LA QCD A L'OEUVRE : des hadrons au plasma - Cenbg - IN2P3

L'INSTITUT NATIONAL DE PHYSIQUE NUCLEAIRE ET DE PHYSIQUE DES PARTICULES DU CNRSen collaboration avecLA DIRECTION DES SCIENCES DE LA MATIERE DU CEA,LE FONDS NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE DE BELGIQUEET LE SERVICE DE PHYSIQUE NUCLEAIRE DU CEA/DAMECOLE JOLIOT-CURIEDEPHYSIQUE NUCLEAIRE2005LA QCD A L’ŒUVRE : DES HADRONS AU PLASMAP. AURENCHEO. PENEF. GULMINELLIB. MOUSSALLAMJ.-M. LE GOFFR. GRANIER DE CASSAGNACC. ROYP. DUPIEUX

ECOLE INTERNATIONALE JOLIOT-CURIEDE PHYSIQUE NUCLEAIREMaubuisson, France24ème session, 11-17 Septembre 2005L'Institut National de Physique Nucléaire et de Physique des Particules du CNRSen collaboration avecLa Direction des Sciences de la Matière du CEA,le Fonds National de la Recherche Scientifique de Belgiqueet le Service de Physique Nucléaire du CEA/DAMLA QCD A L’OEUVRE : DES HADRONS AU PLASMAP. AURENCHEO. PENEF. GULMINELLIB. MOUSSALLAMJ.-M. LE GOFFR. GRANIER DE CASSAGNACC. ROYP. DUPIEUX

Conseil ScientifiqueG. BELIER (CEA Bruyères-Le-Châtel), B. BLANK (CEN Bordeaux), P. BONCHE (CEA Saclay),B. CHEYNIS (IPN Lyon), J. CUGNON (U Liège), G. DE FRANCE (GANIL Caen), P.DESSAGNE (IPHC Strasbourg), P. DUPIEUX (LPC Clermont), Ch. FINCK (SUBATECHNantes), M. GUIDAL (IPN Orsay), P.-H. HEENEN (UL Bruxelles), D. LACROIX (LPC Caen), V.LAPOUX (CEA Saclay), C. LECLERCQ-WILLAIN (UL Bruxelles), A. LEFEBVRE (CSNSMOrsay), P. LELEUX (UC Louvain), D. LHUILLIER (CEA Saclay), J.-F. MATHIOT (LPCClermont), J.-Y. OLLITRAULT (CEA Saclay), M.-G. PORQUET (CSNSM Orsay), N. REDON(IPN Lyon), G. ROYER (SUBATECH Nantes), G. RUDOLF (IPHC, Strasbourg), C. SEMAY (UMons), B. SILVESTRE-BRAC (LPSC Grenoble), O. SORLIN (GANIL Caen), C. VOLPE (IPNOrsay).Comité d'OrganisationB. CHEYNIS, Ch. FINCK, M. GUIDAL, D. LHUILLIER, M.-G. PORQUET, C. SEMAY,B. SILVESTRE-BRAC

Cours enseignés aux précédentes sessions de l’Ecole Joliot-Curie de Physique Nucléaire :1982 : COLLISIONS NUCLEAIRES AUX ENERGIES VOISINES DE L'ENERGIE DE FERMIH. Flocard, J. Hüfner, J. Richert, B. Tamain, R. Babinet, J. Cugnon, D. Guerreau, C. Guet, J. Menet,H. Pirner1983 : STRUCTURE NUCLEAIRE AUX FRONTIERES DE LA STABILITEJ.-P. Blaizot, M. Epherre, C. Mahaux, M. Meyer, H. Sergolle, Z. Szymanski, S. Della Negra,J. Delorme, S. Gales, D. Gogny, B. Haas, J.-P. Vivien.1984 : MESONS, BARYONS, QUARKS ET PHYSIQUE NUCLEAIREB. Desplanques, B. Frois, U. Gastaldi, E. Predazzi, G. Ripka, J. Arvieux, J.-J. Aubert, M. Ericson,G. London, B. Vignon.1985 : LA MATIERE NUCLEAIRE DANS TOUS SES ETATSP. Bonche, J. Cugnon, R. Babinet, J.-F. Mathiot, L. Van Hove, M. Buenerd, J. Galin, M.-C. Lemaire,J. Meyer.1986 : SYMETRIES ET PHYSIQUE NUCLEAIREP. Depommier, S. Gales, Nguyen Van Giai, P. Guichon, P. Schuck, D. Goutte, M. Vergnes,M. Avenier, P. Hubert, G. Girardi, B. Loiseau.1987 : AU-DELA DU CHAMP MOYENK. Dietrich, G.-J. Wagner, C. Grégoire, X. Campi, B. Silvestre-Brac, S. Platchkov, B. Mayer,Y. Abgrall, O. Bohigas, P. Grangé, C. Signarbieux.1988 : a/ INSTRUMENTATION EN PHYSIQUE NUCLEAIRE ET PHYSIQUE DES PARTICULESF. Sauli, V. Comparat, M. Suffert, J. Séguinot, P. Farthouat, R. Wigmans, B. Equer, D. L'Hôte,L. Fayard, H. Videau, J.-M. Durand, A. Boudart, H. Fanet, F. Bourgeois, D. Perret-Gallix,L. Gonzalez-Mestres (en vente aux éditions de Physique, Paris)b/ LA RECHERCHE DU PLASMA DE QUARKS ET DE GLUONS : LES COLLISIONS D'IONSLOURDS ULTRARELATIVISTES - ANALYSE MULTIDIMENSIONNELLEJ.-P. Blaizot, J.-N. Capdevielle, A. Capella, J. Gosset, G. Landaud, P. Lutz, A. Morel, B. Pire,D. Vautherin.1989 : NUCLEONS DANS LE NOYAU, MAIS ENCORE...P. Grangé, J.-F. Mathiot, M. Ericson, H.-J. Pirner, M. Roy-Stephan, J. Delorme, R. Frascaria,S. Gales, A. Magnon, M. Arnould.1990 : LA PHYSIQUE NUCLEAIRE DU LABORATOIRE AUX ETOILESN. Prantzos, M. Arnould, E. Schatzman, J.-P. Thibaud, P. Descouvemont, J.-P. Dufour, P. Quentin,E. Suraud, R. Schaeffer.1991 : LES NOYAUX EN PLEINES FORMESZ. Szymanski, P.-H. Heenen, J.-F. Berger, K. Heyde, B. Haas, R. Janssens, D. Paya, D. Gogny,G. Huber, S. Bj∅rnholm, M. Brack.1992 : MATIERE HADRONIQUE OU...AUJOURD'HUI ET DEMAIN AVEC LES ELECTRONSV. Breton, H. Fonvieille, B. Frois, R. Van de Vyver, G. Smadja, J. Martino, J.-P. Blaizot, J.-F. Mathiot,P. Vernin, X. Artru, J. Remillieux1993 : LES NOYAUX EN 1993 : une nouvelle façon d'existerJ. Meyer, G. Sletten, S. Gales, A. Mueller, D. Vautherin, J.-P. Dufour, P. Armbruster, B. Tamain,P. Leleux, M. Belakhovsky.

1994 : PHYSIQUE NUCLEAIRE INSTRUMENTALE : des éléments pour un bon choixCh. Bourgeois, J.-M. Brom, Y. El Masri, W. Mittig, D. L'Hôte, J.-P. Didelez, P. Desesquelles,F. Hannachi, G. Fournier, M. Maire, L. Valentin.1995 : NOYAUX EN COLLISONSR. Balian, B. Remaud, E. Suraud, D. Durand, A. Gobbi, J. Cugnon, O. Drapier, J. Govaerts, R. Prieels.1996 : PRODUCTION D'ENERGIE NUCLEAIRE ET TRAITEMENT DES DECHETS : des filièresd'aujourd'hui aux solutions innovantesJ.-P. Dufour, G. Barreau, P. Reuss, J. Cugnon, J. Fréhaut, Y. Quéré, H. Métivier, J.-P. Schapira,J.-M. Cavedon, M. Delpech, J.-M. Loiseaux, J.-M. Lagniel, S. Leray.1997 : STRUCTURE NUCLEAIRE : un nouvel horizonJ.-F. Mathiot, J.-P. Blaizot, A. Poves, P.-H. Heenen, Ph. Chomaz, P. Van Duppen, N. Orr, B. Gall,W.R. Phillips, P. Hello1998 : MATIERE HADRONIQUE : de la structure du nucléon au déconfinement des quarksM. Knecht, P. Guichon, J.-Y. Ollitrault, C. Cavata, H.-J. Pirner, S. Kox, G. Chanfray, C. Kuhn,M. Gonin, O. Sorlin1999 : NOYAU, CHAMP ET CORTEGECh. Leclercq-Willain, C. Rouyer, D. Lunney, J. Kiener, F. Le Blanc, J.-F. Chemin, V. Méot,G. Neyens, M.-G. Porquet, Ph. Moretto2000 : ASTROPHYSIQUE NUCLEAIRE : du microcosme nucléaire au macrocosme astrophysiqueM. Arnould, J. Meyer, G. Audi, N. Orr, C. Volpe, O. Sorlin, S. Goriely, P. Descouvemont,P. Leleux, B. Cordier, B. Degrange.2001 : PHYSIQUE NUCLEAIRE INSTRUMENTALE : "de la mesure à la grandeur physique"S. Hustache Ottini, D. Buskulic, J. Bouchez, E. Nappi, H. Savajols, M. Guidal, J. Pouthas, G. Duchêne,T. Pussieux, M. Loiselet, P. Salati2002 : LES NOYAUX EXOTIQUES : "un autre regard sur la structure nucléaire"J. Dobaczewski, Y. Blumenfeld, H. Flocard, M.J. Garcia Borge, F. Nowacki, S. Rombouts, C. Theisen,F.M. Marquès, D. Lacroix, P. Dessagne, A. Lopez-Martens, H. Gaeggeler2003 : L'INTERACTION FAIBLE : l'histoire continue…J. Martino, J.-M. Frère, O. Naviliat-Cuncic, C. Volpe, J. Marteau, D. Lhuillier, D. Vignaud,R. Legac, J. Bartlett.2004 : LES RAYONNEMENTS ET LE VIVANTP. Andrey, L. Lacroix, A. Chétioui, N. Gault, R. Ferrand, M. Ricard, I. Buvat, F. Lethimonier,C. Comtat.Ces cours peuvent être consultés dans les bibliothèques des laboratoires de l’IN2P3, du CEA, duFNRS belge et au CERN. Les cours 2001, 2002 et 2003 et 2004 encore disponibles peuvent êtreobtenus sur demande auprès de :Pascale CHAMBONCEN BordeauxBP 12033175 GRADIGNAN Cedex - France 05 57 12 08 49E-mail : chambon@cenbg.in2p3.fr

TABLE DES MATIERESAVANT-PROPOSM.-G. PORQUETLA QCD ET SON HISTOIRE : PARTONS D’UN BON PIEDP. AURENCHE 1LA QCD SANS PEINEO. PENE 61TRANSITIONS DE PHASE : DE LA LIMITE THERMODYNAMIQUE AUX SYSTEMESFINISF. GULMINELLI 105SYMMETRIE CHIRALE EN QCD ET THEORIE EFFECTIVE DE BASSE ENERGIEB. MOUSSALLAM 137THE STRUCTURE OF HADRONSJ.-M. LE GOFF 167QGP : SONDES PREDITES ET ETUDIEES AU SPSR. GRANIER DE CASSAGNAC 221UNE MATIERE SOUS CONDITIONS EXTREMES AUX ENERGIES RHIC OU LEFLUIDE ETAIT PRESQUE PARFAITC. ROY 261L’ETUDE DU QGP AU LHCP. DUPIEUX 303SEMINAIRES JEUNES 333LISTE DES PARTICIPANTS 345

AVANT-PROPOSLa rédaction de ces quelques lignes marque l'achèvement de ce volume maintenant prêt àpartir à la reprographie. Son auteure en éprouve un net soulagement : jusqu'à ladernière minute, elle se demande si les orateurs - qui ont déjà fait, au moment de l'été,un immense travail pour la préparation de leur prestation orale - trouverontsuffisamment de temps pour écrire "noir sur blanc" (et en couleur, pour la versionélectronique) ces cours dont le succès est toujours indéniable ! Au nom de tous (et enparticulier des futurs lecteurs, les étudiants qui commenceront un travail de thèse surces sujets au cours des prochaines années), je tiens donc à remercier tous les orateursde l'Ecole 2005 pour avoir, pour la plupart, pris sur leur temps de vacances, afin que les"copies" soient toutes rendues en ce début d'année 2006.Sept ans après la session "Physique hadronique : de la structure du nucléon audéconfinement des quarks", le conseil scientifique de l'Ecole a choisi de garder lesmêmes contours. Il était temps de faire le point sur les avancées de ces dernièresannées, tant à propos des propriétés des hadrons que du plasma quark-gluon. Comme àl'accoutumée les discussions ont été animées, aussi bien en fin de chaque cours quependant les deux séances générales.La quasi-totalité des étudiants s'étant portés volontaires pour présenter brièvementleur travaux, nous avons du jouer les prolongations en ajoutant, aux trois séances déjàprévues dans l'emploi du temps, deux séances après dîner. Les résumés de cesséminaires sont rassemblés en fin de volume.La dernière soirée a été consacrée à "la diffusion scientifique auprès du grand public".Joël Martin (Dapnia, CEA Saclay) a débuté par une brève présentation, faite avec brioet enthousiasme, de son expérience et de ses réflexions sur le sujet, puis il a animé lesdiscussions qui, espérons-le, ont montré à chacun l'importance d'une telle démarche.D'ailleurs, deux jours auparavant, Bernard Silvestre-Brac (LPSC, Grenoble) avaitprésenté une conférence grand-public devant des vacanciers venus en grand nombrepour passer la soirée "la tête dans les étoiles" ! Cette intervention, décidée au pied levé(merci encore à Bernard), a fait suite à une conversation entre vacanciers et collèguesde l'Ecole.Cette année l'Ecole a retrouvé ses racines en revenant dans son lieu historique, la côteatlantique, dans la résidence "Arts & Vie" de Maubuisson : nous remercions sondirecteur et tout le personnel pour les excellentes conditions matérielles dont nousavons bénéficié pendant notre séjour. Nous sommes également très redevables àl'équipe de la Formation Permanente de l'IN2P3 qui s'occupe efficacement de tous lesaspects financiers nécessaires à la tenue de l'Ecole.Je termine ces propos en insistant sur le rôle primordial de Pascale Chambon (CENBG,Bordeaux) : sans jamais se départir de sa bonne humeur, elle assure avec compétence lesecrétariat de l'Ecole. Nous tous (moi, la première …) profitons du fruit de sa longueexpérience qu'elle enrichit au fil des ans.Marie-Geneviève Porquet

Vous trouverez l'ensemble de ces cours, avec leurs figures en couleur, sur le siteInternet de l'Ecole :http://www.cenbg.in2p3.fr/joliot-curie

La QCD et son histoire : partons d’un bon pied!P. Aurenche 11. Laboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique LAPTH, ∗B.P. 110, F-74941 Annecy-le-Vieux Cedex, FranceRésuméOù l’on parle très brièvement des modèles d’interactions fortes des années ’60-’70et des différents ingrédients qui constituent ce qu’il est convenu d’appeler la ChromodynamiqueQuantique (QCD) perturbative : modèle des partons, le lagrangien QCD, libertéasymptotique, violations d’invariance d’échelle. On mentionne quelques applications.AbstractThe strong interaction models of the years 1960-1970 are briefly presented. The basicsof perturbative Quantum Chromodynamics (QCD) are then introduced: parton model,the QCD lagrangian, renormalisation, asymptotic freedom, scaling violations. Some phenomenologicalapplications are discussed.∗ UMR5108 du CNRS, associée à l’Université de Savoie.1

Je remercie le comité d’organisation pour le titre plein d’humour sur un sujet très à lamode cette année. La suite de l’exposé n’est pas à la hauteur et aucune trace d’humourne peut y être décelée.Après avoir brièvement rappelé les modèles pré-QCD en vogue pour d’écrire la structuredu nucléon (modèle des quarks) et la diffusion à haute énergie (pôles de Regge etmodèles duaux) on se tourne vers le modèle des partons naïf (le titre oblige!) sur lequelrepose la QCD perturbative. L’invariance de jauge et le lagrangien QCD font l’objetde la troisième section, suivie d’une présentation succinte de la renormalisation et de sesconséquences (couplage mobile et liberté asymptotique de QCD). La violation d’invarianced’échelle des distributions de partons dans les hadrons est ensuite discutée avant de conclurepar quelques applications à la diffusion hadronique à haute énergie. Il existe de trèsnombreuses revues et livres sur la chromodynamique quantique [1, 2].1 Les interactions fortes : ère pré-QCDAu début des années 1930, les noyaux apparaissent formés de protons et de neutrons.Ces derniers sont considérés, avec l’électron, comme les constituants élémentaires dela matière. La dimension caractéristique du noyau d’un atome est de l’ordre de 10 −14mètre. La quatrième particule fondamentale est le photon, médiateur des interactionsélectromagnétiques.Le pion a été imaginé par Hideka Yukawa en 1935, pour expliquer la stabilité du noyaudes atomes qui aurait dû se désintégrer sous l’effet de la force électromagnétique répulsive :le pion est le porteur de la force nucléaire forte qui lie protons et neutrons. Sa masse étaitestimée à 200 m e . Il a été observé en 1947 à Berkeley par C. Powell et al. L’interactionentre proton, neutron, pion est dite forte par opposition aux autres interactions identifiées :électromagnétique et faible sans parler de l’interaction gravitationnelle.La fin des années 1940 et les années 1950 voient le développement des accélérateursde particules (synchrocyclotron, puis synchrotron) avec, en particulier, le Bevatron àBerkeley (énergie de 6,2 GeV) qui permet la découverte de l’antiproton et de ”résonances”particules à courte durée de vie. Les grands accélérateurs ont été par la suite les principauxinstruments de découverte en physique des particules.Au début des années 1960 on avait découvert une centaine de ”particules élémentaires”sensibles à l’interaction forte : les hadrons. Ces particules sont réparties en deux catégories :– les baryons (”lourd” ) dont le prototype est le proton ou le neutron : ce sont des particulesde spin demi-entier : 1/2, 3/2, .... Comme exemple de résonance on peut citer lebaryon ∆, de spin 3/2, se désintégrant en un proton et un pion;– les mésons (”moyen”) dont le prototype est le pion : particules de spin entier 0, 1, ....Comme exemples, on peut citer les mésons ρ et ω de spin 1.Vu leur nombre croissant, il était clair que ces hadrons ne pouvaient plus être considéréscomme ”élémentaires”. D’autre part, un certain nombre d’expériences de diffusionmontraient que le proton n’était pas ponctuel mais avait une extension spatiale de l’ordrede 10 −15 mètre.2

Pour essayer d’établir un certain ordre dans l’accumulation des données expérimentales,deux approches complémentaires ont été suivies. La première a consisté à ”classer” leshadrons c’est à dire à en faire la spectroscopie. L’échelle d’énergie caractéristique associéeest de l’ordre de la masse des hadrons, soit approximativement le GeV † . Les dates et lesrésultats importants sont :– 1961-1962 : la voie octuple ”eightfold way” fondée sur le groupe de symétrie SU(3) (desaveur) par Y. Ne’eman [3] et M. Gell-Mann [4] ;– 1964 : le modèle des quarks proposé indépendamment par M. Gell-Mann [5] et S. Zweig ‡ [6].Le modèle des quarks est une réalisation explicite de la symétrie SU(3) de saveur.L’autre approche suivie consiste à faire des expériences de diffusion aux plus hautesénergies possibles pour ”casser” le hadron et ”libérer”, s’ils existent, ses constituants.C’est cette quête d’énergie toujours plus élevée qui motive la construction d’accélérateurs,puis de collisionneurs toujours plus puissants. Du point de vue théorique, deux voies ontété suivies :– dans les années 1960-1970, la ”matrice S” et les pôles de Regge [7], qui permettent de”comprendre” les collisions avec petits transferts d’énergie [9] ;– le modèle des partons par J.D. Bjorken [10] et R.P. Feynman [11], formulé en 1969-1972, faisant suite à la découverte, en 1968, de la structure granulaire du proton dans ladiffusion ep à l’accélérateur linéaire du SLAC par Friedman, Kendall, Taylor et al. [12].Les modèles de hadrons construits à partir des études de spectroscopie et diffusionà haute énergie sont maintenant unifiées dans une théorie unique, la ChromodynamiqueQuantique (QCD), dont les bases ont été établies dans les années 1970 et 1980 avec la participationde très nombreux physiciens. On peut dire, en simplifiant, que la spectroscopieet la diffusion à haute énergie à grand transfert correspondent à deux régimes différentsde la Chromodynamique Quantique : non perturbatif (voir le cours d’O. Pène) dans lepremier cas et perturbatif dans le deuxième. La QCD fait l’objet de très nombreusesrecherches, le but étant de calculer à partir d’un ensemble unique de paramètres de basede la théorie la quantité phénoménale d’observables expérimentales. Sera t’elle un jourprise en défaut?1.1 La ”voie octuple”Au début des années 1960, Ne’eman et Gell-Mann proposent indépendamment une classificationdes hadrons qui apparaissent comme éléments de représentations d’un groupede symétrie. Ce groupe, SU(3), est une généralisation du groupe de symétrie d’isospinintroduit par W. Heisenberg en 1932 pour exprimer le fait que l’interaction forte nedistingue pas le proton du neutron : ces derniers sont les deux états d’une même particule,le nucléon. Par analogie avec le spin, le nucléon d’isopsin 1/2 peut être dansun état d’isospin ”up” (I 3 = 1/2, proton) ou d’isospin ”down” (I 3 = −1/2, neutron).L’interaction forte ne peut distinguer ces deux états ce qui s’exprime mathématiquementpar l’invariance sous une rotation dans l’espace d’isospin, en conséquence de quoi l’isospin† Dans ces notes, les conventions habituelles sont sytématiquement utilisées, soit = c = 1, de sorteque la masse, l’impulsion et l’énergie ont la même dimension que l’on exprime en MeV ou en Gev.‡ dont le papier n’a jamais été publié sans doute pour cause de trop grande originalité.3

est un nombre quantique conservé. Le groupe d’invariance associé est SU(2). Le nucléonappartient à la représentation fondamentale 2. Quant au pion (π + , π 0 , π − ) il appartientà la représentation adjointe denotée 3.Avec la découverte expérimentale des particules ”étranges” après 1947 et l’introductiond’un nouveau nombre quantique conservé, l’hypercharge Y = S + B, également relié à lacharge électrique Q par la relation Q = I 3 + Y/2, on peut ”naturellement” introduire legroupe d’invariance SU(3) et classer les hadrons dans les représentations de ce groupe. Leshadrons d’un même multiplet ont les mêmes spin, parité, parité C mais ils se distinguentpar la valeur de leur hypercharge et leur composante d’isospin. On observe que les mésonspeuvent être classés dans les représentations singulet 1 ou octet 8 alors que les baryonssont tous dans les représentations octet 8 ou décuplet 10. Des exemples de multipletssont donnés dans la fig. 1 (1 et 8 des mésons pseudos-scalaires) et la fig. 2 (8 du protonet 10 du baryon ∆ de spin J = 3/2).La symétrie SU(3) que l’on vient de discuter est dite symétrie de saveur. Cettesymétrie n’est pas exacte, en particulier parceque les particules d’un même multipletn’ont pas la même masse (m π − ∼ 139, 5702 MeV, m K ∼ 493, 68 Mev). On peut noter quela symétrie SU(2) d’isospin est également brisée, mais dans des proportions moindres,par les interactions électromagnétiques (m π − ∼ 139, 5702 MeV, m π 0 ∼ 134, 9766 MeV).(ds)K 01(us)K + π +(du)-1π -π 0η η '(ud)1l 3K -(su)-1Figure 1: Le nonet du pion, J P C = 0 −+ , de spin 0, de parité négative et de C-paritépositive. Les mésons η and η ′ sont des combinaisons linéaires d’une composante octet etd’une composante singulet. Le contenu en quarks est indiqué.K 0 (sd)y(udd)(uud)(ddd) (uuu)np∆− ∆ 0 ∆ + ∆ ++Σ − Σ 0 ΛΣ + Σ− Σ 0 Σ +l 3Ξ − Ξ 0Ξ − Ξ 0Ω −l 3l'octet du protonle décuplet du ∆Figure 2: L’octet du nucléon et le décuplet du baryon ∆. Le contenu en quarks est indiqué.4

1.2 Le modèle des quarks [13]Il était surprenant de voir que la représentation de plus basse dimension de SU(3), lareprésentation fondamentale ”triplet” 3, n’apparaissait pas. En 1964, Gell-Mann etindépendamment G. Zweig § introduisent le ”modèle des quarks”. Les quarks sont desparticules hypothétiques qui sont justement membres de la représentation fondamentale3 de SU(3). Ces quarks sont caractérisés par les nombres quantiques suivants :– charge fractionnaire, exprimée en unité de −e, la charge de l’électron, : (2/3, -1/3, -1/3)– nombre baryonique : (1/3, 1/3, 1/3)– étrangeté : (0, 0, -1) et donc hypercharge (1/3, 1/3, -2/3).Ces trois quarks correspondent à trois saveurs (u, d, s) pour ”up”, ”down” et ”strange”.Les antiquarks sont dans la représentation conjuguée ¯3. La fig. 3 représente les multipletsdes quarks et des antiquarks. Tous les hadrons connus pouvaient être construits à l’aide,YYd1/3u2/3s-1/21/2l 3-1/21/2l 3s-2/3u-1/3dquarksantiquarksFigure 3: Le triplet 3 du quark et l’anti-triplet ¯3 de l’anti-quark.– pour les mésons, d’une paire quark-antiquark (nombre baryonique = 0),– pour les baryons, de trois quarks (nombre baryonique =1).En termes mathématiques, les hadrons appartiennent à des représentations irréductibles,construites à partir de produits directs de la représentation fondamentale des quarks ouantiquarks. Ainsi puisque :3 ⊗ ¯3 = 8 ⊕ 1les mésons appartiennent à des 1 et 8, en accord avec l’expérience. Pour les baryons ona :3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1où la représentation 10 est totalement symétrique et le singulet 1 est totalement antisymétrique.A noter qu’aucun baryon n’appartient à la représentation 1 (voir plus bas).En tenant compte de la brisure de masse (quark s beaucoup plus lourd que les quarksu et d) on arrive à comprendre, dans ce modèle, la masse des hadrons ainsi que leurpropriétés de désintégration. Un des succès incontestable du modèle est la prédiction dubaryon Ω − = (sss) (voir fig. 2) avant sa découverte expérimentale.§ G. Zweig les appelait les as.5

Du point de vue théorique ce modèle posait un problème : en effet la fonction d’onded’un baryon, construite à partir des fonctions d’onde des quarks, était symétrique paréchange de deux quarks ce qui est en contradiction avec la statistique de Fermi-Dirac.Pour résoudre ce problème, on introduit un nouveau nombre quantique [14], la couleur.Chaque quark existe en trois variétés de couleur (N c = 3), i = R, G, B, de sorte que l’ona⎛u = ⎝⎞u Ru G⎠ d =u B⎛⎝⎞d Rd G⎠ s =d B⎛⎝⎞s Rs G⎠s BA ce nouveau nombre quantique est associé le groupe de symétrie de couleur SU(3),quelquefois dénoté SU(3) c pour le distinguer de la symétrie SU(3) de saveur opérant surles u, d, s. Chaque quark est donc un triplet de couleur et on postule que les hadrons sontdes 1 de couleur (les hadrons sont incolores et la couleur est donc une symétrie cachée).Ainsi la fonction d’onde du ∆ ++ , de spin J 3 = 3/2, est∆ ++ = √ 1)(u ↑ R 6 u↑ G u↑ B − u↑ R u↑ B u↑ G + u↑ B u↑ R u↑ G − u↑ B u↑ G u↑ R + u↑ G u↑ B u↑ R − u↑ G u↑ R u↑ Bqui est totalement antisymétrique sous une permutation des couleurs. De manière générale,la fonction d’onde du baryon est construite de façon qu’elle soit totalement antisymétriquedans l’espace des couleurs mais totalement symétrique en ce qui concerne le momentorbital ⊗ spin ⊗ saveur. On ”comprend” aussi qu’il n’existe pas de baryon dans lareprésentation 1 de saveur, comme mentionné plus haut, car sa fonction d’onde seraitglobalement symétrique, puisqu’antisymétrique à la fois dans l’espace des couleurs et dessaveurs. Les mésons sont aussi des singulets de SU(3) c , et leur fonction d’onde s’écrit, dupoint de vue de la couleurM = 1 √33∑i¯q i q ′ i = 1 √3(¯q R q ′ R + ¯q G q ′ G + ¯q B q ′ B)Les règles ci-dessus ”expliquent” pourquoi il n’existe pas d’états hadroniques [qq] ou[qq¯q] puisqu’ils ne sont pas des 1 de couleur, mais n’exclut pas l’existence d’états [qq¯q¯q],[qqq¯qq].Si la couleur est nécessaire pour la cohérence interne du modèle des quarks ellel’est également du point de vue expérimental comme on peut le voir en considérant ladésintegration du pion, π 0 → γγ via une boucle de quarks : sans la couleur le taux dedécroissance serait un facteur N 2 c = 9 trop faible.Le modèle des quarks s’est enrichi au cours des années avec la découverte de 3 nouveauxéléments :– quark ”charmé” (m c ∼ 1, 15 à 1, 35 GeV) en 1974 dans une expérience e + e − → hadronsau SLAC (B. Richter et al. [15]) et simultanément pp → hadrons (S. Ting et al. [16]) àBrookhaven ;– quark ”bottom” en 1977 à Fermilab par L. Lederman et al. [17] (m b ∼ 4, 5 GeV).Ces deux quarks ont été découverts sous forme d’états liés lourds, J/Ψ et Υ respectivement,de temps de vie anormalement long pour leur masse.6

– quark ”top” en 1994 à Fermilab par l’expérience CDF [18] et un peu plus tard par D0. Lamasse très élevée (m t ∼ 176 GeV) avait été estimée, par des calculs théoriques, sur la basedu résultat des expériences extrêment précises du LEP. Ceci a permis au directeur généraldu CERN, C. Llewellyn-Smith, de féliciter ses collègues de Fermilab d’avoir ”confirmé”l’existence du top déjà découvert au CERN!En résumé, les quarks apparaissent sous 6 saveurs différentes qui sont maintenantregroupées en trois ”générations”: (u, d), (c, s) et (t, b), chaque quark ayant trois couleurs.Question : Tous les hadrons entrent-ils dans la classification ci-dessus? La réponsen’est pas claire. Récemment, en particulier, les résultats d’expériences variées ont sembléindiquer l’existence de baryons n’étant pas constitués de 3 quarks mais plutôt de 5quarks : les pentaquarks [qqqq¯q]. Il semble cependant que cette année la significationde ces résultats se soit affaiblie. De même l’existence de mésons de type tetraquarks oubaryonium est mentionnée, ainsi que celle des mésons hybrides [qqg] ou de gluonium [19].1.3 Diffusion hadronique à haute énergieSi le modèle des quarks permettait de comprendre la ”spectroscopie” des hadrons (masse,désintégration) il ne permettait pas de comprendre l’interaction entre hadrons dans lescollisions à haute énergie. L’intérêt des expériences à des énergies toujours plus grandesest de ”sonder” les particules avec une résolution toujours plus fine (cf. les relationsd’incertitude de Heisenberg de type ∆x ∼ 0, 2 GeV·fm/∆E) et ainsi de ”voir” la structuredes hadrons à des échelles de longueur toujours plus petites.L’approche en vogue à l’époque est celle de la ”théorie de la matrice S” [7]. Les degrésde liberté fondamentaux sont les hadrons eux-mêmes (et non d’hypothétiques constituantsdes hadrons) et l’on s’intéresse à construire l’amplitude de diffusion A entre les hadrons.Elle est contrainte par les relations d’unitarité, de type Im A ∼ A 2 , et d’analyticité,Re A ∼ ∮ Im A. On étudie dans ce cadre les diffusions à (quasi-)deux corps du type :a + b → c + d (1.1)↓↓e + f g + hPour une réaction à deux corps, ignorant le spin, les variables cinématiques pertinentessont les variables de Mandelstam : le carré de l’énergie invariante s et le carré del’impulsion de transfert t. Tous les hadrons sont traités sur une base démocratique : ils apparaissentsoit comme particules fondamentales (entrantes ou sortantes dans la réaction)soit, à l’état virtuel, comme médiateurs de la force entre les particules. Dans cette approche,la diffusionπ + p → π + p (1.2)procède, par exemple, par production de résonance ∆ dans la voie s et échange de mésonρ dans la voie t, tandis que les réactionsπ + p → ρ + p (1.3)7

etπ + p → π + ∆ (1.4)procèdent par production de résonance ∆ dans la voie s et échange de π dans la voie t,pour la première, et nucléon N et ρ pour la seconde. A basse énergie le mécanisme deproduction de résonances domine tandis qu’à haute énergie c’est celui d’échange de ”pôlesde Regge” qui décrit la diffusion [8, 9]. Dans ce dernier cas, l’amplitude de diffusion A(s, t)est exprimée comme la transformée de Mellin de l’amplitude dans le plan de momentangulaire complexe (omettant les détails de spin, parité, choix du contour, ...) :∫A(s, t) = dJ A(J, t) s J (1.5)Coù A(J, t) est paramétrée comme une somme de pôles de Regge dans le plan du momentangulaire complexe,A(J, t) = ∑ β i (t)J − αii (t) , (1.6)α i (t) = α i + α ′ t étant la trajectoire de Regge associée à la résonance i échangée dans lavoie t (α i l’intercept et α ′ la pente universelle) . Il en résulte que l’amplitude de diffusiona la forme asymptotique :A(s, t) ∼ ∑ iβ i (t) s α i(t) , s → grand, t fini. (1.7)Pour une diffusion élastique, aux énergies asymptotiques, la trajectoire dominante est lePomeron d’intercept 1. Cette approche a rencontré un très grand succès dans la descriptiondes réactions hadroniques exclusives dans le domaine s > 10 GeV 2 , t < 2 GeV 2 [9].Cette description de la diffusion hadronique, résonances à basse énergie et pôles deRegge à haute énergie, a été unifiée de façon spectaculaire dans le modèle dual deG. Veneziano [20]. Pour une diffusion 2 → 2 de particules scalaires, l’amplitude estextrêmement simple,A(s, t) ∼ = B(−α(s), −α(t)) ==∫ 10dx x −α(s)−1 (1 − x) −α(t)−1Γ(−α(s)) Γ(−α(t))Γ(−α(s) − α(t))(1.8)qui peut être vue comme une somme infinie de résonances (de largeur nulle) dans la voie sou dans la voie t ‖ : ceci illustre la propriété de dualité à la base du modèle. De plus dansla limite t/s ≪ 1 et s → ∞ on retrouve le comportement à la Regge s α(t) . Cette formule aété généralisée par un grand nombre d’auteurs à la diffusion multiparticules. Nambu [21]et d’autres ont remarqué que le spectre de résonances du modèle dual est le même quecelui des excitations d’une corde quantifiée. Mais il est apparu que, d’un point de vuethéorique, les modèles duaux [22] n’étaient cohérents qu’en 10 ou 26 dimensions suivant lescas considérés : ces conditions étaient nécessaires pour éliminer les états tachyoniques non Pour une résonance de masse m et de spin J la trajectoire de Regge correspondante satisfait àα(m 2 ) = J.‖ On rappelle que la fonction Γ(x) a un pôle ∀ x entier ≤ 0.8

physiques. Du fait de ces difficultés l’approche duale (ou de façon équivalente le modèledes cordes) a été presque complètement oubliée, à partir des années 1975-1980, commemodèle des interactions fortes au profit du ”modèle des partons” (voir section suivante)qui connut alors un essor spectaculaire et justifié. Cependant J. Scherk et J. Schwartz [23]avait montré, en 1974, que la théorie de la gravitation (augmenté d’un champ scalaire)était la limite quand α ′ → 0 d’un modèle dual. Avec de nombreux développementsthéoriques le modèle des cordes, enrichi de la propriété de supersymétrie et ses extensions,est maintenant, de façon un peu trop hégémonique peut-être, considéré comme le candidatà l’unification de toutes les interactions. Il n’existe cependant actuellement aucune baseexpérimentale pour ces époustouflantes idées théoriques.1.4 La diffusion inélastique profonde à SLACPendant qu’un grand nombre de physiciens, théoriciens et expérimentateurs, étudiait lescollisions hadroniques dans le cadre de l’approche de Regge ou du modèle dual, un groupeexpérimental à l’accélérateur linéaire de SLAC s’intéressait à la réaction d’électroproductionsuivante :e + p → e + hadrons, E e = 20 GeV, (1.9)où l’on observait la distribution angulaire de l’électron final. C’est la fameuse expériencede ”diffusion profondément inélastique”. Le nombre d’électrons diffusés à grand angle étaitplus important que prévu : par analogie avec l’expérience de Rutherford sur les noyaux,l’interprétation de l’expérience était que la charge du proton n’était pas uniformémentrépartie mais plutôt qu’elle était portée par des grains de matière ponctuels. De plus,alors que la taille du proton était estimée à 10 −15 m, cette expérience, dont le pouvoirde résolution variait de 2 10 −16 à 5 10 −17 m, indiquait que l’image du proton n’était pasmodifiée quand on variait le pouvoir de résolution : c’est la fameuse propriété ”d’invarianced’échelle” (scaling). Sous certaines conditions cinématiques, le proton se comportait donccomme une collection d’objets ponctuels, appelés ”partons” par R.P. Feynman.Ce n’est qu’après de nombreuses études expérimentales et théoriques que les partonschargés ont été identifiés comme ayant les nombres quantiques des quarks de Gell-Mann (spin 1/2, charge électrique fractionnaire et portant une charge de couleur). Ala différence du modèle des quarks cependant, l’accord du modèle des partons avec lesdonnées nécessitait l’existence de partons électriquement neutres : les gluons.L’interaction entre les quarks et les gluons est contenue dans le lagrangian de QCDconstruit, comme le lagrangian de l’électrodynqmique Quantique (QED), sur la base del’invariance de jauge, mais non abélienne dans le cas des interactions colorées. Deuxpropriétés fondamentales justifient la validité de la QCD perturbative comme théorie desinteractions entre hadrons à haute énergie:– la liberté asymptotique qui exprime le fait que le couplage de QCD devient petit quandl’énergie en jeu est grande, ce qui justifie une approche perturbative à la dynamique desquarks et des gluons [24] ;– le théorème de factorisation qui permet de construire les sections efficaces de diffusionentre hadrons à partir de sections efficaces de processus partoniques [25].Le domaine d’applicabilité de la QCD perturbative n’est pas le même que celui des9

pôles de Regge : toutes les variables cinématiques sont supposées être grandes et du mêmeordre dans le premier cas tandis que s grand, t ∼ 1. GeV 2 dans le second. Mais on peutnoter un intense effort théorique, avec L. Lipatov notamment, pour étendre les techniquespertubatives de QCD au domaine de Regge.Comme le modèle des partons est un des piliers de l’application de QCD à la physiquedes hautes énergies il est nécessaire de s’attarder sur ce modèle et, en particulier, sur ladiffusion profondément inélastique qui a joué un rôle fondamental dans son élaboration.Ce sera l’objet de la prochaine section. Puis, dans les parties suivantes on justifiera lapropriéte de liberté asymptotique et celle de factorisation avant de conclure par quelquesapplications. Différentes applications font l’objet de la dernière section.2 La diffusion profondément inélastique (DIS).Historiquement, l’expérience qui a joué un rôle fondamental est la diffusion profondémentinélastique du nucléon (Deep Inelastic Scattering: DIS) au SLAC au début des années1970 [12]. Le processus considéré este − N → e − X(ou µ − N → µ − X)où N est un nucléon et X est le système hadronique produit mais non détecté.diagramme, on ae -Ene -kθqk'γ ∗NXLe photon virtuel émis par l’électron (ou le muon) à haute énergie est absorbé par lenucléon qui se casse en hadrons. Du point de vue expérimental, on n’observe que lelepton sortant. Dans le référentiel du laboratoire la cinématique est définie comme suit :nucléon, N P = (M,⃗0)e − entrant, k = (E, 0, 0, k) ≃ (E, 0, 0, E), E >> m, masse du leptone − sortant, k ′ = (E ′ , E ′ sin θ, 0, E ′ cos θ)photon virtuel, q = (E − E ′ , −E ′ sin θ, 0, E − E ′ cos θ), impulsion du transfert.où θ est l’angle de diffusion du lepton. Le système photon-hadron est caractérisé par lesvariables :ν = E − E ′ ,Q 2 = −q 2 = 4EE ′ sin 2 θ,2x = Q2= Q2,2P q 2Mνénergie du γ ∗ dans le laboratoirecarré de l’impulsion de transfertvariable de Bjorken, sans dimension, qui prendraune signification physique dans le modèle des partons.10

On peut alors écrire, pour la collision γ ∗ N → X,MX 2 = (P + q)2 = M 2 2 (1 − x)+ QxPuisque M 2 X > M 2 (le nucléon étant le plus léger des baryons), on a nécessairement0 ≤ x ≤ 1, le cas x = 1 correspondant à la diffusion élastique.L’élément de matrice au carré se décompose en trois parties :| M | 2 = e4Q 4 Lµν W µν , avec (2.10)– le tenseur leptonique connu qui décrit l’interaction lepton-photon :L µν = 1 2 T r(̸ k′ γ µ ̸ kγ ν ) = 2(k µ k ′ν + k ν k ′µ − kk ′ g µν ) ; (2.11)– le carré du propagateur du photon e 4 /Q 4 ;– le tenseur hadronique que l’on paramètre commeW µν = −2MW 1 (g µν − qµ q νq 2 ) + 2W 2M (P µ − P qq 2 qµ )(P ν − P qq 2 qν ) (2.12)qui est la forme la plus générale respectant (i) la parité et (ii) l’invariance de jaugeq µ W µν = 0. Les fonctions de structure, W 1 (Q 2 , 2P q, P 2 ) et W 2 (Q 2 , 2P q, P 2 ) dépendentdes invariants du système hadronique. Après contraction des indices, l’élément de matriceau carré devient,| M | 2 = 8MEE(2W ′ e4Q 4 1 sin 2 θ 2 + W 2 cos 2 θ ). (2.13)2La section efficace lepton-proton est alors donnée par∫1 d 3 k ′ d 4 P Xσ =2(P + k) 2 (2π) 3 2E ′ (2π) | M 3 |2 (2π) 4 δ (4) (P + k − P X − k ′ ) (2.14)où :– 1/2(P + k) 2 ∼ 1/4ME est le facteur de flux ;– d 3 k ′ /(2π) 3 2E ′ , l’espace de phase invariant du lepton final ;– d 4 P X /(2π) 3 , l’espace de phase de X (on intègre non seulement sur la tri-impulsion maisaussi sur la masse invariante du système).Evaluant explicitement l’équation ci-dessus on a, dans le repère du laboratoire:dσdE ′ d cos θ =2πα24E 2 sin 4 θ 2(2W 1 (Q 2 , 2P q, P 2 ) sin 2 θ 2 + W 2(Q 2 , 2P q, P 2 ) cos 2 θ 2Il est utile d’avoir l’expression de la section différentielle sous forme invariante de Lorentz :{E ′ dσdk = α2 2Q 2 (2MW ′3 s Q 4 1 − W 2 P.qM x ) + W }22M (s2 + u 2 ) . (2.15)où les invariants de Mandelstam, s et u, sont définis par : (P + k) 2 = s, (P − k ′ ) 2 = u .11).

Remarques :– la dynamique de l’interaction γ ∗ N est entièrement dans les fonctions inconnues W 1 , W 2 ;– en jouant sur E, E ′ , θ on peut extraire W 1 (Q 2 , 2P q, P 2 ), W 2 (Q 2 , 2P q, P 2 ) expérimentalement;– MW 1 , P.qM W 2 = νW 2 sont sans dimensions ; on peut donc les exprimer comme fonctionsde variables sans dimension et écrireMW 1(x, P 2Q 2 ), νW 2(x, P 2Q 2 ). (2.16)L’expérience permet de mettre en évidence les deux faits importants suivants (voir fig. 4) :(MW 1 x, P )(2≡ MWQ 2 1 (x), νW 2 x, P )2≡ νWQ 2 2 (x) (2.17)c’est-à-dire qu’il n’y a pas de dépendence explicite en Q 2 , à l’intérieur des barres d’erreursexpérimentales. C’est la propriété d’invariance d’échelle [10]. Si l’on avait négligé depuisle début la masse M du proton, (P 2 = M 2 = 0) on aurait eu immédiatement l’invarianced’échelle. Tout se passe donc comme si le photon virtuel est insensible à la taille duproton ;– la relation 2MW 1 (x) ≡ νW 2 (x)/x est satisfaite expérimentalement.Figure 4: Résultats expérimentaux de SLAC [12] montrant l’invariance d’échelle de lafonction νW 2 . La variable ω = 1/x.Nous allons maintenant montrer comment ces deux propriétés se comprennent dans lemodèle des partons de spin 1 2 .2.1 Le modèle des partons et la diffusion profondément inélastiqueFeynman a proposé de considérer le proton (ou le nucléon) comme composé de partons,objets sans structure (ponctuels) dont les nombres quantiques sont à priori inconnus (spin,12

charge ...) mais qui doivent cependant former un objet de spin, charge,... connus [11].On se place dans un repère où l’impulsion du proton P ∼ (E, 0, 0, E), E → ∞ (repère”d’impulsion infinie”) et on négligera éventuellement les masses du proton et des partons.L’impulsion du proton est portée par les constituants et on peut donc écrirep i = x i Poù p i est l’impulsion du parton i et on a ∑ i x i = 1.Le postulat de base consiste à décrire l’interaction γ ∗ -hadron en termes d’interactionγ ∗ -parton puisque le photon très virtuel a un pouvoir de résolution très élevé et qu’il peutdonc ”voir” les constituants du proton. Ceci est symbolisé par le diagramme suivant oùle photon virtuel est absorbé par le parton p iγ ∗p iLe temps caractéristique de l’interaction électromagnétique est (l’inverse de la virtualitédu photon ”dilatée” dans le repère d’impulsion infinie) :τ emg ∼ 1 √Q2q 0 + q√Q2 = 1xE→ ∞ quand E → ∞ . (2.18)En comparaison, le temps caractéristique de l’interaction forte (en supposant le protonde masse M constitué de 2 partons de masse nulle pour simplifier) est :τ i.f. ∼1∼ E → ∞ quand E → ∞. (2.19)E − E 1 − E 2 M2On en conclut l’inégalité τ emg ≪ τ i.f. et l’interaction électromagnétique est quasi instantanéecomparée au temps d’interaction forte quand E → ∞, x ≠ 0. Il paraît donc justifiéde négliger les effets de l’interaction forte et de considérer les partons comme ”libres” lorsde la diffusion électromagnétique. Pendant le temps de l’interaction γ ∗ p i , on va ignorerl’interaction hadronique qui prend place sur une échelle de temps beaucoup plus grande.Bien après l’interaction électromagnétique, les partons se recombinent pour donner deshadrons avec une probabilité unité puisque l’on n’observe que des hadrons dans le systèmeX. Puisque les interactions fortes de confinement n’affectent pas l’interaction du γ ∗ avecle parton, il suffira donc de calculereeγ ∗interactionelectromagnétiquep ip j13

et d’ajouter ensuite de façon incohérente les sections efficaces invariantes ep i pour reconstituerla section efficace électron-proton.2.1.1 Section efficace électron-partonOn va décomposer l’amplitude invariante de la manière suivante (c.f. éq. 2.10)| M | 2 ep i= e2 i e 4Q 4 Lµν Ŵ µν}{{}interact.γ ∗ -partonoù e i est la charge du parton mesurée par rapport à celle du proton e. On suppose pourle moment que les partons ont un spin 1 2 (certains partons ont nécessairement un spin 1 2 ,puisque le proton a S = 1 2 ). On peut poser pour l’interaction γ∗ -parton, et par analogieavec QED, l’éq. (2.11),Ŵ µν = 1 2 T r(̸ p′ γ µ ̸ pγ ν ) = 2(p iµ p ′ iν + p iν p ′ iµ − p i p ′ ig µν ), (2.20)où l’impulsion du parton final est p ′ i = p i + q. Pour des partons de masse nulle on a alors,| M | 2 ep i= 8 e2 i e4Q 4 ((pi k) 2 + (p i k ′ ) 2) . (2.21)La section efficace de diffusion électron-parton sera donc (c.f. (éq. 2.14))dˆσ = 1 ∫1 d 3 k ′ d 3 p ′ i| M | 22ŝ (2π) 2 2E ′ 2p ′ 0 ep iδ (4) (k + p i − k ′ − p ′ i ) (2.22)iavec ŝ = (p i + k) 2 . Après intégration, la section efficace différentielle invariante aura laforme:E ′ dˆσ= α2 8 (d 3 k ′ ŝ e2 i (pi k) 2 + (pQ 4 i k ′ ) 2) δ(2p i q − Q 2 ).Pour trouver la forme de la section efficace hadronique, on va sommer de façon incohérenteles diverses contributions partoniques. On va donc devoir calculer:.E ′ dσd 3 k ′= ∑ i∫ 10dz i F i (z i ) E′ dˆσd 3 k ′ ∣ ∣∣∣pi=z i P(2.23)où F i (z) est la probabilité de trouver dans le proton un parton de type i portant la fractiond’impulsion z i du proton. Introduisant la notation ŝ = 2p i k = z i s et 2p i k ′ = −z i u, ontrouve.E ′ dσ= α2d 3 k ′ s= α2s∑ie 2 i∫ 10s 2 + u 2 ∑Q 4idz iz iF i (z i ) 2z2 iQ 4 (s2 + u 2 )δ(2z i P.q − Q 2 )e 2 ixP q F i(x) (2.24)valable pour des partons de spin 1 . On note que les contraintes cinématiques fixent la2valeur de l’impulsion du parton interagissant à z i = Q2= x, la variable de Bjorken. Si2P q14

on compare avec la formule de la section efficace différentielle invariante électron-proton(éq. 2.15), on peut identifier:qui est équivalent àet on observe, de plus, queW 2M (x, Q2 , P 2 ) = ∑ iνW 2 (x, Q 2 , P 2 ) = ∑ ie 2 ixP q F i(x)e 2 i xF i (x) (2.25)2MW 1 (x, Q 2 , P 2 ) = 1 x νW 2(x)Exercice : Montrer que pour des partons de spin 0 (couplage au γ ∗ donné par e i (p i + p ′ i) µ )on a W 1 ≡ 0.En conclusion,• On voit donc que le modèle des partons prédit bien l’invariance d’échelle, c’est-à-direque νW 2 (x, Q 2 , P 2 ) = νW 2 (x) (conséquence de la nature ponctuelle des partons) ;• La relation 2MW 1 (x) = νW 2 (x)/x est une conséquence du spin 1 des partons : cela2montre que les seuls partons chargés dans le proton sont de spin 2 1 ;• La variable de Bjorken x = Q2prend un sens physique : c’est l’impulsion normalisée2P qdu parton qui a subi l’interaction électromagnétique ;• La fonction de structure νW 2 acquiert également une interprétation : c’est la sommepondérée, par l’impulsion x et la charge e 2 i , des probabilités de trouver un parton idans le proton.2.1.2 Identification partons ≡ quarks + ... ; règles de sommeIl est tentant d’identifier les partons de Feynman aux quarks de Gell-Mann et Zweiget de supposer que le proton et le neutron, dans les expériences d’inélastique profonds’expriment, comme dans le modèle des quarks, par:proton = (uud)neutron = (udd).Ce sont les quarks de valence et on dénote u v (x) et d v (x) la distribution de ces quarks uet d dans le proton. Par la symétrie d’isospin on a (p dénote ici le proton et n le neutron)F p u (x) = F n d (x) = u v(x)F p d (x) = F n u (x) = d v (x)Les nombres quantiques du nucléon sont portés par les quarks de valence. L’expériencemontre que le proton contient également des antiquarks : ce sont les antiquarks de la mer15

ou ”matelots”. La somme des nombres quantiques portés par les quarks et antiquarks dela mer est nulle. Leur distribution est donc notée : u s (x) = ū s (x), d s (x) = ¯d s (x), s s (x) =¯s s (x). On définitu(x) = u v (x) + u s (x)d(x) = d v (x) + d s (x).En négligeant le rôle des quarks étranges, on peut écrire, suivant le modèle des partons(voir éq. (2.25))1 epνW2 = 4 x 9 (u(x) + ū(x)) + 1 (d(x) + ¯d(x))91 enνW2 = 1 x 9 (u(x) + ū(x)) + 4 (d(x) + ¯d(x)).9où on utilise la notation simplifiée: ū s = ū, ¯d s = ¯d.L’interprétation des fonctions u(x), d(x) comme probabilités de trouver des quarksdans le nucléon permet d’écrire de nombreuses ”règles de somme” qui exprime le faitque les caractéristiques d’un hadron sont entièrement portées par ses constituants. Parexemple, la différence:νx W ep2 (x)− ν x W 2 en (x) = ν x W ep−en2 (x) = 1 ( ) 1u(x) + ū(x) − d(x) − ¯d(x) =33 (u v(x) − d v (x))dont l’intégrale mesurée expérimentalement est :∫ 1dx30 x∫ 1ep−enνW2 (x) = dx (u v (x) − d v (x)) = 10qui correspond bien à la différence du nombre de quarks de valence de type u et d. Si l’onconnait u, d, ū et ¯d indépendamment, on peut également vérifier les règles de somme decharge:∫ 1[ 2dx0 3 (u − ū) − 1 ](d − ¯d) = 1 = charge du proton9∫ 1[ 2dx3 (d − ¯d) − 1 ]9 (u − ū) = 0 = charge du neutron0Ces règles de somme sont en accord avec l’expérience. D’autre part, il est possible demesurer1 ep+enνW2 = 5 ( )u(x) + ū(x) + d(x) + ¯d(x)x 9et ainsi calculer∫9 1∫ 1dx νW ep+en2 = dx x ( u(x) + ū(x) + d(x) +5¯d(x) )00qui mesure l’impulsion moyenne portée par les quarks u, d, ū et ¯d dans le nucléon. Lerésultat de cette expérience est:〈x〉 q+¯q ≃ 0.45 ≠ 1. (2.26)16

ce qui signifie que les quarks ne portent que la moitié de l’impulsion du nucléon, le resteétant porté par des partons neutres: il est tentant, alors, d’identifier ces partons neutresaux ”gluons” qui lient les quarks entre eux dans le nucléon (le quark s ne joue pas un rôleimportant dans cette réaction car la production de K, Λ est négligeable).Pour terminer avec cette succinte introduction au modèle des partons, on peut noterque la diffusion ν-nucléon est susceptible d’une description similaire à celle de e-nucléonà condition de remplacer l’échange d’un photon virtuel par l’échange d’un boson de jaugeW ± ou Z virtuel suivant que l’on étudie les courants chargé ou neutre.2.1.3 Application du modèle des partonsOn peut considérer le processus croisé de DIS, à savoir e + e − → hadrons:e -e +γ ∗hadronsPour E e + e − = Q → ∞ on peut appliquer le modèle des partons: le photon virtuel degenre temps (Q 2 > 0) se couplera à une paire quark-antiquark qui, ”longtemps” aprèsl’interaction electromagnétique, se désintègrera en hadrons:e -q ihadronse +q iLa transition q i ¯q i → hadrons se fait avec probabilité 1. On peut donc écrireσ e+ e − →had = ∑ iσ e+ e − →q i ¯q i.Il est traditionnel de définir le rapport sans dimension:R = σe+ e − →had.σ e+ e − →µ + µ −= ∑ ie 2 i .On voit que les seules différence entre le processus hadronique et le processus purementleptonique sont les facteurs de charge (les facteurs cinématiques, γ µ , espace de phase sontidentiques pour les quarks et les µ car ce sont des particules de spin 1/2, et qu’on négligeles masses). On trouve alorsR = 4 + 1 + 1 + 4}{{} 9 }{{} 9 }{{} 9 9u d s}{{}c+ 1 = 11}{{} 9 9boù pour Q > 10 GeV, il faut prendre en compte la contribution des saveurs lourdes c et b (leseuil de production du quark top est beaucoup plus élevé et correspond à Q > 350 GeV).Ce résultat est en désaccord avec les résultats expérimentaux comme on peut le voir sur17

[)\:]0^L_)à b)cedgf hi jkBl f mnji o p)q#rnsntuv jq0t wxuq0hyxz)kq0{i |xi jt k(} j~sl yxt k(mnf snh}€!q0iqHk(t t snt }Bq0t k6i sniq0lz)k(l s#P‚Lƒ!k(„Tq0hyx} iq0i f } i f v(q0l¤q0zs0rnk8‚ƒ!k(„DYZrnk(}q0t ki jk}q0wHkq0}f h‡†:f mˆ‰Š‹HŒ^)cDŽ¤¦‘Wyq0iq%q0z)s#rnkx’!“ ˆ”•Lk(t k¨hsniH– {l l |"vsnt t kvi ky‡– sntLtqny~f q0i f rnkxk—)kvi }uBq0hy>¦k¨t kiq0f h…¤jk¨v{tjk(w˜sh‡i jk3l sniLsnhl |š– sntf l l {} i tq0i f rk{t )sn} k}x¤f i j›qšh~st wHq0l f œ(q0i f snh3– qvi snts0–6‰…¤jk¨– {l l'l f } iLs0–8t k– kt k(hvk(}ï s>i jk3snt f mnf hq0l'yq0iq>q0hyi¢¡¤£¦¥¨§ ©¤¨©©©¨¦! "§ # %$&'(()+*,.-0/213-(46587:9=(?@BADC¢E'FG5H?DCIJE?8/LKNMPO¢?BQ67

la fig. 5 (les pics correspondent à la production de résonances près du seuil d’une saveuradditionnelle).En fait, dans le calcul ci-dessus, on n’a pas tenu compte du fait que les quarks sontcolorés. Prenant ceci en compte il faut sommer sur les 3 types de couleur, ce qui donneR = N c∑ie 2 i = 113et qui est en accord avec l’expérience. On peut noter qu’en dessous du seuil de productiondu quark charmé les données sont autour de R = 2 comme il se doit.2.1.4 Le modèle des partons: formulation générale1. Sous certaines conditions que l’on précisera ci-dessous, on considère qu’un hadronest constitué de partons. On travaille dans le repère d’impulsion infinie du hadron.On a doncH = {p i }P = ∑ i p ii = 1, ∞où les P, p i sont les impulsions du hadron et des partons respectivement.On néglige toutes les masses (du hadron et des partons) et on peut alors écrirep i = x i P avec ∑ ix i = 1.Les partons sont sans structure et on ignore leurs interactions à l’intérieur du hadron.2. L’interaction entre hadrons se réduit à une interaction entre partons selon le diagrammesuivantH 1x 1p ip jH 2 x 2σîjp kp loù σîj est la section efficace de l’interaction ”dure” entre partons. La section efficacehadronique est une superposition incohérente des sections efficaces partoniquesc’est-à-dire que l’on ajoute les probabilités et non les amplitudes. On écrit alorsσ H 1H 2= ∑ ∫dx 1 dx 2 F H 1i (x 1 ) F H 2j (x 2 ) ˆσ ij (x 1 , x 2 , s).i,jLa fonction FiH (x) est la densité partonique c’est-à-dire la probabilité de trouverdans le hadron H un parton de type i portant la fraction x de l’impulsion du hadron.On néglige les effets d’impulsion transverse. La fonction FiH (x) est invariante19

d’échelle, c’est-à-dire indépendante des variables (dimensionnées) de Mandelstams, t, u. Elle contient les effets à ”longue distance” (confinement) et la dépendanceen x n’est pas prédite par la théorie. Les effets de ”courte distance” sont contenusdans la section efficace partonique ”dure” ˆσ ij . Cette séparation - factorisation - entrephysique à longue distance et physique à courte distance est analogue à celle réaliséepar l’approche beaucoup plus rigoureuse mais plus restrictive du développement enproduit d’opérateurs sur le cône de lumière [27].3. Le modèle des partons est un postulat valable quand toutes les variables dimensionnéess, t, u sont grandes comparées à l’échelle de masse des hadrons (∼ 1 GeV 2 ).2.2 Au delà du modèle des partons naïfUne version moderne de la fig. 4 est montrée en fig. 6. Les données combinées de nombreusesexpériences permettent de couvrir un très grand domaine en x, 0, 000063 < x

¢¡¢£¥¤§¦©¨¦©¨¦©©¢"$#!% &'(!)*% +"% ),)-!./% 021($% 3-4-425)-"367"$(-8(!)--3-1-0% 9+41--1;:!"=1($5?@=1A>CB3,.0?@8D==$.0?@8% DE1-% 0)F0#§1D=D@"G6,0(D=4H )$(-D=% 1B3D=F41-I1:F 2(x,Q 2 ) * 2 i x10 810 7H1ZEUSBCDMSE665NMCSLAC10 9 10 -1 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 610 610 510 410 310 210110 -110 -210 -3Q 2 (GeV 2 )igj Y=k!`]b[]Y=l5eT_CY©mTY=cE^][]\ j k!n-_Y©^]eoc$Èc©k!^]^]Y©[]eT_n5\!d@Z3\-`]ep^][]\-_`,\-_J¢KML3N0O!P5QRSTRUWV¥XYFZ[]\-^]\-_Cà^][]b3cE^]b[]Y+dMb_3cE^]eT\-_gfhj Y©_/^]ùtvwxFk!_3l$y§z={©|/eT_,^]XY@}/eT_Y j k!^]eoc¢l/\ j k!eT_G\!d0^]XY@yv~¥€lk!Êk|-dM\-[¢+‚„ƒ… ƒ-ƒ-ƒ-ƒ-†§q©‡pˆŠ‰Z[]\-^]\-_`qrcE\-mTmTeol/Y©[¢YEsZ3Y©[]eŒ¢dM\-[¢lk!Êk§k!^0` j k!mTmTY©[ k!_3l,Ž i {©|/k!_3l@dM\-[Y©mTY=cE^][]\-_`qrx¥{¢k!_3l j b\-_`¢qr‘¢¥’@“+x|/v†-†-”|-•“+¥{–\-_$k—sY=l‹eTn3…z=†…j k!^]eoc@Y©[][]\-[]`Gk-ll/Y=l+eT_2-b3k-l/[Ek!^]b[]Y,k![]YG`]X\!š¥_…¢V¥XY$lk!Êk$k![]YGZmT\-^]^]Y=l>k!`@k dMb_3cE^]eT\-_Êk![]n-Y©^=…x/Êk!^]eT`]^]eoc©k!mk!_3lF`]˜/`]^]Yi eT_>›eT_`@\!d¢—sY=l2…¥x/\ j YGZ3\-eT_/^]`@X3k=œ-YG›3Y©Y©_5`]mTeTn-X/^]mT˜F\!`]Y©^GeT_2Ž i dM\-[§cEmok![]eT^r˜/…V¥XY$tvwx2›eT__eT_žn$eT_2>eT`\!dŽÊk$k![]YG[]Y©›eT__Y=l+^]\$^]XY,+œ-k!mTbY©`\!d¢^]XY,tvwx>lk!Êk…¥‹\-[^]XYGZb[]Z3\-`]YG\!d¡ZmT\-^]^]eT_n3|b`]Y=l+eT_+^]XeT`ZmT\-^=Ÿk!mTm\-^]XY©[§lkf h¥o¦,§€zGqr,§„ƒ¨ ©-”-{ª^]\,¥o¦,§„¢-©i X3k!`¢›3Y©Y©_ j bmT^]eTZmTeTY=l§›/˜F¢!£T¤;|š¥XY©[]Y§¥o¦$eT`¥^]XY@_/b j ›3Y©[¢\!d0^]XY§$›eT_|/[Ek!_n-eT_n§dM[]\ jqr$§€ƒ¨ ƒ-ƒ-ƒ-ƒ-†-«-{©…~¥YEdMY©[]Y©_3cEY©`=¬§®Q-¯„@…@l/mT\!„°E±¢²!³ ‰o|v0b[=…´0X/˜/`=…3µ3…§·Q|«-«Fqr¢-ƒ-ƒz={©Ÿ3@…3@l/mT\!g°E±¥²!³ ‰o|v–b[=…¥´0X/˜/`=…‰o|v0b[=…0´0X/˜/`=…0µ3…§·Q|º-º/«¿qr¢-ƒ-ƒz={©Ÿµ3…qrk-c©cEY©Z^]Y=l5dM\-[§Zb›mTeoc©k!^]eT\-_3{XY©Z/ŗYEs3¹-ƒ-«-ƒ!º/ƒ-ƒ-«Ÿ¢»¼½+¾3¯„x…¢XY©}-k!_\!œg°E±¥²!³@…-‘Y©_/œ-Y©_/b^]e¢°E±u²!³ ‰o|/´0X/˜/`=…Y©^]^=…ÀG·3·3Ä|-º/©-”GqEz=Œ-©-Œ-{¢qrk!`n-eTœ-Y©_$eT_ÆÅ ”!º!ÇM{©Ÿ-¼R3R3È/¯„“2… ~§…!@lk j `°E±¥²!³ ‰o|À,§ÁFÂÃ¾3ḡG…‰o|3•¥b3cEmr…´0X/˜/`=…À§ÉË3Ä|3«$qrŒ-Ì-{©Ÿ¾Í¢Î$¯„… ÏÃ…ÐÏgXeT^]mT\!š´0X/˜/`=…~¥Y©œ…3ÁFÈÉ0|3«-ƒ-ƒ-†$qEz=Œ-Œ-†-{ŠŸ3ÊFÂÃ¯„“2…3[]_Y©\l/\2°E±¥²!³‰T|´0X/˜/`=…3Y©^]^=…3ÀG·3Ë3·|/º/Ì-” qEz=Œ-Œ-¢-{©…°E±¥²!³Figure 6: Compilation par le ”Particle Data Group” des données récentes de la fonctionde structure F 2 (x, Q 2 ) = νW 2 (x, Q 2 )/x.21

2.3 ConclusionsNous avons essayé dans la section 2 de décrire quelques résultats qui semblent indiquer queles hadrons sont constitués d’entités plus fondamentales. En effet, on peut comprendreun grand nombre de phénomènes physiques aux échelles de masse de M∼1 GeV aussi bienque M≫1 GeV si l’on suppose que les hadrons sont constitués de quarks définis commedes objets ponctuels de spin 1 , et de charge fractionnaire. Ces quarks sont groupés en2trois familles:( ) ( ) ( )u c td s bD’autre part, dans le Modèle Standard, un quark de saveur donnée vient en 3 couleurs q =(q i ), i = 1, 2, 3, q appartenant à la représentation fondamentale 3 du groupe SU(3) couleur .Les autres candidats possibles pour le groupe de couleur comme O(3), SO(3) et U(3) sontéliminés car ils sont en désaccord avec les résultats expérimentaux:• SO(3) et O(3) permettent l’existence d’états [qq] singulets de couleur de chargefractionnaire, car ils ne distinguent pas la couleur de l’anti-couleur. De tels états nesont pas observés expérimentalement.• U(3) sera exclu ultérieurement lorsqu’on imposera l’invariance de jauge locale : ilexisterait alors un gluon de masse nulle, sans couleur, qui induirait une interactionà longue portée entre les hadrons, en contradiction avec l’expérience.Remarque : A priori, le Modèle Standard, tel que décrit ci-dessus, n’était pas laseule possibilité. En particulier, Han et Nambu [26] ont proposé une alternative où lesquarks ont une charge entière (c.f. table 1). La version jaugée de Han-Nambu (due àPati et Salam) a eu une certaine vogue: toutes les prédictions ∼ ∑ q e2 q coïncident aveccelle du Modèle Standard. Elle a néanmoins été éliminée lorsque des mesures précises dequantités expérimentales dépendant de ∑ q e4 q sont apparues (p. ex. dans les processusγ + p → γ + X, pp → γ + γ + X).R G Bu 0 1 1d -1 0 0s -1 0 0Table 1: Charge des différents quarks colorés dans le modèle de Han-Nambu3 Le Lagrangien QCDAvant d’entrer dans le détail de l’interaction entre quarks et gluons nous allons fairequelques rappels sur l’électrodynamique quantique. Le principe de construction de lathéorie, l’invariance de jauge, est le même dans les deux cas mais le cas abélien de QED estbeaucoup plus simple à écrire. Le comportement asymptotique (infrarouge et ultraviolet)22

des deux théories est cependant complètement différent. Toute la physique est contenuedans la densité lagrangienne, L(φ(x), ∂ µ φ(x)), une fonctionnelle locale des champs φ(x)et de leurs premières dérivées, à partir de laquelle on construit l’action:∫S = d 4 xL(φ(x), ∂ µ φ(x)).L’action est une quantité sans dimension. Si on impose que l’action est stationnaire sousune variation du champ (principe de Hamilton), on obtient les équations d’Euler-Lagrange:δLδφ(x) − ∂ δLµδ∂ µ φ(x) = 0 (3.27)qui décrivent l’évolution classique du champ φ(x). C’est à partir de ces équations, qu’enformalisme de la seconde quantification, on obtient les règles de Feynman qui permettentde calculer perturbativement n’importe quel processus en théorie des champs.3.1 Le Lagrangien QEDPour QED, la densité lagrangienne s’écrit pour un fermion Ψ de masse m et de charge eoù le tenseur du champ électromagnétique estL QED = − 1 4 F µν F µν + ¯ψ(i ̸D − m)ψ (3.28)F µν (x) = ∂ µ A ν (x) − ∂ ν A µ (x)avec A µ (x) est le champ du photon, tandis que le dérivée covariante est définie par D µ =∂ µ − ieA µ . Une transformation de jauge locale est définie parψ(x) → ψ ′ (x) = e ieα(x) ψ(x) , ¯ψ(x) → ¯ψ′ (x) = e −ieα(x) ¯ψ(x) (3.29)et simultanément pour le photonA µ (x) → A ′ µ (x) = A µ(x) + ∂ µ α(x).avec α(x) une fonction réelle. Sous forme infinitésimale une transformation de jauges’écrit :δψ = igαψ , δ ¯ψ = −ie ¯ψα , δA µ = ∂ µ α ⇒ δF µν = 0 (3.30)L’invariance de jauge garantit que le photon est de masse nulle : en effet un terme de massetel que m 2 A µ A µ ne serait pas invariant. L’application des équations d’Euler-Lagrangemènent à l’équation de Diracet aux équations de Maxwell inhomogènes(i ̸∂ − m)ψ(x) = −e ̸A(x)ψ(x)} {{ }terme d’interactionQuant aux équations homogènes elles résultent de(3.31)∂ µ F µν (x) = e ¯Ψγ µ Ψ. (3.32)∂ µ ˜Fµν (x) . = ∂ µ ɛ µνρλ F ρλ = 0 . (3.33)23

3.2 Invariance de jauge non abélienne et le Lagrangien QCDEn QCD, le champ du quark est une collection de 3 champs de Dirac, un pour chaquecomposante colorée ψ i . Il est noté :⎛ ⎞ψ 1ψ = ⎝ ψ 2⎠ ,ψ 3et il appartient à la représentation fondamentale 3 du groupe SU(3) ou U(3) (on doitencore déterminer le groupe d’invariance). D’après la théorie des groupes de Lie, unélément U du groupe agissant sur la représentation fondamentale s’écrit :U = e ig P a αaTa ,avec T a les générateurs de l’algèbre, α a des paramètres réels arbitraires et g, le couplage.La condition d’unitarité U † = U −1 impose T a = T a † . Pour SU(3) comme groupe de jauge,la condition det U = 1 impose Tr T a = 0 et on a 8 générateurs T a (a = 1, . . . 8) quisatisfont aux relations de commutation d’une algèbre de Lie,[T a , T b ] = if abc T c ,avec f abc totalement antisymétrique et réel. De plus, les générateurs T a sont orthogonauxdans le sens oùTr(T a T b ) = 1 2 δab .Si on choisit U(3) comme groupe d’invariance au lieu de SU(3) on a alors un générateursupplémentaire qui est la matrice 1 commutant avec tous les générateurs de SU(3) :[1, T a ] = 0. On impose à la théorie une invariance de jauge locale [28]. Si on appliqueune transformation de jauge locale,δψ = igα a T a ψ , δ ¯ψ = ¯ψ(−igα a T a ) ,à la densité lagrangienne L = ¯ψ(i ̸∂ − m)ψ , on obtient alorsδL = ¯ψ {−g(∂ µ α a )T a γ µ } ψ.Par analogie avec QED, on va rétablir l’invariance en introduisant les champs vecteursA b µ (x) :L = ¯ψ ( i(∂ µ − igA b µ (x)T b )γ µ − m ) ψ,b = 1, . . . , 8 pour SU(3) ou 9 pour U(3),qui devient invariant de jauge si on impose la transformation suivante sur les champs A b µ :δA c µ = ∂ µ α c − f cab α a A b µ.Comme pour QED on vérifie facilement qu’un terme de masse associé aux champs A a µ (x)n’est pas invariant de jauge. Les gluons sont donc des champs de masse nulle qui induisentalors des interactions à longue portée. Ce dernier argument est déterminant pour le choixdu groupe de jauge. En effet, si U(3) était le groupe d’invariance, on aurait une interaction24

à longue portée entre hadrons qui serait singulet 1 de couleur. Ceci est contraire auxobservations expérimentales puisqu’on sait que la force nucléaire forte est à courte portée :∼ 1m π. Cet argument exclut donc le groupe U(3) comme groupe de couleur et on resteavec SU(3) et 8 gluons colorés de masse nulle.Pour compléter le lagrangien de QCD il faut introduire le terme cinétique des champsde jauge. L’analogue du tenseur F µν de QED estFµν a = ∂ µA a ν − ∂ νA a µ + gf abc A b µ Ac ν .} {{ }terme non abélienIl est pratique d’introduire les notations matricielles suivantes :ᾱ = α a (x)T a , A µ (x) = A a µ(x)T a , F µν = F a µνT a (3.34)ainsi que la dérivée covariante agissant sur le fermion D µ = ∂ µ − igA µ (x). Le lagrangien,pour un fermion coloré, prend alors la forme compacte suivante (cf. éq. 3.28) :L QCD = − 1 2 TrF µνF µν + ¯ψ (i ̸D − m) ψ (3.35)et l’on peut vérifier, avec pas mal de sueur, que L QCD est invariant sous la transformationδψ = igᾱψ ⇒ δ(D µ ψ) = igᾱD µ ψδA µ = ∂ µ α − ig[A µ , ᾱ] ⇒ δF µν = −ig[F µν , ᾱ] (3.36)L’application des équations d’Euler-Lagrange (3.27) au champ du fermion permet d’obtenirl’équation de Dirac du fermion coloré :(i ̸∂ − m)ψ = −gT a A a µ γµ ψ, ψ = (ψ i ). (3.37)tandis que pour les bosons de jauge on trouve :ou, de façon explicite,∂ µ F a µν = −gf abc A bµ F c µν − g ¯ψγ ν T a ψ. (3.38)(□g µ ν − ∂ µ ∂ ν )A a µ(x) = −g ¯Ψγ ν T a Ψ − gf abc A bµ (∂ µ A a ν − ∂ ν A a µ) − g 2 f abc f cde A bµ A d µA e ν(3.39)On peut alors extraire de ces équations :j– le couplage fermion-gluon-fermion:µai−igT a ji γµpa– le couplage à trois gluons :λb qµνcr−gf abc [(p − q) ν g λµ + (q − r) λ g µν + (r − p) µ g νλ ]25

λ– le couplage à 4 gluons:b µcaρdν−ig 2 [ f abe f cde (g λν g µρ − g λρ g µν ) + f ace f bde (g λµ g νρ − g λρ g µν ) + f ade f bce (g λµ g νρ − g λν g µρ ) ]Il est important de noter que la même constante de couplage apparaît tant dans le vertex àtrois gluons (linéairement), le vertex à quatre gluons (quadratiquement) que dans le vertexquark-quark-gluon (linéairement). Ceci est due à l’invariance de jauge de la théorie.Les termes d’auto-couplage des bosons de jauge sont un des aspects caractéristiquesde QCD et c’est une différence fondamentale entre cette théorie et QED. Ce sont eux quivont être responsables, comme on le verra dans le chapitre suivant, de la propriété de”liberté asymptotique” de QCD aux hautes énergies et aussi du confinement des quarkset des gluons dans les hadrons (non encore prouvé théoriquement).3.3 Fantômes de Fadeev-PopovOn rappelle que les formes covariantes du propagateur du gluon contiennent des sommationssur les degrés de liberté non physiques (polarisations scalaire, longitudinale). Cescontributions ne sont pas génantes en QED car elles ne sont pas couplées au courantfermionique. En QCD, les gluons interagissent entre eux (couplage à 3 et 4 gluons) et lespropriétés de ces auto-interactions ne permettent pas le découplage des états de polarisationnon physiques. Pour les éliminer, on introduit, pour chaque gluon coloré A a µ, unchamp scalaire φ a (fantôme de Fadeev-Popov) obéissant à la statistique de Fermi (nombrede Grassmann) et dont le propagateur vaut−δ abip 2 + iɛ .Le fait que φ a soit non-commutant est crucial car, pour chaque boucle, on obtiendra unfacteur (−1) nécessaire pour compenser la contribution de A a µ due aux états de polarisationnon physique. Pour que la compensation de la contribution des états non physiques aitlieu le couplage du gluon au fantôme est nécessairement de la forme (faire attention auchoix des impulsions et au sens de la flèche):aµbrc −gf abc r µ .Le couplage φφA ci-dessus est valable dans la jauge de Landau aussi bien que dans lajauge de Feynman. Ces règles de Feynman associées aux fantômes correspondent dans lelagrangien à un nouveau termeL FP ∼ ¯φ∂ µ D µ φ.26

En conclusion, si on fait le calcul en jauge covariante, il ne faut pas omettre les diagrammescontenant les fantômes. Par contre, si on choisit de travailler avec une jauge non covariante(kɛ = nɛ = 0), il n’y a pas de fantômes puisque seuls les deux degrés de polarisationphysique des bosons de jauge sont pris en compte.Notre introduction des fantômes de Fadeev-Popov est bien légère! La façon moderneet correcte de quantifier les théories de jauge non abélienne repose sur la construction dela fonctionnelle génératrice qui, par dérivation, donnent les règles de Feynman de la sérieperturbative. Pour donner un sens mathématique à cette fonctionnelle il faut d’abord”fixer” la jauge par une contrainte. C’est cette contrainte qui peut s’exprimer sous formede champs de Fadeev-Popov dans le lagrangien de QCD [29]. Quant à la renormalisabilitéde QCD elle a d’abord été prouvée par ’t Hooft [30] puis, sous une forme élégante etsimplifiée, par Becchi, Rouet, Stora [31].4 Divergences ultraviolettes et renormalisationDans ce qui suit nous allons appliquer les règles de Feynman qui décrivent l’interactionentre électrons et photons (QED) et entre quarks et gluons (QCD) à l’étude des processus àhautes énergies. Dans un calcul d’ordre supérieur on est amené à calculer des diagrammesen ”boucles”. Or ces derniers sont divergents. L’objet de ce chapitre est de montrercomment traiter ces divergences pour donner un sens à la théorie. Le problème est d’abordillustré par l’étude d’un modèle scalaire simple.4.1 Divergences ultraviolettes et renormalisation en λφ 4 .Le lagrangien de la théorie λφ 4 estL = 1 2 (∂ µφ(x)) 2 − m22 φ2 (x) − λ 4! φ4 (x) (4.40)où φ(x) est un champ scalaire réel. Les règles de Feynman correspondantes sontvertex : × = −iλ ; propagateur : =ip 2 − m 2 + iɛLa diffusion de deux particules est représentée par:qp3¡¡p4= +3 4pp1p2p+q1 23 4 43++ + ...1 21 227

On n’a gardé que les diagrammes aux deux premiers ordres de la théorie des perturbations.Si on dénote q = p 1 − p 3 l’impulsion de transfert entre particules entrante et sortante ona q 2 < 0. L’amplitude de diffusion s’écritM = −iλ + λ22∫d 4 p(2π) 4 1(p 2 − m 2 + iɛ)((p + q) 2 − m 2 + iɛ)+ ... (4.41)où p est l’impulsion dans la boucle et où ”...” dénote la contribution des deux derniersdiagrammes. L’élément d’espace de phase peut s’écrire∫ ∫d 4 p = p 3 dp dΩoù p dénote la norme du vecteur et dΩ est l’élément d’angle solide. Une analyse dimensionellede l’intégrand montre que quand p → ∞ il se comporte comme ∫ dp/p quidiverge lorgarithmiquement. Pour donner un sens au calcul on régularise l’intégrale enintroduisant un cut-off ultraviolet Λ UV ,∫ dpp → ∫ ΛUVdpp(4.42)L’évaluation de l’éq. (4.41) donne une expression de la forme−ig(q 2 , Λ 2 UV ) = −iλ + 3i λ 2(4π) 2 ln Λ2 UV−q 2 + termes indépendants de Λ UV (4.43)où la notation g(q 2 , Λ 2 UV ) rappelle que le résultat du calcul dépend de l’invariant physiqueq 2 et du cut-off. Considèrant maintenant le même processus à l’échelle 10 q 2 , on a :Eliminant λ à l’aide de l’équation (4.43) on ag(10q 2 , Λ 2 UV ) = λ − 3 λ2(4π) 2 ln Λ2 UV−10q 2 + · · · (4.44)g(10q 2 , Λ 2 UV ) = g(q2 , Λ 2 UV ) + 3g2 −10q2ln + · · · + O(λ 3 ) (4.45)(4π)2−q 2Dans le terme en λ 2 on a substitué λ = g ce qui est tout à fait justifié puisque le calculest mené aux deux premiers ordres de la théorie des perturbations et que l’on négligeles termes d’ordre supérieur en λ 3 ∼ g 3 . La morale de l’histoire est que si l’on exprimel’amplitude de diffusion à l’échelle 10 q 2 en fonction de celle à l’échelle q 2 , toute dépendenceexplicite en Λ UV a disparu des équations. En d’autres termes, si on fait une expérience àl’échelle q 2 pour déterminer la valeur de l’amplitude de diffusion à cette échelle, alors lathéorie prédit, par l’équation (4.45), quel sera le résultat d’une expérience à 10q 2 .En général, la série perturbative pour une quantité physique, ici g(q ′2 ) où q ′2 est uneéchelle qui caractérise l’énergie du processus étudié, construite à l’aide du paramètre λ (λcouplage dans le lagrangien) n’est pas bien définie car les coefficients du développementen λ sont infinis (dépendent du cut-off non physique Λ UV dans la théorie régularisée).En revanche, la série perturbative pour g(q ′2 ) construite à l’aide de g(q 2 ), (q 2 ≠ q ′2 ) estparfaitement définie, les coefficients de la série étant finis. On rappelle que la divergence28

des coefficients de la série en λ est due aux divergences ultraviolettes dans les diagrammesen boucle. Ce que prédit la théorie n’est donc pas la valeur de l’amplitude de diffusion,en fonction de λ et des autres paramètres du lagrangien, mais seulement la variation del’amplitude avec l’échelle d’énergie connaissant cette amplitude à une énergie donnée.On peut exprimer l’éq. (4.44) sous forme différentielle :dg(q 2 , Λ 2 UV )dq 2= 3 λ2 1(4π 2 ) q ∼ 3g2 1(4.46)2 (4π 2 ) q 2puisque λ ∼ g à l’ordre auquel on fait le calcul. Il s’ensuit, par intégration :g(q 2 ) =g(q 2 0 )1 − c g(q0 2 q2) lnq02, c = 3(4π) 2 en théorie λφ 4 . (4.47)C’est ce que l’on appelle la ”constante de couplage mobile” (running coupling). Connaissantla valeur du couplage en un point q0 2 , la théorie prédit sa valeur en tout point. Leparamètre de couplage λ dans le lagrangien est, quant à lui, appelé le ”couplage nu”. Onpeut ré-écrire l’éq. (4.45)]g(q ′2 ) =[g(q 2 ) − 3g2 −q2ln + 3g2 −q′2ln . (4.48)(4π)2Λ 2 UV(4π)2Λ 2 UVLe terme entre [ ] est la contribution du terme en arbre, exprimé en fonction du couplagerenormalisé, tandis que le dernier terme est la correction à une boucle. La forme (4.48) estla forme sous laquelle on va construire la série perturbative, c’est-à-dire directement enfonction du couplage renormalisé. Pour cela on écrit la relation entre les deux couplagessous la forme (renormalisation multiplicative) :λ = Z λ g où Z λ = 1 −3g(4π) 2−q2lnΛ 2 UV(4.49)4.1.1 Principes de la procédure de renormalisation.Une analyse systématique montre qu’il faut aussi introduire une masse renormalisée etun champ renormalisé. En fait, pour chaque paramètre, dit paramètre nu, apparaissantdans le lagrangien il faut introduire son équivalent renormalisé. On écrit le lagrangienL = 1 2 (∂ µφ B ) 2 − m2 B2 φ2 B − λ B4!φ 4 B (4.50)où l’indice B dénote les quantités nues (bare en anglais). On exprime la relation entreparamètres nus et les paramètres renormalisés par une généralisation de l’équation (4.49)φ B = Z 1/23 φ R , m 2 B = Z m m 2 R , λ B = Z λ λ R . (4.51)Les φ R , m R et λ R sont les quantités renormalisées. Pour des raisons qui vont devenirévidentes, on écrit habituellementZ m = Z 0Z 3, Z λ = Z 1Z 2 3(4.52)29

Les Z i sont de la forme éq. (4.49), c’est-à-dire qu’ils admettent un développement perturbatifen λ R . A ce point, on introduit une théorie régularisée pour donner un sensmathématique aux divergences ultraviolettes. Ci-dessus on a introduit un cut-off Λ UV .Pour QED, QCD, l’approche moderne consiste à travailler en n ≠ 4 dimensions (voir plusbas). Les relations de type (4.49) dépendent évidemment de la procédure de régularisation.Puisque l’on veut travailler directement avec les quantités renormalisées on va ré-écrire lelagrangien en fonction des φ R , m R , λ R . On trouve immédiatementL = Z 32 (∂ µφ R ) 2 − Z 02 m2 R φ 2 R − Z 14!λ R φ 4 R= 1 2 (∂ µφ R ) 2 − m2 R2 φ2 R − λ Rφ 4 R4!+ δZ 32 (∂ µφ R ) 2 − δZ 02 m2 R φ2 R − δZ 14! λ R φ 4 R≡ L R + δL (4.53)Par définition, L R est identique à L sauf qu’il est exprimé en fonction des quantitésrenormalisées tandis que δL contient les contre-termes proportionnels à δZ i = Z i − 1.Au lieu maintenant de construire la série perturbative à partir de la forme éq. (4.50),on va la construire à partir de la décomposition éq. (4.53) du lagrangien. Les règles deFeynman pour L R sont les mêmes que celles pour L sauf qu’elles concernent maintenantles quantités renormalisées. Pour avoir la même théorie que celle en éq. (4.50) il faudraalors ajouter la contribution des contre-termes qui seront choisis de façon à compenserles divergences engendrées par les boucles de L R (cf. éq. (4.48)). Ces contre-termes sonttraités comme des couplages et correspondent à de nouveaux diagrammes de Feynmandont les règles sont:= −iλ R δZ 1 , contre-terme du vertex= ip 2 δZ 3 , contre-terme de la fonction d’onde= −im 2 R δZ 0, contre-terme de masse(4.54)Par exemple, pour la fonction à 4-points déjà considérée on aura à calculer la série dediagrammesq’ = + 3 + 3où, dans ce cas, seul le contre-terme de vertex entre en jeu, L’application des règles deFeynman donne alors, en accord avec l’éq. (4.48)−ig(q ′2 ) = −iλ R + i 3λ2 R Λ2ln(4π)2−q − (iλ R) 3λ R −q2ln ′2 (4π)2Λ . (4.55)2où la contribution du contre-terme est le dernier terme à droite.30

4.1.2 Résumé et discussionDans les calculs d’ordre supérieur (calculs en boucles) en théorie des champs, apparaissentdes divergences ultraviolettes dans les coefficients du développement perturbatif.Pour donner un sens à la théorie il faut la renormaliser. La procédure de renormalisationse décompose en plusieurs étapes :– on exprime, à priori, le lagrangien en fonction des paramètres renormalisés et on écritles contre-termes ;– on régularise la théorie pour donner un sens mathématique aux divergences ; on utiliserala régularisation dimensionnelle où l’espace de phase est en dimension n et les divergencesapparaissent comme des pôles en 1/ε où ε = n − 4 ;– on choisit les contre-termes de façon à compenser les divergences ; différents choix decontre-termes, qui diffèrent par des termes finis, mènent à différents schémas de renormalisation.Les paramètres renormalisés dépendent d’une échelle de masse caractéristiquedu probème considéré. Les coefficients du développement perturbatif de n’importe quelobservable, sont alors finis (si la théorie est renormalisable) et, à l’ordre auquel on fait lecalcul, tous les schémas de renormalisation donne le même résultat.L’origine des divergences ultraviolettes est lié au fait que l’on suppose la théorie valablequelque soit l’échelle d’énergie considérée, en particulier quand |q 2 | → ∞. Par les relationsd’incertitude de Heisenberg cela correspond à des distances infiniment petites. Ceci est àcontraster avec la situation habituelle en physique où les lois ont un domaine de validitélimité. Par exemple, la physique atomique est caractérisée par une longueur l ≃ 1 Å=10 −10 m alors que la physique nucléaire est caractérisée par l ≃ 1 fm = 10 −15 m. Celacorrespond respectivement à des énergies de l’ordre de 1 eV et 100 MeV tandis que ledomaine de la physique des particules est de 1 GeV et au delà.Toute la connaissance de la physique nucléaire nécessaire à la physique atomique serésume à quelques constantes comme la masse et la charge du noyau. De même, laphysique des particules utile à la physique nucléaire se réduit à la connaissance de la massedu proton, du neutron, du pion et du couplage πNN. Donc l’étude de la physique à uneéchelle donnée n’a pas besoin des détails de la physique à une échelle de distance beaucoupplus petite: seule la valeur de quelques constantes suffit. La procédure de renormalisationramène le cas de la théorie des champs à une situation habituelle en physique puisquetoutes les complications liées aux divergences ultraviolettes peuvent être éliminées parune re-définition de quelques paramètres tels que masse, couplage, normalisation de lafonction d’onde.Avant de passer aux détails des calculs on peut faire la remarque suivante concernantle couplage mobile. Si dans le lagrangien, éq. (4.40) on avait choisi m = 0, il n’y aurait paseu d’echelle de masse explicite dans la théorie puisque λ est sans dimension. On aurait pudéfinir le couplage mobile et on aurait alors trouvé l’éq. (4.47) qui dépend explicitementd’une échelle de masse. Ceci peut paraître paradoxal mais c’est une conséquence de laprocédure de renormalisation car, pour définir le couplage renormalisé, on a du d’abordrégulariser la théorie par l’introduction d’un cut-off ce qui a implicitement introduit uneéchelle de masse.31

4.2 Analyse dimensionnelleLa ”régularisation dimensionnelle” [32] consiste à travailler dans un espace à n dimensions,n = 4 − 2ε ,et à la fin des calculs prendre la limite ε → 0. Il est important d’utiliser une procédure quipréserve les invariances de la théorie. Le cut-off utilisé précédemment brise l’invariancesous les translations, puisqu’il met une borne sur l’intégration de l’impulsion interne.Pour QED et QCD, théories covariantes de Lorentz, ce choix n’est pas approprié ∗∗ etl’on préfere utiliser la régularisation dimensionnelle qui respecte l’invariance de la théoriesous les translations ainsi que l’invariance de jauge.On utilise QED comme exemple.dimension∫S =On rappelle que l’action est une quantité sansd n x L(ψ, ¯ψ, A µ ).Les paramètres (champs, couplage) voient leur dimension, exprimée en unité de masse,affectée lorsque l’on passe de ∫ d 4 x à ∫ d n x. Si on dénote la dimension de ψ par le symbole[ψ], · · · , on a alors[S] = 0 , [d n x] = −n.D’où, de façon évidente,[ ¯ψ∂ µ ψ] = n ⇒ [ψ] = n−1 [∂2 µ A ν ∂ µ A ν ] = n ⇒ [A µ ] = n−22[e ¯ψ ̸Aψ] = n ⇒ [e] = 4−n = ε [m ¯ψψ] = n ⇒ [m] = 12(4.56)Le résultat important est que la charge électrique (couplage) acquiert une dimension ε.Dans la théorie régularisée à n-dimensions, la charge sera alors écriteeµ ε , µ paramètre de masse arbitraire.Le terme µ ε va jouer un rôle important dans la procédure de renormalisation : il va tenir lerôle du point de soustraction −q 2 dans la discussion précédente utilisant la régularisationpar un cut-off. Si en régularisation dimensionnelle le couplage est modifié les propagateurs,eux, ne sont pas modifiés.Lors du calcul des intégrales en boucles on devra typiquement évaluer :∫( )(eµ) 2ε d n k 1e 2 4πµ2 εΓ(1 + ε)= i(2π) n (k 2 − M 2 ) 2 (4π) 2 M 2 ε[ ( ) ]= i e2 1 µ24π ε + ln 4π − γ + ln + O(ε 2 )M 2(4.57)4.3 Renormalisation de QED à une boucle.Le lagrangien QED, exprimé en fonction des quantités nues, estL = − 1 4 F Bµν F µνB + ¯ψ B (i ̸∂ − e B ̸A B )ψ B + m B ¯ψB ψ B . (4.58)∗∗ Voir cependant le cours d’Olivier Pène et la régularisation ”sur réseau”.32

On introduit les champs, couplage, masse renormalisés en relation avec leur équivalent nuA µ B = Z1/2 3 A µ , m B = Z 0Z 2m ,Le lagrangien se décompose alors L = L R + δL avec1ψ B = Z 22 ψ , e B = Z 1eµ ε (4.59)Z 2 Z 1/23L R = − 1 4 F µνF µν + ¯ψ(i ̸∂ − eµ ε ̸A)ψ + m ¯ψψ (4.60)exprimé en fonction des quantités renormalisées etδL = − 1 4 (Z 3 − 1)F µν F µν + (Z 2 − 1) ¯ψi ̸∂ψ − (Z 1 − 1)eµ ε ¯ψ ̸Aψ − (Z0 − 1)m ¯ψψ. (4.61)Le lagrangien renormalisé L R donnent les règles de Feynman usuelles tandis que δL introduitde nouvelles règles associées aux contre-termes. Les contre-termes sont traitéscomme des termes d’interaction et on obtient les diagrammes suivants:(Z 0 − 1)m ¯ψψ → = −im(Z 0 − 1) c.terme de masse(Z 2 − 1) ¯ψi¯∂ψ → X = i ̸p(Z 2 − 1) c.terme de fn. d’onde(Z 1 − 1)eµ ɛ ¯ψAψ → = −ieµ ɛ γ α (Z 1 − 1) c.terme de couplage− 1 4 (Z 3 − 1)F µν F µν → X = i(q µ q ν − q 2 g µν )(Z 3 − 1) c.terme de fonctiond’onde du photonEn QED, à l’approximation d’une boucle il faut calculer 3 types de diagrammes pourlesquels va maintenant citer les résultats.4.3.1 Polarisation du vide : calcul de Z 3 .On considère ”la polarisation du vide” donnée par les diagrammes à 2 photons externes,à l’ordre d’une boucle. On suppose les photons externes hors-couche q 2 < 0 :p-q→ qµ ν+XpOn dénote iΠ µν (q) ces contributions et on a donc,iΠ µν (q) = iΠ boucleµν (q) + i(Z 3 − 1)(q µ q ν − q 2 g µν ). (4.62)On peut calculer la boucle explicitement ou remarquer que l’invariance de jauge imposeΠ boucleµν (q) = (q µ q ν − q 2 g µν )Π boucle (q 2 ) (4.63)où Π boucle (q 2 ) est une fonction scalaire. Il suffit alors de calculer la traceΠ µ µ (q2 )| boucle = (2ε − 3) q 2 Π boucle (q 2 ).33

L’application des règles de Feynman donne le résultat :Π(q 2 ) = Z 3 − 1 + 1 3 (1 ε + ln 4π − γ)α π − 2α π∫ 10dx x(1 − x) ln m2 − q 2 x(1 − x)µ 2 (4.64)Schémas de renormalisationLe choix du contre-terme pour compenser la divergence définit le schéma de renormalisation:• schéma MS: ”minimal subtraction scheme” (’t Hooft, Veltman)Z 3 −1| MS = − α3πε ⇒ ΠMS (q 2 ) = α ∫ 13π (ln 4π−γ)−2α dx x(1−x) ln m2 − q 2 x(1 − x)π 0µ 2 (4.65)• schéma MS: (Buras, Bardeen, ...)Z 3 −1| MS = − α 3π (1 ε +ln 4π−γ) ⇒ ΠMS (q 2 ) = − 2α π∫ 10dx x(1−x) ln m2 − q 2 x(1 − x)µ 2 (4.66)Il permet de se débarasser d’inutiles facteurs ln 4π − γ dans les quantités renormalisées.• schéma ON (schéma physique ou sur couche de masse): c’est le schéma adopté dansla discussion de λφ 4 . On soustrait le contre-terme à q 2 = 0 (condition ”on shell”)en imposant la contrainteΠ(q 2 = 0)| ON = 0, (4.67)d’oùet doncZ 3 − 1| ON = − α 3π (1 ε + ln 4π − γ) − α 3πΠ(q 2 )| ON = − 2α π≃− α 3π∫ 10lnm2µ 2dx x(1 − x) ln m2 − q 2 x(1 − x)m 2Ce genre de conditions est souvent utilisé en QED.ln−q2m 2 quand q 2 → ∞, (−q 2 >> m 2 ) (4.68)On voit que les différents schémas de renormalisation diffèrent par des termes constants.4.3.2 Conséquence et applicationLe propagateur du photon est modifié par l’insertion de boucles et contre-termes. Pourle diffusion eµ, par exemple, on peut calculer la série complète34

e µ+ + + ... +X + X + ...= =1 2L’amplitude de diffusion s’obtient après sommation de la série géométrique et on a :ū 1 γ µ u 1−iq 2 (gµν − qµ q νq 2 )ū 2γ ν u 2e 2 R1 + Π R (q 2 ) = e 2 R1 + Π R (q 2 )ū1γ µ u 1−iq 2 ū2γ µ u 2 (4.69)On choisit de travailler dans le schéma de renormalisation ON (physique). Dans ce schémaela charge est, par définition, la valeur de la constante2 ON= 1+Π ON (0) e2 ON à q2 = 0 (voir éq.(4.67)). On trouve par une mesure expérimentale queα ON = e2 ON4π = 1137, 0359895 , (4.70)valeur que l’on dénote habituellement par α. A une valeur q 2 , la charge effective serasoite 2 ON(q 2 ) =e 2 ON1 + Π ON (q 2 ) = e 2 ON1 − e2 ON12π 2 ln −q2m 2 , −q 2 >> m 2α ON (q 2 ) =Au LEP, par exemple, q 2 = M 2 Z = (90 GeV)2 , on auraα ON (M 2 Z) =α1 − α ln , |q 2 | >> m 2 (4.71)|q2 |3π m 21/1371 − 1 1ln ≃ 1M Z2 128137 3π m 2qui est la valeur utilisée pour l’analyse des résultats expérimentaux. La prise en comptedes termes d’ordre supérieur de la théorie des perturbations implique donc que la chargeélectrique effective dépend des conditions cinématiques de l’observation.Remarque : Attention! On n’a considéré dans la discussion qu’une partie des diagrammesà une boucle ce qui est justifié pour QED comme on le verra plus bas. Le calcul correctet complet doit prendre en considération tous les diagrammes du même ordre en α queceux considérés ici.4.3.3 Self-énergie du fermion (calcul de Z 0 , Z 2 ) et du vertex (Z 1 )On considère maintenant le diagramme à deux fermions externes supposant, pour le moment,le fermion légèrement hors couche (p 2 ≠ m 2 ). Il y a trois diagrammes à prendre encompte:← kpp+k+ X + =35

−iΣ boucle (p) + i ̸p(Z 2 − 1) + (−im)(Z 0 − 1) = −iΣ(p)contre-terme contre-termede fn. d’onde de masse(4.72)La renormalisation s’obtient dans le schéma MS par le choix des contre-termes :Z 0 − 1| MS = − α Γ(1 + ε)(4π)ε = − α π ε π (1 + ln 4π − γ)εZ 2 − 1| MS = − α Γ(1 + ε)(4π)ε = − α 4π ε 4π (1 + ln 4π − γ), (4.73)εet la forme du propagateur renormalisé dans ce schéma sera donc˜S F (p)| MS =i̸p − m − Σ(p)| MS + iɛPour le vertex, les diagrammes à considérer sont :(4.74)p+kα↓q+↓qp← kp'Il suffira, pour déterminer la partie divergente, de choisir une cinématique particulièresimple, par exemple q = 0 ⇒ p = p ′ . On a alorsΛ α (p, p) = Λ boucleα (p, p) + (Z 1 − 1)γ∫ α= (Z 1 − 1)γ α − i(eµ ε ) 2 d n k(2π) γ 1n ρ̸p+ ̸k − m + iɛ γ 11α̸p+ ̸k − m + iɛ γρ k 2 + iɛLe choixZ 1 − 1| MS = Z 2 − 1| MS = − α 4πrendra le vertex renormalisé fini dans le schéma MS.pp'( 1ε + ln 4π − γ )(4.75)Remarque : La relation Z 1 = Z 2 + éventuellement des termes finis est une relationgénérale, valable à tous les ordres de la théorie des perturbations, conséquencede l’invariance de jauge de la théorie. C’est un cas particulier des identités de Ward-Takahashi.En résumé, nous avons calculé dans les sections précédentes les contre-termes Z i quirendent l’électrodynamique quantique finie dans l’approximation à une boucle de la théoriedes perturbations. C’est à dire que tout processus physique calculé dans cette approximationn’aura pas de divergences ultraviolettes et le résultat du calcul devra être fini. Dans leschéma MS les contre-termes dans les équations (4.66), (4.73), (4.75) sont respectivement:Γ(1+ε)(4π)→ Z 3 = 1 + c ε e 23 , cε 3 = − 112π 2Γ(1+ε)(4π)→ Z 2 = 1 + c ε e⎫⎪ 22 , cε 2 = − 1 ⎬16π 2en MS⎪Γ(1+ε)(4π)→ Z 1 = 1 + c ε e ⎭ 21 , cε 1 = c 236

Le calcul d’un processus physique quelconque à l’ordre d’une boucle nécessitera évidemmentle calcul complet de tous les diagrammes et non seulement celui de la partie divergentedans l’ultraviolet. On pourra alors obtenir les corrections d’ordre α par rapportau terme de Born. C’est ainsi que l’on peut calculer le moment magnétique anormal del’électron ou du muon.4.3.4 Conséquence : la fonction β(α) et le couplage mobile.Nous avons montré de façon intuitive comment les corrections d’ordre supérieur modifiaientla constante de couplage et comment il était naturel d’introduire un couplage mobile(dépendant de la variable d’énergie du problème considéré). On va introduire maintenantde façon plus formelle et générale le couplage mobile.Le point de départ est la relation éq. (4.59) entre couplage nu, couplage renormaliséet les fonctions Z ie B = eµ ε Z 1Z 2 Z 1 23(4.76)avec, dans le schéma MS, des Z i de la forme2 Γ(1 + ε)Z i = 1 + c i e (4π) ε (4.77)εDans le cadre de l’approximation à une boucle (approximation d’ordre e 2 ) on peut toujoursré-écrireZ 1e 2≡ ZZ 2 Z 1 e = 1 + C e (4.78)2 ε3où la constante C e est connue dès que les Z i le sont, puisque(C e = c 1 − c 2 − c )3Γ(1 + ε)(4π) ε (4.79)2Dans nos notations simplifiées on a donc e B = eµ ε Z e (e) où e(µ), le couplage renormalisé,est une fonction de µ. On introduit de façon traditionnelle la fonction β(e), dite fonctionβ de Gell-Mann/Low,β(e) ≡ µ dedµ = ded ln µ . (4.80)Le couplage e B est évidemment indépendant de µ : en effet, la masse µ et le couplagerenormalisé ne sont introduits que lorsqu’on sépare la densité lagrangienne entre unepartie ”renormalisée” et les contre-termes. On a doncµ de Bdµ ≡ 0 ⇒ µ ddµ (eµε Z e (e)) ≡ β(e)µ ε Z e (e) + εeµ ε Z e (e) + eµ ε µ dZ e(e)dµAprès un calcul un peu subtil, on voit que les termes en 1/ε disparaissent et que= 0. (4.81)β(e) ≃ 2C e e 3 (4.82)37

où C e est connu, via l’équation (4.79). Il est traditionnel de définir, plutôt que β(e) dansl’équation (4.80), la fonctionβ(α) =dαd ln µ = 12 4πde 2d ln µ 2 ⇒ β(α) = e4πβ(e). (4.83)D’où par l’éq. (4.82), β(α) = 8πC e α 2 = α2 , qui montre que la constante de couplage α3πcroît quand µ croît. Intégrant cette équation différentielle, on obtient le couplage mobilesous sa forme usuelle,α(µ 2 α(µ 2) =0)(4.84)1 − α(µ2 0 ) µ2ln3π µ 2 0On remarque par comparaison avec l’équation (4.71) que l’évolution en masse (q 2 ≡ µ 2 )des fonctions α ON (q 2 ) et α(q 2 ) ≡ α MS (q 2 ) est identique. Les deux fonctions diffèrent parles conditions aux limites ce qui est normal puisque les fonctions sont définies dans desschémas de renormalisation différents.La relation du type de B≡ 0 (éq. (4.59) n’est qu’un cas particulier des équations dudµgroupe de renormalisation qui jouent un rôle fondamental en théorie des champs. Ellesexpriment que les prédictions physiques (observables) ne doivent pas dépendre du choixde la procédure de régularisation ni du schéma de renormalisation. En particulier, l’éq.(4.84) exprime comment le couplage α(µ) doit varier en fonction de µ pour que, quand le”point de renormalisation” µ varie, les prédictions physiques soient indépendantes de µ.4.4 Renormalisation de QCD à une boucleOn rappelle les règles de Feynman de QCD (voir 3). Pour renormaliser la théorie on doitprocéder comme pour QED, c’est-à-dire, partir de L QCD (ψ iB , A a µB , g B, ...) et exprimercette densité lagrangienne en fonction des quantités renormalisées et des contre-termes.Notre but ici étant seulement le calcul du couplage mobile on se contentera de partir dela relationg B = Z 1√ gµ ε (4.85)Z 2 Z3concernant le couplage gluon-fermion-fermion. Les Z i ont la même signification qu’enQED : Z 1 contre-terme du vertex, Z 2 contre-terme de la fonction d’onde du quark (onsupposera les quarks de masse nulle donc pas de Z 0 ), Z 3 contre-terme de la fonction d’ondedu gluon. Le calcul est effectué en jauge covariante, le propagateur du gluon étant choiside la forme :δ abiq 2 + iɛ(−g µν + (1 − a) q µq νq 2 + iɛavec a = 0 en jauge de Landau utilisée ci-dessous.successivement Z 2 , Z 3 et Z 1 .)Nous allons maintenant calculer4.4.1 Calcul de Z 2C’est le contre-terme de la fonction d’onde du quark. Il n’y pas lieu de calculer le contretermede masse δZ 0 puisque les quarks sont supposés de masse nulle (m B = m = 0). Les38

diagrammes à considérer sont similaires à ceux de QED avec essentiellement le facteur decouleur en plus :liLe diagramme en boucle s’écrit :−i Σ boucle = (−igµ ε ) 2 < T aikT a kj >j+i j= −iΣ boucle (p) + (Z 2 − 1)i ̸p∫d n l(2π) n γ µi(̸p+ ̸l)(p + l) 2 + iɛ γ νil 2 + iɛ (−gµν + (1 − a) lµ l νl 2 )où la seule différence avec QED est le calcul du facteur de couleur (voir le vertex fermionfermion-gluonen sec. 3.2) :g 2 ∑ a(T a T a ) ij = g 2 < c F > δ ij = 4 3 g2 δ ijaprès avoir sommé sur l’indice de couleur du gluon et du quark interne. Le résultat est :Σ boucle (p) = −a < c F >Γ(1 + ε)ε( ) 4πµ2 εg 2(1 + ε) ̸p−p 2 16π2 Comme on travaille en jauge de Landau on a alors trivialement,Σ boucle (p) = 0et donc nécessairement Z 2 | MS = 1 puisqu’il n’y a pas de divergence à compenser! Onpeut remarquer que ce résultat est différent de celui en jauge de Feynman, a = 1, commeon peut s’en rendre compte si on le compare avec le calcul de la self-énergie de l’électrondécrit plus haut. Ceci illustre le fait que les diagrammes de Feynman ne sont pas individuellementindépendants de jauge alors que les observables physiques le sont.4.4.2 Calcul de Z 3Le calcul de ce contre-terme est bien plus compliqué et il met en jeu des diagrammestypiques d’une théorie non abélienne puisqu’ils contiennent des couplages à trois ou quatrebosons de jauge. Il faut évaluer :iπ µν (q) = ajib+ + + +Dans une notation évidente on décompose le diagramme de polarisation du gluon en unesérie de termes :Π µν (q) = Π µνF(q) + Πµν g(q) + Πµνgh(q) + Πµν 4g (q) + (Z 3 − 1)(q µ q ν − q 2 g µν ).- Π µνF(q) : ce diagramme contient une boucle fermionique et du point de vue structurede Lorentz il est similaire au diagramme de polarisation du vide en QED. Aucun nouveau39

calcul n’est nécessaire pour évaluer l’intégrale sur l’impulsion interne. Quant à la partiede couleur, elle est simplement :T aij T b ji = T rT a T b = δab2 .Cependant puisque chaque espèce de quark léger contribue à part égale (quarks de massenulle) il faudra multiplier le résultat par N F , le nombre de saveurs considérées. AinsiΠ µνF (q) = < N δ abF2 > Πµν (q)| QED= < N Fδ ab( )2 > g2 4πµ2 εΓ(1 + ε)12π 2 −q 2 ε(1 + ε )(q µ q ν − q 2 )g µν6- Π µν4g (q) : c’est le diagramme de type ”tadpole”, le seul qui fasse intervenir le couplageà quatre gluons. Il se trouve être égal à 0 en régularisation dimensionnelle.- Π µνg (q) : c’est le diagramme avec la boucle de gluons; le calcul de l’intégrale surl’impulsion est très long mais ne présente aucune difficulté majeure et nous nous borneronsà citer le résultat. Quant au facteur de couleur c’est simplement :dab~ f acd f bcd ~ N c δ abOn trouve finalement :( )Π µνg (q) = − < N cδ ab > g2 4πµ2 εΓ(1 + ε)16π 2 −q 2 εc( 73 qµ q ν − 2512 q2 g µν )On constate aisément que le calcul n’est pas complet car la condition de transversalitén’est pas satisfaite : q µ Π µνg ≠ 0, ce qui est une manifestation de la non-invariance de jaugede ce diagramme. En effet, il faut calculer la contribution de la boucle avec fantômes.- Π µνgh(q) : l’application des règles de Feynman permet d’écrire facilement avec lesconventions de la figure (attention aux signes!) :qdk+qackbiΠ µνgh (q) =< N cδ ab >( ) g2 4πµ2 ε (Γ(1 + ε) 116π 2 −q 2 ε 6 qµ q ν + 1 )12 q2 g µνEn combinant tous les termes, on arrive finalement à déterminer le contre-terme de lafonction d’onde du gluon, dans le schéma MS,〈 13(Z 3 − 1)| MS=6 N c − 4 〉 g26 N Γ(1 + ε)F(4π) ε (4.86)16π 2 ε40

4.4.3 Calcul de Z 1Il y a trois diagrammes :ap'cjµ+ abl + µapi−igµ ε Λ µ (p, p ′ )| boucle + (−igµ ε ) (Z 1 − 1) T aij γµ- La première boucle (avec 2 fermions internes) est de la même forme qu’en QED saufpour les facteurs de couleur. La partie divergente est en relation avec la partie divergentede la ”self-energie” du fermion et nous avions trouvé que Z 1 = Z 2 . Cette relation estvraie en jauge de Landau et ce diagramme n’a donc pas de divergence ultraviolette.- La seconde boucle a le facteur de couleurf abc T bil T clj = f abc (T b T c ) ij = f abc 1 2 [T b , T c ] ij⇒ i < c A2 > T aij = i < N c2 > T aij (4.87)Après avoir évalué la partie de Lorentz (calcul fastidieux), on peut déterminer le contretermedans le schéma MS et on trouve :〈〉Nc 3 g 2 Γ(1 + ε)(Z 1 − 1)| MS = −(4π) ε (4.88)2 2 16π 2 εEn résumé, dans la notation de l’éq. (4.77), la valeur des contre-termes Z 1 , Z 2 , Z 3 estc 1 = − 3 N ⎫4 c Γ(1+ε)(4π)ε16π ⎬ 2c 2 = 0c 3 = ( 13N c− 4 N ) Γ(1+ε)(4π) ε ⎭ ⇒ C g = − 1 ( 1132π 2 3 N c − 2 )3 N F6 6 F 16π 2où l’on a évidemment défini C g = c 1 − c 2 − c 32.4.4.4 Le couplage mobile α s et définition de Λ QCDNous sommes maintenant en mesure de calculer la fonction β(α s ) de QCD (où α s =g 2 /4π est la ”constante de structure fine” de la chromodynamique quantique) ainsi quele couplage mobile. Utilisant les résultats ci-dessus dans les éqs. (4.82, 4.83) il vientd’où le couplage mobileβ(α s ) ≡dα sd ln µ = − 12 4π( 113 N c − 2 3 N F)α s (µ) =α s (µ 0 )1 + (11Nc−2N F )12πα s (µ 0 ) ln µ2µ 2 0. (4.89)41

Le couplage décroît donc quand µ croît si 11N c − 2N F > 0 (nombre de saveurs de quarksinférieur à 17) : c’est la propriété de liberté asymptotique [24].On retrouve le résultat pour QED si N c = 0 et N F < 1 2 >= 1 (pour un fermionsans couleur). Le terme proportionnel à N c dans l’équation ci-dessus, associé aux termes”non-abéliens” avec couplage à trois gluons, est responsable de la propriété de libertéasymptotique (il est positif) tandis que le terme dépendant de N F , qui vient uniquementde la boucle fermionique, est négatif comme en QED. On peut se rappeler le signe relatifentre ces deux types de contributions en se souvenant que les boucles de fermions ont unfacteur (−1) supplémentaire dû à la statistique de Fermi-Dirac.Pour le calcul de α s nous avons considéré le couplage quark-gluon-quark. Nous aurionsaussi bien pu choisir le couplage à trois gluons où le couplage fantôme-gluon-fantôme,calculer les facteurs Z i correspondants et en déduire les fonctions β(α s ) relatives à cescouplages. L’invariance de jauge de QCD implique certaines relations entre les Z i (invarianceBRS (Becchi, Rouet, Stora) en QCD) qui sont l’équivalent de la relation Z 1 = Z 2en QED. Ces relations impliquent que l’on obtient la même fonction β(α s ) quelque soitle couplage étudié.Comme application on considère la diffusion quark-quark †† et on travaille à ”l‘approximationdes logarithmes dominants” c’est à dire que l’on néglige les termes d’ordre α s comparésaux termes d’ordre 1 et α s ln(−q 2 /µ 2 0 ) où q est l’impulsion de transfert du processus.2q→q 1 q 2théorie=+ +...L’amplitude de diffusion au carré, c’est à dire à un facteur de proportionalité près lasection efficace différentielle, s’écrit théoriquement (voir l’éq. 4.69:⎛|M q 1q 2 →q 1 q 2| 2 ≡ ⎝α s (µ 0 )⎞2⎠1|ū 2 γ µ u 2q ū1γ µ u 2 1 | 2 (4.90)1 + (11Nc−2N F )12πα s (µ 0 ) ln( −q2µ 2 0On choisira une valeur de µ 0 arbitraire et on déterminera alors la valeur numérique deα s (µ 0 ) de façon que la normalisation du membre de droite soit en accord avec le résultatexpérimental à une impulsion de transfert quelconque. La chromodynamique quantiquesera alors capable de prédire la dépendance en q 2 de la diffusion quark-quark et biend’autres choses d’ailleurs.On aurait pu effectuer la renormalisation à une autre échelle µ 1 ≠ µ 0 et obtenir uneéquation similaire à celle ci-dessus avec µ 0 → µ 1 . La relation éq. (4.89) exprime quela théorie renormalisée à l’échelle µ 0 et celle renormalisée à l’échelle µ 1 donnent lesmêmes prédictions physiques. Il est clair, par des arguments généraux que les prédictionsthéoriques ne dépendent pas du choix du point de renormalisation : en effet, on rappelleque toute la physique est contenue dans L(ψ iB , A µB , g B, ...) et l’éq. (4.89) exprime juste-†† La diffusion quark-quark est une ”expérience de pensée” : il faut utiliser le modèle des partons pourpasser de la diffusion parton-parton à diffusion hadron-hadron qui est l’observable.42)2

ment l’indépendance du couplage nu g Bpar rapport au point de renormalisation (voir l’éq.(4.81)). Les sceptiques peuvent vérifier explicitement ce résultat sur l’exemple ci-dessus.L’analogue de l’éq. (4.90) pour la théorie renormalisée à µ 1 est :⎛|M q 1q 2 →q 1 q 2| 2 ≡ ⎝1 + (11Nc−2N F )12πα s (µ 1 )α s (µ 1 ) ln( −q2µ 2 1⎞⎠)2|ū 2 γ µ u 21q 2 ū1γ µ u 1 | 2 (4.91)Injectant l’éq. (4.89), avec µ = µ 1 , dans cette équation et négligeant tous les termes enαs 2 on retrouve exactement l’éq. (4.90).Le couple de valeurs (µ, α s (µ)) ne correspond pas à deux variables indépendantes maisà une seule puisqu’elles sont contraintes pour pouvoir décrire la même physique quelquesoit µ. Mathématiquement cela s’exprime par le fait que l’on peut introduire une échellede masse unique qui déterminera complètement le couplage mobile. En effet, on peutécrire l’équation (4.89):avecα s (µ) =11α s(µ 0 ) + 11Nc−2N F12πln µ2µ 2 0()Λ 2 = µ 2 12π0 exp −(11N c − 2N F )α s (µ 2 0)=1b ln µ 2 /Λ 2 (4.92)et b =12π11N c − 2N F(4.93)Λ est la constante fondamentale de QCD que l’on détermine expérimentalement. Sur labase d’une compilation des données expérimentales [33] on trouve :ou, de façon équivalente,Λ N F =5MS= 210 +34−30 MeV (4.94)α s (M Z ) = .1182 ± .0027dans le schéma MS, dans un monde avec 5 saveurs de quarks légers.On peut comparer la situation en QCD avec celle en QED. La constante de structurefine de QED α = 1/137, 0359895 pourrait paraître plus fondamentale que celle de QCDα s (M Z )| MSpour laquelle il faut spécifier, le schéma de renormalisation ainsi qu’une valeurde l’énergie. En fait il n’en n’est rien et la situation est identique dans les deux cas (hormisla précision des mesures expérimentales!). En effet, la valeur de α ci-dessus est donnée, defaçon traditionnelle dans le schéma de renormalisation sur couche de masse (schéma ONde la section 4.3) dans la limite où les impulsions → 0. Comme jusqu’à récemment c’étaitle seul schéma de renormalisation utilisé en QED on ”oubliait” de le préciser. Dans leschéma MS la valeur de α serait différente et elle peut être calculée avec les formules dela section 4.3. La différence avec QCD réside dans le fait qu’il n’est pas possible de définirun schéma ON en chromodynamique car les quarks et les gluons étant confinés dans leshadrons ils ne sont pas sur leur couche de masse. D’autre part, il n’est pas possible deprendre la limite des impulsions nulles car en théorie perturbative le couplage n’est alorsplus défini puisqu’il tend vers l’infini.Le concept de liberté asymptotique est illustré par la fig. 7 où l’on voit clairement ladécroissance du couplage fort en fonction de l’échelle de masse.43

Figure 7: Compilation des résultats expérimentaux illustrant la liberté asymptotique :décroissance du couplage fort avec l’échelle d’énergie [33].5 Violations de l’invariance d’échelle dans les fonctionsde structureDans la discussion précédente nous n’avons étudié que les diagrammes en boucles. Nousavons extrait de ces diagrammes la partie divergente dans l’ultraviolet (∼ 1/ε) et nousavons vu que, par la renormalisation, on pouvait absorber ces singularités et définir uncouplage mobile. Par exemple, si on considère les diagrammes suivants de la diffusionqq → qq à grande impulsion de transfert [Q = √ −q 2 ]M B == α s A B α sM v =+ + +...↑-q 2 =Q 2leur contribution à la section efficace est de la formeσ V ∼ |M B + M V | 2 ≃ |M B | 2 + 2Re M B M ∗ V∼ α 2 (Q) ( )|AMS B | 2 + 2 α MS(Q) ReA B B V44

si l’on a effectué la renormalisation dans le schéma MS, et la contribution B V des diagrammesen boucle n’a plus de singularité ultraviolette. A ce point, cependant, le calcul dela section efficace n’est pas complet, car au même ordre contribuent aussi les diagrammes”réels” correspondant à la production de quanta sur couche de masse (”réels”). Ce sontles processus du type 2 corps → 3 corps tels quep 1kM R =+ +p 2p 3p 4k+...dont la contribution à σ est de la forme σ R ∼ |M R | 2 qui est d’ordre α 3 . Ces termesMSne peuvent avoir de divergences ultraviolettes puisque l’énergie des partons finals estlimitée par l’énergie initiale finie. En revanche, ils possèdent des ”divergences colinéaires”ou ”singularités de masse” ainsi que des ”divergences infrarouges”. Ainsi, le premierdiagramme correspondant à l’émission d’un gluon par un quark incident conduit, quandon intègre sur l’espace de phase du gluon, à un terme dans σ R du type∫I div =∫ √ sdk d cos θ dϕ(p 1 − k) 2 − m = 220∫ +1 ∫ 2πdk d cos θ dϕ−101−2p 1 .k(5.95)où √ s/2 est l’énergie maximale que peut avoir le gluon dans le repère du centre de masse.Dans ce repère on a (on donne une masse m fictive au quark) :(√ ) sp 1 =2 , 0, 0, p , p = 1 (s − 4m2 )1 √ s2 ∼22 − √ m2quand √ m

oucles. Ne nous intéressant alors qu’au comportement dans l’ultraviolet, nous n’avionspas cherché à les mettre en évidence.En résumé, la structure d’un calcul perturbatif aux deux premiers ordres, avant renormalisation,est la suivante, dans le cas où on introduit Λ UV régulateur ultraviolet, λrégulateur IR, m le régulateur colinéaire (F symbolise les fonctions de structure, ⊗ la convolutionavec les sections partoniques et Q l’échelle caractéristique du processus étudié),σ B = α p F ⊗ ̂σ(σ V = α p+1 F ⊗ a ln Λ UVQ + b 1 ln Q λ ln Q m + b 2 ln Q λ + b 3 ln Q )m + c (σ R = α p+1 F ⊗+b ′ 1 ln Q λ ln Q m + b′ 2 ln Q λ + b′ 3 ln Q )m + c′où la première ligne est la section efficace dans l’approximation de Born, c’est à dire àl’ordre le plus bas en α (ici d’ordre p), tandis que les deux lignes suivantes symbolisentrespectivement la contribution des diagrammes virtuels et réels d’ordre supérieur.On peut prouver que b 1 + b ′ 1 = b 2 + b ′ 2 = 0. C’est le théorème de Lee-Kinoshita-Nauenberg [34] : les divergences infrarouges se compensent entre diagrammes réels etvirtuels. Donc, après renormalisation, et après compensation des singularités IR on aσ = α(̂σ p (Q)F ⊗ + αMS MS(Q)(b 3 + b ′ 3 ) ln Q )m + α (Q)(c + c′ )MSoù on a effectué la renormalisation dans le schéma MS et on a choisi Q comme échellede renormalisation. De façon similaire à la renormalisation, on peut éliminer de cetteexpression les divergences colinéaires par une redéfinition des fonctions de structure quiacquièrent alors une dépendence en une variable de masse [25], ici Q : c’est-à-dire quede telle sorte queF → F MS(Q)σ = α p MS (Q) F MS (Q) ⊗ (̂σ + α MS(Q)(c + c ′ ) ) (5.98)On dit que les fonctions de structure ainsi définies violent l’invariance d’échelle. Commedans le cas du couplage mobile, on pourra définir F (Q) de plusieurs façons (par exemple,F MS(Q), F MS(Q), F DIS (Q), ...) suivant les termes finis que l’on inclut dans la relationentre F et F i (Q). Cette propriété, qui consiste à définir F i (Q) à partir de F est uneillustration du théorème de factorisation : les divergences de masse sont factorisées dusous-processus partonique dur (c’est-à-dire de la série ̂σ + α MS(c + c ′ ) + ...) et associéesaux pattes externes modifiant ainsi les distributions des partons dans les hadrons.5.1 Violations d’invariance d’échelle : approximation des logarithmesdominants.Cet exemple a été traité en détail, à l’approximation de Born (ordre (0)), en sec. 2.1.On simplifie par rapport à cette étude en ne gardant que le vertex hadronique, c’est-àdireen ne considérant que le processus γ ∗ P → hadrons au lieu de eP → hadrons. La46

section hadronique est une superposition de sections efficaces au niveau partonique (voiréq. 2.23) :∫σ µν (0) (P, q) = dz q(z) ̂σ µν (0) (zP, q) (5.99)où p = zP est l’impulsion du quark qui absorbe le photon et q(z) la densité de quarksdans le hadron. On a la ”section efficace” γ ∗ q → q (voir éqs. 2.20, 2.22)̂σ µν (0) = 1 ∫ d 3 p ′4pq e2 q2E (2π) ′ δ(4) (p ′ − q − p)Ŵµν(zP, q) = 1 xπ4pq e2 qQ δ(z − x) 2 Ŵµν (5.100) .La ”section efficace” au niveau hadronique s’écrit alors simplement (via l’éq. (5.99))σ (0)µν (P, q) = 14P.q q(x) e2 qπQ 2 Ŵ µν . (5.101)Au premier ordre des interactions fortes, c’est-à-dire à l’ordre α s , il faut considérerl’amplitudeγ*γ*+PPet prendre le carré de cette amplitude. On obtient alors, après un calcul long et compliqué,σ µν (1) = 1 ∫ 1[dz4P q z q(z) δ(1 − x z ) + α ( ) ]s 1 + (x/z)22π c Fln Q2e 2 π1 − x/z m 2 qQ Ŵ 2 µν , (5.102)0où la section efficace partonique est factorisée hors de l’intégrale, ce qui permet d’écrirepar analogie avec l’éq. (5.101)Rσ µν = 14P q q(x, Q) πe2 qQ Ŵ 2 µν (5.103)avec la nouvelle distribution partonique :∫ [ dzq(x, Q) =z q(z) δ(1 − x z ) + α ( )s 1 + (x/z)22π c F1 − x/z= q(x) + α ∫ 1( )s2π C dz 1 + (x/z)2Fz q(z) 1 − x/zxRRln Q2m 2 ]ln Q2m 2 (5.104)Dans les équations précédentes, on n’a gardé que les termes contenant les ”grands” logarithmesln(Q 2 /m 2 ) (approximation des ”logaritmes dominants” [LL]). On voit que detels termes peuvent naturellement être absorbés dans une redéfinition de la distributionde quarks dans le proton qui acquiert ainsi une dépendence en l’échelle caractéristiquedu processus considéré, la section partonique dure restant inchangée. Ce phénomène est”naturel” en ce sens que le terme logarithmique reflète la sensibilité de la section efficace àla physique à longue distance [m 2 est ”petit”] et il est normal qu’un tel terme soit associéà la patte externe plutôt qu’au processus de diffusion dure [c’est-à-dire à courte distance].Il faut cependant noter que si on fait un calcul au delà de l’approximation des logarithmes47

dominants on doit garder les termes ”finis” [ne contenant pas ln(Q 2 /m 2 )] et la sectionpartonique dure sera alors modifée par des corrections d’ordre α s .Techniquement, l’éq. (5.104) n’est pas définie quand le régulateur m → 0, cependantla dérivéedq(x, Q)= α ∫ 1( )s(Q)d ln Q 2 2πc dz 1 + (x/z)2Fx z q(z, Q) (5.105)1 − x/zRl’est parfaitement! Dans cette équation on a substitué q(z) → q(z, Q) dans le membrede droite ce qui est justifié à l’ordre α s où on fait le calcul. La théorie ne préditdonc pas q(x, Q) mais seulement l’évolution de la fonction de structure avec l’échelleQ. L’équation (5.105) a de nombreux pères et elle est maintenant connue sous le nomd’équation d’évolution de Dokshitser-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi [35].Dans les expressions précédentes l’indice R veut dire que la fonction ainsi indexéeest regularisée au pôle z = x, qui correspond à l’émission d’un gluon d’impulsion nullece qui induit une divergence IR. Cette dernière est compensée par la contribution desdiagrammes virtuels.5.1.1 Solution de l’équation d’évolution par la méthode des moments.On peut ramener l’équation intégro-différentielle (5.105) à une équation différentielle ordinaireen considérant les momentsM n (τ) =∫ 10dx x n−1 q(x, Q) (5.106)où on a introduit la variable naturelle τ = ln Q 2 /Λ 2 . En terme des moments l’équationd’évolution est simplementdM n (τ)dτ= α s(Q)2πM n (τ) · d (n)qq (5.107)avec d (n)qq , appelé n-ième moment de la dimension anomale, est donnée par∫ 1 ( x) ( x) ( )n−1 1 + (x/z)d (n)2qq = c F d. (5.108)z z 1 − x/z0La solution est obtenue par1 dM n= d(n) qq 1M n dτ 2π bτoù on a substitué à α s (Q) sa dépendance explicite en fonction de l’échelle (voir éq. 4.92).La solution est donnée par( )d (n)−qqM n (τ)M n (τ 0 ) = αs 2πb(Q) . (5.109)α s (Q 0 )On peut montrer que d (1)qq = 0, d (n)qq < 0 pour n ≥ 2. Plus n est grand, plus lepoids de la région à grand x est important dans l’intégrale (5.106). Donc l’évolution enQ de M n ( ) à grand n reflète l’évolution en Q de q(x, Q) à grand x. L’éq. (5.109) donneM n (τ) ∼ (ln Q 2 /Λ 2 ) d(n) qq /2πb qui décroît quand Q croît pour n ≥ 2. D’où q(x, Q) décroît àgrand x quand Q croît. La dépendance en Q est lente puisque logarithmique.48R

5.1.2 Equations d’évolution couplées : cas singulet.S’affranchissant des détails de la collision dure on peut résumer l’étude précédente par lesdiagrammesQPHxP+ quarkgluonLe symbole ⊗ indique la collision ”dure” du parton : dans le cas précédent ce processusest simplement l’absorption d’un photon virtuel par le quark. Un hadron contient aussides gluons et le quark de saveur i qui participe à la collision dure peut être émis, à l’ordreα s , par un gluon par les diagrammes suivant :QiQiHGi+iCe processus va ajouter un terme à l’équation (5.104) ci-dessus, et il n’est pas étonnantque ce terme ait la structure suivanteδq i (x, Q) = α s(Q)2π∫ 1xdz( x)z G(z) P q Gln Q2(5.110)z m 2comme on peut s’en convaincre par le calcul. La fonction G(z) est la densité de gluons dansle hadron et la fonction P qG (z) = 1 2 (z2 + (1 − z) 2 ), l’analogue de P qq (z) du cas précédent,décrit la fragmentation du gluon en une paire quark-antiquark. A noter que cette fonctionest indépendante de la saveur i puisque le gluon n’est pas sensible à la ”saveur” des quarkslégers. On peut aussi remarquer que ce processus contribue de la même façon à la densitéde quarks q i ou d’antiquarks ¯q i . On définit la distribution ”singulet”Σ(x, Q) = ∑ i(q i (x, Q) + ¯q i (x, Q)) (5.111)qui est la probabilité de trouver un q ou un ¯q dans le hadron et, à l’ordre α s , il vient paranalogie avec l’éq. (5.104)∫ 1dzΣ(x, Q) ={Σ( x [z z ) δ(1 − z) + α ]s(Q)2πP qq(z) ln Q2−p 2x+G( x z ) α s(Q)2πP q Gln Q2−p × 2 2 }{{}q i +¯q i×N F }{{}nb. de saveurs⎫⎬⎭ (5.112)Sous forme différentielle on trouvedΣ(x, Q)d ln Q 2= α s(Q)2π∫ 1xdzz{Σ( x z , Q)P qq(z) + 2N F G( x }z , Q)P q G(z)(5.113)49

qui généralise l’éq. (5.105).Jusqu’à maintenant nous n’avons consideré que le cas où le quark participe directementà la sous-collision dure [ici absorbtion du photon virtuel] mais on peut imaginer desprocessus, purement hadroniques, où le gluon peut lui aussi participer à la diffusion dureet on a alors à prendre en compte les diagrammes suivants :HG+ + q i + q iqui mènent à une équation d’évolution pour le gluon similaire à (5.113). Regroupant touton obtient les équations couplées pour les distributions du singulet et du gluon( )d Σ(x, Q)= α ∫ 1( ) (s(Q) dz Pqq (z) 2N F P qG (z) Σ(x, Q))d ln Q 2 zG(x, Q) 2π z P G q(z) P GG(z) G( x, Q) , (5.114)ztandis que pour l’évolution d’un quark de valence V i = q i − ¯q i on axdV i (x, Q)d ln Q 2= α s(Q)2π∫ 1xdzz P qq(z) V i ( x , Q) (5.115)zpour chaque saveur i. Les P ij (z), appelés noyaux d’Altarelli-Parisi, sont prédits par lathéorie et dans l’approximation des logarithmes dominants on trouve:( )1 + z2P qq (z) = < C F > + 3 1 − z| δ(1 − z) + 2P qG (z) = < 1 2 > (z2 + (1 − z) 2 )1 + (1 − z)2P G q(z) = < C F >( zzP GG(z) = < 2N c > + 1 − z ) 〈 11Nc − 2N F+ z(1 − z) +1 − z| + z6〉δ(1 − z)(5.116)où la prescription ”+” est la notation habituelle pour la régularisation dénotée ”R” desdivergences infrarouges et est définie au sens des distributions par∫ 1h(z) étant une fonction test.0dzh(z) =1 − z| +∫ 10dzh(z) − h(1), (5.117)1 − zDans le modèle des partons naïf on était conduit aux règles de somme suivantes∫ 10dx V i (x) = n i⇒ nombre de quarks de valence de type i∫ 10dx x (Σ(x) + G(x)) = 1 ⇒ conservation de l’impulsion.50

Ces lois de conservation sont indépendantes de l’échelle Q de la collision dure. Est-ce vraiaprès corrections QCD, c’est-à-dire les relations∫d 1d ln Q 20dxV i (x, Q) = 0 ;∫d 1d ln Q 20dxx(Σ(x, Q) + G(x, Q)) = 0sont-elles vérifiées? On peut voir que c’est le cas à cause des règles de somme suivantes :∫ 10∫ 10dz P qq (z) = 0dz z [P qq (z) + P G q(z)] = 0 ,∫ 10dz z [P GG(z) + 2N G P qG (z)] = 0 . (5.118)5.1.3 PhénoménologieExpérimentalement les violations d’invariance d’échelle sont étudiées dans les réactions dediffusion profondément inélastiques sur le nucléon, où l’on peut mesurer (voir l’éq. (2.25))νW 2 (x, Q 2 )x≡ F 2(x, Q 2 )x= ∑ ie 2 q iq i (x, Q), (5.119)qui est valable dans l’approximation des logarithmes dominants. La figure 6 montre unecompilation des données récentes sur la fonction de structure du proton obtenues dans lescollisions ep et µp. Comme prévu par la théorie (voir éq. 5.109), la violation de l’invarianced’échelle a tendance à faire décroître F 2 (x, Q 2 ) à x > 0, 25 quand Q 2 augmente, tandisqu’aux petites valeurs de x la fonction de structure F 2 (x, Q 2 ) croît rapidement avec Q 2pour des valeurs suffisament grandes : l’évolution en Q 2 dégrade l’énergie des partons àgrands x par l’émission des gluons à petits x, ces gluons se désintégrant à leur tour enune paire q¯q, etc. Il est convenu d’appeler ce mécanisme ”parton shower” en franglais.A partir de ces données, et en utilisant aussi d’autres réactions telles que celles discutéesdans la section suivante, il est possible d’extraire la distribution des quarks u, d, ...et du gluon dans le proton. La figure 8 montrent le résultat obtenu, dans l’approximationau delà des logarithmes dominants, pour deux valeurs de Q 2 . A grand x on voit la dominancedes quarks sur le gluon alors que le gluon domine complètement à petit x. AQ 2 = 10000 GeV 2 toutes les distributions tendent à devenir ”piquées” aux petites valeursde x : en première approximation les distributions décroissent quand Q 2 augmente pourx grand et croissent aux valeurs de x petites. C’est une conséquence du mécanisme de”parton shower” d’après lequel les partons ”rayonnent” en se cassant en deux partonsd’impulsion plus basse. Ceci explique la présence du pic dans la distribution des quarksà x = 0, pic dû aux quarks matelots produits de désintégration du gluon.5.1.4 ConclusionsDans l’approximation des logarithmes dominants, il n’y a pas de modifications au modèledes partons, sauf que les fonctions de structure acquièrent une dépendance en l’échellede masse caractéristique du processus considéré : ce sont les violations de l’invariance51

Figure 8: Distributions pondérées par x des quarks u, d et du gluon à Q 2 = 10 GeV 2et à Q 2 = 10000 GeV 2 . Ces graphes peuvent être obtenus sur le site de Durham HEPDatabases : http://durpdg.dur.ac.uk/hepdata/pdf.htmld’échelle. Cette dépendance des fonctions de structure en fonction de l’échelle de masseest prédite par la théorie et elle est universelle c’est-à-dire qu’elle sera la même quelquesoit le processus dur considéré où apparaissent ces fonctions de structure.6 Le modèle des partons amélioré et applications.Le modèle des partons amélioré par les corrections QCD s’applique à d’autres processusque le DIS, pourvu qu’ils mettent en jeu des échelles de masse ou des impulsions detransfert importantes. On discute d’abord le cas de la production de paires de leptonsdans les collisions hadroniques, ou mécanisme de Drell-Yan, qui a joué un rôle fondamentaldans la découverte des bosons de jauge W et Z au CERN dans les années 80. Onpassera ensuite rapidement en revue la production de photons directs à grande impulsiontransverse et la production de gerbes hadroniques (”jets”) dans les collisions hadroniques.Ces différents processus sont utiles pour déterminer avec précision la distribution desquarks et des gluons dans les hadrons ainsi que la valeur de Λ, la constante fondamentaledes interactions fortes. Nous ne considérerons pas ici la production de saveurs lourdespour laquelle le modèle des partons s’applique aussi ni les réactions de photoproductionqui jouent un rôle très important à HERA.6.1 Processus de Drell-YanIl est relié à la diffusion profondément inélastique par croisement et, dans l’approximationde Born, le photon virtuel est produit dans l’état final par annihilation d’un quark de l’undes hadrons initiaux avec un antiquark de l’autre comme indiqué dans la figure.52

ASBx 1p 1p 2x 2l +γ ∗ l -Le modèle des partons s’applique quand la masse invariante Q de la paire de leptonsproduite est grande car, alors, le photon virtuel de genre temps a un haut pouvoir derésolution et il peut ”voir” les constituants des hadrons A et B. Les diagrammes d’ordresupérieur à l’origine des violations d’invariance d’échelle sont :++++On écrit la section efficace de production sous la formedσdQ = ∑ ∫(dx 2 1 dx 2 Fq/A (x 1 , Q)F¯q/B (x 2 , Q) + F¯q/A (x 1 , Q)F q/B (x 2 , Q) ) d̂σ q¯q(6.120)dQ 2 qoù les F i/H sont les fonctions de structure et où on doit sommer sur toutes les saveurs dequarks dans les hadrons A et B. La section efficace partonique q¯q → l + l − est simplementd̂σ q¯qdQ = 4πα22 3Q 2e 2 qN cδ(ŝ − Q 2 ),ŝ = x 1 x 2 sDans les collisions pp, la section efficace est proportionnelle à la distribution des antiquarksdans le proton, ce qui permet donc de mesurer cette dernière.A des énergies élevées il est possible de produire les bosons de jauge chargés W + (resp.W − ) par annihilation d’une paire quark-antiquark u ¯d (resp. dū) ou le boson neutre Z 0par annihilation uū ou d ¯d. C’est par ce mécanisme que les bosons électrofaibles ont étédécouverts au collisionneur du CERN dans les années 1970 [36], [37]. On espère bientôtmettre en évidence le fameux boson de Higgs au LHC dans un processus similaire maisimpliquant l’annihilation de deux gluons.6.2 Production de photons directs à grands transfertsLe processus considéré ici est la réaction A B → γX, où X représente les hadrons produitsnon observés. Au niveau partonique, il faut calculer la diffusion qq → γg (annihilation)53

et qg → γq ou qg → γq (diffusion de type Compton) qui ont la représentation diagrammatiquesuivante,(a)(b)On considère le cas où le photon est produit à grande impulsion transverse k T . La sectionhadronique inclusive est donnée park 0 dσ= dσdk 3 d ⃗ k T dy = ∑ ∫dx 1 dx 2 F i/A (x 1 , k T )F j/B (x 2 , k T )k 0 dˆσijdk , (6.121)3 i,joù l’on a inclu les corrections QCD à l’approximation des logarithmes dominants et on achoisi k T comme échelle de factorisation dans les fonctions de structure. Symboliquement,la section efficace s’écritdσ = q ⊗ ¯q dσ q¯q + G ⊗ q dσ Gqoù q, ¯q et G dénotent respectivement la distribution des quarks, antiquarks et gluons dansles hadrons. Dans le cas de la diffusion pp, q ⊗ ¯q ≪ G ⊗ q et le deuxième terme dominecomplètement la section efficace. La réaction pp → γX est donc idéale pour mesurerdirectement la distribution du gluon dans le proton. Notre discussion de la production dephotons directs est très simplifiée et nous n’avons parlé que du mécanisme où le photonparticipe au processus dur comme indiqué par les diagrammes de Feyman ci-dessus. Ilexiste un autre mécanisme où le photon est rayonné par un quark produit à grandeimpulsion transverse. Ce processus n’est pas important dans les expériences de type ciblefixe mais il joue un rôle prédominant aux collisioneurs où la valeur de la variable k T / √ Sest petite. Une compilation récente des données expérimentales et de leur comparaisonavec la théorie, au delà des logarithmes dominants [38], est montrée en fig. 9. On peutnoter le remarquable accord sur 9 ordres de grandeur, pour des expériences couvrant 2ordres de grandeur en énergie (à l’exception toutefois des données E706).6.3 Production de jets dans les collisions hadroniquesDans l’approximation des logarithmes dominants la gerbe hadronique ou ”jet” est identifiéà un parton final (quark ou gluon) produit à grande impulsion transverse k T . Aucun effetde fragmentation du parton en hadrons n’est pris en compte. La cinématique est doncla même que pour la production d’un photon mais on doit sommer sur tous les types departons de l’état finalk 0 dσ3dk = 1 st∑i,j,k,l∫ 1x minidx 1x 2 11F i/A (x, k T )F j/B (x 2 , k T )(4π) | M 2 |2 ij→klLa dynamique au niveau partonique est assez compliquée car il y a un grand nombre deprocessus en jeu: qq → qq, q¯q → q¯q, ¯q¯q → ¯q¯q, q¯q → gg, gg → q¯q, gq → gq, gg → gg.54

Figure 9: Compilation de la section efficace inclusive de production d’un photon en fonctionde l’énergie transverse du photon dans les collisions pp ou p¯p de √ s = 22,9 GeV à1,96 TeV. Les prédictions théoriques sont calculées au-delà de l’ordre dominant.A l’énergie des collisioneurs p¯p actuels les processus dominants sont qq → qq aux valeursélevées du k T et gq → gq à k T plus faible quand les valeurs effectives des x i des partonsdans les hadrons incidents sont petites. Il faut aussi signaler que la section efficace deproduction de jets est proportionnelle à αs 2 et elle est donc très sensible à la valeur de Λ.On compare dans la figure 10 les données sur la production inclusive d’un jet, en fonctionde l’énergie transverse du jet, au Tevatron (Fermilab) ( √ s = 1, 96 TeV) [39] avec lesprédictions théoriques dans l’approximation au delà des logarithmes dominants: l’accordentre théorie et expérience sur 8 ordres de grandeurs est remarquable.6.4 Au delà de l’approximation des logarithmes dominantsLe modèle des partons amélioré (QCD en LLA) donne une image simple des processushadroniques durs. En combinant notre étude sur la renormalisation et celle sur la factorisation,on a vu qu’une section efficace a la forme∫dσ AB = αs p (Q) dx 1 dx 2 F i/A (x 1 , Q)F j/B (x 2 , Q)dˆσ ijoù Q est l’échelle caractéristique du processus dur : Q ∼ M γ ∗, M l + l − pour la productiond’une paire de leptons ou, Q ∼ √ kT 2 , pour les processus à grande impulsion de transfert k T .55

[nb/(GeV/c)]JET/ dY dP Tσ2d210-110-21010101-3-410-510K TD=0.7 0.1

Si l’on se reporte à l’éq. (4.90) on voit qu’une section efficace hadronique typique peutêtre écrite symboliquement sous la forme))dσ = α(dˆσ p (µ) + αMS MS(µ)(p b ln µ2−q dˆσ + k(. . .) (6.123)2où dˆσ représente la section efficace à l’ordre le plus bas dont on a extrait la dépendanceen la constante de couplage α p et où b est défini dans l’éq. (4.93). Par rapport à l’éq.MS(4.90) on a développé l’expression en puissance de α MSne gardant que les deux premierstermes. La fonction k(. . .) contient les ”corrections d’ordre supérieur” à l’exclusion destermes en ln(µ 2 / − q 2 ) que l’on a explicitement écrits. Utilisant l’éq. (4.89) on trouve quela variation de l’éq. (6.123) par rapport à µ est()dσ= −p bα p+1d ln µ (µ) dσ 2 MS 0 + α MS(µ)(pb ln µ2−q dσ 2 0 + k(. . .)) + pbα p+1 (µ)dσ 0 + O(α p+2 )MS MS∼ O(α p+2MS ) (6.124)Il faut bien remarquer que, pour obtenir ce résultat, il est crucial de garder le facteuren ln(µ 2 / − q 2 ) du terme d’ordre supérieur qui compense la variation en µ du termedominant. Ceci est cohérent car si on fait un calcul à l’ordre α p+1 l’ambiguité de laMSprédiction théorique est d’ordre α p+2.MSLe même mécanisme est à l’œuvre concernant l’échelle de factorisation M de telle sorteque l’ambiguité d’un calcul ”au delà des logarithmes dominants” est d’un ordre supérieurà celui auquel le calcul est conduit.En QCD perturbative, les seuls calculs qui peuvent prétendre être quantitatifs sontdonc ceux qui sont faits à l’approximation ”au delà des logarithmes dominants”6.5 ConclusionsUn nombre considérable d’observables dépendent des fonctions de structure des partonsdans les hadrons et de la valeur de Λ. Pour que QCD soit validée en tant que théorie ilfaut que les prédictions soient en accord avec toutes les observables. Les données devenantde plus en plus précises et couvrant un domaine cinématique de plus en plus étendu lestests de QCD deviennent de plus en plus contraignants. Jusqu’à maintenant la QCDperturbative a passé avec succès tous les tests expérimentaux.References[1] Yu. L. Dokshitzer, D. I. Dyakonov, S.I. Troyan, Phys. Rept. 58 (1980) 269 ;G. Altarelli, Phys. Rept. 81 (1982) 1.[2] T. Muta, Foundations of QCD: an Introduction to Perturbative Methods in GaugeTheories, World Scientific, Singapour ;S. Pokorski, Gauge Field Theories, Cambridge Monographs in Mathematical Physics.57

[3] Y. Ne’eman, Nucl. Phys. 26 (1961) 222.[4] M. Gell-Mann, Phys. Rev. 125 (1962) 1067.[5] M. Gell-Mann, Phys. Lett. 8 (1964) 214.[6] G. Zweig, prétirage CERN-TH-412 (1964).[7] G.F. Chew, S-matrix theory of strong interactions, Frontiers in Physics, W.A. Benjamin,New-York.[8] S.C. Frautshi, Regge poles and S-matrix theory, Frontiers in Physics, W.A. Benjamin,New-York, 1963.[9] V. Barger, D.B. Cline, Phenomenological theory of high energy scattering, Frontiersin Physics, W.A. Benjamin, New-York, 1969.[10] J. D. Bjorken, Phys. Rev. 179 (1969) 1547.[11] R.P. Feynman, Photon-hadron interactions, Frontiers in Physics, W.A. Benjamin,Reading, Massachusetts, 1972.[12] E. D. Bloom et al., Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 930 ;M. Breidenbach et al., Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 935.[13] Pour une revue ancienne du modèle des quarks voir J. J. J. Kokkedee, The quarkmodel, Frontiers in Physics, W.A. Benjamin, New-York, 1969.[14] O. W. Greenberg, Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 598 ;le nombre quantique de couleur avait été proposé auparavant par les physicienssoviétiques N. N. Bogoliubov, B. Struminsky et A.H. Tavchelidze.[15] J. E. Augustin et al. [SLAC-SP-017 Collaboration], Phys. Rev. Lett. 33 (1974) 1406.[16] J. J. Aubert et al. [E598 Collaboration], Phys. Rev. Lett. 33 (1974) 1404.[17] S. W. Herb et al., Phys. Rev. Lett. 39 (1977) 252.[18] F. Abe et al. [CDF Collaboration], Phys. Rev. Lett. 73 (1994) 225 [arXiv:hepex/9405005]; Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 2626 [arXiv:hep-ex/9503002].[19] Pour des revues récentes voir, par exemple, F. E. Close, Eur. Phys. J. A 24S1 (2005)9 ; Nature 435 (2005) 287.[20] G. Veneziano, Nuovo Cimento 57 A (1968) 190.[21] Y. Nambu, Proc. Conf. on Symmetries and Quark Models, Detroit (1969), (Gordonand Breach, 1970) p. 269.[22] Pour des revues sur le sujet voir G. Veneziano, Phys. Rept. 9 (1974) 199 ; C. Rebbi,Phys. Rept. 12 (1974) 1 ; S. Mandelstam, Phys. Rept. 13 (1974) 259 ; J. Scherk,Rev. Mod. Phys. 47 (1975) 123.[23] J. Scherk, J. H. Schwarz, Nucl. Phys. B 81 (1974) 118.58

[24] H.D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1346 ;D.J. Gross, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1343 ;La propriété de liberté asymptotique était déjà connue des physiciens soviétiques,B. Kriplovich, M. Terentiev, Vanjashin, et de G. ’t Hooft qui l’avait exposée lorsd’un colloque à Marseille en septembre 1972.[25] H. Georgi, H. D. Politzer, Phys. Rev. D 9 (1974) 416 ;D. J. Gross, F. Wilczek, Phys. Rev. D 9 (1974) 980.[26] M. Y. Han, Y. Nambu, Phys. Rev. 139 (1965) B1006.[27] K. Wilson, Phys. Rev. 179 (1969) 1499.[28] H. Fritsch, M. Gell-Mann, 16th Int. Conf. on High Energy Physics Chicago-Batavia(1972) vol. 2, p.135 ;H. Fritsch, M. Gell-Mann, H. Leutwyler Phys. Lett. 47B (1973) 365 ;S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 31 (1973) 494 ; Phys. Rev. D 8 (1973) 4482.[29] L. S. Fadeev, U. N. Popov, Phys. Lett. B 25 (1967) 29.[30] G. ’t Hooft, Nucl. Phys. B 33 (1971) 173 ; Nucl. Phys. B 35 (1971) 167 ;B.W. Lee, J. Zinn-Justin, Phys. Rev. D5 (1972) 3121,3137.[31] C. Becchi, A. Rouet, R. Stora, Comm. Math. Phys. 42 (11975) 127.[32] C. G. Bollini, J. J. Gianbiagi, Nuovo Cimento B 12 (1970) 20;G. ’t Hooft, M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B 44 (1972) 189.[33] S. Bethke, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 135 (2004) 345 [arXiv:hep-ex/0407021].[34] T. D. Lee, M. Nauenberg, Phys. Rev. 133 (1964) B1549 ;T. Kinoshita, J. Math. Phys. 3 (1962) 650.[35] Les équations d’evolution ont d’abord été obtenues en électrodynamique quantiquepar V. N. Gribov, L. N. Lipatov, Sov. Jour. Nucl. Phys. 15 (1972) 438, 675.En QCD elles ont été dérivées par G. Parisi 11ème Rencontre de Moriond,J. Tran Thanh Van éd. ; G. Altarelli, G. Parisi Nuc. Phys. B 126 (1977) 298 ;Yu. L. Dokshitzer Sov. Phys. JETP 46 (1977) 641.[36] Découverte du boson W : G. Arnison et al. [UA1 Collaboration], Phys. Lett. B 122(1983) 103 ; M. Banner et al. [UA2 Collaboration], Phys. Lett. B 122 (1983) 476.[37] Découverte du boson Z : G. Arnison et al. [UA1 Collaboration], Phys. Lett. B 126(1983) 398 ; P. Bagnaia et al. [UA2 Collaboration], Phys. Lett. B 129 (1983) 130.[38] P. Aurenche, M. Fontannaz, J. P. Guillet, E. Pilon, M. Werlen, arXiv:hepph/0602133.[39] A. Abulencia et.al. [CDF Collaboration] [arXiv: hep-ex/0512020] ;The D∅ Collaboration, D∅ note 4751-CONF, http://www.do.fnal.gov59

QCD SANS PEINEO. PèneLaboratoire de Physique Théorique,Unité mixte de recherche du CNRS-UMR 8627Université de Paris XI, Bâtiment 211, 91405 Orsay Cedex, FranceAbstractQuantum chromodynamics (QCD) is the theory of the strong interactions,able to explain the hadron properties and the nuclear matterincluding its manifestations at very high temperature. We try to providean overview skiping the technicalities.The following items will betreated. Theoretical principles: Lagrangian, gauge invariance, path integral,fermion determinant, gauge fixing. Asymptotic freedom: principlesof renormalisation, scale dependence, anti-screening, non-trivial vacuum.Non-perturbative phenomena and particularly confinement: Wilson loop,dual Meissner effect, instanton liquid model. Methods for non-perturbativecalculations, first of all lattice QCD, principles of the method and a typicalapplication; then a glance on the QCD sum rule method. Finally presentationof lattice QCD results related to the themes of this school: hadronsproperties and quark-gluon plasmas.RésuméLa chromodynamique quantique (QCD) est la théorie des interactionsfortes, elle est en mesure d’expliquer les propriétés des hadrons, et les propriétésde la matière nucléaire y compris ses manifestations à très hautetempérature. Nous essayons d’en donner un aperçu en évitant les aspectstrop techniques. Les thèmes suivant seront traités. Principes théoriques:Lagrangien, invariance de jauge, intégrale de chemin, déterminant fermionique,et fixation de jauge. Liberté asymptotique: le principe de la renormalisation,la dépendence d’échelle, l’effet d’anti-écran, vide non trivial.Phénomènes non-perturbatifs et en particulier le confinement: boucle deWilson, effet Meissner dual, modèle des liquides d’instantons. Méthodes decalcul non-perturbatif, à commencer par la QCD sur réseau, principe de laméthode et une application typique; ensuite un coup d’oeil sur la méthodedes règles de somme de la QCD. Finalement présentation de résultats dela QCD sur réseau en rapport avec les thèmes de cette école: propriétésdes hadrons et des plasmas de quarks et de gluons.61

1 IntroductionLes différents domaines théoriques et expérimentaux qui sont au programme decette école, et bien d’autres encore, dépendent d’une même théorie, la chromodynamiquequantique (QCD). Cette théorie a vu le jour à la fin des années 60, cfl’historique présenté dans cette école [5], et elle n’a cessé d’accumuler les succèsexpérimentaux. Il est tout à fait exceptionnel, sinon unique, dans l’histoire dessciences, qu’un domaine aussi riche et aussi varié dépende soit expliqué par unethéorie dont l’énoncé des principes soit si compacte et le nombre des paramètressi restreint. Il s’agit bien d’une théorie, non d’un modèle.La contrepartie de ces caractéristiques extraordinaires de la QCD sont sacomplexité conceptuelle et pratique. La théorie quantique des champs n’est pasfacile à concevoir sous tous ses aspects. Celle-ci l’est encore moins à cause decette propriété mystérieuse nommée le confinement. Elle est aussi très difficile àcalculer en pratique car, étant une théorie d’interactions fortes, il n’existe pas depetit paramètre dans laquelle on puisse faire un développement 1 en série.Notre objet sera donc de présenter, de façon aussi peu technique que possible,les principaux concepts à l’oeuvre ici, d’essayer de faire sentir comment ilspourraient expliquer les propriétés étranges de la QCD et en particulier le confinement,enfin d’indiquer les méthodes de calcul non-perturbative et surtout laQCD sur réseau, seule méthode non-perturbative ab initio. Nous essaierons dechoisir les exemples en relation avec l’objet de cette école.2 LES DEFINITIONS DE BASE2.1 LagrangienLe Lagrangien de la QCD s’écritL QCD = − 1 4 Ga µνG µνa+ i ∑ fq i fγ µ (D µ ) ij q j f − ∑ fm f q i fq fi , (1)où i, j, a sont les indices de couleur, f est la saveur du quark (f = u, d, s, c, b, t),µ, ν les indices de Lorentz, q est un champ de spineur de dimension 12 (couleur× Dirac) et oùG a µν = ∂ µ A a ν − ∂ ν A a µ + g s f abc A b µA c ν,(D µν ) ij = δ ij ∂ µ − ig s∑aλ a ij2 Aa µDe cette simple formule on peut en principe dériver une quantité immense deprédictions.1 Même dans son domaine perturbatif, où on développe en fonction de la constante α s , cettedernière n’est pas si petit que cela.62

Deux tâches s’offrent à la physique: comprendre et résoudre la QCD. Comprendresignifie par exemple comprendre le confinement, la brisure de la symétriechirale, etc. Résoudre la QCD signifie être capable d’en dériver les conséquencesexpérimentales. Il y a encore beaucoup à faire ! On n’y parviendra pas “sanspeine”. Peut-on esquisser “sans peine” le chemin à parcourir ? On va s’y essayer.2.2 Invariance de jaugeLes transformations de jauge infinitésimales sont définies par un ensemble de huitfonction réelles infnitésimales ɛ a (x), a = 1, 8, et la transformation des champs 2δA a µ(x) = 1 g s∂ µ ɛ a (x) + f abc A b µ(x) ɛ c (x),δq(x) = iɛ c (x) λc2q(x) (2)Les transformation de jauge non infinitésimales sont définies par une matriceunitaire 3 × 3: g(x) définie en chaque point de l’espace-temps et les transformationsq(x) → g(x) q(x), W (x, y) → g(x)W (x, y)g −1 (y) (3)où on a défini la “ligne de Wilson”[W (x, y) = Pexp{ig s∫C x,yd µ z A µ (z)C étant un chemin arbitraire menant de x à y et P indiquant un produit ordonnéen chemin. Quand g(x) s’approche de l’unité, on retrouve l’eq. (2) si on substitueg(x) ≃ 1 + iɛ(x). Les transformations de jauge forment un groupe SU(3) N où Nest le nombre de points de l’espace-temps. Dans l’espace temps continu, N estinfini. Sur un réseau fini N est fini et, comme SU(3) est un groupe compact devolume fini, SU(3) N est aussi de volume fini.A partir de eq. (3) on peut vérifier que}](4)q(x) W (x, y) q(y), et T r[W (x, x)] (5)sont invariants de jauge. Une ligne de Wilson qui se referme sur elle-même telleque W (x, x) est appelée une boucle de Wilson. Nous verrons plus tard d’autresopérateurs invariants de jauge.• Une transformation de jauge ne transforme pas un état physique dans unautre, comme le fait une transformation de Lorentz, une transformation P, C etT , où une transformation chirale. Seuls les états invariants de jauge reprśententdes états physiques. L’invariance de jauge reflète le fait qu’il y a redondancedes degrés de liberté de la théorie de champ par rapport aux degrés de libertéphysiques.Toute observable physique est invariante de jauge, cependant il estsouvent utile, voire nécessaire, de faire le calcul dans une jauge fixée.2 L’indice de saveur f du champ de quark est omis et il en sera ainsi chaque fois que saprésence ne sera pas nécessaire.63

2.3 Les fonctions de GreenUne théorie des champs est résolue si on est capable d’en calculertoutes les fonctions de Green. En effet on connaît alors tous les éléments dela “matrice-S”, les largeurs de désintégration, les facteurs de forme, etc.Mais, caculer toutes les fonctions de Green est un vaste et difficileprogramme ! Par où s’y prendre ?Les fonctions de Green sont (en général) des valeurs moyennes dans le videde produits ordonnés en temps d’opérateurs. Les opérateurs sont construits àpartir des champs de la QCD. Par exemple le propagateur d’un quark (de y versx) s’écrit:S(x, y) ≡ 〈0 |T [q(x) q(y)]| 0〉 (6)S(x, y) est une matrice 12×12 (Dirac × couleur). Noter que ce propagateur n’estpas invariant de jauge. Il faudra donc fixer une jauge pour faire ce calcul, sinonle résultat donnerait zéro.La fonction de corrélation de deux courants électromagnétiques est définiecommeT µν (x, y) ≡ ∑ 〈 ∣ ∣∣T[e f 0 Jfµ (x)Jν f (x) ]∣ 〉∣ ∑0 = − e f 〈0 |T r [γ µ S f (x, y)γ ν S f (y, x)]| 0〉ff(7)où e f est la charge électrique du quark f (2/3 e ou −1/3 e) et pour chaque saveurle courant vectoriel est défini parJ µ (x) ≡ q(x) γ µ q(x) (8)Noter que la fonction de Green (7) est invariante de jauge contrairement à cellede (6). En effet, la partie imaginaire de T µν (x, y), transformée de Fourier, estproportionelle à la section efficace totale e + e − → hadrons. C’est une observablephysique dont on trouve un résumé des mesures dans le PDG [1], cf fig. 1.Nous verrons plus tard que ce type de fonctions de Green invariantes de jaugeest essentiel pour déterminer les propriétés des hadrons.2.4 L’intégrale de chemin2.4.1 Le principeLes fonctions de Green sont des valeurs moyennes dans le vide de produitsd’opérateurs. La question de calculer les fonctions de Green se ramène doncà celle de calculer les valeurs moyennes d’opérateurs dans le vide.Ces valeurs moyennes sont définies à partir de l’intégrale de chemin [2].Soit une théorie de champs génériques φ(x), définie par un Lagrangien L[φ] parexemple la théorie λφ 4 :L ≡ 1 2 (∂ µφ(x)) 2 − 1 2 m2 φ 2 (x) − λ 4! φ4 (x) (9)64

Figure 1: Figure extraite de PDG [1]: il s’agit en haut de la section efficacetotale σ(e + e − → hadrons) en fonction de l’énergie. En bas c’est la même quantitédivisée par σ(e + e − → µ + µ − ). Si les quarks étaient des particules libres, ce rapportserait égal à la somme des charges (en unité de e) au carré des quarks tels que2m f < √ s.65

On peut montrer que la valeur moyenne d’un opérateur O est définie par∫Πx Dφ(x) O exp {iS[φ]}< O >= ∫Πx Dφ(x) exp {iS[φ]}(10)où l’action S[φ] est définie par∫S[φ] ≡d 4 x L[φ(x)] (11)Par exemple le propagateur d’un méson φ sera donné en prenant O = T [φ(x)φ(y)]:∫Πx Dφ(x) T [φ(x) φ(y)] exp {iS[φ]}< T [φ(x) φ(y)] >= ∫ (12)Πx Dφ(x) exp {iS[φ]}Les intégrales de chemin, eq. (10) ont une infinité de variables d’intégration:une par champ en chaque point de l’espace temps. On devine donc que cesintégrales ne sont pas faciles à définir mathématiquement et quand on y parvient,qu’elles sont très divergentes: on y reviendra à propos de la renormalisation.2.4.2 Les déterminants fermioniquesLes champs φ ci-dessus sont des champs bosoniques. Que faire des fermions ? Lapartie du Lagrangien (1) de la QCD qui contient le champ de quark de saveur festL qf= q f (x)() ]λ a[γ µ i ∂ µ + g s2 Aa µ − m fq f (x) ≡ ∑ q f (x)M f (x, y)q f (y) (13)x,yoù M f (x, y) est une matrice dans l’espace produit direct de l’espace-temps ×couleur × spin:M f (x, y) = ∑ [ ]iγ µµ 2a (δ λ ax+ˆµ,y − δ x−ˆµ,y ) + g s2 Aa µ δ x,y − m f δ x,y (14)où une notation discrétisée a été utilisée. ˆµ est un vecteur de longueur a dansla direction µ. Le terme en ∂ µ est diagonal dans l’espace de couleur, le termede masse est diagonal dans l’espace de spin et de couleur. La matrice M f estappelée “opérateur de Dirac”. On calcule d’abord, pour une valeur fixée deschamps de jauge, l’intégrale de chemin sur les champs de quark. L’intégrale sefait sur des variables d’intégration qui ne sont pas des nombres ordinaires maisles éléments d’une “algèbre de Grassman” que nous désignerons par les symbolesη f (x), η f (x) . Donnons juste le résultat:⎡⎤∫Π x,y,f Dη f (x)Dη f (y) exp ⎣ ∑ ∫d 4 zd 4 t η f (z)i M f (z, t)η f (t) ⎦ = Π f Det [i M f ]f(15)66

Le résultat de l’intégrale sur les variables fermioniques est donc simplement leproduit des déterminants des opérateurs de Dirac afférents à toutes les saveurs dequarks. Cette belle formule très compacte ne doit pas nous tromper: ce produitde déterminants est un objet très difficile à calculer. Il est une fonctionnelle nonlocale des champs de jauge. Le sens physique de ce produit de déterminantsest le suivant: il prend en compte l’effet des boucles de quarks, c’est à dire,la polarisation du vide par les paires quark-antiquark virtuelles. En d’autrestermes, le déterminant décrit l’effet des quarks de la mer. La figure 2.A illustrela dynamique dite “quenched” quand on néglige ces déterminants et la figure 2.Billustre la prise en compte de ces déterminants.(A) Quenched QCD: quark loops neglected(B) Full QCDFigure 2: Effet du déterminant fermionique2.4.3 L’intégrale des champs de jaugeUne fois intégrés les champs fermioniques, il faut intégrer les champs de jauge. Cesont des champs bosoniques, mais l’invariance de jauge impose des précautionsparticulières: la dérivation de la formule de l’intégrale de chemin est assez délicateet ne peut se faire “sans peine”. Donnons d’abord quelques définitions: Nous appelons“configuration de jauge” une fonction suffisamment régulière x → A a µ(x).C’est dans l’espace des configurations de jauge que se fait l’intégrale de chemin.67

Nous appelons “orbite de jauge” l’ensemble des transformées de jauge d’une configurationde jauge. Pour les quantités invariantes de jauge le résultat est le mêmesur toute une orbite. Une orbite est de volume fini sur un réseau fini (volumedu groupe de jauge), mais de volume infini dans le continu. Il en résulte quel’approche est nécessairement différente dans le continu et sur un réseau. Sur unréseau fini on peut définir l’intégrale de chemin sur tout l’espace des configurationsde jauge et ensuite diviser le résultat par le volume du groupe de jauge.Dans le continu il faut fixer la jauge. Dans les cas courants la jauge est fixée enmultipliant l’intégrand de l’intégrale de chemin par[B[∂ µ A a µ] ≡ exp − i ∫]d 4 x (∂ µ A a2ξµ) 2 (16)Noter que quand ξ → 0 on retrouve la jauge de Landau:B[∂ µ A a µ] → Π x,a δ(∂ µ A a µ) =⇒ ∂ µ A a µ = 0 (17)Cependant il a été montré [3] que l’invariance de jauge impose d’ajouter ledéterminant de “l’opérateur de Faddeev-Popov” qui exprime l’effet d’une tranformationde jauge infinitésimale 1 + i ɛ b sur ∂ µ A a µ:F ax;cy ≡ δ[∂ µA a µ(x)]δɛ c (y)∂ µ A a µ → ∂ µ A a µ + 1 g s[∂ 2 δ ac + g s f abc A b µ∂ µ ]ɛ c (18)= 1 g s[∂ 2 δ 4 (x − y) δ ac + g s f abc ∂ µ(Abµ δ 4 (x − y) )] (19)Pour résumer l’intǵrale de chemin sur les champs de jauge s’écrit∫Z = Π µ,a,x DA a µ(x) B[∂ µ A a µ] Det[F] Π f Det [i M f ] exp[iS G ] (20)où on a utilisé les eqs. (15), (17), (19) et où∫S G = −d 4 x 1 4 Ga µν(x)G µνa (x) (21)Notons en passant que l’on est tenté, nous souvenant de l’eq. (15) dans laquellel’intégration des champs fermioniques s’est traduite par le déterminant deDirac, d’interpréter le déterminant de Faddeev-Popov Det[F] comme le résultatde l’intégration de champs anti-commutants, scalaires et octets de couleur. Ceschamps sont appelés les “fantômes de Faddeev-Popov” et ont donné lieu à denombreux développements, en particulier à la symétrie BRST. Mais nous en resteronslà.Pour conclure la valeur moyenne d’un opérateur O de la QCD s’écrira:∫Πµ,a,x DA a< O >=µ(x) B[∂ µ A a µ] Det[F] Π f Det [i M f ] exp[iS G ] O∫ (22)Πµ,a,x DA a µ(x) B[∂ µ A a µ] Det[F] Π f Det [i M f ] exp[iS G ]68

Pour O on pourra considérer le propagateur d’un quark, d’un gluon, d’un hadronet bien d’autres fonctions de Green. Nous possédons donc maintenant un moyenformel de calculer n’importe quelle fonction de Green de la QCD et donc de larésoudre complétement. Il faut cependant trouver des moyens pratiques de lescalculer.2.5 Passage au temps imaginaireUn ingrédient très embarrassant de l’équation (22) se trouve dans les phasescomplexes dues aux facteurs i de l’exponentielle. L’action S G est réelle, maismultipliée par i. De même pour le déterminant fermionique. Les configurationsde jauge dont l’action est très grande ne contribuent pas de façon significativeà l’intégrale de chemin par une compensation des fortes oscillations de phase duterme exp[iS G ]. En pratique, dans un calcul numérique ces fortes oscillationsproduisent beaucoup de bruit.Une méthode fréquemment employée est de pratiquer un prolongement analytiquevers le temps imaginaire. Nous définissions le temps τ = x 4 = ix 0 = itet de même p 4 = ip 0 = iE. La produit scalaire dans la métrique de Lorentz,x 0 p 0 − ⃗x · ⃗p, devient − ∑ µ=1,4 x µ p µ . A un signe global, sans importance, prèsnous sommes dans la métrique Euclidienne. L’intégrale de chemin contient le facteurexp[i ∫ d 4 xL M ]. On remplace la variable d’intégration dx 0 par dx 4 = idx 0 , oneffectue le même changement de variable sur toutes les composantes temporellesdes champs et on change le signe du Lagrangien Euclidien, le facteur exponentieldevient alors exp[− ∫ d 4 xL E ]. Le changement de signe du Lagrangien fait que leLagrangien Minkowskien ∫ ( E ⃗ 2 − B ⃗ 2 ) devient ∫ ( E ⃗ 2 + B ⃗ 2 ) en Euclidien, ce qui enfait un Lagrangien positif. Ce fait est très important: le facteur exponentielde l’intégrale de chemin Euclidienne est un nombre positif inférieur à1. On peut interpréter ∫ ( E ⃗ 2 + B ⃗ 2 ) comme un “Hamiltonien” à quatredimensions. Les déterminants fermioniques, le déterminant de Faddeev-Popovet le terme de fixation de jauge B[∂ µ A a µ] sont aussi, dans l’Euclidien, des densitéspositives.< O >=∫Πµ,a,x DA a µ(x) B[∂ µ A a µ] Det[F] Π f Det [M f ] exp[−S G ] O∫Πµ,a,x DA a µ(x) B[∂ µ A a µ] Det[F] Π f Det [M f ] exp[−S G ](23)où l’action Euclidienne est positive:∫S G = d 4 x 1 4 Ga µν(x)G µνa (x) (24)Pour résumer le passage à l’Euclidien a transformé l’intégrale de chemin exp[iS]en une intégrale de type Boltzman, exp[−S], S ayant les propriétés d’un Hamiltonienà quatre dimensions. Le rapport (22) devient une valeur moyenne au sensprobabiliste (23) avec une distribution de probabilité positive.69

En passant à l’Euclidien on a transfromé le problème de la théorie des champsquantique en un problème de physique statistique classique. Toutes les méthodesde la physique statistique, tous les algorithmes sont à notre disposition. La QCDsur réseau de même que les règles de somme de QCD utilisent le prolongementEuclidien.La question qui se pose est la suivante. En supposant que l’on ait résolula théorie dans son prolongement Euclidien, comment revenir dans le domainephysique, c’est à dire dans le domaine Minkowskien. Le réponse est simple enprincipe et elle s’appuie sur les propriétés d’analyticité des fonctions de Green.Si on connaissait parfaitement les fonctions de Green Euclidiennes on pourraiten faire le prolongement analytique vers le Minkowskien. Le problème est quela connaissance que nous pouvons acquérir dans l’Euclidien n’est pas exacte. Laprécision du prolongement analytique de l’Euclidien vers le Minkowskien dépenddu processus considéré. Dans le cas où un seul hadron est présent c’est exceptionnellementsimple. Le facteur d’évolution exp[−Et] devient exp[−iEt].3 La renormalisation et la liberté asymptotiqueLa belle formule (22) résume d’une façon compacte le programme de la solutionde la QCD. Cependant le nombre de variables d’intégation est l’infini du continusi bien que cette écriture élégante ne recouvre aucun objet mathématique biendéfini. Après avoir fait une rotation vers le temps imaginaire on parvient à (23),un objet que les mathématiciens savent définir: une intégrale de Wiener. Maisces intégrales sont divergentes, même après avoir compensé les singularités dunumérateur et du dénominateur. Ces divergences sont dites “ultraviolettes” carelles proviennent des grandes impulsions dans les boucles de Feynman. Nousparlerons de leur traitement par la renormalisation dans la sous-section suivante.Même après avoir renormalisé la théorie, les intégrales de chemin sont excessivementdifficiles à calculer. Il existe des méthodes pratiques de calcul analytiqueou numériques: QCD sur réseau, méthodes perturbatives, théories effectives,modèles qui seront vues plus tard dans cette école. Dans l’immédiatnous essaierons de décrire qualitativement certaines propriétés qui résultent del’intégrale de chemin, et en particulier il sera question des propriétés du videde la QCD3.1 RenormalisationNous allons aborder la renormalisation d’une façon dénuée de toute “pénibilité”.La qcd possède en tout et pour 3 tout n f + 1 paramètres, la constante decouplage et les masses des quarks. Comme dans n’importe quelle théoriephysique il faut fixer ces paramètres, appelés “paramètres nus”, à partir de n f +13 Nous omettons le terme de violation de CP qui ajouterait un paramètre.70

0.3α s(µ)0.20.101 10 10 2µ GeVFigure 3: Constante de couplage forte [1]mesures indépendantes. La théorie est bonne si on peut, après cela, prédire correctementtoute autre mesure. On pourrait résumer la théorie de la renormalisationde la QCD à ces propos de bon sens. Par exemple on ajuste la masse duméson ρ, du π + et du π 0 , du K, du D, du B (oublions le t) et tout le reste estprédictible !!Dans les théories de champs, il y a cependant une complications due aux“singularités ultraviolettes”: De nombreuses fonctions de Green G(x − y) divergentquand x → y. On doit “régulariser” ces divergences. Il y a de nombreusesméthodes de régularisation qui toutes dépendent d’une coupure ultraviolette quenous nommons génériquement Λ. Bien sûr, la QCD ne peut être validée que siles prédictions de physique sont indépendantes de la méthode de régularisationet convergent vers une valeur commune quand Λ → ∞. En principe il doit enêtre ainsi. Les paramètres nus dépendent, bien sûr, de Λ et de la méthode derégularisation.71

3.1.1 Schémas de renormalisationOn en aurait fini avec la renormalisation si il était facile d’aller des n f + 1paramètres nus jusqu’aux observables physiques. Mais c’est en général très difficile.Des étapes intermédiaires sont nécessaires. Par exemple on doit calculerdes fonctions de Green en termes des champs fondamentaux de la théorie (gluons,quarks, fantômes). Ces objets ne sont pas des observables physiques, ilsdépendent de la jauge, on ne peut pas les prendre de l’expérience. Alors on faitappel à un “schéma de renormalisation”. Il y a un très grand nombre detels schémas. Tous les résultats intermédiaires du calcul dépendent de ce schémade même qu’ils dépendent de la jauge. Le résultat final du calcul, celui qui concerneles observables physiques, doit lui être totalement indépendant du schémaet de la jauge. En outre, au sein d’un schéma donné apparaît une dépendanceadditionnelle dans une échelle d’énergie que l’on appelle le “point de renormalisation”.Nous allons juste illustrer cela sur un exemple simple pour en montrer le fonctionnement.Un schéma nommé “MOM” impose par exemple que le propagateurrenormalisé du gluon soit égal, dans la jauge dite de Feynman, au propagateurd’un gluon libre, c’est à dire à −i g µν δ ab /p 2 pour une valeur précise de la norme del’impulsion: p 2 = µ 2 . µ est ici cette échelle d’énergie, ce point de renormalisation.Cette échelle d’énergie est arbitraire en principe, mais elle doit être fixée pour quela procédure de renormalisation soit définie. La procédure est alors la suivante.Etant donnés les n f + 1 paramètres nus de la théorie, on calcule, par un procédéà définir, le propagateur du gluon résultant de toutes les interactions de la QCD.Le résultat dépendra bien sûr de ces paramètres et de la valeur du cut-off Λ. Parexemple on calcule l’effet des diagrammes à une boucle de gluon et de quark.On appelle le résultat de ce calcul le “propagateur nu”, −i g µν δ ab G b . On calculeune constante de renromalisation Z 3 qui fournit le “propagateur renormalisé”−i g µν δ ab G r par une simple multiplication:G r (p 2 , µ 2 ) ≡ Z 3 (µ 2 , Λ 2 )G b (p 2 , Λ 2 ), Z 3 (µ 2 , Λ 2 ) = µ 2 G b (p 2 , Λ 2 ). (25)La valeur de Z 3 ci dessus exprime simplement que pour p 2 = µ 2 le propagateurrenormalisé est le propagateur d’un gluon libre - G r (µ 2 , µ 2 ) = 1/µ 2 - elle découledes règles adoptées pour ce schéma.Le résultat dépend évidemment de µ. S’il en était autrement cela signifieraitqu’en ayant ajusté le propagateur renormalisé au propagateur libre pour uneéchelle µ 2 il serait égal au propagateur libre pour toutes les valeurs de p 2 , doncque la QCD se comporterait comme une théorie de gluons libres !! C’est loind’être le cas.On peut de façon semblable renormaliser d’autres fonctions de Green, la constantede couplage forte et les masses des quarks au moyen d’un nombre fini deconstantes de renormalisations. On dit que la QCD est renormalisable 44 La théorie effective chiral est renormalisable au prix d’un nombre infini, mais ordonné, de72

3.2 La dépendance d’échelleLa dépendance d’échelle des fonctions de Green, de la constante de couplage etdes masses des quarks est très riche d’enseignements. Il faut d’abord préciserque si le choix du point de renormalisation µ est arbitraire, il est en pratiquepréférable de choisir µ de l’ordre des impulsions-énergies typiques du processusque l’on étudie. On le voit dans l’exemple ci-dessus où le propagateur du gluon estparticulièrement simple pour p 2 = µ 2 . Par exemple si on étudie les désintégrationsdu Z 0 au LEP on aura intèrêt à choisir µ de l’ordre de 45 GeV. Si on s’intéresseau facteur de forme du nucléon à un transfert de Q 2 ∼ (10 GeV) 2 on prendraµ = 10 GeV. Donc, bien que µ ne soit pas une grandeur physique, la dépendanceen µ, par exemple de la constante de couplage, véhicule un important message dephysique.Hé bien La constante de couplage diminue quand µ augmente et elletend vers zero pour µ → ∞. C’est la “liberté asymptotique”. Ce résultatessentiel peut se démontrer en théorie des perturbation, il est confirmé par desméthodes non perturbatives et mieux encore par l’expérience. La figure 3 montreune compilation des mesures expérimentales de cette constante en fonction del’énérgie.-+-- + +-- - ++ ++ - -QgggQ _Figure 4: effet d’écran, en haut, et d’anti-écran en bas3.2.1 Effet d’écran et d’anti-écranCette dépendance d’échelle de la constante de couplage peut paraître paradoxale :en termes simples, elle signifie que l’interaction entre deux sources augmente avecla distance. En électrodynamique l’effet est inverse et on peut le comprendre dela façon suivante: on suppose deux charges électriques statiques de signe opposé,elles tendent à polariser le vide, c’est à dire à faire surgir du vide des charges + etconstantes de renormalisation. On dit que la théorie n’est pas renormalisable.73

- qui vont naturellement écranter les charges statiques, cf fig. 4 (dessin du haut).Cet effet d’écran augmente naturellement avec la distance entre les charges etl’interaction décroît avec la distance.Mais en QCD on observe un effet d’anti-écran: l’interaction augmente avec ladistance (diminue avec l’énergie). D’où vient cette différence ? les quarks et lesgluons polarisés transversalement exercent pourtant un effet d’écran comme lesélectrons en électrodynamique, mais cet effet est contrebalancé par l’interactionentre les lignes de champs, cf fig. 4 (dessin du bas) due au fait que les gluonsportent une charge de couleur.Avant de développer les idées qui tentent d’expliquer cet effet d’anti-écranainsi que le confinement qui lui est lié, nous allons conclure par un résumé desconséquences de la liberté asymptotique.Figure 5: e + e − → q¯q, 2 jets, dans l’expérience DELPHI au LEP [4],74

3.2.2 Les conséquences de la liberté asymptotique• 1) A grande énergie-impulsion la constante de couplage est petite. Celajustifie l’usage de la théorie des perturbations et explique le comportementquasi partonique des quarks et gluons à grande énergie, cf fig. 5. Cettepropriété permet de donner un sens à la QCD quand on fait tendre lacoupure ultraviolette vers l’infini alors que les théories qui ont le comportementinverse (fort couplage petite distance, dite infra-rouges libres) tellesl’électrodynamique ou la théorie λφ 4 ne le permettent pas sous peine dedevenir “triviales” à cette limite. Lié à cela il résulte aussi que la QCD surréseau a une limite “du continu” (quand la maille du réseau tend vers zéro)bien définie.• 2) A grande distance, quand la constante de couplage n’est plus petite(α s ∼ 1), la théorie des perturbations ne s’applique plus du tout, les modesinfrarouges deviennent cruciaux, les propriétés non-perturbatives du videde QCD sont déterminantes. Le confinement se manifeste (sans que celasoit bien compris). La brisure spontanée de la symétrie chirale se manifesteaussi.Cette dualité ultraviolet/infrarouge, perturbatif/non-perturbatif, polarisetoute la QCD. Elle lui donne toute sa richesse. Historiquement laliberté asymptotique a permis d’éclaircir le mystère de l’interaction forte, cf lecours de Patrick Aurenche [5], et cette découverte a été saluée par le prix nobelde physique 2004. La maîtrise de l’aspect non-perturbatif reste un défi.3.3 Les parties dominantes de l’intégale de cheminL’intégrale de chemin, eq. (23), permet de définir formellement toutes les quantitésd’intérêt physique de la QCD. Il est bon de s’attarder sur quelques unes deses propriétés. Il s’agit d’un intégrale fonctionnelle. L’espace d’intégration estl’espace des configurations de jauge défini dans la section 2.4.1: une configurationgénérique de jauge est la donnée d’une valeur générique tout à fait arbitraire deschamps de jauge en tous les points de l’espace-temps (on peut ajouter des contraintesde continuité et de dérivabilité). Cet espace des configurations de jaugeest très vaste. Grâce au passage au temps imaginaire la fonctionnelle à intégrerest positive. Une méthode approchée pour ce genre d’intégrale, la méthode du col,consiste à effectuer l’intégrale près des maxima locaux de l’intégrand, c’est à direprès des minima locaux de l’action (l’intégrale de chemin est schématiquement∫ exp(−S)). Autrement dit, sur cet immense espace de configurations de jaugelintégrale sera dominée par les régions où l’action n’est pas très grande, au voisinagedes minima locaux c’est à dire des des solutions classiques des équations dechamps.75

Il y a de très nombreux minima locaux, mais le minimum absolu est, àune transformation de jauge près, le “vide trivial”: A µ (x) = 0 pour lequelG a µν(x)G µνa (x) = 0 et par conséquent S G = 0 à partir de l’équation (24). Lathéorie des perturbations prend en compte les fluctuations quantiques autourde ce vide trivial. Il en résulte que la théorie des perturbations ne peut pasrendre compte de la richesse des autres minima. On peut comprendre qualitativementpourquoi, cependant, les modes à grande impulsion de la QCD sont biendécrits par la théorie des perturbation: ces modes correspondent à une action S Gtrès grande, et - souvenons-nous que l’action euclidienne est une “énergie” d’unsystème statistique classique de dimension 4 - à cette “énergie”, les variations desdifférents vides sont peu sensibles, de même qu’un avion de haute altitude passesans effort d’une vallée à l’autre.Par contre, les propriétés des modes de basse fréquence sont très profondémentmodifiées par l’effet de ces nombreux minima. Une des conséquences les plusremarquables est que dans le vide de la QCD la valeur moyenne< 0|G a µν(0)G µνa (0)|0 > > 0. (26)En effet, les minima non triviaux de l’action ont évidemment une action positive,et une valeur de G a µν(x)G µνa (x) strictement positive. En utilisant le fait quetous les translatés d’un tel minimum seront aussi des minima non triviaux on engendredes “modes zéros” de densité G a µν(0)G µνa (0) non nulle. Quand on calculela valeur moyenne dans le vide < 0|G a µν(0)G µνa (0)|0 > en utilisant la formule 23,on ne trouve pas zéro à cause de la contribution de ces vides non triviaux. Ondésigne le fait que < 0|G a µν(0)G µνa (0)|0 > > 0, comme signalant l’existence d’un“ condensat G 2 ”.L’explication ci-dessous est par trop naïve car elle passe sous silence desproblèmes complexes de renormalisation. Elle illustre cependant le lien qui existeentre la structure complexe des minima de l’action et les propriétés nonperturbativesdu vide de la QCD.4 Les mystères de la QCD non perturbativeNous avons vu dans la section précédente une caractéristique importante du videde la QCD, le condensat G 2 , et plus généralement que les caractéristiques particulièresdu vide de la QCD ouvrent des perspectives sur ses propriétés nonperturbatives.Cela ne suffit cependant pas à expliquer les grands mystères dela QCD : le confinement, la brisure de la symétrie chirale, etc. A dire vrai leurexplication n’est pas encore connue, mais il existe des tentatives d’explication àpartir de modèles du vide de la QCD. Nous allons en présenter quelques uns danscette section. Cependant nous allons d’abord discuter de l’existence de critèresde confinement.76

4.1 La boucle de WilsonOuvrons d’abord une parenthèse. Considérons un état physique quelconque |n >d’énergie E n et un opérateur O(t) dépendant du temps t tel que |n >= O(0)|0 >et O † (0)|n >= |0 >, où |0 > représente le vide. Alors la valeur moyenne< 0|O † (t)O(0)|0 >∝ e −Ent (27)xR0Figure 6: Boucle de WilsonTtIl s’agit de la traduction euclidienne de l’évolution quantique ∝ e −iEt quidevient une décroissance exponentielle. Venons-en à la boucle de Wilson. Nousavons défini (4) la ligne de Wilson et la boucle de Wilson (5) dont la trace estun invariant de jauge. Considérons la boucle de Wilson représentée en fig. 6.On peut monter que les lignes horizontales représentent des sources de couleurstatiques (liées à des quarks de masse infinie). On peut donc interpréter la fig. 6comme la création d’un système invariant de jauge constitué d’une paire quarkantiquarkstatiques, distants de R qui se propage durant un temps T . Selonce que nous venons de rappeler, la valeur moyenne de cette boucle de Wilsonest donc proportionnelle à exp(−ET ) où E est l’énergie du système de sources77

statiques distantes de R, la valeur du potentiel Q ¯Q. Quand R devient grand,considérons deux cas: le potentiel linéaire, c’est à dire confinant, et un potentielque tende vers zéro à l’infini, comme le potentiel de Coulomb, non-confinant.< 0|T r[W (x, x)]|0 >∝ e −σRT = e −σA < 0|T r[W (x, x)]|0 >∝ e −cP (28)où A = RT est l’aire insérée dans la boucle de Wilson et P est le périmètre decette boucle. Wilson a donc proposé la “loi des aires” (à gauche ci-dessus) commecritère du confinement. La loi en périmètre (à droite ci-dessus) est au contraireun indice de non confinement.Figure 7: Représentation d’un supraconduceur de type II traversé par un fortchamp magnétique [6].Les simulations numériques confirment l’existence de cette loi exp(−σA) pourla QCD sans quarks dynamiques. En présence de quarks dynamiques les choses secompliquent. Si on construit comme ci-dessus un système de charges de couleurstatiques Q ¯Q à distance R, il devient à grande distance dynamiquement avantageuxqu’une paire q¯q de quarks légers issue du vide constitue deux “mésons”statiques Q¯q et q ¯Q. L’énergie potentielle du système reste finie et devient con-78

stante, égale à moins deux fois l’énergie de liaison des mésons statiques 5 , quandles sources statiques s’éloignent à l’infini escortées de leur partenaire léger 6 .La boucle de Wilson avec quarks dynamiques se comportera donc ∝ e −cPmême en cas de confinement, et le critère de la loi en e −σA ne peut donc plus servirde critère de confinement. De fait aucun critère de confinement, aucun paramètred’ordre du confinement, n’a été trouvé dans le cas de quarks dynamiques. Notonsnéanmoins que le confinement garde son sens premier: les états colorés ne peuventconstituer des états asymptotiques, et c’est bien le cas dans l’exemple ci-dessuspuisque des quarks du vide apparaissent pour neutraliser la couleur des sourcesstatiques.Maxwell eqs.Abelian theoryHiggsmechanismtype II superconductorBBANO stringscondensate of Cooper pairsDUALITYEBB-EQQmagnetic monopole condensateFigure 8: Effet meissner dual, figure de la référence [9]5 Rappelons que dans le cas confinant l’énergie de liaison est négative.6 On peut aussi se représenter les sources de couleur statiques comme des quarks de massetendant vers l’infini. Dans les raisonnements ci-dessus on doit alors soustraire systématiquementla masse du quark lourd pour rester avec des quantités finies.79

4.2 Une image du confinement: l’effet Meissner dual4.2.1 les supraconducteurs de type IILa figure 7 représente un supraconduceur de type II traversé par un fort champmagnétique. A la température considérée, l’état d’énergie la plus basse du matériauest l’état supraconducteur. Dans cet état le champ magnétique ne peut paspénétrer. La nécessité de contourner le matériau coûte beaucoup d’énergie. Le“compromis” que trouve le système est le percement d’un “tube d’Abrikosov” nonsupraconducteur dans le matériau. Le champs magnétique traverse le matériauen empruntant les tubes de sorte que le flux magnétique dans chaque tube soitquantifié 7 . Un compromis s’instaure qui fixe la section du tube. Si cette sectionest trop faible, le champ magnétique aura une énergie ∝ B ⃗ 2 qui diverge à fluxconstant à section nulle. Si la section est trop grande, la perte d’énergie due à latransformation du matériau de supraconducteur en un matériau normal est tropgrande.4.2.2 L’effet Meissner dualOn explique donc le confinement en supposant que la QCD présente un effetMeissner dual [7, 8], dual au sens de la dualité électrique magnétique, ouplus précisément électrique/chromomagnétique et magnétique/chromoélectrique.Cet effet est bien illustré dans la fig. 8 emprunté à la référence [9]. Le videest supposé supraconducteur dual, c’est à dire que le champ chromoélectrique(électrique de couleur) ne peut traverser ce milieu sans le transformer en vide nonsupraconducteur(peu différent du vide perturbatif). Donc, entre deux sourcesde couleur statiques Q et Q, les lignes de champ chromoélectrique doivent transformerle vide au prix d’un coût énergétique. De ce fait les lignes de champ,au lieu de s’écarter comme en électromagnétisme, ont dynamiquement intérêt àpercer un tube dont la section est déterminée selon le même principe que celledes tubes d’Abrikosov décrits ci-dessus. L’énergie de ces tubes cylindriques desection déterminée est bien sûr proportionnelle à la longueur du tube, c’est àdire à la distance entre Q et Q: on a donc expliqué, dans ce modèle, le potentiellinéaire comme dû à un tube de flux chromoélectrique.Ce modèle de confinement a une conséquence intéressante: selon la théorieBCS la supraconductivité est due à un condensat de paires d’électrons, les “pairesde Cooper”. La supraconductivité duale suppose donc un condensat de monopôlesmagnétiques [8]. Ce modèle semble confirmé par les calculs sur réseau. Les tubesde flux chromoélectriques entre sources statiques le sont aussi, cf la fig. 9 d’aprèsla référence [10].7 Cette quantification est imposée par le fait que le long d’une boucle entourant le tube lechamp électromagnétique doit retrouver sa phase après un tour.80

Figure 9: Tube de flux en QCD sur réseau entre deux sources statiques [10].4.3 Une autre vision du vide de la QCD: les instantonsUn instanton (anti-instanton) est une solution classique des équations de champde la QCD [11, 12]. Pour simplifier les notations nous allons les écrire dans lathéorie de jauge SU(2):A a µ(x) = 2 η a µνx ν ρ 2(29)g (x 2 + ρ 2 )x 2oùη a ij = ɛ aij , η a i4 = δ a i , η a 4i = −δ a i . (30)L’action des instantons et des anti-instantons est une valeur constante:S =∫ 14 Ga µνG µνa= 8π2g 2 (31)Asymptotiquement, à l’infini, l’instanton devient une pure jauge:A a µ(x) ≃ g(x) 1ig ∂ µg −1 (x) pour |x| → ∞ avec g(x) = (x 4 + i⃗x · ⃗τ)ρ 2|x| 3 (32)Donc, à l’infini, les champs d’instantons sont les transformés de jauge du champtrivial A a µ(x) = 0. Mais on ne peut pas les ramener en même temps en tous les81

points d’une hypershpère à l’infini a un champ trivial à cause d’une propriétéd’enroulement topologique 8 qui se manifeste dans la singularité de la fonctiong(x) en x = 0, (32): il est impossible d’effectuer dans tout l’espace-temps latransformation de jauge (32) à cause de cette singularité. Les instantons ontun nombre topologique +1, les anti-instantons ont un nombre -1. Il existe dessolutions avec ±n entier. Ce sont des solutions classiques, des minima locaux del’action euclidienne, qui ne peuvent évoluer classiquement vers la solution trivialeà cause de cette propriété topologique.Figure 10: Représentation de la densité d’action euclidienne sur une tranched’une configuration de jauge d’un réseau [16]. A gauche la configuration tellequ’elle sort de la simulation. A droite après qu’un procédé de refroidissementait éliminé les fluctuations quantiques de petit longueur d’onde: on voit degrandes structures dont on peut démontrer qu’elles sont proches d’instantons(anti-instantons)4.3.1 Modèle de liquide d’instantonsImaginons un instanton et un anti-instanton éloignés l’un de l’autre. La configurationde jauge a pour nombre topologique n = 0, ce n’est pas une solutionclassique, cette configuration peut classiquement évoluer vers la solution trivialepar annihilation de l’instanton avec l’anti-instanton. Mais cela est peu probablesi ils sont éloignés. Si le recouvrement de l’instanton et de l’anti-instanton sontfaibles, on a presque une solution classique des équations de champs puisque leséquations sont locales et que localement on est presque dans une configurationd’instanton, ou d’anti-instanton ou dans une jauge pure.Le modèle de liquide d’instanton [13, 14] généralise cette idée à une superpositiond’un nombre n + d’instantons et n − d’anti-instantons. le nombre topologique8 Ce phénomène topologique est un peu analogue au fait qu’un fil noué qui est enroulé n foisautour d’un poteau ne peut être déroulé.82

est n + − n − . Il a été montré que ce modèle ne donne pas d’explication du confinement.Par contre il donne une bonne explications de la brisure de la symétriechirale qui est traitée dans le cours de Bachir Moussalam [15]. Ce modèle duvide de la QCD semble aussi confirmé par la QCD sur réseau comme l’indique lafig. 10Il ne faut pas s’étonner que deux représentations différentes du vide, Meissnerdualet liquide d’instantons semblent confirmées toutes deux par les simulations: il s’agit de deux aspects d’une réalité complexe.5 Méthodes de calcul non-perturbatif5.1 La QCD sur réseaua) b)Figure 11: a) représentation schématique d’un réseau cubique. b) représentationd’une “plaquette”.La seule méthode de calcul ab initio de la QCD non-perturbative est la QCDsur réseau. mais c’est une méthode numériquement lourde. Elle consiste d’abordà discrétiser l’espace-temps euclidien, cf fig. 11-a. Les calculs se font sur un volumefini. Les mailles sont typiquement plus petites que 0.1 fm car il faut que cettelongueur soit dans le domaine de la QCD perturbative et donc analytiquement83

sous contrôle, alors que les phénomènes à grande distance, de l’ordre du fm, sontsimulés numériquement. Le volume a typiquement des côtés plus grand que 3 fmpour pouvoir contenir des hadrons. Sur chaque lien du réseau le champ de jaugeest implémenté sous la forme d’une petite ligne de Wilson:U µ (x) = P{e iag 0∫ 1}0 dτAi µ (x+τaˆµ) λ i2où U µ (x) ∈ SU(3) et la transformation de jauge s’écrit (3):L’action de gauge vaut(33)U µ (x) → g(x)U µ (x)g −1 (x + aˆµ). (34)S[U] = − ∑x,µ,ν13 Re {Tr [1 − P (x) µ,ν]} (35)où P est une plaquette définie comme le produit ordonné de matrices U autourd’un carré élémentaire, cf fig. 11-b :P µν (x) = U µ (x)U ν (x + aˆµ)U −µ (x + aˆµ + aˆν)U −ν (x + aˆν). (36)L’intégrale de chemin, intégrée sur toutes les orbites de jauge, s’écrit∫Π x,µ dU µ (x)e − 6g 2 S[U] (37)On peut montrer que l’on retrouve les formules du continu (23,24) quand a → 0.Il est habituel de définir β = 6/g 2 .Si on veut calculer une quantité invariante de jauge on n’a pas besoin de fixerla jauge, on intègre sur toutes les configurations de jauge, le volume du groupede jauge SU(3) N (N est le nombre de points du réseau) se factorise et s’éliminequand on calcule une valeur moyenne. On n’a donc pas besoin du terme defixation de jauge ni du déterminant de Faddeev-Popov.Par contre on a besoin du déterminant fermionique, cf section 2.4.2. Il existede nombreuses façon d’écrire l’action des quarks, c’est à dire l’opérateur de Diracdiscrétisé: action de Wilson, staggered, overlap, domain wall, etc. Ce sujet étantassez long nous allons le sauter et nous supposerons que nous possédons uneaction des quarks ∑ f ¯q f M f q f satisfaisante pour chaque problème.La valeur moyenne d’un opérateur O invariant de jauge est donnée par< 0|O|0 >=∫Πx,µ dU µ (x)e − 6g 2 S[U] Π f Det[M f ]Ooù f est la saveur du quark et∫Z = Π x,µ dU µ (x)e − 6g 2 S[U] Π f Det[M f ] (39)Z(38)Cette intégrale dépend de centaines de millions de variables d’intégration. Ilfaut donc une méthode de calcul apropriée: ce sera la méthode de Monte-carlo.84

5.2 Exemple de calcul sur réseau: le nucléonGadyak et al, hep-lat/0112040b)a)Figure 12: a) Masse effective en fonction du temps. On voit qu’à temps long cettemasse converge vers la masse de l’état fondamenatl, le nucléon. b) Le calcul dela fonction de Green se fait à partir du calcul de trois propagateurs des quarks devalence.Nous voulons calculer le propagateur d’un nucléon et en déduire sa masse.L’opérateur à calculer est une fonction de Green à deux points:〈0| N a (x) N a (y)|0〉 = 1 ∫[DA µ ][Dψ][DZ¯ψ] e −βS[U] N a (x) N a (y) (40)où β = 6/g 2 . N a (y) crée un nucléon et les résonances N J=1/2+ , N a (x) annihilele nucléon et les résonances N J=1/2+ . N a (x) et N a (y) sont des “champs interpolants”du nucléon, écrits en termes des champs de quarks de sorte à avoir lesbons nombres quantiques, J = 1/2 et P = +:N a ≡ ¯ɛ ijk (u i Cγ 5 d j )u k a, N a ≡ ɛ ijk (ū i Cγ 5 ¯dj )ū k a (41)Pour considérer un nucléon d’impulsion ⃗p on fait la transformée de Fourier dansl’espace:G 2ab (t x , ⃗p) ≡ ∑ e −i⃗p′ ⃗x 〈0|N a (x)N b (0)|0〉 , (42)⃗x85

Figure 13: Fonction de Green utilisée pour le calcul des facteurs de forme d’unnucléon. Le champ interpolant en t 0 crée une somme de baryons. Si t y − t 0est suffisamment long, seul l’état fondamental, le nucléon, subsiste au temps t yquand agit le courant. Il faut ensuite que t x − t y soit suffisamment long pour queseul l’état fondamental soit présent à droite. Par “suffisamment long” on veutdire de l’ordre de 10 unités réseau comme nous l’indique la fig. 12-a.En utilisant le principe de complétude: 1 = ∑ n |n >< n| on obtient∑G 2ab (t x , ⃗p) = V 3 〈0|N a (0)|n〉〈n|N b (0)|0〉e −Entx , (43)nOù V 3 est le volume d’espace du réseau. Quand le temps t x devient grand, seulle terme d’énergie la plus faible E 0 contribue, les autres étant exponentiellementsupprimés. On peut vérifier ce fait en calculant en fonction du temps l’énergieeffective:[ ]G2ab (t x , ⃗p)E eff (t x ) = ln. (44)G 2ab (t x + 1, ⃗p)Quand le temps est suffisamment grand ce rapport tend vers une constante quin’est autre que l’énergie du nucléon d’impulsion ⃗p. Un exemple à impulsion nulleen est donné par la courbe a) de la fig. 12-a, emprunté à la ref. [17].86

Le diagramme b) de la fig. 12 illustre la manière dont la valeur moyenne (40)est calculée. Dans chaque configuration de jauge qui contribue à notre échantillonMonte-carlo nous calculons le propagateur du quark. Cela se fait en inversantl’opérateur de Dirac, c’est à dire la matrice M f qui est une très grande matricecreuse (des centaines de millions de lignes et de colonnes). Les propagateurs desquarks sont alors combinés selon les tenseurs de l’eq. (41).5.2.1 Les facteurs de formeLes facteurs de forme sont un objet important de cette école [18]. Nous n’allonspas détailler la façon dont la QCD sur réseau les calcule. Disons qu’il s’agit d’uneactivité importante et bien contrôlée. Outre les fonctions de Green à deux pointsprésentées ci-dessus, on calcule les fonctions de Green à trois points comme c’estillustré dans la fig. 13. Nous présenterons certains résultats dans la section 6.1.Figure 14: Les cercles creux montrent les prédictions du calcul sans quarksdynamiques, les cercles pleins correspondent à un calcul avec deux quarks dynamiques,les barres horizontales correspondent aux données expérimentales.87

5.2.2 Spectroscopie des baryonsNous présentons, fig. 14, un exemple de spectroscopie complète des baryons effectuépar la collaboration JLQCD [19].5.3 Le modèle des quarksCette question est traitée dans le cours de J.-M. Le Goff [18]. Cette méthode nedoit pas être négligée, même si on ne sait la dériver de la QCD que dans le casdes quarks lourds ou dans le cas des fonctions d’onde sur le cône lumière. En effetce modèle donne une description transparente de la spectroscopie hadronique etcette description rencontre un succès étonnant. Le modèle des quarks permetaussi d’étudier la dynamique, les facteurs de forme, etc. C’est en général la seuleméthode d’étude des hadrons + excités (résonances) + … qui sont d’un abord très difficileavec les méthode de la QCD sur réseau et des règles de somme de la QCD.xx+ +X XX X+ +Figure 15: Diagrammes dominants contribuant à la fonction de Green (7). Lapremière ligne correspond à la QCD perturbative, la seconde inclut le condensatG 2 , et la troisième le condensat ¯qq.5.4 Le développement des produits d’opérateurs et lesrègles de somme de la QCD5.4.1 Un outil rigoureux: le développement en produit d’opérateurNous prendrons l’exemple de la fonction de Green (7) dont la valeur expérimentalede la partie imaginaire a été montrée dans la fig. 1. Il a été montré [5] que siles quarks étaient libres, le rapport R (fig. 1-bas) serait égal à ∑ f 3e 2 f, sommésur les quarks pour lesquels on est au dessus du seuil. Le facteur 3 est dû à lacouleur: trois types de quarks. Cela signifie R = 2 en dessous du seuil du charme,puis R = 10/3 jusqu’au seuil de la beauté etc. On voit sur la fig. 1-bas qu’il y aces paliers, mais avec des structures saillantes correspondant aux résonances. LaQCD perturbative nous indique qu’il faut corriger cette image simple par l’effet88

des gluons.∫i(2π) 4d 4 xe −iqx < 0|T (j µ (x)j ν (0))|0 >= (q µ q ν − g µν q 2 )×{− 1 (1 + α )}sln Q24π 2 π µ + ..... 2où Q 2 = −q 2 et les points de suspensions représentent les ordres plus élevés enα s . Cette formule ne peut expliquer les pics aigus de fig. 1. Ces derniers sont nonperturbatifs.Dans la section 3.3 nous avons souligné qu’un effet non-perturbatifimportant de la QCD était l’existence du condensat G 2 , c’est à dire de la valeurmoyenne non nulle dans le vide de G a µνG µνa (0). Un autre condensat important,< 0|¯qq(0)|0 > a à voir avec la brisure spontanée de la symétrie chirale.Le groupe “SVZ” [20, 21] a proposé d’utiliser cette propriété non-perturbativepour la phénoménologie. Ils utilisent un principe découvert par Wilson [22] selonlequel un produit d’opérateurs, tel que le produit des courants j µ dans (45),peut s’exprimer comme une somme d’opérateurs rangés selon leur dimensiondécroissante, multipliés par des coefficient aujourd’hui dénommés “coefficients deWilson”. On nomme ce développement “OPE” (Operator Product Expansion).Comme le produit (45) est invariant de jauge, on se contente des opérateursinvariants de jauge. La formule (45) devient∫id 4 xe −iqx < 0|T (j(2π) 4 µ (x)j ν (0))|0 >= (q µ q ν − g µν q 2 )×{− 1 (1 + α )sln Q24π 2 π µ + α s2 12πQ 4 Ga µνG µνa (0) + 2m }qQ ¯qq(0)......... 4(45)(46)où les points de suspension renvoient aux termes d’ordre supérieur en α s et auxtermes d’ordre supérieur en 1/Q 2 .La contribution perturbative (45) contient la contribution de l’opérateur dedimension minimale, l’opérateur identité: 1. Les deux termes suivants dans (46)contiennent les opérateurs invariants de jauge non triviaux de dimension la plusfaible. Ils ont dimension 4 et les coefficients de Wilson qui les multiplient contiennentle facteur 1/(Q 2 ) 2 de dimension -4. A grand Q 2 c’est la contribution perturbativequi domine, en accord avec la liberté asymptotique. Quand Q 2 diminue,les opérateurs sous-dominants donnent une contribution non-négligeable.Cependant ces contributions, qui restent “douces”, ne suffiront pas à engendrerles pics aigus de la figure 1. Il faudrait baisser encore Q 2 et l’on sortirait dudomaine de validité du développement OPE. Que faire ?5.4.2 Les règles de somme et leur utilisation en phénoménologieLes auteurs de [20, 21] proposent d’utiliser le fait qu’en moyenne le résultatde la formule (46) représente la courbe expérimentale 1. C’est illustré dans la89

Figure 16: Comparaison du rapport R dans le secteur du quark léger avec lathéorie des perturbations corrigée par l’OPE. On voit la dualité en moyenne entreles quarks (théorie des perturbations) et le résultat expérimental. la résonance ρest manifestement non-perturbativefigure 16 empruntée à [23]. A partir de cette remarque, et en faisant quelquesmanipulations mathématiques simples, ils proposent une hypothèse qui permetdes prédictions. Définissons la fonction Π(q 2 ) par∫i(2π) 4d 4 xe −iqx < 0|T (j µ (x)j ν (0))|0 >= (q µ q ν − g µν q 2 ) × Π(q 2 ) (47)La prédiction théorique pour Π theo (q 2 ) se lit simplement à partir de l’eq. (46). Lerapport R montré en bas de la figure 1 vaut:R q (s) ≡ σ(e+ e − → hadrons)σ(e + e − → µ + µ − )= 12πQ 2 qIm(Π(s)) (48)où Π(q 2 ) et sa partie imaginaire sont reliés par une relation de dispersion:Π(Q 2 ) = − Q2π∫ds Im(Π(s))s(Q 2 + s) , Q2 = −q 2 . (49)90

On peut estimer que pour Q 2 suffisamment grand (disons ∼ 4 GeV 2 ), Π theo (q 2 )est assez proche du Π(q 2 ) exact. Cependant le Π(q 2 ) a une partie imaginaire avecles pics de resonances déjà observés alors que la partie imaginaire de Π theo (q 2 )n’a qu’une variation douce. La relation de dispersion (49) nous démontre doncl’accord en moyenne des parties imaginaires de Π theo (q 2 ) et de Π(q 2 ) bien qu’ellesaient des allures si différentes.Le groupe SVZ [20, 21] veut faire, en utilisant cet “accord en moyenne”, desprédictions sur la résonance la plus légère du spectre (il s’agira du méson ρ) àpartir du développement de l’eq. (46). Ils proposent une opération mathématiquenommément une transformation de Borel:∫−Q 2 d∞ ( ) 1dQ 2 Π(Q2 ) = Q 2 d ˜Π(M 2 )e −Q2 /M 2 (50)0 M 2de sorte que la partie imaginaire Im ˜Π(s) est concentrée vers le bas du spectre.˜Π(M 2 ) = 1πM 2 ∫ds ImΠ(s)e −s/M 2 (51)A ce stade on suppose que la partie imaginaire est saturée par la résonance ρsupposée étroiteImΠ(s)e −s/M 2 ≃ πf 2 ρ e −m2 ρ/M 2 (52)où f ρ est la constante de désintégration du méson ρ en e + e−, c’est à dire soncouplage au courant électromagnétique. Des eqs. (46,50) on tire, en négligeant lecondensat ¯qq :˜Π(M 2 ) = 1 (1 + α )s4π 2 π+ 1 < 0| αsπ Ga µνG µνa (0)|0 >(53)24 M 4Il faut une estimation du condensat G 2 que l’on peut extraire d’une autre applicationde la même méthode, par exemple au méson J/ψ. Il résulte de ce calculsimplifié:f ρ = √ e m ρ2π = 0.26, expérience : f ρ = 0.28 (54)Cette présentation archi-simplifiée de la méthode dite “des règles de somme dela QCD” montre le petit miracle qui s’est opéré: à partir de la QCD perturbativecorrigée par l’OPE on prédit des grandeurs telles que f ρ de nature véritablementnon-perturbative. Sans les termes OPE, c’est à dire si on avait utilisé seulementla formule théorique (45) le résultat (54) n’aurait pas été possible. Cela indiqueque les corrections OPE ont quelque chose à voir avec le confinement.Ce qui est rigoureux, c’est qu’en moyenne les résultats calculés en QCD perturbativecorrigée par l’OPE sont égaux à la contribution hadronique. Cela s’appellela “dualité quarks-hadrons”. Ce qui demande des hypothèses additionnelles et uncertain “savoir faire”, c’est de saturer la contribution hadronique par une seulerésonance. La méthode des règles de somme de la QCD est beaucoup moins91

lourde que la QCD sur réseau. Son application à la phénoménologie hadroniqueest fondée sur la QCD (de ce point de vue, plus rigoureuse que le modèle desquarks) plus des hypothèses ad hoc (de ce point de vue, moins rigoureuse que laQCD sur réseau).Figure 17: Facteur de forme electrique et magnétique isovectoriel avec fit dipolairecalculé sur réseau [24].6 Phénoménologie en liaison avec les thèmes del’école Joliot-CurieDans cette section nous allons présenter des résultats de simulations diversessur réseau en liaison avec les thèmes traités au cours de l’école, c’est à direessentiellement les propriétés des hadrons et celles des plasmas de quarks et degluons. Nous n’expliquerons que peu comment ces résultats sont obtenus maisen discuterons brièvement les leçons physiques.92

c)a)Test expérimental de la SSEb)d)Figure 18: a) Moment magnétique vectoriel sur réseau avec extrapolation linéaire.b) Moment magnétique vectoriel anormal sur réseau, extrapolation selon lathéorie chirale effective SSE. c) Rapport des facteurs de forme magnétiques etélectriques sur réseau comparé au fit dipolaire extrapolé à la limite chirale. d)Rapport des moments magnétiques anormaux isoscalaires: réseau et SSE.6.1 Facteurs de forme et distributions de partons6.1.1 Facteurs de formeLa figure 17, provenant de la ref. [24], montre des facteurs de forme isovectorielscalculés en QCD sur réseau sans quarks dynamiques. Ce calcul a été fait avecdes quarks sensiblement plus lourds que dans la nature, et un problème a étéd’extrapoler le résultat vers des masses plus raisonnables. Pour cela les auteursont utilisé une théorie effective chirale nommée “small scale expansion (SSE)”.6.1.2 Facteur de forme étrange du nucleonLa composante étrange du nucléon a été étudiée [25]. La contribution disconnexeest très difficile à estimer numériquement. Or la composante étrange estbien sûr disconnexe. Les auteurs ont contourné l’obstacle en calculant l’ensemble93

Figure 19: Diagrammes illustrant les deux topologies différentes pour l’insertiond’un courant en QCD sur réseau. Ces diagrammes squelettes pour l’insertionconnexe (gauche) et disconnexe (droite) sont habillés par un nombre arbitraire degluons et de boucles de quarks.des moments magnétiques des baryons, fig. 20, et en en déduisant la contributionétrange sur le nucléon à partir d’une relation de ces différents momentsmagnétiques. De tels calculs devront bien évidemment être vérifiés par un calculdirecte des diagrammes disconnexes.6.1.3 Distribution de partons généralisésUn nombre croissant d’études des fonctions de structures et des distribution departons généralisées ont été faites sur réseau. A titre d’exemple nous présentonssur la figure 21 un résultat emprunté à la ref. [26]. Ces calculs se font à partirdes moments qui sont reliés à des éléments de matrice de type suivant:< N(p)|(O sf ) µ1···µ s= is−2s!¯q f γ {µ1 D ↔ µ 2 · D ↔ µ s}q f |N(p ′ ) > (55)La fig. 21 présente en fonction de la masse des quarks - ou de façon équivalente,de la masse carrée du pion - les grandeurs suivante: somme ∆Σ du spin desquarks dans le nucléon, et moment angulaire L q porté par les quarks. Le résultatde la simulation sur réseau pour ∆Σ est deux fois plus grande que l’expérience,peut-être parce que la masse des quarks était trop grande dans ces simulations.Pour conclure cette section, il semble que plusieurs phénomènes expérimentauxfort intéressants sont liés à la masse faible des quarks u et d. Les simulationsactuelles, bien que prometteuses, ne décrivent pas certaines de ces expéreinces defaçon satisfaisante, à moins d’être complétées par la théorie effective chirale quithéorise la limite de faible masse des quarks. La nouvelle génération d’ordinateurssera confrontée à ces problèmes dans des conditions plus réalistes de masse et cesera un enjeu passionnant de voir ce qui se passera.94

Figure 20: La dépendance des moments magnétiques de l’octet des baryonsdans les différentes méthodes d’ajustement de la maille du réseau. Les mesuresexpérimentales sont indiquées à gauche pour chaque baryon (cercles peins).6.2 La QCD à température et densité baryonique finiesNous avons entendu un cours de principe sur les transitions de phases [27], ettrois cours sur les collisions d’ions lourds passés, en cours ou à venir [28]. Nousallons d’abord rappeler en peu de mots comment on traite la théorie quantiquedes champs à température finie dans le formalisme du temps imaginaire, puisdonner quelques résultats de simulations sur réseau.6.2.1 La théorie des champs à T finieLa règle est simple comme l’a dit Claude Bernard [29], la théorie des champsà température finie T à l’équilibre se résout en résolvant la théorie en tempsimaginaire (nous avons choisi ce formalisme tout du long) sur un hyper-cylindre dedimension infinie dans l’espace mais tel que la longueur temporelle (circonférencedu cylindre) soit égale à 1/T . Présentons une idée de la dérivation de ce trèsbeau résultat dans le cas d’une théorie d’un champ scalaire φ(x). On définit une95

Figure 21: Calcul réseau du spin total porté par les quarks, dans une normalisationoù le spin du proton vaut 1, et contribution du moment orbital des quarks.A gauche la valeur expérimentale.base d’états un peu particulière à partir de la valeur du champ:φ(⃗x, 0)|φ 0 >= φ 0 (⃗x) φ(⃗x, 0)|φ 1 >= φ 1 (⃗x) (56)L’opérateur d’évolution, en temps réel, entre l’état |φ 0 > au temps 0 et l’état|φ 1 > au temps t 1 s’écrit :∫< φ 1 |e −iHt φ(⃗x,t1 )=φ 1 (⃗x){ ∫ t1∫1|φ 0 >= Ndπ(x)dφ(x) exp i dt d 3 x i π ˙φ}− H(π, φ)φ(⃗x,0)=φ 0 (⃗x)0(57)Où H est le Hamiltonien. Passons au temps imaginaire et imposons φ 1 = φ 0(condition périodique), et intégrons sur φ 1 = φ 0 , on obtient en choisissant t 1 =β = 1/TT r[e −βH ] = ∑ < φ|e −βH |φ > (58)φ∫ ∫{ ∫ β ∫}= N dπ(x) dφ(x) exp − dt d 3 x i π ˙φ − H(π, φ)periodic0∫{ ∫ β ∫}= N dφ(x) exp − dt d 3 x i L(φ)periodicLa mécanique quantique à température finie nous enseigne que la valeur moyenned’un opérateur dans un système à l’équilibre est donné par la distribution de960

16.014.012.010.08.06.04.02.00.0ε/T 4 ε SB /T 43 flavour2+1 flavour2 flavourT/T c1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0Figure 22: Densité d’énergieBoltzman:< O >= T r[e−βH O]T r[e −βH ](59)Donc nous voyons que dans le formalisme à temps imaginaire il suffit de procédercomme avec un théorie de champs à température zéro, mais en remplaçant le volumequadridimensionnel infini par un cylindre de volume spatial infini et de circonférenceβ = 1/T dans la direction temporelle. Cela se généralise aux théoriesde champs [29] et permet d’y donner une définition Lagrangienne - cf dernièreligne de l’eq. (58) - et invariante de jauge de la valeur moyenne des opérateursinvariants de jauge.6.2.2 La QCD sur réseau à température finieOn comprend que la QCD sur réseau s’adapte parfaitement à la température finie.A température zéro on travaille - contraints et forcés - dans un espace-temps finiavec, en général, des conditions périodiques aux bords des quatre dimensionsd’espace temps. La longueur du réseau dans les quatre directions est choisieassez grande pour minimiser les artefacts de volume fini.A température finie, on applique la même règle pour les dimensions spatialeset la dimension temporelle est ajustée à β = 1/T . Cela n’a de sens que si97

∞G < H =%* 8 -0/2nd orderO(4) ?n f = 21storderPureGauge9;:;< '>=?6 8 -0/¢¡¤£ ¥§¦©¨© ¥ ¥¥9¢@BADCFE2 2tricmsm s??phys.pointcrossovern f = 3n f = 11 111 22211 12 1 "! #%$ & ')(+* ,.-0/ 1storder2nd orderZ(2)33 3 3 3 3 34 4 4 434 "! #%$ & 5%676 8 -0/4A CFI G < H *J* 8 -0/ @00m u , md∞Figure 23: Diagramme indiquant la nature de la transition de phase en fonctionde la masse des quarks légers (supposés dégénérés) et de celle du quark étrange.les dimensions spatiales sont grandes par rapport à la dimension temporelle (enpratique on exige au moins un rapport 4).A partir de là on peut calculer non seulement les fonctions de Green, mais lesgrandeurs thermodynamiques. Voyons en quelques unes à titre d’exemple. Ondéfinit Z(T, V ) la fonction de partition (intégrale de chemin) en fonction de latempérature T et du volume spatial V . La densité d’énergie libre f et la pressionp sont données parf = −p = − T ln Z(T, V ) (60)VLa densité d’énergie, ɛ, et la densité d’entropie, s, sont alors données par lesrelationsɛ − 3p= T d ( ) p s,T 4 dT T 4 T = ɛ + p(61)3 T 4et la vitesse du son parc 2 s = dp(62)dɛLa figure 22 empruntés à [30] donne la densité d’énergie en fonction de latempérature pour trois saveurs dégénérées de quarks dynamiques (3), deux dégénérées98

0.30.614.0L0.512.00.21.00.4m10.08.00.36.00.10.50.24.0Lm q /T = 0.08005.2 5.3 5.40.12.0m q /T = 0.08005.2 5.3 5.4T/T cFigure 24: Déconfinement et restauration de la symétrie chirale dans la QCDà deux saveurs: On peut voir 〈L〉 (à gauche), qui est un paramètre d’ordre dudéconfinement à la limite de la théorie sans quarks dynamiques, et ¯qq, (à droite)qui est le paramètre d’ordre de la brisure de la symétrie chirale à la limite chirale(m q → 0). On peut aussi voir les suceptibilités correspondantes, qui forment unpic au moment de la transition de phase, en fonction du couplage β = 6/g 2 . Ilfaut noter que le couplage contrôle la maille du réseau, et donc, à nombre demailles constantes, la dimension temporelle, par conséquent la température.(2), et deux dégénérées plus une de masse différente (2+1). On y voit clairementune transition entre la phase hadronique et la phase du plasma de quarks et degluons à haute température.Le diagramme de phase et la nature des transitions (1er ordre, 2ème ordre,cross-over) est une fonction compliquée de la masse des quarks, résumée avec sesinterrogations dans la figure 23 empruntée à [30]. A la limite de masse infiniedes quarks, on est dans le cas où les paramètres d’ordre du confinement existent.On peut montrer que la transition est du premier ordre. Au contraire, quand lesmasses tendent vers zéro, il existe un paramètre d’ordre de la symétrie chirale.Un des mystères les plus profonds de la QCD est que la transition de déconfinementet la transition de restauration de la symétrie chirale semblent survenir à la mêmetempérature. Ce fait est bien illustré par la figure 24 elle aussi empruntée à [30]:La figure de gauche indique la transition de phase de déconfinement en mesurantla “boucle de Polyakov”, paramètre d’ordre que nous n’avons pas introduit dansce cours, la figure de droite indique la transition de phase de restauration de lasymétrie chirale en mesurant le condensat ¯qq. La coincidence des deux transitionsest étonnante.6.2.3 La QCD sur réseau à densité baryonique finieLes collisions d’ions lourds comportent une densité baryonique à l’endroit dela collision où on espère la formation d’un plasma de quarks et de gluons. Ilfaudrait donc calculer la QCD à densité baryonique non nulle, c’est à dire àpotentiel chimique non nul pour le nombre baryonique [27]. Cela est très difficileà temps imaginaire, car le potentiel chimique introduit une phase complexe. Orle principe des calculs en QCD sur réseau c’est que l’intégrale de chemin intègre99

!5.065.045.0254.984.964.944.924.94.884.864.844.824.80 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5confined ~ 0.85(1)a µD’Elia, Lombardo 16 3Azcoiti et al., 8 3Fodor, Katz, 6 3Our reweighting, 6 3This work, 6 3 ~ 0.45(5)0 0.5 1 1.5 2µ/TQGP ~ 0.1(1)1.00.950.900.850.800.750.70T/T cFigure 25: Transition de phase en fonction du potentiel chimique, c’est à direde la densité baryonique. L’axe vertical porte le couplage β = 6/g 2 qui contrôlela maille du réseau, et donc, à nombre de mailles constantes, la dimension temporelle,par conséquent la température.une fonction de probabilité positive. C’est la raison pour laquelle on passe autemps imaginaire: afin de transformer l’intégrale de chemin en une intégraleBoltzmanienne d’une fonction de probabilité positive (23). On évite ainsi lesoscillations que donnerait la phase complexe de l’intégrale de chemin en tempsréel (22). Avec un potentiel chimique on perd cet avantage, on doit intégrer unefonctionnelle de phase complexe variable. On ne sait pas comment faire.Cependant, quand le potentiel chimique n’est pas trop éloigné de zéro, àtempérature non nulle, différentes méthodes ont été proposées. Nous ne décrironspas ces méthodes. Contentons-nous de montrer qu’elles convergent assez largement.La figure 25, empruntée à [31] montre la courbe de changement de phase,de déconfinement, en fonction du potentiel chimique. Les différentes méthodes ysont comparées. Il est intéressant de noter que les collisions d’ions lourds à RHICet à LHC, au moment de la collision et dans les régions centrales, se trouventau voisinage de la courbe ainsi calculée. Par contre la QCD sur réseau ne saitpas encore comment traiter le centre des étoiles à neutron, à température zéro etpotentiel chimique non nul.7 ConclusionLa QCD est sans doute la théorie des interactions forte. Ses prémisses sontextrêmement compactes, le nombre de ses paramètres très petit. C’est unevéritable théorie dont on peut en principe déduire toutes les conséquences ab100

initio. C’est un théorie quantique des champs, c’est à dire qu’elle se situe dansun cadre théorique complexe mais bien très défini en principe. La particularité dela QCD est l’extraordinaire richesse de son champ d’application. Cette richesseest due à la féconde dualité entre son secteur perturbatif et non-perturbatif.Elle est due au confinement qui fait qu’à partir des quarks et des gluons elledécrit un cheptel immense de hadrons. Les méthodes théoriques essentielles dansles secteurs perturbatifs et non–perturbatifs sont respectivement les méthodes,complémentaires, des diagrammes de Feynman et de la QCD sur réseau. LaQCD sur réseau demande des moyens de calcul très lourds et est limitée dansson champ d’application. Cependant des progrès rapides en étendent ce champet en améliorent la précision. Bien sûr, une maîtrise analytique de la QCD dansson domaine non-perturbatif et une démonstration du confinement restent desobjectif théorique très ambitieux, mais qu’il ne faut jamais perdre de vue.Ainsi les différents thèmes de cette école, les facteurs de forme et distributionspartoniques des hadrons, les propriétés de la matière dans les conditionsextrêmes des collisions d’ions lourds, les propriétés chirales des pions et kaons debasse énergie, et au delà de l’objet de cette école, les propriétés des hadrons soumisaux interactions faibles, y compris les secteurs charmés et de beauté, tous ces observables,toutes ces expériences si différentes, font partie du champ d’applicationd’une seule et même théorie, la chromodynamique quantique.References[1] The 2004 Review of Particle Physics,http://pdg.lbl.gov/2005/reviews/contents sports.html, Plots of cross sectionsand related quantities (Rev.).[2] R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20 (1948) 367.[3] L. D. Faddeev and V. N. Popov, Phys. Lett. B 25 (1967) 29.[4] Evénements de l’expérience DELPHI http://delphiwww.cern.ch/delfigs/events/z0ps/z0maxen.html[5] “La QCD et son histoire : partons du bon pied”, cours de Patrick Aurenchedans cette école.[6] Figure empruntée au site http://www.lema.phys.univtours.fr/Materiaux/Supra/Types/TypesII.htm.[7] S. Mandelstam, Phys. Rept. 23 (1976) 245.[8] G. ’t Hooft, Nucl. Phys. B 190 (1981) 455.[9] N. Brambilla and A. Vairo, arXiv:hep-ph/9904330.101

[10] G. S. Bali, K. Schilling and C. Schlichter, Phys. Rev. D 51 (1995) 5165[arXiv:hep-lat/9409005].[11] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Shvarts and Y. S. Tyupkin, Phys. Lett.B 59, 85 (1975).[12] G. ’t Hooft, Phys. Rev. D 14, 3432 (1976) [Erratum-ibid. D 18, 2199 (1978)].[13] Shuryak E.V., Nucl. Phys. B 198 (1983) 83; Ilgenfritz E.-M., Müller-Preussker M., Nucl. Phys. B 184 (1981) 443.[14] D. Diakonov and V. Y. Petrov, Nucl. Phys. B 245, 259 (1984).[15] “ Symétrie chirale en QCD et théorie effective de basse énergie”, cours deBachir Moussalam dans cette école.[16] Je remercie Feliciano de Soto pour cette figure.[17] V. Gadiyak, X. d. Ji and C. w. Jung, Phys. Rev. D 65 (2002) 094510[arXiv:hep-lat/0112040].[18] “Structure des hadrons”, Jean-Marc le Goff, dans cette école.[19] S. Aoki et al. [JLQCD Collaboration], Phys. Rev. D 68 (2003) 054502[arXiv:hep-lat/0212039].[20] M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B 147(1979) 385.[21] M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B 147(1979) 448.[22] K. G. Wilson, Phys. Rev. 179 (1969) 1499.[23] M. A. Shifman, arXiv:hep-ph/0009131.[24] M. Gockeler, T. R. Hemmert, R. Horsley, D. Pleiter, P. E. L. Rakow,A. Schafer and G. Schierholz [QCDSF Collaboration], Phys. Rev. D 71(2005) 034508 [arXiv:hep-lat/0303019].[25] D. B. Leinweber, S. Boinepalli, A. W. Thomas, A. G. Williams, R. D. Young,J. B. Zhang and J. M. Zanotti, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 141 (2005) 287[arXiv:hep-lat/0502004].[26] J. W. Negele, arXiv:hep-lat/0509100.[27] “Transitions de phase, de la limite thermodynamique aux systèmes finis”,Cours de Francesca Gulminelli dans cette école.102

[28] Coursdans cette école: “QGP : sondes prédites et étudiées au SPS” , RaphalGranier de Cassagnac ‘ne matière sous conditions extrêmes aux énergies duRHIC”, Christelle Roy “L’étude du QGP au LHC”, Pascal Dupieux.[29] C. W. Bernard, Phys. Rev. D 9 (1974) 3312.[30] F. Karsch, Lect. Notes Phys. 583 (2002) 209 [arXiv:hep-lat/0106019].[31] O. Philipsen, PoS LAT2005 (2005) 016 [arXiv:hep-lat/0510077].103

Transitions de phase:de la limite thermodynamique aux systèmes finisFrancesca GulminelliLPC Caen et Institut Universitaire de FranceRésuméDans ce cours nous passerons en revue les caractéristiques principales des transitions de phase et les possiblesextensions aux systèmes finis. La formalisation de la mécanique statistique à l’aide de la théorie de l’informationpermet d’associer univoquement les transitions de phase à des non analyticités dans la fonction de partition, quise reflètent dans des propriétés topologiques particulières de la fonctionnelle d’entropie.Cet ensemble d’outils formels permet de distinguer très naturellement les deux familles de transitions de phase :les transitions de premier ordre et les transitions continues.Guidés par les images intuitives de la théorie de Landau, nous établirons le lien entre transition du premierordre et coexistence de phases, et nous nous concentrerons plus particulièrement dans le cas des transitionsavec plusieurs charges conservées.Dans le cas des transitions continues, nous analyserons la connexion entre divergence de la fonction decorrélation et exposants critiques. Une brève excursion dans la théorie du groupe de renormalisation nouspermettra d’aborder les propriétés d’universalité associées à tout phénomène critique.Dans la deuxième partie de ce cours, les concepts élaborés dans la première partie seront re-analysés de façoncritique pour pouvoir les étendre au cas physique concret de systèmes formés d’un nombre fini de constituants.Nous verrons que le concept même d’équilibre doit être revisité dans les systèmes finis. Pour ces systèmesl’image traditionnelle d’un équilibre unique, immuable et stationnaire est dénouée de sens physique et unedescription statistique cohérente doit nécessairement prendre en compte la variable temporelle.En outre l’unicité des équations d’état n’est pas garantie dans ces systèmes, ce qui implique que la définition etles observables associées aux transitions de phase dépendent des conditions spécifiques de l’expérience.Nous verrons que la théorie de l’information permet de traiter de façon simple et intuitive ces sujets, et deproposer des observables mesurables de transition de phase hors de la limite thermodynamique des systèmesinfinis.SummaryWe review the main characteristics of phase transitions and the possible extensions to treat finite systems.The formalization of statistical mechanics through information theory allows to univocally associate phasetransitions to non analyticities in the partition sum, which reflect in specific topologic properties of the entropyfunctional.This ensemble of formal tools leads to a simple definition of first order and continuous transitions.With the help of Landau theory we will link first order phase transitions and phase coexistence, and will stressthe specific case of a phase transition with different conserved charges. In the case of continuous transitions, wewill study the connection between the divergence of the correlation lenght and critical exponents. A short reviewof renormalization group theory will be used to discuss the universality associated to critical phenomena.In the second part, these concepts will be critically reanalyzed to extend the theory to finite systems. For thesesystems the traditional representation of a single unique static equilibrium is meaningless, and a coherentstatistical treatment must necessarily include the time variable.Moreover statistical ensembles are inequivalent in finite systems, meaning that the definition and observablesassociated to phase transitions depend on the specific experimental conditions. Information theory provides acoherent description of these phenomena and allows to calculate phase transition observables even out of thethermodynamic limit.105

1. Transitions de phase1.1. Généralités [1,2]1.1.1 Etats et observablesLa physique moderne associe à tout système physique deux types d’objets différents : lesobservables qui caractérisent les quantités physiques mesurables et les états, dont laconnaissance permet de prédire les résultats des expériences. Du point de vuemicroscopique, chaque réalisation d’un système avec N degrés de liberté est caractérisée parun état pur ou micro-état i.e. une fonction d’onde Ψ en mécanique quantique ou un pointdans l’espace de phase à 2N dimensions s = (q 1 ,…,q N ;p 1,…, p N ) en mécanique classique, où q iet p i sont les positions et les impulsions de chaque degré de liberté.Si le système est suffisamment complexe, l’état exact est en général impossible à définir etchaque réalisation correspond à un micro-état (n) avec une probabilité p (n) . Dans ce cas, il estplus adapté de parler d’états de mélange (ou macro-états) décrits par la densitéDˆ=∑n∑ ( n)( s − s )( n)( n)( n)( n)p ou Dˆ ψ ψ( s)= p δ(1.1.1)Les observables sont des opérateurs définis sur l’espace d’Hilbert, ou classiquement desfonctions réelles de 2N variables réelles. L’information qui peut être associée au système estl’ensemble des moyennes des observables A l , i.e. l’ensemble des observations=Σ n p (n) A (n) ( n)( n)( )l oùˆ nAl= ψ Alψ est le résultat de la mesure sur la réalisation (n).Si l’information est complète à l’instant initial, ceci reste vrai à tous les temps car l’évolutiondynamique des états est gouvernée par l’équation déterministe de Liouville Von Neumann.Toutefois dans le cas de systèmes complexes, les conditions initiales en général ne sont pasconnues de façon complète et une solution exacte de l’équation de Liouville Von Neumannest hors de portée. En général, à cause de la complexité de l’opérateur densité, pour connaîtrel’état du système (i.e. la totalité des p (n) ) il est suffisant de connaître à chaque instant unnombre limité d’observables pertinentes.Le manque d’information peut être quantifié à l’aide de l’entropie statistique ou entropie deShannon S [3]( n)( n)S = − p ln p = −TrDˆln Dˆ∑ (1.1.2)n( )Le postulat fondamental de la mécanique statistique peut être exprimé de la façon suivante :La distribution statistique des micro-états (communément appelée équilibre) est celle quimaximise l’entropie statistique sous contrainte de l’information pertinente imposée ausystème.En effet toute autre distribution introduirait une source ultérieure d’information, encontradiction avec l’affirmation que toute l’information disponible est donnée par lescontraintes. Il est important de noter que ce postulat, bien que intuitif et élégant, n’impliquepas nécessairement que la théorie ait un quelconque pouvoir prédictif : le fait que nouspossédons une quantité limitée d’information sur le système n’implique pas que l’informationcontenue dans le système soit objectivement limitée. Dans la suite nous garderons en tous les106n

cas le postulat fondamental comme la seule hypothèse de travail raisonnable dans un systèmecomplexe.Le postulat fondamental de la mécanique statistique permet de déterminer les valeursd’équilibre des probabilités des micro-états p (i) . Ceci se fait aisément avec la méthode desmultiplicateurs de Lagrange :L( Dˆln Dˆ) − Aˆ= max∑− Tr λ (1.1.3)l = 01.1.2 Equations d’état et transformations de LegendreLa solution est la matrice densité à l’équilibre fonction des multiplicateurs de Lagrange λ l [2]llLL⎛ ⎞Dˆ 1 = ⎜ − ∑ lAˆ⎛ ⎞0exp λ l⎟ Z = Tr exp⎜− ∑λl Aˆl⎟(1.1.4)Z ⎝ l=1 ⎠⎝ l=1 ⎠où la condition de normalisation est prise en compte par la définition de la fonction departition Z.Le lien entre la contrainte (ou observation, ou variable extensive) et le multiplicateur deLagrange associé λ l (ou variable intensive thermodynamiquement conjuguée) est donnée parl’équation d’étatZA ˆ ∂ lnl= −∂λ(1.1.5)lIl est aussi possible d’exprimer λ l en fonction de en inversant l’équation d’état. En effetl’équilibre obtenu est associé à l’entropie statistiqueSL( Dˆln Dˆ) = Aˆln Z= −Tr0 0 ∑λ l l+(1.1.6)l=1Cette équation donne la relation entre l’entropie et la fonction de partition. Elle est connuesous le nom de transformation de Legendre. On en déduit pour les multiplicateurs deLagrange∂Sλl=(1.1.7)∂ AˆlRemarquons que si la matrice densité D 0 et la fonction de partition ln Z sont fonctions desvariables intensives λ l , la fonction S obtenue par transformation de Legendre, est fonction desvariables extensives associées .1.1.3 Paramètres d’ordre, paramètres de contrôle, diagrammes de phase [4]En général, pour une valeur donnée des variables intensives de contrôle, les propriétés d’unesubstance sont définies de façon univoque, i.e. les variables extensives conjuguées ont unevaleur unique, définie par l’équation d’état correspondante. Par exemple le volume occupé parn moles d’un gaz idéal à une pression donnée P et une température T est donné par V=nRT/P.Pour tout système fini, quelle que soit sa taille, les équations d’état sont en outre des fonctions107

continues et analytiques, ce qui implique qu’en général les propriétés des substances (i.e. lesvariables extensives) varient continûment en variant les variables de contrôle. Une exceptionà cette affirmation générale est constituée par les transitions de phase. Les équations d’étatdéveloppent des discontinuités : une petite variation d’un paramètre de contrôle déclenche unemodification qualitative spectaculaire du système. Des situations existent aussi dans lesquellesles propriétés du système ne sont pas spécifiées univoquement même pour une valeurdéterminée des paramètres de contrôle : les distributions de probabilité des observablesextensives sont bimodales et ne tendent pas vers une gaussienne à la limite thermodynamique.Ces situations correspondent à des coexistences de phase (transitions de phase du premierordre) pour lesquelles deux propriétés (phases) qualitativement différentes sont possibles pourla même valeur du paramètre de contrôle. Les variables extensives qui permettent dedistinguer les deux phases prennent le nom de paramètres d’ordre.Pour un système donné, les domaines d’existence des diverses phases du système sontreprésentés dans un diagramme de phase qui a pour axes les paramètres de contrôle. La figure(1) montre l’exemple du diagramme de phase de l’eau avec ses trois états possible : solide,liquide et gazeux. Les lignes continues représentent les lignes de transition entre lesdifférentes phases et se terminent dans un point de transition du deuxième ordre ou pointcritique (C).Figure 1 : diagramme de phase de l’eau.A l’approche d’un point critique, on observe que la plupart des quantités physiquesimpliquées présentent un comportement en loi de puissance ∝ t x où t représente la distance dupoint critique et la quantité x est nommée exposant critique. Nous verrons plus loin que lesexposants critiques traduisent l’invariance d’échelle du système au point critique et vérifientdes propriétés d’universalité : ils sont largement indépendants du système étudié et dépendentessentiellement de la dimension de l’espace et du paramètre d’ordre. La table suivante donneune liste des exposants critiques principaux (nous avons posé t = (T-T c )/T c températureréduite, et λ le champ associé au paramètre d’ordre Φ).exposant Propriété du système Expression108

α chaleur spécifique C ∝ t -αβ paramètre d’ordre Φ ∝ t βγ Susceptibilité χ ∝ t -γδ paramètre d’ordre Φ ∝ λ -1/δη Fonction de corrélation G(r) ∝ r -|d-2+η|ν Longueur decorrélationξ ∝ t -νLes transitions de phase du deuxième ordre peuvent aussi être vues comme des bifurcationsliées à une brisure spontanée de symétrie. Cette notion est à la base de la théorie descatastrophes [5].Isotrope et homogène au-dessus de la température critique, la matière bifurque, à bassetempérature, dans une région macroscopique donnée, vers une densité préférentielle. Enl’absence d’excitation extérieure (ici une pression extérieure) rien ne permet de prévoir àpartir des équations ou des conditions aux limites qui déterminent le système, la branchechoisie en un point donné de l’espace.Si l’on baisse la température du système au-dessus de la température critique, on peut voir unevariation discontinue du paramètre d’ordre à la transition. D’une réalisation microscopique àl’autre du système (ou d’une région spatiale à l’autre, pour des systèmes de taillemacroscopique) la configuration du système change de façon discontinue (transition de phasedu premier ordre). A la température de bifurcation ou température critique le paramètred’ordre varie continûment, tandis que certaines grandeurs thermodynamiques (susceptibilité,compressibilité, chaleur massique) divergent, à cause d’une augmentation dramatique de lalongueur de corrélation et de la taille caractéristique des fluctuations, qui deviennentcomparables à la taille du système (transition de phase du deuxième ordre).1.1.4 Classification des transitions de phaseLa différente phénoménologie des transitions de phase du premier et deuxième ordre secomprend théoriquement à partir de la classification d’Ehrenfest [6,7].Transition de phase du premier ordre est une transition dans laquelle au moins une desdérivées première du logarithme de la fonction de partition présente une discontinuité ; onassiste à une transition du deuxième ordre si toutes les dérivées premières sont continues etune discontinuité (ou une divergence) est observée dans une des dérivées deuxièmes. Quandla discontinuité est observée dans une dérivée d’ordre supérieure au premier, on parle plusgénéralement de transition continue. Une représentation schématique d’une fonction departition présentant une ligne de transition du premier ordre est montrée en figure (2). Si β −1est une température, la discontinuité dans l’énergie moyenne selon l’éq.(1.1.3) montre quecette dernière observable est paramètre d’ordre.109

lnZ(β,λ)λβλβFigure 2 : représentation schématique d’une fonction de partition (gauche) et de sa dérivée première (droite)pour un système présentant une ligne de transitions de premier ordre qui se terminent sur une transitioncontinue. Les points anguleux dans lnZ correspondent à une discontinuité du paramètre d’ordre. Tirée de [8]1.2. Transitions du premier ordre1.2.1. Théorie de champ moyenLa première théorie quantitative pour les transitions de phase est la théorie de Landau (1936)qui est encore largement utilisée aujourd’hui [9].L’hypothèse cruciale de la théorie de Landau est que le potentiel thermodynamiqueΩ = -TlnZ puisse être développé en série en fonction du paramètre d’ordre Φ.Il est important de savoir qu’en général le postulat basilaire de la théorie, le fait que Ω soittoujours une fonction analytique de Φ, n’est pas vérifié. Toutefois la théorie de Landau resteun outil qualitatif puissant et, proprement généralisé, est à la base de la moderne théorie derenormalisation de Wilson [10].Considérons un paramètre d’ordre scalaire (ex : densité) Φ = - II , défini de tellefaçon que Φ=0 dans la phase à plus haute température. Considérons pour simplicité deuxseules variables intensives relevantes, un paramètre de Lagrange générique h = λ−λ c (où λ cest la valeur à la transition vers la phase II, ex : pression ou température), et le champ~ ~β = β − β t associé au paramètre d’ordre (ex : température ou champ magnétique).Spécialisons ultérieurement au cas où au point de transition β = 0 la symétrie simpleΩ(Φ)=Ω(-Φ) existe. Alors le développement s’écrit [9]log Z= S − βΦ = Sβhc121424( Φ) = −βΦ + a Φ + c Φ + …hh(1.2.1)où les coefficients a et c peuvent en principe dépendre de l’autre variable intensive h.Supposons avec Landau a h = a 0 (h-h c ), c h = cte > 0.La famille de courbes correspondante a l’allure suivante110

S cS cS cΦ 1 Φ 2β>0β=0Φβ

S cΦββ tβ = ∂ ΦSΦ 1 Φ 2Φp tp = −T∂V log Z = −Tlog z= Ts − βΦFigure 4 : Représentation schématique de l’entropie contrainte S c , de l’équation d’état associée au paramètred’ordre β(Φ), et du grand potentiel Ω=pV lors d’une transition de phase du premier ordre. La ligne tiretéereprésente la construction de Maxwell pour la coexistence de phase.Si le système est caractérisé par plus d’une variable extensive, la maximisation de l’entropieimpose en coexistence l’égalité entre les deux phases pour toutes les variables intensivesassociées. Dans le plan des variables intensives une coexistence de phase est alors identifiéepar un croisement entre deux courbes qui représentent les équations d’état des phases pures,comme il est montré dans la figure 4 (partie droite). Remarquons que à la limitethermodynamique la fonction de partition par unité de volume est toujours une variableintensive, et s’identifie avec la pression selon l’équation d’état p = −T∂V log Z = −Tlog z .Tous les points de la zone de coexistence correspondent donc à un point anguleux de lafonction lnZ(β) conformément à la classification des transitions de phase du premier ordre.Ceci montre qu’il n’y a pas de contradiction entre la combinaison linéaire des deux phases encoexistence et la discontinuité du paramètre d’ordre demandée par la classificationd’Ehrenfest.1.2.3. Construction de GibbsJusqu’à maintenant nous nous sommes limités au cas simple d’une seule observablepertinente à la limite thermodynamique, la densité du paramètre d’ordre φ = Φ / V . Ce cassimple s’applique aux transitions liquide-solide-gaz de la matière ordinaire, où φ=Ν/Vreprésente la densité de matière et le paramètre de Lagrange β est le potentiel chimiqueassocié. Souvent toutefois la matière est constituée de plusieurs composantes qui peuventvérifier des lois de conservation indépendantes (densité baryonique, leptonique,etc…). Dansce cas le diagramme de phase doit être étudié dans l’espace multidimensionnel de toutes lesvariables extensives pertinentes et le paramètre d’ordre peut être une quantité vectorielle [12].Considérons à titre d’exemple le cas de la matière nucléaire à basse température, caractériséepar deux densités indépendantes de neutrons et de protons [13].En ce qui concerne la détermination de la zone de coexistence, ceci revient à considérerune construction tangente non plus selon l’axe densité baryonique ρ mais dans le plan ρ n − ρ p, et imposer l’égalité des potentiels chimiques pour les deux composantes∂s∂ρn ρ nl∂s=∂ρn ρ ng= −μnt∂s∂s; = = −μpt(1.2.3)∂ρ∂ρpρplpρpg112

La construction de Maxwell est alors remplacée par la construction de Gibbs, l’enveloppeconcave qui interpole entre les points d’égale tangente (voir figure 5). Les points (μ p , μ n ) quisatisfont l’éq.(1.2.3) définissent des lignes droites dans le plan ρ n − ρ p et donnent la directionisotopique de séparation entre la phase à haute densité (liquide nucléaire) et à basse densité(gaz nucléaire). La longueur de ces lignes donne l’extension du saut du paramètre d’ordre à latransition. Nous pouvons voir que la zone de coexistence se termine en deux points(symétriques dans le plan ρ n − ρ p à cause de la symétrie d’isospin de la matière nucléaire) oùle saut du paramètre d’ordre s’annule. Il s’agit de deux points critiques.ρ p (fm -3 )S c = S-β E+βμ t ρ s/β(MeV.fm -3 )0--ρ p0.0.00 0.00ρ n0.ρ n (fm -3 )Figure 5 : construction de Gibbs de l’entropie contrainte à une température sous-critique pour la matièrenucléaire calculée en approximation Hartree Fock avec la fonctionnelle de Skyrme Sly4. La région opaquemontre la zone de coexistence liquide-gaz nucléaire et les lignes droites donnent la direction de séparationentre les deux phases. Tirée de [8].1.2.4. Equilibre, instabilités et métastabilités [11]Le fait qu’on puisse soigner les convexités des fonctionnelles de champ moyen par uneconstruction de Gibbs montre que ces dernières présentent des instabilités.Considérons encore par simplicité le cas d’une matière composée de deux espèces différentesde particules avec nombres N a et N b . Une instabilité est caractérisée par le fait qu’il existe unedirection dans le plan ρ a - ρ b selon laquelle l’entropie contrainte présente une convexité oucourbure négative. Toute fluctuation de densité dans cette direction par rapport à la densité duchamp moyen conduira à une réponse du système qui amplifie la fluctuation.Concrètement il s’agit de diagonaliser la matrice de courbureMc=2 2∂ Sc∂ Sc2∂ρa∂ρ∂ρ2∂ Sc∂∂ρ∂ρ∂baa b2Sc2ρb∂= −∂ρρabμμaa∂∂ρρabμμbb(1.2.4)Si l’une des valeurs propres est négative, le vecteur propre correspondant donne la directiond’instabilité (instabilité isoscalaire). Si les deux valeurs propres sont négatives, le plan estinstable (instabilité isovectorielle). La figure 6 (partie gauche) donne le résultat de ce calculpour la matière nucléaire purement baryonique à basse température. La zone foncée est le lieudes points d’instabilité (spinodale) et les vecteurs donnent les directions d’instabilité dansquelques points choisis. Il est important de distinguer entre instabilité locale, qui correspond àla région spinodale, et instabilité globale, qui correspond à la région sous-tendue à113

l’enveloppe concave donnée par la construction de Gibbs. Vu que tous les points de courburenégative sont nécessairement contenus dans l’enveloppe concave, la région spinodale esttoujours moins étendue que la zone de coexistence. La région à l’extérieur de la spinodale quireste au dessous de l’enveloppe concave n’est pas instable mais ne correspond pas àl’équilibre : il s’agit d’une zone métastable. Il est intéressant de remarquer que dans le casreprésenté en figure la direction d’instabilité locale est partout approximativementorthogonale à la direction ρ p +ρ n =cst. Ceci signifie que d’un point de vue physique l’instabilitécorrespond à une amplification de fluctuations de densité baryonique totale, c’est-à-dire uneséparation entre une phase à haute densité (liquide) et une phase a faible densité (gaz).ρ p (fm -3 )S c = S-β E+βμ t ρρ n (fm -3 )Figure 6 :Courbe bleue : zone de coexistence pour la matière nucléaire (voir figure 5). Surface rouge : régionspinodale. Flèches : directions d’instabilité. Dans la partie droite de la figure, pour un point à l’intérieur de laspinodale la direction d’instabilité est comparée à la direction de séparation entre les deux phases (droite fine)et à la droite ρ p /ρ n = cst (ligne épaisse).Tirée de [8]1.2.5. DistillationLa séparation de phase dans les systèmes composés de plusieurs espèces différentes estaccompagnée par le phénomène de distillation [12,13] : la proportion relative des différentesespèces n’est pas la même dans les deux phase, la phase désordonnées étant systématiquementplus asymétrique que la phase ordonnée. Ce phénomène est illustré dans la figure 6 (partiedroite).Dans cette figure, pour un point donné à l’intérieur de la région de coexistence, la direction deséparation entre les deux phases déterminée par la construction de Gibbs est comparée à ladirection ρ p /ρ n = cst qui correspond à une composition isotopique homogène entre les deuxphases. Il est clair que la phase dense est plus riche en protons, i.e. plus symétrique de laphase diluée. Il est aussi intéressant de remarquer que la direction de séparation de phase n’a àpriori aucune raison de coïncider avec la direction d’instabilité donnée par le critère deconvexité locale (1.2.4) : la décomposition spinodale tende à partager le système entre deuxphases avec une distillation plus accentuée que la prédiction de l’équilibre. Ceci signifiequ’une mesure expérimentale de la composition isotopique des différentes phases peutpermettre de remonter au mécanisme de séparation de phase (décomposition spinodale versuséquilibre de phases).1.2.6. Transitions versus transformationsPour conclure cette courte exploration de la coexistence de phase avec plusieurs composantes,il est intéressant de considérer le cas physique où un paramètre d’ordre est strictementcontrôlé au croisement d’une transition du premier ordre. Ceci est par exemple le cas de lamatière nucléaire à basse température où l’isospin N/Z=ρ n /ρ p est une quantité conservée.Cette observable étant corrélée à la densité baryonique totale, elle est comme cette dernière114

aussi discontinue à la transition. Une transformation qui traverse la transition tout enconservant l’isospin parcourt alors nécessairement l’intérieur de la zone de coexistence : dansla représentation des variables intensives (voir figure 7) elle suit donc la courbe de transition.Figure 7 : pression en fonction du potentiel chimique protonique et neutronique à une température sous critiquecalculée pour la matière nucléaire baryonique avec l’interaction Sly4. La transformation Z/A=0.3 est indiquéeainsi que la relation correspondante entre la pression et la densité baryonique totale.Tirée de [8].Chaque point de la courbe de transition correspond à une valeur définie de la pression et detoutes les autres variables intensives. Ceci implique que la transformation N/Z=cst conduit àune variation continue de la pression bien que la transition soit du premier ordre. Cet exemplemontre qu’une transition du premier ordre ne correspond pas nécessairement à un plateaudans la transformation p(ρ) si le système possède plusieurs charges conservées, bien que leséquations d’état ∂ ln Z / ∂ρisoient discontinues comme demandé par le critère d’Ehrenfest.Il ne faut donc pas confondre donc transitions continues comme par exemple les pointscritiques, où toutes les équations d’état sont continues, et transformations continues quisuivent la ligne de coexistence à cause d’une loi de conservation sur le paramètre d’ordre.1.3. Phénomènes critiques1.3.1. Théorie de Landau [4,9]Afin de comprendre les caractéristiques d’une transition du deuxième ordre revenons sur lathéorie de Landau dans le cas simple où l’entropie contrainte dépend de deux seules variablesintensives T et λ, et en l’absence d’une contrainte explicite sur le paramètre d’ordre lasymétrie S c (Φ)=S c (-Φ) est valable. Le développement s’écrit(1.3.1)Tλ1 2 1 4log Z = Sc( Φ) = aTΦ + cTΦ ; aT= a0( T − Tc);cT= c > 02 4où par commodité de notation nous avons inverti le rôle des paramètres β=T -1 et h=λ−λ c quimaintenant représente la variable conjuguée au paramètre d’ordre.115

S cΦΦχT Tcaavec un exposant critique γ=1.1.3.2. Fluctuations et corrélations[4,11]En utilisant la définition de la fonction de partition, il est immédiat de se convaincre que lasusceptibilité est liée à la fluctuation du paramètre d’ordre par0∂ Φ ∂2 log Zλχ = = = σ2∂λ∂λ2Φ(1.3.4)Une transition du deuxième ordre est caractérisée donc par une divergence des fluctuations duparamètre d’ordre. Nous pouvons aussi introduire la fonction de corrélation G χ = drdr 'drdr ' G(r − r ')(1.3.5)∫( ϕ(r ) − < ϕ > )( ϕ(r ') − < ϕ > ) = ∫ −s/ξEn posant G(s)∝ e nous pouvons voir que la longueur de corrélation ξ aussi diverge aupoint de transition : bien que gouverné par des interactions à courte portée, le systèmeprésente des corrélations sur toutes les échelles de longueur.116

1.3.3. Exposants critiques et lois d’échelle[4,10,14]Nous avons déjà introduit des exposants critiques (α,β,γ, ...) dans les chapitres précédents.Ces exposants gouvernent le comportement au point critique de certaines grandeursthermodynamiques. On se propose maintenant de mieux formaliser le concept d'exposantcritique.Soit ε la distance (sans dimension) au point critique d'une variable intensive, par exempleε=(T-T c )/T c . Soit f(ε) une fonction arbitraire continue et positive autour de ε=0 . Si la limiteln f ( ε )λ = lim( ε → 0)(1.3.6)lnεexiste, λ est défini comme l'exposant critique à associer à f , f(ε)≈ ε λ . La forme spécifiquede la fonction peut être plus complexe, f(ε) = A ε λ ( 1 + B ε λ’ + ...) mais le comportementdominant à proximité du point critique est en loi de puissance.Pourquoi étudier les exposants critiques?Expérimentalement β≈1/3 dans la transition ferromagnétique-paramagnétique, liquide-gaz,superfluide-fluide normal. Les forces d'interaction dans ces systèmes physiques très différentsn'étant évidemment pas de même nature, les phénomènes critiques ont donc un certaincaractère d'universalité.Le modèle de Landau traduisait cette universalité puisque le potentiel thermodynamique avaita priori la même forme près d'un point critique pour tous les systèmes physiques. On sait qu'ilne rend compte que très imparfaitement de la réalité, si l'on excepte quelques classes detransitions. Les physiciens ont donc cherché d'autres modèles pour expliquer les phénomènescritiques et leur universalité.Domb[15], Kadanoff[10] et Widom[16], en particulier, ont émis l'hypothèse que, près d'unpoint critique, les grandeurs thermodynamiques obéissent à des lois d'échelle.1.3.4. Relations entre les exposants critiquesL'hypothèse d'échelle[16] affirme que le potentiel thermodynamique ln Zà proximité d'un point critique est une fonction homogène généraliséeln Z(λ a x, λ b y) = λ ln Z(x,y) (1.3.7)où par simplicité nous nous sommes limités au cas de deux variables intensives (par exempleune température et un champ magnétique, x=(T-T c )/T c ≡ε, y=h). Nous allons alors montrerque tous les exposants critiques peuvent s'exprimer à l'aide des deux nombres a,b. Leparamètre d'ordre s'obtient en dérivant par rapport à y≡hλ b m(λ a ε, λ b h) = λ m(ε,h) (1.3.8)Cette relation est vraie pour toute valeur de λ. En particulier nous pouvons choisirλ = ε −1/a , ce qui donne à champ nulm(ε,0) = λ b-1 m(λ a ε, 0) (1.3.9)De cette dernière expression, on déduit la relationβ = (1-b)/a (1.3.10)La susceptibilité généralisée s'obtient en dérivant une deuxième fois par rapport au champ117

λ 2b χ(λ a ε, λ b h) = λ χ(ε,h) (1.3.11)ce qui donneγ = γ’ = (2b-1)/a (1.3.12)En utilisant le raisonnement ci-dessus, tous les exposant critiques peuvent ainsi être calculés àl'aide de a et b, qui jouent donc le rôle de paramètres d'échelle.On peut aussi éliminer a et b entre ces relations; on obtiendra des nouvelles égalités entre lesexposants critiques [14]:L'égalité de Rushbrooke: α + 2β + γ = 2L'égalité de Griffiths: α + β(δ+1) = 2L'égalité de Widom: γ’ = β(δ−1)Ces relations sont vérifiées expérimentalement sur la plupart des systèmes: il n'existe doncbien que deux exposants nécessaires pour décrire des phénomènes critiques.En fait, il découle des théories récentes des phénomènes critiques (groupe de renormalisation,voir paragraphe suivant), que tous les exposants critiques peuvent être calculés en fonction dedeux nombres: le nombre de dimensions du système et la dimensionnalité n du paramètred'ordre.1.3.5. Auto-similarité, lois d'échelles et groupe de renormalisationLa théorie du groupe de renormalisation de Wilson[10,17] permet de rendre compte des loisd'échelle qui caractérisent les phénomènes critiques et l'universalité qui en découle.Considérons le comportement d'un fluide comme l'eau. Loin du point critique il présente desfluctuations de densité sur une échelle atomique (≈1 Angstrom). Si la température et lapression sont augmentées, la longueur d'onde des fluctuations devient plus importante. Aproximité du point critique, apparaissent des fluctuations à toutes les échelles, à partir desfluctuations microscopiques jusqu'à la longueur de corrélation ξ qui tend vers l'infini au pointcritique. Du point de vue expérimental, les fluctuations macroscopiques sur des échelles de10 3 -10 4 Angstrom reflètent la lumière ordinaire et produisent le phénomène de l'opalescencecritique. L'apparition de corrélations de portée infinie dans un système avec des constituantsqui interagissent avec des forces à très courte portée, est la caractéristique la plus étonnantedes transitions de phase du deuxième ordre.Le problème théorique qui se pose est comment gérer un problème avec toutes ces échelles delongueur. Le but du groupe de renormalisation est de réduire de façon systématique le grandnombre de degrés de liberté et le grand nombre d'échelles de longueur du système.Dans le cas le plus général l'hamiltonien dépend de plusieurs constantes de couplage K ({ s}) + K ({ }) + …H1 12φ2= −β H = K φs(1.3.13)où {s} = s 1 ,s 2 ,…,s N représentent les degrés de liberté.Une transformation R b qui réduit toutes les longueurs d'un facteur b>1 (l (1) =l/b), est choisiepour l'hamiltonienH= Rb (1)[ H ] K = R [ K ]de telle façon que la forme de l'hamiltonien soit préservée(1); (1.3.14)118b

H(1)(1)Ng( K)+ K φ s(1.3.15)(1)({ s}) + K φ ({ } ) + …=1 1 1 2 2 1et les fonctions φ κ dépendent d'un nombre réduit de degrés de liberté {s} 1 =s 1 ,…s N1 avecN (1) =N/b D .Cette procédure s'appelle groupe de renormalisation car la transformation R satisfait lapropriété de groupeRb [ R [ K] R [ K ]b= (1.3.16)2bEn réalité l'appellation de groupe est impropre (il s'agit plutôt d'un semi-groupe) car latransformation inverse n'existe pas: il n'est pas possible de reconstituer les interaction desdegrés de liberté individuels à partir d'un bloc.La fonction de partition est auto-similaire (forme préservée par le changement d'échelle) ⎛ N (1) ⎞ ln Z(N,K)= ln Z⎜, K Ng(K)D ⎟ +(1.3.17)⎝ b ⎠La caractéristique la plus importante de la transformation est qu'elle peut être itéréeH (1) = R[H] ; H (2) = R[H (1) ] ... (1.3.18)Le processus de renormalisation converge vers des points fixes=H * *= R b [ H*] ; K R ( K )b(1.3.19)qui ont un spécifique domaine d'attraction, défini comme l’intervalle Δ K dans l’espace desconstantes de couplage, qui correspond à une famille d'hamiltoniens qui sous renormalisationconverge vers le même point fixe. Les hamiltoniens qui convergent vers un point fixeadmettent un comportement critique.En effet l'opération de renormalisation correspond à changer les échelles de longueur d'unfacteur b : la longueur de corrélation sous renormalisation devientEn appliquant la procédure n fois nous avonsξ= (1.3.20)( 1) −1( K ) b ξ ( K )ξ = (1.3.21)n( K ) b ξ ( R ( K)Si R nb( K ) approche un point fixe*K *avec ( )du système physique ξ ( K ) doit être infinie.nbξ K non nulle, alors la longueur de corrélationLes points fixes correspondent à une classe d'universalité déterminée: il est possible demontrer que tous les hamiltoniens qui convergent au même point fixe présentent les mêmescomportements critiques avec les mêmes exposants. La non analyticité de la fonction departition au point critique résulte de ce comportement limite quand le nombre d'itérations tendvers l'infini.119

Pour fixer les idées considérons le cas de deux couplages K 1 ,K 2 (par exemple une interactionconstante à deux corps K 1 =β J et un champ externe K 2 =βh ). Il est possible de montrer quedeux points fixes triviaux (K 1 ,K 2 )=(0,0) et (K 1 ,K 2 )=(∞,∞) existent toujours. Il se peut que unautre point fixe soit présent, (K 1 * ,K 2 * ). Dans l'espace bidimensionnel des constantes decouplage, le flot de renormalisation converge alors vers un des trois possibles points fixes. Sil’hamiltonien H possède un point critique (K 1 c ,K 2 c ), nous pouvons considérer tous leshamiltoniens obtenus à partir de H en variant les couplages (J 1 ,J 2 ). La relation entre les J i etles K i, (K 1 c ,K 2 c )=β c (J 1 ,J 2 ) montre que le point critique décrit une courbe ( surface critique)dans l'espace des constantes de couplage (voir figure 9).Nous venons de voir que seul un point a longueur de corrélation infinie peut converger vers lepoint fixe non trivial : donc le domaine d’attraction de (K 1 * ,K 2 * ) est donné par la surfacecritique : le flot des points critiques tend vers le point fixe (K 1 * ,K 2 * ).K 2 =βJ 2T>T cK *T

2. De la limite thermodynamique aux systèmes finis2.1. Spécificité des systèmes finis [18-20]2.1.1. Equilibre et ergodicité[20,7]]A priori les outils de la mécanique statistique introduits au paragraphe (1.1) sont définis pourun nombre arbitraire de degrés de liberté, et la limite thermodynamique de très grandssystèmes n’est pas nécessaire pour donner un sens à des concepts comme la température oul’équilibre. Toutefois la signification physique d’un ensemble statistique ou d’une équationd’état est très différente à la limite thermodynamique et dans les petits systèmes. En effetquand la limite thermodynamique s’applique, le théorème de Van Hove [11,21] garantit queles différents ensembles statistiques convergent vers le même état d’équilibrethermodynamique. Ceci signifie que l’ensemble statistique est essentiellement un outilmathématique dépourvu de véritable sens physique.A l’opposé dans les systèmes finis les différents ensembles ne sont pas équivalents, ce quiimplique que la pertinence et le sens physique des différents ensembles doit être analysée.D’un point de vue macroscopique, un ensemble statistique peut être vu comme une collection(infinie) de sous-systèmes (infinis) du système étudié dans une condition thermodynamiquedonnée. Avec cette interprétation une unique réalisation d’un système physique peut êtreconsidérée comme un ensemble statistique et discutée en termes d’équilibre. Cetteinterprétation n’est pas pertinente pour un système fini car les interactions de surface entresous-systèmes ne peuvent être négligées : une réalisation unique d’un système physique nepeut pas être discutée en termes d’équilibre et l’ensemble de Gibbs doit être considéré commeun véritable ensemble de répliques physiques du système donné.Une compréhension physique de ces répliques de Gibbs est donnée par l’hypothèse ergodiquede Boltzmann. Dans cette interprétation l’ensemble statistique représente la collection desétats successifs explorés par le système en évolution au cours du temps, et l’équivalence avecun ensemble de Gibbs est garantie par le théorème ergodique.Cette interprétation toutefois souffre de plusieurs problèmes. Non seulement l’ergodicité nepeut pas en général être prouvée de façon rigoureuse, mais même pour un hamiltonienergodique une expérience sur une échelle de temps finie peut très bien rester confinée dansun sous-espace de l’espace de phase total. Plus important encore, le concept d’ergodicité nes’applique pas dans la plupart des expériences de physique, où le système n’est pas suivi aucours du temps mais les moyennes sont obtenues sur un grand nombre de répliques desystèmes préparés de façon semblable et observés à un temps défini. Dans cette condition iln’y a pas de connexion claire entre le temps de mesure et le temps nécessaire pour exploreruniformément l’espace accessible. Finalement, l’ergodicité s’applique seulement à dessystèmes confinés, quand les expériences collisionelles produisent des systèmes en expansionlibre dans le vide. Le concept d’un équilibre stationnaire, uniquement défini par les variablesconservées par la dynamique à l’intérieur d’une boite hypothétique, n’est certainement pasadéquate pour décrire ce genre de systèmes.Toutefois les approches statistiques, qui expriment la réduction de l’information disponible àun nombre limité d’observables collectives, restent extrêmement pertinents pour les systèmescomplexes finis. La signification physique d’un tel ensemble statistique est différente du casdu système ergodique ou d’un ‘coarse graining’ macroscopique. L’hypothèse de base est quela dynamique est suffisamment complexe (chaotique ou mixing) pour que, en répétant uneexpérience plusieurs fois, l’ensemble des événements puisse peupler un espace de phase defaçon assez ‘démocratique’ pour que les propriétés fondamentales de l’ensemble desévénements soient dominées par un nombre limité de variables collectives. Dans ce cas, lepostulat d’entropie maximale ne peut pas être justifié à partir du théorème ergodique, mais121

doit être interprété comme un postulat d’information minimale du à la complexité de ladynamique et indépendamment de toute échelle de temps. Cette approche de théoried’information est une extension très puissante de l’équilibre de Gibbs classique : touteobservable peut être utilisée comme variable d’état, y compris les observables qui ne sontliées à aucune loi de conservation. Le prix à payer pour cette généralisation est que lescontraintes et la matrice densité évoluent au cours du temps, ce qui signifie qu’il n’est paspossible d’ignorer entièrement la dépendance en temps du processus. Un exemple bien connude cette approche conceptuelle est donné par les théories de champ moyen dépendent dutemps, qui peuvent se dériver à partir d’un principe variationnel d’entropie maximale sous lacontrainte de toutes les observables à un corps au cours du temps.2.1.2. Inéquivalence entre ensembles[19,20]La connaissance des interactions du système et des conditions spécifiques de l’expériencepermette de définir les variables pertinentes pour notre étude, qui doivent être imposéescomme contraintes et vont jouer le rôle de variables d’état (énergie, nombres de particules,volume, déformation, flot radial, flot elliptique….). Ces observables significatives peuventêtre imposées sous forme de contraintes en valeur moyenne (voir paragraphe 1.1.1) ou commelois de conservation exactes. Le prototype de ces deux ensembles statistiques possibles estdonné par l’ensemble canonique et microcanonique. Dans les deux cas l’hamiltonien estutilisé comme contrainte, mais si tous les micro-états correspondent à la même énergie totaledans le cas microcanonique, l’énergie varie dans l’ensemble canonique avec une fluctuationqui est liée à la capacité calorifique du système (voir paragraphe 1.3.2)2 2σ (2.1.1)E= CTLe choix entre les deux ensembles n’est pas anodin car en système fini les ensembles ne sontpas équivalents, comme nous allons montrer.Dans l’approche microcanonique la maximisation de l’entropie (1.1.1) conduit à ladistribution d’équilibrep (n ) = δ(E − E (n ) )/W (E) (2.1.2)et l’entropie de Boltzmann apparaît naturellement comme un cas particulier de l’entropie deShannonS(E) = logW (E) (2.1.3)L’équation (1.1.7) donne l’équation d’état pour cet ensembleT −1 = ∂ ES(E) (2.1.4)Si nous imposons l’énergie à l’aide du multiplicateur de Lagrange β la distribution des microétatsrésulte immédiatementp (n ) = e −βE (n) /Z(β)(2.1.5)où la fonction de partition s’écritZ(β) = ∫ dE e − βE W (E)(2.1.6)L’équation (2.1.6) montre que le potentiel thermodynamique canonique logZ β etmicrocanonique logZ E =logW sont liés par une transformation intégrale de Laplace.L’équation d’état canonique s’obtient à partir de l’éq.(1.1.5)122

E >= −∂ βlogZ(β)(2.1.7)Pour comparer cette équation à l’expression microcanonique (2.1.4), nous pouvons introduirel’entropie canonique contrainte, i.e. la transformée de Legendre de la fonction de partitionéq.(1.1.6)S c(< E >) = logZ(β) + β < E > (2.1.8)Comme la transformée intégrale de Laplace éq.(2.1.6) est différente de la transformée linéairede Legendre (2.1.8), il est clair que les deux équations d’état sont différentes, c'est-à-dire lesdeux ensembles ne sont en général pas équivalents.Cette discussion a été basée sur l’énergie comme contrainte, mais elle peut être aisémentétendue à toutes les couples de variables thermodynamiquement conjuguées : les ensemblesextensifs dans lesquels la variable d’état est une observable, et les ensembles intensifscaractérisés par le Lagrange conjugué ne sont pas équivalents.A la limite thermodynamique, le théorème de la limite centrale de Laplace garantit que lesdistributions sont gaussiennes. Dans cette limite la fonction qui apparaît dans l’intégrale(2.1.6) f(E)=W(E)exp(-βE) est une gaussienne, et l’intégrale est analytique (approximation depoint selle)2Zβ≈ W ( E )exp( − β E ) 2πσE(2.1.9)Cette équation montre que l’équivalence des ensembles, violée dans les systèmes finis, estrétablie à la limite thermodynamique [22].2.1.3. Conditions aux bords et états du continuum [23]Une complication additionnelle dans l’étude de la mécanique statistique des systèmes finis estdonnée par le problème des conditions aux bords. En effet si le système présente des étatsdans le continuum les ensembles statistiques ne sont pas définis en l’absence de conditionsaux bords. Pour étudier l’équilibre à densité non nulle, la procédure habituelle consiste àintroduire une boite artificielle de volume V dans laquelle le système est confiné. D’un pointde vue mathématique ceci correspond à définir l’équation d’une surface (par exemple uncube) σ(x,y,z)=0 et imposer que la fonction d’onde s’annule sur la surface et au delà.En introduisant le projecteur Pˆ Sassocié, les conditions aux bords s’écrivent donc P ˆSψ = 0ou P ˆ = ψ Pˆψ = 0 (on rappelle la propriété des projecteurs Pˆ 2 = ˆ ).SSSP SSi nous imposons la contrainte additionnelle P ˆ = 0 à la maximisation de l’entropie,l’éq.(1.1.4) pour la distribution d’équilibre devientS1 ⎛Dˆ ⎞S= ⎜−Aˆ− bSPˆλexp λS ⎟(2.1.10)Z ⎝ ⎠λSCette équation montre que la thermodynamique du système dépend de la structure de lasurface S : pour les mêmes caractéristiques globales (densités, énergies), il y a aura autantd’ensembles statistiques que de conditions aux bords.Cette situation non satisfaisante dépend du fait que la spécification de Pˆ Sdemande laconnaissance exacte de la surface en tout point, ce qui n’est pas compatible avec le principefondateur de la mécanique statistique des petits systèmes basé sur l’information minimale.Ce raisonnement montre que l’imposition d’une boite fictive pour confiner le système, qui està la base de l’ensemble microcanonique isochore W(E,N,V), est non physique pour étudier lamécanique statistique des systèmes finis avec continuum.123

Une possibilité de sortir de cette impasse est d’utiliser encore la théorie de l’information pourtraiter notre connaissance incomplète des conditions aux bords, en imposant une hiérarchied’observables décrivant la taille et la forme de la distribution de matière. Par exemple si nous2imposons seulement la connaissance du rayon carré moyen ˆR l’ensemble statistiquepertinent est un ensemble ‘isobare’ˆD 1=⎛⎜ exp − λAˆ− ωRˆλωZ ⎝λω2⎞⎟⎠(2.1.11)où ω=p/T représente une pression surfacique divisée par une température.Une application typique de l’équation (2.1.11) est donnée par l’hypothèse de freeze-outproposée pour les systèmes transients produits par collision : dans cette hypothèse la créationd’entropie s’arrête à un temps défini, au bout du quel les partitions sont essentiellement geléesà cause de l’absence d’interaction. Ce freeze-out a lieu a densité finie, ce qui implique queparmi les variables collectives qui caractérisent l’ensemble statistique nous devons inclure aumoins une observables caractérisant la taille moyenne du système.Le choix d’un ensemble ‘isobare’ à la place d’un ensemble ‘isochore’ a des conséquencesimportantes sur la thermodynamique à cause de la non équivalence des ensembles discutéeplus haut : par exemple seulement dans un ensemble isobare la capacité calorifique d’unsystème isolé est attendue négative dans une transition du premier ordre, et divergente dansune transition du deuxième ordre.2.1.4. Ensembles statistiques dépendant du temps[2,23,24]Nous venons de voir que les systèmes physiques isolés en présence de continuum peuvent êtretraités statistiquement seulement si nous introduisons dans l’équilibre au moins uneobservable reliée à la taille du système. Comme ces observables ne sont pas des constantes dumouvement, ces états sont par nature non stationnaires : en l’absence d’une force de rappel, lataille du système augmente dans le temps et des flots collectifs sont générés.La nature non stationnaire de ces ensembles statistiques, et le fait que les temps de freeze-outpeuvent être fluctuants et différents pour des différentes observables, conduit à introduire unegénéralisation des ensembles de Gibbs à des processus dépendant du temps.Une situation dans laquelle le(s) temps t l où les observables sont figées ne coïncide pas avecLe temps t d’observation du système peut etre modélisée en modifiant le principe variationnel(1.1.3)L− Tr Dˆ ( t)lnDˆ ( t)− λ Aˆ=(2.1.12)où A Tr( Dˆ ( t ) Aˆ)ltlll( ) max∑l ltl = 0lˆ = est la valeur moyenne de l’observable A l ou temps t l .Considérons par simplicité une seule observable A observée au temps t 0 . L’utilisation del’équation d’évolution pour la matrice densité ∂ Dˆ/ ∂t= −i[ Hˆ, Dˆ] conduit naturellement à ladéfinition de nouvelles contraintes qui prennent en compte l’évolution temporelle entre letemps t 0 et tB= −i[ HˆBˆ( p−1), ] ; Bˆ(0= Aˆˆ ( p))(2.1.13)La matrice densité qui décrit le processus dépendant du temps s’écritDλν= Z−1 ∑ ∞ ( ) ( )exp−ˆ −p ˆ pλνλAν Bp=1124(2.1.14)

0. Ce formalisme résulteparticulièrement utile quand les opérateurs B (p) forment une algèbre de Lie fermée : dans cecas une information limitée, i.e. un nombre fini de contraintes, permet une description exactede l’évolution du système à tous les temps.( p)avec des nouveaux multiplicateurs de Lagrange ν = λ( t − t ) / p!2.1.5. Exemple : la dynamique de l’expansion[23]Un exemple intéressant pour les processus collisionels est celui d’un système de particules demasse m initialement préparé au temps t 0 et en expansion libre pour t>t 0 . La condition initialeétant donnée par l’équation (2.1.11), l’évolution aux temps successifs conduit naturellement àl’apparition d’une nouvelle contrainte de flot collectif radial Bˆ = −i[ HˆRˆ2 1, ] = ⎜⎛ Rˆ⋅ Pˆ+ Pˆ⋅ Rˆ⎟ ⎞m ⎝ ⎠p(2.1.15)et d’autres termes apparaissent dus aux commutateurs avec la partie d’interaction del’hamiltonien. Il est intéressant de remarquer que si le système est sans interaction, comme ilest le cas si t 0 coïncide avec le temps de freeze-out, alors la série (2.1.14) peut être resomméeexactement et la solution à tous les temps s’écrit⎛ˆ 2⎞⎜ ∑ ( p − h(t)ˆ r )î i i2D ∝ exp − ( t)− ( t)Rˆ⎟βλhβλ⎜2m⎟(2.1.16)⎝⎠Nous pouvons reconnaître un équilibre ordinaire de Gibbs dans le référentiel en expansion,avec une température effective β, une pression λ et un facteur de Hubble h dépendant dutemps2β ( t ) = β0 + 2λ0( t − t0)/ mm 2λ(t)= λ0 − β ( t)h ( t)22λ0(t − t0)h(t)=2βm+ 2λ( t − t )00(2.1.17)125

2.2. Effets de taille finie dans les transitions du premier ordre2.2.1. Transitions de phase dans les systèmes finis[18-19]Nous avons déjà introduit dans le paragraphe (1.2.2) le concept de coexistence de phase à lalimite thermodynamique à travers la construction de Maxwell, ou la construction de Gibbspour les systèmes composés de plusieurs types de particules (voir figure 10). Chaque fois quel’entropie contrainte d’un système homogène présente une convexité ou courbure négative enfonction d’une variable extensive Φ, elle peut être maximisée en introduisant les partitionsdishomogènes qui consistent en une combinaison linéaire (séparation de phase, ligne tiretée)des solutions Φ 1 et Φ 2 correspondant à la même valeur pour les variables intensives, i.e. à lamême dérivée S’(Φ) (équilibre de phase). Pour obtenir cette solution nous avonsexplicitement utilisé l’extensivité de l’entropie S ( Φ ) = Vs( Φ / V ), ce qui est valableseulement à la limite thermodynamique.Figure 10 : représentation schématique de l’entropie contrainte en fonction du paramètre d’ordre Φ=X pour unsystème fini présentant une transition de phase du premier ordre.Pour tout système fini l’introduction de partitions mixtes augmente l’entropie par rapport ausystème uniforme sans toutefois combler le défaut de convexité, car la présence de surfacesdans les partitions du système fini réduit l’entropie par rapport à la valeur limite avec un3terme d’entropie de surface ∝ N−2 / [25]. Ceci est très facile à comprendre si on prendl’exemple de la transition liquide-gaz avec l’énergie comme paramètre d’ordre. Les partitionsmixtes du système fini correspondent alors à une goutte de liquide entourée de vapeur. Ladensité d’énergie d’un tel mélange composé d’une fraction α de liquide et (1-α) de vapeurs’écrit126

e = αe+ (1 −α)e = α(e) elv−esN1/ 30+ ) + (1 −αv(2.2.1)où la densité d’énergie de surface du liquide e s est une quantité positive. Ce raisonnementmontre que les partitions mixtes du système fini correspondent à une densité d’énergie plusélevée par rapport à la limite thermodynamique, et ne peuvent donc pas compenser le défautde concavité [25].Par conséquent nous nous attendons à pouvoir signer une transition de phase du premier ordredans un système fini par une convexité de l’entropie contrainte à l’équilibre, ou de façonéquivalente (voir 1.2.2) par une susceptibilité négative associée à une variable extensive X,qui peut être identifiée avec le paramètre d’ordre de la transition, X=Φ.2.2.2. Le théorème de Yang LeeUne approche plus formelle et, comme nous allons voir, équivalente à la précédente, estdonnée par le théorème du cercle unitaire de Yang et Lee[26].Nous savons (paragraphe 1.1.4) qu’une transition du premier ordre peut être reconnue par lanon analyticité (un point anguleux) du potentiel thermodynamique G=-TlogZ pour une valeurβ t de la variable intensive pertinente (température, pression, potentiel chimique…).Dans le cas d’un système fini la fonction de partition est une somme finie de fonctions du typeexponentiel, elle est donc partout analytique. Ceci signifie que les équations d’état sontnécessairement continues, et il n’y a aucune différence qualitative avec les équations d’étatd’un système qui à la limite thermodynamique ne présente pas de transition.En ce sens les transitions de phase ne peuvent donc pas être définies dans un système fini.Si la fonction de partition ne peut s’annuler pour aucune valeur réelle de β, elle présentetoutefois des zéros dans le plan γ=β+ιη des β complexes.sinηβcosηFigure 11 : représentation schématique du théorème du cercle unitaire de Yang et Lee. Partie gauche :distribution des zéros de Z dans le plan des températures complexes γ=β+ιη ; les régions à l’intérieur desellipses correspondent aux intervalles d’analyticité de Z. Partie droite : distribution des zéros d’un système finiprésentant à la limite thermodynamique une transition du premier ordre.Le théorème de Yang Lee [11,26], que nous nous limitons à énoncer, permet de montrer que- Pour toute région R entourant l’axe réel qui ne contient pas de zéro de Z,lim( N → ∞)log Z / N est une fonction analytique ;- Une transition de phase est associée à un zéro réel à la limite thermodynamique,β 0 +ιη 0 avec η0 ⎯N ⎯ →∞ →0 ;- Si les zéros du système fini sont asymptotiquement distribués de façon uniforme surl’axe imaginaire avec une densité g( η)⎯N ⎯ →∞ →cN/ 2π proportionnelle au nombre departicules, la transition est du premier ordre.127

Le théorème de Yang Lee (voir figure 11) permet de définir de façon rigoureuse lestransitions du premier ordre dans les systèmes finis, sur la base de la distribution des zéros dela fonction de partition dans le plan complexe. Dans le prochain paragraphe nous allonsmontrer que cette définition peut être reconduite, moyennant quelques hypothèses, auxanomalies de courbure de l’entropie contrainte introduites plus haut.2.2.3. Transitions du premier ordre et anomalies thermodynamique2.2.3.1. Bimodalités[18,27,28]La distribution des zéros de la fonction de partition dans le plan des Lagranges complexespeut se connecter directement aux propriétés topologiques de la distribution de probabilité duparamètre d’ordre. En effet la fonction de partition Z γ en tout point de l’espace peut être reécritecomme transformée de Fourier de la distribution de probabilité P(Φ) du paramètred’ordre Φ−iηΦZ = Z dΦPΦ e(2.2.2)γβ∫β( )Les propriétés des transformées de Fourier permettent donc d’associer la distribution deszéros de Z à la structure de la distribution de probabilité du paramètre d’ordre. En particulier,si P(Φ) est monomodale, une approximation de point selle autour du maximum Φ 0 donneZγ= exp( f ( Φ ))γ01 2 2 12fγ( Φ)= ln Pβ( Φ)− iηΦ + η σ ( Φ)+ ln(2πσ( Φ))+ cst2 2(2.2.3)−22avec σ = −∂Φln P β( Φ). Cette équation montre qu’une distribution monomodale ne peut pasêtre associée à une transition de phase. Si à l’opposé la distribution est bimodale, nouspouvons utiliser une double approximation du point selle qui sera valable à la limitethermodynamique autour des deux maxima Φ 1 et Φ 2( f ( Φ )) + exp( f ( ))Z exp1Φ2(2.2.4)γ=γγContrairement à l’expression (2.2.3), cette forme permet des zéros pour Z dans le plancomplexe. La fonction de partition s’annule pourou aussif Φ ) − f ( Φ ) = i(2n1 π(2.2.5)λ(1 λ 2+ )η = (2n+ 1) π /( Φ2− Φ1)R ( f ( Φ ) − f ( Φ ))= 0λ1λ2(2.2.6)La solution des équations (2.2.6) à proximité de l’axe réel définit un β qui peut être identifiéavec le β de transition β t . Si la structure bimodale persiste à la limite thermodynamique, alorsles équations (2.2.6) montrent que le lieu des zéros correspond à une ligne perpendiculaire àl’axe réel ave une distribution uniforme comme demandé par le théorème de Yang et Lee.Cette démonstration nous permet d’énoncer une deuxième définition de transition de phase dupremier ordre dans un système fini :128

une transition du premier ordre dans un système fini est caractérisée par une distributionbimodale (ou multimodale, si plus de deux phases coexistent au même temps) du paramètred’ordre Φ, dans l’ensemble intensif où Φ est contrôlé à travers la variable intensive associée.Un exemple typique est une distribution d’énergie bimodale dans l’ensemble canonique pourla transition solide – liquide qui présente une chaleur latente finie : l’énergie est doncparamètre d’ordre. Cette définition de transition de phase a été utilisée expérimentalementpour caractériser la fusion d’agrégats métalliques [29].2.2.3.2. Susceptibilités négatives[18,25]Cette définition de transition du premier ordre comme bimodalité dans la distribution duparamètre d’ordre est exactement équivalente au critère de concavité de l’entropie contraintedéfini plus haut. En effet la distribution d’une variable extensive générique Φ peut s’écrireP ( Φ)= Zβ= Z−1β−1βW ( Φexp−1)exp( − βΦ) = Zβexp( S(Φ)− βΦ)( ( Φ))S c(2.2.7)où W(Φ) est le nombre de micro-états correspondant à la valeur Φ. Il est clair à partir del’équation (2.2.7) que une bimodalité dans P(Φ) est exactement équivalente à un défaut deconcavité dans l’entropie associée. En plus, en rappelant la définition de l’équation d’état(1.1.7) nous pouvons immédiatement déduire2∂ S2∂Φ−> 0 ⇔ χ1∂λΦ= −∂Φ< 0(2.2.8)où λ Φ est la variable intensive associée au paramètre d’ordre dans l’ensemble statistique danslequel Φ est contrôlé événement par événement – c'est-à-dire la valeur de Φ estrigoureusement la même dans tous les micro-états (ex : microcanonique) - et χ est lasusceptibilité associée.Si nous prenons encore l’exemple d’une transition avec chaleur latente (i.e. l’énergie commeparamètre d’ordre), l’équation (2.2.8) implique que la capacité calorifique d’un système isoléest négative dans une transition du premier ordre. Un exemple est donné dans la figure 12pour le modèle de gaz sur réseau, qui est connu présenter une transition de phase du typeliquide-gaz. Nous pouvons voir que la région de probabilité minimale pour le système encontact avec un bain thermique (i.e. canonique) correspond bien à une capacité calorifiquenégative pour le système isolé (i.e. microcanonique). Comme nous avons vu dans leparagraphe (1.2.4), cette région de faible probabilité pour le système fini à l’équilibre, est unerégion d’instabilité à la limite thermodynamique : les échanges d’énergie avec le réservoirconduisent le système à l’intérieur de la coexistence a rejoindre l’un de deux pics deprobabilité. Si le système est isolé la séparation de phase n’est pas possible et cette région àcapacité calorifique microcanonique négative n’est pas seulement stable, mais peut survivrejusqu’à la limite thermodynamique, ce qui est un clair exemple de non équivalence desensembles (voir paragraphe 2.1.2).En ce qui concerne le système fini:si le paramètre d’ordre est contrôlé par une loi de conservation, une transition du premierordre dans un système fini est caractérisée par un défaut de concavité de l’entropie associée,ce qui implique une inversion de pente de l’équation d’état correspondante et unesusceptibilité associée négative.129

Cette définition a été utilisée pour proposer que la fragmentation d’agrégats hydrogèneobservée expérimentalement puisse s’interpréter comme une transition de phase du premierordre [30].Figure 12 : Du haut vers le bas : distribution d’énergie canonique, température microcanonique, fluctuationpartielle et capacité calorifique microcanonique en fonction de l’énergie dans le modèle de gaz dur réseau pourun système de 216 particules au dessous de la pression critique. Dans le dernier panneau la courbe continuereprésente la dérivée de l’équation d’état, et les symboles donnent l’expression approximée éq.(2.2.14).Tirée de[31].2.2.3.3. Fluctuations anormales[18,32]La plus grande partie de systèmes physiques est caractérisée par plus d’une variable extensivepertinente, et il est en général difficile de toutes les mesurer dans une même expérience. Lecomportement fonctionnel des variables intensives en fonction des variables extensivesassociées ne dépend alors pas seulement des propriétés de la surface d’entropie du système,mais aussi de la transformation effectuée dans l’espace des variables extensives.Par exemple dans le cas de la transition liquide-vapeur, le nombre de particules, le volume etl’énergie sont tous trois paramètres d’ordre. La courbe calorique T(E) d’un système fluide finiet isolé dépend alors de la variation – non nécessairement mesurable – du volume avecl’énergie selon l’équation2dT 1 ∂ S ∂T∂ω= − +(2.2.9)2 2dE T ∂E∂ωEωoù ω est le paramètre de Lagrange associé au rayon carré moyen du système fini (voir(2.1.11)). Ceci signifie que le comportement observé de la courbe calorique, et plus engénéral, de la variable intensive mesurée en fonction du paramètre d’ordre, ne nous renseignepas forcement sur l’équation d’état, à savoir sur les propriétés de convexité de l’entropie.Par conséquent dans les expériences la définition de transition de phase introduite dans ledernier paragraphe à partir de l’équation d’état, est de difficile application. Par exemple nousavons déjà mentionné dans le paragraphe (1.2.6) que la transition du premier ordre de lamatière nucléaire ne présente pas de plateau dans la corrélation p(V) à cause de la130E∂

conservation du nombre de protons et de neutrons, qui impose la transformation Z/A=cst (voirfigure 7). Pour la même raison, dans la transition correspondante dans les noyaux finis lafonctionnelle p(V,Z/A=cst) est monotone, et ne présente pas d’inversion de pente bien que la2compressibilité ∂V log S soit bien négative à l’intérieur de la spinodale.Dans tous ces cas il peut être utile d’utiliser une autre définition de transition du premier ordredans les petits systèmes, basée sur les propriétés de fluctuations.Considérons le cas où le système peut se diviser en deux sous parties statistiquementindépendantesΦ = Φ1+ Φ21,( Φ Φ ) = W ( Φ ) ⊗W( ); W Φ(2.2.10)2où ⊗ indique le produit tensoriel. Supposons aussi que l’anomalie de concavité de l’entropieS=logW concerne seulement le système 2, et que W 1 soit une fonction sans accident. Un castypique de cette division est donné par l’énergie cinétique et potentielle d’un système isolé. Ladistribution de Φ 1 dans l’ensemble où Φ est conservé est donnée par∫( Φ1) W2( Φ − Φ1)W ( Φ ) W ( Φ − Φ )112W1PΦ( Φ1)=(2.2.11)dΦ111212T σ 2 /T 2V=ctep=cteFigure 13 : Température (gauche) et fluctuation d’énergie cinétique (droite) en fonction de l’énergie et duLagrange associé au volume moyen dans le modèle de gaz sur réseau pour un système de 216 particules. Deuxtransformations à pression constante et volume constant sont indiquées. La région correspondant à desfluctuations anormales selon l’éq.(2.2.14) est aussi indiquée. Tirée de [33].Si la distribution de Φ 1 n’est pas bimodale, elle peut être évaluée par une approximation depoint selle autour de son maximum. Il est alors immédiat de montrer queσ = χ + χ(2.2.12)−2 −1−11 2ou σ 2 représente la variance de la distribution de Φ 1 et les susceptibilités partielles sont−12données par χi = −∂ΦlogW i. Dans la même approximation gaussienne, la susceptibilitéitotale s’écrit131

2−11 ⎛ σ ⎞χ ≅⎜1−⎟(2.2.13)22σcan ⎝ σ can ⎠2 canoù σcan= χ1= ∂ Φ1/ ∂βest la fluctuation attendue pour Φ 1 dans l’ensemble intensif où leparamètre d’ordre est contrôlé à travers son Lagrange (l’ensemble canonique si Φ est uneénergie). En particularisant au cas de l’énergie comme paramètre d’ordre nous obtenonsCC2σ≅ −(2.2.14)σ112can22où C est la capacité calorifique microcanonique, σ can= C1T(voir paragraphe 1.3.2) et C 1 estla capacité calorifique pour un système sans interaction (C 1 =3/2NT pour un système classiquede N particules). Les équations (2.2.13)-(2.2.14) montrent que quand le paramètre d’ordre estcontrôlé, la fluctuation d’un sous système σ peut être plus importante que dans le cas où leparamètre d’ordre est libre de fluctuer σ can . Ces fluctuations anormalement élevées sont liées àun défaut de courbure dans l’entropie associée, donc à une susceptibilité négative et signent latransition de phase du premier ordre dans le système fini.Un exemple de la qualité de l’approximation (2.2.14) pour remonter à la capacité calorifiqueest donné dans la figure 12.L’équation (2.2.13) peut aisément se généraliser au cas de plusieurs variables intensivescomme il est montré dans la figure 13.Comme les fluctuations sont une variable d’état, l’observable de fluctuation anormale signeune capacité calorifique négative indépendamment de la transformation entre les états dedifférente énergie.Cette observable est actuellement utilisée pour mesurer la capacité calorifique dans lesexpériences de multifragmentation nucléaire [34].2.3. Effets de taille finie dans les phénomènes critiques2.3.1. Finite size scaling[14,15]Nous avons déjà discuté au paragraphe (1.3) que lors d’une transition du deuxième ordre lesystème présente un comportement critique. La divergence d’une dérivée seconde de lafonction de partition (susceptibilité)− T −Tχ ∝ t γt =(2.3.1)T∞c∞ctraduit l’absence d’échelle caractéristique, ou invariance d’échelle, du système au point detransition. En effet le lien (1.3.5) entre susceptibilité et fonction de corrélation G χ = V∫dsG−1−η−s/ ξ ( t)( s ) ∝ s e(2.3.2)montre qu’une divergence de la susceptibilité est liée à une divergence de la longueur decorrélation ξ du système par−νξ ( t) ∝ t(2.3.3)132

où γ,η,ν sont des exposants critiques.Dans un système fini la longueur de corrélation est limitée par la dimension linéaire dusystème L et ne peut diverger. Dès que la longueur de corrélation approche L l’équation(2.3.2) montre que la susceptibilité, ainsi que toute autre variable thermodynamique, sature.Un comportement critique strictu sensu ne peut donc pas être défini pour un système fini.L’étude des comportements critiques dans les systèmes finis consiste donc dans la recherchedes lois d’échelle que les variables thermodynamiques doivent présenter dans un système finipour que le comportement à la limite thermodynamique soit critique. Cette théorie d’échelle,ou finite size scaling , peut s’obtenir en faisant l’hypothèse que à proximité d’un pointcritique, il existe aussi pour le système fini une seule échelle de longueur ξ(t) qui déterminela portée des corrélations. L’ hypothèse d’échelle implique pour la susceptibilitéχ−γ( L, t) t g( L / ξ ( T ))où g(x) est une fonction d’échelle qui a le comportement limite= (2.3.4)gx→∞x→0γ /ν( x)⎯ ⎯⎯ →cst; g(x)⎯⎯→x(2.3.5)La première limite garantit le correct comportement critique à la limite thermodynamique, etla deuxième assure que la susceptibilité devient indépendante de la température quand lalongueur de corrélation (du système infini) dépasse la dimension linéaire L. Cette formeprédit aussi que le pic de la susceptibilité pour le système fini doit grandir avec la taille dusystème commeχγ / νmax∝ L(2.3.6)L’hypothèse d’échelle est par définition vérifiée pour L → ∞ et t → 0. Ils n’existent parcontre pas de théorèmes généraux quant au domaine de validité en taille et température. Lavérification expérimentale de l’équation (2.3.4), (2.3.6) et des expressions analogues pour lesautres variables thermodynamiques, permet de remonter aux exposants critiques dans lesexpériences conduites sur les systèmes finis.2.3.2. Comportements pseudo-critiques en coexistence[35]La vérification des lois d’échelle dans les systèmes finis est condition nécessaire mais nonsuffisante pour que le système infini correspondant présente un comportement critique. Eneffet nous avons discuté aux paragraphes (2.2.3.1), (2.2.3.3) que une transition du premierordre dans un système fini est accompagnée de fluctuations très élevées dans la distributiondu paramètre d’ordre. Si le paramètre d’ordre est libre de fluctuer cette distribution estbimodale, et si le paramètre d’ordre est contraint par une loi de conservation les fluctuationsdes variables corrélées sont anormalement grandes.133

100x100x1008x8x8ρ cρ c2Figure 14 : Distribution de la taille des amas dans le modèle de gaz sur réseau à une densité correspondante àla transition du deuxième ordre (haut) et du premier ordre (bas) dans un réseau cubique de dimension linéaireL=8 (droite) et L=100 (gauche). Les propriétés d’échelle observées pour le petit système en transition dupremier ordre disparaissent en augmentant la taille du système.Tirée de [36].Etant donnée la connexion (1.3.4),(1.3.5) entre fluctuation et corrélation, il est alors clair quesi le système est suffisamment petit pour que la longueur associée aux fluctuations dépasse lataille linéaire du système, le phénomène de coexistence de phase discuté au paragraphe (2.2)pourra produire des signaux analogues aux signaux attendus au point critique : une longueurde corrélation qui s’étend sur tout le système, des variables thermodynamiques qui saturentavec la température et un comportement d’échelle. Un exemple de ces comportements pseudocritiques est donné par la figure 14, qui montre la fonction d’échelle f obtenue par une ansatzanalogue à l’équation (2.3.4) pour la distribution n de fragments produits en fonction de leurtaille A [37]n(A,t)−τ σ= A f(t,A )(2.3.7)dans le modèle de gaz sur réseau. Seulement pour des tailles du système de l’ordre de 10 6 ilest possible de se rendre compte que le comportement d’échelle observé à l’intérieur de lazone de coexistence est un effet de taille fini et ne correspond pas à une divergence de lalongueur de corrélation.134

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Le Plasma de Quarks et de GluonsSondes prédites et étudiées au SPSRaphaël Granier de Cassagnac ∗Laboratoire Leprince-Ringuet & expérience PHENIXSeptembre 2005RésuméLes quarks et les gluons sont habituellement confinés dans les hadrons. La chromodynamiquequantique prédit une transition de phase entre la matière nucléaire ordinaireet un plasma de quarks et de gluons. Ce nouvel état de la matière est supposé avoirexisté pendant les premières microsecondes du big-bang et repose peut-être au cœur decertaines étoiles. Les collisions d’ions lourds devraient permettre de le créer et de l’étudieren laboratoire, pour peu que la densité d’énergie atteigne environ 1 GeV/fm 3 . Cefut a priori le cas au SPS du CERN. Un premier indice de la formation du plasma dequarks et de gluons y a été vu : la suppression anormale du méson J/ψ. D’autres de sessignatures prédites ont été observées depuis (augmentation de l’étrangeté, modificationdes résonances légères, production de photons et de dileptons thermiques et atténuationdes gerbes.) Dans ce cours, je tâche de dresser une revue de ces observables et de leurspossibles interprétations.AbstractQuarks and gluons are usually confined into hadrons. Quantum Chromodynamicspredicts that a phase transition can occur between ordinary nuclear matter and a quarkgluon plasma. This new state of matter is believed to have existed during the firstmicroseconds after the big-bang and perhaps to lie in the core of some stars. Heavy ioncollisions should allow us to create and study this plasma in our laboratories, if we areable to reach an energy density of 1 GeV/fm 3 . This, was a priori the case at the CERNSPS. A first hint of the quark gluon plasma formation was seen, namely the anomaloussuppression of J/ψ mesons. Others of its predicted signatures were observed since then(strangeness enhancement, light mesons modifications, thermal photons and dileptonsproduction and jet quenching.) In this lecture, I try to give a revue of these observablesand of their possible interpretations.∗ Mél : raphael@in2p3.fr.221

TABLE DES MATIÈRESTable des matières1 Une prédiction théorique 2232 Les collisions d’ions lourds 2252.1 Panorama expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252.2 Définitions cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252.3 La centralité : N coll , N part et les autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.4 La densité d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2283 Les signatures prédites pour le plasma 2294 L’augmentation de l’étrangeté au SPS (et à RHIC) 2314.1 La prédiction théorique et historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.2 Les rapports étranges K/π et Λ/π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.3 Un modèle thermique global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.4 Les (anti)baryons étranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.5 Une étrange conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2385 La modification des résonances 2396 La suppression du J/ψ au SPS (et à RHIC) 2406.1 La prédiction théorique et historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.2 NA38 et l’absorption nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.3 NA50 et l’absorption anormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446.4 Les résultats préliminaires de NA60 et PHENIX . . . . . . . . . . . . . . 2517 Les photons (et les dileptons) thermiques 2558 L’atténuation des gerbes 2569 Conclusion 256Glossaire– AGS : Alternating Gradient Synchrotron, à BNL.– BNL : Brookhaven National Laboratory, New-York, États-Unis.– CERN : Laboratoire Européen de Physique des Particules, Genève, Suisse.– LHC : Large Hadron Collider, démarrera en 2007 au CERN.– NA/WAXX : North/West Area, les expériences du hall nord/ouest du SPS.– PQG : Le Plasma de Quarks et de Gluons tant recherché.– QCD : Quantum ChromoDynamics, la théorie de l’interaction forte.– RHIC : Relativistic Heavy Ion Collider, en fonctionnement à BNL.– SPS : Super Proton Synchrotron, au CERN.222

1 Une prédiction théoriqueL’interaction forte possède des propriétés bien particulières, comme nous l’avons vudans les cours de Patrick Aurenche et d’Olivier Pène. Dans ses aspects les plus élémentaires,elle est décrite par la chromodynamique quantique (QCD) qui se caractérise pardeux comportements remarquables :– À basse énergie, la constante α s de couplage de l’interaction devient grande.Sans permettre de le calculer, ce comportement est relié au confinement desquarks et des gluons à l’intérieur des hadrons. En effet, même si des quarks ont étévus à l’intérieur des protons – Friedman, Kendall et Taylor reçurent le prix Nobelen 1990 pour cela – personne n’a jamais observé de quarks légers 1 libres.– À haute énergie en revanche, les calculs de renormalisation et les mesures d’expériencestelles que H1, ZEUS, CDF, D0 s’accordent et montrent que α s est faible.Ce comportement, appelé la liberté asymptotique, a valu leur prix Nobel àGross, Polizer et Wilczek en 2004.Ce second comportement a mené à la prédiction de l’existence d’un plasma de quarkset de gluons (PQG.) L’idée est que si l’on parvient à chauffer ou à comprimer la matièrenucléaire suffisamment pour que le milieu produit soit intégralement dans un régimeoù α s est petite, les nucléons perdent leur identité et les quarks et les gluons évoluentlibrement. Quantitativement, des calculs de QCD sur réseau prédisent ce comportement.La figure 1 montre le résultat d’un de ces calculs, sans doute le plus populaire [1].En ordonnée, la densité d’énergie (divisée par la température à la puissance quatrième)semble être un paramètre d’ordre. En abscisse, la température est ramenée àune température critique T c à laquelle s’opère la brusque variation de densité d’énergie.La matière nucléaire subirait alors une transition de phase 2 – Francesca Gulminelli nousa enseigné de qu’elles sont lors de cette école – entre des matières confinée (hadronique)et déconfinée (partonique.) Dans le calcul suscité, la transition de phase a lieu pour :ɛ c = 0,7 ± 0,3 GeV/fm 3 et T c ∼ 170 MeV, (1)soit à une température d’environ 10 13 K, supérieure de cinq ordres de grandeur à celledu soleil (10 8 K.)Dès lors, nous pouvons nous demander où et quand trouver les conditions extrêmesrequises pour former le plasma de quarks et de gluons. La réponse est triple.– Pendant les premières microsecondes du big bang. En effet, les équationscommunément admises pour l’évolution de l’univers prédisent qu’il était un plasmade quarks et de gluons d’une dizaine de kilomètres, lorsqu’il subit soudain, une dizainede microsecondes après sa naissance, une transition de phase vers l’univershadronique qui nous est aujourd’hui familier. Cet événement pourrait avoir des1. Le quark top dont la masse (175 GeV/c 2 ) est grande devant l’échelle de l’interaction faible sedésintègre avant d’avoir formé des hadrons.2. Son ordre est mal connu, même si la mode est à une transition de type crossover.223

1 UNE PRÉDICTION THÉORIQUEFig. 1 – Prédiction d’une transition de phase entre matières confinée et déconfinée [1].conséquences détectables dans notre univers visible (voir par exemple la revue deDominik Schwarz [2]), en particulier sur les abondances des éléments légers (nucléosynthèseprimordiale) ou l’existence de reliques exotiques (boules de glue oupépites de quarks étranges) qui pourraient contribuer à la matière noire. Pourl’instant, aucun de ces indices n’a été observé, si bien que cosmologie et chromodynamiquerestent des sciences plutôt étrangères. Espérons que cela change avecles progrès récents et fulgurants des deux disciplines.– Au cœur des étoiles les plus denses. Une poignée d’étoiles candidates existent,en particulier RX J156.5-3754 qui se trouve à 120 pc de nous, ne mesure que cinqou six kilomètres et nous envoie un remarquable spectre de corps noir. Cela dit,la signature d’une étoile à quarks n’est pas évidente, comme vous pourrez vous enrendre compte en lisant un article récent [3] plein de références pour commencerà hésiter entre des étoiles certes dénudées, mais à quarks ou à neutrons?– Lors de collisions de noyaux lourds. C’est là l’outil que nous avons à notredisposition pour espérer créer le PQG dans nos laboratoires, même si son existencey sera brève (typiquement le temps qu’il faut à la lumière pour traverser un noyau,soit 10 −23 seconde.) Notons que même si les machines modernes déshabillent entièrementles atomes utilisés, on préfère le terme d’ions lourds à celui de noyauxlourds.224

2 Les collisions d’ions lourdsLes collisions d’ions lourds donc, sont l’indispensable outil pour l’étude du plasmade quarks et de gluons.2.1 Panorama expérimentalNous avons vu (équation 1) que le PQG était théoriquement créé pour des densitésd’énergie supérieures à 1 GeV/fm 3 . Quatre accélérateurs, résumés dans le tableau 1ont théoriquement permis de dépasser cette valeur. L’AGS (Alternating Gradient Synchrotron)du Laboratoire National américain de Brookhaven (BNL, New-York) n’a paspermis de conclure à la formation du PQG. Le SPS (Super Proton Synchrotron) duLaboratoire Européen de Physique des Particules (CERN, Genève) a fourni des indicesforts de la création du PQG, amenant la direction à publier, le 10 février 2000, un communiquéde presse annonçant « un nouvel état de la matière créé au CERN. » Le proposde ce cours est d’étudier le PQG par ses signatures prédites qui rencontrèrent un certainsuccès au SPS.Aujourd’hui, la balle est revenue dans l’état de New-York, avec le RHIC (RelativisticHeavy Ion Collider), qui fait un bond d’un facteur dix en énergie disponible dans leréférentiel du centre de masse. Le cours de Christelle Roy traite des découvertes faitesauprès de cette machine, à l’exception du devenir des sondes qui fournirent des résultatstrès marquants au SPS et qui sont traitées ici, dans la continuité. L’avenir de la disciplinese situe au LHC (Large Hadron Collider) de retour au CERN avec une montée enénergie d’un facteur presque trente. Pascal Dupieux nous raconte dans son cours ce àquoi s’attendent les physiciens du LHC et comment ils s’y sont préparés. Il est le seula évoqué la problématique expérimentale de la détection de la multitude de particulesémises lors des collisions d’ions lourds.√Machine Lieu Mode Année Ions lourds sNN (GeV) ɛ (GeV/fm 3 )AGS BNL Cible fixe 1992 Au+Au 4,8 ∼ 1,5SPS CERN Cible fixe 1994 Pb+Pb 17,3 ∼ 3,5RHIC BNL Collisions 2001 Au+Au 200 ∼ 5,5LHC CERN Collisions >2007 Pb+Pb 5 500 ∼ 10Tab. 1 – Petite histoire des collisions d’ions lourds. Pour chaque machine sont indiquésles ions les plus lourds accélérés et les années correspondantes. La densité d’énergie estcalculée (prédite pour le LHC) avec la formule (6) de Bjorken pour τ 0 = 1 fm/c.2.2 Définitions cinématiquesAvant de nous lancer dans l’étude des collisions d’ions lourds, quelques définitionsdes variables cinématiques communément utilisées peuvent s’avérer utiles. Le termelongitudinal désignera naturellement l’axe z des faisceaux.225

2 LES COLLISIONS D’IONS LOURDS– La rapidité y a le mérite d’être additive en relativité restreinte et est reliée à lavitesse longitudinale β l = v l /c, ou à l’énergie E et à l’impulsion longitudinale p zpar :y = 1 2 ln 1 + β l1 − β l= 1 2 ln E + p zE − p z. (2)– La pseudo-rapidité η est une variable plus expérimentale car ne dépendantque de l’angle θ avec l’axe des faisceaux. Elle se confond avec la rapidité lorsquel’impulsion est grande devant la masse de la particule.η = − ln tan θ 2 . (3)– L’impulsion transverse p T est la composante de l’impulsion perpendiculaireà l’axe des faisceaux. Son intérêt réside dans le fait qu’elle ne peut précisémentpas provenir des impulsions initiales des partons, mais uniquement de l’interactionelle-même. On s’intéresse également à la masse transverse m T d’une particulede masse m :m 2 T = m 2 + p 2 T avec p 2 T = p 2 x + p 2 y. (4)– L’énergie transverse E T est l’énergie pondérée par la transversalité. Elle seconfond avec l’impulsion transverse lorsque l’impulsion est grande devant la massede la particule :E T = E sin θ. (5)2.3 La centralité : N coll , N part et les autresPour espérer estimer la densité d’énergie, il est crucial de caractériser la violenced’une collision d’ions lourds. Plusieurs variables en rendent compte :– Le paramètre d’impact b est la distance transverse entre les deux centres desnoyaux impliqués, comme l’illustre la figure 2 de gauche.– Le nombre N part (ou N wound ) de nucléons dits « participants » qui subissentau moins une collision. L’ensemble de ces participants répartissent leur énergiedans tout l’angle solide. Naïvement, ce sont les nucléons contenues dans la zone derecouvrement des noyaux (au cœur de la figure 2 centrale.)– Le nombre N coll (ou N bin ) de collisions binaires qui ont lieu lors de la collision.Un nucléon participant peut participer à plusieurs collisions.– Le nombre de nucléons dits « spectateurs » qui ne participent pas à lacollision (ceux qui s’en sortent sur la figure 2 de droite.)Expérimentalement, nous n’avons accès à aucune de ces variables, mais plutôt aunombre de particules chargées émises, ou à l’énergie déposée dans des calorimètres àzéro degré (dans l’axe des faisceaux.) Pour relier les unes aux autres, nous utilisons lemodèle de Glauber 3 [4].3. Il s’agit bien du lauréat du prix Nobel 2005, mais il n’a pas reçu son prix pour avoir modélisé lescollisions d’ions lourds.226

2.3 La centralité : N coll , N part et les autresFig. 2 – Vues naïves d’une collision d’ions lourds, dans le référentiel du centre de masse.Il s’agit d’un modèle géométrique simple qui suppose que la trajectoire d’un nucléonest rectiligne et parallèle à la direction du faisceau. Connaissant le profil de densité desnucléons dans les noyaux 4 et la section efficace totale d’interaction inélastique nucléonnucléon(de l’ordre de 30 mb dépendant légèrement de l’énergie de collision), il permetde calculer N part et N coll .En faisant correspondre des plages de paramètres d’impact avec des plages d’unemesure expérimentale de la centralité, il est alors possible d’estimer les nombres moyensde collisions ou de participants correspondants.Les figures 3 montrent un exemple parmi d’autres de cette procédure. Elles présentent,dans le cas des collisions indium-indium observées par l’expérience NA60, lacorrespondance entre énergies déposées dans un calorimètre à zéro degré et nombres departicipants.Remarque importante : N part et N coll revêtent une importance particulière car laproduction de certaines particules s’avère être proportionnelle à l’une ou l’autre de cesvariables. Nous retiendrons que :– Les processus dits « mous » (de basse énergie) sont fréquents et proportionnels àl’énergie totale injectée dans la collisions, c’est-à-dire à N part .– Les processus dits « durs » (de grande énergie) sont rares et ont une certaineprobabilité d’arriver à chaque collision, la production totale étant proportionnelleà N coll .4. Nous pouvons par exemple prendre des distributions de Woods-Saxon ρ(r) = ρ 0 /(1 + exp r−Ra) oùρ 0 = 0,17/fm 3 est la densité nucléaire normale, R et a sont le rayon et l’épaisseur du noyau considéré.227

2 LES COLLISIONS D’IONS LOURDSFig. 3 – À gauche : distribution de l’énergie à zéro degré (E ZDC) lors de collisionsindium-indium observées par l’expérience NA60. À droite : distribution du nombre departicipants, pour des tranches d’E ZDC d’un TeV de large. Les grands nombres de participantscorrespondent aux petites E ZDC .2.4 La densité d’énergieReste à mesurer expérimentalement la densité d’énergie pour estimer si nous sommesen dessus ou en dessous du GeV/fm 3 avancé pour l’apparition du PQG. En 1983, Bjorkenpropose la méthode qui est aujourd’hui utilisée [5]. Dans des collisions ultrarelativistes,les ions subissent une contraction de Lorentz qui les fait apparaître plats comme descrêpes dans notre référentiel. Ils déposent derrière eux leur énergie cinétique, ce quiconstituera l’état initial du milieu formé. Ce milieu s’étend très rapidement longitudinalementavec l’éloignement des ions en interaction. Bjorken montre que la densitéd’énergie déposée au bout d’un temps τ 0 donné est proportionnelle à l’énergie transversepar unité de rapidité mesurée à rapidité nulle :ɛ = 1 × dE T∣ (6)A T τ 0 dy y=0où A T est la surface sur laquelle est déposée l’énergie, c’est-à-dire la surface transversede recouvrement des noyaux (πR 2 lors de collisions parfaitement centrales.)Quelle valeur de τ 0 utiliser ? Dans l’article original, Bjorken l’interprète comme letemps auquel les conditions initiales de l’évolution hydrodynamique sont établies etil propose l’ordre de grandeur de 1 fm/c. C’est la valeur communément admise (enparticulier dans le tableau 1.) Néanmoins, remarquons que, dans le modèle de Bjorken,les ions sont infiniment plats et se croisent donc instantanément, à un temps qui fondel’origine de la collision. Expérimentalement, les ions ne sont pas infiniment contractéset mettent 2R/γ soit 5,4 1,5 0,13 et 0,05 fm/c à se dépasser à l’AGS, au SPS, à RHICet au LHC respectivement. Il paraît alors curieux d’utiliser 1 fm/c au SPS et surtoutà l’AGS. C’est pourtant ce qui est fait dans le tableau 1 et nous constatons que lesdensités d’énergie obtenues dépassent la valeur fatidique de 1 GeV/fm 3 . Ces valeurs sont228

à considérer avec précaution. La formule de Bjorken est surtout utile pour comparer,à une énergie donnée donc à τ 0 fixé, différentes collisions et centralités, au travers desvariations de la surface et de l’énergie transverse.Les curieux trouveront une discussion intéressante de l’utilisation de la formule deBjorken et de la détermination des temps de croisement des ions, de formation desquarks et de thermalisation du milieu aux énergie du RHIC dans le White Paper dePHENIX [6].Dans le cas du SPS qui nous intéresse particulièrement dans ce cours, même si nousajoutons le temps de croisement, nous obtenons une borne inférieure de la densité d’énergiede 3,5/2,6 = 1,3 GeV/fm 3 qui reste supérieure à la prédiction de QCD. Les conditionssemblent donc réunies pour que le PQG ait été créé au SPS. Il reste à chercher un moyende le vérifier, une signature de son éphémère apparition.3 Les signatures prédites pour le plasmaComment être sûr que le plasma a été créé? La démarche scientifique est la suivante :1. Une prédiction théorique est énoncée et une observable expérimentale proposée.2. L’observable doit être mesurée lors de collisions proton-proton, pour connaître sonélémentaire référence (par exemple, une section efficace de production.)3. L’observable doit être mesurée lors de collisions proton-noyau, si possible en variantles noyaux utilisés pour estimer les effets de la matière nucléaire ordinaire (parexemple, une section efficace d’absorption.)4. Ces deux références établies, nous pouvons nous tourner vers les collisions noyaunoyaupour lesquelles nous attendons le PQG de pieds fermes, et voir si l’observabley est sensiblement modifiée.5. Si une déviation est observée, nous devons vérifier qu’aucun modèle ne faisantintervenir que des hadrons (et pas de PQG) ne permet de la reproduire.6. Il se produit généralement des allers-retours entre les points 4 et 5 pendant lesquelsles théoriciens raffinent leurs modèles et les expérimentateurs varient leursobservations en changeant les ions et les énergies étudiés, ainsi que les variablescinématiques considérées (rapidité, impulsion transverse, etc.)7. Lorsque le point 5 est assuré, il ne reste alors plus comme explication que le plasmade quarks et de gluons.Avant de passer à l’expérience, il nous reste à énoncer les signatures théoriquementprédites. Helmut Satz écrit dans une revue critique sur la recherche du plasma de quarkset de gluons [7] :There was a general feeling that if the quark-gluon plasma was indeed produced,it would manifest itself in a variety of unknown but dramatic ways,including... the end of the world !De fait, des articles sérieux [8] ont envisagé, avant le démarrage du RHIC, des scénarioscatastrophes tels que production de trous noirs mangeurs de matière, basculement229

3 LES SIGNATURES PRÉDITES POUR LE PLASMAvers un nouveau vide électro-faible ou production de dangereux strangelets plus stablesque nos bons vieux noyaux. Heureusement, les auteurs les ont écartés avec l’argumentessentiel que les rayons cosmiques de très haute énergie auraient déjà dû déclencher cescatastrophes si elles étaient probables. Nous sommes bien peu de choses...Ces terribles preuves du PQG écartées, voici une liste (non exhaustive mais presque)des signatures prédites au début des années 80 et de leur référence fondatrice. Nous netraitons que celles qui ont donné des résultats significatifs au SPS (dans ce cours) et/ouau RHIC (dans le cours de Christelle Roy.)1. La production thermique et l’augmentation de l’étrangeté [9, 10] est traitée endétail au chapitre 4.2. La production du PQG est censée s’accompagner d’une restauration de la symétriechirale susceptible de modifier les mésons légers de courte durée de vie [11, 12].Un intéressant résultat préliminaire concernant la largeur du méson ρ au SPS estmontré au chapitre 5.3. Le milieu déconfiné produit pourrait être susceptible de fondre les quarkonia, enparticulier le J/ψ, par écrantage de couleur [13]. Le J/ψ étant en effet fortementsupprimé au SPS, j’en donne une description détaillée au chapitre 6, ainsi qu’unaperçu des mesures préliminaires effectuées au RHIC.4. La température initiale du milieu produit devrait être mesurable par l’observationde photons [14] ou de di-leptons [15], dits thermiques. De légers signaux observésau SPS seront mentionnés au chapitre 7.5. La matière dense et colorée que constitue le plasma pourrait ralentir les partonsproduits et atténuer les gerbes de particules [16]. Cette signature, le populaire jetquenching, est marquante aux énergies du RHIC. Elle est décrite en détail dans lecours de Christelle Roy. Au chapitre 8, je ne ferai que dire en deux paragraphesqu’elle a également été aperçue au SPS.6. L’expansion du milieu chaud serait mesurable par l’élargissement et les anisotropiesazimuthales du spectre de moment transverse [17]. Ces questions de flot (flow) sontévoquées dans le cours de Christelle Roy.7. La taille et l’âge de la source au moment du gel (transition de phases inverse) devraitêtre accessibles par la mesure d’interférométrie Handbury-Brow-Twiss fondéesur les corrélations à deux particules [18]. Une augmentation de la taille traduiraitune augmentation de la densité initiale et de l’expansion du milieu. Cet effet n’estpas traité dans nos cours.8. La formation de matière baryonique étrange, les strangelets, a également été considérée[19], mais aucun événements n’a été vu à ce jour.9. ...Devant la multitude des signatures envisagées, un programme de recherche du PQGse doit de diversifier ses expériences et ses détecteurs pour être capable d’en aborderle plus possible. Le tableau 2 dresse la liste des expériences dédiées à l’étude du PQGqui ont vu le jour auprès du SPS au CERN. Le programme a duré de 1986 à 2004.Certaines expériences produisent encore des résultats (NA49, CERES, NA57 et NA60 àla conférence Quark Matter 2005 par exemple.)230

Expériences Observables SignaturesNA34/HELIOS2 Hadrons Spectre des hadronsHELIOS3 Dimuons Modification des mésons légersNA35/49 Hadrons chargés Spectre des hadrons, corrélations, flotHadrons étranges Abondances, étrangetéNA36 Hadrons étranges Production d’étrangetéNA44 Pions et kaons Interférométrie HBT, spectreNA45/CERES Di-électrons Modification des mésons légersHadrons chargés CorrélationsNA38/50/51/60 Dimuons Suppression des quarkonia (J/ψ, ψ ′ )Modification des mésons légersNA52 Noyaux de bas Z/A StrangeletsWA80/93/98 Photons Photons thermiques, spectre de π 0 , flotWA85/94/97, NA57 Hypérons Augmentation de l’étrangetéTab. 2 – Expériences dédiées à l’étude du PQG auprès du SPS du CERN.4 L’augmentation de l’étrangeté au SPS (et à RHIC)Dès l’AGS, nous observons une augmentation de la production d’étrangeté dansles collisions ion-ion par rapport aux collisions proton-proton. Il s’agit là d’une dessignatures prédites du PQG. Mais nous allons voir que son interprétation n’est pastriviale et qu’elle illustre bien toute la difficulté de se convaincre de la formation duPQG.4.1 La prédiction théorique et historiqueEn 1982, Rafelski et Müller [9] remarquent que l’étrangeté (quarks étranges et antiétranges)devrait être plus aisément créée dans un plasma de quarks et de gluons quedans un gaz hadronique.Les quarks étranges sont les plus légers après les ups et les downs qui sont présentsdans notre matière et donc aux conditions initiales de la collision. Ils doivent être produitspar paire ss. Dans un gaz de hadrons, le seuil pour les produire est élevé (530 MeVpour la première réaction π + N → Λ + K.) Dans le PQG, ce seuil descend au doublede la masse des quarks étranges nus, soit moins de 300 MeV. De plus, les paires sspeuvent y être créées par fusion de gluons (gg → ss) dont la section efficace est plusélevée qu’une section efficace hadronique. La formation de paires ss est ainsi favoriséedans un PQG.Plus quantitativement, Rafelski et Müller estiment à l’aide des taux des réactionsgg → ss (dominante) et uu, dd → ss, que l’abondance des quarks étranges atteintsa limite d’équilibre thermique en un temps de l’ordre de grandeur de la durée de viedu plasma. Par exemple, au bout de 2.10 −23 s, à une température de 160 MeV, laconcentration des quarks étranges devrait valoir 75% de la concentration d’équilibre.Autrement dit, dans un PQG, les quarks étranges devraient être thermalisés.231

4 L’AUGMENTATION DE L’ÉTRANGETÉ AU SPS (ET À RHIC)En revanche, dans un gaz de hadrons, l’équilibre est loin d’être atteint, comme lemontrent des calculs détaillés par les mêmes auteurs (plus Koch) [10]. La productiond’objets multi-étranges est particulièrement défavorisée car elle demande soit des réactionsaux seuils très élevés (par exemple ππ → ΩΩ qui demande quelques 3 GeV) soitdes réactions successives qui n’ont que peu de chances d’arriver dans le temps pendantlequel le gaz de hadrons est en interaction. À une température de 160 MeV et au boutde 10 −22 s d’interaction, les Ξ (deux quark étranges) et le Ω − (trois quarks étranges)seraient respectivement à moins de 1/10 et de 1/100 de leur concentration d’équilibre.En revanche, dans le PQG, la production des objets multi-étranges se fera par recombinaisondes quarks présents dans le milieu et ne dépendra que de la (forte) concentrationen quark ss.Sans épiloguer sur les prédictions théoriques, intéressons-nous aux mesures d’étrangetédans les collisions d’ions lourds.4.2 Les rapports étranges K/π et Λ/πLa première des observables que nous pouvons regarder est l’évolution du rapportd’une particule étrange sur une particule dénuée d’étrangeté, en fonction de la densitéd’énergie. Les plus légères à notre disposition sont les kaons et les pions. La figure 4 degauche montre le rapport K + (us)/π + (ud) en collisions proton-proton et noyau-noyaupour différentes énergies. La figure de droite montre les mêmes dépendances pour lerapport Λ(uds)/π. Mettons nous un instant à la place des physiciens de l’AGS, à uneépoque où on ignorait les résultats de plus hautes énergies. Nous constatons une montéeviolente du rapport K + /π + donc de l’étrangeté. Devons nous en conclure que le PQGvient d’être découvert?Fig. 4 – Rapport K + /π + (gauche) et Λ/π (droite) en fonction de √ s NN en GeV pourdes collisions proton-proton (cercles) et noyau-noyau (autres symboles.)232

4.3 Un modèle thermique globalL’histoire montre que nous aurions tord. Plusieurs observations montrent que lasurproduction de K + et de Λ n’est pas qu’une affaire d’étrangeté 5 :– Le rapport K − (us)/π − (ud) montre une augmentation bien moins importante.– De même, les baryons (comme le Λ de la figure 4 de droite mais aussi les Ξ et les Ω)sont beaucoup plus produits que leurs antiparticules (Λ, Ξ et Ω.) Ces deux pointssuggèrent qu’il ne s’agit pas juste d’une question d’étrangeté puisque quarks s etantiquarks s sont nécessairement produits en quantités égales.– L’expérience NA49 au CERN a mesuré pour quatre énergies de faisceaux (correspondantà √ s NN =7,6 8,8 12,3 et 158 AGeV) la distribution en rapidité deshypérons Λ. Il apparaît que plus l’énergie augmente, plus les hypérons se retrouventvers l’avant.– Le rapport K − /K + est corrélé au rapport p/p, quelle que soit l’énergie ou larapidité explorée.La conclusion de ces observations est que la conservation du nombre baryoniqueinitial (apporté par les protons et les neutrons des faisceaux) joue un rôle crucial dansla production de particules étranges. Les Λ(uds) et mêmes les K + (us) sont davantageproduits que leurs antiparticules (au moins) car elles contiennent simplement des quarksu et d.Un mot de la corne : La figure 4 de gauche présente une allure en forme de corne quifait couler beaucoup d’encre. De nombreuses interprétations circulent sur le marché, allantdu simple mimétisme du nombre baryonique à la preuve de l’apparition du PQG [21]en passant par des transitions de gaz de hadrons baryonique vers mésonique [22] ou desmodèles thermiques hors d’équilibre [23], et sans doute d’autres. Loin de moi l’idée detrancher entre ces modèles. Retenons simplement devant leur variété que cette fameusecorne ne saurait pour l’instant constituer une preuve de la formation du PQG.Nous retiendrons également que la production d’étrangeté doit nécessairement êtretraitée en même temps que la conservation du nombre baryonique, ce qui est fait dansla section suivante.4.3 Un modèle thermique globalIl s’agit ici de considérer les abondances de toutes les particules émises lors des collisionsd’ions lourds. La figure 5 montre en ordonnée les abondances de quatorze espècesde particules mesurées par l’expérience NA49 au SPS, depuis les pions, jusqu’à l’antibaryontriplement étrange Ω + . En abscisse sont portées ces mêmes abondances, tellesqu’elles sont produites par un modèle thermodynamique simple [24]. Nous constatonsque le modèle décrit très bien les données 6 comme l’illustre la figure du bas qui porte en5. Les figurent étayant les affirmations suivantes furent montrées dans le cours oral et peuvent êtretrouvées ainsi que les références correspondantes dans une excellente revue sur l’étrangeté d’HelenCaines [20].6. À l’exception du Λ(1520), une résonance susceptible d’être affectée par le fait qu’elle se désintègreavant de sortir du milieu.233

4 L’AUGMENTATION DE L’ÉTRANGETÉ AU SPS (ET À RHIC)fonction de l’espèce, la différence des mesures aux prédictions, assortie des erreurs surles mesures.Fig. 5 – Ajustement des abondances observées à √ s NNNA49 [24].= 17,3 GeV par l’expérienceCe modèle donne un traitement statistique des abondances. La multiplicité d’uneparticule primaire j de masse m j et de spin J j vaut :< n j >= V × 2J ∫j + 1d 3 p(7)(2π 3 ) e√p 2 +m 2 j /T −⃗µ. ⃗q j/T ± 1où le + et le − s’appliquent respectivement aux fermions et aux bosons et où ⃗q j est unvecteur de charges conservées sur lesquelles sont imposées des contraintes par l’intermédiaired’un vecteur des potentiels chimiques ⃗µ. Les charges conservées par l’interaction234

4.3 Un modèle thermique globalforte sont la charge électrique Q, le nombre baryonique B, et les contenus en quarks s, c,b et t. Ces quarks étant initialement absents, il n’est pas nécessaire de les considérés. Enrevanche, comme nous l’avons vu dans la section précédente, la conservation du nombrebaryonique joue un rôle crucial et un potentiel baryonique µ B doit être introduit. Laconservation de la charge électrique joue bien entendu un rôle mais puisque la chargeinitiale est directement liée au nombre baryonique, son potentiel l’est également et lesauteurs prennent (µ Q = µ B × A/Z.) Les paramètres libres de ce modèle sont donc aunombre de trois :– Le volume V traduit le volume sur lequel se fait l’équilibre chimique (d’autresversions de ce modèle préfèrent ajuster des rapports d’abondance pour s’affranchirde ce paramètre.)– La température T à laquelle se fixe les abondances.– Le potentiel baryonique µ B qui rend compte du nombre de baryons qui restent dansle volume (il est à noter que ce dernier dépend de la zone en rapidité considérée.)Le modèle consiste en un ajustement simultané de ces paramètres pour reproduire lesabondances observées, sans oublier de tenir compte du fait que certaines des particulesproduites (selon l’équation 7) se désintègrent et viennent nourrir d’autres abondancesexpérimentales. Tel quel, cet ajustement ne fonctionne pas sur les données de NA49 auSPS (ni sur celles de l’AGS, ni sur les données les plus centrales du RHIC.) En revanche,il suffit, pour obtenir les résultats exposés sur la figure, de modifier l’équation (7) ainsi :e −⃗µ. ⃗q j/T→γ S s × e −⃗µ. ⃗q j/T(8)où γ s est un nouveau paramètre à ajuster et S est le nombre de quarks étrangeset anti-étrange (s + s) dans la particule considérée. L’adjonction de ce seul paramètrepermet d’ajuster des abondances de particules aux nombres variés de s et de s : K, φ, Λ,Λ, Ξ, Ξ, Ω et Ω. La nécessité d’introduire le facteur γ s suggère que les quarks étrangesne sont pas arrivés à saturation thermodynamique.À l’exception du volume – ils obtiennent en l’occurrence (9,4 fm) 3 – les valeursobtenues pour les paramètres sont données sur la figure. Nous allons maintenant voircomment ces paramètres évoluent quand l’exercice est répété à d’autres énergies 7 .– La température de gel chimique T sature à environ 170 MeV, ce qui est prochede la valeur prédite pour la transition de phase (souvenez-vous de l’équation (1)p. 223). Devons-nous en déduire qu’il y a bien eu transition de phase et que nousvenons de mesurer et confirmer la valeur de la température critique? Force est decroire que non, puisque des ajustements similaires (bien qu’utilisant l’ensemble canonique)sur de nombreuses abondances mesurées lors de collisions proton-proton[25] (et même électron-positron) fonctionnent et donnent la même température.Cette dernière rendrait donc compte d’un processus universel d’hadronisation, plutôtque de la création d’un milieu à l’équilibre. Il semble qu’on ne puisse tirer deconclusions fortes liées à l’existence du PQG de cette température.7. Le plan (T,µ B ) est abondamment visité dans la littérature. Vous en trouverez en particulier unereprésentation dans l’introduction du cours de Christelle Roy.235

4 L’AUGMENTATION DE L’ÉTRANGETÉ AU SPS (ET À RHIC)– Le potentiel baryonique µ B diminue. Plus l’énergie des collisions élémentairesest violente, plus les baryons initiaux se retrouvent vers l’avant et le milieu créén’en est pas affecté.– Le facteur de (sous)saturation de l’étrangeté γ s monte et atteint l’unité,en particulier au RHIC où l’expérience STAR a pratiqué cette analyse en fonctionde la centralité (voir l’encart de la figure 6, ainsi que la thèse de MagaliEstienne [26] pour une analyse détaillée.) Ainsi, dans les collisions les plus centralesau RHIC, l’équilibre de l’étrangeté semble enfin pouvoir être atteint. AuSPS, à énergie constante, γ s augmente également avec la centralité en collisionsplomb-plomb. Mais le comportement n’est pas monotone si on considère des ionsplus légers [27]. Pour les données proton-proton, γ s ∼ 0,5.Fig. 6 – Ajustement des rapports d’abondances observées dans les collisions centralesor-or à √ s NN = 200 GeV par l’expérience STAR [28]. Les valeurs obtenues sont T =165 ± 10 MeV, µ B = 24 ± 4 MeV et γ s = 0,99 ± 0,07. En encart : les valeurs obtenuespour γ s en fonction de la centralité, traduite ici en nombre de participants.Les calculs de Rafelski et Müller nous indiquaient que l’équilibre de l’étrangeté (γ s =1) n’était pas accessible dans un gaz de hadrons. Si nous croyons à cette affirmation, lefait que γ s sature à 100% constitue peut-être un indice de la création du PQG, mais ilme semble difficile de conclure sans une compréhension profonde de la signification des236

4.4 Les (anti)baryons étrangesajustements thermodynamiques, et une explication pour la non-monotonie de γ s dansles systèmes légers.D’autres modèles : Par souci de clarté, je n’ai exposé ici qu’un seul des modèlesstatistiques existant sur le marché. Par souci de complétude, je me dois de signaler qu’ilen existe d’autres (voir [24, 26] pour trouver des listes de références.) J’ai choisi celui-cipour sa simplicité, c’est-à-dire la petitesse du nombre de paramètres ajustés. D’autresintroduisent des potentiels chimiques pour l’étrangeté µ s , des paramètres de saturationγ pour tous les quarks pour donner un traitement hors équilibre de l’ensemble.4.4 Les (anti)baryons étrangesParmi les particules étranges, les baryons et les antibaryons sont particulièrementintéressants. La différence des productions entre QGP et gaz hadronique est d’autantplus marquée que la particule contient des quarks étranges et des anti-quarks en général,les différences de seuils de création étant de plus en plus élevés.La figure 7 montre les taux de production des baryons et des anti-baryons étranges àl’énergie la plus élevée atteinte au SPS ( √ s NN = 17,3 GeV), dans les collisions plombplombnormalisées aux collisions proton-béryllium. Nous y constatons bien l’effet graduelattendu, avec un facteur d’augmentation jusqu’à vingt pour les Ω. Est-ce là la preuvede l’apparition du PQG?Il semble que non. Le Dual Parton Model est capable de reproduire cette augmentationsans faire appelle à une phase de plasma [29], mais en produisant les baryonsmulti-étranges par interactions hadroniques dans l’état final (π + N → K + Λ ou Σ,π + Λ ou Σ → K + Ξ et π + Ξ → K + Ω.)Une autre interprétation est possible dans le cadre des modèles thermodynamiquesévoqués à la section précédente. Ils suggèrent que l’augmentation de l’étrangeté est liée àune « suppression canonique » c’est-à-dire au passage de l’ensemble canonique qui fonctionnepour les collisions proton-proton à l’ensemble grand canonique qui fonctionnepour les collisions noyau-noyau. Ce modèle prédit les dépendances en centralité et rapiditédes taux de production des baryons étranges [30]. Ainsi, en augmentant l’énergiede la collision, nous diminuons la suppression canonique, diminuant donc l’augmentationde l’étrangeté. Les données récentes à plus basse (NA57, √ s NN = 8,8 GeV [31])et plus haute (STAR, √ s NN = 62, 130 et 200 GeV [32]) énergies ne semblent pas allerdans le sens de cette interprétation. Les données de STAR en particulier, ne suggèrentpas l’existence d’un plateau à grande centralité, comme le fait le modèle de suppressioncanonique.Une piste explorée actuellement pour comprendre ceci tient en la compréhension duvolume de corrélation [33].237

4 L’AUGMENTATION DE L’ÉTRANGETÉ AU SPS (ET À RHIC)Fig. 7 – Taux de production des (anti)baryons étranges normalisés par et en fonction dunombre de participants < N wound > observés par l’expérience NA57 [31]. Les particulesde gauche comportent des quarks de valence (u et d) alors que celles de droite n’en ontpas (s et anti-quarks.)4.5 Une étrange conclusionAu SPS, l’étrangeté semble augmenter conformément à la prédiction historique etthéorique. En particulier, les (anti)baryons étranges sont d’autant plus augmentés qu’ilssont « anti » et étranges. Néanmoins, aujourd’hui encore, il n’est pas clair qu’il s’agissebien d’une preuve de la formation du PQG, un modèle hadronique permettant encored’expliquer cette augmentation.Nous avons vu que la production d’étrangeté était liée à la conservation du nombrebaryonique lors de la collision. Les modèles thermodynamiques semblent montrer quel’étrangeté tend vers sa concentration d’équilibre. Au SPS, le facteur de (sous)saturationγ s atteint 80%, mais le fait qu’il soit non-monotone lorsque nous considérons des ionsplus légers vient troubler cette interprétation. Au RHIC, ce paramètre croit et satureà 100% ce qui constitue sans doute un indice fort de la création du PQG, indice dontla vedette est volée par d’autres plus violents (voir le jet quenching dans le cours deChristelle Roy.)238

5 La modification des résonancesUn autre aspect théorique de la transition de phase vers un plasma de quarks et degluons est qu’elle s’accompagne d’une restauration de la symétrie chirale, symétrie quiest traitée par Bachir Moussalam dans cette école. Comme Olivier Pène le mentionnedans son cours, les calculs de QCD sur réseau montrent que les deux transitions devraientse dérouler simultanément. Ainsi, en même temps que les quarks se déconfinent, nousnous attendons à ce que leur masse diminue. Ce comportement peut avoir un effet surles mésons légers [11, 12].Le ρ, par exemple, a un temps de vie de 1,3 fm/c bien inférieur à la durée de vietypique (10 fm/c) du PQG. Il peut ainsi être affecté par la restauration de la symétriechirale. Les effets prédits sont une augmentation de sa largeur (déjà considérable de150 MeV) et éventuellement, une modification de sa masse.Fig. 8 – Modification du méson ρ observée par l’expérience NA60, lors de collisionsindium-indium à √ s NN = 17,3 GeV, résultat préliminaire [34].La figure 8 montre les résultats préliminaires obtenus pas l’expérience NA60 lorsde collisions indium-indium à √ s NN = 17,3 GeV et présentés à la conférence QuarkMatter 2005 [34]. Il s’agit là de collisions semi-centrales, mais l’expérience a découpéquatre tranches de centralité dans ses données et l’effet est d’autant plus flagrant queles collisions sont frontales. Les mesures (triangles) montrent un clair élargissement parrapport aux ρ produits dans le vide (ligne rouge qui domine) et pas de modificationnotoire de la masse. Les autres lignes pleines sont des prédictions de modèles théoriques239

6 LA SUPPRESSION DU J/ψ AU SPS (ET À RHIC)rendant compte de la modification des mésons dans un PQG. Nous noterons que lesauteurs de l’une d’elle ont immédiatement demandé à ce que cette courbe (la vertede gauche) soit ôtée de cette figure [35]. L’autre modèle [36] (courbe pleine et bleue)reproduit assez bien l’élargissement observé (l’excès à grande masse pouvant être dû àdes dileptons thermiques, voir chapitre 7.)Toujours est-il que cette signature attendue de la formation du PQG vient d’êtreobservée aux énergies du SPS, et ce dès les collisions indium-indium.6 La suppression du J/ψ au SPS (et à RHIC)Parmi les signatures proposées pour la découverte du PQG, la diminution du tauxde production des quarkonia, du J/ψ en particulier, est celle qui est la plus spectaculaireà l’énergie du SPS.6.1 La prédiction théorique et historiqueEn 1986, Matsui et Satz proposent une nouvelle signature du plasma de quarks etde gluons [13]. L’idée est que le potentiel susceptible de lier une paire quark anti-quarkchange selon l’environnement dans lequel les quarks sont formés. Lors d’une collisionnucléon-nucléon, il existe une certaine probabilité qu’une paire qq produite se lie pourformer ce qu’on appelle un quarkonia. Dans un milieu coloré déconfiné, ce potentielchute, entraînant avec lui la probabilité de former l’état lié.Le méson J/ψ est formé d’un charme et d’un anti-charme. Les auteurs modélisentl’interaction entre ces quarks par un potentiel de la forme :V (r) = σ.r − α r(9)où σ traduit la tension entre les deux quarks et α est une interaction « coulombienne » decouleur. L’interaction coulombienne électrique est négligeable dans ce monde de brutesinteragissant fortement.La résolution de l’équation de Schrödinger pour ce potentiel donne la succession desétats de charmonia (quarkonia cc.) Des valeurs typiques des paramètres (σ ≃ 0,2 GeV 2 ,α ≃ π/12) permettent de reproduire le spectre expérimental des charmonia (états liéscc : J/ψ, ψ ′ , χ c ) et des bottomonia (états liés bb : Υ, χ b , Υ ′ , etc.) Le tableau 3 résume lesrésultats d’une résolution moderne de l’équation de Schrödinger [37] et montre que cemodèle simple reproduit bien le spectre observé. En plus de donner la masse des états,il donne la taille typique de l’état lié, en l’occurrence 0,5 fm pour le J/ψ.Pour estimer le devenir des charmonia dans un plasma de quarks et de gluons, il fautestimer ce que deviennent les paramètres du potentiel en fonction de la température.La tension de corde σ décroît avec la température et devient essentiellement nullesi une transition de phase vers un milieu déconfiné a lieu : σ(T > T c ) = 0. Notons quele potentiel coulombien seul peut produire des états liés, et ce même au delà de T c .Autrement dit, l’annulation de la tension de corde ne suffit pas nécessairement à fondreles quarkonia, qui peuvent éventuellement ne se dissocier qu’à une température plusélevée que nous appellerons température de dissociation et noterons T d .240

6.2 NA38 et l’absorption nucléaireÉtat J/ψ χ c ψ ′ Υ χ b Υ ′ χ ′ b Υ ′′m (GeV/c 2 ) 3,10 3,53 3,68 9,46 9,99 10,02 10,26 10,36∆E (GeV) 0,64 0,20 0,05 1,10 0,67 0,54 0,31 0,20r 0 (fm) 0,50 0,72 0,90 0,28 0,44 0,56 0,68 0,78T d /T c 2,10 1,16 1,12 > 4,0 1,76 1,60 1,19 1,17Tab. 3 – Spectroscopie des quarkonia, d’après [37].Le potentiel coulombien est écranté par la présence de charges de couleur entre lesdeux quarks, dont la densité dépend a priori de la température. Dans l’article historique,les auteurs le modifient ainsi :V (r,T > T c ) = − α r × exp−rr D (T )où r D , dit rayon de Debye, est le rayon au-delà duquel l’interaction de couleur estévanescente. Il est obtenu par des calculs de QCD sur réseau.Dans l’article original, les auteurs concluent que le J/ψ fond juste au-dessus de latempérature critique T c , et dans tous les cas à 1,5 T c . Ils se concentrent sur le J/ψ maisremarquent que comme les rayons des états excités sont plus grands, ils fondent à plusbasse température. Dans un souci de faire de cette propriété une véritable signature del’apparition du plasma, ils posent également les deux questions suivantes :– Un autre mécanisme est-il susceptible de supprimer les J/ψ? Il est en effet possibleque les J/ψ soient absorbés dans la matière nucléaire normale. Des expériences dephoto-production et de collision proton-noyau ont montré à la fin des années 70que cette absorption était faible (de 1 à 3 mb citent les auteurs) et elle n’est apriori pas susceptible de détruire complètement les J/ψ produits.– Le bruit de fond est-il modifié de telle manière que la variation du taux de J/ψ neserait plus observable? Un autre signal avancé pour signer l’apparition du plasmade quarks et de gluons est la production accrue de di-leptons thermiques. Commeles J/ψ sont détectables précisément par leur désintégration en deux leptons, unesurproduction de di-leptons thermiques pourraient masquer les J/ψ et rendre cettesignature concrètement inobservable. La fin de l’article démontre que ce n’est apriori pas le cas.Ces deux problèmes écartés, les auteurs concluent que l’expérience est réalisable.Ce modèle historique a depuis été amélioré et le lecteur curieux pourra se référer à larevue [37]. En particulier, les valeurs modernes des températures de dissociation (consignéesdans le tableau 3) sont plus élevées que les valeurs historiques.6.2 NA38 et l’absorption nucléaireÀ l’époque de la parution de l’article de Matsui et Satz, l’expérience NA38, alorsen préparation, avait été conçue pour étudier la production de di-muons thermiqueset se trouvait idéalement disposée pour observer les mésons J/ψ. L’expérience utilisait241(10)

6 LA SUPPRESSION DU J/ψ AU SPS (ET À RHIC)des faisceaux de proton, de cuivre et d’oxygène à 200 GeV/c par nucléon et les faisaitinteragir sur différentes cibles (ce qui correspond à 19,4 GeV par paire de nucléons dansle référentiel du centre de masse.) Rapidement, une suppression fut observée dans lescollisions ion-ion, comme le montre la figure 9 (voir par exemple [38]). Sur cette figure, letaux de production de J/ψ est normalisé au taux de production du continuum di-muons.L’abscisse portée est la densité d’énergie, estimée grâce à la formule de Bjorken (équation6 p. 228.) Les deux bandes supérieures correspondent à des collisions proton-noyau(cuivre ou uranium) auxquelles aucune densité d’énergie n’est associée. Toutes les collisionsion-ion exhibent ainsi une suppression du méson J/ψ par rapport à ces références,suppression d’autant plus prononcée que la densité d’énergie est élevée. Fallait-il pourautant en conclure que le plasma de quarks et de gluons était découvert?Fig. 9 – Premiers indices d’une suppression du méson J/ψ en collisions d’ions lourds,obtenus par l’expérience NA38 au CERN [38]. Taux de J/ψ observés normalisés aucontinuum, en fonction de la densité d’énergie.Que nenni ! Peu de temps après, la même expérience observa un effet similaire lorsde collisions proton-noyau [39] alors que le plasma de quarks et de gluons n’y est pasattendu. Les figures 10 montrent une étude systématique [40] des taux de production deJ/ψ (B µµ σ ψ ) normalisés par le nombre total de collisions binaires (A×B) ayant lieu lorsde collisions entre un noyau A et un noyau B – aucune distinction de centralité n’estfaite – depuis proton-proton jusqu’à soufre-uranium, le tout à 200 GeV/c par nucléon 8 .Sur la figure de gauche, le nombre totale de collisions A × B est portée en abscisse. Sur8. Les collision proton-proton et proton-deuton furent mesurées par l’expériences NA51, les autrescollisions étant ici mesurées par NA38.242

6.2 NA38 et l’absorption nucléaireces échelles logarithmiques, une tendance linéaire se dégage nettement, suggérant quela suppression lors des collisions noyau-noyau n’est qu’un prolongement naturel de lasuppression observée en collision proton-noyau, soit, quels que soient A et B :σ AB = σ pp × (AB) α . (11)Fig. 10 – Suppression normale du J/ψ observée par l’expérience NA38, à gauche intégréeen centralité et en fonction du produit des nombres atomiques des noyaux impliquéset à droite en fonction de la longueur de matière nucléaire traversée.Le paramètre α ajusté ainsi 9 vaut 0,918 ± 0,015.D’autres processus durs, tels que le Drell-Yan [41] (NN → γ ∗ → µ + µ − ) ou le charmeouvert [42] (NN → cc → DD . . .) se comportent en revanche proportionnellement aunombre de collisions (α = 1). Il est alors probable que la suppression vue pour le J/ψsoit due à une absorption de la paire cc dans l’état final.Pour tester cette hypothèse, la figure 10 de droite montre les mêmes données enfonction de la longueur de matière nucléaire vue par le J/ψ, cette fois en abscisse linéaire.Cette longueur L (calculée dans le cadre du modèle de Glauber introduit à la section 2.3p. 226) représente la longueur moyenne de matière nucléaire traversée par le J/ψ, comptetenu de la plage en paramètres d’impact considérée et d’une distribution réaliste despoints de production de la paire cc. Autrement dit, le produit de L et de la densitéde matière nucléaire ordinaire (ρ = 0,17 nucléon par fermi cube) représente le nombremoyen de nucléons avec lequel le J/ψ peut interagir. La tendance exponentiellement9. En fait, deux énergies furent utilisées ici : 200 et 450 GeV/c par nucléon, mais des ajustementsséparés de α ne permettent pas de distinguer de valeurs différentes. Les données à 450 GeV/c ont étéramenées à l’acceptance en rapidité de l’appareillage et à l’énergie de 200 GeV/c (voir [40] pour l’analysedétaillée.)243

6 LA SUPPRESSION DU J/ψ AU SPS (ET À RHIC)décroissante observée sur les données permet de déduire une section efficace d’absorptiondu J/ψ par la matière nucléaire :σ J/ψabsσ AB ∝ exp(−σ J/ψabs× ρL). (12)L’ajustement sur les figures 10 donne σ J/ψabs= 6,5 ± 1,0 mb, mais une analyse plusrécente [43], ne reposant que sur des données proton-noyau et en particulier sur desdonnées plus précises acquises par l’expérience NA50, donne la valeur de σ J/ψabsque nousretiendrons :σ J/ψabs= 4,18 ± 0,35 mb. (13)L’analyse des données de NA38 ne s’arrête pas là. Les données soufre-uranium furentanalysées en fonction de la centralité des collisions. Les résultats d’un découpage en cinqtranches de centralité sont présentées par la figure 11 de droite (carrés.) Les pointss’alignent parfaitement avec la courbe exponentiellement décroissante de l’absorptionnucléaire normale.6.3 NA50 et l’absorption anormaleL’expérience NA50 fut l’héritière de NA38, tant au niveau de l’appareillage que desobservables recherchées. Elle se proposait simplement de monter en densité d’énergie,en regardant des collisions plomb-plomb. L’impulsion commodément accessible pour cesions étaient de 158 GeV/c par nucléon, soit 17,3 GeV dans le centre de masse. Il est ànoter que la densité critique était en principe déjà atteinte par NA38 : les valeurs de lafigure 9 sont en effet supérieures au GeV/fm 3 avancé par la QCD sur réseau (équation1 p. 223). Cela dit, les incertitudes théoriques étaient grandes, à la fois quant à latempérature critique elle-même, mais également quant à la température de fonte duJ/ψ ou de ses états excités. Il était donc intéressant d’explorer de plus grandes densitésd’énergie, ce que se proposaient de faire les physiciens de NA50.Grand bien leur fit ! Le résultat de NA50 fut positif [41], les collisions plomb-plombmontrant une suppression additionnelle par rapport à l’absorption nucléaire normale,comme l’illustre la figure 11 de gauche qui est essentiellement identique à la figure 10 degauche, avec un point supplémentaire pour les collisions plomb-plomb.La figure de droite représente les résultats finals de l’expérience NA50 [43]. Sontprésentés ici les taux de production du J/ψ normalisés au taux de production du Drell-Yan (mesuré dans le continuum di-muon entre 2,9 et 4,5 GeV/c 2 ) en fonction de lalongueur de matière nucléaire traversée. L’étude reprend les données des expériencesNA38 et NA51 précédemment exposées. Onze tranches en centralité sont découpéesdans les données plomb-plomb (triangles pointant vers le bas.) Nous constatons que lestrois tranches les plus périphériques se raccordent bien avec le scénario de l’absorptionnucléaire normale (la droite encadrée par sa barre d’erreur) alors que les autres en dévientsensiblement. Quelle interprétation donner à cette suppression anormale? S’agit-il duplasma de quarks et de gluons?Les cinq paragraphes qui suivent dressent une revue des explications valides desdonnées de NA50.244

6.3 NA50 et l’absorption anormaleFig. 11 – Suppression anormale du J/ψ observée par l’expérience NA50, à gauche intégréeen centralité et en fonction du produit des nombres atomiques des noyaux impliqués,et à droite en fonction de la longueur de matière nucléaire traversée.6.3.1 Absorption par co-voyageursAujourd’hui, une explication alternative à un plasma de quarks et de gluons subsiste.Elle réside dans une interaction du J/ψ avec des hadrons co-voyageurs 10 h voyageantprès de lui dans l’explosion qui suit l’interaction nucléaire. Cette interaction est alorssusceptible de dissocier le J/ψ selon J/ψ + h → D + D + . . .Dans ce modèle, les auteurs ajustent trois paramètres : les sections efficaces d’absorptionpar la matière nucléaire normale (σ J/ψabs ) et par les co-voyageurs (σ co) ainsi qu’unenormalisation qui est essentiellement reliée à la densité de co-voyageurs. La figure 12montre l’ultime ajustement des dernières données de NA50 [44, 45]. La valeur de σ J/ψabsutilisée est 4,5 mb (calculée sur les seules données proton-noyau.) Cette valeur fixée, lesdeux autres paramètres sont estimés sur les données noyau-noyau : σ co = 0,65 mb et desnormalisations qui sont cohérentes entre les collisions soufre-uranium et plomb-plomb,ce dont les auteurs se félicitent.Ce modèle semble ainsi expliquer le résultat de NA50 sans plasma de quarks et degluons. Quatre critiques peuvent toutefois être formulées à son encontre :– Pour ajuster les données proton-noyau, la section efficace d’interaction avec lesco-voyageurs σ co est nécessairement faible, ce qui donne une normalisation pourjustifier la suppression anormale sur les données noyau-noyau relativement élevée,sans doute plus d’un co-voyageur par fermi cube. Ce nombre paraît un peu excessif.– Le modèle n’est pas réellement capable de distinguer entre une interaction avecdes co-voyageurs de nature partonique ou hadronique. Or précisément, nous nous10. Comovers est le terme consacré en anglais.245

6 LA SUPPRESSION DU J/ψ AU SPS (ET À RHIC)attendons à ce que le J/ψ soit dissocié dans le plasma de quarks et de gluonspar son interaction avec les gluons ambiants. Un modèle incapable de faire cettedistinction ne me paraît pas pertinent pour invalider l’hypothèse du PQG.– De plus, il existe d’autres tentatives d’expliquer la suppression anormale du J/ψpar des modèles hadroniques dont certaines échouent [46] en essayant d’imposerdes conditions typiquement hadroniques et d’autres réussissent [47] en ajustantdes paramètres a priori inconnus.– Enfin, ce modèle ne semble pas rendre compte des mesures préliminaires faites parNA60, comme nous le verrons au paragraphe 6.4.1.Néanmoins, les trois premiers arguments restant subjectifs, nous admettrons pourl’instant qu’une explication alternative de la suppression du J/ψ vue par NA50 est l’interactionavec des co-voyageurs hadroniques. En revanche, si le quatrième point venait àse confirmer, le modèle des co-voyageurs ne constituerait plus un candidat à l’explicationde la suppression anormale du J/ψ.Fig. 12 – Interprétations des données de NA50. À gauche : Taux de J/ψ normalisé auDrell-Yan en fonction de l’énergie transverse, ajusté par le modèle des co-voyageurs [45].À droite : Taux de J/ψ et de ψ ′ divisés par le taux attendu (absorption nucléaire déduitedes collisions proton-noyau), en fonction de la longueur de matière nucléaire traversée[48], supportant l’idée d’une fonte séquentielle des charmonia.6.3.2 Fonte séquentielleJusqu’ici, j’ai négligé dans l’exposé le fait que certains J/ψ étaient produits par ladésintégration de particules plus lourdes. Les principales contributions sont le ψ ′ quise désintègre dans 58% des cas en J/ψ (accompagné d’autres mésons, principalementd’une paire de pions) et les différents χ c qui se désintègrent en γJ/ψ. Les largeurs deces particules sont telles (de 281 keV à 10 MeV) que la désintégration a lieu au delà de246

6.3 NA50 et l’absorption anormalela boule de feu (longueurs caractéristiques de 20 à 1000 fermis.) Si ces désintégrationscontribuent significativement au taux de J/ψ final, il est possible que le comportementobservé pour les J/ψ reflète en partie ce qu’il est advenu de leur particule mère dans laboule de feu.Or, il a été observé expérimentalement qu’une fraction non négligeable des J/ψprovenait bien des états excités. La section 2 de la référence [49] résume la situationpour les quarkonia (charmonia et bottomonia.) Pour les J/ψ, les auteurs obtiennent(avec des incertitudes de quelques pourcents sur la répartition exacte) :J/ψ = 0,62 J/ψ + 0,30 (χ c → J/ψ) + 0,08 (ψ ′ → J/ψ). (14)Or, dès l’article historique [13], les auteurs remarquent que le J/ψ fond à une températuresplus élevée (au plus 1,5 T c ) que ses états excités (sous la température critique.)La référence suscitée [49] donne des températures de fonte des J/ψ χ c et ψ ′ de 1,1 0,74et 0,2 T c respectivement. Cela dit, des progrès récents des calculs de QCD sur réseau(références [50, 51, 52] ainsi que les valeurs portées au tableau 3 p. 241) s’accordent pourdonner des températures plus élevées, de l’ordre de 1,1 T c pour les états excités et de1,5 à 2,25 T c pour le J/ψ.Même si les valeurs exactes des températures de fonte (et a fortiori des densitésd’énergie) ne sont pas connues, il est établi que les états excités fondent avant le J/ψ.Dès lors, nous sommes tentés d’attribuer le premier décrochement des J/ψ par rapportà la droite d’absorption (à L ∼ 7 fm sur la figure 11 de gauche) à une fonte de ses étatsexcités – le décrochement est bien de l’ordre de 30% – suivie éventuellement d’un débutde fonte du J/ψ (à 9 fm.) Nous verrons au paragraphe 6.3.4 que ce second décrochementpossède éventuellement une autre interprétation.Parenthèse sur le ψ ′ : il est à noter que l’expérience NA50 observe une suppressiondu ψ ′ pour des collisions soufre-uranium et plomb-plomb dès L = 4 fm. Cette fontedu ψ ′ , très antérieure à celle du J/ψ s’insère parfaitement dans le scénario d’une fonteséquentielle du ψ ′ suivi du χ c puis du J/ψ dans un plasma de quarks et de gluons.Néanmoins, le ψ ′ étant très peu lié, il est, encore plus que pour le J/ψ, possible que sasuppression soit due à des co-voyageurs. D’autres auteurs [53] associent la fonte prématuréedu ψ ′ à l’ouverture du canal ψ ′ → DD par modification de la masse des D dansle plasma. La figure 12 de droite résume les mesures des taux de production de J/ψ etde ψ ′ , divisés par l’absorption nucléaire, qui est pour le ψ ′ de : σ ψ′abs= 7,9 ± 0,6 mb [48].6.3.3 Percolation partoniqueLa percolation est un phénomène critique lié à l’occupation de l’espace. Nous pouvonsnous en faire une bonne idée en imaginant une surface donnée que l’on remplit petit àpetit en positionnant au hasard des disques d’une surface fixée. On montre en effet quela plus grande distance qu’il est possible de parcourir en restant dans l’empilement desdisques est un paramètre d’ordre du nombre de disques positionnés. Autrement dit, lepassage d’un libre parcours moyen de l’ordre d’un disque à celui de l’ordre de la surfaceentière est une transition de phase.247

6 LA SUPPRESSION DU J/ψ AU SPS (ET À RHIC)Certains auteurs appliquent ce raisonnement aux collisions d’ions lourds : la surfacetotale est la surface de recouvrement des deux noyaux, et les disques sont constituésdes partons en interaction dans les tout premiers instants de la collision. Si la tailletransverse de ces partons est telle qu’ils se recouvrent, ils forment un milieu déconfiné etconstituent la condition initiale de la boule de feu qui se développera ultérieurement. Lapercolation partonique peut ainsi être vue comme une forme de déconfinement, géométriqueet éphémère. Il ne s’agit plus alors d’un plasma de quarks et de gluons, supposése thermaliser et vivre pendant quelques fm/c. Il n’en reste pas moins qu’il s’agit biend’un déconfinement.Si ce milieu est suffisamment vaste et contient des partons assez durs pour dissocierles charmonia, alors ceux-ci ne seront peut-être même pas produits à l’instant initial descollisions d’ions lourds. Le branchement de la suppression des charmonia coïncide alorsavec le branchement de la percolation (que l’on peut relier au nombre de participants),et n’est plus directement lié à une température de fonte dans un milieu thermalisé. C’estce qui pourrait permettre de distinguer entre les deux scénarios.La figure 13 tirée de l’article [54], montre que ce scénario s’applique bien aux donnéesde NA50, avec une disparition séquentielle du χ c et du J/ψ. Comme dans le modèleprécédent, la percolation prédit une disparition successive des quarkonia, liée au fait queleurs rayons caractéristiques ne sont pas identiques. Il faut en effet que la taille des bullesde percolation excède celles des charmonia qui sont assez différentes (souvenons-nous dutableau 3 p. 241.)Fig. 13 – Interprétation des données de NA50 en terme de percolation partonique [54].248

6.3 NA50 et l’absorption anormale6.3.4 Attention aux fluctuations !Dans les deux scénarios précédents (fonte séquentielle et percolation partonique),nous sommes tentés d’attribuer les deux seuils de disparition du J/ψ (bien visiblesp. 245 sur la figure 11 à droite) à une fonte du χ c , suivie d’une fonte du J/ψ à plushaute température. Or, Dinh, Blaizot et Ollitrault [55] font remarquer que le second décrochementpourrait n’être qu’un artefact de la mesure de la centralité de la réaction. Àun même paramètre d’impact peuvent en effet correspondre des densités d’énergie légèrementdifférentes, qui se traduisent sur les observables de centralité. Dans cet article, ilsintroduisent des fluctuations (dont l’origine est physique, mais également expérimentale,la résolution des détecteurs introduisant une fluctuation supplémentaire) sur l’énergietransverse E T et reproduisent ainsi le second décrochement, sans invoquer de secondseuil de suppression.Le premier seuil n’en reste pas moins bien réel.6.3.5 Des modèle de plasmaAurais-je gardé le meilleur pour la fin ? Sans doute puisque plusieurs modèles deplasma de quarks et de gluons reproduisent très bien les données de NA50. Sans êtreexhaustif, citons deux exemples.Zhu, Zhuang et Xu [56] combinent les équations d’évolution hydrodynamique d’unPQG avec une équation de transport des J/ψ. Les gluons présents dans le PQG sontsusceptibles de casser le J/ψ lors de collisions inélastiques. Les auteurs incluent la fonteséquentielle (en faisant l’approximation qu’il y a 40% de χ c et pas de ψ ′ .) Leurs résultatsreproduisent remarquablement les mesures de NA50, à la fois en suppression, et enimpulsion transverse carré moyenne (), comme le montre la figure 14.D’autres modèles font appel à des mécanismes de recombinaison des paires cc auhasard de la boule de feu. Le modèle de Grandchamp, Rapp et Brown [53] reproduitla suppression du J/ψ (en incluant une fonte séquentielle des χ c et du ψ ′ .) Dans lescollisions les plus centrales, l’effet de la recombinaison ne contribue que pour 25% dutaux de J/ψ survivants. La probabilité qu’un quark c rencontre par hasard un c estessentiellement proportionnelle au carré du nombre de paire cc (Ncc). 2 Or, le nombrede paires cc produites est supposé augmenter avec l’énergie des collisions. Comme lesexpérimentateurs aiment aussi augmenter l’énergie, cet effet est amené à jouer un rôle deplus en plus important avec le temps. Nous verrons plus loin les résultats préliminairesobtenus au RHIC, dans des collisions dix fois plus violentes.En conclusion : La suppression anormale du J/ψ vue par NA50 est ainsi explicablepar plusieurs modèles de plasma. Il reste difficile de distinguer entre ces modèles et doncde caractériser la matière nouvellement créée. Cette interprétation est d’autant plusdélicate qu’un modèle de suppression par des co-voyageurs subsiste et ne nécessite pasde formation d’un PQG. Pour trancher, d’autres données sont nécessaires.249

6 LA SUPPRESSION DU J/ψ AU SPS (ET À RHIC)Fig. 14 – Ajustement des données de NA50 par un modèle de plasma de quarks etde gluons [56]. En haut, le taux de production normalisé par le Drell-Yan et en bas,l’impulsion transverse carré moyenne, toutes deux en fonction de l’énergie transverse.250

6.4 Les résultats préliminaires de NA60 et PHENIX6.4 Les résultats préliminaires de NA60 et PHENIXRemarque liminaire : les résultats concernant des données noyau-noyau présentésdans cette section sont préliminaires et ne sont publiés que dans des actes de conférence,en particulier ceux de la conférence Quark Matter 2005 où ils furent montrés pour lapremière fois. Nous les interpréterons tels quels, mais nous souviendrons que les résultatsfinals des expériences concernées (NA60 et PHENIX) sont encore à venir.6.4.1 Retour à basse densité d’énergieLe programme du SPS ne s’est pas arrêté avec l’expérience NA50 et sa spectaculairesuppression anormale. L’expérience a été améliorée (principalement par l’adjonction d’undétecteur de vertex) et renommée NA60. Les objectifs de NA60 sont, entre autres, d’explorerprécisément les densités d’énergie les plus basses que celles de NA50, et d’essayerd’exhiber une variable selon laquelle le comportement des quarkonia serait universel. Surla figure 15 de gauche, nous voyons clairement que la longueur L de matière nucléairetraversée par le J/ψ ne saurait être cette variable. Dans un même domaine de L, entresix et huit fermis, le J/ψ n’est pas supprimé lors de collisions soufre-uranium (NA38,cercles) alors que les récentes mesures en collisions indium-indium (NA60, disques etétoiles) montrent la même suppression que dans les collisions plomb-plomb (NA50, trianglespointant vers le bas.) Notons que les trois points de NA60 représentés par desétoiles (et de grandes barres d’erreur) sont normalisés au Drell-Yan, alors que les trianglesémanent d’une analyse normalisée par un modèle de Glauber prenant en comptel’absorption nucléaire normale.Sur la figure de droite, les mêmes données (à l’exclusion des collisions proton-noyau)sont cette fois présentées en fonction du nombre de participants. Les différents pointsse confondent plutôt bien. Il en va de même des autres variables présentées à QuarkMatter 2005 (densité d’énergie 11 , densité de participants.)Remarquons que les résultats de NA60 présentent un plateau extrêmement marquéd’une suppression du J/ψ d’environ 20%, compatible avec celle observée par l’expérienceNA50. Ce plateau n’était pas prédit par les modèles qui parviennent à ajuster les donnéesde NA50 :– Les co-voyageurs (voir le paragraphe 6.3.1 et [57]) ne peuvent s’accommoder qued’un comportement continu.– Le modèle de plasma de Grandchamp et al. (voir le paragraphe 6.3.5 et [58]) préditégalement un comportement plutôt continu.– La percolation partonique (voir le paragraphe 6.3.3 et [54]) prédit une transitionde phase à N part ∼ 140 alors qu’il semble qu’elle ait plutôt lieu à N part ∼ 90.Néanmoins, étant donnée la jeunesse de ces données, il serait aventureux de tirer detrop grandes conclusions. Nous retiendrons toutefois qu’elles excluent tout modèle ha-11. La densité d’énergie est a priori la variable la plus intéressante à représenter, puisque la transitionde phase est attendue en fonction de celle-ci. Malheureusement, elle est difficile à mesurer et j’ai choiside ne pas montrer l’allure de la suppression en fonction de cette variable, car les densités de NA50montrées à Quark Matter 2005 différaient d’environ 10% selon qu’ils étaient montrés par NA50 ouNA60 !251

6 LA SUPPRESSION DU J/ψ AU SPS (ET À RHIC)dronique, et qu’elles ne sont pas incompatibles avec une fonte séquentielle (thermique etnon par percolation) des charmonia. La présence d’un plateau aussi marqué, bien qu’unpeu haut (seulement 20% de suppression), abonde dans le sens d’une fonte séquentielle.Fig. 15 – Résultats préliminaires de NA60 [59], comparées aux résultats des expériencesNA38, NA50 et NA51. Sont représentés les taux de production du J/ψ normalisés à l’absorptionnucléaire normale. À gauche, en fonction de la longueur de matière nucléairetraversée par le J/ψ. À droite, en fonction du nombre de participants.6.4.2 Montée en énergie du RHICL’expérience PHENIX a récemment présenté des mesures de la production des J/ψen collisions or-or et cuivre-cuivre ([60] ainsi que la thèse de Vi-Nham Tram [61].)À l’énergie du RHIC, la production de Drell-Yan est difficilement mesurable. Laproduction de J/ψ est comparée à la production observée en proton-proton, ramenée aunombre moyen de collisions < N coll > correspondant aux centralités considérées. Nousdéfinissons ainsi le facteur de modification nucléaire :R AA =J/ψ| AA< N coll > J/ψ| pp. (15)La production de J/ψ étant un processus dur, nous nous attendons à ce que saproduction soit proportionnelle au nombre de collisions. Notons que PHENIX a mesuréque le charme ouvert 12 est effectivement produit proportionnellement au nombre decollisions [62]. Ces mesures nous informent également que dix à vingt paires de quarkscharme-anticharme sont produites lors d’une collision centrale à RHIC.12. Les mesures sont effectuées sur les désintégrations semi-leptoniques des mésons D et leur précisionest limitée à environ 25% par les bruits de fond considérables que constituent les désintégrationsordinaires des pions et des kaons. Une meilleure précision pourra être atteindre à l’aide d’un détecteurde vertex actuellement en construction.252

6.4 Les résultats préliminaires de NA60 et PHENIXLes effets nucléaires « froids » : Comme au SPS, l’interprétation de la productiondes quarkonia dans les collisions noyau-noyau ne saurait se faire sérieusement sans uneétude préalable de la production en collision proton-noyau. L’expérience PHENIX a mesuréla production des J/ψ lors de collisions noyau-deuton 13 et rapporte une absorptionnucléaire plus faible qu’au SPS, entre 1 et 3 mb [63]. Un autre effet prend de l’importanceà RHIC : le shadowing 14 des fonctions de structure.Les fonctions de distribution de partons que nous a présentées Jean-Marc LeGofflors de cette école peuvent être modifiées dans les noyaux, par rapport à ce qu’elles sontdans les nucléons. Toute modification introduit une déviation par rapport à l’unité durapport de modification nucléaire défini par l’équation (15). En montant en énergie, nouséchantillonnons des partons dont les fractions d’impulsion x sont de plus plus petites. Leshadowing des fonctions de structure peut être vu comme la recombinaison des partonsde petite impulsion (donc de grande extension spatiale) en des partons de plus grandeimpulsion. La distribution des partons se dépeuple à petit x (shadowing) et se repeupleà grand x (antishadowing.) PHENIX a observé cet effet sur la production des J/ψ parune asymétrie de leur distribution en rapidité [63].De ces effets nucléaires froids (absorption nucléaire et shadowing), Ramona Vogt [64]déduit le comportement que les J/ψ auraient lors de collisions noyau-noyau, en absencede PQG. La figure 16 illustre cela pour les deux domaines en rapidité que couvre l’expérience,et pour deux valeurs extrêmes de l’absorption nucléaire normale (1 et 3 mb.)Nous observons dans les deux domaines de rapidité et pour les collisions les plus centralesque la suppression du J/ψ est plus forte que celle déduite des effets nucléairesfroids.Comparaison avec les modèles : Il est alors tentant d’essayer d’appliquer les modèlesqui expliquaient convenablement les données de NA50 aux énergies du RHIC.C’est ce que présente la figure 17 de gauche. Nous constatons immédiatement que cesprédictions ont toutes surestimé la suppression. Parmi les modèles présentés se trouvele modèle des co-voyageurs [57]. Les deux autres sont des modèles de plasma [53, 65]dans lesquels aucun effet de recombinaison n’a été implémenté. Dès lors, au moins troishypothèses permettent de justifier la suppression vue à RHIC.1. Les auteurs précédents, ainsi que d’autres [66, 67], parviennent à obtenir un tauxde suppression comparable à celui observé par PHENIX en incluant des effets derecombinaison des quarks charmés (figure 17 de droite.)2. D’autres auteurs [56] qui reproduisent les données de NA50 (voir figure 14) avaientprédit une suppression similaire à celle observée par PHENIX sans pour autantinclure de recombinaison : dans un modèle de transport, ils attribuent la survie duJ/ψ à un effet de fuite des J/ψ à grande impulsion transverse (Zhu et al sur lafigure 17 de droite.) Néanmoins, ils semblent sousestimer la valeur de l’impulsiontransverse moyenne, comme une comparaison des références [60] et [56] le révèle.13. Les deutons sont préférés aux protons car plus faciles à accélérer en même temps que des noyauxd’or du fait de la proximité des rapports de leur charge à leur masse. La formation d’un PQG n’est pasplus attendue en collisions deuton-noyau qu’en proton-noyau.14. Je n’ose tenter une traduction, même si les puristes en prendront ombrage.253

6 LA SUPPRESSION DU J/ψ AU SPS (ET À RHIC)Fig. 16 – Résultats préliminaires de PHENIX [60]. Facteurs de modification nucléairedu J/ψ comparés aux prédictions des effets nucléaires froids [64]. À gauche, pour desrapidités |y| < 0,35. À droite, pour 1,2 < y < 2,2.3. Enfin, l’amplitude de la suppression anormale à RHIC est compatible avec unesimple fonte des états excités (χ c et ψ ′ ) sans fonte du J/ψ (voir par exemple unerécente description des données du SPS et du RHIC dans ce cadre [68].) Cettehypothèse est renforcée par les calculs récents de QCD sur réseau qui donnent destempératures de fonte du J/ψ pouvant atteindre 2 T c .Il n’est aujourd’hui pas possible de trancher entre ces différents scénarios. Plusieurspoints sont importants pour y parvenir et seront abordés à l’avenir :– Finaliser les mesures de PHENIX (incertitudes plus petites, en particulier l’incertitudeliée à la normalisation proton-proton, et échantillonnage plus fin de lacentralité.)– Comparer les distributions cinématiques des modèles et des données (impulsiontransverse, rapidité,...)– Avoir une meilleur maîtrise des effets nucléaires froids (augmenter la statistiqueproton/deuton-noyau.)– Avoir une meilleure maîtrise de l’état initial (mesurer précisément le charme ouvert,d’autant que les effets de la recombinaison qui associe précisément deuxquarks charmés évoluent quadratiquement avec le nombre de paires produites.)254

Fig. 17 – Résultats préliminaires de PHENIX [60]. Facteurs de modification nucléairedu J/ψ. À gauche, comparés aux prédictions de modèles ne contenant que des effetspermettant d’ajuster les données de NA50 [53, 57, 65]. À droite, comparés à des modèlescomprenant de la recombinaison [53, 66, 67] ou des équations de transport détaillé [56].(Certaines courbes sont modifiées par rapport aux publications, après discussions privéesavec les auteurs.)Il est important de souligner que tous les scénarios permettant pour l’instant d’expliquerla suppression vue par PHENIX reposent sur l’existence du PQG et que notredémarche est désormais de comprendre les mécanismes à l’œuvre dans le plasma, plutôtque de prouver son existence, ce qui a été fait à plus basse énergie, et au travers d’autresobservables à RHIC, comme Christelle Roy le montre dans son cours à cette même école.7 Les photons (et les dileptons) thermiquesUne autre signature attendue du PQG dont il existe des indices au SPS est la radiationde photons directs depuis le plasma [14]. L’expérience WA98 a en effet observéun léger excès dans les collisions centrales plomb-plomb, et pas en collisions périphériques[69]. Ces données sont montrées dans le cours de Christelle Roy qui souligneque l’interprétation de cet excès, en lui même assez faible, est délicat car les référencesproton-proton ou théoriques sont mal connues.S’il s’agit bien d’une radiation du plasma, divers ajustements de ces données luiattribuent des températures initiales de 200 à 335 MeV (pour une revue, voir [70].)Il est à noter qu’un excès de dileptons a également été observé et pourrait aussi êtreattribué à une radiation thermique du plasma. Il s’agit d’un excès de dimuons de masseinvariante intermédiaire entre le φ et le J/ψ observé par l’expérience NA50 [71]. Cetexcès est imputable soit à une radiation du plasma, soit à une augmentation du charme.255

9 CONCLUSIONRécemment, l’expérience NA60 a montré des résultats préliminaires qui semblentfavoriser l’hypothése du plasma [72]. Affaire à suivre !8 L’atténuation des gerbesL’atténuation des gerbes (ou jet quenching) est la signature en or aux énergies duRHIC, comme vous le découvrirez dans le cours de Christelle Roy. Au SPS, des indicesde l’atténuation des gerbes ont récemment été vus dans les données des expériencesWA98 [73], NA57 [74] et NA49 [75]. Ces résultats sont moins impressionnantsque ceux obtenus au RHIC car l’effet Cronin (diffusion multiple des partons incidentsayant tendance à renforcer l’impulsion transverse des gerbes) y est important dansla zone en impulsion transverse explorée et que les facteurs de modification nucléaire(R AA = dN AA / < N coll > dN pp ) y restent proches de l’unité.Il n’en reste pas moins qu’un soupçon d’atténuation des gerbes a été vu au SPS. Ilest important de noter que ces analyses au SPS n’ont eu lieu qu’après que l’effet a étéviolemment observé au RHIC. Ceci illustre l’intérêt qu’il y a à étudier simultanément lamatière nucléaire à plusieurs énergies, l’expérience des uns pouvant profiter à celles desautres, de la basse vers la haute énergie, et vice-versa.9 ConclusionJe restreins mes conclusions à la seule énergie du SPS, laissant le soin à ChristelleRoy de conclure pour les observations faites au RHIC, dans le cours qu’elle consacre à lamatière créée à ces densités d’énergie. Au SPS donc, cinq des signatures prédites ont étéobservées, avec des niveaux de confiance variés, décrits dans les chapitres précédents :– L’accroissement de l’étrangeté, en particulier par l’augmentation des (anti)baryonsétranges et du paramètre de (sous)saturation γ s .– Les photons thermiques observés par WA98, ainsi que les dileptons thermiques(résultats préliminaires de NA60.)– L’atténuation des gerbes qui se cache sous un effet Cronin plus grand qu’au RHIC.– La modification du méson ρ dans les collisions indium-indium (résultats préliminairesde NA60.)– La suppression des J/ψ dans les données plomb-plomb, mais également dans lesdonnées indium-indium (résultats préliminaires de NA60) qui semble invalider toutmodèle hadronique.Il me semble qu’à la lumière de ces résultats considérés dans leur ensemble, nouspouvons affirmer qu’un « nouvel état de la matière » a été créé au CERN, aujourd’huibien plus encore que lors du communiqué de presse de février 2000.256

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Une matière sous conditions extrêmes aux énergiesRHICouLe fluide était presque parfaitChristelle Roy (α)SUBATECHCNRS/IN2P3, Ecole des Mines de Nantes, Université de Nantes4 rue Alfred Kastler – 44 307 Nantes Cedex 03Résumé :Depuis 2000, le collisionneur RHIC de Brookhaven produit des faisceaux d’ions lourds lesfaisant collisionner à des énergies les plus élevées au monde, dans l’optique de créer unplasma de quarks et de gluons. Cet état a été originellement défini comme un milieuconstitué de partons libres de toute interaction. Depuis cinq ans, une pléthore de résultatsnouveaux et surtout surprenants a été collectée à RHIC. Il est apparu qu’une matière bienatypique y a été créée : une phase partonique semble effectivement avoir été produite et quiplus est, avec des quarks et des gluons qui interagiraient fortement. Des phénomènes ontété mis en évidence pour la première fois dans l’histoire de la physique des ions lourdsrelativistes tels la suppression des jets de haute énergie ou plus récemment, uncomportement collectif de la matière nucléaire que l’on comprend aujourd’hui comme étantcelui d’un fluide nucléaire quasiment parfait, le fluide le plus parfait qui n’ait jamais été créé.Aussi est-il tentant d’extrapoler que l’Univers a été liquide quelques fractions de secondeaprès le Big Bang, le plasma de quarks et de gluons étant supposé être l’état de l’Univers àcet instant.Abstract :Since 2000, the RHIC collider in Brookhaven National Laboratory delivers heavy ion beamsat the world highest collision energy with the aim to create a quark gluon plasma. This stateof matter has been originally defined as a medium in which partons are totally free, withoutany interaction. Since five years, a huge amount of new results and moreover very surprisingones has been collected at RHIC. The created matter has been found very atypical : it seemsthat indeed a partonic phase has been formed but with strongly interacting constituents.Some phenomena have been highlighted for the first time in the relativistic heavy ion historysuch as the jet quenching or more recently a collective behaviour of the nuclear matter whichcan be understood today as the behaviour of a nearly perfect nuclear fluid, the most perfectfluid which has never been created. It is quite tentative to speculate that the Universe hasbeen liquid a few fraction of second after the Big Bang since the quark gluon plasma issupposed to be the state of our Universe at this precise time.α Christelle.Roy@subatech.in2p3.fr261

(A découper selon les pointillés)Pour comprendre :AGS : Alternating Gradient SynchrotronBNL : Brookhaven National LaboratoryBRAHMS : Broad RAnge Hadron Magnetic Spectrometer experiment at RHICCERN : Conseil Européen pour la Recherche NucléaireLHC : Large Hadron ColliderLQCD : Lattice Quantum ChromoDynamicsQCD : Quantum ChromoDynamicsQGP : Quark Gluon PlasmaRHIC : Relativistic Heavy Ion ColliderSPS : Super Proton SynchrotronsQGP : strongly coupled (strongly interacting) QGPSTAR : Solenoidal Tracker At RHIC√s NN énergie par paire de nucléon dans le centre de masse de la collisionTable des matières1. Avant-propos ....................................................................................................2632. Il était une fois RHIC ........................................................................................2642.1. Du QGP au sQGP.....................................................................................2642.2. Une construction très motivée...................................................................2662.3. Des conditions différentes .........................................................................2673. Phénoménologie d’une collision d'ions lourds ..................................................2703.1. Un plasma en laboratoire ..........................................................................2703.2. Scénario d’une collision d'ions lourds........................................................2714. Quand RHIC mesure les observables du BEVALAC........................................2744.1. Multiplicité des particules ..........................................................................2744.2. Densité d’énergie ......................................................................................2764.3. Les degrés de liberté longitudinal et transverse ........................................2765. Le régime « doux »...........................................................................................2785.1. Une production étrange.............................................................................2785.2. Propriétés chimiques.................................................................................2815.3. Propriétés dynamiques..............................................................................2836. Le régime « dur » .............................................................................................2876.1. Emprisonnement des jets..........................................................................2876.2. Radiation ...................................................................................................2916.3. Saturation..................................................................................................2947. RHIC en trois actions .......................................................................................2967.1. Ce qu’il reste à faire ..................................................................................2967.2. Ce qui ne sera pas fait… en France..........................................................2977.3. Ce qui a été fait .........................................................................................2988. Références bibliographiques ............................................................................300262

1. Avant-proposC’est un état de la matière nucléaire bien étrange que les physiciens s’évertuent àcréer auprès des accélérateurs et collisionneurs de particules et ceci depuis près devingt-cinq ans. La théorie de la QCD sur réseaux a prédit que sous des conditions dedensités d’énergie et de températures extrêmes, atteintes lors de collisions d'ionslourds les plus violentes, les partons constituant la matière nucléaire ordinaire ditehadronique, devraient se désolidariser les uns des autres, créant ainsi cet état siparticulier qui fut appelé plasma de quarks et de gluons, le QGP (Quark GluonPlasma). Il est par ailleurs communément admis aujourd’hui, que cet état auraitprévalu quelques fractions de seconde après le Big Bang. En étudiant cette matière,le cadre de la physique nucléaire est largement dépassé puisque l’un de sesdomaines connexes, celui de l’astrophysique, est également concerné par sa miseen évidence. Parallèlement à sa recherche en laboratoire, les astrophysiciensscrutent l’Univers afin de déceler la présence d’étoiles de quarks qui contiendraientles stigmates des premiers instants de l’Univers. Un candidat avait été annoncé en2002 par un groupe d’astrophysiciens, suscitant un vif intérêt de la part de lacommunauté scientifique mais a été, hélas, démenti depuis.Côté laboratoire, la recherche n’est pas plus aisée si l’on constate que les premièresexpériences d’ions lourds relativistes ont eu lieu au début des années 80. Avec letemps, le changement de machine s’est accompagné d’une montée en énergie : duBevalac au LBNL de Berkeley opérant à une énergie de √s NN ≈ 1 GeV, à l’AGS duBNL à Brookhaven avec √s NN = 5 GeV, au SPS du CERN à Genève avec √s NN = 17GeV jusqu’au √s NN = 200 GeV de l’actuel RHIC du BNL. LHC prendra le relais en2007 avec une énergie nominale égale à √s NN = 5,5 TeV : le cours de PascalDupieux propose une revue de la physique que les physiciens se préparent à yétudier.Jusqu’à ce début de siècle, aucune preuve décisive n’a pu être apportée quant à laformation de ce plasma de quarks et de gluons bien que les expériences auprès duSPS y ont vu des signes de sa présence. Le cours de Raphaël Granier deCassagnac décrit quels ont été les signes les plus criants de la présence dephénomènes anormaux et suspectés liés à la formation du QGP : l’augmentation dela production d’étrangeté et surtout, la suppression de la production de saveurslourdes comme la résonance J/ψ. Au RHIC, nous allons le voir, une matière bienatypique a été créée et si le terme de plasma n’y est que rarement et prudemmentassocié, c’est indubitablement une matière intrigante et qui ne ressemble à riend’autre sur Terre ou qui ait pu être créée auparavant. J’exposerai les phénomènesles plus marquants de RHIC et comparerai, dès que cela est possible, à leurséquivalents du SPS. Cet aller-retour entre SPS et RHIC est essentiel car nonseulement la physique de RHIC se comprend aujourd’hui en regardant les mesuresantérieures mais aussi car ce sont bien souvent les nouvelles analyses faites à RHICqui ont conduit à un retour sur les interprétations voire sur les analyses des donnéesdu SPS.Pour les aspects théoriques relatifs à la matière dite QCD, je renvoie le lecteur auxcours de Patrick Aurenche et de Olivier Pène. Francesca Gulminelli apporte dansson cours des explications très claires quant aux transitions de phase, leur nature etleurs caractéristiques et il serait bien utopique et même prétentieux de ma part deprétendre faire mieux que ces experts.263

Ce cours commence par relater les motivations des physiciens et des financeurs quiont souhaité la construction de RHIC après le vaste programme du SPS dédié à larecherche du QGP. Je résume ensuite les résultats concernant les observables ditesdu Bevalac, c’est-à-dire des observables globales (comme la multiplicité desparticules, la densité d’énergie ou encore les distributions de rapidité ou d’impulsiontransverse) qui sont relativement « faciles » à mesurer et qui permettent de dire trèsrapidement si oui ou non les physiciens font bonne route vers le QGP. Puis, à l’imagede la séparation quelque peu caricaturale qui est faite habituellement lors desexposés sur la physique de RHIC, je distingue deux aspects : la physique dite« tendre » ou « molle » ou « douce » (je laisse le lecteur jugé de la traduction peuheureuse de soft physics) gouvernée par les particules dont les impulsions sontrelativement modestes, inférieures à 2 GeV/c, mais qui représentent plus de 99% dela production des hadrons ; puis la physique « dure » (de l’anglais hard physics)venant des particules d’impulsion transverse très élevée, de 6 à 20 GeV/c. Nousverrons que la matière de RHIC, avec les propriétés que nous lui connaissons àl’heure actuelle, n’est comparable en rien à ce qui existe déjà sur Terre ou qui ait puêtre observé dans l’Univers. Ce cours s’achèvera sur les perspectives de physiquedu collisionneur RHIC puis une tentative de conclusion sur la nature de la matièrecréée à RHIC, autrement dit, si oui ou non un QGP a été découvert à RHIC.2. Il était une fois RHIC2.1. Du QGP au sQGPAu milieu des années soixante-dix, des théoriciens s’intéressent au domaine deshautes températures et stipulent que sous certaines conditions, la matière nucléairehadronique doit « se fondre », conduisant à la libération des quarks et des gluons[Col75]. Collins et Perry écrivent :« Our basic picture then is that matter at densities higher than nuclear consistsof a quark soup. The quarks become free at sufficiently high density ».Dans sa revue datant de 1980 sur « la chromodynamique quantique et la théorie dela matière super-dense » [Shu80], Shuryak propose d’appeler cet état, le Plasma deQuarks et de Gluons, qui répondra aux acronymes PQG ou QGP :« When the energy density exceeds some typical hadronic value (~1GeV/fm 3 ), matter no longer consists of separate hadrons (protons, neutrons,etc.), but of their fundamental constituents, quarks and gluons. Because of theapparent analogy with similar phenomena in atomic physics we may call thisphase of matter the QCD (or quark-gluon) plasma. »Ce que RHIC a apparemment révélé et c’est ce que nous allons découvrir dans cecours, c’est qu’il ne s’agirait plus d’un QGP mais d’un sQGP, « s » étant pourStrongly coupled ou encore Strongly interacting QGP. Les résultats de RHICtendent à montrer en effet que les quarks et les gluons seraient soumis à desinteractions contrairement aux définitions des premières heures du plasma.Mais avant d’en arriver là, et surtout, pour pouvoir y arriver, il a fallu plus de vingt ansde recherche et en particulier le vaste programme expérimental du CERN dont les264

principaux jalons sont décrits dans le cours de Raphaël Granier de Cassagnac.Reprenons nos habitudes de physiciens des ions lourds et présentons le diagrammedes phases de la matière nucléaire dans le plan température T – potentiel chimiquebaryonique 1 μ B , afin de comparer les domaines nucléaires couverts à RHIC et auSPS.Figure 1 : Diagramme des phases de la matière nucléaire dans le plan température –potentiel chimique baryonique. Les symboles représentent les valeurs des quantitésthermodynamiques obtenues à partir des données expérimentales de RHIC, du SPS etde l’AGS. Deux courbes donnent les prédictions de deux approches théoriques : l’uneest donnée par Fodor et Katz avec leurs calculs de QCD sur réseaux (la plus marquéedes deux courbes), l’autre montre les prédictions d’un modèle thermique (voir plusloin). E localise la présence d’un point tricritique dans ce diagramme.La figure 1 présente ce diagramme avec ses diverses phases. La région située auxbasses températures et à un potentiel baryonique proche de 850 MeV correspond àla matière nucléaire ordinaire. En augmentant la densité d’énergie du système parcompression ou par échauffement, la matière se transforme en un gaz de hadronsdans lequel les nucléons interagissent, forment des pions, des états excités deproton ou neutron (les résonances Δ) et d’autres hadrons. En élevant davantage ladensité d’énergie, la transition de phase du gaz de hadrons vers un plasma dequarks et de gluons est attendue. Cette transition serait de type crossover c’est-àdiresans singularité dans la variation des grandeurs thermodynamiques.Si l’on s’intéresse maintenant à la formation de l’Univers primordial, la transition d’unétat de déconfinement vers un gaz de hadrons aurait eu lieu à un potentielbaryonique pratiquement nul, tandis qu’à des températures proches de zéro, lesétoiles à neutrons, suite à leur effondrement, présentent des densités baryoniques1 Le potentiel chimique baryonique μ B traduit la variation d’énergie E du système quand le nombrebaryonique total N B (baryons – antibaryons) augmente d’une unité, soit μ B = δE/δN B265

extrêmes (μ B > 1200 MeV) conduisant à une sorte de chevauchement des hadrons,leur faisant ainsi perdre toute individualité. Enfin, une phase de supraconductivité decouleur pourrait siéger aux plus hautes valeurs de potentiels chimiques.Comme l’indique l’étoile sur le diagramme, à RHIC, le potentiel chimique étaitattendu très faible et nous verrons que cela a été le cas. En revanche, au SPS, lesénergies ne permettaient pas d’obtenir un si faible potentiel (les antiparticules n’ontpas été créées aussi nombreuses qu’à RHIC) mais il est important de souligner quele SPS a permis d’explorer une très large région du diagramme des phases. Et c’estcertainement grâce aux nombreuses données collectées à cette énergie qu’il a étépossible de comprendre plus amplement ce qui se passait à RHIC.A la fin des années 70 donc, le cadre théorique était défini mais il restait à le raffiner.Aux énergies inférieures à environ 1 GeV, la seule façon d’obtenir des prédictionsfiables à partir de la QCD non-perturbative, est de la formuler sur un espace-tempsdiscrétisé : c’est la QCD sur réseaux (LQCD). Ici, il faut se référer aux cours dePatrick Aurenche et de Olivier Pène. Je souligne cependant que la densité d’énergie(normalisée à la température puissance quatrième) n’atteint jamais les valeursobtenues pour un gaz de Stefan-Boltzmann, quelle que soit la températureconsidérée, c’est-à-dire un gaz dans lequel les constituants sont sans interaction[Kar02]. L’écart est de l’ordre de 20% indépendamment des hypothèses formuléessur les saveurs des quarks dans le calcul. Ici réside la première indication que peutêtreles partons pouvaient interagir entre eux. Il faudra également se souvenir queles valeurs 2 de températures et de densités d’énergie auxquelles aurait lieu latransition d’une phase hadronique à partonique sont respectivement de l’ordre 173MeV et de 1 GeV/fm 3 .2.2. Une construction très motivéeLes performances de la « machine » RHIC sont impressionnantes. Il faut dire quepour voir le jour, RHIC devait présenter des atouts majeurs pour la recherche duQGP tandis que les expériences du SPS étaient en plein fonctionnement.La pré-histoire de RHIC débute en 1963 à Berkeley où lors d’une réunion, desphysiciens débattent des avantages d’avoir des anneaux de stockage pourfonctionner en mode collisionneur qui permettrait de fournir des énergies dans lecentre de masse de la collision bien supérieures à ce qu’autorisent les collisions surcible fixe. Si de tels anneaux paraissaient réalisables, l’idée n’a cependant pas étéretenue, certains jugeant que des anneaux de stockage n’offraient pas la mêmepolyvalence qu’un accélérateur de protons à la même énergie. En 1970 a lieu unenouvelle revue de projet et cette fois-ci, l’enthousiasme est au rendez-vous. Deuxanneaux de stockage seront construits sur le site de Brookhaven et l’AGS servirad’injecteur. Le projet est baptisé Isabelle et la construction démarre en 1974.Jusqu’en 1979, ce programme n’en est pas moins que la première prioritéscientifique au plan national. Mais en 1981, des problèmes techniques surviennentsur la fabrication des aimants supraconducteurs et ils sont tels qu’Isabelle doit êtreremplacé par un nouveau design de machine : ce sera le Colliding Beam Accelerator.2 Des calculs récents montrés à la conférence Quark Matter 2005 donnent des températuressensiblement plus élevées mais compte-tenu des larges barres d’erreur, les variations peuvent êtreoubliées.266

Mais en 1983, le Congrès refuse son financement préférant allouer les crédits auprojet Superconducting Super Collider, une sorte de précurseur du LHC avec unecirconférence d’environ 80 km et sensé délivrer des faisceaux de 20 TeV (l’ironie decette histoire réside dans le fait que ce projet sera lui aussi abandonné mais en1993).En 1984, les physiciens de Brookhaven ne se découragent pas et proposent pourleur laboratoire le projet RHIC qui sera destiné à la recherche du plasma de quarkset de gluons. Afin de rivaliser avec le programme du CERN, RHIC présente descaractéristiques qui, si l’on en croit les théoriciens, devraient permettre de former ceQGP… à coup sûr. En 1991, la première pierre de RHIC est posée !2.3. Des conditions différentesAvec une circonférence de 3,8 km (photographie de la figure 2), RHIC possède unecapacité unique au monde : celle de permettre des collisions d’ions lourds(symétriques et asymétriques, de proton à Au avec des énergies variant de √s NN = 19à 200 GeV) mais également de faisceaux de protons polarisés avec une énergieallant jusqu’à 0,5 TeV.Les deux faisceaux de RHIC se rencontrent en quatre points d’impact autoursdesquels sont placés quatre détecteurs : PHENIX 3 et STAR, les plus imposantes,BRAHMS et PHOBOS 4 de taille plus modeste, ont adopté des approchessensiblement différentes pour étudier le déconfinement de la matière nucléaire, cequi fait un atout de taille pour RHIC :− STAR se concentre sur les mesures de production de hadrons sur un vastedomaine d’angle solide pour étudier les distributions de spectres de particulesvariées ainsi que des observables globales, événement par événement.− PHENIX a pour objectif les mesures de production de leptons, photons et a accèségalement aux mesures des hadrons sur un domaine limité en pseudo-rapidité eten angle azimutal.− BRAHMS peut mesurer de façon systématique la production de hadrons.− PHOBOS se focalise sur les mesures des spectres et l’identification de tout typede particules ainsi que leurs corrélations.3 Le nom PHENIX vient de PHOENIX car cette expérience est née des cendres de trois expériencesdont les lettres d’intention avaient été déposées mais non approuvées.4 PHOBOS est la seule expérience du RHIC dont le nom n’est pas un acronyme. L’expérienceoriginelle MARS (Modular Array for RHIC Spectroscopy) n’ayant pas été approuvée, un autre dispositifpossédant des caractéristiques similaires a, lui, été retenu et a été baptisé du nom de l’une des lunesde la planète MARS.267

PHENIXFigure 2 : Vue aérienne du complexe RHIC avec ses deux anneaux concentriques de 3,8 km decirconférence et ses quatre expériences, BRAHMS à 2h, STAR à 6h, PHENIX à 8h et PHOBOS à10h. Au premier plan de la figure sont visualisées les diverses machines (TANDEMS, AGS, LINAC,BOOSTER, G-2) qui servent à la production des faisceaux du RHIC.Les descriptions techniques détaillées de ces expériences peuvent être trouvées surles sites Internet [Web]. Ce qu’il faut signaler ici c’est que même si chacune de cesexpériences a chacune ses spécificités la rendant ainsi parfois tout à faitcomplémentaire, il a également été possible de réaliser, pour ne pas dire vérifier,certaines mesures par les quatre expériences indépendamment (ce qui étaittotalement exclu avec les expériences du SPS) permettant ainsi de conforter lesobservations des physiciens.RHIC a délivré ses premiers faisceaux en juin 2000 et a depuis permis cinqcampagnes de mesures appelées « Run », répertoriées dans le tableau 1.Le tableau 2 compare les observables (estimées ou mesurées selon les cas) du SPSet de RHIC pour les collisions d’ions lourds les plus centrales réalisées aux énergiesnominales des deux machines. L’énergie nominale par paire de nucléon (dans lecentre de masse de la collision) à RHIC est plus de 10 fois supérieure à celle duSPS. Naturellement, le nombre de particules créées par unité de rapidité y est plusélevé mais nous reviendrons sur le fait surprenant que la différence n’est pas nonplus très marquée. La densité d’énergie est attendue bien plus importante : à RHIC,elle excède très franchement la valeur de densité prédite pour la transition vers unephase de déconfinement. Au SPS, les conditions sont plus proches que cellesprédites par QCD, ceci suggérant que si certaines manifestations n’ont pas été vuescontrairement à RHIC, c’était peut-être en raison de conditions trop limites. Avec lesdensités d’énergie de RHIC, les propriétés du QGP sont attendues bien plusfavorables puisque son temps de vie sera plus long et son volume plus important.Avec ces propriétés qualitativement différentes, RHIC devait créer « quelque chose »de … différent.268

Run Années Systèmes√s NN(GeV)PhysiqueI 2000Au–AuAu–Au55,87130,4Premiers aperçus des collisions àRHIC.II 2001 – 2002Au–AuAu–AuAu–Aup–p130,4200,019,59200,0Propriétés globales, distributions departicules selon les rapidités,impulsions transverses, centralités…Premiers aperçus de la physique dure.Premier lien avec l’énergie du SPS.III 2002 – 2003d–Aup–p200,7200,0Comparaison avec les données Au–Au.Physique à petits x de la matière froide.IV 2003 – 2004Au–AuAu–Aup–p200,062,4200,0Longue prise de données pour avoir lesstatistiques maximales, les événementsrares et un balayage en énergie.V 2004 – 2005Cu–CuCu–CuCu–Cup–p22,462200200Etudes comparatives, pour déceler leseffets de volume, de surface et decentralité et regarder en fonction del’énergie de collision.Tableau 1 : Campagnes de faisceaux du RHIC répertoriées selon les années, systèmes et énergies decollisions ainsi que les points de physique qui ont été planifiés et atteints.Collisions A-A centrales SPS RHIC√s NN (GeV) 17 200dN ch /dy 500 850ε (GeV/fm 3 ) 2.5 4 – 5Volume du QGP (fm 3 ) 10 3 7.10 3Temps de vie du QGP (fm/c) < 1 1.5 – 4.0Temps d’équilibration du QGP (fm/c) ~ 1 ~ 0.5Tableau 2 : Comparaison SPS-RHIC (de haut en bas) des : énergies par paire de nucléon dans lecentre de masse, nombres de particules chargées par unité de rapidité, densités d’énergie, volumesdu QGP, temps de vie du QGP et le temps mis pour atteindre la phase QGP.Les cinq campagnes de mesures de RHIC ont été jugées par la communautéscientifique spectaculaires avec des découvertes majeures comme nous le verronset un nombre impressionnant de publications (près de 150 et des milliers decitations). Les résultats obtenus lors des trois premières années de fonctionnementde RHIC sont consignés dans un numéro spécial de Nuclear Physics A [NPA03].269

3. Phénoménologie d’une collision d'ions lourds3.1. Un plasma en laboratoireComme cela a été introduit dans le cours de Raphaël, réaliser des collisions d'ionslourds à des énergies relativistes est la seule façon (connue à ce jour) de parvenirà créer un plasma de quarks et de gluons en laboratoire : les ions lourds apportent ladensité baryonique nécessaire tandis que les énergies permettent d’atteindre despressions et températures suffisantes pour le déconfinement.Toujours dans les années 70, parallèlement à l’apparition des premières théories, ungroupe d’une trentaine de physiciens procédait à des collisions d'ions lourdsrelativistes sur cible fixe, à des énergies allant jusqu’à 2 GeV/n, auprès du complexeBevalac au LBNL près de San Francisco. Sa motivation était d’exploiter les travauxdes théoriciens de Livermore, Francfort ou encore de Los Alamos préconisant que detelles collisions permettaient de créer une « onde de choc comprimant » le largevolume de matière nucléaire formé dans la zone de recouvrement des noyaux eninteraction et partant, d’investiguer les propriétés d’une matière hadronique soumiseà de fortes pressions et températures. L’idée sous-jacente était là aussi, d’élaborerune équation d’état. Dans ce cours, il ne serait pas approprié de transcrirelonguement les résultats qui y ont été obtenus. En revanche, je me réfèrerai auxécrits de Stock assurant que la physique des ions lourds aujourd’hui héritecopieusement des expériences qui se sont déroulées au Bevalac jusqu’en 1984[Sto04]. Il donne deux arguments à cela : les physiciens d’aujourd’hui essaient,premièrement de trouver des observables qui gardent la mémoire de leur formationlors des toutes premières étapes de la collision et deuxièmement, de rechercher dessignaux qui se sont construits tout au long des différentes étapes de l’évolutiondynamique de la collision.Expérimentalement, la démarche adoptée est la suivante : des observables sontmesurées dans les collisions où les conditions sont optimales pour créer un QGPc’est-à-dire dans les collisions les plus frontales, les plus centrales, mettant en jeu lesions les plus lourds possible, or ou plomb. Puis, les mêmes observables sontmesurées dans des collisions pour lesquelles les conditions ne sont certainementpas réunies pour permettre la création d’un plasma, c’est-à-dire des collisions avecdes ions plus légers (proton–proton ou proton–Noyau) ou à des énergies plus faibles.Il faudra ensuite tenter de déceler des comportements atypiques, de les interpréter ets’ils peuvent s’expliquer ou non par la présence d’un QGP. Celui-ci n’étant formé quependant un temps très furtif, il est totalement exclu de l’étudier directement. Insistonssur le fait que ce qui est à la disposition des expérimentateurs, c’est la mesure deshadrons dans les détecteurs, c’est-à-dire en fin de chaîne. C’est justement cettechaîne qu’il faudra remonter afin de savoir ce qui a pu se passer à son début. C’estnotamment ce point qui justifie la pertinence des mesures des particules multiétranges: en effet, elles sont sensées avoir de faibles sections efficaces d’interactionet par conséquent, elles devraient parvenir dans les détecteurs avec des propriétés,dynamiques ou chimiques, acquises au tout début de la collision voire durant laphase partonique si tant est qu’elle ait eu lieu.270

3.2. Scénario d’une collision d'ions lourdsMalheureusement, il n’existe pas de formalisme unique capable de décrire unecollision noyau–noyau à haute énergie. La figure 3 schématise le scénario sur lequella majorité des physiciens des ions lourds relativistes s’accorde aujourd’hui, unscénario se déroulant en plusieurs étapes [Bjo83, Sat92] et qu’il s’agira decomprendre de la façon la plus complète possible.Après une phase de pré-équilibre qui durerait environ 1 fm/c, le système dense etchaud est supposé atteindre un équilibre thermique. Si la densité d’énergie estsuffisamment élevée, un QGP peut être formé et perdurer pendant environ 5 fm/c.Puis, à mesure que le temps s’écoule, les températures et les pressions diminuent.Une phase mixte s’instaure pendant 10 à 20 fm/c. Les degrés de liberté partoniquesse combineraient alors ensemble pour former des hadrons. Ce gaz de hadrons est lesiège d’interactions inélastiques et élastiques et là, deux instants sont distingués.Tout d’abord, l’instant où les interactions inélastiques cessent, est dénommé gel (oufreeze-out) chimique : la composition chimique des constituants est fixée ; puisl’instant où les interactions élastiques s’interrompent à leur tour correspond au gel(ou freeze-out) cinétique 5 : les hadrons n’interagissent plus et volent librementjusqu’à leur ultime interaction dans les détecteurs. La durée entre les deux freeze-outest sujette à caution : elle varie selon les modèles, certains préconisant même leursimultanéité [Bro01], d’autres défendant une séquence d’occurrence basée sur le faitque ce sont les processus les plus rares qui vont s’arrêter en premier donc lesinteractions inélastiques. Par exemple, des calculs faits avec le modèle UrQMD[Ble02] montre qu’après la première étape de pré-équilibre, les collisions inélastiquesdominent avant que les collisions élastiques et pseudo-élastiques deviennentmajoritaires. Ce changement peut être interprété comme l’instant où se produit lefreeze-out chimique.Toutefois, avant que le système parvienne au freeze-out cinétique, il est donc lesiège de nombreuses interactions. Ces interactions vont avoir pour conséquence degénérer des phénomènes de flot ou phénomènes dits collectifs, qui traduisentl’émission de matière dans des directions privilégiées de l’espace de phase. En effet,ils trouvent leur origine dans l’existence d’un gradient de pression induit dans la zonede recouvrement des noyaux en collision. Les interactions éjectent les constituants etcomme elles sont abondantes, elles induisent une vitesse de flot commune(collective) à tous ces constituants. Le flot est donc directement sensible à l’ampleurdes interactions et les distributions en impulsion transverse des particules sont lerésultat de la combinaison d’un mouvement aléatoire qui peut être quantifié par latempérature au freeze-out cinétique et d’un mouvement lié à une composantecollective quantifiée par une vitesse de flot.Ces phénomènes de flot trouvent également leur importance en terme d’informationsqu’ils sont susceptibles d’apporter car ce sont ces interactions qui vontéventuellement permettre au système d’aboutir à un équilibre thermique, et cecirelativement rapidement, c’est-à-dire dans la limite de temps de vie du système.5 Le terme « thermique » est souvent utilisé également au lieu de cinétique.271

Figure 3 : Evolution temporelle d’une collision d'ions lourds en fonction de son expansionlongitudinale et du temps. Les noms et durées des diverses phases (pré-équilibre, mixte,plasma, gaz hadronique) sont indiqués ainsi que les deux instants particuliers que sont lesfreeze-out chimique et cinétique (thermique).Les phénomènes collectifs ont été observés pour la première fois au Bevalac[Gus84] puis à SIS 6 [Rei97] et sont d’ailleurs relativement bien compris à cesénergies où ils reflètent purement les propriétés d’une matière hadronique dense. Aplus haute énergie, et dans des collisions non-centrales, le gradient de pressionsiégeant dans la zone de recouvrement des noyaux incidents, possède initialementune asymétrie azimutale qui transforme l’anisotropie au départ spatiale en uneanisotropie dans l’espace des impulsions. Ces phénomènes ont été appelés flotelliptique en raison de la forme en amande prise par le système en expansion.En outre, le flot est une grandeur additive et par conséquent, elle est accumulée toutau long de l’évolution du système, la rendant ainsi potentiellement sensible àl’équation d’état. Il pourrait par exemple résulter d’une composante partoniquesuperposée à une composante hadronique. Toute la difficulté sera de parvenir àséparer les deux composantes.La description du scénario auquel il est possible de s’attendre lors d’une collisiond'ions lourds relativistes, même si elle est synthétique, dénote de complexité et desdifficultés à venir, théoriques et expérimentales.Au plan théorique tout d’abord car en effet, il n’existe pas, aujourd’hui, de formalismeunique capable de décrire les différentes étapes. Les diverses approches théoriquesauront leur propre domaine d’applicabilité et les résultats obtenus à RHIC que je6 Le synchrotron SIS est implanté au GSI (Gesellschaft für Schwere Ionen) de Darmstadt enAllemagne et délivre des faisceaux d’ions lourds à des énergies inférieures à 2 GeV/nucléon.272

présenterai dans les chapitres suivants en donneront une démonstration sans appel.La figure 4 présente de manière très sommaire les régimes selon le domaine enimpulsion transverse couvert. En guise de repère, les accélérateurs et collisionneurssont également indiqués, accélérateur passé comme le SPS, collisionneurs actuelcomme RHIC et futurs comme LHC et RHIC-II.Figure 4 : Les différents régimes d’une collision d'ions lourds aux énergies ultra-relativistes et lesdomaines d’applicabilité de quelques approches théoriques.• Aux plus basses valeurs, c’est le domaine de la physique dite molle, celui oùpeut s’appliquer l’hydrodynamique. Les processus donc les observablesassociées doivent évoluer comme le nombre de participants (N part ) : lesénergies relativement modérées vont limiter fortement le nombre d’interactionspossible pour un nucléon si bien qu’il correspond en moyenne au nombre departicipants.• Aux plus hautes valeurs d’impulsions transverses en revanche, la physiquedite dure règne et la QCD perturbative est applicable. Les phénomènes dansce régime sont attendus évoluer davantage comme le nombre de collisionsbinaires 7 (N bin ou N coll ) : cette fois-ci, les impulsions sont si élevées qu’unnucléon peut interagir plusieurs fois car même s’il perd de l’énergie, il peut luien rester suffisamment pour renouveler ses interactions et dans ce cas, lenombre de collisions qu’il subit est loin du nombre de participants qu’il neserait pas judicieux d’utiliser.7 N part et N bin calculés à partir du modèle de Glauber sont introduits dans le cours de Raphaël Granierde Cassagnac.273

• Aux impulsions transverses intermédiaires, deux régions sont indiquées : dansl’une, devraient dominer les phénomènes de coalescence, dans l’autre leseffets de milieu et de fragmentation. Ceci est très schématique bien sûr carsinon, ce ne serait en fait pas si compliqué que cela…. Nous reviendrons plusen détail sur ce point lors de l’interprétation des résultats de RHIC.Au plan expérimental, les difficultés liées aux différentes étapes de l’évolution de lacollision se retrouvent dans les observables qu’il faudra rechercher pour caractériserau mieux ces différentes étapes et qu’il faudra mesurer, avec le problèmesupplémentaire qu’elles aussi diffèreront selon l’étape de collision à laquelle elles serapportent. Malgré la non-trivialité de cette physique, des résultats expérimentauxmajeurs ont cependant été produits permettant une avancée, majeure également,dans notre compréhension de cette physique.Dans le cours de Raphaël sont décrites les observables donc les phénomènesphysiques qui sont apparus les plus marquants au SPS, donc dans le secteur del’étrangeté et du charme. Il regarde également le devenir de ces observables auxénergies RHIC. Pour ma part, la démarche est en quelque sorte inversée puisque jeme concentre sur les effets majeurs de RHIC qui pour la plupart n’ont que peu oupas été observés au SPS : la suppression des jets, le flot partonique et les photonsthermiques.4. Quand RHIC mesure les observables du BEVALAC4.1. Multiplicité des particulesLors de la conférence Quark Matter de Turin en 1999 précédant le démarrage duRHIC, différents théoriciens [Bas99] ont saisi l’unique opportunité, on peut même direle risque, de présenter leurs prédictions, pour changer une fois n’est pas coutume,des plus habituelles « post-dictions » des énergies de l’AGS et du SPS. Dans sesremarques de conclusion, Gyulassy soulignait les « variations considérables desprédictions traduisant l’ignorance des théoriciens quant aux conditions initiales etparticulièrement sur leur composante douce » c’est-à-dire celle correspondant à desimpulsions transverses inférieures à 2 GeV/c.Les observables globales basées sur la mesure des particules venant du « gros de laréaction », traduction peu heureuse de bulk en anglais (d’ailleurs, je garderai leterme bulk), comme les densités de rapidité de la multiplicité de hadrons ou d’énergietransverse, peuvent être vues comme des baromètres ou thermomètres desdynamiques qui prennent place très tôt dans la collision. Ces observables peuventen effet être reliées à des quantités comme les densités d’énergie ou d’entropiefournissant ainsi des contraintes significatives sur ce que doivent être les conditionsinitiales. En conséquence, elles vont permettre de contraindre très fortement lesmodèles.274

Figure 5 : Densités de particuleschargées dans les collisions d'ions lourdsde l’AGS, du SPS et de RHIC (mesuresde PHOBOS et des quatre expériencescombinées) en fonction de l’énergie decollision. Les densités sont divisées parle nombre moyen de nucléonsparticipants.La figure 5 présente la densité de particules chargées émises à des pseudorapidités8 telles que ⏐η⏐ < 1, par paire de nucléons participants, dans les collisionsAu–Au de l’AGS [Ahl00, Bac02, Kla03], Pb–Pb du SPS [Ant04] et Au–Au de RHIC[Bac00, Bac04] en fonction de l’énergie de collision par nucléon dans le centre demasse. Avec des valeurs plus basses que celles prédites à Turin en 1999, lesdonnées de RHIC mesurées par PHOBOS suivent une « simple » extrapolationlogarithmique des données à plus basses énergies et sont plus élevées d’un facteurdeux par rapport à la densité de particules à l’énergie nominale du SPS. Ce résultat,sujet de la première publication de RHIC, a constitué une surprise dans lacommunauté qui attendait plutôt une explosion du nombre de particules par unité derapidité. Une surprise effectivement car l’habitude était plutôt aux évolutionsd’observables présentant des sauts importants voire des ruptures telles que préditespar les promoteurs de la transition de phase du premier ordre. Ainsi, l’évolution trèsprogressive de la multiplicité des particules chargées telle que le montre la figure 5évoque les comportements attendus dans le cas d’une transition douce.Par ailleurs, les modèles basés sur la saturation [Kha01] parviennent à reproduire àRHIC la multiplicité des particules. Même s’ils ne sont pas applicables aux énergiesde collisions inférieures, ils expliquent l’évolution de cette multiplicité avec l’énergiede collision par le phénomène de saturation des gluons lors des tout premiersinstants de la collision qui sert en quelque sorte de limiteur à la production departicules.8 Dans le cas où l’impulsion de la particule est connue mais pas son énergie (par exemple si samasse est inconnue), alors la pseudo-rapidité peut être utilisée η = - ln(tan (cos -1 (pz/p)/2). Sil’impulsion de la particule est très supérieure à sa masse, alors η ≈ y.275

4.2. Densité d’énergieA l’instar de l’estimation de la densité d’énergie réalisée par les Collaborations NA49[Mar95] et NA50 [Abr00], une analyse similaire a été réalisée à RHIC [Adc01],partant de l’approximation de Bjorken [Bjo83] qui considéra une matière sansinteraction, en expansion longitudinale, avec création de particules pendant un tempsτ = 1 fm/c (la justification de cette valeur ne se trouve que dans la volonté de donnerun ordre de grandeur). Il montra ensuite que la densité d’énergie ε atteinte dans lescollisions d'ions lourds pouvait s’écrire :ε=1πR2τdETdyavec R le rayon du noyau (de 7 fm/c pour un noyau Au) et dE T /dy l’énergietransverse par unité de rapidité qui est l’unique quantité à mesurer.A RHIC donc, la densité d’énergie a été évaluée comme étant égale à 5,5 GeV/fm 3 ,soit 1,7 fois plus élevée qu’au SPS 9 . Comme cela était déjà le cas au SPS, la valeurdépasse largement celle de la densité d’énergie critique prédite par LQCD et qui estnécessaire pour permettre la transition de déconfinement. Même s’il ne s’agit là qued’une estimation, elle a permis néanmoins de confirmer, dès les premières analyses,que RHIC était dans la bonne direction, que les conditions optimales semblaientréunies. Que la densité d’énergie soit supérieure à la densité d’énergie critique pourun déconfinement, est une condition nécessaire mais elle n’est certes passuffisante.4.3. Les degrés de liberté longitudinal et transverseToujours au plan des observables globales, les « thermomètres de collision », lesdistributions en rapidité et en impulsion transverse, représentées sur les figures 6 et7 respectivement, dénotent des caractéristiques de la cinématique de la réaction.Pour plus de précision, regardons la figure 6 montrant la distribution de la densiténette de protons, c’est-à-dire de la différence entre les taux de production desprotons et les taux de production des antiprotons, pour l’AGS, le SPS et mesurée parBRAHMS [Bea03] pour RHIC. A l’AGS, le nombre d’antibaryons produits est faible etla distribution de la densité nette de protons (ou densité nette baryonique) estsimilaire à la distribution des protons, présentant un maximum autour de 0. Au SPS,la distribution prend la forme d’un « M » traduisant le fait que la réaction commence àêtre transparente dans le sens où une très faible proportion de baryons originaux seretrouve à rapidité centrale après la collision, contrairement à ce qui se passe donc àplus basse énergie. A RHIC, la distribution est très différente des deux précédentes :elle présente en effet une faible valeur à y = 0, autour de 7 seulement, puisaugmente très modérément avec la rapidité, dénotant de la très grandetransparence de la matière nucléaire à RHIC.9 Au SPS, NA49 avait ainsi estimé que la densité d’énergie à l’énergie nominale, équivalait 2,9GeV/fm 3 dans les collisions Pb–Pb, soit une valeur supérieure à la densité d’énergie critique préditepar LQCD pour qu’ait lieu la transition de phase. Cette limite était en outre franchie dans les collisionsAu–Au de l’AGS à √s NN = 5 GeV puisque la densité d’énergie a été estimée à 1,5 GeV/fm 3 .276

Figure 6 : Distributions de la densité nette deprotons (i.e. protons – antiprotons) mesuréesaux énergies nominales de l’AGS, du SPS et deRHIC (données de BRAHMS [Bea03]).Figure 7 : Distributions en impulsion transverse desparticules chargées mesurées par STAR pour septdomaines de centralité des collisions Au–Au à √s NN =200 GeV. La ligne pointillée verticale visualise la limiteen deçà de laquelle se trouve la région dite desbasses impulsions et dans laquelle 99,5% desparticules sont comprises.Selon la composante transverse à présent, les distributions en impulsion (p T )mesurées notamment par STAR [Ull03] et représentées sur la figure 7 pour différentscritères de centralité, traduisent la violence de collisions à 200 GeV car les valeursmaximales d’impulsion transverse avoisinent les 12 GeV/c. Les dernières analysesfaites à RHIC utilisant toute la statistique disponible des collisions Au–Au à √s NN =200 GeV montre que les impulsions transverses atteignent 20 GeV/c. En attendantde voir que ces particules très énergétiques donneront des indications trèsparticulières et originales, notons en outre, que 99,5% des particules ont desimpulsions transverses inférieures à 2 GeV/c, le fameux bulk mentionnéprécédemment, qui naturellement gouvernera une large part de la dynamique de lacollision. Ces distributions d’impulsions transverses sont analysées de manière trèsintensives car à partir de leur amplitude, les taux de production des particules sontextraits et de là, les propriétés chimiques ou encore les conditions au freeze-outchimique. Leur forme quant à elle va permettre d’extraire les caractéristiquesdynamiques en tentant de la reproduire par des fonctions contenant des paramètresliés à des propriétés dynamiques (vitesse de flot par exemple) et qu’il faudra ajuster.Les conditions au freeze-out cinétique pourront être investiguées.Décrivons à présent la physique de RHIC selon les différents régimes car comme jel’ai déjà évoqué, les physiciens ions lourds ont pris l’habitude de parler de régimesoft et hard, doux (mou) et dur, selon que le domaine investigué se rapporte auximpulsions transverses, respectivement inférieures à 2 GeV/c ou supérieures à6 GeV/c. Entre ces valeurs, le régime est qualifié… d’intermédiaire.277

5. Le régime « doux »5.1. Une production étrangeLa production des particules, autrement dit, l’hadronisation, est un processusméconnu aujourd’hui encore et si l’on tente de comprendre comment se forment leshadrons, les questions suscitées demeurent souvent sans réponse.L’évolution des multiplicités de particules chargées en fonction de l’énergie decollision (figure 5) a constitué une surprise par sa progression monotone. Enregardant plus en détails et selon le contenu en étrangeté des particules, cetteévolution peut paraître encore plus intrigante. La partie haute de la figure 8 (extraitede [Est05] présente les taux de particules simplement (Λ), doublement (Ξ) ettriplement étranges (Ω) en fonction de l’énergie de collision et il est tout à faitsurprenant de constater que même si deux ordres de grandeur séparent les énergiesnominales de l’AGS et de RHIC, les taux de production des particules étranges necroissent pas en conséquence, surtout pour les Λ dont les taux restent pratiquementconstants. Pour ce qui est des anti-particules, les taux présentent un accroissementavec l’énergie (milieu de la figure 8) qui se retrouve sur l’évolution des rapports destaux des antibaryons et des taux des baryons (bas de la figure 8). Cetteaugmentation est tout à fait naturelle puisque plus l’énergie augmente, plus lesantiparticules sont créées en abondance et le potentiel chimique baryonique doitdiminuer. Reste à comprendre pourquoi les particules étranges ne suivent pas cettetendance de manière marquée.En guise de première approche afin de savoir à quel moment l’étrangeté apparaît aucours de la collision, examinons à présent les taux de production, par unité derapidité et en fonction du nombre de participants, pour les antiparticules non-,simplement- et doublement-étranges sur la figure 9 (figure du haut). Pour lesantiprotons, les taux augmentent faiblement avec le nombre de participants commecela était attendu. Pour les Λ et de façon plus marquée encore pour les Ξ, les taux deproduction se démarquent de cette augmentation linéairement proportionnelle aunombre de participants.Si maintenant, les taux de production de ces mêmes particules sont normalisés aunombre de collisions binaires et représentés toujours en fonction du nombre departicipants comme le montre la figure 9 dans sa partie inférieure, les comportementssont inversés : les hypérons semblent suivre le facteur d’échelle défini par le nombrede collisions binaires et cela est d’autant plus vérifié que le contenu en quarksétranges de la particule est important.A partir de ces faits, il semble donc que le facteur d’échelle n’est pas le mêmesuivant que le quark est léger (u et d) et suivant qu’il est étrange et que ce facteurd’échelle doit être défini différemment selon qu’un quark léger ou étrange estconsidéré.278

Figure 8 : Haut : Taux de production des particulessimplement (Λ), doublement (Ξ) et triplementétranges (Ω) en fonction de l’énergie de collisiondans le centre de masse par paire de nucléon.Milieu : même analyse mais pour lesantiparticules. Bas : Rapports antibaryon/baryondes particules précédentes ainsi que les rapportsantiproton/proton.Figure 9 - Haut : Taux de production des Ξ + comparésà ceux des antiprotons et antilambdas pour lescollisions Au-Au à √s NN = 200 GeV en fonction dunombre de participants. Les données sont normaliséesau nombre de participants le plus faible (donc pour lescollisions périphériques). Bas : Mêmes distributionsmais normalisées par le nombre de collisions binaires,toujours en fonction du nombre de participants.Une nouvelle normalisation a été proposée [Cai05] définie pour chaque particule,individuellement en utilisant le facteur d’échelle suivant :N légers *N part /N total + N étranges *N bin /N totaloù N légers est le nombre de quarks u et d, N étranges le nombre de quarks étranges etN total le nombre total de quarks. Ainsi, les protons doivent évoluer comme N part et lesΩ comme N bin . L’à propos de cette graduation apparaît sur les données Au–Au à√s NN = 200 GeV, indiquant que le volume pertinent pour la production de particulesétranges n’est pas simplement géométrique : il est contrôlé selon le nombre departicipants mais fortement influencé par le nombre de processus durs au cours de lacollision. Les distributions des taux de production des particules normalisés cettefois-ci par ce nouveau facteur d’échelle sont effectivement plates en fonction dunombre de participants. Des travaux sont en cours au sein de la Collaboration STAR279

afin de tenter de trouver l’observable la mieux à même de décrire le volume deréaction.Mais quoi qu’il en soit, outre le fait qu’il faut encore trouver une signification physiqueà ce facteur d’échelle, ces études soulèvent un certain nombre de questions commepar exemple : les quarks étranges voient-ils un volume de réaction différent de celuivu par les quarks légers ? Quand et donc comment sont-ils formés ? A partir desdonnées du SPS et de RHIC, Aichelin démontre que les quarks étranges semblentmontrer effectivement une sensibilité aux collisions binaires et il conclut que cesquarks pourraient être créés comme les quarks charmés par les mêmes processusde nature plutôt dure [Aic05].Figure 10 : Rapports proton/pionmesurés par PHENIX et comparésaux prédictions de trois modèlesproposant la coalescence de quarkspour expliquer l’hadronisation dans larégion des impulsions intermédiaires.Toujours au plan des productions incomprises, l’une des découvertes [Adc02, Adl03]inattendue et aujourd’hui encore non comprise réside dans ce qui a été appelé« l’anomalie des baryons » [Vit02] : les baryons et antibaryons augmententfortement par rapport aux pions dans le domaine d’impulsion p T ~ 2 – 5 GeV/c. Audelàde cette valeur, les baryons retrouvent un comportement normal. La figure 10présente les mesures de PHENIX [Adl03] des rapports proton/pion, comparées auxprédictions de divers modèles de coalescences de quarks. Cette anomalie contrastede manière frappante avec la suppression de la production des pions dans la mêmetranche d’impulsion transverse laissant supposer que les baryons ne subissent doncpas la même suppression que les mésons.A l’AGS et au SPS, un rapport proton/pion supérieur à l’unité a également étémesuré mais à ces plus faibles énergies, la plupart des protons n’est pas créée aucours de la collision mais provient de la région de fragmentation de la cible et duprojectile. De plus, le flot radial est très important (environ 50% de la vitesse de lalumière) et peut provoquer la valeur élevée du rapport proton/pion : les protons étanten effet plus lourds, une vitesse de flot importante dynamise plus fortement lesprotons que les pions, leur procurant ainsi de plus fortes valeurs d’impulsiontransverse. Cette physique est bien différente de celle à RHIC où dans ce cas, lamajorité des protons est créée au cours du processus de réaction et une explicationreste à trouver.280

La réponse pourrait se trouver dans les modèles de coalescence de quarks. Cesmodèles supposent que l’hadronisation, dans la région des impulsionsintermédiaires, se réalise par la coalescence de quarks qui sont proches dansl‘espace de phase. Sur la figure 10, les prédictions de trois de ces modèles [Fri04,Non04, Gre03] sont comparées aux mesures de PHENIX et les accords sontrelativement satisfaisants surtout pour les modèles les plus raffinés comme Oregonet TAMU [Gre03] qui considèrent les désintégrations de type ρ→ 2π permettant depeupler la région des faibles impulsions. Mais actuellement, ces modèles decoalescence ne sont performants qu’à des valeurs d’impulsions transversessupérieures à environ 2 GeV/c. A plus haute impulsion transverse, au-delà de 6GeV/c, les modèles ne peuvent pas non plus reproduire les tendancesexpérimentales. Dans cette gamme de p T siègent les processus durs et le jetquenchingintervient également comme nous le verrons plus tard. Les modèles defragmentation de quarks succèdent alors aux modèles de coalescence pourexpliquer la formation des hadrons.Topor Pop et ses collaborateurs montrent que le modèle Hijing/B[B v2.0 parvient àreproduire la production de baryons et donnent, pour reprendre les termes desauteurs, une explication partielle à cette anomalie [Top04]. « Partielle » car dans cetarticle, les auteurs reconnaissent qu’ils ne peuvent pour l’instant reproduire lesdistributions de baryons dans la région des grandes rapidités. En revanche, la priseen compte des boucles jonction–anti-jonction dans cette version du modèle conduiteffectivement à une production de baryons supplémentaire dans les collisionsNoyau–Noyau. Les auteurs concluent leur article en reconnaissant que s’ilsparviennent à reproduire beaucoup de données expérimentales, la compréhensionde la production de particules étranges restent une question ouverte. Nousreviendrons sur les prédictions de ce modèle qui depuis cet article de 2004 a évoluésensiblement.A ce stade de notre compréhension, le succès des modèles de coalescencefont émerger l’idée que les quarks pourraient être les degrés de libertépertinents pour la description des processus.5.2. Propriétés chimiquesQuoiqu’il en soit, c’est en tout cas au moment du freeze-out chimique que lacomposition des diverses entités est figée. A l’instar des approches suivies au SPS,les conditions sous lesquelles existe le système au moment du freeze-out chimiquepeuvent être appréhendées par les rapports de particules dans le cadre d’un modèlestatistique. Sa température T ch ainsi que le potentiel chimique baryonique μ B sont lesparamètres du modèle qui vont permettre l’ajustement des données expérimentaleset théoriques. Le facteur de saturation en étrangeté γ s ou fugacité est un paramètresupplémentaire introduit un peu plus tardivement dans l’histoire des modèlesstatistiques afin de rendre compte du degré de saturation de la productiond’étrangeté dans le système. Le modèle décrit dans la référence [Kan02] a été utilisépour reproduire les rapports mesurés à RHIC à √s NN = 200 GeV. Cette analyse estmontrée sur la figure 11.281

Figure 11 : Rapports de hadronsmesurés par STAR et comparés auxprédictions du modèle statistique deKaneta et Xu.Du SPS à RHIC, la densité baryonique diminue très fortement puisqu’elle atteint 23 ±3 MeV, indiquant une création d’antimatière croissante avec l’énergie disponibledans le centre de masse. La température de freeze-out chimique est en revancherelativement stable avec la centralité et l’énergie de collision atteignant 157 ± 3 MeVà RHIC. Cette température de freeze-out chimique est remarquablement prochede la température critique prédite pour le changement de phase par la QCD surréseaux [Kar02] à une densité baryonique nulle. Il semble donc que quelles quesoient les conditions initiales, le système dense et chaud qui a été créé dans lescollisions d'ions lourds ultra-relativistes, évolue toujours vers une même températurede freeze-out chimique. Pour Braun-Munzinger et ses collaborateurs [Bra04],l’équilibre ne peut se faire au cours de la phase d’hadronisation si l’on en croît lestaux de collisions trop faibles et les temps trop courts extraits des études sur lescorrélations de particules. La quasi-coïncidence des deux températures pourrait secomprendre par le fait qu’au voisinage de la température critique, les multiplescollisions à N corps peuvent engendrer un mécanisme pour l’équilibration dusystème. L’argument est de dire que la transition de phase gouverne les densités departicules et en raison de leur changement brutal au voisinage du changement dephase, les collisions multiples entre particules fournissent une explication naturellepour la mise en place d’un équilibre chimique, conduisant à une température defreeze-out égale à celle de la transition de déconfinement à quelques MeV près.Pour les collisions les plus centrales de RHIC, la fugacité γ s approche 1 (0,99 ± 0,07)indiquant que l’équilibre chimique en étrangeté serait atteint à l’énergienominale du RHIC dans les collisions Au–Au frontales. Autrement dit, l’espacede phase est saturé en étrangeté. Au SPS, la valeur maximale atteinte par γ s dansles collisions Pb–Pb les plus centrales n’était que 0,821 ± 0,024, des collisions doncrelativement éloignées de la saturation.282

5.3. Propriétés dynamiquesAvant que le système parvienne au freeze-out cinétique, il est le siège denombreuses interactions qui ont pour conséquence de générer des phénomènes deflot ou phénomènes dits collectifs, qui traduisent l’émission de matière dans desdirections privilégiées de l’espace de phase. En effet, ils trouvent leur origine dansl’existence d’un gradient de pression induit dans la zone de recouvrement desnoyaux en collision. Les interactions éjectent les constituants et comme elles sontabondantes, elles induisent une vitesse de flot commune – collective – à tous cesconstituants. Le flot est donc directement sensible à l’ampleur des interactions et lesdistributions en impulsion transverse des particules sont le résultat de la combinaisond’un mouvement aléatoire qui peut être quantifié par la température au freeze-outcinétique et d’un mouvement lié à une composante collective quantifiée par unevitesse de flot.Les phénomènes collectifs ont été observés à plus basse énergie [Gus84, Rei97] etsont d’ailleurs relativement bien compris à ces énergies où ils reflètent purement lespropriétés d’une matière hadronique dense. A plus haute énergie, et dans descollisions non-centrales, le gradient de pression siégeant dans la zone derecouvrement des noyaux incidents, possède initialement une asymétrie azimutalequi transforme l’anisotropie au départ spatiale en une anisotropie dans l’espace desimpulsions. Ces phénomènes ont été discutés pour la première fois par Ollitraultdans le cadre des collisions aux énergies relativistes du SPS [Oll92] : cesphénomènes ont été appelés flot elliptique en raison de la forme en amande prisepar le système en expansion. L’asymétrie spatiale décroît généralement à mesureque dure l’expansion du système, expansion qui en d’autres termes, amoindrit le flotelliptique le rendant ainsi sensible aux interactions entre constituants lors des toutespremières étapes de la collision [Sor99] et en particulier, lors des interactions entrepartons.En outre, comme nous l’avons dit, le flot est une grandeur additive, accumulée toutau long de l’évolution du système, la rendant ainsi potentiellement sensible àl’équation d’état. Il s’agira de parvenir à séparer les composantes partonique ethadronique et les particules multi-étranges vont jouer un rôle primordial. Lesinteractions entre constituants sont sensées conduire à une thermalisation dusystème, rejoignant ainsi la question de l’équation d’état de la matière nucléaire.Le flot radial transverse et le flot elliptique sont deux observables liées à ces effetscollectifs.Le flot transverse dépend des conditions au freeze-out cinétique sur lesquelles il estpossible de s’informer grâce aux distributions en impulsion (masse) transverse desparticules. Elles peuvent en effet être reproduites si la source d’émission estsupposée être celle d’une source en équilibre thermique à la température de freezeoutcinétique et en expansion à une vitesse de flot β, possédant un profil de vitessetel que décrit, par exemple, par Schnedermann et ses collaborateurs [Sch93]. Certes,cette description phénoménologique, appelée Blast-wave, n’est pas le fruit d’unmodèle complexe et complet mais elle permet néanmoins de quantifier globalementcette émission dynamique en extrayant les températures et vitesses de flot.Pour les collisions Au–Au à √s NN = 200 GeV, l’ajustement des distributions enimpulsion transverse des π, K, p a pu être fait en commun, pour une même valeur de283

température de freeze-out cinétique (T FO = 89 ± 10 MeV) et une même vitesse de flot( = 0,59 ± 0,05 c). Il a en revanche dû être réalisé indépendamment pour lesbaryons multi-étranges donnant une température plus élevée (T FO = 165 ± 40 MeV)et une vitesse de flot moindre ( = 0,45 ± 0,1 c). Le traitement des Λ donne, sanssurprise aucune, des valeurs intermédiaires entre celles trouvées pour les particuleslégères et celles des particules les plus lourdes.Figure 12 : Température de freeze-out cinétique en fonction de la vitesse transverse,paramètres du modèle blastwave ajustés sur les distributions en impulsion transverse desπ, K, p, Ξ et Ω émis lors des collisions Au+Au à √s NN = 200 GeV pour plusieurs degrés decentralité.En outre, l’étude en fonction de la centralité montre que plus la collision est centrale,plus les températures de freeze-out cinétique sont faibles et plus les vitesses de flotsont élevées. Ceci se comprend facilement puisque plus la collision est centrale, plusl’expansion dure longtemps : les températures se refroidissent davantage tandis queles interactions peuvent perdurer plus longtemps permettant de développer un flotplus important. Pour les baryons multi-étranges, aucune variation des valeurs desparamètres n’apparaît clairement. L’insensibilité des multi-étranges à la durée de laphase hadronique confirme leur faible section efficace d’interaction et leur échappéedu système très précocement dans l’évolution du système.Ces résultats montrent que :• Les baryons multi-étranges se découplent du système plus tôt que lesparticules plus légères, probablement en raison de leurs faibles sectionsefficaces d’interaction.• Les baryons multi-étranges sont soumis à un flot collectif important. Etantdonné qu’ils n’ont quasiment pas connu la phase hadronique et que le flotprovient des interactions entre constituants, cela suggère que le flot a été créépar les interactions entre constituants avant qu’ils ne soient des hadrons,donc un flot partonique. Ce point signifie que les partons, contrairementaux idées premières des années soixante-dix, seraient en interaction.284

Cette matière en interaction n’est autre que le sQGP dont les premierspas sont apparus dans les calculs sur réseaux de Karsch.Au SPS, les tendances semblaient similaires à celles vues à RHIC dans le sens oùles particules légères ont un flot qui peut être décrit par un jeu de paramètrescommuns et que les particules chargées d’étrangeté se démarquent de cescomportements. Mais la différence est moins marquée qu’à RHIC et les tendancessemblent donc moins nettes.Le flot elliptique, lui, vient de l’asymétrie au départ spatiale qui est convertie en uneasymétrie dans l’espace des impulsions. Pour quantifier cet effet, la techniquehabituellement utilisée consiste à mesurer les angles d’émission azimutaux desparticules par rapport au plan de la réaction. Théoriquement, ce plan de réaction estdéfini par la direction du faisceau et par le paramètre d’impact des deux noyauxtandis qu’expérimentalement, il est calculé selon diverses méthodes basées sur lescorrélations à 2 ou 4 particules [Pos98, Bor01]. La distribution en angle azimutal estdécomposée en série de Fourier et dans la région de rapidité centrale qui nousintéresse, le premier coefficient v 1 s’annulant, le second coefficient v 2 , appelé flotelliptique, devient la contribution dominante.Quantitativement, au SPS, le flot des particules chargées était important puisqueatteignant environ 35% de la vitesse de la lumière. En passant aux énergies RHIC,l’augmentation du v 2 est très importante puisque cette contribution atteint 50%.Les études de flot elliptique réalisées dans les collisions Au–Au à √s NN = 200 GeV demanière exclusive sur le type de particules sont résumées sur la figure 13 extraite[Sta05]. Elle montre respectivement, le flot elliptique (a) des pions, kaons, K s 0 et Λ,(b) des Ξ et (c) des Ω en fonction de l’impulsion transverse. Une saturation du v 2 seproduit pour chacune des entités avec un niveau de saturation cependant différentselon que le hadron est un méson ou un baryon. Dans cette région de saturation, lescalculs hydrodynamiques représentés par les zones colorées (le gris est une couleuraussi !) surévaluent fortement l’amplitude du flot elliptique alors que l’accord de leursprédictions avec les mesures était remarquable à basse impulsion transverse.La dépendance au type de particules, méson/baryon, est indubitablement à relier à ladépendance du même type que nous avons mise en évidence par l’analyse desdistributions du R cp . Afin de mieux se rendre compte de ce phénomène si curieux, lesv 2 et p T ont été normalisés par le nombre de quarks de valence constituant le hadron.Cette manipulation est présentée sur la partie (d) : les distributions sont alorssuperposées les unes sur les autres 10 , là aussi, indiquant la pertinence des quarks(au moins de valence) comme degré de liberté. Les modèles de coalescence dequarks sont aussi capables de reproduire les tendances observéesexpérimentalement sur le flot elliptique dans les collisions d'ions lourds [Gre04].Discutons à présent d’un point essentiel : le flot des hypérons multi-étranges. Ce quenous avions d’ores et déjà observé sur le flot radial transverse se confirme ici : cesparticules, censées interagir faiblement avec le milieu, ont un flot elliptique très10 Seule la courbe des pions (losanges) se démarque des autres courbes car les pions considérés icin’ont aucunement été corrigés des pions secondaires issus de la décroissance de résonances. Avecl’apport d’une telle correction, des simulations ont montré que la courbe des pions coïnciderait aveccelle des autres particules.285

marqué. Ce flot naît des interactions entre constituants et là aussi, il est tentant deconclure quant à la marque d’un flot qui se serait développé lors d’une phase doncpartonique, le signe d’un sQGP !Figure 13 : v 2 en fonction de l’impulsion transverse pour (a) les p+[p ,π , K s 0 et Λ+[Λ émisdans les collisions Au-Au de biais minimum à √s NN = 200 GeV. Les lignes pointillées-tiretéessont des ajustements aux données par de simples fonctions analytiques alors que les calculshydrodynamiques sont représentés par les bandes jaunes ou grisées. (b) v 2 pour lesΞ+[Ξ. (c) pour les Ω+[Ω. (d) v 2 des p+[p , Λ+[Λ et Ξ+[Ξ normalisé au nombre de quarks devalence n q de chaque hadron, en fonction de l’impulsion transverse également normaliséepar n q (figure extraite [Sta05]).Le fait que l’hydrodynamique reproduise les mesures expérimentales et en particulierla dépendance en masse dans la région des basses impulsions transverses (p T < 1,5– 2 GeV/c) signifierait qu’à RHIC, la limite hydrodynamique est atteinte contrairementà ce qui se passe à plus basse énergie : les données rejoignent effectivement lescalculs hydrodynamiques de Huovinen et ses collaborateurs [Huo01] qui postulentl’existence d’une phase hadronique succédant à une phase partonique et un tempsd’équilibration très précoce, inférieur à 1 fm/c. Au SPS, les calculs hydrodynamiquespourraient reproduire les données mais avec des paramètres loin d’être réalistes.Constater que l’hydrodynamique reproduit le flot elliptique, tant son amplitude que sadépendance en impulsion transverse, a conduit bon nombre de physiciens àconclure que le milieu était thermalisé et que la matière créée à RHIC secomportait comme un fluide parfait. Les calculs hydrodynamiques sont en effetréalisés avec une viscosité nulle. Or, Borghini et Ollitrault notamment affirment qu’iln’en est rien [Bor05] du moins qu’aucune information pertinente ne peut être extraitesur la thermalisation. A partir de prédictions générales sur la dynamique d’un fluideidéal, ils dérivent des propriétés générales sur les spectres en impulsion transverse286

de diverses particules émises par un fluide idéal, indépendamment de tout modèlespécifique. Ils incluent une distinction importante, entre les particules lentes qui ontune vitesse égale à la vitesse du fluide à un temps donné et les particules rapidesqui ont une vitesse supérieure à celle du fluide. Cette distinction n’est absolumentpas prise en compte dans les modèles hydrodynamiques du type Blast-wave. Leurscalculs montrent qu’il est possible de conclure assurément que certes, l’évolution dusystème est gouvernée par une expansion collective mais en aucun cas qu’unéquilibre local thermique quelconque soit atteint. Ollitrault souligne également quedans la dépendance du v 2 à l’énergie de collision, qu’il n’y a aucune indication desaturation de ce flot et partant, prédit que le flot au LHC n’en sera que plus important.6. Le régime « dur »Les propriétés originelles de la matière créée dans les collisions d'ions lourds sont enprincipe susceptibles d’être investiguées par des sondes qui sont présentes dès lespremiers instants de la réaction et qui sont également influencées par lescaractéristiques du milieu dans lequel elles évoluent. Les partons créés dans desprocessus durs lors des premiers instants de la collision remplissent ces conditions.L’un des principaux atouts de RHIC par rapport aux machines opérant à plus basseénergie réside dans le fait que les sondes dures du domaine où la QCD perturbative(pQCD) est applicable, sont produites à RHIC avec des taux supérieurs de plusieursordres de grandeur et sur un domaine cinématique significativement plus étendu[Gyu02].Se posant comme précurseur dans ce domaine encore, Bjorken se pencha sur laperte d’énergie des partons dans un milieu déconfiné [Bjo82] et parla d’extinction desjets, jet–extinction, dans les collisions hadron–hadron, selon les termes suivant :« This jet-extinction phenomenon is, however, sufficiently credible that experimentalefforts should be made to look for it. »6.1. Emprisonnement des jetsPour infirmer ou confirmer expérimentalement ce phénomène, un facteur demodification nucléaire est défini de manière à permettre une comparaison directe destaux de hadrons de haute impulsion transverse dans des collisions de naturedifférente.− Comparaison des taux de production dans des collisions d’ions lourds A–B avecles taux obtenus dans des collisions avec des noyaux plus élémentaires typeproton–proton : le facteur R AB où AB se rapporte aux collisions Au–Au ou d–Au,est défini comme :2d N/dηdpTRAB( pT) =2 ppTABd σ /dηdpTavec pour numérateur, le taux de production différentiel par événement dans lacollision A+B ; T AB = /σ pp inél. décrit la géométrie de la collision et permet des’affranchir d’effets géométriques triviaux (N bin est le nombre de collisions binaireset une section efficace inélastique σ pp inél.= 42 mb a été adoptée) ; le reste du287

dénominateur relatif aux collisions p–p inélastiques est déterminé par la sectionefficace différentielle p–p mesurée. En l’absence d’effets nucléaires, d’effetCronin ou de saturation de gluons, autrement dit si le phénomène évolue commele nombre de collisions binaires alors R AB = 1.− Comparaison des taux de production dans les collisions d’ions lourds les pluscentrales et avec les taux obtenus dans les collisions les plus périphériques : lefacteur R cp où C et P se rapportent aux collisions Au–Au Centrales etPériphériques respectivement, est défini de manière analogue au facteur R AB :( pT)R CP =centrales[( dN/dpT) N bin]périphériques[( dN dpT) NSi le phénomène évolue comme le nombre de collisions binaires, R CP = 1. Utiliserle R CP est une alternative intéressante car elle permet de définir une référenceautre que celle des collisions proton–proton : avec un seul jeu de données Au–Aude biais minimum, le facteur peut être mesuré et de plus, les erreurssystématiques du numérateur et du dénominateur se compensent et n’ont doncpas besoin d’être évaluées.Les quatre expériences du RHIC ont investigué, à rapidité centrale, les distributionsdu facteur de modification nucléaire R AB dans les collisions Au–Au et d–Aurelativement aux collisions proton–proton. Leurs analyses synthétisées sur la figure14 montrent de façon joliment complémentaire, la suppression de la production departicules lorsque p T > 2,5 – 3 GeV/c.Ce phénomène est en outre plus marqué dans le cas des particules neutresmesurées par PHENIX, ce qui n’est d’ailleurs toujours pas compris. La décroissancedes taux de production, lorsque l’impulsion transverse diminue de 2 GeV/c à 0, peuten revanche être attribuée aux effets d’ombrage ou shadowing : ces effets mis enévidence lors des expériences de diffusions profondément inélastiques, traduisent lefait que les fonctions de structure des partons sont modifiées lorsque le parton estdans un nucléon isolé ou dans un nucléon environné par les autres nucléonscomposant le noyau dont il fait partie. L’impulsion des nucléons est alors plus faibleque lorsque le nucléon n’est pas isolé.Dans les collisions d–Au, le facteur de modification nucléaire croît aux impulsionstransverses intermédiaires, phénomène attribué à l’effet Cronin [Ant79] : cet effettraduit le fait que lorsque le nucléon d’un noyau interagit avec les nucléons d’un autrenoyau, les collisions multiples élastiques dans l’état initial entre partons conduisent àune augmentation de l’impulsion transverse des partons telle que = p 2 0 +A 1/3 δp 2 T dans la région des impulsions transverses intermédiaires et à une diminutionaux faibles valeurs de p T . L’effet est plus rapide qu’une évolution de la sectionefficace en proton-Noyau linéaire avec le nombre de collisions binaires : dσ pA =dσ pp (Nbin) α où α = α(p T ). L’effet Cronin a été largement étudié dans les collisions p–A jusqu’à 800 GeV.288

Nuclear Modification Factor1.510.5d+Au (MB) η=0Au+Au (0-10%)1 2 3 4 5p T[GeV/c]Figure 14 : Facteurs de modification nucléaire R AB (p T ) pour les hadrons chargés et pions neutres descollisions Au–Au et d–Au à 200 GeV par rapport aux collisions p–p mesurés par : en haut à gauchePHENIX [Adl03bis], en haut à droite STAR [Ada03], en bas à gauche PHOBOS [Bac03] et en bas à droiteBRAHMS [Bac03]. Les bandes horizontales autour de l’unité indiquent les erreurs systématiques surl’évaluation du nombre de collisions binaires. Pour PHOBOS, le facteur est présenté dans le cas descollisions Au–Au pour la centralité 0–20% par la courbe bleue.Wang a ensuite prédit que dans le cas de collisions Noyau–Noyau, l’effet Cronindevrait être d’un facteur 2 dans les collisions Pb–Pb à l’énergie nominale du SPS[Wan98]. Dans un premier temps, WA98 a effectivement confirmé cette prédiction enregardant la production de pions neutres. Puis les analyses ont été reprises pard’Enterria [Ent04] remarquant que la paramétrisation utilisée pour les donnéesproton-proton n’était pas adaptée (une paramétrisation doit en effet être appliquéecar aucune donnée de référence en proton-proton n’existe dans le domained’énergie considéré). En changeant de paramétrisation donc pour les collisionsproton–proton, il montre que certes un effet Cronin subsiste mais beaucoup moinsprononcé suggérant l’existence d’un mécanisme atténuateur abaissantl’augmentation due à Cronin d’un R AA supérieur à deux unités à un R AA compatibleavec l’unité dans les collisions Pb–Pb. L’auteur conclue qu’il aurait été intéressant demontrer que le jet-quenching est déjà présent au SPS mais de manière modéréemais il aurait fallu pour cela disposer d’une mesure directe de la production des pions289

neutres dans les collisions proton-proton au SPS. Indépendamment de cesévolutions de comportement au SPS, l’augmentation du facteur de modificationnucléaire vue dans les collisions d–Au à RHIC est quant à elle attribuée à un effetCronin. Tout récemment, la Collaboration NA57 [Ant05] a présenté les facteurs demodification nucléaire des collisions Pb–Pb centrales rapportées aux collisionspériphériques à √s NN = 17,3 GeV pour les K 0 s, Λ, [Λ ainsi que les hadrons chargés.Pour les hypérons, les distributions du R cp sont similaires à celles obtenues auxénergies RHIC (nous le détaillerons plus tard) et ne peuvent être reproduites par descalculs n’incluant que des effets d’états initiaux. Les données sont en effet mieuxreproduites si une perte d’énergie des partons dans l’état final est incluse. Ainsidonc, les résultats du SPS que l’on croyait il y a quelques mois encore, dénués detoute information liée au jet-quenching semblent indiquer de plus en plus fortementqu’une perte d’énergie des partons dans un milieu dense est nécessaire pourexpliquer les données.Revenons à RHIC d’où est apparu le phénomène de jet-quenching. Indubitablement,le fait que quatre expériences, indépendantes, mettent en évidence le même effetdémontre que quelque chose de nouveau a été découvert à RHIC dans les collisionsAu–Au. « Nouveau » car effectivement, lorsque ce phénomène a été mis enévidence, aucune suppression n’avait pu être mise en évidence à l’énergie moindredu SPS, Cronin étant l’effet dominant. Le jet-quenching est apparu comme unedécouverte très excitante et j’ajoute sans intention de polémique, les commentairesde Gyulassy à ce propos [Gyu02]:« Cette découverte est peut-être plus excitante que celle de la suppression du J/ψde NA50 car cette suppression est aussi vue dans les collisions p–A et qualifiée desuppression normale dans la matière nucléaire froide par rapport à la suppressionanormale dans les collisions Noyau–Noyau, donc une même tendance maisd’amplitude différente. Dans le cas du jet-quenching, ce sont des tendancesradicalement opposées qui s’observent. »L’interprétation théorique du jet-quenching est en cours d’élaboration suscitant desdébats passionnés car les propositions des théoriciens sont relativement diverses.Pour des impulsions transverses au-delà de 2 GeV/c, les observables liées à lamesure des mésons 11 peuvent être traitées dans le cadre de la QCD perturbative[Gyu02, Bai00]. D’ailleurs, pQCD reproduit de manière satisfaisante la suppressionobservée expérimentalement lorsqu’elle tient compte de la perte d’énergie despartons [Vit02bis]. Les auteurs du modèle GLV [Gyu00, Vit02bis] préconisent que lavariation de la suppression en fonction du p T est un effet qui est loin d’être trivial, enparticulier sa constance pour les valeurs en p T les plus élevées à RHIC : ellerésulterait de la combinaison de plusieurs effets, la dépendance en p T descontributions de jets de gluons et de partons, la dépendance en p T de l’effet Cronin,les effets de shadowing ou encore EMC 12 qui modifient les fonctions de structure despartons. Les effets de shadowing et EMC traduisent la modification des fonctions de11 Pour des impulsions transverses en deçà de 5 GeV/c, les baryons ne peuvent être traités par pQCDet un bon nombre de développements théoriques sont en cours d’élaboration pour pallier cettedéficience comme ceux proposés par Fries, Greco, Kharzeev, Molnar, Vance, Vitev, etc.12 EMC est l’acronyme de la collaboration qui l’a découvert : European Muon Collaboration.290

structure des partons lorsque ceux-ci sont liés dans noyau, l’effet EMC se produisantà des x Bjorken plus élevés. Ils ont été mis en évidence lors des expériences dediffusions multiples de leptons et neutrinos-Noyau [Aub87].La comparaison des mesures du R AA des π 0 par PHENIX avec les calculs de GLV apermis d’estimer la densité gluonique initiale, dN g /dy = 1000 ± 200, soit une densitégluonique environ 50 fois supérieure à la densité gluonique dans la matièrenucléaire froide.Figure 15: Facteur de modification nucléaireprédit par GLV [Vit02bis] en fonction de p T auxénergies du SPS, de RHIC et du LHC (courbesen trait plein et pointillées) et comparé auxmesures de PHENIX et STAR pour les mésons(symboles).La figure 15 présente l’étude par GLV du R AA (p T ) en fonction de l’impulsiontransverse, aux énergies du SPS où l’effet Cronin domine, à RHIC où le rapport estaccidentellement constant et au LHC pour lequel les auteurs de GLV attendent unesuppression à une valeur en dessous de celle relative au nombre de participantsmais diminuant avec l’impulsion.Nous reviendrons sur le phénomène de jet-quenching dans le paragraphe 6.3. où estrésumée une alternative à la description de ce phénomène, alternative s’insérantdans le cadre de la physique de la saturation.6.2. RadiationLa mesure des photons thermiques est probablement le seul moyen pour collecterdes informations directes sur les propriétés thermodynamiques du système. Lesphénomènes de radiation électromagnétique (appelés photons réels et virtuels) ontlongtemps été considérés comme une sonde privilégiée du système dense et chaud[Shu78] puisque les photons ne sont pas perturbés par les interactions dans l’état291

final en raison de leur faible interaction avec le milieu. Les sources de photons sontnombreuses comme on peut le voir sur la figure 16.γdirectsp tProcessus durs(jets)γdécroissancesPhotons thermiques4π 0 , η, etc...Gaz de partons (QGP)1Gaz hadroniqueTemps(fm/c)O(1) O(10) O(10 7 )Figure 16 : Différentes sources de photons, schématisés dans le plan de l’impulsion transverse(exprimée en GeV/c) et du temps (ordres de grandeur exprimés en fm/c).Les photons directs, définis comme des photons réels n’étant pas issus de ladécroissance d’hadrons, sont émis à diverses étapes de la collision selon différentsprocessus :• des photons dits prompts (ou durs ou photons de pré-équilibre ou photonspQCD) sont émis par diffusion entre partons lors des premiers dixièmes defm/c de la collision.• des photons dits thermiques peuvent venir des milieux donc thermalisés quesont les phases partoniques et hadroniques de la collision. Ils se situent dansla région des relativement basses impulsions transverses et sont émisrelativement tôt au cours de la réaction (à des temps inférieurs à 10 fm/c).Auprès du SPS, la Collaboration WA98 a mesuré un excès de photons [Agg00]dans les collisions centrales Pb–Pb à l’énergie nominale du SPS, excès inexistantdans les collisions plus périphériques comme le montre la figure 17.292

Figure 17 : Production de photons mesurée parWA98 dans les collisions périphériques (en haut)et centrales (en bas) en fonction de l’impulsiontransverse [Agg00]. Les zones colorées indiquentles erreurs systématiques sur la dépendance enp T .Cependant, il est apparu très difficile de conclure à partir de ces résultats en raisonde l’incertitude importante sur la détermination des radiations venant des collisionspartoniques. L’absence de mesures de référence (de collisions proton-proton)empêche également toute évaluation quantitative de l’excès de photons dans lescollisions centrales. De plus, du point de vue théorique, la situation n’est pas plusclaire car les calculs QCD de type NLO (Next-to-Leading-Order) sous-estiment lessections efficaces différentielles nucléon-nucléon lorsque les énergies sontinférieures à √s NN = 30 GeV.La situation à RHIC est bien différente car non seulement les données sontaccessibles à la fois pour les collisions Au-Au et proton-proton mais aussi laréférence en proton-proton est bien comprise du point de vue théorique : les calculsNLO reproduisent les données de RHIC à haute impulsion transverse. Afind’améliorer la mesure de la production des photons directs aux faibles impulsionstransverses, PHENIX a utilisé une nouvelle technique d’analyses qui permetd’accéder aux photons directs par la détection des décroissances e + e - quiaccompagnent ces photons directs virtuels à très basse masse [Bat05]. Cela a puêtre possible grâce à l’excellente résolution en masse et à la faible probabilité deconversion de PHENIX. Cette méthode est basée sur l’hypothèse que toute sourcede photons réels et des photons réels directs en particulier, produit des photonsvirtuels avec une masse invariante très basse. Les taux de production des photonsdirects réels sont obtenus à partir des taux de photons directs virtuels avecl’hypothèse que γ*direct/ γ*incl. = γdirect/ γincl., les photons inclusifs étant mesurésdans le calorimètre de PHENIX.La figure 18 à gauche montre l’excès de photons γdirect/ γincl.+1 comparé aunouveau résultat préliminaire de l’analyse conventionnelle, mesure effectuée dansles collisions de 0 à 20% les plus centrales. Un excès significatif de photons estprésent au-delà des erreurs systématiques dans la région des p T comprises entre 1et 5 GeV/c. Sur la partie droite, les taux déduits sont représentés en fonction de293

l’impulsion transverse et comparés aux résultats trouvés précédemment (en 2002) etaux résultats obtenus par des calculs pQCD, par un modèle de photons thermiqueset par la combinaison des deux [Ent05]. Les taux expérimentaux sont bien au-dessusdes calculs de pQCD et deviennent compatibles avec les prédictions théoriques siles taux de photons thermiques sont pris en compte. D’autres modèles parviennent àreproduire les mesures et tous supposent une température maximale au centre de laboule de feu, de l’ordre de 500 – 600 MeV. En moyennant sur le volume entier, latempérature est de 300 – 400 MeV. Ces résultats constituent la première mesure dela température initiale de la matière produite à RHIC, si bien sûr il s’agissait vraimentde photons thermiques. Il faut cependant attendre les références en proton-proton oud-Au avant de pouvoir conclure définitivement.Figure 18 : Excès de photons (à gauche) et taux invariants de photons directs (à droite) enfonction de p T pour les collisions Au+Au centrales et pour deux techniques d’analysesdifférentes : la méthode conventionnelle (carrés) et la nouvelle méthode (cercles) basés surles photons virtuels.6.3. SaturationNous avons vu que le phénomène de jet-quenching peut trouver une explicationdans la perte d’énergie des partons dans ce milieu dense qu’est le plasma de quarkset de gluons. Les débats autours de la suppression à haut p T sont aujourd’hui encoretoujours passionnés en partie en raison de la proposition d’interprétation desthéoriciens travaillant sur la physique de la saturation ou encore, la physique duCGC, du condensat de verre de couleur. Pour une revue, nous conseillons laréférence [Ian03] et pour les développements récents sur les résultats du RHIC,[Jal04,Gyu04]. Dans cette dernière référence notamment, le CGC, venant d’unethéorie effective de la QCD pour les hautes énergies (pour les petits x), est défini parGyulassy et McLerran comme un système faiblement couplé, de type condensat enraison de la très forte concentration voire saturation de gluons, de couleur car lesgluons (entités majoritaires à haute énergie) qui le composent sont colorés, de verre294

car ses propriétés rappellent celles du verre évoluant lentement avec le temps. LeCGC fournirait les conditions initiales pour la formation du plasma de quarks et degluons.L’idée est en effet qu’après l’impact des deux noyaux, lorsque l’on regarde unnucléon (un proton) à des énergies de plus en plus grandes, les gluons, trèsnombreux, subissent des fluctuations et les seuls possibles à ce moment là, sont lesfluctuations 1g → 2g qui accroissent encore le nombre de gluons. Puis les gluonssont si nombreux dans le nucléon qu’interviennent des processus du type 1g → 1g,processus par ailleurs négligeables à basse énergie et n’existant qu’aux densitésélevées. Mais la densité de gluons n’augmente pas aussi vite que l’énergie croît etc’est là où se produit la saturation. Peu de temps après la collision (vers 0,1 – 0,2fm/c), le système comprend donc beaucoup de gluons, donc dispose d’une grandequantité d’énergie sous forme de gluons. Puis, les quarks apparaissent alors, seformant par des processus g → q + [g et cette matière qui prend forme jusqu’à cequ’elle existe au moment de la thermalisation, est ce que l’on appelle le QGP. Uneterminologie nouvelle a été adoptée : les effets d’état initial sont relatifs au CGCtandis que les effets d’état final se réfèrent au QGP.Figure 19 : Facteur de modificationnucléaire d–Au en fonction del’impulsion transverse et mesurédans quatre domaines de rapiditédifférents, η = 0 (en haut à gauche),η = 1 (en haut à droite), η = 2,2 (enbas à gauche) η = 3,2 (en bas àdroite). Les prédictions du modèle desaturation sont représentées par lescourbes en trait plein.A rapidité centrale et haute impulsion transverse, la physique des collisions Noyau–Noyau est dominée par les interactions d’état final entre les partons créés, ce qui estconfirmé par l’absence de suppression dans les collisions d–Au à rapidité centraleégalement. Afin de s’affranchir de la dominance des effets d’état final, les théoriciensdu CGC ont clamé que pour observer sa manifestation, les meilleures conditions sontoffertes dans la région des rapidités élevées, qui plus est, dans les collisions proton–Noyau, soit d–Au à RHIC. L’argumentaire est basé sur le fait que ce domainecorrespondant aux plus petits x possibles, est quasi-dénué d’interactions d’état finalpuisque aucun QGP n’y est attendu. Par conséquent, c’est ici que la manifestation295

du CGC est attendue la plus spectaculaire. La Collaboration BRAHMS aeffectivement montré que ses mesures du facteur de modification nucléaire dans lescollisions d–Au, pour différentes valeurs de pseudo-rapidité [Ars04] étaientreproduites qualitativement par les prédictions du CGC [Kha04] : une suppression àhaut p T est observée dès que η = 1 et est d’autant plus marquée que la rapiditéaugmente permettant ainsi de penser, qu’ici, elle serait due à l’existence du CGC.Cette analyse de la Collaboration BRAHMS est résumée sur la figure 19.Le succès des modèles de saturation ne se résume pas à cet accord avec lesmesures du facteur de modification nucléaire. Les distributions de multiplicité sontégalement reproduites remarquablement comme l’a démontré la CollaborationPHOBOS [Bac02b].Toutefois, a ce jour, aucune conclusion ne peut être extraite de façon définitive. Ils’agit de faits expérimentaux et théoriques nouveaux et extrêmement surprenantsdemandant une investigation encore poussée car n’oublions pas que leurcompréhension n’est basée que sur les prédictions de théories loin d’êtreconsensuelles et loin d’être restreintes aux développements que nous avons décrits.7. RHIC en trois actions7.1. Ce qu’il reste à faireRHIC continue de produire des collisions avec maintenant des énergies et dessystèmes autres que ceux mis en œuvre jusqu’à présent. La prise de données hiverprintemps2005 concernait en effet les collisions Cu–Cu à √s NN = 62,8 GeV et 200GeV, donc un système intermédiaire entre les collisions d–Au et Au–Au offrant ainsides possibilités d’études systématiques en fonction de taille du système. Les prisesde données des années prochaines ne sont pas toutes encore décidées mais RHICcontinuera son programme ions lourds jusqu’en 2008.Il est apparu de façon remarquablement évidente que les collisions d’ions lourdsnécessitent aujourd’hui encore un patchwork de modèles théoriques pour décrire lesphénomènes observés. Certes, il existe des domaines d’applicabilité des diversmodèles qui impliquent donc des descriptions théoriques appropriées. Par exemple,le domaine des faibles impulsions transverses pourra éventuellement êtreappréhendé par une description hydrodynamique ce qui est conceptuellement exclusi le domaine des hautes impulsions est considéré.Cependant, si l’on prend un exemple que je trouve particulièrement illustratif, celui dela distribution du facteur de forme nucléaire comparant les distributions centrales etpériphériques, l’interprétation qui en est faite est la suivante : aux faibles impulsionstransverses, l’hydrodynamique est invoquée, on parle de dépendance en masse,d’augmentation avec l’impulsion notamment ; aux impulsions transversesintermédiaires, les modèles de coalescence de quarks sont utilisés et on parle dedépendance méson/baryon, d’évolution proportionnelle au nombre de constituants,notamment ; enfin, aux plus fortes valeurs d’impulsion transverse, ce sont lesmodèles mettant en jeu des processus durs qui sont alors considérés, ceux baséssur la fragmentation des jets, prenant en compte des effets de perte d’énergie despartons dans le milieu, notamment. Ce constat conduit tout de même à un certainscepticisme vis-à-vis des approches théoriques : la description du comportement296

d’une seule observable nécessite un recours à trois modèles vraiment différents depar leurs fondements. Il n’existe aujourd’hui aucun modèle permettant d’interpréterles données dans leur ensemble. J’ai pris ici l’exemple d’une observable« découpée » en tranche pour son interprétation. Il y a également les cas où unmodèle peut décrire une observable donnée mais est totalement incapable d’endécrire une autre.On a également pu constater la multiplication des différentes approches statistiques,d’ailleurs, pas si différentes que cela les unes des autres. On peut se demander si laclé n’est pas plutôt de tenter de converger vers une approche unique. C’est en outrela démarche adoptée par les développeurs de Share, modèle statistique unifiant uncertain nombre d’approches statistiques antérieures. Les démarches égalementprometteuses sont celles cherchant à comprendre en priorité les phénomènes descollisions élémentaires avant de « s’attaquer » à la complexité des collisions d’ionslourds. Au plan théorique, il reste encore beaucoup à faire et sans ôter le moindreintérêt aux données du RHIC, les théoriciens attendent patiemment les données duLHC qui seront décryptées par ALICE car la densité nette baryonique atteinte dansles collisions d'ions lourds à l’énergie nominale sera nulle, correspondant à celle del’Univers primordial d’une part, mais aussi et surtout, permettant des développementsthéoriques plus simples. Il faudra également compter avec le cadre théorique duColor Glass Condensate. Au RHIC, il a été remarquable, tant par sa faculté à prédireou reproduire certains phénomènes, que par les concepts inhabituels et fascinantsqu’il véhicule. Certains voient déjà en LHC une usine à Color Glass Condensate.7.2. Ce qui ne sera pas fait… en FranceQuelle va être l’évolution des communautés de physiciens travaillant dans laphysique des ions lourds ultra-relativistes ?Aux Etats-Unis, plus particulièrement à Brookhaven, des physiciens du RHIC ontdéposé en février 2003 un papier blanc quant aux projets RHIC-II et eRHIC. Cedernier est dévolu à la construction d’une machine à électron de 10 GeV pourréaliser des collisions électrons-ions lourds. RHIC-II quant à lui a pour objectifd’augmenter la luminosité de l’actuelle machine d’un facteur 10 afin de répondre auxquestions suivantes :− Quelles sont exactement les propriétés du sQGP, ce plasma de quarks et degluons soumis à de si fortes interactions ? Serait-il possible d’en créer un, àRHIC, qui interagirait plus faiblement ?− Comment les particules acquièrent-elles leur masse et quel est l’effet de larestauration de la symétrie chirale sur le phénomène d’hadronisation dans unmilieu dense ?− Existe-t-il une autre phase de matière aux petits x-Bjorken, ou en d’autres termes,le CGC existe-t-il ? S’il est effectivement présent, quelles sont sescaractéristiques et comment évolue-t-il dans un plasma de quarks et de gluons. Sinon, les fonctions de distribution des partons aux petits x sont-elles biencomprises et peuvent-elles décrire la production de particules ?− Quelles sont les structures et les dynamiques en jeu au sein d’un proton,notamment le spin des partons et leur moment angulaire orbital ? Quelles sont les297

contributions des gluons à la polarisation des protons ? Quelle est la dépendanceen saveur ?Ainsi donc la communauté, principalement américaine, du RHIC s’apprête à setourner vers ce programme dont la R&D, si financée par le DoE, démarre en 2007pour permettre des prises de données physiques dès 2013.Le chemin suivi par la communauté française est tout autre. L’implication desphysiciens sur STAR se terminera en 2007, disons au démarrage du LHC. Lamajorité des physiciens des ions lourds ultra-relativistes s’est en effet impliquée dansl’expérience ALICE. Avec l’expérience qu’ils ont acquise au RHIC, ils ont pu sediversifier dans plusieurs thèmes de physiques : la physique douce (avec l’étude enparticulier de la production de particules étranges), la physique des quarkonia(résonances lourdes, charme et beauté ouvertes) et enfin la physique dure, celle deshautes impulsions transverses, de la production de jets, des photons. Les questionsdes futurs analyseurs de données d’ALICE sont aujourd’hui bien semblables à cellesque se posent les physiciens du RHIC.7.3. Ce qui a été faitSi la synthèse proposée ici est correcte, la présentation des résultats doit permettred’entrevoir la création d’une matière atypique aux énergies RHIC : descomportements ont en effet été mis en évidence pour la première fois, des processusdurs sont révélés abondants et hautement influents, des conditions d’équilibresemblent se dessiner.Alors … « Y sommes-nous ? »…Traduction du « Are we there yet ? » qui a titré leWhite Paper de STAR lorsqu’il n’était accessible que par les membres de notrecollaboration avant sa publication donc, et son titre actuel et définitif plus solennel :«Experimental and Theoretical Challenges in the Search for the Quark GluonPlasma: The STAR Collaboration’s Critical Assessment of the Evidence from RHICCollisions. »Lors de la lecture d’une version préliminaire de ce papier, un physicien externe à lacollaboration posait la question originelle autrement :« How can you possibly not be there yet, when you already arrived at yourdestination several years ago? »Bien que cela ne soit certainement pas la manière la plus élégante de référencer lesrésultats du SPS, cette remarque n’est pas totalement dénuée de bon sens.Nombreux sont les théoriciens et expérimentateurs qui avouent comprendre lesrésultats du SPS bien mieux aujourd’hui qu’il y a cinq ans et ceci, au travers del’interprétation des résultats du RHIC. Reprenons à présent les points qui pourraientpermettre de dessiner une conclusion quant à la formation du plasma de quarks etde gluons :− La densité d’énergie à RHIC est supérieure à celle prédite pour qu’ait lieu lepassage d’un gaz hadronique à un plasma de quarks et de gluons. Etait-ce déjàle cas au SPS ? La réponse est Oui.− La production de particules semble être réalisée à partir d’un système enéquilibre chimique et les spectres en impulsion transverse sont compatibles298

avec ceux produits par une source en équilibre thermique animée d’uneexpansion avec une vitesse collective (scénario type hydrodynamique). Etait-cedéjà le cas au SPS ? La réponse est Oui.− Le flot elliptique à RHIC est important en raison des fortes interactions dans lemilieu dense et la limite hydrodynamique est atteinte dans les collisions d’ionslourds les plus centrales avec un temps de thermalisation très court, de l’ordrede 1 fm/c. Il est apparu également que le coefficient de viscosité que l’on peutassocié à cette matière est très faible. La matière de RHIC serait un fluidequasiment parfait. Etait-ce le cas au SPS ? La réponse est Non. Le flot elliptiqueplus faible ne peut être reproduit par des descriptions hydrodynamiques qu’auxprix d’hypothèses non réalistes.− La dépendance au type de particules, méson ou baryon, est mise en évidencesur les observables liées au flot elliptique et au facteur de forme nucléaire. Elleest prédite par les modèles décrivant la formation des hadrons par coalescencede quarks dans un milieu dense et thermalisé. Etait-ce le cas déjà au SPS ? Laréponse est Non.− La forte suppression de la production de particules est observée à RHIC à hauteimpulsion transverse et à rapidité centrale dans les collisions centrales Au–Au etelle est compatible avec la perte d’énergie des partons dans un milieu dense.Etait-ce déjà le cas au SPS ? La réponse est plutôt Non (même si cela semble deplus en plus probable qu’une perte d’énergie dans le milieu substantielle existait,des confirmations sont encore nécessaires).Alors ? Alors, les expérimentateurs sont aujourd’hui encore très prudents, d’aucun neconcluant définitivement quant à la formation du plasma de quarks et de gluons maispréférant certifier la formation d’une matière très dense, à RHIC, avec de fortesinteractions, une matière qui n’a jamais été décelée auparavant, sur Terre ou dansl’espace. Les évaluations critiques des quatre expériences du RHIC sont consignésdans leurs papiers blancs [Whi05]. Les théoriciens se sont avérés beaucoup plusconcluants comme le montre l’entête de l’article de Gyulassy reproduit ci-dessous etsur lequel je conclue ce cours.299

8. Références bibliographiques[Abr00] M. Abreu et al., Collaboration NA50, Phys. Lett. B477 (2000) 28.[Ada03] J. Adams et al., Collaboration STAR, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 072304.[Adc01] K. Adcox et al., Collaboration PHENIX, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 52301.[Adc02] K. Adcox et al., Collaboration PHENIX, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 242301.[Adl03] S. Adler et al., Collaboration PHENIX, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 172301.[Adl03bis] S.S. Adler et al., Collaboration PHENIX, Phys. Rev. Lett. 91 (2003)72303.[Agg00] M.M Aggarwal et al., Collaboration WA98, Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 3595.[Ahl00] L. Ahle et al., Collaboration E866, Phys. Lett. B490 (2000) 53.[Aic05] J. Aichelin, communication privée, en cours de rédaction.[Ant04] T. Anticic et al., Collaboration NA49, Phys. Rev C69 (2004) 024902.[Ant79] D. Antreasyan, et al., Phys. Rev. D19 (1979) 764.[Ant05] F. Antinori et al., Collaboration NA57, nucl-ex/0507012.[Ars03] I. Arsene et al., Collaboration BRAHMS, Phys. Rev. Lett. 91 (2003)072305.[Ars04] I. Arsene et al., Collaboration BRAHMS, Phys.Rev.Lett. 93 (2004)242303.[Aub87] J.J. Aubert et al., Collaboration EMC, Nucl. Phys. B293 (1987) 740.[Bac00] B. Back et al., Collaboration PHOBOS, Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 3100.[Bac02] B. Back et al., Collaboration E917 Phys. Rev. C66 (2002) 054901.[Bac02b] B. Back et al., Collaboration PHOBOS Phys. Rev. C65 (2002) 061901R.[Bac03] B. Back et al., Collaboration PHOBOS, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 072302.[Bac04] B. Back et al., Collaboration PHOBOS, Phys. Rev. C70 (2004) 021902R.[Bai00] R. Baier et al., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 50 (2000) 37.[Bat05] S. Bathe et al., Collaboration PHENIX, nucl-ex/0511042.[Bas99] S. Bass et al., Nucl. Phys. A661 (1999) 205.[Bea03] I. Bearden et al., Collaboration BRAHMS, Nucl. Phys. A715 (2003) 171c.[Bjo83] J. Bjorken, Phys. Rev. D27 (1983) 140.[Ble02] M. Bleicher et al., Phys. Lett. B530 (2002) 81.[Bor01] N. Borghini et al., Phys. Rev. C64 (2001) 054901.[Bor05] N. Borghini et al., nucl-th/0506045.[Bra04] P. Braun-Munzinger et al., Phys. Lett. B596 (2004) 61.[Bro01] W. Broniowski et al., Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 272302.[Bue05] H. Bueching, et al., Collaboration PHENIX, nucl-ex/0511044.[Cai05] H. Caines et al., Collaboration STAR, J. Phys.G. : Nucl. Part. Phys. 31 (2005)S1057.[Col75] J. Collins et al., Phys. Rev. Lett. 34 (1975) 1353.[Ent04] D. d’Enterria , Phys. Lett. B596 (2004) 32.[Ent05] D. d’Enterria et al., nucl-th/0503054.[Est05] M. Estienne, Thèse de l’Université de Nantes, 2005.[Fri04] V. Friese et al., Collaboration NA49, J. Phys. G. : Nucl. Part. Phys. 30 (2004)S119.[Gre03] V. Greco et al., Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 202302.300

[Gre04] V. Greco et al., nucl-th/0405040.[Gus84] H.A. Gustafsson et al., Plastic Ball Coll., Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 1590.[Gyu00] M. Gyulassy et al., Nucl. Phys. B571 (2000)197.[Gyu02] M. Gyulassy, Lect. Notes Phys. 583 (2002) 37.[Huo01] P. Huovinen et al., Phys. Lett. B503 (2001) 58.[Ian03] E. Iancu et R. Venugopalan, paru dans QGP3, Eds. R.C. Hwa etX.N.Wang, World Scientific. Dans Hwa, R.C. (ed.) et al.: Quark gluon plasma*249-3363. hep-ph/0303204.[Jal04] J. Jalilian-Marian, J. Phys. G : Nucl. Part. Phys. 30 (2004) S751.[Kan02] M. Kaneta et al., Nucl. Phys. A698 (2002) 306c.[Kar02] F. Karsch, Nucl. Phys. A698 (2002) 199.[Kha01] D. Kharzeev et al., Phys. Lett. B507 (2001)121.[Kha04] D. Kharzeev et al., Nucl. Phys. A730 (2004) 448.[Kla03] J. Klay et al., Collaboration E895, Phys. Rev. C68 (2003) 054905.[Mar95] S. Margetis et al., Collaboration NA49, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 3814.[Non04] C. Nonaka et al., Phys. Rev. Lett. B583 (2004) 73.[NPA03] Numéro spécial de Nuclear Physics A 757 présentant les résultats desquatre expériences sur les trois premières années de fonctionnement de RHIC.[Pos98] A.M. Poskanzer et al., Phys. Rev. C58 (1998) 1671.[Oll92] J.Y. Ollitrault, Phys. Rev. D46 (1992) 229.[Rei97] W. Reisdorf et al., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 47 (1997) 663.[Sat92] H. Satz, Nucl. Phys. A544 (1992) 371c–392c.[Sch93] ] E. Schnedermann et al., Phys. Rev. C48 (1993) 2462.[Shu78] E. Shuryak, Phys. Lett. B78 (1978) 150.[Shu80] E. Shuryak, Phys. Rep. 61 (1980) 71.[Sor99] H. Sorge, Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 2048.[Sta05] Star White Paper, Nucl. Phys. A757 (2005) 102.[Sto04] R. Stock, J. Phys. G30 (2004) S633-S648.[Top04] V. Topor Pop, et al., Phys. Rev. C70 (2004) 064906.[Ull03] T. Ullrich et al., Collaboration STAR, Nucl. Phys. A715 (2003) 399c.[Vit02] I. Vitev et al., Phys. Rev. C 65 (2002) 041902.[Vit02bis] I. Vitev et M. Gyulassy, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 252301.[Wan98] X. Wang, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 2655.[Web] Pour BRAHMS: http://www4.rcf.bnl.gov/brahms/WWW/Pour PHENIX: http://www.phenix.bnl.gov/Pour PHOBOS: http://www.bnl.gov/rhic/PHOBOS.htmPour STAR: http://www.star.bnl.gov/[Whi05] Brahms White Paper, Nucl. Phys. A757 (2005)1.Phobos White Paper, Nucl. Phys. A757 (2005) 28.Phenix White Paper, Nucl. Phys. A757 (2005) 184.Star White Paper, Nucl. Phys. A757 (2005) 102.301

L’ETUDE DU QGPAU LHCPascal DupieuxLaboratoire de Physique Corpusculaire de Clermont-Ferrand,IN2P3/CNRS et Université Blaise Pascal de Clermont-Fd,63177 Aubière cedex, FranceRésumé : Le LHC (Large Hadron Collider), dont les premiers faisceaux sont programméspour l’été 2007, offrira la possibilité de faire collisionner des protons et des ions lourds à desénergies de plusieurs TeV par nucléon, avec une luminosité très importante. La densitéd’énergie atteinte en collisions d’ions lourds est si importante que, selon les prédictions de lathéorie QCD (Quantum Chromo-Dynamics) des interactions fortes, la matière nucléairepassera par la phase de QGP (Plasma de Quarks et Gluons), dans laquelle le système sedécline en terme de partons déconfinés (dans un grand volume). Ainsi, la question au LHCn’est pas tant de mettre en évidence le QGP, mais plutôt d’étudier ses propriétés et sonhadronisation. Les détecteurs en cours de réalisation et d’installation, notamment ALICE,ATLAS et CMS, permettront de faire ces études. Après quelques aspects généraux,notamment sur les faisceaux, les performances des détecteurs et une sélection de thèmes dephysique en ions lourds au LHC seront présentées dans ce cours.Summary: The first LHC (Large Hadron Collider) beams are scheduled for summer 2007. Itwill open the possibility to collide protons and heavy ions at energies of a few TeV, with avery high luminosity. The energy density reached in heavy ion collisions at LHC is so hugethat, according to the predictions of the QCD (Quantum Chromo-Dynamics) theory of stronginteractions, nuclear matter will go through a QGP (Quark Gluon Plasma) phase, a state ofdeconfined partons (in a large volume). Hence, the question at LHC is not actually to303

evidence the QGP but rather to study its properties and hadronisation. The detectors, ALICE,ATLAS and CMS, which are presently assembled, will open the possibility to perform suchstudies. After few general aspects mainly about beam specifications, the detectorperformances and selected topics of heavy ion physics at LHC will be presented in thislecture.1 INTRODUCTION ................................................................................................. 3052 ASPECTS GENERAUX AU LHC....................................................................... 3062.1 LES FAISCEAUX............................................................................................................. 3062.2 ASPECTS « NOUVEAUX » AU LHC (VS. SPS/RHIC)...................................................... 3083 LES DETECTEURS DU LHC............................................................................. 3103.1 ALICE.......................................................................................................................... 3103.1.1 Résolution (ALICE Barrel) en p T .......................................................................... 3123.1.2 Efficacité (ALICE Barrel) ..................................................................................... 3123.1.3 Vertex primaire et secondaires ............................................................................. 3133.1.4 Performances sur la mesure des dimuons............................................................. 3133.2 ATLAS ET CMS........................................................................................................... 3143.2.1 Le calcul au LHC .................................................................................................. 3154 THEMES DE PHYSIQUE ET OBSERVABLES ASSOCIEES ....................... 3164.1 PHYSIQUE « SOFT » (DOUCE) ......................................................................................... 3164.1.1 Multiplicité : des collisions p-p àux collisions A-A .............................................. 3164.1.2 Multiplicité : dépendence en énergie incidente .................................................... 3174.1.3 Multiplicité : mesures et performances................................................................. 3184.1.4 physique « soft »: conclusion ................................................................................ 3194.2 PHYSIQUE « HARD » (DURE) .......................................................................................... 3204.2.1 Les saveurs lourdes ouvertes ................................................................................ 3204.2.2 Les quarkonia des familles du J/ψ et ϒ................................................................. 3254.2.3 Les jets................................................................................................................... 3284.2.4 Autres thèmes de physique « hard »...................................................................... 3305 CONCLUSION...................................................................................................... 330REFERENCES ......................................................................................................... 330304

1 INTRODUCTIONLe LHC (Large Hadron Collider) du CERN, qui devrait délivrer ces premiers faisceauxdès l’été 2007, offrira la possibilité d’étudier les collisions p-p, p-A et A-A, à des énergies deplusieurs TeV par nucléon, avec une luminosité très importante. La densité d’énergie atteinteen collisions d’ions lourds est si importante que la matière nucléaire passera par la phase deQGP (Plasma de Quarks et Gluons), dans laquelle le système se décline en terme de partonsdéconfinés (dans un grand volume). Ceci est illustré sur la Figure 1, obtenue à partir decalculs QCD (Quantum Chromo-Dynamics) sur réseau [1]. On remarque que lestempératures atteintes dans les collisions d’ions lourds au LHC excèdent très nettement latempérature critique T C au-delà de laquelle le QGP est formé. La limite des gaz parfaits deStefan-Boltzmann ε SB n’est cependant pas encore atteinte.Figure 1: Equation d’état de la matière nucléaire dans le plan température – densité d’énergie.A partir de calculs QCD sur réseau [1].Ainsi, sur le plan théorique, ces études contribueront à repousser les limites de notrecompréhension des processus d’équilibration et des états d’équilibre de QCD.Les conditions expérimentales, types et caractéristiques des faisceaux notamment,sont présentées dans la section 2. Certains aspects « nouveaux » de la physique des ionslourds au LHC sont introduits dans cette même section.305

La communauté des ions lourds s’est dotée d’un détecteur, ALICE, spécialementconçu pour couvrir tous les aspects de cette Physique. Des études de quelques pointsspécifiques sont aussi envisagées par les collaborations ATLAS et CMS, les détecteurscorrespondant ayant été optimisés pour la physique des collisions p-p à très hauteluminosité. Ces différents détecteurs sont décrits succinctement dans la section 3 et leursperformances principales sont résumées.Dans la section 4, une sélection de thèmes de physique, et leurs observablesassociées, est traitée. Je me restreindrai à la description de ceux qui sont orientés versl’étude du QGP et qui sont les plus spécifiques des collisions d’ions lourds au LHC, même sice choix procède évidemment d’un certain arbitraire. Les données expérimentales n’étantpas encore disponibles (!), je m’appuierai sur des prédictions de modèles théoriques ou desextrapolations faites à partir de mesures existantes. Le but est essentiellement d’évaluer lesperformances et la sensibilité des détecteurs vis-à-vis de scénarii supposés être réalistes, ouqui sont pris volontairement conservatifs. Dans la plupart des cas aussi, il faut s’appuyer surles prédictions/mesures en p-p (p-A) car la mise en évidence de phénomènes nouveaux,propres aux collisions A-A, se dévoile presque toujours indirectement, par une absence de loid’échelle (« scaling ») par rapport à p-p (p-A).2 ASPECTS GENERAUX AU LHC2.1 LES FAISCEAUXLes premières collisions de protons du LHC sont prévues pour l’été 2007. Il s’agira decollisions p-p; les ions lourds ne seront disponibles qu’à plus long terme. Les caractéristiquesprincipales des collisions p-p et Pb-Pb sont données dans le Tableau 1 (extrait de [2]).Système√s NN(TeV)f bunch(MHz)L0(cm -2 s -1 )/L0(%)Run time(s/an)σ geo(barn)p-p 14.0 40 10 34 10 7 0.07f coll(Hz)Pb-Pb 5.5 10 10 27 ~50 10 6 7.7 4000Tableau 1: Quelques caractéristiques pour les collisions p-p et Pb-Pb au LHC.306

L’énergie par nucléon dans le centre de masse √s NN est respectivement de 14 TeV et5.5 TeV pour p-p et Pb-Pb, avec des fréquences de croisement de faisceau f bunch de 40 MHz(25 ns) et 10 MHz (100 ns).La luminosité maximale L0 atteindra 10 34 cm -2 s -1 , en p-p, après quelques annéesd’exploitation: elle sera cependant volontairement limitée entre 10 29 cm -2 s -1 et 5.10 30 cm -2 s -1dans ALICE. En Pb-Pb, la luminosité maximale sera de 10 27 cm -2 s -1 , et sa valeur moyenne sera de l’ordre de 50% de L0, selon le nombre d’expériences fonctionnant en parallèle.Les temps de prises de données en collisions d’ions seront de l’ordre de un mois par an (10 6s, en incluant un facteur de « réalité ») et de plusieurs mois par an en p-p. Ceci correspondà une luminosité intégrée de 0.5 nb -1 /an en Pb-Pb. Finalement, compte tenu des sectionsefficaces géométriques, le nombre moyen de collisions par seconde sera de 4000 Hz en Pb-Pb et sera limité à ~0.2 MHz en p-p dans ALICE.Le programme de prises de données sera complété par des mesures en collisionsp(d)-A et avec des ions plus légers comme Ar-Ar. Des mesures en p-p à d’autres énergiesincidentes sont aussi envisagées.Faire varier le type d’ions en collision permet de sonder une gamme assez large endensité d’énergie atteinte, comme le montre la Figure 2.Figure 2: Densité d’énergie ε-Bjorken atteinte en fonction du système en collision [2]. Le haut de la bande enénergie correspond aux collisions centrales, le bas correspond aux collisions « minimum bias ».suivante :La densité d’énergie ε-Bjorken (en MeV/fm 3 ) est évaluée au moyen de la relation−2 / 3ε = 160 A dNCH/ dy Eq. 1307

apiditéavec, pour les collisions centrales, une multiplicité de particules chargées par unité dedN CH / dy (à y ~0) de 6000, 1200 et 6.5 respectivement pour Pb-Pb (A=208), Ar-Ar(A=40) et p-p (A=1). Le calcul de ε-Bjorken dans Eq. 1 est implicitement effectué à untemps τ=1 fm/c après la collision initiale. Comme nous le verrons dans la section suivante, laformation du QGP pourrait être beaucoup plus rapide à LHC, ce qui implique des densitésd’énergie atteintes qui seraient très supérieures à celles présentées Figure 2.2.2 ASPECTS « NOUVEAUX » AU LHC (VS. SPS/RHIC)Un saut en énergie d’un facteur 30 (300) sera effectué avec le LHC, par rapport au RHIC(SPS). Ce saut est quantitatif mais aussi qualitatif. Ceci est résumé dans le Tableau 2(adapté de [3]) qui donne quelques chiffres types et aspects spécifiques pour les collisionscentrales Pb-Pb (ou Au-Au) au SPS/RHIC/LHC. Ces chiffres montrent de manière évidenteque l’environnement des collisions d’ions lourds au LHC est idéal pour l’étude du QGP.Collisions centrales Pb-Pb (ou Au-Au) SPS RHIC LHC√s NN (GeV) 17 200 5500dN CH / dy (à y ~0) 400 850 2000-8000τ 0 (fm/c) : formation du QGP ~1 ~0.2 ~0.1T/T C à τ 0 QGP : T C température critique 1.1 1.9 3-4.2ε (à 1 fm/c) (GeV/fm 3 ) 3 5 16-64τ QGP (fm/c) : durée de vie du QGP ≤2 2-4 ≥10V f (fm 3 ) : volume au freeze-out few 10 3 few 10 4 few 10 5τ f (fm/c) : temps de freeze-out ~10 ~20-30 ~30-40Type dominant de processussoft → semi-hard → hardbaryon rich → baryon freeTableau 2: Comparatif SPS/RHIC/LHC (adapté de [3]).308

La production de particules sera déterminée par les distributions initiales de partons(PDF, « Parton Distribution Function ») et leur modification dans le milieu à haute densité(quasi-saturée à LHC) de gluons. Des valeurs de x-Bjorken=10 -5 (x-Bjorken représente lafraction de l’impulsion du nucléon portée par un parton), très inférieures à celles atteintes àRHIC, seront accessibles, pour lesquelles un fort phénomène d’écrantage (« shadowing ») degluons est attendu. La Figure 3 montre, à titre d’illustration, un exemple de PDF [4]. Lesgluons sont dominants au LHC à petit x-Bjorken. Ainsi, la dynamique des partonsdéterminera la phase d’expansion et les effets collectifs observables sur les distributionsfinales de hadrons.Figure 3: Exemple de PDF dans le proton, pour laparamétrisation CTEQ-4L à Q²=5 GeV².Les processus durs (« hard ») vont contribuer de manière très sensible à la sectionefficace A-A (98 % au LHC contre 50 % à RHIC [5]). Ainsi, les taux de production dessondes dures (quarks lourds, photons directs, jets), créées aux tous premiers instants de lacollision, deviennent importants. De nouvelles analyses dans le domaine de la physique duresont ainsi envisageables et de nouvelles observables sont accessibles au LHC. Autreavantage notable, ces processus sont calculables par QCD perturbative.Finalement, il ne faut pas sous-estimer le fait que l’histoire de la physique a montréqu’un tel saut en énergie présente un réel potentiel de découverte.309

3 LES DETECTEURS DU LHCLes détecteurs ALICE, ATLAS et CMS proposent des mesures en ions lourds au LHC.Les signaux à mesurer et les informations apportées sont, classés dans un ordre temporelcroissant (et, de fait, dans l’ordre croissant de p T ou « dureté ») :• phase initiale de la collision : photons directs, saveurs lourdes et jets,essentiellement pour des tests de QCD perturbative ;• phase de déconfinement : photons thermiques, saveurs lourdes et jetsquenching, pour des mesures des propriétés du QGP ;• phase d’hadronisation : fluctuations événement/événement, dileptons debasse masse, particules exotiques ;• phase de freeze-out : multiplicité, taux de particules, spectres de particules,flow, HBT, en tant qu’indicateurs des conditions thermiques et chimiques, etde l’évolution dynamique du système.Contrairement à ATLAS et CMS, ALICE est équipé pour mesurer l’ensemble de cessignaux et leurs corrélations. Nous allons passer rapidement en revue les performances deces trois détecteurs.chargées3.1 ALICEL’expérience ALICE [2], Figure 4, est conçue pour une multiplicité de particulesdN CH / dy =8000 (à y ~0).La partie centrale (ou « Barrel »), dans l’aimant solénoïdal L3, se composeessentiellement des sous-détecteurs ITS (Internal Tracking System, composé de six couchesde détecteurs Silicium), TPC (Time Projective Chamber, le cœur du détecteur), TOF (Time OfFlight, composé de RPCs multi-gaps), et TRD (Transition Radiation Detector). Ces grandsdétecteurs assurent l’identification des hadrons et électrons à l’intérieur d’une acceptanceη < 0.9 , approximativement.310

Figure 4: Schéma de l’expérience ALICE.Ils sont complétés par d’autres ensembles de détection ayant des tâches plusspécifiques comme la mesure des multiplicités de chargées et de photons, de la centralité oudes grandes impulsions (HMPID). ALICE est aussi équipé du spectromètre PHOS, pour lamesure des photons, qui sera complété à terme par un grand calorimètre électromagnétique,EMCAL.Finalement, aux petits angles 2.5

3.1.1 RESOLUTION (ALICE BARREL) EN P TFigure 6: Résolution en p T (ALICE Barrel), à bas p T (gauche) et haut p T (droite).La résolution en impulsion transverse p T dans la partie centrale (Barrel) de ALICE [6]est présentée Figure 6, pour les bas p T à gauche et les hauts p T à droite, en utilisant soit lesinformations de ITS+TPC, soit ITS+TPC+TRD. Les performances sont excellentes sur tout ledomaine en p T .3.1.2 EFFICACITE (ALICE BARREL)p tFigure 7: Efficacité (ALICE Barrel) en fonction de p T .Pour des densités réalistes de particules chargées, l’efficacité de « tracking »combinée (ITS+TPC+TOF+TRD), Figure 7, est supérieure à 90%, avec un taux de faussestraces inférieur à 5%, sur une large gamme en p T [6].312

3.1.3 VERTEX PRIMAIRE ET SECONDAIRES(faisceau) etLe vertex primaire de la collision sera mesuré avec une résolutionσ x−yσ z

3.2 ATLAS ET CMSATLAS [8] et CMS [10] ont été conçus pour effectuer le programme p-p à très hauteluminosité du LHC. Ils présentent cependant un potentiel intéressant en ions lourds, dansdes domaines d’acceptance souvent complémentaires à celui de ALICE.Les deux détecteurs possèdent une calorimétrie électromagnétique et hadronique trèsperformante ( η < 4. 9 pour ATLAS et η < 5. 2 pour CMS), qui leur procure une bonnerésolution sur la mesure des jets et qu’ils se proposent d’exploiter au mieux en collisionsd’ions lourds.Ils sont équipés pour la mesure des muons dans une grande acceptance ( η < 2. 7pour ATLAS et η < 2. 4 pour CMS) à mi-rapidité. De plus, des « Tracker Silicium »complètent cette région centrale de rapidité ( η < 2. 5 pour ATLAS et η < 2. 4 pour CMS).Bien entendu, à la différence de ALICE, ATLAS et CMS ne peuvent pas faire uneidentification quasi exhaustive des hadrons en collisions d’ions lourds.La Figure 10 illustre la complémentarité ALICE-ATLAS-CMS pour l’identification deshadrons, muons et électrons [11]. Seul ALICE couvre les bas p T et les muons à granderapidité.Dans les sections suivantes, des exemples plus concrets, basés sur des analyses decanaux de physique, permettront de montrer plus en détail les capacités et les performancesen ions lourds de ALICE, ATLAS et CMS.Figure 10: Complémentarité ALICE-ATLAS-CMS pour l’identification des hadrons,électrons et muons en collisions d’ions lourds.314

3.2.1 LE CALCUL AU LHCLes collaborations du LHC s’appuient sur des logiciels de simulation et d’analysecomplexes. Du fait du flux de données à acquérir, et donc à traiter, de l’ordre de 1 Gb parseconde et par expérience, le calcul au LHC est un très grand défit en soit, pris en chargepar le projet LCG pour « LHC Computing GRID ». Le traitement des données des expériencesLHC fait appel au « calcul distribué », organisé en « Tier » comme l’illustre la Figure 11.Tier-2Tier-2Tier-2s and Tier-1s areinter-connected by the generalpurpose research networksTier-2Tier-2Any Tier-2 mayaccess data atany Tier-1BNLIN2P3GridKaTRIUMFASCCTier-2Tier-2Tier-2NordicFNALTier-2CNAFTier-2Tier-2SARAPICRALFigure 11: Organisation du projet de calcul LCG.Dans ce schéma, le Tier-0, au cœur du système, est localisé au CERN alors que lesTier-1 correspondent aux grands centres nationaux de calcul. Les Tier-2 sont des plus petitscentres de calcul. Le partage des tâches (sauvegarde, reconstruction, analyse, simulation)entre les différents Tier peut varier d’une expérience à l’autre, selon le modèle de calculproposé [12].En quelques chiffres, le calcul au LHC représente un besoin en puissance de calculsupérieur à 50 MSI2K (~50.000 Pentium4) et une capacité de stockage sur disquesupérieure à 20 Pb (1 Pb=1000 Gb) par an (hors stockage de masse).315

4 THEMES DE PHYSIQUE ET OBSERVABLESASSOCIEES4.1 PHYSIQUE « SOFT » (DOUCE)Cette partie de la physique des collisions d’ions lourds au LHC sera essentiellementfaite avec ALICE. Dans ce cours, je ne traite qu’un seul exemple de physique « soft », lamultiplicité de particules produites, qui est une observable dite « day-one » (mesurable dèsles premières heures de faisceau), extrêmement fondamentale. En effet, lors de laconception de l’expérience, la multiplicité (estimée par simulation en général) influencefortement le design des détecteurs. Ensuite, la multiplicité (mesurée) est caractéristique dela densité d’énergie atteinte lors de la collision.La multiplicité, très influencée par les processus durs dans l’état initial et la région desaturation à petites valeurs de x-Bjorken, reste très difficile à modéliser du fait del’importance des processus « soft » dans l’état final (hadronisation du QGP,désintégrations,…), non prédictibles par les théories fondamentales. Les mesures de RHIC nepermettent pas non plus de contraindre fortement la multiplicité au LHC car, comme nousl’avons déjà mentionné, l’augmentation en énergie incidente induit aussi une transition versun régime différent de collisions. Avant de montrer quelques prédictions théoriques, ilsemble intéressant de s’intéresser aux évolutions de la multiplicité entre p-p et A-A d’unepart, et en fonction de l’énergie de collision d’autre part.4.1.1 MULTIPLICITE : DES COLLISIONS P-P AUX COLLISIONS A-ALa comparaison entre collisions p-p et collisions A-A permet, de façon générale, demettre en évidence les effets nucléaires. Il faut trouver des variables pertinentes quidevraient évoluer régulièrement entre p-p et A-A en l’absence d’effets nucléaires (dans cecas, il y a « scaling »). On utilise souvent la variable N CH /(0.5 N PART ). N CH est la multiplicité departicules chargées et N PART est le nombre de participants de la collision. Cette variablereprésente en quelque sorte l’efficacité, par participant, à produire des particules chargées.N PART est une variable géométrique qui ne dépend que de la centralité de la collision :• collision p-p : N PART =2• collision centrale A-A : N PART ~2×A316

Le modèle de Glauber [13] est traditionnellement employé pour déterminer N PART enfonction de la centralité de la collision.Nous verrons par la suite (Figure 12 et [2]) qu’une augmentation de N CH /(0.5 N PART )de l’ordre de 50% est mesurée à RHIC entre p-p et Au-Au à √s NN =200 GeV. Uneaugmentation de ~150% est prédite à LHC par les modèles de saturation [14], entre p-p etPb-Pb à √s NN =5.5 TeV.4.1.2 MULTIPLICITE : DEPENDENCE EN ENERGIE INCIDENTEEn p-p, une dépendance lente (logarithmique) avec √s NN est mesurée, contrainte àhaute énergie par les données de l’expérience CDF à √s NN =2 TeV. On aurait ainsi, commeindiqué Figure 12, N CH /(0.5 N PART )~1.8 (~2.4, ~5) à √s NN =17 GeV (200 GeV, 5.5 TeV).Figure 12: Multiplicité de particules chargées en fonction de l’énergie incidente [2].Trait plein (resp. pointillé): ajustement (logarithmique) des données p-p (resp. A-A).Tiretés longs : prédiction d’un modèle de saturation [14].En A-A, on peut s’attendre à une évolution en énergie différente. En effet, lamultiplicité aux énergies SPS varie proportionnellement à N PART (« scaling » en A) alors que,du fait de la dominance des processus durs, on s’attend à une variation proportionnelle àN COLL (« scaling » en A 4/3 ) au LHC. Cette augmentation avec l’énergie, beaucoup plus rapideen A-A qu’en p-p, sera certainement atténuée par les effets de « shadowing ». Quelquesscénarii sont proposés Figure 12. Le modèle de saturation [14], qui reproduit bien lesdonnées RHIC, prédit une multiplicité dN CH /dη~2500 (à η~0) au LHC.317

Les résultats d’une simulation d’événements centraux Pb-Pb [2] avec HIJING (version1.36) sont donnés Figure 13. Une multiplicité dN CH /dη~6000 (à η~0) est prédite, avec lesparamètres par défaut pour la simulation de l’effet de jet quenching. On voit l’importance decet effet sur la multiplicité : en l’absence de prise en compte de ce phénomène, HIJINGdonne dN CH /dη~3000 (à η~0). Il faut aussi remarquer que la sensibilité est bien moindreaux grandes rapidités.Figure 13: Simulation d’événements centraux Pb-Pb à 5.5 TeV avec HIJING.Trait plein (resp. pointillés) : avec (resp. sans) effet de jet quenching.Finalement, de grandes incertitudes subsistent sur la valeur de la multiplicité dans lescollisions A-A à LHC. Les modèles actuels semblent pointer vers des valeurs de dN CH /dη (àη~0) comprises entre 2000 et 6000.4.1.3 MULTIPLICITE : MESURES ET PERFORMANCESLa Figure 14 montre les performances de ALICE [6] et ATLAS [8] pour la mesure dela multiplicité de particules chargées en collisions centrales Pb-Pb (simulations avecgénérateur HIJING).ALICE permet une mesure entre -5

Figure 14: Mesure de dN CH /dη en fonction de η, avec ALICE (gauche) et ATLAS (droite).4.1.4 PHYSIQUE « SOFT »: CONCLUSIONBien entendu, la physique « soft » ne s’arrête pas à la mesure de la multiplicité [6].Rappelons aussi l’intérêt d’étudier les spectres de particules (flow, température, …) et lesrapports entre types de particules (température, potentiel chimique baryonique, ...). Lathéorie prédit un potentiel chimique baryonique µ B ~9 MeV ( p / p ~0.9) au LHC (Figure 15).LHC↓Figure 15: Rapports particules-antiparticuleset potentiel chimique baryonique.La possibilité de faire, pour la première fois, ces analyses thermo-chimiquesévénement par événement sera possible à LHC, du fait de la très grande multiplicitéattendue. De telles mesures, événement par événement, sont très intéressantes puisqu’ellesinforment sur des fluctuations qui peuvent être d’origine non statistique.Tout ce type d’analyses pourra être fait avec ALICE seulement puisqu’uneidentification la plus exhaustive possible des particules est nécessaire.319

4.2 PHYSIQUE « HARD » (DURE)La physique dure est le domaine de prédilection de LHC. Les trois expériences, ALICE,ATLAS et CMS, proposent des contributions dans ce domaine. Les taux de production dessondes dures donnent des informations relativement directes sur l’instant initial descollisions, PDFs notamment, mais aussi sur le milieu environnant (QGP). Leur mesure est eneffet, en général, altérée par des effets de milieu, ré-intéractions (« multiple scattering »),perte d’énergie des partons, écrantage de couleur, lors de l’évolution de la collision. Unecomparaison entre les mesures A-A, p-p et p-A est nécessaire pour isoler l’influence desdifférents effets. Quelques sujets de physique « hard » sont développés ci-après.4.2.1 LES SAVEURS LOURDES OUVERTESLes quarks lourds [4] [15] [17] sont produits en abondance dans des processus dursau LHC (Tableau 3) : 120 paires ccet 5 paires b b par événement central Pb-Pb, à comparerà 10 paires ccet 100 fois moins de paires bbà RHIC. Ils sont produits aux tous premiersinstants des collisions (~1/2 m Q ~0.1 fm/c, à comparer à τ QGP ~10 fm/c) et traversentensuite le milieu (QGP). Leur étude permettra ainsi de :• tester QCD perturbative;• sonder le milieu traversé via l’étude de leur perte d’énergie (quenching);• normaliser la production de quarkonia.Ils peuvent former des quarkonia (familles du J/ψ et ϒ notamment, voir section 4.2.2)ou des hadrons de saveur lourde ouverte (par exemple des mésons D ou B) ayant des voiesde désintégration hadronique (ex D 0 → K - π + ) et leptonique.Paires cc0.2 10Paires b b 0.05SPS RHIC LHC120σ pp =6.64 mbC shad =0.655σ pp =0.21 mbC shad =0.84Tableau 3: Production de quarks lourds dans les collisions Pb-Pb(ou Au-Au à RHIC), à b=0. σ pp et C shad sont respectivement les sections efficacesde production en p-p et les facteurs de shadowing considérés pour LHC.320

Les principaux diagrammes de production des quarks lourds [16] sont présentésFigure 16. Les diagrammes, à l’ordre dominant (LO), sont: (a) fusion de gluons et (b)création de saveur. Les diagrammes à l’ordre suivant (NLO) sont: (c) création de paire (avecémission d’un gluon), (d) excitation de saveur et (e) « splitting » de gluons. Les diagrammesNLO représenteraient la principale source de production de quarks lourds au LHC [15].Figure 16: Principaux diagrammes de production des quarks lourds au LHC.beauté.La Figure 17 [4] illustre l’acceptance en x-Bjorken de ALICE pour le charme et laFigure 17: Acceptance en x-Bjorken pour le charme (gauche) et la beauté (droite) dansle spectromètre à muons (gris fonçé) et la partie centrale de ALICE (gris clair).4.2.1.1 Beauté ouverte dans le canal semi-muonique avec ALICELa beauté ouverte peut être mesurée inclusivement en « muons simples » (Figure 18)dans le spectromètre de ALICE [22]. La beauté ouverte domine le spectre à grand p T desmuons produits. Cette mesure en muons simples a l’avantage de fournir une grandestatistique (Tableau 4) et sera ainsi un excellent candidat d’observable « day-one » (en p-ppuis en Pb-Pb) au LHC.321

Figure 18: Distribution inclusive en p T des muons de désintégrationde la beauté ouverte dans les collisions centrales Pb-Pb.p T (GeV/c) 1.5-3 3-6 6-9 9-30N µ 5.3 10 6 1.7 10 6 0.14 10 6 0.03 10 6Tableau 4: Nombre de muons de désintégration de la beauté ouverte, pour 400 millions de collisions centralesPb-Pb (~1 mois de prise de données), dans le spectromètre à muons de ALICE.La beauté ouverte peut aussi être mesurée en dimuons [22]. Le spectre en masseinvariante des dimuons de signe opposé est présenté Figure 19, dans la région des bassesmasses (gauche) et des plus hautes masses (droite). Ces deux régions sont dominées pardes phénomènes de production différents, appelés « B-chain » et « BB-diff » (Figure 20), àbasse et haute masse respectivement. Les statistiques attendues sont, bien entendu,moindres qu’en muons simples (Tableau 5).Mass (GeV) 0.3-5 5-20Nµ+ µ − 41 10 3 7 10 3Tableau 5: Nombre de dimuons de signe opposé de désintégration de la beauté ouverte,pour 400 millions de collisions centrales Pb-Pb (~1 mois de prise de données), dans le spectromètreà muons de ALICE. Une coupure p T >1.5 GeV/c est imposée aux muons simples.Figure 19: Spectre en masse des dimuons de signe opposé de désintégrationde la beauté ouverte, pour 400 millions de collisions centrales Pb-Pb.322

Figure 20: Processus B-chain et BB-diff de production dedimuons de signe opposé provenant de la beauté ouverte.4.2.1.2 Beauté ouverte dans le canal semi-électronique avec ALICELa beauté ouverte sera aussi mesurée dans la voie de désintégration semiélectronique(B → e ± + X) [6][23] dans ALICE (Figure 21). Les électrons sont identifiés aumoyen des détecteurs centraux TPC+TRD. Une coupure sur le paramètre d’impact d 0, mesurégrâce à l’ITS, permet d’améliorer le rapport signal/bruit.Figure 21: Statistique espérée (droite) d’électrons de désintégration de la beauté, pour 10 millionsde collisions centrales Pb-Pb (~1 mois de prise de données) dans la partie centrale de ALICE. Unecoupure en paramètre d’impact 200< d 0

Figure 22: Spectre de masse invariante Kπ(gauche) pour 10 millions d’événementscentraux Pb-Pb (avec/sans soustraction de bruit de fond).Sections efficaces en p T (droite) pour D 0 → K - π + , par collision N-N,pour les collisions p-p, p-Pb et Pb-Pb.Connaissant la distribution en p T en collision p-p et A-A, le facteur de modificationnucléaire R AA , s’obtient par:1 dNR ×/ dpAA TAA = Eq. 2NCOLLdNpp/ dp TFigure 23: Facteur de modification nucléaire R AA pour les mésons D 0 , aveceffets de shadowing et perte d’énergie au niveau partonique (quenching).Ce facteur R AA met en évidence les effets nucléaires, comme la perte d’énergiepartonique (quenching). Comme le montre la Figure 23 [24], à grand p T à LHC, on attendune valeur R AA ~0.2 pour une perte d’énergie caractérisée par qˆ =25-100 GeV 2 /fm (valeursextrapolées des mesures RHIC) alors que R AA ~1 en l’absence de perte d’énergie ( qˆ =0). Leseffets de shadowing sont visibles à petit p T sur la courbe à qˆ =0.324

4.2.2 LES QUARKONIA DES FAMILLES DU J/ψ ET ϒComme nous l’avons montré dans la section précédente, la mesure des quarks lourdsdonne des informations sur les PDFs et la perte d’énergie partonique. Les quarkonia[15][17][18] des familles des résonances J/ψ et ϒ, eux, sont sensibles au phénomèned’écrantage de couleur dans le QGP, conduisant à une réduction de leur production en A-Arelative à p-p. Fait unique, la densité d’énergie atteinte en ions lourds au LHC pourrait êtresuffisante pour dissocier la résonance ϒ [19]. De plus, la statistique attendue (Tableau 6)permettra des études détaillées. Cependant, notamment pour le J/ψ, des phénomènes de« régénération » [20] pourraient au contraire conduire à une augmentation du taux de leurproduction en A-A, relativement à p-p.Pb-Pb (b

Figure 24: Spectres de masse invariante dimuons de signe opposé pour des collisions Pb-Pbcentrales (haut) et périphériques (bas), en ~1 mois de prises de données (=5.10 26 cm -2 s -1 ).J/ψψ’ϒϒ’ϒ’’b (fm) 0-3 3-6 6-9 9-12 12-16ε (GeV/fm 3 ) 32 30 28 16 5Min. biasS (×10 3 ) 131 232 196 93 21 673S/B 0.19 0.27 0.47 1.06 3.05 0.32S/√S+B 148 227 256 224 128 406S (×10 3 ) 3.7 6.5 5.5 2.6 0.6 18.9S/B 0.01 0.02 0.03 0.06 0.17 0.02S/√S+B 6.7 11 13 12 9.3 19.5S (×10 3 ) 1.37 2.42 2.02 0.95 0.21 6.96S/B 1.67 2.26 3.74 6.52 9.04 2.68S/√S+B 28.7 40.2 40.1 28.9 13.4 71.2S (×10 3 ) 0.36 0.63 0.53 0.25 0.05 1.82S/B 0.65 0.88 1.4 2.38 3.18 1.03S/√S+B 11.7 18.7 17.4 14.1 6.3 30.4S (×10 3 ) 0.20 0.36 0.30 0.14 0.03 1.04S/B 0.48 0.63 1.03 1.70 2.21 0.74S/√S+B 10.5 12.7 13.4 8.8 5.1 21.1Tableau 7: Statistiques attendues pour les résonances de quarks lourds avec le spectromètre à muons de ALICE,pour Pb-Pb et différentes tranches de centralité, en ~1 mois de prises de données (=5.10 26 cm -2 s -1 ).326

Des études préliminaires ont été menées en incluant des scénarii de suppression pareffet d’écrantage de couleur et éventuellement des effets d’absorption nucléaire desrésonances J/ψ et ϒ. La beauté ouverte est utilisée en tant que normalisation. La sensibilité,en fonction de la centralité, est illustrée Figure 25, pour deux scénarii extrêmes d’écrantage[6], sans effet d’absorption nucléaire.Figure 25: Rapports J/ψ (gauche) et ϒ (droite) sur beauté ouverte bben fonction de la centralité(N PART ) pour Pb-Pb, sans suppression et avec deux hypothèses de suppression par écrantage de couleur.4.2.2.2 Les quarkonia des familles du J/ψ et ϒ en dimuons avec ATLASet CMSATLAS [8] et CMS [10] mesurent les muons à mi-rapidité, dans une acceptancetrès différente de celle de ALICE. Les statistiques attendues en J/ψ et ϒ sont cependantcomparables mais le rapport S/B est moins bon car le bruit de fond hadronique estdominant à mi-rapidité, même à la masse de l’ϒ. La résolution en masse sur les dimuonsde CMS est excellente (Figure 26), bien meilleure que celle d’ATLAS.800080007000700060006000500050004000400030003000200020001000100002 2.5 3 3.5 4 4.508.5 9 9.5 10 10.5 11Figure 26: Spectres de masse invariante dimuons de signe opposé avec CMS(gauche) et ATLAS (droite), en collisions Pb-Pb (bruit de fond soustrait).327

4.2.3 LES JETSQuelques 10 6 jets [2][26] de E T >100 GeV sont prédits en un mois de collisionsPb-Pb à luminosité nominale au LHC dans le domaine |η|< 1. Suite aux mesures deRHIC [25], un fort phénomène de jet quenching (perte d’énergie de la « leading »particule, issue directement de l’interaction partonique initiale) est attendu au LHC.Ainsi, la fonction de fragmentation du jet dans le milieu sera modifiée et la mesure desjets donnera des informations sur le milieu créé dans la collision, le QGP.LHC propose d’étendre la mesure de R AA (Eq. 2) à des valeurs de p T jusqu’à 100GeV/c (Figure 27), pour différents types de hadrons [27]. Une nouvelle possibilité qui estofferte à LHC est la reconstruction événement par événement des jets très énergétiques(E T >50 GeV typiquement) en collision A-A. Dans ce cas, le jet peut être discerné du fondcomme le montre la simulation présentée Figure 28 (extraite de [28]). L’étude desdistributions d’énergie transverse et parallèle au jet donnera des informations sur lephénomène de quenching. La sensibilité de telles mesures serait supérieure à cellefournie par l’observable R AA .Figure 27: Extension de la gamme de mesure de R AA en fonction de p T à LHC.328

Figure 28: Simulation d’un jet de E T =100 GeV et du bruit de fond associé(cas d’une collision Pb-Pb centrale au LHC).ALICE aura besoin du calorimètre EMCAL (énergie neutre, possibilité dedéclenchement) en complément de la TPC pour arriver à de bonnes performances sur lamesure (résolution en énergie notamment) des jets de haute énergie [6][29]. Par contre, laTPC apportera certainement beaucoup, grâce au potentiel d’identification des hadrons auxbas p T , pour la mesure des formes des jets. En effet, des mesures calorimétriques seulespourraient se révéler insuffisantes car l’énergie du jet est redistribuée, mais conservée, suiteà l’effet de jet quenching.ATLAS, de part la qualité de sa calorimétrie, sera très performant sur la mesure desjets de haute énergie [8], comme le montre la Figure 29. Le jet est recherché dans un cônede taille ∆Φx∆η =0.4x0.4. Le bruit de fond moyen est de 50±11 GeV, ce qui donne un seuilde reconstruction des jets de ~30-40 GeV en collisions Pb-Pb centrales (contre ~15 GeV encollisions p-p).Figure 29: Efficacité de détection (gauche) et résolution sur l’énergie du jet (droite) avec ATLAS, encollisions centrales Pb-Pb. Le jet est simulé au moyen de PYTHIA, le bruit de fond au moyen de HIJING.329

4.2.4 AUTRES THEMES DE PHYSIQUE « HARD »Les quelques sujets de physique « hard » abordés dans les sections précédentes sontbien entendus loin de donner une vue exhaustive de ce vaste domaine au LHC. Citons parexemple deux autres thèmes très prometteurs comme les photons directs (non thermiques)[6] et les W et Z [6][10].D’autre part, à l’intérieur des thèmes présentés, il y a aussi beaucoup d’autresdéveloppements possibles. Citons par exemple les quarkonia en di-électrons [6][30], les diélectronset dimuons de même signe [31], les J/ψ secondaires [30][32], les tri-muons [6],les coïncidences électrons-muons [33], les mésons vecteurs de basse masse (ρ,ω,Φ)[34],…5 CONCLUSIONLHC est la prochaine machine pour les collisions d’ions lourds, peut-être même ladernière à la frontière en énergie.Un pas en énergie très important au delà des énergies de RHIC est franchi, ouvrantde vastes espaces vierges de physique, notamment de physique dure, tant sur le planexpérimental que théorique.Les détecteurs du LHC sont très performants car technologiquement très évolués.La communauté des physiciens des ions lourds doit aller de l’avant pour exploitercette chance unique d’explorer le Plasma de Quarks et Gluons.REFERENCES[1] F. Karsch and E. Laermann, “Thermodynamics and in-medium hadron properties fromlattice QCD”, arXiv:hep-lat/0305025 (2003).[2] ALICE Collaboration, ALICE Physics Performance Report (Volume 1), CERN/LHCC2003-049 (2003).[3] J. Schukraft, Nucl. Phys. A698 (2002) 287.[4] N. Carrer and A. Dainese, “Charm and beauty production at LHC”, ALICE-INT-2003-019 v.3, hep-ph/0311225 (2003).330

[5] K. Kajantie, Nucl. Phys. A715 (2003) 432c.[6] ALICE Collaboration, ALICE Physics Performance Report (Volume 2), CERN/LHCC2005-030 (2005).[7] ALICE Collaboration, “Dimuon forward spectrometer”, Technical Design Report,CERN/LHCC 99-22 (1999). Addendum, CERN/LHCC 00-46 (2000).[8] A. Zinchenko et al., “Development of algorithms for cluster finding and trackreconstruction in the forward muon spectrometer of ALICE experiment”, CERN-2005-002-V-2 (2005) p276.[9] ATLAS Collaboration, “Heavy Ion Physics with the ATLAS Detector”, Letter of Intent,CERN/LHCC/2004-009 (2004).[10] CMS Collaboration, “Heavy ion Physics in CMS”, CMS-NOTE-2000-060 (2000).[11] P. Crochet, “(di-)leptons and heavy flavours in heavy ion collisions at the LHC”,International Workshop on Electromagnetic Probes of Hot and Dense Matter, Trento,Italy (Juin 2005).[12] ATLAS Collaboration, ATLAS computing model, CERN-LHCC-2004-037-G-085.ALICE Collaboration, ALICE computing model, CERN-LHCC-2004-038-G-086.CMS Collaboration, CMS computing mode, CERN-LHCC-2004-035-G-083.[13] R.J. Glauber and G. Matthiae, Nucl. Phys. B21 (1970) 135.[14] K.J. Eskola et al., Nucl. Phys. B570 (2000) 379. K.J. Eskola et al., “Multiplicities andtransverse energies in central A-A collisions at RHIC and LHC from pQCD, saturationand hydrodynamics”, arXiv:hep-ph/0104010 (2001).[15] M. Bedjidian et al., “Hard probes in heavy ion collisions at the LHC: heavy flavourphysics”, hep-ph/0311048 (2003).[16] E. Norrbin and T. Sjostrand, Eur. Phys. J. C17 (2000) 137.[17] P. Crochet, “Quarkonia and heavy flavors at the LHC”, Eur. Phys. J. C43 (2005) 437.[18] N. Brambilla et al., “Heavy quarkonium physics”, hep-ph/0412158 (2004).[19] S. Digal et al., Phys. Rev. D64 (2001) 094015. C. Y. Wong, Phys. Rev. C65 (2002)034902.[20] P. Braun-Munziger and J. Stachel, Phys. Lett. B490 (2000) 196. R.L. Thews et al.,Phys. Rev. C63 (2001) 054905.[21] A. Morsch and K. Eggert, “Onium production in heavy-ion collisions at the LHC -Signals and backgrounds in the two-muon channel”, ALICE-INT/PHY 95-05 (1995).[22] R. Guernane et al., “Measuring the B-meson production cross section in 5.5 TeV Pb-Pb collisions using semileptonic decay muons”, ALICE Collaboration, ALICE-INT-2005-018 (2005).[23] A. Dainese et al., “Measuring beauty production in Pb–Pb collisions at the LHC viasingle electrons in ALICE”, nucl-ex/0510083 (2005).[24] A. Dainese, “Charm production and in-medium QCD energy loss in nucleus-nucleuscollisions with ALICE. A performance study.”, arXiv:nucl-ex/0311004 (2003).[25] BRAHMS, PHENIX, PHOBOS, STAR Collaborations, Nucl. Phys. A757 (2005).[26] A. Accardi et al., “Hard Probes in Heavy Ion Collisions at the LHC: Jet Physics”, hepph/0310274(2003).331

[27] I. Vitev and M. Gyulassy, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 252301.[28] S. Blyth, ”Jet Study in Ultra-Relativistic Heavy-Ion Collisions with the ALICEDetectors at the LHC”, nucl-ex/0510065 (2005).[29] A. Morsch et al., Nucl. Part. Phys. 31 (2005) S597.[30] ALICE Collaboration, “Transition Radiation Detector”, Technical Proposal, Addendum2, CERN/LHCC/99-13. ALICE Collaboration, “Transition Radiation Detector”, TechnicalDesign Report, CERN/LHCC/2002-21.[31] P. Crochet and P. Braun-Munziger, Nucl. Instr. And Meth A484 (2002) 564.[32] I.P. Lokhtin and A.M. Snigirev, “High-mass dimuon and secondary J/Ψ productionat CMS as probes of medium-induced bottom quark energy loss in heavy ioncollisions”, CMS-NOTE-2001-008 (2001).[33] P. Crochet et al., “Electron-Muon Coincidence as a Measure of Charm and Bottomwith ALICE”, ALICE-INT-2000-01 (2000).[34] B. Rapp, "Production de dimuons en réactions p-p et Pb-Pb avec ALICE: le détecteurV0 et les résonances de basse masse", Université Claude Bernard - Lyon I, 2004.332

SEMINAIRES JEUNESEtats liés de gluons dans le contexte de modèles potentielsVincent MATHIEU, Université Mons HainautLes états liés de gluons, appelés boules de glu, sont des prédictions de la QCD. Bien qu'ils n’aientpas encore été découverts expérimentalement de façon certaine, ils constituent un sujet d'étudeintéressant. Dans le cadre des modèles potentiels, le système est défini par un hamiltoniencomprenant une partie cinétique et une partie potentielle.Les premiers travaux dans ce domaine ont été effectués dès le début des années 80 [1][2][3] . Il estadmis que le potentiel d’une boule de glu à deux gluons se décompose en deux parties. Lapremière, résultant de l’échange d’un gluon, prend en compte les termes de courtes portées etest construit à partir de la limite non-relativiste des diagrammes de Feynman. La seconde régitles interactions à longue portée, le confinement. Puisque les calculs sur réseaux ont montré que lechamp de couleur était localisé sur l’axe joignant les deux particules, le confinement est modélisépar un potentiel linéaire.Nous proposons d’étendre ces résultats aux boules de glu à trois gluons. Le tube de flux seraremplacé par une jonction Y. Les calculs sur réseaux nous montrent en effet que le champ decouleur est représenté par trois tubes de flux se rejoignant de façon à minimiser l’énergie. Leterme d’interaction à courte portée est une somme de potentiel d’échange d’un gluon entre lesdifférentes paires de gluons. La modification majeure à ce terme sera le calcul d’une massedynamique pour les gluons provenant du confinement et dépendant des nombres quantiques de laboule de glu. Enfin, notre dernière contribution sera de donner aux gluons une taille effective cequi permet d’éviter les problèmes liés aux singularités dans le potentiel à courte portée. Lesrésultats obtenus pour les boules de glu à deux gluons sont en bonne concordance avec certainscandidats expérimentaux et les prédictions des calculs sur réseaux. Le hamiltonien à trois corpssera diagonalisé dans une base de gaussiennes.[1] J.M. Corwall and A. Soni, Phys. Lett. 120B, 431 (1983)[2] W.S. Hou and G.G. Wong, Phys. Rev. D 67, 034003 (2003)[3] F. Brau and C. Semay, Phys. Rev. D 70, 014017 (2004)Les résonances de quarks lourds comme sonde du QGPPhilippe PILLOT, IPN LyonD'après les prédictions de QCD, au delà d'une certaine température ou densité d'énergie, lamatière nucléaire devrait subir une transition de phase vers un nouvel état, le Plasma de Quarkset de Gluons (QGP), dans lequel les quarks et les gluons ne seraient plus confinés à l'intérieur deshadrons. Expérimentalement, un tel état pourrait se former dans des collisions d'ions lourdsultra-relativistes. Afin de le mettre en évidence, plusieurs signatures ont été proposées parmilesquelles la suppression des résonances de quarks lourds.L'expérience NA50, au CERN, a observé une suppression "anormale" du J/Ψ (résonance c c ) dansles collisions Pb-Pb centrales à 158 GeV/c par nucléon incident. Cependant, cette observation nepeut pas être clairement reliée à la formation d'un QGP. En 2003, afin de clarifier la situation,l'expérience NA60 a pris des données en collisions indium-indium à la même énergie incidente.333

Nos premiers résultats montrent qu'une suppression "anormale" est également présente dans lescollisions centrales. Une étude précise de l'évolution de cette suppression en fonction de lacentralité de la collision est actuellement en cours. Elle devrait permettre, par comparaison avecles résultats des expériences précédentes, de remonter au mécanisme qui en est responsable.L'expérience ALICE se propose d'étudier la production des résonances de quarks lourds auxénergies du LHC. Comme dans NA60, ces résonances sont détectées via leur désintégration endeux muons, à l'aide d'un spectromètre à muons. Afin d'atteindre la résolution optimalepermettant de séparer les différentes résonances de la famille du Υ( b b ), la position desdifférents plans de détection du spectromètre doit être connue avec une très grande précision.Pour cela, nous avons conçu un système (le GMS) permettant de mesurer les déplacements etdéformations de ces plans au cours des prises de données. Ce système, composé de plusieurscentaines d'appareils optiques, atteint des précisions meilleures que la centaine de microns.Etude de la production de J/Ψ et Υ dans le cadre du modèle de CGCAlexandre CHARPY, IPN OrsayEtude des effets de retard dans les mésonsFabien BUISSERET, Université Mons-HainautLes mésons, états liés quark-antiquark, sont bien décrits par la chromodynamique quantique(QCD). Malheureusement, la résolution des équations d’Euler-Lagrange de cette théorie est unproblème complexe, aussi bien analytiquement que numériquement. Il est donc utile de travailleravec un modèle effectif. En particulier, pour les mésons, le modèle effectif dit « de la cordetournante » peut être établi à partir du lagrangien QCD [1,2]. Dans ce modèle, le méson est vucomme composé de deux particules ponctuelles sans spin - le quark et l’antiquark, reliées par unecorde (voir figure ci-contre). Cette corde modélise de manière simplifiée les échanges de gluonsq τq virtuels à longue portée entre les deux particules, et simule donc leconfinement. Dans cette approche, les interactions de spin sontqqestimées comme assez faibles pour être ajoutées en perturbation. Deuxhypothèses importantes interviennent dans le calcul de ce modèle. Premièrement, la corde estconsidérée comme rectiligne, suivant les indications de la QCD sur réseau [3]. Deuxièmement, lescoordonnées temporelles du quark, de l’antiquark et de la corde sont supposées égales à τ, letemps propre commun du système, lui-même identifié au temps du centre de masse (ansatz destemps égaux). Ces deux hypothèses impliquent que l’interaction se propage instantanément. Ils’ensuit que le modèle de la corde tournante néglige les effets de retard dus à la vitesse finie depropagation des gluons.Inclure le retard dans cette description des mésons passe donc nécessairement par laconsidération d’un temps relatif σ non nul, afin de s’abstraire de l’ansatz des temps égaux. Nousavons donc récrit le modèle de la corde tournante en supposant uniquement l’égalité du tempspropre et du temps du centre de masse [4]. Nous avons ainsi montré que le terme de retard étaitune perturbation du hamiltonien original, dont l’effet est de diminuer la masse des mésons. Cetteperturbation se présente comme un oscillateur harmonique en la variable σ, dont seul lefondamental possède un sens physique. De plus, elle présente la propriété intéressante depréserver les trajectoires de Regge (relation linéaire entre la masse au carré et le momentangulaire des mésons légers). La fonction d’onde du méson acquiert une dépendance gaussienne enle temps relatif, centrée en σ = 0. Enfin, le modèle de la corde tournante, avec l’ajout du retard334

et d’un terme à courte portée destiné à prendre en compte les processus d’échange d’un gluon,s’avère en bon accord avec les données expérimentales actuelles.[1] A. Yu. Dubin, A. B. Kaidalov and Yu. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 56, 1745 (1993)[hep-ph/9311344].[2] F. Buisseret and C. Semay, Phys. Rev. D 70, 077501 (2004) [hep-ph/0406216].[3] Y. Koma et al., Phys. Rev. D 64, 014015 (2001) [hep-ph/0011165].[4] F. Buisseret and C. Semay [hep-ph/0505168].Etude du système de déclenchement de la sonde muonique de l’expérienceALICEFabien GUERIN, LPC ClermontALICE (A Large Ion Collider Experiment) est une expérience dédiée à l'étude des collisionsd'ions lourds ultra-relativistes qui opérera au LHC (Large Hadron Collider) en 2007. Le but decette expérience est de mettre en évidence et d'étudier le plasma de quarks et de gluons (QGP).Une des signatures possibles de ce nouvel état de la matière est la variation du taux deproduction des quarkonia (J/Ψ, Υ) lorsqu'on passe d'une phase purement hadronique à une phaseoù les quarks et les gluons sont déconfinés. Le spectromètre à muons d'ALICE permettra dedétecter les paires de muons de signes différents qui proviennent de la désintégration desquarkonia (J/Ψ, Υ → μ + μ - ). Un système de déclenchement rapide (''trigger''), associé auspectromètre à muons, permet de sélectionner les collisions physiquement intéressantes (unquarkonia au minimum est produit) en effectuant des coupures sur l'impulsion transverse desmuons. Nous avons donc évalué les performances du système de déclenchement en termed'efficacité de trigger et de taux de trigger. De telles études vont permettre d'élaborer desscénarii d'acquisition en associant les taux de trigger des différents sous-détecteurs d'ALICE(trigger dimuons, trigger diélectrons, centralité...).Caractérisation des performances du détecteur SSD de l’expérience STARauprès du collisionneur RHICJonathan BOUCHET, SUBATECH NantesSTAR( Solenoid Tracker At Rhic) est l’une des 4 expériences dédiées à la physique des ionslourds, installée au RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider), BNL, Etats-Unis.Les conditions atteintes lors de ces collisions très énergétiques doivent être favorables à laformation d’un plasma de quarks et de gluons (QGP), état où les constituants de la matière nesont plus liés entre eux à l’intérieur des hadrons.L'objectif de STAR étant la mesure précise des particules chargées produites à rapiditécentrale, son coeur se compose notamment d’une chambre de trajectographie cylindrique et pourla partie interne d’un détecteur de vertex, composé de couches concentriques de détecteurs ausilicium .L'ensemble est plongé dans un champ magnétique.Le SSD (Silicon Strip Detector) est la quatrième couche du détecteur de vertex, placée à 23 cmde l’axe du faisceau et répartie en 20 échelles de 16 modules de détection. Chaque module seconstitue d'un détecteur à micropistes double faces : les 2 faces sont segmentées en pistesespacées de 95 µm, ce qui permet une mesure de la position des points d’impacts à 2 dimensions.Le rôle du SSD est d’améliorer la trajectographie en fournissant un point supplémentaire entrela TPC et le SVT. Il permet de diminuer la distance de projection des traces formées dans la335

TPC. On s'attend en particulier à une amélioration de reconstruction des particules issues dedécroissances et d'une meilleure précision sur la position du vertex primaire.On quantifiera l’apport du SSD via le taux et la qualité de reconstruction des particules étrangesà faible durée de vie dont la production est l’une des observables analysées pour mettre enévidence le QGP.Etude des transitions 0 + 0 + . Rapport d’embranchement du 62 GaAnissa BEY, CEN Bordeaux Gradignan+ + +L’étude des transitions ( 0 → 0 )β superpermises – transitions ayant lieu entre les membresd’un même multiplet d’isospin –constitue un outil puissant pour comprendre et tester lespropriétés de l’interaction faible. En effet, à cause règles des sélections sur le moment orbital,la seule interaction présente dans ces désintégrations β dites de Fermi est de type vectoriel (V).Si le courant vectoriel est conservé par l’interaction faible (hypothèse CVC) alors la constantede couplage vectorielle G V associée aux transitions de Fermi est non renormalisable dans lesmilieux nucléaires (noyaux). En d'autres termes, la même interaction vectorielle seraitresponsable de toutes les décroissances β superpermises des particules. Par conséquent, la forcede transition Ft corrigée caractérisant une désintégration de Fermi est indépendante du noyau.La constante de couplage vectoriel G V est déterminée expérimentalement à partir de la durée devie du noyau émetteur T 1/2 , du bilan énergétique de la réaction Q β et de BR l'intensité de latransition superpermise. On s'est intéressé à l'étude du cas particulier de l'émetteur exotique62 Ga (N=Z=31). En effet, l'exotisme des super émetteurs β avec A ≥ 62 ( 62 Ga, 66 As, 74 Rb, 78 Y..)constitue un facteur très limitant quant à la précision requise sur la valeurexpérimentale Ft (≈10 -4 ) pour le test de l'hypothèse CVC. Par ailleurs, la connaissance de laconstante G V permet de déterminer la valeur de l'élément V ud de la matrice de Cabbibo-Kobayashi-Maskawa (CKM) du Modèle Standard (SM) des interactions électrofaibles.Le but de ce travail de thèse, est de déterminer les rapports d'embranchements β du 62 Zn dansla décroissance de Fermi du 62 Ga. L'intensité de la transition analogue BR reliant les deux étatsfondamentales permettra de calculer la durée de vie partielle t = T 1/2 /BR. D'autre part, oncherchera à mesurer les branches faibles vers les états excités, celles-ci serviront à valider lescalculs théoriques des corrections imposées à la valeur Ft expérimentale. En effet, de nombreuxmodèles prédisent des corrections plus importantes pour les masses A ≥ 62.La nouvelle valeur Ft du 62 Ga, combinée à l'ensemble des 9 transitions superpermises bienconnues ( 10 C- 54 Co) permettront de déterminer et d'améliorer la précision sur l'élément V ud de lamatrice CKM ainsi -peut être- restaurer l'unitarité de celle-ci qui constitue une problématique etun défit au Modèle Standard minimal et sa possible extension.Un proton bien étrangeMarouan Abdelbaste EL-YAKOUBI, IPN OrsayDans le cadre de la Chromodynamique quantique (QCD), le proton est constitué de trois quarks devalence (uud) baignant dans une mer de gluons et de paires de quarks-antiquarks. Seuls les troisquarks les plus légers (up, down et strange) contribuent de façon significative aux propriétés dunucléon. Nous utilisons la propriété de l'interaction faible de violer la parité pour déterminerséparément les contributions des 3 types de quarks aux facteurs de forme du nucléon.L'expérience PVA4 (Parity Violation in Hall A4), qui a lieu à MAMI (Mainzer Mikrotron) enAllemagne, a mesuré l'asymétrie de violation de parité dans la diffusion élastique électron-proton336

à l'aide d'un faisceau d'électrons polarisés longitudinalement à deux moments transférésdifférents Q² = 0.23 et 0.1( GeV/c)². Les mesures d'asymétries aux angles avant et arrièrevont permettre de déterminer séparément les contributions électriques et magnétiques desquarks étranges aux facteurs de forme du nucléon (séparation de Rosenbluth).L'expérience PVA4 utilise une cible d'hydrogène liquide dont la fenêtre d'entrée, en aluminium, aune épaisseur de 50 µm et en voie de sortie, une fenêtre d'épaisseur 350 µm. J'ai évalué lacontribution de la diffusion des électrons sur ces parois en Aluminium. La comparaison au spectreexpérimental associé à l'ensemble Aluminium + Hydrogène a permis de déterminer la contributiondes parois.Extraire la précison sur la contribution étrange aux facteurs de forme du nucléon nécessite laconnaissance de l'erreur sur l'asymétrie mesurée et l'incertitude sur le facteur de formeélectromagnétique. Vu que les paramétrisations habituelles ne permettent pas de prédirel'erreur sur le facteur de forme, une méthode originale basée sur la méthode de Monte Carlo aété développée. Cette méthode nous a permis de déterminer une bande d'erreur sur chaquefacteur de forme correspondant à un moment de transfert Q 2 donné.Le futur détecteur de vertex (HFT) de STARAlexandre SHABETAÏ, IReS StrasbourgLa masse des quarks « lourds » (quarks charmés par exemple) étant grande devant des quarksdits « légers » (u, d, et s), leurs mouvements collectifs devraient permettre d’évaluer l’état dethermalisation de ces derniers. Cette propriété joue un rôle important dans la détermination del’équation d’état du Plasma de Quarks et Gluons (QGP), formé au cours de collisions d’ions lourdsultra-relativistes.D’un point de vue expérimental, la mesure (directe) du flow elliptique (v2) du charme [1] à basseimpulsion transverse (pt) devrait permettre de remonter aux propriétés de thermalisation dusystème formé lors de ces collisions. Aujourd’hui cette mesure n’est possible que de façonindirecte [2] (à travers le v2 des électrons (e - ) issus de désintégrations des hadrons charmés (D e - + X) et est peu précise car elle est accompagnée de grandes incertitudes systématiques(liées aux multiples sources de bruit de fond)).L’expérience STAR [3] (pour « Solenoidal Tracker at RHIC ») au RHIC (pour « Relativistic heavyIon Collider ») propose d’effectuer cette mesure de façon directe et bien plus précise qu’enutilisant les e - , grâce à son futur détecteur de vertex, le HFT (pour « Heavy Flavour Tracker »),premier détecteur qui exploitera la technologie CMOS. Les capteurs CMOS, en plein essorindustriel, cumulant de nombreux avantages comme leur granularité, leur rapidité, leur résistanceaux radiations, leur coût,…L’étude des paramètres de ce détecteur (épaisseur, résolution) et l’optimisation (utilisant desméthodes d’analyse multi-variables) de la reconstruction de hadrons charmés (D o , D + , D s ) à l’aidede simulations montrent qu’une telle mesure sera directement réalisable de façon précise, dès lapremière année de prise de données avec ce détecteur.[1] Bin Zhang Lie-Wen Chen and C.M. Ko, Phys. Rev. C 72 (2005) 024906[2] Frank Laue (for the STAR Collaboration), J. Phys. G 31 (2005) S27-S34[3] K.H. Ackermann et al., Nucl. Instrum. Meth. A 499 (2003) 624337

La Diffusion Compton Profondément Virtuelle (DVCS) sur le nucléon avec ledétecteur CLAS du Jefferson Lab.Hyon-Suk JO, IPN OrsayL'expérience DVCS (Deeply Virtual Compton Scattering) s'est déroulée dans le Hall B duJefferson Lab (Virginie, USA) en 2005. Ce projet implique principalement l'IPN d'Orsay, le CEASaclay, ITEP Moscow, et Jefferson Lab. Avec l'objectif d'étudier la réaction exclusive ep →epγ, cette expérience consiste en la diffusion Compton de photons profondément virtuels sur lesquarks du proton.Nous allons mesurer les sections efficaces et l'asymétrie de spin du faisceau. Cela permettrad'accéder aux Distributions de Partons Généralisées (GPDs). Les GPDs paramétrisent lescorrélations des quarks du nucléon et portent l'information sur les distributions d'impulsion, despin, de moment orbital, de saveur des quarks du nucléon.Un calorimètre électromagnétique à haute résolution et à taux de comptage élevé dédié à cetteexpérience a été conçu et construit à l'IPN d'Orsay afin de compléter le détecteur à largeacceptance CLAS du Hall B. Ce calorimètre consiste en l'assemblage de 424 cristaux detungstate de plomb (PbWO4), associés à des Photodiodes à Avalanche (APDs).Recherche de matière étrange et exotique à RHIC et LHCRenaud VERNET, IReS StrasbourgLa caractérisation d'un Plasma de Quarks et de Gluons repose sur l'étude en laboratoire descollisions d'ions lourds ultra-relativistes. Les collisionneurs RHIC (BNL) et futur LHC (CERN)permettent de sonder des gammes d'énergie disponible dans le centre de masse allant de= 20 à 200 GeV et sNN= 5.5 TeV respectivement, et ainsi d'étudier différentes zones dudiagramme des phases de la matière nucléaire. L'identification des particules étranges yreprésente un domaine d'étude majeur, car elle constitue une sonde directe des espèceschimiques produites lors de la collision.Grâce au détecteur STAR au RHIC a été étudiée dans les collisions centrales Au-Au la formationd'une particule étrange encore hypothétique, le H 0 -dibaryon ou (ΛΛ), prédit sous forme destrangelet ou d'état lié hadronique. Son spectre en masse invariante donne à la masse attendueun pic d'une significance S / B de 4.7 ; des données complémentaires nécessaires à laconfirmation de ce résultat sont en cours d'analyse.Il a été parallèlement effectué par simulation d'événements Pb-Pb une étude des performancesdu futur détecteur ALICE au LHC sur l'identification de particules étranges (et leurs antiparticulesassociées). Pour des événements de multiplicité dN ch /dy = 4000, on estime, moyennant0certaines prédictions sur leur taux de production, qu'un nombre de 30 K S, 11 Λ et 0.075 Ξpourra être reconstruit par événement. La valeur pour les Ω nécessite une plus grande quantitéd'événements que ceux alors disponibles, mais devrait bientôt pouvoir être estimée.sNN338

Etude des réactions (n, Xn) à 96 MeVImmaculada SAGRADO GARCIA, LPC CaenL’aval du cycle électronucléaire groupe deux grandes branches de recherche : la créationd’énergie et le traitement de déchets nucléaires par des options nouvelles. Dans le cadre del’étude des Systèmes Hybrides [1] le laboratoire LPC [2] en collaboration avec le laboratoire TSL[3], a mis en place une campagne de mesure des sections efficaces doublement différentielles(en angle et en énergie), de production des neutrons dans les réactions induites par des neutrons.La motivation de cette campagne de mesures est de compléter le jeu de données déjà obtenues àpartir de la collaboration européenne HINDAS [4]. Cette base de données permettral’optimisation et le développement des codes numériques existant ou en cours de réalisation dansla région d’étude, entre 20 et 200 MeVLe LPC a développé un dispositif original, CLODIA: Chambre à LOcalisation par DérIve etAmplification. CLODIA est un ensemble qui permet la conversion d’un neutron incident dans ledispositif en proton, à partir des réactions H(n,p), ainsi que la mesure de la trajectoire et del’angle d’émission du proton émis. Un faisceau de neutrons à 96 MeV est disponible au TSL, ainsiqu’un dispositif qui permet la mesure de l’énergie du proton de recul dans les réactions induitesdans CLODIA. Ce dispositif est nommé SCANDAL, SCAttered Nucleon Detection AssembLy. Enutilisant l’ensemble CLODIA & SCANDAL l’angle et l’énergie du proton émis peuvent êtremesurés, et à partir de ces valeurs l’énergie du neutron incident peut être calculée.Avec la mise en œuvre de CLODIA sur site à TSL plusieurs mesures ont été effectuées. L’analysedes données correspondant à l’émission de neutrons produits à partir des réactions induites pardes neutrons sur une cible de plomb à 15° a donné des résultats satisfaisants. Les donnéescorrespondant à l’émission de neutrons produits sur des cibles de fer et de plomb à différentespositions angulaires sont actuellement en cour d’analyse et seront prochainement disponibles.[1] Couplage entre un accélérateur et un réacteur[2] Laboratoire de Physique Corpusculaire, (Caen)[3] The Svedberg Laboratory, (Uppsala, Suède)[4] High and Intermediate energy Nuclear Data for Accelerator-driven SystemsUn modèle de propagation des quarks lourds dans le QGPVincent GUIHO, SUBATECH NantesIl y a de cela plus de 20 ans, une théorie naissante, la chromodynamique quantique (QCD),prédisait l'existence d'un nouvel état de la matière (le QGP), état qui aurait prévalu quelquesnano-secondes après le Big-Bang, et juste avant la coexistence des quarks et gluons pour formerles protons et neutrons composant l'ensemble de la matière nucléaire actuelle.Beaucoup de moyens expérimentaux furent mis en oeuvres afin de confirmer cette prédiction.Malheureusement, la complexité du système physique étudié laissa plus de place àl'interprétation subjective qu'à des affirmations formelles relatives à son existence., et ce,parce que l'on a peut-être sauté certaines étapes essentielles à la compréhension d'un telsystème. Afin de répondre à la question « quoi ? », il faut tout d'abord savoir « comment ? »,autrement dit, c'est l'étude des propriétés d'un système physique qui permet de le caractériser,et ainsi de répondre à cette première question.339

C'est pourquoi, l'on propose un modèle phénoménologique permettant de dégager descaractéristiques « grossières » du QGP, mais qui trace le chemin vers une compréhension plusfine, en faisant le lien entre résultats expérimentaux et QCD sur réseau.P.B. Gossiaux, V. Guiho, J. Aichelin, contribution presented at SQM04 (hep-ph/0411324),To be published in J. Phys. G: Nucl. Part. Phys.Description de la matière nucléaire dans un modèle de Nambu-Jona-LasinioRémi HUGUET, CEN Bordeaux GradignanNous avons étudié durant mon travail de Master Recherche la possibilité d'améliorer ladescription de la matière nucléaire dans un modèle hadronique incluant la symétrie chirale et sabrisure dynamique dans le vide, le modèle de Nambu-Jona-Lasinio.Nous avons montré qu'il était possible, en incluant des termes d'interaction ponctuels jusqu'àdouze fermions, de décrire correctement les principales caractéristiques de la matière nucléaireà la densité de saturation ( énergie de liaison, module d'incompressibilité, masse effective dunucléon, ... ).La densité critique pour laquelle la symétrie chirale est totalement restaurée est directementliée à l'impulsion de coupure introduite dans le modèle. Nous avons montré que pour obtenir despropriétés de saturation réalistes, des impulsions de coupure de 400 à 550 MeV peuvent êtreutilisées, donnant des densités critiques de 3 à 8 fois la densité de saturation de la matièrenucléaire.Mesure du J/Ψ µ+µ- dans les collisions Cu + Cu àl’expérience PHENIX. Dépendance en rapiditéAndry RAKOTOZAFINDRABE, LLR PalaiseausNN= 200GeV dansLe méson J/Ψ ( c c ) est une sonde dure prometteuse pour étudier la matière dense et chaudecréée lors des collisions d’ions lourds relativistes. Dans le cas où la matière créée seraitdéconfinée, les modèles théoriques indiquent que le taux de production du J/Ψ sera affecté parce plasma de quarks et de gluons. L’expérience NA50 (CERN) a ainsi annoncé l’observation de lasuppression “anormale” du J/Ψ dans les collisions Pb + Pb les plus centrales (à petit paramètred’impact), en excès de la suppression dite “normale” attendue dans le cas de l’absorption du J/ Ψpar la matière nucléaire ordinaire [1]. Le collisionneur RHIC (BNL) a notamment été construitpour confirmer et étudier de manière systématique le déconfinement à une énergie disponiblesNNdix fois plus élevée par paire de nucléons dans le centre de masse. Les bras muons dePHENIX, une des expériences installées auprès du RHIC, permettent de détecter le J/Ψ via lecanal dimuon dans la région de rapidité 1.2 < |y| < 2.2. En Mars 2005 s’est achevée la prise dedonnées Cu + Cu à sNN= 200 GeV .Deux étapes clefs de l’analyse sont l’extraction du signal (coupures et soustraction du bruit defond combinatoire) et l’évaluation des corrections d’acceptance et d’efficacité (prenant encompte détecteurs, systèmes de déclenchement et algorithme de reconstruction). Les résultatsprésentés sont préliminaires. En particulier, la dépendance en rapidité du facteur de modificationnucléaire R CuCu peut être confrontée à deux prédictions théoriques :340

• les effets nucléaires “froids” sur la production du J/ Ψ (l’absorption nucléaire normale etla modification des fonctions de distribution des partons dans le milieu, connue sous lenom de “shadowing” [2]) ;• la recombinaison (la probabilité que les quarks c et c , séparés au moment dudéconfinement, se recombinent en J/Ψ n’est plus négligeable en raison du nombrerelativement grand de c et de c produits aux énergies du RHIC).La dépendance en rapidité de R CuCu pour les tranches de centralité les plus périphériques estcompatible avec les effets nucléaires froids, ce qui semble ne pas être le cas de la tranche laplus centrale. Lorsqu’on va de la tranche la plus périphérique à la plus centrale, la forme de ladistribution en rapidité du taux de production de J/Ψ ne semble pas évoluer vers unedistribution très piquée à y = 0, laquelle est prédite par le modèle de recombinaison [3].[1] M. C. Abreu et. al. Evidence for deconfinement of quarks and gluons from the J/Ψsuppression pattern measured in Pb-Pb collisions at the CERN-SPS. Phys. Lett. B, 477 :28–36,March 2000.NA50 Collaboration.[2] R. Vogt. Baseline cold nuclear effects on J/Ψ production in AA collisions at RHIC.nuclth/0507027, 2005.[3] R. L. Thews and M. L. Mangano. Momentum spectra of charmonium produced in a quark-gluonplasma. nucl-th/0507027, 2005.Etude de la faisabilité de détection des bosons W à l’expérience ALICEauprès du LHCZaida CONESA DEL VALLE, SUBATECH NantesLes bosons W créés lors des différents types de collisions au LHC (pp@14TeV, PbPb@5.5TeV,...)sont formés durant les premiers instants des collisions, et interagissent faiblement avec le milieuentourant. Ils nous apprendront des informations cruciales. Nous permettront de sonder lespropriétés des partons (« Parton Distribution Functions ») durant les collisions pp. Cecipermettra d'étudier les modifications nucléaires aux PDFs en collisions pA. De plus, laproduction des W pourra être utilisée comme référence des sondes sensibles à la formation duplasma de quarks et gluons dans les collisions d'ions lourds. Les bosons W pourront êtreidentifiés grâce au Spectromètre à Muons d'ALICE en observant les muons de grande impulsiontransverse (pT) issus de sa décroissance. Les prédictions phénoménologiques estiment la sectionefficace de production des W dans le canal muonique en les collisions pp@14TeV à 20.9nb, et à280μb dans PbPb@5.5TeV. Ainsi, les premiers calculs prévoient une production de plus d'un demimillier de W dans le canal muonique en collisions pp@14TeV en conditions nominales, dont 80.000dans l'acceptance du spectromètre. Une analyse exhaustive des spectres de muons produits amontré que le spectre de muons à bas pT est fortement peuplé par la contribution de laproduction de charme et de beauté. Tandis que dans la région des haut pT les muons sontprincipalement issus de la décroissance des W. Par conséquent, on sera capable de les identifierdans ALICE.Finalement, il est intéressant de noter que la possibilité de se servir de la production de cesbosons comme sonde de référence pour observer la perte d'énergie des quarks lourds au plasmaest en train d'être étudiée.341

Oscillateur harmonique avec incertitude minimale non nulle sur la position enmécanique quantiqueDjamil BOUAZIZ, Université de JijelEn théorie de la gravitation quantique ainsi qu’en théorie des cordes, on propose des relations decommutation modifiées [1]. Ces modifications engendrent des incertitudes minimales non nullessur la position . L’étude des implications de ces incertitudes minimales a été un sujet de grandeimportance durant les dix dernières années. Ceci, car on croit que l’incertitude minimale peutêtre interprétée comme étant la dimension finie de la particule [2], et donc le formalisme qui endécoule pourrait constituer une théorie effective à basse énergie des particules non ponctuelles,qui serait capable de bien décrire les particules composites telles que les hadrons [3].Dans ce contexte, on a repris le problème de l’oscillateur harmonique, qui a été traité parplusieurs approches [2,4,5] et on a considéré celle de Brau. Cet auteur dans son papier [2] atrouvé une représentation simple dans l’espace de position qui satisfait les relations decommutation considérées. Mais en fait, cette représentation n’est pas unique. En effet, on en apu trouver une autre vérifiant ces mêmes relations de commutation. En utilisant cette nouvellereprésentation, on a réussi à traiter perturbativement l’oscillateur harmonique. La correction surle spectre d’énergie qu’on a obtenue est semblable à celle trouvée par Brau (dépendance ennombres quantiques n et l ), mais elles ne sont pas égales. Ceci, pourrait dire que le choix de lareprésentation influe sur le spectre d’énergie. Le traitement de l’atome d’hydrogène, qui est unpeu compliqué, peut confirmer ce résultat.[1] D.J.Gross et al, Nucl.Phys.303,407 (1988)[2] F.Brau, J.Phys.A : Math.Gen.32,7691(1999)[3] A.Kempf, J.Phys.A : Math.Gen.30,2093(1999)[4] L.N.Chang et al, Phys.Rev.D65, 125027 (2002)[5] A.Kempf et al, Phys.Rev.D52, 1108 (1995)Une nouvelle méthode d’alignement du spectromètre à muons de PHENIXCatherine TELLO SILVESTRE, DSM/DAPNIA/SPhN, CEA SaclayL'efficacité de la reconstruction des évènements au sein d'un système de détection dépendentre autres de la connaissance précise du positionnement des détecteurs. Or les réparationsentre deux prises de données ou la mise en route du champ magnétique peuvent déplacer cesdétecteurs. Pour améliorer l'analyse, on cherche à minimiser la différence entre la position desparticules mesurée dans chaque détecteur et celle résultant de l'ajustement.Une nouvelle méthode globale d'alignement, développée par M. Blobel, théoricien allemand deDesy, a déjà fait ses preuves notamment sur COMPASS. L'algorithme permet de calculer lemeilleur jeu de paramètres d'alignement pour l'ensemble des détecteurs. Il utilise toutel'information obtenue lors de la reconstruction pour trouver une solution qui minimise la sommedes χ 2 des traces. Pour résoudre le système matriciel, M. Blobel s'est appuyé sur le fait que lestraces sont indépendantes les unes par rapport aux autres et que le jeu de paramètresd'alignement est le même pour toutes les traces.La méthode d'alignement globale a été adaptée au spectromètre à muon de l'expérience PHENIXdu collisionneur RHIC. Les résultats de l'étude faite sur des données simulées confirment uneamélioration du χ 2 des traces grâce à cette méthode d'alignement.342

Simulation d’un détecteur de recul pour l’étude du DVCS avec l’expérienceCOMPASSMichael SEIMETZ, DSM/DAPNIA/SPhN, CEA SaclayDans la description du processus de Diffusion Compton Profondément Virtuelle (DVCS), lp → l'pγ,au 1 er ordre, un photon virtuel (provenant d'un lepton diffusé de haute énergie) interagit avec unquark du proton en produisant un photon réel. Ce processus a gagné beaucoup d'intérêt car il estlié aux Distributions de Partons Généralisées (GPD), des fonctions qui semblent trèsprometteuses pour une modélisation détaillée et complète des partons à l'intérieur du nucléon. Ala différence de la Diffusion Profondément Inélastique (DIS), qui a été exploréeexpérimentalement pendant des dizaines d'années, le proton reste intact dans le DVCS. Uneidentification du processus exclusif de DVCS exige alors, en général, une détection des troisparticules dans l'état final.Une mesure du DVCS est prévue avec le spectromètre COMPASS, au CERN, à partir de 2010.Grâce à la haute énergie du faisceau de muons polarisé (100 GeV) on y pourra accéder à undomaine cinématique complémentaire de celui des expériences déjà existantes. Cependant, ilfaudra ajouter à ce spectromètre un détecteur de recul pour des protons de 250-750 MeV/c.Son but est l'identification des protons et la mesure de leurs impulsions avec une méthode detemps de vol. Il consiste en deux tonneaux concentriques de scintillateurs plastiques. Malgréleurs longueurs (jusqu'à 4 m), la résolution temporelle de ces scintillateurs doit être excellente(σ t ≈ 140 ps). Actuellement, la faisabilité de ce projet est vérifiée par la construction d'unprototype de détecteur avec les mêmes dimensions que le dispositif final, mais qui couvriraseulement 1/8 de l'acceptance angulaire.Afin d'optimiser les propriétés optiques de toutes les composantes, une simulation détaillée de laproduction et de la propagation de la lumière dans les scintillateurs a été effectuée avec lelogiciel LITRANI. Il a fallu intégrer plusieurs nouvelles méthodes dans ce programme pour prendreen compte les qualités du matériau BC 408 et l'interaction de protons à basse énergie avec lamatière, et pour modéliser la transmission dans les guides de lumière twistés. Le code a permisde déterminer une géométrie idéale pour ces pièces. En plus, on a montré que la résolution desscintillateurs peut atteindre l'ordre de grandeur désiré. La simulation sera un outil importantpendant les tests des premiers modules, qui démarreront en automne 2005.Dans une deuxième simulation avec le logiciel GEANT 3, les questions de l'acceptance et del'efficacité du détecteur proposé ont été explorées. On a obtenu des informations surl'absorption des protons, la conversion γ → e + e - dans les parois de la cible et sur la distributiondu bruit de fonds corrélé, ce qui est important non seulement pour l'optimisation de la géométriedu dispositif, mais encore pour le dessin du système de déclenchement.Un test du prototype de détecteur au site de COMPASS est prévu pour 2007.High-Acceptance DiElecton SpectrometerEmilie MORINIERE, IPN OrsayL’expérience HADES est une expérience de physique hadronique qui se déroule àGSI/Darmstadt, en Allemagne. Le but de cette expérience est de mesurer la masse des mésonsvecteursdans la matière nucléaire. En effet, certaines théories prévoit un décalage ou unélargissement de la masse des mésons-vecteurs dans la matière nucléaire. Ces mésons-vecteurspeuvent décroître en une paire de dilepton (e + e - ). En détectant ces 2 leptons, on remonte343

directement à la masse du méson par masse invariante. En effet, les leptons ne sont pas altérésdans la matière nucléaire.Le détecteur HADES est donc un détecteur de dileptons, avec, principalement, un détecteurCherenkov (pour l’identification des électrons et des positrons) et des chambres à dérive (pour latrajectographie des particules).Les prises de données sont commencées depuis 2002. Les prochaines données permettrontd’étudier les contributions élémentaires puisque nous regarderons les réactions proton surproton à 3.5 GeV.344

LISTE DES PARTICIPANTSAURENCHE PatrickLAPTh – BP 110 – F-74941 ANNECY-LE-VIEUX - aurenche@lapp.in2p3.frBACRI HenriLes Figons – F-13510 EGUILLES–henri.bacry@free.frBELHOBSI ZouinaFaculté des Sciences – Univ. De Jijel – BP 98 Ouled Aissa – 18100 JIJEL, AlgérieBENSAFA Imad KhaledLPC Clermont - F-63177 AUBIERE Cedex - bensafa@clermont.in2p3.frBEY AnissaCENBG – BP 120 –F-33175 GRADIGNAN Cedex – bey@cenbg.in2p3.frBOUAZIZ DjamilFaculté des Sciences – Univ. De Jijel – BP 98 Ouled Aissa – 18100 JIJEL, Algérie – bouazizdjamil@yahoo.frBOUCHET JonathanSUBATECH – BP 20722 – 4 rue A. Kastler – F-44307 NANTES Cedex 3 – jonathan.bouchet @subatech.in2p3.frBOUCHIGNY SylvainIPN Orsay – 15 rue Georges Clémenceau – F-91406 ORSAY Cedex – bouchign@ipno.in2p3.frBOURDAUD GuénoléSUBATECH – BP 20722 – 4 rue A. Kastler – F-44307 NANTES Cedex 3 – guenole.bourdaud@subatech.in2p3.frBUISSERET FabienUniv. Mons Hainaut – Phys. Théorique – 20 Place du Parc, B-7000 MONS – fabien.buisseret@umh.ac.beCARBONELL JaumeLPSC Grenoble - 53 Avenue des Martyrs - F-38026 GRENOBLE Cedex – carbonel@lpsc.in2p3.frCHARPY AlexandreIPN Orsay – 15 rue Georges Clémenceau – F-91406 ORSAY Cedex – charpy@ipno.in2p3.frCHEYNIS BrigitteIPN Lyon – 43 Bld du 11 Novembre 1918 – F-69622 VILLEURBANNE Cedex – b.cheynis@ipnl.in2p3.frCONESA DEL VALLE ZaidaSUBATECH – BP 20722 – 4 rue A. Kastler – F-44307 NANTES Cedex 3 – zaida.conesa@subatech.in2p3.fDUPIEUX PascalLPC Clermont – 24 avenue des Landais – F-63177 AUBIERE Cedex – dupieux@clermont.in2p3.frEL YAKOUBI MarouanIPN Orsay – 15 rue Georges Clémenceau – F-91406 ORSAY Cedex – marouan@ipno.in2p3.frESTIENNE MagaliIReS Strasbourg - 23 Rue du Loess - F-67037 STRASBOURG Cedex 2 – magali.estienne@subatech.in2p3.frFINCK ChristianSUBATECH – BP 20722 – 4 rue A. Kastler – F-44307 NANTES Cedex 3 – christian.finck@subatech.in2p3.frGRANIER DE CASSAGNAC RaphaëlLaboratoire Leprince Ringuet LLR – Route de Saclay– F-91128 PALAISEAU – raphael@in2p3.frGUERIN FabienLPC Clermont – 24 avenue des Landais – F-63177 AUBIERE Cedex – fabien.guerin@clermont.in2p3.frGUIDAL MichelIPN Orsay – 15 rue Georges Clémenceau – F-91406 ORSAY Cedex – guidal@ipno.in2p3.frGUIHO VincentSUBATECH – BP 20722 – 4 rue A. Kastler – F-44307 NANTES Cedex 3 – vincent.guiho@subatech.in2p3.frGULMINELLI FrancescaLPC/ISMRA - 6, Boulevard du Maréchal Juin - F-14050 CAEN Cedex – gulminelli@lpccaen.in2p3.fr345

HADJ HENNI AhmedSUBATECH – BP 20722 – 4 rue A. Kastler – F-44307 NANTES Cedex 3 – hadjheni@subatech.in2p3.frHUGUET RémiCENBG – Rue du Solarium – BP 110 – F-33175 GRADIGNAN Cedex – huguet@cenbg.in2p3.frJO Hyon-SukIPN Orsay – 15 rue Georges Clémenceau – F-91406 ORSAY Cedex – jo@ipno.in2p3.frLE GOFF Jean-MarcDSM/DAPNIA/SPhN – CEA Saclay – F-91191 GIF-SUR-YVETTE Cedex – jmlegoff@cea.frLHUILLIER DavidDSM/DAPNIA/SPhN – CEA Saclay – F-91191 GIF-SUR-YVETTE Cedex – dlhuillier@cea.frMANGIN BRINET MarianeLPSC Grenoble - 53 Avenue des Martyrs - F-38026 GRENOBLE Cedex – mariane@lpsc.in2p3.frMARTIN JoëlDSM/DAPNIA/SPhN – CEA Saclay – F-91191 GIF-SUR-YVETTE Cedex – jmartin@cea.frMARTINO JacquesSUBATECH – BP 20722 – 4 rue A. Kastler – F-44307 NANTES Cedex 3 – jmartino@subatech.in2p3.frMATHIEU VincentUniv. Mons Hainaut – Phys. Théorique – 20 Place du Parc, B-7000 MONS – vincent.mathieu@umh.ac.beMORINIERE EmilieIPN Orsay – 15 rue Georges Clémenceau – F-91406 ORSAY Cedex – morinier@ipno.in2p3.frMOUSSALLAM BachirIPN Orsay – 15 rue Georges Clémenceau – F-91406 ORSAY Cedex – moussall@ipno.in2p3.frPENE OlivierLPT – Université Paris-Sud, Bâtiment 210 - F-91405 ORSAY – olivier .pene@th.u-psud.frPILLOT PhilippeIPN Lyon – 43 Bld du 11 Novembre 1918 – F-69622 VILLEURBANNE Cedex – pillot@ipnl.in2p3.frPORQUET Marie-GenevièveCSNSM – Bâtiment 104-108- F-91405 ORSAY – porquet@csnsm.in2p3.frROSNET PhilippeLPC Clermont – 24 avenue des Landais – F-63177 AUBIERE Cedex – rosnet@clermont.in2p3.frRAKOTOZAFINDRABE AndryLaboratoire Leprince Ringuet LLR – Route de Saclay– F-91128 PALAISEAU – andry@.in2p3.frROY ChristelleSUBATECH – BP 20722 – 4 rue A. Kastler – F-44307 NANTES Cedex 3 – christelle.roy@subatech.in2p3.frSAGRADO GARCIA ImmaculadaLPC/ISMRA - 6, Boulevard du Maréchal Juin - F-14050 CAEN Cedex – sagrado@lpccaen.in2p3.frSEIMETZ MichaelDSM/DAPNIA/SPhN – CEA Saclay – F-91191 GIF-SUR-YVETTE Cedex – mseimetz@cea.frSEMAY ClaudeUniv. Mons Hainaut – Phys. Théorique – 20 Place du Parc, B-7000 MONS – claude.semay@umh.ac.beSHABETAI AlexandreIReS Strasbourg - 23 Rue du Loess - F-67037 STRASBOURG Cedex 2 – ashabetai@ires.in2p3.frSILVESTRE BRAC BernardLPSC Grenoble - 53 Avenue des Martyrs - F-38026 GRENOBLE Cedex – silvestre@lpsc.in2p3.frTELLO SILVESTRE CatherineDSM/DAPNIA/SPhN – CEA Saclay – F-91191 GIF-SUR-YVETTE Cedex – csilvestre@cea.frVERNET RenaudIReS Strasbourg - 23 Rue du Loess - F-67037 STRASBOURG Cedex 2 – renaud.vernet@cern.chWANE Sada TamimouUniv. Cheik Anta Diop – Faculté des Sciences et Techniques – DAKAR – Sénégal – sadatwan@refer.sn346

LA QCD A L'OEUVRE : des hadrons au plasma - Cenbg - IN2P3

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