А . Г. Мерзляк Д. А. Номировский В. Б. Полонений М. С. Якир АЛГЕБРА 11 класе Учебник для общеобразовательньїх учебньїх заведений Академический уровень, профильньїй уровень Рекомендовано М инистерством образования и науки, молодежи и спорта У крайни Харьков «Гимназия» 2011

УДК [373.5 : 372.851]:[512.1 + 517.1] ББК 22.141я721 М52 Рекомендовано Министерством образования и науки, молодежи и спорта Украйни (приказ от 16.03.2011 № 235) Научную зкспертизу проводил И нст ит ут математики Национальной академии наук Украиньі Психолого-педагогическую зкспертизу проводил И нст ит ут педагогики Национальной академии педагогических наук Украиньі Це віщання — підручник з алгебри і початків аналізу для учнів 11 класів, я кі навчаються за програмою академічного або профільного рівня. Книга містить увесь необхідний теоретичний матеріал, передбачений державною програмою. Ц ей матеріал супроводжується великою кількістю розв’язаних прикладів типових задач. Книга містить також обширний дидактичний матеріал. Д ля більшості вправ у підручнику наведено відповіді або вказівки. Підручник адресовано учням загальноосвітніх навчальних закладів, учителям математики, керівникам математичних гуртків, студентам. Мерзляк А. Г. М52 Алгебра. 11 класе : учебник для общеобразоват. учеб. за­ ведений : академ. уровень, профил. уровень / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — X . : Гимназия, 2011. — 431 с. : ил. ISBN 978-966-474-176-4. Ото издание — учебник по алгебре и началам анализа д л я учеников 11 классов, обучающ ихся по программе академического или профильного уровня. В книге предоставлен весь необходимьій теоретический материал, предусмотренньїй государственной программой. Отот материал сопровож- дается большим количеством решенньїх примеров типовьіх задач. Книга содержит такж е обширньїй дидактический материал. К большинству упражнений в учебнике приведенні ответьі или указания. Учебник адресо ван учащ имся общеобразовательньїх учебньїх заведе­ ний, учителям математики, руководителям математических кружков, студентам. УДК [373.5 : 372.851]:[512.1 + 517.1] ББК 22.141я721 ISBN 978-966-474-176-4 © А. Г. М ерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Я ки р, 2011 © 0 0 0 ТО «Гимназия», оригинал-макет, художественное оформление, 2011

От авторов ДОРОГИЕ ОДИННАДЦАТИКЛАССНИКИ! В атом учебном году вьі оканчиваете школу, и мьі надеемся, что полученньїе знання станут для вас надежной основой в освоє­ ний будущей профессии. Надеемся, что атому будет способствовать учебник, которьій вві держите в руках. Ознакомьтесь, пожалуйста, с его структурой. Текст учебника разделен на шесть параграфов, каждьій из которьіх состоит из пунктов. В пунктах изложен теоретический материал. Осо- бое внимание обращайте на текст, вьіделенньїй жирньїм шрифтом. Также обращайте внимание на слова, напечатанньїе курсивом. Как правило, изложение теоретического материала завершается примерами решения задач. Зти записи можно рассматривать как один из возможньїх образцов оформлення решения. К каждому пункту подобраньї задачи для самостоятельного реше­ ния, к которьім мьі советуем приступать только после усвоения тео­ ретического материала. Среди заданий єсть как простьіе и средние по сложности упражнения, так и трудньїе задачи. Свои знання можно про- верить, вьіполняя задания в тестовой форме из рубрики «Проверь себя». Обратим внимание на то, что текст учебника структурирован со- гласно двум уровням — академическому и профильному. Текст, обяза- тельньїй для изучения только учащимися классов профильного уровня, отмечен пунктирной линией • . Соответствующие части учебника от- • деленьї также пиктограммами ^ 3 ^ . Учащиеся классов академического уровня могут использовать атот материал для самообразования. Под- черкнем, что для учащихся классов профильного уровня обязательньїм для изучения является весь учебньїй материал книги. Кроме учебного материала, в учебнике вьі сможете найти расска- зьі об истории математики, в частности о деятельности вьідающихся украинских математиков. Желаем успехов! УВАЖАЕМЬІЕ КОЛЛЕГИ! Зта книга является двухуровневьім учебником, текст которо- го предусматривает возможность организации учебного процесса в классах как академического, так и профильного уровней изуче­ ния математики. Государственная программа по алгебре и началам анализа про­ фильного уровня по сравнению с соответствующей программой ака- 3

Отавторов демического уровня предусматривает изучение более широкого пе- речня учебньїх тем, а также существенно более вьісокие требования к учебньїм достижениям учащихся. В учебнике части текста теоретического материала и упражне- ний, соответствующие требованиям программьі только профильно- го уровня, отмеченьї пиктограммой и пунктирной линией • . Учителя, работающие в классах академического уровня, могут ис- пользовать атот материал для формирования индивидуальньїх за­ даний, а также для организации работьі математического кружка и факультативних занятий. Красним цветом отмеченьї номера задач, которне рекоменду- ются для домашней работьі, синим цветом — номера задач, которне с учетом индивидуальньїх особенностей учащихся класса на усмот- рение учителя можно решать устно. Все задачи классифицированьї в соответствии с их сложно- стью. Уровни сложности соответствуют требованиям программьі для классов с соответствующим уровнем изучения математики. Условньїе обозначения П0 задания, соответствующие начальному и среднему уровням учебньїх достиж ениио ; . задания, соответствующие достаточному уровню учебньїх дости- п жении; jl * задания, соответствующие вьісокому уровню учебньїх достижений; Л* задачи д л я математических круж ков и факультативов; © доказательство теоремьі, соответствующее достаточному уровню учебньїх достижений; © доказательство теореми, соответствующее вьісокому уровню учеб­ ньїх достижений; окончание доказательства теоремьі; окончание решения примера; задачи, результат которьіх может бьіть использован при решении других задач; материал, соответствующий программе профильного уровня; рубрика «Когда сделаньї уроки:

§ 1 . Производная и ее применение | | Предел числовой последовательности Рассмотрим последовательность (а„), заданную формулой /7-го члена ап = П (также говорят, что зта последователь- п +1 ность задана формулой общего члена). Випишем несколько первьіх членов зтой последовательности: 12345678 2’ З’ 4’ 5’ б’ 7’ 8’ 9’ Если члени зтой последовательности изображать точками на координатной прямой, то зти точки будут располагаться все ближе и ближе к точке с координатой 1 (рис. 1.1). і аiут--^----l-- z. -^ 3 ®А;4М.■•-•1•■8.._.._.._.._н1 l т 2 3 4 5 6 789 Рис. 1.1 Иннми словами, значение вираження | а„ - 1 | с увеличе- нием номера п становится все меньшим и меньшим. Имеем: а„ - 1 = —1 77-77 -1 -1 77 + 1 77 + 1 77 + 1 77 + 1 Тогда, например, решив неравенство 1 <0,1, устанав- 77 + 1 ливаем, что Іа„ - 1 | < 0,1 при п > 10, а решив неравенство — —<0,0001, устанавливаем, что | а„ - 1 | < 0,0001 при п +1 /7 > 10 000, и т. д. Вообще, начиная с некоторого номера п0, значение вираження | а„ - 1 | становится меньше любого на­ перед заданного положишельного числа в (читают «зпсилон»). Найти /?о можно, решив неравенство ----- <в. 77 + 1 В зтом случае говорят, что число 1 является пределом последовательности (а„). Говорят также, что с увеличением номера 77 члени последовательности (а„) стремятся к числу 1. Рассмотрим последовательность (Ь„), заданную формулой 77-ГО члена Ьп = —. п 6

1. Предел числовой последовательности Випишем несколько первьіх членов зтой последовательности: 1111111 ’ 2 ’ З ’ 4 ’ 5 ’ б ’ 7 ’ 8 ’ \"' ' С увеличением номера п члени последовательности стре- мятся к числу 0 (рис. 1.2). ...Ь,Ь. Ь„ ,ґЛ ^ гі‘ 876 5 4 Рис. 1.2 Зто означает, что для любого положительного числа в можно указать такой номер п0, что для всех п > п0 вьшол- няется неравенство | Ь„ - 0 | < в. Поскольку | Ь„ - 0 | = —, то п номер п0 можно найти, решив неравенство —1 <^є. п Определение. Число а назьівают п р ед ел о м п о с л е д о в а ­ т е л ь н о с т и (ап), если для любого положительного числа є существует такой номер п0, что для всех п п{) вьіполняется неравенство | а„. —а \\ < є. Пишут: 1 іт а и = а (тут Ііт — зто начальние буквм фран- П—>со цузского слова limite — предел). Для примеров, рассмотрен- ньіх внше, можно записать: І іт П = 1, І іт —= 0. »-> ” П + 1 « -► П Последовательность, имеюгцую предел, назьівают сходя- щейся. Можно доказать, что каждая сходягцаяся последователь­ ность имеет только один предел. ПРИМЕР 1 Последовательность (ап) задана формулой ап = 4. Найдите 1 ітаи. П—>со Р е ш е н и е . Докажем, что 1 іт а и = 4 . Действительно, П—>со | а„ - 4 | = 0 при всех п є N. Позтому для произвольного по­ ложительного числа є и для всех п > 1 вьіполняется нера­ венство Іа„ - 4 І < є. Отсюда п0 = 1. Ответ: 4. 7

§ 1 . Производная и ее применение Последовательность (а„), все члени которой равньї, назм- вают стационарной. Аналогично примеру 1 можно доказать, что каждая стационарная последовательность (а„), где ап = с, имеет предел, равний числу с. Понятие предела последовательности имеет простую гео- метрическую интерпретацию1. Неравенство вида | а„ - а \\ < є равносильно неравенствам -в < а„ - а < в, то єсть а - е < а „ < а + е. Зто означает, что если 1 іт а и = а , то для любого є > 0 П—>со найдется номер щ, начиная с которого все членні последова- тельности принадлежат интервалу (а - є; а + є). Иннми словами, каким бьі малим не бил интервал (а - є; а + є), члени последовательности, сходящейся к числу а, рано или поздно попадут в зтот интервал и уже никогда не вийдут за его граници, то єсть вне указанного интервала может на­ ходиться только конечнеє количество членов последова­ тельности (а„). Последовательность, не имеющую предела, називают расходящейся. Например, последовательность (с„), заданная формулой с„ = /7, является расходящейся, так как любой интервал (а - є; а + є) содержит только конечное количество членов последовательности (а„) (рис. 1.3). 1, С•1 С2 сз с4 є » 012 34 5 Рv -• •. •-.іі...• . . j .. . . . . Рис. 1.3 Расходящейся является и последовательность (d„), задан­ ная формулой d„ = (-1)\". Действительно, предположим, что последовательность (d„) является сходящейся и limdn =a. П—>со Тогда для є = — вне интервала( а - —; а + —], длина которого 2 \\ 2 2) равна 1, должно находиться только конечное количество 1 Обращаясь к геометрической интерпретации, промежуток вида (а; Ь) часто назшвают интервалом, а промежуток вида [а; Ь] — отрезком. 8

1. Предел числовой последовательности членов последовательности (d„). Виписав несколько первих членов последовательности (d„): d^ — lj t^2 —1 ? da — I 9 d± —I 9 >><9 видим, что ни при каком а интервал | a - —1 ; a + —1 IІ не может содержать числа -1 и 1 одновременно (рис. 1.4). Зто озна- чает, что виє интервала иаходитси беокоиечиое количество членов последовательности: или d x, da, d5, ..., или d2, <і4, de, ... . І _____ а іх 1-1 ® 1 Iе * J ( а —1 ; а + 1- ) ґ 1 і \"і 1 2 2) a— ;a+ - 1 2 2J Рис. 1.4 Следовательно, (d„) — расходящаяся последовательность. Находить предельї числових последовательностей помо- гает следующая теорема. Т еорем а 1.1 (об ар и ф м ети ч еск и х дей ств и я х с п р едел ам и п осл ед ов ател ь н ост ей ). Если последова­ тельности (а„) u (Ь„) — сходящиеся, то последовательно­ сти (а„ + Ь„), (а„ - Ь„), (а„Ь„) также являются сходящимися, причем lim (ап+Ьп) = Ііш ап+ Ііхп Ьп, п —> со п —> со п —>со lim (a„ - ) = lim ап- lim bn, п —>со п —>CO n . —> CO lim (a„ b„) = lim a„ • lim • n —>co n —>CO n —>co Если, кроме зтого, limbn Ф0 u b„ ф 0 при всеx n є N, mo сходящейся также является последовательность причем lim ап lim b. \" >' Ь 9

§ 1 . Производная и ее применение Доказательство теореми проведем только для последо- вательности (а„ + Ь„). Для последовательностей (а„ - Ь„), (а„Ь„) и (а, ^ с доказательством теореми ви сможете ознайомить­ J ся, например, по учебнику «Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса с углубленнмм изучением мате­ матики»1, п. 46. Пусть lim а =а . Тогда для произвольного числа в > 0 существует такой номер п'0 , что для всех п > п'0 вмполняет- ся неравенство | ап- а \\<в , то єсть а - е < а „ < а + е. (1) Аналогично, пусть limfcn =fc. Тогда для произвольного П—>со числа є > 0 существует такой номер п”, что для всех п > п” вмполняется неравенство \\Ьп-Ь |<є , то єсть Ь -г< Ь п <Ь + г. (2) Виберем такой номер п0, что я0 > п'0 и п0 > п^. Тогда для всех п > щ одновременно вмполняются неравенства (1) и (2). Сложив зти неравенства, получим (а + Ь) - 2є < ап + Ь„ < (а + Ь) + 2є, І (а„ + b„) - (а + b) І < 2є. g Если для любого числа Bj > 0 вмбрать є = —, то последнее неравенство можно переписать в виде І (а„ + b„) - (а + b) І < єг. (3) Таким образом, для любого Bj > 0 существует такой но­ мер п0, что для всех п > п0 вмполняется неравенство (3). Зто значит, что последовательность (а„ + Ь„) является схо- дящейся и lim (аи+bjt) = a + b = lim ап+lim bn. А 1 А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса с углубленншм изуче­ нием математики. — Харьков: Гимназия, 2010. Далее будем ссшлаться на зтот учебник «Алгебра-10 с углубленншм изучением математики». 10

1. Предел числовой последовательности ПРИМЕР 2 Найдите lim 2га+ 1 ( 2п 1 лі = lтim L 2 + —Я . га V п П у I «->-«4 ray Р е ш е н и е . Имеем: lim 2га+ 1 га Последовательность с общим членом ап = +^ представ- га лена в виде суммьі двух сходящихся последовательностей с общими членами х„ = 2 и уп = —. Тогда можно записать: га lim | 2 + —І= lim 2 + lim —= 2 + 0 = 2. • П —if со П —> CO Y l ПРИМЕР 3 Вичислите предел иli^mсо 5га+ 3 11-4 п Р еш ен и е. Разделим числитель и знаменатель дроби 5га+ 3 на п: 11-4га п.l.i—m>СО-1-oх1-n-_-+-Л-тЗо-п= lптi—.m>СО-1-5-1-+- -п—, . -----4 В числителе и знаменателе полученной дроби записанм общие члени сходящихся последовательностей. Тогда: 5+- Ит 5+—п Ііт 5+ Ит — 5+0 5 lim п lim І - - 4 П —>со П —>со J2- 11 - 4 ~И т -1-1---Ит 47 “ 0 ^ 4 “ “ 4' п >со fX п —>со Т е о р е м а 1 .2 . Если последовательность (а„) являет ся сходящейся и а„ > 0 при всех п є N, т о последователь­ ность с общим членом также является сходящейся, причем lim Jati = /ііт ап . п—>оо V п\\ —>со С доказательством теореми вьі сможете ознакомиться, на- пример, по учебнику «Алгебра-10 с углубленньїм изучением математики», п. 45. 11

§ 1 . Производная и ее применение ПРИМЕР 4 Вичислите предел 1іт(\\І4п2+п - 2 п ) . П—>со Р е ш е н и е . Проведем тождественньїе преобразования: лГ/4/го + п - 2r.п = (-V---4-п--2--+--п-+. 2п) (л/-4--п-2--+--п------2-п--) = \\І4п2 +п + 2п І4іг2 + п ) - 4 п 2 п \\І4п2 + п + 2п уі4п2 + п + 2п 4+-+ 2 п Теперь долучаєм lim {yj4n2+п - 2п) = lim . ^ 11 1 -4/ 4 + 2 4 4 +—+2 п І Упражнения 1.1.° Укажите (без обоснования), какое число является пределом последовательности с общим членом х„: -1.ч) х„ —оЗн 1і ; ^2) х„ п 3) х„ 3 л——и; 4).. хи — sinn і — п yjn + І г5 - * п п 1.2.° Укажите (без обоснования), какое число является пределом последовательности с общим членом х„: 1, V2 1) хп ~ 2) хп — г— і— - 3 ) Х „ = COS п - COS 77 . n Vn+Vn+1 1.3.' Вичислите предел: 1) lim 2n 2) lim n + 5 3) Иli^mсо ЮООп n+1 и^°°п + 4 П 1.4.' Вмчислите предел: 1) lim n + 2 2) lim 2n + 3 3) lim 100 n 3n 3n-4 +2n 1.5.' Вмчислите предел: n +3n + 15 n -3 n +44_ 1) lim 2) lim 2n2-n +100’ n2+ 5 n -7 12

1. Предел числовой последовательности 3) lim 4га5+ 5га4+ Зга-2 432 9га5+га3-1 3) lim г а - г а - г а - 1 1.6.* Вичислите предел: -Зга4 +га2+12га 1) lim -2га + 7га+1_ га2 +1 3) lim (га+1) (га-2) (2га+ 3) 2) lim 5-га (4га-1) (га+ 3) (5га-2)' мп + 3/г—8 1.7.* Вичислите предел: 2га+1 га+ 3 1) lim —>со 3 - 2 га 4га+ 5, 2) lim 2га(Зга—1) (га+ 4) (4 + 5га) (2га+1) (га+1) 1.8.* Вичислите предел: 2) lim (2га+1) (Зга—1) 1) lim га (га+ 1) (га+ 2) 2га2 - З (га+ 3) (га+ 4) (га+5) 1.9. *Приведите примерм трех последовательностей, сходя- щихся к числу: 1) 3; 2) - уі2 . 1.10. * Для каждого ли числа а существует последователь- ность, сходящаяся к а? 1.11. ** Учитель предложил вичислить предел l i m l . Ученик П—>со Вася Ошибочкин решил задачу так: lim 1 = lim п •—= lim ( —+ —+ ... + — »->* «-*\" га ”->•°°Vга га га п слагаемьіх = lim —+ lim —+ ... + lim —= 0 + 0 + .. .+ 0 = 0. п -> со п п П —>со п п слагаемьіх п елагаемьіх Согласнм ли ви с решенпем Васи? 1.12.* Вичислите предел: 2га 2) lim 1) .l.im -----\\-І-2-п—+ 31^ = ; Vra2 + l+ V 2 + ra2 \"^ =° v 4га + 1 + Vга+ З 13

§ 1 . Производная и ее применение 1.13. * Вичислите предел: 2) lim п +1 1і )ч гlim .----у-/п—+ 2 п —><х> -\\І4п2+1 vra + l +V n + 3 3) lim •\\/га3 + 2 п 2 1.14. \" Вичислите предел: •у/га+ 1 1) пli—m>со {уіп + l -yfn); 2) lim (V«2- п - п ) ; п —>СО 1.15.\" Вичислите предел: 1) lim (n - y j n 2+ з); 2) lim (л/я2+1 -літі2+3п). п —><х> п —>со 1.16.” Пусть при любом в > 0 интервал (а - в; а + в) содер- жит бесконечно много членов последовательности (а„). Верно ли, что 1 іт а и = а? 1.17. \" Пусть 1 іт а и = 0 . Могут ли в зтой последовательности: П—>СО 1) бнть членм, большие 1 000 000; 2) все членм бмть отрицательнмми? 1.18. ” Из сходящ ейся последовательности удалили все членм с четннми номерами. Является ли полученная последовательность сходящейся? 1.19. \" В сходящейся последовательности изменили 5 первнх членов. Останется ли последовательность сходящейся? Может ли измениться предел последовательности? 1.20. \" Последовательность (sin а„) является сходящейся. Верно ли, что последовательность (а„) также является сходящейся? 1.21. ” Известно, что последовательность (| а„ |) является сходящейся. Верно ли, что последовательность (а„) также является сходящейся? 1.22. ” Известно, чтоП—1>СОіт а и = а . Докажите, что: 1) lim а2 = а 2; 2) lim a f = a 15. п —>со п —>со 1.23. \" Известно, что lim a = 2 . Найдите предел: 1) Н т а„а„ +1; п а +а 2) lim (а„ ~п) +1 14

2. Представление о пределе функции в тонке и о непрерьівности функции в тонке 1.24.” Последовательность (а„) стремится к числу 3. Най- дите предел: 1) 1 і т ( а „ + а „ +1) ( а „ - 2 ) ; \\2) І і т а”2+8 со п ->• со п + 5 І І Представление о пределе функции в тонке и о непрерьівности функции в тонке Рассмотрим функцию / (х ) = х + 1 и точку х0 = 1. Если значення аргументи х стремятся к числу 1 (обозначают х —> 1), то соответствующие значення функции / стремятся к числу 2 (обозначают / (х) —> 2) (рис. 2.1). Иньїми словами: если значення аргументи вибирать все ближе и ближе к числу 1, то соответствующие значення функции / будут все меньше и меньше отличаться от числа 2. В зтом случае говорят, что число 2 является пределом функции / в точне 1, и записьівают Ііт / (х) = 2 X—>1 или ІXі—т>1(х + 1) = 2. Также используют такую запись: / (х) —> 2 при х —> 1. Например, с помощью рисунка 2.2 можно сделать вивод, что lхi^m-0 sin x = 0, lXi—m>—%sin x = l, Xl—i>—mпs in x = - l . 22 15

§ 1 . Производная и ее применение Если обратиться к рисунку 2.3, то можно записать: lхi—m>1arccos х = 0, хl—i>m-1 arccos х = к. На рисунке 2.4 изображен график функции у = -X--2-—--1і- . Зта X—1 функция не определена в тонке х 0 = 1, а во всех других точ­ ках совпадает с функцией у = х + 1 (сравните рис. 2.1 и рис. 2.4). Однако если значення аргументи х, где х ф 1, стремятся к числу 1, то соответствуюгцие значення функции у = -х--2---1-- стремятся к числу 2, то єсть lim -х--2---1--= 2. х —1 х^ г х -1 Зтот пример показивает, что функция может бить не определена в тонке, но иметь предел в зтой тонке. х_ Рассмотрим функцию f ( x) = -— -. При х > 0 полупаєм X / (х) = 1, при х < 0 полупаєм / (х) = -1 . График функции / изображен на рисунке 2.5. У\" У>1 X 1< 0 -1 Рис. 2.5 Если значення аргументи х, где х ф 0, стремятся к 0, то невозможно утверждать, что значення функции / стремятся к какому-нибудь определенному числу. Действительно, если значення аргументи стремятся к нулю, оставаясь отрица- тельнмми, то соответствуюгцие значення функции стремятся к -1 , а если значення аргументи стремятся к нулю, оставаясь положительньїми, то соответствуюгцие значення функции стремятся к 1. Позтому функция / (х) = -—X 1 в топке х 0 = 0 не имеет X предела. 16

2. Представление о пределе функции в тонке и о непрерьівности функции в тонке Рассмотрим функцию / ( х ) = — (рис. 2.6). Если значе- X ния х, где х ф 0 , стремятся к 0 , то соответствующие значення функции становятся все большими и большими. Позтому не существует числа, к которому стремятся значення функции / при условии, что значення аргументи стремятся к 0. ^ Следовательно, функция / (х) = —- не имеет предела в тонке х0 = 0. Рис. 2.6 Мн привели примери двух функ- ций, которие не определени в неко- торой тонке и не ймеют предела в зтой тонке. Ошибочньїм бьіло бьі спитать, что если функция определена в некоторой топке х0, то она обязательно имеет предел в зтой топке. На рисунке 2.7 изображен график функции /, которая определена в топке х 0, но не имеет предела в зтой топке. На рисунке 2.8 изображеньї графики функций / и g, ко- торьіе определени в топке х0 и ймеют предел в зтой топке. Однако поведение зтих функций в топке х 0 существенно различается. График функции g, в отличие от графика функции /, в топке х0 имеет разрив. Такое различие по- ведения функций / и g в топке х0 можно охарактеризовать с помощью предела. Для функции g имеем: limg'(x) = а ф g (х0). Для функ- ции / можно записать: 1 іт /(х ) = / (х0). Иньїми словами: предел функции f в тонке х 0равен зна­ ченню функции в зтой тонке. 17

§ 1 . Производная и ее применение В також случае говорят, что функция / является непрерьшной в точне х0. Из равенства 1 іт /(х ) = / (х0) следует, X^-Xq что если функция / не имеет предела в тонке х 0 или не определена в зтой тон­ ке, то она не может бить непрерьівной в тонке х 0. Например, функция, график которой изображен на рисун- ке 2.7, не является непрерьівной в тонке х0. Также не являет­ ся непрерьівной в тонке х0 = 0 функция у = — (рис. 2.9). X Если функция / является непрернвной в каждой тонке некоторого множества М а Ж, то говорят, что она непрерьівна на множестве М. Например, функция у = х2 непрерьівна на Ж, а функция у = —1 является непрермвной на каждом из промежутков X (-оо; 0) и (0; +оо). Если функция / является непрермвной на D (/), то такую функцию назнвают непрерьшной. Упражнения 2.1.° Построив график функции /, виясните, имеет ли функ­ ция / предел в тонке х0: 1) / (х) = 2х - 1, х 0 = -1 ; 5) / (х) = —, х 0 = -2 ; X 2) / (х) = 2х - 1, х 0 = 0; 6) / (х) = —, х 0 = 0; х 3) / (х) = -х--2----4-, х0 = 1; 7) / (х) = k, где k — неко- х-2 торое число, х0 = 3; 4) / (х) = -х--2----4-, х0 = 2; 8) / (х) = ІХ 2 L х 0 = 2. х-2 2-х 2.2.° Построив график функции /, виясните, имеет ли функ­ ция / предел в тонке х0: 1) / (х) = 2х + 1, х 0 = 1; 2) / (х) = 2х + 1, х 0 = -2 ; 18

2. Представление о пределе функции в тонке и о непрерьівности функции в тонке 3) /( х ) = - — х 0 = - 1; 5) / ( х ) = ІХ 1 L -То = 2; х +3 х-1 4) / (х) = —— - , х 0 = -3 ; 6) / ( х ) = ІХ 1 L х 0 = 1. х+3 х-1 2.3.° С помощью графика функции / (рис. 2.10) виясните, имеет ли функция / предел в тонке х0: бв дЄ зи л Рис. 2.10 19

§ 1 . Производная и ее применение 2.4.° На рисунке 2.11 изображен график функции у = / (х). 1) Чему равно значение функции / в тонке х0 = 1? 2) Существует ли предел функции / в тонке х0 = 1? В слу- чае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен. 3) Существует ли предел функции / в тонке х0 = 2? В слу- чае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен. У‘ 1 4- / /N 0! Рис. 2.11 2.5. ° Значення аргумента функции / стремятся к числу х0. Виясните, к какому числу стремятся соответствующие значення функции /: 1) / (х) = х2, х0 = 1; 2) / (х) = х + 1, х 0 = -2 ; 3) / (х) = —, х0 = 0; х 4) / (х) = k, х0 = а, где /ги а — некоторне числа. 2.6. ° Виясните, является ли непрернвной функция / в тон­ ке х 0: 1) / (х) = х2 - 1, х0 = - 1 ; 3) / (х) = L^-i, Хо = 1 ; 2) / (х) = Vx, х0 = 4; X 4) / (х) = 4~х, х0 = - 1 . 2.7.' Виясните, является ли непрерьівной функция / в тон­ ке х 0: 1) / (X) і[х , еслих<2, х0 = 2; [х + 2, если х > 2, 20

3. Определение предела функции в тонке X 2ол) /- (,х)л = і -х,е с л и х ^ 0 , х 0 = 0; 1, если х = 0, 3) / (х) = х 2, если X> 1, [х - 2 , если х < 1, Хп = 1 . 2 .8 / Является ли непрернвной функция / в точке х 0: 6 , если х < -2о, 1) / (х) = <X Х0 = -2 ; х - 1 , если х > - 2, 2) / (х) = [0,5х2, если х < -1 , Хп = - 1 ? Іх + 3, если х > -1, Готовимся к изучению новой темьі 2.9. Чему равен угловой козффициент ирямой: 1) у = 2х - 7; 3) у = х + 10; 5) у = 4; 2) у = -Зх; 4) у = 5 - х; 6) Зх - 2у = 4? 2.10. Составьте уравнение ирямой, которая проходит через точку А (-3; 7) и угловой козффициент которой равен: 1) 4; 2) -3 ; 3) 0. 2.11. Какой угол образует с положительнмм направлением оси абсцисс прямая: 1) у = х - 6; 2) у = 1 - х; 3) у = З? 2.12. Составьте уравнение ирямой, которая проходит через точку А (2; 6) и образует с положительннм направлением оси абсцисс угол: 1) 60°; 2) 120°. І І Определение предела функции в точке В предидущем пункте ви долучили представление о пре- деле функции в точке. Перейдем к формированию строгого определения. 21

§ 1 . Производная и ее применение На рисунке 3.1 изображен график функции / и на осях абсцисс и ординат отмеченьї соответственно точки х0 и а. Заметим, что / (х0) * а. Пусть в — некоторое положительное число. На оси орди­ нат рассмотрим интервал (а - в; а + в). На оси абсцисс ему соответствует такой интервал І, содержащий точку х0, что для любого х є І П D (/), х ф х0, соответствующие значе­ ння функции / принадлежат промежутку (а - є; а + є), то єсть вьшолняются неравенства а - є < / (х) < а + є. Иннми словами, для любого х є І П D (/), х ф х0, вьшолняется не- равенство І/ (х) - а \\ < є. Сузим промежуток на оси ординат, то єсть рассмотрим интервал (а - єі, а + s j , где 0 < Sj < є. Тогда для числа Sj можно указать такой интервал оси абсцисс, содержащий точку х0, что для любого х є І г П D (/), х ф х0, вьшолняется неравенство | / (х) - а | < Sj (рис. 3.1). На рисунке 3.2 изображен график такой функции /, что х0 і D (/). Рисунок 3.3 соответ­ ствует функции /, для которой / (Х0) = а. В каждом из случаев, изобра- женннх на рисунках 3 .1 -3 .3 , для любого є > 0 можно указать такой интервал І, содержащий точку х0, 22

3. Определение предела функции в тонке что для всех х є І П D (/) и х ф х0 вьіполняется неравенство І / (х) - а І < в. Приведеннме соображения позволяют дать такое опреде­ ление предела функции / в топке х0. О п р е д е л е н и е . Число а назьшают п р е д е л о м ф у н к ц и и / в т о п к е х0, если для любого положительного числа є суще- ствует такой интервал І, содержащий точку х0, что для любого х є І П D (/) и ж ф х0 вьіполняется неравенство І / (ж) —а І < є. Заметим, что предел функции в топке х0 характеризует значення функции вокруг точки х0, в то время как поведение функции в самой топке х0 не влияет на значение предела (обратите внимание на условие х ф х0 в определении преде­ ла). Позтому для каждой из функций /, графики которих изображени на рис. 3 .1 -3 .3, можно записать Хli^mХ0f(x) = а. На рисунке 3.4 точка х0 такова, что слева (справа) от нее нет точек, принадлежащих области определения функции /. В каждом из случаев, изображенних на зтом рисунке, для любого в > 0 можно указать такой интервал І, содержащий точку х0, что для всех х є І П D (/) и х ф х0 вьіполняется не­ равенство І/ (х) - а І < в. Зто означает, что число а является пределом функции / в топке х0. Если интервал І содержит точку х0, то существует такое положительное число 5, что промежуток (х0 - 5; х0 + 5) 23

§ 1 . Производная и ее применение принадлежит І (рис. 3.5). Интервал (х0 - 5; х0 + 5) назм- вают 6-окрестностью точки х 0. Обтюдинение интервалов (х0 - 5; х0) U (х0; х0 + 5) назьівают проколотой 5-окрестностью точки х0 (рис. 3.6). Очевидно, что при 5 > 0 множеством решений неравенства | х - х0 | < 5 является 5-окрестность точки х0, а множеством решений двойного неравенства 0 < | х - х 0 | < 5 является проколотая 5-окрестность точки х0. Тогда, если точка х0 принадлежит интервалу І, то зтот интервал содержит некоторую проколотую 5-окрестность точки х0, то єсть множество, являющееся решением двойного неравенства 0 < | х - х0 | < 5, где 5 — некоторое положи- тельное число (рис. 3.7). Интервал І _ —і *о- 8 *о *о + 8 Рис. 3.5 *о“ 8 *о х0+ 8 Рис. 3.6 Интервал І _ *о“ 8 *0 *о + 8 Рис. 3.7 Теперь приведенное определение предела функции / в тон­ ке можно переформулировать так. О п р е д е л е н и е . Число а назьівают п р е д е л о м ф у н к ц и и / в точ к е х0, если для любого положительного числа є существу- ет такое положительное число 5, что для всех х є D (f) из не- равенств 0 < | х —лй | < 5 следует неравенство | / (де) —а \\ < є. Рисунок 3.8 иллюстрирует зто определение. З а м е ч а н и е . Если сугцествует проколотая 5-окрестность точки х0, в которой функция не определена (рис. 3.9), то предел функции в точке х0 не определяют. 24

3. Определение предела функции в тонке ПРИМЕР 1 С помощью определе- ния предела функции в тонке до- кажите, что Нін (2х + 3) = 5. X—>1 Р е ш е н и е . Для каждого поло- жительного числа в рассмотрим неравенство | (2х + 3) - 5 | < в. Преобразовав его, запишем | х - 1 |< —. Полученное неравен­ ство подсказьівает, каким образом для данного є > 0 можно найти подходящее число 5 > 0. Пусть 5 = —S . Тогда из условия 0 < |і х - 1 і|< 5 = —в следует, 22 что І2х - 2 І< є. Отсюда | (2х + 3) - 5 | < є. Сказанное означает, что число а = 5 является пределом функции у = 2х + 3 в тонке х0 = 1. • ПРИМЕР 2 Докажите, что Нін-9-х--2--—--1= 2. Зх-1 Р е ш е н и е . Функция и = -9-х------1- при хФ1— совпадает Зх-1 З с функцией у = З х + 1. А поскольку значение предела функ­ ции в тонке не зависит от того, определена ли функция в зтой тонке, то достаточно показать, что Нін (Зх + 1) = 2. X—>—З Рассмотрим неравенство | (Зх + 1) - 2 | < є, где є — не- которое положительное число. После преобразований полу­ паєм 1 х — < —. Теперь понятно, как можно вибрать 5. ЗЗ Возьмем 8 = —. Тогда из условия 0< 1 <5 = — следует, х— ЗЗ что І Зх - 1 І < є. Отсюда | (Зх + 1) - 2 | < є. Тем самим до­ казано, что Ііні (Зх + 1) = 2. • ПРИМЕР 3 Докажите, что функция /( х ) -—X 1 не имеет X предела в тонке х 0 = 0. 25

§ 1 . Производная и ее применение Р е ш е н и е . Предположим, что предел функции / в точке Xq = 0 существует и равен а. Покажем, что, например, для в = 1 невозможно подобрать такое 5 > 0, чтобм из неравенств 0 < Іх - 0 І < 5 следовало неравенство XІ -а <1. Если 0 < х < 5, то неравенство - а <1 становится таким: | 1 - а \\ < 1. Отсюда 0 < а < 2. Если -5 < х < 0, то неравенство х - а <1 становится X таким: | -1 - а \\ < 1. Отсюда - 2 < а < 0. Поскольку не существует значений а, которме би удо- влетворяли каждому из неравенств 0 < о < 2 и - 2 < а < 0 , то функция / в точке х0 = 0 не имеет предела. • г Упражнения 3.1.\" С помощью определения предела функции в точке до- кажите равенство: 3) lim х - х - 6 = -5. х +2 1) Xli—m>-1 (2х + 1) = -1; 2) lim х2 - 9п = 6; >3 х - 3 3.2.\" С помощью определения предела функции в точке до- кажите равенство: 1) 1іт(З х + 2) = 8; 3) Ііш -~4лг+ 3 = - 2 . х —>■2 X—1 2) Ит х2-4 = -4; х—*-2 х + 2 3 .3 . \"Докажите, что lim с = с, где с — некоторое число. х —> х 0 3 .4 . ” Докажите, что lim (kx + b) = kx0 + b. 3.5. ” Докажите, что функция / ( х ) х=- 2 не имеет преде- х-2 не имеет преде- ла в точке х 0 = 2. х +1 3.6. ” Докажите, что функция / ( х ) = х +1 ла в точке хп = -1 . 26

4. Теорема об арифметических действиях с пределами функций в тонке Р™ І Теорема об арифметических действиях с пределами функций в точке Находить предел функции в точке с помощью определения предела — задача трудоемкая. Облегчить процесе поиска предела позволяет теорема об арифметических действиях с пределами функций1. Т е о р е м а 4.1 (о б а р и ф м е т и ч е с к и х д е й с т в и ­ ях с п р ед ел а м и ф ун к ци й ). Если функции у = f i x) и у = g (ас) имеют предел в точке ас0, то функции у = f (ас) + g (ас), у = f (*) _ g (аг), у = f (аг) g (аг) также имеют предел в точке ас0, причем Ііш (/ (ас) + g (ас)) = Ііш / (ас) + lim g (ас), х —> аф) х —> аф) х —> ас^ Ііш ( / (ас) - g (ас)) = Ііш / (ас) - lim g (ас), X —» X q СС —» X q X —» X q lim ( / (ас) g (ас)) = lim f (ас) •lim g (ас). X —» X q X —» X q X —» X q Если, кроме зтого, предел функции у = g (ас) в точке ас0 fix) отличен от н уля, то функция у ------ также имеет g(x) предел в точке ас0 и lim f i x ) lim fi x) >*о g( x) ___ lim gi x) C доказательством теореми ви можете ознайомиться, например, по учебнику «Алгебра. Учебник для 11 класса с углубленньїм изучением математики»2, п. 2. Фактически теорема 4.1 состоит из четирех теорем, кото- рьіе назьівают теоремами о пределе суммьі, пределе разности, пределе произведения и пределе частного. 1 В теореме рассматриваются функции, которше определенш в одних и тех же точках некоторой проколотой 5-окрестности точки х0. 2 А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Алгебра. Учебник для 11 класса с углубленньїм изучением математи­ ки. — Харьков: Гимназия, 2011. Далее будем ссшлаться на зтот учебник «Алгебра-11 с углубленньїм изучением математики». 27

§ 1 . Производная и ее применение С ледствие. Если функция f имеет предел в тонке х0 и k — произвольная постоянная, то функция у = kf (х) также имеет предел в тонке х0, принем lim kf (х ) = k lim f (де). *->*0 *->*0 Справедливость следствия следует из теореми о пределе произведения и ключевой задачи 3.3. ПРИМЕР 1 Докажите, что lim х 2 = Хд. Х —> Х 0 Р еш ен и е. Из ключевой задачи 3.4 следует, что lim х = х0. X^-Xq Тогда, если функцию у = х2 представить в виде у = х • х, то можно применить теорему о пределе произведения. Имеем: lim х 2 = lim (х • х) = lim х -lim х = Хд. • Х —> Х 0 Х —> Х 0 X —> х 0 X -^-Xq ПРИМЕР 2 Найдите lim х -5 х +6 х2-4 Р еш ен и е. Поскольку 1іт(х 2- 4 ) = І і т х 2- 1 іт 4 = 22- 4 = 0, х ->2 х ->2 х ->2 то нельзя применить теорему о пределе частного к функции /( х ) = х -5х +6 . Преобразуем вмражение х -5х +6 х2-4 х2-4 Имеем: х -5х +6 (х-2)(х-3) х-3 х 2- 4 (х -2 )(х + 2) х + 2* где ї / 2 и ї / -2 . Рассмотрим функцию g (х) = х - 3 Так как функции / х +2 и g отличаютея только поведением в тонке х 0 = 2, то lim / (х) = lim g (х). Используя теорему об арифметических ж->2 ж->2 действиях с пределами функций, получаем п т -х----5--х---+--6-= п т -х----3-- Ііт(х-З) 2-3 1 *->2 4' х - 4 *^2 х + 2 1іт(х + 2) 2 + 2 28

4. Теорема об арифметических действиях с пределами функций в тонке ПРИМЕР 3 Найдите 1 і т / ( х ) , где - 2 х , если х ф —, 2 f(x) =< 1 З, если х = —. 2 Ре ше н ие . Рассмотрим функцию g (х) = х2 - 2х. Поскольку в любой про- колотои„ о*-окрестности точки хп = —1 2 функции / и g совпадают (рис. 4.1), то достаточно найти 1 іт ( х 2-2 х ). Исполь- X— 2 зуя теорему об арифметических дей­ ствиях с пределами функций, запишем: limі (х2- 2х) = limі х 2- limі 2х = | Упражнения 2х-1 4.1.° Найдите: 4) lim 1) lXi—m>1(2х - З х - 1 ) ; з З х -2 ’ 2) lim Xі ; х -Зх +5 х —>-1 5) lim 0х2+2х-1 ’ 3) lim (х -З х -2 ); х -» 2 6) lim І х 2 - —+ 2 х - 3 х 4.2.° Найдите: 1) lхi—m>1(2х2+ЗХ + 5); 7х-5 _ 2) lim (х 3- З х 2+ 2х + 2); 4) lim 3) lim (2х -З х +6); з 10 + 2х ’ х ->-2 х2-1 5) lim х~>° 2х^ - х - 1 х3+1 6) li m -------- *-» (х -2 )20 29

§ 1 . Производная и ее применение 4.3.\" Найдите: 3) lim Зх4 - 5 х 2 - 1 2 х - 4 1) lim х 2 - 2 х - 3 і->2 х 2 - 4 х5+1 3х2-5х +6 ’ 4) lim 2) lim х 3 - З х - 2 1 х +1 х3-8 ! 3) lim ^1+х)4 ~(1+4 х). 4.4.\" Найдите: >. 0л 2 ,4 1,.) .l..im —х2----З--х--+--2-: Х^ 1 х -4 х + 3 X +Х 2)ч l,,im х —Зх + 2 4) lim х5-1 х5- 4х + з ’ і х3-і' 4.5.\" Вичислите предел: 1) lim' ^ ^ я-^НІ-Х 1-х\" 2) lim, „ Х^ 2 \\ х 2 - 2х х2 - З х + 2 4.6.\" Вичислите предел: 1) lim 1 6 * ^ - 3Vx + 3 х - 9 2) lim х-4 + 2х2- 5 х + 2 3 (х2- З х + 2) 4.7.\" Найдите lхi-m>0/ (х), где / (х) = х 2- 2х + 2, если х ф О, І 1 если х = 0. - х 2+ Зх, если х ФЗ, 4.8.\" Найдите lim / (х), где / (х) = * ^3 2 , если х = 3. 4.9.” Найдите lim —Хтп—+ ,1-і где т и п — нечетнме натуральнме і х +1 числа. 4.10.” Найдите lim -х-т-----1- , где т и п — натуральнме числа. х ” - 1 ОЗ ЗО

5. Непрерьівность функции в тонке. Свойства непрерьівньїх функций [” *! |_|епрЄрьівность функции в тонке. Свойства непрерьівньїх функций В пункте 2 ви долучили представление о функциях, не- прермвнмх в точке. Рассмотрим ато понятие глубже и де­ тальнеє. На рисунке 5.1 изображенм графики функций / и g, ко- торме определенм в точке х0 и имеют предел в зтой точке. Для функции g имеем: XІ^ін-Xіqg (х) = а Фg (х0). Для функ- ции / можно записать: Ііні / (х) = / (х0). Х -» х 0 О п р ед ел ен и е. Если вьіполняется равенство Ііхп / (х) = / (х0), то функцию / назьівают н е п р е р ь ів н о й в т о ч к е х0. Если в некоторой 5-окрестности точки х0 функция / определена только в точке х0 (рис. 5.2), то предел такой функции в точке х 0 не определяют. Позтому равенство X1^і-Xтq/(х ) = /(х 0) проверить невозможно. Однако договорились и такую функцию / считать непреривной в точке х0. Например, функция у = \\І~х2 является непрермвной в точке х0 = 0, а функция у = V -sin 2х яв­ ляется непрермвной в каждой из точек вида х 0 = %k, k є Z. 31

§ 1 . Производная и ее применение Из теореми об арифметических действиях с пределами функцийследует, что если lim /( х ) = / ( х 0) и lim g (х) = g (х(|), X—>х0 то: 1) lim (f (x) + g(x) ) = f ( x 0) + g ( x 0); X —> Х 0 2) lim ( f ( x ) - g ( x ) ) = f ( x 0) - g ( x 0); Х —> Х 0 3) лl:i—m>х0 (/ (х) g (х)) = / (х0) g (х0); 4лл) тlim -f-{--x-)- = --f--(-X—) при условии, что g (х0) ф 0. x^Xog(x) g(x0) Используя зти равенства, можно доказать следующую теорему. Т е о р е м а 5.1 (об а р и ф м е т и ч е с к и х д е й с т в и я х с непрерьі вньї ми функциями). Если функции у = / (х) u у = g (х) непрерьівньї в тонке Xq, то в зт ой тонке непрерглвшлми являют ся и функции у = f (х) + g (х), f(x) у = f (х) - g (х), у = f (х) g (х) и у = ----- (последняя при g(x) условии, нто g (х0) ф 0). Используя теорему об арифметических действиях с не- прерьівньїми функциями, долучаєм, что каждая из функций у = f (х) и у = 1^-1^ где / (х), g (х) — многочлени1, является g(x) непрерьівной. Заметим, что если функция непреривна на R, то она не- прермвна на любом числовом промежутке (рис. 5.3). Можно показать2, что для любого х0 є R вмполняется ра- / (х) и g (х) — многочлени, назшвают 2 С доказательством зтого фак1а вш можете ознайомиться в рассказе на с. 41, 42. 32

5. Непрерьівность функции в тонке. Свойства непрерьівньїх функций венство Xli-»mх0sin х = sin х0. Зто означает, что функция у = sin х непрерьівна. Пусть функции / и g определеньї на некоторьіх промежут- ках. Из наглядних соображений очевидно, что если графики функций / и g являются равнмми фигурами и функция / непреривна, то функция g также непрерьівна. В 10 классе било показано, что график функции у = cos х можно получить из графика функции у = sin х в результате параллельного переноса на вектор с координатами ( —71;0 V2 (рис. 5.4). Таким образом, непреривность функции у = cos х следует из непрерьівности функции у = sin X. Поскольку функции у = sin х и у = cos х — непрерьівньїе, то из теоремьі об арифметических действиях с непрерьівньїми функциями следует, что функции у = tgx и у = ctgx также являются непрерьівньїми. В и знаєте, что графики взаимно обратних функций симметричньї относительно прямой у = х. Позтому если об- ратимая функция / определена на некотором промежутке и непреривна, то обратная к ней функция g также будет непреривной. Как било установлено вьіпіе, функция у = х2 является непреривной. Тогда и обратимая функция / (х) = х 2, D (/) = [0; + о о ), — непреривная. Следовательно, обратная к ней функция g (х) = у[х также является непреривной. Рассуждая аналогично, приходим к виводу, что функция у = 4’ х , п є N, п > 1, — непрермвная. Таким же образом устанавливаем, что непреривньїми являются и функции у = arcsinx, у = arccosx, у = arctgx и у = arcctgx. 33

§ 1 . Производная и ее применение ПРИМЕР 1 Виясните, является ли функ ция ,. ч х2-16 ,,еес л и х ^Ф44,, -------- f(x) =< х-4 2, если х = 4, непрермвной в тонке х0 = 4. Рис. 5.5 Р е ш е н и е . Имеем: / (4) = 2. Вичислим lim / (х). Запишем: х-4 х-4 = 1 іт (х + 4) = 8. х —>4 Полупили, что lXim / (х) Фf (4). Следовательно, функция / в топке х0 = 4 не является непрермвной. Полученнмй вмвод проиллюстрирован на рисунке 5.5. • Рассмотрим ряд важнмх свойств непрермвнмх функ- ции 1. Т е о р е м а 5 .2 (о н е п р е р ь ів н о с т и с л о ж н о й ф ун к - ц и и ). Если ф ункция t = g (х) непрерьівна в тонке х 0, а функция у = f (і) непрерглвна в тонке і 0, где і0 = g (х0), то сложная функция у = f (g (х)) непрергявна в тонке х0. Например, функция t = 2х - 1 непрермвна в топке х0 = 5, функция у = 4 t непрермвна в топке £0 = 2 * 5 - 1 = 9. Тогда сложная функция у = yj2x - 1 непрермвна в топке х 0 = 5. Рассуждая аналогично, можно показать, что сложная функ­ ция у = V2х - 1 непрермвна в каждой топке своей области определения. Еще примерн. Функции у = sin х и у = 5х непрернвнн. Тогда сложная функция у = sin 5х также является непре- рнвной. Каждая из функций у = у[х и у = х2 является непрернв- ной. Тогда сложная функция то єсть функция у = Іх |, также является непрермвной. Доказательство зтих свойств вшходит за пределш школьной про граммш. 34

5. Непрерьівность функции в тонке. Свойства непрерьівньїх функций ПРИ МЕР 2 Вичислите Пні ,— _— . V2х +1 -З Р е ш е н и е . Поскольку функция / (х) = -у/2х + 1 - 3 является непрерьівной, то lхi-m>4 (у/2х + 1 - з) = лу/2-4 + 1 - 3 = 0. Следователь- но, применить теорему о пределе частного нельзя. Преобразуем вмражение, стоящее под знаком предела: х - 4 (х-4){\\І2х +1+з) (х-4) (V2х +1+з) V2х +1 -3 (V2X+1-3) (V2X+1+3) (2х +1)-9 2 (х-4) 2 Поскольку функция g (х) = —(-\\/2х + 1 + з) является непре- 2 рьівной, то можно записать lim —(-\\/2х + 1 +з) = —(л/2 •4 + 1 + з) = 3. • *->4 2 2V ’ Т е о р е м а 5 .3 (т е о р е м а Б о л ь ц а н о —К опій). Если функция f непрергявна на отрезке [а; Ь] и на концах зто- го промежутка принимает значения разньїх знаков, то сущ ествует такая точка с є (а; Ь), что f (с) = 0. Чешский математик, философ и логик. Бернард Больцано Возглавлял кафедру истории религии в Праж- ском университете. При ж изни напечатал (1781-1848) (анонимно) только 5 небольш их математиче- ских трудов, основную часть его рукописно­ го наследия ученше исследовали уж е после его смерти. Трактат «Учение о функциях», написанншй в 1830 г., увидел свет только через 100 лет. В нем Больцано, за много лет до Вейерш трасса и Копій, формулирует и до- казшвает ряд полож ений математического анализа. В работе «Парадоксш бесконечности» Больцано рассматривал вопросш могцности бесконечншх множеств; в работе «Науковеде- ние» вшдвинул ряд идей, предшествовавших математической логике. 35

§ 1 . Производная и ее применение Зта теорема наглядно очевидна. Действительно, если точки, лежащие в разнмх полуплоскостях относительно оси абсцисо, соединить непрермвной кривой, то зта кривая обязательно пересечет ось абсцисс (рис. 5.6). С ледстви е. Если функция непрерьівна и не имеет нулей на некотором промежутке І, то она на атом про- межутке сохраняет знак (рис. 5.7). Д о к а з а т е льс т во. Предположим, что данная функция / на промежутке І не сохраняет знак, то єсть существуют такие а є І и b є І, где а <Ь, что числа / (а) и / (b) имеют разние знаки (рис. 5.6). Тогда по теореме Больцано-Коши существует точка c e ( a ; f c ) c J такая, что / (с) = 0. Получили противоречие. А Напомним, что зто следствие лежит в основе метода ин- тервалов для решения неравенств. ПРИМЕР 3 Докажите, что уравнение х 5 + 2х2 - 1 1 = 0 имеет корень. Р е ш е н и е . Рассмотрим непреривную функцию f (х) = = х5 + 2х2 - 11. Огюстен Луи Копій Французский математик. Опубли- (1789-1857) ковал более 800 работ по арифметике, теории чисел, алгебре, математиче- скому анализу, дифференциальньїм уравнениям, теоретической и небесной механике, математической физике; за- нимался также исследованиями в обла- сти тригонометрии, теории упругости, оптики, астрономии. Бьіл членом Па- рижской академии наук, Лондонского королевского общества и почти всех академий наук мира. 36

5. Непрерьівность функции в тонке. Свойства непрерьівньїх функций Имеем: / (0) = -1 1 , f (2) = 29. Следовательно, по теореме Больцано-Коши на отрезке [0; 2] уравнение / (х) = 0 имеет корень. • Не каждая функция, определенная на отрезке [а; Ь], до- стигает на зтом промежутке своих наибольшего и наимень- шего значений. Зто иллюстрирует рисунок 5.8. Однако для непрермвньїх функций имеет место такая теорема. Т еор ем а 5 .4 (теор ем а В ей ер ш тр асса). Если функ­ ция непрерьівна на отрезке [а; Ь], то она на зтом отрез­ ке принимает свои наибольшее и наименьшее значения. Зта теорема наглядно очевидна. Если две точки на координатной плоскости соединить непрерьівной кривой, то на зтой кривой найдутся точки с наибольшей и наименьшей ординатами (рис. 5.9). Отметим, что если в теореме Вейерштрасса отрезок [а; 5] заме- нить промежутком другого вида, например интервалом (а; b), то зта теорема может не вьшолняться. Так, функция у = х, непрермвная на про­ Рис. 5.9 межутке (0; 1), не достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений. Немецкий математик, член Берлин- Карл Теодор Вильгельм ской академии наук, Парижской акаде- В ейерш трасс мии наук, почетньїй член Петербургской (1815-1897) академии наук. Одним из важнейших его достижений является система логическо- го обоснования математического анализа, основанная на построенной им теории действительньїх чисел. Вейерштрасс уде- лял большое внимание применению мате­ матики в механике и физике и поощрял к атому своих учеников. 37

§ 1 . Производная и ее применение Покажем, как понятие непрермвности помогает находить область значений функции. Пусть о функции / известно, что mтпin /(x ) = l, mD(af>x /(x ) = 5. Верно ли, что Е (/) = [1; 5]? Рисунок 5.10 пока- зивает, что ответ на зтот вопрос от- рицательньїй: число 3 не принадлежит области значений зтой функции. Однако если областью определения непрерьівной функции является некоторий промежуток, то ответ на поставленний вопрос будет положительньїм. Т ео р ем а 5 .5 . Если областью определения непрерглв- ной функции f являет ся некоторгяй промежуток и min f (х) = a, max f (х) = Ь и а ф Ь, то Е (f) = [а; Ь]. D(f) Ь(1) Д о к а з а т е л ь с т во. Пусть числа х х и х 2 такови, что / (хД = a, f (х2) = b и х г < х2 (случай, когда х2 < х І5 рассма- тривают аналогично). Рассмотрим произвольное число с є (а; Ь), то єсть а < с < Ь. Докажем, что существует точка х 0 є D (/), для которой / (х0) = с. Тем самим будет показано, что с є Е (/). Рассмотрим функцию g (х) = / (х) - с. Функция g является непреривной на D (g) = D (/), следовательно, она непреривна на отрезке [х±; х2]. Имеем: g (хД = / (хД - с = а - с < 0 ; g (,х2) = f (х2) - с = Ь - с > 0. Следовательно, согласно теореме Больцано-Коши су­ ществует точка х 0 є (хг; х2) такая, что g (х0) = 0, то єсть / (х0) - с = 0; / (х0) = с. ▲ ПРИМЕР 4 Найдите область значений функции / (х) =---х-*2- - . х2 _1+Х Р е ш е н и е . Имеем: ----- для всех х є R. Поскольку 1+х / (0) = 0, то min / (х) = 0. Применив неравенство Копій, запишем х2 х2 х2 1 1+х4 2 д/і • х4 2x2 2 38

5. Непрерьівность функции в тонке. Свойства непрерьівньїх функций Так как /(1 ) = —, то т а х / ( х ) = —. 2R 2 Функция / непрермвна на Ж. Из теореми 5.5 следует, что £(/) = | Упражнения 5.1.° Вичислите: 1) lim-v/x; 3) lim tg x; 5) lim arctg x. X -» 9 Sn x —>1 X —> ----- 2) lim sin х; 4 6Х —>—п 4) lim arcsin x; 5.2.° Вьічислите: x —>0 1) lim-v/x; 3) lim ctg x; 5) lim arcctg x. х^2 Я X ^ --1 X —> ----- 2) lim cos х; 4) lim arccos x; % x —>0 х —> — 5.3.° Обьясните, почему является непрермвной функция: 1) / (х) = 4 х +3; 3) / ( x ) = V5x + 2; 5 ) / ( x ) = SmX. X 2) / (х) = \\ [ х - х 2; 4) / (x) = -s/x sin x; 5.4.° Обьясните, почему является непрерьівной функция 1) / (х) = —+ \\[х; 3) f ( x ) = ^ ~ ; X COS X 2) / (х) = sin х + ctg х; 4) / (х) = ctg 5х. 5.5.° Вьічислите: 1) 1іт-у/2х-1; 3) lim tg X - — ; X —>1 *->- V 5 у 2) lim sin Зх; 4) lim cos2x. X —>— X —> ----- 2 2 5.6.° Вьічислите: 1) lim V l-З х ; 2) lim cos4x; X— 2 39

§ 1 . Производная и ее применение 3) l i m ^ 1 4) lXi—m>0ctg Vх —^ . х~>1 х 5.7.\" Является ли непрернвной в точке х0 функция: х 2- 9п „ п , -------, есл и х^ З , 1) / ( х ) = 1 х - 3 Х0 = 3; б, если х = З, -s-i-n--2--х-, если х Ф%—, cos х 2 2) f { x ) = х =-? 0 2’ 1, если х = 71 2 5.8.\" Является ли непрермвной в точке х0 функция: 11- Х 2 . 1 W / ч ------ , еслих * - 1 , 1 1) f ( x ) = i х + 1 Х0 = -1 ; 0, если х = -1, sin 2х если ХФ п, 2) f ( x ) = -2 , если х = %, 5.9.\" Вичислите: 2) lim sfx - 2 З, 1) lim X + s[x 4 х-4 х~>г \\ - s j x х —>0 2) lim Х ; l-sjx 3) lim 5.10.\" Вичислите: sjx -1 _. . 2 >/х - Зх 1) l i m — -==----- ; х^° 3 six -2 х 5.11.’ Вичислите: 111) Vlim --х-_--3-— ; 4) li m -л--/-б- -.х - 1 : 3-V4+X ■ї ^ 3 s J x - 2 - 1 x2+ l - l 2+х 5) lim 2) lim 4 x +16-4 .-sjx2- і 6) lim x 3). l i m V- x + 13 -2-\\/х + 1 0V x+T -l’ x —>З x2-9 40

Первьій замечательньїй предел 5.12/ Вичислите: 1) l..im .---х-=- 3 ---- ; 3) J x2+ 4 -2 ; 5) sll + x2 _ і lim V — -; v 2 x + 10 - 4 X ... 2 - уіх- З sjb-x-2 6m) l1i.m s i x - 6 +2 2) lim — 3-------; 4) lim ,-----— ; 2 x +8 x^ 7 x - 4 9 \"W 2-X -1 5 .1 3 / Докажите, что уравнение имеет корень: 1) хв + 2х - 13 = 0; 2) 3 sin х = 2х - 1. 5 .1 4 / Докажите, что уравнение имеет корень: 1) х3 + Зх - 8 = 0; 2) 2 cos х = х2 + 4х - 6. 5.15/ Найдите область значений функции: у = —71 arcsin х. 1) у = sin х + 2; 2) у = cos х - 3 ; 3) 2 5.16/ Найдите область значений функции: 1) у = sin х - 4; 2) у = 3 + cos х; 3) у = %- arccos х. 5 .1 7 / \"Найдите область значений функции у = —х--2---. 9х +1 5.18.\"\" Найдите область значений функции у = 4х4 + 3 х 2 +1 КОГДА СДЕЛАНЬІ УРОКИ Первьій замечательньїй предел Покажем, что функции у = sinx — непреривная. Для зтого докажем такое вспомогательное утверждение. Л ем м а 5 .1 . Для любого х є Жвьіполняется неравен- ство sinx < X Д о к а з а т е л ь с т в о . Если х = 0 или х І > 1, то доказьі- ваемое неравенство очевидно. Пусть х є (0; 1). На рисунке 5.11 точка Рх получена в результате пово- рота точки Р0(1; 0) вокруг начала ко­ ординат на угол х радиан. Так как х є (0; 1), то єсть 0 < х < —71, то точка Рх 2 находится в первой четверти. 41

§ 1 . Производная и ее применение Площадь треугольника РХОР0 меньше площади сектора РХОР0. Имеем: = \\S apxop0 OP* sin X = і sin х; S сект РХОР0 = -OP'f х = —х. 20 2 Тогда —sin х < —х. Получаем sin х < х. 22 Пусть х є (-1; 0). Тогда - х є (0; 1) и можно записать, что sin (- х ) < - х . Отсюда sinx > х. Следовательно, если х є (0; 1), то 0 < sin х < х. Позтому I sin X І < ІX |. Если х є (-1; 0), то 0 > sin х > х. Позтому | sin х | < | х |. А Покажем, что число sin х0 является пределом функции у = sin х в точке х0, где х0 є Ж. Используя неравенство леммн 5.1, имеем: sin х - sin xn = 2 sin- cos- <2 sin < < 2. Пусть в — произвольное положительное число. Так как I sin х - sin х0 І < Іх - х0 |, то из неравенств 0 < | х - х0 | < є следует, ЧТО I sin X - sin Х0 І < є. Если положить 5 = в, то получим: для любого в > 0 сугце- ствует 5 > 0 такое, что из неравенств 0 < | х - х0 | < 5 следует неравенство | sin х - sin х0 | < є. Зто означает, что Xli^m-Xqsin x = sin x 0. Таким образом, функция у = sin х непреривна в каждой точке х0, а следовательно, зта функция непреривна на М. Рассмотрим функцию / ( х ) = -s-i-n--о-с. Зта функция не опре- X делена в точке х0 = 0. Однако в зтой точке сугцествует предел функции /. Докажем, что имеет место такое равенство: ,. sin X (1) lim ------ = 1 х 42

Первьій замечательньїй предел Л ем м а 5 .2 . Если \\ х \\ < 1 и х ф 0, то 0_ < 1. sin X X2 --------- < —. х2 Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х є (0; 1). Опять обратимся к рисунку 5.11. Построим прямоугольник M P XN P0, для ко- торого отрезок Р ХР0 является диагональю. Поскольку РХМ = sin х и ОМ = cos х, то S■дрNPo = -1 sm. X,(1л - COSXЧ) = sm x sm. 2—X. Поскольку x є (0; 1), то sin х > 0. Тогда из леммн 5.1 полупаєм: sin х < х; sin —X < — 23 Следовательно, SAPr NP„ = sin х • sin2—< X •І — І = —X . Очевидно, что площадь заштрихованного сегмента меньше площади треугольника P^JVP0. Имеем: Sсегмента _ О _ О = —1 х —і sm. х. 22 ^сект РДЖ РгОРа Теперь можно записать: 0 < —1 х 1— sin х <х— . 22 4 Отсюда с учетом того, что х є (0; 1), полупаєм _ „ sin X х 2 0 < 1 --------- < — . х2 S1I1% %2 Поскольку функции у = 1-------- и у = — — четньїе, то х2 носледнее двойное неравенство вьіполняется также для всех х из промежутка (-1; 0). А Теперь докажем равенство (1). Используя лемму 5.2, для | х \\ < 1 и х ф 0 имеем: sin х -1 = 1. ---S-i-n--X- <X— < х 2< 1х 1 =1 х - 0„І, х2 то єсть sin X-1 < х - 0 Пусть в — произвольное положительное число. 43

§ 1 . Производная и ее применение Если 0 < в < 1, то положим 5 = в. Тогда из неравенств 0 < Іх - 0 І< 5 будет следовать, что sin х—1 < х - 0 <5 = є. Если є > 1, то в качестве 5 виберем любое число из про- межутка (0; 1). Так как в зтом случае 5 <є , то из неравенств 0 < Іх - 0 І< 5 будет следовать, что sin х—1 < х - 0 <5 <є. Значит, для любого є > 0 существует такое число 5 > 0, что из неравенства 0 < х - 0 І < 5 следует неравенство sin х —1 < є. Зто означает, что lim -s-i-n--о-с= 1. х~>° х Зто равенство назьівают первьім замечательньїм преде- лом. Оно показивает, что при достаточно малих значеннях х вьіполняется приближенное равенство sin х « х. Более того, из леммн 5.2 следует, что если Іх І < 1, то вьіполняется не­ равенство х - sm х < J Позтому абсолютная погрешность приближенной формули sin х « х, где Іх |< 1, не превьпнает -. Например, если х = 0,1, то sin 0,1 « 0,1 с точностью не менее чем 0,Г = 0,0005. ПРИМЕР 1 Вичислите предел Пні sin Зх х —> 0 Р е ш е н и е . п.. н і-s-i-n--З--х-= 1,.і т --З--s-i-n--З--х-= 3„1,.і т -s--in---З-х-= 3. х~>° х х^° Зх Зх ПРИМЕР 2 Вичислите предел Пні tg x X Р е ш е н и е . ,l,im -t-g--x- = l„im ---s-i-n--x-- = lim --s-i-n--X-- lim ----1--- = 1. >0 x x ^ ° X COS X x ^ ° COS X 44

6. Приращение функции. Задачи, приводящие к понятию производной ПРИ МЕР 3 Вичислите предел lim sin тх х~>° sin пх Решение sin тх _ т •-s-i-n--т---х т • l,.im -s-i-n--т---х- ____ тх _ х^° тх _ ™ х->0 sinnx х~>° п • sin пх п • Ііт sin ПХ Ті' пх х^° пх ПРИ МЕР 4 Вичислите предел lim Зх 0 І -cosх Решение X Зх Зх =б жli-m>0 —. -,—х = lim = lim - —х sin 2г, si■n 2 >0 І - c o s х х ^° = б lim>0 / sin x Y =4=6. І2 2J r Упражнения 5.19. Вичислите предел: sin 4x 1- cos 4x 5) lim cos ІОх-cos X 1) lim 3) lim x —>0 4x 0 2x X 0 sin 3x sin Зх 1- cos 3x cos x -co s 13x 2) lim --------; 4) lim 6) lim x~>0 sin 2x x tg x x —>0 sin2X f*\"\"| Приращение функции. Задачи, приводящие к понятию производной Если функция является математической моделью ре­ ального процесса, то часто возникает потребность находить разность значений зтой функции в двух точках. Например, 45

§ 1 . Производная и ее применение обозначим / (t) и / (t0) суммм средств, которме накопились на депозитної^1 счете вкладчика к моментам времени t и t0. Тогда разность / (t) ~ f (t0), где t > t0, показмвает прибьіль, которую получит вкладник за время t - t0. Рассмотрим функцию у = f (х ). Пусть х0 — фиксированная точка из области определения функции /. Если х — произвольная точка области определения функ­ ции / такая, что х ф х 0, то разность х - х 0 називают при- ращением аргументи функции / в точне х(І и обозначают Ах (читают: «дельта икс»)2. Имеем: Ах = х - х0. Отсюда х = х0 + Ах. Говорят, что аргумент получил приращение Ах в точне х0. Отметим, что приращение аргументи может бить как по- ложительним, так и отрицательньїм: если х > х0, то Дх > 0; если х < х0, то Дх < 0. Если аргумент в тонке х0 получил приращение Ах, то значение функции / изменилось на величину / (х0 + Дх) - / (х0). Зту разность називают приращением функции / в тонке х0 и обозначают А/ (читают: «дельта зф»). Имеем: А/ = / (х0 + Ах) - / (х0) или А/ = / (х) - / (х0). Для приращения функции у = f (х) также принято обо- значение Ау, то єсть Ау = f (х) - f (х0) или АУ = f (х0 + Дх) - / (х0). Приращение Дх аргументи в тонке х0 и соответствующее приращение А/ функции пока­ зано на рисунке 6.1. Отметим, что для фиксиро- ванной точки х0 приращение функции / в тонке х 0 является функцией с аргументом Дх. 1 Депозит (банковский вклад) — деньги, которше вкладник помещает в банк на некоторшй срок, за что банк вшплачивает вкладнику проценти. 2 Говоря о приращении аргументи функции / в тонке х0, здесь и даль­ ше будем предполагать, что в любом интервале (х0 - є; х0 + є) єсть точки области определения функции /, отличнше от х0. 46

6. Приращение функции. Задачи, приводящие к понятию производной ПРИМЕР 1 Найдите приращение функции у = х2 в тонке х0, которое соответствует приращению Ах аргумента. Р е ш е н и е . Имеем: Ау = (х0+ Ах)2- х 2 = х 2+ 2х0Ах + Ах2- х 2 = 2х0Ах + Ах2. Ответ: 2х0Ах + Ах2. Задача о мгновенной скорости Пусть автомобиль, двигаясь по прямолинейному участку дороги в одном направлений, за 2 ч преодолел путь 120 км. ФІогда его средняя скорость движения равна нср = -1-2--0 = = 60 (км/ч). Найденная величина дает неполное представление о ха­ рактере движения автомобиля: на одних участках пути автомобиль мог двигаться бистреє, на других — медленнее, иногда мог останавливаться. Вместе с тем в любой момент времени спидометр автомо­ биля показивал некоторую величину — скорость в данний момент времени. Значение скорости в разньїе моменти более полно характеризует движение автомобиля. Рассмотрим задачу о поиске скорости в данний момент времени на примере равноускоренного движения. Пусть материальная точка двигается по координатной прямой и через время t после начала движения имеет координату s (t ). Тем самим задана функция у = s (t ), по- зволяюгцая определить положение точки в любой момент времени. Позтому зту функцию назьівают законом движения точки. Из курса физики известно, что закон равноускоренного 0t - 1--a-t-,-2, движения задается формулои„ , . = s0 + v где s0 — s(t ) 2 координата точки в начале движения (при t = 0), v0 — на­ чальная скорость, а — ускорение. Пусть, например, s0= 0, v0= 1 м /с, а = 2 м /с2. Тогда s (t) = t2 + t. Зафиксируем какой-нибудь момент времени t0 и прида- дим аргументу в тонке t0 приращение At, то єсть рассмотрим 47

§ 1 . Производная и ее применение промежуток времени от t0 до t0 + At. За зтот промежуток времени материальная точка осуществит перемещение As, где As = s (tp + At) —s (tp) = (tp+ At) + (tp + At) —(tp + tp) = s(*o+At) s(t0) = tg + 2tgAt + At2+ tg + АІ _ tg ~ Ід = 2tgAt + АІ + A^. Средняя скорость ycp(Af) движения точки за промежуток времени от f0 Д° + Af равна отношению As 2tQAt+At + At2 2t0+1 + At, At At то єсть vcp(At) = 2t0 + 1 + At. Обозначение для средней скорости vcp(At) подчеркивает, что при заданном законе движения у = s (t) и фиксирован- ном моменте времени t0 значение средней скорости зависит только от At. Если рассматривать достаточно малме промежутки вре­ мени от t0 до t0 + At, то из практических соображений по- нятно, что средние скорости уср (At) за такие промежутки времени мало отличаются друг от друга, то єсть величина уср(At) почти не изменяется. Чем меньше At, тем ближе зна­ чение средней скорости к некоторому числу, определяюгцему скорость в момент времени t0. Иннми словами, если при At. —>0 значення vcp(At) стремятся к числу v (t0), то число v (t0) називают мгновенной скоростью в момент времени t0. В нашем примере, если At. —> 0, то значення вираження 210 + 1 + At. стремятся к числу 210 + 1, которое является значением мгновенной скорости V (t0), то єсть v (t0) = lim (210 +1 + At) = 2t0+ 1. At ->0 Зтот пример показивает, что если материальная точка двигается по закону у = s (t), то ее мгновенную скорость в момент времени t0 определяют с помогцью формули v (t0) = lim v (At), то єсть At ->0 1 v ( t n)= lim — lim s(t0 +At)-s(t0) At^o At 48

6. Приращение функции. Задачи, приводящие к понятию производной Задача о касательной к графику функции Известное определение касательной к окружности как прямой, которая имеет с окружностью только одну общую точку, неприменимо в случае произвольной кривой. Например, ось ординат имеет с параболой у = х 2 только одну общую точку (рис. 6.2). Од- нако интуиция подсказивает, что неестественно считать зту прямую касательной к зтой пара- боле. Вместе с тем в курсе алгебри мьі нередко говорили, что парабола у = х 2 касается оси Рис. 6.2 абсцисс в тонке х0 = 0. Уточним наглядное представление о каса­ тельной к графику функции. Пусть М — некоторая точка, лежащая на параболе у = х2. Проведем прямую ОМ, которую назовем секущей (рис. 6.3). Представим себе, что точка М, двигаясь по параболе, при- ближается к тонке О. При зтом секущая ОМ будет вращаться вокруг точки О. Тогда угол между прямой ОМ и осью абсцисс будет становиться все меньше и меньше, и секущая ОМ будет стремиться занять положение оси абсцисс. Прямую, положение которой стремится занять секущая ОМ при приближении точки М к тонке О, будем називать касательной к параболе у = х2 в тонке О. Рассмотрим график некоторой непреривной в тонке х0 функции / и точку М 0(х0; / (х0)). В тонке х0 придадим ар­ гументу приращение Ах и рассмотрим на графике точку М (х; f (х)), где х = х0 + Ах (рис. 6.4). 49

§ 1 . Производная и ее применение Из рисунка видно, что если Дх становится все меньше и меньше, то точка М , двигаясь по графику, приближается к тонке М 0. Если при Ах —> 0 секущая М 0М стремится занять положение некоторой прямой (на рисунке 6.4 зто прямая М 0Т), то такую прямую називают касательной к графику функции / в точне М 0. Пусть секущая М 0М имеет уравнение у = kx + b и образу- ет с положительньїм направлением оси абсцисс угол а. Как известно, угловой козффициент k прямой М 0М равен tg а, то єсть k = tg а. Очевидно, что Z M M 0E = а (рис. 6.4). Тогда из ДМ М 0Е полупаєм t^g а = -M---E--= —Af . М0Е Ах Введем обозначение kceK(Ax) для углового козффициента секущей М 0М, тем самим подчеркивая, что для данной функции / и фиксированной точки х0 угловой козффициент секущей М 0М определяется через приращение Ах аргументи. Имеем: kceK(Ax) = . Ах Пусть касательная М 0Т образует с положительньїм на­ правлением оси абсцисс угол Р (Р ^ 90°). Тогда ее угловой козффициент k (х0) равен tg р. Естественно спитать, что чем меньше Дх, тем меньше значение углового козффициента секущей отличается от зна­ чення углового козффициента касательной. Иньїми словами, если Дх —> 0, то kceK(Ax) —>k (х0). Вообще, угловой козффици­ ент касательной к графику функции / в топке с абсциссой х0 определяют с помощью формули k (х0) = lim £сек(Дх), то єсть А х —>0 k (xn) = lim — j. f ( x 0 + A x ) - f ( x 0) Д*—>0 Дх Ах^о Ах ПРИМЕР 2 Найдите формулу для відчислення углового ко­ зффициента касательной к графику функции / (х) = - х 2 в топке с абсциссой х0. Какой угол с положительньїм на­ правлением оси абсцисс образует касательная, проведенная к зтому графику в топке с абсциссой х0 = - —? 50

6. Приращение функции. Задачи, приводящие к понятию производной Р е ш е н и е . Имеем: А/ = / (х0+ А х)- / (х0) = —(х0 + Ах)2- ( - х 2) = - 2 х 0А х - Ах2. Тогда, воспользовавшись формулой для відчислення угло- вого козффициента касательной, можно записать: k (х0) = lim — = lim ^Х°Ах—^Ах^ = lim ( - 2 х0 - Ах). Аж->0 Дх А*—>0 Дх Д.ї^0 Если Ах —» 0, то значення внражения -2 х 0 - Ах стремят- ся к числу - 2 х 0, то єсть Дlхim—>■о(-2 х 0 - Ах) = -2 х 0. Отсюда k (х0) = - 2 х 0. Зта формула позволяет відчислить угловой козффициент касательной к па- раболе у = - х 2 в любой тонке, в частности, в тонке с абсциссой х„ = — . 2 Имеем: k \\ - —І= —2 *І - —1= 1 Пусть касательная к параболе в тонке Рис. 6.5 с абсциссой х0 = — образует угол а 2 (0 < а < 7t и аФ —71 ) с положительньїм направлением оси аб- 2 сцисс. Тогда ее угловой козффициент равен tg а. Вьіпіе мьі установили, что 1J = l. Отсюда tg а = 1. Поскольку 0 < а < 7г, то а = —71 (рис. 6.5). • 4 Упражнения 6.1. ° Найдите приращение функции / в тонке х 0, если: 1) / (х) = 2х - 1, х0 = - 1 , Ах = 0,2; 2) / (х) = Зх2 - 2х, х 0 = 2, Ах = 0,1; 3) / (х) = —, х0 = 1,2, Ах = -0 ,3 . х 6.2. ° Найдите приращение функции / в тонке х 0, если: 1) / (х) = 4 - Зх, х0 = 1, Ах = 0,3; 2) / (х) = 0,5х2, х 0 = - 2 , Ах = 0,8. 51

§ 1 . Производная и ее применение 6.3. ° Для функции / (х) = х2 - Зх виразите приращение А/ функции / в точке х0 через х 0 и х. Найдите А/, если: 1) х 0= 3, х = 2,5; 2) х0 = - 2 , х = -1 . 6.4. ° Для функции / (х) = х 3 виразите приращение А/ функ­ ции / в точке х0 через х 0 и х. Найдите А/, если х0= 0,5, х = 0,4. 6.5. ' Для функции / (х) = х2 - х и точки х0 найдите — Ах и пv т —Af . Дх 6.6. ' Для функции / (х) = 5х + 1 и точки х0 найдите Ах и пv т —Af . Дх 6.7.' Материальная точка двигается по координатной пря- мой по закону s (t ) = 212 + 3 (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент t0 = 2 с. 6.8.' Тело двигается по координатной прямой по закону s (t) = 512 (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите: 1) среднюю скорость тела при изменении времени от t0 = 1 с до t 1 = 3 с; 2) мгновенную скорость тела в момент t0 = 1 с. 6.9.' Найдите угловой козффициент: 1) секущей графика функции у = х2, проходящей через точки графика с абсциссами х0 = 1 и х г = 1,6; 2) касательной к графику функции у = х2 в точке с аб- СЦИССОЙ X q = 1 . 6.10.' Найдите угловой козффициент: 1) секущей графика функции у = х3, проходящей через точки графика с абсциссами х0 = 2 и х г = 1; 2) касательной к графику функции у = X s в точке с аб- сциссой х0 = 2. 52

7. Понятие производной Понятие производной В предмдущем пункте, решая две разньїе задачи о мгно- венной скорости материальной точки и об угловом козффи- циенте касательной, ми пришли к одной и той же матема- тической модели: пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргументи стремится к нулю: u (,L.) = l i m —As , fc(xn) = l i m Д—f . А*-ОД* А*->0 Дх К аналогичньїм формулам приводит решение целого ряда задач физики, химии, биологии, зкономики и т. д. Зто сви- детельствует о том, что рассматриваемая модель заслуживает особого внимания. Ей стоит присвоять название, ввести обо- значение, изучить ее свойства и научиться их применять. О пределение. П роизводной функции / в точне х0 назьівают число, равное пределу отношения приращения функции / в точне х0 к соответствующему приращению ар­ гумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Производную функции у = f (х) в точке х0 обозначают так: /'(х0) (читают: «зф штрих от икс нулевого») или у' (х0). Тогда можно записать: f (х0)= Дl#im—»0 f(x0 +Ax)-f(x0) Дх или f'(xо)= lim ^ А*^° Дх Производную функции / в точке х0 можно вичислить по такой схеме: 1) придав в точке х0 аргументу приращение Дх, найти соответствующее приращение Д/ функции: А/ = / (х0 + Дх) - / (х0); Z) най-ти отношение —Af ; Ах 53

§ 1 . Производная и ее применение 3) вияснить, к какому числу стремится отношение A—f Ах при Ах —> 0, то єсть найти предел lim — . Дх ПРИМЕР 1 Найдите производную функции / (х) = — в тонке X Х0 = 1. Р е ш е н и е . Придерживаясь вьішеприведенной схеми, за­ пишем: 1) А/ = / (х0+ Ах) - / (х0) = 1 11 1 -Дх u+ Дх х0 1+ Дх 1 1+ Дх ’ 1 2) — = — Дх 1+ Дх 3) при Дх —» 0 значення вираження - 1+ Дх стремятся к числу - 1 , то єсть /' (1) = lim - 1+ Дх = - 1. Ответ: -1 . Отметим, что, найдя значение /'(1), мьі тем самим нашли угловой козффи- циент k (х0) касательной, проведенной к графику функции / ( х ) = — в тонке X с абсциссой х0 = 1. Он равен - 1 , то єсть k (1) = -1 . Тогда, обозначив через а угол, образованний зтой касательной с поло- жительнмм направлением оси абсцисс, можем записать: tg а = -1 . Отсюда а = — (рис. 7.1). 4 Вообще, можно сделать такой вьівод: угловой козффициент касательной, проведенной к графику функции f в тонке с аб­ сциссой х0, равен производной функции f в тонке х 0, то єсть k (х0) = /' (х0) Ото равенство виражает геометрический смьісл произ­ водной. 54

7. Понятие производной Также понятно, что если у = s (t) — закон движения мате- риальной точки по координатной прямой, то ее мгновенная скорость в момент времени t0равна производной функции у = s (t) в тонке t0, то єсть V (t0) = s' (t0) 9то равенство вьіражает механический смьісл производной. Если функция / имеет производную в точке х0, то ату функцию назьівают дифференцируемой в точке х0. Пусть функция / дифференцируема в точке х0. Из геометрического сммсла про­ изводной следует, что к графику функции / в точке с абсциссой х0 можно провести невертикальную касательную (рис. 7.2). И наоборот, если к графику функции / в точке с абсциссой х 0 можно провести не­ вертикальную касательную, то функция / дифференцируема в точке х0. На рисунке 7.3 изображени графики функций, кото- рьіе в точке х0 имеют разрив или «излом». К их графи- кам в точке с абсциссой х 0 невозможно провести каса­ тельную. 9ти функции не дифференцируемм в точке х 0. На рисунке 7.4 изображени графики функций, которие в точке с абсциссой х0 имеют вертикальную касательную. Позтому зти функции не дифференцируемм в точке х0. Уп Рис. 7.4 55

§ 1 . Производная и ее применение Покажем, например, что функция / (х) = | х |, график которой имеет «излом» в точке х0 = 0, не является диффе- ренцируемой в зтой точке. Имеем: 1) Д/ = / (х0 + Ах) - / (х0) = Іх 0 + Ах І - Іх0 І= = І 0 + Ах І - І 0 І= ІАх І; 2) Дх Дх 3) в примере 3 пункта 3 било показано, что функция g (t) = -І—^1І не имеет предела в точке t0 = 0; зто означает, что не существует предела АШ*^о А»х, то єсть функция f не явля- ется дифференцируемой в точке х0 = 0. Т еор ем а 7.1. Если функция f дифференцируема в точ­ ке х0, то она непрергявна в зтой точке. Д о к а з а т е л ь с т во. Так как функция / дифференцируе­ ма в точке х0, то можно записать /'( х 0)= lim — . А* ^ 0 Д Х Имеем: Дх = х - х0. Очевидно, что если Дх —» 0, то х —» х0. Тогда /' (х0) = lim — = lim / ( х ) - / ( х 0) .у - о у 0 Д х у -о у0 Имеем: lim ( / ( х ) - / ( х 0))= lim ( / ( х ) - / ( х 0) ( х - х 0) V = iim ^ f (хо) . ( х - х 0) = /'(х0)-0 = 0. * *о X- Х0 *^*о Следовательно, хli-»mх0(/ ( x ) - f (х0)) = 0. Отсюда lim / ( х ) = / ( х 0). д: -> х 0 Зто означает, что функция / является непреривной в точ­ ке х0. А 56

7. Понятие производной Отметим, что непрернвная в точке х 0 = 0 функция / (х ) = Іх Іне является дифференцируемой в зтой точке. Зтот пример показьівает, что непрерьівность функции в точке яв­ ляется необходимьім, но не является достаточньїм условием дифференцируемости функции в зтой точке (рис. 7.5). Пусть М — множество точек, в которнх функция / диф- ференцируема. Каждому числу х є М поставим в соответ- ствие число f ' ( x ). Тем самим задана функция с областью определения М. Зту функцию назмвают производной функ­ ции у = f (х) и обозначают /' или у'. Если функция / дифференцируема в каждой точке некото- рого множестваМ, то говорят, что она дифференцируема на множестве М. Например, на рисунке 7.6 изображен график функции, дифференцируемой на промежутке І. На проме- жутке І зтот график не имеет разрмвов и изломов. Промежуток І Рис. 7.5 Рис. 7.6 Если функция / дифференцируема на D (/), то ее назмвают дифференцируемой. Нахождение производной функции / назмвают дифферен- цированием функции /.*31 ПРИМЕР 2 Продифференцируйте функцию / (х) = kx + Ь. Р е ш е н и е . Найдем производную функции / в точке х0, где х0 — произвольная точка области определения функции /. 1) Д/ = / (х0 + Ах) - / (х0) = (k (х0 + Ах) + b) - (kx0 + b) = kAx; Дх Дх д^, 3) по определению производной /' (xn) = lim —Д/ = lim k = k. U АA vх —ч>А0 А __ АA vх —ч>0А Следовательно, /' (х0) = k. 57

§ 1 . Производная и ее применение Так как х0 — произвольная точка области определения функции /, то последнее равенство означает, что для любого х є Жвмполняется равенство /' (х) = k. • Вмвод о том, что производная линейной функции / (х) = = kx + b равна k, также принято записмвать так: (kx + Ь)' = к (1) Если в формулу (1) подставить й = 1 и Ь = 0, то получим (*)' = 1 Если же в формуле (1) положить k = 0, то получим (ьу =0 Последнее равенство означает, что производная функции, являющейся константой, в каждой тонке равна нулю. ПРИМЕР З Найдите производную функции / (х) = х2. Р е ш е н и е . Найдем производную функции / в тонке х0, где х0 — произвольная точка области определения функции /. 1) Д/ = / ( х 0+ А х ) - / ( х 0) = (х0+Ах)2- х 2 = 2х0Ах + Ах 2; Дf 2х0Дх + Дх2 Z) = = 2х0 + Ах; Дх Дх 3) если Ах —» 0, то при любом х0 є Жзначення вираження 2х0 + Ах стремятся к числу 2х0. Следовательно, /' (х0) = Ііш (2х0 + Ах) = 2х0. Так как х0 — произвольная точка области определения функции / (х) = х2, то для любого х є Жвьіполняется равен­ ство /' (х) = 2х. • Последнее равенство также принято записмвать в виде (х2)' = 2х (2) ПРИМЕР 4 Найдите производную функции / (х) = х3. Р е ш е н и е . Найдем производную функции / в тонке х0, где х0 — произвольная точка области определения функции /. 1) А/ = (х 0 + Ах)3 - х 03 = (х 0 + Ах - х 0)((х0 + Ах)2 + + (х0 + Ах)х0 + х02) = Ах ((х0 + Ах)2 + (х0 + Ах)х0 + х02); 58

7. Понятие производной д f Ах ((х0+ Ах)2+ (х0+ Ах)х0+ Хд) = 2) = Дх Ах = (х0+ Ах)2+(х0+ Ах)х0+х'1; 3) если Ах—>0, то значення вираження (х0+Ах)2+ (х0+Дх)х0+х2 стремятся к числу Зх^. Следовательно, /'(х0) = 1іт — = Зх^. Дх Так как х 0 — произвольная точка области определения функции /, то для любого х є Ж вьшолняется равенство /'(* ) = Зх2. • Последнее равенство можно записать так: (*3)' = Зх2 (3) Формульї (2) и (3) — частньїе случаи более обіцей формули: (х\"У = пх\" п N, п > 1 (4) Например, (х5)' = 5х4, (х7)' = 7х6. ПРИМЕР 5 Докажите, что производная функции / (х) = х”, п є N, /7 > 1, равна пх\" ~ Р е ш е н и е . Найдем производную функции / в тонке х0, где х0 — произвольная точка области определения функции /. 1) А/ = (х0 + Ах)” - х0”. 2) Напомним, что а” - 6 ” = (а-&)(аи1 + a”~2&+ ... + &”~1) . Тог- да можно записать: Дf (х0+ Дх)” - х” Дх Дх (Xq+ Дх —Xq) ((Xq+ Дх) + (Xq+ Дх) Xq+... + Xq ) Дх = ( X g + A x ) + ( X g + A x ) X g + . . . + Xg 3) / ' ( x 0)=Axli-»m0 ((x0 + Ax)”-1 + (x 0 + Ax)”~2x0 +... + x”_1) = л. п - 1 . л„ п - \\ . . л„ п - \\ _ „ п -1 — Х А + Х А + . . . + Х А — П-ХА и слагаемьіх 59

§ 1 . Производная и ее применение Так как х0 — произвольная точка области определения функции /, то для любого х є Жвмполняется равенство /' (х) = ПХП“ \\ • Формула (4) остается справедливой для любого п. є Z и х ф 0, то єсть (хп)' = пхп 1, п є Z (5) Например, воспользуемся формулой (5) для нахождения производной функции / ( х ) = —. Имеем: X —1 = (х-1)' = -1 •х~1_1 = -х~2 = —\\г. ,ху X Следовательно, для любого х ^ 0 вмполняется равенство /'(х) = —\\ или X f 1! — 1 X2 V*7 ПРИМЕР б Продифференцируйте функцию / (х) = \\[х. Р е ш е н и е . Пусть х0 — произвольная точка области опре­ деления функции /, то єсть х0 > 0. 1) А/ = V*0 + A * - V ^ • 2) Имеем: — = Ах ^2 ^<і Ах ^ОС, + Ах] (х0+ Дх )-х 0 Ах •( Х0 + Ах + 0 ^х0+ Ах + іДО -Jx~hAx + 3) Найдем предел Ііні . При х„ > 0 имеем, что А*^о Ах А/ 1 1 Ііні — = Нін 2^/х^ а*^оДх А.ї^о^ х0+ Ах + ^ 60

7. Понятие производной При х0 = 0 имеем, что = }-— . Позтому при Ах —»0 Ах VАх значення вираження ~ ^ = становятся все большими и боль- VАх шими. Значит, не существует числа, к которому стремятся значення вираження — . Следовательно, предела Нін — Ах Ах^° Ах не существует. Таким образом, функция /(х ) = -у/х является дифферен- цируемой на множестве (0;+со), причем /'(х0) = — . От- 2у/х0 метим, что в точке х0 = 0 функция /(х ) = -у/х не является дифференцируемой. • Формулу (5) также можно обобщить для любого г є и х > 0: (хг)' = гхт \\ г є (6) Например, найдем производную функции / (х) = -у/х, вос- пользовавшись формулой (6). Имеем: (-у/х) = ( х 2) =_ —^лхг22 ї ——ї X 12 = _1— 2 -у/х Следовательно, для х > 0 можно записать: /' (х) = 2 -у/х или Ш ' = 2^-у/гх Вообще, производную функции f ( x) = y[x, п є N, п > 1, можно находить по формуле (7) Если п — нечетное натуральнеє число, то формула (7) по- зволяет находить производную функции / во всех точках х таких, что х ф 0. 61

§ 1 . Производная и ее применение Если п — четное натуральнеє число, то формула (7) по- зволяет находить производную функции / для всех положи- тельних значений х. Обратимся к тригонометрическим функциям у = sin х и у = cos х. Зти функции являются дифференцируемьіми, и их производние находят по таким формулам: (sin х)' = cos х (cos х)' = —sin х Как доказивать зти формули, вьі сможете узнать в раз- деле «Когда сделанм уроки». При вьічислении производних удобно пользоваться табли- цей производньїх, расположенной на форзаце 2. ПРИМЕР 7 Докажите, что ф, ункция t.(.x.) = <ї х2, если х <1, [2х-1, если х > 1 ЯВЛЯЄТСЯ дифференцируемой В ТОЧКЄ Xq = 1 . Найдите /' (1). Р е ш е н и е . Имеем: / (х0) = / ( 1) = 2 -1 —1 = 1. Если Дх < 0, то —А/ = f (х0--+--A--x) - f (х00) = -(-1-+--Д---х)--2----1-= 2 + Ах. Дх Дх Дх « . ■ Д О Н „ А / = ; ( і . + а д - / М = ( 2 ( і +Д« | - 1 ) - 1 =і , Дх Дх Дх Теперь видим, что lim — = 2, то єсть /'(1) = 2. • Дх г Упражнения 7.1. ° Найдите производную функции: 1) у = 5х - 6; 2) у = 3) У = 9. О 7.2. ° Найдите производную функции: 1) У = х4; 3) у = х~15; 5) У = х 2) у = х20; 4) У= X 6) у = х 5. 62

7. Понятие производной 7.3. ° Найдите производную функции: 1) у = X10; і 1 3) у = — ; 5) у = х 6; X 2) у = х43; 4) у = 8 - Зх; 6) у = х~0,2. 7.4. ° Продифференцируйте функцию: 1) у = у[х; 204) „■-> 4 7 ; 3) , = 4) „ = ‘ 7.5.° Продифференцируйте функцию: 1) у = л/х; 2) у = \\Іх5; 3) у = 7.6.° Вичислите значение производной функции / в точке х0: 1) / (х) = sin х, х0 = —; 2) / (х) = cos х, х0 = — . 4 6 7.7. ° Вичислите значение производной функции / в точке х0: 71 71 1) / (х) = sin х, х0 = —; 2) / (х) = cos х, х0 = — . 6 4 7.8. ' Вичислите значение производной функции / в точке х0: 1) / ( х ) = х-s/x, х 0 = 81; 3) / (х) = \\ j x 4 x , х 0 = 16; 2) / (х) = х 3 у[х, х 0 = 1; 2 4) / (х) = Д=, х0 = 64. Щх 7.9. ' Вичислите значение производной функции / в точке х0: 1) / (х) = х у[х, х0 = 256; 2) / (х) = t f x j x , х 0 = 1. 7.10. ' Пользуясь определением производной, найдите f'(x), если: 1) / (х) = —; 2) / (х) = 4 - х2. х 7.11. ' Пользуясь определением производной, найдите f'(x), если: 1) / (х) = -- -; 2) / (х) = X2 + Зх - 2. х 7.12. ' Найдите угловой козффициент касательной, проведен- ной к графику функции / в точке с абсциссой х0: 1) / (х) = х 3, х 0 = -1 ; 3) f ( x) = \\ , х 0 = 2; 2) / (х) = у[х, х0 = 4; X 4) / (х) = sin х, х0 = 0. 63

§ 1 . Производная и ее применение 7 .1 3 / Найдите угловой козффициент касательной, проведен- ной к графику функции / в точке с абсциссой х 0: 1) / (х) = х4, х0 = -2; 3) f( x) = \\ , х0 = -3; X 2) / (х) = у[х, х 0 = 27; 4) / (х) = cos х, х0 = . 2 7 .1 4 / Найдите с помощью графика функции / (рис. 7.7) значення f'(xі) и /'(х 2). 7 .1 5 / Найдите с помощью графика функции / (рис. 7.8) значення f'(xі) и /'(х'г)- Рис. 7.8 7 .1 6 / На рисунке 7.9 изображен график функции /. Укажите несколько значений аргументи х, для которнх: 1) f'(x) > 0; 2) f'(x) < 0; 3) f'(x) = 0. 7 .1 7 / К графику функции / в точке с абсциссой х0 проведена касательная (рис. 7.10). Найдите /'(•%)• 7 .1 8 / К графику функции / в точке с абсциссой х0 проведена касательная (рис. 7.11). Найдите f'(x0). 64

Рис. 7.9 7. Понятие производной Рис. 7.10 Рис. 7.11 Рис. 7.12 7 .1 9 / На рисунке 7.12 изображен график функции /. Ука- жите точки, в котормх производная равна нулю, и точки, в котормх производная не существует. 7 .2 0 / На рисунке 7.13 изображен график функции /. Ука- жите точки, в котормх производная равна нулю, и точки, в котормх производная не существует. Рис. 7.13 Рис. 7.14 7 .2 1 / На рисунке 7.14 изображен график функции /. Срав- ните: 1) /'(-5 ) и /'(1); 3) /'(-2 ) и /'(4); 2) /'( -1 ) И /'(6); 4) /'(0) и /'(5). 65

§ 1 . Производная и ее применение 7 .2 2 / Касательная к графику функции / в точке с абсцис- сой х 0 имеет угловой козффициент 1г. Найдите х 0, если: 1) / (х) = х3, к = 3; 3) f{x) = \\ , к = -~ ; х4 2) / (х) = у/х, к = —; 4) / (х) = sin х, k = 0. 4 7 .2 3 / Касательная к графику функции / в точке с абсцис- сой х 0 имеет угловой козффициент 1і. Найдите х 0, если: 1) / (х) = х4, к = -3 2 ; 3) f(x) = \\ , к = х 27 2) / (х) = у/х, k = — ; 4) / (х) = cos х, k = 1. 27 7 .2 4 / Материальная точка двигается по координатной пря- мой по закону s (t) = f2. Найдите s ' ^ j . Какой механи- ческий смисл имеет найденная величина? 7 .2 5 / Материальная точка двигается по координатной пря- мой по закону s (t) = t3. Найдите s' (2). Какой механиче- ский смисл имеет найденная величина? 7.26. ” Докажите, пользуясь определением, что функция I1 - х 2, если X<0, является дифференцируемой / (х) = ■ [і, если X> 0 в точке х0 = 0. Проиллюстрируйте полученнмй результат графически. 7.27. ” Найдите производную функции І х 2- 2, если х < 2, / (х) = ■ 14х-6, если х > 2 в точке х 0 = 2. 7.28. ” Докажите, пользуясь определением, что функция / (х) = х Іх Іявляется дифференцируемой в точке х0 = 0. Проиллюстрируйте полученнмй результат графически. 7.29. ” Найдите производную функции / (х) = х 2 | х | в точке 66

Доказательство формул производньїх функций у = sin х и у = cos х 7.30.” Докажите, пользуясь определением, что функция • У= - х 2 не является дифференцируемой в точках • хл = -1 и х2 = 1. Проиллюстрируйте полученнмй резуль- * тат графически. КОГДА СДЕЛАНЬІ УРОКИ Доказательство формул производньїх функций у = sin X и у = COS X Докажем, что производнме функций у = sin х и у = cos х можно вичислять по формулам (sin х)' = COS X, (cos х)' = -sin X. Пусть / (х) = sin X. Для произвольной точки х0 имеем: 1) Д/ = sin (х0 + Ах) - sin х0; ол А/ _ sin (х0+ Ах) - sin х0 _ £) — у Ах Ах 3о), , ,/', (хл0) =vl i ms-i-n--(-х-й0+ Ах) - sin х^0 = Д .ї^0 Дх 2„ si.n-А--х--cos (х„ + Ах ( si.n—Ах xn+■Ах = Аliхm^-0 = lim 2 cos Ах Ах^-0 Ах І0 2 Воспользовавшись первьім замечательньїм пределом l..im -s-i-n--і-= 1,. t можно записать: sm Ах lim cos хпн--А--х-= cos xn. /' (х0) = lim \\.r >0 \\.r >0 A X ~2 Формулу (cos x)' = -sin x доказмвают аналогично. 67

§ 1 . Производная и ее применение | | Правила вьічисления производньїх Найдем, пользуясь определением, производную функции / (X) = X2 + X в точке х0 є Ж. 1) А/ = (х0 + Ах)2+ (х0 + Ах) - (Хд + х0) = / ( . ї 0+Д.іс) /(.іс0 ) = х 2+ 2х0Ах + Ах2+ х0+ Ах - х 2- х0 = 2х0Ах + Ах2 + Ах; 2) — = 2х0+ Ах + 1; Дх 3) если Ах —» 0, то значення вираження 2х0 + Ах + 1 стре- мятся к числу 2х0 + 1. Следовательно, при любом х0 є Ж / ' (х„) = Нін (2х„ + Ах + 1) = 2х„ +1. А х —>0 Так как х0 — произвольная точка области определения функции / (х) = х2 + х, то для любого х є Ж вмполняется равенство /' (х) = 2х + 1, то єсть (х2 + х)' = 2х + 1. Из предмдущего пункта вам известно, что (х2)' = 2х и (х)' = 1. Таким образом, получаем (х2 + х)' = (х2)' + (х)'. Следовательно, производную функции / (х) = X2 + X можно било найти, не пользуясь определением производной. Справедлива следующая теорема1. Т еорем а 8.1 (п р ои зводн ая суммьі). В тех точках, в которьіх дифференцируемьі функции у = f (х) и у = g (х), также являєшся дифференцируемой функция у = f (х) + + g (х), причем для всех таких точек вьіполняется р а ­ венство (/ (*) + g (х)У = f ' ( x ) + g' (х). 1 Условия теорем 8 .1 -8 .4 предусматривают такое: если функции / и g диф ф ер ен ц и р уем ьі в точке х 0, то соответственно ф ун к ц и и y = f(x) +g(x), у = f (х) g (х), f (х) и y = f{g{x)) определенм на у = — —— g(x) некотором п р о м еж у т к е, со д ер ж а щ ем точку х 0. 68

8. Правила вьічисления производньїх Коротко говорят: производная сумми равна сумме про­ изводньїх. Также принята такая упрощенная запись: (f + g)' = f ' + g ' Д о к а з a m ель c m в о. Пусть х0 — произвольная точка, в которой функции / и g дифференцируемм. Найдем при- ращение функции у = f (х) + g (х) в тонке х0. Имеем: Ау = f (х0 + Ах) + g (х0 + Ах) - f (х0) - g (х0) = = (/ (х0 + Ах) - / (х0)) + (g (х0 + Ах) - g (х0)) = А/ + Ag. Запишем: lim — = lim Af + Ag = lim I Ax —>0 Ах —>0 Ах A* ^ ° V A x А х Поскольку функции / и g дифференцируемьі в тонке х0, то существуют пределм rlim —Af и lim — . Отсюда получаем: А*^° Дх А*^° Дх lim —АУ = l i m -А--/--,1--A--g-= lim —Af - lim — = f '( x 0) + g'(xo). A*^° Ax a* ^ ° vAx Ax ) Ax^ ° Ax A*^° Ax Следовательно, функция у = f (x) + g (x) является диффе- ренцируемой в тонке х0, причем ее производная в зтой тонке равна /' (х0) + g' (х0). А Теорему 8.1 можно обобщить для любого конечного ко- личества слагаемьіх: (А +/2+- +/„)' =/і' +U +- +/«'• Две теореми, приведенньїе ниже, также упрогцают на- хождение производной. Теорем а 8.2 (п рои зводная п р ои зведен и я). В тех точках, в которглх дифференцируемьі функции у = f (х) u у = g (х), также является дифференцируемой функция у = f (х) g (х), причем для всех таких точек вьіполняется равенство (/ + /(х) g (х))' = f (х) g (х) g ' (х) (х). Также принята такая упрощенная запись: іfgy = f'g + g'f 69

§ 1 . Производная и ее применение Д о к а з a m ель c m в о. Пусть х 0 — произвольная точка, в которой функции / и g дифференцируемм. Найдем прира- щение функции у = f (х) g (х) в тонке х0. Учитьівая равенства / (х0 + Лх) = f (х0) + Af, g (х0 + Ах) = g (х0) + Ag, имеем: Ау = f (х0 + Ax) g (х0 + Ах) - / (х0) g (х0) = = (/ (х0) + A/) (g (х0) + A g ) - f (х0) g (х0) = = / (х0) § (*о) + Af- g (x0) + Ag'-/ (x0) + Af-Ag - f (x0) ^ (x0) = = Af-g (x0) + Ag1*/ (x0) + Af-Ag. Запишем: lim ^ = lim А/ • g (x0) + Ag • / (x0) + А/ • Ag = A*^° Дх A*^° Дх - Дli.їm^ОІI —дх ■g( x0) + Y ~ - f ( x 0) + A f ' Ag Ax Ax = lim | — -£(x0) + — -/(x 0) + — •— • Ax л\" nl Дх Дх Дх Дх Так как функции / и g дифференцируемьі в тонке х0, то существуют предельї lvim A—f и lim A—g . А* ^ ° Д х Ах^о ДХ Теперь можно записать lim — = lim — •g (xn)+ lim — •/ (xn)+ lim — • lim — • lim Ax = Дх^ОДх Ах^0Дх А-Г^0ДХ 4 « 0 Д Х Д х ^ 0 Д х Дх^О = /' (х0) g (х0) + g' (х0) / (х0) + /' (х0) (х0) • 0 = = /' (*о) g (х0) + (х0) / (х0). Таким образом, функция у = f (х) g1(х) дифференцируе- ма в тонке х0, причем ее производная в зтой тонке равна /' (Х0) g (х0) + g' (х0) / (х0). А С ледствие 1. В тех точках, в которглх дифференци- руем а функция у = f (х), также являєшся дифференцируе- мой функция у = kf (х), где k — некоторое число, причем для всех таких точек вьіполняется равенство (kf (х)У = kf' (х). Коротко говорят: постоянний множитель можно вино­ сить за знак производной. 70

8. Правила вьічисления производньїх Также принята такая упрощенная запись: (МУ = k f Д о к а з am ель cm во. ©Так как функция у = k дифферен- цируема в любой точке, то, применяя теорему о производной произведения, можно записать: (kf (х))' = (k)’ f (х ) + kf'(x) = 0 • / (х) + kf' (х) = kf' (х). А С ледствие 2. В тех точках, в которглх дифферен- цируемьі функции у = f (х) и у = g (х), также является дифференцируемой функция у = f (х) - g (х), причем для всех таких точек вьіполняется равенство (/ (*) - g (х)У = f ' ( x ) - g ' (*). Д о к а з а т е л ь с т во. © Имеем: (/ (х) - g (х))' = (/ (х) + (-1) -g (х))' = (/ (х))' + + ((-1) g (х))' = /' (х) + (-1 )-£ ' (х) = /' (х) - g' (х). А Теорем а 8.3 (п рои зводная частного). В тех точ­ ках, в которгях функции у = f (лО и у = g (д;) дифференци- руемгл и значение функции g не равно нулю, функция у = -f--(-^--) также являет ся дифференцируемой, причем для g(x) всех таких точек вьіполняется равенство ( f ( x )Y f' ( x ) g ( x ) - g ' (x)f(x) g(x) (g (•*)) Также принята такая упрощенная запись: f'g-g'f g2 С доказательством теореми 8.3 вьі можете ознакомиться на занятиях математического кружка.*1 ПРИМЕР 1 Найдите производную функции: 1) у = — s in x + 4x2 3) у = х3 cos х; 2) у = х 2 (5 х -3 ); 2х +1 4) У = Зх-2 71

§ 1 . Производная и ее применение Решение 1) Пользуясь теоремой о производной суммм и следствием из теореми о производной произведения, долучаєм: у' = - s i n х + 4 х 2j = ^—j - ( s i n х)' + 4 •(х2)' = =— —cos х + 4 •2х = —^--cos х + 8х. 2) По теореме о производной произведения имеем: у' = (х~2 (5х - 3)) = (х~2) •(5х - 3) + (5х - 3)' • х _і = = —1 X ■(5 х -3 ) + 5 • х - = Q_ Кг + - ^5 = 3 -5 х +10х 3 + 5х 2 —= 2 2 Vx° уV[xх 2\\[xF 2-ух 3) Имеем: у' = (х3 cos х)' = (х3)' • cos х + (cos х)' • х3 = = Зх2 cos х - sin х • х3 = Зх2 cos х - х3 sin х. 4) По теореме о производной частного долучаєм: У= 2 х 2 +1 і (2х 2 +1)' ( З х - 2 ) - ( З х - 2 ) ' (2 х2 +1) Зх-2 (Зх-2) 4х ( З х - 2 ) - 3 (2х2 +1) 12х2 - 8 х - 6 х 2 - 3 6 х 2 - 8 х - 3 (Зх-2)2 ~ (Зх-2)2 ” (Зх-2)2 Используя теорему о производной частного, легко дока­ зать, что: 1 (tg x)' = cos2X 1 (ctg x)' = si.n2 X Действительно, (sin х)' cos x-(cosx)' sin X sinxY cos2X (tg х)' = COS X cos x cos x -( -s in x) sin x cos2x + sin2x cos2X cos2X cos2X 72

8. Правила вьічисления производньїх Формулу (ctg х)' = -------— докажите самостоятельно. sin х Если значеннями аргументи функции / являются значе­ ння функции g, то говорят, что задана сложная функция V = f (g (*))• Например, рассмотрим функции у = f (t) и t■= g (х ), где / (t) = 2t - 1 и g (х) = х21* + х + 1. Тогда / (g (х)) = 2g (х) - 1 = = 2(х2 + х + 1) - 1 = 2хг + 2х + 1. Следовательно, можно говорить, что формула у = 2хг + 2х + 1 задает сложную функцию у = f (g (х)). Рассмотрим егце несколько примеров. Если / (и) = sinw, a g (х) = 1 - Зх, то сложная функция у = f (g (х)) задается формулой у = sin (1 - Зх). Функцию у = cos2 х можно рассматривать как сложную функцию У = / (g (х)), где / (х) = х2, g (х) = cos х. Находить производную сложной функции можно с по- мощью такой теореми. Теорема 8.4 (производная слож ной функции). Если ф ункция t = g (х) диф ф еренцируем а в тонке х0, а ф ункция у = f (і) диф ф еренцируем а в тонке і 0, где і0 = g (х0), то сложная функция у = f (g (х)) являет ся диф- ференцируемой в тонке х0, принем У' ( * о ) = /' (t0) - g ' (х0). С доказательством зтой теореми вьі можете ознакомиться на занятиях математического кружка. ПРИМЕР 2 Найдите значение производной функции в тонке х0: 1) у = (Зх - 7)®, х0 = 2; 3) y = s in —, х0 = п; 2 2) у = \\І4х2+1, х 0 = 0; 4) у = tg3*5х, х0 = — . 15 Решение 1) Данная функция у = (Зх - 7)® является сложной функ- цией у = f (g (х)), где / (t) = f®, g (х) = Зх - 7. Так как / ' (t) = 6f5, a g'(x) = 3, то по теореме о производной сложной функции можно записать: у' (х) = /' (0 g' (х) = 6 і5• 3 при t = Зх - 7, 73

§ 1 . Производная и ее применение то єсть у' (х) = 6 (Зх - 7)5• 3 = 18 (Зх - 7)5; у' (2) = 1 8 -(3 -2 - 7)5 = -1 8 . Решение зтой задачи можно оформить и так: у' = ((Зх - 7)6)' = 6 (Зх - 7)5• (Зх - 7)' = = 6 (Зх - 7)5• 3 = 18 (Зх - 7)5; у' (2) = -1 8 . 2) у' = (^4х2+ і) 1 •(.4.х 2 +11 4), =- 8х 4х І-\\І4х2 +1 2 -\\І4х2 +1 ^ 4 х 2 + і ’ у' (0 ) = 0 . п —х ) = cos —X • І2-х^) = —1 cos —X; 22 2 І 2 1v 2 J 2 2 4) y' = (tg35x) =3tg25x -(tg 5 x ) = 3tg! 5х' (5х)' 15tg25x cos25х cos25х 15tg: я У = 15 = 45: —= 180. cos • и Ч і 4 Ответ : 1) -18; 2) 0; 3) 0; 4) 180. I Упражнения\"\" 8.1.° Найдите производную функции: 1) у = х3 - Зх2 + 6х - 10; 5) у = - —Xі + 0,5 х 2+2х; 6 2) у = 4х 6+20 у[х; 6) у = tg х - 9х; 4 432 3) у = х8 + 7х6+ —-1; 7) у = ^— — + — + 2; х 438 4) у = 4 sin х - 5 cos х; 8) у = 2х Зх 3. 8.2.° Найдите производную функции: 5 1) у = 2х5 - х; 5) у = х — ; х 2) у = х 1- 4 -s/x; 6) у = 12 - ctg х; 3) у = - 3 sin х + 2 cos х; 7) у = 0,4х~5+V3. 2 4) у = - х 3- х 2-7 х ; 74

8. Правила вьічисления производньїх 8.3.° Найдите производную функции: 1) у = (х + 2) (х2 - 4х + 5); 4) у = х ctg х; 2) у = (Зх + 5) (2х2 - 1); 5) у = (2х +1) 4 х ; З) у = х 2 sin х; 6) у = 4 х cos х. 8.4.° Найдите производную функции: 1) у = (х 3 - 2) (х 2 + 1); 3) у = х4 cos х; 2) у = (х + 5)у[х; 4) у = х tg х. 8.5.° Найдите производную функции: х-1 X 7) 3-х2 1) У= х +і ’ ^ 4) У = 4 + 2х ’ х2- і ’ В) У ^-у* 2х-3_ 5х2- х-2^ /у* 2) У= 5) У= X У х-7 4-5х’ 5 6) у = х3 3) У= У Зх-2’ COS X 8.6.° Найдите производную функции: Зх + 5 2х х2-1 _ 3) У= 5) У= 1) У= 1 —6х х 2 +1 ’ х-8 х 2 +6х 7 sin X_ 6) у = 4) У= X У 2) У= х +2 Юх - З 8.7.° Чему равно значение производной функции / в тон­ ке х0, если: 1) / (х) = х 8 - Зх4 - х + 6, х 0 = -1 ; 2) / (х) = —+ 5 х -2 , х0 = 2; х 2 —Я г 3) f ( x ) = -------, х 0 = -3 ; х +2 4) /( х ) = -х--2-+--2--- 2 s in x , х0 = 0; х-2 5) / (х) = (1 + Зх) л/х, х 0 = 9; 6) f (х) = 3 \\/х - 1 0 \\/х, х0 = 1; 7) / (х) = (х2 - 2х + 3) cos х, х0 = 0; 8) / (х) = х sin х, х0 = 0? 75

§ 1 . Производная и ее применение 8.8.° Вичислите значение производной функции / в точке х 0: 1) / ( x ) = V x -1 6 x , х0 — ; 2) / ( х ) = ^ , х 0 = 0; 1-х 3) / (х) = х-2 - 4х 3, х 0 = 2; 4) / ( х ) = 2х -З х - 1 , х0 = 1. х +1 8.9.° Задайте с помощью формул слож нне функции У = f (S (*)) и у = g { f (х)), если: 1) / (х) = sin х, g (х) = х2 - 1; 2) / (х) = х4, g (х) = 5х + 2; 3) f ( x ) = 4 x , g (х) = X х —1 4) / (х) = —, g (х) = 2х - Зх 1. X 8.10.° Задайте с помощью формул сложнне функции У = f (S (Ж» и у = g (f (х)), если: 1) / (х) = х2, g (х) = tg х; 2) / (х) = \\[х, g ( x ) = X+1 х +2 8.11. ' Могут ли две разнне функции иметь равнне произ- воднме? Ответ проиллюстрируйте примерами. 8.12. ' Найдите производную функции: 1) У = (2х З)5; 8) у = 4о? -і; 2) у = ^ - х - 6 9) у = уіха-З х ; 3) у = cos 2х; 10) у = 1 4) у = sin2 х; 4х +5 11) у = (6 - 7х) 4; 5) у = 3 c tg ^ ; 12) у = ^— + 4 х - 1 6) у = >/2х + 1; 13) y = ijsіп х; 7) у = ^ /Г ^ ; 14) у = sin^fx. 76

8. Правила вьічисления производньїх 8 .1 3 / Найдите производную функции: 1) У = (Зх - 5)®; 6) y = c o s ^ - x j ; 2) у = (2х2 - Зх + 4)3; 7) у = 4 ї ^ - , 3) у = sin ~ ; 8) у = у/бх + 8; 4) у = cos2 х; 9) у = (9х - 2) 3; 5) у = 2 tg 4х; 10) y = -\\Jco sx . 8 .1 4 / Вася Ошибочкин находит производную функции у = sin 2х так: 1) делает замену 2х = t и получает функцию у = sin t ; 2) далее пишет: у' = (sin t)' = cos t ; 3) потом подставляет значение 2х = t и делает вивод, что (sin 2х)' = cos 2х. В чем состоит отттибка Васи? 8 .1 5 / Тело двигается по координатной прямой по закону s (t ) = л/412—Qt + 11 (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите скорость движения тела в момент времени t0 = 5 с. 8 .1 6 / Материальная точка двигается по координатной прямой по закону s (t ) = (t + 2)2(f + 5) (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите ее скорость движения в момент времени t0 = 3 с. 8 .1 7 / Найдите угловой козффициент касательной, проведен- ной к графику функции / в точке с абсциссой х0: 1) / (х) = V 2 5 -х 2, х0 = -3 ; 3) / (х) = cos2х, х0 = — . 12 2) / (х) = sin 2х, х0 = —71 ; 4 8 .1 8 / Найдите угловой козффициент касательной, проведен- ной к графику функции / в точке с абсциссой х0: 1) / (х) = л/4 - Зх, х0 = 0; 3) / (х) = ctg4 х, х0 = —. 4 2) / (х) = tg 2х, х0 = - ; 8 77

§ 1 . Производная и ее применение 8 .1 9 / Решите неравенство /'(х) > 0, если: 1) / (х) = 6х - Зх2; 4) / (х). = - -1х 3+ 3 х 2- 5 х + 7; З 2) / (х) = х3 + 1,5х2 - 1; 5) /( x ) = - x - c o s x ; 3) / (х) = х - 2х ; 2 6) / (х) = х + tg х. 8 .2 0 / Решите неравенство /'(х) < 0, если: 1) / (х) = х2 - Зх + 1; 4) / (х) = X і + 2х2; 2) / (х) = 2х3 + Зх2 - 12х; 5) / (х) = 2 sin х + 1; 3) / (х) = Зх2 - х 3; 6) / (х) = х - cos х. 8 .2 1 / Найдите производную функции: її У _ X19 ^.333■’. cos Зх 6) У= х -1 ОЛ 3 2 4 \\/х -1 ^} У~ х X2 х5 ’ 7) у = +і 3) у = х \\/2х + 1; 8) у = (х + І)3 (х - 2)4; 4) у = sin х cos 2х; п9л) У= ^/х2+1 5) у = tg х sin (2х + 5); 8 .2 2 / Найдите производную функции: 11 4) у = sin 2х cos х; !) У= + 16 5 5) у = (х + 2)° (х - х) у = - + — — у; 2х —3 ОС ОС ос 6) У= sin X 3) у = х -s/x + 3; 8 .2 3 / Решите неравенство /'(х) < 0, если: 2х + 5_ 4) / (х) = х + —; 1) / ( х ) = х х +2 2) / ( х ) = х2+8 _ 5) / (х) = 2 sin2х - \\ І 2 х; х-1 3) / (х) = (х - 2)2 (х + 3); 6) / (х) = sin 2 х - х -s/З. 78

8. Правила вьічисления производньїх 8 .2 4 / Решите неравенство /'(х ) > 0, если: О-у* 4) / (х) = (х + 2)2 (х - 3); 1 ) /( х ) = ----- ; 1-Х о2 2) /( х ) = — — ; 5) / (х) = cos 2х; х +2 3) /( х ) = —+ 2х; 6) / (х) = 2х - cos 4х. х 8.25. \"Материальная точка массой 4 кг двигается по коорди- натной прямой по закону s (t) = t2 + 4 (перемещение изме- ряется в метрах, время — в секундах). Найдите импульс р (t) = mv (t ) материальной точки в момент времени t0 = 2 с. 8.26. \"Тело массой 2 кг двигается по координатной прямой по закону s (t) = 312- 4f + 2 (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите кинетическую знергию L_ (.t). = -m--v--2-(-t-) тела в момент времени t0 = 4 с. 2 8.27. \" Тело двигается по координатной прямой по закону s (t) = 212 - 8t + 15 (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Определите координату тела в момент времени, когда его кинетическая знергия равна нулю. 8.28. ’’Найдите производную функции: 1) у = cos3 2х; 2) у = sin І -X----7-1 3) у 54 8.29. ’’Вьічислите: 1) /' (0), если / (х) = х —1 2х-1 2) J, если / ( x ) = sin2 —; 3) /' (0), если / (х) = (cos Зх + б)3. 8.30.” В точках хл = -1 и х2 = 2 найдите производную функции: 1) / (х) = х 2 - 4 Іх І + 3; 2) / (х) = Іх 2 - 4х + 3 |. 8.31.” В точках Xj = - 2 и х 2 = 2 найдите производную функции: 1) / (х) = х 2 - 6 Іх І + 5; 2) / (х) = Іх 2 - 6х + 5 |. 79

§ 1 . Производная и ее применение 8.32.” Решите уравнение: 1) ^ - = 0, если / (х) = - X і -1 8 х , g (х) = 2 у[х ; g ' (х) З 2) /' (X) g' (х) = 0, если / (X) = х3 - 6х2, g (х) = З 8.33/*Решите уравнение: 1) ^ - = 0, если / (х) = —Xі - 2 х 2, g ( x ) = ^fx; g ' (х) 4 2) /' (х) g' (х) = 0, если / (х) = х3 - х2, g (х) = 2 -у/х. 8.34. ” Докажите, что производная периодической функции является периодической функцией. Приведите примерн. 8.35. ” Докажите, что производная четной функции является нечетной функцией. Приведите примерм. 8.36. ” Докажите, что производная нечетной функции явля­ ется четной функцией. Приведите примерм. 8.37. ” Функции / и g определенн на М. Что можно утверж- дать о дифференцируемости функции у = f (х) + g (х) в точке х 0, если: 1) / дифференцируема в точке х 0, a g — нет; 2) / и g не дифференцируемн в точке х0? 8.38. ” Функции / и g определенн на М. Что можно утверж- дать о дифференцируемости функции у = f (х) g (х) в точ­ ке х 0, если: 1) / дифференцируема в точке х 0, a g — нет; 2) / и g не дифференцируемн в точке х0? Готовимся к изучению новой темьі 8.39. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М (-2; -3 ) и параллельной оси абсцисс. 8.40. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку М (1; -4 ) и угловой козффициент которой равен: 1) 4; 2) 0; 3) -1 . 80

9. Уравнение касательной 8.41. Среди прямих, заданнмх уравнениями, укажите парм паралле л ь н н х : 1) у = Зх - 5; 3) у = - Зх; 5) у - Зх + 2 = 0; 2) у = - З х - 5; 4) у = 7 - Зх; 6) у = —х + 7. З 8.42. Составьте уравнение прямой, проходящей через точ­ ку А (-1; 9) и параллельной прямой у = 9х - 16. 8.43. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = 4х + 2 и пересекает прямую у = - 8 х + 9 в точке, принадлежащей оси ординат. I І Уравнение касательной Пусть функция / дифференци- руема в точке х0. Тогда к графику функции / в точке с абсциссой х0 можно провести невертикальную касательную (рис. 9.1). Из курса геометрии 9 класса ви знаєте, что уравнение невертикаль- ной прямой имеет вид у = kx + Ь, где k — угловой ко- зффициент зтой прямой. Исходя из геометрического сммсла производной, получаем k = f' (х0). Тогда уравнение касательной можно записать так: У = /' (х 0) - х + b. (1) Зта прямая проходит через точку М (х0; / (х0)). Следо- вательно, координати зтой точки удовлетворяют уравне- нию (1). Имеем: / (х0) = /' (х0) • х0 + Ь. Отсюда b = f (х0) - /' (х0) • х0. Тогда уравнение (1) можно переписать так: У = /' Uo) ’ X + f (х0) - /' (х0) • х0. Следовательно, уравнение касательной, проведенной к графику функции / в точке с абсциссой х0, имеет вид: У = f (*о) (х - х0) + / (х0) 81

§ 1 . Производная и ее применение ПРИМЕР 1 Составьте уравнение касательной к графику функ- ции / (х) = 2 —4х —Зх2 в точке с абсциссой х0 = -2 . Р е ш е н и е . Имеем: / (х0) = / (-2) = 2 - 4- (-2) - 3 • (-2)2 = -2 ; /' (х) = - 4 - 6х; V (*„) = /' (-2) = - 4 - 6 • (-2) = 8. Подставив найденньїе числовьіе значення в уравнение каса­ тельной, получаем: у = 8(х + 2) - 2, то єсть у = 8х + 14. Ответ: у = 8х + 14. ПРИМЕР 2 Составьте уравнение касательной к графику функции / (х) = 2х2 - 6х в точке его пересечения с осью абсцисс. Р е ш е н и е . Решив уравнение 2х2 - 6х = 0, найдем абсциссьі точек пересечения графика функции / с осью абсцисс. Имеем: 2х(х - 3) = 0; х = 0 или х = 3. Запишем уравнение касательной в каждой из найденньїх точек. 1) Если х0 = 0, то / (0) = 0; /'(х) = 4х - 6; /'(0) = -6 . Тогда уравнение касательной имеет вид у = -6 х . 2) Если х0 = 3, то / (3) = 0; /'(3) = 4 • 3 - 6 = 6. Тогда искомое уравнение имеет вид у = 6(х - 3), то єсть у = 6х - 18. Ответ: у = -6 х , у = 6х - 18. ПРИМЕР 3 Найдите уравнение касательной к графику функ- ции t (х)\\ = -х--+-4--, если зта касательная параллельна прямои х-4 у = -2 х + 4. Р е ш е н и е . Имеем: ч (х +4)' (х - 4 )-(х - 4 )' (х +4) (х - 4 ) - ( х + 4) 8 / ( Х ) = -------------------(--х-----4---)-2Я------------------ = -------(--х-----4---)-22------ = ----(-х------4--)- 22 ‘ Если касательная параллельна прямой у = -2 х + 4, то ее угловой козффициент k равен -2 . Так как /'(х 0) = k, где х0 — абсцисса точки касания ис- комой прямой к графику функции /, то /'(х 0) = -2 , то єсть g ------------ = -2 . Отсюда (х0-4 )2 х0 - 4 = 2, X q — б , 4)2 = 4; (х0 х0- 4 = -2; х0 =2. 82

9. Уравнение касательной Следовательно, на графине функции / (х) = ----- сугце- х-4 ствуют две точки, касательние в котормх параллельни дан- ной прямой. При х0 = 6 имеем: / (х0) = 5. Тогда уравнение касательной имеет вид у = -2 ( х - 6) + 5; у = - 2 х + 1 7 . При х0 = 2 получаем: / (х0) = -3 . Тогда уравнение каса­ тельной имеет вид у = -2 (х - 2) - 3; у = - 2 х + 1. Ответ: у = - 2 х + 17 и у = - 2 х + 1. ПРИМЕР 4 Найдите абсциссу точки графика функции / (х) = \\j2x - 1 , в которой проведенная к нему касательная об- разует с положительньїм направлением оси абсцисс угол 45°. Р е ш е н и е . Имеем: Г ( х ) = 1 (2 х -1 )' = 2 1 2уІ2х-1 2 V2x-1 V2x-1 Так как касательная образует угол 45° с положительньїм направлением оси абсцисс, то ее угловой козффициент k ра- вен tg 45°, то єсть k = 1. Пусть хп— абсцисса точки касания. Тогда /'(х 0) = 1. Получаем . = 1. Отсюда J2x0-1 = 1 ; 2х0 - 1 = 1; х0 = 1. у 2х0 -1 Ответ: 1. ПРИМЕР 5 Составьте уравнение касательной к графику функ­ ции / (х) = - х 2 - 5х - 6, проходягцей через точку М (-1; -1 ). Р е ш е н и е . Заметим, что / (-1 ) ф -1 . Из зтого следует, что точка М (-1; -1 ) не принадлежит графику функции /. Пусть А (х0; / (х0)) — точка касания искомой прямой к графику функции /. Так как / (х0) = - х 2- 5х0 - б и /'(х 0) = = - 2 х 0 - 5, то уравнение касательной имеет вид у = (-2 х 0- 5) (х - х0) + (-Хд - 5х0 - 6). Учитмвая, что координати точки М (-1; -1 ) удовлетво- ряют полученному уравнению, имеем -1 = (-2 х 0-5 ) ( - 1 - х 0) + (-Хд - 5 х 0 -6 ). 83

§ 1 . Производная и ее применение Отсюда, раскрьів скобки и решив квадратное уравнение, долучим х0 = 0 или х0 = -2 . Таким образом, через точку М проходят две касательньїе к графику функции /: у = - 5 х - 6 и у = - х - 2. Ответ: у = - 5 х - 6, у = - х - 2. Упражнения 9.1.° Составьте уравнение касательной к графику функции / в точке с абсциссой х п, если: 1) / (х) = х2 + Зх, х 0 = -1 ; 6) / (х) = cos х, х 0 = п; 2) / (х) = х3 - 27, х 0 = 2; 7) / ( x ) = t g ^ x - ^ j , х0 =^; 3) f ( x ) = ~ , х0 = - ; 8) / (х) = — , х0 = -2; х2 х +1 4) / (х) = 4 у[х- 3 , х 0 = 9; 9) / (х) = лІ2х + 5, х0 = 2. 5) / (х) = sin х, х0 = 0; 9.2. ° Составьте уравнение касательной к графику функции / в точке с абсциссой х 0, если: 1) / (х) = 2х3 - Зх, х0 = 1; 2) / (х) = 0,5х2 - 2х + 2, х 0 = 0; 3) f (х) = cos х, х0 = —71; 2 4) f (х) = sin х, х0 = — ; 2 5) / ( x ) = ctg^x + ^ j, 6) / (х) = уі-іх2+ 3х, х 0 = - 1 ; —Л-Y 7) / ( х ) = ---------, х0 = 3. х-2 9.3. * Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат: 1) / (х) = х2 - Зх - 3; 2) / (х) = cos 84

9. Уравнение касательной 9 .4 / Залишите уравнение касательной к графику данной функции в тонке его пересечения с осью ординат: 1) / (х) = 2х3 - 5х + 2; 2) / (х) = sin |^3х --^J. 9 .5 / Составьте уравнение касательной к графику функции / в тонке его пересечения с осью абсцисс: 1) / (х) = 8х3 - 1; 2 ) / ( х ) = х - —. х 9 .6 / Составьте уравнение касательной к графику функции / в тонке его пересечения с осью абсцисс: 1) / (х) = Х 1 ; 2) / (х) = Зх - х 2. X +1 9 .7 / Найдите координати точки параболи у = 2Х2- х + 1, в ко- торой касательная к ней параллельна прямой у = 7х - 8. 9 .8 / В каких точках касательнне к графику функции у = — х параллельнн прямой у = -х? 9 .9 / К графику функции / (х) = 2 sin х + 3 cos х проведеньї касательнне в точках с аб^ сциссами х, = —71 и х, = —Зп . 12 22 Каково взаимное расположение зтих касательннх? 9 .1 0 / Найдите такую точку графика функции /, что про- веденная в зтой тонке касательная образует с положи- тельннм направлением оси абсцисс угол а, если: 1) / (х) = х 2 - 7х + 3, а = 45°; 2) / (х) = -З х 2+ 2 -yJSx - 2, а = 60°; 3) / (х) = >/3x + 2, а = 45°; 4) /(х ) = — , а = 135°. х-2 9 .1 1 / Найдите такую точку графика функции /, что про- веденная в зтой тонке касательная образует с положи- тельннм направлением оси абсцисс угол а, если: з 1) / (х) = -у/Зх-— , а = 60°; З 2) / (х) = х 3 - 2х2 + х - 1, а = 45°. 85

§ 1 . Производная и ее применение 9 .1 2 / Докажите, что любая касательная к графику функ- ции / образует тупой угол с положительннм направле- нием оси абсцисс: 1) / (х) = 6 - х - х 3; 2) / (х) = — —. х-3 9 .1 3 / Докажите, что любая касательная к графику функ- ции / образует острнй угол с положительннм направле- нием оси абсцисс: 1) / (х) = х 5 + 2х - 8; 2) / (х) = ----- . 1-х 9 .1 4 / Найдите уравнения горизонтальннх касательннх к графику функции: 1) / (х) = х3 - Зх + 1; 2) /( х ) = - х 4 - 4 х 23+1. 2 9.15/ Найдите уравнения горизонтальннх касательннх к гра­ фику функции / (х) = —X3- X2 Зх + 4. З 9.16/*Составьте уравнение касательной к графику функции: 1) / (#) = х2 - 5х, если зта касательная параллельна пря- мой у = -х; 2) / (х) = x - ^ j , если зта касательная параллельна прямой х У = Зх; 3) / (х) = 2х3 + Зх2 - ІОх - 1, если зта касательная парал­ лельна прямой у = 2 х + 1. 9.17/*Составьте уравнение касательной к графику функции: 1) / (яО = Зх2 + 5х + 3, если зта касательная параллельна прямой у = —ї х + 3; 2) / (х) = -у/х, если зта касательная параллельна прямой у = х. 9.18/*Определите, является ли прямая у = 12х - 10 касатель­ ной к графику функции / (х) = 4х3. В случае утвердитель- ного ответа укажите абсциссу точки касания. 9.19/*Определите, является ли прямая у = х касательной к гра­ фику функции у = sinx. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания. ^^ 9.20/*Определите, является ли прямая у = + касательной к графику функции у = -у/х. В случае утвердительного от­ вета укажите абсциссу точки касания. 86

9. Уравнение касательной 9.21. ” Вичислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции / (х) = х2 - 4 в точке с абсциссой х0 = -2 . 9.22. ” Вичислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции / (х) = х3 + + х2 - 6х + 1 в точке с абсциссой х0 = 1. 9.23.” Касательной к графику которой из функций у = х2 - 2, у = х3 - 2х, у = х2 - 2х, у = - х 2 в точке с абсциссой х0 = 1 является прямая, изображенная на рисунке 9.2? 9.24. ” На графике функции / (х) = —у/2х + 1 найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой у - 2х + 1 = 0. 9.25. ” Существуют ли касательнме к графи­ ку функции / (х) = х 3 + 2х - 1, которме перпендикулярній прямой у = -X? 9.26. ” При каких значеннях b и с пара­ Рис. 9.2 бола у = х 2 + Ьх + с касается прямой у = 4х + 1 в точке с абсциссой х0 = 1? 9.27. ” При каких значеннях а и Ь прямая у = 7х - 2 касается параболи у = ах2 + Ьх + 1 в точке А (1; 5)? 9.28. ” Запишите уравнение касательной к графику функ­ ции / (х) = 2х2 + 2, если зта касательная проходит через точку М (0; 1). 9.29. ” Запишите уравнение касательной к графику функции / (х) = х2 - 4, если зта касательная проходит через точку М (2; -1 ). 9.30. ” В какой точке графика функции f (х) =4-х----1- надо х провести касательную, чтобн зта касательная проходила через начало координат? 87

§ 1 . Производная и ее применение 9.31. ” В какой точке графика функции у = х + — надо про- X вести касательную, чтобм зта касательная пересекла ось ординат в точке (0; 6)? 9.32. * Две перпендикулярнне касательнне к графику функ­ ции / ( х ) = 3 - —х 2 пересекаются в точке А, которая при- 2 надлежит оси ординат. Найдите координатні точки А. 9.33. * Две перпендикулярнме касательнме к графику функ- ции у = —1 х 2- —5 пересекаются в точке А, которая принад- лежит оси ординат. Найдите координати точки А. 9.34. * При каких значеннях а прямая у = ах + 1 является касательной к графику функции / (х) = V4X + 1? 9.35. * При каких значеннях а прямая у = 2х + а является касательной к графику функции / (х) = -\\/4х -1 ? 9.36. * Найдите уравнение общей касательной к графикам функций / (х) = х2 - 2х + 5 и g (х) = х2 + 2х - 11. 9.37. * Найдите уравнение общей касательной к графикам функций / (х) = х 2 + 4х + 8 и g (х) = х2 + 8х + 4. Готовимся к изучению новой темьі 9.38. Решите неравенство: .. х +10х + 9 л 1) х 2 + х - 12 > 0; 4) —=---------- <0; 2) х 2 - Зх - 10 < 0; х -4х+3 3) 6х - х 2 > 0; х2-5 х + 4 5) —2----------<0; х -6х+9 6) (х + 1)3(х - І)2(х - З)6 > 0. 88

10. Теоремьі Ферма, Рояля, Лагранжа | | Теоремьі Ферма, Рояля, Лагранжа Рассмотрим функцию / и такую точку х0 интервала (а; Ь), что max / (х) = / (х„) (рис. 10.1, а). На рисунке 10.1, б изо- [а;6] бражен график функции g такой, что min g (х) = g (х0) . [а; 6] Рис. 10.1 Пусть функции / и g дифференцируеми в точке х0. Тогда к графикам зтих функций в точке с абсциссой х0 можно провести касательнме. Из наглядних соображений очевид­ но, что зти касательнме будут горизонтальними прямими. Поскольку угловой козффициент горизонтальной прямой равен нулю, то /' (х0) = 0 и g' (х0) = 0. Зтот внвод можно проиллюстрировать с помогцью меха- нической интерпретации. Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону у = s (t), t є [a; fc] и функция у = s (t) при- нимает в точке t0 є (а; Ь) наибольшее (наименьшее) значение, то зто означает, что в момент времени t0 материальная точка изменяет направление движения на противоположное. По- нятно, что в зтот момент времени скорость материальной точки равна нулю, то єсть v (t0) = s' (t0) = 0. Полученнне внводн подтверждает такая теорема. Т еорем а 10.1 (теорем а Ф ерма). Пусть функция /, определенная на промежутке [а; Ь], в точке х0 є (а; Ь) прини- мает своє наименьшее (наибольшее) значение. Если функция f являєшся дифференцируемой в точке х0, то f (х0) = 0. 89

§ 1 . Производная и ее применение Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим случай, когда min / (х) = / (х„) (случай т а х / ( х ) = /(х „ ) рассматривают [а; 6] и [а; 6] аналогично). Пусть х є [а; Ь], тогда Д/ = / (х) - / (х0) > 0. Если Дх = = х - х0 > 0 (рис. 10.2), то — > 0. Отсюда /' (х0) = lim — > 0. Дх А*^о Дх Рис. 10.3 — < 0. Отсюда Дх /'(х„)= lim — < 0. а* —>о Д х Следовательно, доказано, что одновременно вмполняются два неравенства: /' (х0) > 0 и /' (х0) < 0. Позтому /' (х0) = 0. А На рисунке 10.4 изображен график функции /, дифферен- цируемой на отрезке [а; Ь], которая в точках а и Ь принимает одинаковме значення. Из рисунка видно: существует по крайней мере одна такая точка х0 є (а; b), что касательная к графику в точке с абсцис- сой х0 является горизонтальной прямой, то єсть /' (х0) = 0. Мишель Ролль Французский математик, член Па- (1652-1719) рижской академии наук. Основние его труди посвящени методам численного решения уравне- ний. Большинство научних достиже- ний М. Ролля не били замечени при его жизни; их оценили значительно позже. 90

10. Теоремьі Ферма, Рояля, Лагранжа Рис. 10.4 Зтот вмвод можно проиллюстрировать с помощью меха- нической интерпретации. Если материальная точка двигается по координатной пря- мой по закону у = s (t), t є [а; Ь], то равенство s (а) = s (b) означает, что в момент времени t = b материальная точка вернулась в начальное положение. Следовательно, в неко- торьій момент времени t0 є (а; b) она изменила направление движения на противоположное, то єсть v (t0) = s' (t0) = 0. Полученньїе виводи подтверждает следующая теорема. Т еор ем а 1 0 .2 (теор ем а Р ол л я ). Если функция f дифференцируема на отрезке [а; Ь], причем f (а) = / (Ь), то существует такая точка д;0 є (а; Ь), что f (д;0) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку функция дифференци­ руема на отрезке [а; Ь], то по теореме 7.1 она является непреривной на зтом промежутке. Тогда по теореме Вейер- штрасса на отрезке [а; Щсуществуют такие значення аргу­ менти, при которих функция / достигает своих наибольше- го и наименьшего значений. Иньїми словами, существуют такие числа т и М, что min f ( x ) = m, т а х / ( х ) = М. Тогда [а;Ь] [а; 6] для любого х є [а; Щвьіполняется неравенство т < / (х) < М. Если т = М, то функция / является константой на проме­ жутке [а; Ь]. Следовательно, /' (х) = 0 для любого х є [а; Ь]. Рассмотрим случай, когда т ф М. Тогда функция / не может на одном конце отрезка [а; Щ принимать наиболь- шее значение, а на другом — наименьшее. Действительно, / (а) = f (b), а т ^ М. Следовательно, существует такая точка х0 є (а; b), что функция в зтой тонке принимает своє наи- большее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма /' (х0) = 0. ▲ 91

§ 1 . Производная и ее применение На рисунке 10.5 изображен гра- НІ фик функции, дифференцируемой на отрезке [а; Ь]. Проведем прямую АВ. Из тре- Но угольника АМВ можно найти угло- вой козффициент зтой прямой: Рис. 10.5 AM Ь-а Из рисунка видно, что на дуге АВ существует такая точка С, что касательная к графику в зтой точке параллельна прямой АВ. Угловой козффициент f'(xо) зтой касательной равен угло- вому козффициенту прямой АВ, то єсть существует точка х0 є (а; Ь), такая, что Ь-а Зтот вьівод иллюстрирует также механическая интерпретация. Если материальная точка двигается по координатной пря­ мой по закону у = s (t), t є [а; Ь], то средняя скорость равна s(b)-s(a) V,ср Ь - а Понятно, что во время движения существует такой момент t0 є (а; Ь), когда мгновенная скорость равна средней, то єсть s (fe)-s (а) v ( t 0) = s'(t0) Ь-а НЖозеф Луи Лагранж Французский математик, механик и астроном, президент Берлинской академии наук, член Парижской академии наук. Основньїе трудьі — в области математического анализа, вариационного исчисления, алгебрьі, теории чисел, дифференциальньїх уравнений, механики. Кавалер ордена Почетного легиона. (1736-1813) 92

10. Теоремьі Ферма, Рояля, Лагранжа Полученнме виводи подтверждает следующая теорема. Т еорем а 1 0 .3 (теор ем а Л агр а н ж а ). Если функция f дифференцируема на отрезке [а; Ь], то существует такая точка х0 є (а; Ь), что r M = fsa tm . b-a Д о к а з а т е л ьс т во. Рассмотрим вспомогательную функ- цию g (х ) = / (х ) - Хх, где X= f-Ю.——— . Очевидно, что функ- Ь-а ция g является дифференцируемой на отрезке [а; Ь]. Легко проверить (сделайте ато самостоятельно), что g (а) = g (b). Следовательно, функция g удовлетворяет всем условиям теореми Ролля. Таким образом, существует точка х0 є (а; b) такая, что g' (х0) = 0. Так как g' (х) = /' (х) - X, то /' (х0) - X = 0. Отсюда ПЬ)-Па) . f i x 0) = Ь-а Заметим, что теореми Ролля и Лагранжа не указмвают, как найти точку х0. Они лишь гарантируют, что существует точка, обладающая некотормм свойством. Упражнения 10.1. ° Известно, что функция / в тонке х 0 принимает наи- большее или наименьшее значение. Проверьте равенство /' (х0) = 0, если: 1) / (х) = х в, х 0 = 0; 2) / (х) = sin х, х0 = —. 2 10.2. ° Известно, что функция / в тонке х 0 принимает наи- большее или наименьшее значение. Проверьте равенство /' (х0) = 0, если: 1) f (х) = 5 - х 2, х 0 = 0; 2) / (х) = cos х, х 0 = п. 10.3. \" Запишите теорему Лагранжа для отрезка [1; 2]. На интервале (1; 2) найдите такую точку х0, для которой вьшолняется равенство / (2) - / (1) = /' (х0), если: 1) f (х) = Xs; 1 ТГІГ 2) / ( х ) = —; 3)/(x) = sin— . х 2 93

§ 1 . Производная и ее применение 10.4. \" Залишите теорему Лагранжа для отрезка [1; 3]. На интервале (1; 3) найдите такую точку х 0, для которой вьшолняется равенство -/--(-3--)---/-(--1-)-= / (х0), если: З 1) / (х) = х2; 2) / ( x ) = Vx; 3) / ( x ) = c o s — . 4 10.5. \"Используя теорему Ферма, докажите, что функция / не принимает в точке х0 ни наибольшего, ни наименьшего значення,если: 1) / (х) = х4 + х + 1, х 0 = -0 ,5 ; 2) f ( x ) = - ± ---- х - - , D (/) = (1; 3), х0 = 2; 1-х X 3) / (х) = sin х + cos х 2, D (/) = [1; 2], х0 = —. 2 10.6. \"Докажите, что функция / не принимает в точке х0 ни наибольшего, ни наименьшего значення, если: 1) / (х) = (х2 + 6х + 8) (х2 + 14х + 48), х0 = -3 ; 2) / ( х ) = - + х 2+ — , £>(/) = (0; +оо), х 0 = 1; х х +3 3) / (х) = cos х - sin х2, D (/) = [0; 2], х0 = 10.7. \"'Используя теорему Лагранжа, докажите неравенство: 1) I cos х - cos у І < Іх- уІ; 2) I tg х - tg у І > І х - у І, 10.8. \"'Докажите неравенство: 1) I sin х - sin у І < Іх- уІ; 2) I ctg х - ctg у І > Іх- у|, х є (0; ж), у є (0; 7і). 10.9. \"'Функция / дифференцируема на М. Воспользовавшись теоремой Ролля для функции g (х) = / (х) sin х, докажи­ те, что уравнение /' (х) sin х + / (х) cos х = 0 имеет по крайней мере один корень на отрезке [0; я]. 10.10. \"'Функция / дифференцируема на М. Докажите, что уравнение /'(х ) = / (х) tg х имеет по крайней мере один корень на промежутке І —71 ; —71 І 22 94

11. Признаки возрастания и убьівания функции 10.11.\"'Вася Ошибочкин хочет доказать, что производная функции / (х) = | х | в точке х() = 0 равна нулю. Он говорит, что / (-1 ) = / (1). Позтому по теореме Ролля существует точка х0 є (-1; 1) такая, что /' (х0) = 0. Однако на интер- вале (0; 1) такой точки х 0 не существует, поскольку на зтом промежутке / (х) = х и /' (х) = 1. Из таких же сооб- ражений ее нет на интервале (-1; 0). Получается, что х0 = 0. Следовательно, / ' (х0) = /' (0 ) = 0. Прав ли Вася? I [\"\"признаки возрастания и убьівания функции Вьі знаєте, что если функция является константой, то ее производная равна нулю. Возникает вопрос: если функция / такова, что для всех х из промежутка І вьіполняется равен- ство /' (х) = 0, то является ли функция / константой на про­ межутке І ? Обратимся к механической интерпретации. Пусть у = s (t) — закон движения материальной точки по координатной прямой. Если в любой момент времени t от fj до t2 вьіполняется равенство s' (t ) = 0, то на протяжении рассматриваемого промежутка времени мгновенная скорость равна нулю, то єсть точка не двигается и ее координата не из- меняется. Зто означает, что на рассматриваемом промежутке функция у = s (t) является константой. Зти соображения подсказьівают, что справедлива следую- щая теорема. Теорема 11.1 (признак постоянства функции). Если для всех х из промежутка І вьіполняется равенство f (х) = 0, то функция f является константой на зтом промежутке. Д о к а з а т ельст во. Пустьх, и х 2— произвольние значення аргументи функции /, взятьіе из промежутка І, причем х, < х2. 95

§ 1 . Производная и ее применение Поскольку [х±; х2] с: І и функция / дифференцируема на І, то для отрезка [х±; х2] вьшолняются все условия теореми Лагранжа. Тогда существует точка х0 є (хг; х 2) такая, что Поскольку х 0 є І, то f ' ( x о) = 0. Следовательно, / ( х 2) - / ( х 1) =0 Отсюда / (х2) = / (х^. Учитивая, что числа х г и х2 вмбраньї произвольнмм образом, можем сделать вн- вод: функция / является константой на промежутке І. А На рисунке 11.1 изображен график некоторой функции /, которая является дифференцируемой на промежутке [а; Ь]. Зтот график имеет такое свойство: любая касательная к гра- фику образует острий угол с положительнмм направлением оси абсцисс. Поскольку тангенс острого угла — положительное число, то угловой козффициент любой касательной также является положительньїм. Тогда, исходя из геометрического смнс- ла производной, можно сделать такой вивод: для любого х є [а; Ь] вмполняется неравенство f'(x) > 0. Из рисунка 11.1 видно, что функция / возрастает на рас- сматриваемом промежутке. На рисунке 11.2 изображен график некоторой функции /, дифференцируемой на промежутке [а; Ь]. Любая касательная к графику образует тупой угол с положительньїм направле­ нием оси абсцисс. Поскольку тангенс тупого угла — отрицательное число, то угловой козффициент любой касательной также является 96

11. Признаки возрастания и убьівания функции отрицательннм. Тогда для любого х є [а; Ь] внполняется неравенство f'(x) < 0. Из рисунка 11.2 видно, что функция / убнвает на рас- сматриваемом промежутке. Зти примерн показьівают, что знак производной функции на некотором промежутке І влияет на то, является ли зта функция возрастающей (убмвающей) на промежутке І. Связь между знаком производной и возрастанием (убн- ванием) функции можно увидеть и с помощью механиче- ской интерпретации. Если скорость, то єсть производная функции у = s (t), положительна, то точка на координатной прямой 0 s(t) и(£)>0 двигается вправо (рис. 11.3). Зто [ *^ означает, что из неравенства t-x < t2 рис. ц .з следует неравенство s (£Д < s (t2), то єсть функция у = s (t) является возрастающей. Аналогич- но, если скорость отрицательна, то точка двигается влево, то єсть функция у = s (t) является убмвающей. Связь между знаком производной и возрастанием (убмва- нием) функции устанавливают следующие две теоремм. Теорема 11.2 (признак возрастания функции). Если для всех х из промежутка І вьіполняется неравен­ ство f'(x) > 0, то функция f возрастает на зтом проме­ жутке. Т еорем а 11.3 (признак убьівания ф ункции). Если для всех х из промежутка І вьіполняется неравенство /'(*) < 0, то функция f убьівает на зтом промежутке. ПРИМЕР 1 Докажите, что функция / ( х ) = -X-5-- 1--X--3- ь х -1 0 0 5З возрастает на множестве действительнмх чисел. Р е ш е н и е . Имеем: /' (х) = х4 + х2 + 1. Так как х4 + х2 + + 1 > 0 при всех х є Ж, то функция / возрастает на множестве действительнмх чисел. • Докажем теорему 11.2 (теорему 11.3 доказнвают анало- гично). 97

§ 1 . Производная и ее применение Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х г и х2 — произвольнме зна­ чення аргументи функции /, взятьіе из промежутка І, причем х2 > х г. Поскольку [х±; х2] с: І и функция / дифференцируема на І, то для отрезка [х±; х2] вьшолняются все условия теореми Лагранжа. Тогда существует точка х0 є (хг; х2) такая, что Поскольку х0є І, тоf ( x 0) > 0. Следовательно, / ( х 2) - / ( х 1) >0. Тогда из неравенства х2 > х г следует неравенство / (х2) > > / (хД, то єсть функция / возрастает на І. А Заметим, что имеет место и такое утверждение: если дифференцируемая на промежутке І функция / возрастает (убивает), то для всех х из зтого промежутка вьіполняется неравенство /' (х) > 0 (/' (х) < 0). Если функция / определена на про­ межутке [а; Ь) и возрастает на интервале (а; b), то зто не означает, что она возрас­ тает на промежутке [а; b) (рис. 11.4). Ис- следовать возрастание и убивание функ­ ции на различних промежутках помогает следуюгцая ключевая задача. О—» ЗАДАЧА Пусть для произвольного х є (а; Ь) вьіполня­ ется неравенство /' (х) > 0 и функция / имеет производную в тонке а. Докажите, что функция / возрастает на проме­ жутке [а; Ь). Р е ш е н и е . Из теореми 11.2 следует только то, что функ­ ция / возрастает на интервале (а; Ь). Чтобм доказать, что функция / возрастает на промежутке [а; Ь), нужно дополни­ тельное исследование. Пусть х — произвольная точка промежутка (а; Ь). До­ кажем, что / (х) > / (а). Из теореми Лагранжа для функ­ ции / на отрезке [а; х] следует сугцествование такой точки х0 є (а; х), что f(x)-f(a) ґ ( х 0) = х - а 98

11. Признаки возрастания и убьівания функции Поскольку х0 є (а; Ь), то /' (х0) > 0. Отсюда f (х) > / (а). Таким образом, доказано, что функция / возрастает на промежутке [а; Ь). • Замечание 1. На самом деле сформулированное в данной задане условие можно ослабить, заменив требование диффе- ренцируемости функции / в тонке х = а на ее непрернвность в зтой тонке. То єсть, имеет место такое утверждение: если для всех х є (а; b) вьшолняется неравенство f'(x) > 0 и функ­ ция / непрермвна в тонке х = а, то функция / возрастает на промежутке [а; Ь). Замечание 2. Используя соответствующие утверждения, можно обосновать возрастание (убнвание) функции / на про- межутках другого вида, например, [а; + а о ), ( - о о ; &], [а; Ь]. На- пример, если для всех х є (а; + о о ) вьшолняется неравенство /' (х) > 0 и функция / непреривна в тонке х = а, то функция / возрастает на промежутке [а; + о о ). ПРИМЕР 2 Найдите промежутки возрастания (убьівания) функции / (х) = х2 - 2х. Р е ш е н и е . Имеем: /'(х) = 2х - 2. Решив неравенства 2х —2 > 0 и 2х - 2 < 0, приходим к такому: /'(х ) > 0 на промежутке (1; +оо); /' (х) < 0 на промежутке (-сю; 1). Сле- довательно, функция / возрастает на промежутке (1; +оо) и убмвает на промежутке (-сю; 1). На рисунке 11.5 изображен график функ­ ции /. Из рисунка видно, что на самом деле функция / возрастает на промежутке [1; +оо) и убмвает на промежутке (- с ю ; 1]. При записи ответа будем руководствоваться таким правилом: если функция / непрермвна в каком-то из концов промежутка возрастания (убмвания), то зту точку присоединяют к зтому промежутку. В нашем примере функция / (х) = х2 - 2х непрермвна в тон­ ке х = 1, позтому зту точку присоединили к промежуткам (1; +оо) и (-оо; 1). Ответ: возрастает на [1; +оо), убмвает на (-оо; 1]. 99

§ 1 . Производная и ее применение ПРИМ ЕР 3 Найдите промежутки возрастания и убивання функции: 3) / (х) = х + 4х-1 1) / (х) = х + Зх - 9х + 1; х —1 2) / (х) = - —Xі + 4 х 3- 6 х 2+5; 4) /( х ) = Vx2-З х . 4 Р е ш е н и е . 1) Имеем: /'(-*0 = Зх2 + 6х - 9 = 3(х + 3)(х - 1). Исследуем знак производной методом интервалов (рис. 11.6) и учтем непре- рмвность функции / в точках х = -З и х = 1. Получаем, что функция / воз- Рис. 11.6 растает на каждом из промежутков (-оо; -3 ] и [1; +оо) и убмвает на проме- жутке [-3; 1]. 2) Имеем: /' (х) = -3х^ + 12х? - 12х = -3х(х^ - 4 х + 4 )= -З х(х- 2f. Исследовав знак производной (рис. 11.7), приходим к ви ­ воду, что функция возрастает на промежутке (- с ю ; 0] и убн- вает на промежутке [0; +оо). 3) Имеем: D ( / ) = ( —сю; 1) U (1; + с ю ). Найдя производную функции /, получаем: ґ(х) = х - 2 х - 3 (х +1)(х-3) (х-ІГ ( х - 1) Исследуем знак функции у = /'(х) (рис. 11.8). Следовательно, данная функция возрастает на каждом из промежутков (-сю; -1] и [3; +оо) и убмвает на каждом из промежутков [-1; 1) и (1; 3]. 4) Имеем: D (/) = (—оо; 0] U [3; +оо). Найдем производную -х-2-----З--х-Yj = —2.х —З Заметим, что в точ- 2 v x 2- Зх ках х = 0 и х = 3 функция / не является дифференцируемой, однако является непрермвной. Неравенство 2х-3 Г2х-3 > 0, > 0 равносильно системе х 2-З х > 0. 2 Vx2- Зх Решив ее, получаем, что множеством решений рассматри- ваемого неравенства является промежуток (3; +оо). Далее легко установить, что множеством решений нера- венства 2х-3 < 0 является промежуток (-сю; 0). !six2- Зх 100

11. Признаки возрастания и убьівания функции Следовательно, если х < 0, то /' (х ) < 0; если х > 3, то /' (х) > 0 (рис. 11.9). Рис. 11.7 Рис. 11.8 Рис. 11.9 Позтому функция / возрастает на промежутке [3; + о о ) и убмвает на промежутке ( - о о ; 0]. • ПРИМЕР 4 Решите уравнение х 5+ х 3- -\\/і - Зх + 4 = 0. Ре ш е н и е . Рассмотрим функцию / (х) = х 5+ х 3- V l - 3 x +4, D(f) Для всех Xє имеем: /' (х) = 5х4 + 3 х 2+ . Очевидно, что /' (х) > 0 при х є - с о ; — , то єсть 2 -у /і-З х функция / возрастает на промежутке - с о ; — . Поскольку ф _ , н е _ . То ,к е * Л , і в„ , з растает на D (/) = | - с о ; — . Тогда функция / принимает каж- З дое своє значение только один раз, а следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Поскольку / (-1 ) = 0, то х = -1 является единственньїм корнем данного уравнения. Ответ: -1. ПРИМЕР 5 Докажите, что для всех х > -1 вмполняется неравенство х 9 + 4х + 3 > 2х5. Р е ш е н и е . Докажем, что для всех х > -1 вмполняется неравенство х 9 - 2х5 + 4х + 3 > 0. Рассмотрим функцию / (х) = х 9 - 2х5 + 4х + 3. Так как / (-1 ) = 0, то неравенство можно представить в виде / (х) > / (-1), где х є (-1; + о о ). Имеем: /' (х) = 9х8 - 10х4 + 4. 101

§ 1 . Производная и ее применение Так как квадратний трехчлен 912 - 10f + 4 имеет отрица- тельннй дискриминант, то /' (х) > 0. Позтому функция / — возрастающая. Отсюда для любого х є (-1; +оо) внполняется неравенство / (х) > / ( - І ) . • І Упражнения 11.1. ° Найдите промежутки возрастания и убмвания функ- ции: 1) / (х) = х2 + 4х - 7; 4) / (х) = х 4 - 2х2 - 3; 2) / (х) = 2х3 - Зх2 + 1; 5) / (х) = х 3 + 4х - 8; 3) / (х) = - х 3 + 9х2 + 21х; 6) / (х) = —х 4- 8 х + 9. 4 11.2. ° Найдите промежутки возрастания и убмвания функ- ции: 1) / (х) = - х + 6х - 5; 1 3) / (х) = —х 4- 2 х 2+1; 4 2) / (х) = х3 + Зх2 - 9х; 4) / (х) = х 4 + 4х - 20. 11.3.' Найдите промежутки возрастания и убмвания функ- ции: 1) / (х) = х4 - 4х3 4х2 - 1; 5) / (х) = х + —; х 2) / (х) = —х 4- - х 3-7; 6) /(х ) х2- З 43 х +2 3) / ( х ) = - х 5- — х 3+ 9 х -б ; 7) /( х ) х -2х +\\ _ 53 3-х 4) / (х) = х 2+ —; 8) f(x) х X х2-9 А ' Найдите промежутки возрастания ции: 1) / (х) = Зх4 - 20х3 + Збх2 - 4; 4) /( х ) х +5х 2) / (х) = 9 + 4х3 - х 4; 5) f i x) х-4 2х-9 _ х-5 3 )/(х ) = 3х +^ |; 6) fi x) х2 X х2- 4 * 102

11. Признаки возрастания и убьівания функции 11.5.* На рисунке 11.10 изображен график производной функции /, дифференцируемой на М. Укажите проме- жутки убьівания функции /. Рис. 11.11 11.6.* На рисунке 11.11 изображен график функции у = f (х), определенной на М. Среди приведенних на рисунке 11.12 графиков укажите тот, котормй может бмть графиком функции у = /' (х). 11.7. \"На рисунке 11.13 изображен график і/ і . производной функции /, дифференци­ -4 руемой на R. Укажите промежутки возрастания функции /. 1 t- 11.8. \"На рисунке 11.14 изображеньї графи- 3 Jї х ки производньїх функций f , g и Н, диф- \\ ференцируемьіх на R. Какая из функ­ _ ций /, g, h убьівает на отрезке [-1; 1]? 7= = f i t і Рис. 11.13 Рис. 11.14 103

§ 1 . Производная и ее применение 11.9.* На рисунке 11.15 изображенн графики производннх функций /, g и її. Какая из функций /, g, h убмвает на М? 11.10.* Докажите, что функция убмвает на множестве дей- ствительнмх чисел: 1) / (х) = 6 - х + - х 2- —х 3; 3) / (х) = sin2x - Зх. 2З 2) / (х) = - 2 х 3 + 2х2 - Юх + 80; 11.11.* Докажите, что функция возрастает на множестве действительнмх чисел. 1) / (х) = 10х3 - 9х2 + 24х - 90; 3) / (х) = cos Зх + 4х. 2) / (х) = sin х + х3 + х; 11.12.* Найдите промежутки возрастания и убмвания функ- ции: і— 3) у = c o s x h ----------- . 1) / (х) = х v2 + s in х; 2 2) / (х) = х - cos х; 11.13.* Найдите промежутки возрастания и убмвания функ- ции: 1) / (х) = sin х - х; х л І2 2) /( х ) -------- sm х. 2 11.14.\" Найдите промежутки возрастания и убмвания функ- ции: 1) / (х) = Vх2+4х; 2) /(х ) = \\ І 6 х - х 2. 11.15.\" Найдите промежутки возрастания и убмвания функ- ции / (х) = Vx2- 1 . 104

11. Признаки возрастания и убьівания функции 11.16.\" На рисунке 11.16 изображенм графики функций / и g, определеннмх на М. Используя зти графики, решите неравенство: 1) /' (х) < 0; 2) g' (х) > 0. 11.17.\" На рисунке 11.17 изображенм графики функций / и g, определеннмх на М. Используя зти графики, решите неравенство: 1) /' (х) > 0; 2) g' (х) < 0. Рис. 11.17 11.18.\"Найдите промежутки возрастания и убнвания функ­ ции f (х) = tg х - 2х. 105

§ 1 . Производная и ее применение 11.19. “ Найдите промежутки возрастания и убмвания функ- ции / (х) = ctg х + 4х. 11.20. ” При каких значеннях параметра а является возрас- тающей функция: 1) у = х3 - ах; 3) у = - 2 V1 - х + ах; 2) у = 3 sin 4х + ах; 4) у = Xs ь2(а + 1 )х 2+ 9 х -4 ? З 11.21. ” При каких значеннях параметра а является убм- вающей функция: 1) у = ах - х 5; 3) у = - 2 Vx + З +ах; 2) у = 2 cos Зх + ах; 4) у = —х—З + —ах-—2 4х + 21? 11.22. ” При каких значеннях параметра с функция / (х) = ( с - 12)х3 + 3(с - 12)х2 + 6х + 7 возрастает на М? 11.23. ” При каких значеннях параметра а функция у = (а + 2)х3 - Зах2 + 9ах - 2 убмвает на М? 11.24. ” При каких значеннях параметра а функция у = (а + 3) х3 + 3 (а + 3) х2 - 5х + 12 убмвает на R? 11.25. ” Докажите неравенство c o s x > lх--2. 2 11.26. ” Докажите неравенство х < tg х, где х е 11.27. ” Решите уравнение Зх7+х + 7 = V l-8 x . 11.28. ” Решите уравнение х 5 + 4х + cos х = 1 . 11.29. ” Решите уравнение х 3 + 2х = sin х. 11.30. ” Решите неравенство х 7 + Зх > 2х4 + 2. 11.31. ” Решите неравенство х 5 + 4х < 2х3 + 3. .. Гх - у = sin х - sin у, 11.32. Решите систему уравнений і [Зх + 4у = 7. .. Г2х - 2у = cos у - cos х, 11.33. Решите систему уравнений < [х + у = 8. 106

12. Точки зкстремума функции \\ J Точки зкстремума функции Знакомясь с такими понятиями как предел и непрерьівность функции в тонке, мьі исследовали поведение функции побли- зости зтой точки или, как принято говорить, в ее окрестности. О п р е д е л е н и е 1. Интервал (а; Ь), содержащий точку х0, назьшают о к р е ст н о с т ь ю точки х0. Понятно, что любая точка имеет бесконечно много окрест- ностей. Например, промежуток (-1; 3) — одна из окрестно- стей точки 2,5. Вместе с тем зтот промежуток не является окрестностью точки 3. На рисунке 12.1 изображени графики четирех функций. Все зти функции имеют общую особенность: существует окрестность точки х 0 такая, что для всех х из зтой окрест­ ности вмполняется неравенство / (х0) > / (х). Уп 0 Рис. 12.1 О п р ед ел ен и е 2. Точку х0 назьшают точ к ой м а к си м у м е функции /, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех х из зтой окрестности вьіполняется неравенство / (*о) > / (ж)- Например, точка х0 = — является точкой максимума функции у = sin х (рис. 12.2). Пишут хтах = —. 2 На рисунке 12.1 х1пах = х0 107

§ 1 . Производная и ее применение О п р е д е л е н и е 3. Точку х0 назьшают точ к ой м и н и м у м а функции /, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех х из зтой окрестности вьіполняется неравенство / (*о) < / (*)• Например, точка х0 = — является точкой минимума 2 71 функции у = sin х (рис. 12.2). Пишут xmin = — . 2 На рисунке 12.3 изображенм графики функций, для ко- тормх х0 является точкой минимума, то єсть хп]1п = х0. Точки максимуми и минимума имеют общее название: их називают точками зкстремума функции (от латинского extremum — крайний). На рисунке 12.4 точки х І5 х2, х3, х4, х 5, х0 являются точ­ ками зкстремума. Из определений 2 и 3 следует, что точки зкстремума яв­ ляются внутренними точками1 области определения функ­ ции. Позтому, например, точка х0 = 0 не является точкой 1 Точку х0 є М назшвают внутренней точкой множества М, если существует окрестность точки х0, являющаяся подмножеством множе­ ства М. 108

12. Точки зкстремума функции минимума функции у = \\[х (рис. 12.5), а точка х0 = 1 не является точкой максимуми функции у = arcsin х (рис. 12.6). Вместе с тем наименьшее значение функции у = у[х на мно- жестве [0; +оо) равно нулю, то єсть min -у/х = -у/О= 0, a max arcsm х = arcsm. л1 = —п . [ 0 ; +со) [-1;1] 2 На рисунке 12.7 изображен график некоторой функции /, которая на промежутке [х,; х2\\ является константой. Точка х, является точкой максимуми, точка х2— минимума, а любая точка интервала (хг; х2) является одновременно как точкой максимуми, так и точкой минимума функции /. Графики функций, изображенних на рисунках 12.8 и 12.9, показивают, что точки зкстремума можно разделить на два вида: те, в которих производная равна нулю (на ри­ сунке 12.8 касательная к графику в тонке с абсциссой х0 является горизонтальной прямой), и те, в которих функция недифференцируема (рис. 12.9). Действительно, справедлива следующая теорема. 109

§ 1 . Производная и ее применение Т еор ем а 12.1. Если х0 — точка жстремума функции f, то либо f'(xо) = 0, либо функция f не является дифферен- цируемой в тонке х0. Учащиеся профильньїх классов могут, используя теорему Ферма, доказать теорему 12.1 самостоятельно. Возникает естественний вопрос: обязательно ли является точкой зкстремума внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю или не суще- ствует? Ответ на зтот вопрос отрицательний. Например, на рисунке 12.10 изображен график функции, недифференцируемой в тонке х0. Однако точка х 0 не является точкой зкстремума. Рис. 12.11 Приведем еще один пример. Для функции / (х) = х 3 имеем: f ' ( x ) = Зх2. Тогда /'(0) = 0. Однако точка х0 = 0 не является точкой зкстремума функции / (рис. 12.11). Зти примери показивают, что теорема 12.1 дает необхо- димое, но не достаточное условие существования зкстремума в данной тонке. О п р е д е л е н и е 4 . Внутренние точки области определения функции, в которьіх производная равна нулю или не суще- ствует, назьшают к р и ти ч еск и м и точ к ам и функции. Например, точка х0 = 0 является критической точкой функций у = X s и у = Іх |; точка хо = “ является критической точкой функции у = sinx. Из сказанного вьіше следует, что к а ж д а я т о ч к а ж с ­ т р е м у м а ф у н к ц и и я в л я е т с я ее к р и т и ч е с к о й т о ч к о й , но не 110

12. Точки зкстремума функции каждая критическая точка являєшся Рис. 12.12 точкой зкстремума. Иннми словами, точки зкстремума следует искать среди критических точек. Зтот факт проиллю- стрирован на рисунке 12.12. На рисунке 12.13 изображенм графики функций, для котормх х0 является крити- ческой точкой. Рис. 12.13 На рисунках 12.13, а~г критическая точка х0 является точкой зкстремума, на рисунках 12.13, д, е критическая точка х0 не является точкой зкстремума. Наличие зкстремума функции в тонке х0 связано с пове- дением функции в окрестности зтой точки. Так, для функ­ ций, графики которьіх изображеньї на рисунках 12.13, а~г, имеем: функция возрастает (убмвает) на промежутке (а; х0] и убмвает (возрастает) на промежутке [х0; Ь). Функции, графики котормх изображенм на рисунках 12.13, д, е, таким свойством не обладают: первая из них воз­ растает на каждом из промежутков (а; х0] и [х0; Ь), вторая убмвает на зтих промежутках. Вообгце, если область определения непрернвной функ­ ции разбита на конечное количество промежутков возрас- 111

§ 1 . Производная и ее применение тания и убивання, то легко найти все точки зкстремума (рис. 12.14). Рис. 12.14 Вьі знаєте, что с помощью производной можно находить промежутки возрастания (убивання) дифференцируемой функции. Две теоремьі, приведенние ниже, показьівают, как с помощью производной можно находить точки зкстремума функции. Теорема 12.2 (признак точки максимуми функ­ ции). Пусть функция f дифференцируема на интерва- ле (а; Ь )и х 0— некоторая точка зтого интервала. Если для всех х є (а; дс0] вьіполняется неравенство /' (де) > 0, а для всех х є [дс0; Ь) вьіполняется неравенство / ' (де) < 0, то точ­ ка дс0 является точкой максимума функции f (рис. 12.13, а). Теорема 12.3 (признак точки минимума ф унк­ ции). Пусть функция f дифференцируема на интерва- ле (а; Ь) и х0 — некоторая точка зтого интервала. Если для всех х є (а; дс0] вьіполняется неравенство /' (де) < 0, а для всех х є [дс0; Ь) вьіполняется неравенство f (д;) > 0, то точ­ ка д;0является точкой минимума функции f (рис. 12.13, б). Докажем теорему 12.2 (теорему 12.3 доказивают анало- гично). Д о к а з a m е ль c m в о. Пусть х г — произвольная точка интервала (а; х0). Из теореми Лагранжа для отрезка [х±; х0] следует существование такой точки с є (хг; х0), что Поскольку с є (а; х0], то /' (с) > 0. Из неравенств /' (с) > 0 и х0 - х г > 0 получаем: / (х0) > / (х Д. 112

12. Точки зкстремума функции Аналогично для произвольной точки х2 є (х0; Ь) можно доказать, что / (х0) > / (х2). Отсюда следует, что х 0 — точка максимума. А Иногда удобно пользоваться упрощеннмми формулиров- ками зтих двух теорем: если при переходе через точку х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 — точ­ ка максимума; если производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 — точка минимума. Для функции / точки зкстремума можно искать по такой схеме. 1) Найти f'(x). 2) Исследовать знак производной в окрестностях крити- ческих точек. 3) Пользуясь соответствующими теоремами, для каждой критической точки вияснить, является ли она точкой зкстремума. ПРИМЕР 1 Найдите точки зкстремума функции: 2А 1) / (х) = 2х3 - Зх21* - 12х; 3) / ( х ) = Х ~ Х+ ; х —1 2) / (х ) = 2х2 - х 4; 4) / (х) = у/ х Р е ш е н и е . 1) Имеем: /'(х ) = 6х2 - 6х - 12 = 6 (х2 - х - 2) = = 6 (х + 1)(х - 2). Методом интервалов исследуем знак про­ изводной в окрестностях критических точек Х х = - 1 , х2 = 2 (рис. 12.15). Получаем, что х1пах = - 1 , хшіл = 2. Рис. 12.15 Рис. 12.16 2) /'(*) = 4х - 4х3 = -4 х (х2 - 1) = -4 х (х + 1)(х - 1). Исследовав знак производной (рис. 12.16), получаем: 1 ’ •*'шіп ^ ^ ^ m a x 1 • 3) Имеем: f (х2- х + 4)' ( х - І ) - ( х - І ) ' (х2- х + 4) (х) = (х-1)2 ( 2 х - 1 ) ( х - І ) - ( х 2 - х + 4) х2 - 2 х - 3 (х +1) (х - 3 ) (х-1)2 (х-1)2 (х-1)2 113

§ 1 . Производная и ее применение Исследуем знак производной в окрестностях критических точек х г = - 1 , х 2 = 3 (рис. 12.17). Имеем, что х шах = - 1 , •^ІІІІП — 3 . /— / <— — І 4)Имеем: №) ух у = (х + 2) + 2^ х 2 х -(х + 2) х-2 2х \\/х 2х -\\/х Если 0 < х < 2, то /' (х) < 0; если х > 2, то /' (х) > 0. Следова- тельно, критическая точка х = 2 является точкой минимума, то єсть х„*2 = 2 . ПРИМЕР 2 Найдите точки зкстремума функции . х /- х х -3 f (х) = sin —+ V3 c o s---------- . 2 22 Р е ш е н и е . Имеем: / (x). = -1c o sх-----V--8- s m. -X-----1- = cos ( х—+ —і ) —1 . 2 22 22 U 3j 2 Найдем критические точки данной функции: X 71 71 „, — і— = — ь 2 n k * cos і —X + —71 І —1 = 0; 2 33 23 2 X 7Г ------ 1------ — ------------b % 7 Z k y k Є 23 З х = Ank, 4-77 х = ------ bAnk, k є Z. 3 Функция / ' (x) = c o s является периодической c периодом T = An. Методом интервалов исследуем ее знак на промежутке [ —27г; 2п\\ д л и н о й в период. Зтому промежутку принадлежат две критические точки: х = 0 и х = ---A-n- . З 114

12. Точки зкстремума функции Нарисунке 12.18 показан резуль­ тат исследования производной на промежутке [—2тт; 2п\\. Теперь можно сделать вивод: 471 Рис. 12.18 •«m ax — « т іп — — “ Обобщая полученний результат, записиваем ответ: 471 •«max = 4тг/г, х . = ——+ 4:%k, k є Z. З Упражнения 12.1.° На рисунке 12.19 изображен график функции у = f (х), определенной на промежутке [-10; 9]. Укажите: 1) кри- тические точки функции; 2) точки минимума; 3) точки максимуми. Рис. 12.19 12.2.° На рисунке 12.20 изображен график функции у = f (х), определенной на промежутке [-7; 7]. Укажите: 1) кри- тические точки функции; 2) точки минимума; 3) точки максимуми. Рис. 12.20 115

§ 1 . Производная и ее применение 12.3.° На рисунке 12.21 укажите график функции, для ко- торой точка х0 является точкой минимума. Рис. 12.21 12.4. ° Имеет ли критические точки функция: 1) / (х) = х; 3) / (х) = 5; 5) / (х) = tg х; 2) / (х) = х б + 1; 4) / (х) = sin х; 6 ) / ( х ) = \\/х? 12.5. °На рисунке 12.22 изображен график функции у = f (х), определенной на множестве действительнмх чисел. Верно ли равенство: 1) /' (-3) = 0; 3) /' (0) = 0; 5) /' (2) = 0; 2) /' (-2) = 0; 4) /' (1) = 0; 6) /' (3) = 0? Рис. 12.22 Рис. 12.23 12.6. ° Найдите точки минимума и максимума функции: 1) / (х) = 0,5х4; 4) / (х) = х 4 - 8х2 + 5; 2) / (х) = х2 - 6х; 5) / (х) = х 3 - 6х2 - 15х + 7; 4 3) / (х) = 12х - х 3; 6) / (х) = х 2 . 2 12.7. ° Найдите точки минимума и максимума функции: 1) / (х) = - х 3- х ; 3) / (х) = - х 2 + 4х - 3; З xs 1 4) /( х ) = ьЗх2- 7 х + 4; 2) / ( х ) = 4х — х 3; з З 116

12. Точки зкстремума функции 5) / (х) = 2л-4 - 4л-3 + 2; 6) f (х) = 2 + х 2 + 2х3 - 2л-4. 12.8/ Функция у = f (х) дифференцируема на множестве действительнмх чисел. На рисунке 12.23 изображен график ее производной. Укажите точки максимуми и ми- нимума функции у = f (х). 1 2 .9 / Функция у = f (х) определена на множестве действительнмх чисел и имеет производную в каждой тон­ ке области определения. На рисун­ ке 12.24 изображен график функции у = /'(х). Сколько точек зкстремума имеет функция у = f (х)? 12.10/ Найдите промежутки возрастания и убмвания и точ­ ки зкстремума функции: 1) / (х) = —Xі - 2 х 3+7; 3) / (х) = —х 6+ —х 5+ х 4+3. 4 65 2) / (х) = (х - І)3 (х - 2)2; 12.11/ Найдите промежутки возрастания и убмвания и точ­ ки зкстремума функции: 1) / (х) = Зх4 - 8х3 + блг2 - 9; 2) / (х) = (х + 4)4 (х - З)3. 1 2 .1 2 / Докажите, что данная функция не имеет точек зкс­ тремума: 1) / (х) = - х 3- 2 х 2+ 4 х -1 0 ; 2) / (х) = sin х - х. З 1 2 .1 3 / Докажите, что данная функция не имеет точек зкс­ тремума: 1) f (х ) = 6х5 - 15х4 + 10х3 - 20; 2) f (х) = cos х + х. 12.14/ Найдите промежутки возрастания и убьівания и точ­ ки зкстремума функции: 4 X2 X х-\\ 4) f(x) = --- + 2 ? ’/ і у—/ 2 Ч4 X X х -16 х-у2-—35^' 5) / ( х ) = ух——11 8) / (х) = 2 \\[х - х . 2) f ( x) = х2 х-2 1 6) /( х ) = 3) f ( x) = (х- х2+1 ’ 117

§ 1 . Производная и ее применение 1 2 .1 5 / Найдите промежутки возрастания и убьівания и точ­ ки зкстремума функции: х -6х х 5) Пх ) = Т1а6—-х 1) f ( x) = х + 2 3) /( х ) = х 2 +3 2) / (х) = х + —; 4) / ( х ) = - 6) / (х) = 2х ~ 4 х . х (х +1)2 12.16/ Верно ли утверждение: 1) значение функции в точке максимуми может бить меньше значення функции в точке минимума; 2) функция в точке зкстремума может бить недифферен- цируемой; 3) если производная в некоторой точке равна нулю, то зта точка является точкой зкстремума функции? 12.17/ Верно ли утверждение: 1) в точке зкстремума производная функции равна нулю; 2) если функция в некоторой точке недифференцируема, то зта точка является точкой зкстремума функции? 12.18.” Найдите промежутки возрастания и убьівания и точки зкстремума функции: 1) / ( х ) = — sinx; 2) / (х) = cos 2х - х-у/З. 2 12.19. ” Найдите промежутки возрастания и убьівания и точки зкстремума функции: 1) / (х) = cos х + —; 2) / (х) = sin 2х - х \\/2. 2 12.20. ” При каких значеннях а функция у = Xs - 3ах2 + 27х - 5 имеет только одну критическую точку? 12.21. ” При каких значеннях а функция у = —Xі - 2 ах2+ 4 х -1 5 З имеет только одну критическую точку? 12.22. \" Найдите промежутки возрастания и убьівания и точки зкстремума функции: 1) / (х) = х 2 -у/і-х; 3) / (х) = ; 2) / (х) = ( 1 - х ) -s/x; х +1 2х-7 4) /( х ) = ------ V3 - х 118

12. Точки зкстремума функции 12.23.’’Найдите промежутки возрастания и убьівания и точки зкстремума функции: І------ »' 1) / (х) = х 2 у/х + 2; 3) / (х) = —? 2) / (х) = ( х - 2 ) 2 у[х; 12.24.\" Верно ли утверждение: если шах / (х) = / (х0), х0 є М, и функция / дифференцируема в точке х 0, то /' (х0) = 0? 12.25.\" Может ли иметь только одну точку зкстремума: 1) четная функция; 2) нечетная функция; 3) периодиче- ская функция? 12.26. \"Для всех х є D (f) вьшолняется неравенство / (х) > > / (х0). 1) Верно ли утверждение, что х0 — точка миниму- ма функции /? 2) Изменится ли ответ, если D (/) = М? 12.27. ” Точка х0 — критическая точка функции /. Для всех х < х0 вьшолняется неравенство /' (х) > 0, а для всех х > х0 вьшолняется неравенство /' (х) < 0. Может ли точка х0 бмть точкой минимума? 12.28. ” Точка х0 — критическая точка функции /. Для всех и жv таких, что и < х0 и v > х 0, вьшолняется неравен­ ство /' (и) /' (к) < 0. Обязательно ли точка х 0 является точкой зкстремума? 12.29. ” Точка х0 — критическая точка функции /. Для всех и жv таких, что и < х0 жv > х 0, вьшолняется неравен­ ство /' (и) /' (к) > 0. Может ли точка х0 бмть точкой зкстремума? 12.30. ” Найдите точки минимума и максимуми функции: 1) / (х) = sin х sin 2) / (х) = sin х - cos х + х; 3) /( х ) — cos 2 x ---s-i-n--2--x----1-------\\-/З--х; 4 42 4) / (x) = sin2 x - cos x. 119

§ 1 . Производная и ее применение 12.31.” Найдите точки минимума и максимума функции: 1) / (х) = cos х cos |^ х-—J; 2) / (х) = л/з cos х - sin х - х; 3) / (х) = 5 sin х + 12 cos х - ІЗх. 12.32.” При каких значеннях параметра а функция За +1 У= З -х (2а2+2а) х - 1 7 2 имеет положительную точку минимума? 12.33. ” При каких значеннях параметра а функция у = — - За 1 х 2+(2а 2- а) х + 19 У3 2 имеет положительную точку минимума? 12.34. ” При каких значеннях параметра а точка х 0 = 1 яв- ляется точкой минимума функции X3 у = — + ах2+(а2- 4) х + 7? 12.35. ” При каких значеннях параметра а точка х0 = 0 явля- ется точкой максимума функции у = -х--3-- а х 2+ (а2-1 ) х - 9 ? З 12.36. ” При каких значеннях параметра а точка х 0 = 1 яв- ляется точкой зкстремума функции у = Xs - ах2 + (а2 - 2а)х - 7? 12.37.” При каких значеннях параметра а точка х 0 = 2 яв- ляется точкой зкстремума функции у = Xs - 2ах2 + (2а2 - 2а)х + 9? Готовимся к изучению новой темьі 12.38. Найдите наименьшее значение функции у = Зх2 - - 18х + 2 на отрезке: 1) [-1; 4]; 2) [-4; 1]; 3) [4; 5]. 12.39. Найдите наибольшее значение функции у = - х 2 - - 8х + 10 на отрезке: 1) [-5; -3]; 2) [-1; 0]; 3) [-1 1 ;-1 0 ]. 120

13. Наибольшее и наименьшее значення функции на отрезке | J Наибольшее и наименьшее значення функции на отрезке Как добиться наименьшей масси конструкции, не при- чиняя вреда ее прочности? Как, имея ограниченние ресурсьі, вмполнить производственное задание в кратчайшее время? Как организовать доставку товара по торговим точкам так, чтоби расход топлива бьіл наименьшим? Такие и подобние задачи на поиск наилучшего или, как говорят, опти- ук мального решения занимают значи- тельное место в практической деятель- ности человека. Представим, что известна функция, q\"\" которая описивает, например, зависи- мость массьі конструкции от ее прочно­ сти. Тогда задача сводится к поиску аргумента, при котором функция принимает наименьшее значение. В зтом пункте мьі виясним, как можно найти наибольшее и наименьшее значення функции на отрезке [а; Ь]. Ограни- чимся рассмотрением только непрерьівньїх функций. Заметим, что точка, в которой функция принимает своє наименьшее значение, не обязательно является точкой ми- нимума. Например, на рисунке 13.1 min / (х) = / (а), а точек [а; 6] минимума функция / не имеет. Точно так же точка мини- мума не обязательно является точкой, в которой функция принимает наименьшее значение. На рисунке 13.2, а точ- абв Рис. 13.2 121

§ 1 . Производная и ее применение ка х2 — единственная точка минимума, а наименьшее зна- чение m in /(x ) достигается в точке а. [а; 6] Аналогичное замечание относится к точкам максимума и точкам, в которьіх функция принимает наибольшее зна- чение. На рисунке 13.2 представленні разнме случаи располо- жения точек зкстремумов и точек, в котормх функция при­ нимает наибольшее и наименьшее значення. Тут важно понять, что свойство функции иметь точку зкстремума х0 означает такое: функция принимает в точ­ ке х0 наибольшее (наименьшее) значение по сравнению со значеннями функции во всех точках некоторой, возможно, очень малой окрестности точки х0. Позтому, если хотят подчеркнуть зтот факт, то точки зкстремума еще назьівают точками локального максимума или точками локального минимума (от латинского locus — место). Непрерьівная на отрезке [а; Ь] функция достигает на зтом промежутке свои наибольшее и наименьшее значення1 или на концах отрезка, или в точках зкстремума (рис. 13.2). Тогда для такой функции поиск наибольшего и наимень- шего значений на отрезке [а; Ь] можно проводить, пользуясь такой схемой. 1. Найти критические точки функции /, принадлежащие отрезку [а; Ь]. 2. Вичислить значення функции в найденньїх критиче- ских точках и на концах рассматриваемого отрезка. 3. Из всех найденньїх значений вибрать наибольшее и наименьшее. Понятно, что зтот алгоритм можно реализовать только тогда, когда рассматриваемая функция / имеет конечное количество критических точек на отрезке [а; Ь]. Отметим, что если определить, какие из критических точек являются точками зкстремума, то количество точек, в котормх следует искать значення функции, можно умень- 1 Учащимся профильншх классов надомним, что существование наибольшего и наименьшего значений непрершвной на отрезке функции гарантирует теорема Вейерштрасса (теорема 5.4). 122

13. Наибольшее и наименьшее значення функции на отрезке шить. Однако вмявление точек зкстремума, как правило, требует больше технической работи, чем поиск значений функции в критических точках. ПРИМЕР 1 Найдите наибольшее и наименьшее значення функции / (х) = 4х3 - 9х2 - 12х + 6 на отрезке [-2; 0]. Р е ш е н и е . Найдем критические точки данной функции: /' (х) = 12х2 - 18х - 12; 12х2 - 18х - 12 = 0; 2х2 - Зх - 2 = 0; х = 2 или х = —1 . 2 Следовательно, функция / имеет две критические точки, а промежутку [-2; 0] принадлежит одна: х = - —. 2 ( 137 Имеем: / — = — , / (-2) = -3 8 , / (0) = 6. Следовательно, І 2) 4 37 шах / (х) = / - —І= — , min / (х) = / (-2) = -3 8 . [—2 ; 0 ] ~1 4 [-2 ; 0] Ответ: — ; -38. 4 ПРИМЕР 2 Найдите наибольшее и наименьшее значення функции / (х) = 4 sin 2х - 2 sin 4х на промежутке [0; тс]. Р е ш е н и е . Имеем: /'(х) = 8 cos 2х - 8 cos 4х = 8 (cos 2х - - cos 4х) = 16 sin Зх sin х. Найдем критические точки дан­ ной функции: sin Зх sin х = 0; sin Зх = 0 или sin х = 0; х = — или х = nk, k є Z. З Отсюда х = — , k є Z. З Следовательно, точки вида х = — являются критически- 3 ми точками функции /, из них промежутку [0; тс] принад- лежат четьіре точки: 0; —; — ; тс. Имеем: ЗЗ / (0) = / (тс) = 0, / = З V3, / И = - з Тз . 123

§ 1 . Производная и ее применение Таким образом, т а х / ( х ) = / | —) = 3>/з, m in /(x ) = / | — |= —3 л/з. [0;*] [0;*] ^ 3 ) Ответл 3-\\/3, —3 л/З. ПРИМ ЕР 3 Представите число 8 в виде суммьі двух неот- рицательньїх чисел так, чтобм сумма куба первого числа и квадрата второго била наименьшей. Р е ш е н и е . Пусти первое число равно х, тогда второе равно 8 - х . Из условия следует, что 0 < х < 8. Рассмотрим функцию / (х) = Xs + (8 - х)2, определенную на отрезке [0; 8], и найдем, при каком значений х она при- нимает наименишее значение. Имеем: f'(x) = Зх2 - 2(8 - х) = Зх2 + 2х - 16. Найдем критические точки данной функции: Зх2 + 2х - 16 = 0; g х = 2 или х = — . З Среди найденних чисел промежутку [0; 8] принадлежит толико число 2. Имеем: / (2) = 44, / (0) = 64, / (8) = 512. Следователино, функция / принимает наименишее значе­ ние при х = 2. Ответ: 8 = 2 + 6. ПРИМЕР 4 Найдите сторонні прямоугольника, вписанного в окружность радиуса R, если площадь прямоугольника принимает наибольшее значение. Р е ш е н и е . Рассмотрим прямоуголь- ник ABCD, вписанньїй в окружность радиуса R (рис. 13.3). Пусти АВ = х, тогда ВС = J a C2- A B 2 = V4R 2- x 2. От- сюда площадь прямоугольника ABCD равна x\\l4R2- х 2 . Из условия задачи следует, что значення переменной х удовлетворяют неравенству 0 < х < 2R, то єсть принадлежат промежутку (0; 2R). 124

13. Наибольшее и наименьшее значення функции на отрезке Таким образом, задача свелась к нахождению наибольшего значення функции S (х) = х \\J4R2- х 2 на интервале (0; 2R). Рассмотрим непрермвную функцию / (х) = х V4R 2- х 2, D (/) = [0; 2К\\, и будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0; 2R], Найдем критические точки функции /: Г (х) = (х)' •лІ4ІЇ2- X + х • (4R 2- х 2)'= \\\\l4R2 = лІ4ІЇ2- х 2 - - (4R - х ) - х 4R -2 х лі4R2- х 2 лі4R2- х 2 лІ4ІІ2- х 2 Функция / имеет одну критическую точку X= R УІ2. Имеем: / (і? у[2) = 2R2, f (0) = / (2R) = 0. Следовательно, max / (х) = / (r л/2) = 2R 2. [0;2Л] 47 Отсюда получаем, что функция S (х) = x ^ 4 R 2- х 2 на ин­ тервале (0; 2R) принимает наибольшее значение при х = R \\І2. Тогда AB = R*J2, ВС = лІ4ІЇ2- 2 R 2 = R j 2. Следовательно, среди прямоугольников, вписанньїх в окружность радиуса R, наибольшую площадь имеет квадрат со стороной R \\І2. • ПРИМЕР 5 Решите уравнение у / х - 2 + \\ І 4 - х = 2 . Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию / (х) = y j x - 2 + V4 - х , D (/) = [2; 4]. Для всех х є (2; 4) имеем: f (х) = — , ------. 4щх-2)3 4щ4-х)3 Решим уравнение /'(х ) = 0. Запишем: 4^/(х-2)3 4 yj(4-x)s 125

§ 1 . Производная и ее применение Отсюда легко найти, что х = 3. Полупили, что функция / на отрезке [2; 4] имеет единственную критическую точку х = 3. Так как функция / непрермвна на отрезке [2; 4], то ее наибольшее и наименьшее значення находятся среди чисел / (3), / (2), / (4). Имеем: / (3) = 2, / (2) = / (4) = ^2. Следовательно, шах / (х) = / (3) = 2, причем наибольшее [2; 4] значение функция / принимает только при х = 3. Так как нам надо решить уравнение / (х) = 2, то получаем, что х = 3 является его единственньїм корнем. Ответ: 3. ПРИМЕР б Пункти А, В и С расположени в вершинах прямоугольного треугольника (ZACB = 90°), ВС = 3 км, АС = 5 км. Из пункта А в пункт С ведет шоссейная дорога. Турист начинает движение из пункта А по шоссе. На каком расстоянии от пункта А турист должен свернуть с шоссе, чтоби за наименьшее время дойти из пункта А в пункт В, если скорость туриста по шоссе равна 5 км/ч, а вне шоссе — 4 км/ч? Ре ше н и е . Обозначим через D точку, D в которой турист должен свернуть с шос­ се, чтоби бистреє всего преодолеть путь Рис. 13.4 (рис. 13.4). Пусть AD = х км. Имеем: DC = (5 - х) км, DB = -у/DC2+ВС2 = Ф - х)2+9. Тогда время, за которое турист преодолеет путь, равно д/(5-х)2+9 Теперь понятно, что для решения 54 задачи достаточно найти наименьшее значение функции / ( * ) = f5 7( 5 -х )2+9 заданной на отрезке [0; 5]. Имеем: 4 5-х Решив уравнение 1 5-х f ( x ) = 5* \" 4 уІ(--5----х-) 2і-+--9-- 5 ■= 0 4 ->/(5- х)2+ 9 (сделайте зто самостоятельно), устанавливаем, что число х = 1 является его единственньїм корнем. Сравнивая числа 126

13. Наибольшее и наименьшее значення функции на отрезке / (0) = -V--3-4- , /(1 ) = —29 и /(5 ) = —7 , долучаєм, что / (1) =2—9 — 4 20 4 20 наименьшее значение функции / на отрезке [0; 5]. Ответ: 1 км. Упражнения 13.1. ° Найдите наибольшее и наименьшее значення функ­ ции / на указанном отрезке: 1) / (х) = Зх2 - х3, [-1; 3]; 2) / (х) = х 4 - 2х2 + 5, [0; 2]; 3) / (х) = х 3 - 2х2 + 8х - 3, [1; 3]; 4) / (х) = 2х3 - 9х2 - 3, [-1; 4]; 5) / (х) = 2х3 + 9х2 - 6Ох - 7, [-1; 3]; 6) /(х ) = ^ , [-3; 0]. х —1 13.2. ° Найдите наибольшее и наименьшее значення функ­ ции / на указанном отрезке: 1 ) / (х) = - х 3- 4 х , [0; 3]; 3 2) / (х) = х - 1 - х 3 - х 2, [-2; 0]; 3) / (х) = 2х4 - 8х, [-2; 1]; 4) /( х ) = — - 8х2, [-1; 2]. 4 13.3. ' Найдите наибольшее и наименьшее значення функ­ ции / на указанном отрезке: 1) / (х) = VlOO-x2, [-6; 8]; 2) /( x ) = V0,5x2+3x + 5, [2; 4]; 3) / (х) = (х + І)2 (х - 2)2, [-2; 4]; 4) /(х ) = - + * [-4; -1]. х2 13.4. ' Найдите наибольшее и наименьшее значення функ­ ции / на указанном отрезке: 1) Нх ) = >І9+ 8 х - х 2, [0; 7]; 2) / ( х ) = - ^ - > [“ 2 ; 4]; х +1 127

§ 1 . Производная и ее применение 3) / (х) = (х - І)2 (х + 5)2, [-3; 2]; 4) / (х) = —х х [-6; -1]. 13.5/ Найдите наибольшее и наименьшее значення функ- ции / на указанном отрезке: 1) / (х) = sin х - cos х, [0; к]; ( тЛ 4х— , 0;- 1 3J L в] 3) / (х) = х-\\/3-c o s 2х, 71 71 2’ 2 13.6/ Найдите наибольшее и наименьшее значення функ- ции / на указанном отрезке: 1) /(X ) = VЗ sin Х+ COS X, [0; ті]; ( 4х + —л і , 71 71 1 б ) L 12 3J 13.7/ Представьте число 8 в виде суммьі двух неотрицательньїх чисел так, чтобьі произведение куба одного из зтих чисел на второе число бьіло наибольшим. 13.8/ Представьте число 12 в виде суммьі двух неотрицатель­ ньїх чисел так, чтобьі произведение квадрата одного из зтих чисел на удвоенное второе число бьіло наибольшим. 13.9.’’Найдите наибольшее и наименьшее значення функции / на указанном отрезке: 1) / (х) = 2 sin 2х + cos 4х, 2) / (х) = -s/з sin 2x + cos 2 х -5 , « і 3) / (х) = 2 sin х + sin 2х, 0; — 2 13.10.’’Найдите наибольшее и наименьшее значення функции / на указанном отрезке: 1) / (х) = 2 cos х - sin 2х, 71 71 22 2) / (х) = 2\\/з cos х + 2sin х, 71 71 2’ 2 128

13. Наибольшее и наименьшее значення функции на отрезке 13.11. ’’Разбейте число 180 на три неотрицательньїх слагаемьіх так, чтобьі два из них относились как 1 : 2, а произведение всех трех слагаемьіх бьіло наибольшим. 13.12. ’’Представьте число 18 в виде суммьі трех неотрица­ тельньїх чисел так, чтобьі два из них относились как 8 : З, а сумма кубов атих трех чисел бьіла наименьшей. 13.13. ’’В треугольник ABC вписан прямоугольник так, что две его вершиньї лежат на стороне АС, а две другие — на сторонах АВ и ВС. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если АС = 12 c m , BD = 10 см, где BD — вьісота треугольника ABC. 13.14. ’’В прямоугольньїй треугольник с гипотенузой 16 см и острьім углом 30° вписан прямоугольник, две вершиньї которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Какими должньї бьіть стороньї прямоугольника, чтобьі его площадь бьіла наибольшей? 13.15. ’’В полукруг радиуса 20 см вписан прямоугольник наи­ большей площади. Найдите стороньї прямоугольника. 13.16. ’’В полукруг радиуса 6 см вписан прямоугольник наи- большего периметра. Найдите стороньї прямоугольника. 13.17. ’’Две вершиньї прямоугольника принадлежат графику функции у = 12 - х2, D (у ) = [- 2 \\/3; 2 л/з], а две другие — оси абсцисс. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник? 13.18. ’’Две вершиньї прямоугольника принадлежат графику функции у = 0,5х2, D (у) = [- 3 лІ2; 3 >/2 ], а две другие — прямой у = 9. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник? 13.19. ’’Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Какой должна бьіть длина основания треугольника, чтобьі его площадь принимала наибольшее возможное значение? 13.20.” Вася Ошибочкин решил найти наибольшее и наи­ меньшее значення функции /( х ) = — на отрезке [-1; 1]. X 129

§ 1 . Производная и ее применение Он нашел производную /' (х) = — - и определил, что X уравнение —y = 0 не имеет решений. Сравнив значення X / (—1) = —1 и / (1) = 1, Вася утверждает, что наибольшее значение функции / на отрезке [-1; 1] равно 1, а наи- меньшее равно -1 . Верно ли рассуждает Вася? 13.21. ” В трапеции меньшее основание и боковне сторонні равньї а. Найдите большее основание трапеции, при ко- тором ее площадь принимает наибольшее значение. 13.22. ” В равнобедренннй треугольник вписана окружность радиуса г. Каким должен бнть угол при оснований тре- угольника, чтобм его площадь бнла наименьшей? 13.23. \" Каким должен бмть угол при вершине равнобедрен- ного треугольника заданной площади, чтобм радиус вписанной в зтот треугольник окружности бнл наи- большим? 13.24. \" На окружности радиуса R отметили точку А. На каком расстоянии от точки А надо провести хорду ВС, параллельную касательной в точке А, чтобм площадь треугольника ABC бмла наибольшей? 13.25. \" Фигура ограничена графиком функции у = *Jx, пря- мой у = 2 и осью ординат. В какой точке графика функ­ ции у = 4 х (о < х < 4) надо провести касательную, чтобм она отсекала от указанной фигурн треугольник наибольшей площади? 13.26. \" На координатной плоскости расположен прямоуголь- ннй треугольник ABC (Z ABC = 90°). Вершина А имеет координатн (-2; 0), вершина В принадлежит отрезку [2; 3] оси абсцисс, а вершина С — параболе у = х2 - 4х + 1. Ка- кими должнн бмть координатн точки С, чтобм площадь треугольника ABC бнла наибольшей? 13.27. \" Пунктн А, В и С находятся в вершинах прямо- угольного треугольника ABC (ZACB = 90°), АС = 285 км, ВС = 60 км. Пунктн А и С соединяет железная дорога. 130

13. Наибольшее и наименьшее значення функции на отрезке В какую точку отрезка АС следует провести грунтовую дорогу из пункта В, чтобн время пребнвания в пути от пункта А до пункта В бнло наименьшим, если извест- но, что скорость движения по железной дороге равна 52 км/ч, а по грунтовой дороге — 20 км/ч? 13.28. ” Завод А расположен на расстоянии 50 км от прямоли- нейного участка железной дороги, которая ведет в город В, и на расстоянии 130 км от города В. Под каким углом к железной дороге следует провести шоссе от завода А, чтобн доставка грузов из А в В бнла самой дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в 2 раза болише, чем по железной дороге? 13.29. ” Докажите неравенство -2 0 < х3 - Зх2 < 16, где х Є [-2; 4]. 13.30. \" Найдите наибольшее и наименьшее значення функ­ ции / (х) = - 5 х 3 + х Іх - 1 І на промежутке [0; 2]. 13.31. \" Найдите наибольшее и наименьшее значення функ­ ции / (х) = 4х3 - х Іх - 2 І на промежутке [0; 3]. 13.32. \"Решите уравнение y jb-x + y j x - 3 = х2 - 8х + 18. 13.33. \" Решите уравнение yjx + 7 + - J l - x = х 2 + 6х + 13. Готовимся к изучению новой темьі 13.34. Начертите график какой-нибудь непрернвной функ­ ции такой, что: областью определения является проме- жуток [-4; 3]; областью значений является промежуток [-5; 3]; нули функции равнн - 2 и 2; функция убнвает на каждом из промежутков [-4; -1 ] и [2; 3], возрастает на промежутке [-1; 2]. 13.35. Начертите график какой-нибудь дифференцируемой функции такой, что: областью определения является промежуток [-3; 4]; областью значений является про­ межуток [-2; 3]; нули функции равнн -1 и 2; f'(x) > 0 для любого х из промежутков [-3; 0) и (2; 4]; f'(x) < 0 для любого х из промежутка (0; 2). 131

§ 1 . Производная и ее применение | | Вторая производная. Понятие вьіпуклости функции Пусть материальная точка двигается по закону у = s (t) по координатной прямой. Тогда мгновенная скорость v (t) в момент времени t определяется по формуле V (t) = s ' (t). Рассмотрим функцию у = v (t). Ее производную в момент времени t назмвают ускорением движения и обозначают а (t), то єсть а (t) = v' (t). Таким образом, функция ускорение движения — зто про­ изводная функции скорость движения, которая в свою оче- редь является производной функции закон движения, то єсть а (t) = v' (t) = (s' (£))'• В таких случаях говорят, что функция ускорение движе­ ния у = a (t) является второй производной функции у = s (t). Пишут: а (t) = s\" (t) (запись s\" (t) читают: «зс два штриха от тз»). Например, если закон движения материальной точки за­ дай формулой s (t) = t2 - 41, то имеем: s' (t ) = v (t) = 2t - 4; s\" (t) = v' (t) = a (t) = 2. Мн долучили, что материальная точка двигается с посто- янньїм ускорением. Как вьі знаєте из курса физики, такое движение назмвают равноускореннмм. Обобщим сказанное. Рассмотрим функцию у = f (х ), дифференцируемую на не- котором множестве М. Тогда ее производная также является некоторой функцией, заданной на зтом множестве. Если функция /' дифференцируема в некоторой тонке х0 є М, то производную функции /' в тонке х0 назмвают второй про­ изводной функции у = f (х) в тонке х0 и обозначают /\" (х0) или у \" (х0). Саму функцию / назмвают дваждьі дифферен- цируемой в тонке х 0. 132

14. Вторая производная. Понятие вьіпуклости функции Функцию, которая числу х0 ставит в соответствие число /\" (х0), назмвают второй производной функции У = f (х) и обозначают /\" или у \". Например, если у = sin х, то у\" = -sin х. Если функция / дваждьі дифференцируема в каждой точке множества М, то ее назмвают дваждьі дифференцируемой на множестве М. Если функция / дваждм дифференцируема на D(f), то ее назмвают дваждьі дифференцируемой. В н знаєте, что функцию характеризуют такие свойства как четность (нечетность), периодичность, возрастание (убн- вание) и т. д. Еще одной важной характеристикой функции является внпуклость вверх и внпуклость вниз. Обратимся к примерам. О функциях у = х2, у = | х | говорят, что они являются внпуклнми вниз (рис. 14.1), а функции у = - х 2, у = у[х яв­ ляются внпуклнми вверх (рис. 14.2). Функция y = sinx является внпуклой вверх на промежутке [0; 7г] и внпуклой вниз на промежутке [тг; 2л] (рис. 14.3). Линейную функцию считают как внпуклой вверх, так и внпуклой вниз. Далее, изучая понятия внпуклости функции на проме­ жутке І, ограничимся случаем, когда функция / дифферен­ цируема1 на зтом промежутке. 1 В вшсшей школе понятие вшпуклости распространяют и на более широкие классш функций, например непрершвнше. 133

§ 1 . Производная и ее применение Пусть функция / дифференцируема на промежутке І. Тогда в любой тонке ее графика с абсциссой х є І можно про­ вести невертикальную касательную. Если при атом график функции на промежутке І расположен не вьіше любой такой касательной (рис. 14.4), то функцию / називают вьіпуклой вверх на промежутке І; если же график на промежутке І расположен не ниже любой такой касательной (рис. 14.5), то — вьіпуклой вниз на промежутке І. Рис. 14.6 Например, докажем, что функция / (х) = х2 является вьі­ пуклой вниз на промежутке ( - о о ; + о о ). Проведем касатель­ ную к графику функции / (х) = х2 в тонке с абсциссой х0 (рис. 14.6). Уравнение зтой касательной имеет вид: у = 2х0( х - х 0) + Хд. Рассмотрим разность / (х )-(2 х 0( х - х 0) + Хд) = х 2-(2 х 0( х - х 0) + Хд) = І -у^ / /у /у \\ “ k'Vі *4^0 / *--- /у»^ О-у Поскольку зта разность принимает только неотрицатель- ньіе значення, то зто означает, что график функции / лежит не ниже любой касательной. Следовательно, функция / (х) = х2 является вьіпуклой вниз на промежутке ( - о о ; + о о ). Аналогично можно доказать, что функция у = X s является вьіпуклой вверх на промежутке ( - о о ; 0] и вьіпуклой вниз на промежутке [0; + о о ) (рис. 14.7). На рисунке 14.8 изображен график функции /, которая является вьіпуклой вниз на промежутке [а; Ь]. Из рисунка видно, что с увеличением аргументи х угол наклона соот- ветствующей касательной увеличивается. Зто означает, что функция /' возрастает на промежутке [а; Ь]. Пусть функция / является вьіпуклой вверх на промежут­ ке [а; 5] (рис. 14.9). Из рисунка видно, что с увеличением 134

14. Вторая производная. Понятие вьіпуклости функции аргумента х угол наклона соответствующей касательной уменьшается. Зто означает, что функция /' убмвает на про- межутке [а; Ь]. Зти примерм показьівают, что характер вьіпуклости функции / на некотором промежутке І связан с возрастанием (убмванием) функции /' на зтом промежутке. Для дваждьі дифференцируемой на промежутке І функ­ ции / возрастание (убмвание) функции / определяется зна­ ком второй производной функции / на промежутке І. Таким образом, характер вьіпуклости дваждьі дифференцируемой функции связан со знаком ее второй производной. Зту связь устанавливают следующие две теореми. Т е о р е м а 14.1 ( п р и з н а к в ьі пу к ло с ти ф у н к ц и и вниз). Если для всех х є І вгяполняется неравенство /\" (д;) > 0, то функция f являєш ся вгяпуклой вниз на про­ межутке І. Т е о р е м а 14.2 ( п р и з н а к в ьі пу к ло с ти ф у н к ц и и вверх). Если для всех х є І вьіполняется неравенство /\" (д;) < 0, то функция f являєш ся вгяпуклой вверх на про­ межутке І. Докажем теорему 14.1 (теорему 14.2 доказмвают анало- гично). Д о к а з a m ель c m в о. В точке с абсциссой х0 є І проведем касательную к графику функции /. Уравнение зтой каса­ тельной имеет вид У = f'(x0)(х - х„) + / (х0). Рассмотрим функцию r ( x ) = f (х) - (f'(x0)(x - х0) + f (х0)). 135

§ 1 . Производная и ее применение Значення зтой функции показивают, насколько отлича- ется ордината точки графика функции / от ординати соот- ветствующей точки, которая лежит на проведенной касательной (рис. 14.10). Если ми покажем, что г (х ) > 0 для всех х є І, то таким образом докажем, что на промежутке І график функции / лежит не ниже проведенной к нему касательной. Пусть х є І и х > х0 (случай, когда х < х0, рассматривают аналогично). Имеем: r (х) = f (х) - f (х0) - /' (х0) (х - х0). Для функции / и отрезка [х0; х] применим теорему Ла- гранжа: / (х) - / (х0) = f'(c^)(x - х 0), где с1 є (х0; х). Отсюда г (х) = /' (c j (х - х 0) - /' (х0) (х - х0); г (х) = (/' (сД - /' (х0)) (х - х0). Поскольку функция у = f'(x) является дифференцируемой на отрезке [х0; c j , то можно применить теорему Лагранжа: /'(Сі) - f'(xо) = f\"(c2)(cі - х0), где с2 є (х0; сг). Отсюда г (х) = /\" (с2) (с1 - х0) (х - х0). На рисунке 14.10 показано расположение точек сх и с2. Из неравенств х 0 < с2 < сх < х следует, что (с1 - х0) х х (х - х0) > 0. Поскольку с2 є І, то с учетом условия теореми получаем: /\" (с2) > 0. Отсюда для всех х є І вьіполняется не- равенство г (х) > 0. Позтому функция / является вьшуклой вниз на промежутке І. А ПРИМЕР 1 Исследуйте на вьшуклость функцию / (х) = tg х на промежутке І —71 ; П — 22 Р е ш е н и е . Имеем: /'(х ) = cos2*X . Отсюда /\"(*) = cos2X = (cos 2х)' = -2 (cos х) 3 (cos х)' = 2 sin х COSз X Неравенство f\" (х) > 0 на промежутке вмполня- ется при 0 < х < —71. Следовательно, функция у = tg х являет- 2 136

14. Вторая производная. Понятие вьіпуклости функции *!ся вьшуклои вниз на промежутке (рис. 14.11). Неравенство /\" (х) < 0 на промежутке 2 2) вмполняется при < х < 0 . Сле- 2 довательно, функция у = tgx является вьшуклой вверх на промежутке 71 ;0 (рис. 14.11). • Рнс 14Л1 На рисунке 14.12 изображенм графики функций и касательньїе, проведенньїе к ним в точках с аб- сциссой х0. Зти функции на промежутках (а; х 0] и [х0; b) имеют разньїй характер вьіпуклости. Позтому на зтих про­ межутках график функции расположен в различнмх полу- плоскостях относительно касательной. В зтом случае говорят, что точка х0 является точкой перегиба функции. Рис. 14.12 Например, точка х0 = 0 является точкой перегиба функ­ ции у = Xs (рис. 14.7); точки вида —+ пп, п є Z, являются 2 точками перегиба функции у = cos х (рис. 14.13). Рис. 14.13 ПРИ МЕР 2 Исследуйте характер вьіпуклости и найдите точ- х5 х4 ки перегиба функции / (х) = ^ _ ^2 * 137

§ 1 . Производная и ее применение Р е ш е н и е . Имеем: 4З /'(х ) = —— — ; f\" (х ) = х3 - х2 = х2 (х - 1). 4З Используя метод интервалов, исследуем знак функции у = f\"(x) /Л (рис. 14.14). Получаем, что функ- ция / випуклая вверх на проме- Рис. 14.14 жутке ( - о о ; 1] и випуклая вниз на промежутке [1; + о о ). Функция / на промежутках (-оо; 1] и [1; +оо) имеет разньїй характер вьшуклости. В тонке с абсциссой х0 = 1 к графику функции / можно провести касательную. Следовательно, х0 = 1 является точкой перегиба функции /. • Упражнения 14.1.° Найдите вторую производную функции: 1 ) У = Xs; 5) у = cos х; 9) y = sin ^ ; 2) у = х2 - 2х + 5; 6) у = (2х - І)5; 10) у = х sin х. 3) у = ~; 7) у = sin Зх ; X 8) у = cos2 х; 4) y = -Jx; 14.2. ° Найдите вторую производную функции: 1) у = х4; 4) у = л/х; 7) у = sin2 х; 2) у = 3 - 5х + X s ; 5) у = (1 - Зх)3; 8) у = х cos х. 3) у = ; 6) у = cos 2х; х —1 14.3. ° Чему равно значение второй производной функции 71 71 у = 5sinx - 3cos4x в тонке: 1) х = —; 2) х = — ? J 6’ ' 2 14.4.° Материальная точка двигается по координатной прямой по закону s (t ) = 2f3 - 5f2 + 4 (перемещение из- меряется в метрах, время — в секундах). Найдите ее ускорение в момент времени t0 = 2 с. 138

14. Вторая производная. Понятие вьіпуклости функции 14.5. ° Одно тело двигается по координатной прямой по за­ кону Sj (і) = f3 - t 2 + 3t - 2, а другое — по закону s2 (t) = ----1--t-2-- ь5£-8 (перемещение измеряется в метрах, З2 время — в секундах). Найдите ускорение каждого тела в момент времени, когда их скорости равнм. 14.6. °Тело массой 5 кг двигается по координатной прямой по закону s (t) = f3 —6f + 4 (перемещение измеряется в ме­ трах, время — в секундах). Найдите силу F (t) = та (t), действующую на тело через 3 с после начала движения. 14.7. ° Найдите промежутки вьіпуклости и точки перегиба функции: 1) у = х 3 - Зх + 2; 2) у = X і - 8х3 + 18х2 - х + 1. 14.8. ° Найдите промежутки вьіпуклости и точки перегиба функции: 1) у = х 3 - 2х2 + х - 2; 2) у = X і - 6х3 + 12х2 - Зх + 4. 14.9. ° Найдите точки перегиба функции у = Зх5 - 10х4 + 10х3 + 12х + 3. 14.10. ° Найдите точки перегиба функции у = Зх5 + 10х4 + 10х3 - 5х - 4. 14.11. °Докажите, что функция / (х) = х4 - 4х3 + 12Х2 - 11х - 7 является вьшуклой вниз на Ж. 14.12. ° Докажите, что функция / (х) = sin2x - 2х2 является вьшуклой вверх на Ж. 14.13. \"Найдите промежутки вьіпуклости и точки перегиба функции: 1) У= 1+ х 2) У= (х -1 )ч‘2' 14.14.\" Найдите промежутки вьіпуклости и точки перегиба функции: 1-х2 2) У = + 1)‘ч2 ' (х 1) У= 1+ х 14.15. \"Найдите промежутки вьіпуклости и точкиперегиба функции у = х2 + 4sinx. 14.16. \"Найдите промежутки вьіпуклости и точкиперегиба функции у = х2 - 4cosx. 139

§ 1 . Производная и ее применение Построение графиков функций Когда в предмдущих классах вам приходилось строить графики, ви, как правило, поступали так: отмечали на ко- ординатной плоскости некоторое У • • количество точек, принадлежащих • !• • графику, а затем соединяли их. Точность построения зависела от * • количества отмеченнмх точек. ? t На рисунке 15.1 изображени ІІ *1 *2 *3 Х4 Х Рис. 15.1 несколько точек, принадлежа­ щих графику некоторой функции у = f (х ). Зти точки можно соединить по-разному, например, так, как показано на рисунках 15.2 и 15.3. Однако если знать, что функция / возрастает на каждом из промежутков [х±; х 2] и [х3; х4], убивает на промежут- ке [х2; х3] и является дифференцируемой, то, скореє всего, будет построен график, показан- ньій на рисунке 15.4. Ви знаєте, какие особенности присущи графикам четной, не- четной, периодической функций и т. д. Вообще, чем больше свойств функции удалось определить, тем точнеє можно построить ее график. Исследование свойств функции будем проводить по та­ кому плану. 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на четность. 3. Найти нули функции. 4. Найти промежутки знакопостоянства. 140

15. Построение графиков функций 5. Найти промежутки возрастания и убивання. 6. Найти точки зкстремума и значення функции в точках зкстремума. 7. Виявить другие особенности функции (периодичность функции, поведение функции в окрестностях отдель- ньіх важних точек и т. п.). Заметим, что приведенний план исследования носит ха­ рактер рекомендаций и не является постоянньїм и исчерпива- ющим. Важно при исследовании функции обнаружить такне ее свойства, которме позволят корректно построить график. Зі ПРИ МЕР 1 Исследуйте функцию / ( х ) = —х 2— х 3 и построй- те ее график. Р е ш е н и е . 1. Функция определена на множестве действи- тельних чисел, то єсть D (/) = Ж. 2. / ( - х ) = —З (, - х. 2) —1 /(-х )чЗ = —3 х2+ —1 х з Отсюда / (-х ) ф f (х) 24 24 и / (-х ) ф - / (х), то єсть функция у = f (-х ) не совпадает ни с функцией у = f (х), ни с функцией у = —f (х). Таким об­ разом, данная функция не является ни четной, ни нечетной. Зі х2 3 -4 . Имеем: / ( х ) = —х 2— х 3 = — (6 -х ). Числа 0 и 6 яв- 24 4 ляются нулями функции /. Применив метод интервалов (рис. 15.5), находим промежутки знакопостоянства функции /, а именно: устанавливаем, что / (х) > 0 при х є ( - о о ; 0) U U (0; 6) и / (х) < 0 при х є (6; + о о ). 5 -6 . Имеем: /'(х ) = 3 х ------ = — (4 - х ). Исследовав знак 44 производной (рис. 15.6), приходим к виводу, что функция / возрастает на промежутке [0; 4], убивает на каждом из про- межутков (-с ю ; 0] и [4; +оо), х1пах = 4, х1піл = 0. Имеем: / (4) = 8, / (0) = 0. Рис. 15.5 Рис. 15.6 141

§ 1 . Производная и ее применение 7. Имеем: /\"(х) = 3 ----- . Исследовав 2 знак второй производной (рис. 15.7), при­ ходим к виводу, что функция / является вьшуклой вниз на промежутке ( - с о ; 2 ] , вьшуклой вверх на промежутке [2; +оо), х0= 2 является точкой перегиба и / (2) = 4. Учитьівая полученньїе результати, строим график функ- ции (рис. 15.8). • ее график. и построите х\" А-Ах Р е ш е н и е . 1. Функция определена на множестве (-оо; -4 ) U U (-4; 0) U (0; +оо). 2. Область определения функции несимметрична относи- тельно начала координат, следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной. 3. Функция не имеет нулей. 4. /(х ) = 4 . Отсюда / (х) > 0 при х є (-сю; -4) U(0; +оо), х (х + 4) / (х) < 0 при х є (-4; 0) (рис. 15.9). 5 -6 . Имеем: Г(х) = (4)'-(х2+ 4 х )-4 -(х 2+4х)' 4 (2х + 4) 8 (х + 2) х2 (х + 4)2 х2 (х + 4)2 х2 (х + 4)2 142

15. Построение графиков функций Исследовав знак /' (рис. 15.10), приходим к виводу, что функция / убмвает на каждом из промежутков [-2; 0) и (0; + о о ), возрастает на каждом из промежутков ( - о о ; -4 ) и (-4; -2 ], хпіах = - 2 , / (-2 ) = -1 . Рис. 15.10 7. Заметим, что если значення аргументи х вибирать все большими и большими, то соответствующие значення функ- ции / (х) = —j —— все меньше и меньше отличаются от х +4х числа 0 и могут стать сколь угодно малими. Зто свойство принято записьтвать так: lim —--4----= 0 или так: —--4------- >0 ■г^+тх +4х х +4х при х —>+ о о . Если х —> + о о , то расстояния от точек графика функции / до прямой у = 0 становятся все меньшими и мень- шими и могут стать меньше произвольного наперед задан- ного положительного числа. В зтом случае прямую у = 0 називают горизонтальной асимптотой графика функции / при х —>+ о о . Аналогично можно установить, что прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции / при X —> -00. Если значення аргументи х стремятся к нулю, оставаясь положительньїми, то соответствующие значення функции 4 становятся все большими и большими, то єсть / (х) = х +4х расстояния от точек графика функции / до прямой х = 0 становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В зтом случае прямую х = 0 називают вертикальноїі асим­ птотой графика функции /, когда х стремится к нулю спра­ ва. Прямая х = 0 также является вертикальной асимптотой графика функции /, когда х стремится к нулю слева. Функ­ ция / имеет еще одну вертикальную асимптоту — прямую х = - 4 , когда х стремится к - 4 как слева, так и справа. 143

§ 1 . Производная и ее применение Имеем: /\"(*) = - 8х2 (х + 4)2- 8 (х + 2) (2х (х +4)2+2х2 (х + 4)) х4 (х +4)4 Упростив дробь, долучим /\"(х) = 8 (Зх +12Х + 16) х3 (х + 4)3 Исследовав знак /\" (рис. 15.11), при­ ходим к виводу, что функция / является _н£ вьшуклой вниз на промежутках (-оо; -4 ) ч_Х-4 и (0; +оо), вьіпуклой вверх на промежутке Рис. 15.11 (-4; 0), точек перегиба не имеет. Учитмвая полученньїе результати, строим график функ- ции / (рис. 15.12). • ПРИМЕР З Пользуясь графиком функции / (х) = х4 - - 4х2 + 3, определите, сколько корней имеет уравнение / (х) = а в зависимости от значення параметра а. Р е ш е н и е . Функция определена на множестве действи- тельних чисел, то єсть D (/) = Ж. Имеем: /' (х) = 4х3- 8 х = 4х (х2- 2 ) = 4х (x + -s/2) (x -V 2 ). Следовательно, функция / имеет три критические точки: --у/2 ; 0; -у/2 . Исследовав знак производной (рис. 15.13), по­ лупаєм: функция / возрастает на промежутках [--72 ; 0] 144

15. Построение графиков функций и [л/2 ; +оо), убмвает на промежутках Рис. 15.13 (-оо; - V 2 ] и [0; л/2], x mln = -> /2 , хП]ІЛ= V2 , хшах = 0. Имеем / (-V 2 ) = = /(л /2 ) = -1 , / (0) = 3. Учитьівая полученньїе результати, строим график функ- ции (рис. 15.14). Рис. 15.14 Рис. 15.15 Пользуясь построенньїм графином, определяем количе- ство корней уравнения / (х) = а в зависимости от значення параметра а (рис. 15.15): если а < - 1 , то корней нет; если а = -1 или а > 3, то 2 корня; если а = 3, то 3 корня; если -1 < а < 3, то 4 корня. З а м еч а н и е. Из решения данной задачи исключени пункти 2 -4 , 7 плана исследования свойств функции. Свой- ства функции, которие исследуются в зтих пунктах, не ис- пользуются при определении количества корней уравнения / (х) = а. • ПРИМЕР 4 Исследуйте функцию / ( х ) = —%у—_2 и постройте ее график. Решение 1. Функция определена на множестве (-оо; 0 ) U« /2 ; +оо). 145

§ 1 . Производная и ее применение 2. Функция не является ни четной, ни нечетной. 3. Решив уравнение —X--4-- = 0, определяем, что х = 0 — X3 - 2 единственнмй нуль данной функции. 4. / (х) > 0 при х є (-4/2 ; +оо), / (х) < 0 при х є (-со; 0) U(О; л/2). 5 -6 . Имеем: / (х) = —х6---8--х-3- = -х--3-(--х-3----8—) . (х3-2)2 (х3-2)2 Исследовав знак /' (рис. 15.16), приходим к виводу, что функция / убивает на промежутках [0; лІ2 ) и ( л/2 ; 2], воз- g растает на промежутках (—оо; 0] и [2; +оо), хп]іп = 2, /(2 ) = - , = о, / (0) = о. Рис. 15.16 Рис. 15.17 7. Имеем: /\" (х) = 12х2 (х 3 +4) (х3-2)3 Исследовав знак /\" (рис. 15.17), приходим к виводу, что х = - у [ і — точка перегиба и /(-•\\/4) = ------- , функция / З является вьшуклой вниз на промежутках (-оо; --\\/4 ] и ; + о о ), вмпуклой вверх на [~л/4 ;\\І2 ). Прямая х = лІ2 — вертикальная асимптота графика дан­ ной функции. Имеем: / (х) = х 4 (х 4 - 2 х ) +2х = X- 2х х 3- 2 х 3-2 х 3-2 Поскольку lim 2х = lim = 0, то при х —> + о о рас- х 3-2 х2 - стояния от точек графика функции / до соответствующих точек прямой у = х становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного по- 146

15. Построение графиков функций ложительного числа. В атом случае прямую у = х називают наклонной асимптотой графика функции / при х —> + о о . Также можно показать, что прямая у = х является наклонной асимптотой графика функции / при х —> -о о . Учитьівая полученние результатні, строим график функ­ ции (рис. 15.18). • | Упражнения 15.1.* Исследуйте данную функцию и постройте ее график: 1) / (х) = Зх - \"х33 - 2; 5) / ( х ) = - х 23- х 3; 2) / (х) = 2х3 - Зл-2 + 5; 6) / (лг) = Xі - 2х2 + 1; 3) f ( x ) = 3 x ~ —х ; 7) / (х) = (х + З)2 (х - І)2. 4) / (х) = х 3 - Зх2 + 2; 15.2.* Исследуйте данную функцию и постройте ее гра­ фик: 1) / (х) = х 3 + Зх2; г4 4 ) / ( х ) = ----- 4 х 2; 2 2) /( х ) = 4 х - - х 3; 5) / (х) = 8х2 - 7 - х 4. З 3) / (х) = х - х 3; 147

§ 1 . Производная и ее применение 15.3.’’Постройте график функции: 1) / (х) = 5) /(х ) X х +2 2х 2) / ( х ) = ^ - ; 6) /(х ) х2+1 ’ 7) /( х ) 2(х-1)> х -1 Xі ’ х2+4 б х —6 х2-4 3 )fW % 2+3; 1 4) / ( х ) = 4 ^ ; 8) /(х ) Зх х -4 ~х2 - 97 ’ 15.4.’’Постройте график функции: 2х (х +1)2' 1) / ( х ) - ; 4) /(х ) х -1 2) / ( х ) = пг1 — ; 5) /(х ) х -2х 6) /(х ) 1Н-Х^ 3) / (х) = -1—-х у; 15.5. \"Постройте график функции / (х) = х 2(2х - 3) и опре- делите, пользуясь им, количество корней уравнения / (х) = а в зависимости от значення параметра а. 15.6. ” Постройте график функции / (х) = - х 2(х2 - 4) и опре- делите, пользуясь им, количество корней уравнения / (х) = а в зависимости от значення параметра а. 15.7.” Постройте график функции: 1) / ( х ) = х + —; 3) /(х ) х2- 4 ’ х х4-8 (х +1)4 ' 2) / (х) = Х +2>Х-, 4) /(х ) х-1 х3-4 (х-1)3' 15.8.**Постройте график функции: 1) / ( х ) = х + -^-; 3) /(х ) X х2- 2х + 2 2) /( х ) х-1 148

15. Построение графиков функций г Готовимся к изучению новой темьі 15.9. Представьте внражение в виде степени или произ- ведения степеней: 5 J_ (а3)6 - а4 а 2 Ь 12 1) 4) _17 1 а\" 4 б3 зч2,4 / 5ч1і,88 / 2) (а2Г4.(йГ3Г2 : (а 8)3; 5) \\а») Д а \" 8і . 1 0 ,-7 ао 3) б 7-14 са 15.10. Найдите значение вьіражения: З10 •273 4) (4~8) •1б0,6; і) і 15 (-36Г3 •б8 122 32 -7 3 2) 5) ~2 Т\"’ І 73 -8 6 82 216-5 • (-6)18 ( 2 2 Y 1’5 145 •2 7 5 3•3 3 3) 28-2 . у» 6) 2 _16 v153 •2 3 у 149

§ 1 . Производная и ее применение ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» №1 1. Найдите производную функции /( х ) =х-3--1--х--2. З2 А) /,(х)=т +І; В) /' (х) = х 2 + х; Г) /' (х) = х 3 + х2. Б) /' (х) = Зх2 + 2х; 2. Найдите производную функции /( х ) = — . X4 А) f'(x) = ~ ; 5 X в) Г{х) = 4х 90 Г) /'(х) = - 4х 5 • Б) f'(x) = — г; х' 3. Укажите производную функции / (х) = tg 4х. A) f'(x) = — В) /' (х) = ctg 4х; cos 4х Б) /'(* ) = — £— ; Г) /' (х) = 4 ctg 4х. cos 4х 4. Вичислите значение производной функции / (х) = (Зх - 2)° в тонке х 0 = 1. А) 5; Б) 15; В) -5 ; Г) -15. 5. Найдите производную функции / (х) = V б х -7 . А) /' (х) = 1 .В..).../..'.(..х..). = 1 2у/бх-7 ’ -у/бх-7 Г) /'(х) = З 6 Б) /'(* ) = •у/бх-7 ■у/бх-7 6. Найдите производную функции / ( x ) = c o s—. 4 А) /'(* ) = s in —X; В) /'(x ) = - s i n —; 4 4 Б) /'(х ) = —s in —; Г) /'(х ) = - —s in —. 44 44 150

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 1 7. Тело двигается по координатной прямой по закону s (t) = 3t2 - 2t + 1 (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Чему равна скорость тела через 3 с после начала движе- ния? А) 16 м/с; Б) 17 м/с; В) 18 м/с; Г) 20 м/с. 8. На рисунке изображеньї график функцииу = / (х) и каса- тельная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите /' (х0). Б) 1; В) уІЗ; Г) найти невозможно. 9. Чему равен угловой козффициент касательной к графику функции у = х 3 - 2х в точке с абсциссой х0 = -1 ? А) -5; Б) -1 ; В) 5; Г) 1. 10. Какое уравнение имеет касательная к графику функции / (х) = +^ в точке с абсциссой х 0 = 2? х-3 А) у = ІЗх - 36; В) у = - І З х - 36; Б) у = - х - 8; Г) у = - І З х + 16. 11. Найдите абсциссу точки графика функции / (х) = х2 + 4х, в которой касательная к зтому графику параллельна пря­ мой у = Юх - 6. А) 3; Б) -1 ; В) 7; Г) -5 . 12. На рисунке изображен график функции У = f (а ). Пользу- ясь графиком, сравните /' (.Хф) и /' (х 2). A) /' (Хі) > /' (х2); Б) /' (х,) < /' (х2); B) / ' (Х і ) = / ' (х2); Г) сравнить невозможно. 151

§ 1 . Производная и ее применение 13. Найдите промежутки возрастания функции А) [-3; -1]; / (х) = 4 - З х + 2х2- ^ х 3. Б) [1; 3]; В) (-оо; 1] и [3; +оо); Г) (-оо; -3 ] и [-1; +оо). 14. Дифференцируемая функция у = f (х) определена на мно- жестве действительньїх чисел. На рисунке изображен гра­ фин функции у = /' (х). Сколько промежутков возрастания имеет функция У = f (х)? A) ни одного; Б) один; B) два; Г) определить невозможно. 15. Сколько критических точек имеет функция У = f (х), D (/) = М, график которой изображен на рисунке? А) 2; В) 4; Б) 3; Г) ни одной. 16. Сколько точек зкстремума имеет функция / (х) = —Xі - - х 3+8? 4З А) одну; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной. 17. Дифференцируемая функция у = f (х) определена на множестве действительньїх чисел. На рисунке изображен график функ­ ции у = /' (х). Найдите точку максимуми функции у = f (х). А) -2; В) 2; Б) 0; Г) определить невозможно. 18. Чему равно наименьшее значение функции у = х + — на промежутке [1; 3]? X А) 3; Б) 4; В) 4 І ; Г) 5. О 152

Показательная и логарифми^ ческая функции

§ 2. Показательная и логарифмическая функции I J Степень с произвольньїм действительньїм показателем. Показательная функция В 10 классе ви ознакомились с понятием степени поло- жительного числа с рациональньїм показателем. Теперь ми виясним, что представляет собой степень положительного числа с действительньїм показателем. Строгое определение степени с действительньїм показате­ лем и доказательство ее свойств вмходит за пределм школь- ного курса. Текст зтого пункта содержит лишь общие пояс­ нення того, как можно провести необходимьіе обоснования. Начнем с частного случая. Виясним, что понимают под степенью числа 2 с показателем %. Иррациональное число % можно представить в виде бес- конечной непериодической десятичной дроби: %= 3,1415... . Рассмотрим последовательность рациональньїх чисел 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... . (1) Понятно, что зта последовательность сходится к числу п. В соответствии с последовательностью (1) построим по­ следовательность степеней с рациональньїми показателями: 23, 2ЗД, 2ЗД4, 2ЗД41, 2ЗД415, ... . (2) Можно показать, что члени последовательности (2) с уве- личением номера стремятся к некоторому положительному числу. Зто число и назьівают степенью числа 2 с показате­ лем 7і и обозначают 2Я. Аналогично можно действовать в общем случае, определяя смисл вираження Ьа, где b > 0, а — любое действительное число. Для числа а строят сходящуюся к нему после­ довательность рациональньїх чисел а І5 а 2, а 3, ... . Далее рассматривают последовательность fe\"1, b°2, fe“8, ... степеней с рациональньїми показателями (напомним, что степень по­ ложительного числа с рациональньїм показателем определе- на). Можно доказать, что зта последовательность сходится к положительному числу с, которое не зависит от вмбора сходящейся к а последовательности рациональньїх чисел а І5 154

16. Показательная функция а 2, а 3, ... . Число с назнвают степенью положительного чис­ ла b с действительньїм показателем а и обозначают Ьа. Если основание b равно единице, то I а = 1 для всех дей- ствительньїх а. Если основание b равно нулю, то степень 0а определяют только для а > 0 и считают, что 0а = 0. Например, 0 ^ = 0, 0Я= 0, а вмражение 0 ^ не имеет смнсла. При Ь < 0 вмражение Ьа, где а — иррациональное число, не имеет сммсла. Степень с действительннм показателем обладает теми же свойствами, что и степень с рациональннм показателем. В частности, для х > 0, у > 0 и любнх действительннх а и р справедливн такие равенства: 1 Л V х -уР — -Vа + Р . ОЛ уО- . .уР _ уО- - Р. 3) (ха)р= х ар; 4) (хуТ = хау а; Докажем, например, свойство 1. Пусть а и р — действительнне числа, причем а = lim а и, П —>со Р = lim Ри, где (а„) и (Р„) — последовательности рациональннх П —>со чисел. Имеем: а + р = lim а„ + lim р„ = lim (а„ +Р„). п —>СО п —>СО п —>СО Для положительного числа х рассмотрим три последова­ тельности: (ха\"),(х р\") и (х а\" *хРп). Имеем: lim х а\" = Xа, lim x p\" = x p. п —> С 0 П —>СО Так как для рациональннх показателей а л и Рл свойство 1 имеет место (мн узнали об зтом при изучении свойств сте- пени с рациональннм показателем), то x “n*х р\" = х а\"+р\". 155

§ 2. Показательная и логарифмическая функции Последовательность рациональнмх чисел 04 + рі5 а 2 + р2, а 3 + рз, ... сходится к числу а + р. Позтому можно записать, что lim (а„ •Ь„) = Xа + р. ТІ—>со Xа•х р= lim х а\"• lim х р\" = lim (ха,!• х р\") = lim х а\"+р\" = х а+р. п—»С0 Я —» СО Я —> СО Я —> СО ПРИМ ЕР 1 Упростите вмражение іі а 77 +, 1-їїА1а зТ7 -а 2^7 +, аV7 Л) а^+а* Р е ш е н и е . Имеем: (а^ + l) (a3V?- а 2^ +а* ) ( а * + і) (а2^ - а ^ + і) а^ а4л/7 +, а 77 (а3^ + і ) а ^ а3^ + 1 = 1. а3^ + 1 Виберем некоторое положительное число а, отличное от 1. Каждому действительному числу х можно поставить в соответствие положительное число ах. Тем самим задана функция / (х) = ах, где а > 0 , а ф 1 , с областью определения Ж. Зту функцию назьівают показательной функцией. Изучим некоторме свойства показательной функции. При а > 0 и любом х вмполняется неравенство ах > 0. Позтому область значений показательной функции состоит только из положительннх чисел. Можно показать, что для данного числа а, где а > 0 и а / 1 , и для любого положительного числа b сугцествует такое число х, что вмполняется равенство ах = Ь. ^ Сказанное означает, что областью значений показатель­ ной функции является множество (0 ; + с о ) . ^ Показательная функция не имеет нулей, и промежу- ток ( - с о ; + с о ) является ее промежутком знакопосто- янства. ^ Показательная функция непреривна. ^ Покажем, что при а > 1 показательная функция явля­ ется возрастающей. Для зтого воспользуемся леммой. Л емм а. Если а > 1 и х > 0, то ах > 1; если 0 < а < 1 и х > 0 , то 0 < ах < 1. 156

16. Показательная функция Например, 2 К>1, 0 < ^ j <1. Рассмотрим произвольнме числа х г и х2 такие, что х2> х І5 и функцию /(х) = ах, где а > 1. Поскольку х 2> х г, то х2 - х х > 0. Тогда согласно лемме х _х (І*2 х XX имеем: а*2~Хі > 1, то єс т ь ---->1. Так как аХі > 0, то а*2 > аХі. а*1 Отсюда / (х2) > / (*і)- Мн показали, что из неравенства х2 > х г следует нера- венство / (х2) > / (Xj). Зто означает, что функция / является возрастающей. ^ Аналогично можно показать, что при 0 < а < 1 показа­ тельная функция является убивающей. ^ Поскольку показательная функция является либо возрас­ тающей (при а > 1), либо убнвающей (при 0 < а < 1), то она не имеет точек жстремума. ^ Показательная функция является дифференцируемой. Подробнее о производной показательной функции ви узнаєте в п. 23. На рисунках 16.1 и 16.2 схематически изображен график показательной функции для случаев а > 1 иО < а < 1 соот- ветственно. В частности, на рисунках 16.3 и (і у ки функций у = 2х и у = — . 157

§ 2. Показательная и логарифмическая функции У‘ 1 _ Iх У‘ 1 У /= г \\і !/ 11 0] X 0L X Рис. 16.3 Рис. 16.4 Заметим, что при а > 1 график показательной функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0 при х ->■-оо. Анало- гично при 0 < а < 1 график показательной функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0 при х ->■+оо. Показательная функция является математической мо- делью целого ряда процессов, происходягцих в природе и в деятельности человека. Например, биологам известно, что колония бактерий в определеннмх условиях за равньїе промежутки времени увеличивает свою массу в одно и то же количество раз. Зто означает, что если, например, в момент времени t = 0 масса била равной 1, а в момент времени t = 1 масса била равной а, то в моменти времени t = 2, t = 3, t = п, ... масса будет равной соответственно а2, а3, ..., а\", ... . Позтому естественно считать, что в любой момент времени t масса бу­ дет равной а*. Можно проверить (сделайте зто самостоятель- но), что значення функции / (t) = а* увеличиваются в одно и то же количество раз за равньїе промежутки времени. Таким образом, рассмотренньїй процесе описмвают с по- мощью показательной функции / (t) = а*. Из физики известно, что при радиоактивном распаде масса радиоактивного вегцества за равньїе промежутки времени уменьшаетея в одно и то же количество раз. Если поместить деньги в банк под определенньїй процент, то каждьій год количество денег на ечете будет увеличиваться в одно и то же количество раз. Позтому показательная функция описмвает и зти про­ цесом. 158

16. Показательная функция В таблице приведенні свойства функции у = ах, где а > 0, а ф 1, изученнме в атом пункте. Область определения Ж Область значений (0; + о о ) Нули функции - Промежутки знакопо- у > 0 на Ж стоянства Возрастание / Если а > 1, убмвание то функция возрастающая; Непрерьівность Дифференцируемость если 0 < а < 1, то функция убьівающая Асимптоти Непрерьівная Дифференцируемая Если а > 1, то график функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0 при х ->■- о о ; если 0 < а < 1, то график функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0 при х ->■+зо ПРИМЕР 2 Найдите наименьшее и наибольшее значення функции / (х) = 3х на отрезке [-4; 3]. Ре ш е ни е . Так как функция / возрастает на отрезке [-4; 3], то наименьшее значение она принимает при х = -4 , а наи­ большее — при х = 3. Следовательно, min / (х) = / (-4) = 3 4 = — , 81 [-4 ; 3] шах / (х) = / (3) = З3 = 27. [-4 ; 3] Ответ: — , 27. 81 159

§ 2. Показательная и логарифмическая функции ПРИМЕР 3 Решите уравнение (-s/2-l) = sin2 x + l. Р е ш е н и е . Так как 0< у/ 2- 1 <1, а І х І > 0, то (>/2 —і) ' < ( л /2 -і) =1. В то же время sin2 х + 1 > 1. Таким образом, данное уравнение равносильно системе (л/2- l f =1, Отсюда х = 0. sin2 Х+ 1 = 1. Ответ: 0. І Упражнения 16.1.° Вичислите значение вмражения: 1) C>(>/2+l) , g2>/2. jol'S+if 36 -S. 3) > / 2) ((з W )^ ) ; 4) \\ (ЇҐІ 16.2.° Найдите значение вмражения: 1) 5' 3) s' -2S 9 (т * Ґ; 16.3.° Докажите, что: -•J& _ -Уз 427 5 2) 4 2 ‘ І~ 1 = (і6 '/2) 3) 4УШ_g427 = 6'/®. 16.4.° Сравните с числом 1 степень: 'ІS 3) 0,62S . •>'1 '; п+1 - S 4 6) «'і2 , | ї -48 16.5.° Какие из даннмх чисел больше 1, а какие меньше 1? 2)'і1) 1,8^; УГо 4) 0,3 \\ 3) 7-42. 160

16. Показательная функция 16.6.° Какая из данннх функций является показательной: 1) V = -х-0; 2) у = -у/х; 3) у = 6*; 4) у = 6? 16.7.° На оснований какого свойства показательной функции можно утверждать, что: 16.8.° Укажите, какие из данннх функций являются воз- растающими, а какие — убьівающими: 1) У = 10х; 3) у = 2 х; 5) у = 2х-3х; 2>!,=(й; ЧГ*ї\" 6) у = 12х ■[- 16.9.° Постройте график функции у = З*. В каких пределах изменяется значение функции, если х возрастает от -1 до 3 включительно? 16.10.° Постройте график функции у В каких преде­ лах изменяется значение функции, если х возрастает от -2 до 2 включительно? 16.11.° Сравните: і 1) 53,4 и 53,20; 3) 1 и | 5) ш * и т * 2) 0,3°-4 и 0,3°-3; 4) 0,17 3 И 1; / V2’7 Г-пУ2’8 6 )У - ї ■ 16.12.° Сравните с числом 1 значение внражения: uУ;2 3)У;1 5) 0,62 0>4; (4V ( 6^1 2 2 1 / 0 \\7 / Г7 6) 3,14 ° 4. «• 16.13.° Сравните с числом 1 положительное число а, если: 52 ?3)' ^а ' 3 > а 1 ,4 . 1 ) а 6 >а^; 2) aS < a S ; 4) <а 1,2 161

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 16.14. ° Сравните числа т и п, если: 1) 0 ,8 т < 0,8\"; 2) 3 ,2 т > 3,2\"; 16.15. ' Упростите вмражение: а2S -Ь^2-І2 3) ------------- їг+ і » 1) (а ^ + 2 ) ( a s - 2 } - ( а ^ + з У ; ( а ^ +Ь^) а2-її - а -її 2) а4-І7 - а З -її аШ _і а^Т+ 1 16.16.' Упростите вмражение: 4) (а2^ - і ) ( а ^ + а 2^ + а 3^)_ aAS- a S 2) ((ая+ЬЖ)2~(аж- Ь Ж)2У . 16.17.' Верно ли утверждение: 1) наибольшее значение функции у = 0,2х на промежутке [-1; 2] равно 5; 2) областью определения функции у = 4 - 7х является множество действительнмх чисел; 3) областью значений функции у = 6х + 5 является про- межуток [5; + о о ); 4) наименьшее значение функции у = на промежут- ке [-2; 2] равно 16? 16.18.' Найдите область значений функции: 1) V = - 9 х; 1 ■1; 3) у = 7' - 4; 4) у = 6і 2) У = \\ - 16.19.' Найдите наибольшее значение функции на промежутке [-2; 3]. 16.20.' На каком промежутке наибольшее значение функции у = 2х равно 16, а наименьшее — і ? 162

16. Показательная функция 16.21/ На каком промежутке наибольшее значение функции у = ^—J равно 27, а наименьшее — —? 1 6 .2 2 / Решите неравенство: 1) 2х > -1 ; 2) 2 ^ 1 16.23/ Решите неравенство 2х >0. 16.24/ Постройте график функции: 1 )0 = 2 * - 1; 4) 0 = 2 ) у = 2х 1 ; 5) V = 6) V = 16.25/ Постройте график функции: 1 )0 = 3 * + 1; 4) 0 = 2 ) у = Зх+ 1; 5) 0 = 3) „ = ( ! ) ' - * 6) V = 1 6 .2 6 / График какой из функций, изображенннх на ри- сунке 16.5, пересекает график функции у = 5х более чем в одной точке? Рис. 16.5 163

§ 2. Показательная и логарифмическая функции Рис. 16.6 16.28\" Сравните (7 + 4л/з) 5’2 и ( 7 - 4 ^ ) 5’\\ 16.29.\" Определите графически количество корней урав- нения: 1) 2х = х; 3) 2х = sin х; 2) 2х = х2; 4) 2 х = 2 - х 2. 16.30. \" Определите графически количество корней уравнения: D f ± l = х 3; 2) І—І = cos х; 3) - =4 — . v3 J x 16.31. \" Постройте график функции: 1 )0 = 2м ; 3) у = \\ 2 х - 1 І; 2) V= 2 і; 4) у = — - 1 2х 16.32. \" Постройте график функции: 1) 0 = 4 т ; 2) у = З х - 1; 3) у = І 3х - 1 |. 3і 16.33. \" Постройте график функции у = уІ2С0!ІХ- 2 . 16.34. \" Найдите наибольшее и наименьшее значення функции: / \\ sin X l ) y =[-J ; 2 ) y = 3|sinx|- 2 . 16.35. \" Найдите наибольшее и наименьшее значення функции:

16. Показательная функция 1 6 .3 6 / Решите неравенство: 1) 2tgх > 0; 2) 2а\" > 3) 2arccosх > arccos х - п. 4 1 6 .3 7 / Решите неравенство: 1) 2х > sin х - 1; 2) 2х > arcsin х - —; 3) 2ctg* > cos х - 1. 2 16.38/ Постройте график функции: 1) у = \\ 2-'*' - 1 І; 2) у = 2м - 1 2 х - 1 І’ 16.39/ Постройте график функции: 1) У = І 1 - 3м І; 1-3 * І 2) у = ОІФ- 1 • 16.40. ” Найдите область значений функции / (х) = 2(sm,c+eos,c)2 16.41. ” Найдите область значений функции / (х) = 3 sinхcos* 16.42. ” Решите уравнение: 1 ) 2cos х = х2 + 2; 2) 2 ^ = cos х. 16.43. ” Решите уравнение: 15 UJ=*2+1; 2) 2'х' = cos х. 16.44.” Решите неравенство: 1 ) 2х > sin x ; 2) 2 х > Іsin х І+ 1; 3) 2 ^ > 1 - х 16.45. ” Решите неравенство: l ) 2 x2>cosx; 2 ) 2 х2 > х 2 + 1 . 16.46. ” Исследуйте на четность функцию у =2х - 1 16.47. 2х + і ‘ ” Исследуйте на четность функцию у =2х - 3х 2х + 3Х 16.48. ” Исследуйте на четность функцию у = (2 + у/з)Х+ ( 2 - у / з У . 16.49. ” Исследуйте на четность функцию у = Ш +іУ -Ш -іУ . 165

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 16.50. ” Найдите область значений функции у =2х - 1 16.51. 2х - 4 ” Найдите область значений функции у = 3х 3х - 9 г Готовимся к изучению новой темьі 16.52. Представите числа 1; 4; 8; 16; — ; — ; \\/2; \\/4; >/32 32 64 в виде степени с основанием: 1) 2; 2) —. 2 16.53. Представите числа 1; 9; 81; — ; -у/27; л/243 в виде 27 степени с основанием: 1) 3; 2) —. З 16.54. Упростите внражение: 1) 7Х+ 1 + 7х; 5) 2х +3 + 3 • 2х+ 2 - 5 • 2х + 4; 2) 10х 2 - 10х; 6) ( - ) + 3 6 І - 6 Х+1; 3) 2х+ 1 + 2х” 4; 7) 9Х+ 1 + 32х + 1; 4) 3Х+ 1 + 3х + 3х” 4; 8) уі2 5 х- 2 - 2 - 5 х + (л /5 Г \" 4. | | Показательньїе уравнения Рассмотрим уравнения 2х = 8, 3х-3 х 1 = 4, 0,3х 4 = о ,зх2. Во всех зтих уравнениях переменная содержится только в показателе степени. Данньїе уравнения — примери пока- зательньїх уравнений. Т еор ем а 17.1. При а > 0 и а ф 1 равенство а4 = а ч вьіполняется тогда и только тогда, когда х г = х2. 166

17. Показательньїе уравнения Д о к а з а т е л ь с т в о . © Очевидно, что если х г = х 2, то а X1*, - а х92. Докажем, что из равенства а*1 = а'х2' следует равенство х х = х 2. Предположим, ЧТО Хх Ф х 2, то ЄСТЬ Хх < х 2 или х г > х2. Пусть, например, х 1 < х 2. Рассмотрим показательную функцию у = ах. Она являет- ся либо возрастающей, либо убивающей. Тогда из неравен- ства х 1 < х2 следует, что а*1 < а х2' (при а > 1) или а*1 > а*2 (при 0 < а < 1). Однако по условию вмполняется равенство а*1 = а 2. Полупили противоречие. Аналогично рассматривают случай, когда х х > х 2. А С л ед ст в и е. Если а > 0 и а ф 1, то уравнение (1) аНх) = ае(х) (2) равносильно уравнению f ( x ) = g (х). Д о к а з а т ельст во. © Пусть х г — корень уравнения (1), то єсть af(Xl)= a s(Xl). Тогда по теореме 17.1 полупаєм, что / (яй) = g (Хі). Следовательно, х г — корень уравнения (2). Пусть х2 — корень уравнения (2), то єсть / (х2) = g (х2). Отсюда аПХг)= а й(Хг). Мьі показали, что каждий корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот, каждий корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Следовательно, уравнения (1) и (2) равносильньї. А Рассмотрим примерм решения показательнмх уравнений. ПРИМЕР 1 Решите уравнение (0,125)х = 128. Р е ш е н и е . Представим каждую из частей уравнения 1з в виде степени с основанием 2. Имеем: 0,125 = —= 2 и 8 128 = 27. Запишем: (2 3)х = 27; 2 Зх = 27. Зто уравнение равносильно уравнению 7 ~3х = 7- Отсюда х = — . З Ответ: —7 . З 167

§ 2. Показательная и логарифмическая функции ПРИМЕР 2 Решите уравнение 2х\" 3•5*2 3= 0,01 •(10х 4)3. Р е ш е н и е . Воспользовавшись свойствами степени, пред­ ставим каждую из частей уравнения в виде степени с осно- ванием 10. Имеем: (2 •5)*2 3 = 10 2 •103х 3; |Q . r ^ - 3 _ | q 3.T-5 Переходим к равносильному уравнению: х2 - 3 = Зх - 5. Отсюда х2 ~ Зх + 2 = 0; х± = 1, х 2 = 2. Ответ: 1; 2. ПРИМЕР 3 Решите уравнение 21 2 х \" 1 - 40х~ 4 + 8 4х~ 4 - 163х 1 = 1280. Р е ш е н и е . Имеем: £ І 2 х —1 ^ 1 2 х —2 _|_ ^ 1 2 х —3 2 ^ 2 х —4 1280* 212* 4 (2 3 - 2 2 + 2 і - 1 ) = 1280; 2 12х 4-5 = 1280; 2 і2х- 4 _ 256; 2 12-*--4 = 28; 12х - 4 = 8 ; х = 1. Ответ: 1. ПРИМЕР 4 Решите уравнение 2* 3х42 - Зх + 1 = 5х+1 + 4 • 5х. Р е ш е н и е . Имеем: 3х (2 -3 2 - 3) = 5х (5 + 4); Зх-15 = 5х-9; Ответ: 1. ПРИМЕР 5 Решите уравнение 25х + 4 • 5х - 5 = 0. Р е ш е н и е . Так как 25х = (52)х = 52х = (5х)2, то данное урав­ нение удобно решать методом заменьї переменной. Пусть 5х = t. Тогда данное уравнение можно переписать так: t2 + 4f - 5 = 0. Отсюда t = 1 или t = —5. Если t = 1, то 5х = 1. Отсюда 5х = 5°; х = 0. Если t = —5, то 5х = -5 . Так как 5х > 0 при любом х, то уравнение 5х = -5 не имеет корней. О т в е т : 0. 168

17. Показательньїе уравнения ПРИМЕР б Решите уравнение 4 • 22х - 6 х = 18 • 32х. Р е ш е н и є . Имеем: 4 - 2 2х - 2х-3 х - 1 8 -3 2х = 0. Так как 32х ф 0 при любом х, то, разделив обе части урав­ нения на 32х, полупим уравнение, равносильное данному: 4 - - --------- 18 = 0; 4- — --------18 = 0. Пусть І—І = t. Тогда можно записать: 41 - t - 18 = 0. ~t = - 2 , Г2 ^ - 9 Имеем: u Отсюда t = ~. 4 ( 2 ^і 9 4' LU J Так как J > 0 при любом х, то первое уравнение сово- купности решений не имеет. Второе уравнение совокупности перепишем так: — = — . Отсюда х = -2 . Ответ : -2 . ПРИМЕР 7 Решите уравнение 2х + 5х = 7х. Р е ш е н и е . Очевидно, что х = 1 — корень данного уравне­ ния. Покажем, что зтот корень — единственнмй. Разделив обе части исходного уравнения на 7х, полупим: Рассмотрим функцию / (х) Так как функции У= убмвающие, то функция / также яв- ляется убмвающей, а следовательно, каждое своє значение 169

§ 2. Показательная и логарифмическая функции она принимает только один раз. Позтому уравнение / (х ) = 1 имеет единственнмй корень. Ответ: 1. ПРИМЕР 8 При каких значеннях параметра а уравнение 4х - (а + 3) 2х + 4а - 4 = 0 имеет единственнмй корень? Р е ш е н и е . Пусть 2х = t. Имеем: t2 - {а + 3) t + 4а - 4 = 0. Отсюда t-x = 4, t2 = а - 1. Следовательно, исходное уравне­ ние равносильно совокупности: \"2* = 4, 2х=а-1. Первое уравнение совокупности имеет единственнмй корень х = 2. Второе уравнение совокупности при каждом значений параметра а или имеет один корень, или вообще не имеет корней. Для внполнения условия задачи второе уравнение сово­ купности либо должно не иметь корней, либо должно иметь единственнмй корень, равннй 2 . Если а < 1, то єсть а - 1 < 0, то уравнение 2х = а - 1 корней не имеет. Число 2 является корнем второго уравнения совокупно­ сти, если 22 = а - 1. Отсюда а = 5. Ответ : а < 1 или а = 5. Упражнения 6 ) 8х = 16; 17.1.° Решите уравнение: 7) 0,16х = - ; 1) 4х = 64; W -L ; 2 3) 0 ,6 2х 3 = 1 ; 8 ) = 25; 4) 10 х = 0,001; 9) 0,25х2- 4 = 2х\"+1; 5) 25 ~х = 23х 7 . 170

17. Показательньїе уравнения 11) 2* • 5* = 0,1 • (10*-1)6; 14) 5 *2 - 2* = 0 *2- 2*; 15) 3^ 1 = 6х• 2~* • Зх+1. Вх --7 ч 7л: - З 7) 100* =0,01 у/ЇО; fU4J] -ІІV' 47JЇ -І< і - Т .216, 17.2.° Решите уравнение: 1 ) 0,4*2 * 6 = 1 ; 3) 0,7* = 2 — ; 9) 2* _1 - З* - 1 = — -б 2*+5; 49 36 4) 9 * = 27; -х-2 6 ---- х 10) 325 =4 2 ; 5) 4 ¥ = 8 Vi; 11) З*2 \" 7''2 \"; 17.3. ° Решите уравнение: 1) 3* +2 + 3х = ЗО; 12) 165 3* = 0,1255* ®. 2) 4х+ 1 + 4Х~2 = 260; 3) 2х +4 - 2х = 120; 4) 7* + 1 + 4 • 7* = 77; 5) 5х + 7-5* 2 = 160; 17.4. ° Решите уравнение: 6 ) 6 *+1 - 4-6* 1 = 192. 1) 5* +1 + 5* = 150; 2 ) 2х + 2 * 3 = 18; 3 ) 7* +2 + 4 - 7 * _ 1 = 347; 4) 4х - 3 • 4х 2 = 52. 17.5. ° Решите уравнение: 1 ) 2 2* - 6 • 2 * + 8 = 0 ; 3) 25* - 5* - 20 = 0; 2) 9* - 6 • 3* - 27 = 0; 4) 100 • 0,32* + 91 • 0,3* - 9 = 0. 17.6. ° Решите уравнение: 2) 2 • 4* - 9 • 2* + 4 = 0. 1 ) б2* - 3-6* - 18 = 0 ; 2) 4* • 3* +1 = 0 ,2 5 -123* 1; 17.7. ' Решите уравнение: 1) І -л /з 8*\"1 = 8 1 * ; 171

§ 2 . Показательная и логарифмическая функции 3) 4 . 2 eos* = >/8 ; 5) 5* _ 1 = 10* • 2~* • 5* + 1; 4) 0,25 -2х2 = ф , 2 5 - 4 2х: 6) ^9 2*+і З 17.8/ Решите уравнение: 1) = 3) 2 * 1 = 1 2 ,2 х о _ 2 х ( лх + 1 . 16* 2 ) 9 -3 sin*=V27; 4) ^ \" УІ7 17.9/ Решите уравнение: 1) 2х + 2х- 1 + 2Х~2 = 56; 2) 6 -5 * - 5* + 1 - 3-5* 1 = 10; 3) 2-7* + 7* +2 - 3 - 7 * _ 1 = 354; 4) 4х“ 2 - 3 • 22*“ 1 + 5 • 22* = 22* 5) 4 • 9 1’5*~ 1 - 27* ~ 1 = 33; 6 ) 0 ,5 5 2* + 3 - 0 , 253 * = 5; ч 1-0 ,5х 7) 2■2.Ї+1 _|_4 .Ї _ _ =47* vl6 у 8 ) 4-3* -5 - 3 *>Х -11 - 612- 3О*Х - 22 = 115£ -9f \\*X Z - 1 17.10/ Решите уравнение: 1 ) 5-гХ+ 1 5* 1 = 31; 2) 3З* + 1 - 2 -3■*>Х — 11 - 4 -3 * 2 = 17; 3) 2 * + 2 2 с+ 1 2 д-- і _ 2 л:_2 = 9; - 4) 2 - 3 >2 х + 1 - З->2х - 1 - 5 -З 2* = 36; З“х X- 1 5) б*\"2-І - І + 3 6 ^ =246; 6) 5*2*_1-6 * 2 * “2-7 * 2 * “8x=Z - 8l 17.11/ Решите уравнение: 4) 9* - 6 • 3* 1 = 3; 5) ЗX+ 1 ->2 - х = 28; 1) 22*+ 1 - 5-2* + 2 = 0; 2) 4X+ 1 і 1- X = 10 ; 3) 52*-8 _ 2 . 5* - 2 = 3; 9 21 = 2. 6) 2*- 1 2*+ 1 172

17. Показательньїе уравнения 17.12/ Решите уравнение: 1) З2*+ 1 - 10 • 3* + 3 = 0; 4) 4* +0,5 + 7 • 2* = 4; 2) 23 2* - 3 - 2 і * + 1 = 0; 5) 3 - 5 2\" 1 - 2-5\" 1 = 0,2; 3) 5х - 0,2х 1 = 4; 5 5 = 2. 6) 3 -6 3* + 6 17.13.” Решите уравнение: 1 ) 2х + 2 *~12 2А-- 2 _ gУ_ gУ- 1 2 ) 3* +2 -5* - 1 =5* +1 +3* -1; 3) 7х - 5* +2 = 2- I х- 1 - 118• 5* 1 17.14. ” Решите уравнение: 0 Д\" - 1 _ 0Д\" - 2 _ rjx __ g в у я: - 2Ф 1) 6 2) 5х - 2 • 5х~1 = 3х+ 1 - 2 • 3х“2 3) 2 ^ +^ - 1 <2^/х. 17.15. ” Решите уравнение: 5) б . 2eos2 *- 2sin) 6 ) ^.C0S^:r_|_^_cos^a: = 3; 2 х+З 1) 27* - 2 - 3 * - 2 7 = 0; 2) л/49* - 5 0 лі7х- 3 +1 = 0; 3) 27*7 1 = 3 -2 2~'/*ТЇ+1; ^_tg2 * _|_2 eos2-ic 4) з ^ + з 2- ^ = б; 17.16.” Решите уравнение: 3) 2е - З - 2 е 4 = 0. 2 2л:+З 1) 8 * - 2 * - 3 2 = 0; 2) - 4 = 0; 17.17. ” Решите уравнение: 3) 7-49\" + 3-28\" = 4-16\"; 1) 3 • 22* - 5 • 6 * + 2 • З2* = 0; 2) 22*+1 - 7 • 10* + 25* +0,5 = 0; 4) 9* + 4* = 2-6*. 17.18. ” Решите уравнение: X 1) 4-9* - 7-12* + 3-16* = 0; 2) 5-2*+ 2-5* = 7 -1 0 2. 17.19.” Решите уравнение лІ4х - 2* - 3 = у]4 • 2* - 7. 17.20. ” Решите уравнение -\\/і + 3* -9* = ^ 4 - 3 •3*. 173

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 17.21. ” Решите уравнение ( ^ / з ) ’ + ( ^ Ф / з ) ' = 4 . 17.22. ” Решите уравнение (V4 + V l5 ) + (V 4 -V l5 ) = 8 . 17.23.” Решите уравнение: 1) 4 2 + — + 14 = 9 2*+ — ; 4* І 2*J _1 О 2 ) 9*+і + — + 26 = 16(3*+ 3“*). 9* 17.24. ” При каких значеннях параметра а уравнение 9х - (а + 1) • 3* + За - 6 = 0 имеет единственннй корень? 17.25. ” При каких значеннях параметра а уравнение 25* + 5* + 1 - а 2 + а + 6 = 0 н е имеет корней? 17.26. ” При каких значеннях параметра а уравнение 4* - (а + 1) • 2х + 2а - 2 = 0 имеет два различнмх корня? 17.27. ” Решите уравнение: 3) 7° = х 2; 1 ) 2 * = 3 - х; 4) З* 1 = 34. 2) 3х + 4х = 5х; 3) 4х 6* 3 = 100; 17.28.” Решите уравнение: 1 ) 3* = 1 1 - х; 2) 8б “ * = х 4; 4) з* 2 = —' х 17.29. * При каких значеннях параметра а уравнение {у[х - а) (З2* - 4 •3* +3) = 0 имеет два различнмх корня? 17.30. * При каких значеннях параметра а уравнение { у [ х -а ) (22х - 1 0 •2 * +16) = 0 имеет два различнмх корня? 17.31. * Решите уравнение 4х - (19 - Зх) • 2х + 34 - 6х = 0. 17.32. * Решите уравнение 9* - (1 4 -х ) • 3* + 3 3 -3 х = 0. 174

18. Показательньїе неравенства Показательньїе неравенства Неравенства 0,2х < 25, 2х + 5х > 1, 7х2 > 2 Х являются при­ нтерами показательньїх неравенств. При решении многих показательньїх неравенств исполь- зуют следующую теорему. Т еор ем а 1 8 .1 . При а > 1 неравенство а 1 > а 2 вглпол- н я е т с я т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а х г > х 2; при 0 < а < 1 неравенство а 1 > а 2 вьтолняется тогда и толь­ ко тогда, когда х г < х2. Справедливость зтой теореми следует из того, что при а > 1 показательная функция у = ах является возрастающей, а при 0 < а < 1 — убивающей. С л е д с т в и е. Если а > 1, то неравенство аПх) > ag (х) равносильно неравенству f (х) > g (х); если 0 < а < 1 , то не­ равенство af (х>> ag(х>равносильно неравенству f (х) < g (х). Воспользовавшись идеей доказательства следствия из теореми 17.1, докажите зто следствие самостоятельно. Рассмотрим примерм решения показательньїх нера­ венств. ПРИМЕР 1 Решите неравенство 8 • 23х 1 < (0,5) 1. Р е ш е н и є . Имеем: 23 - 23х 1 < (2-1)-1; 23х+2 < 2і. Так как основание степеней 23х+2, 2і больше единицьі, то последнее неравенство равносильно такому: Зх + 2 < 1. Отсюда Зх < -1 ; х < - —. З Ответ : ( —оо; —— ІЗ ПРИМЕР 2 Решите неравенство Р е ш е н и е . Имеем: fAT-1f147т иі' 81Т; 147Ти 81їU9J 20 ) у625) {— ■ ) \\'у625) V49 2 0 175

§ 2. Показательная и логарифмическая функции Так как 0 < —< 1, то последнее неравенство равносильно 5 такому: х < 4х; х > 0. Ответ: [0; +оо). 2(ж- 2) ПРИМЕР 3 Решите неравенство 4*- 2 2< ї_1)+ 8 3 >52. Р е ш е н и е . Перепишем данное неравенство так: Отсюда 22х - 22 х ~ 2 + 22 х ~ 4 > 52. 2 2х-4 (24 _ 2 2 + > 52; 22х 4 . і з > 52; 22х”4 > 4; 2 2х- 4 > 2 2; 2 х - 4 > 2 ; х > 3 . Ответ: (3; +оо). ПРИМЕР 4 Решите неравенство 4 2 - 7 - 2 * - 4 < 0 . 1 Р е ш е н и е . Имеем: (22) 2 - 7 • 2 * -4 < 0 ; 2~2х+1- 7 • 2 х - 4 < 0; 2 • 2 2х - 7 • 2 х - 4 < 0. Пусть 2~х= t. Тогда 212 - I t - 4 < 0 . Решив ато неравенство, полупим — < t < 4. Отсюда 2 - —<2 х <4. 2 Так как 2 х > 0, то 2 х > _ “1 ПРИ всех х. Позтому доста- точно решить неравенство 2 х < 4. Имеем: 2 х < 22; - х < 2; х > -2 . Ответ : (-2; +оо). ПРИМЕР 5 Решите неравенство 4х - 2 - 52х +1 0 х > 0 . Р е ш е н и е . Имеем: 22х - 2 • 52х + 2х*5х > 0. Так как 52х > 0 при любом х, то, разделив обе части последнего неравенства на 5 , полупаєм равносильное неравенство -2 + >0. 176

18. Показательньїе неравенства Пусть і| —2 ІY= t. Тогда t2 + t —2 > 0. Решив ато неравен- ство, долучаєм t> 1, Отсюда: t <-2. !'- 5 <_2’ Из неравенства | —| >1 находим, что х < 0. Неравенство —J < - 2 не имеет решений. Ответ: (-оо; 0). ПРИМЕР б Решите неравенство 3х + 4х > 5х. Р е ш е н и е . Имеем: | — І >1. .5 Рассмотрим функцию /( x ) = ^ j + ^ j • Заметим, что / (2) = 1. Так как функция / — убмвающая, то при х < 2 вмполняется неравенство / (х) > / (2 ), а при х > 2 вмполня- ется неравенство / (х) < / (2). Следовательно, множеством решений неравенства / (х) > / (2 ), то єсть неравенства / (х) > 1 , является промежуток (-оо; 2 ). • Упражнения 18.1.° Равносильнн ли неравенства: 1) 72х+ 4 > 7х“ і и 2х + 4 > х - 1; 2) 0,9х2 4 < 0,9х 2 и х2 - 4 < х + 2; 3) ах > а5, где а > 1, и х > 5; 4) ах < а 3, где 0 < а < 1, и х < -З? 177

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 18.2.° Решите неравенство: “£6 ) 272х+1 >1 9 »(1 )Ч 7) 0,34х > і; 2) 5х <1; 8 ) 0 , 1 3х ] < 1000; 5 9)(sj’<216х+1. <3) 1 1 х 5 1 1 3х+1; > 5;4) О,40х+1 0,42х+ 5) 2* 1 < 8 ; 18.3.° Решите неравенство: 1 ) 6 7х - 1 > 6 ; 2 Г ( зУ (lY - >- ; 5) 49х+1 < “ 3) K2J 2) 10х < 0,001; 4 ,2х2-6 > 1 . 6 ) 0 ,2 2х~9 < і . 8і ’ 18.4. ° Сколько целнх решений имеет неравенство: 1) 0,2 < 5х+4 < 125; 2 ) — < 6 3 х < 6 ; 3) 2 < 0,5х 1 < 32? 36 18.5. ° Найдите сумму целнх решений неравенства:1 1) —< Зх+3 <9; 2 ) —< 2 2 х <16. З 8 18.6. ° Найдите область определения функции: і) /(* ) = ,/1 - | - | ; 2 ) /(де) = -27 18.7.° Найдите область определения функции: 1 ) / ( Х ) =І 4 ) ~16; 2) / (де) = V1 - 6 Х ° 18.8.' Решите неравенство: 4) sin — > у/2; ґії 6х-хл u J >1 16 (і у* ^f' і Y 5) І < » . UJ і\\—25) 3) 0,6х 9 <1; 6 ) 4 - 0 ,5 х(х +3) > 0,252х. 178

18. Показательньїе неравенства 18.9.' Решите неравенство: х -4 9 3) 0,3*х-11 > 1 ; f i t 1' I V 3* ( 71Y > 9 -0,5 \\ 2О ) < \\ч 8 ) 4) tg - 1 8 .1 0/ Решите неравенство: 1 з) 1) 7* +2 - 14-7* > 5; JГії X-1 > 26; 2) 9 • 3* 1 + 3* < 36; ї +|V5 5) 2 • 6 * + 3 • 6 *+3 < 650; 3) 2х + 2* _ 1 + 2Х~2 > 56; в) Т \" Т > Т167- 18.11. ' Решите неравенство: 3) 5* 5* ~ 1 - 5* ~ 2 > 145; 1) 3* +2 - 4-3* < 45; 4 ) С? < 1 *. ЧГ-(іЬ З 18.12. ' Решите неравенство: 4) 0,25* - 12-0,5* + 32 > 0; 1) З2* - 4 • 3* - 45 > 0; 2) 4х + 2х+ 3 - 20 < 0; 5) б2* 1 - - - 6 * - 4 < 0 ; З 3) 49* - 8-7* + 7 < 0; 18.13. ' Решите неравенство: 6 ) 25* 5* - ЗО > 0. 1 ) 9* +1 - 2-3* - 7 < 0; ь2 > 0 ; 3) U J - з - и X 4) 25* - 26-5* 25 < 0. 2) 2* + 2 2 - 7 2 > 0 ; 18.14. '' Решите неравенство: 1} Г ~1254 <0; 2* - 1 2) ---- - > 0 . х —1 18.15. '' Решите неравенство: 1) 16-4* > 0; 2 ) > ° ’° Ч ) . 9х +12х +4 5-х 18.16.'' Решите неравенство: 1 - Зх Зх )1 2-)3х + 1 -0,25 2 - 4 2 >192; 2^ ^ - і _|_ 2^х_з _22х~^ > 27~х ~\\~ 25~х _23_х 179

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 18.17. ” Решите неравенство: 1 І +з 2) 2 • 16* - 3 • 24х 1 + 7• 42х 2 < 120. 1)3*+3* >84; 18.18. ” Найдите множество решений неравенства: 1) 3х - 9 • З х - 8 > 0; 3) 6 х+2 + 6 х - 37 > 0; (3)X+1 2) 2х 2і < 17; і +1v i J <6 18.19. ” Найдите множество решений неравенства: 1) 3х+ 1 - 2 - 3 1 х > 7; 2) 4і ~х - 0 ,5 і ~2х > 1. 18.20. ” Решите неравенство 2 ^ - 2 і“^*<1. 18.21. ” Решите неравенство З ^ - З 2 ^*<8 . 18.22. ” Решите неравенство: 1) 3 • 4х + 2 • 9\" - 5 • 6 \" < 0; 2) 5 •25* +3 •10* > 2 •4*. 18.23. ” Решите неравенство: 1) 3 • 16х + 2• 81* - 5 • 36* < 0; 2) 2• 4 9 * -9 • 14* +7• 4* > 0. 18.24. ” Решите неравенство: 1) х 2 • 2х + 1 > х 2 + 2х; 2) 25 • 2х - 10х + 5х > 25. 18.25. ” Решите неравенство х 2• 3* + 9 < х2 + 3х+2. 18.26. ” Решите уравнение | 3х - 1 | + | 3х - 9 | = 8 . 18.27. ” Решите уравнение | 2х —1 | + | 2х —2 | = 1. 18.28. ” Решите неравенство: 1) 5х > 6 - х; 2) 5х + 12х < 13х. 18.29. ” Решите неравенство 104 х > 7 + х. 18.30. ” Решите неравенство (2х-2 ) \\/х 2 - х - 6 > 0. 18.31. ” Решите неравенство (3х -9 ) Vx2 - 2 х - 8 < 0. 18.32. * Для каждого значення параметра а решите нера­ венство (х - а) ^/з •2х - 2 •3х > 0. 18.33. * Для каждого значення параметра а решите нера­ венство (х —а) -\\]б •5х —5 •6 х < 0. 180

19. Логарифм и его свойства | J Логарифм и его свойства Легко решить уравнения 2х = 4 и 2х = 8 . Их корнями будут соответственно числа 2 и 3. Однако для уравнения 2х = 5 сразу указать его корень сложно. Возникает естественний вопрос: єсть ли вообгце корни у зтого уравнения? Обратимся к графической интерпретации. На рисунке 19.1 изображени графики функций у = 2х и у = 5. Они пересека- ются в некоторой точке А (х0; 5). Следовательно, уравнение 2х = 5 имеет единственний корень х0. Однако графический метод не позволяет определить точ­ неє значение х0. Рис. 19.1 Рис. 19.2 С подобной ситуацией мьі встречались, решая в 10-м классе уравнение X s = 5. Графическая интерпретация также показивает, что зто уравнение имеет единственний корень (рис. 19.2). Потребность називать и записивать зтот корень в своє время привела к новому понятих» «кубический корень» и обозначению -у/б. Корень уравнения 2х = 5 договорились називать лога­ рифмом числа 5 по основанию 2 и обозначать log2 5. Таким образом, число log2 5 — зто показатель степени, в которую надо возвести число 2, чтоби получить число 5. Можно за­ писать: 181

§ 2. Показательная и логарифмическая функции Рассмотрим уравнение ах = Ь, где а > 0, а ф 1. Так как для всех х є Ж вьіполняется неравенство а' > 0 , то при b < 0 ато уравнение не имеет решений. Если Ь > 0, то зто уравнение имеет единственнмй корень (рис. 19.3). Его назьівают логарифмом числа b по осно­ ваних» а и обозначают logab. О п р ед ел ен и е. Л огар и ф м ом положительного числа Ь по основанию а, где а > 0 и а ф 1 , назьівают показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобьі получить число Ь. Например, log3 9 — зто показатель степени, в которую надо возвести число 3, чтоби получить число 9. Имеем: logg 9 = 2, поскольку З2 = 9. Егце несколько примеров: 1 -З, так как 2 3 1 log2 8’ 8 log25 5 —, так как 252 5; 2 log1717 = 1, так как 17і = 17; log100 1 = 0 , так как 1 0 0 ° = 1 . Из определения логарифма следует, что при а > 0, а ф 1 и b > 0 вьіполняется равенство а loga ь Ь Его назьівают основним логарифмическим тождеством. Например, 7log7 3 =3, o,3log°-35 =5. Также из определения логарифма следует, что при а > 0 и а ф1 log0 1 = 0 log0 а = 1 Рассмотрим равенство ас = Ь. Вьі знаєте, что действие нахождения числа b по данньїм числам а и с назьівают возведением числа а в степень с. 182

19. Логарифм и его свойства Действие нахождения числа с по даннмм числам а и Ь, где а > 0 , а ^ 1 и 6 > 0 , назмвают логарифмированием чис­ ла Ь по основанию а. Действительно, с = logab. Отметим, что при а > 0 левая часть равенства ас = b по- ложительна. Следовательно, b > 0. Позтому при b < 0 внражение log0 b не имеет смнсла. Логарифм по основанию 10 назмвают десятичньїм лога­ рифмом. Вместо log10 b пишут lg b. Используя зто обозначение и основное логарифмическое тождество, для каждого b > 0 можно записать: 1 0 lgb = b. Рассмотрим основнме свойства логарифмов. Т еорем а 19.1 (логариф м п р ои зв еден и я ). Если дг >0, у > 0 , а > 0 и а ф 1, то вьіполняется равенство log0 ху = log„ X + log„ у Коротко формулируют: логарифм произведения равен сумме логарифмов. Д о к а з а т ельст во. ©Рассмотрим два вмражения: al0Sa'xy и al0SaX+l0Say. Докажем, что они равнм. Используя основное логарифмическое тождество, запи­ шем: а І0Є“ху= х у , alog“*+log“у = alog“* •alog“у = ху, Следовательно, аІ0ЄаХу = аІ0ЄаХ+І0ЄаУ. Отсюда по теореме 17.1 полупаєм, что log„ ху = log„ х + log„ у. А Т ео р ем а 1 9 .2 (л о га р и ф м ч а ст н о го ). Если х > 0, у > 0 , й > 0 в а ^ 1 , то вьіполняется равенство \\oga - = \\oga x - \\ o g a y У Коротко формулируют: логарифм частного равен разно- сти логарифмов. Воспользовавшись идеей доказательства теоремм 19.1, докажите зту теорему самостоятельно. 183

§ 2. Показательная и логарифмическая функции Т ео р ем а 1 9 .3 . Если х > 0, а > 0 и а ф 1, то для любого Р є Жвьіполняется равенство log„ хр = р log„ х Д о к а з а т е л ь с т в о . 0 Рассмотрим два вираження: аlogo и аf гPl‘o“gвo“'*с. Докажем, что они равньї. Имеем: alog“ = х р а Р logo * = (a Iog“*) = х' Следовательно, аl° g o * P = a P l ° g o 5C Отсюда по теореме 17.1 долучаєм: log0x p = piog0 x. А Т еорем а 19.4 (п ер еход от одного основания л о г а р и ф м а к д р у г о м у ). Если а > 0, а ф 1, Ь > 0, с > 0, с ф 1 , то вьіполняется равенство loga Ь = logc Ь logcа Д о к а з а т ельст в о .© Рассмотрим виражение log0 b • logcа. Преобразуем его, воспользовавшись теоремой 19.3 при Р = log0 b. Имеем: logo ь •l° g e а = l° g e al0S“Ь = l° g e b - Следовательно, log0 b*logc a = logc b. Так как а ф 1, to легко показать, что logc а Ф0. Теперь можно записать: 1і оg a bь = -І0^§е ь. АА l0ge а С л ед ст в и е 1. Если а > 0, а ф 1, Ь > 0, Ь ф 1, то вьіпол­ няется равенство 1 log» Ь = logь а Докажите зто следствие самостоятельно. С л ед ст в и е 2. Если а > 0, а ф 1, b > 0, то для любого Р ф 0 вьіполняется равенство І0 8 , (Ь = р І0 8 . 1> 184

19. Логарифм и его свойства Д о к а з а т е л ь с т в о . © В виражений l o g pfc перейдем к основанию а: log вЬ= logtf b loga Ь loga Ь. А loga а р р loga а р ПРИМЕР 1 Решите уравнение: 1) 3х = 7; 2) 0,42х 5 = 9. Р е ш е н и е . 1) Из определения логарифма следует, что х = log37. 2) Имеем: 2х - 5 = log0>4 9; 2х = log0>4 9 + 5; х =lo-g0,4 9 + 5 log„ . 9 + 5 Ответ: 1) log3 7; 2) -----!------- . ПРИМЕР 2 Вичислите значение вираження: 1 ) 102 +21g7; 2) 9log34~0,5. Р е ш е н и е . 1) Применяя свойства степени и основное ло- гарифмическое тождество, получаем: 1 0 2 + 2 lg 7 = 1 0 2 . 1 0 2 lg 7 = 1 0 0 . ( 1 0 lg 7 ) 2 = 1 ()() . rj2 = 4 9 9 9 2) Имеем: 164 2) 0 , 5 _ ^ g l o g 3 4 ) 2 . g _ 9lo g g 4 - 0 , 5 _ )lo g 3 4 - 0 ,5 _ )lo g 3 4 . .g _ ПРИМЕР 3 При каком значений х вмполняется равенство: 1) log4 х = -5; 2) logx 16 = 4? 2 Р е ш е н и е . 1) Вмражение log4 х определено при х > 0. Из определения логарифма следует, что J = х, то єсть х = 32. 2) Вмражение logx 16 определено при х > 0 и х Ф1. Соглас- но определению логарифма имеем: х4 = 16. Отсюда х = 2. • ПРИМЕР 4 Вмчислите значение вмражения: 1) log2 20 + log2 12 - log2 15; 2) ^ lo g 36 9 + ^ lo g 36 8 . UO Р е ш е н и е . 1) Используя теоремм о логарифме произведе- ния и логарифме частного, получаем: log2 20 + log2 1 2 -lo g 2 15 = log2 (2 0 -1 2 )-lo g 2 15 = =,log2 -2--0----1-2-= log2 1.6. = 4.. 15 185

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 2) Имеем: \\ І0^зб 9 + “ 1°£зб 8 = ~ log8e З2 + і log36 23 = = ^ -21og36 3 + ^ -31og36 2 = lo g 36 3 + log36 2 = log36 6 = ^. • ПРИМЕР 5 Постройте график функции /( x ) = 5logB<3C 3). УіL Р еш ен и е. Данная функция определена на множестве D ( / ) = (3; + о о ). Так как 1 / 5 0 = х - 3 для всех значений х Є D (/), / то приходим к виводу, что графиком функ­ 0] ции / является часть прямой у = х - З / (рис. 19.4). • зX Рис. 19.4 ПРИМЕР б Известно, что lg 2 = a, log2 7 = 6 . Найдите lg 56. Р е ш е н и е . Имеем: lg 56 = lg (8 •7) = lg 8 + lg 7 = lg 23 + b g 2 7 = lo g 2 10 = 31g 2 + log2 7*lg 2 = 3a + 6a. • ГУпражнения 19.1.° Верно ли равенство: D І0 г . 4^9 = - 3; 5) logo.oi Ю = 2; 3) 1°§>25 5 = 2; 6 ) lg 0,0001 = -4; 7) logj 3 >/3 = —; 3) log5 125 = ^; 9З О 4) log 3 ^ = -4; 8 ) log^ 0,2 = - 2 ? 19.2.° Найдите логарифм по основанию 2 числа: 1 )1; 2 )2 ; 3 )3 2 ; 4 )^ 2 ; 5 )0 ,5 ; 6 ) - ; 7 ) 4 = ; 8 ) 2лІ2. 8 V2 186

19. Логарифм и его свойства 19.3. ° Найдите логарифм по основанию 3 числа: 1 )3 ; 2 ) - ; 3 )1 ; 4 )8 1 ; 5 ) - ; 6 ) — ; 7) 73; 8 ) 3>/3. З 0 243 19.4. ° Найдите логарифм по основанию — числа: 2 1) 1; 2) 2; 3) 8 ; 4) 0,25; 5) — ; 6 ) 4 = ; 7) >І2; 8 ) 64. 16 V2 19.5. ° Найдите логарифм по основанию — числа: З 1) 2)±; 3 )3 ; 4)81; 5) ^=; 6 ) */3. 19.6. ° Найдите десятичнмй логарифм числа: 1) 1; 3) 100; 5) 0,1; 7) 0,00001; 2) 10; 4) 1000; 6 ) 0,01; 8 ) 0,000001. 19.7. ° Чему равен логарифм числа 10 000 по основанию: 1)10; 2)100; 3) у/Ї0; 4 )0 ,1 ; 5) 1000; 6)0 ,0 0 0 1 ? 19.8. ° Найдите логарифм числа 729 по основанию: 1) 27; 2) 9; 3) 3; 27 5) Ч9 7) logx 2 = 2; 19.9. ° Решите уравнение: 1) log7 X = -1; 4) log2 х = 0; 2) log4 х = 4 5) logx 9 = 2; 8) log, 5 = і . 6 ) logx 0,25 = -2 ; Li 5) logx 81 = 4; 6 ) logx 11 = -1 . 3) logs x = 6 ; 19.10. ° Решите уравнение: 1) logg x = 2; 3) log0>:2 x = -3 ; з 4) logx 6 = 5; 2 ) logf x = - ; 19.11. ° Решите уравнение: 1) 6 х = 2; 3) 0,4х = 9; 2) 5х = 10; 4 ) 2 Х 3 = 5; 6 ) 0,3ЗХ+2 = 7. 19.12. ° Решите уравнение: 1) 3х = 2; 2) 10х = —; 3 ) 7 Х+5 9; 4) 0 ,6 5х 2 = 20. 187

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 19.13.° Вичислите: г л y°g36 f Ylo g Q °C|ODC 1 ) 2 log2 32* 3) 2• б) - ; 2 °8 7) ^ 2) 5lo g g 0 , 4 5 . 4) 640,51og212; 6 ) 6б1 +log®5*; lo g j 34 8) 6 « . 19.14.° Вичислите: lo g . 3) 4 l ° g 2 9 _ 5) 10,2+ lg 8. ) З1 3 2 7 . ( n - 2 lo g g 1 2 6- 2 2 !o g 5 4 9 ^ ; 2) 5 \\2 ) 19.15.° Найдите значение виражений: 1) logg 3 + loge 2; 4) log2 5 - log2 35 + log2 56; 2) logg 100 - logg 4; log5 64 5) lO gg 4 3) log49 84 log49 12; 6 ) 2 lg 5 + - lg 16. 2 19.16.° Вичислите значение вираження: 1 ) lg8 + lgl2,5; log7 125 3) log7 5 2) log3 162 - log3 2; 4) 31og6 2 + - l o g 6 81. 19.17.' Представите: 4 1) число 2 в виде степени числа 5; 2 ) число — в виде степени числа 1 0 ; 3) число -у/Ї4 в виде степени числа 7; 4) число 0,17 в виде степени числа 18. 19.18. ' Представите: 1 ) число 3 в виде степени числа 8 ; 2 ) число в виде степени числа —. 2 19.19. ' Представите: 1 ) число 6 в виде логарифма по основанию 2 ; 2) число - 1 в виде логарифма по основанию 0,4; 188

19. Логарифм и его свойства 3) число — в виде логарифма по основанию 9; 2 2 4) число — в виде логарифма по основанию 10. 1 9 .2 0 / Представите: 1) число 4 в виде логарифма по основанию —; З 2 ) число - 2 в виде логарифма по основанию V2 . 19.21/ Вичислите: 5) 92 logg 2 + 4 logs l 2 ^ 1 231og2 5 + 4 ^ ) 2) 81 - log2 3 _ r lg 8 - 2 lg 2 lOgg 2 - 3 6 ) 2 • 1 0 0 12 7) lg (2 5l0Ss0,8 + 9log3 0,6); 3) Іт 4 ) 72l0g78+l0gj74. 8 ) 27Iog53 + 25Iog25 - 3 6 Iog96. 19.22/ Вичислите: 5) 12log144 4 + log12 5 . 1 ) 2 41°g2 3_1; —lg 25 - 3 lg 2 log25 9 + 2 6) 10002 ; 2) І т і , l - i l o g 2 12 7) log1 3 \\1 0 0 Iog7l° ,lo g 2 1 5 + 3 I 3) 8 ' 3 2 , g ) g log5 4 ' log2 3^ |lo g 6 9 -lo g j 3 4) 6 « ; 19.23/ Вичислите: 1) log2 log5 y/5; 4) log2 sin 135°; 7) log. s in - ; 2) log2 log49 343; 5) log3 tg - ; 8 ) logj tg ( - 1 2 0 °). 33 3) logg log2 8 ; 6 ) log4 cos 315°; 19.24/ Вичислите: 1 ) log3 log4 -J -; 2) logj log4 64; 5 189

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 3) loge tg 225°; 4 ) l o gV,3- t g -g. 1 9 .2 5 / Найдите x, если: 1 ) log7 x = 2 log7 8 - 4 log7 2 ; 2) lg x = 2 + lg 3 - lg 5; 3) log3 x = - l o g 3 216 + - l o g 3 25; 32 4) lg x = - lg 3 2 - - lg 128 + 1; 33 5) log2 x = 3 log2 5 - 2 log2 25 - lg 10. 1 9 .2 6 / Найдите x, если: 1) log„ x = 3 log„ 2 + 2 log„ 3; 2) loga x = —loga 16 + 3 loga 0,5; 4 3) lg x = —lg 32 - —lg 64 +1. 53 1 9 .2 7 / Вьічислите значение вьіражения: log7 2 7 -2 log7 3 log9 125 + 3 log9 2 і) log7 45 +log7 0,2 2) log9 l,2 -lo g 9 12 19.28/ Найдите значение вираження: 3 lg 4 + lg 0,5 lg 62 5 -8 lg 2 1 ) lg 9 -lg 18 2) lg 256-2 lg 5 1 9 .2 9 / Вьічислите значение вираження: 1) log» sin —-log 49; 2) log, cos2 —•log <|©a 5 sin| 9 eos 19.30/ Упростите внражение: !) log^ a ■loga fc3; 2) log^ 5 •log5 8 . 1 9 .3 1 /' Вьічислите значение вираження 4 1,----------- + —logp-4 _______ б'0^ 5 2 +361og2 ^ 2 W . 1 9 .3 2 /' Вьічислите значение вираження ві logg 27 6 log^ 6+3 1 2 log7 ^ rW . 190

19. Логарифм и его свойства 19.33.” Упростите вмражение l-l°g 0 ь (logo b +l° s b а +1 ) loga °Ь- loga ab (log6 a - l +loga b) 19.34. ” Упростите вмражение 1 + log“ 6 19.35. ” Докажите, что значение вираження log7+4^ ( 7 - 4 л/3) является целнм числом. 19.36. ” Докажите, что значение вираження log9_4^ (9 + 4 Vs) является целнм числом. 19.37. ” При каких значеннях х верно равенство: 1) log2 (1 - х2) = log2 (1 - х) + log2 (1 + х); _9v -l1 2) l g ---- --------= lg (x 2- 2 x + l ) - l g (x2+1); x +1 3) log5 (У - 4x + 4) = 2 log5 (2 - x); 4) logg (x2 - 4x + 4) = 2 logg I x - 2 | ? 19.38. ” Чему равно значение вираження: 1) lg sin 1° • lg sin 2° • lg sin 3° •... • lg sin 89° • lg sin 90°; 2) lg tg 10° • lg tg 15° • lg tg 20° •... • lg tg 75° • lg tg 80°; 3) lg (tg 30° • tg 32° • tg 34° •... • tg 58° • tg 60°); 4) lg tg 1° + lg tg 2° + lg tg 3° + ... + lg tg 88° + lg tg 89°? 19.39. ” Упростите вмражение log3 2 • log43 • log54 •... • log10 9. 19.40. ” Вичислите значение вмражения log4 5 • logs 6 • logg 7 • log7 32. 19.41.” Постройте график функции: 1) у = lg tg x + lg ctg x; 6) у = 2Іов2*2; 2) y = logxl ; log4 х 7) у - log42 X; 3) y = 3IOg3(*+3); 8) у = log4 log ( 3 - х ) 4; 4) у = 5 5 ; 2 1 9) y = 2Iog4*2. 5кч) у = 11Г0»І0§*г10; 191

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 19.42.” Постройте график функции: 1) у = 7Iog^ +2); lg(x2+l). —1lo g j (ж ) ) y _ lg(x2+l)’ 2) у - - -> ; 6) у = x los*Г ; зЧй ;( -і V°g2*2 7) у = log3 log* + 1 (x + l ) 27; 4) У = log* х; 8) y = logj (x-2)-log* 2\\ . 3o 19.43.” Изобразите на координатной плоскости множество точек, координатні котормх удовлетворяют равенству: 1) lg ху = lg х + lg у ; 3)1g x 2 + lg y2 = 21g|x| + 21g|y|; 2) lg ху = lg (-х) + lg (~у); 4) l o g y 2 = log* (-y). 19.44.” Изобразите на координатной плоскости множество точек, координати котормх удовлетворяют равенству: ОС 3) log 2 у 2 = lo g r у. 1) l g - = l g ( - x ) - l g ( - y ) ; У 2) lg х 2 + lg i f = 2 lg x + 2 lg ( - у ) ; 19.45. ” Члени геометрической прогрессии являются по- ложительннми числами. Докажите, что логарифми последовательннх членов зтой прогрессии по любому основанию образуют арифметическую прогрессию. 19.46. ” Виразите logo6 х через log„ х и log6 х. 19.47.” Докажите, что log х = l + loga b. ---- -— 19.48. ” Найдите logo6b, если logo6a = 4. 19.49. ” Найдите log4560, если log52 = a, log53 = Ь. 19.50. * Найдите: 1) log8 9, если log12 18 = а; 2) log5 6, если lg 2 = a, lg 3 = Ь. 19.51. * Найдите log308, если lg 5 = a, lg 3 = Ь. 192

20. Логарифмическая функция и ее свойства Логарифмическая функция и ее свойства Виберем положительное число а, отличное от 1. Каждому положительному числу х можно поставить в соответствие число у такое, что у = log0 х. Тем самим задана функция / (х) = log0х с областью определения D (/) = (0; +оо). Зту функцию називают логарифмической. Покажем, что логарифмическая функция / (х) = log0 х является обратной к показательной функции g (х) = ах. Для любого у 0 є Ж уравнение log0 х = у 0 имеет корень (он равен а у° ). ^ Зто означает, что областью значений логарифмической функции является множество М. Имеем: D (/) = Е (g) = (0; +оо); E ( f ) = D (g) = Ж. Для любого х є D (/) = (0; +оо) вмполняется равенство a°Sa'x = х. Иннми словами, g (/ (х)) = х для всех х є D (/). Сказанное означает, что / и g — взаимно обратние функ­ ции. Так как графики взаимно обратних функций симме- трични относительно прямой у = х, то, пользуясь графиком показательной функции у = ах, можно построить график логарифмической функции у = log0x (рис. 20.1). 193

§ 2. Показательная и логарифмическая функции ^ Функция у = log„x имеет единственний нуль х = 1. ^ Функция у = log„ х имеет два промежутка знакопосто- янства. Если а > 1, то у < 0 на (0; 1); у > 0 на (1; +оо); вели 0 < а < 1, то у < 0 на (1; +оо); у > 0 на (0; 1). Если функция возрастающая (убьівающая), то обратная к ней функция являетея также возрастающей (убнвающей). Показательная функция у = ах являетея возрастающей при а > ї й убмвающей при 0 < а < 1. Ж Позтому функция у = log„ х являетея возрастающей при а > 1 и убмвающей при 0 < а < 1. ^ Так как логарифмическая функция являетея либо воз­ растающей (при а > 1), либо убмвающей (при 0 < а < 1), то она не имеет точек жстремума. Вн знаєте, что если определенная на некотором промежут- ке функция являетея обратимой и непрернвной, то обратная к ней функция также непрернвна. Показательная функция у = ах непрернвна. 'Ь Позтому функция у = log„ х являетея непреривной. 'Ь Логарифмическая функция дифференцируема. Подробнее о производной логарифмической функции вн узнаєте в п. 23. ^ График функции у = log„ х имеет вертикальную асимп­ тоту х = 0, когда х стремится к нулю справа. В таблице приведенн свойства функции у = \\ogax, изучен- нне в зтом пункте. Область (0; +оо) определения Область значений Ж Нули функции х =1 Промежутки Если а > 1, то у < 0 на (0; 1), знакопостоянства у > 0 на (1; +оо); если 0 < а < 1, то у < 0 на (1; +оо), у > 0 на (0; 1) Возрастание / Если а > 1, то функция возрастающая; убнвание если 0 < а < 1, то функция убьівающая 194

20. Логарифмическая функция и ее свойства Непреривность Непреривная Дифференцируемость Дифференцируемая Асимптоти Прямая х = 0 — вертикальная асимптота, когда х стремится к нулю справа ПРИМ ЕР 1 Сравните с единицей основание а логарифма, если известно, что log05 < log04. Р е ш е н и е . Если предположить, что а > 1, то функция у = log0 х является возрастающей. Позтому log0 5 > log0 4. Но по условию зто не так. Значит, а < 1. • ПРИМЕР 2 Найдите область определения функции: 1) / (х) = log0>3 (х2 + Зх); 3) / (х) = logx_4 (16 - х). 2) f ( x) = lg (9 - х 2) lg (х + 2) Р е ш е н и е . 1) Так как область определения логарифми- ческой функции — множество положительних чисел, то областью определения данной функции является множество решений неравенства х 2 + Зх > 0. Имеем: х(х + 3) > 0; х < - 3 или х > 0. Следовательно, D (/) = ( coj 3) LJ (0; +оо). 2) Вмражение lg (9 - х2) имеет сммсл при 9 - х2 > 0, вн- ражение lg ( х + 2 ) — при х + 2 > 0. Кроме того, знаменатель дроби не может бьггь равньїм нулю, позтому lg (х + 2) ф 0. Таким образом, область определения D (/) данной функции — зто множество решений системи неравенств: 9 -х 2>0, <х + 2 > 0, х +2 +1. Рис. 20.2 х 2 <9, З < х < З, Имеем: \\ х > -2, ^ х > -2 , Обратившись к рисунку 20.2, х Ф-1; х Ф -1. приходим к виводу, что последняя система равносильна со- вокупности 195

§ 2. Показательная и логарифмическая функции -2 < х < -1 , -1 <х <3. Следовательно, D (/) = (-2; -1 ) U (-1; 3). 3) Область определения данной функции найдем, решив систему неравенств: 1 6 - х > 0, <х - 4 > 0, х - 4 Ф1. х<16, г 4 < х < 5, Тогда \\ х > 4, 5<х<16. х Ф5; Отсюда Z> (/) = (4; 5) U (5; 16). ПРИМЕР 3 Сравните: 5) log^ 38 и -2 . 1) log2 6 и log2 7; 3) loge 7 и log7 6; 6 2) log0>26 и log0>2 7; 4) logy 4 и 0; 4 Решение 1) Так как логарифмическая функция у = log2 х — воз- растающая, то log26 < log2 7. 2) Так как логарифмическая функция у = log02x — уби- ваюгцая, то log0,26 > log0>27. 3) Имеем: log0 7 > log06, то єсть log0 7 > 1. Вместе с тем log7 7 > log7 6, то єсть 1 > log7 6. Следовательно, log0 7 > > 1 > log76. 4) Учитмвая, что 0< —71<1, имеем: 4 < logjj 1. Следо- 4 44 вательно, lo g I[4 < 0 . 4 5) Имеем: -2 = log. {—1 =log. 36. 6 V6 ) б Так как logj 3 8 < lo g 1 36, то logj 38 < -2 . • її її її 196

20. Логарифмическая функция и ее свойства І Упражнения 20.1.° Возрастающей или убнвающей является функция: 1) У= logj х; 4) у = lg х; 7) у = log^ _1 х; 2) у = log3 х; 5) у = logs х; 8) у = lo g , х? 3) у = logo.i х; 6) y = lo g %х; 20.2.° На оснований какого свойства логарифмической функ- ции можно утверждать, что: 1) lg 7 > lg 5; 2) logo,e с= 0 ,6 20.3.° Сравните: 1) log12 5 и log12 6; 4) lOgi 5 9 7- ' 96 2) log5 ^ и log5 5) log, i 3) logj 2 и logj 4; 2 33 6) log2lt 20.4.° Сравните: 5 1) log09>/3 и log09 V2; 3) log2 1 3 2) log7 1 и log7 p 4) 1 71 71 lg 5 4' 20.5.° Сравните с единицей основание логарифма, если: 1) log„ 0,5 > log„ 0,4; 3) loga < loga л/б; 2) loga - > loga 1; 4) loga % lo g a ^. 20.6.° Сравните c единицей основание логарифма, если: 1) loga | > l o g a ^; 2) loga 2 < loga V3. 20.7. °Положительньїм или отрицательнмм числом является: 1) logo s 0,6; 2) log0з 3; 3) log2 0,27; 4) log, З? 20.8. ° Сравните с нулем: 1 ) log4 5; 2) iog2-; 3) log4 4) lo g , 2. З^ З 197

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 20.9.° Найдите наибольшее и наименьшее значення функции на данном отрезке: 1) V = log2 х, 3) у = log2 х, 14 81 b8 9 16 2) у = logj х, — ;8 іб 20.10.° Найдите наибольшее и наименьшее значення функ­ ции на данном отрезке: 1) у = logj х, 2 ) y = lg х, [1; 1000]. Р3 20.11.° На каком промежутке наибольшее значение функции у = log2x равно 3, а наименьшее равно -1 ? 20.12.° На каком промежутке наибольшее значение функции y = log1 х равно -1 , а наименьшее равно -2? 20.13.° Найдите область определения функции: 1) / (х) = log3 (х + 1); 5) f (х) = log5 (х2 х і ) ; 2) / (х) = logi (х2+1); 6) / (х) = log0>e (5х - 6 - х 2); 7) / (х) = 2 lg х + 3 lg (2 - х); 2 3) / (х) = log4 (-х); 4) / (х) = lg х2; 8) / (х) = log2 2х 3 х +7 20.14.° Найдите область определения функции: 1) / (х) = log7 (6 - х); 2) / (х) = log12 Іх І; 3) / (х) = lg (х2 - 1); 4) / (х) = log0>4 (7х - х 2); 5) / (х) = lg (х + 2) - 2 lg (х + 5); 6) f ( x ) ~ I g 2^-^-. х —1 20.15.° Постройте на одной координатной плоскости графи­ ни функций у = log2 х и у = log2 —. Каково взаимное X расположение построенннх графиков? 198

20. Логарифмическая функция и ее свойства 20.16. ° Постройте на одной координатной плоскости графи­ ни функций у = log3x и y = log1 х. Каково взаимное рас- з положение построенннх графиков? 20.17. ' Сравните: 3) lo g ^ 2 6 и 6; 1) log9 2 и 3; 2) log4 27 и -2 ; 4) log16 0,1 и 5 4 20.18. ' Сравните: 1) log0>1 12 и 1; 2) log4 3 и 3) - и log126 ЗО. 2З 20.19. ' Между какими двумя последовательнмми целмми числами находится на координатной прямой число: 1) log3 10; 2) log2 5; 3) log4 7; 4) log0>1 2? з 20.20. ' Между какими двумя последовательнмми целмми числами находится на координатной прямой число: 1 ) log2 29; 2) log4 9? 2 20.21.' Сравните: 1) log4 5 и log5 4; 3) l°So,7 0*3 и log0>8 0,7; 2) log1>5 1,3 и log1>3 1,5; 4) log0>2 0,1 и log0>1 0,2. 20.22.* Сравните: 1) log1>7 1,8 и log1>8 1,7; 2 ) log02 0,3 и log0>3 0,2. 20.23.' Найдите область определения функции: 1) / (X) = ; 3) / (х) = log2 cos х; lgx 2) f (х ) = 1log5 (“1 0----х-)- ; 4) f = І0£з ^ х - 20.24/ Найдите область определения функции: 5 і) У= — --- гг; 2) г/ = lg sin х. lg (х + 3) 20.25.' Постройте график функции: 1) У = log2 (х - 1); 3) у = log2 х - 1; 5) у = -lo g 2 х; 2) у = log2 (х + 3); 4) у = log2 х + 3; 6) у = log2 (-х). 199

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 20.26/ Постройте график функции: 5 )y = -logjX; 1) y = logj ( х - 2 ) ; 3) y = l o g i X - 2 ; З 33 6) у = logj (-х). 2) у = logj (х + 1); 4) у = log1 х + 1; 3 33 3) log2х = - х - 0,5. 20 .2 7 / Решите графически уравнение: 1) log2 х = 3 - х; 2 ) l o g 1 x = x - l ; з 20 .2 8 / Решите графически уравнение: 1) logj х = х + —; 2) log3x = 4 - х. „2 2 0 .2 9 / Определите графически количество корней уравне- ния: 1) log2 х = -х ; 2) log3 х = - х 2; 3) logj x = Vx. 2 2 0 .3 0 / Сколько корней имеет уравнение: І) І- І = log2 х; 2) log2 х = —? 20.31. ” Сравните log23 + log32 и 2. 20.32. ” Докажите, что logj 4 + log4 —< -2 . зЗ 20.33. ” Найдите область определения функции: 1) v = lg -х-2; 2) у = lg (1 - sin х); 3) у = /log4 (1 + х 2); 4) у = лу/lg cos х; 5) У= log6 (х-3) V6 - х ; 4 lg (3-х); 6) У = lg (х + 2) (х + 1 )( 3 -х )< 7) У= . I lg(x2+l) 8) у = log5 (х2- 4 х + 3) log5 (7-х) 200

20. Логарифмическая функция и ее свойства 9) y = lg ( 6 x - x 2) lg ( 3 - х ) 10) у = log^ +з (х2 + х). 20.34.” Найдите область определения функции: ^ У lg(x2+ l)’ 6) у = lg ( 1 0 х - х 2) - 2) у = lg (1 + sin х); lg (8-х) 7) у= X lg ( 4 - х 2) 3) у = Jig (1 + х 2); 8) y = l g ( 9 x - x 2) - — | lg (5 —X ) 4) у = <Jlg sin x ; 9) у = log2 (8 + 7x - x 2); 5) y = lg (x + 8 )-- lg (-x -l) ( x + 5) ( 2 - х ) 10) y = . ]l lg (x +1) 20.35.” Постройте график функции: 1) y = logj X l o g 0;2 X І 3) y = ■ log02 X 2) y = logt | x |; 4) у = yjlog't x log* 3. 20.36.” Постройте график функции: 3) у = log2 х 1) У = I log3 x І; 2) у = log3 Іх І; y[log[x 20.37. ” Найдите наибольшее значение функции: 1) У = logo.i (х2 + 100); 2) у = logj (х2- 6 х + 14). 5 20.38. ” Найдите наименьшее значение функции: 1) y = log1 — ; 2) y = log1 - i—1------ 2 ха +8 ' х -4х +7 20.39. ” Исследуйте на четность функцию у = lg (-у/х2+1 - х ) . 20.40. ” Исследуйте на четность функцию у = lg (Vx2+1 +х). 201

§ 2. Показательная и логарифмическая функции I J Логарифмические уравнения Уравнение вида log0x = b, где а > 0, а Ф1, називают про- стейшим логарифмическим уравнением. Поскольку графики функций у = log0х и у = Ь пересекают- ся в одной точке (рис. 21.1), то простейшее логарифмическое уравнение имеет единственньїй корень при любом Ь. Зтот корень можно найти, используя определение логарифма. Имеем: х = аь. ПРИМЕР 1 Решите уравнение log3 (Зх - 1) = 2. Р е ше н и е . По определению логарифма можно записать Зх - 1 = З2. Отсюда Зх - 1 = 9; х = Ответ: — . З Решенное уравнение — частний случай уравнения вида 1°§?<г / (х ) = Ь, где а > 0, а Ф 1. Рассуждая, как в примере 1, можно показать, что зто уравнение равносильно уравнению / (х) = аь. При решении многих логарифмических уравнений при- меняют следуюгцую теорему. Те о р е м а 2 1 .1 . 11усть а ^ 0, а ф 1. Если log„x1 = log„x2, то х г = х2, u наоборот, если х г > 0, х2 > 0 и х г = х2, то log0 = log„ Х2. 202

21. Логарифмические уравнения Поскольку логарифмическая функция является возрас- тающей или убьівающей, то для доказательства зтой теореми можно воспользоваться идеей доказательства теореми 17.1. Убедитесь в зтом самостоятельно. С л е д с т в и е . Пусть а > 0, а ф 1. Уравнение вида logo / 0*0 = l°go g (*0 равносильно любой из систем \\f(x) = g(x), (х) >0 или jf(x) = g(x), \\g(x)>0. Вмбор соответствующей системи, как правило, связан с тем, какое из неравенств, / (х) > 0 или g (х ) > 0, решить легче. Воспользовавшись идеей доказательства следствия из теореми 17.1, докажите следствие из теореми 21.1 само­ стоятельно. Теперь решение уравнения примера 1 можно оформить и так: log3 (Зх - 1) = 2 log3 3; logg (Зх - 1) = logg З2; Зх - 1 = З2; х = — . З ПРИМЕР 2 Решите уравнение lg (х2 - 4х + 2) = lg (2х - 3). Р е ше н и е . Данное уравнение равносильно системе |х 2-4 х +2 = 2х-3, [2 х -3 > 0. х 2- 6 х + 5 = 0, х = 1, Имеем: < _х = 5, х > —З . Отсюда х = 5. Ответ: 5. 2 203

§ 2. Показательная и логарифмическая функции ПРИМЕР 3 Решите уравнение logg (2х - 1) + logg (х - 2) = 3. Р е ше н и е . Естественно преобразовать ато уравнение так: logg ((2х - 1) (х - 2)) = 3. Отсюда (2х - 1) (х - 2) = З3; 2х2 - 5х - 25 = 0; х = 5к или х = —5 . 2 5 Легко убедиться, что число — не является корнем дан- 2 ного уравнения (не входит в его область определения), а чис­ ло 5 является корнем данного уравнения. Таким образом, данное уравнение решено методом следствий. Ответ: 5. Обратим внимание, что сделанний во время решения примера 3 переход от уравнения log3(2х —1) + log3(х - 2) = З к уравнению log3 ((2х - 1)(х - 2)) = 3 не бьіл равносильньїм и привел к появленню постороннего корня. Действительно, область определения исходного уравнения задается системои неравенств 2х - 1 > 0, множеством решении [х -2 > 0 , которой является промежуток (2; +оо). Заменив вьіражение log3 (2х - 1) + log3 (х - 2) на виражение log3 ((2х - 1)(х - 2)), мьі расширили область определения исходного уравнения, так как область определения уравнения log3((2х - 1)(х - 2)) = З задается неравенством (2х - 1)(х - 2) > 0, множеством реше- ний которого является множество -со; —J U(2; +со). Следовательно, расширение области определения уравне­ ния от множества (2; +оо) до множества | -со; —|U(2;+со) и стало причинои появлення постороннего корня 5 2' На самом деле уравнение log3 (2х —1) + logg (х - 2) = З logg ((2 х -1 ) (х -2 )) = З, равносильно системе <2х - 1 > 0, х -2 > 0 . 204

21. Логарифмические уравнения Отсюда |( 2 х - 1 ) ( х - 2 ) = З3, | 2 х*2- 5 х - 2 5 = 0, ' х = 5, |х > 2; |х >2; 5 х=— , 2 хУ > 2. Получаем х = 5. ПРИМЕР 4 Решите уравнение log2 x + log,. 2 = —. 2 Р е ше н и е . Так как log 2 = log2х то данное уравнение равносильно уравнению log2 х - log2х 2 Пусть log2х = t. Тогда получаем: t + -1 = —5 . t2 1 Отсюда 2t2- 5 t + 2 = 0, Следовательно, * = 2* J^O. t = 2. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности л1 1 г- log2 X= —, х = л/2, 2 Отсюда х = 22, log2 х = 2. х = 22; _х = 4. Ответ: ^І2; 4. lgx + 2 ПРИМЕР 5 Решите уравнение х 3 = 102+lgx. Р е ше н и е . Так как на области определения уравнения, то єсть на множестве (0; + о о ), обе его части принимают по- ложительньїе значення, то можем записать уравнение, равно- lg х + 2 сильное данному: lg х 3 = l g l 0 2+lg\\ Далее имеем: lg х + 2 •lg х = 2 + lg х. Пусть lg х = t. Тогда {t +2) t а ~t = - 2, lg х = -2 , x = 10 2, \"х = 0,01, 3 t = 3; lg x = 3; __ 1 х = 1000. CoTO—1 II Ответ: 0,01; 1000. 205

§ 2. Показательная и логарифмическая функции ПРИМЕР б Решите уравнение 2 logg (х - 2) + logg (х - 4)2 = 0. (1) Р е ше н и е . Отметим, что переход от уравнения (1) к урав- нению 2 logg (х - 2) + 2 logg (х - 4) = 0 (2) может привести к потере решений. Действительно, областью определения исходного уравне­ ния является множество (2; 4) U (4; +оо), а область определе­ ния уравнения (2) — ато множество (4; +оо). Следовательно, такой переход сужает область определения исходного урав­ нения на множество (2; 4), которое может содержать корни уравнения (1). На самом деле уравнение (1) равносильно такому уравне- нию: 2 logg (х - 2) + 2 log3 | х - 4 | = 0. Отсюда logg (х - 2) + log3 | х - 4 | = 0. Зто уравнение равносильно совокупности двух систем: 2 < х < 4, log3 (х - 2) + log3 (4 - х) = 0, х >4, logg (х - 2) + logg (х - 4) = 0. |2 < х < 4 , Г2 < х < 4, [logg ((х —2) (4 - х )) = 0, { (х - 2 ) ( 4 - х ) = 1, Далее имеем: Ответ: 3; З + л/2. 206

21. Логарифмические уравнения ПРИМЕР 7 Решите уравнение log 2 16 + log2r.64 = 3. Р е ше н и е . Перейдем к логарифмам по основанию 2: log2 16 , log2 64 _ Q log2 х 2 ' log2 2 х ^ * Поскольку из условия следует, ЧТО X > 0, то log2 х2 = = 2 log2 х. Далее имеем: л« = 3. 21og2 x log2 2 + log2 x Пусть log2 х = t, тогда долучим —2 н----6-- = 3. t 1+t Отсюда t = 2 или t = — . Имеем: З log2 х = 2, х = 22, log2х = х = 2 3. Ответ: 4; 2 ПРИМЕР 8 Решите уравнение log7(х + 8) = -х . Ре ше н и е . Рассмотрим функции / (х) = log7 (х + 8) и g (х) = -х . Функция / является возрастающей, функ- ция g — убмвающей. Тогда уравнение / (х) = g (х) имеет не более одного корня. Так как / (-1 ) = g (-1 ), то х = -1 — единственнмй корень данного уравнения. Ответ : -1 . ПРИМЕР 9 Решите уравнение ^ sin х l og3 (х - 2 ) = 0. Р е ш е н и е . Ошибочно считать, что уравнение вида / (х) •g (х) = 0 равносильно совокупности / (х) = 0 , При та- g ( х ) = 0. ком переходе сугцествует опасность получить в ответе по- сторонние корни. Например, нет гарантии, что все корни уравнения /(х) = 0 принадлежат области определения функ­ ции g. 207

§ 2. Показательная и логарифмическая функции На самом деле уравнение / (х ) •g (х ) = 0 равносильно си- стеме '7 00 = 0, g (х) = 0, xeD(f), ^xeD(g). Воспользовавшись зтим, запишем систему, равносильную уравнению J s i n x - —log3 (х - 2 ) = 0: log3 (х - 2 ) = 0, sm х = —, 2 х >2, sm х > —. 2 Единственньїм корнем первого уравнения совокупности является число 3. Так как sin 3 < sin —5тт = —1 (рис. 21.2), то 62 х = 3 не является корнем исходного уравнения. Рис. 21.2 _% Все числа вида (-1)”*—+ пп, п є Z, являются корнями 6 второго уравнения совокупности. Среди них следует вибрать только те, которие удовлетворяют условию X > 2. Для зтого достаточно потребовать, чтобьі п є N. Ответ: (-1)”*—+ пп, п є N. 6 208

21. Логарифмические уравнения ПРИМЕР 10. Решите систему уравнений Х+У_ 4у х = 32, log3 (х - у) = 1- log3 (х + у). 2х+2у Р е ш е н и е . Имеем: <2 у * = 2 5 , log3 ( x - y ) + log3 (х + у) = 1. Из первого уравнения системи следует, что —+ —= —. От- ух 2 сюда —= 2 или —= —. Следовательно, данная система равно- У У2 сильна совокупности двух систем. | —- 2, 1) \\ У log3 (х - у) + log3 (х + у) = 1. Имеем: log3 у + logg Зу = 1; log3 у + (log3 3 + log3 у) = 1; 21og3 у = 0; у = 1. Тоди х = 2. X1 2) і у ~ 2 ’ log3 (х - у) + log3 (х + у) = 1. Легко убедиться (сделайте ато самостоятельно), что зта система решений не имеет. Ответ: (2; 1). І Упражнения 21.1.° Решите уравнение: 1) log2 (х - 1) = 1; 4) logj (4 х -8 ) = -2; 2) log3 (2х + 1) = 3; б 3) lg (3 - 2х) = 2; 5) log7 (х2 - 2х - 8) = 1 .2.° Решите уравнение: 6) logj (х2+ 4 х -5 ) = -4 . 1) log j (х + 7) = -3; 2 5 3) lo g ^ (x 2- 5 x - 3 ) = 2; 2) log4 (2х - 5) = 0,5; 4) logj (х2- 5 х + б) = -1 . 2 209

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 21.3. ° Решите уравнение: 1) log,, (х + 1) = log„ (4х - 5); 2) log5 (Зх - 5) = log5 (х ~ 3); 3) lg (х2 + 2) = lg (Зх + 6). 21.4. ° Решите уравнение: 1) logg (4х - 6) = logg (х - 2); 2) log4 (х + 7) = lo g 4 (х2+ 5). 44 2 1 .5 / Решите уравнение: 1) log2 \"\\/х —log2 —= 6; х 2) log2 x + log4 x + log8 x = 11; 3) logg X + 2 loggg X + 3 log210 X = 3j 4) log7 log4 (x - 2) = 0; 5) log4 log3 log2 x = —. 2 2 1 .6 / Решите уравнение: 1) lo g g - + logg yjx = - ; 3) lg lg lg X = 0. x3 3 2) logs * - log 25 x + iogggs x = - ; 4 21.7. ' Решите уравнение: 1) log2 (З5\" 3 + 1) = 2; 3) log2 (2х + 7) = 3 - x; 2) log3 (3* 1 + 6) = x; 4) loge (6 \" - 5) = x + 1. 21.8. ' Решите уравнение: 2) logs (6 - 5х) = 1 - x. 1) logg (6\" + 1 - 30) = x; 21.9. ' Решите уравнение: 1) lg (x2 - 2x) = lg (2x + 12); 2) log4 (x - 1) = log4 (x2 - x - 16); 3) logons (x2 + 3x -1 0 ) = logons (x - 2); 4) logg (x2 - x - 2) = logg (2 - x); 5) 2 log0>4 x = log0>4 (2x2 - x); 6) 2 log7 (-x ) = log7 (x + 2); 7) 2 log8 (1 - x) = logg (2,5x + 1); 8) 2 log3 x = 1 + log3 (x + 6). 210

21. Логарифмические уравнения 21.10. * Решите уравнение: 1) logg (9 - х2) = logg (1 - 2х) ; 2) lg (х2 + 2х - 3) = lg (2х2 - 2); 3) log0,7 (2л-2 - 9х + 4) = 2 log07 (х + 2); 4) 2 log2 (-х ) - log2 (Зх + 8) = 1. 21.11. *Решите уравнение: 1) ~ logg (5х +1) = logg (х —1); Сі 2) log5 (25х - 2 - 5х) = 2 log25 15; 3) lo g ^ (1 6 * -6 ) = 2 + lo g ^ (4 * -2 ); 4) х lg 3 - 1 = 2 lg 3 - lg (3\" + 1). 21.12. * Решите уравнение: 1) - log0д (2х + 3) - log0д (2х - 3) = 0; 2) log3 (22х + 2х) = 2 log9 12; 3) х - lg 5 = х lg 5 + 2 lg 2 - lg (1 + 2х). 21.13. * Решите уравнение: 1) log4 (х - 3) + log4 х = 1; 2) logo,s (4 - x) + logo,s (x - 1) = -1 ; 3) lg (x - 2) + lg (x - 3) = 1 - lg5; 4) log3 (2x - 1) + log3 (x - 4) = 2; 5) lg -s/5x-4 +lg -s/x + 1 = 2 + lg 0,18; 6) lg (x - 1) + lg (x - 3) = lg ( l,5 x - 3); 7) log2 ( 5 - х ) - log2 (x - 1) = 1 - log2 (x + 2); 8) 2 log5 (x + 1) - log5 (x + 9) = log5 (3x - 17). 21.14. * Решите уравнение: 1) log7 x + log7 (x + 6) = 1; 2) log3 (5 - x) + log3 (3 - x) = 1; 3) log4 ( 4 x - l) + logj (x + l) = log05 22 4) log0,6 (x + 2) + log0,g (6 - x) = log0,g (x + 8); 5) log2 (2x - 1) - log2 (x + 2) = 2 - log2 (x + 1); 6) 2 lg (x + 1) - lg (4x - 5) = lg (x - 5). 211

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 21.15. * Решите уравнение: 1) log3 (5* + 2) + log3 (5* - 1) = 2 + log3 2; 2) log2 (2х + 3) + log2 (5 - 2х) = 4. 21.16. * Решите уравнение: 1) lo g ^ (2 * -3 ) + lo g ^ ( 2 * - l) = 2; 2) lg (3* - 4) + lg (3* - 2) = 1. 21.17.* Решите уравнение: 4) log5 х + log* 5 = 2,5; 1) log2 х + 3 log2 х - 4 = 0; 2) logf х - log3 х - 2 = 0; 5) 21ogj x + 3 llog^~x-5 = 0; 3) lg2 x - 2 lg x2 + 3 = 0; 6 V6 6 ) -------------- 4 = 1. lg(x + 2 )-3 lg (x + 2) +l 21.18.* Решите уравнение: 1) 3 log2 (-x ) - 2 log8 (-x ) - 1 = 0; 2) 21og7 4 x = log2 x -6 ; 3) 3 log3 x 0 log* 3 —10; 4) 2 = 1. 4) log* + 1 (x + 3) = 2; lgx +2 lgx-1 21.19.** Решите уравнение: 2 lg x 1) lg (8 x -7 ) = 1; 2) log^(x2+x 2) 1 = 0; 5) log* 2 (2x2 - l l x + 16) = 2. l og4 (x —1) 3) log* (2x2 - 7x + 12) = 2; 21.20.** Решите уравнение: 2 log2 x b log2 (3-2x) 2 log5 (x2- 9 x + 2 5 ) - l = q lg (x-3) 3) log* 4 (x2 - 5x + 7) = 1; 4) log* (x + 6) = 2; 5) b g 2*_3 (3x2 - 7x + 3) = 2. 212

21. Логарифмические уравнения 21.21. ** Решите уравнение: 1) log2 (х - 5)2 - 2 log2 (х + 2) = 2; 2) - lg х 2+lg (х + 7) = 1. 21.22. ” Решите уравнение: 1) —log2 X і + log2 (х + 10) = 3 + log2 3; 4 2) -lo g g X2+l0gg (5 -Х ) = 1. 2 21.23. ” Решите уравнение: 1) logf х 3+ 4 log3 х - 5 = 0; 2) lg (10x2)-lg x = 1; 3) log4 x 2 •log4 — = 2; X 4) log2 (4x) •log2 (0,25x) = 5; 5) lg2 (lOOx) + 2 lg x = 20; 6) log2 (5x) + log5 ~ = 3; LiD 7) lg (lg x) + lg (lg x2 - 1) = 0; 8) 2 lg (lg x) = lg (2 lg x + 8). 21.24. ** Решите уравнение: 1) 3 lg2 x 2 - lg x - 1 = 0; 2) log3 x 2 -log3 ^ + 4 = 0; 3) log7 (7x) •log7у = log7 x 2-1; 4) lg2 (lOx) + lg (Юх) = 6 + 3 lg x; 2 5) log2 (36x) + log6 — = 8; 216 6) logs (log2 x) + logs (log2 x3 - 14) = 1. 21.25. ** Решите уравнение: 1 ) x IogB*=5; 3) x log3* 3 = i ; 2) xlg*+2 = 1000; 4) x Iog6* = 2 1 6 x 2. 213

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 21.26. ” Решите уравнение: 1 ) x Iog8*=81; 3) x Iog2*~2 =256; 2) x lg* = 100х; 4) = 10e+Ig*. 21.27. ” Решите уравнение: 1) log* 4 + log^ 64 = 5; 2) 3 log* 1 6 - 4 log16 x = 2 log2 x; 3) log* 2 • log2* 2 = log4* 2; 4) 3 log3* x = 2 log9* x 2; 5) 2 log4* x 3 = 5 log2* x; 6) log4* 2 + log2 x = 0. 21.28. ” Решите уравнение: 1) log* (9x2)lo g 2 x = 4; 2) 51og* x + lo g 9 x 3+81og 2 x2 =2; 9 x 3 ^ 2 - 4 l o g 12 2 1 ^ lo g 8 ( 8 - x ) - l ° g 12 ( x + 2 ) lo g 6 (x + 2) ’ 4) log* + 4 (x3 - 9x + 8) log* 4 (x + 1) = 3. 21.29. ” Решите уравнение: 1) log* 9 + log^ 729 = 10; 2) log* (125x) log25 x = 1; 3) 3 log* 4 + 2 log4* 4 + 3 log10* 4 = 0. 21.30. ” Докажите, что при x > 0 , у > 0, a > 0 и a + 1 вьі- полняется равенство х аlog„ Ц - у log„ X . 21.31. ” Решите уравнение: 1) x lg5 + 5lg\" = 250; 2) 3Iog3* +x'°g3* = 18. 21.32. ” Решите уравнение: 1) x Iog2l° + 1 0 Iog2* = 2 0 0 ; 2) 7Iog^ + x Iog7* = 1 4 . 21.33. ” Решите систему уравнений: Г9Ж—4 *35_г/ + 2 7 = 0, j x Iog3\" + y Iog3* = 1 8 , |lg (2у - Зх) = lg (4 - 4 х + у); [log3 х + log3 у = 3; 214

21. Логарифмические уравнения [xlog8y+ylog8. = 4 , 3) [log4 x - l o g 4 y = 1; log x + logx y = K 4) 2 xy = 27; log3 (x + 2y) + log1 (x -2 y ) = 1, 5) x2+ y 2= 4 +^y; Li \\ xley =2, 6) [ xy = 20. 21.34.” Решите систему уравнений: [4* + 2у =12, 1) [lg (Зх - 2у) = lg (5 + х - 3у); \\х °е*у + у ое*х = 16, 2) [log2 x - l o g 2 у = 2; [log* (Зх + 2у) = 2, 3) [logy (2х + 3у) = 2; |2 - log2 у = 21og2 (х + у), [log2 (х + у) + log2 (х2- ху + у 2) = 1; (х + у) 3у-* = — , 5) V 27 31og5 (х + у) = х - у . 21.35. ” Решите уравнение: 1) log7 (х + 8) = -х ; 2) log2 х + (х —1 )log2 х = б - 2 х . 21.36. ” Решите уравнение: 1) logj (х - 5 ) = х - 9 ; з 2) logf х + ( х - 1 ) log3 х = 1 2 -З х . 21.37. ” Решите уравнение lg2 (х + 1) = lg (х + 1) lg (х - 1) + 2 lg2 (х - 1). 215

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 21.38. ” Решите уравнение 2 1g2 (2х - 1) = lg2 (2х + 1) - lg (2х - 1) • lg (2х + 1). 21.39. ” Решите уравнение: 1) х 2 log^. 27 • log9 х = х + 4; 2) lg -v/l + x + 3 lg -s/l - x - 2 = lg \\Jl - x 2. 21.40. ” Решите уравнение: 1) x logT+1 5 •log r- (x +1) = — —; fs X 2) log! +x+8ІЛЛ х 2 + X - 1) = log! +x+eiaX(3x + 2). 21.41.” Решите уравнение •log 1 (3 -x ) = 0. 2 21.42. ” Сколько решений имеет уравнение (log2 (х + 1 )-3 )yj x- a = 0 в зависимости от значення параметра а? 21.43. ” Сколько решений имеет уравнение (log3 (х - 2 ) - 2 ) -yjx-a = 0 в зависимости от значення параметра а? 21.44. ” При каких значеннях параметра а уравнение (х - а) log2 (Зх - 7) = 0 имеет единственннй корень? 21.45. ” При каких значеннях параметра а уравнение (х + а) log3 (2х - 5) = 0 имеет единственннй корень? I\"*”\"J Логарифмические неравенства При решении многих логарифмических неравенств ис- пользуют следующую теорему. Т ео р ем а 22.1. При а > 1 неравенство log„X! > log„x2 вьіполняется т огда и только тогда, когда х г > х2> 0; при 0 < а < 1 неравенство log„ х г > log„ х2 вьіполняется тогда и только тогда, когда 0 < х г < х2. Справедливость зтой теоремн следует из того, что при а > 1 логарифмическая функция у = logaх является возрас- таюгцей, а при 0 < а < 1 — убнваюгцей. 216

22. Логарифмические неравенства С ледстви е. Если а > 1, то неравенство log„ / (х) > > 1°£?йg 0*0 равносильно системе \\f(x)>g(x), \\g(x)>0. Если 0 < а < 1, то неравенство log„ / (д;) > log„ g (д;) равносильно системе \\f(x)<g(x), \\f(x)>0. Воспользовавшись идеей доказательства следствия из теореми 17.1, докажите зто следствие самостоятельно. ПРИМЕР 1 Решите неравенство log2х > 3. Р е ше н и е . Поскольку 3 = log223, то можно записать: log2 х > log2 23. Зто неравенство равносильно такому: х > 23. Отсюда х > 8. Ответ: (8; + о о ). ПРИМЕР 2 Решите неравенство log0>3 х > 1. Р е ше н и е . Имеем: log03x > log03 0,3. Зто неравенство равносильно системе Гх < 0,3, [х > 0. Ответ: (0; 0,3]. ПРИМЕР 3 Решите неравенство logj ( З х - 4 ) < ^ Х(х - 2 ). 22 Р е ше н и е . Данное неравенство равносильно системе ГЗх-4 > х -2 , [х -2 > 0 . Гх > 1, х > 2. Отсюда < [х > 2; Ответ: (2; + о о ). 217

§ 2. Показательная и логарифмическая функции ПРИМЕР 4 Решите неравенство log2(х - 1)2- lo g ^ (х -1 ) - 5 > 0. Р е ше н и е . Так как областью определения данного не- равенства является промежуток (1; +оо), то вмполняется равенство log2 (х - І)2 = 2 log2 (х - 1). Тогда данное неравенство можно переписать так: 4 log2 ( x - l ) + log2 ( х - 1 ) - 5 > 05. Пусть log2(х - 1) = t. Полупаєм 412 + t - 5 > 0; t > 1. Имеем: log2 (х —1) < — , log2 (х —1) < log2 2 4, 4 log2 (х -1 ) > 1; log2 (х —1) > log2 2; 1 0 < х - 1 <2 4, 1 < х < 1 >/32’ х - 1 > 2; х > 3. Ответ: 1; 1 1 U(3; +со). л/32 ПРИМЕР 5 Решите неравенство log 3 ----- log, х > 0 . 2\\ Р е ше н и е . Имеем: ----1-------5-- 1-log., х > 0_. log3 х 2 15 Пусть log3 х = t. Т о гд а -------\\-t> 0. Отсюда t2 2і2—бі + 2 > о ; (2 ^-l)(^ -2 ) ^ Q 2t 21 Воспользовавшись мето­ дом интервалов (рис. 22.1), полупаєм: 0 < t < —, 2 t > 2. Рис. 22.1 218

22. Логарифмические неравенства 0 < lo g 3 х < —, 1<х<\\ІЗ, Далее, х > 9. log3х > 2 ; Ответ: (і;\\/з ) и ( 9 ; + со). ПРИМЕР б Решите неравенство log, Зх -1 >0. х 2+1 Р е ш е н и е . Перепишем данное неравенство так: Зх —1 log,. —---->log,. !• 9т° неравенство равносильно совокупно- \" X +1 сти двух систем. 0<х<1, Зх-1 >0, 1) і х2+1 Зх-1 < 1. х 2 +1 Отсюда 0 < х <1, —< х < 1, —< х < 1, і <З х -1 >0, ^з 31 х > 2, З х 2- З х + 2 > 0; х 2- З х + 2 > 0; х < 1; х > 1, Гх > 1, Гх > 1, 2) \\ Зх-1 Отсюда 1 < х < 2. >1 х2- З х + 2 < 0 ; [і < х <2; х 2 +1 Ответ: | —;1 | U(1; 2). ПРИМЕР 7 Решите неравенство log3 (х + 7) < 4 - х. Р е ше н и е . Имеем: log3 (х + 7) + х - 4 < 0. Рассмотрим функцию / (х) = log3 (х + 7) + х - 4. Она возрастает на D (/) = (-7; +оо). Заметим, что / (2) = 0. Сле- довательно, при х > 2 полупим, что / (х) > / (2) = 0, а при —7 < х < 2 полупим, что / (х) < / (2) = 0. Ответ: (-7; 2). 219

§ 2. Показательная и логарифмическая функции Упражнения 22.1. ° Решите неравенство: 5) log3 (x + 5) < lo g 3 8 ; 1) log0>1 х < log0>1 9; 77 2) logn х > logn 12; 3) logo,8 x ^ logo,8 14; 6) log8 (2x - 3) > log8 7; 7) log 2 ( x - 4 ) > log2 2 ; 4) log7 x < log7 15; 22.2. ° Решите неравенство: 99 1) lg x < lg 4; 8) lg (1 + 3x) < lg 16. 4) log10 (4x - 6 ) < log10 10; 2) logg x > logg 5) logA (2 -x ) < lo g A 2 ; 66 11 11 3) log12 (x - 8) > log12 3; 6) log0f9 (2x + 1) > logQ,9 5. 22.3. ° Решите неравенство: 6) logo,6 (x - 2 ) < 2 ; 1) log7 x > 2; 7) log3 (2x - 1) < 3; 8) log7 (9x + 4) < 2; 2) iog5 x < - i ; 3) logj x < 5; 9) log0 5 (2x + 1 ) > - 2 ; 2 4) logj x > 1; 3 10) logo,2 (x + 6 ) > - 1 . 5) log2 (5x + 1) > 4; 22.4. ° Решите неравенство: 1) logj x < -1; 3) lg x < 5; 5) logj (2 x -3 ) > -2 ; 7 3 2) log4 x > 2; 4) logj x > --3; 6 ) log9 (5x + 6 ) < 2. 22.5.' Сколько целнх решений имеет неравенство: 1) logo,25 (Зх —5) > —3; 2) log3 (7 —х) < З? 22.6.' Найдите целме решения неравенства: 1) log0,s (1 - х) > -1 ; 2 ) log30 (х + 1) < 0,5. 22.7.' Найдите множество решений неравенства: 1) lg (2х + 3) > lg (х - 1); 2) logs 2х < logs (х + 1); 3) log0>2 (2х - 1) > log0,2 (Зх - 4); 220

22. Логарифмические неравенства 4) log0>4 (х2 - 3) < log0>4 (х + 3); 5) log0>7 (х2 - 2х - 3) < log0>7 (9 - х); 6) log4 (х2+Х + 31) < log4 (Юх + 11). 3з 2 2 .8 / Решите неравенство: 1) log2 (2х - 3) < log2 (х + 1); 2) log0>e (3 - 2х) > log0>e (5х - 2); 3) lg (х2 - 2) > lg (4х + 3); 4) log0>1 (10 - 2х) > log0>1 (х2 - х - 2). 2 2 .9 / Найдите наибольшее целое решение неравенства: 1) log4 (х + 1 ) > - - ; 3) log4 (3 -х ) > -1; 42 7 2) log^ (12- х2)>2; 4) log4 (2 x - 5 )> lo g 4 (х + 1). ЗЗ 2 2 .1 0 / Найдите наименьшее целое решение неравенства: 1) log4 (х + 2) < 0; 3) log0>3(4х - 3) > log0>3(х + 3); б 2) logj ( 6 - х ) > - 2 ; 4) log4 (х2-2 х + 1)> - 1 . 2З 2 2 .1 1 / Найдите множество решений неравенства: 4х —5 1) log8 (х2 - 4х + 3) < 1; 5) log2— —^ > 0; 4х +7 2) log0>5 (х2 + х) > -1 ; 6) lg х 2-1 >0; (х-2)2 3) log0.7 (x* + Юх + 25) > 0; 2х + 5 7) log. х +1 <1; Qг _1 4) log2 (х2 - Зх) < 2; 8) log4-------< 0 ,5 . X 2 2 .1 2 / Решите неравенство: 1) log4 (х2- 5 х + 7)>0; 4) log0>3 (х2 - 2х + 1) > 0; 2) log9 (х2 - 6х + 8) < 0,5; Зх-1 3) log05 (х2 + Зх) > -2; 5) log4 <1; х —1 6) log4 2х-1 > 1. Зх +1 221

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 2 2 .1 3 / Решите неравенство: 1) log0>3 (х2 + х - 12) > log0>3 (6х - 6); 2) lg (х2 - х) < lg (Зх - 3); 3) log0>8 (1 - х2) > log0>8 (х2 + 5х - 2); 4) 2 log2 (2х + 7) > 5 + log2 (х + 2); 5) log3 (х2 + 2х - 3) < log3 (х + 9); 6) logj (2х2+3х + 1)> 2 logj (1 -х ). 77 2 2 .1 4 / Решите неравенство: 1) log2 (б -2 х ) < lo g 2 (х2- 2 х - 3 ) ; зз 2) log0>1 (х2 - Зх - 4) > log0>1 (х + 1); 3) 2 log2 (х + 5) < 3 + log2 (11 + х); 4) lg (2х2 - 9х + 4) < 2 lg (х + 2). 2 2 .1 5 / Решите неравенство: 1) lg х + lg (х - 3) > 1; 2) logj (х + 2) + к ^ х х < - 1 ; ЗЗ 3) log2 х + log2 (х + 4) < 5; 4) log0>1 (х - 5) + log0>1 (х - 2) > -1 ; 5) loge (5х + 8) + loge (х + 1) < 1 - loge 3; 6) log3 (1 - х) + log3 (-5 х - 2) > 2 log3 2 + 1. 2 2 .1 6 / Решите неравенство: 1) log2 (-х ) + log2 (1 - х) < 1; 2) log0>2 (х - 1) + log0>2 (х + 3) > -1 ; 3) log3 (х - 2) + log3 (х - 10) > 2; 4) log7 х + log7 (Зх - 8) > 1 + 2 log7 2. 2 2 .1 7 / Решите неравенство: 4) log2 x + 2\\ogl x -8 < 0 ; 1) log22 x < l; 44 2) log2 x > 4 ; 5) log2 x - 5 l o g 2 x + 6 > 0; 3 6) 2 log2 x-51ogj x + 2 > 0 . 3) lg2 x + 3 lg x - 4 < 0; 99 222

22. Логарифмические неравенства 2 2 .1 8 / Решите неравенство: 3) 21ogf x - lo g 4 х -1 < 0 ; 1) loggg х > 9; 2) lg2 х - 2 lg x - 3 > 0; 4) logg2 x - l o g 02 x - 2 < 0 . 22.19. ” Найдите множество решений неравенства: 1) log2 (4x) + 21og2 х -1 1 < 0 ; 3) lg х +1§ х - 6 >0; lgx 2) logf (27x) + 31og3 x - 1 9 > 0 ; 22.20. ” Решите неравенство: 4) 2 log5 x - log* 5 < 1. 1) log* (7 x )-lo g 7 x > 3; 3) log3^-61og3x +8 >0 l og3 x —1 2) log6 216+ 8 log6 x - 1 2 < 0; 4) log05 x - 2 log* 0,5 < 1. 22.21. ” Решите неравенство: 1) log1>0 log0>5 (x2 - x - 6) > 0; 3) log4 log3 -^— >0; 9 Х -І 2) log05 log4 (2x2 + x - 1) < 1; 4) logj s log3 ^ < 0. 22.22. ” Решите неравенство: 2) log08 log2 2-х > 0. 1) lo g 7 logs (x*-2x-3)<0; 22.23.” Решите неравенство: 4) log* 2 (2x - 7) < 1; 1) log2*-3 x > 1; 5) log* (x + 2) < 2; 2) log* 2 (2x - 9) < 0; 6) log* (2x2 - 3x) < 1. 3) log* + 1 (5 - x) > 1; 22.24. ” Решите неравенство: 1) logs* 2 x < 1; 3) log* 4 (4 - x) < 1; 2) log* (x2 - 7x + 13) > 0; 4) log* (6 - x) > 2. 22.25. ” Решите неравенство -yj2 • 5* - 1 > 5* - 2 . 22.26. ” Решите неравенство 20 • 3* -1 1 >3* - 4 . 223

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 22.27.” Решите неравенство: 1) V -x 2+ 7 х -1 0 log2 (х - 3 ) <0; 2) V 4 - x 2 flo g 3 — + 2 І< 0 ; 3) (х2-2 ,8 х + 1,8) /logj Іх - 2 І> 0 . 22.28.” Решите неравенство: 1) V -x 2+ бх - 5 log3 (х - 2) < 0; 2) log^ (х-3) >0. х -4х-5 22.29. * Для каждого значення параметра а решите нера­ венство (2х - a) yjx- 3 > 0. 22.30. * Для каждого значення параметра а решите нера­ венство (3* - а) у[х- 2 < 0. 22.31. * Решите систему неравенств JlogT(2 sin х +1) < 0, [0 < х < 27і. 22.32. * Решите систему неравенств j log ж(2 cos х +1) < 0, 0 < х < 27t. Производньїе показательной и логарифмической функций Существует ли функция, производная которой равна самой функции? Ответить на зтот вопрос легко. Например, функция, которая является нулевой константой, обладает зтим свойством. А можно ли указать такую функцию /, определенную на Ж, отличную от нулевой константні, чтобм /' (х) = f (х) для любого х є Ж? Ответ на зтот вопрос неочевиден. Оказмвается, что среди показательнмх функций / (х) = ах существует единственная функция такая, что /' (х) = / (х) для всех х є Ж. Для зтой функции число, которое является 224

23. Производньїе показательной и логарифмической функций основанием степени, обозначают буквой е, а сама функция имеет вид / (х) = ех. Следовательно, (еху = ех Установлено, что число е — иррациональное. Его можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: е = 2,71828182845... . Функцию / (х) = ех називают зкспонентой. Отметим одну особенность графина зкспонентьі. Имеем: /' (0) = / (0) = е° = 1. Следовательно, касательная к гра­ фину зкспонентьі в точне с абсциссой, равной нулю, имеет угловой козффици- ент, равньїй 1. То єсть зта касательная образует угол 45° с положительньїм на- правлением оси абсцисс (рис. 23.1). Виведем формулу для нахождения производной показательной функции / (х) = ах. тИх меем: а = е log* а . Тгг,огда а r =ея log„еа . е Пользуясь правилом вмчисления производной сложной функции, запишем: (а*)' = (е*І0ве0)' = е*І0ве° (х loge а)' = ах loge а. Логарифм по основанию е називают натуральним лога­ рифмом и обозначают In а, то єсть logea = In а. Тогда при а > 0, а ф 1 можно записать: (ах)' = ах \\п а Зта формула показивает, что между значением произво­ дной показательной функции и соответствуюгцим значением самой функции сугцествует прямая пропорциональная зави- симость. Козффициент пропорциональности равен In а. В пункте 20 мьі определили, что логарифмическая функ­ ция / (х) = log0 х является дифференцируемой. Найдем формулу для вичисления производной логарифмической функции. 225

§ 2. Показательная и логарифмическая функции Для любого х > 0 вмполняется равенство х = е1п х. Тогда функции / (х) = х, D (/) = (0; + о о ), и g (х) = е1пх, D (g) = (0; + о о ), представляют собой одну и ту же функцию. Позтому для любого х є ( 0 ; + о о ) вьшолняется равенство f ' ( x ) = g' (х), то єсть (х)' = (е1пх)'. Левая часть зтого равенства равна 1. В правой части получаем: (elnx)' = elnx*(ln х)' = х (In х)'. Тогда 1 = х (In х)'. Отсюда ___________ (In х)' = — X Имеем: (log. х )'= =-^— (1пх)' = —-— . ^ In а ) In а х In а Следовательно, (lo g a х ) ' = -- х In а ПРИМЕР 1 Найдите производную функции: 1) у = ех (х2 - 4х); 4) У = In X 2) у = х3• 3*; 5) у = log2 х; 3) у = е~7х ; 6) у = log2 (Зх - 4). Р е ш е н и е . 1) Применяя теорему о производной произ- ведения двух функций, получаем: у' = (ех)' • (х2 - 4х) + (х2 - 4х)' • ех = = ех (х2 - 4х) + (2х - 4) ех = ех (х2 - 2х - 4). 2) Имеем: у' = (х3)' • 3х + (3х)' • х 3 = Зх2• 3х + 3х In 3 • х3 = = Зхх2 (3 + х In 3). 3) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: у' = (е 7х)' = е 7х- (~7х)' = -7е~1х. 4) Имеем: , (,X4)V• ІіП Х-(І,гП х)V•X4 4х - І п х ---- X 4 х У ~ \\Inі X — \\Inі X 4x3ln x -x 3 x3(41nx-l) In2x In2X 226

23. Производньїе показательной и логарифмической функций 5) Применив теорему о производной сложной функции, долучаєм: у' = (lOgg х ) =2 lOgg X •(lOgg X)' = XIn 6 . 6) Имеем: у' = (log2(Зх - 4))' = 1 . (Зх - 4)' З (Зх-4) In 2 (Зх-4) In 2* ПРИМЕР 2 Составьте уравнение касательной к графику функции / (х) = е3х + х, если зта касательная параллельна прямой у = 4х - 9. Р е ш е н и е . Поскольку угловой козффициент прямой у = 4х - 9 равен 4, то угловой козффициент искомой каса­ тельной k = 4. Найдем абсциссу х 0 точки касания. Имеем: f{x) = Зе3х + 1. Поскольку /' (х0) = 4, то Зе3*0 +1 = 4; Зе3*0 =3; ау е 0 =1; х0 = 0. Отсюда / (х0) = 1. Тогда искомое уравнение имеет вид у = 4 х + 1. Ответ: у = 4 х + 1. ПРИМЕР 3 Найдите промежутки возрастания Рис. 23.2 и убивання и точки зкстремума функции: 1) / (х) = евх~х2+5; 2) / (х) = х In х; 3) / (х) = lg3 х - 3 lg х + 2. Р е ш е н и е . 1) Имеем: /' (х) = (е6*- +5)' = е6*- +5•(бх - х 2+ 5)' = е6*- *2+5• (б - 2х). Исследовав знак производной функции / (рис. 23.2), до­ лучаєм, что функция / возрастает на промежутке (-оо; 3], убивает на промежутке [3; +оо), хшах = 3. 2) Имеем: /' (х) = (х)' •In х + (1п х)' •х = In х + —• х = In х + 1. X 227

§ 2. Показательная и логарифмическая функции Исследуем знак /' на D (/) = (0; +оо). Имеем: /' (х) > 0 при In х > -1 . Отсюда х > —• Аналогично находим, что /' (х) < 0 е Рис. 23.3 при 0 < X< - . е Полупаєм, что функция / возрастает на промежутке —;+ co J , убмвает на промежутке | 0; — х„ = - (рис. 23.3). 3) Имеем: З lg х /' (х) = 3 lg2 х •(lg х)' - 3 ■ xlnlO xlnlO xlnlO 3 (lg x -1 ) 3 (lg x -1 ) (lg x +1) x In 10 x In 10 Тогда /' (x) = 0 при lgx = -1 или lg x = 1. Следовательно, данная функция имеет две критические точки: х = — и х = 10. Ис- Рис. 23.4 10 следовав знак производной функции / на D (/) = (0; +оо) (рис. 23.4), приходим к виводу, что функция / возрастает на промежутках и [10; +оо), убмвает на промежутке — ;Ю ю О—^ЗАДАЧА Докажите, что: 1) показательная функция у = ах является вмпуклой вниз; 2) при а > 1 логарифмическая функция у = log0 х являет­ ся вмпуклой вверх, а при 0 < а < 1 — вмпуклой вниз. Р е ш е н и е . 1) Имеем: у' = ах In а, у ” = ах In2 а. Поскольку у\" > 0 для всех х є Ж, то показательная функ­ ция у = ах является вмпуклой вниз. 228

23. Производньїе показательной и логарифмической функций 2) Запишем: Если а > 1, то In а > 0. Позтому у\" < 0 для всех х є (0; +оо). Следовательно, при а > 1 логарифмическая функция у = log0 х является вьшуклой вверх. При 0 < а < 1 аналогично доказмваем, что у\" > 0 и ло­ гарифмическая функция у = log0 х является вьшуклой вниз. • Упражнения 23.1.° Найдите производную функции: 23.2.° Найдите производную функции: 2) У = x V ; 5) у = 6х; 8) у = 3) у = ех cos х; 6) у = 34х+1; 5 -1 9) у = 0,7ctgх. 23.3.° Найдите производную функции: 2) у = In 2х; X 7) у = log0>2 (2х2 + х - 4); 3) у = lg (х2 - 4); 8) у = In (1 - 0,2х); 4) у = In2 х; 9) у = х 5 In х. 5) у = In sin х; 23.4.° Найдите производную функции: 1) у = lg х; 2) у = In (5х - 4); 3) у = In3 х; 229

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 4) у = lg cos х; ОС 6) у = log2 (х2 + 6). 5) у = --; In X 23.5/ Вьічислите значение производной функции f в точке х0: 1 ) / (х) = е3* - Зх, х0 = 0; 3) / ( х ) = з 3* -4*2+2, Xq = 1 . 2) / (х) = е~2х cos 2х, х0 = 0; 23.6.' Вьічислите значение производной функции / в точке х0: 1 ) / (х) = е5* + е-4*, х 0 = 0; 3) /( х ) = 4*2- 3*-4, х 0 = -1 . 2) / (х) = є-* tg х, х 0 = 0; 23.7.' Вьічислите значение производной функции / в точке х0: 1) / ( х ) = —1п(-12х), х 0 = ——; 66 2) / (х) = - х 2-In х 2, х0 = 4; 2 3) / (х) = log5 (х2 + Зх - 2), х0 = -4 ; 4) / ( x ) = ln s in —, х0 = —. 22 2 3 .8/ Вьічислите значение производной функции f в точке х0: 1) / (х) = їй (6х - 5), х0 = 3; 3) / (х) = 1g(x^ - 5х + 8),х0 = 2; 2 ) / ( x ) = 81 n —, х0 = - ; 4 ) /( х ) = ln c o s —, х0 = —. 22 32 23.9.' Найдите угловой козффициент касательной к графику функции / в точке с абсциссой х0: 1) / (х) = е2х+ 1, х 0 = -1 ; 2) / (х) = х - їй х, х 0 = 3. 23.10.' Найдите угловой козффициент касательной к гра­ фику функции / в точке с абсциссой х 0: 1) / (х) = е1 ■*, х 0 = 1; 2) / (х) = logg (х + 2), х0 = -1 . 23.11.' Составьте уравнение касательной к графику функ­ ции / в точке с абсциссой х0: 1) / (х) = е~2х, х 0 = 0; 5) / (х) = Зх + їй х, х 0 = 1; 2) / (х)= е* + sin х, х0 = 0; 6) / (х) = їй (5 + 4х), х 0 = -1 ; 3) / (х) = х • 2*, х0 = 1; 7) / (х) = log3 (2х + 1), х0 = 1; 4) / (х) = 63*+4, х0 = -1 ; 8) / (х) = 2 їй (х - 2), х0 = 4. 230

23. Производньїе показательной и логарифмической функций 2 3 .1 2 / Составьте уравнение касательной к графику функ- ции / в точке с абсциссой х 0: 1) / (х) = е5х, х 0 = 0; 4) / (х) = 4х - 1п4, х0 = 1; 2) / (х) = 2ех - cos х, х0 = 0; 5) / (х) = In (Зх - 5), х 0 = 2; 3) / (х) = З2^ 3, х0 = 2; 6) / (х) = log2 (х + 3), х 0 = 1. 2 3 .1 3 / Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции: 1) / (х) = ех + е~х; 2) / (х) = (2х - 7) (2х - 9). 2 3 .1 4 / Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции / (х) = (5х - 65)(5* + 15). 23.15. ” Составьте уравнение касательной к графику функции: 1) / (#) = ех, если зта касательная параллельна прямой у = ех - 6; 2) / (х) = е5х+2, если зта касательная параллельна прямой у = 5х + 7; 3) / (х) = е~2х, если зта касательная параллельна прямой У = ~х; 4) / (х) = In (Зх - 2), если зта касательная параллельна прямой у = Зх - 2. 23.16. ” Составьте уравнение касательной к графику функ­ ции: 1) / (х) = ев- 7х, если зта касательная параллельна прямой у = 5 - 7х; 2) / (х) = ех - е~х, если зта касательная параллельна пря­ мой у = 2х - 3; 3) / (х) = 6х - Іпх, если зта касательная параллельна прямой у = х; 4) / (х) = 1п(1 - х), если зта касательная параллельна прямой у = 1 - х . 23.17. ” Найдите промежутки возрастания и убивання и точ­ ки зкстремума функции: 1 ) / (х) = ех - х; 4) / (х) = х2• 2~х; 2) f (х) = хе2*; 5) / (х) = 4хе2“*; 3) / (х) =(1 - х) ех+ 1і 6) /( х ) = е*2; 231

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 7) /( х ) \" 94 х - х ^ + 1, 13) /( х ) ш, х + —1 ; ЄX 14) /( х ) х 8) /( х ) х-2? 15) /( х ) 4х х 9) /( х ) е In X’ 10) / (х) х 3 In х; In X И) fix) In х - х; 12) / (х) х 2 lg х; 16) / (х) х 2 - In .'2.? 17) /( х ) 2 In3 x 3 In2 x; 18) / (х) lg2 x - ? x. 23.18.” Найдите промежутки возрастания и убнвания и точки зкстремума функции: X 1) / ( х ) = х е 2; 7) f (х) = 0 ,5х2 - I n х; 2) / ( х ) = е*4- 2*2; 8 ) / (х) = х I n 2 х; 3) / ( х ) = 5“**+8*+1; 9) /( х ) = — ; X 4) / (х) = (4х - 1) е2*; 5) / (х) = х3• 3 10) / (х) = In х 2+ —; X 11) / (х) = I n 3 х - 12 I n х; 6) f ( x ) ~ ; 12) / (х) = lg4 х - 2 lg2 х. 23.19.” Найдите наибольшее и наименьшее значення функ­ ции: 1) / (х) = ех + х на промежутке [-1; 1]; 2) / (х) = х2е2* на промежутке [-2; 1]; 3) / ( х ) = 7*2 2* на промежутке [0; 2]; 4) / (х) = 2х + 2 * на промежутке [-1; 1]. 23.20.” Найдите наибольшее и наименьшее значення функ­ ции: 1) / (х) = (х - 1) е~х на промежутке [1; 3]; 2) / ( х ) = 5х +2х на промежутке [-2; 1]. 232

Моя любовь - Украйна и математика 23.21. ” Исследуйте функцию и постройте ее график: 1) f ( x ) = xex; 3) f ( x ) = e x2; 5) / (х) = In (9 - х2). л: 2) / (х) = хе 2; 4) / (х) = х2 - 2 In х; 23.22. ” Исследуйте функцию и постройте ее график: 1) / ( х ) = ^ ; 2) / (х) = хе 2 ; 3) / (х) = log2 (х2 + х). е 23.23.” Найдите промежутки возрастания и убмвания функции / (х) = ех - х - 1 и докажите, что при х є М вьшолняется неравенство ех > 1 + х. 23.24. ” Найдите промежутки возрастания и убмвания функции / (х) = In (1 + х) - х и докажите, что при х > -1 вмполняется неравенство In (1 + х) < х. 23.25. ” При каких значеннях а функция г/ = 4 1 п х - а х - 7 является возрастающей? 23.26. ” При каких значеннях а функция у = 2 - Зех - ах является убмвающей? КОГДА СДЕЛАНЬІ УРОКИ Моя любовь —Украйна и математика Зто патриотическое вмсказмвание вмдающегося укра- инского математика, академика Михайла Филипповича Кравчука увековечено на гранитном постаменте памятника ученому (см. форзац 1). Михаил Кравчук родился в с. Човницм на Волмни. Окон- чив с золотой медалью Луцкую гимназию и затем математи- ческое отделение Киевского университета, Михаил Кравчук остался работать в Києве. Благодаря вмсокой научной работоспособности и про- дуктивности, оригинальности и гибкости ммшления М. Ф. Кравчук получил важнме научнме результатм в ал- 233

§ 2. Показательная и логарифмическая функции гебре и теории чисел, теории функций и математическом анализе, дифференциальнмх и интегральнмх уравнениях, теории вероятностей и статистике и т. д. Известно, что его научнме труди били в значительной степени использованм американскими ученими при создании первого компьютера. М. Ф. Кравчук принимал активное участив в создании украинской научной терминологии, одним из первьіх начал писать научние труди на украинском язике, хотя свободно владел русским, французским, немецким, итальянским, польским и другими язиками. М. Ф. Кравчук придавал большое значение работе с мо- лодежью. В частности, по его инициативе в 1935 году била проведена первая Киевская математическая олимпиада для школьников. Попробуйте свои сили в решении задач зтой олимпиадьі. Задания первой Киевской математической олимпиадьі (1935 г.) 1. Вичислите значение вираження b, 3 - a 3,b - b, 2c +, caЗ •Jd при 0Ь - с У а = — , Ь = 0,19, с = 0,18, d = 0,04. 2 42. Решите уравнение 44 2X і - 9 - 2 0 ,7 5 . = х + у = 4, 3. Решите систему уравнений (х2+ у 2) (х3+ у 3) = 280. 4. Положительнме числа и1г и2, ■■■, и„ образуют арифмети- ческую прогрессию. Докажите, что 11 1 77 —1 5. Пусть а и b — катетн прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза. Докажите, что logc+b а + logc_ь а = 2 logc+ь а • logc_ь а. 234

Задание в тестовой форме «Проверь себя» №2 ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» № 2 7 1. Какова область определения функции у = ------ ? 7х -1 А) ( - о о ; + о о ) ; В) ( - о о ; 7) U (7; + о о ) ; Б) ( - о о ; 1) U (1; + с о ) ; Г) ( - о о ; 0) U (0; + о о ) . 2. На одном из рисунков изображен график функции у = 3 х. Укажите зтот рисунок. 3. Чему равен корень уравнения А) 2; Б) -2 ; В) 1; Г) -1 . 4. Найдите множество решений неравенства (0,6)* >0,6. А) (-оо; 1); Б)(1;+оо); В)( оо; -1) U(1;+оо); Г) (-1; 1). 5. Решите уравнение 3* +3 + 5 * 3 * 1 = 86. А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3. 6. Вичислите значение вираження log022 5 -lo g 3 — . 3 27 А) 1; Б) -1 ; В) 5; Г) -5 . 7. Представите число 3 в виде степени числа 10. А) 3 = 10log 10 В) 3 = 10lg3; Б) 3 = 10І08а3. Г) представить невозможно. 8. Чему равно значение вираження loge 108 - loge З? А) -1; Б) 2; В) -3 ; Г) 4. 9. Решите неравенство log02 х > log02 5. Г) (0; 5). А) (-оо; 5); Б) (5; +<ю); В) (0; 5) U(5; 4оо); 235

§ 2. Показательная и логарифмическая функции 10. Через какую из данннх точек проходит график функции y = log1 X? А) (2; 1); Б) (2; -1); В) Г) (2; 0). 11. При каких значеннях а и b вьшолняется равенство lg ab = lg (-а) + lg (-6)? А) а > 0, Ь< 0; В) а < 0, Ь < 0; Б) а < 0, b > 0; Г) таких значений не существует. 12. На рисунке изображен график функции у = f (х), опреде- ленной на множестве действительнмх чисел. Сколько корней имеет уравнение In / (х) = 0? A) ни одного корня; Б) два корня; B) три корня; Г) определить невозможно. 13. Укажите наибольшее целое решение неравенства А) -2; log0,2 (3 - 2х) < -1 . В) 1; Б) -1 ; Г) такого решения не существует. 14. Каково множество решений неравенства log,, -у/х <1? А) (-со; +со); В) (0; 1) U (1; +со); Б) (0; +оо); Г) 0 . 15. Решите уравнение log4(x - 4) + log4(x - 1) = 1. А) 0; 5; Б) 0; В) 5; Г) 1; 4. 16. Сравните числа log4 5, loge 4, log02 3. A) log0>2 3 < logg 4 < log4 5; В) log0>2 3 < log4 5 < loge 4; Б) logg 4 < log0>2 3 < log4 5; Г) log4 5 < loge 4 < log0>2 3. 17. Найдите производную функции у = 52х. А ) у ' = 2 - 5 2х; В) у' = 2 • Ь2х In 5; Б) у' = 2х • 52х- 1; Г ) у ' = 52х1п5. X 18. Найдите промежутки убивання функции у = In X А) (-ос; 0), (1; е]; В) (0; е]; Б) (0; 1), (1; е]; Г) (0; 1). 236

Интеграл иего применение

§ 3. Интеграл и его применение Первообразная Вьі умеете по заданной функции находить ее производную, знаєте, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону у = s (t) движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон у = v (t) изменения ее скорости, а именно: v (t) = s' (t). Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости. Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону v (t) = gt и s (0) = 0, то закон движения задается формулой s (t ) = 2 Вьі знаєте, что нахождение производной заданной функ­ ции називают дифференцированием. Обратную операцию, то єсть нахождение функции по ее производной, називают интегрированием. О п р е д е л е н и е . Функцию F назьівают п ер в о о б р а зн о й ф у н к ц и е й (или коротко п е р в о о б р а з н о й ) функции / на промежутке І, если для всех х є І вьіполняется равенство F ' (*) =/(*). Например, функция F (х ) = х 2 является первообразной функции / (х) = 2х на промежутке (-оо; +оо), поскольку на Ж вьіполняется равенство (х2)' = 2х. Часто в задачах, связанньїх с первообразной функции, промежуток І опускают. В таких случаях считают, что / = (-оо; +оо). Так, функция F (х) = cos х является перво­ образной функции / (х) = -sin х, поскольку вьіполняется равенство (cos х)' = -sin х. Рассмотрим еще один пример. Функция F (х) = Vx явля­ ется первообразной функции / (х) = —\\ = на промежутке 2 Vx 238

24. Первообразная (0; +оо), поскольку на атом промежутке вмполняется равен- Однако на промежутке [0; +оо) функция F( x) = ^fx не является первообразной функции / (х) = —\\ = , так как в точ- 2 yjx ке х0 = 0 не вмполняется равенство F' (х0) = / (х0). Рассмотрим функции у = х2 + ї й у = х 2- \\ І 2. Каждая из них имеет одну и ту же производную у = 2х. Позтому обе функции у = х2 + ї й у = х 2-лІ2 являются первообразнмми функции у = 2х. Понятно, что каждая из функций вида у = х г + С, где С — любое число, является первообразной функции у = 2х. Следовательно, задача нахождения перво­ образной имеет бесконечно много решений. Цель интегрирования состоит в том, чтобм для заданной функции найти все ее первообразнме на заданном проме­ жутке. Как связанм между собой все первообразнме данной функ­ ции, указнвает следующая теорема. Теорема 24.1 (основное свойство первообраз­ ной). Если функция F является первообразной функции f на промежутке І и С — любое число, то функция у = F(x) + С также является первообразной функции f на промежут­ ке І. Любую первообразную функции f на промежутке І можно представить в виде у = F(x) + С, где С — некото- рое число. Д о к а з am ель cm в о . © Поскольку функция F — перво­ образная функции / на промежутке І, то для всех х є І вн- полняется равенство F' (х) = / (х). Тогда (F (х) + СУ = F' (х) + С = f (х) + 0 = / (х). Следовательно, функция у = F(x) + С является первооб­ разной функции / на промежутке І. 239

§ 3. Интеграл и его применение Пусть функция G — одна из первообразньїх функции / на промежутке І. Тогда G' (х ) = / (х ) для всех х є І. Имеем: (G (х) - F (х))' = G' (х) - F' (х) = f ( x ) - f (х) = 0. Согласно признаку постоянства функции (теорема 11.1) полупаєм, что функция у = G (х) - F (х) является константой на промежутке І, то єсть G (х) - F (х) = С, где С — некоторое число. Отсюда G (х) = F (х) + С. А Если функция F является первообразной функции / на промежутке І, то запись F (х) + С, где С — любое число, називают общим видом первообразньїх функции / на про­ межутке І. Из основного свойства первообразной следует, что графи- ки любих двух первообразньїх данной функции можно по­ лупить друг из друга параллельньїм переносом вдоль оси ординат (рис. 24.1). Совокупность всех первообразньїх функции у = f (х) на промежутке І називают ее неопределенньїм инте- гралом и обозначают j / (х) dx у = F ( x ) + Сі (читают: «интеграл зф от икс де икс»). Рис. 24.1 Например, функция F ( х ) = X s яв­ ляется первообразной функции / (х) = Зх2 на промежутке (-оо; +оо). Из теореми 24.1 следует, что любую первообраз- ную функции / на промежутке (-оо; +оо) можно представить в виде у = х 3 + С, где С — некоторое число. Зто можно за­ писать так: j*3x2dx = х 3+С. При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3. Покажем на примерах, с помогцью каких соображе- ний можно обосновать утверждения, приведенньїе в зтой таблице. 240

24. Первообразная ПРИМЕР 1 Найдите общий вид первообразнмх функции /( х ) = X s. Р е ше н и е . Поскольку то одной из первооб- разннх функции / (х) = X s является функция F (х) = — . 6 Тогда согласно теореме 24.1 за п и с ь -X--6- ьС, где С — любое 6 число, является общим видом первообразнмх. • Из решения примера 1 следует, что в \\ х 5 dx = — + С. J6 ПРИМЕР 2 Найдите общий вид первообразнмх функции / (х) = — на каждом из промежутков (-оо; 0) и (0; +оо). X Р е ш е н и е . На промежутке (0; +оо) имеет место равенство (1пх)' = —; на промежутке (-оо; 0) имеют место равенства X (1п(-х))' = ^ - . ( - х ) ' Л . Следовательно, функция у = In х является первообразной функции / (х) = — на промежутке (0; +оо), а функция X у = In (-х ) является первообразной функции / (х) = — на X промежутке (-оо; 0). . , і Гіпх, если хє(0;+со), Поскольку Ш X = [In (-х ), если х є (-оо; 0), то на любом промежутке, не содержащем точку 0, запись In Іх І + С, где С — любое число, является общим видом первообразнмх функции / (х) = —. • X 241

§ 3. Интеграл и его применение ПРИМЕР З Для функции / (х) = 2 cos х найдите первообраз- ную, график которой проходит через точку М І — ;3 V6 Р е ш е н и е . Поскольку (2 sin х)' = 2 cos х, то функция у = 2 sin х является одной из первообразнмх функции / (х) = 2 cos х. Следовательно, искомая первообразная име- ет вид F (х) = 2 sin х + С, где С — некоторое число. Найдем зто число. Из условия следует, что F —571 = 3. Тогда 2 s i n -5-л-- ьС = 3 Отсюда С = 2. Таким образом, искомая первообразная имеет вид F (х) = = 2 sin х + 2. • л.а+1 Замечание. Можно доказать, что функция F(x) = ----- , ос+ 1 а є 1 , а + - 1 , является первообразной функции /(х) = Xа на промежутке (0; +оо). Пользуясь зтим, можно найти, напри- мер, первообразную функции /(х) = tfx на промежут- ке (0; +оо). Поскольку уіх—= х—п, то функция F(x) = - ---- явля­ ючі п ется первообразной функции / на промежутке (0; +оо). п+1 Учитмвая равенства X11 п +1 П л/хд+1 , можно записать: п +1 F{x) п п4 х ^ . п п +1 Упражнения 24.1.° Определите, является ли функция F первообразной функции /: 1) F (х) = Зх2 + х - 2, / (х) = 6х + 1; 2) F (х) = х 4, / (х) = -4х~5 на промежутке (0; +<х>); 3) F (х) = sin х + 3, / (х) = cos х + 3; 4) F (х) = cos 2х, / (х) = -s in 2х; 242

24. Первообразная 5) F (х) = уі2х + 1, / ( х ) = - на промежутке | ; +со |; V2х +1 6) F (х) = 5х, f (х) = 5х In 5. 24.2.° Докажите, что функция F является первообразной функции / на промежутке І: 1) F (х) = Xі - 2х2 + 6, / (х) = 4х3 - 4х, І = ( - о о ; + с о ) ; 2) F ( x ) = - ^ , / ( * ) = - £ , j = (-оо; 0); 3) F (x ) = 5 -3 > /x , / (х) = ---- ^=, І = (0; +со); 2 >/х X1 і З 7Г 3 тс 4) F ( x ) = 3 t g —+ 6, / ( х ) = ” 2’2 З 2’ COS 24.3. °Является ли функция F (х) = — первообразной функ- X 3) (-оо; 0]; 4) (-6; 0)? 1) (0; +00); 2) (-2; 2); 24.4. ° Найдите общий вид первообразнмх функции: 1) / (х) = 5; 5) /( х ) = 2=- на промежутке (-оо; 0); 2) / (х) = х; х 6) f { x ) = 4 x на промежутке [1; + о о ); 3) / (х) = Xе; 7) f ( x ) = y[x на промежутке (-оо; -3); 4) / (х) = 2х; 8) / (х) = х~5на промежутке (0; + о о ). 24.5. ° Найдите общий вид первообразнмх функции: 1) / (X) = 0; 4..).../..(.х...) = —1 на промежутке (0; +оо); 2) / (х) = х8; х 5) / (х) = $[х на промежутке (4; +оо); 3) / (х) = 6) /( x ) = Vx на промежутке [0,5; +оо). З 24.6.' Проверьте, что: 1) [xcosx4x = cosx + xsin x +C; 2) [ . Х dx = \\Jx2+4+С, Vx2+ 4 где С — произвольное число. 243

§ 3. Интеграл и его применение 2 4 .7 / Проверьте, что функция F (х) = х - 2 является перво- Зх -1 образной функции / (х) = 5 на каждом из проме- (Зх-1) K з) и 1v3 J первообразнмх функции / на каждом из указаннмх про- межутков. 2 4 .8 / Для функции / найдите первообразную, график ко- торой проходит через указанную точку: 1) / (х) = х , А (-1; 3); 3) / (х) = еД С (0; -6 ). 2) / (х) = sin х, F (ж; -1); 2 4 .9 / Для функции / найдите первообразную, график ко- торой проходит через указанную точку: 1 )Пх) = х\\ 9 3) / (х) = ЗД К 2; In З 2) / (х) = cos х, N І—; —|; \\б 2 24.10/ Для функции / найдите на промежутке І первообраз­ ную F, которая принимает данное значение в указанной точке: 1) f ( x ) = \\ , І = (0 ; + 00), f W = - 9; 2) / (х) = — \\ — , / = 22 1 ^ М = 3л/3; COS X 3) / ( х ) = - , І = (-оо; 0), F (-е 3) = 7; X 4) / ( х ) = 2 - , І= (-о о ; 0), F = 3. 24.11/ Для функции / найдите на промежутке І первообраз­ ную F, которая принимает данное значение в указанной точке: 1) / (х) = — , 1 = (0; 7і), F f —1 = 0; sin х V4 J 244

24. Первообразная 2) f ( x ) = ^ = , I = (0; +oo), F (16) = 10; \\jx 3) /( x ) = - , I = (0; +oo), ^ Г -1 = -2; x \\e J 4) / (x) = 2X, I = (-oo; +oo), F (5) = 1. 24.12/ Укажите на рисунке 24.2 график, котормй может бмть графином первообразной функции / (х) = cos 3. 24.13/ Укажите на рисунке 24.3 график, котормй может бмть графином первообразной функции / (х) = їй 2. Рис. 24.3 24.14/ Для функции / ( x ) = sin2 —-c o s 2 — найдите какие-ни- 22 будь две первообразньїе, расстояние между соответствую- щими точками которьіх (то єсть точками с равньїми абсцис- сами) равно 2. 24.15.\" Докажите, что функции Ух (х) = —sin 2 x и F2 (x) = 2 = -s in 2|^x-^j являются первообразньїми функции / (х) = cos 2х. При каком значений С верно равенство Ft (х) = F2(х ) + С? 245

§ 3. Интеграл и его применение 24.16.•’•’Докажите, что функции F1(х) = siвnох и F2 (х) = —І cos 2х 2 являются первообразньїми функции / (х) = sin 2х. При каком значений С верно равенство F2(х) = Fr (х) + С? Правила нахождения первообразной При нахождении производнмх функций ви пользовались не только формулами, записанньїми в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В зтом пункте ми рас- смотрим три правила нахождения первообразнмх. Т еорем а 25.1. Если функции F и G являются соответ- ственно первообразньїми функций f u g n a промежутке І, то на зтом промежутке функция у = F (х) + G (х) явля- ется первообразной функции у = f (х) + g (х). Д о к а з а т е л ь с т в о . 0 И з условия следует, что для любо­ го х є І вьшолняются равенства F' (х) = / (х) и G' (х) = g (х). Тогда для любого х из промежутка І имеем: (F (х) + G (х))' = F' (х) + G' (х) = f ( x ) + g (х). ▲ Из теореми 25.1 следует, что j ( / (х) + g (х)) dx = j / (х) dx + j g (х) dx = F (х) + G (х) + С, где С — произвольное число. Аналогично можно доказать, что j ( / (х) - g (х)) dx = j f ( x ) d x - j g (х) dx = F ( x ) - G (x) + C. Т еорем а 25.2. Если функция F является первообразной функции f на промежутке I и k — некоторое число, то на зтом промежутке функция у = kF (х) является перво­ образной функции у = kf (х). Докажите теорему 25.2 самостоятельно. Теперь можно записать: j k f (х) dx = k J / (х) dx = kF (x) + C, где C — произвольное число. Теорема 25.3. Если функция F является первообразной функции f на промежутке I и k — некоторое число, от- 246

25. Правила нахождения первообразной личное от нуля, то на соответствующем про межу тке функция у = —F (kx + b) является первообразной функции k у = f (kx + Ь). Д о к а з а т е л ь с т в о . © Используя правило нахождения производной сложной функции, запишем: - F (kx + 6) = —F' (kx + b) •(kx + b)' = - f (kx + b)-k = f (kx + b). A k Jk k Коротко записнвают: [/ (kx + b)dx = —F (kx + b) + C, Jk гдє C — произвольное число. ПРИМЕР 1 Найдите общий вид первообразнмх функции / (х) = \\[х + на промежутке (0; +оо). X Р е ш е н и е . Надомним, что функция у = - является а +1 первообразной функции у = ха на промежутке (0; +оо). По- скольку на данном промежутке вмполняется равенство /— Xі2 2 г-г -v/x = x , то функция у = ------, то єсть функция у = —Vx , г +1 3 2 является первообразной функции у = у[х на промежутке (0; +оо). 1х то єсть функ- Поскольку —- = х , то функция у = - х- -2 +1 ция у = — , является первообразной функции у = ——на про- XX 2 межутке (0; +оо). Тогда по теореме 25.2 функция у = — X Воспользовавшись теоремой 25.1, долучаєм, что функция у = —2 \\ ГхЧГ---2-является первообразной заданной в условии 3х 247

§ 3. Интеграл и его применение функции /. Тогда запись —2 Vгіxг ---2-- ьС является общим видом 3х первообразнмх функции /. • Решение примера 1 можно записать и так: 2 j I 4 х +-^- Jdx = j * dx + j -X^~2- d x = j x 2 dx + 2 j x 2 dx = x^ x +1 2 /—у 2 +1 C C.--------------b — — \" V X ---------b —2 +1 3 x ПРИМЕР 2 Найдите одну из первообразних функции: 1) у = cos (2х + 1); 2) У= ----- на промежутке —;+со (5х-3)3 U Р е ш е н и е . 1) Поскольку функция F (х) = sin х является первообразной функции / (х) = cos х, то по теореме 25.3 функция у = —F (kx + b), то єсть функция у = —sin (2х + 1), k2 является первообразной функции у = cos (2х + 1 ) . 2) Поскольку -!- = х 3, то первообразной функции / ( х ) = = —1 является функция F(x) = X то єсть F(x) = ----- -3 +1 2х Тогда первообразная функции у = ---------- имеет вид у = (5х-3) 2 (5х-3) то єсть у = 10 (5х-3) ПРИМЕР 3 Для функции / ( х ) = 1 найдите первообраз- 4х-3 ную на промежутке | -со; —|, график которой проходит через точку М І—; 2 248

25. Правила нахождения первообразной Р е ш е н и е . Согласно теореме 25.3 запись —In 4 х - 3 + С, 4 где С — любое число, является общим видом первообразнмх функции / на данном промежутке. На промежутке f -оо; ^ J искомая первообразная имеет вид F (х) = —In (3 -4 х ) + С, где С — некоторое число. Из условия 4 следует, что .F —1 =2. Тогда —In 3 - 4 •— +С = 2, отсюда С = 2. 2 Следовательно, F (х) = —In (3 -4 х ) + 2. 4 ПРИМЕР 4 Скорость движения материальной точки по ко- з ординатной прямой изменяется по закону v(t) = —? yj2t +l Найдите закон движения у = s (t), если s (0) = 3 (перемеще- ние измеряется в метрах, время — в секундах). Ре ше ние . Функция у = s (t) является первообразной функ­ ции у = v (t) на промежутке [0; +оо). Тогда можно записать s (t) = 3 •—•2 *j2t + l +С, то єсть s (t) = 3 yj2t + 1 + С, 2 где С — некоторое число. Найдем С из условия s (0) = 3. Имеем: З -у/2 -0 + 1 + С = 3, отсюда С = 0. Тогда искомий закон движения задается формулой s(t) = 3 j2 t +l. • В пункте 8 вьі узнали, как найти производньїе произве- дения функций, частного функций и производную сложной функции. Наверное, после ознакомления с материалом зто- го пункта у вас возник вопрос: как найти первообразньїе функций у = f (х) g (х), у = —/( х—) или у = f (g (х)), если из- g(x) вестньї первообразньїе функций у = f (х) и у = g (х)? К со- жалению, обгцих правил нахождения первообразньїх таких функций не сугцествует. 249

§ 3. Интеграл и его применение Упражнения 25.1.° Найдите общий вид первообразннх функции: 1) / (х) = 4 - 2х; 2) / (х ) = Зх2 - х + 5; 3) / (х) = 5 sin х + cos х; 4) / (х) = х3 (2 - х2); 5) / (х) = 5ех - 2 • 3х; 6) /( х ) = —- х 3 на промежутке (-оо; 0); х 7) / (х) = 9 1--X--і на промежутке (0; тг); g— sin х 4 8) /( x ) = -t= + x 3 на промежутке (0; +оо); VX 9) /( х ) = —1 + —З на промежутке (-оо; 0); 10) / (х) = у[х--^г на промежутке (0; +оо). X 25.2.° Найдите общий вид первообразнмх функции: 1) / (х) = х + 3; 2) f (х) = х2 + 4х - 1; 3) f ( x ) х°+х х 2+1 ’ 4) / (х) = —ех + 2х In 2; 2 5) /( х ) = cos2X -3sin x на промежутке 71 71 —; 22 6) / ( х ) = 5 у[х — на промежутке (0; +оо); 7) /( х ) = 6х2---2г- на промежутке (0; +оо); 8) /( х ) = —9 [у +8— на промежутке (-оо; 0). 250

25. Правила нахождения первообразной 25.3.' Найдите общий вид первообразннх функции: 1) / (х) = sin 5х; 2) /( х ) = 2 c o s —; 2 3) /(х ) = | 6х + - | ; 4) /(х ) = ^ - 2 | ; 5) /( х ) = 4 п ; 6) / (х) = 7 ; , . . 1 . Іх п 7) / (х) = — s i n ------ ' З ІЗ 4 1 на пром еж утк е | 71#71 8) f(x) = cos2Зх , б’є / 8 на п ром еж утке ^п- 71\\ 9) f(x) = sin24х 10) / (х) = 1 на пром еж утке ^ V2 х - 1 ї :+” ) И ) f ( x ) =Vx + 4 на пром еж утке [ - 4; +со); 6 на промежутке 12) f( x) = Зх + 2 4 13) /(х ) = С0 1Tf 8І 00 1 н на п ром еж утке (--со; 2]. Н 25.4.' Найдите общий вид первообразнмх функции: 1) /( x ) = s in —; 4 2) /( x ) = 2cos| —- х |; 3) / (х) = е 251

§ 3. Интеграл и его применение 4) п 3п 5) / (де) = (2х - З)5; на промежутке | — І’ 6) /( х ) = — 1 cos 2 х - 7) /(де) = (Зх-1) на промежутке —;+со ; 8) /( х ) = ----- на промежутке (-оо; 3); 3-х 9) /( х ) = - на промежутке (0; 5л); sin 10) / ( х ) = -^4х + 7 на промежутке — ; + с о V4 2 5 .5 / Для функции / на промежутке І найдите первообраз- ную F, удовлетворяющую данному условию: 1) / (х) = 1 - 2х, І = (-оо; +оо), F (3) = 2; 2) / (х) = Зх2 - 4х, І = ( - о о ; + о о ), F (1) = 4; 3) / ( х ) = —sin —+ - c o s —, І = ( - о о ; + о о ) , F (%) = 7; З 32 2 4) / (х) = cos — Зх , І = (-оо; +оо), F — =2; 5) / (х) = 4 — - , І = (0; +оо), -F - =1; 6) / ( х ) = ;-4 sjx+A , І = (4; +оо), (5) = 6; 7) /( х ) = •\\/бх +1 , 1 = - - ; + о о , F (4) = 7; 8) / (х) = / = (-оо; +оо), 2? (0) = 1; 9) / (х) = (2 - Зх)2, І = (-оо; +оо), 2? (1) = 0; 10) / ( х ) =■ 2>/з cos 6х — ■ F m =- 252

25. Правила нахождения первообразной 2 5 .6 / Для функции / на промежутке І найдите первообраз- ную F, график которой проходит через данную точку: 1) / (х) = 3 - 6х, І = (-оо; +оо), А (-1; 0); 2) / (х) = 4xs - 6х2 + 1, І = (-оо; +оо), В (1; 5); 3) / (х) = 2х — ]=, І = (0; +оо), С (4; 10); \\X 4) / (х) = 2 sin Зх, І = (-оо; +оо), D 0 j; 5) f ( x ) = - ^ = , I = (4; + оо), Е (6; 12); I f2 6) / (х) = е2х+\\ і = (-оо; +оо), М ( - і ; 4 j; 7) / W =4^х -T3 еT ’ І =V\\ 4^ ; + ЛJ К ( е 2; 6); 8) / (х) = — — , І = (0; 8я), N (2%; -3). si.n2 —X 8 2 5 .7 / Для функции /(х) = 4х3 + 4х найдите первообразную F, один из нулей которой равен -1 . Найдите остальнне нули зтой первообразной. 2 5 .8 / Для функции /(х) = х2 - 12 найдите первообразную F, один из нулей которой равен 3. 25.9/ Функции F1и F2являются первообразнмми функции / на промежутке (-оо; +со). График функции F1 проходит через точку А, а функции F2 — через точку В. График какой из функций, F1 или F2, расположен вмше, если: 1) / (х) = 5х4 - Зх2 - 2, А (1; 2), В (0; 5); 2) / (х) = (2х - І)2, А (2; 6), В (-1; 1)? 25.10/ Функции Ft и F2 являются первообразнмми функции / (х) = . на промежутке ( —; +со І. График функции F1 V5x-1 V5 ) проходит через точку М (1; 9), а функции F2 — через точ­ ку N (10; 8). График какой из функций, Ft или F2, располо­ жен вмше? 253

§ 3. Интеграл и его применение 25.11. \" Скорость материальной точки, которая двигается по координатной прямой, изменяется по закону v (t ) = t2 + + 2t - 3. Залишите формулу зависимости ее координатьі от времени, если в начальний момент времени t = 0 точка находилась в начале координат (скорость движения изме- ряется в метрах в секунду). 25.12. \"Тело двигается по координатной прямой со скоростью, которая определяется в любой момент времени t по фор- муле v (t ) = 612 + 1. Найдите формулу, которая вьіражает зависимость координатьі точки от времени, если в момент времени t = 3 с тело находилось на расстоянии 10 м от на­ чала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду). 25.13.\" Задайте формулой функцию, определенную на промежут- ке (—оо; +оо), график которой проходит через точку А (-1; 6), а угловой козффициент касательной, проведенной к атому графику в точке с абсциссой х, равен 6х2 - 5х4. 25.14.\" Задайте формулой функцию, определенную на проме- жутке (0; +оо), график которой проходит через точку В (4; -5), а угловой козффициент касательной, проведенной к атому графику в точке с абсциссой х, равен —= + 1. л/х 25.15.\"\" Найдите: 1) fsin2xdx; 2) f sin 5х cos Зх dx; 3) fsin — sin — dx. JJ J3 3 25.16.\" Найдите: 1) jcos22xdx; 2) jc o s x c o s 8 x dx. 25.17. \" Для функции / (x) = 2x2 + Зх найдите такую первооб- разную, что прямая у = 5х - 2 является касательной к ее графику. 25.18. \" Для функции / (х) = х2 - 4 найдите такую перво- образную, что прямая у = -3 является касательной к ее графику. 25.19. \" Для функции /(х) = -2 х + 5 найдите такую первооб- разную, что ее график имеет только одну общую точку с прямой у = 2. 254

26. Площадь криволинейной трапеции. Определенньїй интеграл 25.20. ’’ Для функции /(х) = х + 1 найдите такую первооб- разную, что ее график имеет только одну общую точку с прямой у = -4 . 25.21. ’’ Вася Ошибочкин ищет первообразную функции у = cos х 2 так: 1) делает замену х2 = t и получает функцию у = cos t ; 2) далее ищет первообразную функции у = cos t и получает у = sin t ; 3) потом вместо t подставляет значение t = х2 и де­ лает вмвод, что каждая первообразная имеет вид у = sin х2 + С, где С — некоторое число. В чем состоит отттибка Васи? \\ \\ Площадь криволинейной трапеции. Определенньїй интеграл Рассмотрим функцию /, которая непрермвна на отрез- ке [а; Ь] и принимает на зтом промежутке неотрицательньїе значення. Фигуру, ограниченную графиком функции / и пря­ мими у = 0, х = ажх = Ь, назмвают криволинейной трапецией. На рисунке 26.1 приведенні примерм криволинейньїх трапеций. Рис. 26.1 Рассмотрим теорему, которая позволяет вичислять пло- щади криволинейньїх трапеций. Т еорем а 26.1. Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (х) и прямьіми у = 0, х = а и х = Ь (а < Ь), можно вичислит ь по формуле S = F (Ь) —F (а), где F — любая первообразная функции f на отрезке [а; Ь]. 255

§ 3. Интеграл и его применение Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим функцию у = S (х ), где х є [а; Ь], которая определена таким правилом. Если х = а, то S (а) = 0; если х є (а; Ь], то S (х) — ато площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2. Докажем, что S' (х) = f (х) для всех х є [а; Ь]. Пусть х0 — произвольная точка отрезка [а; Щи Д х — при- ращение аргумента в точке х0, Ограничимся рассмотрением случая, когда Д х > 0 (случай, когда Д х < 0, рассматривают аналогично). Имеем: A S = S (х0 + Дх) - S (х0). Получаем, что A S — зто площадь криволинейной трапе­ ции, заштрихованной на рисунке 26.3. Рис. 26.3 На отрезке АВ как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна AS (рис. 26.4). Длиньї сторон зтого прямоугольника равньї Дх и / (t), где t — некоторая точка промежутка [х0; х 0 + Дх]. Тогда AS = / ( t ) ’ Ax. Отсюда fД-х = f (t)• Если Ах —> 0, то t —> х 0. Поскольку функция / непрерив- на в точке х0, то lim / (t) = f (х0). Отсюда, если Дх —> 0, то t->X0 f (t) f (х0). Имеем S' (х0) = дli.^mо —д х Дlхim^-0 f ( t ) = f ( x 0). Поскольку х0 — произвольная точка области определения функции у = S (х), то для любого х є [а; Ь] вьіполняется pa- 256

26. Площадь криволинейной трапеции. Определенньїй интеграл венство S' (X) = / (х ). Получили, что функция у = S (X) явля- ется одной из первообразнмх функции / на отрезке [а; Ь]. Пусть F — некоторая первообразная функции / на отрезке [а; Ь]. Тогда по основному свойству первообразной можно записать F (х) = S (х ) + С, где С — некоторое число. Имеем: F (b) - F (а) = (S (b) + С) - (S (а) + С) = S (b) - S (а) = S (b). По определению функции у = S (х ) искомая площадь S криволинейной трапеции равна S(b). Следовательно, S = F (b) - F (а). А 17* ПРИМЕР 1 Найдите площадь S фигури, ограниченной графиком функции / (х) = sin х и прямими у = 0, х = —71 З и х = —71 . 2 Р е ш е н и е . На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти. Одной из первообразньїх функции / (х) = sin х на отрезке 71 71 является функция F (х) = -cos х. Тогда З2 І 71 1 |' п і \\ - р \\v l J 71 71 1 — + COS — = - . 2 32 257

§ 3. Интеграл и его применение ПРИМЕР 2 Найдите площадь S фигури, ограниченной гра- фиком функции /(х ) = 4х - х2 и прямой у = 0. Р е ш е ниє. График функции / пересекает прямую у = 0 в точках х г = 0 и х2 = 4 (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требует- ся найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции / и прямими у = 0, х = 0, х = 4. Одной из первообразних функ­ ции / на отрезке [0; 4] является функция X F(x) = 2 x ----- . Тогда З S = F (4) - F (0) = 2 •4\"-----= —32 О п р е д е л е н и е . Пусть F — первообразная функции / на промежутке І, числа а и Ь, где а < Ь, принадлежат проме- жутку І. Разность F (Ь) —F (а) назьшают о п р е д е л е н н ь їм и н т е г р а л о м функции / на отрезке [а; Ь]. Определенний интеграл функции / на отрезке [а; Ь] обо- ь значают j /( x ) d x (читают: «интеграл от а до b зф от икс де а икс»). Следовательно, ь (1) j7 (x ) dx = F (b )-F (a ) а где F — произвольная первообразная функции / на проме­ жутке І. Например, функция F (х) = х3 является первообразной функции / (х) = Зх2 на промежутке (-оо; +оо). Тогда для про- извольних чисел а и Ь, где а < Ь, можно записать: ь JЗх2 dx = F ( b ) - F (а) = Ьв - а в. Заметим, что значение разности F (b) - F (а) не зависит от того, какую именно первообразную функции / вибрали. 258

26. Площадь криволинейной трапеции. Определенньїй интеграл Действительно, каждую первообразную G функции / на про- межутке І можно представить в виде G (х ) = F (х ) + С, где С — некоторая постоянная. Тогда G ( b ) - G (а) = (F (b) + C ) - ( F (а) + С) = F (Ь) - F (а). Равенство (1) називают формулой Ньютона—Лейбница. Следовательно, для відчислення определенного интеграла ь f (х) dx по формуле Ньютона-Лейбница надо: 1) найти любую первообразную F функции / на отрезке [а; Ь]; 2) вичислить значение первообразной F в точках х = b и х = а; 3) найти разность F (b) - F (а). При вичислений определенньїх интегралов разность .б F (b) - F (а) обозначают F (х) Іа. Используя такое обозначение, вичислим, например, Пб [c o sx d x . Имеем: Jо cos x d x = sin х І 6- = sin 7—1 sin 0 =1—. lo 6 2 ПРИМЕР 3 Вичислите j(x 4 + x 2- 2 ) dx. P е ш е н и є . Имеем: j( x 4+ x 2-2 ) dx = 1— + — - 2 x =| —25 +-2—3 2-2 1-І — +-— 2-1 |=6— . 15 Если функция / имеет первообразную F на отрезке [а; Ь] и с є (а; Ь), то из формули Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла: Ь СЬ j / (х) dx = j / (х) dx + j / (х) dx. 259

§ 3. Интеграл и его применение Действительно, ь J/ (х) dx = F(b) - F(a) = (F(b) - F(c))+ (-F(c) - F(a)) = a bc = j / (x) dx + j / (x) dx. ca Если каждая из функций / и g имеет первообразную на отрезке [а; Ь], то, используя теореми 25.1 и 25.2, можно до­ казать (сделайте зто самостоятельно) такне свойства опреде- ленного интеграла: ь ь ь 1) | ( / (х) + g (х)) dx = j / (х) dx + j g (х) dx; 2) ] k f ( x ) d x = k ] f ( x ) d x , где k — некоторое число. аа Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенньїм интегралом и площадью S криволи- нейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (х) и прямими у = 0, х = а и х = b (а < Ь). Используя теорему 26.1, можно записать: ь S = j / (х) dx а Заметим, что в зтой формуле рассматриваются непре- ривньїе функции /, которие на отрезке [а; 5] принимают только неотрицательньїе значення. Однако определенньїй интеграл можно использовать для відчислення площадей более сложньїх фигур. Рассмотрим непрерьівньїе на отрезке [а; 5] функции / и g такне, что для всех х є [а; 5] вьіполняется неравенство f ( х ) > g (х). Покажем, как найти площадь S фигурм Ф, ограничен­ ной графиками функций / и g и прямими х = а и х = b (рис. 26.7). Перенесем фигуру Ф вверх на с0 единиц так, чтобм полу- ченная фигура находилась вьіше оси абсцисо (рис. 26.8). Фигура ограничена графиками функций у = f (х) + с0 и у = g (х) + с0 и прямими х = а, х = Ь. 260

26. Площадь криволинейной трапеции. Определенньїй интеграл Рис. 26.7 Рис. 26.8 Поскольку фигурм Ф и имеют равнме площади, то искомая площадь S равна разности Sf - Sg, где Sf — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (х ) + с0 и прямими у = 0, х = а и х = b (рис. 26.9, а); Sg — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = g (х) + с0 и прямими у = 0, х = а и х = b (рис. 26.9, б) Рис. 26.9 Таким образом, используя свойства определенного инте- грала, можем записать: ьь S = Sf - S g = j ( f ( x ) + c0) d x - j ( g ( x ) + c0) d x = bb = j ((/ (x) + c0) - ( g (x) + c0)) dx = j ( / (x )- g (x)) dx. aa 261

§ 3. Интеграл и его применение Следовательно, вели функции f u g непреривни на от- резке [а; b] и для всех х є [а; Ь] виполняется неравенство f (х) > g (х), то площадь S фигури, ограниченной графина­ ми функций f u g u прямими х = а и х = Ь, можно вичислить по формуле ь S = f (/( * )-£ (* ) ) йх ПРИМЕР 4 Найдите площадь S з фигури, ограниченной графина­ ми функций / (х) = - х 2 + 6х - 6 1 и g (х) = х2 - 2х. 8 з' Р е ш е н и е . Нарисунке 26.10 изо- бражена фигура, площадь которой требуется найти. Решив уравнение / (х) = g (х), устанавливаем, что графини функ­ ций / и я пересекаются в двух точ­ ках с абсциссами х = 1 и х = 3. Тогда искомая площадь зз S = | ( / ( х ) - £ (х)) dx = j(-2 x 2+ 8 х -6 ) dx іі 2 -3d 2-І3 -4 -З2 +4 •І2 З 262

26. Площадь криволинейной трапеции. Определенньїй интеграл Упражнения 26.1.° Найдите площадь криволинейной трапеции, изобра- женной на рисунке 26.11. 263

§ 3. Интеграл и его применение 26.2.° Найдите площадь криволинейной трапеции, изобра- женной на рисунке 26.12. 26.3.° Вичислите определенннй интеграл: 7 2 г dx 7) 1) j x d x ; 4) j x4 dx; -1 ш 5 8 n er dx' 3 2) jdx; 8) J 5) j sin x dx; е2 Х 3 0 0 n 9) J 3) j x 2 dx; f dx 6) 2 * COS X 4 264

26. Площадь криволинейной трапеции. Определенньїй интеграл 0 u 10) j 3хdx; 13) j(3 x 2- x ) dx; 0 -2 n 8 2 11) jyfx dx; 14) J(4 sin x + 2 cos x) dx. 1 -2 12) J(2x + 4)dx; 26.4.° Вичислите определенньїй интеграл: 1) j 2 dx; dx 7) P ; 4) j si■ n2 X ’ -4 *X 5) 2 9 JX 2) j x 3 dx; 8) j 4 x dx; 3) j cos x dx; 6) j ex dx; 9) j ( l - 5 x 4) dx. 2 6 .5 / Найдите площадь криволинейной трапеции, ограни- ченной: 1) параболой у = х2 + 1 и прямими у = 0, х = 0, х = 2; Z) косинусоидоии у = cosx и прямими [/ = л0, х - —71, х = —71; б2 3) графиком функции у = - х 3 и прямими у = 0, х = -2 ; 4) параболой у = 3 - 2х - х2 и прямими у = 0, х = -2 , х = 0; 5) гиперболой у = — и прямими у = 0, х = —, х = 2; 2х 4 6) параболой у = 2х - х2 и осью абсцисс; 7) синусоидой у = sin 2х и прямими у = 0, х = — , х = —; 12 4 8) графиком функции у = — -—- и прямими у = 0, х = -1 , (х-1) х = 0; 9) графиком функции у = ех + 1 и прямими у = 0, х = 0, х = -2; 10) графиком функции у = V5 - х и прямими у = 0, х = -4 . 265

§ 3. Интеграл и его применение 2 6 .6 / Найдите площадь криволинейной трапеции, ограни- ченной линиями: 1) у = х 2 - 1, у = 0, х = 2; 2) у = - х 2 - 4 х , у = 0 , х = - 3 , х = - 1 g 3) у = — , у = 0 , х = - 4 , х = - 2 ; X 4) У = (х + 2) Г , у = 0, х = - 1 , х = 1; 5) у = у / х + 4 , у = 0, х = - 3 , х = 5; 1 6) y = _1’ У = 0, х = -2 , х = -4. 2 6 .7 / Докажите, что криволинейнме трапеции, закрашен- нне на рисунке 26.13, равновелики. 2 6 .8 / Вичислите определеннмй интеграл: 1) j ( 4 x 3- 4 x + 3) d x ; dx 7) j 3-2x’ Зд 8) jj ^ s in ^ + cos5xJ d x ; 2р X 2) *cos —Зd x ; ь6 3dx 9) Js i n ^ - 3 x j d x ; 3 ~>* sin 2x 0 6 10) j e 6 d x ; і id J dx 4) j ( x - 3 ) 2 dx; 'j (4x + l) -2 1 5) j ( 5 x - 3 ) 5dx; dx !2) J # - 2 d x . 6 )j у/Зх —2 2 6 .9 / Вичислите определеннмй интеграл: 1) j | ^ - + 2 x - 3 x 2 Jd x ; 2) j s i n - ^ d x ; dx 71 3) j- 4д 3 3 2f X COS 2 266

26. Площадь криволинейной трапеции. Определенньїй интеграл і «5 dx 4) j ( 2 x - l ) 4 dx; 0 Зх +1 0 7 dx 5) j 6 dx 4 ;x+4 8) |j ( 6 x - 5 ) 2’ In 4 6) J e 2x dx; 9) jV 7 x -3 dx. 26.10/ Найдите площадь фигурм, ограниченной линиями: 1) у = х 2, у = 4; 9) у = х 2 + 2х + 1, у = х + 3; 2) у = 2х2, у = 2х; 10) у = - х 2 + 2х, у = х2; 3) у = ех, у = 1, х = 2; 11) у = х 3, у = х 2; 4 12) у = ех, у = е, х = 0; 4) у = - , у = 1, х = 1; 5) У= “ ’ У = 4, х = 4; 13) У = -> * + У = 8; 6) у = х 2 - 4х + 5, у = 5; 14) у = —2 , у = 2х, х = 2; 7) у = 2 + х -х ^ , у = 2 - х ; 15) у = sin х, у = cos х, х = 0, х = —. 4 8) у = х 2 + 2, у = х + 4; 26 .1 1 / Найдите площадь фигурн, ограниченной: 1) графином функции у = х3 и прямими у = 8, х = 1; 2) параболой у = 0,5х2 и прямой у = -х ; 3) параболой у = 4 - х2 и прямой у = 3; 4) параболой у = 6 + х - х 2 и прямой у = 6 - 2х; 5) параболами у = х2 - 4 х + 4 и у = 4 - х2; з 6) гиперболой у —— и прямими у = 3, х = 3; X 7) графином функции у = и прямими у = е, х = 0; 5 8) гиперболой у = — и прямой х + у = 6. X 26.12/’ При каком положительном значений а определенньїй а интеграл j ( 6 - 2 x ) dx принимает наибольшее значение? о 267

§ 3. Интеграл и его применение 26.13. ’’ При каких значеннях а площадь фигурьі, ограниченной линиями у = Xі , у = 0, х = а, равна 9? 26.14. ’’ При каких значеннях а площадь фигурьі, ограниченной линиями у = 2xs, у = 0, х = а, равна 8? 26.15. ’’ При каком значений а прямая х = а разбивает фигуру, ограниченную графиком функции у = —2 и прямьіми у = 0, X х = 3, х = 12, на две равновеликие фигурьі? 26.16. ’’ При каком значений а прямая х = а разбивает фигуру, ограниченную графиком функции у = - X s и прямьіми у = 0 , х = -2 , на две равновеликие фигурьі? 26.17. ’’ При каких значеннях а вьіполняется неравенство: а 0 26.18.’’ При каких положительньїх значеннях а вьіполняется неравенство dx > 1,5, где а > - ? 2 2 26.19.” Вичислите определенньїй интеграл: 12 2 00 0 26.20.” Вьічислите определенньїй интеграл: 15л 4 1) 42 2 ,2 х 2 268

26. Площадь криволинейной трапеции. Определенньїй интеграл 26.21. ” Найдите площадь фигурн, ограниченной линиями: 1) у = х 2 - Зх - 4, у = 0, х = 0, х = 3; 2) у = ~х2, у = х ~ 2; 3) у = х 2 - 4, у = 4 - х 2; 4) у = х 2 - 2х, у = х; 5) у = 3 sin х, у = - 2 sin х, х = 0, х = —2ті ; З 6) у = —- 2 , у = 2, х = 2, х = 4. х 26.22. ” Найдите площадь фигурн, ограниченной линиями: 1) у = х 2 - 4х, у = х - 4; 2) у = 3 - х 2, у = 2х; 3) у = cos х, у = - 2о cos х, х = —ТС , х = —ТС ; б2 4) у = 4 - х 2, у = х 1 - 2х. 26.23.” Найдите площадь фигурн, ограниченной: ,1.) графином функции у = <[ 2 - х 2, если х <1, и прямнми І2х —1, если х > 1 у = 0, х = -1 , х = 2; ч cos х, если - —< х < 0, 2) графином функции у = < 2 и пря- 1 -х , если 0 < х < 1 мой у = 0. 26.24.” Найдите площадь фигурн, ограниченной: Гх+ 3, если х < -1 , 1) графином функции у = < и прямнми їх +1, если х > - 1 у = 0, х = -2 , х = 0; х + 2, если - 2 < х < 0, 2) графином функции у = < ТІ 2 cos 2х, если 0 < х < — 4 и прямой у = 0. 269

§ 3. Интеграл и его применение 26.25. ” Найдите площадь фигурн, ограниченной параболой у = —х 2+ 1, прямой, которая касается зтой параболи 2 в точке с абсциссой х0 = 2, и осями координат. 26.26. ” Найдите площадь фигурн, ограниченной осью аб­ сцисо, графиком функции у = 2х3 и прямой, которая касается зтого графика в точке с абсциссой х0 = 1. 26.27. ” Внчислите определенннй интеграл, используя его геометрический смнсл: 1) j V1 - х 2 dx; 4) |л / б - 4 x - x 2 dx; -і -5 0 1 2) j -у/9 - х 2 dx; 5) | x dx; -3 -4 5 8 3) j V 8 x - x 2 dx; 6) j x - 2 dx. 26.28.” Внчислите определенннй интеграл, используя его геометрическии смнсл: 5 О 3) j^/ б х - х 2- 5 dx; 1) j V2 5 - х 2 dx; 1 -5 2 2л/з 4) j І х + 1 Idx. 2) j V1 2 - х 2 dx; 0 -2 <? 26.29. * Внчислите определенннй интеграл jin х dx. і і 26.30. * Внчислите определенннй интеграл jarcsin х dx. Вьічисление обьемов тел В предндущем пункте вн узнали, как с помощью инте- грирования можно внчислять площадь криволинейной тра- пеции. Напомним, что если фигура ограничена графиками 270

27. Вьічисление обьемов тел функций / и g и прямими х = а и х = b (рис. 27.1), то ее площадь можно вичислить по формуле ь S = | ( / (х) —§ (х)) dx. а Рассмотрим функцию І (х) = / (х) - g (х). Величина І (Х о) = f ( * о ) _ g (х0) равна длине отрезка, по которому верти­ кальная прямая х = х0 пересекает данную фигуру (рис. 27.2). Следовательно, можно записать: ь S = ji(x ) dx. Оказивается, что последнюю формулу можно обобщить для решения задач на вьічисление обьемов пространствен- ньіх тел. В пространственной прямоугольной декартовой системе координат рассмотрим тело Ф, обьем которого равен V. Пусть плоскость х = х0 пересекает тело Ф по фигуре с пло- щадью S (х0), а проекцией тела Ф на ось абсцисс является отрезок [а; Ь] (рис. 27.3). Если у = S (х) — непрермвная на отрезке [а; Ь] функция, то обьем тела Ф можно вичислить по формуле ь F = jS (x ) dx Зту формулу можно доказать, используя идею доказа- тельства теореми 26.1. Покажем, как с помощью полученной формули вивести формулу обьема пирамидм. 271

§ 3. Интеграл и его применение Пусть дана пирамида с внсотой ОМ, равной h, и основа- нием, площадь которого равна S (рис. 27.4). Докажем, что об^ем пирамидм равен V = —Sh. Введем систему координат З так, чтобн вершина пирамидм О совпала с началом коорди­ нат, а вмсота пирамидм ОМ принадлежала положительной полуоси абсцисс (рис. 27.5). Тогда основание пирамидм ле- жит в плоскости х = h. Позтому проекцией пирамидм на ось абсцисс является отрезок [0; 1і\\. Рис. 27.4 Рис. 27.5 Пусть плоскость х = х0 пересекает пирамиду по много- угольнику с площадью S (х0). Понятно, что плоскость сече- ния параллельна плоскости основания пирамидм. Позтому многоугольник, образованннй в сечении, подобен много- угольнику основания пирамидм. При зтом козффициент подобия равен —X . В_оспользовавшись теоремой об отношении h площадей подобннх фигур, можно записать: S ( x 0) = х 02 S h2' Отсюда <S(x0) = —j S . Теперь можно записать: h hГX2 _ = —S \

x2d ,x = -S-- . 3 S її -SH. —S dx Ь2 З з -X-- J0 h11 h11 J0 h 3 272

27. Вьічисление обьемов тел ПРИМЕР Фигура, ограниченная графиком функции / (х) = = х2 + 1 и прямими х = 0, х = 1, у = 0 (рис. 27.6), враща- ется вокруг оси абсцисс, образуя тело об^ема V (рис. 27.7). Найдите V. Р е ш е н и е . При пересечении образовавшегося тела плоско- стью х = х0, где х0 є [0; 1], долучаєм круг (рис. 27.8), радиус которого равен /(х 0). Тогда площадь зтого круга равна S (х0) = 7і/2 (х0) = 71(x 'q+ 1) = 71(хд +2x1 + !)• Позтому {. {. ( х5 2х3 V = j S (х) dx = J71 (х4 + 2 х 2+1) dx = я ---- 1------- ьх оо V5 З = 71 -1 + -2 + 71 28л 5З -----. • 15 Вообгце, имеет место такое утверждение. Если при врагцении фигурм, ограниченной графиком не- прермвной и неотрицательной на отрезке [а; Ь] функции / и прямими х = а, х = Ь, у = 0, вокруг оси абсцисс образуется тело обтіема V, то ь V = я | / 2(х) dx 273

§ 3. Интеграл и его применение Упражнения 27.1. *Найдите обьем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигурм, ограниченной линиями: 1) у = 2х + 1, х = 1, х = 0, у = 0; 2) у = х2 + 1, х = 1, х = 2, у = 0; 3) у = у[х, х = 1, х = 4, у = 0; 4) у = х2, у = х; 5) У= ~ , У = 0, х = —, х = 2, у = х. х2 27.2. *Найдите обт>ем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигурм, ограниченной линиями: 1) y = Jcos х, у = 0, х = х = —; 44 2) у = х - х2, у = 0; 3) у = 4 х , у = 1, х = 2. 27.3. * В шаре радиуса R на расстоянииR— от центра шара 2 проведена плоскость, которая разбивает шар на две части. Найдите об'явим зтих частей. 27.4. * Докажите, что обт>ем шара радиуса R равен —кR A. З 27.5. * Вмведите формулу для вмчисления обт>ема конуса. КОГДА СДЕЛАНЬІ УРОКИ «Разумом он превзошел род человеческий» Зти величественнме слова написанм потомками о знаме- нитом английском ученом — физике и математике Исааке Ньютоне. В истории науки рядом с И. Ньютоном стоит еще одна гигантская фигура — немецкого ученого Готфрида Вильгельма Лейбница, котормй оставил после себя неиз- гладиммй след в философии, математике, юриспруденции, логике, дипломатии, истории, политологии. Среди огромного 274

«Разумом он превзошел род человеческий» научного наследия зтих гениальнмх учених особое место занимают результати, связанние с созданием дифференци- ального и интегрального исчисления — науки о производньїх и первообразних. Надо подчеркнуть, что Ньютон и Лейбниц создавали свои теории в те Бремена, когда привьічньїе для нас понятия и терминьї либо вообще не существовали, либо не имели точного сммсла. Попробуйте представить себе учебник по алгебре, в котором нет терминов «множество», «функция», «действительное число», «предел» и т. п. Более того, многие удобние современньїе обозначения тогда егце не стали обгце- употребительньїми. Некоторме из них Ньютону и Лейбницу пришлось самим изобретать, обобгцать и приспосабливать к потребностям. Например, Лейбниц начал обозначать опе- рацию умноження точкой (до того использовали символи: □ , х , *, М и т. д.), операцию деления — двоеточием (ранее часто использовали букву D); Ньютон распространил обо- значение для степени а\" на случай целих и дробних значений /7, а обозначение yfx обобгцил до у[х. Термин «функция» и символ интеграла « | » впервьіе встречаются в трудах Лейб- ница. Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм (1643-1727) Лейбниц (1646-1716) 275

§ 3. Интеграл и его применение Вообще, историю развития математики можно смело раз- делить на зпохи до и после появлення производной и инте- грала. Открмтия Ньютона и Лейбница дали возможность ученим бистро и просто решать задачи, которие раньше считались абсолютно неприступними. Приведем показательний пример. В первой половине XVII века видающийся итальянский математик Бонавенту- ра Кавальєри предложил новий метод для відчислення пло- щадей. Пользуясь зтим методом, Кавальєри смог вичислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графи- ком функции у = х\", осью абсцисо и вертикальной прямой х = 1, при некотормх значеннях п (рис. 27.9). Настойчиво работая более 10 лет, с помощью крайнє сложньїх и громозд- ких рассуждений Кавальєри смог решить задачу только для натуральних значений п, меньших 10. Нечего и говорить, что, используя формулу Ньютона- Лейбница, искомую площадь можно найти в одну строку не только для натуральних, а и для всех положительньїх значений п : тисяч лет все попьітки учених решить такую или подоб- ную задачи ґбили воо?бще ґбезрезуль­ Рис. 27.9 татними. Для своих расчетов Кавальєри сформулировал такой принцип: если все прямие, параллельние между со- бой, пересекают фигурьі и F2 по отрезкам одинаковой длиньї (рис. 27.10), то такие фигурьі имеют равние площади. Ознакомившись с зтим принципом, в 1644 году видающийся итальянский ма­ тематик и физик Званджелиста Торричел- ли писал: «Без сомнений, геометрический Рис. 27.10 принцип Кавальєри — удивительное по своей 276

«Разумом он превзошел род человеческий» зкономии средство для нахождения теорем... Зто — дей- ствительно царская дорога среди зарослей математического терновника». Например, из принципа Кавальєри следует, что прямо- угольник и параллелограмм с одинаковмми стороной и вн- сотой имеют равние площади (рис. 27.11). Однако принцип Кавальєри работает и для более сложннх фигур. Например, рассмотрим две фигурьі: единичний квадрат и «криволиней- ньій четьірехугольник» ABCD, ограниченний линиями у = у[х, у = у [х + 1, х = 0, х = 1 (рис. 27.12). Понятно, что каждая вертикальная прямая пересекает обе фигури по от- резкам единичной длини. Тогда из принципа Кавальєри следует, что площадь «криволинейного четмрехугольника» ABCD равна площади единичного квадрата, то єсть единице. В справедливости зтого вивода вьі можете убедиться само- стоятельно, вичислив площадь «криволинейного четмрех- угольника» ABCD с помощью формульї Ньютона-Лейбница. Рис. 27.11 Идеи, близкие к сформулированному принципу Кавальє­ ри, натолкнули Ньютона и Лейбница на создание удобной общей теории, которая позволяет просто и бистро строить касательние к сложнейшим кривим, находить наибольшие и наименьшие значення функций, вичислять площади раз- нообразних фигур, решать многие другие важньїе и сложние задачи. 277

§ 3. Интеграл и его применение ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» № З 1. Какая из данннх функций является первообразной функ- ции / (х) = х 4? 55 A) F (х) = 4х3; Б) F(x) = — ; В) F (х) = х 5; Г) F(x) = — . 54 2. В каком из данннх случаев функция F является перво­ образной функции /? A) / (х) = sin х, F (х) = cos х; Б) / (х) = 2х, F (х) = 2х In 2; B) / (х ) = х, F (х) = 1; Г) / (х) = cos х, F (х) = sin х. 4 3. Укажите общий вид первообразнмх функции /( х ) = — X на промежутке (0; + с о ) . А) 20 X В) 'хЇГ\" Б) ~ \\ + С; 2 X Г) Зх6 4. Какая из даннмх функций является первообразной функ­ ции / (х) = — на промежутке (-<»; -1]? X A) F (х) = -1 - In х; В) F (х) = I n (х - 1); Б) F (х) = I n (1 - х); Г) F (х) = I n (-х ) - 1. 5. Укажите общий вид первообразнмх функции / (х) = евх. А) евх + С; 6х+1 В) ------- + С; бх + 1 Б) 6евх + С; Г) - е 6х+С. 6 6. Функция F является первообразной функции / (х) = х - 3. Через какую из данннх точек проходит график функ­ ции F, если F (2) = 5? А) (0; 8); Б) (-2; 17); В) (1; 5,5); Г) (4; 4). 278

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № З 7. Какая из данннх функций является первообразной функ- ции / (х) = 7\"? rjx A) F(x) = - В) F (х) = 7х; In 7' Б) F (х) = 7х In 7; Г) F(x) = х +1 8. Вичислите интеграл | х2 dx. о А) 27; Б) 9; В) 6; Г) 3. пЗ 9. Вичислите интеграл | sin Зх dx. А )Ь Б) Г - B )d; Г) - 1? 10. Вьічислите интеграл ) dx 2Зпsi.n 2—х 2 7з Б) 2 л/З; В) г) 7з. А) З 11. Вьічислите интеграл Г— (dIxX j22 V 7 - x А) -4; Б) 4; В) -2 ; Г) 2. 44 12. Вичислите интеграл | ( / ( x ) + l)d x , если j / ( x ) d x = 2. -і -і А) 3; Б) 5; В) 7; Г) 9. 13. На рисунке изображен график функции у = f (х). Най- 04 дите значение вираження | /' (х) dx - 1/' (х) dx. A) 0; Б) 2; B ) 1; Г) найти невозможно. 279

§ 3. Интеграл и его применение 14. Вичислите площадь закрашенной фигурьі, изображенной на рисунке. А» а ; Б) ї ; ві А в) Т ’ D і. 15. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограничен- ной линиями у = 6х - х2, у = 0, х = 1, х = 3. А) 12—; Б) 14—; В) 14—; Г) 1 5 -. 3 3 3 3 16. Значение какого из даннмх интегралов равно площади закрашенной фигурн, изображенной на рисунке? 17. Вичислите площадь фигурн, ограниченной линиями у = х 2, у = 2 - х . А) 3,5; Б) 4; В) 4,5; Г) 5. 18. При каком значений а прямая х = а разбивает фигуру, ограниченную графиком функции у = — и прямнми X у = 0, х = 2, х = 8, на две равновеликие фигурн? А) 4; Б) 5; В) 10; Г) такого значення не существует. 280

=-гт^\"П ¥ ( її 4 Злементьі теории вероятностей и математической статистики

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики I J Комбинаторньїе правила суммьі и произведения Сколькими способами ученики вашего класса могут стать друг за другом в очереди в буфет? Сколькими способами можно вибрать в вашем классе старосту и его заместите- ля? Сколькими способами могут распределиться золотие, серебряние и бронзовіле медали на чемпионате мира по футболу? Отвечая на зти вопросьі, надо подсчитать, сколько различ- ньіх комбинаций, образованньїх по определенному правилу, можно составить из злементов данного конечного множества. Область математики, которая занимается решением подоб- ньіх задач, називают комбинаторикой. В основе решения большинства комбинаторньїх задач ле- жат два правила: правило суммьі и правило произведения. Рассмотрим такой пример. Туриста заинтересовали 5 маршрутов в Криму и 7 маршрутов в Карпатах. Виясним, сколькими способами он может организовать свой отпуск, имея время только на один маршрут. Поскольку всего имеется 5 + 7 = 12 различньїх маршру­ тов, то один из них можно вибрать 12 способами. Обобгцением зтого примера является следуюгцее пра­ вило. П р ав и л о сум м ьі. Если злемент а можно вьібрать т спо­ собами, а злемент Ь можно вьібрать k способами, то вьібор «а или Ь» можно осуществить т + k способами. Обратимся снова к примеру с вибором маршрутов. Если у туриста єсть время на два маршрута и он хочет побивать сначала в Криму, а затем в Карпатах, то он может организо­ вать свой отдьіх 35 способами. Действительно, если вьібрать один маршрут в Криму, то парой к нему может бить любой из 7 карпатских маршрутов. Так как маршрутов в Криму 5, то количество пар (маршрут в Криму; маршрут в Карпатах) равно 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7- 5 = 35. Зти соображения иллюстрирует следуюгцая таблица: 282

Крьімские 28. Комбинаторньїе правила суммьі и произведения маршрути Карпатские маршрути 123456 7 і (і; і) (і; 2) (і; з) (і; 4) (1; 5) (і; 6) (і; 7) 2 (2; і) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (2; 7) 3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (3; 7) 4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (4; 7) 5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (5; 7) Обобщением зтого примера является такое правило. П р а в и л о п р о и зв е д е н и я . Если злемент а можно вві­ брать т способами и после каждого такого вьібора злемент Ь можно вьібрать k способами, то вьібор «а и Ь» в указанном порядне, то єсть вьібор упорядоченной парьі (а; Ь), можно осуществить mk способами. ПРИМ ЕР 1 Сколько четнрехзначннх чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, причем так, чтобн в каждом числе все цифри били разньїми? Р е ш е н и е . Первой цифрой в також четмрехзначном числе может бить любая из четнрех цифр: 1, 2, 3 или 4. Имеем: 4 варианта. Поскольку все цифри в атом четмрехзначном числе долж- нм бмть разнмми, то какой бм ни бмла первая цифра, второй цифрой числа может бмть любая из трех оставшихся цифр. Следовательно, для каждого из 4 вариантов первой цифрн существует 3 варианта для второй цифрн. Используя правило произведения, имеем, что первне две цифрн четнрехзнач- ного числа можно вибрать 4*3 = 12 способами. Рассуждая аналогично, можно утверждать, что для каждо­ го из зтих 12 вариантов внбора первнх двух цифр существует два варианта внбора третьей цифрн. Действительно, если в качестве первнх двух цифр внбранн, например, цифрн 1 и 2, то третьей цифрой может бнть любая из двух цифр 3 или 4. Используя правило произведения, приходим к виводу, что первне три цифрн можно вибрать 4 • 3 • 2 = 24 способами. Поскольку все цифрн в четнрехзначном числе должнн бнть разннми, то первне три цифрн числа однозначно опре- 283

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики деляют последнюю четвертую цифру. Позтому из цифр 1, 2, З, 4 можно составить 4 • 3 • 2 • 1 = 24 четьірехзначньїх числа так, чтобм в каждом числе все цифри били различнмми. Ответ: 24. При решении примера 1 нам пришлось вичислять произ- ведение 4*3* 2*1. В комбинаторних задачах произведение последовательннх натуральних чисел от 1 до п встречается так часто, что долучило специальное название «факториал» и обозначение пі (запись «пі» читают: «зн факториал»): пі = 1 • 2 • 3 •... • п. Например, 3! = 1- 2- 3 = 6, 5! = 1- 2- 3- 4- 5 = 120. ПРИМЕР 2 Для защити информации на компьютере исполь- зуют пароль — последовательность букв и цифр длиной от З до 5 символов (пароль может содержать несколько одинако- вьіх символов). Сколько различньїх паролей можно создать, используя 26 букв и 10 цифр? Рв шв нив. Рассмотрим количество различньїх паролей из трех символов. Первьім символом можно вибрать любую букву или любую цифру. Следовательно, имеем 36 вариантов. Ана- логично для вьібора второго и третьего символов существует по 36 вариантов. Используя правило произведения, имеем, что существует З63 различньїх паролей из трех символов. Таким же образом доказьіваем, что количество паролей из четьірех символов равно 36 , а паролей из пяти символов — 3 6 . Позтому, используя правило суммьі, полупаєм, что общее количество паролей составляет З63 + 364 + 365. • О—» ЗАДАЧА Докажите, что количество подмножеств про- извольного /7-злементного множества М равно 2”. Решение. Пронумеруєм все злементьі множестваМ. Имеем: М = {аІ5 а2, ..., а„}. Рассмотрим конечние последовательности, содержащие п членов и состоящие из нулей и единиц. 284

28. Комбинаторньїе правила суммьі и произведения Каждому подмножеству А множества М поставим в со- ответствие одну из таких последовательностей, вибранную по правилу: • если ak є А, то на k -ш месте в последовательности стоит число 1; • если ak і А, то на k -м месте в последовательности стоит число 0. Например, А = {а2, а4} -> 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0 В = {а3} -» 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 С = {а„} -> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 1, 1, 1, 1 0 -» о, о, о , о Ясно, что каждому подмножеству множества М соответ- ствует единственная последовательность и наоборот, каждая последовательность является соответствующей единственно- му подмножеству множества М. Следовательно, количество подмножеств множества М равно количеству рассматривае- мьіх последовательностей. При конструировании последовательностей любой член можно вибрать только двумя способами: записать 0 или за­ писать 1. Следовательно, можно сконструировать 2 •2 •... •2 = 2” различньїх последовательностей„ . • п множителей Упражнения 2 8 .1 / Из города А в город В ведут Рис. 28.1 4 дороги, а из города В в город С ведут 3 дороги (рис. 28.1). Сколь- кими способами можно проехать из города А в город С? 28.2/ Кафе предлагает в меню 3 первих блюда, 6 вторих блюд и 5 третьих блюд. Сколько сугцествует способов вибрать обед из трех блюд (по одному блюду каждого вида)? 285

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 2 8 .3 / Будем рассматривать слоги из двух букв, первая из которьіх является согласной, а вторая — гласной. Сколько таких различнмх слогов можно составить из букв слова: 1) сабля; 2) шароварні? 2 8 .4 / В корзине лежат 10 яблок и 7 груш. Антон внбирает яблоко или грушу. После зтого Максим вибирает яблоко и грушу. В каком случае у Мак­ сима больше возможностей для вьібора: когда Антон взял яблоко или когда Антон взял грушу? 2 8 .5 / На рисунке 28.2 показана схема дорог, ведугцих из города А в город В. Сколькими способами можно проехать из города А в го­ род В? 2 8 .6 / Кафе предлагает в меню 3 различнмх салата, 6 раз­ личнмх мясннх блюд и 5 различнмх десертов. Сколько сугцествует способов вибрать обед из двух блюд разного вида? 2 8 .7 / На вершину горн ведет 5 маршрутов. Сколькими спо­ собами альпинист может подняться на гору и спуститься с нее? Ответьте на зтот вопрос также при условии, что подьем и спуск должнн проходить по разннм маршрутам. 2 8 .8 / Сколько пятизначннх чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, причем так, чтобн в каждом числе все цифрн бнли различннми? 2 8 .9 / Сколько пятизначннх чисел, все цифрн которнх раз- личнн, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если зти числа должнн начиниться: 1) с цифрн 1; 2) с записи «34»? 2 8 .1 0 / Сколько четнрехзначннх чисел можно записать с по- мощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2 8 .1 1 / Сколько сугцествует трехзначннх чисел, все цифрн которнх нечетнне? 2 8 .1 2 / Сколько четнрехзначннх чисел можно записать с по- мощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5? 286

28. Комбинаторньїе правила суммьі и произведения 2 8 .1 3 / Сколько существует трехзначнмх чисел, все цифри котормх четнне? 2 8 .1 4 / Сколько существует семизначннх телефонних номе- ров, которне не начинаются с цифри 0? 2 8 .1 5 / Монету бросают 4 раза. Сколько различннх последо- вательностей гербов и цифр можно получить? 28.16/ Игральннй кубик бросают 3 раза. Сколько различних последовательностей очков можно получить? 2 8 .1 7 / Сколько трехзначнмх четнмх чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? 28.18/ Сколько трехзначнмх нечетннх чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? 28.19/ Сколько пятизначннх чисел, все цифрн котормх должнн бнть различннми, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? 2 8 .2 0/ Сколько четнмх пятизначннх чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобн в каждом числе цифрн бнли различннми? 2 8 .2 1 / Сколько существует пятизначннх чисел, которне делятся нацело на 5? 2 8 .2 2 / Сколько существует семизначннх чисел, которне делятся нацело на 25? 28.23. ” Сколькими способами можно поставить на шахмат- ную доску две ладьи (белую и черную) так, чтобн они не били друг друга? 28.24. ” В книжном магазине єсть 4 различннх издания позмн «Знеида», 3 различннх издания пьесн «Наталка Полтав­ ка» и 2 различннх издания пьесн «Москаль-чаривннк». Кроме того, єсть 5 различннх книг, в котормх содержатся поема «Знеида» и пьеса «Наталка Полтавка», и 6 раз­ личннх книг, в котормх содержатся пьесн «Наталка Полтавка» и «Москаль-чаривннк». Сколькими способами можно сделать покупку, которая содержала бн по одному екземпляру каждого из етих произведений? 28.25. ” Сколько существует семизначннх чисел, все цифрн котормх имеют одинаковую четность? 287

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 28.26. ” Для шифрования сообщений используют цифри 0, 1, 2, 3. Слово в сообщении содержит от одной до пяти цифр. Какое наибольшее количество различннх слов может со- держать сообщение? 28.27. ” Сколькими способами можно распределить заказ на печатание 10 различнмх учебников между двумя книж­ ними фабриками? 28.28. ” У ученика єсть 7 книг по математике, 4 книги по физике и 2 книги по астрономии. Сколькими способами он может расставить зти книги на полке так, чтобм книги по одному предмету стояли рядом? 28.29. ” Пять мальчиков и пять девочек садятся в ряд на 10 стульев. Сколькими способами они могут расположиться так, чтобм мальчики сидели на стульях с четннми номе­ рами, а девочки — на стульях с нечетннми номерами? 28.30. ” Сколько сугцествует пятизначннх чисел, в записи которнх єсть хотя бн одна нечетная цифра? 28.31. ” Сколько сугцествует пятизначннх чисел, в записи которнх єсть хотя бн одна четная цифра? 28.32. ” Сколько сугцествует пятизначннх чисел, содержагцих хотя бн две одинаковне цифрн? 28.33. ” Игральннй кубик бросают три раза. Сколько раз- личннх последовательностей очков, среди которнх єсть хотя бн одна шестерка, можно полупить? 28.34. ” Среди 10 человек двоє знакомн. Сколькими способа­ ми можно посадить зтих людей на 10 стульев так, чтобм знакомне сидели рядом? 28.35. ” Сколько пятизначннх чисел можно записать с h o ­ m o гцью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобм цифрн в числе не повторялись и четнне цифрн не стояли рядом? 28.36. ” Будем спитать словом любую конечную последова- тельность букв русского алфавита. Сколько различнмх слов можно образовать, переставляя буквн слова: 1) мо­ локо; 2) математика; 3) комбинаторика? 28.37. * Сколько натуральних делителей имеет число 24• 53• 7е? 288

29. Перестановки, размещения, сочетания Р ” J Перестановки, размещения, сочетания Вьі знаєте, что при записи множества его злементьі пишут в произвольном порядке. Например, {a, b, с} = {с, а, b}. Од- нако в комбинаторике рассматривают также упорядоченньїе множества. Например, запись (b, а, с) задает трехзлементное упорядоченное множество, в котором на первом месте стоит злемент Ь, на втором — злемент а, а на третьем — злемент с. Запись (с , Ь, а) задает другое упорядоченное множество из тех же самих злементов а, b и с. О п р е д е л е н и е . П е р е с т а н о в к о й конечного множества М назьівают любое упорядоченное множество, образованное из всех злементов множества М. Например, существует 6 перестановок множества М = {а, Ь, с}. Випишем их: (а, Ь, с), (а, с, Ь), (Ь, а, с), (Ь, с, а), (с, а, Ь), (с, Ь, а). Перестановки данного конечного множества отличаются только порядком следования злементов. Теперь задачу о количестве способов, котормми ученики вашего класса могут вмстроиться друг за другом в очереди в буфет, можно сформулировать так: «Сколько существует перестановок множества учеников вашего класса?» Количество перестановок п-злементного множества М обо- значают символом Р„, используя нервую букву французского слова permutation — перестановка. Например, рассматривая множество М = {а, Ь, с}, ми установили, что Р 3 = 6. Если М = {а}, то существует только один способ упорядо- чения зтого множества: а — зто первмй злемент. Позтому Рі = І- Докажем, что для любого натурального п справедлива формула Рп = ПІ Пусть множество М состоит из п злементов. Записать лю­ бую перестановку множества М — зто фактически присвоить 289

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики каждому злементу зтого множества некотормй номер от 1 до /7. Позтому количество перестановок множества М равно количеству способов нумерации его злементов. Виберем некоторьій злемент а зтого множества. Суіце- ствует /7 способов присвоить зтому злементу номер. Далее виберем некотормй злемент b из множества М. Так как злементу а номер уже присвоен, то существует 77 - 1 спо- соб присвоить номер злементу Ь. Понятно, что следующий злемент можно пронумеровать п - 2 способами и т. д. Для последнего невмбранного злемента множества М существует только один способ присвоить ему номер, так как к зтому моменту т? —1 злемент уже получили свои номера. Следовательно, по правилу произведения можно записать: Р„ = 77• (т? - 1) • (т? - 2) •... • 2 • 1, то єсть Р„ = пі ПРИ МЕР 1 Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 одинаковмх ладей так, чтобм они не били друг друга? Р е ш е н и е . Для того чтобм ладьи не могли бить друг дру­ га, на каждой горизонтали и на каждой вертикали должна стоять только одна ладья (рис. 29.1). Рис. 29.1 Пусть а 1 — номер вертикали, на которой стоит ладья с первой горизонтали, а2 — номер вертикали, на которой стоит ладья со второй горизонтали, ..., а8 — номер вертика­ ли, на которой стоит ладья с восьмой горизонтали. 290

29. Перестановки, размещения, сочетания Ясно, что (аІ5 а2, ..., а8) — некоторая перестановка множе- ства {1, 2, 8}. Каждой такой перестановке соответствует определенное расположение ладей, соответствующее условию задачи, и наоборот, каждому допустимому расположению ла­ дей соответствует определенная перестановка зтого множества. Следовательно, искомое количество способов равно Р8, то єсть 8!. • Рассмотрим еще несколько типових комбинаторньїх задач. ПРИМЕР 2 По правилам FIFA1 в финальной части чемпио- ната мира по футболу участвуют 32 командні. Сколькими способами могут бить распределенм золотіле, серебрянме и бронзовіле медали (три призових места) между командами? Р е ш е н и е . На первое место может попасть любая из 32 ко­ манд, на второе место — любая из остальннх 31 командні, на третье — любая из оставшихся ЗО команд. По правилу про- изведения количество возможнілх вариантов распределения мест равно 32*31*30 = 29 760. • Решив зту задачу, міл віляснили, сколько существует 3-зле- ментньїх упорядоченнілх подмножеств данного 32-злементного множества. Каждое из таких упорядоченнілх подмножеств назілвают размещением из 32 злементов по 3 елемента. О п р е д е л е н и е . Любое fe-злементное упорядоченное под- множество данного н-злементного множества назьівают р а з м е щ е н и е м из п злементов по k злементов. Количество всех возможнілх размещений из п злементов по k злементов обозначают символом А пк , используя нервую букву французского слова arrangement — размещение. Результат, полученнілй в задаче о распределении призо- вілх мест, позволяет сделать вілвод, что А32 = 32*31 *30 = 29 760. Докажем, что при любілх натуральних п и k таких, что k < /7, справедлива формула А£ = ті (ті- 1 ) (ті - 2) • • (ті - k + 1) ( 1) Рассмотрим /7-злементное множество и сформируем его fe-злементное упорядоченное подмножество. 1 Международная федерацій футбольних ассоциаций. 291

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики Существует п способов внбора первого злемента подмно- жества. Второй злемент подмножества можно вибрать уже только /7 - 1 способами. После вмбора первого и второго злементов остается п —2 способи для вмбора третьего зле­ мента подмножества. Вообіце, внбор k-то злемента можно осуществить п - k + 1 способами. Следовательно, по правилу произведения можно записать: АІ = п(п - 1 )(/7 - 2) • ... • (/7 - k + 1 ). Так как существует только одно /г-злементное подмноже- ство данного /7-злементного множества, то число А ” — зто количество перестановок /7-злементного множества, то єсть Зтот факт подтверждает формула (1). Действительно, при k = п получим: А\" = 77 (77-1) (7 7 -2 )-...-(7 7 -7 7 + 1) = 77! По определению принято считать, что 0! = 1. Зта догово- ренность позволяет формулу (1) записать компактнеє. Умножим и разделим внражение, стоящее в правой части формули (1), на (/? - k)\\ (зто возможно, так как (п - k)\\ + 0). Имеем: 77 ( 7 7 - 1 ) (77 - 2) •... •( 7 7 - f t + l ) ( 7 7 - f t ) ! п\\ {n-k)\\ (7 7 -ft)! Полупаєм формулу 77! к (7 7 - f t ) ! ПРИМЕР 3 Сколько существует правильних дробей, числи- тель и знаменатель которнх — простне числа, меньшие ЗО? Р е ш е н и е . Множество {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} состоит из всех простих чисел, меньших ЗО. Количество 2-злементннх упорядоченннх подмножеств зтого множества равно количеству обнкновенннх дробей, отличннх от еди- ницн, числитель и знаменатель которнх — указаннне про­ стне числа. Половина из зтих дробей — правильнне. Следо­ вательно, искомое число равно 45. • 292

29. Перестановки, размещения, сочетания Рассмотрим такие две задачи. Сколькими способами в классе, в котором ЗО учащихся, можно вибрать старосту и его заместителя? Сколькими способами в зтом классе мож­ но назначить двух дежурних? Ответ на первий вопрос вам известен: ето количество 2-злементньіх упорядоченних подмножеств 30-злементного множества, то єсть А |0. Чтобьі ответить на второй вопрос, надо определить количество 2-злементньіх подмножеств 30-еле- ментного множества (именно подмножеств, а не упорядочен- ньіх подмножеств). Каждое из таких подмножеств називают сочетанием (комбинацией) из ЗО злементов по 2 елемента. О п р е д е л е н и е . Любое fe-злементное подмножество за- данного и-злементного множества назьшают с о ч е т а н и е м ( к о м б и н а ц и е й ) из и злементов по k злементов. Количество всех возможннх сочетаний из п злементов по k злементов обозначают символом С*, используя первую букву французского слова combinaison — комбинация. Так, задачу о количестве способов назначения дежурних можно сформулировать так: чему равно С|0 ? Вичислим значение С* для нескольких очевидних слу- чаев. Например, C*=n, С” = 1. Действительно, существует п одноелементньїх подмножеств и одно /7-злементное под­ множество заданного н-елементного множества. Поскольку любое множество имеет только одно подмноже­ ство, не содержащее ни одного елемента (речь идет о пустом множестве), то Ся°= 1 . Также понятно, что С0°= 1 . Докажем, что при любих натуральних п и k таких, что k < /7, справедлива формула (2) Рассмотрим некоторое /г-елементное множество. Количе­ ство его ^-елементних подмножеств равно С*. Из каждого 293

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики такого подмножества можно образовать М упорядоченннх £-злементннх подмножеств. Следовательно, количество всех £-злементннх упорядоченнмх подмножеств Д И Н Н О Г О 7 7 -З Л Є - ментного множества равно Ск •k\\, то єсть А к = Ск • Рк. Из формулм (2) получаем, что Отсюда 71! (3) (n-k)lkl Отметим, что зта формула остается справедливой и для случаев, когда k = 0 или п = 0. Действительно, с о Д» _ ге!_ і ” (п-0)! 0! пі С° - 0! = 1. (0 - 0)! 0 ! ПРИМЕР 4 Докажите, что с к _ s~in- k (4) Р е ш е н и е . Зту формулу можно доказать с помощью фор­ мулм (3). Убедитесь в зтом самостоятельно. У формулм (4) єсть и другое, комбинаторное, доказатель- ство. Внбирая fe-злементное подмножество А /г-злементного множества М, мн тем самнм однозначно задаєм (п - k)- злементное подмножество М \\ А . Следовательно, количество способов внбора fe-злементного подмножества равно количе- ству способов внбора (п - ^)-злементного подмножества, то єсть справедлива формула (4). • Упражнения 29.1. ° Сколькими способами можно расставить на полке 7 различннх книг? 29.2. ° В школе 20 классов и 20 классннх руководителей. Сколькими способами можно распределить классное ру- ководство между учителями? 294

29. Перестановки, размещения, сочетания 29.3. ° Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 че- ловек, если кажднй из них может бить водителем? 29.4. ° В футбольной команде, состоящей из 11 игроков, надо вибрать капитана и его заместителя. Сколькими способа­ ми зто можно сделать? 29.5. ° Комиссия, состоящая из 15 человек, должна вибрать председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами зто можно сделать? 29.6. ° В 9 классе изучают 12 предметов. Дневное расписание содержит 6 уроков. Сколькими способами можно соста- вить дневное расписание так, чтобм все 6 уроков били разннми? 29.7. ° В финальной части чемпионата Европн по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами могут рас- пределиться золотне, серебрянне и бронзовіле наградн? 29.8. ° В классе 32 учагцихся. Каждне двоє учагцихся обме- нялись друг с другом фотографиями. Сколько всего било подарено фотографий? 29.9. ° В классе 29 учагцихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 учагцихся для участия в ма- тематической олимпиаде? 29.10. ° Дан правильний /г-угольник. Сколько сугцествует четнрехугольников с вершинами, содержагцимися среди вершин данного /г-угольника? 29.11. ° На плоскости отметили 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько сугцествует треугольников с вершинами в зтих точках? 29.12. ' Сколько различннх шестизначних чисел можно со- ставить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобм цифри не повторялись и крайние цифри били четньїми? 29.13. ' Среди 20 рабочих 7 штукатуров. Сколькими способами можно составить бригаду из 5 человек так, чтобм в нее входили ровно 2 штукатура? 29.14. ' Для школьной лотерей подготовили 100 билетов, из котормх 12 — вмигрмшнме. Первмй ученик наугад вн- бирает 10 билетов. Сколько сугцествует вариантов вмбора, при котормх он внберет ровно 3 внигрнш ннх билета? 295

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 29.15. ' На прямой отметили 12 точек, а на параллельной ей прямой — 7 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в зтих точках? 29.16. ' Прямая и окружность не имеют общих точек. На окружности отметили 9 красних точек, а на прямой — 15 синих точек. Известно, что ни одна прямая, проходя- щая через две красньїе точки, не содержит синих точек. Сколько существует треугольников с вершинами в зтих точках? 2 9 .17. ' В классе ЗО учащихся, из котормх 13 юношей и 17 девушек. Сколькими способами можно сформировать команду из 7 учащихся зтого класса, в которую должна входить по крайней мере одна девушка? 29.18. ' Для подготовки к зкзамену предложен список из 80 вопросов. Ученик знает ответм только на 15 из них. Зкзаменационнмй билет состоит из 6 различнмх вопросов данного списка. Сколько различних зкзаменационньїх билетов можно составить так, чтобм ученик мог ответить хотя бьі на один вопрос билета? 29.19. '' Сколькими способами можно разбить 12 спортсменов на 3 команди по 4 спортсмена в каждой? 29.20. '' Сколькими способами можно разложить 20 различ- ньіх шаров в 4 одинаковмх ящика так, чтоби каждмй ящик содержал по 5 шаров? 29.21. '' Сколькими способами можно от белмх и п черньїх шаров (от > п) разложить в ряд так, чтоби никакие два черньїх шара не лежали рядом? 29.22. '' Пять ящиков пронумерованьї числами от 1 до 5. Сколькими способами можно разложить в зти ящики 17 одинакових шаров так, чтобм ни один ящик не ока- зался пустим? 29.23. '' Сколькими способами натуральнеє число п можно представить в виде суммн k натуральних слагаеммх (сум- мьі, отличающиеся порядком слагаеммх, будем считать разнмми)? 296

ЗО. Частота и вероятность случайного собьітия Частота и вероятность случайного собьітия Надомним основнме сведения о частоте и вероятности слу­ чайного собмтия, с котормми ви ознакомились в 9 классе. Нам нередко приходится проводить наблюдения, опити, участвовать в зкспериментах или испмтаниях. Часто подоб- ньіе исследования заканчиваются некотормм результатом, котормй заранее предсказать нельзя. Если експеримент проведен п раз и интересующее нас соб.мтие состоялось т раз, то величину —т назмвают часто­ ті той случайного собьітия. Вероятность случайного собития приближенно равна частоте отого собития, найденной при проведений большого количества испитаний (наблюдений). Такую оценку вероятности случайного собмтия назмвают статистической. Для нахождения вероятности некотормх собмтий не обязательно проводить испмтания или наблюдения. До- статочно руководствоваться жизненнмм опмтом и здравмм сммслом.•* ПРИМЕР 1 Пусть в коробке лежат 15 бильярднмх шаров, пронумерованнмх числами от 1 до 15. Канова вероятность того, что вмнутмй наугад шар будет иметь номер, кратнмй З? Р е ш е н и е . Понятно, что в зтом испмтании єсть 15 равно- возможних результатів. Из них сугцествуют 5, которме нас устраивают: когда вмнимают шарм с номерами 3, 6, 9, 12, 15. Позтому естественно считать, что вероятность собмтия «вннули шар с номером, кратннм 3» равна — = —. • 15 З Решение многих вероятностннх задач можно описать такой схемой. • Пусть при испмтании можно долучить один из п равно- возможннх результатов. • Рассматривается некоторое собмтие А, к которому при- водят т результатов. Будем називать их благоприят- Н ЬІМ И . 297

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики • Вероятность собнтия А можно вичислить по формуле: р(А) =— п Собнтие, которое при данном комплексе условий обя- зательно состоится при любом испнтании, назнвают до- стоверньїм. Вероятность такого собмтия считают равной 1. Собмтие, которое при данном комплексе условий не может состояться ни при каком испмтании, назмвают невозмож- ньім. Вероятность такого собмтия считают равной 0. Заметим, что вероятность р (А) любого собмтия А удо- влетворяет неравенству 0 < р (А) < 1. Для внчисления вероятности случайного собмтия нам приходилось подсчитнвать количество равновозможннх результатов в данном зксперименте и количество благопри- ятннх результатов. Часто зти подсчетн связанн с нахождением количества различннх комбинаций, которне по некоторому правилу можно составить из злементов данного конечного множества. Позтому применение правил комбинаторики — зффективннй прием для решения многих задач теории вероятностей. Рассмотрим примерн. ПРИМЕР 2 На торговом лотке лежат 28 яблок — 15 желтнх и 13 красннх. Покупатель купил 3 яблока, которне продавец взял наугад. Какова вероятность того, что все купленнне яблоки желтне? Р е ш е н и е . Первое яблоко продавец может вибрать 28 спо­ собами, второе — 27, третье — 26 способами. Используя комбинаторное правило произведения, имеем, что продавец может вибрать 3 яблока п = 28*27*26 равновозможннми способами. Вичислим, сколько среди зтих способов таких, когда все три яблока — желтне. Первое желтое яблоко можно вибрать 15 способами, второе — 14, третье — 13 способами. Используя комбинаторное правило произведения, имеем, что продавец может вибрать 3 желтнх яблока т = 15*14*13 способами. 298

ЗО. Частота и вероятность случайного собьітия Следовательно, вероятность случайного собнтия А — вві­ 15•14•13 5 брать три желтьіх яблока равна р (А) 28-27-26 36' ПРИМЕР З В двух урнах лежат шарм, которме отличаются только цветом. В первой урне лежат два белмх и три чер- нмх шара, а во второй — три белмх и два черннх шара. Из каждой урнн наугад достают по одному шару. Канова вероятность того, что хотя бн один из двух шаров окажется белнм? Р е ш е н и е . Зтот опнт имеет три результати: либо оба вн- нутнх шара белне, либо оба чернне, либо один шар белнй, а другой — черннй. Однако зти результати не являются равновозможннми (подумайте, почему). Для того чтобн иметь возможность в данном опнте рассматривать равновоз- можнне результати, пронумеруєм все 10 шаров. Поскольку в каждой урне лежит по 5 шаров, то из них можно составить 5*5 = 25 таких пар, что шарн в парах взя­ ти из разннх урн. Поскольку шарн пронумерованн, то мн можем считать, что все 25 пар шаров различнн. Шарн из урн берут наугад. Позтому в данном зксперименте сугцествует 25 равновозможннх результатов. Поскольку в первой урне лежат 3 черннх шара, а во вто­ рой — 2 черннх, то сугцествует 3*2 = 6 пар шаров черного цвета. Позтому количество пар шаров, среди которнх єсть по крайней мере один белнй, равно 25 - 6 = 19. Следовательно, количество результатов, благоприятннх для собнтия «хотя бн один из шаров окажется белнм» (собнтие А), равно 19. Итак, р(А ) = — . • ПРИМЕР 4 Опнт состоит в одновременном бросании четнрех игральннх кубиков. Найдите вероятность того, что: 1) внпадет ровно одна шестерка (собнтие А); 2) внпадут четнре разнне цифрн (собнтие В); 3) не внпадет ни одной шестерки (собнтие С); 4) внпадет хотя бн одна шестерка (собнтие D). 299

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики Р е ш е н и е . Пронумеруєм кубики числами от 1 до 4. Любой результат зксперимента будем записнвать в виде (a, b, с, d), где а, Ь, с и d — количества очков, которне внпали соответ- ственно на нервом, втором, третьем и четвертом кубиках. Всего может образоваться 6 • 6 • 6 • 6 = б4 таких четверок. Ни один из результатов не имеет преимущества. Позтому в данном опите существует б4 равновозможннх результа­ тов. 1) Единственная випавшая шестерка может стоять на любом из четмрех мест. Пусть, например, она стоит на нервом месте. На остальннх трех местах могут стоять любьіе цифри от 1 до 5. Тогда количество четверок вида (6, b, с, d) равно 5 • 5 • 5 = 53. Общее количество благо- приятннх вариантов равно 4*5 3. Следовательно, 4 • 53 Р(А) б4 ' 2) В зтом случае любие вьшавшие четмре различньїе цифрм образуют 4-злементное упорядоченное под- множество множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Следова­ тельно, количество результатов, благоприятних для наступления собмтия В, равно б* 5* 4*3. Отсюда РІВ) 6 • 5 • 4 • З б4 3) На каждом из четмрех мест может стоять любая из цифр от 1 до 5. Отсюда количество результатов, благоприятнмх для наступления собмтия С, равно 5 • 5 • 5 • 5 = 54. Долучаєм РІС) 4) Количество всех результатов равно б4. Количество всех результатов, где нет ни одной шестерки, рав­ но 54. Тогда б4 - 54 — зто количество всех резуль­ татов, содержагцих хотя бн одну шестерку. Отсюда p { D ) = б4 - 5 4 300

ЗО. Частота и вероятность случайного собьітия ПРИМЕР 5 Контролер в партии из 20 деталей наугад вмби- рает 5 деталей для проверни. Если среди вмбраннмх деталей нет ни одной бракованной, то он принимает всю партию. Канова вероятность того, что контролер примет партию де­ талей, содержагцую 7 бракованнмх? Р е ш е н и е . Поскольку контролер вмбирает из 20 деталей 5 деталей наугад, то даннмй зксперимент имеет С80 равно- возможннх результатов. Поскольку в партии из 20 деталей 7 бракованних, то каче- ственнмх — 13. Контролер пропускает зту партию (собмтие А), если 5 деталей будут вьібраньї из 13 качеетвенньтх деталей. Следовательно, количество результатов, благоприятнмх для наступления собмтия А, равно С® . Отсюда р ( А ) = —С^5~. • Заметим, что при решении зтой задачи можно било рас- суждать иначе. Если контролер будет вибирать детали для проверни последовательно, то єсть иметь дело с упорядочен- ньім множеством, то данний зксперимент будет иметь А®0 равновозможннх результатов, среди которнх А^8 будут бла- гоприятньїми. ПРИМЕР б В соревнованиях по баскетболу участвуют 18 ко­ манд, из которих 5 команд считаются фаворитами. С помо- щью жеребьевки команди делят на две группн А и В, по 9 ко­ манд в каждой. Какова вероятность попадання в одну группу: 1) пяти команд-фаворитов (собьітие М); 2) ровно двух команд-фаворитов (собитие К)1 Р е ш е н и е . Каждую из групп можно образовать Cj9g спо­ собами. 1) Пусть 5 команд-фаворитов попали в группу А. Тогда для доформирования зтой группьі до 9 команд надо вибрать 4 команди из 13 оставшихся команд. Зто можно сделать способами. Поскольку пять команд-фаворитов могут попасть как в группу А, так и в группу В, то количество результатов, благоприятних для собмтия М, равно 2 • С,',. Следовательно, 2Г4 Р(М) = - ^ . Цз 301

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 2) Понятно, что каждую из групи, содержащ их две командн-фаворита, можно образовать Cf • Cj3 способами. Отсюда р (К) = 2 ' С\\ ° 1S. • СІ Упражнения 30.1. °Вероятность купить бракованннй злектроприбор равна 0,007. Верно ли, что в любой партии из 1000 злектропри- боров єсть 7 бракованннх? 30.2. ° Вероятность подасть в мишень составляет 75 %. Может ли бьіть так, что в серии из 100 внстрелов било 98 по- паданий в мишень? 30.3. ° В яіцике стола лежат 8 синих и 12 красних каранда- шей. Какова вероятность взять наугад из ящика: 1) ручку; 2) карандаш? 30.4. ° Из цифр 2, 4, 6, 8 образуют трехзначное число. Какова вероятность того, что зто число будет делиться нацело: 1) на 5; 2) на 2? 30.5. °Какова вероятность того, что, переставив букви в слове «математика», долучим слово «литература»? 30.6. ' Зксперимент состоит в бросании двух монет. Проведи- те зтот зксперимент 50 раз. Найдите частоту случайннх собьітий А, В, С: 1) А — вьшали два герба; 2) В — вьшали один герб и одна цифра; 3) С — вьшали две цифри. Можно ли на оснований сделанних наблюдений предпо- ложить, что собмтие В более вероятно, чем собмтие С? Можно ли на оснований зтих наблю­ дений гарант ировать, что собмтие В более вероятно, чем собмтие С? 30.7. ' Проведите серию, состоягцую из 200 Рис. 30.1 зкспериментов, в которнх подбрасн- вают крншку от бутнлки с напитком (рис. 30.1). Найдите частоту собнтия 302

ЗО. Частота и вероятность случайного собьітия «кришка упала змблемой напитка вниз». Оцените ве­ роятность собмтия «кришка упала змблемой напитка вверх». 30.8. ' В 2010 году 9788 учащихся г. Києва принимали уча­ стив во внешнем независимом оценивании по математике, данньїе о котором приведенні в таблице (см. с. 304). Оцените вероятность собития: 1) вмбраннмй наугад учащийся Голосеевского района по- лучил результат от 136 до 150 баллов; 2) вмбранньїй наугад учащийся Печерского района по- лучил результат более 183 баллов; 3) учащийся, вмбраннмй наугад среди тех, которме по­ лупили результат от 195,5 до 200 баллов, учится в Со- ломенском районе; 4) вмбраннмй наугад участник тестирования учится в Шевченковском районе; 5) вмбраннмй наугад участник тестирования получил результат более 150 баллов. 30.9. ' В таблице (см. с. 305) приведенн даннне о количестве дней 2009 года, в которме в г. Харькове на 12:00 бнли зафиксированн данная температура и данннй уровень влажности воздуха. Подсчитайте частоту наблюдения в 2009 году: 1) температури воздуха в диапазоне от 11 °С до 20 °С сре­ ди тех дней, когда зафиксированная влажность бмла не более 40 %; 2) влажности воздуха в диапазоне от 71 % до 80 % среди тех дней, когда зафиксированная температура бмла меньше 0 °С; 3) температури воздуха в диапазоне от 11 °С до ЗО °С и одно- временно влажности воздуха в диапазоне от 41 % до 70 %. 30.10. ' Во время зпидемии гриппа бмло обследовано 80 000 жи- телей. Оказалось, что среди них частота больнмх грип- пом составила 12,3 %. Кроме того, бмло вияснено, что среди заболевших 2245 человек делали прививки против гриппа. Оцените вероятность собмтия «наугад вмбраннмй человек среди тех, кто болен гриппом, делал прививки против гриппа». 303

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики ІВОХИЇПИІг^ OJ0Og 95 98 158 165 29 120 956 юг0оН0 ьСсоО- ю 35 351 ь0000- ю ггсННо ИИНОЯОНН9КЯ9ТП 05 гCНM CоM СО гН со гОН 05 Вйgвна; И И Н 9 Н 9 І\\[0 Е * 0 3 ью- 230 291 151 89 95 181 137 653 736 527 597 302 525 769 151 160 64 241 ьО- 961 526 904 1292 0н) ИИН9НИШ ОХКЯЗ гН вб ю00 гОН ИИМЗЧІҐОЕОЦ гН S гН ьСО- СО 05 00 ввв овввб И И М О С ІЗІгЗЦ вaвовб МВ. Я\" В И И Н 9 Н О ІГ О 9 0 г0Н0 50 23 86 О кс >ОВ иинзяскіпзн^ 2О кО S ГоН Об S рц в о<£я^м Ввво 1126 1393 Ф» ®м вg HHM OHBHoaJ/ ьО- югН ФS и iiiimIiiihcImJ]' ЮCгНD ьюю- CCrHMM 25 23 юСО * HHH9fl9990If0J 05 Фа в 126 468 102 816 в В ввX в внО Овб Ю ов„ оВ чоВ оВ ов Во оXв О i* S чв з йй 4 4 4 4 S 0) VO 4 я- a ю§ S В4 В4 в 4В юо7—1 VO В в §$a VO VO VO В 0ю1—51 вв ю 1с0—о01 о ооCM Ч 1юс—о1 о о Вg5 н>s о4 о о 4 4 4 5 ї 4 ч ю ю ю * вн оо CD ю6 s со ю Ч СО 00 70—51 1—1 і—1 1—1 1—1 о Н Н Ен Ен Ен фо О О О О ОN 304

ЗО. Частота и вероятность случайного собьітия :и з н С o ja o g Ь- 120 СО 0003 СО 365 00 1—1 Sоиt Сі % 0 0 Т о с % 1 6 -ьо о Т О 47 CM о о то о (М ей » Ф СО Оз о то м ей см 1—1 1—1 о TF оИ % 06 о с % Т8 1—1 і—і в 8ft пч ей О X 8 8 % 0 8 о с % Т і, со ТО со со CM о Оз (н ОНо 1—1 8 1—1 СО ов оМ 8 (М* Ч % О і о с % T9 і—1 1—1 CM то со о ТО тЧ 8 1—1 1—1 1—1 ей 8 8 ей пО м8 8 »ч 8 % 0 9 о с % Т Т -м» і—1 о 03 ь- CM со О 00 ч 1—1 см со 8 в ОН Ов о со ь- Оз п 1—1 CM то 03 % О Т о с о/0 о ІО о о Оз ч 8 в Фft 8 >s Р Мч ой О а 8 0в) 3 а а нв t? о8 а в в g о о о оо оо в в3 О о вой 0) і—І 1—1 О о о о в вч н і—І 1 со »О | гЧ CM о СО 8 ч о О о »фв ч st ч Фо ф st -10° оТТ в8 21° а О 0 оРн 8 8 Ен Ен 8 ф fct 8 НН ч о О Ф S О О О О то N 305

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 3 0 .1 1 / Учитель математики наблюдал за учеником Петром Ленивцевим в течение 175 учебних дней. Оказалось, что частота опозданий Петра в школу составляет 20 %. Кро- ме того, учитель заметил, что частота получения плохой оценки Петром в дни опозданий составляет 40 %. Найдите количество плохих оценок, которие получил Петр в дни, когда он опоздал в школу. 3 0 .1 2 / Какова вероятность того, что, визьівая учагцегося к доске в вашем классе, учитель визовет мальчика? 30.13/ Из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} наугад вибирают одно число. Какова вероятность того, что зто число: 1) равно 2; 4) кратно 4; 2) равно 5; 5) не делится нацело на 3; 3) является нечетньїм; 6) кратно 11? 3 0 .1 4 / В коробке било 17 карточек, пронумерованньїх чис­ лами от 1 до 17. Из коробки наугад взяли одну картонку. Какова вероятность того, что на ней записано число: 1) 12; 3) кратное 3; 5) двузначное; 2) четное; 4) не кратное 5; 6) простое? 3 0 .1 5 / В коробке лежат а синих, b желтих и с красних ша- риков. Какова вероятность того, что вибранний наугад шарик окажется: 1) желтим; 2) синим; 3) не красним? 3 0 .1 6 / В мешке Деда Мороза лежат п плюшевих мишек, т конфет и k мандаринов. Какова вероятность того, что вибранний наугад подарок окажется: 1) мишкой; 2) стюдобним; 3) не конфетой? 3 0 .1 7 / Из множества {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} наугад сначала вн- бирают четную цифру, а затем нечетную. Какова вероят­ ность того, что зти цифри образуют число 27? 30.18/ Из букв А, Б, В, Г, Д, Е последовательно наугад вьібира- ют три разньїе букви. Какова вероятность того, что зти бук­ ви, записанньїе в порядке вьібора, образуют слово «ДВА»? 3 0 .1 9 / Из слова «ГОРА» последовательно наугад вибирают З разньїе букви. Какова вероятность того, что, последо­ вательно записав вибранние три букви, составят слово «РОГ»? 306

ЗО. Частота и вероятность случайного собьітия 30.20. \" У ученика єсть учебники по геометрии за 7, 8, 9, 10 и 11 классьі. Какова вероятность того, что они расставленьї на полке в порядке возрастания номера класса, если при последней уборке ученик расставил книги наугад? 30.21. \" На полке лежат 12 тетрадей, из которьіх 5 в клеточку. Какова вероятность того, что вьібранньїе наугад 2 тетради будут в клеточку? 30.22. \" В коллекции Андрея 40 монет разньїх стран, среди ко- торьіх 6 украинских. Андрей взял наугад 3 монетьі. Какова вероятность того, что все ати монетьі будут украинскими? 30.23. \" На двух параллельньїх прямьіх отметили точки — 8 на одной прямой и 12 на другой. Из зтих 20 точек наугад вьі- бирают три. Какова вероятность того, что три вьібранньїе точки являются вершинами треугольника? 30.24. \" На торговом лотке лежат яблоки — 20 желтьіх и 9 красньїх. Покупатель приобрел 3 яблока, которьіе продавец вьібрал наугад. Какова вероятность того, что все купленньїе яблоки одного цвета? 30.25. \" В ящике стола лежат карандаши и ручки. Известно, что карандашей на 12 штук меньше, чем ручек. Сколько карандашей лежит в ящике, если вероятность того, что вьібранньїй наугад предмет: ш1) является ручкои- , равна —5 ; 2) является карандашом, равна —? 6 30.26. \" Подарочньїй комплект содержит 12 зеленьїх и не- сколько красньїх воздушньїх шариков. Сколько красньїх шариков в комплекте, если вероятность того, что вьібран­ ньїй наугад шарик: ш1) окажется зеленим, равна —3 ; 7 2) окажется красним, равна —? 307

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 30.27. ” Тридцать карточек пронумерованій натуральними числами от 1 до ЗО. Наугад вмбирают две из них. Канова вероятность того, что: 1) произведение номеров вмбраннмх карточек будет про­ стим числом; 2) произведение номеров вмбранньїх карточек будет не- четнмм числом; 3) сумма номеров вмбраннмх карточек будет нечетнмм числом; 4) номера вмбраннмх карточек будут последовательннми натуральними числами? 30.28. ” Семнадцать карточек пронумерованн натуральними числами от 7 до 21. Наугад вмбирают две из них. Канова вероятность того, что сумма номеров вмбраннмх карточек будет нечетнмм числом? 30.29. ” Для школьной лотерей подготовлено 100 билетов, из котормх 9 вмигрмшнме. Ученик вмбрал наугад 7 биле­ тов. Канова вероятность того, что среди вмбраннмх будут 2 вмигрмшнмх билета и 5 невмигрмшнмх билетов? 30.30. ” В партии из 200 кирпичей єсть 5 бракованнмх. Какова вероятность того, что из 8 вмбраннмх наугад кирпичей зтой партии 2 будут бракованнмми, а 6 — качественнмми? 30.31. ” На двух параллельнмх прямих отметили точки — 16 на одной прямой и 10 на другой. Из зтих 26 точек наугад вмбирают четмре. Какова вероятность того, что зти четмре вмбраннме точки являются вершинами четм- рехугольника? 30.32. ” Найдите вероятность появлення ровно 6 гербов при подбраснвании 9 монет. 30.33. ” Найдите вероятность того, что в серни из 10 бросков монетн герб первнй раз появится на четвертом броске. 30.34. ” Что более вероятно при четнрех бросках игрального кубика: появление по крайней мере одной шестерки или отсутствие шестерок вообгце? 308

ЗО. Частота и вероятность случайного собьітия 30.35. ” Опит состоит в одновременном подбрасмвании четм- рех игральних кубиков. Найдите вероятность того, что вьшадут: 1) две пятерки и две тройки; 2) четире разние цифри; 3) ровно три единици; 4) только цифри, которие больше четверки. 30.36. ” Игральний кубик бросают три раза подряд. Найдите вероятность того, что: 1) вьшадут единица, двойка и пятерка в произвольном порядке; 2) не вьшадет ни одной шестерки; 3) вьшадут только тройки или двойки; 4) первая шестерка вьшадет при втором бросании кубика. 30.37. ” На каждой из 10 тарелок фруктов лежат по одному яблоку, персику, апельсину, груше и сливе. С каждой тарелки наугад взяли по одному плоду. Какова вероят­ ность того, что среди взятих плодов не будет ни яблока, ни груши? 30.38. ” Каждьій из 10 тестових вопросов имеет 4 варианта ответов. Ученик отвечает на тестовие вопросм наугад. Какова вероятность того, что он даст ровно 7 правильних ответов? 30.39. ” Найдите вероятность того, что ни один из 5 наугад вибранних человек не родился в воскресенье. 30.40. ” В ягцике лежат 20 красних, 10 желтих и 5 зелених яблок. Наугад берут 7 яблок. Какова вероятность того, что среди взятих яблок 2 красних, 4 желтих и 1 зеленое? 30.41. ” Для игри било подготовлено 24 картонки — 12 штук из синей бумаги, 8 из желтой и 4 из красной. Наугад вн- бирают 9 карточек. Какова вероятность того, что среди вибранних карточек 4 синие, 3 желтьіе и 2 красньїе? 30.42. ” На складе магазина хранятся 100 пакетов муки с надписью 1 кг, среди которих 15 пакетов весят больше 1,02 кг, 12 пакетов — меньше 0,98 кг, а масса остальних пакетов составляет от 0,98 кг до 1,02 кг. Из зтой партии 309

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики наугад вмбирают 5 пакетов. Канова вероятность того, что среди внбранннх будет три пакета массой больше 1,02 кг и два пакета массой от 0,98 кг до 1,02 кг? 30.43. ” На двух параллельннх прямих отметили точки — п на одной прямой и т на другой, п. > 2, т > 2. Найдите вероятность того, что четнре внбраннне наугад точки являются вершинами четнрехугольника. 30.44. ” Прямая и окружность не имеют обгцих точек. На окружности отметили п красних точек, а на прямой — т синих точек, п > 1, т > 1. Известно, что ни одна прямая, проходягцая через две краснне точки, не содержит синих точек. Найдите вероятность того, что три вибранние наугад точки являются вершинами треугольника. 30.45. ” На трех параллельннх прямих Іх, 12, Іа отметили точки — п точек на прямой Іх, т точек на 12 и k точек на Іа. Среди данннх точек наугад вмбирают три точки. Найдите вероятность того, что каждой из пряммх Іх, 12, Іапринадлежит по одной из вмбраннмх точек. 30.46. ” Для подготовки к зачетной работе предложенм 45 за­ дач. Ученик может решить только 35 задач. Работа состоит из 5 задач, вмбраннмх случайннм образом, и будет зачте- на, если правильно решить по крайней мере 4 задачи. Ка- кова вероятность того, что ученик сдаст зачетную работу? 30.47. ” В конверте у девочки лежат 50 фотографий, среди которнх четнре одинаковне. Девочка собирается подарить одну из зтих четнрех фотографий подруге. Для зтого она наугад достает из конверта 8 фотографий. Какова веро­ ятность того, что среди них будет по крайней мере одна искомая фотография? 30.48. ” Опнт состоит в подбраснвании монетн. Для ста- тистической оценки вероятности собнтия А, состоягцем в том, что внпал герб, опнт планируется провести 10 раз и вичислить частоту собнтия А. Какова вероятность того, что внчисленная при зтом частота собнтия А окажется меньшей, чем 0,3? 30.49. ” Опнт состоит в подбраснвании 7 монет. Какова ве­ роятность того, что внпадет не более 2 гербов? 310

31. Статистический анализ данньїх | | Статистический анализ данньїх В 9 классе ви ознакомились с злементами математиче- ской статистики — науки о получении, обработке и анализе данньїх, характеризующих массовме явлення. В статистике совокупность собраннмх данньїх, на осно­ ваний котормх проводят исследование, назьівают вьіборкой. Фактически сбор данньїх — зто некоторое испьітание, кото- рое проводят несколько раз. Например, для проведення зффективной рекламной кам- пании некоторая фирма решила составить психологический портрет своего типового клиента. Для зтого запланировано опросить некоторое количество наугад вьібранньїх клиентов фирмьі (случайньїй вьібор клиента — зто некоторое испьітание). В таких случаях говорят, что множество всех клиентов фирмьі образует генеральную совокупность, а множество тех клиентов, которме будут опрошеньї, образует вмборку. Вообгце, множество всех возможньїх результатов некото- рого испьітания в статистике принято називать генеральной совокупностью. Соотношение между генеральной совокупно- стью и вьіборкой проиллюстрировано на рисунке 31.1. Генеральная совокупность Одна из главньїх задач статистики состоит в том, чтобм на оснований анализа данньїх вмборки сделать вмвод обо всей генеральной совокупности. Анализируя собранньїе данньїе, 311

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики внделяют один или несколько общих показателей, которне характеризуют наиболее важніле особенности генеральной совокупности. Например, если виборна состоит из число­ вих данннх, то разность между наибольшим и наименьшим значеннями даннмх вмборки назмвают размахом вмборки. Важнмми показателями вмборки также являются среднее значение, медиана и мода. Напомним и уточним соответ- ствующие определения. Пусть внборка состоит из числових данннх х г, х2, ..., х„. Средним значением зтой внборки (вьіборочньїм средним) називают число _ = —X, -+---Х -9-+--.-.-. -+--X- , п х -. Например, в таблице представленн результати висту­ плений украинских школьников на Международннх мате- матических олимпиадах в течение 2001-2010 гг. (команда участников на Международннх математических олимпиадах состоит не более чем из 6 человек). Год 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Количество 64666 56666 медалей Для данной внборки среднее значение равно х_ = -6--+--4--+--6-+--6--+--6--+--5--+--6--+--6--+--6--+--6-= —57 = 5г,7„. 10 10 Поскольку за год можно завоевать не более 6 медалей, то внборочное среднее 5,7 свидетельствует о том, что команда Украинн достойно внступает на зтом престижном форуме. Обратите внимание на то, что среднее значение внборки определяют только в случае, когда собранннми данннми являются числа. Рассмотрим внборку, состоящую из таких данннх, ко- торне можно сравнивать друг с другом. Если количество данннх нечетно и они упорядоченн х 1 < х2 < ... < ос2п_ 1, то медианой данной внборки назмвают х„, то єсть то из данннх, которое в списке х г, х2, ..., х2„_ і расположено посередине. Например, во многих университетах Украинн внедрена система оценивания знаний студентов не по числовой шка- 312

31. Статистический анализ данньїх ле, а по ттткале букв: А, В, С, D, Е, F (А — наивнсшая, F — самая низкая оценка). Пусть при опросе 9 студентов о результатах сдачи ими последнего зкзамена бьіла получена такая внборка (последовательность оценок): F, F, D, D, С, С, С, В, А. Видим, что посередине расположена буква С. Значит, медианой данной внборки является оценка «С». Если виборка состоит из четного количества данньїх: х г < < х2 < ... < х2п, то медианой данной внборки назьівают лю- бое из данньїх х„ или х„ + І5 то єсть те два данньїх, которне расположеньї посередине в списке х І5 х 2, ..., х2п. Например, если к 9 приведеними вмше оденкам студентов добавить еіце одну оденку Е, то получим такую последова­ тельность: F, F, Е, D, D, С, С, С, В, А. Видим, что посередине находятся буквн D и С. Значит, медианой данной вмборки являются оценки 5 и С . Обратите внимание на то, что в приведенннх примерах нахождения медианн вмборки исследуемне даннне не яв­ ляются числами. Если исследуемнми данннми являются числа, то в случае четного количества данннх х г < х2 < ... < х2п медианой вн- Х„ + Х П+ 1 борки допускается считать и величину ----------- . Например, 2 если рассмотреть внборку из четнрех числових даннмх: 1, 2, 3, 7, то число ^+ ^ = 2,5 можно считать медианой зтой вмборки. 2 Пусть вмборка состоит из даннмх хг, х2, ..., хп. Модой данной вмборки назмвают то из даннмх, которое встречает- ся в списке хх, х2, ..., хп чаїце всего. Если таких наиболее частих даннмх несколько, то каждое из них является модой данной вмборки. Например, если вмборка состоит из пяти различнмх даннмх: 1, 2, 3, 4, 5, то каждое из зтих пяти чисел является модой данной вмборки. Обратим внимание на то, что моду вмборки можно опре- делить для даннмх любой природи, в отличие от данннх, 313

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики необходимнх для нахождения среднего значення (числовне даннне) или медианьї (данньїе, которне можно сравнивать друг с другом). Рассмотрим пример. Пусть в виборах в школьньїй парла­ мент участвуют три партии: «За математику», «За современ- ную музику» и «За красавиц девушек». Опросив ЗО наугад внбранннх учагцихся, вияснили, что партию «За математи­ ку» поддерживает 7 человек, «За современную музику» — 14 человек, «За красавиц девушек» — 9 человек. Зто означа- ет, что среди ЗО полученннх данньїх, образуюгцих внборку, наибольшую поддержку имеет партия «За современную му­ зику». Позтому зта партия является модой данной внборки. Заметим, что в приведенном примере невозможно найти ни среднее значение, ни медиану вмборки. Несмотря на то, что описаннме вмше обобгцаюгцие пока- затели (среднее значение, медиана, мода) по-разному харак- теризуют вмборку, порой их недостаточно для того, чтобн дать корректную оценку всей генеральной совокупности. Пусть требуется определить средний уровень заработной платн в Украйнє. По информации одного из статистических исследований известнн такие даннме о заработной плате в трех регионах Украинн. Регион Украйни Уровень заработной плати населення в январе 2011 года Центральний регион Украинн 2319 грн Юго-Восточннй регион Украинн 2410 грн Западннй регион Украинн 1934 грн Если для трех приведенннх данннх х г = 2319, х2 = 2410, х3 = 1934 вичислить среднее значение, медиану и моду ви- борки х г, х2, х3, то получим такие значення: Среднее значение = 2319 + 2410 + 1934 = 2221, Медиана = 2319, Мода = 2319, или 2410, или 1934. 314

31. Статистический анализ данньїх На самом деле ни одно из зтих значений не отображает корректно или, как еще говорят, адекватно средний уровень заработной плати в Украине. Причина состоит в том, что в различннх регионах живет и работает разное количество людей. Так, в Центральном регионе Украйни работает около 7 млн человек, в Юго-Восточном — 10 млн, а в Западном — 5 млн. Зто означает, что жители Центрального региона за- работали Чхг млн грн, Юго-Восточного — 10х2 млн грн, а За- падного — 5х3 млн грн. Следовательно, в январе 2011 года граждане Украйни всего заработали 7х, + 10х2 + 5х3 млн грн. Поскольку обгцее количество работаюгцего населення Украй­ ни составляет около 7 + 10 + 5 = 22 млн человек, то среднюю заработную плату в Украине можно оценить так: 7хх + 10х2 + 5 х 3 2273 грн. 22 ЧОС “b l O v t Ч- tOOC Величину —-------- ------ - назмвают средним взвешенньїм 22 значением чисел х І5 х 2, х 3 с весовьіми козффициентами 7, 10 и 5 соответственно. Вообгце, средним взвешенньїм значением чисел ХІ5 х 2, ..., х„ с положительньїми весовьіми козффициентами т ,, от2, ..., т„ назмвают число _ _ т1х1+т2х2+... + тгіхгі ^ т1+т2+... + тп Если среди даннмх вмборки встречаются одинаковме, то для вмчисления среднего значення вмборки удобно вос- пользоваться средним взвешенннм значением. Например, пусть внборка состоит из 100 числовнх дан- ннх, среди которнх 40 раз встречается число х 1 = 2, 50 раз — число х2 = 3, 10 раз — число х3 = 4. Тогда среднее значение данной вмборки из 100 чисел будет равннм среднему взве- шенному значенню чисел х 1 = 2, х2 = 3 и х3 = 4 с весовнми козффициентами т-х = 40, т2 = 50, та = 10. Действительно, 2 + 2 + ... + 2 + 3 + 3+... + 3 + 4 + 4+... + 4 х— = --4-0-с-л-а-г-а-е-м-ь-іх------5-0--с-л-аг-а-е-м-ь-і-х------Ю--с-л-а-г-а-ем--ь-іх-- =01 100 315

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 40 -2 + 50- 3+10 -4 т1х1+тгхг +т.іх.і 40 + 50 +10 т1+ т2 + тг ПРИМЕР 1 В некотором городе для определения величини расходов одного человека на лекарственнме средства бмл проведен опрос 1000 человек, среди котормх 400 били младше 20 лет, а 600 — старше 20 лет. Вияснилось, что люди, которме младше 20 лет, в среднем тратят за месяц на лекарственнме средства 22 грн, а люди, которие старше 20 лет, — 47 грн. Что в данном статистическом исследовании является генеральной совокупностью? Что является внбор- кой? Оцените уровень расходов на лекарственние средства в месяц для одного человека. Р е ш е н и е . В данном статистическом исследовании мно- жество всех жителей города является генеральной совокуп­ ностью, а 1000 опрошенньїх человек образуют внборку. Найдем среднее значение зтой внборки: 22+ 22+ ... + 22+ 47+ 47+ 47+ ... +47 — 400 елагаем ьіх 600 елагаем ьіх _З Т юоо То же самое среднее значение виборки можно вичислить как среднее взвешенное значение чисел 22 и 47 с весовьіми козффициентами 400 и 600 соответственно. Имеем: х_ = -4-0--0----2--2--+-6--0--0----4--7-= 37. 1000 Число 37 показнвает, что среди опрошенньїх людей сред- ний уровень расходов составляет 37 грн в месяц. • Среднее взвешенное значение в статистике часто исполь- зуют тогда, когда собранньїе данньїе не являются равноцен- ннми, то єсть некоторме данньїе имеют большую важность (значимость), а некоторме — меньшую. Например, если в условии примера 1 дополнительно из- вестно, что часть людей в возрасте до 20 лет составляет 24 % всех жителей зтого города, то ответ на поставленнмй в задаче вопрос следует изменить. 316

31. Статистический анализ данньїх Полученнме 1000 данньїх не являются равноценнмми. Дело в том, что соотношение людей в возрасте до 20 лет и после 20 лет в нашей виборне не соответствует их соотно- шению в атом городе. Позтому для расчетов надо недобрать весовме козффициентьі таким образом, чтобм они отобра- жали реальное распределение населення города по зтим возрастньїм группам. Поскольку в зтом городе части людей в возрасте до 20 лет и после 20 лет составляют 24 % и 76 % соответственно, то надо вичислить среднее взвешенное значение чисел 22 грн и 47 грн с весовьіми козффициентами 24 и 76. Имеем: У= 24-22+76-47 = 41. 100 Величину 41 грн можно считать оценкой среднего уровня расходов на лекарственньїе средства для одного человека в месяц в зтом городе. Упражнения 31.1. °Запишите фамилии учагцихся, которьіе били опрошеньї учителем на вашем последнем уроке во время проверни домашнего задания. Что является генеральной совокупно- стью и вмборкой в статистическом исследовании учителя по проверне домашнего задания? 31.2. °Результатом работьі компьютерной программьі, которая моделирует статистическое исследование, является неко- торое целое число в диапазоне от -1 2 8 до 128. В резуль­ тате пяти последовательньїх запусков программа видала такие результати: 62, -1 5 , 31, 103, -22 . Что в данном статистическом исследовании является генеральной со- вокупностью? Что является вмборкой? Найдите размах вмборки. 31.3. ° Учагцихся опросили об их любимом предмете в шко- ле. Какие статистические показатели (среднее значение, среднее взвешенное значение, медиана, мода) можно определить для собраннмх даннмх? 317

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 31.4.° По заказу предприятий легкой проммшленности про­ ведено исследование, результатами которого являются раз- мерьі одеждм в международном формате (символи: XS, S, М, L, XL, XXL, XXXL). Какие статистические показатели (среднее значение, среднее взвешенное значение, медиана, мода) можно определить для собраннмх даннмх? 31.5.° Пользуясь таблицей средних температур воздуха в ян- варе в некоторьіх городах мира, вьічислите размах, среднее значение, медиану и моду данной вмборки. Город Темпе­ Город Темпе­ ратура, °С ратура, °С Амстердам Афиньї 3 Москва -10 Бузнос-Айрес 27 Гонконг 8 Найроби 0 Иерусалим ЗО Киев 23 Нью-Йорк 8 Монреаль 27 24 Рио-де-Жанейро 3 8 Рим -6 Сингапур -11 Токио 31.6.° Пользуясь таблицей урожайности семян подсолнечника в Украине, вьічислите размах, среднее значение, медиану и моду данной вмборки. Год Урожайность, Год Урожайность, ц/га ц/га 1991 15 2003 11 1993 13 2004 9 1995 14 2005 13 1997 12 2006 14 1999 10 2007 12 2001 9 2008 15 2002 12 2009 15 318

31. Статистический анализ данньїх 31.7. ° В чемпионате Украйни по футболу 2009-2010 гг. ко­ манда «Шахтер» снграла ЗО матчей, в котормх один раз забила 5 голов, 3 раза — 4 гола, 6 раз — 3 гола, 9 раз — 2 гола, 9 раз — один гол и в 2 матчах не забила ни одного гола. Вичислите, сколько в среднем команда «Шахтер» забивала мячей в одном матче. 31.8. °Студент за время обучения в институте получил 45 оде­ нок, среди котормх 7 пятерок, 22 четверки и 16 троек. Вмчислите средний балл студента. 31.9. ' На ученических олимпиадах, определяя рейтинг ко­ манд, индивидуальнме результатм участников оценивают таким образом: диплом первой степени приносит команде 5 баллов, диплом второй степени — 3 балла, диплом тре- тьей степени — 1 балл, диплом участника олимпиадм — 0 баллов. В таблице представленм даннме о результатах некоторой олимпиадм. Найдите моду, медиану и среднее значение командних баллов, набранннх участниками олимпиадн. Количество баллов, которме Количество участник принес команде участников 5 3 14 1 29 0 46 88 31.10.' На внешнем независимом оценивании школьников по математике 2010 года бнло предложено тестовое за- дание: «Решите неравенство 10 - Зх > 4. А Б В Г Д ( - 2 ; +оо) (2; +оо) ( - 3 ; +оо) (-« ; -2) 2) На диаграмме приведенн даннне о количестве учагцих- ся, которне решали зто задание. Найдите моду ответов учагцихся. За правильний ответ насчитнвался 1 балл, а за неправильний ответ — 0 баллов. Вичислите среднее 319

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики значение и медиану количества баллов, которое набрали участники тестирования за зто задание. 31.11.* Телефонная компания хочет получить информацию о количестве телефонних звонков, которьіе делает человек в течение суток. Даннме о 100 людях представленні на диаграмме. Вичислите размах, среднее значение, медиану и моду зтой вмборки. X. а 20 шин 14 15 14 оВ 15 Количество звонков а ок 10 оя 5 о<0 V 0 S Ч О И 31.12.* На диаграмме приведенні даннніе о количестве книг, которме прочли в течение месяца 50 опрошеннніх школн- ников. Вичислите размах, среднее значение, медиану и моду данной вьіборки. WВ 0 123456 Количество прочитаннмх книг 320

31. Статистический анализ данньїх 31.13. * В некотором лицее одиннадцатиклассники, которме учатся в классах физического, зкономического и фило- логического профилей, написали контрольную работу по математике по одинаковьім текстам. Оказалось, что средний балл учащихся физического профиля равен 8,9, зкономического — 7,7, а филологического — 7,1. 1) Оцените средний балл учащихся зтого лицея за кон­ трольную работу по математике. 2) Как надо изменить ответ, если дополнительно известно, что в классе физического профиля 23 учащихся, зко­ номического — 25 учащихся, а в двух классах фило­ логического профиля — 46 учащихся? 31.14. * В школе опросили некоторих мальчиков и девочек о времени, которое они тратят на помощь родителям по домашнему хозяйству. Оказалось, что мальчики в среднем тратят 1,1 ч в сутки, а девочки — 1,7 ч в сутки. 1) Пользуясь зтими данньїми, оцените среднее время, ко­ торое тратит учащийся зтой школи в сутки на помощь родителям. 2) Как надо изменить ответ, если дополнительно известно, что в школе учатся 400 девочек и 560 мальчиков? 31.15. * В таблице приведени данньїе о частоте вьшадения герба при подбрасивании монети в опитах, проведенних некотормми ученими. Исследователь Частота вмпадения герба Ж орж Бюффон 0,5069 Огастес де Морган 0,5005 Уильям Джевонс 0,5068 Всеволод Романовский 0,4923 Карл Пирсон 0,5005 Уильям Феллер 0,4979 1) На оснований зтих данньїх оцените вероятность ви ­ падення герба при подбрасивании монети. 321

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 2) Каким будет ответ, если дополнительно учесть даннме о количестве подбрасмваний монети в зтих опитах? Исследователь Количество подбрасмваний монетм Ж орж Бюффон 4040 Огастес де Морган 4092 Уильям Джевонс 20 480 Всеволод Романовский 80 640 Карл Пирсон 24 000 Уильям Феллер 10 000 Ответ дайте с точностью до сотих процента. 31.16.* В таблице приведенні размерм процентних ставок некотормх банков Украйни по срочньїм депозитам на­ селення в национальной валюте и суммьі вкладов в зтих банках. Номер банка і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 в вьіборке Размер и 17,2 11,3 14,5 14 14 11,9 15,8 12 15,5 процентной ставки, % Сумма 2242 783 42 4793 2222 239 296 1204 2768 5564 вкладов, млн грн 1) Оцените среднее значение вьіборки размера процентной ставки банков. 2) Какую среднюю прибьіль (в процентах) получают вклад- чики зтих банков от вкладов в национальной валюте? Ответ дайте с точностью до сотих процента. 322

31. Статистический анализ данньїх 31.17.' В третьем столбце таблицм приведенні данньїе Между- народного валютного фонда о внутреннем валовом продук­ те (ВВП) некоторнх стран в 2010 году на душу населення в денежном зквиваленте. 1) Пользуясь данннми только третьего столбца, оцените средний уровень ВВП в 2010 году на душу населення в мире. 2) Как надо изменить ответ, если учесть информацию о количестве населення соответствуюгцих стран (чет­ вертий столбец таблицм)? Ответ дайте с точностью до сотен долларов СІЛА. ВВП на душу Количество № Страна населення, тис. населення, долларов СІЛА млн 1 Гамбия 2,0 1,8 2 Греция 28,8 11,3 3 Индонезия 4,4 237,6 4 Китай 7,5 1341,0 5 Коста-Рика 10,7 4,6 6 Латвия 14,3 2,2 7 Люксембург 80,3 0,5 8 Россия 15,8 141,9 9 СІЛА 47,1 311,0 10 Украйна 6,7 45,8 323

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» № 4 1. В коробке лежат 15 шариков: 10 синих и 5 зелених. Канова вероятность того, что наугад взятий из коробки шарик окажется желтнм? А) 1; Б) 0,5; В) 0; Г) -1 . 2. Пусть вероятность собмтия А равна р (А). В каком случае собнтие А назнвают достоверннм? А) р (А) = 0; Б) р (А) > 0; В )р (А )> 0 ,9 9 ; Г) р (А) = 1. 3. Вероятность купить бракованную пару сапог некоторой известной фирмн составляет 0,023. Сколько бракованннх пар обуви гарантированно содержит партия из 1000 пар сапог зтой фирми? А) меньше 23; В) ровно 23; Б) больше 23; Г) ответ дать невозможно. 4. При проведений зкзит-пола било опрошено 15 тисяч изби- рателей, среди которнх 600 проголосовали «Против всех». Оцените вероятность собмтия, при котором избиратель голосует «Против всех». А) 4% ; Б) 0,04% ; В) 25% ; Г )0,25% . 5. Набирая номер телефони, абонент забмл вторую цифру номера. Канова вероятность того, что он с первой попмтки наберет правильнмй номер? А) 0,01; Б) 0,1; В) 0,5; Г) 1. 6. В классе учатся 18 девочек и 12 мальчиков. Наугад внби- рают одного учагцегося для участия в школьном собрании. Канова вероятность того, что будет вмбран мальчик? л ' :С в )? 7. Футболист с вероятностью 0,95 попадает в ворота при вмполнении одиннадцатиметрового штрафного удара. Ка­ нова вероятность того, что при вмполнении такого удара футболист не попадет в ворота? А) 0; Б) 0,05; В) — ; Г) (0,95)2. 0,95 324

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 4 8. Карточки, на которнх написанні числа 1, 3, 5, 7, наугад последовательно внкладнвают в ряд. Канова вероятность того, что последней положат картонку с числом 5? А) 1 1 Г) 4' 24’ 9. Канова вероятность того, что при подбрасмвании двух игральньїх кубиков на одном из них вьшадет единица, а на другом — тройка? 1 Г) 36' 10. Чему равнамедианасовокупности данньїх: 2, 2, 3, 4, 5, 6,13? А) 5; Б) 4; В) 3; Г) 2. 11. При подбрасмвании монетм 20 раз подряд вмпал герб. Канова вероятность того, что при следуюгцем подбрасм­ вании снова внпадет герб? А) 0,5; Б) і- ; В) 4г; П 0. 21 221 12. По данннм Всеукраинской переписи населення 2001 года возрастной состав населення характеризовался такими данннми: Возраст Количество постоянного населення, тьіс. человек 0-9 4533,3 10-19 7308,1 20-29 6891,6 30-39 6621,2 40-49 7298,7 50-59 5245,3 60-69 5522,2 70-79 3740,0 80 и старше 1060,8 Какая возрастная группа определяла моду возрастного состава населення Украинн в 2001 году? А) 0-9; Б) 10-19; В) 40-49; Г) 80 и старше. 325

§ 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 13. Одновременно подбросили три монети. Канова вероят- ность того, что ровно на двух из зтих монет вьшадет герб? А) Б) В) Г) 3 8 8 3 14. В совокупннх расходах некоторой украинской семьи 33 % занимают расходн на продукти питання, 25 % — коммунальньїе услуги, 42 % — остальньїе расходм. Какая из даннмх круговмх диаграмм соответствует структуре расходов зтой семьи? А) Б) В) Г) 15. В ягцике лежат яблоки трех сортов: 20 желтмх, 10 зеле- нмх и ЗО краснмх. Какое наименьшее количество яблок надо достать из ящика наугад, чтобм гарантированно взять по крайней мере одно желтое и два краснмх яблока? А) 3; Б) 13; В) 32; Г) 41. 16. Игральннй кубик бросают два раза. Канова вероятность того, что внпадут числа, сумма которнх равна 8? А) — ; Б) — ; В) — ; Г) — . 36 36 36 36 17. Монету подбраснвают до тех пор, нона не внпадет герб. Найдите такое натуральнеє значение k, что вероятность подбросить монету k раз равна А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4. 18. В ящике лежат 7 краснмх, 2 енних и 3 зеленнх шара. Наугад берут 6 шаров. Канова вероятность того, что ереди внбранннх будут 4 краснмх и 2 зеленнх шара? 1 Г) 132' 326

'I ■ • t il « ■ ІЯ Уравнения и неравенства. Обобщение if и система

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация [ І О появлении посторонних корней и потере решений уравнений Вьі знаєте, что далеко не каждое преобразование уравне­ ния сохраняет неизменньїм множество его корней. В одном случае зто множество может сузиться, то єсть корни будут потерянм, в другом — расшириться, то єсть появятся по- сторонние корни. Приведем несколько примеров. • При переходе от уравнения log2(x - І)2 = 0 к уравнению 21og2(x - 1) = 0 теряется корень х = 0. • Возведение обеих частей уравнения у[х = —х в квадрат приводит к появленню постороннего корня X = 1. • Заменяя уравнение log,4 = 2 уравнением х2 = 4, получаем посторонний корень х = -2 . Метод решения уравнения, при котором данное уравнение заменяют на уравнение-следствие, а затем полученньїе кор­ ни подвергают проверке, називают методом следствий. Его применяют тогда, когда вьіполнить проверку несложно. Однако так бмвает не всегда. Например, число ~2 +6 ^ 7 является корнем уравнения V 2 х -5 + Vx~+2 = V2x+T , но что- бьі в зтом убедиться, надо провести довольно большую вн- числительную работу. Для подобних ситуаций возможен другой путь решения — метод равносильньїх преобразований. С зтим методом вьі ознакомились в 10 классе. Подчеркнем, что, применяя как метод следствий, так и метод равносильньїх преобразований, важно знать причини потери корней и появлення посторонних корней. Рассмотрим некоторме из зтих причин. 328

32. О появлении посторонних корней и потере решений уравнений Изменение области определения уравнения Вне области определения уравнения корней нет (рис. 32.1). Позтому преобразование уравнения, при котором расширя- ется область его определения, может привести к появленню посторонних корней. Например, областью определения уравнения logx 4 = 2 является мно- жество (0; 1) U (1; +оо). Пользуясь определением логарифма, полупаєм уравнение х2 = 4, областью определе­ ния которого является множество R. Расширение области определения исходного уравнения привело к по­ Рис. 32.1 явленню постороннего корня X = - 2. ПРИМЕР 1 Решите уравнение sin3x + cos3x = cos2х - sin 2х. sin Х + COS X Р е ш е н и е . Если дробь в левой части данного уравнения сократить на (sin х + cos х), то полупим уравнение sin2 х - - sin х cos х + cos2 х = cos2 x - sin 2x. При таком преоб- разовании область определения исходного уравнения рас- ширяется на множество чисел, которие являются корнями уравнения sin х + cos х = 0. Позтому на самом деле данное в условии уравнение равносильно системе Jsin2х - sin Xcos X+ cos2x = cos2x - sin 2x, [sin X + COS X Ф 0. Найдем корни уравнения системи. Имеем: sin2 х - sin х cos x + sin 2x = 0; sin2 x - sin x cos x + 2 sin x cos x = 0; sin x (sin x + cos x) = 0. Поскольку sin x + cos x Ф0, то полупаєм sin x = 0. Отсю- да x = Tin, n є Z. Осталось заметить, что при х = пп значение вираження sin х + cos х отлично от нуля. Ответ: %п, п є Z. 329

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация Если расширение области определения уравнения может привести к появленню посторонних корней, то ее сужение — возможная причина потери корней. Например, областью определения уравнения log2(x - І)2 = = 0 является множество ( - о о ; 1 ) U ( 1 ; + о о ) , а областью опреде­ ления уравнения 2 log2(х - 1) = 0 является множество (1; + о о ) . Множество ( - о о ; 1) содержит корень х = 0 первого уравнения. Позтому при переходе от уравнения log2(х - І)2 = 0 к урав- нению 2 log2(х - 1) = 0 зтот корень потерян. Часто причиной изменения множества корней уравнения является применение равенств, правая и левая части которьіх имеют разньїе области определения. Приведем примерм таких равенств: х = -ху_,5 У х =ш ; ^Jxy = 4 х -Jy; tgx +tg у ' tg (х + у) = І -tgxtg у’ sin 2х 2 tg х 1+tg2х ’ • log„ х2 = 2 log0 х. В каждом из зтих равенств область определения вира­ ження, стоящего в правой части, является подмножеством области определения вираження, стоящего в левой части. Позтому применение зтих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево — к появленню посторонних корней. ПРИМЕР 2 Решите уравнение \\J(x- 1)2(х - 3 ) = х - 1. Р е ш е н и е . Областью определения данного уравнения яв­ ляется множество {1} U [3 ; +оо). Очевидно, число 1 является корнем данного уравнения. Однако применение формули fab=y[a-y[b приводит к уравнению Іх-11 Vx-З = х -1 , 330

32. О появлении посторонних корней и потере решений уравнений область определения которого — множество [3; +оо). Позтому число 1 не является корнем полученного уравнения, то єсть такой переход ведет к потере зтого корня. Решим данное уравнение методом равносильньїх пере- ходов. Данное в условии уравнение равносильно системе Г(х-1 )2(х - 3 ) =(х - 1 )2, |х > 1 . Отсюда [(х - 1 )2 ( х - 4 ) = 0, X = 1, Іх > 1; х = 4. Ответ: 1; 4. Умножение обеих частей уравнения на вьіражение, содержащее переменную Иногда бивает целесообразнмм умножить обе части урав­ нения на некоторое виражение. Рассмотрим последствия такого преобразования. Перейдем от уравнения к уравнению f (х) = g (х) / (х) ер (х) = g (х) ф (х). При таком переходе множество корней уравнения может измениться под влиянием двух факторов: области определе­ ния функции ф и множества корней уравнения ф (х) = 0. Например, если обе части уравнения х 2 = 4 умножить на виражение V x +І и перейти к уравнению х 2 (-s/x -1-і) = = 4 (-v/x + l), то тем самим теряем корень -2 . Если же обе части зтого уравнения умножить на у[х , то теряем корень -2 и одновременно получаем посторонний корень 0. Следовательно, если при решении уравнения возникла потребность умножить обе его части на виражение ф (х), то надо учитивать как область определения зтого вираження, так и множество корней уравнения ф (х) = 0. 331

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация ПРИМЕР 3 Решите уравнение (V1+ х + l) (Vl + x + 2 х -б ) = х. Р е ш е н и е . Умножим обе части данного уравнения на вн- ражение V1+ х - 1 . Поскольку (VT+ X + 1)(VT+ х —1) = X, то получим: х (Vl + x + 2 х -б ) = х (-s/l + x - і). (1) Зто преобразование не изменяет области определения исходного уравнения. Появление же посторонних корней возможно за счет корней уравнения Vl + x - 1 = 0. Следова- тельно, полученное уравнение (1) — следствие уравнения, данного в условии. Уравнение (1) равносильно совокупности х = 0, Vl + x + 2х - 5 = Vl + х -1 . Решим второе уравнение совокупности. Его следствием будет уравнение 2х - 5 = -1 . Отсюда х = 2. Осталось вмполнить проверку. Легко убедиться, что чис­ ло 2 является корнем данного в условии уравнения, а чис­ ло 0 — нет. Ответ: 2. Переход от уравнения / (х) = g (х) к уравнению ер(/ (х)) = ф (g (х)) Почему уравнения х = 2х - 1 и 2х = 22х~1 (2) равносильни, а уравнения х = 2х - 1 и sin х = sin (2х - 1) (3) не являются равносильнмми? Дело в том, что свойства функции у = 2* отличаются от свойств функции у = sin t . Если определенная на Ж функция у = ф (t) обратима, то равенство t-x = t2 вмполняется тогда и только тогда, когда Ф (^і) = Ф (^г)- Позтому в зтом случае уравнения / (х) = g (х) и ф (/ (х)) = ф (g (х)) равносильни. Если же определенная на Жфункция у = ф (t) не являет­ ся обратимой, то из равенства ф (£Д = ф (t2) не обязательно 332

32. О появлении посторонних корней и потере решений уравнений следует, что = t2■ Позтому уравнение ер (/ (х)) = cp (g (х)) являетея следствием уравнения / (х) = g (х). Так, уравнения (2) равносильнн, потому что функция ер (f) = 2f обратима. Поскольку функция ер (t ) = sin t не являетея обратимой, то уравнения (3) не являютея равно- сильньїми. Вм знаєте, что возведение обеих частей уравнения в чет- ную степень приводит к уравнению-следствию, а возведение в нечетную степень — к равносильному уравнению. Зто связано с тем, что функция у = хгі, k є N , не являетея обратимой, а функция у = х2*-1, k є N , — обратимая. Функция у = х2к, k є N , обратима на множестве [0; +оо). В 10 классе вм пользовались зтим фактом в виде такой тво­ ремм. Т еорем а 32.1. Если для любого х є М вгяполняютея неравенства f (х) > 0 и g (х) > 0, то уравнения f (х) = g (х) u (/ (х))2* = (g (х))2*, k є N, равносильнм на множестве М. Зту теорему вм использовали при решении иррациональ- ннх уравнений. Рассмотрим пример, в котором появление постороннего корня связано с необратимостью функции у = sin t. ПРИМЕР 4 Решите уравнение arcsin(х Я ) = arccos (5х-2). Ре ше ние . Поскольку определенная на Мфункция у = sin t не являетея обратимой, то уравнение sin (arcsin (х-у/3)) = = sin (arccos (5х - 2)) — следствие данного. Позтому решение уравнения должно завершиться проверкой корней. Следова- тельно, можно не бояться далее переходить к новнм урав- нениям-следствиям. Напомним, что имеют место равенства sin (arcsin а) = а и sin (arccos а) = ^ 1 - а 2 . Позтому можно записать: хл/3 = j l - ( 5 x - 2 ) 2 . Отсюда Зх2 = 1 - (5х - 2)2. 333

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация 1 х =-, 2 Далее имеем: 28х2 - 20х + 3 = 0; х =- 14 Проверим полученнме корни. При х = — имеем: arcsin (х-у/з) = arcsm —•у/з = —п ; 2 2З arccos (5х - 2) = arccos — 2 = arccos - = —. сл_ _ і 2 ТПТри х = —3 имеем: arcs•m (^хVf o3\\) = arcsm -3--л-/-з-< —71; 14 14 (1--5--- 2 \\ = arccos ( 1134,І)> _271 Vl4 ) {. Следовательно, число — не является корнем исходного 14 уравнения. Ответ: —. 2 г Упражнения 32.1.° Равносильнм ли уравнения: 1) х - 5 = 0 и х (х - 5) = 0; 2) —= 0 и х 2 = -4; 3)х+1 = 1 + х и х 2 +1 = 1; х 2 +1 4) х 100 = 1 и х 1000 = 1; 5) —= 1 и х = х; х х 2 - 1і 6) = 0 и х - 1 = 0; х +1 334

32. О появлении посторонних корней и потере решений уравнений х2-9 7) -------= 0 и х2 - 9 = 0; х +2 8) (\\jx + 2) = 2х + 5 и х + 2 = 2х + 5; 9) y j ( x- l ) (х - 3 ) = 0 и V x -1 •V x -3 = 0; 10) sin х = 2 и 2х = -1; 11) sin х = 0 и cos х = 1; 12) cos х = 0 и sin2 х = 1; 1 —Iff2 x 13) ------ -— = -1 и cos 2x = -1; 1+ tg x 14) log3 x2 = 2 и log3 x = 1; 15) log6 (x2 - 1) = log6 (x - 1) и log6 (x + 1) = 0; 16) l0g* (X+1 )=1 и log2 (x + 1) = 1? log, 2 32.2.° Равносильньї ли уравнения: 1) x2 = x и х = 1; 2) ( 2 ,- 1 ) ( 2 , +1 )= 0 и 4 х 1 _ 1 = 0 . 3) х2 + 1 = 0 и х —1 = 0; 4л )\\ -Х--+--1 = 11 и х 2 +1 = 1; х +1 х 2 +1 5) -Х--+-1- = 0л и х2-1 = 0; х + 1 х2-1 6) cos х = -1 ,2 и ех = 0; 7) cos х = 0 и sin х = 1; 8) ^^ Х = 0 и sin 2х = 0; І +tg х 9) -у/х2 (х —1) = 0 и Іх IV x - l = 0; 10) log 2 х 2 =1 и log, х = 1? 335

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация 32.3. ° Будет ли в результате данного преобразования долучено уравнение, равносильное данному: 1) в уравнении 3 (2х - 1) - 5 (4х + 2) = 1 раскрить скобки и привести подобние слагаемие; 2ОЛ) в уравнении х 2 1 1н-------------------------- = 4 9 р а з н о с т ь 11 х-7 х-7 ------------------------- х-7 х-7 заменить на нуль; х 2 —іі 3) в уравнении--------і-Зх-5 = 0 сократить дробь; х —1 4 ) обе части уравнения х3 = х разделить на х; 5) обе части уравнения (х + 1) (х2 + 4 ) = х2 + 4 разделить на х2 + 4 ; 6) обе части уравнения —х 2 = 2 умножить на х; X 7) обе части уравнения 2х + 1 = 5 умножить на х + 1 ? 32.4. ° Какое из двух уравнений является следствием другого: 1) и х = 1;toя яto II 2) *=1 и Ох = 0; X а 3) X3 = 1 и х2 = 1; 4) X = 1 :и х3 = 1; X2 36 „ __ 5) — и х = 36; х — 6 х--6 6) и х 2---- — = 4 - х +2 7) х2-1 = 0 и х2 - 1 = 0; х +1 8) Vx2- 2 = >/Зх и х 2 - 2 = Зх; 9) -у/х2 (х -1 ) = х и Іх Іyjx- І = х; 10) -у/х + 3 = х и х + 3 = х2; 11) sin х = 3 и log2 х = 1; 12) lg (х2 - 1) = lg (х - І)2 и х2 - 1 = (х - І)2; 336

32. О появлении посторонних корней и потере решений уравнений 13) 2 tg f = 0 и tg 2х = 0; І-tg х 14) - = 0 и log2 х = 0? log, 2 32.5.° Какое из двух уравнений является следствием другого: 1) — = 1 и х2 = х; X 2) (х + І)2 = 1 и х2 + І 2 = 1; х 64 и х2 = 64; 3) х+8 х+8 4) х 2 . 1 = 9 1 и х = 9; х +3 х +З 5) \\Іх2—х —1 = л/бх и х2 - х - 1 = 5х; 6) уіх2- 4 = -s/x + 2 и yJx-2*Jx + 2 = *Jx + 2; 7) Vx + 7 = —х и х + 7 = х2; 8) cos х = - 2 и е*2-*-!! _ і; 9) log3 Iх + 2 I= 1 и log, | x + 2 | • log3 x = 1? 32.6.\" Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если: 1) уравнение (І х І + 3) / (х) = 2 | х | + 6 заменить на урав- нение / (х) = 2; 2) уравнение (tg2х + 1) / (х) = tg2х + 1 заменить на урав­ нение / (х) = 1; 3) уравнение /(•*0 = 0 заменить на уравнение / (х) = 0; х 2 +1 4) уравнение f{x) = 0 заменить на уравнение / (х) = 0; lg^ х + 1 5) уравнение (х + 1) / (х) = х + 1 заменить на уравнение / 0*0 = і; 6) уравнение {-\\[х - і ) / (х) = у[х - 1 заменить на уравнение / 0*0 = і; 337

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация 7) уравнение f i x ) g(x) заменить на уравнение f(x) = g (х); х+1 х+1 8) уравнение /(х) = g(x) заменить на уравнение (х + 1) / (х) = (х + 1) g (х); 9) уравнение log2/ (х) = 0 заменить на уравнение / (х) = 1; 10) уравнение logx/ (х) = 0 заменить на уравнение / (х) = 1? 32.7.\" Решите уравнение: ^ х +5 х-5 х + 25 х 2 - 5 х 2 х 2 + 1 0 х 2х - 5 0 2) 9х + 12 1 х а - 6 4 х - 4 х^+4х + 16 32.8.\" Решите уравнение: 1) 4г/+ 24 у + 3 у- З 5г/2- 4 5 5г/2-15г/ г/2+Зг/’ 2) У + 2 ___ 1 _ = ____У_+_з___ 8г/3+1 4г/ + 2 8г/2- 4г/+ 2 * 32.9. \"Решите уравнение: 1) x2+(Vx - 2 ) 2- 5 = 0; 2) 2х2+9 (л/х+Т)2- 2 7 = 0. 32.10. \"Решите уравнение: 1) х 2 - ( V x + з ) 2 - 8 = 0; 2) х 2- 4 (Vx + 2 )2-1 3 = 0. 32.11. \"Решите уравнение: 1) sin 2х = 0; оол) 2sin x + 3 s i n x —Uп. х І -cos X І +tg sin X 2) = 0 ; 1+ C0S X 32.12.\" Решите уравнение: 1) sin 2х = 0; sin 2х 1+ctg х 2) = 2 cos х. 1- sin х 32.13. \"' Решите уравнение V1 6 - 9 х 2 (3 sin 2л;х + 8 sin 7tx) = 0. 32.14. \"' Решите уравнение л /25-4х2 j^sin7іх + 3 c o s = 0. 338

32. О появлении посторонних корней и потере решений уравнений 32.15. ” Решите уравнение: 1) \\І2х —х + 4 + \\/2 х - 7х + 1 0 = 3 х _ 3j 2) (-s/x + 1 + l) (Vx + 10 - 4) = х. 32.16. ” Решите уравнение: 1) yjх + 3 x - 2 +Vx - х + 1 = 4 х - 3; 2) (\\/х + 1 + l)(\"Vx + l + х + х _ т) = х. 32.17. ” Решите уравнение: 1+cosx +sinx cos х + cos-З-х---2 1) —v 1 2 2) 0. COS X sin х 32.18.” Решите уравнение: cos х + cos Зх + 2 si.n2 2оx -si.n2 х 2) 0. 1) cos Зх-1 = 0 ; sin — 1 32.19.” Решите уравнение: 1) t g -5-7-1- ьх =2 c o s-2-л--- 5 c tg x ; 2) tg 2 x + sin 2 x — ctg x. 2 32.20. ” Решите уравнение tg 2 x - s in 2x = - —ctg x. 32.21. ” Решите уравнение logx cos 2%x = 0. 32.22. ” Решите уравнение logr sin — = 0. 2 32.23. ” Решите уравнение log9 sin 2x = log3 y]sin x . 32.24. ” Решите уравнение log4 sin 2x = log2 yj-sin x. 32.25. ” Решите уравнение arccos ( x -s/ з ) = arcsin (З х -2 ). 32.26. ” Решите уравнение arcsin x = arccos (Зх - 1). 339

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация Основньїе методьі решения уравнений В таблице приведенні схеми решения некотормх типових уравнений. Тип уравнения Условие, равносилнное данному уравнению І / (х) 1= 1g (х) 1 f(x) = g(x), 1/ (*) І = g (*) _f (х) = - g (х) г f(x) = g(x), < f(x) = - g (х), -g ( x ) > 0 ■slf (х) = y/g (х) j f (x) = g(x), U(X)>0 yjf(x)=g(x) f(x) = g 2 (x), g(x)>0 аПх) = ае(х\\ а > 0 , а Ф І log0 / (х) = log0 g (х), f (x) = g (x) а > 0, а Ф1 Г/ (x) = g (x ), [g (x )> 0 Часто решение уравнений сводится к решению типових уравнений, приведенньїх в таблице. Зто иллюстрируют упражнения №№ 33.1, 33.2. К тем уравнениям, которме не сводятся к типовим, применяют специальньїе методи и приємні. Рассмотрим некоторме из них. 340

33. Основньїе методьі решения уравнений Метод разложения на множители Хорошо, если удается левую часть уравнения /(х ) = 0 представить в виде произведения нескольких виражений. Как правило, зтот шаг полезен, поскольку позволяет вме- сто данного уравнения решить совокупность более простих уравнений. Рассмотрим примерм. ПРИМЕР 1 Решите уравнение х 3 - 6х2 + 11х - 6 = 0. Ре ше н и е . Очевидно, что число 1 является корнем данного уравнения. Тогда левую часть уравнения можно представить в виде произведения (х - 1) Q (х), где Q (х) — квадратний трехчлен. Для нахождения Q (х) разделим «уголком» много­ член х3 - 6х2 + 1ї х - 6 на двучлен х - 1: х3 - 6х2 + 1 І Х - 6 х —1 х3 - х2 х2 - 5х + 6 -5х2 + 11х - 6 -5х2 + 5х 6х - 6 6х - 6 0 Полупили, что Q (х) = х2 - 5х + 6. Имеем: (х - 1) (х2 - 5х + 6) = 0. х - 1 = 0, Ото уравнение равносильно совокупности х 2- 5 х + б = 0. х = 1, Отсюда х = 2, х = 3. Ответ: 1; 2; 3. ПРИМЕР 2 Решите уравнение З V x -2 •2х2~3+2х = х •2х2~3+6 V x -2 . Р е ш е н и е . Имеем: З у[х^2 ■2х' - 3- х • 2х' - 3+ 2х - б Vx^2 = 0; 341

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация 2*2- 3 (з 4 х - 2 - х)- 2 (з 4 х - 2 - х) = 0; ( З у[ х - 2 - х ) ( 2*2~3- 2) = 0 . Ошибочнмм било би считать, что зто уравнение равно- сильно совокупности З-у/х-2 - х = 0, 2\"2 3- 2 = 0. Действительно, корень - 2 второго уравнения совокупно­ сти не входит в область определения исходного уравнения. На самом деле исходное уравнение равносильно системе З уіх- 2 - х = 0, <[ 2*2- 3- 2 = 0, х > 2. 00 9 х -1 8 = х 2, х = 3, Н х 2- 3 = 1, х = 6, I х > 2; х = 2, со х = -2, II х > 2. Отсюда 2*2~3 =2, х>2; Ответ: 2; 3; 6. Метод заменьї переменной ПРИМЕР 3 Решите уравнение х 4 - 8х3 + 15х2 + 4х - 2 = 0. Р е ш е н и е . Преобразуем данное уравнение так: х4 - 8х3 + 16х2 - х 2 + 4х - 2 = 0; (х2 - 4х)2 - (х2 - 4х) - 2 = 0. Сделав замену х2 - 4х = t, получаем уравнение t2- t - 2 = 0. t = 2, х - 4 х = 2, Отсюда t = - 1; х 2- 4 х = -1 . Ответ: 2 + л/б ; 2 - ^ 6 ; 2 + \\/3 ; 2 —>/з . 342

33. Основньїе методьі решения уравнений ПРИМЕР 4 Решите уравнение 2х Зх 5 4' х2- 4 х +2 х 2+х + 2 Ре ше н и е . Поскольку число 0 не является корнем данного уравнения, то, разделив числитель и знаменатель каждой из дробей левой части уравнения на х, получаем уравнение, равносильное данному: 2 3 _5 Х - 4. + —2 х +1 н—2 “ 4' Сделаем замену x + —= t. Тогда х 2 + 3 5 = 0„; t 2+ t - 12 ----- ------+ - ---------------- = 0; t - 4 t + 1 4 (t-A)(t +\\) \\t2+ * -1 2 = 0, t = -4, l(*-4)(* + l)^ 0 ; t = 3. Имеем: x + —= -4 , px “+ 4x + 2 = 0, x x н— = 3; x 2- 3 x + 2 = 0. x Omeem: —2 + -s/2 ; - 2 - \\ / 2 ; 1; 2. ПРИМЕР 5 Решите уравнение sin x- 4 3 sin x - - -2 = 0. sin2X sin X Р е ш е н и е . Пусть s in x - - = t. Тогда sin X sin2x -4 - sin2x = t 2. Отсюда sin2x - sin2x = i 2+4. Исходное уравнение прини- мает вид t2 + 4 + 3t - 2 = 0. Отсюда f2 + 3t + 2 = 0; t = - 1, i = -2. 343

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация Получаем, что исходное уравнение равносильно совокуп- sm x - 2 X = - l , sin ности 2 sm x- = - 2. sin X sin x = 1, sin2x + sin x - 2 = 0, sin x = -2, Отсюда sin x = —1—>/з, sin2x + 2 sin x - 2 = 0; sin x = -1 + л/з. sin x = 1, Поскольку | sin x | < 1, то получаем sin x = -v/3-1 . Отсюда X = —+ 27tfe, 2 x = (-1)* arcsin ( S - l ) + %k, k e Z . ПРИМЕР б Решите уравнение $l(2 - х ) 2 +^/(7 + x)2 -^ (7 + x ) (2 - х ) =3. Р е ш е н и е . Пусть -v/2- x =a , W + x = fc . Тогда Ja2+fc2- a b = 3, Ja2+fc2-afc = 3, f(a + fc)2-3afc = 3, [a3+bs =9; |(a + fc)(a2+fc2-afc) = 9; j ab = 2, |a = l, a + fc= 3; |& = 2 , [a = 2, |fc = l . [•ч/2- x =1, Теперь можно записать: IW + x =2, x = 1, [>/2-x = 2, x = -6. Іл/7 + x = 1; Ответ : 1; -6 . 344

33. Основньїе методьі решения уравнений Применение свойств функций Поиск области определения функции / может бить клю- чом к решению уравнения / (х) = 0. ПРИМЕР 7 Решите уравнение Р е ше н и е . Применение любих приемов, связаннмх с пре- образованием левой части данного уравнения, вряд ли приве- дет к успеху. Вместе с тем нахождение области определения уравнения — путь вполне естественний. х2- 4х +3>0, Имеем: < 4 х - х 2- 3 > 0, х > 0. Решив зту систему, получим, что областью определения рассматриваемого уравнения является двухзлементное мно- жество {1, 3}. Проверка показивает, что число 1 не подходит, а число 3 является корнем исходного уравнения. Ответ: 3. Пусть функции / и я такови, что для любого х є D (f) П П D (g) вмполняются неравенства / (х) < а и g (х) > а, где а — некоторое число. Тогда уравнение / (х) = g (х) равно- сильно системе / (х) = а, g ( х ) = а. С помощью зтих очевидних соображений можно решить целий ряд уравнений. ПРИМЕР 8 Решите уравнение Р е ш е н и е . Поскольку cos 4х > -1 , то 5 + 3 cos 4х > 2. Отсюда log2 (5 + 3 cos 4х) > 1. В то же время sin2 345

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация Позтому исходное уравнение равносильно системе log2 (5 + 3 cos 4х) = 1, sm х --1= 1. cos 4х = -1, п пп х = — - ---- , ПЄй, Отсюда < 42 COS X х = —71 - кк, к і 4 Ответ: — + жк, к є Z. 4 Вьі знаєте, что если функция / является возрастающей (убивающей), то уравнение /(х) = а имеет не более одного корня. Если удается корень угадать, то решение такого уравнения завершено. ПРИМЕР 9 Решите уравнение 2х - sin х = 0. Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию / (х) = 2х - sin х. Име- ем: / ' (х) = 2 - cos х. Поскольку для любого х є Ж вьшол- няется неравенство /' (х) > 0, то функция / возрастает на Ж. Следовательно, уравнение / (х) = 0 имеет не более одного корня. Очевидно, что число 0 является корнем данного уравнения. Ответ : 0. ПРИМЕР 10 Решите уравнение ^ 4 х 2- 1 + > /4х-1 = 1. Р е ше н и е . Рассмотрим функцию / (х) = \\/4 х 2- 1 +>/4х-1. Легко определить, что D ( f ) = —; + с о _2 Каждая из функций g (х) = V4x2-1 и h (х) = V 4x-1 яв­ ляется возрастающей на D (/). Следовательно, функция / также возрастает на D (/). Очевидно, что число — является корнем исходного урав- 2 нения. Зтот корень единственнмй. Ответ: —. 2 346

33. Основньїе методьі решения уравнений Упражнения 33.1. \"Решите уравнение: 1) Іх2 - ї х + З І = Іх - 4 |; 4) VЗх +7 = 7 - х ; 2) | х2 - Зх - 1 |= х - 1; 5 ) rj2x+з_ уз - X; 3) \\І4х2-5 х = \\/Зх2- 2 х - 2 ; 6) log3 (х2 - 7) = log3 (-х - 1). 33.2. \"Решите уравнение: 1) Іх2 —2х —5 І = Іх —1 |; 2) Іх2 +6х - 16 І= 8 - 4х; 3) уі2х 2- З х + 1 = yjx2+ 2 х -3 ; 4) 2 л/х + 5 = х + 2; 5) 28- 2*2 = 2*2-1; 6) lg (х2 + 2х - 10) = lg (Зх + 2). 33.3. \"Решите уравнение: 1) х3 - 7х - 6 = 0; 3) X і - 9х2 + 4х + 12 = 0. 2) X і - 5х3 + 8х2 - 7х + 3 = 0; 33.4. \"Решите уравнение: 2) х4 + 2х3 - Зх2 - 4х + 4 = 0. 1) х3 + х 2 + х + 6 = 0; 33.5. \"Решите уравнение: 1) (х2 + 5х)2 - 2 (х2 + 5х) - 24 = 0; 2) (х2 + 2х + 2) (х2 + 2х - 4) = -5; Зх2 - 9 х 12 _ 9 2 х 2- Зх _ ’ 4) ---- ------------— = — . х (х + 2) (х + 1)2 12 33.6. \"Решите уравнение: 1) (х2 + 8х + 3) (х2 + 8х + 5) = 63; 4 х4 , 2 2) - 5 = 0; (х-2)2 х -2 З 3) -= 3 - х - х 2; 1+х +х‘ 68 4) = 1. (х + 1)(х + 2) ( х - 1 ) ( х + 4) 347

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация 33.7.\" Решите уравнение: і 33.8.\" Решите уравнение: 33.9.” Решите уравнение 33.10. ” Решите уравнение: 1) (х - 4) (х - 5) (х - 6) (х - 7) = 1680; 2) х (х + 3) (х + 5) (х + 8) = 100. 33.11. ” Решите уравнение: 1) (х - 4) (х + 2) (х + 8) (х + 14) = 1204; 2) (х + 3 ) ( х + 1) (х + 5) (х + 7) = -1 6 . 33.12. ” Решите уравнение: 1) (2х2 - 5х + 2) (2х2 + 7х + 2) = - 2 0 х 2; 2) (х + 2) (х + 3) (х + 8) (х + 12) = Ах2. 33.13. ” Решите уравнение: 1) 4 (х + 5) (х + 6) (х + 10) (х + 12) - Зх2 = 0; 2) (х - 4) (х + 5) (х + 10) (х - 2) = 18х2. 33.14. ” Решите уравнение: 33.15.” Решите уравнение: 33.16.” Решите уравнение: 4 г ЯЯгу. = 1; х 2 - 6 х +15 х 2 - 1 2 х +15 33.17.” Решите уравнение: Зх 2х 8 _ 2) 0 . х2+ 1 -4 х х 2+1 +х З х 2- 7 х +4 х 2+х +4 З 348

33. Основньїе методьі решения уравнений 33.18. ” Решите уравнение: 1) 2 (х2 + х + І)2 - 7 (х - І)2 = 13 (х3 - 1); 2) 4х2+12х л/і + х = 27 (1 + х). 33.19. ” Решите уравнение: 1) х4 + 5х2 (х + 1) = 6 (х + І)2; 2) 6х2- 5х Vx + З + х + 3 = 0. 33.20. ” Решите уравнение: 1) 3 sin2 х + 2 sin х cos х = 2; 2) 5 cos3 x = sin x - cos x. 33.21. ” Решите уравнение 22 cos2 x + 4 sin 2x = 7. 33.22. ” Решите уравнение: 1) tg4 x + ctg4 x + tg2 x + ctg2 x = 4; 2) 18 cos2 x + 5 (3 cos x + cos-1 x) + 2 c o s 2 x + 5 = 0. 33.23. ” Решите уравнение: 1) tg3 x + tg2 x + ctg2 x + ctg3 x = 4; о1 2 2) 4 sin xh---- -— h4sinxH-------- = 11. sin x sin x 33.24. ” Решите уравнение sin 2x + 3 (sin x + cos x) + 1 = 0. 33.25. ” Решите уравнение sin 2x + 4 sin x - 4 cos x - 1 = 0. 33.26. ” Решите уравнение: 1) \\/х + 8 - уіх- 8 = 2; 2 ) ^ / ^ 2 + V ^ T = 5. 33.27. ” Решите уравнение: 1) %/l8 + 5 x + -\\/64-5x =4; 2) $І2^х = l - J x - І . 33.28. ” Решите уравнение: 1) 2 c o s ^ — ^ = х2 - 8 х + 18; З 2) 5 sin х - 12 cos х = х2 - 2х + 14. 33.29. ” Решите уравнение: 1) sin — = х 2- 6 х + 10; 2) sin 2х = х - х2 - 1. 6 12х 33.30. ” Решите уравнение: 2) sin 6 x + c o s------= -2 . 1) cos2x + cos — = 2; 349

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация 33.31. ” Решите уравнение: 1) c o s -1-3--х cos —5х = 1;. п2)і s•m 2оx + c o s —8х = 2. 66 З 33.32. ” Решите уравнение (4х - х2 - 3) log2 (cos2 %х + 1) = 1. 33.33. ” Решите уравнение 2~1х~2 log2 (4х - х 2 - 2) = 1. 33.34. ” Решите уравнение: 1) Xй+2х 4 x ^ 1 =12-, 2 ) ^ —=— . х 2 +1 2 33.35. ” Решите уравнение: 1) 2у[х + V x -5 +V2x + 7 =13; 2) x 2+5x + 15-v/x + 2 =44. 33.36. ” Решите уравнение cos х - 2х = 1. 33.37. ” Решите уравнение sin х - cos х = 2х - 1. З І Основньїе методьі решения неравенств В таблице приведенні схеми решения некотормх типових неравенств. Тип неравенства Условие, равносильное данному неравенству 1/ 0*0 1< g (х) / (х) < g (х), / (х) > - g (х) \\ f ( х ) \\ > g (х) / (х) > g (х), /(x)<-g(x) 7/(х) >^g(x) J7(x)>g(x), U 350

34. Основньїе методьі решения неравенств Тип неравенства Условие, равносильное yjf(x) <g(x) данному неравенству ліf (х) > § (х) / (х) < ( g (х))2, аПх) > ае(х\\ а > 1 g (х) > 0, / (х) > 0 g (х) <0, /(х)>0, g (х) > 0, f (х) > ( g (х))2 f (х) > g (х) af(x) > as(x\\ 0 < а < 1 f (х) < g (х) log0 / (х) > log0 g (х), а > 1 (x)>g(x), [ g (х) > 0 logG/ (х) > logo § (х), о < а < 1 [/(x)<g(x), [/ (х) > 0 Часто решение неравенств сводится к решению типових неравенств, приведеннмх в таблице. Зто иллюстрируют упражнения №№ 34.1-34.10. К тем неравенствам, которме не сводятся к типовим, применяют специальньїе методи и приємні. Рассмотрим некоторме из них. Метод равносильньїх преобразований ПРИМЕР 1 Решите неравенство (х2- 9 ) s j x - 2 > 0. Р е ш е н и е . Заметим, что ошибочньїми являются следую- щие соображения: «Поскольку при х > 2 вмполняется не­ равенство V x - 2 > 0, то исходное неравенство равносильно Гх>2, системе < Отсюда х є [3; +оо)». Несложно увидеть, [х - 9 > 0 . что при таком «решении» теряется решение х = 2. 351

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация Правильним решением данного неравенства является, например, переход к совокупности: (х2-9) yJx-2 =0, _(х2- 9 ) \\ j x - 2 > 0. Решением уравнения совокупности являются числа 2 и З, множеством решений неравенства — промежуток (3; +оо). Ответ: [3; +оо) U {2}. ПРИМЕР 2 Решите неравенство V 5 x - 1 - V x + 2 > 1 . Р е ш е н и е . Сразу возводить обе части неравенства в ква­ драт не является рациональньїм шагом, поскольку зтот пере­ ход требует учитивать такое дополнительное условие: V5x-l-Vx +2>0. Данное в условии неравенство целесообразно записать так: ■s/ б х - І > 1 + Vx + 2. Поскольку обе части последнего неравенства могут при- нимать только неотрицательньїе значення, то можно перейти к равносильному неравенству: ( V 5 x - l ) > (l + Vx + 2) . Далее получаем: 5х - 1 > 1+ 2 -v/x+ 2 + (х + 2); 2 ( х - 1 ) >л/х + 2; 4 (х - 1 )2 > Х+ |4 х 2-9 х +2>0, <х > 1, [х >1. х +2>0; Отсюда х > 2. Ответ: (2; +оо). Метод интервалов Пусть нули функции и ее точки разрива разбивают об­ ласть определения функции на некоторие промежутки (рис. 34.1). Тогда из следствия из теореми Больцано-Коши (см. пункт 5) следует, что зти промежутки являются про- межутками знакопостоянства функции. Определить знак 352

34. Основньїе методьі решения неравенств функции на каждом из таких промежутков можно с помо- щью «пробних точек». Зти соображения являются основой для решения широко­ го класса неравенств. ПРИМЕР 3 Решите неравенство y j 2 - x > 1 - y j x - l . Р е ше н и е . Рассмотрим функцию / (х) = л/2- x + V x -1 - 1 . Имеем: D (/) = [1; +оо). Найдем нули функции /. Для зто- го решим уравнение у ] 2- х + yj x-1 - 1 = 0. Сделаем замену: yj2 - х = a, yjx- 1 = b. Имеем: 2 - х = а3, х - 1 = Ь2. Отсюда а3 + Ь2 = 1. Полупаєм систему: а + Ь- 1 = 0, аг +Ь2 =1. Отсюда [b = 1 - а , \\Ь = 1 -а , [а3+ (1 -а )2 =1; [а3+ а 2- 2 а = 0. Зта система имеет три решения: (0; 1), (1; 0), (-2; 3). л/2- x = 0, Теперь можно записать: л/х —1 = 1, х = 2, х = 1, •ч/2- x = 1, х = 10. Отсюда л/х-1 = 0, •ч/2- x = -2, ■у/х-1 = 3. 353

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация Поскольку функция / непреривна, то ее нули, то єсть чис­ ла 1, 2, 10, разбивают ее область определения D (/) = [1; +оо) на промежутки знакопостоянства: (1; 2), (2; 10), (10; +оо). Имеем: ^ є(1;2); З є (2; 10); / (3) < 0; 17 є (10; +оо); / (17) > 0. Знаки функции на промежут- ках знакопостоянства показанні на рисунке 34.2. Ответ: (1; 2) и (10; +оо). Применение свойств функций При решении примера 3 бьіло использовано такое свойство функции, как непреривность. Нередко ключом к решению могут бить и другие свойства функций: периодичность, четность (нечетность), возрастание (убивание), наибольшее и наименьшее значення функции и т. д. Например, если min / (х) = а и шах / (х) = Ь, то множе- D(f) D(f) ством решений каждого из неравенств / (х) > а и / (х) < b является множество D (/) (рис. 34.3). Рис. 34.4 Еще один пример: если функция / возрастает на проме- жутке D (/) = [а; +оо) и /(х 0) = 0, то множеством решений не­ равенства / (х) > 0 является промежуток [х0; +оо) (рис. 34.4). Рассмотрим примери, иллюстрирующие вьішесказанное. ПРИМЕР 4 Решите неравенство > /l9 -x + -^х + 1 3 < 4 . Ре ше н и е . Рассмотрим функцию / (х) = ^ 19- х + ліх + 13, D (/) = [-13; 19]. 354

34. Основньїе методьі решения неравенств Имеем: /'(х ) = ----- , н-----. . Решив уравнение 4 д/(19-х)3 4 Щх +13)г /' (х) = 0, долучим х = 3. Сравнивая числа / (-13), / (3), / (19), приходим к виводу, что шах / (х) = / (3) = 4. [- 1 3 ; 19] Тогда неравенство / (х) < 4 вмполняется для всех х є D (/). Ответ: [-13; 19]. ПРИМЕР 5 Решите неравенство log2 (V x -2 + 4 ) log3 (х2+Х + 2 1 )> 6 . Р е ш е н и е . Областью определения данного неравенства является промежуток [2; +оо). Поскольку у / х - 2 + 4 > 4 , то log2 (V x -2 + 4 ) > log2 4 = 2. При х > 2 долучаєм, что х2 + х + 21 > 27. Тогда log3 (х2 + х + 21) > 3. Имеем: log2 (л /х -2 + 4 ) > 2 и log3 (х2 + х + 21) > 3. Отсюда для всех х є [2; +оо) вмполняется неравенство log2 (V x -2 + 4 ) log3 (х2+Х + 2 1)> 6 . Ответ: [2; +оо). ПРИМЕР б Решите неравенство n/x^ T + -s/5x3 + 9 x + 6 > 5 . Р е ше н и е . Рассмотрим функцию / ( х ) = Vx —1 + уі5х3+9х + б - 5. Легко показать, что зта функция возрастает на D (/) = [1; +оо). Очевидно, что / (2) = 0. Тогда множеством решений неравен­ ства / (х) > 0 является промежуток [2; +оо). Ответ: [2; +оо). 355

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация Упражнения 34.1. \"Решите неравенство: 1) І 2х - 5 І < х; 2) І Зх - 2 І > 2х + 1. 34.2. \"Решите неравенство: 1) ІЗх-11 < —; 2) І Зх - 5 І > 9х + 1. 3) х2 - х - 2 < І 5х - З 2 4) Іх2 + Зх І > 2 - х2. 34.3. \"Решите неравенство: 3) Іх2 - Зх І > х + 5. 1) х2 +3х І < х + 4; х +1 3) лІ2х2+6х + 3 > V -x 2-4 х ; 2) -2--х----1-- < 1; /8-х ^ 3 4 .4 / Решите неравенство: 1) 4х2 - 1 І < х + 2; 4) 2 Зх + 1 ^ . ї х - 10 ^ 1 2 - х 2) х - 5к\" ^ 12 х - 3 ^ ї х - 2 3 4 .5 / Решите неравенство: 1) & !х2+5х - 6 > V - x - l 3) 14 х - 1 ' ) 1х + 2 2) Vx + 2 > V 8 - x 2; /q -v L1 3 4 .6/ Решите неравенствс У 2-х 1) Vx2- 7 х + 5 > V 3x-4: 3) ^ 5 - |х + і | < 2 + х. 2) Vx2+5х < V l - x 2+4х; 34.7. \"Решите неравенство: 1) Vx + 7 <х; 2) Vx2- З х - 1 0 < 8 - х ; 34.8. \"Решите неравенство: 1) х + 4 > 2 V 4 - X 2; 2) Vx2- З х - 1 8 < 4 - х ; 3) V(x - 3) (2 - х) < 3 + 2х. 356

34. Основньїе методьі решения неравенств 3 4 .9 / Решите неравенство: 3) /х3 +8 > х - 2 . х 1) \\/2х-Й4 > х + 3; 2) уі2 х 2 + 5 х - 6 > 2 - х ; 3 4 .1 0 / Решите неравенство: 1) у/х2- 2 х > 4 - х ; 3) Iх +2^ > х - 3 . Vх 2) V -x 2- 8 х - 1 2 > х + 4; 3 4 .1 1 / Решите неравенство: 1) (х + 10) V x -4 <0; 2) (х + 1) у/х + 4 yjх + 7 ^ 0; 3) (х + 8) Vх2- 5 х + 4 < 0; 4) (х2+ Зх -1 0 ) уі2х 2+ 5х + 2 > 0. 3 4 .1 2 / Решите неравенство: 1) (х -1 2 )-у /х -3 <0; 3) (х + 3) yjx2+ х - 2 < 0; V2x2+15x-17 2) (х + 2)2 (х - 1 ) 2 Vx::7 > 0 ; 4) ------------------- > 0 . 10-х 3 4 .1 3 / Решите неравенство: 1) V l- 3 x --v/5 + x > 1; 2) V 2 x -1 + V x + 1 5 < 5 . 3 4 .1 4 / Решите неравенство: 1 ) у [х ^ 2 + У І2 х + 5 > 3; 2) Vx + V x -5 < -v /l0 -x . 3 4 .1 5 / Решите неравенство: 3) tg2x - tg x - 2 > 0; 4) 2 + tg 2x + ctg 2x < 0. 2 1) sin6 x + cos6 х < —; З 2) 2cos2x - s i n x >1; 3 4 .1 6 / Решите неравенство: 1) 2 sin2 х - 7 sin х + 3 > 2) sin х + cos 2х > 1; 3) tg2 х - 3 tg х + 2 < 0. 357

§ 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация 34.17.” Решите неравенство: 1) cos 2х tg х < 0; 2) sin2 х cos х + cos2 x sin x < 0; 3) (sin x + cos x) (V3 sin x - cos x) > 0; 4) (tg x - y f s ) sin x < 0. 3) (2 cos х - 1) ctg х > 0. 34.18. ” Решите неравенство: 1) cos x - sin 2 x - cos 3 x < 0; 2) ctg x > ctg 3 x ; 34.19. ” Решите неравенство: 1) ^ x + y f x ^ 2< 1; ^ *\\/21 + х + \"v/si —х ^ 21 V21 +X - V 2 1 -X X 34.20. ” Решите неравенство: 1) уіЇО^х + V x^T >3; 2) — +х +-s/б - х ^ 6 л/б +Х - V 6 - х х 34.21. ” Решите неравенство: 1) л І 8 3 - х + У І 7 9 + Х < 6 ; 2 ) i j l l - x + -ч/хТб > 2; 3) Зх5+\\ІЗхі + 4х + 1 <5; 4) (Vx + 2 + l) log3 (х 2+4х + 13) > 2; 5) log3 (V x -1 + з) log5 (х2+ х + 3 )> 1. 34.22.” Решите неравенство: 1) >/71-х+л/57 + х < 4 ; 2) ^/33-х+^/31 + х >2; 3) 2 V x -3 + -\\/x 3+9x + 1 0 > 4 ; 4) log2 (-v/x + 3 + 2 ) log3 (x2+6x + 18) > 2. 358

задания для повторення курса алгебрьі

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі Делимость натуральньїх чисел и числовьіе вьіражения Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 5 1. Какую цифру надо поставить вместо звездочки, чтобн число 1845* делилось нацело на 9, но не делилось на- цело на 6? А) 0; Б) 3; В) 6; Г) 9. 2. Группу туристов можно расположить в маленьких палат­ ках по 4 человека или в больших палатках по 6 человек, причем в обоих случаях свободннх мест в палатках не останется. Сколько туристов в трупне, если известно, что их больше 40, но меньше 50? А) 42; Б) 44; В) 46; Г) 48. 3. Какое из данннх чисел делится нацело на 3, но не делится нацело ни на 2, ни на 5? А) 3547; Б) 2601; В) 7335; Г) 6228. 4. Чему равен остаток при делении на 8 значення вираження (157? + 7) - (7п + 3), где п — любое натуральнеє число? А) 7; Б) 6; В) 4; Г) 10. 5. Какое наименьшее натуральнеє число надо прибавить к числу 832, чтобн полученная сумма бнла кратной одновременно числам 3 и 5? А) 3; Б) 5; В) 8; Г) 9. 6. На подносе лежат пирожки с мясом и пирожки с виш­ нями, количества которнх относятся как 5 : 2 соответ- ственно. Укажите ереди данннх чисел то, которнм может виражаться общее количество пирожков. А) 15; Б) 16; В) 21; Г) 24. 7. Какое из данннх равенств неверное? А) 5 = ^ ; 14 2 В) - = — ; 4 7 49 Б) — = - ; 9 72 5' 24 З 8. Какому из данннх промежутков принадлежит число15— ? 18 А) (0; 0,25); Б) (0,25; 0,5); В) (0,5; 0,75); Г) (0,75; 1). 360

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 5 9. Укажите, сколько можно составить неравннх между со- бой правильних дробей, числителями и знаменателями которнх являются числа 2, 4, 5, 6, 8, 9. А) 12; Б) 13; В) 14; Г) 15. З 10. Определите, на сколько — числа 350 больше, чем 0,12 7 числа 500. А) 90; Б) 150; В) 160; Г) 170. 11. Один рабочий может вьшолнить некоторое задание за час, а другой — за полтора часа. За какое время они вьшолнят зто задание, работая вместе? А) 36 мин; Б) 40 мин; В) 48 мин; Г) 60 мин. 12. Среди данннх чисел укажите наибольшее: А4Ч) -2-0--0-2- ; Б) --2-0--0-3; В) -2-0--0-4--; Г) -2-0--0-5--. 2001 2002 2003 2004 13. Натуральнеє число а — четное, а натуральнеє число b — нечетное. Какое из данннх равенств возможно? А) — = 1; Б) ab = 35; В) —= 9; Г ) - = 4. Ь+1 b ь 14. Положительное число а меньше 1, а число b больше 1. Какое из виражений принимает наибольшее значение? A) ab; Б) а2; В) а + Ь; Г ) | . 15. Из последовательности чисел -9 , -7 , -5 , 2, 3, 6 вибрали два числа и нашли их произведенне. Какое наименьшее значение может принимать зто произведение? А) -54; Б) 6; В) -1 0 ; Г) 12. 16. Известно, что а > 0, b < 0. О каком из виражений можно утверждать, что оно принимает только положительнне значення? А) Ь2 - а2; Б) а - Ь; В) ф - а)3; Г) а4 - Ь4. 5 17. Поезд прошел 105 км, что составляет — всего пути. Сколько километров составляет длина всего пути? А) 75 км; Б) 140 км; В) 147 км; Г) 210 км. 361

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 18. Вичислите значение виражений 1 - 2 + 3 - 4 + ... + 2009 - 2010. А) 1005; Б) -1005; В) 2010; Г) -2010. 19. Установите соответствие между даннмми числами (1-4) и цифрами (А -Д ), которне надо подставить вместо звез- дочек, чтобн даннне числа делились нацело на 9. 1) 628*; A) 5; 2) 57*57; Б) 3; 3) 7*51; B) 7; 4) 90*2. Г) 4; Д) 2. 20. Установите соответствие между даннмми вмражениями (1-4) и их значеннями (А-Д). —1 +—1 Z О. 1) 3 1’ 46 А) 0,7; Б) -0,8; 2) { 2 ,5 - 1 —1 •(-1,2); 1 6) 1 в) 7 ; 3) 2,8- — 2 ,8 :-; Г) —3,3; 7 7 00 1 11— 11— 11— 4) 2З 1 8 + -1 1 2З 362

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № б Множества, процентньїе расчетьі, злементьі статистики Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 6 1. Укажите диаграмму Зйлера, на которой правильно изо- бражено соотношение между множествами Z и М. А) Б) В) Г) 2. Дайм три утверждения: 1) любое натуральнеє число являетея действительннм; 2) любое иррациональное число являетея действительньїм; 3) любое действительное число являетея рациональннм или иррациональннм. Сколько из зтих утверждений являютея правильними? А) ни одного; Б) одно; В) два; Г) три. 3. Известно, что А с В и А ФВ. Укажите верное утверждение: А) А П В = В; Б) A U В =А; В) А П В = 0 ; Г ) А и В = В. 4. К сплаву массой 400 кг, содержавшему 15 % меди, до­ бавили 25 кг меди. Каким стало процентное содержание меди в новом сплаве? А) 20 %; Б) 25 %; В) ЗО %; Г) 40 %. 5. Добнча угля на некоторой шахте вначале уменьшилась на 20 %, а затем повнсилась на 20 %. Увеличилась или уменьшилась добнча угля вследствие зтого по сравнению с первоначальннм уровнем и на сколько процентов? А) увеличилась на 4 %; В) увеличилась на 10 %; Б) уменьшилась на 4 %; Г) не изменилась. 6. Содержание соли в морской воде составляет 5 %. Сколько килограммов пресной водн надо добавить к ЗО кг морской водн, чтобн содержание соли в полученном растворе со- ставило 3 %? А) 10 кг; Б) 15 кг; В) 20 кг; Г) 25 кг. 363

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 7. Бригада из 12 рабочих может отремонтировать школу за 36 дней. Сколько требуется рабочих, чтобн отремонти- ровать школу за 9 дней, если производительность труда всех рабочих одинакова? А) 3; Б) 24; В) 36; Г) 48. 8. В саду растут яблони и груши, причем яблонь в 4 раза больше, чем груш. Сколько процентов всех деревьев со- ставляют груши? А) 20% ; Б) 25% ; В) 50 %; Г) определить невозможно. 9. В первнй день мальчик прочел ЗО % страниц книги, а во второй — 18 %. Сколько страниц в книге, если в первнй день он прочел на 6 страниц больше, чем во второй? А) 200; Б) 500; В) 50; Г) 20. 10. Некоторне величинн а, Ь и с, принимающие только положительнне значення, таковн, что ас = Ь. Как изме- нится величина а, если величину b увеличить в 12 раз, а величину с увеличить в 3 раза? А) увеличится в 36 раз; В) увеличится в 4 раза; Б) уменьшится в 4 раза; Г) не изменится. 11. В 160 г водн растворили 40 г соли. Найдите процентное содержание соли в растворе. А) 20 %; Б) 25 %; В) 33—%; Г) 40 %. З 12. В таблице приведено распределение оценок, полученннх учащимися класса за контрольную работу по алгебре и началам анализа. Оценка 6 7 8 9 10 11 Количество учащихся 384532 Найдите относительную частоту, соответствующую оцен- ке 9 баллов. А) 36 %; Б) 20 %; В) 25 %; Г) ЗО %. 364

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № б 13. Банк вьшлачивает своим вкладникам 8 % годовнх. Сколько денег надо положить в банк, чтобн через год на счете бнло 21 600 грн? А) 20 300 грн; В) 20 100 грн; Б) 20 200 грн; Г) 20 000 грн. 14. Цена товара составляла 80 грн. Через некоторое время она уменьшилась на 8 грн. На сколько процентов со- стоялось снижение ценьї? А) на 10 %; Б) на 8 %; В) на 12 %; Г) на 15 %. 15. Стул, первоначальная цена которого составляла 400 грн, дваждн дешевел, причем каждмй раз на 50 %. Сколько теперь стоит стул? А) 100 грн; Б) 150 грн; В) 200 грн; Г) 250 грн. 16. Известно, что 7 кг печенья стоят столько, сколько 5 кг конфет. Сколько килограммов конфет можно купить вместо 28 кг печенья? А) 14 кг; Б) 16 кг; В) 10 кг; Г) 20 кг. 17. На графике, изображенном на рисунке, отображенн обт>емьі продажи тетрадей в магазине канцтоваров в те- чение 6 месяцев. Сколько в среднем продавали тетрадей за один месяц? А) 1050; Б) 1100; В) 1200; Г) 1250. 365

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 18. В має магазин продал прохладительннх напитков на сумму т гри, а в июне — на 2т грн. На сколько про- центов увеличилась виручка магазина от продажи про- хладительнмх напитков в июне по сравнению с маєм? А) на 50 %; В) на 200 %; Б) на 100 %; Г) зависит от числа т. 19. Установите соответствие между даннмми вмборками (1-4) и их медианами (А-Д). 1) 2, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 9; A) 7; 2) 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9; Б) 4; 3) 2, 4, 4, 6, 9, 3, 8, 9, 10; 4) 3, 10, 4, 9, 13, 9, 19, 3. B) 6; Г) 9; Д) 5. 20. Установите соответствие между соляним раствором (1-4) и количеством соли, которое он содержит (А-Д). 1) 300 г 4-процентного раствора; А) 1,6 г; 2) 40 г 9-процентного раствора; Б) 12 г; 3) 20 г 8-процентного раствора; В) 2,4 г ; 4) 40 г 6-процентного раствора. Г) 3,6 г; Д) 37 г. 366

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 7 Рациональньїе вьіражения. Рациональньїеуравнения Задание в тестовой форме «Проверь себя» №7 1. При каком значений переменной не имеет сммсла вьі- ражение 4 „ Зх-21 А) 7; Б) -7 ; В) 4; Г) -4 . 2. Сократите дробь 12а10Ь2 16a b &' За5Ь4 _ в ї За • Г) В) & ' 4fe4 А» ^ Б» 4 ’ 3. Сократите дробь 6т - тп 18т 6-тп 1-тп 6-п т-п А) Б) В) 18 ! Г) 18 4. Представите в виде дроби вмражение і-5 b Ь-5а 2Ь 2а а 2 - 6ї2 а 2 - 6г,2 а-Ь А) Б) 4аЬ В) а-Ь Г) 2аЬ 5. Упростите вмражение а+Ь аb bа ab а+Ь ab а-Ь А) Б) В) Г) а +Ь ab а-Ь ab 6. Если а = 2 - —, то b равно: 2-а с Г) А) с (2 - а); Б) с (а - 2); В) а + 2 6а -ЗО а2-10а + 25 а2- 4 2-а 7. Найдите значение вмражения 2 а-2 при а = 4,75. А) 2,5; Б) -2 ,5 ; В) 8; Г) -8 . 367

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 8. Найдите значение вираження а-і2а + 6 -а-2-----а- при а = 0,125. а2-1 а +а ) 2а+ 2 А) 1; Б) -0 ,5 ; В) 0,25; Г) 0,125. 9. Корнем какого из данннх уравнений является любое число? А) В ) 4 ± “ =1; х 2 +25 х2-25 mБ) -х--2----2-5- = х -5 ; Г) -х--2---2--5- = х - х +5 х-5 10. Сократите дробь X +х —6 х2+3х-10 х-3 х +З х +З х-З А) г) Б) В) х-5 х+5 х-5 х +5 11. Известно, что хл и х2 — корни уравнения X2 1 2х - 5 = 0. Найдите значение вираження — + — . А) -1,2; Б) 1,2; В) -2 ,8 ; Г) 2,8. 12. Какое наибольшее значение принимает вмражение х + у, если пара чисел (х ; у) является решением системні урав- „ [ х - З у = 4, ненин < \\ х у —бу = 1? А) 10; Б) 8; В) 6; Г) 2 - . З 13. Парм чисел (х±; у г) и (х2; у2) являются решениями си- Г2х - ху = 5, Найдите значение вмра- стемм уравнений < [у + ху = 6. ЖЄННЯ ІХіУ! - х2у2 І- А) 1; Б) 11; В) 70; Г) 10. 14. Из одного города в другой, расстояние между котормми равно 350 км, вмехали одновременно грузовой и легко- вой автомобили. Скорость грузовика на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля, из-за чего он прибьіл 368

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 7 в пункт назначения на 2 ч позже легкового автомоби- ля. Пусть скорость грузового автомобиля равна х км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи? 350 350 350 350 А) = 2; В) = 2; х + 20 X X х + 20 350 350 - ?• 350 350 = 2. Б) X х + 20 Г) X х-20 15. Катер проплнл ЗО км по течению реки, скорость которой равна 1 км/ч, и вернулся назад, затратив на весь путь З ч 10 мин. Пусть собственная скорость катера состав- ляет х км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи? ЗО ЗО зо ЗО А) 3,1; В) х + 1 х —1 х +1 х ЗО ЗО зо ЗО Б) 3,1; Г) х + 1 х —1 х + 1 х —1 16. Два работника вместе могут внполнить компьютерннй набор учебника по алгебре за 8 дней. Если первнй ра- 2 ботник наберет - учебника, а затем второй работник З завершит набор, то весь учебник будет набран за 16 дней. Пусть первнй работник может набрать текст учебника за х дней, а второй— за у дней. Какая из данннх систем уравнений соответствует условию задачи? х + у = 8, х + у = 8, А) і -2х + —1 у = 16; В) і 1 2 ІЗ З —х + —и= 16; ІЗ З 111 111 —х + —у - 8 —х у 8 Б) Г) 2 1_1 Зх 3у 1 6 ’ —2 х ++ —12и = 11о6. ІЗ З 369

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 17. Известно, что при некотормх отрицательнмх значеннях а и b вмполняются равенства а2 + Ь2 = 68, ab = 16. Най- дите значение вираження а + Ь при зтих же значеннях вий. А) 10; Б) -1 0 ; В) -8 ; Г) -6 . 18. Известно, что х2+ -!- = 18. Найдите значение вираже­ ння X— A) 2sf5; В) 6; Б) - 2 у/Е или 2^5; Г) 4. 19. Установите соответствие между даннмми вираженнями (1-4) и вираженнями, тождественно им равннми (А-Д). За-12 A) 1) а-4 а -16 За + 12 2) - - Б) і а а +4а а 3) -а-2--+—8а +—16 :(а + 4); B) а -16 а +4 1 За а + 2 96 4) Г) а+4’ а-4 2а- 8 а+ 2а а +4 Д) а-4' 20. Установите соответствие между даннмми уравнениями (1-4) и множествами их корней (А-Д). 1) х2 - 6х - 16 = 0; A) {-2 , 8}; х - З х Зх + 16 Б) {-2 , 2}; B) {-2}; 2) Г) 0 ; х+2 х +2 Д) {8}. 3) х„ 44 - х„„2 - 12 = 0; 370 4) 4 “ 0. х -4

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 8 Неравенства, степени, иррациональньїеуравнения Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 8 1. Какое из данннх неравенств обязательно вьшолняется, если а > b и с < 0? А) ас > Ь; Б) а > Ьс; В) а > b + с; Г) а + с > Ь. 2. Оцените значение вираження —, если 3 < а < 5 и 5 < Ь < 6 . b А) 15 < —<30; В) —< —< 1; 2Ь Б) Г) 18 < —< 25. 5 Ь5 Ь 3. Какая из данньїх систем неравенств имеет единственное решение і [2х + 6 > 0, х +9 >2, А) В) [ l - х > 3; ---> 0 ,7 5 ; 42 [0,5х > -1, —1 X—11 ^ —2 X Б) Г) ^3 з І2 х - 5 > 4х + 7; 0,7х + 2< 0,Зх +0,8. 4. Сколько натуральних решений имеет неравенство (Зх - 2)(3х + 2) - 9х (х - 1) < 6? А) одно; Б) два; В) ни одного; Г) бесконечно много. 5. Укажите множество решений неравенства — . х2 А) [2; +со); В) (-оо; 0) U [2; +со); Б) (-оо; 2]; Г) (0; 2]. 6. Найдите сумму целнх решений неравенства (2х + З)2 - (х + 2) (х - 5) < 37. А) найти невозможно; В) 15; Б) -2 0 ; Г) -1 5 . 371

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 7. Чему равно значение вираження ^/б •\\]12,5 •%]0,016 ? А) 0,25; Б) 0,5; В) 1; Г) 2. 8. Упростите внражение (і —л/8^) + 4 \\/2 . А) 9; Б) 9 + 8^ 2; В ) -7 ; Г) -7 + 8^2. 9. Вичислите значение вираження у] 2 - уіЗ •%]7+ 4 >/3. А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4. 10. Найдите значение вираження 3З 3 3 2 +^7 л/7+ТЇО л/Ї0 +лУЇЗ л/Гз +4 * А) 4; Б) 3; В) 2; Г) 1. 11. При каком из данннх условий вьшолняется равенство (Va)4 = -аЬ? А) а > 0 и 6 > 0; В) а < 0 и і > 0; Б) а > 0 и Ь < 0; Г) а < 0 и 6 < 0. і її 12. Н аи„дите значение вираж ення —З х-6--+--х-----х- -8----у--8- при X®+ 3 х® - у® х = 12, у = 64. А) 2; Б) -2 ; В) 4; Г) -4 . 13. Укажите промежуток, которому принадлежит число л/32. А) (0; 1); Б) (1; 2); В) (2; 3); Г) (3; 4). 14. Вичислите значение вираження Г) 1. А) 3 —2 >/5; Б) 1-2л/5; В ) -1 ; 15. Решите неравенство — <1. X А) [-1; 0) U (0; 1]; В) (-оо; 0) U (0; 1]; Б) (-оо; 1]; Г) [-1; 1]. 372

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 8 16. Укажите множество решений уравнения (\\І~х) = л](-х)2. А) 0; Б) {0}; В) (-оо; 0]; Г) {-1 , 0}. 17. Найдите сумму корнейуравнения у/х + 2 •у/х + 3 •у/4 - х = 0. А) 5; Б) 2; В) -1 ; Г) -3 . 18. Решите уравнение л/‘2х + 7 - V2 - х =2. О*А) 1; Б) -1 ; 19. Установите соответствие между даннмми неравенствами (1-4) и их множествами решений (А-Д). 1) ——- < 1; A) (0; 1]; Б) [-2; 0) U (0; 1]; 2) х > х 2; B) [0; 1]; 2 Сі Г) (-оо; 1]; Д) [-1; 0) U (0; 1]. х +х-2 3) X2 <0; 4) х 3 < х 2. 20. Установите соответствие между даннмми вмражения- ми (1-4) и вмражениями, тождественно им равнмми (А-Д). ( Л ) -а2’5 А) а 10; 1) -3 ,5 Б) 2) —9 a b • - а b а ( з Л -3 ( 4 Л В) 4а ; Г) а; U ~2 J ••1І — і д) А. a4Гy~ja1б•/ <1]2а 4) у]а у[а 373

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі Функции и последовательности Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 9 1. Найдите область определения функции / ( х ) = —----------. х -4х +4 А) [-1; +со); В) (-оо; 2) U (2; +со); Б) (-1; 2) U (2; +оо); Г) [-1; 2) U (2; +оо). 2. Сколько нулей имеет функция у = Xі - х 2 - 2? А) ни одного; Б) один; В) два; Г) три. 3. График нечетной функции у = f (х) проходит через точку А (2; -7 ). Чему равно значение / (-2)? А )-7; Б) 7; В) 2; Г) определить невозможно. 4. На одном из рисунков изображен график четной функ­ ции. Укажите зтот рисунок. 5. Какая из данннх функций убнвает на промежутке (-оо; +со)? А) у = Б) у = - х 2; В) у = - 4 х ; Т ) у = уГх. х 6. На каком рисунке изображен график необратимой функ­ ции? 7. Какая функция является обратной к функции у = х - 2? А) у = - х + 2; В) у = х - 2; Б) у = - х - 2; Г) у = х + 2. 374

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 9 8. Чему равно наибольшее значение функции у = х 2 на промежутке [3; 5]? А) Б) — ; В) 9; Г) 25. 9 25 9. График линейной функции у = kx + b содержит точки в первой, второй и четвертей координатних четвертях. Укажите верное утверждение. A) k > 0, b > 0; Б) k > 0, b < 0; B) k < 0, b > 0; Г) k < 0, Ь < 0. 10. Графиком какой из данньїх функций может бьіть изобра- женная на рисунке парабола? A) у = - х 2 + 2х; Б) у = - х 2 - 2х - 2; B) у = - х 2 - 2х + 2; Г) у = - х 2 + 2х + 2. 11. При каком значений а наименьшее значение функции у = 2х2 - 8 х + а равно З? A ) 3; Б) 11; B) -21; Г) такого значення не существует. 12. На рисунке изображен график квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с. Укажите верное утверждение. A) а > 0, b > 0, с < 0; Б) а > 0, b < 0, с < 0; B) а < 0, b > 0, с > 0; Г) а < 0, b < 0, с > 0. 375

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 13. На рисунке изображен график функции у х +а Ука- Ьх-с жите верное утверждение. A) а >0, b < 0, с > 0; Б) а <0, Ь > 0, с > 0; B) а >0, Ь > 0, с < 0; Г) а <0, Ь < 0, с < 0. 14. Сколько положительннх членов содержит арифметиче- ская прогрессия 5,2; 4,9; 4,6; ... ? А) 17; Б) 18; В) 19; Г) 20. 15. Места в цирке расположенм так, что в первом ряду каж- дого сектора 8 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предмдущем. Сколько всего мест в одном секторе, если в нем 15 рядов? А) 270 мест; Б) 330 мест; В) 285 мест; Г) 345 мест. 16. Чему равна сумма тридцати пяти первнх членов ариф- метической прогрессии, если ее восемнадцатнй член равен 20? А) 350; Б) 700; В) 1400; Г) определить невозможно. 17. Второй член геометрической прогрессии с положитель- ннм знаменателем равен 48, а восьмой член равен —. З Найдите пятнй член зтой прогрессии. А) 4; Б) 2; В) Г) - 4 2 18. Чему равна сумма бесконечной геометрической про- з грессии (Ь„), если Ь3 = -1 2 , Ь6 = —? 2 А) 24; Б) 48; В) -9 6 ; Г) -32. 376

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 9 19. Установите соответствие между даннмми функциями (1-4) и их областями определения (А-Д). 1) y = yjx + l; A) (-со; - 1 ] U [1; +со); 2) у = у}х + 1; Б) (-сю; 1); 3) у = Vx2-1; B) (-со; +со); 4) У Г) [-1 ; +оо); Д) [і; +оо). 20. Установите соответствие между даннмми функциями (1-4) и их областями значений (А-Д). 1) у = х 2 + 4; А) [0; 2]; 2) у = 4 - | х |; Б) [2; + о о ) ; 3) у = >/х + 4; В) [0; + с о ) ; Г) ( - о о ; 4]; 4) у = -s/4-x2. Д) [4; + о о ) . 377

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі Тригонометрические функции Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 10 1. Вичислите значение виражений 2 sin ( - —1+ 4 cos — . А) -4; Б) 2; В) 0; Г) -1 . 2. Укажите верное неравенство. A) sin 160° < 0; В) tg 140° > 0; Б) cos 250° > 0; Г) ctg 200° > 0. 3. Какая из даннмх функций является нечетной? 1 В) у = х + cos х ; А) у = - COS X Б) У= 4'cos х; Г) у = х cos х. 4. Чему равно наименьшее значение вираження 1 - 2 cos а? А) -2; Б) -1 ; В) 0; Г) 3. 5. Упростите вмражение Іі -cos 2 а sin а А) -1; Б) 1; В) tg2 а; Г) ctg2 а. 6. Найдите значение вираження cos 37° cos 23° - sin 37° sin 23°. Б)ІҐ1 V3 ^ V2 Г) 1. A)i ; в) т ; 7. Упростите вмражение c o s + a j + s in ( 71- а ) . A) cos а + sin а; Б) 2 sin а; В) cos а - sin а; Г) 0. 8. Известно, что cos (а + Р) = 0 и sin а = 1. Найдите значе­ ние sin р. А) 2; Б) 1; В) 0; Г) -1 . 9. Упростите вмражение S^n . cos a A) 2; Б) 2 cos a; В) 2 sin a; Г) sin a cos a. 10. Вичислите значение вмражения cos 20°-co s 80° sin 20° + sin 80° A) Б) В) >/3; г) S . О О 378

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 10 11. Какое из данннх уравнений не имеет корней? 18 1 8 A) s in x = - ; Б) cosx = —; В)t g x = - ; Г)c tg x = —. 7 77 7 12. График какой функции изображен на рисунке? А) у = sin х; Б) у = sin (л + х); В) y = s in ^ - - x j ; Г) у = sin (2л - х). 13. Найдите корни уравнения tg 2х = 0. А) лк, к є Z; В) —+ 2%k, k є Z; 2 Б) — , к є Z; Г) - , к Є Z. 2 42 14. Решите уравнение cosОС—= ---- . З2 Рч-ТГ В) ± -5-л-- 1--2-л--/г-, k є Z; 18 З А) ± ---- h67ifc, k є Z; 2 Б) ± —+ 6%k, k є Z; D ± Л +М , k Z. 2 18 З 15. Решите уравнение si-n--2--х= 0. sin X А) — , к є Z; В) —+ nk, к є Z; 2 2 Б) л/г, /г є Z; Г) корней нет. 16. Укажите множество решений неравенства s in x > — . 2 A) + 2nk < х < — + 2кк, к є Z; 66 Б ) ---71--h2лк < х < -7-7-1-і-2л/г, к є Z; 66 B) + 2кк < х < — + 2кк, к є Z; ЗЗ 71 4-71 Г ) -----h2лк < х < --- і-2л&, к є Z. ЗЗ 379

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 17. Найдите cos 2а, если sin a = 1 4 А) U Б) - • 15 5 8 4 В) Г) 1б’ 8' 18. Решите уравнение 1 - cos 6х = sin Зх. А) (-1)* •— , к Є Z; В) (-1)*. — + %k, к Є Z; 18 3 18 Б) п к , + к Є Z; Г) — , (-1 к Є Z. 6 3 18 З 19. Установите соответствие между данньїми вираженнями (1-4) и вираженнями, тождественно им равнмми (А-Д). 1) (sin a + cos a)2; A) cos 4a; 2) (sin a + cos a) (-cos a + sin a); 3) sin 3a sin a - cos 3a cos a; Б) 2 sin f 2 a + —n l3 4) sin 2a + V3 cos 2a. B) -co s 4a; Г) -co s 2a; Д) 1 + sin 2a. 20. Установите соответствие между тригонометрическими уравнениями (1-4) и их решениями (А-Д). 1) cos х = -1 ; A) %k, k e Z; 2) ctg х = -1 ; Б) 7t + 2%k, k e Z; 3) I sin x I= 1; 4) | tg x | = 1. B) —+ nk, k e Z; 2 Яті Г ) ---- \\-nk, k є Z; 4 Д) - + — , к Є Z. 42 380

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 11 Показательная и логарифмическая функции Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 11 1. На одном из рисунков изображен график функции у = 2 х. Укажите зтот рисунок. 2. Среди данннх функций укажите убнвающую. А ) у = іґ; B ) y = [ £ j ; В) y = ; Г ) у = ^ . 3. На рисунке изображен график функции у = а • 3* + Ь. Ука­ жите верное утверждение. A) а > 0, b > 0; Б) а > 0, Ь < 0; B) а < 0, Ь > 0; Г) а < 0, Ь < 0. 4. Какова область значений А) [1; 5]; Б) [5; 25]; 5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 0,2 = 0,0016. А) [-1; 0]; Б) |0; - | ; В) Ф 1 Г) (1; 2]. 6 . Найдите множество решений неравенства А) (-оо; -4]; Б) [-4; +оо); В) (-оо; 4]; Г) [4; +оо). 381

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 7. Решите уравнение 2х+2 - 2х = 96. А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 6. 8. Найдите значение вираження 0,04 °80’22. А) 0,2; Б) >/2; В) 2; Г) 4. 9. Чему равно значение вираження log'a yfab, если log„b = 5? А) 3; Б) 2; В) 5; Г) определить невозможно. 10. Решите уравнение 2 • 25* + 5* - 1 = 0. А) -1 ; —; Б) —; В) -lo g 5 2; Г) корней нет. 25 11. Какова область определения функции у = --е-х--? In X А) (0; +со); В) (1; +со); Б) (0; 1) U (1; + о о ) ; Г) ( - о о ; + о о ). 12. Решите уравнение log^x + 2) = 2. А) -1 ; 2; Б) -2 ; 1; В) 2; Г) 1. 13. Решите уравнение log0д (х + 4) + log0д (х + 6) = log0д 35. А) —11; 1; Б ) -1 ; 11; В) 11; Г) 1. 14. Решите неравенство log5 (х - 3) < 1. А) ( - о о ; 8]; Б) (3; 8]; В) [3; 8]; Г) ( - о о ; 3). 15. Решите неравенство log7 0,4 • log7 х < 0. А) (1; 7); Б) ( - о о ; 1); В) (1; + о о ) ; Г) (0;1). 16. Найдите множество решений неравенства log0>3 (х2 + 2х - 3) > log0>3 (х - 1). А) (-2; 1); В) ( - о о ; + о о ) ; Б) (-3; -2 ) U (-2; 1); Г) 0 . 382

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 11 17. Сколько целмх решений имеет неравенство logj (х2+бх) > -2 ? А) 2; 4 В) 6; Г) 11. Б) 4; 18. Найдите значение вираження log3 {л[а + 18 - * / а - 9 ), если log3 (Va + 18 +yJa-9) = 5. з А) -2; Б) —; В) 1; Г) найти невозможно. 5 19. Установите соответствие между даннмми функциями (1-4) и их областями определения (А-Д). 2) у = >/4-2*; A) (-оо; 2); 3) у = logo,2 (2 - х); Б) (-оо; 2) U (2; +оо); 4) y = yjiog0j2 (2 - х ). B) (-оо; 2]; Г) (2; +оо); Д) [1; 2). 20. Установите соответствие между даннмми вмражениями (1-4) и их значеннями (А-Д). 1) log4 уі2; A) 4; 2) log16 log2 ; 3) log6 25-21og6 §; Г) 2; 4) log3 4 • log4 5 • log5 7 *log7 81. Д) 1. 383

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі Производная и интеграл. Начала теории вероятностей Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 12 1. Найдите производную функции /( х ) = -^-. X 18 2 А) Г ( Х) = - — ; В) f'(x) = -^; 18 2 Б) f ’(x) = - — -, Г) /'(х ) = ^ . 2. Укажите производную функции / (х) = -\\/4х + 1. A) f ' ( X) = - = ! = ; 1 V4х +1 В) /'(х ) 2лІ4х +1 ’ Б) f ( x ) = - iJ = ; 2 V4x +1 Г) /'(х ) •уДх-і-Т 3. Найдите абсциссу точки графика функции / (х) = х2 - 5х, в которой касательная к зтому графику образует с по- ложительннм направлением оси абсцисс угол 45°. А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4. 4. Решите уравнение /' (х) = g' (х), если /(х) = х 3 +2 , g (х) = 6х +2 х А) 0; -3; Б) 0; 3; В) 3; Г) корней нет. 5. Тело двигается по координатной прямой по закону s (t) = t2 + 3t - 2 (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). В какой момент времени t скорость движения тела составляет 10 м/с? A) t = 4,5 с; Б) t = 3,5 с; В) t = 4 с; Г) t = 3 с. 6. Чему равен угловой козффициент касательной к графику функции / (х) = Х в тонке его пересечения с осью X +1 ординат? А) 1; Б) -2 ; В) -3 ; Г) 13. 384

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 12 7. Укажите рисунок, на котором может бнть изображен —х 2+ Ьх + с график производной функции у = ---------------. 4 А) Б) В) Г) 8. Найдите промежутки убнвания функции / (х) = Зх2 - х 3. А) [0; 2]; В) ( - о о ; 0] и [2; + о о ) ; Б) [-2; 0]; Г) ( - о о ; - 2 ] и [0; + о о ) . 9. Функция у = f (х) определена на множестве действительньїх чисел и дифференцируема в каждой тонке области опреде- ления. На рисунке изображен график функции у = /' (х). Определите точку минимума функции у = f (х). A) 2; Б) 1; B) 0; Г) определить невозможно. 10. Чему равно наибольшее значение функции / (х) = х 3 - Зх на промежутке [-2; 0]? А) -1; Б) -2 ; В) 0; Г) 2. 11. Для функции / (х) = е2х - cos х найдите первообразную F, график которой проходит через начало координат. A) F (х) = - е 2х - s in х - —; 22 Б) F (х) = е2х - sin х - 1; B) F (х) = - е 2х +sin Х- —; 22 Г) F(x) = --е-2-х-+-1--- s in x -e . 2х + 1 385

§ 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі 12. Найдите площадь закрашенной фигурьі, изображенной на рисунке. % 4 13. Вичислите интеграл jsin Зх cos х dx. о 1 Г) 4 14. Из натуральних чисел от 1 до 18 включительно ученик наугад назнвает одно. Канова вероятность того, что зто число является делителем числа 18? А, Б) г)v Ь в >Ь й - 15. В лотереє разнгрнвались 12 компьютеров, 18 фотоаппа- ратов и 120 калькуляторов. Всего бнло вьшущено 15 000 лотерейнмх билетов. Канова вероятность, приобретя один билет, не вмиграть ни одного приза? 99 А) Г) 100' 16. Из двузначннх четннх чисел наугад внбирают одно число. Канова вероятность того, что зто число будет кратним числу 7? Б) — ; В) Ті'- г) —. 45 15 17. В коробке лежат 12 белнх и 16 красних шариков. Канова вероятность того, что вмбраннмй наугад шарик окажется белнм? А )7 Б )7; Б) Ті'’ б4 386

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 12 18. В коробке лежат карандаши, из них 24 карандаша — синие, 8 карандашей — зеленме, а остальнме — желтме. Сколько карандашей лежит в коробке, если вероятность того, что вмбраннмй наугад карандаш будет желтнм, составляет —1 ,! З А) 48; Б) 54; В) 45; Г) 42. 19. Установите соответствие между даннмми функциями (1 -4) и значеннями их производннх (А -Д ) в точке х 0. 1) f (х) = 3 sin х —2 cos х, х0 = —71; А) 2; 2 1 2 Б) — ; 2) / ( х ) = ----- , Xq = -1 ; 2 1-х 9 ц В) 2о ; Г) -2 ; 3) /(х ) = - х 8- е 4*“4, О 3 II -Н1 71 Д) -4 . 4) / (х) = ctg2 X, х0 = 4* 20. Установите соответствие между даннмми интегралами (1-4) и их значеннями (А-Д). 1) J\\dx; А) 2; 0 1 1 г dx Б )Ф В) 4; 2) Г) 1; Д) -4 16 387 2 3) j ( x 3 - 1 ) dx; 0 2гл а7х 4) Jл si.n2 —Х 4

ОТВЕТЬІ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ 1.3. 1) 2; 2) 1; 3) 0. 1.4. 1) 2) 3) 0. 1.5. 1) 2) -3 ; 33 2 3) - . 1.6. 1) -2 ; 2) 0; 3) 1.7. 1) 2) 3) 0,1. 9 3 45 1.8. 1) 1; 2) 3. 1.10. Да. 1.11. Равенство lim [ —+П—+ ... +П— п елагаемьіх = lim —+ ІІШ—+ ... + ІІШ— ошибочно, поскольку теорему п п п —>со п З*2 п слагаемьіх о пределе суммн можно использовать для конечного (фик- сированного) количества последовательностей. 1.14. 1) 0; 2) ; 3) 1. 1.15. 1) 0; 2) . 1.16. Нет. Например, в любом 22 промежутке (0 - в; 0 + в) содержится бесконечно много членов последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... . 1.17. 1) Да; 2) да. 1.18. Да. 1.19. Последовательность останется сходя- щейся; предел не изменится. 1.20. Нет. Указание. Рассмо- трите, например, последовательность, заданную формулой а„ = ті. 1.21. Нет. 1.22. 1) Указание. Воспользуйтесь тео- ремой о пределе произведения. 1.23. 1) 4; 2) 2. 1.24. 1) 6; 2.10. 1) у = 4х + 19; 2) у = - З х - 2; 3) у = 7. 2.11. 1) 45°; 2) 135°; 3) 0°. 2.12. 1) у = х S + 6 - 2 л/З; 2) у = - х Т з+ б + 2л/з. 4.2. 1) 10; 2) 2; 3) -2 2 ; 4) 1,5; 5) 1; 6) 28. 4.3. 1) 4; 2) 0,75; 3) 16; 4) 5. 4.4. 1) 0,5; 2) 1; 3) 6. Указание. Раскрой- 5 те скобки в виражений (1 + х)4; 4) —. 4.5. 1) -1 ; 2) 0,5. З 4.6. 1) 2) - . 4.7. 2. 4.8. 0. 4.9. —. 4.10. —. 69 пп 388

Ответьі и указания купражнениям 5 .7 . 1) Да; 2) нет. 5 .8 . 1) Нет; 2) да. 5 .9 . 1) -1 ; з і— 2 ) - ; 3) —3. 5.10. 1 ) - ; 2 )- 2 ; 3 ) - . Указание. 1 ^ 1 = 4 33 ух-1 = -^-(=С— -чі.) (_С— +=і—) г. К5.і1і1. 11л) о2; 2) 1 о3л) ---1--; 4„) „3. Указа- ( С - і ) ( ^ +С +і) 2 16 л / б - х - 1 ( V 6 - x - l ) ( V 6 - x + l)(3 +V4 +x) кие- ----- - j^ = = - ----- ------ ------------ ------— г; 5) 4; 6) 3. 3 -V 4 + X ( 3 - v 4 + x ) (з + -у/4+ х ) ( v 6 - x + і) х х (^/(х + 1)2*+ л/х +1 + і) 5.12.1) 4; Указание. у і х +1 - 1 (^/х +1 -і)(д /(х +1)2 +л/х +1 + і) 2) 3) 0; 4) і ; 5) 0; 6) - ± - . 5.15. 1) [1; 3]; 2) [-4; -2]; 56 2 144 3) [0; я]. 5.16. 1) [-5; -3]; 2) [2; 4]; 3) [0; я]. 5.17. 4 5.18. Указание. Воспользуйтесь неравенством *7 X 5.19. 1) 2; 2) - ; 3) 0; 4) X 2^/4х4 - 1 + З х 2 4х‘ + 3х2+1 qq 5 ) ----- ; 6) 84. 8 6.7. 8 м /с. 6.8. 1) 20 м/с; 2) 10 м /с. 6.9. 1) 2,6; 2) 2. 6.10. 1) 7; 2) 12. 7.6. 1) — ; 2) - . 7.7. 1) ; 2) — . 7.8. 1) 13,5; 2) — ; 22 22 4 Я 176 Я Я 3) - ; 4) — . 7.9. 1) 5; 2) — . 7.10. 1) /' (х) = ; 2) /' (х) = 83 16 х = -2 х . 7.11. 1) /'(х ) = Д-; 2) /'(х) = 2х + 3. 7.12. 1) 3; 2) - ; х4 3) 4) 1. 7.13. 1) -32; 2) — ; 3) ; 4) 1. 7.22. 1) -1 ; 1; 4 27 27 2) 4; 3) 2; 4) - + nk, k є Z. 7.23. 1) -2; 2) -27; 27; 3) -3 ; 3; 2 389

Ответьі и указания купражнениям 4 ) -----\\-2nk, k є Z. 7.24. 1. Величина s' — =1 задает мгно- 2 \\2) венную скорость материальной точки в момент времени t0 = - . 7.25. 12. 02 8.15. у м /с. 8.16. 105 м /с. 8.19. 2) (—оо; -1 ) U (0; +оо); 4) (1; 5); 6) все числа, кроме чисел вида — + nk, k є Z. 2 8.20.6)-^ +2тгft, fe e Z .8.21.1) = 2) = 3) у' = Зх +1 ; 4) у' = cos х cos 2х - 2 sin х sin 2х; 5) у' = л/2х +1 sin (2х + 5) f 2пt,g x c o s ( 2 x + 5); 6) у , = —3 (-1----х-)--s--in---З-хі----c-o-s--З--х-; COSі X (х —1) 7) У' = 8) у' = (х + І)2 (х - 2)3 (7х - 2); 9) у ' = 4~Х {s fx + і ) 1 х5 х9’ ^ ^ х7 х2 х3’ X2 V/x2+.-1і . 8 .2 2 . 1) у 3) у' = Зх +6 ; 4) у' = 2 cos 2х cos х - sin 2х sin х; 5) у' = 2 \\/х +З 2„ s.in -X----1- (2„х - 3„) cos —X 44 4 = (х - З)3 (х + 2)4 (9х - 7); 6) у' = sin х 8.23. 1) (-оо; -2 ) U (-2; +оо); 2) [-2; 1) U (1; 4]; 3) - Ґ ’2 і7Т 7Т 7Т 4) [-1 ; 0) U (0; 1]; 5 ) -------ьnk < х < —+ nk, k є Z; 6 ) ---- ьл;/г< 88 12 < х < -1-1-7-1+ тг/г, h є Z. 8.24. 1) (-оо; 1) U (1; +оо); 2 ) ( - 3 ; - 2 ) U 12 и ( - 2 ; -1 ); 3 ) (-оо; - V 2 ) U ( ^ 2 ; +оо); 4) ( -о о ;- 2 ) U ^ 1 ; + 0 0 j; 390

Ответьі и указания купражнениям 5)^ 7 —1 + ш < х < %+ %k, k є £*~77; г6*\\) ---7-7-- 1--Т-і-/?< х < -7-7-1-- 1-7-l-fe- , k є £™. 2 24 2 24 2 8.25. 16 кг-м /с. 8.26. 400 Дж. 8 .2 7 .7 м. 8 .2 8 .1 ) у ' = COS X 71 54 = -6 cos2 2х sin 2х; 2) у ' = 3) у' = 10 Jsin X 71 54 = 2 c o s - sin — 5 . 8.29. 1) 2) —V8 ; 3) 0. 8.30. 1) 2; 0; 2) -6 ; 0. 8.31. 1) 2; -2 ; 2) -1 0 ; 2. 8.32. 1) 3; 2) корней нет. 2 8.33. 1) 2; 2) —. 8.37. 1) Не дифференцируема; 2) может бмть З как дифференцируемой, так и недифференцируемой. Указа- ние. Рассмотрите, например, функции / (х) = | х |, g (х) = -| х |. 8.38. 1) Может бмть как дифференцируемой, так и недиф­ ференцируемой. Указание. Рассмотрите, например, функ­ ции / (х) = 0, g (х) = І х |. 8.40. 1) у = 4х - 8; 2) у = -4; 3) у = - х - 3. 8.42. у = 9х + 18. 8.43. у = 4х + 9. 9.1. 1) у = х - 1; 2) у = 12х - 43; 3) у = - 4 х + 4; 4) у = —х + 3; З 5) у = х; 6) у = -1 ; 7) у = 2х - п + 1; 8) у = х + 4; 9) у = -1х + -7. ЗЗ 9.2. 1) у = Зх - 4; 2) у = - 2 х + 2; 3) у = - х + —; 4) у = 1; 2 5) у = - 2 х - 7 1 - 1 ; 6) у = - 2 , 5 х - 1,5; 7) у = 5х - 18. Js 1 9.4. 1) у = - 5 х + 2; 9.3. 1) у = - З х - 3; 2) у = - —х + —. 42 2) t/= 3 f x - ^ ~ . 9.5. 1) у = 6х - 3; 2) у = 2х - 2, у = 2х + 2. 9.6. 1) у = - х - ~ ; 2) у = - З х + 9, у = Зх. 9.7. (2; 7). 9.8. (1; 1), 22 (-1; -1). 9.9. Касательньїе пересекаются. 9.10. 1) (4; -9); 2) 3)(^;Й;4)(5;4)’(“1;“2)‘9Л1,1}(0;0); 391

Ответьі и указания купражнениям 2) (0; -1 ), 9.14. 1) у = - 1 , у = 3; 2) у = 1, у = -7 . 9.15. у = - 5 , у = — . 9.16. 1) у = - х - 4; 2) у = Зх - 3; З 3) у = 2х - 8, у = 2х + 1 9 . 9.17. 1 ) у = - ї х - 9 ; 2) у = х + —. 4 9.18. Нет. 9.19. Да, х 0 = 0. 9.20. Да, х 0 = 1. 9.21. 8. 9.22. 2. 9.23. у = - х 2. 9.24. ( 1 , 5 ; -2 ). Указание. Воспользуйтесь тем, что прямне у = k\\X + bt ж у = k2x + b2 перпендикулярній тогда и только тогда, когда вмполняется равенство к ,к2 = -1 . 9.25. Нет. 9.26. Ь = с = 2. 9.27. а = З, Ь = 1. 9.28. у = 2 S x + l, у = -2уІ2х + 1. 9.29. у = 2х - 5, у = 6х - 13. 9.30. ^ ; 2 ^ . 9.31. (1; 4). 9.32. 0; j . Указание. Воспользуйтесь тем, что у перпендикулярних прямих произведение угловмх козффи- циентов равно -1 . 9.33. (0; -3). 9.34. 2. 9.35. 0. 9.36. у = 8 х - 20. Указание. Запишите уравнение касательнмх к графикам функций f жg в точках А (хг; / (Xj)) и В (х2; g (х2)) соответ- ственно, а затем установите, при каких условиях зти каса- тельнме совпадают. 9.37. у = 8х + 4. 9.38. 4) (-9; -1 ) U (1; 3); 5 ) [1; 3) U (3; 4]; 6) (-1 ; 1) U (1; 3) U (3; + о о ) . 10.3. 1) .Р ; 2) V2 ; 3) 2 - - a r c c o s - . 10.4. 1) 2; 2) 1+ — ; V 3 71 71 2 3) —arcsin 2уІ2 10.10. Указание. Рассмотрите функцию 71 g (х) = f (х) COS X . 11.1. 1) Возрастает на [-2; +оо), убмвает на (-оо; -2]; 2) возрастает на (-оо; 0] и [1; +оо), убмвает на [0; 1]; 3) воз­ растает на [-1; 7], убмвает на (-оо; -1 ] и [7; +со); 4) возрас­ тает на [-1; 0] и [1; +оо), убмвает на (-оо; -1 ] и [0; 1]; 5) воз­ растает на М; 6) возрастает на [2; +оо), убмвает на (-оо; 2]. 11.2. 1) Возрастает на (-оо; 3], убмвает на [3; +со); 2) возрас­ тает на (-оо; - 3 ] и [1; +оо), убмвает на [-3 ; 1]; 3) возрастает 392

Ответьі и указания купражнениям на [-2; 0] и [2; +оо), убнвает на (-оо; -2 ] и [0; 2]; 4) возрас- тает на [-1; +оо), убнвает на (-оо; -1 ]. 11.3. 1) Возрастает на [0; 1] и [2; +оо), убмвает на (-оо; 0] и [1; 2]; 2) возрастает на [1; +со), убмвает на (-оо; 1]; 3) возрастает на (-оо; -3], [-1; 1] и [3; +со), убнвает на [-3; -1 ] и [1; 3]; 4) возрастает на [1; +оо), убнвает на (-оо; 0) и (0; 1]; 5) возрастает на (-оо; -3 ] и [3; +оо), убнвает на [-3; 0) и (0; 3]; 6) возрастает на (-оо; -3 ] и [-1; +оо), убнвает на [-3; -2 ) и (-2; -1]; 7) возрастает на [1; 3) и (3; 5], убнвает на (-оо; 1] и [5; +со); 8) убнвает на (-оо; -3 ), (-3 ; 3) и (3; +оо). 11.4. 1) Возрастает на [0; 2] и [3; +оо), убнвает на (-оо; 0] и [2; 3]; 2) возрастает на (-оо; 3], убнвает на [3; +со); 3) убнвает на (-оо; 5) и (5; +со); 4) возрастает на (-оо; -2 ] и [10; +со), убнвает на [-2; 4) и (4; 10]; 5) возрастает на (-оо; 0) и [2; +со), убнвает на (0; 2]; 6) возрастает на (-оо; -2 ) и (-2; 0], убнвает на [0; 2) и (2; +оо). 11.5. (-оо; х,] и [х2; х3]. 11.7. (-оо; -3] и [3; +оо). 11.12. 1) Возрастает на М; 2) возрастает на М; 3) возрастает на промежутках вида ---- \\-2nk;---- \\-2nk , ЗЗ убнвает на промежутках вида —+ 2кк; -2-п-- \\-2nk , k є Z. ЗЗ 11.13. 1) Убнвает на М; 2) возрастает на промежутках вида —+ 2%k; — + 2%k , убнвает на промежутках вида — + 2%k; 44 4 —+ 2%k , k є Z. 11.14. 1) Возрастает на [0; +оо), убнвает на 4 (-оо; -4]; 2) возрастает на [0; 3], убнвает на [3; 6]. 11.15. Воз­ растает на [1; +оо), убнвает на (—х ; -1]. 11.16.1) (—х ; -3) U [2; +со); 2) (-оо; -4 ) U [2; 5). 11.17. 1) (0; 7) U (7; +оо); 2) [-3; 0] U [2; +оо). 11.18. Возрастает на промежутках вида —+ тсk: —+ %k и _4 2 -З-7-1- \\~Ш , убнвает напромежутках вида —71 + кгг;7—1 + ш , 4 4 4J h e Z. 11.19. Возрастает на промежутках вида —71 + кі,г5;7--1--Ь7ік , 66 393

Ответьі и указания купражнениям убнвает на промежутках вида ----- \\-%k; %k \\ ж \\ %k; —+ %k к є Z. 11.20. 1) ( - 0 0 ; 0]; 2) [12; + 0 0 ); 3) [0; + 0 0 ); 4) 51 2 '2 11.21. 1) ( - 0 0 ; 0]; 2) ( - 0 0 ; -6]; 3) ( - 0 0 ; 0]; 4) [-4; 4]. 11.22. [12; 14]. 11.23. ( - 0 0 ; -3 ]. 11.24. _ і і . _ 3 . 11.27. -1 . 11.28. 0. 11.29. 0. З’ 11.30. (1; + с о ) . Указание. Докажите, что функция / (х) = х1 - - 2х4+ Зх - 2 возрастает на М , причем / (1) = 0. 11.31. ( - с о ; 1). 11.32. (1; 1). Указание. Рассмотрите функцию f (t) = t - sin t. Поважите, что зта функция возрастает на М . Тогда из ра- венства / (х) = / (у) следует, что х = у. 11.33. (4; 4). 12.6. 1) Хщід —0, 2) xniin —3, 3) xniin — 2, xinax —2, 4) — 2, піїті —2, х тах —0, 5) xmjn —5, xmax — 1, 6) xmjn —0, xmax — 1, •^max — 12.7. 1) Xjjjjjj —1, x max — 1, 2) Xjjjjjj — 2, xmax —2, 2) ^max 2, 4) Xmin 1, Xn = -7 ; 5) xmin = - ; 6) x„m, = 0, xmax = — » V x = 1- 12.9. Ни одной. 12.10. 1) Возрастает 4 на [6; +oo), убнвает на ( - с о ; 6], x mill = 6; 2) возрастает на 8 и [2; +оо), убмвает на g X m in — ^> 5X m a x — Т ’ 3) возрастает на [0; +оо), убмвает на (-со; 0], x min = 0. 12.11. 1) Возрастает на [0; +оо), убнвает на (-со; 0], х ті11 = 0; 2) возрастает на (-со; -4 ] и [0; +со), убнвает на [-4; 0], хШІІ, = 0, хтах = _ 4. 12.14. 1) Возрастает на (-со; 0) и [2; +оо), убнвает на (0; 2], х ті11 = 2; 2) возрастает на (-со; 1] и [3; +оо), убнвает на [1; 2) и (2; 3], x mit, = 3, х тах = 1; 3) возрастает на (-со; 0], убнвает на [0; +оо), х тах = 0; 4) возрастает на [-•\\/б; о) и [> /б ;+ о о ), убнвает на (—со; —> /б ] и (О; > /б ], xmin = - > /б , xmin = \\/б; 5) возрастает на (0; 2], убнвает на (-со; 0) и [2; +оо), х тах = 2; 6) возрастает на (3; +оо), убнвает на (-со; 3), точек зкстремума нет; 7) возрастает на (-со; -4 ) и (-4; 0], убнвает 394

Ответьі и указания купражнениям на [0; 4) и (4; +оо), х пшх = 0; 8) возрастает на [0; 1], убнвает на [1; +со), хІпах= 1. 12.15. 1) Возрастает на (-оо; -6 ] и [2; +оо), убнвает на [-6; -2 ) и (-2; 2], х пшх = - 6 , х тіл = 2; 2) возрас­ тает на (-оо; -3 ] и [3; + 0 0 ), убмвает на [-3 ; 0) и (0; 3], хтах = -З , xmit, = 3; 3) возрастает на [0; +со), убмвает на (-оо; 0], xmit, = 0; 4) возрастает на ( - 0 0 ; -1 ), убнвает на (-1; +оо), точек зкстре- мума нет; 5) возрастает на [0; 4) и (4; +оо), убнвает на (-оо; -4 ) и (-4; 0], xmin = 0; 6) возрастает на — ;+оо , убнвает на 16 1 0; — , xmin = — . 12.18. 1) Убнвает на промежутках вида 16. 16 - —+ 2жк; —+ 2жк , возрастает на промежутках вида - + 2кк; ЗЗ З — + 2л:к , хтах = - —71+ 2%k, xmin = —71+ 2%k, k є Z; 2) возрастает З пп на промежутках вида -------ь 7і/г;-------1-к к , убнвает на проме- З6 жутках вида - —+ пк;---- \\-nft , х„ = - - + nk, Xmin = - - + nk, 6 6з к є Z. 12.19. 1) Возрастает на промежутках вида ---7-п-- h2л:к; 6 —+ 2лк , убнвает на промежутках вида —+ 2жк; — + 2жк 6 66 х птх= —+ 2кк, x min= — + 2лк, к є Z; 2) возрастает на про- 66 межутках вида ---л--ькк: л—+ лк , убнвает на промежутках 88 вида —л + лк:7-л-- ьлк ^тах=- + ^ Z.Х ш і п = ~ + П к , к Є 88 12.20. -3 ; 3. 12.21. -1 ; 1. 12.22. 1) Возрастает на 0 ;і убнвает на (-оо; 0] и * т а х = - . -^шіп= 0; 2) возрастает і* 5 395

Ответьі и указания купражнениям на , убнвает на -;+ со |, х,m a x = 3) возрастает на [0; 1], О убнвает на [1; +со), хпшх = 1; 4) возрастает на (-со; 2,5], убнвает на [2,5; 3), х пшх = 2,5. 12.23. 1) Возрастает на и [0; +оо), убмвает на 8 ’ ^тах —_ Т5» ^тт = 0 ; 2) возрастает на и [2; +со), убмвает на 2 Ґ ’2 ’ ^їлах —Т» x min = 2; 3) возрастает на —;+оо , убнвает на 1; — х„ = - . 12.24. Нет. 12.25. 1) Да; 2) нет; 3) нет. 12.26. 1) Нет; 2) да. Указание. Если D (/) = М, то х п1іл = х0. 12.27. Мо- жет. Указание. См. рис. 12.28. Нет. Указание. См. рис. vk х0 Рис. к задаче 12.27 Рис. к задаче 12.28 Рис. к задаче 12.29 12.29. Да. У к а з а н и е . См. рис. 12.30. 1) х т[п= —71+ nk, 8 З 71 71 Х т а х = ——+ nk, k є Z; 2) xmin = - - + 2жк, хпшх=ж + 2nk, k є Z; З) зСшіп = J = ^Х т а х + nk, k є Z; 4) Xlllin = тг/г, xmax = ± у + 2тг/г, k є Z. 1 2 .3 1 . 1) хт,п = — + жк, хтях= —+ жк, k є Z; З6 2) х тіЛ = я + 2я/г, я k є Z; 3) точек зкстремума хтах = - —+ 2жк, нет. 12.32. (-1 ; 1) U (1; +оо). 12.33. (0; 1) U (1; +оо). 12.34. 1. 12.35. 1. 12.36. 1. 12.37. 2. 12.38. 1) -2 5 ; 2) -1 3 ; 3) -2 2 . 12.39. 1) 26; 2) 17; 3) -1 0 . 13.1. 1) 4; 0; 2) 13; 4; 3) ЗО; 4; 4) -3 ; -ЗО; 5) 60; -7 5 ; 6) -4 ; - 8 . 13.2. 1) 0; - — ; 2) 1; -2 ; 3) 48; -6 ; 4) 0; -2 8 . З 396

Ответьі и указания купражнениям 13.3. 1) 10; 6; 2) 5; УЇЗ; 3) 100; 0; 4) -2 ; -2 ,5 . 13.4. 1) 5; 3; /з Js 2) 2; -2 ; 3) 81; 0; 4) 10; 6. 13.5. 1) >/2; -1 ; 2) — ; ; 22 2 + 71лУз 2-71 лУз 13.6. 1) 2; -1 ; 2) 2; -2 . 13.7. 8 = 6 + 2. 3) 2 13.8. 12 = 8 4. 13.9. 1) - ; 1; 2) -3 ; -4 ; 3) -2. 22 13.10. 1) 0; 2) 4; -2 . 13.11. 180 = 40 + 80 + 60. 13.12. 18 = 8 + 3 + 7. 13.13. ЗО см2. 13.14. 8 см и 2л/з см. 13.15. 2 0 уі2 см и 1 0 V2 см. 13.16. 24>/5 см, 6 см. 13.17. 32. 13.18. 12-Уб. 13.19. 16 см. 13.21. 2а. 13.22. - . З Г16 \"0 ч _ (7 26 / 19 зJ 13.26. -; U ----9--■J 13.27. Искомая точка находится на расстоянии 25 км от пункта С. 13.28. 60°. 13.30. — ; -3 8 . Указание. Исследуйте 25 функцию на отрезках [0; 1] и [1; 2]. 13.31. 105; 13.32. 4. 13.33. -3 . 14.1. 6) 80 (2х - І)3; 7) - 9 sin Зх; 8) - 2 cos 2х; 10) 2 cos х - х sin х. 14.2. 5) 54 (1 - Зх); 6) - 4 cos 2х; 7) 2 cos 2х; 8) - 2 sin х - х cos х. 14.3. 1) -2 6 ,5 ; 2) 53. 14.4. 14 м /с2. 14.5. 10 м /с2, 5 м /с2. 14.6. 90 Н. 14.7. 1) В и ­ пуклая вверх на (-оо; 0], випуклая вниз на [0; +оо), х = 0 — точка перегиба; 2) випуклая вверх на [1; 3], випуклая вниз на (-оо; 1] и [3; +оо), х = 1 ж х = 3 — точки перегиба. 14.8. 1) Випуклая вверх на | -оо; —2~ , випуклая вниз на —; +оо , х = ------точка перегиба; 2) випуклая вверх 397

Ответьі и указания купражнениям на [1; 2], випуклая вниз на (-со; 1] и [2; +со), х = 1 и і = 2 — точки перегиба. 14.9. 0. 14.10. 0. 14.13. 1) Випуклая вверх на каждом из промежутков (-со; - Я ] и [о-,Я], випуклая вниз на каждом из промежутков [-л/3;0] и [Уз;+со), х = —Я, х = 0, х = Я — точки перегиба; 2) випуклая вверх на (-со; -2], випуклая вниз на [-2; 1) и (1; +оо), х = —2 — точка пере- гнба. 14.14. 1) Випуклая вверх на у/з Я випуклая вниз на -со; - Я и Я -; +со х = ---Я---и х = —я — точки ЗЗ перегиба; 2) випуклая вверх на (-со; -1 ) и (-1; 2], випуклая вниз на [2; +оо), х = 2 — точка перегиба. 14.15. Випуклая вверх на каждом из промежутков вида —+ 2жп; — + 2жп 66 випуклая вниз на каждом из промежутков вида - — + 2пп: —+ 2пп , точками перегиба являются точки вида 66 (-1)”*—+ 7Ш, п є Z. 14.16. Випуклая вверх на каждом из 6 промежутков вида -2-7-1- 1-27ш ;4-7-1--ь27Ш випуклая вниз на .З З каждом из промежутков вида ---2-7-1- 1-27ш ;2--п--ь27Ш точками 3З перегиба являются точки вида ± -2-т-і- ь27Ш, п є Z. З 15.1. Рис. к задаче 15.1. 15.2. Рис. к задаче 15.2. 15.3. Рис. к задаче 15.3. 15.4. Рис. к задаче 15.4. 15.5. Если а < -1 или а > 0, то 1 корени; если а = -1 или а = 0, то 2 корня; если -1 < а < 0, то 3 корня. 15.6. Если а > 4, то корней нет; если а = 4 или а < 0, то 2 корня; если а = 0, то 3 корня; если 0 < а < 4, то 4 корня. 15.7. Рис. к задаче 15.7. 15.8. Рис. к задаче 15.8. 15.10. 2) - —; 3) —; 4) 4; 5) 21; 6) 256 67 398

Ответьі и указания купражнениям 6) 7) Рис. к задаче 15.1 399

Ответьі и указания купражнениям 1) 2) 3) 4) 5) Рис. к задаче 15.2 400

Ответьі и указания купражнениям 401

Ответьі и указания купражнениям 402

Ответьі и указания купражнениям 1) 2) 3) 4 ) Рис. к задаче 15.7 1) 2) 3) Рис. к задаче 15.8 403

Ответьі и указания купражнениям 16.15. 1) -6 -13; 2) 3) *а г ; 4) 2аЩ- а 2Гі. a2^ aS +bS 1 16.16. 1) +1; 2) 4 яа&. 16.17. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) нет. 16.18. 3) (-4 ; + 00); 4) [1; +оо). 16.19. 36. 16.20. [-2 ; 4]. 16.22. 1) (-оо; +со); 2) [0; +со). 16.23. (-оо; 0) U (0; +со). 16.28. (7 + 4 Уз) > (7-4-у/з) . Указание. Числа 7 + 4 -у/з и 7 - 4 -у/з являются взаимно обратнмми. 16.29. 1) Корней нет; 2) 3 корня; 3) бесконечно много корней; 4) 2 корня. 16.30. 1) 1 корень; 2) бесконечно много корней; 3) 2 корня. 16.33. Указание. Найдите область определения данной функции. 16.34. 1) 4; —; 2) 1; - 1 . 16.35. 1) 6; —; 2) 6; 5—. 4 65 16.36. 1) |х є М|х ^ + %k, k є ZJ; 2) [-1 ; 1]; 3) [-1 ; 1]. 16.37. 1) ( - о о ; + о о ); 2) [-1 ; 1]; 3) {х є 1 | х # %k, k є Z}. Рис. к задаче 16.38 (2) 16.42. 1) 0. Указание. 2cosx < 2, х 2 + 2 > 2; 2) 0. 16.43. 1) 0; 2) 0. 16.44. 1) М; 2) {0}; 3) [0; +оо). 16.45. (-оо; 0) U (0; +оо); 2) {0}. 16.46. Нечетная. 16.47. Нечетная. 16.48. Четная. 16.49. Нечетная. 16.50. U (1; +со). Указание. Виясните, 404

Ответьі и указания купражнениям при каких значеннях параметра а уравнение -t----1- = а имеет t-4 хотя бьі один положительньїй корень. 16.51. (—1з о ; 0) U (1; -hoc). 16.54. 3) 33-2\" 4; 4) 13 • 3\" 4; 5) 5 • 2х + 4; 6) -2 9 • 6\" 4; 7) 12-9\"; 8) 576-5\" 2. 17.3. 1) 1; 2) 3; 3) 3; 4)1;5) 3; 6) 2. 17.4. 1) 2; 2) 4; 3) 1; 4) 3. 17.5. 1) 1; 2; 2) 2; 3) 1; 4) 2. 17.6. 1) 1; 2) -1 ; 2. 17.7. 1) 2) 1; 3) ± — + 2%k, к є Z; 4) 2; 5) -2 ; 6) — . 33 3 10 17.8. 1) 2) (-1)*+1. - + п к , к є Z; 3) - - ; 4) 6,5. 17.9. 1) 5; 24 6 2 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) 6) 3; 7) 2; 8) 0; - . 17.10. 1) 1; 2) 2; З2 3) 2; 4) 5) 4; 6) 0; 1 . 17.11. 1) -1 ; 1; 2) 1; 3) 2; О U Сі 4) 1; 5) -1 ; 2; 6) 1. 17.12. 1) -1 ; 1; 2) 1; 2; 3) 1; 4) -1 ; 5) 0; 6) 2. 17.13. 1) 2; 2) -1 ; 1; 3) 2. 17.14. 1) 2; 2) 3; 3) 4. 17.15. 1) 2) 3; -3 ; 3) 3; 4) 6; 5) - + тск, й є Z; 6) - 2 2 42 Л є Z; 7) ± - + 7і/г, й є Z. 17.16. 1) 1; 2) 3; 3) яЛ, Л є Z. З 17.17. 1) 0; 1; 2) 0; -1; 3) -1; 4) 0. 17.18. 1) 0; 1; 2) 0; 2. 17.19. 2. 17.20. 0. 17.21. -2 ; 2. Указание. Числа 2 + -\\/3 и 2 —>/3 яв- ляются взаимно обратньїми. 17.22. —2; 2. 17.23. 1) —1; 0; 1. Указание. Пусть 2х + — = t. Тогда 4 * + — = ^2\"+— 1' - 2х 4х { 2х J - 2 ■2х- — = t 2- 2 ; 2 ) - 1 ; 0 ; 1. 1 7 .2 4 . (-оо; 2] U {5}. 1 7 .2 5 . [ - 2 ; 3 ]. 2 1 7 .2 6 . (1 ; 3) U (3 ; +оо). 1 7 .2 7 . 1) 1; 2) 2; 3 ) 5; 4) 3. 1 7 .2 8 . 1) 2; 2) 4 ; 3 ) 5; 4 ) 3 . 1 7 .2 9 . (-оо; 0 ] U {1}. 1 7 .3 0 . (-о о ;0 ) U U {і;>/з}. 17.31. 1; 3. 17.32. 1; 2. 1 8 .4 . 1) 5 ; 2) 3 ; 3 ) 4 . 1 8 .5 . 1) - 5 ; 2) 7. 1 8 .6 . 1) [0 ; +оо); 2) (1 ; +оо). 1 8 .7 . 1) (-оо; - 2 ] ; 2) (-оо; 4 ]. 1 8 .8 . 1) (-оо; 1) U U (5; +со); 2) - 3;ї ; 3) (-5 ; -3 ) U (3; +=о); 4) 1 - у ; 0); 5) (0; 4]; 405

Ответьі и указания купражнениям 6) [-1; 2]. 18.9. 1) (-оо; -1 ) U (2; +оо); 2) (-оо;-2] U —1; +со 5 3) (-оо; -2 ) U (1; 2); 4) (-1; +оо). 18.10. 1) (-1; +оо); 2) (-оо; 2); 3) (5; +оо); 4) (-оо; -1]; 5) (-оо; 0]; 6) (-<ю; 1). 18.11. 1) (-оо; 2); 2) [0; +оо); 3) (3; +оо); 4) (1; +оо). 18.12. 1) (2; +оо); 2) (-оо; 1); 3) [0; 1]; 4) (-оо; -3 ] U [-2; +оо); 5) (-оо; 1]; 6) [1; +оо). 18.13. 1) (-оо; 0]; 2) [6; +оо); 3) (-оо; -1 ) U (0; +оо); 4) [0; 2]. 18.14. 1) (-оо; 2) U (2; 3]; 2) (-оо; 0) U (1; +оо). 18.15. 1) | —оо; ——| U и | - - ; 2 2) [-2; 5). 18.16. 1) І—; +00 |; 2) І —; +оо 18.17. 1) (0; 1); 2) | -оо;- 18.18. 1) (2; +оо); 2) (-3; 1); 3) (-оо; -2 ] U [0; +оо); 4) {0}. 18.19. 1) ( 1 ; +оо); 2) І -0°; — 18.20. [0; 1]. 18.21. [0; 4]. 18.22. 1) (0; 1); 2) (-оо; -1 ] U (0; +оо). 18.23. 1) І 0;—|; 2) (-оо; 0) и (0; 1]. 18.24. 1) (-1; 0) U (1; +оо); 2) (0; 2). 18.25. (-оо; -3 ) U (0; 3). 18.26. [0; 2]. 18.27. [0; 1]. 18.28. 1) (1; +оо); 2) (2; +оо). 18.29. (-оо; 3). 18.30. [3; +оо) U U {-2}. 18.31. (-оо; -2 ] U {4}. 18.32. Если а > 1, то х = 1; если а < 1, то х е [а; 1]. 18.33. Если а < 1, то х е (-оо; а] U {1}; если а > 1, то х є (-оо; 1]. 19.21. 4) 144; 5) 64; 6) 1; 7) 0; 8) 48. 19.22. 4) 9; 5) 10; 7) 2. 19.23. 1) -3 ; 2) -1 ; 3) - ; 4) - - ; 5) - ; 6) - ; 7) - - ; 2 222 4 8) - - . 19.24. 1) 1; 2) -1 ; 3) 0; 4) -1 . 19.25. 1) 4; 2) 60; 3) 180; 2 4) 20; 5) 0,1. 19.26. 1) 72; 2) - ; 3) 10. 19.27. 1) - ; 2) -3 . 42 19.28. 1) -5; 2) -2 . 19.29. 1) 2; 2) 4. 19.30. 1) 6; 2) 9. 19.31. ЗО. 19.32. 21. 19.33. log„ Ь. 19.34. log6 а. 19.37. 1) -1 < х < 1; 2) х * 1; 3) х < 2; 4) х * 2. 19.38. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0. 19.39.1g 2. Указание. В каждом из логарифмов перейдите к основанию 10. 406

Ответьі и указания купражнениям 19.40. - . 19.46. logax log» х ^ указание. log ab = log a- 2 logax + log6x + logTb = ------- + — -. 19.47. Указание. В виражений logo6х logax log6x перейдите к логарифму c основанием a. 19.48. -3 . Указание. Воспользуитесь тем, что logo6 о + logo6 a = 1. 19.49. 2a + b+\\ 2fc+ l 19.60. 1) 2(2‘, ~ 1); 2) ! ± І . 19.51. 3 - 3“ 3 (2-а) 1-а b+1 20.19. 1) 2 < log3 10 < 3; 2) 2 < log2 5 < 3; 3) -2 < logj 7 < -1; з 4) -1 < log0>12 < 0. 20.20. 1) 4 < log2 29 < 5; 2) -4 < log! 9 < -3 . 2 20.21. 1) log4 5 > log5 4; 2) log1>5 1,3 < log1>3 1,5; 3) log0>7 0,8 < < log0>8 0,7; 4) log0>2 0,1 > log0>1 0,2. 20.23. 1) (0; 1) U (1; +co); 2) (-co; 9) U (9; 10); 3) + 2%k < x < —+ 2%k, k e Z; 4) %k< 22 < x < —+ nk, k e Z. 20.24. 1) (-3; -2 ) U (-2; +<x>); 2) 2izh < x < 2 <71 + 2%k, k є Z. 20.27. 1) 2; 2) 1; 3) - . 20.28. 1) - ; 2) 3. 22 20.29. 1) 1 корени; 2) 1 корени; 3) 1 корени. 20.30. 1) 1 ко­ рени; 2) 1 корени. 20.31. log2 3 + log3 2 > 2. Указание. Числа log23 и log32 являются положителннніми и взаимно обратннми. 20.33. 1) (-со; 0) U (0; +оо); 2) все действителвнніе числа, кроме чисел вида —71+ 2%k, k є Z; 3) {0}; 4) все числа 2 вида 2nk, k є Z; 5) (3; 4) U (4; 6]; 6) (-2; -1 ) U (-1; 3); 7) [-1; 0) U (0; 3]; 8) (-<ю; 1) U (3; 6) U (6; 7); 9) (0; 2) U (2; 3); 10) (-3; -2 ) U (-2; -1 ) U (0; +оо). 20.34. 1) (-оо; 0) U (0; +оо); 2) все действителвнніе числа, кроме чисел в и д а ---71--\\-2nk, 2 k є Z; 3) М; 4) все числа вида —+ 2%k, k є Z; 5) (-8; -2 ) U 2 U (-2 ; -1 ); 6) (0; 7) U (7; 8); 7) (-2 ; - 7 з ) U (-> /3;S ) U (>/3; 2); 407

Ответьі и указания купражнениям 8) (0; 4) U (4; 5); 9) (-1; 1) U (1; 2); 10) [-5; 0) U (0; 2]. 20.35. 3) См. рис.; 4) см. рис. 20.36. 3) См. рис. У‘1 ^ у! X і --<?■ 1с о 1 0 -1 Рис. к задаче 20.35 (3) Рис. к задаче 20.35 (4) и 20.36 (3) 20.37. 1) -2 ; 2) - 1 . 20.38. 1) 3; 2) 1. 20.39. Нечетная. Указание. Воспользуйтесь тем, что six2+1 - х = (six2+1 + х) . 21.5. 1) 16; 2) 64; 3) 6; 4) 6; 5) 512. 21.6. 1) і ; 2) 5; 3) Ю10. 21.7. 1) 0,8; 2) 2; 3) 0; 4) -1 . 21.8. 1) 1; 2) 0; 1. 21.9. 1) -2 ; 6; 2) 5; 3) корней нет; 4) -2; 5) 1; 6) -1; 7) 0; 8) 6. 21.10. 1) -2; 2) корней нет; 3) 0; 13; 4) - 2 . 21.11. 1) 7; 2) 1; 3) 1; 4) 2. 21.12. 1) 3; 2) log2 3; 3) 2. 21.13. 1) 4; 2) 2; 3; 3) 4; 4) 5; 5) 8; 6) 4; 7) 4; 8) 7. 21.14. 1) 1; 2) 2; 3) - ; 4) -1 ; 4; 4 5) 3; 6) 8. 21.15. 1) log5 4; 2) 0. 21.16. 1) 2; 2) log3 (з + л/ГТ). 21.17. 1) 2; — ; 2) 9; - ; 3) 10; 1000; 4) 25; 7б; 5) - ; 6) 8; 16 3 6 107 - 2. 21.18. 1) -8 ; 2) 343; — ; 3) 27; ^/3; 4) ^ . 2 49 ю 21.19. 1) 7; 2) корней нет; 3) 3; 4; 4) 1; 5) 4. 21.20. 1) Корней 1 /ОQ_ П нет; 2) 5; 3) 4; 4) 3; 5) 3. 21.21. 1) - ; 2) -5 ; -2 ; -------- . З2 1— 21.22. 1) -6 ; -4 ; 2; 2) -1 ; 2; 3. 21.23. 1) - ; З9; 2) 0,1; л/Ї0; З 3) 4; 4) 8; - ; 5) 100; 10 8; 6) 5; — ; 7) 10; 8) 10 000. 8 625 21.24. 1) \\/Ї0; ~ ^ = ; 2) 3; 9; 3) 1; 49; 4) 100; — ; 5) 6; 6 7; У10 100 6) 32. 21.25. 1) - ; 5; 2) 0,001; 10; 3) 3; 9; 4) 216; - . 408

Ответьі и указания купражнениям 21.26. 1) 9; 2) — ; 100; 3) 16; - ; 4) 1 000 000; 0,001. 9 10 4 21.27. 1) 2; 2) - ; 4; 3) 2^; 2 4) 1; 9; 5) 1; 16; 6) - . 42 21.28. 1) - ; 3; 2) л/3; 3; 3) 7; 4) 3. 21.29. 1) 73; 2) — ; 5; 9 625 3) —; —. 21.30. Указание. Рассмотрите произведение 82 log„ x*log0 у. Воспользовавшись теоремой 19.3, можно запи­ сать: loga х •loga у = loga y og“* или loga у •loga х = loga x log\"y. Отсюда loga i/log“* = loga x log“y y log°x = x log°y. 21.31. 1) 1000; 2) 3S ; 3 21.32. 1) 4; 2) - ; 7. 21.33. 1) (1; 3); 2) (9; 3), (3; 9); 7 3) (8; 2), ^ ; ^ j ; 4) (3; 9), (9; 3); 5) ^2;±j; 6) (2; 10), (10; 2). 21.34. 1) (1,5; 2); 2) (8; 2), ^ ; ± ) ; 3) (5; 5); 4) (1; 1), f з/^ O3 \\ -і — ; ------ ; 5) (4; 1). 21.35. 1) -1 ; 2) —; 2. Указание. Рас- vЗ 3 ) 4 смотрите данное уравнение как квадратное относительно log2 х. 21.36. 1) 8; 2) 3; У 21.37. 3; ^2. 21.38. 1,5. 21.39. 1) 2; 2) корней нет. 21.40. 1) 1; 2) 3. 21.41. ~ - + nk, 4 h є (Z \\ N) U {1}. 21.42. Если а < -1 или а > 7, то одно реше- ние; если —1 < а < 7, то 2 решения. 21.43. Если а < 2 или а > 11, то одно решение; если 2 < а < 11, то 2 решения. 21.44. а =8— или а <7 —. 21.45. а = - 3 или а > -2 ,5 . ЗЗ 22.5. 1) 21; 2) 26. 22.6. 1) 0; 2) 0; 1; 2; 3; 4; 5. 22.7. 1) (1; +оо); 2) (0; 1); 3) (3; +<ю); 4) (-3; -2 ) U (3; +<ю); 5) (-оо; -3 ] U [4; 9); U [5;+оо). 22.8. 1) І—; 4 3) [5; +оо); 17 2 4) (-оо; -4 ] U [3; 5). 22.9. 1) 6; 2) 2; 3) 2; 4) 5. 22.10. 1) -1 ; 2) 3; 3) 1; 4) 0. 22.11. 1) [-1; 1) U (3; 5]; 2) (-2; -1 ) U (0; 1); 409

Ответьі и указания купражнениям 3) (-6 ; -5 ) U (-5 ; -4 ); 4) [-1 ; 0) U (3; 4]; 5) 6) |^ - ;2 j U (2 ;+оо); 7) (-ос; - 2 ,5 ) U [2; +оо); 8) |^-;1 22.12. 1) (2; 3); 2) [1; 2) U (4; 5]; 3) [-4 ; - 3 ) U (0; 1]; 4) [0; 1) U (1; 2]; 5) -<ю;- U [3 ;+ * ); 6) - ; 3 . 22.13. 1) (3; 6]; 2) (1; 3]; 3) —; 1 ; 4) - 2 ; - - - ;+ ° о |; 5) [-4 ; - 3 ) U (1; 3]; 6) [ - 5 ;- 1 ) U І - - ; 0 22.14. 1) (-3 ; -1 ); 2) (4; 5]; 3) (-5 ; 7]; 4) 0; - I U (4; 13]. 22.15. 1) (5; +оо); 2) (1; +оо); 3) (0; 4); ( л з\" -со; —7 J . 22.16. 1) [-1; 0); 2) (1; 2]; - і ; — ; 6) 5 1 5J 3) [11; +оо); 4) 14 1 .5 ; 2) 1 U [9; +со); — ;+оо |. 22.17. 1) |0 ;- З 5’5 3) (0,0001; 10); 4) — ;2 5 6 ; 5) (0; 4] U [8; +со); 6) | 0; —1 и 16 81 U ^ ;+ о о |. 22.18. 1 ) | 0 ;^ U [8;+со); 2) (0; 0,1] U [1000; +со); 3) (0,5; 4); 4) [0,04; 5]. 22.19. 1) 1 ; 2 І; 2) (0; 3 10] U [3; +<ю); 128 3) [0,001; 1) U [100; +оо); 4) | 0; - j= U (1; 5]. 22.20. 1) | 0; — U 49 U [7; +оо); 2) -;б ; 3) (3; 9] U [81; +<ю); 4) —; 1 I U [2; +со). 216 2 2 .2 1 . 1) 1-V 27 ; - 2 и 3; 1+ ^ 2 7 ; 2) I - о о ; - - I U (1;+со); 3) [1,5; +оо); 4) (3; +оо). 22.22. 1) [-2 ; 1 -л /б ) U ( і + л/б; 4 ]; З 2) І - ; 1 |. 22.23. 1) (2; 3); 2) (4,5; 5); 3) (0; 2); 4) (3,5; 5); 410

Ответьі и указания купражнениям 5) (0; 1) U [2; +оо); 6) (1,5; 2]. 22.24. 1) І- ; 1 IU (1;+оо); 2) (1; 3) U (4; +<х>); 3) (1; 2) U (2,5; 4); 4) (1; 2]. 22.25. 1о^5 - - л 22.26. log8 ^ ; 3 | . 22.27. 1) (3; 4] U {5}; 2) ~ ; - 1 I U {2; - 2}; 8 Li\\J 9 3) —; 2 IU (2; 3] U {1}. 22.28. 1) (2; 3] U {5}; 2) (5; +оо) U {4}. 5 22.29. Если а < 8, то х є [3; +со); если а > 8, то х є є [log2 а; +°о) и {3}. 22.30. Если а < 9, то х = 2; если а > 9, то х є [2; log3 а]. 22.31. (0;1) U л; —7л U -1-1-л- ; 2л 22.32. (0; 1) U Л 2л 4л Зл 23.5. 1) 0; 2) -2 ; 3) -1 5 In 3. 23.6. 1) 1; 2) 1; 3) - 5 In 4. 23.7. 1) -1 ; 2) 3,5; 3) - 2 In 5 4) - . 23.8. 1) — ; 2) 16; 2 13 3 ) ----- -— ; 4) . 23.9. 1) - ; 2) - . 23.10. 1) -1 ; 2) — . 2 In 10 9 e3 In 5 23.11. 1) у = - 2 x + 1; 2) у = 2x + 1; 3) у = (2 + 2 In 2)x - 2 In 2; 4) у = 18x In 6 + 18 In 6 + 6; 5) у = 4x - 1; 6) у = 4x + 4; 2x + 1; 8) у = x - 4 + 2 In 2. 23.12. 1) 7/ = 7) y = 3 In 3 3 In 3 = 5x + 1; 2) у = 2x + 1; 3) у = 6x In 3 - 12 In 3 + 3; 4) у = = 4x - In 4; 5) у = 3x - 6; 6) у = —--------- -----b2. 23.13. 1) у = 2; 4 In 2 4 In 2 2) у = -1 . 23.14. у = -1 6 0 0 . 23.15. 1) у = ex; 2) у = 5x + 3; 3) y = - x + —In 2 + —; 4) у = 3x - 3. 23.16. 1) у = - l x + 7; 22 2) у = 2x; 3) у = x + 1 + In 5; 4) у = - x . 23.17. 1) Возрастает на [0; +oo), убьівает на (—■x>; 0], х тіл = 0; 2) возрастает на убьівает на х 3) возрастает на (-со; 0], убьівает на [0; +оо), Х,„.|х 0; 4) возрастает на 2 0; 411 In 2 ’

Ответьі и указания купражнениям убьівает на (—■х>; 0] и ,+00 , x min 0, X ; 5) воз- In 2 In 2 растает на (—■оо ; 1], убьівает на [1; +оо), Хпшх = 1; 6) возрастает на [0; + с о ) , убьівает на (—■оо; 0], хі|ИіІ = 0; 7) возрастает на (—■оо; 2], убьівает на [2; +оо), Хпшх = 2; 8) возрастает на [3; +оо), убьівает на (—оо; 2) и (2; 3], х тіл = 3; 9) возрастает на (—■оо; 1], убьівает на [1; +со), х пшх = 1; 10) возрастает на 3; +о°), убьівает на [О; е , xmin=e 3; 11)возрастает н а (0; 1], убьівает на [ 1 ; +оо), \" _1 \\ ( Л~ Хпіах = 1; 12) возрастает на е 2;+со), убьівает на \\0; е 2 і хтіп=б 2; 13) возрастает на [1; +оо), убьівает на (0; 1], Хтіл = 1; 14) возрастает на [е; +оо), убьівает на (0; 1) и (1; е], х 1піл = е; 15) возрастает на (0; е2], убьівает на [є2; +оо), хпшх = е2; 16) возрастает на [—1; 0) и [1; +оо), убьівает на (—■оо; —1] и (0; 1], їщіл = —1, xmin = 1; 17) возрастает на (0; 1] и [е; +оо), убьівает на [1; е], хтах = 1, xmin= е; 18) возрастает на [VTO; +х), убьівает на (0 ;V l0 ], xmin = Ш 23.18. 1) Возрастает на [-2; +оо), убьівает на (—■оо; —2], хпііп= —2; 2) возрастает на [—1; 0] и [1; +оо), убьівает на ( - о о ; -1 ] и [0; 1], х пшх = 0, xmin = - 1 , xmin = 1; 3) возрастает на [—1; 1], убьівает на (—■оо; —1] и [1; +оо), х„ 11 Х„ —1; 4) возрастает на убьівает на 1 х„ = — ; 5) возрастает на -оо; In З , убьівает на °°’ 4 In З ?; +1оо ?, *х^тах = ; 6) возрастает на (—■оо; —2], убьівает на in з [—2; +со), х,п.ІХ= —2; 7) возрастает на [1; +оо), убьівает на (0; 1], Хтіл = 1; 8) возрастает на 1 и [1; +оо), убьівает на Л ; і 0; — Х11іах= —т >х тіл= 1; 9) возрастает на (0; е], убьівает на Ге; +оо), е Х11іах= б; 10) возрастает на [1; +оо), убьівает на (—■оо; 0) и (0; 1], 412

Ответьі и указания купражнениям Хпііп = 1; 11) возрастает на 0; — и [е2; +со), убьівает на І І_гЧ__|* _е , * т а х =е1~ ’ ^тіп = е2; 12) возрастает на Lio 1J и [10; +со), убьівает на |^0; — и [1, 10], xmax 1, х > xmin = 10. 23.19. 1) е + 1; - - 1 ; 2) е2; 0; 3) 1; 4) 2 - ; 2. е 72 23.20. 1) 0; 2) 125; - . 23.21. См. рис. 1о to 2 *1 е 3) / 2) Рис. к задаче 23.21 23.22. См. рис. 23.25. а < 0. 23.26. а > 0. Рис. к задаче 23.22 413

Ответьі и указания купражнениям х 10 24.8. 1) у = — 2) у = -cos х - 2 ; 3 ) у = ех - 7 . 24.9. 1) у = ЗЗ X4 qX = ---- hi; 2) у = sin х + 2; 3) у = ---- . 24.10. 1) у = ------6; 4 In 3 х 2) y = tg х + 2-\\/3; 3) г/ = In (-х ) + 4; 4) у = — ^- + - . Зх З 24.11. 1) у = -c tg х + 1; 2) у = 2у[х +2; 3) у = In х - 1; 4) у =2-*--+--1-п--2----3--2--. 24.15. -1 . _24..16. —1 . In 2 2 2 25.5. 1) F (х) = х - х 2 + 8; 2) F (х) = х 3 - 2х2 + 5; 3) F (х) = = -c o s —+ sin —+ 6,5; 4) F (x ) = - s i n З х — + - ; 5) F (x ) = 4x + 32 З V 4/ З + —-4 ; 6) F (х) = 7 1 п ( х - 4 ) + 2л/х + 4; 7) F (х) = -у/бх + 1 +2; 8) F {х) = - е 3х + -; 9) /(х ) = (3х 2) 10) F(x) = - tgl 6 х - - 33 99 З 25.6. 1) F (х) = Зх - Зх2 + 6; 2) F (х) = х 4 - 2х3 + х + 5; 3) F (х) = х 2- 2 у [ х - 2 ; 4) F (х) = cos З х - —; 5) F( x) = Зз = 8 JT.-2 +4; 6) F {х) = \\ е 2х+1 +3,5; 7) F (x) = ^ ln (4 x -3 e 2) + 5,5; X 8) F (х) = -8 ctg —+ 5. 25.7. F (х) = х 4 - 2х - 3, первообраз- 8 ная имеет еще один нуль, равньїй 1. 25.8. F (х) = -х---- 12х + 27. З 25.9. 1) F 2; 2)F2. 2 5 .1 0 .^ . 25.11. s(t) = — + t 2- 3 t . 25.12. s ( t ) = З = 213 + t - 47 или s (t) = 2t3 + t - 67. 25.13. у = 2x3 - x 5 + 7. 25.14. u = 6 \\/x + x - 2 1 . 25.15. 1) — s i n2x + C. Указание. У 24 Примените формули пониження степени; 2) - — c o s 8 x - - —cos2x + C. Указание. Примените формули преобразова- 4 414

Ответьі и указания купражнениям ния произведения тригонометрических функций в сумму; 3) 3—s in2-х----1- sin 4х + С. 25.16.1) х—+1—sin 4х + С; 2) 1— sin 7 x + 4 38 28 14 н---1- sm. 9„x + C,., 2п к5 .11 7r r . Fп , ґ(х\\) = -2--x-3-- 1--3-x--2-- \\~—5 , Fп .?ґ(x\\) = -2--x-3-- ь 18 3 26 3 н--З--х-2-----3-2--3 . 25.18. £ ( х ). = -х-3--- 4.х + -2, F, (.x). = -х--3-- 4 х ---2--0-. 2 24 1З 32 З З 25.19. F (х) = - х 2+ 5 х ---- . 25.20. F( x) = - + x - 3,5. 42 26.5. 1) 4 - ; 2) 0,5; 3) 4; 4) 7 - ; 5) - I n 8; 6) 1 -; 7) — ; З 32 34 8) - ; 9) Зе - 1 ; 10) 18. 26.6. 1) 1 -; 2) 7 - ; 3) 8 In 2; 4) 5) — ; 6) 72 2ІП3. 26.8. 1) 70; 2) 1,5; 3) л/З; 4) 39; 5) 0; З In З 6) - ; 7) - I n 5; 8) 3; 9) 0; 10) 6е - 6; 11) - - ; 12) 240. 32 9 26.9. 1) -4 5 ; 2) 6; 3) 4) - ; 5) - ; 6) — ; 7) - I n 10; З 5 3 288 З 1 7Я 21 8) — ; 9) — . 26.10. 1) 1 0 -; 2) - ; 3) е2 - 1; 4) 4 In 4 - 3; 12 7 33 5) 12 - 4 In 4; 6) 1 0 -; 7) 1 -; 8) 4,5; 9) 4,5; 10) - ; 11) — ; 33 3 12 12) 1; 13) 24 - 7 In 7; 14) 2; 15) > /2-1. 26.11. 1) 4 - ; 2) - ; 4З 3) 1—; 4) 4,5; 5) 2 - ; 6) 6 - 3 In 3; 7) 1; 8) 12 - 5 In 5. 26.12. 3. Зз 26.13. 3; - 3 . 26.14. 2; - 2 . 26.15. 6. 26.16. -^ 8. 26.17. 1) (0; 1) U (3; +оо); 2) (log0>2 6; +оо). 26.18. (1; +оо). 26.19. 1) — ; 2) ті - 2; 3) 0; 4) Зе +8е~ 8 . 26.20. 1) 2° ~ 571; 12 8е 2 2) - ; 3) 0,2; 4) е2- е - ~ . 26.21. 1) 16,5; 2) 4,5; 3) 2 1 -; 22 З 4) 4,5; 5) 7,5; 6) 8 - 4 In 2. 26.22. 1) 4,5; 2) 1 0 -; 3) 4,5; З 415

Ответьі и указания купражнениям 4) 9. 26.23. 1) 5 - ; 2) 1,5. 26.24. 1) 2 - ; 2) 3. 26.25. 1— . З 6 12 1 7Г Qtt Qtt 26.26. - . 26.27. 1) 2) — ; 3) 4п; 4) — ; 5) 8,5; 6) 6,5. 6 24 2 25-71 26.28. 1) --- ; 2) Зтг; 3) 2п; 4) 5. 26.29. 1. Указание. Изо- 2 бразите криволинейную трапецию, площадь которой равна искомому интегралу, и рассмотрите функцию, обратную к подннте гральной функции. 26.30. —71- 1 . 27.1. 1) 2) 3) 4) 5) 1 ^ . З 15 2 15 24 27.2. 1) %уі2; 2) — ; 3) - . 27.3. - tlR3, — тlR3. ЗО 2 8 24 28.3. 1) 3*2; 2) 3*3. 28.4. Когда Антон взял яблоко. 28.5. З • 2 + 4 • 3. 28.6. 3 -6 + 3- 5 + 6- 5. 28.7. 5-5, 5-4. 28.8. 5!. 28.9. 1) 4!; 2) 3!. 28.10. б4. 28.11. 53. 28.12 . 5 • б3. 28.13. 4 • 52. 28.14. 9 • 10е. 28.15. 24. 28.16. б3. 28.17. 6 - 7 - 4 . 28.18. 6 - 7 - 3 . 28.19. І способ. 4-4!; II способ. 5! - 4!. 28.20. 4! • 2. 28.21. 9 • 103• 2. 28.22. 9 • 104• 4. 28.23. 64 • 49. 28.24. 4 - 3 - 2 + 5- 2 + 6 - 4 . 28.25. 57 + 4• 5е. 28.26. 4 + 42 + + 43 + 44 + 45. 28.27. 210. 28.28. (7! • 4! • 2!) • 3!. 28.29. (5!)2. 28.30. 9 • 104 - 4 • 54. Указание. Количество всех пятизначнмх чисел равно 9 • 104. Количество пятизначнмх чисел, все цифрм котормх четнм, равно 4 • 54. 28.31. 9 - Ю 4 - 55. 28.32. 9 - Ю 4 - 9 - 9 - 8 - 7 - 6 . Указание. Количество пятизначнмх чисел, все цифрм котормх различнн, равно 9 • 9 • 8 • 7 • 6. 28.33. б3 - 53. 28.34. 2 - 9!. Указание. Предпо- ложим, что знакомне сели на один стул. 9 человек можно разместить на 9 стульях 9! способами. Поскольку знакомне могут сесть справа или слева друг от друга, то всего вари- антов 2-9!. 28.35. 5! - 2-4!. 28.36. 1) —. Указание. Если З! считать все буквн зтого слова различннми (зто условно можно записать так: М 0|Л 02К 03), то получим 6! различннх слов. Однако слова, отличающиеся только перестановкой букв Ol5 0 2, 0 3, на самом деле одинаковн; 2) ---1-0--!-- ; 416

Ответьі и указания купражнениям 13! 3) 28.37. 140. Указание. Любой делитель данного W числа имеет вид 2*1• 5*2•7*3, где к 1г k 2, к 3 — целне числа, удовлетворяющие условиям 0 < /г4< 4, 0 < k2 < 3, 0 < к 3 < 6. Количество делителей данного числа равно количеству на- боров, которне можно составить из чисел к 1г к 2, к л (при зтом набори, отличающиеся друг от друга порядком злементов, считаются разннми). Число кг можно вибрать 5 способами, число к 2 — 4 способами, число к 3 — 7 способами. Следова- тельно, указанннй набор можно составить 5 * 4 * 7 = 140 способами. 29.1. 71. 29.2. 20!. 29.3. 51. 29.4. А 2 29.5. А® 29.6. А® 29.7. Д 36. 29.8. А322. 29.9. С259. 29 .1 0 . С4. 2 9 .1 1 . С?0. 29.12. А32 -А 4. 29.13. C2 -Cf3. 29.14. Cf2-C878. 29.15. 7-С 22+ + 1 2 *С2. 2 9 .1 6 . І способ. С9 +15• С9 +9• С25; II способ. гч4 уу4 С234 - С 35. 29.17. Сі0- с ; з. 29.18. С860-С 65. 29.19. °12 * 4 * 4 З! 29.20. С2° ^15 ^10 . 29.21. С”+1. Указание. Расположим 4! в ряд т белнх шаров. Чернмй шар может занять одно из т + 1 положений: крайний слева, между любнми двумя белнми шарами, крайний справа (см. рис.). 29.22. С46. Указание. Расположим шарм в ряд. Четмре «перегородки» делят зти шарм на пять групи (см. рис.). Следовательно, количество способов раскладнвания шаров по ящикам рав­ но количеству способов размещения 4 перегородок на 16 местах. 29.23. Указание. Запишем п = 1 + 1 + 1 + + ... + 1. Далее воспользуйтесь идеей решения задачи 29.22. 000 •••оо1 I I I I I I о |о о |о |-о |о о Рис. к задаче 29.21 Рис. к задаче 29.22 417

Ответьі и указания купражнениям 30.1. Нет. 30.2. Да. 30.3. 1) 0; 2) 1. 30.4. 1) 0; 2) 1. 30.6. Если частота собнтия В вказалась больше частоти собнтия С, то можно предположить, что собнтие В более вероятно, чем собнтие С. Однако внвод, сделанннй на осно­ ваний отдельннх наблюдений (зксперимент проведен 50 раз), не может гарантировать, что собнтие В более вероятно, чем собнтие С. 30.8. 1) 15,4 %; 2) 25,6 %; 3) 19,9 %; 4) 9,6 %; 5) 74,1 %. 30.9. 1) — ; 2) — ; 3) — . 30.10. 22,8 %. 30.11. 14. 99 17 73 30.13. 3) 5) - . 30.14. 5) — ; 6) — . 30.15. 1) — -— ; 93 17 17 а+Ь+с 3) а + Ь 3 0 .16. 2) m + k 3 0.17. — . 30.18. а + Ь+ с n + m + k 12 120 30.19. — . 30.20. — . 30.21. — . 30.22. — . 30.23. —72 . 24 120 33 494 95 68 2 30.24. -----. 30.25. 1) 18; 2) 3. 30.26. 2) 8. 30.27. 1) — ; 203 87 2) — ; 3) — ; 4) — . 30.28. — . 30.29. 9 ‘ 91 « 0 ,1 . 29 29 15 15 -'ЮО 30.30. 5 ' 195 *0,01. 30.31. 108 30.32. 21 30.33. — . 299' 128' 16 30.34. Появление по крайней мере одной шестерки. 30.35. 1) — ; 2) — ; 3) --—-- ; 4) — . 30.36. 1) — ; 2) — ; 216 18 324 81 36 216 3) — ; 4) — . 30.37. — . с 1 з3 30.38. - ^ — «0,003. 27 36 ^2 ^4 ж>2 б5 °20 Чю 0,03. 30.41. 42 7 4 * 6 -1 0 30.39. 30.40. ж>2 ^>2 -C 3 0 .4 2 . 15г 73 0,016. 3 0 .4 3 . n m 3 0 .4 4 . 30.45. nmk . 30.46. c l +СІ c l 0,69. 30.47. Cso яС*в » 0,51. С,n + m + k °c5s0 с° + cl +cL 0,05. Указание. Указанная частота 30.48. Ll° 418

Ответьі и указания купражнениям будет меньше 0,3, если из 10 подбраснваний монетн герб внпадет менее 3 раз. 30.49. --2-9- . 128 31.3. Моду. 31.4. Медиану и моду. 31.7. 2— «2,07 мяча 15 за игру. 31.8. 3,8. 31.13. 1) 7,9; 2) 7,7. 31.14. 1) 1,4 ч/сут.; 2) 1,35 ч/сут. 31.15. 1) 50,08 %; 2) 49,68 %. 31.16. 1) 13,72 %. Указание. Вичислите среднее значение даннмх второй строки таблицм; 2) 14,12 %. Указание. Вичислите среднее взвешенное значение даннмх второй строки таблицм с весовнми козффициентами из третьей строки таблицм. 31.17. 1) 21,8 тне. долларов СІЛА; 2) 13,7 тне. долларов СТІГА . 32.6. 5) Может сузиться на число - 1 , то єсть может бнть утерян корень х = - 1 . Если -1 <£ D (/) или / (-1 ) = 1, то множество корней не изменится; 7) если —1 є D (/) П D {g ) и / (-1 ) = g (-1 ), то будет получен посторонний корень -1 ; если -1 ф D ( / ) П D (g ) или / (-1 ) Ф g (-1 ), то множество корней не изменится. 32.7. 1) Корней нет; 2) 0. 32.8. 1) 0,6; 2) 0. 32.9. 1) ^ - 1 ; 2) 1,5. 3 2 .1 0 . 1) 1+ 3 ^ ; 2) 7. 22 32.11. 1) Tik, k є Z; 2) 2nk, k є Z; 3) к + 2nk, k є Z. 32.12. 1) - + %k, k є Z; 2) + - ~ + 2%k, k є Z. 2 62 32.13. 0; 1; -1 ; - ; 32.14. - ; 1; -1 . 32.15. 1) 5. 33 22 Указание. Умножив обе части уравнения на внражение л/2х2*- х + 4 ~ ^ 2х2- 7 х + 10, получим 6 ( х - 1 ) = 3 (х -1 )х х (V2х2- х + 4 -V 2 х 2- 7 х + ю ) . Отметим, что число 1 не яв- ляется корнем исходного уравнения. Далее сложим почленно исходное уравнение и уравнение V2х2- х + 4 - \\І2х2- 7 х + 10 = 2; 2) - 1 . Указание. Умножите обе части уравнения на внра­ жение Vx + 1 - 1 . 32.16. 1) Г^+у^ 3 • 2) 2. 32.17. 1) 7t + 2%k, 6 k e Z; 2) 4л + 8%k, k e Z. Указание. Данное уравнение 419

Ответьі и указания купражнениям cos х = 1, равносильно системе cos — = 1, 32.18. 1) - ,k єZ; 2 33 sin —Ф0. 8 2) 37і + 4л/г, /г є Z. 32.19. 1) —+ %k, arctg —+ %k, k є Z; 2З 2) —+7tfe,± —+ %k, k є Z. 32.20. —+ %k, ± —+ Tzk, k є Z. 23 23 32.21. k, h є N, h > 1. 32.22. 1 + 4k, h є N. 32.23. - + 2тг/г, /* є Z. З 2тт З 3 2 .2 4 .------ h27tfe, It є Z. 32.25. Корней нет. 32.26. —. З5 33.1. 1) 1; 7; 3 + л/ІО; З-ТІО; 2) 4; 1+ л/З; 3) 2; 4) 3; 5) 0; 6) - 3 . 33.2. 1) -2 ; -1 ; 3; 4; 2) -1 2 ; -4 ; 2; 3) 1; 4; 4) 4; 5) ->/3; 73; 6) 4. 33.3. 1) -2 ; -1 ; 3; 2) 1; 3; 3) -1 ; 2; -3 . 33.4. 1) -2 ; 2) 1; - 2 . 33.5. 1) -6 ; -4 ; -1 ; 1; 2) -1 ; -3 ; 1; 3) -1 ; 1; 2; 4; 4) -3 ; 1. 33.6. 1) -6 ; -2 ; -4 + 2V5; - 4 - 2 ^ 5 ; 3) -2 ; 1; 3) -2 ; -1 ; 0; 1;4) -3 ; 0; ~3+^ ; ~3 ~ У ^ . 33.7. 1) —З ; 2) —7Ш, п є Z; 3) ±7—1 + 7Ш, ±arctgV/2—+7m , п є Z. 22 4 33.8. 1) -2 ; -1 ; 2; 3; 2) тсп, п є Z. 33.9. 2; 9. 33.10. 1) -1 ; 12. Указание. (х - 4) (х - 5) (х - 6)(х - 7) = (л-2- 11х + 28) х х (х2 - 11л- + ЗО); 2) -4 + V21; -4 -V 2 1 . 33.11. 1) -5 + л/95; -5 -V 9 5 ; 2) -4 + л/б; -4 -л /б . 33.12. 1) - 2 ; 2 Указание. Представьте данное уравнение в виде 2х - 5 + — 2х + 7 + —І= X = -2О0П; 2ол) -6«; -4, ; ---1--5--+-->-/-Ї-2--9-; ---1--5----л--/-Ї-2--9- . 3О3О.1І О3. 1) - 80 ; ---1--5 ; 22 2 -35W 265. -3 5 ^ 2 6 5 . 2) _ 4 . _5+3 ^ . _5_ 3 ^ . 420

Ответьі и указания купражнениям 3O3Q.1і 4л . п1) 1—; о2; --И----+----Л--0--5- ; ---1--1---->--/-Ї-0--5- . УТ7казание. З„ амена 24 4 х + —1 = і; 2™) -3о + VП1Т5; —о3 —vПl Т5. 33.15.1„)ч1, ;---1--1-+-->-/-8-5- ; ---1--1---->-/-8--5- ; 2) 5 + >/зТ; 5 —>/зТ; 3 +л^ ; 3 ~ ^ ^ . 33.16. 1) - . Ука- 22 заниє. Представьте данное уравнение в виде 4 4 х - 8 + —7 + - — - = 1; 2) 3; 5; 9 + >/б6; 9->/б6. 33.17. 1) 5+^ * ; 4х-10 + 5 ; 2) 1; 4. 33.18. 1) 2; 4; -1 ; Указание. Раз- 22 делите обе части уравнения на (х - І)2; 2) 3; 8 1 -9 л/97 33.19. 1) -3 + >/3; —3 —>/3; L ^ ; 2) 1; і ± ^ ї . 2 2 18 33.20. 1) arctg (-1±>/з)+ 7ій, h є Z; 2) arctg 2 + л/г, h є Z. Указание. Умножите правую часть данного уравнения на sin2 х + cos2 х. 15 71 33.21. a rctg ---- \\ - n k , -----\\-nk, k є Z. 74 33.22. 1) + 7-1 + 7Ш, 77. є Z; 2) ± -2-t-t- ь2лт7, ± л -a r c c o s — +2лтг, 77 є Z. Указание. 5 3 cos x cos x 2 9 cos2 x - cos2 x 5 = 0. Сделайте замену 3 cos x - = г/, то гда 9 cos2x 1 COS X cos2 X = y 2- 6. 33.23. 1) —+ Л77, 77 є Z. Указание. (tg3 x + ctg3 x) + 4 + (tg2 x + ctg2 x) - 4 = 0. Сделайте замену tg x + ctg x = y; 'Jr itt A/17 Рч 2) —+ 2лй, (-1)* ---- ьлй, (-1)* arcsin--------- bnk, h e Z. 26 4 421

Ответьі и указания купражнениям 33.24. - —+ %k, h є Z. Указание. Вьшолните замену sin х + + cos х = t. 33.25. —+ %k, k є Z. 33.26. 1) 8; 2) 10. Указание. 4 Замена y j x - 2 =а, \\}х - 1 = b. Тогда а3 - Ь2 = - 1. Другеє ре- шение можно полупить, если учесть возрастание функции f (х) = \\І х -2 + \\ f x - l . 3 3 .2 7 . 1) 55 ; 2) 1; 2; 10. 33.28. 1) 4; 2) корней нет. 33.29. 1) 3; 2) корней нет. іТГ іТГ У? 33.30. 1) 47т, я е Z; 2 ) ---- 1------, я є Z. 33.31. 1) 6л;я, я є Z; 4З 2 ) -0-7-Г- ь37Ш, їх є Z. 33.32. 2. Указание. В_ оспользуйтесь тем, 4 что 0 < log2 (cos2 7tx + 1) < 1, 4х - х 2 - 3 < 1. 33.33. 2. 33.34. 1) 2; 2) 4. 33.35. 1) 9; 2) 2. 33.36. 0. 33.37. 0. 34.1.1) б. 5 ; 2) І -с ю ; ^ IU (3; + о о ). 34.2.1) | | |; 2) | з’ 34.3. 1) (—1—>/5; —2) и (- 2 ; - І + л/б); 2) (-оо; 0) U (2; +оо); 3) (-5;3 + 2>/2); 4) ^;+°о • 3 4 .4 . 1) ; 2) (-оо; -3 ] U [1; 5) U (5; +оо); 3) ( - 00; -1 ] U [5; +оо). 34.5. 1) ( - да;^ / п > ) . 2) (2; 2 л/2 ] ; 3) [-4 ;-3 ] U ; 4) решений нет. 34.6. 1) [9; +со); 2) 0 ; Z ; 3) [2; 4]; 4) 3 4 .7 . 1) ; +оо j; 2 ) (-< ю ;-2 ]и 3) [0; 4]. 34.8. 1) - 2 ; - - IU (0; 2]; 2) ( - 00; -3]; 3) [2; 3]. 34.9. 1) Pe- шений нет; 2) ( - 00; -1 0 ] U [1; +co); 3) ( - 00; -2 ] U (0; + 00). 34.10. 1) ^ ;+ ooj; 2) [ - 6 ; -4 + > /2 ]; 3) ( - 00; -3 ] U (0; +00). 34.11. 1) 4; 2) [-4; -1]; 3) ( - 00; -8 ] U {1, 4}; 4) ( - * ; - 5 ] U U [2;+00) U 34.12. 1) [3; 12]; 2) [7; +00); 3) ( - 00; -3 ] U 422

Ответьі и указания купражнениям U {—2, 1}; 4 ) |- < ю ; - у U [1; 10). 34.13.1) 9 + л/бї -5;- 2) . 34.14. 1) (2; +оо); 2) 5. 34.15. 1) І- a r c c o s - + — ; п1 1 nk 5n ------ arccos —н----- , k є Z; 2) -------h2nk: —+ 2nk U ---- \\-2nk; 2 4 9 2) l2 6 J U -3-7-1- \\-2nk , k є Z; 3 ) -----\\-nk,‘ -----\\-nk U a rctg 2 + %k; —+ nk , n nk 3n nk 3n nk n nk z.Z; ^ 4) Т + +Г’ +8T + +T U +8Г + +Г’ + + 3 4 .1 6 . 1) | —7—n + 2nk; —+ 2nk \\, k є Z; 2) | 2nk; —+ 2nk \\ U U I— + 2nk; n + 2nk I, k є Z; 3) I—+ nk; arctg 2 + nk I, k є Z. 34.17. 1) | —- + nk,‘nk | U | —+ nk', —+ nk \\, k є Z; 2) | -n + 2nk; ~ —+ 2nk I U I + 2nk; 2nk I U I—+ 2nk; — + 2nk I, k e Z; 3) | ^ + nk; + nk |, k e Z; 4) 2nk; —+ 2nk U —+ 2nk; n + 2nk 32 4n \\-2nk;-3-n-- \\-2nk \\, k є Z. 34.18. 1) - n + 2nk; ---- v2nk U ---- U I2nk; —+ 2nk IU I—+ 2nk',— +2nk I, k e Z; 2) I nk\\ —+ nk IU U I —+ %k; — + nk I, k e Z; 3) I 2nk; —+ 2nk —+ 2nk;n + 2nk U .2 — + 2nk; — + 2nk , k є Z. 34.19. 1) [3; 11] U {2}; 2) (0; 21] U .2 3 U {-21}. 34.20. 1) [2; 10] U [37; +oo); 2) [-6; 0) U {6}. 34.21. 1) [-7 9 ; 83]; 2) [-5 ; 11]; 3) (-o o ; 1); 4) [-2 ; +oo); 5) [1; +oo). 34.22. 1) [-5 7 ; 71]; 2) [-3 1 ; 33]; 3) [3; +oo); 4) [-3; +oo). 423

ОТВЕТЬІ К ЗАДАНИЯМ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» Номер Номер задачи задания і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 в АБ Б Г ГАБ Г ГААБ ВВАВБ і г Б Б Г БАВБ Г Б ВВАВВАВБ 2 Б Г Б Г Г БАБ АА ГВБ Б Г ВВА 3 ВГГАБ ГБ ГВБАБ ВГГВв А 4 Номер Задание № 5 задачи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ответ Г Г Б ВВВБ Г БААА Г ВАБ ВБ Номер Задание № 6 задачи і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ответ В Г ГАБ В ГАВВАБ ГАА Г Б Б 424

Ответьі кзаданиям втестовой форме «Проверь себя» Номер Задание № 7 задачи і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ответ А Г ВАВА ГАВБ ВБ БА Г Г Б Г Номер Задание № 8 задачи і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ответ в В ГА Г Г ВААВБ Б Г ВАВБА Номер Задание № 9 задачи і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ответ г ВББ Г ГГАВВББ ГБ ББАГ 425

Ответьі кзаданиям в тестовой форме«Проверь себя» Номер Задание № 10 задачи і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ответ А Г Г Б Б А Г ВВАБ ВБАВБА Г Номер Задание № 11 задачи і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ответ г ГВВГАВГАВБ ВГБ ВГБА Номер Задание № 12 задачи і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ответ Б Г ВВБАВВА ГАВАБ Г Б БА 426

ПРЕДМЕТНЬІЙ УКАЗАТЕЛЬ М Медиана 312, 313 5-окрестность точки 24 Метод заменьї переменной 342 ---------- проколотая 24 — интервалов 352 — равносильньїх преобразо- А Асимптота графика функции ваний 328 — разложения на множи- вертикальная 143 ---------- горизонтальная 143 тели 341 ---------- наклонная 147 — следствий 328 Механический смисл В Весовой козффициент 315 производной 55 Вьіборка 311 Мгновенная скорость 48 Вьіборочное среднее 312 Множество упорядоченное 289 Мода 313 Г Генеральная совокупность 311 Н Геометрический смьісл Неравенство логарифми- производной 54 ческое 216 — показательное 175 д О Дифференцирование 57 Общий вид первообразньїх 240 Окрестность 107 З Основное логарифмическое Закон движения 47 тождєство 182 И Отрезок 8 Интеграл неопределенньїй 240 — определенньїй 258 П Интегрирование 238 Первообразная 238 Интервал 8 Первьій замечательньїй К предел 44 Касательная к графику Перестановка 289 Последовательность расходя- функции 50 Комбинаторика 282 щаяся 8 Криволинейная трапеция 255 — стационарная 8 — сходящаяся 7 Л Правило произведения 283 Логарифм 181 — суммьі 282 — десятичньїй 183 Предел последовательности 7 — натуральний 225 — функции в точке 15, 23, 24 Логарифмирование 183 427

Предметньїй указатель — перегиба 137 — зкстремума 108 Приращение аргумента 46 — функции 46 У Производная функции 53 Уравнение касательной вторая 132 к графику функции 81 — показательное 166 Р — простейшее логарифми- Размах 312 Размещение 291 ческое 202 Разрьів 17 Результатьі благопри- Ф Формула Ньютона- ятньїе 297 — равновозможньїе 297 Лейбница 259 — общего члена последова- С Среднее взвешенное значе- тельности 6 — переходи от одного ние 315 — значение 312 основания логарифма Собьітие достоверное 298 к другому 184 — невозможное 298 Функция, вьіпуклая вверх на — случайное 297 промежутке 134 Сочетание 293 ------вниз на промежутке 134 Степень положительного — дваждьі дифференцируе- мая 133 числа с действительньїм ----------в точке 132 показателем 155 ----------на множестве 133 Статистическая оценка — дифференцируемая 57 вероятности случайного собьітия 297 в точке 55 ------на множестве 57 Т — логарифмическая 193 Теорема Больцано-Коши 35 — непрерьівная 18 — Вейерштрасса 37 ------в точке 18, 31 — Лагранжа 93 ------на множестве 18 — Ролля 91 — первообразная 238 — Ферма 89 — показательная 156 Точка внутренняя множе- — рациональная 32 ства 108 Ч — критическая 110 Частота случайного — локального максимуми 122 собьітия 297 минимума 122 9 — максимуми 107 Зкспонента 225 — минимума 108 428

СОДЕРЖАНИЕ От авторов................................................................................... З Условние обозначения................................................................ 4 §1. Производная и ее применение 1. Предел числовой последовательности.................. 6 2. Представление о пределе функции в точке и о непрермвности функции в точке.................... 15 3. Определение предела функции в точке.................. 21 4. Теорема об арифметических действиях с пределами функций в точке................................. 27 5. Непрермвность функции в точке. Свойства непрермвнмх функций.................................................31 • Первмй замечательнмй п р едел ............................. 41 6. Приращение функции. Задачи, приводящие к понятих» производной...............................................45 7. Понятие производной................................................ 53 • Доказательство формул производнмх функций у = sin х жу = cos х ..................................67 8. Правила відчислення производнмх.........................68 9. Уравнение касательной...............................................81 10. Теоремм Ферма, Ролля, Л агран ж а.........................89 11. Признаки возрастания и убмвания функции . . . 95 12. Точки зкстремума ф у н к ц и и ................................. 107 13. Наибольшее и наименьшее значення функции на о т р е зк е ................................................ 121 14. Вторая производная. Понятие вмпуклости функции............................. 132 15. Построение графиков ф у н к ц и й .......................... 140 Задание в тестовой форме «Проверь себя» М І ......... 150 429

Содержание § 2. Показательная и логарифмическая функции 16. Степень с произвольнмм действительнмм показателем. Показательная ф ун к ц и я................ 154 17. Показательнме уравнения..................................... 166 18. Показательнме неравенства................................. 175 19. Логарифм и его свойства........................................ 181 20. Логарифмическая функция и ее свойства . . . . 193 21. Логарифмические уравн ени я................................. 202 22. Логарифмические неравенства............................... 216 23. Производнме показательной и логарифмической ф ун к ц и й ................................. 224 • Моя любовь — Украйна и м атематика.........233 Задание в тестовой форме «Проверь себя» M 2 .........235 § 3. Интеграл и его применение 24. Первообразная..............................................................238 25. Правила нахождения первообразной.................... 246 26. Площадь криволинейной трапеции. Определеннмй интеграл............................................ 255 27. Вмчисление обт>емов т е л .......................................... 270 • «Разумом он превзошел род человеческий» . . 274 Задание в тестовой форме «Проверь себя» M 3 .........278 § 4. Злементьі теории вероятностей и математической статистики 28. Комбинаторнме правила суммм и произведения............................................................282 29. Перестановки, размещения, сочетания................ 289 30. Частота и вероятность случайного собмтия. . . 297 31. Статистический анализ д а н н м х ............................. 311 Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 4 .........324 430

Содержание § 5. Уравнения и неравенства. Обобщение и систематизация 32. О появлении посторонних корней и потере решений уравнений..................................................... 328 33. Основнне методи решения уравнений................ 340 34. Основнме методи решения неравенств................ 350 § 6. Тестовьіе задания для повторення курса алгебрьі Делимость натуральних чисел и числовне вираження Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 5 .........360 Множества, процентнне расчетн, злементм статистики Задание в тестовой форме «Проверь себя» М 6 .........363 Рациональнне вираження. Рациональнне уравнения Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 7 .........367 Неравенства, степени, иррациональнне уравнения Задание в тестовой форме «Проверь себя» М 8 .........371 Функции и последовательности Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 9 .........374 Тригонометрические функции Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 10 . . . . 378 Показательная и логарифмическая функции Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 11 . . . . 381 Производная и интеграл. Начала теории вероятностей Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 12 . . . . 384 Ответи и указания к упраж нениям ................................. 388 Ответи к заданиям в тестовой форме «Проверь себя»............................................................................. 424 Предметний у к а з а т е л ь ..........................................................427 431

Навчальне видання МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович НОМІРОВСЬКИЙ Дмитро Анатолійович ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович ЯКІР Михайло Семенович АЛГЕБРА 11 клас Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів Академічний рівень, профільний рівень ( Р о сій сь ко ю м овою ) Головний редактор Г . Ф. Висоцька Р едак тор О. В . Т р е ф іл о в а Коректор Т. Є. Ц ент а К о м п ’ю терн е вер стан н я С. І . С евер и н Формат 6 0 x 9 0 /1 6 . П апір офсетний. Гарнітура ш кільна. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 27,00. Тираж 3 000 прим. Замовлення № ТОВ ТО «Гім назія», вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052 Тел.: (057) 719-17-26, (057) 719-46-80, факс: (057) 758-83-93 Е -т а іІ: contact@ gym nasia.com .ua w w w .gym nasia.com .ua С відоцтво с у б ’єк т а в и давн и ч ої справи Д К № 6 4 4 від 2 5 .1 0 .2 0 0 1 Надруковано з діапозитивів, виготовлених ТОВ ТО «Гімназія», у друкарні ПП «Модем», вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052 Тел. (057) 758-15-80 С відоцтво с у б ’єк т а ви д ав н и ч ої справи Х К № 91 від 2 5 .1 2 .2 0 0 3

Ф орзац 1 «М оя любовь — Украйна и мат емат ика». Зт и слова М ихайла, Филипповича Кравчука (1 8 9 2 -1 9 4 2 ) виграви- ровани на гранитном постаменте памятника, ученому. М и надеемся, что ото пат риот ическое ви скази ва- ние видающегося украинского мат емат ика станет для вас надеж ним ориентиром на пут и к профессионализму.

Ф орзац 2 Таблица производньїх некоторьіх функций Функция / Производная /' k (константа) 0 1 X nxn l x” 1 1 X X2 4x 1 2 -Jx ?[x 1 sin X „ njnl COS X cosx tg X -sin x ctg X 1 cos2 X ax ex 1 sin2X loga X a x In a lnx 1 xlna 1 X Правила дифференцирования (/ + *)' = /' + *', (f-g)' = f'-g', (kfy = hf', (f-gy = f'-g + f-g', ( f l f'-g-f-g' UJ g2 Уравнение касательной у = f ' ( x 0)(x - x 0) + f ( x 0)

Ф орзац З Таблица первообразньїх некоторьіх функций Функция / Общий вид первообразньїх функции / k (константа) kx + С „„7J+1 xn, n Ф-1 х +с п +1 1 X In х + С ЧІХ- п +с п+1 1 4x 2 yfx + С —cos х + С sinx sinx + С cosx tgx + С 1 -ctgx + С cos2X 1 sin2X ax а +С In а ex ех + С Правила интегрирования {(/(*) + я(л-))с£х = Jf(x) dx + Jg(x) dx, J(f(x) - g(x)) dx = Jf(x) dx - j g(x) dx, Jkf(x) dx = hJf(x) dx Формула Ньютона-Лейбница ь Jf(x)dx = F(b)-F(a) Вьічисление площадей y\\ y =m

Ф орзац 4 График показательной функции Свойства логарифмов alogab = Ь, loga 1 = 0, l o g a а = 1, ху у,l o g a = lo g a х + lo g a loga - = loga x - loga у, У loga x p = Ploga X, log«Px = p log« loga b = logc b logo b 1 logc a ’ 1°g b a График логарифмической функции