F'rançoise Demengel et Gilbert Demengel Espaces fonctionnels Utilisation dans la résolut ion des équations aux dérivées partielles S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences/ CNRS EDITIONS F. Demengel Département de Mathématiques, Université de Cergy-Poritoise/Sairit-Martin, 2 avenue Adolphe Chauvin, 95302 Cergy-Pontoise Cedex. E-mail : Francoise.Dernenge1Qmath.u-cergy.fr G. Denicrigel 74 rue Dunois, 75646 Paris Cedex 13. E-mail : gilbert.derriengel(Qorange.fr 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtahœuf, 91944 Les Ulis Cedex A et 15, rue Malebranche, 75005 Paris. CNRS ÉDITIONS, @ 2007, EDP Sciences, Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’me part, les reproductions strictenierit réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les court,es citatious justifiées par le caractère scientifique ou d’iiiforniation de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’cxploitation du droit de copie, 3 , rue Hautefeiiille, 75006 Paris. Tel. : 01 43 26 95 35. ISBN EDP Sciences 978-2-86883-996-1 ISBN CNRS É»ITIONÇ 978-2-271-06581-0 TABLE DES MATIÈRES Avant.propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse du contenu du livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Organisation du livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii ... viii xi Préambule sur l’ellipticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définitions générales .............................................. Problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations non traitées dans le cadre de ce cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1. Rappels de topologie et d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . 1.1. Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Formes linéaires, dual topologique, topologie faible . . . . . . . . . . . 1.3. Espace des fonctions continues sur un ouvert de RN . . . . . . . . . 1.4. Distributions sur un ouvert de RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Espaces L P . lorsque p E [l,fm] .............................. 1.6. Exercices sur le chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 14 26 3 5 29 40 49 . 2 . Les espaces de Sobolev Théorèmes d’injection . . . . . . . . . . . . . . 61 2.1. Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2. Injections de Sobolev pour W m i P ( I R N ) ....................... 72 2.3. Généralisation & d’autres ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.4. Injections compactes lorsque l’ouvert est borné . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.5. Trace sur la frontière d’un ouvert C1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.6. Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3. Traces des fonctions des espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.1. Espaces W’-’/”>p(RNp1),pour p > 1........................ 118 3.2. Cas du bord d’un ouvert autre que EXN-’ x 10, CO[ . . . . . . . . . . . 133 3.3. Trace des fonctions de W1.’(0) .............................. 135 3.4. Densité de C’(8R) dans W’pl/P.p(dR) ....................... 137 3.5. Traces d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.6. Théorèmes d’iri.jections continues . Injections compactes . . . . . . 166 3.7. Exercices sur le chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 iv TABLE DES MATIÈRES . 4 Espaces de Sobolev fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.1. Distributions tempérées et transformation de Fourier . . . . . . . . 181 4.2. Les espaces de Sobolev H " ( R N ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.3. Les espaces W'J'(0)pour O < s < 1.......................... 191 4.4. Théorèmes d'injection pour les W'J'(0)...................... 212 4.5. Injections compactes pour les W".p(R), R borné . . . . . . . . . . . . .218 4.6. Les espaces W S J ' ( 0 )avec , s E ]O, +CO[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 4.7. Appendice : théorème de convexité de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 4.8. Exercices sur le chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 . 5 EDP elliptiques : techniques variationnelles .231 5.1. Présentation de quelques résultats utiles ..................... 5.2. Rappels d'analyse convexe ................................... 5.3. Résolution d'EDP linéaires elliptiques de type Dirichlet . 5.4. Régularité des solutions précédentes .......................... 5.5. Problèmes de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Problèmes de Dirichlet et de Neuniann non homogènes 5.7. Problème de l'élasticité . . 5.8. L'équation du p-laplacien 5.9. Principes du maximum pour des EDP elliptiques . . . . . . . . . . . . 5.10. Problèmes coercifs sur des espaces non réflexifs . . . . . . . . . . . . . 5.11. Surfaces minimales . . 5.12. Exercices sur le chapitre 5 .......... 231 232 238 245 253 268 283 285 288 . 6 Distributions à dérivées mesures 6.1. Rappels sur les mesures. conver ........................ 6.2. Extension d'u 6.3. Espace de fori 6.4. Distributions 6.5. Distributions à gradient dans M'(n) 6.6. Fonctions à déformation 6.7. Espaces de fonctions à dé 6.8. L'espace des fonctions à déformations mesures . . . 6.9. Formules de Green génér 6.10. Fonctions dc 6.11. Exercices sur le chapitre 6 ........................... . 302 362 7 Sur l'inégalité de Korn dans L p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 7.1. Harrnoriicité . Moyennes . Fonction maximale de Hardy . . . . . . . 374 7.2. Transformation de Hilbert dans R ............................ 388 7.3. Les opérateurs de Riesz dans RN ............................. 401 7.4. Inégalité de Korn dans W ' > p ( 0 ) , R étant borné . . . . . . . . . . . . . . 409 7.5. Exercices sur le chapitre 7 .................................... 420 TABLE DES MATIÈRES V Appendice sur la régularité ........................................ 437 A.1. Estimation de type L" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 A.2. Estimations W'>ket W1." dans le cas p 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 443 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 Index terminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 AVANT-PROPOS Cet ouvrage a pour objectif de présenter un outil de travail pour les étudiants orientés vers l’étude des équations aux dérivées partielles, aussi bien ceux de mastère en mathématiques pures ou appliquées que ceux qui abordent une thèse dans ce domaine. I1 rassemble des résultats d’analyse fonctionrielle qui permettent de cornprendre la nature et les propriétés des fonctions intervenant dans ces équations, ainsi que les contraintes auxquelles on les soumet pour que ces fonctions soient qualifiées de solutions. Le livre présente des méthodes modernes de résolution pour une classe de ces problèmes et interprète les solutions obtenues en étudiant leur régularité. Rappelons que le doniairie daris lequel on envisage une équation aux dérivées partielles est un ouvert de I R N . Cette équation est une relation que doit vérifier sur R la fonction inconnue u et ses dérivées partielles (cf. le préambule qui suit). Eri outre, on impose à cette fonction I L et éventuellement à certaines de ses dérivées (voir dans le préambule les problèmes de Dirichlet et de Neumann), d’être égales à des fonctions domiécs sur la frontière 30 de l’ouvert considéré : ces relations sont appelées conditions au bord. La recherche d’une telle fonction fait l’objet de ce qui est appelé un problème aux limites dont la Physique fournit de iiombreiises illiistrations. Si on considère les dérivations au sens habituel à l’intérieur de l’ouvert, l’analyse classique s’avère insuffisante pour la résolution de tels problèmes et cette lacune est confirmée par les résultats expérimentaux. En effet, ceux-ci préseriterit parfois pour solutions des fonctions dont les irrégularités excluent leur appartenance à des espaces de fonctions dérivables au sens classique. En outre la Physique fournit des exemples où le second membre f de l’équation donnée admet des discontinuités. Considérons l’exemple simple, dans IR, de l’équation différentielle où f est discontinue au point t = O. Alors, une solution éventuelle ne peut être de classe C2 sur IR. On peut cependant chercher une solution ... AVANT-PROPOS Vlll de classe C1 ayant une dérivée y” presque partout, ou encore une dérivée y” qui est une dérivée de la fonction y’ au sens des distributions. EII supposant, que f soit encore moins régulière, mais qu’elle puisse cependant &re considérée comme une distribution notée [ f ] ,on est ainsi amené à chercher des solutions qui sont des distributions [u], ce qui veut dire qu’alors, pour toute fonction p indéfiniment différeiitiable dans IR à support compact, on a ( [ u ] ,p” - p’ ‘p) = ([fi, 9). Ces solutions, que 1,011 peut envisager, même lorsque f est régulière, sont dites aussi des solutions faibles de l’équation. Tout, cela suggère, en substituant à la dérivabilité liabituelle la dérivabilité au seils des distributions, le concept de solution faible pour les EDP générales et conduit à l’étude de certains espaces de fonctions dont les dérivées au sens des distributions s’identifient à des fonctions de puissance p-ièmes sonimables. Apparaissent ainsi les espaces de Sobolev Wm’P(O) qui ont la propriété d’être des espaces normés complcts, auxquels s’appliquent donc les théorèmes classiques d’analyse forictioririelle. Daris le cas où des conditions au bord sont à satisfaire, les fonctions de ces espaces n’étant définies que dans l’ouvert, il apparaît également la nécessité de lcs prolonger & la frontière de [ I . L’existence de tels prolorigements dépendant a priori de la régularité de cette frontière, on étudie plus particulièrement l’espace W m , p ( (1) quand l’ouvert R admet pour frontière une variété diff6reritiable ou différentiable par morceaux. Cela permet , pour les fonctions de ces espaces, d’interpréter, en accord avec la Physique, les conditions au bord dans les équations proposées. Ainsi, dans de noiribrcuses situations, la grande souplesse de la dérivation au sens des distributions arnèrie à énoncer les problèmes aux limites sous des formes équivalentes, plus favorables à l’établissement de théorèmes d’existence et d’unicité. Bien entendu, tous les résultats obtenus réclament des préliminaires. Ils concernent les espaces fonctionnels utilisables, tout particulièrenient les espaces normés, la complétude, les densités, la généralisation de la notion de fonction et l’int6gration. C’est l’objet du chapitre 1. + Analyse du contenu du livre 0 Le chapitre 1 s’intitule Rappels de topologie et d’analyse fonctionnelle. On y rappelle d’abord la défiriitioii des espaces vectoriels t,opologiques, parmi eux l’exemple important des espaces Iiorniés, surtout des espaces de Banach, et les tkiéorèrries de Baire, de l’image ouverte, de Banach-Steinhaiis, de Hahn-Banach sont énoncés. La notion d’application linéaire continue y précède l’introduction du dual topologique d’un espace tiorrtié. Pour faire ANALYSE DU CONTENU DlJ LIVRE ix apparaître les différents sens usuels des convergences concertiant, les suites de fonctions, sens nioiris strict que celui par exemple de la convergence uniforme, on définit les topologies faibles siir un espace et sur son tliial. On définit aussi les espaces réflexifs, eri particiilier les espaces de Hilbert, et les espaces uniformément corivexes dorit de rionibreiix exerriples au cours du livre exploitent les propriétés. Une étude de l’espace des fonctions coritinues sur iiii ouvert de RN précède le rappel (les définitions (les espaces de distribiitioris, de leiir topologie, des opérations qiie l’on y définit, airisi que les propriétés de convergence des suites. Le chapit,re se terrnirie par l’étude (les espaces Lp(R), de leur complétude, de leur réflexivité, de la densité des fonctions régiilières. Cette dernière partie du chapitre constitue aiiisi une introduction aux espaces (le Sobolev qui font l’objet des chapitres suivants. 0 Lc chapitre 2 concerne les espaces de Sobolev, lesquels fournissent un cadre fonctionnel coriveriable pour la plupart des problèmes aux limites elliptiques (ci. préambule) de la Physique. Une partie irnportarit,e de ce chapitre est réservée aux tliéorènies d’injection de Sobolev. On y présente d’abord la riotiori de dérivation des fonct,ions au sens faible (ou généralisé) qui est, en fait, la dérivation au sens des distributions. À l’aide de l’intervention des espaces L P , cela permet de définir les espaces de Sobolev W””p(f2). Les conséquences des propriétés de LI’(n) fournissent des résultats de derisité des forict,ions régiilières dans les espa< W”’>p(f2).Le théorème le pliis irriport,arit de ce chapitre est le tliéorèmc d’injection tlc Sobolcv qui précise l’apparteriarice des éléments de W ” ‘ ~ ~ ’ (&ndes ) espaces L‘l(R), avec q > p , voire à des espaces de fonctions continues lipschitziennes ou holdériennes. Cert,aines dc ccs irijcctions sont compactes. Ces résiiltats de compacité valahles pour des ouverts bornés constituent uii argurrierit clef pour rriontrer l’existeiice de solutions pour des problèmes de niinirriisatioii coercifs (cj. chapitre 5 ) . La deuxième partie du chapitre étudie la possibilit,é de prolonger les fonctions de W77L.p(i2) eii des éléments de W v 7 ) p ( R Nce) , qui suppose iine régularité sur la frontière 30. À cette occasion, on définit les ouverts lipsctiitzieiis et, les ouverts de classe C”’. Ce chapitre se terrnirie par un théorème de trace qui permet, sur de tels ouverts de prolonger 71, E WlJ’(f2) sur la frontière eri ilrie fonction de L P ( d f l ) ,ce qui généralise la notion de restriction ii30 pour des fonctions qui ne sont définies cri principe qiic clans l’ouvert 12. Ce tliéorèrrie apparaît donc très utile dans la forniiilation des conditioris au bord d’un problème aux limites. 0 Le chapitre 3 se consacre à l’étude de l’image de cette application trace définie sur W’J’(f2) lorsque l’ouvert est régulier. Dans le livrc, c’mt un premier exemple d’un espace de Sobolev fractionnaire W’ - ‘ / P J J ( 8 0 ) . ~ X AVANT-PROPOS Le chapitre contient également la mise en place de formules de Green et de théorèmes d’injection. Notons d’ailleurs que ceux-ci peuvent se déduire des résultats d’injection sur les espaces de Sobolev d’exposants entiers dont ils proviennent. 0 Le chapitre 4 traîte des espaces fractionnaires plus généraux W S J ) ( O ) (s réel non entier). On y montre des résultats d’injection et d’injection compacte. 0 Au chapitre 5, on utilise tous les ingrédients théoriques déjà présentés pour montrer l’existence de solutions à des EDP elliptiques. Deux exceptions cependant, le problème des surfaces minimales et le problème de l’élasticité linéaire dans le cas des petites déformations. Pour le premier, les justifications théoriques, dans le cadre des fonctions de niesures, sont présentées dans le chapitre suivant. Le second exige la connaissance des inégalités de Kor~i,lesquelles font l’objet du thème étudié dans le chapitre 7. Dans beaucoup de situations, les théorèmes d’existence concernant ces EDP elliptiques s’obtiennent en forniulant les problèmes aux limites sous une forme variatiorinelle. Les solutions apparaissent alors comme assurant la minimisation d’une fonctionnelle convexe et coercive. On étudie ensuite la régiilarité des solutions de certains parmi ces problèmes, en utilisant par exemple des méthodes d’approximation de la dérivée par des différences finies, ou des méthodes d’estimation a priori. On termine le chapitre par des propriétés qualitatives de ces EDP, à savoir le principe du maximum, dans sa fornie faible puis un principe du maximum fort. 0 Dans le chapitre 6, on étudie des espaces apparentés à ceux de Sobolev et notamment l’espace des distributions, dont le tenseur des dérivées, lequel est symétrique, encore appelé tenseur des déformatzons, est, pour p E [I,CO[. dans L p ( s 1 ) . Le cas p 1 ainsi que celui des espaces dont la déformation est une mesure bornée sont aussi étudiés. On donne notamment des théorèmes d’injection analogues à ceux des espaces de Sobolev classiques, ainsi que des résultats d’existence d’une trace sur le bord lorsque l’ouvert est assez régulier. Enfin, une section est réservée à l’étude des fonctions de mesure. 0 Le chapitre 7 propose au lecteur, en se plaçant dans le cadre de l’analyse harmoniqiie, un itinéraire aboutissant à une preuve des inégalités de Korii dans W’J’. 0 L’ouvrage se termine par un appendice concernant la rbgularité des solutions des problèmes de y-laplacien. On y établit, en coniplément du chapitre 5, des résultats plus techniques, auxquels on parvient par des méthodes d’estimation a priori. ORGANISATION DlJ LIVRE xi Organisation du livre Chacun des chapitres est suivi d’une série d’exercices. Des indications sont données, dans la majorité des cas, pour leur solution. Le niveau de ces exercices est variable. Pour certains d’entre eux, affectés du symbole [*I, il s’agit de précisions apportées à un résultat doriné au cours du chapitre, d’une illustration de ce résultat par une application où des calculs explicites peuvent être proposés, ou encore d’une autre démonstration d’un tel résultat. Pour d’autres, affectés du symbole [**I, il s’agit, dans le cadre de l’ouvrage. d’apporter des compléments sur un tliènie donné. Dans certains cas. ces thènies d’étude sont présentés en diniension N : 1 ou N = 2, cas dans lesquels on peut mieux niettrc en évidence la nature des problèmes posés et la spécificité des méthodes envisagées. Dans ces petites dimensions, ces méthodes peuvent aussi conduire à des calculs explicites, pouvant se révéler favorables à une meilleure compréhension des notions étudiées. PRÉAMBULE SUR L'ELLIPTICITÉ Définitions générales Les définitions peuvent être dorinées pour des fonctions à valeurs complexes. mais, daris ce qui suit, elles concernent seulement les fonctions à valeurs réelles. Définition 0.1. Un opérateur différentiel à N variables et de degré rri est une application A qui associe à toute fonction f définie dans un ouvert f2 de RN et dérivable jusqu'aii rang m, une autre fonction A f , définie sur R , ai1 moyen d'une fonction F selori la forniule : .). A f ( z ) = F ( f ( r ) , & f ( z ) ., . . ,a;:\ ,,,, SUN f ( r ) , 1 N L'opérateur A est dit linéaire si la fonction F est un polynôme du premier degré par rapport à chacune des dérivées D" où a , ordre de la dérivation est N un N-uplet d'entiers a l , a2, . . . , O N de somme 1011 = 01, rn ; autrement dit si : E, < c N ( z ) ( D a f ) (+ x )cO(z), = l"l<m où les fonctions c, et ch sont appelés les coefficients de l'opérateur A. Urie équation aux dérivées partielles est une identité Af = O. Elle est dite linéaire si l'opérateur A est linéaire, linéaire homogène si, en outre, ch = O. Une équation est dite quasi-linéaire si c a ( z ,u , . . . , DBU)D"u Af(x) = + cO(x,U ) , 1a1< n i où les N-uplets p satisfont à I,û < la1 - 1. Définition 0.2. Urie solution de l'équation dans un ouvert RI c R est une fonction ,f suffisamment dérivable dans R' telle que : 'v'x E RI, A f ( : c ) = O. 2 PRÉAMBULE SUR L’ELLIPTICITÉ On s’intéresse surtout dans l’ouvrage aux équat,ions aux dérivées partielles linéaires de degré 2 . L’équation s’écrit alors, la fonction g = -ch étant appelée le second nienibre de l’équation : N Une équation aux dérivées partielles linéaire et de degré 2 est dite iicoefficients constants si les fonctions c,,k et c, se réduisent à des constantes. À l’équation linéaire (E), on associe, pour tout x E R. le polynôme. noté P(E),, du second degré en N indéterminées {X,} dont les coefficients sont ces fonctions, à savoir : N Soit P(E)(’) la partie homogène du second degré de ce polynôme. c’est-àdire : P ( E ) ? ) ( X )= c,,k(Z)XjXk. l<j<k<N Définition 0.3. Soit une équation linéaire de degré 2 . On considère la matrice carrée C ( x ) de dimension ( N ,N ) réelle, symétrique, dont les coefficients sont les c j , k ( x ) . La partie homogène précédente s’écrit alors, à l’aide de la matrice colonne [XIdes N indéterminées X,, sous la forme : P ( E ) ( 2 ) ( X= ) “XIC(4[Xl. On dit que 1’EDP est ellzptzque (LU poznt T E R si les valeurs propres de la matrice C ( x ) (qui sont ici réelles) sont ou bien toutes strictement négatives, ou bien toutes strictement positives En changeant le signe des deux membres de l’équation, on se ramène alors à une matrice C ( x ) qui est définie-positive. Si on suppose que x H C ( x ) est continue sur R supposé connexe et si, quel que soit x E R, le noyau de C ( x ) est réduit à O, on dit que 1’EDP est elliptique dans 0. Cela revient à dire, en changeant éventuellement lcs signes des membres de l’équation, que cette matrice C ( x ) est toujours définiepositive. Soient alors ,A, ( x ) et Ahl(x), les valeurs propres minimale et maximale de C ( x ) ,avec Am(x) > O. On dit que 1’EDP est strictement elliptique s’il existe une constante A0 > O telle que : V x E R , Am,(x)3 Ao. Enfin, elle est dite uniformément elliptique dans R si, de plus, la fonction 2 H Ahf(x)/Am(x) est bornée dans 0. PROBLÈMES A U X LIMITES 3 Dans le cab où les Coefficients c J , k sont des constantes, la stricte ellipticité est équivalente à l’uniforme ellipticité. Notons que ces définitions ne concernent que la partie liornogèrie de degré 2 de ( E ) .Pour limiter l’importance de la partie homogène de degré l , on fait quelquefois des hypothèses siIr les coefficients c,(z), par cxerriple en irriposant aux fonctions : T H ~c,(z)I/X,(a) d’être bornées dans R. Exemple 0.4. L’équation de dcgré 2 en une variable y”fa(x)y’+b(z)y est une équation elliptique. Daris le cas de deux variables, iiiie équation du type : aa;,f(z‘ Y) + 2ba:,f (T Y) + ca;,f(., Y) + (Q&f+ Ba,f)(T, où 1’011 suppose IL > O, est elliptique si et seulement si h2 cas pour l’opérateur laplacien où a = c = 1 et b = O. ~ ac = g(z) y) = g(z, Y)’ < O. C’est le I1 est évident que, pliis généralement, l’opérateur laplacien en N variables, a:2.f,est elliptique. qui s’écrit af = J Par contre, les équations qui interviennent eri théorie des ondes, à savoir, en dimension 2 , l’équation d2U d2U a2;2 dy2 = f’ ne sont pas elliptiques. Pour 1’Pquatioii à coefficients variables la coriditiori d’ellipticité n’est vérifiée que daris les ouverts ne rencontrant aucun des deiix axes de coordonnées. Problèmes aux limites Citons, parmi les problèmes qui sont régis par des EDP, ceux qui sont les plus connus. Problèmes d e Dirichlet. Ces prob1i:rries sont associés & l’opérateur différeritiel elliptique constit,uépar le laplacien. Daris IC cas N = 2 , le problèrrie, classiqiieIrierit dit de DirichIlet, associé & un ouvert borné 62 et ti une forictiori f continue sur la frontière 3 R , consiste à déterminer une fonction liarrrioriique dans 12 qui se prolorige sur la frontière dR en la fonction f . PRGAMBULE SUR L’ELLIPTICITÉ 4 Par extension’ ce problème en dimension N s’énonce ainsi : Trouver une fonction u deux fois dérivable dans l’ouvert R c IR2 de frontière r telles que, f étant donnée sur R et g étant donnée sur r, on ait : Au = f dans R ulr = g . et Tout en conservant l’opérateur A, la modification des conditions au bord’ en faisant intervenir iiotamnient, la dérivée normale sur la frontière dR,conduit à d’autres problèmes. Problèmes de Neurnann. Érionpis-le dans le cas où N est quelconque : Soit r un ouvert borné à bord régulier, par exemple continûment différeritiable, sur lequel on est. donc en mesure de définir une normale extérieure ?II. Soient f une fonction donnée sur 61 et aussi une fonction g donnée sur ï. Le problème consiste en la recherche d’une fonction 7~ tclle que : Au =f dans (2, et, sur r üzu = 9 . : Problè,mes de Newton. On se donne 1111 ouvcirt Cl, de frontière régulière I?‘ une fonction f définie dans R , deux autres fonctions g et h définies sur r. Le problème consiste en la recherche d’une fonction u telle que : Au = f dans f l > et, sur r : ûnu + h‘u = g. On peut généraliser ces problèmes, sans reprendre les définitions précédentes. Par exemple, en remplaçant, l’opérateur A par son carré au sens des opérateurs A2 = A O A, on peut envisager : Prohlèm,es du bi-laplacien A2. La fonction f étant donnée sur R et les fonctions ,yi et g 2 étant données sur I?, il s‘agit de trouver 71, telle que : A2u = f dans 61, et’ sur r : u = g, et =sa. 13s;’~ On définit aussi des problèmes, où les conditions limites s’apparent,ent à celle du problème de Neumann, pour l’opérateur A2 et des problèmes analogues où on reniplace l’opérateur A2 par l’opérateur ti H A2u I L . On peut, aussi généraliser ces problèmes par l’introduct,ion d’équations q,uasi-linéaires. Donnons quelques exemples : + Problerri,es $IL p-laplacien. C’est un exemple d’équation 11011 linéaire, mais quasi-linéaire. Le réel p étant tel que 1 < p < +cm,le problème consiste en la recherche de u telle que : Cette équation est d u type diiiergen~eet c‘est cette écriture qui est favorable à l’application dcs méthodes de résolution, niais montrons que c’est bien une équation quasi-linéaire. En développant l’opérateur du premier inenibre coniine la clivergeiice di1 produit d’un scalaire par un vecteur, on obtient, ÉQTJATIONSNON TRAITÉES DANS LE CADRE DE CE COURS d’abord formellement (par exeniple, lorsque p le gradient s’annule), l’expression : 5 > 2 , en évitarit les points où + 1V~i1~-’Aali Vu.V ( / V U / ~ - ’ ) . À l’aide ensuite de la formule V(IVuIP-’) = ( ~ - ~ ) ~ V U I P - ~ Vet U de V VlaI L définition du gradient d’un vecteur. l’équation s’écrit en effet sous la fornie quasi-linéaire : IVu~”-4(IVui’a,,u +(p - 2)a7J7Li37ua4= f ProhlPme des surfaws rnanamales. C’est encore une équation quasi-linéairc, qui peut être vue comnie une extension du précédent exemple lorsqiie p 41. I1 s’agit de la recherche de u telle que : On l’explicite sous sa forme quasi-linéaire Exemple (d’équation non linéaire et quasi-linéaire). Un exemple qui pourra être traité par les résultats de cet ouvrage est le suivant, où p > 1 et X > O, réel : AU = X / U ~ P - ’ U dans (2 et ulan = O. Terminons ce préarnbule en précisant les limites qui sont assignées & cet, ouvrage. Équations non traitées dans le cadre de ce cours Équations non, linkaires qui ne sont pas du type divergence. Dans cette catégorie, figure toute une classe d’équations aux dérivées partielles pour lesquelles le concept de solutions faibles, qui ne peut plus être utilisé, est remplacé par celui de solutions de viscosité. C’est le cas pour I V U I ~ A=~fL. où Q est un réel > -1. Nous n’abordons pas ce type d’équations dans le cadre de ce cours. Notons cependant que, dans le cas d’équations sous forme divergerice, coinnie ci-dessus pour le p-laplacien, la notion de solutions dc viscosité et ccllc de solutions faibles coïncident grâce à des résultats de régularité. Le lectern pourra consulter à ce sujet les t,ravaux de Ishii 1261, Ishii-Lions [27],Bcrestycki Nirenberg Varliadan 141, Guy Barles [3]et, plus récerninrnt, Busca Esteban Quaas [SI, Birindelli-Dt:rrierigel [ 5 ] . 6 PKÉAMBULE SUR L’ELLIPTICITÉ Équations hyperboliques. Elle ne sont pas traitées par les méthodes de ce cours. Notons que les équations hyperboliques ont en général le défaut de présenter (< trop >> de solutions. Citons l’une des plus connues, l’équation de Burgers : ua,u = f . Seules sont considérées coirinie physiques parce que stables sous certaines perturbations les solutions dites entropiques au selis de Oleinik. Ce sont aussi les solutions qui sont obtenues comnie limites de solutions d’une équation régularisée de niariière elliptique. Nous rie traitons pas ces équations ici. Le lecteur pourra consulter les ouvrages de Oleinik, Serre, ... Enfin : ~~ ~ Équations paraboliques. C’est le cas de nonibreuses équations d’kvolution. Citons les plus connues, parmi celles qui sont linéaires. L’équation de la chaleur s’kcrit : 3tu =f au avec, ilon seulement des conditions aux limites, triais aussi des conditions initiales, c’est-à-dire des conditions imposées à la solution u au temps t = O. Le problème de Korteweg-De Vries est régi par l‘équation linéaire sur IWfxR: &u u s z = f et, en outre! une condition initiale. De telles équations se généraliserit d’ailleurs en équations i ion linéaires, comme celle, par exemple de Korteweg-De Vries-Burgers : ~ 1Lt - u35 + u3,u =f. CHAPITRE 1 RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE Ce chapitre est consacré à des rappels d’analyse fonctionnelle, priricipalernent dans les espaces de Banach. La plupart des résultats sont seulement enoncés. Mais le lecteur trouvera leurs démonstrations, cornrrie c’est le cas pour le théorème de Hahn-Banach, dans les ouvrages spécialisés d’analyse forict ionnelle. Les techniques de résolution des équatioiis aux dérivées partielles elliptiques utilisant très fréquerrinient la notion de compacité dans les espaces LP, ou plus généralement la notion d’espace réflexif, quelques pages sont consacrkes à la réflexivité ; en particulier, à la compacité, pour la topologie faible, des bornés d’un espace réflexif, et à la relation entre les espaces LP et LI)‘ où p et p’ satisfont aux propriétés : p E [ I ,+m], p’ E [i,+m] et i / p + i/p’ = 1. D’autres rappels coricerrient les distributions. 1.1. Espaces vectoriels topologiques Soit X un espace vectoriel sur K (R ou C).Les parties de X convexes, ou équilibrées ou absorbantes jouent un rôle important dans la définition d’une topologie sur X compatible avec la structure algébrique de X . Définition 1.1. Soit X un espace vectoriel sur R. Soit A ~ La partie A est dite équilibrée si : V A E R, Elle est dite absorbante si : V ‘ Z E X ,i l r > O , V X E R , cX. 1x1 < 1 + XA c A . IXI<~*XXEA. Définition 1.2 (espaces vectoriels topologiques, ou e.v.t. pour simplifier). Ce sont des espaces vectoriels sur IK (où R est soit R,soit C),munis d’une topologie pour laquelle la multiplication externe et, l’addition sont continues. 8 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE Uri exemple d’e.v.t. dont la topologie est simple à étudier est celui d’un espace vectoriel norrné. Dé$nition 1.3 (norme sur un W-espace vectoriel X). Soit X un espace vectoriel sur le corps K. Une norme dans X est une application f de X dans R+ qui satisfait aux conditions suivantes : Y 2 EX, f(.) = O I 2 = O , Y C E K , Y.€X, f(C.1 Y(2’Y) E x2, = ICIf(X)’ f .( + ’y) G + f (Y) f(2) Un espace vectoriel muni d’une norme est appelé espace vectoriel normé ou, pour abréger un n o m i é ou un e.v.71. À la norme est associée la distance d telle que d ( i c l . 2 2 ) = 11~1 -2211. Ainsi, un normé X est un espace métrique et il est facile de vérifier que les opérations de multiplication externe et d’addition vectorielle sont continues pour la topologie associée à la norme. Un espace normé est donc un e.v.t. Remarquons que, dans uti tel espace, la famille {B~,,},>odes boules ouvertes de centre Ox constitue un système fondamental de voisinages convexes de O X , ce qui veut dire que tout voisinage de O X contient un élément de {Bo,T}. Par translation, cette propriété restc vraie en tout point de X . On dit, plus généralement, qu’un e.v.t. est localement convexe, si tout point de cet espace possède un système fondanierital de voisinages convexes (voir la proposition 1.5 qui suit). Remarque 1.4.Si on abandonne le premier axiome (axiome de séparation) de la définition précédente, l’application f est dite une semi-norme. Un espace muni d’une semi-norme est encore un e.v.t., et c’est un espace localement convexe. I1 n’est pas séparé. En raison de l’importance que ces espaces représentent en a,nalyse fonctionnelle, on détaille leur topologie, soit par la description d’une base de voisinages de l’origine, soit par une famille de semi-riornies : Proposition 1.5. Soit i? une famille d e parties d’un W-espace vectoriel X qui satisfait aux conditions suivantes : (1) la famille B est une base de filtre, ce qui signifie qu’elle ne contient pas l’ensemble vide et que : Y ( A , B )E B2, 3 C E B, C cAnB; ( 2 ) toute partie appartenant à B est convexe, équilibrée et absorbante; (3) VA E i?, V r > O, 3B E 8, B c rA. 1.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES 9 Alors, I3 est une base (ou système fondamental) de voisinages de O X pour une topologie d’e.1.c. sur X. Pour cette topologie, V est donc un iioisinage de ~t’E X s’il existe U E B tel que x + U c V . Proposition 1.6 (semi-normesengendrant une-topologied’e.1.c.) Soit { r l ~ } ~ ~ * une famille de semi-norm,es dans un IK-espace vectoriel X . On suppose qu’elle est séparante et filtrante, ce qui signifie : (1) pour tout .7: E X , il existe X E A tel que V A ( Z ) # O ; ( 2 ) pour tout couple (X,,X,) t (A)2, les fonxtions V A , et r]x2 admettent, dans la famille, u n e borne supérieure, à savoir : E A, VA 3 V A , et 71x 3 r/x2. Alors, l’ensemble de toutes les boules fermées {BA,T}associées aux serninormes de la famille, définies donc par BA.,, = {x E X I 7 l x ( 2 ) < r } , constitue une base de voisinages de Ox pour une topologie d’e.1.c. skparé sur X. I1 est aisé de montrer que cette famille de boules satisfait aux conditions de la proposition 1.5 et que la topologie est séparée puisque, xo étant lion nul et X tel que q ~ ( z 0 # ) O, la boule fermée BA,,., où r = , r l ~ ( x o ) / 2rie , contient pas xo. Exemple 1.7 (d’espaceslocalement convexes). I1 s’agit de définir une structure d’e.1.c. sur l’espace X = E k ( ] a , b [ )des fonctions f de classe C k dans un intervalle ouvert ] a ,hi de R.Cet exemple sera géiiéralisi. plus loin, l’intervalle étant alors remplacé par 1111 ouvert R de RN. Considérons les fonctions q m , k , dépendant des entiers m, < IC et des corripacts K de R inclus dans ] a ,O[, qui sont définies par : Pour chaque couple (m,K ) ,il s’agit d’une serni-norme. On a airisi une famille de serrii-normes sur X . Cette famille, munie de l’ordre sur les fonctions réelles, est filtrante et sépararite : E Keffet, ~ pour tous couples ( K I ,Ka) et (mi,m2), les fonctions q , , , ~ , et q , , , ~ ~admettent une borne supérieure dans la famille, à savoir ici, q m , ~ où K = KI ü Kz et rn = max(m1, mz). D’autre part, pour toute fonction f dans X , avec f # O, il existe rn et K tels que %n,K(f) # 0. 10 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE La proposition précédente montre alors que l’ensemble B de toutes les boules fermées associées aux semi-normes précédentes est un système foridamental de voisinages de OX pour une topologie d’e.1.c. séparé sur X . Notoiis, d’une manière générale, que la topologie d’un e.1.c. quelconque peut être construite à l’aide d’une famille de semi-normes (voir 1451). 1.1.1. Propriété de Baire et applications Espaces de Bazre. Définition 1.8. Un espace topologique E est appelé un espace de Bazre s’il satisfait à l’une ou l’autre des propriétés équivalentes suivantes : (1) Pour toute famille dénombrable {Un}ncw d’ouverts partout denses Un est partout dense dans E . de E , à savoir = E , l’intersection ( 2 ) Pour toute famille dénombrable {F,},,w de fermés de E d’intérieur vide, la réunion UnENF,, est d’intérieur vide dans E . Théorème 1.9. Soit X un espace de B m a c h , c’est-à-dire un espace n o r m é complet. Alors X est un espace de Baire. La preuve de ce théorème est proposée avec des indications en exercice (voir aussi [46]).Les applications en sont nombreuses et importantes, notamment celles qui concernent les applications linéaires continues. 1.1.2. Applications linéaires continues d’un normé dans un autre Dans ce qui suit, les e.v.t. considérés simultanément orit le même corps de base K. Rappelons la Caractérisation de la continuité d’une application linéaire, laquelle conduit à la définition de la norme d’une telle application : La continuité en tout point de f , application linéaire du norrné X dans le norrné Y , résulte de la continuité de f au point T = O et celle-ci s’exprime par l’une ou l’autre des deux propriétés suivantes qui sont équivalentes : > O tel que : v x E x, (2) Il existe Ad > O tel que : (1) I1 existe M Il.CllX v x EX. 6 1 ===+ llf(.)llY llf(.)llY 6 M. 6 nfllzllx Notons que, par la linéarité, la borne supérieure de l l f ( x ) I / ysur la boule unit6 de X se réduit. en fait, à la borne supérieure sur {l/xllzy= 1). c’està-dire sur la sphère-unité. Cette caractérisation aboutit à la construction d’une norme pour ces applications linéaires continues : 1.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES 11 Définition 1.10. Les espaces vectoriels topologiques X et Y étant donnés, on désigne par C ( X ,Y ) l’espace des applications linéaires et continues de X dans Y . Lorsque L E C ( X ,Y ) où X et Y sont des espaces normés, on note : I I ~ l l L < X , Y= ) SUP llL(Z)llY. X t X Ilxllx=l L’application L H ilLilL<x,y)est une norme, dite norme d’opérateur, qui dote ainsi l’espace C ( X ,Y ) d’une topologie naturelle d’e.v.11. Proposition 1.11. Si X est un e.v.n et si Y est u n Banach, l’espace C ( X ,Y ) , muni d e la norme précédente, est un Banach. Une preuve est proposée dans l’exercice 1.1 de ce chapitre. En particulier, c’est vrai pour Y = R considéré coinine espace vectoriel sur lui même, rriurii de la valeur absolue. Cette propriété est utilisée plus loin dans ce chapitre. Lorsque X et Y sont de dimension finie, l’espace C ( X ,Y ) est de diriiension finie et coïncide avec l’espace des applications linéaires de X daris Y dont la topologie est celle, canonique, d’un espace vectoriel de diniension finie. Lorsque X et Y sont de dimension infinie. cettr. coïncidence n’est plus vérifiée. Théorème 1.12 (de l’image ouverte). Soit T une applicatior~linéaire continue surjective d ’ u n espace de Banach X dans un espace de Banach, Y , alors l’image d’un ouvert est u n ouvert d e Y . Preuve du théorrme 1.12. O Cette preuve suit les arguments de [46]. On commence par montrer que si U est iin voisiriage de O daris X , il existe un voisinage V de O daris Y tel que : VcT(U). En effet, soit B(0,r ) c U et W = B(0,r / 2 ) . 011a X = ( n W )et donc : T ( X ) = Y = UnEW* T ( n W ) .L’espace de Banach Y étant ainsi recouvert par la faniille dénombrable des fermés T ( n W ) ,la propriété de Baire fournit l’existence de l’un de ces fermés, T ( n o W )qui est d’intérieur non vide. I1 existe donc un ouvert Vi dans Y tel que VI c T ( n 0 W ) . Urie homothétie dans Y étant continue, le fermé T ( W ) contient l’erisenible &VI qui est aussi un ouvert de Y . Soit y() tel que B(yo,6) c T(W). Alors B(0.b) c T ( W )- y o c T(W) + T(W) c T ( U ) . Le voisinage V = B(g0,S) satisfait donc à la propriété annoncée. ~~~ 12 C H A P I T R E 1. R A P P E L S D E TOPOLOGIE ET D‘ANALYSE FONCTIONNELLE Venons-en ii la preuve di1 théorème : 0 Pour simplifier, on note X , et Y, les houles de centre O et, de rayon E , respectivement daris X et Y . Soient ~i = ~ / et2 { 7~7 i } une suite de réels strictement positifs telle que YVAc T ( X , , ) . On peut supposer que cet,te suite teiid vers O. Soit y E Y,,,,.Puisque E T ( X , , ) , on peut choisir xo E XE,,tel que : II?/ - TnII 6 v i . Puisque y - Tzo E YJ1il existe x1 E X,, tel que : < r/2. ) ) y- Txo - s x 1 / / Par récurrence on construit airisi une suite x,, E X E , , telle que ( l Y - C T X i ( ( <%. j<n < < Les inégalités //xj I I ~ E/2.7 impliquent ~ / . c j / l x e / 2 ‘ ~ 1 . 11 en résulte que la suite { E j Gxj} , est une suite de Cauchy. L’espace X étant Uri Banach, cette suite converge vers x, élénierit de X , lequel vérifie : 3 En outre, on a : Tn: = y. Firialcment, y étant arbitraire dans Y&,or1 a obtenu que l’image par T de la boule de centre O et de rayon 2~ contient la boule de centre O et de rayon qo daris Y , ce qui établit que l’image de l’application T est ouverte. O Théorème 1.13 (Banach-Steinhaus). Soit { u , ~ }une s u i t e d’applications lineaires continues d’un espace de Banach X dans wri espace nomné Y . Alors, s i pour tout x de X , la suite {u,,,(x)}converqe dans Y , il existe u n e constar& G, telle que : vn E N, llunllL(x,Y) c. Prmve du théorè,me 1.13 (cf. [46]). O La convergeiice simple doririée daris l’hypothèse implique l’existence d’une limite u(x)quel que soit x. L’application u de X dans Y est linéaire. Eri remplaçant u, par ‘uTL- u,on se ramène au cas où, quel que soit x, 71,,(2) + O. Alors, si E > O est donné, pour tout 11: E X il existe N tel que pour tout n > N , on a : I/un(x)IIx E . En d’autres termes, B’(O,E)désignant une boule ferniée dans X , on a : < X= I . l . ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES 13 n77>,N Quel que soit N , l’ensemble FN = u;l(B’(O, E ) ) est un fermé, coniiric intersection de fermés puisque unest continue pour tout n. Par la propriété de Baire qui s’applique dans X puisque celui-ci est complet, il existe No tel que FN,, cst d’intérieur non vide. Soit .CO et 6 tcls que n uny~’(O, B(x:o, 6) TL> &)I. NII Doric V r t 3 No B(O,S)c et pour tout ri IL,’ (B’(O,2€)), 3 No On en déduit le résultat. cl Remarque 1.14. Sous lcs hypothèses du théorème, l’application linéairc limite 71 = u, est continue. En effet, la continuité de u,, implique : V‘n. E x, lIU,(‘n.)llY < I/71,,/IL(X,Y)II~llx < CIIJIIX. La continuité de la norme 1l.llY permet d’obtenir, cri passant à la limite dans le premier membre, l’inégalité : 11u(.r)11 C l l ~ l l xcaracterisarit . la mitinuit6 de IL. < Exemple Z.Z.5 (d’application du théorème de Banach-Steinhaus). Soit {A,,,} une suite de complexes telle que, pour t,oute suite sorrirnable {xn}‘ la série E:” xrLxTL est convergente. Montroris qu’alors supntWIX,/ < +CO. Soit X = 1 l’espace des suites complexes :c = { x T L }soiniriahles. Cct lxnl est un Banach ( c f . exercice 1.3). espace, muni de la norme llx;l\ = Soit u p l’application linéaire dt: X dans R définie par !up(.) = A?LxTL. La forme uT>est continue puisque : < cette iriégaliti: prouvant aussi que ~ ~ u p ~ ~ L ~ st u~p ,o c~ 7) a G lATL/. p En fait, si cette borne est atteinte <:ri *no,en choisissant :>: de composantes 5 , = S:;,,, on prouve 1’i:galité IIupll = supO<,L<p lAnl. Par hypothèse, la suitje {uT,(:x)} converge quel que soit 5 . Donc, d’après le théorèine de Banacli-Steinhaus, la suite des normes (I!upII L ( t ,e) ~ est bornée, ce qui montre que sup,LEwIX,/ < $00. 14 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE Bien entendu, la réciproque de cette propriété est vraie. D’ailleurs, à partir de cette caractérisation, on peut prouver que C ( t l , C ) = em, espace des suites complexes bornées. Remarque 1.16. Sous les hypothèses du théorème, il n’est pas vrai en général que la suite { u n }converge vers u dans l’espace C ( X ,Y ) (cf. exercice 1.6). 1.2. Formes linéaires, dual topologique, topologie faible 1.2.1. Dual topologique d’un e.v.t., théorème de Hahn-Banach Définition 1.17 (dual topologique). Une forme linéaire continue sur un Respace vectoriel topologique X est une application linéaire de X dans R, continue pour la topologie de X et celle de R. On note X’ l’espace vectoriel constitué de ces formes. Lorsque X est de dimension finie, il est clair que X’ est r6duit au dual algébrique et que X‘ est de même dimension que X , un moyen de le voir étant de se donner une base { e i } de X et de lui associer la base duale constituée des formes linéaires e: définies par = 6:. Dans le cas où X est un e s p x e nornié de dimension infinie, le dual est aussi de dimension infinie. Un moyen de le voir est d’utiliser le théorème de Hahn-Banach, forme analytique, que nous énonçons ci-après sans démonstration. Dans la foulée, nous donnons aussi la forme géométrique de ce théorème, car cette version, permet non seulement de montrer certains théorèmes de ce chapitre, mais sera un argument clef dans la théorie des fonctions convexes développée dans le chapitre 6. Théorème 1.18 (Hahn-Banach). Soient X u n espace vectoriel sur K, M un sous-espace vectoriel de X et p une semi-norme sur X . Soit m’ une forme linéaire sur Al? telle que Im’(z)l 6 p(z) pour tout z appartenartt à M . Alors il existe une forme linéaire x‘ sur X , telle que : VmE M, z’(m)= m’(rn) et V z E X ; lz’(x)l< p ( z ) . En particulier, si X est u n espace riormé, la semi-norme choisie étant alors la norme l l . l l ~ ,toute forme linéaire, m‘ continue sur le sous-espace M mun,i de cette norme, peut être prolongée en une forme linéaire continue sur X qui a la m ê m e norme. Le lecteur peut consulter 1461 pour une preuve. Ce théorème peut être énoncé dans le cas d’un e.v.t. quelconque sous la forme dite géométrique : Théorème 1.19 (Hahn-Banach (forme géométrique)). Soit X un e.v.t. sur R. Soient C u n convexe ouvert n o n vide de X et M un sous-espace vectoriel 1.2. FORMES LINÉAIRES. DUAL TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE 15 de X ne rencontrant pas C . Alors il existe un hyperplan H , c’est-à-dire un sous-espace de X d e codimension 1, qui est fermé, qui contient A l et qui ne rencontre pas C . La relation entre ces deux énoncés s’explique, en partie du moins, par la propriété suivante : Proposition 1.20. Dans u n e.v.t. X sur K, un hyperplan H , défini au moyen d’une forme linéaire f sur X et d’un scalaire a E K par H = {x E X 1 f (x)= a } , est fermé s i et seulement si la forme f est continue sur X . 1.2.2. Cas d’un norme et de son dual. Topologies sur ces espaces Topologzes fortes. Définition 1.21. Soit X un K-espace nornié. L’espace C ( X ,W) est noté X’. I1 est appelé le dual topologique de X . C’est donc I’ensenible des formes linéaires continues sur X ou encore l’ensenible des fornies linéaires f sur X telles que : 3 K > O, QX EX, < If(r)l K l l ~ i l ~ . On a une norme naturelle sur X’ définie par À l’aide de l’étude précédente de l’espace C ( X ,Y ) ,on note que X’. muni de la norme Il.llxt, est un espace de Banach (que X soit un Banach ou non). La topologie de la norme sur X est dite topologie forte de X . La topologie de la norme précédente sur X‘ est dite topologie forte de X‘. Notons, pour cette norme, deux conséquences du théorème de HaliriBanach, l’une d’entre elles justifiant que le dual X’ n’est pas réduit à {O} : Proposition 1.22. (I) Si x (5” X) = E X , x # O , il existe un élément x’ E X’ tel que : Ilz’IlX~= 1 et Ilxllx. .)I. ( 2 ) La norme sur X peut être définie par ilxll~= s i q x , ~ ~ ~ l ~ ( x ’ , Grace à la dualité qui existe entre X et, sori dual X ’ , on peut définir d’autres topologies plus faibles (ou moins fines) que les topologies dites fortes, ce qui signifie que les ouverts relatifs à ces nouvelles topologies sont aussi des ouverts pour la topologie forte. 16 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE?FONCTIONNELLE Topologie faible sur X. Pour tout z’ E X’, la fonction z H I (z’, z) I est une senii-norme. Soit 3’ l’ensemble des parties finies de X’. Posons alors, pour tout F’ E 3’ : Ces fonctions constituent une faniille de semi-norines sur X . On vérifie les hypothèses de la proposition 1.6 (cf. voir aussi l’exercice 1.5) : 0 La famille est filtrante. En effet, si on pose F’ = F{ ü Fi, 011 obtient, pour i E {1,2}, l’inégalité q F / qF;. 0 La famille est séparante. En effet, si 20 E X , avec 5 0 # O, la proposition 1.5 précédente fournit l’existence de d E X’ tel que r l ~ ~ , ) =( ~ ) I ( Q ’ ~ ’ ) l# 0. Cette faniille de semi-normes définit donc sur X une topologie d’e.1.c. séparé, que l’on note a ( X ,X ’ ) et qui est dite la topologie faible de X.Ainsi, la faniille I3 des parties de X définies, à partir des éléments z g E X , des parties finies F’ de X’ et des réels E > O, par : B Z , 3 , ~zzf ,{E X € x I v d € F’, l(Z’,X - X g ) l < E}, constituent une base pour cette topologie sur X (cf. exercice 1.5). On remarque qu’un ensemble B Z o , F f,E est une intersection finie d’images réciproques d’ouverts de R par les applications continues 2’ du riormé X dans K. Tout ouvert faible de X est ainsi un ouvert du riormé X , autrement dit, la topologie de la riorme est plus fine que la topologie faible. Topologie faible-étoile sur X’.De façon symétrique, on considère la famille des senii-normes indexée par les parties finies de X : vz’ E X’, Tp(X’) = sup ~ ( X ’ J ) ~ . ZEF De façon analogue A ce qui précède, elle est filtrante. Si, d’autre part, 2’ # O, ce qui exprime la non nullité de la forme linéaire d ,il existe q,E X tel que q{r,,)(z’)# O, ce qui établit que la famille est séparant,e. L’ensemble B’ de parties de X’ définies, à partir de E X’, de F partie finie de X et de E > O, par : est une base pour une topologie d’e.1.c. séparé sur X ’ , notée o ( X ’ , X ) et appelée topologie faible-étoile de X’.Elle est plus faible que celle du normé X’. Notons que le norrné X’ possède un dual topologique, noté X” et qu’ainsi il est doté d’une troisième topologie, à savoir la topologie faible p ( X ’ , X”). Notons aussi que les topologies fortes peuvent être définies de façon analogue en remplaçant les parties finies par les parties bornées de X’ ou de X . 1 . 2 . FORMES LINÉAIRES,DUAL TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE 17 Convergences faibles. Les définitions précédentes nous fournissent immédiatement la caractérisation de la Convergence faible pour les suites (corivergerice séquentielle faible) : Définition 1.23. Soit X un e.v.n. Urie suite ( u n ) n E XN converge au seris de de la topologie faible (ou converge faiblement) vers I L dans X si : Yf Urie suite ( f n ) n E f E X’ si : € ( f , u,< - u)+ o. X’, converge ail sens de la topologie faible-étoile vers YJE x, ( f n - f , J ) + o. Continuité pour la topologie faible. Proposition 1.24. Les fosrrnes linéaires continues sur X pour la topologie d e la norme et les formes linéaires continues pour la topologie faible de X co%Wcident. Preuve. 0 I1 est clair qu’une fornie lin6aire continue pour la topologie faible est continue pour la topologie forte. Réciproquement soit BE une boule de centre O dans K.L’image réciproque par f E X’ de ce voisinage est B{f}.E = {. EX I l(.f?J)l< E ) , qui est un voisinage de O pour la topologie faible. I1 en résulte que f est aussi continue pour la topologie faible. O Étude de compacttés. Un résultat important concernant la topologie faibleétoile est celui de la compacité faible-étoile de la boule unité fermée de X I . Nous en doririoris ici une version faible, valide lorsque X est séparable, c’està-dire lorsque X possède un sous-ensemble dénombrable partout dense, la conclusion, sous cette hypothèse, &rit seulement la compacité séquentielle pour la topologie faible-étoile de la boule unité ferniée dc X I . Nous choisissons de donner ce résultat dans ce cas particulier, d’une part, parce que tous les espaces utilisés dans ce livre sont séparables et que, dans les applications, la compacité faible séquentielle suffit ; d’autre part, parce que la démonstration du résultat général demande le théorème de Tichorioff ([46]) qui est A notre sens trop abstrait pour être inclus dans ce cours. Avant d’énoncer cette propriété, donnons quelques rappels de définitions et de propriétés : 18 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E T O P O L O G I E E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE Définition 1.25 (relative a la compacité). 0 Un sous-ensemble A d’un espace topologique séparé est dit compact si, de tout recouvrement ouvert de A , on peut extraire un sous-recouvrement fini. 0 Uri sous-ensemble A d’un espace norrné X est dit préconipact si le complété de A est compact pour la topologie de X . 0 Un sous-ensemble A d’un normé X est dit relativement cornpact dans X si son adhérence est conipacte. 0 Un sous-ensemble A d’un nornié X est dit séquentiellenierit compact pour la topologie faible de X si, de toute suite de points de A, on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans A . Proposition 1.26. Les parties compactes, précom,pactes, relatiiiement compactes possèdent les propriétés suiva.ntes : un ensemble compact d’un espace métrique X est f e r m é et borné, rnais la réciproque est fausse (sauf dans le cas où X est de dimension finie) ; un ensemble d’un espace niétrique E est précompact s i et seulement si pour tout E > O, il admet un recouiirement par un nombre fini de boules ouvertes de rayon E ; 1 ’adhérence d’un ensemble précompact est cornpacte; dans un normé, il est équivalent de dire que A est compact ou que toute suite de points de A admet une sous-suite convergente dans X uers u n élément de A ; u n ensemble précompact dans un espace de Banach est relativement compact. ~ ~ ~ La preuve de cette proposition est laissée au lecteur. Proposition 1.27. Soit X un espace normé séparable et B I la boule unité fermée du dual XI.Alors B I est séquentiellement compacte pour la topologie faible-étoile. Preuve. 0 Soit { f r f } , L Eune ~ suite de formes linéaires dans BI.On fixe, dans ce qui suit, un sous-ensemble dénombrable {z,},~w partout dense dans X. La suite fn(x,) est bornée pour tout i . Par le procédé diagonal, on peut extraire de f n une sous suite, encore notée f n , telle que ( f 7 L ( z , ) converge )n vers 1,. Montrons alors que pour tout z E X la suite f n ( x )converge, ce qui prouvera la convergence pour la topologie faible-étoile de la suite { f n } . 0 Soit E > O et z E X . Alors il existe x J ,appartenant au sous-ensemble dense, tel que IIx-xJ IIx E . Cct élément xJ étant fixé. il existe un entier N < 1.2. FORMES LINEAIRES, DUAL TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE > < > tel que : ‘dn N , lfn(xJ) 1,/ E . Alors, pour ri N et m utilisant le fait que les f n sont dans la boule unité de X’ : ~ Ifn(z)- f m ( ~ ~ < ) l I f n ( x ) - fn(2j)I + Ilj + lfn(xj) ~ - > N, on a, en ljl < 4E. + I f i n ( x J )l).(2nf fi&j)/ 19 - Tout ce qui précède et le fait que l’espace X’ est complet montrent que { f n ( x ) }est une suite convergente dans X’ vers un élément noté f ( : c ) . I1 reste à voir que f E B’. O Montrons que f est linéaire. Pour ce faire, fixons x1 et x2 dans X. Ori considère trois parties du sous-ensemble dense, autrement dit , dcs suites { z (j1 ) }, { z( j2 ) } et { y j } convergentes respectivement dans X vers 21, z z et) z 1 + 2 2 . Par l’équicont,inuité des f i L on a : l f n ( X (1) j ) +fiL(Xy)) fiL(Yj)l 6 I l x y + “y) - ~ Le second merribre tend vers O. Par conséquent ?jjIlX. : + iirnfTL(yJ)= iiin(fn(zsl)) f n ( z j L ) = ) )f(x-1) + f(x2) En agissant de manière analogue pour X z on obtient, que f est linéaire. 0 Elle est continue puisqu’eri passant à la limite dans l’inégalité de corition obtient : nuité ‘dxE X, lfn(:r)l < J/zJJ,y, v:c E X- I.f(.)l 6 Ilzllx. < 1, on a f Cette derniere inégalit,é prouvant que Ji.fllxt tcrmiiie la preuve. 0 E B’, ce qui O 1.2.3. Bidual, espaces réflexifs Définition 1.28. Soient X un espace norm6 et X’ son dual, qiii est aussi nornié et même un Banach. Alors (X’)’, riot6 aussi X”, qui est l’espace des formes linéaires continues bur X’. est un espace de Banach, que l’on noniiiie bidual de X. L’espace X s’injecte contiriûrnent dans XI’ ainsi que le niontre l’analyse suivante. Soit z E X . L’application fz qui à 2’ associe (d, z) est clairement une forme linéaire continue sur X’. On peut donc tléfinir l’application .I qiii envoie X dans (X’)’ en associant à z la forme linéaire fer. Cette application est injective, niais pas surjective, sauf dans des cas d’espaces particuliers. à savoir les espaces réflexifs étudiés ci-après. En fait, l’image de .I est exactement l’eriseniblc des formes linéaires sur X’ qui sont continues pour la topologie faible-étoile de X ’ . Plus prkisénient , ~:nonçons: 20 C H A P I T R E 1 . R A P P E L S D E TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE Théorème 1.29. Soit X un espace no7mé et X’ son dual. Une f o r m e linéaire f sur X‘ est continue pour la topologie faible-étoile de X’ si et seulement si on, n la propriété suivante : 3 2 E x,V X ‘ E x’, f ( d )= ( X ’ J ) . Preuve. O Soit x E X , alors f z est continue pour la topologie faible-étoile. En effet, E > 0 étant donné, l’image réciproque par ,fz de l’intervalle {It/ < E } de IR,contient l’ensemble BO+} E = b’I I ( x ’ ,.)I < E>. Cet ensenible est un voisinage de O (cf. sous-section 1.2.2) pour la topologie faible-étoile. I1 en résulte la contiriuiti: de f s pour cette topologie. Soit f une fornie linéaire continue pour la topologie faible-étoile de X’. Alors, l’erisemble des z’ E X ’ tel que If(z’)l < 1 est un voisinage de O, donc il existe un réel 6 > O et un nombre fini z i d’élérrient,s de X telles que si z’E X’ satisfait pour tout i à \ ( d , z i ) \< 5, alors if(d)I< I. Ceci signifie qu’il existe 6 > O et un nombre fini de x i , 1 i n tel que pour tout < < 2’ E X’ 1 If(z’)l < -sup~(:I!,z;)~. 6 2 En particulier, si ( d .x i ) = O pour tout %,alors f ( z ’ ) = O. La forme linkaire f sur X’ s’aiinule airisi sur l’intersection des noyaux des formes linéaires f z , . Par le lemrnc algébrique 1.30 ci-dessous, il existe des complexes ( ~1i 6 ,i sr1 tels que f = E, a t f z 7Le . vecteur :I: = E, a,zi est donc tel que f = in;, ce qui termine la preuve. O < Lemme 1.30. Soit X un espace vectoriel. Soit f une forme linéaire sur X qui s’annule sur l’intersection des noyaux de n formes linéaires fi. Alors f est une combinaison linéaire des .f,. Preuiie du lemme 1.30. 0 On peut supposer que les fi fornicnt unc famille libre. Sinon, en réiiidexant éventuellement cette faniille, il cxisterait p < n et une sous-faniille librc { f l , . . . , f p } , engeridrant le même espace. Alors Ker f i c Kerf, pour tout 3 3 p 1 et donc Ker fi = Ker fi. Si le lemme est montré pour des formes iridéperidantes, il rxiste des A, tels que nlGtGp + <toric f cst aussi une conibiriaison liiiéairc des f7 pour i < n. 1.2. FORMES LINÉAIRES, DUAL TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE 21 On suppose donc que la famille des f 7 est libre. I1 existe alors des vecteurs z3E X tels que fZ(Zj) = 62. On écrit pour tout z E X f 7 ( z ) z$72 . z= 1< ? < n Alors z E n,, Kerf,, donc f ( z ) = O, d’où 1<J<n et donc, terniiriant ainsi la prcuvc du lemnie : 16.7<71 On note .I l’injection de X daris X ” qui A T associe J,. Définition 1.31. Un espace norrrié X est dit réflexif si l’application J est surjective ou encore si toute fornie linéaire continue sur X’ poiir la topologie forte l’est aussi pour la topologie faible-étoile dc X’. Notons qu’un espace réflexif est nécessairement un Banach, puisqii’il s’identifie aii dual d’un espact normi.. Théorème 1.32. La boule unité fermée d’ii,n, espace réflexif et séparable X est s6qwent,iellement compacte pour la topologie fuible d e X . Preuve du théorème 1.32. 0 On utilise la proposition 1.27 et la proposition ci-dessous : Proposition 1.33. Soit X un espace norm6 d o n t le dual est skparable. Alors X l‘est aussi. Preuve de la proposition 1.33. 0 Soit, ( x : L ) 7un L sous ensemble partout dense dans la sphère unit6 de X’. I1 suffît de rrioritrcr qu’il cxiste un sous-ensemble dénombrable partout derise dans la sphere unité de X . Soit alors {z,~}telle que IIz,IJx = 1 et, :I$ (:xTL) 2 1/2. On nioritrt que l’espa(:e vectoriel AT trigcndr6 par les z71 est égal & X . On utilisera alors le fait que si { x T L }est dense dans X , les éléments de A l qui sont dcs corrihiriaisons linéaires à cocffîcients rationnels constituent encore un sous-ensemble dénombrable, qui est dense si A l est égal à X . Supposons par l’absurde que A.1 # X . Soit z E X - Al. Par le 22 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE ZO théorème de Hahn-Banach, il existe une forme avec l l z ~ l l = ~ ,1 telle que # O et zb(xn)= O pour tout ri. Alors, quel que soit n : ).(O. ce qui contredit le fait que l’ensemble {zk} est partout dense. O Parmi les espaces réflexifs, il y a les espaces de Hilbert di.finis dans la sous-section suivante, les espaces L P pour p E ]1,+m[. La réflexivité de l’espace LP se déduit par exemple du fait que c’est un espace uniforménierit convexe. Pour les Hilbert, c’est beaucoup plus élémentaire. 1.2.4. Espaces de Hilbert Définition 1.34. X étant un espace vectoriel sur @, un produit scalaire hermitien (., .) est une application de X x X dans C qui vérifie : Y (x,Y,2) E x3, ( z ,a z Y ( a ,b) E @*, (z..) + by) = a ( z ,x) + b ( z ,y), 3 O, (z,z) = O Y x € X, *z = O. On peut définir une riorme associée au produit hermitien précédent, dite riorrne hermitienne, par la formule : (1.35) Si X est un espace niurii d’une telle forme, il est dit aussi préhilbertien. S’il est en outre complet pour la nornie hilbertierine, 011 l’appelle espace de Hilbert. Uri espace norrrié est un espace préliilbertien si et seulement si l’identité, appelée égalité de la rnédiarie : (1.36) llx + Y1I2 + 112 - Y1I2 = 2(/1z1I2+ llYl12) est vérifiée. Théorème 1.37 (de représentation de Riesz). Soit X u n espace de Hilbert dont le produit scalaire est noté (., .). Une application linéaire f de X dans C uppartierit à X‘ si et seulement si : gx E x,YY X’ f(Y) = (Z,Y). L’élément z est alors unique et 1 ’application qui à f associe z est une isométrie de X dans son dual X ‘ , ù savoir : llfllx~= 1l~11x. 1.2. FORMES LINÊAIRES,DUAL TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE 23 On en déduit la réflexivité dc X . D’autres propriétés importantes dans les espaces préhilbertiens résultent du théorème des projections, notamment la construction de bases liilbertiennes et la théorie des séries de Fourier. 1.2.5. Espaces uniformément convexes Définition 1.38. Uri e.v.n. X est dit uniformément convexe si on a : Théorème 1.39. Tout espace uniformément convexe est réflexif. (I j Les espaces préhilbertieris sont Uniformément convexes ; cela résulte aisément de l’égalité de la médiane. (2) Les espaces LP, avec p E ] 1,+CO[, sont iiniforrriément convexes (cf. démonstration dans [l]). La preuve du théorème 1.39 nécessite le théorème de Helly qui est lui-même une conséquence du théorème de Hahn-Banach. Théorème 1.40 (de Helly). Soient f i , 1 6 i < n des formes linéaires sur X . Soient y > O , et ai n nombres complexes. Une condition nécessuire et suffisante pour qu’il existe, p o u r tout E > O , u n élément x, E X tel que, pour tout 2 E [ l , n ] . fi(&) = (Yi, est que, quel que soit le n-uplet n71ec < /)5,))x y + E , (a)E RTL,on ait : Preuve du théorème d e Helly. 0 On montre le caractère nécessaire. Si fi(x,) = llxEll y E alors pour tout 4, E IRn, on a : < + (II,pour tout i avec D’où le résultat puisque E est arbitraire. 0 On montre le caractère suffisant. On prouve tout d’abord qu’on peut supposer que les f 7 constituent une famille libre. Sinon, supposons f i , f i , . . . , f, aver p n un système libre et générateur de la famille {.fz}. On suppose que le résultat est montré pour des formes linéaires indépendantes. Soient (1% donnés en nombre ri. En prenant pz = O pour tout < 24 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET et donc, pour tout E il existe IIz,llx T, 6Y+E D’ANALYSE FONCTIONNELLE tel que : et Vz <p, f , ( x E ) = a,. + I1 faut vérifier que ces égalités sont encore valables pour i 3 p 1. Pour ce faire, on remarque que, si f p + l = Clcz<p ?&,f,,alors en prenant /&+I = -1 et P, = y, pour z 6 p , on a l’inégalité Cette inégaliti? entraîne que : On en déduit : Qpfl = CY%ft(.l:€) = fp+l(G). 2 + On peut faire cela pour tous les fi avec i 3 p 1. On a donc obtenu le résultat sous réserve qu’il soit vérifié pour des f 2 libres. 0 On suppose donc que les f i constituent une famille libre. L’application p qui envoie X dans R p ,définie par p(z) = ( f i ( z ) ,. . . , f p ( z ) )est , donc linéaire continue et surjective. En particulier si SE = {r E X 1 J J L / J6x? + E } l’image de S, est un convexe de IWP adniettarit O comme point intérieur. Supposoiis que 2 = ( c ~ ~ ) 1n’appartient c~<~ pas à p(S,). Par une conséquence du théorème 1.19, il existe un hyperplan qui sépare le convexe p(S,) du point de roordorinées cy,. Autrement dit, il existe ijj,, 1 < p , tel que cipifillxi), l’hypothèse Comme le second menibre n’est autre que ( y + ~ ) ( l j est contredite. Preuve du théorème 1.39. 0 Soit z” E X” de norme 1. Par définition de la riorme, pour tout il existe f T Ldans X’ de norme 1 tel que : 1 z ” ( f n )3 1 - -. n Soient ai = d ’ ( f i ) , pour i < n. Quel que soit le n-uplet de réels pi, on a O ‘11 1.2.FORMES LINÉAIRES,D U A L TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE donc, par le théorème de Helly avec /lxnllx< 1 + n1 E = et - 25 1/n, il existe x,, E X tel que = :d’(fi). fi(z,)= Q, On remarque que la suite Ilxnllx tend vers 1. En effet, en utilisant i = n : 1- 1 < .”(fn) < ri - fn(GL) 1 < IIfnIIx’lI~nIlX< 1 + ; On montre que la suite ( 2 , ) est de Cauchy avec l’uniforme convexité. Sinon, pour tout E > O, il existe des suites n k < ri& < n k + 1 < . . . avec : //27,k - :lkk Par l’unifornie convexité, il cxiste fi(&) + Ilx, Alors, puisque Vi,k , ,Z 2(1- 2)< > O tel que /I < 2(1 - fi(&)). > rlk, f n r ( x n k )= d’oi1 : I/ 3 E . fnk(Z?,k) + f7Lk(x?rL,) fnk(Zmk) < Il%, + x71>k1/< 2(1 On aboutit ainsi & iine contradiction. La suite x, converge donc vers un point //xOll = 1 et Vz, = x”(fn,), 20. - fi(€)) Par passage ii la limite on a f i ( x o )= d ’ ( f i ) . Montrons que 20 est unique. Supposons yo E X , yo # zO, qui vérifie les riiérnes égalités. Par l’uniforme convexité, 11x0 < 2. On a aiissi + 11x0 + ? / O l l X 3 .fi(.O +YO) = 22”(f,) 3 2(1 1 - Y ) > I, ce qui est absurde en faisant tendre i vers l’infini. Soit fo E X’. On doit montrer que f O ( Z 0 ) = .”(fO). En raisonnant coniine précédemment il existe zo E X tel que IlZOllX = 1 et vi, f2(Zo) = Z ” ( f î ) . En particulier, par l’unicité, on doit avoir zo = 2 0 , et le théorème est déniontré. O Le résultat d’uniforme convexité des espaces L P et t P pour , p > 1, p < oû est admis, sans démonstration. Sa preuve utilise les inégalités de Clarkson pour lesquelles le lecteur pourra consulter 1141,111. 26 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE E T D'ANALYSE FONCTIONNELLE 1.3. Espace des fonctions continues sur un ouvert de RN Définition 2.42. Soient X et Y deux e.v.n. On dit que X s'injecte continûment dans Y s'il existe une injection continue i de X dans Y , c'est-à-dire une injection i et une constante G > O, telle que : (1.42) v x E x, lli(.)IIY On riote alors x - < Cllxllx Y. On dit que cette injection est compacte si i est un opératcur cornpact, ce qui signifie qu'elle transforme tout borné de X en un ensemble relativement compact de Y . On riote alors (1.43) x-,Y Définition 2.44. Soit R un ouvert de EXN. Pour 712 un entier positif, soit C" ( [ I ) l'espace des fonctions continues dont toutes les dérivées jusqu'à l'ordre m sont continues sur R.On définit aussi : (1.45) et on note C r ( f 2 ) ou encore D ( n ) l'espace des fonctions Cm(R) à support compact dans 0. Puisque R est un ouvert, les fonctions continues sur R ne sont pas nécessairement bornées. Un des sous-espaces utile et important de Cm(R) est le suivant : DéJinition 2.46. Si R est un ouvert de R N ,on note Cb (R) le sous-espace de P ( 0 )constitué des fonctions de cet espace dont les dérivées d'ordre < m sont bornées et uniformément continues sur R. En dotant ce sous-espace de la norme : (1.47) IIPllch.<n> = sw lai<" T€n ID"P(Z)l' on obtient un espace de Banach. Remarquons que lorsque (2 est un ouvert borné, toute fonction de cet espace et ses dérivées se prolongent continûnient sur 2.Cet espace est alors identique A l'espace C"(2). Parmi les sous espaces importants de C b ( R ) , on note : 1.3. ESPACE DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN OUVERT D E RN 27 Définition 1.48. Si O < X < 1, C;"(R) désigne l'espace des fonctions 1101dériennes d'ordre X sur ( 1 (espace des fonctions lipsrhitzienries, dans le cas X = I), à savoir : cb"(n) = {'p E c b ( 0 ) 13c > 0, v ( x , g ) E R2, I'p(IG)- ( f ( Y ) l 6 ~ Pliis ghéralernerit, on définit C r ' x (0)comme le sous-espace de fonctions p telles que : 3~ > O, va. IaI < rn, V ( ~ , Y )E f12, YIx}' C b (O) des < I~"cp(z)- D"P(Y)/ Clx - YI x . Munis des normes siiivantcs : ces espaces sont des Banach. On remarque aussi : V(v,X), O <v <X < 1 * c,-qn) Lf Cb"'"(S2) - Cb(R), les inclusions étant strictes. Définition 1.50. Si A est une algèbre munie d'une norme, on dit que c'est une algèbre norniée si la multiplication interne est continue pour la norme. Exemple 2.52. L'espace Cb(R) des fonctions continues et bornées sur est un ouvert de IRN, est une algèbre normée. R où R Définition 1.52. Soit A une algèbre. Alors, A' est une sous-algèbre de A, si c'est un sous-espace vectoriel de A stable pour la niultiplicatiori interne. Théorème 1.53 (de Stone-Weierstrass). Soit K un, compact de I R N . Soit A m e sosus-algèbre d e C ( K , @ )telle que : (1) Y a, <a E A + 5 E A ( A est autoadjointe) ; (2) Y (2, y) E K , z # y, 3 @ E A, @(z)# @(y) ( A est séparante); (3) V a E @, la fonction z H a appartient ù A ( A contient les constantes). Alors, A est dense dans C( K , C). Uri exemple de telle algèbre est l'algèbre des polynômes en N variables sur K 5. coefficients complexes, de parties réelle et imaginaire rationnelles ; en particulier, ceci prouve que C ( K )est séparable. Preuve du théorème de Stone- Weierstrass. O On se ramène au cas où l'algèbre est réelle, et où la fonction qu'on souhaite approximer est réelle, cela en utilisant la propriété 1. On adniet le thc'orèrne de Weierstrass qui permet d'approxirrier uniformément toute fonct,iori continue sur un compact par une suite de polynômes. Soit donc f E A. La fonctioii f est bornée uniformément. Soit M = sup I f l . En utilisant le 28 C H A P I T R E 1. R A P P E L S DE TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE fait que t H It1 est une fonction continue sur le compact [-AI, MI, il existe une suite de polynômes {P,} telle que : 1 v t E [ - A l , M ] , lit1 - Pn(t)lcc6 n Par composition, on en déduit : 1 Ys E K, llf(s)l - PîL(f(S))I G ’; Mais puisque A est une algèbre, P T L ( fE) A. On en déduit que Grâce aux forniulcs : if1 E 2. il s’ensuit donc que, si f et g sont dans A, alors les fonctions sup(f,g) et inf ( f ,g) sont dans l’adhérence 2. Soient maintenant h E C(K.IR), E > O donnés et s et t deux points de K . Par la propriété de séparation, il existe f E A telle que f ( s ) # f ( t ) . Posons : Alors g coïncide avec h en les deux points s et t. Cornrne A est un espace vectoriel contenant les constantes, on obtient g E A. Cette fonction est notée gs,t. Puisque (gs.t / L ) ( s )= O, la continuité de ces fonctions implique qu’il existe, pour chaque point s de K , un voisinage ouvert de s,soit U ( s ) ,tel que : ~ E U(S), sS,t(.) 3 h(u) - E . Le compact K étant recouvert par les U ( s ) lorsque s décrit K , on peut trouver un nombre fini p de ces points, à savoir s i tels que K c u U(Si). l<i<p Posons alors, toujours pour tout t fixé : gt = suplGi<pgs,,t. D’après ce qui précède, la propriété d’algèbre implique .9t E 2.Pour tout u E K , il existe un s, tel que u,E U ( s i ) .On a ainsi : V I LE U ( s i ) gt(u)2 g s , , t ( u ) 3 h ( u ) - ~ , d’où : (*I vu E K, (It(.) 3 h ( U ) ~& D’autre part, piiisyuc g s , , t ( t ) = h(t),on a g t ( t ) = h(t). On en déduit, par continuité au point! t , l’existencc d’un voisiriage ouvert V ( t )du point t tel que : V u E V ( t ) ,gt(u) h3(u) E . En extrayant encore de la famille des ouverts V ( t )un sous recouvrement fini par les V ( t , j ) on , peut définir g = inf gt,!. D’après (*), on a : < (**I v u E K, + g(u) 3 h(u)- E . 1.4. DISTRIBUTIONS SUR UN OUVERT DE W N 29 Firialernent, or1 observe que : 1g - h / < E . En effet, on a pour tout j , gt, h E . Soit u t K , il existe un entier 3 tel que u E V(t,). Donc : < + d u ) < gt, (TL) (***I < h('1L) + E. Le resultat s'en déduit par la conjorictiori de (**) et de (***). Oii a, en effct, inontré la propriété : Théorème 1.54 (d'Ascoli-Arzela). Soit R un domaine borné de I R N . U n so'usenwmble K de C(a) est précompact duns C(a) si et seulenierit s%: (1) il existe AI > O tel que VGJ E K , V x t SIJ id(x)l ( 2 ) V E > O , 3 6 > O , v ~ € K , v ( x , y ) E S lx;-yi<6* I, <AI; 14(X)-q!)(?J)l<&. On peut trouver une preuve du théorème 1.54 dans [18] aiiisi que celle la proposition suivante, dont la deuxième affirmation en est iiiie coriséquenre : tit: Proposition 1.55. Dans u n o w e r t R de IRN, on a les injections continues si~ivantes: (1.56) (1.57) V m E IV. V ( X , p ) E R2, O c~'~+'(T~) <v <X - c'"(Il) < 1 ==+ C'">'(62) Cnl,v(R) Si R est borné, la deuxième injection est compacte. Il en est de même pour lu première si, en outre, R est coniiexe ou bien s'il existe u n entier K tel que deux quelconques de ses points puissent être joints par urie ligne polygon,nle constituée d e K segme*nts UIL plus inclus daris R . 1.4. Distributions sur un ouvert de RN 1.4.1. Espaces de fonctions régulières dans un ouvert CI Soit R un ouvert de EN Définitions et structuye algébrique. Pour tout IC E K,on riote &'((I) l'crisemble des fonctions de classe C k dans R et, pour tout K compact de RN inclus daris R,on note Dk(R) l'espace des fonctions f qui sont de classe C k dans R et telles que supp(f) c K . L'erisembIe des fonctions f Cie E k t>elIesque supp(f) soit un compact inclus dans R cst noté ~ ~ ( On 0 )peut . donc écrire : @(O) = u K , coinpact DoS;(R). 30 C H A P I T R E 1. R A P P E L S D E TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE L’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables dans R et à support compact inclus dans 0, noté D ( Q ) ou quelquefois CC(0), en est le cas particulier : D(R) = D”(R). I1 est clair qu’on obtient airisi des espaces vectoriels sur @. Indicatzons sur les topologzes. On pourra se laisser guider par l’exeniple 1.7. Dans ce qui suit, les indices de dérivation seront des N-uplets Q = ( a i ,a2, . . . , a ~ )a , étant le degré de dérivation en la variable 5, et l’ordre total de la dérivation est rioté la1 = a,. On utilisera la notation simplifiée E, Fixons k . Pour tout p E €‘(O), on pose, r n étant un entier avec et K étant un compact inclus dans R : 7n <k r l m , K ( P ) = sup “P1m4.?:)l. lal<mztK Pour chaque couple (m, K ) , on obtient ainsi une semi-norrne dans E k ( 0 ) et la famille de semi-normes ainsi définie est filtrante et sépararite (cf. exemple 1.7). On en déduit, comme il est affirmé daris la proposition 1.6, que la famille B des boules fermées B m , ~ ( r=) { f I q m , K ( f ) r } associées à ces semi-normes, constitue une base de voisinages de l’origine pour une topologie d’e.1.c. séparé. En utilisant une translation, 011 en déduit une base de voisinages d’un élément quelconque cpo de cet e.1.c. Remarquons que, d a m cet e.l.c., les semi-normes précédentes sont continues. < Famalle dénombrable de bases de voisanages. Considérons une suite croissante d’ouverts { O j } , inclus dans R , relativement conipacts, tels que 2,c R,+l et R = Un,. Le lecteur démontrera aisément l’existence d’une telle suite. Alors, si on pose KJ = la faniille des semi-normes { q m , ~ ,est } une base de semi-normes (continues) dans 1’e.I.c. €‘(O), en ce sens que les boules fermées associées à cette sous-famille de semi-normes constituent encore une base de voisinages de O dans cet e.1.c. Ceci conduit à dire qu’il existe, dans l’espace une base dénombrable de uozsinages d e O. En outre, si { U n } est une telle base dénombrable, alors en posant V,, = nm,,Um, on obtient encore une base de voisinages décroissants de O. On munit l’espace DK(CL)de la topologie induite par ia précédente. La même construction est valable pour l’espace I” (O). q, 1 . 4 . DISTRIBUTIONS SUR U N OUVERT DE RN 31 < Considérons maintenant l’espace D’(62) pour IC +m. En utilisant le recouvrement ouvert précédent , D’ (O) apparaît comme la réunion d’une suite croissante de sous-espaces vectoriels, à savoir les DkK , (O) où 2,= K j . Considérons alors l’ensemble B de toutes les parties B convexes absorbantes et équilibrées (cf. définition 1.1) de Dk((n)telles que : Y j E W, B n DkJ(0)est un voisinage de O dans D k , (Q). On admet ici (cf. exercice 1.4) que B est une base de voisinages de O pour une topologie d’e.1.c. séparé et que cette topologic est indépendante de la suite des 12j. En outre, quel que soit le compact K , la topologie de Dh(62) est induite par cette topologie. Dans la suite de cet ouvrage, la topologie ainsi définie est dite la topologie naturelle de @(O). On admet aussi la caractérisation d’un voisinage de O dans un espace @(O), valable également en remplaçant k par 00 : Proposition 1.58. Pour qu’un convexe U d e D‘(12) soit un voisinage de O pour la topologie naturelle d e V k ( ( n )il, faut et il su,fit que, pour tout K j ? l’intersection U n D k J( O ) soit un, iioisinage de O pour la topologie d e V k J( O ) . Bornés et suites convergentes dans l’e.1.c. D‘(O). Dans iin tel espace X = @(O), muni d’une topologie associée à une suite croissante de sous-espaces qui sont des e.l.c., on caractérise les bornés et les suites convergentes en utilisant une consequence d’un théorème dit lemme de Dieudonné-Schwartz. On extrait de ce lcniine des propriétes utiles dans l’étude des distributions : Proposition 1.59 (de Dieudonné-Schwartz). Soit, pour k D k ( 0 ) ,muni de sa topologie naturelle d’e.1.c. < 00 fixé, l’espace (1) Pour qu’une partie B de D‘(il) soit u n borné de cet espace, il faut et il suffit qu’il existe un compact K tel que : ( 2 ) Pour qu’une suite {pn} converge vers O dans V k ( 0 )il, f a t et il s u f i t qu’il existe u n compact K tel que Yri? supp(p,,) c K et : Y(a) E /al < k * {D“p,} - O uniformément sur K. 1.4.2. Régularisation des fonctions. Applications Dans beaucoup de problèmes, on souhaite approcher une fonction localement sornmable par une fonction de classe C“. Classiquement, on utilise la convolution par ce qu’on appelle une suite (ou famille) régularisante { p E } : 32 C H A P I T R E 1. R A P P E L S DE TOPOLOGIE E T D'ANALYSE FONCTIONNELLE Construction de { p s } . Soit p une fonction il valeurs positives ou nulles, appartenant à D ( R ~ )avec , p ( x ) = O pour 1x1 1 et JRN p(x)dx = 1. Par exemple, on peut prendre : avec k choisi de façon que JRN (1.60) p(x)dx = 1. On définit ensuite pE par p E ( x )= E - N p ( x / E ) . En prenant, par exemple, E = l/j. on obtient une suite dite réyularisante. Convolution avec f somm,able à support compact. Soit f une telle fonction sur I R N . Soit v = f * p s la fonction définie par : Y z E RN, w(x) = lN f (t)p,(x - t)dt f ( x - t)p,(t)dt. = Jy[N Supposoiis x dans le complémentaire de supp(f)+B(O, E ) . Alors, pour tout t dans le support de f , on a /x- tl > E , d'où l'on déduit que ~ ( z = ) O. Le support de la convolée v = f ii ps est donc iiiclus dans supp(f) B(O,E ) . Par ailleurs, si zo se trouve dans ce voisinage, on peut appliquer le théorème de dérivabilité de Lebesgue, lequel permet de dériver à un ordre quelconque sous le signe intégral par rapport à s. On en déduit donc : + va! E IVN, D"(f*p,) = f *D"(pc). Concluons que f * p, E D ( R N ) . En supposant que le support de f est dans l'ouvert R, on peut choisir E assez petit pour que siipp(f) B(O,E)c R. Or, tout élément de D(fl), prolongé par O hors de R est évidemment une fonction de D ( R N )à support dans 0. On en déduit que f * pE E D ( 0 ) . + Convolution avec f de classe C k à support compact. Prenons k = O. Pour I L continue, considérons d, (x)= u* pE(z)- u ( z ) .En utilisant l'intégrale de p, qui est égale à 1, on peut écrire : + Sur le compact I( = supp(u) B(O,I), la, fonction u est uniformément continue. I1 existe donc 6 > O tel que Ix - tl < 6 + lu(. - t ) - u(x)l6 E . On en déduit : ((d,((, E SRNp,(t)dt = E . < 1.4. DISTRIBUTIONS SUR U N OUVERT DE RN 33 Dans le cas de k = 1, puis pour toutes les valeurs de k , 011 se sert de la propriété de la dérivée d’une convolée. Le raisonnement reste le même et on en déduit q T , , - ~ ( upE - u)+ O. Résurrions : Proposition 1.61. Soit f une fonction somrnable sur R et à support compact dans R. Alors, pour E assez petit, la convolée f * p E est un élément d e V ( 0 ) . ~ . ipour , un entier IC, f appartient à ~ ~ ( ( 2 alors 1 , lorsque E 4 O , la famille { f * p E } tend vers f dans l’e.1.c. D‘(a). En partic.ul%er, l’espace D(R), considéré, pour k E N, comme un sousespace d e D‘(O), est dense dans ~ ‘ ( a ) . On retrouvera ces propriétés des suites régularisantes daris l’étude des espaces L P ( i 2 ) (section 1.5). 1.4.3. Formes linéaires continues sur ces espaces. Distributions Définition 1.62. Une distribution dans R est une forme linéaire sur D(il), continue pour la topologie naturelle d’e.1.c. de cet espace. Pour k E N,une distribution dans R , d’ordre inférieur ou égal à k est une fornie linéaire sur D(R), continue pour la topologie naturelle d’e.1.c. de Dk (il). Une distribution est exactenient d’ordre k 3 1 si elle n’est pas proloiigeable en une forme linéaire continue sur Dkpl(il). On note ~ ’ ( 0et) D’(a) les espaces constitués respectivement par ces formes linéaires continues. C e sont donc les duaux des espaces D(R) et D“R). Caractérisation de la continuité d’une forme 1inéu.ir-e. On énonce d’abord exercice 1.24) une condition nécessaire et suffisante de continuité d’une forme linéaire, en utilisant la base de voisinages de O définie à l’aide de la famille de semi-normes ( 7 7 ~ ) engendrant la topologie d’un e.1.c. X : (cf. Proposition 1.63. Une forme linéaire T sur X est continue si et seulesrnent si : ]A, 311.1 > O, V X E X , lT(z)l < M~x(.z.). L’iniportance de l’existence de bases dénombrables de voisinages daris les e.1.c. apparaît dans les deux propositions qui suivent, la deuxième caractérisant les distributions : Proposition 1.64. Soit T une forme linéaire sur l’un quelconque des espaces &‘(a), &&(fi). Alors T est continue si et seulement si T est séquentiellement continue, ce qui signifie : 34 C H A P I T R E 1. R A P P E L S DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE Preuve. 0 Soit {Vn}une base dénombrable de voisinages décroissants de O dans X = E k ( R ) (cf. paragraphe précédent). Supposons que la forme linéaire T sur cet espace soit séquentiellement continue, mais non continue. Alors, il existe un disque ouvert D de centre O dans C tel que T - ’ ( D ) ne contient aiicun élément V, de cette base. Soit C le complémentaire dans X de T p l ( D ) . Alors, utilisons une suite {IC,}de X telle que IC, E V, n C. Elle terid vers O dans X , alors que, quel que soit n, T ( z , ) D. Autrement dit, T n’est pas O continue. ce qui contredit l’hypothèse. Venons-en à la continuité des formes linéaires sur X = DI*([]). D’après la définition de la topologie d’e.1.c. de X = Dk(R) où IC +ml une forme linéaire T sur X est continue si et seulenierit si ses restrictions T, aux sousespaces X , = (0) sont continues. En effet, si T est continue sur X et si D est un disque ouvert de centre O dans @, le convexe T-’(D) est un voisinage de O dans X . Donc, d’après la définition de la topologie de X , (T’)-’(D) = T - ’ ( D ) n X , est un voisinage de O dans X, , ce qui signifie la continuité de T, . L’égalité précédente prouve la réciproque. On est ainsi conduit, par ce qui précrde, à la caractérisation suivante des distributions ou des distributions d’ordre k : < DK, < Proposition 1.65. Soit T une forme linéaire sur X I ; = @ ( c l ) où k E {+CO}. Alors, les trois propriétés suivantes sont équivalentes : Nü (1) La f o r m e linéaire T est c m t i n u e sur X I * . ( 2 ) La forrrie linéaire T est séquentiellement continue sur Xk. (3) Pour tout compact K c R, la restriction de T à l’espace V k ( O ) est continue, ce qui signifie qu’il existe C > O et u n entier m IC, (rn E N dans le cas d e X , = D ( O ) ) tels que : < Preurve. 0 L’équivalence de (1) et ( 2 ) se démontre comme dans la proposition 1.64. Ce qui est dit ci-dessus exprime leur équivalence à la continuité des restrictions aux espaces D:? (O). Le fait que tout compact K est inclus dans un certain K, et la caracterisation donnée par la proposition 1.63, permettent d’établir l’équivalence avec ( 3 ) . Remarque 1.66. Pour appliquer la condition de continuité séquentielle, il ne faut pas oublier la condition de convergence vers O des suites de l’espace D ( O ) , donnée dans le théorème 1.59 de Dieudonné-Schwartz. 1.4. DISTRIBUTIONS SUR U N OUVERT D E R N 35 1.4.4. Étude d'exemples On laisse le soin au lecteur de justifier la continuité (s6queritielle) des formes linéaires envisagées. Exemple 1.67 (distribution associée a une fonction). Soit f localement soniiriable dans R. On lui associe la distribution, dite régulière, notée T f ou [ f ] , par la formule : Exemple 1.68 (distributions de Dirac). On définit la distribution de Dirac en a E I W par ~ la formule : W), (&OP) = da). aucune fonction f telle que 6, = [a]. Pour cette raison, cette 'p E I1 n'existe distribution est dite singulière. Elle est d'ordre < O. Exemple 1.69 (distributiondu type valeurprincipale). Dans le cas N = 1, on définit la valeur principale de l / x par : On peut aussi écrirc : La justification de la continuité de V p ( l / r ) peut être faite à l'aide du théorème des accroissernriits finis. Cette distribution est d'ordrc fini < 1. Exemple 1.70 (distribution du type partiesJinies). Soit N 3 1. La fonction z H f ( r ) = l/(lrINn'est pas localeiiient somniable dans IRN. On définit la distribution T = Pf(l/lrIN),en désignant par W N - 1 l'aire de la sphère unité ùe IR^, par : < On montre qu'elle est d'ordre 1. De mt.rrie, on définit la dist,ribution partie finie de l / l x J N + ' ' laquelle jouera un rôle important dans l'étude des tmnsforrnations de Riesz ( c f . chapitre 7). C'est la distribution qui associe à p E D(R") le nonibre : 36 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE E T D‘ANALYSE FONCTIONNELLE 1.4.5. Topologies sur l’espace des distributions D ’ ( 0 ) De la même manière que pour les espaces normés, de norribreuses topologies d’e.1.c. peuvent être placées sur le dual 23’.Notamment, au moyen de seini-normes, on &finit sur ce dual la topologic forte ct la topologie faible. Topologie fazble sur 73’. À toute partie finie F quelconque dc D(fl), on associe la scrni-norrne : Y T E D’P). P,(q = SUP I(T,cp)l. PEF I1 est facile de voir que ceci définit sur D’(il)une famille filtrarite et sépararite de scmi-normes. La proposition 1.6 s’applique. Par conséquent, la faniille des boules fermées associées aux p F constitue une base de voisinages de O pour une topologie d’e.1.c. séparé. Pour cette topologie dite topologie faible, la convergence d’u11e suite { T n } ,doiic aussi d’une série, de distributions équivaut à la convergence simple sur D(R) : Proposition 1.71. La suite {T,} de D’(n) coniierge vers T d a m D’, m u n i de sa topolqyie de dual faible s i : On a la proposition dorit on pourra trouver la preuve dans [13] Proposition 1.72. Si (T,) est une suite de D’(O), telle que pour toute p E D ( O ) , (T,,,p) conwerge vers une limite fitinie, alors T, converge faiblement, o u encore (uoir la remarque i.73 ci-dessous) converge au sens des distributions. Topoloyie forte sur D ’ ( 0 ) . Soit B une partie bornée de D ( O ) ,ce qui signifie (cf. proposition 1.59) que B est inclus dans un certain D ~ ( 6 2et ) que les semi-normes q , , , , ~sont bornées sur B . Par analogie avec le cas des normés, on remplace, dans la définition précédente, les parties finies par les parties bornées. On considère donc les sein-normes p ~ puis , les boules fermées associées. La topologie d’e.1.c. séparé ainsi obtenue est appelée la topologic forte sur le dual D’(Q) ( c f . exercice 1.19). Remarque 1.73. On adincttra la propriété suivante : une suzte de distributions converge vers O pour la topologie de dual faible si et seulement si elle converge vers O pour la topologie de dual fort. On omettra donc, dans les énoncés concernant lcs suites ou les séries, dc préciser la topologie considérée ; on parlera simplement de coiivergence. 1.4. DISTRIBUTIONS SIJR U N OTJVERT DE RN 37 1.4.6. Opérations sur les distributions Outre les opérations algkbriques de la structure vectorielle, des opérations spécifiques sont envisagées : Définition 1.74. Soit a une fonction de classe C” dans note aT la distribution telle que : v’p E D(fl), ( O T ‘p) = et T E D’(R). On (T Q‘p) On peut vérifier que trT est bien line distribution et que l’application linéaire T H aT est continiic dc D ’ ( 0 ) daris lui-mhne, qu’il soit muni de la topologie forte oil de la topologie faible. Par exemple, on voit facilement que, pour toute fonction f localement sornmable dans RN,on a : ~ [ = f ][ a f ] que . ab, = o(o)b,. En particulier, si a(.) = O, on obtient (16, = O. Daris le cas où N = 1, si ( . E - a ) T = O, alors il existe une constante C telle que T = Cb,. On vérific aiissi que .CVp(l/*r)= 1. Définition 1.75. Soit h E RN et T E ;n’(IRN).On definit la translatée d’indice h de T , notée rt,T ou Th, par : vv E D(RN), où : ( T - h ‘ p ) ( C ) = $O(. (Th,P)= (T T-h’p). + IL). I1 est facile de voir que TfLest uiie distribution. 1.4.7. Support d’une distribution Définition 1.76. On dit qu’un ouvert O de R est un ouvert de nullité polir T . élément de D’(0) si, quelle qiic soit ‘p E D ( Q ) ,A support conipact dans O, on a (T,p) = O. Ori peut montrer que la réunion tie tous les ouverts de nullité de T cn est encore un, cc qiii doririe un sens ti : Définition 1.77. Le support de T , noté suppT est le complémentaire d u plus grand ouvert de riullité pour T . Exemple 1.78. Le support de la distribution 6, est { a } . Si f est uiie fonction localerrieiit sorrirnable dans R,IC support de la distribution [ f ] est identique au support de la fonction f , Icqiiel s‘écrit : siipp(f) = {x I ,f(n.) # O}. On démontre le tliéorèmc siiivaiit : 38 C H A P I T R E 1. RAPPELS Di? T O P O L O G I E ET D'ANALYSE FONCTIONNELLE Théorème 1.79. Soit T une distribution ù support K compact. Alors T se prolonge e n une forme linéaire continue sur 1'e.l.c. €(Q) des fonctions de classe C" dans R, autrement dit, s'identifie à un élément du dual €'(!I). En particulier, si T est à support compact, le symbole ( T ,p) garde un sens si p est seulement de classe C" sur R. Dans la preuve ( c f . exercice 1.20)' on utilise une-fonction a E D(R) qui vaut 1 sur un voisinage de K et on prolonge T en T au moyen de : E E(R), @,P) = (T,c*.cp). 1.4.8. Dérivation des distributions Définition 1.80. Soit un vecteur de dérivation a et une distribution T sur R ouvert de IRN. La dérivée DOT est la forme linéaire sur D(R) définie par : v p E D ( O ) , ( D T ,p) = (-1)'a'(T, D"p) Ainsi définie, cette forme est uiie distribution sur R. Lorsque f uiie fonction de classe ~1.1, alors : ~ [ = f ]DO^]. O Kpeut ~ nioritrer qu'au sens de la topologie faible dans DI,on a, en supposant que h, E RN,avec h = h,iei : lim h,-O T-hT - T ~ ~ hi c)T 8x2 ' Notons la propriété suivante, qui résulte des definitions : si la suite {T,} converge vers T dans DI,alors, la suite {D"(T,)} converge vers D " ( T ) . Exemple 2.81. La distribution V p ( l / x ) est la dérivée de la distribution [ f ] associée à la fonction localement sommable z H f ( x ) = In 1x1. On a la proposition, dont la preuve est dorirke dans [13] Proposition 1.82. Si T est une distribution sur Et, d'ordre inférieur o u égal à k , TI est d'ordre inférieur o u éqal ù IC 1. Si T est d'ordre égal à IC 3 1, TI est d'ordre k 1. + + Exemple 1.83 (de dérivation). Soit, dans IR2, la fonction f définie par f(.r,y) = niin(z,?j). Cherchons la dérivée mixte de f au sens des distributions. Crt exeniple peut être généralisé au cas de I W ~ . 1.4. DISTRIBUTIONS SUR U N OIJVERT DE La soninie J +K WN 39 des 2 intégrales du crochet se calcule par On en déduit, en utilisant encore la formule de Fubini 1 : .+(xi - - .I_, [d?Y)] x=y +Oc& -03 +O3 do/. Y)dY Lm +m = p(z,z)dz. Le résultat peut être écrit (da, p) et interpreté comme l’action, sur la foiiction test p, de la distribution de Dirac de support la droite A d’équation Y = 2 daris R2. Exemple 1.84. Soit dans R N ,la fonction h dcs N - 1 variables XI.. . . , X N - 1 , supposée continue. On definit alors la fonction Uh telle que &(x) = 1 si O sinon. Dérivons par rapport à . E N . z~ 3 h ( z 1 , .. . , 2 ~ ~ et1 &(s) ) On pose z‘ = (zI,x2.. . . . . E N - ] ) . On a, par application de la propriéti. de Fiibini : Ce résultat doit être interprété comme l’action sur cp d’une distribution de Dirac, dont le support est la surface d’équation cartésienne SN = h(z’). Prirnatiua tion. Proposition 1.85. Si T E V ’ ( O ) , T admet m e ,infinité d e primitives, qui se déduisent l’une de 1 ’autre par. 1’addition d’une constante. On termine ici ce rappel sur les distributions. On donne des complénients concernant les distributions tempérées au chapitre 4. 40 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE 1.5. Espaces LP, lorsque p E [l,+ml On suppose connues la défiriition des applications mesurables pour la mesure de Lebesgue et la définition de L1(0), espace des fonctions sommables sur 0, muni de la norme définie par Ilfll1 = J,2if(x)ldz. Définition 1.86. L’espace des fonctions de puissance p-ièrrie sonimables dans R peut être défini par : LP(R,C)= {u niesurables sur 0, à valeurs dans @. I luiPe L I } . Grâce à l’inégalité de Minkowski, c’est un espace norrné, dont la norme, notéc ll.llP ou II.II,p, est définie par : Définition 2.87. Soit Lm(R) l’espace des fonctions f mesurables telles que : 3 a > O, 1 If(x)l > a } = O . : llflico = inf~,lrnCs(Eu)=o) a. iriesE, = mes{x C’est un espace normé, la norme étant 1.5.1. Inégalités de Holder et complétude de LP Si f t LP(f2)et g E LP’(62), où les réels p et p’ satisfont à 1 < p < m et i / p I/p’ = 1, on a l’inégalité : + Cette inégalité se généralise en considérant les réels p j > 1 dont la somme des inverses est égale à 1 : Théorème 1.88. L’espace LP(0) est complet. Preuve du théorème 1.88. O On commence par le cas où y E [1,m[. Soit ( u n ) une suite de Cauchy pour la norme de L P . On en extrait une sous-suite telle que : II%+1 - un7IIP Soit alors i=.J (1.89) 6 1 5’ 1.5. ESPACES i,”, LORSQUE p E [ l ,+a] 41 On a, par l’inégalité de Minkowski En conséquence, l’ensemble des points où v est infinie est de mesure nulle. Dans le même temps, on obtient que v est limite presque partout d’une suite de fonctions rnesurables, elle est donc mesurable. Par l’inégalité précédente, v E LP et v est limite dans LP d’une sous-suite de u n ,puisque : Toute suite de Cauchy n’ayant qu’une seiilc valeur d’adhérence, la suite { u n } converge vers v , ce qui terrninc la preuve du théorènic 1.88 pour p E [ I , 4. O 0 Soit maintenant p = m. On considère une suite de Cauchy { u , ~ } . on définit les ensembles Ak = {z I ~ P L ~ ( s ) (> l ( ~ k ( / ainsi ~ } que Bn,m = {x 1 /un - unLI(x) > l/uTt- un,Ilm}. La réunion des Ak et des B,,,,,, est de mesure ~iullc.En outre sur le complémentaire la suite un est uniformément convergente. Soit u 5a limite. I1 est facile de voir que u E LDoet que lim IIu, - uII, = O. On s’intéresse maintenant à la densité des fonctions régulières. 1.5.2. Densité des fonctions régulières La propriété : C,(O) L’(11) = L1(0) est supposée connue. Théorème 1.90. Soit R un ouvert d e RN.Alors, pour tout p tel que 1 < p < oc), l’espace D ( O ) est dense dans l’espace normé LP(O). Preuve d u théorème 1.90. Soit u E LP(62). On commence par approcher u par une suite de fonctions à valeurs dans @, continues. à support compact. Pour ceci, on fait une série de réductions. (1) On se ramène à 71 réelle en notant que, si u est mesurable et telle que (UIP E L1(R), ses parties réelle et imaginaire ont ces mêmes propriétés. De plus, si (u,,~,) E (C,(O,R))’ convergent vers (SReu,Srriu), alors + u,, iPI, + u. ( 2 ) On se ramène à u à valeurs positives. Soit IL = u+ - u - . Si u E L”(f2), il en est de mèrne de uf et de ü.Soient {u(L’} et {uc)}des suites de Cc(R,R), convergentes vers u+ et u- dans D‘(a).Alors {u!:) - u i ’ ) } + u dans LP (O). 42 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E T O P O L O G I E E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE ( 3 ) Soit u à valeurs positives. Alors u p E L1(f2). D’après ce qui a été admis, il existe une suite {un} de fonctions continues et à support compact qui converge vers U P dans L1(R). En considérant unf, on peut supposer que PI, 3 O presque partout et converge p.p. vers PLP. On peut aussi supposer que {un} est dominée par un élément de L1(R). Pour cela, comme dans le théorème précédent, on extrait de {un} une sousJ suite {un,}et on construit 110 = O et VJ = C1 - u T L J de ) façon que {llt1JllLi} soit majorée. En conclusion, la suite { T J J } , qui est une suite de fonctions coiitiiiues, converge presque partout vers u p , en restant dominée par la fonction g = I W , , ~ + ~ - v , ~1, laquelle appartient à L1(R). Ainsi, II:”tend presque partout vers u et, pour presque tout x, on a : (v~~+~ xirn Iu;’” - uIp(x) < 2 p - 1 ( / v J‘”1 + Iu”I)(x)< 2P-1(g + Iu”I)(r). Donc, d’après le théorème de convergence dominée, u’/” - u terid vers O dans LP (R) . 0 Soit maintenant pE une suite régularisante ( C J section 1.4.2), une fonction u de LP(R), S un réel strictenierit positif et ‘p une fonction continue à support conipact dans R, telle que I/u - ‘p/IL.(n) S. Soit E assez petit pour que, 1 supp ( c p ) 1 désignant la mesure de Lebesgiie N-dinierisiorinelle du support de p, on ait : < IIPE * CP - PlIca G s (I(s11pp (‘pl1 + W’ Conirrie pE * ‘p E D ( f 2 ) ,la preuve est alors achevée grâce à : (1.91) llu ~ /)E * ‘pll” 6 /lu - Notoris que. dans le cas de (1.92) PllP + IIP - * ’pIlP P E EtN,on a un résultat plus précis. v u E LP(RN), llPE O 6 26. à savoir : * UIlL. < IIuIILP. En effet. p’ désignant le conjugué de p , l’inégalité de Holder fournit : En élevant à la puissance p , en intégrant par rapport à z et en utilisant le théorèmc de Fubirii. on obtient le résultat (1.92). 1 . 5 . ESPACES L”. LORSQUE RN.Soit 6 > O, et Termirioris dans ce cas de 1 1 -~ ‘plip < 6. Soit aussi EO assez petit E < Eo t [I,+CO] ‘p 43 E C,(RN), tel que pour que : ===+ IIPE *P - Pllp < E. Alors, une majoration par l’inégalité triangulaire, fournit le résultat : llPE * lL - u\/P llPE * - 9)lIP + IIPE * p - PllP + - ullP 36‘ Remarque 1.93. I1 est clair qiie l’espace D(R) n’est pas dense dans L”(R) pour la riornie Urie telle densité impliquerait, cn effet, la continuité de toute fonction de Lm. Il.I1co. Le théorème qui suit nous sera utile pour les résultats d’injection conipacte dans les espaces de Sobolev. I1 donne unc condition nécessaire et suffisante pour qu’un ensemble de Lp(R) soit précompact (donc d’adliércnce compacte). 1.5.3. Compacité dans les espaces LP Théorème 1.94. Soit R u n ouvert d e RN et p un réel tel que 1 6 p < oc. U n sous-ensemble K , borné dans Lp(R), est précompact dans LI’(R) si et seulement si, pour tout E > O, il existe u n nombre 6 > O et u n sous-enseïrible ouvert G , d’adhérence compacte dans 0, tel que pour tout u E K et pour tout h E RN,satisfaisant & jhl < S et lhl < d(G.ûR), on ait : Remarquons qu’en prolongeant u par O hors de R , on peut remplacer G par R dans la première condition. Preuiie du thkorkme 1.94. Ori peut supposer que R = RN.I1 suffit pour cela de prolonger les fonctions par zéro hors de R et de remplacer K par K’ = {su E L”(RN) I U ‘ ln E K } Les arguments qui suivent rrioritreiit que la précoriipacité de K dans LP(f2) est équivalente à la précorripacité de K’ dans L ” ( R N ) .Soit en effet E > O et soit un entier N ( E )tel que B: désignant les boules de L P ( R N ) ,on ait la propriété de recouvrement : K’ c UiGN(E) B : ( p i , ~ )avec ‘pi E K’. Alors, B, désignant les boules de LJ’(R), on a : K c u B,(’pilR,&)’ i<N(E) les pz appartenant ?I K’. Réciproquement, si K c lJi<N(E) Bp(pz,&), alors est la prolongée par O de ‘p. K’ c iJi6N(E) B,N(@%,&), oii 44 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE On suppose maintenant que K est une partie bornée et précompacte de L P ( I W ~ ) . On commence par montrer le caractère nécessaire dans la proposition : Soit E > O donné, on peut recouvrir la partie K précompacte par un nombre fini de boules K3 = B, (di3,~ / 6 ) Par . la densité des fonctions coritinues à support compact dans L ” ( R N ) il , existe un ensemble fini S de telles ~ / 6 Alors, . si u E K , il existe j tcl que fonctions pJ telles que lipr,- IlP ?L E K I , d’où : < (1.95) V I LE K . 3p, E S , IIu - pullrl < E 3. L’ensemble S étant fini. il cxiste une boiilc B,, de rayon V pE s, supp(p) T, telle que : BT’ Ainsi, hors de B,, on a u = u - pIL; on peut donc conclure : La deuxième condition de l’énoncé est donc satisfaite avec G = B,. O Pour la première condition, soit h o , tel que Ihl h o implique : < r Ceci implique J,I’p(z+ ~ E K : h) - p(z:)(Pdz < &“/P. I1 en résulte alors, pour tout Inversement, supposons que les conditions données dans IC théorème 1.94 sont vérifiées et montrons que K est précompact dans LP(RN). Pour cela, soit p E D ( R N )avec p 2 O, JRN p(2)dz = 1 et, pour 71 > O. la fonction (dite régulurzsunte) p,(z) = 7 / - N p ( z / r / ) .Conimençons par vérifier. E > O étant donné, que, G étant le cornpact de RN donné par l’énoncé. il existe ho > O, tel que si 17 < h o , alors : O (1.98) 1.5. ESPACES L?’. LORSQUE p E [ I , +ml En effet on a, p.p. dans IPq *’LI - 45 RN,grâce à Holder et & J R N p ( ~ ) d=x1 : P (x)< ,< s/ p,(y)IU(X - y ) PT,(Y)(V - U(Z)l”dlJ P - u /(.r)4/. En intégrant par rapport ii .r daris G , pour h o assez petit, on a : LIpq *IL - u/ P < sup h E B,, sG k /ThU - UI P En particulier, lpll * u - uIp tend vers O quand ri 71 E K . Soit donc 71 fix@,tel que pour tout II E K , (.c)dz -j < E. O, uniformément pour On va montrer que, toii.jours pour ri fixé, le sous-ensemble de C(RN) défini par K,] = {p7/* u 1 ’u E K } , vérifie les hypothèses du théorème d’Ascoli sur le compact G. Pour cela, d’une part, on prouve par l’inégalité : (1.99) lpll * 7~(5)( < siip [ p , ( ~ ) 1]i p J J 7 ~ l l p . ZERN que cette fonction pv * 7~ est bornée miiforrnérrient pour z E G et u dans K . En effet, cette inégalité résulte de la majoration : D’autie part, pour L E G : (1 100) lpT1*u(.r+ h ) - p7 * u(.z)I < sup TERN 1 [ Q ~ , ( “ . ) ] ” ~ ( 1 7 - h ~~ . G u/P)l’p, et donc pa * I L est bquicontiiiue. Finaletrierit, {pTl I I I u E IC} est précornpart daris C(G),dotic il existe un erisernble fini ( $ 3 ) , J = 1 , 2 . . . . . k , de C(G) tel que : (1.101) - E K , ’1, //Ir/ * P - gJ IC((;) Soit 4, la prolongée par zéro hors de G de On obtient : E 3 . 2 p - 1 /GI’ di3. Ellc appartient A L P ( R N ) . Ce qui précède montre que K peut être recouvert par un nonibre fini de boules de L P , de rayon E . 46 C H A P I T R E 1. R A P P E L S DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE En outre, montrons que les centres peuvent être choisis dans K . Pour cela, on utilise le résultat suivant : Si K est un ensemble d’un espace norm6 X , tel que pour tout E > O , il existe un nombre fini de boules d e centre vi et de rayon E qui recouvre K , alors K peut être recouvert par u n nombre fini de boules de centres dans K et de rayon 2 ~ . En effet, soient E > O et V I ,v2, . . . v p des éléments de X , tels que K c UIGiGpB(vi,E ) . Quitte à enlever des boules, on peut supposer que pour chaque i E [ l , p ] , B ( v i , ~ f‘ ) K # 0. Soit alors ui E B ( v i , ~n) K pour i E [1,p ] . Alors, l’ensemble des B(ui,2 ~ )qui , est fini, recouvrc K . En effet, si u E I<, pour tout %,il existe vi tel que l u - vil E . Ainsi, on a, ce qui termine la preuve : O l u - lLil 2E. . < < 1.5.4. Dualité dans les espaces L p Théorème 1.102. Soit R u n ouvert d e EtN, et soit p un réel tel que 1 < p < +CO. Le dual topologique d e LP(R) est Lp‘(n) où p’ est le nombre conjugué de p , ce qui signifie : 1 1 Remarque 2.103. La preuve qui suit utilise l’uniforme convexité de LP pour l<p<+oO. Preuve du théorème 1.102. O On montre d’abord que si 9 E L p ‘ ( n ) , il permet de définir un élément du dual de LP(R)de la manière suivante : À tout g de Lp’(R) on associe L, définie sur Lp(R) par s,,fg = L , ( f ) . On vérifie que L , est linéaire et que : (1.104) llLsllL.(n)/ < 191pJ, ce qui entraîne que L, est bien dans le diial de Lp(R). Soit maintenant f = g1g1f”-2 si g # 0, f = O sirion. Alors f E Lp(R) et s,ifip = snIglp’.En outre : (1.105) Mais : (1.106) On a donc : (1.107) IL,(f)l < IILs//(Lp(n))~llSll~. 47 1.5. ESPACES L”, LORSQUE p E [I,+ C u ] d’où : ( 1.108) Ceci entraîne que l’application qui & y associe L, est une isoinétrie. Inversement, on veut montrer que toute forme linéaire sur Lp(R) est identifiable à un élément de D’’(a).Soit L une forme linéaire sur LP(R) de norme 1. On commence par montrer l’existence d’un 711 dans Lp(R), de norme 1, tel que L ( w ) = \lLil(Lp(n)), = 1. Pour le voir, riotoris que la définition de //LJJ(L,,(n)), assure qu’il existe une suite {w,} dans L p ( Q ) , telle que liwnllp = 1 et L(w,,) + /ILI/(Lp(n)),. On montre que {w,} est de Cauchy dans Lp(R). Sinon, il existerait E > O tel que : ‘dN E N ~TL,V) > N, I w , - W,,I~~ > E Par l’uniforrrie convexité de Lp(R), il existe 6 > O, tel que II - I l P < 1-6. D’aiitre part, on pcut choisir N assez grand pour que )1w, w,JJp # O, puisque IIw,, w,Jp IlLll L(w,) L(iu,) + 2 . On a alors : + + + > + Mais lorsque n et 77) tendent vers l’infini, L(w,) L(w,) + 2 . On a donc obtenu une contradiction et donc {wn}est une suite de Cauchy. Soit 711 sa Iiniite dans Lp(R). On a L(w)= IlLll. Soit y = w I w I P - ~ . II est clair que 9 E ~ ’ ( 0et )que iiyii$ z i i u i l l ~= 1. On veut montrer que L = L,. On a déjà L ( w ) = L,(w).Pour u daris LP, on écrit : (1.110) Montrons que si ‘u est tel que ./;2vg = O, alors L ( v ) = O. Pour t > O, assez petit pour que /lui tvll, > i / 2 , on écrit : + (1.111) D’où : + (1.112) tL(‘u) 1 6 l(?& + o(t). En effet, en utilisant le théorème des accroissenients finis pour la fonction t + Iw t$’, on a + où B ( t ) est une fonction telle que J B ( t ) i < t . La suite de fonctions gt définie par gt(x) = pv(7u d(t)?i)(w 8(t)vlpp2est, pour tout t , daris L1, et elle converge lorsque t tend vers O, pour presque tout 2 , vers go(:x) = + + 48 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE p t ~ v I w I p - ~ ( z )D’autre . part, gt est doniiriée par une fonction de L1, iridépendante de t puisque : Igt(.)l 6 P14(1~11+ l4)(l~~l + 1.~1)”-”(46 P ( b + Iwl)”(.). En utilisant le théorème de convergence dominée, on obtient : + + En particulier 1w tvl, = 1 to(1). En divisant par t > O, on obtient : L ( v ) 6 0(1), d’où L ( v ) 6 O. En changeant) u en -21, qui vérifie la même propriété, on a : L ( v ) >, O, d’où, finalement L(w) = O. En reprenant ( l . l l O ) , on termine la démonstration : (1.113) R Proposition 1.114. Soit L”(R, R). un ouvert de IRN. Le dual de L1(R, R) est Preuve d e la proposition 1. i 14. O Traitons d’abord le cas où R est borné. Soit T E L1(R)’, alors, puisque LP(R) s’injecte continûment dans L1(f2) V p E ]l,+oo[, on a T E ( L p ( 0 ) ) ’ . Soit, gP E LY’(62) doririé par le théorème 1.102, d’où, V f E LJ’(s2),( T , f )= J n g p f . En particulier, lorsqu’on suppose que f E C,(n), on trouve que VPl, P2 > 1 : (1,115) /;Yp’ ( x ) f ( z ) d z= .b g,,(z)f(.)dz. Donc g = g p est indépendant de p , et g E LP’(R), Vp’ : I (T,f )I 6 Il TI/( L I (O))’ Il f II 1 . (1.116) Soit < 00. En outre = lylP’-2g. Alors E P ( R ) et donc, en utilisant Holder : Finalement, en divisant par l l g l l ~ ~on ~ la, ( ( g ( ( p 6 t (mesR)l/P’((SI(Ll(n), et, en faisant tendre p’ vers l’infini. on obtient : 9 E Loo et (1.117) Ildm < IITIILl(n),. Vérifions qu’en fait il y a égalité. En effet : IlTl1 = SUP I(T.f)l = SUP ftLl fEL’ Ifll<i lfli<l 1 /fil 6 11911mllflll = 11911m. 1.6. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 1 49 O Soit à présent R non borné. Soient 0, = (1 n {x I 1x1 6 n } et T,, definie sur On par : (1.118) - (TT11 f) = XL)> (T, - où f, est la prolongée de f E L ' ( O n ) par O hors de Q,. Remarquons que f n appartient à L1(R) dès que f E L1(Rn). Cette forrriule entraîne aisémeiit que I I T T L I I ( L1 (CL) ) / G I ITI I ( L I ( 6 2 ) ) ' . D'après la première partie de la preuve, il existe gTLE L"(f2,) tel que (T,,,f ) = g n f . En prenant des fonctions f dans D(f2,,), on voit que, si ri 6 rn,011 a sur l'égalité y,, = gm. Er1 particulier, g = limy,, a un sens. Soit xn la fonction caractéristique de 0, et .f E L1(R). Alors f x T L f dans L1(0) et comme f x n E L1(Q,), on en déduit, puisque T E ( L 1 ( Q ) ) ' , le résultat : sa,, (1.119) = (S,fXn) (T1,fxn) + (T,f). Enfin, en utilisant : IliTnlll(Li(n,,))/ = lly,rll~30(6i), on conclut à : 1.6. Exercices sur le chapitre 1 Exercice [*]2.2 (complétude de l'espace L ( X ,Y ) ) . Soient X un espace riormé et Y un espace de Banach. Montrer que l'espace C ( X ,Y) des applications linéaires continues de X dans Y, norrné au moyen de L H lllLlll = s u q l ~ l l x IIL(II:)\I~, =l est un espace de Banach. Indications. Soit { L,} une suite de Cauchy daris C ( X ,Y ) .On démontre que, pour tout z E X , la suite { L T L ( z )converge } dans Y . On montre ensuite que la limite L ( z ) est telle que L : z H L ( z ) est linéaire. Par un passage à la limite concernant les normes, on montre que L est continue. Enfin, on prouve que lllLT2- LI// + O. Exercice [*]2.2 (exemples d'espaces de Baire). Montrer qu'un espace métrique complet X est un espace de Baire (cf. définition 1.8). Indications. I1 faut,par exemple, montrer que si O,, est une suite d'ouverts tels que, pour tout n , O, = X , alors non = X . Soit W un ouvert de X . On veut montrer que wn(n # 0.Soit z1 tel que B ( z , , r 1 ) c wnoi,et par récurrence soient z, et ri < i / i tels que B ( z i ,Y,) c B(z,-i, ~ ~ - n 1 )O,. on montre que {z7,} est de Cauchy et que sa limite appartient à W n On). ~ (or, Exercice [*]2.3 (complétude de l'espace des suites sommables). Soit l1(C)l'espace des suites coniplexes sommables. Montrer que l'application II: = {zn>H E:" Iz,I est une norme sur cet espace et montrer que, pour cette norme, cet espace est un Banach. 5 0 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E T O P O L O G I E ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE Indscatzons. Soit line suite de Cauchy { z ( ~ ” ) } .On montre que, pour tout ri, la suite { z $ ~ ) }est ~ convergente. ~ M On démontre qu’en désignant sa limite par s, la suite s de coniposarites z n est sornmable et que lIdnL) - zlj + O. Exercice 1.4 (topologie de l’espace Dk ([I)). Soit E = @(O). En utilisant les notations de la sous-section 1.4.1 (cf. Famalle dénombrable de bases de vozsznages), on sait que E est la réilriion d’une suite croissante d’espaces vectoriels topologiques, à savoir les E3 = D k , . On considère la faniille B des parties B de E qui sont convexcs, équilibrées ct absorbantes, telles que Vj, B n E3 est un voisinage de O dans E3 Montrer que B est une base de voisinages de OE pour une topologie d’e.v.t. sur E . Indscatzons. On utilise la proposition 1.5. Pour cela, on montre que si B E B et si X > O, alors AB t B et d’autre part, que l’intersection de deux éléments de B est encore dans 8. Exercice [*]1.5 (topologie faible sur le dual d’un normé X ) . On considère la faniille B de parties de X définies, à partir des éléments zo t X , des parties finies F’ de X’ et des réels E > O, par : B,,,Fi,E = {z E X IV d E F’, I(. - Q,Z’)/ < E } . (1) Montrer que B constitue une base de voisinages pour une topologie sur X . Pour cela, on prouve les deux propriétés suivantes : (a) U { B I B E B } = X ; (b) si BI et B2 sont dans B et si z E B1 n Bz, alors 3~~ E B, z E : B~ c B~ n B ~ . (2) Montrer que la topologie ainsi définie sur X , notée o ( X , X ’ ) , est séparée, et que, pour cette topologie, la multiplication externe et l’addition vectorielle de X sont continues. Montrer que c’est une topologie d’e.1.c. (3) Montrer que tout ouvert faible de X est un ouvert du norrné X , autrement dit, la topologie de la norriie est plus fine que la topologie faible. Indications. On s’aidera des propositions 1.5 et 1.6. Pour la question (3), on remarque qu’un ensemble B,,,.F/ ,E est une intersection finie d’images réciproques d’ouverts de R par les applications continues z’ du normé X dans R. Exercice 1.6 (exemple de suite de formes linéaires continues). Soit X : l’espace des suites sommables. Soit la suite d’applications linéaires {!un}de X dans @. définies par u,(z) = 2,. !’. (1) Montrer la continuité de un et déterniirier sa norme. l . û . EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 51 ( 2 ) Montrer que la suite d’applications linéaires ( u n ) converge simplenient vers O, c’est-à-dire que quel que soit L E t’, u,(z) + O. Remarquer que la norme de un dans C ( X , C ) est égale à 1. En déduire que u,,ne terid pas verb O au sens de la norme d’opérateur dans C ( X .C). Exercice I . 7 (fonctionnelle de Minkowski). On utilise les définitions, dorinees dans le cours, des parties convexes équilibrées et absorbantes (définition 1.1). (1) Soit hl un ensemble convexe, équilibré et absorbant d’un espace vectoriel topologique X , contenant O. On définit la fonctionnclle de Minkowski p ou encore jauge du convexe A I . par la formule : ‘dxE X , p ( x ) = inf{t 1 x / t E Al}. t>O Montrer que p est sous-additive, positivement homogène de degré 1 (autrement dit, p est une serni-norme sur X ) . Montrer également la propriété : ‘dz E Al,p ( z ) 1. ( 2 ) Montrer inversement qiie, si p est une semi-norme, la partie M telle que : AI = {x I p ( z ) 1) est un convexe équilibré absorbant coiiteriarit O. ( 3 ) Montrer que Al est ouvert daris si et seulement si p est continue. < < x Indications. Remarquer que pow tout convexité, en déduire que : . P(Z) + E p(.) + p(y) + En conclure que 2E rc p(x) E > O, z / ( p ( x )+ E ) E M . En utilisaiit la P(Y) + + p ( x ) + p(y) + . +E E 2E p(y) + E M. E + Y) < P ( Z ) + P(Y) + 2 E . Exercice 1.8 (théorème de Mazur). Soit A f un convexe contenant O comme point intérieur. Montrer que, A l : il existe une forme linéaire coritinuc f telle quc : f o ( x , ~ )3 si xO SUPstM lfo(z)l. Indicntzons. Par l’exercice précédent, la fonctionnelle de Minkowski de M est une senii-norrne continue. On applique alors le théorenie de Hahn-Banach (fornie géoriiét,riqiie) 1.19. Exercice [*]I.9(théorème du graphe fermé). Soit T une application linéaire d’un Banach X dans un Banach Y , dont, le graphe est fernié. Montrer que T est continue. Indicatio7rs. Par hypothèse, le graphe est fernié dans X x Y , qiii est u r i Banach, donc c’est une partie conipléte. La projection p l dii graphe sur le premier espace, (ce qui signifie p l (x,T z ) = 2;) est linéaire, continue et bijective. Elle admet donc une application inverse continue U . Soit p z la projection sur le deuxième espace, OII a T = p2 O U , qui est le composée dc deiix applications linéaires continues. Coriclurc. 52 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE E T D'ANALYSE FONCTIONNELLE Exercice 1.10 (injections continues dans les espaces de Lebesgue). (1) Soit O un ouvert de niesure de Lebesgue finie. Montrer que si p 3 q , on a L"(62) L4(O). - (2) Montrer par un contre-cxeniple que ceci est faux si O est de niesure infinie. (3) Soit R un ouvert qiiclcoriqiie. Montrer que : - p G r G q ==+ ~ " ( 6 2 )n ~ ~ ( 6 2 ) L"(R). Montrer égalernent que : Y f E L P ( R )f-L 4 ( 0 ) ' llfllr G suP(llfIlT1, llflld. Exercice 1.11 (limite de normes LP lorsque p + +CO). Rappeler la definition de L"(O) et de la norme l l . l l m de cet espace. Montrer que, si f E L"(R) n L'(O) pour au moiris un indice T 3 1, alors : Exercice 1.12 (moyennes de f lorsque f E L P ( R f ) ) . Soit p E ] 1, CO[ et f E LP(R+). Soit F définie sur R+ par (1) Montrer q i i e F E Lp(R+)et qiie llFllP P < ---Ilfllp. P-1 (2) Montrer. en utilisant par exemple de5 fonctions à support conipact, qu'il existe f E L1(R+), telle que F n'appartient pas à L1(R+). Exercice 1.13 (théorie des opérateurs compacts). Soit K uric fonction continue sur [a,b] x [a,b ] , avec a < b, (u, b ) E Et2. On définit l'opérateur : Y f E C ( [ G bl), Tf(l.1 = J b K ( r ,Y ) f ( Y ) d Y . Montrer, en utilisant le théorènie d'Ascoli que T est un opérateur qui trarisforme la houle unité dc C ( [ a . b ] )en un ensenible relativement conipact de 4). Exercice 1.14 (théorie des opérateurs compacts, suite). Soit R un ouvert de IRN. Soit K E L2(U x O) et T défini par : Y f E L2(0)> Tf(.c) = i, K ( z ,Y ) f ( Y ) d Y . Montrer que T envoie L2(f2) dans lui même ct que l'image de la boulc unité de L2(R) est un cnserrible relativement compact de L2(O). 1.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 53 Indications. Soit {fn} une suite telle que I l f n l l L ~ < 1. Alors T f n est bornée dans L 2 . On peut donc en extraire une sons-suite qui converge faiblement dans L 2 . On montre que (Tf,,)’ est dominée par une fonction fixe de L I . Conclure en iitilisant le théorème de convergence dominée. TJne autre preuve consiste à utiliser le critère 1.94 donné dans le cours. Exercice 1.15 (espaces de suites. Complétudes et duaux). On définit les espaces C O , e’, e’, comme les sous-ensenibles de C N : +Ca (xn)E cg si lirn 2, = O, (x,) E t? TLk++Ca O +Ca (x,) E /z,,l~< CO, P si lx711< oû, si ( z r LE) si 3 ~ i f r.i ~ z , < ~ lM . O (1) Montrer que ces espaccs sont des espaces de Banach. ( 2 ) Montrer que ch = = tp‘avec l / p 1/p’ = 1, si p E 11,+CO[. Montrer qiie (.e’)’ = mais que (tm)’ # e ] , (ep)’ e’. + Exercice 1.16 (inégalité de Jensen). Soit j une fonction convexc sur R,et 11, une mesure de probabilit,é sur [a,b], n < b, c’est-à-dire une mesure p telle que Jdp = 1. Soit f E C ( ] n ,b [ ) . Montrer que : En déduire que, si p E [1,+oû[ et si f E L p ( ] a ,b [ ) , alors : Exercice 1.17 (espaces de Hilbert séparables). Soit f un élément de L’(]O. 27r[). prolongée par périodicité à R. On rappelle le théorème de Bessel-Parseval, & savoir, les c,,(f) étant les coefficients de Fouricr de f : Montrer que L’(]O. 27r[) est un espace séparable. Exercice 1.18 (somme de deux espaces de Lebesgue). Montrer que si p E [pl,p z ], p l < p:,, alors : L”(i2) if L”’(0)+ L”“0). Indwatzons. On écrit, pour a > O donné : 54 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE Exercice [*]2.29 (convergence faible ou forte des suites de distributions). Soient { a j } j E N une suite d’éléments de RN telle que lajl +cc et { A j } j E ~ une suite de nombres complexes. Montrer que la suite de distributions {XjGaJ}converge vers O dans D’(esN). -f Exercice [*]1.20 (prolongement d’une distribution a support compact). On se contente de N = 1. Soit T une distribution à support compact K . Soit V E ( K= ) K + [-e, + E ] le voisinage fermé d’ordre E > O de K . (a) Montrer qu’il existe des fonctions a E D(R)telles que : v x E vE(K)) a(.) (b) Pour toute fonction ‘p de €(IR), = 1. on pose : (U’ ‘p) = (Tla’p). Montrer que U est une forme linéaire continue sur 1’e.l.c. &(IR). Montrer que U ne dépend pas du choix de Q et que U est un prolongement de T à l’espace €(E?). (c) Réciproquement, montrer que tout élément de €’(IR) s’identifie & une distribution à support compact. Indications. On considère une fonction continue à support compact qui vaut 1 sur u n voisinage de K . En convolant avec une fonction régularisante pE ( c f . soussection 1.4.2), on obtient une fonction convenable. Pour l’indépeiidarice vis-à-vis de a , 011 considère ( T ,(a2 - ai)p) en se servant de la définition du support de T . Pour (c), la linéarité et la continuité sont immédiates. Pour le support, on raisonne par l’absurde, en faisant intervenir l’argument de la continuité de U sur E@). Exercice [*]2.21 (partie relativement faiblement étoile séquentiellement compacte de L1 (O)). Soit R un ouvert borné de RN et A un sous-ensemble de L1(R). On suppose pour A les propriétés suivantes : (1) 3 M > O, Y f E A, J , If(~)l6 d ~M . (2) V e > O, 3 6 > O tel que la propriéti: suivante soit satisfaite V B c 0 , mes(B) < 6 * Yf E A, JB If(x)ldx 6 E. Montrer qu’alors A est relativement faiblemerit séqiieritiellerrierit compact dans L1(CI). Indications. Or1 pourra commencer par extraire de { f T L } ,suite de fonctions de A , line sous-suite qui converge vaguement vers une mesure bornée ,u sur 0 . L’étape suivante consiste à utiliser la senii-continuité inférieure pour la topologie vague de l’intégrale sur iin ouvert ( c f . chapitre 6). On montre ainsi que 11, est absolument continue par rapport à la niesure de Lebesgue. 1.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 55 Exercice 1.22 (fonctions équi-intégrables dans L1). On dit qu’une suite { f n } de fonctions de L1 est équi-intégrable si, pour tout E > O, il existe 6 > O tel que mes(E) < 6 entraîne pour tout n, J, lfn(z)ldz G E . (1) Montrer la propriété suivante : Soit X un ensemble de mesure finie pour la mesure de Lebesgue de RN. Soit { f n } une suite de fonctions de L1(X) qui converge presque partout vers f , et qui est équi-intégrable. Alors f E L 1 ( X )et { f n } converge fortement vers f dans L1 ( X ) . (2) Montrer que ce résultat est faux si la mesure de X n’est pas finie. ( 3 ) Montrer le résultat analogue pour L p , à savoir : si { f n } converge p.p. vers f et si lfiLIP est équi-intégrable, alors { f n } converge fortement vers f dans LP. Zndzcatzons. En utilisant l’existence des z h E X , tels que X = Uy B ( z , ,S), la réunion étant finie, on obtient f E L 1 ( X ) .Alors, par le lemme de Fatou, on a . Pour la convergence forte, soit 6 associé à la condition d’équi-intégrabilité pour ~ / et3 tel que mesE < 6 + JE If(x)ldz 6 & / 3 .On extrait de {f,} une sous-suite qui converge en mesure, à savoir qu’il existe NO tel que : n 2 NO * rnes[{z E X I If7, - fl(z) On achève avec les inégalités, où on a posé A, 3 ~/3mes(X)}]< 6. = {z I i f n - fi(.) (2) On pourra considérer sur R la suite {fia}définie par fil = < &/3mes(X)): i ~ [ ~ , 2 ~ ~ 1 . Exercice 1.23 (notion de fonction de réarrangement, cf. chapitre 7). Soit f une fonction mesurable sur X espace niesuré, à valeurs dans C, finie presque partout. On définit : ~ ( s=) E x 1 If(x)l > I{. .}I. (1) Montrer que X est décroissante et continue à droite sur IR+. (2) s i f E LP avec p < +nû, montrer que s ~ ( s ) ’ / p6 (J ~ f ( z ) l ~ c i z ) ” ~ . On définit alors le réarrangement décroissant de f , sur IR+, par f * ( t ) = inf{s 1 X(s) t } . Montrer que f * est décroissante et continue à droite. (3) Soit f une fonction simple, donc f(z) = cJ pour z E E j , les E3 étant mesurables disjoints. On suppose que J c j J> Jcj-11 pour tout j . Soit d j = CkGg IEkI. Montrer que : < Qt, dj-L ,< t < d j +f * ( t ) = ~ j . (4) On suppose p E [1,CO[. Montrer que si f E LP(R), il existe une suite de fonctions simples f i L telles que { I f n / } est une suite croissante convergerite 56 CHAPITRE 1. RAPPELS D E T O P O L O G I E ET D’ANALYSE F O N C T I O N N E L L E vers If1 presque partout. Montrer alors que X,(s) converge en croissant vers X(s) et que, pour tout t > O, f i @ tend ) en croissant vers f * ( t ) . En déduire que : Y f ELP, f*ELP et IlfIlP = Ilf*llP. Exercice [*]1.24 (formes linéaires continues sur un e.1.c.) Soit une forme linéaire f sur un e.1.c. X engendré par une famille de serriinormes { r l ~ } Montrer . que f est continue si et seulement si existe M > O et une semi-norme ‘rilx tels que : Y x E X , If(.)/ 6 M q x ( x ) . Indications. Pour tout D disque ouvert de @, f - ‘ ( D ) est un voisinage de O dans X , donc contient une bode fermée associée 2i une des semi-normes VA. On achève comme dans un nornié. Exercice [*]Z.25 (bornés dans un e.1.c.) Par définition, un borné B dans un e.1.c. X est une partie de X telle que, pour tout voisinage U de O, il existe cy > O tel que Ipl cy 3 B c PU. Soit une famille de semi-normes { V A } définissant la topologie de X . Montrer que B est borné si toutes ces semi-normes sont bornées sur B . Indzcatzons. La boule unité associée à VA est un voisinage de O, donc absorbe B. On en déduit l’inégalité. Réciproquement, supposons que, pour tout A, supxEIIr / ~ ( z6) MA.Alors, en désignant les boules-unité par B A ,on a : V r > O, B C Bx(O, MA)= MxBx nix = -BA(O,T). Donc, B est absorbé par tout voisinage de O dans X . Exercice 1.26 (sous-espacesdenses dans P ( I )où I est un intervalle). Soit I un intervalle ouvert de R.Or1 considère l’espace L P ( I ) où p E [1,+CO[. On désigne par S ( I ) l’espace des fonctions simples sur I , c’est-àN dire des fonctions qui s’écrivent s = Cl C ~ X A où , les Ai sont des ensembles mesurables, par E ( I ) l’espace des fonctions en escalier sur I et par C J I ) , l’espace des fonctions continues à support compact dans I . (1) Montrer que S ( I ) est dense dans LP(1). Pour cela, f E LP étant donné positive, on utilisera les ensembles &-[) et f - ’ ( [ n , +oo[). (2) En admettant la propriété suivante de la mesure de Lebesgue p sur I : si J c I est p-mesurable, il existe une suite { J n } de parties de I qui sont des réunions finies d’intervalles ouverts disjoints telles que p ( J ) = fpl([g, limn-+, d J n ) , montrer que si I est borné, toute fonction simple est limite dans P ( I )d’une suite de fonctions en escalier. Conclure à la densité de E ( I ) daris L P ( I ) , puis à la densité de C,(I) dans LP(I). Montrer les mêmes résultats lorsque I n’est pas borné. 1.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 57 Indications. Pour ( l ) ,on utilise les fonctions simples suivantes, où Fi,,, et F, sont les images réciproques indiquées : R 2" + sn = - y ( i - 1 ) 2 - v c X F z , r L n X F " , . 1 On montre que O < s, < f et on applique le théorème de convergence dominée. On achèvera pour f de signe quelconque. Pour la densité de c c ( I ) > on approchera X [ a , b ] par une fonction continue (affine par morceaux) à support compact dans I . Dans le cas où 1 est non borne, on écrit I comme réunion croissante d'intervalles bornés I , = [a,,, h,] avec Ilf - f X I , ( I p + O. Exercice [**I 2.27 (distributions parties finies (cf. [13])). On se contente dans cet exercice des parties finies des fonctions U ( t ) t " , où U est la fonction de Heaviside, fonctions non localement sonimables lorsque Q < -1. (1) Cas de U ( t ) t a ,où cy = -n, n 3 1 entier. L'intégrale J, = JE+" p(t)t-" d t , où p est un élément de V(R), n'admet pas, en général, de limite lorsque E + O. Si ( t ) désigne le polynôme de Taylor de degré n - 1 à l'origine de la fonction p et si A majore le support de p, 011 peut écrire JE sous la forme : Montrer que la première intégrale a une limite finie lorsque E O, la non existence de lirn J , provenant en quelque sorte du deuxième. terme. Ce deuxirme terme peut s'écrire : -f l A p : - l ( t ) t - v c d t = KA -z~(pn-i(t)t-"), formule dans laquelle I,(pn-,(t)t-") désigne la valeur en E de la primitive sans ternie constant de la fonction p;-,(t)t-", K A étant la valeur de cette primitive au point A. La fonction -IE(p:-l(t)t-n) peut être qualifiée de partie infinie. On retranche alors de l'intégrale JE,la partie infinie précédente, ce qui permet le passage à la limite lorsque E O. Montrer qu'ainsi on obtient une distribution T , notée Pf(M(t)t-"), distribution définie donc par : --f (*) 'dp E V , (T,p) = lim O€' 58 C H A P I T R E 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D'ANALYSE FONCTIONNELLE Montrer que s u p p T c IR+.Prouver tP que, si p est un entier > O, alors on a : P f ( U ( t ) t P ) = Pf(U(t)t-(n-P)), le symbole Pf disparaissant lorsque p > ri - 1. Déterminer la dérivée de Pf(U(t)t?). (2) Cas de IA(t)t", a complexe, non entier, avec Re ( a )< -1. On suppose -n - 1 < Re ( a )< -n,avec toujours n entier tel que n, 1. En appliquant la démarche précédente, donner la définition, par une égalité analogue à (*), de la partie finie Ta de U ( t ) t " . Établir la formule : Déterminer les produits tn Pf(U(t)tN).Trouver la dérivée de Pf(U(t)f"). (3) On définit de mérne les parties finies & gauche Pf(l.l(-t)ltl-n), Pf(U(-t)tPn) et Pf(U(-t)ltj"), puis les parties finies bilatérales : Pf(lt1") = Pf(U(t)t") + Pf(U(-t)ltl"), P f ( t P ) = Pf(U(t)tP) + Pf(U(-t)tP). Déterminer la dérivée de Pf(t-n). (4) Exemples de parties finies logarithmiques. (a) En employant la même derriarche que la précedente, justifier la définition suivante : (b) On définit f ( t ) = U ( t ) t - 5 / 2hi t , justifier la définition : (Pf(f),p) = lirn €'O Après avoir défini la distribution Pf( ltIp3/' In Itl), déterminer sa dérivée. (c) Montrer que, f étant la fonction t H f ( t ) = l n t / t , on a : [ P f ( W ) f ( t ) ) l '= [ P f ( W ) f / ( t ) ) l . 'Trouver également la dérivée seconde [Pf(U(t)f(t))]". Exercice 1.28 (norme dans un espace quotient). Soient X un espace riormé et Y un sous-espace vectoriel de X . On définit les classes modulo Y par V'zEX, IC={IL.+y/y€Y}. Classiquement l'ensemble de ces classes est un espace vectoriel, noté X / Y , qui est appelé espace quotient de X par Y . 1.6. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 1 59 + (1) Montrer que l'application IC H infycy{llz yll} est une semi-norme et que c'est une norme sur X / Y si et seulement si Y est fermé daris X . (2) On suppose que X est un Banach et que Y est un sous-espace fermi: de X . Montrer que si {z,} est une suite de X / Y , alors il existe une suite {xn} dans X telle que, pour tout ri, on ait = z,,et Ilxnllx /Iz,J/x/y 1/2". En déduire que toutes les séries normalement convergentes dans X / Y , c'està-dire telles que llznll < fco, sont convergentes dans X / Y . Conclure que l'espace X / Y est un espace de Banach. + < Indzcations. Pour la dernière conclusion, on considère une suite { z T 1 }de Cauchy dans X / Y . On peut trouver une application strictement croissante de N dans lui-même telle que : tlz"(pt1) - ""(P) IlX/Y < YP. En posant un = zc(o) et up = z o ( p )- z o ( p p ~ montrer ), qu'on obtient une série normalement convergente. On en déduit la convergence d'une sous-suite extraite de la suite {z,}. Conclure à la convergence de { z T L } . Exercice [**I 1.29 (fonctions AC et distribution sur un intervalle I). Une fonction f de l'intervalle I dans IR est dite absolument continue (AC) s'il existe une fonction g : I H IR,appartenant à I&(I) telle que, pour tout couple de points (xiy) de I , on a : f(x) - f ( y ) = J : g(t)dt. Urie fonction AC sur I est alors p.p. dérivable dans I , sa dérivée étant égale & y p.p. (1) Soient U et V des fonctions AC sur I , u et 'u étant leurs dérivées p.p. En utilisant la densité de C,(]a,b [ ) dans L ' ( ] a ,b [ ) (cf. exercice 1.26), montrer la formiilc d'intégration par parties ; à savoir, pour tout couple ( a ,b) de points de I : (1.121) [ U(t).u(t)dt= U ( b ) V ( b )- U ( a ) V ( a ) ~ Lb V(t)u(t)dt. (2) Soit IL E Ltoc(I) dont la dérivée au sens des distributions vérifie : [u]' E L:c>c(I). Soit a E I où u est définie. Soient ~ ( x=) .(a) - J,"[u]'(t)dt et p E D ( 1 ) de support inclus daris [ a ,/?I. Au moyen de la formule (1.121), montrer que [v]' = [u]' et en déduire que v - u est une constante C p.p. sur I . Montrer que, si 'u. est de plus continue sur I , alors u est absolument continue sur I et u' = [u]' p.p. dans I . Enfin, montrer que si u et [u]' sont continues dans I , alors ru E C1(I). Indications. Pour ( l ) , les suites { u r l }et { v r L }de C,(I) étant convergentes vers u et v dans L 1 ( ] a , b [ )on , définit U,(z) = U ( a ) J:u,,(t)dt. On écrit l'intégration par parties pour les fonctions un et v, et on montre ainsi que Ur, converge uniformément vers U dans ] a ,b [ , de même pour V,. + CHAPITRE 2 LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION 2.1. Définitions et premières propriétés Déjinition 2.1. Soit R un ouvert de IRN. Pour 7rt E N et 1 < p < +CO, l’espace de Sobolev, noté W7”>P(R),est constitué des fonctions de P ( R ) dont les derivées partielles jusqu’à l’ordre ni, au sens des distributions, s’identifient à des fonctions de LP (O). Pour ces dérivées, on pose la notation : cy = ( a l , .. . , U N ) , 1 QI = ClN (Y, et on utilise La définit,ion précédente s’écrit donc : (2.3) W7m’P(f2) = {u E L”(CL) I V n E W N , ( a (< ~n=+ D*u E U’(R)]. Remarque 2.4 (sur la structure des dérivées dans un espace W1,P(fl)). Pour se rendre compte plus précisément de la signification de : u E W’J’(O),on peut utiliser la notion de dérivée, au sens usuel, des fonctions absolument continues (cf. exercice 2 . 3 ) . Soit 7~ E W’J’(0).Alors, pour tout i , cette fonction TL est absolument continue sur presque toutes les parallèles au vecteur de la base de EN et la dérivée &u au sens usuel de u,qui existe alors presque partout dans R, est une fonction de Lr’(R) qui est égale p.p. à la fonction dérivée au sens des distributions. Réciproquement, si u E L P ( R )est absolument continue sur presque toutes les parallèles ii e,i, et ceci quel que soit i , avec des dérivées &u E LP(R), alors u E W‘>p(R). I1 en résulte que si 7~ est de classe C1 dans R , l’appartenance u E W1>P(fl) se vérifie en montrant que les fonctions u et 4 7 1 sont dans LP(i2). Cette propriété est utilisée dans les exemples qui suivent. 62 CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION Remarque 2.5. Pour p par H"(R). = 2, il est d'usage de remplacer la notation WnL>'((n) Remarque 2.6. Lorsque R = R N , on peut, en utilisant les transformées de Fourier E H G(<)des fonctions u de L2(RN),donner la définition équivalente : WmqRN) =H y P ) = {UEL2(RN)1 E H (1+ IE12)"/2û(E)EL2(PSN)}. Exemple 2.7. Dans la boule R = B(0,l) de IR2, cherchons sous quelle condition la fonction u définie, sauf à l'origine, par u ( z ,y) = zy(z2 y2)-B, où p > O, est un élément de H 1(a). Plus précisément, montrons que u E H1(R) si et seulement si p < 1. L'intégrale de lui2 sur B existe si 5 - 4/3 > -1, laquelle se traduit par /3 < 3/2. En effet, en coordonnées polaires, l'intégrant s'écrit précisément : + ~ , ~ / ~=~r 5d- 4 B~( sdi I I o~ cos q 2 d r d o . Pour la dérivée, en z par exemple, au sens habituel, a,u = y(z2 &fi - 2/3z"(z2 y2 ) - + + p i . Elle est continue sauf en (O, O). L'intégrale de son carré se compose de trois termes où les puissances de r sont d'exposants égaux à 3 - 4/7, donc tous supérieurs strictement à -1, si et seulement si la condition ,O < 1 est réalisée. Puisque la fonction est symétrique en x et ?/, on en déduit que u et ses dérivées sont alors dans L 2 ( B ) ,ce qui implique d'ailleurs, d'après la remarque précédente 2.4, que ce sont des dérivées au sens des distributions. Ceci termine la preuve de la condition nécessaire et suffisante énoncée ci-dessus. Exemple2.8. Soit, dans l'espace IRN, la boule unité ouverte R = B(0,l). On pose : r2 = Soit u définie par u ( z ) = (1 - r)fi(-ln(l - r))" où a est un réel quelconque et p > O. On cherche les conditions sur a et pour que u soit dans W'J'(R). Supposons a < O. La fonction u est continue dans B sauf au point z = O. Le logarithme étant équivalent à r", la fonction l u I P est sommable sur B sous la condition N - 1 û p > -1, c'est-à-dire cy > - N / p . La dérivée au sens ordinaire, en z1 par exemple, s'exprime par : + Sa seule singularité se situe en z a =O et, comme le logarithme est équivalent , on obtient l'appartenance à P ( B ) sous la condition 1 - a < N / p . Donc, pour p < N , la fonction u est dans W I J ) ( B sous ) la condition O > Q > 1- N/p. TaPl 2.1. DÉFINITIONS E T PREMIÈRES P R O P R I É T É S 63 Si a > O, u se prolonge coritinûment sur B et, quel que soit p > 1, ZL est un élément de Lp(B).Si B > 1, cette dérivée est continue et bornée sur R , donc appartient à L p ( B ) . Si O < /3 < 1, l'utilisation de la formule de Fubini montre qu'elle appartient à L p si p ( P - 1) > -1, c'est-à-dire : p > 1 - l/p. Sous cette condition, les dérivées ordinaires appartiennent à L p ( B ) . Par conséquent, u E W 1 , p ( B )On . laisse au lecteur l'étude du cas p(p - 1) = -1. Exemple 2.9. Soit, dans IR2, l'ouvert R = {(&y) I O < L < 1, xk < y < 2L", où k > O est donné. On étudie, pour a E R, l'appartenance de ( T ' Y ) H u ( x , y ) = I/" aux espaces H", pour m E { 1 , 2 , 3 , .. .}. Si a > O, la fonction u est continue par prolongement sur d o , donc u E L2(R). La dérivée première dyu(x,y) = aye-' ne peut être prolongée au point z = O par continuité si Q < 1. Elle est cependant dans L2(R) si l'intégrale existe, ce qui se traduit par (2a - 1 ) k > -1. On en déduit que, pour tout IC > O, on a u E H1(R) si a > 1/2 - 1/2k. La dérivée d'ordre 2 appartient à L2(62)si (La - 3 ) k > -1, soit encore a > 3 / 2 - 1/2IC. Sous cette dernière condition, on a u E H 2 ( B ) .C'est le cas, par exemple, lorsque IC = 1/6 (c,f. figure 2.1 ci-après) et cy > -3/2, cas où u peut être non bornée sur R. 1 FIGURE x 2.1. Un ouvert 0 et des dérnerits de H". On peut continuer. On trouve que la condition d'appartenance à H"(R) peut s'écrire : ( 2 a - 2m 1)k > -1. On en déduit que l'on peut choisir, 'm étant donné, a et IC, pour obtenir cette appartenance. + 64 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORËMES D’INJECTION Proposition 2.10. L’espace WmJ’(R) m u n i de la norme définie par : est un espace de Banach. Pour p E 11,+a[, cet espace est uniformément convexe, c’est donc u n espace réflexif. L’espace H m ( R ) , muni du produit scalaire : (ulu) = O< I 1 <m »( est u n espace de Hilbert. Une preuve est proposée dans l’exercice 2.1. Beaucoup de propositions de ce chapitre portent sur l’approximation des fonctions de W’J’(f2) ou sur la densité de certains sous-espaces. Pour de tels problèmes, on utilise souvent un recouvrement de l’ouvert R par une famille d’ouverts {Aj}. On admettra qu’alors (cf. exercice 2.2) on peut associer à un tel recouvrement une faniille de fonctions { ( $ j ) } dite partition de l’unité subordonnée ù ce recouvrement de R par les Aj : DéJinition 2.11. Une partition de l’unité de classe C” subordonnée à un recouvrement ouvert {Aj}j,w de l’ouvert R est iin ensemble de fonctions dij vérifiant : (1) Pour tout j , la fonction $j est dans C”(R), positive et à support contenu dans A j . (2) Sur tout compact K de R , un nombre fini seulement de fonctions $ j rie sont pas identiquenient nulles sur K . (3) v x E 0, CjtNli?,(X) = 1. On utilise d’ailleurs une telle partition dans la proposition qui suit, permettant l’approximation par 1’intérieur des fonctions de WmJ’(R), lorsqu’on ne fait aucune hypothèse de régularité sur R. Cette proposition permet, par exemple, de remplacer dans les calculs, notamment lors des preuves des théorèmes d’injection de Sobolev, les fonctions de Wm>”(R)par des fonctions P ( R ) . Proposition 2.12. Soit R un ouvert quelconque de R N . Alors le sous-espace Cm(R) n WTm>”(f?) est dense dans WmJ’(f?). Preuve de la proposition 2.12. 0 On commence par le cas de R = IRN. Soit u E WmJ’(RN). On considère une suite régularisante ( c f . section 1.4.2) 2 H p E ( x )= ~ / E ~ P ( x / et E ) un réel 6 > O. Dans la section 1.4.2, en particulier dans la preuve du théorème 1.90, 2.1. DÉFINITIONSET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 65 on a vu que la fonction pE *u E Cm(RN) et ses dérivées, lesquelles satisfont à D " ( p E P L ) = pE * D"74 sont, des éléments de D'(EtN)et aussi qu'il existe EO tel que, pour E < E O , on ait (cj. relation (1.91)) : * * ~ L / I L ~ ] < 6 et, 'da, la1 < m, IID% p E * D a u I I ~ <p 6. On en déduit que p E * u E W m > p ( R N et) qu'il existe une constante C, telle (2.13) I~PL - pE - que : I~PL (2.14) - < Cm6, *'uIIw~.P ce qui termine la démonstration dans le cas de RN. O Soit maintenant un ouvert R # RN.On utilise un recouvrement ouvert { O J } j E ~ *de R , défini par : f2j = {z E R I 1x1 < jC1 et d ( z , a R ) > Cz/j + I} Les constantes G1 et C2 sont choisies pour que 0 2 # 0. Cette suite d'ouverts bornés est croissante et recouvre R. En posant alors : RO = f 2 - 1 = 0 , on définit la suite d'ouverts { A j } telle que : Aj = f 2 j + ~\ nj-1, avec : AO= f22, ~ Al 1 0 3 . La famille { A j } constitue encore un recouvrement ouvert de R et on vérifie facilement que, si Ij - j'l 3 3 alors : A, n A,, = 0.Soit alors { $ j } une partition de l'unité associée au recouvrement { A j } . Soit aussi ~j assez petit pour que, E étant donné, on ait, à la fois : Vj22, V j 3 O, A~+B(O,E,)CA~-~UA~UA~+~, E * ($p)(+ju)llw.-.p < __ 23+1' - On considère alors la fonction d E définie ) par : (2.15) O Cette fonction est bien définie car la somme du second menibre est localemerit finie. On déduit des inégalités précédentes que ~ ( € E 1 W7n)p(R). En utilisant u = C;"(+,u), on peut terminer la preuve par l'inégalité : 66 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉOKÈMES D'IN.JECTION Corollaire 2.1 7. (1) Soient u E W ' J ' ( 0 )et v E W'"'(0) o ù p etp' satisfont ù la condition l / p l/p' = 1. Alors, le produit UV appartient ù W1>'(0) et : + vi E [l,N], & ( ' U V ) = ud,v + ?/a,U, toutes les expressions figurant dans cette égalité ayant un sens, compte tenu des hypothèses. ( 2 ) Soit u appartenant ù W1>N(f2).Alors juIN-'u E W1>'([2) ainsi que luiN avec : ~ ( 1 ~ 1= ~N I) U / ~ - ~ U V U et V ( I U I ~ - ' U )= ~ l u l ~ - ' ~ u . Remarque 2.18. Dans ( 2 ) , W1>N(f2)peut être remplacé par W',q(O), pour q E ] 1,m[; le résultat est alors : Soit 7~ E W'>q(O).Alors ~ u ~ et~lu1~ 4 appartiennent ' u ù W ' > ' ( O ) ,avec V( IuIqp'u) = q l u / q - l ~ u et V( IuIq) = ~ ~ u / ~ - ~ u v u . Preuve du corollaire. (1) Par la proposition précédente, il existe une suite { u n } c C"(O) n W'J'(i2)qui converge vers u dans W ' , p ( O ) . Alors, au sens du produit d'une fonction de classe C" par une distribution, on a : 82(UnV) = &(Un)V + U,dZV. Passons à la limite au sens des distributions dans le membre de gauche de cette égalité. On a U,V E L ' ( 0 ) et l l u , ~- U V I I L ~ IIu, - uljLI>IIuIILp( O. On en déduit que {u,v} + uw dans L', a fortiori au sens des distributions. Alors, par une propriété des distributions (cf. section 1.4.8), &,(u,u) + a,(uv) au sens des distributions. De même, puisque un + u et &IL, + 8,u dans L", le second membre converge au sens de D'(Q). Le passage ii la limite donne airisi l'égalité désirée et, en outre, l'appartenance ai(..) E L', d'où < UV --f E W'J(0). (2) Soit une suite un E C"(O) n W',.(0) qui converge vers u dans W'>N(f2).On montre facilement que le gradient de /uniN est donné par N lu, I N-%, [VUn]. Puisque I U , I ~ - ~ U , converge vers l,ulNp2u dans L ~ I ( et ~ que ~ ~ V )U , converge vers Vu dans L N , on en déduit que N I u , I ~ - ~ u , V U , converge vers N I U ~ ~ - ~ U dans V UL'. En outre, puisque Iu,,lN + luiN dans L1, cette coiivergence a lieu aussi dans D'(O). On en déduit que V(lunlN) converge vers V ( l u I N )dans 'D'(0).Le passage à la limite nous fournit donc l'identité : V(l.jN) = NIuIN-2uVu. 2 . 1 . DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÊTÉS 67 Enfin, en utilisant Holder avec les exposants conjugués N / ( N - 1) et N , on a ; On a donc prouvé que luIN-lu E w1l1(62). Le raisonnement est analogue pour la deuxième affirmation concernant le gradient de J u J ~ - ~ u . Coroliaire 2.19. Soit IL € w , ~ ~ ( R ce )qui , signifie que, pour toute fonction cp E D(R), on a cpu E W’>p(R).Soit 2 0 le point ( z b , t ) E R où 20 E et t E E%. O n désigne par B’(zL,r) une boule ouverte dans EtNp1 et par B * ( z o , r ) le cylindre ouvert B’(zb,r) x ] - r , r [ , dont l’adhérence, pour r assez petit, est incluse dans 0 . Alors, po’ur presque tous les couples ( x ‘ , t ) et ( ~ ’ , t ’d’éléments ) d e B*(x:o.r),o n a : TW~P’ Preuve du corollaire 2.29. 0 Pour (t,t’)E (1 - r . r [ ) 2et z’ E ~ ’ ( z h , ~posons ), u(xL.I) l,t 8, %1(2’, ,5)&’. On niontre que ii E Lp(B’(zb,r)). Comme B*(zo,r) c R, la fonction (.r’,s) H dNu(x’,.s) est dans LP(O), donc sorrirnable en s sur l’intervalle [t’,t ] inclus daris ] - r, r [ . I1 en résulte que w est presque partout définie sur B’(z0,r).Ensuite, en utilisant les formules de Holder et de Fiibini, on a pour presque tout, couple ( t ,t’) : Soit {un}une suite de C”(B*) n WIJ’(B*) qui convtrge (cf. proposition prtkédeiite) vers u.On définit la suite { u n } sur B’ par la relation : 1, t l J T L ( X ’ )= d~ 7LTL(XL.I, 5’)dS. En remplaçant 71 par u,,- IL dans le calcul précédent. on voit que I I , 71 daris LP(B’). On peut donc extraire de cette suite une sous-suitc { u n , } qui converge presque partout vers u siir B‘. On peut. de niCiiie, extraire de -f 68 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’IN.JECTION la suite {un,} une sous-suite {ud(,)}qui converge p.p. vers u sur B * . Les fonctions ud(,) étant régulières, on a : En utilisant la convergence p.p. des deux membres, on obtient la formule du corollaire. O Une autre conséquence du théorème 2.12 est très utile, en particulier, dans les procédés de prolongement d’une fonction de Wm>?’(R)en une fonction tie Wm>P(RN) lorsque R est un ouvert (( lipschitzien ». Ce procédé nécessite un changement de varia,ble pour une fonction de Wm,p(R). Corollaire 2.21. Soient deux ouverts bornés R et R‘ d e RN et une fon,ction a réalisant une bijection de (1‘ sur R,a et a-’ étant de plus toutes deux lipschitziennes. Soit p donné > 1. Alors, si I L E W“~P(R),lu fonction composée v = I L O U est dans WIJ)(R‘), les dérivées de v au sens des distribution,s sont fourriies par les formules habituelles de dérivation des fonction,s composées et il existe une constante C(lVaim),dépendant de IVal,, telle que : Ilu O a l l W ’ . P ( f q 6~(I~~,/~)llullw’.p(n). Preuve du corollaire 2.21. O Soit une suite { u n } de W’J’(R) n P ( R ) qui converge vers ‘II dans W’J’(R). La fonction y ++ wn(y) = u , ( a ( y ) ) est lipschitzienne dans R’, a fort,iorisur toutes les parallèles à l’un quelconque des axes de coordonnées yi. Comme le caractère lipschitzien implique l’absolue continuité,, on en déduit ( c f . remarque 2.4) que w, est p.p. dérivable dans R’et que : Utilisons alors le lemme suivant : Lemme 2.22. Les ouverts 12 et R’ étant bornés, soit a une bijection continue de R’ sur (1 telle que a-’ soit lipschitzienne. Alors, si u t LP(R), on a u o a E L”(0’) et il existe une constante c telle qu.e jjuoa((Lp(n,)6 c((uj(Lp(i2). Poursuivons la preuve du corollaire 2.21 en utilisant ce résultat. En l’appliquant à &(u,, u),l’inégalité du lemme fournit : ~ /I&(un)0 fJ - &,7L) 6 0 alILl’(r2~) C l l ~ i i ( ~ & )- & ( ~ ) / l L P ( Q ) Comme on sait que &(ulL) + &u. dans Lr’(SZ), on en déduit que { û ~ ( i ~ , ) o a } converge vers t$u 0 a dans Ll’(S2’). I1 en résulte, en utilisant (*) et les hypothèses selon lesquelles Ics ouverts et les dérivées 3,( ( 1 . j ) sont bornés, que la suite {ûz.(7in)> coriverge dans L P ( W )vers la fonction ~ l ( a j oua ) ai(aj) 2.1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 69 qui est dans L”(G’). L’inégalité (*) fournit alors, par un passage à la limite pour une sous-suite : P.P. Y E a’, O a ) b ) = ,E?a,(lL)(a(Y))3,(aj)(y). Puisque ces dérivées, au sens p.p., sont dans L”(O’), ce sont, d’après la remarque 2.4, des dérivées au sens des distributions. D’après le lenirne, on a : u o a E Lp(R’), il en résulte que u o a E W’>p(O’).Par ailleurs IIuoa.lILp(n,) < < C I I ~ ~ , I I L P ( ~ ) et liÛi(u 0 ~ ) I I L ~ ( W ) ~’IIullwi,~(n)llV(a)ll~-(rz/). On en déduit l’existence d’une constante C qui ne dépend que des constantes de Lipschitz de a et a-’ teII(: que : /luO a l l w l , i l ~ n , ~C I I U I I ~ ~ . ~ ( ~ ~ ) . O < Presuve du lemme 2.22. Dans ce qui suit, on note L la constante de Lipschitz de a-’. On se sert toujours de la suite { u T L En } . recouvrant par un nombre fini n,, de N-hypercubes Ck d’arête 217 et en prolongeant IL,, O a par O hors de fl’, la définition dc la Riemann-intégrabilité de lu,,O a l p nous fournit : Or1 peut supposer que tous ces hypercubes sont tels que CI, c a’. Soit g k le centre de C k , d’où x k = a ( y k ) E (1. Si z E û ( a ( C k ) ) ,les propriétés de a impliquent y = u-’(:r) E 3Ck. Donc, coniine lyk - y1 3 71, on a pour les distances dans RN : q Iy - ykl = I ü ’ ( x ) - a - ’ ( z k ) I Lin: x k 1 . On en déduit que a ( C k ) contient la boule de centre x k et de rayon q / L , d’où nics(a(Ck)) 3 w ~ T I ~> /Knies(Ck), L ~ où K ne dépend que de N et L. On eri déduit la majoration : < Un passage à la limite, lorsque q < + O, ~ fournit ainsi : On peut trouver une sous-suite u U ( ” )qui converge p.p. vers Fatou donne alors le résultat du lerrinie à partir de (**). IL. Le lenirrie de O On donne maintenant pour W1.p une définition utilisant des approxirnations de dérivées par des opérateurs de translation. Proposition 2.23. Si 1 < p < 03, les propriétés suivantes son,t 6yuivalen,tes : (1) u E W ’ q O ) , 70 C H A P I T R E 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMEÇ D’INJECTION (2) u E Lp(R) et il existe une constante C > O telle que, w étant u n ouvert d’adhérence incluse duns R, on a : V h E RN, lhl Dans le cas p = < d(w,dR) ===+ /IThU - ,UU//L+) < Clhi. 1, la propriété (2) doit être remplacée pur : (2’) Pour chaque ouvert w d’adh,érence incluse dans R, il existe une constante C ( W ) telle que c(w) < C , c ( w ) + O lorsque IwI + O et I17hU - 4 L ’ ( w ) < 4 w ) l h l . Preuve de la proposition 2.23. O On suppose 1 < p < +m. Montrons d’abord que (1) + (2), lorsque la translation est parallèle à un vecteur de base. Soit u E W1,p(R), w c 0, e, le i-iènie vecteur de la base canonique de RN et ho = d(w,dR). Alors c R implique ho > O et, si Ihl < ho, on a l’iniplication II: E w + 5 + hei E R. Le corollaire 2.2 fournit alors, pour tout h tel que Ih,l < ho et pour presque tout II: dans w, l’égalité : (2.24) + hei) U>(II: - .(x) = Donc, en utilisant Holder : Puisque luIf’ E L I ( ( ] ) on , peut intégrer cette inégalitk sur w ,d’où, à l’aide de Fubirii et en observant que l’on a w B(O,h,) c R : + L’élévation de cette inégalité à la puissance d’exposant l i p fournit la propriété (2) pour la translation qLe,. Pour h E RN,il suffit, lorsque h satisfait à la condition w B(O,h ) c R, de remplacer 3, par la dérivée suivant la direction de h, à savoir dlLu = Vu . (h/lhl).Finalement, on a la propriété (2), la constante qui y figure N étant, par exemple, = (E, ~ ~ ~ , z L I I ‘ & < ~ ~ ) ~ / ’ . O Montrons maintenant (2) + ( I ) . Soit IL vérifiant (2). II s’agit de prouver que a,u E L”(w). Soit, en posant h = 1/71. par exemple, la suite { ( T , ~-~u~)u/ / ~de } distributions sur w. On sait ( c f . sous-section 1.4.8) que cette suite converge dans D’(w) vers la distribution û,u. Cela signifie : + c 2.1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 71 Or, grâce à l’inégalité de Holder et à l’hypothèse 2, on a Le passage à la limite, lorsque h 3 O, dans cette inégalité nous donne, à l’aide de (*), l’inégalité : I(&u,cp)I Cllp\lLp~. Or, puisque p’ < CO, D ( w ) est dense dans LP‘(w)(cf. théorème 1.90). La distribution diu définit donc une fornie linéaire sur LP‘ (w)et l’inégalité précédente devierit : < vg ~ ~ ’ ( w I)( ~,+ , Y ) I < CttgtiLpr(+ ce qui prouve que & 7 ~ est continue sur LP’(w). Elle s’identifie donc à une fonction de LP(w)dont, en outre, la norme satisfait à ( ( & U I ( L ~ > ( ~C. ) Cela étant vrai pour tout ouvert w relativement compact dans R,on en déduit, en utilisant une suite croissante de tels ouverts, sur lesquels les normes dans LP de diu sont uniforrnérnent bornées, que &u E LP(R). Ce résultat étant ensuite vrai quel que soit i , il en résulte u E W1J’(f2), ce qui termine. O Cas où p = 1. Pour l’implication (I) + ( 2 ’ ) ) le raisonnement reste celui qui précède et on voit dans l’inégalité (2.25) qu’on peut utiliser une constante c ( w ) telle que C ( W ) Jw+B(O,h)IVu(~)Id~ qui tend donc vers Ju IVu(x)/dxquand h tend vers O. En particulier puisque Vu E L’, cette intégrale tend vers O lorsque mes(w) + O (au sens de Lebesgue). Inversement l’inégalité de (2’) donne, par un argument analogue à celui du cas p > 1, que Vu est dans le dual de C,(Q), ce qui signifie que Vu est une mesure ( c j . chapitre 6). Coriinie cette estimation ne dCpend pas du support de p, on en déduit que Vu est, une mesure bornée. De plus, l’inégalité J , lVul c ( w ) montre quc la mesure Ou (cf. cliapitre 6) est absolunient continue par rapport à la niesure de Lebesgue, ce qui montre que Vu E L1(w). Puisque w est arbitraire et que c ( w ) est borné O indéperidaniment de w ,on conclut Vu E L1(62). < < < Remarque 2.27. Dans le cas p = 1, il apparaît dans la preuve précédente qiie la condition ( 2 ) relative à p > 1 inipliqiie seulement l’appartenance u E B V ( R ) , espace des fonctions à variation bornée (cf. chapitre 6). Définition 2.28. Soit R un oiivert de IRN, borné ou non. On note WT”(R) l’adhérence de l’espace D ( Q ) dans WmJ’(R) au sens de la norme ii.llm.p. Trouver une caractérisation intrinsèque des fonctions de W?” ( 0 )n’est pas évident en général et dépend forteirierit de la structiire de R. Dans le cas R = IRN, une méthode de troncature et de régularisation permet de montrer : 72 CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION Proposition 2.29. L'espace D ( R N ) est dense dans W m J ' ( R N )donc , : W-*p(rW") = W,-yRN). Preuve de In proposition 2.29. 0 Soit 7~ E W m > p ( R Net ) , 72 E N*. Soit cp une fonction de D ( B ( O , 2 ) )qui , vaut 1 sur B(O,l) et telle que O 6 cp 1. Soit cp,(x) = cp(z/n).Alors la suite un, définie par u,,(x) = cp(z/n)u(z), converge vers u dans W m J ' ( R N ) . En effet, puisque l u l P E L1 : < D'autre part, la formule de Leibniz de dérivation d'un produit d'une fonction C" par une distribution entraîne que, si la1 = rn, alors D"(p,u) est la somme de cp,D"7~ et d'expressions de la forme ( l / r ~DN1cp(x/n)D"2u, )~ où la11 laal = rn et /a11= j 3 1. On peut majorer la norme dans LP de ces expressions par : + est la somme de deux quantités qui tendent vers O. On utilise ensuite une régularisation. Si p est une fonction régularisante, on lui associe p,(z) = n N p ( n z )et u, = p n * ((pILu). Alors, {un},suite de O fonctions appartenant à D ( R N )converge vers u dans W1>p. D'une manière générale, on verra que, sous des conditions de régularité concernant R , il suffira que la prolongée 6 de u par O hors de R appartienne à W m , ~ ( pour ~ N qu'on ) puisse conclure à la propriété : u E wT'~(~). Remarque 2.30. On proposera plus loin un résultat de densité de C1 (2) dans W m J ' ( ndans ) le cas où R est lipschitzien. 2.2. Injections de Sobolev pour Wmip(RN) 2.2.1. Rappels de définitions d'espaces fonctionnels Les entiers j 3 O étant donnés, on définit la faniille des espaces Cb(RWN) par : Ci(RN) = {'U E Cj(RN) I v a € N N ,la1 <j, 3 K " , llD(")ullm 6 K a } . Leurs sous-espaces c ~ " ( R N ) , où x est un réel strictement positif, sont constitués des fonctions de Cb(RN) telles que, si I C Y/ 6 j , alors : IC+, v x , y E RN, ID(")u(x)- D(")u(y)I 6 C",X 12 - YIX. 2 . 2 . INJECTIONS DE SOBOLEV POUR W7’L,p(RN) 73 2.2.2. Énoncé du théorème et remarques préliminaires Théorème 2.31 (d’injectionde Sobolev). O n suppose p 3 1 et vi E N.Alors : - < (I) Si N > m,p, pour tout q tel que p < q N p / ( N - m p ) , o n a la propriété :W m > P ( R N ) L q ( R N ) .L’inégalité d’injection continue peut être précisée comme suit. Sous les conditions énoncées, il existe une constante C telle que : vw E WTnTRN), Ilwllq < ~llYllw~~~..(a”). ( 2 ) P o u r p = I, o n a : W N > l ( R N ) Cb(RN). (3) S i N = m p et p > 1, alors, pour tout q tel que p propriété : W - > ~ ( R ~ )L ~ ( R ~ ) . (4) S i p > N , alors : - O <x <1 - ~f N / p ===+ W’JyIWN) (5) Si rnp > N lorsque N / p alors : si ~ tout O <A <j - / E pw et m 2j =~ - < q < m , o n a la C,OJ(RN). W et si j est tel que ( j - 1)p < N < j p N / p ==+ W m , P ( R N ) C,””p”X(RN). / p + I alors w ~ L , ~ ( R Nc )~ - ~ ” - - I , ’ ~f ( R ~pour ) x < 1. Quelques remarques préalables permettent de mieux comprendre la démonstration du théorème 2.31 : Remarque 2.32 (réduction aux fonctions de D ( R N ) ) . D’après la proposition 2.29 précédente, il suffit de prouver les affirniations du théorème pour les fonctions de D ( R ~ ) . Supposons par exemple que, dans les conditions de la propriété (1),on ait prouvé l’existence de C , dépendant de N , p , q , telle que : (*I vw E D(RN), < IIPIIQ CllPllW..L P(RN). Soit alors u E WmJ’(RN) et une suite {p,} de D ( R N )qui converge vers u dans WmJ’(RN). L’inégalité (*) montrant que c’est une suite de Cauchy dans L Q ( R N on ) , en déduit qu’elle converge dans cet espace vers v E Lq(RN). Comme, par ailleurs, elle converge vers u dans LP(RN),on conclut à u = î), soit encore à u E Lq(RN).De plus, par passage & la limite dans (*), on obtient qu’il existe une constante C, dépendant de N , p , q, telle que : vu E WmyRN), Ilu((*< c II~llW.”. ( R N ) , ce qui prouve la propriété d’injection continue. On raisonne de la même manière pour les autres types d’injection. 74 CHAPITRE 2 . LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION Remarque 2.33 (réduction aux cas des injections critiques). Si les propriétés sont prouvées dans les cas critiques, c’est-à-dire, pour l’affirmation (1),daris le cas : q = N p / ( N - mp) et, pour les affirmations (4) et (5), dans les cas respectifs X = 1- IV/p et X = j - N / p , alors les propriétés ( l ) ,(4) et (5) du théorème 2.31 en résultent. Supposons, en effet, l’affirmation (1)prouvée pour q =p* = N p / (N - m p ) . Soit q E ] p ,p* [ et O E ]O, 1[ tel que q = Op (1 - O)p*. L’inégalité de Holder, pour les exposants conjugués 1/0 et l / ( l - O ) , nous donne : + G 6 On sait que u E L P , que u E LP* et que, d’autre part, il existe C telle que IIu/JLî>* 6 CIIullwrrLP. Ainsi, l’inégalité précédente montre que u E LQ et pO+(l-Q)p’ que IIuIl4L‘l G Cllullw-7 P - CI/UII&~ P , ce qui démontre la continuité de l’injection dans Lq. Un raisonnement analogue permet de ramener la démonstration des affirmations (4)et ( 5 ) aux cas critiques envisagés ci-dessus. Remarque 2.34 (sur l’impossibilité d’améliorer (1)). Un siniple argument de changement d’échelle permet de voir qu’il ne peut y avoir, lorsque N > p , d’injection continue de W1+’(RN) dans Lq(RN)pour q < p ou q > p* (où P* = N P / ( N - m p ) ) . Supposons, en effet, l’existence de C, dans l’un ou l’autre de ces cas, telle que, pour tout u E W 1 > p ( R N ) , 1 1 ~ 1 1 ~ CIIUIIWI ~ p . Appliquons cette inégalité & la famille définie par : UA(.) = .(,/A). On obtient : < En utilisant alors la variable y = x/X et l’inégalité de Minkowski, cela devient : /IUI/,XN/Q 6 C [IIuIJpXN/P+ IIvu/lpX-l+”/P]. ou encore une inégalité de la forme : Cl 6 C2XN(l/P-1/Q) + C3X-1fN(l/P-l/Q)3 où Cl, C,, Cs sont trois nombres fixés positifs. L’hypothèse q < p implique que les exposants du second membre sont strictement négatifs, d’où, une contradiction lorsque X -+ +co. De même, 2.2. INJECTIONS DE SOBOLEV POUR W ’ “ , P ( R N ) 75 on voit que l’hypothèse q > p* implique que ces deux exposants sont strictement positifs, ce qui amène une contradiction lorsque X -t O. Remarque 2.35 (argumentation dans la preuve donnée par Sobolev). L’idée, originellement utilisée par Sobolev pour montrer cette injection, consiste à écrire formellernerit I L sous la fornie u = u * 6 = u * A E , où E , solution élémentaire du laplacien, est définie ( c f . exercice 2.19) de la manière suivante : Si N > 2, c’est la fonction E = A N T â p N , avec k N = I/((z - ~ ) w N - i )où W N - ~désigne l’aire ( N - 1)-dimensionnelle de la sphère-unité de R N . Si N 1 2 , c’est la fonction E = Iczln(r) avec Ica = 1/(27r). Plus précisément, étant une fonction de D ( R N )égale à 1 au voisinage de O, on k r i t I L sous la forme : < (*I u=u*A(<E)- u * V < . V E - u * ( A < ) E . On remarque que les deux derniers termes de (*), à savoir I L * Vc . V E et u * ( A < ) Es’expriment, pour p 3 1, comme le produit de convolution de u E LP par une fonction de D ( R N ) .On en déduit que cette convolution est dans L ~pour , tout k 3 p . On est ainsi ramené à considérer le premier terme de (*) qui s’écrit u * A ( < E )= V I L V ( < E ) . Soit par exemple p = 1. En remarquant que V ( < E )C L4 pour tout q < N / ( N - 1) puis, en utilisant les propriétés de la convolution par une fonction de Li, on obtient alors, grâce à (*), l’appartenance u E Lq, sous la condition q < N / ( N 1). Le même calcul montre que si 1 < p < N , on a encore IL E Lq pour tout 4 < P N / ( N - P). Pour aller ensuite jusqu’à l’exposant critique, on utilise, dans le cas 1 < p < N avec N 3 2, le lemme de Sobolev ( c f , [37]), dans lequel l’uii des termes de la convolution est la fonction radiale a: H r-’. Ce lemme s’applique à la situation présente lorsque p > 1 en choisissant, coriforrnément à la définition de V ( < E )l’exposant s = N 1, indifféremment dans les deux cas N 3 2 et N = 2. Son énoncé est le suivant : ~ ~ Lemme 2.36 (de Sobolev). Soit f un élément de L P ( R N )où p 3 1, 6, support compact. On considère le produit d e convolution g = r-” f . O n a les résultats suivants : (1) Si p > 1, alors la fonction g appartient ù Lq sur tout compact de E t N , pourvu que q vérifie : 1 3sup{Q1,0} 1 - Q où I - 41 l s =-+--I P 76 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION ( 2 ) Si p = 1, alors y appartient ù Lq sur tout compact dès que l / q l/q* = s / N . ( 3 ) Si l/p+s/N pour tout q < CO. = 1, alors la fonction, g appartient Lq > sur tout compact, Dans tous les cas, o n a, sur tout compact, des majorations du type : la constante C dépendant de q , du compact sur lequel o n rna~jor.ey et d u support compact de f . La preuve de ce lemme est difficile pour les cas non couverts par le théorème de convolution de Riesz et ne sera pas dorinée dans ce livre. Remarque 2.37. L’exposant critique N / ( N - 1) pour p = 1 n’est pas couvert par le lernrrie de Sobolev. Notons que, dans ce qui suit, nous n’utiliserons pas la preuve de Sobolev, mais des argunierits phis élémentaires. 2.2.3. Organisation de la preuve du théorème de Sobolev Étape A . On établit, pour les fonctions y de D ( R N ) ,l’inégalité : /IYIILN/(N-’)(RN) 6 CIIYIIW~l(iWN). I1 en résultera, par la remarque 2.32, l’affirmation (1) du théorème dans le casp=m=l. Étape B. On établit, dans le cas p < N , pour les fonctions y de D ( R N ) , l’inégalité : ll(PllLNP/iN-x’>(WN) 6 CII~II,~” ( R N ) . Étape C. On établit, par récurrence, pour les fonctions y de D ( R N ) ,dans les cas 7n 3 2 et m p < N , l’inégalité : IlcpllLNp/<N-..p>(IWN) 6 CIIYIIW.~ P ( R N ) . A l’issue de ces trois étapes, l’affirmation (I), grâce aux remarques 2.32 et 2.33. sera prouvée. Étape D. On établit, pour les fonctions y de D ( R N )l’inégalité : llcpllm 6 ~ I I Y I I Wl ( W~N ) . En utilisant la densité des fonctions régulières, on en déduira l’affirmation ( 2 ) du théorème. Étape E. On prouve l’affirmation ( 3 ) du théorème, en commençant par le cas m = 1, p = N et en poursuivant avec m 3 2 et N p = m. Étape F. On démontre les deux dernières propriétes (4) et (5) du théorème. 2 . 2 . INJECTIONS DE SOBOLEV POUR W ' ' ' . P ( W N ) 77 2.2.4. Démonstration du théorème de Sobolev Preuve concernant l'étape A . I1 faut prouver (2.38) O IC, : vcp E D ( R ~ ) , JIcpJJLN/(N-i)< cIJpIJw1.1. Soit cp E D(JRN).Alors, pour tout indice i E [ l , N ] ,on a : L r, vx E RN, cp(z) = lcp(z)l < &M2 + (s @p(z + (s - z2)ez)dts. On en déduit : (2.39) - z,)ez)lds. On remarque que l'intégrale du membre de droite de (2.39) ne dépend pas de la composante xi de z. Le ( N - 1)-uplet ( 2 1 , . . . , z - I , zi+l,. . . , Z N ) est noté On définit, sur IRNp1, la foriction (pi à support compact, par la formule : Les inégalitiis (2.39) s'écrivent donc : v i E (hN1, v x E RN, Corrime le but est l'étude de "(NI) Jcp(z)l,< Pi(% l \ p l l L N / ~ N - i ~011 , note ici que : On utilise alors le lemme : Lemme 2.40. Soieat N 3 2 et N fonctions F,, clincime appartenant à LN-*(RNP1).Alors, o n a : et o n a l'inégalité : Preuve du lemme 2.40. On fait une démonstration par récurrence sur N . Si N d'autre que la propriété connue : = 2, ce n'est rien Supposons la propriété démontrée à l'ordre N . On se donne alors, pour 1 j N 1, les éléments F3 de L N ( R N )chacun , d'eux étant fonction de la variable ( N + 1 ) , < < + 78 CHAPITRE 2. LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION Considérons, la variable d'intégration étant z = grale, à XN+1 fixée : (z1, 5 2 , . . . ' X N ) , l'inté- Dans cette intégrale, où x N + 1 est fixée, on applique l'inégalité de Holder, pour les exposants N et N / ( N - 1). On obtient l'inégalité suivante : Considérons les N fonctions h, définies pour (2.43) XN+1 fixé et i <N par : h ~ ( 2 ( ~ ) ? z N +=i )IFz(z, " ( N I , X N + l ) l N / ( N - 1) Par l'hypothèse de récurrence à l'ordre N , la fonction ( / L % ) ~ -étant ' sommable sur IWNP1, le produit de ces fonctions est dans L1(IWN).L'inégalité précédente (*) fournit alors I N < +m. Notons : [gz("N+i)IN = lNpl Ipt(z2(N), "N+l)lNdz!N). Par hypothèse de récurrence, les fonctions h, satisfont à (2.41)' à savoir : Le deuxième membre de cette inégalité étant L'intégrale : est l'intégrale sur nl<iGN[gi(~~+l)]. IW de Appliquons à I N l'inégalité de Holder et reniarquoris que 80 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’IN.JECTION Remarque 2.44. En fait, la dernière inégalité, qui traduit la continuité de l’injection, s’écrit, ici plus précisément : Preuve concernant l’étape B. 0 On suppose maintenant m = 1 et p < N . On considère, pour u E D ( R N ) ,la fonction u = I ~ l p ( ~ - ~ ) / ( ~ - p ) - l u , où l’exposant est positif ou nul puisque p > 1. Par la définition 17~1“ = exp(cu ln(lul)), la dérivée partielle &v s’écrit : En outre, la remarque précédente et l’utilisation de Holder fournissent : Le membre de gauche n’est autre que ~~u~“;Iv“p‘;‘-p’.Donc, en divisant par II ull N N(p-l)’(N-p), p / (N - p ) (2.46) on obtient l’inégalité IIuIINp/(N-p) : cIIvullp. On a ainsi démontré l’affirmation (1)du théorème pour m = 1 et 1 < p < N . Preuve concernant 1’étape C. On fait maintenant une preuve par récurrence sur m. Supposons m 2 et m p < N . On a donc : ( m - 1)p < N et p < N . Par l’injection Wrn-lJj ~ - LiN p / ( N - ( m - ’ ) p ) supposée démontrée, on a, D désignant un opérateur différentiel d’ordre 1 : Du E liVm-’,p, donc Du E L N p / ( N - ( m - l ) p ) . Puisque u E WrnJ’, on a u E WmP1,p, donc aussi u E > LNP/(N-(m-l)P). Finalement, en posant q = N p / ( N - ( m - l)p), on a u E Wl,q. D’après le théorème d’injection pour rn = 1 et puisque q < N , on obtient, en remarquant que q / ( N - q ) = p / ( N - m p ) , l’appartenance : E LN4IiN-Q) = LNP/(N-mP), ce qui achève la preuve pour l’étape C. Nous avons donc démontré l’affirmation (1) du théorème. 2.2. INJECTIONS D E SOBOLEV POUR W’n.p(WN) 81 - Preuve concernant 1 ’étape D. 0 On passe ii la preuve de l’affirmation (2) en montrant que : W N > l L”. L’utilisation de la densité des fonctions régulières entraînera ensuite la propriété d’injection : WNilL-) Cb(RN). Ori a déjà montré, dans la preuve de la propriété (1) ( c t (2.39)) que, si E w’>’(R~ alors ), : r u Faisoris d’autre part l’hypothèse de récurence suivante. Si ‘u E WNP1>l (IRN-’), alors ii E Lm(RN-’) et : On applique cette inégalité à la fonction d N u ( d , ~ N )pour , obtient 1cN fixé. On - On a airisi obtenu W N ? l L”. Retournons à l’affirmation (2). Soit u E W N > l ( R N et ){un}une suite de D ( R N )telle que (lu,- U ( ( W N , I ( R N ) + O. D’après ce qui précède, on en déduit /luTL - ullLX(pgN) O, ce qui signifie que { u V L+ } IL uniformément sur R ~ Ainsi u est continue sur RN.Conirne u E L“, il en résulte que u E C b ( R N ) . De plus, l’inégalité l l i ~ / I ~ =C I I u l l W N , 1 fournit : -j < E WN,l(w’ < CIIUlIWN.1. II~IIC*(RN) Cela termine l’étape D et la preuve de l’affirmation (2). . 82 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION Preuve concernant l’étape E. Supposons que m p = N. O On commence par le cas m = 1, p = N > 1. Soit donc u E W 1 , N ( R NOn ) . montre que u appartient à 154 quel que soit q N . On commence par montrer que W 1 , N ( R Ns’injecte ) continûment dans LQ pour tout q E [ N ,N 2 / ( N - l)].Pour cela, on remarque que si u E W 1 , Nalors , uN E Wl,’. Ceci résulte de V ( u N )= N u N P 1 V uet de l’inégalité de Holder : Par l’injection de Sobolev de W1>ldans L N / ( N - l )on , en déduit l’appartenance de u à L N 2 / ( N - 1 ) . On montre maintenant l’appartenance de u à tous les Lq pour q > N 2 / ( N - 1). Pour ce faire, on remarque que q peut alors s’écrire q = q ’ N / ( N I), avec q’ > N . Considérons, p étant une fonction régulière approchant u dans W1>N(RN) : ~ En utilisant V(lpIq”) = q/IpIQ’-2’pVp,la remarque 2.44, c’est-à-dire la majoration (2.45), puis l’inégalité de Holder, on obtient pour A les majorations : On voit que (4’ - 1 ) N / ( N - 1) E [N, q ’ N / ( N - I)[. II existe donc un nornbre 0 E [O, 11, à savoir Q = l / ( q ’ 1 - N ) tel que : + Par suite, en utilisant encore l’inégalité de Holder, on obtient : 2 . 2 . INJECTIONS DE SOBOLEV P O U R W’n,p(RN) En reportant dans l’inégalité précédente (2.47)’ on obtient 83 : On a ainsi établi (cf. remarque 2.32) l’appartenance u E L q ’ N / ( N - l ) . Notons qu’on ne peut pas en déduire que 11 E Lm car la suite de scalaires dq‘-N+l)/q’ n’est pas bornée. I1 existe d’ailleurs des exemples de fonctions 4 de W 1 , Noù , N 3 2, qui ne sont pas bornées. 0 Supposons m 3 2, et m p = N . Alors ( m - l)p < N . De îi E Wm,p,on déduit u E W(“-’),” et, pour tout j , ûju E W(””’)sP. Donc, d’après l’affirmation (1) du théorème, on sait que u et ô,u appartiennent à L” avec ‘r = N p / ( N (rn - 1)p). De m p = N , on déduit r = N ; on a donc ru E W1,T,ce qui implique, d’après ce qui précède, u E Lq pour tout q , et achève la preuve pour l’étape E. ~ Preuve comerrmnt l’étape F. Supposons maintenant que m p > N . 0 On commence par le cas p > N , m = 1. Soit u E W I J ’ ( R Net ) p > N . On donne deux démonstrations du fait qu’alors I L E L “ ( I w ~ ) . Première preuve de l’appartenance u E Lm(RN) dans l’étape F. Cette démonstration repose sur l’intégration de la fonction sur un cône ch,@ de sonirnet 0, d’angle au soriiniet 8, limité par line sphère dc RN de rayon h.Cette preuve convient donc aussi à un ouvert R qui a la propriété de cône unifornie, c’est-à-dire un ouvert pour lequel il existe h, 8 , tels qiie, pour tout :L: E 12, il existe une rotation R de RN tel que z R(C,L.~) c 0. C’est le cas bien sûr pour les ouverts lipschitziens, dont on donnera la définition plus loin ; ce n’est, pas vérifié pour l’ouvert de l’exemple 2.9 du fait dc l’existence d’un point de rebroussemcnt de 362. On montre dans ce qui suit que : + Quitte à faire une translation, on se ramène à la majoration de Ip(0)l. On utilisera les coordonnées polaires ( p , O ) où p E [O. h] et O E A ( p ) , où A(p) est la surface d’intersection de C ~ ,avec Q la sphère de rayon p (cf. figure 2.2 ci-après). Soit <p E D ( R ~et) @(plO) son exprcssion à l’aide des coordonnécs polaires. ô4 C H A P I T R E 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION FIGURE 2.2. Le cône Ch.0 L’élément de volume est défini par dx = pNP1s(a)dadp où s(a)do est l’élénient d’aire ( N 1)-dimerisionnelle sur la sphère-unité S N . Ori utilisera les coordonnées polaires ( p , a ) où p E [O, h] et a E A ( p ) . Le volume du cône étant proportionnel à tiN, l’intégration sur Ch,o de l’inégalité précédente nous donne, par Fubini, c1 > O étant une constante niinorée indépendamment de h : ~ (*I IP(0)lhNCI G Lhs,,,, s(o)IG(P’ a)lpN-ld& + L(p) pN-ls(a)% o)dodp. La première intégrale de (*) n’est autre que A = Sc,,,,Ip(z)/dx. En utilisant l’inégalité de Holder pour les exposants conjugués p et p’: on obtient : 6 c i h N 1 “ ~ ~ ~ l l L p 8( )<’ ~ ~ L On étudie à présent la deuxième intégrale B de (*) et, d’abord l’intégrale I ( p , a ) que l’on écrit sous la forme : I ( p , a) = LPpp@l(A’ ,)X(N-l)/pX(N-l)/’X-(N-l)dX, ce qui donne en lui appliquant l’inégalité dr Holder : 2 2 INJECTIONS DE SOBOLEV POIJR W”’ ” ( I R N ) 85 Ori rcrriarque qu’en raison de p > N, l’exposant de la dernière intégrale vérifie la relation ( N - l ) ( l- p’) > -1, ce qui établit la finitude de cette iritkgralc. La dcuxièrrie intégrale B qui figure daris (*) fournit donc l’inégalité : En majorant l’iritégrale intérieure par l’intégrale sur [O, h ] ,on a encore : En utilisant encore l’inégalité de Holder appliquée cette fois A l’intégrale sur A ( p ) ,on a : La rriesiire de A(p) étant bornée par l’aire de S N ’ donc indépendamment de / I > , le second rrierribre de l’inégalité précéderitc s’iritcrprétant, coinme une intégrale sur Ch,e et Iûp((p(X,~)I ktant rriajoré par lVp(x)l, or1 peut écrire firialeirierit, : B 6 K‘h,ltNl“’ I I VP II L1>(Ch.O). Eii divisant par hN , on obt,ieiit, l’inégalité annoncée (2.48) par utilisatiori de (*). On passe ensuite aux fonctions de W1,P par derisité. Par ailleurs, et ce sera h i t un peu plus loin, on verra qiic’, dans le cas de I R N , puisque I I peut décrire la totalité de R,le second rnernbre de (2.48) est majoré, ce qui O doniic ci1 fait uiie majoration optirriale de la norme Deuzièrne démonstration de l’appartenanm u E L” ( I R N ) dans l’étape F. On considère la solution élémentaire E dii laplacien. On a, ce qui se vérifie facilement (cf.exercice 2.19) E = ~ N T si ~ N - 3 ~ 3 et E = kz I r i r pour N = 2, avec k2 = 1/(27r) et k~ = 1/((2 - N ) W N - ~W) N, - ~ étant l‘aire ( N - 1)-dirrierisioiirielle de la sphère unité dans F i N . Soit 8 une fonction de D ( R N )qui vaut 1 s i x iirie boule de centre O. Soit F = BE, alors : AF où = 860 ~4)E D ( R ~ )Or1 . peut + 2V8. V E + ( A 8 ) E= So + (1/’ écrire PI, = 60 AF *u 4*u - 86 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION puis AF*u= d,F*d,u l<z<N et les dérivées de F sont de la forme r l - N au voisinage de O et à support compact dans R N . Elles sont donc dans tous les Lq pour q < N / ( N - 1). Eri particulier, elles sont dans LP‘ puisque p > N . Le produit de convolution E, d,F*d,u appartient donc à L”. Puisque $ E D ( R N )et que, par exemple, u E L‘, le produit de convolution u 1c, est une fonction C” et bornée. On a ainsi obtenu l’existence d’une constante C telle que : * l l ~ l l wG c(IIVFllP/IIvullP + i l ~ i i P ~ i i ~ i’i P ) ce qui termine la preuve de l’appartenance IL E L”(RN). O Notons qu’on obtient une estimation optimale en utilisant des fonctions de la forme 7 ~ ~ ( 2 - )= 7 ~ ( 5 / X ) où X > O. En effet l’inégalité de continuité ~ ~ 6uC1liullp ~ ~ mC Z ~ ~ V appliquée U ~ ~ à~ U,A fournit : + ~ ~ + G ~C i~X N” / ~ I / U l l p C2X-1+NIqVUlIp. U En particulier, le rriinirnurn de la fonction de X exprimée daris le membre de droite est atteint pour X = n / l l / V ~ l ~ ~ ( 1où 1 uM~ l=~ Cz(p ) ~ ~- N ) / ( N C 1 ) . On obtient donc l’inégalité, où C est une constante qui ne dépend que de N et p et de données universelles : I I 4 w 6 C ( ll~ll:-N~/”lI~~llin’~). On termine enfin la preuve de l’étape F en étudiant le caractère holdéricn de 7 ~ . Soit h E IRN. On a déjà observé dans la proposition 2.23 : O ll%U - < CW~ll,’ ullp et d’autre part : IlV(~1iU - U)llP G 2 1 1 W P ’ de sorte qu’en utilisant l’inégalité précédente, on obtient : I I ‘ T I L U - UI, < Chl-N/P II Vull L P . \ Ceci entraîne que u est holdérienrie d’exposant 1- N / p . La preuve du caractère holdérien est donc faite pour m = 1. 0 On passe au cas où rn 3 2 . Si 7np > N lorsque N / p N et J = [ N / p ] + l , alors : Wrn,P(pV) Soit en effet J tel que ~p - > N > (J u € W’JyRN) Ch-W/P - 1)p. Alors * (u,D u ) E (WJ-’JyRN))2, 2.3. GÉNÉRALISATION À D’AUTRES OUVERTS 87 donc (u, Du) E ( L N p / ( N - ( j - 1 ) p ) ( I W N ) ) 2 (ceci d’après la première injection de Sobolev, puisque ( j - 1)p < N ) , d’où il résulte que Ew (RN1. En utilisant ce qui précède et en remarquant que Np/(N on obtient u E Cb(RN),et plus précisément : W P / ( W - l ) P ) O,l-N(N-(j-l)P)l(NP) - ( j - i)p)> N , - 0,3-N/p PN). u E c, - ‘6 Soit maintenant u E W ” > ~ ( Ret~p)m > N. Soit j tel que ( j - i ) p < N < j p . Avec ce qui précède, D(m-3)u E W j , p ( R N )donc , u E Cbm-’)(IWN), avec j = [ ~ / p$1. ] Puisque ~ “ p j E u C ; ” - ~ ’ ~ ( J R N ) , aiors u E C,m - j , j - N l ~ (RN). Si u E W ~ ? ” ( Ravec ~) j ( ~ / p ) i E N,alors DU E W ~ - ’ > P ( I W et,~ ) puisque ( j - 1)p = N , l’étape E entraine que Du E Lq pour tout q < 00. Ce qui précède montre que u E c ~ J ( R ~ quel ) que soit x < 1 - ~ / c’est-à-dire q u E c,O” ( R ~quel ) que soit x < 1. Si j = ( N / p ) 1 E W ce qui précède montre que Dm-ju E C ~ ~ ’ ( I W Nquel ) ) que soit x < 1. que soit X < 1, d’où u E Cb“-N/P-l’X ( R ~quel Ceci termine l’étape F et la preuve du théorème (2.31). + + 2.3. Généralisation à d’autres ouverts Nous traitons ici le cas de certaines classes d’ouverts pour lesquels les théorèmes d’injection de Sobolev donnés dans la section 1.2 sont encore valables. 2.3.1. Méthodes utilisées, exemples et contre-exemples Urie méthode pour obtenir ces théorèmes est la suivante. On prolonge hors de R, si cela est possible, toute fonction u E W m > p ( C l ) en une fonction U E W m l p ( R N )On . utilise, pour C,les propriétés du théorème 2.31. En revenant à la restriction u à R de G,on obtient la propriété correspondante pour l’espace WmJ’(O). Nous allons voir que les possibilités de tels prolongements sont fortement liées à la structure géométrique de l’ouvert R. Donnoris d’abord un contreexemple. Exemple 2.49. Soit l’ouvert R défini par : R = ((2,y) 1 O < 2 < 1, O < y < x”. Alors, les injections de Sobolev rie sont pas toutes vraies pour cet ouvert ( c f . [411) : La fonction (z,y) H x“ appartient à H1(R) dès que Q > -1/2. D’autre part, elle appartient à LP si et seulement si crp 2 > -1. Ceci entraîne que + 88 CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION u E L P pour p < 6 mais non pour p = 6, alors que l’injection de Sobolev classique donnerait cette appartenance pour p quelconque. Nous proposons ici une classe relativement large d’ouverts pour lesquels les théorèmes d’injection sont vrais. Pour des contre-exemples et d’autres ouverts plus généraux, le lecteur peut consulter [il. 2.3.2. O p é r a t e u r d e (m,p ) - p r o l o n g e m e n t Définition 2.50. On dit que R, ouvert de IRN, possède un (m,p)-prolongenient s’il existe un opérateur linéaire et continu E de WmJ‘(C1)dans I V ~ > P ( I Rtel ~ ) que , pour tout x E R,l’opérateur satisfait à Eu(%)= u(x). On a alors le théorème suivant : Théorème 2.51. Supposons que R soit un ouvert de RN qui possède un (m,p)-prolongement. Alors les théorèmes d’injection concernant WmJ’dans le théorème 2.31 s’étendent a u cas de R. Preuve du théorème 2.51. 0 Supposons m p < N . Soit E un opérateur de prolongement continu de Wm>P(R)dans WmJ’(RN). Soit q 6 N p / ( N - m p ) . Puisque E u ( x ) = u(x) pour z dans 0, on a : IlullLqn) 6 IIE(U)IIL4(R”) 6 CllE(.)ilW..~ P(RN) 6 CllEll Ilullw7rqn). On utilise un procédé identique pour l’un des autres cas (2) ou (3) dans le théorème d’injection de Sobolev. O On donne daris ce qui suit des conditions géométriques sur l’ouvert s1 qui sont suffisantes pour obtenir la propriété de (m,p)-prolongement. 2.3.3. Cas d u demi-espace ( E t N ) + On définit (EtN)+ = IRN-’ x ]O, +CO[.On montre dans ce qui suit l’existence d’un (m,p)-prolongement dans l’espace IVrn>.( (IRN)+).On commence par un lemme d’existence d’une (( trace >> sur la frontière. Ce résultat est une première approche du théorème de trace que l’on verra au chapitre suivant. Proposition 2.52. Il existe u n e application linéaire continue, notée yo de WIJ’((RN)+) dans LP(RN-’) telle que, si u E C((RN-’) x [O,+CO[) n W’J’((RN)+), alors you(x’) = u(x’,O). En outre, si u est à support compact daris RNP1x [O,CO[, you est à support compact dans RN-’ et o n a la formule : (2.53) 8NU(X)dS = XIO,rn[ - yo u(x’)dx’. 2 . 3 . GÉNÉRALISATION À D’AUTRES OUVERTS 89 Preuve de la proposition 2.52. 0 On montre que la suite des fonctions x’ H u(d, l / n ) est de Cauchy dans LP(RN-l). En utilisant le corollaire 2.19 de la proposition 2.12. on a en effet, pour presque tout x’ E R ~ : - ~ En utilisant Holder à x’ fixé, en élevant à la puissance p et en intégrant, on obtient : Ceci fournit la condition de Cauchy en utilisant le fait que la dernière intégrale est b0rni.e par Ila~ull;.Soit yo u la fonction définie par yo ~ ( 5 ’=) linin++m u(.r’,l/n). Ce qui précède montre que you E L p ( R N - I ) . Par ailleurs, la linéarité de yo est évidente et, lorsque 7 1 E C1((RN)+),cette limite n’est autre que u(d, O), d’où, alors, yo(u)(d. O) = u(~’, O). 0 Montrons la continuité de yo sur Wl1p(RN-’ x ]O, m[). En utilisant le corollaire 2.19 de la proposition 2.12 avec l / m et y et en passant à la limite dans (*) quand m tend vers $00 on obtient : (**I p.p. y € R+, you(z’) = u ( x ’ , y ) - LY &ru(x’,t)dt. En intégrant (**) élevée à la puissance p , par rapport à y E [O, 11 et x’ E RN-l, on obtient par l’inégalité de Minkowski : On en déduit la continuité de l’application yo. 0 Soit 71 à support compact qui appartient à W ’ > P ( R ~ x - ~[ o , ~ o [ )La . formule (**) nous donne : YX’ RNP1, yOu(x’) = - Lm dNu(X’, t)dt. O On obtient alors (2.53) en intégrant par rapport à IC’. Cette proposition est utilisée au cours de la preuve du : Théorème 2.54. Quels que soient m E N* et 1 < p < 00, le dema-espace RN-l x R+ possède un opérateur de (m,p)-prolongement. Preuve du théorème 2.54. 0 On définit, pour u E WmJ’(RN+), la prolongée Eu de u pour (2.55) E u ( x )= XN <O : C H A P I T R E 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION 90 où le m-uplet (A,) constitue la solution unique du système : Q k E { O , 1,.. . ,rn - 1}, (2.56) (-j)'A, = 1. 163<m On peut remarquer d'abord qu'avec ces conditions, si u E C"((RN)+),alors, pour tout k m - 1, la fonction u et les dérivées partielles d ' E u / d & sont continues à la traversée de {ZN = O} et on en déduit Eu E C7"-'(RN).I1 suffit pour cela d'utiliser la définition des dérivées 8; le long de {ZN = O}. En fait, dans le théorème 2.54, on peut prendre pour EU la même formule avec des A, en nombre m' > m, pourvu que les m conditions (2.56) où 1 j 6 m' restent vérifiées. C'est cette remarque qui est utilisée, pour le cas m = 1, dans la proposition 2.57 qui suit, laquelle a l'avantage d'amorcer sans difficulté la preuve du théorème 2.54 : < < Proposition 2.57. Soit v dans W11P(RN+) et soient pj des réels en nombre k 3 1 tels que Soit 5 défini sur RN par : Alors, 5 E W1,p(RN). On admet cette proposition 2.57 pour continuer la preuve du théorème 2.54, sa démonstration étant reportée plus loin. 0 D'abord, il faut montrer que u E WmJ'((RN)+) implique Eu E W m J ' ( R N )Soient . u E Wm,P((RN)+)et Eu définie par (2.55) et (2.56). Supposons montré que Eu E Wmp',p((RN)+). En utilisant la proposition 2.57, il suffit de vérifier que pour tout a avec = m - 1, la dérivée D a ( E ( u ) )répond aux exigences de cette proposition : pour ce faire, soit Da = Da'dN, avec a = (a',k ) et k 6 m - 1. Alors : m D"(Eu)(z',Z N ) = A,(-j)'Da'd;u(d, -jzN). 1 Puisque les nombres p, = A,(-j)k en nonibre m 3 1 sont tels que z y p , = 1, les hypothèses de la proposition 2.57 sont satisfaites. Par conséquent, on conclut à D a ( E u )E W',p(RN). 0 Reste la continuité de E . Sa preuve est reportée à la fin de la preuve de la proposition 2.57. 2 . 3 . GÉNÉRALISATION À D'AUTRES OUVERTS 91 Preuve d e la proposition 2.57. Montrons que 6 appartient bien à W1ip(RN).Pour cela on a besoin du : Lemme 2.58. Soit w E W ' , p ( ( R N ) +et) [1,N - 11 : Sa 'p est t e l l e que 'p(x',O ) = O, 'p D ( R N ) .Alors pour tout i E alors : iRN)+ (2.60) E aW(z)'p(z)dz+ l R N ) + u ( z ) d N p ( z ) d z = O. Preuve d u lemme 2.58. 0 Établissons l'égalité (2.59). Soit 'p E D ( R N ) . Soit { u n } une suite de C"((RN)+) n W1ip((RN)+) qui converge vers v daris W ' i p ( ( R N ) + )On . a, pour presque tout X N , par définition de la dérivée dzv, au sens des distributions sur RN-l : LI a2un(X)(z', XN)'p(Z', ZN)dX' + ûZ'p(z', ZN)V,(X', ZN)dZ' y O. L N - 1 En intégrant cette égalité par rapport à Z N , on obtient le résultat souhaité en passant à la limite. 0 Établissons l'égalité (2.60). Si p est telle que 'p(z.',O)= O, la fonction u p est dans W',p((RN)+) et vaut O sur le bord {XN = O}. En utilisant la proposition 2.52 on obtient : P soit encore : dwu(X)p(X)dz= - O On termine la preuve de la proposition 2.57 en utilisant la dérivation au sens des distributions et le lemme 2.58. Soit 'p E D(R). ~a fonction w ( ~ ' , j z N ) est encore daris ~ l > p ( ( R ~ ) + ) et ~ ( z '-XN) , encore dans D ( R N ) ,donc, par le changenierit X N H - X N (à deux reprises) et par la première égalité du lemme 2.58, 011 a, pour i < N-1 : 0 92 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION Alors, toujours par la première partie du lemme : (&G,P)= -@, 4P) le deuxième rrierribre pouvant s’écrire encore On a ainsi obtenu le résultat : Pour la dérivation en x N , on utilise la variable -jzN à la place de ZN : (dNZ,P)= -@, a N P ) La dernière égalité résulte de la deuxième partie du lemme 2.58 appliquée k à la fonction p(z’,ZN) - E, p3’p(z’,- z N / j ) qui est nulle sur X N = O en raison de l’hypothèse pL3= 1. En utilisant encore un changement de variable, on en déduit : 2 . 3 . GÉNÉRALISATIONÀ D’AUTRES OUVERTS 93 Ces deux relations (2.61) et(2.62) montrent que &6 pour i < N - 1 et d ~ i T appartieririeiit à L p ( R N ) .On a ainsi terminé la preuve de la proposition 2.57. O Achevons la preuve du théorème 2.54, à savoir la continuité de E . Les égalités précédentes montrent en outre que, pour tout i N : 0 < I a,61LI’ (RN ) < 2 I I 3,11 I I LP ( (RN ) + ) . On en déduit qu’il existe une constante C telle que l’on a : I I Eu I I r n , p < c 1 luI I w fr) . P ((RN) + ) . Ceci exprime la continuité de l’opérateur E . O Corollaire 2.63. L’espace W,’”((RN)+) est le sous-espace de W1,p((RN)+) des fonctions u de ce dernier espace telles que you = O, ou encore des foactaons u dont le prolongement par O hors de (RN)+appartient à W1,p(RN). Preuue du corollaire 2.63. 0 I1 est clair, cn utilisant la continuité de l’application trace yo,que pour toute suite de fonctions à support compact qui converge daris WIJ’(( I R N ) + ) , la limite a une trace nulle. On en déduit que, si u E Wi’”((RN)+),alors Y()?L= O. Inversernerit, soit u tel qiie you = O. Désignons par ii la prolongée par O pour I C N < O. Alors, pour i < N - 1, le calcul de la dérivée d’indice i de cette prolongée nolis donrie, en utilisant la première égalité (2.59) du lernrrie 2.58 : v p E D ( R N ) , (&C,p) = -(G,sip) = .a,p - L > O = J’ ZN i3,’UCp. >O Pour i = N , d’après la deiixiènie égalité (2.60) dii lemme 2.58: car PLYest à trace nulle, on a : (a,ii,p) = -(“,&rp) =- J’ UaNp = .I,,, DNup. XN>O Soit ii,(x’) = G(d,ZN - l / n ) . Alors la suite { u ~qui ~ }est à support compact daris (RN)+ converge vers ?L dans W’J’(RN). Pour le voir, on reniarque que : (2.64) - IIT~~W ‘dwE L p ( R N ) , lim Is O - w / I p = O. En effet, soit E > O et $ daris C,(RN)telle que I U I de l’uniforme continuité de $, il existe ho tel que : Ainsi, pour Ih/ 6 ho, on a : - li,llp < ~ / 3En . raison 94 C H A P I T R E 2 . LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORËMES D’INJECTION On en déduit lim Ijv, - n++cc Gllp = O et V j E (1,NI, lim lldjvn - n-+cc E)jGllp = O. Soit ensuite p une fonction de D(R”). On définit ~2~ = ( 2 ~ ~ ) ~ p ( 2etn z ) un = pzn * u n . Alors { u n }est une suite de fonctions régulières à support compact dans (IRN)+ qui converge vers u dans W1>p(IRN), ce qui termine la preuve. O 2.3.4. Les ouverts lipschitziens, les ouverts de classe C” On commence par la définition d’un ouvert lipschitzien uniforme, puis d’un ouvert de classe C’-uniforme. Définition 2.65. On dit que R est un ouvert lipschitzien uniforme si : (1) I1 existe un recouvrement ouvert (Ri)i>o de R tel que d(R0, d a ) > O et, pour tout i 3 1, Ri est borné avec Ri n dR # 0 et, ou bien la famille {Ri} a un cardinal fini, ou bien : 3k32, Ii-jl>Ic ===+ R i n R , = O . (2) I1 existe un ouvert borné 0: de I R N - l , une fonction ai lipschitzierine sur 0; et un système de coordonnées tel que, quitte à renurnéroter ces coordonnées : c {(z’,zN) 1 z’ E U : , Z N > Q(Z’)}, Ri n dR = {(d, ai(^')) 1 Z’ E O:}. R, n R (3) I1 existe une partition de l’unité (cf. définition 2.11) (cpi)i, subordonnee au recouvrement de R par les Ri et des constantes Cl et C2 tels que : Vi, l l c p i l l ~ ~ ~< ( wClv ~ et ll4~-(0) < C2. Définition 2.66. On dit qu’un ouvert est de classe C1-uniforme s’il est lipschitzien uniforme avec des fonctions ai de classe C1. Remarque 2.67. On utilisera souvent dans la suite, pour alléger la lecture, le terme CI ou C k ou lipschitzien, en omettant le qualificatif régulier ou uniforme. Les ouverts lipschitziens possèdent la propriété de (1,p)-prolongement. Ceci fait l’objet de la proposition 2.70 qui suit. On va définir, plus loin, une classe d’ouverts qui possèdent la propriété de (m,p)-prolongement . Notons que cette dernière n’est pas nécessaire pour avoir les théorèmes d’injection, puisqu’ori verra qu’être (( lipschitzien )) suffit. Cependant la propriété pour un ouvert d’être de classe C”, avec m > 1, permet de définir des traces d’ordre supérieur (cf. chapitre suivant) et, en conséquence, d’obtenir des 2.3. GÉNÉRALISATION À D’AUTRES OUVERTS 95 résultats de régularité jusqu’au bord, qui interviennent dans l’étude des solutions d’équations elliptiques (cf. chapitre 5). I1 est utile, dans les questions qui utilisent la définition précédente, de connaître les relations existant entre les appartenances des restrictions de u E WIJ’(0) chacun des espaces W l > p ( R n O , ) ,ainsi que les relations entre les riorInes correspondantes. Cela est donné par la : Proposition 2.68. Soit (1 u n ouvert lipschitzien. Si u E Lp(R) est telle que, pour tout i , u E W 1 l p ( n n f l i ) , alors u E W’>p(O). Par a.illeurs, il existe des constantes C et Cl indépendantes de u telles que : (2.69) P r w v e de la proposataon 2.68. Seules, les inégalités sur les normes ne sont pas évidentes. 0 Soit u E LP(R). En utilisant la propriété (1) de la définition 2.65, on telles peut répartir la suite {O,} en la réunion de IC suites d’ouverts que les intersections R n [IxTL sont deux à deux disjointes. Pour une telle suite, la sonime E, ~ ~ u ~ ~ ~ est p ( majorée n t ~ L )par I I u ( / ~ ~ ( ~ ) . On en déduit l’inégalité E, J I u J J ~ ~ ( ~ ~ ~ k, J) / u J J t p ( , )Soit . alors u E W’>P(O).En utilisant la formule de dérivation de p,u et les majorations uniformes, dans la condition ( 3 ) de la définition 2.65, la norme II(P,uIIWI 13(nnn,) est majorée uniforménielit par Kllu((Wi.(nnn,) et la majoration précédente nous fournit donc : < i D’autre part, u = C ipiu. On en déduit la deuxième inégalité. o Nous donnons maintenant un premier résultat important de prolongement qui concerne les ouverts lipschitzieris. Proposition 2.70. Sa R est lipschitzien, alors, pour tout p 3 1, il existe suri opérateur de (l,p)-prolongemen,t d e O dans IRN. Preuve de la proposition 2.70. e Soit u E W1,p(fl) et i E N. Alors, par la définition de la partition de l’unité {cpz}, la fonction piu est à support compact inclus dans Ri na et, en outre, p i u E WIJ’(Q n fl). On utilise la composée par piu d’une sgrnétrie dans 0: x R par rapport à l’hypersurface d’équation X N = a , ( d ) (voir la figure 2.3 ci-après). 96 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION FIGURE 2 . 3 . Construction du (1,p)-prolongement Cette symétrze S est définie sur 0: xIR par S ( d ,X N ) = ( d ,2 a , ( d ) - z N ) . L’image de l’ouvert borné 0, n 62 par S est un ouvert borné 0:. On note = (O, n n)u (i3R n O,) u Cl;. Corriinençons par prolonger (p,u. À cet effet, à l’aide des coordonnées locales, on définit ce prolongenient noté P,(cp,u) de R, n R vers U, privé du morceau de frontière df2 n 0,. Précisément, pour tout (d, Z N ) E U,, on pose : u, On pose ensuite P,(p,u) = 0 pour (d, ZN) $ U,. On se propose de vérifier que la fonction ainsi prolongée appartient à l’espace WIJ’(RN) avec une norme dans WIJ’(RN)majorée à une constante près par la norme ~ ~ u / )”(Q), w I la constante ne dépendant que des constantes Cl et C2 de la définition 2.65. On remarque que S , qui est sa propre inverse est continue, puisque a, l’est, satisfait également à IS(X1) - S(z2)I < (1+ 4 1 1 ~ ~ ~ l l m ) 1 ’ 2 1 221. ~l - 11 en résulte qu’on peut appliquer le lemme 2.22 à la fonction P , ( ~ , usur ) l’ouvert R,n R et son image par S . Soit, alors, v définie sur RN-l x ]O, +a[ Par u(d,t ) = ( p , U ( d , U,(d) + t). Le prolongernent par réflexion de î ~à, savoir E(d,t ) = (pzu(z’,a,(z’)-t) pour t < O, n’est autre, par le changement de variable t = X N - a,(d),qu’une traduction de la réflexion précédemment définie. Le lemme 2.22, assure que v E W1>p(RN-lx]O, +CO[). Comme G est obtenu par un (1,p)-prolongement sur IRN, on obtient V E W 1 i P ( I R N ) . On en déduit que E W’,p(RN). En outre, la constante e, qui figure dans le lemme 2.22, ne dépend que 2 . 3 . GÉNÉRALISATION À D'AUTRES OUVERTS des constantes de Lipschitz de S et de S-' majoration précédente, rie dépend que de llvllwl I > ( I w N ) 97 donc, comme il résulte d'une Ainsi, on obtient : < C(l + IlV4lm)II~~uIIw1 P(nnn2,). De plus, en rappelant que les normes sont majorées (cf. définition 2.65) par C2, ce qui implique que C(1 IVn,/,) C, et en utilisant la continuité du (1,p)-prolongement précédent, on peut écrire : + II(p;ullw1 ?'(IWN) < (1 + C 2 ) l l v l l W l < P(RN) 6 C(1 + C L ) I I 4 W 1 P ( I W N - ' x ] O , + m [ ) 6 C(1 + C 2 ) C S / I P Z ~ 4 W ' P ( Z 2 ) . Revenons à l'ouvert 0. On pose : + et on note Ca la constante précédente C(1 C2)CS qui dépend des cartes locales intervenant dans la définition de la régularité de R. D'après la proposition 2.68, on a : E ( u ) E W1ip(RN).D'autre part, cette proposition nous donne : < Ca E I/E(~)IIW~,P(RN) 6 I I P ~ ( ( P ~ ~ ) I I ~ ~ , P ( RCaIIuIIwl%P(n). N) a Cette inégalité prouve la continuité de l'opérateur de prolongerrierit E . La proposition 2.70 est donc prouvée. O Corollaire 2.7Z. Si R est lipschitz.ien, C"(2) est dense d a n s W7n3P(R). Preuve du corollaire. O Soit u E w ~ ~ , ~ et (soit R )O, E D ( I R ~qui ) converge vers E ( U )dans Wm>.(RN); Alors les restrictions à R de un convergent vers la restriction de u & R qui n'est autre que u. o La proposition 2.70 nous permet, conformément aux principes énoncés ci-dessus, de prouver le théorème d'injection de Sobolev : Théorème 2.72. O n suppose que l'ouvert R est lipschitzien, alors : (1) Si N (2) Si N > m p , WnLJ'(0) Lq(R) pour tout q < N p / ( N - mp). w ~ ~ ~ -+J ~L (~ R ( R)pour ) tout q < 03. Si p = 1, w ~f = rrp, ~ , ~ -+ c6(0). (3) Si m p > N lorsque N / p on u : w-4)(0) - Si N / p E N et rri 3 j = N / p tout x < 1. N et si j est tel que ( j - i ) p < N < j p , c,"-jqR), +I VA <j alors Wmi.(R) - N/p. c,rn- ( N I P ) l , X (0) Pour - ~f 98 CHAPITRE 2. LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION Pour la preuve, qui est laissée au lecteur, il sufit d’abord de voir qu’on peut se ramener par les techniques de la preuve du théorème 2.31 au cas où m = 1. Ensuite, on pourra utiliser l’opérateur de prolongement donné dans la proposition 2.70. On continue avec les opérateurs de (rn,p)-prolongenient où m > 1. Définition 2.73. Un ouvert est dit C”-unifornie s’il est lipschitzieri avec des fonctions ai de classe C“ et les nouvelles majorations uniformes dans la condition 3 de la définition 2.65 : (2.74) /la,Ilc.-(C?,) + IlPiIlC... 6 c3. Théorème 2.75. Un ouvert de classe C”l possède la propriété de (m,p)prolongement pour tout p E [i,CO[. Preuve du théorème 2.75. On se ramène par cartes locales à prolonger une fonction du type cpiu. On laisse tomber les indices i pour la fonction at et les coordonnées locales et on définit alors ?J(,.’ t) = u(z’, a(.’) t), + qui est dans WmJ’((JRN)+) compte tenu des propriétés de a. On utilise alors le prolongement donné dans le théorème 2.54. La continuité du prolongement est une conséquence immédiate des propriétés de Cm-régularité, et de celle du prolongernent sur IRN. O Notons qu’on peut aussi définir directement G par la forniule m G(x’,)z, = Xj’U(.’, -jx, + (1 + j ) a ( z ’ ) ) , j=l où les X j vérifient ; Y k E [O,m- 11, c(-j)’”Xj = 1. j Mais les calculs sont alors plus longs, puisqu’ils demandent d’utiliser la conservation des dérivées tangentielles le long de dR à savoir, pour l’ordre 1, les aiu ai(a)dNu, ceci pour tout i E [i,N - 11. + 2.4. Injections compactes lorsque l’ouvert est borné On donne maintenant des résultats de compacité pour les injections de Sobolev dans les ouverts bornés lipschitziens, en commençant par des contreexemples dans le cas de l’exposant critique pour un ouvert borné, et pour toutes les injections dans le cas non borné : 2 . 4 . INJECTIONS COMPACTES LORSQUE L’OUVERT EST BORNE 99 2.4.1. Deux contre-exemples préalables - Exemple 2.76. Montrons que si R = B(O,l), N > p , rn = 1, l’injection continue WmJ)(CL) L‘J(s1), où q est l’exposant critique N p / ( N - p ) , n’est pas compacte. Soit F une fonction de classe C’ sur IRN, à support compact dans B(O,1) et non ideritiquenient nulle. Soit {F,} la suite de fonctions définies sur B(O.1) par F,(r) = n ( N / ” ) - l F ( n x ) I1 . est facile de voir que (F,) terid vers O presque partout et dans Lr’(B(0,l)).D’autre part sori gradient est borné daris P(B(O,l)).En effet : ( N / P - 1+1)P IVFIP(nz)dz = (2.77) //VF(I;p. S,,O,l) En particulier (F,) est bornée dans W’J’(Cl2). D’autre part (2.78) I I Fn I I v p / N -p) Il F I I L N ~ /- (62) (N JJ) 011 a: (n). On eri déduit aisément (cf. section 6.1) que lF,,INp/(Npp) converge vaguement vers I F ( ~ ~ ~ $ ~où~&~désigne ~ ( n la~ niesure & , , de Dirac en zéro. En tout cas, {F,} ne terid pas vers O daris LN”/(Npp). Donnons aussi un contre-exemple lorsque (1 est non borné. Exemple 2.79. Montrons que l’injection de W’>’(RN) dans L1(RN) n’est pas compacte. Soit F E D ( R N ) ,non identiqiierrient nulle, et soit { r T Lune } suite qui terid vers l’infini. Alors {F7,} telle que F T L ( z= ) F ( z - z T Lest ) bornée dans WIJ’(RN) et elle converge presque partout vers O. Doric, si elle convergeait forterrierit daris L’, on aurait : ~ ~ F=7 IIFl/1 ~ ~ =\ O,~ ce qui apporte ime contradict ion. 2.4.2. Résultats de compacité Théorème 2.80. Soit R u n ouvert borné et lipschitzien d e RN, oil, N > 1. Si N > rnp, 1 ’injection W”L’P(f2) L“R) - est compacte pour q < Np/(N - m p ) . Pyeuve du théorème 2.80. Démontrons d’abord deux lernrnes : Lemme 2.81. Si R est un ouvert borné lipschitzien d e RN, alors : wyn) L’(a). LJc 100 CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION Preuue du lemme 2.81. Soit B un ensemble borné de W’>‘(R). On utilise le critère de compacité des bornés de P(R) donné dans le théorème 1.94 du chapitre 1. Ainsi, il faut vérifier les deux hypothèses de ce théorème : O Soit E > O donné. 011prouve qu’il existe un compact K de R tel que : E B. LK /u(z)ldza E. En effet, en utilisant l’inégalité de Holder avec les exposants N et N / ( N - 1), on obtient : L’ouvert (2 étant borné, on peut choisir mes K assez grande pour que la mesure de (0 \ K ) soit arbitrairement petite, le résultat s’ensuit. O En deuxième licu, on prouve qu’il existe 6 tel que, 6 désignant la prolongée de u E B par O hors de R,on a : Soit 110 > O donné. On désigne par Bo la fermeture de la réunion de la famille B,lclde toutes lcs boiilcs oiivertes rentrées sur dR et de rayon h o . On pose w = R \ Bo. C’est un ouvert inclus dans bZ et on voit aisément que, si (hl < ho, alors E w =+ z h E 62. En coriséqucrice. pour tout z E w , Z(z + h ) = u(.r h ) . En utilisant la fonction composée t ++ U ( J . t h ) , 011 obtient lorsque u E B : + + + Par dérivation de la fonction absolument continue t (cf. exercice 2.3), on a : Donc : J1 llL(2 + h ) I).(. - ./1 R; < Ih p u ( x H u(z + th) + th)Iclz. Par conséquent, puisque .7: +th E cette dcrriièrc intégrale est majorée par 1/11 IIVujlLil(n)(w(’/P? donc par C ( h (puisque , u E B.Ainsi, il existe hl < ho tel que : lu(. + h ) -I).(. < Cl/,/< -.E2 2.4. INJECTIONS COMPACTES LORSQUE L’OUVERT EST BORNE I1 reste à majorer l’intégrale sur R w.Pour lu(. + h ) - $4.11 < 101 cela, on on utilise l’inégalité 12\w + ( M X + ib(.>i). fL)l L’argument de la première partie de la démonstration entraîne alors l’existerice de 6 < hl tel que (hl S + 2 Jd(z,a62)626 lu(z)ldz< E . Finalenierit : < V U E B, Ihl < S ==+ IC(. + h,) - u(z)ldz < E . Le théorème 1.94 assure alors que B est relativement compact dans L1(O). O Lemme 2.82. Soit R un ouvert d e RN.Soit { u r Lune } suite convergente dans Lk((R) et bornée dans Lq(R) pour un certain q > k . Alors, elle conuerge d a n s tous les Lr)(R) tels que k < p < y . Preuve du lem,me 2.82. On utilise l’inégalité de Holder en écrivant : p = O k + ( l - Q ) q où B E 10, i[. Alors : Le trierribre de droite tend vers zéro pour 71 et m tendant vers l’infini, car c’est le produit d’une suite bornée par une suite teridant vers zéro. On en déduit que { u r Lest, } de Caiidiy daris Lr)(R), elle converge donc dans L’(R). O Revenons à la preuve di1 théorème 2.80. Soit {‘un} une suite de W T r L , P ( Rbornée ), dans cet espace. Alors, puisque R est borné, L”(iZ) ~f L1(R) et donc { u n }est bornée dans Wi>’((R).D’après le lerrirne précédent 2.81: elle est relativement conipacte dans L 1(O). Par ailleurs! par le théorènie 2.72, la suite { u T Lest } bornée dans Ly(R) avec q N p / ( N - m p ) . En utilisant alors le lenirne 2.82, { u r Lest } relativenierit O conipacte daris tous les Lq(iZ), pour p < q < N p / ( N r n p ) . 0 < ~ On s’intéresse maintenant, dans le cas où m p > N , aux injections conipactes daris des espaces de foiictions holdériennes. Théorème 2.84. Soit R u n ou,ver.t borné et lipschitzien. Soit rrrp j = [ N / p ]+ 1. Alors, pour tout X < j - N / p , les %njection,s: - W7*I,P(fl) > N et c”-j.yq sont compactes. Preuiie du théorème 2.84. 0 On coinnience par le cas m, = 1 et p > N en utilisant, dans la preiivc, le résultat, suivarit dont la justification est reportée plus loin : 102 C H A P I T R E 2. LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉOHÈMES D'INJECTION Lemme 2.85. Soit un ouvert borné R d e RN et { u n } une suite de Co,'(R) relativement compacte dans C(2). Alors, pour tout p tel que O < 1-1 < X, la suite { u T L }est relativement compacte dans tous les c~+(o). Montrons, alors, que l'injection de W',p(R) dans C(2) est compacte. Pour ce faire, on utilise le théorème d'Ascoli. Soit K un ensemble borné dans W l q0) Alors, pour tout z E R,l'ensemble { u ( x ) 1 u E K } est borné uniforrnénient. Er1 effet, l'injection étant déjà continue (cf. théoreme 2.72), on a pour tout u E K : 1 6 ll~(~)llcc IIu/Iw'~P(n) 6 c. Montrons que K est équicoritinu. En effet, par la continuité de l'injection de W',P(R) dans C o . l - N / P (R)(encore par le théorème 2.72), on a : Ceci entraîne que K est uniforniément holdérien, donc en particulier équicontinu. L'utilisation du lemme 2.85 permet de coriclure dans le cas m = 1 et p > N. 0 Soit maintenant K un borné de WJ,P((n) avec ( j - 1)p 6 N < j p . I1 est facile de voir coniine précédemment que K est relativement compact dans C ( 2 ) . On utilise encore le lcrnrrie 2.85 pour conclure que K est compact dans C0>^(R)pour tout, X < j - ( N / p ) . 0 Dans IC cas général, soit I ( un sous-ensemble borné de WTn3P(R)et soit j = [ N / p ] 1. Soit { u n }u ~ i csuite de points de K . Puisque {,un} est bornée dans W T 1 ' , P ( ( n ) ,cette suite, ainsi que les suites des dérivées {D"-jun} sont bornées dans W.f..(R). Par ce qui précède, on peut extraire de ces suites des sous-suites, notées de la même façon pour simplifier, qui convergent respectivement vers u et vers Y,,,~ dans Cb'"(R), à savoir : + lluTL- u1lW - O et IIDni-3u, - urn,Jm + O. La convergence dans L"" entraînant la convergence au sens des distributions, on a = Drn-Ju. Er1 outre, d'aprés ce qui précède, {D"pju,n} converge vers Dm-3u dans CO,'(0) pour tout X < j N / p . Ori en déduit que, pour tout X < j N / p , {uTL}tend vers u dans CT-'"(R). Par conséquent, il en résulte la compacité de l'injection de W"J'( O) dans Cb"" (O). et ceci pour tout 1-1 < j - N/p. O - - Preuve du lemme 2.85. Soit Q E ]O, l [ tel que p = QX. Soit { u ~ ( une ~ ) }sous-suite de { u n } qui converge dans C(2). Pour tout couple ( n ,m ) d'indices, posons : 4L," = I('Ua(n) - % ( m ) ) ( x+ h ) - ba(7) -%<,>)(.I 2.5. TRACE SUR LA FRONTIÈRE D’UN OUVERT C’ 103 On a : d,,,, = d:,mdA;A. Grâce à la convergence de { u ~ ( dans ~ ) }C(a)), on peut choisir no assez grand et ho > O assez petit pour que, si n, m 3 n o et si z et 5 h sont dans R avec Ihl < ho, on ait l’inégalité suivante : + 1-8 d,,,,n = + h) ~ ( u o ( n) ?Ao(Tï,))(x - (uo(n)- uo(rn))(x)~(’~’) G Alors, sous ces conditions : d,,,,, < 2hex,. Par conséquent : Il,% - U,IICw’(n) < 2E. 2.5. Trace sur la frontière d’un ouvert C’ On rappelle qu’on a défini un ouvert C’-uniforme comme un ouvert de I R N , lipschitzien avec des fonctions a , de classe C1.Daris cette situation, on peut donner un sens à l’intégration sur chacune des portions de frontière U, = 812 n R,lesquelles constituent des sous-variétés de dimension N - 1 et de classe C1 dans l’espace EtN.Une telle sous-variété étant définie par une équation cartészenne z’ H x~ = a , ( ~ ’ ) où , a, est de classe C1 sur l’ouvert 0; de IRNp1, l’élément d’aire ( N - 1)-dimensionnelle sur Ut est donné par d a ( m ) = , / m ( m )drn. On rappelle qu’alors l’intégrale de f , fonction sornrnable dans U,, est définie par : Daris cette section, on définit coninie dans le cas de ( I R N ) + , ou plus généralement d’un bord droit, la trace d’une fonction u dc W’,p(R) sur le bord de R. Plus précisément : Théorème 2.86. Soit R un ouvert C1-uniforme dans I R N . Alors, il existe une application linéaire et continue yo, dite application trace, de W’J’(R) dans LP(dR)telle que si u E C(2) n W’J’(R), l’image yo(7~)est la fonction x tf ~ ( xbien ) définie sur X I . Pour voir que l’hypothèse d e classe C1 sur 12 est importante, nous donnons un exemple d’ouvert non de classe C’ pour lequel les fonctions de W’,P(Q) n’ont pas une restriction à 80 dans LP. Exemple 2.87. Reprenons l’exemple 2.9. Soit la fonction u(x, y) = l / y 2 qui appartient à H 1 ( R ) , cet ouvert étant défini par IC = 1/6. Cette fonction est la restriction d’une fonction 71 définie, sauf au point n: = O, sur 2.Examinons l’appartenance de vlan à L2(dR). 104 CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION L’appartenance indiqu6e a été prouvée dans l’exemple 2.9. Raisonnons sur la partie de dR qui s’identifie à l’arc r défini par : {x E [O, 11 I y = z1/6} ou encore à l’arc : {x = y6 1 y E [O,i]}. L’abscisse curviligne est &(y) = Ji+36t2“dt, donc J, ~ ( y Y ) ~ d s (diverge y) en O. I1 en résulte que cette restriction, ou trace, n’appartient pas à L2(dR). Preuve du théorème 2.86. Bien que l’existence de la trace dans le cas d’un ouvert lipschitzien puisse se montrer de manière analogue au cas de WIJ’((RN)+), on propose de fournir une preuve qui fasse mieux apparaître l’importance des termes des définitions 2.65 et 2.66. 0 Supposons que u E Cm(R)nW1>p(R). En utilisant la partition de l’unité et les coordonnées locales, on commence par définir la trace de v, = p,u. Cette dernière, qui appartient à W1ip(R,) peut être prolongée par O hors de son support dans l’ouvert 0: x {XN > a,(z’)}. En utilisant le corollaire 2.19, on écrit pour n. > O entier et y > O l’égalité : (*) v,(x’,&(z’) + 1/n) -v,(x’,a(X’) + +y) = - 4, dN(.~)(d,a,(z’)+t)dt. Posons : u,(z’)= v,(.~?,u,(x’) l / n ) . On déduit de (*), que, pour tout couple ( n ,m ) d’entiers non nuls, on a : En utilisant Holder dans cette inégalité puis, en élevant à la puissance p et en intégrant par rapport à z’ E O:, après avoir multiplié à gauche par l’élénient d’aire da,, on prouve que A,,,, = I/u, - u ~ ~ I / L ~ ( o ; , ~ ~ , ) O: --f Ceci, en utilisant la condition 2.66, exprimant notamment que IVa,(x’)I est majoré. Lorsque p > 1 et lorsque n et m tendent vers +m, le membre de droite tend vers zéro, donc le membre de gauche aussi. Lorsque p = 1, le membre de droite tend encore vers zéro par définition des fonctions de L1. Dans tous les cas, la suite (un)est de Cauchy dans l’espace LP(O:,da,), espace de Lebesgne pour la mesure bornée da,, donc complet. Cette suite est donc convergente dans L p ( 0 : , da,) vers une fonction w,E LP(O:,da,). 2 . 5 . TRACE SUR LA FRONTIÈRE D’UN OUVERT c1 105 De plus, il existe une sous-suite { 7 ~ ~ ( ~ de ~ ) }{ u n }qui converge p.p. dans (9: vers wz(.d). Or, dire que lirn(p,u)(z’,a(z’) l/(q(n)))existe p.p. revient à dire qu’on peut définir la fonction z’ H p,u(z’,a(z’))= w,(z’). Ce prolongement w, de y,u sur 80 n 0, est la trace cherchée. On pose donc yO(pzu)= w,. D’après ce qui précède, cette fonction est dans l’espace LP(Q:,da,), donc dans l’espace L p ( d 0 n 0%). De plus, par un passage à la limite dans (*) en prenant y assez grand pour que v,(z’, a,(lr’) g) = O, on obt ierit (2.89) + + r i m I1 s’agit maintenant de définir la trace de u par recollement. On définit yo(u) par you = E, yo(p,u). Cette sornnie est localenierit finie et, d’après la condition (1) de la définition (2.65), on peut conclure ii yo(u) E LP(df2).On peut montrer aussi que la trace ainsi définie rie dépend pas du choix des éléments de la définition (2.65). 0 Si nous supposons que u E c1(2), les arguments précédents peuvent être repris. En particulier, l’égalité (2.89) nous fournit y0(pzu)(2-’,n,(z’)) = (pzU(z’,uz(x’)). On en déduit que TOU est, alors, le prolongement par coritinuité de u ( c f définition de C ( n ) ) sur le bord 80. 0 I1 reste 2. prouver la continuité de l’application 7 0 . Pour cela, on fait ii partir de l’égalité (2.89) les mêmes calculs que pour aboutir à (2.88). On obtient : 0 G l l ~ o ( ( ~ llLqo;,dlT) ~7~) CJmwJiZ lI~N(WIIL.(n,). On en déduit, grâce à la condition (3) de la définition 2.65 : z < C’ SUP{IIPzllcar lldNcp,llm) Ilullw1p(n,). 2 z À l’aide de la condition (2.66), on en déduit qu’il existe une constante C * , qui ne dépend pas des éléments de la définition (2.65), tels que : VU E < ~ “ ( 0n ) w’V), l l ~ o ~ l l ~ p (C a ~* )I I ~ / w). W~ 0 On a ainsi défini la trace de u lorsque u E C”(f1) f’ W’>.(n). Pour u E W’,p(f2), on approche u grâce à la densité de la proposition 2.12 par 106 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION u, E Cm(R)nW',P(R).La forniule (2.89) donne finalement, par passage à la +O0 limite you = - JO d ~ ( ' p ~ u ) a( ,z( 'z ,' ) + t ) d t et il en résulte que ?ou, + you dans Lp(dR n 0%). On justifie airisi la continuité, à savoir : v u E W? lIYoullLP(an) G IIullwl>P(n). O Remarque 2.90. On peut normer l'espace image de l'application trace sans le caractériser exactement, comme ce sera fait dans le chapitre 3, en utilisant la norme induite. Soit 11, qui est la trace d'une fonction U E W'>p(R) sur le bord do. Posons : (2.91) lllu'li = inf I I U I I w 1.71 (a) . {UEU'l.P(n)Ju=Ulan} Ceci définit bien une norme, qui fait de l'espace image ?o(W',p(R)) un espace de Banach. En effet, soient u et v dans ro(W',p(R)) et U et V dans W'>p(R),telles que U = u,V = v sur ûR et teIIes que : llull G III~III+ Alors U et 11Vtl G Illvlll +E. + V = u + I I sur dR et : Illu + v111 G /lu+ VI1 IlUll + IlVll G l l l ~ l l+l IIlvIII + 2 E , ce qui termine la preuve de la sous-additivité. La démonstration des autres axiomes, puis celle de la complétude, sont laissées au lecteur. On termine ce chapitre en revenant sur la caractérisation de l'espace w,"P(o)lorsque R est C' : Théorème 2.92. Soit R un ouvert d e classe C l . Alors les propositions suivantes sont équivalentes : (1) u E W,'JyR). ( 2 ) (seulement s i p 'p E D(IRN), on ait : > i) II existe une constante C telle que, quel que soit l&'p)(+Z 6 CllwlL.<n) I l ' p l l L P ! . (3) La fonction 12 définie par : appartient à w ' > ~ ( I R ~ ) . (4) La trace de u sur dR est nulle, soit TOU = O . 2.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2 107 Preuve du théorème 2.92. Notons que l’implication 1 + 2 est toujours vraie (sans hypothèse sur l’ouvert et sans hypothèse sur p ) . 0 Montrons cette implication. En effet, soit 11, E W,”(R) et ( u n )E D(f2) qui converge vers u dans WlJ’(O). On a : 1.h 1- un(z)at(p)(:E)dzl= .h a i u n ( z ) p ( z ) d z lIIvunIILp ~ ilpiiLp’. On en déduit le résultat par passage à la limite. 0 11 est clair que 2 + 3 , car si ‘p E D ( R ~ )on , a : et, en utilisant 2, on obtient que, si p > 1, alors ’Ü E W1>”(RN). 0 L’implication 3 + 4 est claire par unicité de la trace. 0 Montrons que 4 + 1. On se ramène à montrer que si u = O sur a R , on peut approcher up, par des fonctions de D ( 0 ) . Pour ce faire, on définit : + ‘1 un,% =x up, x , -al(x’) .%N - - . ‘ n Les fonctions un,%sont dans W1>P(b2)à support compact. La suite converge vers u(pL dans WlJ’(IRN), donc elle converge vers up, dans W’J’(62). En régularisant ensuite par une fonction convenable, on obtient que u E W,,” (R). O -( 2.6. Exercices sur le chapitre 2 Exercice [*]2.1(sur la complétude de l’espace de Sobolev H’(0)). Soit R un ouvert de RN.Rappeler la définition de H1(R). Montrer que définit un produit scalaire sur l’espace H1(R). Montrer que H1(R) est un espace de Hilbert. Indzcations. Soit { u ~ } une ~ ~suite ~ Nde Cauchy dans H1(R). On montre que la suite des dérivées { 3 3 ~ nconverge } dans L2 vers uJ E L 2 . On montre ensuite que ces fonctions sont les dérivées distributionnelles de u = lim uT,. Enfin, on termine. Exercice 2.2 (sur la construction d’une partition de l’unité). On dit qu’un recouvrement{Rk} de R est plus fin que le recouvrement {Rj} si, pour tout IC, il existe j tel que 0; c R j . On dit que le recouvrement {Qj} est localement fini si tout z appartenant à possède un voisinage ne rencontrant qu’un nonibre fini d’ouverts de la famille {Rj}. 108 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’IN.JECTION (1) Soit un recouvrement ouvert {a,} de l’ouvert R de IRN. Montrer qu’on peut trouver un recouvrement ouvert {Rl,} de R, localenient fini, plus firi que {Rj} et formé d’ensembles relativement compacts. (2) Soit un recouvrement { R j } constitué d’ouverts relativement conipacts. Prouver qu’il existe rj E D ( 0 , ) tel que rj 3 O et yj = 1 sur Ri. À l’aide de ces fonctions, construire une partition de l’unité associée au recouvrement donné. Dans le cas général, on utilisera le recouvrement ouvert de R , plus firi que et formé d’ensembles relativement compacts fourni par la question (1). {a,}, Indications. Pour ( l ) ,on utilise une suite croissante compacts, recouvrant R et tels que : {Uk} d’ouverts relativement - UO 0, uk c u k + l . On utilise ensuite la compacité de pour trouver un recouvrement de ce compact par des Ur, en nombre fini. I1 est facile d’en déduire iin recouvrement de R possédant les propriétés requises. Pour ( 2 ) , à savoir la construction de y3, on pose K = Soit un voisinage V de O et un voisinage U compact tel que U + U c V (on prouvera l’existence de U ) . Soit une fonction régularisante pE ( c f . section 1.4.2) de support inclus dans U et soit x la fonction indicat,rice de K + U + U . On prend alors -yJ = y, * p E . La somme y = étant localement finie, on peut définir cette somme en chaque point de R et, par division, obtenir les fonctions d’une partition. Vérifier. T. Exercice [*]2.3(sur l’absolue continuité des fonctions d’un espace de Sobolev (cf. remarque 2.4)). La definition d’une fonction absolument continue (AC) a été donnée dans l’exercice 1.29. Pour deux fonctions AC sur un intervalle I , le produit U V est aussi AC et on a, pour tout [a,b] c I , la formule d’intégration par parties, où u et ’u sont les dérivées p.p. de U et V : (2.93) I” U ( t ) v ( t ) d t= U ( b ) V ( b ) U ( a ) V ( u )- Soit u définie p.p. daris un ouvert R ~ c IR2. .I* V(t)u(t)dt. (1) Soit R c R2.Soit u E W’>p(R) avec p 3 2 . On désigne par [azu]ia fonction de LP qui est égale à la dérivée de u par rapport à x au sens des distributions. On peut recouvrir R par des carrés Cj et poser vJ = $j-. où +j E D ( C j ) et $j = 1 sur R. On prolonge vj par O hors de Cj. Soit v définie sur R par v = Cvj Dans l’argumentation on raisonnera sur une fonction vj que l’on note v pour simplifier. Montrer que 11 E Lp(R). On définit v* par w*(x) = J!”,[&v](t,y)dt, pour tout y tel que S , \[alv](t,y)Idt< +CO. En déduire que v = w* p.p. et que, sur presque toutes les parallèles à Ox,la fonction IL est dérivable p.p. avec p l u ] = diu p.p. 2 . ü . EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2 109 (2) Soit u E L:clc(0), absolunierit continue sur presque toutes les parallèles à Ox et telle que sa dérivée p.p. d,,u est dans U’(Q). Montrer que [3,;uI = 8 Z i U P.P. ( 3 ) Soit u E TV1)’(i2). On suppose que [ T , Z h] E O. Montrer que la dérivée de u : t H u,(x t h ) exist,e p.p. sur ]O, i[ et que dv/dt ( x + t h ) = il ’ VU(% + th). + + Indications. Pour (2), il suffit d’intégrer par parties l’intégrale J,, pazludz. Pour (3), on utilise une décomposition de v(t’)- ~ ( ten) somme de différences di1 type U ( Z + t’h) - u(zi t’hi, z2 + t’hî, . . . ,z N - i + t ’ h N - 1 ~ZN + t h N ) et, pour chacune de ces différences,on écrit qu’elle est l’intégrale sur un certain intervalle d’une dérivée partielle. Le passage à la limite utilise la continuité d’une intégrale de Lebesgue par rapport à ses bornes. + Exercice [*]2.4(sur le (1,p)-prolongementdans le cas d’un intervalle de R). Soit u E W’J’(]O, +no[). On prolonge u sur ] - m’O[ par U ( Z ) = u - z ) . Montrer que u ainsi prolongée est xiti élément de W’J’(R). Soit u E W1,P(l) oii I = lu, b[. Montrer qu’on peut prolonger IL en un élément de WIJ)(R). I Indzcatzons. On établit d’abord que W’,*’(] - o o , O [ ) en montrant que (Ci)’ = -u’ Exercice 2.5 (produit de fonctions dans IV’i”(R) et lV’>‘I(R)). On considère un ouvert lipschitzien O de R ~Soient . p < N , y < N , et i / s = i / p + 1/q - I/N. Montrer que si %1 E W ’ , p ( Q ) et I I E W’>q(n),alors uu € W y Q ) . h~dzcatzoris.On utilise le théorèrnc de Sobolev 2.31 pour des exposants convenables et l’inégalité de Holder. Exercice 2.6 (exemple d’ouvert non lipschitzien). Soit R = {O < .c < 1, O < I/ < T ‘ } . Montrer que la fonction .x H x-l appartient A H1(Q) et qu’elle n’appartient pas à L5(R). Conclure. Exercice [*]2.7(injection dans un espace de fonctions holdériennes qui est non compacte). S o i t p > N . Prouver que l’injection de WIJfB(O,l))dans Cb’l-N’p(B(O,1)) n’est pas compacte. Pour cela, soit F E D ( B ( O , l ) ) .telle qiie F 3 O ct F ( T ) = 1. Montrer que la suite FTL(z) = nPltN/”F(nz)tend vers O daris tous les espaces Cb”(B(O.1)) et a une norme constante @galeà 1 dans C:’’-N’p. Conclure. bUPI,I<l Exercice 2.8 (recollement de deux fonctions à la traversée d’un bord droit). Soit y- I’opérateur Cie trace défini conirrie sur ( I W ~ ) niais + en utilisant l’ouvert I W x~ R-.Soient u+ E w’>.((R~)+) et U P E W”p((RN)-). On 110 CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORQMES D'INJECTION définit u+(z) si 5 E ( R ~ ) + , u - ( x ) si 2 E (EtN)-. Montrer que U E W ' > p ( R Nsi) et seulement si -you+ = y-u- sur RN-'. Exercice 2.9 (inégalité de Poincaré généralisée). Soit R un domaine borné de RN,lipschitzien. Soit p E [I,+a[, et soit N une semi-norme continue sur W 1 > ~ ( R qui ) est une norme sur les constantes. Montrer qu'il existe une constante C > O qui ne dépend que de R, N , p telle que : Appliquer ce résultat à N ( u )= J,, lu(z)ldz,où R est un ouvert C1 et est une partie de 80 de mesure de Lebesgue ( N - 1)-dimensionnelle strictement positive. Indications. On suppose par l'absurde qu'il existe une suite { u r L telle } que - En normalisant c'est-à-dire en considérant wn = U llwnlIwl&yn)= 1, N(wn) O, - ,(IIU~~I/~~,~(~))-', IlvwnIlP : on obtient : 0. En utilisant la bornitude de R et la relative compacité dans L p de { w r L }en , déduire une contradiction. Exercice 2.10 (fonction de R dans RN dont le tenseur des contraintes est dans LP(fi)). On considère l'espace (cf. chapitre 6) : X,(R) = {u E LP(R,RN) I Y((i,j) E [1,NI2, & 2 3 ( u=) $(a3u2+ a 2 u j )E L y q } où p E Il, +CO[. On admet (ce sera montré au chapitre 7) que, si 0 est un ouvert borné lipschitzieri de IRN, alors W l i p ( s 2 , IRN) coïncide avec cet espace lorsque p > 1 et, plus précisérnment, il existe C > O telle que pour toute u E W'>p(R,RN),on ait (1) Montrer que X P ( n ) ,niuni de la norme est un espace de Banach. 2.6. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 2 111 (2) Les dérivées étant prises au sens des distributions, on remarque : d,(~,k)(u) - a,(&,k)(u). Montrer que l’ensemble noté R des fonctions de W1,P qui sont telles que E(.) = O sont les déplacements rigides, à savoir u = A B ( z ) , où A est un vecteur constant et B une matrice aritisymétrique. Déterminer la dimension de R. (3) On considère une semi-norme ni sur W1-p qui est une norme sur les déplacements rigides. Montrer qu’il existe une constante G > O telle que : U , , ~ ~=C &(E,)(u) + + v u E W’JyO), Exercice 2.11 (meilleure constante pour l’injection de W1,p(RN) dans Lk (RN)). Soit p < N et k N p / ( N - p ) . On sait qu’il existe deux constantes Cl et Cz telles que : < vu E W1YRN)’ I l 4 k < C i I I ~ u l l p+ C21IuIlp On dit que Cl est une meilleure constante pour l’injection de W’J’ dans Lk si Cl est la plus petite constante pour laquelle il existe C2, telle que l’inégalité précédente a lieu. Montrer que si k < N p / ( N - p ) , il n’existe pas de meilleure corist ante. indications. On suppose l’existence de Cl et on définit, pour X > 1, la suite = u(z/X). En déduire : UA(.) II7LXllk < X-l+N’p-N/k ci IIV~llP+ c2x- N / k.+ N / p IluIlP. À partir de là, montrer qu’il existe une constante meilleure que Ci. Exercice 2.12 (fonction dont une dérivée est dans L’, l’autre dans L2). Soit Xo’z l’adhérence des fonctions de D(R2)pourla norme IdluIl +l&,u/2. Montrer que X i ’ z L4(R2). ~f Indications. On écrit, lorsque u est une fonction régulière u 4 ( a , m )= u3(z1,z2)u(z1,s2). On utilise ensuite puis : : : 112 CHAPITRE 2 . LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION Enfin, on utilise la formule de Fubini et Holder comme suit .IS, luj4dz1dz2 6 6 : (p(z1)~(~1)h(~2)dzid22 llPll2 114,112llhll 1 Conclure. sur un intervalle). Exercice [*]2.13(majoration de u,élément de Soit u E Wi”(]O,l[).Montrer que : ~ ~ u1 /~2 \ ~ u m ’Montrer ~ ~ ~ . que cette inégalité est la meilleure possible. < Indications. On écrit : Exercice [ *]2.14 (conséquences de l’existence de yo(u)pour u définie dans un intervalle de R). Montrer l’inégalité, laquelle précise l’inégalité expriniant la continuité de l’application trace sur W1il (]O, I[) : rl rl Montrer que les seules fonctions qui vérifient l’égalité sont les fonctions constantes. Indzcatzons. La fonction u est absolument continue, donc, on a les deux égalités : + I’ \dx E [O, 11, U(T) = u(0) [O, 11, ? i ( Z )= ~ ( 1 ) J(’?k(t)df. ‘dX E 7l(t)dt, + En passant aux valeurs absolues et en intégrant sur ]O, i [ la somnie des deux inégalités obtenues, on obtient (2.94). En supposant l’égalité dans (2.94) et en tenant compte des deux inégalités : si on en déduit que, pour tout z, Iu(z)I 3 lu(t)ldt,ce qui donne le résultat en appliquant cette inégalité au point z où la fonction continue 7~ atteint son minimum. Exercice [**]2.15 (espaces W’J’(I)où I est un intervalle de R). On suppose 1 p < 00. < (1) En utilisant l’exercice 1.29, montrer que l’appartenance u E W’>P(l) est équivalente aux propriétés suivantes : u E L p ( I ) , u est AC et la dérivée p.p. vérifie : u’E L p ( l ) . 2.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2 113 (2) Montrer que toute fonction de W ’ > P ( I )peut se prolonger en une fonction continue sur 7. ( 3 ) Au cours de cette question, on utilisera la propriété W1>”(Iw)= w,””(R). Soit u une fonction de classe c1 sur IR à support compact. On pose w = ( u ~ P ~ ~Montrer u . que w est de classe C1 à support compact et que v’ = ~ / u l P - ~ uEn ’ . utilisant l’égalité ~ ( x=) v’(t)dt,montrer qu’il existe une constante C telle que : ST”, < cllullw~.P(R). v x E R, lu(.)I Eri déduire que W’J’(R) s’injecte continûment dans Lm (IR). Montrer que la constante C peut être choisie indépendante de p . Montrer que le résultat est encore vrai lorsque l’intervalle I est borné. Indications. (1) Si 7~ E W 1 , p ( I l’exercice ), 1.29 fournit les propriétés. Rkiproquemerit, on se sert de l’intégration par parties pour prouver que : ([ulI1cp) Vcp, = (bI1,P). (2) Comme u/ est somrnable sur I , u est AC sur 7 , d’où la continuité sur 7. (3) À partir de l’indication donnée, on majore Iu(z)I au moyen de Holder par ~ ‘ / ~ l l u I I pI I /U ~’ I ‘I ~ / ~ , d’où le résultat en utilisant p 1 l P < e et l’inégalité de convexité On achève avec la densité des fonctions continues à support compact. Dans le cas où I est borné, on utilise ?L(.T) = u(z0) + %L/(t)dt. [* I Exercice 2.16 (résolution de problèmes aux limites sur un intervalle). Soit I = ]O, l[.I1 s’agit, f E L 2 ( I )étant donnée, de trouver u soliition en un certain sens de i 4’+ u = f’ u ( O ) = u(1). (1) On suppose que TU E C2(7) n H t ( I ) et vérifie (*). On multiplie (*) par une fonction w E H A ( I ) et on intègre sur I en utilisant des intégrations par parties. Montrer qu’alors, en désignant le produit scalaire dans HA ( I ) par (.I.), on a : vuE mQ), (uIw)H1(I) = ( f J ) P ( I ) . Réciproquement, montrer que si u E H i ( I ) vérifie cette relation, alors u est solution du problème u” étant prise au sens des distributions. En montrant ensuite que w H f ( t ) v ( t ) d tdéfinit un élément du dual de H i (1)’ montrer l’existence et l’unicité d’une solution au problème doriné s, 114 CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION dans H i ( 1 ) (on utilisera le théorème de Riesz pour un espace de Hilbert). Montrer que cette solution est dans H 2 ( 1 ) et que, si f E C ( 1 ) , alors la solution est dans C 2 ( 1 ) . ( 2 ) En utilisant, par exemple, la solution élémentaire de u” u = O sur IR+, ou encore la méthode de variation des constantes, déterminer explicitement cette solution à l’aide d’intégrales portant sur la fonction f. ~ Exercice 2.17 (relations entre /IVullLzet I~u/TIIL.L). (1) Soit u E C,(RN)avec N 3 3. En calculant : T-I IVu+ ( N - 2) u ( x ) 2 2 r2 en intégrant ensuite sur ’ IR^ et enfin, en effectuant sur le terme une intégration par parties, montrer que : (2) En déduire que si N 3 3, on a l’implication u E H1 + u/lxl E L 2 . Montrer que ce résultat n’est pas vrai pour N = 2. Exercice 2.18 (généralisation de l’exercice précédent). (1) Montrer que si u E W1,p(IRN),N > p et p > 1, p < CO alors, u/lxl E L P . Pour ce faire, on montrera l’inégalité de convexité (où l / p + i/p’ = 1) : ( 2 ) Appliquer cette inégalité aux expressions vectorielles Y = Vu et En intégrant par parties le terme JRN I U I P - ~ U ? ‘ / T P . V u d x , en déduire que : Indecatzons. Pour la convexité, on utilise f ( z ) = lzlp qui admet pour dérivée p l ~ l ~ - d’où ~ z , l’inégalité f(z y) 3 f(z) D f ( z ). y. + + Exercice [**I 2.19 (solutions élémentaires du laplacien). Montrer qu’il existe une constante ka telle que, au sens des distributions, dans IR2, A ( 1 n J m ) = k2So. Montrer que, dans I R N , avec N > 2 , A ( r Z p N= ) k ~ 6 où 0 k N s’exprime simplement à l’aide de l’aire W N - ~ de la sphère unité de IRN. On utilisera des calculs élémentaires d‘intégrales 2.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2 115 dans les cas N = 2 et N = 3 et, pour le cas général, on utilisera le second t héorèrrie de Green Indications. (1) On montre d'abord qu'au sens des fonctions et en dehors de l'origine, on a : i),[lnr] = z / r 2 et Ov[lnr] = y / r 2 . Montrer ensuite que ces fonctions sont localement somrnables. En utilisant enfin la fonction $(Y, e) = p(r cos O,r sin e), la formule : a,p et la formule analogue pour = cos 0 'py, on a+ sin8 I __ de$!?, r aboutira à + 3y+) (3,; - : = 27rp(O) (2) On suppose N = 3 . On montre que les trois dérivées de u = localement somrnables et en déduire que : (Au,$!?)= - 7-l sont r-3[23~p+y3yp+zdZp]dzd:ydz. L 3 Le passage en coordonnées polaires étant défini par z = rcos<cosr/, y = rcos(sinr/, z = rsinq, calculer les dérivées partielles à l'aide de cellcs de (p par rapport à r , (, 17 et montrer que l'intégrale précédente est egale à - 4 7 4 0 ) . ( 3 ) On admet le second théorème de Green : l'ouvert borné R,de classe C1, f de classe C2 dans R et p E D(IRN)étant donnés, on a : (2.95) / n [f(n;)Ap(z) - p(z)Af(x)]dz = LC> [ f ~ 4 ~ Z P-( $4! ? ( 4 a Z f ( . ) ] ( h les dérivées normales 82 à 30 étant orientées vers l'extérieur de 62. On en déduit que (A(?-"), p) est la limite, lorsque E i O de : 1 + 1 p A ( ~ ~ - ~ ) d z [ p ( z ) & ( ~ " ~-) ~~--"d3(p)]e~-'da 7-2E On montrera airisi que ?=E = (2 - N ) w ~ - i G ( o ) CHAPITRE 3 TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV Au terme du précédent chapitre, nous avons montré l’existence d’une t,race (c’est-à-dire du prolongement d’un élément u de W’J)(R) ti la frontiere d o ) , cela lorsque R est un ouvert C l . Cette fonction yo(u) appartient à LP ( d o ) ,mais, bien entendu, cri l’absence de l'existence des prolongements des dérivées 4.1~ sur dR lorsque l’ouvert est tie classe C’ , l’appartenaiicc de you à un espace de Sobolev du type WlJ’(312) n’a pas de scns en général. Cependant: à l’aide de la notion de dé.r.%.uationfractionnuire, on peut envisager que l’appartenance ZL E W1~” (0) implique que certaines dérivées d’ordre s avec O < s < 1 de yo(u) soierit dans LP(3R). Ce chapitre débute ainsi par un exeniplc prt‘liniinaire où cett,e uppartermrice est constatée pour l’ordre s < I - 1 / p . Pour mieux imaginer cette notion, le lecteur peut, se placer dans IC cas p = 2. Dans ce cas, on peut utiliser la transformation de Fourier coinnie cela, sera fait d’ailleurs dans le chapitre 4. Une dérivée partielle di7~(:st transformée en le produit 227r<,ûdont l’appartenance à L2 est équivalente à celle de (1+<s)1/2G. Par utilisation de la transforniation de Fourier iriverse, il est ainsi naturel de dire quc ?L est dérivable à l’ordre 1 / 2 si la fonct,ion (1 IE12)‘/4û est dans L2. Plus précisément’ sauf dans le cas p = 1’la trace d’une fonction dont les dérivées sont dans L P , a une régularité meilleure que celle dcs fonctions de LP (di]). Nous nous proposons‘ dans ce chapitre’ de donner une caracthisatiori intrinsèque de la trace z H ~ ( 2 : ) ’(ce qui veut, dire : ind6pendante du choix de la fonction u de W’ip(R) telle que you = I I ) . Cette caractCrisat,iori nous conduira ti identifier, pour p > 1, l’espace iiriage de la trace 70 ii un nouvel espace W - ’ / P , ~ (XI), premier exerriple d’un espace dc Sot)olev fractionnaire. Le chapitre 4 généralisera ce cas particulier & toiis les espaces de Sobolcv fractionnaires. + 118 CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV 3.1. Espaces W1-llP,p(RN-l), pour p >1 3.1.1. Exemple préliminaire Exemple 3.2. On se propose pour commencer, d’étudier, sur un exemple simple, les propriétés de régularité vérifiée par les traces de certaines fonctions de W’J’, ceci dans le but d’introduire, grâce à la notion de dérivation fractionnaire, les nouveaux espaces de Sobolev. À cet effet, considérons l’ouvert s2 = R x ]O, +m[ et p une fonction de D(R), avec O < p < 1 et égale à 1 sur [O, 11. On définit la fonction u par : u ( z , y )= p ( @ q ) ( z 2 Pour p + y2)a’2 = (p(?-)P. > 1 donné, on suppose (*I 1- 2 / p < Q < 1 - l/p. Alors, on a u E W1>p(Q).La fonction u admet pour trace, ou encore ici pour restriction, sur la frontière R x {O}, la fonction z ++ f ( z ) = p(Izl)Iz1“. Sous la condition (*), on vérifie you = f E P ( R ) et f $ W’,P(IR). Remarque 3.2. Pour justifier l’affirmation contenue dans l’avant-propos de ce chapitre, on peut utiliser la notion de dérivation fractionnaire d’ordre s avec O < s < 1 appliquée aux traces des fonctions u étudiées ci-dessus dans le but d’obtenir, pour caractériser l’appartenance d’une telle trace à L”(aR), l’inégalité O < s < 1 - i/p. Ce résultat est une première approche de la définition d’un espace de Sobolev fractionnaire, ii savoir, ici, l’espace WlWP>P(R). Cette remarque, qui s’appuie sur la notion de dérivation fractionnaire qu’on trouvera exposée dans l’ouvrage [37], est développée dans l’exercice 3.1. Considérons, dans l’exemple précédent, la restriction de u à [O, 11, à savoir la fonction .T H z“ sur cet intervalle. Sa dérivée d’ordre s est zaps. La condition suivant laquelle cette dérivée appartient à D’(Io, 1[) s’écrit p ( a - s ) > -1, soit encore s < a l/p. Gr;îce à (*). on a 1 - l / p < cy 1/11 < 1. On en déduit que les valeurs de s pour lesquelles Q satisfait à la relation (*) sont bien celles qui satisfont à l’inégalité O < s 1 - l/p. Par ailleurs, nous verrons dans ce qui suit que v E W’-’/”.P(] - 1,1[)est équivalente aux deux conditions : + + < v E Lp(] - 1, i[) et À titre de vérification, niontrons que, sous la condition précédente (*) de l’exemple 3.1, la fonction %r définie sur ] - 1,i[ par .(.E) = jzJ“ rend bien la deuxième intégrale, notée J ( v ) ,convergerite. On peut d’ailleurs se ranieiier à v ( z ) = xa sur ]O, i[. 119 + En posant p = ( a - 1)p 1, nous avons, en utilisant une homothétie sur la variable et, deux fois, la formule de Fubini : La fonction x ++((1- AO)/(I - A ) ( " est continue sur [O, 11. La première intégrale est donc convergente sous la condition /? = (cy - 1)p 1 > -1. Cette même condition permet d'écrire la deuxième intégrale, sous la forme : + Elle est donc aussi convergente puisque : résumé J ( v ) existe si û. > 1 - 2 / p . (cy - 1)p - ( a - i ) p - 2 = -2. En 3.1.2. Définition d'un espace de Sobolev fractionnaire. Exemples DéJinition 3.3. Soit un réel p > 1 et un entier N 3 2. L'espace de Sobolev W'-l/pJ'(RN-l) est le sous-espace de L p ( R N - l ) caractérisé par : (3.4) W1-1/p'yIWN-1) = Théorème 3.5. L'espace {. E Lp(RN-1 W'-'/P,p(RN-'), muni de la 'norme est un espace de Banach. La preuve de ce théorème sera donnée au chapitre suivant dans le cadre d'espaces fractionnaires plus généraux et pour un ouvert R quelconque en place de De la mérrie façon, on définit pour 0 un ouvert de IRN-' : On commence par étudier deux exemples simples en dimension 1. Exemple 3.7. On étudie l'appartenance de z H u(x)= l n x , pour tout réel p tel que 1 < p 2, à l'espace W ~ - ' ~ P > P (i[). ]O, Pour 1 < p , on a u E L p ( ( ] O , l[).On étudie la finitude de : 120 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV Eri utilisant la variable t = y/z et la, forniule de Fubirii, on a : Pour p < 2, la fonction t H 1 IntJ*/jI - t J P est continue sur ] O , I ] , intégrable au point t = O, ainsi que 2 l - P ; la première intégrale du second membre est donc corivcrgente. La deuxième intégrale, qui s'écrit alors : est convergente puisque, d'une part, si t + $00, la fonction est majorée par KI lntl"/t2 et que, d'autre part, on a I lntl 11 - tl quarid t + 1. Pour p=2, J est supérieure à la première intégrale, laquelle est égale à +cc. On en déduit : N E w 1 - l / P , P (]O, 1[) u 1 < p < 2. Exemple 3.8. On suppose p > 1. On veut montrer que, si ( a - 1)p > -2, alors z H zol n z est dans W 1 - ' l P I P ( ] O , l[). La condition pour que u ( x ) = zal n z soit dans L p ( ( ] O ,1[)s'écrit (*) clip > -1. + b l ~< 2 P - ' ( l u l P + / b l p ) appliquée à ia décomposition lxa l n z - yQ lnyl = /z"(lnz lny) + lny(z" y")l, L'inégalité la - nous montre que l'appartenance de u à l'espace quée par la finitude des deux intégrales : - W~-'/P>P(]O, i[)est irnpli- Par des calculs analogues à ceux de l'exemple précédent, on voit que la première intégrale I est finie s'il en est ainsi pour les deux intégrales : + C'est le cas pour II si (cy - 1 ) p 1 > -1 ou a p > p - 2 , condition qui entraîne (*). Sous cette mêriie condition, l'intégrant de la deuxième intégrale I,, transformée par Fubini, est équivalent en f c c à I l ~ i t l P / t " p + ~ .On en déduit sa convergence puisque cyp 2 > 1. Donc : + I < m Ic u p > p - 2 . De même, la deuxième intégrale J est finie s’il en est de même pour les intégrales suivantes, où on a posé /3 = p a - p 1 : + L’intégrale J I se comporte comme J ( u ) dans l’exeniple 3.1. Elle converge si a p > p - 2 quel que soit le signe de a . D’autre part, comme ,4 > 1, la fonction z H x’l lriz/P est dominée par z H z7 pour tout y tel que 1 < y < /3, lorsque J: < 1. Par suite, sa primitive au point 1/t est dominée par I ( t - l - 7 et il en résulte que l’intégrant de Jz est dominé cn fcc par t-((’-”)P+yf1), ce qui prouve l’existence de J2. On en deduit le résultat aniioncé. 3.1.3. Caractérisation de la trace de u E W1i”(RNpl x R+) On montre maintenant le résultat : Théorème 3.9. Soat N 3 2. Alors 1 ’amuge de 1 ’upplacutaon truce yo satasfaat à : y o ( W y R N - 1 x ]O, +Ca[)) = Wl-l/pJpN-’). On prouve tout d’abord le théorème pour N = 2 , après quoi, on passera au cas général. Preuve du th6ori.me 3.9 pour N = 2 . O Montrons, pour cornmericer, que : Wl-l/”’”(R) - yo(Wl,”(R x ]O, +oo[)). Soit donc u E W1pi/P,P(R).Soit cp une fonction de D(R) telle que cp(0) = 1. La fonction u étant daris LP(R),on peut définir la fonction u par : (3.10) La fonction O est nulle pour /ti assez grand. Montrons que O E LP(R x]O, +co[). Par l’inégalité de Holder, appliquée à l’intégrale définissant le menibre de droite de (3.10))’on a : En utilisant Fubini, cette dernière intégrale se majore par : s’/ /cp”(t)l; O R lu(X)l”dXdsdt = JO +m Cette dernière intégrale est finie, d’où le résultat. l p l ” ( t ) d t / lu(z)lPdz. R 122 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV On montre maintenant que v est une fonction de WIJ’(IR x IRf). On calcule donc les dérivées de v par rapport à 2 et t. On a : + u(x t ) - u(x) Y(t). t En rentrant u(x+ t ) dans l’intégrale portant sur z,on a également (3.11) d,v(x,t ) = d,v(x,t)= 9 l(u(z + + + + JTI t )- u(z 1 t )- u(z t z ) dz t u(2 = P(t) D’après la définition de W1-l/P>P(IR),on y h’ + y JTI z))dz + u(2 ~ t u(z a, en posant t = y - : + s)ds + s)ds x : Ceci prouve que d,v E LP(R x ]O, t o o [ ) . En remplaçant y par y’ dans la définition de v, on voit aussi par les calculs précédents que : I1 reste à montrer que f E LP(R x ]O,+m[). En fait, on montre que f E L”(R2). En utilisant d’abord l’inégalité de Holder, on obtient : + + Faisons le changement de variables X = z t z , T = x t dont le jacobien est IdX A dT1 = /z- 11 Idz A dtl. En utilisant Iz 11 < 1, p > 1, on a 11 - zit’ 3 I(1 - z ) t l p = IX - T I P d’où : ~ G cll~ll;l- * / P > P ( ~ ) . À présent que l’on a prouvé que u E W’>P(IRx ]O, +CO[), il reste à montrer que you = u,autrement dit, que limt,o+ Ilv(., t ) - uIILP(R) = O. Pour cela, écrivons : rl + [u(2 t z ) - u(2)ldz u ( x ,t ) - u(x)= p(t) 10 + (y(t) - l)u(z). 3 . 1 . ESPACES IV-’’“”(IWN-l ), POUR En tenant compte de limt,o[cp(t) ramène à : - p >1 123 l ] ( ( u (= ( , O, la propriété à prouver se Or, cela revient après l’application de la formule de Holder, puis de celle de Fubini, à utiliser la propriété de continuité de la translation dans LP, à savoir limb-0 I I T ~ U - ulIp = O. On a ainsi prouvé l’égaliti: : yo(w) = u. Ceci termine la démonstration d’une inclusion pour N = 2. Inversement, on veut montrer que si u E W’>”(IW x ]O, +CO[), sa trace appartient à w ~ - ’ / P > P ( I wx {O}). Pour cela, on utilise le leninie : Lemme 3.14. Soient v un réel e t f une fonction de ]O, +m[ dans R. On suppose que O < u l / p = O < 1 et 1 < p < +m. Alors : + (i) Si l’application t par : H t ” f ( t ) appartient à L P ( ] O , +CO[) et si y est définie (3.15) alors l’application t H t”g(t) appartient à LP(]O,+m[).D e plus, il existe une constante C(p,u ) qui n e dépend que de p et de u , telle que : (3.16) (ii) Soit C Y , /3 E k avec CY < p, f définie sur]O,+m[ x ] a ,/3[, et y définie sur ]O, +CO[ x ] a ,p [ par : a[), Alors, si tuf E LP(]û,+CO[ x ] a , o n a : t u g E D’(Io, +CO[x ] C Y , ,û[) et il existe une constante c ( p , u ) n e dépendant que de p et v telle que : (3.17) .cJO* t y g ( t , z ) l p d t d x < c ( p ,v ) Lm tupl f ( t ,s)lPdt dz. Remarque 3.28. Le résultat s’étend dans (ii) au cas où la variable t est dans un intervalle ] a ,b[ à la place de ]O, +CO[. Remarque 3.29. On utilise ici le lemme seulement avec servant dans le chapitre suivant. Preuve du lemme 3.14. a Soit F définie pour x > O par : (3.20) F(z)= Ju’ f(s)ds. u = O ; le cas u #O 124 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV On commence par remarquer que les hypothèses sur f entraînent que z1F(z)1P est bornée et terid vers O lorsque z tend vers O. En effet, si p > 1 : d’où 4F(:x)IP6 Cllt”f(t)llLp(,O,%[). En particulier zlF(z)IP tend vers O quand 4F(z)IPG 1c tend vers O et, en outre, ~/l~’fllP,P(]o,+~[)~ Ces remarques nous permettent de faire l’intégration par parties suivante : pjF(”-2F(z)F’(z)zdz+ M p ( M ) y . Or : rz F ’ ( z ) = (. - 1)z”-2 J, f ( t ) d t (3.21) + .”-lf(z). D’où : z F ’ ( x ) = (v - l ) F ( z )+ z U f ( z ) . On obtient : (3.22) 1“ IFl”(z)dz = -p(. M - 1) IFIP(2)dz d’où ce qui ent,raîne,en utilisant les notations suivantes Xm1 = et a! = / l t ” f ( t ) l l L P ( ] O , + m [ ) hf I/” (JO IF(x)I”) dz 3.1. ESPACES W‘-l’p,r’(RN-’), POUR p > 1 par l’inégalité de convexité de la fonction s H I x j P . Or1 en déduit XI, 125 : < C(P, V)QP. Finalement : Pour la preuve de (ii), on calque la démonstration sur la précédente en fixant 2, puis en intégrant par rapport & L . Le lernrne est ainsi prouvé. On rcvierit à la démonstration du théorème pour N = 2. Soit ‘II dans WIJ’(R x ] O , +m[) et u ( x ) = u(x,O). On peut découper l’intégrale sur R2 de la fonction lu(.) - u(y)IpIx - yl-P suivant les deux ensembles : {y > z} et {x > y}. I1 suffit d’etudier l’intégralc sur le domaine {y > x} : O En élevant à la puissance p et en intégrant en z et y la première intégrale intervenant dans cette égalité, on obtient : Définissons la fonction f ( S , ). = d,7/ Alors, f E LP(R x ]O, +m[). Puisque quer le lemme 4.38, (ii) : + (x s / 2 , s / 2 ) ‘u E W1,p(R x ]O, +m[)! on peut appli- En faisant de rnème pour l’intégrale SV-”: 2 2-Y a,v (y - s / 2 , s / 2 ) d s , O on obtient le résultat souhaité. 126 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV Dans le même temps, on a montré qu'il existe une constante C que : (3.23) I I uI I UT1 ~ 1/ P . P (R) G cII I I w I TJ > O telle (WX I O, +Co [) ' ce qui montre la continuité de l'application trace dans cet espace. Remarque 3.24. On donnera à la fin de ce chapitre une autre classe de relèvements plus appropriés aux problèmes liés aux traces d'ordre supérieur. L'avantage du relèvement précédent est de permettre des calculs plus explicites. Avant de passer au cas général, traitons un exemple : Exemple 3.25. On illustre le théorème démontré pour N = 2 à l'aide de 'Hp, la fonction ip étant un élément de D(R) valant 1 sur [-1/2,1/2] et 'H étant la fonction de Heaviside définie par : On examine, lorsque I < p < 2, l'appartenance ' ~ Ep w ~ - ' ~ P > P ( I R ) . Pour calculer la semi-norme on remarque que sa finitude équivaut à celle de la somme A, des intégrales sur les produits ] - 1/2,O[ x ]O, 1/2[ et ]O, 1/2[ x ] - 1/2,O[. On est ainsi ramené à montrer la finitude de : + La condition d'existence s'écrit donc -p 1 > -1 ou encore p < 2. On peut remarquer ainsi que p = 2 est un cas critique, dans la mesure où X p appartient à tous les W~-'/P~P(R) pour p < 2, et ceci malgré ia présence d'un point de discontinuité au point x = O, alors que cette même fonction n'est pas dans H'/2(R). On peut aussi, dans cet exemple, calculer la dérivée fractionnaire d'ordre 1 - l/p de 'Hp pour p E D(R) (cf. exercice 3.1). La preuve précédente montre l'existence d'un relèvement de 'Hp dans W'J'(R x ]O, +CO[). On peut aussi exhiber une fonction appartenant à l'espace W1,P(lR x ]O, +m[) dont la trace vaut 'Hp sur le bord IR x {O} sans utiliser la définition intrinsèque de H1I2(IW): 3.1. ESPACES W"/p.p(RN-l), Soit, I L définie par : u(x,y) = {+ p(z) POUR p >1 127 < O et O < 11 < - 2 , si x < O et y > -x > O , si x six >O. Soit .i1, une fonction de D(R) qui vaut 1 sur {y = O}. Alors, .i1,(y)u(x,y) appartient à W1+'(R x ]O, +m[) et vaut 'Flp sur R x {O}, lorsque p E ] i , 2 [ . Remarque 3.26. Lorsqu'une fonction présente une discontinuité en un point, sa dérivée au sens des distributions fait intervenir une distribution de Dirac qui ne peut donc s'identifier à une fonction. Ici, on a l'occasion de trouver des fonctions admettant des discontinuités de première espèce dont la dérivée ,fractionnaire est un élément d'un espace Lp pour p < 2 . Preuve du thkorème dans le cas général. O Nous aurons besoin du lemme suivant Lemme 3.27. Les propriétés suivantes, pour un élément u d e LP(RK),sont équivalentes : Preuve du corollaire. 0 On utilise le lemme en exprimant U = ~ ~ u ~ ~ ~lorsque -l~q,q, u E W 1 - l / p J ' ( R N ) En . utilisant l'inégalité de Holder, on a : lu(x + tei) - u(x)lq dt dx 128 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV Preuve du lemme 3.27. 0 Montrons que (ii) entraîne (i). Soit donc u E L P ( R K tel ) que, pour tout i, On utilise, pour z et y des éléments de IRK, les notations suivantes : $ = xJe3+E,",,yJeJ = (z1, z2,. . . , L,, yz+l,. . . , Y K ) avec ZK = x et z o = y. On en déduit l'écriture suivante de u(y) - u ( x ) : h a=K-l U(Y) - 4.) [..($) = - u(zT1)]. ,=O On peut donc majorer la puissance p-ième de la semi-nornie dans W1-l/p~p(RK)par la somme d'intégrales Co-' I? où : I1 s'agit de majorer ces intégrales I,. Pour cela, en posant vJ = lxJ - y3I2 et q = ( p + K - 1)/2, on commence par encadrer le dénominateur (E,q j ) q . Par exemple en utilisant l'équivalence de normes en dimension finie, il existe des constantes Cl, C2, C,, C, ne dépendant que de p et K telles que : Étudions, par exemple, l'intégrale I K - ~en commençant par intégrer partiellement en y1. En utilisant la parité en y1 - 21, les inégalités précédentes avec des constantes Ck lorsque K devient K - 1, et aussi une homothétie sur une variable d'intégration, on a, pour xi fixé, i E [1,KI et YK fixé : 3.1. ESPACES W’”’r’.7’(iWN-’), POUR p >1 129 + Puisque p K > 2 on a 2q > 1 et, par conséquent, la dernière intégrale est convergente. On se retrouve ainsi en présence d’une inégalité : où la constante Ml ne dépend que de p et de K . En inthgrarit cette inégalité par rapport à y2 . les mêmes calculs fourniront la majoration de l’intégrale partielle de I K - ~ en . y l , y 2 , par : 11.11M2 ).(. I A - U(XK-i)/p p+K-3‘ [&3 1x3 - y311 I1 en résulte, par récurrence, que l’intégration partielle en ( y i , y z , . . . dorine la majoration : ~ YK-1) Par un dernier changement de variable, on aboutit à l’existence d’une constante c ne dépendant que dc p et de K telle qiie : En tenant compte de l’hypothèse (ii), cela entraîne la finitude de 1 ~ ~ 1 On procède de la niêrrie manière avec les autres intégrales 1,.On a donc prouvé que (ii) implique (i), et aussi l’inégalité : Inversement, montrons que (i) implique (ii). Ici encore nous utilisons un argument de récurrence sur les exposants des termes au dénominateur. Posons d’abord : O + .(.->IP lo,+m, PK .(.I Ji =JXK tKeK) - t dt,dz. Avec une notation différente, il s’agit là de l’intégrale qui figure dans la conclusion (ii). On la généralise par des intégrales Jk où le nuniérateur de l’intégrant est du type \u(x’)- u(x)I avec une différence . 130 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV t,ej que l’on dit, ici, de longueur IC et t, 3 O, à savoir x’ - x = CKpk+, K : En utilisant la variable x - y dans l’intégrale exprimant la semi-norme de u dans W1”’PJ)(RK)et en se restreignant à des intégrations sur ]O, +00[,on voit que, par hypothèse, J K < 00. I1 en résulte que l’implication (i)+(ii) sera prouvée, pour i = K , si nous établissons que, pour tout k E [1,K - 11, on a l’implication : Jk+1 Supposons donc Jk+1 < 00 =+ Jk < 00. < 00. Soit Servons-nous de On en déduit que JI, est majoré par On procède maintenant à une majoration du numérateur en utilisant un point intermédiaire, noté x*,ii savoir Z* = x + t’eK-k + E E - k + l ( t 3 / 2 ) e 3 qui est situé entre 12: + t,e, et T et en utilisant aussi l’inégalité la + b l P 6 2 P - ‘ ( l a l P + lbl”). On minore les dénominateurs au moyen de t’ + E;-,+, t, 3 t’ + t,/2. E I ~écrivant ainsi : xE-k+l ~E-,,, 3.1. ESPACES W”’”’”(R“-l), 011 obtient JI, < 2p-l [ A+ BI, avec POUR p >I 131 : Dans cette majoration, le numérateur de l’intégrant porte sur une différence x’ - (1: de longueur I; et en tenant compte du contenu du dénominateur, on voit que cette majorante est l’intégrale J k + i . On en conclut que A < CO. Pour l’intégrale B , il noils faut transformer le riurnérateur pour qu’il apparaisse de la forme lu(y) - u(y’)/. y étant la variable d’intégration et la différence y - y’ étant aussi de longueur k . Pour cela. daris 1’iIltégrale B , effectuons la transformation définie par : Le déterminant jacobien de cctte transformation est triangulaire, les ternies diagonaux étant égaux à 1. Donc, l’intégrale B est majorée par : Cette dernière intégrale est du type JI,+^ ; elle est donc finie. Pour conclure, on a : Jk < K ( A + B ) < 30. Pour les autres intégrales le raisonnerrient est le rnênie. L’équivalence entre (i) et (ii) est donc prouvée. En outre, on a obtenu qu’il existe une constante c’ ne dépendant que de K F t y telle que : Cela achève de prouver l’équivalence des normes énoncée dans le lerrinie. O C H A P I T R E 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV 132 0 Nous revenons ii la preuve du théorème 3.9 pour N > 2. Soit u dans W1-l/pJ’(RN-l) et soit t i définie pour t > O par : (3.29) où cp E D(R) avec p(0) = 1. Alors. liiiit,o Cela résulte en effet de : t ) - ullp = O. 117~(., cp(t)(îL(Z + tZ) - car, u etalit daris LI’ (cf. propriéte (2.64)). on a lim,,,o Il-rhu - ulIp = O. I1 faut vérifier ensuite que v E W1,p(RN).La dérivée par rapport à 2 , où 1 i N 1 apparaît. a p e s l’application de la formule de Fuhini et l’utilisation de la variable d’intégration .E, z,, comme une dérivation par rapport aux bornes. On obtient airisi : < < (3.30) ~ + + +t N2%) -l u(s’ te, ~ , u ( T ’ t>) = cp(t) - 742-1 + 2,) dZ,. En utilisant l’inégalité de Holder et uii cliarigenient dc variable 6, = t i , on it : On integre ensuite par rapport k variable (d, t) --f 2’ (X’ ct t , puis = IT’ 011 fait le changeirieiit de + ti,, t), ce qui doii~ie,eii utilisarit le lemme 3.27 et la formule de Fubiiii : 3 . 2 . CAS DU BORD D’UN OUVERT A U T R E Q U E RN-‘ x ]O, m [ On calcule maintenant &u(z’, t ) . On obtient 133 : I1 est clair que la, fonction appartient à LP(RN-’ x ]O, +CO[). II restc & rnoritrei qu’il en est de même pour les iritégrales : En faisant le changerrierit de variable z = t Z , puis cri utilisant l’inégalité de Hdder, on obtient : Eii intégrant par rapport A n.’ ct t . et eri faisant le changenicnt tic variable ( x ’ > t+ ) ( ~ ’ = ~ ’ + t ~ , ~ = f ( l - z , ) ) , o r i o b t i e n t d (~l ’- z~, d) d~. = d~dt, d’où, p i des riiajoratioris évidciitcs : < CO. Ceci terriiiric la prciive du théorème 3.9. O 3.2. Cas du bord d’un ouvert autre que R N p l x ]O, m[ Loisque R est lin ouvcrt C’, or1 a montré daris IC chapitre 2 l’existence d’une application tract A valeurs daris L”(df2). De iiiaiiière analogue A la 134 CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV démarche précédente, on définit l’espace : où d a désigne la densité superficielle sur 862. La propriété du théorème précédent possède l’extension suivante : Proposition 3.31. Soit R un ouvert d e classe C1. Alors, l’image de l’application trace sur W1,P(R) satisfait ci : 7 0( W ’ ~ P (0) w1- ” p > p (XI). Preuve d e la proposition 3.31. 0 Soient u E W ’ > p ( f let ) , Ri, O:, Fi, ai et (pi coinine dans les définitioris 2.65 et 2.66 d’un ouvert de classe C1. Soit vi définie sur IRNp1 x]O, +coo[ par U i ( x ’ , x N ) = (p2u(x’, ai(x’) Z N ) . + I1 est facile de voir, en utilisarit le fait que ai est de classe C’ sur le compact Fi projection sur IRN-’ du support de y %que , vi E WL>p(RNp1 x ]O, +CO[). Par conséquent, grâce au théorème 3.9, la trace, notée yo’üi, de cette fonction de W1>p(RN-lx ]O, +mû[)est dans W1-l/pJ’(IRNP1). On va en déduire, en posarit, 2’= (z’, a t ( z ’ ) ) qiie , la fonction composée .;L, telle que G ( 2 ’ )= (p7u(2’)= ”y0~i(2’) est dans W1-’lp>p(dR n Q i ) . Notons I/G11?; sa serrii-riorine dans ce dernier espace. Pour la majorer, on utilise l’inégalité : En utilisarit le prolongement par O hors de O:, la senii-norme la puissance p est égale à l’intégrale : iiiilii:~, dont fournit la majoration : On a donc U, E W1-l/p.P(i3R). D’après le théorème 2.86, la trace ~ ~ ~ u ~ l la - l semi-riornie /p,p : est définie par E,lTt. En notant 3.3. TRACE DES FONCTIONS DE W'"(b2) 135 et en utilisant la proposition 2.68 et la continuité de l'application trace, on en déduit : 6 ~"1 / I V ~ T LP(n,nn) I / ~ ~ 6 ~ ' " 1 1 ~ 1 1"(a). w1 1 Une partie de la proposition est ainsi démontrée. Inversement, supposons que u E LP(df2) et que la semi-norme I uli-l/P,P dans W1-'/p>*(dR) soit finie. Alors, pour tout i , iip,uili:p < 03 comme il est facile de le voir en utilisant le caractère lipschitzieii de p,. Posons, pour tout 5' E O:, 7 j a ( d ) = y,u(?'). En utilisant les inégalités on obtient une inégalité de type inverse de (*), d'où l'on déduit que u, E W1- 1 / P > P(p1). D'après le théorème 2.86, il existe donc V , E W ' J ' ( ( R N ) +à) support compact dans 0: x [O,S[ tel que I I , = yoV,. Soit alors, pour 5' E O; et X N E ] a , ( d ) , a , ( c ' ) S[, la fonction U, définie par U , ( X ' , X N= ) K ( d , -a,(d) z ~ ) Celle-ci . est définie sur R, n 62, vaut u, sur {ZN = a,(d)}et, en outre, Ut E W1,p(R, n 0 ) . Les calculs précédents montrent qu'il existe une constante C qui ne dépend que de XI,de p et de N , telle que : + + llu~llwlp(n7nn)6 CI4-i/p,p. Définissons U = E, U,. On a U ( d ,O) = E, U,(x', O) = E, p,u(d) = ~ ( z ' ) . D'autre part, U E W'>p(R),car, d'après la proposition 2.68 : I I ~ I "(0) I ~ <~ I I K I r>(n2,nc2) I~~ a (3.32) 3.3. Trace des fonctions de W1>l(R) On traite maintenant le cas des traces des fonctions de W1>'(0). Ce qui suit peut être vu comme un prolongement du résultat précédent si on interprète la dérivée d'ordre 1 l / p = O comme étant la fonction elle-même. - Théorème 3.33. Soit R un ouvert d e classe C1. Il existe une application linéaire continue et surjective, notée 70,qui envoie W1,' ( O ) dans L1(dR). 136 CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV Cette trace coincide avec la restriction au bord d'une fonction lorsque u E wlJ(n)nc(2). E n outre il existe une constante C > O telle que, quel que soit II, E L1 (an), il existe U E W1il(fI) avec you = I L , et : I I ~ / l w l J ( nG) CllUIILl<an>. Preuve du théorème 3.33. O En utilisant le même procédé que pour les fonctions de W ' J ' ( 0 )on se ramène au cas où u est ti support compact dans (RN-l x [O, l[).On a alors, pour presque tout couple (s,t ) de réels strictement positifs, avec s < t pour fixer les idées : Lorsque s et t tendent vers zéro, le membre de droite terid vers zéro. Or1 en déduit que u ( . , t ) est de Cauchy dans L1(IWN-') qui est complet. Soit you sa limite dans L1(pSN-'). I1 est facile de voir que l'application trace ainsi définie est continue. 0 Montrons que cette application est surjective sur L'(EtN-'). Soit donc 7~ dans L1(RNpl) et {uk} une suite de fonctions de classe C1 et à support compact, qui converge vers u dans L'(EtN-'). On peut supposer, quitte à extraire une sous-suite, que : (3.35) Soit alors {ûk} une suite de réels strictement positifs, telle que : Soit la suite de réels définie par : (3.37) t o = cal., tk+l = t k - N k ( v k > 1). La suite { t k } tend vers O en décroissant strictement. On définit la fonction v, sur J R ~ - 'x ] ~t o, [ ,en posant, pour tout t E ]tk+l, t k [ et pour tout x' E R ~ : (3.38) En fait, v E W'>'(RN-' x ]O, t o [ ) . En effet, si j E [1,N t E]tk+l,tk[: - 11, on a, pour tout ~ 3.4. DENSITÉ D E C'(âR) DANS I&'-''" (80) 137 On en déduit : La dérivée par rapport à t nous donne : (3.39) Donc : <c i u k ~ uk+llIl < 00. On a ainsi obtenu w E W1>l(RNplx ]O,to[). Par le théorème de l'image ouverte, l'image par "io de la boule de centre O et de rayon 1 contient une boule B(O,rO) pour un TO > O. Alors, pour tout u E L1(8R), il existe U E Wl,' tel que 3.4. Densité de C'(3R) dans W1-'1pJ)(dO) 3.4.1. Densité dans W1-l/pJ'(ûR). Propriétés de l'application trace Proposition 3.40. On suppose que R est un ouvert de classe Cl duns E t N . Alors C1(dR) n W1-l/p,p(dR) est dense duns W1-l/p>p(dR). Remarque 3.41. Nous pouvons établir ce résultat à partir de la définition de w ~ - ' / P ~ P ( ~ R~a ) . preuve est aiors analogue à celle donnée dans IC chapitre suivant pour EtNp' et Wsip, s E ]O, l [ étant quelconque. Nous avons choisi ici d'utiliser << l'héritage >> des propriétés de W'J'(R). Preuve de lu proposition 3.40. O Puisque R est de classe C l , il existe un prolongement E linéaire et continu de W'~P(R)dans w ' > ~ ( R ~Soit ) . u E ~ ~ - l / p , p ( û II ~ )existe . un relèvement U E W',p(R) de u , soit TOU= u sur 80. Par la densité de D ( R N ) dans W',p(EtN), il existe une suite { U n } de D ( R ~ telle ) que : I ~ U , - E ( u ) I I ~ ~ . ~ ( ~+ N ) O. Soit un la restriction de Un à O. Comme la restriction de E ( U ) à R est U , on en déduit que 138 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV lluTL- UllWi -+ O. En utilisant la continuité de l'application trace, il en résulte : IIYo(un) - u I I ~ l - l / pp(an) = - II?o(Un) - Y o U I I W ~ - "(an) ~/~J 6 Cllu, Ul/Wl "(n) - o. Or, puisque la frontière est de classe C', la fonction -youll,,qui est la restriction de un à dR est de classe C' et, finalement, on obtient -youn E O ~ l ( d Rn) ~ ' - ' / p > p ( d R ) ,ce qui termine. On prouve égalenierit, dans le cas d'un ouvert de classe C', l'existence d'une fonction régulière à l'intérieur de R qui a la même trace que IL sur le bord : Théorème 3.42. Soit R u n ouvert d e classe C'. Soit u E W ' > p ( O ) .Alors, il existe une suite {uTL}c Cm(n)nW1J'(!2) qui converge vers u duns W ' , p ( O ) et telle que -you, = -you sur XI. Preuve du théorème 3.42. O Or1 reprend la construction dans la preuve de la proposition 2.12 du chapitre 2. On rappelle que U E =C P E J * (P34 3 converge vers u dans W'>p(R) lorsque E tend vers O. Soit N VN,E = (PEJ * ((P.74 ~ 9 3 4 . O Par définition UN,,est à support compact et elle converge dans W'>p(fl)vers u, - u lorsque N + +CO.On en déduit par la continuité de l'application trace que : ?O(U, - u ) = o. O La proposition 3.40 et ce qui précède, permettent, eri particulier, d'établir des formules de Green généralisées qui sont des extensions de la formule de Green classique concernant les fonctions de classe C'. C'est l'objet de la sous-section suivante. 3.4.2. Généralisation de la formule de Green et applications Théorème 3.43 (formule de Green généralisée). Soit R un ouvert de classe C' duns R N . Soient U dans W ' > p ( O )et p E D ( I R N , R N ) Alors . : 3.4. DENSITÉ D E C ’ ( i X 2 ) DANS W ’ - ’ / p . p(ac2) 139 où d a est la densité superficielle sur di2 et où ?1 désigne la normale extérieure unitaire ù 80, les termes V u ( x ) . p ( x ) et p(s) . $(s) étant des produits scalaires de vecteurs dans R N et la divergence d e p étant dififinie par d i v p ( z ) = &(cpi)(z). Preuve du théorème 3.43. Dans la situation présente où R est de classe C1, on connaît déjà cette formule lorsque u est de classe C’ sur 2.Soit u E W1,p(f2). Par la proposition 3.40, il existe une suite {un}de C1(n) n W’J’(R) qui converge vers u dans WlJ’(f2) avec, en outre, Y O U , you dans W’-llp>p(ûR). Par les convergences dzu,,pi + diupi dans L p ( 0 ) , on a J , Vu, . ‘p -+ ln V u . p. De même, le terme J, undiv p tend vers J, u div p. Enfin, en considérant les intégrales Jan((n)2piy~(u- u,,)da, on obtient, puisque lIy0(un - P L ) I I L ~ > ( ~ R ) + O, la convergence du ternie de bord i Jan u,(cp. n ) d a vers Jan you(p . n’)da. Cela établit le résultat. O -f Autre preuve du théorème 3.43. Nous proposons ici de redémontrer ce résultat en reprenant les arguments de la preuve du théorènie classique de Green dans l’un des ouverts du recouvrement donné dans la définition 2.65 du caractere C’ de 62. 0 Les composantes upi de la fonction (up) appartiennent à W’,p(R), coniine on peut le voir en utilisant la définition de la dérivée de (upi) au sens des distributions. On peut supposer après changement de cartes, que, quel que soit i, upi E W1>p(Onf2)est à support compact dans O,où O est un ouvert de I W ~ tel , qu’il existe un ouvert O’ de I W ~ - ~et, a une fonction de classe C1 par morceaux et continue sur 0’ avec : c {(z’,zN)I Z N > a ( z ’ ) , z’ t O } , O n df2 = {(d, u(x’)) 1 2’ E 0’). O nR Dans le cas présent, la trace de upi sur le bord de O n 0 est nulle sauf sur O n ûR (arc r/lni’ sur la figure 3.1). Le terme de bord dans la formule se réduit donc à LI -f u(z’,a(z’))p(z’,u(z’)). n (z)da(z’). Notons que la normale extérieure unité à dR est définie par -f n ( x )= Par ailleurs, dc(z’) = Jl - t?N + I V U ( ~ ’dz’) ~et~ on en déduit : ni(z’)da(z’)= ûia(z’) et nN(x’)da(z’): -1. 140 CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV \ _.__ FIGURE 3 . 1 . La localisation en un point frontière. On doit ainsi, pour chacune des composantes, montrer les formules pour tout i <N - : 1, et Pour la première égalité, on approche u dans WIJ’(fl n 0 ) au moyen d’une suite { u n } de fonctions de classe C1. La fonction 5’ H S , j , , ) u , c p ~ ( d , ~ ~ N )étant d ~ ~ à support compact daris O / , on a donc : Par ailleurs, on peut utiliser, dans cette intégrale, la dérivation par rapport à un paramètre, ce qui donne : On fait tendre n vers +CO daris cette égalité. Le premier ternie du second membre adniet pour limite l’intégrale - Ju, a2a(d)(ucpi)(z’, a(z’))dz’. Par définition de la convergence daris IV’)?le ’,deuxième terme du second membre admet pour limite d~(ucpi)dx. En utilisant la dérivée du produit upi, on obtient la première formule (*). 3.4.DENSITÉ DE Cl(aC2) DANS W”/p31’ (8Q) 141 Dans le cas i = N , en utilisant la définition de la trace de : z (.cp)(z’, n(z’) 5 N ) : H + LIL; ~ N ( , u ~ ) ( z ’ , . E N= ) ~ O ( U C ~ ) ( Z ’ ,a ( d ) ) d z ’ , L I d’où la formule (w),en utilisant la forniule de dérivation de d~ ( p u ) au sens des distributions. O Théorème 3.44. Soit O un, ouvert de classe C l . SoieBt u dans W1iP(f2), I I dans WIJ’(RN \ et G définie par : a), u duns R , PI dans RN \a. Alors ii appartient ù WIJ’(RN) s i et seulement si you = yov sur dR. Preuve du théorème 3.44. 0 Supposons que you = you sur df2. Soit alors p E D(RN,RN). En utilisant deux fois la formule de Green précédente sur R et RN \ les étant opposés : vecteurs normaux Ilf et a, Gdivy, = - k u d i v p - LN,nvdivp Comme la normale extérieure unité à df2 est l’opposée de la normale extérieure unité à d ( R N \ O) et que you = yaw, on obtient : (3.45) vu = vu 1 c 2 + vu IWN ,n. Ainsi, G E W1>p(RN). 0 Inversement, supposons que G E WIJ’(RN). On désigne la distribution de Dirac de support ûR (cf. exemple 1.84) par S,,,, laquelle est une mesure. Le calcul précédent nous donne : v’cp E D(RN,RN), lc2 2. p(z)yo(u - v ) ( z ) d a ( J )= 0. Prenons pour p une fonction dont la seule composante non nulle est celle p~ E D ( R N )d’indice N . Alors, l’égalité précédente devient : VP E D ( R N ) , (?“(TL - 71)4,,1?NPN) = 0. On en déduit que, comme fonction de LP(dO), on a : yo(u - v) = O, ce qui termine la prcuve. O 142 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV Corollaire 3.46. Soit R un ouvert de classe C ' . Alors : W,'JyR) = {u I G E W 1 q P ) } , où G est la prolongée par O hors de R. O n a aussi w,""(R)= { u t w'.P(R) I you = O sur an). 3.4.3. Détermination de duaux d'espaces de Sobolev Dual de l'espace W'J'(C2). Proposition 3.47. Soit 1 6 p < t o o . O n considère l'espace produit Lp(R)N+l muni de la norme /l.ullp = ~ ~ v J p ) l ' p .L'application J de W'ip(R) dans cet espace LP(f2)N+1, définie par : (EO" v u E W'Jyn), J ( u ) = ( U , d ' U , d 2 U , . . . ,divu) est une isométrie dont l'image Im J est un sous-espace f e r m é de Lp(R)N+l. Il en résulte que, si T E W'J'(fl)', alors o n a l'égalité : Réciproquement, la formule précédente, où v E L P ' ( f l ) N + l , définit un élément T du dual d e W ' J ' ( 0 ) .La norme de la f o r m e linéaire T est alors : j J T l / ( ~ l= , ~inf{ll.ullpf ), I w satisfait ù (3.48)). Preuve de la proposition 3.47. La première affirmation concernant J est claire. Soit T un élément du dual de W'>p(R) et T * , défini sur Im J par T * ( J ( u ) ) T ( u ) .D'après le théorème de Hahn-Banach, T* se prolonge en une forme linéaire continue sur l'espace LP(R)N+', c'est-à-dire en un élément du dual de cet espace. I1 en résulte qu'il existe, pour O 6 i < N , v, E ~ ~ ' (tels 0 1que : N v u E LP(fl)N+', T * ( J ( u )= ) UP!O +-y(&U,Ui) 1 En revenant à T, on obtient une affirmation de l'énoncé. La réciproque étant évidente, on a la caractérisation d'un élément du dual. Pour la norme, il faut remarquer que le ( N 1)-uplet (ui)oG2GN n'est pas nécessairement unique. Le prolongenierit précédent, qui conserve pour norme celle de T * ,nous fournit par l'inégalité de Holder : + N llT(.)II = llT*(J(u))IlG + II~llPll~OIlP~ II~uiIlP'Il~Z~llP 3.4.DENSITÉ DE C ’ ( d a ) DANS W ’ - l ’ p ~ p ( X i ) 143 < On en déduit que, quel que soit ‘u réalisant (3.48)’ on a IIT(/ résulte l’égalité de l’énoncé concernant la norme de T . ~ ~ ‘ uI1~ en ~ p ~ . O Espace W - ‘,p’ ( C I ) , dual de WJ”( C I ) . Cornme une conséquence de la proposition précédente, on a : Proposition 3.49. Soit 1 < p < $03. Tout élément L du dual de l’espace W,””(CI),lequel est noté W-’iP‘(R), s’identzfie à une distribution V conform é m e n t à la formule : v u E W,’JyCI), L(u)= (V,u), N c1 v où est associée à un élément (vi) E L P ’ ( c I ) ~ +par ’ :v = [ V ~ I 8, [ 7 ! i ] . La norme de cet élément de W-’J’‘(CI) est toujours définie par la proposition 3.47. Preuve de la proposition 3.49. 0 Soit L un élément de ce dual. Le théorème de Hahn-Banach perniet de prolonger cet élément, avec conservation de la norme, en une forme linéaire continue sur W’,P(12).On en déduit qu’il existe des éléments 110,711,. . . , U N , tous appartenant L L P ‘ ( O ) ~ + tels ] , que : N v‘.U E WD’”(fl), L ( U ) = c(a,’VU i ) +, 7L710. 1 Or, l’espace D(R) est dense dans Wt’p(R).La formule précédente pouvant alors être utilisée pour une suite { c p n } convergente vers u,on obtient à l’aide de dérivations au sens des distributions et de la coritinuiti: des crochets de dualité entre L P et LP‘ : N le symbole V représentant la distribution V = [vol az[vi]. 0 I1 est aisé de voir, réciproquement, qu’une telle distribution définit un élément L du dual de Wi’P(0). La norme de L est toujours la borne inférieure précédente des normes dans Lp‘ des ( N + 1)-uplets (v,) qui servent à définir V . O Indicatzom sur le dual de l’espace W1-’lpJ)(dR). Dans le cas de p = 1, l’espace des traces est L’(do). Donc, son dual est LM(ûfl).Pour l’étude du dual lorsque p > 1, on introduit l’espace WP‘(div) défini par WP’(div) = {O E Lp’(62)I div(a) E LP’(CI)}. 144 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV On définit aussi les espaces suivants : R c RN de classe C l , Définition 3.50. Soient un ouvert l’exposant conjugué de p . (I) Si p < N , on pose; pour q’ = Np/(Np- N un réel p > 1 et p’ +p ) : W$(div) = { a E LP’(R,IRN) I div(a) E Lq’(R)}. (3.51) (2) Si p > N , on pose : W t ( d i v ) = { a E LP’(62,RN)I div(a) E L1(R)}. (3.52) (3) Pour p = N , et pour E < i/(p - I), on pose : Wf’(div) = { a E LP‘(R,RN)I div(a) E L1+E(62)}. (3.53) + Ces espaces sont normés par ( ( ~ ( l ~= > ,( (~~ *( ( ~ c / ( d i v a ( ( q le- , nombre q* étant N p / ( N p - N p ) dans le premier cas, q* = 1 dans le deuxième cas et q* = 1 E dans le troisième cas. Alors, on a : + + Théorème 3.54. O n suppose que R est u n ouvert d e classe C1 dans I R N . O n considère, pour tout a E W$(div), la forme linéaire S ( g ) définie par : oc U est un relèvement de PI. dans W’J’(n).Alors, S ( a ) E W-l+l/P’~P’(o)O), dual d e W1-’/”J’(df2) et S est continue et surjective sur W$(div). E n fait, la forme S se prolonge d e façon continue, respectivement, à l’espace W: (div) si p < N , à l’espace Wf‘(div) si p > N et, pour E > O sufisamm e n t petit, à l’espace WF‘(div) si p = N . Remarque 3.55. En principe, dans ce qui précède, p > 1, niais on peut adapter les démonstrations qui suivent au cas p = 1 (cf. exercice 3.6). Dans ce cas où p < N , on a p’ S(W$-(div)) - = +cc et q’ = N . On obtient alors : L1(dR)’ = L“(dS1). Preuve du théorème 3.54. On montre simultanément que S est continue sur W; (div) et sur les espaces W: suivant la position de p par rapport à N . 0 Supposons p < N . Montrons que le second membre de la définition de S ( a ) est bien défini. Cela résulte, d’une part, de a E LP’(R2) et, d’autre part, de la propriété, vraie si p < N (cf. théorème 2.31) U E Lq(R) où q = N p / ( N - p ) est l’exposant conjugué de q’. Par ailleurs, cette définition de S ( a ) est indépendante du choix du relèvement U . I1 suffit, pour le voir, de prouver que le second membre précédent est nul lorsque YOU = O. 3.4.DENSITÉ DE C’(d62) D A N S W1-l’p.J’ (an) 145 Or, YOU = O signifie (cf. corollaire 3.46) que U E W,’”(O). Ainsi, la cohérence annoncée résulte du fait que, lorsque U est daris D ( O ) , on a, par définition de la divergence au sens des distributions, 1, + 1, a(z) . ~ ~ ( : r * ) d z ~ ( xdiv) g(z) ùz = O. (3.56) En observant que toutes les quantités de cette égalité passent ù la limite, ce résultat reste vrai, en effet, par la densité des fonctions de D(f2) daris Wi,p(f2).I1 est évident que la forme S est linéaire. Pour la continuité de S , on utilise la continuité de l’injection de W’iP dans Lq et l’inégalité des normes (3.32) liant la fonction u à un de ses relèvements U . Cela nous doririe : I(S(fl),U)I < ll~IIL.II diva/lLd + I I ~ ~ I I L p I I ~ I I L ~ ~ < C l I I ~ l I W 1 , l ~diV~1ILd Il +ll~~llL~ll~llLP~ ClII~/IW’.p(R)Il~lil~~,4* < CCl l l ~ ~ l l W 1 - l / ~ l ~ P ( n ~ I/gllp’,q*. Cette inégalité nous montre la continuité de l’application S , sa norme satisfaisant à l’inégalité lllSlll CC1 l l ~ l l ~ ’ , ~ * . O Supposons p > N. On utilise la même définition de S ( a ) . Les éléments U appartiennent alors (cf. étape F dans la preuve du théorème 2.31) à L”(R). I1 en résulte que la définition de S ( o ) garde un sens puisque d i v a E L1(0). La cohérence de la définition‘ la linéarité et la continuité se démontrent coniine daris le cas précédent. O Enfin, dans le cas où N = p , le théorème 2.31 nous indique que U E Lq pour tout q 3 p . Puisque, par hypothèse a E WF’(div), on a a E Lp‘ et div a E LI+‘. Le gradient V U appartenant à L P , l’intégrale a ( z ). V U ( z ) d zest bien définie. D’autre part, puisque E l / ( p - 1), l’exposant conjugué q de 1 E vérifie : q = 1 l / 3~I>, ce qui implique que l’intégrale J, U ( z )div a ( z ) d zest égalernent finie. La première partie du théorème est donc prouvée. O On montre maintenant que S est surjective. Pour ce faire, soit f dans le dual Wp1+l/p’,p’(dR) de l’espace Wlp1lp>p(8R).On - définit f sur l’espace W’>p(O) en posant, pour tout U de cet espace ( f , U ) = ( f , ~ o U )Par . la continuité de l’application trace, on a : < + s,, < + I1 en résulte que f e s t un élément du dual W’,p(R)’. On en déduit, à l’aide ) ~ que : de la proposition 3.47, qu’il existe vo E ~ ~ ‘ ( fetl ) E ~ ’ ( ( 2 tel yu E w1-1lP,P (O), (f,U) = 1, v o ( z ) U ( z ) d+ z s, O ( . ) . VU(z)dz. 146 CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV D’autre part, il est clair, en utilisant des fonctions U E D(R) que, lorsque U est dans Wi” la quantité ( f ,u)s’annule. On a donc vo = div e’ce qui revient à dire que o E W$ (div) et que S ( o ) = f . Le résultat sur la surjectivité en découle. On étudie à présent la densité des fonctions régulières dans les espaces du type W: (div), ce qui nous permettra d’interpréter les éléments des duaux précédents dans le cadre d’une extension de la formule de Green. 3.4.4. Résultats de densité et extension de la formule de Green I On se contente, dans ce qui suit, d’examiner l’espace W; (div)(R) lorsque p < N , condition qui implique, comme il est facile de constater, que p’ > 4’. En simplifiant les notations, on démontre : Proposition 3.57. Soat R un ouvert de classe C’ dans I R N . Soat, pour p et q dans [1,03[’avec p > ql 1 ’espace : W:(div)(R) = {O E LP(R,RN)I d i v e E Lq(R)}. Alors D ( D , R N ) est dense dans W:(div)(R). Preuve de la proposataon 3.57. 0 On se donne O E W,P(div)(R). Soient O,, pz,O:,a, les 6léments intervenant dans la régularité C1 de R. Les fonctions vectorielles v, = apz,qui ont leur support borné dans A, = R, n R, appartiennent à W:(div)(A,) car P > q. En effet, on a d’abord < Ipzloollcllp.Par ailleurs, on a div(ap,) = pzdiv o+o.Vp,. Le premier terme appartient à LQ.En appliquant l’inégalité de Holder, avec les exposants t = p / q > 1 et t’ = t / ( t - 1)’ à l’intégrale SA,lo.Vp,1qdx, on obtient également l’appartenance du deuxième terme à L q . On est ainsi ramené à approcher up, par des fonctions de D(a’ IRN). Les fonctions p,e peuvent être prolongées à l’ouvert et pzoappartient à W,”(div)(U,). L’ouvert U, étant étoilé par rapport à l’un de ses points noté 2, (cf. exercice 3.9)’ nous pouvons considérer la fonction 2 ++ hx(2) = 2 , X(2 - 2,). ) est un Pour X > 1, la fonction wz = op, O hX1 est définie dans h x ( A Lqui ouvert contenant strictement l’adhérence de A,. En utilisant les dilatations sur les distributions, (cf. [13, p. 1031) on a, pour tout j E [I’NI, l’égalité a,(w?) = +(a3w,) O hx1’ ce qui entraine que E W,P(div)(hx(A,)). D’autre part sa restriction à A, converge vers w, lorsque X tend vers 1. + 3.4.DENSITÉ DE C’(8n) (an) DANS W’”’” 147 \ x \ \ \ \ \ \ \ . At>: FIGURE 3 . 2 . Utilisation des ouverts étoilés d’un recouvrement lipschitzieri. Soit E: = d ( d R , 3 ( h ~ ( A , ) ) / 2A ,: = {x E h x ( A , ) I d(z,ûR) < E : } et p une fonction régularisarite. Alors la fonction p E ; * w> est définie sur A: et sa restriction à A, convergt’ vers w,, lorsque X tend vers 1, daris l’espace W:(div(A,). En multipliant p E ~ UJ? par une fonction appartenant à D(Ar) qui vaut I sur A, et en faisant ainsi sur chaque ouvert A,, la fonction E, ?,/j?(p,; wt) est une suite de D ( R N ) qui converge vers n dans W:(div(R)). U On ferait la merne démonstration dans les autres cas p 3 N . +: On applique ce résultat de densité & une extension de la formule de Green : Proposition 3.58. Soit f l un ouvert de classe C1 de R N . Pour tout r E E , où E = W:‘(div) (resp. E = W: , E = Wf‘ s,uivant les ualew-s d e p ) , o n définit l’élément, noté r . du dual topologique d e WlP1/”>p(dl2),tel que : I Cette formule constitue une extension de la .forrr~mled e Green car, lorsque r E v ( ~ , R ~La) forme , linéaire r . 3 coincide avec u cf J a n r . 2 y o ~ ( n ) d n . r .i r i l’application défin,ie sur W,$(div), Enfin, soit S : r alors S est ssurjective. En outre, al existe une constante C telle que, si f E W P ~ + ’ / ~ J ’ > P ’ ( X I ) , il existe r E W$(div)(o) tel que ~ ( r=) f et Ilf Il ~//~llMi;:I(di”)(nj. Preuve de la proposition 3.58. O À l’él6rnent r E E donné, on associe l’élément T = S ( r ) di1 dual de ~ ~ - l I p > ” ( û Lorsque ~ ) . uE w ~ P ’ / ~ > et P u (E xw’.P(o) ~ ) t,el que you = u, on a ( c f . théorème 3.54) : ( T ,u)= ~ ( x ;div ) r(x)dx + 148 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV Soit), grâce à la densité précédentje, une suite {pk} de D(RN,RN) qui converge dans E vers 7 . Alors, on a : D’après la forniule de Green (3.43), on a Or, puisque u E L ~ ( R et ) que div(r - c p k ) terid vers O dans L ~ ‘ ( olorsque ) k t o o , or1 en déduit que U ( x )divyk(x)ds 4J, U ( r )divT(r)dx. De irièrrie, on a Jn V U ( r ) p k ( x ) d x+ J,, V U ( r ) ~ ( x ) d a . On associe $ok la forme linéaire, notée (pk.n’)sur ~ ‘ - l / p + ( û ~définie ) s, --f par : D’après ce qui précède, cette suite coiiverge daris le dual de W1-l/”,P(o)fl) -+ vers S ( r ) ,lequel peut ainsi être noté r . n . Remarque 3.59. I1 est clair que si, outre les hypothèses faites bur r , il ap--f partient aussi à C(n,IRN), alors r . n coïncide avec sa restriction ai1 bord au se115ordinaire. Corollaire 3.60. Soien,t un ouuert R d e classe C1 et deux fo’nctioris U E W’J’(R) et V E W1J~(fl)où les exposan,ts p et q vérifient 1 < p < N et l l p + l / q = ( N + 1)/N. Alors, ces desuz fonctéon,s satisfont à la, formule d e Green : 12 U&Vdx t V&Udx = Ln you yoVn,,da. Preuve. e C’est clair, en utilisant le théori?iiie préckleiit, la fonction r 6tant égale à vei. O 3.5. Traces d’ordre supérieur 3.5.1. Remarques préliminaires Hypothéses de réqularité sur les ouverts R. Or1 désignc par le t,erme trace d’ordre supérieur de 11 E WmJ’(Q), lorsque m > 1, les traces des dérivées Dn’u qui sont d‘ordre I C Y/ tel que O 6 v i - 1. On a vu dans le chapitre 2 la coristructioii de la trace d’un élérrient 11, E W1.”(12).Cette construction < 3 . 5 . TRACES D’ORDRE SUPERIEUR utilise l’existence de V u daris l’ouvert utilisant les coordorin6es locales R 149 et s’appuie sur l’égalité (2.89) Cette relation n’a (le sens que si la frontière locale, définie par x’ H ui(z’) est de classe Cl. Nature d e s dérivations SUT df2. Remarquons d’abord que si on est daris le cas R = R ~ -x’]O, +CO[,ICS dérivations sur ia frontière d o = R ~ -x’{O) sont les restrictions des N - 1 premières tihivations daris RN.I1 n’y a alors aucune difficult6 pour définir les dérivations au sens des distributions sur df2 et, donc, pour définir les espaces de Sobolev W”J’(dR). I1 n’en est pas de même dans les autres cas, car la dérivation, par rapport à la variable x,i (te n: E IRN, qui est bien définie dans 0 n’a généraIerrient plus de sens sur l’liypersiirfacc d a . I1 se pose donc le problème dc la nature des dérivations daris 30 et de la défiriitioti des espaces de Sobolev sur 812. On rappelle à ce siijct que, ét,atit, donnés les objets Ri,O:, nt intervenant dans la définition de la régularité de il, c’est & partir de ces cartes que 1’011 définit dans 0, n i3R la mesure de Lcbesgue induite p i . Par recollernerit des morceaux, on obtient sur 812 la mesure p de Lebesgue. On montre ensuite que cette niesure est unique et qu’elle rie (lépetid pas du choix des cartcs lo(:ales, ce qui permet la définition des espaces L”(312). C’est ainsi que nous avons prouvé, par la considération des limites des iritégrales J’ IU(:x’,a L ( x ’ ) l/ri)lPdx’, que la trace TOU était bien dans 0: L”(3R). On procède de la rnêirie façon pour définir les traces des dérivées a J U , puis la trace de VU. En étendant, la définition d’une dérivée par rapport & un vecteur, on peut alors, au rrioyeri de ?(,VU, définir les dérivécs par ra.pport iides dirt ions intrinsèquenient liées à BR,en particulicr, suivant, un vecteur tangent, ii dR ou suivant le vecteur riormal. Ainsi, ces dérivées rie sont tlotic pas définies, du moins directenierit? a,u sens des distributio,ns Ci + tit, supposons qu‘on soit au voisinage d’uti point m o dt: i3R possédant u t i voisitiagc V’ dans lequel cette fronti soit rcprkscntée dans uri rcpere local orthonormé { e ; } par les coordorir du point ni‘ à savoir ( : d , : ï= ~ a ( i : ’ ) ) où a est une fonction de classe C1.Alors, la dérivée de r n par rapport à x3 s’écrivant e3 djn(n:)rN,une base de vecteurs tarigents unitaires 6. db2 en m, mais généralement non orthotiormale‘ est constituée par les vecteurs (oil 1 6 j 6 N 1) : + ~ + t,= + aju(z)en, JI + I V a ( z ) l ~ e; 150 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV On peut alors définir, pour 1 <j < N - 1: + ce qui permet de définir une dérivation par rapport à un vecteur t quelconque de l’espace tangent S ~ ~ l ( d C l ) (En z ) ce . qui concerne la dérivation normale, c’est-à-dire, par rapport au vecteur orthogonal à l’espace tangent, on a déjà vu qu’un tel vecteur s’exprimait par : -Va(z) Ji +eN + IVa(z)l2 On en déduit l’expression d’une dérivée normale de u,à savoir : (3.61) Cette dernière dérivation, qui a déjà joué un rôle iniportant dans la formule de Green, est d’ailleurs essentielle dans la formulation des problèmes de Neumann (cf. chapitre 5 ) . La généralisation aux dérivées d’ordre supérieur à 1 exigent alors l’utilisation des opérateurs itérés V ( k qui ) sont des gradients de fonctions vectorielles (voir ci-après). Supposons les traces de U etj de VU obtenues. En principe, on devrait obtenir, pour you, élément de W1-ll”,P(f2), une meilleure régularité que pour yoVU. Cette régularité se traduit-elle par l’appartenance à un sousespace de W1>p(dR),lequel serait un autre espace fractionnaire de Sobolev, généralisant ainsi l’espace w ’ - ’ ~ P . P ( ~ x I ) ? C’est, entre autres à cette question, que nous consacrons la section présente. En particulier, si k 2 , on verra que le comportement de you et yo(Vu) sur le plan de la régularité est analogue à celui de U et V U , à savoir > que, si you E ~ “ l p l l p > p ( d ~ alors ), ~ O ( V U ) E w“’-’~P.P (an). Rappels de calcul différentiel. Dans ce qui suit, la dérivée V(‘)(u)(x), où k est un entier > O, est l’application multilinéaire dont les composantes sont les dérivées partielles de u au point LC de longueurs égales à k . Par exemple, soit, pour k = 2 , l’application Minéaire V(’),U(Z), dite aussi /iessienne, de u au point IC. La dérivée a$)u(z) est définie conime l’image, par cette + + application, du couple ( n , n ), à savoir, { n J }étant les composantes de 2 : 3 . 5 . TRACES D’ORDRE SUPÉRIEUR On généralise, pour Q de longueur au nioyen de la formule : (QI =k en posant 151 %(a) = n:’ ni2 . . . n g N , i On définit de même les dérivées 8:’ lorsque t est un vecteur tangent. L’exercice 3.14 propose des calculs de telles dérivées lorsque 80 est un cylindre ou une sphère. 3.5.2. Généralisation des relèvements Pour mettre en évidence les propriétés des traces des dérivées d’ordre supérieur ou égal à 1, nous introduisons un autre relèvement de 7 4 mieux adapté aux problèmes concernant les classes d’ordre supérieur, autre que celui jusqu’ici utilisé. Proposition 3.62. Soit p E ’D(RN) et p y ( z ) = l/yNp(z/y). À tout u E W1-’lp1p(RN), o n associe la fonction (z, y) H U ( z ,y) = py * u . Alors, U E W1,p(RNx ]O, I[) et on a YOU = au où Q = JRN p ( z ) d z . E n outre, il existe une constante C n e dépendant que d e p de N et de p telle que : E W1-l’p’p(RN), llpy * < ~IIw~,P(RNx]o,I[) CI/uIIW1-l/p.p(RN). Preuve de la proposition 3.62. O Par les propriétés de la convolution, on a, en utilisant a i p ( t )d t = O : Montrons que cette dérivée appartient à P ( R N x ]O, l[). On utilise le procédé de la preuve du lemme 3.27. I1 s’agit de majorer l’intégrale : On pose .^, = 11: - y( xi t s e s ) , d’où .O = z et x? = 11: - yt, de sorte que N-l ).(. I A - u(x - Yt)l 14% -) +3+1)/. 6 O On utilise d’abord l’inégalité de Holder discrète 1 E:-’ a,Ip 6 la2/p, puis, on majore par l’inégalité de Holder chacune Np-’ des intégrales du type précédent où la différence u(s - yt) - ~(11:) est 152 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV A remplacée par u(:G)- u(x3+1).Ainsi, on peut écrire : I les intégrales I, sont de la forme : < Cx"-'Ij, où Intégrons le premier terme 10 partiellement en la variable y. En utilisant la variable z1 telle que y t l = 21, cette intégrale partielle s'écrit : Le domaine d'intégration des variables t j étant borné dans RN par les bornes du support de p, en particulier It11 K I , on obtient ainsi l'existence de constantes Co et Cg telles que : < où la dernière inégalité résulte du lemme 3.27, en raison de l'hypothèse u E W1-'lp>p(RN). On a ainsi 10 finie. Soit l'intégrale I,. En y posant 2' = .^,, elle devient : L1LN[b.J "(") - u(x'- Y t J + l e 3 + 1 ) lpdt dz dy, Y I, = En utilisant la variable zj+1 = y t j + i dans l'intégrale partielle en y, on obtient de même par le lemme 3.27 : < ~ ~ l l ~ l l ~ + l ,<~ fm. -~/p Finalement, toutes les dérivées &U sont dans P ( R N x ]O, l[). Pour donner l'expression de la dérivée par rapport à y, on suppose que u E D ( R N ) .Alors, en posant &(x:,y) = u(z- yt) et < j ( t ) = t j p ( t ) ' on peut écrire : 3 . 5 . TRACES D’ORDRE SUPÉRIEUR 153 Si 7~ est dans W1-l/pJ’(RN) soit { u n } une suite de D ( R N ) qui converge vers u dans W1-’/pJ’(RN). Alors, il est clair que Un définie par la formule U,, = py un converge, par exemple dans LP, vers U = py * u.En outre, la suite {a,U,} est alors de Cauchy dans L p ainsi que la suite {&Un} compte tenu de leurs expressions en fonction de uTL.Par passage à la limite, on obtient que l’expression est encore valable pour presque tout ( 2 ,y), coniine conséquence d’égalités entre fonctions de LP. À partir de cette forniule, les calculs sont analogues à ceux concernant les dérivées aJU et aboutissent, grâce au lemme 3.27. On a donc obtenu l’appartenance U E WIJ’(RN x ]O, l[).En outre, les différentes majorations nous conduisent à l’existence d’une constante C ne dépendant que de p, de N et de p telle que : IIUIIW1,~’(IWNx]0,1[) G cIIuIIl-i/p,p G ~ ( R N ) . cIIu//W1-l/p O Pour généraliser cette proposition, nous avons besoin de définir d’autres espaces : 3.5.3. Espaces fractionnaires de Sobolev à exposant de dérivation plus élevé La définition de W 2 - l / p J ’ ( I W N ) s’obtient en gériéralisarit celle de W1-l/p>p(RN),c’est-à-dire en remplaçant l’appartenance 7~ E LP(RN) par u E W1-l/P>P(RN)et en reniplaçarit u par les dérivées &u dans la semi-riorrne On poursuit cette extension, dans le cas d’un ouvert R de RN de classe C”, en considérant les dérivations tangentielles, c’est-à-dire par rapport aux + vecteurs t de l’espace S ~ - 1 ( x ) tangent , en x à dR. + Définition 3.65. On pose, lorsque f E C’”(L)et que t est un vecteur tangent à dR au point x : ~j < m, t$)f(x) =W + + ) f ( x ) .t . . . t . (1) Soit R un ouvert de classe C k ,avec IC 3 1 et 1 < p la semi-norine, notée ~ ~ ~ ~ ~ ~ -par l , p : , N , < oc). On explicite 154 CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV (2) L'espace W"-'/p>p(dR) est alors défini par : Wk- 1/P,P (80)= { U E W"l,p(dR) = {TL E W"l,p(dR) I VT E T N - ~~, ~ ~ ~ ~ ~<- CO} l , p , N I VT E T N - ~d+-'~ , E W1pl'p'p (df2)). Remarque 3.66. Dans le cas de R = RN x]O, +m[, ceci se traduit simplement par u E W"'/P>P(RN), ses dérivées diu, prises par rapport aux N variables z, de EtN,appartenant à W"lp1/pJ'(EûN). Théorème 3.67. Les hypothèses étant celles d e la définition ci-dessus, on a alors : W " - l l P > P ( 8 0 )= "lo(W"'P(R)). On commence par la preuve pour N = 2 avec R = Rx]O, +CO[. Dans cette preuve, nous nous proposons d'utiliser le relèvement déjà employé au début du chapitre (cf (3.10)). Ce relèvement, qui fonctionne bien en dimension 1, s'avère difficilement exploitable en dimension supérieure. C'est la raison pour laquelle, dans le cas général N 3 2, on utilisera ( c f . remarque 3.24) le relèvement régularisant introduit dans la proposition 3.62 pour la dimension N . La différence entre ces deux façons de relever est la suivante : dans le premier cas, on convole avec une fonction caractéristique de produits d'intervalles, dans l'autre cas avec une fonction C" à support compact ce qui permet de dériver plus facilement à n'importe quel ordre et d'utiliser un procédk récursif. Cependant, 011 propose dans l'exercice 3.12 de prouver le théorème à l'aide du relèvement, au sens de la convolution par une fonction caractéristique, pour N = 3 avec R = Eû2 x ]O, +a[. Remarquons aussi que dans les cas où R = IR x ]O, +CO[, la dérivée tangentielle est alors la dérivée par rapport à x dans IR pour le premier cas et, dans le cas où N 3 2, ces dérivées tangentielles sont les dérivées &u par rapport aux coordonnées xi dans EtNp'. Preuve du théorème 3.67 dans R = Eû x E%+. O On commence par montrer que : To(WkJyE%x - Rf)) W k - l l P ) p (RI. Notons que cette preuve n'utilise pas la dimension 2 et peut donc être généralisée. On utilise pour cela la commutation entre la dérivation par rapport à z et la restriction à y = O. On fait aussi une preuve par récurrence sur k . Si k = 1 on connaît le résultat. Le résultat étant supposé acquis pour IC - 1, supposons que u E W"p(Eû x Et+). Alors &u E W"'J'(Eû x IR+) donc, par l'hypothèse de récurrence, d,u(z, O) E W""/P (E%) ce qui signifie que 3 . 5 . TRACES D'ORDRE S U P É R I E U R 155 a,u(x, O) E w"'>P(R), et (ûzu)(k-2)(.,O) E W'-'/P>P(R). Ceci entraîne que TL(., O) E w"-l-'/pqR). 0 On passe à la réciproque. La propriété étant évidente pour k = 1, on suppose k 3 2 . Soit u E WIC-'/p~p(R),avec / ~ u ~ ~ ~ < ~CO.l La , P fonction ,2 y étant donnée dans D(R), avec y ( 0 ) = 1, on définit le relèvement : On montre dans ce qui suit que U E Wk,P(Rx]O, m [ )et que U ( x ,O) = u(x). La preuve est faite par récurrence sur k . On suppose donc démontré que : (3.68) Vj, 1 <j < k - ( R )U E W 3 > p ( f 2 ) . 1, u E W J - l / P > P==+ Puisque, par hypothèse, u E W"'/P.P(R), la définition 3.65 nous fournit &u E W k P 2 J ' ( Ret) Ila~~llk-~,, < + ~ oet, par conséquent, on obtient l'appartenance û,u E W"'-l/PJ'(R). Avec la formule du relèvement, on en déduit pour U , grâce à l'hypothèse de récurrence (3.68) : azu € Wk-l,p(R x ]O, +Co[). I1 reste donc à montrer que : (3.69) diu € LP(R x ]O, +Co[). Pour démontrer le résultat, montrons d'abord par récurrence, la formule, k ! (- 1)"' où KI, = yk+1 1, établi pour @-'U. 1 Cette fonction U étant écrite sous la fornie U ( x , y ) = JO u ( z z y ) d z , sa dérivée nous fournit immédiatement : On suppose ce résultat (3.70), qui est vrai pour k = + apU(2,y) = J' O Par intégration par parties, on a : 1 z"("(x + zy)dz. CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV 156 Utilisant alors l'hypothèse de récurrence (3.70) pour l'exposant k voit que ~ ~ u y) ( Is'écrit I:, : - 5!'&zL Y .I" (u(x+ Z ) - + u(x y) ( z - y ) W ) ( z +y) - j! l<j<k-2 - 1, on 1 dz La formule (3.70) est ainsi prouvée. Posons, pour toute la suite de la démonstration : (3.71) + k-1 + A k ( u ) ( zy, , Z ) = (.2) ( -I ~ ( II I : y) : 1 j ! On remarque que : @ - ' A I , ( u ) ( z ,Z~) ,= u("')(II: + Z) - u("-')(z + y), et aussi que A k ( u ) ( zy, , y) = @ A ~ ( u ) (y,zy) , = 0 pour tout indice j tel que - 1. On en déduit, en primitivarit k - 1 fois, la relation : j 6k (3.72) A ~ ( u ) ( IY, I :2), Grâce à des homothéties sur les variables, le secorid membre de cette relation s'écrit encore : Effectuons encore, dans KI,J ,A I , ( zy, , z ) d z , où y est fixé, le changement de variable z = y t l ; on obtient : 3 . 5 . TRACES D'ORDRE SUPÉRIEUR 157 par l'expression : + + Effectuons le changement de variable (x,y) ( X , Y )= (x y , : ~ t k y ) . Son jacobien est 1 - t k , le dénominateur s'écrit y = ( X - Y ) / ( i- t k ) et le domaine d'intégration devient X > Y . En échangeant le rôle de x et de y, on obtiendrait la majoration précédente avec un domaine où Y > X . D'où l'inégalité, en utilisant aussi la formule de Fubini et le fait que (1-tk)pp1 1 < En résuni@,on a montré que dy")U E LP(Rx]O,+CO[), ce qui finit de prouver O (3.69). Le théorème est donc prouvé dans le cas N = 2. O On poursuit pour N > 2 avec des propositions sur le nouveau relèvemerit ' en commençant par un théorème généralisant la proposition 3.62 et qui, en fait, termine la preuve du théorème 3.67 : Théorème 3.73. Soit p E D ( R N ) et, comme dans ce qui précède, p y ( z ) = (i/y")p(z/y). A la fonction u appartenant à VV"'/~,"(R~), on associe la fonction U telle que U ( x ,y) = py * I L . Alors : (I) O n a u E w " ~ ( Ixw]O,~I[). (2) si,de pllLs : Y s = {si}, < IC- O < Is1 I, on a t S p ( t ) d t = O, + où t S = II%(t;'), la trace de U satasfait aux relatzons : (3.74) U ( . r , û ) = <iN p(t)dt)u(x) et ~j E [ i , k - il, ~;U(.E,O) = O. Remarque 3.75. L'existence d'une telle fonction p peut se montrer par exemple en utilisant une fonction 'p E D(R) telle que, pour tout entier P verifiant O < e < IC - 1, on a 'p(t)tedt= 6:. Cette existence fait l'objet de l'exercice 3.8. En définissant alors p ( t ) = rIpp(tJ),il est facile de voir qu'elle satisfait A la condition énoncée ci-dessus. s, 158 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV Preuve du théorème 3.73. O On fait l'hypothèse de récurrence suivante sur IC : vp E D(RN)) u E W'"-'Ip,p(RN) * py * u E w k q R N x ]O, l[). Si k = 1 c'est la proposition 3.62. Supposons le théorème montré jusqu'au rang k 1. Soit u E W"'Ip>p(RN) avec IC 3 2. En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a déjà l'appartenance U ( x ,y) = py u E Wk-liP(RNx ]O, l[). D'après laremarque 3.66, on sait que 8,uE Wkpl-'Iplp(RN) où k-1 3 1. On peut donc calculer 8,U = py 8,u comme convolution de fonctions et l'hypothèse de récurrence nous donne 8,U t Wkp1>p(RNx ]O. l[). Pour obtenir la conclusion suivant laquelle U E W'"ip(RN x ]O, l[),il suffit, à présent, de prouver que 8 , E~w"-'~P(IR~ x ]O, I[). Pour cette dérivée, on a, classiquement : ~ * * N , . I En posant encore & ( t )= t , p ( t ) , l'un quelconque des termes de la somme précédente s'écrit - LN 5z(z/Y)&u(IL.- z)dz * azu. part CÎ E 'D(RN)et = -(<,)y Par l'hypothèse de récurrence, puisque d'une que, d'autre part 8,u.E W'"-l-'/p>p(RN), on en déduit que chacun de ces termes est dans W'"-'>p(RN x]O, l[),d'où la conclusion pour aYU.I1 est ainsi prouvé que E W ' ~ P ( I R ~ x ]O, I[). O II reste à voir que ~ ; U ( X O), = O pour k - 1. Pour fixer les idées, on fait d'abord le cas = 1. On a d,U(z, y) = E, Ç,(t)&u(z- y t ) d t et, puisque 8,u E W'pllp,p, la proposition 3.62 nous donrie, en utilisant J R N p ( t ) t 3 d t= O pour tout j E [I,NI, la conclusion : 8,U(x, O) = O. IC - 1. Puisque la corivolutiori On suppose maintenant i? > 1 avec peut être dérivée jusqu'à l'ordre k - 1 en faisant subir cette dérivation à la fonction u , on en déduit la forniule : u e< e SRN < + On en déduit que %yU(x,O) est une somme de termes JRN p ( t ) t S d t D s u ( z ) , O tous nuls par le choix de p puisque s # O et Is1 IC - 1. < Les deux propositions qui viennent particularisent les relèvements précédents pour qu'ils satisfassent iides conditions frontières, lesquelles, portant sur des dérivées, s'apparentent à des conditions de Neumann : 3 . 5 . TRACES D'ORDRE SUPÉRIEUR 159 Proposition 3.76. Soit k 3 1. Alors, pour tout u t W1-"pJ'(RN) et tout p E D ( R N ) , la fonction V définie par V(x,y) = (ykP1/(k - l)!)py * u(x) possède les propriétés suivantes : v E W"P(RN x ]O, l[), 'dP < k et - ay-lV(2, O) = u(x) p(t)dt t$V(x,O) = O. 2, Preuve de la proposition 3.76. 0 On fait une récurrence sur k . Si k = 1 c'est la proposition 3.62. On suppose que le résultat énoncé pour tout p E D ( R ~ est ) vrai pour l'exposant IC - 1. Soit alors : yk--l V(2,Y) = (IC ~ où 'u - YkPL py * ? L = yPy ( k - l)! l)! * = YU, E WkP'J'(RN x ]O, 1[)par hypot,hèse de récurrence. Soit Si Si Q: un indice de dérivation tel que a N = O, QN =j IQI =k - 1. on a D"(yu) = yD"v t P ( R N x ]O, I[). > O, la formule de Leibniz nous donne DyD"'(y?;)= T J D p q U ) +jD;-lD"'(t1), + ce qui, puisque j ( a ' (= k - 1, prouve également que cette dérivée est dans L P ( Rx~]O, I[). On en conclut que v E w " - ' > ~ ( R x~ ]O, I[). On note dans ce qui suit U Z , y ( t )= u(x - y t ) de sorte que : 7Lz,y(t) = 1 --atJ Y G,y(t). En procédant comme dans la proposition 3.62 (cf. relations (3.63) et (3.64)), on a pour le calcul de ajV : cela, en intégrant par parties le terme JRN p( t ) at 7u( z- y t ) d t . La fonction ( a j p ) y étant dans D ( R N ) et u étant dans W'"'p>p(RN), l'hypothèse de récurrence implique que 8,V E Wk-l,p(RN x ]O, l[).I1 nous reste à prouver la rnênie propriété pour 8,V. On utilise encore, pour l'un des termes de cette dérivation, le procédé décrit dans les relations (3.63) 160 CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV et (3.64). Cela donne d'où 1'011 tire : Le premier terme est dans W"'>P(RN x]O, l[).Tous les termes du deuxième également, grâce à l'hypothèse de récurrence, en utilisant les fonctions q,7= aj(tjP)qui appartiennent â D ( R ~ ) . Pour résumer, on a obtenu V E W k ) p ( R Nx ]O, l[). Les relations au bord sont immédiates. En effet, la formule de Leibniz appliquée à la dérivée en y d'ordre IC - 1 donne, pour y = O, des termes nuls sauf un seul terme, à savoir : Proposition 3.78. Soit u E Wj-l/pJ'(RN) et, pour IC 3 O U ( z ,y) = : Yk -PI/ * u, IC! avec p telle que : Alors : (1) La fonction U appartient ù W k + j ~ p ( R x]O, N 1[)avec une norme dans cet espace contrôlke par celle de u dans Wj-'/*J'(RN). ( 2 ) Les truces de U satisfont aux relations Y e E [O,k + j - il, e # IC * ayu(x,O)= o . 161 3 . 5 . TRACES D'ORDRE SUPÉRIEUR Preuve de la proposztaon 3.78. O On utilise une preuve, en partie, par récurrence sur k . D'abord, si Icy/ = j - 1 ct Q N = O, oil a D a i ~E W1-'/p,p(RN). Donc, d'après la proposition précédente : Yk D"U = -py IC! * D"u E W""p(RN), ce qui implique que toutes les dérivées autres que ~ ; + J Usont dans LP. I1 reste à voir que ??;+jU est dans D'(FiN x ]O, l[).Or : ayu= ~ Y"-l p,*u+ ( k - l)! 7C(7&* u. L'liypotlièse de récurrence assurant que 8 , E~ W'"+J-'>P(R~ x ]O, I[), 0x1 en déduit finalement que U E W k + J J ) ( RxN]O, l[).Cela prouve la première affirmat ion. La niajoration de la norme de U dans W3+k,p(RN x]O, l[),à une constante près, par celle de u dans W J - ' / P > ~ ( Rrésulte ~) des calculs précédents. Pour les conditions au bord. on remarque d'abord que, par la formule de Leibniz, on a ûhU(x,O) = O pour tout 1 tel que 1 < k et a,"U(x,O) = ( J R N p ( t ) d t ) u ( x ) . Pour les exposants 1 tels que k < 1 IC j - 1, on fait encore une preuve par récurrence sur IC, j étant fixé. Pour k = O, c'est le theorèrne 3.73 où IC est remplacé par 3 . On suppose que la proposition est prouvée pour j et IC - 1, autrenient dit, on suppose que, si U ( J ,y) = (y"-'/((IC l)!)) py * U , alors u est dans W ~ + J - ' > " x( R]O,~I[) avec les conditions : < + ~ ye < k +j - 2, a;u(L,O) = SF-' (lN p(t)tlt)+). Soit V ( x ,y) = (yk/IC! )py * 71. En posant encore qJ = 8, ( t 3 p ) et en utilisant des calculs déjà faits (cf. relation (3.77) et celles qui suivent), sa dérivée par rapport à y s'écrit : Par l'hypothèse de récurrence, la fonction p étant dans D ( R N )et satisfaisant + à la condition JRN p ( t ) t'dt = O pour E [ i , j- I], on a : e Pour les termes de la somme V,, il importe de vérifier la propriété d'orthogonalité de la fonction q,?. 162 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV + Soit, pour Is1 E [ î , j - 11, l'intégrale JRN q,(t)t"dt. Puisque riJ une intégration par parties sur la variable t, nous donne : y a,(t,p), On peut donc appliquer aux termes de V2l'hypothèse de récurrence. On en déduit ainsi que : ti (e(6 I; +j - 2, apex, O) = u(.)s; I1 en résulte bien que a i V ( x ,O) = O pour k (LN p(t)dt) < IC + j < - O 1. On étend les résultats précédents au cas d'un ouvert quelconque dans le théorème suivant : Théorème 3.79. Soit un ouvert R borné de classe C" dans RN. < (1) Pour O 6 j m - 1, l'application cp H û$)p de l'espace C"'((S1) dans 1 'espace C"-j (30) se prolonge e n u n e application linéaire continue, notée yj, de WmJ'(R) dans W"-j-l/p,p(dR). ( 2 ) D e plus, l'application y qui, ù u E WmJ'(R) associe le m-uplet : (u, d,u, . . . ,a,(7. 1u,. . . ' 8 , (m-l)u) est linéaire, continue et surjective sur 1 'espace produit : W"-l/P>P(dR) x . . . x W m - . 7 - l / P > P ( d ~x) ... x W1-llP>P (an). Preuve du théorème 3.79. O On prouve la première affirmation. On commence par montrer la continuité de U H y3U où j 6 m - 1. Par 4 + + définition a$ = V(j) . n . n . . . n . En développant, on obtient l'expression : D'après ce qui précède, puisque l'ouvert est de classe C'", les applications U H yO(D"U) où = J sont continues. Le passage aux dérivées normales fait intervenir des produits d'une fonction %t de WJ-l/p,p(dR) par une fonction f élément de C". On montre (cf. exercice 3.13) que l'on a IN/ l l ~ f l l W ~ - l .(an) / " G cll4lwJ-1/""(an) où la constante C dépend des normes de f . On en déduit l'existence de constantes cJ telles que : lIyJ~//W""3-1/1' "(an) < CJ IIUIlW..L "(n). 3.5.TRACES D’ORDRE SUPÉRIEUR 163 Les applications yj étant linéaires et continues, on obtient aussi ce résultat pour l’application y à valeurs dans l’espace produit muni de sa topologie de normé correspondante. 0 On prouve la surjectiviti: de y en nous plaçant d’abord dans le cas où R = RN-l x ]O, +CO[. Soit une fonction donnée u = (urn,‘ ~ ~ - .1. .,, u1)dans l’espace produit. On note U u 3 , k la fonction de la proposition 3.78 qui vérifie ayk UtLJ, k = uj et, pour # IC : e 0. On définit alors la somme U = ?lu, ,m-3. C’est un élément de W l n , p qui satisfait à l’égalité y(U) = u,ce qui démontre la surjectivité. 0 On considère à présent le cas où R est quelconque. En ut,ilisarit les termes de la définition de la régularité de R,on se ramène‘ pour mett,re en place les relèvements, à raisonner dans l’ouvert Ai = Ri n R. Soit wpi E W“-’/f’J’(d*Ai) où d*Ai = dR n Ri. Pour simplifier, ucpi sera noté u et on omettra les indices i . On peut supposer que O’ = B N - ~ , boule daris RN-l. Considérons l’application de A dans IRWNp1x ]O, +CO[ qui envoie IC point (d, ZN) de A sur le point (Z’, y ) défini par : Z’ = x’,y = xpJ - a(z’). a,Uu,,k Diagramme d u relèvement de Y FIGURE 3 . 3 . Siirjectivité de y. I1 est facile de voir que cette applicatiori est iriversible et que c’est un difféoniorphisnie de classe C“ sur son image. L’image de d*A est un ouvert de EN-1. Les propriétés d’appartenance aux espaces de Sobolev pourront se transporter par cette applicatiori a. Cette situation est illustrée dans la figure ci-dessus. CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV 164 Venons-en à la surjectivité de y sur dR. Pour simplifier, on étudie le cas m = 2. Soit donc 7~ E W’-’/PJ’(A). On nioiitre l’existence de V E W2J’(fl) avec : V(X’, a ( z ’ ) ) = O ct dzV(.E’.a(%’)) = U ( T ’ , u(2-l)). Pour cela, soit U E W2>p(IWNp1 x ]O, t o o [ ) telle que : ~(d O) = , O et O) NNu(T’, + u(T’, a(s’))z/i JVa(z/)l2. = L’existence d’une telle fonction est assurée par la proposition 3.78. On définit V ( T ’ , X N ) = U(Z’,TN - a($)). Alors, on a V ( d , a ( s ’ ) )= O. Par ailleurs, on a, en derivant par rapport à 2, : d , V ( d . Z N ) = d,U(T’, J N - a(z’)) ~ & U ( . X / ) 3 N U ( X ’ , .XN - a(z’)), d’où : tI,V(d,a(%’))= d,U(z’, O) - d î U ( X ’ ) d N U ( L ( O). En tenant compte de d,U(s’, O) = O et en se reportant A l’expression de la dérivée norniale (cf. (3.61)) le long de la frontière, on obtient : &V(z’, - O(%’)) = E,d , U ( T / ) d , V ( X ’ , a(?!)) Ji - -t d N V ( S ’ , n ( x ’ ) ) + (VJn(z’)j2 + CL(aiCC(d))2dNU(x’, O) djVU(z’:O) Ji JVa(:r’)l2 + = Ji + \Va(x’)12dNU(Z’;O) = U(X’, a(z’)). Pour terminer la preuve de la surjectivité, il suffit, sous l’hypothèse de l’appartenance u E W2-1/p+‘(A), de montrer l’existence de V daris W2,P(0) qui soit tclle que : V ( d ,&’)) = Il>(rC’, f L ( X ’ ) ) . Soit U E W 2 ~ r ’ ( ~ Nx- 1JO. +m[) avec : U ( d ,O) = u(z’,n ( z / ) ) et dNU(T’, O) Alors, si V ( d ,: E N ) = U ( d .3:N - a(%’)),on a bien V ( d , a ( z ’ ) )= U(.C’, O). = O. : CI Remarques (concernant des cas particuliers). Notations daris le cas p = 2. Lorsque p = 2, et IC un entier autre que O, on dbsigne par ( X I ) ,l’espace W“1/2s2 (an). 3 . 5 . TRACES D’ORDRE SUPÉRIEUR 165 Étude du cas p = 1. Soit u E W2>l(RN-’x ] O , +oo[).Alors il est clair que you t W1,l(RN-l). Cependant, cornnie il est rrioritré dans [12],l’espace des traces est pliis petit que W1>’(RN-’). C’est d’ailleurs un problènie ouvert que de caractériscr l’espace yo ( W 2 >(lR N - l x ]O, +oo[)). En revanche, on sait caracteriser la deuxième trace axu. Plus généralement, on a le résultat suivant : Proposition 3.80. Soit ni 3 1. Alors l’image de l’application trace ym-l satisfait rL : ym-l ( W y a ) ) = L ’ ( d a ) . Preuve de la propostfaon 3.80. II est clair que ylll-l(W711~1(i2)) c-t L’(d62). 0 Illoritroiis le résultat poiir m = 2 (cf. [12]). Soit donc g t L1(RNP1)et une suite { p p } p t Oincluse dans C,?(RNp1)qui converge vers g dans L1(IWNp1). On peut en extraire une sous suite telle qiic (cri la iiotant de la niêrne façon), on ait : Soit {a,} une suite de réels strictemerit positifs t,elle que Soit t o = Co a?)et t,+l = t, - op. La suite {t,} ainsi définie est strictement décroissante et teiid vers zéro quand p tend vers l’infini. Soit t verifiant O < t t o . Alors, il existe t , et X E [O, 1[,imiqucs, tels que t = At,+, (1 X)t,. On definit alors, sur mgN-1 x [O, t o ] , la fonction 71 par : Co + Pour tout x’ E IWNP1, on a linit,o les fonctions suivantes : ilv(..t) - < - SII~I(*N-I) = O. Montrons que sont (laris L’ ( I W ~ - ‘x ] O , t o [ ) . Pour u , cela résulte du fait que X p, t L ’ ( I w ~ - ~Par ) . ailleurs, on a pour z = I , 2 et pour 3 t [I.N < 1 et que - 11. grâce CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV 166 à la définition de ap : O tn;; O Sur [ t p + 1 , t p ] , on a = (t - tp)/(t,+i - t p ) ,donc la dérivée en t sur cet intervalle s’écrit (‘pp+l - ‘p,)/(t,+i - t,). On en déduit : +oc O so Soit niairitcilarit u définie par u(d, Z N ) = ( ~ ( z N ) Z N w j d , t ) ùt où la fonction p est une fonction de D(R) qui vaut 1 au voisinage de zéro. Alors : 31L u E W2”(ÏRN-’X ] ( ) . t o [ ) , -(.’,O) = g(d) rt u ( d , o ) = 0. 0 aXN 3.6. Théorèmes d’injections continues. Injections compactes 3.6.1. Résultats d’injections continues Théorème 3.81. Soit R un ouvert d e R N , d e classe CIC. Alors, o n a les injections continues suiiiantes : (1) si N > kp : w“ (2) 1 l P J J(80) Lf si N = k p : y q < 00; W”-1/”.” l)p/(N-b) - (an) (an). L4(3R). ( 3 ) Si N < k p , alors, [Nip]désignant la partie entière d e N i p supposé n o n entier : VA < [N/p] + 1 - N/p, Si N / p E N,Wk-’/PJ’(3f2) - W”-‘/P>P(d62) C,IC- [ N / p ]- 1 . A (an). Ch-N’p-l’A ( 8 0 ) quel que soit X < 1. ~ - i 3.6. THÉORÈMES D'INJECTIONS CONTINUES. INJECTIONS COMPACTES 167 - Remarque3.82. Si on étend la formule Wk,P(lWNP1) Lq(IWNp1)dans le cas k p > N - 1 à des exposants k non entiers, en particulier dans la situation présente, on trouve bien la condition : On peut faire des remarques similaires dans les autres cas, k p > N et kp = N . En fait, on montrera au chapitre suivant, une fois définis les espaces WsJ' où s est > O et non entier, l'existence d'injections analogues pour tout s non entier. Dans ce qui suit, on note (RN)+ l'ouvert IWNP1 x ]O, +m[. on debutera les preuves du théorème 3.81 par ce cas particulier. Preuve des assertzons (I) et ( 2 ) dans le cas où O = (R~)+. O Assertion (1). On suppose dans ce paragraphe que k = 1 et donc quc p < N. Soit C une constante telle que, pour tout u E W1>~(IWN-l), il existe pour u un relèvement U E W1>p(IRN-' x ]O, +m[), (donc U ( d ,O) = u(d)) tel que : lIUllW l P ( R N - 1 X ] O , + m [ ) Soit y = ( N - l)p/(N (3.83) ~ p ) , d'où y 1 U (d,O) lY < y - <~ I l 4 1 , P ~ 1 = ( N ( p- l ) ) / ( N - p ) . On écrit : lm 1 1 1 U ( d Y) En utilisant Holder, on obtient d N U ( Z / Y) , 14,. : Finalement, en intégrant par rapport à d et en utilisant l'inégalité de Holder, on obtient pour la norme de daris L Y ( I W N - l ) : TU < c ~ ~ U ~ ~ & l , ~x]O,+m[)' ( ~ N - ~ ce qui donne le résultat souhaité dans l'affirmation (1) pour k = 1. Pour la suite de l'affirmation (1) dans le cas de (RN)+, on fait une preuve par récurrence sur k . Supposons donc que l'assertion 1 soit démontrée pour k - 1. Soit 71 E Wk-l/P>p(RN-l).Alors, par définition, 011 a u E W"l>p(RN-l) et af-luE w'-'/~>~(Iw pour ~ -tout ' ) i N - 1. < CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV 168 Par le théorème d'injection du chapitre 2 , puisque (IC u - 1)p < N - 1, on a L(N-l)P/(N-l-(lc-l)p). implique, par l'hypothèse de récurL'appartenance aiu E W ' " - ' - ' / p , P rence, a i E~L ( N - l ) p / ( N - ( k - l ) p ) . Ainsi, on a E LP et E L(N-l)P/(N-1-("1)") et, puisque ( N - l ) P / ( N - (IC - 1 ) P ) E [P?( N - l ) P / ( N - 1 - (IC - 1)P)l' 011 en déduit u E L ( N - l ) P / ( N - ( k - l ) P ) , Finalement, on a u E W1,(N-l)pl(N-(k-l)p).On en déduit encore par le théorème d'injection du chapitre 2 que u E L ( N - l ) p / ( N - k P ) . L'assertion (1) est donc prouvée dans le cas de ( I R N ) + . 0 On montre (2). - Si IC = 1, p = N , W 1 > N ( ~ N x - l ]o,co[) L) L4(IRN-l x 1 0 , 4 Pour tout q < CO. En utilisant l'inégalité (3.84) avec y quelconque, on obtient w ~ - ~ L) I ~q~ pour > ~ tout q < CO. Supposons maintenant IC 3 2 et ICp = N . Alors, on a (IC - 1)p < N , ce qui implique : - w ~ - - ~ - ' / P , P ( R N - ~ )Lf ~ ( N - l ) p l ( N - ( " - l ) p ) ( ~ ~ N - l )= L N - ~ ( R N - ~ ) , Mais u et Vu appartiennent à W"l-l/")p(RN-l), d'où il résulte que u E W1,N-'(RN-l). Par le théorème d'injection de Sobolev pour les espaces W1,N-1 ( I R N - ' ) , on en déduit que u E L Q ( R N - ' )pour tout q < 00. L'assertion (2) est donc prouvée dans le cas de ( I W N ) + . O Preuve des assertions (1) et ( 2 ) dans le cas général. 0 Soit maintenant R un ouvert de classe C k . Montrons, en reprenant les conditions de la régularité de R, la continuité des injections sur Wk,p(f2)dans les cas (1) et ( 2 ) . Soient Ri des ouverts qui recouvrent R, {Oi} des ouverts de et { u i } des fonctions de classe C k sur 0 1 , tels que pour tout i 3 1 : Ri n 0 c { ( x ' , z N ) I X N > ui(z'),5' E O i } , Ri n dR = { (d, ai(d))I X' E Oi}. Soit (pi) une partition de l'unité C k subordonnée au recouvrement de R par les 0,. Les hypothèses de régularité uniforme de l'ouvert R entraînent qu'il existe une constante Cl telle que \Ji? Il4C"(O,) + IIPillcyn,) < Cl, 3.6. THÉORÈMES D’IN3ECTIONS CONTINUES. I N J E C T I O N S COMPACTES 169 Notons que cette propriété entraîne aussi l’existence d’une constante C3 telle que : vu E w ” - ” ~ ’ ~ ( ~ R )IIuillWk-l/i’.P(annn,) , < ~ 3 1 1 u l l w ~ - l(an)‘ /i~.p i Soit u E W”l/p>p(dR). Ainsi, la fonction IL^ = ( P ~ I Lsatisfait à l’appartenance u . ~E ~ ~ - ~ l p l n p f( i id) .~ Soit q ( d ) = u i ( d , u a ( d ) ) . Par les propriétés de a t , il est clair que vi E W”’/”,”(RNp1). On en déduit que iii E LQ(RN-’) pour q < ( N - l)p/ ( N - k p ) , d’où 1’011 déduit que ui E LQ(Ri n 80). En outre, il existe des constantes toutes désignées par C, telles que : Preuve de l’assertzon (3) dans le cas d e (RN)+. On suppose aussi pour commencer que k = 1 et p > N . Soit une constante telie que, pour u E W ~ - ’ / ~ > ” ( I Wil~existe -~),u E W 1 , p ( ~ N - xl ]O, + m [ ) avec ~ ( z ’O), = u ( d ) , et c llullW1 z ’ ( W N - l ~ ] O , + m [ ) < CIIullW-<l/p> p(WN-1). On utilise le théorème d’injection 2.31 dans l’espace précédent, à savoir : vu au chapitre U E W y R N - 1 x [O, m [ ) ==+ u E C,OJ-(NI”)(IWN-1). Alors, pour tout t E [O, b] où S > O et pour tout ( x ,y) E (RN-1)2, on a : lU(J’t) - U ( Y , t ) l < ClIUllWl ”(WN-1X[O,m[)IZ - YI l - ( N / p ) , En faisant tendre t vers O, on obtient le résultat (3) pour k = 1. Soit maintenant k > 1 et supposons pour commencer que k p > N ( k - 1)p. Soit D un opérateur différentiel portant sur les variables 5 , autres que X N . Si D est de degré inférieur ou égal à k , on a DU E Lp(RN-l x [O, m [ ) donc, par le théorènie de trace appliqué successivement à chaque dérivée d’ordre inférieur ou égal à k - 1, on obtient u(d, O) E W”l,p(RN-l). D’autre part si D est homogène de degré k - 1, l’appartenance de U à W’”-l>pentraîne celle de D u à W1-’/pip(RN-l) et, par la première partie de la preuve, D u E Ch’l-(N/p)(RN-l). Finalement, u E W “ - ’ ) p et D u appartient donc à C:’l-(N’p) (R - 1 et, par conséquent, on obtient u E (RN-1). Cb:’”-(”’”) 170 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOROLEV Si k p > N et si N / p n'est pas un entier, soit j E N tel que et j p > N > ( j - 1)p (autrenient dit j = [ N / p ] 1). On a D("-')u E W-'-(l/p)J'(RN-l) et, par ce qui précède, Dk-3u E C:'J-N/p(RN-l). On en déduit que : + Le cas où N l p E N est laissé au lecteur. On passe à présent à la compacité de certaines de ces injections O : 3.6.2. Résultats de compacité pour dS2 borné Théorème 3.85. O n suppose que dR est borné et C k . (1) Soit p > 1 et N - 1 la dimension de dS2. On suppose que k p < N . Alors, l'injection de W"'lpJ'(df2) dans Lq(dS2) est compacte pour tout q < ( N - l)p/(N kP). ( 2 ) Si k p = N, l'injection de Wk-1/pJ'(dS2) est compacte dans tous les LY (df2). (3) Si k p < N . l'injection de W"'/p.P(dR) dans Ck-'-[N/pl,X(aR) est compacte pour tout X < [ ( N / y ) 11 - N / p . ~ + Preuve du théorème 3.85. 0 Daris le premier cas, il suffit de montrer que l'injection de W"'lpJ'(dR) dans LP(dS2) est compacte, puis d'utiliser le lemme 2.82 du chapitre 2. I1 suffit de montrer le résultat avec k = 1, et pour des fonctions de 1 l P J J(p1 x {O}) à support dans un compact fixe. Soit donc { u n } une suite bornée dans W1-l/p)p(RN-l) à support dans un compact fixe. Par la continuité du relèvement de W'-'/pJ'(RN-l) dans W ' , p ( ( R N ) + )il, existe E, égale à urLsur le bord telle que G, est bornée dans I+"J'((RN)+). Soit $ E D ( R N - ' ) , égale à 1 sur tous les supports des u n ,et p E D ( R ) ,égale à 1 en O. Alors la suite des un définie par I I , ( X ) = Gn(x)ljl(d)p(z~) a la même trace que G, et est à support dans un compact fixe de RN-' x [O, cm[. w1- 3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3 171 Par le théorème de compacité pour les bornés de W',p(n) lorsque R est borné, { u n } est relativement corripacte dans L P ( R N ) .On a pour n et m deux indices d'une sous-suite convergente dans L P , encore notée { u n } : "1 et. en intégrant par rapport à 11% - u&,~(RN-I~{~)) 2' et en utilisant Holder G ~IlvrL - %Il;-'( +lbn,~Ilp) IIvn,~ilp qui tend vers O quand n,m + 00. La suite { u T Lest } donc de Cauchy dans Lp(pSNp1),donc elle converge dans LP(RN-l) vers 2' ++ u(.r', O). Supposons k p > N . I1 suffit de montrer que l'injection W"'lP>P(] - 1, q N - 1 x{O}) - C([-1, 1IN-' x {O}) est compacte et d'utiliser le leninie 2.85. Soit {un}une suite bornée de W"'lPJ'(]-1, l[N-lx{O}), et une suite bornée de Wk3p(]-1, l[N-l x]O, 1[)qui vaut unsur le bord. Par la conipacite de 1'iri.jection de WkJ'(] - 1, l[N-lx]O, 1[)dans C( [-1, 1IN-l x [O, il),on peut extraire une sous-suite de u, qui converge dans e([-1, ilNpi x [O, 11). En particulier, elle converge dans C ([ 1,1]N - l x {O}). ce qui donne le résultat. O 7x - 3.7. Exercices sur le chapitre 3 Exercice [**I 3.1 (dérivationfractionnaire). I1 s'agit, dans cet exercice, de donner des propriétés de la dérivation fractionnaire des distributions. En particulier, on pourra justifier la remarque 3.2 du début du chapitre 3. Dans ce qui suit, on désigne par 'Ft la fonction qui est égale à i sur ]O,+m[ et nulle sinon. Pour la définition des parties finies qui sont utilisées ici, on se reportera, par exemple. à l'exercice 1.27 du chapitre 1, niais on peut aussi se contenter de la formule suivante, valable si (I: E ]O, l [ : On rappelle la définition de la convolée de deux distributions T et S de D'+(IL?).La fonction q E D(R) valant 1 sur un voisinage de siipp(cp), cette convolée est définie par : (T*S,cp)= ( T : ( ( S , 7 7 ( ~ ) 7 1 ( Y ) C p ( Z + Y)))). Dans la plupart des cas, on pourra se contenter de calculs formels en négligeant l'intervention de cette fonction 7 . 172 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV On admettra que la dérivée de la distribution obtenue est la coiivolée SI * T ou la convolée S TI. On rappelle la définition de la fonction eulérienne B , à savoir : * v a > O, t i p > O B(cy,/j) = t-yl - t)wit. Elle satisfait aux relations : Enfin, on prolonge suivantes : r sur les réels négatifs non entiers au moyen des formules et ainsi de suite, sur tous les segments ] - n - 1, - n [ . La dérivée fractionnaire d'ordre m de la distribution T E D$(R) (cf. 1371) est, pour m non entier > O : et P ( T ) = S ( m ) A T = T ( m )lorsque rn est entier. (1) On considère, comme premier exemple, la dérivée d'ordre 1/2 de cy > O. Prouver le résultat suivant, où K est une constante : 'R(z)z" lorsque Plus généralement, déterminer la dérivée d'ordre s de cette fonction X(z)zcy lorsque s E ]O, l [ (on pourra se servir de la définition (*)). En utilisant la dérivation d'une convolution et les dérivées des parties finies, déduire du résultat précédent la dérivée d'ordre s de Y(z)z" lorsque s E Il, 2[. Généraliser à un ordre de dérivation non entier positif quelconque. (2) Lorsque a et /3 appartiennent à ]0,1[,déterminer la convolée des distributions S = K ( X ) X -et~ T = K ( z ) z - f i , convolée qui peut être alors considérée au seils des fonctions. Préciser le résultat lorsque a ?!, = 1. Eri déduire l'expression de la composition des deux dérivations d'ordres non entiers m > O et k > O à l'aide de la dérivation d'ordre m k . (3) (Question en relation avec l'exemple 3.25). Soit f la fonction valant 1 sur ]O, l [ et nulle hors de ]O, l[. On suppose p > 1. Déterminer la convolée de fonctions ' F ~ ( X ) X ~ / "*- f~ . Er1 déduire la dérivée fractionnaire d'ordre 1 - l / p de f . on remarque que le résultat est une fonction, contrairement aux dérivées d'ordre entier qui font intervenir des distributions de Dirac. Montrer que cette dérivée fractionnaire n'appartient à Lp(R)que si p < 2 (cf. exemple 3.25). + + 3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3 173 Indications. Pour ( l ) ,en appliquant la définition d'une convolution de distributions, on obtient : ( T ,'p) = ('Ft(z)z", (Pf('Ft(Y)lY3/">(P(~ + Y))) Ensuite, une intégration par parties fournit : I1 en résulte, à l'aide d'une translation sur la variable : En utilisant ensnite la formule de Fubini et la fonction eulérienne B ( o + 1 , 1 / 2 ) , obtient : ( T ,p) = K ' ~ ~ m ~ ' y + 1 / 2Une p ' (intégration ~). par parties donne firialement, puisque <Y > O, le résultat souhaité : 011 Un calcul analogue détermine la dérivée d'ordre s E ]O, l [ . On trouve encore la fonction K,'Ft(x)za+. Or1 généralise la formule en remplaçant lorsqiie a - s - 1 la fonction puissance par la partie finie associée. Pour cela, par exemple, si s E ] 1 , 2 [ (d'où cr = s - 1 E ]O,i[)eto-s<-l: d" ('H(:c)z") = d[d"('Fl(x)z")]= K , d [ ( ~ ( z ) z " - " = ] K,\ Pf(lF1(z)x;"p"). En utilisant une dérivation d'ordre entier, cette formiile est générale. Poiir (2), le calcul arialogue est valable, on trouve, à une constante près qui s'exprime à l'aide de la fonction eulérienne B , la fonction 'H(z)z'-("+~). En dérivant la formule obtenue, on obtient la propriété demandée. POW ( 3 ) On trouvera pour la corivolée y z ' l p sur 10, il et, p [ r l l " - ( x - i)'/i1 1 si :c > 1. La dérivée fractionriaire est la dérivée d'ordre 1 de cette fonction. On étiidie sans peine l'appartenance à L"(R). Exercice 3.2 (continuité faible d'une application trace). Soit R uri ouvert de RN de classe C1 et soit p > 1. Montrer que I'applicatiori trace est contiriue pour la topologie faible de W'i"(62).Plus précisérnerit, si {u,}coriverge faiblement vers 'II dans W1."(~2),(c'est-à-direque un 2 u daris L P airisi que Vu, vers Vu.) alors converge faiblement vers yyu daris W1-llPJj (XI). Indications. Soit f E Wp1+1/"'3p'(d62). On utilise la surjectivité de l'application S introduite dans le théorème 3.58. Ainsi, il existe cr E W"'(div)(R) avec i f =cr, n. On a : d'où le résultat. 174 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV Exercice 3.3 (exemple d'application trace non faiblement continue). On demande de vérifier que l'application trace de l'espace W1,'(]O, l[") dans l'espace L1 (]O, l[N-lx {O}) n'est pas faiblement-étoile continue. Pour cela, on utilise la suite {un}définie par u n ( z " z N ) = (1 - nz")x]o,l/n](~N). (1) Montrer que {uTL}est bornée daris l'espace W1,'(]O, l[N). (2) La suite {un} est incluse dans l'espace BV des fonctions (cf. section 6.3 du chapitre 6) qui sont dans L'(Io, l [ N )et dont le gradient est une mesure bornée sur ]O, l [ N On . définit dans ce chapitre 6 la convergence faible de la suite { u n }vers ru dans BV par les conditions : 11% - ull1 - 0, v p E CC(l0, I[">, et I(Vun - Vu,p)l + o. Montrer qu'effectivement cette convergence faible est vérifiée avec ru = O. En considérant la trace de un sur ZN = O, et en comparant à la trace de la fonction nulle, en déduire que l'application trace n'est pas faiblement continue. Exercice 3.4 (injection non compacte dans un espace de traces). (1) On suppose N 3 2 et O < p - 1 < N . h4ontrer que l'injection de l[") dans L N p / ( N - p + l ) n'est pas compacte. (2) Ori suppose que N + 1 < p . Montrer que l'injection de W1-'/pJ)(]O, l[") dans Co>l-(N+l)/p(]O, l[") n'est pas compacte. W'-'/">p(]O, Indications. Pour ( l ) ,on utilise une fonction p de D(]O,l[") et on définit la suite { P n } par : p,(x) n(N-P+l)/P cp(nx). On nioritre que {pTL} est bornée dans W1-llp,p(JO,l [ N )puis , qu'elle teiid vers O dans tous les Lq tels que q < N p / ( N - p 1),mais qu'elle ne converge pas pour ~ + l'exposant critique. Pour (2), soit 'p E D(J0,l[") satisfaisant à la condition sup (.>Y)t(lo,1lN)2 Soit {p,} la suite telle que I +;y 1 : = 1. : p,,(X) ~ n("-P+l)/P (P(?LX). Montrer que cette suite est bornée dans W1pllp.p(JO, l[") et qu'elle terid vers O dans tous les Co,' pour X < 1- ( N + l)/p, mais qu'elle a une semi-norme constante égale à 1 daris Co,l-(N+l)lp. Exercice 3.5 (injection non compacte dans un espace de traces, suite). Montrer que l'injection de W - ' / p 1 p ( I W N ) dans L1(RN) n'est pas compacte. Soit p une fonction de D ( R N )non nulle. Soit p,(z) = p(z n e i ) , où el est un vecteur de la base de R". + 3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3 175 Montrer que 'pn a une norme dans W1-l/p,p(IWN)constante alors qu'elle tend vers O presque partout. Exercice 3.6 (fonction de W r (div) et formule de Green). Soit O un ouvert C1. Montrer que si a E L"(R) et d i v a E LN(R), il existe un élément 0 . 'L E Lm tel que pour tout u E W'>'(O) la formule de Green suivante ait lieu : la.V<r+12div(n)ii= a .i n u. Ln Montrer que l'application qui à a associe a.i? est continue pour la topologie associée à la norme IlfllI = Ilallm + II div(a)IIAJ. Exercice 3.7 (traces dans W' ,Oo(O)). Soit R un ouvert de classe C'. Montrer que les fonctions de W'@(R) ont une trace sur dR dans W'>O"(dO). Inversement montrer que toute fonction de W1>"( d a ) est la trace d'une fonction dc W1>m(0). Exercice 3.8 (fonctionsde D ( R ) orthogonales a des espaces de polynômes). < < p . Quel que soit le compact [a,b] de IR, montrer (1) Soit p E W et O k l'existence d'une fonction 'p de D ( ] q b [ ) telle que pour tout i E [ O , p ] ,on a : (2) Soit p E Ri. Montrer qu'il existe une fonction de D(IW") qui sataisfaità : quel que soit le polynôme P de valuation au moins 1 sur I R N , de degré inférieur ou 6gal à p . Indzcatzons. Pour ( i ) ,on peut supposer pour fixer les idées que [a,b] = [-1, I]. Soient 'pJ où J E [O,p],des fonctions de L 2 ( ]- 1, i[)telles que d e t ( h cp,t3dt) # O. On montrera leur existence par exemple en prenant pour cp. les polynômes de Legendre sur ] - 1, l[.On utilise ensuite la densité de D ( ]- 1,i[)dans L 2 ( ]- 1,1[) pour trouver des 'p3 dans D ( ]- 1,1[)telles que le déterminant d e t ( ( h 'p,t'dt),,,), dans lequel les indices z et j appartiennent à [O,p],ne soit pas nul. On considère alors le systèmc D où les û3 sont donnés. I1 adniet une unique solution (A", A i , . . . , A p ) . En particulier en prenant Co A,p, = cp et les a3 = 6:, on obtient le résultat. 176 CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV s, s Pour ( 2 ) , on prend une fonction p telle que cp(t)dt = 1 et p(t)t’dt = O pour tout j 2 1. On vérifie ensuite que p(t1, t 2 , . . . , t,v) = p(tz)a les propriétés souhaitées. n;” Exercice 3.9 (preuve pour un ouvert lipschitzien d’être localement étoilé). Soit R l’ouvert { ( z ’ , x N ) I X N > a ( z ’ ) ,z’ E 0’) où a est lipscliitzierine et 0’une boule ouverte bornée de IRNp1 (ou un convexe). Montrer que R est étoilé par rapport à un point. Indzcatzo~is.On peut supposer que le point (0.0) t 862 (donc a(O) = 0). Soit m > ( ( a ( ( ~ , m ( ~(r/)V ( L ( / L ~ sup ( O( I~)’ ( 0Alors ,. l’ouvert est étoilé par rapport à (0, m ) . Soit A E 10, I [ et (z’,.cN) E 62. I1 faut montrer que X ( O , ~ L ) + ( ~ - A ) ( Z ’ , Z N ) E L?. Pour cela il suffit de montrer que a ( ( 1 - A ) d ) < Am (1 - X)a(x’).Pour ce faire, on considère la fonction cp(A) = Am (1 - A)a(r’) - a ( ( 1 - A ) d ) . Cette fonction vaut O en A = O et est croissante car si a est C1, + + + p’(A) = m - + ~ ( a ( i A)T’) u(T’) - ‘2‘ >O par les hypothèses sur m, sur la boule 13’. Cette preuve marche encore pour a lipschitzienne car p est croissante. En effet si X > A’, on obtient, par l’utilisation du caractère lipschitzien de a : p(A) - cp(A‘) = ( A 3 (A - + X‘)(m- a ( z ‘ ) a ( ( 1 - A)%’) - X’)(7n- - a ( ( 1 - X’)Z’)) a ( & ) - Kl1Va(lm). Exercice 3.10 (appartenance de x H sin J.à des espaces de Sobolev). Montrer que la fonction z H sin J.appartient à W ’ ? ~ ( I[) ] Opour , tout p < 2 , et qu’elle appartient à W1p1/~7p(]0, I[) pour tout p < 4. indications. On majore la semi-norme Si p > 2, l’intégrant est équivalent en O à xippl2 et, si p < 2 , à zi-p’2 (( 1 +1 /%)1-”/2 - 1) N 1. Cette intégrale converge donc si 1 - p / 2 > -1 ou encore p < 4. Pour voir qu’elle ne converge pas pour p = 4, on utilise : 3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3 177 Exercice 3.11 (fonction de W1-'/J'ip(R) qui n'appartient pas à W ' J ' ( 0 ) ) . Soient R = ]O, l [ et p(z) = zp1lkoù IC E N*.Reniarquer que p ri'appartient à aucun W ' > p ( ] O ,l[).Montrer que p E LVp1/X'J'(]O, 1[)si et seulement si p < %/(IC + 1). Indzcatzons. La fonction p ri'est niême pas bornée, elle ne peut donc être daris aucun W'.P(]O, 11). On majore la semi-norme ~ ~ p ~ ~comme ~ - l ~suit P ,: P La deuxième intégrale Jz converge au point u = O si p / k < 1, ce qui implique d'ailleurs que p E LP(]O,l[,elle converge également cn f cy> si p > 1. L'intégrale 11 est finie si et seulement si 1 p - p / k > -1, ce qui donne p < 2 k / ( k + 1). On a 2 k / ( k + 1) < k , donc p < 2 k / ( k + 1) est une condition suffisante pour que E W " / P > P (]O, l[).I1 est facile de voir que la condition est nécessaire. ~ Exercice [**]3.12(relèvement dans 62 = IR2 x Rf). Pour u E W.'"-1/"rP(R2),on pose 2 = (zl, za) et on définit le relèvement : où p E D(R) avec p(0) = 1 (cf théorème 3.67). Justifier que cette fonction est bien un relèvement, Indzcatzons. Or1 fait, comme dans le théorème du cours, une démonstration par récurrence pour prouver que pour Icy1 < k - 1, on a D"U E W'3p(fl). On suppose que : (3.86) tig, J < IC - i et 7L E WJ-'/P,P(IW~) j u E w3xP(n). (w avec ~ )la forOn montre que, si u E W ~ - ' / P > P ( I R ) , alors a,u E w ~ - ' - ' ~ P , ~et, mule du relèvement doriné, on en déduit pour U , grâce à l'hypothèse de récurrence (3.86) : d,U E W " " P ( I w 2 x ]O, + C o [ ) . I1 reste donc à montrer que : (3.87) a,"uE L"(IW2x ]O, +Co[). En traitant à part les termes en p ' ( y ) qui sont simples, on se ramène à : 178 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV On montre, pour la dérivée d’ordre 1, l’expression suivante de &,U &,U = J’ [ti&u(Z : + y t ) + tz&u(Z + y t ) ] d t i d t i . (10>1[)2 On pose Il(??,y) = ~ ( , o , i , ) zt l & u ( Z J’ J’ l i l = / J’ Y o = 1 y - Y3 - O En déduire que 1: 1111 y [u(zl O O [.,(XI + y 7 ) d t i d t î . Montrer : + y, + 22 +y,m 22) - + tzy) u(z1 + Z I , z2 + Z.)] d a d z z - u(z1 + t1y,z2 + tiy)]dtldtz. dans IR2 x ]O, +mû[) est majorée par l’intégrale en y sur ]O, +oo[ de : Er1 utilisant ensuite les variables Xi = prouver 51 + tiy, XZ= xz + t z y , Y = + y, 21 puis, par une majoration de l’intégrale intérieure’ une translation et en posant t finalement X = (XI,X , ) : t Conclure par l’utilisation du lemme 3.27 du cours, qu’en raison de l’appartenance u E W ~ ~ ” P ~ ~ la ( Inorme W ~ ) I ,~ I , ~ I P est majorée par : Le même raisonnement peut s’appliquer à l’intégrale suivante : Dans le cas de la dérivée en y d’ordre IC quelconque, observer que 8,kU est la somme d’intégrales dii type avec ( a (= IC - 1. En appliquant l’hypothèse de récurrence & la dérivée D”u et en utilisant des arguments semblables aux précédents, terminer la démonstration. 3 . 7 . EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3 179 Exercice 3.13 (application associant a U la dérivée normale de sa trace). (1) Soit U E W"P(R) où R est régulier. Montrer que si f E C"'(G), avec D"f lipschitzienrie pour \al = k , alors Ir produit Uf est encore daris W"p(0) et que l'on a J J f u J J W iJ(q A ,< CfJ1uJJI.t'" p(n). (2) Soit R de classe C k . Montrer l'existence d'une constante C telle que : Exercice 3.14 (détermination de gradients itérés et dérivée normale). I1 s'agit de déterminer des gradients itérés et des dérivées tangentielles ou normales sur des cylindres ou des sphères en dimension N = 3. (1) La fonction U étant daris C2(R3), déterminer, par des dérivations de fonctions composées, les dérivées partielles de U à l'aide des coordonnées cyliridriques z = rcosû, y = r s i n û , z . Déterminer, de niêrrie, les dérivées partielles d'ordre 2. ( 2 ) Soit le cylindre (1 = ( ( 5 ,y, z) 1 xz y' < 1, z E R}. Soit le vecteur --t tangent à 30 défini au point z E dR par t = (- sinû, cosû, O). Déterniirier la dérivée tangentielle dtu où u est la trace de U sur 39. Déterminer égalerrierit la dérivée ilorniale. Déterminer ensuite les dérivées d$u et d$u. (3) On se propose tie retrouver les résultats précédents par une autre méthode. Trouver la relation entre les opérateurs D = zd, yay et d r . En déduire l'expression de V2u . 2 . ?;' iil'aide de D et de D2 et retrouver le résultat précédent. De rnî.rrie, trouver la relation entre les opérateurs Dl = -y& z:i3y et 80. Eri utilisant D et Df , trouver l'expression de la derivée tangentielle + + V2u. t . t . (4) En utilisant une niéthode analogue, effectuer les calculs des dérivées normales d'ordre 1 et 2 lorsque R est la boule de centre O et de rayon 1, les coordoiiriées choisies étant les coordoririées sphériques : + + + T = rcosûcosp, y = rsinocosy. z= rsinp. Exercice 3.15 (étude d'un espace de Zygmund). On rappelle la définition du tenseur des contraintes (cf. exercice 2.10) : Soient 'u E L"(R2,R2) telles que E ( U ) E L"(R2). Montrer que u l ( z , O ) E L"(R) et que u ~ ( zO), appartient à l'espace de Zygmund 180 CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV Par les hypothéses A ~ est u rriajoré en module par ~ ~ ~ ~ ~ E ( u ) ~ Exercice 3.16 (réciproque, entièrement rédigée, de l'exercice précédent). Soit cp E Z . Ori introduit H ( x . c / ) = i/?jJ?., p(x - t ) ( y - Itl)dt ct définit u l ( r , y )= -?lZH, uz(z.y) = ûl,H. On rriontrc que E ( U ) E L". On a E , ~ ( u ) = O. Alors : À l'aide de deux intégratioiis par parties, on montre : qui tend vers -Sp(nl) ce qui prouve que + p(z) lorsque y 1 1 2 , ~est bornée. 3 O. On eri tire : ~ ~ 011 , ~ CHAPITRE 4 ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES Ce chapitre constitue une suite du chapitre 3. Dans les deux premières sections, on étudie les espaces W ’ > ’ ( R ~ )où , s est un réel quelconque, ii l’aide de la transforrnation de Fourier, laquelle fait l’objet, ail début du chapitre, des rappels nécessaires. Les sections suivantes sont consacrks A diverses di:finitioris des espaces Ws$p(fl)où O < s < 1 et 1 < p < +oo avec p # 2, qui généralisent les espaces W’-’/”P(CI) du chapitre préc”icicnt. Les résultats de densité et de régularité, les théorèmes d’iri.jectioris continues ou compactes et les théorèmes d’existence de traces lorsque l’ouvert, R a une certaine régularité, sont établis dans ces nouveaux espaces de Sobolev. Toutcs ces propriétés s’ét,eriderit ensuite aux cspaces W”>” où s E R,après que la défiriitiori de ceux-ci ait été doririée 21 partir du cas où O < s < 1. 4.1. Distributions tempérées et transformation de Fourier 4.1.1. Fonctions à décroissance rapide et distributions tempérées Déjînition 4.1. Une forict,ion 9 est dite à décroissance rapide dans RN si cp t Cm(RN) et si, Dj désignant l’opérateur de dérivation par rapport au multi-indice j = ( j l ,j 2 , . . . j N ) , on a : ~ (*I tjj € N N , Y k E N, 1X1Wcp EP(RN). L’ensenible de ces forict,iorisest un espace vectoriel noté S ( R N ) . Remarque 4.2. La condition (*) peut être mise sous deux autres formes équivalentes : Y ( . j . k ) , 1J:I”Jcp E L1(RN). CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES 182 Structure topologzque et dual. L’espace S ( R N )est naturellement muni de la topologie engendrée par la famille dénombrable de semi-normes : % ( c p ) = III~lkDJPllco. On note S’(RN)le dual topologique de S ( R N ) .C’est un e.l.c., sous-espace de D’(RN),car : Proposition 4.3. L’espace D ( R N ) est dense dans S ( R N ) . Preuve de la proposataon 4.3. 0 Soit p E S ( R N )et 1c, E D ( R N ) ,4 = 1 sur la boule B(O,l ) ,vérifiant, en outre O $ < 1. On définit la suite {cp,} par y,(.) = +(x/n)p(x). Alors {cp,} converge uniformément vers cp car, cp tendant vers O à l’infini, on a : < SUP XER” Pour k E IVn(x) N et J E N N ,on IxlkDJ(cp,) = - < CP(Z)~ + 0. a : + c,p-Dps)(x/n)o3-pp. Idk l“/k+(x/n)D3cp IPl a l On en déduit l~(x)l SUP IxIZn I n p : O d’où, puisque le secorid membre tend vers O, la conclusion énoncée. Les éléments de s’(IRN) sont ainsi identifiés à des distributions ; elles sont appelées distributions tempérées. I1 est facile de voir que les dérivées d’une distribution tempérée, les produits d’une distribution tempérée par des fonctions à croissance lente, sont encore des distributions tempérées. 4.1.2. Transformation de Fourier On donne les résultats suivants sans démonstration. Théorème 4.4. La transformation de Fourier 3, définie par : v< E RN,vcp € S(RN), / 3(cp)(<) = e - 2 z . r r fd. xx )dx, R” est un automorphisme de S ( R N ) . L’opérateur inverse de 3, noté défini par : F, est v< E RI G4(<) = F(cP)(-t). La transposée de cette transformation de Fourier fournit iin automorphisnie dii dual, noté encore 3,son inverse étant, lui aussi, noté 7: 4 . 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV H " ( R N ) 183 Théorème 4.5. La transformée de Fourier de T E SI, définie par v'p E s, (.F(T)> cp) = (T,.F(cp)), est une distribution tempérée. La transformée de Fourier d'une fonction cp est souvent notée @, niais, dans ce qui suit, les transformées des distributions T sont notées indifféremment F ( T ) ou On voit facilement que, si f E LJ'(RN),alors la distribution associée [ f ] est tempérée. En particulier, si f E L1(RN), la fonction f =.F(f), laquelle appartient à L", coïncide avec la transformée .F([f ] ) . Grâce à la densité du sous-espace L2 n L1 dans L2 et du théorème de Plancherel-Parseval, on prolonge la transformation de Fourier sur L1 en un automorphisme isornétrique de l'espace de Hilbert L2(IRN).Si on désigne encore par Ycette transformée de f E L 2 , elle s'identifie à . F ( [ f ] ) . En dehors de ces exemples, notons : T. Proposition 4.6. Les distributions à support borné, dont on sait qu'elles appartiennent à &'(EtN) (cf. exercice 1.20)' sont tempérées. La transformée d e Fourier d'une telle distribution T s'identifie à la fonction défin,ie par : I (T(Z)' exP(-2W. .)I On voit ainsi que .F(60) = 1 et, par utilisation de la transformation de Fourier inverse F(1)= 60.Pour d'autres détails, le lecteur pourra consulter (131. 4.2. Les espaces de Sobolev H " ( R N ) 4.2.1. Définitions. Densité des fonctions régulières Définition 4.7. Soit s un réel. Pour s > O, on pose : H " ( R N )= {u E L 2 ( R N )I {< ++ (1 Pour s < O, on pose : H " ( R N )= {u E S'(RN) 1 { E - (1 + ~ ~ ~ 2 ) " ~ " ( Eu L) 2( (~R)N} ) } . + ~ g z ) s ' 2 . F ( u ) ( E[ ) L} 2 ( R N ) } . Pour voir que cette dernière définition a un sens, on remarque que, si 'p E S , la fonction H (1 l<12)s/2cp(<), produit d'une fonction de classe C" et à croissance lente par une fonction de S , est aussi dans S . Donc, la définition permet d'écrire : + + I E 1 2 ) S / 2 . F ( 7 ~ ) ,cp) = (u,.F((l + 1<12)"/2cp)). ((1 184 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES + I1 est facile, alors, de vérifier que (1 1[12)s'2F(u) est une distribution tempérée (d'ailleurs, c'est, le produit d'une fonction de classe C" lente par une distribution tempérée). et à croissance Proposition 4.8. Muni de la norme définie par l'espace H ç ( R N )est un espace de Banach. Preuve de la proposition 4.8. 0 On suppose s > O. Si { u n } est une suite de Cauchy, la suite de terme général (i+I[12))"/2F(un) converge dans L 2 ( R N vers ) U E L 2 . La fonction f telle que f ( [ ) = (1 / < I 2 ) - ) " / ' étant bornée sur RN,on en déduit que f U E L2. En posant u = F - ' ( f U ) , on obtient un élément de H S ( R N ) tel que l'on puisse écrire, en utilisant la continuité de la transformation de Fourier dans L 2 , la conclusion Ilun - ~ 1 1 + ~ " O. La même démonstration est valable si s < O, à ceci près que, cette fois, la fonction f : [ H (1 1[ / 2 ) - s / 2 n'est plus bornée. Cependant, f étant une fonction Ci croissance lente et de classe C", le produit de U considéré comme une distribution tempérée par cette fonction f est encore une distribution tempérée. On acheve de façon analogue à ce qui précède en utilisant la continuité de 3 daris S'. O + + Nous commençons par une proposition concernant le cas où s est un entier. Proposition 4.9. Si s = m E N, l'espace H s ( R N )cotncide avec l'espace de Sobolev classique W m , 2 ( R N ) . Preuve de la proposition 4.9. En effet, si u E H " ( R N ) , la fonction u ainsi que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre m appartiennent à L2. En transformant par Fourier, on obtient que Fu E L 2 ( R N )et ( - 2 i ~ < ) ~ FE uL 2 ( R N )avec , cy un multi-indice tel que \cy\ < m et ta = [y1 ...[gN. Ceci entraîne, en particulier, que (1 1<1")""2F(u) E L2(RN). Inversement, si F ( u ) vérifie (1 1[12)"'23(u) E L 2 , 011 a aussi (2i7r<)JF(u) E L2 pour tout j vérifiant Ijl m et donc les dérivées jusqu'à l'ordre rn de u sont daris L2. De plus, en développant la puissance d'exposant entier m de 1+Er on peut montrer l'équivalence des normes I / . I I w ~ ~ ~ z et cette dernière ayant été définie dans ce qui précède. 0 + + < 185 4 . 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV H ” ( W N ) Proposition 4.10. L’espace H - ” ( R N ) cofncide avec le dual H s ( R N ) ’ pour s > o. Preuve de la proposition 4.10. Soit 71 E H - “ ( R N ) .On définit une forme linéaire L, sur H“ de la façon suivante : vu E H “ ( R N ) , L,(u)= 1.. G(()û(E)dt. On établit la continuité de cette forme linéaire par : IL1,(u)I= IJ’ (1 RN + l t 1 2 ) - s ~ 2 ~ ( E ) (+1 l E l 2 ) ” 2 u ^ ( E ) d E I < II(1+ I ~ 1 2 ~ - ” 2 ~ ( E ) l 1 2I I ( l + l ~ 1 2 ) s ~ 2 ~ ( E ) l 1 2 < cII’uIIHy(RN). I1 est clair ainsi que l’application qui à v associe L, est une injection continue. Et donc : - H-”(RN) H s ( R N ) ’ . Inversement soit T E (H“)’. La proposition 4.11 qui suit établit que l’injection de S ( R N )dans H ” ( R N )est dense et donc Hs(IRN)’ c-1 I1 en résulte que T E S’. Notons que si g E L 2 , la transformée de Fourier de ( I 1<12)-“/2gappartient à H ” ( R ~ avec ) ia norme s’(IRN). + (.l i (l + /<12)-s/2g)IIHS = 119112. Soit g E S(R”). Par définition de la multiplication de F ( T )par la fonct,iori à croissance lente (1 I E ~ ~ ) - ~ / ~on , a: + 1((1+ I E I ” ) “ ’ ” F ( n ) l = l(.m (1 + I E 1 2 ) - S ~ 2 ~ ) I = I(T’F((1-t i E i z ! - s ~ 2 L ? ) l < ~ ~ ~ ~ l ( H s ) ’+d I(E~1 2( )l- s / 2 g ) / I f f 5 = llTil(H~)~llgI12. + Par conséquent, ( I IE/2)-“/2F(T) E L2, puisqu’elle définit une forme liO néaire continue sur L2. Finalement T E H-”. Proposition 4.11. L’espace S ( R N ) est dense dans H S ( R N ) . Preuve de la proposition 4. il. O Soit {&} une suite dans D ( R N ) telle que, par la densité de D(R”) dans L’(EtWN), on ait : ll+n - (1 - + IE12)“/2~(~)l12 0. 186 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES Alors, pn = (1+ I < 12) p " / 2 $, , est dans D(IRN)et converge vers F ( u )dans L2. Par la continuité de F-',on en déduit que Fp'(pn) est dans S(IRN)et converge dans H " ( R N )vers u. O 4.2.2. Espace H " ( R N )considéré comme espace de trace On s'intéresse & présent à une caractérisation des fonctions de H" pour s > O. Dans le théorème qui suit, on établit que ce sont les restrictions à { X N = O} des fonctions de H"+1/2(RN). Théorème 4.12. Soit N 3 2 et s entier ou non, tel que s > 112. Alors, les fonctions de H " ( R N ) ont une trace sur {XN = O } qui appartient à ff-1/2(RN-l). Réciproquement, toute fonction d e H"-1'2(RN-1 x { O } ) peut être étendue de façon linéaire et continue en une fonction de H Ç ( R N ) . Preuve du théorème 4.12. 0 On commence par établir un lemme qui exprime la transformée de Fourier de la restriction de la fonction u à { X N = O} à l'aide de la transformée de Fourier de u par rapport aux N - 1 premières variables. Lemme 4.13. Soit I I E S ( R N )et u E S ( R N - ' ) . Alors, si Û désigne la transformée de Fourier d e u par rapport aux N - 1 premières variables, on a 1 'équivalence : En prenant alors, dans les deux membres de cette relation (*), la transformée de Fourier en d,on obtient le résultat, à savoir : La réciproque est immédiate. Le lemme 4.13 est donc prouvé. O 4 . 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV H s ( R N ) 187 O On revient à la preuve du théorème 4.12. On suppose que 21 E H " ( R N ) et on pose u(d)= v ( d ,O). On montre alors qu'il existe une constante C > O telle que : En effet, à l'aide du changement de variable EN + H &/2/i+TslT", on a : On en déduit que E' H (1 (c'12)s/2-1/4;ii(E') est dans L2(IWN-l) et que sa norme dans cet espace est inférieure ou égale à (1 ~ ~ 1 2 ) ) " / 2 F 2. ( w ) On suppose maintenant que u E H " - ' I ~ On( prolonge R~ cette -~ foric). tion de la façon suivante : étant donnée 'p E D(R), d'intégrale égale à 1, on écrit Alors, F(71)est à support dans le cylindre { E puisque : II + II I ItNI < CJi+TrlT"} et, = F(4(EI), on a bien v ( d , O) = u(d). I1 reste à montrer que v E H " . Pour ce faire, on écrit : Utilisant alors la relation ce qui permet d'intégrer en EN par le changement de variables = < ~ / ( 1 1['12)1'2, on obtient par l'intégration en E des deux membres t + CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES 188 de la relation (4.15) : Ceci termine la preuve de la surjectivité de l’application trace de H “ ( R N ) sur H“-~/’ (R~-’). O 4.2.3. Généralisation pour les traces d’ordre supérieur On généralise le théorème de traces du chapitre 3 : Proposition 4.16. Soit m E N,s E ] m+ 1/2, ni + 1 + 1/21 et y l’application associant à u E H “ ( R N ) le ( m 1)-uplet des traces des dérivées successives (u(z’,O ) , dNu(z’, O ) , . . . , dNu(z’, O ) ) appartenant au produit d’espaces H”-’/2(RNp1) x ff-1-1/2(RNp1) x . . . x ff“-mpl/2(RN-1). Alors, y est linéaire, continue et surjective. + Preuve de la proposition 4.16. O En effet, soit u E Hs-lc-’/’ (EXN-’), où IC est fixé dans [O,m].Soit cp une fonction de ’D(R), telle que (cf. exercice 3.8 du chapitre 3) : Soit alors î! définie dans RN par sa transformée de Fourier : Posons v(j)(z’) = d~v(z’, O). D’après la caractérisation donnée dans le lemme 4.13, on a : Donc en rappelant que F(#iv) = ( 2 i r < ~ ) j T ( et v ) en utilisant une hornothétie sur la variable EN qui permet de tenir compte des propriétés de la 4.2. LES ESPACES DE ÇOBOLEV H s ( R N ) 189 fonction y , on parvient aux résultats suivants : Les traces des dérivées successives de v sont donc nulles, sauf celle d’ordre IC qui est égale à la fonction ‘u donnée daris H s p k - 1 / 2. I1 r este donc à montrer que ii E H s ( R N ) .Pour cela, 011 intègre l’égalité : EN/^- par rapport à E , en utilisant le changement de variable t = dans l’intégrale en EN et en remarquant que 1yI2(t)(1 t2)“dt < CO. On obtient airisi : sR + It12 1 ll(1 s/2 + F ~ I I6zCIIuIIH8-~-1~2, ce qui prouve l’appartenance annoncée. O 4.2.4. Autre définition des espaces H” La proposition qui suit permet de montrer que les espaces H” coïncident dans le cas de RN avec les espaces W”i2dont la définition est donnée daris la section suivante. Proposition 4.17. Soit s E ]O, l[. Alors, ‘u E H ” ( R N )si et seulement si Preuve d e la proposition 4.1 7. O Supposons que u E H “ ( R ~ )On . verra plus loin (cf. lemme 4.33) que les deux propriétés d’appartenances : et 190 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES sont équivalentes. Prenons pour fixer les idées i = 1. Utilisant Il 4sin2(a/2), on a : - eiaI2 = 2 < CIIUIIHS < car, pour s E IO, i[,l’intégrale J , 4sin2 u/u2“+lduest convergente. Inversement, ces calculs montrent que : 4.2.5. Résultats d’injections continues à l’aide de F Dans la section 3.6.1, on donne l’extension des théorèmes d’injection de Sobolev vus aux chapitres 2 et 3 pour les espaces Wmip, avec m entier, et W1-l/P,P. Dans le cas de H “ , l’utilisation de la transformée de Fourier permet de montrer de façon assez élémentaire certains de ces résultats. Nous énonçons ici ces résultats, en renvoyant, pour des résultats plus complets, aux théorèmes d’injection plus généraux, relatifs aux espaces Ws,P,montrés A la fin de ce chapitre. En particulier, ne sont cités dans la proposition qui suit, ni le cas de l’injection critique, pour q = 2 N / ( N - 2 s ) , ni les injections dans les espaces de fonctions holdériennes. Proposition 4.18. Soit s > O. O n a les injections continues suivantes : (1) Si 1 / 2 < s < N/2, alors H S ( R N )c-f L Q ( R Npour ) q < 2 N / ( N - 2s). ( 2 ) Si s = N / 2 , alors Hs(RN) c-f LQ(RN)pour tout q < 00. (3) Si s > N / 2 , alors H ” ( R N ) C,(RN). ~f Preuve d e la proposition 4.18. 0 Dans le cas s < N/2, u est la transformée de Fourier inverse de F ( u ) qui s’écrit ~ ( u=)( 1 I < 1 2 ) s / 2 ~ (La u ) fonction . ( 1 1<12)ps/2 appartient à LQ pour tout q > N / S et (1 I < 1 2 ) s / 2 ~ (appartient u) à L ~ , donc le produit appartient à L‘ avec l / r = 1 / 2 l / q . i On peut alors utiliser le théorème 4.19 énoncé ci-après (et montré en appendice), lequel assure (cf. les remarques qui précèdent la preuve de ce théorème 4.59) que la transformée de Fourier d’une fonction de L’ avec T E [l,21 est dans LT‘ (où T’ est le conjugué de r ) , donc, dans tous les espaces Lk pour k E [ 2 , 2 N / ( N- 2s)[.De plus, ce même théorème, appliqué à + + + + + 4.3.LES ESPACES W'3P(n) POUR O < s < 1 191 la transformation de Fourier conjuguée, assure l'existence d'une constante C telle que I / u I I L k CIIu11H.. 0 Dans le cas s = N / 2 , 011 peut utiliser, ce qui sera généralisé plus loin ( c f . corollaire 4.341, que si s' < s alors H" s'injecte continûment dans H"'. I1 suffit, pour le voir, d'utiliser la définition des normes ( c f . 4.8). On obtient alors le résultat souhaité en utilisant, pour s' < N / 2 , le résultat précédent. O Dans le cas s > N / 2 , la transformée F ( u ) s'écrit toujours comme le produit de la fonction g, telle que g(E) = (1 I<12)-s/z qui est dans L 2 , par (1 l[12)s/2.F(u) qui est aussi dans L2. Le produit est donc dans L I , et par conséquent u est la transformée de Fourier d'une fonction de L1. Elle est donc coritiiiue et tend vers O à l'infini. En outre, on a : < + + + IEl2 1s / 2 a u ) I l L l < llgIlL2 ll(1+ I E 1 2 ) s ~ l " . F ( ~ ) I I L =2 l b I l L 2 IIul/L=-= G Ilg(1 ce qui termine la preuve dans ce dernier cas. I b I I H S r O L'énoncé du théorème utilisé ci-dessus et démontré dans l'appendice est le suivant : Théorème 4.19. Soit T un opérateur linéaire défini sur tous les L p ( J R N ) et qui est continu de LPa((IWN) dans Lqt(RN)pour i = O, 1, où p , et 9%sont donnés dans [l,C O ] . O n note k, sa norme d'opérateur, c'est-à-dire que où q: désigne le conjugué d e qi. Alors, si t E ]O, l [ avec i / p = t / p o (1 - t ) / p l , l'opérateur est continu d e Lp dans L'J avec l / q = t/qo (1 - t ) / q l . E n outre, on a l'inégalité de continuité : + IITllP,'J 4.3. Les espaces W'J'(0)pour O + G kOk:Ft. <s <1 On commence par quelques rappels sur les espaces de Lebesgue de fonctions à valeurs dans un Banach B : 4.3.1. Espaces LP(]O, +CO[, B ) Pour une fonction simple t H X A , ( t ) a zoù les A, sont des ensembles niesurables de I = ]O, +CO[ disjoints deux à deux et les a, des éléments de B , l'intégrale est définie par / A ,la,. 192 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES Soit f une fonction de I dans B. On dit qu’elle est fortement rnesurable, s’il existe une suite { f n } de fonctions simples telles que, pour presque tout t dans ]O, +m[, on ait : som Si, en outre, une de ces suites satisfait à limn-+rJ I(f ( t ) -fn(t)llBdt = O , on dit que f est intégrable, l’intégrale de f étant alors définie par la limite des intégrales des fonctions simples f n . On montre que cette limite est indépendante du choix de la suite d’approximation de f . On admettra, pour la suite, qu’une fonction f fortement niesurable est intégrable si et seulement si la fonction t H l l f ( t ) l [ B est sornniable sur ]O, +a[. Ainsi, si cette fonction est de puissance pième sommable, on écrira f E LP(I0, +Co[, BI. Définition des espaces de truces T . Dans ce qui suit, on note i” f la fonction t H t ” f ( t ) et la notation f ’ désigne la dérivée de f prise au sens des distributions. En particulier, si f est à valeurs dans le Banach B et localement intégrable au sens précédent, cela signifie que, pour toute fonction p de D(]O,+m[),on a : ces intégrales, pour des fonctions à valeurs dans le Banach B , étant définies par ce qui précède. Déjinition 4.20. Les nombres réels u et p , où 1 < p < +m étant donnés ainsi qu’un ouvert R de IRN, on désigne par T ( p ,v,R) l’espace des fonctions f de ]O,+m[ dans 0 telle que, la dérivée de f étant prise au sens des distributions : t ” f E ~ ~ ( 1+a[, 0 , w’J’(R)) et t”f’ E ~ ” ( 1 0+m[, , L”(R)). Cet espace est un espace de Banach lorsqu’il est muni de la norme suivante : Une première propriété de régularité dans cet espace est donnée par la Proposition 4.21. Soit f E T ( p ,v,O). Alors, il existe a E LP(R) tel que : pour presque tout t E IO, + C o [ , f ( t )= a + 1‘ t f (7)d7. : 4.3.LES ESPACES W’ ”(n) POUR O <s< 1 193 Preuve de la proposztzon 4.21. 0 Le facteur t” étant borné sur tout compact de I = ]O,+m[, on a les appartenances f E Lroc(I,WIJ’(R))et f ’ E L ~ o c ( I I L P ( f l )On ) . peut donc définir, presque partout sur I , la fonction y par g ( t ) = f ( t ) - Jtf’(7)d.r qui appartient à Lroc(I,Lp(R)). Soit b appartenant au dual de Lp(R), c’est-à-dire à Lp‘(R).Pour prouver que g est une constante presque partout, on considère la fonction t H g b ( t ) = ( g ( t ) ,b ) p où ce dernier crochet est celui de la dualité (LP,LP’). Er1 utilisant Fubini et Holder, 011 voit que cette fonction est dans Lyo,(I). Alors, le résultat, noté A = ( ( g b ) ’ , c p ) , de la dérivée de g b au sens des distributions sur unc fonction scalaire cp E D ( I ) ,satisfait à : la formule de Fubini utilisée pouvant être justifiée par une approximation de g ( t ) sur le conipact suppcp par des fonctions sirriples, pour lesquelles cette formule est évidente. Le même procédé permet de remplacer le dernier terme de l’égalité précédente par : 1’” [(f’(.), cp’(t) b)&dt. Or, d’après ce qui précède, la fonction 7 H (f’(.), b ) p est localement sornniable. On peut donc dériver son intégrale sur [O, t]; en particulier, au sens des distributions. On peut donc écrire : 1- cp’(t)[ ( f ’ ( T ) , b),d7 = = i+a -( i+”: - cp(t)(f’(t), b),dt f’(t)cp(t)&b ) P Soit t tel que g ( t ) existe. Alors, on déduit de ce qui précède que, pour presque tout t’ et pour tout b E LP‘, on a ( g ( t ) , b ) , = ( g ( t ’ ) , b ) p . Finalement, la fonction g ( t ) est un élément fixe a E Lp(R), ce qui assure la relation donnée. O On en déduit (gb)’ = O. 194 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES Corollaire 4.22. Sous les hypothèses précédentes, la fonction f de ] O , +KI[ dans Lp(R), est continue. application Cela résulte de la continuité par rapport à la borne supérieure d’une intégrale portant sur une fonction localement sommable. 4.3.2. Espaces WsJ’(fl) pour O <s <1 Définition 4.23. Soient s E ]O, l [ et p E 11,KI[. On définit l’espace fractionnaire de Sobolev : Cette définition des espaces Ws>pgénéralise celles des espaces du chapitre 3 . On a d’abord : Proposition 4.24. Pour s E ]O, l[’l’espace W‘J’(0) muni de la norme est un espace de Banach. Preuve de la proposition 4.24. 0 Soit {un}une suite de Cauchy pour la norme I I U ~ ~ ~ , En ~ . particulier {un)est de Cauchy dans LP. Elle converge donc dans LP vers line fonction u appartenant à LP. D’autre part, la suite {un}des fonct,ions telles que : est une suite de Cauchy dans LP, elle converge donc aussi vers un élément de LP. Extrayons une sous-suite {uo(n)> de { u n )qui converge presque partout vers u.On remarque alors que ~ ~ ( ~ ) y)(converge, x, pour presque tout couple ( 2 ,y), vers v(z, y) = ( u ( ~ ) - u ( y ) ) I ~ - y / I ~ ~En ~ ~utilisant /P. le lemme de Fatou, on obtient : Donc u E W’iP(R) et, en réutilisant un passage à la limite, quand m i CO, dans /lu, - v , I I ~ ~ ( n ~ non ) , obtient un + u dans WsJ’(n). O Exemple 4.25. On étudie l’appartenance de la fonction z H In 1x1 à l’espace W’>.(]O, 1[)sous la condition pol+ 1 > O et l’appartenance de 5 H (xIaIn 1x1 à ce même espace si s - cy < l/p. On en déduit facilement les conditions d’appartenance de ces fonctions, considérées comme des fonctions radiales sur RN aux espaces W , U ~ ( R ~ ) . 4.3.LES ESPACES W ’ ’ p ( Q )POUR O <s<1 On évalue d’abord la semi-norme I = 1) In /ZIII;,~ lorsque sp 195 < 1: Dans la première intégrale de la parenthèse, l’intégrant est équivalent en u = O à IlnuJP et, en u = 1 à (1 - u ) p - ’ p - l . L’intégrale en u est donc convergente, et l’intégrale en y l’est sous la condition s p < 1. On en déduit, toujours sous cette condition, l’existence du premier terme I I . Par la formule de Fubini, I, s’écrit : Son étude est ainsi ramenée à celle de Comme, pour celle-ci, la fonction intégrant est équivalente au voisinage de +cc à 1 Inu(p(u/-’ et, en u = 1, à (1 - u)P(’-’)-’, 011 obtient la convergence de 1 2 . La conclusion en résulte. Pour z H xN In 1x1, on évalue sa semi-norme comme on l’a déjà fait dans le chapitre 3 ( c f . exemple 3.8). I1 est ainsi suffisant de prouver l’existence des deux intégrales : et En suivant les calculs faits pour s = 1 - 1/p (exemple 3.8)’ on obtient l’existence de J I sous réserve que p a - sp > -1 et p a 2 > 1, c’est-à-dire sous les conditions énoncées. Enfin, en posant y = ( a - s ) p , la deuxième intégrale Jz devient : + Le premier ternie est le produit d’une intégrale en y qui est convergente, puisque p ( a - s) > -1, par une intégrale en u convergente sous cette même condition, puisque la fonction est équivalente en u = 1 à K ( 1 - u)P(’-’)-’. 196 C H A P I T R E 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES Le deuxième terme se ramène. par application de Fubini, à l'intégrale : Lorsque y < 1, on peut majorer par y-E+(aps)~'pour tout E > O. I1 en rrsulte qu'on peut trouver, pour l'intégrant de J;, une fonction majorante équivalente au voisinage de +cc & uT où r = -2 E Cela établit l'existence de J 2 , d'où la conclusion attendue. Dans le cas o i i IC doniairic d'intégration est K x K , K étant uii compact de IRN, la seule difficulté coirespoiid au cas où O E K . En utilisant les coordonnées polaires dans un voisinage de O, on est ramené aux intégrales précédentes dans lesquelles cup est remplacé par a p N - 1. On en déduit facilement les conditions d'appartenaricc iil'espace W'; (IRN). + + 4.3.3. Premières propriétés de l'espace WSJ'(f2) Proposition 4.26. L'espace W"J'(Q)est de type locul, c'est-à-di,re que pour tout u,duns W".P(f2) et pour tout p E D(f2) le produit p u appartient à WS>P(R). Preuve de lu proposition 4.26. 0 Soit, u, E W","(ft) et p E D(62). I1 est clair que u p que : E L". On inoritre Pour ce faire, on décompose la difference située au numérateur e11 deux morceaux. L'un d'eux est cp(x)(u(x) - ~ ( y ) )qui donnera une inthgrale convergente car p est bornre. La deuxième intégrale, à savoir : se majore en utilisant le théorilme dcs accroissenients finis et en int6grant par rapport à r : où p est un majorant du diarnètre d u support de p. Proposition 4.27. On suppose que W"JJ (RN). R O = RN. Alors D ( R N ) est dense dans 4.3. LES ESPACES W s 3 p ( nPOUR ) O <s < I 197 Preuve de la proposition 4.27. On utilise classiquement une troncatiire et une régularisation. On fait la démonstration daris IC cas N = 1, le cas général s’en déduisant aisément. Montrons que les fonctions à support compact de W s + sont denses dans W”Ji. Soit E W“>P(IR)et cp E D(R) qui vaut 1 sur la boule de centre O et de rayon 1, et qui est nulle pour 1x1 3 2, O < p < 1. Soit u, définie par p(x/!rl,)!u(:r:).I1 est clair que IL, est à support compact à valeurs daris W“>p et il est classique que u, + u dans L”. I1 reste A riioritrcr que la suite { u n } où : y) = ((IL, - .)(.) xl) y()u - (?Ln - - yl-s-1/7j tend vers O daris Lp(R2). Pour cela, on est amcrié à montrer que les intégrales suivantes et celles que l’on en déduit par l’échange dcs variables z et y tendent vers O : En eff(.t (uTL - u) (x)- (u,, - u) (y) est nulle lorsque .I:et Pour l’intégrale I,, on a : sont daris [ -n , n]. La fonction (1 - cp(u))(!u- i)-”est eri effet bornée pour ru 2 1. Cela résiilte: lorsquc u > 2, de la majoration ( u - l)-‘ < 1 et, lorsque IL E [1,2], de l’inégalité I(1 cp(u))(u 1)-”1 < (TL l ) l ~ s / / p ’ l l laquelle oo, est, obtenue, puisque s E ]O, i[,en appliquant cp l’inégalité des accroissements finis. On obt,ient donc I , 4O. Désignons maintenant par w, la fonction telle que - - (:I;, y) = (u,, ( 3 ; ) oii montre que K , - - ILT1 (Y/)) Iz - IJ I -s-l/p = :J , :J , 11ij,~(x, y) lpdx ciy + O, ce qui suffit pour obtenir O, puisque par hypothèse J :, Jncy‘IT)(Z, y)Ipd:r:dy + O. Pour cela, on remarque d’abord, par le choix de cp, que : J,, 4 198 CHAPITRE 4. ESPACES D E SOBOLEV FRACTIONNAIRES En intégrant d’abord en x,en utilisant les propriétés de cp ensuite, le ternie KA2)nous donne : KL~) Puisque u E L P ,on a + O. D’autre part, en utilisant l’inégalité triangulaire, l’inégalité des accroissements finis pour (P, l’hypothèse u E WsJ’ et le maximum sur [n,an] de la fonction x H (2n - x ) ~ ( l - ~ )(x - n ) p ( ’ p S ) , on peut Pcrire : + cette dernière ligne étant justifiée par l’appartenance de u à LP. 0 On approche maintenant, au rnoyeri d’une régularisation, les fonctions u à support compact par des fonctions de 2). Soit p une fonction de D(R) et p E ( t ) = $ p ( x / ~et, ) u étant une fonction à support compact dans R,on pose uE= pE * u. La convergence, daris LP, de u, est connue ; nous allons prouver que : Eri effet : <s<1 199 D'autre part, en posant v ( z , y) = ( u ( z )- u ( y ) ) l z-ylpspl/P, merit, pour presque tout couple (z, y), la convergence : on a classique- 4 . 3 . LES ESPACES W " p ( 6 2 ) P01JR O Par le lenime de Fatou, on en déduit : On en déduit, en particulier, qu'alors, la suite définie par vérifie IlvEllP+ iltllP. Nous avons ainsi obtenu la convergence presque partout et la convergence des normes. Or, puisque p > 1, l'espace LP est uniformément convexe et dans un tel espace (cf. exercice 4.5), ces deux convergences entraînent alors I/v,-vllP + O. Finalement, on en déduit la convergence de I/uE- ~ l l , , ~ vers O, O ce qui achève la preuve. On verra à la fin de la section que, si R est un ouvert de classe C1, l'espace ~'(2) est dense dans w S > ~ ( O ) . 4.3.4. Comparaison des espaces W et T pour R = RN On montre dans ce qui suit que Ws,P(f2) est égal à l'espace des traces au point t = O des éléments de T ( p , 1 - l / p - s, R). Un résultat partiel est donné par la : Proposition 4.28. Soit s E ] O , l [ et soit u E T ( p , 1 - i / p - s , R). Alors la limite, dans LP(R), notée u(O),de la suite {un}où u, = .(A,) la suite {A,} étant une suite arbitraire de réels tendant vers O , existe et 1 'application trace u H u(0) d e T dans Lp(R), ainsi définie, est continue. Preuve d e la proposition 4.28. O Ori suppose toujours O < s < 1 et on pose v = 1 - i / p - s. Soit u E T ( p , v,f l ) . En prenant, pour fixer les idées A, = l / n , on étudie la suite {un} de fonctions définies sur R par u, = u ( l / n ) .En utilisant la propositiori 4.21 200 CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES et l’inégalité de Holder, on obtient pour n > rn : (4.29) la dernière majoration tenant compte de l’hypothèse suivant laquelle Y u ’ appartient à l’espace L p ( ] O , +a[, Lp(R)). Puisque u i / p < 1, on a up’ = u p / ( p - 1) < 1. I1 en résulte que le premier facteur tend vers O lorsque rn et n tendent vers +cc et qu’en conséquence, la suite { u n }est de Cauchy dans l’espace complet Lp(R). Remarquons que l’inégalité précédente (4.29) est valable, avec la même preuve, pour obtenir Ilu(t1)- u(tz)ljL.(n), à savoir : + (4.30) Ilu(t1) - 74t2)l/;p(n) À partir de cette équation (4.30), on voit que, pour toutes les suites {A,} tendant vers O+, les limites de {.(A,)} existent et sont égales. Cela termine la preuve de l’existence de la limite. On note u(0) la limite dans Lp(R) de ces suites. En faisant tendre ti vers O et en utilisant l’inégalité triangulaire, on déduit alors de (4.30) : ri intégrant cette inégalité sur [O, il et en transformant J; llu(t)llL,<n)dt par l’inégalité de Holder, comme cela est fait pour l’intégrale de ~ ~ u ’ au (t)~~ début de (4.29), on obtient la majoration : Ilu(o)llLp(n>G CllullT. L’application trace u H u(0) est donc continue. O 4.3.LES ESPACES W,”’’(n) POUR O <s< 1 201 Dans la suite, on note y o ( T ) le sous-espace de Lp(R),ensemble des u(0) lorsque u décrit l’espace T . Nous montrons maintenant la relation entre W~>~(IR et ”yo ) ( ~ ( pi ,- i/p - s, IR”)) : Proposition 4.31. Schéma de la preuue. On s’intéresse d’abord au cas N = 1, que l’on montre grâce à deux propositions réciproques l’une de l’autre (propositions 4.32 et 4.37). Pour le cas général on utilisera une récurrence sur la diniension N à l’aide du lerrime 4.33. Proposition 4.32. Soit u E WsJ’(R),et v définie sur ]O, +cal x R pur : formule dans laquelle ‘p E D(W) et ’p(0) = 1. Alors, la fonction t H v ( t ,.) appartient à T ( p , 1 - l/p - s, R). Plus précisément, si 711 et v2 désignent respectivement les fonctions : on a Preuve de la proposition 4.32. Ori conimence par vérifier que, si v = I Lp(]O,+CO[ x IR). En effet : - i/p - s , vu On montre maintenant que t”8,v E LP(I0, +ca[ x IR). En effet : t”aZv = ’p(t)t-l/P-s(lL(x + t ) - U(x)), d’où, en élevant à la puissance p et en intégrant : = t”v E CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES 202 Enfin, on vérifie que t”&v E LP(]O,+oo[ x R) : t”&v = p(t)t-l’p-” = t ” f ( t ,z) Jc t + + + (u(z t ) - u(x s ) ) d s p’(t)t” 1’ - + p’(t)t” u(z .II’ u(z+ st)ds + st)ds. + 11 est clair que t p ’ ( t ) t ” J i u(x s t ) d s E L P , avec, par ailleurs, une norme dans LP majorée, à une constante multiplicative près, par IIullp. En utilisant l’inégalité de Holder et un changement de variable on a : + + Enfin, le changement de variable (2, t , z ) + (z t , z t z , z ) dont le jacobien est Il - zI permet de majorer la dernière intégrale : O ce qui donne le résultat attendu. On commence à étudier le cas où N 3 2 en établissant le résultat d’équivalence suivant qui est l’analogue du lemme 3.27 : Lemme 4.33. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes ; u E WsyRK), (il et il existe une constante universelle c telle que : On en déduit facilement l’existence d’injections continues qui nous seront utiles dans la suite : Corollaire 4.34. Les espaces WsJ’(RN) satisfont aux propriétés d’injections continues suivantes : (i) si O < s’ < s < 1, alors w , ~ , P ( R ~ )w ” > ~ ( R;~ ) (ii) s i s E ]O, I[, alors L) w ~ > ~ ( Iws)p w ~( R) N ) . CJ Preuve du lemme 4.33. 0 Montrons que (ii) entraîne (i). Soit donc u E D’(EtK),tel que : 4 . 3 . LES ESPACES W “ > ” ( n )POUR O <s< 1 203 Comme dans la preuve.du lemme 3.27, on utilise, pour z et y dans ]O, l [ K , la décomposition de [u]:= -u(x) u(y) et 011 utilise la fonction 6i selon les deux formules : + i=K-l ;I.[ = Eu(. c x 3 e j + yjej) - jgi k l ( 6,(z,y) = ?L z - cx3e3 3 - u(z j<i + ~ Y W , ) -E xjej j<i+l - u(x 3 On peut ainsi décornposer la semi-norme intégrales I , où : +E?&ej) j<i+l -E +EY A ) . 23% 3<L+1 3<z+l W s > p ( ] Ol, [ K en ) la sonirrie des Pour majorer ces intégrales, on remarque, comme dans la preuve du lenirne 3.27 du chapitre 3 , qu’il existe une constante C telle que : Dans chaque intégrale I , rencontrée, on peut considérer que le numérateur ne dépend que de z, et y%.En effet, par exemple pour i = K , en commençant par intégrer par rapport à dyj, on obtient grâce à la majoration nJGK-, précédente : d’où le résultat en utilisant (ii). O Montrons que (i) entraîne (ii). Supposons pour fixer les idées que i = K . En raisonnant par récurrence, on voit que le résultat sera établi dès qu’on aura montré l’implication suivante : alors 204 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES + + En intégrant la quantité (t t’ Id’- y”I)psppK par rapport à t’ entre O telle que : et +cm,on obtient qu’il existe une constante Par ailleurs, on a : + où t’ E [O, +KI[.En utilisant l’inégalité triangulaire, l’inégalité suivante t t’+/x’’-y’’I 2 t/2+t’+SI~’’-y’’I et, enfin, l’inégalité classique de convexité la + b l p < 2 P p 1 ( l a l P + lbl”), on majore l’intégrale : par la somme, à une constante multiplicative près, des deux intégrales suivantes : 0 ce qui termine la preuve du lemnie 4.33. Preuve du corollaire 4.34. O On utilise la caractérisation donnée par le lemnie. Découpons l’intégrale en la somme : La deuxième intégrale est majorée par Pour la première intégrale, on utilise pour It( 1 1 Itls’p+l < 1, l’inégalité : G It/sp+l’ 4.3. LES ESPACES IV‘.”(n) POUR O <s <1 205 d’où, par iitilisatiori du lemme précédent, la preuve de l’injection annoncée, avec, en outre, l’existence d’une constante C qui rie dépend que de N , p , s et s’ telle que : Pour la deuxième injection, on considère u E W1ip(RBN). Ori utilise, porn It1 6 1, l’expression de lu(. + t e Z )-I).(. SOUS forme intégrale et l’inégalité de Holder, ce qui fournit : lu(. 011en +tet) - u(x)Ip< tp-’ déduit, par l’utilisation de la formule de Fubirii : car. en raison de p - s p - 1 > -1, l’intégrale en t converge. Par ailleurs, la même fonction, intégrée sur [1,00]donne une expression majorée par cll4lp. O Preuve d e la proposition 4.%?1pour N 3 2. O Soit u E W . ’ > ~ ( R et, ~ )p étant une fonction de D(R) vérifiant p(0) = 1, on définit u par : On utilise les notations suivantes : de sorte que La dérivation de u par rapport à z, peut se faire en utilisant, outre ce qui précède, la formule de Fubini. Cela donne : CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES 206 En élevant à la puissance p , en utilisant l’inégalité de Holder et en multipliant par t u p , on obtient : + En utilisant un changement de variable X = x Sit 011 obtient le résultat. En posant $(tlx) = p’(t) u(x z t ) d z , la dérivation par rapport à t nous donne : hO,l,N + = f(t, + $(tI I1 est clair que ( t , x ) H t’$(t,x) appartient à LP. D’autre part, en niultipliant I f ( t , .)I” par t u p et en intégrant, on obtient : It”f(t,x)lpdtdx En faisant le changement de variable X Iu(x + zit + t e i ) pP+l ~ u(x =x + z t , on obtient : + z t ) / pd t d z dx l u ( X )- u ( X +t(1 - zi)ei)lP pp+l d z d t dX ce qui achève la preuve. O On donne maintenant la réciproque de la proposition 4.32. + Proposition 4.37. Soit Soit u un réel tel que O < u i / p < 1, u tel que t’u(t, .) E L P ( ] oI[, , w ’ > P ( I et R tuatu ~ ) ) E ~ ~ ( 1+CO[ 0 , x R~).ors U ( O , .) E W l - l l P - % P (IRN). 4.3. LES ESPACES W s , p ( nPOUR ) O <s < 1 207 Preuve de la proposition 4.37. 0 Pour montrer cette proposition, on rappelle le lemme démontré dans le chapitre 3 : Lemme 4.38. Soit u un réel, f une fonction de IR dans IR. On suppose que O < l / p + v = Q < 1 et 1 < p < 03. Alors : (i) Si I’application qui à t associe t ” f ( t ) appartient ù D’(Et+),et s i g est définie par : (4.39) alors l’application qui ù t associe t’g(t) appartient à Lp(R+) et il existe une constante c ( p ,u ) n e dépendant que de p et u telle que : Lm tuplg(t)lpdt< c ( p ,u ) (4.40) Juw tUPlf(t)lpdt. (ii) Soient a , p appartenant à E avec a < fi ;soit f définie sur IR+ x ] a , f i [ et g définie par g ( t , x ) = i / t ~ ,f“( s , x)ds. si t u f E LP(IR+ x ICI, p [ ) , alors t u g appartient à LP(IR+ x ] a ,f i [ ) et il existe une constante c ( p ,u ) n e dépendant que de p et v telle que : [~mtup~g(tlz)~p< d tcd( pz, u ) (4.41) loi” tuplf(t,x)lpdtdx. On peut maintenant montrer la proposition 4.37 et, compte tenu du lemme 4.33, on peut se ramener à montrer que Pour cela, u ( 0 ,x ) - u(0,z + t ) est décomposé selon trois différences : u(0,x)-u(O, z+t) = u(0,x ) - u ( t , x)+u(t, 5)-u(t,x+t)+u(t, z+t)-u(O, z+t) que l’on remplace par 6’ Bxu(A, z)dA, &u(t,z + A)dA et 6’ dxu(A, z + t)dX respectivement. On utilise alors le lemme 4.38 successivement avec les fonctions suivantes f ( t ,x , A) = &u (A, x ) , f ( t , II:, A) = &u(t,x+A) et f ( t , x , A) = &u (A, II: t ) . On obtient ainsi : + ce qui entraîne que : 208 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES Après l’étude de la comparaison dans les cas de maintenant le cas général d’un ouvert R : 4.3.5. Comparaison de W et T lorsque R et de RN,on aborde R # RN Quelques notions préliminaires, à propos du ( 9 , p)-prolongement, sont nécessaires, ces notions étant d’ailleurs très utiles pour l’établissement des théorènies d’injection. Préliminaires sur les ( s ,p ) -prolongements. Définition 4.42. On dit que R possède un (s,p)-prolongenierit s’il existe un opérateur E linéaire et continu qui, à u E WSJ’(O), associe E ( u ) = G E Ws,p(RN)tel que : vx E R, E u ( z )= u(x). Dans le cas d’un ouvert de classe C1, ou lipschitzien, on a : Proposition 4.43. Soit 62 u n ouvert lipschitzien. Alors, il possède un opérateur d e (s, p)-prolongement. Preuve de la proposztaon 4.43. O Par hypothèse, il existe un recouvrement de R par des ouverts 0, bornés, des ouverts O: de RN-l et des fonctions a,, définie sur O:, lipschitziennes, avec des normes de gradients uniformément bornées, tels que pour i>1: {e,} On note aussi une partition de l’unité subordonnée au recouvrement de 61 par les R,. La fonction u t WsJ’(R) étant donnée, on va construire E ( u ) .Pour cela, on opère localement. Soit le produit u, = u0, dans l’ouvert U, = 0 n 0,. Si nous définissons une fonction Eu,qui prolonge u,hors de R n 62, et qui appartient à WsJ’(RN), il suffira, comme à l’habitude, de faire la somme de ces prolongements Eu, pour obtenir le (s,p)-prolongement cherché et terminer la preuve de la proposition. Montrons d’abord que u, E W”+’(U,). On a déjà u,E LP(U,). Pour la semi-riorme I I U ~ I I ~ , ~ on , écrit : etu(5) - H,U(Y) = ea(x)(.(x) - u(g)) + U ( Y ) ( Q % ( ~ ) @,(Y)). - 4.3.LES ESPACES W’3P(n) POUR O <s< + 1 209 + Donc, en utilisant au numérateur, (la1 lbl)” 6 2P-l [la]” / b l p ] et l’inégalité des accroisserrierits finis pour B i , on obtient pour l’expression 2-P+’ IIu, : 6 ~ / + IIv&/IP, ~ ~ I ~ ~b(y)I”[/ ~ ’ Ut Iz ~- ~ , l ~~ dx] - dY.~ ~ - ~ UL Or, la dernière intégrale est finie. En effet, l’origine étant prise au point y et les hypothèses permettant de supposer que Ui c B ( y ,fi), on a : R 1% Iz - dz Y/lP-sP-N <~ dP N - 1 1f-sp-N+N-l < 00, ceci en raison de la relation p - 1 - s p = (1 s ) p - 1 > - 1, puisque s < 1. I1 résulte alors de l’inégalité précédente que u,E W”J’(U,) et que, H et K étant des constantes, on peut écrire : ~ luil::p 6 Kll~115:p + Hllull; 6 Cl l174:,p. Construction du (s,p)-prolongement. On omet, dans ce qui suit, le facteur B i . Tout revient ii prolonger dans l’ouvert 0’ défini par 0’ = {d E O’ I Z N < a i ( z ’ ) } , la fonction u E W.’,P(R). Pour cela, on utilise la réflexion P définie par : R ~ X,N < ~ ( z ’ ===+ ) P(z’,z N ) = (d, 2 ~ i ( z ’-) z N ) . Posons G ( d , z N ) = u(z’, z N ) si z E !I et U(d,z N ) = u(P(z’,z N ) ) si z E 0’. 0 Vérifions que G E Ws,p(RN). si (IC’,z N ) E On décompose la semi-norme I I U ~ l ~ s . p ( Ren N ) la somme de quatre intégrales J i , 52, J3 et J4 prises respectivement sur R x R, R x R’,R‘ x R et R’ x 0’. Par hypothèse, lJll < +CO. Pour les trois autres, on minore le dénominateur qui est de la forme Ix - y]sP+N. On établit pour cela l’existence d’une constante Cz telle que Y(., (4.44) (4.45) et Y) E VI2, Y(z,y) E < c21z YI P(y)I < C2/z- y / . IP(z) - P ( Y ) / R x R’, / z- - On remarquera que ces propriétés généralisent celles de la symétrie oblique (cj. figure 4.1 qui en donne l’illustration dans le cas de N = 2, le bord étant droit et la norme utilisée étant la somme des modules des coordonnées). N En effet, pour la première, en utilisant la distance E, i<i -vil dans R N : + yNI < (1 + 2 l l v a i / l a ) ( / z ’ !/’I + I z N - ! / N I ) 6 IP(z) - P(y)I zz 15’ - y’] + 12ai(z’) - on en tire (4.44). XN - 2ai(y’) c21z - YI, 210 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES FIGURE 4.1. Une symétrie pour le s , pprolongement. puis, d’autre part, puisque X N 2%(Y’) - YN xN 6 > u2(x’): 2(az(Y’) < 2(az(Y’) - a,(x’)) - az(X’)) + 2az(x’) + xN Y N xN - YN - 6 IYN - Z N 1 $- 2llvazilcolx’ G (1 + 2 l l ~ ~ z l l c o )-( YI). l~ - ?J’I De ces deux inégalités, on déduit bien (4.45). En outre, d’après les conditions de régularité uniforme de l’ouvert s1, on peut remplacer. dans C2, la norme ~ ~ V u par z ~la~ borne m supérieure supz d’où une constante C2 indépendante de i . En utilisant la minoration (4.45), l’étude de la deuxième intégrale 5 2 conduit, par le changement de variable y N = 2a,(y’) - Y N à : Le même résultat est obtenu pour 53 en échangeant x et y. Quant à 54, la minoration de (4.44) donne aussi un résultat identique à l’aide de deux changenients de variables analogues au précédent. Finalement, en retournant à la fonction ui,on peut conclure à l’appartenance Eui E W s , p ( R N ) . 4 . 3 . LES ESPACES W””(I2) POUR O <s< 1 211 De plus, on a : ilEuzIIL% p(RN) G 211utII:~(n)+ 4 C ~ 1 ( ~ ~ u % ~ ~ ~ , p ) p ~ I1 en résulte : /IEuZIILs p(pgN) G C/lullL+ P ( ~ ) I où C est indépendante de 2. Finalement, on a montré l’existence de Eu E Wsip(RN)prolongeant u E WsJ’(R) et tel que l l E u l i w q p ( R ~ ) ClIullw. p ( c 2 ) , majoration exprimant la continuité de l’application E de (s,p)-prolongement. O < Retour à la comparaison des espaces W et T . Avec ce qui précède, on peut alors généraliser le résultat précédent : Proposition 4.46. Soit p > 1, s E ]O, l [ et u = 1 - l / p - s. Alors, si R est un ouvert Iipschitzien de R ~on,a : Yo(T(P, v,fi)) = ws>p(fl). Preuve de la proposition 4.46. O Soit IL E T , on lui fait correspondre (cf. remarque précédente) la fonction Eu qui appartient à S ( p , v , R N ) .En effet, puisque par liyO, on en déduit qu’à t > O fixé, pothèse t’u(t,.) E W ’ , ~ ( ]+m[,R”), t V E u ( t .) , E WIJ’(RN) et que IIEu(t, . ) l l w l , r , ( R N ) < Cllu(t,.)llw1.r2(n),la constante C étant indépendante de t. On obtient ensuite, grâce à cette propriété, la convergence : 1 +m IltUEu(t,.)IlWl.I’(R”)dt G C ./ii” IltUu(t,.)llwl%P(n)dt < +m. On fait la même démonstration pour tVütu,d’où IC résultat énoncé. On en déduit que ~ o ( E u qu’on ), peut noter Eu(0,.), est un élément de W s > p ( R N ) . Or, pour tout z E R, on a d’après la proposition 4.28 : Eu(O,x) = lim Eu(t,x) = Iim u ( t ,x) = u(0,x). t-O t-O O Réciproquement, soit u E W,’i.(O). Alors, on a EU E W s > p ( R N ) et, par la proposition 4.32, il existe une fonction I I telle que u E T ( p ,v, W I J ’ ( R N L ) ,p ( R N ) )et telle que ~ ( 0x), = E u ( x ) .Par restriction des fonctions de z à l’ouvert O, il est facile de voir que ( t ,x) H v ( t ,x) définit un élément 71* de T ( p , v,W’J’(O),Lp(R)) et cette restriction de 71 vérifie, O pour tout x E R , la relation u*(O,x) = IL(.). Une application immédiate de cette comparaison d’espaces est l’existence d’injections continues des espaces W s > pdans des espaces Lq. C’est ce qui va être traîté dans la section suivante. 212 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOROLEV FRACTIONNAIRES 4.4. Théorèmes d’injection pour les IVs>p(R) 4.4.1. Cas de R = RN - Théorème 4.47. Soit s E ]O, 1[,p E 11,CO[. Alors - - < si s p < N , W “ > ~ ( R ~L“P) ) pour tout q N p / ( N - s p ) ; si N = s p , WSJyRN) c-1 L“RN) pour tout q < Co ; si s p > N , W.>~(R”)L) L ” ( I W ~et, ) plus précisément : w s , p ( ~ N c---f ) c~,~-N/P N (R 1. Remarque 4.48. Ce théorème a déjà été déniontré pour s = 1-l/p en utilisant les théoremes d’iiijection dans les espaces de Sobolev d’ordre entier. Preuve du théorème 4.47. O Soit u E W’ ”(R~) et soit u E D’(Io, +30[ x I W ~avec ) ?)(O, z)= u ( z ) , tel que t H tut)soit dans ~ ~ ( 1+CO[, 0 , w’>P(Iw et~tel ) )qiic t H t’&w soit dans ~ ~ ( 1+CO[, 0 , L P ( ( I W (où ~ ) )11 = 1 - i / p s). O Oii suppose, pour commencer, que N > p . Fixons z et définissons f par f ( t ) = v ( t , x ) .On a : - t f(0) = f ( t ) f’(5)ds - O de sorte qu’en rriultipliant et divisant par t”, en intbgraiit sur ]O, I[, cri utilisant ensuite Holder et l’inégalité -up’ > -1. on obticrit : En utilisant la fonction f x ( t ) = f ( A t ) il vient, pour tout X > O, l’iiiégaliti: : ce qui donne la majoration optimale : Soit r tel que 4.4. THÉORÈMES D’INJECTION POUR LES W,‘.p(n) 213 (Ji 1g(t)l”)’/”, l’utilisation de l’inégalité de Holder nous En riotant lglp fournit la majoration de JRN Iw(0, z)l‘dz par : de sorte qu’en élevant à la puissance l / r on obtient : Cette relation nous doririe le resultat pour le cas où N > p . Notons quc cette niéthode ne s’adapte pas au cas p > N : 0 Lorsque p > N et s p < N , on est amené à utiliser d’autrcs argiirnents. On utilise la solution élémentaire E du laplacien, laquelle rappeloiisle (cf. exercice 2.19 du cl-iapit,re 2), est définie en dimension N 1 par : E(t,:x)= k N + 1 ( / x I 2 t2)(1-N)/2avec k ~ + 1choisi de fason à obtenir exactement A E = So. Soient O et y‘) des fonctions respectivt:nient dans D(RN) et D(R), conprises entre O et 1 et qui valent 1 sur des voisinages de O. On peut reiiiplacer So: qui est de support, {O} par le produit û(n:)$(t)So. Alors, en utilisant du produit d’une distribution par une fonction de classe C”, la formule doririarit le laplacien d’un tel produit et celle donnant la dérivation d’une convolution, & savoir 8,( V ) U = 3,(U * V ) = diU * V , on pciit écrire‘ PJ étant telle que li(0,z)= u ( x ) : + + II = So * I I = A(O(z)li,(t)E) * P I - ~ ( V ( Q ( X ) $ ( ~ ) ) . V*E~) I - A ( O ( ~ ) ~ J ( ~ ) ) E * U Vi(O(x)li/(t)E)Vi’u = + &(Q(n:)S>(t)E) *&I l<,L<N - L(V(Q(n:)d;(t)) . VE) * v - E A ( Q ( z ) $ ( t )* I)I ou encore, en not,ant V,E le gradient par rapport à x et V,A soinme des convolées & A &I? : (4.49) PI = * V,B la (û(x)$J(t)V,E) * Vz71+ ($J(t)O(X)&E) * 867) + (y‘/(t)EV,O(x))* V,c71+ (Q(z)Edt,$)* a t v - 2(V(O(x)?j;(t)). VE) - * li (EAO(z)ll/(t)) *II. Les quatre derniers ternies du second rriernbre de (4.49) sont des sonimcs finies de convolutions du type ((1 (4 z)E) * V , (Mt:x ) & E ) * v, (Mt’n:)d*E)* PJ, ((& z ) E ) * a,71 où ics fonctions et ( & ( t :x ) E ) * &v, sont des fonctions de D ( R N + l ) . 214 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES On donnera une estimation de ces termes au point (O, x) après avoir traité les cas des deux premiers termes du second membre de (4.49), lesquels font intervenir à la fois les dérivées de PI et celles de E . Ces premiers termes de (4.49) sont des sommes de ternies de la forme : I1 nous faut donc évaluer ces produits de convolution au point ( 0 , ~ ) alors que, d’une part, la fonction v est telle que t H t”v(t,.) est dans l’espace L P ( ] O , +CO[, W1>P(IRN)),ce qui implique que t”8,v est dans LP(]O,+CO[, LP(JRN))et, d’autre part, que la fonction t’&v est aussi dans ce même espace. Les deux produits de convolution précédents peuvent donc s’écrire sous la forme : I ( + ( t ) û ( z ) &*~g) et J = ( + ( t ) û ( x ) *~g~, ~ ) où la fonction g est telle que t H t’g(t, .) est dans LP(]O,+CO[, LP(RN)). Pour traiter I on note h(t,x) = û(x)+(t)t (lxlz+t2)-(N+1)/2 et on calcule le produit de convolution qui exprime I au point (O, x) : En utilisant Holder dans les intégrales en t , on majore (g * h)(O,x) par une Convolution G * H dans I R N , les fonctions G et H étant définies par : La fonction H se majore ainsi par et, comme cette dernière intégrale est, à une constante près, la puissance de 1x1 d’exposant 1 v l/p’ - ( N 1) = -7 - N , on obtient H ( x ) ~ Cjû(x)I 1x1s-N. + + < * Le produit G H est donc majoré par la convolution en z d’une fonction de L P , à savoir par hypothèse G, et d’une fonction de la forme qui appartient à Lk avec k < N / ( N - s ) . Par le corollaire 4.60 donné dans l’appendice, la fonction G * H appartient donc à L‘ avec l / p 1/k = 1 1/r, c’est-à-dire pour T < N p / ( N s p ) . Notons que, pour avoir le résultat optimal, il faut utiliser le lemme de Sobolev 2.36. Pour traiter J , on note h,(t,z) = û ( x ) + ( t ) z (1xI2 , t2)-(N+1)/2. On calcule le produit de convolution g * h, au point (O, z), toujours lorsque t u g E ~ ~ ( 1+CO[ 0 , x R ~ )L’expression . (g*h,)(~ z), peut être majoré, au + + ~ + 4.4. THÉORÈMES D’INJECTION P O U R LES W9.p(C2) 215 moyen de l’inégalité de Holder, par : produit de convolution qui peut aussi être majoré par C û ( ~ ) l x l ” - Cela ~. termine pour I et J et on voit que le cas des deux termes ( < 2 ( t , J ) & E )* ‘u et ((‘3 ( t , E ) ‘u sont égalemerit réglés. On s’intéresse maintenant aux termes de la forme (‘1 E u ou (4E 8,’u ou (SE * &v, c’est-à-dire les termes qui ne font pas intervenir Ics dérivées de E niais E lui-même. Le procédé est analogue au précédent : On considère, par exemple, un terme de la forme 1 9 1 ( ~ ) $ 1 ( t ) E ( x t, )*‘u au point (O,.T), sachant que 6’ et $ sont dans D ( R N )et D(R) respectivement. %)at * * * En utilisant l’inégalité de Holder dans les intégrales en t , en multipliant par tut-u, on obtient que Il(rc) est majorée en module par le produit de convolution de GI * H l dans RN avec et La fonction H 1 se majore par donc par une fonction du type q~l(x)l l x I ( 1 - u P ‘ - ( W P’)/P’ = Cld,(Z)l I Z I “ - N + l . Le produit GI * HL est donc la convolution d’une fonction de LP et d’une fonction à support conipact multipliée par I Z ( ~ - ~ + ’ , iaqueiie appartient à Lk pour tout IC < N / ( N - s - 1). En particulier, ce produit appartient à L‘ pour tout T < N p / ( N ( s l)p), donc aussi à L N p / ( N - “ p ) . - + Les autres termes se traitent de façon analogue. Le cas s p < N est donc entièrement traité. e Considérons le cas sp = N . En utilisant le corollaire 4.34, on a WsJ’(RN)-+ W8’,P(RN) pour tout s’ E ]O, s [ .On en déduit, en utilisant les injections continues obtenues précédemment pour sp < N , que : WS’>P(RN) LNP/(N-“‘P) (RN) et, puisque N p / ( N - s’p) est arbitrairement grand, on peut conclure que WS,P(IWN) s’injecte continûment dans L q ( R N )pour tout q E [ p ,m[. C H A P I T R E 4. ESPACES D E SOBOLEV FRACTIONNAIRES 216 0 On passe au cas s p > N . On utilise encore la solution élémentaire du laplacien dans IRN+l. Comme dans le cas sp < N , on est amené à montrer l’appartenance à Lm de somnies de produit de convolution du type (1 E * v ou <SE &u ou <dE û,u et enfin < V E Ou. Pour ce dernier terme, on note y ( t , z) une fonction telle que t ” g ( t , x) E ~ ~ ( 1+CO[ 0 , x R ~ ) et, h(t,x) = û ( ~ ) + ( t ) t ( l x 1t2)-(N+’)/2 ~ où û est une fonction régulière A support dans B(0,l). On montre que, pour s p > N , on a : 5 ( h * g ) ( O , x )E L”(RN). * * * + - En effet : car la dernière intégrale s’exprime par qui est borné, puisque sp > N . Pour majorer les fonctions du type ( 1 E v ou <SE*&v ou encore (4E*ôzul il suffit de remarquer que l’un quelconque de ces produits est majoré par un produit de convolution d’une fonction de L* et d’une fonction de LP‘ qui n’est autre que B i ( ~ ) l z l “ - avec ~ + ~Bi une fonction de D ( R N ) . 0 Montrons, à présent, que u est holdérienne d’exposant s - N/p. Pour cela, on montre qu’il existe une constante C telle que : I-u-(N+l)/p (4.50) II4m G CIltVullp u+N+l/p Ilt”V(t:X)vll, En effet, soit u telle que u ( 0 , z ) = u ( z ) .Par ce qui précède, il existe des constantes Cl et C2 telles que : IIUIIm Soit alors 6 C1lltUullp+ c211~Vv(t,z)ullp. définie par uA(t, z) = v ( A t ,Ax). Le calcul des normes fournit : Donc, en choisissant A = ( Ilt”ulIp)(Ilt”V(t,z)vllp)-ll011 obtient l’inégalité : 4.4. THÉORÈMES D'INJECTION POUR LES W"J'(C2) Soient h E IR et i E [1,NI. Supposons, pour fixer les idées h inégalité maintenant classique, on a : lv(t,z - h e i ) - v ( t ,.)I < 217 > O. Par une Lh l&w(t, z - sei)\&. En multipliant par tw puis en intégrant à la puissance d'exposant p et en utilisant l'inégalité de Holder, on obtient : rl r J, J,- t w P ( u ( t , x he;) - - v(t,x)lpdzdt En élevant à la puissance l/p, on obtient Comme, d'autre part Iltvvt,z(w- v)llp < 2/ltwvjt,z')"'lIp, on obtient, en appliquant l'inégalité (4.51) à utL- u , la majoration : < Puisque 1 - v - (N+ i ) / p = s llUh - d'exposant s - ulloo C l h / l - " - ( N + w P (IltWvll,+ lltwV(t,z)41P). - N / p , il en résulte que u est holdérienne N / p . Le théorème est ainsi démontré pour R = W N . O 4.4.2. Le cas d'un ouvert possédant une propriété de prolongement L'analogue du théorème 4.47 est vrai pour des ouverts possédant une certaine régularité. En particulier, il est vrai si 0 est un ouvert qui possède la propriété de (s,p)-prolongement qui a été étudiée précédemment. Conséquences de l'existence d'un ( s ,p)-prolongement. On obtient de façon simple le résultat de densité suivant : Proposition 4.52. Soit s E [O, l[ et p > 1. Soit R un ouvert qui possède un ( s ,p ) prolongement. Alors, .O@), espace des restrictions à R des fonctions de D(IRN) est dense dans WsJ'(R). Preuve de la proposition 4.52. Soit u E W'J'(0).Soit E un prolongement continu de W'ip(0) sur W S ~ ~ ( I R N Puisque ). ~ ( 7 1 )E Wsi~(IRN), il existe une suite (9,) de fonctions de D(IR") qui converge vers E ( u ) dans W s ) p ( I R N ) . Alors la suite des O restrictions des pn converge vers u dans Ws>p(R). CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES 218 Un corollaire de la proposition 4.52 et du théorème 4.47 est le suivant : Corollaire 4.53. Soit s E ]O, I[, p E 11,m[. Soit R un ouvert lipschitzien. Alors : - - - si SP < N , W”P(R) si N = sp, WsJ’(R) s i sp > N , W’J’(0) L‘I(R) pour tout 4 6 N p / ( N - S P ) ; Lq(R) pour tout q < 03 ; ~f Lm(R) et plus précisément : ~f ~f W”,P(R) - c,Q,s-N/p (0). 4.5. Injections compactes pour les Ws,P(R), (1 borné Théorème 4.54. Soit R un ouvert borné de IRN, qui est lipschitzien uniforme. Soient s E [ O , 1 [ , p > 1, N 2 1. Alors : si s p < N l’injection de W‘>P(R) dans Lk est compacte, pour tout k < N P / ( N - SPI ; - si s p = N l’injection d e Ws>p(R) est compacte dans Lq, pour tout - q<m; -- si s p > N l’injection de W’iP(R) dans Cb”(R), pour X < s compacte. - N / p est Preuve du théorème 4.54. O On commence par le cas s p < N. Pour montrer l’affirmation énoncée, il suffit de montrer que l’injection est compacte dans L1. En effet, WsJ’ if L N p / ( N - s p ) et toute suite bornée dans L k , avec k > 1, qui converge dans L1 est convergente dans Lk’ pour k’ < k , en utilisant le lemme 2.82. On utilise donc le critère de compacité des bornés de L1 (cf. théorème 1.94). Soit B un sous-ensemble borné dans W’iP(0). Soit U E B, i E [1,NI, -f h > O et R h = {x E R I d(z,d(2) > h}. Posons h = hei et considérons l’intégrale : lx = .1,.s,,,, 14. + hei) - 4z)Idydx. En premier lieu, l’intégrant ne dépendant pas de y, on a, en désignant par volume de la boule unité : W N - ~ le (4.55) Ix =UN-1 Ihl lh Iu(x + +h,) I).(. - dx. En utilisant alors, pour x E R h et y E B ( z ,h ) , l’égalité : + + U(X h ) - ~ ( z ) U ( Z h ) - ~ ( y ) ~ ( y -) ~ ( z ) , + + + 4.5. INJECTIONS COMPACTES POUR LES Ws,*(s2),R et en posant CT = (sp BORNE 219 + N ) / p , l'intégrale I h peut être majorée par En les transformant au préalable, par translation sur g, en intégrales sur le domaine Ah = Q h x B(0,h ) , on majore ces intégrales 12)et I!?) au moyen h h de l'inégalité de Holder. Par exemple : La première intégrale dans le deuxième membre, qui est égale à est majorée, puisque, d'après les hypothèses B ( z , h ) c grale f2h c R,par l'inté- qui est bornée lorsque u décrit B. Par ailleurs, on a < (rnesf2)'-'/pC' IhlNfS, (où la constante A droite ne dépend que de la senii-nornie ~ I Z L ~ ~ ~ ,On ~ ) . peut procéder de manière analogue pour l'intégrale 12).Finalement, en utilisant h l'inégalité (4.55) et les relations suivantes, 011 parvient à : à savoir, la première condition du critère de compacité daris L'(f2) : D'autre part, comme l'ensemble B est borné dans Lp(R), et puisque R est borné, on peut trouver K un compact assez grand pour que pour tout u E B, on ait : 220 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES On a ainsi obtenu que B est relativement compact dans L1(0), donc dans tous les ~ ' ( 0avec ) k <~ N / ( N - sp). Si s = N p on utilise W " J j L) W s ' i P avec s' < s, d'où la seconde affirmation. On suppose maintenant que sp > N . Soit B un sous-ensemble borné dans Ws+'(0). Pour montrer que 23 est relativement compact dans on utilise le théorème d'Ascoli. Or, une conséquence du théorème 4.47 est la suivante : il existe une constante C > O telle que pour tout u E B,on a : C(a), llullL-(n) G C/lullw",P(n) et, comme, pour tout couple d'éléments ).(. I - ( 2 ,y) de O, on a également : 4 Y ) l 6 Cllullw~.P(n)I~ - on en déduit que l'ensemble 23 est borné dans L" et qu'il est équicontiriu, ce qui termine pour l'affirmation 3) dans le cas de C(2). Enfin, on conclut à la compacité dans des espaces holdérieris en utilisant o le théorème 4.47 et le lemme 2.85. 4.6. Les espaces W",P(51),avec s E ]O, +CO[ 4.6.1. Définitions et théorème d'injection Définition 4.56. Soit [s]2 1, s $! N.L'espace WsiP(0)est défini par + + Ws>P(O) = {. E WI"l>P((n) I D j , E WS-["I>P (O), j I j I = [SI>. 7 I1 est clair que W"J'(f2) est un Banach lorsqu'il est muni de la norme : I1 est facile de vérifier en outre que les fonctions de D ( R N )sont denses dans W s + ' ( R N )Nous . donnons le théorème d'injection, analogue aux précédents : 4.6. LES ESPACES W 5 . p ( n )AVEC , 8 E ]O, +a[ 22 1 Preuve du thkorème 4.57. 0 Si s p < N ,on fait une récurrence sur [s]. Si [s] = O, c'est le théorème 4.47. Supposons montré le théorème pour [s] = rn - 1, et soit u t W"J'(0) avec [s] = m, et s p < N.Alors Vu E WSp1J)(C2)et u E W["]>P(R),donc en utilisant l'hypothèse de récurrence, V U E ~ " ( 0avec ) 'r = N ~ / ( N - (s - i)p) et 'u E L ~ ~ I ( ~ - [ ~ I ~ ' ) ( Q ) . En utilisant p < N p / ( N - (s - 1)p) N p / ( N - [SIP), on obtient < IL E W'>'(R). Puisque r p L N P l (N- .w) alors < N on obtient u t LN'/(N-")(0) = (a). 0 Supposo11s s p = N. Alors [SIP < N et (s - 1 ) p < N. Si u E Ws)p(R), en raisoiillarit corrirne précédemment 'u E W','(R) avec r = ( N p ) / ( N- ( s - 1)p) = N. Comme r = N ,on en déduit u E Lq(R) pour tout q < 00. 0 Soit s p > N et j un entier tel que s - 1 - N / p < j < s - N / p . Alors, I L t W".p et TI = Vju vérifie TI E W"-~J', donc 11 et Vu appartiennent à WS-j-1.p et (s - j - 1 ) p < N entraîne que 11 et Vu appartiennent à L" avec 'r = ( N p ) / ( N- ( s - j - 1)p). Ainsi, TI E W','(R) et r > N ,donc 7/ C y V ' (0) = c1""-"!"-.' Finalement, on obtient u E C [ " - N I P l , s - N l p - [ s - N l p l (O). Si s - N / p = j t W, alors u t W">p(R) entraine ( L F 1 u , I P u ) E (W"j;p(b2))' = ( W " I p J ' ( 1 1 ) ) ' . On en déduit Dj-lu E W'>q(R) pour tout q < 30 et donc D J P 1 ut C:"(R) quel que soit X < 1. Finalenieut 'u E c;-N:"-l>X ((2) pour tout X < 1. 4.6.2. Injections compactes On a aussi pour un ouvert borné les résultats d'injection compacte : Théorème 4.58. Soit R un ouuert borné lipschitzien. Alors : si sp < N ,l'injection W"J'(0) ci Lq(R) est compacte pour tous les exposants q tels que q < N p / ( N - s p ) ; si sp= N,l'injection W"J'(0) Lq(R) est compacte pour tout q < 03 ; s a sp > N , - ~ - f ~ b ~ (0)est ' compacte ~ l ~ ~ si s - ~ / 6pN,l'injection WS~P(R) ci pour tout X < s - N / p - [s- N/p](b2); si s - ~ / E pRI,l'injection w " , P ( c L-f~ ) pacte pour tout X < 1. - ~ b - ~ : " (-( 2~) ~est~ com- 222 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES 4.7. Appendice : théorème de convexité de Riesz Soit T la transformation de Fourier. On sait que l’image par T d’une fonction de L1 est une fonction de L“O et que l’image d’une fonction de L2 est une fonction de L2. On a donc, en particulier, pour tout g E L1 et pour fEL1: I(Tf’9)I 6 IITfll”Ollsll16 Ilfll1llslI1 et, pour tout couple ( f , g ) d’éléments de L2 : I(Tf’dI 6 Ilfllzll~llz. Le théorème suivant permet d’en déduire que, lorsque p E [1,2], T envoie LP dans LP’. C’est cette propriété qui a été utilisée dans la preuve de la proposition 4.18. Dans la preuve qui suit, du résultat connu sous le nom de théorème de Riesz, on utilise les arguments de Stein et Weiss, [39]. Le lecteur intéressé pourra consulter cet ouvrage pour le théorème plus << fort )> de MarcinkieWitz. Théorème 4.59. Soit T un opérateur linéaire défini sur tous les LP(RN,@) et qui est continu d e L P ‘ ( R ~@) , dans L ~ % ( e) R ~pour , i = O, 1, où p, et q, sont donnés dans [1,C O ] . On note ses normes d’opérateur par y: désigne le conjugué de qi. Alors, si t E ] O , l [ et si l / p = t / p o (1 - t ) / p l , l’opérateur T est continu d e LP(RWN, @) dans Lq(RN,@) avec l / q = t / q o (1 - t ) / q ~En . outre, o n a 1’inégalité de continuité : 0.ù + + Preuve du théorème. b On commence par montrer le résultat pour des fonctions simples. Soit f = E, U , X E , , que l’on suppose de norme dans LP égale à 1, les E j étant des ensembles intégrables et deux à deux disjoints. On(5note a3 = la, /e2*,. Soit g = E kb k X F k où les Fk sont intégrables et deux à deux disjoints, avec b k = lbkle2vk et llgllp = 1. On définit pour p E [i,CO] le réel t dans [O, 1 1 tel que : i / p = t / p o (1 - t)/pl. Soit cy et ,6’ les fonctions définies sur @ par : + ).(yc = 1-2 + Po Pi z - ~ , P(z) = -z+ 40 1-2 -. 41 4.7. APPENDICE : THÉORÈME DE CONVEXITÉ DE RIESZ sRN 223 avec 7 3 , k = S R N T ( ~ ~d x, . )On ~ vérifie ~ k que F(t)= Tfgdx. On commencera par montrer que IF(iy)I 6 kl et que IF(1 iy)l 6 ko. On utilisera ensuite le fait que F est holomorphe et est bornée sur la bande O 6 x 6 1, y E: IR et le théorème de Phragmèn-Lindelof qui entraîne qu'alors, pour tout couple ( x , y ) avec O 6 x 6 1, on a I F ( X iy)/ 6 On en déduira alors l'inégalité de continuité sur la norme d'opérateurs avec n:+iy=t. On évalue donc IF(@)(.On a Re(a(iy)) = l/p1, donc !J?e(a(iy)/a(t))= p / p l , de sorte que : ~col~i-~. + Ilf(iY)ll:: = + IlflpP = 1. la31PIEJI= 3 D'autre part, SJZe(P(iy)) = l/q1, de sorte que : 1 - %e(P(iy)) 1 - l/q1 1 P(t) l-l/q - g 41' - Donc : IC + + On a aussi : !J?e(a(l i y ) ) = l/po, donc !J?ea(l i y ) / a ( t ) = p / p o , d'où Ilf(1 + iY)II;: Enfin SJZe(P(1 = , la,lPIE,I = ilfil; = 1. + i y ) ) = 1/40, ce qui implique : + 1 - !J?e(P(i i y ) 1- P(t) 1 l/q0 1- l/q - ~- - q' 4;' Doric : Ildl +iY>ii$ Ibklq'lFkl = ilgii$ = = 1. k En utilisant la continuité de l'opérateur, on a alors : I IF(iY)/ = /Wiy)g(iy)I IF(1+iv)l 6 ~ l l l f ( ~ Y ) l l lPl ! ld ~ Y ) l l q ; 6 koIlf(l+ i d l l P " l l d 1 + D'où le résultat pour les fonctions simples. iy)IIq; = ko. = kl' : CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES 224 Dans le cas général, soit f E LP(RWN, C."). On va montrer qu'il existe une suite f n de fonctions simples telle que llfn - f i l p 4O et T f n ( x ) 4T f ( x ) pour presque tout x. En supposant que cette suite existe, montrons d'abord qu'on obtient le résultat. La suite {Tf,}est bornée dans Lq. Par le lemme de Fatou, on a, avec kt = l ~ k k i - ~ , 0 IITfllq G lim G kt ll~fmllq m-m lim m-co IIfrnllP G ktllfllp, en particulier T f E L Q ,et le théorème est alors obtenu Reste à montrer l'existence de fn : on se ramène & f réelle et f 3 O. Supposons que po < p l . Pour f E L", soit fo qui vaut f quand f(x) > 1, f(x) = O sinon et soit f 1 = f - fo. On a fo E LPOet f 1 E L P ~Soit . gm une suite croissante de fonctions simples, convergente vers f presque partout. Par le théorème de convergence monotone on a : IlSm - f i l P + O. De même igk - f n l l p o + O ct igh fillpl -+ O. Puisque T est continu de LP1 dans LQ1et de L P O dans Lqo, on a : ~ IITgk - TfOIIq, - 0 et IITgrn - TflIIq, - 0. Pour une certaine sous suite, on a donc T g k + T f o presque partout, et Tgm Tf' presque partout. Alors, la suite {fm}définie par fm = g k +g& fournit la suite souhaitée. 0 --f Corollaire 4.60 (théorème de Hausdorff-Young). S i f E LP(RN) et g E L Q ( R N )avec l / p + l / q > 1, alors le produit de convolution de ces fonctions satisfait à f * g E L" avec 1 + i / r = i / p + l / q . Preuve du corollaire. Daris tout ce qui suit, f E L P est un élément fixé. On lui associe l'opérateur, noté T f tel que, pour tout g appartenant à un espace LQconvenable, on ait Tf(g) = f * g. Considérons deux situations qui correspondent aux hypothèses du théorème : 0 Si g E L p ' , par une propriété connue, on a T f ( g )E L" et, en outre, Ilf * gllm G IlfllPll~llP5 ce qui prouve la continuité de T considérée comme opérant de LP' dans Loo. On peut donc prendre dans le théorème po = p' et qo = $03. La norme d'opérateur IlTf IIPf, m vérifie les égalités suivantes : I I ~ f l l P ~ , c= o sup I ( ~ f ( S ) , Y l )= I sup Ilgllpt=l ll91llP=1 Ilslip)=1 Is,(f * g)(x)gl(xWl. II91 I l p = l Ce dernier terme est, par définition de la norme dans un dual et de la propriété de réflexivité, la borne supérieure de Ilf * glloo lorsque llglP, = 1. 4.7. APPENDICE 1 THEORÈME D E CONVEXITÉD E RIESZ 225 On en déduit : llTf IlP’,oo = IlfllP. Si g E L’, alors, puisque f E LP, le théorème de Young nous assure que Sf(g) E LP et que, d’autre part, I l f *slip6 l l f l l p Ilglli. L’opérateur T opère donc continûment de L1 dans LP. On peut donc prendre dans le théorème p l = 1 et y1 = p . La norme d’opérateur associée à cette situation vérifie encore l 1 ~ f l l l . P= I l f l l P . Soit maintenant q tel que 1/p 1 + I/q > I et soit t tel que t I-t Po Pl - Y t --+l-t. P’ On en tire t = p ( 1 - l / q ) qui est bien compris strictement entre O et 1. Cette condition du théorème étant remplie, on en déduit que T f applique continûment Lq dans L‘, le nombre r étant celui qui vérifie = -t+ - t I-t 1 =-+-=-+--I. 790 41 03 P P Ainsi, on a la première affirmation du corollaire. Soit, à présent l’inégalité 1 - llTf IlW 6 1-t G ( h ) l - t 6 ilfiipiifii;-t 1 q = IlfllP. On en déduit, en revenant à la définition des normes d’opérateurs, que llf * gllr 6 llfllpll~llq~ Remarque 4.61. Ce corollaire permet de retrouver des résultats utilisés à plusieurs reprises dans l’ouvrage, notamment au cours des preuves des théorèmes d’injection. Soit, en effet, pour p 3 1, la convolée g = f * C r l P N dans laquelle f E L P et C une fonction régulière de support compact. La fonction z H g(x) = est donc dans Lq si (1 - N)(y - I) > -1 ou encore si q < N / ( N - 1). Alors le corollaire s’applique et nous fournit l’appartenance f * y E L’ où 1+ l / r = l / p + l / q . Comme q < N / ( N - I), on en déduit que l’exposant T vérifie : 1 1 (N-1) - 1 = N - P - > - + r P N NP On retrouve ainsi que la convolée envisagée f * <riPNappartient à Lr quel sue soit r < N p / ( N - p ) . ~ ~, Remarque 4.62. On établira au chapitre 6 une version un peu plus forte du théorème de convexité de Riesz. qui est la suivante : 226 CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES O n définit l'espace L1 faible comme l'ensemble des fonctions f mesurables qui vérifient Ys >O, .{I (Notons que L' est inclus dans L' faible.) Soit T un opérateur qui envoie de façon continue L' dans L' faib 2 et L2 dans L 2 , alors, pour 1 < p 6 2 , T envoie de façon continue LP dans lui-même. Notons que ce résultat est un cas particulier du théorème de Marcinkiewitz, que nous donnons plus loin dans ce cours ( c f . théorème 7.34). 4.8. Exercices sur le chapitre 4 Exercice 4.1 (fonction propre de la transformation de Fourier). Soit f ( x ) = exp(-7r/xI2) sur RN.Montrer qu'elle est sa propre transformée de Fourier. Indications. Poiir le cas N = 1, on peut utiliser l'équation différentielle du premier ordre dont f est solution ; ou bien encore utiliser le théorème de Cauchy appliqué à la fonction holomorphe z H exp(-7rz2) et à un chemin rectangulaire dont un côté est le segment [-R, RI de l'axe des réels (on fera ensuite tendre R vers $00). Pour le cas où N est quelconque, on utilisera le fait que f est un produit d'exponentielles di1 type précédent. Exercice 4.2 (transformation de Fourier de x H 1). Calculer la transformée de Fourier de la fonction caractéristique xn de [-n,n,], où n E W * . Montrer que la suite des transformées de Fourier { F ( x ~ converge ) } ~ dans S' vers F(1).En déduire que F ( 1 )= 6". En déduire F.(eZiTXnt ) = 6Z". Exercice 4.3 (formule de réciprocité pour la transformation de Fourier). Montrer la formule de réciprocité de Fourier pour les fonctions de S(RN); autrement dit, si cp E S ( R N ) ,alors - FF((P)= cp. En déduire la formule de réciprocité pour les distributions tempérées. Zndicatzons. Soit y = F ( p ) . Remarquer que F(ppa)(A)= e 2 z " y A ) . Intégrer par rapport à A, et utiliser F ( 1 ) = 6. 4.8. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 4 227 Exercice [**] 4.4 (transformées de Fourier des distributions homogènes). (1) Soit f E L1(RN).Pour tout X > O, on définit H x ( f ) par H x ( f ) ( z )= Montrer que, si [ f ]est la distribution associée à la fonction localement sorrimable f , on a : f(X5). ([Eix(f)l'cp)= x-"([fl'cp(./X)). Soit T une distribution sur IRN. On étend la propriété précédente en la définition de H x ( T ) comme étant la distribution telle que : ( f f x ( T )cp) , = X-yT' cp(./X)). Déterminer, à l'aide de f i a transformée de Fourier de H x ( f ) . Montrer ensuite la formule concernant la distribution tempérée T : . F ( H x ( T ) ) = XPNHx-i ( F ( T ) ) (4.63) (2) On dit que T est homogène de degré k si 'dX > O, H A T = X'T. Soit T s'identifiant à la fonction radiale f définie par f ( r )= lzl' où z E RN et IJI (E,52, )112 . (a) On suppose -N < k < O. Montrer que T est tempérée en remarquant qu'elle s'écrit comme la somme : T = TX{IZl<l} + TX{Z11ZI41} d'une fonction de L1 et d'une fonction de L P avec p > -N/k. Moiitrer que sa transformée de Fourier existe et que c'est une distribution radiale ( c f . exercice 7.12 du chapitre 7). Montrer que cette transformée de Fourier est homogène de degré -k - N . (b) On suppose que 2k < - N . Alors T est la somme d'une fonction de L1 et d'une fonction de L2. Montrer que .F(T) est une foiictiori. En utilisant la positive hornogéneité montrer qu'il existe une constante c(N , k ) telle que .FT(T)(E)= c ( N ,k)III"". (3) En utilisant la fonction p(z) = e-n1Z12,en déduire que r est la fonction eulérienne ([13], 1361 ou exercice 3.1 du chapitre 1). Ces résultats sont repris dans le chapitre 7 dans le cas où k : -N+ 1, qui vérifie bien la condition 2k < -N lorsque N > 2. On y montre, au moyen où 228 CHAPlTRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES d’une dérivation par rapport à la variable xt,que l’on a : 7). (4) On suppose maintenant O > 2k > - N . On montrera, en utilisant la formule de réciprocité, que les résultats précédents restent valables. Soit la distribution T = /xik; on pose k’ = - N - k . Montrer que l’on peut appliquer les résultats précédents à la fonction z H 1 . ~ 1 ~ ’ . Er1 déduire la transformée de Fourier de T . Étudier le cas 2k = - N . (cf. transformation de Riesz dans le chapitre Indications. Pour la formule 4.63, il suffit d’utiliser les définitions ( p ( H x ( T ) )9) , = (HAP),G) A = X - y T , @(./A)) = = ( T ,WP)) ( p ‘ ( n H x < P >=) X-N(Hx--l ( W ) ) > P ) Si T est lioniogérie de degré k , on a : F ( H x ( T ) )= X-NHi/x(F(T)) = X-N-“l/X (Hx(F(T))= ) X-N-”(T) Dans le cas oii la distribution radiale devient ilne fonction, on sait ( c f . exercice 7.12 du chapitre 7) qu’alors la transformée de Fourier de T s’identifie il la fonction H g(I<i). On obtient ainsi, pour tout X > O, l’égalité g(Xi<l) = X-””g(1<1). En utilisant = 1, or1 obtient g(X) = XPkpNg(1),ce qui permet, à l’aide d’une certaine constante: notée c ( N ,k ) , d’obtenir le résultat : < F ( T ) = c ( N ,k ) l < i - k - N À l’aide de la fonction z H exp(-.rrlz12) dont la transformée est la même fonction, on obtient : En utilisant la variable s = m 2 ,cette égalité devient + .rr-(k-N)hy(k ~ ) / 2 = ) : k)Tk/2r(-~/2). On en déduit le résultat aririoncé. Le nonibre k‘ appartient à l’intervalle ] -N , -N / 2 [ .Le résultat précédent fournit En appliquant à cette formulc la trarisforriiation inverse F-’, on obtient : À l’aide de l’expression de la constante c ( N ,k ) trouvée précédemment, on voit que le coefficient [ c ( N ,-N - k)]-’ est égal à la constante précédente c ( N . k ) . En faisant tendre k vers - N / 2 , ori obticnt encore la même formule. 4.8. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 4 229 Exercice [*]4.5 (convergences de suites dans un espace LP). Soit un une suite de LP, oil p > 1, qui converge ou bien faiblement ou bien presque partout vers u, et t,elle quc ~ ~ u n ) ~/ u~) )Montrer f~ ~. que u,, converge fortenient vers u daris LP. -f Indications. On se rarrièrie à u de norme 1 en divisant par IIunllP,c’est-à-dire un = un/IIu,,/IP.Alors vn terid faiblement vers I I = u/llullP et les normes sont égales à 1. On moritrc erisiiite que 1 1 1 ) ~ + vilp + 2. Pour cela, on utilise la semicontinuité de la norme L” pour la topologie faible. On a donc lim ))v,+ Z I )3~ 2,~ car lin + 71 2 271 daris L” faible. En outre, par Minkowski et la convergence des riorrnes, on a /lu7> 1 1 1 1 ~ < 2. Finalement, (uTL v ) / 2 a unc riorme qui tend vers 1, donc, par l’iiriiforrne convexit,é dans L p , on peut concliire : + + I)1L - v + o. Si, à la place de la corivergence faible, on a la convergence presque partoiit, on peiit se ramener encore a une suite ( 7 1 ~ ~ )de riorme 1 qui converge vers I) de norme 1 et taclleque ( I ) + ~ ~v ) / 2 converge presque partoiit vers v . Ori utilise alors, d’iirie part le lenime de Fatou pour dire que : et, d’autre part, l’iiniforrnc convexité, poiir obtenir le resultat Exercice [*] 4.6 (convolution d’une fonction de L p ( R N )et d’une fonction de D(RN)>. Soit f E LP(RN),et E D ( R N ) .Montrer que la convolée f * ( appartient à n L ~ ( ( I pour w ~ )tout IC 3 p . < Indzcatzons. Soit k > p et T > 1 défini par l + l / k = l / ~ + l / p Puisque . { E D(RN), on a { E L’ . Eii conséquence C * f t L h . CHAPITRE 5 EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Dans ce chapitre, nous donnons une méthode de résolution de certaines équations aux dérivées partielles elliptiques, à savoir, celles qui se présentent sous la forme D J ( u ) = O où D J représente la différentielle (en un sens faible) d’une fonctionnelle J , convexe dans la plupart des cas. Les propriétés des fonctions convexes permettent de chercher une solution de l’équation aux dérivées partielles (EDP) comme le mininiuni d’une fonctiorinelle, sous réserve que cette fonctionnelle ait la propriété de tendre vers +m à l’infini. Après un exposé rapide des ingrédients théoriques permettant de concliire à l’existence d’un minimum pour J , on décrit quelques exemples classiques de problèmes aux limites régis par des EDP elliptiques linéaires ou non, la méthode variationnelle aboutissant à leur résolution. On donne ensuite des résultats de régularité pour les solutions de ces problèmes. D’autres propriétés, notamment celles qui généralisent le principe du maxiniuni pour les fonctions harmoniques, sont développées en relation avec ces résolutions. 5.1. Présentation de quelques résultats utiles Une suite { u n } 7 Lest E ~dite bornée dans L P ( f 2 ) s’il existe une constante C > O telle que v n E IV, lu,l~(z)dz< C. À propos d’une telle suite, on utilisera souvent dans ce chapitre les notions et les résultats suivants : Conséquence de la compacité faible des fermés bornés d’un espace réflexif : de toute suite bornée de LP(O), 1 < p < 00,on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans LP (O). ~ 232 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Conséquence de 1 ’étoile-faible séquentielle compacité de la boule unité du dual d’un espace normé séparable : de toute suite bornée dans L1(sl),on peut, extraire une sous-suite qui converge vaguement au sens des niesures vers une mesure bornée sur 0. Conséquence des théorèmes d’injection compacte dans les W’J’(R) : soit 62 un ouvert borné de IRN, et p un réel appartenant à ] l , N [ ; de toute suite bornée de W’>p(R), on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans W’J’(R), fortement convergente dans Lq(R), avec q < N p / ( N - p ) , et convergente presque partout. - Conséquences du théorème de Banach-Steinhaus : soit p E 11,cal ; toute suite de Lp(R) qui converge faiblement daris D’(fi) est bornée dans Lp(R) ; toute suite de mesures ou de fonctions de L:,,(R) qui converge vaguement vers une mesure est telle que la suite de ses modules est d’intégrale sur tout compact de R uniformément bornée par rapport à n. ~ ~ On suppose dans tout le chapitre R connexe sauf mention du contraire. 5.2. Rappels d’analyse convexe Dans cette section, on rappelle des résultats sur la convexité dont nous ne donnons pas les démonstrations. Elles sont détaillées dans l’ouvrage (141. Dans ce qui suit, X désigne toujours un espace de Banach. X’ désigne son dual topologique et on note (., .) le crochet de dualité entre X et X’. Dans cette section, on suppose les fonctions à valeurs dans E = RU{+OO}U{ -CO}. 5.2.1. Ensembles convexes. Séparation. Fonctions s.c.i. Définition 5.1. Un sous-ensemble C de X est dit convexe s’il est stable par conibinaison convexe, autrement dit si : Y(IL., y ) E c2,V A E ]O, 1[, AIL. + (1 - A)y E c. Définition 5.2. Un hyperplan est un sous-espace vectoriel de codimension 1, c’est-à-dire un sous-espace différent de X tel qu’il existe 20 E X pour lequel l’espace engendré [zo] satisfait à [20]8 H = X . Proposition 5.3. Soit f une f o r m e linéaire sur X , non, identiquement nulle. Alors son noyau est un hyperplan et, ou bien f est continue et cet hyperplan est fermé, ou bien elle n’est pas continue et l’hyperplan noyau est partout dense dans X . Définition 5.4. Soient Cl et Cz deux convexes. on dit que l’hyperplari H de direction orthogonale à b E X ’ , donc défini par H = {IL. E X I (b,s) = a}, 5.2. RAPPELS D’ANALYSE CONVEXE 233 les sépare si Cl c E + = { ~ E XI ( b , z )> u } et C2 c E- = { X E E X I ( b , z )G a } Définition 5.5. On dit que Cl et Cz sont séparés strictement par H s’il existe E > O tel que : Cl + B(O,E)c E+ et C2 + B(O,E)c E - . Une fornie faible du théorème de Hahn-Banach s’énonce comme suit : Théorème 5.6. Soit C un convexe relativement compact dans X et 1cI une sous-variété a f i n e de X , telle que MnC = 0.Alors il existe un hyperplan H qui sépare nil et C . Déjînition 5.7. Soit J définie sur X , à valeurs dans E. Elle est dite semicontinue inférieurement (s.c.i.) en x si, pour toute suite { z n }telle que 2 , converge vers 11:’ on a : (5.8) J(z)G lim J(x,). n-Dc) Cette propriété peut s’exprimer sous la forme équivalente : V A E R,A < J ( z ) j{y 1 J ( y ) > A} est un ouvert contenant z. On dit que J définie sur X est s.c.i. sur X si elle est s.c.i. en tout point de X . Cette propriété peut s’exprimer sous la forme équivalente : V A E R,V x E X , {x I J ( z ) > A} est un ouvert. Cette semi-continuité se traduit aisément par une propriété de l’épigraphe : Proposition 5.9. La fonction J est s . c . ~ .sur X si et seulement si son épigraphe défini par {(z, y) E X x IR I y > J ( z ) } est fermé. On passe à des résultats utiles concernant la niininiisation des fonctions convexes. Déjînition 5.20. Une fonctionnelle J de X dans E est dite propre si elle n’est pas identiquement égale à +m et ne prend pas la valeur -00. En particulier, son domaine dom( J ) = {z E X I J ( z ) E R} est non vide. Théorème 5.11. Si J est convexe, et majorée sur un voisinage d e xo en lequel .J(xo) est finie, alors elle ne peut pas prendre la valeur -CO et elle est continue sur ce voisinage et m ê m e lipschitzienne. Théorème5.12. Si J est convexe, s.c.~.,et ne prend pas la valeur -a, elle est l’enveloppe supérieure des fonctions afines continues qui la minorent. 234 C H A P I T R E 5 . EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Corollaire 5.13. Tout convexe f e r m é d’un espace de Banach est aussi faiblement séquentiellement fermé. - Une fonctionnelle convexe est s.c.i. si et seulement s i elle est faiblement séquentiellement s.c.i. 5.2.2. Sous-différentiabilité. Gâteaux-différentiabilité Définition 5.14. On appelle sous-différentiel de J en z le sous-ensemble de X’ : a J ( z )= { a E X’ I Q y E d o m ( J ) , ( a ,y ~ x) < J ( y ) - J ( z ) } Si J est convexe, a J ( z ) est un convexe de X’. Ce sous-differentiel peut être vide, comnie c’est le cas pour une fonction dont le domaine est réduit à un point ou plus généralement pour une fonction dont le domaine a un intérieur vide. Si J est différentiable (au sens de Fréchet) de dérivée notée D J ( z ) en z, a J ( z ) = { D J ( z ) } .On dit qu’une fonction est sous-différentiable en z si son sous-différentiel en z est non vide. Par exemple, la fonction z H 1x1 est différentiable partout sauf en O où elle est cependant sous-différentiable, le sous-différentiel en ce point étant égal au convexe [-1, 11. Proposition 5.15. Sozt J une foncfaon c o n w z e de X dans E, finze et contznue au poznt u E X . Alors, û J ( u )# 0. Un cas particulier de fonctions soils-différentiables est celui des fonctions Gâteaux-différentiables. À ce sujet, on rappelle la notion de dérivée directionnelle : Définition 5.16. Soit J une fonction convexe sur X . On définit la dérivée de J au point z, directionnelle à droite relativement à y E X’, comme étant J’(x,y) = inf + J ( z A!/) X>O - J(x) x Lorsque f est une fonction d’une variable, si y > O, f ’ ( z ,y) =y fi(.) et si Y < O, f’(z,lJ)= f y ( x ) ! / . I1 est clair, dans le cas général, que cette borne inférieure, qui est aussi une limite, existe. Cette dérivée est liée au sous-différentiel grâce au : Théorème 5.17. O n suppose que J est continue et finie e n x (ou encore que x est un point intérieur au domaine de J ) . Alors : v y EX, J’(z,y) = sup Z*ti?f(Z) (x*,y). 5.2. RAPPELS D‘ANALYSE CONVEXE 235 La notion de Gâteaux-différeritiabilité se déduit de celle de dérivée directionnelle : Définition 5.18. Une fonctionnelle .J convexe sur X , est dite Gâteauxdifférentiable en PL élément de X si, pour tout w E X , w H J’(u, w) est un élément de X ’ , qui est alors noté J’(u). Ainsi, pour tout w E X I on a : J’(*u,‘u - (J’(u),w r u ) = lim - u)= lim J ((1- t ) u + t u ) - J ( u ) t-O,t>O + t(7) J ((u - t u ) )- J ( u ) t t-O,t>O Corollaire 5.19 (du théorème 5.17). Si J est convexe et continue en u,son sous-dzflérentiel en ce point u est réduit à u n singleton de X’ si et seulement si J est Gâteaux-différeritiable en u.O n a alors ô J ( u ) = { J ’ ( u ) } . Exemple 5.20 (de fonction Gâteaux-différentiable). Soit F définie sur LP(R), où 1 < p < 00, par F ( u ) = l / p s n (u(p(z)dz.Alors, F est Gâteaux-différentiable partout et : F’(u) = ~ ~ T L I ~ ~ ~ u . En effet, on remarque d’abord que IulPp2u E LP‘. En intégrant, sur Q, l’inégalité de convexité appliquée pour u et h dans Lp(R), à savoir : l u + hlP(z) - IuI”(z)3 p17Ll~-2U(2)h(z)l on obtient l’appartenance plulPp2u E B F ( u ) . De plus, pour presque tout .7: E R,le théorème des accroissements finis assure l’existence d’un nombre Q,,t E ]O, l [ tel que : ).(. I + th(z)l” = pth(z) ).(.I( - IU(.)I” - ptll(Z)IU(Z)/P-2U(.) + to,,th(Z)/P-2(u(z)+ tQ,,th(x)) - ~U(Z)~p-”(z)). Par continuité, la parenthèse dans le second membre tend vers O presque partout dans R lorsque t 4 O. En majorant ce secorid membre par 2(lu(z)l+/h(z)l)pp’, on a : Enfin, en utilisant l’inégalité de Holder, on voit que l’intégrale de cette dernière fonction est majorée par ~ l h l l ~ ( l l u l ~\ ~~ ~ ~ ~ P On ) p peut p l . donc appliquer le théorème de convergence dominée et conclure à la G-différentiabilite de F , au point u. + 236 CHAPITRE 5 . EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Remarque 5.21. Cet exemple peut se généraliser dans des espaces de Sobolev : Soit G définie sur bVIJ’(fl) pour p > 1 par G ( u ) = l/pJ, jVulP(z)dz. Alors, G est Gâteaux-différentiable partout avec (cf. section 5.8) : 5.2.3. Minimisation d’une fonctionnelle convexe Définition 5.22. Une fonctionnelle J définie sur un espace de Banach séparable X est dite coercive si : lim J ( z )= t o o . I 1 4 x ++cc On se préoccupe du problème de riiiriimuni de J sur un convexe fermé de X . Deux résultats sont utiles : Proposition 5.23. Soit J une fonction convexe sur X ti rualeurs dans IR U {fm}. Pour tout IL E dorn(J), les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (1) J ( u ) = inf,,x J ( z ); (2) pour tout v E d o m ( J ) , on a : J’(u, I I - u)3 O. Preuve de la proposition 5.23. 0 Si u vérifie (I), alors : J ( uf t(v - u) J(u) 3 o. t En faisant tendre t vers O, on obtient la propriété (2). Réciproquement, pour tout x E X , 011 peut écrire, lorsque t E ]O, l [ : V u E dorri(J), V t E ]O, 1[, ~ + (X - u ) )- J ( u ) 3 J ( u + t ( z -u)) J(u) 1 t D’où, en faisant tendre t vers O, l’inégalité J ( z ) - J ( u ) 3 J’(u,z - u ) 3 O, d’où la propriété (1). O J(z) - J(u) = J(u ~ Proposition 5.24. S’il existe une solution u E X au problème infuEXJ ( u ) et si J est Gâteaux-différentiable en ce point u, alors le sous différentiel en u , q’ui s’écrit a J ( u ) = { J ’ ( u ) } est réduit & O . Réciproquement si J est convexe et Gâteaux-différentiable en u avec J’(u) = O , alors u est un m i n i m u m pour J . Théorème 5.25. Soient X u n espace de Banach séparable et réflexif, U un convexe fermé d e X et J une fonctionnelle convexe, propre, coercive et semi-continue inférieure. Alors il existe une solution au problème : inf J ( u ) UtU 5 . 2 . RAPPELS D’ANALYSE CONVEXE 237 Ce minimum u est alors caractérisé par : b’v E dom J Dans le cas où U =X n U , J’(u, v - u)3 O. , cette caractérisation devient : b’u E dom J , J‘(u, v) = O, ou bien encore O E ô J ( u ) , ce qui redonne J ’ ( u ) = O si J est G-différentiable en I L . Dans le cas d’un sous-espace a f i n e U = xo + Y , où Y est un sous-espace vectoriel fermé de X , le minimum xo ‘Li se traduit par : + b’5 E Y , xo + G E dom J n li et, s i ,I est G-différentiable e’n xo * J’(Q +il,:) =O + 6,par J’(x0 + 6 ) = O. Preuve du théorème 5.25. O Montrons que l’infirriurn est fini. Sinon, il vaut -0û et il existe alors { u T LE} UN, telle que J ( u n ) -0û. Si {un}était bornée. c’ri extrayant une sous-suite qui converge faiblement vers u,le fait que J est s.c.i. entraînerait que J ( u ) = -00, -f ce qui est absurde. Donc { u n } est non bornée. I1 existe donc une sous-suite ~ ~ u n+ ( n+oo ) ~et~en~ utilisant la coercivité de .I,J(IL,(,)) 4 +00. ce qui constitue une contradiction. Finalement rn = irif J ( u ) > -00. UEU Soit { u n } une suite rninimisaiite du problème. Alors, J ( u T L ) rn et en particulier { u n } est bornée (sinon il existerait une sous-suite de ( u ~ ~ rio), tée qui tendrait vers l’infini, et donc telle que J ( I L , ( ~ + ~ ) 00). Puisque X est reflexif, et que ci est faiblement séquentiellement fernié, on peut extraire de { u ~une ~ }sous-suite qui converge faiblement vers u dans U . Puisque J est convexe et s.c.i., elle est aussi faiblement s.c.i., d’où : -f J(u)6 lim J ( u n ) = m, n i a ce qui prouve que u est une solution. Le reste du théorème résulte des définitions de la dérivée directionnelle et du sous-différentiel. O Remarque 5.26. Si J est strictement convexe, la solution u est unique. Remarque 5.27. Si u appartient à l’intérieur de U , J est alors corit,inue en u, et possède un sous différentiel non vide en u.La condition de niiriimurri donne alors (proposition précédente) : O E a J ( u ) . 238 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES 5.3. Résolution d’EDP linéaires elliptiques de type Dirichlet 5.3.1. Introduction Considérons le problème de Physique qui consiste en l’étude de la position d’équilibre d’une membrane élastique dans le plan. La membrane se projette sur le plan dans un ouvert (1, son bord restant confondu avec la courbe frontière dR de cet ouvert. La membrane est soumise en chaque point z = (21, z 2 ) à une tension, force verticale définie par une fonction z H f ( z ) . Le déplacement de ce point z s’identifie à la cote de la membrane z = u(z) en ce point. Les équations de la physique conduisent à l’équation vérifiée par u , à savoir -Au = f avec, en outre, la condition frontière u = O sur dR. C’est un des modèles physiques du problème de Dirichlet. En remplaçant la condition frontière u = O par u = uo, où uo est une fonction donnée sur ûR, on obtient un problème de Dirichlet non homogène. FIGURE 5.1 En modifiant la condition frontière, d’autres types de problèmes apparaissent et, parmi eux, ceux de Neumann qui seront étudiés plus loin. 5.3.2. Problème [Dr]Lde Dirichlet dans H1(R)associé au laplacien Énoncé d’un problème d e Dirichlet. Soit A l’opérateur de Laplace, défini pour une distribution T appartenant à D’(fi), où R est un ouvert de IRN, par : On considère pour commencer le problème dit de Dirichlet. Soit R un domaine borné de classe C1 de IRN, et f une fonction de L2(s2).On cherche u 5 . 3 . RÉSOLUTIOND’EDP LINEAIRES ELLIPTIQUES DE T Y P E DIRICHLET 239 solution du problème : [;l)Zr]i: -Au= f dans R , sur do. Dans la suite, on pourra considérer le même problème avec une donnée non nulle sur le bord. Cette donnée devra avoir une certaine régularité : par exemple si on cherche une solution dans H1(R), on imposera à la donnée au bord d’être au moins dans N112(dR). Unicité de la solution dans H1(R) si elle existe. Supposons u et w dans H’(R) qui vérifient toutes deux l’équation. Par différence, u - 71 vérifie : A(u - u ) = O. En multipliant par u - w, en intégrant sur R et en utilisant la formule de Green généralisée vue au chapitre 3 , on obtient Comme u - u = O sur le bord, on obtient le résultat. Existence d’une solution duns H1( O ) . Pour démontrer l’existence d’une solution, on transforme le problème en un problème dit variationnel. On utilise alors les résultats précédents 5.24 et 5.25 pour une fonctionnelle J que nous allons associer au problème de Dirichlet : Soient R un domaine borné de IRN, f 6 L2(R) et J , définie sur Hi(R) = w;l2(n) par : Supposons que J soit convexe, continue et coercive sur Hd(R). Le théorème 5.25 nous apporte alors l’existence du minimum de .I. Comme J est Gâteaux-différentiable (et même, Fréchct-différentiable) en tout point u E H1(0),avec : ( J ‘ ( u ) ,II) = Vu . Vv - .I,f v, il en résulte que, si u est un minimum, alors la condition (proposition 5.24) (J’(u),w) = O nous donne, avec u E D(R), le résultat -Au = f , autrement dit, u est une solution du problème de Dirichlet. I1 est facile de voir que J est convexe et continue, et il nous reste à montrer que J est coercive sur HU(O). Cela nécessite l’inégalité suivante, dite de Poincaré (cf. aussi, sa généralisation : exercice 2.9). Proposition 5.28. Soit R un domaine borné de classe Cl. Alors il existe une constante Cp > O telle que, pour tout u dans HA(O), on ait l’inégalité : C H A P I T R E 5 . EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES 240 Preuve de la proposition 5.28. Si on contredit la proposition, il existe une suite {un}dans Ho(R) telle que = 1, et IIVunl12 6 i / n . D’après la compacit,é de l’injection de Sobolev H1(n) ~t L2(R), on peut extraire de {un}une sous-suite qui converge faiblement dans H1(O), et fortement dans L2(R). Soit u sa limite. Puisque IIVz~~112 O, la semi-continuité inférieure pour la topologie faible de la norme dans L2 nous donne : llVull2 < lim llVunIl2 = O. Donc u est constante et comme 7~ appartient à HA, 7~ est nulle. Mais on a aussi, puisque {un}converge fortenient vers 7~ dans L2 : IIuIl2 = lim l l 7 h t l l 2 = lim IlunIlH; = 1, O ce qui constitue une contradiction. Or1 revient à la coercivité de J . On peut écrire, en utilisant la constante Cp de la proposition 5.28 : O fui 6 l I f l l 2 l l u l l a 6 llf 1 1 2 I l ~ l l H ’ ( R ) 6 C;llf 1 llz” + qllull;1(c). 112, Puisque J ( u ) 3 1/4Cgllull&l<nl- )I f on en déduit la coercivité annoncée. On généralise ce problème de Dirichlet à un autre opérateur que A. 5.3.3. Problème de Dirichlet opérateur A [2)ir]i dans H1(R) pour un autre Énoncé du problème. Soit R un domaine de classe C1 et borné et f un élément de L2(R). Soit A = (Aij)ij E C1(R,RNXN) telle que : (1) pour tous i et j dans [1,NI, on a Aij (2) il existe cy > O tel que : = Aji ; ‘dxE RN, X A i j x i x j 2 a / z l 2 . .. 23 Cette dernière propriété est dite uniforme ellipticité de A. On cherche u solution du problème : Remarque 5.29. Ce problème s’écrit - div(A(x)Vu) = f , donc conime une EDP (cf. préambule) sous forme divergence. Un avantage, entre autres, à l’existence de cette écriture, est d’obtenir une formulation sous forme 5.3. RÉSOLUTION D’EDP LINÉAIRES ELLIPTIQUES DE T Y P E DIRICHLET 241 variationnelle du problème. Ce problrme est une généralisation de [Dr]:, puisqu’il suffit de choisir A,, = 6: pour l’obtenir. Existence et unicité d’une solution. 11 suffit de suivre les mêmes arguments, aussi bien pour l’unicité que pour l’existence, que ceux utilisés dans le problème précédent [Du-]:. La fonctionnelle J que l’on associe à ce problème s’écrit : où A ( x ) X . Y désigne le scalaire Aij(x)X,Y,. La formulation variationnelle de [Dir]5est ainsi : uEHO(C2) inf cil A ( x ) V u . V u d x - l fudx}. On prouve facilement la convexité et la continuité de J . La coercivité est une conséquence de l’inégalité de Poincaré et de l’uniforme ellipticité de A. La fonctionnelle J est Gâteaux-différentiable, sa dérivée étant définie par : ( J ’ ( u ) u) , = h A ( z ) V u ( x ). V‘PI(Z) dx - Jn f ( x ) w ( x dz. ) À l’aide de la formule de Green, on prouve que le minimuni sur H; (R) de J est bien la solution du problème [Dr]L. Remarque 5.30. Notoris aussi qu’on peut remplacer f E L2 par f E H - l ( R ) . Daris ce cas, on remplace l’intégrale fu par le crochet de dualité ( f ,u). La fonctionnelle précédente ainsi modifiée reste continue et coercive. s,, Cette remarque sera utile dans la section sur les problèmes non honiogènes, qu’il s’agisse de Dirichlet ou de Neumann. 5.3.4. Problème de Dirichlet [ D L ~ ] sur : , ~ H1(R) On ajoute au premier membre des EDP précédentes le ternie Xu. Énoncé du problème. Soit R un domaine borné de classe C1. Soit C une constante de Poincaré, à savoir C = Cp2, où Cp satisfait à la proposition 5.28. Soit aussi X un réel tel que X > -C. On cherche une solution u du problème : -Au u=o + Xu = f dans R, sur dR. 242 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Existence et unicité. On cherche u comme solution du problème variatiorinel (5.31) La fonctionnelle est coercive car X > -C. Dans le cas où X 3 O, cette fonctionnelle étant également convexe et continue, on peut conclure, comme dans les deux problèmes précédents. Si -C < X < O, la fonctionnelle n’est pas convexe, mais cependant, on peut utiliser la convexité des termes autres que Xl(ull2 pour montrer l’existence d’une solution. En effet soit { u n } une suite niininlisante. Elle est bornée dans Ht(R) puisque la fonctionnelle est coercive. On peut en extraire une sous-suite qui converge faiblement dans H1 et fortement dans L 2 . Cette convergence fort,e dans L2 permet de dire que XIIunll; XlIull;. D’autre part, la semi-continuité inférieure de l’application ‘u ++ 1 / 2 l l V v ~-~ ~ f ( x ) v ( s ) d z pour la topologie faible, entraîne que su est un minimum. On vérifie, dans tous les cas, par le calcul de J’ et l’utilisation de la formule de Green, que ce minimum est une solution du problème [2)ir]a,x. f --f s, Remarque 5.32. On peut remplacer X par une fonction a continue et bornée sur (1, telle que, pour tout 2 E 0, a(.) > -C. 5.3.5. Problèmes [ D ~ r ] a , Valeurs ~. propres et vecteurs propres de -A On suppose toujours R un domaine borné de classe C1. Lorsque X = -C = -Cp2, où Cp est optimale dans la proposition 5.28, le raisonnement précédent n’est plus valable. Cette valeur de la constante C est donnée par 1 +l/Xl, où : XI = inf .ilCH:(n) /’ l~u12(x)ciz R ll4l2=1 Nous allons voir que cette valeur critique X I est une valeur propre de -A et que le problème homogène associé, à savoir possède des solutions non nulles qui seront ainsi des vecteurs propres de -A associés à XI. Plus précisément : Proposition 5.33. Soit XI définie ci-dessus. Alors XI est strictement positive et il existe u 2 O, qui réalise llulla = 1 et lIVu1I2 = X i . D’autre part u est u n vecteur propre d e -A associé ù XI, ù savoir, u est solution de [ Z h ] ~ , p A , . Enfin, R étant connexe, l’espace propre associé est de dimension 1. En particulier, sous cette hypothèse, toute fonction propre est de signe constant. 5.3. RÉSOLUTIOND’EDP LINÉAIRES ELLIPTIQUES D E T Y P E DIRICHLET 243 Preuve. 0 On commence par montrer que X i > O. Cela résulte de l’inégalité de Poincaré, mais nous la montrons ici directement pour faciliter la lecture. On a X1 3 O. Supposons X1 = O. Alors il existe une suite { u n }dans H t ( O ) telle que lluTL112= 1 et llVu,\~2+ O. Puisque l’espace Hg(O) est un Hilbert, donc réflexif, on peut extraire de { u n }une sous-suite qui converge faiblement dans H1(O) vers une fonction I L de cet espace. Par la compacité de l’injection de H i dans L2 on a IIu(/zx 1 et, finalement, la convergence forte de { u n } vers u dans H1 puisque { u n }terid vers u dans L2 et { V u n }+ O dans L2. On en déduit : V I L= limn-+oo V u , O d’où u = O, puisque u = O sur le bord, ce qui constitue une contradiction avec IIu(/2= 1. Finalement X1 > O. Soit maintenant { u n } une suite minimisante, donc telle que IIVu,ll; 4 X1 avec JJ?L,,J]~ = 1. La suite est bornée dans HO, donc pour une sous-suite encore notée { u n }on a : IL, 2 u dans HO, un - u dans L2. En particulicr lJuIJ2= 1 et, par semi-continuité inferieure pour la topologie faible de u H lDu112, on a : Xi < IV~1~(x)dx < vu,^^^ = Xi. En conséquence u satisfait à /lu112 = 1 et lJVu\ii= A l . De plus, en remarquant que Il(Olul)li= IIVu(/(cf. en fin du chapitre, le lemme 5.64), on voit qu’il existe une solution positive. Montrons à présent que I L satisfait à l’équation -Au = Xlu. Pour ce faire, soient u , solution du problème variationnel, tel que IluIIZ = 1. cp E D ( O ) et f t R tel que 21tl < liyliT1. Alors IIu tyllz # O et on a u tcp E HO. donc, par définition de Xi : + On en déduit, en utilisant les hypothèses + : En divisant par t supposé strictement positif et en faisant tendre t vers O, on obtient V u . Dydx 3 X I u y ( r ) d z .La même démarche lorsque t < O, ou en cliaiigearit cp en -p, conduit à l’inégalité inverse, d’où : so sa J, Q u . V y d x = X1 ln uy(x)dx. On en déduit le résultat, en utilisant la définition de Au au sens des distribut ions. 244 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQLJES VARIATIONNELLEÇ Montrons que A1 est la plus petite valeur propre. Supposons X et w E If;, I I et en utilisant la forniule de Green généralisée, on obtient : w non identiquement nulle t,elle que -Au = Xv. En multipliant par et, donc, X 3 X i . Montrons, à present, que l’espace propre est de dimension 1. Soit I I un vecteur propre pour X I et, en utilisant selon une reniarque précédente le fait qu’il existe des fonctions propres de signe constant dans O. soit u unc fonction propre à valeurs 3 O. On multiplie l’équation satisfaite par IL par 1 1 ~ / ( u E ) , où E > O, fonction qui appartient à HA. On obtient : + Transformons le ternie de droite ; on a : VU.V(-) II U+E =2- II IL + Y2 VU.VV-E (11, + E)2 /VUl2 Doric : Or, grâce au tliéorèrnc de convergence dominée, le terme de gauclic tend w2(z)dz= IVv12(z)dz.Par conséquent : vers XI s, 2 ‘II !%llutcVIL - V7i/ = O, ce qui entraîne que lini,,oV(v/(t+e)) = O dans L2 fort sur tout compact. D’après un principe de maxiniurn strict(cf. proposition 5.74), ‘u > O à l’intérieur de R. Soit alors RI un compact connexe dans R et mcl, telle que u m c 2 , sur RI.La suite {71/(u E ) ) } converge vers I I / U dans L’(RI). Le passage a la limite précédent montre que son gradient est riul dans (21. On en déduit v = ~ $ 2 ~ Finalement, 7 ~ . en considérant des ouverts connexes coiitenarit (21, on voit que cette constante ne dépendant pas de ( 2 1 . L’ouvert I l ktant coiiiiexe, on a donc prouvé l’existence de C telle qiic v = C u dans (1. Or1 a prouvé eri d i n e temps quc toute fonction propre est de signc O constant, ce qui achève la démonstration. + Remarque 5.34. À la place de la déniorist,ratiori précédente, 011 peut aussi utiliser le résultat de régularité des solutions des problèmes de Dirichlet (voir plils loin) et le principe de Hopf qui est énoncé dans le théorème 5.83. 5.4. RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS PRÉCÉDENTES 245 On constate alors que la fonction v 2 / u est alors dans H1 ce qui permet d’éviter l’intervention d’un paramètre E (cf. exercice 5.1). 5.3.6. Problèmes [ D U - ] L , _avec ~ O < X < XI Alors, la fonctionnelle & minimiser n’est pas convexe mais coercive et faiblement s.c.i. On suppose O < X < XI. I1 s’agit, R étant iiii domaine borné dc classe C1 dans R N ,de trouver u solution dans HO(R),de [ZXr]L.pA, avec f E L”(62). E:ristence d’une solution. 0 Cette équation conduit à considérer la fonctionnelle dkfiriic sur HO (R) par : Cette fonctionnelle est coercive puisque X < X I . Le minimum est donc dans R.Soit alors ( 7 ~ ~une ~ ) suite niinimisante pour J . Elle est bornée dans HO donc. quitte & extraire une sous-suitc, elle converge vers u E H i , faiblcnient dans H~ et forternerit dans L 2 . On en déduit qiie le terme non convexc -A ln ~ I L , , ~ ~ (converge J)~x vers -A Jr2I I L ~ ’ ( J : ) ~ ~ . L’autre terme en gradient etant s.c.i. pour la topologie faible, on en dkluit que u est solution dtl ce qui montre le résultat. 0 Puisque J admet un minimun~ en 7 ~ on , a J’(u) X!u = f . dans HA(R) par I L , à savoir -Au = O, d’où I’EDP vérifiée - Urvicité. Puisque l’iiquation est linéaire, il suffit de vérifier que U J ,solution de [Dr]a,pX est nulle dans R. Pour cela, il suffit de se rappe1t:r que, si w n’est, pas ideritiquement nulle, elle est une fonction propre pour une ~ialeur propre X < XI ce qui est impossible par la proposition précédente. 5.4. Régularité des solutions précédentes On s’iriteresse niaintenant iila régularité des solutions des problèrnes [ D r ] précédents. 5.4.1. Problèmes [2)(,r]i Théorème 5.35. Soit R un, domaine borné de classe C2 et f un élémen,t de L‘((il). Soit A vérifiant les hypothèses précédentes. Alors, s i u est la solution dans HU (O) de elle appartient (i. H’((11). [&]A, 246 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Preuve du théorème 5.35. Faisons un préambule à la preuve pour en faciliter la lecture. Elle se fera en trois étapes qui sont justifiées par ce qui suit : En utailisant une partition de l’unité {pi} attachée au recouvrement de classe C’ de 0, on se ramène à montrer que chaque cpiu est dans H2(R).En effet si ‘pk est dans D ( R N ) ,elk vérifie aussi une équation div (A( z)V ( ‘ p k u ) ) E L2(O), car le second membre de l’expression : appartient à L’(a). Dans le cas de k = O, puisque pou est à support compact dans 0, elle satisfait une équation de la forme div(A(r)V(pou)) E L z ( R N ) , ce qui justifie une première étape, à savoir : Étape 1. On commence par niontrer Ie résultat sur R ~ autrement , dit : si u E H ~ ( R est ~ )à support compact et satisfait à l’équation - div(A(2)Vu) = f , avec f E L’(EXN) et A symétrique, lipschitzienne et coercive, alors, u E H2(RN). Pour les autres fonctions ( p k u , on doit donc montrer que si u est à support compact dans un ouvert de la forme RI, n 2,avec la condition au bord (Pku(Z’,u(d)) = O et satisfait par ailleurs à div(A(z)Vpku) E L 2 , alors pku E H 2 . Outre le fait que a peut être la fonction nulle et donc que le bord est localement droit, on peut par un changement de cartes, comme on le montre plus loin, se ramener à ce cas. Par conséquent. cette remarque justifie une deuxième étape, & savoir : Étape 2. On étend le résultat obtenu à la première étape à l’ouvert R ]O, +a[ avec la condition IL = O sur { r =~O}. ~x- La démonstration se terminera par : Étape 3. On étend à l’aide de cartes locales et de partitions de l’unité, le résultat au cas de 0. Ici la difficulté provient du fait qu’en changeant de cartes, A(z) est rnodifiée. Cette difficulté sera surmontée en reniarquant que A ( z ) est remplacée ~ 5.4. RÉGIJLARITÉ DES SOLUTIONS PRÉCÉDENTES 247 par une matrice B ( z ) ,elle aussi uniformément clliptique. On pourra donc conclure en utilisant les résultats déjà obtenus sur IRWNp1x ] O , + m [ . Première étape. Soit u E H1(IRN)à support compact. On fixe une direction e,, et on définit la translatée u h : z H u(z+he,).Puisque l’équation est linéaire en u on a div(At,Vuh) = fh, de sorte qu’en retranchant cette équation translatée de l’équation et en multipliant ensuite par utL u,on obtient par intégration sur R et utilisation de la formule de Green sur H1x W2(div) : ~ + On développe le premier facteur en : (Ah - A)Vuh A(Vuh -Vu),pour en déduire, à l’aide d’une translation de la variablc dans l’intégrale du second membre : En divisant par h2 on obtient : Pour le second membre, considérons u = (uh - u ) / h . Alors, on a la relation (u- ‘uU-tL)/h = (uh - 2u u - h ) / h 2 .Puisque ‘u E H ’ ( R N ) ,on déduit de l’inégalité (2.26) de la proposition 2.23 appliquée pour R = RN,la niajoration + En utilisant en outre l’uniforme ellipticité de A, la relation précédente fournit : Finalement, on obtient 248 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Puisque le membre de droite est indépendant de h, on peut utiliser la caractérisation des fonctions de H 1 à l'aide de différences finies, donnée (cf. encore la proposition 2 . 2 3 ) dans le chapitre 2. En faisant décrire à e, une base de RN,on obtient, pour u solution de [Dr]A,l'appartenance VVu E L2 avec, pour la norme, l'inégalité : 1 IIVVUlI2 6 p u 1 1 2 IlVAllm + Ilfllz). Deuxième étape : cas de RN-l x ] O , +CO[. On peut reproduire les calculs + ci-dessus, avec h = he,, où z < N . En raison de la nullité de u h - u sur le bord, la formule obtenue en intégrant le produit div(AhVuh - AVu)(uh- u) nous donne, par la forniule de Green, si l'un des indices ( z , ~ ) est différent de N , l'appartenance : a,,u E L2(RNP1 x ]O, I1 reste à obtenir que ~ N N UE +CO[). L2. Pour cela, on écrit l'équation sous la forme : 8N(ANNaNu) =f &(A&u) E L 2 . - z<N-l,j On est ramené, en posant A N N ~ N=Ubv à montrer le : Lemme 5.36. Si b E I.I/l'"(RN-l x ]O,+m[) avec b 3 cy > O et si v E LyRN-1 x ] O , +m[) satisfont, au sens des distributions, à l'appartenance d N ( b V ) = v E L2(RNP1 x ]O,+m[), alors : d ~ = v (V - ( û N b ) u ) / b appartient à L 2 ( R N - l x IO, +4. Preuve du lemme 5.36. O Commençons par le cas où, en outre, b est de classe C1, situation où l'argument est plus simple. En effet, d ~ est v une distribution d'ordre 1, on peut dériver son produit par b qui est dans C 1 selon la formule d ~ ( b 7 i= ) b d N v d N b , de sorte que b3Nv L2. Puisque l / b E L", le résultat en découle. En fait, le résultat est encore vrai si b E IV1,". En effet, on peut utiliser le fait que, si ûN(b'u) E L 2 ( ~ " p 1 x ]O, +CO[), alors, en prolongeant b et 'u par la réflexion (d, zN)++ (d, -IC"), à savoir w(d,Z N ) = ,U(IC', -zN) et la même chose pour b, on obtient a ~ ( b E~L)2 ( R N )d'où, , en utilisant encore la proposition 2.23, la majoration ll((bw)h - bv)/hllz < C où C ne dépend + pas de h = h e N . On en déduit que la fonction b(wh - v ) / h 'uh(bh - b ) / h est uniforménierit bornée dans L2(IR"). La fonction b étant lipschitzienne, ce qui implique que vh (bh - b)/h est uniformément bornée dans L2(IRN),on déduit de la propriété précédente que b(vh - u ) / h est uniformément bornée < + + 5.4. RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS PRÉCÉDENTES 249 dans L2(IRN).Enfin, b étant minorée, la fonction (utL- u ) / h est aussi bornée dans L ~ ( I R ~ ce) qui , fournit dN7i E L ~ ( I R ~ ) . Remarque 5.37. Notoris que, dans le cas où A est une matrice diagonale ou telle que ses coefficients AiN sont nuls, ce qui est le cas pour l’opérateur laplacien, on peut utiliser le prolongement 2i(z’,zN) = --U(z’. - J . N ) qui satisfait une équation div A(VU)(z’, z ~ =)f(z’, Z N ) avec f l’antisyniétrisee de f , et cela sur I R N . Troisième étape. On passe au cas d’un ouvert de classe C2. Soit donc u une solution du problème [2)ir]A.Soit pk une fonction régulière iisupport compact dans ?i n R k , où RI, est tel qu’il existe a k une fonction de classe C2 sur un ouvert O’ de et R n R k c {(z’,zN)1 z’ E O , X N > a k ( z ’ ) } , dR n Rk = { ( ~ ’ , u ~ ( zj ’2’) )E O}. Montrons que la fonction y k i ~a la propriété suivante : div(A(z)V(pku))= g E L2(R n 6 2 k ) . Pour le vérifier, on écrit, pour faciliter la lecture, en remplaçarit PI, par p et la notation 62 n RI, par R : + div (A(z)(Vp)u) = pdiv(A(z)Vu) + V p . A(z)Vu + div(u, A(z)(Vp)) = 9.f + h, div(A(z)V(pu))= div(A(z)pVu) où il, E L2(R). En effet A E L” et Vu E L2 entraîne A(z)Vu E L 2 , et O p E D(IRN) donc A(x)VuVy E L2. D’autre part (Vp)u E H I , donc UA(%). Vp, produit d’une fonction de W1im par une fonction de H I , est dans H1. On est donc rarnerié à montrer la régularité suivante : Lemme 5.38. Soit u , à support compact dans RI, na, tel que div(A(z) . VU) = g E L’(RI, n $1) et u = O sur dR n RI,, alors u E H2(IWNp1 x IO, f4. Preuve du lemme 5.38. Soit u, définie sur 0’ x ]O, +CO[ par u(d,zN) = u(z’, u ( d ) + zN). Alors, on voit, comme conséquence de la régularité de 0, que v appartient à H1(O’x ]O, +m[) et qu’elle est à support compact dans 0’ x [O, -too[. On niontre qu’elle vérifie une équation du type div(B(Vw)) = h, où h est un élément de L2 et où B est une matrice que l’on va déterminer à l’aide de A. C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES 250 Les relations : nous incitent, pour x fixé dans tel que : R n Rk,à associer à X E BN, le vecteur Y Y Z E [1.N - 11, Y, = X , - tlZuXN et YN = XN. On est ainsi amené à déterminer la matrice B , symétrique, telle que pour tout x E I W on ~ ait : (*> x B z , X t X , = EAz,7’,Y,. 23 23 En développant cette égalité et en identifiant, on obtient les relations : (2, j ) E [I,N - Il2, B,,= A,, V Z E [I,N - 11, B,N = A%N - A,,d,a 3GN-I B N N= A N N+ diaAi~ Aijôiudja2,gGN-l i<N-1 Alors la matrice B est à coefficients dans IV1>”. Les hypothèses faites sur u permettent aussi d’affirmer que la fonction ( x ’ , x ~H ) h ( z ’ , x ~= ) ~ ( x ’ , u ( x ’ ) + x Nest ) dans L 2 ( 0 ’ x ] O+CO[). , Puisque .(.’,O) = u ( d ,a(%’)), u est solution du problème [237-]h,. Pour appliquer les résultats de la deuxième étape, il reste à voir l’uniforme ellipticité de B . Pour cela, soit C la matrice telle que Y = C X , c’est-à-dire : V’i <N - 1, Cij = d,j - diUbNj, CNj = d N j . Cette matrice est inversible et la relation (*) se traduit par B =t CAC. I1 est clair alors que C et son inverse appartiennent à LM et qu’en conséquence, la matrice B est uniformément elliptique. L’uniforme ellipticité étant ainsi prouvée, la fonction u est dans la situation de la deuxième étape. Donc v E ffZ(IWN-1 x IO, +CO[). De retour à u,on a finalenient : pku E f f 2 ( R k n O), ce qui donne l’appartenance annoncée dans le lemme. O Puisque u est la somme des (pku, elle est dans ff2(R). La démonstration du théorème 5.35 est ainsi terminée. O 5.4. RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS P R ~ C É D E N T E S 251 [%-]a, un Remarque 5.39. Dans le cas où A = Id, donc dans le cas de argument de régularisation peut être utilisée pour la première étape : On commence par montrer que, si ’u E D ( R N ) ,alors : L N = Jh“ On obtient cet te égaliti: en faisant successivenient deux intégrations par parties : On considère ensuite u, = pE * u.On a A’lL, = * pE f et, par le calcul qui vient d’être fait, VVu, est une suite de Cauchy dans L2(IRN).Puisqu’elle converge au sens de D’vers VVu, on obtient que u E H2(RN). 5.4.2. Résultats sur la régularité d’ordre supérieur Proposition 5.40. Soit, pour m 3 O , ‘un domaine borné R de classe et f E H”(R). On suppose que la matrice A satisfait aux hypothèses du théorème 5.35 et, e n outre, à la régularité A E Cm+’(n). Alors u , solution du problème appartient à Hr‘L+2(R). [%]A, En particulier notons, à l’aide des injections de Sobolev, les résultats suivants, conséquences de ce théorème : 0 Lorsque 2(m 2) > N , la solution u est continue et lorsque 2 m > N , elle est de classe C2. 0 De même, si f E Cm(R) et A E Cm(n), ce qui implique f E H;U(R), alors u E HI,, n”+”(n)= c-(n). + n, n, Preuve de la proposition 5.40. 0 Pour montrer la proposition, on raisonne par récurrence sur m. Corrimençons par supposer que u est la solution dans H1(RN-l x 1 0 , + 4 ) du problème [Zhr]2,où f E Hm(RNpl x ]O, +a[). Supposons la proposition montrée à l’ordre nb-1. On a donc u E H“+l(RNpl x]O, +cm[). Si IC 6 N-1, en dérivant l’équation par rapport à la variable x k , OII obtient : 252 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Donc, compte tenu des hypothèses et du résultat à l'ordre m - 1, le membre de droite g de l'équation (**) appartient à H"-l. Par ailleurs, sur dR,on a dku = O, car w,(z',O) = O entraîne d k u ( d , O) = O. La relation (**) exprime donc que d k u est solution de [Dk]:. En utilisant une seconde fois l'hypothèse de récurrence pour d k u , l'appartenance de g à H7n-1(RN-1 x ]O, +CO[) entraîne celle de la dérivée &u à H"+l(RN-' x 10, +CO[). II reste à nioritrer que dNu E H ~ ~ + ~ x( ]O, R +CO[). ~ - ~ Or, puisque u E H"+l(RN-l x ]O, +CO[), on a déjà 3 ~ EuH"(RN-l x ]O, +CO[). Comme on vient de montrer que dku E Hm+' (IRN-' x ]O, +CO[), on a, pour k 6 N - 1, le résultat & N U E H"(IRNpl x ]O, +oo[).D'autre part : Enfin, par l'uniforme ellipticité de A, il existe une constante (Y > O telle que ANN 3 (Y > O. Doric, en notant que si une fonction u t et si b E C" est telle que b # O, alors v/b E H", on obtient ~ N N UE H"(RNpl x ]O, +KI[). De tout cela, il résulte que u E HTn+'(RN-l x ]O, +CO[). En fait on peut aussi, dans ce qui précède, supposer seulement que A est un élément de Wm+l,oo. 0 On passe au cas général. On utilise encore la partit,ion de l'unité et la localisation. Les notations concernant les définitions de la régularité Cmf2 restent toujours les mêmes, on est donc ramené à montrer que l'on a pku E H m f 2 ( R k n R) en supposant que div(A(Vu)) E H"(Rk n 0 ) . Soit 11 la fonction définie dans RI*n R par où a une fonction de classe C T n f 2 sur 0'. Alors w est à support compact dans 0'x [O, CO[. En utilisant B introduite dans la preuve de la proposition 5.35, elle est solution de div(B(Vv)) = g avec g E H"(C3' x ]O, +CO[), et B E C"+'(R n 0,) donc, par Ia première partie de la proposition, E H " f 2 ( O / x ] O , +CO[) et en utilisant le fait que a est Cm+2, on trouve que (PkU E H m f 2 ( R k n O). En utilisant un recollernent, on a finalement la conclusion u E H m f 2(fl). O 5.5. PROBLÈMES DE N E U M A N N 253 5.5. Problèmes de Neumann Lorsque la condition frontière fait intervenir dans le modèle physique de Dirichlet, non plus une égalité portant sur la fonction inconnue, mais sur une dérivée de cette fonction, le problème est dit d e Neumann. 5.5.1. Trace normale et dérivée normale Soit R un domaine horrié de classe C1 et A une fonction appartenant à C1(D) à valeurs dans l’espace des matrices symétriques sur RN.On suppose que CT E L2(R,IRN) de sorte que n: H A(z)u(a) est défini comme fonction sur R à valeurs daris RN.On a, puisque R est t)orné, Au E L2(R,I R N ) , donc, si on suppose que div(Au) E L2(R),on en déduit que ACTE Wz(div)(R), espace introduit au chapitre 3 (§ 3.4.3). Alors, par la formule dc Green généralisée 3.58, I t symbole ACT. Z’ a un sens sur 30. Ainsi : V U E H’(R). b ( A c T . Z ’ , ~ ~=U ) Ao(z).VU(x)dn:+ U ( x )div(Au)(z)dz. Définition 5.41. Cette forme linéaire Au . $, qui appartient au dual de l’espace de traces H’/2(df2),donc & ~ ? - l / ~ ( d R est ) , appelée la trace norrnale de .4u sur di]. En particulier, si u E H’(f2) et div(AVu) E L2,la dérivée nor~nale, ou plus précisément la dérivke A-norm,& de u , à savoir A(n:)Vu . 2 = Ai,?&unj, appartient à H-1/2(dR). En prenant pour A, la matrice identité, 011 obtient que, sous les conditions A’u E L2(R)et u E H1(0), on peut parier de la dérivée iiorrnale & I L L qui appartient ~ - l / ’ ( d n ) . 5.5.2. Problème de Neumann homogène [Neu]; Énoncé du p r o b l h e . Le problème consiste à chercher u dans H’(f2) tel que : dans R , - div(A(z)Vu) = f [Neu];: { A(Vu) .nI = O sur 30. Remarque 5.42. Notons que ce problème n’a de solutions que si : .1/1 f (n:)dx= O. (5.43) En effet, si u est une solution, en appliquant la formule de Green avec p et A(n:)Vu qui appartient à W;(div), on a : 1 f(z)dn:= 1 - = 1 ~ 2 div(A(n:)V,u(n:))dn:= ( A ( x ) V u . Z’, i n ) = O. On supposera donc cette condition remplie et, également, que A vérifie les hypothèses éiioiicées dans l’étude du problème [Dr];. 254 CHAPITRE 5. EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Formulation variationnelle. Comme dans ce qui précède, on associe à ce problème, la minimisation : inf J ( u ) = (5.44) inf utW’(R) { L ( A ( x ) V u ) . Vudx ~ fudz] s, Compte tenu de l’hypothèse f ( x ) d x = O, on remarque que, si u est une solution, alors u cte est aussi solution, et plus généralement que la fonctionnelle J définie dans (5.44) vérifie J ( u + cte) = J ( v ) , ‘iv E H I ( [ ] ) .En identifiant l’espace des fonctions constantes à R, on peut alors travailler sur l’espace quotient H1(R) = H1(R)/R. Muni de la norme quotient, à savoir (cf. exercice 1.28) : + - (5.45) cet espace est un Banach séparable et réflexif. Pour montrer la coercivité _ I - de Jdéfinie sur H1(R) par J ( V ) = J ( v ) , on utilise une inégalité analogue à celle de Poincaré : Proposition 5.46. Soit R u n domaine borné de RN . Pour tout u appartenant u(z)dx. à H1(R), o n définit [u]n par [u],= (mes(R))-’ Alors, il existe une constante C > O telle que : Preuve de la proposition 5.46. Si u = cte, l’inégalité est évidente. Dans le cas contraire, posons, pour u E H1(R), m(u) = [u]nln. Supposons par l’absurde qu’il existe une suite { u n }E H 1 , un non constante, telle que : Ilun - m(urJ/lHl(n)3 ~ I I ~ U n I l 2 Soit alors la suite des termes v, = (llu, - m(u,,)/)2)p1(u, - m ( u n ) )On . a l/Vunl12 1/n, et Ilvn/12 = 1, donc {un} est bornée dans H1(f2),et puisque l’ouvert est borné, on peut extraire de {un} une sous-suite, notée de la même façon pour simplifier, qui converge dans H1(R) faible et dans L2(R) fort. Puisque lIVv,l/~ converge vers O, on a la convergence forte. En particulier, la sous-suite choisie converge vers une fonction qui est constante. Mais la fonctionnelle ‘riétant linéaire, on a m(urL) = O et, puisque vi est évidemment continue pour la norme de N 1 , on en déduit que {m(v,)} converge vers m ( v ) , qui est égal à 11, car I) est une constante. Finalement v = O. Ainsi, en utilisant llunllH1 = 1 et la convergence forte, on en déduit IIwIILz(n) = 1, ce qui const it ue une contradiction. O < 5.5.PROBLÈMES D E N E U M A N N 255 Existence d’une solution. Retournons à la formulation variationnelle (5.44). La convexité de J résulte de la convexité de l’intégrale et de la linéarité du terme f(z)u(x)dz.La continuité est évidente. Pour la coercivité, on a d’abord, par la propriété d’ellipticité : J ( u ) 3 allV.ull2 - l l f / / 2 1 1 w ( / 2 , puis, en utilisant la proposition 5.46 : J@) 3%lI;c - IIf11211~llH1. - On en déduit l’existence d’un minimum pour 2 sur H1(R). I1 reste à caractériser la fonction u réalisant ce minimum et & vérifier qu’elle satisfait la condition de Neumann. En utilisant la différentiabilité de J , u est caractérisé par : tip E D(R), .h A(x)Vu(z). Vp(z)dx - I1 en résulte que l’on a, dans 62, l’égalité : tix E 62, Jn f(x)p(z)dx = O. -div(A(x)Vu(x)) = f ( z ) . Tenons compte, à présent, de cette égalité dans s1 et appliquons, pour tout p E H1(R),la formule de Green. On obtient : On peut conclure à l’égalité A(z)V,u . = O comme élément du dual de H1I2( d o ) .L’existence d’une solution est donc assurée. Unicité dans l’espace quotient. Supposons u et u deux solutions et montrons que leur différence est une constante. Cette différence w satisfait à [Neal:, à savoir : tix E 62, - div(A(z)Vw(x)) O et, sur df2 : A(x)Vw. 3 = O. En multipliant par w et en appliquant la formule de Green, on obtient : h A(z)Vw(z) . Vw(z)dx = Lo w ( z ) A ( z ) V w . %do = O. Le premier membre étant minoré, grâce à l’uniforme ellipticité, par l’expression 0llIVw11’&(~),on en déduit w = cte ou 211 = O. Régularité de la solution. On suppose l’ouvert R de classe C2,la fonction f dans L2(R) et la fonction matricielle A de classe C1 sur et, bien entendu, uniformément elliptique. Soit, enfin, u la solution du problème [.N’eu]:. On démontre des résultats de régularité analogues à ceux de Dirichlet : Théorème 5.47. (1) Sous les hypothèses précédentes, la solution d e [Neu]: appartient ù HZ(f2). 256 C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES C”+’(a), (2) Sa f t H m ( R ) et A E l’ouvert R étant de classe Cmf2, alors cette solutaon satasfaat à u E Hm+2 (O). Preuve du théorème 5.47. Comme dans le théorème de régularité pour Dirichlet on fait la preuve en plusicurs étapes. 0 La première étape sur RN est la même. 0 On passe au cas de IRNp1 x ]O, +m[. Soit u à support compact dans EXNp1 x [O, CO[. On remarque que, grâce à la condition de Neumann homogène, la formule de Green J’ RN-1 (A(x)VU). VU + L1 fv =O xl0,4 X]O,nû[ est encore vérifiée, quel que soit u E H ~ ( I R x~]O,m[). - ~ On peut donc procéder conirrie dans la preuve de Dirichlet, à l’aide des translations dans les directions autres que e N . On obtient ainsi, en retranchant les équations satisfaites par u et u h , en multipliant par wh - u et en intégrant sur IRNp1 x ]O, CO[, une estimation uniforme qui permet de montrer que &,u t L2 dès que l’un des indices est autre que N . On termine, pour l’appartenance de ~ N N Udans L 2 , cornme pour la preuve de Dirichlet, en écrivant l’equation sous la forme : ~ N ( A N N =~ -f N ~ ) ,< N - 1 &(A,,&u) E L 2 , ,J et en utilisant le lemme 5.36. 0 Cas général. On utilise le matériel habituel de la régularité de : le recouvrement, les cartes locales, les fonctions p ~d’une , partition de l’unité ... En raisonnant conime dans le cas de Dirichlet. on voit que la fonction v k u satisfait dans R n RI, à : div(A(4V(cpI,u)) = 9 avec y t L2(R n RI,). Mais, contrairement au cas de Dirichlet, la condition au bord A(z)V(cp~,u). n’ = O sur dR n RI, n’est plus nécessairement vérifiée. Cependant, en développant O(p~,u), en utilisant la linéarité de la trace normale sur L2 et en factorisant par les fonctions à valeurs scalaires, on obtient : AV(cpku). n’ = ( A V U .Z)pk ( A ( V ~ I -t ,n)). u = ( A ( V p k ) . X),. + Considérons la fonction A*, définie sur dR par d H ( A ( d ) ? L ( d ) . n’(d)). Elle est de classe C1 et, par hypothèse d’uniforme ellipticité, ne prend pas la valeur nulle. La frontière étant de classe C2, la fonction ( l / A * ) A ( V p k ) ,n ‘ u est alors, sur dR, le produit de la trace you E H1/2(dR)par une fonction de classe C1 sur 2.En adaptant la preuve du caractère local de H1/2dans 5.5. PROBLEMES D E NEUMANN 257 la proposition 4.26 du chapitre 4, on prouve que cette fonction appartient à H1/2(dfl).On applique alors, 0 étant de classe C2, le théorème de trace 3.79 du chapitre 3 pour rri = 2 et p = 2. I1 y est prouvé que l'application y = (y0,yI)de I f 2 ( ( ] )dans l'espace produit H"/'(dfl) x H1/2(df2)qui associe à O , le couple (yov,d~v) est surjective. Dans le cas présent, on peut donc trouver V E H2(fl)telle que : { si x E df2 : V(x) = O axv = (A(Vvk) .il>.si z E 862. Alors, on en déduit : La fonction U - = (PIÇU- V satisfait donc à la relation div(A(x)VU) = - div(A(z) . V(pku) : + div(A(z)VV) E L2 avec maintenant la condition A ( x ) V U . 2 = O. On définit alors 'u dans H1(IWN-' x 1 0 , + 4 Par Comme dans la preuve de la régularité de Dirichlet, la fonction u vérifie div(B(s)Vv) = h, cette fonction fi étant daris l'espace L'(EtNp1 x IO, +4). Nous alloris montrer que v est solution d'un problème de Neumann sur RN-l x ]O, +ca[), ce qui permettra d'utiliser le résultat de régularité sur cet ouvert. On rappelle que 'di E [1,N - 11, B%N = A%N- A,,~,u jGN-1 BNN= ANN + AUaVu AN,d,a. - jCN-1 On vérifie alors la relation : En effet la relation A(2)VU. 2 = O C H A P I T R E 5 . EDP ELLIPTIQUES 258 : TECHNIQUES VARIATIONNELLES s'écrit, compte tenu du fait que 2 est colinéaire à -Va+eN et des relations entre les dérivées partielles de U et w calculées dans la section précédente : O= Aij(8,U - i,j<N-l J<N-l =- A,,û,vd,a + A , N ~ , u+ ~ ; I I ( A N N + AUaUa zjGN-1 = AN,ûja) - jGN-1 N B , N ~ ,uBNN~NU. - 1 La relation (*) est ainsi prouvée. Or, cette relation exprime que la trace normale BVu.e< est nulle sur { X N = O}. La fonction 11 est donc, ainsi qu'on le voulait, solution du problème [Neu]; dans l'ouvert R = R N p l x ]O. +m[. On est donc ramené au résultat de régularité sur IRN-' x ]O, +CO[.Ainsi, w E P ( R N - 1 x ]O, +CO[), ce qui entraîne aisément, en utilisant le fait que a est de classe C2, que u E H2(Rn f 2 k ) . Régularaté à l'ordre supéraeur. On montre la régularité d'ordre H m f 2 en supposant le bord de R de classe A E C'"+'(si) et f E H"(R). 0 On se place d'abord dans le cas de R = IRNp1 x ]O, +mû[, espace que l'on note RN+. On suppose donc que u satisfait à div(A(z)Vu) = - f dans IRN+ et à C , A z ~ d , u= O sur le bord { I G N = O}. La preuve est faite par récurrence. On suppose donc montré que si f E H"-l et A E C"(a), alors u E H"+l(RN+). Soit, maintenant, f E H m ( R N + )et A E C"+'(RN+). La dérivée de u par rapport à I G ~ avec , IC < N - 1, satisfait à l'équation : div(A(z)V(&u)) = - a k f - div(dkA(z)Vu). Le second membre de cette équation appartient ti HnL-' puisque VILE H m par hypothèse de récurrence et que & A E C" (adaptation de l'argumentation du caractère local). La condition au bord n'est plus nulle mais on a : A(X)V(aku) ' eN = ak(AVu. e N ) - (dkA)Vu. eN = - ( d k A ) V l ~ .€ N . Cette dernière fonction -(&A)Vu . e~ est la trace d'une fonction de ,',(IRN+). C'est donc un élément de H"-112(RN-1). En utilisant la surjectivité de y rappelée précédemment, objet du théorème de trace 3.79, on prouve l'existence de V E Ilm+' tel que A(x)VV . e N = (dkA)Vu. e N . La fonction w = ûku - V satisfait aux relations : div(A(.c)Vw) E HnL-l(R), A ( z ) O w . On en déduit w E Hm+', ce qui entraîne ûku E H'"+'. = O. 5.5.PROBLÈMEÇ DE NEUMANN 259 I1 reste à voir que d ~ EuHnL++'(R). Comme on a déjà E H"(R), il suffit de vérifier 8 ~ , 7 ~E H"(R). Cela s'obtient, comme on l'a déjà fait dans le cas de Dirichlet, en écrivant : 0 Cas d'un ouvert de classe On utilise d'abord une localisation puis uri changement de fonction pour se ramener à RNp'x ]O, +CO[. Soient RI, des ouverts de classe qui recouvrent R et {pk} une partition de l'unité subordonnée à, ce recouvrement, coniine dans la définition d'lin ouvert La fonction pI,u satisfait à une équation de la forme tliv(A(z)V(cpku)) E H", niais la condition au bord de Neumann n'est pas nulle. Pour pouvoir appliquer l'hypothèse de récurrence, on remarque que : car u E Hm+'(62). Soit donc V une fonction de Hm+2 telle que, sur on ait : (5.48) V =O et) (A(z)n.,n)d,V= A ( ~ ) ( V y k )n' u. Alors la fonction p ~ , u - V satisfait, sur ûR n R k , à - dR, div(A(z)V(cpku - V)) E Hnl et : A(z) . V(cp~,u- V ) .7i? = O. On fait ensuite le changernent de fonction liabitucl et on vérifie comme on l'a fait dans le cas de la régularité d'ordre H 2 que : Par la régularité dans le cas du demi-espace, on a l'appartcriance de I I à l'espace H"+2(RN-1 x]O. + C O [ ) . En utilisant la régularit6 de A ori en déduit p k u € N"+'(f] rink). On en déduit enfin u = p k u E Hm+' en utilisant les propriétés de rccouvrcment localement fini de R. Cela termine la preuve du tliéorèrrie 5.47. O 260 C H A P I T R E 5. EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES 5.6. Problèmes de Dirichlet et de Neumann non homogènes 5.6.1. Problème de Dirichlet non homogène On désigne toujours par R un domaine born6 de classe C1. Soit TIO E H1I2(an).Le problème non homogène de Dirichlet [ D L D ~consiste T ] ~ ~à‘ clier~ cher u dans H1(R) tel que : i - [ D T p : div(A(x)Vu) = f u = UO dans sur R, m. Exzstence et unzczté. I1 se résout en considérant le problème variatiotinel : (5.49) Ce problème cst une niiriimisatiori sur un convexe fernié, mais or1 peut le traduire en une minimisation sur l’espace entier H 1 . Pour cela, on remarqua que ILO est dans l’espacc de traces H1/2(dR); on peut donc relever (cf. chapitre 3) cette fonction en Uo élément de H1( [ I ) . En fixant cette fonction et en iitilisarit la trarislatiori IL = Uo Y , on voit que le problèriie précédent s’énonce : + Cette nouvelle forictiorinelle v H JI(.). où le premier terme est une forme linéaire continue, est toujours cotivexe et cotitinuc sur H ’ ( n ) . En usant riotarrirricnt de l’uniforme ellipticité de A , la coercivité de J I résulte de l’inégaliti. : lJl(U)l 3 allv4; - 1 1 ~ ~ ~ 0 / 1 2 1/ I~ l ~ f l ~l Y/ l /l ~2 ~ ~-l l /KI. 2 On peut donc appliquer IC théorèrrie 5.25. ct comme ,I1est stricterrieiit convexe, on peut conclure à l’existence et à l’unicité d’une solution au problème 5.49. O Poiirsuivoris. La fonctionnelle JI cst G-dif€ér entiable. Par iin calcul maintenant classique, on a , pour tout p t D ( 0 ) : Par cotiséquent : Ji ( P I ) = - div(A(V(v + UO)) - f. 5 . û . PROBLÈMES DE DIRICHLET ET DE NEUMANN N O N HOMOGÊNES 261 + En annulant cette dérivée en u,on obtient que u = v Uo du problème 5.49 est bien solution de [ 2 3 ~ ] 2 ' ~ " . Notons qu'on peut se ramener directement A un problème de Dirichlet homogène en utilisant la translation 7~ - Uo.Alors u - Uo est cherchée coinnie solution de - div(A(z)V.i/) = f + div(A(z)VUo), u = 0 sur 861. Corrirrie divergence d'iiiie fonction de L 2 , on a div(A(:ï)VUo) E H-l(R), cc qui ét,ablit que le second rncmbre est dans H - ' ( O ) . On conclut avec la remarque 5.30. Piopriétés de régularité. Proposition 5.50. Soit rn 3 O. O n suppose que O est u n domaine (le classe C7rL+2,borné, yue A E C T n + ' ( 2 ) , que E H"+3/2(30) et f E H"(62). Alors la solution, d e : - div(A(z)Vu) = f d m s 61, u = 110 s u r df2. vérifie : 'u, E H T n f 2(O). Preuve d e la propositiori 5.50. La preuve est évidente en utilisant cncore une translation. D'après IC théorème de traces 3.79: puisque 110 E H""+3/2(dO).il existe U E Hm,+2(f2) de tract: 7 ~ 0sur 312. Alors, par les propriétés de A et celles de U : -div((A(z)V(u ~ U ) ) = .f + C(üz(A,,j)d,U+ A,,&,U) = ,9. i,j Par les hypothèses de régularité de f . A , 7 4 on voit q i i e g E H'" (62). En utilisant, alors le théorème de régulariti: 5.40 pour le problème [Dir];, on obtient la coriclusiori attendiie' à savoir u E H77L+2 (O). O 5.6.2. Problème de Neumann non homogène Soit 62 un domaine borné de classe C1.Ori suppose dans un premier temps que u1 E H-1/2(30).On se propose dc résoudre C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES 262 Existence et unicité d’une solution. En vue de démontrer l’existence d’une solution u dans H1(f2),multiplions l’équation par u élément de H 1 ( 0 ) .En utilisant la formule de Green généralisée (cf. proposition 3.58), on obtient : O ce qui suggère de considérer la minimisation : (5.51) irif ?,EH’(n) J(v) Puisque les fonctions constantes appartiennent à H 1 (O), on remarque que, si f(z)dz ( u l , i n ) # O, alors l’infimum précédent est égal à -00. On se place donc dans l’hypothèse f(z)dn: ( 7 1 , 1 , 1 ~ 2 ) = O, ce qui généralise l’hypothèse nécessaire pour le problème de Neumann homogène. sn + + I V La fonctionnelle 7, définie sur l’espace quotient H’ (0) est alors strictenient convexe, continue et coercive sur cet espace séparable et réflexif. On en déduit l’existence et l’unicité, modulo les fonctions constantes, d’une O solution au problème 5.51, d’où le résultat pour [.h’-eu]Au1. Résultat d e régularité. Bien entendu, on suppose toujours (.1, sn f ( z ) d z + 10) = o. Théorème 5.52. Si f E H r n ( R ) , avec rn 3 -1, si A E C m f l ( n ) et si Hrn+1/2 (an),alors la solution u de [.h’-eu]2”1 appartient (I Hm+’(0). 7L1 E Preuve du théorème 5.52. O La preuve se fait en utilisant, comme cela est fait par exemple dans le cas de Neumann homogène (cf. relation(5.48)), une fonction V dans Hm+’ telle que (A(z)VV) . n = 761. On conclut alors, en remarquant que div(A(z)VV) E H”(O) et en utiliO sant les résultats de régularité pour Neumann homogène. 5.7. Problème de l’élasticité On trouvera une 6tude des problèmes de l’élasticité dans [lo]. 5.7.1. Élasticité linéaire, cas des petites déformations Dans ces problèmes, R étant un domaine borné O de classe C l , on considère le tenseur des contraintes E ( U ) associé à la fonction déplacement IL élément de H1(0,IRN) inconnue du problème. Ce tenseur, d’ordre 2 , a pour 5 . 7 . PROBLÈME DE L’ÉLASTICITÉ 263 composantes E ( u ) , ~ = s(aju,+d,u,), appartenant à L2(R). On définit dans l’espace ~ ‘ ( 0IR^) , la semi-norme u H I E ( U ) ~ ~ par la formule : IHu)/22 = IE(427l$(R). Classiquement, cette semi-norme devient une norme dans l’espace HO(O,RN),coinnie on peut le voir avec l’exercice 2.10. La divergence du tenseur E(.) étant le vecteur de composantes div(E(u))), = E, a J ( ~ ( ~ et ) 2fJétant ) un vecteur donné de L 2 ( 0 , R N ) , le problème [ & l a ~ t ] consiste f>~ en la recherche de la solution TL daris H 1 (O, IRN) de : [Ilast]f>O : - d i v ( ~ ( u ) )= j daris 0, sur d o . Formulation variationnelle du problème. Elle s’écrit Existence et unicité. Sous cette forme, il est clair que la fonctionnelle J précédente est strictement convexe et continue. Pour montrer la coercivité, on utilise d’abord l’inégalité de Poincaré, à savoir 1l ( f ’ u)(4dzl < l l f l l 2 l l ~ 4 1 2< Cllfll21I~~I12, puis l’inégalité de Korn (cf. chapitre 7, section 7.4) qui fournit l’existence de C’ telle que : l l ~ u l l 2,< C’ 1().12. On en déduit ensuite : Enfin, ce qui donne la coercivité annoncée : I1 en résulte l’existence et l’unicité de u solution du problème variationriel. On laisse au lecteur le soin d’étudier la différeritiabilité de J permettant de montrer que cette solution est aussi la solution de [ & l a ~ t ] f > ~ . 264 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECEINIQUES VARIATIONNELLES 5.7.2. Extension au cas où p # 1 et p # CO Soit maintenant p > l , ~ E L ” ’ ( R , I W On ~ ) .pose IE(u)~P= ( Cij~ i j ( u2 ))P P et on part du problème variationnel : Le système des équations d’Euler, associé à cette minimisation s’écrit : i=N E [l’NI’ ~J(lE(u)IP-2E(U),J) = - fi. j=1 On démontre l’existence et l’unicité d’une solution en utilisant la convexité et la coercivité de la fonctionnelle, cette dernière propriété étant une conséquence de l’inégalité de Korn (cf. section 7.4). Nous abordons, à présent, des exemples de résolution d’EDP non linéaires. 5.8. L’équation du plaplacien 5.8.1. Énoncé du problème du ylaplacien Le problènie envisagé maintenant consiste à reniplacer l’opérateur de Laplace A = div(V) par l’opérateur non linéaire, noté AP, défini par : A,u = div(lVu/P-2Vu). I1 gcnéralise les problèmes de Dirichlet proprement dits. Soient p > 1 un réel, dont le conjugué est noté p’, et R un domaine borné de classe C1. On veut résoudre, pour X 3 O et f dans LP’ (0)’le problème, noté [Lap]: : On cherche u dans W,”p(0).Notoris que I V U ~ ~ - ~est VU la fonction vectorielle appartenant à LP’(0)qui est colinéaire à Vu et a pour module I V U I P - ~ . Cela définit bien une distribution et on peut donc parler de sa divergence. Remarque 5.54. Ce même problème peut également être envisagé lorsque f appartient à un autre espace que L P ‘ . Nous détaillerons ces différents cas dans ce qui suit. 5.8. L’ÉQTJATIONDU p-LAPLACIEN 265 5.8.2. Résultat d’existence Proposition 5.55. La fonction u est solution du problème [Lap]: si et seulem e n t si u réalise le minimum de la fonctionnelle définie sur W,’”(R) par : La preuve de cette proposition nécessite dans le cas où X = O, une généralisation de l’inégalité de Poincaré, montrée sur H i : Proposition 5.57. O n se donne 1 < p < 00 et R un domaine borné de classe C’ de RN.Soit N u n e semi-norme continue sur W’J’(fl), qui, e n outre, est une norme sur les constantes. Alors il existe une constante C > O telle que : (5.58) v u E W ” P ( f l ) , IIVullp + N ( u )3 C(IIullp +ll~4p). La preuve de cette proposition a été proposée dans l’exercice 2.9, nous n’en reprenons pas la démonstration. Dans ce qui suit, nous utiliserons la 1lP semi-norme N ( u )= (J,, lu/”) . On en conclut que, dans W;’”(f2), IIVullp est une norme équivalente à la norme Il.llw~,.<n). Preuve de lu, proposition 5.55. Les questions de coercivité et de G-différeritiabilité étant plus complexes à traiter que dans les EDP linéaires elliptiques déjà envisagées, nous détaillons davantage la preuve de cette équivalence, ce qui redonne, dans le cas particulier étiidié, la preuve du théorème 5.25. O Montrons, par l’utilisation de suites rninimisantes et extraction de soussuites, l’existence d’une solution au problème infuEH; J ( u ) . Soit { u T Lune } suite inininiisante, c’est-à-dire, telle que ( J ( u r L )converge ) vers l’infimum de J . En utilisant l’inégalité de Holder et la proposition 5.57 pour p > 1, on obtient : 16 f ( 4 W Z l 6 llfllP/ IIUllP cllfllPJIIVUIIP. ax + On utilise ensuite l’inégalité de convexité X “ Y 0 6 +BY,où Q /3 = 1, dans laquelle on choisit X = 2pPIIV~IIPet Y = (2C)p’lIfl($. On a ainsi : On en déduit J ( u n )3 1 ,O P - 2-p)llVunIlp + XIIunllp + K . Puisque X 3 O, il en résulte, d’une part, en remplaçant un par u que i n f J ( u ) > -00 et d’autre part, que {un}est bornée dans W’,p(R). En utilisant la compacité faible des bornés de P ( R ) (cf. section 5.1) lorsque C H A P I T R E 5.E D P ELLIPTIQUES 266 : TECHNIQUES VARIATIONNELLES 1 < p < m et la semi-continuité inférieure faible de J pour la norme LP, on obtient, à l’extraction d’une sous-suite près, encore notée unpour simplifier, les deux propriétés suivantes : d’une part, cette suite converge faiblement vers u dans W’+‘(O), d’autre part, on a le résultat : J ( u )6 J(UTL). n-CXI On montre maintenant que u = O sur 80. Pour ce faire, puisque youn = O, il suffit d’utiliser la continuité de l’application trace de W1>P(0) sur W1-’lpJ’(dO) pour la topologie faible de W’J’. C’est l’objet de l’exercice 3.2 du chapitre 3. Ce qui précède fournit ainsi la première partie de la démonstration. O Montrons la rhciproque. On suppose donc qiie J ( u )= 71 est solution de J(v). inf vtw,; ” ( C I ) La fonctionnelle J est bien définie sur W’>P(0). En l’exprimant & l’aide de liuIIP et IlVullE et en utilisant Holder, on voit qu’elle est continue sur W,’”(0). Elle est convexe, puisque le premier terme fait intervenir la coniposition de V qui est linéaire avec la fonction convexe t H t P et l’intégration. Pour la coercivité, on utilise, conime c’est fait ci-dessus, Holder et la proposition 5.57. Montrons que J i : u H Jn IVu(z)lPdzest Gâteaux-différentiable avec : ( J i ( u ) w) , =p b lV71l”-2(II:)Vu(z)Vv(z)dz. ‘ On procède comme dans l’exemple 5.20. Par le théor$me des accroissements finis, pour presque tout II: E R et pour t > O, il existe une fonction û à valeurs dans ]O, l [ telle que l’on puisse écrire : (5.59) p u + tVv)(z)lP - IVu(z)l” - tplVu(z)l”-2VoU(z). Vv(II:) + O(t,~ ) t o 7 ~ ( ~ ) ) l P - ~+( O(t, ( o uz)tVw(z)) (~) . Vv(z) = tp/Vu(z) - tplVu(z)lp-2Vu(z). Vv(z). En divisant par t , on obtient pour presque tout z : D’autre part, on peut majorer le deuxième membre de l’égalité (5.59) divisée par t par h ( z ) = LIVv(z)l(Vu(z)l IVv(z)lP-l En utilisant ensuite l’inégalité de Holder, on a : + Ihl 6 c I I ~ ~ l I P ( I I ~ u I I p+- lI l ~ ~ i i p - ’ ) 5.8. L’ÉQUATION DU p-LAPLACIEN 267 On peut donc appliquer IC théorème de convergence dominix et conclure à : (J{(u),w) = p b jVlL~”-2(x)Vu(T). V u ( x ) d z . Le deuxième terme de J est également G-différentiable, comme l’exemple 5.20 le nioritre. En tenarit compte de cet autre résultat, on peut écrire : En particulier, en utilisant cette égalité lorsque w est dans l’espace D(fl), lequel est dense dans W,””(O), on peut conclure à la caractérisation du niininiurn u de J , à savoir : - avec u E + div( I V U I ~ - ~ V UXIulp-2u ) - f = O, ~,‘”(n). Remarque 5.60. Ce qui précède est valable quel que soit X 3 O. Cela reste valable aussi si f est une fonction dans LN”/(N”-N+p) si p < N , dans L1(f2) si p > N et dans L1+‘ pour un nombre E > O si p = N . I1 suffit de voir que, dans chacun de ces cas, on peut définir l’intégrale J, f(z)u(z)d.clorsque u E W;’”(<n), comme cela résulte du théorème d’injection de Sobolev 2.31 du chapitre 2. On laisse le lecteur détailler ce point. 5.8.3. Résultat d’unicité Théorème 5.61. Il y a unicité d e la solution du problème [Lap]:. Preuve du théorèsme 5.61. 0 Soient deux solutions u1 et u2. Pour simplifier, on utilise la notation = (IV.~iIp-~Vui),(i = 1 , 2 ) . En faisant la différence des deux équations associées, en niultipliant par (u1- u 2 )et en intégrant sur 0, on obtient : -div(ai - a : ! ) . ( u - u 2 ) d z + X b( I U # - ~ U ~ -IU~~~’-~,U~)(ZL~ -uz)dz = O. On considère les signes des fonctions intégrées. Soient X et Y des vecteurs de R N . Développons, pour p > 1, le produit scalaire U ( X , Y ) = (IXlp-2X lYlP-2Y) . ( X - Y ) . En utilisant X ‘Y IYI, 011 a : U ( X , Y ) 3 l Y l P - (IXlP-2 IYIp-”)IXI /YI, c’est-à-dire : - < 1x1 1x1”+ U ( X , Y )3 (1xip-l- IYl”-’)(lXl- + IYI) 3 o. 268 C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Ce résultat est aussi valable pour les scalaires X = ul(x)et Y = ua(2) où z E [ I , donc : (1u1(x)1”-2ul(x)- Iu2(z)l”-’u2(x))(ul(x) - u2(x)) 3 O, ce qui signifie que la seconde intégrale de (5.62) est positive. Quant à la premiere intégrale, en la transfoririarit par la formule de Green généralisée et eri teriarit conipte de yo(u1 - u2) = O, elle s’écrit : ~(lVu1Ip-2Vu1 - /Vu2/p-2Vu2) . (Vu1 Vv2)dr. ~ Alors, la relation U(Vu1(x),Vu~(~)) 3 O entraîne, si X presque partout sur 0 : u1(x)= u2(x) et # O, les égalités, Vu1(x)= V u z ( x ) . Si X = O, la seule conclusion Vu1 = Vu2, suffit aussi à conclure à u l = u2 sur 0, puisque u1 = u2 = O sur le bord 80. D’où le résultat d’unicité. O Quelques résultats sur la régularité de la solution du problème du plaplacien, sont établis, notamnient par des méthodes d’estimation a priori, dans l’appendice de l’ouvrage. 5.9. Principes du maximum pour des EDP elliptiques On rappelle le principe classique du maximum. Urie fonction u,non constante, harmonique dans un ouvert connexe borné R de RN et qui se prolonge en une fonction continue sur 2,prend les valeurs de ses bornes supérieure ou inférieure seulement sur la frontière 3R. Cela revient à dire que si, sur dR, on a U ( J ) 3 ‘rn,on en déduit u(x)3 m dans 0. En utilisant u - m ,on est ainsi amené à étudier le signe d’une solution d’une EDP à partir du signe de sa trace sur 30. Ajoutons que, cependant, cette technique n’est valable que dans le cas des EDP linéaires. Dans ce qui suit, on étudie des principes du rnêrne type qui peuvent être associés aux solutions des EDP elliptiques, lesquelles généralisent ici les fonctions harmoniques. 5.9.1. Principe du maximum faible Cas de la solution d e [Dir];,,. Dans ce paragraphe, R désigne toujours un domaine borné de RN,de classe C l . On rappelle la définition de la première valeur propre de l’opérateur - div(A(z)Vu) sur HO (O) : On procède, comme dans la sous section 5.3.4, dans l’étude de [ 2 2 i . ] ~ , p x . On obtient, notamment par l’inégalité de l’uniforme ellipticité de A, que le réel défini par : X1 = t E H: inf (n)I I u I 2 =1} A ( x ) (V u ( s ) ). V u ( z ) d z } , 5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES 269 est strictement positif et que ce iiornbre est la plus petite valeur propre de l'opérateur - div(A(Vu)) sur Hi(R). Théorème 5.63. Soit A, un réel tel que O u E H1(S1),la solution du problème : - <X div(A(x)Vu) - X u = f < XI, f 3 O dans O. Soit dans f2. Alors, sz u 3 O sur dO, o n a aussi u 3 O daris O. Preuve d u théorème 5.63. On utilise un résultat sur les parties positives et négatives des fonctions de W1.P : Lemme 5.64. O n suppose que u E W',P(O) et o n désigne par H la fonction de Heaviside telle que : H(z)= 1 si x > O, O < O. si z Alors ,u+.u-, lu1 E W ' J ' ( 0 )et : V ( u + )= H(U)V'IL, V ( u - ) = -H(-u)Vu, Vlul = Vu ( H ( u )- H ( - u ) ) . Preuve du lemme 5.64 (iioir aussi [7]ou [28]). I1 est clair qu'il suffit de montrer le résultat avec p = 1. Er1 effet, si p > 1, alors pour tout ouvert RI d'adhérence compacte dans (1, on obtient Vu. E L'(RI), donc V ( u + )= H ( u ) V u . Cette écriture prouve donc que, O1 étant arbitraire, le gradient V ( u + )au , sens des distributions, appartient A LP(R). Soit ,jE la fonction définie sur R par : trt > O, j E ( t )= +t2)1/2 E ( E ~ - et trt < O' j E ( t )= O. I1 est facile de voir que j , converge uniformément vers j ( t ) = t+ et que j : ( t ) converge pour tout t vers H ( t ) . Soit u E Lfoc(R).Par le théorème de convergence dominée, j , (u)converge vers j ( u )= u+ daris LfOc(O). D'autre part V ( j E ( u ) = ) (c2 + V ~ ) ~ ~ / ~ ( U +converge, V U U ) pour presque tout z de R , vers H ( v ) V uet est dominé par lVul. On en déduit que, daris Cl((]), on a : lim V ( j , ( ~ )=) H ( u ) V u . O€' La conjonction de ces deux résultats entraîne que H ( u ) E WIJ' et que V H ( u ) = H ( u ) V u . Puisque TL- = ( - u ) + , on obtient l'autre forrriule, à savoir V ( u - ) = H ( - u ) V ( - u ) . O 270 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES 0 On revient & la démonstration du théorème 5.63. On multiplie l’équation du théorème 5.63 par u-. Puisque f 3 O sur R, on obtient : h -div(AVu)(z)u-(z)dz - Xw(z)u-(z)dz: f ( z ) u - ( z ) d z 3 O. Par ailleurs. puisque u- = O sur X I , la formule de Green nous fournit : L - div(AVu)(z)u-(z)dz = Or : A ( z ) V u ( z .)V u - ( z ) d z= Ainsi, en utilisant s, s, A ( z ) V u ( z ). V ( u - ) d z . A(z)Vu-(z) . V u - ( z ) d ~ . s,, f ( z ) u - ( . ~ ) d 3z O, on a : On en déduit : ce qui contredit la définition de X i sauf si u- = O. I1 en résulte que u 3 O dans R. < Bien entendu la linéarité de l’équation permet lorsque f O de montrer que u 6 O dans 0 si elle est 6 O sur le bord de 0 . On verra plus loin un principe du maximum strict, dû sous une forme plus générale à Vazquez. I1 assure que, si u est une solution 3 O de l’inéquation - div(A(z)Vu) 3 O, alors dans chacune des composantes connexes de R , ou bien u est identiquement nulle, ou bien u est strictement positive. Le lecteur peut consulter 1241%[35)pour des principes du maximum plus généraux. Cas de la solution de [Cap]:. Théorème5.65. Soit X 3 O donné. Si u est solution de - + div( I V U ~ ~ - ~ V U ) =f et si f 3 O duns R, et u 3 O sur le bord de R, alors u 3 O duns R . Preuve du théorknie 5.65. On multiplie par 7 ~ - comme on l’a déjà fait pour l’équation du laplacien. On obtient : 5.9. PRINCIPES DU MAXIbfUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES 271 Nous avons deux intégrales de fonctions négatives à gauche et une intégrale de fonction positive à droite. Finalerrierit, on en déduit : ce qui entraîne : /vuy + X(u-)” = O. Puisque X 3 O, on en déduit V ( u - )= O, et donc u p = O, car ubord d o . =O sur le O Dans l’exemple 5.84, on montre l’existence d’une première valeur propre comme dans le cas du laplacien. Alors, pour X strictement plus grande que l’opposée de la première valeur propre, le résultat est encore vrai (cf. [il]). Le théorème suivant est un résultat qui généralise ce principe du maximum au signe de u1 - u 2 , différence de deux solutions de 1’EDP considérée. I1 n’a pas lieu d’être daris le cas d’équations linéaires comme celles de la section précédente, puisqu’ori peut alors se ramener par la différence de deux solutions à une solution de l’équation homogène et utiliser finalement IC principe classique du rnaxirriuni. Comparaison de deux solutions dans des équations n o n linéaires. Théorème 5.67. Soit X 3 O donné. Soient d e s fonctions u1 et u 2 qui satisfont à: - On suppose que fi div(lVuilP-2Vui) >f 2 +x I u ~ ~ P - ~ ~ L ~ =fL. dans s1 et que u1 >u2 sur 862. Alors u1 > u 2 dans 0. Remarque 5.68. Contrairement au cas du laplacien, ce résultat ne se déduit pas du principe du maximum, car l’équation n’est pas linéaire. Notons aussi que ce principe de comparaison est l’argument clef pour obtenir le priricipe du maximum strict de Vazquez qui fait l’objet du paragraphe suivant. Daris le cas X > - X I , où X1 est la première valeur propre, ce résultat de comparaisori est encore valable mais il plus délicat à montrer (cf. [il]). Preuve du théorème 5.67. Or1 multiple l’équation différence par (u2 - u1)+,on intègre sur 30 et on utilise le fait que le terme de bord est nul. Cela nous donne : 272 C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES De cette égalité résulte que la première intégrale doit être positive. Or, d’après les propriétés du gradient de (u2 - u l ) + , vues dans ce qui précède, on a : (IVulI”-2Vu1 - IVu2/p-2vu2). V((u2- U 1 ) + ) = -H(u2 - u1)(Jvu1Jp-2Vu1- /Vu:!Jp-2V121>;?) . (Vu1 - Vu2), et cette expression est toujours négative ou nulle. Comme elle est nulle si et seulement si V((u2 - .I)+) = O, l’égalité précédente impose donc (u2- .I)+ = cte et, puisque cette fonction est nulle sur le bord, on conclut 6. u2 u1. O < Cette propriété de comparaison peut se généraliser : IR. Soient u1 ~ 1 3 1 1 . 2dans 0. Théorème 5.69. Soit /? une fonction croissante et continue sur et 1 ~ 2qui satisfont à : - O n suppose que fi div(/Vu$-20ui) + P(u,) = fi. 3 f 2 dans R et que u1 > U Z sur d a . Alors Preuve. Elle est identique à la preuve précédente. O 5.9.2. Principe du maximum strict Principe du m a x i m u m strict pour le cas du laplacien. On conimence en rappelant un résultat certainement coimu du lecteur familier de la théorie des fonctions harmoniques, tout au moins dans le cas où N = 2 : Proposition 5.70. Sa u est de classe C2 et positive et si Au = O dans u n domaine R, alors, ou bien u est identiquement nulle, ou bien u > O dans 0. Preuve de la proposition 5.70. En effet, puisque u est continue, l’ensemble des points 2 où u = O est fermé. Montrons qu’il est ouvert. Soient 20 E 2 et T > O tel que la boule de centre 20 et de rayon T soit incluse dans R. Pour tout E < r , la propriété de moyenne pour une fonction harmonique (cf. exercice 7.2 du chapitre 7 ) fournit, WN-1 étant l’aire ( N - 1)-dimensionnelle de la sphère unité de RN : En particulier, puisque u 3 O, la continuité de u entraîne que u = O sur le bord dB(z0,E ) . Cette propriété étant vraie quel que soit E E ]O, r [ , on en déduit que u = O dans B(z0,r ) . Par conséquent, l’ensemble 2 est ouvert. L’ouvert R étant connexe, il en résulte que, ou bien 2 = 0, ou bien 2 = R , ce qui termine. O 5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES 273 On se propose dans ce qui suit, d’obtenir la même propriété pour une fonction u continue et sous-harmonique dans 0, cette dernière propriété signifiant que -Au > O dans R. Auparavant, nous avons besoin d’expliciter les solutions de classe C2 du problème de Dirichlet lorsque la fonction frontière est continue. On utilisera ensuite l’expression définissant ces solutions, dans un procédé de comparaison, pour obtenir la stricte positivité de la fonction sous-harmonique. On rappelle d’abord le résultat d’existence et d’unicité pour ce problPme de Diriclilet dit classzque, classique dans le sens qu’on exige des solutions qu’elles soient de classe C2 dans l’ouvert considéré. La preuve de ce résultat, lorsque l’ouvert est la boule unité B = B(0,l). est donnée dans l’exercicc 7.5. On y utilise le noyau de Poisson ( s , x ) H p ( s , x ) , relatif à d B . défini pour s E d B et x dans B : Alors, f étant une fonction continue sur d B , la fonction boule B par : Pf définie sur la est harmonique dans la boule B et admet un prolongement continu sur la frontière, lequel est identique à f. Remarque 5.71. En utilisant le principe du maximum, on peut voir que la fonction Pf est la solution unique de classe C2 du problème de Dirichlet associé à la condition frontière continue f . Remarque 5.72. En utilisant une translation et une horriotliétie, on déduit facilement du résultat précédent la solution du problème de Dirichlet classique pour la boule B ( Q , r ) : On compare maintenant la solution classique ci-dessus, donc de classe C2 & la solution du problème variationnel sur la boule B lorsque la condition frontière est continue. De façon précise : Proposition 5.73. Soit u t C ( d B )n H’/’(aB). Soit, d’une part, u E H ’ ( B ) O la solution du problème [Du-]iw, ce qui impose à son laplacien Au,pris a u sens des distributions dans B,d’être nul et de vé$er u = u sur d B . Soit, d’autre part, w la solution, de classe C2, harmonique dans B , et telle que w = u sur d B , fonction définie par w = Pu. Alors, sw = u dans B . 274 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Preuve d e la proposition 5.73. 0 Soit, par densité, une suite {un} incluse dans C"(3B) qui converge dans C ( d B ) n H 1 / 2 ( d Bvers ) la fonction u. On désigne par Pu, = w, l'image dans B de un par l'opérateur de Poisson et par un la solution, dans H 1 ( B ) , du problème de Dirichlet assorti de la donnée frontière un qui appartient en particulier à H ' / 2 ( d B ) . Cette dernière solution est définie comme le minimum de P, : On va d'abord montrer que u,, est de classe C", propriété d'où l'on déduira que un= w,. Pour voir que 7~, est C", on peut utiliser les résultats de régularité de la solution de Au = O lorsque la fonction frontière est de classe C". Puisque le bord est C", que le second membre, qui est nul, appartient & H k ( B )pour tout IC entier, et que la donnée frontière O, est dans H k + l I 2 ( d B ) ce , résultat de régularité nous assure que un E H k pour tout IC. I1 en résulte que 76, est de classe C" daris B et, par conséquent, on a bien u , = w, dans B . I1 est clair, en utilisant le noyau de Poisson, que w, tend vers w dans C(B). Ceci résulte, en utilisant la positivité de p et la propriété p(s)ds = 1 ( c i . exercice 7.5), de la convergence uniforme de v, vers v sur d B : sB(o,I) I1 reste à montrer que un tend vers u , même si c'est seulement au sens des distributions. On le montre en fait au sens de la convergence forte dans H1. Pour ce faire, on montre que l'infimum de P,, : converge vers inf P défini par Soit u, qui réalise l'inf de P,.I1 est clair que unest bornée dans H1. I1 suffit, pour cela, de considérer un relèvement V, de un, c'est-à-dire un élément de H ' ( B ) de trace un sur ûB.Par la continuité de cette application relèvement, il existe C telle que, quel que soit n E N : Il VnIl H I (BI) CllunII H ~ / z ( ~ B ) . Comme la suite { u n } converge vers u dans H1/', on en déduit que la suite {VV,} est bornée dans L 2 ( B )par une constante K . La fonction u, assurant 5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES le minimum dans P,, on obtient 275 : Alors, la suite { u n } étant bornée dans H1, on peut en extraire une soussuite qui converge vers une fonction u*E H1 qui vaut sur le bord. Enfin, par semi-continuité inférieure, on a : .I,IVu*I2< liLIIVun112. I1 reste à voir que inf P,, 6 inf P. On en déduira que u* est un rninirnurn pour P.Pour ce faire, soit E H 1 ( B )avec = I ) sur le bord. On montre qu’il existe E H 1 ( B )vérifiant Cn = u, sur le bord et qui converge dans H 1 vers <. En effet, par la continuité du relèvement de H 1 1 2 ( d B )sur H 1 ( B ) , il existe qui tend vers O dans H1 et vaut 71, - w sur le bord. Soit alors = tn (. La suite {Ç1,} converge vers dans H 1 ( B ) .Choisissons ( qui rPalise l’infimurn de P.Alors, pour n assez grand : <, < < <, < + infp, < 10<~12 6 irifp + E. Comme, dans ce qui precède, on a la convergence de VU,^^^ vers ~ ~ O ~ i ~ ~ ~ cela entraîne la convergence forte de un vers u dans H1. ce qui terrninc la preuve. U On revient, à présent, au problème de la stricte positivité des fonctions sous-harmoniques : Proposition 5.74. Soit u une fonction appartenant ù H1, continue, positive et satisfaisant à l’inégalité Au < O dans un ouvert connexe R . Alors, ou bien, 71, > O dan,s R, ou bien u est identiquemesnt nulle d a m 62. Pre3uSve de la proposition 5.74. D’après la proposition 5.63, on sait déjà que u 3 O dans 62. I1 siiffit donc encore de montrer que, si l’ensemble 2 des points de 62 où u est nulle est non vide, c’est un ouvert. Soit z o tel que ~ ( 5=~O )et, E < T avec B ( z 0 , ~c) 62. Soit u la fonction, solution de classe C2 du problème de Dirichlet dans B ( Q , E )lorsque la fonction dorinée à la frontière d B ( z 0 , ~est ) u,continue par hypothèse. Par l’expression de 11 au moyen du noyau de Poisson, à savoir u = Pu, cette fonction w est continue et, par le principe du maximum faible, elle est positive ou nulle. Par la proposition 5.70, w est ou strictement positive dans B(z0,E ) ou bien identiquement, nulle. D’autre part, le principe de coniparaison entraîne que, puisque u = 71 sur ~ B ( J : ~et, ,E -A(u ) - u ) > O, alors u > 1) dans B(z0,E ) . En particulier, O 6 ~ ( z g < ) u ( z 0 ) = O, ce qui iinpliqiie 276 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES que 7, est identiquemerit nulle sur B ( x 0 ,E ) et, par conséquent, aussi sur le bord, là oii elle coïncide avec u. On en déduit que %1 = O sur d B ( z o , ~et) en faisant croître E jusqu’à r , on voit que u est identiquement nulle dans B ( z 0 , r ) .L’ensemble 2 est donc à la fois ouvert et fermé. Eii utilisant la O connexité de R, on obtient le résultat annoncé. Principe du maxirriurn strict pour des problèmes de Dirichlet plus généraux. On montre maintenant une expression simplifiée du principe du niaxiilium strict pour des opérateurs plus génixaux que h : Proposition 5.75. Soit u une solution, d e classe Cl de 1 ’inéquation - div(A(z)Ou) 3 O dans 0, dorriaine borné de RN.Si u 3 O dans R, alors, ou bien idmtiquement n,irlle dalis It, ou bien ‘u, > O dans 0. II est Preuve de la proposition. Remarquons encore que, si R n’&ait pas supposé coiinexc, on raisonnerait sur chacune des corriposarites connexes. On siippose qu’il existe des points rn E (1 tels que u(,rn) > O et d’autres vi’tels que u(rn’) = O. Alors, il existe une boule incluse dans (1 où cette niéme propribté est vrai(:. Sinon, une boule B incluse dans R étant dorinée; alors, ou bien .(x) > O cn tout point :I:E B, ou bieii u ( x ) = O eii tout point 5 E B . La réuiiioii des premières est 1111 ouvert f2+ et celle des secondes est Roet ces ouverts seraient disjoints, de rkuniori 62. Cela contredit la coririexité. Oii peut donc supposer pour la suitde qiic 62 est une boule R = B. I1 existe donc z0 et :x’1 dans I3 tels qiie O.() =O et u ( x 1 ) > O. Quitte ti recoinmeiicer le raisonnement de coniiexité, on peut supposer que z1 est le ceiitre de la boiile B. d’où 62 = B ( z l , R ) , ~ ( 2 1 )> O et0.1 - ~ <iR./ On suppose d’abord u continue. Puisque u est continue, il existe des boules B(z1,r ) , sur l’intérieur ciesquelles on a u(2)> O. On a r 6 1x1 - :LOI. Si nous considérons r1 = sup{r I V z E B(z1,r ) , u(z)> O } , alors la frontière ri de la boule B(z1,T I ) contient’ au moins un point zo en lequel IL(:CO) = O. S’il en était autrement, on pourrait, trouver des voisinages de chacun des points de I‘1 sur lesquels I L > O et en extrayant de ces voisinages un recouvrement fini de la frontière, on obtiendrait une boule B(:cl’r ) : avec r > 7’1 ’ possédant 10. propriété, réduisant ainsi à l’absurde l’hypothèse faite sur la borne supérieure. Coiisidéroris la couronne de RN : G = {z I r1/2 < 111: - 211< T I } > sur laqiiclle, donc, u > O. Soit nil défini par : ml = irif{’u(z) 1 1% - X I \ = r1/2}. Par la continuité de ‘u, on a ml > O. 011définit égalernerit, en supposant qiie R > 3r1/2, la courmiic G’ = {:L. I q / 2 6 13; 6 3r1/2}. Le principe 5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM POUR DES EDP ELLIPTIQUES 277 FIGURE 5.2. Une argumentation dans le principe du rnaximiim strict. On a ~ ( z g = ) O, u(z1) > O, 1x0 - z lj = T I . G et G’ sont des couronnes de centre . T I . de la preuve est le suivant : Nous a l l o m con,stru%reune fonction conditions suivantes soient vérafiées : vx; E GI (*I (**I - P I , PI > O dans G’ telle que les deux div A(.)v(~ E dG’, ( - 1))) 3 O, ,o(x) < ~ ( x ) . L’utilisation du principe du maximum, faible f o w n i r a alors u 3 v dans la couronne G‘ , donc aussi dans G. En, supposant IL de classe C1, la considération de la dérivée normale au point ~0 E 8G nous apportera la contradiction attendue. On suppose donc que 7~ est C’ en xo. Soit O < [j < fm1. On va choisir le rionibre c > O assez grand pour que la fonction v = ,!j(ePclzPziI -e-rlzo--T1l1, qui s’annule au point 2 0 ,satisfasse aux deux conditions (*) et (**) ci-dessus. - c - “ 7 ” ) < p, ~ i i la r splière SI = {lx 11’1I = r1/2}, 011 a v = d’où 71 < !u sur 5’1 , puisque /3 < m1. Sur la sphère 5’2 = { lz ~1 I = 37.1/ 2 } , on a 71 = / j ( ~ ~ ~ ~-. ~1 “ / ‘ ~1 ) < O, d’où encore v < ‘u sur S Z puisque ti > O sur cette sphère. On en déduit la condition (**), & savoir I I < I L sur dG’. Pour la condition (*), on pose f(z)= e?lZPz1l ct on calcule d’abord V f ; on en déduira div(A(z)Vv), qui n’est autre que [jdiv(A(:c)Vf). On a a j f ( x ) = - c f ( x ) ( x - x1),/1x X I I , puis : ~ ~ ~ = -v + u. 278 CHAPITRE 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Dans le dernier terme U , la parenthèse, qui s’écrit [c/Ix- ~11~](cIz-x11 - 1) est positive si c > 2/73, Sous cette condition, grâce à l’uniforme ellipticité de A, on a donc U ( x ) > O dans G’ et on obtient la minoration U ( x ) 3 a f ( z ) [cz - 2 3, où Q est une constante d’ellipticité de A. En développant la dérivée qui figure dans le premier terme -V, lequel est négatif, on voit que V cf(x)(IIVAllm NllAl/m/rI). En résumé, on a : + < I1 existe donc des valeurs de c assez grandes pour que div(A(z)Vv) 3 O sur G’, c’est-à-dire la condition (*). Puisque - div(A(z)Vu) 3 O, on a - div(A(x)V(u - u))3 O. On applique alors le principe du maximum faible (cf théorème 5.63) à cette situation. On en déduit donc u 3 TI dans G‘, donc aussi dans G. En particulier, au point zo, nous savons que u ( z o )= U ( Q ) = O. Soit, en ce point, la normale extérieure Ti’ = ( T O - xl)/lxo - x l J au bord de G. Pour h > O assez petit, on a : u(&J- hx?)- u(xg) 3 1/(2O -h 2 ) - TI(z0). Le théorème des accroissements finis appliquf. au membre de droite de cette inégalité fournit ensuite : O.(. - h7F) - U ( Z ” ) 3 pch. En divisant par -h et en faisant tendre h vers O on obtient : anu < -pc < O, ce qui contredit le fait que u,fonction de classe C1 admet un minimum au point zo . O L e principe du m a x i m u m strict pour le p-laplacien. Le résultat précédent est appelé principe du maximum strict et est dû à Vazquez [44].Plus généralement, ce principe du maximum strict de Vazquez s’applique aux équations relatives au p-laplacien. Sa démonstration repose, comme dans ce qui précède, sur la comparaison locale à une solution strictement positive. Ce phénomène se généralise d’ailleurs à d’autres types d’opérateurs. Dans ce qui suit, on se donne une fonction p continue, croissante sur [O, +KI[,avec p(0) = O et satisfaisant d’autre part à la condition : (5.76) 5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES Si on définit la primitive j ( s ) = S -P(./2) 2 P ( t ) d t et si l’on remarque 6 j(*q) < 279 : SP(S)’ la condition (5.76) s’exprime sous la forme équivalente : (5.77) Théorème 5.78. O n suppose donnée une fonction p continue, croissante, telle que p(0) = O , et satisfaisant ci la condition 5.76. Soit u E c’(O), positive et bornée, solution dans le domaine borné s1 de l’inéquation : n,u + P(u) 3 O. Alors, ou bien u est identiquement nulle dans (2, ou bien u > O dans 0. Remarque 5.79. Une solution de l’inéquation précédente est dite sursolution de 1’EDP -A,u P(u) = O. Dans la plupart des cas, on utilise le principe énoncé dans ce théorème pour des solutions de l’équation et non pas seulement pour des sursolutions. Dans le cas où il est énoncé pour une solution, les conditions de continue-dérivabilité et de bornitude de u peuvent être généralement omises, en raison des résultats de régularité des solutions d’EDP elliptiques qui assurent que u est bornée et de classe C1. + À ce propos, le lecteur pourra se reporter au préambule de l’appendice et aux résultats partiels qui y sont établis. Pour la preuve de résultats complets relatifs à la régularité C1, on pourra lire Evans [21], Moser [33],Tolksdorff [43],Lewis [32],Di Benedetto [17]. Preuve du théorème 5.78. On reprend la première partie de la preuve précédente, en rernplaçant T I par T . Considérons l’anneau G = {x I r / 2 < Ix - 2 1 1 < T } , sur lequel u > O. Soit ml défini par : ml = inf{u(x) I 12 - 211 = r / 2 } > O. Le procédé de démonstration restant le même que dans la proposition précédente, on va construire une solution convenable de -A,u + p(u) 6 O, c’est-à-dire une sous-solution. Pour cela, on établit le : Lemme 5.80. Soient Ici, k 2 , r1 et ml des réels > O , p > 1, et soit P une fonction croissante au sens large avec @(O) = O. Alors, il existe une (unique) fonction u = u ( r ,Ici, k 2 , r1, m i ) , d e classe C2 sur [O,’rl[,qui satisfait ù : et ù u ( 0 ) = O, u ( ~ 1 = ) mi.De plus u 3 O , w’ 3 O, O < ‘u < mi sur ]O, T I [. 280 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Preuve du lemme 5.80. Dans cette preuve, on pose : w*= {uE w q O , T l [ )I u(0) = O, u(r1) = rnl}, et on considère le problème variationnel : Puisque exp(-ICis) 3 exp(-klrl), et que j 3 O, on vérifie facilement les hypothèses du théorème 5.25 appliqué, dans l’espace séparable et réflexif W’,.(]O, r1[) pour p > 1, sur le convexe fermé W * .De plus, la fonctionnelle v H J ( w ) , dont la minimisation est l’objet du problème précédent, est Gdifféreritiable. En reprenant l’expression de la dérivée de la fonctionnelle u H i / p s n ( V u ( z ) ( p d zobtenue , dans la preuve de la proposition 5.55, on obtient pour dérivée J’(v),la forme linéaire définie par : On en déduit la dérivée au point v : Puisque W * est un espace affine, J ’ ( v ) = O fournit la solution du problème, à savoir : (5.81) Multiplions cette équation par w- exp(-kls) et procédons comme dans le théorème 5.63. On obtient, après intégration, car w- = O en O et en r1 : ce qui s’écrit encore : < Par la croissance de /3, on a p(v)wO. Oil en déduit, par la négativité de l’intégrale du premier membre, que V’ = O. Donc, puisque w(0) = O, on a v- = O, autrement dit u 3 O. Par ailleurs, puisque kzp(v) 3 O, l’équation (5.81) nous montre que la fonction Iw’Ip-2u’exp(-ICls) est croissante, donc que v’ est croissante. Puisque u(O) = O et w 3 O, on a ~ ’ ( 0 3 ) O et, puisque v’ est croissante, on obtient u ’ ( T ) 3 O sur [O,rl]. On montre à présent que w > O et v’ > O sur ] O , T ~ Pour ]. cela, soit TO le plus grand T appartenant à ]O,r1[ tel que v(r) = O. On veut montrer 5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES 281 que TO = O. On a 71’ > O sur ]r0,7-1[, sinon il existerait un r E ]7-0,7-1[, tel que ~ I ’ ( T ) = O. Puisque îi’ est croissante, u’ = O sur [7-0,7-1], et donc v(7-1) = O aussi, ce qui contredit le fait que TO est le plus grand nombre tel que U ( T ~ = ) O. La fonction ‘u est donc bijective de [ T O , 7-11 dans [O, w i l l . Alors : On définit w = (ut),. On pose a = p / ( p - 1). On a : Or, puisque îi’ 3 O, l’équation (5.81) s’écrit : On en déduit par le choix de a Supposons que ~’(7-0) = O. Alors, en intégrant cette expression de TO à T , 011 obtient, en majorant l’exponentielle par 1 et en utilisant j(v(7-0)) 2 O, exp( -aklr) (îi‘)”( r ) = ak2 exp(- a h s)p(v)( s )w‘( s ) d s 6 ak2j (u) (Y). < Or1 en déduit (îi’(r))((j(îi)(r))-’/p (ak2 exp(aklr))llP, expression bornée sur [ T O , T I ] , ce qui rend, contradictoirement avec (*), l’intégrale du premier membre finie. I1 eri résulte u’(r0) > O. Par continuité, il existe un voisinage de rO,à savoir [TO -CI!, T O [ sur lequel w’ > O. On aurait donc, si 7-0 > O, l’inégalité ~ ( s<) O sur cet ensemble, d’où encore une contradiction. Finalement, O 7-0 = O et ~ ’ ( 0 > ) O. Nous terminons la preuve du théorème : on utilise ce lemme avec la fonction O sur l’anneau G. Calculons d’abord A,f pour une fonction f radiale dans RN. On a, pour le gradient d, f = x,f ’ ( r ) / r , d’où l’on déduit lof1 = I f ’ ( r ) l . 282 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Le p-laplacien est alors donné par : d = -[I dr + ( N - 1)IfYr 2 f I f’] On en déduit : G ainsi obtenue est, I1 en résulte qu’en prenant k1 3 2 ( N - l)/r, la fonction puisque kz = 1, la sous-solution annoncée : (5.82) -ApÛ + p(G) < O. D’autre part, par construction, on a G(0) = O, donc u 3 G sur la sphère lx - 211 = r et, sur la sphère 111: - 2 1 1 = r / 2 , on a aussi G(z) = ml u(x). Appliquons alors le théorème 5.69 aux deux équations dans G : < + - ~ , u p(u) = f 3 O et - apû+ = F< O A avec f 3 f et aussi IL 3 ii sur dG. On conclut donc u 3 2i sur G. Achevons la réduction à l’absurde. Puisque ~ ’ ( 0>)O, on a 1 lim -u(xo h(x1 - xo) 3 lim d ( r h ) = d ( O ) > O. hiO,h>O Th-0 + Ce résultat contredit le fait que, xo réalisant un minimum, et u étant de classe C’, nécessairement V u ( x 0 )= O. Finalemcnt, u ne peut atteindre son minimum dans R. O Principe de Hopf. Supposons, en outre, que u 3 O est une solution dans C ’ @ ) de -Apu p(u) 3 O, u = O sur 80. On a ce qu’on appelle un principe d e Hopf qui fournit une propriété de signe sur les dérivées normales sur la frontière dR, plus précisément : + Théorème 5.83. Soit xo E dR tel qu’il existe 2 1 E R satisfaisant à la condition d ~ ( x l1x1 , - xol) n dR = ( 5 0 ) . Soit 2 la normale extérieure à ô0 en xo. Alors, sous les hypothèses précédentes, il existe y > O tel que 5.10. PROBLÈMES COERCIFS SUR DES ESPACES NON R É F L E X I F S 283 Preuve du théorème 5.83. O En effet, soit 20 E dR, et une sphère B(z1,1x1 - ql)dans O, telle que ûB(z1,Iz1 ql)n ûR = {q}. Par le résultat précédent, on sait que u > O daris B(z1,1zoDe plus, en reprenant la définition de G = ( 2 E B I Iz - 211 3 1x0 - x11/2}, et celles de u et de û, on a : ~ XI ). u 3 ii et y = ~ ’ ( 0 > ) O, O ce qui termine la preuve du théorème. Exemple 5.84 (d’application). p-laplacien, c’est-à-dire : inf ut Soit A1 la première valeur propre du w,; .n (n) { j~rrl~(z)dz}. II Il P = 1 I1 est facile de voir que A1 est atteint et qu’il existe une solution solution vérifie I’EDP -a,u = A1 lul~-2u. 3 O. Cette En particulier -A,u 3 O et u 3 O. En admettant le fait que u E C1 (voir, à ce propos, le préambule du chapitre ou celui de l’appendice)] et en appliquant le théorème précédent avec = O, on obtient que 7~ > O daris 0. 5.10. Problèmes coercifs sur des espaces non réflexifs 5.10.1. Un problème modèle en calcul des variations L’ouvert (1 borné dans IRN, de classe C1 et f E LN(R) étant donnés, on considère le problème suivant : (5.85) U La fonctiorinelle est convexe et bien définie, compte tenu des injections de Sobolev. Elle peut ne pas être coercive, puisque les termes ]Vu\ et f u ont des croissances comparables et peuvent donc se compenser. Soit C une constante telle que : s, s, et supposons que Ilf//,,,~(n)< i/C. Alors la fonctionnelle J est coercive sur Wl.1(O). 284 C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Cette première difficulté écartée, on remarque que l’espace IV1,’ n’étant pas réflexif, une suite minimisante pour (5.85)’ qui est donc bornée dans IV1>’si l’on suppose I l f I I L N ( n ) < i/C, n’est pas nécessairement relativement compacte dans IV’,’.En revanche, elle l’est dans B V ( 0 ) ,pour la topologie faible (cf. chapitre 6). Ce dernier espace est celui des fonctions u appartenant à L 1 ( 0 ) telles que Vu appartient à l’espace des mesures bornées hir’(n). On est amené alors à prolonger la définition de l’infimurn dans (5.85). On considère donc : (5.86) et on admet momentanément le résultat de densité suivant qui sera montré au chapitre 6 : Si u E B V ( 0 ) satisfait à u = O sur d o , ce qui est la définition de l’appartenance à BVo(f2), alors il existe u n e suite {un}dans W’,’(0) avec un = u = O sur ô62 telle que : Ce théorème a pour conséquence que inf(5.85) = inf(5.86). I1 reste à montrer l’existence d’une solution dans BV au problème (5.86). Soit { u r Lune } suite minimisante, donc bornée dans B V ( 0 ) .On peut en extraire une sous-suite qui converge faiblenient dans B V ( 0 ) ,fortenient dans tous les Lq pour q < N / ( N - 1) et faiblement dans L N / ( N p l ) ( REn ) . utilisant la semi-continuité inférieure de l’intégrale sur un ouvert d’une mesure positive pour la topologie vague, on obtient : .b lVul < lim 11-00 JL, IVu,I(z)dz. On a aussi, par la convergence faible de {un}vers u dans L N / ( N - l ) ( 0:) Le seul point délicat concerne le comportement à la limite de unsur le bord. On verra au chapitre 6 que l’application trace sur BV n’est pas faiblement continue. Pour pallier cette difficulté, on introduit le problème dit relaxé : (5.87) Notons qu’on a inf(5.87) = inf(5.86)’ 5.1 1. SURFACES MINIMALES 285 en utilisant le théorème de densité de W1>’(R) dans BV(R) (cf. théorème 6.56 du chapitre 6). Nous rriontroris rriainteriarit que le problènie (5.87) admet une solution. Pour cela, soit { u n } une suite rriinirriisante à (5.86). L’étude précédente niontre que { u n } est bornée dans B V ( 0 ) . En définissant IZ qui prolonge un par O à l’extérieur de R, on a Un E BV(IWN),avec V(Un)= Vu,xn + (O - u,)ban. On en déduit : I=nI = + IunIkKb IV’LLnIxn Si { u n } converge faiblement dans B V ( R ) vers u,alors Un converge faiblement vers un élément w dans B V ( R N ) .Mais, nécessairement, w = O dans le complémentaire de 2 et w = u dans R. En particulier] V u = V u x n (O - u)Sar2. Par semi-continuité inférieure faible, puisque le terme J, f u n converge vers Jn fu,on a : + Finalement : et donc ‘u est solution du problème (5.87). 5.11. Surfaces minimales 5.11.1. Présentation du problème Le problènie des surfaces minimales se traduit de la façon suivante : considérons l’ensemble des fonctions scalaires u définies sur un domaine Cl borné de RN qui sont de classe C’ et telles que u = y sur dR, y étant donnée dans L1( 8 0 ); on cherche, dans cet ensemble, la fonction I L telle que l’hypersurface d’équation cartésienrie ( X I ,. . . X N - 1 , I L ( X I , . . . , Z N - I ) ) ait une aire N - 1 dimensionnelle minimale. Formulation iiariationnelle du problème. Ceci revient à chercher : Le point d’interrogation étant là pour signifier un espace dans lequel toutes les quantités entrant en jeu ont un sens. Nous allons d’abord définir un espace qui convient. Notons que si g est une constante, la surface qui convient est unique et est plane, donc correspond à un gradient nul, et on trouve alors que, bien entendu, l’infimum est égal à IR/. D’après le théorème de trace, la 286 C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES fonction g appartenant à l'espace des traces y ~ ( W l >on ~ )voit , qu'un espace <( minimal >> sur lequel toutes les quantités ont un sens est l'espace W1?'(Q). On cherche donc à résoudre : Transformation de ce problème. Dans ce qui suit, on se propose encore de remplacer le problème précédent par un problème équivalent appelé problème relaxé qui est un problème de minimisation sur BV(S2). On remplace encore, compte tenu de la non réflexivité de W ' > ' ( O )cet , espace par l'espace BV(S2) dont la définition et les principales propriétés sont étudiées dans le chapitre 6. Commençons le raisonnement, en vue de montrer l'existence d'une solution, comme dans le cas d'un espace réflexif. I1 est clair que l'infimum est 3 1, donc strictement positif, et que la fonctionnelle J est convexe. Par ailleurs, la fonctionnelle J est coercive sur W1>l(S2)à cause de l'inégalité de Poincaré. Soit en effet U appartenant à W1i1(S2),qui est un relèvement de g E Ll(aS2) dans W ' > ' ( Q Alors, ). u - U = O sur dR donc, par l'inégalité de Poincaré : lP(u - U)IILl<n)3 Cllu - UllwlJ(n). On en déduit pour J ( u ) la coercivité annoncée puisque : J ( u ) 3 lIVuII1 3 llV(u - U)lll - IIVUIIl 3 /lu - UIIW'>1- pull' 3 IIUllW1.1 - 2llUllWl.l. Soit donc {un}une suite minimisante. Alors, elle est bornée dans W ' > ' ( Q ) et, par conséquent, bornée aussi dans BV(S2).De la proposition 6.52, sur la faible compacité des suites bornées de BV(S2),on en déduit qu'on peut extraire de {un}une sous-suite qui converge faiblement dans BV(S2) vers un élément u E BV(S2). Ceci signifie que : cette dernière propriété exprimant la convergence vague de Vu,(,) vers Vu. Cependant, comme dans le paragraphe précédent, on n'a pas nécessairement u = g sur do. Nous devons donc à la fois prolonger la fonctionnelle aux fonctions de BV et ensuite pallier la difficulté que l'on vient de reniarquer dans la sous-section 5.10.1. Pour la première difficulté, on utilise la théorie des fonctions convexes de mesure qui est développée au chapitre 6 (cf. section 6.8 et, en particulier, l'exemple f ( p ) = qui y est explicité) pour la mesure bornée p = Vu. Cette fonction f admet une fonction d d w m 5.11. SURFACES MINIMALES 287 asyniptote, à savoir limt-t+oof ( t z ) / t= 1x1.I1 résulte donc de ce chapitre 6 que; si Vu = Vu””+Vus est la décomposition de Lebesgue de cette mesure Vu, on peut définir f ( V u ) ( c f . théorème 6.138) par : s, Ainsi prolongée, la fonctionnelle u H f ( V u )est semi-continue inférieurement pour la topologie faible sur B V (0). Afin de résoudre le problème de la trace, nous considérons une fonction G E W1>’(RN de trace g sur d(RN qui prolonge donc u hors de R , on obtient une fonction vérifiant G E B V ( R N ) . À l’aide de l’exercice 6.18 et en utilisant la fonction f - 1 qui prend la valeur nulle pour z = O, 011 obtient : \n) \a), Enfin, on a les deux résultats de densité suivants. En premier lieu (cf.théorème 6.144), il existe une suite u,,E C”(f2) n W1>’(f1)telle que u, -f 71 dans L1(0) et : llVunIl1 ---) .hPul, .1 -1 f(Vun) fPu) D’autre part, si u E B V ( 0 ) et si g E L 1 ( d O ) ,la remarque 6.73 montre, en deuxième lieu, qu’il existe une suite ( 7 ~ ~ dans ~ ) W’>’(O)qui converge vers u dans B V faiblement avec : Le premier de ces résultats de densité permet de montrer que l’infirnum coïncide avec l’infimum correspondant sur IV1>’,la condition aux limites étant toujours you = 9. Le deuxième résultat permet de montrer que ces bornes inférieures sont aussi égales à : C’est pour ce dernier problènie, qui est le problènie relaxé, que 1,011 montre l’existence d’une solution. 288 C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES 5.11.2. Existence d'une solution a) n) Dans ce qui suit, on utilise encore G un élément de W1>l(IWN\ qui vaut g sur X I . Soit {un}une suite minimisante qui est dans W ' ? ' ( Q avec ) un = g sur d o . Alors la prolongée de un par G E W1?l(IWN\ (que l'on peut prendre à support compact) est dans W1,'(RN). Elle est donc bornée dans W1il(IRN).On peut donc en extraire une sous-suite qui converge faiblement vers V E B V ( R N ) .Par construction, on a V = G sur RN \ 2. En outre, par semi-continuité inférieure, on a : < Lnl (Jm+ / - 1) - RN\R (Ji+ioG7" - 1). + Soit u la restriction de V à fl. Alors, V = uxn GxRN,~ et, comme le saut à la traversée de dS1 pour V est g - u,le gradient satisfait à : VV = + V u ~ n (9 - u)bannf + VGXRN,~. Alors, puisque (G - u)basl est singulière, (voir le théorème 6.138 et l'exercice 6.17) la relation : JTqvvp = J W x n + ly ~ ul6an + XRN \fi nous fournit : On en déduit donc, que u est une solution du problème relaxé, autrement dit, du problème proposé au départ. Les résultats de régularité pour la solution ainsi obtenue ne sont pas traités dans ce cours. Les lecteurs intéressés pourront se reporter, par exemple, aux ouvrages [23], [25] et [38]. 5.12. Exercices sur le chapitre 5 Exercice 5.1 (régularité des fonctions propres du laplacien). Montrer que si R est un ouvert de IRN, de classe C", alors toute solution u E HA(S1) de -Au = Xu, où X est un réel, est C" à l'intérieur de 0. 5.12. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 5 289 Indications. Par le théorème de régularité (cf. proposition 5.40), on a u E H 2 ( R ) donc, de proche en proche, on parvient à l’implication : vu, u € H”(I2) ===+ u € H”+2(f2). Exercice 5.2 (existence d’une première valeur propre pour le p-laplacien). Soit p tel que 1 < p < CO et soit R un domaine borné de classe C1 de I R N . On considère : = {/ ~~u(z)l~dz). inf uEW;.P(R) II u I I ,521 = 1 R Montrer que X1 > O et que cette borne inférieure est atteinte. Montrer qu’un minimum u vérifie : -apu= x1 I ~ I P % . Soit un nombre p, tel qu’il existe w E Wi”, w # O avec -Apv = ~ I w U J P - ~ V . Montrer alors que ce nombre vérifie p 3 XI. Pour p = 2 on retrouve ainsi la première valeur propre du laplacien. Zndzcatzons. On utilise la proposition 5.57 (inégalité de Poincaré) pour en déduire que X i 3 C pour une constante C donnée par cette proposition. Soit maintenant une suite {u,} de norme 1, telle que (IVu7,11P+ X i . On en déduit une sous suite qui converge faiblement vers u dans W1,”et fortement vers u dans LI’, en particulier IIullp = 1. Par semi-continuité inférieure pour la topologie faible de la semi-norme, on montre que llOullP < X i . À l’aide de llVuilP 3 X i , on conclut. En utilisant, pour t E R et p E D ( O ) , l’inégalité llV(u + tp)IIP 3 X1IIu + tplj; et les accroissements finis (cf. premier chapitre par exemple), on niontre : 3 xi s, lqdz +pt s, lulP-2upda + o(t). Avec llVullP = XiIIuIIP, en divisant par t > O puis en faisant tendre t vers O, on obtient : lwl”-2updz. IVulP-2Vu ’ Vpdz 3 xi l JI, On termine en changeant p en -p. Soit p tel qu’il existe v E W;,”, v # O avec -A,v = p l ~ l ” - ~ vI1. suffit de multiplier par v et d’intégrer pour obtenir, grâce à la définition de X i , la propriété annoncée, à savoir p 3 X i . Exercice [ * *]5.3 (régularité de fonctions propres d’un opérateur divergence). Soit $2 un ouvert borné de classe C’ de I R N . Soit A E avec IC 3 l+[N/2], la matrice A étant symétrique et uniformément elliptique. Montrer qu’une solution u de div(A(z)Vu) = Xu est de classe C1 à l’intérieur de R. On montrera par récurrence que u E HL:’(R). En utilisant les injections de Sobolev, on en déduira u E C1>“pour un a que l’on calculera. C‘(a) 290 C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Exercice [*] 5.4 (compléments au principe du maximum strict : principe de HOPf). Soit R un domaine de RN de classe C1 et p un réel > 1. On suppose que u est solution de -A,u 3 O et u = O sur d o . On suppose aussi que u est de classe C1 sur 2.Montrer que, sur la frontière, on a : m. Exercice [**I 5.5 (simplicité de la première valeur propre du laplacien). On reprend les notations de la sous section 5.3.5. (1) Montrer qu’il existe une solution de -Acp = Alp, avec A 1 la première valeur propre du laplacien et cp dans H i (O). (2) Montrer, en utilisant le principe du maximum strict, que cp > O dans O. Montrer que, pour tout u et tout w dans HO(R) tels que 2, > O, alors on a l’inégalité dite identité de Picone : /VuI2- V(u2/u) Vu 3 O, ’ avec une égalité si et seulenient s’il existe X E (3) Soient u et w deux solutions positives : -Au = X l l L et - Aw R tel que l’on ait u = Xu. = Xiu. Montrer que u et w sont proportionnelles. Pour ce faire, en utilisant le priricipe de Hopf, on établira qu’il existe E > O tel que u 3 EW dans R.On en déduit que u2/wappartient à H 1(O). Ensuite, en multipliant l’équation en w par u2/u, en intégrant et en utilisant l’identité de Picone, on montrera le résultat demandé. Indications. (1) La fonction p est solution du problème de minimum (cf. exercice 5.1) : inf 1 ~vu(x)/zdx. U€HOP) c2 Ilu.l12=1 L’existence d’une solution non négative résulte de lVlul I < IVul. Si p 3 O, alors - A p 3 O. On utilise ensuite le principe du maximum de Vazquez avec /3 = O. (2) En développant le premier membre de l’inégalité de Picone, on obtient : IVu12 ce qui n’est rien d’autre que ~ 2U -vu U ‘ vu vu, vv + u2 U2 ’ : u 2 IVu - -Vu1 C’est donc une expression positive et, si cette expression est nulle partout, cela entraîne que, dans fi, on a V(u/v) = O. Finalement, u / u = cte. Cette constante est 3 O. 5.12. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 5 (3) Puisqu’il existe C E HO(0). > O telle que u 291 < Cu sur le bord, on a l’appartenance u2/u On multiplie l‘équation en ainsi : 71 par u 2 / u et l’équation en u par u ; on obtient de sorte que, partout, il y a des égalités au lieu d’inégalités, ce qui implique u = Xv. Exercice [**I 5.6 (simplicité de la première valeur propre du p-laplacien). Soit (2 un domaine borné de classe C I . Montrer que si p > 1, si u et v appartiennent à W,’”’(O) et vérifient u O et v > O, on a l’identité dite de Picorie, généralisation de celle de l’exercice précédent : 1vuy - V(uP/.rip-l) ‘ .(v) 3 O, O(.) = /VvIPp2Vv,et que l’égalité intervient seulement si 7~ = Xv. En utilisant le principe du maximum strict et l’identité de Picone, montrer que si u et v sont solutions de où - 4 7 L = X I IuIP%, alors, il existe X E -Apu = A 1 /vIP%, IR tel que u = Xu. Indications. En développant ce qui précède, on obtient l’inégalité de convexité : avec, par la stricte convexité de z H IzIp,l’égalité si Vu = (u/v)Vw. Conclure. On miiltipiic l’équation en 7~ par u et l’équation en v par up/(u”-’) et, en remarquant que u”/(v”-’) E Wd (grâce au principe de Hopf), on obtient : de sorte qu’on a partout des égalités au lieu d’inégalités. En particulier, dans l’identité de Picone, ceci entraîne que u = Xu. Exercice [**I57(fonctions propres de V2 dans H i ) . Soit s1 un domaine borné de RN et de classe C2. On rappelle que V V ~ L est le vecteur de R N z de coniposantes a,,u et que : On considère le problème variationnel : 292 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Montrer que X > O et que ce problème a une unique solution. h4ontrer que, si u est solution du problème, on a A2u = Xu. > O grâce à la généralisation de l’inégalité de Poincaré : Indicatio~ns.La valeur X est vu E HO(R), II1Lll2 < CIIVVull2. Pour la prouver, on raisonne par l’absurde en utilisant la suite { u r L }tel que IIVVun112 6 l/nllunli2. En divisant par la norme JIIu7L/12+ /IVun112,on a llvnIIH~= i et I/VVv,112 < 1/n. Par extraction d’une soils-suite et l’utilisation de la compacité de l’injection de H 2 dans H I , il existe une sous-suite {tin} telle que vlL + v dans H 1 fort et VVv, + VVv faiblement. Par la semi-continuité inférieure de la serni-norme, on a VVu = O. En particulier, 7) est un polynôme du premier degré, mais puisque v = O = d71/37~= O sur df2, on a finalenierit v = O, ce qui contredit l l 7 1 i l & ~ = lim = 1. Soit niainteriarit uric suite iriinirriisarite { 7 i V L } pour la valeur A. La suite I/VVu, 112 est bornée et donc, en utilisant Green et d-i;v,, = O sur dR,on obtient : llVvnJ12= 1 - llvii div(V~orl)i < lJVV7)rLJ12, J ) V ~ ~ / J ~ ce qui entraîne que vrLest bornée dans H I . On extrait line sous-suite qui converge donc faiblement dans H 2 vers v et fortement dans H I . En particulier, par semicontinuité inférieure, on a J/VOvJJz < lim /JVV.ii,,112 = X et J J t i / J=2 liin J / v n J /=2 1. Finalement, v est solution du problème défiiiissant A. On utilise t E R+ et p E D(C2). On écrit IIVV(u + tp)1I23 Xll’U + tcp1I2. En di.velopparit, on obtient, en utilisarit la notation VVu : V V p = E,,,dt,,ud,,cp 2 t / ; VVU : V V p + O(t2)3 X2t : J’, up + O(t2). En intégrant par parties, on obtient ce qui donne le résultat en divisant par t et en faisant t = O. En changeant cp en -cp on obtient l’équation A2u = Xu En effet : Exercice [**]5.8(fonctions propres pour A’ - A). Soit I2 un doniaine borné de RN et de classe C2. On considère le prol-dènie variationnel : A= UGH: {l + l inf (a)nHL(n) I,,1M2=1 J V V ~ L ~ ~ j~ul’). 5.12. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 5 293 Montrer que ce problème admet une solution et que l’infinium est strictemerit, positif. Montrer qu’une telle solution u vérifie : (5.88) a 2 u - All, = xu, d2U ~ an2 = ‘11. = O sur 30. Indications. Pour montrer la positivité de la borne inférieure, 011 utilise l’inégalité de Poincaré IIull2 < CIIVu112 si TL = O sur le bord. Supposons, par contradiction, que l’infiniuni soit nul. Alors, il existe une suite { u , }telle Ilunll2 = 1, urL= O sur le bord et /Iun/12+ 1/VVun1/2< l/n. En extrayant une sous-suite, on voit que { u T L }converge fortement daris H l vers u avec I I u I I 2 = lim llun112 = 1 et 11Vu112 + I(VVr~112< û par semi-coiitinuité inférieure de la serrii-riornie. Puisque 7~ est nulle sur le bord, on en déduit u = O, ce qui contredit lluilz = 1. On démontre de la même façon l’existence d’une solution. On utilise alors u+tp et (7L IO(u tp)12 IVV(u tp)12 3 + + En développant, on obtient 2t L, + w 2 . + : vvp + O(t2) = X2t : V V p = E,,,iJ,,7~L),,p,ce qui donne, e11 utilisaiit vp . vu + 2t VVTL : en utilisant la notation Q Q u la définition de A2u au sens des distributions : c’est-à-dire la première équatioii daris (5.88). On montre la condition aux limites en prenant p dans H’, p = O sur ab2 dans re qui précède. On obtient : A21Lp f = et 1, V U . vp = - L,, Jli AU^ + &JPLC),(P~~~J O. s, Finiderrierit, en utilisant l’équation (5.88), or1 obtient ût,,7~0)Lp7~3 = O. Notons que i),,u E H P ’ / ~ ( ~ c ~ ) . On rappelle que, par la surjectivité de l’application trace montrée aii chapitre 4, quel que soit ( 0 , ~ E) H:3/2x H ’ / ’ ( X l ) , il existe p E H‘((b2) telle que p = O sur et a,,p = 71 sur 8 0 ) . En utilisant (3,p = UTI,, sur ab2, on en déduit J, d7J7~,~071,,n3 = O; ce qui entraîne, piiisqiie PI est arbitraire dans H’”(X2), qiic d L u / i ) n 2= O. Exercice [**I 5.9 (résolution d’une EDP par une méthode variationnelle). Soit (2 un doniaine borné de classe C1. O n considère l’équation -au+ I‘ILIP-211. IL = O sur 362, =f, 294 C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES où f appartient à L2(R), où p est un réel tel que i où p’ est le conjugué de p . <p < ~ N / ( N 2), et (1) Montrer l’existence d’une solution en considérant le problème : (2) Montrer que, si f 3 O dans R , alors toute solution su de i -au + J u l P - 2 7 1 = f , u=O sur d o , vérifie u 3 O dans 0. ( 3 ) Montrer l’unicité des solutions. Montrer que s i p < 2(N - 1)/(N - 2), alors u E H 2 . Montrer que, toujours sous cette hypothèse sur p , si f E If’, alors u E H ~ . Indicatzons. On voit que, sous les conditions données, la fonctionnelle du problème est convexe continue et coercive. I1 est clair en considérant u + tcp que u satisfait à En utilisant un raisonnement classique, on obtient I’EDP. Unicité : on rctranche les équations en u1 et en u2,on multiplie par u1 puis on intègre sur (2 et on utilise la forniule de Green /V(ui - 1 ~ 2 ) l ’ + Ji, (Iu11pp2u1 - - u2 Iu21pp2uz)(ui - U Z ) = 0, ce qui entraîne avec la positivité de ( I I L I I ” ~ ~ ~ ~ /u21p-2u2)(u1-ua), que u1 = u2. On montre que IuIP-’u E L2 si p < 2 ( N - l ) / ( N 2). En effet, 2 ( p - 1) < 2 N / ( N - 2). On en déduit, avec le théorème 5.35, que, puisque f - I U I ” - ~ U E L2, on a u E H 2 . En utilisant V ( I U J ~ -= ~ I( L p) 1)lILI”-2Vu, on voit que, puisque 7L E H‘ par la première partie, si N > 4, on a u E ~ ~ ~ l ce( qui ~ entraînc p ~ )que , 71 E L(”-2)N.Si N < 4, l’appartenance à tous les Lq donne le résultat. Finalement, tout ceci entraîne que J U / ~ - ’ U E W 1 ,donc si f E H I , par la proposition 5.40, -AILE H’, donc u E H‘. Pour voir que u 3 O, on niultiplie l’équation par u p qui est dans Ht(C2). On obtient ainsi, lorsque f 3 0, l’inégalité : ~ - Ji, lV2Lp/2- 1 /up1P = Ji, f u - 3 O, ce qui entraîne 7 ~ - = O. Exercice [*]5.10 (problème variationnel et p-laplacien avec contrainte). Soit R un domaine borné de RN de classe C1. Soit C une constante de Poincaré, c’est-à-dire une constante C > O telle que pour tout u E W,’’P(n), on a J , JVuJP3 C J, J u J P . 5.12. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 5 295 Soit O < c < C et soit f une fonction continue, et positive au moins en un point. On considère, pour p < N et p < q < p* = p N / ( N - p ) , le problème : inf w,' ut .p (0) f(z)l4"z)dz=l s,, {I l ~ u l p ~ c:.h iulp>. (1) Montrer que ce problème admet une solution en remarquant que la fonctionnelle que l'on minimise est coercive. Montrer qu'il existe une solution positive. Montrer qu'une solution u vérifie l'équation d'Euler : -A,u - c/uIP-2u = Xf/u/4-2,u, où X est constante, égale à l'infimurn précédent. (2) Montrer, en utilisant un scalaire convenable, que l'équation -A,u - cup-' - u 3 O et, sur d o , u = O, fuq-l, a une solution. (3) On écrit l'équation sous la forme : -A$ + = llfll,U4-1 + f)u"-' + ( llflloo 3 O. cupp1 En utilisant le principe du niaxirnum strict de Vazquez dans lequel on prend et en supposant que u est dc classe C', en déduire que P(u) = I I f l l o o u q - l , u > O dans 0. Indications. La fonctionnelle est coercive. Elle n'est pas convexc, mais elle est sci. Soit ( 7 ~ ~une ) suite minimisante. Elle est bornée dans W13p(R)donc une soussuite converge vers u E W,"". Par la semi-continuité inférieure faible de la seminorme I I V ~ et, L ~piiisqii'il ~~ y a convergence forte dans Lq par le théorème dc f(z)lu(z)lq = 1. Donc IL réalise l'infinium. compacité dans L q , 011 obtient que La fonctionnelle étant paire, si TL est solution, alors lu1 l'est aussi. On utilise l'inégalité où u est une solution, cp t D(R) et t choisi assez petit pour que en utilisant, bien sûr, l'homogénéité. En développant, on obtient par un calcul classique = (1 I1 existe donc une constante IL -a,u + tq f Iu1q-2ucp + o ( t ) ) P " ) J ( u ) . > O telle que, dans R - : cIuI~l-zu= pflu1q-2u. Pour obtenir une solution en remplaçant IL par 1, on introduit 21 = pl/(p-q)u. 296 C H A P I T R E 5. EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Exercice [**]5.11 (équation -A,u + u p p 1 = O avec condition de Neumann). Soit R un domaine borné de classe C1 et p un réel > 1. On considère le problème : inf XI = utW’.P(R) s,, {/’ + l ~ u l p II b luip>. /7LIP=1 Montrer que Al est positive et que cette borne est atteinte. Montrer qu’il existe une solution 3 O. Montrer qu’une telle solution satisfait à l’équation : -A,u et -0. + upL1 = O nI + X ~ U P - ’ =O dans R sur d o , avec 0 . 2 = 1 3 ~ u ( ) V u l ~En - ~supposant ). que u est de classe C1 sur 2, montrer en utilisant le principe de maximum strict et le principe de Hopf que u > O sur il. Indications. Par la continuité de la trace, à savoir I / Y , J U I / ~ ~ ( ~ ~ ~ )< CIIU(L/I~I,~, on voit que l’infimum est > O. Par ailleurs, la continuité de yo pour la topologie faible sur W ’ X P implique que cet inf est atteint : en effet, si { u T Lest } minirnisante avec / ( - ~ O U ~ ~ ( /= L ~1, ( ~elle C ~ est ) bornée dans W’,p; par s.c.i., en extrayant une soussuite convergente, on obtient que un u où IL satisfait à I I ~ l l ~<i ,h ~J ( u n ); en considérant u + tcp où, d’abord, cp E D ( O ) , on obtient -A,u + Iulp-’u = O. Ensuite lorsque cp E D ( a ) ,on utilise : -f ce qui implique : En utilisant la formule de Green à gauche, puis en divisant par t et en le faisant tendre vers O, on a : s,, u ’ Zcp dz = xi JJ,, lulp-2ucp dz. Exercice [*] 5.12 (problème variationnel dans W’J’ avec contrainte de type Neumann). Soit R un domaine borné de classe C1 et f une fonction continue sur I3R et strictement positive en au moins un point. On admettra que, par la continuité de l’application trace de sur Lp(dR), il existe une constante c > O telle que pour tout 7~ E W’+’(R), 5.12. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 5 297 Soit g une fonction continue sur db2 telle que Ilgllm < c. Soit enfin p et q < ( N - l ) p / ( N - p ) . On coiisidère le problème : >N (1) Montrer que ce problème admet une solution, et qu’il existe des solutions positives. (2) Montrer qu’une telle solution vérifie : + up-’ = O dans R g(u)‘ 2 + gup-l = A 1 f u q - l sur 80. -A,u et Montrer, en utilisant la multiplication par tion positive à : -A,u + up-’ = O dans R et Uri g ( u ) .T? scalaire, qu’il existe une solu- +gd-l = fu“’ sur da. Exercice 5.13 (problème variationnel non convexe). Soit R un domaine borné de RN de classe C1. Soit p > 1 et IC < p , q < p” = N p / ( N - p ) , f E LP’ (O). On considère le problème variatiorinel : (1) Montrer que cet infimum est fini. En prenant une suite minimisante et en montrant qu’elle est bornée, en déduire par l’extract,ion d’une sous-suite l’existence d’un u qui réalise le minimum. ( 2 ) Donner l’équation différentielle vérifiée par une solution u. Y a-t-il unicité ? Exercice [*] 5.14 (problème variationnel et meilleure constante pour une injection critique de Sobolev). On admettra que si p < N il existe une meilleure constante pour l’injection de Sobolev critique sur RN K ( N , ~ )=P inf / JV~JP U E W ’ ~ ~ ( I W RN ~) Iulp* =1 et que cette constante est atteinte pour les fonctions de la forme u(x)= (A. T P ) ( P - ~ ) / P . Soit R un domaine borné de classe C1. On considère une fonction continue a telle que a(.) > - A l , où X I est la première valeur propre pour le p-laplacien sur R et soit aussi f une fonction continue positive non identiquement nulle et qui atteint sa borne supérieure à l’intérieur de R. + 298 C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES Ori considère le problème : {I inf UE s, + .I I V ~ ~ P .i,i~> w,: .I’ (a) flul”*=l Montrer, en utilisant un point forme 20 où f atteint son sup et une fonction de la & où p est une fonction à support compact, égale à 1 au voisinage de l’on a : ZO, que Exercice [*I515(extrémalespour des injections de Sobolev dans H1( E X N ) ) . On considère l’équation sur RN : -au où u est supposée positive, N de Sobolev, p est donnée > O. pu-, 1 > 5, 2* = 2 N / ( N - 2) est l’exposant critique (1) Montrer que s’il existe une solution non triviale, alors p > O. Comrrient passe-t’on d’une solution pour l’équation avec p = 1 à une solution avec p quelconque ? (2) Soit r2 = et pour X # O dans R,la fonction : E,Z; u ( r ) = (A2 +,y? Montrer que u est solution de l’équation (on vérifiera d’abord que u E H 1 ( R N ) ) ,en choisissant X en fonction de p. Exercice 5.16 (extrémales pour des injections de Sobolev critiques dans W1+’(RN);généralisation du précédent). On considère l’équation sur RN : -a,u = pup*-1, > où u est supposée positive, N p 2 , p* = p N / ( N - p ) est l’exposant critique de Sobolev pour l’injection de W ’ l p dans Lq, p étant donnée > O. (I) Montrer que s’il existe une solution non triviale, alors p > O. Comnient passe t’on d’une solution pour l’équation avec p = 1 à une solution avec p quelconque ? (2) Montrer que le p-laplacien pour une fonction radiale s’écrit : 5.12. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 5 299 (3) Montrer que les fonctions sont dans W1,P(RN)et sont solutions de l'équation (on précisera X en fonction de p ) . Exercice 5.17 (utilisation de l'identité de Pohozaev). On considère l'équation dans une boule euclidienne B de RN : -AU = u2*-',u = 0 sur 813, oii u est supposée à valeurs positives ou nulles et non identiquement nulle. On veut montrer qu'il n'y a pas de telles solutions de classe C2. On rappelle que si u n'est pas identiquernent nulle, du/an > 0 sur dB. (1) En multipliant par u et en intégrant sur B.trouver une première identité d'énergie. ( 2 ) En multipliant par z . Vu et en intégrant par parties plusieurs fois, obtenir l'identité S,,..(E) 2 =o. Conclure en utilisant le principe de Hopf. Exercice [*] 5.18 (existence de solutions en utilisant des sur- et des soussolutions). Soit 0 un domaine borné de classe C1 de R N . Soit p > 1 et 'iz et 14 deux fonctions de W,',p(0), bornées, telles que O < 14 < ü dans 12. Soit ,f line fonction positive dans L" et q 3 1. On suppose que -a,%3 fGq et - apu fuq. Montrer qu'il existe une fonction u de W;'"(O) telle que g que u est solution de -A,u = f u q . < IL < ü et telle Indicntio7~s.On construit par récurrence une suite {u'')} en déniarrarit avec g. La fonction u(') est définie par u(') E solution de w,'P(Q) - ~ , u ( ' )= f ( u ( " l ) ) q . Le principe du maximum et le théorème de comparaison nous assurent les propriétés : u(') > O, {TL(')} croissante et 3 < u(') < u. On en déduit que { u " ) } converge vers u.On remarque qu'on a aussi convergerice faible dans W"" car En extrayant line sous suite daris W1'" faible il existe CJ limite faible, modulo une sous-suite, de IVu(')lp-2Vu(')= a('). On a, par passage à la limite dans : (k-1) 4 - divo('C) = (u 1 f, C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES 300 : TECHNIQUES VARIATIONNELLES la relation : - On veut montrer que c~ = div O IVUI”-~VU. = u‘f. Pour ce fair(,, on montre la convergence J,, l V ~ ( ~ ) (+~ d xlVu(”dx,ce qui entraîne la convergence forte dans W 1 , pcar p > 1 et, donc, par extraction d’une sous suite, V u ( k + ) Vu presque partout. Du théorème de convergence dominée et grâce à la convergence ponctuelle de la suite {u‘”}, on déduit : d’où : On en déduit : D’où, en divisant par ES, I V ’ U . ( ~ ) Il’inégalité ~~Z, : (1-1 (vu(”(r)(’ds)P 6 (/(VuJJ,)P, ce qui entraîne le résultat puisque, par s.c.i. pour la topologie faible dans L P ,on a < hJn IVu(IC)(z)lpdz. déjà /lVullp CHAPITRE 6 DISTRIBUTIONS À DERIVEES MESURES Nous proposons dans ce chapitre l’étude de propriétés d’espaces de fonctions qui présentent de fortes analogies avec les espaces de Sobolev, à savoir des espaces de fonctions dont certaines dérivées sont dans L1(R) ou dans l’espace M ’ ( 0 ) des mesures bornées sur un ouvert R de RN.Les propriétés des espaces de Sobolev s’étendent pour la plupart à ces espaces, tandis que d’autres tombent en défaut. Par exemple, l’espace S V ( O ) des fonctions de L1 (O) qui ont leurs dérivées dans hll(R), s’injecte continûment dans tous les L p ( O ) , pour p < N / ( N - I), et ces injections sont compactes lorsque R est borné pour p < N / ( N - 1). Nous avons montré au chapitre 3 que les fonctions de W’)’(O)possèdent une truce sur toute hypersurface régulière C intérieure à [I, ainsi qu’une << valeur au bord )) qui sont toutes deux obtenues par passage à la limite. Cette trace appartient à L1(C) (respectivement à L’(da)). On montre dans ce chapitre que cette propriété s’étend en partie aux fonctions de S V ( O ) , à ceci près qu’une fonction de BV a, comme c’est le cas en dimension 1, des limites de part et d’autre de l’hypersurface C intérieure à R, ces limites pouvant être distinctes. Lorsqu’on considère la trace d’une fonction de B V sur le bord dR, il n’y a pas d’ambigiiité possible puisque O est supposé C’ et donc localement d’un seul coté de sa frontière. Pour mieux comprendre ce phénomène, le lecteur pourra s’aider du cas de la fonction de Heaviside H sur ] - 1,1[.Au sens défini dans ce cours, H E S V ( ]- 1,1[)admet pour trace à gauche en O la valeur O et pour trace à droite la valeur 1. On verra dans le contenu de ce chapitre que les propriétés d’injection, de compacité de l’espace W’,’(O), dans des espaces de Soholev plus grands, se prolongent à l’espace B V (O). 302 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 6.1. Rappels sur les mesures, convergences 6.1.1. Généralités sur les mesures Soit R un ouvert de I R N , où N 3 2 . Définition 6.1. Urie mesure complexe sur R est une distribution complexe qui se prolonge en une forme linéaire continue sur l’espace C,(R,C).L’espace des mesures, noté M ( 0 ) est donc identifiable au dual de C,(R,C). I1 en résulte qu’on peut associer à tout compact K de R une constante CK telle que : YP E CC(R>C)’ SUPP P c K ===+ l(P,‘p)l < CKllPllm. Définition 6.2. La constante CK peut ne pas dépendre du compact K inclus dans R. On dit alors que la mesure ,u est une mesure bornée sur 0. Dans ce cas, il existe une constante C telle que : I(P’P)I G CllPllm. YP E C C ( Q ) , L’espace vectoriel des mesures bornées sur R est noté M1(R). Définition 6.3. Soit p une mesure sur R. La mesure conjuguée, not& ji est la forme linéaire, sur C,(R, C)définie par : (P’ P)= ( P , 3. Définition 6.4. Une mesure p sur R est dite réelle si Y’p E C,(Q RI, ( P , P)E R. Cela revient à dise que p = p. Déjnition 6.5. Une mesure réelle p sur R est dite positive si : YP E C C ( 0 , IR), Cp 3 0 ===+ ( P , ‘p) 3 0. Proposition 6.6. Une distribution positive sur R peut s’étendre e n u n e mesure positive s u r R. Preuve de la proposition 6.6. O Rappelons qu’une distribution positive est une distribution qui vérifie YP E D ( 0 ) ’ ‘p 3 0 ===+ (T’P) 3 o. q. Soit K un compact de R, RI un ouvert, 01 c K et Ki = Soit 11, une fonction de D(R), 1c, = 1 sur K . Si cp E D(R), à support compact dans K , lplm+& est une fonction positive et donc (S,P) G ll‘pllco(T’,$J) et aussi -(T,‘p) G ll‘pllco(~’y‘/). 6.1. RAPPELS SUR LES MESURES. CONVERGENCES 303 En particulier, si p E C,(O) est à support dans K I , soit pn E D(R), à support dans K , qui converge uniformément vers p dans K I . La suite ( T ,p,) est de Cauchy par l’inégalité précédente, elle converge donc vers un réel que l’on notera ( T ,p). On laisse au lecteur le soin de vérifier que ceci ne dépend pas de la suite pTL choisie et que T prolongée airisi aux fonctions contiriues O à support compact est linéaire et continue. 6.1.2. Module d’une mesure, mesure bornée Proposition 6.7. Si p est une mesure à valeurs réelles ou complexes, on peut définir son module, noté lpl, comme l’application ù valeurs réelles telle que : Y $ E CC(O,R), y‘/ 3 O, sup (lpl,+) = {l(P,V)l}. ipECC(W3 lPl<+ Alors lpl est la restriction aux fonctions d e C,(O, Rf)d’une mesure positive. Elle est bornée si p est une mesure bornée. La preuve de cette proposition est laissée au lecteur ; on peut aussi consulter [13]. Proposition 6.8 (et définition). Soit p un,e mesure bornée positive sur 0. On définit sa variation totale, notée I,LIcl ou encore p, par : s, Ipln = S‘lP (P,Cp). VECr(n2) O<P<l (1) Alors, si {$n} est une suite croissante d e foncti0n.s qui sont à support compact, à valeurs dans [O, 11 et qui valent 1 sur K, = {. E 62 I d ( z , a R ) 2 l/n}, la suite { ( p ,$,)} converge vers I L L ~ ~ , encore noté ( p , i n ) . (2) Par ailleurs, pour tout E > O , il existe No tel que si n 3 No alors ( P , h\&)< E . Preuve de la proposition 6.8. (1) La suite { ( p , $ , ) } est croissante et majorée par Ipln. Elle est donc convergente. On en déduit aussi que < I/~ln. Soit maintenant E > O et p E CC(R),O < p < I et ( p ,p) > I L L I ~ lirn ( p ,$,) n-+w le compact support de p. Donc, pour n assez grand, K c K, = 1 sur KL’ ( p ,‘p) 6 ( P , $ n ) . On en déduit, par passage à la limite, que limn++oo(p,$,) ce qui entraîne le résultat puisque E est arbitraire. E Soit K et, puisque ~ $n 3 Iplcl - E, 304 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES (2) Soit {p,} une suite de fonctions de D(IR") égales à 1 sur K , et convergente vers 10. Soit NO assez grand pour que pour n 3 No, ( p , p n - p N O ) E . Soit p une fonction comprise entre O et 1, à support compact dans R K N ~Soit . n > NO assez grand pour que supp cp c K,, alors p = p(p, - pi^,,), d'où : < (CL' P)G E . On en déduit, par passage à la borne supérieure en p, que ( p , 10,KNo) ce qui termine. < E, O Proposition 6.9. Soit p une mesure bornée positive sur R . Soit p E C b ( c 2 ) , positive. Soit {&} une suite de C,(fl) telle que O < qn < 1 et qui converge vers 1 en croissant. Alors ( p ,$ n y ) converge vers un réel positif noté ( p ,p ) . Preuve de la proposition 6.9. O La suite (p,&p) est croissante et bornée par CllpIIm. Elle converge donc. On note (p,p)cette limite. On peut montrer que ( p , y ) ne dépend pas de la suite $,. O Définition 6.10. On définit pour p E dans M1(R) : C b ( S 2 , IR) et pour p une niesure positive (14 9)= ( P , Yi - ( P 2 ) > où y1 - p2 est une décomposition de p en deux fonctions continues bornées à valeurs positives. On peut vérifier que cette définition ne dépend pas du choix des deux fonctions positives. En particulier, on utilisera souvent pour fonctions pl et p2, les parties positive et négative y+ et p- de p. Définition 6.11. Si p est une niesure complexe, on peut définir sa partie rCelle et sa partie imaginaire par les formules : Si la mesure p est réelle, on peut définir sa partie positive et sa partie négative par : Définition 6.12. Si p est une mesure bornée, non nécessairement positive, on prolonge p aux fonctions de Cb(fl) en écrivant 6.1. RAPPELS SUR LES MESURES, CONVERGENCES 305 On peut ensuite prolonger la définition de p à valeurs complexes aux fonctions p continues et bornées à valeurs complexes, en utilisant la partie réelle et la partie imaginaire. 3 Définition 6.13. Soit = ( p l ,p2,. . . p ~ E )M(R, C N )une mesure à valeurs vectorielles. On définit la fonctionnelle 1 21par : (I2l,$) = ‘i$ C C ( f l ) ’ S i 3 O, + + l ( P 1 9)l’ d€C,(WN) SUP E:c”I<p,12<?i>L P) = E1PZCPZ. --1+ avec ( P 1 On montre alors que 1 31est la restriction à C,(R,R+) d’une niesure positive sur s1 (cf. [13]). 6.1.3. Convergence vague et convergence étroite Définition 6.14. On dit qu’une suite de mesures p n E M(n)converge vaguement vers p E M ( R ) si, quel que soit p E C,(n), on a : I(Pn-P.,(P)I -0. Proposition 6.15. Si { p r L }est une suite d e mesures qui converge vaguement vers une mesure p, alors, on a l’inégalité dans R ü +CO : Preuve d e la proposition 6.15. O L’inégalité est triviale si limy: J , lpnl = +W. Supposons donc cette limite finie et considérons une sous suite convenable { a ( n ) }telle que hJn IpnI = liniJn lpD(nll. Remarquons qu’alors, pour toute ‘p E CJR) telle que IpI 6 1, on a : I(P,P)I = l w P D ( n ) ’ d G hJilI1-1nl1 ce qui entraîne que la mesure p est bornée. Soit E > O et soit p E C,(s1) telle que Ipl i et J, %,I JO pp E . Soit No tel que : < < On en déduit, pour n 3 No : + 306 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES Remarque 6.16. Notons que si y, O converge vers y vaguement on n’a pas nécessairement snp, + s n y comme le montre l’exemple de la suite sur B(0,I) définie par y, = n ( x ~ ( -~ , ~ ) laquelle converge vaguement vers O dans B(0,I ) , mais dont la variation totale, pour chaque n, est égale au volume W N - ~ de la boule unité de RN. Définition 6.17. On dit qu’une suite de mesures bornées y n E M1(R) converge étroitement vers y E M1(R) si : v p E C b ( R ) , l ( y r ~ - p , p ) l-0. Proposition 6.18. S i { y n } est une suite de mesures positives et bornées qui converge vaguement vers y appartenant à Ml (R), les propositions suivantes sont équivalentes : (1) La suite { y n } converge étroitement vers p . ( 2 ) Jnpn Jn~l. (3) Pour tout E > O , il existe un compact K dans R telle que + Remarque 6.19. I1 est clair que, si la suite {y,} de mesures bornées converge vaguement vers p, cette suite ne peut converger étroitement vers une mesure autre que p. Preuve de la proposition 6.18. 0 On montre que (1) entraîne (2) qui entraîne ( 3 ) . Puisque y, est positive, on utilise dans la condition (1) la fonction continue bornée I n . On a alors : Soient KI un compact tel que y 6 E et R1 un ouvert d’adhérence contenant K I . Soit p à support compact dans R1 valant 1 compacte K = sur K I , avec : .h \Ki P < (IL, (1 ~ cp)) + E. Toute fonction continue à support compact dans R \ K et comprise entre O et 1 est inférieure à 1 - p. I1 en résulte que : = On en déduit le résultat. JI, - (P’ P) < 2E. 6.1. RAPPELS SUR LES MESURES, CONVERGENCES 307 On montre enfin que (3) entraîne (1). Pour cela soit cp E C b ( 0 )et, E > O étant donné, soit K un compact tel que, pour tout n, sn,Kpn E . Soit q" E CJR) égale à 1 sur K , comprise entre O et 1, et No assez grand pour que, par la convergence vague de { p n } vers p, on ait l(pn - p , cp$)l E. On en déduit : < < Proposition 6.20. Soit { p n } une suite d e mesures bornées, telle qu'il existe une constante C avec d;,jpnl 6 C . Alors on peut extraire d e { p T 1 }une suite de mesures qui converge vaguement vers une mesure bornée. Preuve de la proposition 6.20. 0 C'est immédiat car la boule unité du dual de l'espace nornié séparable O C,(a) est relativenient étoile faiblement séquentiellemerit compacte. Proposition 6.21. Soit p E M 1 ( R ) . Il existe une suite {un}dans C?(O), Preuve de la proposition 6.81. 0 Soient E > O, un compact K de R tel que lpl < E et une fonction cp de C,(R) telle que O < cp < 1 et cp = 1 sur K . Soit No assez grand pour que i/No < d ( K ,8 0 ) et soit p une fonction régularisante et paire. Pour n No, la suite { p i l n * ( y p ) } converge étroitement vers cpp, ainsi que son module. En effet, montrons d'abord que cette suite converge vaguement vers cpp. Pour ce faire, soit $ E C,(n). Pour n assez grand, par l'uniforme continuiti: de $, on a On remarque que la mesure cpp est à support compact dans ( 2 et on utilise, pour n assez grand, la définition de la convolution des deux distributions cpp et [p1/71]0, supports compacts dans R et le fait que la convolée est une distribution d'ordre O, ce qui permet d'appliquer cette convolée sur la fonction di. Ainsi, la fonction p étant paire : < et, comme C H A P I T R E 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 308 l’égalité précédente entraîne : On en déduit en particulier, à l’aide de la proposition 6.15, que ,fn IpiiI h ! so IPl/TL * 1’ s, < < so Montrons d’autre part que Ipiln * (yp)l Ipl. En effet, la distribution ‘pp étant it support compact, la convo1i.e précédente est line fonction à support compact s’expriniant par : (6.22) L’intégrale de p1/72 L’intégration sur RN par rapport à 2 de l’kgaliti. précédente (6.22) nous fournit alors, par la définition du niodule d’iine mcsure et l’application de la forrriiilc de Fubiiii : ce qui entraîne le résultat, grâce à la convergence vague et à la proposiO tion 6.18 (équivalence (1) H (2)). 6.2. Extension d’une mesure positive Les quelques notions que nous introduisons dans cette section sont dcstiriées, en particulier, à faciliter la compréhension des propriétés, énoncées daris ce chapitre, qui font intervenir l’absolue continuité et la singularité d’une triesurc par rapport à la mcsure de Lebesgue. Aussi, les qiielques définitions et propositions, sans preuve pour la plupart, qui suivent dans cette partie, sotit très succinctes. Par exemple, la théorie de l’intégration des fonctions quelconques par rapport à une mesure positive rest,e dans l’état d’esquisse, les théorèmes de Lebesgue et la définition des espaces de Lebesgiie des fonctions de puissarice p-ième p-intégrables ne sont pas énoncés, la p-rriesurabilitk est réduite & ime définition et quelques relations avec la piiitbgrabilité. Le résultat auquel on fera souvent référencc ail cours de riotrc ouvrage est le tli6orènie de décomposition de Lebesgue, lequel est énoncé et démontré dans ses grandes lignes. Les lecteurs pourront se reporter aux oiivrages consacrés à la théorie des niesurcs de Radon, en particulier aux ouvrages 161, [19]. Dans le développenient qui suit; 12 est uti ouvert de RN et p désigne une iriesiirc positive. 6.2. EXTENSION D’UNE MESURE POSITIVE 6.2.1. Prolongement aux fonctions sci et 309 SCS Lorsque I I est une mesure positive, 011 peut étendre sa définition à une classe plus large de fonctions que celle des fonctions continues. Dans ce qui suit, on suppose connues les définitions des fonctions serni-continues inférieurement (désignées par le synibole sci) et serni-continues supérieurement (scs). On admet que toute fonction f à valeurs finies ou non et non iiégatives est l’enveloppe supérieure, pour la relation 6, des fonctions p E Cc(S2) telles que p f . On désigne par Z(R) l’erisenible des fonctions sci sur R qui sont, minorées par une fonction de C,(f2), ensemble qui contient donc toutes les fonctions sci positives. De même, on note Z’(S2) l’ensemble des fonctions scs sur R qui sont majorées par une fonction de C,(R). < Définition 6.23. Soient f E Z(R) et p une mesure positive sur f l . On définit le prolongenient p,* de la mesure p à la fonction f par : s w ( P , $4. (P*,f )= PtC,.(n) v<f Lorsque cette borne supérieure est finie, on dit que la fonction f est pintégrable. On peut aussi définir, pour f E Z’(R) : (P*,f ) = v i & ) ( P 1 9). f<w La soinnie fi f 2 de deux fonctions de Z est bien définie puisque qu’elles ne prennent pas la valeur -m ; on a f i f i E Z. On admet ici la propriété d’additivité suivante : + + Proposition 6.24. Pour deux fonctions fl et f i de Z, on n : P*(fl + f i )= p * ( f 1 ) + p*(fz) 6.2.2. Extension à des fonctions quelconques et aux parties de SI Notions sur la p-intégrabilité. On déduit de ce qui précède, la notion d’intégrabilité pour les fonctions h définies sur (2 à valeurs dans E. Coinrne il existe des fonctions f dans Z telles que f 3 h, par exemple f = +CO, on peut encore prolonger p supposée positive, pour obtenir les intégrales siipérieure et inférieure de 11 : Définition 6.25. Pour une fonction h quelconque sur R, on pose : 310 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES < On a p * ( h ) = - p * ( - h ) et p * ( h ) p * ( h ) . On dit que h est p-intégrable si p * ( h ) = p * ( h ) , la valeur commune des deux membres étant finie, notée alors p( h). On montre la caractérisation suivante de la p-intégrabilité : Proposition 6.26. Une fonction h est p-intégrable si et seulement s i : quel que soit E > O , il existe f E Z et g E Z’g h f avec p*( f - g ) < E . < < Proposition 6.27. S i f est p-intégrable, il en est de m ê m e de f + , de f - , de I f I et o n a Ip( f ) l < p(l f I). S i f et y sont IL-intégrables, il e n est de m ê m e de f + 9, de sup(f, 9 ) et i n f ( f , g ) . En passant par les fonctions caractéristiques prolonge la mesure p à ces parties : xa des parties A de 0 , on Définition 6.28. Soit K un compact de R.Alors, x K E Z‘, ce qui justifie de définir la niesure de K comme le réel p * ( x K ) c’est-à-dire , : Soit O un ouvert de a.Alors, xo appartient à Z et on pose : P*(O) = SUP (A‘P). YJEC,+(r2) pp6isurn Tout compact K de R est p-intégrable. Tout ouvert O de R est pintégrable sous la condition que p*(O) soit finie. Par exemple, tout ouvert relativement compact. Définition 6.29. On dit qu’une partie E de R est pintégrable si, pour tout E > O, il existe un ouvert O et un compact K avec K c E c O, tels que : P*(O) - p * ( K ) 6 E . I1 est clair que E est p-intégrable si et seulement si sa fonction caractéristique l’est. I1 revient au même de dire que les nombres p * ( E ) et p * ( E )sont finis et égaux. Leur valeur commune se note p ( E ) et s’appelle la mesure de E . Si A et B sont deux ensembles p-intégrables, on montre qu’alors les parties A ü B , A n B , A n ( R \ B ) sont p-intégrables. En particulier, les ensembles compacts, une intersection finie d’ouverts avec un compact, sont universellement intégrables, c’est-à-dire intégrables pour toute mesure positive p. 6.2. EXTENSION D’UNE MESURE POSITIVE 311 Notion de p-négligeabilité. Définition 6.30. Un ensemble A est dit p-négligeable si p*(A) = O. Dans ce cas, on admet que A est p-intégrable et la condition devient p ( A ) = O. Une fonction f est dite [pl-négligeable si p * ( l f l ) = O. Si deux fonctions f et g sont égales sauf sur un ensemble négligeable, elles sont dites p-équivalentes et, dans ce cas p * ( f ) = p * ( g ) . En définissant les classes d’équivalence associées, cette notion débouche sur les définitions des espaces vectoriels U ( R , p ) . Propriétés de p-mesurabilité et de p-intégrabilité. Définition 6.31. Une fonction f sur R est p-mesurable s’il existe un ensemble p-négligeable N et une partition de R \ N en une suite de compacts K , tels que, pour tout n, la restriction de f à K , soit continue. Une partie A de R est p-mesurable si sa fonction caractéristique l’est. On montre qu’une partie p-intégrable est p-niesurable. La réciproque est fausse, mais : Proposition 6.32. U n ensemble A est p-mesurable s i et seulement si, pour tout compact K , l’ensemble A n K est pintégrable. Une fonction f de R dans E est p-mesurable si et seulement si, pour tout compact K , la fonction f zK est p-intégrable. Une caractérisation de la piritégrabilité (qui résulte du théorème d’Egoroff non énoncé ici) s’écrit : Proposition 6.33. Une fonction f de R dans est p-intégrable si et seulement s i , f est p-mesurable, 1 ’intégrale supérieure p* ( 1 f I) étant, en outre, finie. On en déduit : Proposition 6.34. Si f est pintégrable, alors il en est de même pour f,y, pour tout ensemble mesurable A, e n particulier pour tout compact. Définition 6.35. Soit A un ensemble p-mesurable. On définit pxa comme l’application qui fait correspondre à cp, élément de C,(R), le nombre : lequel est défini car est p-intégrable. 312 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉFS MESURES Locale intégrabalité. Déjinition 6.36. Soit f une application de R dans E. Alors, elle est dite plocalement intégrable si tout point x de 0 possède un voisinage V tel que f xv est p-intégrable. Proposition 6.37. Soit f une application d e f l dans E. Alors, f est plocalement intégrable si et seulement si f est p-mesurable et sa, pour tout compact K , on a p*(If Ix,) < 00. Preuve d e 6.37. O Soit f qui est p-localement intégrable et soit K un compact. En décomposant f en ses parties positive et négative, on peut supposer que f O. On peut recouvrir K par un nombre fini d’ouverts V, tels que f x , soit p-intégrable quel que soit j . La fonction sup f x v3 est alors ( c f . proposition 6.27) une fonction p-intégrable. Comme f x , = x K sup f x , , on en déduit à l’aide de la proposition 6.34 que f x K est intégrable, en particulier mesurable. Cela étant vrai pour tout compact K , la fonction f est niesurable ( c f . proposition 6.32). De plus, la proposition 6.33 fournit la finitude de p * ( l f l x K ) . Réciproquenient, soit x E R. Soit une fonction y E C,(R), comprise entre O et 1 et valant 1 sur un voisinage compact V de x. Alors d’après la proposition 6.33, la fonction f p est intégrable. I1 en résulte avec 6.34 qu’il en est de même pour f xv = f pxv . O Définition 6.38. On dit qu’un ensemble localement p-intégrable A porte la mesure positive p si p ( 0 \ A ) = O. 6.2.3. Absolue continuité Dans ce qui suit, p et u sont deux mesures positives sur R. Définition 6.39. On dit que p est absolument continue par rapport à l’implication suivante est vérifiée : VA C R , u si u(A) = O ==+ p * ( A ) = O . Cette relation entre les mesures positives est souvent notée p aussi que p est de base u. << v. On dit On peut obtenir cette notion en procédant d’une autre manière. Soit une fonction h localement pintégrable. Alors, quelle que soit y E C,(R), la fonction h p est p-intégrable et l’application qui associe à toute fonction p E C,,(fI) l’intégrale p*(hp), que l’on note aussi J, h p d p , est une forme 6.2. EXTENSION D’UNE MESURE POSITIVE 313 linéaire. C’est aussi une mesure sur R. En effet, pour tout compact K de R, et pour toute fonction p continue à support dans K , on a l’inégalité : Définition 6.40. La mesure définie précédemment est notée h . p. On l’appelle mesure d e densité h par rapport à p. Proposition 6.41. Soit u = h . p où h est localement pintégrable. Alors, pour toute fonction f de R dans Ë?, on a u * ( f ) = pL*(f h ) , le produit f h ayant par définition la valeur nulle si l’un des facteurs est nul. La proposition est admise (cf. [19, chap. 13, 5 141). On peut, en déduire que, si u ( A ) = O, alors p ( A ) = O ; autrenient dit, IL est une niesure de base u. Cette propriété et sa réciproque sont contenues daris le théorème de Lebesgue-Nikodym, dont un corollaire s'énonce comme suit : Proposition 6.42. Un,e mesure IL 3 O est absolument continue par rapport à u 3 O si et seulement si il existe une fonction y localement u-intégrable telle quep=g.u. 6.2.4. Mesures singulières Définition 6.43. On dit que ii est étrangère à u , s’il existe deux parties disjointes A et B de 0, respectivement localement p-intégrable et localement u-intégrable, telles que IL est portée par A et u est portée par B . Cette relation entre deux mesures positives est notée IL i u. On a alors : LI = pxai et u = uxo. Dans ces conditions, on peut montrer qu’alors, et nous l’admettons (cf. [19]),A et B peuvent être choisis universellement niesurables. Définition 6.44. La mesure p 3 O est dite szngulzère si elle est étrangère à la mesure de Lebesgue. Proposition 6.45. Une mesure p 3 O est étrangère à u 3 O s i et seulement si inf(p, u ) = O Preuve d e la proposition 6.45. O Si p est étrangère à u , soient A et B deux ensembles universellement mesurables tels que p = pxa et v = u x B avec A et B disjoints. Alors si p E C,(0), on a : inf(p, u)(cp)= inf((l4 X A C P ) ’ (VI X B d ) = 0. 314 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES + Inversement, on utilise la proposition 6.42. Soit la mesure p = p v. D’après la définition 6.39, chacune des deux mesures est absolument continue par rapport à p. I1 existe donc (cf. proposition 6.42) g et h localement pintégrables avec p = g . p et v = h . p. Puisque inf(p, v) = inf(g, h ) p = O, on en déduit que inf(g,h) est p-négligeable. Soient M = {z I g(z) # O} et N = {z I h ( z ) # O}. Ce sont des ensembles localement p-intégrables et, d’après ce qui précède, on a p ( M n N ) = O. Soient A = M \ ( M n N ) et B = N \ ( M n N ) . Ces ensembles sont localement p-intégrables et on a g = X A g et h = x ~ enh dehors d’un ensemble de mesure nulle pour p. 0 6.2.5. Décomposition canonique d’une mesure positive Théorème 6.46 (de décomposition de Lebesgue). Soit p une mesure 3 O. Alors p s’écrit de manière unique cornme la somme d’une mesure absolument continue par rapport à la mesure d e Lebesgue et d’une mesure singulière. Preuve du théorème 6.46. 0 I1 est clair qu’il y a unicité. Supposons en effet p’ et p” absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue et Y’ et Y” deux mesures singulières avec p = /XI + VI = /LI/ + VIt. Alors : I p - p II = v II I p u , les deux membres étant des mesures à la fois absolument continues par rapport à Lebesgue et singulières. Ces deux membres sont donc nuls. 0 Pour l’existence on introduit : v = sup inf ( p ,n d z ) . n < Remarquons que v est une mesure. En effet, on a d’abord, puisque v p, la majoration valable pour toute fonction p positive à support compact dans K , u p 6 pp C ~ l l p l l I1 ~ .faut en outre vérifier l’additivité et la positive homogénéité, ou encore si p, 3 O et A, 3 O, la propriété : < 2 1 Soient pl et p 2 dans C,(O) et soit no 3 = 1 , 2 . Alors i 721,722 avec n, J p, 3 p(pi) pour 6 . 2 . EXTENSION D’UNE MESURE POSITIVE 315 On en déduit : Doric : Puisqu’on est ramené au sup de l’irif d’un nombre fini de mesures, il y a bien l’additivité annoncée. 0 On montre ensuite que la mesure Y est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. En effet, si A est un ensemble de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue, à savoir d:c = O, on en déduit que l’infimum de v ( A )et de n dz est toujours nul. Par conséquent, 011 a v ( A ) = O. Donc v est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. 0 On montre enfin que la mesure p - v est étrangère à la niesure de Lebesgue. Pour ce faire, on montre que si ( p - v ) ( A )> O , alors d z = O. Supposons, par contradiction, que dx > O. Alors, pour no assez grand, on aurait no dz > p ( A ) , donc v ( A ) = p ( A ) ou encore ( p - v ) ( A )= O. O SA SA SA SA SA 6.2.6. Mesures complexes, mesures vectorielles Une mesure p réelle étant donnée, tout ce qui précède s’applique aux parties positive p+ et négative p-. De même, si p est une mesure complexe, on considère la partie réelle et la partie imaginaire de cette mesure, ce qui permet de se ramener à des mesures positives. Étudions succinctement la décomposition de Lebesgue d’une mesure vectorielle en dimension finie. Définition 6.47.Soient 2 une mesure & valeurs vectorielles et v une mesure positive. On dit que 2 est absolument continue par rapport & v si 1 21<< v (cf. définition 6.39). Soient deux mesures vectorielles j2 et 2. On dit qu’elles sont étrangères si ij2 et 1 2 1sont étrangères. On énonce le théorème de décomposition daris un cas particulier : Théorème 6.48. Soit appurtenant à M1(R,IRN). Alors, il existe une fonction 11 duns L1(R,RN) et une mesure 2 étrangère ù la mesure d e Lebesgue dz sur R telle que : i p = +; 4 hdz. CHAPITRE 6 . DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 316 Preuve du théorème 6.48. On applique le théorème 6.46 aux parties positives et négatives de chacune des composantes p, de 2,d’où + v,, = h,dz On en déduit pz = (h, - g,)dz + V, - pz = g,dz - + A,. A,. Ensuite, on a : la dernière somme représentant une mesure étrangère à dz, c’est-à-dire une O mesure dorit toutes les composantes sont étrangères à dz. 6.3. Espace de fonctions à variation bornée Définition 6.49. On dit que u E Z?V(n) si u E L1(n) et si Vu E M ’ ( a ) . On peut aussi définir B V ( 0 ) comme l’ensemble des u de L1(f2) tels que La justification de ce dernier point est la suivante : s k l V u l d x = P€C,(R.WN) sup n lPI<1 V U pdx . 3 { - k u d i v c p ( i ) d z 1, slip P€C,‘(n,RN) lPI<1 l’inégalité inverse étant obtenue par densité. Remarque 6.50. I1 est clair que W1>l(n)c BV(62), mais l’inclusion réciproque est fausse. Pour le voir, on peut, par exemple, considérer la fonction caractéristique X B ( ~ ,d’une ~ ) boule euclidienne. Elle est dans L1(RN). On montre que son gradient s’exprime par V ( X B ( ~ , R ) = ) - ( ~ / 1 ~ / ) 6 1 , i = R .En effet, si ip E D(RN,RN),la formule de Green classique nous donne : - s,. V ( X B ( O , R ) ). cp = ./,(& - div i p ( i ) d z S/=K cp(z). Zdz = dzl=a X - . cp(z) dz. 1x1 Cela prouve que cette fonction est dans B V ( R N ) mais , non dans W1>l(RN). Dé$nition 6.51. On dit qu’une suite { u n }de B V ( 0 )converge faiblement vers u E S V ( Q )si : S, lun - uldz - O et VU, converge vaguement vers Vu. 6.3. ESPACE DE FONCTIONS À VARIATION BORNÉE 317 Une conséquence du théorème de faible corripacité des suites de mesures d'intégrale bornée, entraîne : Proposition 6.52. Soit {u,} une suite bornée dans B V ( R ) . Alors on peut extraire de { u r L }une sous-suite qui converge faiblement dans B V(0 ) . Remarque 6.53. On verra plus loin que, lorsque l'ouvert R est assez régulier, l'espace BV(R) s'injecte continûment dans LJ'(R) pour tout p < N / ( N - 1) et que, si de plus, R est borné, l'injection est compacte dans tous les Lq(R) tels que q < N / ( N - 1). Ces propriétés fourniront alors, de nianière immédiate, la convergence forte de {un}vers u dans tous les Lq(f2) pour q < N / ( N - 1) et la convergence faible daris L ~ / ( ~ ~ ' ) ( R ) . Proposition 6.54. Soit R u n ouvert d e IRN. Soit {un}une suite d e fonctions qui conaerge dans L:,,(R) vers u. Alors s, IVuldz 6 & Tl++CX b ~VUTL~. Preuve de la proposition 6.54. O On peut utiliser la proposition 6.15, lorsqu'ori sait que VuTL est une niesure. Dans le cas général, puisque u, tend vers u dans Lfoc(R),alors, quelle que soit g E Cc (R),on a : JI, u,(z) divg(z)dz --f .1 ~ ( zdivg(z)dz, ) ce qui entraîne le résultat ( c f . définition 6.49) par passage à la borne supérieiire lorsque 191 1. < Remarque 6.55. Supposons que { u n }converge vers u fortement dans L1(O) et que {VuTL} tende vers V u vaguement. Alors on n'a pas nécessairement la convergence lVuTL1 + IVul. s, s, Pour illustrer cette remarque, prenons le cas très simple, en dimension 1, de la suite de fonctions de terme général {un}où u, = nxx]O,l/,,[ ~ [ 1 / ~ ~ , 1 [ . 1 Cette suite converge vers i sur ]O, I[, mais, JO l u i ( t ) l d t = 1, donc rie tend pas vers O. + 6.3.1. Résultats de densité Théorème 6.56. L'espace Cm(R) n W'>'(R) est dense dans B V ( R ) pour une topologie intermédiaire, explicitée ci-dessous, plus fine que celle de la convergence faible et liée à la convergence étroite des mesures. Soit u E BV(R). I I existe une suite {un}c Cm(R) n W','(R) telle que : CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 318 Remarque 6.57.Dans la suite, on dira qu’une suite unde fonctions de B V ( R ) converge étroitement vers u dans BV(R) si Preuve du théorème 6.56. 0 Nous utilisons les notations de la proposition 2.12. Soit R, une suite strictement croissante, d’ouverts relativement compacts dans R , dont la réunion vaut R. Soient les ouverts A, définis par : 0-1 = Ro = 0, A0 = 0 2 , Al = 0 3 , A, = Q2+2 \ pour i 2, et soit (y,)une partition de l’unité subordonnée au recouvrement de R par les A, : cicz 00 pz E cg(AZ), (6.58) = 1, O < pz 6 1 O Soit maintenant {q,} une suite décroissante de réels positifs tendant vers O telle que : A, + B(O,7,) c A,-1 U A, U A,+l, et telle que (6 > 0 étant donné à l’avance) pour j 3 2 : (6.59) (6.62) O la première inégalité (6.59) étant justifiée par la proposition 6.21. On obtient ainsi une fonction de classe C” sur R. En effet, cette série, dont le terme général est une fonction C”, est localement finie sur tout compact K de R, car il existe j O assez grand poiir que A,-1 n K = 0 pour j > j o , d’où la nullité des termes d’indices > j o puisque leurs supports sont inclus dans A,-1 ü Aj ü Aj+i. On démontre à présent, d’une part, que I J u ~ - u I I L I ( ~ ~ 6, ce qui prouvera < I c 7 u ~ l - J 1Vul1 ~ < 26, ce qui prouvera que u6 E L’(a), d’autre part, que que Vug E L1(R) et même que Jn IVugI < C . Par ces majorations, on IJa 6 . 3 . ESPACE VE FONCTlONS À VARIATION BORNÉE obtiendra donc que la << suite >> de fonctions annoncée. Effectuons ces majorations : D’abord, d’après (6.60) : Par ailleurs, écrivons A I pa, {ug} 319 satisfait à la propriété * V(cpju)(sous la forme : A= 6 Donc, en tenant compte de obtient : C y Vcpj = 0 et de lVul = C F p j / V u ( ,on D’après (6.59) et (6.60) on en déduit alors : On verra, lorsqu’ori aura niontré le théorème de trace, que la suite {ud} a la rnênie trace que u lorsque R est de classe C1. Ces théorèmes de densité pour une topologie intermédiaire entre la topologie faible et la topologie de la norme, permettent d’étendre les résultats d’injection et d’injection compacte concernant IV1>’ (O) à l’espace B V ( R ) . Remarque 6.63. À l’aide de la preuve du théorème précédent, on peut prouver pour les parties absolument continue et singulière (cf. théorème 6.46) des ternies de la suite {Vu,}, la propriété suivante, qui nous servira, notamment dans l’étude des fonctions de niesure à la section 6.10 : .b - (Vus - (Vu)ac( L ( V U S ( . On propose sa démonstration dans l’exercice 6.3. 320 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVEES MESURES 6.3.2. Résultats d'injections continues Théorème 6.64. Soit R un ouvert lipschitzien de IRN. L'espace BV(R) s'injecte continûment dans LP(ii2)' Q p < N / ( N - 1). L'injection est compacte pour p < N / ( N - 1) et pour R borné. Preuve du théorème 6.64 pour les injections continues. 0 Elle se fait en utilisant la densité des fonctions de W','(R) dans B V ( R ) (théorème 6.56). Soit II, dans BV(f2). I1 existe une suite {un}dans W','(R) telle que : Alors, en utilisant l'existence de l'injection continue de W1>'(O) dans LP(R), V p 6 N / ( N - 1)' il existe une constante G indépendante de n telle que : II%IlP 6 C(IIunll1+ IIVun111). Puisque toute suite bornée dans LP(R), pour 1 < p < cm,est relativement faiblenient compacte daris LP(R), on en déduit qu'on peut en extraire une sous-suite qui converge faiblement vers un élément PI E LJ'(R). On a bien sûr u = w et aussi, par semi-continuité inférieure de la norme dans LP(R) : ll4lP6 lirn n-w IIunllTJ d'où le résultat pour les injections continues. O Preuve d e la compacité dans le théorème 6.64. 0 On montre le résultat pour p = 1. Soit K un ensemble born6 de BV(R). On utilise la caractérisation des compacts de L1 (cf. théorème 1.94 du chapitre 1) pour montrer que K est relativement compact dans L'(R). Soit E > O et G compact de R tel que IR - GillN 6 E . Alors pour tout u E K , en utilisant Holder, l'injection de B V ( R ) dans L N I N P 1 (0)et la boriiitude de K dans B V , on a : 6 . 3 . ESPACE D E FONCTIONS À VARIATION BORNÉE 321 Cette dernière inégalité entraîne que, pour n 3 No, et pour tout h vérifiant h < d(G,an),on a : Coninie u,, appartient à W1?l(f2),la preuve, dans le cas p = 1, du théorème 2.23 nous assure que 17tLun. - u,ldz hJn IVu,,I(z)dz. On en déduit : .IG < d’où le résultat puisque E est arbitraire. 0 Soit, à présent, p > 1. On considère une suite {un.} bornée dans B V (O). Par la relative compacité prouvée précédemment, on peut en extraire une sous-suite (ug(,>}qui converge dans L’(0). En utilisant la continuité de l’injection BV ~ 7 L’ N / ( N - l ) cette , suite est bornée dans L N / ( N p l )Cette . situation permet d’appliquer le lemme 2.82 du chapitre 2. On obtient ainsi O que { u g ( , > }converge dans tous les Lq où q < N / ( N - 1). 6.3.3. Résultats sur les traces Avant d’énoncer le théorème d’existence d’une trace sur la frontière, nous avons besoin du lemme : Lemme 6.65. Soit p une mesure bornée sur R ouvert d e IRN. Alors il existe u n nombre au plus dénombrable de CY tels que p charge R n {XN = a } ) , c’est-à-dire, tels que p(R n {XN = a } ) > O. Preuve du lemme 6.65. 0 Par le théorème de Fubini, on peut écrire : 322 C H A P I T R E 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES Soit cp définie par : La fonction p est croissante, l’ensemble de ses points de discontinuité est donc au plus dénombrable. Or, par définition, ces points de discontinuité sont exactement les réels a! pour lesquels Proposition 6.66. Soit { p , } une suite d e mesures positives qui converge étroitement vers p sur R. Alors si 01 c c R est tel que Jan, p = O, on a : La preuve de la proposition est proposée avec des indications dans l’exercice 6.1. Théorème 6.67. Soit R un ouvert de classe C l . Il existe une application linéaire, continue et surjective de B V ( R ) sur L1(dS2), qui cofncide avec l’application usuelle d e restriction au bord lorsque u E BV(R) n C ( 0 ) ou encore avec l’application trace étudiée au chapitre 3, lorsque u E W’,’(Cl). Preuve du théorème 6.67. 0 On utilise un recouvrement de 862 par des ouverts (2% bornés tels que (quitte à changer le système de coordonnées) : c {(d,zN) I ~ ( d< ) z N ,Z’ 30 n Ri = {(dl~ ( dI Z’) E O } , Ri n R E O}, où 0’ est un ouvert de a E C1(c3’), et on suppose que u est à support, compact dans Ri n 2.Soit alors cy > 0 tel que (cf. lemme 6.65) : + a ) }= o. ~ O U ~ ( ( Za(z’) ’, Soit {un}une suite de u&/, a ( d ) + IV1>’ donnée par + a’) = u,(z’, a ( d ) + a!) - U,(Z’, Notons go la fonction z’ A, = H le théorème de densité. On a : a(.’) Pa! la( a!) dNU,(d, et + {(z’,zN)E R I ZN < ~ ( d )a}. a(d) + s)ds. 6 . 3 . ESPACE DE FONCTIONS À VARIATION BORNÉE En intégrant sur O’ l’égalité précédente, on obtient pour O 323 < a: < a’ : La convergence de unvers u dans L1 ( ( 2 ) implique que le rnenibre de gauche tend, lorsque n tend vers l’infini, vers llya - g n f l l L 1 ( O 1 ) En . appliquant au membre de droite la proposition 6.66, on prouve que sa limite est : On en déduit que l’inégalité : Ilya ~ gry’IIL’(0’) < J’ IdNTL1, A,/ \ A , valable pour les fonctions de W’,’, se prolonge aux fonctions de BV lorsque ad, et dd,! sont de mesure nulle pour d ~ u . Puisque l d u / û x ~ Iest une niesure bornée sur 0 , la limite ci-dessus, lorsque cy et a’ tendent vers O en restant strictement positifs, est nulle. En particulier, la suite ( y a ) 6tant de Cauchy dans L1(O’), converge donc vers une fonction de L’(CI’) que l’on peut noter u<,>(z’,a(z’)). Par les recollemerits liabituels compatibles avec le recouvrement dc 62 utilisé, la somme des fonctions limites airisi obtenues fournit ce qu’on appellera la trace de 7~ sur la frontière de 61. Théorème 6.68. Soit 62 un ouiiert de classe C l . L’application trace est continue pour la topologie intermédiaire décrite dans le théorème 6.56. Plus pricisérnen,t, si !un TU dans L ’ ( a ) , et s*i Ji,IVu,( 4 J , IVul, alors : --f IYO(~L~~) - YO(~L)ILI(DR) + O. Preuve du théorème 6.68. 0 Puisque l’application trace yo est continue. il existe une constante C qui ne dépend que de 0‘telle que : Soit ( u T L qui } corivergc vers u daris BV étroitement, c’est-à-dire telle que I/uTL - u/11 O et Jn +lVuTLl+ J , +jVul pour tout VI E Cb(R). Soit E > O donné. Soit aussi Ro un ouvert relativement compact dans ( 2 et cpo une fonction à support compact dans 0, égale à 1 sur 0 0 avec O 6 cpo 1, et -f < 324 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES < E . Par la convergence étroite, on en déduit qu'il tels que J,(l - p0)IVi~l existe NO tel que : tin > NO .&(1 - PO)IV%l < 2E On peut supposer que No est assez grand pour que : On a alors pour n > N O ,en utilisant la continuité de l'application trace, et en observant que 1 = 1 sur dR : Remarque 6.69. La suite { u g } du théorème 6.56 vérifie y ~ ( u g = ) y ~ ( u )En . effet u - un est limite forte dans BV de n O suite dont le terme général est, pour tout n, à support compact dans X I , donc nulle sur son bord. Théorème 6.70. Soit R u n ouvert C1 de RN.Soit u E B V ( R ) . Alors il existe une suite ( u n ) de fonctions de C p ( R ) telle que : Preuve du théorème 6.70. On commence par recouvrir R par uric famille dénombrable d'ouverts (finie si R est borné), où Ro satisfait à d(Ro, 8 0 ) > O et les Ri pour i 3 1 satisfaisant à (quitte à cliariger le système d<:coordonnées) : Ri n R c {(d,zN) 12' E O i , z N > ~ ~ ( d ) } , ni étant une fonction de classe C1 sur Oi ouvert borné de EtN-'.Soit { une partition de l'unité subordonnée à ce rccouvrement. On commence par 6.4. DISTRIBUTIONS À GRADIENT DANS L” 325 montrer le résultat pour piu,l’indice i étant fixé. On prolonge cpiu par O hors de R n Ri. La fonction (p;. ainsi obtenue appartient à B V ( R N )et vérifie : Conirne dans la preuve de la proposition 3.57, on utilise le fait que R, n R est inclus dans Vi = { ( d , z N ) I 2’ E O:, X N > a,(z’)} qui est étoilé par rapport à l‘un de ses points. Considéroris l’application n: H h ~ ( n := ) zi X(n: - x i ) . Alors si X 7 n ( i ) est, une suite de reels positifs < 1, qui tend vers 1, (P;li O 1b-l est 5. support compact dans R et converge étroitcmcnt X,, (2) vers (p;. dans B V ( R N ) .Soit ~ ~ = (d ( d c~ 2 , d1( h x ( A i ) ) / 2et p une foiiction regularisante. Alors p E 7 T , (*i ) ( y 5O hLpnl( i )) cst dans D ( 0 ) et converge étroiteniciit vers daris B V ( R N )lorsque X t,eiid vers 1. On obtient airisi uric suitc de fonction appartenant à CF(Ri n R) qui terid étroitenient) dans B V ( R N )vers (pr. lorsque A T r L ( i )terid vers 1. En particulier : + GL Ayant ensilitje imposé à A(,<) d’être assez près de 1 pour quc l’on ait, iD(rn,i)l 72-2, on pourra achever la preuve du théorème en utilisant les propriétés de recouvrement de df2 par les f2i n a R où i > 1 et les propriét,és o de la partition {cp,} de l’unité. < Remarque 6.72. Le même procédi. permet, en prolongeant y,u hors de R, non plus par O, mais par iinc fonction G qui appartient à W1,l(RN de construire iine suite { 7 i } iricliise tiam W1>l(RN), égale à g = y& sur dS1 ct tellc que : --,a), (6.73) IV7h I f l2I’J4+ ln I(. - g)zlda. Cette remarque a été utilisée dans le problème des surfaces rriiiiirriales au chapitre 5. 6.4. Distributions à gradient dans L P On utilise ici la notion d’ouvert C1, doririée au chapitre 2. Théorème 6.74. Soit T une distribution sur un ouvert f l d e IRN. Alors : V T E L:oc(f2) Si d e plus R est C1 et borné, o n VT E II =+ T E W,:(R). : LP(R) ===+ T E W1,P(R). CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 326 Preuve du théorème 6.7’4 (voir aussi [42]). 0 Soit w un ouvert relativement compact dans R. On va montrer que la restriction T 1 w est dans LP(u).Soit q > O, tel que w B(012q)G 0 . Soit aussi y une fonction régulière égale à 1 au voisinage de zéro, et à support compact dans B(O,q ) . On désigne par E la solution élémentaire du laplacien, c’est-à-dire la fonction : + si N = 2, (6.75) k N r Z P N si N 3 3 , où r = (EiI Z ~ I ~ ) ” k~ ~, étant la constante donnée dans le chapitre 2. On a : A(yE) = y A E < + c = 60 + c, + + où = (Ay)E 2Vy. V E est une fonction de D ( B ( 0 , v ) ) La . convolée T *< est dans Cm(w B(O,q ) ) . Elle est donc dans LP(w),pour tout p . On a : T T*60 = T * A ( y E ) - T * < . I1 suffit donc d’étudier la régularité de T écrit 2 * A ( y E ) sur w.Pour ce faire, on 2 2 Puisque V ( y ) E est C” à support compact daris B(O,q),V T * V ( y ) E E Cm(w B(O,q ) ) . Elle est donc dans LP(u)pour tout p . Soit cp une fonction qui vaut 1 sur w B(0,q ) , à support compact dans R. Le produit de coIivolution (pVT*yVE est un produit de convolution sur RN qui coïncide sur w avec VT*yVE. À ce stade, on utilise le fait que p V T E LP et y V E E L ’ , ce qui entraîne que le produit de convolution appartient à LP(u).Pour avoir un meilleur résultat on observe que y V E E Lk pour tout k < N / ( N - 1). On cri diiduit que T E LYo,(R), pour tout r tel que 1 l / r > l / p + ( N l ) / N , soit encore r < p N / ( N - p ) . Ceci termine la preuve du fait que T E LT,,(R). Supposons niainteriarit que 62 est un ouvert borné de classe C1 et que Vu E LP(R). 011sait déjà que 7~ E LPo,(R). I1 découle de la propriété de classe C1 qu’on peut recouvrir R par des ouverts bornés Ri en norribre firii, tels que, quitte à changer le système de coordonnées de sorte que 2 . e #~ O, 0 1 1 puisse écrire : + + + 0, n R Ri n dR ~ c { ( z ’ , z N ) 1 x’ E Ri, X N > ai(.’)}, I = { ( z ’ , u ~ ( ~ Z’ ) )E a:}, où nt est un ouvert borné de IRNP1 et ni iinc fonction de classe C1 sur 62;. Soit y0 le premier élément d’une partition de l’unité subordonnée au recouvrement de R par les Ri. La fonction p o est à support compact dans 0 0 . Comme 6.5. DISTRIBUTIONS À G R A D I E N T DANS M ’ ( 0 ) R , on a E Lp(f2). Montrons, de même, que y z u E LP(R, Pour cela, soit B, la bande incluse dans R, n (2 définie par : Ro (pO7L Bn = {(XI,X N ) I Z’ E nl, X N = a,(z’) + A, 327 n (2). E [ l / n ,I]}. Par la majoration qui suit, on montre que limn,+, I I ( P , U I I ~ ~ ( ~ , , ) admet une limite finie, ce qui prouvera la finitude de IIp,uIILp(B,), résultat qui, en tenant compte de p,u E Lpoc fournira la conclusion souhaitée, à savoir cp,u E LP(R, n 0) : en effet, puisque (P,u(x’,a,(z’) A), = O pour A0 assez grand, la fonction A H ( P , P L ( T ’ , ~ , ( x ’ )A) peut être obtenue comme une intégrale sur [A, A], ; plus précisément : + + d’où, en utilisant Holder : 6 ~O-l/IV(cp,u)llLP(R). Cornnie il est dit ci-dessus, on a donc cp,u E LP(f2 n f2,). On termine en O écrivant ensuite J , l u l p 6 E, J,, l u l p , où la soinme est finie. On traite, dans l’exercice 6.14, une des conséquences de ce théorème. Soit R un ouvert de RN qui est C’,et m un entier, m 1. On définit pour p 2 l’espace > > (6.76) X,,(R) = {u E LP((2) I D”u E LP(R)) En utilisant le théorème 6.74, on voit qu’il est de type local, ce qui signifie que si u E X , (O), alors pour tout cp E (R) , pu E X,, (O). L’exercice 6. I4 propose d’autres propriétés de ces espaces. Cc 6.5. Distributions à gradient dans M1(f2) Théorèine 6.77. Sa T E D’(R), et V T E M1(62) alors T E BVioc(R). Si d e plus R est d e classe C1 et borné, alors T E B V ( R ) . Preuve du théorème 6.77. O Elle se fait de manière analogue à celle du théorème 6.74. I1 sufit de vérifier que si E est la solution élémentaire du laplacien, et si p est une mesure bornée sur RN la convolée p * ( T E E LP avec p < N / ( N - 1). 328 C H A P I T R E 6 . DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES Pour cela 011 rnoritre plus généralement que, si p E M1(RN) et si f E L P , où p > 1, est à support compact, alors f * p E LP et satisfait à : En fait, ceci est vrai même si f n’est pas à support compact, mais il faut alors donner un sens à la convolée f * p, ce qui peut se faire à l’aide de la convolution au sens généralisé (cf. [13]).Soit (,un) une suite de fonctions de L ’ ( I R ~qui ) converge vers p vaguement, par exemple u,,= piIn * p où p est une fonction de D(IRN) telle que p(z)dz = 1 et = n N p ( n z ) On . sait que lunI converge étroitement vers sur IR^. On a, par une propriété connue de la corivolution : SRN IL I Ilun *f IlP G II~nlllIlfllP. La suite I L , * f est donc bornée dans LP et, par la propriété de compacité faible des bornés de L P , on peut en extraire une sous-suite qui converge faiblement dans Lp. Sa limite est, au seris de la convolution généralisée, p * f . Finalement p * f E L p et par semi-continuité inférieure de la norme de D’(EtN)pour la convergence faible, on obtient : O 6.6. Fonctions à déformations dans LP, avec 1 < p < 00 Cette section est à mettre en relation avec la section 7.4, laquelle est consacrée à l’inégalité de Korn. Définition 6.78. Soit T une distribution à valeurs dans I R N . Les composantes de T étant notées Ti, on définit la distribution déformation de T qui est une matrice symétrique dont les coefficients sont les distributions : (6.79) On munit cet espace de la norme définie par : formule où l’on a posé le(u)l = (Ci,I&ij(u)I2)1/2 . On remarque que, si u E WIJ’(R,RN), alors les dérivées des cornposantes u,sont dans LP(R), ce qui implique que E(.) E Lp(R, R”’) et fournit 6.6. FONCTIONS À DÉFORMATIONS DANS L”, AVEC 1 < p < cc 329 u E Y p ( R ) .Pour beaucoup de raisons, une question cruciale est celle de la réciproque, à savoir l’inclusion réciproque de la précédente qui entraîne l’égalité W’lp(f2, I W ~=) ~ ~ (ou0encore, ) ce qui revient au rnênie, l’existence d’une constante C telle que : v u E YP(R)? I I W p cl141Yp(n>. Cette dernière relation peut être appelée, par analogie avec le cas p = 2 , 1 ’inégalité de Korn. Sa démonstration est préparée au cours du chapitre 7 et effectuée dans la section 7.4, pour des ouverts réguliers. Nous nous contentons, dans cette section, de noter trois résultats utiles : Proposition 6.80. L ’espace Y p ( R ) ,muni d e la n o m e précédente, est u n espace de Banach. Le preuve est laissée au lecteur. Proposition 6.81. L’espace Yp(R) est d e type local, ce qui signifie que : v y E D(R), v u E Y p ( 0 ) , p u E Yp(f2). (6.82) Comme somme de produits de fonctions de LP, la composante &ij(uy)est dans L p (O), d’où le résultat annoncé. O On peut en déduire le résultat de densité : Proposition 6.83. Soit R un ouvert C1 de IRN. Alors P ( R ) n Y , ( O ) est dense dans Yp(0). Preuve d e la proposition 6.83. Soit elk et les A k comme dans la preuve de la proposition 6.56. Soit ( y k ) une partition de l’unité subordonnée au recouvrement de O par les A k . CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 330 Soit enfin 7 > O, p une fonction régularisante et (6.84) IIPV, *((PIÎ~) lP,k (6.86) assez petit pour que : 6 ~2-(~+’), -( ~ k l ~ l l p * (V((Pk)U) IIPar, * ( ( P k 4 U ) ) (6.85) vk - ~ ( ( P k )6 4 - (Pk&(U)Ilp v2- (k+1) ’ 6 v2-(”l). On montre, comme dans la preuve du théorème 6.56 que la suite définie par u, = CkpVr * ( ( P ~ uest) dans Cm(0). Chaque terme de la série u, appartient à Y p ( 0 )Pour . le voir, il suffit de remarquer que E , (p,, ~ *((~ku)= ) par, k E , (~ ( P ~ et u )d’appliquer à E , (~p k u ) les formules (6.82) précédentes. Montrons finalement que u, converge vers u dans Y p ( 0 )ce , qui démontre en même temps que u, est dans Y p ( 0 )D’abord, . d’après (6.84)’ on a : Par ailleurs, on a et le second menibre peut s’écrire, grâce aux propriétés de la convolution, comme la somme de la série de terme général pVk * E , (~c p k u ) - E , (~ ( P ~ ou u) encore, d’après (6.82), comme la somme de deux terrncs : UZJ = P,n 1 * ((PkELJ(U)) - (PkEtJ(U) v,, = 5 [P,, * ( U J & ( P k + . z a J ( P k ) - (U,&(Pk +4 P 4 ’ En appliquant l’inégalité de Minkowski aux normes dans L p ( O ) de ces deux ternies et en utilisant les relations imposées (6.85) et (6.86)’ on obtient le résultat : .hIE(u, - u)lpdz6 KqP. O 6.7. Espaces de fonctions à déformation dans LI Lorsque p = 1, l’espace Y I est rioté(’) ~ ~ ( ( 2 1On . peut montrer que l’inégalité de Korn ne s’étend pas au cas p = 1. En particulier Y l ( 0 )# W l > (O). l Définition 6.87. LD(R) = {u E L1(O’RN) I & ( U ) E L1(O,R”z)} = Y , ( O ) . (l)L’espaceLD(R) est un abrégé de << Lebesgue deformation », ou encore à déformations dans L1(R). 6.7. ESPACES DE FONCTIONS À DÉFORMATION DANS L' 331 I1 est clair que, niuni de la norme : (6.88) l l 4 L D < n >= I l 4 1 + II4u)II1, LD(b2) est un espace de Banach. Théorème 6.89. Si T est une distribution sur un ouvert R ù valeurs dans RN telle que E ( T )E L;,,,(R,RN*), alors T E L;,,,(R,RN). Si d e plus R est borné et C 1 , et si T E D'(R,RN) est telle que E ( T )E L1(R,RN2),alors T E L1(R,RN). Preuve du théorème 6.89 (voir aussi [42]). Pour montrer le théorème 6.89, on utilise la caractérisation suivante de LD(f2) : (6.90) V U t L1(R), u t LD(R) * V N E IRN, ( N . V ( U. u ) )E L'(f2). En effet l'implication est obtenue en prenant Inversement, si u E LD(R), alors : U ' O(N u ) = UzcYj7La,j ' N = e i , puis N = (ei + ej)/2. = (V2CXjELj(U), ce qui termine. Cette remarque étant faite, on introduit, a étant un vecteur donné, une solution de l'équation au sens des distributions : AE, (6.91) + V(divE,) = a&. On peut vérifier que E, ( c f exercice 6.4), défini par : convient et il est facile de voir que les dérivées de E, sont dans Lroc(RN) pour tout p < N / ( N - 1). On veut montrer que u E Lyot si I L est une distribution sur R telle que ~ ( 7 1 )E LP. Soit donc w un ouvert relativement compact de R,et ri tel que w B(O,2rl) c R. Soit aussi y E D(B(O,7])), égale à 1 dans un voisinage de O. Calculons la j-ième composante de (A V div)(yE,) : + A ( r E a j ) 8, ( div(yE,)) = yAE,, 2Vy . TE,, E,,Ay y?j div 2, + + + + + + + (ajy)(divECt) + ~ ( 3 , y )+ E. , = a160 <, + <,, où est une fonction de D ( B ( 0 , q ) )En . particulier le produit de convolution de I I ~avec est une fonction de C"(w B(0,q ) ) ,elle est donc dans V ( w ) pour tout p 6 CO. On montre que, pour tout a , on a a . u E L". Pour ce <, + CHAPITRE 6 . DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 332 faire, 011 convole l’égalité précédente avec ui.Cela donne, en simplifiant la notation E, en E 1 N N N d’où encore, en posant u$< = Cl N =2 uici : *&&E). E&) l<i,j<N Cette dernière fonction restreinte à w coïncide avec le produit 2 ( c p ~ i j ( u )*) ~ i j ( y E )où cp est une fonction de D(B(O,2rl) w ) qui vaut 1 sur w B(0,q).Puisque 2 ~ ( y EE) L P pour tout p < N / ( N - 1) et ( P E ( U ) E L1, on obtient que u appartient à LP(w) pour p < N / ( N - 1). On veut, à présent, montrer que u E Lp(R) lorsque Cl est C1 et borné. On utilise encore le recouvrement habituel de 0 et la partition de l’unité associée. On remarque qu’une dérivée du type dzui,élément de la diagonale de la matrice ( ~ i j ( u ) )appartient , à L1(R). Soit l’ouvert RI, no, pour k 3 1. I1 existe un indice i tel que la normale extérieure Û à la frontière dR n RI, vérifie presque partout la relation Û . ei # O. Alors, on peut écrire + + RnR, c {(zz?.~)15, E (31, étant un ouvert de RN-l et frontière étant définie par : al, o k , ak(fi)< I c i } , une fonction de classe c1 sur ok,la d o ri RI,= { ( f i , a k ( f i ) ) I 2%E o k } . Cela étant, le même calcul que celui fait dans la preuve du théorème 6.74 montre, en s’appuyant sur l’appartenance d u i / d ~ E i L1(R), que ui E L P ( Rn O k ) . Le niénie raisonnement s’applique à toute autre composante uj telle que j # a et telle que, presque partout sur ûR n R k , l’inégalité û . e3 # O soit réalisée. S’il n’en est pas ainsi, on a cependant presque partout i v . ( ( e i e j ) / f i ) # O. Cela suggère de se ramener à la fonction w telle que u = ui uj et & changer les variables de façon à pouvoir utiliser une dérivée de ‘u qui soit dans L1(R) (pour les détails, voir l’exercice 6.8). En lui appliquant le raisonnement fait précédemment, on obtient v E L p ( R f’ R k ) . Puisque w = ui uj et que ui E Lp(R n Rk), on en déduit alors + + + u,j E L p ( Rn o k ) . 6.7. ESPACES DE FONCTIONS À DÉFORMATION DANS L’ 333 Pour chaque composante ui,011 utilise la partition de l’unité pour déduire de ce qui précède qu’elle appartient à Lp(R), d’où, finalement, ‘u. E Lr’(R). 6.7.1. Résultats concernant les traces Théorème 6.92. Soit R un ouvert de IRN, de classe C1. Alors, il existe une application linéaire continue et surjective de LD(b2) sur L’(an, RN),qui cofncide avec 1 ’opérateur d e trace lorsque celui-ci est défiBi en u n sens classique, c’est-à-dire sur LD(R) n C(n,IRN)ou sur W1,1(f2,I R N ) . Preuve du théorème 6.92. Cette preuve reprend les arguments de P. Suquet [40], et aussi de R. Ternarri 1421. 0 On conimence par supposer que l’on est au voisinage d’un point du bord où il existe un système de coordonnées permettant d’écrire la frontière sous la fornie {zN = a,(&) 1 x’ E 0’)et que u est à support compact dans R, n R avec : Ri n R c {(z’,zN) I Z N > ai(z’), 2’ E O } , où 0‘ est un ouvert de IRNp1 et ai de classe C1 sur 0’.On démontre qu’au voisinage d’un tel point on peut définir une trace U N (d, ai(x’)).Le raisorinement habituel utilisant ensuite un recouvrement de R ct une partition de l’imité associée, permet, à partir de ce morceau, de construire la trace y o u ~ dans L1(8R). Pour ce faire, en rappelant que dNu, E L ~ ( R ) on , écrit, pour un couple ( a ,.y’) où O < a < ci!’,l’égalité : I” + a’) - uN(x’,az(2’) + a ) )= & J U N ( 2 ’ , az(x’)+ L/)dy. Posons, poiir alléger, g a ( d ) = ,uN(x’,a,(z’) + a ) . Par intégration sur I’hyuN(x’, a,(z’) persurface C = 3 R n Ri de ly, (6.93) JL. - gel 1, on obtient : a,(r’)+n’ 1gm - gall (z’)da 6 SS (31 IDN?LN(Z’, s)l IUN1I(X’, az(z’)dsdz’, a,(x‘)+a + où U N (d, ui(z’))= -]/Ji / / V U ~ ( est X ’ la ) /N-ièrrie ~ ~ composante du vecteur normal extérieur unité à dR au point (d, a , ( d ) ) . En utilisant les hypothèses sur Va, et en posant A, = {(d, T N ) E R I X N < ui(d) a , 2’ E O / } , on en déduit : + (6.94) 334 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES Puisque d ~ estudans ~ L1, le terme de droite dans (6.94) vérifie : I1 en résulte que {g,} est de Cauchy dans L1(C). Posons f3, = { ( z ’ , a i ( z ’ )+ A) I X E [O,a]}. Avec ce qui précède, la limite de { g o } , notée g, qui appartient à L1(C) = L’(do n ni) satisfait à : d’où : < 1 c lgmlda + Cl le I~Nw(~)I dz. En intégrant cette relation par rapport à cr sur [O,ao]où fonction du support compact de u,on obtient : a0 est majoré en Le premier terme à droite étant majoré par l l u ~ (c2) et le deuxième terme à droite, par ~ O I I ~ N U N I I L I ( $ ~ ) , on en déduit, pour la fonction g, notée you^, l’inégalité . < ((yOUN(/L1(dQ2nQt,) K((uh’((LD(iYdnnt), ce qui entraîne que l’application qui à U N associe g, laquelle est linéaire, est continue de LD(DR n R,) dans L’(do n O,). Ce raisonnement restera valable pour toute composante u,au voisinage d’un point du bord z tel que v , ( T ) # O. Si ut(.) = O, il existe J I différent de 2, tel que v,(z) # O. Alors (v,+ vJ)(x)# O et, par un argument déjà utilisé à la fin de la preuve du théorème 6.89, on définit par la méthode précédente la trace yo(u, u J )au voisinage de z et, puisque you, est définie, ceci fournit la trace de u,dans ce voisinage. Comme il a déjà été précisé, on construit la trace de chacune des composantes dans L’(do) et l’application trace est bien linéaire et continue. De phb, l’application trace yo de W19l(R,lRN) dans L1(dR,RN) étant surjective, l’inclusion IV1>’ (O, IR”) c BD(R, I R N ) fournit la surjectivité de l’application trace précédente. O + 6.7.2. Résultats d’injection continue Théorème 6.95. Soit R un ouvert lipschitzien d e IRN. Alors l’espace LD(R) s’injecte continûment dans LN/(Npl)(R,I R N ) , et donc aussi, pour tout q vérifiant q 6 N / ( N - i), dans LQ(R,RN). 6.7. ESPACES DE FONCTIONS À DÉFORMATION DANS L1 335 Preuve du théorème 6.95. O On commence par établir la propriété d'injection critique, à savoir l'inégalité I I U I I ~ N / ( N - I ) ( ~ , ~ N ) < C(l&(u)ll)pour des fonctions C" & support compact. Le résultat correspondant pour des fonctions de LD(R) en découlera par densité. Soit u E D ( n ,RN). On considère : En utilisant l'inégalité : I CzGN,3GN Q, ( u ~E, , ~ ( u ) I JOm < NI&(u)I,on a d'abord : + en ayant posé I , = ~&(u)(x scu)/ds. On considère mainteriarit les vecteurs h k = a-akek où k = 1 , 2 , . . . , N-1. Pour i # IC, on écrit : et, pour i = k : uk(x) = / O akuk(z + sek)ds. -02 On peut donc aussi écrire u a ( x ) ,pour IC donné daris { 1, . . . , N forme : O 1" ak&kk(u)(x + + sek)ds = Ik + - l}, sous la Jk. On considère la puissance Iu,(x) I1 faut montrer qu'elle appartient à L:oc. Pour cela, on comnience par écrire, à une constante niuitiplicative près, en utilisant la définition de I , donnée précédemment : 336 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES + En utilisant la formule lum(x)lN-’= n y p ’ ( I k J k ) et une inégalité c h sique sur des normes en dimension finie, on en déduit que I U ~ ( L ~ , ’ ) ~ ~ / ( ~ - ~ est majorée par une combinaison linéaire de fonctions de la forme expression oii H , désigne, soit une intégrale I,, soit une intégrale J,. Nous allons majorer chacun des termes d’un tel produit par une fonction de N - 1 variables, dans des situations où nolis pourrons appliquer le Icnime 2.40 du chapitre 2. L’exercice 6.20 relatif au cas N = 3, qui exhibe un changement de variables pour lequel ces produits sont des fonctions de deux variables, peut permettre de niieux motiver le lenime algébrique qui suit dans l’usage qui cri cst fait ensuite pour obtenir ces majorations. Énonçons et démontrons ce leninie dans le cas général : Lemme 6.96. O n considère les vecteurs cy = E,aiei avec les ai tous n o n nuls et, pour tout i E [l,N - 11, hi = CY - aiei. Soit aussi, pour chacun des indices i, le vecteur E, appartenant à, { h i , e i } . Alors, toute suite constituée de C Y , E l , E2,. . . EN-^ est une base de IRN. Preuve du lemme 6.96. 0 On corrimence par supposer que E, = h, pour tout i. Alors le déterniinarit du système formé par a , h l , h2 . . . h N - 1 est égal à a1 . . . CYNd e t ( J ) où J est le déterminant dont tous les éléments sont égaux f i 1 sauf ceux de la première surdiagonale qui sont nuls. Ce déterminant étant non nul, on en déduit le lemme dans ce cas. 0 Pour montrer le résultat dans les autres cas, on fait une preuve par récurrence sur la dimension de l’espace, l’initialisatiori en étant évidente. On utilise les vecteurs E et E, tels que : <Y=S+CYNeN et vi<N-2, E,:E+E,eN, avec E, = û N si E, = h, et E, = O si E, = e,. L’hypothèse de récurrence, utilisée dans l’espace [ e l ,e2, . . . , eN-11 de dimension N - 1, nous assure que les vecteurs 5, . . . , EN-^ en constituent une base (en effet, ils sont définis de la même façon que CY, E,, mais sans composante sur e ~ )Puisque . EN-^ E { h N p l , e N - l } , on obtient le résultat du lemme relatif à la dimension N en prouvant que l’une et l’autre des suites : El, sont des bases. ) DEFORMATION DANS 6.7. ESPACES DE FONCTIONS À Or, pour la première suite, soient A,, j E [O, N - LI 337 11, tels que : ce qui entraîne que : + Or1 en déduit A o a ~ A,E, = O ou encore, en désignant par A: ceux des A, pour lesquels E , sont non nuls, AOCVN X t a ~= O et, en conséquence, puisque Q N # O, la relation A O + C ~ - ~ A: = O. Lorsque E, # O, à savoir E, = h,, la composante de sur P N - ~est Q N - ~ ,donc le coefficient de e N - 1 dans le premier membre de (6.97), s’exprime par AN-^ + A ~ Q N - ~ X:CYN-~ et, par conséquent, se réduit à AN-^. En raison de cette remarque et de l’hypothèse de récurrence, l’identité à O du premier membre de (6.97) implique AN-^ = O, puis A0 et, pour tout i E [11N - 21, A, = O. + + Erp2 Dans le cas de la deuxième suite, puisque h N - 1 = E + U I N ~- N( ~ le second membre de (6.97) est remplacé par ~ - l e ~ - i . N-2 d’où + (6.98) N-2 A,* + AN-, O. 1 Le premier membre de (6.97) est remplacé par : (A, + AN-1)E - AN-1eN-1 + N-2 1 En tenant compte de l’égalité (6.98), la composante d’indice N - 1 de ce premier membre est - X N - ~ . On termine, comme dans le premier cas en utilisant alors l’hypothèse de recurrence. Le lemme est ainsi démontré. O Revenons à la preuve du théorème. On considère un produit I,H1 . . . H N où H, = JRN sE,)ds. Soit I, les composantes dans la base IE(u)/x + + E l , . . . EN-^, qui satisfont donc à x = E x,e, = [oc. <]EJ. Alors, en utilisant un changement de variable qui fait intervenir le déterminant du système de vecteurs Q , E l , . . . , E N , on prouve que H , ne dépend pas de la variable EL et on peut alors appliquer le lemme 2.40 du chapitre 2 qui nous assure que w, appartient à LlOc N I ( N - 1 ) (0). Q, 338 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES De plus, l’inégalité concernant les normes qui figure dans ce lemme, nous montre qu’il existe une constante C telle que l l ~ , l / L N , ~ N - i ~ CIIuIILD(c2). Finalement, cela étant vrai quel que soit cy, on en déduit que, pour les fonctions de D(R), l’inégalité d’injection continue est validée et, comme il est dit au début de la preuve, l’existence de l’injection continue est prouvée. < Pour avoir la régularité jusqu’au bord, on reprend les arguments déjà utilisés daris le théorème 6.74. Théorème 6.99. On suppose que R est un ouvert borné lipschitzien d e I t N . Les injections de LD(R) dans L”(R, IRN) p o u r p < N / N - 1 sont compactes. Preuve d u théorème 6.99. Pour voir que l’injection de LD(R) dans P ( R , IRN) est compacte pour p < N / ( N - 1), il suffit, compte tenu du théorème précédent et du lemme 2.82 du chapitre 2, de montrer qu’elle est compacte dans L1(R). Pour cela on utilise le critère de compacité dans le théorème 1.94. Soit { u n } une suite bornée de LD(R). On veut montrer l’assertion suivante : V E > 0, 3 6 > 0, 3 G compact, V n E N,V h , Ihl < inf (6,d(G,ûR))==+ La première inégalité de (6.100) est évidente, car un étant bornée par la propriété d’injection précédente daris LN/(Npl)(R),on a : et cette mesure peut être, par un choix convenable de G, rendue arbitrairement petite puisque R est borné. La deuxième assertion est un peu plus délicate à établir. Pour commencer, on peut laisser tomber l’indice n et supposer que u est à support compact dans R. I1 suffit pour cela, de remplacer u par pu, la fonction cp étant de classe C1, à support compact dans R valant 1 sur G. Soit cy un vecteur de IRN, de norme 1. 011montre que pour tout h assez petit V s E 10, I[’ 3 c > 0, Il%(û.. ). - uIIL1(n) < ~ l ~ l Ç l l ~ ( ~ ) I / ~ 1 ( ~ , ~ ~ ~ ) . On utilise le calcul fait dans le théorème 6.89. Soit E, définie dans la preuve de ce théorènie qui vérifie donc AE, + V(div(E,)) = a60 0.7. ESPACES DE FONCTIONS À DÉFORMATION DANS L’ 339 et soit y une fonction de D ( B ( 0 ,ri)). On rappelle le résultat trouvé dans le théorème 6.89, à savoir : Q ’ u - u’k< = 2 EtJ (IL) * E t g (y&). 1<2,~<N < formule dans laquelle est une fonction régulière à support compact dans RN.On en déduit, puisque la translation commute à la convolution : Th(c!‘ u)- u = 2 C E , g ( T h ( y E a )- (YELY)) *Ey(U) + (ThC - <)*’7L. 22 < Afin de poursuivre, d’une part, on a I ( T ~ < - <)Tu1 Clhl et, d’autre part, on remarque que E , (~E a )est une fonction positivement homogène de degré 1 - N , ce qui permet de lui appliquer le lemme : Lemme 6.102. Soit f une fonction définie sur RN,à valeurs dans R,positivement homogènx de de,@ 1- N et d e classe C1 hors d e O. Alors, pour tout s E [O, l [ il existe C telle que, pour tout h a i m / h < 1, on a : Preuiie du lemme . O On se ramène à montrer le résultat pour x de norme 1. En effet, supposons le résultat montré pour de tels s,et pour tout h. En utilisant l’homogénéité, on écrit : On souhaite donc montrer la propriété pour I>: de norme 1. Supposons lhl < 1/2. On utilise l’inégalité des accroissements finis au point 5 . Comme f est homogène de degré 1- N , son gradient est homogène de degri: - N , d’où : En utilisant Ihl < 1/2, on a CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 340 D'où : Eri conclusion, on obtient la formule annoncée : + Supposons rnairiteriant lhl 3 1/2 et 1x1 = 1. Ori a donc lhl/lx hl et, par l'homogénéité If(x)l 6 I x I ' - ~ s u p I u I /f(y)l. ~i On en déduit : car h 3 1/2 irnpliquc 3 1/3 < O (3/1~1)-" 1. On revient à la preuve du tliéorènie eri appliquant la formule précederite aux &,(E,). En tenant compte de toutes les cornposantes et de la présericc di1 facteur y, on p u t &-rire, ail ternic concernant pres : < ou encore Le théorème de Hausdorff-Young ( c f . appendice du chapitre 4) entraîne que, puisque .c H y ( ~ ) l z l - ~ + 'appartient -~ à L~ pour k < N / ( N - i s ) , pour k = 1 dans la situation présente, le produit de convolution {yl/j.clN-'+" ( / T ~ & ( u )I E /( U ) ~ ) } est dans L k ( G ) pour les mêrnc valeurs de IC, avec la niajoration. pour k = 1 : + + * On déduit de cela que : ll7h(Q ).' 6 -~l.?~llT,l(G) C/fIlsl€(u)lL1(C2). pour tout s < 1, ce qui termine, en revenant à la fonction vectorielle u,la dérrionstratiori de la compacité de l'injection de LD(R) daris L1(R) et donc O dans tous les Lp(R) tels que I < p < N / ( N - 1). 6.8. L’ESPACE DES FONCTIONS À DÉFORMATIONSMESURES 341 6.8. L’espace des fonctions à déformations mesures On définit maintenant, pour R un ouvert borné ou non de RN : B D ( 0 ) = {u E L1(R,RN) I b’i’j E [ l , N ] ,E , ~ ( u ) E M’(f2)) ( B D ( R )signifie << à déformations bornées )) .) En définissant la serni-norme J, I4u)I Par on voit qu’on peut munir l’espace BD de la norme : qui en fait un espace de Banach. 6.8.1. Résultats de régularité et de densité Théorème 6.203. Soit T E D’(62,1RN) tel que, pour tout ( i , j ) E [1,NI2, ~ i j ( TE) M’(62), alors T E BDl,,(R). Si,en outre, R est un ouvert borné de classe C’, alors T E BD(R). La dénioristration de ce théorème se fait de la niêrrie façon que pour LD(62) (en adaptant bien sûr). Elle est laissée au lecteur. Théorème 6.204. L’espace C m ( 0 ) n W’i’(R) est dense pour la topologie étroate dans B D ( R ) , ce qua signiJe : ‘duE BD(R), 3 {un}c W’,’(R) n Cm(R), u,,-7’ u dans L1 (O), ~ ( u , ,3 ) E ( U ) vaguement dans M ’ ( f 2 ) s, I4un)l + s, I4u)I. Preuve du théorème 6.104. Nous utilisons toujours l’approximation par l’intérieur dii théorème 6.56 et ses notations. On impose en outre que : O 342 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES On définit alors 00 O I1 est facile de vérifier, ce qui termine, que : - Corollaire 6.105. Soit R u n ouiiert lipschitzien de R N . Alors, on a N YP< N-1’ BD(R) LP(s2)’ et l’injection est compacte pour p < N / ( N - 1) si R est borné. Preuve du corollaire 6.105. O Soit u E BD(R) et ( u n )comme dans le théorème 6.104, alors il existe une constante C > O ne dépendant que de R telle que En particulier la suite {u,}, étant bornée daris LD(R), est bornée aussi dans LP(R) pour tout p N / ( N - 1). On peut donc extraire de { u n } une sous-suite qui converge faiblemerit dans L P , ( p > 1). Conirne d’autre part, { u n }converge vers u dans L1’ la semi-continuité inférieure de la norme dans Lp(R) nous fournit : < I14lp < n-cc lim IlunllP < n-cc lim C(IIunll1+ I l E ( % l l l ) + ll4~)lll)’ =~ ( l l ~ I l 1 et donc u t D’(a).Pour voir que l’injection est compacte dans L1(R) (par exemple) lorsque R est borné, on montre l’inégalité, valable pour G G R et h > O tel que G B(0,h ) c R : + où s est un réel dans [O, l [ que l’on obtient en utilisant l’analogue de cette inégalité pour les fonctions de LD(R) airisi que le théorème de densité précédent . O L’inégalité de K o r n ( c f . remarque à la suite de la définition 6.78) est fausse aussi dans BD(R). En d’autres ternies : Théorème 6.106. B V ( R , RN) # BD(R). 6 . 8 . L’ESPACE DES FONCTIONS À DÉFORMATIONS MESURES 343 Preuve du théorème 6.106. 0 Supposons par l’absurde que B V ( R , R N ) = BD(R). Alors par le théorème de l’image ouverte il existerait une constante C > O telle que, pour tout u dans B V ( R , R N ) , (6.107) Soit u E LD(R), u $ W’>’(O), et soit ( u n )E cmnm(n)qui converge vers u dans L D ( f l ) .Alors l’inégalité précédente appliquée à (up- u q )impliquerait que ( u p )est de Cauchy dans W1,’(R), donc convergente dans cet espace. Or ( u n )converge vers u dans LI. Par unicité de la limite, on obtient que u E W’>’(R),ce qui constitue une contradiction. o 6.8.2. Résultats sur les traces Théorème 6.108. Soit R un ouvert de RN d e classe Cl. Il existe une application linéaire et surjective d e BD(R) sur L’(an), cofncidant avec l’application trace sur W’,’ ( O ) précédemment définie. Remarque 6.109. Cette application trace n’est pas continue pour la topologie faible. Preuve du théorème 6.108. 0 On suit les arguments utilisés dans le cas de LD(R). On cornnience par montrer l’existence d’une trace pour U N , au voisinage d’un point du bord où il existe un système de coordonnées permettant d’écrire R n Ri c { ( z ’ , x N ) I X’ E 0, X N > u~(x’)}, d o n Ri = {(d, a i ( d ) ) 1 X’ E a ’ } , avec O’ un ouvert de IRNp1 et ai est une fonction de classe C1 sur 0’. On peut en outre supposer que U N est à support compact dans anni. Soit a tel que JE, I ~ N ? L N ~ = O, c’est-à-dire tel que Û N u N ne charge pas l’hypersurface C a = {(d, u(z’) a ) I 2’ E 0’). On écrit ensuite, pour a et a’ ainsi choisis, avec a < a’ : + Par intégration sur C = { ( d , u ( d ) , dE O } ,et en notant ga la fonction g a ( d ) = U N ( Z ’ , a ( d ) a ) ,on obtient + CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS 344 avec VN A DÉRIVÉES MESURES (d,u(d)= ) - ( l + ( V ~ ( Z ' ) ( ~ ) -de ' / ~sorte , que : où A, = {(d, X N ) E R 1 Z N < a($') + a } . Lorsque a et a' tendent vers O, le terme de droite de cette inégalité tend vers O, puisque c'est l'intégrale d'une mesure bornée sur le complémentaire dans R n Ri, d'une suite de compacts A, qui tend vers R n Ri. On en déduit que { s a } est de Cauchy dans L1 (E). Soit y sa limite dans L' (E). Avec ce qui précède, on a d'où : et, en intégrant par rapport à Q E [O, (YO[ : + (dans les inégalités précédentes, a0 est tel que u ~ ( x ' , a ( x ' ) aO) = O). Lorsque v(x) . eN = O, on utilise encore i tel que vi(z) # O. Alors (vi V N ) ( I C ) # O, donc on peut définir IL% U N , et puisqu'on peut aussi O définir ui,U N est bien définie. + + Le lecteur peut aussi lire (401. On peut situer ici, à propos par exemple de BD(R), une remarque importante qui met en valeur la trace interne et la trace externe d'une fonction sur une hypersurface incluse dans R : Proposition 6.110. Supposons que R i et Ra soient deux ouverts de classe C1 de RN et que C soit une variété de dimensaon N-1 tels que R = RlüCUR2, _ _ - R I n 0 2 = 0,(11 n 0 2 = et tels que (1 soit l'intérieur de R I U R2. Alors, si u E BD(R) et sa u ~ (resp. , u-) sont les traces de u sur C en tant qu'élément de BD(R2), (resp. BD(R1))' on a, pour tout cp E D(R) : (Eij(4, P)= ( 4 4 PXn,) , +(Eij(4, PXn,) -b + u+n, upL2 - ( U T R I 2 où + ujni) n' désigne la normale extérieure sur C, dirigée de R i vers R2. ' 6.8. L’ESPACE DES FONCTIONS À DÉFORMATIONS MESURES 345 Preuve de la proposition 6.il O. O Soit u E BD(R), d’où u l n z E BD(R,). Soit cp E D(R). On applique d’abord la formule de Green à E , ~ ( u ) et à cp dans l’ouvert régulier 01, en observant que la trace se réduit à la trace sur C, c’est-à-dire u- et que la normale extérieure est ?; de composantes nt : De même, daris 0 2 , en teriant compte du fait que la trace sur la frontière de 802 se réduit, pour la fonction considérée à la trace sur C, à savoir u+ et que la riorniale extérieure qu’il convient d’utiliser est -2de composantes -ni : - J’c [ ( ~ z d + ( z o (+4 (ug)+(”’)(l”i)]cp(n:’)d”’. En additionnant ces deux dernières égalités et en utilisant la définition de la dérivée d’une distribution dans R , on obtient la formule annoncée. O Conime dans le cas de B V , 011 a un résultat de continuité de l’application trace pour la topologie intermédiaire : Théorème 6.111. Soit R un ouvert de RN de classe C1, et soit {u?,,}une suite de BD(R) qui converge étroitement vers u dans BD(R) au sens suivant : alors yo(un) + ~ O ( U ) dans L’(ûR). Preuve du théorème 6.1 11. O Soit C une constante telle que pour tout IIUilLlcan) ZL E BD(R) on ait 6 c (1141 + I E ( U ) I l ) . < Soit 0 0 un ensemble relativement compact de R tel que Sn% , IE(U)~ 77. Soit cp une fonction régulière, comprise entre O et 1, à support compact dans R et égale à 1 sur Ro.Soit aussi No tel que : et CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 346 (par la convergence étroite de I E ( ~ ~ ~ ) vers I IE(ZL)~). dR,l'intégrale Jan (yo(u, - u)I est majorée par Alors, puisque cpo = 1 sur : 6.9. Formules de Green généralisées On définit, avec une notation simplifiée, l'espace suivant : (6.112) W(div)(R) = {a E L"O(R,IRN)I d i v a E L N ( Q ) } On le munit de la norme (6.113) llallW(div)(Cl) = + /ldivffllLN(n). l/ff!lm On définit également l'espace (6.114) L(div)(R) = { a E L"O(R,E) 1 d i v a E LN(S1,IRN)}, où E désigne l'espace des tenseurs symétriques d'ordre 2 sur RN que l'on munit de la même norme (adaptée aux fonctions à valeurs dans I R N ) . On a la formule de Green généralisée (voir aussi l'exercice 3.6 du chapitre 3) : Théorème 6.115. Soit R un ouvert de classe C1. Il existe une application linéasire et continue de W(div)(R) dans L"(dR) qui à a associe a . 2 et qui est telle que la formule de Green généralisée : 0 a lieu pour tout u E W1,'(R) et a E W(div)(R) désigne la normale unitaire extérieure à 80). En outre, c . i n coincide avec la restriction au bord a . 2 lorsque a E C(a) n W(div)(R). Cette formule se prolonge aux fonctions de B V ( R ) au sens suivant : Théorème 6.116. Soient R un ouvert de classe C1 et ( u , a ) E B V ( R ) x W(div)(62). On considère la distribution, notée (Du. a ) , définlie par : V c p ~ D ( R , i l % ) , ((Vu.a),cp)= Alors ( V u . a ) est une mesure bornée sur R,absolument continue par rapport ù [Vu,/, qui coincide avec la définition habituelle d e V u . a lorsque u E W'>'(R) et a E W(div)(R). Plus précisément l V u . al < IlalloolVuI. Par ailleurs, la mesure V u s définie par (Vus. a ) = ( V u . a )- (Duac.a)est une mesure singulière qui vérifie I(vu' . a)I < I ( V Z L ) ~ I Ilalloo. 6.9. FORMULES DE GREEN GÉNÉRALISÉES 347 Enfin, la formule de Green suivante est obtenue. Si ( u , ( T E ) BV(R) x IY(div)(R) et si cp E C(0) nC1(f2), on a : ((vu. a),p) = - .h udivccp - b u a . ~p + j""uo.+ ri p. Preuve du théorème 6.11 5. O Soit (T E W(div)(f2). Par la surjectivité de l'application trace de W','(fl) sur L'(ail), il existe C > O possédant la propriété suivante. Quel que soit PI E L ' ( ~ R ) ,il existe v E W'>'(R) tel que ~ 1 i ) f = I v avec : IlVIIw1.1(n)6 cll~lILyan). (6.117) On définit une forme linéaire sur L1( 8 0 )de la façon suivante. Si v E L1(dR) et V comme précédemment, on pose : Vu E L1(3R), L,(v) = (T . VV + div(a)V Pour voir que cela ne dépend pas du choix de V, on doit montrer que si v = O sur 80, alors L,(u) = O. Pour ce faire, on utilise le fait que si 11 = O, on a V E Puisque R est de classe C', il existe une suite {Vn} de C:(R), qui converge vers V dans W1>'(R).Par définition de d i v a au sens des distributions, on a : b a . VV 7L + ./n div(u)V, = O, relation qui, par passage à la limite, dorine : Cette reniarque montre dans le rnêrrie temps la linéarité de L . En effet si v1 et 712 E L ' ( a n ) , soient VI et V2 dans W1,'(62) telles que V , v, sur df2. Soit aussi X E IR. Alors Vi XV2 est dans W1>'(R)et vaut 211 X u 2 sur dR. Puisque L,(vl A 7 4 peut s'écrire : + + + + qui vaut aussi L,(vl) XL,(va), on a obtenu la linéarité. La continuité résulte de la suite d'inégalités : llL(~I)ll G Ildm I W d z + ll~llN/(N-l)ll(1ivaIlN G CllVl/w'.'(n)( I l 4 c + Il d i V d N ) < C'll~llLl(an)(ll~llcc + II divflllN)> CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 348 lorsqu'on choisit V comme dans (6.117). Puisque L, est une forme linéaire continue sur L1(dR), il existe un élément, noté a . 2 dans L"(8R) telle que : O Preuve du théorème 6.116. O Soit l'application définie par : ./I Y ~ E D ( R ) , ((Vu.a),cp)=- u diva.9- .h ua.Vp. I1 est clair que cela définit une distribution. Soit { u n }une suite de W1,l(R) qui converge vers u au sens du théorème 6.56. Les termes - u, div a p (respectivement - J, una . ~ c p convergent ) vers - J , u div a p (respectivement - ua . Vp). En conséquence la distribution Vu,, . a converge dans D'(R) vers V u . a. D'autre part, on a (Vu, .a, p) = s,(Vu, . a ) p par la formule de Green et, puisque V u , E L1, on obtient : s, s, I(Vun . a,cp)l a IIVu,lI1 Ilallcc IlPllm et, par conséquent, la suite des distributions {Vu, . a } est bornée daris l'espace M ' ( 0 ) . Puisqu'elle converge dans D'(R) vers Vu.a, cette dernière distribution appartient iihf'(R) et vérifie pour toute p E C,(R) : n-oo n-cc En particulier, l'avant-dernière majoration fournit l'absolue continuité de V u . a par rapport à lVul (cf. définition 6.39 et proposition 6.42). Pour montrer la formule de Green, on utilise la formule de Green généralisée du théorème 6.115 pour { u n }où {un}E W ' > ' ( O )converge étroitenient vers u clans S V ( 0 ) .On a alors : Enfin, la suite { u n }converge vers u dans L1(dR) donc i - u )a n p ' - o. D'autre part, la suite {Vun . a } converge étroitement vers (Vu . a ) . En effet, puisqu'on a déjà la convergence vague, il suffit de vérifier que, E > O 6.9. FORMULES DE GREEN GÉNÉRALISÉES 349 étant doriné, il existe un compact K de R tel que pour tout n. LI\, IV%. CI < E. > O et K compact de R tel que pour tout 71, on a &\K lVu, ’ al 6 Ja\K l V u T L l 6 ‘llallm‘ JfL\K lVu,I 6 E > Finalement, la suite {Vu, . O} converge étroitement vers Vu . a et la Pour cela, soit E IalCXZ formule de Green est donc vérifiée. On veut, à présent, montrer que Vu” . a est une mesure singulière. Pour ce faire, 011 utilise la remarque qui suit le théorème d’approximation 6.56, et qui observe que la suite { u T Lpeut } être choisie telle que IVu, - VU)"'^ converge étroitement vers l(Vu)”l. D’autre part, la suite {(Vu, -Vuac) .a} converge vaguement, par construction, vers (Vu)” . a . Grâce à la sernicontinuité inférieure pour la topologie vague d’une intégrale sur un ouvert et grâce à la convergence vague de /Vu7L - VU)^'^ vers I(Vu)”I, on peut écrire, pour toute p E D(R) : . /(VUS O p ) ( < n-co lim 6 IL l (Vu7L - OudC) . op Ilallm lim IV& - VUâCIIpldz nicc l < lblIco 1 0 7 ~ I~~1l d z , ce qui entraîne l’inégalité au sens des mesures : ]Vu” .al 6 Ilallm l p u S l et termine ainsi la preuve (ci. proposition 6.42) du fait que absolument continue par rapport à \Vus1. Vu” . O est O Théorème 6.118. Sozt R un ouvert de IRN et soat ( u , a )E BD(R) x L(div)(62). Alors, a1 exaste une mesure, notée port ù I E ( u ) ~ , telle que : (E(.) : a ) , absolument contanue par rap- t ’ p ~ D ( f l , I R ) , ( ( ~ ( u ) : a ) , p=) - En outre cette mesure cofncide avec la fonction d e L’(a) définie par le produit ( ~ ( u: a) ) = ~ i j ( u ) a , lorsque j ( u ,0 ) E LD(s2) x L(div) et on a également : I(4U) : .)I G ll~llCXZl4u)l. 350 mesure qui vérifie LU CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES (E(.)’ : 0) = (E(u) : G ) - (E(u)”“ : a)l IE(4sI : 0) est une mesure singulière Il~lI~. Enfin, si R est d e classe C l , on a la formule d e Green, valable pour toute fonction ‘p E C(n)ncl(0). La preuve est analogue à celle du théorème précédent. 6.10. Fonctions de mesure Dans des problèmes modèles de la mécanique des matériaux ainsi que pour des problèmes issus du calcul des variations, on utilise des fonctioririelles J, f ( V u ) ,où f est une fonction convexe à croissance linéaire à l’infini. On en donne un exemple dans le chapitre 5, exemple qui traite du problème des surfaces minimales. Outre l’intérêt que peut présenter a priori l’étude générale de ces fonctions, on pourra justifier ici les techniques et les r e d tats qui ont été employées pour résoudre ce problème variationnel. Quelques préliminaires, notamment sur les fonctions conjuguées au sens de Fenchel, sont nécessaires. On pourra d’ailleurs consulter [15]et [16]. 6.10.1. Rappels de définitions et de propriétés Daris le cas général, les fonctions f considérées sont définies dans un espace de Banach X et prennent leurs valeurs dans B. Le domaine de f , noté domf est la partie de X définie par domf = {x E X 1 f ( x ) < +CO}. On dit que f est propre si son domaine est non vide et si, sur ce domaine, elle ne prend que des valeurs finies. Définition 6.119. Soit f une fonction définie sur un Banach X , & valeurs dans IR et de domaine non vide. La fonction conjuguée, notée f * , est définie sur le dual X * par : Proposition 6.120. Si f est convexe et propre, alors sa conjuguée est convexe, semi-continue inférieurement pour la topologie faible d e X et n e prend pas la valeur -00. On cite, sans démonstration, une autre proposition. 6.10. FONCTIONS DE MESURE 351 Proposition 6.121. Soit f convexe sur X de domaine n o n vide. Alors, les quatre propriétés suivantes, concernant u E dom f et y E X * , sont équivalentes : (1) Y E (2) (3) af(.), + f*(Y) 6 (u,Y), f ( u )+ f * ( v )= ( u , Y ) , S(U) (4) v x E x,f(.) 3 .( - ‘16, I/) + f(u). On définit aussi la biconjuguée de f par f * * = ( f * ) * an sujet de laquelle O11 a : Proposition 6.122. (1) Si f est coniiexe, alors en tout point x appartenant à l’intérieur de dom f , f est continue, sous-différentiable et f(x) = f**(x). ( 2 ) Si f est convexe sur RN et partout finie, alors, elle est sous différentiable partout et f = f * * . On trouvera des exemples de calcul de conjuguées et de biconjuguées dans l’ouvrage [14](voir aussi plus loin dans cette section et dans les exercices). Dans ce rnêrrie ouvrage, (ci. tliéorènie 6.2 de celui-ci) se trouve aussi démontré un résultat concernant la conjuguée d’une fonctionnelle sur l’espace L*(R) (pour p > l ) ,définie par une intégrale. Ce résultat est à mettre en relation avec la définition de fonction de mesure, l’argument fourni daris le préliminaire qui suit, donnant une version de ce résultat pour p = 1. Enfin, on définit la croissance linéaire à l’infini ct la fonction asymptote : DéJinition 6.123. Soit f définie sur RN,convexe et propre. Elle est dite à croissance linéaire à l’infini s’il existe des constantes c g > O et c1 > O telles que : (6.124) v x E RN, C”(1.I - 1) 6 f(.) 6 Cl(1.I + 1). Alors, la fonction fa, dite fonction asymptote de f , est définie par : La fonction fa est partout finie, convexe, et positivement homogène de degré 1. Par ailleurs, lorsque f est de croissance linéaire à l’infini, on montre que sa corijuguée f * a pour domaine un borné de L”(RN)qui est contenu dans la boule B(O,cl) et qui contient la boule B(O,cg).Si, de plus, f 3 O et f ( O ) = O, alors f * ( O ) = sup-f(x) = O et aussi f * 3 O. Notons que l’inégalité (6.124) entraîne aussi que u H f 0 u est continue de L’(RN,RN) dans L’(RiN),( c f . [9]). CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS 352 A DÉRIVÉES MESURES 6.10.2. Préliminaire à la définition On se propose de montrer, sur un exemple préliminaire, comment la définition de la corijuguée de f* peut s’adapter pour s’étendre aux mesures. Cette conjuguée étant, sous des conditions assez larges, égale à f , à savoir f = f**, on est amené A définir la fonction f(p), où p est une mesure, en utilisant la conjuguée f * . Pour fixer les idées, soit R un ouvert de RN et f convexe et positive, satisfaisant aux hypothèses de croissance linéaire avec f ( 0 ) = O. Soit la mesure u ( z ) d zoù u E L1(R, dz), dz étant la mesure de Lebesgue sur R. En utilisant la croissance linéaire, on voit que f O 7~ E L1(R, d z ) . En adaptant la définition de f * * , on considère la fonctionnelle f(udz)sur le cône des fonctions cp continues positives et à support compact dans R, définie par (f(udz), cp) SUP = wELffi(fl,doni f * ) { u(z)v(z)cp(z)dz- 1 f*(w)(z)cp(z)dz}. On veut, dans ce qui suit, montrer que, sous certaines hypothèses, cette fonctionnelle vérifie la relation : (6.125) ( f ( u d z ) ,cp) = .I(f O u)(z)cp(z)dz. Autrement dit, on veut prouver que f(udz)se prolonge en la mesure (f O u ) ( z ) d zqui a été définie précédemment. Outre les hypothèses faites sur f , qui impliquent d’ailleurs que dom f* est borné et que f*(O) = O, on supposera que f * est bornée sur son domaine. Preuve de la formule (6.125). 0 Commençons par prouver que : (6.126) .I f(u)(z)cp(z)dz 3 SUP vtlOD(Cl,domf*) { b u(z)v(z)cp(z)dz- JI, f*(w)(z)cp(4dz}. En effet, par définition de f*,on a : v x E R, vw E Loo, f(u)(z)3 u(x)w(z)- f*(v)(z) En multipliant par la fonction cp qui est positive et en intégrant sur R, on obtient l’inégalité (6.126). Montrons à présent l’inégalité inverse de (6.126). Soient E > O et u E L1(R, d z ) donnés. On considère une fonction simple w = W,XA,, où les Ai sont des ensembles disjoints universellement mesurables dont la réunion est égale à R. Comme il est dit ci-dessus, l’application u H f O u ci 6.10. FONCTIONS DE MESURE 353 est continue de L1 dans L1. Par conséquent, il existe urie fonction simple w telle que : (6.127) 6 E et II'U. - w/IL'(n,dz) Ilf('U.1 - f ( 4 / / L 1 ( R ) < E, la deuxième inégalité impliquant : ycp E II(~('u.) - < ~ ( ~ U ) ) P I I ~~ i~l c( p~l l)~ . Utilisons à présent la formule f = f * * , valable ici puisque f étant convexe sur RN y est continue (cf. [14]et proposition 6.122). I1 existe donc pour tout i un élément v, dans d o m f * tel que : (6.128) f ( ~ , 6) V,W, - f*(v,) + E . 2-z-1/lAzl. Par les hypothèses f ( O ) = O et f * ( O ) = O, on a f ( w ) = E, ~ ( w , ) x Aet, aussi f * ( v ) = E, f * ( v , ) x ~ ,D'autre . part, en effectuant le produit de fonctions sinides : Finalement, en multipliant (6.128) par enfin en intégrant sur 0, on obtient : ( P X A , ,en sommant ensuite sur z et En utilisant mairiteriarit les relations (6.127), on a : En tenant compte alors du fait que, f * étant bornée sur son domaine, on a la majoration Jn IvlIu - wlcpdz 6 ~ l ~ c pSUPzEdomf* l / ~ Iv(z)I,on arrive à l'inégalité inverse de (6.126) et à la fin de la preuve. O 6.10.3. Définition d'une propriétés fonction de mesure et premières Le calcul qui vient d'être fait suggère ainsi la définition générale suivante : Définition 6.129. Soit s1 un ouvert de RN.Soit f une fonction convexe de Rk dans R, à croissance linéaire à l'infini, telle que f ( O ) = O, f 3 O. Soit IL urie 354 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES mesure bornée à valeurs dans Rk.La fonction f ( p ) associe à toute fonction p positive appartenant à C,(R), le nombre : (6.130) ( f ( P ) ? c P )= {vEC,(R,dom f*)} Remarque 6.131. Dans cette définition, la borne supérieure est prise dans l'ensemble C,(O, dom f *). En fait, cette borne est la même quand elle est prise sur Lw(R, dom f *) ou même sur Li (O, p+dz). I1 en résulte que, lorsque p = udz où u E L1, la mesure f ( p ) est identique à ( f O u)dz. Ces égalités de bornes supérieures sur des ensembles différents sont étudiées dans l'exercice 6.5. Proposition 6.132. Soit R un ouvert de IRN. O n suppose que f est convexe, qu'elle vérifie (6.124) et que f * est bornée sur son domaine. Soit p une mesure sur O , alors f ( p ) est positivement homogène et additive. E n conséquence elle se prolonge en une mesure sur R. Cette mesure est absolument continue par rapport à lpl dx. Lorsque, de p h , p est une mesure bornée sur R, la mesure f ( p ) est bornée et la formule (6.130) se prolonge à des fonctions p E &(O). + Preuve de la proposition 6.132. La positive homogénéité est évidente. Montrons l'additivité. Soient E > O, une fonction pi positive appartenant à C,(R) pour i = 1 , 2 , et u E C,(O, dom f * ) tels que : Alors, le membre de droite est inférieur ou égal à (f(y),p l ) + ( f(LI), p2)+ E . Inversement, soient VI et wz dans C,(O,dom f * ) tels que : (f( P l ?cpd < (P, 'uZP2) - 1 R (f* O 'ut)% +E et soit 'u = E, v z p z / ( p,). ~ , Cette fonction est à valeurs dans dom f * car dom f * est convexe, et elle est continue. D'autre part, par la convexité de f * , on a : 6.10. FONCTIONS DE MESURE 355 On en déduit : ce qui termine la preuve de l’additivité. Le fait que f ( p ) soit absolument continue par rapport à (pl dx résulte de l’inégalité, valable pour tout w à valeurs dans le domaine de f *, laquelle est supposée bornée sur sori doniairie (cf. section 6.2, proposition 6.42) : + On suppose mainteriarit que p est une mesure bornée. I1 est clair, en utilisant le fait que f ( p ) est absolument continue par rapport à 1/11+dx, que f ( p ) est aussi bornée. On veut montrer que la formule définissant ( f ( p ) ,p) se prolonge aux fonctions ‘p continues et bornées. Soit $ positive, élément de C b ( 0 ) . Soit E > O et y E C c ( 0 ) , positive, telle que : (6.134) Soit aussi 11 E C,(0, doni f ” ) , tel que : J, f ( P ) P G .li,P P (6.136) - .1/1 f*(v)cp+ E . L’expression ( f ( p ) ,$1) est alors, grâce aux relations (6.134), (6.136), puis (6.135) et (6.133), inférieure à : h f b ) P+ E G b .h PW - <L P U d ) - f*(V)P + 2E Lf*(l:i. + < VCC, (R,dom sup J’ P , 4 f*) R s, - P4Cp J,1 - 4)- f*(v)+ J’ f*(71)(P - a2 + 3& Pour l’inégalité inverse, soit w E C,(0, dom f * ) tel que : $1 + 2 E 356 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES et soit cp = 1 sur supp71, à support compact dans j cl PU+ - j f*(U)+ = R 1 R PU49 - a.on a .1 f*(v)?k < (f(P.), cp+) < (f(PL),44, d’où l’inégalité inverse. On a ainsi montré que la formule définissant O ( f ( p ) ,p) se prolonge aux fonctions cp E C b (Q) . Remarque 6.137 (sur les hypothèses de la proposition 6.132). Lorsque f ne vérifie pas l’hypothèse f (O) = O, on peut s’assurer cependant de la validité de la formule de définition de f ( p ) (cf.exercices 6.15 et 6.16) en utilisant IC fait que f qui est définie sur Rk, convexe, partout finie, est alors sousdifférentiable partout (cf. 6.122) donc possède ainsi une minorante affine continue, à savoir ( c f . sous-section 5.2.2) f ( O ) (y, x) oii y est un élément pris dans af(O), lequel, comme il vient d’être dit, est non vide. Par exemple, dans le cas de la fonction utilisée dans le chapitre 5, au sujet des surfaces minimales, la fonction f , qui est définie par f ( z ) = vérifie f ( 0 ) = 1. Alors, on utilise la fonction g telle que g(x) = f (z) - 1. On peut vérifier les hypothèses de la formule de définition pour g et voir ensuite que la formule se prolonge à f . On pourra, à ce sujet, résoudre l’exercice 6.19. + Jw Le théorème suivant concerne la décomposition de Lebesgue de f ( p ) : + Théorème 6.138. Soit p = ydx ps la décomposition d e Lebesgue de p avec L1(R,dz)et ps singulière. O n suppose que f vérifie les hypothèses d e la proposition 6.132. Alors, la décomposition de Lebesgue d e f ( p ) s’écrit : g E f(P) = ( f 0 g ) d x + f m ( P S ) . Preuve du théorème 6.138. 0 On se reportera, pour la dCcomposition de Lebesgiie d’une mesure à la section 6.2 (cf. théorème 6.46). On commence par montrer que f ( p ) < (f O g)$x + f m ( p S ) .Ayant remarqué (cf. exercice 6.6) que f& = X d o r n f * , on a pour toute 7) E C,(O, dom f * ) et toute p >, O : 6.10. FONCTIONS DE MESURE 357 On a utilisé, en effet, dans les inégalités précédentes, d’une part la propriété de f ( g d x ) fournie par le préliminaire 6.10.2 et, d’autre part, la définition de f m ( p s ) assortie de la remarque sur ( f a ) * . Iriversenient, soient p 3 O, E et PI^ pour i = 1 , 2 dans C,(R, dom f * ) pour lesquels on a les deux inégalités suivantes : (6.140) Soit K un compact qui contient suppps, et R I un ouvert contenant K avec JfL, ( / g / 1)d.c < E , cette propriete étant une conséquence du fait que ps et dx sont étrangères. Soit aussi une fonction égale à 1 sur K à valeurs dans [O, 11, continue et à support compact dans RI.On définit PI = v2$+u1(1-$) et on pose D = pucpdx - J,, gv1 pdx - (ps, uzp). On montre qu’il existe C telle qiie ID1 6 CE. En effet, puisque (u- u2)$ = (1 c‘/)(ui - u2) est nulle sur le support de ps et puisque $ est nulle hors de RI,on a : + sR ~ ID1 = I/ / < Il~llm 9(?)2 - U I ) V ~ P l Cl 191 IV2 - v1ldx < CE. RI L’addition des deux inégalités (6.139) et (6.140) nous fournit alors, en teriarit compte de cette définition dc D et de la définition d’une c0njugui.e : <.h f(p)p + CE + 2 E + 2 sup dorr1(f* ) If*l .h $pdz ce qui termine la preuve. O Remarque 6.141. En fait, on peut montrer plus généralement que si p 1 et p2 sont deux mesures étrangères entre elles, on a aussi : fbui + P2) = f h l ) + f(P2). C’est cette propriété qui fait l’objet de l’exercice 6.17. 358 C H A P I T R E 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES En raison de son intervention daris le problème des surfaces minimales ( c f . chapitre 5)' nous choisissons d'illustrer la définition par l'exemple z H J W - 1 : Exemple 6.142. On se propose d'expliciter la formule de définition de la niesure p étant quelconque sur l'ouvert borné 0. La fonction g , définie sur JRk par g ( z ) = - 1 possède les propriétés requises, à savoir g ( 0 ) = O, g 3 O et g à croissance linéaire à l'infini. On a g* = f* 1. Quant à f * , conjuguée d'une fonction radiale, elle est, comme il est facile de s'en assurer, également radiale. Cela permet de se ramener à IR. Jm, Jw + Pour Iy/ > 1, la borne supérieure définissant f*(y) est +CO. Pour lyl = 1, cette borne supérieure est nulle. Pour IyI < 1, la dérivée de z H zy - d m s'annule pour zo = y/Ji-1J" et IC maximum est égal à f ( z 0 ) . On en déduit : ~ ~ ~ On constate airisi que d o m f * est borné et que les fonctions 9* et f* sont bornées et continues sur dom f *. On vérifie aussi g*(O) = O et g* O. La fonction g vérifie donc toutes les hypothèses de la proposition 6.132. De plus, la fonction asymptote de f ou de g est la fonction .c H Is/. Donc, si on écrit p = pac+ps,le théorème 6.138 permet d'écrire : > (Ji-tllz,P)= {JI, S 1 1 L 7j€cr(n,B(o,1)) ' U P d ( P )+ m P ( W } + (lPLsI,P). 6.10.4. Suites de mesures et résultats de densité O Kcommence ~ par montrer que, sous les hypothèses précédentes, l'application p H f ( p ) est s.c.i. pour la topologie de la convergence vague des mesures : Théorème 6.143. O n suppose que f est convexe et vérafie les hypothèses de la proposition 6.132. Sa ( p 7 L est ) une suite de mesures bornées sur un ouvert borné R de IRN, qui converge vaguement vers une mesure born,ée LL sur 0, alors il existe une sous-suite de ( f ( p n ) ) qua converge vaguement vers une mesure bornée v sur 0, avec : 6.10. FONCTIONS DE MESURE 359 Preuve du théorème 6.143. Puisque f ( p , ) est absolument continue par rapport à IpnI dx, la suite des intégrales J , f ( p n ) est bornée. On peut donc en extraire (cf. proposition 6.20) une sous-suite qui converge vaguement vers une mesure bornée v. I1 en résulte qu’il existe une suite o ( n )telle que, pour la convergence vague : + Pa(,) Soit alors E > O et cp - l i m f ( l k ( 7 L= ) ) v. I-1 et E C,(n), ‘p 3 0. Par définition de (f(p),cp), il existe w E C,(0, dom f * ) tel que : En utilisant la sci de l’intégrale sur un ouvert pour la topologie vague, le second membre est majoré par : 6 h ( f ( P o ( n ) ) c, p ) + E 6 (v,c p ) Ceci étant vrai pour tout E, la propriété est prouvée. +E. O Un autre résultat important est un résultat de densité des fonctions régulières pour une topologie intermédiaire entre la topologie de la norme et celle de la convergence vague, et qui s’apparente à celle de la convergence étroite. Ce résultat est le suivant : Théorème 6.144. Soient R un ouvert de R k , p une mesure appartenant ù M1(O,Rk) et f une fonction convexe, positive, vérifiant les hypothèses d e la proposition 6.132 et f ( 0 ) = O . Alors, il existe une suite {un}d’éléments d e P ( 0 )n W’>’(Q)telle que : En particulier, on en déduit que l’inégalité (6.124) se prolonge aux mesures, ù savoir c o ( l p - 1) < f ( p ) 6 cl(Ip1 1). + 360 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES Preuve du théorème 6.144. 0 On commence par montrer que, si 0 est continue à support compact dans R à valeurs dans [O, 11, on a, comme dans le cas où p est une fonction : f(0P) 6 0f(P). Soient cp une fonction positive dans C,(R) et II E C,(Cl,domf*). Puisque f * et cp sont positives et que O E [O, I], on peut écrire : ( P , @‘UP) - ll f*(’U)cp6 (WQ,cp) - JT, f*(’U)Ocpa ( O f ( P ) ,cp) On en déduit le résultat souhaité par passage à la borne supérieure en II. En particulier, si { O , } est une suite de fonctions continues à support compact, égales à 1 sur un compact K3 qui vérifie pour tout j , d(K,,BR) l/j, ce qui implique qu’elle converge vers In, alors la suite ( f ( 0 , p ) ) converge étroitement vers f ( p ) : en effet, puisque f(0,p) û,f(p) et que f (p)est une mesure bornée, la suite f(0,p) est bornée ; on peut en extraire une sous-suite (cf.proposition 6.20) qui converge vaguement vers une mesure positive et bornée v ; par le théorème précédent on a : < f(p) 6v = lim f(Q,p) 6 lim O,f(P) 3++m 6 f ( P ); comme on a aussi, par semi-continuité inférieure : on a la convergence étroite de f (Ojp) vers f ( p ) , c’est-à-dire la convergence dans (Cb(R2))’. 0 On suppose, à présent, que p est à support dans un compact fixe de RN, inclus dans R. Soit p une fonction, élément de D ( R N ) ,paire, positive et d’intégrale égaie à 1. On pose p E ( x )= i / P p ( z / & ) et u, = pE * p. On montre d’abord que : Cette inégalité (cf. théorème 6.2 dans [14]) provient des propriétés de f*. La formule étant également vraie pour p, dans ce qui suit, on désigne par p aussi bien p elle-même que p,. En posant d m t = pdt, mesure qui satisfait à dmt = 1 et en notant que, en raison de l’égalité f * (O) = O du fait que le domaine de f * est borné et que f * est bornée sur son domaine, la composée f *(II * p ) est sommable sur RN,l’inégalité de Jensen fournit, puisque f * est convexe et f * 3 O : SRN 6.10. FONCTIONS DE MESURE 361 En intégrant et en utilisant Fubini, on obtient la propriété annoncée : LN f * ( u * P)dZ 6 LNLN f*(U(t))P(Z - t)dt La définition de f ( p * p ) , où p * p E L1(RN),nous fournit : 1. * f(P Le nonibre 6 telle que : SUP P) = vEC, ( R N , d o m f * ) (J' RN * [ ( P Plu - f * ( 4dz) ] > O étant donné, il existe donc une fonction u C,(RN, dom f * ) En remarquant qu'en raison de la parité de p, on a : Or p est à support compact. Donc, en prenant cp = 1 sur un voisinage du support de p , on peut écrire, pour la variation totale de la mesure f ( p ) , l'inégalité : On en déduit SRNf ( p p ) 6 JRN f ( p ) + S et, finalement : O Nous allons maintenant, grâce à cette propriété, montrer qu'on peut choisir des suites {O,} et { E , } telles que la suite des intégrales f ( p E ,*û,p) converge vers f ( p ) . Pour cela, soit O, comme dans la première partie de la preuve et E, < d(supp O,, 8 0 ) . La suite de mesures positives f(p,, 0,p) étant bornée, on peut en extraire une sous-suite qui converge vaguement vers une mesure bornée u vérifiant : sn sn * f(P) < u = l i r n f ( P E , ( ) ) * R7(,)P) et dont les intégrales vérifient 362 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES {SC, On en déduit que la suite entière f (pEJ* Q j p ) }converge vers S , f (p). L’inégalité (6.124) étant vraie pour les fonctions pE3* I L se prolonge alors à la mesure p. O Corollaire 6.145. Soient 0 une fonction de C,(R), ù valeurs dans [O, 11, p une mesure de M l et p une fonction de V tels que suppp + supp(0p) c R. Alors, l’inégalité f ( p * O u ) < p* (Of(.)), qui est waie pour des fonctions u, se prolonge & la mesure p, à savoir : f ( P * OP) G P * ( û f ( P ) ) . Preuve du corollaire. O Er1 effet, soit (uj)dans CY(0) donnée par la première partie de la preuve précédente, telle que uj - P et f(uj) __I fb). L’inégalité ponctuelle rious donne : f(P*@j)) G P*(Of(uj)). D’autre part, la suite f ( u j ) étant convergente vaguement vers f(y), on en déduit par un argument simple que p * ( û f ( u j ) ) tend vaguement vers p * ( O f ( p ) ) .De mérrie, la suite {p*ûuj} converge vaguement vers p*ûp. Donc, en utilisant la propriété de semi-continuité inférieure du théorème Ci. 143, on obtient : f(P * (OP)) < l i m f ( p * ( 0 T L j ) ) G P * (Qf(P)). CI Le lecteur peut consulter [15]et I161 pour d’autres précisions et d’autres résultats concerriaiit les fonctions de mesures. 6.11. Exercices sur le chapitre 6 Exercice 6.1 (convergence vague et convergence étroite). Soit pn une suite de niesures positives qui converge vaguement vers p sur 62. Montrer qu’elle converge étroitement sur tout ouvert R I c cR tel que Jan, I L = O. Indications. D’abord, pTl converge aussi vaguement vers p sur RI et, R i étant un En effet, en désignant par F l’ensemble des p telles que p = 1 sur %, on a & p = suppEFJpp 3 limJFpn, d’où, alors : 6.11. EXERCICES SUR LE CHAPITRE G 363 Exercice 6.2 (caractérisation des distributions gradients). Soit T E D ' ( Q , R N ) .Montrer que si T = VS avec S E D', alors pour tout ( i , j ) E [l.N]', &Tj = ô ~ T i Établir . la réciproque. Er1 déduire que T = VS si et seulement si pour toute p E D ( a ,R N ) , telle que div p = O, alors (T,p) = O. Indications. Pour la réciproque, utiliser une récurrence (le cas N = 1 n'est rien d'autre que l'existence d'une primitive à une distribution). Pour la deuxième partie, considérer les fonctions de la forme p = ajve, d,ve, pour v E D ( 0 ) . ~ Exercice 6.3 (sur les parties absolument continue et singulière d'une suite Vun tendant vers Vu lorsque u E B V ( Q ) ) . On reprend les riotatioris du théorème 6.56. I1 s'agit de prouver que : où pac et ps désignent les parties absolument continue et singulière de la mesure p (se reporter à la section 6.2 pour les définitions et la décornposition de Lebesgue). On utilisera des inégalités de rriême type que (6.60) et (6.62). Idications. On écrit : P a r les inégalités d u type de celles employées dans la preuve du théorème, on obtieridra : Exercice [**I 6.4 (détermination de E, dans la preuve du théorème 6.89). Déterminer une solution de l'équation, prise au sens des distributions : (6.146) (A + V(div)) (EN) = aho. On utilise pour cela la solution élémentaire du laplacien, à savoir M telle que A M = 60.I1 s'agit de : si N = 2, (6.147) On montrera que : (6.148) 3a X Ea=-M--(a.VM) 4 4 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 364 est effectivement une solution de (6.146). En déduire la formule explicite : - lnr - x- Q.X 877 k N -+ k N Exercice [**I si N = 2, N 2 X(X.CV) ( 7 7 ) si N > 2. - 6.5 (comparaison de bornes supérieures dans la définition de f (PI). On se propose de justifier la remarque 6.131. Dans la formule donnant f ( p ) , les hypothèses étant celles de la proposition 6.132, on considère les bornes supérieures a , p, y de { ( p ,up) - Jn(f* O v ) p d z } lorsque, respectivenient, appartient à L 1 ( R , p + dz), LCO(R,domf*)et C,(R,domf*). Montrer que a 3 ?j 3 y. Montrer ensuite que a y. < Indications. Pour montrer que Q 6 y, on montrera qu'à w donnée dans L 1 ( C l , p d z ) , on peut associer une fonction g E D ( R , d o m f * ) telle que : + Exercice 6.6 (déterminationde la conjuguée de la fonction asymptote). Montrer que, si f satisfait aux hypothèses de la définition d'une fonction de mesure f ( p ) , on a f & = X d o m f ' ; . Indications. On se ramène à montrer que f m ( z )= supyEdom f * ( ( 2 ,y ) ) . En utilisant la définition d'une conjugube, ce qui fait intervenir dans la définition de f m ( z ) l'expression ( t z ,y) - !*(y) où y E dom f * , on montre que f X (z) 3 (z, y). Inversement, pour E donné, on peut trouver yt+ E dom f * tel que : f ( t z ) 6 ( t z ,Y t , E ) - f*(yt,c) + E. Exercice [*I 6.7 (propriétés des fonctions de L2(0)a divergence dans L2(0)). Soit R un ouvert de RN et X ( R ) = {u E L2(R,RN)1 d i v u E L 2 ( 0 ) } . (1) Montrer que X muni de la norme de Banach. II .I/x définie ci-dessous est un espace (2) On suppose que R est de classe C1. Montrer, en commençant par le cas où R = R N , que les fonctions n X(R) sont denses dans X(R). Dans le cas général, on pourra utiliser le procédé de la proposition 3.57 au chapitre 3. ( 3 ) On suppose toujours que R est de classe C1. Montrer qu'on peut définir une application trace, continue sur X ( Q ) , à valeurs dans H-112(dR) et telle que la forniule de Green suivante soit vraie : C1(a) ~ " ~ E H ~ (VR' ~) E, X ( R ) , + d i v ( a ) u = ( a . n,u). 6.11. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 6 365 Exercice 6.8 (détails de la démonstration dans le théorème 6.89). Dans la preuve du théorème 6.89, on raisonne dans l’ouvert R n Rk sur une composante u,de IL telie que Tf étant la normale unité extérieure, on a --f v, = v . e, # O presque partout le long de dR n Rk.Pour passer à une autre + composante u J ,l’argument reste le même si, presque partout, v . e3 # O. On suppose qu’il n’en est pas ainsi : (1) Prouver qu’alors, on a presque partout I I. (*) Jz # O, ce qui suggère de se ramener à la fonction u telle que u = IL, u J . (2) On change de base en y remplaçant le couple ( ? , , e J ) par ( ( e , e,)/&, (e, - e,)/&), les autres restant les e k initiaux pour IC # 1 ’ 3 . Montrer que la fonction O obtenue par ce changement de base appartient à LD(R). En revenant à l’argument de la preuve du théorème 6.89, en déduire que uJ E L” (0ri Rk ) . + + Exercice [**]6.9(fonctionsde W1>’(62) dont la hessienne est dans M1(R)). Soit R un ouvert de I R N . On définit l’espace : HB(R) = {u € L y R ) I V u E Pour IL Ll(R,IWN), VVIL E A P ( 0 , R N 2 ) } . E HB(R), on définit : E,, IP?31’<1 (1) Montrer que H B ( 0 ) est un espace de Banach lorsqu’il est niuni de la norme IIUIIHB(I2) = IluIIl + IlVuIIl f s, lVVul(z)dz. (2) Montrer que, si u E D’(f2) vérifie VVu E M’(R), alors u E HB1,,(R). Si, de plus, Cl est lipschitzieri et borné, montrer que I L E HB(R). Exercice 6.10 (suite de l’exercice précédent : application trace). Montrer que si R est de classe C2, on peut définir l’application trace : HB(R) + Wl’l(dR) x Ll(df2) u H( u , &L/3?if). On définit dans HB(R) la convergence faible un 2 u par Montrer que l’application trace n’est pas continue pour la topologie faible. Montrer que si on a : CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 366 alors : du inl%-ml + o. Exercice [*]6.11 (injections continues pour les espaces HB (R) précédents). (1) Montrer que si N 3 2, et si injections continues : R est un ouvert de classe C2, on a les HB(f2)Lf wl,NI(N-l) (RI. ( 2 ) On suppose que N = 2 . On veut montrer que HB(IR2) CJ Cb(IR2). Pour ce faire, on montre que, si ii est un élément de HB,à support compact dans IR2, alors la fonction V , définie par : est continue et que, de plus, elle est égale à 'u presque partout (on sera amené à voir que la mesure d2v/3z3y ne charge, ni les droites horizontales, ni les droites verticales). Exercice [*]6.12 (restrictionsd'une fonction de B V ( R ) dans O). Soient, cornnie dans la proposition 6.110, 01 et 0 2 deux ouverts de classe C1 de IRN et C une variété de dimension N - 1 tels que R = R i u C u Oz, 01 n 0 2 = 0, n R;! = E. Soit n' la normale extérieure à û ~ 2 Soit . u E B V ( 0 ) et les restrictions u, = T L I ~ ~ , , z = 1 , 2 . Montrer que u, E BV(R,), puis que, dan, étant la mesure de Dirac uniforme 5ur 801, on a l'égalité . Vu.= Vu,xn, + (YO(U2 - u1))n'dac2, 2=1,2 Montrer aussi que IVutIXn, + I(Yo(7La lVul = - ui))1dûn1. 2=1,2 Soit - ~ O E C(R, I R N ) . Montrer que, si o .V u = /Vu1 dans R alors : pour tout z E (1, 2}, pour tout z E: R,,O . V u , ( x ) = IVu,1(z), + et pour presque tout z E 301,C J . n (u2 - 111) = lu2 - u l i ( z ) . Montrer que cette propriété s'étend au cas où O E L", avec div(cl) E LN(R) en utilisant le sens donné à O . V u en tant que mesure. Exercice 6.13 (restrictions d'une fonction de BD(R) à des ouverts inclus dans 62). Soit R et R I , 0 2 comme dans l'exercice précédent. Soit u E BD(R). Montrer que la restriction a RI,de u , notée uk pour k 1 , 2 , appartient à 6.11. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 6 367 BD(b2k) et que : E&) = Ez3(%)Xnk + ((U2 - U1)JLJ + (u2 - ul),%))~sni. Soit (T E L"(0, E ) , où E désigne l'espace des matrices symétriques sur RN. On suppose que div(a) t L N ( R , R N ) .Montrer que, si u E BD(R), alors 0 4.) = X((TE(%))Xn, + X ( u 2 - ~l)zn3G$an1. z 13 Exercice [**I 6.14 (étude de l'espace X,,(O) = { u t Lp(R) pourp 3 2). On munit X,(O) de la norme naturelle IIui/x, = I I ~ L laquelle il est complet. I V"u E Lp(R)}, / +~ ~ ~ ~ V 7 pour rL~~~~p, (1) Montrer que l'espace D ( R N )est dense dans X,(RN). (2) Montrer l'inégalité, valable pour tout rn 3 2 et j 6 rn : (6.149) IlV34LP(RN) 1-31" 31" 6 CIIV""UllLP(,N) II~/ILp(,N). (3) Soit R un ouvert borné de classe C". Montrer que l'inégalité (6.149) entraîne la suivaritc : IIVJU/ILp(n)6 C ( I I 4 J+ llVmUIILp(62)). Indzcatzoris. (2) Utiliser, pour 6 (6.150) /l'pu - uIIp > O doriné, une fonction <6 et IIcpVrnu- VnLullp < 6. Prendre ensuite une fonction régularisante pE et poser que : (6.151) p E D ( R N )telle que : I/Vrn7~, - Om(pu)l/p< 6 et /lu, uE = pE - (p.)/Ip * (pu) de sorte < 6. On en déduira : llu, - (pu)IIx, < k6. En appliquant l'inégalité de Holder généralisée à l'intégrale JRN u, div(IVu,/"-'Vu,), on prouvera que : et, finalement l'inégalité (6.149) pour u,, j = 1 et m = 2 Montrer, en utilisant des passages à la limite que { V u e }est de Cauchy dans L p ( R N puis ) que sa limite dans cet espace est V u (Utiliser la convergence au srris des distributions). En faisant une récurrence sur m, on montre que : (6.152) V J 6 m, llV37Lll, 6 Cp,J,mlluU.lI;-J/rn lIV7nuII;~nL. On applique pour cela la formule de récurrence avec V u et J = m - 1, puis avec u et j = 1, d'où, pour certaines constantes, la majoration de D = IIVmullr,: D < C/lVul/p-('n-l)/rnI I Vm+1l L / I p"- 1)/- < cII 11 p' - 1 / m 11/711 /I Vrnu/I;I (1fL2 ) I I v-+i 11 p-1 ) / r n CHAPITRE 6 . DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES 368 Finalement : et, pour tout j < IIVmUIIP m - 1: < Cllullp1/ (7rLf 1 I I vm+ IIpnL/ ( m llVJu/I,< C112LI/P-J/mllV"2LIIp/nL ~ - 3 / ~ + 3 / ( ~ ~ + ~ ) ~ ~ ~ v ~ + 1 2 L ~ ~ ~ J ~ ) / j m ( m f l ) l 6 CII~llP < c~/?L~~;-J~(m+l) IIVm+l,,ll;y(m+i). Déduire de ces inégalités que V 3 u Eest de Cauchy dans L P ( R N )et converge vers V J u qui est donc un élément de LP(IWN).Toutes les inégalités précédentes se prolongent ainsi aux fonctions de X(IWN).En outre, les normes sont équivalentes (utiliser le théorème de l'image ouverte). Exercice 6.15 (exemple de fonction de mesure). Soit la mesure p telle que : (1) Montrer que p est une mesure bornée sur ]O, l[. (2) Soit f ( z )= &?Ti. Calculer f ( p ) . Exercice 6.16 (autre exemple de fonction de mesure). Soit f définie sur R2par f ( z 1 ,z 2 ) = J2zs z; z 1 2. Montrer que f est convexe et à croissance linéaire à l%ifini. Calculer f m . Soit p la mesure définie sur R par p = (zdz &,&). Montrer que : f ( p ) = f i b l d2x2 x 2 d z . + + + + + + + Exercice [*]6.17 (images par une fonction de deux mesures étrangères). Soit f une fonction convexe à croissance linéaire à l'infini, telle que f ( 0 )=O. Montrer que si p1 est une mesure étrangère à p2 (on note p1 Ip2) (cf. section 6.2, définition 6.43), alors f b l ) 1f b 2 ) Exercice [*] 6.18 (propriété de la composée d'une fonction convexe et d'un gradient). Soit f convexe à croissance linéaire, telle que f ( 0 ) = O, dont la conjuguée f * est bornée sur son domaine. Soit 0, 01, 0 2 et O comme dans la proposition 6.110 et les exercices 6.12, 6.13, et u E B V ( 0 ) . Montrer que : f ( V u )= f(Vu)xnl + f ( V u ) x n , + fm(u2 - 'Ill)bC. Exercice [*] 6.19 (fonction de mesure lorsque la fonction admet un sousdifférentiel non vide en O). Soit f une fonction convexe qui admet un sous différentiel non vide en O. Soit g = f ( z ) - f ( 0 ) - (z*,z) où x* E a f ( 0 ) . Montrer que domg* = 6.11. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 6 369 dom(f*) - a f ( 0 ) et que g*(II:) = f ( 0 ) + f*(II: + x*). En déduire la propriété suivante : si f est une fonction convexe, à croissance linéaire ii l’infini avec f* bornée sur son domaine et si p est une fonction 3 O daris C, (Cl), alors la formule ( f ( P ) ’ ‘p) = sup .I’ PUP - vEC, (C2.doIn f * ) $7 b f*(vb est encore valable. Montrer que : g ( p ) = f ( p ) - f ( 0 ) - L* . p. Exercice [*]6.20(détails pour N = 3 dans la preuve du théorème 6.95). On utilise les notations de la preuve du théorème 6.95 dans le cas N = 3. On pose cv = a l e l cyze2 a3e3 et on suppose que a, # O pour tout i E { 1 , 2 , 3 } . On commence par prouver le lemme 6.96 dans ce cas. + + (1) Soit le produit ImJ1J2. En utilisant les nouvelles composantes [z, &) de II: dans la base Q, e l , e 2 , montrer que : ([I, L 0 l<Y(z) = f(<1 + s1 = 6 2 , <:3)dS f: - f ( s , E21 En déduire qu’il existe wa E L2(R2)telle que lI,(x)1 6 w,([2,<3). Montrer que, de même : IJ~(II:)~ w2([1,[3) et IJ~(II:)I w1([1,&). En appliquant le lemme 2.40, montrer que waw2w1 E L’(EX3) et conclure ainsi à : 1,5152 E Ll(R3). (2) Montrer, en utilisant une autre base, qu’il en est de même pour un autre produit, par exemple pour I,Ii J2. En déduire enfin que toute combinaison linéaire de ces produits, chacun d’eux étant élevé à la puissance 1/2 est donc dans Lfic2(R3),ce qui termine, dans ce cas, la preuve du théorème 6.95 dans le cas N = 3. < < Indications. Par exemple, pour la première question 52(2) 52(11,12,<3) = En majorant par une intégrale L w2 f(<i,<’2 + : SjE3)ds sur R,on voit que = su 152(2)1 f(<lis,<3)ds. - 6 ~2([1,(3). Exercice 6.21 (combinaison linéaire de masses de Dirac). Soit Y une mesure positive qui vérifie la propriété suivante : il existe une constante C > O telle que pour tout A , ensemble mesurable, on a : ou bien Montrer qu’alors, masse 2 C. Y v ( A ) = O, ou bien v ( A ) 3 C. est une combinaison linéaire de masses de Dirac de 370 CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES Indications. Si v n’est pas identiquement nulle, soit z o E suppv. Supposons que O ; alors il existe une boule B ( z o , r )avec T > O tel que v ( B ( z 0 , r ) )= O. En effet, dans le cas contraire, il existerait une suite T , tendant vers O telle que v(B(z0,T,)) > O donc 3 C, ce qui entraînerait par la définition de la mesure d’un compact v ( { z o } )3 limv(B’(zo,r,))3 c. En conclusion, on a montré aussi que tout point est tel que p ( ( { z } )3 C ou bien est de mesure nulle. D’autre part, on a p ( B ( z 0 ,r ) ) 3 C pour tout T > O de sorte qu’en utilisant un ensemble infini dénombrable dans R ouvert de mesure finie pour v on obtiendrait que, pour tout N , v(z0)= E, p ( 0 ) 3 IL( z n ) 3 NC. Ceci entraîne qu’il ne peut exister qu’un nombre fini de masses de Dirac qui composent v si v est une mesure bornée. Exercice 6.22 (généralisation du précédent). Soient ,Y et v deux mesures positives sur I W ~ ”qui satisfont à la propriété suivante : il existe une constante C > O et des réels p et q vérifiant 1 6 p < q < CO, tels que, pour toute ‘p universellement mesurable, on a : Montrer qu’il existe un ensemble dénonibrable de points (z.i) dans une suite de réels vj tels que u3bzJ, avec u= p 3 3 RN et v:Iqbz7. 3 Indzcatzons. On remarque d’abord que l’hypothèse entraîne que v est absolument continue par rapport ii p , donc v = fp. Ensuite, par le théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym, il existe g E L’(EtN,v) et u une mesure étrangère à v telle que p zz gv + u. On se rarnèrie au cas où u = O et on définit vk par vk = g q / ( ” - ” ) l tzl d z ) < k } V = q ( z ) G k } p . Soit $ une fonction universellement mesurable et la fonction g p / ( 4 p pli.1 ) cp = g l / ( q p ” ) l g < k $ . Écrivons En prenant $ = X A on obtient que ce qui permet de conclure. vk satisfait les hypothèses de l’exercice 6.21, 6.11. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 6 371 Exercice 6.23 (applicationsdes exercices précédents). Soit p < N et p* = N p / ( N - p ) . Soit (u,) une suite qui converge dans W1,P(lRN) vers O faiblement. En utilisant pour cp E D ( R N ) l’inégalité de continuité : c(J’RN lcpumlp*)l’p* G I / ~ ( c p u w L ) / I P et en utilisant l’exercice précédent, après avoir extrait de u, une sous-suite, montrer que {lu, If’* } converge vaguement vers une combinaison linéaire de masses de Dirac u = E, ~ ~ 6 ,Montrer ~. aussi que : I V ~ , , / P- p , avec p CC~,P’~*S,,. 2 CHAPITRE 7 SUR L'INÉGALITÉ DE KORN DANS LP Ce dernier chapitre est consacré à une preuve du résultat, appelé l'inégalité d e Korn, déjà utilisé dans le chapitre 5, à savoir : si f l est un ouvert borné régulier, I C > O, VIL E W()l,P(61,PSN), pulp < C I € ( U ) l P , cette dernière majoration s'écrivant : Faisons une remarque préliniinaire. Lorsque, dans la littérature niathéniatique, l'inégalité de Korn est exposée, c'est en général dans le cas où p = 2 ; on pourra en particulier consulter sur le sujet les articles contenus dans [30], [31], [29], 1221, [34], 1201. Dans quelques ouvrages, il est juste mentionné, que le résultat s'étend aux cas où 1 < p < 00, des contre-exemples étant fournis pour p = 1 et p = 03. Les articles relatifs à ces inégalités concernent le cas p = 2 et cherchent à étendre le résultat à des classes d'ouverts assez généraux, par exemple des ouverts de classe C1 ou des ouverts possédant la propriété de cône, enfin à certains ouverts non bornés. Dans le cas p # 2, P. Ciarlet propose dans [lo] une preuve qui utilise des résultats de régularité des solutions d'équations elliptiques sur IV1>"assez difficiles, comme dans [2]. En raison du manque de dénionstrations simples concernant le cas p # 2, nous avons choisi de démontrer le résultat pour ces valeurs de p , l'ouvert R ét,ant borné de classe C 2 , sans donc nous préoccuper de généraliser à des ouverts moins réguliers, en utilisant des résultats d'analyse harmonique. Revenons à l'inégalité (7.1). Pour l'obtenir, on montrera la propriété : V T E D'(R), VT E Wp'~p'(R)+ T t LP'(C2), i 374 C H A P I T R E 7 . SUR L’INÉGALITÉD E KORN DANS L” laquelle peut être montrée, à partir de l’inégalité de Riesz, où C est Urie constante dépendant de N et p : par l’utilisation d’argiirnents de la théorie des distributions et par des caractérisations des images des opérateurs div et A sur l’espace S(RN). L’inégalité de Riesz précédente, qui majore des dérivées partielles mixtes à partir seulement de la serrii-norme du laplacien dans LP, se démontre notaninierit, grâce & la transforniatiori de Fourier appliquée à des opérateurs de convolution des fonctions de LP avec les noyaux de Riesz (opérateurs d e Rzesz). Une partie importante du chapitre est ainsi constituée par l’étude des fonctions maxiniales de Hardy et de Hilbert. conduisant aux propriétés des opérateurs de Riesz, étude préliminaire dont les arguments sont souvent ceux de l’ouvrage [39],ordorinés et adaptés en fonction de notre objectif. 7.1. Harmonicité. Moyennes. Fonction maximale de Hardy 7.1.1. Construction d’une fonction harmonique à l’aide du noyau de Poisson Le problème de Dirichlet homogène associé & l’operateur A sur R x ]O, +cm[ et ilne condition frontière définie par une fonction continue, admet une solution rkgulière. Ce qui suit permet d’expliciter cette solution. On reniarquera que, lorsque l’ouvert est une boule, une telle solution est définie par la formule donnée daris la remarque 5.72. Définition 7.2.Une fonction f , de classe C2 sur UII oiivert 62 de RN,est dite harmonique si : N v x E R‘ Af(z) = Ca,,f(.)= o. Dans le cas de N = 2, ces fonctions sont des parties réelles ou imaginaires de fonctions holomorphes. I1 en est ainsi de P , dite noyau d e Poisson, définie sur IR x ]O, +cm[par Soit f une fonction définie sur R.On cherche à prolonger f en une fonction sur R x ]O. +cm[ qui coïncide avec f sur R x {O}. et qui soit harmonique dans le denii-plan supérieur. Remarquons que, si on définit Py comme la fonction z H P ( J ,y). la propriété de dérivation en z de la convolée h = (f * P y ) , 7.1. HARMONICITÉ. MOYENNES. FONCTION MAXIMALE DE HARDY 375 jointe à la dérivation par rapport au paramètre g, donnent, formellement pour l’instant, Ah = O. Précisément : Proposition 7.3. Soit f E LP(R) et p tel que 1 6 p 6 définie par : vg > O, v2 E R u ( z ,y) = s, 00. Alors, la fonction u P ( 2 - t ,y ) f ( t ) d t appartient à L”(Rx I01 +m[) a7Ec 1 1 4 . 1 Y)llP 6 Ilf llP. E n outre, u est harmonique dans le demi-plan supérieur et : Si f est continue et bornée sur compact de R.(l) E%, la convergence est uniforme sur tout Remarque 7.4. Dans le cas de la seule appartenance de f à LP, il existe des régions où la convergence, lorsque y + O, de P ( . ,y) f vers f est uniforme. Plus précisément, soient 2 0 E R et u n réel CY > O. 011 désigne par ra(ro)le cône ouvert de sommet 20 E IR,iriclus dans R x ]O, +CO[, défini par : ra(T0) = { (x,Y) E x IO, $4I lz - Z O l / Y < cl.}. Cette région est un cône d’axe vertical, dont le sorriniet appartient à l’axe des abscisses et dorit le demi-angle au sommet est inférieur à 7r/2. Lorsque (x,g) teiid vers ( 2 0 , O) en restant dans un tel cône, la limite éventuelle de P ( . ,y) * f est qua1ifii.e de non tangentielle. On niontrera plus loin que, si 2 0 est un point de Lebesgue(2) de f , cette limite existe effectivement et que, de plus, cette convergence est uniforme dans le cône. Cette propriété nous sera utile dans l’étude de la transformation de Hilbert. La preuve de cette propriété fait l’objet de l’exercice 7.15 Preuve de la proposition 7.3. O Dans la démonstration, on utilisera deux propriétés importantes, à savoir la positivite de P dans le demi-plan supérieur et la relation .I,P ( 2 ,y)dx = 1 pour tout y > O. (‘1 Dans l’ouvrage cité [39], les résultats portent sur l’liarmonicité daris le denii-espace IWN x ]O, +Ca[. (’)Une fonction f localement intégrable d a n s d i t un poant d e Lebesgue de f si RN é t a n t donnée, un élément IC d e RN est : f(.r)i d t = O On niontre que l’erisemble d e ces points a un complémentaire d e mesure nulle. 376 CHAPITRE 7. SUR L'INÉGALITÉ D E KORN DANS L" (1) Pour établir la propriété d'harmonicité, on peut utiliser les dérivations ou encore se servir de la caractérisation des fonctions harmoniques par la propriété de moyenne (cf. exercice 7.3). Désignons la moyenne de f sur la boule B ( ( x , y ) , r )par M Z , Y , T (En f ) .utilisant la formule de Fubini et le fait que la fonction (x,y) H P ( x - t, y) est harmonique quel que soit t , on obtient pour tout y > O et tout r < y : f(')P(x - t, y ) d t = 4 5 , Y). La fonction u étant continue, cela établit que Au = O (cf. exercice 7.3). ( 2 ) Montrons, à présent, l'assertion concernant la convergence uniforme de Py* cp - cp vers O quand y O, sur un compact K de R2,ceci dans le cas où ip est continue et bornée. Soit E > O et soit 6 > O tel que 7r/2 - arctan(i/d) E et tel que, pour tout z E K , on ait : --f < Icp(z) - $4. dès que It1 - t)I 6E < 6. Alors pour y 6 62, on peut écrire : < ET + 21)cpJJ,(~ - G .( 2 arctan(S/y)) + 411cpllKJ)E, ce qui termine pour la convergence uniforme. (3) Montrons la propriété de convergence dans LP de I(Py*cp-cp((, lorsque cp E C,(R). On utilise l'expression qui est obtenue après un changement de variable. On utilisera ensuite la densité des fonctions de C,(R) dans L p ( R )et la propriété suivante, valable pour f dans LP : IlPY * fll, 6 ClIf llP. 7.1. HARMONICITÉ. MOYENNES. FONCTION MAXIMALE D E HARDY 377 Cette dernière inégalité est une conséquence de l’inégalité de Holder conjuguée avec la formule de Fubirii. En effet, à l’aide de (1 t 2 ) = (1 f t 2 ) q 1 + t 2 ) l l P ’ : + On suppose donc cp continue et à support compact. Soient E > O, et 6 < 1, tels que lx - x’( 6 entraîne en raison de l’unifornie continuité sur R : < En supposant que y < 1 et en notant D le voisinage d’ordre 6 du support de cp, de sorte que, si y l t l < 6 et 2 $ D , alors cp(z - yt) - p(x) = O, on obtient par des calculs semblables aux précédents : 6 ~ E ~ T ~dzI +~ 2c’ 1 / < C’EP + 4cIJ(pIlpL, (7r/2 IcplPdx {lYtl>6} - dt 1 + t2 arctan(d/y)), < ce qui termine la preuve en prenant, comme précédemment, y 6’. On suppose enfin que f E D’(Et).Soient E > O et cp E CJR) avec Ilf - PllP < E. Soit aussi, en utilisant les conditions précédentes, le nombre b tel que y 6 b2 entraîne l’inégalité : IlPy * cp - VllP < E. Alors : llG * f - fllp G IlPY * (f - cp)llP + I I P Y * cp - PllP + Ilcp - flip < ClIf - PIlp + E + E < CE, ce qui termine la preuve. O 378 CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L“ Proposition 7.5. Si u est définie comme précédemment avec f E LP(R), alors Iu(z,y)l < pour tout y > O. En particulier, la fonction u est bornée sur tout demi-plan {y 3 yo} où yo est choisi strictement positif. Preuve de la proposition 7.5. 0 On utilise, pour z fixé dans R,l’inégalité de Holder. Grâce au changement de variable t = yz, on a : Proposition 7.6. Soit u une fonction harmonique dans le demi-plan y > O , et bornée dans tout demi-espace {y 3 y o } o i i yo > O. Alors, pour tout couple (YI, yz) de nombres strictement positifs, o n a : 4 2 , Y1 + Y21 = s, u(x - t , !/l)P(t,y 2 ) d t . Preuve de la proposition 7.6. 0 Soit yo > O donné. Par hypothèse, la fonction (z,y) H u ( z , y ) = u(x,y + yo) est harmonique dans un voisinage du denli-plan supérieur {y 2 O} et bornée dans ce demi-plan supérieur. On désigne par u l , la fonction associée, comme il est dit dans la proposition 7.3, à la fonction t H u ( t , y o ) continue sur R,à savoir : v z E R,v y > O, q ( . , y) = S,P ( z - t , y ) u ( t ,yo)dt. Cette fonction est harmonique dans le demi-plan supérieur et se prolonge continûment sur la frontière {y = O} en la fonction t H u ( t , y o ) , ce qu’on traduit par l’égalité vl(x, O) = u ( x , yo). On va montrer que les fonctions u et u1 coïncident dans le derni-plan supérieur, ce qui prouvera l’égalité de la proposition 7.6. En effet, les deux fonctions PI et u1 sont harmoniques dans {y > O} et, puisque u l ( z , O) = v(z, O), elles coïncident sur {y = O}. En outre, elles sont bornées; cela résultant de l’hypothèse pour u et, pour y/], de la proposition 7.3, relative au cas p = 00 ou encore de la proposition 7.5, puisque la fonction t H u ( t , y o ) est dans Lc”(R). Un principe de symét,rie nous assure alors de la conclusion. Pour cela, on prolonge la différence d ( z , y ) = w(x,y) - u1 (rc, y) dans le demi-plan inférieur au moyen de la formule : v x E R,v y > O, d ( z , -y) = - d ( z , -y), ce qui implique, en raison de Ad(z, y) = - A d ( z , -y), que la fonction prolongée est harmonique dans R2 \ {y = O}. En outre, en prolongeant la 7.1. HARMONICITE. MOYENNES. FONCTION hlAXIhlALE DE HARDY 379 fonction a! par O sur {y = O}, on obtient une fonction continue dans R2. Dans cette situation, on montre, en utilisant par exemple la solution d’un problèrrie de Diriclilet daris line boule avec la donnée frontière continue au moyen du noyau de Poisson (cf. exercice 7.6) qiie cette fonction est kiarrnonique daris R2. Par ailleurs, la fonction prolongée d est bornée daris R2.On en déduit, ici dans le cas de la dimension 2, qu’elle est la partie réelle d‘une fonction entière (holomorphe dans le plan) et bornée, donc constante (théorème de Liouville). Par conséquent, w - zu1 est une constante et,, cornine elle O est riulle sur {y = O}, elle est riulle partout. Remarque 7.7. I1 faut, dans cet argument, souligner l’iniport,ance de la propriété d<: bornit,ndc. Puisque le domaine est non borné, on rie peut, eri effet, utiliser dans ce qui précède, la propriéte d’unicité d’un problème de Dirichlet. D’ailleurs, il est facile de construire des fonctions non nulles, harmoniques daris le plan et riulle sur l’axe des abscisses. 7.1.2. Fonction de réarrangement Définition 7.8. La fonction de réarrangernerit Xf de la fonction f est définie par : I1 est aisé de voir que la fonction Xf est décroissante et continue ii droite. Cette fonction nous sera utile daris l’étude des fonctions maximales qui va suivre. Pour l’instant, l’appartenance de f à L” nous donne : Proposition 7.9. Soit f E L1(RN).Alors, la fonction f appartient à L P ( R N ) si et seulem,ent si : JOms P - l X f ( s ) d s < m. Plus précisément, on a l’égalité : (7.10) Preuve de la proposition 7.9. O On commence par nioritrer la relation (7.10) daris le cas où f est simple. En considérant les parties positive et négative de f et en utilisant If1 = f + + f - , on voit qu’on peut supposer f 2 O et simple. Alors, f s’écrit n f =C(7XEJ1 3=1 avec c,+1 = O < c, < c,,-1 < . . . < cl, les ensembles E j étant rrieE [ l , n ] , on pose surables dans RN et deux à deux disjoints. Pour dJ = lEll . . . IE,I. La fonction Xf s’écrit (cf. exercice 1.23) : + + CHAPITRE 7. SUR L'INÉGALITÉ DE KORN DANS L p 380 Alors 0 On passe au cas général, pour lequel on peut supposer que f 3 O. Puisque f E L1(RN), il existe une suite croissante de fonctions simples { f n } avec f n f et llfn - fil1 O. En particulier, quitte à en extraire une soils-suite, la suite { f n } converge presque partout vers f . On a alors XfrL(s) Xf(s) et, comme d'autre part, la convergence presque partout entraîne que pour tout s,E ( s ) = { x 1 If(x)l > s} c h E , , ( s ) ,on en déduit Af,L(s). Finalement X f n (s) converge vers Xf(s) pour tout s. Xf(s) Supposons que S r ~ P - ~ X f ( s ) d<s +m. Alors, le théorème de convergence dominée nous donrie : < --f < < lm sp-'Xfr, -1 cc (s)ds sP-1Xf(S)dS. On peut également appliquer le théorème de convergence monotone A la suite {f,"}, ce qui fournit, en utilisant le résultat démontré pour les fonctions simples : En particulier, ceci entraîne que f E L P ( R N ) . Supposons, à présent que f E L p . La suite {fn} de fonctions simples peut être choisie telle que [ I f n - flip O. Une des relations précédentes implique alors la convergence de s p - l X f T L ( s ) d s et l'égalité (7.10). succ -f 7.1.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood Dans cette sous-section, on se donne f E L:,,(RN), on définit les moyennes de f sur les boules de RN par la formule (où T > O) : et on pose le problème de l'existence de la fonction maximale de HardyLittlewood (fonction MHL) : Définition 7.22. Soit f une fonction de L:,,(RN). La fonction maximale mf de f est la borne supérieure de toutes les moyennes sur les boules de centre x : 7.1. HARMONICITÉ. MOYENNES. FONCTION MAXIMALE DE HARDY 381 Etude de la fonction MHL lorsque f E L I . + Exemple 7.12. Soit f , définie sur IR par f ( t )= l / ( t 2 1). On étudie l’existence de rnf et son appartenance éventuelle à un espace Lp(R). Le changement de variable t = -7 montre que rnf est paire. Pour x = O, la fonction ‘r H (arctarir)/r étant décroissante, on obtient mf(O)= limT+o (arctanr)/r = 1. I1 reste donc à étudier, lorsque x > O, les moyennes définies par : u ( r ‘ x )= 2r. .1115‘& - arctari(x +r) - arctan(x - r.) 2r La fonction U ( r ,x) = -2ul,(r, x)r2 s’exprime par : U ( r ,x) = arctan(x + r ) - arctan(x Sa dérivée s’écrit, en posant a =x - r ) )- r ( (xf r1y + 1 + r. et b = x - + (x - r)2 + 1 ), r : En développant a(b2 + 1)2- b(a2 + 1 ) 2 ,011 voit que Ui(r,x) est du même signe que Ie trinôme T ( r 2 )où : T ( r 2 )= r4+ 2 ( 1 + x 2 ) r 2-3x4 - 2 x 2 + I + 1)(3z2 = r4 + 2 ( 1 +x2)r2 - ( x 2 - 1). + Or1 note que le discriminant de T(r.’) s’écrit A = 4z2(1 x2). Pour x # O, le trinôme admet donc deux racines distincks en la variable r2. De plus, lorsque II;’ < 1/2/3, ces deux solutions sont négatives, d’où la positivité du trinôme pour tout r et, lorsque :c 3 il&, une seille des dcux solutions précederitcs r: est positive, à savoir !rS(x)= -(I x 2 )+ 2 x J T T 7 . L’étude de u lorsque x < 1 / & est proposée dans l’exercice 7.4 dans lequel on montre, non seulement l’existence de la fonction rnf sur l’intervalle [O, 1/2/31, mais aussi l’égalité rnf = f dans cet intervalle. Dans le cas où z > l/a,la fonction T H U:.(r,x) est positive sur [ r . I , + 0 0 [ et négative sur ]O,rl[. Compte tenu de U ( 0 , z ) = O et de limT++caU(r.,x) = 7 r ; on en déduit l’existence de r.:!(x)> r.I(x) tel que U ( r 2 ( x ) , x )< O sur ] O , T ~ [et U ( r 2 ( x ) , x )> O sur [r2,+00[. Finalement, r H U ( T , x) prend sa borne supérieure pour r. = r2(x) et on conclut : + Y x > 1/&, r n f ( 2 )= u ( r 2 ( x ) , z ) . Dans l’exercice déjà cité 7.4, on montre également la continuité de la fonction m f dans l’intervalle Il/&, +m[ ; l’examen de l’appartenance de m f à un espace P ( R ) se réduit donc l’étude du comportement en +00 de r n f . Pour cela, on estime r2(z) au moyen des signes des deux nombres U ( z , x ) et U(22,x) lorsque x + +00. On a U ( x , x ) = arctan(2x) 2(4x2 2)/(4x2 1) qui tend vers -00 lorsque :E 4 $00 et U ( 2 x ,z) = + + CHAPITRE 7 . SUR L’INÉGALITÉDE K O R N DANS L” 382 + + + + arctan(3z) arctanz - 2z(10z2 2)/[(9z2 l)(z2 l)] qui tend vers 7r lorsque z + +CO. On en déduit que, lorsque z est grand positif, 011 a z < T Z ( ~< ) 2z. Revenons à m f ( z )= u ( r z ( z ) , z )Pour . z > 1/&, on a les estimations suivantes : inégalités desquelles il résulte l’encadrement : On en déduit que la fonction m f n’est pas sommable sur IR, mais que, en revanche, elle appartient à tous les P ( R ) pour tout p > 1. Exemple 7.13 (fonction MHL de la fonction caractéristique de [a,b]). 0 Si z E [a,b[ et si z-T et X+T appartiennent à [a,b], alors M f ( ~ ) ( = z )1, sinon M f ( z )< 1. On a donc m f ( z )= 1 pour tout z E ] a ,b[. 0 Si z = a ou b, la moyenne est, soit 1/2, soit < 1/2. Donc m f ( x )= 1/2. 0 Enfin, si z $ [a,b],par exemple z < a , les moyennes sont nulles si T < a - z, égales à (1/2r)(z T - u ) si a < z T < b et, enfin, égales à b - a/2r si T > b - 2 . On en déduit : m f ( z )= ( b - u)/[2(b - z)]. Pour z > b, OII obtient m f ( z )= ( b - u ) / 2 ( z - a ) . I1 en résulte, cette fois encore, mf E LP pour p > 1. + + Remarque 7.14. Pour définir une fonction MHL, on peut utiliser d’autres types de moyennes. Par exemple les moyennes sur des hypercubes ouverts à côtés parallèles aux axes de coordonnées à la place des moyennes sur des boules. Dans ce cas, on peut voir, d’une part, que les parties de RN où les deux fonctions maximales associées sont finies coïncident et, d’autre part, que chacune d’elles est majorée par une constante ne dépendant que de N multipliée par l’autre. En effet, il suffit d’utiliser le fait que la boule euclidienne de centre z et de rayon T est contenue dans un hypercube ouvert de centre z et d’arête 21- et contient un hypercube de centre 2 et de rayon ./fi. Grâce aux inégalités sur les intégrales de fonctions positives que l’on peut associer à ces deux types de domaines d’intégration, on obtient des encadrements, ce qui donne le résultat en passant aux bornes supérieures. Ainsi, dans le théorème qui suit, la fonction MHL peut être définie par les moyennes sur ces hypercubes. Théorème 7.15. Soit f E L1(RN). On pose : 7.1. HARMONICITÉ. MOYENNES. FONCTION MAXIMALE D E HARDY 383 Alors la mesure de Lebesgue de F5, c’est-à-dire la valeur prise a u point s par la fonction de réarrangement de rnf) vérifie : où c = c ( N ) )avec c = 2 N ,dans le cas des moyennes sur les hypercubes. En particulier, o n a m f ( x ) < cc pour presque tout x E I W ~ . Preuve du théorème 7.15. 0 En relation avec ce qui précède, on note C ( x ,r ) l’hypercube ouvert de centre x et de côté 2r. Soit donc, pour s > O, l’ensemble : Si cet ensemble est vide, la propriété à prouver est trivialement satisfaite. On suppose donc F, # 0.Soit S un compact de F,. Alors pour chaque x E S , ii existe r, > O tel que 1 / ( ( 2 r , ) ~Jc(,,TLj ) I f ( t ) l d t > s. Puisque f E L1 la fonction y H JC(y,TLl I f ( t ) l d t est continue, donc il existe une boule B, de centre x telle que, l’on a encore : Le compact S est recouvert par ces boules B,. I1 en existe donc un rionibre fini, Bz7 avec 1 z ri, qui recouvre S . On raisonne maintenant à partir des hypercubes C(x,,r T t )qui sont en nonibre fini. Dans ce qui suit, on note Ci l’hypcrcuhe de ceritrc O et de rayon r,.,de sorte qu’on a C ( x , ,r,,) = x, Ci et on supposera que la nuniérotation est telle que l’on ait les inclusions : < < + c: c c; c ” ’ c c;. D’autre part, pour tout y dans S , on pose : ce qui définit une application de S dans [l,n ] . Pour faciliter la conipréhension de l’argumentation ci-après, on peut se placer d’abord dans le cas N = 1, cornine il est proposé dans l’exercice 7.7. Cet exercice contient dans sa première question l’énoncé d’un résultat 7.78 dont la généralisation fait l’objet du lenirne qui suit, lequel sera utiIisé dans la preuve du théorème 7.15. Lemme 7.16. On se réfère à la situation précédente. Alors : (1) Il existe un ensemble fini de points { s j } i ~ tel ~ lque ~ l’enmmble S est inclus dans ulGjGrc{csj C ~ ( , , l )aucun t centre sJ d’un de ces hyperc,ubes n’appartenant à un hypercube d’indice différent de j . + 384 CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L” ( 2 ) Toute intersection de plus de 2N hypercubes pris parmi les CI((s,) et d’indices distincts deux à deux est vide. V, = s j + Preuve du lemme 7.16. 0 Pour ( l ) ,on choisit s1 dans S de façon que K(s1) 3 K ( s ) pour tout s, ce qui est possible puisque l’image de K est finie. On considère l’ensemble 5’1 = S \ {SI Ck<s,)}. Si cette différence d’ensembles est vide, alors 5’ c VI = s1 CI((sl)et la première partie du lemme est vérifiée avec k = 1, la deuxième partie du lemme étant alors trivialement vérifiée. Si cette différence est non vide, on choisit dans SI un point s2 tel que K ( s 2 ) 3 K ( s ) pour tout s E SI. Si Sz = 5’1 -Vz est vide, on obtient le lemme avec k = 2 en remarquant en outre que, en raison de l’inégalité T K ( ~6~ ) le centre s1 du premier hypercube ne peut appartenir au deuxième s2 Ck(sz). Cette construction peut se continuer à l’aide de cet algorithme. Le nombre de ses étapes est nécessairement fini. En effet, en raison de la propriété précédente des centres de ces hypercubes, la distance entre deux centres est supérieure à TO = mini{rz,). I1 en résulte que les boules de centaressj et de rayon r0/2 sont disjointes deux à deux. L’ensemble S étant borné ne peut contenir une infinité de telles boules, ce qui assiire la propriété énoncke, d’où la première affirmation du lemme. 0 Pour ( 2 ) , soit un point d’une intersection d’hypercubes Vj. On peut supposer que ce point est l’origine. On considère les 2 N quadrants de RN qui sont délimités par les hyperplans de coordonnées passant par ce point origine. Soit un tel quadrant Q. Alors, pour tout i , les coordonnées d’indice i de deux points quelconques de Q ont le même signe. Montrons que les centres de deux hypercubes de l’intersection ne peuvent appartenir au même quadrant. Pour fixer les idées, soient deux tels hypercubes notés sans indices pour simplifier C ( s ,a ) et C ( t ,b) avec a 3 b. Soient s; les coordonnées de s , et ti les coordonnées de t. On montre que l’on ne peut avoir pour tout i E [1,N ] l’égalité sign si = sign t i . Raisonnons par l’absurde en faisant l’hypothèse de ces relations avec, en outre, pour fixer les idées, si > O et ti > O. Alors, l’origine étant dans C ( s ,a ) , on a pour tout i l’inégalité si < a, on en déduit Isi - t i l < a pour tout i. Mais, par ailleurs, le point t doit être à l’extérieur de l’hypercube C ( s ,a),ce qui impose l’existence d’un indice j tel que ( s j - t j ( > a , ce qui contredit les inégalités précédentes. On en déduit que les centres des hypercubes intervenant dans l’intersection considérée O appartiennent à des quadrants différents, il y en a donc au plus 2 N . + + + Revenons à la démonstration du tliéorènie. La mesure de S est inférieure k à celle de la réunion des V,, donc inférieure à la somme des mesures Cl IV, I 7.1. HARMONICITE. MOYENNES. FONCTION MAXIMALE D E HARDY d'où, en raison de la définition des tion K : 385 V, à l'aide de la définition de l'applica- Soit la somme des fonctions caractéristiques des ensembles Vj . Cette somme ne peut prendre en un point s E S, la valeur m > 1 que si s appartient à l'intersection de m ensembles V,. Le nombre r n étant au plus égal à 2", il en résulte que X(V,) 6 2"x(u 4).Par conséquent : En conclusion : Remarque 7.27. On peut avoir plus siniplenient le résultat partiel suivant. On reprend des boules au lieu des hypercubes. On fait une Construction analogue de B(si,K ( s i ) ) .Alors sans passer par la propriété d'intersection vide de plus de 2" boules. En effet, par construction, pour i # j ce qui entraîne que 2N IFSI 6 slifll1: ce qui justifie la remarque. En conséquence : Pour presque tout z E EX, m f ( z )< CO. En effet, si on avait m f ( z )= +CO, le théorème serait applicable pour tout s, ce qui amènerait, par IFSI = CO, une contradiction. 386 CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L” On a vu, à l’aide des exemples que, lorsque f E L1, la fonction MHL m f n’appartenait pas nécessairenient à L’ . La situation est différente pour LP lorsque p > 1 Étude de la fonction MHL pour les fonctions de LP où p > 1. Notons d’abord une propriété qui nous permettra d’aboutir ensuite à une généralisation du théorème précédent : Proposition 7.18. On suppose p 3 1. Soit f E LP(RN).Désignons par f “ la fonction : Alors, cette fonction f ” appartient à L ’ ( R N ) ce qui termine. O Cette propriété va permettre de généraliser le théorème 7.15 aux fonctions de L p ( R N )lorsque p > 1 : Théorème 7.19. Soit f t LP(RN)où o n suppose que p > 1. Alors on a, pour presque tout x , m f ( x )< $03. E n outre, il existe une constante c ( p , N ) telle que : Q f E LP(RN), llmfllp < c ( p , N ) I l fIlP. Preuve du théorème 7.19. 0 Soit f t LP(RN).Désignons les fonctions de réarrangement de m f et de m f s par X et A“ respectivement. En définissant f s par f s = f f ” , la sous-additivité (évidente par la définition à l’aide d’une borne supérieure) de f H m f nous fournit m f < 7 n f s m f s .Puisque / f s l est bornée par s , on en déduit que c’est un élément de Loo. De plus, comme les moyennes de f s sont 6 s, on en déduit que mf,s6 s. La fonction f s étant dans L1, l’inégalité précédente apporte la finitude presque partout de r r i f . 0 Montrons maintenant que X(2s) < X”(s). Pour cela, on pose E f ( s ) = {x I imf(z)I > s } et on conipare les mesures de Ef(2.5) et E f s ( s ) .Si x t E f ( 2 s ) ,on a 2s < I m f ( x ) (< m f s ( x ) m f s ( x )ce , qui entraîne, puisque ~ + + 7.1. HARMONICITÉ. MOYENNES. FONCTION M A X I M A L E D E HARDY 387 < r n f 9 ( z ) s, que mf5(.c)> s. On en déduit l’appartenance z E E f $ ( s )Par . conséquent E f ( 2 s )c E f -(s),ce qui entraîne : < X(2s) A5(5). On applique ensuite la relation (7.10) de la proposition 7.9 à la fonction 7 r h f et à sa fonction de réarrangenient A, la valeur commune des deux membres étant, a priori, finie ou infinie. En utilisant dans cette relation la variable d’intégration 2s, en appliquant le théoreme 7.15 à la fonction f ” (cf. proposition 7.18) et enfin la propriété de Fubirii, on a : Finalement, cette égalité implique que rrif E L p ( R N )et prouve l’assertion du théorème. O Urie application importante de cette propriété concerne la convolution d’une fonction de L p avcc une fonction radiale : Corollaire 7.20. Soit cp E L1(RN), telle que p(t) = cp*(/tl)OU p* est m e fonction positive et dkroissante sur [O, +ea[.On pose p E ( t )= ~ - ~ p ( t / ~ ) . Alors, pour tout f t L p ( R N ) ,on a, pour presque tout x E RN : suPlf*PEl(z) E 1 0 G ~ ~ f ( x ) l l P l6l l~ llfll~ll~lll~ Preuve du corollaire 7.20. 0 On peut supposer f 3 O. On commence par prouver la propriété lorsque cp* est une coriihinaisori linéaire de fonctions caractéristiques d’ixitervalles sur R+,à savoir p* = n k x ( [ t k , t k + l ] ) , la suite { t k } étant stricternerit croissante et t o = O. On peut écrire puisque { a k } est décroissante et positive : m O où les bk sont obtenus par les relation bk = al, - U k + 1 , a,, = bm et sorit donc 3 O. On en déduit que, puisque p est radiale cp = c bkXB(O,tk+,). k CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITE DE KORN DANS L” 388 Posons xk * = X B ( O , t k ) .La convolée E - ~ x ~ + ~ ( z / E ) f s’écrit s,,Et,+, f(. Le volume de la boule unité étant rioté - WN, t)dt. on a : m On en déduit l’inégalité annoncée pour les fonctions simples. O Supposons y* quelconque decroissante, sur IR+ et positive. Si p(t) = p*(It/)est dans L1 et si {pi} est une suite de fonctions simples décroissantes qui converge vers p avec cpl, p* qui converge presque partout vers p*,IC théorème de convergence dominée entraîne que : < /cp*(lt/)- PXtl)l ItlN-ldt - 0. On a, par la première partie du raisonnement : sup lf*P=,nJ G ~ / / f l l ~ l / ~ n l l l ~ Puisque ( P ~ converge, , ~ ~ à E fixé, vers ph dans L1 et aussi presque partout, f * pE,nconverge dans LP vers f vE.En particulier, quitte A extraire une SOUS-suite,f * ( P ~ , ~ + ~ ( j’z )* p=(.) pour presque tout T . On en deduit que, pour presque tout 2 et pour E > O, on a : lf*P-(.)/ 6 h I f * P E , n ( 4 G Cllfllplinl IlPnlll = d’où le résultat par passage à la borne supérieiirc en de droite ne dépend pas de E . E CllfllPll~lll~ puisque le rnenibre O < Exemple 7.21. Soit, pour y > O et 1 < p CO, la convolée étudiée dans la proposition 7.3 u ( . , y ) = f * P ( . , y ) ,où f E L p ( I R ) . Alors, on a,pour presque tout 5 dans R : 14J’Y)I mf(.) < +m. I1 suffit d’appliquer ce qui précède à la fonction p définie par p(x) = < 1/(1Xl2 + 1). 7.2. Transformation de Hilbert dans R 7.2.1. Préliminaires à la définition Considérons d’abord, lorsque f E Lp(R), où 1 6 p + < +cm,la convolée f * g l / , où 7rgy(t) = t / ( t 2 y’). Comme cette dernière fonction appartient à 7.2. TRANSFORMATION DE HILBERT DANS R 389 Lq(R) quel que soit q > 1, on en déduit que la convolée précédente existe presque partout sur R.Lorsque p = 1, on utilise q = 00. Lorsque p > 1, on peut choisir q tel que q < p / ( 2 p - 1)’d’où il résulte alors que f A g y E L‘(R) (cf. corollaire 4.60) pour un r&l r > 1 tel que l / r = l / p l / q - 1. Lorsque y 40, la fonction gy converge, en dehors de t = O, vers la fonction t H l / t , laquelle n’appartient à aucun L”. Cependant la distribution associée à gy converge vers la distribution (( valeur principale >> qui a été définie au chapitre 1. Or1 est ainsi amené à conjecturer que la limite de f * gy est la distribution, ou la fonction, Vp( l / t ) * f . C’est cette convolution que l’on appelle classiquement la trarisforniée de Hilbert de la fonction f . Elle va se géneraliser (voir plus loin) en les transformations de Riesz pour les dimensions N 3 2 . + 7.2.2. Compléments sur la convolution et la transformation de Fourier Soit une distribution temperée T et une fonction cp de S . Leur convolution peut rentrer dans le cadre d’une convolution généralisée ( c f . la G-convolution [13]). Mais pour faciliter son utilisation au lecteur. on fournit ici quelques développenicnts, plus adaptés aux cas qui vont être étudiés. Proposition 7.22. Soient T E S’(R”) et cp E S ( R N ) .Alors, la convolée T*cp existe et c’est une fonction f de classe C” et ù croissance lente définie par : où @ est la fonction t H cp(-t). E n o u h e , o n a : Preuve de la proposition 7.22. O On adniet (cf. exercice 7.8) que la fonction f définie dans l’énoncé possède bien les propriétés indiquées. Elle s’identifie donc à une distribution ternpSrée. Vérifions l’égalité T * p = [ f ] . D’abord A = ( [ f ] , $ ) est bien défini pour 4)E D ( R N )par l’intégrale du produit. Pour montrer que la définition générale à l’aide du produit tensoriel est satisfaite, nous allons consitiiirer $ comme une distribution (à support CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L“ 390 compact) et nous utilisons la commutativité du produit tensoriel : = (T[t]@ [Vl,y]. $(t + Y)) = (T * 9’$) . À l’intérieur de ces relations, on obtient l’égalité (7.23) en remarquant au passage que y3 $, convolée de deux fonctions de S(JRN),est un élénient de S(JRN),ce qui permet d’ailleurs de donner un sens aux égalités précédentes. 0. Nous admettoris que cette convolution possède bien. via la transforrriatiori de Fourier, la propriété d’homoniorpliisrne habituel (cf. [13] ou exercice 7.9) : Proposition 7.24. Soient T E s’(IRN) et p E S(JRN).Alors la transformée d e Fourier de la convolée T*p est égale au produit des transformées de Fourier de T et p respectivemen,t. Les autres propriétés, notamment celles de la dérivation sont toujours vraies. En outre : Proposition 7.25. La distribution tempérée T étant donnée, l’application p T * p de S(RN) dans S’(RN) est contin,ue. H Preuve de la proposition 7.25. O Soit { p,} une suite de fonctions de S convergente vers p dans S . Soit $1 E S . Par la continuité du produit de convolution daris S , la suite des convolées {y&, * $} converge vers (i; * 41 dans S . La distribution T étant tempérée, on en déduit que ( T ,& * 41) converge vers ( T ,@ * $). Cela étant vrai quel que soit q! E S,la relation (7.23) prouve que, dans S’, T pn TAP. O -f 7.2.3. Définition de l’opérateur de Hilbert f H $ Vp(l/z) * f Définition explicite lorsque f est dans S(R). D’après ce qui précède, lorsque p E S ( R ) , la convolution V p ( i / t ) * p est la fonction h telle que : V z E JR, h ( z )= ( V p ( i / t ) , T Z ( @ ) ( t= ) ) lim 7.2. TRANSFORMATION DE HILBEFtT D A N S R 391 Défination explzczte lorsque f est dans Lp(R). L’espace S ( R ) étant dense dans Lp(R), on peut approcher f E P ( R ) par une suite de fonctions {cp,} de S . I1 s’agit de montrer que la limite de la fonction ti (Vp(l/t) * ( P T L ) ( Z ) existe presque partout et que cette limite est encore définie par Nous allons, pour cela; établir l’existence de la limite presque partout, lorsque y 4O, de f * g y , où 7rgy(t) = t / ( t 2+ y z ) (cf. préliminaires 7.2.1). Soit la fonction F de la variable complexe z telle que : En raison de l’holornorphie de z H l / ( z - t)’ le t h é o r h e de Lebcsgue sur la dérivabilité complexe nous fournit l’analyticité de F dans le demi-plan supérieur ouvert. La partie réelle de F s’écrit comme une convolution : Nous nous proposons de montrer que cette partie réelle admet une limite non tangentielle presque partout (cf. remarque 7.4) lorsque ?J 4 O+. Remarque 7.26. La partie imaginaire de -F n’est autre que u(x,y ) introduite dans la proposition 7.3 comme la convolée f * P ( . ,y) où P est le noyau de Poisson relatif au denii-plan supérieur. Proposition 7.27. La fonction :E H P I ( X ,y) = ( f $i gy)(x) admet, erc tout point de Lebesgue z o d e f , u n e limite non tangentielle lorsque ( x , ~+) (x0,O). Preuve de la proposition 7.2% O Dans tout ce qui suit y est un réel strictement positif. On pose F ( z ) = v(xly) - i u ( x , y). En décomposant f en ses parties positive et négative, on se ramène 6. supposer que la fonction f , donc aussi la fonction u(.,y) = f * P(.’y), est 2 O. Soit G ( z ) = exp(-iF(z)). G est holomorphe dans le demi-plan supérieur. Elle est bornée puisque exp(-u) = 1 exp(-iF(z))[ < 1. Tout revient ainsi à prouver que, de manière non tangent,ielle, limg+o+ G ( z ) existe presque partout et que cette limite est non nulle. Puisque IG(z)/ 1‘ la suite {x H G ( x i y T L ) } )où { y T L }est une suite de réels > O tendant vers O, est bornée dans L”(R). L’espace L”(R) étant le dual de L’(R),on en déduit qu’il existe une sous-suite de { y T L }notée , encore { y T L } telle , que {x H G ( x + iy,)} converge i. faiblement vers une < + CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L p 392 fonction h appartenant à Lm(IR). Cela signifie que, pour tout élément g de L1(IR), on a : Or, quels que soient z E IR et y à LI. II en résulte que : V(z,y), > O, la fonction t H P ( z - t , y) appartient lin1 n++m + 0 Montrons à présent que cette dernière intégrale n’est autre que G(z iy) elle-même. On utilise, pour cela, la proposition 7.6. Elle nous donne P ( z - t ,y)G(z i y n ) d t = G(z i ( y yn)). Comme la fonction G est continue daris le demi-plan supérieur strict, on en déduit pour tout y > O : s, + + + La fonction z H G I ( z , y ) étant alors une convolution de h, élément de L” avec le noyau de Poisson, elle admet, presque partout sur R (cj. proposition 7.3 et, plus précisénient la remarque 7.4), une limite lorsque y converge non tangentiellement vers O. Cette limite de G(z + i y ) est, d’autre part, non nulle presque partout. En effet, d’après le corollaire 7.20 (plus précisément, l’exemple 7.21)) la fonction 7~ vérifie : p.p. 2 E IR, Vy > O, lu(z,y)I < V L f ( X ) < too. Cela prouve, u étant positive, que eë” ne peut tendre vers O presque partout. I1 existe donc une fonction z ++ Go(.) non nulle telle que : P.P. 20 E IR, lim Y i 0 G(z + i y ) = Go(z0) ( ~ , y ) ~ r C x ( m ) + Comme, suivant ce mode de convergence, IG(z i y ) I + IGo ( 2 0 1,) on obtient ainsi que eë”(z,Y) converge non tangentiellement vers le point du cercle trigonométrique, û(z0) étant l’un des arguments de Go(z0). I1 en résulte que, si L et L’ sont deux limites non tangentielles au point zo de v, elles sont distantes de 2k7r pour un nombre IC appartenant à 2%. On suppose, par l’absurde, IC # O et, pour fixer les idées L < L’. Soit 1 E ] L , L ’ [ ,on va montrer que 1 est aussi une limite de u non tangentielle en 50, ce qui constituera une contradiction. Soit E < inf(1 - L / 2 , L ’ 1~/ 2 ) . Par hypothèse, il existe des suites { ( z n ,y,,)} et {(z:%,y;)} qui tendent vers (50,O) en restant dans un cône fixe r,(zO) et telles que 71(2,,, yn) + L et u ( z k , y); + L’. En particulier, il existe no assez grand pour que n 3 no implique : (7.28) v(zn,yn) < L +E < I et u(zk,yk) > L’ -E > 1. 7 . 2 . TRANSFORMATION DE HILBERT DANS B 393 Posons, pour n 2 no, Y, = supm2n(yrn,&) et considérons le cône tronqué inclus dans le demi-plan supérieur strict IR x ]O, CO[ r,".(xo) = { ( x , g )I y < y,, Ix - 2 0 1 6 aY). étant continue dans IR x ]O, CO[, l'image de ce cône tronqué un connexe qui contient, puisque TC 3 ~ 0 tous , les réels ~ ( x ,yn) , et ~ ( x : viL) , , satisfaisant aux relations (7.28). Cette image contient donc aussi I . I1 en résulte qu'il existe un point (x:, y): appartenant à F? ( 5 0 ) tel que 2i(x:,v:;) = 1. Or, lorsque n + +CO, la suite {(x:,~:)} tend vers (x0,O)en restant dans le cône r a ( x o ) . Le nombre 1 est donc également une valeur limite nori tangentielle de PI, ce qui constitue la contradiction annoncée précédemment. Concluons à l'existence presque partout sur R d'une limite non tangenO tielle limy," ( f gy) . La fonction 2i v(r,Y,+O)) est * 7.2.4. Définition de la transformation de Hilbert Énonçons le théorème et la définition : Théorème 7.29 (et définition). Soient f E LP(R) et la famille de fonctions Alors, lorsque E + O , cette famille converge presque partout sur IR vers la fonction x H l/7rlimy,o(f * g y ) ( x ) . Il e n résulte que l'on peut définir la transformée de Hilbert de f comme la fonction définie presque partout par : Preuve du théorème 7.29. Dans ce qui suit, on ne tient pas compte du facteur 1/7r. Prouvons d'abord que, pour tout x fixé appartenant à l'ensemble de Lebesgue de la fonction f (cf. remarque 7.4), donc presque partout en x puisque cet ensemble a un complémentaire de mesure nulle, on a : En transformant les intégrales sur IR en somme de deux intégrales sur ]O, +CO[, on se ramène, en posant h(x,t ) = f ( z - t ) - f (z t ) et + 394 CHAPITRE 7 . SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L” à montrer que : Lin& (7.30) J, h ( z ,t)$J,(t)dt= o. ’ On remarque que cette fonction $e n’est pas continue mais que est continue et de classe C1 par morceaux, et qu’en outre, elle est dans LmnL1. Par hypothèse, 2 est tel que (cf. note [3] dans la remarque 7.4) limrio l/.J: If(., - t ) - f(z)ldt = O. On en déduit la même propriété lorsque t est reniplacé par -t. Donc, pour tout 6 > O, il existe q > O tel qiie : Vr>O, r<q* 11 en résulte que, si on pose H ( z ,t ) = I s,” h ( z ,u)dul,cette fonction vérifie : H ( z , t )< 6 t . O<t<r/‘ La propriété (7.30) sera prouvée si nous montrons que, lorsque t + O, alors : II(&) = ./li dje(t)h(x,t)dt + 0 et On suppose dans ce qui suit E I ~ ( E )= -o. .I+1. & ( t ) h ( Zt ) d t < inf{q, ( r l S 3 p ‘ - l ) ‘ I 2 Étude d e il(&). On effectue une intégration par parties sur ] O , & [ et sur ri[ en notant que ?JE(q)= ~ ’ / / [ q ( r + / ’ E ’ ) ] < i / q et que limt++o d j E ( t ) = 1 1 / 2 ~Par . ailleurs, on note {+:} la partie absolument continue de la dérivée de $, autrement dit $: = {$:} + ( 1 / ~ ) 6 1 ~ = €L’intégrale ). 11 s’écrit alors : ]E. Après calcul des dérivées, la dernière intégrale J ( E )devient : E2 - t2 0 (t2 dt + l 3t2 I ’ t&2t 2 ( t 2 ++ €22 ) 2 d t . Les majorations : conduisent à : < On en déduit II,(E)I6(2 + K ) , d’oii I l ( & ) + O. 7 . 2 . TRANSFORMATION DE HILBERT DANS R 395 Étude de 1 ’intégrale I ~ ( ( EPour ) . majorer l’intégrale 1 2 , on utilise l’inégalité de Holder : La première intégrale du second membre est majorée par 211fllp et la +O0 deuxième est niajorée par E* t-“p’dt qui est convergente puisque p’ > 1. On en déduit II~(E)I K’6 + O, ce qui termine la preuve de l’égalité (7.30). SV < Des exemples de calculs de traiisforrnécs de Hilbert sont proposés dans les exercices 7.11 et 7.13. 7.2.5. Opérateurs de type ( p , p ) faible Déjinition 7.31. On dit qu’un opérateur T est de type ( p , p ) faible s’il existe une constante c telle que tout f E L ~ ( I Rsat,isfait ~) à: < qfllp. ”%-f(S) I1 est clair que si T envoie continûment LP(RN)daris lui même, alors il est de type ( p , p ) faible. En effet s p ) { xI ITf(x)I > s > J < LN lT(f)(x)lpdz < CiifiiP. C’est le cas pour la transformation de Hilbert lorsque y = 2 Proposition 7.32. La transformée de Hilbert envoie L2(R) dans L‘(Et). Première preuve de la proposition 7.32. O On suppose d’abord que f E S.On rappelle la relation (7.24)’ ii savoir, lorsque T E S’, 3 ( T * p ) = .F(T).F(p)( c j . 1131). Ori a alors, eii utilisant la transformée de Vp(i/x) (cf. [13] ou exercice 7.10) et en remarquant que .F est une isornétrie de L2(IR): 1 l l H f l l 2 = II.F(Hf)112 1 = -7/lI - = ; llJ-(Vp(l/.r).F(f)Il2 (i.irsign5)-T(f)(<)Ilz= l I . F ~ f ) l l z Donc, par densité de S dans L2, H se prolonge en une isornétrie sur L2. O Deuxième preuve de la proposition 7.32. 0 On n’utilise ici que les propriétés dc la convolution dans L2 et de la transformation de Fourier des fonctions. CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KOIZN DANS L” 396 On cherche la transformée de Fourier de u(.,y ) qui est dans L2. Elle peut être considérée conime l’intégrale semi-convergente Les détails du calcul de cette intégrale sont donnés dans l’exercice 7.1. On trouve, si > O, le résultat exp(-27r<y)). Le changement de t en -t fournit le résultat lorsque < O. La convolée w(., y)*f est alors dans L2 et sa transforniée de Fourier également. Celle-ci est donc ( - i sign [) exp(-27rl<ly)F(<) et on peut appliquer le théorème de Plancherel : < < 114.,Y) * fil; = II exp(-2~l<IY)f^(<)lIS Or, on sait que H f = lirnyion(.,y) * f . Donc, puisque les fonctions sont positives, le lemme de Fatou, puis encore Plancherel, assurent : IIHfllZ < lim ?/+O JT, I ilfli; = Il.fll2.2 exp(-2~I<IW)f^(<)12~< = On en tire, ce qui suffit pour conclure, IlHf112 6 Ilfllz. Proposition 7.33. La tranwformée d e Hilbert est d e type ( 1 , l ),faible. Preuve de la proposition 7.33. O En considérant, sépasérnent les parties positive et, négative de f , on SE ramène & f 3 O. Soit F ( z ) = u ( z , y ) + i v ( z , y ) = P z / * f ( z ) + i Q Q ? / * pour f(z) (2, y) E Rx]O, +m[. Les fonctions Q et P sont les parties réelle et imaginaire de i/[7r(z+ i y ) ] La fonction F est holomorphe dans IR x]O, +CO[. La fonction w(z,y) = l n ( / l + s F ( z ) l ) est harmonique dans le demi-plan supérieur pour tout .ç > O. Elle est bornée dans tout demi-plan strict {x + i y I y 3 yo}. On utilise la proposition 7 . 3 avec vi = y - ri et y2 = q , O < < y. On obtient ainsi : Y-rl w ( z , y) =7rln II + s F ( z +iy)I = In(l1 +sF([+iq)l)d<. On a, par le lemme de Fatou En multipliant par y on obtient : 7 . 2 . TRANSFORMATION DE HILBERT DANS W 397 par les propriétés de la fonction In. D'autre part, par le théorème de corivergence dominée, on voit que : + lin1 :yF(z ig) y(z Ainsi, par passage à la limite quand y En posant ET = {t,IHf(<)I > T}, + +m, - t) on obt,ierit : on en déduit, : On choisit alors s = e / et ~ on obtient ce qui entraîne que la transformée de Hilbert est de type (1,1)-faible. O Proposition 7.34 (forme faible du théorème de Marcinkiewitz). Soit u n opérateur T défini sur L1(RN) + L'(EXN) pour un certain rkel r > I, qui est sous-additif, de type (1. I) faible et qui est continu de L " ( R N ) dans L ' ( R N ) . Alors, T envoie continQment L P ( R N )dans L p ( R N )p o ~ tout r P E ILrI. Preuve de la proposition '7.34. O Compte tenu tie la proposition 7.9, il s'agit de montrer que, si 1 < p < r , il existe une constante C, telle que : Y f E L"(RN), J' 00 a y x 1 ITf(x)l > cr}(da < c,lIf\lp. O Pour ce faire, on écrit, lorsque a est fixé, f = f i + f2, où Alors, la fonction f i est dans L1 coniine on le voit grâce à la proposition 7.18. La fonction f 2 est dans L', car l'inégalité I f 2 ( z ) l ' a'-Plf(x)lP fournit par intégration la finitude de Ilf211T. La sous-additivité de T nous donne lTfl ITfi\ \ T f 2 ( Donc, . si ITf(z)l > a , l'un ou l'autre des nombres lTfi(z)1 est supérieur strictement à a/2 (raisonnement par l'absurde), d'où : < < + CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L” 398 Jill 4 c.I’* .I’lf(z)l + cim lm +c 6 ap-l<Y-T . z I If(z)l<a) lf(.)I‘ aP-2dadx lf(z)I f F r - l dadx If(.)l O O lf(x)(’dzda 6 C JO’ I (lf(411f(~)lp-1dx+ I.fl‘(.)Ifl~-‘(.))d. 6 ~liifilp. On a utilisé le théorème de Fubirii dans les dernières inégalités. Ceci termine la preuve. Corollaire 7.35. La transformation de Hilbert sur JI% envoie LP(Iiû) dans L P ( R ) continûment pour p E 11,m[. Preuve du corollaipre 7.35. O Soit d’abord 1 < p < 2 . Le théorème de Marcinkievitz s’applique avec T = 2 . Cela résulte des deux résultats précédents. On peut donc concliire à une inégalité du type llHfllp < CPlifllpquel que soit p vérifiant 1 < p < 2. On suppose, à présent p > 2. Soit H* l’adjointe de la transformation de Hilbert H , donc définie par : YP,4 E S , (H*(Si),Y ) = (HP, 4 )= 1 w H(Y)(xM(xNx. Comme p > 2, on a p’ < 2 , d’où, d’après ce qui précède IIHpllpf6 CPfllpllp/ et il résulte de la définition et de l’inégalité de Holder que : I(H*(Si), Y)l G l l ~ ~ Y ~ l l P ~ l l SGi l ~l PP ~ l l Y l l P ~ l l ~ ~ l l P ~ Donc, si E S , la forme linéaire associée à H*$ est continue sur S pour la topologie de LP‘. Par densité, H*$ se prolonge à L P ‘ , d’où il résulte que cette forme linéaire est un élément de LP. Comme on a toujours : Y f E LP‘1 on en déduit que pour tout I(H*(4)’f)/G (CP~IISillP)Ilf/lP’~ 4 E S , on a : / I H * I / I I<~ Cp~Il$)iiP. 7.2. TRANSFORMATION D E HILBERT DANS I[$ 399 Montrons, à présent, que If*($) = - V p ( l / x ) * $, ce qui prouvera que llH($)IIp C p ~et,~par~ densité, ~ ~ que ~ l'opérateur ~ p H est continu de L p dans L P . On utilise, pour cela, la relation (7.23) et l'imparité de la distribution Vp(i/x) : < ( H * ( . S )P) , = (Vp(l/x), @ * $) = -(VP(l/Z), (@* +)(-x)). Un calcul immédiat fournit : 1, +m 011obtient donc Lm +O3 @(-x - t)$(t)dt = Y $(x - t)p(t)dt (4* p)(x). : s, ( H * ( 4 ) , c p )= - ( V P ( 1 / 4 , ? / ; * P ) = -(H$,P). O 7.2.6. Fonction maximale de Hilbert DéJinition 7.36. La fonction maximale de Hilbert de la fonction f , notée H T r L ( fou ) H , f , est définie par : Théorème 7.37. Soit f E LP(E%) et 1 < p < 00. Alors : H m ( f ) ( z )< 1tln2 ~ r "Lf(") +rnHf(Z). En particulier, H , opère dans LP(R)et il ezi.ste un,e conutante Bp telle que tif E L P ( R ) : Preuve du théorème 7.37. On peut se ramener à f IIH7rL(f)llP 2 O. Soit G ~PllfllP. pE définie par : Elle permet d'écrire : I1 est facile de vérifier que l'or1 a pE= ( I / E ) ~ ( zoù/ E 'p )est la fonction : : C H A P I T R E 7. S U R LTNÉGALITÉDE KORN DANS L” 400 On peut majorer, la fonction f étant positive, définie par : If * pE(par f * où $I est Cette fonction de L1(IR) est une fonction du module, décroissante et vérifiant 11.4‘/111= 1+In2. On peut donc appliquer le corollaire 7.20. On obtient ainsi : (7.38) < ll$Ill1mf(x) < (1 + In2)mf(x). siip If * y E ( z ) l €>O + I1 reste à majorer l’intégrale (l/r)f * Q E où Q E ( t )= t / ( t 2 e 2 )est la partie réelle de l / ( t ie). On utilise, pour ce faire, le lemme : + Lemme 7.39. Soit f E LP(IR). On pose P Y ( t ) = y / ( y 2 + t 2 ) (noyau de Poisson) et Q,(t) = t / ( t 2 y 2 ) . Alors, on a : + f *Qy = H f *Py. ‘dy>O, Preu,ve du lemme 7.39 lorsque f E S . 0 I1 sufit de montrer l’égalité des transformées de Fourier par rapport à la variable z. En utilisant les résultats obtenus dans la deuxième démonstration de la proposition 7.32, ou en se servant de l’exercice 7.1, on peut écrire : *Qy)(l) =F(f)(<)F(Qy)(<) = -irsignle-2X’1yEElF(f)(l). D’autre part, en utilisant la transformée de Fourier de V p ( l / t ) , on a aussi : F ( ( H f )* P y ) ( l )= F ( H f ) ( < ) F ( P , ) ( < = )-i7rsignJep2XIyEIF(f ) ( < ) . Ensuite l’utilisation de la transformation de Fourier inverse dorine l’égalité du lemme lorsque f E S . O Preuve du lemme 7.39 lorsque f E LP. 0 On utilise la densité en approchant f dans L P par une suite {y,} de S . On remarque que Py E LP‘ ainsi que Qy. Alors, pn*Qyconverge vers f *Qy. De plus, d’après le corollaire 7.35, la transformée de Hilbert H y , converge dans LP vers H f et il en résulte que Hp,*Py converge vers H f *P,. L’égalité démontrée dans S donne le résultat par passage à la limite dans L P . O Retournons au théorème 7.37. À l’aide de l’exemple 7.21, l’égalité du lemme assure l’inégalité : IIf *Q(., Y)IIp = IIHf * P ( . ’Y)IIp 6 m H f . Er1 joignant ce dernier résultat à la majoration (7.38) obtenue précédernment, on obtient le théorème. 0 7 . 3 . LES OPÉRATEURS DE RIESZ DANS 7.3. Les opérateurs de Riesz dans RN 40 1 RN 7.3.1. Définition des transformations de Riesz Nous introduisons, en diniensiori N > 1, des généralisations de la transformation de Hilbert. Les fonctions x H xj(I~l)-(~+')rie sont pas localement sommables. On leur fait correspondre (cf. chapitre 1, section 1.4) les parties finies Pf(zj(lzl)-(N+l))qui sont des distributions dans RN. On peut définir d'abord Pf (1/IxI"+'). Classiquenient, la puissance considérée s'apparentant à t P 2dans R,on part, la fonction cp étant prise dans D ( R N ) ,de l'intégrale où Tz(p) est le développement de Taylor au point x = O de cp tronqué à l'ordre 2 et O, une fonction de D valant 1 sur supp p,fonction que l'on peut supposer paire. On retire ensuite de cette intégrale les termes sans limites finies lorsque E -7' O. Le premier terme O,cp(O) de Tz(cp)nous conduit, par A passage aux coordonnées polaires, à l'intégrale W N - 1 SC p(0)dr/r2 dont la partie infinie s'exprime par w N - ~ ~ ( O ) / Eoù W N - 1 désigne l'aire ( N - 1)dimensionnelle de la sphère unité de RN.L'autre terme de Sz(p),à savoir x . Vp(O)O, conduit à une combinaison d'intégrales qui sont nulles. Si on remarque que le facteur O est inutile pour le ternie p(O), il en résulte : DéJinition 7.40. La partie finie de est la distribution telle que, quelle que soit la fonction p de D ( R ~ )on , a: Une démarche du même type aboutit à la définition de Pf(xj/lxINfl) : Définition 7.41. Le noyau de Riesz K,, d'indice j , est la partie finie Pf(x,/IxlN+l).C'est la distribution telle que, pour toute p E D ( R N ) ,et pour toute qui est paire, qui appartient à D ( R ~ et ) qui vaut 1 en O, on a : La dernière expression est justifiée par le fait que la fonction intégrant est majorée en module par r2IVcp(0) I/rNfl, ce qui, en tenant conipte du jacobien, montre la sommabilité en a: = O. 402 CHAPITRE 7. SUR L'INÉGALITÉ DE KORN DANS LI' Remarque 7.42. L'intégrale portant sur z3p(0)I x / ~ ( ~ + ' ) étant nulle, on pourrait définir la distribution KI par l'intégrale de z3p(z)/Iz1"+' comme la somme, la décomposition tenant compte du signe de z3, de deux intégrales absolument convergentes, mais l'expression ainsi obtenue est moins favorable pour les calculs. Remarque 7.43. On peut voir que cette partie finie est le produit de Pf(l/lzlN+')par la fonction monôme z H z3. En effet, on a, puisque la fonction x3p s'annule en z = O et grâce à la remarque ci-dessus : (23 pf(1/lzlN+'),P) = (pf(1/lzlN+'), ZJP) Définition 7.44. On désigne par transformation de Riesz d'indice j , l'application R3 qui associe à toute fonction f appartenant à un espace L " ( R N ) , la convolée, quand elle existe, Pf(K,) * f. Remarquant que, hors de z = O, la dérivée par rapport â xj de la fonction :I: ++ g ( z ) = XI-(^-') est égale à - ( N - I ) K ~ or1 , débute par la comparaison de cette dérivée à la partie finie Pf(Kj) : Proposition 7.45. Soit [g] la distribution associée à la fonction localement somrnable II: H I X I - ( ~ ~ ' ) . Alors, la dérivée par rapport à, xj de cette distribution est égale ù - ( N - 1)Pf(Kj). Preuve d e la proposition 7.45. 0 Soit X = (8,[g],p). En utilisant la forniule de Fubirii, on se ramène à intégrer par parties en x3 en utilisant pour primitive de la fonction 839 la fonction pl = p - ûpp(0) qui coïncide avec p - p(O) sur supp p : 7 . 3 . LES OPÉRATEURS D E RIESZ DANS R N 403 7.3.2. Transformées de Fourier des noyaux de Riesz Reniarquons d’abord, en rnultipliant par la fonction caractéristique d’un compact, que g est la soirinie d’une fonction sorrirriable et d’une fonction bornée, toutes deux identifiables & des distributions tenipérées. Cette foriction admet donc, au sens des distributions, une transformée de Fourier. Ses dérivées étant tempérées, on cn déduit le rriênie résultat pour les parties finies Pf(K]). On calcule ces transformées en comrneriçant par cclle de [ 9 ] . La fonction 9 étant radiale, la tra,nsformée [g] est également radiale (cf. exercice 7.12). De plus, en utilisant les propriétés des distributions ternpérées honiogènes et celles de leurs transformées de Fourier (cf. exercice 4.4, 011 est assuré que la transformée [ g ]est du type KltjVL. On peut, par ailleurs, calculer le degré rn en utilisant la dilatée [ g ] k de la distribution [ g ] ,laquclle est définie par : 1 ( [ g h ,cp) = k”([”, cP(X.lk)). A h D’une part, on a, de façon évidente : D’autre part, d’après la formule de définition precédente : (-%JIk), 9)= ([glkr @) A = k - N ( [ g l , c p ^ ( E / w = k-N([gl, k N c P ( W ) = (G, cp(kr)) - ~k-N-l77 ~ =K LN IrlT”cp(k.r)dl cp) De ces deux egalités on déduit N + r n = N 1, d’où m = -1. Pour calriiler la constante K , 011 applique la définition de [g] en utilisant la fonction cp = e x p ( - ~ l n . 1 ~qui ) est sa propre transformée de Foiirivr (cf. exercice 4.1). On a ainsi l’égalité : ~ En traduisant par des inthgrales sur R N et en passant aux coordonnées polaires, on a : Teriarit compte de la relation (cf. exercice 3.1 du chapitre 1) 404 CHAPITRE 7 . SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L” cela devient dNP1)/’ = K r ( ( N - 1)/2). On peut en déduire alors la transformée de Fourier de Pf(K,) : Proposition 7.46. La transformée d e Fourier de Pf (K,) est In fonction définie par : Preuve de la proposition 7.46. O Cette formule résulte du fait que la dérivation par rapport à la variable :E] se traduit sur la transformée de Fourier par la multiplication par 2i7rE, et, d’autre part, de la proposition 7.45. O 7.3.3. Convolution d’une fonction et d’un noyau de Riesz Convolution aiiec une fonction de D ( R N ) . On utilise la proposition 7.22. Elk fournit la formule : Convolutton avec une fonctton d e S . Nous montrons qu’en fait, la formule précédente reste valable lorsque p E S ( R N ) .D’abord, en raison de la continuité de la convolution ( c f . proposition 7.25), si une suite {pn}de 2) converge daris S vers p E S , on a Pf(K,) * pn + Pf(K,) * p. Soit p E S . Soit q E V valant 1 sur la boule unité de RN,et cp,(z) = 7/(.x:/n)cp(z). Alors, pn E D ( R N ) ,converge vers p dans S et OII a : Or, il est facile de montrer que l’intégrale du premier niernbre converge pour tout z vers l’intégrale : autrenient dit : Convolution lorsque p est dans u n espace L P . Dans les deux cas précédents, les formules se simplifient et fournissent la convolée sous la forme JRN[t3(p(z - t ) ) ] ( l t l - ( N + l ) ) d tDans . le cas où cp E LP, 011 obtiendra, par densité, la formule, vraie pour presque tout x; E I W :~ 7 . 3 . LES OPÉRATEURS DE RIESZ DANS RN 405 Dans ce qui suit, on se propose de montrer, non seulement que cette limite existe presque partout, mais aussi que cette limite est encore dans L P , l’opérateur R, définissant alors un endomorphisme continu de L P . 7.3.4. Opérateurs de Riesz sur LP(RN) On suppose 1 < p < +oo et que f E L p ( R N ) .On définit, en utilisant ainsi la formule du paragraphe précédent : Dans le cas où p > 1, l’inégalité de Holder nous montre qu’effectivement, poiir tout n: E R N et pour tout E > O, cette intégrale existe. En cffet, on a Np’ - ( N - 1) = N(p’ - 1) 1 > 1 d’où : + Nous allons proiiver, en utilisant les propriétés des fonctions maximales précédentes, que la fonction r H supEif,”(x)l est ilne fonction de LP(RN) dont la norme est majorée par celle de f . Nous Iriontrerons ensuite que cctte propriété iniplique, d’une part, l’existence presque partout de la limite lorsque E + O, d’autre part, la continuité de l’opérateur de Riesz R, dans L ~ ( R ~On ) .commence par : Théorème 7.47. Soit f E LP(RN) où 1 < p < +CO. Alors, pour tout entier j appartenmt b [I,NI, la fonction n: H sup,>O lfz(z)l appartient encore i~ LP(RN)et il existe une constante C ne dépendant que de p et N telle que : Preuve du théorème 7.47. 0 En utilisant, dans RN,les variables ( T , 0) où r = It1 et d = t / / t l , cette dernière décrivant la sphère unité SN de IRN, on va se ramener & l’intégration sur la sphère unité d’une fonction qui est, à un facteur près dépendant de 8, une fonction maximale de Hilbert, ce qui nous permettra d’utiliser le théorème 7.37. + Soit p 3 ( 0 ) la composante d’indice j du vecteur unitaire, noté H de RN associé à 6’ t S N . On a, en utilisant la propriété d’imparit6 de p , , & savoir 406 CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L” On en déduit l’égalité : et, si on remarque que lpj ( O ) I < 1, on obtient : Considérons la fonction 2 H I S l + [ f ( r- sO)/s] ds. Soit e1 le premier vecteur de la base canonique de RN et OQ une isométrie de S O ( N ) ,notée plus simplement e dans ce qui suit, telle que eQ(e1) = 8.Soit aussi la fonction R, f définie pour tout II: E RN par R,f(z) = f ( e z ) .On a alors : f(. ~ sû) = f(x - soel) = ( R , f ) ( c - l z - sel). On en déduit, pour le secorid membre de (7.48) : Notons E = coordonnées de désignons par I’ le ( N - 1)-uplet des autres L’intégrale précédente s’écrit : ( O - ~ Z ) et ~ .lil>E R,f(o-lz S - sel) ds = (‘ - ” “) ds. s En raison de cette situation, définissons, lorsque h est une fonction de L ” ( R N ) la , fonction MHL suivante : 7 . 3 . LES OPÉRATEURS DE RIESZ DANS R N 407 En utilisant le modèle unidimensionnel, on montre que, sous l’hypothèse h E D’(IBN),cette fonction M h est aussi dans L p ( R N )et que sa norme dans L p ( R N ) est majorée, à une constante près, par la norme Ilhllp. En effet, en utilisant le théorème 7.19 pour la dimension 1 : ou bien encore La fonction hzf définie par 2 1 H h(z1,z’) est, pour presque tout z’ de IRNp1, un élément de Lp(R). On peut donc lui appliquer le théorème 7.37 sur la fonction maximale de Hilbert. On a donc, pour presque tout 5 de RN : Par la propriété des isométries, les fonctions maximales MHL de z ++ R,f(a-lz) et de la transformée de Hilbert de cette même fonction ont des normes dans L p ( R N ) qui sont égales à celles de ces mêmes fonctions associées à z ++ R,f(z) et les normes de celles-ci sont majorées, d’après les théorèmes précédents par llR,fl/p. De plus, par l’invariance de la norme par C-J,cette dernière est égale à Ilfllp. Nous utiliserons plus loin ces propriétés. En revenant à l’inégalité (7.48) et en désignant respectivement par F, et G, les fonctions z H M1R m f (oP1.) et z -1 ~ MLrn(Rmf)(o z)1 - f on peut écrire : On élève à la puissance p et on intègre sur R N les deux membres de (7.48). Par l’inégalité de Holder, le second membre est majoré par : En utilisant Fubini et l’inégalité la ce second membre est majoré par : + blP 6 2p-’(ap + bp), on en déduit que 408 CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L” Or, comme il est dit ci-dessus, ces intégrales sur RN sont majorées à des constantes près par Par conséquent, l’intégration sur S N portant sur des constantes, on obtient le résultat : JJflJtp(WN). II SUP IfEIlIp G C(P,N)llfllp, O ce qui termine la preuve du théorème 7.47. On établit, à présent le théorème principal pour Rj : Théorème 7.51. Quel que soit j et quel que soit p avec 1 < p < 00, l’opérateur Rj possède la propriété suivante : existe, pour presque tout z E RN Y f E L p ( R N ) , Rj(f)(z) Ainsi, cet opérateur associe ù toute f de LP(RN la fonction définie par : E n outre, il existe une constante C ne dépendant que d e p et d e N telle que Y f E LP(RN)’ IIRj(f)llP : ClIfIlp. Preuve du théorème 7.51. O Soit f E L P ( R ~ Pour ). tout entier j fixé avec 1 6 j 6 N , on pose toujours f j ( z ) = J ” G , t , [ t j f-( zt ) ] ( l t l - ( N f l ) ) d tL’espace . S est dense dans LP. Donc, pour tout ri > O, on peut trouver g E S tel que f - g = h avec IlhllP 71. On sait (cf. paragraphe 7.3.3) que, pour tout z, la limite limE+o se(.) existe. Considérons, pour tout entier IC > O, l’ensemble & ( f ) des z E RN tels que l’on puisse trouver des suites {En) et {EL) tendant vers O en assurant l’inégalité : ,:fI ).( - fEn 2 I > .; Montrons que, pour une certaine constante C, on a I E k ( f ) l 6 Cq(2k)P. En effet, d’après ce qui précède et notamment le théorème 7.47, l’application qui associe à la fonction h la borne supérieure : opère de façon continue de LP dans LP, ce qui implique qu’elle est de type ( p , p ) faible. On en déduit ( c f , définition 7.31) que A * = Asup, , h E l vérifie l’inégalité : (7.52) sPA*(s)= s P ) { s u p l h e ( z ) l> s>l E < IlsuplhJ,IIIP. & 7.4. INÉGALITÉ DE KORN DANS W’,r’(Cl),R ÉTANT BORNÉ Supposons que x E E k ( f ) et soient E,, 409 EL tels que : n Alors, pour n, assez grand, puisque la suite {gE,,(z)} tend vers une limite finie, on a : 1 ige,,(4 - SE’,, ().I < .; I1 en résulte que, pour n assez grand, on a la minoration : et donc x E E a k ( h ) .On en déduit : Ek(f)c E2k(h). > l / k , alors supE/hi1 > 1/2k. En effet, si Or, si IhE,,(z) - hi,n I).( l’inégalité contraire était vérifiée, la différence précédente serait inférieure à IC-’. La mesure de E k ( f ) est donc inférieure à celle de l’ensemble {supElhE(z)l > 1/2k}. Or, d’après (7.52), on a : < Il SUP ib;lIl;, et comme, d’après le théorème 7.47, on a /I sup Ih3,111p< C ~ ~ b on~en~déduit p , I{supE IhE(x)l > 1/2k}l < Crl(2k)’, d’où j E k ( f ) l < C ~ ( 2 k ) ” . (&)p/{sllP IhEl > 1/2k)l Le nombre IC étant fixé et rl étant arbitrairement petit, cela démontre que l’ensemble E k ( f ) est de mesure nulle. La réunion F = UT” E k ( f )est donc aussi de mesure nulle, ce qui prouve la première assertion du théorème. Pour la deuxième assertion du théorème, on utilise le lemme de Fatou, lequel nous assure de l’inégalité : En utilisant alors la majoration de cette dernière norme (cf. théorème préO cédent 7.47) par Cllfll,, la preuve est achevée. 7.4. Inégalité de Korn dans W’J’(R), R étant borné Le théorème principal de cette section, lequel impliquera la propriété de Korn est le suivant : Théorème 7.53. Soit T une distribution à support compact dans un domaine borné R d e RN. On suppose gue, pour tout i E [1,NI, il existe une constante C telle que la distribution &T vérifie la propriété : vcp E C”(RN), I(aiT,cp)IG CII~cpllLP~(n2) Alors, la distribution T s’identifie à un élément de Lp(R). 410 CHAPITRE 7. SUR L ' I N É G A L I T É DE KORN DANS L" Pour préparer la preuve de ce théorème, on établit d'abord, à l'aide des sections précédentes, les inégalités de Riesz qui lient les dérivées mixtes d'une fonction au laplacien de cette fonction; on prouve ensuite quelques autres résultats préliminaires. 7.4.1. Relation, dans I R N , entre A p et une dérivée mixte de Inégalités de Riesz 'p. On considère les noyaux de Riesz K,(x)= Pf[x, I X ~ - ( ~ + ~ ) ] . Les parties finies K, , lesquelles appartiennent à S'(Et"),admettent pour transformées de Fourier les fonctions définies par F(K,)(L)= -zC~<,/1El,où les coefficients CN ont été calculés dans la proposition 7.46. On rappelle que la transformée d'une dérivée 8, d'une distribution est le produit de la transformée de cette distribution par 227r<,. I1 en résulte que, si 'p E S ( R N ) alors , : FT(ACP)(I) =-4~21~12x). À l'aide des propriétés des opérateurs de convolution ( c j . proposition 7.24), on peut donc écrire  = F(d2'p/dz,dz,) en faisant intervenir la transformée de Acp : 2 = -47r2 LJLZ F(cp)(L) = -47r2 LE @ 1<I2F(P)(E) = CN2F'(Kz)F(K:1)3(A(P)(<). Or, d'après la proposition 7.24, ou encore par le théorème 7.51, le produit de convolution KJ * Acp existe et sa transformée de Fourier est le produit des transformées. En outre, cette convolution est dans LP(IRN) quel que soit p > 1. I1 en résulte, toujours par le théorème 7.51 que la convolution K , * ( K J* Ap) est bien défini et, qu'ainsi :  = CG2F(Kz* ( K , * Acp)). Par utilisation de la transformation inverse de Fourier dans résulte : d 2 dx,dx, ~= c;Kz s'(IRN), il en * ( K , * AP). À l'aide des résultats de la section précédente, notamment le théorème 7.51, on en déduit des inégalités qui vont conduire, dans ce qui suit, au théorème 7.53 : Théorème 7.54 (inégalités de Riesz). Pour tout p tel que 1 < p < CO, il existe une constante C ( p ,N ) ne dépendant que d e p et de N telle que : 7.4. INÉGALITÉ DE KORN DANS W’.p(Cl),n ÉTANT BORNÉ 411 Cette inégalité, valable dans S ( E N ) ,se prolonge, par densité, ù l’adh,érence de S ( R N )pour la norme p H IIApllp. Pour aborder la démonstration du théorème 7.53, nous avons besoin de quelques lemmes permettant, f étant une fonction régulière donnée, d’exhiber, dans de bonu espaces, des solutions u ou O d’équations telles que A u = f et -diver = f . Dans la mesure où ces lernrnes établissent des propriétés qui peuvent être intéressantes hors du contexte présent, nous n’avons pas cherché optimiser ces résultats préliminaires dans le cadre de leur utilisation ultérieure pour l’établissement de la propriété de Korn. 7.4.2. Résultats préliminaires Un premier lenirne 7.55 est proposé en exercice (cf. exercice 7.16) : Lemme 7.55. Soit 01 un ouvert borné de pL,i t [ l , N ] dans D(01)telles que : RN.Alors, il existe des fonctions et une fonction y dans D ( 0 , ) telle que : Le deuxième lemme précise l’image du laplacien dans l’espace S ( R N ): Lemme 7.56. L’image A(S(RN)) de S ( R N )par le laplacien est caractérisée par l’équivalence des deux propriétés suivantes : (7.57) g E S ( I W ~ )et (7.58) g E S ( R N ) , lu E s ( R ~ ) tel que g(z)dz = O L et AU LN , V i E [l’NI, N =g. g(z)zidz= O. Preuve du lemme 7.56. O Supposons que u,élément de S ( R N ) ,soit solution de Au = g. En transformant par Fourier, on obtient 47r2JEI2.^(E) = ?(E). Donc, si g satisfait à (7.57), on en déduit que [ H g(<)/l[12est dans S ( R N ); en particulier, cette fonction est régulière au point = O. En utilisant le développement de Taylor de g au point O, on a nécessairement g(0) = O et, pour tout z E [l,N ] , û,g(O) = O. En utilisant la transformation de Fourier inverse, ces égalités sont équivalentes à : s,v g(z)dz = O et ‘di E [ l , N ] , LN z , g ( z ) d z = o. On a ainsi démontré l’implication (7.57) + (7.58). CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L” 412 La réciproque est immédiate. Si g vérifie (7.58), on a : Notons, pour la suite, que la correspondance entre u et g est linéaire. Plus précisément, on peut écrire, dans les conditions énoncées, u = k l g . En effet, en utilisant encore F , on voit que l’opérateur A est injectif dans S(RN). Le troisième lemme est utile dans la preuve de la deuxième partie du théorème 7.53. I1 n’est pas essentiel dans l’établissement de ce théorème. Mais, en précisant l’image de l’opérateur div sur S(RN),il permet de mieux saisir les problènies liés à la recherche des fonctions dont la divergence est donnée. Lemme 7.59. Soit p E S ( R N ) . Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes : 3O = (01,. . . , U N ) E S ( R N ,E l N ) , (7.60) div g = p. (7.61) Preuve du lemme 7.59. 0 On commence par l’implication ( 7 . 6 0 ) a (7.61). Si p = div(g) avec cr E S(RN,RN) I s,. pl = n%L I s,,;, pl = nn I i,,,,,, Pour montrer que (7.61)+(7.60), on fait une construction par récurrence sur la dimension de l’espace. Supposons N = 1. I1 suffit de trouver une primitive dans S(R) pour p E S ( R ) dès que S,p = 0. On fait une construction, en supposant SRp quelconque, qui nous servira pour la récurrence en dimension supérieure. Soit p E D(R) d’intégrale égale à 1. Posons : O 4.) = .p,d.) = .I: (P(t) - p ( t ) 1 R cp(u)du)dt. Si on montre que ap,’pest à décroissance rapide, cela donnera le résultat annoncé lorsque p est d’intégrale nulle en dimension 1. I1 est clair que up,<p est C” et que ses dérivées sont à décroissance rapide. I1 suffit donc de montrer que pour tout k E N lim 1x1-foo ~x~’Iu(x)~ = O. 7.4. INÉGALITÉDE KORN DANS Or, si 1x1 est grand avec z Io(x)I = W'.p(n),R ÉTANT BORNÉ 413 < O, on a : I sz y(t)dtl < qz(-t)-"Zdt -Cu <cI21-y -00 ce qui doririe le résultat. E t , si z est grand positif, on a de même : O(.) = .I, y(t)dt - y(t)dt = l+m y(t)dt, ce qui fournit : Io(z)I < cz-k-l On en déduit le résultat pour N = 1. On passe au cas de la dimension N . On suppose le résultat vrai en dimension N - 1 pour les variables ( 2 2 , . . . , zN). Soit y dans S ( R N ) d'intégrale nulle. On lui associe (pl définie par : y1 ( 5 1 , ci!., .., Z N ) = ~ p , ' p ( . , z ,..., 2 zhi)(zl) I1 est clair avec le calcul fait en dimension 1 que cette fonction est à décroissance rapide en 2 1 . I1 est facile, par ailleurs de vérifier qu'elle l'est relativement à toutes les variables. Soit alors la fonction . . , X N ) == $J(z2,. Puisque, par hypothi.se, s .IK y ( t ,2 2 , . . . , z N ) d t . SRNy ( s 1 ,x2,.. . , rp,)dz = O, on a : S(r.2,.. . , L N ) d 5 2 ' . ' dZN = o. On en déduit, par l'hypothèse de récurrence, l'existence d'un ( N - 1)-uplet ( $ 2 , . . . , $N) dans S(R"-') telle que : N Soit alors (pi définie pour i E [ 2 , N ]par Ces fonctions sont à décroissance rapide et N 2 ce qui termine la preuve. CHAPITRE 7. SUR L'INÉGALITÉ DE KORN DANS L p 414 Ces lemmes aboutissent à la Proposition 7.62. Soit R u n ouvert borné de R N . Alors, il existe une constante C telle qu'à toute fonction f E V(R), on puisse associer n E C"(RN, R N ) satisfaisant aux deux conditions : (7.63) - div O = f , Si, de plus, f est d'intégrale nulle, La fonction n, associée ainsi à f , est dans S(RN, RN). Preuve de la proposataon 7.62. 0 On considère des 'p et 'p, dont l'existence fait l'objet du lemme 7.55. On + peut en déduire des fonctions à valeurs dans RN $ et, pour tout i E [I,NI, chacune d'elles appartenant à C"(RN,RN) n W1+(RN,RN), avec : 2, + div $ = 'p et + V i E [ l , N ] ,div$, = 'p,. s_"O, Pour le voir, on peut par exemple, définir $ = p(t, 2 2 , . . . , ~ ~ ) etd t + + $ = $e1 et, de manière analogue, les $,. Notons que, pour i E [l,NI,les fonctions cp, vérifient J' 'pz = O et, comme ces fonctions peuvent s'identifier à des fonctions de S ( R N )d'intégrales nulles, on peut leur appliquer la construction plus précise du leninie 7.59 + qiii fournit des fonctions $z appartenant à S(RN,R N ) . Soit la fonction g = f f ( z ) d z ) c pf x z d x ) ' p z .C'est un élément de V ( R N )qui vérifie les égalités (7.58). Le lemme 7.56 assure alors l'existence et l'unicité de u daris S ( R N ) tel que : (s, xy(sn (7.65) On définit alors : + + Alors, d'après les définitions de u,de div $ et de divg,, 011 voit que n E C"(R~,R~) n w ' > " ( R ~ , R ~ )a ;fortiori, sa restriction à R est dans W'>p'(R). Cette fonction vectorielle vérifie d'une part : -divn = f , 7.4. INÉGALITÉ DE KORN DANS W‘.P(R), R ÉTANT B O R N É et d’autre part, en notant n = satisfait à la majoration : 415 s, f ( z ) d x et a, s, z,f(z)dz,son gradierlt = Puisque u est dans S ( R N ) ,on peut utiliser l’inégalité de Riesz, ce qui conduit à l~VVuIILP~(,) G ( / V V U I I ~ ~ 6, / C ( ~N~ I) ~ A U I Iet, ~ ~comme ~ ( ~ la ~) fonction A u est à support compact dans 0, on est amené également à : II vv II L d (n) G CN II AuIl LPI ( 6 2 ) . En désignant par K et K , des constantes fixées par le choix des fonctions cp et cp,, on obtient alors : Cela nous donne la première majoration de la proposition. En majorant les intégrales la1 et la,l au moyen de l’inégalité de Holder, 011obtient finalement : llvuIlLP’(n)G C(QP’,w f l l L P ~ ( q . ce qui achève la preuve de la première partie de la proposition 7.62. Pour la deuxième partie, on garde la meme formule pour définir g. La fonction f étant d’intégrale nulle, il en est de même pour g, puisque les (p? ont aussi cette propriété. Le lemme 7.59 assure alors que la fonction O O définie précédemment est dans S ( R N ,E t N ) . 7.4.3. Inégalité de Korn locale Théorème 7.67. Soit T une distribution à support compact dans un domaine borné f2 de IRN. O n suppose que, pour tout i € [i,NI, il existe une constaBte C telle que In distribution &T uérifie la propriété : vcp E c - ( R N ) , I(diT,cp)IG Cll~PllLPf(R). Alors, la distribution T s’identifie à un élément de L p ( R ) . Preuve du théorème 7.67 ou 7.53. 0 On commence par définir une distribution Ti sur 0, de la façon suivante. Soit f E D ( 0 ) d’intégrale nulle. On donne la définition de l’action de Ti sur f au moyen de : (TIf ) = (WO), 1 où, à l’aide du lemme 7.59, cr est un élément de C”(RN,RN) qui vérifie - div cr = f . Pour u fixé, le second membre a bien un sens puisque T est à support compact. De plus, cette définition est bien cohérente, autrement CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L” 416 dit la définition de TI ne dépend pas du choix de o. Soient, en effet, c72 C“ telles que divol = d i v a z . Alors, on a la relation : ( V T , a l - 02) = -(T,div(al -02)) g1 et = O. On définit ensuite TI sur toutes les fonctions f E D(R) en écrivant f = f - (/f)C + (/f)C R R où ( est une fonction de D(R) d’intégrale égale à 1, avec : (SR en utilisant la définition de TI sur la fonction f f ) <qui est d’intégrale nulle. I1 est clair que Ti est linéaire et que c’est une distribution sur 0. On veut montrer qu’en fait Ti est dans LP(R). Or, puisqu’on peut choisir grâce à l’indépendance du choix de la fonction 0, celle qui est donnée par la proposition 7.62, il en résulte qu’il existe une constante C telle que pour toute f E D ( 0 ) . IVl.f)I CllfIlLqn). On obtient donc la conclusion souhaitée, à savoir le prolongement de TI à l’espace LP( O). On montre maintenant que les distributions T et Ti ont le même gradient. Soit une dérivée &TI. Soit a tel que - d i v u = f , d’où 0 étant tel que - div d,u = 8,f , et puisque f = O, on peut prendre &a pour fonction u associée à 8,f. Alors, d’après la définition (*), on a : s, a, (W1,f) = -(T1,4f) = -(VT,d,a). D’autre part : ( d , T , f ) = -(T,d,f) = (T,divd,u) = -(VT,d,a) Or1 a ainsi &T = d,T1, pour tout i E [ l , N ] .En utilisant l’hypothèse de connexité de R , on peut conclure à l’existence d’une constante C telle que T = TI C dans O. Comme, par ailleurs, (T7 () = (TI’() on obtient que CS,<dx = O d’où C = O et T = TI. O + Applications à 1 ’inégalité de K o r n proprement dite. Proposition 7.68. O n suppose 1 < p < 00. Soit u E LP(R,RN) telle que E ( U ) E Lr,,(RN). Alors, pour toute fonction cp appartenant ù D ( R N ) ,les fonctions aj((u(p)isont ) dans LP(R), autrement dit O(u(p)E LP(R,RzN). 7.4. I N É G A L I T É DE KORN DANS W’,1’(62), 11 ÉTANT B O R N É 417 Preuve d e la proposition 7.68 dans le cas où p = 2 . 0 Ce cas est élémentaire et ne réclame pas le théorème précédent. On montre que, quel que soit I L E Y ~ ( I R ~ ) , 1 1 4 ~ ) 1 1 23 C11~~112~ On commence par remarquer que pour tout i , j E [I,NI avec i dans C,Z( R ~, on ) a: #j et pour u Pour montrer l’identité (7.69), on écrit pour tout couple ( i , j ) l’intégrale (û3uz+d,u,)2dz, en effectuant deux intégrations par parties sur le terme d,u,d,u,dx ; on obtient : sRN sRN Soit alors u E Y 2 ( R N )à support compact et { u n } une suite de CC(RN,I R N ) , obtenue par convolution avec un noyau régularisant, qui converge vers u dans l’espace Y2 ( I R N ) des fonctions vectorielles v qui appartiennent ainsi que le tenseur des contraintes E ( V ) i~ l’espace L 2 ( R NRN). , L’identité (7.69) montre que {Vu,} est une suite de Cauchy dans L2. Par conséquent Vu E L2(IRN,IRN). On déduit de cela que, si E(.) E L2(IRN,IRN), alors V u E L2(RN,IR2N). Soit maintenant u E L2 avec E ( U ) E L2. Alors, quel que soit y E D(f2), on a u p Y 2 ( R N )donc , u y E H1(IRN).Finalement, V ( u )E Lfo,(s2), ce qui termine la preuve dans le cas p = 2 . O Preuve de la proposataon 7.68 dans le cas où p > 2 . 0 Soit v = uy. On démontre d’abord une relation exprimant une dérivée mixte de u,prise au sens des distributions, à l’aide du tenseur ~ ( u: ) (7.70) ûZk(.J) = a&&)) +dZ(EJk(4) -d,(Ezk(4). Puisque &(up) E LP, les dérivées de E ( U ) sont des distributions T à supports compacts qui satisfont aux hypothèses des propositions précédentes. Ainsi, pour i et k fixés, la distribution i3,,k(uzp) est à support compact et vérifie les hypothèses du théorème 7.67. On obtient finalement O T = d,(up)k E L p . CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉDE KORN DANS L” 418 Pour terminer, on démontre le : Théorème 7.71 (inégalité de Korn dans Lp(R), 1 < p < maine de IRN. Soit l’espace : Yp(r2)= {u E LP(R2) I V ( 2 , j ) E [ l , N ] ,E Z j ( U ) = ( d j U 2 Soit R u n do- 03). +d,Uj)/2 E LP(R)}. Si u E YP(R), alors u E W,b:(R). Si de plus R est borné et d e classe C2, l’espace Yp(R) s’identifie à W’>P(R). Plus précisément, il existe une constante C telle que tout u E W’ip(R) satisfait à : L’idée, pour montrer que u E W’>p(R),consiste à prolonger une fonction u de YP(R) à support compact dans 52 en une fonction de Y p ( R N )à, support compact. On applique ensuite le théorème 7.68. Dans ce qui suit, on commence par prolonger u dans le cas où R = IRNp1 x ]O, CO[, ce qui donnera une idée du procédé de démonstration, puis on donnera une preuve dans le cas général. Preuve du théorème 7.71 lorsque R = RNP1 x ]O, CO[. I1 s’agit de prolonger la fonction vectorielle u,élément de Yp(RN-lx ]O, 03[) à support compact dans RN-l x ]O, 03[ en une fonction vectorielle G qui appartient à Y p ( R N ) . À cet effet, pour r N < O et z E [I,N il, on pose . ~ (7.72) et, pour (7.73) U,(Z’,ZN) XN < O et t = N = 2u2(d, ZN) - U,(X’, -3XpJ) : + 3 1 L N ( Z ’ , -3XN). U N ( X / , X N ) = -2UpJ(X/, - 5 N ) On obtient ainsi une fonction U définie sur RN,dont le support est compact et il est facile de vérifier que U E Y P ( R N )En . effet, pour I I ~ N< O et z et J E [1,N - I], on a : (7.74) 2d3U2(X’,XN) = 2d3U,(X1, - 2 N ) - dJU,(X’, -3Lc,v), d’où : (7.75) 2 & 2 3 ( 4 ( X ’ , W )= 2 E , J ( U ) ( X / , - 2 N ) - E z 3 ( U ) ( X ’ , D’autre part, si l’un des indices est égal à N 2E,N(U)(X1,5N) = -2d,VU,(J’, = -4EzN(U)(Z’, E N , N ( U ) ( X ’x , N)= 2 d N u N ( z ’ , : + 3 d N U , ( X ’ , -32jV) 2 d z U N ( X 1 ,- 2 N ) + 3 d Z U N ( X 1 ,- 3 X N ) -JN) - et -3XN). -ZN) + ~ E ~ N ( u ) ( I C- ’3, 5~) - z N ) - 9 d N u N ( z ’ ,- 3 ~ ~ ) . 7.4. INÉGAI,ITÊ DE KORN D.4NS W1,p(CL), 61 ÉTANT BORNÉ On voit donc que la fonction G 6 E W ’ . ~ ( I Wet,~ )en revenant à u.on a 419 appartient à Y p ( R N )On . en déduit que 71. E W1,*(RNpl x R+). O Preuve du théorème 7.71 lorsque R est u n ouvert borné de classe C2. 0 Nous rie revenons pas sur nos motivations, qui sont exposées en préambule de ce chapitre. Les lecteurs intéressés par d’autres argumentations dans le cas p = 2, dans le cadre d’ouverts beaucoup plus généraux que ceux que nous considérons ici, peuvent consulter, par exemple, l’article de Nitsche 1341. La preuve de Nitsclie concerne des ouverts n’ayant que la propriété de cône. Les méthodes employées pour p = 2 dans le cas d’ouverts ayant seulement la propriété de cône peuvent sans doute s’adapter au cas où p est quelconque. Nous n’abordons pas cette recherche. En conséquence, dans ce qui suit, on ne s’intéresse qu’au prolongement de l’inégalité de Korn locale au cas d’un ouvert de classe C2. On commence pour cela par remarquer qu’il suffit de montrer le résultat au voisinage d’un point 2 0 du bord, point en lequel la normale à 3R a un produit, scahire avec e~ différent de zéro. L’ouvert R est alors situé localement d’un seul coté de sa frontière au voisinage de ce point et il existe un ouvert R, de RN contenant 20’ tel que : Ri n R R~ n di2 c { ( d , I~2’ ~E 0, ) ~ ~ ( 5< ’zN}, ) {(d? o,~(z’)) I d E O’}, avec O’ un ouvert de RN-l, et ai une fonction de classe C2 sur 0‘.Puisque f l peut être recouvert par de tels ouverts Ri, en utilisant une partition de l’unité, notée {pi}’ subordonnée à ce rccouvrenient de 0, il sufit de montrer que si u E Y p ( On Ri), alors cpiv E W1,p((Rn Ili). Dans ce qui suit, on simplifie en suppriniant le facteur 9%’ ce qui revient à supposer que 71 est dans Yp(Rnni)et que u est à support compact dans an62, et, d’autre part, en supprimant, l’indice i là où il intervient, On va se ramener au cas d’un bord droit c’est-à-dire au cas ktudié précédemrnent des fonctions définies sur R ~ x -]O, +m[. ~ Pour cela; on utilise la fonction ‘u de coniposantes ‘ui définies, pour i N - 1, par : < û‘,(d t, ) = (Ui+ (82.) U N ) ( d , a(z’) + t ) et, lorsque i = N , par : ‘uN(Z’, t ) = U N ( 2 ’ , a ( 2 ’ ) +t). La fonction u est définie sur O’ x Rt.Montrons que ‘u E Yp(O’x ]O, +ca[).À cet effet, on calcule pour .i et j dans [ 1,N - 11 les dérivées 3,iii et & i i j , puis les dérivées d ~ u et i d i ’ u ~en , utilisant l’hypothèse de la régularité à l’ordre CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉDE KORN DANS L” 420 2 de la fonction a dans l’ouvert 0’ : a,21% = (a,u,+d N U , d , a+a,aa, U N +a,aa, U d N U N +a,,U U N ) ( 2 ’ ,u(2’ ) +t ) a,V? = (a,u,+a N u J a,u +a,ua,u, +a,.a, aaN U N +a,,a u N ) (x’, ( 2 ’ )+t ) CI dNVN = d N U N ( Z ’ , = (8,UN +t) t) + d 2 U d N U N ) ( 2 ’ , a(2’) + t ) . dNvz = ( d N ‘ & f a,w, u(2’) & a d j V U N ) (2’’ U(2’) On en déduit que, pour z et vérifient : E i j (w)= ( E i j J f dans [1,N - 11, les composantes de (u) +a, UEZN (u)+aiuEjN (u)+ & d j Par ailleurs, pour (2, E(U) a a N u N + a i j a , u N ) (2’, a(2‘)+t). j ) = ( i ,N ) , on a : EiN(’u) = (EiN(1L) + (dzu)aNuN)(z’,a(z’)+ t ) Avec ces formules, il est clair que w appartient à Yp(RN-’ x ] O , + c o [ ) et qu’elle est à support compact dans IRNp’ x [O, +CO[. Compte tenu de ce qui a été fait pour un bord droit, on obtient ‘u € W y o ’ x ]O, +Ca[). En particulier la composante U N , c’est-à-dire U N appartient à W’,P(Ri na). Enfin, en remarquant que : Ui(2’,2 N ) =Ui(2’:2 N - u ( 2 ’ ) )- ( d , U ) U N ( 2 ’ , 2N - a(z’)), on obtient aussi l’appartenance de u,à l’espace W1>P(Oina), ce qui termine. O 7.5. Exercices sur le chapitre 7 Exercice 7.2 (transformée de Fourier d’une fonction de L2(IR)). Soit f définie par f ( t ) = t / ( t 2 y 2 ) , où y > O. + (1) Montrer que f E L2(IR) et que sa trarisforniée de Fourier au sens des distributions tempérées est définie par une intégrale semi-convergente, à savoir = JPStexp(-2ir<t)(t2 p 2 ) - l d t . (2) En utilisant le théorème des résidus appliqué au contour ci-dessous, constitué d’un segment [-&RI et d’un demi-cercle (CR ou Ck) et & une fonction holomorphe convenable, calculer dans les deux cas < O et > O. On peut aussi n’utiliser qu’un seul contour et utiliser la réflexion + < < F([) -E. < 7 . 5 . EXERCICES SUR LE CHAPITRE 7 421 t FIGLJRE 7.1. Un calcul utilisant le théorème des résidus. Indzcatzons. Pour (2), la fonction est F ( z ) = zexp(-2z7r[z)/(z2 + y 2 ) . I1 faut montrer, par exemple lorsque [ > O, que iimR++oo JcRF ( z ) d z = O. Pour cela, on se ramènera à majorer l’intégrale exp(-asinB)de lorsque a est un répi positif en utilisant une Ininoration de sin 8, pour en déduire que cette intégrale est inférieure à KIR. On montre ainsi que : V < E R, f^((~)= -msign(<) exp(-2~1[yl) Exercice 7.2 (propriété de moyenne pour les fonctions harmoniques). On suppose que N > 2. On rappelle que la solution élémentaire du laplacien est donnée par E ( x ) = J C N I Z I - ( ~ - ~ ) où k N est une constante. Soit une forictiori u harmonique dans un domaine f l de RN. Soit une boule B ( a , r ) dont l’adherence est incluse daris 0. Montrer, eri généralisant airisi le cas où N = 2 , que ~ ( ( 1 )est égale A la irioyenne de 2~ sur la sphère d B ( a , r ) . Pour cela, on utilise la formule de Green pour les fonctions de classe C2 sous la fornie : En utilisant les fonctions u et 1 dans cette formule, trouver une propriété de la dérivée normale de u sur les sphères incluses daris 0. En appliquant ensuite cette formule à E et u daris la région comprise entre la sphère corisidérée ~ B ( u , T et) celle de centre a et de rayon E , montrer que la moyenne sur ~ B ( ur ), est égale A la moyenne sur 3B(a,E ) . Conclure. Indications. On peut supposer qiie n = O. Par la formule de Green, on a, qiiel qiie soit T tel que la boule B(O,T ) c 62 : L Au(z)dz= O= J d n u(z)dz. a B ( O ,T ) On applique eiisiiite la formule de Green dans la région fi,,, limitée par les sphères SE = 3B(O,e) et S, = dB(O,r) aux fonctions E et u. En raison de l’harmonicité CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L p 422 des deux fonctions, on a : J (uAE - EAu)dz = O. nz,v D’autre part, la dérivation normale de E sur les sphères donne les expressions -(N - 2) expressions constantes respectivement sur chacune des deux sphères. I1 reste donc dans la formule de Green : - ( N - 2) J’ E-N+lu(s)ds+ ( N - 2) SC 1. T-N+lu(s)ds D’après la propriété précédente, la fonction E étant constante sur les sphères, la somme des deux dernières intégrales est nulle. Par conséquent, on en déduit : La moyenne de u sur la sphère S, étant ainsi égale à la moyenne sur la sphère Si et celle-ci, par continuité de u , étant arbitrairement proche de u(0) quand E est assez petit, on en déduit le résultat. Exercice 7.3 (réciproque de la propriété de l’exercice précédent). Soit une fonction u continue dans un domaine R de RN et possédant dans cet ouvert la propriété de moyenne, ce qui signifie que, pour tout O E R, la moyenne Mu ( a ,T ) de u sur une sphère bordant une boule B ( a , r ) d’adhérence incluse dans 0, est égale à .(a). Montrer que la fonction u est harmonique dans f2 : (1) On supposera pour commencer que la fonction u est de classe C2. Établir le résultat en montrant que la limite de la dérivée seconde de T H M u ( u , ~au ) point a est proportionnel à Au(.). (2) Dans le cas général, où la fonction u est seulement continue, on utilisera une régularisation de u et on mont,rera que, localement, coïncide avec sa régularisée, ce qui permet de se ramener au premier cas. Indications. (1) La dérivée seconde de T H JaBio,i) u ( u + r s ) d s fournit : On en déduit que la limite en a de cette dérivée est égale à U N - 1 près à la somme sasio,i) On remarque que, si i # j , alors s,s,ds = O et, d’autre part, que s:ds = sSds. On en déduit que la limitc de cette dérivée en a est proportionnel à A u ( a ) et, comme la fonction moyenne est, par hypothèse, une constante pour T > O, on a le résultat. saB(o,i) saB(o,i) 7.5. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 7 423 (2) Soient une boule Bo = B(zg,T O ) d'adhérence incluse dans 0 et uo la restriction de u à cette boule, prolongée par O hors de cette boule. On utilise la convolution U, = u g * pE où, comme d'habitude, p E ( z )= &CNp(z/s)avec p une fonction de D(RN), positive, de support contenu dans B(O, 1), d'intégrale égale à 1 et que l'on peut supposer radiale. Soit z E Bo. On a, si E < T O - 1x0 - z/, par définition : J' p E ( t ) u ( z- t ) d t . B(O>E) En utilisant les coordonnées sphériques de la variable t et en utilisant Fubini, on peut écrire, en désignant par cr la variable sur la sphère unité telle que t = Itlo : Or, la moyenne de u au point z est définie par MU(X'T) = ~ 'I wN-l On en déduit u(z aB(0,l) 'I + rs)ds = wN-l ~ U(Z - ra)do. âB(0,i) : ce qui donne, en utilisant l'hypothèse, valable ici sous la condition précédente en E : Ju' UE(Z) = w,-,u(z) Enfin, comme UN-1 I' p(X)XN-l dX = p(X)XN-' dX. s,,,;,, p(y)d!J = 1, on en déduit U ( Z ) = UE(z). Si on prend z dans B(z0,."/a), alors on peut fixer E O = r 0 / 2 et la fonction 2~ coïncide avec la fonction U,, dans toute la boule B(z0,~ , , / 2 ) .La fonction u est donc de classe Cm dans R.On est ainsi ramené au cas (1). Exercice 7.4 (complément pour l'exemple 7.12). Soit, dans IR, la fonction f telle que f ( t ) = (t2 I)-'. Oii étudie lorsque O < x < i/d, les moyennes définies par : + u ( r , x )= 2r LYT& - arctan(x +r) - arctan(x - r ) 2r La fonction U ( r ,x) = - 2 4 ( r , z ) r 2 s'exprime par : ~ ( rx), = arctari(x + r ) - arctan(x - r ) )- r ( (x+ 1 + 1 + (x r)2 Sa dérivée s'écrit, eii posant a = x + r et b = x U:.(r,x) = 2r a - r : - r)2 1. +1 CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ D E KORN DANS L p 424 En développant a(b2 + 1)2- b(a2 signe que le trinôme S ( r 2 )où : T ( r 2 )= r4 +2(1+z2)r2-3x4 - + 1)2,on voit que V i ( r , z )est du même + 2z2+ 1 = r4 + 2 ( 1 + z 2 ) r 2- ( z 2 1)(3z2- 1). < (1) On suppose z 1/&. En étudiant d’abord le signe de T ( r 2 )et en utilisant les formules précédentes, étudier le sens de variation de r H u(r,z). Montrer que (2) On suppose à présent z > 1/& (en se servant des résultats obtenus dans l’exemple 7.12. Montrer que la fonction z H U ( r ,z) est croissante et en déduire que z H r2(z) est décroissante dans Il/&, +CO[. En déduire que la fonction z H r2(z) est continue sur cet intervalle, puis que m f est une fonction continue sur Il/&, +CO[. Examiner enfin le comportement de m f ( z )lorsque z tend vers 1/& par valeurs supérieures. Exercice 7.5 (solution du problème de Dirichlet sur la sphère par l’intégrale de Poisson). Soit B la boule unité ouverte de I R N , dB la sphère unité. On pose (noyau de Poisson) : la constante K N étant l’inverse de l’aire ( N - 1)-dimensionnelle W N sphère unité de IRN. On remarquera que la fonction p est positive. - ~de la (1) Montrer que, pour tout s dans a B , la fonction J: H p ( s , ~ :est ) harmonique dans B . ( 2 ) Montrer que, pour tout z dans B , on a p ( s ,z ) d s = 1. (3) On pose z = r y où T < 1 et \ y ( = 1. Montrer que, pour tout 77 > O, la fonction 2 JsEaB,,s-?11>i7p ( s ,ry)ds converge uniformément eri y vers O, lorsque r + 1. (4) (formule de Poisson) Soit f une fonction continue sur dB. On définit la fonction u sur B par : sa, (7.76) Montrer que la fonction u est harmonique dans B et continue sur Ë. Indications. (1) On fait le calcul du laplacien d’un produit en utilisant plutôt la fonction Y (1 - IY s12)1YI-N. + 7.5. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 7 425 ( 2 ) Soit r < 1. La fonction p étant une fonction harmonique dans B pour s fixé dans d B , la propriété de moyenne (cf exercice précédent 7.2) entraîne : d’où, en posant z = ~ y ce, qui permet de se ramener à la sphère unité P(S,O) = ___ wN-l J’ : P(%7.Y)dY. aB(ü,l) En utilisant par exemple l’axe de symétrie pour les deux rayons [O, s] et [O, y], ou par un calcul, on montre l’égalité Iry - S I = Irs - YI. On en déduit : Ainsi, on a : 1 = wN-Ip(s, O) = JaB(o,i)P(Sl rY)dY = J P(Y. rs)dy aB(O.1) Cette relation est vraie pour s arbitraire de norme 1 dans RN et T un réel arbitraire tel que O 6 r < 1. Soit z donné dans B , donc tel que 1%) < 1 ; alors, on peut choisir dans la relation précédente les éléments s et r tels que r s = z. On obtient alors : 1= JaB(o,i)p ( s . z ) d s , ce qui nous donne le résultat. (3) On pose encore z = r y où g est sur la sphère. On suppose que 1s - y( > 77. Une minoration nous donne : pour 1 - T assez petit. On en déduit une majoration uniforme de p ( s , r y ) par C(l - r 2 ) ,d’oii le résultat. (4) On utilise la première question et on effectue une dérivation sous le signe intégral par rapport à z lorsque 121 < 1. En ce qui concerne la continuité, il suffit de la démontrer en un point z E di?. Soit E > O donné. On veut montrer que, < E . On peut lorsque z E B est suffisamment proche de z , on a lu(.) - )I(. supposer z # O et utiliser y tel que z = r y avec IyI = 1, cela permettant de recourir aux propriétés précédentes. En décomposant l’intégrale en deux parties, dont l’une est prise sur l’erisenible A, des points de d B pour lesquels 1s - y1 3 77, on a : ).(.I - 4Y)I = = IJ’ aB L,, [f(4- f ( y ) I l > ( v y ) d s l If(.) - f ( Y ) l P ( S , rY)ds + J’ ôB\A, If(.) - f ( Y ) l P ( S , ry)ds. Puisque l’intégrale de p sur la frontière est égale à 1, on peut majorer la deuxième intégrale du second membre : 426 CHAPITRE 7 . SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L1’ Par la continuité de f sur d B , cette intégrale peut être rendue inférieure à &/2 pour q < 70.En choisissant q = 70,on obtient : Or, d’après la question 3), cette dernière intégrale tend vers O, uniforniément par rapport à y, lorsque T + 1. I1 en résulte qu’il existe qi tel que 1z - y / < 111 entraîne lu(.) - u(y)( < E. Alors, en revenant à z , on écrit : lu(.) I).(.- 6).(.I - 4Y)l +M Y ) ~ 4 Z ) I . If(.) La différence lu(.) - u ( y ) I , qui est égale à - f(y)I, peut être, en raison de la continuité de f sur la frontière, rendue < E pourvu que ( z - y / < 7 2 . Soit z E B ( z , 1/2 inf (111, q 2 ) ) . Alors Ix - y1 < q1 et, par conséquent l’inégalité précédente implique lu(.) - I).( < 2 ~ ce, qui donne le résultat. Exercice 7.6 (applicationde la formule de Poisson précédente). Soit une fonction (z,y) H u ( x , y ) continue sur I W x~ R et vérifiant la propriété de symétrie : t/x € IRN, v y > O, u(2,-y) = -u(2, y). On suppose que u est harmonique dans RN x ]O, +m[. Montrer qu’alors la fonction u est harmonique dans RN x R.Pour cela, après avoir montré que la fonction u est harmonique dans RN x ] c o , O [ , il suffira de prouver l’harnionicité dans toute boule de IRNf1 centrée en un point (.O, O). Quant à cette dernière propriété, on pourra comparer, dans cette boule, la fonction u à la fonction harmonique dans cette boule définie par l’intégrale de Poisson de l’exercice précédent 7.5 (cf. formule (7.76)). ~ I7idzcutzons. On utilise la formule (7.76) sur la boule BO= B((zo,O), r ) qui définit la fonction harmonique v à l’intérieur de Bo qui s’identifie à u sur d B o . Le noyau de Poisson p ( s , z) de cette formule doit être traduit en dimension N 1, le point .?: étant remplacé, avec les notations de l’énoncé, par (50 r<,O rq) où ([,71) appartient à la sphère unité dB(0,l) de RN+’.On obtient ainsi, W N désignant l’aire de cette sphère et du étant la mesure de Lebesgue sur cette sphère : + + + où p* est définie par : Lorsque y = O, on a, par l’hypothèse de symétrie vérifiée par u , l’égalité c ( x ,O) = O. La fonction v et la fonction u sont donc, dans le domaine borné constitué par l’intérieur de la demi-sphère Bo n (RNx ]O, +.[), des solutions d’un même problème de Dirichlet. Sans l’apport d’un résultat d’unicité, puisque cet ouvert, n’est pas C’, le principe du maximum appliqué, comme dans la remarque 5.71, à la différence apporte l’égalité IL = v dans cet ouvert. Le raisonnement est le même dans l’hémisphère inférieur. On en déduit que la fonction u est harmonique dans Bo et, par conséquent, partout dans R N + l . 7.5. EXERCICES SUR LE C H A P I T R E 7 427 Exercice [**I 7.7 (démonstration, dans le cas N = 1, du théorème 7.15). Or1 se réfère à l’énoncé du théorème 7.15. En translatant les voisinages qui sont ici des intervalles, notés Jz,,T,,de façon que leurs centres L , vienrieiit en O, on obtient des intervalles J, de centre O qu’on peut ordonner par inclusion J i c J2 c . . . c J,, où J , = ] - T,, r,[, avec la propriété suivante : On peut poser, pour tout y E S, définissant ainsi une application K de S dans [1,n].I1 s’agit d’estimer la mesure de S à l’aide de son recouvrement par ces intervalles de longueurs 2ri, lesquels vérifient : (7.77) i = K(y/) * 2ri < 9 .i, - If(t+ y)(dt. Pour ce faire, on propose de majorer la mesure IS/par une soinine des longueurs des intervalles d’un recouvrement convenable de S de façon A pouvoir utiliser la relation (7.77), cela permettant d’estimer ensuite cette mesure à l’aide de l’intégrale de I f 1 sur R. (1) Plus préciséineiit, établir : Lemme 7.78. Il existe un nombre fini de points s j , 1 < j < IC de S tels que : (a) L’ensemble S est i n d u s dans UiGjGk{sj J K ( , ~ , )et} aucun de ces intervalles ne contient le centre d’un autre. (b) En posant V , = s i J K ( ~ ,on ~ ,a : + + (2) Le lemme étant prouvé, achever la preuve du théorème 7.15 dans le cas N = 1, en utilisant la relation (7.77) : k IC n Indzcatzons. On choisit dans S un point si tel que K ( s 1 ) 3 K ( s ) , V s 6 S . C’est possible par l’image réciproque K p l ( { n } ) On . considère l’ensemble Si = S \ { S ~ + J K ( ~ ~Si ) }cette . différence d’ensembles est vide, alors 5’c Vi = s i + J ~ ( , ~ et la première partie du lemme est vérifiée avec k = 1, la deuxième partie du lemme étant alors trivialement vérifiée. Si cette différence est non vide, on choisit dans Si 428 CHAPITRE 7 . SUR L’INÉGALITÉDE KORN D A N S L p un point s2 tel que K ( s 2 ) 3 K ( s ) pour tout s E Si.Si Sz = Si \ V2 est vide, on obtient le lemme avec lc = 2 en remarquant en outre que, en raison de l’inégalité T K ( ~<~T) K ( ~ le ~ )centre , si du premier intervalle ne peut appartenir au deuxième 52 + JK(SZ). La deuxième partie du lemme résulte alors de : Cette construction peut se continuer à l’aide de cet algorithme. Le nombre de ses étapes est nécessairement fini, d’où la première affirmation du lemme. D’après ce qui précède, le centre s, n’appartient pas à s,, + J K ( s J , pour ) j’ = j f 1. On voit que, grâce à l’hypothèse de dimension 1, c’est vrai pour tous les autres indices. On en déduit la première partie du lemme. Pour la deuxième partie du lemme, on remarque d’abord que trois 15 d’indices distincts deux à deux ont une intersection vide. Soit, en effet, a appartenant à l’intersection de deux parmi les 4 . On peut supposer que i et j sont les deux plus petits indices tels que a E V , n 4 . Alors, si a E V k où IC est distincts de i et j , on a Isk - al < r k < inf ( T % , T ~ )ce , qui implique que ce centre s k appartienne à un des intervalles Vi, V, précédents, ce qui est absurde. Dans ces conditions, on peut généraliser une égalité précédente en utilisant la somme des fonctions caractéristiques des 4 . On montrera que cette somme est inférieure à 2x(üV,) et on en déduira : Par conséquent, on obtient le théorème 7.15 en dimension 1 par On peut aussi, ce qui peut permettre une généralisation plus aisée, formuler l’argument précédent de la manière suivante. Soit T,,, une translation telle que S n T ~ ( S=) 0 et soient des intervalles semi-ouverts { W,} disjoints deux à deux, chacun d’eux étant inclus dans un V, tels qu’ils constituent un recouvrement de S.À tous les points C qui appartiennent à deux intervalles V , on associe ~ h ( < ) , l’ensemble de ces translatés étant notés S’. Alors on a : Exercice 7.8 (convolution de T E S’(EtN)et de ‘p E S(R”)). Dans le chapitre, on a vu que cette convolution est une fonction f définie par : où (e est la fonction t H p(-t). Montrer que la fonct,ion f est de classe C” et qu’il existe un multi-indice IC et une constante C ( k )telle que : ‘dxE RN, If(x)l 6 C(IC)l.lk. Autrement dit, ,f est à croissance lente. 429 7 . 5 . EXERCICES SUR L E CHAPITRE 7 Indications. On montre que : tend vers O lorsque h + O. On en déduit a,f(z) = ( T , ~ % a ; (On p ) . itère à un ordre quelconque de dérivation. Pour la croissance lente, on utilise la continuité de T à l'aide de la faniille de senii-normes caractérisant la topologie de S. On a : lf(.)l S11PIXI" IDBP(X- 41. < X I 4 < ~ IB I O En utilisant la formule de Taylor pour cp, on obtient la majoration de polynôme. If1 par un Exercice 7.9 (transformée de Fourier de la convolée T * p). Soient T E S' et p E S . Montrer que la transformée de Fourier de la convolée T * p est égale au produit des transformées. Indzcatzons. On utilise l'expression précédente de A = T * cp donnée par la proposition 7.22 pour le calcul de ( A , $ ) en faisant intervenir la commutativité du produit tensoriel : h (24)= (A,$) = ((Tn(@)),$(4) = @~[tl>TA(@)) = @ . S [ X ] , @(t A)) = ( h J', ?(+at w x ) ($,A, V[t] - - = (T[t], ($*@)(t)). On montre que le produit @$ est la convolée des transformées, à savoir $ * $. On acheve facilement. Exercice 7.10 (détermination de la transformée de Fourier de Vp(l/z)). (1) Montrer que ~ ( 5 ) = Vp(SnRexp(-2i~<t)/tdt)existe pour tout réel E . En la décomposant en deux intégrales, montrer que son calcul +E se ramène à celui, classique, de JO sin(2n<t)/tdt. On en déduira que v([) = -ZT sign(<). On montre ensuite que les distributions TE,^ associées aux fonctions tronquées de 1/t sur [-A, - E ] ü [ E , A], lesquelles sont tempérées, convergent dans S' vers V p ( l / t ) et enfin que les transformées de Fourier de TE,^ convergent vers la fonction w. (2) Autre méthode : on montrera que la transformée cherchée est impaire, puis que t Vp(l/t) = 1 ; on obtiendra le résultat en utilisant une propriété de la transforniation de Fourier. Exercice 7.11 (calcul d'une transformée de Hilbert). Calculer, par la définition ou par utilisation de la transformation de Fourier, la convolée de V p ( l / t ) et de f telle que f ( t ) = + (t2 1)/(t2 + t + q2. CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ DE KORN DANS L p 430 Exercice 7.12 (transformée de Fourier d’une fonction radiale). Montrer, par utilisation d’isométries, que si f est une fonction de L1 ( I R N ) telle que f ( 2 ) = g( IzI), alors la transformée de Fourier de f est une fonction dep= Jm. Exercice 7.13 (calcul d’une transformée de Hilbert). Soit la fonction f définie sur IR \ {O} par f ( t ) = It/))-’. On se propose d’en calculer, par deux méthodes différentes, la transformée de Hilbert H f . Sur cet exemple de calcul, on a l’occasion d’illustrer les résultats de certains théorèmes. Ainsi, le théorème 7.29 qui identifie deux définitions de la transformation de Hilbert, la proposition concernant le type ( 1 , l )faible de la transformation et le corollaire 7.35 concernant la propriété de cette transformation d’opérer de L” dans liii-même pour p > 1. À cet égard, on remarque d’abord que la fonction f donnée est dans LP(IR) pour 1 p < 2. (m(1 + < (1) Première méthode de calcul. Soit la fonction F définie sur R par F = f gy où g y ( t ) = t / ( t 2 g 2 ) , avec y > O. Par une des définitions du cours, la transformée de f est définie par * + H f ( z )= 1 lim F ( z , y ) ; - 7r Y+O+ où : - En changeant x en - 2 , on obtient au signe près, la mème intégrale transformée par le changement de variable t -t. I1 en résulte que la fonction II: H F ( z , y) est impaire, ce qui permet de limiter le calcul à z > O. Par des changements de variables, on se ramènera à effectuer, par exemple en utilisant le théorème des résidus, le calcul de deux intégrales de fractions rationnelles sur R. ( 2 ) Deuxième méthode d e calcul d e H f . On se sert de la formule On effectue donc le calcul de .II,>. JW 1 (1 + dt. 12 - tl)t On peut, par exemple, décomposer cette intégrale en trois intégrales, l’une d’elles portant sur une fraction rationnelle et se calculant par le théorème des résidus. 7.5. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 7 431 On montrera finalement en quoi les résultats obtenus constituent des illustrations du théorème 7.29 et du corollaire 7.35. Indications. (1) Première méthode de calcul. On décompose F ( z ,y) en deux intégrales sur ]O, +m[, à savoir : et Comme ces fonctions sont paires : 0 Calcul de 1(z,y) pour z > O. On se sert du théorème des résidus. On pose 8 = arctari(y/z), qui appartient à ] - 7r/2,7r/2[et p = Soit la fonction G de la variable complexe z définie par : x + z2 G ( z )= (1+ 9)(2 + 1L + i y ) ( z 2 + z - i y ) J."+1J". La racine de z2 + z + i y , dans le demi-plan supérieur, s'exprime, lorsque z > O par z1 = i& exp ( i 8 / 2 ) . Pour z2 + z - i y , la racine est z2 obtenue en changeant 8 en -0 dans z1. Le théorème des résidus fournit : I ( z , y) = 2 i ~Rés(G. [ i) + Rés(G, 21) + Rés(G, Pour les pôles sirriples, la formule classique nous donne pour Rés(G, i ) = 2i(p2 On en déduit, quand z > O l(zly) = ++ ZZ)]. z >O : 2-1 1 - 22). + : 2-1 1- 22 e-28/2 + LJir(1 - z - + 2&(1 iy) 0 Calciil de J ( z , y ) pour x > O. On est conduit à des calculs analogues. On trouve : e+28/2 - x +iy) 1 CHAPITRE 7. SUR L'INRGALITÉ DE KORN DANS L1' 432 On obtient ainsi la fonction F F ( z ,Y) = .[ +2 -11 2 2 + 2&(1 p2 - + : ,-te/z + + + 2&(1- z i y ) + iy) + 2&(1+ x - iy) 2&(1 + z + iy) x+1 p2 1 22 ,+te/2 - ,-%e/2 ,+%e12 - - Passage à la limite lorsque y + O+. C'est immédiat car il suffit de remplacer y et 0 par O, p par x et, puisque x > O, f i par 6. On obtient ainsi la transformée de Hilbert de f : 0 En utilisant l'imparité constatée ci-dessus, on constate que la fonction obtenue est définie partout sauf en z = O, ce qui constitue une illustration de l'existence p.p. de la transformée de Hilbert (cf. proposition 7.26). Par ailleurs, en se basant sur la formule précédente, on voit que la transformée H f est dans l'espace Lp pour 1 < p < 2, ce qui constitue, sur l'intervalle ]1,2[,une vérification du corollaire 7.35. (2) Deuxzème méthode de calcul. On effectue donc le calcul de lt,>E JT.-tT(i + 1 Iz - tl)t dt. En supposant x > O et E < x , cette intégrale peut se décomposer en la somnie de trois termes 1 1 , 1 2 et I 3 en intégrant sur les intervalles ] - 03, - E [ , ] E , z[ et 132, +CO[. Des changements de variable nous donnent : J, -E 11 = I2 = LZ dt m(i + = - t)t -2/+= J.T;(1 dt &z(i +z - (1 t)t + ."(.2 + du - ). - z) du u2)(.2 du dt Les calculs de I I et I2 peuvent être faits élémentairenient, le calcul de résulter du théorème des résidus. On trouve : I2 =- I3 = 2i7r [Rés(g; i) l+z + Rés(g;ti\/.)] = 7r [ 1 I 3 peut 7.5. EXERCICES SlJR LE CHAPITRE 7 la fonction g étant la fonction complexe z 433 1 H (1 +z q z + (la formule pré22) cédente étant encore valable par passage à la limite lorsque le pôle est double, à savoir lorsque z = 1). I1 nous reste à passer à la limite dans la somme de ces trois termes lorsque E + O. Puisque, par une équivalence immédiate, on a lim+o d-= O, on obtient finalement, pour z > O : ‘2) ( Hf(z)= 1 1 1 1 If z [s-l+ (1 4&1= 1 + z + &(if + 1 - J.) ’ La fonction Hf étant impaire, le calcul est terminé et on constate l’identité de ce résultat avec celui trouvé dans la première méthode, ce qui était annoncé dans le théorème 7.29. [* I Exercice 7.14 (calcul d’une transformée de Riesz dans R2). Soit f ( z ,y) = l/(z2+ y2 + 1). On pose p2 = 5’ + v2. Montrer que En décomposant une fraction rationnelle pour se ramener à une intégrale simple trigonométrique, montrer que donc s’exprime à l’aide d’une fonction de Legendre. Exercice 7.15 (convergence uniforme, non tangentielle, de P ( . ,y) * f lorsque Y 0). On rappelle que le noyau de Poisson s’exprime par P ( t ,y) = y/(t’ ;y2). Soient 50 E R et un réel 01 > O. On désigne par r,(z0) le cône ouvert de sommet z0 E R,inclus dans IR x ]O, +CO[, défini par : -+ + ra(z0) = ((2, Y) E x IO, +m[ I 15 - Z O l / Y < ..I. On propose de montrer que, si f E L P et si z o est un point de Lebesgue de f , alors : (7.79) (1) Montrer d’abord que, s’il existe une constante d, > O telle que : (z, Y) E ra(z0)’ M E R, P ( 5 - t , Y) < WYzo - t , Y), alors la propriété (7.79) est vérifiée. ( 2 ) Démontrer l’existence de d, revient à prouver l’existence d’un minimum strictement positif i/da pour la fonction ‘p définie sur R par p(t) = (y2 (x - t)’)/(y2 ( 2 0 - t)’)),zo et y étant fixés. + + CHAPITRE 7. SUR L’INÉGALITÉ D E KORN DANS L” 434 (a) En supposant d’abord z > 5 0 , effectuer l’étude de cette fonction en déterminant le signe de sa dérivée, lequel est celui d’un trinôme du second degré. En déduire, dans le cas z > 2 0 , la minoratiori : vt E Rl P(t) 3 + J(. zo + J(. (20 - z - .0)2 .( - .0)2 - + + 4?/2)2 4y2)2 En déduire une minoration analogue lorsque z formule : < + + 50 y2 y2’ et prouver la (b) Étudier les variations de ce minimum en utilisant la variable u = Iz - zol/y. En déduire l’existence annoncée ci-dessus, du nombre d a . Indications. (1) À l’aide de la propriété s, P ( z ,y ) d x = 1, on a : et, ce dernier terme tendant vers O puisque z o est un point de Lebesgue de f (cf. proposition 7.3 et remarque 7.4), on obtient la convergence uniforme dans le cône ra(zo)lorsque y converge vers 0. (2) La dérivée ‘p’ est du signe du trinôme T = t 2 - ( x + zo)t + zzg - y2 dont le discriminant A = (17: - z ~ +)4y2~ est > O. Les deux racines sont données par t, = z z o a / 2 où j E {1,2}. On a T ( z o ) = -y2 < O, ce qui indique que z o E ] t ~ t 2 [, . La fonction ‘p est donc décroissante sur [ t l ,t z ] et croissante à l’extérieur de cet iiitervalle. On a, puisque z > z o : + * De plus, la limite de ‘p en -03 est égale à 1. Il en résulte que min ’p = ‘ p ( t 2 ) = 4y2 4y2 + (a + + (Ja (zo : (20 - - - z)) 2‘ Dans le cas 17: < 50, la fonction est changée en son inverse et on obtient le inênie résultat en utilisant dans ce qui précède la racine t i , ce qui revient, dans la formule donnant le minimum, à remplacer z - 20 par son module. (b)Ladérivéedelafonctionm(u)= [ l + ( u - d m ) 2 ] / [ 1 + ( u v‘-)~], + où la variable u est positive, est du signe de - (u - JFZ) (1 + (u+ Ju2+4y) - ((u + Ju2+4y(l+ (u + donc négative. Le minimum de m est donc m(cr),ce qui termirie. 7.5. EXERCICES SiJR L E CHAPITRE 7 435 Exercice 7.16 (détails de construction des fonctions pi du lemme 7.55). Démontrer le résultat constituant le lemme 7.55 : Soit R un ouvert borné de R N . Alors, il existe des fonctions pi, i E [1,N ] daris D(R) telles que : et une fonction p daris D(R) telle que : + indications. L’ouvcrt 0 étant borné, dans L2(R), les N 1 fonctions 2 0 ,z2,où est la fonction z H 1 et les autres les fonctions coordonnées, sont libres daris L2(62).En déduire l’existence des fonctions E L2(R) telles que le déterminant zo <% Utiliser ensuite la densité des fonctions de D(62) dans L2(t2).Enfin, on cherchera ies fonctions sous la forme (p2 = N a z , k < k . E,=, APPENDICE SUR LA RÉGULARITÉ I1 s’agit, dans cet appendice, de compléter des résultats, concernant la régularité des solutions de certaines EDP elliptiques étudiées dans le chapitre 5 ; tout particulièrement ici celles des solutions de l’équation du p-laplacien. On rappelle un résultat utilisé dans le chapitre 5, pour montrer le principe du maxiniuni strict de Vazquez. Soit 61 un ouvert borné de IRN. Le réel p étant donné > 1, on suppose que y appartient à WlP1/P.P(S1). Alors la solution du problème [Lap]0,lequel s’exprime par : - div(IVuIPP2Vu) = O dans 0, sur d a , 11 = y est de classe C1 à l’intérieur de R. En fait, ce résultat est, équivalent au suivant : Si IL est solution, dans un ouvert de RN,de -A,u = O, alors IL est de classe C1 dans cet ouvert. Les étapes qui conduisent au résultat général indiqué sont très longues et assez difficiles. Elles résultent dans les cas p 2 et p 3 2 d’articles d’auteurs différents, à savoir pour l’essentiel, Evans [21], Moser [33], Tolksdorff [43], Lewis [32],Di Benedetto [17]. Aussi, notre objectif n’est pas d’atteindre, en adaptant ces preuves au contenu de notre ouvrage, le résultat suivant lequel les fonctions pharnioniques sont de classe C1. En fonction des remarques faites précédemment, nous avons plut,ôt fait le choix d’une présentation partielle des argumentations utilisées par les auteurs cités ci-dessus, en insistant sur les techniques d’estimation a priori et de dérivation fractionnaire qui peuvent être mises eri œuvre pour ce type d’équations. < APPENDICE SUR LA RÉGULARITÉ 438 L’appendice présent est ainsi consacré à la mise en place d’estimations pour le problème modèle des fonctions dites p-harmoniques, c’est-à-dire des solutions de -A,u = O. On commence par les estimations L”, lesquelles demandent des méthodes de troncature et une méthode itérative de Moser, assez aisée à suivre. On donne ensuite les estimations W1>kpuis W1,Oodans le cas où p 3 2, ce cas étant plus facile à traîter que le cas p 2, celuici demandant des précautions supplémentaires du fait de la singularité de l’opérateur Ap. < A . l . Estimation de type L” A . l . l . Appartenance à LOo(R) On commence par montrer que, si la fonction qui constitue la condition à la frontière est bornée, la solution du problème [Lap]: (cf. chapitre 5), sur un ouvert R borné et de classe C1 inclus dans IRN, est aussi bornée : Proposition A.2. Soit R un ouvert borné et de classe C1 dans IRN. Soit solution, dans W’J’(R), du problème : - div(IVuIP-2Vu) = O, la u = g sur dR. Alors, si ,q est une fonction de L”(dR), la solution u est dans Lm(R) et satisfait aux inégalités : min g < u < max g . Preuve de la proposition A.2. 0 On multiplie 1’EDP par (u- maxg)+, laquelle est une fonction appartenant à Wt’”(0) et on utilise la formule de Green généralisée. On obtient ainsi : L(/V~I”-~V~) . ( ~ ( (-um a x g ) + ) ) d z = O, ce qui entraîne l’égalité O ( ( u- niaxg)+) = O dans R , laquelle a pour conséquence (u-maxg)+ = C où C est une constante. Puisque, sur le bord, cette fonction est nulle, on en déduit (u- niaxg)+ = O dans 0, donc u maxg. En multipliant 1’EDP par (ming - u)+, on obtient, de la même manière, u 3 ming. < o A.1.2. Estimation locale L” Proposition A.3. E n l’absence de conditions sur le bord, la solution du problème [Lap]:, ù savoir la fonction p-harmonique u , satisfait ù : A . l . ESTIMATION DE T Y P E L“ 439 Preuve de la proposition A.3. O Dans le cas p > N , on sait déjà, par le théorème 2.31 d’injection de Sobolev, que u E Lm(R), ce qui termine pour la première affirmation de la proposition. O Dans le cas p = N , ce mênie théorème (cf. démonstration concernant l’étape E) nous apporte I’apparteiiance u E L~,,(R) pour tout y tel que p < y < +Co. O On se propose, en premier lieu, de montrer que, si p < N , alors, quel que soit y > p , la fonction pharmonique u appartient à L,poC(R). On utilise pour cela une méthode de troncature. Soit uhf définie, pour M > 1, par : uh1 = sup(-M, inf(u, M)). II est clair que, pour tout M , on a U M E w,’>~(R) n~ “ ( 0 ) . Dans ce qui suit on considère la suite de réels positifs { l m } n t ~telle que 10 = 0 et, pour tout m E N+,on a (21, p ) N / ( N - p ) = 2Z+,1 p . Cette + + suite est strictement croissante et converge vers +m. Pour démontrer que, pour tout q > p l’appartenance u E LP,, est vérifiée, il suffit donc de montrer que, pour tout entier m, on a u E LfZc.On est conduit ainsi à faire la preuve par récurrence de la propriété suivante : L’initialisation de cette récurrence est obtenue pour m = O, grâce au théorème 2.31 d’injection de Sobolev. Dans ce qui suit, on supprime, afin de simplifier l’écriture, l’indice m ; on remplace donc 1, par 1. Considérons vhf = ( U M / ~ ’ U A D’une ~. part, puisque ( u A ~ (est ” bornée et que U M E L p ( R ) ,on en déduit que vhf E L P ( 0 ) .D’autre part, le gradient O ( U Métant ) dans LP comme on le voit en dérivant au sens des distributions, on en déduit que \ J ( u h f ) est aussi le produit d’une fonction bornée par ~ ( U M E) Lp(R). De ces deux constatations, il résulte que vbl E W’J’(Q). Multiplions, étant une fonction régulière comprise entre O et 1, l’équation du p-laplacien par la fonction vhf<P. En utilisant la remarque ci-dessus concernant les gradients, ce qui implique que dans les produits qui figurent dans l’intégrale, le module du gradient (V(uhf)(se substitue à IVul, la formule de Green, sur R, appliquée au produit < APPENDICE SUR LA RÉGULARITÉ 440 donne l’inégalité : (A.4) (21 + 1)JL, ~ O ~ M ( ~ ) ~ ~ ~ U ~ ~ ( ~ ) ~ ~ ~ 4(”-‘lo< IVuhflP-11Unp(2)121+1dz. En appliquant au deuxième membre p B de la relation précédente (A.4) l’inégalité de Holder, on a, pour un réel a positif quelconque : En utilisant ensuite, pour a = 1/2, une inégalité de moyenne, on obtient une constante c ne dépendant que de p et de données universelles telle que : L’inégalité (A.4) s’écrit alors : (A.5) (21 + 1/2) .h c[l 1 0 u n f ( z ) l p l ~ ~ ( z ) 1 26L ~ p dlzu ~ l ~ ~ + ~ l V ( J P d z ] . On remarque que ~ V U M ~ P U s’écrit M (p/(21+ p ) ) ’ J ~ ( l u ~ ~ l ~ ~ La /~un;r)~~. fonction w = I ~ f i f / ~ ‘ / p uest ~ < dans W’J’, avec, pour expression de son gradient Ow = < V ( I U A ~ / ~ ‘ / J~uU~ M l ~)’ / p u ~I1Ven ( . résulte, à l’aide des inégalités de Minkowski et de Holder discrète : + < d P ’ [~I6V(IUMl21IpUM)l/p+ ) ~ l u M I 2 ~ / p u M V < I I j . En remarquant que (41 + l)(p/(21+ p))P est majoré par une constante ne IlVwllp dépendant que de p , l’équation (A.5) nous donne : On utilise, à présent un raisonnement qui conjugue l’inégalité de Sobolev et celle de Poincaré : puisque w E W’,p(O) et que p < N , on peut utiliser le théorème d’injection de Sobolev pour en déduire l’inégalité CIIWIIWI,~. De plus, ( étant à support compact, on a aussi, par l’inégalité de Poincaré IIwllw~,~ C’IIVWIILPEn utilisant ces inégalités pour minorer le premier membre de (A.5), on trouve : < < Utilisons à présent l’hypothèse de récurrence, à savoir u E L ~ ~En~ rep . marquant qu’en raison de O ( 1, on a ((2‘fp)N/(N-p) (Np/(Npp), < < < ( ~ A.l. ESTIMATION D E T Y P E La 441 on peut effectuer le passage à la limite à droite dans l’inégalité précédente lorsque M + $00. En ayant posé CL,^ = (21 1/2)pP/(21+ p)P, on obtient la relation : + Le lemme de Fatou ou le théorème de convergence monotone nous assure alors que u E Lloc ( 2 1 + p ) N ’ ( N - ~ ) ( ~ ) , ce qui termine la récurrence. On a ainsi prouvé que, quel que soit q > p , la fonction u appartient à LPoc(W En deuxième lieu, on veut montrer l’appartenance de I L à LEc. Nous présentons le cas p < N en détail. Une remarque située à la fin de la démonstration permet d’adapter aisément la preuve au cas où p = N . Au cours de cette preuve, nous utilisons des majorations uniformes pour des gradients de fonctions régulières, comprises entre O et 1 dont les supports constituent une suite croissante de compacts. Pour cela, on a le : 0 Lemme A.7. Soit R et a deux nombres strictement positifs. Il existe une fonction de D ( B ( 0 ,R a ) ) égale à 1 sur B(0,R ) , comprise entre O et 1 et telle uue < + ow C est une constante universelle. Preuve du lemme A.7. O Soit cp une fonction paire sur R, telle que cp est à support dans { It1 6 2 ) et égale à 1 sur { It1 6 1 ) . On définit la fonction radiale W)). I1 est clair que C est à support dans B(0,R + a ) et vaut 1 sur B(0,R ) . En = cp(lzl/a + ( 1 - outre, ce qui termine la preuve : O Revenons à l’estimation de la proposition A.3. On suppose que zo E R et que R est tel que B ( z o , R )G R. On va montrer que u E L m ( B ( z 0 , R / 2 ) ) . Pour ce faire, on définit les suites {IC,}, {R,} et {l,}, cette dernière étant déjà définie dans ce qui précède, par ,< On définit aussi une fonction régulière, comprise entre O et 1,égale à 1 sur B(zo,R,+1), à support dans B(x0,R,) et dont le gradient, grâce au lemme précédent, satisfait à la majoration IV(,I 6 C / ( R m- R,+1) 2,C’/R. < APPENDICE SUR LA RÉGULARITÉ 442 Soit, enfin : am = </ Iulkm c y ( N - P ) d x B(zü,Rm) Des inégalités précédentes, on va déduire que, pour une constante K*, on a : En effet, posons B, = ~ ( zR,)~ , d’où Im+l = I, = et s ( / Iulkm ( < m ) N P ’ ( N - P ) d x , B ( z o,fL) 1+21nz/P(m+l) Npl(N-p)dx, Bm+1 < Donc, en élevant à la puissance ( N - p ) / N et en prenant pour la fonction < + ,I qui a les mêmes propriétés que l’inégalité (A.6) nous fournit : c, (1m+l ) ( N - P ) / N 6 K ~ Clm,P (s,,,b+l IMkm IVC,Imx) ou encore, en se servant de la majoration du gradient : cm Puisque, sur B,+l, on a = 1,cette dernière intégrale peut être remplacée par l’intégrale I ~ l ~ ~ < g ’ ( ~ -Enfin, ~ ) d xpuisque . Bm+l c B,, on peut majorer par l’intégrale de la même fonction sur B,. On en déduit : ,,,s, Finalement, en remarquant que l/k,+l = [ ( N- p)/N].[l/k,],l’inégalité précédente élevée à la puissance l/k, nous fournit la relation : am+l = [ 4 n + 1 ] 1 / k 7 7 L6 Kma,, inégalité dans laquelle on a posé : Comme [KC’P2(’”+1)p/Rp] ‘Ikrn est borné par K*, constante indépendante de 1 , et que on obtient la conclusion (A.8) annoncée. A.2. ESTIMATIONS W ’ ’ k ET W’.= DANS LE CAS p 2 443 En itérant cette relation (A.8)’ on obtient : m Qm+l ,< QO e x p [ C ln(K*) + pln(k,) - ln(k, - p + 1/2) 5 O La suite {k,} Ptant géométrique de raison > 1, la série de terme général (ln(K*) +pln(k,) - ln(k, - p 1/2))kJ-’ est convergente. En conséquence, quel que soit m, nous avons l’inégalité a,, ,< K’û.0. Par passage à la limite lorsque m + +mlon peut ainsi conclure à : + O j17LIILffi(B(z~~,R/2))I I u I / L ” ( B ( m , R ) ) . RemarqueA.9. Dans le cas p = N , on multiplie encore par IuI2‘u<P puis on utilise l’injection de Sobolev de W1iN dans Lq pour un y fixé > p . La suite k,, est alors donnée par ( q / ~ )et~ 21, p p = IC, = q / p ( p 2 1 m - 1 ) . + + RemarqueA.10. Soit?!, une fonction croissante telle que p ( 0 ) = O et Ip(z)l ,< CITJP-~. Alors, l’estimation précédente est encore valable pour une fonction u appartenant à W’J’(f2), solution dans R de : -a,u + P(u) = o. I1 suffit, lors de la multiplication de l’équation par I U ~ ~ ~ ~ ’ P Lde A ~ne C Ppas , prendre en compte le terme p(u)luhl 12‘ufir<Pdz qui est positif. s, A.2. Estimations W1,ket W1lm dans le cas p >, 2 Dans cette section, on suppose que p 3 2 et nous dérivons d’abord formellement l’équation du p-laplacien par rapport à la variable x i , ce qui revient d’ailleurs à considérer que u est une fonction régulière. Cette technique sera ensuite justifiée en utilisant la dérivation discrète, c’est-à-dire en remplaçant l’expression -8i(A,u) par (-Apuh A P u ) / h ,avec h = heL,et en généralisant ce procédé pour toutes les expressions dérivées. On conimerice par des estimations de / / V u / ( kIC, étant arbitraire avec k > p. + A.2.1. Estimations de Vu dans les Dans les calculs qui suivent, C est un symbole désignant des constantes qui peuvent varier d’une ligne à l’autre. En fait, ces différentes valeurs ne dépendent que de N , p , R et de données universelles. D’autre part, on supposera N 3 et, dans ce cas, on passe d’une étape & la suivante dans la récurrence utilisée, en considérant la puissance d’exposant q de llVullP où q N / ( N - 2). Dans le cas où N = 2, on reiriplacera cet exposant par un réel y > 1 arbitraire. Dans une première partie, on multiplie l’équation ai(-A,u) = O par <28iu,où C est une fonction régulière comprise entre O > APPENDICE SUR LA RÉGULARITÉ 444 et 1, on obtiendra ainsi c’est l’objet de la proposition A . l l une première estimation locale du gradient dans où k = p N / ( N - 2). On poursuivra en reprenant des inégalités analogues obtenues par la multiplication initiale de la même équation dérivée, par C21a,u12‘&u.On aboutira ainsi, par un procédé récursif, à la proposition A . l l qui fournit une estimation locale du gradient dans W1ikquel que soit k . ~ ~ Proposition A.11. Soit su une solution régulière de -A,u = O dans 0. Alors, pour tout p > O et tout g > O , on a l’estimation locale suivante d e u dans l’espace W1>‘“où IC = p N / ( N - 2) : ce qua s’écrat encore : (A.13) IIvuIl L“ ( B ( 0 , p ) ) 6 c(p’ P , O)11 L p ( B(O,p+o)). Preuve de la proposataon A.11. On remarque d’abord qu’en échangeant les dérivations. on obtient, en exprimant la nullité de &(-A,u) : O = aza,( IvuIp-2u,,) = a,( IvuIp-2u,,J + ( p - 2)IvuIp-4u,k,u,ku,,). On multiplie cette relation, comme il est dit ci-dessus, par (&u)C2. En intégrant sur RN et en transformant par la formule de Green, on obtient : 6 2p/’ IvuIp-2(lazvu. vul)<lai<l. RN On en déduit, en passant aux modules et en laissant tomber le deuxième terme du membre de gauche qui est positif puisque p 3 2 : Au second membre, on applique l’inégalité de Schwarz En appliquant alors, pour un certain choix de que nous utiliserons à plusieurs reprises : i E, l’inégalité de type Young A.2. ESTIMATIONS W 1 3 AET W1.- la relation (A.14) devient DANS L E CAS p 22 445 : On en déduit que pour une constante C > O, on a (A.15) On remarque que le premier membre de (A.15) n’est autre que l’expression Or, cette dernière intégrale s’écrit, grâce à la formule de dérivation d’un produit, sous la forme : En développant cette différence au carré et en appliquant au double produit correspondant l’inégalité précédente (*) pour E convenable, on arrive à une niinoration du premier membre de (A.15) qui nous fournit l’inégalité : La sommation sur i de cette inégalité (A.16) nous conduit ainsi à : Considérons, à présent, la fonction < l V ~ l l ( P - ~ ) /Puisque ~ V u . N > 2, le théorème d’injection de Sobolev permet d’écrire pour l’exposant critique 2 N / ( N - 2) : I I <I Vu1(p-2)/2vuII 2 N / ( N - 2 ) < cJI<Ivu((p-2)/2VuI I H 1 ( R N ) < et, comme la fonction est à support compact, on peut poursuivre la majoration en utilisant l’inégalité de Poincaré, d’où : (A.18) II C1Vu1(p-2)/2VuI 1 2 N / ( N - 2 ) < CllV(<Ivul(p-2)/2vu)II 2‘ En réutilisant l’inégalité (A.17), on obtient : Supposons, à présent, que la fonction régulière C soit comprise entre O et 1, à support dans B(0,p a) et égale à 1 dans B(0,p). Alors, ce qui précède entraîne, par la majoration habituelle du gradient V< (cf.lemme A . ï ) , le résultat annoncé : + APPENDICE SUR LA RÉGULARITÉ 446 Proposition A.21. Soit u u n e solution régulière de -Apu = O . Alors, pour tout p > O et tout u > O , il existe une constante C , dépendant de p, de O, de p et de 1 telle que : (A.22) Preuve de la proposition A.21. 0 On multiplie maintenant la dérivée par rapport à xi de l’équation du plaplacien par C2 l&~1~‘aiu. Par des calculs analogues aux précédents, généralisant ainsi le cas relatif à 1 = O, en particulier le passage de la relation (A.15) à la relation (A.17), on est conduit à : En utilisant encore la conjugaison, déjà utilisée ci-dessus, des inégalités de Poincaré et de Sobolev, les inégalités précédentes restent valables en remplaçant l’exposant p par p 21 dans chacune des intégrales. En notant q p = 4(21+ 1)/(21 +p)’, on obtient alors l’inégalité (A.23) qui n’est autre, à un coefficient près, que l’inégalité (A.19) dans laquelle p est remplacé par p 21, à savoir : + + < En utilisant encore une fonction régulière, à support dans B(0,p + 0) et égale à 1 dans B(O,p), on en déduit la majoration analogue à (A.20) : (A.24) <,;s. 1vu1(p+2/)N/(N-2) B(O>P) (Np2)/N 4 6 2/ lVul(p+2%x . O B(O,p+u) Ces inégalités permettent donc, l’entier 1 étant arbitraire, de majorer la norme de Vu dans Lpoc où q = ( p 21)N/N - 2 par sa norme dans Lp22r. Elles vont nous permettre de trouver des estimations locales du gradient dans LO”. + A.2.2. Estimation du gradient dans LEc Proposition A.25. Soit la fonction p-harmonique u dans IBN. Alors, quel que soit le point xo et quel que soit R > O , son gradient, qui appartient à LEc, satisfait à l’inégalité : A . 2 . ESTIMATIONS W ’ . k ET W1,- DANS L E CAS p 22 447 Preuve de la proposition A.25. On utilise la formule précédente (A.24). Pour cela, on définit, comme dans la sous-section A.1.2, la suite k , = (21, + p ) = (21,-1 + p ) N / ( N - 2), dont le premier ternie IC0 correspond à lo = O. Cette suite est donc géométrique de raison N / ( N - 2) > 1. On suppose O intérieur à 0. Soit R tel que B(0,R ) c 0. On définit également la suite {R,}, toujours définie par R, = (R/2)(1+ 2-,). On pose : d’où, par un calcul analogue à celui conduisant à la relation (A.8) : Qm+i < En utilisant le produit infini nz=o convergent, puisque la suite {IC,} obtient : “’k )‘lkrrL, lequel est est géométrique de raison > 1, on O ce qui entraîne l’inégalité annoncée. A.2.3. Justification de la dérivation formelle pour une fonction non régulière Au lieu de dériver par rapport ti x,, on utilise une dérivation discrète, + dorit le pas de translation est h = he,. On écrit à la place de l’équation, en --f désignant par uhla translatée de u d’indice h : (A.26) -A,uh + A,u = o. h Schéma de la démarche utilisée. Elle est analogue aux méthodes utilisées précédemment. Dans une première étape, 011 multiplie l’équation (A.26) par ((u”- u)/iL)C2 et on intègre sur l’ouvert O. On peut aisément remarquer que l’on a : APPENDICE SUR LA RÉGULARITÉ 448 À partir de cette inégalité, on montrera la formule : Dans une deuxième étape, nous multiplierons l’équation (A.26) par la fonction c21(uh- u)/h12‘(uh- u ) / h . On pose : &(u) = (IVuhIp-2Vuh IVwI”-2Vu). - En remarquant, comme dans l’étape précédente, la positivité de Iuh - U I 2 9 h ( U ) .( V u - Vu)C2, la formule de Green nous fournit l’inégalité : (A.29) (21 + 1) JI, luh - u ~ ~ ‘ D ~. (VU^ u) a - V~)<~dz 2Ll IDh(U)I luh - u/21+’<IV</dx. À partir de cette inégalité, des calculs analogues à ceux de la première étape permettront d’établir d’une part que, si V u E L ( p f 2 1 ) / 2alors , ce gradient appartient à L(p+2‘)N/(N-2) et, d’autre part, que la norme correspondante satisfait à la formule : qui généralise l’équation (A.28). Une récurrence est ainsi établie, I’initialisation se faisant à partir de (A.28). Première étape. Pour majorer le second membre de (A.27), on utilise maintenant la fonction vectorielle It1 i-2/pt. En lui appliquant l’inégalité des accroissements finis pour les vecteurs t et t’, on peut écrire : )Itll-2/pt - It’11-2/pt’) < (2 - 2/p)(ltl + ltl’)1-2/plt - t’l. En choisissant, pour 2 et y deux vecteurs donnés dans R N , les vecteurs t = 1x1(P-2)/2xet t’ = ly[(p-2)/2y, on obtient l’inégalité : (A.31) I IxIpp2x Iylpp2Y I = 1 1 lz ( P l z - 1 1 1% ( P / 2 - 1 x - (p-Z)/p ”/2-lyl - (IV1 a (2 - 2/P)(14P/2 + IYIp / 2 ) ( P - 2 ) l P I Dans ce qui suit, on pose (P-2)lPly(p/2-l YI Ixlp/2-1 x - I?p-lyl. A.2. ESTIMATIONS E T W’.” DANS L E CAS p 22 449 et Ah(u) = 2 1 ( J V U ” I ~ - ~ V -U IVulp-2Vu) ~ ((u”- u)<VC)dz ’ WN et on cherche à majorer AL(u) et à minorer Ah(u). En utilisant l’inégalité précédente (A.30) avec les vecteurs z = Vu et y = Vu” et l’inégalité (4 - 4 / p ) a b 6 EU’ C,b2, où E > 0 sera choisi ultérieurement, en fonction des majorations effectuées, on peut écrire pour le second membre Ah(u) de (A.27) : + Puis, en utilisant l’inégalité suivante : (A.32) (@ + bp/2)2/” 6 q a p - 2 + hp-2)1/(”-2) Pour la suite de l’argumentation, on conserve, pour simplifier, les notations x = V U et y = Vuh et on pose : Bh(u) lN 11z1(P-2)/2z - lyl(”-2)/”y12C2 dz, L’inégalité (A.27) se traduit alors par : IAh(U)I G 2EBh(U) + 2C€Ch(U). Poursuivons en minorant Ah (u)par une expression proportionnelle à Bh(u),ce qui nous permettra de majorer ensuite B ~ ( upar ) Ch(u) à une constante multiplicative près. Cette minoration peut être obtenue grâce au : APPENDICE SUR LA R É G U L A R I T É 450 Lemme A.34. Soit p u n réel 3 2. Il existe une constante > O , notée c p , ne dépendant que de p , telle que pour tout couple (x,y) d’éléments d e IRN, on a : (A.35) - ly/p-2y) . (x - y) 3 cpllzl( P - 2 ) P x - lyl(P-2)/2y12 inégalité d’où il résulte Ah(u) > cPBh(u). Preuve du lemme A.34. 0 On peut supposer quitte A diviser par 1z/pque z est de norme 1. Cas où 12 - y1 > 1/2. Supposons alors par l’absurde qu’il existe des suites { z n }et {y,}telles que lxTLl= I, Iz, -ynI > 1/2 et, ce qui entraîne que {yn} est bornée, que l’inégalité suivante ait lieu : 1 (1 IYnlP - (2, . Y T L ) ( 1 + lYnlP-2) 6 - ( I + + n IYnlP - 2(zn ’Yn)IvnI(P-2)/2). On peut alors extraire de z, et yn des suites telles que z, + z avec 1x1 = 1 et yn + y. Par passage à la limite dans l’inégalité précédente, on obtient (1+ lYIP - .( . Y ) ( 1 + lYlp-2)) 6 O? qui peut s’écrire aussi : (lzlP-2z - /ylp-2y) . (z - y) 6 o. Or, en utilisant la stricte convexité de la fonction z H I z I P , cette inégalité entraîne que y = 5 , ce qui constitue une contradiction avec Iz - y1 > 1/2. On en déduit (A.35). Cas OC Iz - y / < 1/2. Alors lyI > 1/2. On commence par montrer (A.35) dans le cas scalaire. Si z = 1, alors y E [1/2, 3/21 et, si z = -1, la situation est symétrique par rapport à O. On se ramène ainsi, dans le cas scalaire, prouver : (1 - yPP1)(l - y ) 3 ( p - 1124-p (1 - y q 2 P2 En effet, en changeant y en l / y , cette inégalité reste vraie lorsque y E [l,21, en particulier si y E [1, 3/21, Pour montrer (A.36), on utilise les accroissements finis pour la fonction y H yp-’, puis pour la fonction y H yPI2. On obtient, 0 et 8’ étant des réels de ]O, l [ : (A.36) V y E [1/2,1], (1 - l y l q ( 1 - y) = + ( p - l ) ( l 0(y - 1 ) ) q- y)2 3 ( p - 1)(1/2)p-2(1 - y ) 2 et (1 - /yylP/2)2= ( p / 2 y ( 1 + 0’(y d’où le résultat (A.36). - 1 ) y 2 ( l- y)2 6 P2 4(1 - y)2, A.2. ESTIMATIONS W’.k ET W’,““ DANS L E CAS p 3 2 451 On démontre à présent l’inégalité (A.35) dans le cas vectoriel, toujours pour 1x1 = 1 et’ IC// > 1/2, la constante cp étant définie par c p = [ ( p - l)/p2]L4-p. En effet, en utilisant en particulier l’inégalité (A.36) appliquée au scalaire Y = ( i - Iylp-’)(i - Iyl) : (lxlp-2z - IyIP-2y) ’ .( - y) = Y + (Iyl - 3 cp(i- I Y I ~ / +~ ()I Y~I - z . Y)(I = cp/12/(P-2)/22 IC. y)(l +IYI~~-~) + 2cpIy/l(p-2)/’qz.y - 191) - lyl(”-2)/2y12 + (IYl cp112/(p-2)/2z 1 - CPllXl( p - W 2 - - z ‘ Y)(l + lYlp-2) lyp)/2y12 + (IV1 3 + lylp-2) -5 . y)(l + - 2cP Y l(p-2)’2) ~y~(P-2)/2y~23 ceci puisqu’ori a, d’une part la majoration 15 . y( 6 (y1 et, d’autre part, la constante cP étant inférieure à 1, l’inégalité 2cplyl(p-2)/2 1 l y l ~ - ~Le . lerrirrie est donc complètement prouvé. O < + Revenons à la proposition A.25 en nous rappelant que la notation h désigne plus précisénient he, L’inégalité &(u) 2&Bh(U) 2c,ch(u) devient, grâce au lemme précédent (c, 2 ~ ) B h ( u ) 2C,Ch(u), autrement dit, puisque E peut être choisi inférieur à < cp/2, on peut conclure à l’existerice d’une constante C telle que l’on ait Bh(u) \< CCfl(u),ce qui doririe, cri divisant en outre par h2,la relation : < ~ jpUhJ(P-2)/2VlLh ~ < + JpuJ(7J-2)/2pu lb ce qui s’écrit donc : Dans la première intégrale du second membre de l’inégalité (*) la fonction (u”- 71)/h converge presque partout vers &u. La fonction u étant dans W’J’,la continuité de la translation Th daris L p et la coiivergence précédente de (71” - u ) / h vers &u donnent également la convergence de la deuxième intégrale du second membre vers APPENDICE SUR LA R É G U L A R I T É 452 On en déduit que le second membre de (*) converge, lorsque he, 2c s,- --f O, vers : (vulp-21d,u121v<(2d2”. L’intégrale du premier membre de (*) est donc bornée. On remarque aussi que l’intérieur de cette intégrale s’écrit, au facteur près C2, comme le carré du quotient 1 -IlvuI(P-2)/2vu - /puhI(P-2)/2vuh I’ Ihl lequel converge, presque partout, vers le module de la dérivée partielle 2 P ( Ivul(p-2)/2vu> . -a, De ce résultat, des limites précédentes et du lemme de Fatou, on déduit de l’inégalité (*) : (A.37) LN LN 6C IVulp-2( d , ~ 1 ~ / V < 1 ~ d z . L N En sommant ces inégalités de z = 1 à z = N , on obtient : (A.38) IV((VU((~-~)~’V~)~(~~~ < C VU(^-^ ( V t ~ ( ~ ( V < / ~ d z . .I,N Dans l’intégrale du premier membre de (A.38)’ on écrit : v(IvuI(p-2)’2vu)< = D (/vul(p-2)/2vu<) - lvul(p-2)/“u vi En élevant le module au carré et en appliquant, comme on l’a déjà fait précédemment, une inégalité du type ab &a2 b 2 / E , on en déduit : < IV(< / v u p ) / 2 v u ) 1 2 d : 1 .6 (A.39) L + c IVulPIV<12dr. ./KN N L’intérieur du gradient dans le premier membre a pour module la puissance d’exposant p de VU^<^/^. Donc, puisque ( V U ( P / ~est C dans L2 et que, d’après (A.39)’ le gradient de cette fonction est aussi dans L2, on en déduit l’appartenance < Iv?LIp/2 € H1(RN). Appliquons un raisonnement déjà utilise. D’abord, par le théorème d’injection de Sobolev, on a : <Ivul(P-2)/2vu E L2N/(N-2) et I(<I vu1(p-2)/2vu II 2 N / (N - 2 ) < I~<Ivul(’-’-2)/20uljH,. Par l’inégalité de Poincaré, qui permet de majorer la norme H’ par la norme du gradient dans L 2 , on obtient finalement la majoration : A.2. ESTIMATIONS W ' , k ET W',O" DANS LE CAS p 22 453 ce qui est la majoration (A.28) annoncée. Ceci terniine la première étape de notre argumentation. Deuxième étape. On va déduire de la majoration (A.40)' par un procédé analogue à ceux qui précèdent, que, de proche en proche, on obtient des estimations pour le gradient dans les espaces Lf",,, l'entier k étant arbitraire. On remplace l'hypothèse de la première étape, à savoir Vu E ,Cyoc, par Multiplions la différence Apuh- A,u par Vu E I (uh - uh - I (+IC2' 7L) 21 h où 5 est une fonction régulière comprise entre O et 1. En utilisant la formule de Green, on a vu qu'on obtenait l'inégalité (A.29) : Ah,l(7L) 6 I.( 2Ah,, ' où : On traite d'abord le second membre en utilisant l'inégalité (A.30) : Par une inégalité classique, avec E à choisir plus loin, cela devient : On utilise ensuite la minoration de A h , ~ ( u ,en ) , tenant compte de la définition de D h ( u ) ,à l'aide de l'inégalitt: (A.35) du lemme A.34 : uh - /VZlhI(P-2)/2V7Lh lVul(P-2)/2Vu h 2 I' Sans développer dans les détails des calculs qui sont analogues à ceux qui conduisent de (A.31) à (A.37)' en particulier par le choix d'un E convenable APPENDICE SUR LA RÉGULARITÉ 454 et l’utilisation de (A.32), on aboutit à : (A.41) LNI I2’C21 /VuhI(P-2)/2Vuh - /VuI(”-2)/2Vu2 h En tenant compte de l’hypothèse de l’appartenance de Vu à LyL2‘! on voit, par des arguments déjà employés, que le second niembre de (A.41) est majoré, en utilisant Holder avec les exposants ( p 21)/(21 2) pour h.(I et ( p - ,)/h/21+21V<12(21+2)/(P+21) ( ~ , l ~ - 2 1 v ~ l 2 ( ~ - 2 ) / ( ~ + 2 1par )1 : + 21)/(p + - 2) pour + (Ivu’~/P-~ + Par conséquent, d’aprhs (A.41), la suite est bornée dans L2. Puisque O ( ( V U ( ~est / ~ dans ) < L2, la suite {DfL(u)}converge fortement. puisque h est colinéaire à e,, vers ~ , ( I V U I ( P - ~ ) /dans ~ V UL2(supp(<)) ) et il en existe une sous-suite qui converge presque partout. De même. I(uh u)/hlzconverge dans L2 vers Id,ul‘, et il en existe une sous-suite qui converge aussi presque partout. Par le leninie de Fatou. 011 a donc : ~ JxN ~ 2 / ~ ~ / 2 ‘ / ~ ~ ( l ~ ~ l P / 2 ) 1 2 ~ ~ l&< LN IpUhl(P-2)/2v1p - lVul(P-2)/2Vu h C2I+l2‘1 2 I’ cette dernière suite étant bornée par c .I IVuIp+211v<12. En additionnant ces résultats pour les indices z de 1 à N . on obtient : Les résultats du chapitre 2 nous permettant d’écrire : on obtient l’appartenance de (Vu(P12+‘ à LFoc. A.2. ESTIMATIONS W ' . k ET W1,- DANS LE CAS p 22 455 On en déduit la nouvelle majoration : < On utilise la dérivation du produit de par I V ~ l ( ~ ' + p ) / ~qui , c econduit à écrire le premier membre comme l'intégrale portant sur le carré de : e. V(1V1LI(P+2')/2<) - Ip,j(P+2')/2V On termine comme on l'a fait dans l'étape 1 = O, ce qui conduit à l'existence d'une constante C indépendante de 1 telle que : Par hypothèse, la fonction IVUJP/~+'< appartient à Lf,,. La majoration précédente (A.44) prouve que le gradient de cette fonction appartient également à Lfoc. On en déduit que I V U ~ P / ~ +E' <H&,, d'où par le théorème d'injection de Sobolev : (A.45) II IVUIP/2+1 c IlpNl(N-2) II I V U I ~ / ~ + ' C IlHi. Enfin, en appliquant l'inégalité de Poincaré, on obtient : II lw4P/2+z< /lL2N,(N-2) 6 II V ( I V 4 p + 2 z ) l L c ) Par conséquent, en tenant compte de l'inégalité (A.45), on obtient l'appartenance de Vu à L ( p f 2 ' ) N l ( N - 2 ) . Par ailleurs, en raison de la majoration (A.44), on peut écrire l'inégalité annoncée dans (A.30), à savoir : Ceci met fin à la deuxième étape. Terminons l'argumentation. De cette dernière majoration, qui permet de passer de Vu E L ( p + 2 1 ) / 2 à Vu E L ( p + 2 1 ) N / ( N - 2 ) , on en déduit de proche en proche que Vu E Lk pour tout k . Enfin, suivant le procédé décrit plusieurs fois dans ce chapitre, en utilisant encore les suites { k m } et {&}, on obtient, par récurrence, une estimation de la norme L" de 1 8 1 ~ 1 . O {eTn}, BIBLIOGRAPHIE [l] R. A. ADAMS Sobolev spaces, Pure and Applied Mathematics, vol. 65, Academic Press, New York-London, 1975. - 121 C. AMROUCHE & V. GIRAULT - << Decomposition of vector spaces and application to the Stokes problem in arbitrary dimension >>,Czechoslovak Math. J . 44 (1994), no. 1, p. 109-140. [3] G . BARLES Solutions de viscosité des équations d e Hamilton-Jacoba, Mathématiques & Applicatioris, vol. 17, Springer-Verlag, Paris, 1994. - [4] H. BERESTYCKI, L. NIRENBERG & S. R. S. VARADHAN<< The principal eigenvalue and niaxinium principle for second-order elliptic operators in general domains », Comm. 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97 Ws,P(0), 191, 194 Wg”’p(0), 71 W,ULp(% 67 INDEX TERMINOLOGIQUE A absolue continuité, 61, 68, 312 algèbre normée, 27 application de (m,p)-prolongement, 88, 94 de (s,p)-prolongement, 208, 211 isométrique, 395, 406 rnesurable, 40 trace, 88, 93, 103, 106. 112, 121, 133, 134, 136, 323, 365 B base canonique, 406 d’ouverts pour une topologie, 16 dénombrable de voisinages, 30 de filtre, 8 de vecteurs tangents, 149 de voisinages, 9, 30, 31 duale, 14 orthonormale, 149 C calcul des variations, 283 cartes locales, 98, 246 coercivité, 236, 245, 283, 286 compacité, 18 compacité faible séquentielle, 307 comparaison de solutioris, 271 constante de Lipschitz, 69 de Poincaré, 241 univereslle, 441 convergence au sens des distributions, 367 dominée, 48, 53, 267, 388 étroite, 305, 324, 362 faible, 17, 229 *-faible, 391 forte, 55 monotone, 380, 441 riou tangentielle, 375, 391, 392, 433 presque partout, 199, 229 séquentielle faible, 17 uniforme, 41, 303 vague, 286, 305, 348, 349, 358, 359, 362 convolution, 32, 54, 86, 151, 308, 326, 390, 395, 404, 410 coordonnées sphériques, 179, 423 croissance linéaire, 351, 352 D décomposition de Lebesgue, 314, 356 densité d’un sous-espace, 44, 175, 185, 274, 284, 316, 317, 335, 341 d’une mesure, 313 superficielle sur a R , 134, 139 déplacements rigides, 111 dérivée A-riormale, 253 au sens des distributions, 38, 143, 159, 243 directionnelle, 234, 235, 237 fractionnaire, 117, 118, 126, 127, 172 normale, 4, 150, 179, 253, 277, 421 par rapport à un vecteur, 149 tangentielle, 98, 153, 179 464 INDEX TERMINOLOGIQUE différeiitiabilité au sens de Fréchet, 234, 239 au sens de Gâteaux, 234-236, 241 distribution à support compact, 54, 415 associée à une fonction localement soinmable, 35, 227, 402 d’ordre 6 IC, 33 déformations, 328 dans un ouvert, 29 de Dirac, 35, 39, 127, 141 gradient, 363 homogène, 227, 403 partie finie, 35, 57, 401 partie finie bilatérale, 58 partie finie logarithmique, 58 positive, 302 tempérée, 181, 182, 403, 420 valeur principale, 35 domaine d’une fonction, 351, 355, 369 E égalité de la médiane, 22 élasticité, 262 ellipticité, 1 épigraphe, 233 équation au sens des distributions, 363 cartésienne, 103 d’Euler, 264, 295 du plaplacien, 446 EDP du type divergence, 4 EDP elliptique dans un ouvert, 2 EDP elliptique en un point, 2 EDP linéaire, 1 EDP quasi-linéaire, 1 EDP strictement elliptique, 2 EDP uniformément elliptique, 2 équicontinuité, 19, 45, 102, 220 espace bidual, 19 de Baire, 10, 49 de Banach, 11, 53 de Banach séparable, 236, 254 de Hilbert, 22, 64 de Hilbert séparable, 53 de Sobolev, 61, 117 de Zygmund, 179 dual, 143, 253 dual algébrique, 14 dual topologique, 14, 33, 193 localement convexe, 8 normé complet (Banach), 10 propre, 244 quotient, 58, 262 réflexif, 21, 64 tangent, 150 uniformément convexe, 23, 25, 199 vectoriel topologique, 7 étoilé, 146, 176 exposant conjugué, 67, 144, 145 F famille de semi-normes, 8, 16 filtrante, 16 séparante, 16 fonction à croissance lente, 184, 428 i idécroissance rapide, 181, 413 à déforniations mesures, 341 à variation bornée, 71 s.c.i., 233, 242, 275, 309, 349 absolument continue, 59, 100, 108 analytique, 391 asymptote, 364 biconjuguée, 351 caractéristique, 154, 310 conjuguée au sens de Fenchel, 350, 352, 357, 358, 364, 368 convexe, 234 déplacement, 262 de Heavisidc, 57, 126 de mesure, 350, 368 de rearrangement, 55 en escalier, 56 eulérienne r, 227 faiblement s.c.i., 245 fortement mesurable, 192 hddérienne, 27, 86, 101, 109 harmonique, 272, 376, 378, 396, 422, 424 p-harmonique, 437, 438 holomorphe, 223, 374, 379, 391, 396, 420 p-intégrable, 309, 311 lipschitzienne, 27, 68, 135, 176, 208, 233 localement intégrable, 312 rriaxiriiale de Hardy-Littlewood, 374, 380 maximale de Hilbert, 399, 405, 407 mesurable, 41 p-mesurable, 311 MHL, 406 p-négligeable, 311 INDEX TERMINOLOGIQUE positivement homogène, 351 propre, 226, 242, 244 propre (à valeurs dans E), 350 radiale, 298, 358, 403 Riemann-intégrable, 69 simple, 55, 56, 191 sous-différentiable, 234 sous-harnionique, 273, 275 universellement mesurable, 370 fonctionnelle de Minkowski, 51 fonctions équi-intégrables, 55 p-équivalentes, 311 forme linéaire continue, 14, 17, 19-21, 51 séquentiellement continue, 34 formule de Fubini, 42, 63, 67, 121, 157, 205, 321, 398, 407 de Green, 138, 139, 146-148, 150, 175, 241, 242, 248, 253, 255, 256, 262, 270, 292, 294, 316, 345, 348, 350, 421, 439, 444, 448 généralisée, 138, 244, 253, 268, 346, 438 de Leibniz, 72, 159, 160 de Poisson, 424 de réciprocité, 226 de Taylor, 401 G gradients itérés, 179 H hessienne, 150, 365 hypercube, 69 hyperplan, 15, 24, 232 noyau, 232 hypersurface, 95, 149, 285, 301, 333, 343, 344 I identité de Picone, 290, 291 de Pohozaev, 299 inégalité de Clarkson, 25 de continuité, 222 de convexité, 125, 204, 235, 265, 291 de Holder, 40, 67, 70, 84, 101, 127, 132, 200, 415 discrète, 151, 440 généralisée, 40, 367 de Jensen, 53, 360 465 de Korn, 263, 328, 329, 373, 415, 416, 418 de Minkowski, 40, 41, 89, 440 de Poincaré, 239, 263, 265, 286, 440, 445, 452, 455 généralisée, 110 de Riesz, 374, 410, 415 de Schwarz, 444 injection compacte, 26, 29, 98, 218, 221, 320 continue, 26, 52, 79, 190, 202, 320, 334, 338, 366 critique, 74, 190, 297 de Sobolev, 88, 168, 240, 251, 297, 439, 440, 445, 452 intégrale supérieure, 311 J jacobien, 401 jauge d’un convexe, 51 L lemme de Dieudonné-Schwartz, 31 de Fatou, 55, 69, 194, 199, 396, 409, 441, 452 de Sobolev, 75, 214 M meilleure constante, 297 mesure à valeurs vectorielles, 305 absolument continue, 71, 349, 370 bornée, 71, 302, 323 chargeant une partie, 321 complexe, 302 conjuguée, 302 de base II,313 de Lebesgue, 40, 42, 52, 54, 55 ( N - 1)-dimensionnelle, 75, 110 partie positive d’une mesure, 304 partie réelle d’une mesure, 305 positive, 302 réelle, 302 singulière, 313 sur un ouvert, 302 mesures étrangères, 313, 368 étrangères (dans le cas vectoriel), 315 N normale, 139, 278, 282, 344, 365 extérieure, 141, 345, 346 norme d’opérateur, 11 466 INDEX TERMINOLOGIQUE hermitienne, 22 noyau de Poisson, 273-275, 374, 379, 391, 424, 433 de Riesz, 374, 401, 410 O opérateur compact, 52 de Laplace, 238 de Riesz, 374, 401 de translation, 69 de type ( p , p ) faible, 395, 408 divergence, 412 laplacien, 3, 411 plaplacien, 264, 282, 291, 294 ouvert de classe C’, 94 de classe C’-uniforme, 94 de classe Cm-uniforine, 98 lipschitzien, ix, 83, 95, 176, 220, 365 lipschitzien uniforme, 94 possédant la propriété de cône, 83 relativement compact, 108 P partie équilibrée, 7 absorbante, 7, 8 compacte, 18, 100 connexe, 232 convexe, 8, 232 équilibrée, 8 pintégrable, 310 précorripacte, 18, 43 relativement compacte, 18 séquentiellement compacte, 18 universellement intégrable, 310 partition de l’unité, 64, 94, 107, 246, 318, 324 point de Lebesgue, 375, 391, 433 polynôme de Taylor, 57 première valeur propre, 271, 289 principe de Hopf, 262, 290, 296 de Vazquez, 270, 295, 437 du maximum, 268 faible, 268, 275, 278 strict, 244, 270-272, 276, 278, 290, 291 problème aux limites, 3, 113 coercif, 283 de Dirichlet, 3, 238, 240, 241, 273, 276, 379, 424 non homogène, 238, 260 de Neumann, 4, 238, 241, 253, 255, 257, 296 nori homogène, 260, 261 de Newton, 4 des surfaces minimales, 5 du plaplacien, 4, 264 du bi-laplacien, 4 relaxé, 284, 286 propriété d’homomorphisme, 390 de (1,p)-prolongement, 94 de ( m ,p)-prolongement, 98 de Baire, 10 de moyenne, 421, 422 R réarrangement, 379, 383, 386 recollement, 105, 109, 252, 323 recouvrement, 18, 28, 43, 64, 65, 107, 108, 168 régularisation, 32, 72, 198, 422 relèvement, 126, 137, 144, 145, 151, 154, 155, 163, 167, 177, 274, 275, 286 S second théorème de Green, 115 semi-norme, 8 série de Fourier, 23 solution élémentaire, 75, 85, 114, 216, 326, 327, 363, 421 sous-différentiel, 234, 368 suite d’approximation, 192 de Cauchy, 12 minimisante, 237, 242, 243, 245, 265, 284, 286, 292, 297 régularisante, 31 sornmable, 49 support d’une distribution, 37 surface minimale, 285 sursolution, 279 T tenseur des contraintes, 110, 179, 262, 417 théorème d’Ascoli, 45, 52, 102 d’Ascoli-Arzela, 29 d’injection, 212 d’injection de Sobolev, 97 de Banach-Steinhaus, 12 de Bessel-Parseval, 53 INDEX TERMINOLOGIQUE de de de de de Cauchy, 226 convergence dominée, 42, 57, 235 convexité d e Riesz, 222 Green, 115 H a h n - B a n a c h , 7, 14, 22, 142 forme géométrique, 14 d e Hausdorff-Young, 224, 340 d e Helly, 23 d e l’iniage ouverte, 11, 137, 343 d e Lebesgue-Radori-Nikodym, 370 d e Marcinkiewitz, 222, 397 d e Mazur, 5 1 d e Phragmèn-Lindeltif, 223 d e Plancherel-Parseval, 183, 396 d e Riesz, 22, 114, 222 d e Sobolev, 109 d e Stone-Weierstrass, 27 d u graphe fermé, 5 1 des résidus, 420 topologie d’e.1.c. séparé, 9, 16 d e la riornie, 16 faible, 15, 266 faible-étoile, 16 forte, 15, 36 467 intermédiaire, 317, 319, 323, 359 t r a c e d’ordre supérieur, 148 t r a c e normale, 253 transformation adjointe, 398 d e Fourier, 182, 185, 395, 403 d e Fourier inverse, 410, 411 d e Hilbert, 401, 429 d e Riesz, 35, 401, 402, 405, 433 t r a n s l a t é e d ’ u n e distribution, 37 t r o n c a t u r e , 439 t r o n c a t u r e e t régularisation, 71, 197 U uniforme convexité, 46 ellipticité d’une matrice, 240, 247, 250, 255, 260, 278, 289 V valeur critique, 242 d’adhérence, 41 propre, 242, 244, 268, 283, 291 variation t o t a l e , 303, 361 vecteur t a n g e n t , 149, 151, 153, 179