Principe Fondamental
de la
Statique


13/08/2012 Principe fondamental de la Statique 1
 REVENONS AU PFD…
PFD
PFS
RÉSOLUTION PB Résultante mécanique = Résultante dynamique
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE Moment mécanique = Moment dynamique
• 2 FORCES
• 3 FORCES On peut aussi écrire en utilisant les torseurs:
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE
PLAN DE
SYMÉTRIE
Que devient ce principe s’il n’y a pas de mouvement du solide S ?

Evidemment :



Donc :



Avec A, point quelconque appartenant au repère lié à S




13/08/2012 Principe fondamental de la Statique 2
 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
PFD
Un système matériel (S) est en équilibre par rapport à un repère (R) si la
PFS
somme des torseurs des actions mécaniques extérieures s'appliquant sur (S)
RÉSOLUTION PB
est égale au torseur nul
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE
• 2 FORCES
• 3 FORCES
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE Avec A, point quelconque appartenant au repère lié à S
PLAN DE
SYMÉTRIE

Théorème de la résultante :
Si (S) est en équilibre par rapport à un repère
fixe, la résultante générale des actions
mécaniques extérieures à (S) est nulle :

Théorème du moment résultant :
Si (S) est en équilibre par rapport à un repère
fixe, le moment résultant en un point A
quelconque, des actions mécaniques
extérieures à (S) est nul :



13/08/2012 Principe fondamental de la Statique 3
 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DE STATIQUE
PFD Résoudre un problème de statique revient à définir entièrement les actions mécaniques
PFS extérieures s’appliquant à un système isolé.
RÉSOLUTION PB
Frontière de l'étude :
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE Le système (S) considéré doit être parfaitement délimité. Il peut comprendre une ou plusieurs
pièces ou partie(s) de pièce.
• 2 FORCES
Tout ce qui n'est pas (S) et qui agit sur (S) est dit "extérieur" à (S) et sera noté ( S )
• 3 FORCES La frontière d'isolement permet de distinguer (S) de ( S )et facilite la prise en compte des
RÉSOLUTION différentes actions mécaniques extérieures qui agissent sur (S) .
ANALYTIQUE
Isoler un système consiste à diviser l'univers en deux parties :
PLAN DE
SYMÉTRIE • d'une part le système matériel considéré, objet de votre étude :
• d'autre part, l'extérieur, c'est-à-dire tout ce qui n'est pas le système matériel considéré

Actions mécaniques extérieures / intérieures :
Sachant qu'en isolant un système matériel, on a définit une frontière qui divise l'univers en
deux parties : les actions mécaniques s'exerçant sur les composants de votre système
matériel vont être soit extérieures, soit intérieures à votre système.

Considérons les 3 solides S1, S2, S3 et le système matériel E = {S1 + S2} alors
S1 S3
• l'action mécanique exercée par S3 sur S2 sera extérieure à E S2
• l'action mécanique exercée par S1 sur S2 sera intérieure à E

Pour les problèmes de mécanique que vous aurez à traiter, seules les
actions mécaniques extérieures s'exerçant sur le système matériel
isolé seront à prendre en compte

13/08/2012 Principe fondamental de la Statique 4
 RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE PROBLÈMES DE STATIQUE
PFD
Ces techniques de résolution s’appliquent exclusivement aux problèmes plan faisant intervenir
PFS des actions mécaniques modélisables par des glisseurs coplanaires.
RÉSOLUTION PB
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE
• 2 FORCES
• 3 FORCES
RÉSOLUTION Un glisseur est un torseur dont le champ des moments
ANALYTIQUE s'annule en au moins un point. Sa résultante a donc le même A
PLAN DE effet en tous points de sa ligne d’action
SYMÉTRIE

Equilibre graphique d’un ensemble matériel soumis à deux actions mécaniques
Considérons le système matériel (S) soumis à deux
actions mécaniques modélisables par des glisseurs, on
montre que :
Un système matériel soumis à deux glisseurs de
résultantes et est en équilibre si et seulement si : A
+ = = B

et ont même support


On dira que les résultantes sont
directement opposées

13/08/2012 Principe fondamental de la Statique 5
 RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE PROBLÈMES DE STATIQUE
PFD Equilibre graphique d’un ensemble matériel soumis à trois actions mécaniques
PFS
Considérons le système matériel (S) soumis à trois actions
RÉSOLUTION PB mécaniques modélisables par des glisseurs, on montre que :
RÉSOLUTION B
En tous points P de la ligne d’action de ,
GRAPHIQUE
A
• 2 FORCES En tous points L de la ligne d’action de ,
• 3 FORCES I
RÉSOLUTION Il existe donc un point I, commun aux
deux lignes d’actions, pour lequel :
ANALYTIQUE C
PLAN DE
En ce point I, la somme de moments des actions
SYMÉTRIE
mécaniques devant être nulle, nous avons forcement :




Donc :
Si n’est pas nulle alors, la ligne d’action de passe
forcement par le point I



Un système matériel soumis à trois glisseurs est en équilibre si et seulement si :
- Le polygone formé par les résultantes est fermé. Ce polygone s'appelle dynamique des forces.
(c'est la traduction graphique du théorème de la résultante statique)
- Les supports des trois résultantes sont coplanaires et concourants en un même point.
(c'est la traduction graphique du théorème du moment statique)


13/08/2012 Principe fondamental de la Statique 6
 RÉSOLUTION ANALYTIQUE DE PROBLÈMES DE STATIQUE
PFD (1) (2)
Considérons le système matériel (S) soumis à trois actions mécaniques
PFS exercées par (1), (2) et (3). B
RÉSOLUTION PB A
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE Soit ci-dessous les éléments de réduction en un point O des torseurs
(S)
• 2 FORCES modélisant ces actions mécaniques : C
• 3 FORCES
RÉSOLUTION
ANALYTIQUE (3)
PLAN DE
SYMÉTRIE Le Principe Fondamental de la Statique exprimé en O s'écrit :

3

On peut donc aussi l’écrire :




Théorème de la résultante Théorème du moment résultant

Résoudre un problème de statique de façon analytique revient à trouver toutes les inconnues d’un
système de 6 équations


13/08/2012 Principe fondamental de la Statique 7
 NOTION DE PLAN DE SYMÉTRIE
Dans le cas où le système admet un plan de symétrie
PFD et pour la géométrie du système
PFS et pour les actions mécaniques,
on dit que le problème est plan.
RÉSOLUTION PB
RÉSOLUTION
GRAPHIQUE Les torseurs associés aux actions mécaniques sont
• 2 FORCES réductibles :

• 3 FORCES • à des glisseurs dont l'axe appartient au plan de
RÉSOLUTION symétrie
ANALYTIQUE • à des couples orientés suivant la direction orthogonale
au plan de symétrie
PLAN DE
SYMÉTRIE
Exemple:




Un tel système conduit à écrire seulement trois équations
algébriques traduisant analytiquement l'équilibre du
système matériel isolé.

Ici, par exemple :




13/08/2012 Principe fondamental de la Statique 8
 Le principe Fondamental de la Statique




FIN

13/08/2012 Principe fondamental de la Statique 9
 ADHERENCE ET FROTTEMENT
Compétence(s) accessible(s) :
- Isoler un solide ou un ensemble de solides et justifier l’isolement proposé ;
- Déterminer les actions mécaniques transmises,


Situation par rapport à
la chaîne fonctionnelle :


1 – FROTTEMENT / ADHERENCE entre solides
Cas du contact PARFAIT
Une liaison parfaite est une liaison dans laquelle le jeu entre les surfaces en contact
est NUL et dans laquelle le frottement et l'adhérence sont négligés. A0/1
0
Dans le cas d'un contact parfait, la force exercée par le solide 0 1
sur le solide 1, est normale au Plan Tangent Commun (P.T.C.).

A
Cas du contact REEL
Dans certains problèmes de statique, le modèle théorique de liaison parfaite n'est pas
applicable à la réalité.
Dans ces cas là, on devra tenir compte du phénomène physique de l'adhérence (ou frottement).


Définition : On appelle frottement ou adhérence la résistance mécanique au
glissement relatif entre 2 solides en contact.

1-1 ADHERENCE : Pas de mouvement

B0/1 Exemple: Le véhicule 1 est en équilibre sur un plan incliné 0.
A0/1
θ Tendance au mouvement de 1/0
G 
n 1
n
θ Dans le cas du contact réel, la force de contact n'est plus
0 normale au P.T.C., mais s'incline par rapport à celui-ci d'un
angle θ, du coté opposé à la tendance au mouvement.
θ
P

Si l'on continue à augmenter l'angle d'inclinaison du plan incliné 0, la force s'incline pour résister au mouvement
jusqu'à un angle limite θ = φ, au delà duquel il ne pourra plus y avoir équilibre,

1-1 FROTTEMENT : Mouvement


Glissement de 1 / 0
A0/1
 On appelle angle de frottement ou d'adhérence, la valeur limite de
φ n 1 l'angle d'inclinaison de la force de contact au delà de laquelle l'équilibre
n sera rompu.
θ
Lorsque la force est inclinée de l'angle φ, on est dans le cas de
0 l'équilibre «limite» ou « strict »,
θ=φ On parle de contact avec adhérence.


1/2
 ADHERENCE ET FROTTEMENT
Coefficient de frottement
Matériaux en contact
Le coefficient de frottement f se définit par la relation
Acier / acier (surface polie) 0,2

Le coefficient de frottement f dépend :
f = tan φ Acier / bronze lubrifié 0,07
- des matériaux en contact, Pneu / chaussée sèche 0,6
- de l'état des surfaces en contact (rugosité),
Pneu / chaussée verglacée 0,1
- de la présence ou non de lubrifiant
Exemples de valeurs de coefficients de frottement :


Cône de frottement / d’adhérence
De façon à définir la limite dans laquelle doit se trouver la force de contact pour qu'Il y ait adhérence, on trace le
cône de frottement de demi-angle au sommet φ.

L'axe du cône de frottement est porté par la normale n au P.T.C.
Adhérence Adhérence Frottement
«limite» ou « strict »
Pas de mouvement Mouvement

n  
A0/1 n
φ n n
φ θ
A0/1
n A0/1 φ n
θ θ

1 1
1 A A
0 VA1/0
θ<φ θ=φ θ>φ
0 0

La force est à l’INTERIEUR La force est SUR le cône La force est SUR le cône
du cône


2 – Résistance au ROULEMENT entre solides A0/1

Lors du roulement, l’élément roulant déforme la surface sur laquelle il
roule. L'action de contact prend donc l'orientation que montre la figure.
0 VO1/0
Le coefficient de roulement est donné par une distance δ entre la position
théorique et réelle du point de contact A.

La résistance au
A0/1 roulement est la A
N

composante tangentielle de l'action de contact A0/1
0 En admettant δ très faible, on peut écrire OA = R. Donc :
R
Résistance au roulement :
N
T
A R
T
Exemples: Matériaux en contact δ (mm)
δ(mm)
Acier /acier 0,5 à 1 . 10-3
Pneu /chaussée 0,5 à 2

2/2
 Cinématique du point
1-REFERENCE.
Tout mouvement d’un solide se fait par rapport à un autre solide appelé référence.
(Par exemple : la terre, la salle de cours, le bâti d’une machine ....)
Exemple : mouvement d’un avion par rapport au sol.
Si on considère le mouvement de l’avion 1 par rapport au sol 0 (mouvement 1/0), le
sol 0 est la référence.
Le mouvement de l’hélice par rapport à l’avion 1 (mouvement hélice/1) est une
rotation dont l’axe est l’axe de l’hélice. Le mouvement de l’hélice par rapport au sol
(mouvement hélice/0) dépend du mouvement de l’avion par rapport au sol.

Repère de référence.
Le repère de référence est un repère lié au solide de référence.

2-TRAJECTOIRE D’UN POINT.
La trajectoire du point M est la courbe décrite au cours du temps par le point M
lorsque celui-ci se déplace dans le repère de référence.
(La trajectoire est relative à un mouvement donc à un repère)

3-VECTEUR POSITION.
On considère un point M se déplaçant dans le repère de référence

La position, à un instant t donné, est définie par le vecteur position

4-VITESSE D’UN POINT.

4.1-Vitesse moyenne.
On considère un point M parcourant une distance L pendant un temps t :
L
La vitesse moyenne vaut alors : Vmoy
t
-1
(Unités : système international m.s ; il existe d’autres unités).

4.2-Vecteur vite