se plat porušuje štěpením konce s výsušnou trhlinou. Zde je možné zvýšit únosnost pomocí příčného zavrtání vrutů viz [10] Pokud je rozhodující 1mezní stav únosnosti je lepší použít spoj s hmoždíky. PODĚKOVÁNÍ Článek je napsán za podpory grantu Ministerstva Kultury NAKI projekt – DF12P01OVVOO4 – Návrh a posuzování dřevěných tesařských spojů historických konstrukcí. LITERATURA [1] Branco, J.M.,- Piazza, M. - Cruz, P.J.S.: Experimental evaluation of different strengthening techniques of traditional timber connections. Engineering Structures, 2011, 33 (8), pp. 2259-2270. URI: http://hdl.handle.net/1822/13592 [2] Fajman, P. :“A scarf joint for reconstructions of historical structures“, ISBN 978-303835147-4, Advanced Materials Research – 969/2014, 7 p., pp. 9-15, Uetikon-Zurich, Trans Tech Publications. [3] Fajman, P. - Maca, J.: “The effect of key stiffness on forces in a scarf joint “, ISSN 1759-3433, Proceedings of the Ninth International Conference on Engineering Computational Technology, 2014, 16 p., Stirling, Civil-Comp Press Ltd. [4] Kunecky, J. - Sebera, V. - Tippner, J. - Kloiber, M. : “Numerical assessment of behaviour of a historical central European wooden joint with a dowel subjected to bending“ in Conference Proceedings of 9th International Conference on Structural Analysis of Historical Constructions, np. 8, Mexico City, Instituto de Ingenieria 2014. [5] Kunecky, J. - Sebera, V. - Tippner, J. - Arciszewska-Kędzior, A. - Hasnikova, H. - Kloiber, M.: “Experimental assessment of historical full-scale timber joint accompanied by a finite element analysis and digital image correlation“, ISSN 0950-0618, Construction and Building Materials 2015. [6] Milch, J.- Tippner, J.- Brabec, M.- Sebera, V.: “Experimental Verification of Numerical Model of Single and Double-Shear Dowel-Type Joints of Wood“, ISBN 978-0-9817876-4-0, 57th International Convention of Society of Wood Science and Technology 2014, pp. 368-376, Monona, Society of Wood Science and Technology. [7] Parisi, M.A. – Sordié, C.: Mechanical behaviour of double-step timber joints, Construction and Building Materials. 2010, 24, no. 8, pp. 1364-1371. [8] Sangree, R.H. – Schafer, B.W.: Experimental and numeric analysis of a stop-splayed traditional timber scarf joint with key, Construction and Building Materials. 2009, 23, no. 1, pp. 376-385 ISSN 0950-0618. [9] Sobra K. - Fajman P.: Utilization of splice skew joint with a key in the reconstruction of historical trusses, Advanced Materials Research, No.688/2012, pp. 207-212, ISSN 1022-6680, Uetikon-Zurich. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS DYNAMIC CONTACT OF MINDLIN-TIMOSHENKO BEAM WITH A RIGID OBSTACLE. D. Pancza1 and I. Bock2 Abstract We concentrate to the dynamics of an elastic Mindlin-Timoshenko beam striking a rigid obstacle under the whole region of the beam. We substitute the nonstationary initial-boundary value problems by sequences of stationary problems in chosen time moments after applying finite differences instead of time derivatives. Key Words Mindlin-Timoshenko beam; dynamic contact; rigid obstacle; variational inequality 1 INTRODUCTION We deal here with the dynamics of a Mindlin-Timoshenko beam vibrating against a rigid obstacle. The dynamic contact problems are not frequently studied in comparison with static or quasistatic problems. The abstract theory of variational inequalities cannot be applied in the dynamic case. The main problem is the change of the sign of the velocity vector after hitting the rigid obstacle. The isotropic viscoelastic cases for a von Kármán plate, involving the rotary inertia were studied in [5] and [6]. The dynamic contact of a viscoelastic Reissner-Mindlin plate with a rigid obstacle has been investigated in [8]. The short and the singular memory materials in both cases have been considered. For the elastic problems there is only limited amount of results available cf. [9] and there cited literature. The dynamic contact of a beam with a boundary obstacle on one of its ends has been studied in [4]. The inner dynamic obstacle problem for a von Kármán elastic plate in a dynamic action with an inner obstacle has been solved in [7]. The penalization method is the main tool of solving the problems mentioned above. Solving the dynamic contact problem for a beam we apply the approach from [1]-[3]. After a discretization of a time variable the originally hyperbolic variational inequality is converted to a first order (with respect to the time) system. The start point is then a finite sequence of stationary elliptic variational inequalities which have unique variational solutions. The sequence of segment line functions constructed from their solutions converges to a weak solution of the original initial-boundary value problem. One dimensional finite elements combined with a semismooth Newton method in a similar way as in [1] can be used in a numerical realization. 2 FORMULATION OF THE PROBLEM We consider a clamped beam of the length L > 0. Its variable thickness is expressed by a positive continuous function x 7→ e(x), x ∈ [0, L], the constant κ > 0 denotes the shear correction coefficient, a > 0 is the material constant. For simplicity we assume the constant density of the material. The 1 Mgr.D. Pancza,PhD. Institute of Computer Science and Mathematics FEI STU, 81219 Bratislava, david.pancza@stuba.sk 2 Prof.RNDr.I. Bock,PhD,Institute of Computer Science and Mathematics FEI STU,81219 Bratislava, igor.bock@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava obstacle is represented by the function ψ : [0, L] 7→ R. We study vibrations of the beam in the time interval (0, T ] and set Q = (0, T ] × (0, L) the time-space domain. Let f, g : Q 7→ R represent a perpendicular load and a shear force acting on the beam respectively, u0 : (0, L) 7→ R, v0 : (0, L) 7→ R be the initial displacement and velocity, ϕ0 : (0, L) 7→ R, ω0 : (0, L) 7→ R the initial angle of the rotation and its initial velocity. We set Φ = ψ + 12 e in order to involve the variable thickness of the plate in the obstacle problem. Then generalizing the approach from [4], where the boundary contact and the constant thickness were considered, we obtain that the vertical displacement u : Q 7→ R and the angle of the rotation ϕ : Q 7→ R solve the hyperbolic initial-boundary value problem e(x)utt − κ[e(x)(ux − ϕ)]x = f + F on Q, (1) u ≥ Φ, F ≥ 0, (u − Φ)F = 0 on Q, (2) 1 3 12 e (x)ϕtt (3) 3 − a[e (x)ϕx ]x − κe(x)(ux − ϕ) = g on Q, u(t, 0) = ϕ(t, 0) = u(t, L) = ϕ(t, L) = 0, t ∈ (0, T ], (4) u(0, x) = u0 (x), ϕ(0, x) = ϕ0 (x), ut (0, x) = v0 (x), ϕt (0, x) = ω0 (x), x ∈ (0, L) (5) with an unknown contact force F . We introduce the Hilbert spaces Z H ≡ L2 (0, L) = {y : (0, L) 7→ R : L y 2 dx < ∞}, 0 H 1 (0, L) = {y ∈ L2 (0, L) : y 0 ∈ L2 (0, L)}, V = {y ∈ H 1 (0, L) : y(0) = y(L) = 0}, H 1 (Q) = {y ∈ L2 (Q) : yt , yx ∈ L2 (Q)}, with the inner products and the norms L Z y(x)z(x) dx, |y|0 = (y, y)1/2 , y, z ∈ H, (y, z) = 0 L Z 1/2 [y(x)z(x) + y 0 (x)z 0 (x)] dx, kyk1 = (y, y)1 , y, z ∈ H 1 (0, L), (y, z)1 = 0 Z L ((y, z)) = Z0 (y, z)Q = y 0 (x)z 0 (x) dx, kyk = ((y, y))1/2 , y, z ∈ V, [y(t, x)z(t, x) + yt (t, x)zt (t, x) + yx (t, x)zx (t, x)] dx dt, y, z ∈ H 1 (Q), Q 1/2 kykQ = (y, y)Q , y ∈ H 1 (Q). and the dual space of linear bounded functonals over V with a norm k`k∗ , ` ∈ V ∗ . We denote I = (0, T ] and I¯ = [0, T ]. Let X be a Banach space and X ∗ the dual space of all linear continuous functionals over X. We denote by Lp (I; X) the Banach space of all functions y : (0, T ) 7→ X such that ky(·)kX ∈ Lp (0, T ), p ∈ [1, +∞]. The functions ky(·)kX are essentially bounded for p = ∞. ¯ X) and Cw (I; ¯ X) the spaces of continuous respectively weakly continuous Further we denote by C(I; ¯ functions y : I 7→ X. We denote by ẇ and ẅ the first and the second time derivatives of a function w : I → X and set V = L∞ (I; V ), W = {w ∈ H 1 (Q) ∩ V ; ẇ ∈ L∞ (I; H)}. We introduce the convex sets K = {w ∈ V ; w(x) ≥ Φ(x) ∀x ∈ [0, L]}, K = {y ∈ W ; y(t, x) ≥ Φ(x) for a.e. (t, x) ∈ Q} 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava and assume f, g ∈ L2 (Q); u0 , ϕ0 ∈ V ; v0 , ω0 ∈ H, Φ ∈ C[0, L], Φ(0) ≤ 0, Φ(L) ≤ 0 e ∈ E, E = {e ∈ H 1 (0, L) : 0 < e0 ≤ e(x) ≤ e1 ∀x ∈ [0, L]}. We formulate a weak solution of the problem (1)-(5) as a solution of a system consisting of a variational inequality for a deflection u and the hyperbolic equation for an angle of the rotation ϕ. Definition 1 A couple of functions {u, ϕ} ∈ K × W is a weak solution of the problem (1)-(5) if ü ∈ V ∗ , ϕ̈ ∈ L2 (I; V ∗ ) and Z Z hhü, e(y − u)ii + [κe(x)(ux − ϕ)(yx − ux )] dx dt ≥ f (y − u) dx dt ∀ y ∈ K , (6) Q Q Z Z 1 h ϕ̈, e3 ψi dt + [ae3 (x)ϕx ψx − κe(x)(ux − ϕ)ψ] dx dt = 12 I Q Z (7) gψ dx dt ∀ ψ ∈ L2 (I; V ), Q u(0) = u0 , u̇(0) = v0 , ϕ(0) = ϕ0 , ϕ̇(0) = ω0 (8) with the initial condition u̇(0) = v0 fulfilled in a weak sense. We remark that the expressions h·, ·i and hh·, ·ii mean the dualities between the spaces V ∗ and V , and V ∗ and V respectively. 3 SEMIDISCRETIZATION Before performing the discretization of time variable we transform the problem (1)-(5) into the system of first order equations with respect to the time variable: u̇ = v in Q (9) ϕ̇ = ω in Q (10) ev̇ − κ[e(ux − ϕ)]x = f + F in Q, (11) u ≥ Φ, F ≥ 0, (u − Φ)F = 0 in Q, 1 3 e ω̇ − a(e3 ϕx )x − κe(ux − ϕ) = g in Q, 12 u(0) = u0 , v(0) = v0 , ϕ(0) = ϕ0 , ω(0) = ω0 in (0, L), (12) u(·, 0) = ϕ(·, 0) = u(·, L) = ϕ(·, L) = 0, in (0, T ]. (15) (13) (14) Let us assume the uniform time division: 0 = t0 < t1 < ... < tk < ...tN = T, tk − tk−1 = τ, k =, 1, ..., N. We introduce discrete values of a function w : [0, T ] 7→ X and its differences by wk = w(tk , ·), wk−1/2 = 1 k−1 1 (w + wk ), δwk = (wk − wk−1 ). 2 τ The system (9)-(15) is then approximated by δuk = v k−1/2 , δϕk = ω k−1/2 in (0, L), k eδv − k κ[e(uk−1/2 x k k−1/2 −ϕ k k (16) k )]x = f + F in (0, L), k u ≥ Φ, F ≥ 0, (u − Φ)F = 0 in (0, L), 1 3 k e δω − a(e3 ϕk−1/2 )x − κe(uk−1/2 − ϕk−1/2 ) = g k in (0, L), x x 12 u0 = u0 , v 0 = v0 , ϕ0 = ϕ0 , ω 0 = ω0 , in (0, L), k k k k u (0) = ϕ (0) = u (L) = ϕ (L) = 0, k = 1, ..., N. (17) (18) (19) (20) (21) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava We introduce the bilinear forms A(e; ·, ·) : V 2 → R, B(e; ·, ·) : H 2 → R, e ∈ E; defined by A(e; ϕ, ψ) = a(e3 ϕx , ψx ), ϕ, ψ ∈ V, (22) B(e; z, y) = κ(ez, y), z, y ∈ H, e ∈ E. (23) The bilinear forms A(e; ·, ·) : V 2 → R, B(e; ·, ·) : H 2 → R are symmetric, uniformly bounded and coercive i.e. we have for all e ∈ E A(e; ϕ, ψ) = A(e; ψ, ϕ) ∀ϕ, ψ ∈ V, (24) B(e; z, y) = B(e; y, z) ∀z, y ∈ H, (25) |A(e; ϕ, ψ)| ≤ α1 kϕkkψk ∀ ϕ, ψ ∈ V, (26) |B(e; z, y)| ≤ β1 |z|0 |y|0 ∀ z, y ∈ H, (27) 2 A(e; ϕ, ϕ) ≥ α0 kϕk ∀ ϕ ∈ V, (28) β0 |z|20 ∀ z ∈ H, (29) B(e; z, z) ≥ with positive constants α0 = ae3min , α1 = ae3max , β0 = κemin , β1 = κemax . Definition 2 A quadruple {uk , ϕk , v k , ω k } ∈ K × V 3 is a weak solution of the system (16)-(21) if u0 = u0 , v 0 = v0 , ϕ0 = ϕ0 , ω 0 = ω0 , k δu = v k k−1/2 δϕ = ω k (30) , k−1/2 (31) , k (32) B(e; uk−1/2 x k−1/2 ukx ) k k (eδv , y − u ) + −ϕ , yx − ≥ (f , y − u ) ∀y ∈ K, 1 3 k (e δω , ψ) + A(e; ϕk−1/2 , ψ) − B(e; uxk−1/2 − ϕk−1/2 , ψ) = (g k , ψ) ∀ψ ∈ V. 12 Lemma 3 Let 0 < τ < τ0 ≤  α0 12aβ0 1/2 = emin
a 1/2 12κ (33) (34) . Then for each k = 1, ..., N there exists a unique weak solution of a system (16)-(21). Proof. The system (30)-(34) can be expressed in a form τ2 B(e; ukx − ϕk , yx − ukx ) ≥ 4 τ2 τ2 − ϕk−1 , yx − ukx ) ∀y ∈ K, ( f k + τ ev k−1 + euk−1 , y − uk ) − B(e; uk−1 x 2 4 1 τ2 τ2 ( e3 ϕk , ψ) + A(e; ϕk , ψ) − B(e; ukx − ϕk , ψ) = 12 4 4 τ 3 k−1 1 3 k−1 τ2 k + e ϕ , ψ) ( g + e ω 2 12 12 τ2 τ2 − A(e; ϕk−1 , ψ) + B(e; uk−1 − ϕk−1 , ψ) ∀ψ ∈ V, x 4 4 2 v k = −v k−1 + (uk − uk−1 ), τ 2 ω k = −ω k−1 + (ϕk − ϕk−1 ). τ (euk , y − uk ) + (35) (36) (37) (38) Let us introduce the linear bounded operators I (e), B(e) : W 7→ W ∗ , W = V 2 defined by 1 3 (e ϕ, ψ), 12 hhB(e)U, Y ii = B(e; ux − ϕ, yx − ψ) + A(e; ϕ, ψ), hhI (e)U, Y ii = (eu, y) + U = (u, ϕ), Y = (y, ψ), u, ϕ, y, ψ ∈ V. (39) (40) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Using these operators we can express the system (35)-(38) in an operator form U k = (uk , ϕk ) ∈ K × V : hhAτ (e)U k , Y − U k ii ≥ hhFτk (e), Y − U k ii ∀ Y ∈ K × V, (41) where the operator Aτ (e) : W 7→ W ∗ and the functional Fτk (e) ∈ W ∗ , k = 1, ..., N are defined by τ2 B(e), 4 τ2 τ2 τ 1 hhFτk (e), Y ii = ( f k + τ ev k−1 + euk−1 , y) + ( g k + e3 ω k−1 + e3 ϕk−1 , ψ) 2 2 12 12 τ2 − [B(e; uk−1 − ϕk−1 , yx − ψ) − A(e; ϕk−1 , ψ)], k = 1, ..., N. x 4 Aτ (e) = I (e) + (42) (43) The operator Aτ (e) : W 7→ W ∗ is linear, bounded, symmetric and positively definite. One can see easily the linearity, the boundedness and the symmetry. We verify the positive definiteness. We have for every U ∈ W the relation τ2 1 3 (e ; ϕ, ϕ) + [B(e; ux − ϕ, ux − ϕ) + A(e; ϕ, ϕ)] 12 4 Applying the relations (28), (29) we obtain for ε ∈ (0, 1) the inequalities hhAτ (e)U, U ii = (eu, u) + α0 τ2 |ϕ|20 + [β0 |ux − ϕ|20 + α0 kϕk2 ] 12a 4 τ2 τ2 α0 τ 2 β0 2 ≥ β0 (1 − ε)kuk + ( − )kϕk20 + α0 kϕk2 . 4 12a 4 ε 4 hhAτ (e)U, U ii ≥ After setting ε = 12τ02 β0 a α0 we obtain hhAτ ()U, U ii ≥ 12τ 2 β0 a τ2 [(1 − )kuk2 + α0 kϕk2 ] ≥ M kU k2W ∀ U ∈ W 4 α0 2 2 with a positive constant M = τ4 min{(1 − 12τα0β0 a ), α0 } and hence the operator Aτ (e) : W 7→ W ∗ is positively definite. Starting with u0 ∈ K, ϕ0 ∈ V, v 0 , ω 0 ∈ H we obtain successively that the variational inequality (41) has a unique solution U k ∈ K × V and hence also the inequality (35) together with the variational equation (36) have a unique solution (uk , ϕk ) ∈ K × V for every k = 1, ..., N due to the Theorem on existence and uniqueness of a solution of an elliptic variational inequality ([10], ch.4). The equations (37), (38) imply uniquely determined (v k , ω k ) ∈ W and the lemma is verified. We continue with a priori estimates inevitable for the convergence of the method. Lemma 4 Let 0 < τ < τ0 < 1. Then there hold the a priori estimates kum k2 + |v m |0 + kϕm k2 + |ω m |0 + m X τ (kδv k k∗ + kδω k k∗ ) ≤ C1 , m = 1, .., N ; k=1 C1 ≡ C1 (T, u0 , v0 , ϕ0 , ω0 , e0 , e1 , f, g). 4 CONVERGENCE PROCESS Let us set for n = 1, 2 ... N ≡ N (n), τ ≡ τn = T , lim N (n) = ∞. N (n) n→∞ (44) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava We define the functions determined by discrete values wk ≡ wn,k , wk−1/2 = wn,k−1/2 , δwk ≡ δwn,k : wn(1) : [0, T ] 7→ H 1 (0, L), wn(1) (t) = wn,k−1 + (t − tnk−1 )δwn,k , tnk−1 ≤ t ≤ tnk , wn(2) : [0, T ] 7→ H 1 (0, L), wn(2) (0) = wn,0 , wn(2) (t) = wn,k , tnk−1 < t ≤ tnk , wn(3) : [0, T ] 7→ H 1 (0, L), wn(3) (0) = wn,0 , wn(3) (t) = wn,k−1 , tnk−1 < t ≤ tnk , wn(4) : [0, T ] 7→ H 1 (0, L), wn(4) (t) = wn,k−1/2 , tnk−1 < t ≤ tnk , tnk = kτn , k = 0, 1, ..., N (n). Further we introduce sequences of functions t Z 2 vn(1) (s) ds; un ∈ H (I; V ), un (t) = u0 + 0 Z 2 (45) t ϕn ∈ H (I; V ), ϕn (t) = u0 + ωn(1) (s) ds; t ∈ I, n ∈ N. 0 The a priori estimates from the previous section imply kun kL∞ (I,V ) + 4 X (1) ku(i) n kL∞ (I,V ) + ku̇n kL∞ (I,H) + ku̇n kL∞ (I,H) ≤ C2 (T ), (46) i=1 4 X kvn(i) kL∞ (I,H) ≤ C3 (T ), (47) i=1 kϕn kL∞ (I,V ) + 4 X (1) kϕ(i) n kL∞ (I,V ) + kϕ̇n kL∞ (I,H) + kϕ̇n kL∞ (I,H) ≤ C4 (T ), (48) i=1 4 X kωn(i) kL∞ (I,H) ≤ C5 (T ), (49) i=1 kün kL1 (I,V ∗ ) ≤ C6 (T ), (50) kϕ̈n kL2 (I,V ∗ ) ≤ C7 (T ). (51) Previous a priori estimates and the compact imbedding theorems for Sobolev spaces and the AubinLions imbedding theorem generalized in [11] implies the following lemma expressing the convergence of the sequences defined above. Lemma 5 There exist a sequence {τn }, τn → 0+ and functions u, ϕ ∈ L∞ (I; V ) such that u̇, ϕ̇ ∈ L∞ (I; H), ü ∈ (V )∗ , ϕ̈ ∈ L2 (I; V ∗ ) and the following convergences hold un *∗ u in L∞ (I; V ), (52) ũn *∗ u in L∞ (I; V ), (53) ∗ v̄n * u̇ in L2 (I; H), ∗ vn * u̇ in L2 (I; H), un (T ) → u(T ) in H 1−ε (Ω), 0 < ε < 1, vn → u̇ in L2 (I; V ∗ ), ∗ (54) (55) (56) (57) v̄n → u̇ in L2 (I; V ), (58) v̇n * ü in V (59) ∗ ∗ ∗ ∗ ω̇n * ϕ̈ in L2 (I; V ). We remark that the convergence (59) is in the sense of nets as the space V is not separable. (60) The previous lemma implies directly solving of the original problem: Theorem 6 A couple of functions u, vf i defined in Lemma 5 is a weak solution of the Problem (??-4). ACKNOWLEDGEMENT The work presented here was supported by the Ministry of Education of Slovak Republic under grant VEGA-1/0426/12 and by grant of Science and technology Assistance Agency no. APVV-02460-12. References [1] J. Ahn and D.E. Stewart: An Euler-Bernoulli beam with dynamic contact: discretization, convergence and approximation SIAM J. Numer. Anal. 43 (4) (2009), 1455–1480. [2] Ahn, J. and Stewart, D.E.: Existence of solutions for a class of impact problems without viscosity. SIAM J. Math. Anal. 38 (1) (2006), 37–63. [3] Ahn, J. and Stewart, D.E.: Dynamic frictionless contact in linear viscoelasticity IMA J. Numer. Anal. 29 (2009), 43–71. [4] Araruna, F.D., Feitosa J.R. and Oliveira, M.L.: A boundary obstacle problem for the MindlinTimoshenko system. Math. Meth. Appl. Sci. 32 (2009), 738–756. [5] Bock, I. and Jarušek, J.: Unilateral dynamic contact of viscoelastic von Kármán plates Adv. in Math. Sci. and Appl. 16 (1) (2006), 175–187. [6] I. Bock and J. Jarušek: Unilateral dynamic contact of von Kármán plates with singular memory, Appl. Math. 52 (6) (2007), 515–527. [7] Bock, I. and Jarušek, J.: Solvability of dynamic contact problems for elastic von Kármán plates.SIAM J. Math. Anal. 41, (1) (2009), 37-45. [8] Bock, I. and Jarušek, J.: Unilateral dynamic contact problem for viscoelastic Reissner-Mindlin plates Nonlin. Anal. 16 (1) (2011), 175–187. [9] Eck, C., Jarušek, J., and Krbec, M.: Unilateral Contact Problems in Mechanics. Variational Methods and Existence Theorems. Monographs & Textbooks in Pure & Appl. Math. No. 270 . Chapman & Hall/CRC (Taylor & Francis Group), Boca Raton – London – New York – Singapore 2005. [10] W. Han and M. Sofonea:Quasistatic Contact Problems in Viscoelasticity and Viscoplasticity AMS Studies in Advanced Mathematics 30, Rhode Island 2002. [11] J. Jarušek, J. Málek, J. Nečas and V. Šverák: Variational inequality for a viscous drum vibrating in the presence of an obstacle. Rend. Mat., Ser. VII, 12 (1992), 943–958. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS VPLYV PRÚDENIA OKOLO VOĽNÝCH KONCOV OBJEKTU NA EXTERNÉ SÚČINITELE TLAKU VETRA O. Hubová1 a L. Konečná2 Abstract The external wind pressure coefficients are based on the measurements on structures without free-end flow near the top of vertical structures. The end-effect factor takes into account reduction of the pressures due to specific flow around top of atypical building. The article is based on the experimental measurements in BLWT wind tunnel in Bratislava on the model of building with cross section – a quarter of circle. We tested the model in two spaces in steady and turbulent wind flow by changing of wind direction and wind velocity. The end-effect factor is shown in graphs, depending on the wind direction. Key Words Steady wind flow; mean wind velocity;, turbulent wind flow; BLWT wind tunnel; experimental measurements, external wind pressure coefficients; free-end flow; end-effect. 1 ÚVOD Cieľom tohto príspevku je upozorniť na vplyv prúdenia vetra okolo voľných koncov vertikálnych vysokých konštrukcií a zmenu tlaku vetra, ktorá sa prejavuje v hornej časti konštrukcií. Tento vplyv nazvaný ako súčiniteľ voľného konca je pre jednoduché tvary konštrukcií zohľadnený v norme EN 1994-1-4 [2], napríklad pre kruhové valce je stanovený na základe smeru vetra vzťahmi (7.17) v [2], ktoré redukujú súčiniteľ externého tlaku vetra. V prípade konštrukcií neobvyklých tvarov tieto vplyvy je potrebné experimentálne zistiť. Merania prebiehali vo veternom tuneli s namodelovanou medznou vrstvou, ktorá odpovedala drsnosti terénu medzi kategóriou III – IV na modeli atypickej konštrukcie (Obr. 1c), ktorej priečny rez bol v tvare štvrťkruhu (Obr.1a, 1b). Namodelovaná medzná vrstva tvorená fóliou a bariérou vykazovala priebeh strednej rýchlosti vetra v tvare logaritmického profilu až po gradientnú výšku, ktorá bola cca 1,05 m. Testovali sa tlaky vetra v troch rôznych výškových úrovniach pri meniacej sa referenčnej rýchlosti vo vrchole objektu pri zmene smeru prúdenia vetra na objekt. Vyhodnotené stredné tlaky vetra a maximálne a minimálne hodnoty umožnili stanovenie súčiniteľov externého tlaku vetra v rôznych výškach objektu. Boli pozorované zmeny tlaku vetra práve v hornej časti modelu, ktoré záviseli pre jednotlivé odberné miesta od smeru vetra. Graficky sme spracovali a vyhodnotili súčiniteľ voľného konca pre daný objekt. Uvažované bolo turbulentné prúdenie aj prúdenie ustálené s malou turbulenciou vetra, kde sme v prednom modelovom priestore získali súčinitele tlakov vetra bez vplyvu voľných koncov. 1 Doc. Ing. O. Hubová, PhD., Slovenská technická univerzita v Bratislave, Stavebná fakulta, Katedra stavebnej mechaniky, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, Slovenská Republika, +421 2 59274641, olga.hubova@stuba.sk. 2 Ing. L. Konečná, PhD., Slovenská technická univerzita v Bratislave, Stavebná fakulta, Katedra stavebnej mechaniky, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, Slovenská Republika, +421 2 5927251, lenka.konecna@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a October 2015, Bratislava b c Obr. 1. a) Pohľad na model v BLWT STU, b) detail modelu, c) objekt v skutočnosti 2 CHARAKTERISTIKA PRÚDENIA V BLWT STU Veterný tunel má dve skúšobné sekcie. V prednej časti je ustálené prúdenie s malými odchýlkami od strednej rýchlosti vetra. V tomto priestore je možné testovať väčšie modely, s cieľom zistiť prípadné extrémne rozloženia tlakov na objekte. V zadnej časti tunela, za medznou vrstvou, je vyvinuté turbulentné prúdenie. Toto prúdenie simuluje drsný terén. Pomocou bariéry a fólie sme namodelovali mestský terén, ktorý zodpovedá drsnosťou bežným väčším mestám na Slovensku. Experimentálne stanovená dĺžka drsnosti z0 = 0,7 m ( pozri [3], [4], [7],) odpovedá podľa EN 1991-1-4 terénu medzi kategóriou III - predmestie a kategóriou IV, ktoré reprezentuje centrum veľkomiest. Zabezpečený gradientný priebeh strednej rýchlosti vetra v zadnom meracom priestore spolu s intenzitou turbulencie a spektrálnou funkciou po gradientnú výšku odpovedajúcu 1,05 m vytvára namodelované veterné pomery vhodné na experimentálne testovanie modelov. Modelová mierka cca 1: 360 až 380 zabezpečuje všetky potrebné modelové podobnosti 6. Reynoldsovo číslo, ktoré musí dosahovať minimálne hodnotu 1.104 ,na to aby sa zabezpečila podobnosť obtekania, nám zároveň stanovuje minimálne hodnoty rýchlosti prúdenia v tuneli pri experimentálnom testovaní. 2.1 Turbulencia vetra Prúdenie vetra je chaotické a mení sa s časom a výškou nad terénom, zjednodušene ho možno uvažovať ako súčet strednej rýchlosti vetra v danej výške vm ( z ) nad terénom a turbulentnej zložky v smere strednej rýchlosti vetra v( z, t ). Smerodajná odchýlka rýchlosti vetra je definovaná v intervale času T , ktorý sa uvažuje počas pôsobenia silného vetra (medzi 10 min až 1 hod) takto T v  1 v( z, t )  vm ( z)2dt T 0 (1) Intenzita turbulencie je daná vzťahom (2) Iv  kde u    0 /  v vm ( z )  Ai    v / u    lnz / z0  lnz / z0  (2) je trecia rýchlosť,  0 - stredná hodnota šmykového napätia na povrchu,  - hustota vzduchu,   0,4 je von Kármanova konštanta. Priebehy turbulentného prúdenia v BLWT tuneli namerané v rôznych výškových úrovniach modelu a im odpovedajúce hodnoty strednej rýchlosti, smerodajnej odchýlky a intenzity turbulencie vidieť na Obr.2. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 2. Nameraná turbulentná rýchlosť vetra v zadnom priestore BLWT vo výškach A, B, C 3 SÚČINITEĽ VOĽNÉHO KONCA Základný súčiniteľ externého tlaku vetra na atypickom výškovom objekte tvaru štvrťkruhu sa určoval z prúdenia v prednom meracom priestore a tiež z hodnôt rozloženia tlaku vetra v zadnom meracom priestore s turbulentným prúdením (Obr. 1a). Jeho hodnota bola stanovená podľa vzťahu (3), kde v čitateli je rozdiel tlaku vetra v meranom bode na povrchu modelu a statického tlaku nerušeného prúdenia, ktorý udávala Prandtlova sonda. V menovateli je dynamický tlak strednej rýchlosti vetra v referenčnej výške (v našom experimentálnom meraní sa uvažovala referenčná výška rovná výške hornej hrany modelu. cpe,0  p(t )  p0 p  pdyn( z ref ) 1 / 2    v 2 ( z ref ) (3) Merania tlakov vetra v úrovni A a B vykazovali odchýlky súčiniteľov externého tlaku vetra, kde úroveň B dávala pre rôzne smery vetra podobné priebehy súčiniteľov tlaku ako to bolo v prípade samostatne meraných hodnôt rozloženia tlakov po obryse štvrťkruhu v strede modelu skúšaného v prednom meracom priestore tunela (pozri [5]). V hornej úrovni sú tlaky vetra ovplyvnené špecifickým prúdením okolo voľného konca budovy, ktoré závisí jednak od štíhlosti objektu a tiež od smeru pôsobenia vetra. Základná poloha modelu - 0° reprezentovala vodorovné prúdenie. Postupným natáčaním modelu pomocou otočného stola o 15°, sme získali pôsobenie vetra zo všetkých smerov. Výsledná hodnota súčiniteľa externého tlaku vetra v hornej tretine objektu sa stanoví nasledovne: cpe  cpe,0   , (4) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava kde   je súčiniteľ vplyvu voľného konca, ktorý sa stanovil experimentálne na základe opakovaných meraní pri meniacom sa smere vetra. Výsledky pre charakteristické body na objekte sú spracované v grafoch na Obr. 4 až 7. Obr. 4. a) Priebeh súčiniteľov voľného konca v závislosti na smere vetra – odber č.3, b) pôdorys objektu, smer pootočenia 0º Obr. 5. a) Priebeh súčiniteľov voľného konca v závislosti na smere vetra – odber č.8, b) pôdorys objektu, smer pootočenia 0º Obr. 6. a) Priebeh súčiniteľov voľného konca v závislosti na smere vetra – odber č.12, b) pôdorys objektu, smer pootočenia 0º 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 7. a) Priebeh súčiniteľov voľného konca v závislosti na smere vetra – odber č.15, b) pôdorys objektu, smer pootočenia 0º 4 ZÁVER Súčiniteľ voľného konca pre tento typ priečneho rezu vykazuje určité špecifiká. Prejavuje sa to hlavne, pokiaľ vietor prúdi pod ostrým uhlom vzhľadom k povrchu objektu, tak ako to vidieť v odberných miestach 3, 12 a 15. Prejavuje sa to aj v prípade, ak hodnoty nameraných externých tlakov dosahujú malé hodnoty - ako je to v bode 12 pri natočení modelu o 125° , kde je hodnota externého tlaku v úrovni A zanedbateľná vzhľadom k hodnote tlaku na úrovni B, kde dochádza k odtŕhaniu vírov a k saniu za ostrým rohom štvrťkruhu. Vplyv voľného konca na danom mieste toto sanie eliminuje. Priebehy súčiniteľa voľného konca v miestach, kde nenastáva špecifická situácia sa pohybujú v rozmedzí 0,6 až 0,8. Z grafov vidieť, že súčinitele externých tlakov v horných častiach dávajú zásadne nižšie hodnoty. Hlavne v prípade atypických tvarov konštrukcií, je potrebné tieto hodnoty experimentálne zistiť, nakoľko norma EN 1991-1-4 nemá tieto hodnoty spracované. POĎAKOVANIE Táto práca vznikla s podporou Grantovej agentúry VEGA Slovenskej republiky v rámci projektu číslo1/0480/13. LITERATÚRA 1 ACSE Manuals and Reports on Engineering Practice, no.67. Wind Tunnel studies of buildings and structures. Aerospace Division of the American Society of Civil Engineers. Preklad Jirsák, M.: Studie budov a konstrukcí ve vetrných tunelech., ČKAIT Praha, 2009, ISBN 978-80-87093-87-0. 2 EN 1991-1-4 Eurocode 1: Actions on structures-Part 1-4: General actions-Wind actions 2005. [3] Hubová, O. - Lobotka, P.: The multipurpose wind tunnel STU. In Civil and Environmental Engineering. Scietific- Technical Journal. ISSN 1336-5835, EV 3293/09, Volume 10th, Issue 1/2014, p. 2 - 9. [4] Hubová, O., Lobotka, P. : The Natural Wind Simulations in the BLWT STU Wind Tunnel. Viedeň : TGM - Federal Institute of Technology, 2014In ATF 3nd Conference on Building Physics and Applied Technology in Architecture and Building Structures. E-Book of reviewed papers. Vienna, Austria, 6.7.5.2014, s.78-84. ISBN 978-3-200-03644-4. [5] Hubová, O., Konečná, L. : Comparison of experimental determination of wind pressure distribution in steady and turbulent wind flow. Proceedings 15-th International Scientific Conference VSU´2015,Sofia, Bulgaria Vol.I, p. 90-95 , ISSN 1314-071X 6 Jirsák, M. - Hora, A. - KRÁL, J.: Větrný tunel VZLÚ/KÚ ČVUT pro modelové zkoušky staveb. Letecký zpravodaj č.1, 8-15 VZLÚ 1997. 7 Wieringa, J.: Representative Roughness Parameters for Homogeneous Terrain. Boundary Layer Meteorology, 63, 323-363, 1993. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF DESTRUCTION OF INTERNAL FIELD OF A SLAB-COLUMN STRUCTURE M. Wieczorek 1 Abstract Slab-column connections used in design and construction work are one of the typical kinds of structures used in building industry. The emergence of factors unexpected at the designing stage can lead to collapse of the structures. The paper presents experimental investigations of the central field of the continuous floor. The research was conducted on a nine-field slab with dimensions 9300×9300×100 mm. The aim of the research was to observe the behaviour of the experimental model in the time when excessive load is exerted. The model was prepared using high ductility steel (εuk>7.5%) in order to determine the possibility to induce tensile membrane action. The paper presents basic geometrical and material data, the research methodology, the description of the system of loading, the description of the measurement system, and the obtained measurement results. The last part summarizes the conducted investigations. Key Words concrete structures, slab-column structures, progressive collapse, failure stage, steel with high ductility. 1 INTRODUCTION The general behaviour of square central part of the floor slab of a typical slab-column structure was presented in Fig. 1. For such case, with the load increasing monotonically, three phases of activity of the analysed element of the structure can be distinguished. At the beginning of the loading process the element of the structure behaves is a linear way. The non-linear phase brings a significant change in its behaviour, with reinforcing steel achieving the yield point. This type of behaviour of the structure is sustained until the moment of failure (point A). This failure can be either the flexural failure or the punching shear failure. Up to this moment compressive membrane action develops, fostered by the limitation in lateral displacements. Consequently the load capacity of the floor increases [1] [3] [4] [5] [10]. Following the failure, the initial load decreases along with the rise in the deflection, until the minimal value is achieved (point B). In this stage the behaviour of the slab depends solely on the redistribution of the loadings and the deforming capabilities of the slab. At this stage of the action, the axial forces in the central area of the slab plane change from compressive to tensile; resulting in the change of compressive membrane action to tensile membrane action. Moreover, due to the high shearing stress on the surface of the slab, the emerging cracks tend to penetrate the slab in its entire thickness. In such case, when the concrete is fully cracked, the entire load is transferred solely by the reinforcement functioning as a shell subject to tension [4]. The element of the structure becomes completely destroyed when the stresses in reinforcing bars reach the value of steel strength against rupture, fyk [2]. 1 Mirosław Wieczorek, PhD. Eng., Department of Building Structures, Faculty of Civil Engineering, Silesian University of Technology, Akademicka 5 st.,44-100 Gliwice, PL, miroslaw.wieczorek@polsl.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The tensile membrane action in reinforced concrete structure is assumed to generate tensile axial forces in individual elements of the structure as a result of deformation. The load-bearing capacity of the element during the tensile membrane action can be described as a geometrically non-linear mechanism, highly dependent on boundary conditions and vertical supports. Reinforced concrete slabs with blocked displacements on lateral surfaces and continuous reinforcement can achieve ideal state of shearing stresses at considerable deflections. With tensile membrane action it is important that reinforcing bars are continuous and well anchored in adjacent slabs or supports. Tensile membrane action increases the ability of the slab to deform, it also increases its load-bearing capacity after a failure [4]. The assumption of the limitation of lateral displacements adopted in order to obtain the compressive membrane action also fulfils requirements for the possibility of tensile membrane action in internal fields of continuous slabs. The tensile membrane action can also be a useful mechanism in preventing a progressive collapse when the structure is subject to a local damage. Particular attention should be paid to elements initially characterised by compressive membrane action which then, during tensile membrane action and at considerable deformations, generate big tensile forces affecting the remaining part of the structure. The forces have to be properly transferred to the columns. Moreover, the proper stiffness of the load-bearing system in the plane of axial forces in essential. In slab-column structures the stiffness is ensured by external rigid roof shielding. Fig. 1. Structural response of a fully restrained concrete slab [3] 2 DESCRIPTION OF THE EXPERIMENTAL MODELS The research model was erected as a flat slab with the dimensions 9300×9300×100 mm (Fig. 2) according to [9]. The statistical and strength calculations were performed on the basis of [13] [16]. Because of the earlier research of other parts of the model the reinforcement of the tested part was highly diversified [9]. The arrangement of the bottom and upper reinforcement is presented in Fig. 3. Due to the possibility of a progressive collapse the column axes utilize integrity reinforcement required by e.g. [11] [12] [14] [15] [17]. The reinforcement is significant also when we wish to obtain the tensile membrane action. In calculating and constructing this reinforcement and developing the structural details the works of [6] [7] [8] were referred too. 3 SYSTEM OF MEASUREMENTS During the research the following parameters (quantities) were recorded automatically: • gravitational load – concrete 200 kg weights (Fig. 4a) • hydraulic load measured with the use of dynamometers (Fig. 4b) • the values of the reaction of the support measured with the use of 16 dynamometers • the values of vertical displacements of the upper surface of the model, measured with the use of 48 inductive sensors (Fig. 4c) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a) October 2015, Bratislava b) b) c) Fig. 2. Simplified view of the model and test stand according to [9]: a) horizontal projection, b) sections, c) view of the model 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 3. Arrangement of the reinforcing bars – bottom and top reinforcement a) b) c) Fig. 4. System of measurements: a) system of hydraulic load, b) system of gravitational load, c) system of measurements of values of vertical displacements of the upper surface of the model 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava MATERIALS For the reinforcement of the models various types of steel were used, both with respect to the diameter and the grade. The steel was tested on sample of rough bars, and for each kind of bars diagrams of the relation σ-ε were obtained. Investigations concerning the materials proved that all the bars satisfied the requirements of the grade C according to EC2 [13] (1.15 < ftk/fyk < 1.35). The results of these tests have been presented in Table 1. The models were constructed of normal concrete based on slag cement and aggregate with the maximum diameter of grains amounting to 8 mm. The material was always tested on the day on which the model was to be investigated, as recommended in PN-EN 12390-3:2011 [19]. Table 2 contains the mean values of the mechanical parameters which were always determined on six samples. Diameter of the bar Module of elasticity E Yield strength fyk Tensile strength ftk [mm] [GPa] [MPa] [MPa] Total elongation at maximum force εuk [%] 8 191.852 526.8 604.4 14.91 10 199.138 561.1 625.8 13.8 12 199.242 601.2 714.2 11.8 Tab. 1. Mechanical parameters of rough bars, tested in compliance with PN-EN 10002-1:1998 [18] Module of elasticity Ecm [GPa] 41.2 Compressive strength fc,cyl [MPa] 64.2 Compressive strength fc,cube [MPa] 79.5 Tensile strength fcm [MPa] 4.07 Tab. 2. Mechanical parameters of concrete investigated in compliance with PN-EN 12390-3:2011 [19] and PN-EN 12390-6:2011 [20] 5 PROCEDURE OF INVESTIGATIONS In the first stage of investigations gravitational loads were suspended from the model at 132 points, consisting of concrete loads. After each weight was suspended, the value of the support reactions was read. Next, the vertical displacements of the upper surface of the respective model were measured. In the second stage a preliminary load was imposed to the model, the values of which amounted to 2 kN for system hydraulic cylinders. In the third stage the load was gradually increased by 1 kN every 10 minutes. The investigations were conducted until the maximum range of action of the hydraulic load system, namely 44.0 kN, was achieved. 6 RESULT OF INVESTIGATIONS During the investigations the support reactions, vertical displacements of the upper surface of the slab and deformations on the reinforcing bars located in the bottom layer of the model were constantly measured. 6.1 Description of the process of destruction In the first period of the investigations no significant differences between the values of support reactions were determined. The values were practically identical. A similar analogy was observed in readings of deformations from strain gauges and in the case of displacements of the upper surface of the investigated model. The differences were observed in the network of scratches on the bottom surface of the investigated models. Due to the small thickness of the slab the impact of the location of the reinforcement in vertical direction became visible – at first, scratches parallel to the lowest reinforcement appeared. From the level of load (ca. 6 kN per point) the differences in scratching on the upper surface of the model above the supports appeared. At the load of around 60% of the maximum value, on the lower surface a perpendicular system of plastic hinges passing through the centre and the centres of the sides of the examined field started to become visible. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 6.2 Deformation of the models Of much importance in the course of these investigations were measurements of displacements at points the spacing of which, illustrated in Fig. 5a,b,c,d,e, permitted to plot the shape of the surface of the model in each step of applying the loads. Fig. 5f shows the displacements of the upper surfaces of the investigated models prior to their destruction. a) b) c) d) e) f) Fig. 5. Results of research - displacement of the upper surface at the load: a) 10kN per point, b) 20kN per point, c) 30kN per point, d) 40kN per point, e) 44kN per point, f) displacement in the center of the slab in the function of load 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 7 October 2015, Bratislava ANALYSIS OF THE RESULTS Because load is applied pointwise to the model, it resulted in the conversion of these values in the value of the surface load. For this purpose, the whole point load acting on the test field (21 actuators with average load of 44.2 kN) was summated and then divided by the surface field (3.0×3.0 m). Next, the value of constant load resulting from the dead weight was added. q=  kN  21 ⋅ 44.2[kN ] 2 + 25.88  ⋅ 0.107[m] = 103.13 + 2.77 = 105.89 kN/m 3 2 2  m  3 m    The reinforcement in the model was calculated for an operational load of 8 kN/m2 (load over the dead load of the model). Excluding partial factors of safety from the calculations (partial factors for reinforcing, partial factors for concrete, partial factors for permanent actions G, partial factors for variable actions Q), the following limit load values in respect to flexural work were obtained: • 22.2 kN/m2 – assuming that fy = fyk = 526.8 MPa • 25.6 kN/m2 – assuming that fy = ftk = 604.4 MPa The obtained values of the design load constitute respectively 21% and 24.2% of the load obtained in the investigations. Because of the impossibility of further investigations related to the limitations in the loading system it is impossible to determine the value of the limit load. Consequently, it is impossible to evaluate the complete safety reserve resulting from the tensile membrane action. On the basis of Fig. 5f the model can be presumed to transfer a load of 60 kN. These assumptions include the influence of axial forces of unknown value which appear at substantial deformations of the model and during its tensile membrane action. 8 SUMMARY Tensile membrane action of a reinforced concrete slab is the last stage preceding the destruction of a slabcolumn structure, assuming that no failure by punching emerges. The conducted research allowed to confirm that using high ductility steel (εuk>7.5%) makes it possible to generate a secondary (alternative) load-carrying structure: the membrane subjected to tension. The value of load obtained in the investigations considerably (more than ten times) exceeded the value of load assumed when determining the reinforcement according to procedures in [13] [16]. When partial factors of safety were omitted, the value of the load was at least four times lower than the value of load obtained in the investigations, which points at a significant redistribution of internal forces resulting from the tensile membrane action. REFERENCES [1] Hopkins D. C., Park R.: Test on a reinforced concrete slab and beam floor designed with allowance for membrane action, Cracking, Deflection and Ultimate Load of Concrete Slab Systems, ACI, SP. 30, 1971, pp. 223-250. [2] Maekawa K., Pimanmas A., Okamura H.: Nonlinear mechanics of reinforced concrete, Spon Press, 2003, 768 pp. [3] Mitchell D., Cook W. D.: Preventing progressive collapse of slab structures, Journal of Structural Engineering, Vol. 110, No.7, USA, July, 1984, pp. 1513-1532. [4] Park R.: Tensile membrane behaviour of uniformly loaded rectangular reinforced concrete slabs with fully restrained edges, Magazine of Concrete Research, Vol. 16, No. 40, March, 1964, pp. 39-44. [5] Park R.: The ultimate strength and long-term behaviour of uniformy loaded, two-way concrete slabs with partial lateral restraint at all edges, Magazine of Concrete Research, 16, UK, September, 1964, pp. 139-152. [6] Wieczorek, B.: Influence of the location of the column on the load capacity of a slab-column connection for the inner column after punching. Procedia Engineering, Volume 57, 2013, pp. 1251-1259. [7] Wieczorek, B.: Idea of a simplified model to determination of the load capacity of an inner slab-column connection after its punching. Procedia Engineering, Volume 65, 2013, pp. 126-134. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [8] Wieczorek B.: Experimental tests for the analysis of a load-bearing capacity of an internal slab-column connection after its punching at various positions of the column, Advanced Materials Research, 969, 2014, pp. 169-175. [9] Wieczorek M.: Influence of amount and arrangement of reinforcement on the mechanism of destruction of the corner part of a slab-column structure, Procedia Engineering, 57, 2013, pp. 1260–1268. [10] Wood R. H.: Plastic and elastic design of slabs and plates, Thames and Hudson, 1961. [11] CEB-FIB – Model Code 2010: Final draft, Volume 1 and 2, Bulletin 65 and 66 of the fib Model Code for Concrete Structures. [12] CSA Standard A23.3-04, Canadian Standard Association, 2004, 232 pp. [13] EUROCODE 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, CEN, EN 1992-1-1, 225 pp., Brussels, Belgium, 2004. [14] SIA 262:2003: Construction en béton, Swiss Standards Association, Zürich, Switzerland, 2004, 90 pp. [15] Construction en béton, Introduction à la norme SIA 262, Extrait de la documentation D 0182, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zürich, Switzerland, 2003, 127 pp. [16] PN-EN 1990:2004/Ap1:2004 Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji. [17] PN-EN 1991-1-7:2008 Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje, Część 1-7: Oddziaływania ogólne Oddziaływania wyjątkowe. [18] PN-EN 10002-1:1998: Metale. Próba rozciągania. Metoda badania w temperaturze otoczenia. [19] PN-EN 12390-3:2011: Badania betonu. Część 3: Wytrzymałość na ściskanie próbek do badania. [20] PN-EN 12390-6:2011: Badania betonu. Część 6: Wytrzymałość na rozciąganie przy rozłupywaniu próbek do badania. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS ANALYSIS OF FLAT SLABS CONNECTED WITH WIDE BEAMS M. Wieczorek 1 Abstract The computer software used in design work allows the analysis of structures to be conducted in an increasingly detailed way. A great advantage of computer programs is the opportunity to reflect the entire buildings or their significant parts. However, this often leads to calculations being prolonged. When using advanced numerical tools is not possible, the use of simplified models becomes necessary. The paper presents the proposed ways of modelling wide beams connected with flat slabs. As a point of reference for simplified models (surface-surface and surface-beam model), a spatial model consisting of volumetric models was developed. Key Words Concrete structures, slab-column structures, numerical modeling, shell element, solid element. 1 INTRODUCTION In the traditional designing process each element of the floor used to be considered independently. The calculations of slabs and main and secondary beams were conducted separately. The loadings for each of those elements were applied separately as well. Besides, according to the basic assumption the main element was classified as non-susceptible. The last assumption, with the proportions of the elements applied in a traditional way, was, in most cases, successful. A great advantage of using the computer calculations is the opportunity to map the whole floor, including the supporting beams, columns and walls, in one model, with the elements fully cooperating with one another. In this way the need for strenuous compiling of the loads on supporting elements and independent searching for extreme values becomes eliminated. As a separate part of a floor, in this case a beam appears only occasionally. Beam mapping in a numerical model can have various forms. The subsequent part of the paper presents the influence of the way in which wide beams are modelled on the calculation results for basic construction situations. It has to be noted that this type of solutions, however rarely used in Poland, deserves attention due to significant reduction in construction depth. In the following table (Tab. 1) the span of the slab is calculated as the span between the axes of the beams. The structure is used usually when one direction is dominant, and the value of variable load is small. It is believed [1] [2] that the span (in support axes) is economical when it exceeds 10 m (in case of slabs), and 15 m (in case of beams) (Fig. 1). 2 DESCRIPTION OF THE PROBLEM During the analysis of the presented problem the focus was mainly on one solution concerning a flat floor connected with wide beams, namely the internal span of a continuous floor. The given concept is justified by the usage of slab-column structures, most often in car parks, industrial plants, warehouses or housing estates. These are always large-surface structures, which results in the necessity to use many supports (columns) on the level of one storey. These supports divide the floor into many fields. During the analysis the dimensions 1 Mirosław Wieczorek, PhD. Eng., Department of Building Structures, Faculty of Civil Engineering, Silesian University of Technology, Akademicka 5 st.,44-100 Gliwice, PL miroslaw.wieczorek@polsl.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava of the elements of each model were changed. The geometric values changed in the calculations can be found in Fig. 1. The conducted calculations take into account the following qualities of geometrical dimensions: • the thickness hp of the slab: 0.20 m; • the weight bw of the beam: 2.40 m; • the height hb of the beam: 0.40; • the length l of the beam: 10.0 m; • the spacing a of the beams: 15.0 m. Fig. 1. Flat reinforced concrete slab supported on 2.4 m wide flat reinforced concrete beams [1] [2] Variable load qk [kN/m2] 2.5 5.0 7.5 10 Total height of a flat reinforced concrete floor slab between flat beams h [m] for 1 ≥ 5 m extreme span 0.041-0.12 0.0451-0.13 0.0481-0.14 0.0491-0.14 internal span 0.0251-0.03 0.0291-0.04 0.0341-0.07 0.035/-0.07 Tab. 1. Flat monolithic reinforced concrete slab supported on 2.4 m wide flat reinforced concrete beams – proportions recommended according to [1] [2] Fig. 2. View of the investigated model – designation of geometrical parameters 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 2.1 Description of the Exact Model In order to determine the most adequate way of modelling the behaviour of a beam element in a plain slab floor, spatial floor models have been developed in a computer programme. The geometric parameters were adapted according to the provided data. To perform the models, eight-node volumetric elements with the dimensions of 5.0×5.0×5.0 cm were used. In the calculations a linear-elastic material with module of elasticity of E =30 GPa and Poisson's ratio of ν = 0.2 was adopted. Fig. 3 presents the view of exemplary models of the analysed floors for three adopted calculation schemes. Simplified models are made according to instructions given in publications [3] [4]. 2.2 Description of the Simplified Models Simplified models were prepared using shell and bar elements. The shell elements were made of four-node elements with the dimensions of 5.0×5.0×5.0 cm. The bar elements had the dimensions of the cross section adapted according to the assumption stated below. All the simplified models were supported along the longitudinal beams, similarly to exact models, with articulated fixed supports. During the analysis the following simplified models were proposed: 1. The floor was modelled with shell elements only (Fig. 4a). 2. The floor slab was cut off the beam on the edge of the horizontal contact beneath the slab surface and connected using rigid elements fastened in the axis of the slab and the axis of the cut off beam, as in point no.2; however, instead of the beam modelled with shell elements, at the end of the stiff bars a bar was placed with the dimensions bw×h. It was assumed that cross dimensions if each such rigid element are 0.3×0.3 m2 (Fig. 4b). 3. The slab was thickened in the spot of the rib in accordance with the actual height of the rib (Fig. 4c). Fig. 3. Volumetric numerical models – floor with a static scheme of a multi-span beam a) b) c) Fig. 4. Suggested simplified models (described in the text) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 3 October 2015, Bratislava RESULTS The verification of the simplified models against an exact (spatial) model involved the comparison of three quantities: the bending moment in the span, the bending moment above the support, and the deflection of the span. The reading of the values of bending moments in the slab and in the beam of the simplified models was conducted directly using a computer program. In the spatial model, in order to obtain the value of the bending moment, normal stresses according to Fig. 5 were recalculated. Table 2 and table 3 present percentage differences between the quantities. Fig. 5. Suggested simplified models (described in the text) Simplified model no.1 no.2 no.3 beam deflection slab deflection 5.7 3.5 5.3 6.3 -11.7 -9.2 Tab. 2. The deviation (%) of deflection in relation to the accurate model, depending on the model type (positive values - excess) for: l = 10.0 m; a = 15.0 m; hp = 0.20 m; hb = 0.4 m; bw = 2.4 m. Simplified model no.1 no.2 no.3 bending moment in the span bending moment above the support 8.8 8.5 6.7 7.1 -12.2 -13.1 Tab. 3. The deviation (%) of bending moment in relation to the accurate model, depending on the model type (positive values - excess) for: l = 10.0 m; a = 15.0 m; hp = 0.20 m; hb = 0.4 m; bw = 2.4 m. 4 SYNTHESIS OF THE RESULTS The obvious advantage of approximating the beam using a bar (Fig. 4b) in the floor (2D) is the application of the standard guidelines concerning the stiffness of the beam. Simultaneously, the disadvantage of this type of modelling is the impossibility to calculate the loading of the structure with its dead weight (by calculating the volume of the structure and multiplying it by the specific gravity of the floor material), as well as difficulties with the model taking into account the increased stiffness of the slab on the beam area. The advantage of thickening the slab to the beam dimensions (Fig. 4c) is the opportunity to directly determine the dead weight of the structure and direct stiffening of the slab above the beam. The indisputable disadvantage lies in a simultaneous decrease of the flexural and torsional stiffness in relation to the reference model which is a volumetric model (Fig. 3). In the model (Fig. 4c) the beam constitutes a thickening of the slab to the actual thickness of the beam. This is a convenient solution, as it allows to automatically calculate the dead weight of the structure through local counting of the structure volume and multiplying it by the specific weight of the floor material. Simultaneously the strength characteristics are fully retained in the model, which in consequence allows to the dimensioning of the reinforcement. The shell model (Fig. 4a) is a rather faithful mapping of the actual situation. What is inconsistent about the model is reciprocal overlapping of horizontal and vertical shell elements that occurs along a certain length (Fig. 4a). In the analysed scope of the models it turned 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava out that the model according to Fig. 4c (thickening the slab to the height of the beam) in relation to the values of deflection burdens the results with a non-acceptable value of deflection between the simplified and the exact model. Apart from that it was noticed that shell models (according to Fig. 4a) exhibit a different reaction to simultaneous supporting of the beam and the slab from the beam models (according to Fig. 4a). Hence, it can be assumed that beam models clearly lower the part of the reaction transmitted directly to the slab. This observation imposes a different view on the reinforcement of the beams on the support. It suggests the necessity to mount stirrups in the support zone of the beams in cases when the floor slab is simultaneously supported. 5 SUMMARY Numerical modelling of buildings is always a compromise between the accuracy of mapping, the opportunities offered by a particular programme, the time of calculations, and the expected results. Modelling using volumetric elements always constitutes a far better source of results than shell or shell-bar models. REFERENCES [1] Goodchild C.H.: Economic Concrete Frame Elements, Wyd. British Cement Association, 1997 [2] Goodchild C.H., Webster R.M., Elliott K.S.: Economic Concrete Frame Elements to Eurocode 2, Wyd. Mineral Products Association, The Concrete Centre, 2009 [3] Rombach G., Anwendung der Finite-Elemente-Methode im Betonbau, Fehlerquellen und ihre Vermeidung, Erns & Sohn, 2000 [4] Starosolski W.: Komputerowe modelowanie betonowych ustrojów inżynierskich, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2013. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NECHRÁNENÝ BETÓNOVÝ PRIEREZ ZA POŽIARU M. Klabník1 Abstract The paper investigates temperature distributions of unprotected concrete cross-section (300 x 160 mm) during fire. Temperatures were determined by three different approaches - by using temperature profiles of the eurocode, by nonlinear thermal analysis in ANSYS and the end by results of practical experiment. Kľúčové slová požiar; betónový prierez; teplotné profily; prestup tepla; normová teplotná krivka; eurokód; nelineárna teplotná analýza 1 ÚVOD S požiarmi sa ľudstvo stretáva od nepamäti. Boli súčasťou jeho života ešte skôr, ako sa naučilo silu ohňa využívať vo svoj prospech. Aj napriek vysokému stupňu vedecko-technického rozvoja nás oheň v podobe požiaru ohrozuje aj dnes. Straty na životoch sa podľa medzinárodných štatistík pohybujú v rozmedzí 0,0004-0,04%ₒ. V prípade finančných strát ide o čiastky 1,6-5,9%ₒ z hrubého národného produktu. Štatistiky ďalej uvádzajú, že v 85 % prípadoch, k strate ľudského života dochádza v obytných budovách a v zostávajúcich 15 % ide o verejné priestranstvá. S prihliadnutím na všetky skutočnosti, treba pri návrhu stavebných konštrukcií brať do úvahy aj požiarnu bezpečnosť. Mala by sa stať jednou z dominánt v rannom štádiu navrhovania [1]. Z pohľadu eurokódov možno požiarnu bezpečnosť vyšetrovať viacerými možnými spôsobmi. K dispozícii sú návrhové postupy overujúce odolnosť pomocou tabuľkových hodnôt, zjednodušenými výpočtovými modelmi prvkov, komplexnými modelmi celých konštrukcii. Ďalšou z možností je overenie požiarnej odolnosti pomocou experimentov.. Cieľ tohto článku je overenie správnosti modelovania požiarov v MKP na základe porovnania teplôt v betónovom priereze rozmerov 300 x 160 získaných pomocou teplotných profilov podľa EN1992-1-2, numerickej simulácie v programe ANSYS a požiarnej skúšky v požiarnom laboratóriu [1][2]. 2 TEPLOTNÉ PROFILY PODĽA EN 1992-1-2 STN EN 1992-1-2 zavádza tabuľkové hodnoty požiarnej odolnosti pre dosky , stĺpy a nosníky. Tabuľkové hodnoty pre dosky umožňuje eurokód využiť aj v prípade stien namáhaných požiarom z jednej strany. Teplotné profily a tabuľkové hodnoty vychádzajú z hodnôt dolnej medze tepelnej vodivosti a merného tepla pre betón s vlhkosťou 1,5%. Profily sú konzervatívne pre vlhkosť väčšiu ako 1,5%. Súčiniteľ vedenia tepla je 25 W/m2k a emisivita betónového povrchu sa uvažuje s hodnotou 0,7 [2]. Maroš Klabník Ing., Slovenská Technická Univerzita v Bratislave, Stavebná fakulta, Katedra stavebnej mechaniky, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, xklabník@stuba.sk 1 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Prvok Dosky a steny namáhané z jednej strany Nosníky Štvorcové stĺpy Kruhové stĺpy October 2015, Bratislava Prierez Požiarna odolnosť hrúbka 200mm R30 – R240 výš. x šír. - 300x160 mm výš. x šír. - 600x300 mm výš. x šír. - 800x500 mm výš. x šír. - 300x300 mm priemer 300 mm R30 – R90, izoterma 500 R60 – R120 R60 – R240 R30 – R90, izoterma 500 R30 – R90, izoterma 500 Tab. 1: Dostupné návrhové tabuľky pre betónový prierez podľa STN EN 1992-1-2 Pre vybraný betónový prierez bola zaujímavá teplota vo vzdialenosti 20/20 a 40/40 mm od rohu prvku v čase R30, R60. V čase R30 a hĺbke 20/20mm je teplota 550ºC a hĺbke 40/40mm 270 ºC. Poloha v hĺbke 20/20mm pre R60 má teplotu 760 ºC a poloha 40/40mm má teplotu 500 ºC. Obr.1: Teplotné profily pre betónový prierez 300 x 160 v čase R30 a R60 podľa STN EN 1992-1-2 3 SIMULÁCIA PRIEBEHU TEPLOT BETÓNOVÉHO PRIEREZU V ANSYSe Priebeh teplôt v betónovom priereze je počítaný taktiež metódou konečných prvkov v programe Ansys. Materiálové charakteristiky: objemová tiaž, merná tepelná kapacita a súčiniteľ teplotnej vodivosti sú zadané podľa 3.3.2. STN EN 1992-1-2. Charakteristiky do výpočtu vstupujú so svojimi príslušnými nelineárnymi hodnotami, tj. so zmenou závislou na teplote. Vo výpočte sa uvažuje jednozonový model zaťažený normovou teplotnou krivkou ISO 834. 3.1 Definovanie úlohy v MKP Základnú rovnicu nestacionárneho vedenia tepla môžeme napísať v tvare: CT  KT  Q (1) kde C je matica tepelných akumulácií a T je vektor T derivovaný podľa času, K je matica tepelných vodivostí, T je vektor teplôt v uzloch, Q je vektor tepelného toku. Rovnicu (1) možno ďalej rozpísať v tvare : tb tc c q Cte Te  (K tm e  K e  K e )Te  Qe  Qe  Qe (2) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Cte    cNNT dV (3) V T K tm e    cNv BdV (4) V K tbe   BT DBdV (5) V K tce    NNT d 3 3 (6) Qe   Nqd 2 2 (7) Qce  TB  Nd 3 3 (8) Qeq  Q  NdV (9) V t e kde C matica tepelných akumulácií, K tm e je matica merného tepla, K tb e je matica difúznej vodivosti prvku, K tce je matica plošnej vodivosti prvku, Q e je vektor generácie tepla, Qce je vektor tepelného toku, Qeq je vektor konvencie [3]. Neoddeliteľnou súčasťou vyššie uvedených rovníc sú okrajové a počiatočné podmienky. Obr.2: Algoritmus nelineárnej teplotnej analýzy v programe ANSYS 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.2 Konečno-prvkový model V modely pre nelineárnu časovo závislú teplotnú analýzu bol pre betón využitý dvojrozmerný prvok PLANE55. Ide o štvoruzlový prvok s jedným stupňom voľnosti v každom uzle - teplotou. Prvok je možné použiť pre stacionárne i nestacionárne teplotné úlohy. Modelovaný betónový prierez má veľkosť 300 x 160 mm a pozostáva z 480 elementov. Modelovanie betonárskej výstuže na priebeh teplôt v tejto fáze výpočtu nevplýva výrazne, preto je zanedbaný. Vo výpočte je uvažovaný betón s kvalitou C25/30, s uvážením 1,5% vlhkosti, čo sa premietne do poklesu mernej tepelnej kapacity betónu cp v rozmedzí teplôt 115 - 200ºC. Súčiniteľ tepelnej vodivosti betónu λc je uvážený podľa svojej dolnej medze a pre stanovenie hustoty betónu ρc sa uvažuje kremičité kamenivo. Všetky uvedené teplotné materiálové charakteristiky sa menia v závislosti od teploty a ich hodnoty sú uvedené v tabuľke. Obr.3: Konečno-prvkový model a geometria prvku PLANE 55 použitého v simulácii TEPLOTA [ºC] 20 100 101 200 400 1200 ρc [kg/ ] 2300 2300 2300 2254 2185 2024 λc[W ] 1.333 1.333 1.333 1.111 0.907 0.549 cp[J ] 900 900 1500 1000 1100 1100 Tab. 2: Teplotné materiálové charakteristiky Teplotné zaťaženie v simulácii je udávané normovou teplotnou krivkou ISO 834, ktorá reprezentuje model úplne rozvinutého požiaru v požiarnom úseku. Teplotu plynov možno podľa nej vyjadriť nasledovne : Θg  20  345log( 8t  1) (10) kde Θg je teplota plynov v požiarnom úseku a t je čas v sekundách. Simulácia je uvažovaná bez etapy chladnutia. V programe ANSYS boli využité dve okrajové podmienky na vystihnutie reálneho priebehu teplôt v čase. Radiačná okrajová podmienka, ktorá je reprezentovaná súčinom emisivity požiaru a emisivity povrchu s hodnotou 0,7. Druhá okrajová podmienka je uvažovaná ako konvenčná. Prenos tepla prúdením je dominantnejší pri nižších teplotách plynov v požiarnom úseku. Súčiniteľ prestupu tepla prúdením hc je uvažovaný s hodnotou 25 W/m2k. Obe okrajové podmienky, so svojimi konzervatívnymi hodnotami z eurokódu, boli uvažované z troch strán betónového prvku vystaveného požiaru. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 4: Okrajové podmienky simulácie v programe ANSYS 3.3 Výsledky simulácie Výsledky z nelineárnej teplotnej analýzy v ANSYSe boli stanovené pre pozíciu 20/20mm a 40/40mm a taktiež pre časy R30 a R60 , aby bolo možné záverečné porovnanie nameraných aj vypočítaných hodnôt. Simulácia bola počítaná až pre čas R240, ale porovnávané sú výsledky len z 30 a 60 minúty. V 30mm sme získali nasledovné hodnoty : 20/20mm – 547 ºC, 40/40mm - 266 ºC. Pre 60 minút : 20/20mm – 764 ºC, 40/40mm - 513 ºC. Obr. 5: Priebeh teplôt na betónovom priereze 300 x 180mm v R30 a R60. 4 EXPERIMENTÁLNE MERANIE Experimentálne meranie nechráneného prierezu prebehlo v rámci komerčnej skúšky „zisťovania zvýšenia požiarnej odolnosti dodatočnou ochranou aplikovanou na betón. Skúška prebehla v skúšobnom zariadení, podľa normy EN 13381-3. Skúšobná vzorka bola vyhotovená z betónu C25/30, vystužená betonárskou výstužou Bst500B, s prierezom 300 x 160 mm, dĺžky 4m. Vzorka bola po koncoch kĺbovo uložená. Termočlánky na 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava zistenie teploty boli umiestnené v pozícii 25/25mm od rohu prierezu a 55/55 mm od rohu prierezu . Strop komory bol znížený na úroveň betónového nosníka. Nárast teploty zaisťovalo 9 plynových horákov podľa krivky ISO 834 [4]. POZÍCIA TERMOČLÁNKU 25/25 mm 55/55 mm 516 117 ČAS [min] 30 60 739 302 Tab. 3: Výsledky priebehu teplôt z experimentu 5 ZÁVER Najkonzervatívnejší priebeh teplôt v betónovom priereze je stanovený na základe eurokódu. Rozdiel medzi priebehom teplôt stanovenom v ANSYSe a prostredníctvom experimentu je v prvých etapách požiaru cca do 30 ºC a to je z hľadiska statického pôsobenia a následnej degradácie pevnostných vlastností jednotlivých materiálov zanedbateľná hodnota. ČAS [min] 30 60 EC – TEP. PROF. 20/20 mm 40/40mm 550 270 760 500 ANSYS 20/20mm 40/40mm 547 266 739 513 EXPERIMENT 25/25mm 55/55 mm 516 117 725 302 Tab. 4: Zhodnotenie výsledkov Určitý nesúlad vo výsledkoch môže byť spôsobený problematickým nárastom teploty počas experimentu, čiastočnou nerovnomernosťou rozdelenia teploty počas v celom priestore komory a udržaním konštantného tlaku vzduchu v komore. V prípade numerickej simulácie môže byť rozdiel taktiež spôsobený konštantou hodnotou súčiniteľu prechodu tepla 25 W/m2k ako aj konštantným súčinom emisivity 0,7. Napriek týmto skutočnostiam možno konštatovať, že modelovanie prestupu tepla v MKP pri vyššie zadaných okrajový podmienkach je na strane bezpečnosti a spoľahlivo, s takto získanými hodnotami, môžeme vstupovať do štrukturálnych analýz. POĎAKOVANIE Tento článok bol vypracovaný za podpory grantovej agentúry VEGA, číslo projektu 1/1039/12. LITERATÚRA [1] [2] [3] [4] [5] Chladná M.: Požiarna odolnosť spriahnutých oceľobetónových stropných konštrukcií, Vydavateľstvo STU, Bratislava, 2006, ISBN 978-80-227-2617-7 STN EN 1992-1-2 .: Eurokód 2:Navrhovanie betónových konštrukcií Časť 1-2 :Navrhovanie konštrukcií na účinky požiaru, Vydavateľstvo: Slovenský ústav technickej normalizácie, Bratislava, 2007 Benča Š.: Výpočtové postupy MKP pri riešení lineárnych úloh mechaniky, Vydavateľstvo STU, Bratislava, 2006 , ISBN 80-227-2404-1 STN P ENV 13381 - 3 .: Skúšobné metódy na zisťovanie zvýšenia požiarnej odolnosti konštrukčných prvkov. Časť 3: Ochrana aplikovaná na betónové prvky, Vydavateľstvo: Slovenský ústav technickej normalizácie, Bratislava, 2007 Laušová L. a Martinčeková P. Zkoušení staticky neurčité rámové konstrukce za požáru : Laušová L. a Martinčeková P. Modelování v mechanice – Sborník rozšířených abstraktů. VŠB-TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky. ISBN 978-80-248-2694-3 Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS THICKNESS OPTIMIZATION OF A DYNAMIC AXISYMMETRIC CIRCULAR PLATE ON AN ELASTIC FOUNDATION Ľ. Marko1 Abstract We deal with an optimal design problem for an axisymmetric circular plate in a dynamic contact with an elastic foundation. A variable thickness of the plate plays the role of a design variable. A similar problem was solved by P.Salač [5]for the stationary case. In contrast to it the nonstationary hyperbolic initial-value problem serves as the state problem. The variable thickness appears here also together with the accelaration term and this is the main difficulty in comparison with a static problem. Key Words Circular plate; elastic foundation; variable thickness, optimal design 1 INTRODUCTION AND FORMULATION OF THE STATE PROBLEM We deal with the optimal design problem for a vibrating circular plate with axisymmetric load, initial deflection and velocity. A variable axisymmetric thickness of the plate serves as a design variable. The corresponding stationary problem has been solved in [5] for a circular plate and in [2] for an axisymmtric shell. The dynamic control problem for a viscoelastic plate on a Winkler foundation is considered in [3]. We assume a simply supported plate of the form   e(x) 3 G := (x1 , x2 , z) ∈ R ; x := (x1 , x2 ) ∈ Ω, |z| < , Ω := {x ∈ R2 ; |x| < R} 2 with the middle surface Ω and the unit outer normal vector ~n = (n1 , n2 ).
Let ρ > 0 be a density of the material, E > 0 the Young modulus, σ ∈ 0, 21 the Poisson ratio and a0 > 0 the constant characterizing the elastic foundation. We set further I = (0, T ) the time interval, Q = I × Ω, S = I × ∂Ω, f : Q → R a perpendicular load, u0 : Ω → R, v0 : Ω → R the initial deflection and velocity respectively. ∂2u ∂2u We denote ut = ∂u ∂t , utt = ∂t2 , u,ij = ∂xi ∂xj . The initial-boundary value problem for an unknown deflection u : Q → R of the middle surface of the 1 Doc.RNDr.Ľ. Marko,PhD. Institute of Computer Science and Mathematics FEI STU, 81219 Bratislava, lubomir.marko@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava plate has the form 1 E ρeutt + (e3 aijkl u,ij ),kl + a0 u = F in Q, 2 12 (1 − σ 2 ) u = aijkl u,ij nk nl = 0 on S, (2) u(0, x) = u0 (x), ut (0, x) = v0 (x), x ∈ Ω. (3) (1) where aiiii = 1, aiikk = σ, aiiik = 0 if i 6= k, aijij = 1−σ if i 6= j, 2 aijkl = aklij , aijkl = ajikl , i, j, k, l ∈ 1, 2 and the Einstein summation convention is considered. Let f ∈ L2 (Q), W = {w ∈ H 2 (Ω) : w = 0 on ∂Ω} . The deflection u : I → W then fulfils the variational identity  Z Z  E 1 3 ρeutt w + e (x)a u w + a uw dx dt = F w dx dt, ∀ w ∈ L2 (I; W ), (4) ijkl ,ij ,ij 0 12 (1 − σ 2 ) Q Q 2 where L2 (I; W ) is the space of functions y : I → W with kykW ∈ L2 (I). Since the investigated plate is circular we transform (4) to polar coordinates by the transformation x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
We define the weighted Sobolev space W 2,2 (0, R), ρ(r) with the norm Z kvk2,2,ρ(r) = 0 R   ! 21
1 2 2 2 r (vrr ) + (vr ) + rv dr , v ∈ W 2,2 (0, R), ρ(r) . r Let V = {v ∈ C ∞ [0, R] ; supp vr ∩ {0} = ∅, v (R) = 0} . We denote V the closure of V in the norm k.k2,2,ρ(r) and H = L2 ((0, R), r) the space of Lebesgue square integrated function with the weight r. The spaces H and V are Hilbert spaces with the inner products and the norms Z R (u, v)r = ruv dr, kuk2r = (u, u)r , u, v ∈ H 0  Z R 1 ((u, v)) = rurr vrr + ur vr + ruv dr, kuk2 = ((u, u)), u, v ∈ V. r 0 Applying the axisymmetry assumptions and following [5] we have the next variational formulation of the problem (1)-(3): State Problem Ps . To find u : I → L2 (I; V ) such that utt ∈ L2 (I; H) and Z T Z 0 Z 0 T R     1 0 0 3 00 00 00 0 0 00 reutt w + De ru w + σ(u w + u w ) + u w + aruw dr dt r Z R rf w dr dt ∀ w ∈ L2 (I; V ), = 0 0 u (0) = u0 , ut (0) = v0 , where D = (5) 1 6ρ(1−σ 2 ) , a= 2a0 ρ , f= 2F ρ (6) . 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava SOLVING OF THE STATE PROBLEM We verify the existence and uniqueness of a weak solution. We assume the time differentiability of the right-hand side f in order to get better apriori estimates for solutions. We assume further e ∈ Ead with Ead = {e ∈ H 1 (0, R); 0 < emin ≤ e ≤ emax , kekH 1 ≤ e1 } . Theorem 1 Let f ∈ C 1 (I, V ), u0 , v0 ∈ V . There exists a unique solution u ≡ u(e) of the problem (5),(6) such that fulfilling the apriori estimates |ukL∞ (I,V ) + kükL2 (I,H) ≤ C ≡ C(D, σa , emin , emax , e1 , u0 , v0 , f ). (7) Proof. We apply the Galerkin method in a same way as in [1]. We obtain the approximation um a solution of (5),(6) fulfilling d um (0) → v0 in V (8) um (0) → u0 , dt with the a priori estimates küm kC(I,H) + ku̇m kC(I,V ¯ ¯ ) + kum kC(I,V ¯ ) ≤ C1 (α, β, emin , emax , ê, u0 , v0 , f, q). (9) Applying the estimate (9), and the Aubin-Lions and Ascoli-Arzela compact imbedding theorems [4] we ¯ V ) with u̇ ∈ L∞ (I, V ) ∩ obtain for a subsequence of {um } (denoted again by {um }) a function u ∈ C(I, ¯ C(I, H), ü ∈ L2 (I, H) and the convergences üm * ü in L2 (I, H), u̇m * u̇ u̇m → u̇ in L2 (I; V ), ¯ H), in C(I; um → u ¯ V ). in C(I; (10) The convergence process (10) and the conditions (8) imply that a function u solves the Problem (5),(6). The proof of the uniqueness can be performed in a standard way using the Gronwall lemma. 3 OPTIMAL CONTROL PROBLEM We consider a cost functional J : L2 (I; V ) × H 2 (Ω) 7→ R fulfilling the assumption un * u in L2 (I; V ), en → e in C[0, R] ⇒ J(u, e) ≤ lim inf J(un , en ) n→∞ (11) and formulate Optimal control problem P : To find a control e∗ ∈ Ead such that J(u(e∗ ), e∗ ) ≤ J(u(e), e) ∀e ∈ Ead , (12) where u(e) is a (unique) solution of the Problem (5), (6). Theorem 2 There exists a solution of the Optimal control problem P. Proof. We use the weak lower semicontinuity property of the functional J and the compactness of the admissible set Ead of thicknesses in the space C[0, R]. Let {en } ⊂ Ead be a minimizing sequence for (12). The set Ead is convex and closed and hence a weakly closed in H 2 (Ω) as the closed convex set. Then there exists a subsequence of {en } (denoted again by {en }) and an element e∗ ∈ Ead such that en * e∗ in H 1 (Ω), en → e∗ in C[0, R]. (13) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The a priori estimates (7), Sobolev imbedding theorems and the Ascoli theorem on uniform conver¯ V ) such that u∗t ∈ L∞ (I; V ) ∩ C(I; ¯ H), u∗ ∈ gence on I¯ imply the existence of a function u∗ ∈ C(I; tt L2 (I; H) and the convergences utt (en ) * u∗tt in L2 (I; H), ¯ H), ut (en ) * u∗t in L2 (I; V ), ut (en ) → u∗t in C(I; ¯ H) u(en ) * u∗ in L2 (I; V ), u(en ) → u∗ in C(I; (14) hold for a chosen subsequence. Functions un ≡ u(en ) solve the initial value state problem (5),(6) for e ≡ en . Using the convergences (13),(14) we obtain that u∗ solves the problem (5),(6). We have then u∗ ≡ u(e∗ ) due to Theorem 1 and hence u(en ) * u(e∗ ) in L2 (I; V ), en * e in H 1 (0, R), en → e in C[0, R]. The assumption (11) then implies that u(e∗ ) is a minimum of a functional J: J(u(e∗ ), e∗ ) = min J(u(e), e) e∈Ead and the proof is complete. Remark 3 If there exists strongly monotone partial derivative e 7→ Je (u(e), e) is i.e. hJe (u(e1 ), e1 ) − Je (u(e2 ), e2 ), e1 − e2 i ≥ N kek21 ∀e1 , e2 ∈ H 2 (Ω), N > 0, then it is possible to obtain for sufficiently large N the uniqueness of the Optimal control e∗ . ACNOWLEDGEMENT The work presented here is supported by the Ministry of Education of Slovak Republic under the grant VEGA-1/0426/12. References [1] Bock, I. and Kečkemétyová, M.: Regularized optimal control problem for a beam vibrating against an elastic foundation. Tatra Mountains Math. Publ. 63 (2015), to appear. [2] Hlaváček, I.: Optimization of the shape of axisymmetric shells Aplications of Mathematics 28 (3) (1983), 269–294. [3] Kečkemétyová, M. and Bock, I.: Regularized optimal control problem for an anisotropic plate vibrating against an elastic foundation. In: I.Bock, M.Zajac eds. Proc. 10th Workshop on Functional Analysis and its Applications, STU Bratislava, September 2015, 18–23. [4] Lions, J.L.: Quelques méthodes de résolutions des problémes aux limites non linéaires. Dunod, Paris, 1969. [5] Salač, P.: Shape optimization of elastic axisymmetric plate on an elastic foundation Aplications of Mathematics 40 (4) (1995), 319–338. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NUMERICAL ASSESSMENT OF THE TERRAIN SLOPE IMPACT ON DEFLECTION OF THE BUILDING FROM THE VERTICAL, IN MINING WORKS CONDITIONS L. Słowik1 Abstract The article applies to the assessment of the terrain slope impact on the deflection of the building from the vertical in mining works conditions, carried out based on the numerical investigations. Simulations carried out within the framework of these investigations of the impact of the mining basin on the building, have made it possible to isolate changes occurring in the mining subsoil, which may in fact cause that the building deflection is different from the terrain slope, which is in line with the field observations. Conformity is assumed in the current engineering practice, of the designed building structure with the terrain slope. Key Words Mining areas, mining activities revenues, protection of buildings in the areas of mining, numerical analysis, models of inelastic material degradation. 1 WPROWADZENIE W artykule przedstawiono nowatorskie podejście badawcze wykorzystujące symulacje numeryczne wpływu nachylenia terenu na wychylenie budynku z pionu w warunkach eksploatacji górniczej. Badania tego zjawiska prowadzone są w ITB, przy wykorzystaniu bardziej tradycyjnych technik badawczych, od lat 70-tych XX wieku [4,6]. Inspiracją do podjęcia badań są obserwowane niejednokrotnie w warunkach in situ, niezgodności wychylenia budowli Tb w stosunku do nachylenia terenu T powodowanego podziemną eksploatacją górniczą. Często po przejściu eksploatacji górniczej, nachylenie terenu zanika lub znacznie się redukuje, a wychylenie budynków pozostaje niezmienione bądź doznaje niewielkich zmian. Warty podkreślenia jest fakt, że w praktyce inżynierskiej przyjmuje się zasadniczo, zgodnie z [6,8], dla budynków projektowanych, zgodność wychylenia konstrukcji budowli Tb z nachyleniem terenu T, wyrażoną wzorem Tb = T. Referat zawiera metodologię kompleksowych badań numerycznych, opracowaną w [15], prowadzących do opisu i analizy przebiegu zjawiska wychylenia budynku z pionu w zależności od zmieniającego się na skutek eksploatacji górniczej nachylenia terenu, przede wszystkim w zależności od zmian jakie zachodzą w podłożu górniczym współpracującym z obiektem budowlanym. W podsumowaniu podane zostały, sformułowane na podstawie wyników przeprowadzonych badań numerycznych, wnioski zawierające identyfikację trwałych zmian sztywności gruntu stanowiącego podłoże 1 Ph.D. L. Słowik, Instytut Techniki Budowlanej, Oddział Śląski, Katowice, Al. W. Korfantego 191, Tel./FAX: +48 32 730 29 64, l.slowik@itb.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava budynku, które powodują dodatkowe przemieszczenia pionowe budynku, inne od przemieszczeń wolnego terenu. 2 BUDYNEK WYTYPOWANY DO BADAŃ – KONSTRUKCJA, WARUNKI GEOLOGICZNO-GÓRNICZE, POMIARY GEODEZYJNE I BADANIA GRUNTU 2.1 Charakterystyka obiektu Rozpatrywany segment mieszkalny wzniesiony został w 1975 roku, w technologii uprzemysłowionej z wielkiej płyty, w rzucie poziomym o kształcie prostokąta o wymiarach osiowych 10,04m x 18,20m (rys. 1). Budynek jest całkowicie podpiwniczony i ma pięć kondygnacji nadziemnych. Zasadniczy ustrój konstrukcyjny stanowią prefabrykowane ściany żelbetowe w układzie poprzecznym. W kierunku podłużnym została wykonstruowana ściana usztywniająca. Stropy zostały wykonane z prefabrykowanych płyt żelbetowych. Ściany zewnętrzne wzniesiono jako wielowarstwowe z betonowych płyt prefabrykowanych. Budynek jest posadowiony w sposób bezpośredni za pomocą rusztu ław żelbetowych o wysokości 40cm wzmocnionych dwoma ściągami. Rys. 1. Rzut poziomy budynku z oznaczeniem osi, wymiarów modularnych oraz symulowanego w badaniach numerycznych kierunku eksploatacji 2.2 Warunki geologiczne Zgodnie z [5] w rejonie wytypowanego budynku górotwór jest zbudowany z utworów karbońskich przykrytych czwartorzędowym nadkładem. Czwartorzęd został wykształcony w postaci zapiaszczonych szarych i brunatnych glin przewarstwionych soczewkami źle wysortowanych piasków z domieszkami mułków i otoczaków kwarcu. Oszacowana miąższość czwartorzędu w opisywanym rejonie waha się od 0,6m do 5,0m. Karbon w analizowanym rejonie jest zbudowany z warstw orzeskich, rudzkich i siodłowych. Rozpoznano także górną część warstw porębskich. Tektonika opisywanego rejonu nie jest skomplikowana. Pokłady zalegają jednostajnie pod kątem 6° na południowy wschód. Cały obszar jest przecięty Uskokiem Równoleżnikowym o zrzucie ok. 7m na południowy-zachód, którego wychodnia w stropie karbonu jest oddalona od wytypowanego obiektu o około 300m na północny wschód. Po północno-zachodniej i zachodniej stronie względem wytypowanego segmentu w odległości ok. 550m przebiega uskok Zuzanna o zrzucie około 90m na zachód. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 2.3 Dokonana eksploatacja górnicza Rejon lokalizacji wytypowanego budynku mieszkalnego był wielokrotnie poddany wpływom deformacyjnym będących efektem podziemnej eksploatacji górniczej, która prowadzona była przez kopalnie Staszic i Murcki. Przebieg dokonanej eksploatacji prowadzonej w rejonie wytypowanego budynku, ustalony został na podstawie [15] i podany został w tablicy 1. Średnia wysokość furty eksploatacyjnej [m] Głębokość eksploatacyjna [m] 334 1,8 (płytka eksploatacja) na głębokości ok. 6m 1862÷1868 zawał stropu 364/1 1,8 365 1967÷1970 zawał stropu 401/1 1,3 380 1971÷1973 zawał stropu 404/5 2,4 435 1973÷1977 zawał stropu 405405/2 2,5 455 1968÷1977 zawał stropu 501 Iw 3,1 655 1979÷1986 podsadzka hydrauliczna 501 IIw 2,0 655 1971÷1976 zawał stropu 510 Iw 3,1 690 1978÷1986 510 IIw 3,2 690 1983÷2006 510 IIIw 3,3 690 1988÷1998 2011÷2012 Pokład Okres eksploatacji System eksploatacji podsadzka hydrauliczna podsadzka hydrauliczna , zawał stropu (01.2004÷02 .2006) podsadzka hydrauliczna , zawał stropu Położenie eksploatacji w stosunku do budynku bezpośrednio pod rejonem lokalizacji budynku (naroże południowo-zachodnie segmentu nr 27, lecz przed jego wzniesieniem) bezpośrednio pod rejonem lokalizacji budynku, lecz przed jego wzniesieniem bezpośrednio pod rejonem lokalizacji budynku, lecz przed jego wzniesieniem bezpośrednio pod rejonem lokalizacji budynku, w okresie jego wznoszenia bezpośrednio pod rejonem lokalizacji budynku, przed okresem jego wznoszenia; po wschodniej stronie zabudowy w najmniejszej odległości ok. 500m, w okresie wznoszenia budynku bezpośrednio pod rejonem lokalizacji budynku (02.1977) po zachodniej stronie zabudowy, w najmniejszej odległości ok. 300m bezpośrednio pod rejonem lokalizacji budynku (01.1981) bezpośrednio pod rejonem lokalizacji budynku (04.1989) bezpośrednio pod rejonem lokalizacji budynku (02.1995) Tab. 1. Dane dotyczące dokonanej eksploatacji górniczej w rejonie budynku W artykule analizowane są wpływy górnicze na budynek w okresie wykonywania pomiarów, tj. w latach 1993÷2012, gdy zgodnie z danymi podanymi w tablicy 1 podlegał on oddziaływaniu eksploatacji w pokładzie 510, najpierw warstwy II, a później warstwy III, których nakładające się parcele wydobywcze przechodziły pod budynkiem. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Z informacji uzyskanej w Zakładzie Górniczym wynika, że w latach 2007÷2010 nie była prowadzona w rejonie budynku wytypowanego do badań numerycznych podziemna eksploatacja górnicza. Ostatnia eksploatacja w tym rejonie miała miejsce w latach 2011÷2012 i prowadzona była systemem z podsadzką hydrauliczną (tablica 1). 2.4 Wychylenie wytypowanego budynku Pomiary wychylenia naroży budynku podane w [15] prowadzone są od 1993r. do dnia dzisiejszego. W momencie przeprowadzenia pierwszych pomiarów budynek już wykazywał wychylenie wynoszące ok. Tb=15mm/m. Z analizy pomiarów wykonanych w latach 1993 ÷ 2013r. wynika, że wychylenie ustabilizowało się na poziomie (oznaczenie zgodne z rys. 2): naroże nr 1 – 26,69mm/m, naroże nr 2 – 25,71mm/m, naroże nr 3 – 20,78mm/m, naroże nr 4 – 21,66mm/m. Rys. 2. Oznaczenie naroży ścian budynku, wraz z kierunkami osi dla których wykonano pomiary W stosunku do pierwszego pomiaru przeprowadzonego w czerwcu 1993r. nastąpił przyrost wychylenia podany w tablicy 2. Oznacze nie naroża 1 2 3 4 Przyrost pochylenia naroży ∆T [mm] / wysokość naroża H w [m] kierunek x kierunek y wypadkowe 1,87 8,03 8,24 2,59 8,92 9,20 2,65 7,00 7,45 1,93 7,00 7,21 Tab. 2. Zestawienie przyrostu wychyleń naroży budynku w latach 1993-2013 2.5 Pomiary obniżeń powierzchni terenu W okresie od września 1993r. do maja 2012r. przeprowadzono 69 pomiarów kontrolnych. W oparciu o te pomiary, podane za [15], sporządzony został wykres, przedstawiający zmianę wysokości mierzonej na reperach linii pomiarowej nr 5, na odcinku pomiędzy punktami 402 i 386 (rys. 3a). Pomiary obniżeń przedstawione na rys. 3b dotyczą wybranych sześciu z 69 cykli pomiarowych, prowadzonych w dniach 15.05.93r., 12.05.98r., 9.05.02r., 9.05.07r. oraz 29.05.12r. Dodatkowo na rys. 3b pokazano pionową czarną linię na niebieskim tle, oznaczającą orientacyjne położenie osi podłużnej budynku zrzutowanej na prostopadle do niej przebiegającą linię pomiarową. Oś podłużna obiektu (rys. 3b) usytuowana jest mniej więcej na 125m, przedstawionej górniczej niecki obniżeń. Z analizy wykresu wynika, że maksymalne wartości nachylenia terenu, pomierzone w okresie prowadzenia pomiarów, wystąpiły w rejonie lokalizacji budynku i wynosiły około T=11mm/m. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a) October 2015, Bratislava b) Rys. 3. a) lokalizacja obiektu w stosunku do ciągu pomiarowego w terenie, zgodnego z kierunkiem eksploatacji, b) obniżenia powierzchni terenu wzdłuż linii pomiarowej 2.6 Wybrane wyniki badań gruntu W obrębie segmentu wykonano łącznie cztery wiercenia oznaczone na rys. 4. Przeprowadzone badania, wykonane na podstawie wierceń do głębokości ok. 10m, posłużyły do opisu podłoża modelowanego układu. Rys. 4. Szkic lokalizacyjny wierceń badawczych gruntu o nr OW1÷OW4, wykonanych przy budynku Prawidłowe odzwierciedlenie warunków gruntowych panujących w rejonie wytypowanego do badań numerycznych budynku, zdeterminowało potrzebę wykonania badań podłoża, które dotyczyły: - określenia rodzaju i stanu gruntu metodą makroskopową według [11], - badania edometrycznego gruntu przy przyroście obciążenia według [9], - badania w aparacie trójosiowego ściskania gruntów nasyconych wodą (CIU) według [10]. W przeprowadzonych badaniach numerycznych, zastosowano uproszczenie, polegające na zdefiniowaniu w modelach (3D) jednorodnego podłoża (ił) o „uśrednionych” warunkach geotechnicznych, których wartości parametrów oszacowano na podstawie raportów z badań [12, 13]. Poniżej w tablicy 3 podane zostały przyjęte 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava w obliczeniach parametry dla podstawowego modelu stanu krytycznego Modified Cam-Clay (MCC) i modelu sprężysto-idealnie plastycznego z powierzchnią plastyczności wg Coulomba-Mohra (C-M). Badania numeryczne Model MCC κ ν λ M φ [º] 1723 ecs q* [kPa] Model C-M Eo c [MPa] [kPa] 0,010,040,450,25 0,7930 90-150 7-14 10-20 0,02 0,06 0,55 w tabeli przyjęto oznaczenia: κ – nachylenie linii normalnej konsolidacji w przestrzeni e-lnp’, ν - stała Poissona, λ – nachylenie linii odprężenia w przestrzeni e-lnp’, M – nachylenie linii stanu krytycznego w przestrzeni p’-q, φ - kąt tarcia wewnętrznego, ecs – wartość krytyczna wskaźnika porowatości (dla p=1kPa), Eo – pierwotny moduł odkształcenia gruntu, c – spójność gruntu. modele 3D Tab. 3. Przyjęte w obliczeniach parametry dla modelu (MCC) i (C-M) 3 BADANIA NUMERYCZNE DLA ZADANIA PRZESTRZENNEGO (3D) 3.1 Opis problemu badawczego Zgodnie z uwagami podanymi w [8], odchylenie od pionu Tb obiektu może być większe od nachylenia T podłoża z następujących powodów: – zwiększenie obciążenia podłoża w pobliżu jednej z krawędzi spowoduje zwiększenie jego odporu, a zmniejszenie obciążenia przypadającego na drugą krawędź będzie skutkowało mniejszym odporem gruntu, co spowoduje dodatkowe odchylenie od pionu T1, – w przypadku wystąpienia łącznie z nachyleniem podłoża także jego poziomego rozluźnienia, obiekt obciążony momentem wskutek nachylenia podłoża ulegnie dodatkowemu odchyleniu od pionu T2. W związku z powyższym w [8] podano, iż odchylenie od pionu określa zależność: Tb = T + T1 + T2 (1) Wyniki wstępnych badań problemu wpływu nachylenia terenu na wychylenie budynku przeprowadzonych przez autora podsumowano w [14] propozycją uzupełnienia zależności (1) tak, aby związek pomiędzy wychyleniem z pionu budynku współpracującego ze zmieniającym swoje nachylenie terenem górniczym określać zależnością: Tb = T + T1 + T2 + T3 (2) gdzie: T3 – stanowi dodatkowe wychylenie budynku, powodowane trwałymi zmianami w gruncie pracującym w fazie sprężysto – plastycznej, które możliwe są do wyselekcjonowania przy zastosowaniu analizy numerycznej. 3.2 Model obliczeniowy W badaniach numerycznych zastosowany został program Abaqus, a zadania rozwiązywane były przy zastosowaniu metody elementów skończonych MES w wersji przemieszczeniowej. Do budowy modelu MES budynku wykorzystano czworokątne elementy powłokowe o sześciu niewiadomych przemieszczeniach w węźle (rys. 5a). Model obliczeniowy MES budynku zbudowano z 36411 elementów czworokątnych o średnich wymiarach boków w granicach (0,2÷0,3) x (0,2÷0,3)m, tworzących 35623 węzły i dających układ 213783 równań algebraicznych. Model obliczeniowy MES podłoża górniczego zdefiniowano dzieląc bryłę gruntu na 33060 sześcienne elementy skończone o wymiarach boków ok. (1,0 x 1,0 x 1,0)m w obszarze lokalizacji budynku do (2,0 x 2,0 x 1,0)m w obszarach skrajnych modelu (rys. 5b), otrzymując model o 36567 węzłach przy trzech niewiadomych przemieszczeniach w węźle. Badania dotyczyły bryły podłoża górniczego z wykopem (pod budynek) oraz bez wykopu i w obydwu przypadkach zastosowano identyczny podział na elementy skończone. Kryterium obliczeniowe sprowadzało się do 10 iteracji w każdym kroku obliczeniowym, przy ustalonej podstawowej długości podziału 0,01 kroku obliczeniowego, czyli zadawanego przyrostowo 0,01 „obciążenia” na dany krok obliczeniowy. W każdym przyroście prowadzona była iteracja metodą NewtonaRalphsona, aż do uzyskania ustalonej w programie dokładności 1 x 10-5. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings a) October 2015, Bratislava b) Rys. 5. Schemat budowy modelu MES oraz definicja poszukiwanych przemieszczeń i ich dodatnich zwrotów: a) w modelu konstrukcji budynku, b) w modelu podłoża W budowanym modelu obliczeniowym podłoże gruntowe (rys. 6a) reprezentuje przestrzenna bryła o zewnętrznych wymiarach określonych na podstawie wskazówek zawartych w pracach [2,3]. Z kolei model budynku (rys. 6b) zdefiniowany został na podstawie projektu wytypowanego segmentu [1]. a) b) 10 .0 ściana C 3.0 .2 18 ściana D H=35,0 L= ,0 50 B= 78 ,2 ściana A ściana B Rys. 6. Przestrzenny model analizowanego układu budynek-podłoże górnicze a) geometria modelu MES podłoża ze zdefiniowanymi warunkami brzegowymi, b) model MES budynku Obliczenia przeprowadzone zostały dla siedmiu zadań przestrzennych, które schematycznie pokazano na rys. 7 Modele obliczeniowe zbudowane dla potrzeb badań prowadzonych w pracy 1a) budynek (e) podłoże górnicze (MCC) 1b) podłoże górnicze (MCC) 2a) budynek (e) podłoże górnicze (C-M) 2b) podłoże górnicze (C-M) 3a) budynek (e) podłoże górnicze (e) 3b) podłoże górnicze (e) 4a) budynek (e) podłoże górnicze (MCC) - ciężar (-12%) Rys. 7. Zbudowane modele obliczeniowe 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Warunki brzegowe modelu podłoża polegały na zdefiniowaniu ograniczenia przemieszczeń (rys. 6a): – w kierunku osi Ox dla wszystkich węzłów ściany B i C, – w kierunku osi Oy dla wszystkich węzłów ściany A i D, – w kierunku osi Oz dla wszystkich węzłów ściany dolnej bryły gruntu. W przestrzennych badaniach numerycznych zgodnie z uwagami zawartymi w [2] zdefiniowane zostały dwa warunki kontaktowe, tj. dla płaszczyzny pionowej (pionowe krawędzie fundamentu oraz ścian piwnic i obszaru gruntowego) oraz płaszczyzny poziomej (dla dolnej powierzchni fundamentu i górnej powierzchni dna wykopu pod fundament wykonanego w gruncie). Założono kontakt typu „powierzchnia do powierzchni” przy założeniu że na powierzchniach kontaktu możliwe jest przenoszenie tylko normalnych naprężeń ściskających (jednostronny kontakt sprężysty). W przeprowadzonych badaniach, model budynku zdefiniowano z betonu C16/20, przyjmując sprężyste właściwości materiału oszacowane na podstawie projektu [1]. Parametry modelu podłoża określone zostały zgodnie z uwagami podanymi w p. 2.6. Jako podstawowe obciążenia modelu przyjęto: – ciężar własny konstrukcji i gruntu, – normowe obciążenie użytkowe budynku, – wpływ eksploatacji górniczej dla wybranych parametrów tej eksploatacji. Warunki brzegowe zadania konstruowano na podstawie teorii Budryka-Knothego [7]. Parametry teorii BudrykaKnothego określono zaś na podstawie omówionych w p. 2.5 pomiarów geodezyjnych obniżenia powierzchni terenu. Dobrano je w taki sposób, aby kształt profilu niecki otrzymywany z teorii Budryka-Knothego możliwie dobrze odzwierciedlał kształt profilu niecki pomierzonej (rys. 3b). W badaniach przyjęto przy tym, że każdorazowo obliczenia wykonane zostaną dla przypadku, w którym będzie symulowane pełne przejście niecki obniżeniowej pod analizowanym budynkiem. Zakładano w ten sposób najniekorzystniejszy kierunek frontu eksploatacji – równoległy do podłużnej osi budynku. Tak prowadzona analiza numeryczna umożliwia obserwację i opis zachowania się układu budowla-podłoże we wszystkich ekstremalnych sytuacjach obciążenia wpływem górniczym budynku. Symulacja przechodzenia niecki górniczej pod budynkiem polegała na określeniu wartości przemieszczeń w(x) i u(x) dla kolejnych etapów eksploatacji (ustawień eksploatowanej ściany) dla wszystkich punktów węzłowych powierzchni A,B,C,D oraz powierzchni dolnej modelu podłoża z rys. 6a. Badania numeryczne przeprowadzono dla pięciu kolejnych faz położenia eksploatowanej ściany w stosunku do analizowanego budynku, pokazanych na rys. 8. r r Tmax 1 2 pierwotny poziom terenu 3 0.5wmax 1 wmax 5 4 5 4 3 2 H nadkład β eksploatowany pokład β 5 4 3 2 1 Rys. 8. Sytuacje obliczeniowe analizowane w badaniach Kolejne fazy oznaczają: – pozycja ściany 1 analizowany obszar gruntu wraz budynkiem jest poza zasięgiem wpływów eksploatacji, – pozycja ściany 2 – w połowie długości budynku występuje ekstremalne wygięcie profilu niecki i ekstremalne odkształcenia poziome rozluźniające podłoże, – pozycja ściany 3 – w połowie długości budynku występuje ekstremalne nachylenie profilu niecki, 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings – – October 2015, Bratislava pozycja ściany 4 – w połowie długości budynku występuje ekstremalne ugięcie profilu niecki i ekstremalne odkształcenia poziome zagęszczające podłoże, pozycja ściany 5 – analizowany obszar gruntu wraz budynkiem jest ponownie poza zasięgiem wpływów eksploatacji – występuje jedynie maksymalne obniżenie powierzchni terenu. 3.3 Wyniki obliczeń Przykładowe wyniki symulacji numerycznej, pokazujące zmiany zachodzące w gruncie pod fundamentem, w trakcie przechodzenia niecki obniżeniowej pod budynkiem (rys. 8) dla kierunku oznaczonego na rys. 9a, podane zostały dla elementów modelu podłoża górniczego, oznaczonych na rys. 9b. a) Wartości przemieszczeń w(x) i u(x) zdefiniowane zostały dla wszystkich punktów węzłowych powierzchni A,B,C,D Ściana C Ściana D Ściana B Ściana A kierunek symulowanej eksploatacji górniczej b) Rys. 9. a) definicja w modelu obliczeniowym warunków przemieszczeniowych od zastępczej niecki górniczej, b) elementy podłoża górniczego, dla których podane zostały przykładowe wyniki obliczeń Na rys. 10 i 11 przedstawiono wykresy zmiany stosunku naprężenia głównego do odkształcenia głównego (σ1/ε1) oraz objętościowego modułu ściśliwości gruntu K w sześciu wybranych elementach podłoża górniczego (według rys. 9b) na głębokości 1,5m poniżej poziomu posadowienia fundamentu w trakcie pełnego przejścia zastępczej niecki górniczej pod budynkiem. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings σ1 ε1 October 2015, Bratislava σ1 ( w p. a1) ε1 σ1 ( w p. a18) ε1 σ1 ( w p. a19) ε1 σ1 ( w p. a11) ε1 σ1 ( w p. a10) ε1 σ1 ( w p. a16) ε1 60000 50000 40000 30000 20000 10000 położenia ściany eksploatacyjnej 0 0 1 2 3 4 5 Rys. 10. Wykresy zmiany stosunku naprężenia głównego do odkształcenia głównego (σ1/ε1) w sześciu wybranych elementach podłoża górniczego (wg rys. 9b) na głębokości 1,5m poniżej poziomu posadowienia fundamentu w trakcie pełnego przejścia zastępczej niecki górniczej pod budynkiem K= (1 + e) κ ⋅p K ( w p . a1) K ( w p . a18) K ( w p . a19 ) K ( w p . a11) K ( w p . a10 ) K ( w p . a16 ) Rys. 11. Zmiana objętościowego modułu ściśliwości gruntu K w sześciu wybranych elementach podłoża górniczego (wg rys. 9b) na głębokości 1,5m poniżej poziomu posadowienia fundamentu w trakcie pełnego przejścia zastępczej niecki górniczej pod budynkiem Wykresy zmian wychylenia wypadkowego krawędzi (821-816) budynku (rys. 6b) w trakcie pełnego przejścia zastępczej niecki górniczej pod budynkiem podstawowym (model 1a) – rys. 7) oraz budynkiem lżejszym (model 4a) – rys. 7) podano na rys. 12. Z kolei na rys. 13 przedstawiono wykres zmian nachylenia budynku i terenu. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Rys. 12. Wykresy zmian wychylenia wypadkowego krawędzi (821-816) budynku (rys. 6b) w trakcie pełnego przejścia zastępczej niecki górniczej pod budynkiem podstawowym (model 1a) – rys. 7) oraz budynkiem lżejszym (model 4a) – rys. 7) Rys. 13. Wykresy wychylenia budynku i nachylenia powierzchni teren 3.4 Podsumowanie badań numerycznych Wykresy przedstawione na rys. 10 i 11 przedstawiają kolejno zmiany stosunku naprężenia głównego do ekstremalnego odkształcenia głównego w wybranych sześciu elementach skończonych modelu podłoża w trakcie przechodzenia obniżeniowej niecki górniczej pod budynkiem oraz dla tych samych elementów, zmiany objętościowego modułu ściśliwości. Na podstawie tych wykresów można stwierdzić, jak zmieniała się sztywność podłoża w trakcie przechodzenia obniżeniowej niecki górniczej pod budynkiem. Widać to zarówno na przykładzie przebiegu wartości K (rys. 11) jak i na przebiegu stosunku (σ1/ε1) (rys. 10), że tak rozumiana sztywność podłoża malała w trakcie przejścia frontu z pozycji (1) do pozycji (2) – rys. 8) następnie wzrastała przy przejściu frontu do pozycji (3) i (4) aby ponownie maleć w końcowej fazie przejścia niecki pod budynkiem z pozycji (4) do pozycji (5). Widać przy tym, że stan gruntu po przejściu niecki nie jest równoznaczny ze stanem gruntu przed eksploatacją. Badania numeryczne modelu przestrzennego układu budynek-podłoże górnicze wykazały, że w analizowanym przypadku istotny może być ciężar budynku. Z rysunku 12 widać, że rzeczywiście ciężar budynku, a mówiąc dokładniej, wielkość jego nacisku na grunt, ma znaczenie. Budynek cięższy prostuje się wolniej w miarę przechodzenia frontu i jego końcowe wychylenie jest większe niż budynku lżejszego. Analiza zmian wychylenia budynku i nachylenia podłoża w trakcie przechodzenia niecki górniczej (rys. 13) wskazała, że w czasie przejścia niecki w pierwszych trzech fazach wychylenie budynku jest praktycznie równe 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava nachyleniu terenu. W fazie 4 i 5 natomiast nachylenie terenu maleje szybciej aniżeli wychylenie budynku. W końcowej fazie analizy mamy w tym przypadku wychylenie budynku większe niż nachylenie otaczającego go gruntu. Jak wykazano powyżej za efekt ten odpowiadają zmiany sztywności gruntu spowodowane przejściem eksploatacji górniczej. 4 PODSUMOWANIE I WNIOSKI Artykuł dotyczy analizy wpływu nachylenia terenu na wychylenie budynku, przeprowadzonej na podstawie nowatorskiego podejścia badawczego wykorzystującego symulacje numeryczne. Opisane badania dotyczyły zmian jakie zachodzą w podłożu górniczym pod fundamentem budynku w trakcie pochodu górniczej niecki obniżeń, mających wpływ na jego obrót. Badania zachowania modelu przestrzennego (3D) bryły wytypowanego budynku współpracującego z deformującym się podłożem górniczym, pozwalają jednoznacznie stwierdzić, że: – zjawisko nierównomiernego osiadania budynku, powodujące jego obrót, związane jest z nierównomiernym osłabieniem pierwotnej sztywności współpracującego z nim podłoża górniczego, przy jednoczesnym jego rozluźnieniu, związanym z przebiegiem górniczej niecki obniżeń, – w analizowanym przypadku modelu wytypowanego budynku, powodem wychylenia segmentu, większego od nachylenia terenu, było zgodnie z uzyskanymi wynikami, osłabienie sztywności podłoża poddanego jednoczesnemu rozluźnieniu, – dalszy przyrost nachylenia terenu, w badanym modelu (3D), spowodował trwałe odkształcenia w podłożu górniczym, związane z uplastycznieniem gruntu pod fundamentem budynku. Kluczowe w tym przypadku okazało się zastosowanie modelu stanu krytycznego Modiefied Cam-Clay opisu podłoża górniczego, który w świetle uzyskanych wyników, daje najbardziej realistyczne odtworzenie zachowania się gruntu, w warunkach eksploatacji górniczej, – przeprowadzone badania numeryczne dowiodły, że ciężar budynku, a mówiąc precyzyjniej, wielkość nacisku konstrukcji budynku przekazywanego na grunt, ma znaczenie dla wpływu nachylenia terenu na wychylenie jego konstrukcji w warunkach eksploatacji górniczej. Budynek cięższy prostuje się wolniej w miarę przechodzenia frontu robót górniczych, przez co jego końcowe wychylenie jest większe niż budynku lżejszego; – przewidywanie zachowania budynku na zmieniającym nachylenie podłożu górniczym, w warunkach znacznego ciężaru konstrukcji, przy pewnym typie fundamentów, zmianach w sposobie użytkowania itp. oraz przy równoczesnej umiarkowanej prekonsolidacji gruntu, powinno uwzględniać możliwość dużych zmian sztywności podłoża gruntowego, poddanego deformacjom w trakcie pochodu obniżeniowej niecki górniczej. REFERENCES [1] Dokumentacja projektu technicznego budynku, część architektoniczna oraz część budowlana i konstrukcyjna. Miastoprojekt Katowice, 1973 – 75. [2] Fedorowicz J.: Zagadnienie kontaktowe budowla – podłoże gruntowe. Cz. II. Kryteria tworzenia i oceny modeli obliczeniowych układów konstrukcja budowlana – podłoże górnicze. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, seria: Budownictwo, nr 114, Gliwice 2008. [3] Fedorowicz L.: Zagadnienia kontaktowe budowla – podłoże gruntowe. Cz. I. Kryteria modelowania i analiz podstawowych zagadnień kontaktowych konstrukcja budowlana – podłoże gruntowe. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, seria: Budownictwo, nr 107, Gliwice 2006. [4] Gubrynowicz A.: Wpływ eksploatacji górniczej na wychylenie budynków oraz warunki ich użytkowania. Określanie zależności pomiędzy nachyleniami terenu powodowanymi wpływami eksploatacji górniczej i wychylaniem się z pionu obiektów budowlanych. Praca badawcza 06.04/OB-2/. ITB, Gliwice 1978. [5] Karty otworów wiertniczych: nr Staszic – 1 (1956); nr Staszic – 4 (1956). Dział TMG KWK „Murcki – Staszic”. [6] Kawulok M.: Szkody górnicze w budownictwie. ITB, Warszawa 2010. [7] Knothe S.: Prognozowanie wpływów eksploatacji górniczej. Wyd. Śląsk, Katowice 1984. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [8] Kwiatek J.: Obiekty budowlane na terenach górniczych. Wydanie II zmienione i rozszerzone. Główny Instytut Górnictwa, Katowice 2007. [9] Polska Norma PKN-CEN ISO/TS 17892-5: Badania geotechniczne - Badania laboratoryjne gruntów Część 5: Badanie edometryczne gruntów. Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, sierpień 2009. [10] Polska Norma PKN-CEN ISO/TS 17892-9: Badania geotechniczne - Badania laboratoryjne gruntów Część 9: Badanie gruntów w aparacie trójosiowego ściskania po nasyceniu wodą. Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, sierpień 2009. [11] Polska Norma PN-88/B-04481: Grunty budowlane. Badania próbek gruntu. Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, 30 czerwca 1988. [12] Raport z badań nr LG-00-7-01/12/Z00OSK dot. próbek gruntu drobnoziarnistego pobranych z podłoża budynku mieszkalnego objętego wpływem szkód górniczych przy ul. Wojciecha 27 w Katowicach. ITB, Zakład Geotechniki i Fundamentowania (NG), Akredytowane Laboratorium Badań Podłoża Budowlanego (LG) – certyfikat akredytacji nr AB023. Warszawa, wrzesień 2012. [13] Raport z badań nr LG00-57/2013 dot. próbek gruntu drobnoziarnistego pobranych z podłoża budynku mieszkalnego objętego wpływem szkód górniczych przy ul. Wojciecha 27 w Katowicach. ITB, Zakład Geotechniki i Fundamentowania (NG), Akredytowane Laboratorium Badań Podłoża Budowlanego (LG) – certyfikat akredytacji nr AB023. Warszawa, wrzesień 2013. [14] Słowik L.: Numeryczne modelowanie wychylenia budowli na terenie górniczym. Praca zbiorowa pod wydawnictwem Joanny Bzówki: Badania doświadczalne i teoretyczne w budownictwie. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. Gliwice 2012. [15] Słowik L.: Wpływ nachylenia terenu spowodowanego podziemną eksploatacją górniczą na wychylenie obiektów budowlanych. ITB, Warszawa 2015 (rozprawa doktorska, mps). th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS THE INFLUENCE OF ORGANIC MATTER ON SOIL PROPERTIES AND ITS BEHAVIOR R. Uliniarz1 Abstract Mineral soils are generally organic free. In most standards and also in literature it is assumed that organic matter does not influence the soil properties significantly if the content does not exceed 2%. In civil engineering practice can be found some cases of natural mineral soils contaminated by organic. It could be caused by leaky sewer or industrial activity as well. The final effect of that process is a soil of different properties, which will give many geotechnical problems with bearing capacity and, what is more important, with displacements of structures. In the paper effect of organic contamination will be analyzed on the base of laboratory tests of soil. Key Words Organic soil; organic contamination; oedometric test; soil parameters. 1 WPROWADZENIE W geotechnice grunty organiczne utożsamiane są z utworami słabymi pod względem mechanicznym, a także odkształcalnymi. Z reguły jest to prawda, ponieważ dotyczy to w większości przypadków płytko zalegających utworów czwartorzędowych, które nie podlegały w przeszłości przeciążeniu. Klasyfikacja gruntów organicznych wraz z wdrożeniem norm europejskich (Eurokodów) zmieniła się. Wg starej normy PN-86/B-02480 [6] wyróżnia się: • grunty próchniczne (2%<Iom<5%) - grunty nieskaliste, w których zawartość części organicznych jest wynikiem wegetacji roślinnej oraz obecności mikroflory i fauny, • grunty mineralno-organiczne (5%<Iom<15%) – powstałe w zagłębieniach poza dolinami rzek, • namuły (5%<Iom<30%) – powstałe w wyniku osadzania się substancji mineralnych i organicznych w środowisku wodnym, • gytie mineralne (5%<Iom<30%, 12%CaCO3<80%) – namuły z zawartością węglanu wapnia >5%, • gytie organiczne (Iom>30%, 20%< CaCO3<80%), • kreda jeziorna (CaCO3>80%), • torfy (Iom>30%) – grunty powstałe z obumarłych części roślin ulegających stopniowej karbonizacji, • węgle brunatne, • węgle kamienne. Zgodnie z normą PN-EN ISO 14688-2:2006 [9] w zależności od zawartości substancji organicznej wyróżnia się grunty organiczne (akumulowane in situ) i grunty mineralne z częściami organicznymi (Tab.1). Klasyfikacja 1 Dr. R. Uliniarz, rafal.uliniarz@polsl.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava gruntów organicznych akumulowanych in situ oparta jest na rodzaju substancji organicznej, rodzaju gruntów organicznych, na pochodzeniu materiału wyjściowego oraz stopniu rozłożenia części organicznych. Tab. 1. Klasyfikacja gruntów mineralnych zawierających części organiczne [9] Grunt Niskoorganiczny Organiczny Wysokoorganiczny Zawartość części organicznych (≤ 2 mm) suchej masy [%] 2 do 6 6 do 20 >20 Tab. 2. Oznaczanie i opis gruntu organicznego akumulowanego in situ [9] Nazwa gruntu Torf włóknisty Torf pseudowłóknisty Torf amorficzny Gytia Humus Opis Struktura włóknista, łatwo rozoznawalne tkanki roślinne, zachowuje pewną wytrzymałość Rozpoznawalne tkanki roślinne, brak wytrzymałości rozpoznawalnego materiału roślinnego Brak widocznych struktur roślinnych, konsystencja papkowata Rozłożone szczątki roślinne i zwierzęce; może zawierać składniki nieorganiczne Pozostałości roślin, żywe organizmy i ich odchody razem ze składnikami nieorganicznymi; tworzy grunt na powierzchni terenu (warstwę przypowierzchniową) Powyżej przytoczone klasyfikacje dotyczą właściwie wyłącznie gruntów naturalnych. Tymczasem spotkać się można z gruntami organicznymi wytworzonymi działalnością człowieka, lub mineralnymi gruntami naturalnymi zanieczyszczonymi substancjami organicznymi. Ostatnie mogą występować w rejonie terenów zurbanizowanych i rolnych, gdzie nierzadko dochodzi do wycieku ścieków z kanalizacji i zbiorników na nieczystości do gruntu. 2 WPŁYW SUBSTANCJI ORGANICZNEJ NA CECHY FIZYCZNE I MECHANICZNE GRUNTU Niepodważalny jest negatywny wpływ substancji organicznych na cechy fizyczne i mechaniczne gruntów. Mimo, iż literatura nie obfituje w wyniki badań tego zjawiska, znaleźć można pozycje dotyczące bardzo charakterystycznych gruntów czy sytuacji [2,3]. Jedną z nich jest publikacja autorstwa Thiyyakkandi i Annex [1] dotycząca badań naturalnych ciemnobrązowych iłów ze znaczną zawartością części organicznych (7-11%). Wykazano w niej wyraźny wpływ ilości substancji organicznej na takie parametry jak kąt tarcia wewnętrznego, spójność, moduł odkształcenia i edometryczny, granice płynności i plastyczności, wytrzymałość na ścinanie bez drenażu oraz porowatość. Fig. 1. Zależność wskaźnika porowatości od obciążenia w skali logarytmicznej dla różnych zawartości substancji organicznej - Iom [1]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 2. Zależność granicy płynności od zawartości substancji organicznej [1]. Fig. 3. Zależność granicy plastyczności od zawartości substancji organicznej [1]. Jak widać na Fig.2 i Fig.3 granica płynności oraz granica plastyczności gruntu w stanie naturalnym wzrasta liniowo wraz ze wzrostem zawartości substancji organicznej. Również w przypadku gruntu przerobionego zmiana granicy płynności i plastyczności przebiega w ten sam sposób. Fig. 4. Wytrzymałość gruntu na ścinanie w warunkach bez drenażu dla różnych zawartości substancji organicznej [1]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Wytrzymałość gruntu na ścinanie w warunkach bez drenażu maleje drastycznie wraz ze wzrostem zawartości substancji organicznej (Fig.4). Zwiększając zawartość substancji organicznej z 5 punktów procentowych o kolejny 1pp, wytrzymałość maleje o około 4%, co daje przy zmianie z 5pp do 10pp Iom zmniejszenie wytrzymałości gruntu o około jedną czwartą. Przyrost części organicznych powyżej 10pp o 1pp powoduje znaczący spadek wytrzymałości już o 17%, dlatego też niewielkie powiększenie ilości tej substancji wpływa bardzo istotnie na utratę wytrzymałości gruntu. Fig. 5. Zależność kąta tarcia wewnętrznego od zawartości substancji organicznej [1]. Nie słabiej zawartość części organicznych wpływa na kąt tarcia wewnętrznego. Jest to widoczne tym bardziej, że parametr ten ulega najmniejszym fluktuacjom z pośród parametrów mechanicznych gruntu, a zanieczyszczenia organiczne mogą go obniżyć nawet o 40%. 3 BADANIA CECH FIZYCZNYCH IŁÓW ZANIECZYSZCZONYCH SUBSTANCJAMI ORGANICZNYMI W celu oceny wpływu zanieczyszczeń organicznych na grunt wykonano szereg badań laboratoryjnych na mineralnym gruncie bazowym (ił z piaskiem – saCl) sztucznie zanieczyszczonym substancją organiczną uzyskaną z oczyszczalni ścieków. W celu oznaczenia składu granulometrycznego gruntu spoistego wykonano analizę areometryczną wraz z analizą sitową. Charakterystyczna w badaniach była barwa gruntu. Im więcej substancji organicznej dodawano, tym ciemniejszy kolor gruntu otrzymywano. Nie jest to jednak zasada. Autor spotkał się z przypadkami braku wpływu na barwę gruntu. Zależy to od rodzaju zanieczyszczenia, czasu jego zaistnienia oraz od samego gruntu. Fig. 6. Zawiesiny do analizy areometrycznej 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 7. Wyniki badań uziarnienia Z analizy areometrycznej wynika, że pomiędzy próbkami o różnej zawartości części organicznych nie ma znaczącej różnicy w składzie granulometrycznym. Na podstawie analizy uziarnienia każda z trzech zbadanych próbek gruntu została sklasyfikowana wg trójkąta ISO jako ił z piaskiem – saCl. Wilgotność [%] Iom = 3,63% Iom = 2,63% Iom = 6,22% Ilość uderzeń [-] Fig. 8. Wyniki badań granicy płynności metodą Cassagrande’a 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 9. Granica plastyczności vs. Zawartość części organicznych Fig. 10. Granica płynności vs. Zawartość części organicznych W badaniach granic konsystencji stwierdzono spodziewany silny wpływ zanieczyszczenia organicznego. Obydwie granice przesuwają się w stronę większych wilgotności. Silniejszy wpływ obserwuje się na granicę plastyczności, co powoduje, iż wskaźnik plastyczności zmienia się z 13% (grunt średnio spoisty) na 11% (grunt średnio spoisty na pograniczu z mało spoistym). 4 BADANIA ŚCIŚLIWOŚCI IŁÓW ZANIECZYSZCZONYCH SUBSTANCJAMI ORGANICZNYMI Grunty organiczne cechuje wysoka odkształcalność, stąd skupiono się w pierwszym etapie badań na tym aspekcie. W tym celu wykonano trzy serie badań edometrycznych. Badane były, podobnie jak w badaniach cech fizycznych, próbki o trzech różnych zawartościach Iom, tj. 2,63%; 3,63% oraz 6,22%. W ramach każdej serii przebadano 3 próbki. Tab. 3. Edometryczne moduły ściśliwości pierwotnej dla różnych zawartości substancji organicznych. Iom [%] M0,I[MPa] M0,II[MPa] M0,III[MPa] M0,średnie[MPa] 2,63 6,8 6,3 7,0 6,7 3,63 5,3 5,4 5,6 5,4 6,22 4,7 4,2 4,5 4,5 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Tab. 4. Edometryczne moduły ściśliwości wtórnej dla różnych zawartości substancji organicznych. Iom [%] MI [MPa] MII [MPa] MIII [MPa] Mśrednie [MPa] 2,63 37,0 34,2 33,4 34,9 3,63 23,6 27,7 33,8 28,4 6,22 20,1 18,1 13,0 17,1 Fig. 11. Zależność edometrycznego modułu ściśliwości pierwotnej i wtórnej od zawartości substancji organicznej. Fig. 12. Krzywe edometryczne wszystkich serii badań. W badaniach potwierdził się negatywny wpływ zawartości części organicznych na sztywność gruntu. Wpływ ten jest inny dla zakresu pierwotnego i wtórnego. Co warte podkreślenia w zakresie wtórnym obserwowany jest dużo większy spadek sztywności. Nie jest to trend przypadkowy, bowiem występuje we wszystkich testach. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 5 October 2015, Bratislava WNIOSKI W ramach badań nad tematyką wpływu zanieczyszczeń organicznych na grunt wykonano analizę literaturową zagadnienia a na jej podstawie wykonano pierwszy etap badań własnych. Badania podstawowe obejmowały badania fizyczne takie jak analizę areometryczną i sitową, badania granic konsystencji i badania towarzyszące. Badania cech mechanicznych skoncentrowały się na tym etapie na badaniach edometrycznych. W ich ramach wykonano trzy serie testów różnicujących. Przeprowadzone badania potwierdziły negatywny wpływ zanieczyszczeń organicznych na grunt. Różnice sięgają kilkudziesięciu procent, więc są znaczne i niepomijalne. Mogą także prowadzić do błędnego rozpoznania gruntu w badaniach makroskopowych i przeszacowania wytrzymałości gruntu na ścinanie, co ma znaczenie w praktycznych zastosowaniach. Zjawisko wymaga jednak badań znacznie wykraczających poza to wstępne studium. REFERENCES [1] Thiyyakkandi S., Annex S.: Effect of Organic Content on Geotechnical Properties of Kuttanad Clay. The Electronic Journal of Geotechnical Engineering. Nr 16/2011, p. 1653-1663. [2] Schmidt N.O.: A Study of the Isolation of Organic Matter as a Variable Affecting Properties of a Soil. PhD Thesis, University of Illinois 1965. [3] Puppala A.J, Pokola S.P, Intharasombat N., Williammee R.: Effects of Organic Matter on Physical, Strength, and Volume Change Properties of Compost Amended Expansive Clay. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 133(11), 2007, p. 1449-1461. [4] Myślińska E.: Grunty organiczne i laboratoryjne metody ich badania. Wydawnictwo PWN, Warszawa 2001. [5] PN-88/B-04481 Grunty budowlane. Badania próbek gruntu. [6] PN-86/B-02480 Grunty budowlane. Określenia, symbole, podział i opis gruntów. [7] PN-EN 1997-2:2009. Eurokod 7. Projektowanie geotechniczne. Część 2: Rozpoznanie i badanie podłoża gruntowego. [8] PN-EN ISO 14688-1:2006. Badania geotechniczne. Oznaczanie i klasyfikowanie gruntów. Część 1: Oznaczanie i opis. [9] PN-EN ISO 14688-2:2006. Badania geotechniczne. Oznaczanie i klasyfikowanie gruntów. Część 2: Zasady klasyfikowania. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS RIEŠENIE KONTAKTNÝCH ÚLOH POUŽITÍM MKP Dominika Tomašovičová1 a Norbert Jendželovský2 Abstract This paper discusses a problem of modeling an interaction between foundation and subsoil by finite element method. Our task was solved by the program ANSYS which uses different contact elements.Usage of element CONTAC52 and fixed nodes is represent in this paper. Contact elements are applied into the contact between bottom surface of foundation and top surface of subsoil. Kľúčové slová Základová konštrukcia; podložie; kontaktná úloha 1 ÚVOD Modelovanie interakcie základov a podložia metódou konečných prvkov je aj v dnešnej dobe náročný problém. Pred samotným modelovaním sa treba rozhodnúť pre správny model podložia, ktorý najlepšie vystihuje podmienky konkrétnej úlohy. Rovnako je nutné rozhodnúť sa pre vhodné ukončenie zemného telesa tak, aby nedochádzalo ovplyvňovaniu a skresleniu výsledkov. Ďalším problém je správne vystihnutie vzájomného pôsobenia systému základová konštrukcia a podložie. Ich interakcia môže byť vyjadrené rôznymi väzbami; aj v závislosti od výpočtového softvéru, ktorý je použitý. V nasledujúcom článku je popísané modelovanie interakcie základovej konštrukcie a podložia v programe ANSYS pomocou kontaktného prvku CONTAC 52. 2 VSTUPNÉ PARAMETRE Úloha sa zaoberala modelom základovej pätky na štrkovom podloží. Základová pätka má rozmery 1,2 x 1,2 x 0,8 metra a uvažuje sa s betónom triedy C25/30. Štrkové podložie je zaradené do kategórie zemín G3 – štrk s prímesou jemnozrnnej zeminy. Mechanické vlastnosti betónovej pätka a štrkového podložia sú uvedené v tabuľkách 1 a 2. Teleso podložia má rozmery 13,2 x 13,2 x 10 metrov. Základová pätka má rozmery 0,6 x 0,6 x 0,8 metra. 1 Ing. Dominika Tomašovičová, Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta STU v Bratislave, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, (+421) 59274334, dominika.tomasovicova@stuba.sk 2 Prof. Ing. Norbert Jendželovský PhD., Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta STU v Bratislave, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, (+421) 59274364, norbert.jendželovský@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Trieda betónu C 25/30 Charakteristická pevnosť fck 25 MPa Návrhová pevnosť fcd 13,33 MPa October 2015, Bratislava Modul pružnosti Poissonovo číslo Ecm 31 GPa ʋcon 0,2 Objemová tiaž γcon 25 kN/m3 Tab.1. Mechanické vlastnosti základovej pätky z betónu C25/30 Vlastnosť Štrk G3 Objemová tiaž γ 19 kN.m-3 Uhol vnútorného trenia φ 33° Súdržnosť c 0 kPa Deformačný modul Edef 90 MPa Oedometrický modul Eoed 100 MPa Poissonovo číslo ν 0,25 Tab.2. Mechanické vlastnosti základovej pôdy 3 VÝPOČTOVÝ MODEL Podložie Pri modelovaní podložia sú využité trojdimenzionálne prvky SOLID 45. Tieto prvky sú charakterizované ôsmimi uzlami, pričom v každom uzle sú tri stupne voľnosti – posun v smere osí x, y, z. Prvky SOLID 45 sú definované ortotropickými vlastnosťami materiálu, konkrétne deformačným modulom Edef a Poissonovým číslom ʋ. Uvažuje sa s pevným podoprením zemného telesa, keďže pri jeho rozmeroch nedochádza k deformácii okrajov telesa. Posuny v horizontálnej rovine v smere kolmom na plochu telesa sú rovné nule. Rovnako aj posuny spodnej plochy telesa sú vo vertikálnom smere nulové. Veľkosť prvkov podložia je 0,4 x 0,4 x 0,4 m. Základová pätka Model základovej pätky je rovnako tvorený elementami SOLID 45, definované modulom pružnosti Ecm a Poissonovým číslom ʋcon. Veľkosť prvkov základu je 0,4 x 0,4 x 0,4 m. Obr. 1. Výpočtový model základ – podložie 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Kontaktné prvky Softvér ANSYS ponúka na výber viacero typov kontaktných prvkov. V tejto práci sme sa zamerali na kontaktný prvok typu bod – bod, CONTAC 52. Tento prvok predstavuje dve plochy nachádzajúce sa oproti sebe, ktorých posuny sú závislé. Rovnako ako prvok Solid 45 má tri stupne voľnosti v každom uzle - posuny x, y, z. CONTAC 52 je definovaný dvoma bodmi, normálovou a šmykovou tuhosťou a vzdialenosťou medzi kontaktnými plochami. Jeho jedinou materiálovou charakteristikou je koeficient trenia µ. Obr. 2. Schéma prvku CONTAC 52 Tento prvok má viacero počiatočných stavov. Medzera medzi kontaktnými prvkami je buď uzavretá a nie je povolené prekĺznutie, uzavretá s prekĺzavaním alebo otvorená. Pri uzavretej medzere bez prekĺzavania, platí: (1) Pokiaľ je medzera uzavretá a je povolené prekĺzavanie, tak platí: (2) Normálová tuhosť KN je definovaná ako normálová tuhosť podkladového betónu triedy C12/15 a závisí od modulu pružnosti betónu, hrúbky podkladovej vrstvy a plošných rozmerov prvku. Vo všeobecnosti platí, že tuhosť je daná pomerom pôsobiacej sily F k veľkosti deformácie ∆. (3) Šmyková tuhosť daná koeficientom trenia závisí od uhlu vnútorného trenia φ. [1] (4) Vo výpočtoch sa uvažuje s hodnotou normálovej tuhosti 3,5.106 kN/m a hodnotou koeficientu trenia 0,65. Kontaktné prvky sú vkladané medzi body spodného povrchu základovej pätky a body vrchného povrchu podložia. Fixné body Na porovnanie výsledkov bol zostavený model, v ktorom mali uzly základu a podložia, ktoré sa nachádzali priamo nad sebou, predpísané rovnaké posuny. Pri takomto modeli sa medzi základom a podložím prenášajú aj tlaky aj ťahy, ale nie je zohľadnené trenie. 4 Porovnanie výsledkov Model systému základ podložie s použitím kontaktného prvku, kedy bola medzera medzi základom a podložím uzavretá a preklz nebol dovolený, bol postupne zaťažované silovými účinkami, obr. 3, tak aby prišlo k „odliepaniu“ pätky od podložia. To znamená, že v kontaktnom prvku nevzniká tlakové namáhanie a zvislý posun bodov je u pätky menší ako u podložia. Hodnota vertikálnych síl 100 kN sa počas výpočtu nemenila, menila sa 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava len hodnota síl na okraji základu a to od hodnoty 0 po hodnotu 70 kN. Pri zaťažení 100 kN a 70 kN (ako na obrázku) došlo k „odlepeniu“ krajných bodov základu. Obr. 3 Zaťaženie základovej konštrukcie Ďalej sa modeloval stav, kedy prišlo k odlepeniu s tým, že pod uzlami, ktoré boli nadvihnuté, sa namodelovali kontaktné prvky, ktorým bol povolený preklz. Posledným modelom bol model, kde sa na styku pätka podložie použil príkaz coupling – CP. Uzlov základu a podložia bol predpísaný rovnaký zvislý posun. MODEL Max. posun vo zvislom smere Max. kontaktné napätie s použitím fixných bodov [mm] CONTAC 52 bez preklzu [kPa] Contac 52 s preklzom [kPa] 7,233 7,673 7,671 758,505 768,706 768,766 Tab. 3 Výsledné deformácie a kontaktné napätia pri zaťažení silami 100 kN a 70 kN podľa obr.3 V tabuľke 3 je vidieť, že získané maximálne hodnoty posunov a napätí sa veľmi nelíšia. Priebeh kontaktných napätí je vykreslení na nasledujúcich obrázkoch. Z nich je zrejmé, že priebehy napätia sa mierne líšia pri použití „fixných uzlov“. Obr. 4 Kontaktné napätie – „fixné uzly“ 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 5 Kontaktné napätie – bez preklzu (vľavo), s preklzom (vpravo) 5 ZÁVER Dôležitou súčasťou návrhu konštrukcie je správny model, ktorý zohľadňuje všetky vstupné parametre a predpokladané správanie konštrukcie. Pri návrhu základovej konštrukcie je nutné správne vystihnúť interakciu medzi základom a podložím. Jedným zo spôsobov ako modelovať túto interakciu je použitie kontaktných prvkov. V tomto článku sme sa zaoberali použitím kontaktného prvku CONTAC 52 v programe ANSYS. Rovnako sme použili aj model, v ktorom boli uzlom podložia a základu priradené rovnaké posuny. Použitie „fixných uzlov“ je jednoduché, ale úplne nezodpovedá reálnemu správaniu konštrukcie. Použitie kontaktného prvku je zložitejšie, ale výhodou je, že je možné zadať rôzne parametre ako je normálová tuhosť či trenie. Nevýhodou použitého prvku je, že je definované len v uzloch konštrukcie. Preto výsledky mimo uzlov nemusia odpovedať správaniu konštrukcie v reálnych podmienkach. POĎAKOVANIE Tento príspevok vznikol za finančnej podpory grantovej agentúry MŠ SR, ako projekt VEGA1/0544/15. LITERATÚRA [1] Hruštinec. L.: Analýza spolupôsobenia plošného základu s podložím, Dizertačná práca, Bratislava STU 2003 [2] Jendželovský, N.: Modeling of foundation structures by FEM, Bratislava, STU 2009 [3] Králik, J.: Analýza Bratislava STU 2009 [4] Máleková, V. – Jendželovský, N.: An analysis of contact elements of foundation structures . Machines, Technologies, Materials. 2012 podlahových dosiek v interakcii s podložím. Dizertačná práca, Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS EXPERIENCE WITH DYNAMIC MEASUREMENT OF THE PORT BRIDGE M. Venglár1, M. Sokol2, R. Ároch3, J. Budaj4 Abstract The Port Bridge is located in Bratislava across the Danube River. Its length is about 461m. The bridge is nowadays the most used bridge in Slovakia. It is also overloaded and that is the reason why the structural health monitoring of the bridge is growing in importance. The test setup has been prepared for a long time, approximately for half a year, because of its complexity. In general, two measuring polygons have to be considered connected only by a Wi-Fi connection. This equipment setup needed an original NI LabVIEW program, which has been developed in cooperation with experts – electrical engineers and experts in mechanics. Main problem was to achieve correct synchronization of both measuring polygons. Except of software difficulties there were a few complications during the in situ measurement - like cable connection between the highway and railway bridge levels, wind effect recording and especially the real time synchronization of the traffic video record and measurement. Then the experimental tests have been successfully performed. Key Words Dynamics; in-situ measurement; acceleration; bridge structure; synchronization; 1 INTRODUCTION Many bridges around the world and also in Slovakia are aged. Ahlborn et al. [1] confirms this fact in their publication. They published that the average age of bridges in America is approximately 43 years. Bridge structures in Slovakia are a little older according to Paulik’s publication [3]. On the other hand road transport is increasing in Slovakia. The mentioned facts have caused not so good technical conditions of bridges. So modern types of structural health monitoring (SHM) gets ahead in developed countries. The Slovak Road Administration has a management system for bridge structures but the SRA does not dispose of a measurement system for SHM. That is the one of the reasons why we prepared such a system for SHM using dynamic measurements. The system was designed for general use but we considered that the system has to be suitable also for one of the most complex bridge structures in Slovakia – The Port Bridge. 1 Ing. Michal Venglár, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, Slovakia, +421259274334, michal.venglar@stuba.sk prof. Ing. Milan Sokol, PhD., Radlinského 11, 810 05 Bratislava, Slovakia, +421259274448, milan.sokol@stuba.sk 3 doc. Ing. Rudolf Ároch, PhD., Radlinského 11, 810 05 Bratislava, Slovakia, rudolf.aroch@stuba.sk 4 Ing. Ján Budaj – meranie a automatizácia, Záhradnícka 9, 811 02 Bratislava, Slovakia, janbudajam@gmail.com 2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava THE PORT BRIDGE The Port Bridge is located in the capital city of Slovakia – Bratislava. The road-rail bridge is crossing the river Danube. It has a total length 461 m (Fig. 1a) with continuous four spans. The lengths of the spans are approximately: 102 m, 205 m, 64 m and 90 m. a) b) Fig. 1. The Port Bridge a) side view from the south b) side view from the north The bridge was built in 1985 (partially in 1983). Three steel trusses of 11.7 m height and 6.5 m apart form the bearing structure (Fig. 2). At the lower level of the bridge there are two cantilevered ways designed for pedestrians, cyclists and services. In the lower part a double track railroad and in the upper part a highway is situated. The road part is the component of the Slovak Highway D1 from Bratislava to Kosice. The original designed capacity was 50 000 vehicles per day. The amount of passing vehicles is now more than doubled and the Port Bridge is the most used bridge in Slovakia. Such a traffic increase can cause problems with the fatigue resistance of important structural details. Fig. 2. The cross-section of the Port Bridge 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 3 October 2015, Bratislava THE MEASUREMENT SYSTEM As we mentioned in the introduction we prepared a complex measurement system. The measurement setup using National Instruments’ equipment needed an original LabVIEW program according to [2], which has been developed in cooperation between electric engineers and experts in mechanics. The complex system which is similar to the BRIMOS system [4] consists of National Instruments devices CompactRIO (NI cRIO) 9067 with 2 input/output (I/O) modules NI 9234, NI cRIO 9074 with 3 I/O modules NI 9234 and also 2 devices NI EtherCAT 9144 which can be connected by 100 metres long network cable in series (Fig. 3). Fig. 3. The complex measurement system for the Port Bridge It is possible to choose the following architecture before a measurement: A. Only the device cRIO 9067. B. A combination of the connected devices cRIO 9067 and cRIO 9074. C. A combination of the devices cRIO 9067 and in series connected 2 pieces of the NI 9144. D. A combination of all four devices (Fig. 3). The main components (notebook, cRIO devices) were connected with a network switch, Wi-Fi antennas or FTP network cable. The devices NI 9144 use EtherCAT standard. We tested network cables with a length of 50 m and Wi-Fi antennas on distance 30 m. When using a NI 9144 chassis, connection was assigned via FTP network cable with a length up to 100 m. The cRIO device is provided with a FPGA chip. The field-programmable gate array (FPGA) is an integrated circuit designed to be configured by a software engineer or a designer. So we had possibility to programme it in our own way. Our cRIO device 9067 can be filled by up to 4 modules NI 9234, one NI 9237 module and 2 modules NI 9211. The NI 9234 module is suitable for acceleration measurement. In the future we plan to use also module NI 9237 for strain-gauge sensors. The cRIO 9074 can be filled by up to 3 modules NI 9234. All measured data are saved on the main unit cRIO 9067 as a TDMS file. It was necessary to test the functionality and data transfer rate between cRIO devices. Therefore, it is recommended to use sampling rates below approximately 5000 samples per second. At higher sample rates is not possible to ensure a reliable transfer of the measured data to the cRIO 9067 device. From the initial tests it was found, that the less powerful device cRIO 9074 is not suitable for connecting to the NI 9144 at all. Therefore, the device NI 9144 had to be connected with the cRIO 9067 using a SCAN period of 488 microseconds. During testing of the entire system, it has been achieved, that the maximum sampling rate of 2 modules for the NI 9144 devices was up to 3000 samples per second. This sample rate is sufficient to measure the real structure. The connection via EtherCAT technology allows the use of standard network cables (FTP cables) with a length of 100 m. The tests have showed that the cables were able to establish a connection over a 100 m length. Finally, the synchronization between two cRIO devices was the most complicated task to program. The LabVIEW development environment allows the use of many possibilities to synchronize the devices. After all tests performed in the laboratory only the synchronization through the TCP / IP protocol gave results which were precise enough. The deviation between synchronized devices was from 0 up to 2 samples at sample rates about 5000 samples per second. The synchronization was also tested through a classic network cable (up to 100 m) but also via Wi-Fi antennas. The value of the deviation depends on the type of connection. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Additionally, the NI 9234 I/O modules are analogue to digital converters. The modules can be used for highaccuracy measurements of accelerations. In our measurement conception there is a possibility to measure 28 places along the bridge construction. We are able to measure frequencies higher than 0.5 Hz and with an interval of accelerations ± 4.9 m*s-2 in combination with the use of the modules NI 9234 and accelerometers PCB Piezotronics 393B31. 4 PREPARATION AND MEASUREMENT After the system development other preparations had to be done. For the initial test the architecture B with 2 cRIO devices was chosen. As a consequence we had to prepare the arrangement of accelerometers. 28 accelerometers were placed, including 17 places where we measured vertical acceleration of the main steel truss structure, 8 places where we put accelerometers in the horizontal direction and the last 3 accelerometers were placed to measure the horizontal acceleration of the concrete bridge deck. The main measurements polygons were designed on the foot and cycle ways. An important part of the measurement was to create a synchronized video recording which allows the identification of the traffic on the bridge at the time of measurement. The video record allows us to identify possible influence of the traffic on the measured record. The synchronization was ensured by setting the same time on a tablet near the used camera and on the cRIO device. We found during tests that the time deviation was no more than 0.2 s. This time presents inaccuracy in location of a moving car maximally ±5 m. The last complication was to spread out the cables from the concrete deck to the foot ways. When all cables were spread according to [5] and our accelerometers placed, the measurement started. During the measurement the temperature reached 29°C when the sun was shining. On the other hand the temperature was lower at shadow places (approximately 25°C). Finally 15 records of 60 seconds’ length were recorded. 5 CONCLUSIONS During the initial measurement of the two longest spans it was found that the location and the number of accelerometers (28) was sufficient. There are some other conclusions:  The measurement system is suitably designed for such a complex bridge structure as the Port Bridge.  The measurement range of the used accelerometers is adequate for this construction.  The Wi-Fi antennas reliably connected the two main cRIO devices without blackouts.  The synchronization of the video record and the measurement data was satisfactory and the records can be used for the identification of loads. As a result the measurement can be repeated and the measurement system improved in the future. ACKNOWLEDGEMENT This paper has been supported by the Slovak Research and Development Agency (SRDA) – grant from research programme APVV No. 0236-12. REFERENCES [1] AHLBORN, Theresa M. et al. The State-of-the-Practice of Modern Structural Health Monitoring for Bridges: A Comprehensive Review, Michigan: Michigan TECH, June 2010. [2] National Instruments (Austin, Texas). NI LabVIEW for CompactRIO Developer’s Guide. [s.l] 2013. [3] PAULÍK, P. Bridges in Slovakia. Bratislava: Jaga, 2014. ISBN 978-80-8076-111-0. [4] WENZEL, H. a D. PICHLER. Ambient vibration monitoring. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2005. ISBN 04-700-2430-5. [5] WILSON, Jon S. Sensor Technology Handbook. Burlington: Newnes, 2005. ISBN 9780750677295. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS POST-TENSIONED COMPOSITE BRIDGE: RELIABILITYBASED OPTIMIZATION OF SELECTED DESIGN PARAMETERS O. Slowik1, D. Lehký2, M. Šomodíková3, and D. Novák4 Abstract In the paper small-sample double-loop optimization method is employed to find selected design parameters of a single-span post-tensioned composite bridge to ensure its reliability and load-bearing capacity. The selected approach consists in nesting the computation of the failure probability with respect to the current design within the optimization loop. The analyzed bridge is made of precast post-tensioned concrete girders, each composed of six segments that are connected by the transverse joints. Bridge spatial deterioration brings uncertainty into actual values of concrete strength in transversal joints and of actual loss of pre-stressing. Due to their significant effect on the bridge load-bearing capacity, both were considered as uncertain design parameters with the aim to find their critical values corresponding to desired reliability level and load-bearing capacity. Key Words Reliability based optimization; double-loop method; small-sample simulation; failure probability; reliability index; load-bearing capacity. 1 INTRODUCTION Reliability and load-bearing capacity analyses based on small-sample simulation techniques of Monte Carlo type in combination with nonlinear finite element method analyses represent effective tools for the reliability and life time assessment of existing bridges. The aim of classical (forward) reliability analysis is the estimation of unreliability using a probability measure called the theoretical failure probability, defined as: pf  P  Z  0  , (1) where Z = g(X) is a function of basic random variables X = X1, X2, …, XN called safety margin. The failure probability is calculated as a probabilistic integral: pf   f  X  dX, X (2) Df Ing. Ondřej Slowik, Brno University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Veveří 331/95, 602 00 Brno, +420731124250, slowik.o@fce.vutbr.cz 2 Ing. David Lehký, Ph.D., Brno University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Veveří 331/95, 602 00 Brno, +420541147363, lehky.d@fce.vutbr.cz 3 Ing. Martina Šomodíková, Brno University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Veveří 331/95, 602 00 Brno, +420541147131, somodikova.m@fce.vutbr.cz 4 prof. Ing. Drahomír Novák, DrSc., Brno University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Veveří 331/95, 602 00 Brno, +420541147360, novak.d@fce.vutbr.cz 1 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava where the domain of integration of the joint probability distribution function (PDF) above is limited to the failure domain Df where g(X) ≤ 0. The function g(X), a computational model, is a function of random vector X (and also of other, deterministic quantities). Random vector X follows a joint PDF fX(X) and, in general, its marginal random variables can be statistically correlated. The explicit calculation of integral in (2) is generally impossible. Therefore, a large number of efficient stochastic analysis methods have been developed during the last decades. The design of structure or its part to achieve the required reliability and durability is a typical example of the inverse problem. The aim is to find input design parameters (deterministic or associated with random variables) d  X which yield to the corresponding structural safety described by probability measures – failure probability pf or reliability index β related to different limit states, d  f 1  pf , β  . (3) Analytical solution of the inverse problem is usually possible only when using deterministic analysis and even just in simple cases. In other cases, often a trial-and-error procedure is carried out when an estimation of design parameters is performed (mostly based on empirical relationships and/or recommendations) and then the reliability of the system is assessed. Once we come to fully probabilistic analysis of structure an analytical solution or utilization of trial-and-error procedure is time-consuming and inefficient, or even impossible. Here, it seems necessary to use some advanced methods as it is described in the following section. 2 SMALL-SAMPLE DOUBLE-LOOP RELIABILITY BASED OPTIMIZATION One possibility how to find design parameters is to treat such inverse task as optimization problem, which is formulated as: find  d min  f d  subject to : pf g d, X   0  p0 (4) ldu with pf the probability of constraint satisfaction. The limit state g = 0 separates the region of failure (g ≤ 0) and safe region (g > 0) and it is a function of the design variables d (and l and u are lower and upper bounds) and the uncertain variables X. p0 is the reliability level or performance requirement. The above inequality can be expressed by a failure probability multidimensional integral with the joint probability density function of probabilistic variables X. Formulation based on reliability index instead of failure probability is popular especially in the context of FORM approximation. The so called double-loop approach has been chosen for solution of further described numerical example. This approach splits calculations into two separate loops: A) The outer loop represents the optimization part of the process. The simulation within the design space is performed in this cycle. For obtained design vectors of n-dimensional space di(d1, d2, …, dn) objective function values are calculated. The best realization is then selected based on these values. Consequently the best realization of random vector di,best is compared with optimization constraints. These constraints may be formulated by any deterministic function which functional value could be compared with a defined interval of allowed values. Constraints are also possible to formulate as allowed interval of reliability index β for any limit state function within design space of given problem. Calculations of reliability index of each generated random vectors di takes place in the inner loop. Objective function itself may have a functional value in the form of reliability index. B) The inner loop is used to calculate reliability index (in presented example Cornell´s index) either for the need of checking of generated solutions, if they satisfy constraints, or to calculate the actual value of the objective function, if the target reliability index is set as goal of optimization process. Due to computational demands of nonlinear finite element analysis utilized to calculate structural response for each simulation in both loops it is necessary to employ effective simulation and optimization techniques in order to gain the best possible solution with low number of preformed simulations. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Simulation technique: For time-intensive calculations, small-sample simulation techniques based on stratified sampling of the Monte Carlo type represent a rational compromise between feasibility and accuracy. Therefore, Latin Hypercube Sampling (LHS) method [1, 2], has been selected as a key fundamental sampling technique. Optimization technique: One of the simplest heuristic optimization method is to perform Monte Carlo type simulation within a design space and select the best realization of random vector (with regard to optimization criteria). Such a procedure clearly does not converge toward function optimum and the quality of solution depends on the number of simulations. The exact location of the optimum using only simple simulation is highly improbable. Scatter of the results of such optimization is in the case of small sample analysis very high and strongly dependent on number of simulations. This approach, however, is very simple requiring no knowledge of features of the objective function and from the engineering point of view it is transparent and relatively easy to apply. Its basic idea is to sort the course of the simulation into several levels. An advanced LHS sampling within a defined space will be performed at each level. Subsequently, the sample with the best properties with respect to the definition of the optimization problem will be selected. Design vector di,best (d1, d2,..., dn) corresponding to the best in the i-th level generated sample is determined as a vector of mean values of random variables for simulation within the next level of algorithm called Aimed Multilevel Sampling (AMS). Subsequently, the sampling space is scaled down around the best sample. Another LHS simulation is then performed in this reduced space. This leads to more detailed search in the area around the samples with the best properties with respect to the extreme of the function. As an example, Fig. 1 shows process of AMS method during optimization of Ackley´s function in 2D. Figure 1. Process of AMS method during optimization of Ackley´s function in 2D (axonometric view) 3 POST-TENSIONED COMPOSITE BRIDGE A single-span post-tensioned composite bridge, crossing a single-track railway on the main road, is situated near the village Uherský Ostroh in the Czech Republic. Based on the diagnostic survey from 2007, the bridge is made of twelve precast post-tensioned concrete MPD3 (outer) and MPD4 (intermediate) type girders, which were used from 1955 for construction of slab bridges up to a clear span of 18 m. Each of MPD girders was composed of six segments that are connected to each other by the transverse joints. See the bridge composition in Fig. 2. Numerical model of the bridge was created in ATENA software [3]. For concrete “3D NonLinear Cementitious 2” material model was used. Pre-stressing tendons and shear reinforcement were modelled as discrete and smeared reinforcement, respectively, by means of bilinear stress-strain diagram with hardening. The following load cases were modelled: dead load of the structure, longitudinal pre-stressing, secondary dead load and traffic load for the assessment of normal load-bearing capacity. Loading scheme related normal loading class consists of a three-axle vehicle in every traffic line and a continuous load over the bridge width. For details 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava see [4]. A computational model of the bridge including the loading scheme described above is figured in Fig. 3. For an explanation a load caused by front axle of the three-axle vehicle is replaced by the equivalent value of continuous load in particular traffic line. Figure 2. A view, longitudinal and transversal sections of analyzed bridge Figure 3. A computational model of the bridge, including the traffic load related normal loading class For stochastic modeling, material properties of concrete were randomized. Stochastic parameters of random input variables were defined using FReET software according to recommendations of JCSS [5] and TP 224 [6] and these were updated based on the material parameters testing according to diagnostic survey. Definitions of random input variables are summarized in Tab. 1. Alongside concrete material parameters, the dead load of the structure and the weight of road layers were randomized, see concrete mass density and secondary dead load, respectively, in Tab. 1. Values of pre-stressing forces were defined by their mean values with respect to shortterm as well as long-term losses of initial tension according to ČSN EN 1992-1-1 [7]. Considering their substantial effect on global level of load bearing capacity at the serviceability limit states, applied stochastic model was also defined fully in agreement with JCSS recommendations. Finally, traffic load was defined as deterministic. Statistical correlation between material parameters of concrete of segments and transverse joints and pre-stressing tendons was also considered and imposed using a simulated annealing approach [8]. Correlation matrices (see Fig. 4) were defined with respect to formerly performed tests and recommendations of JCSS. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Table 1. Definition of input random variables Variable Concrete of segments: Elastic modulus Tensile strength Compressive strength Specific fracture energy Mass density Concrete of transverse joints: Elastic modulus Tensile strength Compressive strength Specific fracture energy Mass density Pre-stressing tendons: Elastic modulus Yield strength Ultimate strength Pre-stressing force 1 Pre-stressing force 2 Pre-stressing force 3 and 4 Other: Secondary dead load Traffic load Symbol Unit PDF Mean value CoV Ec,s ft,s fc,s Gf,s ρs [GPa] [MPa] [MPa] [N/m] [kN/m3] Lognormal (2-par.) Weibull min (2-par.) Lognormal (2-par.) Weibull min (2-par.) Normal 37.20 3.301 43.35 82.51 23.80 0.10 0.15 0.08 0.15 0.04 Ec,j ft,j fc,j Gf,j ρj [GPa] [MPa] [MPa] [N/m] [kN/m3] Lognormal (2-par.) Weibull min (2-par.) Triangular Weibull min (2-par.) Normal 26.81 1.913 19.13 47.82 23.80 0.15 0.35 0.23 0.25 0.04 Ep fy,p fu,p P1 P2 P3, P4 [GPa] [MPa] [MPa] [MN] [MN] [MN] Normal Normal Normal Normal Normal Normal 190.0 1248 1716 14.20 10.05 3.449 0.03 0.03 0.03 0.09 0.09 0.09 g1 Vn [kN/m] [t] Normal Deterministic 65.55 Vn 0.05 - Ec ft fc Gf ρ Ec 1 0 0.3 0 0 ft 0 1 0.4 0.8 0 fc 0.3 0.4 1 0 0 Gf 0 0.8 0 1 0 (a) Concrete of segments and transverse joints fy,p fu,p Ep P1–P4 fy,p fu,p Ep 1 0.9 0.5 0.9 1 0.5 1 0 1 0 0 0 (b) Pre-stressing tendons P1–P4 0 0 0 1 Figure 4. Correlation matrices of material parameters Bridge diagnostic survey in situ confirmed spatial deterioration, which brings uncertainty into actual values of concrete strength in transversal joints and of actual loss of pre-stressing. Due to their significant effect on the bridge load-bearing capacity, both were considered as uncertain design parameters with the aim to find their critical values corresponding to desired reliability level and load-bearing capacity. Both quantities are considered as random variables. Subject of identification were their mean values; coefficients of variation remained fixed corresponding to diagnostic survey. 4 RESULTS AND CONCLUSIONS Identification of two selected design parameters – mean values of concrete tensile strength ft in transversal joints and of mean value of loss of pre-stressing P – was performed for two limit states – serviceability limit state of decompression (SLSD) and serviceability limit state of crack initiation (SLSC). Target reliability indices were considered as β1 = 0 for SLSD, and β2 = 1.3 for SLSC, respectively. According to diagnostic survey and needs of bridge administrator desired load-bearing capacity related normal loading class was considered as 25 tons. Reliability based optimization was performed using AMS algorithm with 6 levels and 5 simulations at each level. For each of these 30 simulations additional 32 simulations within inner (reliability) loop were performed. The total number of simulations for both loops was 960. Identified design parameters along with corresponding β indices are presented in Tab. 2. Evolution of values of β during optimization is captured in Fig. 5. From results we can conclude that the required mean value of concrete tensile strength in transversal joints is slightly smaller then the value obtained from diagnostic survey (1.913 MPa) and therefore on the safe side for 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava normal load bearing capacity Vn = 25 t. On the other hand, requirement for loss of pre-stressing is slightly stricter compared to considered design value estimated according to code specifications (17 %). To achieve better accuracy is necessary to perform more simulation in optimization loop. Table 2. Design parameters and reliability indices β obtained by double-loop optimization approach mean(P) [%] 5.892 mean(ft) [MPa] 1.8 β1 β2 β1,target β2,target 0 1.22195 0 1.3 Figure 5. Evolution of values of reliability indices during optimization ACKNOWLEDGEMENT This paper has been worked out under the project No. LO1408 "AdMaS UP - Advanced Materials, Structures and Technologies", supported by Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic under the „National Sustainability Programme I". REFERENCES [1] Conover, W.J. (2002) On a Better Method for Selecting Input Variables. Unpublished Los Alamos National Laboratories manuscript, reproduced as Appendix A of Latin Hypercube Sampling and the Propagation of Uncertainty in Analyses of Complex Systems by J.C. Helton and F.J. Davis, Sandia National Laboratories report SAND2001-0417, 1975, Printed November. [2] Novák, D., Teplý, B. and Keršner, Z. (1998) The Role of Latin Hypercube Sampling Method in Reliability Engineering. In: Proc. of ICOSSAR–97, Kyoto, Japan, 403–409. [3] Červenka, V. - Jendele, L. - Červenka, J.: ATENA Program Documentation – Part 1: Theory. Prague: Cervenka Consulting, 2012. http://www.cervenka.cz/assets/files/atena-pdf/ATENA_Theory.pdf [4] Czech office for standards, metrology and testing: ČSN 73 6222: Load bearing capacity of road bridges. Prague, 2013. (in Czech) [5] Joint Committee on Structural Safety: Probabilistic http://www.jcss.byg.dtu.dk/Publications/Probabilistic_Model_Code.aspx [6] Ministry of Transport, Department for Road Infrastructure: TP 224: Ověřování existujících betonových mostů pozemních komunikací. Prague, 2010. (in Czech) [7] Czech Standards Institute: ČSN EN 1992-2 Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 2: Concrete bridges – Design and detailing rules. Prague, 2007. (in Czech) [8] Vořechovský, M. - Novák, D.: Correlation control in small-sample Monte Carlo type simulations I: A simulated annealing approach. Probabilistic Engineering Mechanics. 2009, Vol. 24, No. 3, p. 452–462. Model Code [online]. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS MIKROSTRUKTURA NEPÁLENÉ HLÍNY A JEJÍ SMRŠTĚNÍ PŘI VYSYCHÁNÍ T. Otcovská1 a P. Padevět2 Abstract Unburned clay was used for the traditional engineering works for thousands years. Its qualities have not been too appreciated in the last few decades. Because of that, its material characteristics were never researched very rigorously. In last years, we could see increasing demand for use of this building material in building practice and research. The basic problem that should be mitigated by civil engineers handling unburned clay is its considerable shrinkage during drying. The degree of shrinkage depends on the amount of mixture water and on the amount and type of clay minerals. In the unburned clay, like in the cement, clay minerals play role of the binder. The problem is that clay minerals are causing volume changes. This paper is focused on the degree of shrinkage and its dependence on the species and quantity of clay mineral. Klíčová slova Smrštění; mikrostruktura; jílový minerál; bobtnání, hliněné stavitelství 1 ÚVOD Tento článek je zaměřen na experimentální stanovení míry smrštění nepálené hlíny pří vysychání. Úvod tohoto textu bych však ráda věnovala shrnutí důvodů, proč se hliněným stavebním materiálem zabývat v době, kdy by se mnohým mohl zdát překonaný materiály moderními. Důvodů je několik a budou přiblíženy v následujících odstavcích. Prvním je soulad hliněného stavitelství s principy udržitelné výstavby. Trvale udržitelnou výstavbu lze obecně shrnout jako principy, které vedou k minimalizaci vlivu stavební činnosti na životní prostředí. V našich podmínkách se jedná především o omezení energetické náročnosti staveb. Dosavadní hodnocení domů je spojeno zejména s nároky na spotřebu energií při provozu stavby. To je ale pouze část energie, ve které není zahrnuta energie spojená s výrobou, dopravou, uložením materiálu do konstrukce a s případnou demolicí, recyklací či skládkováním. Vliv těchto nároků na energii je zahrnut v takzvaných svázaných parametrech. Snahou o aplikaci materiálů šetrných k životnímu prostředí je právě využití hlíny v moderních stavebních konstrukcích. Obecně se tyto snahy týkají především využití přírodních materiálů s minimální energetickou náročností na jejich zpracování, použití obnovitelných stavebních materiálů a využití materiálů s minimální kontaminací nepřírodními látkami. Takové materiály efektivně snižují negativní dopad na životní prostředí a zvyšují možnost recyklace [1, 2]. Druhým důvodem je vliv nepálené hlíny v konstrukcích na lidské zdraví. Veliká výhoda nepálené hlíny je v tom, že velice dobře a rychle reguluje vlhkost vzduchu v interiéru a tím udržuje vlhkost vzduchu na úrovni, která je 1 Ing. Tereza Otcovská, Katedra mechaniky, Fakulta stavební ČVUT v Praze, Thakurova 7, 166 29 Praha 6, Česká republika, tel. 224 354 495, tereza.otcovska@fsv.cvut.cz 2 Ing. Pavel Padevět, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta stavební ČVUT v Praze, Thakurova 7, 166 29 Praha 6, Česká republika, tel. 224 354 484, pavel.padevet@fsv.cvut.cz 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava příznivá pro lidské zdraví. Relativní vlhkost vzduch menší než 40 % má za následek vysychání sliznice a zvyšuje tak náchylnost k nachlazení. Pokud je v důsledku suchého vzduchu sliznice průdušnic vyschlá, tvoří se na jejím povrchu krusty a sliznice ztrácí svou čisticí schopnost. Vysoká vlhkost vzduchu má pozitivní vliv na komfort vnitřního klimatu, pokud je ale vysoká příliš (vlhkost vyšší než 70 %), je vnímána jako nepříjemná. Při pohybu ve vlhkém a studeném prostředí dokonce dochází ke zhoršení revmatických potíží [3, 4]. Třetím důvodem je potřeba rekonstrukcí historických hliněných staveb. Hliněné stavby tvoří v České republice výraznou část historické zástavby. V největším zastoupení se objevují na střední a jižní Moravě (podunajský hliněný dům), ale ani v Čechách nejsou tyto stavby výjimkou, zejména v podobě venkovských stavení a chalup. Přestože hliněné stavby představují podstatnou část tradiční výstavby, neexistuje předpis zaměřený na jejich sanaci, který by konkrétně udával, jakým způsobem při sanaci postupovat, a chybí také dostatek informací o samotném materiálu [5, 6]. 2 MIKROSTRUKTURA A SMRŠTĚNÍ PŘI VYSYCHÁNÍ Jedním ze specifik hlíny jako stavebního materiálu je její smrštění při vysychání, kterým se zabývá tento příspěvek. Smrštění je v případě hliněných konstrukcí zásadní charakteristikou, protože může být velice výrazné, a je třeba dobře zdokumentovat závislost smrštění na složení a způsobu zpracování hliněné směsi. Ke smrštění při vysychání dochází v určité míře vždy, což je dáno složením hlíny a přítomností vody. Voda je v hliněné směsi nutná vždy kvůli zpracovatelnosti. Hlína vhodná pro stavební konstrukce se skládá ze tří základních komponent, kterými jsou písek (velikost zrn 0,06-2 mm), prachové částice (velikost zrn 0,002-0,06 mm) a jíly (velikost zrn do 0,002 mm). Jíly jsou z velké části tvořeny jílovými minerály, které plní funkci pojiva podobně jako cement v betonu. A právě jílové minerály jsou společně s vodou zodpovědné za smrštění [4]. Jílové minerály mají vrstevnatou krystalickou mřížku a základními stavebními jednotkami jednotlivých vrstev mřížky jsou nejčastěji křemíkové tetraedry a hliníkové oktaedry. Vrstevnaté mřížky jílových minerálů vytváří opakující se seskupení tetraedrických a oktaedrických vrstev. Podle počtu těchto vrstev v elementárním souvrství rozlišujeme jedno-, dvou-, troj- a vícevrstvé minerály. Podle stavby mřížky rozlišujeme tři hlavní skupiny jílových minerálů: kaolinity, illity a montmorillonity (Obr. 1) [4, 7]. Obr. 1. Uspořádání jílových minerálů [4]. Míra smrštění při vysychání závisí na množství záměsové vody a na množství a druhu jílových minerálů. Obecně platí předpoklad, že čím vyšší je množství vody i jílových minerálů, tím vyšší bude hliněná směs vykazovat míru smrštění. Dále platí, že nejmenší míru bobtnavosti/smrštění vykazují kaolinitické minerály, větší mírou smrštění se vyznačují illitické minerály a největší montmorillonitické [3, 4]. 3 POPIS PROVEDENÉHO EXPERIMENTÁLNÍHO MĚŘENÍ Cílem popisovaného experimentálního měření bylo stanovit trendy v chování délkových změn hliněného materiálu v závislosti na množství jílu a na množství záměsové vody. Důležitou součástí provedených prací bylo stanovit, jaké množství jílu ve směsi a jaké množství záměsové vody je optimální pro dusané hliněné konstrukce. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Hliněná směs byla vytvořena smícháním dvou frakcí písku a jílu. Byla použita frakce písku o velikosti zrn do 1 mm (40 %) a frakce velikosti zrn do 2 mm (60 %). Jíl byl použit illiticko-kaolinitický (jíl poskytnutý firmou LB MINERALS, s.r.o.). Celkem bylo vytvořeno 5 zkušebních směsí, z nichž 3 se navzájem lišily poměrem písku a jílu a 3 množstvím použité záměsové vody (viz Tab. 1). Pro každou směs bylo vytvořeno 6 zkušebních těles velikosti 4x4x16 cm (Obr. 2.). Obr. 2. Hliněné zkušební těleso Označení směsí SI SII SIII SIV SV Jíl illiticko-kaolinitický illiticko-kaolinitický illiticko-kaolinitický illiticko-kaolinitický illiticko-kaolinitický Poměr písku a jílu [-] 75/25 80/20 85/15 75/25 75/25 Poměr záměsové vody a jílu [-] 0,37 0,37 0,37 0,295 0,335 Počet zkušebních těles [ks] 6 6 6 6 6 Tab.1. Testované hliněné směsi Zkušební tělesa byla vytvořena technologií dusání do ocelových forem daných rozměrů. Tělesa byla odformována nejdříve 24 hodin po vytvoření. Následně byla tělesa sady SI, SII a SIV ponechána při pokojové teplotě a běžné relativní vzdušné vlhkosti až do úplného vysušení. Zkušební tělesa sady SIII a SV byla sušena z časových důvodů v laboratorní sušárně Memmert. Změna velikosti zkušebních těles v čase byla průběžně měřena pomocí digitálního posuvného měřidla. 4 Získaná data a jejich vyhodnocení Získaná data potvrdila, že se zvyšujícím se množstvím jílu a záměsové vody roste míra smrštění při vysychání. Pro vyhodnocení vlivu zvětšujícího se podílu jílu ve směsi, byla použita 3 zkušební tělesa. Tato tělesa byla označena SI, SII a SIII. Sada vzorků SI s obsahem jílu v suché směsi 25 % vykazovala smrštění při vysychání 0,64 % (tj. 64 mm na 1 metr délky dusané stěny). V případě zkušebních těles sady SII s obsahem jílu 20 % v suché směsi bylo zjištěno smrštění pouze o 0,03 % (tj. 3 mm na 1 metr délky dusané stěny). Zkušební tělesa sady SIII s obsahem jílu v suché směsi 15% neodpovídají trendu pozorovanému v předchozích dvou případech, protože smrštění těles bylo 0,08 %, tedy více než u sady SII (20 % jílu ve směsi). Tato skutečnost je pravděpodobně způsobena nepřesností měření, protože tělesa sady SIII vykazovala vysokou míru drolivosti a bylo obtížné udržet povrch vzorků bez zrnek písku. Data pro vyhodnocení míry smrštění jsou uvedena v tabulce 2. Označení Poměr písku směsí a jílu [-] SI 75/25 SII 80/20 SIII 85/15 Poměr záměsové vody a jílu [-] 0,37 0,37 0,37 Počáteční délka [cm] 160,72 160,57 160,55 Konečná délka Míra smrštění [cm] [%] 159,69 0,64 160,53 0,03 160,67 0,08 Tab.2. Naměřené hodnoty délkových změn v závislosti na množství použitého jílu Pro vyhodnocení vlivu zvětšujícího se podílu záměsové vody na smrštění byla použita zkušební tělesa sady SI, SIV a SV. Všechny tyto sady obsahují stejné množství jílu a liší se pouze množstvím záměsové vody. Protože 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava jílové minerály mají schopnost vázat vodu, množství záměsové vody je vztaženo k množství použitého jílu. Jinými slovy je množství vody uvedeno jako poměr vody a jílu ve směsi a vzhledem k tomu, že se jedná o poměr vody a pojiva, lze tuto hodnotu nazývat vodním součinitelem. Provedenými experimenty bylo ověřeno, že se zvyšujícím se množstvím záměsové vody roste míra smrštění. Největší vodní součinitel byl použit u sady těles SI a to 0,37. Míra smrštění u těchto těles byla 0,64 %. V případě sady SV byl použit vodní součinitel 0,335 a míra smrštění při vysychání byla zjištěna 0,54 %. Nejmenší vodní součinitel 0,295 byl použit u těles sady SIV, která vykazovala smrštění 0,24 %. Výše popsané je shrnuto v tabulce 3. Označení Poměr písku směsí a jílu [-] SI 75/25 SV 75/25 SIV 75/25 Poměr záměsové vody a jílu [-] 0,37 0,335 0,295 Počáteční délka [cm] 160,72 160,65 160,79 Konečná délka Míra smrštění [cm] [%] 159,69 0,64 159,77 0,54 160,41 0,24 Tab.3. Naměřené hodnoty délkových změn v závislosti na množství záměsové vody 5 ZÁVĚR Provedené experimenty potvrdily předpoklad, že míra smrštění při vysychání odpovídá množství použitého jílu a množství záměsové vody. Jako optimální poměr písku a illiticko-kaolinitického jílu se ukázel poměr 80/20 a optimální poměr jílu a záměsové vody ("vodní součinitel") se zdá být 0,295. Tyto závěry se však týkají pouze míry smrštění. Získané výsledky je v rámci následujícího výzkumu nutné konfrontovat s výsledky týkajícími se závislosti složení na mechanických vlastnostech materiálu. Je pravděpodobné, že nejlepší mechanické vlastnosti budou vykazovat hliněné směsi s nejvyšším obsahem jílu, a bude nutné stanovit optimální složení jak z hlediska mechanických vlastností, tak z hlediska míry smrštění. Autoři článku se tématu mechanických vlastnosti nepálené hlíny budou věnovat v následujícím období. PODĚKOVÁNÍ Výsledky práce byly dosaženy za přispění programu grantu SGS14/122/OHK1/2T/11. Poděkování dále patří firmě LB MINERALS, s.r.o. za nezištné poskytnutí materiálu k experimentálnímu měření. LITERATURA [1] Agenda 21 pro udržitelnou výstavbu. Praha: ČVUT. 2001. CIB Report Publication 237. [2] Růžička, J.: Building structures in environmental context, mechanical physical properties of unburned bricks by impact of humidity. Brno: Vysoké učení technické v Brně, 2005. ISBN 80-214-3040-0. [3] Minke, G.: Building With Earth [online]. 2006 [vid. 18. srpen 2015]. ISBN 978-3-0346-0822-0. Dostupné z: http://archive.org/details/Gernot_Minke-Building_With_Earth [4] Žabičková, I.: Hliněné stavby [online]. Brno: Era 21, 2002 [vid. 18. srpen 2015]. ISBN 80-86517-21-7. Dostupné z: http://www.kosmas.cz/knihy/107760/hlinene-stavby/ [5] Hájek, V.: Lidová stavení: opravy a úpravy. 1. vyd. Praha: Grada, 2001. Stavitel. ISBN 80-247-9054-8. [6] Kovářů, V.: Hliněný dům, problematika jeho památkové obnovy a využití. Zděná architektura v Čechách, na Moravě a ve Slezsku. 2004, s. 31 – 33. [7] Weiss, Z.: Jílové minerály : jejich nanostruktura a využití. Vyd. 1. B.m.: Karolinum, 2005. ISBN 80-2460868-5. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NÁVRH KONŠTRUKČNÉHO SYSTÉMU VÝŠKOVEJ OBYTNEJ BUDOVY NA ZÁKLADE JEJ STATICKEJ A DYNAMICKEJ ANALÝZY Dávid Méri 1 a Oľga Ivánková 2 Abstract The subject of this article is static and dynamic analysis of a tall residential building. The static part is focused on the analysis of the structure due to horizontal forces from the effect of wind and vertical forces of it`s own weight of the structure and other vertical loads. Dynamic analysis represents the behavior of the structure during seismic situation and dynamic characteristics of the structure. Kľúčové slová Statická analýza; dynamická analýza; zaťaženie vetrom; seizmicita; deformácie; koeficienty ložnosti podložia. 1 ÚVOD Článok sa zaoberá statickou a dynamickou analýzou výškovej obytnej budovy. Statická analýza je zameraná na vplyv vodorovného zaťaženia od vetra, dynamická analýza na seizmické zaťaženie. Pre staticko-dynamickú analýzu boli navrhnuté dva konštrukčné systémy výškovej budovy. Jedným z dôležitých výsledkov tejto analýzy sú horizontálne premiestnenia najvyššieho stropu budovy. Výsledné deformácie musia vyhovovať medznému stavu používateľnosti. Z výsledkov staticko-dynamickej analýzy vieme posúdiť vhodnosť a ekonomickosť navrhnutých modelov nosného systému pri uvážení najnepriaznivejšej kombinácii zaťažení podľa EC. 2 MODELY VÝŠKOVEJ BUDOVY Pre staticko-dynamickú analýzu boli vytvorené dva modely výškovej budovy, ktoré sa líšili nosným systémom. Ako prvý bol zvolený stenový monolitický železobetónový systém v alternatíve so skeletovým systémom so stužujúcim jadrom. Budova je vysoká 45m, má 15 nadzemných podlaží, s konštrukčnou výškou 3,0m. Pôdorysný tvar budovy je mnohouholník, kde vyčnievajúce časti tvoria balkónové konštrukcie. Zvislé nosné konštrukcie sú zo železobetónu triedy betónu C40/50, steny stužujúceho jadra majú hrúbku 250mm ako aj obvodové steny, stĺpy sú navrhnuté rozmerov 500x500mm. Stropné dosky sú tiež železobetónové, triedy betónu C35/45, hrúbky 180mm. Z kombinácie nosných systémov a rôznych hodnôt koeficientov ložnosti dostali sme 8 modelov pre staticko-dynamickú analýzu. Vytvorené modely boli riešené priestorovým variantom MKP v programe Scia Engineer. 1 Ing. Dávid Méri, Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, STU Bratislava, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, mail: david.meri@stuba.sk 2 doc. Ing. Oľga Ivánková, PhD., Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, STU Bratislava, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, mail: olga.ivankova@stuba.sk th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 1. Modely jednotlivých nosných systémov (stenový a skeletový) 3 STATICKÁ ANALÝZA Modely pre statickú analýzu boli zaťažené zaťažovacími stavmi, ktoré boli tvorené z vlastnej tiaže konštrukcie, ostatných stálych zaťažení, premenného zaťaženia a to: zaťaženia snehom, zaťaženia vetrom a úžitkovým zaťažením. Kombináciou týchto zaťažení podľa EC sme dostali návrhové situácie pre medzný stav používateľnosti. 40 35 30 (+)X 25 (‐)X 20 (+)Y 15 (‐)Y 10 5 0 Koeficient 30 tuhosti 23,211 MN/m3 14 12 25 (+)X 20 15 10 5 10 8 (+)X (‐)X (+)Y 6 (+)Y (‐)Y 4 2 (‐)Y (‐)X 0 Koeficient 0 Koeficient tuhosti 46,422 tuhosti 250 MN/m3 MN/m3 Obr. 2. Grafy premiestnení zo statickej analýzy pre stenový systém s rôznymi hodnotami koeficientu ložnosti podložia Výsledky statickej analýzy od najnepriaznivejších kombinácií zaťažení boli spracované v grafoch na Obr. 2. Ako je vidno z grafov, pri stenových systémoch nevyhovuje len prvý variant s najmenšou hodnotou koeficientu ložnosti podložia. Tento jav sa nám prejaví pri začatí výstavby, kedy základová škára je odľahčená. So zvyšujúcim zvislým zaťažením v procese výstavby sa zvyšuje aj tuhosť podložia (podložie sa spevňuje). Výsledky pružného podložia boli porovnané aj s tuhým podložím. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 70 100 60 80 (+)X 50 (+)X 60 (‐)X 40 (‐)X (+)Y 30 (+)Y (‐)Y 20 (‐)Y 40 20 10 0 0 Koeficient tuhosti 8,539 MN/m3 Koeficient tuhosti 23,211 MN/m3 40 60 35 50 (+)X 40 (‐)X 30 (+)Y 20 (‐)Y 10 30 (+)X 25 (‐)X 20 (+)Y 15 (‐)Y 10 5 0 0 Koeficient tuhosti 46,422 Koeficient MN/m3 tuhosti 250 MN/m3 Obr. 3. Grafy premiestnení zo statickej analýzy pre skeletové systémy s rôznymi hodnotami koeficientu ložnosti podložia Skeletový systém je oveľa citlivejší na pretvorenie konštrukcie. Na limitné hodnoty vyhovoval model iba pri uvážení votknutia konštrukcie do podložia (tuhé podložie). Pri ostatných hodnotách koeficientu ložnosti podložia hodnoty horizontálnych premiestnení boli nadlimitné. Táto skutočnosť nás nútila zvýšiť tuhosť celej budovy, napr. zväčšiť hrúbku stužujúcich stien alebo pridať ďalšie steny. Pridaním ďalších stužujúcich stien sme sa dostali k návrhovej situácii, ktorá je totožná s 1. variantom - stenovým systémom. 4 DYNAMICKÁ ANALÝZA V dynamickej analýze pri kombinácii statického a dynamického zaťaženia (vplyvu seizmicity) boli opäť porovnané hodnoty maximálnych deformácií. Pri výpočte sme použili metódu spektier odozvy. Referenčné špičkové zrýchlenie sme určili z mapy seizmického rizika Slovenskej republiky, agr=0,63m/s2. Podložie bolo zatriedené do kategórie typu B, spektrum odozvy sme zvolili typu 1. Dynamický modul pružnosti môžeme uvažovať 2,5 – 4,0 násobkom statického modulu pružnosti. Z tohto dôvodu sme zvýšili hodnotu koeficientu ložnosti na trojnásobok zo statického výpočtu. 25 20 15 ux (mm) uy (mm) uz (mm) 10 5 0 25,617 MN/m3 69,633 MN/m3 139,266 MN/m3 250 MN/m3 Obr. 4. Graf celkových premiestnení v závislosti od tuhosti podložia th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Na seizmické zaťaženie bol posúdený len stenový systém, kombinácie boli vytvorené na medzný stav používateľnosti v zmysle normy STN EN 1998. Skúmané boli štyri modely s rôznymi hodnotami tuhosti podložia, výsledné deformácie sú znázornené v grafoch na Obr. 4. 5 ZÁVER Výsledky staticko-dynamickej analýzy poukázali na vhodnosť voľby stenového systému pre danú obytnú budovu. Nosná konštrukcia vyhovuje limitným hodnotám deformácií po uplynutí primárneho sadania. POĎAKOVANIE Projekt bol realizovaný za finančnej podpory zo štátnych prostriedkov prostredníctvom Grantovej agentúry SR. Registračné čísla projektu: 1/0544/15. LITERATÚRA [1] JENDŽELOVSKÝ N.: Modelovanie základových konštrukcií v MKP, Bratislava STU 2013 [2] SOKOL M. – TVRDÁ K.: Dynamika stavebných konštrukcií, Bratislava STU 2011 [3] HARVAN, I.: Betónové konštrukcie. Vysoké budovy. Navrhovanie podľa spoločných európskych noriem; Bratislava, STU 2011 [4] TURČEK P. – SLÁVIK I.: Zakladanie stavieb; Bratislava STU 2002 [5] BILČÍK, J. – HALVONÍK, J. – FILLO, Ľ. – BENKO, V.: Betónové konštrukcie, Betoning 2005 [6] HARVAN, I.: Železobetónové nosné sústavy. Navrhovanie podľa európskych noriem; Bratislava 2009 [7] STN EN 1990: Zásady navrhovania konštrukcií, Bratislava, SÚTN 2009 [8] STN EN 1991-1-3: Eurokód 1: Zaťaženia konštrukcií; Časť 1-3: Všeobecné zaťaženia, zaťaženie snehom, Bratislava, STÚN 2007 [9] STN EN 1991-1-4: Eurokód 1: Zaťaženia konštrukcií; Časť 1-4: Všeobecné zaťaženia, zaťaženie vetrom, Bratislava, STÚN 2009 [10] STN EN 1992-1-1: Navrhovanie betónových konštrukcií. Všeobecné pravidlá a pravidlá pre budovy; Bratislava, SÚTN 2006 [11] STN EN 1997-1: Navrhovanie geotechnických konštrukcií. Všeobecné pravidlá; Bratislava, SÚTN 2005 [12] STN EN 1998-1: Eurokód 8: Navrhovanie konštrukcií na seizmickú odolnosť, Časť 1: Všeobecné pravidlá, seizmické zaťaženia a pravidlá pre pozemné stavby; Bratislava, SÚTN 2005 th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NUMERICAL DEGRADATION ANALYSIS OF FOAMED CONCRETE BEAM A. Cińcio 1, M. Kozłowski2, M. Kadela3 and D. Dudek4 Abstract Nowadays, lightweight foamed concrete is increasingly being used for structural purposes. Its physical and mechanical properties are unlike the properties of traditional concrete. Thus, constitutive models for concrete may not be used directly to describe the fracture behavior of foamed concrete. The paper presents an attempt to adapt the elasto-plastic model with degradation known as Barcelona Model for this purpose. The constitutive model is traditionally used for non-linear analyses of concrete and masonry structures. However, when it is used to describe behavior of non-traditional material such as light foamed concrete, its parameters must be calibrated. Moreover, the results are compared with XFEM method of modeling discontinuities. The results of numerical simulations of three-point bending beam with an initial notch are presented. Key Words foamed concrete; LFC; fracture energy; three-point bending; notched beam; FEA; plasticity model with degradation; Barcelona Model; XFEM 1 WPROWADZENIE Pianobeton jest nowoczesnym, lekkim materiałem doskonale nadającym się do wielu zastosowań [3], m.in. jako izolacja termiczna, akustyczna, do wzmocnienia i usztywnienia starych stropów drewnianych, przy poszerzaniu pasów jezdni. Jest to związane z tym, że materiał ten oprócz niewielkiej masy, pozwalającej ograniczyć ciężar własny konstrukcji, charakteryzuje się dobrą izolacyjnością termiczną i akustyczną oraz dobrą odpornością na czynniki atmosferyczne. Dodatkową zaletą jest łatwość wykonania konstrukcji z pianobetonu, jest to materiał samozagęszczalny i samopoziomujący. Właściwości fizykalno-mechaniczne pianobetonu [4, 5] różnią się od właściwości tradycyjnego betonu, w związku z tym nie można zastosować bezpośrednio modeli konstytutywnych opracowanych dla betonu. 1 A. Cińcio, PhD, Silesian University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Department of Building Structures Theory, Akademicka 5, 44-100 Gliwice, Poland, tel. +48 32 237-22-88, email: andrzej cincio@polsl.pl. 2 M. Kozłowski, PhD, Silesian University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Department of Structural Engineering, Akademicka 5, 44-100 Gliwice, Poland, tel. +48 32 237-22-88, email: marcin.kozlowski@polsl.pl. 3 M. Kadela, PhD, Building Research Institute, Silesian Branch, Department of Building Construction Elements and Building Structures on Mining Areas, Korfantego 191, 40-153 Katowice, Poland, tel. +48 32 730-29-47, email: m.kadela@ itb.pl. 4 D. Dudek, MSc, Building Research Institute, Silesian Branch, Department of Building Construction Elements and Building Structures on Mining Areas, Korfantego 191, 40-153 Katowice, Poland, tel. +48 32 730-29-29, email: d.dudek@ itb.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Z kolei niedostatek implementacji modeli dedykowanych specjalnie dla pianobetonu sprawia, że warto dokonać adaptacji istniejących modeli betonu odpowiednio kalibrując jego parametry. Nabiera to szczególnego znaczenia w przypadku modelowania pęknięć w materiale. Jak wiadomo, jednym z podstawowych mankamentów klasycznego MES-u są trudności w opisie nieciągłości w siatce dyskretnej w wyniku pękania. W celu pokonania tej trudności można sięgnąć do kontynualnej mechaniki pękania, w której stosowne równania mogą zostać sprzężone z równaniami przyrostowej teorii plastyczności, dzięki czemu można opisywać nie tylko efekt osłabienia materiału w wyniku plastycznego płynięcia, ale również redukcję jego parametrów w stanie pracy sprężystej, co jest istotne w wypadku obciążeń cyklicznych lub dynamicznych. Można w ten sposób wyznaczyć tzw. mapy stopnia degradacji materiału, czyli jego zniszczenia na skutek wystąpienia spękania w postaci rozmytej (z pominięciem opisu kinematyki tego zjawiska). Przykładem zawansowanego modelu oferującego takie możliwości jest przedstawiony w kolejnym rozdziale model Barcelona. Alternatywnym podejściem jest przyjęcie elementarnego liniowo-sprężystego modelu materiału w tzw. rozszerzonej wersji metody elementów skończonych w literaturze określanej jako Extended Finite Element Method (XFEM). W celu symulowania pęknięć o zdeterminowanym przebiegu tym sposobem, konieczne jest określenie kryterium inicjacji pękania, jego ewolucji oraz stabilizacji. Szczegółowe informacje na ten temat można znaleźć w literaturze [9, 10]. W artykule dokonuje się próby porównania symulacji komputerowego pękania naciętej belki zginanej (rys. 3) dla obu wymienionych sposobów, za pomocą klasycznego MES-u oraz jego rozszerzonej wersji XFEM, wykorzystując program ABAQUS. 2 PLASTYCZNO-DEGRADACYJNY MODEL BARCELONA DLA BETONU W obliczeniach wykorzystano plastyczno-degradacyjny model betonu znany w literaturze jako model Barcelona (MB), sformułowany przez Lubliner’a i in. 1989 [8] oraz zmodyfikowany przez Lee i in. Model Barcelona, wywodzi się z plastycznej mechaniki zniszczenia (kombinacji przyrostowej teorii plastyczności oraz kontynualnej mechaniki zniszczenia), dzięki czemu możliwe jest uwzględnienie wpływu przyrastającego zniszczenia materiału na odpowiedź modelu w kolejnych cyklach obciążenia. Osiągane jest to poprzez odpowiadającą bieżącej wielkości zniszczenia redukcję wartości parametrów materiałowych. Sprzężenie sprężysto-plastycznej charakterystyki materiału z opisem jego zniszczenia zrealizowane jest poprzez wyrażenie równań konstytutywnych teorii plastyczności za pomocą naprężeń efektywnych. a) b) σ2 b) 1 ( q − 3α p + β σ 2 ) = σ c0 1− α q σ t0 TM σ1 (K c= TM (K 1) c =2/ 3) qTM p qCM 1 ( q − 3α p + β σ 1 ) = σ c 0 1− α (σ b 0 , σ b 0 ) 1 ( q − 3α p ) = σ c 0 1−α ), =1 σ c0 CM /3) =2 (K c (K c Rys.1. Powierzchnia plastyczności modelu Barcelona: a) w płaszczyźnie (σ1,σ2), b) w przekroju merydialnym (p, q – niezmienniki tensora naprężenia; α, β, Κc – parametry modelu) Z punktu widzenia przyrostowej teorii plastyczności MB charakteryzuje powierzchnia plastyczności (rys. 1) będącą rozszerzeniem klasycznego stożka modelu Druckera-Pragera, w którym przekrój dewiatorowy jest niekołowy, oraz niestowarzyszone prawo płynięcia i nieliniowe prawo izotropowego zniszczenia. W płaszczyźnie płaskiego stanu naprężenia (2D) ślad powierzchni plastyczności potwierdzony badaniami laboratoryjnymi betonu przybiera formę nieregularnej, zdeformowanej „pseudo-elipsy”. Specyfikacja powierzchni plastyczności modelu barcelońskiego, w odróżnieniu od innych podobnych modeli, dokonywana 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava jest w płaszczyźnie płaskiego stanu naprężenia, za pomocą krzywych sklejanych (rys. 1) oraz „ekstrapolowana” za pomocą równań południków do przestrzeni naprężeń głównych. W aspekcie kontynualnej mechaniki zniszczenia model Barcelona charakteryzuje bidysypacyjna, izotropowa degradacja materiału, opisana dwoma skalarnymi zmiennymi degradacji materiału: dt i dc, odpowiednio dla stanu rozciągania i ściskania, przyjmującymi wartości z przedziału <0,1> (0 – oznacza brak zniszczenia, 1 – całkowite zniszczenie). Zmienne te, określane na podstawie niezależnych funkcji zniszczenia materiału, mogą zostać ze sobą powiązane, opisując w modelu – potwierdzony doświadczalnie – wpływ degradacji materiału ściskanego dc na wielkość degradacji materiału rozciąganego dt, po zmianie znaku naprężenia. a) b) b) σc σ cu σ t0 σ c0 σt 1D naprężenie graniczne osłabienie materiału (kruche pękanie) d′c , d′′c → d c (ε cp ) E0 (1-d′c )E 0 (1-d ′t )E 0 (1-d′′c )E 0 d′t ,d′′t → d t ( ε tp ) (1-d ′′t )E 0 ε cp ε cd ε ce ε tp ε td ε te εc ε cin εt ε tin (ε tck ) Rys.2. Opis cyklicznego, jednoosiowego testu: a) ściskania, b) rozciągania w modelu Barcelona Dokładniejszy opis modelu Barcelona można odnaleźć w pracach [2, 8]. Model ten z powodzeniem został adaptowany do opisu konstrukcji murowych [1, 11]. Model ten był prezentowany na kilku poprzednich konferencjach naukowych „New Trends in Statics and Dynamics of Buildings” w Bratysławie. 3 OPIS ANALIZOWANYCH MODELI I TESTÓW NUMERYCZNYCH Do testów numerycznych zbudowano dwuwymiarowy model belki, o wymiarach jak na rys. 3, za pomocą tarczowych ES płaskiego stanu naprężenia. a) b) c) Rys.3. a) Geometria modelu belki 3-punktowo zginanej, dwa sposoby zadawania obciążenia: b) w postaci sił mechanicznych w części centralnej, c) w sposób kinematyczny poprzez przemieszczenie stalowej kulki 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obciążenie przykładano w dwóch wariantach, w sposób mechaniczny poprzez obciążenia rozłożone na górnej powierzchni belki w części środkowej (rys. 3b) lub w sposób kinematyczny, poprzez wymuszenie przemieszczenia stalowej kulki „wciskanej” w belkę (rys. 3c), co znacznie lepiej odpowiada badaniom laboratoryjnym próby 3-punktowego zginania belki [7]. W tym przypadku w modelu numerycznym niezbędne było zdefiniowanie kontaktu pomiędzy kulką a belką. Wymieniony jako ostatni sposób obciążenia przyjęto w zadaniu rozwiązywanym za pomocą XFEM dla belki opisanej modelem liniowo-sprężystym pianobetonu, natomiast dla belki opisanej za pomocą modelu Barcelona przyjęto oba sposoby zadawania obciążenia. Wartości parametrów modelu liniowo-sprężystego dla pianobetonu i stalowej kulki podano w tab. 1. Natomiast specyfikacja modelu Barcelona oprócz dodatkowych parametrów podanych w tab. 1, wyrażających wartości granic plastyczności na ściskanie i rozciąganie, potrzebnych dla określenia powierzchni obciążenia, wymaga określenia także powierzchni potencjału plastycznego dla niestowarzyszonego prawa płynięcia, a także określenia czterech funkcji pokazanych na rys. 4 i 5. Funkcje te zadawane punktowo pozwalają zróżnicować odpowiedź betonu na ściskanie i rozciąganie, co jest cechą charakterystyczną wielu materiałów konstrukcyjnych. Materiał pianobeton 1,00 0,20 6,00 6,96 7,28 0,60 15,00 0,10 Parametr Moduł Younga [GPa] Współczynnik Poisona [-] Granica plastyczności przy jednoosiowym ściskaniu [MPa] Granica plastyczności przy dwuosiowym ściskaniu [MPa] Wytrzymałość na ściskanie [MPa] Granica plastyczności przy jednoosiowym rozciąganiu [MPa] E ν σc0 σb0 σcu σt0 ψ ε Kąt dylatancji [°] Współczynnik kształtu południków powierzchni potencjału [-] stal 210 0,30 - Tab. 1. Zestawienie parametrów materiałowo-fizycznych a) σ [MPa] b) 10.00 dc [-] 1.000 compression hardening compression damage 0.900 8.00 0.800 0.700 6.00 0.600 0.500 4.00 0.400 0.300 0.200 2.00 0.100 0.00 0.000 0.00 0 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 ε [ /00] 18.00 ε [‰] 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 ε 0 16.00 c [ /00] εc18.00 [‰] Rys.4. Charakterystyki pianobetonu na ściskanie w modelu MB: a) prawo wzmocnienia, b) funkcja degradacji a) σ 0.80 [MPa] b) 1.00 d [-] Prawo wzmocnienia przy rozciąganiu t Zniszczenie przy rozciąganiu d t 0.90 tension stiff 0.80 0.60 0.70 0.60 0.40 0.50 εt 0.40 0.30 0.20 0.20 [ 0/ 00] tension damage 0.10 0.00 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 ε [‰] 0.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 ε [‰] Rys.5. Charakterystyki pianobetonu na rozciąganie w modelu MB: a) prawo wzmocnienia, b) funkcja degradacji t 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Z powodu braku dostępności odpowiednich badań laboratoryjnych dla pianobetonu, przyjęto wartości prawdopodobne uzyskane poprzez ekstrapolację charakterystyk materiałowych wyznaczonych dla betonu. W celu lepszego nawiązania testów numerycznych symulacji pękania belki rozwiązywanej za pomocą XFEM i klasycznego MES-u, przyjęto zgodność wartości naprężeń dla kryterium inicjacji pękania w XFEM z wartością granicy plastyczności na jedno- i dwuosiowe rozciąganie w modelu Barcelona. Jest to odpowiednio wartość 0,6 MPa. 4 WYBRANE WYNIKI OBLICZEŃ We wszystkich trzech omówionych powyżej wariantach testów obliczeniowych uzyskano intuicyjnie zgodną ścieżkę zniszczenia pokrywającą się z osią symetrii belki (rys. 6). Rys.6. Zniszczenie belki na końcu czasu analizy wyznaczone w: a) i b) MES, model MB, obciążenie zadawane odpowiednio w sposób mechaniczny i kinematyczny, c) XFEM, model (e) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Jednak zadanie, w którym obciążenie przykładano bezpośrednio do belki w postaci sił rozłożonych na górnej jej powierzchni okazało się najbardziej wrażliwe numerycznie i z powodu braku utraty zbieżności nie zostało rozwiązane do końca (rys. 6a). Zadanie to pominięto w dalszych rozważaniach skupiając się na dwóch pozostałych, w których obciążenia zadawano w sposób kinematyczny poprzez stalową kulkę. W przypadku wariantu zadania opisanego modelem Barcelona, rozwiązywanego klasycznym MES-em ścieżkę zniszczenia przedstawiono na rys. 6b za pomocą zmiennej zniszczenia przy rozciąganiu dt (kolor czerwony w skali odpowiada największemu zniszczeniu o wielkości 90%), natomiast w przypadku rozwiązywania za pomocą XFEM ścieżkę pęknięcia w belce opisano za pomocą stosownej funkcji odległości od powierzchni spękania PHILSM, opisanej w dokumentacji programu ABAQUS. Rys.7. Mapa naprężeń poziomych dla 30-tego kroku przyrostowego analizy a) MES, model MB, b) XFEM, model (e) Interesujące jest porównanie map naprężeń poziomych dla obu przypadków symulacji komputerowych. Mapy naprężeń rozciągających dla 30-tego kroku przyrostowego w obu zadaniach przedstawiono na rys. 7, natomiast analogiczne mapy dla chwili końcowej – na rys. 8. Widoczne są znaczące różnice rozkładu naprężeń dla obydwu typów analiz zwłaszcza na rys. 7a i b. Różnice te można dokładniej prześledzić na wykresach naprężeń w przekroju środkowym, dla tych samych jak poprzednio kroków, w obydwu analizach (odpowiednio rys. 9 i 10). Nietrudno zauważyć, że rozwiązanie zadania za pomocą rozszerzonej wersji MES bazuje na wykresie naprężeń zbliżonym do rozkładu liniowego. Co więcej widoczne na Rys. 9b spiętrzenia naprężeń rozciągających (powyżej czerwonej prostej) przekraczają wartość 0,6 MPa, odpowiadającą wartości naprężeń inicjujących pękanie, zatem można je uznać z dużym prawdopodobieństwem jako naprężenia fikcyjne w przekroju. Sytuacja taka nie ma miejsca dla zadania rozwiązywanego z użyciem modelu sprężysto-plastycznego z degradacją (rys. 9a). Ponadto w tym przypadku na wykresie naprężeń poziomych widoczne jest uplastycznienie większości 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava przekroju położonego poniżej osi obojętnej, natomiast sprężysta pozostaje jedynie górna część przekroju będąca przede wszystkim ściskana, co obserwuje się w rzeczywistości. Różnice w rozwiązaniu dla ostatniego przyrostu obciążenia obu zadań są mniejsze (rys. 10). b) Rys.8. Mapa naprężeń poziomych na końcu analizy a) MES, model MB, b) XFEM, model (e) 1.0E+06 σt0=0.6 MPa 1.0E+06 8.0E+05 0.0E+00 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 damage initiation = 0.6 MPa 6.0E+05 [m] 0.06 4.0E+05 wykres naprężeń poziomych -2.0E+06 s 1 1 [P a ] -1.0E+06 2.0E+05 [m] 0.0E+00 -2.0E+05 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 -3.0E+06 -4.0E+05 -4.0E+06 -6.0E+05 naprężenia poziome -8.0E+05 -5.0E+06 -1.0E+06 Rys.9. Wykres naprężeń poziomych w przekroju symetrii dla 30-tego kroku przyrostowego analizy za pomocą a) MES i modelu MB, b) XFEM i modelu (e) Rysunek 11 przedstawia wykres zmiany siły względem ugięcia belki, będący próbą numerycznego odtworzenia stosownych badań laboratoryjnych tego typu belek [6, 7]. Pomimo widocznych różnic w wykresach o charakterze ilościowym, przebieg obu wykresów jest zbliżony i składa się z przedziału przyrostu obciążenia 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava do wartości ekstremalnej, a następnie nieliniowego spadku wartości siły do poziomu obciążenia minimalnego, związanego ze znaczącym zniszczeniem belki zginanej. 1.0E+06 1.0E+06 damage initiation = 0.6 MPa 0.0E+00 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 5.0E+05 0.06 -1.0E+06 [Pa] s11[P a] [m] -2.0E+06 0.0E+00 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 -5.0E+05 -3.0E+06 -1.0E+06 -4.0E+06 -1.5E+06 -5.0E+06 Rys.10. Wyznaczony wykres naprężeń poziomych w przekroju symetrii na końcu analizy za pomocą a) MES i modelu MB, b) XFEM i modelu (e) 200 400 160 300 obciążenie [N] obciążenie [N] 180 a) 350 250 200 Wykres obciązenie-ugiecie 150 100 140 Wykres obciążenie - ugięcie 120 100 80 60 40 50 ugięcie [m] 20 0 0 0.002 0.004 0.006 ugięcie [m] 0.008 0.01 0.012 0 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 Rys.11. Wykres zmiany siły obciążającej względem ugięcia belki w historii czasu analizy wyznaczony za pomocą a) klasycznego MES-u, model MB; b) za pomocą XFEM, model (e) 5 PODSUMOWANIE Uzyskane rozwiązanie dla obu zadań rozwiązywanych zarówno klasyczną metodą MES z zastosowaniem plastyczno-degradacyjnego modelu materiału oraz z zastosowaniem rozszerzonej wersji XFEM metody i elementarnego (liniowo-sprężystego) modelu materiału dało bardzo podobną ścieżkę zniszczenia. W ostatnim wymienionym przypadku łatwiej jest jednak zbudować model i uzyskać jego rozwiązanie w oparciu o elementarny model materiału. Niestety mankamentem tego zadania jest określanie ścieżki pękania na podstawie liniowo-spreżystego modelu, co prowadzić może do fikcyjnych spiętrzeń naprężeń i niewłaściwego rozkładu wytężenia w modelu. Ponadto wymagane jest wskazanie w modelu tej jego części, w której program może wyznaczyć ścieżkę spękania. Wymienione mankamenty nie występują w przypadku posługiwania się modelem Barcelona, który jednak wymaga specyfikacji wielu parametrów. Dodatkowo model Barcelona ze względu na dwumechanizmowy opis degradacji pozwala wyznaczyć mapy zniszczenia jednocześnie dla rozciągania i ściskania, co jest niemożliwe w zadaniu rozwiązywanym XFEM. Osobnym, nierozwiązanym problemem jest odpowiednie skalibrowanie parametrów dla obu prezentowanych symulacji pękania, w celu uzyskania lepszej zgodności ilościowej wyników. Widoczne na rysunkach różnice ilościowe, w części mogą wynikać z dodatkowej nośności belki, uzyskanej na wskutek uwzględnienia pracy plastycznej. ACKNOWLEDGEMENT Wyniki przedstawione zostały wykonane w ramach pracy, będącej częścią projektu badawczego pod tytułem “Stabilizacja słabego podłoża poprzez zastosowanie warstwy z pianobetonu w kontakcie z podłożem gruntowym” (LIDER/022/537/L-4/NCBR/2013), finansowanego przez Narodowe Centrum Badań i Rozwoju w ramach programu LIDER IV. Numeryczne analizy zostały wykonane przy użyciu ACK CYFRONET Kraków, będącego efektem projektów badawczych: MNiSW/SGI3700/PŚląska/054/2010 i MNiSW/SGI3700/PŚląska/056/2010. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava REFERENCES [1] Cińcio A., Wawrzynek A. Plastic-damage macro-model for non-linear masonry structures subjected to cyclic or dynamic loads. Proceedings of the AMCM2005: Analitical Models and New Concepts in Concrete and Masonry Structures, June 12-14, 2005, Gliwice-Ustroń; p.131-132. [2] Cińcio A., Wawrzynek A., Pilśniak J. Analiza numeryczna degradacji betonu z uwzględnieniem makrostruktury. Modelowanie inżynierskie 3 (34) 2007; p. 5-10. [3] Fedorowicz L., Kadela M., Bednarski Ł. Modelowanie zachowania pianobetonu w konstrukcjach warstwowych współpracujących z podłożem gruntowym. Zeszyty Naukowe WST No 6/2014, WST, Katowice; p. 73-81. [4] Kadela M., Kukiełka A.: Influence of foaming agent content in fresh concrete on elasticity modulus of hard foamed concrete. Brittle Matrix Composites 11, Institute of Fundamental Technological Research PAS, Warsaw 2015; p. 489-496. [5] Kadela M., Winkler-Skalna A., Łoboda B., Kukiełka A. PIANOBETON – charakterystyka materiałowa oraz możliwości zastosowania. Materiały budowlane 7/2015; p. 108-110. [6] Kozłowski M, Kadela M. Experimental and Numerical Investigation of Fracture Behavior of Foamed Concrete Based on Three-Point Bending Test of Beams with Initial Notch. Proceedings of the ICMCME 2015: International Conference on Mechanical, Civil and Material Engineering, August 17-18, 2015, Barcelona, Spain; p. 943. [7] Kozłowski M, Kadela M, Kukiełka A. Fracture Energy of Foamed Concrete Based on Three-Point Bending Test on Notched Beams. Procedia Engineering 108 2015; p. 349-354. [8] Lubliner J., Oliver J., Oller S., Oñate E.: A plastic-damage model for concrete. International Journal of Solids and Structures 25 1989; p. 299-329. [9] Melenk, J., Babuska I. The Partition of Unity Finite Element Method: Basic Theory and Applications. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 39 1996; p. 289-314. [10] Sukumar N., Prevost J.-H. Modeling Quasi-Static Crack Growth with the Extended Finite Element Method Part I: Computer Implementation. International Journal for Solids and Structures 40 2003; p. 7513-7537. [11] Wawrzynek A., Cińcio A. Numerical Verification of the Barcelona Model Adapted for Brick Walls. Proceedings of the 7th International Masonry Conference, London, October 30-November 1, 2006, London, UK. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS XFEM FRACTURE ANALYSIS OF NOTCHED FOAMED CONCRETE BEAMS M. Kozłowski1 , M. Kadela2 and M. Gwóźdź-Lasoń3 Abstract The paper deals with numerical investigation of the fracture behavior of beams with initial notch made of foamed concrete. Extended Finite Element Method (XFEM) was used to simulate and analyze the damage and fracture process of the beams subjected to three-point bending. In addition, the influence of variation of mechanical properties on the results were investigated. Subsequently, the numerical models were validated by a series of static loading tests of beam specimens. Numerical models simulate correctly the fracture behavior of beams observed during tests. Using the XFEM and computer simulation technology allow for reliable approximation of load–bearing capacity and damage mechanisms of beams made of foamed concrete, which provides some foundations for realistic structural applications. Key Words foamed concrete; fracture energy; three-point bending; notched beams; XFEM 1 INTRODUCTION Foamed concrete is defined as a cementitious material with minimum of 20% (by volume) of mechanically entrained foam in the mortar suspension in which air-pores are entrapped in the matrix by means of a suitable foaming agent [10]. Foamed concrete is commonly known because of its low self-weight and excellent thermal and acoustic properties [8]. For many years, it has been used worldwide mainly for insulation to foundations and roof tiles, as backfill to retaining walls, sound insulation, etc. However, in the last years it has become a promising material also for structural purposes e.g. for stabilization of weak soils [3, 5]. Since foamed concrete is a brittle material with relatively high compressive strength [4], low tensile strength and poor toughness, it makes that cracks of different degrees and forms may occur during construction process as well as during lifetime of the structure. Nowadays, engineering practice shows that cracking of concrete is almost inevitable and according to current economy and technique level, it is reasonable that it should be controlled in harm-allowable range. Using computation software to simulate behavior under loading and particularly fracture behavior is the main aim to archive aforesaid aims. Moreover, it can reduce significantly the costs of experiments, the time to estimate safety level of engineering structures and allows for performing extensive simulation campaigns to find the optimal solution. 1 M. Kozłowski, PhD, Silesian University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Department of Structural Engineering, Akademicka 5, 44-100 Gliwice, Poland, tel. +48 32 237-22-88, email: marcin.kozlowski@polsl.pl. 2 M. Kadela, PhD, Building Research Institute, Silesian Branch, Department of Building Construction Elements and Building Structures on Mining Areas, Korfantego 191, 40-153 Katowice, Poland, tel. +48 32 730-29-47, email: m.kadela@ itb.pl. 3 M. Gwóźdź-Lasoń, PhD, Cracow University of Technology, Faculty of Environmental Engineering, Institute of Geotechnics, Warszawska 24, 31-155 Cracow, Poland, tel. +48 12 628-28-22, email: mgl@wis.pk.edu.pl. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The paper presents results of numerical simulations of fracture behavior of foamed concrete beams with initial notch using Extended Finite Element Method (XFEM) based on the finite element platform ABAQUS CAE [1]. 2 EXPERIMENTAL CAMPAIGN Due to favorable properties of foamed concrete, many interests and studies were involved to analyze its strength, mechanical, thermal and acoustic properties [4, 6, 7, 10]. However, these studies do not cover the investigation of fracture energy which is the core factor governing the damage and fracture mechanisms. Within the research project a series of static loading tests was performed to determine the fracture properties of foamed concrete of varying density [6, 7]. Beams with dimensions of 100×100×840 mm with a central notch were tested in three-point bending, see Fig. 1a. Then, remaining halves of the specimens were tested again as unnotched beams in the same set-up with reduced distance between supports o determine the flexural strength. Fig. 1b presents typical load - deflection plots for selected specimens of group A, B, C and D (with varying density) obtained during experimental investigation. For all cases in the first phase the deflection increases linearly with the load while the notch is opened but does not extend. A fracture process develops during the second phase where microcracks form and slow crack growth is noticeable. In the third phase, known as strain softening, rapid crack growth is apparent. Tab. 1 presents results of the experimental campaign including density, tensile strength, fracture energy and Young’s modulus of specimens with varying density. The results correspond to the values obtained by others [9]. a) b) Fig. 1. Test set-up for determination the fracture properties of foamed concrete (a) and load-deflection curves obtained for the specimens of varying density (b) [7, 8] 3 NUMERICAL SIMULATIONS 3.1 Extended Finite Element Method Extended Finite Element Method (XFEM) was first introduced by Belytschko and Black [2]. XFEM is an extension the classical Finite Element Method approach. It enriches the solution space for solutions to differential equations with discontinuous functions. The presence of discontinuities is ensured by special enriched functions together with additional degrees of freedom. Modeling of cracking based on XFEM allows for simulation of both stationary and propagating cracks. Numerical simulations of propagating cracks with XFEM do not require initial crack and definition of crack path. Moreover, the domain does not have to be remeshed as the crack propagates. Cracks are allowed to propagate throughout elements allowing for modeling of fracture of the bulk material. A simple criterion is used to detect the crack initiation. A crack starts forming when the maximum principal tensile stress exceeds the tensile strength of brittle material. Then, the post-cracking behavior is based on the value of fracture energy of the material. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3.2 Three-point bending numerical simulations of foamed concrete beam with initial notch Three-point bending foamed concrete beam with initial notch under loading has been simulated using XFEM, see Fig. 2. The 2D model of the beam is 0.84×0.1×0.1 m3 with an initial notch of dimensions of 0.005×0.042 m2 located in the mid-span. The boundary conditions applied simulate simply supported conditions. The loading is applied in a displacement controlled manner by means of steel roller acting on the upper surface of the beam in its mid-span, see Fig. 3. The loading allows for crack penetration through the entire beam height. Adequate contact properties between steel roller and beam were applied. According to experimental results material parameters are shown in Tab. 1. Rectangular mesh was applied in the model. To reduce computation time the elements in the immediate vicinity of the notch (0.001×0.001 m2) are half the size compared to surrounding elements. Fig. 2. Geometry of three-point bending beam Fig. 3. Detail of introducing the loading Material Density (ρ) [kg/m3] Foamed concrete A Foamed concrete B Foamed concrete C Foamed concrete D Steel 1024 882 662 488 7850 Young’s modulus [GPa] 1.0 0.9 0.6 0.5 210 000 Poisson’s ratio MAXPS Damage [MPa] GI [N/m] 0.585 0.550 0.362 0.163 - 12.54 6.55 4.95 1.39 - 0.2 0.3 Tab. 1. Material parameters used in numerical simulations 4 RESULTS Fig. 4 shows max principal stress contour and propagation of crack through foamed concrete beam. Under loading maximal principal stress concentrates at the tip of the notch. When maximal tensile stress reaches the value of flexural strength of foamed concrete a crack starts forming and propagation through the entire beam. Fig. 5 presents comparison of load-deflection curves obtained from experiments and simulations. The numerical models and experiments present good correlation in terms of initial stiffness, peak load and post-peak behavior. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 4. Maximal principal stress contour and propagation of crack through foamed concrete beam Fig. 5. Results of numerical simulations: load – mid-deflection curves for beam specimens of varying density 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 5. Parametric analysis of the flexural strength in three-point bending simulations Fig. 6. Parametric analysis of the fracture energy in three-point bending simulations Fig. 7. Parametric analysis of the Young’s modulus in three-point bending simulations To complete numerical analysis of fracture behavior of foamed concrete beam with initial notch a qualitative study is performed to identify the effects of the variation (± 20%) of tensile strength, fracture energy and Young’s modulus in the response of the three-point bending simulation. The parametric analysis performed to evaluate the changes of the tensile strength are shown in Fig. 5. The plot show that in terms of changes of tensile 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava strength and keeping the fracture energy and Young’s modulus constant mainly affect the absolute value of the peak load. On the other hand, Fig. 6 presents the effect of changes in fracture energy assuming a constant values of tensile strength and Young’s modulus. Changes in fracture energy mainly affect the post-peak behavior. Finally, the parametric analysis of Young’s modulus affects mainly the pre-peak behavior, see Fig. 7. 5 CONCLUSIONS XFEM numerical simulations were performed to simulate the fracture behavior of foamed concrete notched beams with varying density in three-point bending. The main conclusions that can be drawn from this study are the following: • XFEM is suitable to represent fracture behavior of foamed concrete beams in three-point bending, • numerical models based on XFEM and experiments present good correlation in terms of initial stiffness, peak load and post-peak behavior, • parametric study performed shows that the changes of the tensile strength, fracture energy and Young’s modulus affect mainly affect the absolute value of the peak load, post-peak and pre-peak behavior, respectively. ACKNOWLEDGEMENT This work has been supported by the on-going research project “Stabilization of weak soil by application of layer of foamed concrete used in contact with subsoil” (LIDER/022/537/L-4/NCBR/2013) financed by The National Centre for Research and Development within the LIDER Programme. Numerical calculations were performed in Academic Computer Center CYFRONET AGH in Cracow funded by the grant MNiSW/SGI3700/PSlaska/030/2011. REFERENCES [1] Belytschko T, Black T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering 45 1999; p. 601–620. [2] Drusa M, Fedorowicz L, Kadela M, Scherfel W. Application of geotechnical models in the description of composite foamed concrete used in contact layer with the subsoil. Proceedings of the 10th Slovak Geotechnical Conference “Geotechnical problems of engineering constructions”, May 30-31; 2011. [3] Kadela M., Kukiełka A.: Influence of foaming agent content in fresh concrete on elasticity modulus of hard foamed concrete. Brittle Matrix Composites 11, Institute of Fundamental Technological Research PAS, Warsaw 2015; p. 489-496. [4] Kearsley EP, Wainwright PJ. The effect of porosity on the strength of foamed concrete. Cement and Concrete Research 32(2) 2002; p. 233-239. [5] Kozłowski M, Kadela M. Experimental and Numerical Investigation of Fracture Behavior of Foamed Concrete Based on Three-Point Bending Test of Beams with Initial Notch. Proceedings of the International Conference on Mechanical, Civil and Material Engineering, August 17-18, 2015, Barcelona, Spain; p. 943. [6] Kozłowski M, Kadela M, Kukiełka A. Fracture Energy of Foamed Concrete Based on Three-Point Bending Test on Notched Beams. Procedia Engineering 108 2015; p. 349-354. [7] Ramamurthy R, Kunhanandan Nambiar EK. Indu Siva Ranjani G. A classification of studies on properties of foam concrete. Cement and Concrete Composites 31(6) 2009; p. 388-396. [8] Rahman N, Jaini M. An experimental study on the fracture energy of foamed concrete using v-notched beams. Proceedings of the International Civil and Infrastructure Engineering Conference, September 28 – October 1, Kota Kinabalu, Malaysia; 2014. [9] Van Deijk S. Foamed Concrete. A Dutch View; 1992; p. 2-8. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS HISTORICAL TIMBER BOTTOM BRIDGE IN GELNICA OVER HNILEC RIVER I. J. Baláž1 and Z. Kamenická2 and Y. P. Koleková3 Abstract Description of historical covered bridge over Hnilec river so called bottom bridge in Gelnica near the railway station. History of the bridge. Way of construction of the bridge. Its structural system. Photographs of the bridge and its details. Scheme of the bridge. Key Words Historical bridg;, timber covered bridge; structural system; construction; details. 1 INTRODUCTION The authors have collected historical data about: erection, opening, strengthening, reconstruction, destroying of bridges, geometry, details and other characteristics of bridges and their designers from archives, chronicles, owners, the oldest inhabitants, contemporary engravings, veduta paintings, old photographs and various publications. It was very difficult to gain or to verify some data. Probably the oldest set of 30 photographs of the timber covered bridges on the Slovak territory may be found in the book of the Czech author [13]. A large investigative study of the historical covered timber bridges on the Slovak territory was consequently done by two professors of Slovak University of Technology in Bratislava Dutko, P. and Ferjenčík, P. in the 1954 and 1980. They published their results in the fifties [7-9], sixties [6], seventies [10] and eighties [11, 12]. Also their results enabled to the authors to identify all bridges and their details on the more than 100 photographs of originally unknown bridges, which are property of The Monuments Board of the Slovak Republic in Bratislava (PÚ SR – Pamiatkový úrad Slovenskej republiky). The aim of the authors is to perform a study of all historical and modern covered timber bridges on the Slovak territory. The photographs of historical and modern bridges made of various structural materials built on the Czech and Slovak territory may be found in the books [1-5, 15-17]. In this paper only one bridge is presented: bottom bridge over river Hnilec in Gelnica near railway station. 2 COVERED TIMBER BOTTOM BRIDGE OVER HNILEC RIVER IN GELNICA This bridge was replaced the similar bridge in 1901. It was built near railway station in Gelnica. It had red roof. During repair the structure original queen-post truss was strengthened by two pairs of steel rods with ø 30 mm. 1 Prof. Ing. I. J. Baláž, PhD., Department of Metal and Timber Structures, Faculty of Civil Engineering, STU in Bratislava, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, Slovak Republic, +421902313786, ivan.balaz@stuba.sk. 2 Ing. Z. Kamenická, Department of Metal and Timber Structures, Faculty of Civil Engineering, STU in Bratislava, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, Slovak Republic, +421259274561, zuzana.kamenicka@stuba.sk. . 3 Assoc. Prof. Ing. Yvona Koleková, PhD., Department of Structural Mechanics, Faculty of Civil Engineering, STU in Bratislava, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, Slovakia, +421908093081, yvona.kolekova@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava There are different data concerning its length: in 1901 – 25,75 m, in 1925 – 25,10 m, in 1954 – 25,30 m, or elsewhere 24,60 m. basic Fig. 1. Location of Bottom and Upper bridges over Hnilec river in Gelnica Fig. 2a., 2b. Project created in a carpenter Kriwácsy from Spišská Nová Ves in 13th November 1901. (PÚ SR). After repairing in 1953 the load carrying capacity of the bottom bridge over Hnilec river in Gelnica was limited to 1 ton. In Fig. 12 it is possible to see a Canadian Military Pattern (CMP) truck Ford F15. It was a class of military truck - of various forms - made in large numbers in Canada during World War II to British Army specifications for use in the armies of the British Commonwealth allies. Standard designs were drawn up just before the beginning of the war. The photographs were made in fifties after World War II. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Fig. 3. Bottom bridge over Hnilec river in Gelnica. Built in 1901, repaired in 1953. View C-D. Photo: summer 1925. (Kolář, 1926). Fig. 5. Inside view A-D. (PÚ SR). October 2015, Bratislava Fig. 4. Bottom bridge over Hnilec river in Gelnica. View B-C. Dismantled in 1960. Photo: summer 1925. (Kolář, 1926). Fig. 6. Inside view A-D. (PÚ SR). Fig. 8a., 8b., 8c. Inside view D-C. (PÚ SR). Fig. 7. View C-D. (PÚ SR). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 9. Detail at support. (PÚ SR). Fig. 10. Detail at support. (PÚ SR) Fig. 11. Bottom of the deck. (PÚ SR) 3 CONCLUSION Based on large investigation the authors were able to identify all bridges and their details on the more than 100 photographs of originally unknown bridges, which are property of The Monuments Board of the Slovak Republic in Bratislava (PÚ SR – Pamiatkový úrad Slovenskej republiky). In this paper only one bridge is presented: bottom bridge over river Hnilec in Gelnica near the railway station. The further step will be detailed investigation of structural systems of Slovak historical covered bridges and dimensions of their members. The photographs of historical and modern bridges made of various structural materials built on the Czech and Slovak territory may be found in the books [1-5, 15-17]. ACKNOWLEDGEMENT Project No. 1/0748/13 was supported by the Slovak Grant Agency VEGA. REFERENCES [1] Baláž, I.: Chapter 17 Bridge Engineering in the Slovak Republic, p.747-821 in Wai-Fah Chen, Lian Duan (editors): Handbook of International Bridge Engineering. CRC Press, Taylor & Francis, USA, 2014, p.11376. [2] Dušan J. Naše mosty historické a současné (in Czech). Our historical and present bridges. NADAS. Praha 1984, p. 1-226. [3] Dušan, J. Czech Republic Bridges. Map. B.A.T. Program s.r.o. 2000. [4] Dušan, J. Dřevěné mosty v České a Slovenské republice (in Czech). Timber bridges in Czech and Slovak Republic. F.R.Z. agency, s.r.o. Brno 2011, p.1-54. [5] Dušan, J. Slovenské mosty (in Czech). Slovak bridges. 3rd edition, F.R.Z. agency, s.r.o. Brno 2012 [6] Dutko, P., Ferjenčík, P. Drevené konštrukcie v ČSSR (in Slovak). Timber structures in Czechoslovak Socialist Republic. Proceedings of scientific works of Faculty of Civil Engineering, Slovak University of Technology in Bratislava, 1965. [7] Ferjenčík, P. Drevené kryté mosty na Slovensku (in Slovak). Timber covered bridges in Slovakia. Naša veda, 1955, č.2. [8] Ferjenčík, P. O našich zaujímavých mostoch (in Slovak). About our interesting bridges. Technické noviny, 1955, č.2. [9] Ferjenčík, P. Drevené kryté mosty na Slovensku (in Slovak). Timber covered bridges in Slovakia. Pamiatky a múzeá, 1956, č.2. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [10] Ferjenčík, P., Dutko, P., Chladný, E. Najstaršie stavebné kovové a drevené konštrukcie (in Slovak). The oldest metal and timber structures. Vlastivedný časopis, 1979, č.2. [11] Ferjenčík, P. O významných drevených krytých mostoch na Slovensku (in Slovak). About important timber covered bridges in Slovakia. Proceedings of 2nd International conference Timber in civil engineering structures. Bratislava – Kočovce. 8. – 11. September 1980. FCE STU in Bratislava, Slovak Republic, p. 197-213. [12] Ferjenčík, P., Dutko, P. Drevené nosné konštrukcie v ČSSR (in Slovak). Timber load-carrying structures in Czechoslovak Socialist Republic. Proceedings of 3rd International conference Timber in civil engineering structures. Bratislava – Kočovce. 4. – 6. September 1984. FCE STU in Bratislava, Slovak Republic. [13] Kolář, J. Dřevěné mosty kryté (in Czech). Timber covered bridges. Praha, 1926. [14] Maillard, M. Stavíme mosty. Dějiny mostního stavitelství (in Czech). Constructing bridges. History of bridge engineering. Nakladatelství Karel Synek. v Praze. 1946, p. 1-207. [15] Paulík, P. Mosty na území Slovenska. História a súčasnosť viac ako 250 najkrajších a najzaujímavejších mostov Slovenska (in Slovak). Bridges on the territory of Slovakia. history and present of more than 250 the most beautiful bridges in Slovakia. JAGA GROUP, s.r.o., Bratislava 2012, p. 1-258. [16] Paulík, P. Bridges in Slovakia. JAGA GROUP, s.r.o., Bratislava 2014, p. 1-260. [17] Pechal, A. Mosty. Bridges. Ing. Antonín Pechal, CSc. Brno, 2009, p. 1-276. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS CFD SIMULATED AIR-FLOW OVER A “QUARTER-CIRCULAR” OBJECT O. Hubová1, L. Konečná2, J. Králik Jr. 3* Abstract As Computer Fluid Dynamic software develops, problems of fluid dynamics becoming interesting for more engineers, as they take Computer Fluid Dynamic as a handy tool capable of reasonable predicting of air-flows. In this contribution is a Computer Fluid Dynamic simulation of air-flow over an obstacle in shape of “quartercircular” object compared to the data obtained from experimental measurement in Boundary Layer Wind Tunnel. This comparison is focused on mean values of pressure in selected points. Three models were used with different grid sensitivity for analysis with several turbulence models. Best results were predicted by Delayed Detached Eddy Simulation, where the overall averaged error in all selected points was 9.63 %. Key Words Experiment, air-flow, turbulence, CFD, Fluent, pressure 1 INTRODUCTION Turbulence is a flow regime characterized by chaotic property changes. Randomness, fluctuations, vorticity and large Reynolds number (Re) are the basic characteristics of turbulent flows. One of the examples of turbulence is smoke rising from a cigarette, for the first few centimetres, the flow is laminar and then smoke becomes turbulent as its Reynolds number increases, as its flow velocity and characteristic length are both increasing. There are three turbulent flow simulation methods RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes Simulations), SRS (Scale Resolving Simulations) and DNS (Direct Numerical Simulation) which are implemented into several commercial and non-commercials software packages. For the purpose of this analysis was used commercial software package ANSYS Fluent R15. In this contribution is CFD simulation of air-flow over an obstacle in shape of “quarter-circular” object is compared to the data from experimental measurement in Boundary Layer Wind Tunnel, focused on mean values of pressure in selected points. Three models were used with different grid sensitivity. One of main tasks was to keep this analysis on a desktop computer. To create a domain with low computer demands was created mesh from tetrahedron elements which was next converted into polyhedral mesh type. Two models were used for analysis of the problem and were representing 4m long part of wind tunnel (B = 2.6 m and H = 1.6 m). Third model is representing only a part of fluid around “quarter-circular” object. 1 Doc. Ing. Oľga Hubová, PhD., Slovak University of Technology in Bratislava, Faculty of Civil Engineering, Slovak Republic, Mail: olga.hubova@stuba.sk. 2 Ing. Lenka Konečná, PhD., Slovak University of Technology in Bratislava, Faculty of Civil Engineering, Slovak Republic, Mail: lenka.konecna@stuba.sk 3 Ing. Juraj Králik jr., PhD., Slovak University of Technology in Bratislava, Faculty of Architecture, Slovak Republic, Mail: kralik@fa.stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Five different turbulence models were tested: k-ε, k-ω, Scale-Adaptive Simulation (SAS) and Large Eddy Simulation (LES) and for third model it was Delayed Detached Eddy Simulation (DDES). All simulations were carried out as transient, for comparison with mean pressure values acquired from experimental measurement. 2 COMPUTER FLUID DYNAMICS (CFD) RANS models can be solved in unsteady mode (URANS), they do not provide any spectral content, even if the grid and time step resolution would be sufficient for that purpose. This behaviour is a natural outcome of the RANS averaging procedure (time averaging), which eliminates all turbulence content from the velocity field. Turbulence models are well described by several authors in detail in the cited references and therefor only brief description with theirs characteristic equations will be presented. k-ε model is widely used despite his the known limitations. Performs poorly for complex flows involving severe pressure gradients, separations and strong streamline curvature. Two-equation turbulence model allow the determination of both, a turbulent length and time scale by solving two separate transport equations. Modifications have been introduced to improve its performance → the RNG model and the Realizable model. Transport equations for the turbulence kinetic energy,[8]: 𝜕(𝜌𝑘) 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑈𝑗 𝑘) 𝜕𝑥𝑗 = 𝑃𝑘 − 𝜌𝜀 + 𝑃𝑘𝑏 + 𝜕 𝜕𝑥𝑗 [(𝜇 + 𝜇𝑡 𝜕𝑘 ) 𝜎𝑘 𝜕𝑥𝑗 ] (1) Transport equations for the turbulence kinetic energy dissipation rate: 𝜕(𝜌𝜀) 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑈𝑗 𝜀) 𝜕𝑥𝑗 𝜀 𝜕 𝑘 𝜕𝑥𝑗 = (𝐶𝜀1 𝑃𝑘 − 𝐶𝜀2 𝜌𝜀 + 𝐶𝜀1 𝑃𝜀𝑏 ) + 𝜇 [(𝜇 + 𝑡) 𝜕𝑘 𝜎𝜀 𝜕𝑥𝑗 ] (2) The eddy viscosity is modelled as: 𝜇𝑡 = 𝜌𝐶𝜇 𝑘 2 (3) 𝜀 k–ω model incorporates modifications for low-Reynolds number effects, compressibility, and shear flow spreading. Sensitivity of the solutions to values for k and ω outside the shear layer (freestream sensitivity). Transport equations for the turbulence kinetic energy, [3,4,9 and 10]: 𝜕(𝜌𝑘) 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑈𝑗 𝑘) 𝜕𝑥𝑗 = 𝑃𝑘 − 𝛽 ∗ 𝜌𝑘𝜔 + 𝑃𝑘𝑏 + 𝜕 𝜕𝑥𝑗 [(𝜇 + 𝜇𝑡 𝜎𝜔 ) 𝜕𝑘 𝜕𝑥𝑗 ] (4) Transport equations for the turbulence kinetic energy specific dissipation rate: 𝜕(𝜌𝜔) 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑈𝑗 𝜔) 𝜕𝑥𝑗 𝜔 𝜕 𝑘 𝜕𝑥𝑗 = 𝛼 𝑃𝑘 − 𝛽𝜌𝜔2 + 𝑃𝜔𝑏 + [(𝜇 + 𝜇𝑡 𝜎𝜔 ) 𝜕𝑘 𝜕𝑥𝑗 ] (5) The eddy viscosity: μt = ρk (6) ε SAS (Scale-Adapted Simulation) model is a second generation URANS model, improved URANS formulation allows the resolution of the turbulent spectrum in unstable flow conditions, derived on URANS arguments k–ω and intermittency γ. The SAS model will remain in steady RANS mode for wall bounded flows, and can switch to SRS mode in flows with large and unstable separation zones. Can resolve turbulence structures with LES quality. The transport equation for the intermittency γ, [5,1 and 2]: 𝜕(𝜌𝛾) 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑈𝑗 𝛾) 𝜕𝑥𝑗 = 𝑃𝛾1 − 𝐸𝛾1 + 𝑃𝛾2 − 𝐸𝛾2 + 𝜕 𝜕𝑥𝑗 [(𝜇 + 𝜇𝑡 ) 𝜕𝛾 𝜎𝛾 𝜕𝑥𝑗 ] (7) LES (Wall-Adapting Local Eddy-Viscosity WALE Model) Turbulent flows are characterized by eddies with a wide range of length and time scales. The largest eddies are typically comparable in size to the characteristic length of the mean flow. The smallest scales are responsible for the dissipation of turbulence kinetic energy. Advantage of the WALE model is that it returns a zero turbulent viscosity for laminar shear flows, what allows the correct treatment of laminar zones in the domain, [7].The highest level of complexity in numerical simulations of turbulence. Large Eddy Simulation (LES) ranks second only to direct numerical simulation (DNS). Eddy viscosity is modelled by: 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 3/2 𝜇𝑡 = 𝜌𝐿2𝑆 𝑑 𝑑 (𝑆𝑖𝑗 𝑆𝑖𝑗 ) 5/2 (𝑆̅𝑖𝑗 𝑆̅𝑖𝑗 ) 𝑑 𝑆𝑑 ) +(𝑆𝑖𝑗 𝑖𝑗 (8) 5/4 Where Pk is turbulence production due to viscous forces, ρ density, ε turbulence dissipation rate, μ molecular (dynamic) viscosity, μt turbulent viscosity, Uj velocity magnitude, Cε1, Cε2 and σk are turbulence model constants, Pkb and Pεb represent the influence of the buoyancy forces, k turbulence kinetic energy, ε turbulence dissipation rate, ω specific dissipation, Sij rate-of-strain tensor for the resolved scale, Ls mixing length for sub grid scales, γ intermittency. The models constants are given by Cε1 = 1.44, Cε2 = 1.92, σk = 1 (2 for Wilcox model), β* = 0.09, α = 4/9, β = 0.075, σε = 1.3, σω = 2. DES model used was based on the SST k–ω model. In the DES approach, the unsteady RANS models are employed in the boundary layer, while the LES treatment is applied to the separated regions. The LES region is normally associated with the core turbulent region where large unsteady turbulence scales play a dominant role. In this region, the DES models recover LES-like sub grid models. In the near-wall region, the respective RANS models are recovered. Have been specifically designed to address high Reynolds number wall bounded flows, where the cost of a near-wall resolving Large Eddy Simulation would be prohibitive. The difference with the LES model is that it relies only on the required resolution in the boundary layers. The computational costs, when using the DES models is less than LES computational costs, but greater than RANS, [6]. 3 THE CALCULATION Geometry for preliminary analysis was built in Design Modeller. Whole grid dimensions are: L = 4 m, B = 2.6 m and H = 1.6 m. Quarter-circular object was situated 1 m behind inlet boundary (his centre of gravity) in middle of domains width. At beginning the mesh was generated using tetrahedron elements and two types of mesh where created. First mesh had on surface of quarter-circle object element size 0.005 m, advanced size function was on and set to be fixed, with fine relevance centre, high smoothing and slow transition. Maximum face size was 0.1 m, maximum size 0.2 m and grow rate of elements from surface of object 5 %. Generated were 1.8·106 elements with 341 504 nodes, model mark is M1. Second mesh had on surface of quarter-circle object element size 0.003 m, advanced size function was on and set to be fixed, with fine relevance centre, high smoothing and slow transition. Maximum face size was 0.1 m, maximum size 0.2 m and grow rate of elements from surface of object 5 %. Generated were 3.347·106 elements with 663 398 nodes, model mark is M2. Both types of mesh were converted in ICEM (fluent solution module) to polyhedral mesh type with final element number for first mesh 354 593 polyhedral cells with 2 088 288 nodes, second had 700 200 polyhedral cells with 3 448 831 nodes. Third type of model had domain size 1·1.5·1 m, mesh quality 914 387 polyhedral elements, time-averaging from 0.4 ~ 1.8 s, steps/iterations 4500 / ≈83 500. Mesh quality was improved at bottom wall around object, just as around body of „quarter-circular“ object and mainly behind object, this dense region was created using a solid rectangle set as body of influence, where maximum elements dimensions were set same as on object surface. Bottom plane and horizontal plane through object can be seen on Figure 2. Tetrahedron mesh (3 783 949 elem.) was created for this model as follows: max face size and max size were set to 0.04 m; growth rate 10 %; face sizing on object was 0.002 m hard; inflatation was applied on object with 10 layers with growth rate of 5 %; bottom face sizing was changing away from the object from 0.004 m to 0.01 m to 0.05 m. Each surface of domain had its “named section” to which were in solution module set boundary condition. Inlet was set as velocity inlet, outlet as outflow and rest of faces was set as no slip walls without roughness. Symmetry was used as boundary for domain on left, right and top side. For all models was used same wind velocity profile, which was defined as user defined function (UDF) and interpreted to ICEM. These heights were 70 mm, 250 mm, 550 mm and 950 mm from where the velocity was almost constant. Used logarithmic function was: 𝑈(𝑧) = 𝑢𝑧0 . 𝐴1 + 𝑢𝑓𝑟𝑖𝑐 𝐵1 . 𝑙𝑛 ( 𝑧 𝐶1 𝑧0 ) (9) Upper constant part of velocity profile was: 𝑈(𝑧) = 𝑢𝑧0 . 𝐴1 + 𝑢𝑓𝑟𝑖𝑐 𝐵1 . 𝑙𝑛 ( 𝑧 𝐶1 𝑧0 )+ 𝑧 50 (10) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 1. Model M1 and M2 mesh view, Left: hole domain; Right: detail view on object Fig. 2. Model M3 mesh view, Left: dense mesh at bottom; Right: dense mesh around obstacle and in separation zone around and mostly behind the object Where uz0 = 3.851 m/s was speed at height of terrain roughness z0 = 0.02 m (“nop” foil height). Friction wind velocity was defined as: 𝑢𝑓𝑟𝑖𝑐 = 𝑢𝑟𝑒𝑓 −𝑢𝑧0 𝑙𝑛( 𝑧𝑟𝑒𝑓 +50.𝑧0 ) 4.𝑧0 = 8,745−3,851 0,273+50.0,02 ) 4.0,02 𝑙𝑛( = 1.67 𝑚/𝑠 (11) Wind profile constants were as follows: A = (0.81; 1; 1.031; 1.65), B = (0.7; 0.9; 0.935; 1.55), C = 0.95. It need to be noted that the logarithmic function and constants were set to obtain wind velocity profile as much as it is possible the same as was interpolated profile, error in wind velocity at reference height (zref = 0.273 m) was zero, maximum error through the whole curve was 4.3%. k-ε: this model inputs are based on turbulent kinetic energy k and turbulence dissipation rate ε as follows: 𝑢= 𝑢𝑟𝑒𝑓 .𝜅 𝑙𝑛( 𝑘= 𝑧𝑟𝑒𝑓 ) 𝑧0 𝑢2 √𝐶𝜇 = = 8,745.0,4 𝑙𝑛( 0,273 ) 0,02 1,3382 √0,09 𝜀(𝑧) = = 1,338 𝑚/𝑠 = 5,97 𝑚2 /𝑠 2 𝑢3 𝜅.(𝑧+𝑧0 ) (12) (13) (14) k-ω: this model inputs are based on turbulent kinetic energy k and specific turbulence dissipation rate ω as follows: 𝜔(𝑧) = 𝜀(𝑧) 𝑘 (15) SST-SAS: this model inputs are based on intermittency γ = 1, turbulent kinetic energy k and specific turbulence dissipation rate ω. SAS: this model inputs are based on turbulent kinetic energy k and specific turbulence dissipation rate ω. LES: this model inputs are based on turbulent kinetic energy k and turbulence dissipation rate ε. DES: based on turbulent kinetic energy k and specific turbulence dissipation rate ω. All models were run as pressure-based, transient. From solution methods was used SIMPLE pressure-velocity coupling scheme with second order spatial discretization, for transient formulation was used Bounded second order implicit method. Solution was initialized with hybrid initialization with default setting. Default solution controls. k-ε STD1 T Viscous model used with standard wall functions, no curvature correction, no kato-launder 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava and no production limiter. k-ε STD2 T was ran with same setup, but near wall treatment was set for enhanced wall treatment. k-ω SST1 and k-ω SST2 were ran with solver type based on pressure, transient. Viscous model set as k-ω SST with production limiter. SAS1 and SAS3 models had viscous model set with production limiter. LES models inputs were in velocity profile, k and ε profile. Spatial discretization with second order pressure bounded central differencing for momentum and last squares cell based gradient. Delayed Detached Eddy Simulation (DDES) model was ran as pressure-based, transient. RANS model was used k-ω SST, viscous model was set with production limiter and kato-launder and curvature correction. Table 1 shows basic specifications for transient simulations calculation setup. Turbulence Model k-ε k-ω SAS LES DDES Model Details standard wall function enhanced wall function production limiter production limiter no perturbations spectral synthesizer spectral synthesizer spectral synthesizer (see text above) FEM Model M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M1 M3 Steps/Size/Iterations 200 / 0.005 / 20 200 / 0.005 / 20 100 / 0.01 / 30 200 / 0.005 / 30 500 / 0.002 / 30 500 / 0.002 / 30 500 / 0.002 / 30 500 / 0.002 / 30 2500 / 0.0004 / 20 Curve Mark k-ε STD1 T k-ε STD2 T k-ω SST1 k-ω SST2 SAS1 SAS3 LES1 LES2 DDES Tab. 1. Turbulence models specifications for preliminary analysis 4 RESULTS Final numbers of iterations for each turbulence model are shown in Table 2 and were different from expected number of iterations based on steps multiplied by iterations as solutions during one step converged, see Table 1. In Table 3 are differences in values of mean pressure between experiment and CFD showed in percent and averaged through faces of object to: windward face (points 13 to 16), leeward face (points 1 to 4) and quartercircle face (points 5 to 12) in all elevations (0.015; 0.136 and 0.258 m). Curve Mark k-ε STD1 T k-ε STD2 T k-ω SST1 k-ω SST2 SAS1 SAS3 LES1 LES2 DDES Time [s] 1 1 1 1 1 1 1 1 1.4 Steps x Iterations 4 000 4 000 3 000 6 000 15 000 15 000 15 000 15 000 100 000 Num. of Iterations 1 551 1 787 1 744 1 201 3 685 11 690 13 137 13 231 83 500 Tab. 2. Residuals and convergence Abs. Criteria: Continuity 7.6533e-05 7.6504e-05 7.6498e-05 2.9532e-05 9.5531e-05 9.7329e-05 9.7781e-05 8.7978e-05 9.6741e-05 Time Step 0.005 0.005 0.01 0.005 0.002 0.002 0.002 0.002 0.0004 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 3. Comparison of mean pressure values from preliminary analysis in elevation +0.136m for k-ε (URANS) turbulence models (upper) k-ω SST (URANS) turbulence models (middle) and SAS (SRS) turbulence models (bottom) Due to large amount of results is this part focused only results in +0.136 m elevation. URANS models performed very well and with fast convergence, k-ω based model gave better results in convergence and also predicted values of mean pressure were following shape of “curve” for mean values of pressure from experimental measurement. Errors in values were from 8 up to 28 % and is putting k-ω based model above k-ε (note that this 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava model had production limiter turned off and interesting model over predicted values of pressures on wind ward face of object but performed better on leeward face). Velocity profiles of URANS models were not showing any sign of turbulence and were almost the same as steady RANS. Location\Model Windward Face Leeward Face Quarter-Circle Face All Points Location\Model Windward Face Leeward Face Quarter-Circle Face All Points k-ε STD1 T 54.26 24.52 26.48 32.94 k-ε STD2 T 53.20 26.25 23.17 31.45 k-ω SST1 10.52 19.71 17.16 16.14 k-ω SST2 16.52 28.43 20.75 21.61 SAS1 9.32 17.05 12.93 13.06 SAS3 11.62 29.14 16.94 18.66 LES1 7.71 41.58 20.99 22.82 LES2 9.46 33.98 34.99 28.35 Tab. 3. Overall errors ∆ [%] Fig. 4. Comparison of mean pressure values from preliminary analysis in elevation +0.136m for LES (SRS) turbulence models (up); DDES at elevation +0.136m (down) with different time sampling 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 5 October 2015, Bratislava CONCLUSIONS CFD predicted quite similar flows as were obtained from experiment. SRS (Scale Resolving Simulation) performed better then RANS (Reynolds Averaged Navier- Stokes Simulations) models. RANS: k–ω SST model gave fast and quite good results. SRS: SAS turbulence model with no perturbations predicted pressures best with 3x faster convergence compared to spectral synthesizer. From preliminary analysis results is clear that option of curvature correction (CC) wasn’t the right choice, results from models set with CC yielded higher errors. The mean error in all selected 16 points from all three elevations reached value 9.63 % with DDES turbulence model. After removing errors greater than 20 % (points 9, 10, 11 and 12) mean error dropped to 7.2 %. From pressure curves in Figure 4 we can identify regions with mesh that still needs more attention. ACKNOWLEDGEMENT This paper has been supported by Grant Agency (grant No. 1/1039/12) REFERENCES [1] Langtry, R.B., Menter, F.R., Likki, S.R., Suzen, Y.B., Huang, P.G., and Völker, S., 2004. A Correlation based Transition Model using Local Variables Part 2 - Test Cases and Industrial Applications. In: ASMEGT2004-53454, ASME TURBO EXPO, Austria: Vienna. DOI:10.1115/1.2184353. [2] Langtry, R.B., Menter, F.R., 2005. Transition Modeling for General CFD Applications in Aeronautics. In: AIAA Paper 2005-522, Vol. 77, Issue 1-4, pp. 277-303. DOI: 10.1007/s10494-006-9047-1. [3] Menter, F.R. , 1993. Zonal two-equation k-ω turbulence model for aerodynamic flows. In: AIAA Paper 1993-2906. Florida: Orlando. DOI: 10.2514/6.1993-2906. [4] Menter, F.R., 1994. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications. In: AIAA-Journal, Vol. 32, No. 8, pp. 1598-1605. DOI: 10.2514/3.12149. [5] Menter, F.R., Langtry, R.B., Likki, S.R., Suzen, Y.B., Huang, P.G., and Völker, S., 2004. A Correlation based Transition Model using Local Variables Part 1- Model Formulation. In: ASME-GT2004-53452, ASME TURBO EXPO, Austria: Vienna. DOI: 10.1115/1.2184352. [6] Menter, F.R., 2012. Best Practice: Scale-Resolving Simulations in ANSYS CFD. Version 1.0. http://www.ansys.com/staticassets/ANSYS/staticassets/resourcelibrary/techbrief/tb-best-practices-scaleresolving-models.pdf [7] Nicoud, F. and Ducros, F., 1999. Subgrid-Scale Stress Modelling Based on the Square of the Velocity Gradient Tensor Flow. In: Turbulence and Combustion. Vol. 62, Issue 3, pp. 183–200. DOI: 10.1023/A:1009995426001. [8] Wilcox, D.C., 2006. Turbulence Modeling for CFD. 3rd edition. La Canada CA: DCW Industries, Inc. DOI: 10.1017/S0022112095211388. [9] Wilcox, D.C., 1986. Multiscale model for turbulent flows. In: AIAA 24th Aerospace Sciences Meeting. American Institute of Aeronautics and Astronautics. ISBN: 978-1-84821-001-1. [10] Wilcox, D.C., 2008. Formulation of the k-omega Turbulence Model Revisited. In: AIAA Journal, Vol. 46, No. 11, pp. 2823-2838. DOI: 10.2514/1.36541. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NONLINEAR PROBABILISTIC ANALYSIS OF THE FAILURE PRESSURE OF NPP HERMETIC COVER J. Králik1, J. Králik,jr.2, M. Klabník3 and A. Grmanová4 Abstract This paper describes the nonlinear probabilistic analysis of the failure pressure of the hermetic cover of the reactor box of the nuclear power plant under a high internal overpressure and temperature. The scenario of the hard accident in NPP and the methodology of the calculation of the fragility curve of the failure overpressure using the probabilistic safety assessment PSA 2 level is presented. The failure criterion of the steel structures using Von Mises plastic criterion with the multilinear kinematic hardening stress-strain relations for the various level of the temperatures and the degradation of the strength were considered. The fragility curve of the failure pressure was determined using 45 probabilistic simulations using the response surface method (RSM) with the experimental design CCD for 106 Monte Carlo simulations for each model and 5 level of the overpressure. The model and resistance uncertainties were taken into account in the response surface method. Key Words Nuclear Power Plant, Hermetic cover, Nonlinearity, Fragility curve, PSA, RSM, ANSYS. 1 INTRODUCTION After the accident of nuclear power plant (NPP) in Fukushimi [3] the IAEA in Vienna adopted a large-scale project "Stress Tests of NPP", which defines new requirements for the verification of the safety and reliability of NPP under extreme effects of internal and external environments and the technology accidents [1]. The experience from these activities will be used to develop a methodology in the frame of the project ALLEGRO, which is focused to the experimental research reactor of 4th generation with a fast neutron core. This project is a regional (V4 Group) project of European interest. The safety documents of NRC [22 and 23] , IAEA [7] and NRA in Slovakia [16 and 21], initiate the requirements to verify the hermetic structures of NPP loaded by two combinations of the extreme actions. First extreme loads are considered for the probability of exceedance 10-4 by year and second for 10-2 by year. Other action effects are considered as the characteristic loads during the accident. In the case of the loss-of-coolant accident (LOCA) the steam pressure expands from the reactor hall to the bubble condenser [12 and 15]. The reactor and the bubble condenser reinforced structures with steel liner and 1 Prof.Ing.J.Králik,CSc. Faculty of Civil Engineering STU in Bratislava, 810 05 Bratislava, Radlinského juraj.kralik@stuba.sk. 2 Ing.J.Králik,PhD. Faculty of Architecture STU in Bratislava, 812 45 Bratislava, Námestie slobody kralik@fa.stuba.sk. 3 Ing.M.Klabník, Faculty of Civil Engineering STU in Bratislava, 810 05 Bratislava, Radlinského maros.klabnik@stuba.sk. 4 Mgr.A.Grmanová, Faculty of Civil Engineering STU in Bratislava, 810 05 Bratislava, Radlinského alzbeta.grmanova@stuba.sk 11, 19 11, 11, 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava steel hermetic covers are the critical structures of the NPP hermetic zone [14, 15, 16 and 17]. Next, one from the critical technology structures is the reactor hermetic cover. Fig. 1. Section plane of the NPP with reactor VVER440/213 2 SCENARIO OF THE ACCIDENT The previous analysis was achieved for the overpressure value of 100kPa due to design basic accident (DBA), which corresponds of the loss of coolant accident due to guillotine cutting of the coolant pipe [12]. When the barbotage tower operates in the partial or zero performance the overpressure is equal to the 150 - 300 kPa. The ENEL propose the maximum temperature in the reactor shaft is equal about to 1.800oC and in the containment around the reactor shaft is equal about to 350oC [15 and 17]. The possibility of the temperature increasing to the containment failure state is considered in the scenario too. In the case of the hard accident the overpressure can be increased linearly and the internal and external temperature are constant. Three types of the scenarios were considered (Tab.1). Type Duration I. II. III. 1hour - 1day 2hours - 7days 1year Overpressure in HZ [kPa] 150 250 - Extreme internal temperatures [oC] 127 150 80 - 120 Tab. 1. The assumed scenarios of the accidents in the hermetic zone The critical was the accident during 7 days with the overpressure 250kPa, internal temperature 150oC and external temperature -28oC. 3 CALCULATION MODEL The technology segments of the NPP hermetic zone are made from the steel. The hermetic steel covering of the box of the steam generator (SG) is shown in Fig.2. The rectangular steel covering (SG shielding plate) is made from the steel material No.422430. The shielding cover is fitted in the steel frame cast in the reinforced concrete plate and sealed to the frame with double rubber packing of 15 mm in width. The shielding cover is provided with 18 mechanical closures along the circumference (Fig.3-5). The original closure segment is made from two materials - material No.422430 for fasteners, material No.11700 for sliders (Tab.2). 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings T [oC] fap.T [MPa] fay.T [MPa] E [GPa] α.106 [1/K] 20 -/335 300/540 144/206 12 October 2015, Bratislava Steel material STN422430/STN11700 27 56 -/330 -/324 298/537 295/533 143/204 142/201 12 12 127 -/310 289/524 140/195 13 Tab. 2. The temperature depended material properties in accordance with the standards Fig. 2. Situation of the hermetic cover of the SG box at level +18,90m 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The finite element model of the reactor hermetic cover was created in software ANSYS by the 3D solid (SOLID185) and surface elements (SURF154). The surface load is defined using 3D structural surface elements (SURF154). The contact element (CE) and links (CP) were used for the joint connection. The FEM model consist 261.514 solid and surface elements with 51.362 nodes. Fig. 3. SG Shielding Plate Structure– T 481 3JEC11-16JS001 (View) Fig. 4. SG Shielding Plate Structure – T 481 3JEC11-16JS001 (Sectional View) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig.5. SG Shielding Plate Structure – Photo Fig.6. FEM model of the SG shielding plate Fig.7. Solid and FEM model of the mechanical closure segment 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava ACCEPTANCE CRITERIA In the case of the nonlinear analysis the thermal depended material properties are used following the input data for material 08CH18N10T defined in standard CSN 413240, CSN 411700, CSN 413230, CSN 413240 and NTD SAI Section II. The criterion for the max. stress values is limited by the HMH plastic potential [10 and 12]. The failure of the steel structure is limited by the max. strain values or by the stability of the nonlinear solution [12]. The standard STN EN 1993 1-2 [6] define following characteristic values of the strain for the structural steel: - yield strain H ay ,T 0, 02 - ultimate strain H au ,T 0,15 - max. limite strain H ae ,T 0, 20 Fig. 8. Stress-strain relationship of the steel dependent on temperature [6] The stress-strain relationship for the steel (Fig.8) are considered in accordance of Eurocode [6] on dependency of temperature level for heating rates between 2 and 50K/min . In the case of the steel the stress-strain diagram is divided on four regions The stress-strain relation V a ,T | H a ,T are defined in following form in region I: V a ,T Ea ,T H a ,T , Ea ,T k E ,T Ea , (1) where the reduction factor k E ,T can be chosen according to the values in steel standards [6]. In region II : V a ,T f ay  c  b 2 b 2 a  H ay ,T  H a ,T a Ea ,T H ay ,T  H ap ,T c  c , 2 2 a2 , c H ay ,T  H ap ,T H ay ,T  H ap ,T  c Ea ,T , f ay ,T  f ap ,T 2 Ea ,T H ay ,T  H ap ,T  2 f ay ,T  f ap ,T (2) and in region III : V a ,T 5 f ay ,T (3) NONLINEAR ANALYSIS The nonlinear analysis based on potential theory considering the isotropic material properties was made for the solid elements SOLID185 in the FEM model. The steel is typical isotropic material. The elastic-plastic behaviour of the isotropic materials is described by the HMH yield criterion. Consequently the stress-strain relations are obtained from the following relations [12] 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings ^dV ` > Del @ ^d H `  ^d H pl ` wQ ½ · ¾¸ ¯ wV ¿ ¹ § > Del @ ¨ ^d H `  d O ­® © October 2015, Bratislava or ^d V ` ª¬ Dep º¼ ^d H ` (4) where ª¬ Dep º¼ is elastic-plastic matrix in the form ª¬ Dep º¼ > De @  T w Q ½ ­w F ½ ¾® ¾ > De @ ¯ wV ¿ ¯ wV ¿ > De @ ­® (5) T ­w F ½ ­w Q ½ A ® ¾ > De @ ® ¾ ¯ wV ¿ ¯ wV ¿ The hardening parameter A depends on the yield function and model of hardening (isotropic or kinematic). Huber-Mises-Hencky (HMH) define the yield function in the form V eq where VT N , (6) V eq is equivalent stress in the point and V o N is yield stress depends on the hardening. In the case of kinematic hardening by Prager (versus Ziegler) and the ideal Bauschinger’s effect is given 2 2 V Hc 9E T A (7) The hardening modulus H’ for this material is defined in the form dV eq Hc dH p eq dV T d H epq (8) When this criterion is used with the isotropic hardening option, the yield function is given by: ^V ` > M @^V `  V o T F V H ep (9) 0 where V o H ep is the reference yield stress, H ep is the equivalent plastic strain and the matrix [M] is as follows >M @ ª1 «0 « «0 « «0 «0 « «¬0 0 0 0 0 0º 1 0 0 0 0 »» 0 1 0 0 0» » 0 0 2 0 0» 0 0 0 2 0» » 0 0 0 0 2 »¼ (10) On the base of the elastic-plastic theory and the HMH function of plasticity the extreme strain and stress of the reactor cover for the accident scenario type II are presented in the table 3. H1 H2 H3 22605 23624 H int H eqv Minimum values of strain Node Value 2 -0.44639e-04 -0.94024e-03 -0.17660e-02 1763 834 0.20714e-04 0.32091e-04 23608 23608 0.25981e-02 0.17142e-02 Maximum values of strain Node Value 32595 0.97723e-03 5183 0.13713e-03 43555 -0.73232e-05 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings Node V1 V2 V3 October 2015, Bratislava V eqv V i nt Minimum values of stress [MPa] Node 23624 14905 23624 41707 41707 Value -76.913 -189.11 -276.25 3.2086 2.7790 Maximum values of stress [MPa] Node 3202 5183 5305 23608 23608 Value 104.04 37.371 12.807 206.40 179.69 Tab.3. Extreme stress-strain values of the SG shielding plate for the accident scenario type II Fig.9. Efective stress and strain on the SG shielding plate Fig.10. Efective stress and strain on the mechanical closure of the SG shielding plate 6 PROBABILITY NONLINEAR ASSESSMENT The probabilistic methods are very effective to analyse of the safety and reliability of the structures considering the uncertainties of the input data [2, 4 – 20, 22, 24, 25 and 26]. The probability analysis of the loss of the reactor cover integrity was made for the overpressure loads from 2.500 kPa to 6.500 kPa using the nonlinear solution of the static equilibrium considering the geometric and material nonlinearities of the steel shell and beam elements. The probability nonlinear analysis of the technology segments is based on the proposition that 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava the relation between the input and output data can be approximated by the approximation function in the form of the polynomial [10, 12 and 13]. The full probabilistic assessment was used to get the probability of technology segment failure. The safety of the technology segments was determined by the safety function SF in the form [5] SF E R 0 d SF  1 and (11) where E is the action function and R is the resistance function. The reliability function RF is defined in the form RF g R, E 1  SF RE !0 (12) where g R, E is the reliability function. The probability of failure can be defined by the simple expression P>R  E@ Pf P ª¬ R  E  0 º¼ (13) The reliability function RF can be expressed generally as a function of the stochastic parameters X1, X2 to Xn, used in the calculation of R and E. RF g ( X 1 , X 2 , ..., X n ) (14) The failure function g({X}) represents the condition (capacity margin) of the reliability, which can be either an explicit or implicit function of the stochastic parameters and can be single (defined on one cross-section) or complex (defined on several cross-sections, e.g., on a complex finite element model). In the case of the nonlinear analysis the correct solution of the elastic-plastic behaviour of the structures is determined by the function plasticity. The HMH function of the plasticity was used for the nonlinear solution of the steel technology segments. This plasticity function is defined in the form R where the effective stress fy and V ef , E (15) V ef (Von Mises stress) is defined as follows V ef §1ª ¨ ¬ V1  V 2 ©2 2  V 2  V1 2  V 3  V1 2 1 2 º ·¸ , ¼¹ (16) The failure of the steel technology segments in the frame of the PSA analysis is defined by the ultilimite values of the maximal strain deformation. This failure function is defined in the form R H a y ,T and E H ef , (17) where the effective strain H ef (Von Mises strain) is defined as follows H ef 1 §1ª H1  H 2 ¨ 1 Q c © 2 ¬ 2  H 2  H1 2  H 3  H1 2 1 2 º ·¸ , ¼¹ (18) where Q c s the effective poisson constant. The failure probability is calculated from the evaluation of the statistical parameters and theoretical model of the probability distribution of the reliability function Z = g(X) using the simulation methods. The failure probability is defined as the best estimation on the base of numerical simulations in the form pf 1 N N ¦I ª¬ g i 1 X i d 0 º¼ (19) where N in the number of simulations, g(.) is the failure function, I[.] is the function with value 1, if the condition in the square bracket is fulfilled, otherwise is equal 0. The full probabilistic method result from the nonlinear analysis of the series simulated cases considered the uncertainties of the input data. The various simulation methods (direct, modified or approximation methods) can be used for the consideration of the influences of the uncertainty of the input data [13]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava In case of the nonlinear analysis of the full FEM model the approximation method RSM (Response surface method) is the most effective method [13]. The RSM is a method for constructing global approximations to system behavior based on results calculated at various points in the design space (Fig.11). This method is based on the assumption that it is possible to define the dependency between the variable input and the output data through the approximation functions in the following form: Y N N i 1 i 1 N 1 N co  ¦ ci X i  ¦ cii X i2  ¦ ¦ cij X i X j (20) i 1 j !i where co is the index of the constant member; ci are the indices of the linear member and cij the indices of the quadratic member, which are given for predetermined schemes for the optimal distribution of the variables or for using the regression analysis after calculating the response. Approximate polynomial coefficients are given from the condition of the error minimum, usually by the "Central Composite Design Sampling" (CCD) method or the "Box-Behnken Matrix Sampling" (BBM) method [10]. The philosophy of the RSM method is presented in Fig.11. The original system of the global surface is discretized using approximation function. The design of the experiment determines the polynomic coefficients. Fig.11. Scheme of the RSM approximation method with the CCD design experiment The computation efficiency of the experimental design depends on the number of design points, which must be at least equal to the number of the unknown coefficients. In the classical design approach, a regression analysis is carried out to formulate the response surface after calculating the responses at the sampling points. These points should have at least 3 levels for each variable to fit the second-order polynomial, leading to 3k factorial design. This design approach becomes inefficient with the increasing of the number of random variables. More efficient is the central composite design, which was developed by Box and Wilson [10]. The central CCD method is composed of (Figure 5): 1. Factorial portion of design - a complete 2k factorial design (equal -1, +1) 2. Centre point - no centre points, no t1 (generally no =1) 3. Axial portion of design - two points on the axis of each design variable at distanceD from the design centre Then the total number of design points is N = 2k+2k+no, which is much more than the number of the coefficients p = (k+1) (k+2)/2. The true performance function g({X}) or {Y} in Equation (14 and 20) can be represented in the matrix form as ^Y ` > X @^c`  ^H ` (21) where {Y} is the vector of actual responses, and [X] is the matrix of the combination coefficients. The least squares estimates ^ĉ` , defined as co, ci, cii and cij in Equation (21), are obtained by solution of the least square (regression) analysis, i.e. ^cˆ` 1 T T > X @ > X @ > X @ ^Y ` (22) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The design includes several statistical properties such as orthogonality that makes the calculation of [X]T[X] term simple and rotability that insures the uniform precision of the predicted value. The statistical postprocessor compiles the results numerically and graphically in the form of histograms and cumulative distributional functions. The sensibility postprocessor processes the data numerically and graphicall y and provides information about the sensitivity of the variables and about the correlation matrices. On base of experimental design, the unknown coefficients are determined due to the random variables selected within the experimental region. The uncertainty in the random variables can be defined in the model by varying in the arbitrary amount producing the whole experimental region. The total vector of the deformation parameters {rs} in the FEM is defined for the sth-simulation in the form ^rs ` ª¬ K GN Es , FV º¼ 1 ^F ` Gs , Qs , Ps , Ts (23) and the strain vector ^H s ` > Bs @^rs ` (24) where > K GN @ is the nonlinear stiffness matrix depending on the variable parameters Es and FV , FV is the Von Mises yield function defined in the stress components, ^ F ` is the vector of the general forces depending on the variable parameters Gs , Qs , Ps and Ts for the sth-simulation. 7 UNCERTAINTIES OF THE INPUT DATA The uncertainties are coming from the following sources [6, 7, 8, 12, 15, 19, 20, 25 and 26]:  Parameters of material properties. Based on experiments with concrete elements the standard deviation is 11.1%. In case of other materials this value is about 5%.  Assessment of mechanical characteristics error factors are about 8-12%, it depends on the construction material differences used for the different units with VVER 440/213. In some cases it can be conservative, in other cases non-conservative impact.  Uncertainties in the numerical results in the value of 10-15%. In this area we can take into consideration the steel liner with the concrete elements.  Uncertainties arising from the temperatures impact in the value of 10%. Other calculation assumptions 3-5%. The mean values and standard deviations were defined in accordance of the experimental test and design values of the material properties and the action effects [6 and 8] (see Tab.4). Based on the results from the simulated nonlinear analysis of the technology segments and the variability of the input parameters 106 Monte Carlo simulations were performed in the system ANSYS [10]. Quantity Charact. value Variable Mean Histog. type P Material N 1.1 Action effects N 1 GU 0.643 N 1 GU 0.667 Model uncertainties N 1 N 1 Deviat. V[%] Minim. value Maxim. value Strength Fk fvar 6.6 0.774 1.346 Dead load Live load Pressure LOCA Temperature Gk Qk pk Tk gvar qvar pvar tvar 5 22.6 8 14.2 0.808 0.232 0.698 0.402 1.195 1.358 1.333 1.147 Action Resistance Ek Rk evar rvar 5 5 0.813 0.812 1.190 1.201 Tab. 4. Variability of the input parameters 8 PROBABILITY AND SENSITIVITY NONLINEAR ANALYSIS OF COVER The calculation of the probability of the reactor cover failure is based on the results of the nonlinear analysis for various level of the accident pressure and mean values of the material properties. The critical area of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava technology segments defined from the nonlinear deterministic analysis is the mechanical closures. The CCD method of the RSM approximation is based on 45 nonlinear simulations depending on the 6 variable input data. The nonlinear solution for the one simulation consists about the 50 to 150 iteration depending on the scope of the plastic deformations in the calculated structures. The sensitivity analyses give us the informations about the influences of the variable properties of the input data to the output data. These analyses are based on the correlations matrixes [12]. Fig.12. Sensitivity analysis of the safety function of the hermetic cover for overpressure 'p=0.25MPa and 'p=4.25MPa Fig.13. Sensitivity and trend analysis of the safety function of the hermetic cover for uniform distribution of the overpressure 9 FRAGILITY CURVES OF FAILURE PRESSURE The PSA approach to the evaluation of probabilistic pressure capacity involves limit state analyses [5 and 12]. The limit states should represent possible failure modes of the confinement functions. Containment may fail at different locations under different failure modes. Consider two failure modes A and B, each with n fragility curves and respective probabilities pi (i = 1,…,n) and qj (j = 1,…,n). Then the union C=A‰B, the fragility FCij (x) is given by FCij x FAi x  FBj x  FAi x  FBj x (25) where the subscripts i and j indicate one of the n fragility curves for the failure modes and x denote a specific value of the pressure within the containment. The probability pij associated with fragility curve FCij.(x) is given by pi. qj if the median capacities of the failure modes are independent. The result of the intersection term in (25) is FAj.(x) .FBj.(x) when the randomness in the failure mode capacities is independent and min[FAi.(x), FBj.(x)] when the failure modes are perfectly dependent. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 14. Family of fragility curves showing modelling uncertainty The following is and the consequence of an accident depends on the total leak area. Multiple leaks at different locations of the containment (e.g. bellows, hatch, and airlock) may contribute to the total leak area. Using the methodology described above, we can obtain the fragility curves for leak at each location. For a given accident sequence, the induced accident pressure probability distribution, h(x), is known. This is convolved with the fragility curve for each leak location to obtain the probability of leak from that location (PLi). It is understood that there is no break or containment rupture at this pressure. p Li f ³h x ª¬1  Fb x º¼ Fl x dx , (26) 0 where the Fb x is the fragility of break at the location and Fl x is the fragility of leak. The leak is for each location specified as a random variable with a probability distribution. The probability of reactor cover failure is calculated from the probability of the reliability function RF in the form, Pf = P(RF < 0) (27) where the reliability condition RF is defined depending on a steel failure condition as follows RF 1  H ef H a y ,T , (28) The fragility curve of the failure pressure was determined using 45 probabilistic simulations using the RSM approximation method with the experimental design CCD for 106 Monte Carlo simulations for each model and 5 level of the overpressure. The various probabilistic calculations for 5 constant level of overpressure next for the variable overpressure for gauss and uniform distribution were taken out. The failure criterion of the steel structures using HMH plastic criterion with the multilinear kinematic hardening stress-strain relations for the various level of the temperatures and the degradation of the strength were considered. The uncertainty of the input data (Tab.3) and the results of the nonlinear analysis of the technological structures for various level of the accident pressure were taken. The overpressure loads from 2.500kPa to 6.500kPa using the nonlinear solution of the static equilibrium considering the geometric and material nonlinearities of the steel solid and shell layered elements were considered. The recapitulation of the probability of failure calculated by the RSM simulation method is presented in Tab.5 depending on the level of the pressure. Pressure [kPa Probability 2600 3850 4225 4600 5100 6350 7100 0,000000 0,161631 0,476182 0,714367 0,975330 0,999998 1,000000 Tab.5. Probability of the failure of the hermetic cover calculated by the method RSM 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The fragility curve of the SG hermetic steel covering determined by approximation method a RSM with CCD experimental design is presented in graph Fig.15. The idealized fragility curves of the SG hermetic steel covering determined analytically for normal distribution with 5% envelope (Fig.16). Fig.15. Fragility curve of the SG Hermetic steel covering determined by approximation method a RSM with CCD experimental design Fig.16. Fragility curves of the SG Hermetic steel covering determined analytically for normal distribution with 5% envelope 10 CONCLUSIONS This report is based on the methodology of the probabilistic analysis of structures of hermetic zone of NPP with reactor VVER44/213 detailed described in the work [12]. The nonlinear probabilistic analysis of the reactor cover failure is in accordance with the requirements IAEA [7] and NRC [21 and 22], experiences from the similar analysis NPP in abroad [12, 23 and 26], new knowledges from the probabilistic analysis of structures [2, 4, 6, 7, 9, 11, 12-20, 24-26] and our experiences from the previous analysis [12-17]. These analyses go out from the previous results of the monitoring of material properties and NPP structures, as well as from the results of the resistance analysis of the important structural components from the point of the initiated accidents. The structures were analyzed on impact of the extreme loads situation defined in the scenarios of the internal accidents. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava According to the nonlinear deterministic analysis were defined the most critical structural components for which the values of the failure pressure of the accident are determined on base of the best estimation. We propose from the supposition that the loss of containment integrity occur and the performance of the NPP can be unsafe. The critical elements were identified taking into consideration also uncertainties of the input data in the results. The nonlinear analysis of the loss of the hermetic cover integrity was made for the overpressure loads from 2.500kPa – 6.500kPa using the nonlinear solution of the static equilibrium considering the geometric and material nonlinearities of the steel shell and solid elements. The nonlinear analyses were performed in the ANSYS program using the HMH plastic condition [10]. The standard STN EN 1993 1-2 [6] define characteristic values of the strain for the structural steel - yield strain and ultimate strain. The recapitulation of the capacity check based on deterministic analysis is presented in Tab.2. The uncertainties of the loads level (temperature, dead and live loads), the material model of the steel structures as well as the inaccuracy of the calculation model and the numerical methods [12 and 16] were taken into account in the approximation RSM method for CCD experimental design and 106 Monte Carlo simulations. The value of the failure pressure of the hermetic cover for the probability 5% is equal to pu.0,05=2986.7kPa. The mean value of pressure capacity is equal to pu.0,50=4262.5kPa and the 95% upper bound is pu.0,95=5051.5kPa. ACKNOWLEDGEMENTS The project was performed with the financial support of the Grant Agency of the Slovak Republic (VEGA 1/1039/12) REFERENCES [1] ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section III, Div. 1, Appendix F, “Rules for Evaluation of Service Loadings with Level D Service Limits,” American Society of Mechanical Engineers, 1998. [2] ČAJKA, R. KREJSA,M. Measured Data Processing in Civil Structure Using the DOProC, Method, Advanced Materials Research Vol. 859, p. 114-121, DOI 10.4028/www.scientific.net/ AMR.859.114, December, 2013 . [3] ENSREG, Post-Fukushima accident. Action Plan. Follow-up of the peer review of the stress tests performed on European nuclear power plants, 2012. [4] GOTTWALD, J. and KALA, Z., Sensitivity analysis of tangential digging forces of the bucket wheel excavator SchRs 1320 for different terraces. Journal of Civil Engineering and Management, 18:5, (2012), 609-620. [5] HALDAR, A. and MAHADEVAN, S., 2000. Probability, Reliability and Statistical Methods in Engineering Design, John Wiley & Sons, New York. [6] HANBOOK 5. Implementation of Eurocodes Reliability Backgrounds. Design of Buildings for the Fire Situation. Development of Skills Facilitating Implementation of Eurocodes. Leonardo Da Vinci Pilot Project CZ/02/B/F/PP-134007. Prague, CR, 10.2005. [7] IAEA, Safety Series No. SSG-4, Development and Application of Level 2 Probabilistic Safety Assessment for Nuclear Power Plants, Vienna, 2010. [8] JCSS 2011. JCSS Probabilistic Model Code. Zurich: Joint Committee on Structural Safety. <www.jcss.byg.dtu.dk>. [9] KALA, Z. Sensitivity analysis of steel plane frames with initial imperfections, Engineering Structures, 33, 8, pp.2342-2349, 2011. [10] KOHNKE, P. ANSYS, Theory, SAS IP Inc. Canonsburg, 2008. [11] KONECNY, P. & BROZOVSKY, J. & KRIVY, V. Simulation Based Reliability Assessment Method using Parallel Computing. In Proceedings of 1st International Conference on Parallel, Distributed and 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Grid Computing for Engineering, Civil Comp Proceedings, 2009, issue 90, pp. 542–549 (8 p), ISSN: 17593433 [12] KRÁLIK,J. Safety and Reliability of Nuclear Power Buildings in Slovakia. Earthquake-Impact-Explosion. Ed. STU Bratislava, 2009, 307pp. ISBN 978-80-227-3112-6. [13] KRÁLIK,J. Reliability Analysis of Structures Using Stochastic Finite Element Method, Ed. STU Bratislava, 2009, 143pp. ISBN 978-80-227-3130-0. [14] KRÁLIK,J. Probabilistic Safety Analysis of the Nuclear Power Plants in Slovakia. In: Journal of KONBiN, Safety and Reliability Systems, Ed. VERSITA Central European Science Publishers, Warszawa, ISSN 1895-8281, No 2,3 (14, 15) 2010, pp. 35-48. [15] KRÁLIK,J. et al. Structural Reliability for Containment of VVER 440/213 Type, In Safety and Reliability: Methodology and Applications - Nowakowski et al. (Eds) © 2015 Taylor & Francis Group, London, p.2279-2286. [16] KRÁLIK,J. Safety and Reliability of NPP in Slovakia within IAEA Project “Stress Tests”, In Workshop “Visegrad Integration of Research in Mechanics of Material”, Czestochowa, 8-9 July 2015, 16 pp. [17] KRÁLIK,J. and KRÁLIK,J.jr. Probabilistic Nonlinear Analysis of Bubble Tower Structure due to Extreme Pressure and Temperature, in Proc. Archive of EM2015, Applied Mechanics and Materials, Trans Tech Publications, Switzerland, in Press, September 2015. [18] KREJSA, M. Probabilistic failure analysis of steel structures exposed to fatigue, In. Key Engineering Materials, Vol. 577-578, 2014, Pp. 101-104. [19] KREJSA, M. and KRÁLIK,J. Probabilistic Computational Methods in Structural Failure Analysis. In Proc. 14th International Conference on Fracture and Damage Mechanics, 21-23 September 2015, Montenegro. [20] NOVÁK, D. BERGMEISTER, K. PUKL, R. ČERVENKA, V., Structural assessment and reliabilit y analysis for existing engineering structures, Theoretical background. Structure and infrastructure engineering, Vol. 9, No. 2, 2009, pp. 267-275. [21] NRA SR, The Stress Tests for Nuclear Power Plants in Slovakia, sept. 2011, Report NRA Bratislava. [22] NRC, RG 1.200, An Approach for Determining the Technical Adequacy of Probabilistic Risk Assessment Results for Risk-Informed Activities, U.S. Nuclear Regulatory Commission, Washington, DC. 2009. [23] NUREG/CR-6906, Containment Integrity Research at Sandia National Laboratories, An Overview, Sandia National Laboratories, SAND2006-2274P, US NRC Washington, July 2006. [24] SUCHARDOVÁ, P., BERNATÍK, A., SUCHARDA, O., 2012. Assessment of loss results by means of multi - Criteria analysis. In: Advances in Safety, Reliability and Risk Management - Proc. of the European Safety and Reliability Conference, ESREL 2011. London: CRC Press-Taylor & Francis group, pp. 15631570. ISBN 978-0-415-68379-1. [25] SÝKORA,M. HOLICKÝ,M. Assessment of Uncertainties in Mechanical Models, Applied Mechanics and Materials, Vol. 378 (2013) pp 13-18, © (2013) Trans Tech Publications, Switzerland, doi:10.4028/www. scientific.net/AMM.378.13. [26] VEJVODA, S., KERŠNER, Z., NOVÁK, D. & TEPLÝ, B. 2003, Probabilistic Safety Assessment of the Steam Generator Cover, In Proc. of the 17th International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology (SMiRT 17), Prague, Czech Republic, August 17-22, in CD, M04-4, 10 pp. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS INFLUENCE OF THE DIAMETER OF THE REINFORCEMENT ON THE LOAD-BEARING CAPACITY OF THE BOTTOM REINFORCEMENT BARS PASSING OVER THE COLUMN B. Wieczorek1 Abstract The paper presents the results of laboratory tests performed on a simplified model of a slab-column connection. The aim of the investigations was to determine the value of the load at which the destruction of such a connection occurs due to a rupture of the bars above the column. In respective models the column was situated axially or eccentrically with respect to span of bars. In each case the reinforcement passing above the column consisted of bars with diameter of ø8 mm, ø12 mm or ø16 mm. The obtained results of laboratory tests and calculations permitted to determine the relations between the exerted load and the displacement of the column in time and were compared with the guidelines contained in the standards CSA A23.3 and ACI 352.1R. Based on the results, the reduction of the load-bearing capacity of the reinforcing bars due to bending was determined. Key Words Reinforced concrete structure, slab-column connections, structural integrity reinforcement, progressive collapse, experimental research. 1 INTRODUCTION The lack of a properly constructed reinforcement in reinforced concrete slab-column structures has often lead to collapse of such structures, causing their complete destruction. Such cases of collapse took place in Boston, Mexico, Florida, Mexico City, Warsaw, Switzerland etc. The slab-column connections are especially prone to failure resulting from unexpected load – as a result of punching the load capacity of such connection decreases. The only possible protection from a progressive collapse is guaranteed by an integrity reinforcement. European EC2 standards [3] point at the necessity to use this type of reinforcement; however, they do not contain any particular instructions in this matter. Some suggestions thereof are provided in the Canadian standard CSA A23.3 and the recommendation concerning the American standard ACI 352.1R. These regulations recommend to use the integrity reinforcement in the form of bottom reinforcing bars passing directly above the column. The analysis of the behaviour of the load-bearing zone in slab-concrete structures in the scope of the failure is significant due to the safety of utilizing such constructions. In the case of failure of the support zone by punching the structure should be designed in a way preventing the progression of the collapse. Literature contains many case studies of punching failure in reinforced concrete constructions. The case studies deal both with laboratory tests and collapses of existing objects. Various calculation methods developed in this field have been standardized and currently constitute guidelines for designing this type of structures. However, there are only a few papers in which the behaviour of slab-column connections after punching is analysed. 1 Barbara Wieczorek, PhD. Eng.: Department of Theory of Building Structures, Faculty of Civil Engineering, Silesian University of Technology, Akademicka 5 st.,44-100 Gliwice, PL, barbara.wieczorek@polsl.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Research in this field was conducted by Melo and Regan [5], Mirzaei [6], Hawkins and Mitchell [4] and Muttoni [7] with his team. In their publications, the authors presented investigations concerning the post-punching behaviour of reinforced concrete slab-column connections, which were conducted exclusively on models of the internal columns and in the 1:2 scale. In order to accurately assess the reserve of the load capacity of the supporting zone after its destruction due to punching, reinforced concrete models of slab-column connections have been investigated in the scale 1:1 [8]. During the investigations the column was placed in three different positions in relation to the centre of the slab, not only axially, but also on the unidirectional and bidirectional eccentricity. The investigations allowed to determine the actual load-bearing capacity of the slab-column connection after punching and justified the use of integrity reinforcement. Similar observations were reached by M. Wieczorek in laboratory investigations concerning a slab-column structure in the scale 1:2. The models used in the tests were a nine-field reinforced concrete slab with the dimensions 9300×9300×100 mm [11] and a slab with the dimensions 4000×4000×100 mm [12]. The aim of the investigations was to determine the mechanism of destruction of the corner part of a slab-column structure caused by the removal of the support, depending on the applied reinforcement. In these models an integrity reinforcement was used, both in internal and edge support zones; however, its load-bearing capacity at the moment of the destruction was not determined. The technical and engineering procedure of modelling flat-slab connections of reinforced concrete slab-column structures is presented in [13]. In order to verify the assumption of possible simplifications in the tested models on the internal slab-column connection a research was conducted on simplified models [9]. Similarly to basic models, the column has been placed in three different positions and the load-bearing capacity of bars crossing directly above the column was determined. The compatibility of the results not exceeding 5% justifies the statement that the results of research on load-bearing capacity of slab-column connections on the basis of simplified models provide a fairly exact approximation. On the basis of the investigations of simplified models a numerical model was developed [10]. Based on this, a simplified model was suggested that was adequate to the situation when an integrity reinforcement in the form of two bars passing over the column parallel to the edge of the slab was used. 2 DESCRIPTION OF THE INVESTIGATED MODELS The performed investigations concerned a simplified model which consisted of a column with a cross-section of 40×40 cm and a height of 50 cm, on which two bars at a spacing of 180 mm were placed. a) b) Fig. 1. Model situated on the test stand: a) before the test, b) during the tests Models varied from each other with respect to the position of the column and the diameter of the applied reinforcement. The column was situated axially or eccentrically with respect to span of bars, which had a length of 3.7 m. The offset of the column situated eccentrically amounted to 283 mm. Reinforcements with diameters of ø8 mm, ø12 mm and ø16 mm have been assumed. The diameters of the bars were chosen so that between the area of the cross-sections of the respective bars displayed the following relation: the field of the bar with a diameter of ø12 mm is 2.25 times larger than the field of the bar ø8 mm in diameter, whereas the field of the bar with a diameter of ø16 mm is four times larger than that of the bar with a diameter of ø8 mm. In each model, the reinforcement passing above the column was made of reinforcing steel class C in compliance with EC2 [3]. Namely, the total elongation at the maximum force εuk is greater than 7.5%, the relation ftk/fyk is contained within the range 1.15÷1.35 and the yield point exceeds fyk in the case of both diameters 400 MPa. The mean results of investigations (results concerning 6 rough samples) have been gathered in Tab. 1 and presented in Fig. 1. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava [mm] Module of elasticity E [GPa] Yield strength fyk [MPa] Tensile strength ftk [MPa] Total elongation at maximum force εuk [%] Total force at breaking of the bar Ftk [kN] ø8 ø12 ø16 199.138 199.138 199.138 533.3 570.7 547.0 611.4 652.5 654.5 20.7 14.6 13.1 30.75 73.73 131.25 Diameter of the bar Tab. 1. Mechanical parameters of rough bars, tested in compliance with PN-EN 10002-1:1998 [3] Fig. 1. Relations σ–ε attained in the case of rough reinforcement bars 3 DESCRIPTION OF THE TEST STAND The investigations were carried out on a test stand (Fig. 1) which could convey not only external vertical and horizontal forces. This test stand is equipped with an additional structure which ensures a vertical positioning of the column, independent of asymmetrically imposed forces. The element of the column it situated in a special ferrule of steel, and its vertical motion is effected by a system of rolls. The column has been set to the hydraulic servo-motor. The bars of the reinforcement, crossed above the column were anchored by means of the special clamps in the test stand, so that they could take over considerable forces caused by movements of the column. The models were loaded by exerting on the base of the column a concentrated force induced by a hydraulic servo-motor (within the range up to 1200 kN and with a line feed up to 1200 mm), complying with the diagram presented in Fig. 3. The forces causing the vertical displacement of the column were applied monotonically. Fig. 3. Diagram of the load exerted on the model – view of the side for the model with column situated axially and eccentrically Due to the displacement the bars were simultaneously elongated and bent. During the test some parts of the concrete near the bars were loosed. As a result, the bars were supported on hollowed arcs, attaining the characteristic curvature of the bending. In the final stage of the investigations, a constriction of the bars was observed in the vicinity of the bending. This test was continued until one or two of the bars ruptured. Then the stability of the entire model towards the test stand was lost. The view of the model after the test, showing the ruptured bars is presented in Fig. 4. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Fig. 4. View of the model after the test 4 RESULTS OF INVESTIGATIONS Six types of models have been tested, each with three test series. In the course of investigations the displacement of the column and the load exerted on its base were measured automatically using apparatus for continuous measurement in time. The performed measurements made it possible to determine the dependence existing between the applied load and the displacement of the column in time, taking into account the value of the force (Fig. 5). Additionally, the values of the loading force Fmax and the corresponding displacement column umax were determined accurately at the moment of the rupture of each of the bars crossing over the column (Tab. 2). Fig. 2. Diagrams of changes in the displacement of the column as a function of the load Diameter of the bar ø8 ø12 ø16 Force Fcal [kN] 53.62 129.09 219.97 Force Fmax [kN] 49.76 113.29 201.46 Model with column situated axially eccentrically Displacement of the column Force Displacement of the column umax [mm] Fmax [kN] umax [mm] 508.60 45.72 452.24 487.99 92.62 395.17 495.41 157.86 378.34 Tab. 2. Specification of the values of forces and displacements for the models 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 5 October 2015, Bratislava CONCLUSIONS Practically, the situation of the structure in the state of a breakdown is rather rarely analyzed. Due to the factors mentioned in the introduction, however, a situation may occur which might be at least theoretically avoided by applying a crossing reinforcement above the column, as suggested in [1], [2]. The aim of using such reinforcement is to prevent a further development of the collapse when the supporting zone has been destroyed due to its punching. The obtained maximum forces in the slab-column connection at the time of breaking down the reinforcement bar Fmax were less than the values Fcal , calculated in compliance with the standard CSA A23.3 [2] and ACI 352.1R [1]. This may lead to a dangerous overestimation of the calculated load capacity in this phase of behaviour of the structure. This problem requires further investigations. In the light of the performed investigations, the inclination angle of reinforcement bars with a value of 30° suggested in standards is too large. In the tests the obtained values of this angle amounted to 23°-27°. The results obtained additionally from the comparison of the forces Fcal and Fmax indicate that the load-bearing capacity of the connection is reduced by about 7% to 12.5% in the case of the axial position of the column and about 14% to 28.5% in the case of the eccentric position of the column. The values of the axial force Fn in a single bar at the moment of its rupture compared with the maximum load-bearing capacity of this bar Ftk indicate that due to bending the load-bearing capacity of the connection is reduced by about 2.5% to 6%. REFERENCES [1] ACI 352.1R-89: Recommendations for design of slab-column connections in monolithic reinforced concrete structures, American Concrete Institute, ACI-ASCE Committee 352, USA, 1988, 22 pp.. [2] CSA Standard A23.3-04: Design of concrete structures, Canadian Standard Association, 2004. [3] PN-EN 1992-1-1: 2004/AC: Eurocode 2, Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, European Standard, 2010. [4] Hawkins N.M., Mitchell D.: Progressive collapse of flat plate structures. Journal of the American Concrete Institute, 76(7), 1979. [5] Melo G., Regan, P.. Post-punching resistance of connections between flat slabs and interior columns. Magazine of Concrete Research, 50(4), 1998. [6] Mirzaei Y.: Post-punching behavior of reinforced concrete slabs, School of Architecture, Civil and Environmental Engineering, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL), Switzerland, 2010. [7] Sagaseta J., Muttoni A., Fernandez Ruiz M., Tassinari L.: Non-axis-symmetrical punching shear around internal columns of RC slabs without transverse reinforcement. Magazine of Concrete Research, Paper 1000098, UK, 2011. [8] Wieczorek B.: Influence of the location of the column on the load capacity of a slab-column connection for the inner column after punching, Procedia Engineering, Vol. 57, 2013. [9] Wieczorek B.: Idea of a simplified model to determination of the load capacity of an inner slab-column connection after its punching, Procedia Engineering, Vol. 65, 2013. [10] Wieczorek B.: Load-bearing capacity of reinforcing bars in the zone of the slab-column connection determined experimentally and in the result of numerical calculations, Procedia Engineering, Vol. 65, 2013. [11] Wieczorek M.: Influence of amount and arrangement of reinforcement on the mechanism of destruction of the corner part of a slab-column structure, Procedia Engineering, Vol. 57, 2013. [12] Wieczorek M.: Investigations concerning the corner part of the reinforced concrete structure in the emergency of removing the corner support, Procedia Engineering, Vol. 65, 2013. [13] Wieczorek M.: Concept of shell-beam model of slab-column connection based on analysis of the 3D model, Procedia Engineering, Vol. 65, 2013. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS THEORETICAL METHOD OF CALCULATION TO DETERMINATION OF AXIAL FORCE IN A REINFORCING BAR IN THE COURSE OF ITS DEFORMATION B. Wieczorek1 Abstract The article deals with the analysis of the problem of the load-bearing capacity of reinforcing bars placed above the columns in slab-column connections of reinforced concrete structures. Failure of the support zone by punching and lack of proper structural integrity reinforcement can lead to a progressive collapse. The EC2 standard guidelines recommend the use of integrity reinforcement, however, they lack any instructions concerning the amount of necessary reinforcement. The article presents a theoretical calculation model that permits a more detailed analysis of internal forces in reinforcing bars located directly above the column. Adopting a solution in the form of exact equations makes it possible to take into account the influence of a non-linear change of the bar stiffness and considerable deflections. The calculation model is based on the results of experimental investigations. On the basis of a theoretical model it is possible to estimate the tensile force of the bar at which the bars located directly in the support zone are ruptured. Key Words Reinforced concrete structure, slab-column connections, structural integrity reinforcement, experimental research, theoretical model of calculation. 1 INTRODUCTION The behaviour of reinforced concrete slab-column structures under the impact of accidental loading is very significant due to safety reasons. The failure of the support zone by punching and lack of proper structural integrity reinforcement can lead to a progressive collapse. However, the instructions on how to prevent such situations are not very detailed. According to the guidelines of standard EC2 [4], the structural integrity reinforcement should be continuous throughout the length and consist of at least two bars above the column in every perpendicular direction, but does not state the amount of necessary reinforcement. Some computational procedures of this issue are taken into consideration only in the Model Code 2010 [3] and in the Canadian [2] and American [1] standards. Therefore, the recognition of the behaviour of reinforced concrete slab-column structures under the impact of accidental loading is very significant due to safety reasons. There are only a few known research programs that were conducted with the aim of investigating the post-failure behaviour of slab-column structures. This type of investigations conducted on a 9-field slab confirmed the necessity to use the integrity reinforcement. The research results, and also the technical and engineering procedure of modelling were presented in literature [11] [12]. The application of continuous bottom reinforcement was recommended by Mitchell [5] [6] [8] as a practical and economical solution. In order to 1 Barbara Wieczorek, PhD. Eng.: Department of Theory of Building Structures, Faculty of Civil Engineering, Silesian University of Technology, Akademicka 5 st.,44-100 Gliwice, PL, barbara.wieczorek@polsl.pl 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava identify the type of failure and predict the post-punching resistance, Melo and Regan [7] reported tests of slabs. Whereas, Mirzaei investigated the influence of the top and bottom reinforcement, the size of the reinforcing bars, the layout of the reinforcement and the stress-strain characteristics of the reinforcement. In order to assess accurately the reserve of the load capacity of the supporting zone after its destruction due to punching, reinforced concrete models of slab-column connections have been investigated in the scale 1:1 [9]. The numerical analysis of this range was presented in [10]. In order to investigate the problem in more detail, a research was conducted on the simplified slab-column connection with an integrity reinforcement. The 5% compatibility of the results in simplified and complete models made it possible to develop a numerical model and the presented theoretical model. 2 DESCRIPTION OF THE SCHEME One of the important aspects of the analysis of the slab-column connection load capacity, especially after punching, is the determination of the distribution of forces in the reinforcing bars passing above the column, both in the moment of rupture and in the entire loading process. The basis for consideration are the results of tests conducted on a simplified model of slab-column connection. The tests included two models, wherein the column was arranged axially and eccentrically with respect to the span of reinforcing bars. Each model included two reinforcing bars with diameters 16 mm, 12 mm and 8 mm respectively. The reinforcing bars were mounted to the test stand, and the load was applied at the base of the column with the use of an actuator. Scheme of the load exerted on the model with the arrangement of forces taken into account in the theoretical model of calculations is presented in Fig. 1. Fig. 1. Scheme of the load exerted on the experimental model During the laboratory test, the applied load and the vertical deflections of the bar were measured. The performed measurements made it possible to determine the dependence existing between the applied load and the displacement of the column in time, taking into account the relation between them. Additionally, the values of the loading force Fmax and the corresponding displacement of the column fmax were determined accurately at the moment of the rupture of one of the bars passing over the column (Tab. 1). Model with column situated axially eccentrically Diameter of the bar Displacement of the column fmax [mm] Force on servo-motor Fmax [kN] Displacement of the column fmax [mm] Force on servo-motor Fmax [kN] ø16 ø12 ø8 495 488 512 201.5 113.3 51.0 378 395 452 157.8 92.6 45.7 Tab. 1. Specification of the values of forces and displacements for the models 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The value of resulting deflections depends not only on the dimensions of the bar, the material properties, the way of mounting the ends of the bar and the value of the load. As a result of deflection, the centre line of the bar becomes elongated on the left and right-hand side of the column in relation to its initial length, measured from the point where the reinforcing bars are fastened to the test stand to the edge of the column. For this reason the value of deflection f depends also on the value of force N that leads to the tensioning of the bar. In cases of considerable deflections the value of force N is significant and cannot be neglected in the calculations. The conducted experimental investigations primarily revealed the need to analyze of change axial forces and bending stiffness of the bars. The changes in internal forces in the bar in the course of its deformation constitute a very important problem. Such detailed analysis is only possible by means of theoretical methods and numerical calculations. 3 DESCRIPTION OF THE METHOD Based on the observations of the behavior of a single reinforcing bar in the course of experimental investigations [12] the substitute static scheme was adopted (Fig. 2). In the scheme a simplified assumption was adopted, stating that the bar ends are mounted in the articulated manner. When a high value of deflection w is observed, the bend radius of the bar at the point of fixation is small enough to exhibit a considerable turn of the bar axis from the original position. Additionally, due to the lack of deformations of the bar in the column area the width of the column was reduced. The entire load applied at the basis of the column was divided into components referring to the individual bars and presented in the form of force P. Fig. 2. Static scheme The differential equation of the deformed axis of the bar subjected to tension with force N and the transverse load P has the form (1). EI EI d 2w PL2 = N w− x 2 L1 + L2 dx for x ∈ (0; L1 ) d 2w PL1 = N w− (L1 + L2 − x ) L1 + L2 dx 2 (1) for x ∈ (L1; L2 ) The integral of the equation has the form (2). P L2 (cosh(ax)C1 + sinh(ax)C2 ) EI ( L1 + L2 ) a 2 P L1 ( L1 + L2 − x) (cosh(ax)C3 + sinh(ax)C4 ) w( x) = EI ( L1 + L2 ) a 2 w( x) = for x ∈ (0; L1 ) (2) for x ∈ (L1; L2 ) where C1 , C2 , C3 , C4 are integration constants and a= N EI The solution of the equation (1) taking into account the boundary conditions is presented in (3). EI f ( L1 + L2 ) 3 L + L2 sinh(a L1 ) sinh(a L2 ) a −a+ 1 =0 P L1 L2 L1 L2 tanh(a( L1 + L2 )) (3) 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 4 October 2015, Bratislava CALCULATION The calculations were conducted on the basis of the introduced dependence (3) for a bar with the length of L=2.4 m and respectively the diameters 16 mm, 12 mm, 8 mm. In the calculation, two cases of the position of were considered. In the first case, the force is placed exactly halfway through the length of the bar. In the second case, the force was located at a distance L1 and L2 from the supports. The dependency between the applied load P and the corresponding deflection f (Fig. 3) was adopted in accordance with the results of the experimental investigations. Additionally, in each stage of the calculations a non-linear change in stiffness EI was incorporated in accordance with the material tests (Fig. 4). The mean results of the investigations (results concerning 6 rough samples) have been gathered in Tab. 2. Fig. 3. Dependence between the load P and the deflection f for a single bar Fig. 4. Dependences σ–ε attained in the case of reinforcement bars Diameter of the bar Module of elasticity E Yield strength fyk Tensile strength ftk Total elongation at maximum force εuk Total force at breaking of the bar Ftk [mm] ø8 ø12 ø16 [GPa] 199.138 199.138 199.138 [MPa] 533.3 570.7 547.0 [MPa] 611.4 652.5 654.5 [%] 20.7 14.6 13.1 [kN] 30.75 73.73 131.25 Tab. 2. Mechanical parameters of rough bars, tested in compliance with PN-EN 10002-1:1998 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The calculations were performed independently at each load level. The graph illustrating the changes in the value of load P and the force N within the bar depending on the forced vertical load f were presented in Fig. 5. a) b) c) Fig. 5. The graph illustrating the changes in forces P and N depending on the displacement f: a) bar ø16, b) bar ø12, c) bar ø8 5 SUMMARY The developed method of theoretical determination of distribution of internal forces in a reinforcing bar in the course of its loading leads to the results presented in the form of equations. In the case of considerable deflections an additional tensile force N associated with the elongation of the bar is present, which should be taken into account in the calculations. The presented analytical solution permits to directly calculate the sought force N taking into account a non-linear change in the bending stiffness of the bar. The change in the bending stiffness has a significant impact on the value of the force N, especially in the case of minor spans of the bar and considerable deflections. The conducted calculations suggest a correlation between the imposed load P and the tensile force N. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava REFERENCES [1] ACI Committee 318, Building code requirements for structural concrete and commentary, American Concrete Institute, United State America, 2011. [2] CSA Standard A23.3-04: Design of concrete structures, Canadian Standard Association, 2004. [3] CEB-FIB – Model Code 2010: Final draft, Volume 1 and 2, Bulletin 65 and 66 of the fib Model Code for Concrete Structures, 2011. [4] PN-EN 1992-1-1: 2004/AC: Eurocode 2, Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, European Standard, 2010. [5] Habibi F., Redi E., Cook W.D., Mitchell D.: Assessment of CSA A23.3 structural integrity requirements for two-way slabs, Canadian Journal of Civil Engineering, 39, 2012. [6] Hawkins N.M., Mitchell D.: Progressive collapse of flat plate structures, Journal of the American Concrete Institute, 76(7), 1979. [7] Melo G.S.S.A., Regan P.E.: Post-punching resistance of connections between flat slabs and interior columns, Magazine of Concrete Research, 50(4), 1998. [8] Mitchell D., Cook W.D.: Preventing Progressive Collapse of Slabs Structures. Journal of Structural Engineering, 110(7), 1984. [9] Wieczorek B.: Idea of a simplified model to determination of the load capacity of and inner slab-column connection after its punching, Procedia Engineering, 65, 2013. [10] Wieczorek B.: Numerical analysis of reinforcing bars in the support zone of central slab-column connections subjected to eccentric tension, Applied Mechanics and Materials, 769, 2015. [11] Wieczorek M.: Influence of amount and arrangement of reinforcement on the mechanism of destruction of the corner part of a slab-column structure, Procedia Engineering, 57, 2013. [12] Wieczorek M.: Investigations concerning the corner part of the reinforced concrete structures in the emergency of removing the corner support, Procedia Engineering, 65, 2013. Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NUMERICKÁ SIMULACE PROCESU DOTVAROVÁNÍ A SMRŠŤOVÁNÍ BETONU NA SUBMODELU PROFILU OCELOBETONOVÉHO SPŘAŽENÉHO MOSTU F. Hokeš1 and A. Nevařil2 and L. Totková3 and O. Krňávek4 Abstract The creep of concrete is known as rise of deformation that is caused by plastic flow within material during longterm loading. On the other hand, formation of deformation during shrinkage of concrete at early stages is independent of size and period of loading. Adequate description of behavior of concrete during drying and during long-term loading is playing important role in case of significant structures and also in case of steelconcrete structures. This problem is sphere of interest of many scientific workplaces and has not been fully concluded so far. This statement can be proved by an existence of a several shrinkage and creep models which deal with this phenomenon in various ways. The submitted article brings a short description of very simple approach based on modification of mechanical properties of concrete. The article includes description of used nonlinear material models and deals with methods that are implemented in current computational systems for purpose of solving the phenomenon of creep for bridge construction with steel-concrete cross-section. Key Words Creep, concrete, steel-concrete cross section, nonlinear material model, FEM 1 ÚVOD Smršťování a dotvarování jsou nejdůležitějšími reologickými vlastnostmi betonu, při kterých dochází k objemovým změnám materiálu, ale také jedny z nejproblematičtějších vlastností betonu. Projevy reologických vlastností betonu byly dříve v ČR zohledněny v dnes již neplatných normách ČSN 73 6207, kdy konstrukce navržené dle těchto norem neodpovídaly dostatečně předpovídanému chování – větší nárůst deformací, omezení použitelnosti a mnohdy i porušení konstrukce. Neplatnou normu ČSN 73 6207 nahradila norma ČSN EN 19921-1. Vzhledem k tomu, že tyto jevy jsou velice komplikované a konečná hodnota dotvarování je závislá na množství faktorů a vstupních parametrů, je tato problematika předmětem mnoha výzkumných pracovišť a je ve společném zájmu vytvořit takový matematický model smršťování a dotvarování, který bude co nejpřesněji vystihovat reálné chování konstrukce. V současné době je nejuznávanějším matematickým modelem pro výpočet smršťování a dotvarování pravděpodobně model B3 [7] podle prof. Bažanta. Ing. F. Hokeš, Veveří 331/95 60200 Brno, Česká republika, +420541148207, hokes.f@fce.vutbr.cz. Ing. A. Nevařil, Ph.D., Veveří 331/95 60200 Brno, Česká republika, +420541147364, nevaril.a@fce.vutbr.cz. 3 Bc. L. Totková, Veveří 331/95 60200 Brno, Česká republika, totkoval@study.fce.vutbr.cz. 4 Ing. O. Krňávek, Veveří 331/95 60200 Brno, Česká republika, +420541148207, krnavek.o@fce.vutbr.cz. 1 2 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 2 October 2015, Bratislava POPIS POUŽITÝCH VÝPOČTOVÝCH METOD Problematika dotvarování a smršťování betonu byla řešena na průřezu spřaženého ocelobetonového mostu přes Lochkovské údolí. Pro výpočet finálního vlivu dotvarování a smršťování na napjatost ve složeném ocelobetonovém průřezu bylo využito 2 odlišných a nezávislých postupů ve výpočtových systémech SCIA Engineer 2013.1 [6] a ANSYS 15.0 [1]. V prvním ze zmiňovaných programů byla provedena časová závislá analýza TDA na výpočtovém modelu zohledňujícím vybrané signifikantní fáze výstavby řešeného mostu. V případě analýzy v systému ANSYS bylo pro simulaci nelineárního chování betonové mostovky v čase využito nelineárního materiálového modelu, jenž dokáže postihnout změnu chování konstrukce pod zatížením v čase a to pomocí modifikace materiálových charakteristik vystupujících v definici konstitutivního modelu v předem definovaných časových krocích. 2.1 TDA analýza v programovém prostředí SCIA Engineer Popularita návrhu hybridních konstrukcí kombinujících ocel a beton s ohledem na příhodné vlastnosti těchto materiálů souvisí bezpochyby se snahami o dosažení ekonomických úspor. Kombinace těchto materiálů si však vyžaduje také odlišný přístup při jejich zhotovování, které by mělo být v rámci výpočtu zohledněno. Během výstavby konstrukce dochází mnohdy ke změnám statických systémů, změně okrajových podmínek, provádí se betonáž a předpínání. V konstrukci se tak vyskytují prvky s různým stářím betonu a s různou úrovní zatížení a tak je zahrnutí vlivu smršťování a dotvarování betonu do výpočtu žádoucí. Reologické vlastnosti totiž mohou ovlivnit použitelnost konstrukce a také redistribuci sil v konstrukci [6]. S ohledem na tuto skutečnost byla pro sledovanou konstrukci se spřaženým ocelobetonovým průřezem využita časově závislá analýza TDA v programu SCIA Engineer. Modul TDA v programu SCIA Engineer umožňuje 2D časově závislou analýzu předpjatých a spřažených konstrukcí s ohledem na prováděné fáze výstavby a s respektováním reologických vlastností betonu. Metoda je založená na diskretizaci sledovaného časového období na intervaly s přesně definovanými časovými uzly, v nichž se výpočet provádí. Výpočet dotvarování se provádí za předpokladů teorie viskoelasticity se stárnutím. Celkové přetvoření betonu je rozděleno na tři části: εσ(t) je přetvoření od napětí, εs(t) je přetvoření od smršťování a εT(t) přetvoření od teploty, přičemž poslední dvě zmiňovaná přetvoření nejsou závislá na velikosti napětí v daném časovém okamžiku. Smršťování betonových prvků vychází z průměrných vlastností průřezu, relativní vlhkosti a rozměrů příčného řezu. Přetvoření od napětí se skládá z elastického přetvoření εe(t) a přetvoření od dotvarování εc(t), které je opět závislé na průměrných vlastnostech průřezu. Model pro výpočet dotvarování je za účelem použití principu superpozice založen na předpokladu lineární závislosti mezi napětím a přetvořením. [6]. 2.1.1 Výpočtový model Globální výpočtový model mostu přes Lochkovské údolí byl vytvořen v softwaru SCIA Engineer 2013.1. v modulu „Fáze výstavby a provozu“, a ve kterém byla následně provedena časově závislá analýza TDA. Vzhledem k tomu, že tento výpočtový systém umožňuje řešení pouze rovinné úlohy, bylo nutné použít některá zjednodušení. Původní most ležící v půdorysném oblouku byl rozvinut a řešen tedy jako rovinná úloha. Řešená konstrukce je spřažený ocelobetonový most o pěti polích, přičemž v poli s největším rozpětím má konstrukce podobu vzpěradlového rámu. V ostatních polích je trám podpírán kloubově na pilířích P2 a P5 a opěrách OP1 a OP6. Pilíře P2 a P5 byly modelovány prutovými prvky typu sloup, jehož tvar byl převzat z projektové dokumentace. Uvažovaný materiál pilířů P2 a P5 byl beton pevnostní třídy C35/45. Pilíře P3 a P4 (vzpěry) byly vymodelovány prvky typu nosník pod úhlem 57°. Tyto šikmé pilíře mají proměnnou šířku dříků. Pilířům P3 a P4 byl přiřazen beton pevnostní třídy C40/50. Ocelová komora mostu z konstrukční oceli S 355 a betonová mostovka z betonu třídy C35/45 tvořily jeden ocelobetonový průřez. Složený průřez byl vymodelován podle charakteristického vzorového řezu z projektové dokumentace, nebyla tedy modelována proměnná šířka mostovky. Tvorba složeného ocelobetonového průřezu byla tvořena dvěma fázemi: fáze 1 – ocelová komora, fáze 2 – betonová mostovka. Těmto dvěma rozdílným fázím byly poté přiřazeny dny vzniku části konstrukce. Po vytvoření rovinného modelu spřaženého ocelobetonového mostu přes Lochkovské údolí byly zadány fáze výstavby a následně proveden výpočet smršťování a dotvarování konstrukce pomocí časově závislé analýzy TDA. Podoba globálního výpočtového modelu je zobrazena na obr. 1. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 1. Globální výpočtový model mostu vytvořený v program SCIA Engineer 2.1.2 Fáze výstavby Velikost a složitost konstrukce mostu přes Lochkovské se významně projevila na technologii výstavby a tedy na počtu jednotlivých fází výstavby tohoto díla. Výčet významných fází výstavby aplikovaných při výpočtu konstrukce v programu SCIA Engineer, jež byly adaptovány z [5] jsou souhrnně uvedeny v tab. 1. Význam zkratek používaných pro jednotlivé konstrukční části, které jsou uváděny v této tabulce, je vidět na obr. 2. Obr. 2. Schéma výstavby mostu přes Lochkovské údolí [5] Č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Popis fáze Podpěry P2 a P5 Pilíř P4 Pilíř P3 Zhotovení finálního taktu na P3 a P4 OK – 1. výsun (sekce 1,2,3) OK – 2. výsun (sekce 4,5,6, přes B3) OK – 3. výsun (sekce 7,8,9 přes B3) OK – 4. výsun (sekce 10,11 přes B2) OK – 5. výsun (sekce 12,13, přes B2) OK – 6. výsun (sekce 14,15, přes B1) OK – 7. výsun (sekce 16,17,18, přes B1) Odstranění bárky B4 OK – 8. výsun (sekce 19,20,21,22, přes P2) OK – 9. výsun (sekce 23,24,25,26) OK – 10. a 11. výsun Zřízení podepření B1 (pevné), B2 (dočasně) Podepření OK na OP1, P2, P5, OP6 Odstranění bárky B3 Popis fáze Den 22 Betonáž mostovky (úsek 2) 23 Betonáž mostovky (úsek 3) 24 Betonáž mostovky (úsek 4) 25 Betonáž mostovky (úsek 5) 26 Betonáž mostovky (úsek 6) 27 Betonáž mostovky (úsek 7) 28 Betonáž mostovky (úsek 8) 29 Betonáž mostovky (úsek 9) 30 Betonáž hlavice pilíře P3 31 Betonáž hlavice pilíře P4 32 Provizorní podepření na B1 33 Betonáž mostovky (úsek 10) 34 Betonáž mostovky (úsek 11) 35 Betonáž mostovky (úsek 12) 36 Betonáž mostovky (úsek 13) 37 Betonáž mostovky (úsek 14) 38 Betonáž mostovky (úsek 15) 39 Betonáž mostovky (úsek 16) 552 559 564 571 575 580 584 590 599 600 617 611 613 620 624 629 633 639 Den Č. 1 255 255 466 101 273 369 387 401 414 430 446 447 474 487 499 500 500 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 19 Aktivace ložiska P5 20 Aktivace ložiska P2 21 Betonáž mostovky (úsek 1) October 2015, Bratislava 524 40 Betonáž mostovky (úsek 17) 526 41 Betonáž mostovky (úsek 18) 538 42 Odstranění B1 a B2 643 653 677 Tab. 1. Fáze výstavby zahrnuté při výpočtu časové analýzy TDA v programu SCIA Engineer Výčet fází v tab. 1 byl však s ohledem na možnosti použitého programu dále zjednodušen. Některé vybrané fáze, u nichž byl předpokládán minimální vliv na dotvarování a smršťování betonu mostovky, nebyly do výpočtu zahrnuty vůbec. Do výpočtu časové analýzy nebyla zahrnuta celá fáze výstavby spodní stavby, jelikož opěry byly ve výpočtovém modelu nahrazeny prostými posuvnými podporami. Ze stejných důvodů byly vynechány fáze zahrnující betonáž pilířů P2 a P3 a montáž bárek B3 a B4. Dále bylo vynecháno vyvěšení pilířů P3 a P4, protože se neočekává významný vliv této fáze na smrštění a dotvarování betonu mostovky. V časové analýze nebylo dále simulováno spojení pilíře P3 s bárkou B1 a pilíře P4 s bárkou B2 a následná betonáž příčníků. Skutečný příčník vyplněný betonem byl zjednodušeně uvažován jako plně ocelový. Vzhledem k možnostem TDA analýzy byl výsuv ocelové konstrukce simulován nikoliv po sekcích, nýbrž jako jeden celek v první den výsuvu. 2.1.3 Metodika výpočtu Časově závislá analýza TDA společně s modulem Fáze výstavby a provozu umožňuje zohledňovat reologické účinky s ohledem na průběh zatížení díky vazbě daného zatěžovacího stavu na určitý časový uzel v rámci výstavby konstrukce. Všechny přírůstky stálých zatížení a jejich účinky jsou průběžně ukládány do jednotlivých zatěžovacích stavů, přičemž se předpokládá existence daného zatížení do poslední fáze provozu. V rámci analýzy TDA se k těmto výše uvedeným zatěžovacím stavům generuje další prázdný zatěžovací stav a to pro účely uložení přírůstků vnitřních sil a přetvoření od dotvarování a smršťování betonu [6]. 2.2 Numerická simulace procesu dotvarování ve výpočtovém systému ANSYS s využitím nelineárního materiálového modelu z databáze multiPlas 2.2.1 Výpočtový model Globální výpočtový model byl, sestaven v softwarovém prostředí systému ANSYS. Finální podoba výpočtového modelu jak je vidět na obr. 3 byla získána použitím celkem 1 265 864 konečných prvků lokalizovaných 1 166 958 uzly. Pro vymodelování ocelové komory mostu včetně výztuh, styčníkových plechů, horních pásnic a podélníků bylo využito čtyřuzlových skořepinových prvků SHELL181. S pomocí stejného prvku byly dále vymodelovány také šikmé pilíře P3 a P4. Betonová mostovka byla modelována s pomocí prostorových osmiuzlových prvků SOLID185. Uvedený prvek byl dále použit pro idealizaci podloží a hlavic šikmých pilířů. Šikmé trubkové vzpěry podpírající dvojici vnějších a vnitřní podélníků a dále svislé pilíře P2 a P5 byly zjednodušeně modelovány pomocí prutových prvků BEAM44. Pro idealizaci montážních bárek bylo využito prvku BEAM188. K diskretizaci ocelových táhel propojujících horní pásnice hlavního komorového nosníku s rovnoběžně rozmístěnými podélníky bylo využito prvků LINK8. Vzhledem k tomu, že horní pásnice komorového nosníku byla nad pilíři P2 a P4 provedena jako lamelová, bylo mezi skořepinami reprezentujícími lamely těchto pásnic simulován třecí kontakt pomocí prvků CONTA174 a TARGE170. Pro simulaci uložení mostu bylo použito kombinace prvků COMBIN14, MPC184 a SURF154. Do modelu byly s ohledem na řešené fáze výstavby doplněny pružně uložené železobetonové bárky s obdélníkovým průřezem. Vzhledem k tomu, že bárky byly modelovány pouze jedním prutem a reálně byl most uložen na dvojici ložisek, byla tato problematika řešena za pomoci kombinace prvků MPC184 a tuhých prutových prvků BEAM188. Z důvodu změn ve fixaci ložisek nad těmito bárkami bylo přistoupeno k řešení těchto změn pomocí různých konfigurací CP vazeb. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 3. Konečno-prvkový výpočtový model sestavený v programu ANSYS 2.2.2 Popis použitého materiálového modelu Při zjednodušeném výpočtu vlivu dotvarování na napjatost ve spřaženém ocelobetonovém průřezu byl pro beton zvolen nelineární materiálový model z knihovny elasto-plastických materiálových modelů multiPlas [4]. Tento model nese označení: Modified Drucker-Prager – time dependent. Jak tedy název napovídá, jedná se o materiálový model umožňující modelovat změnu materiálových charakteristik pomocí sady vnitřních proměnných. Použitý materiálový model umožňuje popis porušení pomocí dvou ploch plasticity Drucker-Prager integrovaných v rámci konceptu multisurface plasticity. První kužel plochy plasticity Drucker-Prager je definován s pomocí jednoosé tlakové a tahové pevnosti, přičemž druhý kužel stejné plochy plasticity je definován pomocí jednoosé tlakové a dvouosé tlakové pevnosti [4] 2.2.3 Metodika výpočtu a fáze výstavby Ve výpočtovém systému ANSYS bylo s použitím výše uvedeného nelineárního materiálového modelu simulován pouze vliv dotvarování. K postižení řešení tohoto fenoménu bylo využito modifikace modulu pružnosti s ohledem na jeho stáří. Posledním časovým okamžikem byl uvažován čas na konci životnosti mostu, tedy t∞. Komplexní přehled všech fází výstavby simulovaných v systému ANSYS jsou uvedeny v tab. 2. Č. Popis fáze 1 Založení a spodní stavba 2 Vysunutí ocelové konstrukce, změny podepření OK 3 Uložení mostu na definitivní ložiska (OP1, P2, P5, OP6) 4 Spojení šikmých podpěr s montážními podpěrami 5 Betonáž mostovky (úseky 1-9) 6 Betonáž hlavice pilíře 7 Betonáž příčníku 8 Změna výsuvného ložiska za provizorní svislé podepření 9 Betonáž mostovky (úseky 10-18) 10 Odstranění provizorního svislého podepření na B1 a B2 11 Po zabetonování NK, odstranění závěsů a podpěr B1 a B2 12 Zhotovení svrchní stavby Den Stav Výpočtu Shrnuto ve výchozím stavu Shrnuto ve výchozím stavu Výchozí stav Nemodelováno Zahrnuto Zahrnuto Zahrnuto Zahrnuto Zahrnuto Zahrnuto Zahrnuto Zahrnuto 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Tab. 2. Fáze výstavby zahrnuté při výpočtu v systému ANSYS Použití metody modifikace modulu pružností spočívala v aplikaci redukčních součinitelů určených na základě stáří betonu podle vztahu [2]:     0,5              1 Ec (t )   exp s  1       t            t1         0,5  Ec (1) kde s byl koeficient závisející na typu cementu (s = 0,20 pro rychle tuhnoucí cement, s = 0,25 pro normálně tuhnoucí cement, s = 0,38 pro pomalu tuhnoucí cement), t bylo stáří betonu ve dnech, t1 byl jeden den a Ec byl modul pružnosti betonu. V řešeném případě byl uvažován beton s modulem pružnosti Ec = 34 GPa a se středně rychle tuhnoucím cementem. Podoba křivky popisující nárůst modulu pružnosti v čase je zobrazena na obr. 4. Jak již bylo zmíněno, poslední výpočetní časový krok byl uvažován jako čas t∞. V tomto časovém kroku byl s ohledem na dlouhodobé účinky dotvarování konzervativně redukován modul pružnosti na jednu třetinu, což odpovídá použití součinitele dotvarování φ∞ = 2,0 dle vztahu [3]: Ec (t )  Ec 1   (2) Obr. 4. Závislost velikosti modulu pružnosti betonu na stáří ve dnech (▬ s = 0,20; ▬ s = 0,25, ▬ s = 0,38) 3 ROZBOR VÝSLEDKŮ Výsledky výpočtu časové analýzy TDA v programu SCIA Engineer a také zjednodušený výpočet v prostředí ANSYS prokázaly, že při uvažování významných fází výstavby mostní konstrukce je vliv dotvarování a smršťování na změnu napjatosti v ocelové části spřaženého průřezu malý. Procentuálně lze tento přírůstek vyjádřit hodnotou 1,78% v případě výpočtu TDA a hodnotou 0,56% v případě výpočtu v systému ANSYS. Pole napjatosti ze zmíněné analýzy v prostředí ANSYS je zobrazena na obr. 5. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 5. Výsledná napjatost ve spřaženém průřezu v čase t∞ při uvažování vlivu smršťování a dotvarování Obr. 6. Výsledné deformace ve fázi – betonáž – úsek 9 (viz tab.1) v mm – SCIA Engineer 4 ZÁVĚR Výše uvedené výsledky numerických simulací prokázaly, že v případě řešené konstrukce při použití popisované metodiky výpočtu byl vliv dotvarování a smršťování na napjatost ve spřaženém ocelobetonovém průřezu malý. Obě popisované analýzy však přinesly vlivem několika zjednodušení do výpočtu určité nejistoty a tak je 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava zapotřebí výsledky ověřit s měřeními na reálné konstrukci a provést případně detailnější analýzu s pokročilejšími časově závislými modely betonu. PODĚKOVÁNÍ Tento článek byl vypracován v rámci projektu FR-TI4/430 za finanční podpory Ministerstva průmyslu a obchodu. LITERATURA [1] ANSYS Inc.: ANSYS Mechanical Theory Reference Release 15.0, 2014. [2] CEB-FIP: Model Code for Concrete Structures, first draft, Bulletin d’information No. 195, Comité-EuroInternational Du Béton-Fédération Internationale De La Précontrainte, Paris, 1990. [3] ČNI: ČSN EN 1992-1-1.Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 1-1: Obecná pravidla pro pozemní stavby, 2006 [4] Dynardo GmbH.: Multiplas, User’s manual Release 5.1.0 for ANSYS 15.0, Weimar, 2014 [5] P. JUCHELKOVÁ, - J. MUSIL. Postup výstavby: Most přes Lochkovské údolí [Mimeo]. Brno: Stráský, Hustý a partneři s.r.o., 2013. [6] Nemetschek, Scia Engineer: Manuál: fáze výstavby, předpětí, TDA, [online]. Dostupné z: http://www.sciaonline.cz/download/Typy_a_navody/Scia_Engineer/Manualy/Manuals_2010/Faze_vystavby_csy.pdf [7] Bažant, Z. P., Baweja, S.: Creep and Shrinkage Prediction Model for Analysis and Design of Concrete Structures: Model B3, A. Al-Manaseer, Editor, 2000 Proceedings of the 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS MODELLING OF LAMELLAR BREATHING EFFECT A. Nevařil1, P. Hrubý2 and L. Totková3 Abstract This paper presents approaches of modelling of the lamellar flanges breathing effect. Such phenomenon may arise on long-span steel or composite RC concrete – steel bridges where it is necessary to utilize very thick lamellas that cannot be milled at once. Under the traffic load these structural elements may exhibit vibrations creating noise and high cyclic loading in the corresponding welds. Presented paper addresses modelling technique of the lamellar flanges including the air pocket locked between the flange plates. It addresses the influence of this air on the lamella stiffness and also investigates the influence of the contact between the lamellas. For the modelling is used the well-known finite element method including contact elements amended by the authors original algorithm calculating the air pocket stiffness influence using the ideal gas equation of state. Calculations are made in the software package ANSYS and using the programing language Python. Keywords Lamella; breathing; bridge; steel; stiffness; ANSYS; Python. 1 INTRODUCTION Long span steel-concrete coupled bridges belong to common engineering solution in cases where it is necessary to overcome large valleys, wide rivers, marshes or even human settlement. For such structures it is not always possible to produce flanges of main girders made of one steel plate because of their high thickness. These flanges are thus made of two or even more steel plates welded together. These flanges are then called lamellar flanges. There is a room between individual plates of lamellar flange because of their imperfections, see [2], and due to the action of resident stress originating in the welding process. This paper addresses the effect of influence of the air cavern on the stiffness of the lamellar flange. 2 THEORY Physical processes arising in the behaviour of lamellar flange under the load are connected to dynamics of deformable bodies including contacts between lamellas. Further there arises compression of the air in the lamellar pocket that is behaving according to the ideal (or almost ideal) gas law, eq. (1). While under the action of traffic loads the dynamic behaviour of lamellar flange is occasionally exhibits sound due to the abrupt changes in the contact of individual lamellas. Ing. A. Nevařil, Ph.D., VUT v Brně, fakulta stavební, Veveří 95, 602 00 Brno, tel. +420-5-41147364, nevaril.a@fce.vutbr.cz. 2 Ing. P. Hrubý, VUT v Brně, fakulta stavební, Veveří 95, 602 00 Brno, hruby.p@fce.vutbr.cz. 3 Bc. L. Totková, VUT v Brně, fakulta stavební, Veveří 95, 602 00 Brno, totkoval@study.fce.vutbr.cz. 1 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Ideal gas law is described by eq. 1, see [5], pV  nRT , (1) where p is gas pressure, V is volume of gas, n is number of moles of gas, R is ideal gas constant, T is thermodynamic temperature of gas. Assuming that the aim of the research is to describe influence of the compressed gas on the flange stiffness we can presume that the temperature of the air closed in the cavern is constant for the short examined time interval. Therefore it is possible to use well known relation from isothermal process p1V1  p2V2 . (2) If the change in pressure in the cavern is defined as p  p 2  p1 then using the formula (2) p  p1V1  p1 , V2 (3) where p1 is original (atmospheric) pressure, V1 is original volume of air in the cavern and V2 is volume of air after the deformation of the cavern due to the load. 3 1 DOF SYSTEM Dynamic behaviour of the lamellar flange is very complex process. For its mathematic description let us first use more simplified model consisting of only system with one degree of freedom as depicted on Fig. 1. Fig. 1. 1 DOF system Neglecting the damping of the system its dynamics is described by mu(t )  ku(t )  F (t ) , (4) where m is mass and k is stiffness of the system. Dynamic load due to the change in the cavern air pressure is calculated according the idea that F (t )  pA , where A is the area of compressed air between two parallel plates of the cavern. This is similar to the behaviour of a piston. Using eq. (3) and substituting into eq. (4) leads to mu(t )  ku(t )  p1V1 A  p1 A . V1  Au (t ) (5) Substituting z(t )  V1  Au (t ) and using general notation of the various constants in the equation leads to eq. (6). C1 z(t ) z(t )  C2 z 2 (t )  C3 z (t )  C4 (6) Eq. (6) is nonlinear non-homogenous ODE of second order with constant coefficients. Such eq. san be fortunately solved using repeated general and particular solution technique, see e.g. [4], leading to the solution 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings  C2   C 2  3C3 C32  4C 2 C 4 . z (t )  B1 sin t   B2 cos t   C   C  2C 2C 2 1  1  2   October 2015, Bratislava (7) Obtained theoretical solution was compared to the numerical solution procedure developed in the Python programming language [3]. The developed program is using Newmark’s procedure for solution of displacement in the time domain. Analysed problem was bending vibration of a 4 m long cantilever made of I200 profile that was at the tip supported by 100 mm by 100 mm area and 0,5 m high 0,5 m piston of air. Initial conditions were displacement of 100 mm and zero velocity of the cantilever tip. Obtained displacements for the first 2 secs of vibration are depicted on Fig. 2. Fig. 2. Displacement solution [m] – Python procedure Similar model was assembled in the ANSYS software package [2]. Accompanied by the APDL macro was solved the response of the single DOF system in time domain. Solution is presented in the Fig. 3. Fig. 3. Displacement solution [m] – ANSYS programme 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava The theoretical solution after applying of boundary conditions simplifies to the harmonic solution described by the eq. 8.  C2  z (t )  B2 cos t   C1  (8) Displacement of the theoretic solution of the testing example are depicted in Fig. 4. Fig. 4. Displacement solution [m] – theoretic solution 4 CONCLUSION Obtained analytical solution and both numerical solutions of the examined 1 DOF system behave similar. It can be concluded that this approach can be used for the solution of a problem of breathing lamellar flanges in the FEM software package for example the cited ANSYS programme. Extension of the developed procedure for such purpose should not be of important issue. For the correct solution of the lamellar flange breathing but is necessary to involve the contact algorithm. Development of such theoretical and numerical procedure is out of the scope of this article. ACKNOWLEDGEMENT The work has been supported by the research project FR-TI4/430 under the financial support of the Ministry of Industry and Trade of Czech Republic. REFERENCES [1] ANSYS, Inc. ANSYS 15.0 Help. Release 15.0. USA, Canonsburg, 2013. [2] Hrubý P., Krňávek O., Nevařil A., Totková L., 2013. Submodelling Technique and the Detail Structural Analysis. In.: Sborník příspěvků z 2. mezinárodní vědecké konference Structural and Physical Aspects of Civil Engineering, Štrbské Pleso, SR, 27.-29.11.2013. Košice: Faculty of Civil Engineering, Technical University of Kosice, 10 p. [3] Python, www.python.org, programming language. 1991. Python Software Foundation. [4] Rektorys, K., Přehled užité matematiky I, II, 1995. 720 p., 874 p. ISBN 80-85849-72-0. [5] Resnick, R., Halliday, D., Fundamentals of Physics, 10th Ed. 2014. 1248 p. ISBN 978-1118230619. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2014 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS EXPERIMENTÁLNE STANOVENIE TLAKOV NA STRECHE KOCKY I. Olekšáková 1, O.Hubová2 Abstract This article deals with solution of air flowing around the typical cross section – cube. Result is an important parameter of pressure coefficient on the structure. Experimental measurements were performed in BLWT STU in Bratislava for angles 0, 15, 30 and 45° different wind speeds on roof of the cube with dimensions 200x200x200mm. Measurements were conducted using 16-channel pressure scanner DSA 3217 from Scanivalve and have shown significant differences between peaks of suction due to wind direction. For main wind direction 0 and 45° are the results from wind tunnel compared with previous test from Richards. Next part is comparison of results by different velocities (18Hz and 24Hz) for the same angles of cube rotation. Kľúčové slová Tlakové koeficienty; Tlakový skener; MatLAB; izočiary tlakových koeficientov 1 ÚVOD Experimentálne stanovovanie tlakov a tlakových koeficientoch je napriek veľmi silno sa rozširujúcemu používaniu simulačných softvérov stále preferovaný spôsob riešenia tejto problematiky. Experimenty tohto typu sú známe už od začiatkov veterného inžinierstva a preto je pomerne veľa zdrojov podľa ktorých sa testovacie experimenty dajú porovnávať. Riešenie kocky a jej tlakov na celej fasáde bol známy problém už dávno, z tohto dôvodu bola okrem riešenia modelových skúšok vo veternom tuneli vytvorená aj kocka in situ meraní – kocka Silsoe v South Bedforshire v Anglicku. Tá je prototypom, podľa ktorého sa najčastejšie odlaďujúce meracie zariadenia, či nastavenia vo veterných tuneloch. Podľa meraní z tohto experimentu in situ boli následne riešené ďalšie merania v rôznych mierkach vo veterných tuneloch. Jedným z autorov takýchto experimentov bol Richards, podľa ktorého výsledkov porovnávame naše experimenty. 1 Ing. Ivana Olekšáková, Slovenská technická univerzita v Bratislave, Stavebná fakulta, Slovenská Republika, +421911965195, ivana.oleksakova@stuba.sk 2 Doc.Ing. Oľga Hubová PhD., Slovenská technická univerzita v Bratislave, Stavebná fakulta, Slovenská Republika, olga.hubova@stuba.sk th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 1. Silsoe kocka v Bedfordshire, Anglicko 2 SANIE NA KOCKE A TLAKOVÉ KOEFICIENTY Dôležitým parametrom pre každého inžiniera či statika je veľkosť tlaku a tlakových koeficientov, ktoré sa vyskytuje pri vplyve vetra na budovu. Prevod výsledkov z veterného tunela na skutočné merítko sa prevádza pomocou bezrozmerného súčiniteľa tlaku: (1) c p = ( px − pr ) / q a teda dynamický tlak vetra v danom bode je: q= ρ v2 2 (2) kde px je tlak v tlakových odberoch na modeli budovy pr je statický či barometrický tlak v referenčnom bode dostatočne vzdialenom od miest ovplyvnených blízkosťou budov q dynamický tlak vetra v referenčnom bode ρ hustota vzduchu v desaťminútová aleba hodinová stredná rýchlosť vetra v referenčnom bode Diferenciálny tlak px-pr sa priamo meria laboratórnym tlakovým prevodníkom a predstavuje tak tlak vetra pôsobiacich v mieste tlakového odberu(bez vplyvu vnútorného tlaku). Menovateľ q sa dá merať priamo týmtiež tlakovým prevodníkom, či zvláštnym prevodníkom, alebo môže byť vypočítaný pri známych hodnotách vr a ρ. Hustota vzduchu je obvykle vypočítaná z nameranej hodnoty teploty a barometrického tlaku. Referenčný bod býva zvolený tak, aby nebol ovplyvnený obtekaním žiadnej časti modelu či konštrukcie, ktorá by mohlo zmeniť meranú rýchlosť či statický tlak. Buď sa nachádza obecne vo výške 100 až 500m, ktorá odpovedá referenčnej rýchlosti noriem EU, alebo niekedy sa udáva na úrovni výšky vyšetrovanej budovy[3],[5]. 3 EXPERIMENT SAMOSTATNEJ KOCKY Experimentálne merania sa realizovali v BLWT STU tuneli na Trnávke, kde bolo ustálené prúdenie s vyrovnanými hodnotami stredných rýchlostí vetra (pozri [1], [2]). Základná poloha kocky bola pod uhlom natočnia 0°, odberné miesta tlakových snímačov v danom mieste sú znázornené na obr.2. Rozmery kocky sú 200x200x200mm. Rýchlosti prúdenia boli nastavované pomocou programu LabVIEW, ktorým sa ovláda tunel v závislosti na frekvencii meničov. Samotný experiment bol riešený pri dvoch základných rýchlostiach a to pri frekvenciach meničov 18Hz a 24Hz. Vo výške strechy kocky bola nameraná hodnota rýchlosti voľného prúdenia vzduchu pre obe rýchlosti pomocou prístroja ALMEMO. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava 0° 15° 30° 45° Obr. 2. a) Základná poloha segmentu (0°), b) polohy kocky pre analýzu v rôznych natočeniach Obr. 3. Rozloženie tlakových koeficientov pri natočení 15°,30° a 45° pre ¼ strechy kocky Podľa obr.3 je viditeľné, že pri natáčaní kocky o 15 stupňov, sa zvyšuje veľkosť sania na streche kocky. Na nasledujúcej tabuľke sú znázornené výsledky meraní pre všetky natočenia pri dvoch rôznych rýchlostiach. Natočenie 0° 15° 30° 45° Maximálne hodnoty pre 18Hz -0.5674 -0.3312 -0.2905 -0.2815 Minimálne hodnoty pre 18Hz -1.137 -1.652 -2.063 -2.4053 Maximálne hodnoty 24Hz -0.493 -0.28779 -0.269 -0.23 Minimálne hodnoty 24Hz -0.9565 -1.4519 -1.7546 -2.1124 Tab.1. Porovnanie maximálnych a minimálnych hodnôt sania na streche kocky Výsledky podľa tabuľky 1 ukazujú, že vyšli rozdielne hodnoty, ak vstupná rýchlosť prúdenia bola rozdielna. Rozdiely sú značné, priemerne oko 10% no vzhľadom na to, že ide o pomernú veličinu a vo všetkých prípadoch je odchýlka cca 0,1-0,2, je pravdepodobné, že dynamický tlak pre druhú rýchlosť nebol nameraný dostatočne presne vo výške strechy danej kocky. Napriek tomu, výsledky a priebehy tlakových koeficientov vo forme izokontúr vychádzajú rovnako a teda štatisticky by bolo dobré doplniť merania o viacero rovnakých meraní, keďže v tomto experimente bol každý smer meraný 2krát. 4 POROVNANIE EXPERIMENTU S LITERATÚROU V literatúre je možné nájsť viacero autorov, ktorí sa zaoberali touto problematikou a ktorých výsledky experimentov sú vhodné na porovnávanie. Jedným z nich je Richards[4]. Na obr.4 je znázornená strecha kocky pri výskume tohto autora. Oproti tomu na obr.5 je znázornená výsledná mapa s tlakovými koeficientami th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava z experimentu z veterného tunela BLWT STU v Trnávke pri frekvencii 18Hz, čo odpovedá rýchlosti prúdenia vo výške strechy danej kocky približne 7,5 m/s v závislosti od merania. Na druhom časti v obr.5 je viditeľná iba jedna časť pri natočení kocky na 45° z dôvodu nedostatku tlakových odberov, keďže použitý tlakový skener má iba 16 tlakových odberov. Napriek tomu v tejto „najzaťaženejšej“ časti je viditeľná zhoda s izokontúrami z obr. 4 od Richardsa. Dôležité je tiež poznamenať, že maximá u Richardsa sa pohybovali do max. hodnôt do -2,4 a v našom experimente pri natočení kocky o 45° je -2,4053. Táto zhoda nastala pri rýchlosti, ktorá bola dosahovaná pri frekvenciách meničov 18Hz. Obr. 4. Rozloženie tlakových koeficientov podľa Richardsa[4] Obr. 5. Rozloženie tlakových koeficientov z experimentu v BLWT STU v Trnávke 5 ZÁVER A ZHODNOTENIE Získané výsledky z opakovaných experimentálnych meraní rozloženia externého tlaku vetra na kocke pri ustálenom prúdení v zadnom meracom priestore veterného tunela STU poukazujú na lokálne extrémy sania pri určitom smerovaní vetra. Extrémne hodnoty externého súčiniteľa tlaku vetra dosahovali opakovane hodnoty sania okolo -2.4 pri natočení kocky o 45° z pôvodnej polohy na streche konštrukcie, čo je porovnateľné s experimentami iných autorov ako aj s konzervatívnymi hodnotami z Eurokódu, kde sa prikláňajú autori k hodnotám tlakových koeficientov až -2,5. th 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava POĎAKOVANIE Táto práca vznikla s podporou Grantovej agentúry VEGA Slovenskej republiky v rámci projektu číslo1/0480/13. LITERATÚRA [1] Hubová, O. - Lobotka, P.: The multipurpose wind tunnel STU. In Civil and Environmental Engineering. Scietific- Technical Journal. ISSN 1336-5835, EV 3293/09, Volume 10th, Issue 1/2014, p. 2 - 9. [2] Hubová, O. - Lobotka, P.: The natural wind simulations in the BLWT STU wind tunnel. In ATF 2014 Vienna. [3] Irtaza, Beale, Godley, Jammel: Comparison of wind pressure measurements on Silsoe experimental building from full-scale observation, wind-tunnel experiments and various CFD techniques, International Journal of Engineering, Science and Technology, Vol. 5, No.1, 2013, pp.28-41 [4] Richards P.J., Hoxey R.P. 2008. ‘Wind loads on the roof of a 6 m cube’, Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynam- ics, pp. 984-993, 96. [5] Tamura, Kareem: Advanced Structural Wind Engineering, Springer, 2013, ISBN 978-4-431-54336-7 [6] EN 1991-1-4, Eurocode 1:Actions on structures-Part 1-4: General actions- Wind actions, April 2005, 146 pages th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS LANOPLACHTOVÁ KONSTRUKCE – NUMERICKÁ ANALÝZA A PRAKTICKÁ APLIKACE M. Hüttner1, J. Máca2, P. Fajman3 Abstract This paper presents an implementation of form-finding process of cable-membrane structures. The dynamic relaxation method with kinetic damping is used as the computation method for numerical analysis. Brief description of the program, the job description and method of solution of the problem will be introduced. The correct operation of the implemented algorithm will be compared with practical example of a commercial program. Kľúčové slová cable; membrane; dynamic relaxation; form-finding 1 ÚVOD Membránové konstrukce umožňují zastřešit občanské budovy, stadiony, nádraží, volná prostranství nebo i pouhé přístřešky novými atraktivními tvary, které mají velice blízko k přírodě a tím vytvářejí velice příznivý estetický dojem. Líbeznost přirozených tvarů není však pouze jedinou předností těchto konstrukcí. Tvar membrán vychází ze stejných principů jako například schránka šneka, list rostliny nebo tvar mýdlových bublin – všechny se snaží (ať už svou vlastní vůlí nebo působením fyzikálních jevů) svůj tvar přizpůsobit působícím vnějším vlivům a tím zabezpečit, že každá část konstrukce bude zatížena co možná nejrovnoměrněji, čímž dojde k minimalizaci energie (potažmo nákladů) potřebných na jejich sestrojení. Z hlediska statického návrhu představují tyto konstrukce pro inženýry velikou výzvu a překážek na cestě od vize architekta k realizaci je hned několik. Od hledání optimálního tvaru konstrukce (přičemž kritérií může být hned několik – např. průvěs konstrukce, rozměry konstrukce, využití materiálu, způsob předpínání, náklady na výstavbu, náklady na údržbu a jiné další…) přes nastavení úrovně předpětí, zajištění stability konstrukce od působícího zatížení (především větru a sněhu), zajištění použitelnosti konstrukce (například, aby se při dešti na střeše netvořily prolákliny s nahromaděnou vodou) a konče například úskalími spojených s přípravou a výrobou jednotlivých dílců, ze kterých se bude výsledná konstrukce skládat. Prozatímní malá zkušenost s podobnými stavbami je asi také zásadním faktorem, který stojí za tím, že membránových staveb u nás i ve světě přibývá pouze poskrovnu. Ovšem s rozvojem výpočetních technologií je šance, že se tento trend změní. 1 Ing. M. Hüttner, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, katedra mechaniky; Thákurova 7, 166 29 Praha 6 – Dejvice, Česká republika; +420 224 354 498; milos.huttner@fsv.cvut.cz. 2 Prof. Ing. J. Máca, CSc., ČVUT v Praze, Fakulta stavební, katedra mechaniky; Thákurova 7, 166 29 Praha 6 – Dejvice, Česká republika; +420 224 354 500; maca@fsv.cvut.cz 3 Doc. Ing. P. Fajman, CSc., ČVUT v Praze, Fakulta stavební, katedra mechaniky; Thákurova 7, 166 29 Praha 6 – Dejvice, Česká republika; +420 224 354 477; fajman@fsv.cvut.cz 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Analýza membránových konstrukcí představuje z matematického hlediska geometricky nelineární úlohu, kterou lze řešit s pomocí různých matematických postupů. Jako velice výhodná se ukazuje metoda dynamické relaxace [1], jejíž testování na jednoduchých příkladech prokázalo její použitelnost [2, 3, 4, 5]. Cílem tohoto článku je použít vybraný algoritmus metody dynamické relaxace s kinetickým útlumem (viz [5]) sestrojený jako skript v programu MATLAB k aplikaci hledání počátečního rovnovážného stavu (tzv. formfinding proces [6, 7]) na reálné konstrukci zastřešení, tak aby se prokázala její použitelnost i pro praktické účely. Případně, aby byly diskutovány úskalí a problémy spojené s reálnou konstrukcí. Skript je zatím v počáteční fázi vývoje a testování, tomu budou odpovídat i zvolené modely a rozsah úlohy. Výsledky budou srovnány s konečně prvkovým modelem konstrukce zhotoveným v komerčním programu Easy od společnosti Technet GmbH. 2 KONSTRUKCE K testování byla vybrána plánovaná výstavba konstrukce membránového zastřešení prostoru mezi dvěma hřišti na Fakultě tělovýchovy a sportu Univerzity Karlovy v Praze-Vokovicích. Konstrukce bude mít šest bodových podpor, šest nosných obvodových lan a jedno hřebenové nosné lano, zbytek zastřešení tvoří membrána. Půdorysné uspořádání konstrukce je patrné z Obr. 1. Perspektivní pohled na model konstrukce v programu Easy je k vidění na Obr. 2. Obr. 1. Půdorysné schéma konstrukce. Kolečka označují umístění bodových podpěr. Obr. 2. Perspektivní pohled na model konstrukce v programu Easy. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 3 October 2015, Bratislava VÝPOČETNÍ SÍŤ Jelikož vývoj rozsáhlého funkčního skriptu v programu MATLAB je zatím na počátku vývoje, byly prozatím vytvořeny pouze dva jednoduché modely konstrukce. Na Obr. 3a je vidět půdorysné schéma rozmístění obvodových lan a hřebenového lana. Obr. 3b zachycuje první zjednodušený model konstrukce (tzv. Model 01), kdy plocha membrán je modelována s pomocí prutových prvků s vyloučeným tlakem a s rastrem cca 4 x 4 metry. Předpětí v prutech simulující chování membrán je uvažováno o velikosti 100 kN. Pro modelování lan jsou uvažovány tytéž prutové prvky, jako u membrán, ovšem předpětí v lanech se uvažuje o velikost 1000 kN. Při hledání počátečního rovnovážného stavu lanoplachtové konstrukce nezáleží na konkrétních hodnotách předpětí lan a membrán, ale na jejich vzájemném poměru – viz Lewisová [7]. Lano je děleno na jednotlivé výpočetní elementy tak, jak vychází rastr membrán – tj. lano A-B je děleno na tři prutové prvky, lano B-C na čtyři prutové prvky a lano A-D na šest prutových prvků, apod. Model 01 tak má dohromady 35 uzlů (z toho šest plně podepřených), 26 prutových prvků simulujících lano a 32 prutových prvků simulujících membránu. Počet stupňů volnosti je 87. Obr. 3c zachycuje druhý zjednodušený model konstrukce (tzv. Model 02), kdy byly použit všechny parametry z předchozího modelu (Model 01) ovšem síť rastru byla zhuštěna na 2 x 2 metry. Model 02 tak má dohromady 101 uzlů (z toho šest plně podepřených), 48 prutových prvků simulujících lano a 136 prutových prvků simulujících membránu. Počet stupňů volnosti je 285. Obr. 3a (vlevo). Půdorysné schéma rozmístění lan. Obr. 3b (uprostřed). Půdorys Modelu 01. Obr. 3c (vpravo). Půdorys Modelu 02. 4 VÝSLEDKY 4.1 Výpočet Všechny výpočty probíhaly ve vlastnoručně vytvořeném skriptu v programu MATLAB. Jako výpočetní algoritmus byla zvolena metoda dynamické relaxace s kinetickým útlumem, konkrétně schéma 3 z článku [5] – tj. schéma s fiktivní hmotností stejnou pro všechny uzly konstrukce a s přepočtem fiktivní hmotnosti po restartu kinetické energie. Maximální počet iterací byl pro všechny výpočty zvolen 2500. Nejprve byl hledán počáteční rovnovážný tvar Modelu 01. Výšková poloha (z-souřadnice) všech nepodepřených uzlů byla na počátku zvolena jako lineární aproximace přilehlých podpor. Na Obr. 4a je vidět počáteční nastavení sítě a na Obr. 4b finální poloha (po 2500 iteracích). Získané výsledky nejsou přesné, tento model slouží pouze k otestování použité metody. Počáteční rovnovážný tvar Modelu 02 byl testován ve třech různých variantách počátečního nastavení polohy zsouřadnice nepodepřených uzlů. Varianta a) je poloha, kdy z-souřadnice nepodepřených uzlů leží na úrovni nejnižší podpory (tj. z = 0 m) – viz Obr. 5a. Varianta b) je poloha, kdy z-souřadnice nepodepřených uzlů leží na 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava úrovni nejvyšší podpory (tj. z = 4.5 m) – viz Obr. 6a. A konečně varianta c) je poloha, kdy z-souřadnice nepodepřených uzlů jsou zvoleny jako lineární aproximace přilehlých podpor – viz Obr. 7a. Výsledné polohy jednotlivých variant jsou postupně zaznamenány na Obr. 5b, na Obr. 6b a na Obr. 7b. K srovnání a diskuzi metod byly vybrány z-souřadnice bodu 1 a x-souřadnice bodů 2 a 3, jejichž hodnoty z výpočtů a z komerčního modelu jsou zaznamenány v Tab. 1. Obr. 4a (vlevo). Počáteční nastavení Model 01. Obr. 4b (vpravo). Výsledný tvar po 2500 iteracích Model 01. Obr. 5a (vlevo). Počáteční nastavení Model 02a. Obr. 5b (vpravo). Výsledný tvar po 2500 iteracích Model 02a Obr. 6a (vlevo). Počáteční nastavení Model 02b. Obr. 6b (vpravo). Výsledný tvar po 2500 iteracích Model 02b. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 7a (vlevo). Počáteční nastavení Model 02c. Obr. 7b (vpravo). Výsledný tvar po 2500 iteracích Model 02c. Souřadnice/Model Model 01 z-souřadnice uzlu 1 x-souřadnice uzlu 2 x-souřadnice uzlu 3 +3.160 -6.920 6.920 Model 02 varianta a) +2.240 -6.780 +6.780 Model 02 varianta b) +2.500 -6.780 +6.780 Model 02 varianta c) +2.510 -6.780 +6.780 Model Easy Technet +2.360 -6.660 +6.660 Tab. 1. Srovnání výsledků z jednotlivých modelů. 4.2 Diskuze Z Tab. 1. vyplývá, že jednotlivé výsledky variant modelu 02 se poměrně dobře blíží Modelu Easy od Technetu (odchylka 10% může být způsobena pouze použitou hustější sítí v případě modelu v komerčním programu), ovšem vzájemně se liší (a to jak z hlediska hodnot, tak i vizuální výsledky finálních poloh), což by jistě neměly. Je to dáno tím, že finální pozice modelů po 2500 iteracích nejsou ve stavu, kdy jsou reziduální síly v jednotlivých stupních volnosti rovny nule a to ani přibližně, tím pádem se nejedná o rovnovážnou pozici. Patrně hlavním důvodem proč tomu tak je, je špatně zvolená výpočetní síť, respektive nerovnoměrně rozdělení lana na prutové elementy. Čím větší je rozdíl mezi největším a nejmenším dílkem v konstrukci, tím hůře algoritmus funguje – při každém přepočtu fiktivní hmotnosti dochází ke zvětšování fiktivní hmotnosti, snižování fiktivní rychlosti a elementy, které jsou větší (v porovnání s nejmenším dílkem v konstrukci) nemohou rychle uvolňovat kinetickou energii a tím pádem, pomalu konvergují k rovnovážné pozici. Ani zvětšení počtu iterací by v tomto případě nepomohlo, protože fiktivní hmotnost velice rychle roste se zmenšujícím se elementem. Pro další modelování, by určitě mělo být upraveno modelování konstrukce. Nejprve by měly být rovnoměrně naděleny dílky lana, a pak teprve vytvořena síť membrán, která by v místech připojení membrán a lan netvořila pravoúhlou soustavu, ale přihlédla by k dělení lana. Toto doporučení by mělo být otestováno v rámci další srovnávací studie. 5 ZÁVĚR Vybraný algoritmus metody dynamické relaxace s kinetickým útlumem sestrojený jako skript v programu MATLAB byl použit k hledání počátečního rovnovážného stavu na vybraném příkladu zamýšlené membránové konstrukce zastřešení prostoru mezi dvěma hřišti na Fakultě tělovýchovy a sportu Univerzity Karlovy v PrazeVokovicích. Jelikož vývoj rozsáhlého funkčního skriptu v programu MATLAB je zatím na počátku vývoje, byly prozatím vytvořeny pouze dva jednoduché modely konstrukce (druhý ve třech variantách počátečního nastavení) a dosažené výsledky byly srovnány s konečně prvkovým modelem konstrukce zhotoveným v komerčním programu Easy od společnosti Technet GmbH. Z výsledků vyplynulo, že jednotlivé modely se poměrně dobře blíží modelu Easy od Technetu (odchylka 10% mohla být způsobena pouze použitou hustější sítí v případě modelu v komerčním programu), ovšem vzájemně se liší, což by jistě neměly. Byly diskutovány příčiny potíží a bylo navrženo doporučení, že pro další modelování, by určitě mělo být upraveno modelování konstrukce. Nejprve by měly být rovnoměrně naděleny dílky lana, a 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava pak teprve vytvořena síť membrány, která by v místech připojení membrán a lan netvořila pravoúhlou soustavu, ale přihlédla by k dělení lana. Toto doporučení by mělo být otestováno v rámci další srovnávací studie. PODĚKOVÁNÍ Tento článek vznikl za podpory státních prostředků Studentské grantové soutěže “SGS15/031/OHK1/1T/11 - Advanced numerical modelling in mechanics of structures and materials”. ČVUT. LITERATURA [1] Day, A. S.: An introduction to dynamic relaxation. Engineer, 219, 1965, pp 218-221, ISSN 0013-8029. [2] Hüttner, M. - Máca, J. - Fajman, P.: The efficiency of dynamic relaxation methods in static analysis of cable-membrane structures. Applied Mechanics and Materials 617, Trans Tech Publications Ltd., 2014, pp 124-129, ISBN 978-3-03835-197-9, ISSN 1660-9336. [3] Hüttner, M. - Máca, J. - Fajman, P.: Efficiency of dynamic relaxation method in form-finding process of cable-mebrane structures. Applied Mechanics and Materials 769, Trans Tech Publications Ltd., 2015, pp 260-263, ISBN 978-3-03835-485-7, ISSN 1660-9336. [4] Hüttner, M. - Máca, J. - Fajman, P.: The efficiency of dynamic relaxation methods in static analysis of cable structures. Advances in Engineering Software 89(2015), Civil-Comp Ltd. and Elsevier Ltd., pp 28– 35, ISSN 0965-9978. [5] Hüttner, M. - Máca, J. - Fajman, P.: Form finding of cable-membrane atructures – dynamic relaxation with kinetic damping, in The Fifteenth International Conference on Civil, Structural and Environmental Engineering Computing, J. Kruis, Y. Tsompanakis and B.H.V. Topping, (Editors), Civil-Comp Press, Stirlingshire, United Kingdom, paper 245, 2015. doi:10.4203/ccp.108.245 [6] Topping, B.H.V. - Iványi, P.: Computer Aided Design of Cable Membrane Structures. Kippen, SaxeCoburg Publications, 2008, 233 p. ISBN 978-1-874672-11-1. [7] Lewis, W. J. Tension structures: from and behaviour. London, Thomas Telford, 2003. 201 p. ISBN 0-72773236-6. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS MODELOVANIE A STATICKÁ ANALÝZA POTRUBNÉHO MOSTA Ľ. Prekop1 Abstract Objective of my work was to create a space model of the pipeline bridge construction in a program RFEM by company Dlubal. At the created models were performed static analysis of the construction. It was made a two alternatives of this construction. At the first one alternative I used closed cross-section 2U profile U 260 with crosspieces I 160. Second one alternative was space grid construction with cross-section of isosceles triangular shape with crosspieces I 160. The third option was formed by reality. The supporting structure is a crosssectional profile I HEB 300, crosspiecesare the cross-section of the U profile U 120. For all alternatives were crosspieces loaded by three steel pipes with 250 mm diameter and with one pipe with 300mm diameter. Pipes were fully filled with water. Kľúčové slová modelovanie; statická analýza; potrubný most; RFEM 1 ÚVOD Cieľom príspevku je vytvorenie modelu konštrukcie potrubného mosta pomocou programu RFEM firmy Dlubal. Na vytvorenom modeli vykonať statickú analýzu konštrukcie s parametrickými vstupnými údajmi. Je to analýza vhodnosti navrhnutého riešenia pre konkrétny objekt z praxe. Objekt sa nachádza v Banskobystrickom kraji v obci Budča. Dĺžka potrubného mosta je 10,3 m a šírka je 2,595 m. Konštrukcia je založená na štyroch pilotách priemeru 600 mm, nad ktorými je železobetónový prah rozmeru 1000x3300 mm. 2 POTRUBNÉ MOSTY Potrubné mosty bývajú najčastejšie vytvorené ako oceľová konštrukcia. Do tejto skupiny patria nadzemné potrubia, ktoré slúžia pre vedenie plynu, kvapalín a sypkých alebo prachových látok v priemyselných závodoch. Konštrukcia slúži na premostenie potrubia cez prírodné prekážky, napr. vodné toky. Priemer týchto potrubí býva často okolo 3500mm a viac. Potrubie môžeme rozdeliť do dvoch hlavných skupín: - Systémy, skladajúce sa z väčšieho počtu potrubí menšieho priemeru, ktoré si vyžadujú špeciálne podoprené konštrukcie - Systémy, obsahujúce i potrubia veľkých rozmerov, tak že ich tuhosť dovoľuje využiť ich, ako nosné prvky pre potrubia malých priemerov. Pri zaťažení potrubí sa spravidla okrem bežných účinkov môže ďalej vyskytnúť napr. vnútorný pretlak až 0,5 MPa pri doprave vzduchu a plynu; tepelný ohrev steny 100 až 150°C, niekedy 200°C; usadzovanie nánosu 1 Ing. Ľubomír Prekop, Phd.,. Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, Slovenská technická univerzita v Bratislave, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, lubomir.prekop@stuba.sk 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava prachu v časti prierezu potrubia; vznik podtlaku apod. Potrubia dostatočne tuhé r/t ≤ 20 sa počítajú ako prútové systémy, potrubia s tenšou stenou r/t > 20 je nutné posudzovať ako valcové škrupiny. K namáhaniu od zaťaženia prútového systému je potom treba pripočítať i tzv. namáhanie škrupiny. Stabilitu je nutné posúdiť ako pri škrupinách. Zvláštnu pozornosť je treba venovať tým účinkom zaťaženia, ktoré môžu vyvolať poloohybový stav namáhania a k nemu odpovedajúce značné pretvorenie prierezu (čiastočne zaplnený prierez kvapalinou, nános vo vnútri potrubia apod.). V týchto prípadoch je vždy nutné prekontrolovať vo výpočte deformáciu priečneho prierezu a navrhnúť opatrenia, ktorými najčastejšie bývajú najčastejšie výstužné prstene. 3 MODEL POTRUBNÉHO MOSTA Cieľom príspevku je vytvorenie viacerých alternatív nosnej konštrukcie potrubného mosta, ktorý sa nachádza v Banskobystrickom kraji v obci Budča. Jednotlivé modely boli vytvorené v programe RFEM 5 firmy Dlubal. Vytvorené modely boli následne zaťažené štyrmi potrubiami plnými vody, potrubia boli usporiadané nesymetricky. Obr. 1. Reálny pohľad na konštrukciu potrubného mosta Model je tvorený ako priestorový 3D model. Dĺžka potrubného mosta je 10,15 m a šírka je 2,595 m. Konštrukcia je založená na štyroch pilótach priemeru 600 mm, nad ktorými je železobetónový prah rozmeru 1000x3300 mm. Na nosnej konštrukcii sú ukotvené 3 potrubia priemeru ∅ 250 mm a jedno potrubie priemeru ∅ 300 mm. Nosná konštrukcia je vytvorená z ocele S 235. ZS1: Vonkajsie 1.860 0.880 1.410 0.880 1.410 0.880 1.410 Izometrie 2.330 1.160 2.560 1.760 1.760 1.760 2.560 1.940 1.940 1.940 Z 1.940 1.940 1.940 Y 1.860 1.410 1.410 1.410 X Obr. 2. Potrubný most – alternatíva 1 1.160 0.880 0.880 0.880 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava ZS1: vonkajsie Izometrie 1.860 1.160 1.410 0.880 1.410 0.880 1.410 0.880 2.330 2.560 1.760 1.760 1.760 2.560 1.940 1.940 1.940 1.940 1.940 1.940 Z 1.860 1.410 1.410 1.410 1.160 0.880 0.880 0.880 Y X Obr. 3. Potrubný most – alternatíva 2 ZS1: Vonkajsie Izometrie 1.860 2.330 1.160 1.410 0.880 1.410 1.760 0.880 1.410 1.760 0.880 1.760 Z 2.560 2.560 1.940 1.940 1.940 1.940 1.940 1.940 Y 1.860 1.410 1.410 1.410 1.160 0.880 0.880 0.880 X Obr. 4. Potrubný most – alternatíva 3 Boli vytvorené 3 alternatívy konštrukcie potrubného mosta a následne bola vykonaná analýza dosiahnutých výsledkov z viacerých hľadísk. Išlo o porovnanie priehybov, ohybových momentov, celkovej hmotnosti a ceny za materiál na výrobu konštrukcie. Na nasledujúcich obrázkoch sú uvedené výsledné priehyby a ohybové momenty pre jednotlivé alternatívy potrubných mostov. ZS1: Vonkajsie Vnitřní síly M-y ZS1: Vonkajsie Globální deformace u Izometrie Izometrie -0.047 Z -0.230 0.009 -0.233 Y -0.046 1.672 -0.187 X 0.320 Z 2.126 -0.252 13.730 -0.434 -0.308 2.572 -0.027 2.795 Y 28.876 13.281 -0.047 -0.515 X 2.773 0.300 34.523 2.327 28.862 0.010 28.121 16.4 -0.046 0.607 33.686 28.096 Max u: 16.4, Min u: 0.0 mm Součinitel pro deformace: 7.13 Max M-y: 34.523, Min M-y: -0.543 kNm Obr. 5. Výsledné priehyby a ohybové momenty – alternatíva 1 13.273 13.724 1.961 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings ZS1: vonkajsie Globální deformace u October 2015, Bratislava Izometrie ZS1: vonkajsie Vnitřní síly M-y Izometrie Z -0.008 0.008 Z Y -0.008 19.3 X 0.008 Y -0.001 0.001 -0.001 X -0.001 0.001 1.522 0.002 -0.001 0.002 2.330 2.885 1.515 2.337 3.164 Max u: 19.3, Min u: 0.0 mm Součinitel pro deformace: 4.00 3.162 Max M-y: 3.164, Min M-y: -0.008 kNm Obr. 6. Výsledné priehyby a ohybové momenty – alternatíva 2 ZS1: Vonkajsie Globální deformace u Izometrie Z ZS1: Vonkajsie Vnitřní síly M-y Izometrie Z -0.631 -0.284 -0.014 -0.622 Y Y X 0.849 X 9.7 -0.018 2.018 15.485 -0.081 2.833 32.723 14.790 -0.029 3.106 -0.072 39.173 3.044 32.708 31.256 37.422 31.245 Max u: 9.7, Min u: 0.0 mm Součinitel pro deformace: 12.50 Max M-y: 39.173, Min M-y: -0.631 kNm Obr. 7. Výsledné priehyby a ohybové momenty – alternatíva 3 a) b) Obr. 8. Porovnanie priehybov a ohybových momentov a) b) Obr. 9. Porovnanie alternatív z hľadiska celkovej hmotnosti a ceny konštrukcie 14.786 2.273 15.480 0.115 0.107 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 10. Vizualizácia alternatívy 1 a alternatívy 2 4 ZÁVER Boli urobené rôzne porovnania riešenia konštrukcie potrubného mosta. Na obr. 8a sú porovnané priehyby jednotlivých alternatív, alternatíva 3 má priehyb o cca 10 mm menší priehyb ako alternatíva 2 a o cca 7 mm ako alternatíva 1. Pri návrhu všetkých troch alternatív bol rozhodujúci priehyb z dôvodu, že prevádzkovateľ potrubia z technologických dôvodov vyžaduje, aby zvislý priehyb potrubia nepresiahol 20 mm. Na obr. 8b sú porovnané maximálne ohybové momenty na priečnikoch, rozdiel v ohybových momentoch je minimálny, najnižšia hodnota bola pri alternatíve 1. Na obr. 9a sú porovnané celkové hmotnosti konštrukcie. V tomto porovnaní je alternatíva 2 o cca 120 kg ľahšia ako alternatíva 1 a o cca 870 kg ako alternatíva 3. Na obr. 9b sú porovnané ceny konštrukcia z hľadiska metariálu, v cene nie je zahrnutá práca. Cena alternatívy 2 vyšla takmer dvojnásobne viac ako alternatívy 1 z dôvodu použitia oceľových bezšvových rúrok, ktoré sú drahšie. Alternatíva 1 vyšla lacnejšie aj ako alternatíva 3 cca o 930 €. Komplexný pohľad na výsledky ukázal, že z hľadiska viacerých kritérií je alternatíva 2 najmenej výhodná. Rozhodnutie medzi alternatívou 1 a 3 záleží na tom, či rozhodujúcim kritérion je cena alebo menšia hodnotu priehybu konštrukcie. POĎAKOVANIE Príspevok vznikol vďaka podpore Grantovej agentúry SR v rámci projektu VEGA 1/0544/15. LITERATÚRA [1] Marek, P. a kol. Kovové konstrukce pozemních staveb. STNL – Nakladatelství technické literatury. Praha, 1985. [2] Manuál programu REFM 5. Prostorové konstrukce metodou konečných prvků, Dlubal Software, s.r.o., 2012. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS NUMERICKÉ OVERENIE ZAŤAŽOVACEJ SKÚŠKY PILOTY Ľ. Prekop1 Abstract The paper deals with design of model and verification of a pile loaded by pressure. The pile is embedded in the layered ground mass. Its model has been created using the ANSYS software system. The obtained results have been compared with results of the pile loading test performed during the construction of a multifunctional building. In the conclusion the results have been presented in graphs. Kľúčové slová pilota; zaťažovacia skúška; numerické overovanie; modelovanie; ANSYS 1 ÚVOD Príspevok sa zaoberá vytvorením modelu a následným overením piloty namáhanej tlakom. Pilota sa nachádza vo vrstevnatom zemnom masíve, jej model je vytvorený v programe ANSYS. Dosiahnuté výsledky sú porovnané s výsledkami zaťažovacej skúšky piloty na stavbe polyfunkčného areálu. Na záver sú prezentované dosiahnuté výsledky. 2 TECHNICKÝ POPIS SKÚŠOBNÉHO ZARIADENIA Dĺžka skúšanej piloty je 12,00 m. Pilota bola o cca 0,25 m vybetónovaná nad terén a mala oceľovú pažnicu dĺžky 0,50 m. • skúšobná systémová vŕtaná pilota priemeru 1180 mm, s hlavou vo výške 0,25 m nad terénom s oceľovou pažnicou, • oceľový skúšobný most s únosnosťou 2 500 kN, • oceľové kotevné priečniky na prenos ťahových síl do tiahlí z predpínacích tyčí DYWIDAG WR 36, • referenčný most na meranie deformácií v 4 bodoch po obvode piloty s elektronickým meraním deformácií s presnosťou 0,1 mm, • vlastné meracie a kontrolné zariadenie na meranie veľkostí pôsobiach síl a meranie deformácií, prepojené s riadiacim počítačom. Na upravenú hlavu piloty bol osadený lis s maximálnou nosnosťou 6 300 kN. Na lis bol osadený tenzometrický snímač sily HBM typ C6 – 5 000 kN s guľovým kĺbom. Na guľový kĺb bola osadená roznášacia hlavica a roznášacie priečniky. Zaťažovací most bol kotvený pomocou oceľových priečnikov a šiestich predpínacích tyčí DYWIDAG WR 36, každá s pevnosťou 1 070 kN. Tieto tyče boli na základe požiadavku projektanta kotvené 9,00 m do betónového drieku piloty. 1 Ing. Ľubomír Prekop, PhD., Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, Slovenská technická univerzita v Bratislave, Radlinského 11, 810 05 Bratislava, +421 259 274 445, lubomir.prekop@stuba.sk. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr. 1. Zaťažovací most lisu na tlakovú skúšku piloty Po osadení mosta boli predpínacie tyče aktivované pomocou matíc. Následne boli osadené dva referenčné nosníky a štyri inkrementálne snímače deformácií. Zaťaženie piloty bolo snímané pomocou tenzometrických snímačov HBM typ 6C s rozsahom 0 – 5 000 kN. Snímač sily, snímače deformácií a snímač hydraulického tlaku boli spoločne s meracou ústredňou KIK kalibrované v Technickom a slúšobnom ústave Praha. Hodnoty snímačov deformácií a síl boli snímané cez meraciu ústredňu KIK a zaznamenávané na PC. Namerané hodnoty boli na PC spracované to tabuľky nameraných hodnôt a grafu závislosti deformácie od veľkosti zaťažovacej sily. Kontrola deformácií bola na každom stupni vykonaná niveláciou. Kontrola sily bola vykonaná elektronickým snímačom hydraulického tlaku lisu. Kompletný text správy je k dispozícii [3]. Maximálna veľkosť zaťaženia bola 2 500 kN. V priebehu skúšky boli realizované 3 stavy, zodpovedajúce úplnému odľahčeniu. Pri všetkých zaťažovacích a odľahčovacích stavoch bola meraná, automaticky odčítaná a zaznamenaná veľkosť sily, a to pomocou dvoch nezávislých meraní: • meranie tlaku hydraulickej kvapaliny v lisoch pomocou manometra, • meranie pomocou dynamometra. Deformácia hlavy piloty bola automaticky odčítaná a zaznamenaná v príslušných časových intervaloch v štyroch bodoch po obvode hlavy piloty. Okrem toho prebiehalo nezávislé meranie pomocou nivelácie na konci každého stupňa. Účelom skúšky bolo vyhodnotenie sadania pilóty pri skúšobnom zaťažení Fc,m zodpovedajúcom charakteristickej hodnote zaťaženia piloty Fc,k (SLS - medzný stav použíteľnosti). Charakteristickej hodnote zaťaženia zo statického výpočtu Fe,k = 2500 kN zodpovedá zo zaťažovacej krivky pilóty (priemer 1 180 mm, dĺžka 12,0 m) sadanie sm = 10,4 mm. V statickom výpočte bolo prognózované pre túto úroveň zaťaženia sadanie pilóty Smax = 15 mm. Zaťažovacia skúška skúšobnej piloty je vyhovujúca a potvrdila správnosť predpokladov statického návrhu zakladania. Podrobnosti sú uvedené v správe [2]. 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings 3 October 2015, Bratislava MODEL KONŠTRUKCIE Model konštrukcie bol vytvorený v programe ANSYS. Jednalo sa o priestorový model piloty s priemerom 1 180 mm a dĺžkou 12,0 m. Geotechnický profil v mieste piloty bol nasledovný: 0,00 – 7,50 m šedý íl; 7,50 m – 12,0 m piesčitý íl, pevný. Železobetónová pilota bola modelovaná pomocou prvkov SOLID65 a okolitý zemný masív prvkami SOLID45. Týmto prvkom boli postupne priradené vlastnosti jednotlivých vrstiev podložia. Kontakt piloty a zemného masívu bol modelovaný pomocou kontaktných prvkov TARGE170 a CONTA173 [1] Obr.2. Model konštrukcie a rez modelom Zať. stupeň Zať. stupeň Zaťaž. .stupeň Zaťaž.sila [kN] 1 250 2 500 3 750 4 1 000 Odľahčovací stupeň 1 5 1 250 6 1 500 7 1 750 Odľahčovací stupeň 2 8 2 000 9 2 250 10 2 500 Odľahčovací stupeň 3 Meranie [mm] Model [mm] -0,08 -0,36 -0,64 -1,07 -0,65 -1,60 -2,55 -3,84 -2,56 -5,72 -8,45 -10,40 -7,87 -3,225 -6,467 -9,709 -12,951 -16,193 -19,435 -22,677 -25,919 -29,161 -32,403 Tab.1. Ustálené deformácie [mm] v závislosti od veľkosti zaťažovacej sily Obr.3. Zvislé deformácie a napätia σz na pilote 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava Obr.3. Ustálené deformácie [mm] v závislosti od veľkosti zaťažovacej sily 4 ZÁVER Dosiahnuté hodnoty deformácií z modelu a ich porovnanie zo statickou zaťažovacou skúškou ukazujú rozdielne hodnoty nameraných a vypočítaných deformácií. Tieto rozdiely sú spôsobené komplikovanosťou a náročnosťou spracovávanej problematiky. Trenie na plášti reálnej piloty sa začína aktivovať až pri vyšších hodnotách zaťaženia piloty. Vo vytvorenom modeli sa aktivuje trenie na plášti piloty od začiatku výpočtu a nie je možné ho dostupnými voľbami v programe ANSYS nastaviť tak, aby začalo pôsobiť až pri vyšších zaťaženiach. Z toho vyplýva takmer lineárny priebeh deformácií v modeli. Je predpoklad, že riešenie by spočívalo v možnosti aktivovácie trenia na plášti neskôr (nie od začiatku zaťažovania), definovať jeho postupný nárast a po dosiahnutí zadanej hodnoty udržať konštantnú hodnotu trenia. POĎAKOVANIE Príspevok vznikol vďaka podpore Grantovej agentúry SR v rámci projektu VEGA 1/0544/15. LITERATÚRA [1] ANSYS ® User’s Manual for Revision 11, Swanson Analysis Systems, Inc. [2] BALUCHA, M.: Vyhodnotenie zaťažovacích skúšok, Polyfunkčný areál Centrál Bratislava. S P A I, s.r.o., Janka Alexyho 13, 841 01 Bratislava. [3] Sprievodná správa k meraniu: Polyfunkčný areál centrál, SO 01 Podzemný parking, Statická zaťažovacia skúška pilot č.157 a S2. Vypracoval: Zakládaní staveb, a.s., Dobronická 1371, Praha 4 – Libuš, Č.správy: 22/12701/10, vypracovaná 7.10.2010. [4] STN 73 1001: Základová pôda pod plošnými základmi, 1987. th Proceedings of the 13 International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 15-16, 2015 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS FROM FRACTURE EXPERIMENTS TO ADVANCED DESIGN AND ASSESSMENT OF PRECAST STRUCTURAL MEMBERS Drahomír Novák1, David Lehký2, Ondřej Slowik3 and Ladislav Řoutil4 Abstract An objective reliability analysis of structural members made of advanced cementitious composites must be based on good knowledge of stochastic properties of individual mechanical fracture parameters of utilized material models. The article presents a comprehensive approach to the design and assessment of precast structural elements including: The series of fracture tests of the two concrete mixtures with various ages in two configurations (three point bending and wedge splitting test, subsequent identification of material parameters using effective crack model, work of fracture method and artificial neural networks, execution of destructive tests of scaled structural members and creation of deterministic models of these tests using collected data. In subsequent phases of the project reliability analysis of tested beams will be carried out in order to obtain stochastic parameters of structural response of prestressed elements to shear load. The obtained data will be used to calibrate the analytical equation describing the response of element exposed to both normal and shear forces. The entire process will be concluded by reliability-based optimization of manufactured components. Key Words Fracture test, parameter identification, inverse analysis, reliability analysis, artificial neural networks, nonlinear modelling, stochastic modelling. 1 INTRODUCTION The complex and systematic treatment of concrete structural members is presented in the paper. The procedure which is generally valid can be outlined as follows: - experiments on fracture material parameters based on three-point bending of a notched specimens - development of a deterministic computational model to capture the experiment - inverse analysis based on artificial neural networks to obtain parameters of the computational model - deterministic computational model of a real structural member (2D, 3D) based on data from inverse analysis - stochastic model of a structure 1 prof. Ing. Drahomír Novák, DrSc., Brno University of Technology, Veveří 331/95 602 00 Brno, 541147360, novak.d@fce.vutbr.cz. 2 Ing. David Lehký, Ph.D., Brno University of Technology, Veveří 331/95 602 00 Brno, 541147363, lehky.d@fce.vutbr.cz 3 Ing. Ondřej Slowik, Brno University of Technology, Veveří 331/95 602 00 Brno, 731124250, slowik.o@fce.vutbr.cz 4 Ing. Ladislav Řoutil, Ph.D., Brno University of Technology, Veveří 331/95 602 00 Brno, routil.l@fce.vutbr.cz 13th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 2015, Bratislava All steps mentioned above have been recently applied for roof girder beams (only last one is under development). The joint research on the development of prefabricated structural elements is carried out in cooperation of Brno University of Technology (Faculty of Civil Engineering, Institute of Structural Mechanics), University of Natural Resources and Life Sciences (Department of Civil Engineering and Natural Hazards, Institute of Structural Engineering) and Franz Oberndorfer GmbH & Co KG. Fracture experiments were performed at the beginning of the whole process (as described in section 2) to determine the material properties of the concrete used for precast elements by Franz Oberndorfer GmbH & Co KG company. Based on these tests the mechanical fracture parameters of two different concrete mixtures and their statistical distributions were evaluated [1]. Subsequently fracture experiments were performed on real prestressed concrete beams. These experiments are then modelled using GID – ATENA Science software package [2]. Comparison of results of modelled experiments with experimentally measured values is the subject of this paper. 2 FRACTURE EXPERIMENTS Mechanical fracture parameters were determined within the cooperation of two university laboratories mentioned in section 1 using two different test configurations ‒ wedge splitting (WST) and three-point bending (3PB) tests. Here, especially results from the 3PB test will be mentioned. Two different plain concrete types – C50/60 and C40/50, prepared in cooperation with the concrete company Franz Oberndorfer GmbH & Co KG – have been investigated [1]. Specimens were stored in conditions equivalent to those present during the storage of a structural components. Since one of the aims was to study the evolution of mechanical fracture parameters and their statistics over time, testing in all configurations was carried out at the following ages of hardening: 1 day (only C50/60 concrete), 7, 28 and 126 days (both concretes). On each testing day, 7 specimens were tested in each testing configuration. The results of a 3PB tests conducted on specimens with a central edge notch were analyzed via the effective crack approach and work-of-fracture method. Note that the tests provide an accurate representation of the load‒deflection (l–d) diagrams in both pre-peak and post-peak branches. Compressive strength values were subsequently obtained using the cube specimen test applied to broken parts of the bended specimen. Also the suitable theoretical models for probability distribution functions were set up for all tested parameters. Detailed description of testing campaign and results can be found in [1]. Note that in the next stage of the material research also specimens made from C50/60 strength class concrete reinforced with different amounts of steel fibers (Dramix 5) were investigated. For more details of research see [3], [4]. 3 PARAMETERS IDENTIFICATION Along with the determination of mechanical fracture parameters from the conducted 3PB tests using the effective crack model and work-of fracture method, the selected parameters were also additionally identified using the artificial neural network (ANN) based inverse analysis method [5], [6]. The approach is based on matching the experimentally measured and numerically derived load-deflection curves. The ATENA finite element code [2] was used to simulate the 3PB test numerically. The following three fundamental parameters of concrete were identified: modulus of elasticity E, tensile strength ft, and specific fracture energy Gf. The identification was carried out using FraMePID-3PB software, which was developed in order to automate the time consuming process of ANN-based inverse analysis. The corner stone of the method is an ANN which transfers the input data obtained from the fracture test to the desired material parameters. For theoretical details on ANN-based inverse analysis, which lie beyond the scope of the present paper, we refer the interested reader to [5]. The FraMePID-3PB software itself is described in depth in [6]. The resulting values of the chosen identified parameters, together with their statistics, are summarized in Table 4. More detailed information about identified parameters can be found in [1]. 4 DESTRUCTIVE TESTS ON SCALED STRUCTURAL MEMBERS The experiments on the T-shaped girders were performed. Girders were loaded in non-symmetric three-point bending test configuration. Deflections of the girders, strains in the girders as well as crack openings were monitored. Note that three sets of girders with different hei