injection LES - cerfacs

Remerciements 

Mes remerciements vont en premier lieu à mes encadrants de thèse, à savoir Adlène Benkenida de l’IFP et 

Bénédicte Cuenot du CERFACS. L’attention portée à mon encadrement ainsi que leur grande expérience 

et leur sérieux ont largement contribué à la réussite de cette thèse. 

Je remercie également l’ensemble des membres du jury pour avoir accepté d’évaluer mon travail et pour 

avoir interagi avec moi lors de la soutenance. Merci à Jacques Borée pour avoir présidé le Jury, aux 

rapporteurs Marc Massot et Julien Réveillon pour avoir pris le temps de décortiquer mon manuscrit, à 

Olivier Simonin pour ses questions très pertinentes et Gregory Blokkeel pour avoir accepté de donner un 

point de vue industriel à mon travail. 

J’adresse également toute ma gratitude à Stéphane Henriot, Directeur de la TAE (Techniques d’Applications 

Énergétiques) et Antonio Pires da Cruz, chef du département R102 (Modélisation et Simulation 

Système) pour m’avoir accueilli dans leur équipe et pour m’avoir fait confiance à la suite de ma thèse. Je 

me suis senti tout de suite très à l’aise dans leur équipe, que je tiens à saluer. J’ai travaillé durant ces trois 

années avec des personnes très compétentes et très motivées. Je salue en particulier Stéphane Richard, 

Jörg Anderlohr et Jean-Baptiste Michel pour les discussions scientifiques, automobiles et politiques et 

leur très bonne humeur. Je salue également les thésardes et thésards de R102 comme Pauline, Guillaume, 

Damien, Alessio, Vahid, Yohan et les plus jeunes, pour leur joie de vivre et l’ambiance chaleureuse qu’ils 

ont su développer. Je souhaite bon courage à Aymeric qui a repris le flambeau de l’injection LES et qui va 

bientôt terminer son dur labeur. Je voudrais remercier également mes collègues de bureau Olivier, Pierre 

et Romain. Il me semble impossible de remercier ici toutes les personnes avec lesquelles j’ai travaillé de 

près ou de loin. Qu’elles trouvent ici l’expression de toute ma gratitude. 

Je voudrais également remercier l’équipe du CERFACS à Toulouse qui a participé à l’évolution du code 

de calcul et de la partie diphasique. Je remercie particulièrement Marlène, Nicolas, Olivier et Gabriel 

pour leur aide et leur disponibilité. 

Enfin, je remercie de tout mon coeur ma famille et en particulier ma femme pour son soutien sans faille 

et sa compréhension pour mes nombreuses heures de travail tardives. Elle a su me redonner de la force 

quand il m’en manquait. 

3

Simulation aux grandes échelles de l’injection de carburant liquide dans 

les moteurs à combustion interne 

Résumé 

Les objectifs ambitieux, fixés aux acteurs du secteur automobile par les pouvoirs publics, en matière 

d’émission de polluants et de gaz à effet de serre rendent aujourd’hui indispensable une compréhension 

plus fine de la combustion dans les moteurs. La simulation 3D aux grandes échelles (LES) représente une 

voie prometteuse pour répondre à ces enjeux. Elle permet l’étude de phénomènes transitoires complexes 

inaccessibles avec des moyens expérimentaux ou des méthodes de calcul traditionnelles de type RANS. 

Ce travail de thèse est une première étape vers la simulation LES de l’injection de carburant liquide dans 

les moteurs à piston. Il a consisté à adapter le code de calcul aux particularités physiques de l’injection 

directe, technologie qui se généralise actuellement à tous les types de moteurs à piston. Dans un 

premier temps, et afin de s’affranchir du calcul 3D complexe en sortie d’injecteur, une méthodologie originale, 

consistant à initier le calcul en aval de l’injecteur, est proposée et validée sur différents cas. Pour 

la simulation 3D, l’approche Eulérienne mésoscopique, à laquelle est ajouté un modèle d’interaction 

particules-particules, est utilisée pour simuler le spray. Les simulations ont été validées par comparaison 

expérimentale dans des conditions proches de l’injection Diesel. De plus, une étude sur la dynamique 

du spray a permis de mieux comprendre son évolution et de dégager des points communs avec un jet de 

gaz turbulent. Des simulations complémentaires ont également montré la prédictivité de la LES sur des 

injections Diesel réalistes. Enfin, un premier calcul moteur à injection directe a étéréalisé et a permis de 

valider les développements réalisés dans le cadre de cette thèse. 

Mots clés 

Simulation aux grandes échelles, écoulements diphasiques, modélisation Eulérienne mésoscopique, Injection, 

Diesel, Spray 

5

Large Eddy Simulation of the liquid fuel injection in internal combustion 

engines 

Abstract 

Car manufacturers are facing increasingly severe regulations on pollutant emissions and fuel consumption. 

To respect these regulations, a better understanding of combustion processes is needed. Large Eddy 

Simulation (LES) is becoming a promising tool for such issues as it allows the study of complex unsteady 

phenomena which can not be analysed with RANS simulations or experiments. 

The present work is a step towards the LES of liquid injection in piston engines. The numerical code has 

been adapted to the specifications of Direct Injection which is more and more used in industry. 

Firstly, in order to avoid the difficulties linked to the 3D simulation of cavitation, primary break-up and 

turbulence in the near-nozzle region, an original methodology, based on an injector model, has been proposed. 

The idea is to initiate the spray physics downstream to the injector exit. 

Then LES 3D simulations of spray have been conducted using the Eulerian Mesoscopic approach extended 

to dense dispersed sprays by the addition of a particle-particle interactions model. The simulation results 

have been validated by comparison with experimental data in Diesel conditions with a low injection 

pressure. Furthermore a study on the spray dynamics has permitted to better understand its development 

and to find similarities with a turbulent gaseous jet. Additional simulations on realistic Diesel injection 

conditions have shown the good predictivity of LES in such cases. Finally, a first simulation of a Direct 

Injection Engine has been been carried out to assess the developments achieved in this work. 

Keywords 

Large Eddy Simulation, Two-Phase Flow, Mesoscopic Eulerian Formalism, Injection, Diesel, Spray

Table des matières 

Nomenclature 1 

Introduction 7 

I Modélisation bi-fluide 19 

1 Approche volumique 23 

1.1 Définitions .......................................... 23 

1.2 Méthode de dérivation ................................... 26 

1.3 Équation de continuité ................................... 26 

1.4 Équation de quantité de mouvement ............................ 27 

1.5 Équation de conservation des espèces ........................... 29 

1.6 Équation de l’enthalpie sensible .............................. 30 

1.7 Équation de l’énergie totale ................................. 33 

1.8 Conservation de l’énergie du système ........................... 34 

1.9 Bilan des équations par approche volumique ........................ 36 

2 Approche statistique 37 

2.1 Définitions .......................................... 38 

2.2 Formalisme mésoscopique ................................. 42 

2.3 Les équations de la phase dispersée ............................. 43 

2.3.1 Équations ’standard’ simplifiées d’AVBP ..................... 44 

2.3.2 Équations ’standards’ filtrées ............................ 44 

2.4 Modélisation ’standard’ utilisée pour la phase dispersée .................. 46 

2.4.1 Modélisation des termes décorrélés ........................ 46 

7

TABLE DES MATIÈRES 

2.4.2 Modélisation des termes de sous-maille ...................... 46 

2.4.3 Modélisation des termes d’échanges ....................... 47 

Transfert massique ................................. 48 

Échange de chaleur ................................. 49 

Coefficient de transport : la règle des 2/3 ..................... 50 

Traitement numérique de l’ébullition ........................ 50 

Valeur de référence pour l’enthalpie liquide .................... 51 

2.5 Quelques points d’interrogation sur l’approche mésoscopique ............... 51 

2.5.1 Validité du conditionnement sur la réalisation gazeuse .............. 51 

2.5.2 Notion d’échelle et remise en cause de l’hypothèse de viscosité ......... 51 

2.5.3 Remarque sur le sens de l’opérateur statistique .................. 52 

2.6 Equations du gaz filtrées .................................. 52 

2.7 Bilan des équations par approche statistique ........................ 54 

3 Conclusions sur les équations diphasiques bi-fluides 55 

II Développements de AVBP pour le calcul de l’injection directe 57 

4 Modélisation physique des écoulements diphasiques denses 61 

4.1 Classification des régimes diphasiques ........................... 61 

4.2 Importance des collisions .................................. 62 

4.3 Prise en compte des collisions ............................... 64 

4.4 Modélisation des termes collisionnels ........................... 65 

4.4.1 Taux de variation collisionnel ........................... 65 

4.4.2 Collisions binaires ................................. 65 

4.4.3 Fonction de distribution paire ........................... 66 

4.4.4 Développement de Grad .............................. 66 

4.4.5 Théorie linéaire ................................... 68 

4.5 Nouvelles équations bi-fluide pour les écoulements chargés ................ 69 

4.5.1 Modélisation de la contribution cinétique ..................... 70 

4.5.2 Modélisation de la contribution collisionnelle ................... 70 

4.5.3 Équation de quantité de mouvement ........................ 72 

4.5.4 Équation de conservation de RUE ......................... 72 

8


4.6 Influence des termes collisionnels ............................. 74 

4.7 Quelques réflexions sur le modèle de collisions ...................... 77 

4.8 Quelques réflexions sur les équations du gaz ........................ 78 

4.8.1 Différence entre écoulement ’dilué’ et ’dense’ ................... 78 

Équations en écoulement dilué ........................... 78 

Équations en écoulement dense .......................... 79 

4.8.2 Analyse du terme correctif ............................. 79 

5 Aspects numériques 81 

5.1 Le code AVBP ....................................... 81 

5.2 Mouvement de maillage .................................. 83 

5.3 Opérateur de diffusion ................................... 85 

5.4 Viscosité artificielle pour la phase liquide ......................... 87 

5.4.1 Problématique des équations bi-fluides ...................... 87 

5.4.2 Comment et où appliquer la viscosité artificielle ? ................. 87 

5.4.3 Les différents senseurs de la phase liquide dans AVBP .............. 88 

Le senseur ”Jameson-Riber” ............................ 89 

Le senseur de ”Colin” ............................... 90 

Le senseur de ”Colin-Martinez” .......................... 91 

Exemple de résultat obtenu avec le nouveau senseur ............... 92 

5.5 Conclusion ......................................... 93 

6 Condition limite d’injection pour la simulation 3D de spray Diesel. Méthodologie et validation 

97 

6.1 Introduction ......................................... 97 

6.2 FUEL 2009 - A model for the injection boundary conditions in the context of 3D Simulation 

of Diesel Spray : Methodology and Validation ................... 98 

6.3 Complément .........................................109 

III Validation 113 

6.4 Abstract ...........................................115 

6.5 Introduction .........................................115 

6.6 Governing equations and modelling ............................117 

9


6.6.1 Carrier phase ....................................117 

6.6.2 Dispersed phase ..................................118 

Mesoscopic Eulerian formalism ..........................118 

Closure models for Random Uncorrelated Motion .................120 

Closure models for subgrid terms .........................121 

Extension to dense sprays : collision effects ....................121 

Characteristic time scales for sprays and Stokes number .............124 

6.7 Numerical Simulation ....................................124 

6.7.1 LES solver .....................................124 

6.7.2 Experimental set-up ................................124 

6.7.3 Parameters of the simulation and boundary conditions ..............125 

6.7.4 Turbulent boundary conditions ...........................126 

6.8 Results and analysis of the spray behaviour ........................128 

6.8.1 Effect of drag ....................................128 

6.8.2 Effect of the turbulence intensity ..........................130 

6.8.3 Effect of the chamber pressure ...........................130 

6.8.4 Self-similarity ...................................133 

6.8.5 Droplet distribution .................................137 

6.8.6 Uncorrelated droplet velocity ...........................137 

6.9 Concluding remarks .....................................140 

IV Vers la simulation du moteur à injection directe 143 

7 Calculs en chambre pressurisée 147 

7.1 Expérience .........................................147 

7.1.1 Dispositif expérimental ...............................147 

7.1.2 Cas sans évaporation ................................147 

7.1.3 Cas avec évaporation ................................148 

7.2 Présentation du calcul 3D ..................................149 

7.2.1 Géométrie et maillage ...............................149 

7.2.2 Paramètres numériques ...............................155 

7.2.3 Condition limite ..................................155 

10


7.3 Longueur de pénétration ..................................159 

7.3.1 Commentaires sur l’analyse des longueurs de pénétration .............159 

7.3.2 Cas non évaporants .................................160 

7.3.3 Cas avec évaporation ................................163 

7.3.4 Influence du maillage ................................165 

7.3.5 Conclusions sur l’analyse des longueurs de pénétration ..............166 

7.4 Angles de spray .......................................166 

7.5 Analyse de l’évolution instationnaire du spray .......................170 

7.5.1 Etude des instabilités du spray non-évaporant T4P8 ................170 

7.5.2 Étude des trajectoires des gouttes dans le spray non-évaporant T4P8 .......175 

7.5.3 Étude du spray évaporant ..............................176 

7.6 Conclusion sur les calculs en chambre pressurisée .....................178 

8 Calcul d’un moteur à injection directe 179 

8.1 Choix de la configuration étudiée ..............................179 

8.2 Paramètres du calcul 3D ..................................181 

8.2.1 Moteur et point de fonctionnement étudié .....................181 

8.2.2 Maillage ......................................181 

8.2.3 Conditions initiale et aux limites ..........................186 

Condition initiale ..................................186 

Conditions limites .................................186 

8.2.4 Modélisation de la combustion et de l’allumage ..................187 

8.3 Résultats de simulation 3D .................................188 

8.3.1 Mise en oeuvre de la méthodologie de calcul de l’injection directe ........188 

8.3.2 Admission .....................................188 

8.3.3 Injection ......................................189 

8.3.4 Compression ....................................193 

8.3.5 Combustion stratifiée ................................196 

8.4 Conclusion .........................................203 

Conclusion 205 

Bibliographie 222 

11


ANNEXES 223 

A Le code de calcul AVBP 225 

A.1 Equations de base ......................................225 

A.1.1 Equations de Navier-Stokes ............................225 

A.1.2 Loi d’état ......................................227 

A.1.3 Tabulation des grandeurs thermodynamiques ...................227 

A.2 Discrétisation des équations ................................228 

A.2.1 Intégration temporelle ...............................228 

A.2.2 Intégration spatiale .................................229 

Volumes de contrôle ................................229 

Méthode cell-vertex ................................230 

Schéma de Lax-Wendroff volumes finis ......................230 

Schéma TTGC éléments finis ...........................232 

A.3 Modèles LES ........................................232 

A.3.1 Modèles de turbulence ...............................232 

12

Table des figures 

1 Combustion Diesel et vues de l’injection directe dans la chambre de combustion. Source : 

auto-innovations.com .................................... 10 

2 Physique du spray en sortie d’injecteur ........................... 11 

1.1 Volume fermé d’intégration ................................. 35 

2.1 Principe de l’approche statistique .............................. 37 

2.2 Présentation de la vitesse mésoscopique (ou vitesse moyenne ou corrélée) et de la vitesse 

décorrélée en comparaison avec la vitesse particulaire ................... 42 

2.3 Goutte isolée à la température T ζ s’évaporant dans un écoulement de gaz à la température 

T ∞ et avec une fraction massique de carburant Y F,∞ . .................... 47 

4.1 Classification des régimes d’écoulements diphasiques selon Elghobashi (1994) ..... 61 

4.2 Rapport des temps caractéristiques de collision et de relaxation .............. 63 

4.3 Principe du transfert d’énergie pour la phase liquide ................... 73 

4.4 Cas de production d’énergie décorrélée par compression ................. 74 

4.5 Evolution de P ratio en fonction de la fraction volumique de liquide pour différentes valeurs 

du paramètre α m . ................................... 75 

4.6 Evolution de P ratio en fonction de la fraction volumique de liquide pour différentes valeurs 

du paramètre α m . Zone dense ............................. 75 

4.7 Évolution de ν ratio en fonction de la fraction volumique de liquide pour différentes valeurs 

d’énergie RUE. .................................... 76 

4.8 Évolution de κ ratio en fonction de la fraction volumique de liquide pour différentes valeurs 

d’énergie RUE. .................................... 76 

4.9 Mécanismes visqueux par contribution cinétique dans la théorie cinétique des gaz. .... 76 

4.10 Régime de collision en fonction du facteur d’impact B et du nombre de Weber W e d’après 

Qian and Law (1997). .................................... 77 

13

TABLE DES FIGURES 

4.11 Régime de collision en fonction du facteur d’impact B et du nombre de Weber W e d’après 

Qian and Law (1997). Données numériques. ........................ 77 

5.1 Principe de la méthode cell-vertex, en deux étapes : assemblage et distribution. D’après 

Moureau (2004). ...................................... 82 

5.2 Spectres d’énergie typiques obtenus en DNS de turbulence homogène isotrope avec 

l’opérateur de diffusion “4∆”. D’après le Handbook AVBP ................ 86 

5.3 Comparaison des champs des senseurs ’Jameson-Riber’ en haut et ’Colin-Martinez’ en 

bas sur une injection Diesel ................................. 93 

6.1 Présentation du cône sur lequel est appliquée DITurBC ..................109 

6.2 Cross section of the mesh and view of the cone dedicated to the DITurBC. ........125 

6.3 Decrease of mean axial velocity and effects of the inlet gas velocity. ...........128 

6.4 Radial distribution at X/D = 100 of mean and rms axial velocity. Comparison on the 

effect of the drag force. ...................................129 

6.5 Evolution of spray volume and energy exchange between phases with time. .......130 

6.6 Instantaneous iso-surface of the liquid volume fraction (left) and the gas vorticity magnitude 

(right) for different levels of turbulence at t = 2ms. ..................131 

6.7 Decrease of mean axial velocity and effects of the level of turbulence. ..........132 

6.8 Radial distribution at X/D = 100 of mean and rms axial velocity. Comparison on the 

effect of the level of turbulence. ..............................132 

6.9 Instantaneous iso-surface of the liquid volume fraction (left) and the gas vorticity magnitude 

(right) for different back pressures at t = 2ms. ....................133 

6.10 Decrease of mean axial velocity and effects of the boundary condition parameters. ....134 

6.11 Evolution of the turbulence intensity along axis for liquid and gas phase. .........135 

6.12 Self-similarity of the mean liquid axial velocity. Comparison with the experiment of 

Hussein et al. (1994). ....................................136 

6.13 Coefficient of the cross correlation C uv for the gas and liquid phase at X/D=100. Comparison 

with the experiments of Wygnansky and Fielder (1969), Gibson (1963) and Panchapakesan 

and Lumley (1993) ...............................136 

6.14 Cross section view. Instantaneous liquid volume fraction field and gas velocity vectors. . 137 

6.15 Partitioning of the particle fluctuating motion along axis. Comparison with the correlation 

of Vance et al. (2006). .................................139 

6.16 Decomposition of the particle fluctuating motion at 100D. Radial profiles are normalised 

by the mean correlated energy on spray axis. ........................139 

14


7.1 Schéma de la cellule d’après (Verhoeven et al. 1998) ..................148 

7.2 Géométrie du nez mono-trou en millimètres d’après (Verhoeven et al. 1998) .......148 

7.3 Vues globales de présentation du maillage .........................150 

7.4 Vue en coupe du maillage 

(plan de coupe cf. 7.3). ...................................150 

7.5 Vue en coupe du maillage (plan de coupe cf. 7.3). Zoom sur la zone d’injection. .....150 

7.6 Vues en coupe des différents maillages ...........................151 

7.7 Vues en coupe de la zone d’injection pour les différents maillages ............152 

7.8 Vues en coupe de la zone de développement du spray pour les différents maillages ....153 

7.9 Cône de décalage de la condition limite ..........................155 

7.10 Taux d’introduction expérimental (Vanhemelryck 1996) ..................157 

7.11 Taux d’introduction simulé .................................157 

7.12 Comparaison des levées d’aiguille en fonction de la pression d’injection (Vanhemelryck 

1996) ............................................158 

7.13 Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T4P4. Influence de la pente du 

taux d’introduction. .....................................160 





7.16 Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T4P4 et deux valeurs de diamètre 162 

7.17 Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T8P4. Pente 0.2ms ........163 

7.18 Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T8P4. Pente 0.1ms ........164 

7.19 Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T8P4. Diamètre divisé par 2 ...164 

7.20 Comparaison des longueurs de pénétration pour la cas T4P4. Influence du maillage. ...166 

7.21 Comparaison des visualisations du spray T4P8 par iso-surface de diamètre d = 3µm ...168 

7.22 Comparaison des visualisations du spray T4P8 par iso-surface de fraction volumique de 

liquide α l = 0.007 ......................................169 

7.23 Évolution temporelle de l’iso-surface de pression à 10% du minimum. Début de l’injection.171 

7.24 Évolution temporelle de l’iso-surface de pression à 10% du minimum. Visualisation de 

l’appariement et de l’étirement tourbillonnaire .......................173 

7.25 Évolution temporelle de l’iso-surface de critère Q avec Q = 3,5.10 8 . Visualisation de 

l’appariement et de l’étirement tourbillonnaire .......................174 

15


7.26 Trajectoires des gouttelettes coloriées par la vitesse ....................175 

7.27 Trajectoires des gouttelettes coloriées par la vitesse. Changement de perspective .....176 

7.28 Distribution de fraction massique de n-dodécane. Iso-contours de fraction massique pour 

Y Fuel = 0.01, Y Fuel = 0.1 et Y Fuel = 0.2. ..........................177 

8.1 Vues de la géométrie du XU10J4 ..............................180 

8.2 Vue de la zone d’injection .................................180 

8.3 Principe de la gestion de maillage en configuration moteur d’après (Richard 2005) ....182 

8.4 Adapatation d’un calcul injection indirecte à l’injection directe. Les encadrés rouges 

concernent les phases de calcul monophasiques. Les encadrés bleus concernent les phases 

de calcul diphasiques ....................................183 

8.5 Vue du maillage .......................................184 

8.6 Vues de l’intérieur de la chambre de combustion et de la zone d’injection ........184 

8.7 Vue globale du maillage ..................................185 

8.8 Vue 3D et plans de coupe ..................................185 

8.9 Vue des plans en coupe du maillage ............................186 

8.10 Champ de vitesse du gaz (gauche) et structures turbulentes (droite) pendant la phase 

d’admission. Angle de -205,5˚V ..............................189 

8.11 Iso-surface de fraction volumique de liquide (fixée à 0,003) colorée par le diamètre des 

gouttes (gauche) et iso-surface de fraction massique de carburant (fixée à 0,4) colorée 

par la vorticité du gaz (droite). Angle de -290˚V ......................190 



par la vorticité du gaz (droite). Angle de -192,5˚V .....................191 



par la vorticité du gaz (droite). Angle de -185˚V ......................192 

8.14 Champ de fraction massique de carburant (gauche) et iso-surface de fraction massique 

de carburant (fixée à 0,4) colorée par la vorticité du gaz (droite). Angle de -175˚V ....194 





16


8.17 Champ de fraction massique de carburant par coupe dans l’axe cylindre (gauche) et 

champ de la fraction massique de carburant par coupe perpendiculaire à l’axe cylindre 

(droite). Angle de -50˚V ..................................196 

8.18 Iso-surface d’avancement à 0,3 colorée par la richesse (gauche) et champ en coupe de la 

fraction massique de CO (droite). Angle de 11˚V .....................196 

8.19 Vue en coupe parallèle au piston, dans la chambre de combustion, des champs de richesse, 

de densité de surface de flamme Σ, de fraction massique de CO et d’avancement 

c. Angle de 1˚V .......................................198 


de densité de surface de flamme Σ , de fraction massique de CO et d’avancement 

c. Angle de 7˚V .......................................199 



c. Angle de 11˚V ......................................200 



c. Angle de 17˚V ......................................201 



c. Angle de 25˚V ......................................202 

A.1 Notations pour la méthode de discrétisation cell-vertex ..................229 

A.2 Principe de la méthode cell-vertex. Elle se déroule en deux étapes : assemblage et distribution. 

...........................................230 

17


18

Liste des tableaux 

6.1 Numerical parameters of the LES calculations. ......................125 

6.2 Boundary conditions for the reference case. ........................126 

6.3 Physical parameters of the simulation for the reference case. ...............126 

7.1 Présentation des cas sans évaporation en chambre pressurisée ...............148 

7.2 Présentation du cas avec évaporation en chambre pressurisée ...............149 

7.3 Composition initiale dans la chambre pour le cas T8P4 ..................149 

7.4 Paramètres du maillage de référence ............................154 

7.5 Paramètres du maillage fin .................................154 

7.6 Paramètres du maillage grossier ..............................154 

7.7 Paramètres du calcul dans le cas T4P4 ...........................155 

7.8 Conditions aux limites ...................................156 

7.9 Valeur des pentes des taux d’introduction en fonction de la pression d’injection .....158 

8.1 Paramètres géométriques du moteur et point de fonctionnement étudié. Les angles vilebrequin 

sont relatifs au point mort haut (PMH) combustion. ................181 

8.2 Dimensions du maillage et temps de calcul associés ....................183 

8.3 Conditions aux limites adoptées pour les simulations. ...................187 

19

Nomenclature 

Abréviations 

DiTurBC Downstream Inflow Turbulent Boundary Condition 

DNS 

FDP 

LES 

Direct Numerical Simulation 

Fonction Densité de Probabilité 

Large Eddy Simulation 

NSCBC Navier Stokes Characteristic Boundary Condition 

PDF 

PMB 

PMH 

Probability Density Function 

Point Mort Bas 

Point Mort Haut 

RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes 

RMS 

RUE 

RUM 

RUV 

SGS 

THI 

Root Mean Square 

Random Uncorrelated Energy 

Random Uncorrelated Motion 

Random Uncorrelated Velocity 

Subgrid Scale 

Turbulence Homogène Isotrope 

Exposants 

′ 

Fluctuation par rapport à la moyenne de Reynolds 

′′ 

Fluctuation par rapport à la moyenne de Favre 

∗ 

Partie déviatrice 

. t Terme de sous-maille 

1

LISTE DES TABLEAUX 

c 

coll 

tot 

Terme cinématique 

Terme collisionnel 

Terme total (cinématique+collisionnel) 

Lettres grecques 

α k 

α m 

χ k 

δθ 

δK l,i jk 

δq 2 l 

δR l,ij 

δu k p,i 

∆ f 

δ I 

δ ij 

Γ k 

ι 

κ l,RUV 

Λ l 

Fraction volumique de la phase k 

Fraction volumique maximum 

Fonction indicatrice de la phase k 

Énergie décorrélée 

Tenseur des corrélations triples du mouvement non corrélé 

Énergie décorrélée moyenne des particules 

Tenseur des corrélations doubles du mouvement non corrélé 

Composante décorrélée de la vitesse de la particule k 

Taille caractéristique du filtre 

Distribution de Dirac associée à l’interface 

Symbole de Kronecker 

Terme de transferts interfaciaux de masse pour la phase k 

Invariant élémentaire de collision 

Coefficient de diffusion du mouvement décorrélé 

Terme d’échange d’enthalpie sensible par évaporation 

µ Viscosité dynamique 

ν 

ν l,RUV 

Ω j 

Φ l 

Π δθl 

Π k 

ρ 

Σ 

Viscosité cinématique 

Viscosité du mouvement décorrélé 

Cellule de calcul j 

Terme d’échange thermique à l’interface par conduction 

Prodution de sous maille de mouvement décorrélé 

Terme de transfert d’énergie pour la phase k 

Masse volumique 

Densité de surface de flamme 

2


σ i, j 

Σ l,i, j 

τ c 

τ i, j 

τ p 

τ t 

ξ 

G ∆ f 

Composante (i, j) du tenseur des contraintes de la phase gazeuse 

Composante (i, j) du tenseur des contraintes de la phase liquide 

Temps caractéristique de collision 

Composante (i, j) du tenseur des contraintes visqueuses 

Temps de relaxation des particules 

Temps turbulent relatif à l’échelle intégrale 

Bulk viscosity 

Noyau du filtre spatial 

Lettres latines 

B M 

ṁ p 

C 

H f 

˜q 2 l 

C D 

C l 

c p 

C s 

D 

d 

D φ 

d p 

e 

e t 

f 

f 2 

F D 

F extk 

Nombre de Spalding 

Variation temporelle de masse de la particule 

Contribution collisionnelle 

Réalisation de la phase fluide ou gazeuse 

Énergie cinétique mésoscopique 

Coefficient de traînée 

Constante du modèle de sous-maille de la phase liquide 

Vecteur vitesse de la particule dans l’espace des phases 

Constante du modèle de sous-maille de la phase liquide 

Diamètre de sortie de l’injecteur 

Diamètre des gouttes 

Coefficient de diffusion de l’espèce φ 

Diamètre des gouttes 

Coefficient d’inélasticité 

Énergie totale non chimique, somme de l’énergie cinétique et de l’énergie sensible 

Fonction de densité de probabilité 

Fonction de distribution paire 

Force de traînée 

Force extérieure appliquée à la phase k 

3


g 0 

h 

H n 

K n 

l δ 

l m 

m p 

n l 

n k, j 

p 

q j 

Q l, j 

Re 

Re d 

St 

t 

S i 

S k,ij 

S t 

Sc F 

Sh 

T 

T eb 

T l,ij 

u i 

Fonction de distibution radiale 

Enthalpie 

n-ième polynôme d’Hermite 

Nombre de Knudsen 

Libre parcours moyen 

Plus petite échelle du champ de vitesse mésoscopique 

Masse de la particule 

Densité en nombre de particules 

Normale sortante de la phase k projetée sur l’axe normalisé de direction j 

Pression 

Projection sur l’axe j du flux moléculaire de chaleur 

Terme de diffusion de sous maille de mouvement décorrélé 

Nombre de Reynolds 

Nombre de Reynolds particulaire 

Nombre de Stokes basé sur un temps turbulent 

Surface de la goutte projetée sur le plan perpendiculaire à l’axe i 

Tenseur de déformation du champ de vitesse de la phase k 

Nombre de Stokes 

Nombre de Schmidt du carburant 

Nombre de Sherwood 

Température 

Température d’ébullition 

Tenseur de sous-maille pour la phase liquide 

Vitesse projetée sur l’axe i 

u (k) 

p,i (t) Vitesse Lagrangienne de la particule k à l’instant t 

v D,φ, j 

V j 

x i 

Vitesse de diffusion de l’espèce φ 

Vitesse de l’interface projetée sur l’axe j 

Coordonnées d’un point dans l’espace 

4


y φ 

Fraction massique de l’espèce φ 

Opérateurs 

l Moyenne statistique pour la phase liquide 

¯. Moyenne de Reynolds 

ˇ. Quantitémésoscopique 

ˆ. Moyenne de Favre pour la phase liquide 

˜. Moyenne de Favre pour la phase gazeuse 

F k 

Quantité relative à la phase k et moyennée au sens du volume 

Indices 

F 

g 

I 

k 

l 

v 

SGS 

Carburant vaporisé (Fuel) 

Phase porteuse ou phase gazeuse 

Interface gaz-liquide 

Phase k 

Phase liquide ou dispersée 

Carburant vaporisé 

Terme de sous-maille 

5

Introduction 

Contexte industriel 

Les constructeurs automobiles sont actuellement confrontés à diverses difficultés. L’utilisation intensive 

d’énergie fossile, notamment par les transports, a entraîné une raréfaction des ressources. Ces ressources, 

non renouvelables et en quantité limitée, verront leur prix augmenter si les modes de consommation 

restent identiques. En plus de la raréfaction des ressources, l’utilisation des énergies fossiles conduit 

par les processus de combustion à l’émissions de gaz polluants et de particules. Les autorités limitent 

ces émissions par des normes de plus en plus drastiques (par exemple Euro6 en 2014) ainsi que par 

des procédés de bonus/malus auxquels les constructeurs doivent s’adapter. Enfin, l’émergence d’une 

conscience écologique citoyenne les encourage à s’adapter à leur clientèle. 

Ce type d’énergie présente l’énorme avantage d’être facilement transportable, en toute sécurité, et possède 

un haut niveau de dégagement d’énergie pour un volume d’encombrement et une masse faibles. Ainsi 

les moteurs à combustion ont encore un bel avenir même si l’arrivée prochaine et massive de moteurs 

électriques dans le parc automobile ne fait aucun doute. Les avantages des moteurs à combustion devraient 

être combinés aux avantages des moteurs électriques pour satisfaire, dans un premier temps, les 

contraintes écologiques et technologiques. La recherche sur la diminution des émissions de polluants et 

de la consommation des moteurs à combustion interne reste donc d’actualité. 

Abaisser la consommation est donc devenu un enjeu industriel et commercial. Cet exercice se révèle 

toutefois très délicat puisque, alourdis par des systèmes électroniques embarqués et des dispositifs de 

confort et de sécurité de plus en plus nombreux, les véhicules actuels requièrent une énergie croissante 

pour avancer. De plus, les normes étant de plus en plus strictes, les temps de développement ainsi que 

les coûts associés de plus en plus faibles, on se rapproche d’une consommation physique minimale et le 

gain possible en consommation s’amenuise. 

L’injection directe, qui consiste à injecter le carburant liquide directement dans la chambre de combustion, 

entre dans le cadre des technologies primordiales et largement utilisées, en Diesel et maintenant 

en essence. Elle permet de diminuer consommation et polluants et représente donc un axe de recherche 

important. De nouvelles stratégies de combustion émergent comme celles de type CAI TM pour Controled 

Auto Ignition (Duret and Lavy 2000; Jeuland et al. ; Knop et al. ) pour les moteurs essence et HCCI pour 

7

Introduction 

Homogeneous Charge Compression Ignition (Ryan and Callahan 1996; Lu et al. 2005) pour les moteurs 

Diesel. Ces stratégies représentent des voies prometteuses. Elles nécessitent néanmoins un bon contrôle 

et une bonne répétabilité de la combustion, ce qui est un exercice délicat. 

Le seul moyen d’abaisser la consommation et d’éviter la formation de polluants est de comprendre 

précisément les mécanismes prépondérants qui influent sur la combustion. Les chercheurs disposent de 

différents moyens pour y arriver. Les essais expérimentaux permettent une analyse ’in situ’ et s’avèrent 

dans la pratique indispensables. Néanmoins, le coût induit, en terme de temps et de matériels, limite leur 

utilisation. Un constructeur ne peut plus se permettre de réaliser d’innombrables essais, il n’en a plus le 

temps et il n’en a plus les moyens. La simulation numérique intervient ainsi comme moyen additionnel 

en tant qu’aide au design et à la conception. Son domaine d’application tend à s’étendre rapidement aux 

nouvelles technologies moteur. 

La simulation numérique intervient ainsi comme un outil additionnel et prédictif. Plusieurs niveaux de 

simulation (0D, 1D et 3D) peuvent être utilisés par l’ingénieur suivant l’objectif recherché : dimensionnement, 

calibration ou compréhension. 

La simulation numérique tridimensionnelle 

L’augmentation des capacités de calcul a permis à la simulation tri-dimensionnelle (3D) de démontrer 

son potentiel. Les efforts de recherche actuels se concentrent sur une amélioration de la prédictivité par 

une meilleure prise en compte de la physique calculée tout en ayant un temps de calcul exploitable au 

niveau industriel. 

La simulation 3D en mécanique des fluides consiste à calculer sur des points de discrétisation de l’espace, 

les équations de la mécanique des fluides réactifs. Il est possible d’effectuer des calculs sur des 

géométries complexes en prenant en compte les réactions chimiques. Une bonne prédiction de la turbulence 

dans la chambre de combustion est nécessaire pour une bonne prédiction de la combustion, les 

deux étant intimement liées. La principale difficulté de la simulation numérique dans les moteurs à piston 

provient du couplage important entre divers phénomènes physiques. Ainsi la turbulence, le spray 

1 , la combustion et l’acoustique sont intimement liés. De plus ces phénomènes physiques interviennent 

sur une large gamme d’échelles spatiales et temporelles. Ainsi, on peut citer quelques grandeurs caractéristiques 

intervant dans les moteurs à pistons (Heywood 1988) : 

– Alésage du cylindre : 6 à 10cm 

– Échelle intégrale de la turbulence : 2 à 10mm 

– Diamètre moyen des gouttes dans un spray : ≈ 30µm 

– Échelle de Kolmogorov de la turbulence : ≈ 10µm 

1 dans ce manuscrit, nous utiliserons le terme anglais ’spray’ pour désigner le nuage de gouttes produit par l’injecteur. Le 

terme anglais a été retenu car il est fortement utilisé dans le milieu des ingénieurs motoristes. 

8

Cette large gamme d’échelles impose un maillage très important si l’on veut résoudre tous les phénomènes. 

Ce type de maillage étant inaccessible à l’heure actuelle, il est nécessaire de modéliser une partie des 

phénomènes. Divers niveaux de modélisation existent. Il existe trois types principaux de simulation pour 

les écoulements turbulents, qui sont par ordre croissant de prédictivité et de temps de calcul : 

– La simulation Reynolds Average Navier Stokes (RANS) (Launder and Spalding 1972) dans laquelle 

on modélise toutes les échelles ou structures turbulentes. Les équations résolues sont obtenues par 

moyenne statistique des équations de Navier-Stokes. Cette approche est utilisée comme outil courant 

dans les applications moteur (Drake and Haworth 2007). Le problème de cette approche est qu’elle ne 

fournit que des informations portant sur un cycle moteur ’moyen’ pour un point de fonctionnement 

donné et ne permet pas d’analyser ou d’aborder de manière approfondie les variations cycliques. Le 

principal intérêt est un temps de calcul faible comparé aux autres approches 3D, grâce notamment aux 

maillages ’grossiers’ utilisés (maille de l’ordre du millimètre). Les codes de calcul sont généralement 

très robustes et demandent un effort numérique plus faible que pour des approches LES ou DNS. 

– La simulation aux Grandes Échelles (LES pour Large Eddy Simulation) (Sagaut 2005) est une 

modélisation à statistique partielle où seuls les petits tourbillons sont traités statistiquement. Les grands 

tourbillons qui dépendent fortement de la géométrie sont résolus alors que les petites échelles, qui ont 

un caractère plus universel, sont modélisées. Ce type de simulation requiert une puissance de calcul 

supérieure aux méthodes RANS. Le temps de calcul plus long s’explique par un maillage plus fin 

(maille de l’ordre de la centaine de microns) et des schémas numériques d’ordre plus élevé. Aidée par 

des moyens de calculs croissants, la LES devient, à l’heure actuelle, une voie envisageable pour le calcul 

moteur. Elle permettra en outre de mieux analyser les variations cycles à cycles (Ozdor et al. 1994). 

On peut noter aussi une capacité à mieux décrire les rotations, les fortes anisotropies et redistributions, 

les taux de déformations importants contrairement aux modèles RANS à deux équations (Chassaing 

2000). Toutes ces caractéristiques sont importantes dans les moteurs à piston notamment autour des 

soupapes, au niveau de l’impact de jet sur les parois ou pour les mouvements aérodynamiques de 

rotation de type Swirl ou Tumble. 

La LES est très utilisée dans les moteurs aéronautiques ainsi que dans les turbines à gaz (Roux et al. 

2005; Selle et al. 2006; James et al. 2006; Moin and Apte 2006; Schmitt et al. 2007) et se développe 

fortement dans le cas des moteurs à combustion interne (Moureau et al. 2004; Vermorel et al. 2007; 

Richard et al. 2007). 

– La simulation Numérique Directe (DNS pour Direct Numerical Simulation) dans laquelle toutes 

les échelles de la turbulence sont résolues. Ce type de simulation n’est pas utilisé dans le domaine 

industriel. Elle nécessite un temps de calcul prohibitif, et n’est utilisée que sur de très petits domaines 

(de l’ordre ou inférieur au centimètre) pour aider au développement et à la validation de modèles. 

La simulation globale des écoulements dans les moteurs à piston passe par la mise en place de la simulation 

de l’injection directe et ce d’autant plus que la compréhension des phénomènes physiques 

conduisant à un spray efficace en termes de combustion et de polluants est difficile. De plus, il existe 

9

Introduction 

différentes stratégies d’injection qu’il est coûteux de reproduire de manière expérimentale. La simulation 

de l’injection directe représente donc un axe d’investigation majeur. 

Physique de l’injection directe Diesel 

L’injection directe est une technique majeure largement utilisée sur les moteurs Diesel et maintenant sur 

les moteurs à allumage commandé. Elle consiste à mettre du carburant sous pression et à le libérer dans 

la chambre de combustion à l’aide de l’ouverture de l’aiguille ou de la soupape de l’injecteur. Son rôle 

principal est de propulser un nuage de fines gouttes dans la chambre de combustion. Les gouttes doivent 

être suffisament fines et bien réparties pour que l’évaporation soit rapide et homogène. Le but final étant 

de limiter la consommation et les polluants. 

Les injecteurs sur les moteurs Diesel sont dotés de plusieurs trous (Fig. 1) et produisent des sprays de 

type ’cônes pleins’ alors que les injecteurs sur les moteurs à allumage commandé n’ont qu’une seule 

section de sortie et produisent un spray de type ’cône creux’. 

(a) Vue éclatée de la chambre de combustion d’un moteur 

Diesel injection directe multi-trous 

(b) Visualisation de la combustion dans un moteur Diesel 

injection directe multi-trous 

FIG. 1 – Combustion Diesel et vues de l’injection directe dans la chambre de combustion. Source : 

auto-innovations.com 

Les systèmes d’injection directe représentent un coût élevé sur un moteur. Ce coût s’explique par des 

limites technologiques sans cesse repoussées. Des ordres de grandeur sont présentés ci-dessous dans le 

cas d’une injection directe Diesel à rampe commune et permettent de mieux appréhender les conditions 

d’injection : 

10

– Pression d’injection : ≈ 150 à 200MPa 

– Pression dans la chambre au moment de l’injection : 5 à10MPa 

– Diamètre de sortie d’un injecteur : 100 à 200µm 

– Diamètre moyen des gouttes dans un spray : ≈ 30µm 

– Vitesse des ’gouttes’ en sortie d’injecteur : 400m.s −1 à 600m.s −1 

– Durée d’injection : ≈ 1 − 2ms 

La physique du spray est très complexe et fait intervenir une multitude de phénomènes physiques (Sirignano 

1999). Selon la géométrie, des phénomènes de cavitation peuvent apparaître dans l’injecteur. La 

cavitation a une grande influence sur les caractéristiques du spray en sortie d’injecteur (Saliba et al. 2004) 

et indirectement, plus en aval, sur la formation du mélange (Blessing et al. 2003). D’après Baumgarten 

et al. (2001), son rôle principal est d’apporter de l’énergie dont une partie servira pour l’atomisation. 

FIG. 2 – Physique du spray en sortie d’injecteur 

Dans la chambre de combustion, selon la géométrie de l’injecteur, la vitesse de sortie du carburant et le 

milieu gazeux dans lequel on injecte, le jet de liquide s’atomise ( Fig. 2), se disperse, apporte de l’énergie 

cinétique turbulente au gaz et s’évapore. Différentes structures turbulentes se forment au sein du spray 

(Dan et al. 1997). Ces structures répartissent les gouttes dans l’espace selon leur diamètre et vont donc 

conditionner la distribution spatiale de vapeur. Deux types d’atomisation apparaissent. L’atomisation 

primaire consiste en l’éclatement du jet liquide en de nombreuses structures de grande échelle (ordre 

du diamètre du jet). Ce type d’atomisation se déroule en sortie d’injecteur. Une partie de la communauté 

scientifique considère actuellement que le jet liquide est complètement atomisé à une distance de 

quelques diamètres d’injecteur (Smallwood and Gulder 2000). Ce point de vue se base sur des mesures 

récentes par diagnostics laser (Gulder et al. 1992; Siebers 1998). 

Le deuxième type d’atomisation est l’atomisation secondaire. Les gouttes les plus grosses se séparent 

en gouttes plus petites par interaction avec le gaz. Ce type d’atomisation peut se dérouler dans une zone 

proche de l’injecteur mais aussi dans le reste du spray. Une atomisation imparfaite peut entraîner une 

11

Introduction 

dispersion non uniforme des gouttelettes créant des zones de concentration préférentielle de vapeur. Ceci 

a comme conséquence une mauvaise combustion. 

Le spray ne s’évapore pas instantanément à la sortie de l’injecteur mais la longueur de pénétration du 

liquide, c’est-à-dire la distance maximale à laquelle on peut observer des gouttes, est constante pour 

une injection de longue durée. Au delà de cette distance, la vapeur de carburant se mélange avec l’air 

environnant. La vapeur étant produite à très haute vitesse, le mélange est fortement turbulent et possède 

de fortes similitudes avec le mélange dans un jet de gaz (Bruneaux 2002; Bruneaux 2005). Le mélange 

ainsi que le niveau d’énergie turbulente ont une influence d’ordre 1 sur la combustion et la formation de 

polluants. 

Simulation du spray 

Simuler un spray dans un moteur à piston est un défi pour les chercheurs. D’une part, le spray évolue, 

comme nous l’avons vu, dans un milieu aux conditions hostiles, il est donc très difficile d’y effectuer des 

mesures expérimentales pour valider des modèles. D’autre part, les phénomènes physiques sont nombreux 

et interviennent sur une large gamme d’échelles spatiales. La simulation complète de l’injection, 

de la cavitation dans l’injecteur jusqu’à la combustion est donc difficilement réalisable. 

La simulation de spray fait partie du domaine plus large de la simulation des écoulements diphasiques 

comprenant les suspensions, les écoulements avec bulles ou sédiment ainsi que les écoulements en milieu 

poreux. Dans ce manuscrit, on ne s’intéresse qu’au spray, c’est-à-dire qu’à l’écoulement multiphasique 

en sortie d’injecteur. Les deux seules phases considérées sont la phase liquide comprenant la colonne 

de liquide ainsi que les gouttes et la phase porteuse comprenant le gaz présent dans la chambre de 

combustion ainsi que le carburant évaporé. Le problème de la modélisation vient essentiellement de 

la prise en compte de l’interface et des échanges à l’interface. Ces interfaces sont des discontinuités de 

propriétés physiques. Elles peuvent être de forme complexes et évoluent au cours du temps. Leur nombre 

peut être également très important. Si l’on veut résoudre localement toutes ces interfaces et prévoir leur 

mouvement, le temps de calcul, pour un spray par exemple, est complètement prohibitif. Pour contourner 

ces difficultés, l’idée est donc d’observer l’évolution des deux phases de manière macroscopique sans 

s’attacher àdétailler chaque inclusion. Une synthèse détaillée des modèles disponibles est fournie par 

(Crowe et al. 1996). Pour la simulation de spray, la phase porteuse (le gaz) est décrite par les équations de 

Navier-Stokes et le formalisme est Eulérien. Pour la phase liquide, les gouttes, ou les ligaments, peuvent 

être modélisés par différentes approches. Deux grandes familles existent : 

– L’approche Lagrangienne est l’approche la plus intuitive puisqu’elle consiste à représenter le spray par 

un ensemble de particules, à suivre chaque particule dans son mouvement et à prédire sa dynamique 

par un bilan de force (Maxey and Riley 1983). Lorsque le nombre de particules est trop important, les 

particules de mêmes propriétés (taille, vitesse et température) sont rassemblées dans des groupes. Ces 

12

groupes numériques sont transportés et couplés avec la phase porteuse. L’effet de la turbulence sur les 

particules est pris en compte par des approches stochastiques (Dukowicz 1980). Depuis les travaux 

de Dukowicz 1980, de nombreuses améliorations ont été apportées pour mieux modéliser la physique 

du spray. Ces travaux concernent l’atomisation primaire (Reitz and Bracco 1982), les collisions et 

la coalescence (O’Rourke 1981) ainsi que l’atomisation secondaire (Reitz and Diwakar 1986). La 

principale difficulté de l’approche Lagrangienne pour la simulation de spray est le nombre important 

de particules à transporter pour avoir un bon niveau de résolution statistique. Ce grand nombre de 

particules entraîne un temps de calcul très long, ce qui est d’autant plus crucial que les méthodes 

Lagrangiennes ne sont pas facilement parallélisables. De plus, le calcul des termes d’échanges entre 

phases n’est pas toujours évident du fait de la répartition différente de ces termes dans chaque phase 

(point/volume). Comme le soulignent (Abraham 1997; Iyer and Abraham 1997), un maillage très fin 

est nécessaire en sortie d’injecteur pour bien reproduire la physique du cisaillement et du mélange 

air/carburant. Ce maillage très fin entraîne des fractions volumiques de liquide proches de 1 à la sortie 

de l’injecteur, ce que l’approche Lagrangienne ne permet pas. De plus les maillages très fins imposent 

un nombre important de particules ce qui alourdit d’autant le temps et la mémoire de calcul. Cette 

approche est néanmoins la plus couramment utilisée dans la simulation d’injection directe (Iyer and 

Abraham 1997; Iyer and Abraham 1998) car elle minimise l’effort de modélisation des phénomènes 

physiques. 

– L’approche Eulérienne consiste à observer l’évolution des propriétés du fluide à un endroit donné, par 

exemple sur un volume de contrôle du maillage. L’approche appelée “Eulérienne bi-fluide” consiste 

à appliquer des équations de conservation sur la phase liquide comme si elle était continue et ne 

prend donc pas en compte les gouttes dans leur individualité. Elle est a priori plus apte au calcul des 

écoulements fortement chargés en liquide. C’est l’approche adoptée dans ce travail. Pour obtenir les 

équations Eulériennes (bi-fluide) de la phase liquide, diverses méthodes existent (Ishii 1975; Simonin 

1996; Drew and Passman 1999). On peut citer les méthodes de moyenne volumique (Gray and Lee 

1977; Drew 1983) qui consistent à moyenner les deux phases considérées comme continues dans un 

volume de contrôle. On peut citer également les approches de moyenne d’ensemble pour lesquelles 

les propriétés statistiques de la phase dispersée sont décrites par des fonctions densité de probabilité 

(fdp) puis dérivées pour obtenir des équations de conservation pour des variables continues. Cette approche 

repose sur la forte analogie entre le mouvement aléatoire des gouttes dans un champ turbulent 

et le mouvement d’agitation thermique des molécules de gaz décrit par la théorie cinétique des gaz. 

Des détails de cette approche peuvent être trouvés dans (Simonin 1996; Fevrier et al. 2005; Kaufmann 

et al. 2006). C’est l’approche utilisée dans le cadre de cette thèse. Ces deux approches Eulériennes seront 

présentées dans ce manuscrit en partie 1. Il existe également des approches de type “Eulériennes 

multi-fluides”, ou sectionnelles, qui consistent à diviser un brouillard de gouttes en différentes sections, 

considérées chacune comme un fluide. Une section correspond à un ensemble de gouttes dont la 

taille varie dans un intervalle. Chaque section est traitée par un système d’équations de conservation, 

13

Introduction 

tout comme pour une approche Eulérienne classique, avec des termes additionnels d’échanges entre 

sections (Greenberg et al. 1993; Laurent and Massot 2001; Laurent 2002; Laurent et al. 2004; Laurent 

2006; Massot 2007). L’approche sectionnelle permet de prendre en compte une dispersion en taille 

et de gérer des phénomènes dépendant de la taille des gouttes comme la coalescence. Le principal 

problème est le nombre de sections qui peut être contraignant en temps de calcul pour une application 

industrielle. Une évolution de ces travaux est proposée par (Dufour and Villedieu 2005; Dufour 2005) 

qui combinent les idées des méthodes de moments avec une approche sectionnelle pour obtenir un 

modèle multi-fluide nécessitant moins de sections. 

Les méthodes multi-fluides ont été évaluées dans le cadre de la thèse de Stéphane de Chaisemartin à 

l’EM2C (de Chaisemartin et al. 2009a; de Chaisemartin 2009; de Chaisemartin et al. 2009; de Chaisemartin 

et al. 2009b; Fréret et al. 2009). 

Les approches de type “méthodes des moments” (par exemple la DQMOM pour Direct Quadrature 

Method of Moments) (Marchisio and Fox 2005) consistent à suivre l’évolution d’une distribution à 

travers ses différents moments. Les méthodes de type QMOM utilisent des formules de quadratures 

pour approcher des termes de type intégral non fermés issus de la méthode des moments. Chaque 

quadrature est définie par un ensemble abscisse (la taille) et poids (taux de présence). La méthode 

DQMOM permet de suivre les abscisses et les poids au cours de la simulation et ainsi reconstruire 

les moments. Ces approches Eulériennes représentent divers degrés de complexité selon que l’on veut 

simuler les effets de polydispersion et/ou de croisements de gouttes. Les dernières évolutions ont été 

réalisées dans le contexte de la thèse de Damien Kah (EM2C/IFP) en lien avec les travaux de R.O. Fox 

(Kah et al. 2009; Kah 2009). 

Dans le cadre de cette thèse, nous nous limiterons au cas de sprays monodisperses 2 et l’approche bifluide 

a été choisie, d’une part parce que les approches multi-fluide et DQMOM sont toujours en cours 

de développement pour le calcul 3D turbulent et d’autre part parce que leur temps de calcul est a priori 

très long. 

– Afin de combiner les avantages des approches Lagrangiennes et Eulériennes, des méthodes hybrides 

Euler-Lagrange existent, par exemple le modèle Eulerian-Lagrangian Spray Atomization (ELSA) (Demoulin 

et al. 2007; Lebas et al. 2009) qui utilise un modèle de type Eulérien pour l’atomisation primaire 

(avec un modèle de mélange) puis un modèle Lagrangien pour le transport des gouttes. 

Pour l’application aux sprays Diesel dans des conditions d’injection réalistes, les approches Lagrangiennes 

sont beaucoup plus utilisées que l’approche Eulérienne bi-fluide (ou multi-fluides). Les travaux 

les plus récents en spray Diesel avec la formulation bi-fluide (Truchot 2005; Iyer and Abraham 2005; 

Vessiller 2008) utilisent la simulation RANS. La simulation LES de sprays Diesel est encore plus récente 

et, tout comme pour la simulation RANS, la majorité des travaux utilisent des approches Lagrangiennes 

(Kosaka and Kimura 2006; Hori et al. 2006) mais une forte dépendance au maillage est observée et 

les méthodes numériques ne sont pas adaptées à la LES. Une synthèse des travaux sur la simulation 

2 la notion de monodispersion sera présentée ultérieurement 

14

LES de sprays, ses enjeux et ses difficultées, est proposée par (Bellan 2000) pour des configurations 

académiques. Son constat est qu’il existe peu d’études LES 3D de spray traitant des problèmes d’anisotropie, 

d’inhomogénéité ou de modélisation de sous-maille. 

Ainsi, le travail effectué dans cette thèse est, à notre connaissance, le premier consacré à des simulations 

LES Eulériennes dans des conditions d’injection réalistes. 

Objectifs de thèse et organisation du manuscrit 

Cette thèse s’inscrit dans le cadre d’un programme, mis en place à l’IFP, de développement de la simulation 

aux grandes échelles (LES) pour les moteurs à piston avec le code de calcul AVBP 3 . Des travaux 

antérieurs à cette thèse ont déjà permis d’adapter le code de calcul AVBP à la simulation des écoulements 

réactifs dans les moteurs automobiles : 

– Moureau (2004)adéveloppé les modèles numériques LES pour le contexte moteur ; 

– Richard (2005) a proposé un nouveau modèle de combustion prémélangée adaptée à la LES ; 

– Galpin (2007) a travaillé sur la prise en compte de la cinétique chimique détaillée afin de mieux prédire 

l’auto-inflammation et les polluants (modèle PCM-FPI) ; 

– Citons également les travaux de Michel (2008) qui ont en partie porté sur une première approche en 

combustion non prémélangée en LES. 

Une étape importante pour la simulation LES des moteurs à piston concerne la prise en compte des 

écoulements diphasiques, objet de cette thèse. Des travaux ont déjà été effectués pour la simulation des 

écoulements diphasiques avec le code AVBP par Boileau et al. (2008), Kaufmann (2004), Mossa (2005), 

Pascaud (2006) et Riber (2007) au CERFACS. Ces travaux étaient axés sur l’application aux moteurs 

aéronautiques, caractérisée par : 

– Une injection qui n’évolue pas en temps ; 

– Une faible vitesse d’injection ; 

– Une faible fraction volumique de liquide (hypothèse d’écoulements dilués) ; 

– Une faible interaction des gouttes avec les parois. 

Dans les moteurs à piston, l’écoulement diphasique est caractérisé par : 

– Une injection s’étalant sur une durée limitée du cycle moteur ; 

– Des vitesses d’injection pouvant atteindre plusieurs centaines de mètres par seconde ; 

– Une fraction volumique de liquide très élevée (proche de 1) en zone proche injecteur ; 

– Des interactions gouttes-gouttes ; 

– Des interactions des gouttes avec les parois. 

Il est donc nécessaire d’adapter les méthodes numériques et la modélisation d’AVBP diphasique aux 

principaux phénomènes physiques caractéristiques de l’injection directe, en particulier dans les moteurs 

3 AVBP est un code de calcul LES codéveloppé par l’IFP et le CERFACS. C’est le code utilisé dans cette thèse 

15

Introduction 

Diesel. On se limite néanmoins ici à l’étude de sprays monodisperses sans interaction avec les parois afin 

de limiter la complexité du problème. Les effets de polydispersion et de croisement de gouttes seront 

traités ultérieurement. L’objectif final est d’offrir les bases de la méthodologie pour la simulation LES 

dans un moteur à injection directe. 

Les différents points cités plus haut sont donc repris dans ce manuscrit selon l’organisation décrite cidessous 

: 

– Partie I. La simulation de sprays dans les moteurs automobile nécessite de remettre en question les 

équations d’AVBP que l’on notera ’équations standards’. Ainsi, en première partie de ce manuscrit, 

un état des lieux est fait sur les équations en écoulements ’denses’, c’est-à-dire fortement chargés 

en liquide. Le but de cette partie est d’obtenir les équations bi-fluides en milieu dense par approche 

volumique ( chapitre 1) ou par approche statistique ( chapitre 2). Les différentes approches seront 

ensuite comparées (chapitre 3) et discutées dans le cadre de l’injection directe. Même si l’approche 

volumique n’est pas l’approche privilégiée à l’origine pour l’établissement des équations d’AVBP , elle 

permet néanmoins d’offrir un point de comparaison intéressant et de comprendre la problématique 

du filtrage. Les hypothèses utilisées pour le filtrage volumique sont notamment très différentes des 

hypothèses utilisées pour l’approche statistique. 

– Partie II. La deuxième partie concerne les adaptations de la modélisation physique et des méthodes 

numériques préconisées pour simuler les sprays Diesel. Il s’agit principalement de prendre en compte 

les interactions gouttes-gouttes et de mettre en place de nouveaux outils numériques pour réaliser 

un calcul moteur ainsi que pour améliorer la robustesse et la précision du code de calcul. Afin de 

s’affranchir des problèmes de modélisation de l’atomisation primaire, de résolution du cisaillement et 

des difficultés numériques associés au calcul de la zone proche injecteur, une méthodologie originale 

est proposée au chapitre 6 pour démarrer le calcul en aval de cette zone proche injecteur. Pour ce faire, 

une condition limite prenant en compte la physique à la fois dans l’injecteur et à sa sortie, appelée 

DITurBC a été créée. 

– Partie III. La troisième partie concerne la validation du code AVBP et des développements des parties 

I et II par la simulation du spray en condition quasi-stationnaire sur un cas d’injection basse pression 

(Chaves et al. 2004). Le principal intérêt est de faire une première validation de la dynamique du spray 

en s’affranchissant des phénomènes transitoires. Les caractéristiques du spray sont analysées après 

que le jet est pleinement établi. Les propriétés transitoires associées à la fois à la levée de l’aiguille 

et à la déstabilisation du spray en jet turbulent ne sont pas traitées ici. De plus, le comportement du 

modèle dans le cas d’une injection réaliste, pour laquelle la pression d’injection peut être dix fois plus 

élevée, doit être encore validé. 

– Partie IV. C’est l’objet de la dernière partie où les résultats de simulation sont comparés à des mesures 

faites en chambres pressurisées pour différentes pressions d’injection. Une étude de sensibilité sur les 

paramètres importants de la condition limite d’injection DITurBC est également présentée. Pour aller 

plus loin dans la compréhension des phénomènes de déstabilisation des spray, les premiers instants de 

16

l’injection sont étudiés à travers l’évolution des structures turbulentes et des champs de basse pression. 

Enfin, le chapitre (8) est consacré au premier calcul sur moteur à injection directe. L’objectif principal 

est de démontrer la faisabilité d’un calcul moteur à injection directe avec toutes les modifications 

apportées au code AVBP et ainsi de déceler les difficultés et faiblesses potentielles. Cette première 

simulation d’un cas moteur permet également d’évaluer la facilité de mise en œuvre de la condition 

limite décalée DITurBC présentée au chapitre 6. 

17

Introduction 

Les différents résultats et apports de cette thèse sont finalement résumés dans le chapitre de conclusion. 

Les perspectives et le travail restant à accomplir sont également discutés. 

18

Première partie 

Modélisation bi-fluide 

19

Introduction 

Les méthodes multi-fluides ainsi que les méthodes de quadrature de moments sont encore en développement 

et posent à la fois des problèmes de temps de calcul trop longs pour des applications industrielles et des 

problèmes de fermeture et d’implantation dans un code de calcul 3D en géométrie complexe. Devant ces 

limitations et le besoin de converger rapidement vers une méthode de calcul de spray Diesel en configuration 

industrielle, une approche bi-fluides est utilisée dans le cadre de cette thèse. Parmi les approches 

bi-fluides, de nombreux types de modélisations existent (Ishii 1975; Gray and Lee 1977; Drew 1983; 

Drew and Passman 1999). Les moyennes temporelles, à partir d’équations de Navier-Stokes pour chacune 

des phases, sont écartées d’emblée pour la simulation LES. On se concentre dans cette partie sur la 

dérivation des équations eulériennes par : 

– approche volumique des équations de Navier-Stokes ; 

– approche statistique, par analogie avec la théorie cinétique des gaz. 

La modélisation de la phase liquide dans le code AVBP repose sur une approche statistique à partir de 

fonctions densité de probabilité développée dans le cadre d’écoulement diphasiques dispersés et fortement 

dilués (Kaufmann 2004) pour l’application aux moteurs aéronautiques. Les fractions volumiques 

du liquide sont donc très faibles (inférieures à 10 −4 ), les gouttes n’intéragissent pas entre elles et leur 

influence sur le gaz est négligeable. Ces conditions sont très différentes des conditions observées en injection 

directe où les fractions volumiques de liquide peuvent atteindre l’unité. La simulation de sprays 

dans les moteurs automobiles nécessite donc de remettre en question les équations d’AVBP que l’on 

notera ’équations standards’. 

Les équations diphasiques bi-fluides en milieu dense sont obtenues d’abord par approche volumique 

( chapitre 1) puis par approche statistique ( chapitre 2). Les deux approches sont ensuite comparées 

(chapitre 3) et discutées dans le cas de l’injection directe. 

21

Chapitre 1 

Approche volumique 

L’approche volumique a été utilisé à l’origine pour les milieux poreux par Whitaker (1966). La méthode 

est présentée pour des milieux diphasiques avec changement de phase dans (Whitaker 1999). Cette 

méthode est généralement utilisée pour des simulations RANS mais son utilisation dans le cas de la 

simulation LES de sprays turbulents est proposée et discutée par Sirignano (2005). 

L’approche volumique est intéressante pour la simulation LES de spray puisqu’elle se rapproche de la 

notion de filtre spatial utilisé en LES. Elle consiste à appliquer les équations de Navier-Stokes à chaque 

phase par l’intermédiaire d’une fonction indicatrice de phase. Ces équations sont ensuite moyennées au 

sens du volume sur un volume de contrôle. La principale difficulté dans ce type d’approche est de prendre 

en compte correctement les échanges à l’interface gaz/liquide et notamment le mouvement fluctuant. 

1.1 Définitions 

On considère un milieu diphasique et on écrit les équations de Navier-Stokes pour un élément fluide sans 

indiquer dans quelle phase on se trouve. 

On note : 

– ρ la masse volumique du fluide ; 

– u i la vitesse projetée sur l’axe i ; 

– σ i, j la composante (i, j) du tenseur des contraintes ; 

– τ i, j le tenseur des contraintes visqueuses ; 

– y φ la fraction massique de l’espèce φ ; 

– q j la projection suivant l’axe j du flux moléculaire de chaleur ; 

– D φ le coefficient de diffusion de l’espèce φ ; 

– p la pression ; 

– h l’enthalpie ; 

23

CHAPITRE 1 : Approche volumique 

– e t l’énergie totale non chimique, qui est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie sensible. 

Les équations de conservation de Navier-Stokes pour un fluide compressible multi-espèces sont (Poinsot 

and Veynante 2005): 

Conservation de la masse : 

Conservation des espèces : 

Conservation de la quantité de mouvement : 

Conservation de l’enthalpie : 

∂ 

∂t ρ + ∂ (ρu j )=0 (1.1) 

∂x j 

∂ 

∂t ρy φ + ∂ (ρu j y φ )= ∂ ( ) 

∂ 

ρD φ y φ (1.2) 

∂x j ∂x j ∂x j 

∂ 

∂t (ρu i)+ ∂ (ρu i u j )= ∂ σ ij (1.3) 

∂x j ∂x j 

∂ 

∂t ρh + ∂ (ρu j h)=− ∂ q j + d ∂x j ∂x j dt p + τ ∂ 

i, j u i 

∂x j 

(1.4) 

Conservation de l’énergie totale : 

∂ 

∂t ρe t + ∂ (ρu j e t )=− ∂ (pu j ) − ∂ q j 


+ ∂ 

∂x j 

(τ i, j u i ) (1.5) 

Pour un milieur diphasique, le système d’équations doit être complété par la fonction indicatrice de phase 

χ k définie par : 

• χ k = 1 , dans la phase k 

• χ k = 0 , ailleurs 

Elle est régie par une équation de transport (Eq. 1.6) (Gray and Lee 1977; Whitaker 1985; Whitaker 

1999) : 

∂ 

∂t χ ∂ 

k +V j χ k = 0 (1.6) 

∂x j 

où V j est la vitesse de l’interface. La fonction indicatrice de phase possède les propriétés suivantes : 

∂ 

∂x j 

χ k = −n k, j δ k,I 

donc 

∂ 

∂t χ k = V j n k, j δ k,I (1.7) 

où n k, j représente la normale sortante de la phase k projetée sur l’axe normalisé de direction j et δ k,I 

représente la fonction de Dirac sur l’interface du côté de la phase k. 

Les équations pour chaque phase sont ensuite obtenues en appliquant un opérateur volumique aux 

Eq. (1.1) à Eq. (1.5) multipliées par la fonction indicatrice. 

Cet opérateur correspond à l’application d’un filtre spatial noté , basé sur la moyenne sur un volume 

fictif de contrôle Ω. 

Cet opérateur commute avec les opérateurs de dérivation : 

< ∂ f 

∂t > = ∂ < f > 

∂t 

< ∂ f 

∂x > = ∂ < f > 

∂x 

24 

(1.8) 

(1.9)


Cet opérateur correspond à l’application d’un filtre spatial noté , basé sur la moyenne sur un volume 

fictif de contrôle Ω. 

Ainsi, la fraction volumique α k de la phase k est définie par : 

On obtient la fraction massique α k ρ k : 

α k ≡ < χ k >= 1 Ω 

α k ρ k ≡ < χ k ρ >= 1 Ω 

On note ¯F k la valeur filtrée de toute grandeur f associée à la phase k : 

α k ¯F k ≡ < χ k f >= 1 Ω 

La fluctutation, notée f ′ , est définie par f ′ χ k = χ k ( f − ¯F k ) et < f ′ χ k >= 0. 

Z 

Ω 

Z 

Z 

χ k dΩ (1.10) 

Ω 

Ω 

χ k ρdΩ (1.11) 

χ k fdΩ (1.12) 

On note F k la valeur filtrée pondérée par la masse, de toute grandeur f associée à la phase k. F k est donc 

une moyenne de Favre pour la phase k et s’écrit : 

F k ≡ < χ kρ f > 

< χ k ρ > = < χ kρ f > 

α k ρ k 

(1.13) 

La fluctuation par rapport à F k notée f ′′ de toute grandeur f est définie par f ′′ χ k = χ k ( f − F k ) et 

(< f ′′ ρχ k >)=0. 

Ainsi pour toutes grandeurs f 1 , f 2 , on peut écrire : 

En multipliant Eq. (1.14) par Eq. (1.15) on obtient : 

χ k f 1 = F k,1 χ k + f ′′ 

1 χ k (1.14) 

χ k f 2 = F k,2 χ k + f ′′ 

2 χ k (1.15) 

χ k f 1 χ k f 2 = ( F k,1 χ k + f ′′ 

1 χ k 

)( 

Fk,2 χ k + f ′′ 

2 χ k 

) 

(1.16) 

χ k f 1 f 2 = F k,1 F k,2 χ k + F k,2 f ′′ 

1 χ k + F k,1 f ′′ 

2 χ k + f ′′ 

1 f ′′ 

2 χ k (1.17) 

Soit en appliquant le filtre volumique pondéré par la masse : 

< χ k ρ f 1 f 2 > = < F k,1 F k,2 ρχ k > +< F k,2 f 1 ′′ ρχ k > +< F k,1 f 2 ′′ ρχ k > + < f 1 ′′ f 2 ′′ ρχ k > 

} {{ } } {{ } 

=0 

=0 

(1.18) 

On en déduit la relation Eq. (1.19), pour toutes grandeurs f 1 , f 2 , qui sera largement utilisée par la suite : 

< χ k ρ f 1 f 2 > = F k,1 F k,2 ρ k α k + < f ′′ 

1 f ′′ 

2 ρχ k > (1.19) 

25


1.2 Méthode de dérivation 

Afin d’obtenir les équations eulériennes diphasiques moyennées à partir des équations de Navier-Stokes 

monophasiques, la méthode consiste à: 

• multiplier chaque équation monophasique par χ k ; 

• appliquer le filtre volumique ; 

• utiliser les relations de commutation ; 

• modéliser les termes non fermés. 

On écrit l’équation générale (Eq. 1.20) de conservation de toute grandeur physique ψ transportée à la 

vitesse u j et dans laquelle s i, j désigne les composantes (i, j) d’un tenseur : 

En suivant la méthodologie précédente, on obtient : 

∂ 

∂t ρψ + ∂ ρψu j = ∂ s ij (1.20) 

∂x j ∂x j 

∂ 

χ k 

∂t ρψ + χ ∂ 

∂ 

k ρψu j = χ k s ij 

∂x j ∂x j 

(1.21) 

∂ 

∂t χ kρψ + ∂ χ k ρψu j = ρψ ∂ ∂x j ∂t χ ∂ 

k + ρψu j χ k + ∂ ∂ 

χ k s ij − s ij χ k 


(1.22) 

< ∂ ∂t χ kρψ > + < ∂ χ k ρψu j > = < ρψ(u j −V j ) ∂χ k ∂χ k 

> − < s i, j > + < ∂χ ks ij 

> (1.23) 

∂x j ∂x j ∂x j ∂x j 

∂ 

∂t < χ kρψ > + ∂ < χ k ρψu j > = < (s i, j − ρψ(u j −V j ))n k, j δ k,I > + ∂ < χ k s ij > (1.24) 

∂x j ∂x j 

∂ 

∂t α kρ k Ψ k + ∂ α k ρ k Ψ k U k, j = ∂ α k ¯S k,ij + < (s i, j − ρψ(u j −V j ))n k, j δ k,I > 

∂x j ∂x j } {{ } 

Échange de ρψ et de s i, j à l’interface 

− < ∂ χ k ρψ ′′ 

i u ′′ j > 

∂x j 

} {{ } 

Fluctuation intra-volumique ou sous-maille 

(1.25) 

1.3 Équation de continuité 

A partir de l’équation (1.1) et en utilisant la méthode décrite en section (1.2) avec ψ = 1 et s i, j = 0, on 

obtient l’équation de continuité de la phase k : 

∂ 

∂t α kρ k + ∂ 

∂x j 

α k ρ k U k, j = Γ k (1.26) 

26

1.4 Équation de quantité de mouvement 

Le terme d’échange massique de la phase k est noté Γ k =< −ρ(u j −V j )n k, j δ k,I >. 

L’équation de continuité pour la phase k ne fait donc pas intervenir de terme de fluctuations de sousmaille, 

seul le terme d’échange massique à l’interface est à modéliser. 

1.4 Équation de quantité de mouvement 

A partir de l’équation (1.3) et en utilisant la méthode décrite en section (1.2) avec ψ = u i et s i, j = σ ij , et 

en notant σ ij = −pδ i, j + τ ij et ¯Σ k,ij =< χ k σ ij >= − ¯P k δ i, j + ¯T k,ij où ¯P k =< χ k p > et ¯T k,ij =< χ k τ ij >, on 

obtient : 

∂ 

∂t α kρ k U k,i + ∂ α k ρ k U k,i U k, j = − ∂ α k ¯P k δ i, j + ∂ α k ¯T k,ij 


+ < (τ ij − ρu i (u j −V j ))n k, j δ k,I > 

+ < −pδ i, j n k, j δ k,I > 

− < ∂ 

∂x j 

χ k ρu ′′ 

i u ′′ j > (1.27) 

Pour plus de clarté, on note p I la pression à l’interface, permettant d’écrire : 

−pδ i, j n k, j δ k,I = −p I n k,i δ k,I 

On partage le terme de pression à l’interface p I en un terme moyen au sens du volume ¯P k,I et un terme 

fluctuant p ′ I tels que p I = ¯P k,I + p ′ I , ce qui permet d’obtenir : 

< −p I n k,i δ k,I > = < −p ′ In k,i δ k,I > − ¯P k,I < n k,i δ k,I > (1.28) 

= < −p ′ ∂ 

In k,i δ k,I > + ¯P k,I α k 

∂x i 

(1.29) 

d’où : 

∂ 

∂t α kρ k U k,i + ∂ α k ρ k U k,i U k, j = − ∂ 

∂ 

α k ¯P k δ i, j + ¯P k,I α k + ∂ α k ¯T k,ij 

∂x j ∂x j ∂x i ∂x j 


+ < −p ′ In k,i δ k,I > − < ∂ 

∂x j 


i u ′′ j > (1.30) 

et après réarrangement : 

27


∂ 

∂t α kρ k U k,i + ∂ 

∂ 

α k ρ k U k,i U k, j = −α k 

¯P k + ∂ α k ¯T k,ij 

∂x j ∂x i ∂x j 

+( ¯P k,I − ¯P k ) ∂ 

∂x i 

α k 


+ < −p ′ In k,i δ k,I > − < ∂ 

∂x j 


i u ′′ j > (1.31) 

L’apparition d’une pression pour la phase dispersée ¯P k peut surprendre. On peut voir cette pression 

comme la moyenne sur tout le volume de contrôle des pressions de liquide à l’intérieur de chaque goutte. 

Dans le cas d’une phase liquide continue dense, cette pression équivaut à la pression à l’intérieur de la 

phase liquide. 

L’équation (1.31) fait apparaître différents termes au membre de droite : 

– Le terme ( ¯P k,I − ¯P k ) ∂ 

∂x i 

α k peut-être négligé en égalisant, pour chaque phase k, la pression interfaciale 

moyenne avec la pression moyenne et en faisant l’hypothèse d’une pression interfaciale unique pour 

les deux phases : 

¯P g,I = ¯P l,I = ¯P l = ¯P g (1.32) 

où les indices g et l désignent le gaz et le liquide. 

– Pour la phase dispersée le terme de contrainte visqueuse ¯T l,ij est négligé ici car on ne considère pas 

l’écoulement interne de la phase dispersée. Cela n’est en revanche pas correct pour un écoulement 

dense comme une colonne de liquide. 

– Les termes < (τ ij − ρu i (u j −V j ))n k, j δ k,I > et < −p ′ I n k,iδ k,I > représentent les termes d’échange de 

quantité de mouvement à l’interface : 

• Le terme F extk,i =< ( τ ij n k, j δ k,I 

) 

> + < −p 

′ 

I n k,i δ k,I > représente l’action des forces de contact de 

la phase porteuse sur la particule, c’est-à-dire la traînée mais pas la force d’Archimède qui est 

contenue dans le terme −α k 

∂ 

∂x i 

¯P g . Le recours à la pression interfaciale n’est pas obligatoire. Pour 

certains auteurs comme Prosperetti and Jones (1984), le terme < ( σ ij − ¯Σ k,ij 

) 

nk, j δ k,I > représente la 

force aérodynamique (due à la pression et à la viscosité) par unité de volume appliquée aux gouttes. 

• Le terme < (−ρu i (u j −V j ))n k, j δ k,I > représente l’échange de quantité de mouvement dû à l’évaporation. 

D’après Ishii (1975), la vitesse de la phase k à l’interface est égale à la vitesse moyennée de la phase 

dispersée U l,i . Faire cette hypothèse revient aussi ànégliger les termes de fluctuation de vitesse à 

l’interface. Avec cette hypothèse, on peut écrire le terme d’échange sous la forme : 

< (−ρu i (u j −V j ))n k, j δ k,I > = < (−ρU l,i (u j −V j ))n k, j δ k,I > (1.33) 

= U l,i Γ k (1.34) 

– Le terme < ∂ 

∂x j 


i u′′ j > est le terme de fluctuation ou d’agitation de sous-maille. 

28

1.5 Équation de conservation des espèces 

On obtient finalement l’équation suivante : 

∂ 

∂t α kρ k U k,i + ∂ 

∂ 

α k ρ k U k,i U k, j = −α k 

¯P g + ∂ α k ¯T k,ij 

∂x j ∂x i ∂x j 

+F extk,i +U l,i Γ k 

− < ∂ 

∂x j 


i u ′′ j > (1.35) 

1.5 Équation de conservation des espèces 

En notant la vitesse de diffusion de l’espèce φ : v D,φ, j = − D φ 

y φ 

( 

∂ 

∂x j 

y φ 

), l’équation (1.2) s’écrit 

∂ 

∂t ρy φ + ∂ 

∂x j 

ρ ( u j + v D,φ, j 

) 

yφ = 0 (1.36) 

En utilisant la même méthode que pour l’équation de quantité de mouvement on obtient : 

∂ 

∂t α kρ k Y φ,k + ∂ 

∂x j 

α k ρ k Y φ,k 

( 

Uj,k +V D,φ, j,k 

) 

= < −ρyφ (u j + v D,φ, j −V j )n k, j δ k,I > − ∂ 

∂x j 

< χ g ρy ′′ 

φu ′′ j > 

(1.37) 

La vitesse de diffusion moyenne peut être modélisée en supposant qu’elle est égale au produit des valeurs 

moyennes D φ,k , Y φ,k et du gradient moyen ∂ 

∂x j 

Y φ,k : 

On obtient ainsi : 

V D,φ, j,k = − D φ,k 

Y φ,k 

∂ 

∂x j 

Y φ,k (1.38) 

∂ 

∂t α kρ k Y φ,k + ∂ α k ρ k Y φ,k U k, j = ∂ ( 

α k ρ k D φ,k 

∂x j ∂x j 

) 

∂ 

Y φ,k 

∂x j 

+ < −ρy φ (u j + v D,φ, j −V j )n k, j δ k,I > 

} {{ } 

Échange massique d’espèce à l’interface 

− < ∂ 

∂x j 

χ k ρy ′′ 

φu ′′ j > (1.39) 

La fraction massique Y φ à l’interface vaut 1 si φ est l’espèce de la phase liquide (le carburant) et 0 sinon. 

Le terme d’échange massique vaut donc : 

< −ρy φ (u j + v D,φ, j −V j )n k, j δ k,I > = δ φ,F < −ρ(u j + v D,φ, j −V j )n k, j δ k,I > (1.40) 

où l’indice F indique le carburant. 

29


On décompose le terme d’échange en un terme d’échange par évaporation/condensation Γ g et un terme 

d’échange par diffusion moléculaire Γ D,g : 

< −ρ(u j + v D,φ, j −V j )n k, j δ k,I > = δ φ,F < −ρ(u j −V j )n k, j δ k,I > +δ φ,F < −ρ(v D,φ, j )n k, j δ k,I > 

} {{ } } {{ } 

Γ g Γ D,g 

(1.41) 

Les termes Γ g , Γ D,g et < χ g ρy ′′ 

φ u′′ j > sont à modéliser. 

Sous l’hypothèse qu’il n’y a pas de condensation et que la phase dispersée n’est constituée que d’une 

seule espèce, l’équation n’est utile que pour la phase gazeuse notée g. 

Ainsi : 

∂ 

∂t α gρ g Y φ,g + ∂ α g ρ g Y φ,g U g, j = ∂ ∂ 

α g ρ g D φ,g Y φ,g + δ φ,F Γ g + δ φ,F Γ D,g 


− ∂ 

∂x j 

< χ g ρy ′′ 

φu ′′ j > (1.42) 

Par la suite, on négligera le terme de diffusion moléculaire à l’interface en faisant l’hypothèse que le 

terme d’évaporation est prépondérant étant donné les fortes températures dans une chambre de combustion 

( Γ D,g + < χ ∂ 

kτ i, j u i > 

∂x j 

+ < −ρh s (u j −V j )n k, j δ k,I > − < q j n k, j δ k,I > 

− < ∂ 

∂x j 

χ k ρh ′′ 

s u ′′ j > (1.43) 

Le terme de variation de pression peut s’écrire : 

30

1.6 Équation de l’enthalpie sensible 

d 

< χ k 

dt p > = < χ ∂ 

k 

∂t p > + < χ ∂ 

ku j p > (1.44) 

∂x j 

= < ∂ ∂t pχ k > − + < χ k u j 

∂ 

∂x j 

p > (1.45) 

= ∂ ∂t α k ¯P k − 

k > + < χ k u j p > 

∂x j 

(1.46) 

∂ 

= α l 

∂t ¯P ∂ 

k + ¯P k 

∂t α l− 

k > + < χ k u j p > 

∂x j 

(1.47) 

∂ 

= α l 

∂t ¯P ∂ 

k + ¯P k 

∂t < χ k > − 

k > + < χ k u j p > 

∂x j 

(1.48) 

∂ 

= α l 

∂t ¯P k + < ( ¯P k − p) ∂ ∂t χ ∂ 

k > + < χ k u j p > 

∂x j 

(1.49) 

∂ 

= α l 

∂t ¯P ∂ 

k + < ( ¯P k − p)V j n k, j δ k,I > + < χ k u j p > 

∂x j 

(1.50) 

Avec l’hypothèse de pression unique à l’interface, on a < ( ¯P k − p)V j n k, j δ k,I >= 0 et avec l’hypothèse 

d’égalité des variations de pression dans chaque phase, à savoir : d dt ¯P k = d dt ¯P g , on obtient donc : 

d 

< χ k 

dt p > = α ∂ 

l 

∂t ¯P ∂ 

g + < χ k u j p > (1.51) 

∂x j 

De plus < χ k u j 

∂ 

∂x j 

p > peut se réécrire, en éliminant les termes faisant apparaître des fluctuations de 

vitesse à l’interface : 

∂ 

∂ 

< χ k u j p > = α l U l, j 

¯P g + + < χ k u ′ ∂ 

j p ′ > (1.52) 

∂x j ∂x j } {{ } ∂x j 

=0 

En rassemblant les termes, on aboutit à l’équation : 

∂ 

∂t α lρ l H sl + ∂ (α l ρ l U l, j H sl ) = − ∂ 

d 

α l ¯Q j,l + α l 

∂x j ∂x j dt ¯P ∂ 

g + < χ k τ i, j u i > 

∂x j 


+ < χ k u ′ ∂ 

j p ′ > − < ∂ χ k ρh ′′ 

s u ′′ j > (1.53) 

∂x j ∂x j 

On décompose le terme de dissipation visqueuse de la manière suivante : 

31


∂ 

∂ 

∂ 

< χ k τ i, j u i > = < τ i, j χ k u i > − (1.54) 


∂ 

= < τ i, j χ k u i > + 

∂x j 

(1.55) 

∂ 

∂ 

= < τ i, j χ k U k,i > + < τ i, j χ k u ′ i > + 

∂x j ∂x j 

(1.56) 

∂ 

∂ 

∂ 

= < χ k τ i, j U l,i > + + < χ k τ i, j u ′ i > 


+ 

iτ i, j χ k > + (1.57) 

∂x j 

∂ 

∂ 

= < χ k τ i, j U l,i > + < (u i −U l,i )τ i, j n k, j δ k,I > + < χ k τ i, j u ′ i > 

∂x j ∂x j 

− (1.58) 

De plus : 

∂ 

< χ k τ i, j u ′ ∂ 

i > = < χ k ¯T l,ij u ′ i > + < χ k τ ′ ∂ 

i, j u ′ i > 


= T l,ij < ∂ χ k u ′ i > + ¯T l,ij 

∂x 

in k, j δ k,I > 

j 

} {{ } 

=0 

∂ 

= α l ¯T ij,l U l,i + < (u i −U l,i )τ i, j n k, j δ k,I > + 

∂x j 

+ 

i ¯T l,ij − τ i, j nk, j δ k,I > + < χ k τ ′ ∂ 

i, j u ′ i > (1.59) 

∂x j 

D’après l’hypothèse (p.28), la vitesse u i à l’interface est équivalente à la vitesse de la phase liquide, les 

fluctuations u ′ i à l’interface sont nulles. Ainsi les deux termes < (u i −U l,i )τ i, j n k, j δ k,I >, 

i ¯T l,ij − τ i, j nk, j δ k,I > 

sont nuls. Ceci revient ànégliger l’échauffement par friction à l’interface. 

En conclusion pour le terme de dissipation visqueuse : 

∂ 

< χ k τ i, j u i > = α l 

¯T ij,l 

∂x j }{{} 

=0 

∂ 

U l,i + 

∂x j 

< χ k τ ′ ∂ 

i, j u ′ i > 

∂x j 

} {{ } 

Dissipation visqueuse de sous-maille 

(1.60) 

En regroupant les termes et en utilisant la relation (1.7), l’équation devient : 

∂ 

∂t α lρ l H sl + ∂ (α l ρ l U l, j H sl ) = − ∂ 

d 

α l ¯Q j,l + α l 

∂x j ∂x j dt ¯P g (1.61) 


+ < χ k u ′ ∂ 

j p ′ > + < χ k τ ′ ∂ 

i, j u ′ i > − ∂ < χ k ρh ′′ 

s u ′′ j > 


32

1.7 Équation de l’énergie totale 

Enfin, le terme de diffusion de chaleur dans la phase liquide Q j,l est négligé. 

On peut regrouper les termes de la façon suivante : 

• Les termes d’échanges interfaciaux : 

Λ l = < −ρh s (u j −V j )n k, j δ k,I > 

} {{ } 

Échange d’enthalpie sensible par évaporation 

(1.62) 

Φ l = − < q j n k, j δ k,I > 

} {{ } 

Transfert thermique à l’interface (convection/conduction) 

(1.63) 

• Les termes de fluctuations de sous maille : 

SGS k = − ∂ < χ k ρh ′′ 

s u ′′ j > + < χ k u ′ ∂ 

j p ′ > + < χ k τ ′ ∂ 

i, j u ′ i > (1.64) 


On néglige les termes contenant les fluctuations de pression en sous-maille ainsi que les fluctuations du 

tenseur de viscosité. Les termes < χ k p ′ u ′ j > et < χ kτ ′ i, j u′ i > sont négligeables devant les termes d’échange 

d’enthalpie par évaporation qui sont prépondérants en application moteur. 

L’équation de l’enthalpie sensible pour la phase dispersée s’exprime alors : 

∂ 

∂t α lρ l H sl + ∂ (α l ρ l U l, j H sl ) = Λ l + Φ l − ∂ < χ k ρh ′′ 

s u ′′ d 

j > +α l 

∂x j ∂x j dt ¯P g (1.65) 

1.7 Équation de l’énergie totale 

On part de l’équation (1.5) et en utilisant la même méthodologie, on obtient : 

∂ 

∂t α kρ k E tk + ∂ α k ρ k U k, j E tk = − ∂ α k ¯P k U k, j − ∂ α k ¯Q k, j + ∂ α k ¯T k,ij U k,i 

∂x j ∂x j ∂x j ∂x j 

− < ρe t (u j −V j )n k, j δ k,I > + < (−pu j − q j + τ i, j u i )n k, j δ k,I > 

− ∂ 

∂x j 

< χ k p ′ u ′ j > − ∂ 

∂x j 

< χ k τ ′ i, ju ′ i > − ∂ 

∂x j 

< χ k ρ k e ′′ 

t u ′′ j > (1.66) 

• Les termes d’échanges interfaciaux se simplifient en utilisant l’hypothèse de pression unique : 

Π tot 

k = < −ρe t (u j −V j )n k, j δ k,I > + < (−pu j − q j + τ i, j u i )n k, j δ k,I > 

= < −ρh s (u j −V j )n k, j δ k,I > + < p(u j −V j )n k, j δ k,I > 

+ < −pu j n k, j δ k,I > − < q j n k, j δ k,I > 

− 1 2 < ρu2 i (u j −V j )n k, j δ k,I > + 

} {{ } } {{ } 

Travail des forces de surface 

Échange d’énergie cinétique entre phases 

(1.67) 

33


D’après l’hypothèse (p.28), la vitesse u i à l’interface est équivalente à la vitesse de la phase liquide 

U l,i . Ainsi, le transfert d’énergie cinétique entre phases à l’interface devient : 

• Les termes turbulents s’écrivent : 

1 

2 < −ρu2 i (u j −V j )n k, j δ k,I > ≈ 1 2 U 2 

l,iΓ k (1.68) 

SG t k = − ∂ 

∂x j 

< χ k p ′ u ′ j > − ∂ 

∂x j 

< χ k τ ′ i, ju ′ i > − ∂ 

∂x j 

< χ k ρ k e ′′ 

t u ′′ j > (1.69) 

Pour le travail des forces de surface, on a : 

De plus, le terme < pV j n k, j δ k,I > s’écrit ¯P g 

∂ 

∂t α k. 

 = U l,i < τ i, j n k, j δ k,I > = U l,i F extk,i 

} {{ } 

(1.70) 

Force extérieure 

On néglige les termes contenant les fluctuations de pression en sous-maille ainsi que les fluctuations 

du tenseur de viscosité. Comme pour l’enthalpie liquide, les termes < χ k p ′ u ′ j > et < χ kτ ′ i, j u′ i > sont 

négligeables devant les termes d’échange d’enthalpie par évaporation. 

Finalement l’équation de conservation de l’énergie totale est : 

∂ 

∂t α kρ k E tk + ∂ 

∂ 

α k ρ k (E tk + P k /ρ k )U k, j = − ¯P g 

∂x j ∂t α k − ∂ α k ¯Q k, j + ∂ α k ¯T k,ij U k,i 

∂x j ∂x j 

+ 1 2 U 2 

l,iΓ k +U l,i F extk,i 

+Λ k + Φ k − ∂ 

∂x j 

< χ k ρ k e ′′ 

t u ′′ j > (1.71) 

1.8 Conservation de l’énergie du système 

Il est nécessaire de vérifier que le système diphasique est bien conservatif pour la masse, la quantité de 

mouvement et l’énergie totale du sytème. La conservation de la masse et de la quantité de mouvement 

est immédiate. Pour l’énergie, elle est démontrée ci-dessous. 

On considère un volume fermé V contenant un mileu diphasique (cf. Fig. 1.1 ) de masse m et de masse 

volumique ρ telle que : m = ρV = R V α lρ l + α g ρ g dV 

Ce volume est fermé ce qui signifie qu’il n’y a aucun échange de masse, de quantité de mouvement ni 

d’énergie avec l’extérieur. De plus, on choisit ce volume tel qu’il soit égal au volume de contrôle Ω sur 

lequel les équations ont été filtrées (cf. section §1.1). 

Pour qu’il y ait conservation de l’énergie totale E du système, il faut que dE 

dt 

= 0. 

Or, 

34

1.8 Conservation de l’énergie du système 

FIG. 1.1 – Volume fermé d’intégration 

m dE 

dt 

= dmE 

dt 

= d dt 

Z 

= 

V 

Z 

α g ρ g E g dV + d 

V dt 

Z 

∂ 

∂t α gρ g E g dV + 

L’intégrale des flux de toute grandeur Ξ j sur un volume fermé est nul : 

V 

Z 

V 

α l ρ l E l dV (1.72) 

∂ 

∂t α lρ l E l dV (1.73) 

Z 

V 

∂ 

∂x j 

Ξ j dV = 0 (1.74) 

A partir de l’équation (1.71), en utilisant la remarque sur l’intégrale des flux, et en remarquant que 

∂ 

∂t α g + ∂ ∂t α l = 0 on obtient : 

m dE 

dt 

= 

Z 

V 

Z 

+ 

(( ) 

1 

2 U l,i 

)Γ 2 g +U l,i F extg,i + Λ g + Φ g 

) 

)Γ l +U l,i F extl,i + Λ l + Φ l 

V 

(( 1 

2 U 2 

l,i 

Comme Γ g = −Γ l et F extg,i = −F extl,i , on obtient : 

m dE 

dt 

La conservation d’énergie implique donc qu’en tout point : 

= 

Z 

V 

dV 

dV 

(1.75) 

(Λ g + Φ g + Λ l + Φ l )dV (1.76) 

La modélisation de ces termes sera présentée en section 2.4.3. 

Λ g + Φ g + Λ l + Φ l = 0 (1.77) 

35


1.9 Bilan des équations par approche volumique 

Les équations obtenues pour la phase gazeuse, en utilisant la relation d’égalité(1.77) pour la conservation 

de l’énergie totale, sont : 

∂ 

∂t α gρ g + ∂ α g ρ g U g, j 

∂x j 

= Γ g (1.78) 

∂ 

∂t α gρ g U g,i + ∂ α g ρ g U g,i U g, j 

∂x j 

= 

∂ 

−α g 

¯P g + ∂ α g ¯T g,ij + F extg,i +U l,i Γ g 

∂x i ∂x j 

− < ∂ χ g ρu ′′ 

i u ′′ j > (1.79) 

∂x j 

∂ 

∂t α gρ g Y φ,g + ∂ α g ρ g Y φ,g U g, j = ∂ ∂ 

α g ρ g D φ,g Y φ,g + δ φ,F Γ g 


− ∂ < χ g ρy ′′ 

∂x 

φu ′′ j > (1.80) 

j 

∂ 

∂t α gρ g E tg + ∂ ( ) ∂ 

α g ρ g Etg + P g /ρ g Ug, j = − ¯P g 

∂x j ∂t α g − ∂ α g ¯Q g, j + ∂ α g ¯T g,ij U g,i 

∂x j ∂x j 

( ) 1 

+ 

2 U l,i 

2 Γ g +U l,i F extg,i 

+Λ g + Φ g − ∂ 

∂x j 

< χ g ρ g e ′′ 

t u ′′ j > (1.81) 

Les équations obtenues pour la phase liquide sont : 

∂ 

∂t α lρ l + ∂ α l ρ l U l, j 

∂x j 

= Γ l (1.82) 

∂ 

∂t α lρ l U l,i + ∂ α l ρ l U l,i U l, j 

∂x j 

= 

∂ 

−α l 

¯P g + ∂ α l ¯T l,ij + F extl,i +U l,i Γ l 

∂x i ∂x j 

− < ∂ 

∂x j 

χ l ρu ′′ 

i u ′′ j > (1.83) 

∂ 

∂t α lρ l H sl + ∂ 

d ¯P g 

(α l ρ l U l, j H sl ) = α l + Λ l + Φ l − ∂ < χ k ρh ′′ 

s u ′′ j > (1.84) 

∂x j dt 

∂x j 

avec : 

Γ l + Γ g = 0 (1.85) 

F extl + F extg = 0 (1.86) 

Λ g + Φ g + Λ l + Φ l = 0 (1.87) 

36

Chapitre 2 

Approche statistique 

L’approche volumique du chapitre 1 introduit une échelle spatiale qui peut interférer avec le filtre spatial 

de la LES. L’approche statistique a l’avantage d’être beaucoup plus générale et a été retenue pour AVBP 

dans le cadre de la thèse de Kaufmann (2004). 

Inspirée de la théorie cinétique des gaz, cette approche consiste à effectuer une moyenne statistique sur 

un ensemble de particules afin d’aboutir à des équations de milieu continu. De la même façon que l’on 

obtient les équations de Navier-Stokes à partir d’une équation de type Vlasov-Boltzmann, les équations 

de la phase dispersée sont obtenues par analogie entre les particules de liquide et les molécules de gaz 

(Fig. 2.1). La moyenne est calculée sur un ensemble de réalisations de la phase liquide et conditionnée 

par une réalisation de la phase gazeuse Février et al. (2002). Ce formalisme a étédéveloppé par Simonin 

(1996) qui y a introduit la notion de mouvement décorrélé (Random Uncorrelated Motion ou RUM) 

comme complément de la vitesse d’ensemble (ou vitesse corrélée). Le formalisme présenté ici est le 

FIG. 2.1 – Principe de l’approche statistique 

formalisme utilisé pour les équations implantées dans le code AVBP . On s’interrogera ensuite sur la 

37

CHAPITRE 2 : Approche statistique 

validité de cette approche dans le cas des sprays dans les moteurs à piston. 


Pour obtenir les équations de la phase dispersée, on part de la fonction de densité de probabilité (FDP) à 

un paramètre (la vitesse) conditionnée par une réalisation de la phase gazeuse H f et on écrit les équations 

des moments en vitesse. 

La fonction de distribution f p (x,c p ,t,H f ) est définie de telle sorte que f p (x,c p ,t,H f )dxdc p représente, 

à l’instant t, le nombre de particules de masse m p positionnées entre x et x+dx et ayant des vitesses dans 

l’intervalle [c p ;c p + dc p ] pour une réalisation de la phase porteuse. Par souci de simplification, on notera 

dorénavant la FDP f p (x,c p ,t), le conditionnement par la phase gazeuse n’étant plus rappelé. La masse 

de la particule m p n’apparaît pas dans la FDP car elle n’est pas une variable de l’espace des phases en 

monodisperse. 

On considère des particules (les gouttes) sur lesquelles s’applique une force extérieure F et on fait l’hypothèse 

qu’il n’y a pas de collisions. Dans ce cas, pendant un temps dt, la vitesse c p d’une particule 

devient c p + F/m p dt tandis que sa position x devient x + c p dt. Pendant ce même temps dt le nombre de 

molécules considérées n’a pas changé, ce qui signifie que : 

f p (x + c p dt,c p + F m p 

dt,t + dt,H f )dxdc p − f p (x,c p ,t,H f )dxdc p = 0 (2.1) 

S’il y a des collisions, des termes sources apparaissent et perturbent l’équilibre. On note : 

( ) ∂ fp 

Ω coll ( f p )dxdc p dt = dxdc p dt 

∂t 

coll 

le terme source dû aux collisions. 

L’équation de conservation (2.1) devient alors : 

f p (x + c p dt,c p + F m p 

dt,t + dt,H f )dxdc p − f p (x,c p ,t,H f )dxdc p = Ω coll ( f p )dxdc p dt (2.2) 

En divisant l’équation (2.2) par dxdc p dt et en faisant tendre dt vers zéro, on obtient l’équation de Boltzmann 

classique, qui exprime l’évolution d’une FDP à un seul paramètre : 

∂ f p 

∂t 

+ ∂ [c p,i f p ]+ 

∂ F i 

f p = Ω coll ( f p ) (2.3) 

∂x i ∂c p,i m p 

Les variables x, c p et t étant indépendantes, c p commute avec 

∂x ∂ et ∂ . En utilisant la commutation et 

i ∂t 

en intégrant sur l’espace des phases (c’est-à-dire par rapport à c p ), on obtient : 

Z Z ∂ fp 

∂t dc p + 

Z 

∂ 

[c p,i f p ]dc p = − 

∂x i 

[ ] Z ( ∂ Fi 

∂ fp 

f p dc p + 

∂c i m p ∂t 

) 

dc p 

coll 

(2.4) 

38


Même si l’opérateur de collision est de forme inconnue, on sait que la collision doit conserver la masse, 

la quantité de mouvement et l’énergie pour des collisions élastiques. On a donc : 

Z ( ) ∂ fp 

C(ι k )= ι k dc p = 0 (2.5) 

∂t 

coll 

Le terme ι k est appelé l’invariant élémentaire de collision. On en définit cing : ι 0 = 1, ι k = c p,k avec 

k = 1,2,3 et ι 4 = c p 2 . 

Dans le cas de collisions inélastiques, la masse est conservée mais ni la quantité de mouvement ni 

l’énergie cinétique ne le sont. On a donc C(ι k ) ≠ 0 pour k ≥ 1. 

En multipliant (2.3) par m p ψ k ,où ψ k est une fonction dépendant de la vitesse particulaire c p , et en 

intégrant, on obtient l’équation générale : 

Z Z 

Z 

∂mp ψ k f p ∂ 

dc p + [m p ψ k c p,i f p ]dc p = − 

∂t 

∂x i 

ψ k 

∂ 

[F i f p ]dc p + C(m p ψ k ) (2.6) 

∂c p,i 

Pour obtenir cette équation on fait l’hypothèse que le produit ψ k f p est intégrable. De plus, ψ k ne dépend 

pas de l’espace et du temps. Cette hypothèse sera levée par la suite. 

F i dépendant de c p à travers la force de traînée, on réécrit le terme R ψ ∂ k [F 

∂c i f p ]dc p en : 

p,i 

Z 

ψ k 

∂ 

[F i f p ]dc p = 

∂c p,i 

Z 

Z 

∂ 

[ψ k F i f p ]dc p − 

∂c p,i 

} {{ } 

=0 

∂ 

F i f p [ψ k ]dc p (2.7) 

∂c p,i 

On suppose que ψ k f p est fini et tend vers zéro quand une des composantes de la vitesse tend vers l’infini. 

Le premier terme du membre de droite est donc nul. 

Dans le cas des écoulements chargés on considère que les seules forces extérieures qui s’appliquent à 

une particule sont (Simonin 1996): 

F i = − m p 

ρ l 

∂ 

∂x i 

P g 

} {{ } 

Force d’Archimède généralisée 

+ F D,i 

}{{} 

Force de Traînée 

(2.8) 

La force de traînée projetée sur l’axe i s’exprime dans sa forme générale par : 

où |V r | = 

F D,i = 1 2 C Dρ g S i |V r |(U g,i − c p,i ) (2.9) 

√ 

(U g,i − c p,i ) 2 est la norme de la vitesse relative entre le gaz et la goutte, S i est la surface de 

la goutte projetée sur le plan perpendiculaire à l’axe i, appelée aussi surface efficace, et U g,i est la vitesse 

du gaz. Pour des gouttes sphériques de diamètre d et de masse m p , la force de traînée s’écrit : 

F D,i = 1 2 C Dρ g 

πd 2 

39 

4 |V r|(U g,i − c p,i ) (2.10)


d’où 

F D,i 

= 6F D,i 

m p ρ l πd 3 = 3 ρ g 

C D |V r | (U g,i − c p,i ) 

4 ρ l d 

(2.11) 

Le temps de relaxation de la particule, ou temps caractéristique de Stokes τ p est défini par la formule : 

τ p = 4 3 

ρ l 

ρ g 

d 

C D |V r | 

(2.12) 

Le coefficient de traînée C D pour une goutte isolée est donné par la corrélation empirique de Schiller and 

Nauman (1935) dans le cas turbulent : 

C D = 24 ( ) 

1 + 0.15Re 

0.687 

d 

Re d 

(2.13) 

avec Re d le nombre de Reynolds particulaire : 

Re d = ρ gd|V r | 

µ g 

(2.14) 

où µ g est la viscosité dynamique du gaz. Le temps de relaxation devient donc : 

τ p = ρ ld 2 

18µ g 

( 

1 + 0.15Red 

0.687 ) −1 

(2.15) 

Dans le cas d’une goutte non isolée, par exemple dans un écoulement fortement chargé en gouttelettes, 

l’écoulement local autour de la goutte est impacté par les gouttes voisines et le coefficient de traînée 

devient inapproprié. Dans ce cas, il est plus judicieux d’utiliser le coefficient de traînée suivant : 

C D = 24 

R e 

( 

α 

−2.65 

g + 0.15R 0.687 

e α −1.78 

g 

) 

(2.16) 

Ce coeffcient de traînée a par exemple été utilisé par O’Rourke (1981, Andrews and O’Rourke (1996) 

La dépendance du coefficient de traînée à α g correspond à ce qui a été révélé expérimentalement par 

Richardson and Zaki (1954). Dans le cas où α g tend vers 1, on retourve la formulation de Schiller and 

Nauman (1935) pour une goutte isolée. Le temps de relaxation devient : 

La force de traînée s’exprime alors : 

On obtient l’équation finale : 

τ p = ρ ld 2 

18µ g 

( 

α 

−2.65 

g + 0.15R 0.687 

e α −1.78 

g 

) −1 

(2.17) 

F D,i = m p 

τ p 

(U g,i − c p,i ) (2.18) 

40


Z ∂mp ψ k f p 

∂t 

Z 

dc p + 

∂ 

∂x i 

[m p ψ k c p,i f p ]dc p = − m p 

ρ l 

Z 

∂ 

P g 

∂x i 

f p 

∂ 

[ψ k ]dc p 

∂c p,i 

+ m Z 

p 

∂ 

(U g,i − c p,i ) f p [ψ k ]dc p 

τ p ∂c p,i 

+C(m p ψ k ) (2.19) 

Dans le cas où ψ k dépend de l’espace et du temps, la permutation de l’intégrale avec les dérivées spatiale 

et temporelle n’est par directe. Des termes addditionnels s’ajoutent et on aboutit à l’équation d’Enskog 

généralisée : 

Z 

∂ 

∂t 

m p ψ k f p dc p + ∂ Z 

[m p ψ k c p,i f p ]dc p = − m Z 

p ∂ ∂ 

P g f p [ψ k ]dc p 

∂x j ρ l ∂x i ∂c p,i 

+ m Z 

p 

∂ 

(U g,i − c p,i ) f p [ψ k ]dc p 

τ p ∂c p,i 

Z Z ∂(mp ψ k ) ∂(mp ψ k ) 

+ 

f p dc p + c p,i f p dc p 

∂t 

∂x i 

+C(m p ψ k ) (2.20) 

On introduit le nombre de particules par unité de volume (ou densité en nombre), défini par : 

Z 

ň l (x,t) = f p (x,c p ,t,H f )dc p (2.21) 

En multipliant par m p on obtient la masse volumique de la phase dispersée : 

ˇα l ρ l = m p ň l (x,t)=m p 

Z 

Z 

f p (x,c p ,t,H f )dc p = 

m p f p (x,c p ,t,H f )dc p (2.22) 

La relation entre la fraction volumique de liquide ˇα l et la densité en nombre ň l est, dans le cadre d’un 

sytème diphasique localement monodisperse avec des gouttes de diamètre d : 

ˇα l = ňlπd 3 

6 

(2.23) 

La moyenne statistique massique notée ’ l ’, de toute grandeur ψ, est équivalente, dans le cas monodisperse, 

à la moyenne statistique notée ’ ľ ’. On a donc : 

ˇψ l,i (x,t) = < ψ l,i (x,t) > l = 1 

ˇα l ρ l 

Z 

ψm p f p (x,c p ,t,H f )dc p = 1 ň l 

Z 

ψ f p (x,c p ,t,H f )dc p (2.24) 

On parle de monodispersion locale lorsque toutes les gouttes se trouvant en (x,t) ont le même diamètre, 

c’est-à-dire que la FDP de distribution de taille de goutte en chaque point et à chaque instant est un Dirac. 

41


Ceci n’empêche pas d’avoir une polydispersion globale, c’est-à-dire une distribution spatiale de diamètre 

moyen, qui varie avec le temps. Cependant, il y a une perte d’information, puisque des gouttes de taille 

différente ont un comportement inertiel différent, remplacé ici par un comportement moyen. 

2.2 Formalisme mésoscopique 

On rappelle ici le principe du formalisme mésoscopique ainsi que l’obtention des équations de la phase 

dispersée pour un sytème monodisperse. Des informations complémentaires sont fournies dans les thèses 

de Kaufmann (2004), Mossa (2005) et Riber (2007). 

Le formalisme mésoscopique permet la distinction entre la vitesse d’une particule et la vitesse d’ensemble 

d’un nuage de particules. Dans le cas où l’on néglige les intéractions entre gouttes la seule source 

de corrélation de vitesse entre les gouttes (en dehors des vitesses initiales) est la traînée car les gouttes 

tendent à adopter la vitesse du gaz. 

La vitesse mésoscopique est la vitesse locale instantanée moyenne des particules : 

Ǔ l,i (x,t) = 

Z 

1 

ň l (x,t) 

c p,i f p (x,c p ,t,H f )dc p (2.25) 

Chaque particule k située en x (k) 

i (t) à l’instant t possède une vitesse instantanée Lagrangienne u (k) 

p,i (t). On 

peut décomposer cette vitesse en une composante moyenne de l’ensemble des particules et une composante 

dîte décorrélee δu k p,i propre à la particule : 

u (k) 

p,i (t) = Ǔ l,i (x (k) 

i (t),t)+δu k p,i(t) (2.26) 

Il est utile de rappeler (Kaufmann 2004) que la vitesse mésoscopique Ǔ l,i est la vitesse eulérienne 

moyenne de l’ensemble des réalisations alors que la vitesse décorrélée est une vitesse Lagrangienne 

propre à la particule pour une réalisation (Fig. 2.2) : 

FIG. 2.2 – Présentation de la vitesse mésoscopique (ou vitesse moyenne ou corrélée) et de la vitesse 

décorrélée en comparaison avec la vitesse particulaire 

42

2.3 Les équations de la phase dispersée 

Par analogie avec la théorie cinétique, la moyenne d’ensemble du tenseur de corrélation des vitesses 

résiduelles (RUV pour Random Uncorrelated Velocity) est noté : 

δŘ l,ij (x,t) = 1 Z (cp,i )( ) 

−Ǔ l,i cp, j −Ǔ l, j fp dc p (2.27) 

ň l 

L’énergie du mouvement décorrélé δˇθ l est définie comme la moitié de la trace du tenseur RUV, soit : 

δˇθ l = 1 2 δŘ l,ii (2.28) 

Le tenseur triple de vitesse décorrélée Ǩ l,i jk est noté : 

δǨ l,i jk (x,t) = 1 Z (cp,i )( )( ) 

−Ǔ l,i cp, j −Ǔ l, j cp,k −Ǔ l,k fp dc p (2.29) 

ň l 


Partant de l’équation générale (2.20), on écrit les équations des moments pour toutes les grandeurs en 

choisissant des valeurs adéquates pour ψ k : 1 

mp 

; 1 ; c p,i ; 1 2 m pδu p, j δu p, j et h p . On obtient respectivement 

les équations sur la densité en nombre de particules, la fraction volumique, la quantité de mouvement, 

l’énergie décorrélée et l’enthalpie. 

Les équations de conservation s’écrivent : 

∂ 

∂t ňl + ∂ ň l Ǔ l,i 

∂x i 

= 0 (2.30) 

∂ 

∂t ρ l ˇα l + ∂ ρ l ˇα l Ǔ l,i 

∂x i 

= Γ l (2.31) 

∂ 

∂t ˇα lρ l Ǔ l,i + ∂ 

∂ 

ˇα l ρ l Ǔ l,i Ǔ l, j = Ǔ l,i Γ l − ˇα l P g + ˇα lρ l ) ∂ 

(Ūg,i −Ǔ l,i − ρ l ˇα l δŘ l,ij 

∂x j ∂x i τ p 

∂x j 

+C(m p c p,i ) (2.32) 

∂ 

∂t ˇα lρ l δˇθ l + ∂ ˇα l ρ l δˇθ l Ǔ l,i = δˇθ l Γ l − 2 ˇα lρ l 

∂ 

δˇθ l − ρ l ˇα l δŘ l,ij Ǔ l,i + ∂ ˇα l ρ l δǨ l,ii j 

∂x i τ p ∂x j ∂x j 

+C( 1 2 m pδu p, j δu p, j ) (2.33) 

∂ 

∂t ˇα lρ l Ȟ l + ∂ ˇα l ρ l Ȟ l Ǔ l,i = T(h” l )+Π l + C( 1 ∂x i 2 m ph p ) (2.34) 

Les termes d’évaporation Γ l et Π l apparaissent dans le cas d’une variation de masse et leur modélisation 

est présentée en fin de chapitre. 

Dans le calcul de la traînée, Ū g est considéré comme constant puisque les statistiques sont conditionnées 

à une seule réalisation de l’écoulement gazeux. 

Le terme T(h” l ) représente la diffusion d’enthalpie par le mouvement décorrélé. Ce terme est négligeable 

comparé au terme d’échange d’enthalpie entre les phases Π l . Dans le cas d’un spray dans une chambre 

de combustion dans laquelle les températures sont très élevées, cette hypothèse reste parfaitement valide. 

43


2.3.1 Équations ’standard’ simplifiées d’AVBP 

Les équations codées dans AVBP au début de cette thèse, appelées équations ’standards’, ne sont pas 

exactement les équations présentées ci-dessus. Plusieurs hypothèses supplémentaires ont été faites dans 

les travaux de référence (Kaufmann 2004; Riber 2007) pour des d’écoulements dilués. Elles sont résumées 

ici : 

H1 - Le rapport de densité entre le liquide et le gaz permet de ne prendre en compte que la force de 

traînée. 

H2 - La phase dispersée est diluée (la fraction volumique de liquide ˇα l < 0.01) et la fraction volumique 

de gaz est 1 − ˇα l ≡ 1. 

H3 - Les interactions gouttes-gouttes sont négligeables. 

Les aspects collisionnels sont donc négligés. Dans le cas de l’application à l’injection directe, une 

modélisation des termes collisionnels C( 1 2 m pδu p, j δu p, j ) et C(m p c p,i ) est nécessaire et développée au 

chapitre 4. La seule force à prendre en compte étant la force de traînée, le terme − ˇα l 

∂ 

∂xi 

P g est lui aussi 

négligé. 

Les équations simplifiées obtenues en utilisant ces hypothèses sont : 

ˇα l ρ l δǨ l,ii j 

j 

∂ 

∂t ňl + ∂ ň l Ǔ l,i 

∂x i 

= 0 (2.35) 

∂ 

∂t ρ l ˇα l + ∂ ρ l ˇα l Ǔ l,i 

∂x i 

= Γ l (2.36) 

∂ 

∂t ˇα lρ l Ǔ l,i + ∂ ˇα l ρ l Ǔ l,i Ǔ l, j = Γ l Ǔ l,i + α lρ l ( ) ∂ 

Ug,i −Ǔ l,i − ρ l ˇα l δŘ p,ij 

∂x j τ p 

∂x j 

(2.37) 

∂ 

∂t ˇα lρ l δˇθ l + ∂ ˇα l ρ l δˇθ l Ǔ l,i = δˇθ p Γ l − 2 ˇα lρ l 

∂ 

δˇθ l − ρ l ˇα l δŘ l,ij Ǔ l,i + ∂ 

∂x i τ p ∂x j ∂x 

(2.38) 

∂ 

∂t ˇα lρ l Ȟ l + ∂ ˇα l ρ l Ȟ l Ǔ l,i 

∂x i 

= Π l (2.39) 

Les terms δŘ p,ij et δǨ l,ii j doivent être fermés (cf section 2.4.1). 

2.3.2 Équations ’standards’ filtrées 

Les équations ’standard’ précédentes sont filtrées dans le cadre de la LES. Une variable filtrée est obtenue 

à partir d’une variable non filtrée par produit de convolution avec un filtre spatial de noyau G ∆ f 

de taille 

caractéristique ∆ f : 

¯f (x) = 

Z 

f (x)G ∆ f 

(x ′ − x)dx ′ (2.40) 

44


De la même manière que l’on définit une moyenne de Favre pour le gaz, on définit une moyenne de Favre 

pondérée par la densité en nombre pour la phase dispersée : 

¯n l ̂f (x) = 

Z 

ň l ˇf (x)G ∆ f 

(x ′ − x)dx ′ (2.41) 

Ce filtre pondéré par la densité de particules est lié au filtre pondéré par la fraction volumique de liquide 

par : 

¯n l ̂f = ň l ˇf = 6 ˇα l 

d 3 π ˇf (2.42) 

Sous l’hypothèse de spray monodisperse à une échelle inférieure à la taille du filtre, les deux filtres sont 

équivalents. 

Les équations filtrées sont finalement : 

∂ 

∂t ¯n l + ∂ ¯n l Û l,i = 0 (2.43) 

∂x i 

∂ 

∂t ρ lᾱ l + ∂ ρ l ᾱ l Û l,i = Γ l (2.44) 

∂x i 

∂ 

∂t ᾱlρ l Û l,i + ∂ 

∂ 

ᾱ l ρ l Û l,i Û l, j = Û l,i Γ l − ᾱ l 

¯P g + ᾱlρ ) 

l 

(Ûg,i −Û l,i − ∂ ᾱ l ρ l ̂δRl,ij − ∂ T l,ij (2.45) 

∂x j ∂x i τ p ∂x j ∂x j 

∂ 

∂t ᾱlρ l ̂δθl + ∂ ᾱ l ρ l ̂δθl Û l,i = ̂δθ l Γ l − 

∂x 2ᾱlρ l 

∂ 

̂δθl − ᾱ l ρ l ̂δRl,ij Û l,i + ∂ ᾱ l ρ l̂δKl,ii j 

i τ p ∂x j ∂x j 

+Π δθl − ∂ Q l, j 

∂x j 

(2.46) 

∂ 

∂t ᾱlρ l Ĥ l + ∂ ᾱ l ρ l Ĥ l Û l,i 

∂x i 

= Π l (2.47) 

Les termes de sous-maille sont : 

) 

– Le tenseur de contrainte de sous-maille pour la phase dispersée T l,ij = ᾱ l ρ l 

(Ûl,i U l,i −Û l,i Û l,i 

( 

) 

̂ 

– La prodution de sous maille de mouvement décorrélé Π δθl = ᾱ l ρ lδRl,ij 

∂ U ∂x l,i − ᾱ l ρ ∂ l ̂δRl,ij Û 

j ∂x 

l,i 

) j 

– Le terme de diffusion de sous maille de mouvement décorrélé :Q l, j = ᾱ l ρ l 

(Ûl,i δθ l −Û l,i ̂δθl 

On néglige la diffusion de sous-maille de l’enthalpie, le terme d’échange d’enthalpie par évaporation 

étant prépondérant. 

45


2.4 Modélisation ’standard’ utilisée pour la phase dispersée 

2.4.1 Modélisation des termes décorrélés 

Les termes associés au mouvement décorrélé sont modélisés par une hypothèse d’équilibre (Kaufmann 

2004), équivalente à une hypothèse de Boussinesq. On suppose que la modélisation reste valable pour 

les termes filtrés : 

̂δR l,ij = 2 3 

̂δθ l δ ij − 2̂ν RUV 

(Ŝ l,ij − Ŝl,mmδ ij 

3 

) 

= 2 3 

̂δθ l δ ij − 2̂ν RUV ˆ S ∗ l,ij 

(2.48) 

̂δK l,ii j = −̂κ RUV 

∂ ̂δθ l 

∂x j 

(2.49) 

où Ŝ l,ij est le tenseur filtré des déformations du champ des particules : 

( 

) 

Ŝ l,ij = 1 ∂Û l,i 

+ ∂Û l, j 

2 ∂x j ∂x i 

(2.50) 

La viscosité ̂ν RUV et le coefficient de diffusion ̂κ RUV vallent : 

̂ν RUV = τ p 

3 

̂δθ l (2.51) 

̂κ RUV = 10 

27 τ p ̂δθ l (2.52) 

Ces modèles ont été testés a priori par Moreau (2006) à partir de DNS et le modèle a été validé pour 

̂δR l,ij . Un effort doit être néanmoins encore porté sur la modélisation des termes de diffusion qui n’est 

pas encore satisfaisante. 

2.4.2 Modélisation des termes de sous-maille 

Moreau et al. (2005, Moreau (2006), Riber et al. (2005) et Riber (2007) ont proposé et testé un modèle 

pour le tenseur de sous maille pour la phase dispersée T l,ij . Étant donné la forte compressibilité de 

la phase dispersée, le modèle de Smagorinsky compressible (Smagorinsky 1963) est utilisé et couplé 

avec un modèle de Yoshizawa (1986) pour l’énergie de sous-maille. Si on note Ŝ l le tenseur filtré des 

déformations du champ des particules et tel que |Ŝ l | 2 = 2S l,ij S l,ij , on a : 

( 

T l,ij = −C s 2∆ 2 f ᾱlρ l |Ŝ l | Ŝ l,ij −− δ ) 

ij 

3 Ŝl,kk +C l 2∆ 2 f ᾱlρ l |Ŝ l | 2 δ ij (2.53) 

Les tests a priori de Moreau et al. (2005) ont permis d’obtenir les valeurs suivantes des constantes : 

C s = 0.02 et C l = 0.012 

46


Pour les termes de sous-maille relatifs au mouvement décorrélé, le terme de diffusion Q l, j n’est pas 

modélisé ici, sa modélisation posant certaines difficultés (Moreau 2006; Riber 2007). Le terme de production 

de sous-maille de RUE filtré Π δθl est obtenu (Riber et al. 2006; Riber 2007) en faisant une 

hypothèse d’équilibre sur l’énergie corrélée de sous-maille et en négligeant les termes de diffusion 

ainsi que la force de traînée. Ainsi toute l’énergie de sous maille produite par le mouvement corrélé 

est intégralement transférée en énergie décorrélée : 

Π δθl ≈ −T l,ij 

∂ 

∂x j 

Û l,i (2.54) 

2.4.3 Modélisation des termes d’échanges 

Le taux d’évaporation Γ l s’exprime par le taux Lagrangien de variation de masse ṁ p = dm p 

dt 

: 

Γ l = −ň l < ṁ p > l (2.55) 

Le modèle d’évaporation utilisé est un modèle hydrodynamique, écrit sous l’hypothèse de goutte isolée 

dans un milieu gazeux sans combustion et de température de la goutte uniforme (Spalding 1953; Abramzon 

and Sirignano 1989) (hypothèse d’une conductivité thermique infinie). L’interface liquide/gaz est 

supposé en état d’équilibre thermodynamique, ce qui permet d’utiliser la relation de Clausius-Clapeyron : 

T 

T ! 

Y 

F,! 

Y F, 

liquid 

r 

gas 

! r 

FIG. 2.3 – Goutte isolée à la température T ζ s’évaporant dans un écoulement de gaz à la température T ∞ 

et avec une fraction massique de carburant Y F,∞ . 

La température de la goutte est calculée par l’équation de l’enthalpie de la phase liquide qui prend bien 

en compte les phases de réchauffement et d’évaporation. 

47


Transfert massique 

Le taux de transfert de masse ṁ p dans Eq. 2.55 dépend seulement des variables à r = r ζ et r → ∞ (Kuo 

1986) : 

ṁ p = −πd Sh[ρD F ]ln(1 + B M ) (2.56) 

Sh est le nombre de Sherwood donné par : 

Sh = 2 + KRe 1/2 

p Sc F 

1/3 

(2.57) 

où le terme KRe 1/2 

p Sc 1/3 F prend en compte les effets convectifs liés à la vitesse relative entre les phases. 

Dans la litérature, K varie entre 0.552 et 0.6 (Ranz and Marshall 1952). Dans AVBP la valeur K = 0.55 a 

été retenue. 

Le produit [ρD F ] est obtenu à partir du nombre de Schmidt du carburant Sc F : 

[ρD F ]= µ 

Sc F 

(2.58) 

B M est le nombre de Spalding de masse lié à la différence de fraction massique de carburant (indice F) 

entre l’interface et l’infini : 

où Y F,ζ peut être écrit en fonction de la fraction molaire X F,ζ : 

Y F,ζ = 

cpEB M = Y F,ζ −Y F,∞ 

1 −Y F,ζ 

(2.59) 

X F,ζ W F 

X F,ζ W F + ( 1 − X F,ζ 

) 

W nF,ζ 

(2.60) 

où W nF,ζ est la masse molaire moyenne du pseudo-mélange constitué de toutes les espèces sauf le carburant. 

En faisant l’hypothèse que la composition de ce mélange n’évolue pas entre ζ et ∞, on obtient : 

W nF,ζ = W nF,∞ = 

où X F,ζ est donnée par la loi de Raoult pour un mélange idéal de gaz parfaits : 

X F,ζ = P F,ζ 

P 

1 −Y F,∞ 

1 −Y F,∞ 

W 

W F 

W (2.61) 

(2.62) 

où P F,ζ est la pression partielle de carburant gazeux à l’interface donnée par la relation de Clausius- 

Clapeyron : 

( ( 

WF L v 1 

P F,ζ = P cc exp 

− 1 )) 

R T cc T ζ 

(2.63) 

P cc et T cc sont respectivement la pression et la températurede de référence correspondant à un point sur 

la courbe de saturation du carburant. L v est la chaleur latente massique d’évaporation représentant la 

différence d’enthalpie entre les phases à la température de référence T re f : 

L v = ∆h s,F (T re f )=h s,F (T re f ) − h s,p (T re f ) (2.64) 

48


Dans Eq. 2.63, la température de l’interface T ζ a été supposée égale à la température de la goutte : 

T ζ = T p . Dans Eq. 2.59 et 2.61, la condition à l’infini correspond à l’état thermodynamique du gaz non 

perturbé par la goutte. Pour des écoulements dilués, la distance entre les gouttes est suffisament grande 

pour garantir que les gouttes n’intéragissent pas entre elles. En conséquence l’état infini (∞) correspond 

aux valeurs moyennes locales Eulériennes du gaz dans la cellule. 

Échange de chaleur 

Le flux conductif de gaz à l’interface est approché par l’expression obtenue pour une particule sans 

changement de phase : 

φ c g = πdNuλ ( T ζ − T ∞ 

) ln(1 + B T ) 

B T 

(2.65) 

où 

( ) 

C p Tζ − T ∞ 

B T = ( ) (2.66) 

∆h s,F Tζ + φ 

c 

l 

/ṁ p 

est le nombre de Spalding de température et est évalué par B T = max{ε,(1 + B M ) Sh/(NuLe F ) − 1}, où ε 

est un petit nombre utilisé pour éviter les erreurs numériques quand B T tend vers 0 dans Eq. 2.65. φ c l 

est 

le flux conductif entrant dans la goutte . Nu est le nombre de Nusselt exprimé de manière similaire au 

nombre de Sherwood (Eq. 2.57): 

Nu = 2 + 0.55Re 1/2 

p Pr 1/3 (2.67) 

La conductivité thermique du gaz λ est obtenue à partir du nombre de Prandtl Pr : 

λ = µC p 

Pr 

(2.68) 

Le bilan d’énergie à l’interface s’écrit : 

φ t l + φt g = 0 (2.69) 

où φ t k est le flux thermique total pour la phase k. φt k = φev k + φc k 

avec φev 

k 

le flux associé à l’évaporation. 

On a donc : 

avec : 

φ ev 

l + φ c l + φev g + φ c g = 0 (2.70) 

φ ev 

l = ṁ p h s,p (T ζ ) et φ ev 

g = −ṁ p h s,F (T ζ ) (2.71) 

La somme des flux de chaleur associés au transfert de masse vaut donc : 

φ ev = −ṁ p ∆h s,F 

( 

Tζ 

) 

= −φ 

c 

g − φ c l (2.72) 

49


Cette relation permet de déterminer le flux inconnu φ c l = −φev − φ c g. 

De manière similaire au taux de transfert de masse par évaporation, les taux de variation d’énergie sont 

obtenus dans le spray à partir des expressions pour une goutte isolée en prenant la moyenne statistique : 

Λ = ň l < φ ev 

g > l = Γ l h s,F 

(Ťl 

) 

Λ l = ň l < φ ev 

l > l = −Γ l 

(ȟl + h s,corr 

) 

(2.73) 

(2.74) 

Φ = ň l < φ c g > l (2.75) 

Φ l = ň l < φ c l > l = −Γ l ∆h s,F 

(Ťl 

) 

− Φ (2.76) 

La signification de h s,corr in Eq. 2.74 est détaillé à la fin de la section. 

Les taux de variation d’énergie sont alors obtenus pour les deux phases : 

Taux de variation d’énergie pour le gaz pour le liquide 

Par changement de phase : Λ Λ l 

Par conduction thermique : Φ Φ l 

Total : Π = Λ + Φ Π l = Λ l + Φ l 

Tout comme pour une seule goutte, le bilan d’enthalpie à l’interface dans le spray s’écrit : 

On retrouve bien le bilan énergétique obtenu au chapitre 1. 

Π + Π l = Λ + Φ + Λ l + Φ l = 0 (2.77) 

Coefficient de transport : la règle des 2/3 

Dans Eq. 2.56 et 2.65, les propriétes de transport [ρD F ] et λ sont supposées constantes dans l’intégration 

des équations de conservation. En réalité, ces propriétées varient à cause des variations de composition 

et de température entre r ζ et l’infini. Cette variation peut être prise en compte si les valeurs de référence 

sont judicieusement choisies : 

T re f = (1 − a)T ζ + aT ∞ (2.78) 

Y k,re f = (1 − a)Y k,ζ + aY k,∞ (2.79) 

où a = 1/3 (Hubbard, Denny, and Mills 1975; Versaevel 1996). 

Traitement numérique de l’ébullition 

Le nombre de Spalding de masse (Eq. 2.59) présente une singularité quand Y F,ζ = 1. Cette valeur est 

atteinte quand la température à l’interface atteint la température d’ébullition à la pression considérée 

T b (P) donnée par la relation de Clausius-Clapeyron (Eq. 2.63) : 

50

2.5 Quelques points d’interrogation sur l’approche mésoscopique 

( 1 

T b = − 

T cc 

R ( )) P −1 

ln 

(2.80) 

W F L v P cc 

Analytiquement la loi d’évaporation (Eq. 2.56) ne permet pas d’atteindre la température d’ébullition 

puisque le flux de chaleur pour le liquide devient nul juste avant. Numériquement, le manque de résolution 

spatiale ou temporelle peut conduire à des températures supérieures à T b . Dans ce cas, la température de 

liquide est fixée à la température d’ébullition et le flux conductif de liquide est fixé àzéro. A partir de 

Eq. 2.72, le taux d’évaporation est alors : 

ṁ p 

( 

Tζ = T b 

) 

= 

φ c g 

∆h s,F (T b ) 

(2.81) 

Valeur de référence pour l’enthalpie liquide 

( ) 

L’enthalpie liquide h s,p Tζ est définie à partir d’une valeur de référence différente de celle utilisée 

( ) 

pour l’enthalpie du gaz h s,F Tζ . Il faut donc ajouter un terme additionnel dans l’expression du flux 

( ) 

d’enthalpie de la phase liquide : +ṁ p h s,corr avec h s,corr = h s,F Tl,re f − Lv . 

2.5 Quelques points d’interrogation sur l’approche mésoscopique 

2.5.1 Validité du conditionnement sur la réalisation gazeuse 

Nous avons vu que la moyenne d’ensemble était conditionnée par une réalisation de la phase gazeuse. 

Cette hypothèse n’est valide que dans le cas où la phase dispersée n’influe pas ou très peu sur la phase 

gazeuse. Dans le cas d’un spray Diesel où l’essentiel de la turbulence dans la chambre de combustion 

est généré par l’injection, cette hypothèse est donc discutable. On ne peut donc plus considérer que la 

vitesse de gaz est constante quelle que soit la réalisation. Or la vitesse de gaz intervient dans la force de 

traînée, il faudrait théoriquement prendre en compte une fluctuation par rapport à la moyenne statistique. 

Ici l’hypothèse qui est faite est que les statistiques de la phase gazeuse changent peu avec les réalisations 

de l’écoulement liquide. 

2.5.2 Notion d’échelle et remise en cause de l’hypothèse de viscosité 

Les équations de la phase dispersée obtenues par moyenne d’ensemble ont l’avantage de ne pas introduire 

de notion d’échelle de longueur. Ces équations sont donc valables à toute échelle. 

Elles sont cependant limitées au cas où l’approximation des milieux continus est valide. Les échelles 

caractéristiques de la phase dispersée ne sont pas du même ordre de grandeur que pour un gaz. Les 

molécules ont une taille de l’ordre de l’Angström alors que les gouttes ont une taille de l’ordre du 

51


micromètre. La validité de l’hypothèse des milieux continus et a fortiori le modèle de viscosité pour 

le tenseur RUV (Eq. 4.34) n’est donc pas évidente pour la phase dispersée. Pour évaluer cette limite 

de validité, il est intéressant de calculer un nombre de Knudsen pour la phase dispersée. L’approche 

continue est justifiée pour un nombre de Knudsen inférieur à 1. Le nombre de Knudsen peut être défini 

par le rapport entre le libre parcours moyen l δ et la plus petite échelle du champ de vitesse mésoscopique 

l m . On peut évaluer le libre parcours moyen l δ à l’aide de l’énergie décorrélée et du temps de relaxation 

τ p des particules comme proposé par Moreau (2006) : 

l δ = 

√ 

2 

3 δθ lτ p (2.82) 

La plus petite échelle du champ de vitesse mésoscopique peut être obtenue par l’intermédiaire de l’énergie 

cinétique mésoscopique notée ˜q 2 l 

avec la formule : 

l m = 

√ 

2 

3 ˜q2 l 

|S l | 

(2.83) 

avec |S l | 2 = 2S l,ij S l,ij où S l,ij est le tenseur de déformation du champ de vitesse des particules. 

Ceci permet de calculer un nombre de Knudsen relatif à la plus petite échelle du champ de vitesse 

mésoscopique : 

K n = 

√ 

δθ l 

˜q 2 τ p |S l | (2.84) 

l 

Comme le signale Moreau (2006), le nombre de Knudsen est souvent trop élevé pour valider pleinement 

l’hypothèse de viscosité. Néanmoins, ce modèle donne de bons résultats si on se réfère aux tests a priori 

(Moreau 2006) et a posteriori (Kaufmann, Moreau, Simonin, and Helie 2006). 

2.5.3 Remarque sur le sens de l’opérateur statistique 

Il est parfois intéressant de rappeler que cette statistique est différente d’une approche de type RANS 

puisqu’elle consiste à appliquer une moyenne d’ensemble non pas sur les équations de Navier-Stokes 

comme en RANS mais directement sur l’équation de Boltzmann de transport de la FDP. 

2.6 Equations du gaz filtrées 

On rappelle ici les équations filtrées pour la phase gazeuse. De la même façon que pour les équations du 

liquide, les équations du gaz sont filtrées spatialement avec un noyau G ∆ f 

de taille caratéristique ∆ f . Dans 

la littérature, plusieurs auteurs proposent une dérivation des équations filtrées (Sirignano 2005; Carrara 

and DesJardin 2006). 

52

2.6 Equations du gaz filtrées 

Comme pour le liquide, la quantité f filtrée s’écrit : 

¯f (x) = 

Z 

f (x)G ∆ f 

(x ′ − x)dx ′ (2.85) 

La moyenne de Favre ˜f (x) est habituellement utilisée pour s’affranchir des fluctuations de densité, elle 

est écrite ici à l’aide de la fraction volumique de gaz sous la forme : 

α g ρ g ˜f (x) = 

Z 

α g ρ g f (x)G ∆ f 

(x ′ − x)dx ′ (2.86) 

où α g ρ g est la densité filtrée rapportée au volume occupé par le gaz. 

On obtient alors les équations suvantes : 

∂ 

∂t α gρ g + ∂ α g ρ g Ũ g = Γ g = −Γ l (2.87) 

∂x i 

∂ 

∂t α gρ g Ũ g,i + ∂ 

∂ 

α g ρ g Ũ g,i Ũ g, j = −α g P g + ∂ ( 

t τg,i, j + τ ) g,i, j − α lρ l 

(U g,i −U l,i )+U l,i Γ 

∂x j ∂x i ∂x j τ p 

(2.88) 

∂ 

∂t α gρ g Ẽ g + ∂ 

∂α g 

α g ρ g Ũ g, j Ẽ g = −P g +U l,i F drag − ∂ U g,i (Pδ i, j − τ g,i, j ) − ∂ ( 

t qg, j + q ) 

g, j 

∂x j ∂t 

∂x j ∂x j 

( ) 1 

+Λ g + Φ g + 

2 U l,i 2 Γ (2.89) 

Le tenseur visqueux laminaire filtré s’écrit : 

( ) 

τ g,i, j = −α g ρ g U ˜g,i 

U g, j −Ũ g,i Ũ g, j 

(2.90) 

Les termes de sous-maille notés “ t ” font intervenir la fraction volumique de gaz puisqu’ils s’écrivent : 

τ g,i, j 

t 

q g, j 

t 

( ) 

= −α g ρ g U ˜g,i 

U g, j −Ũ g,i Ũ g, j 

= −α g ρ g 

(Ũg,i E g −Ũ g,i Ẽ g 

) 

(2.91) 

(2.92) 

53


2.7 Bilan des équations par approche statistique 

Les équations obtenues pour la phase gazeuse sont : 

∂ 

∂t α gρ g + ∂ 

∂x i 

α g ρ g Ũ g = Γ g = −Γ l (2.93) 

∂ 

∂t α gρ g Ũ g,i + ∂ 

∂ 

α g ρ g Ũ g,i Ũ g, j = −α g P g + ∂ ( 

t τg,i, j + τ ) g,i, j − α lρ l 

(U g,i −U l,i )+U l,i Γ (2.94) 

∂x j ∂x i ∂x j τ p 

∂ 

∂t α gρ g Ẽ g + ∂ 

∂α g 

α g ρ g Ũ g, j Ẽ g = −P g +U l,i F drag − ∂ U g,i (Pδ i, j − τ g,i, j ) − ∂ ( 

t qg, j + q ) 

g, j 

∂x j ∂t 

∂x j ∂x j 

( ) 1 

+Λ g + Φ g + 

2 U l,i 2 Γ (2.95) 

Les équations obtenues pour la phase liquide sont : 

∂ 

∂t ¯n l + ∂ ¯n l Û l,i = 0 (2.96) 

∂x i 

∂ 

∂t ρ lᾱ l + ∂ ρ l ᾱ l Û l,i = Γ l (2.97) 

∂x i 

∂ 

∂t ᾱlρ l Û l,i + ∂ 

∂ 

ᾱ l ρ l Û l,i Û l, j = Û l,i Γ l − ᾱ l 

¯P g + ᾱlρ ) 

l 

(Ûg,i −Û l,i − ∂ ᾱ l ρ l ̂δRl,ij − ∂ T l,ij (2.98) 

∂x j ∂x i τ p ∂x j ∂x j 

∂ 

∂t ᾱlρ l ̂δθl + ∂ ᾱ l ρ l ̂δθl Û l,i = ̂δθ l Γ l − 

∂x 2ᾱlρ l 

∂ 

̂δθl − ᾱ l ρ l ̂δRl,ij Û l,i + ∂ ᾱ l ρ l̂δKl,ii j 

i τ p ∂x j ∂x j 

+Π δθl − ∂ Q l, j 

∂x j 

(2.99) 

∂ 

∂t ᾱlρ l Ĥ l + ∂ ᾱ l ρ l Ĥ l Û l,i 

∂x i 

= Π l (2.100) 

54

Chapitre 3 

Conclusions sur les équations diphasiques 

bi-fluides 

Dans les deux chapitres précédents les équations du système diphasique ont été obtenues par moyenne 

volumique ainsi que par le formalisme mésoscopique. Même si ces équations présentent de fortes similitudes, 

il faut néanmoins rappeler que les hypothèses utilisées pour les obtenir sont nettemennt différentes. 

Ainsi pour la moyenne volumique, la notion d’échelle est explicite puisqu’elle intervient par l’intermédiaire 

du volume de contrôle. Le terme de fluctuation < χ g ρu ′′ 

i u′′ j > dans l’équation de quantité de mouvement 

représente donc une fluctuation à une échelle inférieure à la taille du volume de contrôle. Il contient donc 

à la fois une contribution du mouvement corrélé ainsi que du mouvement décorrélé. Dans le formalisme 

mésoscopique, la moyenne d’ensemble n’impose pas d’échelle. Le tenseur des vitesses décorrélées δŘ p,ij 

ne contient que la contribution décorrélée et ce à toutes les échelles. Bien sûr, l’application d’un filtre 

LES implique à nouveau une notion d’échelle même avec le mouvement décorrélé. C’est pourquoi des 

termes de sous-maille apparaissent. L’avantage de l’approche mésoscopique est de séparer clairement 

le mouvement mésoscopique, le mouvement décorrélé et le mouvement de sous-maille. Concrètement 

cette séparation et la modélisation de l’énergie décorrélée est particulièrement intéressante dans le cas 

des écoulements chargés dans lesquels les gouttes sont susceptibles de se rencontrer. La modélisation de 

cette rencontre ne peut se faire que si l’on prend en compte une ’agitation’ des gouttes dans un nuage. 

Cette décorrélation pourrait être calculée en transportant différents moments en vitesse comme pour une 

approche de type DQMOM. L’approche choisie ici avec un terme d’énergie permet de limiter le temps 

de calcul et a montré de bons résultats en THI (Riber 2007; Moreau 2006). Il reste néanmoins à adapter 

cette approche pour les injections dans les moteurs à piston. 

Une autre différence concerne la nature des inclusions liquides. Dans l’approche volumique, puisque les 

équations de Navier-Stokes sont utilisées pour les deux phases, il est possible de traiter des ligaments ou 

une colonne de liquide et prendre en compte la physique à l’intérieur de la phase liquide. L’hypothèse de 

sphéricité n’apparaît que pour la modélisation de la force de traînée ou de l’évaporation. Cette approche 

55

CHAPITRE 3 : Conclusions sur les équations diphasiques bi-fluides 

semble donc plus adaptée à la sortie immédiate de l’injecteur dans laquelle l’atomisation primaire est 

importante. 

Dans l’approche mésoscopique, les inclusions sont considérées comme solides, c’est-à-dire comme des 

points matériels avec une propriétée de taille. Conceptuellement, ces deux approches sont donc très 

différentes même si certains termes semblent comparables. 

Dans le travail de cette thèse, l’approche mésoscopique est choisie pour sa capacité à bien différencier 

les types de mouvement de la phase liquide. Elle possède également des propriétées intéressantes de 

stabilité par l’ajout d’une ’viscosité’ et d’une ’pression’ dans la phase liquide. Ces points seront discutés 

au chapitre 5 

56

Deuxième partie 

Développements de AVBP pour le calcul de 

l’injection directe 

57

Introduction 

Le modèle diphasique eulérien a été initialement développé dans AVBP pour des écoulements diphasiques 

très dilués. Comme nous l’avons vu en introduction, cette hypothèse d’écoulement dilué convient 

dans le cas d’injection dans des chambres aéronautiques mais dans le cas de sprays de type essence ou 

Diesel elle n’est plus valable. Le modèle diphasique présenté au chapitre 2 doit donc être adapté aux 

cas des fractions volumiques élevées et donc prendre en compte les phénomènes physiques qui y sont 

rattachés. 

Cette adaptation de la physique doit aussi être complétée d’une adaptation numérique du code AVBP 

pour le calcul moteur. Les fortes pressions d’injection rencontrées dans le cas de l’injection Diesel par 

exemple ainsi que les forts gradients de vitesse ou de fraction volumique dans le spray sont très délicats 

àgérer numériquement. Une partie du travail de thèse a donc porté sur l’amélioration de la robustesse du 

code tout en limitant la diffusivité numérique. 

L’interaction des gouttes avec les parois dans les moteurs à combustion interne est une problématique 

importante tant d’un point de vue numérique que physique. Nous discuterons de cette problématique en 

fin de chapitre. 

Enfin, le mouvement de maillage mis en place par Moureau et al. (2004, Moureau (2004) pour la partie 

monophasique du code AVBP doit être étendu à la partie liquide, et donc aux équations de conservation 

du liquide. 

59

Chapitre 4 

Modélisation physique des écoulements 

diphasiques denses 

4.1 Classification des régimes diphasiques 

Selon Elghobashi (1991, Elghobashi (1994), on peut classer les écoulements diphasiques en différents 

régimes (Fig. 4.1). 

FIG. 4.1 – Classification des régimes d’écoulements diphasiques selon Elghobashi (1994) 

Ce classement s’organise en fonction de la fraction volumique de liquide α l ainsi que d’un rapport de 

temps caractéristiques : τ p est le temps caractéristique de Stokes alors que τ κ = ν/ε,où ε est la dissipation 

61

CHAPITRE 4 : Modélisation physique des écoulements diphasiques denses 

d’énergie cinétique turbulente, est le temps caractéristique relatif à l’échelle de Kolmogorov. Le nombre 

noté S t est le nombre de Stokes défini dans le cas d’un écoulement turbulent par : 

S t = τ p 

τ t (4.1) 

où τ t est le temps caractéristique des plus grands tourbillons de la phase gazeuse. 

D’après ce classement, trois grandes régions peuvent être distinguées. Dans la première région, dite de 

’one-way couling’, pour α l < 10 −6 , les particules n’ont aucun effet sur la turbulence du fluide, néanmoins 

le fluide peut avoir une influence sur la dynamique des particules. Quand la fraction volumique de liquide 

augmente jusqu’à α l = 10 −3 , les particules peuvent influencer la turbulence du fluide (’two-way 

couling’). Elles peuvent soit dissiper l’énergie turbulente si leur Stokes est faible (zone A), soit contribuer 

à l’augmentation de l’énergie cinétique turbulente si leur Stokes est fort (zone B). Dans la zone A, 

l’énergie turbulente est dissipée par le travail de la force de traînée qui accélère les particules. Dans la 

zone B, la forte inertie des particules provoque un détachement tourbillonnaire qui crée ou augmente 

l’énergie turbulente. Ces mécanismes sont les mécanismes prépondérants pour la modulation de la turbulence 

gazeuse par des particules solides. Quand la fraction volumique augmente et dépasse α l > 10 −3 , 

la distance entre les particules diminue si bien que les interactions entre les particules entrent en compte 

(’four-way couling’). D’après ce classement, dans le cas des sprays, et étant donné la forte charge de 

liquide, il semble difficile d’omettre les interactions entre particules. En revanche, l’importance des collisions 

par rapport au couplage fluide-particules reste à évaluer. Pour des fractions volumiques de liquide 

de l’ordre de α l > 0.1, la turbulence du gaz n’a plus qu’un effet limité sur le mouvement des gouttes. 

4.2 Importance des collisions 

Comme nous l’avons vu, les principales différences entre une zone fortement chargée en gouttelettes et 

une zone très diluée sont les intéractions particules-particules. Pour s’en rendre compte, il est utile de 

comparer le temps de relaxation τ p avec le temps caractéristique des collisions τ c . 

Le temps de relaxation d’une goutte de diamètre d, de masse volumique ρ l évoluant à un Reynolds Re et 

subissant un coefficient de traînée C d ≈ 24/Re s’exprime par : 

τ p = 

4d 2 ρ l 

3µ g C d Re d 

≈ d2 ρ l 

18µ g 

(4.2) 

Le temps caractéristique de collision, qui est le temps qui sépare deux collisions pour une goutte, est 

exprimé en utilisant la théorie cinétique des gaz (Chapman and Cowling 1970) et en faisant l’analogie 

entre l’énergie d’agitation moléculaire et la Random Uncorrelated Energy (RUE = δθ, voir chapitre 2 ). 

On obtient : 

62

4.2 Importance des collisions 

τ c = 

√ 

d 3π 

24g 0 α l 2RUE 

(4.3) 

dans lequel g 0 est un paramètre que l’on explicitera ultérieurement et que l’on calcule par la formule 

empirique g 0 =(1 − α l 

α m 

) −2.5α m 

(Lun and Savage 1986) pour laquelle α m est la fraction volumique de 

liquide maximum et qui correspondant à un entassement maximum. . Par exemple pour des particules 

sphériques rigides, on a α m ≈ 0.64. 

Le rapport τ ratio entre ces deux temps de collision est : 

τ ratio = τ c 

τ p 

≈ 

√ 

3µ g 3π 

4dg 0 ρ l α l 2RUE 

Pour des gouttes de 20µm, de masse volumique ρ l = 800kg.m −3 dans une chambre de gaz de viscosité 

dynamique µ g = 1.5kg.m −1 .s −1 et en prenant α m = 0.7,la figure 4.2 montre l’évolution de ce rapport 

pour différentes valeurs de RUE (en m 2 .s −2 ) en fonction de la fraction volumique de liquide α l . 

(4.4) 

FIG. 4.2 – Rapport des temps caractéristiques de collision et de relaxation 

On remarque que quelle que soit le valeur de RUE (10m 2 .s −2 ; 100m 2 .s −2 ou 1000m 2 .s −2 ), le temps 

de collision est inférieur au temps de relaxation pour une fraction volumique de liquide de l’ordre de 

63


10 −3 . Ce qui veut dire que même pour des écoulements qui pourraient être considérés comme ’dilués’, 

les phénomènes de collisions ont un rôle important et ne peuvent pas être négligés. Ils sont d’autant plus 

importants que la fraction volumique de liquide est élevée et que l’“agitation” (RUE) est élevée. Il est 

donc nécessaire de prendre en compte les collisions dans le calcul. 

4.3 Prise en compte des collisions 

Les collisions peuvent être prises en compte de différentes manières. La nature même des équations diphasiques 

bi-fluide obtenues par approche volumique ou par approche statistique ne permet pas d’éviter 

les zones de fortes concentration de liquide dans lesquelles la fraction volumique de liquide prend des 

valeurs élevées. Pour éviter ces accumulations, certains auteurs ajoutent un terme, dit de ‘pression collisionnelle’ 

G(α g )∂α g /∂x i , dans l’équation de quantité de mouvement du liquide. Ce terme permet de 

stabiliser numériquement le calcul (Massoudi et al. 1992) et agit très fortement lorsque la fraction volumique 

de liquide se rapproche d’une valeur limite associée à la fonction G(α g ). Différents modèles pour 

G(α g ) peuvent être utilisés (Enwald et al. 1996), citons par exemple : G(α g )=exp(−500(α g − 0.46)). 

L’inconvénient de ce type de modèle est que le fondement physique reste àdéterminer et qu’il n’influe 

en rien sur le mouvement décorrélé bien que les collisions puissent agir comme terme de production ou 

de dissipation. 

Pour rappel, le principal phénomène physique contribuant à l’évolution du RUM, en écoulement dilué, 

est la traînée : sans traînée l’énergie décorrélée reste constante. Pour des fractions volumiques supérieures 

à α l = 10 −3 , le phénomène prépondérant n’est plus la traînée mais les interactions gouttes-gouttes (voir 

section 4.2) et il faut adapter l’équation de conservation de RUE pour prendre en compte les collisions. 

L’idée principale développée ci-dessous est donc de modéliser le taux de variation collisionnel de chaque 

quantité ψ : C(ψ) (cf. Eq. 2.5). Les collisions intervienent dans la modélisation du tenseur de vitesse 

décorrélée δŘ l,ij ainsi qu’au niveau des corrélations triples Ǩ l,i jk (voir section 2.2). La modélisation de 

la viscosité ̂ν RUV (cf. Eq. 2.51) et du coefficient de diffusion ̂κ RUV (cf. Eq. 2.52) doit donc être adaptée. 

Pour cela, on utilise la théorie cinétique des gaz denses développée par Jenkins and Richman (1985). 

L’utilisation de cette théorie a fait l’objet de nombreuses études. On citera notamment les travaux de 

(Simonin 1991) sur des jets ronds turbulents, de (He and Simonin 1993) pour des écoulements confinés 

chargés de particules, de Balzer et al. (1996) et Boelle (1997) pour des lits fluidisés et enfin Boelle et al. 

(1995) pour la validation en écoulement cisaillé simple. Une revue complète de la simulation turbulente 

en lits fluidisés est proposée par Peirano and Leckner (1998). Le modèle de collision présenté ici ainsi 

que la dérivation des équations et des différents termes collisionnels sont très largement inspirés de cette 

revue et des travaux de Boelle (1997). 

64

4.4 Modélisation des termes collisionnels 


En suivant la démarche de Peirano and Leckner (1998) on fait l’analogie entre la température granulaire 

et l’énergie décorrélée puisque le formalisme est identique. 

4.4.1 Taux de variation collisionnel 

Le taux de variation collisionnel de la quantité ψ est : 

Z ( ∂ ˇ 

) 

f p 

C(ψ) = ψ dc p (4.5) 

∂t 

coll 

Jenkins and Richman (1985) proposent de décomposer ce terme sous la forme : 

C(ψ) = χ(ψ) − ∂ Θ i (ψ) − ∂U ( ) 

l, j ∂ 

Θ i ψ 

∂x i ∂x i ∂δu p, j 

(4.6) 

Le calcul de ces termes fait intervenir la fonction de distribution paire f 2 (x A ,x B ,c pA ,c pB ,t) ainsi que 

la variation de la quantité ψ durant la collision. La fonction de distribution paire est définie telle que 

f 2 (x A ,x B ,c pA ,c pB ,t)dx A dx B dc pA dc pB représente la probabilité de trouver une paire de particules A et 

B dans un volume x A + dx A et x B + dx B avec des vitesses comprises entre c pA et c pA + dc pA et c pB et 

c pB + dc pB respectivement. 

Le terme χ(ψ) est un terme source, il représente la perte de la quantité ψ par collision inélastique : 

Z 

χ(Ψ)= ((ψ ′ B + ψ ′ A) − (ψ B + ψ A )) f 2 (x A ,x B ,c A ,c B ,t)d 2 p(g.k)dkdc A dc B (4.7) 

g.k>0 

où g = c pA − c pB est la vitesse relative entre les deux particules et k est le vecteur unité défini par dk = 

x B − x A avec g.k > 0. La propriété ψ d’une particule est notée ψ ′ après la collision. 

Θ i (ψ) est un terme de flux, il réprésente le transport de ψ durant les collisions : 

Z 

( 

Θ i (Ψ)= (Ψ ′ A − Ψ A )k i 1 − d ) 

pk j ∂ 

+ ... f 2 (x A ,x B ,c A ,c B ,t)d 2 

g.k>0 

2! ∂x 

p(g.k)dkdc A dc B (4.8) 

j 

Le dernier terme de l’Eq. (4.6) doit être inclus lorsque ψ dépend de la fluctuation δu p, j . Ce terme 

représente une production de ψ par le gradient de vitesse moyenne. 

Pour calculer le terme C(ψ), il faut donc trouver une expression pour f 2 et calculer les termes ∆ψ = 

(ψ ′ B + ψ′ A ) − (ψ B + ψ A ) et ψ ′ A − ψ A. 

4.4.2 Collisions binaires 

On considère une collision binaire inélastique entre deux particules A et B de masse m et de diamètre d p . 

La modélisation utilisée ne prend pas en compte la coalescence ni la polydispersion. Tous ces différents 

65


phénomènes physiques modifient significativement les bilans de quantité de mouvement et d’énergie 

pendant les collisions et donc les fermetures des termes collisionnels. Dans le travail proposé ici, on se 

limite aux effets prépondérants associés aux collisions et on néglige ces phénomènes. 

La variation de quantité de mouvement J des particules A et B sont identiques : 

J = mc ′ pA − mc pA = mc ′ pB − mc pB (4.9) 

De plus : 

g ′ .k = −e(g.k) (4.10) 

où g ′ = c ′ pA − c′ pB et e est le coefficient d’inélasticité ou coefficient de restitution. Ce coefficient, qui 

représente la perte d’énergie pendant la collision, varie entre 0 et 1, et vaut 1 quand la collision est 

élastique. A partir des Eq.(4.9) et (4.10), on peut calculer J : 

J i = 1 2 m(1 + e)(g jk j )k i (4.11) 

A partir des Eqs.(4.9)-(4.11), il est ainsi possible de trouver les variations des moments d’ordre 1, 2 et 3 

en vitesse et donc les termes ∆ψ et ψ ′ A − ψ A (Jenkins and Richman 1985). 

4.4.3 Fonction de distribution paire 

La fonction de distribution paire f 2 peut s’exprimer simplement par le produit des deux fonctions de distribution 

f 1 (Chapman and Cowling 1970) de chaque particule corrigé par le facteur g 0 ≥ 1 qui représente 

la fonction de distribution radiale : 

f 2 (x A ,x B ,c pA ,c pB ,t) = g 0 (x) f 1 (x − 1 2 d p,c pA t) f 1 (x + 1 2 d p,c pB ,t) (4.12) 

g 0 prend en compte le fait que les fonctions de distribution des deux particules ne sont pas statistiquement 

indépendantes. En pratique, elle prend en compte le fait que le nombre de collisions augmente lorsque 

les particules sont très proches. Lun and Savage (1986) proposent la formule empirique suivante : g 0 = 

(1 − α l 

α m 

) −2.5α m 

. 

Les deux propriétées importantes de la fonction g 0 sont qu’elle doit tendre vers 1 pour des fractions 

volumiques faibles et vers l’infini quand la fraction volumique tend vers un compactage maximum (α m ). 

La fonction de Lun and Savage (1986) répond à ces deux propriétés et a montré de bons résultats en 

écoulements cisaillés fortement chargés en petites particules. 

4.4.4 Développement de Grad 

Enfin, pour obtenir l’expression finale des termes collisionnels et la modélisation du tenseur des vitesses 

décorrélées, il faut faire une hypothèse sur la forme de la fonction de distribution. Pour cela, Grad (1949) 

66


propose d’écrire la fonction f 1 comme un développement infini de la distribution de Maxwell f 0 à l’aide 

de polynômes d’Hermite H n i (c) : 

f 1 (x,c p ,t) = f 0 (x,c p ,t) 

( ∞∑ 

n=0 

) 

1 

n! an i (x,t)Hi n (c p ) 

(4.13) 

où les tenseurs a n i (x,t) sont symétriques pour tous leurs indices et f 0 est la fonction de distribution de 

Maxwell : 

f 0 (x,c p ,t)= 

( ) 

2 

ň l 

−3δu p,i 

( ) 3/2 

exp 

2/3πδˇθ l 

4δˇθ l 

(4.14) 

Grad propose de se limiter à une troncature du troisième ordre au lieu d’un développement infini : 

( 

f 1 (x,c p ,t) = H 0 + a i Hi 1 + 1 2! a ijHij+ 2 1 ) 

3! a i jmHi 3 jm f 0 (x,c p ,t) (4.15) 

Chaque polynôme d’Hermite est défini en fonction des dérivés de f 0 : 

( 

f 1 ∂ 

(x,c p ,t) = 1 + a i + 1 ∂c p,i 2! a ∂ 2 

ij + 1 ∂c p,i ∂c p, j 3! a ∂ 3 ) 

i jm 

f 0 (x,c p ,t) (4.16) 

∂c p,i ∂c p, j ∂c p,m 

avec 

H 0 = 1 (4.17) 

Hi 1 = 1 ∂ f 0 

f 0 = − 3δu p,i 

∂c p,i 2δˇθ l 

(4.18) 

H 2 ij = 1 f 0 ∂ 2 f 0 

∂c p,i ∂c p, j 

= − 3δ ij 

2δˇθ l 

+ 9δu p,iδu p, j 

4δˇθ 2 l 

Hi 3 jm = 1 ∂ 3 f 0 

f 0 = 9(δu p,iδ jm + δu p, j δ im + δu p,m δ ij ) 

∂c p,i ∂c p, j ∂c p,m 4δˇθ 2 − 27δu p,iδu p, j δu p,m 

l 

8δˇθ 3 l 

(4.19) 

(4.20) 

L’approximation à l’ordre 3 dans l’Eq. (4.15) n’est valable que dans le cas où l’écoulement ne varie pas 

trop rapidement. De plus, comme souligné par Boelle et al. (1995) par comparaison avec des simulations 

numériques lagrangiennes, la fonction de distribution de Grad n’a pas la bonne forme dans le cas d’une 

forte anisotropie du champ des vitesses décorrélées et est donc limitée aux cas de faibles anisotropies où 

on préfère la forme proposée par Richmann (1989). Cependant, la distribution de Richmann ne permet 

pas de dériver les termes collisionnels de manière générale. 

A partir des Eq. (2.24) et Eq. (4.16 ) il est possible d’obtenir des relations entres a i ,a ij et a i jm et les 

moments en vitesse. Appliquée à ψ = 1 on trouve que a i = 0. De plus, Jenkins and Richman (1985) 

montrent que : 

δŘ l,ij = 2δˇθ l 

3 δ ij+ a ij ⇒ +a ii = 0 (4.21) 

δǨ l,i jm = a i jm (4.22) 

δ ˇM l,i jmn = 4/3(δˇθ l ) 2 δ (ij δ mn) + 4δˇθ l a (ij δ mn) (4.23) 

67


où δ ˇM p,i jmn =< δu p,i δu p, j δu p,m δu p,n > l est le moment d’ordre 4 en vitesse. D’après Grad, le système de 

20 inconnues ( ˇα l , Ǔ l,i ,a ij , a i jm ) peut être réduit en un système de 13 inconnues en utilisant une contraction 

du tenseur du troisième ordre : 

La distribution f 1 peut donc être réécrite : 

( 

f 1 (x,c p ,t) = 

a i jm = 1 5 (a innδ jm + a jnn δ in + a mnn δ ij ) (4.24) 

1 + 9a ij 

8(δˇθ l ) 2 δu p,iδu p, j + 

9a imm 

40(δˇθ l ) 2 ( 

3δu 

2 

p,i 

2δˇθ l 

− 5 

)δu p,i 

) 

f 0 (x,c p ,t) (4.25) 

Le système de 13 inconnues peut être résolu avec l’équation de conservation de la masse, de la quantité de 

mouvement, de RUE et des équations de transport des a ij = δŘ ∗ l,ij et a imm = δǨ l,imm . L’équations de transport 

des a ij est obtenue à partir des Eq. (2.20) avec ψ = δu p,i u p, j , ψ = δu p,i u p,i et des Eq. (4.21), (4.22) 

et (4.24). L’équation de transport des a imm est obtenue à partir des Eq. (2.20) avec ψ = δu p,i δu p,m δu p,m 

et des Eq. (4.21) à(4.24). Ces équations de transport ne sont pas réécrites dans ce manuscrit mais le 

lecteur intéressé pourra lire, par exemple, la revue de Peirano and Leckner (1998). 

4.4.5 Théorie linéaire 

Il est maintenant nécessaire d’expliciter les termes de collisions en utilisant la fonction de distribution 

calculée précédemment à l’Eq. (4.25). Pour cela, Jenkins and Richman (1985) considèrent des faibles 

perturbations (domaine linéaire) autour de l’état de Maxwell. Ils arrivent ainsi à exprimer les termes de 

collision χ(ψ) de l’Eq. (4.7) et Θ i (ψ) de l’Eq. (4.8) en fonction, notamment, des coefficients a ij et a i j j : 

χ(m p u p,i ) = 0 (4.26) 

Θ j (m p u p,i ) = 2α 2 l ρ l g 0 (1 + e) 2δˇθ l 

3 δ ij 

√ 

− 4 2δˇθ l 

5 α2 l ρ l dg 0 (1 + e) 

3π (2S l,ij+ S l,mm δ ij ) 

+ 4 5 α2 l ρ l g 0 (1 + e)a ij (4.27) 

√ 

χ( 1 2 m pδu p, j δu p, j ) = 12 

d 2 α2 l ρ l g 0 (e 2 2δˇθ l 2δˇθ l 

− 1) 

3π 3 

+3α 2 l ρ l g 0 (1 − e 2 ) 2δˇθ l 

3 S l,mm (4.28) 

√ ( ) 

Θ i ( 1 2 m pδu p, j δu p, j ) = − 6 5 α2 l ρ l g 0 (1 + e)a i j j − 4α 2 2δˇθ l ∂ 2δˇθ l 

l dρ l g 0 (1 + e) 

(4.29) 

3π ∂x i 3 

Il reste maintenant à expliciter et faire des hypothèses sur les termes a ij et a i j j qui sont les tenseurs δŘ ∗ l,ij 

et δǨ l,imm respectivement. Ces hypothèses ainsi que la modélisation finale retenue sont détaillés dans la 

section suivante. 

68

4.5 Nouvelles équations bi-fluide pour les écoulements chargés 


La prise en compte des collisions a deux modifications essentielles sur les équations du modèle bi-fluide. 

Premièrement, la contribution cinétique du tenseur de corrélation des vitesses résiduelles est modifiée 

par la prise en compte de l’effet des collisions sur le libre parcours moyen des particules. De plus, une 

contribution collisionnelle est rajoutée par les termes de type C(ψ). Ici,et afin de respecter le formalisme 

mésoscopique, les corrélations en vitesse fluide-particule de type l ne sont pas prises en 

compte. En effet, u ′ g,i , étant la fluctuation de vitesse de la phase gazeuse vue par la particule, on a u′ g,i = 0 

puisque la moyenne d’ensemble sur les réalisations de la phase liquide se fait pour une seule réalisation 

de la phase gazeuse. 

Les seules équations présentant des modifications sont les équations de conservation de quantité de mouvement 

et d’énergie décorrélée. Elles sont rappelées ci-dessous, avec en gras les termes ajoutés par 

rapport aux équations sans collision : 

∂ 

∂t ᾱlρ l Û l,i + ∂ ᾱ l ρ l Û l,i Û l, j = ᾱlρ ) 

l 

(Ûg,i −Û l,i − ∂ ̂δRl,ij 

∂x j τ p ∂x j 

− ∂ P SGS − ∂ T 

∂x i ∂x 

l,ij+ ∗ C(m p u p,i ) (4.30) 

j 

∂ 

∂t ᾱlρ l ̂δθl + ∂ ᾱ l ρ l ̂δθl Û l,i = 

∂x −2ᾱlρ l ̂δθl − ∂ ᾱ l ρ l̂δKl,ii j 

i τ p ∂x j 

∂ 

−̂δR l,ij Û l,i + ( −P SGS − T ∗ ) ∂ 

l,ij Û l,i 

∂x j ∂x j 

+C( 1 2 m pδu p,j δu p,j ) (4.31) 

En remplacant les termes collisionnels par leur expression simplifiée (Eq. 4.6) et le terme χ(m p δu p,i ) 

étant nul, on obtient : 

∂ 


l 

(Ûg,i −Û l,i − ∂ 

) 

(̂δRl,ij + Θ j (m p δu p,i ) 

∂x j τ p ∂x j 

− ∂ P SGS − ∂ Tl,ij ∗ 

(4.32) 

∂x i ∂x j 

∂ 


∂x −2ᾱlρ l ̂δθl − ∂ ᾱ l ρ l̂δKl,ii j 

i τ p ∂x j 

∂ 

−̂δR l,ij Û l,i + ( −P SGS − T ∗ ) ∂ 

l,ij Û l,i 

∂x j ∂x j 

+χ( 1 2 m pδu p,j δu p,j ) − ∂ 

∂x i 

Θ i ( 1 2 m pδu p,j δu p,j ) 

− ∂U l,i 

∂x j 

Θ j (m p δu p,i ) (4.33) 

Le tenseur ̂δR l,ij représente une contribution cinétique alors que les termes χ et Θ sont des contributions 

collisionnelles. On présente dans les sections suivantes la modélisation finale de ces deux contributions. 

69


4.5.1 Modélisation de la contribution cinétique 

Le tenseur de corrélation des vitesses résiduelles RUV est modélisé par une hypothèse de Boussinesq 

prenant en compte non seulement les effets de traînée comme dans les travaux de Kaufmann (2004) mais 

aussi les collisions : 

̂δR l,ij = 2 3 

̂δθ l δ ij − 2 ̂ν RUVc 


3 

La viscosité ̂ν RUVc s’écrit dorénavant (Boelle et al. 1995) : 

̂ν RUVc = τ p 

3 

) 

2 

̂δθ l 

(1 + ᾱ l g 0 

5 (1 + e)(3e − 1) 

) 

= ̂P RUV δ ij − 2 ̂ν RUVc Ŝ ∗ l,ij 

(4.34) 

1 

( 

1 + τ p (1 + e)(3 − e) 

τ c 10 

) (4.35) 

L’indice c signifie que le terme a été modifié pour prendre en compte le temps collisionnel. Dans le cas 

des écoulements très dilués (α l → 0 et τ c → ∞ ) on retrouve ν RUVc = ν RUV . Cette viscosité ’collisionnelle’ 

apparaît donc comme une extension du coefficient “classique” de Kaufmann (2004) aux cas fortement 

chargés, par diminution du libre parcours moyen. Fondamentalement, même dans le cas collisionnel, 

l’hypothèse de Boussinesq est toujours utilisée mais on pourrait aussi utiliser une équation de transport 

pour le tenseur ̂δR l,ij . 

Le coefficient de diffusion ̂κ RUVc évolue également. Il est tel que : 

̂δK l,ii j = −̂κ RUVc 

∂ ̂δθ l 

∂x j 

(4.36) 

avec (Boelle et al. 1995): 

( 

3 

̂κ RUVc = 2 1 + ᾱ l g 0 

̂δθ l ( 

3 9 

+ 

5τ p 

) 

5 (1 + e)2 (2e − 1) 

(19 − 33e)(1 + e) 

100τ c 

) (4.37) 

De même que pour la viscosité, le coefficient de diffusion présente un bon comportement dans les zones 

diluées (α l → 0) où il tend vers la valeur “classique” κ RUV = 10 

27 τ pδθ p (Kaufmann 2004). 

4.5.2 Modélisation de la contribution collisionnelle 

Pour l’équation de quantité de mouvement, un nouveau tenseur ᾱ l ρ l ̂δR 

c 

p,ij = Θ j (m p δu p,i ) apparaît dans 

l’équation de quantité de mouvement. Une hypothèse de Boussinesq est aussi appliquée sur ce tenseur. 

Pour cela, la viscosité collisionnelle ̂ν coll ainsi qu’une pression collisionnelle ̂P coll et un terme de type 

’bulk viscosity’ ̂ξ c sont introduits. 

Le terme collisionnel dans l’équation de quantité de mouvement s’écrit : 

70


C(m ̂ p u p,i ) = ∂ Θ j (m p δu p,i ) (4.38) 

∂x j 

avec : 

Θ j (m p δu p,i ) = ᾱ l ρ l ̂δR 

c 

l,ij 

= 

( 

̂P coll − ̂ξ c 

∂Û l,k 

∂x k 

)δ ij − 2ᾱ l ρ l ̂ν RUVcoll Ŝ ∗ l,ij 

(4.39) 

La partie sphérique du tenseur fait apparaitre un terme de pression dite ’pression collisionnelle’ √ 

̂P coll = 

4 2 ρ 3ᾱl l g 0 (1 + e) ̂δθ l ainsi qu’un terme du type ’bulk viscosity’ ̂ξ c = 4 2 2̂δθ 

ρ 3ᾱl l g 0 (1 + e)d p 

3π 

Pour la partie non-sphérique du tenseur, on peut définir une viscosité collisionnelle ̂ν coll définie par 

(Boelle et al. 1995): 

⎛ 

⎛ 

̂ν coll = ⎝ 4 5ᾱlg 0 (1 + e) ⎝ ̂ν RUVc + d 

√ 

2̂δθ p 

3π 

⎞⎞ 

⎠⎠ (4.40) 

Pour l’équation d’énergie décorrélée, le terme collisionnel est modélisé par : 

̂ 

C( 1 2 m pδu p, j δu p, j ) = χ( 1 2 m pδu p, j δu p, j ) − ∂ Θ i ( 1 ∂x i 2 m pδu p, j δu p, j ) − ∂U l,i 

Θ j (m p δu p,i ) (4.41) 

∂x j 

1 − e 2 

≈ −ᾱ l ρ l 

̂δθl + ∂ ( 

) 

∂ 

ᾱ l ρ l ̂κ coll 

̂δθl − ∂U ( ) 

l,i 

ᾱ l ρ l ̂δR 

c 

3τ 

} {{ c ∂x 

} j ∂x j ∂x l,ij 

(4.42) 

j 

} {{ } } {{ } 

I 

II 

III 

où ̂κ coll est le coefficient de diffusion par collision : 

̂κ coll = ᾱ l g 0 (1 + e) 

⎛ 

⎝ 6 5 ̂κ RUV c 

+ 4 3 d √2 ̂δθ l 

3π 

⎞ 

⎠ (4.43) 

Le terme (I) représente la dissipation d’énergie décorrélée par l’inélasticité des collisions. Pour ce terme, 

on se contente de l’approximation proposée par Peirano and Leckner (1998). L’hypothèse est que les 

termes de type d p U/(L √ δθ), dans lequel U est une vitesse caractéristique et L une longueur caractéristique 

sont petits. 

Le terme (II) représente la diffusion d’énergie décorrélée par collision. Enfin, le terme (III) représente la 

production de RUE par cisaillement et compression à travers les collisions. Les nouvelles équations de 

quantité de mouvement et d’énergie décorrélée obtenues sont présentées dans les sections suivantes. 

71


4.5.3 Équation de quantité de mouvement 

Le tenseur de contrainte total prenant en compte les contributions cinétique et collisionnelle est : 

( 

) 

̂δΣ tot 

p,ij = ̂P RUV + ̂P coll − ̂ξ ∂Û l,k 

( )Ŝ∗ 

c δ i, j − 2ᾱ l ρ l ̂νRUVc + ̂ν coll 

∂x l,ij 

(4.44) 

k 

que l’on peut réécrire 

donc : 

̂δΣtot 

p,ij = ̂P tot − 2ᾱ l ρ l ̂ν tot Ŝl,ij ∗ . L’équation de quantité de mouvement filtrée devient 

∂ 


l 

(Ûg,i −Û l,i − ∂ ̂P tot + ∂ 2ᾱ l ρ l ̂ν tot Ŝl,ij 

∗ ∂x j τ p ∂x i ∂x j 

− ∂ 

∂x i 

P SGS − ∂ 

∂x j 

T ∗ 

l,ij (4.45) 

4.5.4 Équation de conservation de RUE 

L’équation de conservation de l’énergie décorrélée s’écrit dorénavant : 

∂ 


∂x −2ᾱlρ l 1 − e 2 

̂δθl − ᾱ l ρ l 

̂δθl 

i τ p 3τ c 

− ∂ ᾱ l ρ 

tot l̂δK 

l,ii j 

− ̂δΣtot 

∂ 

l,ij 

∂x j 

∂x j 

Û l,i + ( −P SGS − T ∗ 

) ∂ 

l,ij Û l,i (4.46) 

∂x j 

Les deux premiers termes du membre de droite représentent la dissipation d’énergie décorrélée par, 

respectivement, recorrélation par la traînée et inélasticité des collisions. Le troisième terme est un terme 

de diffusion. Le quatrième terme est le terme de production d’énergie décorrélée par les effets indirects 

de la phase porteuse et par les collisions. Il provient du terme diffusif du tenseur RUV dans l’équation 

de quantité de mouvement. L’énergie prélevée dans le mouvement corrélé par diffusion est transférée en 

énergie décorrélée par ce terme. Cette énergie décorrélée est produite par compression et cisaillement à 

travers la corrélation avec la phase porteuse mais aussi par compression et cisaillement par choc entre les 

particules. Les échanges d’énergie entre le mouvement corrélé, le mouvement décorrélé et le mouvement 

de sous-maille sont résumés sur la figure (4.3) 

Comme nous l’avons vu en §2.4.2, l’énergie transférée du mouvement corrélé résolu au mouvement de 

sous-maille est intégralement transférée en énergie décorrélée résolue. 

Sans les termes de sous-maille, on ne peut produire d’énergie décorrélée puisque tous les termes de 

production sont proportionnels à l’énergie décorrélée. Le terme de sous-maille, sous l’influence d’un 

gradient de vitesse du champ corrélé contribue donc à la production de RUE dans un champ initialement 

totalement corrélé. On comprend alors l’utilité des termes de sous-maille notamment dans le cas où un 

72


FIG. 4.3 – Principe du transfert d’énergie pour la phase liquide 

73


paquet de gouttes totalement corrélées, ayant une vitesse de déplacement non nulle, rencontre un paquet 

de gouttes aux repos (figure 4.4). Chaque paquet de gouttes n’ayant pas d’énergie décorrélée, l’apparition 

d’une énergie décorrélée ne se fera que quand les deux paquets seront dans la même maille. Le terme de 

production de sous-maille crée alors de la RUE . 

FIG. 4.4 – Cas de production d’énergie décorrélée par compression 

4.6 Influence des termes collisionnels 

Suite à la prise en compte des phénomènes de collisions, de nouvelles fermetures sont apparues dans 

les équations de QDM et de conservation de RUE. L’analyse suivante consiste àdéterminer comment 

évoluent ces grandeurs par rapport au modèle original d’AVBP qui ne prend pas en compte les collisions. 

Pour cela, on redéfinit les termes suivants : 

κ tot = κ RUVc + κ coll (4.47) 

ν tot = ν RUVc + ν coll (4.48) 

P RUV , ν RUV et κ RUV sont issus de la modélisation de Kaufmann (2004) dans le cas très dilué. Afin de 

quantifier l’influence des termes de collisions, on trace l’évolution, en fonction de la fraction volumique 

de liquide, des rapports P ratio , ν ratio et κ ratio définis par : 

P ratio = P coll 

P RUV 

; ν ratio = ν tot 

ν RUV 

et κ ratio = κ tot 

κ RUV 

On se place dans le cas (cf. §4.2) pour lequel on a calculé précédemment τ ratio c’est-à-dire pour des 

gouttes de 20µm de masse volumique ρ l = 800kg.m −3 avec un gaz environnant de viscosité cinématique 

µ g = 1.5Pa.s, et un coefficient de restitution de 0.8 . 

Les figures 4.5 et 4.6 présentent l’évolution de P ratio pour différentes valeurs de la fraction volumique 

maximum α m (voir l’expression de g 0 page 63). 

74

4.6 Influence des termes collisionnels 

P ratio 

=P coll 

/P RUV 

10 

1 

0.1 

α m 

=0.5 

α m =0.7 

α m 

=0.9 

P ratio 

=P coll 

/P RUV 

100 

10 

1 

α m =0.5 

α m =0.7 

α m 

=0.9 

0.01 

0.001 

0.001 0.01 0.1 

α l 

0.1 

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 

α l 

FIG. 4.5 – Evolution de P ratio en fonction de la 

fraction volumique de liquide pour différentes 

valeurs du paramètre α m . 

FIG. 4.6 – Evolution de P ratio en fonction de la 


valeurs du paramètre α m . Zone dense 

On remarque que, d’après la Fig. 4.5, P coll est toujours inférieure à P RUV pour des fractions volumiques 

inférieures à 10 −1 et ce quelle que soit la valeur du paramètre α m . La pression de collision devient 

même prédominante dans les zones très chargées (Fig. 4.6) avec une croissance exponentielle quand α l 

se rapproche de α m . A noter que P ratio est une quantité indépendante de RUE. 

Les figures 4.7 et 4.8 montrent l’évolution des rapports ν ratio et κ ratio pour différentes valeurs de δθ = 

RUE (en m.s −1 ) en fonction de la fraction volumique de liquide α l . Ces résultats confirment le bon comportement 

dans les zones diluées puisque lim ν ratio = 1 et lim κ ratio = 1. La deuxième remarque est 

α l →0 α l →0 

que, excepté dans les zones très diluées ou très denses (α l ≈ α m ), la viscosité et la diffusivité, dans le cas 

collisionnel, diminuent fortement, quand la fraction volumique de liquide augmente, par rapport au cas 

sans collisions et ce d’autant plus que RUE est élevée. 

Cette diminution de viscosité (et de diffusivité), par rapport au cas sans collision, s’explique par une 

diminution de la contribution cinétique inhibée par les effets collisionnels et notamment par une diminution 

du libre parcours moyen. Les mécanismes visqueux de la théorie cinétique des gaz ont donc leur 

pendant pour la phase dispersée liquide, la seule différence étant les échelles de longueurs qui ne sont 

pas comparables. 

La figure 4.9 présente le mécanisme de viscosité par contribution cinétique telle qu’expliquée par Grad 

(1949) et par Panton (1984). De chaque côté d’un plan A, deux couches ou ensembles de particules 

évoluent à des vitesse moyennes différentes. Par mouvement aléatoire particulaire (mouvement d’agitation), 

des particules passent d’un côté du plan à un autre contribuant à un échange de quantité de 

mouvement à travers le plan A. Cet échange permet d’obtenir un profil de vitesse moyenne et correspond 

à une effet de viscosité entre deux couches fluides évoluant à des vitesses différentes. Cette viscosité 

75


10 

10 

1 

RUE =10 

RUE=100 

RUE=1000 

1 

RUE =10 

RUE=100 

RUE=1000 

ν ratio 

=ν tot 

/ν RUV 

0.1 

0.01 

Κ ratio 

=Κ tot 

/Κ RUV 

0.1 

0.01 

0.001 

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 

α l 

0.001 

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 

α l 

FIG. 4.7 – Évolution de ν ratio en fonction de la 


valeurs d’énergie RUE. 

FIG. 4.8 – Évolution de κ ratio en fonction de la 


valeurs d’énergie RUE. 

FIG. 4.9 – Mécanismes visqueux par contribution cinétique dans la théorie cinétique des gaz. 

ν peut s’exprimer comme le produit d’une échelle de longueur caractéristique l égale au libre parcours 

moyen transversal et d’une vitesse caractéristique δu : 

ν∝lδu 

Dans le cas où toutes les particules ont des vitesses corrélées, la vitesse moyenne correspond à la vitesse 

de chaque particule et le profil de vitesse moyen obtenu est constitué d’un front au niveau du plan de 

séparation entre les couches (Fig. 4.9). Ce cas correspond alors à une viscosité très faible. Lorsque 

le nombre de gouttes par volume devient important, l’interpénétration des particules à travers le plan 

est freinée par les collisions. Ainsi le profil moyen présente un gradient plus important entre les deux 

76

4.7 Quelques réflexions sur le modèle de collisions 

couches, preuve d’une viscosité plus faible par diminution de la longueur caractéristique. La viscosité 

est donc diminuée dans le cas collisionnel, ce qui explique les résultats des figures 4.7 et 4.8 

4.7 Quelques réflexions sur le modèle de collisions 

Le modèle de collision présenté est développé par analogie avec la théorie cinétique des gaz et adapté 

aux écoulements diphasiques. Ce modèle présente néanmoins deux défauts de réalisme : 

– Ce modèle est limité aux écoulements monodisperses ce qui présente dans le cas de spray moteurs un 

gros inconvénient. Adapter le modèle au cas des écoulements polydisperses nécessite de prendre en 

compte des collisions binaires entre des gouttes de rayon et donc de masses différentes. 

– Toutes les collisions dans un spray ne conduisent pas à un rebond. Jiang et al. (1992) ainsi que Qian and 

Law (1997) discernent différents régimes de collision pour des gouttes d’hydrocarbures (Fig. 4.10). 

Suivant le nombre de Weber ainsi que le critère d’impact B, cinq régimes apparaissent. Le critère 

d’impact dénote l’aspect rasant (B=1) ou frontal (B=0) de la collision. Il faut donc adapter le modèle 

aux différents régimes de collision ainsi que conditionner la probabilité de collisions rebondissantes 

suivant les régimes. 

FIG. 4.10 – Régime de collision en fonction du 

facteur d’impact B et du nombre de Weber W e 

d’après Qian and Law (1997). 

FIG. 4.11 – Régime de collision en fonction 

du facteur d’impact B et du nombre de Weber 

W e d’après Qian and Law (1997). Données 

numériques. 

A partir de ces cinq régimes, il est intéressant de regrouper trois tendances distinctes : 

– les régimes conduisant à une goutte plus grosse, c’est le régime de coalescence ( I, et III); 

– les régimes recréant des gouttes de taille identique à l’origine (II); 

– les régimes conduisant à l’apparition de gouttes satellites ( IV , et V ). 

77


C’est dans l’optique de ces 3 tendances qu’il faut modifier le modèle de collisions. Les travaux de Qian 

and Law (1997) ont montré que le rebond apparaissait quand le film gazeux entre les gouttes qui se 

rapprochent ne parvient pas à être expulsé. Pan and Suga (2005) ont retrouvé ce résultat par la simulation 

et ont montré que la pression du gaz jouait un rôle majeur. Ainsi dans le cas de l’injection dans les 

moteurs à piston, la pression dans la chambre de combustion pouvant être très élevée, on peut s’attendre, 

a priori, à une augmentation des phénomènes de rebond. 

4.8 Quelques réflexions sur les équations du gaz 

4.8.1 Différence entre écoulement ’dilué’ et ’dense’ 

On s’intéresse ici essentiellement aux équations du gaz dans le cas dilué et dans le cas dense. 

Pour passer des équations du gaz monophasique aux équations du gaz dans la version ’écoulement dilué’, 

on rajoute aux équations du gaz monophasique un terme dû à la force de traînée ainsi qu’un terme 

d’évaporation. Le gaz ne subit l’influence du liquide que par ces deux termes. Il n’y a, par exemple, 

pas d’effet de compression dû à la présence du liquide. En effet, la fraction volumique de gaz n’est 

pas présente dans les équations de conservation et on considère implicitement que le gaz occupe tout le 

volume de contrôle, ce qui pose un problème de conservation de masse, de quantité de mouvement et 

d’énergie du gaz. Dans les zones denses, ces trois quantités sont surestimées. 

On récapitule ci-dessous les équations en écoulement dilué et en écoulement dense, dans le cas sans force 

de traînée, évaporation ni filtrage. 

Équations en écoulement dilué 

Les équations du gaz pour des écoulements diphasiques dilués sans terme d’échange sont : 

∂ 

∂t ρ g + ∂ ρ g U g, j 

∂x j 

= 0 (4.49) 

∂ 

∂t U g,iρ g + ∂ ρ g U g,i U g, j 

∂x j 

= − ∂ ¯P g + ∂ T g,ij 

∂x j ∂x j 

(4.50) 

∂ 

∂t ρ gE tg + ∂ ρ g U g, j E tg 

∂x j 

= − ∂ ¯P g U g, j + ∂ T g,ij U g,i 

∂x j ∂x j 

(4.51) 

78

4.8 Quelques réflexions sur les équations du gaz 

Équations en écoulement dense 

Les équations du gaz pour des écoulements diphasiques denses sans terme d’échange entre les phases 

sont : 

∂ 

∂t α gρ g + ∂ α g ρ g U g, j = 0 (4.52) 

∂x j 

∂ 

∂t α gU g,i ρ g + ∂ 

∂ 

α g ρ g U g,i U g, j = −α g 

¯P g + ∂ α g T g,ij (4.53) 


∂ 

∂t α gρ g E tg + ∂ 

∂ 

α g ρ g U g, j E tg = −P g 

∂x j ∂t α g − ∂ α g ¯P g U g, j + ∂ α g T g,ij U g,i (4.54) 

∂x j ∂x j 

Pour évaluer les différences entre les équations ’denses’ et ’diluées’, on écrit les équations denses sous la 

forme d’équations ’diluées’ plus un terme additionnel correctif C orr . 

On obtient les équation ’denses’ sous une forme faisant apparaître les équations ’diluées’ par la formule 

généralisée (k = 1,..,3) : 

avec : 

∂ 

∂t ρ gΨ k + ∂ (ρ g Ψ k U g, j ) 

∂x j 

} {{ } 

Équations en ’dilué’ 

( 

= ρ g Ψ k − α l ∂U l, j 

+ U ) 

g, j −U l, j ∂α l 

α g ∂x j α g ∂x j 

} {{ } 

+Σ k /α g (4.55) 

C orr 

Ψ 1 = 1 ; Σ 1,i, j = 0 (4.56) 

Ψ 2 = U g,i ; 

∂ 

Σ 2,i, j = −α g 

¯P g + ∂ α g T g,ij 

∂x j ∂x j 

(4.57) 

Ψ 3 = E tg ; Σ 3,i, j = −P g 

∂ 

∂t α g − ∂ 

∂x j 

α g ¯P g U g, j + ∂ 

∂x j 

α g T g,ij U g,i (4.58) 

L’évaluation de l’impact de la prise en compte de la fraction volumique du gaz α g dans les équations de 

conservation implique l’analyse du terme additionnel correctif C orr . 

4.8.2 Analyse du terme correctif 

C orr = 

( 

− α l ∂U l, j 

+ U ) 

g, j −U l, j ∂α g 

α g ∂x j α g ∂x j 

(4.59) 

Dans le cas où α g >> α l , c’est-à-dire dans les zones peu chargées, et où les vitesses de gaz et de liquide 

sont comparables ou évoluent spatialement de façon comparable, le terme correctif est négligeable. 

Dans le cas où α l >> α g , c’est-à-dire dans les zones chargées, et où les vitesses de gaz et de liquide sont 

comparables ou évoluent spatialement de façon comparable, le terme correctif n’est plus négligeable. 

Le cas des sprays type Diesel ou essence correspond à un cas ou α l et α g sont du même ordre de grandeur 

et où les gradients de fraction volumique et de vitesse sont très importants. Dans ce cas, le terme correctif 

ne peut pas être négligé a priori. 

79


Comme nous allons le voir dans le chapitre 6, la méthodologie de calcul proposée dans cette thèse 

consiste à initier le calcul non pas à la sortie de l’injecteur mais en peu plus en aval dans une zone 

moins dense où il y a au moins un ordre de grandeur entre α g et α l . Ainsi les effets d’une forte fraction 

volumique de liquide sont fortement réduits. L’intérêt est multiple. D’une part, cela permet en première 

approximation d’éliminer le terme correctif (Eq. 4.59) et ne pas avoir à prendre en compte les effets de 

volume sur la phase gazeuse. D’autre part cela évite un couplage acoustique fort entre les deux phases 

que la prise en compte de α g ≠ 1 implique. Ceci est crucial, en particulier, pour les conditions limites 

de type NSCBC (Poinsot and Lele 1992) utilisées dans AVBP . En effet, le fait de prendre en compte la 

fraction volumique de gaz (et donc celle de liquide) dans les équations de conservation change la nature 

des ondes caractéristiques dont l’écriture fait alors intervenir des termes couplés. 

Ainsi dans toute la suite de ce travail, on utilise les équations diluées. Il a étévérifié que l’erreur associée 

en zone proche de la condition limite est négligeable par rapport au volume global de spray. 

80

Chapitre 5 

Aspects numériques 

Un des objectifs de cette thèse est de mettre en place tous les outils numériques indispensables à la 

simulation aux grandes échelles des moteurs à injection directe. Il faut donc s’attacher à la résolution 

numérique (fortes vitesses et forts gradients) en sortie d’injecteur et dans le développement du spray. 

Enfin, le spray évoluant dans un volume non constant, il faut également s’intéresser aux aspects de 

maillage mobile. Tous ces points ont été abordés dans le cadre de cette thèse permettant d’élaborer 

des solutions partielles qui ont permis d’améliorer la robustesse du code et sa précision, et de réaliser 

des simulations d’injection Diesel dans des conditions réalistes (voir chapitre 8). Ces modifications ont 

enfin permis de réaliser un calcul complet admission/injection/combustion avec maillage mobile sur une 

géométrie industrielle. 

Dans ce chapitre, le code de calcul est d’abord brièvement présenté dans le but d’expliciter les adaptations 

numériques qui sont développées par la suite. 

Les problèmes numériques associés à l’injection sont spécifiquement traités au chapitre 6. 

5.1 Le code AVBP 

AVBP est un code de calcul développé conjointement par le CERFACS 1 et l’IFP 2 . Ce code a étédéveloppé 

dans le but de disposer d’un solveur LES parallèle haute performance pour le calcul de géométries industrielles. 

Il est capable de résoudre les équations de Navier-Stokes sur des maillages non-structurés et 

hybrides et donc de simuler des écoulements complexes dans des géométries réelles. Destiné tout d’abord 

aux écoulements externes stationnaires non-réactifs, il a évolué pour répondre aux besoins accrus de simulation 

d’écoulements internes instationnaires diphasiques réactifs. Une présentation plus détaillée du 

code de calcul et des schémas numériques est proposée en Annexe II. Une évalutation détaillée des 

méthodes numériques utilisées dans AVBP ainsi que leur intérêt dans une approche LES sont proposés 

1 Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée au Calcul Scientifique - www.cerfacs.fr 

2 www.ifp.fr 

81

CHAPITRE 5 : Aspects numériques 

par Lamarque (2007). 

Les deux schémas utilisés dans cette thèse sont les schémas de type volumes-finis Lax-Wendroff à une 

étape et le schéma éléments finis de type Galerkin à deux étapes spécialement développé pour AVBP 

nommé TTGC (Colin and Rudgyard 2000). Le schéma TTGC est d’ordre 3 en espace et en temps et se 

caractérise par une faible dissipation des plus petites échelles résolues. Le schéma TTGC a été utilisé 

pour tous les calculs de cette thèse sauf pour le calcul complet du cycle moteur (chapitre 8) utilisant le 

schéma Lax-Wendroff. 

L’intégration temporelle est explicite pour tous les schémas numériques d’AVBP. Tous les schémas 

convectifs ont une condition de stabilité de type Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) basée sur les ondes 

les plus rapides de l’écoulement, c’est-à-dire acoustiques en compressible : 

∆t < CFL min(∆x) 

max|u| + c 

où c est la vitesse du son. La valeur du CFL maximum dépend du type de schéma utilisé. Une limite 

sur les pas de temps chimique et diffusif est également introduite dans le cas de simulations réactives 

multi-espèces. 

Pour l’intégration des termes spatiaux, la méthode cell-vertex est utilisée. Elle consiste à stocker les 

variables conervatives aux noeuds et àrésoudre les équations de conservation à la cellule de maillage. 

L’intérêt de cette méthode est une compacité maximale et une écriture facilement parallélisable. 

(5.1) 

(a) Assemblage 

(b) Distribution 

FIG. 5.1 – Principe de la méthode cell-vertex, en deux étapes : assemblage et distribution. D’après Moureau 

(2004) . 

Cette méthode consiste en deux étapes illustrées par la figure (5.1) : 

– assemblage (ou gather) : les variables conservatives stockées aux nœuds sont stockées à la cellule en 

utilisant la connectivité cellule-nœuds. 

– distribution (ou scatter) : les résidus calculés sur le volume de contrôle de la cellule sont redistribués 

aux volumes de contrôle centrés aux nœuds. 

82

5.2 Mouvement de maillage 

La méthode cell-vertex permet d’écrire facilement des opérateurs du premier et du second ordre pour des 

maillages non-structurés. L’opérateur du premier ordre est obtenu en calculant un gradient à la cellule 

après la phase d’assemblage, et la distribution est ensuite effectuée en faisant une moyenne volumique. 

Pour obtenir l’opérateur du second ordre, il suffit de remplacer la moyenne volumique de l’opérateur du 

premier ordre par une intégration surfacique sur le bord du volume de contrôle au nœud. Les défauts 

de cette méthode sont le temps de calcul pour les diverses opérations gather-scatter ainsi que la nondissipation 

d’erreur numérique haute fréquence. Dès lors cette méthode implique l’utilisation de termes 

de diffusion artificielle appelée viscosité artificielle pour stabiliser les calculs. 

5.2 Mouvement de maillage 

La simulation dans les moteurs à piston implique la gestion des parois mobiles dues au mouvement du 

piston et des soupapes. Le solveur doit donc être capable de prendre en compte ce déplacement. La 

solution numérique retenue par Moureau 2004 pendant sa thèse est d’utiliser la méthode ALE (Arbitrary 

Lagrangian-Eulerian, Hirt et al. 1974) pour laquelle chaque noeud du maillage a une vitesse de 

déplacement propre. La méthode ALE est utilisée dans la plupart des codes moteurs RANS. Un des 

intérêts de cette méthode est que les bords du domaine coïncident à chaque instant avec les noeuds du 

maillage, ce qui simplifie le traitement des conditions aux limites. En revanche, les schémas convectifs 

doivent prendre en compte le déplacement et la déformation des volumes d’intégration (Moureau et al. 

2004). La méthode ALE n’ayant été implantée dans AVBP que pour l’aérodynamique, la modification 

des schémas numériques n’a été appliquée qu’aux équations du gaz. Dans le but de réaliser la simulation 

complète d’un cycle moteur en injection directe, il faut étendre cette modification aux équations 

du liquide. Il s’agit ici de l’extension à la phase liquide des principes de dérivation des schémas avec 

mouvement de maillage utilisés pour le gaz et rappelés ci-dessous. 

Dans la méthode ALE, les volumes de contrôle servant à l’intégration et la dérivation des équations de 

conservation (du gaz et du liquide), ont une vitesse arbitraire ⃗ Ẋ(x,t). Pour le calcul en moteur à piston, 

cette vitesse est soit une vitesse analytique définie par l’utilisateur soit une vitesse recalculée en externe 

par un autre solveur à partir de la vitesse du piston et des soupapes. Ce solveur recalcule alors la vitesse 

⃗ Ẋk (t) de chaque noeud avec un critère sur l’optimisation de l’uniformité des mailles. 

D’après le théorème de Leibniz, la dérivé de l’intégration volumique d’une quantité ψ(x,t) sur un volume 

de contrôle V (t) se déplaçant à la vitesse ⃗ Ẋ(x,t) peut s’écrire : 

Z 

d 

ψ(x,t)dV = 

dt V (t) 

Z 

V (t) 

( ) 

∂ψ 

∂t + ∇.(⃗ Ẋψ) dV (5.2) 

Pour un champ ψ uniforme en espace et en temps, ce théorème conduit à la loi de conservation géométrique 

83


(LCG) entre les surfaces et les volumes : 

d 

dt 

ZV V (t)dV = ∇.( ⃗ Z 

Ẋ)dV = ⃗ Ẋ.⃗ndA (5.3) 

(t) 

∂V (t) 

où ⃗n représente la normale extérieure de l’élément de surface dA et ∂V (t) est la surface du volume V (t). 

Le non respect de cette loi, tant au niveau continu que discret, peut entrainer l’apparition de pertubations 

physiques. 

Par exemple pour un schéma de type Lax-Wendroff, l’application de la méthode ALE entraîne les modifications 

explicitées ci-dessous : 

Les schémas volumes finis à une étape sur maillage fixe se mettent sous la forme : 

w n+1 

k 

− w n k 

∆t 

= −C k (w n )+D k (w n )+S k (w n ) (5.4) 

où w n k est le vecteur des variables conservatives au nœud k et à l’instant tn . Les opérateurs discrets C k , 

D k et S k sont respectivement les opérateurs de convection, de diffusion (moléculaire et turbulente), et les 

termes sources. Pour obtenir une expression équivalente sur maillage mobile, il faut repartir des équations 

de conservation (du gaz et du liquide) sous forme locale et les intégrer sur les volumes de contrôle aux 

noeuds V k (t) pendant le pas de temps ∆t. Comme les volumes se déforment au cours du temps, on ne 

peut pas séparer ces deux intégrations. On obtient le schéma convectif discret (en espace et en temps) : 

Vk n+1 w n+1 

k 

V n+1/2 

k 

∆t 

−V n 

k wn k 

= −C k (w n )+D k (w n )+S k (w n ) (5.5) 

où les termes convectifs, diffusifs et les termes sources ne sont pas identiques aux expressions sur 

maillage fixe. On note dorénavant le résidu des flux R k = C k (w n ) − D k (w n ). Le vecteur w n+1 

k 

réécrire : 

peut se 

k 

= w n k − ∆t V n+ 2 

1 

k 

w n+1 

V n+1 

k 

(R k + V n+1 

k 

−V n 

k 

w n k 

V n+ 1 2 

k 

∆t 

} {{ } 

a 

) 

(5.6) 

Pour le résidu des flux R k il faut, par rapport au maillage fixe, prendre en compte le flux induit par le 

déplacement des noeuds. On donne ci-dessous l’expression de ce terme dans le cas du schémas Lax- 

84

5.3 Opérateur de diffusion 

Wendroff volume fini ALE : 

D (1) 

R k = 

1 

V n+ 1 2 

k 

( 

[ ]) 

∑ V n+ 1 2 

Ω j 

D (1) 

k,Ω j 

R Ω j 

+ D (2) 

k,Ω j 

R Ω j 

+ R c Ω j 

j|k∈Ω j 

(5.7) 

k,Ω j 

= 1 (5.8) 

n v 

] 

D (2) 1 ∆t Ω j 

k,Ω j 

= 

⃗A n 

2N d 

V n+ 1 Ω j 

− ⃗ Ẋ Ω j 

· ⃗dS n+ 1 2 

k (5.9) 

2 

R Ω j 

= 

1 

N d V n+ 1 2 

Ω j 

Ω j 

[ 

R c Ω j 

= w n Ω j 

1 

( 

∑ 

k|k∈Ω j 

N d V n+ 1 2 

Ω j 

( 

} {{ } 

b 

) 

⃗F k n −wn⃗ kẊ k 

} {{ } 

c 

∑ 

⃗ Ẋk · ⃗dS n+ 2 

1 

k 

k|k∈Ω j 

· ⃗dS n+ 1 2 

k (5.10) 

) 

(5.11) 

où n v est le nombre de sommet de l’élément de volume Ω j , N d est le nombre de dimensions et ⃗dS k est 

la normale au nœud k. D (1) 

k,Ω j 

et D (2) 

k,Ω j 

sont respectivement les matrices de distribution du premier et du 

) 

deuxième ordre. Les résidus du premier et du deuxième ordre sont respectivement R Ω j 

et 

(R Ω j 

+ R c Ω j 

. 

⃗F 

k n sont les flux et ⃗A n Ω j 

les jacobiennes des équations de Navier-Stokes. Comme le schéma est centré, 

tous les termes géométriques, c’est-à-dire les normales et les volumes, sont pris au demi pas de temps 

n + 1 2 . 

Comparé au schéma standard Lax-Wendroff sur maillage fixe, des corrections ALE apparaissent : 

1. les termes a et R c Ω j 

proviennent de la variation du volume de contrôle au nœud. 

2. b et c sont des termes additionnels dus aux mouvements des noeuds. b est un terme du deuxième 

ordre correspondant à la jacobienne de translation alors que c est un terme du premier ordre correspondant 

au flux de déplacement de grille. 

Des termes correctifs de dilatation et de translation sont également présents dans les schémas centrés 

éléments-finis comme TTGC. Le lecteur intéressé pourra consulter (Moureau et al. 2004). 

5.3 Opérateur de diffusion 

Les équations de Navier-Stokes, des espèces ou d’autres grandeurs transportées dans AVBP contiennent 

des termes de diffusion qui peuvent s’écrire de manière générale : 

∂u 

∂t 

= ∇ · (ν∇u) (5.12) 

Le terme de diffusion sur le membre de droite de l’équation (5.12) peut être discrétisé de différentes 

manières. Les opérateurs de discrétisation utilisés dans AVBP pour les termes diffusifs de la phase gazeuse 

(diffusivité laminaire et turbulente) sont de type ‘2∆” basé sur la méthode de Galerkin ou “4∆” de 

85


type cell-vertex. Le terme ‘2∆” signifie que l’opérateur au noeud j n’a besoin que des informations aux 

noeuds des cellules adjacentes au noeud j. Le stencil est donc de 2∆ où ∆ est la longueur caractéristique 

d’une cellule. Même si aucun de ces deux types d’opérateurs ne donne entièrement satisfaction aussi 

bien pour le gaz que pour le liquide, l’opérateur “4∆” est jugé le moins satisfaisant pour les simulations 

de sprays. D’une part le temps de calcul est long puisque le stencil est de 4∆ et d’autre part ce schéma est 

très peu dissipatif en particulier pour les petites échelles. Les instabilités numériques appelées wiggles, 

qui sont des oscillations noeud à noeud (longueur d’onde de 2∆) omniprésentes dans une simulation 

numérique ne sont pas dissipées. Or ces instabilités numériques peuvent faire diverger les calculs. De 

plus, les spectres d’énergie cinétique présentent une accumulation d’énergie non-physique dans les petites 

échelles (figure 5.2). L’opérateur “2∆” est plus dissipatif pour les petites échelles que l’opérateur 4∆ 

et permet des calculs plus stables. 

FIG. 5.2 – 

Spectres d’énergie typiques obtenus en DNS de turbulence homogène isotrope avec 

l’opérateur de diffusion “4∆”. D’après le Handbook AVBP 

Étant donnée la forte sensibilité des équations de la phase liquide aux instabilités numériques, notamment 

à cause des très forts gradients transportés, l’opérateur de type “2∆” aété implanté pour le liquide. 

Cet opérateur s’applique aux termes diffusifs de l’équation de quantité de mouvement que sont la diffusion 

par mouvement décorrélé ainsi que la diffusion par la turbulence du liquide. Cet opérateur s’applique 

aussi au terme de diffusion dans l’équation de transport de l’énérgie décorrélée. Il sera utilisé pour tous 

les calculs présentés dans ce mansucrit. 

86

5.4 Viscosité artificielle pour la phase liquide 


Les schémas de convection d’AVBP sont centrés et ont par conséquent des difficultés à transporter des 

forts gradients et génèrent des instabilités numériques appelées wiggles. L’utilisation de ce type de 

schéma impose l’ajout de diffusion artificielle appelée viscosité artificielle. Afin d’améliorer la prédictivité 

de la LES de spray ainsi que leur robustesse, un travail sur la viscosité artficielle appliquée à la phase 

liquide a été effectué. Ce travail a permis de limiter la dissipation numérique tout en permettant d’assurer 

des calculs stables. 

5.4.1 Problématique des équations bi-fluides 

L’équation de quantité de mouvement pour la phase dispersée dans AVBP sans couplage, ni énergie 

décorrélée, ni modélisation de sous-maille ou forces extérieures est réduite à l’équation (5.13) : 

∂(α l ρ l U i,l ) 

∂t 

+ ∂(α lρ l U i,l U j,l ) 

∂x j 

= 0 (5.13) 

Cette équation est similaire à l’équation de Burgers non visqueuse si U l n’est pas constant et entraîne 

par conséquent des problèmes de stabilité avec apparition de discontinuités (onde de chocs) difficiles à 

traiter numériquement donc des problèmes numériques. On voit bien ici une différence essentielle avec la 

phase porteuse qui possède une pression limitant les chocs ainsi qu’une viscosité laminaire augmentant 

le caractère diffusif. Ce type de comportement peut apparaître malgré tout pour la phase gazeuse pour 

les écoulements à forts Reynolds où par définition, la diffusion laminaire est faible comparée à l’inertie. 

Pour la phase dispersée, la modélisation du tenseur des vitesses décorrélées ainsi que le tenseur de sousmaille 

introduit des termes diffusifs dans l’équation (5.13) qui contribuent à stabiliser le calcul. Cependant, 

dans certains cas, par exemple quand le mouvement décorrélé est faible, ces termes diffusifs ne sont 

pas suffisants et les instabilités apparaissent. La force de traînée peut aussi jouer un rôle pour des faibles 

nombres de Stokes puisque les gouttes subissent indirectement les termes diffusifs de la phase gazeuse. 

Les propriétés de la phase liquide, les spécificités des schémas de convection d’AVBP ainsi que les 

spécificités de l’injection directe avec des forts gradients de vitesse, poussent à l’utilisation de viscosité 

artificielle pour les simulations de spray. 

5.4.2 Comment et où appliquer la viscosité artificielle ? 

La viscosité artificielle dans AVBP a été à l’origine introduite pour la phase gazeuse et a étendue à la 

phase liquide par Kaufmann (2004) et Riber (2007). Le but de la viscosité artificielle est d’assurer une 

convergence du code en utilisant de la dissipation numérique pour limiter les très forts gradients ou bien 

les oscillations haute fréquence. L’idée remonte aux travaux de von Neumann and Richtmeyer (1950) 

87


pour le traitement des ondes de choc. Toute la difficulté dans l’ajout de viscosité artificielle consiste à 

bien calibrer le niveau de viscosité à appliquer pour ne pas pénaliser la précision du calcul. Il faut aussi 

différencier les instabilités physiques et les instabilités numériques pour appliquer la viscosité artificielle 

au bon endroit. 

Ainsi, l’opérateur de viscosité artificielle n’est jamais appliqué sur tout le domaine mais des senseurs sont 

utilisés. Les senseurs sont des variables normées, définies au cellule, comprises entre 0 et 1, indicatrices 

des zones de fortes variations locales d’une variable analysée. Le senseur vaut 0 quand aucune viscosité 

artificielle n’est nécessaire et 1 dans le cas contraire. La viscosité artificielle s’applique de deux façons, 

soit avec un opérateur du deuxième ordre, soit avec un opérateur du quatrième ordre : 

– L’opérateur du deuxième ordre agit comme une viscosité classique. Il diffuse les gradients et introduit 

de la diffusion artificielle. 

– L’opérateur du quatrième ordre agit comme un bi-Laplacien et élimine principalement les hautes 

fréquences. On l’appelle opérateur d’hyperdiffusion artificielle. Cet opérateur s’applique lorsque le 

premier opérateur ne s’applique pas. 

L’idée de combiner ces deux opérateurs revient à Jameson et al. (1981). Le senseur est obtenu par comparaison 

des gradients d’une grandeur analysée sur différents stencils. Dans le cas où ces évaluations 

sont identiques, la variable est localement linéaire et le senseur vaut 0. Dans le cas contraire, la variable 

présente des non-linéarités et le senseur s’active. De cette manière l’ordre de convergence du schéma est 

conservé. La principale difficulté consiste à bien calibrer le senseur pour qu’il ne se déclenche pas sur 

des instabilités physiques. 

5.4.3 Les différents senseurs de la phase liquide dans AVBP 

Pour la phase gazeuse les senseurs sont basés sur la pression ou l’énergie totale ainsi que sur les fractions 

massiques des espèces. Pour la phase liquide, le problème est plus compliqué puisqu’il n’y a pas de 

pression ou d’énergie totale telle que l’on peut en avoir pour le gaz. Certains senseurs analysent donc 

toutes les variables transportées de la phase liquide alors que d’autres comme le senseur proposé dans 

cette thèse ne se concentrent que sur certaines variables. 

Pour la phase liquide, deux types de senseurs sont utilisés : 

– Un senseur ζ extr basé sur les extrêma : ce senseur vérifie si les variables de nombre de gouttes, de 

fraction volumique de liquide et le diamètre des gouttes ne prennent pas de valeur non physique. Ce 

senseur est nécessaire du fait que les schémas ne conservent pas les valeurs extrêmes d’une variable et 

qu’il est possible d’avoir par exemple des fractions volumiques négatives ou supérieures à 1. 

– Un senseur ζ t p f basé sur l’analyse de gradients et dont le but est de repérer les instabilités numériques. 

Chaque senseur est évalué à la cellule Ω j , et le maximum de ces deux senseurs est utilisé. 

Différentes formulations du senseur ζ t p f sont utilisées dans AVBP et présentées ci-dessous. 

88


Le senseur ”Jameson-Riber” 

Le senseur ‘Jameson’ utilisé sur la phase gazeuse a été adapté à la phase liquide par Riber (2007). Ce 

senseur ζt JR 

p f ,Ω j 

est en fait le maximum de tous les senseurs appliqués aux variables transportées de la 

phase liquide. Ainsi : 

ζ JR 

t p f ,Ω j 

= max [ ζ t p f ,Ω j 

(α l ),ζ t p f ,Ω j 

(u l ),ζ t p f ,Ω j 

(δθ l ),ζ t p f ,Ω j 

(h l ),ζ t p f ,Ω j 

(n l ) ] (5.14) 

Pour chaque variable de la phase dispersée S t p f , deux estimations du gradient à la cellule sont utilisées : 

∆ k 1 = S t p f ,Ω j 

− S t p f ,k et ∆ k 2 =( −→ ∇ S t p f ) k .( −→ x Ω j 

− −→ x k ) (5.15) 

S t p f ,Ω j 

est la valeur à la cellule alors que S t p f ,k est la valeur au noeud. ( −→ ∇ S t p f ) k est le gradient de de S t p f 

au noeud k calculé dans AVBP . ∆ k 1 représente la variation de la quantité S t p f dans la cellule alors que ∆ k 2 

représente la variation de S t p f sur un stencil plus large puisqu’il utilise les cellules voisines au noeud k. 

Ces estimations permettent de définir le senseur de Jameson appliqué à la variable S t p f : 

ζ j |∆ k 1 

Ω j 

(S t p f )= 

− ∆k 2 | 

|∆ k 1 | + |∆k 2 | + |S t p f ,k| 

(5.16) 

Le terme |S t p f ,k | au dénominateur est une valeur de référence pour la normalisation. Dans le cas où le 

champ de S t p f est constant et que ∆ k 1 et ∆k 2 

sont nuls, le senseur est défini. L’adaptation réalisée par Riber 

(2007) consiste à utiliser des senseurs de ’Jameson’ pour toutes les variables de la phase liquide avec des 

valeurs de normalisation adaptées aux spécificités de la phase liquide. 

Les senseurs pour chaque variable sont explicités ci-dessous. 

- fraction volumique 

- vitesse 

ζ t p f ,Ω j 

(α l )=max 

k∈Ω j 

( 

|∆ k 1 − ∆k 2 | ) 2 

(|∆ k 1 | + |∆k 2 | + |ρ (5.17) 

lα l,k | 


(u l )=max 

k∈Ω j 

( 

) 

|∆ k 1 − ∆k 2 | 

|∆ k 1 | + |∆k 2 | + ρ lc Ω j 

(5.18) 

où c Ω j 

est une mesure locale de la vitesse caractéristique évaluée par : c Ω j 

= V 1/3 

Ω j 

/∆t, où V Ω j 

représente 

le volume de la cellule. Les fluctuations nœud à nœud sur la vitesse sont faibles par rapport à cette vitesse 

locale sauf si de fortes oscillations apparaissent. Par conséquent le senseur ζ t p f ,Ω j 

(u l ) reste petit sauf si 

de forts gradient locaux de vitesse sont détectés. 

89


- RUE 

- enthalpie 


(δθ l )= 

|∆ k 1 − ∆k 2 | 

|∆ k 1 | + |∆k 2 | + |ρ lα l,k δθ l,k | 

(5.19) 

- densité en nombre de gouttes 


(h l )= 

|∆ k 1 − ∆k 2 | 

|∆ k 1 | + |∆k 2 | + |ρ lα l,k h l,k | 

(5.20) 

( 

|∆ k 1 


(n l )= 

− ∆k 2 | ) 2 

(|∆ k 1 | + |∆k 2 | + n (5.21) 

l,k) 

Le principal défaut de ce senseur est qu’il s’active très souvent puisqu’il est calculé sur toutes les variables. 

De plus le senseur de Jameson a été conçu pour des écoulements aérodynamiques stationnaires 

et a tendance à se déclencher beaucoup trop souvent dans des simulations LES. 

Le senseur de ”Colin” 

Devant les limitations du senseur de Jameson, Colin (2000) a proposé un nouveau senseur ne se déclenchant 

pas quand l’écoulement est suffisament résolu et se déclenchant fortement pour les zones de fortes nonlinéarités. 

Le senseur de Colin pour la phase liquide est identique à la formulation de Colin pour la phase 

porteuse. Il s’applique à toutes les variables transportées de la phase liquide. Ce senseur est défini par : 

avec : 

ζ C t p f ,Ω j 

= 1 ( ( )) Ψ − Ψ0 

1 + tanh 

− 1 ( ( )) −Ψ0 

1 + tanh 

2 

δ 2 

δ 

( 

Ψ = max 0, 

k∈Ω j 

∆ k 

|∆ k | + ε 1 S t p f ,k 

ζ J k 

) 

(5.22) 

(5.23) 

ζ J k = |∆ k 1 − ∆k 2 | 

|∆ k 1 | + |∆k 2 | + S t p f ,k 

(5.24) 

( ) 

∆ k = |∆ k 1 − ∆ k 2|− ε k max |∆ k 1|,|∆ k 2| 

(5.25) 

( 

ε k max ( |∆ k 1 

= ε 2 1 − ε |,|∆k 2 |) 

) 

3 

|∆ k 1 | + |∆k 2 | + S t p f ,k 

(5.26) 

90


Les valeurs numériques utilisées dans AVBP ont été fixées par Colin (2000) : 

Ψ 0 = 2.10 −2 δ = 1.10 −2 ε 1 = 1.10 −2 ε 2 = 0.95 ε 3 = 0.5 (5.27) 

Le senseur de ”Colin-Martinez” 

Ce senseur est adapté de la formulation du senseur Colin. Il a été créé et utilisé dans cette thèse spécialement 

pour le cas de l’injection directe. La principale différence avec le senseur classique de Colin est qu’au 

lieu d’utiliser une valeur au noeud pour la normalisation, on utilise une valeur moyenne à la cellule. De 

plus les variables utilisés pour l’identification des instabilités numériques ne sont pas les mêmes. Comme 

le senseur détecte un problème déjà existant, donc a posteriori, la valeur de normalisation au noeud peut 

être extrême à cause de ce problème numérique. Ainsi, si la valeur est très grande, le senseur est sous 

estimé. Inversement si la valeur est petite, le senseur est sur-estimé. De plus une variable comme la fraction 

volumique de liquide peut varier de plusieurs ordres de grandeur spatialement : prendre une valeur 

moyenne à la cellule permet d’avoir une valeur de normalisation moins locale et plus représentative du 

champ. On aurait également pu prendre une valeur encore plus filtrée en augmentant le stencil et en 

moyennant sur toutes les cellules adjacentes à la cellule Ω j , mais cela aurait entrainé un temps de calcul 

plus long. 

Le senseur est calculé à partir de la fraction volumique et du diamètre des gouttes. Le senseur sur la 

fraction volumique permet de contrôler la masse de liquide qui subit de forts gradients en simulation de 

sprays. Le senseur sur le diamètre est crucial dans AVBP car le diamètre est reconstruit à partir de la 

fraction volumique de liquide et de la densité en nombre par la relation : 

( ) 1/3 6αl 

d = 

(5.28) 

n l π 

Si les champs de fraction volumique et de densité en nombre sont strictement proportionnels, alors l’erreur 

numérique est identique pour ces deux variables et le diamètre reste constant. Dans le cas où ces 

deux champs ne sont pas proportionnels, ils sont propagés différemment et les erreurs numériques sont 

différentes. Par exemple si α l est constant, l’erreur numérique sur n l se répercute directement sur le 

diamètre. Pour deux champs non constants, les erreurs sur α l et n l peuvent s’accumuler dans le calcul du 

diamètre, qui devient un bon indicateur d’erreur numérique. 

De plus, analyser le diamètre est intéressant puisqu’il intervient directement dans le calcul des termes 

d’échanges avec la phase porteuse. 

Le senseur final est donc le maximum entre le senseur sur le diamètre et le senseur sur la fraction volumique 

: 

91


ζ CM 

t p f ,Ω j 

= [ ζ t p f ,Ω j 

(α l ),ζ t p f ,Ω j 

(d l ) ] (5.29) 

avec : 

- fraction volumique de liquide : 


= 1 ( ( Ψ ′ )) 

− Ψ 0 

1 + tanh 

− 1 ( ( )) −Ψ0 

1 + tanh 

2 

δ 2 

δ 

( 

Ψ ′ (α l )=max 0, 

k∈Ω j 

∆ k 

) 

|∆ k ζ J k 

| + 5ε 1 ρ l α (α l) 

l,Ω j 

(5.30) 

(5.31) 

et : 

ζ J k (α l)= 

|∆ k 1 − ∆k 2 | 

|∆ k 1 | + |∆k 2 | + 5ρ lα l,k 

(5.32) 

- diamètre moyen : 

et : 

( 

Ψ ′ (d l )=max 0, 

k∈Ω j 

∆ k 

) 

|∆ k ζ J k 

| + 2ε 1 d (d l) 

l,Ω j 

ζ J k (d |∆ k 1 

l)= 

− ∆k 2 | 

|∆ k 1 | + |∆k 2 | + 2d l,k 

(5.33) 

(5.34) 

Les autres paramètres numériques sont identiques à ceux utilisés pour le senseur de Colin classique. 

Exemple de résultat obtenu avec le nouveau senseur 

On présente ici les résultats obtenus avec le nouveau senseur ’Colin-Martinez’ sur une injection Diesel 

basse pression. La pression d’injection est de 230 bars avec une pression de 30 bars dans la chambre. Le 

diamètre de l’injecteur est de 200µm. Cette injection correspond au cas de l’injection de Chaves présentée 

au chapitre III. Le calcul s’effectue sans injection de turbulence afin que les champs se déstabilisent 

naturellement. La figure (5.3) présente en haut le champ de senseur ’Jameson-Riber’ et en bas le champ 

de senseur ’Colin-Martinez’. 

On remarque que le senseur ’Jameson-Riber’ s’applique sur toute la périphérie du spray ainsi que sur 

l’axe. Il s’applique même dans des zones situées à l’extérieur du spray. Ce senseur ne vaut jamais 1 et 

sature vers 0,75. Globalement sa valeur est comprise entre 0,25 et 0,5. Ce senseur n’est donc pas assez 

92

5.5 Conclusion 

FIG. 5.3 – Comparaison des champs des senseurs ’Jameson-Riber’ en haut et ’Colin-Martinez’ en bas 

sur une injection Diesel 

ciblé puisqu’il s’active quasiment dans tout le spray et à peu près de la même façon. A l’inverse, le 

senseur proposé dans cette thèse prend bien les valeurs extrêmes 0 et 1 et s’active de façon plus ciblée 

puisqu’il y a des zones importantes dans le spray où le senseur ne s’active pas du tout. 

De plus, il faut bien réaliser que la solution obtenue avec le senseur ’Colin-Martinez’ est beaucoup 

plus perturbée que celle obtenue avec ’Jameson-Riber’, du fait de la viscosité artificielle justement. Le 

comportement du senseur proposé dans cette thèse est d’autant plus remarquable. 

Le nouveau senseur ’Colin-Martinez’ est donc utilisé dans tous les calculs présentés dans ce manuscrit. 


Le code diphasique AVBP a été adapté pour permettre la simulations aux grandes échelles du cycle moteur 

à injection directe. Ces modification de modèles physiques et numériques ont été utilisées par Vié, 

Martinez, Jay, Benkenida, and Cuenot (2009) dans le cas de Turbulence Homogène Isotrope et ont montré 

de très bons résultats. Elles ne résolvent cependant pas le problème général de la simulation LES diphasique. 

Le couplage fort entre physique résolue, précision numérique et stabilité numérique démontré dans 

ce chapitre montre l’importance et la nécessité d’une réflexion à mener sur les méthodes numériques à 

adopter en LES. Même si les travaux effectués dans cette thèse ont permis une nette amélioration de 

la stabilité et une nette diminution de la dissipation numérique, des difficultés subsistent encore pour 

lesquelles de nouveaux schémas numériques robustes sont nécessaires. Ce point est encore un point dur 

93


pour la simulation de spray. Une évalutation détaillée des méthodes numériques utilisées dans AVBP ainsi 

que leur intérêt et performance dans une approche LES a été faite par Lamarque (2007). Des travaux sont 

actuellement en cours au Cerfacs pour répondre à ce besoin. 

94


96

Chapitre 6 

Condition limite d’injection pour la 

simulation 3D de spray Diesel. 

Méthodologie et validation 

6.1 Introduction 

Ce chapitre est tiré de l’article “A model for the injection boundary conditions in the context of 3D 

Simulation of Diesel Spray : Methodology and Validation” accepté pour publication dans la revue FUEL 

en 2009. 

Comme nous l’avons vu en introduction, la physique en sortie d’injecteur est très complexe. L’atomisation 

primaire, qui est la fragmentation du jet liquide en ligaments et en gouttes, est très difficile à 

modéliser (Beau 2006; Gorokhovski and Herrmann 2008). La forte dépendance à la géométrie interne 

de l’injecteur à travers les phénomènes de cavitation ainsi que la forte dépendance aux phénomènes de 

viscosité et aux tensions de surface de la colonne de liquide font que les modèles d’atomisation primaire 

sont difficiles à valider. Il faut ajouter à cela que faire des mesures expérimentales est très difficile en sortie 

d’injecteur. Par conséquent les modèles sont validés a posteriori et de manière indirecte en analysant 

des pénétrations de spray ou parfois des distributions de tailles de gouttes. 

Étant donnée la forte charge (α l = 1) en sortie d’injecteur et les vitesses très élevées du spray (de l’ordre 

de 400m.s −1 à 600m.s −1 en Diesel), le code de calcul doit gérer, en Eulérien, de très forts gradients de 

quantité de mouvement pour la phase liquide et sa robustesse est mise à rude épreuve. 

Une autre contrainte concerne les échelles mises en jeu à la sortie de l’injecteur. Les injecteurs de type 

Diesel actuels ont un diamètre de sortie de l’ordre de 100µm. Pour résoudre convenablement la dynamique 

du spray en sortie d’injecteur, il faudrait entre 5 et 10 points dans ce diamètre soit des tailles de 

maille de l’ordre de 10µm à 20µm, bien en dessous de la limite raisonnable pour un calcul moteur. Une 

97

CHAPITRE 6 : Condition limite d’injection pour la simulation 3D de spray Diesel. Méthodologie et 

validation 

taille de maille trop petite conduit à des temps de calcul prohibitifs d’une part parce que le pas de temps 

devient très faible et d’autre part parce que le nombre de mailles augmente. 

Devant la limitation intrinsèque du modèle bi-fluide utilisé (hypothèse d’écoulement dilué et de phase 

dispersée), la complexité de la physique du spray en sortie d’injecteur ainsi que la difficulté numérique 

associée, nous avons choisi de ne pas calculer cette zone et de placer une condition limite décalée de 

la sortie de l’injecteur. La principale difficulté consiste à modéliser des profils de vitesse de gouttes, de 

fraction volumique de liquide et de taille de gouttes sur cette condition limite. Pour ce faire un modèle 

d’injecteur est utilisé et combiné à des bilans de masse et de quantité de mouvement permettant de décrire 

ces profils, supposés Gaussiens. La condition limite obtenue appelée DITurBC est ensuite validée sur 

diverses données expérimentales en proche injecteur. 

L’article est présenté ci-après dans sa version définitive. Il est complété à la fin de ce chapitre par quelques 

considérations supplémentaires. 

6.2 FUEL 2009 - A model for the injection boundary conditions in the 

context of 3D Simulation of Diesel Spray : Methodology and Validation 

98

Fuel 89 (2010) 219–228 

Contents lists available at ScienceDirect 

Fuel 

journal homepage: www.elsevier.com/locate/fuel 

A model for the injection boundary conditions in the context of 3D simulation 

of Diesel Spray: Methodology and validation 

Lionel Martinez a, *, Adlène Benkenida a , Bénédicte Cuenot b 

a IFP, 1 et 4 avenue Bois Préau, 92852 Rueil Malmaison Cedex, France 

b CERFACS, 4 avenue G. Coriolis, 31055 Toulouse Cedex 01, France 

a r t i c l e 

i n f o 

a b s t r a c t 

Article history: 

Received 16 May 2008 

Received in revised form 19 May 2009 

Accepted 11 June 2009 

Available online 1 July 2009 

Keywords: 

Boundary condition 

Spray 

Large Eddy Simulation (LES) 

Modelling 

Diesel injection 

Downstream Inflow Turbulent Boundary Conditions (DITurBC) are presented for the Eulerian–Eulerian 

Large Eddy Simulation (LES) or Reynolds Average Navier–Stokes (RANS) simulation of Diesel Sprays. 

These boundary conditions initiate the spray physics close to the nozzle exit, which avoids the difficulties 

linked to the 3D simulation of cavitation, primary break-up and turbulence in the near-nozzle region. An 

injector model is combined with mass and axial momentum conservation equations to obtain mean profiles 

of velocity, volume fraction and droplet diameter at a given distance downstream from the nozzle 

exit. In order to take into account the unsteadiness of the flow, velocity fluctuations are added to the 

mean profile. These boundary conditions are assessed by comparison with existing data on injection 

velocity, spray angle and velocity profiles from numerous experiments. 

Ó 2009 Elsevier Ltd. All rights reserved. 

1. Introduction 

Car manufacturers are facing increasingly severe regulations on 

pollutant emissions and fuel consumption. To respect these regulations, 

new combustion concepts in Internal Combustion (IC) Engines 

are being developed. The HCCI (Homogeneous Charge 

Compression Ignition) combustion [1,2] represents one of these 

concepts. Although it has shown a great potential, it still requires 

a comprehensive work to allow a better understanding, especially 

with respect to cyclic variabilities which can appear in some operating 

conditions. These variabilities can have a strong effect on fuel 

consumption and pollutants as shown by Ozdor et al. [3]. The nondeterministic 

character of the turbulence is one of the phenomena 

leading to the cyclic variability. It corresponds to the microscopic 

events that can influence the instantaneous velocity field and the 

local mixture leading to different heat release, pollutant levels 

and engine work from cycle to cycle. 

Computational Fluid Dynamics (CFD) is a helpful tool for 

studying such issues. The RANS (Reynolds Averaged Navier– 

Stokes) approach [4] is commonly used in CFD to perform 3D 

simulations [5]. However, although it is characterised by reasonable 

computational costs, it does not allow the study of the origins 

of cyclic variabilities: RANS calculation of a given engine 

operation point represents the statistical average of many cycles 

at this point. 

* Corresponding author. Tel.: +33 1 47 52 5309; fax: +33 1 47 52 7068. 

E-mail address: lionel.martinez@ifp.fr (L. Martinez). 

Large Eddy Simulation (LES) seems to be better adapted for such 

studies, as one LES of a given engine operation point corresponds to 

one individual engine cycle, computing local and instantaneous filtered 

properties [6]. LES has demonstrated its capabilities in many 

configurations [7,8] and in particular in multi-cycle simulation of 

IC engine [9,10]. Moreover, due to its potential to resolve large 

scale vortices and so to predict the interaction between drops 

and air (carrier phase), LES is also of great interest for spray simulations. 

Indeed, knowing the level of turbulence intensity generated 

by the spray as well as the composition of the gas mixture 

is of great importance for understanding and modelling combustion 

in IC engines. 

In this work, an Eulerian method is used for the liquid phase 

and preferred to the Lagrangian approaches which are commonly 

used in CFD. Among all limitations [11–13], one of the main drawback 

of Lagrangian methods is that a high particle number density 

is needed to achieve a satisfactory accuracy for LES. This leads to a 

high computational cost that is not relevant in industrial applications. 

This may be overcome by parallelisation but this is still delicate 

today, mainly due to load imbalance when particles 

concentrate in some sub-domains, i.e. processors. 

The main difficulty in the simulation of a Diesel Spray is the 

complexity of the physics at the nozzle exit for both the liquid 

and gas phases. This complexity leads to important difficulties 

for the modelling and the experimental validation. 

For example, the physics at the nozzle exit is strongly linked to 

the behavior of the liquid flow inside the injector. Cavitation may 

occur, depending on the injector geometry [14] and the flow, and 

0016-2361/$ - see front matter Ó 2009 Elsevier Ltd. All rights reserved. 

doi:10.1016/j.fuel.2009.06.012

220 L. Martinez et al. / Fuel 89 (2010) 219–228 

has strong influence on the spray velocity, angle and atomisation 

[15–17]. Furthermore, due to the high speed and high density of 

the liquid jet, traditional optical methods show limitations for 

the measurements in the dense liquid spray region. Therefore the 

primary break-up is difficult to observe experimentally and corresponding 

models are not easy to validate. In addition, numerical issues 

arise linked to the high liquid volume fraction and the high 

velocities (between 400 m s 1 and 600 m s 1 ) emphasised by the 

very small scales of the physics at the nozzle exit. For instance, typical 

Diesel injectors have diameters ðD exit Þ between 100 lm and 

200 lm. Consequently, when using LES solvers to compute the turbulent 

mixing layer at the nozzle exit, one has to increase the spatial 

resolution. The resulting simulation cost is then prohibitive for 

industrial applications. 

As a result of these difficulties, a methodology is proposed for 

injection boundary conditions to initiate the spray physics at a given 

distance, downstream from the nozzle exit. This new Downstream 

Inflow Turbulent Boundary Conditions (DITurBC) model is 

presented in the following sections. It has been developed in the 

context of LES but could be used for RANS simulations. 

The paper is organised as follows: Section 2 explains the methodology 

developed for the initialization of Diesel Sprays in IC engines. 

The injector model is presented in Section 3 and the 

resulting profiles from the DITurBC model are depicted in Section 

4. The model validation is finally described in the last Section. 

2. Methodology for the initialisation of sprays in IC engines 

2.1. Principle and methodology 

The model is based on the main assumptions that the spray 

development does not depend on the phenomena occurring very 

close to the injector and that all variable profiles can be reconstructed 

at a certain distance from the knowledge of the injector 

parameters. 

In order to initiate the spray physics downstream from the nozzle 

exit, an injector model is first used to estimate the properties of 

the flow at the nozzle exit such as the liquid velocity, the effective 

exit section and the spray angle. Then based on these results and 

using conservation equations, the velocities of gas and liquid, the 

volume fraction and the droplet size profiles are deduced on a 

plane perpendicular to the spray axis, located at a distance Dist 

(typically 10D exit ) downstream from the nozzle exit, called the DI- 

TurBC plane (see Fig. 1). These profiles represent the Downstream 

Inflow Turbulent Boundary Conditions (DITurBC) that may be used 

to initiate Eulerian–Eulerian LES of sprays. 

2.2. Distance to nozzle exit 

A review of experimental results concerning the spray structure 

and break-up mechanisms has been conducted by Smallwood et al. 

[18] for Diesel injection. According to [18], the spray seems to be 

completely atomised very close to the nozzle tip. This early disintegration 

is mainly due to turbulence effects, cavitation and secondary 

flow inside the injector nozzle [19]. It is however very 

difficult to define the distance from which the spray is always fully 

dispersed. Ueki et al. [20] have conducted measurements in the 

near-nozzle region and concluded that the droplet disintegration 

occured from 2:5D exit to 7:5D exit . Nevertheless, these conclusions 

are not established in every case and the distance of disintegration 

may depend highly on the injector geometry and on the injection 

conditions. 

Based on these studied and even if the complete disintegration 

is not established, it is proposed to apply boundary conditions at a 

distance of 10 nozzle diameters from the injector tip. At this 

distance, the spray is assumed to be dispersed and composed of 

spherical droplets. Furthermore, one can suppose following 

[20–22] that liquid velocity, volume fraction or droplet size mean 

profiles are Gaussian. 

Considering the typical near spray angles of Diesel injectors 

(5–15°), the spray width, at this distance, is around 0.8 mm. With 

about 10 nodes of the computational grid at the inlet, this leads 

to a minimum edge length of around 80 lm which represents a 

good compromise between accuracy and computational cost for 

a LES of spray in IC engines. Ten nodes at the inlet is the minimum 

to capture the essential physics at the nozzle exit but not sufficient 

to capture all the large scales. A greater number of node should be 

used for a very good accuracy. Nevertheless, this would increase 

dramatically the computational cost and a compromise of 10 nodes 

is more suitable. 

3. Injector model for Diesel-like injection 

3.1. Principle 

Knowing geometrical data of the nozzle, injection conditions 

and conditions in the combustion chamber, a model is built to predict 

first the spray velocity at the nozzle exit as well as the spray 

angle. These quantities will be then used to construct the velocity, 

volume fraction and droplet size mean profiles at Dist ¼ 10D exit on 

the DITurBC plane (see Section 4). 

3.2. Determination of the velocity at the nozzle exit and the effective 

section area 

The velocity of the liquid jet at the nozzle exit, U exit , depends on 

whether the flow inside the injector is cavitating or merely turbulent. 

To determine the flow regime, the model of Sarre et al. [23] is 

used. 

It is assumed that only two types of flow regimes can occur inside 

the nozzle (see Fig. 2): 

If the pressure in the vena contracta, P vena , is larger than the saturation 

vapor pressure, P vap , then the flow is merely turbulent; 

Otherwise, the flow is turbulent and cavitating. 

Fig. 1. Schematic representation of the DITurBC model. 

The decrease of pressure in the vena contracta is due to the contraction 

of streamlines that creates a negative pressure gradient. 

The pressure decreases in some areas and locally falls below the 

saturation vapor pressure. In this case cavitating bubbles appear inside 

the nozzle and contribute to the unsteadiness of the flow. Cavitation 

leads to a decrease of the effective area at the nozzle exit.

L. Martinez et al. / Fuel 89 (2010) 219–228 221 

not the geometrical area of the nozzle hole ðD eff < D exit Þ, and a 

new discharge coefficient is used: 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

C d ¼ C c 

P inj 

P inj 

P vap 

P ch 

ð7Þ 

The velocity in the vena contracta becomes: 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

 

2 P inj P vap 

U vena ¼ 

q l 

ð8Þ 

The conditions of transition to a cavitating flow are strongly 

linked to the geometrical parameters of the nozzle such as the curvature 

radius R, the nozzle length L and the geometrical diameter 

of the nozzle hole D exit (see Fig. 2). 

In the case of a cavitating flow the Bernoulli’s equation between 

the region upstream from the nozzle and the vena contracta gives: 

q 

P vena ¼ P l 

inj 

2 U2 vena 

ð1Þ 

where P inj is the injection pressure, q l 

the liquid density and U vena 

the velocity at the smallest flow effective area. Following the 

expression of Nurick [24] for the contraction coefficient C c and 

assuming a flat velocity profile, one obtains U vena ¼ Umean 

and 

 

Cc 

C c ¼ 

pþ2 2 

p 11:4R=D exit where p 3:14 and U mean is the mean 

velocity corresponding to the mean mass flow rate at the nozzle 

exit. 

Then: 

P vena ¼ P inj 

q l 

U 2 mean 

2 C 2 c 

Because of the discharge loss involving a discharge coefficient C d , 

the mean velocity at the nozzle exit is the Bernoulli velocity corresponding 

to the pressure drop P inj P ch , multiplied by C d : 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

 

2 P inj P ch 

U mean ¼ C d 

ð3Þ 

q l 

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

Bernoulli’s velocity 

where 

1 

C d ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

L 

K inlet þ f 

D exit 

þ 1 

in the case of a turbulent flow. K inlet is the inlet loss coefficient tabulated 

according to Benedict [25]. f is the Blasius coefficient for the 

laminar wall friction: f ¼ maxð0:316R 0:25 

e 

; 64=R e Þ and K inlet is tabulated 

according to Benedict [25]. 

Then: 

P vena ¼ P inj 

C 2 d 

C 2 c 

Fig. 2. Description of the injector geometry. 

P inj 

P ch 

 

If P vena > P vap , there is no transition to cavitating flow. In this case 

the effective area is the geometrical area of the nozzle hole 

ðD eff ¼ D exit Þ. 

The exit velocity U exit is then: 

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

 

2 P inj P ch 

U exit ¼ U mean ¼ C d 

ð6Þ 

q l 

If P vena 

from the nozzle exit. In this case, the effective section area is 

ð2Þ 

ð4Þ 

ð5Þ 

Finally, U exit and the effective exit section A eff are obtained by application 

of the conservation equations of mass and momentum between 

the vena contracta and the nozzle exit: 

 

P ch P vap 

U exit ¼ U vena ð9Þ 

q l 

U mean 

A eff ¼ A exit 

U mean 

U exit 

ð10Þ 

with A exit ¼ pD 2 exit =4. 

Once the exit velocity and the effective exit section have been 

determined, it is necessary to calculate the spray angle. This is 

done below. 

3.3. Spray angle at nozzle exit 

The determination of the spray angle is done by assuming that 

the spray angle at the nozzle exit is limited to the atomisation produced 

by the turbulence and the cavitation inside the nozzle. The 

atomisation model used in this work is inspired by the primary 

break-up model of Nishimura et al. [26]. The liquid jet atomisation 

produces droplets with a radial velocity that is due to the turbulent 

and cavitation energies which have to be determined. The combination 

of the axial and radial components of these velocities gives 

the spray angle. 

3.3.1. Turbulent kinetic energy due to high velocities 

The turbulent kinetic energy k flow of the flow inside the nozzle is 

given by the following empirical formula from Huh et al. [27]: 

! 

k flow ¼ 

U2 exit 

1 

K inlet 1 

ð11Þ 

8L=D exit 

C 2 d 

This energy is generated by the high velocities inside the nozzle and 

the formula is obtained using simple overall mass, momentum, and 

energy balances. It is only valid for quasi-steady injection 

conditions. 

3.3.2. Cavitation energy 

Cavitation energy is defined as the energy created by the collapse 

of bubbles or cavitation pockets inside the nozzle. This provides 

an increase of turbulent energy of the liquid. 

When a cavitation pocket of volume V p collapses, the energy 

E cav given to the surrounding flow at static pressure P is then: 

E cav 

Z V p 

0 

P dV 

ð12Þ 

Assuming that the liquid pressure in the nozzle is homogeneous 

and close to the pressure in the chamber, one gets: 

E cav 

Z V p 

0 

P dV ¼ 

Z Vp 

0 

P ch dV ¼ V p P ch 

ð13Þ 

For a liquid column or ligament of total mass m t , mass density 

q t 

q l 

and total volume V t with n p pockets, the kinetic energy 

k cav provided by the cavitation is:


k cav ¼ 1 m t 

X np 

k¼0 

V pk P ch ¼ P ch 

m t 

X np 

k¼0 

V pk 

¼ P ch 

q l 

P np 

V k¼0 p k 

¼ P ch V g 

V t q l 

V t 

ð14Þ 

The gas volume fraction, V g =V t , can be determined from the effective 

section area previously calculated, assuming: 

V g 

V t 

 

Cavitation area 

Total area 

¼ A exit 

A exit 

A eff 

Using Eq. (15) in Eq. (14), one obtains: 

k cav ¼ P 

ch A exit A eff 

q l 

A exit 

ð15Þ 

ð16Þ 

The main advantage of this method is that it does not require the 

calculation of the pocket or bubble size, nor the bubble number, 

which are difficult to evaluate. 

3.3.3. Determination of the spray angle at nozzle exit 

The total fluctuating kinetic energy k tot is the sum of the turbulent 

kinetic energy k flow and the energy provided by the cavitation 

k cav : 

k tot ¼ k flow þ k cav 

ð17Þ 

This fluctuating kinetic energy provides a fluctuating velocity u 0 , assumed 

to be equal to the radial velocity U rad of the liquid flow at the 

nozzle exit. The turbulence is considered isotropic so that: 

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

U rad ¼ u 0 2 

¼ 

3 k tot 

ð18Þ 

The spray angle / exit at the nozzle exit (see Fig. 3) is then: 

tanð/ exit =2Þ ¼ U rad 

U exit 

ð19Þ 

The injector model presented here permits to obtain the effective 

section (Eq. (10)), the velocity (Eqs. (6) and (9)), and the spray angle 

(Eq. (19)) at the nozzle exit. 

4. Modelling for the DITurBC 

From the spray characteristics at the nozzle exit, determined in 

the previous section, the mean profiles imposed downstream at the 

injection plane (DITurBC) are now computed. For this purpose, 

mass and momentum conservation equations are applied. A velocity 

fluctuation is then added to the mean profile in order to take 

into account the unsteadiness of the flow. 

4.1. Spray angle at 10D exit from nozzle exit 

Fig. 3. Determination of the spray angle at distance Dist downstream from the 

nozzle exit. 

The angle / exit calculated by the injector model differs from the 

spray angle / aero far from the nozzle exit (see Fig. 3). Indeed, / exit is 

mainly due to the injection condition and the shape of the nozzle 

whereas / aero is controlled by aerodynamics (gas density and turbulence) 

and depends on conditions in the chamber [23]. To estimate 

if aerodynamic effects have sufficient time to affect the 

spray angle of the DIturBC, the characteristic aerodynamic time 

s aero is compared to the convective time s conv ¼ Dist=U exit : 

Following [23], the aerodynamic spray angle, based on empirical 

considerations, is: 

sffiffiffiffiffi 

tanð/ aero =2Þ ¼ 4p A 

q g 

q l 

f ðTÞ 

Re 2 qg 

We 

ð20Þ 

where A p 

and 

ffiffiffi 

T are parameters set to A ¼ 4:4 and T ¼ q and 

l 

f ðTÞ ¼ 3 =61 ð expð 10TÞÞ 

and We is the Weber number. 

According to [23], this equation predicts spray angles in very close 

agreement with measured values. 

The aerodynamic time is linked to the density ratio and evaluated 

with the nozzle diameter and the exit velocity: 

sffiffiffiffiffi 

Dexit =2 

s aero ¼ C 

q l 

q g 

U exit 

ð21Þ 

where C is an additional constant empirically fixed by [28] at the 

value C ¼ 1:73. 

If s conv < s aero , aerodynamic effects are negligible and the spray 

angle / of the DITurBC is / ¼ / exit . 

If s conv P s aero ; / is calculated with a simple geometrical law 

(see Fig. 3): 

tanð/=2Þ ¼ s aero 

s conv 

tanð/ exit =2Þþ 1 

4.2. Radial profiles 

 

s aero 

s conv 

 

tanð/ aero =2Þ 

ð22Þ 

In this section, the radial profiles of liquid volume fraction a l , 

axial velocity U axial , radial velocity U rad and droplet size d are determined. 

Experimental measurements from [21] using X-ray absorption 

in the near-nozzle region have shown that radial profiles of 

liquid volume fraction are well described by a Gaussian profile. 

Furthermore, according to Chaves et al. [29], radial profiles of mean 

axial velocity are near Gaussian. Lastly, according to Ueki et al. 

[20], who measured droplet sizes and velocities near the injector 

exit, the radial profiles of axial velocity and droplet diameter are 

correlated and Gaussian. Based on these experiments, the radial 

profile of liquid volume fraction, axial droplet velocity and droplet 

sizes are assumed to be Gaussian: 

a l ¼ a l;max e 

r 2 

2r 2 a 

U axial ¼ U l;max e 

d ¼ d max e 

r 2 

2r 2 d 

r 2 

2r 2 U 

ð23Þ 

ð24Þ 

ð25Þ 

where a l;max ; U l;max and d max are the values on the spray axis on the 

DITurBC plane, r is the radial coordinate and r 2 a ; r2 U ; r2 d 

are the 

Gaussian width parameters. 

Because of the correlation between the profile of axial velocity 

and droplet size, the same Gaussian width are assumed for these 

two profiles: r 2 d ¼ r2 U 

. Furthermore, due to the high density of liquid 

near the nozzle, measurements of droplet sizes are not reliable 

and there exists no experimental correlation for d max . 

According to Smallwood et al. [18], the droplet size for Diesel injection 

is between 5 lm and 15 lm. Taking into account that the 

spray is initialised close to the nozzle exit and that larger diameter 

may still be present, an arbitrary maximum droplet size of 20 lm 

is supposed. A sensitivity study on the influence of the maximum 

diameter has been conducted by Martinez et al. [30] using LES. 

The conclusion is that the diameter has a weak influence on spray 

penetration in the considered test cases and the value 20 lm gives


the best results. This emphasised that this free parameter is not 

critical for the simulation and 20 lm is a good approximation. 

The unknown parameters U l;max ; r 2 U ; a l;max; r 2 a are determined 

later in Section 4.3. 

The radial profile of radial velocity is taken from Eq. (19), 

assuming a linear increase with the radial coordinate. Indeed, the 

larger droplets remain on the spray axis due to their higher inertia 

while smaller droplets are more easily entrained by the gas towards 

the periphery of the spray and therefore gain radial velocity. 

The formulation is then: 

U rad ¼ U axial tanð/=2Þr=W ¼ U max e 

where W is the half-width of the spray. 

4.3. Determination of gaussian parameters 

r 2 

2r 2 U tanð/=2Þr=W 

ð26Þ 

The radial profile of velocity, liquid volume fraction and droplet 

diameters presented above require to determine the four unknown 

parameters a l;max ; U l;max ; sigma a and r U . 

4.3.1. Gaussian width of the liquid volume fraction profile on the 

DITurBC plane 

The Gaussian width r a represents the spray angle and can be 

expressed as Full Width at Half Maximum (FWHM) which corresponds 

to the width of half the spray angle 2r HM . This formulation 

is traditionally used in experiments [31]. This gives from Eq. (23): 

r 

a 2 l;max 

2 ¼ a HM 

2r 

l;max e 

2 a 

ð27Þ 

with r HM ¼ tanð/=4ÞDist þ D exit =2, where Dist ¼ 10D exit is the distance 

to the nozzle exit. The Gaussian width is then: 

r HM 

r a ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

¼ tanð/=4ÞDist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

þ D exit=2 

2 ln 2 

2 lnð2Þ 

ð28Þ 

4.3.2. Velocity on the DITurBC plane 

The maximum axial velocity on the DITurBC plane is supposed 

to be equal to the axial velocity at the nozzle exit: 

U l;max ¼ U Dist U exit 

ð29Þ 

The assumption of Eq. (29) cannot be strictly correct. Nevertheless, 

it is assumed that the energy exchange between gas and liquid does 

not affect significantly the maximum axial velocity located on the 

spray axis. Furthermore, this assumption applies only on the spray 

axis where the density ratio between the two phases is maximum 

and the decrease of velocity is then minimum. 

Concerning the gas axial velocity, two choices may be 

considered: 

No gas entrainment: the axial gas velocity is zero on the DITurBC 

plane. This hypothesis may prove interesting because it avoids a 

gas inflow boundary condition. As demonstrated below, this 

case is not physically acceptable but its analysis allows a better 

understanding of the influence of some physical phenomena on 

the radial profiles. 

Gas entrainment: the idea is to calculate the axial gas velocity by 

considering the conservation of liquid axial momentum. 

These two possibilities are addressed below. 

By conservation of the mass flow rate Q between the nozzle exit 

and the DITurBC plane and given the spray half-width 

W ¼ tanð/=2ÞDist þ D exit =2, one gets: 

Z 2p Z W 

Q ¼ U exit A eff q l 

¼ raðrÞUðrÞq l 

dr db 

ð30Þ 

0 

0 

Using the Gaussian profiles, one gets: 

Z W 

Q ¼ 2pq l 

raðrÞUðrÞdr 

0 

Z W 

¼ 2pq l 

ra l;max U exit exp 

0 

r 2 

2r 2 aexp 

r 2 

2r 2 U dr 

ð31Þ 

Simplifying with the parameters r 2 1 ¼ 2r2 ar 2 U 

and integrating by parts 

r 2 a þr2 U 

gives: 

Q ¼ q l 

a l;max U exit pr 2 1 

1 exp 

Thus: 

A eff 

a l;max ¼ 

pr 2 1 

1 exp 

! 

W 2 

r 2 1 

ð32Þ 

! ð33Þ 

W 2 

r 2 1 

If the gas velocity is zero, the liquid axial momentum is conserved: 

Z 2p Z W 

U 2 exit A eff q l 

¼ raðrÞU 2 ðrÞq l 

dr db 

ð34Þ 

Integrating by parts gives: 

0 

U 2 exit A eff ¼ pU 2 exita l;max r 2 2 

1 exp 

with r 2 2 ¼ 2r2 ar 2 U 

. 

2r 2 a þr2 U 

Using Eq. (33) gives: 

! 

r 2 2 

1 exp 

W 2 

r 2 2 

0 

¼ r 2 1 

1 exp 

! 

W 2 

r 2 1 

! 

W 2 

r 2 2 

ð35Þ 

ð36Þ 

This equality is verified only if 1=r 2 U 

¼ 0, that means that the 

hypothesis of a Gaussian profile on the velocity is wrong. This is 

in contradiction with what is found experimentally [29]. In conclusion, 

the Gaussian shape of the liquid axial velocity, observed experimentally, 

is due to the exchange of axial momentum via drag force 

between the liquid and the gas. 

Furthermore, the mass and axial momentum conservation do 

not constrain the parameter r 2 a . The Gaussian shape of the liquid 

volume fraction is due solely to the spray opening by atomisation. 

For practical purposes, the hypothesis of a zero axial gas velocity is 

not compatible with the hypothesis of a Gaussian profile of axial 

liquid velocity. 

For these reasons, the case of no entrainment is discarded and 

the gas velocity is given a Gaussian shape supposed similar to that 

of the liquid radial profile: 

U g ¼ U g;max e 

r 2 

2r 2 U 

ð37Þ 

As discussed previously, the gas velocity is the result of drag and so 

depends on the liquid velocity. Therefore, the similarity with the liquid 

seems justified. This implies that the gas phase and the liquid 

phase are rapidly in equilibrium. 

Taking into account the decrease of axial liquid velocity by exchange 

with the gas phase and using the mass conservation equation, 

one obtains: 

a l;max ¼ 

U exit A eff 

U l;max pr 2 1 

1 exp 

! ð38Þ 

W 2 

r 2 1 

Considering a steady spray and neglecting pressure gradient, the 

conservation of axial momentum of the system ‘gas + liquid’ between 

the nozzle exit and the DITurBC plane, normal to the spray 

axis, yields:


Z 2p 


¼ 

þ 

Z W 

0 0 

Z 2p Z W 

Using the equality a g ðrÞ ¼1 

0 

0 

ra l ðrÞU 2 ðrÞq l l 

dr db 

ra g ðrÞU 2 ðrÞq g g 

dr db 

ð39Þ 


¼ pU 2 l;maxa l;max q l 

r 2 2 

1 exp 

with r 2 2 ¼ 2r2 ar 2 U 

. 

2r 2 a þr2 U 

Using Eq. (38) one gets: 

a l ðrÞ, one obtains after integration: 

! 

W 2 

r 2 2 

! 

W 2 

þ pU 2 g;maxq g 

r 2 U 1 exp r 2 U 

pU 2 g;maxa l;max q g 

r 2 2 

1 exp 

U 2 exit A U 

eff q 

exit A eff 

l 

¼ U l;max 

r 2 1 

1 exp 

! 

W 2 

r 2 2 

!q 

W 2 l 

r 2 2 

1 exp 

r 2 1 

! 

W 2 

þ pU 2 g;maxq g 

r 2 U 1 exp r 2 U 

U 2 g;max 

U exit A eff 

U l;max r 2 1 

1 exp 

! 

W 2 

r 2 2 

!q 

W 2 g 

r 2 2 

1 exp 

r 2 1 

ð40Þ 

! 

W 2 

r 2 2 

ð41Þ 

r 2 a can be expressed in terms of r2 U 

by using the parameter K defined 

by r 2 a ¼ Kr2 U . Thus, r2 2 ¼ 2 

2Kþ1 r2 a and r2 1 ¼ 2 

Kþ1 r2 a . 

! 

ðK þ 1Þ 

U exit ¼ U l;max 

ð2K þ 1Þ 

1 exp 

1 exp 

ð2Kþ1ÞW 2 

2r 2 a 

! 

ðKþ1ÞW 2 

2r 2 a 

p 

þ U2 g;max r2 a q 

g 

1 exp 

KU exit A eff q l 

ðK þ 1Þ 

ð2K þ 1Þ 

1 exp 

U 2 g;maxq g 

U l;max q l 

1 exp 

KW 2 

r 2 a 

 

! 

ð2Kþ1ÞW 2 

2r 2 a 

! ð42Þ 

ðKþ1ÞW 2 

2r 2 a 

The remaining unknown parameters are now K and U g;max . 

In order to determine U g;max , it is assumed that the liquid–gas 

equilibrium is rapidly achieved. In this case U g;max ¼ U l;max . Let us 

consider the characteristic time Dt, which is the time for the gas 

to accelerate from zero to the liquid velocity. This time is determined 

using the axial momentum equation of the gas phase, considering 

only the drag force: 

a g q g 

U g;max 

Dt 

a l q l 

U l;max 

s p 

ð43Þ 

The time for the gas to accelerate from zero to the liquid velocity is 

then: 

Dt ¼ a gq g 

a l q l 

s p 

ð44Þ 

with s p the relaxation time defined for a droplet of diameter d defined 

as: 

s p d2 q l 

18l g 

ð45Þ 

Under the assumption of a maximum droplet diameter of d = 20 lm 

(see Section 4.2), one obtains: 

Dt ¼ 1:6 10 4 s 

with l g 

¼ 2 10 5 Pa=s; q g 

¼ 36 kg=m 3 ; a g ¼ 0:8 and a l ¼ 0:2. 

These numerical values correspond to the experiment of Chaves 

et al. [29] described in Section 5.3. This time is shorter that the needle 

opening time ð 0:2 msÞ. Consequently, it is assumed that the 

gas velocity reaches the liquid velocity before the needle has completely 

opened. 

In addition, during this period, the flow is fully unsteady with a 

spray angle varying in time and the model presented here is not 

predictive anyway. Therefore, the hypothesis U g;max ¼ U l;max is justified. 

Furthermore, a turbulent field will be imposed on the 

boundary condition so that the accuracy on U g;max is not crucial. 

The most important is to ensure the conservation of the mass 

and momentum fluxes. 

Finally, in order to find K it is assumed that: 

1 exp 

1 exp 

ðKþ2ÞW 2 

2Kr 2 a 

! 

! 1 ð46Þ 

ðKþ1ÞW 2 

2Kr 2 a 

In the same way it is presumed that: 

 

 

W 2 

Kr 

1 exp 

2 a 1 

ð47Þ 

This is the same as integrating mass and axial momentum fluxes between 

0 and 1 instead of 0 and W. Eq. (42) then becomes a second 

order equation in K: 

a 2 K 2 þ a 1 K þ a 0 ¼ 0 

with: 

a 2 ¼ 2U exit 

U l;max þ U l;maxq g 

q l 

2p U 2 g;max 

a 1 ¼ U exit U q g r2 a 

l;max þ U l;maxq g 

U exit A eff q l 

q l 

p 

a 0 ¼ 

U2 g;max r2 a q g 

U exit A eff q l 

ð48Þ 

ð49Þ 

ð50Þ 

ð51Þ 

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

The two solutions of Eq. (48) are: K 1 ¼ a 1þ a 2 1 4a 2a 0 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2a 2 

and K 2 ¼ 

a 1 a 2 1 4a 2a 0 

. Because a 2 > 0 and a 0 < 0, the only positive solution 

2a 2 

is K 1 . The negative solution K 2 is discarded because it leads to a 

non-Gaussian shape on the velocity profile. Finally, knowing K 1 

and r 2 a and using the expression r2 a ¼ Kr2 U , one obtains r2 U 

and then 

a l;max with Eq. (38). 

To resume, the four Gaussian parameters are obtained using Eq. 

(27) for r 2 a , Eq. (29) for U l;max, Eq. (48) for r 2 U and Eq. (38) for a l;max. 

4.4. Turbulent boundary conditions 

The profiles obtained in the previous sections for the boundary 

conditions are mean profiles. A drawback of the proposed method 

is that the history of the gas and liquid flows between the injector 

exit and the DITurBC plane is lost. To compensate, unsteady 

boundary conditions are used that reproduce the unsteadiness of 

the flow due to the phenomena occurring inside the nozzle and 

the turbulence generated between the nozzle exit and the DITurBC 

plane. 

In order to create a turbulence field with a given statistical profile, 

a non-dimensional homogeneous fluctuating velocity field is 

first generated. This field is then rescaled and added to the mean


velocity profile on the DITurBC for both liquid and gas phases. The 

method is based on the work of Kraichnan [32] and a similar method 

is used by Smirnov et al. [33]. 

The use of these turbulent boundary conditions as well as their 

influence on the spray formation will be described in a future 

paper. 

5. Validation 

The model for the DITurBC is validated in two steps. First, the 

nozzle exit velocity and spray angle given by the injector model 

are confronted to measurements in Section 3. Then, comparing 

the modelled radial profiles of velocities with experimental results 

evaluates the construction of the Gaussian profiles of Section 4. 

5.1. Injection velocity 

The validation of the turbulence–cavitation model is achieved 

by comparison with the experimental measurements of Leick 

et al. [34] obtained with an injection pressure of 22 MPa. Two different 

pressures in the chamber are used: 0.1 MPa and 2 MPa, corresponding 

to Bernoulli velocity of 230 m/s and 220 m/s 

respectively (see Table 1). The velocity measurements are made 

at 1:9 mm 12D from the nozzle exit at an injection pressure of 

22 MPa with a nozzle diameter of 154 lm. 

As shown in Table 1, the predicted exit velocities are very close 

to the experimental measurements. In the experiment, the velocity 

is not constant so that a range of velocity is used for the comparison. 

The model gives a mean velocity U dist divided by Bernoulli 

velocity U B of U dist =U B ¼ 0:9 which is in the range of measured 

velocities ð0:87 

0.1 MPa. The model gives also good results with the chamber pressure 

of 2 MPa which is more relevant in engine applications. 

For the three injector nozzles, the model is able to take into account 

the impact of the nozzle geometry on cavitation and then on 

the spray angle. The relative difference is less than 10% which is 

very good for spray angles. The spray angle is an important parameter 

in the DITurBC model as it is used to set the Gaussian width 

and the radial liquid velocity. 

Other spray angle measurements may be found in Saliba et al. 

[35], at 2 mm from the nozzle exit and for different backpressures 

(from 1 to 4 MPa). Results are depicted on Fig. 4. Model results are 

less accurate for these cases but the increase of the angle with the 

chamber pressure (backpressure), an effect described by the aerodynamical 

spray angle (see Section 4.1), is reproduced. Considering 

this effect is important in engine applications because the backpressure 

can have very different values depending on the instant 

of injection. 

The maximum difference is about 1° which is of the same order 

of magnitude than the variation of the spray angle during injection. 

As already described, the precision is sufficient. 

5.3. Axial velocity profile at 10D exit from nozzle exit 

Chaves et al. [29] have measured the radial profile of the spray 

axial velocity at x=D exit ¼ 10 from the nozzle exit (see Table 3). This 

corresponds to a Diesel-like liquid injection without cavitation at a 

moderate pressure ðDP ¼ 10 MPaÞ into a quiescent dense air 

(3 MPa). The injector nozzle diameter is D = 200 lm. The measurements 

are made after the injection reaches a quasi-steady state. 

The Bernoulli velocity is 154.7 m/s for this case. 

A first interesting observation is that the absence of cavitation is 

in agreement with the prediction of the injector model (Eq. (5)). 

The second interesting observation (see Table 3) is that the discharge 

coefficient measured by Chaves et al. [29] ðC d ¼ 0:88Þ is also 

well predicted by the model (C d ¼ 0:88 using Eq. (4)). 

5.2. Spray angles at nozzle exit 

The sub-models for the spray angle are validated by comparison 

with the experimental data of Blessing et al. [14], who measured 

spray angles for three nozzles denoted 1, 2 and 3 in Table 2. The 

nozzles have different conical shape factors leading to different 

spray angles due to cavitation. The spray angles are measured at 

the nozzle exit. The conical shape factor is taken into account in 

the model by changing the curvature radius which is recomputed 

from [14]. 

Table 1 

Comparison of spray exit velocity with experimental data of Leick et al. [34]. 

Case I II 

Injection pressure P inj ðMPaÞ 22 22 

Chamber pressure P ch ðMPaÞ 0.1 2 

Bernoulli velocity U B ðm=sÞ 230 220 

Experiment: spray exit velocity divided by U B 0.87–1 0.87–0.96 

Model: spray exit velocity divided by U B 0.91 0.9 

Fig. 4. Comparison of the spray angle predicted by the model with the experiments 

of Saliba et al. [35] at x ¼ 2 mm for different injection pressures. 

Table 2 

Comparison of the spray angle predicted by the model with the experiment of 

Blessing et al. [14] for three different nozzles. 

Number of the nozzle Spray angle (°) Spray angle (°) 

DITurBC 

1 5.5 6 

2 10 9.6 

3 13 13.5 

Table 3 

Comparison of discharge coefficient and spray angle provided by the model with 

experimental data of Chaves et al. [29]. 

P inj 130 

P ch 30 

Discharge coefficient via experiment 0.88 

Discharge coefficient via model 0.88 

Spray angle via experiment (°) 8.5 

Spray angle via model (°) 7.5


Fig. 5. Comparison of radial profile of spray axial velocity with experimental data of 

Chaves et al. [29] at x=D exit ¼ 10. 

From the shadowgraphy provided by Chaves et al. [29], 

the spray angle is measured (8.5°) and compared to the value obtained 

with the model (7.5°). Again, the agreement is very good 

(see Table 3). 

The radial profile of mean axial spray velocity are reported in 

Fig. 5. The Gaussian width is very well predicted which confirms 

the good accuracy of the model for the mean profiles. Furthermore, 

this confirms that Eq. (47) is a good hypothesis as, for this case, the 

parameter provided by the model are: r 2 ¼ 7:7 10 8 ; K ¼ 

 

0:48; W ¼ 7 10 4 and then 1 exp 

W 2 

Kr 2 a 

 

0:999. The parameter 

K ¼ 0:48 means that the Gaussian on the liquid volume fraction 

is about two times larger than the Gaussian on the axial liquid 

velocity. Therefore, high velocities droplets are concentrated near 

the spray axis and there is an important difference of velocity between 

the droplets near the spray axis and the droplets localised at 

the periphery. In addition, the model gives a l;max ¼ 0:2, revealing 

that there is no liquid core but a gas/liquid mixture at 10 nozzle 

diameters from the nozzle exit. Nevertheless, the liquid volume 

fraction is not small enough to confirm that the spray is fully dispersed 

with spherical droplets. 

A sensitivity study on the input parameters is proposed. Table 4 

sums up the input parameters of the DITurBC model. The experience 

of Chaves et al. [29] presented in Section 5.3 is used as the test 

case. 

The radial profiles of mean axial liquid velocity and liquid volume 

fraction, obtained with a variation of the parameters P inj , R 

and P ch , are presented in Figs. 6 and 7. 

All other parameters remaining constant, an increase of the 

injection pressure leads to an increase of the injection velocity 

(Eq. (6)) but the discharge coefficient, depending essentially on 

the nozzle geometry (Eq. (4)), remains relatively unchanged. 

Therefore, the ratio between axial velocity and Bernoulli’s velocity 

is nearly constant. Even with an injection pressure of 83 MPa, the 

model predicts no cavitation. The spray angle at the nozzle exit calculated 

by Eq. (19) can then be simplified because the energy k cav 

provided by the cavitation is null. Using Eqs. (11), (17) and (4), one 

obtains: 

tanð/ exit =2Þ ¼ U rad 

U exit 

¼ 

rffiffiffiffiffiffi 

f 

12 

ð52Þ 

One can see that the spray angle at the nozzle exit depends only on 

the Blasius’ coefficient f. For P inj ¼ 13 MPa, the spray angle at the 

nozzle exit is 3.36°. This value is almost equal to the value at 

P inj ¼ 83 MPa, which is 2.95°. The spray angle on the DITurBC plane 

calculated by Eq. (22) is 7.5° at P inj ¼ 13 MPa and 7.4° at 

P inj ¼ 83 MPa. 

This shows that, in a non-cavitating regime, the spray angle 

does not depend on the injection pressure but mainly on the condition 

in the chamber via aerodynamic effects. This analysis allows 

us to understand why the axial liquid velocity and the liquid volume 

fraction profiles are quasi-independent of the injection pressure. 

But this analysis is only valid if the flow inside the injector 

is non-cavitating. 

The main parameter that influences the transition to a cavitating 

regime is the curvature radius R. A sharp edge at the inlet of 

the nozzle contributes to a decrease of the pressure in the vena 

contracta which leads to cavitation. If one changes the curvature 

radius from 30 lm to 10 lm, with all other parameters remaining 

constant, the model predicts a cavitating regime. The spray angle 

on the DITurBC changes from 7.5° to 9.0°. Furthermore, the cavitation 

regime leads to a change in the discharge coefficient which explains 

the discrepancies in the radial profiles in Figs. 6 and 7. 

An important parameter that influences the profiles is the 

chamber pressure P ch . When increasing the chamber pressure, 

the spray is widening. This effect can be seen on the profile of li- 

5.4. Sensitivity study on input parameters 

Table 4 

Summary of the input parameters for the DITurBC model. 

Type of input Name Description 

Geometry R Curvature radius 

D exit Nozzle exit diameter 

L Nozzle length 

Dist Distance to nozzle exit (location of the DITurBC 

plane) 

Injection 

conditions 

P inj 

P ch 

Injection pressure 

Chamber pressure 

Physical properties q g Gas density 

q l Liquid density 

l g Gas viscosity 

l l Liquid viscosity 

Pvap Saturation vapor pressure Fig. 6. Influence of the input parameters R; P ch and P inj on the radial profile of spray 

mean axial velocity.


In this paper, a model for liquid injection boundary conditions, 

called DITurBC, has been presented. The model uses characteristic 

features of the injector to build an algebraic description of all spray 

characteristics and profiles near the nozzle exit. 

These profiles can be used as boundary conditions for the Eulerian–Eulerian 

simulation of Diesel Sprays especially in Large Eddy 

Simulation. By initialising the spray slightly downstream from the 

nozzle exit, the DITurBC model allows 3D simulation without solving 

the complex spray physics at the nozzle exit. Furthermore, this 

methodology avoids to mesh the nozzle exit, a zone requiring very 

small mesh size, resulting in a decrease of the computational cost. 

The boundary conditions are based on an injector model that 

determines whether the flow inside the nozzle is cavitating. Knowing 

the flow regime and the intensity of turbulence and cavitation, 

the velocity and the spray angle at the nozzle exit are deduced. 

Then, by the application of conservation laws, velocity, liquid volume 

fraction, and droplet size profiles are calculated at a given distance 

downstream from the nozzle exit, which represent the 

boundary condition DITurBC. These mean profiles are assumed to 

be Gaussian. The Gaussian widths of velocity and liquid volume 

fraction are found to be different and the conservation laws of 

mass and axial momentum permit to exhibit a relation between 

them. 

The model has been tested against few experiments and is a 

good starting point if one wants to avoid more expensive calculation 

of the atomisation process. First, the liquid exit velocity has 

been assessed with a very good agreement. Secondly, the influence 

on the spray angle of the nozzle geometry and of the chamber pressure 

has been validated and has shown good tendencies. Finally, 

the physics and hypothesis of the model have been confirmed on 

the experiment of Chaves et al. [29]. The concordance on the radial 

profile of axial liquid velocity is within the range of measure 

uncertainty. 

The DITurBC model has been proved to be well adapted for Diesel-like 

conditions in real engine applications. Nevertheless, the 

model can only be used in quasi-steady injection, i.e. when the needle 

is fully opened. In addition, the influence of the DITurBC model 

on a LES of spray has to be checked in a further analysis. 

The implementation of DITurBC in the AVBP CFD code [36] has 

been done. LES of Diesel Sprays using these DITurBC is under preparation 

and will be published in a future paper. 

References 

Fig. 7. Influence of the input parameters R; P ch and P inj on the radial profile of mean 

liquid volume fraction. 

quid volume fraction on Fig. 7. The profile of axial liquid velocity in 

Fig. 6 is narrower because the exchange of energy between the liquid 

and the gas phase is higher and then the decrease in liquid 

velocity is more important. 

6. Concluding remarks 

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flows on fixed and moving grids. J Comput Phys 2004;202:710–36.

6.3 Complément 

6.3 Complément 

Afin de prendre en compte le décalage de la condition limite, un cône est créé dans le maillage. La 

condition limite DiTurBC est appliquée sur le cône comme le montre la figure 6.1 : La largeur du cône 

FIG. 6.1 – Présentation du cône sur lequel est appliquée DITurBC 

devrait dépendre de la largeur du spray mais un cône générique est utilisé pour toutes les simulations 

dans ce manuscrit. La largeur a été fixée à2mm afin d’être suffisament importante pour tous les sprays 

simulés. De même la distance de la condition limite est de Dist = 2mm avec Dist > 10D exit pour toutes 

les injections. 

Pour une simulation de moteur à injection directe, l’utilisation d’un tel maillage pourrait poser des difficultés 

de mise en place. Ce point sera discuté en chapitre 8 dans le cas du calcul moteur. 

Un autre problème concerne l’injection de gaz. Ce gaz provient en fait de l’entraînement du spray entre 

la sortie de l’injecteur et la condition limite mais pas de l’injecteur qui n’injecte que du carburant. Dans 

un calcul moteur, une masse de gaz est donc injectée en plus de le masse enfermée. Néanmoins, il 

s’avère que cette masse est très faible comparée à une masse enfermée. Par exemple, si l’on prend un 

moteur Diesel à injection directe à 4000tr/min en pleine charge, la masse enfermée est de l’ordre de 

1500mg et la masse de carburant injecté m in j est d’environ 100mg. D’après les hypothèses de DITurBC, 

la vitesse du gaz sur la condition limite est la même que le liquide. Ainsi, le débit de gaz est de l’ordre de 

109


validation 

grandeur du débit de liquide corrigé du rapport de densité. La masse de gaz injectée est donc d’environ 

m in j ρ g /ρ l = 3.6mg avec ρ l = 830kg.m −3 et ρ g = 30kg.m −3 , soit une variation de 0.25% ce qui est 

négligeable. DITurBC est donc parfaitement utilisable en condition réaliste et ne modifie pas la masse 

enfermée. 

110


validation 

112

Troisième partie 

Validation 

113

6.4 Abstract 

Introduction - Validation et analyse de la dynamique du spray : comparaison 

avec la manipulation de Chaves 

Ce chapitre est tiré de l’article “A study of the Diesel spray dynamics using Eulerian-Eulerian Large 

Eddy Simulation ” soumis pour publication dans la revue i.e. International Journal of Multiphase Flow. 

(Martinez et al. 2010b) 

Afin de valider le modèle diphasique Eulérien d’AVBP adapté à l’injection Diesel, des calculs 3D sont 

réalisés dans des conditions de type Diesel basse pression. Il s’agit de l’expérience de Chaves et al. 

(2004) dont les données permettent la comparaison avec le calcul. Ces calculs sont réalisés avec le 

modèle de condition limite DITurBC et une étude de sensibilité sur les paramètres importants de DI- 

TurBC est proposée. Les données expérimentales disponibles ne permettent pas de valider complétement 

le spray simulé. Pour aller plus loin, les résultats de simulation sont également comparés à des données 

expérimentales, disponibles dans la littérature, sur des jets turbulents de gaz. La notion d’auto-similarité 

dans le spray est notamment étudiée. 

L’article est présenté ci-après dans sa version soumise pour publication. 

6.4 Abstract 

The Large Eddy Simulation (LES) of Diesel Spray using an Eulerian-Eulerian approach is conducted 

and discussed. A two-fluid model based on the Mesoscopic Eulerian Formalism (MEF) is presented with 

the inclusion of collision effects inspired from the kinetic theory. The main objective of this study is 

to evaluate the ability of LES for Diesel sprays and to analyse the dynamics of both the gas and the 

liquid phases. The validation of the model is obtained through comparison with an experiment of Diesel 

fuel sprays in dense air. Mean axial spray velocity and its rms fluctuations are analysed for different 

pressures in the chamber and a sensitivity study on boundary conditions is discussed. The spray dynamics 

is deeply analysed by comparison with experimental results from the literature on turbulent gaseous jets. 

The analysis is focused on self-similarity and a comparison between a free gaseous jet and a spray is 

suggested. 

6.5 Introduction 

Nowadays, a better understanding of the combustion instabilities and cyclic variabilities in Internal Combustion 

(IC) engine is essential for car manufacturers. The non-deterministic character of the turbulence 

is one of the phenomena leading to the cyclic variability. It corresponds to the microscopic events that can 

influence the instantaneous velocity field and the local mixture leading to different heat release, pollutant 

levels and engine work from cycle to cycle (Ozdor et al. 1994). Computational Fluid Dynamics (CFD) is 

115

a helpful tool for studying such issues. The RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) approach (Launder 

and Spalding 1972) is commonly used in CFD to perform 3D simulations (Drake and Haworth 2007). 

However, although it is characterised by reasonable computational costs, it does not allow the study of 

cyclic variabilities : RANS calculation of a given engine operation point represents the statistical average 

of many cycles at this point. Large Eddy Simulation (LES) is better adapted for such studies, as one 

LES of a given engine operation point may be view as one realization of one engine cycle. Computing 

local and instantaneous filtered properties (Sagaut 1998), LES has demonstrated its capabilities in many 

configurations (Selle et al. 2006; Schmitt et al. 2007) and in particular in multi-cycle simulation of IC 

engine (Richard et al. 2007; Vermorel et al. 2007; Vermorel et al. 2009). 

Due to its potential to resolve large scale vortices and so to predict the interaction between drops and 

air (carrier phase), LES is also of great interest for spray simulations (Bellan 2000). Indeed, the level of 

turbulence intensity generated by the spray as well as the local composition of the gas mixture including 

fuel vapour are of critical importance for the combustion and pollutants production in IC engines. 

The present study is devoted to the analysis of the spray dynamics using two-fluid Large Eddy Simulation. 

The liquid phase is described using an Eulerian approach, preferred to the Lagrangian particle 

tracking method for its potential to model complex industrial two-phase flows with high particles load 

and high computational efficiency on massively parallel computer. Few publications have been devoted 

to the Eulerian-Eulerian simulation of sprays in realistic Diesel injection conditions (Iyer and Abraham 

1997; Iyer and Abraham 1998; Iyer and Abraham 2005; Truchot and Magnaudet 2005). Furthermore 

all these works concern RANS simulation. Therefore, is it of interest to investigate how the Eulerian- 

Eulerian LES for Diesel sprays compares with existing experimental data. 

The Mesoscopic Eulerian Formalism (MEF) (Fevrier et al. 2005) is used here for the liquid phase. The 

physics of the Diesel spray imposes to take into account particle-particle interactions which are difficult 

to model in an Eulerian approach. Here, based on the work of (Boelle et al. 1995) inspired from the 

kinetic theory, binary bouncing collisions are accounted for. 

The validation of the model is obtained through comparison with the experimental data of (Chaves et al. 

2004). A sensitivity study on the inflow turbulent boundary condition is also discussed as it can highly 

impact the development of the spray. 

The Diesel spray is a transient, fully turbulent, two-phase flow and is consequently difficult to study 

experimentally and theorically. Few detailed experimental data are available in realistic Diesel injection 

conditions. Consequently, it seems worthwhile to study, in addition, LES spray results by analogy with 

the turbulent gaseous jet. This analogy has been examined by different authors (Dent 1971; Spalding 

1979; Kuo and Bracco 1982; Wu et al. 1984) because, contrary to the turbulent statistics of the spray, 

those of the jet have been largely investigated. One interesting point in jet flow is the self-similarity 

which has been confirmed by experiments (Wygnansky and Fielder 1969; Panchapakesan and Lumley 

1993; Hussein et al. 1994). For the spray, the self-similarity is used by different researchers as hypothesis 

116

6.6 Governing equations and modelling 

in their spray models (Desantes et al. 2006; Desantes et al. 2007; Martinez et al. 2010a) even if the identification 

of self-similar regions is not strictly established. With our LES, we should be able to investigate 

by an analysis of the dynamics of both the gas and the liquid phases, the existence of these regions. 

The paper is organised as follows. First, the governing equations for LES are presented for both the gas 

and the liquid phase. The modelling and closure terms are also defined and discussed in the framework 

of Direct Injection. Then, the simulation of the configuration of Chaves et al. (2004) is presented and a 

comparison between experimental data and numerical results is done. A sensitivity study on the boundary 

conditions is additionally proposed in order to find out the important parameters influencing the development 

of the spray. Finally, an extensive analysis of the behaviour of the droplets and the entrained gas is 

suggested by means of the turbulent statistics and focusing on self-similarity. 


Both gas and liquid phases are simulated using an Eulerian formulation (Eulerian-Eulerian approach) 

and are two-way coupled through the drag force. No mass nor heat transfer are considered because the 

simulations concern only the non vaporising spray. The Eulerian conservation equations for the liquid are 

based on the Mesoscopic Eulerian Formalism developed by (Fevrier et al. 2005) and extended to dense 

sprays by the addition of collision effects. 

6.6.1 Carrier phase 

In a LES approach, only the large scale eddies are resolved whereas the small scale eddies are modelled. 

Differentiation between large and small scale structures is done by filtering, defined as a convolution 

product of any variable f with a spatial filter kernel G ∆ f 

of characteristic length ∆ f . The filtered quantity 

is then written as : 

¯f (x) = 

Z 

f (x)G ∆ f 

(x ′ − x)dx ′ (6.1) 

The Favre average is commonly used and allows to avoid density fluctuations. The Favre filtered quantity 

˜f (x) is written as : 

¯ρ ˜f (x) = 

Z 

ρ f (x)G ∆ f 

(x ′ − x)dx ′ (6.2) 

where ¯ρ is the filtered density. From now on and for the sake of simplicity the filtered density will be 

written ρ in the paper. The subscript g will refer to the gas phase whereas l will refer to the liquid phase. 

Applying this filtering on the Navier-Stokes equations leads to the filtered equations of respectively mass, 

momentum and energy : 

∂ 

∂t ρ g + ∂ 

∂x i 

ρ g Ũ g,i = 0 (6.3) 

117

∂ 

∂t ρ gŨg,i + ∂ ρ g Ũ g,i Ũ g, j = − ∂ ¯P + ∂ ¯τ g,ij − ¯F drag − ∂ T g,ij (6.4) 

∂x j ∂x i ∂x j ∂x j 

∂ 

∂t ρ gẼg + ∂ 

∂x j 

(ρ g Ẽ g + ¯P)Ũ g, j = ∂ 

∂x j 

¯τ g,ij Ũ g, j − ¯F drag Ũ l,i − ∂ 

∂x j 

¯q g, j − ∂ 

∂x j 

Q g, j 

(6.5) 

where Ũ g,i is the filtered velocity, and Ẽ g is the filtered total non chemical energy. ¯P is the filtered pressure, 

¯τ g,ij the filtered viscous stress tensor and T g,ij = 2ρ g µ t 

√2 ˜S g,ij ˜S g,ij ˜S g,ij is the subgrid scale tensor or 

Reynolds tensor where ˜S g,ij is the strain rate tensor of the carrier phase : 

˜S g,ij = 1 2 

( 

) 

∂Ũ g,i 

+ ∂Ũ g, j 

∂x j ∂x i 

The subgrid or eddy viscosity µ t is modelled via the dynamic Smagorinsky model of Germano et al. 

(1991). The filtered heat flux is denoted ¯q g, j while the term Q g, j is the subgrid scale heat flux. ¯F drag is the 

filtered drag force, detailed in Section 6.6.2. 

The set of equations (6.3)-(6.5) is based on the assumption that there is no effect of liquid volume on the 

carrier phase behaviour. This hypothesis implies thin spray. Furthermore, another hypothesis is that there 

is no modification of the carrier phase Reynolds tensor T g,ij due to the interaction with the liquid phase. 

(6.6) 

6.6.2 Dispersed phase 

The Eulerian conservation equations are presented here for non evaporating sprays and without atomisation 

nor coalescence. The collision are nevertheless taken into account (see Section 6.6.2). 

Mesoscopic Eulerian formalism 

The Mesocopic Eulerian Formalism of Fevrier et al. (2005) accounts for the Random Uncorrelated Motion 

(RUM) detailed below and was first developed for diluted two-phase flow. 

In a cloud of particles, different velocities may be found at close locations, depending on the particle 

histories. The instantaneous velocity V (k) (t) of a particle k located at position X (k) (t) may be decomposed 

into a statistical instantaneous Eulerian component shared by all the particles (the correlated velocity 

ǔ p (t) or Mesoscopic Eulerian Velocity) and a residual velocity component, specific to the particle (uncorrelated 

velocity (RUM) δu (k) 

p (t)): 

) 

V (k) (t)=Ǔ l 

(X (k) (t),t + δu (k) 

p (t) (6.7) 

118


The contribution of the RUM is described via a probability density function (pdf) conditioned on one realization 

of the carrier phase. The principle for the establishment of the Eulerian liquid transport equation 

is similar to the derivation of the Navier-Stokes equations by the kinetic theory (Chapman and Cowling 

1939). These equations are obtained by integration over the phase space of the Boltzmann-type equation 

of evolution of the pdf (Fevrier et al. 2005; Riber et al. 2006; Moreau et al. 2005). 

Then the Favre filter is applied to the transport equations of droplets to obtain the Eulerian filtered 

equations used in LES. The Favre operator is similar to the one used for the gas, replacing the density ρ g 

by the particle number density n l : 

¯n l ̂f (x) = 

Z 

n l f (x)G ∆ f 

(x ′ − x)dx ′ (6.8) 

where n l is the number density. 

Finally, the following conservation equations of number density and mass are obtained : 

∂ 

∂t ¯n l + ∂ ¯n l Û l,i 

∂x i 

= 0 (6.9) 

∂ 

∂t ᾱlρ l + ∂ ᾱ l ρ l Û l,i 

∂x i 

= 0 (6.10) 

where the filtered liquid volume fraction is defined as ᾱ l = ¯n l πd 3 /6, ρ l is the mass density of the liquid 

(considered constant), Û l is the filtered correlated velocity and d is the particle diameter. The filtered 

momentum equation is : 

∂ 

∂t ᾱlρ l Û l,i + ∂ ᾱ l ρ l Û l,i Û l, j = ¯F drag − ∂ T l,ij + ∂ ̂δΣl,ij 


(6.11) 

The drag force is written as : 

¯F drag = ᾱlρ l 

τ p 

(Ũg,i −Û l,i 

) 

(6.12) 

where τ p is the Stokes characteristic time defined from the particle Reynolds number R e and the drag 

coefficient C D . The expression of (O’Rourke 1981; Andrews and O’Rourke 1996) is used for C D : 

τ p = 4 3 

ρ l 

ρ g 

d 

C D |V r | with C D = 24 ( 

α 

−2.65 

g + 0.15R 0.687 

R e 

e α −1.78 

g 

) 

and Re = ρ gd|V r | 

(6.13) 

µ g 

where α g =(1 − α l ) is the gas volume fraction, µ g is the fluid molecular dynamic viscosity, |V r | = 

|Ũ g −Û l | is the relative velocity between gas and liquid. The α g -dependance of C D corresponds with that 

found in the experiment of (Richardson and Zaki 1954). 

119

T l,ij is the particle subgrid stress tensor. The last term of the right hand side (rhs) of Eq. (6.11) is the flux 

of the filtered stress tensor ̂δΣ l,ij = − 2 3ᾱlρ l ̂δθl δ ij − ᾱ l ρ l ̂δR 

∗ 

l,ij 

. It is based on the deviatoric part of the 

Random Uncorrelated Velocity (RUV) tensor ̂δR ∗ l,ij 

and the filtered Random Uncorrelated Energy (RUE) 

̂δθ l , defined as the half of the RUV tensor trace (Simonin et al. 2002) and (Kaufmann 2004). The term 

2/3ᾱ l ρ l ̂δθl = P RUV is a dilatation term that plays a role similar to a pressure term. A transport equation 

may be written for RUE as : 

∂ 


∂x −2ᾱlρ l ̂δθl − ∂ ᾱ l ρ l̂δKl,ii j + 

i τ p ∂x ̂δΣ ∂ 

l,ij Û l,i 

j ∂x j 

+Π δθl (6.14) 

The first term of the rhs is the RUE loss by drag force. It means that particles which are submitted to the 

carrier phase influence tend to have the same velocity. The second term is a diffusion term while the third 

term is a production term by shear and compression. The fourth term is a production term by subgrid 

scales. 

Closure models for Random Uncorrelated Motion 

The RUV tensor ̂δR ∗ l,ij and the term ̂δK l,ij of Eq. (6.14) are modelled, respectively, by a viscous assumption 

and by a diffusion term similar to Fick’s law (Kaufmann 2004) : 

̂δR ∗ l,ij 

= −2̂ν RUV 


3 

) 

= −2̂ν RUV Ŝ ∗ l,ij (6.15) 

̂δK l,ii j = −̂κ RUV 

∂ ̂δθ l 

∂x j 

(6.16) 

where Ŝ p,ij is the strain-rate tensor defined as : 

S l,ij = 1 2 

( 

) 

∂Û l,i 

+ ∂Û l, j 

∂x j ∂x i 

(6.17) 

The viscosity ̂ν RUV and the diffusion coefficient ̂κ RUV are modelled as : 

̂ν RUV = τ p 

3 

̂δθ l (6.18) 

̂κ RUV = 10 

27 τ p ̂δθ l (6.19) 

These models have been validated in an a priori study based on gas particle homogeneous isotropic 

turbulence (Moreau et al. 2005). 

120


Closure models for subgrid terms 

Models proposed by Moreau et al. (2005) and Riber et al. (2005) for subgrid terms are used for the 

computations. Because of the high compressibility of the dispersed liquid phase, the subgrid scale (SGS) 

tensor T l,ij is decomposed into two parts. The diagonal part is equivalent to a subgrid pressure P SGS 

proportional to the subgrid energy and the non-diagonal part equivalent to a subgrid viscous tensor Tl,ij ∗ : 

( 

T l,ij = C l 2∆ 2 f ᾱlρ l |Ŝ l | 2 δ ij −C s 2∆ 2 f 

} {{ } ᾱlρ l |Ŝ l | Ŝ l,ij − δ ) 

ij 

3 Ŝl,kk 

(6.20) 

P SGS 

} {{ } 

with |Ŝ l | 2 = 2Ŝ l,ij Ŝ l,ij . These models have been validated a priori in gas particle homogeneous isotropic 

turbulence (Moreau et al. 2005) and the values C s = 0.02 et C l = 0.012 were found. 

The RUE production by subgrid scales Π δθl is obtained by assuming that the correlated energy dissipated 

by subgrid effect is totally converted into RUE and the drag effect is negligible Riber et al. (2006). This 

leads to the relation : 

T ∗ 

l,ij 

Extension to dense sprays : collision effects 

Π δθl ≈ −T l,ij 

∂ 

∂x j 

Û l,i (6.21) 

The closure for RUV terms are linked to the drag force. For non-colliding particles, the increase or 

decrease of uncorrelated motion is due to the interaction with the carrier phase. For instance, small size 

droplets approach the same velocity which is the velocity of the carrier phase. Then, the uncorrelated 

energy decreases. On the other hand, the uncorrelated motion can be produced by shear or compression. 

Under the influence of vortices, the behaviour of droplets depends on their size and then their trajectories 

can be different. This could produce uncorrelated motion. 

Thus, the drag force is the predominant effect which is taken into account for the evolution of the RUM. 

This hypothesis is only valid when the relaxation time is the minimum relevant time scale. In the dense 

zone of the spray, the collision time can be smaller than the relaxation time. It means that the droplet 

does not have the time to be influenced by the carrier phase. Therefore one has to adapt the equation 

and hypothesis for the closure of the RUV terms in order to take into account the collision effects. 

For this purpose an analogy is proposed between the RUE and the granular temperature often used in 

fluidized beds simulation. One hypothesis is that the collisions are only binary, slightly inelastic and 

purely bouncing. Therefore coalescence is omitted and the model should be improved for this case. This 

point is highly questionable in non evaporating sprays. The coalescence can appear far from the nozzle 

exit and can lead to an increase in the mean diameter. In evaporating spray, in real IC engines conditions, 

the characteristic time of evaporation is so small, compared to a flow through time, that coalescence is 

negligible. 

121

The model used here has been validated on simple shear dense suspensions (Boelle et al. 1995). The 

principles and developments of the model is reviewed by Peirano and Leckner (1998). The collision time 

(Chapman and Cowling 1939) reads : 

τ c = 

√ 

d 

24g 0 ᾱ l 

3π 

with g 0 = 

2̂δθ l 

( 

1 − ᾱl 

α m 

) −2.5αm 

(6.22) 

where g 0 is the radial distribution function (Lun and Savage 1986) with α m = 0.6. 

The collision effects change the modelling of the RUV viscosity and diffusion defined in Eq. (6.18) and 

Eq. (6.19) to introduce the collisional time. The subscript c is used for the corrected kinematic terms 

ν RUVc and κ RUVĉν RUVc = τ p 

3 

) 

2 

̂δθ l 

(1 + ᾱ l g 0 

5 (1 + e)(3e − 1) 

( 

3 

̂κ RUVc = 2 1 + ᾱ l g 0 

̂δθ l ( 

3 9 

+ 

5τ p 

1 

( 

1 + τ p (1 + e)(3 − e) 

τ c 10 

) 

5 (1 + e)2 (2e − 1) 

) (6.23) 

(19 − 33e)(1 + e) 

100τ c 

) (6.24) 

where e is the restitution coefficient which is set to a fixed arbitrary value e = 0.9. The influence of e 

on the stress has already been studied by different authors (Campbell 1989; Hopkins and Louge 1991). 

Additional terms, linked to collision effects also appear like the collisional stress tensor and a 

collisional diffusion term ̂δKcoll 

l,ii j 

which are modelled similarly to the kinematic terms ̂δΣ l,ij and ̂δK l,ii j , 

i.e. respectively by a Boussinesq assumption and by a diffusion term similar to Fick’s law : 

̂δΣ 

coll 

l,ij 

) 

̂δΣ coll 

l,ij 

= −( 

̂P coll −̂ξ c Ŝ l,kk /3 δ ij + 2ᾱ l ρ l ̂ν coll Ŝl,ij ∗ (6.25) 

̂δK coll 

l,ii j 

= −̂κ coll 

∂ ̂δθ l 

∂x j 

(6.26) 

where ̂ν coll is the collisional viscosity (Boelle et al. 1995) : 

⎛ 

⎛ 

̂κ coll is the collisional diffusivity : 

̂ν coll = ⎝ 4 5ᾱlg 0 (1 + e) ⎝̂ν RUVc + d 

̂κ coll = ᾱ l g 0 (1 + e) 

⎛ 

√ 

2 ̂δθ l 

3π 

⎞⎞ 

⎝ 6 5 κ RUV c 

+ 4 3 d √2 ̂δθ l 

3π 

⎠⎠ (6.27) 

⎞ 

⎠ (6.28) 

122


̂P coll is the collisional pressure : 

̂P coll = 4 3ᾱl 2 ρ l g 0 (1 + e) ̂δθ l (6.29) 

̂ξc is the bulk viscosity : 

̂ξc = 4 3ᾱl 2 ρ l g 0 (1 + e)d 

√ 

2 ̂δθ l 

3π 

(6.30) 

The new model for stress and diffusive tensors, taking into account collision effects are : 

and 

) 

δΣ tot 

l,ij = −( 

̂P RUV + ̂P coll −̂ξ c Ŝ l,kk /3 δ i, j + 2ᾱ l ρ l (̂ν RUVc +̂ν coll )Ŝl,ij ∗ (6.31) 

Thus Eq. (6.11) and Eq. (6.14) become respectively : 

̂δK tot 

l,ii j 

= −(̂κ RUVc + ̂κ coll ) ∂ ̂δθ l 

∂x j 

(6.32) 

∂ 


l 

(Ûg,i −Û l,i − ∂ T 

∂x j τ p ∂x 

l,ij− ∗ ∂ P SGS 

j ∂x i 

− ∂ ̂P RUV − ∂ ̂P coll + ∂ ( ) 

∂U l,k ̂ξc 

∂x i ∂x i ∂x i ∂x k 

+ ∂ 

∂x j 

2ᾱ l ρ l (̂ν RUVc +̂ν coll )S ∗ l,ij (6.33) 

∂ 


∂x −2ᾱlρ l 1 − e 2 

̂δθl − ᾱ l ρ l 

̂δθl 

i τ p 3τ c 

− ∂ ᾱ l ρ 

tot l̂δK 

l,ii j 

+ ̂δΣtot 

∂ 

l,ij 

Û l,i 

∂x j ∂x j 

+Π δθl (6.34) 

This model can be seen as an extension of the diluted model. When the liquid volume fraction tends to 

zero, the collisional time tends to infinity and the collisional terms (Eq.(6.27, 6.28, 6.29, 6.30) naturally 

tend to zero. Furthermore the kinematic terms from Eq.(6.23,6.24) tend to their value for the diluted 

case. This model has been validated in Particle-Charged Homogeneous Isotropic Turbulence (Vié et al. 

2009) and has also shown a good agreement for Diesel spray penetration in realistic engine conditions 

(Martinez et al. 2009). 

123

Characteristic time scales for sprays and Stokes number 

The ratio of the relaxation time (Eq. 6.13) and the collision time (Eq. 6.22) allows to evaluate the relative 

impact of the drag force and collisions. The Stokes number introduces an additional time scale, 

characteristic of the carrier phase, taken here as the characteristic time τ t of the most energetic structures 

in a gas jet. The expansion of the jet along its axis is proportional to the distance from the jet exit X. 

Moreover, the axial velocity on the jet axis decreases like 1/X. Then the turbulent time scale τ t should 

be proportional to : 

τ t 

∝ 

X 2 

U exit .D 

(6.35) 

where U exit is the spray velocity at the nozzle exit and D is the injector diameter. The Stokes number now 

reads : 

St = τ p 

τ t ∝ τ pU exit .D 

X 2 (6.36) 

An interesting point is that, the Stokes number decreases along the spray axis meaning that the droplets 

will be more influenced by the turbulence downstream of the jet. 

6.7 Numerical Simulation 

6.7.1 LES solver 

The AVBP code, jointly developed and owned by IFP and CERFACS is used for the simulations. It 

solves the compressible Navier-Stokes equations for reactive two phase flows (Moureau 2004) with low 

dissipation schemes adapted to LES (third order in space and time Taylor-Galerkin scheme TTGC (Colin 

and Rudgyard 2000)). The abilities of AVBP in reactive two-phase flows have been investigated in gas 

turbine configuration (Boileau et al. 2008) and in multi-cycle IC engine simulation (Richard et al. 2007; 

Vermorel et al. 2007). 

6.7.2 Experimental set-up 

The experiment of Chaves et al. (2004) is investigated in this study. It corresponds to a Diesel-like liquid 

injection without cavitation at a moderate pressure (∆P = 10MPa) into a quiescent dense air (3MPa). The 

injector diameter is D = 200µm. The measurements are done when the injection reaches a quasi-steady 

state. The Bernoulli velocity is 154.7m/s for this case. The mean and fluctuating (rms) axial velocity 

profiles are provided at 10D and 100D from the nozzle exit. 

124


6.7.3 Parameters of the simulation and boundary conditions 

FIG. 6.2 – Cross section of the mesh and view of the cone dedicated to the DITurBC. 

The tetrahedral 3D mesh (See Fig. 6.2) is composed of 350000 nodes, with a minimum edge length of 

80µm. The numerical parameters of the calculation are presented in Table (6.1). 

Scheme : 

Two-step Taylor-Galerkin TTGC* 

*(Colin and Rudgyard 2000) 

CFL : 0,7 

Time step : 

5.810 −8 s 

Physical time : 

2.5ms 

CPU time (32 proc. Opteron) : 

35h 

TAB. 6.1 – Numerical parameters of the LES calculations. 

The spray is formed by an atomisation process resulting from complex interface phenomena that can 

not be reproduced with the present model and are not well understood. Therefore the droplets are di- 

125

ectly introduced in the domain, following a procedure described in (Martinez et al. 2010a) and called 

Downstream Inflow Turbulent Boundary Conditions (DITurBC). 

The strategy consists of initiating the 3D simulation at 10D downstream from the nozzle exit. The mean 

radial profiles of axial velocity, liquid volume fraction and droplet diameters are supposed to be gaussian. 

The characteristics of the spray at the nozzle exit are calculated using data on nozzle geometry and the 

turbulent and the cavitating flow inside the nozzle. Then, additional conservation equations of mass and 

momentum between the nozzle exit and the boundary conditions are used to determine the mean profiles. 

Gas is also injected to represent the entrainment at the nozzle exit. The gas velocity is supposed to be 

equal to the liquid velocity. The application of a boundary condition at 10D downstream from the nozzle 

exit is made possible by the addition, in the geometry, of a solid cone that shifts the inlet boundary 

condition. The DITurBC model has been validated by comparison with the experiment of Chaves et al. 

(2004), affording to recover the profiles at 10D. The parameters of the boundary conditions are presented 

in Table (6.2) for what will be referred as the reference case. 

Max. drop velocity : 154m/s 

Max. gas velocity : 

154m/s 

Mean drop velocity : 135m/s 

Mean gas velocity : 

135m/s 

Max. liquid volume fraction : 0.2 

Max. Droplet diameter : 20µm 

Turbulence intensity : 20% 

TAB. 6.2 – Boundary conditions for the reference case. 

The physical parameters are presented in Table (6.3). 

Ratio of density ρ g /ρ l : 0.043 

Pressure in the chamber : 30MPa 

Injection Pressure : 

130MPa 

Temperature of the chamber : 293K 

TAB. 6.3 – Physical parameters of the simulation for the reference case. 

6.7.4 Turbulent boundary conditions 

In order to create a turbulent field with a given statistical profile, a non-dimensional homogeneous fluctuating 

velocity field is generated. This field is then rescaled and added to the mean velocity profile on 

the DITurBC for both liquid and gas phases. The method is based on the work of Kraichnan (1970) and 

a similar method is used by Smirnov et al. (2001). 

126


The divergence free, statistically stationary, homogeneous, isotropic, multivariate-normal velocity field, 

for N modes, is of the form : 

v i (x,t) = 

√ 

2 

N 

N [ 

∑ 

n=1 

( 

p (n) 

i cos 

k e λ (n) x j + ω (n)) + q (n) 

i 

( 

sin k e λ (n) x j + ω (n))] (6.37) 

where p (n) 

i 

= ε i jm ξ (n) 

j λ (n) 

m and q (n) 

i 

= ε i jm ζ (n) 

j λ (n) 

m . Here ε i jm is the permutation tensor used in the vector- 

, ζ (n) 

j and λ (n) 

j are random quantities. ξ (n) 

j and ζ (n) 

j are calculated 

product operation. The variables ξ (n) 

j 

from normal distribution N(0,1), i.e. with a mean of 0 and a standard deviation of 1. λ (n) 

j 

from a Gaussian distribution G(0,1/2). 

For an infinite number of modes, the energy spectrum is of the form : 

is calculated 

E(k) = 2 3 16 √ 

2 

π 

( k 

k e 

) 4 

exp(−2k 2 /k 2 e) (6.38) 

with a maximum energy for k = k e and a correlation length of the order L e = 1/k e . 

In the paper of Kraichnan (1970), ω (n) is obtained from a Gaussian distribution with standard deviation 

ω 0 leading to a time correlation of the form exp(−ω 2 0 t2 /2). Here a different approach is used. Instead 

of generating a 2D inlet field varying with time, a 3D field, i.e. 2D inlet + direction perpendicular to the 

inlet, is generated. At each time t, the field corresponding to the 2D section located at U conv .t upstream 

from the inlet section (in the direction perpendicular to the inlet) is injected, where U conv is the mean 

velocity in direction perpendicular to the inlet plane. One can view the turbulent velocity field as velocity 

fluctuations in a grid turbulence with mean velocity U conv . 

From the homogeneous isotropic turbulent velocity field, an inhomogeneous fluctuating target velocity 

is 

√ 

created to reproduce the statistical mean velocity , the Root-Mean-Square (RMS) fluctuations 



i > and the cross correlations , using the tensor a ij (Klein et al. 2003) : 

U T 

i 

U T 

i (x,t) = +a ij (x)v j (x,t) (6.39) 

This allows to obtain an anisotropic field, more relevant for a jet simulation. 

The RMS fluctuations u rms , v rms , w rms are set to fit the turbulence intensity of a gas jet in the self-similarity 

area according to Hussein et al. (1994), i.e. (u rms /) axis = 0.25 , (v rms /) axis = 0.20 and 

(w rms /) axis = 0.20. For the simulation of the experiment of Chaves et al. (2004), in order not to 

exceed the Bernoulli velocity and to be in accordance with the experimental results at 10D, the axial 

velocity fluctuations are set to (u rms /) axis = 0.2. A questionable point here is how to set the 

level of correlation between the gas and the liquid fluctuations. For the sake of simplicity and in a first 

approach, no correlation is supposed. This point will be discussed in section 6.8.4. 

The amplitude of the velocity fluctuations are supposed equal for the gas and the liquid phase. 

127

6.8 Results and analysis of the spray behaviour 

The aim of this section is to evaluate the quality of the simulation by comparison with the experimental 

results of Chaves et al. (2004). The decrease of the mean axial droplet velocity as well as its mean and 

RMS radial profiles at 100D are studied. The mean and rms values are obtained by performing time 

averages over more than 10 flow through times in order to have converged statistics. 

A sensitivity study on some chosen boundary conditions parameters is proposed. In particular, the influence 

of the drag force, the turbulence intensity and the density of the air are addressed. 

6.8.1 Effect of drag 

The effect of drag is studied by changing either the maximum diameter of the droplets at injection or the 

inlet gas velocity at the boundary conditions. These effects are illustrated on Fig. (6.3). 

Spray axial velocity / Bernoulli velocity 

1.0 

0.7 

0.4 

0.3 

1/x 

1 2 4 

X 

D 

ρ g 

ρ l 

Experimental envelope 

u g 

= u l 

; d = 20 µm 

u g 

= u l 

/2 ; d = 20 µm 

u g 

= u l 

; d = 10 µm 

FIG. 6.3 – Decrease of mean axial velocity and effects of the inlet gas velocity. 

For the reference case (u g = u l and d = 20µm), the decrease of the mean axial velocity is within the 

experimental envelope or extrema. At a normalised distance of (X/D)(ρ g /ρ l )=2.5 (X/D ≈ 60), the 

mean axial velocity decreases like 1/X which corresponds to the decrease in a free jet of gas. This 

behaviour is the same with a maximum droplet diameter of 10µm and with a gas velocity equal to half 

the injected liquid velocity. The simulation is then insensitive to the droplet diameter and the gas velocity 

at injection. 

The radial profiles are depicted on Fig. (6.4). 

128


spray velocity / Bernoulli velocity 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 

radial distance / nozzle diameter 

(a) Axial liquid mean velocity 

Experiment 

AVBP Reference case 

AVBP u g = u l /2 

AVBP d = 10µm 

RMS velocity fluctuations / Bernoulli velocity 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

Experiment 

AVBP Reference case 

AVBP u g = u l /2 

AVBP d = 10 µm 

-6 -4 -2 0 2 4 6 


(b) Axial liquid rms velocity 

FIG. 6.4 – Radial distribution at X/D = 100 of mean and rms axial velocity. Comparison on the effect of 

the drag force. 

The mean profiles are almost identical for the three cases. The mean axial velocity is under estimated by 

the simulation compared to the experimental results, especially near the spray axis. At the periphery the 

comparison is very good. The disagreement is probably due to very large droplets which are not included 

in our simulation but which could be present in the experiment because they have not been atomised. 

Due to their inertia, these droplets conserve high velocities and are concentrated near the spray axis. In 

the experiment of Chaves et al. (2004), the injection pressure is not realistic compared to the injection 

pressure in real Diesel engine that reach 200MPa and is maybe not high enough to produce small droplets. 

Then, the effect of large droplets may be expected less important in real engine conditions. 

The RMS values show a good agreement with the experiment for the entire radial profiles excepted at 

the center. The reason is probably the same as described for the mean velocity. 

In order to better understand these results, the energy exchange term appearing in Eq. (6.5) is averaged 

by the spray volume, normalised by its maximum and plotted versus time in Fig. (6.5) together with the 

evolution of the spray volume. 

The exchange of energy is higher at the beginning of the injection when the air begins to be entrained. 

Then, the exchange term decreases during the simulation proving an equilibrium between the liquid and 

the gas. This equilibrium is reached rapidly, as at t = 2ms the exchange term is about 1% of its maximum. 

The equilibrim between liquid and gas was also noticed experimentally by Doudou (2005) in the central 

part of the spray. 

129

3e-06 

1 

2.5e-06 

Spray volume (m³) 

2e-06 

1.5e-06 

1e-06 

Energy exchange 

0.1 

0.01 

5e-07 

0 

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

time (s) 

(a) Spray volume 

0.001 

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

time (s) 

(b) Energy exchange 

FIG. 6.5 – Evolution of spray volume and energy exchange between phases with time. 

6.8.2 Effect of the turbulence intensity 

Contrary to drag force which seems to have a small influence on the spray development, the turbulence 

intensity is of first order as it controls the spray opening. 

Fig. (6.6) shows an iso-surface of the gas vorticity magnitude and an iso-surface of the liquid volume 

fraction for different levels of turbulent intensity. With an intensity of u rms /= 1%, the spray 

presents small vortices, i.e. small structures on the vorticity field, compared to the case of u rms /= 

20%. The development of the turbulent structures is enhanced by the level of intensity. Furthermore the 

large scales vortices transport droplets to the periphery of the spray and contribute to the spray opening 

as can be seen on the iso-surface of liquid volume fraction. 

By conservation of the axial momentum flux, the spray opening is directly linked to the decrease of 

the axial velocity (See Fig. (6.7)). As a consequence, the decrease of velocity is less important in the 

case of low turbulence. Nevertheless, the profiles remain within the experimental extrema. In the case 

of u rms /= 1%, the decrease is not proportional to 1/x and thus the spray has not reached the 

behaviour of a free jet. 

Surprisingly, the radial profiles on Fig. (6.8) are more in accordance with the experiment for the case 

of low turbulence which disagrees with the results on the spray angle. The main reason is probably 

again the presence of large droplets which have not been atomised have conserved a high velocity in the 

experiment. 

6.8.3 Effect of the chamber pressure 

The impact of the chamber pressure and consequently of the air density is studied. It has been observed 

many times that the decrease of the chamber pressure leads to a decrease of the spray angle and 

130


(a) reference case : u rms /= 20% (b) u rms /= 10% 

(c) u rms /= 1% 

FIG. 6.6 – Instantaneous iso-surface of the liquid volume fraction (left) and the gas vorticity magnitude 

(right) for different levels of turbulence at t = 2ms. 

131


1.0 

0.7 

0.4 

0.3 

1/x 

1 2 4 

X 

D 

ρ g 

ρ l 

Experimental envelop 

u rms 

/ = 20% 

u rms 

/ = 10 % 

u rms 

/ = 1 % 

FIG. 6.7 – Decrease of mean axial velocity and effects of the level of turbulence. 

spray velocity / Bernoulli velocity 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 


(a) Axial liquid mean velocity 

Experiment 

AVBP u rms 

/ = 20% 

AVBP u rms / = 10% 

AVBP u rms / = 1 % 

RMS velocity fluctuations / Bernoulli velocity 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

Experiment 

AVBP u rms 

/ = 20% 

AVBP u rms 

/=10% 

AVBP u rms /=1% 

-6 -4 -2 0 2 4 6 


(b) Axial liquid rms velocity 

FIG. 6.8 – Radial distribution at X/D = 100 of mean and rms axial velocity. Comparison on the effect of 

the level of turbulence. 

132


consequently to an increase of the penetration. 

(a) reference case : P = 3MPa 

(b) P = 1MPa 

FIG. 6.9 – Instantaneous iso-surface of the liquid volume fraction (left) and the gas vorticity magnitude 

(right) for different back pressures at t = 2ms. 

Fig. (6.9) shows that the calculations are able to capture these well-known phenomena. The decrease of 

the axial velocity along the spray axis is presented on Fig. (6.10). 

For all the pressures, the liquid velocity descreases like 1/x. According to Chaves et al. (2004), even 

with a change of the density, the profiles should remain in the experimental envelope. This is the case 

with the pressure of P = 6MPa. For the pressure of P = 1MPa, the decrease is slightly higher than the 

experimental measurements but the tendency is well predicted. 

6.8.4 Self-similarity 

The Diesel spray is a transient, fully turbulent, two-phase flow and is consequently difficult to study 

experimentally and theorically. Few detailed experimental data are available in realistic Diesel injection 

conditions. Consequently, it seems worthwhile to study, in addition, LES spray results by analogy with 

the turbulent gaseous jet. Spalding (1979) was one of the first to consider the Diesel spray as a gaseous 

turbulent jet. Ouellette and Hill (2000) have shown that, by comparison between turbulent gas jets and 

sprays with the same momentum injection rate and chamber pressure, penetration and mixing rates are 

closely similar when the spray droplets diameters are small. This result was used by Bruneaux (2002) to 

study the mixture in Diesel like injection using visualizations in a gaseous fuel jet. 

133


1.0 

0.7 

0.4 

0.3 

1/x 

Experimental envelope 

P ch 

= 1 MPa 

P ch 

= 3 MPa 

P ch 

= 6 Mpa 

0.5 1 2 4 

X 

D 

ρ g 

ρ l 

FIG. 6.10 – Decrease of mean axial velocity and effects of the boundary condition parameters. 

Many authors (Arcoumanis et al. 1989; Naber and Siebers 1996) have noticed experimental similarities 

between them or have this property as an assumption in their spray models (Desantes et al. 2006; 

Desantes et al. 2007). 

Here, the sensitivity study presented in Section 6.8.1 shows that, for the reference case, the decrease of 

velocity is proportional to 1/x at about 60D from the nozzle exit, behaving therefore like a free gas jet. 

This results was also found by Payri et al. (2008) for higher injection pressures. 

To go further in the comparison between a gaseous jet and spray self-similarity is studied for both gas 

and liquid phases. 

To go further, an analogy of behaviour can be deduced by looking at the turbulence intensity. By definition, 

in a gas jet, self-similarity is reached when the turbulence intensity stays constant along the spray 

axis. The turbulence intensity along the axis and for the three components are depicted on Fig. (6.11) 

for the gas phase and the liquid phase. The evolution of the ratio between the turbulent kinetic energy 

k and the mean kinetic energy < K > is also presented. The main point is that from X/D = 125, the 

turbulence intensity in the axial direction (u rms /) axis is approximately constant for the gas. The 

ratio of energy is also approximately constant. The other components reach self-similarity at X/D = 125 

for v rms or X/D = 150 for w rms . For the turbulent energy the similarity is reached at X/D = 125. The 

same conclusions hold for the liquid phase as both figures look very much the same. The fact that selfsimilarity 

is reached sooner for the axial fluctuation was also observed by Wygnansky and Fielder (1969) 

for a gaseous jet. Their experimental results give : 

134


0.4 

0.3 

0.4 

0.3 

(u rms 

/) axis 

(v rms 

/) axis 

(w rms 

/) axis 

(k/) axis 

0.2 

0.2 

0.1 

(u rms 

/) axis 

(v rms 

/) axis 

(w rms 

/) axis 

(k/) axis 

0.1 

0 

0 50 100 150 200 

X/D 

(a) Gas 

0 

0 50 100 150 200 

X/D 

(b) Liquid 

FIG. 6.11 – Evolution of the turbulence intensity along axis for liquid and gas phase. 

(u rms /) axis ≈ 0.29 to 0.27 for X/D = 40 to 96 (6.40) 

(v rms /) axis ≈ 0.24 to 0.25 for X/D = 75 to 96 (6.41) 

(w rms /) axis ≈ 0.24 to 0.25 for X/D = 75 to 96 (6.42) 

The present simulation results concerning the gas and liquid fluctuations are comparable with this experiment. 

Nevertheless, for the simulated spray, self-similarity is reached later and the axial fluctuations 

are higher. 

One can also observe that the levels are slightly lower for the liquid than for the gas. An explanation is 

that the fluctuations for the liquid phase report only the mean correlated fluctuating motion. The mean 

uncorrelated part should be added to obtain the total fluctuation. The ratio between the mean uncorrelated 

part and the total turbulent kinetic energy is discussed in Section 6.8.6. 

Experimentally, Doudou (2005) also found self-similarity for the radial distribution and for the turbulence 

intensity. The radial distributions of the mean liquid velocity normalized by the mean liquid velocity on 

the axis are presented on Fig.(6.12) for different axial distances. y 0.5 is the radial position where the 

velocity is equal to half the velocity on the spray axis. The first comment is that the normalized profiles 

are independent of the axial distance. This confirms the self-similarity. Furthermore, the results fit very 

well with the experimental results of Hussein et al. (1994) obtained in a free gas jet, arguing again in 

favor of same behaviour of a spray and free gas jet. The radial distributions for the gas phase are not 

presented here because there are similar to those of the liquid phase. 

The cross correlation coefficient C uv defined as : 

 

C uv = −√ √ (6.43) 

< v ′2 > 

135

axis 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

X 0 

= 100 D 

X 0 

= 125 D 

X 0 

= 150 D 

Hussein et al. 

0.2 

0 

0 1 2 3 4 

y/ y 0.5 

FIG. 6.12 – Self-similarity of the mean liquid axial velocity. Comparison with the experiment of Hussein 

et al. (1994). 

C uv 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

Simulation : Gas 

Simulation : liquid 

Wygnanski et al. 

Gibson 

Panchapakesan et al. 

0 

0 0.5 1 1.5 2 

y/ y 0.5 

FIG. 6.13 – Coefficient of the cross correlation C uv for the gas and liquid phase at X/D=100. Comparison 

with the experiments of Wygnansky and Fielder (1969), Gibson (1963) and Panchapakesan and Lumley 

(1993) 

136


is shown in Fig. (6.13) for the gas phase and the liquid phase at X/D = 100. The results are compared 

to the results of Gibson (1963, Wygnansky and Fielder (1969, Panchapakesan and Lumley (1993) for 

a free gas jet. The first comment is that the behaviour for the gas and the liquid is the same as the 

experiment. Coefficients are increasing with the distance from the spray axis and seem to converge from 

y/y 0.5 = 1. The levels are also comparable with the experiment even if they are slightly higher in the 

spray simulation. 

6.8.5 Droplet distribution 

LES is able to capture the non homogeneity of the liquid volume fraction. Fig. (6.14) shows the local 

liquid volume fraction strongly perturbated by the turbulence. In evaporating sprays this will lead to 

locally high concentration of fuel and will impact the combustion and pollutant production. 

FIG. 6.14 – Cross section view. Instantaneous liquid volume fraction field and gas velocity vectors. 

6.8.6 Uncorrelated droplet velocity 

In the mesoscopic formalism, according to Fevrier et al. (2005), the particle fluctuating velocity u ′ l can 

be decomposed into a spatially correlated contribution ũ′ l 

and a random and spatially uncorrelated contribution 

δu ′ l 

. Then, the total turbulent kinetic energy of the liquid phase is the sum of the mean kinetic 

energy of the fluctuating part of the correlated motion ˜q 2 p and the mean random uncorrelated energy δq 2 p. 

Vance et al. (2006) have proposed a correlation that permits to evaluate the ratio δq 2 p/ ˜q 2 p. Compared to 

the correlation of Fevrier et al. (2005), Vance’s correlation has a greater range of applicability since it 

applies with and without collisions and is especially improved in the near-wall region which is far from 

equilibirum. The correlation formulates that the fraction of the velocity variance residing in the correlated 

137

motion is reasonably approximated by the square-root of the fluid-particle correlation coefficient : 

√ √√√ 

< 

i,l2 ũ′ > 



> ≈ 2 



2 > 

(6.44) 

where i is the i-th component of the velocity. This expression can be extended to an energy correlation 

by observing that =< δu′ i,l > + < ũ′ i,l 

>. Then using, the inverse of Eq. (6.44), one gets : 

< δu ′ i,l2 > 

≈ 

√ < u′ i,g2 >

> 

2 

> 



i,g u′ i,l >2 

< ũ′ i,l 

Using again Eq. (6.44) to express and substituting in Eq. (6.45) gives : 

< δu ′ i,l2 > 

≈ < 2 ũ′ i,g >< u 

′ 2 i,l 

> 

2 

> 



i,g u′ i,l >2 

< ũ′ i,l 

According to Fevrier et al. (2005), the fluid-particle correlation can be simplified using the correlated 

part of the liquid fluctuation : 

 2 ≈ 2 (6.47) 

Then, one gets : 

Here, it is interesting to use the correlation in terms of energy : 

< δu ′ i,l2 > 

≈ < 2 ũ′ i,g >< u 

′ 2 i,l 

> 

− 1 

(6.48) 

2 

< ũ′ i,l > 

} {{ >2 } 

Va i 

δq 2 p 

˜q 2 p 

≈ 

2 

> Vai 

(6.49) 

∑ 3 i=1 < 2 ũ′ i,l > 

∑3 i=1 < ũ′ i,l 

This correlation is compared in Fig. (6.15) to the value of δq 2 p/ ˜q 2 p obtained in the simulation, showing 

that uncorrelated energy is under-estimated before X/D = 40 in the simulation. This is maybe the consequence 

of an underestimation of the uncorrelated part on the boundary condition and maybe because the 

Vance’s correlation has been established from a fully developed turbulent flow. Nevertheless, even if the 

ratio is not satisfactory near the nozzle exit, it matches very well the correlation after X/D = 40 which 

is closer to the free jet area. The decrease of the uncorrelated energy with the distance to the nozzle exit 

is very well predicted. 

138

~ 


1 

Vance (2006) Correlation 

Simulation 

δq p 

² / q p 

² 

0.1 

0.01 

0 25 50 75 100 125 

x/D 

FIG. 6.15 – Partitioning of the particle fluctuating motion along axis. Comparison with the correlation of 

Vance et al. (2006). 

Correlated Turbulent energy 

Mean Random uncorrelated energy 

Subgrid energy 

0.1 

0.01 

0.001 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

r/D 

FIG. 6.16 – Decomposition of the particle fluctuating motion at 100D. Radial profiles are normalised by 

the mean correlated energy on spray axis. 

139

The decomposition of the fluctuating liquid energy into mean correlated, uncorrelated and subgrid is 

shown radially at X/D = 100 on Fig. (6.16). The subgrid energy q SGS is obtained directly from the 

expression of the subgrid pressure P SGS defined in Eq. (6.20) because q SGS = P SGS 

ᾱ l ρ l 

All values are normalised by the mean correlated energy on spray axis. The mean uncorrelated energy 

represents about 10% of the correlated turbulent energy while the subgrid energy is about 2%. According 

to Pope et al. (2004), the level of subgrid energy compared to the turbulent energy ensures a good quality 

of the LES. 

At the periphery of the spray, the uncorrelated part decreases while the subgrid part increases. Their 

values at |r/D| = 7 are almost equal. The decrease of uncorrelated energy shows that the liquid and gas 

fluctuations are more correlated at the periphery than at the center. Both uncorrelated and subgrid energy 

are about 0.5% of the mean correlated energy. 

6.9 Concluding remarks 

The Large Eddy Simulation (LES) of Diesel Spray using an Eulerian-Eulerian approach has been conducted 

and compared to the experiment of Chaves et al. (2004). The two-fluid model based on the Mesoscopic 

Eulerian Formalism is presented with the extension to dense flows by the addition of collision effects. 

A sensitivity study on boundary conditions parameters has also been treated. In addition, an analysis of 

the spray dynamics, by comparison with experimental results from literature on turbulent gaseous jets, 

has been carried out. The following conclusions can be deduced from this work : 

– The simulation results show a good tendency compared to the experiment in terms of decrease of axial 

velocity along axis. Nevertheless, the axial spray velocity is under-estimated in the simulation on the 

spray axis. In the simulation, the decrease of velocity is comparable to the decrease of velocity in a free 

turbulent gaseous jet. Our calculation does not take into account the non atomized large droplets that 

could appear in the experiment and contribute to the high velocity on spray axis. This is confirmed by 

the radial profile of axial velocity that shows a good concordance at the spray periphery but not at the 

center. The discrepancy will be less significant under high pressure Diesel injection where atomization 

is enhanced. 

– The calculations are insensitive to the maximum droplet diameter injected or the gas velocity at the 

boundary conditions. An explanation is that the equilibrium between gas phase and liquid phase is 

rapidly reached. The most important parameter is the turbulence intensity at injection which highly 

influences the spray angle. The level of turbulence can be deduced from the turbulence properties of 

the gas jet. 

– The LES can easily reproduce the impact of the chamber pressure on the spray angle. 

– The statistical properties of the gas phase and the liquid phase show a high correlation between them. 

Futhermore the properties of the liquid phase look similar to those of the turbulent gaseous jet. Self- 

140

6.9 Concluding remarks 

similarity for the mean axial liquid velocity is reached at a distance of 125 nozzle diameters. The axial 

velocity decreases like the inverse of the distance to the nozzle exit, corresponding to a linear expansion 

of the jet with the distance . The self-similarity for the radial fluctuations appear later compared to the 

axial fluctuations. This proves the anisotropy of the rms fluctuations. 

– The liquid volume fraction inside the spray shows instantaneously high local disparities. This segregation 

could lead to high local differences in the equivalence ratio after evaporation and can strongly 

impact the combustion and pollutants. 

141

142

Quatrième partie 

Vers la simulation du moteur à injection 

directe 

143

Introduction 

La validation présentée dans la partie précédente représente un cas appliqué d’injection quasi-stationnaire 

à basse pression. Les propriétés du spray dans ce type de conditions ont été analysées après que le spray 

était pleinement établi. Les propriétés transitoires dues à la fois à la levée de l’aiguille et à la transition 

du spray en jet turbulent n’ont pas été analysées ni validées. De plus, les conditions de fonctionnement 

dans le cas de l’expérience Chaves et al. (2004) ne permettent pas de valider le modèle dans le cas d’une 

injection directe réaliste pour laquelle la pression d’injection peut être dix fois plus élevée. 

La dernière partie de cette thèse, qui est l’objectif initialement visé, porte sur l’étude de spray en conditions 

d’injection représentatives des moteurs Diesel industriels. Pour valider les résultats de simulation, 

des comparaisons avec des mesures faites en chambres pressurisées sont présentées au chapitre (7) 

pour différentes pression d’injection. Une étude de sensibilité sur les paramètres importants de la condition 

limite d’injection DITurBC est également présentée. Pour aller plus loin dans la compréhension 

des phénomènes de déstabilisation de spray, les premiers instants de l’injection sont étudiés à travers 

l’évolution des structures turbulentes et des champs de pression. 

Enfin, le chapitre (8) porte sur un premier calcul d’un moteur à injection directe. L’objectif principal 

de ce calcul est de vérifier la compatibilité de tous les modèles et modifications apportés àAVBP et de 

déceler les difficultés et faiblesses éventuelles. Il permet également de statuer sur la facilité de mise en 

œuvre de la condition limite décalée DITurBC présentée au chapitre 6. 

145

146

Chapitre 7 

Calculs en chambre pressurisée 

Le but de ce chapitre est de comparer les résultats de la simulation LES avec des expériences en chambre 

pressurisée pour des pressions d’injection plus élevées. Une analyse sur l’évolution instationnaire du 

spray est également proposée. Les données expérimentales sont issues d’expériences réalisées à l’IFP 

(Verhoeven et al. 1998). Ces données concernent des longueurs de pénétration liquide et gaz dans le cas 

de sprays évaporants ou non. Les angles de sprays ainsi que des visualisations par diffusion de Mie sont 

également disponibles dans certains cas. 

7.1 Expérience 

7.1.1 Dispositif expérimental 

Le dispositif expérimental ainsi que les résultats sont présentés dans (Verhoeven et al. 1998) et (Vanhemelryck 

1996). Les jets expérimentaux étudiés sont produits par les systèmes d’injection à pression 

constante et à pilotage électronique (”common rail”). La cellule haute pression utilisée a été développée 

à l’IFP. Celle-ci est présentée sur la figure (7.1) et l’injecteur sur la figure (7.2). 

Le diamètre de l’injecteur mono-trou est de 200µm dans tous les cas étudiés. Le carburant utilisé dans 

toutes les expériences est le n-dodécane pur à 99%. Il est injecté à une température de 360K. 

7.1.2 Cas sans évaporation 

Trois pressions d’injection sont testées dans les cas sans évaporation 1 . Ces cas sont considérés comme 

non-évaporants puisque la température d’ébullition du n-dodécane est d’environ 500K et que la température 

de la chambre est de 387K. Ces cas, notés T4P4, T4P8 et T4P15, sont décrits dans le tableau (7.1). 

L’intérêt des trois cas est de pouvoir vérifier l’aptitude de la simulation à reproduire des effets de pres- 

1 Les cas sans évaporation sont également appelés cas à froid 

147

CHAPITRE 7 : Calculs en chambre pressurisée 

FIG. 7.1 – Schéma de la cellule d’après 

(Verhoeven et al. 1998) 

FIG. 7.2 – Géométrie du nez mono-trou en 

millimètres d’après (Verhoeven et al. 1998) 

sion sur la longueur de pénétration. Le cas T4P15 est aussi intéressant pour tester la robustesse du code 

de calcul pour des pressions d’injection extrêmes. 

Nom du Cas : T4P4 T4P8 T4P15 

Pression d’injection : 40MPa 80MPa 150MPa 

Masse volumique chambre : 25kg.m −3 25kg.m −3 25kg.m −3 

Température chambre : 387K 387K 387K 

Durée injection : 1.91ms 1.92ms 1.95ms 

Masse injectée : 9.8mg 14mg 18mg 

Vitesse de Bernoulli : 340m.s −1 480m.s −1 650m.s −1 

TAB. 7.1 – Présentation des cas sans évaporation en chambre pressurisée 

7.1.3 Cas avec évaporation 

Un seul cas d’injection dans des conditions de spray évaporant a été étudié. C’est le cas T8P4 présenté 

dans le tableau 7.2. La technique de pré-combustion d’un mélange gazeux est utilisée pour obtenir les 

conditions initiales à chaud. Elle consiste à brûler un mélange dont la composition est déterminée en 

fonction des conditions thermodynamiques souhaitées lors de l’injection. La composition est donnée 

dans le tableau 7.3. 

148

7.2 Présentation du calcul 3D 

Nom du Cas : 

Pression d’injection : 

Masse volumique chambre : 

Température chambre : 

Durée injection : 

Masse injectée : 

T8P4 

40MPa 

25kg.m −3 

800K 

1.91ms 

9.8mg 

TAB. 7.2 – Présentation du cas avec évaporation en chambre pressurisée 

Espèce : O 2 N 2 CO 2 H 2 O 

Fraction massique : 0.2404 0.6589 0.0267 0.074 

TAB. 7.3 – Composition initiale dans la chambre pour le cas T8P4 


7.2.1 Géométrie et maillage 

La figure 7.3 présente quelques vues de la géométrie du maillage. Un plan de coupe est présenté dans 

la figure 7.5. Cette géométrie est constituée de deux cylindres. Le cylindre le plus gros représente l’atmosphère, 

il permet de s’affranchir de conditions limites en sortie du petit cylindre dans lequel est effectuée 

l’injection. L’injection se fait par l’intermédiaire d’une condition limite placée à 10D de la sortie 

de l’injecteur comme pour le chapitre III. Afin de décaler cette condition limite, un cône a été créé (cf. 

Fig.7.3). 

Une sensibilité au maillage a été effectuée pour le cas T 4P4 à l’aide de deux maillages supplémentaires : 

un maillage grossier et un maillage fin par rapport au maillage de référence. Si on considère une taille 

de maille de 1 dans la région de développement du spray pour le maillage de référence, les maillages fin 

et grossier ont respectivement une taille de maille de 0.7 et 1.2. Les maillages sont présentées Fig. (7.6)- 

(7.8) et sur Tab. (7.4): 

149


FIG. 7.3 – Vues globales de présentation du maillage 

FIG. 7.4 – Vue en coupe du maillage 

(plan de coupe cf. 7.3). 

FIG. 7.5 – Vue en coupe du maillage (plan de 

coupe cf. 7.3). Zoom sur la zone d’injection. 

150


(a) Maillage fin 

(b) Maillage de référence 

(c) Maillage grossier 

FIG. 7.6 – Vues en coupe des différents maillages 

151





FIG. 7.7 – Vues en coupe de la zone d’injection pour les différents maillages 

152





FIG. 7.8 – Vues en coupe de la zone de développement du spray pour les différents maillages 

153


Type d’éléments : 

Tétraèdre 

Nombre total de noeuds : 340940 

Nombre total de cellules : 1989823 

Taille plus petite maille : 80µm 

Taille normalisée d’une arête de référence : 1 

TAB. 7.4 – Paramètres du maillage de référence 


Tétraèdre 




Taille normalisée d’une arête de référence : 0.7 

TAB. 7.5 – Paramètres du maillage fin 


Tétraèdre 




Taille normalisée d’une arête de référence : 1.2 

TAB. 7.6 – Paramètres du maillage grossier 

La plus petite maille est inchangée afin de garder un nombre de points identique sur la condition limite. 

Le maillage grossier présente plus de noeuds que le maillage de référence bien que la taille caractéristique 

dans la région du spray soit plus grande. Ceci est du à la répartition des mailles dans tout le domaine qui 

n’a pas été optimisée pour le maillage grossier. 

154


7.2.2 Paramètres numériques 

Les paramètres numériques sont présentés dans le tableau (7.7). 

Schéma : TTGC (Colin and Rudgyard 2000) 

CFL : 0,7 

Pas de temps : 

4.10 −8 s 

Temps physique : 

2ms 

Temps de calcul sur Cluster Opteron 32 proc. : 

40h 

TAB. 7.7 – Paramètres du calcul dans le cas T4P4 

Le temps de calcul est de 40h sur 32 processeurs Opteron. Il faut rappeler que le code AVBP est hautement 

parallèle et bénéficie d’un excellent speed-up. Ceci est clairement un avantage pour le calcul 

eulérien puisque la charge sur les processeurs est idéalement répartie contrairement au calcul Lagrangien. 

En d’autres termes, le temps de calcul n’est limité que par le nombre de processeurs. 

7.2.3 Condition limite 

Afin de décaler de dix diamètres la condition limite d’injection, un cône a été créé (Fig. 7.9). Ce cône 

permet aussi de prendre en compte de manière réaliste la portion de spray (sortie de l’injecteur) qui n’est 

pas prise en compte dans le calcul. Le modèle d’injecteur (cf. chapitre 6) est utilisé pour obtenir les 

conditions limites d’injection. 

FIG. 7.9 – Cône de décalage de la condition limite 

Le modèle d’injecteur est utilisé pour les cas expérimentaux avec les données expérimentales disponibles. 

Le modèle ayant été formulé dans un cas quasi-stationnaire, les phases transitoires de levée et de 

fermeture de l’aiguille sont obtenues par linéarisation de la phase instationnaire. 

155


Nom 

Type condition 

INJ 

Modèle d’injecteur 

Mur 

Mur glissant 

ATM Sortie, condition de pression (NSCBC) (Poinsot and Lele 1992) 

TAB. 7.8 – Conditions aux limites 

Pour détailler la méthodologie, les taux d’introduction (ou débit instantané) expérimental et numérique 

sont présentés respectivement sur les figures (7.10) et (7.11). 

On peut constater que ce taux d’introduction est très instationnaire. On peut néanmoins distinguer trois 

périodes principales. La première période correspond au début de l’injection avec une augmentation 

très rapide du taux d’introduction. Puis, le taux d’introduction est approximativement constant. Enfin il 

décroît pendant la période de fermeture de l’aiguille. Pour prendre en compte l’instationnarité du taux, 

on procède de la manière suivante (voir figure 7.11) : 

• La phase stationnaire 2 est obtenue directement à partir du modèle d’injecteur ; 

• Pour la phase 1, on considère que le débit varie linéairement pendant cette phase pour atteindre le 

début de la phase stationnaire. Le temps, t li ft , mis pour atteindre la phase stationnaire détermine la 

pente ; 

• Pour la phase 3 on procède de la même façon que pour la phase 1, mais avec un débit décroissant. Un 

temps de fermeture t close est requis pour quantifier la pente. 

Les temps t li ft et t close peuvent être déduits du taux d’introduction expérimental lorsque celui-ci est fourni. 

Le taux d’introduction dépend de la levée d’aiguille mais la relation entre les deux n’est pas directe et 

aucune formule n’est utilisée pour le moment. Pour les cas où le taux d’introduction n’est pas fourni, la 

détermination des pentes est difficile et il faut se référer à la levée d’aiguille qui, elle, est généralement 

fournie. Comme la levée d’aiguille dépend de la pression d’injection (voir figure 7.12), les pentes des 

taux d’introduction sont différents pour chaque cas. 

Pour les injections de l’expérience de Verhoeven et al. (1998), seul le taux expérimental du T 4P8 est 

fourni. A partir de ce taux expérimental on peut en déduire approximativement la pente de la phase 1 

c’est-à-dire t li ft ≈ 0.1ms. 

Pour les autres pressions, on considère que le taux stationnaire est obtenu pour une levée d’aiguille 

minimum. En dessous de cette levée, l’écoulement est ralenti. Cette levée est la levée obtenue au temps 

t li ft ≈ 0.1ms sur la figure ( 7.12) pour le cas T 4P8. A partir de cette levée, et en se référant à la figure 

(7.12) on trouve approximativement pour les cas T 4P15 et T 4P4 les valeurs t li ft ≈ 0.05ms et t li ft ≈ 0.2ms 

respectivement. Les valeurs des pentes sont résumées dans le tableau 7.9. 

La fermeture d’aiguille, quant à elle, dépend très peu des conditions de pression. On considère donc la 

phase 3 comme indépendante de la pression. 

156


FIG. 7.10 – Taux d’introduction expérimental (Vanhemelryck 1996) 

FIG. 7.11 – Taux d’introduction simulé 

157


FIG. 7.12 – Comparaison des levées d’aiguille en fonction de la pression d’injection (Vanhemelryck 

1996) 

Nom du Cas : T4P4 T4P8 T8P8 T4P15 

t li ft : 0.2ms 0.1ms 0.1ms 0.05ms 

TAB. 7.9 – Valeur des pentes des taux d’introduction en fonction de la pression d’injection 

158

7.3 Longueur de pénétration 

L’influence du temps t li ft sur les courbes de pénétration sera étudiée en section (7.3.1). 

Le débit instantané n’est pas une valeur d’entrée pour le code AVBP mais il est recalculé à partir des 

valeurs de fraction volumique et de vitesse. Pendant la phase 1, on considère que la fraction volumique 

est constante et égale à la fraction volumique pendant la phase 2. Pour faire varier le débit, on fait donc 

varier la vitesse du liquide de manière linéaire. 

La condition d’injection étant décalée de la sortie d’injecteur, il faut aussi penser à recaler le temps 

d’injection en fonction de la distance de décalage et de la vitesse d’injection V in j . 

Le temps de décalage t dec est défini comme le temps mis par les gouttes pour parcourir la distance 10D 

en considérant l’évolution linéaire de la vitesse : 

√ 

10 ∗ D ∗ 2.d0 ∗t li ft 

t dec = 

(7.1) 

V in j 

La vitesse des gouttes au temps t dec est notée V dec : 

√ 

V in j ∗ 10 ∗ D ∗ 2.d0 

V dec = 

(7.2) 

t li ft 

Les courbes de pénétration présentées dans la section (7.3.1) prennent en compte ce décalage. 


Les longueurs de pénétration sont comparées à l’expérience. Il est à noter que ces courbes de pénétration 

sont directement issues du calcul réalisé avec les conditions limites DITurBC sans aucun recalage. Des 

études de sensibilité sont proposées avec notamment une étude sur la pente du taux d’introduction car 

c’est un paramètre difficile àdéterminer. 

D’autres comparaisons seront effectuées par visualisation des images expérimentales haute-résolution et 

des visualisations 3D. 

7.3.1 Commentaires sur l’analyse des longueurs de pénétration 

D’un point de vue expérimental, les longueurs de pénétration sont mesurées à partir des images haute 

résolution obtenues par diffusion de Mie. La longueur de pénétration est définie comme la plus longue 

distance entre la sortie de l’injecteur et le nuage de gouttes, ou de vapeur pour le spray évaporant. La 

présence de plusieurs points expérimentaux pour une même abscisse s’explique par des incertitudes 

expérimentales.Pour la pénétration liquide dans le cas avec évaporation, il faut distinguer les cas où l’on 

considère les paquets de gouttes non évaporées ou seulement la partie ’solidaire’ du jet. Dans le cas de 

l’expérience de Verhoeven et al. (1998), les paquets de gouttes ne sont pas pris en compte alors qu’ils le 

sont pour les résultats de simulations. Plusieurs points de simulation peuvent donc apparaître même si 

une seule réalisation a été effectuée. 

159


La pente du taux d’introduction étant difficile àdéterminer, on effectue les simulations pour deux pentes. 

Une pente pour un temps t li ft = 0.1ms et une pente pour un temps t li ft = 0.2ms. Pour le cas T4P15, on 

ne calcule que pour t li ft = 0.1ms et t li ft = 0.05ms. Ces pentes sont choisies pour être en rapport avec les 

pentes déduites des résultats expérimentaux présentés dans le tableau (7.9). 

7.3.2 Cas non évaporants 

Les résultats pour les cas non-évaporants sont présentés sur les figures (7.13), (7.14) et (7.15). 

T4P4 

60 

50 

Pénétration [mm] 

40 

30 

20 

10 

Expérience 

AVBP pente 0.1 ms 


0 

0 0.5 1 1.5 2 

Temps [ms] 

FIG. 7.13 – Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T4P4. Influence de la pente du taux 

d’introduction. 

Pour les trois cas, on constate une influence non négligeable de la pente sur les courbes de pénétration. 

Cette influence est plus marquée au début de l’injection, c’est-à-dire pendant la phase transitoire. Sur 

le cas T4P4, l’injection étant plus longue, les effets de la phase transitoire se font moins ressentir. Les 

meilleurs résultats sont obtenus pour les pentes préconisées dans le tableau (7.9). Dans ces cas, les 

résultats de simulation montrent un excellent accord avec l’expérience et ce pour les trois pressions 

d’injection étudiées. L’injection LES en formulation Euler-Euler semble donc très bien reproduire les 

phénomènes transitoires. La chute de vitesse sur le front du spray est bien prédite, c’est-à-dire que la 

déstabilisation du spray, ainsi que son ouverture sont correctement simulées. Nous avons vu dans l’étude 

sur l’expérience de Chaves et al. (2004) en partie (III) que la turbulence était à l’origine de la décroissance 

de vitesse le long de l’axe et dépendait directement de l’ouverture du spray. Ainsi le développement 

160


T4P8 

70 

60 


50 

40 

30 

20 

10 

Expérience 



0 

0 0.5 1 1.5 2 

Temps [ms] 



60 

T4P15 

50 


40 

30 

20 

10 

Expérience 

AVBP pente 0.05ms 


0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 

Temps [ms] 



161


turbulent du spray est bien simulé. 

Le fait d’obtenir de très bons résultats sans atomisation peut sembler contradictoire avec les études 

faites en Lagrangien/RANS. Pour les analyses les plus récentes de Fu-shui et al. (2008) et Jia and Peng 

(2008), le modèle d’atomisation joue un rôle important sur le développement du spray et donc sur les 

pénétrations. 

Dans notre cas, on s’aperçoit que les gouttes suffisament petites (inférieures à 20µm) sont influencées 

par la forte énergie turbulente générée par le spray et se comportent comme des traceurs. Ce résultat a 

été observé en analysant le champ de vitesse liquide et gaz en partie (III). De plus, le fait d’injecter un 

profil spatial gaussien permet de prendre en compte une partie de la physique de l’atomisation même 

si des données expérimentales supplémentaires seraient nécessaires pour quantifier son influence. Enfin, 

pour compléter cette remarque, un calcul a été effectué dans le cas T4P4 avec un diamètre de gouttes 

deux fois plus petit à l’injection ( la forme de la gaussienne en diamètre est conservée mais, en chaque 

point sur la condition limite, le diamètre est deux fois plus petit que dans le cas de la figure (7.13)). Les 

résultats obtenus sont présentés sur la figure (7.16). 

T4P4 

60 

50 


40 

30 

20 

10 

Expérience 

AVBP Reference d= 20 µm 

AVBP d= 10 µm 

0 

0 0.5 1 1.5 2 

Temps [ms] 

FIG. 7.16 – Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T4P4 et deux valeurs de diamètre 

La première remarque est que le diamètre des gouttes en entrée a une influence sur la longueur de 

pénétration. La différence est surtout visible à partir de t = 0,75ms où la pénétration devient plus faible 

avec les plus petites gouttes. Ce résultat s’explique par une déstabilisation du spray plus rapide et un angle 

plus important ce qui, par bilan de quantité de mouvement, conduit à une vitesse plus lente. Néanmoins, 

la différence entre les deux cas n’est pas si importante en comparaison avec l’incertitude expérimentale. 

162


Ceci prouve que le diamètre en entrée joue un rôle limité. Les résultats obtenus sont meilleurs avec un 

diamètre maximum de 20µm. N’ayant aucune donnée expérimentale pour évaluer le diamètre à la sortie 

de l’injecteur, choisir un diamètre maximum arbitraire de 20µm semble une bonne solution. Toutefois le 

diamètre en entrée pourrait avoir un rôle accru sur les cas évaporants en modifiant les richesses locales 

et en influençant la combustion. Le cas avec évaporation T8P4 donne une première réponse à cette 

problématique. 

7.3.3 Cas avec évaporation 

Les courbes de pénétration gaz et liquide sont présentées sur les figures (7.17) et (7.18). Les courbes 

de pénétration présentées concernent le cas T8P4, avec une pente de 0.2ms et pour lequel le diamètre 

des gouttes en entrée a été divisé par deux. Le maximum de diamètre est donc de 10µm à comparer au 

diamètre maximum de 20µm pour la figure (7.17). 

60 

50 

T8P4 

Expérience Pénétration Gaz 

AVBP Pénétration Gaz 

Expérience Pénétration liquide 

AVBP Pénétration Liquide 


40 

30 

20 

10 

0 

0 0.5 1 1.5 2 

Temps [ms] 

FIG. 7.17 – Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T8P4. Pente 0.2ms 

La même conclusion que précédemment sur l’influence de la pente du taux d’introduction peut être faite. 

Une pente pour un temps transitoire de 0.2ms concorde très bien avec les résultats expérimentaux à la 

fois pour la pénétration vapeur et la pénétration liquide. Ces résultats indiquent que la la physique du 

spray évaporant peut être globalement bien reproduite avec l’injection d’un profil gaussien en taille de 

gouttes. Les résultats de la figure (7.19) confortent cette idée. 

La première remarque est que les résultats sont peu sensibles au diamètre injecté. La plus grande sen- 

163


T8P4 

60 

50 


40 

30 

20 

10 

0 





0 0.5 1 1.5 2 

Temps [ms] 

FIG. 7.18 – Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T8P4. Pente 0.1ms 

60 

50 

T8P4 






40 

30 

20 

10 

0 

0 0.5 1 1.5 2 

Temps [ms] 

FIG. 7.19 – Comparaison des longueurs de pénétration pour le cas T8P4. Diamètre divisé par 2 

164


sibilité apparaît pour la pénétration liquide. Celle obtenue par simulation est inférieure de 3mm à la 

pénétration moyenne obtenue dans l’expérience sur toute la plage 0.5ms−1.5ms, soit un écart de l’ordre 

de 15%. Le diamètre des gouttes a évidemment un rôle sur la pénétration liquide puisque le modèle 

d’évaporation est du type loi du d 2 et donc le temps d’évaporation dépend du carré du diamètre maximum 

des gouttes. Néanmoins pour la gamme de diamètres étudiée, il semble que la variation des temps 

d’évaporation soit petite par rapport au temps convectif ce qui fait que la variation des pénétrations du 

liquide est finalement faible. 

Pour le calcul moteur, l’important est de bien prédire le mélange au bon endroit et au bon moment. 

La pénétration de gaz doit donc être bien prédite. D’après les résultats obtenus, celle ci dépend très 

faiblement du diamètre en entrée : la différence entre les résultats de la figure (7.17) et (7.19) sont 

dans l’intervalle d’incertitude expérimentale. Ce résultat est nouveau puisque les calculs Lagrangiens 

font état d’une très grande dépendance au diamètre. Ici on constate qu’à partir d’une bonne quantité de 

mouvement introduite à l’injection, l’expansion du jet bien reproduite dans la simulation permet d’avoir 

les bonnes pénétrations de vapeur. 

7.3.4 Influence du maillage 

Un exercice traditionnel dans la simulation des sprays Diesel consiste àdéterminer l’influence de la 

taille de maille sur les longueurs de pénétration. Pour les simulations Lagrangiennes, les pénétrations 

dépendent énormément de la taille de maille (Aneja and Abraham 1998; Beard et al. 2000). Dans le 

cas de nos simulations Eulériennes, la sensibilité au maillage a été testée. Les résultats sur les maillages 

’fin’ et ’grossier’ (voir les figures fig.(7.6) et fig.(7.7) et fig.(7.8) pour la présentation des maillages) sont 

présentés pour le cas T4P4 sur la figure (7.20) : 

On remarque que les pénétrations dépendent très peu du maillage. La différence maximum de pénétration 

est de 4mm, ce qui est à peu près l’ordre de grandeur de l’incertitude expérimentale. On remarque aussi 

que le meilleur résultat est obtenu pour le maillage le plus fin. 

Cette étude de sensibilité prouve plusieurs choses : 

• D’une part, les calculs eulériens présentés sont très peu sensibles au maillage, ce qui est un avantage 

certain par rapport au calcul Lagrangien (Abraham 1997; Iyer and Abraham 1997; Subramaniam and 

Pope 1998; Barroso et al. 2003); 

• D’autre part la convergence en maillage démontre la bonne qualité de la LES selon (Pope et al. 2004). 

Comme nous l’avons vu sur le cas Chaves en partie (III), l’énergie turbulente de sous-maille pour 

la phase liquide, évaluée à partir de la pression de sous-maille, reste petite par rapport à l’énergie 

turbulente résolue. 

165


T4P4 

60 


50 

40 

30 

20 

10 

Expérience 

AVBP maillage fin 

AVBP maillage référence 

AVBP maillage grossier 

0 

0 0.5 1 1.5 2 

Temps [ms] 

FIG. 7.20 – Comparaison des longueurs de pénétration pour la cas T4P4. Influence du maillage. 

7.3.5 Conclusions sur l’analyse des longueurs de pénétration 

Les résultats présentés sur les longueurs de pénétration ont montré une très bonne corrélation avec 

l’expérience et ce : 

• dans les différentes conditions d’injection présentées pour lesquelles le modèle permet de reproduire 

l’impact de la pression d’injection sur la pénétration du spray ; 

• avec une très faible sensibilité au maillage ; 

• avec une sensibilité modérée au diamètre des gouttes injectées ; 

• sans aucun recalage des modèles. 

Pour toutes ces raisons les résultats présentés semblent donc très fiables. Cependant, les courbes de 

pénétration seules ne permettent pas de valider la simulation du spray dans sa globalité. Ces résultats devraient 

être complétés en toute logique par une analyse de granulométrie ainsi qu’une analyse de l’angle 

de spray ou de volume de spray par visusalisation. N’ayant aucune information sur la granulométrie, une 

comparaison à partir de visualisations expérimentales est présentée dans la section suivante. 

7.4 Angles de spray 

L’angle varie en fonction de la distance à l’injecteur, ce qui est dû, comme nous l’avons vu en partie (III) 

à une déstabilisation du spray en jet pleinement turbulent. La distance à laquelle cette déstabilisation 

166


s’opère peut être visible par la ’cassure’ sur l’évolution de l’angle de spray. On peut clairement distinguer 

un angle proche injecteur ainsi qu’un angle loin de l’injecteur. Dans cette section, une comparaison est 

proposée entre la visualisation du spray expérimental et la simulation sur le cas T4P8 avec une pente de 

0.1ms. Les images expérimentales sont obtenues par ombrographie. Il est difficile de trouver un critère 

commun de comparaison entre une ombrographie et un calcul 3D. L’idéal aurait été d’intégrer la fraction 

volumique de liquide sur toute l’épaisseur du spray et ainsi se ramener à une notion de transmittance. Par 

manque de temps et en raison de sa complexité, cette méthode n’a pas été retenue. Deux critères 3D en 

iso-surface ont été choisis pour les comparaisons. Une iso-surface de diamètre de 3µm est présentée en 

fig.(7.21) et un critère en fraction volumique de liquide (α l = 0.007) en fig.(7.22). 

L’iso-surface de diamètre est intéressante car elle permet de voir où se situent les petites gouttes et donne 

ainsi une idée sur la périphérie du spray. En effet dans la condition limite d’injection, les plus petites 

gouttes sont au bord du spray. De plus, dans notre calcul eulérien, la chambre pressurisée est initialisée 

avec des gouttes de diamètre 2µm. Prendre un diamètre légèrement supérieur permet de se placer dans le 

gradient de diamètre et donc à la périphérie du spray. 

Pour le critère en iso-surface de fraction volumique, on regarde, pour une masse donnée, où se trouvent 

les cellules contenant cette masse. 

Si l’on compare les deux critères on constate que les visualisations semblent équivalentes en terme de 

pénétration et d’angle de spray. Néanmoins, proche de la sortie de l’injecteur, l’ouverture du spray est 

plus forte dans le cas de l’iso-surface de fraction volumique que pour l’iso-surface de diamètre. Elle 

est aussi plus forte que pour l’expérience. La diffusion de masse est donc trop importante proche de 

l’injecteur. 

Globalement, le spray s’ouvre plus tôt comparé à l’expérience ce qui correspond soit à une déstabilisation 

plus rapide soit à un effet de taille des gouttes et donc d’atomisation. Proche de l’injecteur, les gouttes 

sont moins atomisées, donc plus grosses. Ces grosses gouttes subiront moins l’effet de la turbulence 

et auront donc une trajectoire plus rectiligne. Un modèle d’atomisation pourrait permettre de palier ce 

problème en prenant en compte l’évolution du diamètre en fonction de la distance à l’injecteur. 

Loin de l’injecteur, l’angle de spray obtenu par la simulation est un peu plus élevé que pour l’expérience 

mais l’allure du spray est très comparable. Cette remarque conforte la confiance que l’on peut avoir dans 

les résultats de la simulation. Il est à noter que dans la littérature, une telle qualité de comparaison en 

spray Diesel n’est pas fréquente. Des comparaisons intéressantes ont été fournies par Kosaka and Kimura 

(2006) dans le cas d’une injection Lagrangienne en LES. Néanmoins dans cette simulation, le volume du 

spray était sous-estimé. 

Enfin, on peut remarquer une disymétrie du spray sur la visualisation expérimentale. D’après les expérimentateurs, 

l’aspect asymétrique du spray est dû à l’éclairage utilisé. Si l’éclairage a une forte influence sur la visualisation, 

la qualité des comparaisons est à relativiser. Ces comparaisons permettent néanmoins de se 

rassurer sur l’allure et le volume global du spray. 

167


Pour aller plus loin dans l’analyse sur l’évolution de l’angle et donc sur la déstabilisation du spray, une 

étude sur l’évolution instationnaire et plus précisément sur l’appariement tourbillonaire est proposée dans 

la section suivante. 

(a) Expérience t=0.1ms 

(b) Simulation t=0.1ms 

(c) Expérience t=0.3ms 

(d) Simulation t=0.3ms 

(e) Expérience t=0.6ms 

(f) Simulation t=0.6ms 

(g) Expérience t=0.8ms 

(h) Simulation t=0.8ms 

(i) Expérience t=1.1ms 

(j) Simulation t=1.1ms 

FIG. 7.21 – Comparaison des visualisations du spray T4P8 par iso-surface de diamètre d = 3µm 

168


(a) Expérience t=0.1ms 

(b) Simulation t=0.1ms 

(c) Expérience t=0.3ms 

(d) Simulation t=0.3ms 

(e) Expérience t=0.6ms 

(f) Simulation t=0.6ms 

(g) Expérience t=0.8ms 

(h) Simulation t=0.8ms 

(i) Expérience t=1.1ms 

(j) Simulation t=1.1ms 

FIG. 7.22 – Comparaison des visualisations du spray T4P8 par iso-surface de fraction volumique de 

liquide α l = 0.007 

169


7.5 Analyse de l’évolution instationnaire du spray 

La simulation aux grandes échelles d’écoulements compressibles permet d’étudier l’évolution instationnaire 

du spray pendant l’injection dans des conditions réalistes. L’analyse effectuée sur le cas Chaves en 

partie (III) dans un cas quasi-stationnaire est étendue dans cette section au cas transitoire et à forte pression 

d’injection. L’intérêt ici est de comprendre comment évolue temporellement la déstabilisation du 

spray et l’angle de spray. Le spray non-évaporant est d’abord étudié pour la dynamique de la déstabilisation 

puis, pour le spray évaporant, la répartition de carburant évaporé est étudiée. 

7.5.1 Etude des instabilités du spray non-évaporant T4P8 

Pour identifier les structures cohérentes dans le spray les iso-surfaces de basse pression ainsi que du 

critère Q sont utilisées. L’iso-surface de basse pression (c’est-à-dire pour une pression inférieure à la 

pression ambiante moyenne et paramétrée à 10% du minimum) permet de visualiser le coeur des tourbillons. 

On fait l’hypothèse que ces tourbillons ou anneaux sont assimilables aux structures cohérentes 

dans le jet. On définit par structures cohérentes des structures dont le mouvement dans le jet peut être 

facilement suivi pendant un temps grand devant leur temps de retournement. 

Au début de l’injection (figure 7.23), un anneau frontal apparaît caractérisant la pénétration du jet dans 

un milieu au repos. Ce mécanisme est un mécanisme classique de type Kelvin-Helmholtz, non-visqueux, 

qui provient du cisaillement entre deux couches fluides. La succession d’images montre que les anneaux 

sont axisymétriques, produits régulièrement dès les premiers instants de l’injection et que leur taille 

évolue en s’éloignant en aval de la sortie de l’injecteur. On peut noter aussi que la taille des anneaux 

croît avec la distance à l’injecteur mais l’expansion radiale n’est pas très marquée dans la zone proche de 

l’injecteur. Dans cette zone, jusqu’à une distance de l’injecteur de x/D = 30, les anneaux évoluent ’librement’ 

sans se chevaucher. La production d’anneaux ou enroulement tourbillonaire résulte de la saturation 

de l’instabilité primaire de Kelvin-Helmholtz. Après x/D = 30, les anneaux n’évoluent plus librement, 

ils s’enchevêtrent et deviennent moins identifiables. Tous les anneaux n’ayant pas le même voisinage, 

ils ne sont pas convectés à la même vitesse. L’anneau en amont du spray, qui évolue dans un milieu 

au repos, voit sa taille augmenter par diffusion visqueuse. Il est fortement ralenti par un phénomène 

d’auto-induction (Batchelor 1967). L’anneau en aval qui profite de l’entraînement de l’anneau amont 

va plus vite et finit par le rattraper. Le résultat est la fusion des deux tourbillons. L’enchevêtrement des 

anneaux participe au développement radial du spray puisque un appariement conduit à un doublement 

de l’épaisseur effective de la couche de mélange. La zone proche injecteur est donc caractérisée par un 

faible angle de spray puisque l’instabilité ne conduit pas encore à l’appariement tourbillonaire. Par contre 

l’expansion radiale s’accroit fortement à partir de t = 0.66ms comme on peut le voir sur la figure (7.24). 

Sur cette figure, des exemples d’appariements tourbillonaires sont explicités. La première remarque est 

que le mode dit variqueux, caractérisé par des structures annulaires et que l’on a pu observer au début de 

170


l’injection a laissé place à un mode sinueux de type hélicoidal avec perte de l’axisymétrie. L’instabilité 

FIG. 7.23 – Évolution temporelle de l’iso-surface de pression à 10% du minimum. Début de l’injection. 

est ici de type 3D rendant compte des effets de turbulence. Sur la figure (7.24) à t = 0.66ms deux structures 

inclinées en début d’appariement sont repérées. Cet enchevêtrement de type hélicoïdal et alterné 

par rapport à l’axe de l’écoulement (en A sur la figure (7.24)) conduit à la formation d’une seule structure 

(en B sur la figure). Cette structure s’allonge radialement (en C sur la figure) pour s’apparier ensuite avec 

le tourbillon frontal (en D sur la figure). D’après les figures à t = 0.86ms et t = 0.96ms, l’appariement 

avec le tourbillon de front s’effectue par l’intermédiaire de fines structures longitudinales proche de l’axe 

de l’injecteur. Le phénomène d’appariement décrit ici se reproduit en A’ faisant part d’une périodicité 

du phénomène. La visualisation en critère Q (Hunt and Moin 1988) des structures turbulentes sur la figure 

(7.25) permet d’appréhender la complexité du phénomène. On note la présence loin de l’injecteur 

de nombreuses structures turbulentes de différentes tailles et enchevêtrées les unes dans les autres avec 

171


un caractère chaotique et participant à un mélange intense. Avec ce critère on repère comme avec les 

iso-surfaces de pression les structures longitudinales au début de l’appariement tourbillonnaire. 

172


173 

FIG. 7.24 – Évolution temporelle de l’iso-surface de pression à 10% du minimum. Visualisation de 

l’appariement et de l’étirement tourbillonnaire


174 

FIG. 7.25 – Évolution temporelle de l’iso-surface de critère Q avec Q = 3,5.10 8 . Visualisation de l’appariement 

et de l’étirement tourbillonnaire


7.5.2 Étude des trajectoires des gouttes dans le spray non-évaporant T4P8 

Sur les figures (7.26) et (7.27) on peut voir des pseudo-trajectoires de particules fictives émises depuis 

la condition limite à intervalles de temps régulier. Le calcul étant eulérien pour la phase liquide, 

ces pseudo-trajectoires sont reconstituées par post-traitement et donnent une idée des trajectoires possibles 

des gouttelettes. Ces figures révèlent des trajectoires très rectilignes pour les particules proches 

de l’injecteur où seules les gouttes en périphérie de spray sont fortement ralenties et perturbées, et ceci 

d’autant plus qu’elles s’éloignent de la sortie de l’injecteur. Sur la figure (7.26) on distingue très bien les 

deux angles de spray, proche injecteur et loin de l’injecteur. Le changement d’angle apparaît peu après 

X/D ≈ 100. L’angle le plus important, comme nous l’avons vu en section 7.5.1, correspond aux premiers 

appariements tourbillonaires. Les structures turbulentes deviennent plus grandes et plus énergétiques ce 

qui diminue le nombre de Stokes des gouttes. Les gouttes sont donc plus facilement entraînées par la 

phase porteuse à la périphérie du spray. Elles sont ralenties et emmenées à la périphérie par un mouvement 

d’enroulement bien visible sur la figure (7.27). On remarque aussi que les gouttes au centre du 

spray (sur l’axe d’injection) sont elles aussi transportées en périphérie du spray. Une fois à la périphérie, 

les gouttelettes ont perdu leur comportement inerniel et sont donc en équilibre avec le gaz. 

FIG. 7.26 – Trajectoires des gouttelettes coloriées par la vitesse 

175


FIG. 7.27 – Trajectoires des gouttelettes coloriées par la vitesse. Changement de perspective 

7.5.3 Étude du spray évaporant 

On s’intéresse ici au comportement de la fraction massique de carburant évaporé pour le cas T8P4 de 

référence. La figure (7.28) montre l’évolution temporelle de la fraction massique de carburant au cours 

du temps. Les lignes représentent les iso-contours de fraction massique pour Y Fuel = 0.01, Y Fuel = 0.1 et 

Y Fuel = 0.2. On s’aperçoit que l’angle de spray dépend du temps et que donc la répartition de vapeur n’est 

pas la même au début et à la fin de l’injection. En début d’injection, la vapeur est concentrée (en aval de la 

zone de liquide) sur l’axe d’injection, de façon symétrique, avec des fraction massique supérieures à0.1. 

Au fur et à mesure de l’injection, la pénétration de vapeur ralentit car elle s’étend radialement en faisant 

baisser les fraction massiques locales. La répartition de vapeur est très inhomogène avec des fractions 

massiques qui peuvent varier localement d’un facteur 10. On note la présence après X/D = 100 de 

structures périodiques, ’bouffées’ de carburant probablement dues aux instabilités de Kelvin-Helmholtz 

discutées en section 7.5.1. On constate aussi qu’en région proche injecteur, seule la périphérie du spray 

s’évapore. Cela s’explique vraisemblablement parce que la partie centrale du spray est chauffée moins 

rapidement que la périphérie. 

176


FIG. 7.28 – Distribution de fraction massique de n-dodécane. Iso-contours de fraction massique pour 

Y Fuel = 0.01, Y Fuel = 0.1 et Y Fuel = 0.2. 177


7.6 Conclusion sur les calculs en chambre pressurisée 

Des simulations aux grandes échelles de sprays ont été effectuées pour plusieurs pressions d’injection 

dans des configurations réalistes. Les comparaisons des courbes de pénétration ont montré une excellente 

concordance avec les résultats expérimentaux en reproduisant bien les effets de variation de pression 

d’injection. De plus, les résultats de simulation semblent peu sensibles aux maillages et aucun recalage 

des modèles n’a dû être utilisé pour obtenir les bonnes longueurs de pénétration, la condition limite 

d’injection provenant directement du modèle DITurBC présenté au chapitre 6. La sensibilité du calcul 

la plus importante est liée au taux d’introduction et notamment à sa pente pendant la levée de l’aiguille. 

Des résultats expérimentaux précis fournissant le taux d’introduction pour chaque pression d’injection 

sont donc nécessaires à ce stade pour obtenir de bons résultats de simulation. 

Les longueurs de pénétration sont peu sensibles aux diamètres des gouttes injectées ce qui peut paraître 

étonnant dans la mesure où ni l’atomisation primaire ni l’atomisation secondaire ne sont pris en compte 

dans la simulation 3D. L’injection d’un profil Gaussien de diamètre, avec des diamètres de gouttes 

représentatifs d’un spray parfaitement atomisé, semble à ce stade suffisant pour reproduire les bonnes 

longueurs de pénétration. Néanmoins la dynamique du spray n’est pas totalement validée et il serait 

nécessaire de mieux quantifier l’impact de l’atomisation sur le développement du spray et sur l’évaporation. 

On pourrait ainsi injecter des gouttes plus grosses et plus réalistes de la zone proche injecteur. 

Il serait également intéressant d’affiner le niveau de modélisation pour prendre en compte plusieurs 

aspects de la physique des sprays comme la coalescence et la polydispersion. La polydispersion pourrait 

être prise en compte par exemple avec une FDP présumée ou bien à l’aide d’une approche sectionnelle. 

Un tel travail est actuellement en cours à l’IFP dans la thèse de Vié (2009). 

Une partie des résultats présentés dans ce chapitre a fait l’objet d’articles pour des conférences internationales 

(Martinez et al. 2008; Martinez et al. 2009). 

178

Chapitre 8 

Calcul d’un moteur à injection directe 

Après avoir validé les simulations de spray dans des conditions représentatives du fonctionnement des 

moteurs Diesel, on peut se lancer dans un calcul de moteur à injection directe. L’objectif principal de ce 

calcul est de vérifier la compatibilité de toutes les modifications apportées dans le code AVBP et ainsi 

de déceler les difficultés potentielles d’un calcul réaliste prenant en compte à la fois l’aérodynamique, 

l’injection directe et la combustion. Ce calcul permet aussi de faire un bilan sur la difficulté de mise 

en oeuvre de la méthodologie d’injection présentée dans ce manuscrit. Cette démonstration représente 

l’aboutissement de la thèse puisqu’elle permet de valider les développements mis en place tant d’un point 

de vue numérique que physique et ce dans une configuration réaliste. S’agissant d’une démonstration, 

aucune comparaison simulation/expérience ne sera présentée. 

8.1 Choix de la configuration étudiée 

Des premiers calculs validés de cycle moteur en LES ayant été réalisés (Richard et al. 2007; Vermorel 

et al. 2007) sur le moteur injection indirecte essence PSA XU10J4, il a semblé intéressant de repartir 

de ces calculs après avoir adapté le moteur à une injection directe. Les maillages en injection indirecte, 

réalisé par (Vermorel et al. 2007) ont été partiellement refaits fin de les adapter à l’injection directe et 

en particulier à la méthodologie DITurBC. Pour l’injection, on a choisi une injection Diesel, plus simple 

qu’une injection directe essence (en cône creux), en position verticale (dans l’axe du cylindre) et centrée. 

La pression d’injection a été choisie à 400 bars pour limiter au maximum les pénétrations de sprays et 

les impacts sur le piston. Pour la même raison, l’injection a été choisie volontairement précoce ce qui de 

plus laisse le temps au mélange de se faire.Par contre, la principale difficulté d’une injection trop précoce 

est la faible température des gaz pendant l’injection ce qui entraîne une mauvaise évaporation. 

La vue globale du cylindre et des tubulures du moteur est présentée en figure (8.1). La position de 

l’injecteur ainsi que le décalage de la condition limite d’injection sont présentés sur la figure (8.2). 

179

CHAPITRE 8 : Calcul d’un moteur à injection directe 

FIG. 8.1 – Vues de la géométrie du XU10J4 

FIG. 8.2 – Vue de la zone d’injection 

180

8.2 Paramètres du calcul 3D 


8.2.1 Moteur et point de fonctionnement étudié 

Le point de fonctionnement est présenté sur le tableau (8.1). La richesse vaut 1. Le carburant est le 

n-heptane et l’injection s’effectue 217˚V avant le PMH (Point Mort Haut) combustion. 

Alésage × Course 86×86 mm Avance à l’allumage -37 deg 

Taux de compression 10 Ouverture admission (AOA) -355 deg 

Régime moteur (tr/min) 2000 Fermeture admission (RFA) -143 deg 

Richesse moyenne 1 (air-n-heptane) Angle d’injection -217deg 

Rendement volumétrique 0.35 Durée d’injection 32 deg 

TAB. 8.1 – Paramètres géométriques du moteur et point de fonctionnement étudié. Les angles vilebrequin 

sont relatifs au point mort haut (PMH) combustion. 

8.2.2 Maillage 

L’une des principales difficultés pour le calcul d’un moteur à piston concerne la génération et la gestion 

du maillage. Le mouvement des soupapes ainsi que du piston impose la gestion du mouvement 

de maillage pendant le calcul. Dans le code AVBP la méthode ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian, 

Hirt et al. 1974) est utilisée. Dans cette méthode, pour chaque phase de calcul, un maillage initial et un 

maillage cible de même connectivité sont requis. La position des noeuds est recalculée à chaque pas de 

temps par une technique d’interpolation conditionnée (Duclos and Zolver 1998), entre le maillage initial 

et le maillage cible. 

Une autre difficulté concerne la forte variation de volume pendant la compression ainsi que la fermeture 

des soupapes. Par exemple, si on garde la même connectivité donc le même nombre de noeuds pendant 

toute la phase d’admission, les mailles seront fortement déformées. Cette déformation implique un 

problème d’ordre de convergence des schémas numériques. D’autre part l’hypothèse d’isotropie de la 

taille du filtre (taille directement associée au volume de la maille), utilisée pour de nombreux modèles 

de sous-maille, n’est plus respectée. Ce problème apparaît aussi au niveau du rideau de soupape. Pour 

palier cette difficuté, le calcul est scindé en plusieurs phases, au nombre de 23 ici. Chaque phase possède 

un couple de maillage initial/cible et une interpolation permet de faire la transition entre les phases. 

Finalement, le déroulement du calcul est résumé sur la figure 8.3. 

Comme nous l’avons vu au chapitre 4, le mouvement de maillage a été adapté pendant la thèse aux 

équations du liquide. Cette adaptation était indispensable pour ce type de calcul. 

La gestion du maillage ayant été expliquée, la procédure d’adaptation du calcul LES à l’injection directe 

181


FIG. 8.3 – Principe de la gestion de maillage en configuration moteur d’après (Richard 2005) 

est présentée sur la figure (8.4). 

Les maillages repris des maillages en Injection Indirecte utilisent des cellules de type hexaédrique. Le 

calcul d’admission est issu du calcul de (Richard 2005; Richard et al. 2007; Vermorel et al. 2007) sauf que 

l’admission ne contient pas de carburant mélangé à l’air puisqu’il est injecté par la suite. Le carburant 

sous forme de vapeur a donc été supprimé dans la phase d’admission pour les besoins de l’injection 

directe (Y f uel = 0). Pour cette phase le calcul est monophasique. 

Pendant la phase d’injection, les maillages sont refaits pour prendre en compte le décalage de la condition 

limite d’injection et affiner le maillage proche injecteur. On procède donc à l’interpolation du maillage 

sans injecteur vers le maillage avec injecteur. Pour cette phase le calcul est diphasique. Tout le carburant 

est évaporé pendant la phase d’injection et juste avant la compression. Ainsi pour les phases suivantes, 

le calcul est monophasique. 

Après l’injection, les maillages utilisés sont de nouveau les maillages XU10 IIE. Au niveau du temps de 

calcul avec le schéma Lax-Wendroff, on constate que l’injection consomme la moitié du temps du cycle 

complet. Le nombre de cellules ainsi que le temps de calcul sont présentés sur le tableau (8.2). 

Les figures (8.5) et (8.6) présentent le maillage pendant l’injection. Au lieu de mailler un cône comme 

pour les calculs d’injection précedents, le décalage de la condition limite est fait par l’adjonction d’un 

cylindre. Ce choix est apparu le plus simple pour un maillage hexahédrique. 

182


FIG. 8.4 – Adapatation d’un calcul injection indirecte à l’injection directe. Les encadrés rouges 

concernent les phases de calcul monophasiques. Les encadrés bleus concernent les phases de calcul 

diphasiques 

Nbre de cellules au PMB 

609436 hexa 

Nbre de cellules au PMH combustion 

254274 hexa 

Nbre de cellules - phase d’injection 

4178902 hexa 

Taille de la plus petite maille - phase d’injection 100µm 

Tps CPU sur 128 procs. (phase injection) 

72h 

Tps CPU sur 128 procs. (hors injection) 

100h 

TAB. 8.2 – Dimensions du maillage et temps de calcul associés 

183


FIG. 8.5 – Vue du maillage 

(a) Vue de face 

(b) Vue de côté 

FIG. 8.6 – Vues de l’intérieur de la chambre de combustion et de la zone d’injection 

184


Sur les figures (8.7), (8.8) et (8.9), on peut voir le raffinement de maillage dans la zone d’injection. 

L’arête de maille la plus petite est située sur la condition limite d’injection et fait 100µm. La zone de 

raffinement est volontairement étendue ce qui explique le nombre élevé de cellules. Avec un maillage de 

type tétrahédrique, la zone proche injection aurait pu être mieux traitée pour diminuer le nombre global 

de mailles ainsi que le temps de calcul. 

(a) Vue de face 

(b) Vue de côté 

FIG. 8.7 – Vue globale du maillage 

FIG. 8.8 – Vue 3D et plans de coupe 

185


(a) Vue en coupe du plan A 

(b) Vue en coupe du plan B 

FIG. 8.9 – Vue des plans en coupe du maillage 

8.2.3 Conditions initiale et aux limites 

Condition initiale 

Le calcul est initialisé à l’ouverture des soupapes d’admission (-355˚V), soit 5˚V après le point mort 

haut (PMH) admission. Le mélange gazeux initialement présent dans la chambre de combustion est 

un mélange homogène de gaz brûlés. Leur température est de 813 K et leur pression de 0.7atm. Les 

conduits d’admission contiennent de l’air (sans carburant) à une température de 304 K et à une pression 

de 0.507atm pour la tubulure droite et 0.511atm (les pressions expérimentales des deux tubulures sont 

diffèrentes). 

Conditions limites 

Les conditions limites utilisées pour le calcul sont résumées sur le tableau 8.3. Elles correspondent aux 

conditions limites utilisées par Richard (2005, Richard et al. (2007, Vermorel et al. (2007). 

Une loi logarithmique de (Piomelli and Balaras 2002) est utilisée pour l’ensemble des parois du moteur. 

Elles sont également isothermes et une loi de paroi thermique analogue à la loi dynamique est utilisée 

(Schmitt 2005). La condition limite d’admission est particulière puisqu’elle est à la fois considérée 

comme une entrée et une sortie. La raison est qu’un phénomène de refoulement des gaz frais dans les 

conduits d’admission peut apparaître au début de l’admission. Ce phénomène physique appelée “backflow” 

est dû aux gaz brûlés résiduels qui ont une pression supérieure à la pression des gaz frais. Cette 

phase de refoulement est très courte mais peut jouer sur le remplissage du moteur. La condition retenue 

186


Zone entrée cond. paroi cond. surface paroi paroi surface 

admission admission soupape culasse cylindre piston 

Conditions entrée/sortie loi log. loi log. loi log. loi log. loi log. 

limites non-réfléchissante isotherme isotherme isotherme isotherme isotherme 

P e = P expe (t) 

Paramètres T e =304 K T=450 K T=450 K T=450 K T=450 K T=500 K 

TAB. 8.3 – Conditions aux limites adoptées pour les simulations. 

est donc une condition d’entrée/sortie non-réfléchissante (Vermorel et al. 2007). Pendant toute la durée 

de l’admission, l’évolution temporelle de la pression expérimentale moyenne (moyenne réalisée sur 300 

cycles) est imposée à l’entrée des conduits d’admission. La température et la composition des gaz frais 

sont également imposées. 

Pour les conditions d’injection, le modèle DITurBC est utilisé avec une pression d’injection de 400 bars. 

Les caractéristiques de l’injecteur sont les mêmes que celles des calculs en chambre pressurisée (cas 

T4P4). 

8.2.4 Modélisation de la combustion et de l’allumage 

Le modèle ECFM-LES (Vermorel et al. 2009) qui est une version étendue du modèle CFM-LES de 

Richard (2005, Richard et al. (2007) est utilisé. CFM-LES est une adaptation du modèle original CFM à 

la LES. Il repose sur l’équation de transport d’une densité de surface de flamme Σ, ou surface de flamme 

par unité de volume, en utilisant un filtrage spatial adapté à la LES. L’extension vers le modèle ECFM- 

LES concerne la prise en compte des propriétés du mélange non-homogène à travers une technique de 

conditionnement comme proposé par le modèle ECFM RANS (Duclos and Zolver 1998; Colin et al. 

2003). Le conditionnement assure une reconstruction précise des propriétés locales des gaz frais et des 

gaz brulés même dans des cas très fortement stratifiés. 

Pour prendre en compte l’oxydation partiel du carburant en CO dans les zones très riches, une équation 

supplémentaire de production de CO et de H 2 est utilisée. Cette adaptation est identique à l’oxydation 

partielle utilisée dans le modèle ECFM-3Z (Colin and Benkenida 2004) et représente un première étape 

de prise en compte de la combustion dans les zones riches. Contrairement à ECFM-3Z, aucune postoxydation 

n’est prise en compte ce qui explique les niveaux élevés de CO obtenus par la simulation (cf. 

Section 8.3). 

L’allumage s’effectue par le modèle AKTIM Euler (Richard et al. 2007) développé pour la LES. De 

manière simplifiée, le modèle d’allumage se déroule en trois phases : 

– dépot d’un profil sphérique de la variable d’avancement ˜c au moment de l’allumage. Ce dépot correspond 

à la formation du noyau initial de gaz brûlés à l’instant d’allumage t ign : 

187


˜c(x,t ign ) = c ( ( )) 

0 

||x − xspk || 

1 −tanh 

2 

δ ign 

(8.1) 

où δ ign est la valeur moyenne du filtre LES de combustion ˆδ à proximité de la bougie. ˆδ = n res δ x où 

δ x est la résolution du maillage et n res est un paramètre compris entre 5 et 10. −x spk est la position 

vectorielle des électrodes de la bougie et c 0 est un paramètre arbitrairement fixé à une valeur faible. 

– évolution du noyau : après t ign , le taux de réaction (ou la densité de surface de flamme σ ign ) est estimé 

à partir de la variable d’avancement ˜c en utilisant une expression algébrique (Boger et al. 1998) : 

Σ ign (x,t) = α ˜c(x,t)(1 − ˜c(x,t)) (8.2) 

où α est un coefficient global déterminé en imposant que l’intégrale de Σ ign sur tout le domaine de 

calcul soit égale à la surface totale de la flamme S tot . S tot est évaluée comme le produit d’un facteur 

de plissement pendant l’allumage Ξ ign par la surface de flamme moyenne S mean . Le noyau de flamme 

moyen est supposée globallement sphérique et est progressivement plissé par la turbulence. Ξ ign est 

déterminé à partir d’un modèle 0D (voir (Richard et al. 2007) pour plus de détails). L’équation 8.2 

est utilisée jusqu’à ce que ˜c atteigne 1 quelque part dans le domaine. A cet instant, noté t transition , la 

transition commence vers le modèle de combustion. 

– transition vers le modèle de combustion : à partir de t transition , Σ ign devient Σ et est calculée par 

l’équation de transport de ECFM-LES. Le modèle d’allumage n’est plus utilisé. 

8.3 Résultats de simulation 3D 

On présente ici les résulats de la simulation LES pour les différentes phases du cycle moteur. Les résultats 

particulièrement intéressants concernent la phase d’injection et de combustion. 

8.3.1 Mise en oeuvre de la méthodologie de calcul de l’injection directe 

Le premier constat sur la simulation en injection directe est que la prise en compte dans le maillage du 

décalage de la condition limite du modèle DITurBC n’est pas pénalisante. Ce prolongement de maillage 

ne concerne que la phase d’injection et ne pose pas de difficulté, grâce à la technique d’interpolation. 

8.3.2 Admission 

Ce type de moteur présente un mouvement aérodynamique caractéristique de rotation autour de l’axe 

z (axe du vilebrequin) appelé tumble. Ce mouvement est visible sur la Figure (8.10) qui présente les 

188


champs de vitesse et les structures turbulentes à un angle de -290˚V. Ce mouvement de tumble est produit 

par l’orientation particulière des tubulures d’admission. Il contribue à la création d’une forte énergie 

turbulente à petite échelle par sa destruction pendant la compression. Cette énergie turbulente participe 

d’une part à la formation d’un meilleur mélange et d’autre part à l’augmentation de la vitesse de combustion 

à travers le plissement. 

FIG. 8.10 – Champ de vitesse du gaz (gauche) et structures turbulentes (droite) pendant la phase d’admission. 

Angle de -205,5˚V 

8.3.3 Injection 

Comme nous l’avons vu, le choix s’est porté sur une injection précoce avec un injecteur en position 

verticale centrée. La phase liquide ainsi que la vapeur sont présentées à différents angles vilbrequin sur 

les figures (8.11),(8.12) et (8.13): 

189


FIG. 8.11 – Iso-surface de fraction volumique de liquide (fixée à 0,003) colorée par le diamètre des 

gouttes (gauche) et iso-surface de fraction massique de carburant (fixée à 0,4) colorée par la vorticité du 

gaz (droite). Angle de -290˚V 

190




gaz (droite). Angle de -192,5˚V 

191




gaz (droite). Angle de -185˚V 

192


On constate que du liquide non évaporé persiste loin de l’injecteur et vient même impacter le piston à 

-192,5˚V. Néanmoins, le liquide s’évapore très vite et ne reste pas au contact du piston. Le carburant 

est totalement évaporé vers -185˚V. Ce comportement s’explique par les conditions précoces d’injection 

et l’hétérogénéité du mélange avec les gaz brûlés résiduels présents initiallement dans la chambre. Le 

carburant évaporé profite d’une forte inertie et vient rencontrer le piston, provoquant un afflux de vapeur 

vers la culassse par l’intermédiaire d’une forte zone de recirculation. Le mélange entre carburant évaporé 

et air n’est pas optimal puisque le carburant se concentre proche piston et dans le coin piston-culasse. 

Le mélange sera amélioré pendant la phase de compression et notamment proche du PMH combustion 

par réduction de volume. Le carburant étant totalement évaporé avant la compression, le reste du calcul 

(compression, combustion et détente) est monophasique. 

8.3.4 Compression 

L’impact de la vapeur sur le piston crée un enroulement de vapeur proche de la culasse comme on peut 

le voir sur la figure (8.14). La stratification est très forte puisque la fraction massique de n-heptane passe 

de 0,4 à 0 sur une distance de l’ordre du 1mm. Pendant la phase de compression la remontée du piston 

augmente la taille des enroulements (figures 8.15 et 8.16). Le mélange commence à se faire mais le 

carburant est concentré proche de la paroi dans des zones facilement identifiables même à -120˚V. Il faut 

attendre la fin de la compression, à -50˚V (figure 8.17) pour avoir un mélange plus homogène. La figure 

(8.17) montre que les fractions massiques de carburant ne dépassent plus 0,2 et que la stratification est 

fortement anisotrope dans le plan du piston et dans un plan passant par l’axe du cylindre. On s’attend 

donc à avoir une combustion fortement hétérogène ainsi que la production de CO dans les zones riches. 

193


FIG. 8.14 – Champ de fraction massique de carburant (gauche) et iso-surface de fraction massique de 

carburant (fixée à 0,4) colorée par la vorticité du gaz (droite). Angle de -175˚V 

194






195


FIG. 8.17 – Champ de fraction massique de carburant par coupe dans l’axe cylindre (gauche) et champ 

de la fraction massique de carburant par coupe perpendiculaire à l’axe cylindre (droite). Angle de -50˚V 

8.3.5 Combustion stratifiée 

La combustion a lieu pour cette configuration essentiellement dans la détente. La figure (8.18) présente 

une iso-surface d’avancemenent colorée par la richesse ainsi que le champ en coupe de la fraction massique 

de CO à un angle de 11˚V. La flamme évolue dans des conditions très différentes de richesse 

puisque celle-ci s’étale de 0,4 à 1,4. La production de CO est importante avec une fraction massique 

maximum de 0,3. 

FIG. 8.18 – Iso-surface d’avancement à 0,3 colorée par la richesse (gauche) et champ en coupe de la 

fraction massique de CO (droite). Angle de 11˚V 

196


Les figures (8.19) à(8.23) présentent dans un plan parallèle au piston et situé dans la chambre de combustion 

l’évolution de la flamme au cours du temps. 

197


FIG. 8.19 – Vue en coupe parallèle au piston, dans la chambre de combustion, des champs de richesse, 

de densité de surface de flamme Σ, de fraction massique de CO et d’avancement c. Angle de 1˚V 

198



de densité de surface de flamme Σ , de fraction massique de CO et d’avancement c. Angle de 7˚V 

199




200




201




A 1˚V la combustion débute (figure 8.19). L’initiation de l’allumage est donc très lente puisque l’allumage 

a lieu à −37˚V . Ceci est probablement dû aux fortes héterogénéités de richesse dans la chambre qui 

limite l’évolution du noyau de gaz brûlé. La transition entre le modèle d’allumage et la combustion ne 

s’effectue qu’à partir du moment où les conditions de richesses sont favorables, ce qui prend du temps. 

On remarque (figure 8.19) que les variations spatiales de richesses sont très importantes. La densité de 

surface de flamme (figure 8.20) montre une évolution non sphérique du front de flamme avec un fort plissement. 

L’évolution de la densité de surface de flamme montre une propagation dans les zones pauvres 

ce qui est révélateur d’un fort impact de la turbulence sur la vitesse de flamme. En effet, la vitesse de 

flamme laminaire étant faible dans les zones pauvres, la flamme a moins tendance à s’y propager sauf si 

la trubulence est très importante. Au cours de la détente, l’évolution de la densité de surface de flamme 

dans les zones pauvres montre un fort ralentissement alors qu’une accélération est constatée dans les 

zones proches de la stoechiométrie. Cette évolution pourrait s’expliquer, a contrario, par un effet moins 

important de la turbulence sur la vitesse de flamme. La combustion ayant lieu dans la détente, l’énergie 

turbulente décroît et perd donc son influence sur la propagation. 

Le CO est produit majoritairement dans les zones riches et il est d’autant plus produit que les zones sont 

très riches. Les fractions massiques de CO sont très élevées mais comme nous l’avons vu en section 

202


8.2.4, il n’y a pas d’équation de post-oxydation. Le CO produit n’est pas reconsommé. 


Un calcul de faisabilité simulant l’admission, l’injection directe ainsi que la combustion stratifiée sur 

une géométrie industrielle de moteur à allumage commandé aété présenté. Ce calcul a montré que la 

méthodologie utilisée pour l’injection est parfaitement utilisable sur une géométrie complexe et valide 

l’approche utilisée dans cette thèse, à savoir le modèle d’injection DITurBC ainsi que les développements 

permettant le calcul 3D moteur à injection directe. Les résultats obtenus pour l’injection et la combustion 

stratifiée sont tout à fait logiques et aucun point dur n’a été relevé. Même si la stratégie d’injection n’est 

pas représentative d’un moteur du commerce, ce calcul est le premier calcul complet de LES en injection 

directe. Il peut donc servir de base aux prochaines investigations de calcul complet et l’expérience acquise 

pourra permettre de gagner du temps. Il a aussi permis de montrer que la simulation LES s’approchait 

à grand pas du calcul de cycle complet avec une injection directe. Ce calcul n’est que le premier d’une 

longue série étant donné qu’un important effort de modélisation est actuellement en cours à l’IFP. Il 

concerne la modélisation de l’injection directe essence (IDE) par Vié (2009), le travail sur le modèle de 

combustion ECFM-LES par Lecocq (2008), le travail sur l’auto-inflammation en diphasique par Bouali 

Z., le prolongement du travail de Michel J.B. (Michel et al. 2008b; Michel et al. 2008; Michel et al. 2008a; 

Michel 2008) sur l’étude des flammes non-prémélangées, le travail sur les échanges thermiques aux 

parois par Baya Toda H. ainsi que celui sur les méthodologies de calcul LES en moteur de Parameswaran 

G. 

203


204

Conclusion 

Les nouvelles normes de pollution, la raréfaction des énergies fossiles ainsi que la prévisible augmentation 

de leur prix sur le long terme imposent un meilleur contrôle de la consommation et des émissions 

de gaz polluants des automobiles. Une compréhension plus fine de la combustion est donc indispensable 

pour mieux répondre à ces enjeux. Ainsi, des nouvelles méthodes de simulation des écoulements 

réactifs sont donc nécessaires pour obtenir une information détaillée. La simulation aux grandes échelles 

(LES) apparaît comme une méthode prometteuse et devient utilisable, notamment grâce à une évolution 

croissante des moyens de calcul. 

Les avantages de la LES, comparée aux méthodes de simulation classiques utilisées dans l’industrie, sont 

nombreux. Le premier avantage, par rapport à des méthodes de moyenne de type RANS, est de simuler 

un cycle réel et non une moyenne statistique d’un ensemble de cycles. Ce point est particulièrement 

intéressant dans l’étude des variabilités cycliques ainsi que dans l’étude des nouveaux modes de combustion 

(CAI TM et HCCI) particulièrement instables. 

Elle permet également, comparée aux méthodes RANS à deux équations (k − ε par exemple) de mieux 

représenter les rotations, les fortes anisotropies et redistributions, les parois et les taux de déformations 

importants. Toutes ces caractéristiques sont importantes dans les moteurs à piston. Les rotations sont, 

par exemple, très présentes à travers les phénomènes aérodynamiques de type Tumble ou Swirl. Les 

variations de volume dans les moteurs impliquent des taux de déformation importants. L’écoulement 

étant confiné, la présence des parois génère de fortes anisotropies et des redistributions importantes. 

Enfin les schémas numériques dans les codes LES ont une précision supérieure aux codes de calcul 

RANS. L’explication est que la diffusion numérique doit être masquée par la viscosité turbulente qui est 

beaucoup plus importante en RANS qu’en LES. Ainsi une attention toute particulière doit être portée 

aux schémas numériques. 

Le travail mené dans cette thèse s’inscrit dans une démarche menée à l’IFP depuis quelques années pour 

le développement de la LES dans les moteurs automobile à l’aide du code de calcul AVBP . Une des 

grandes étapes de ce développement, qui est le cadre de cette thèse, concerne la simulation de l’injection 

directe de carburant liquide dans la chambre de combustion. L’injection joue un rôle très important 

dans les moteurs à piston puisqu’elle apporte de l’énergie turbulente et participe au mélange. Elle influe 

notamment sur les émissions de polluants. 

205

Conclusion 

Le code AVBP est très utilisé et a fait ses preuves pour la simulation dans les turbines à gaz. Pour 

l’injection, une modélisation diphasique bi-fluide développée au CERFACS sert comme point de départ 

du travail présenté dans ce manuscrit. Néanmoins, les conditions d’injection dans les turbines sont très 

différentes des conditions d’injection directe dans les moteurs automobile. En effet l’injection dans les 

turbines est caractérisée par : 

– Une injection qui n’évolue pas en temps ; 

– Une faible vitesse d’injection ; 

– Une faible fraction volumique de liquide (hypothèse d’écoulements dilués) ; 

– Une faible interaction des gouttes avec les parois. 

Alors que l’injection dans les moteurs à piston est caractérisée par : 

– Une injection s’étalant sur une durée limitée du cycle moteur ; 

– Des vitesses d’injection pouvant atteindre plusieurs centaines de mètres par seconde ; 

– Une fraction volumique de liquide très élevée (proche de 1) ; 

– Des interactions gouttes-gouttes. 

– Des interactions des gouttes avec les parois. 

Ainsi, les équations développées ne rendent pas suffisamment compte de la complexité de la physique du 

spray en sortie d’injecteur et dans le reste du spray où les interactions entre gouttes ainsi que l’atomisation 

sont primordiales. 

Un des objectifs principaux de cette thèse est donc d’adapter les méthodes et modèles d’AVBP aux 

principaux phénomènes physiques caractéristiques de l’injection directe, en particulier, dans les moteurs 

Diesel. Ce travail s’est néanmoins limité à l’étude de sprays monodisperses sans interaction avec les 

parois. L’objectif connexe est d’offrir les bases de méthodologie pour la simulation LES en injection 

directe et de parvenir rapidement à un calcul réaliste de moteur. 

La première partie de cette thèse a consisté à choisir une modélisation bi-fluide adaptée à l’injection 

directe. Pour cela, les équations du sytème diphasique ont été réécrites par filtrage volumique ainsi que 

dans le formalisme mésoscopique. Les avantages et défauts de ces deux approches ont été explicités. 

Le formalisme mésoscopique présente l’avantage de traiter les différences de vitesse entre des gouttes 

proches à travers une équation de transport de l’énergie décorrélée. Cette énergie est très utile pour 

l’interaction entre gouttes et présente un premier niveau de description pour prendre en compte les effets 

de variance locale de vitesse pour les écoulements cisaillés. Le temps de calcul reste tout à fait convenable 

puisque seules les équations de fraction volumique de liquide, du nombre de gouttes, de quantité de 

mouvement ainsi que d’énergie décorrélée sont utilisées. Cette approche a donc été choisie. Elle fait 

néanmoins l’hypothèse de particules rigides et est donc peu adaptée à la simulation du jet liquide en 

sortie d’injecteur. De plus cette approche était prévue pour des écoulements très dilués dans lesquels les 

interactions gouttes-gouttes sont absentes. 

Afin de lever cette limitation, la démarche adoptée dans cette thèse a été de procèder en deux étapes. 

206

La première étape consiste à considérer la région proche de l’injecteur comme une région difficile à 

modéliser, notamment avec le formalisme mésoscopique, et également très coûteuse en temps de calcul. 

Les sorties d’injecteur étant de 100 − 200µm, résoudre la zone de cisaillement en LES reviendrait 

à avoir des mailles de l’ordre de 10µm. Pour cela, une méthodologie originale a été développée pour 

s’affranchir du calcul 3D complexe et difficilement réalisable de manière pratique en sortie d’injecteur. 

Cette méthode consiste à initier le calcul 3D à environ dix diamètres d’injecteur grâce à des conditions 

limites tenant compte à la fois de la physique dans l’injecteur ainsi que de l’expansion du jet à sa sortie. 

Ces conditions limites appelées DITurBC ont été validées sur différentes configurations d’injection. 

Elles reposent sur des profils gaussiens de vitesse, de fraction volumique et de diamètre et nécessitent 

que le spray soit complètement atomisé au sens primaire. Ces profils sont calculés par des bilans de 

masse, et de quantité de mouvement à partir des données fournies par un sous-modèle d’injecteur. Ces 

conditions limites permettent d’initialiser le spray sous forme de gouttes sur un plan décalé de la sortie 

d’injecteur. La principale inconnue de DITurBC est le diamètre maximal des gouttes qui est un paramètre 

utilisateur. La deuxième étape concerne le calcul 3D qui simule, à partir de la condition limite décalée, 

un nuage de gouttes dans lequel on suppose qu’il n’y a plus d’atomisation primaire. La fraction volumique 

peut néanmoins être très importante et il est nécessaire de prendre en compte les interactions entre 

gouttes. Pour cela l’approche mésoscopique a été étendue au cas des écoulements fortement chargés. 

Des modèles préexistants, issues de la théorie des gaz denses et utilisées par exemple pour les lits fluidisés, 

ont été adaptés par analogie entre la température granulaire et l’énergie décorrélée. Les interactions 

entres gouttes se limitent aux collisions binaires inélastiques. La coalescence n’est pas prise en compte 

ni l’atomisation secondaire. 

Dans un souci de robustesse et de faible diffusion numérique, une partie du travail s’est également porté 

sur l’amélioration d’opérateur de diffusion pour la phase liquide ainsi que de l’application de la viscosité 

artificielle dans le code AVBP . Le mouvement de maillage présent pour les équations du gaz a également 

été étendu aux équations de la phase liquide. 

Les améliorations numériques ainsi que la méthodologie de conditon limite DITurBC doivent être validées 

sur des injections réalistes. Une première étape de validation a consisté à comparer la simulation 

avec les données expérimentales de Chaves et al. (2004) pour une injection de type Diesel basse pression 

et dans des conditions quasi-stationnaires. Les résultats sont satisfaisants, tant au niveau des vitesses 

moyennes que des RMS. La LES est également capable de reproduire l’impact de la densité du gaz sur 

l’angle de spray. Des données expérimentales supplémentaires auraient été nécessaires pour aller plus 

loin dans la validation. Une étude sur la dynamique du spray a permis de mieux comprendre l’évolution 

du spray et de dégager des points communs avec un jet de gaz turbulent. Les niveaux de turbulence sur 

la phase liquide sont du même ordre de grandeur que les niveaux obtenus pour un jet de gaz. L’équilibre 

entre le liquide et le gaz est rapidement atteint et l’affinité (ou auto-similarité) sur les profils moyens de 

vitesse des gouttes ou de la phase porteuse est constatée loin de l’injecteur. Ces profils ont également été 

comparés à des profils expérimentaux en jet de gaz et ont montré de fortes similitudes. Un développement 

207

Conclusion 

de l’anisotropie est également observé et prouve l’intérêt de la simulation aux grandes échelles. Enfin, 

une étude de sensibilité sur les paramètres de la condition limite a montré le peu d’influence du diamètre 

des gouttes ainsi que de la vitesse du gaz sur les profils moyens. 

Afin de simuler une injection directe dans des configurations réalistes, des simulations LES ont été comparées 

à des résultats expérimentaux en chambre pressurisée avec des pressions d’injection utilisées dans 

l’industrie. Les données analysées sont les longueurs de pénétration qui sont des données importantes 

pour les motoristes ainsi que l’angle de spray par visualisation ombroscopique. Les comparaisons ont 

montré que la LES reproduit bien l’effet de la pression d’injection sur la longueur de pénétration. Les 

résultats obtenus concordent très bien avec l’expérience. La variation spatiale et temporelle de l’angle 

de spray est également bien reproduite. Une étude de sensibilité aux diamètres des gouttes a permis de 

montrer leur faible impact sur les longueurs de pénétration. Le plus fort impact provient de l’intensité de 

turbulence injectée qui module l’angle de spray et donc la pénétration. L’approche utilisée avec les conditions 

limites DITurBC semble donc être adaptée. Les résultats sont également satisfaisants dans le cas 

du spray évaporant à la fois pour la phase liquide et la phase vapeur. Une analyse a également été menée 

sur l’évolution instationnaire du spray et a permis de mieux comprendre les processus de transition en 

jet pleinement turbulent. 

Enfin, un premier calcul de faisabilité sur moteur à injection directe a étéréalisé pour valider l’ensemble 

de la méthodologie et des développements numériques effectuées dans AVBP . Ce calcul s’est concentré 

sur l’injection directe, la compression, ainsi que la combustion stratifiée sur une géométrie industrielle 

de moteur à allumage commandé. La configuration d’injection retenue a été spécialement bâtie pour ce 

calcul. Les résultats obtenus pour l’injection et la combustion stratifiée sont tout à fait cohérents et aucun 

point dur n’a été relevé. La méthode d’injection utilisée avec le décalage de la condition limite semble 

donc être utilisable sur géométrie complexe. 

Le travail réalisé dans cette thèse a permis de mettre en place toute une méthodologie d’injection pour les 

calculs LES de moteurs à injection directe. Les simulations LES effectuées ont montré leur prédictivité 

sur des injections Diesel réalistes. Néanmoins elles ont révélé la nécessité d’analyser plus précisément 

l’impact des phénomènes non modélisés jusqu’à présent comme l’atomisation, la coalescence ainsi que 

les aspects de polysdispersion. Il a été montré dans ce manuscrit qu’ils pouvaient être omis en première 

approximation sans affecter significativement les résultats. Néanmoins les comparaisons effectuées, notamment 

sur les longueurs de pénétration, représentent un premier niveau d’analyse et ne valident en 

aucun cas finement le spray. Des données plus précises auraient été nécessaires. 

Un travail important reste donc à accomplir. Les prochaines étapes consistent à: 

– Adapter le modèle d’injection au cas des injecteurs piézo-electrique (type cône creux) et investiguer 

sur la modélisation diphasique à employer en sortie d’injecteur essence ; 

– Prendre en compte les mécanismes d’augmentation (coalescence) et de diminution du diamètre (atomisation 

et collision avec génération de gouttes satellites) par l’intermédiaire, par exemple, d’une 

208

équation de densité de surface ; 

– Analyser les impacts de la coalescence et de l’atomisation secondaire sur la dynamique du spray ; 

– Evaluer des modèles polydisperses en terme d’intérêt, de robustesse de calcul et de compatibilité avec 

les autres modèles utilisés. 

Une partie de ces travaux est en cours dans des thèses à l’IFP et permettra de progresser vers l’application 

de la LES dans les études moteurs. 

209

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222

RÉFÉRENCES 

ANNEXES 

223

RÉFÉRENCES 

224

Annexe A 

Le code de calcul AVBP 

AVBP est un code de calcul développé conjointement par le CERFACS 1 et l’IFP 2 . AVBP provient de la 

volonté de disposer d’un outil de simulation LES moderne, modulaire et flexible. Destiné tout d’abord 

aux écoulements externes stationnaires non-réactifs, il a évolué pour répondre aux besoins accrus de 

simulation d’écoulements internes instationnaires réactifs. 

A.1 Equations de base 

A.1.1 

Equations de Navier-Stokes 

Les équations de base de l’aérothermochimie s’écrivent sous forme conservative 

∂w 

∂t + ∇ · F = s avec w =(ρu 1,ρu 2 ,ρu 3 ,ρE t ,ρ k ,Ψ) T (A.1) 

où ρ, u 1 , u 2 , u 3 , E t , ρ k , F et s désignent respectivement la masse volumique, les trois composantes 

cartésiennes de la vitesse u, l’énergie totale massique, la masse volumique de l’espèce k avec ρ k = ρY k (où 

Y k est la fraction massique de l’espèce k), le tenseur des flux et le vecteur des termes source. Dans le cadre 

de ce travail, le code AVBP a également été adapté au transport de variables Ψ dites ”espèces fictives” 

(cette dénomination provient du fait que ces variables n’interviennent pas dans le bilan de masse). Ψ 

peut correspondre à l’énergie cinétique de sous-maille, la densité de surface de flamme, aux traceurs de 

carburant et d’oxygène ou encore à l’enthalpie des gaz frais... Le formalisme adopté est tel qu’on peut a 

priori transporter n’importe quelle grandeur. 

Le tenseur des flux est généralement décomposé en ses composantes eulériennes et visqueuses : 

F = F E (w)+F V (w,∇w) 

(A.2) 

1 Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée au Calcul Scientifique - www.cerfacs.fr 

2 www.ifp.fr 

225

CHAPITRE A : Le code de calcul AVBP 

Les trois composantes spatiales du tenseur des flux eulériens sont : 

⎛ 

F E 1 = 

⎜ 

⎝ 

⎞ ⎛ 

ρu 2 1 + P 

ρu 1 u 2 

ρu 1 u 3 

, F E 2 = 

(ρE + P)u 1 

ρ k u 1 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

⎞ ⎛ 

ρu 1 u 2 

ρu 2 2 + P 

ρu 2 u 3 

, F E 3 = 

(ρE + P)u 2 

ρ k u 2 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

ρu 1 u 3 

ρu 2 u 3 

ρu 2 3 + P 

(ρE + P)u 3 

ρ k u 3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(A.3) 

ρΨu 1 

ρΨu 2 

ρΨu 3 

où P désigne la pression hydrostatique. 

Les composantes du tenseur des flux visqueux sont : 

⎛ 

−τ 11 

−τ 12 

F V 1 = −τ 13 

−(u 1 τ 11 + u 2 τ 12 + u 3 τ 13 )+q 1 

⎜ 

⎝ 

J k,1 

J Ψ,1 

−τ 12 

−τ 22 

−τ 23 

⎛ 

F V 2 = −(u 1 τ 12 + u 2 τ 22 + u 3 τ 23 )+q 2 

⎜ 

⎝ 

J k,2 

J Ψ,2 

−τ 13 

−τ 23 

−τ 33 

⎛ 

F V 3 = −(u 1 τ 13 + u 2 τ 23 + u 3 τ 33 )+q 3 

⎜ 

⎝ 

J k,3 

J Ψ,3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(A.4) 

où τ désigne le tenseur des contraintes visqueuses et s’écrit en fonction de la viscosité dynamique µ et 

des gradients de vitesse : 

( [ 1 ∂ui 

τ ij = 2µ + ∂u ] 

j 

− 1 ) 

2 ∂x j ∂x i 3 δ ∂u k 

ij 

∂x k 

(A.5) 

Les flux diffusifs pour chaque espèce k sont écrits au moyen de l’approximation de Hirschfelder Curtiss 

(l’ajout d’une vitesse de correction V c pour assurer la conservation de la masse ( 

( 

) 

W k ∂X k 

J k,i = −ρ D k 

W m +Y k Vi 

c 

∂x i 

226 

avec 

V c 

i 

N spec 

= − 

∑ 

k=1 

D k 

W k 

W m ∂X k 

∂x i 

(A.6)

A.1 Equations de base 

où X k représente la fraction molaire de l’espèce k, W k est la masse molaire de l’espèce k et W m est la 

masse molaire du mélange. 

Le flux de chaleur total q est composé du flux de chaleur conductif et du flux de chaleur diffusif : 

q i = −λ m ∂T N spec 

− ρ 

∂x i 

∑ 

k=1 

J k,i h s,k 

(A.7) 

où λ m est le coefficient de conduction du mélange et h s,k est l’enthalpie sensible de l’espèce k. 

L’expression des flux J Ψ dépend de la nature de la variable Ψ et de l’équation de transport utilisée. 

A.1.2 

Loi d’état 

La loi des gaz parfaits appliquée au mélange s’écrit : 

P = ρr m T 

(A.8) 

r m est la constante des gaz parfaits pour le mélange et elle dépend de l’espace et du temps. Pour 

déterminer cette constante, on définit pour chaque espèce k une capacité calorifique à volume constant 

C v,k , une capacité calorifique à pression constante C p,k et une constante de gaz parfait r k = C p,k −C v,k = 

R/W k ,où R = 8.3143 J/mol/K est la constante universelle des gaz et W k est la masse molaire de l’espèce. 

Ces grandeurs ne dépendent ni de l’espace, ni du temps et elles permettent de définir les variables de 

mélange : 

N spec 

r m = 

∑ 

k=1 

Y k r k , 

N spec 

m 

C p = ∑ Y k C p,k , 

k=1 

N spec 

m 

C v = ∑ Y k C v,k , 

k=1 

γ m = C p 

m 

/Cv 

m 

(A.9) 

A.1.3 

Tabulation des grandeurs thermodynamiques 

L’énergie massique totale dans les équations de Navier-Stokes est la somme de l’énergie cinétique et de 

l’énergie interne : 

E t = E c + E int avec E c = 1 2 

3 

∑ u 2 i 

i=1 

(A.10) 

L’énergie interne est liée à l’enthalpie sensible par la relation E int = H s − P, et cette enthalpie s’écrit en 

fonction des enthalpies sensibles de chaque espèce h s,k : 

N spec 

H s = 

∑ 

k=1 

Z T 

Y k h s,k avec h s,k (T )= C p,k dT 

T 0 =0K 

(A.11) 

L’enthalpie sensible h s,k de chaque espèce, qui apparaît aussi dans le flux de chaleur total, dépend uniquement 

de la température. Cette enthalpie est donc tabulée pour chaque espèce dans AVBP entre 0 

et 5000 K avec un pas de 100 K. Entre ces points, l’enthalpie est considérée linéaire et C p,k est alors 

constante par morceaux. De même, l’entropie de chaque espèce s k est aussi tabulée car elle intervient 

dans le terme source s de l’équation A.1 pour les écoulements réactifs. 

227


A.2 Discrétisation des équations 

A.2.1 

Intégration temporelle 

L’intégration temporelle est explicite pour tous les schémas numériques d’AVBP. Les schémas volumes 

finis à une étape se mettent alors sous la forme : 

w n+1 

k 

− w n k 

∆t 

= −C k (w n )+D k (w n )+S k (w n ) (A.12) 

où w n k est le vecteur des variables conservatives au nœud k et à l’instant tn . Les opérateurs discrets C k , 

D k et S k sont respectivement les opérateurs de convection, de diffusion (moléculaire et turbulente), et des 

termes sources. Certains schémas volumes finis utilisent plusieurs étapes durant un même pas de temps 

∆t. Pour un schéma volumes finis à trois étapes, l’intégration temporelle s’écrit : 

w (1) 

k 

− w n k 

α 1 ∆t 

= −C k (w n ) (A.13) 

w (2) 

k 

− w (1) 

k 

= −C k (w (1) ) 

α 2 ∆t 

(A.14) 

w n+1 

k 

− w (2) 

k 

= −C k (w (2) )+D k (w n )+S k (w n ) 

α 3 ∆t 

(A.15) 

Pour TTGC (Colin and Rudgyard 2000) qui est un schéma éléments finis de type Galerkin à deux étapes, 

l’intégration temporelle est sensiblement différente : 

˜W − W n 

= −(M) −1 [R(W n )] (A.16) 

α∆t 

W n+1 − ˜W 

[ ] 

= −(M) −1 R(˜W) − D(W n ) − S(W n ) 

(A.17) 

∆t 

avec W n qui est le vecteur des variables conservatives pour l’ensemble des nœuds : 

W n =(w n 1,w n 2,...,w n N) T 

et la matrice de masse M est définie à partir des fonctions de base comme suit : 

( Z ) 

M = φ i φ j dV 

Ω 

ij 

(A.18) 

(A.19) 

Dans le solveur, cette matrice de masse est inversée avec une méthode itérative de type Jacobi. 

Tous les schémas convectifs d’AVBP ont une condition de stabilité de type Courant-Friedrichs-Lewy 

basée sur les ondes les plus rapides de l’écoulement, c’est-à-dire basée sur l’acoustique : 

∆t < CFL min(∆x) 

max|u| + c 

(A.20) 

où c est la vitesse du son. La valeur du CFL maximum dépend du type de schéma utilisé. Une limite 

sur les pas de temps chimique et diffusif est également introduite dans le cas de simulations réactives 

multi-espèces. 

228


A.2.2 

Intégration spatiale 

Volumes de contrôle 

Les volumes de contrôle à la cellule et au nœud sont représentés sur la figure A.1. Sur cette figure, on 

trouve aussi la définition des vecteurs surface dS aux nœuds. Les volumes de contrôle ainsi construits 

satisfont la propriété de conservation du volume et des aires : 

∑ dS k,Ω j 

= 0 et ∑ dS k,Ω j 

= 0 

j|k∈Ω j k|k∈Ω j 

(A.21) 

La valeur des volumes s’exprime en fonction des normales aux nœuds : 

V k = 

1 

∑ 

n 

j|k∈Ω j v (Ω j ) V Ω j 

et V Ω j 

= 1 ∑ 

Nd 

2 X i · dS i,Ω j 

i|i∈Ω j 

(A.22) 

où n v (Ω j ) est le nombre de nœuds de la cellule Ω j , N d est le nombre de dimensions spatiales du problème 

et X i représente le vecteur position au nœud i. 

FIG. A.1 – Notations pour la méthode de discrétisation ”cell-vertex”. Les volumes de contrôle aux nœuds 

V k (en grisé) sont délimités par le centre des faces (ou le milieu des arêtes en 2D) et par le centre de gravité 

des cellules Ω j . Les normales aux nœuds dS k,Ω j 

sont égales à la somme des normales des surfaces du 

volume de contrôle V k dans la cellule Ω j , multipliée par le nombre de dimensions n d . 

229


Méthode cell-vertex 

Pour une compacité maximale et une écriture qui soit facilement parallélisable, les schémas numériques 

d’AVBP sont basés sur la méthode ”cell-vertex” (Cette méthode consiste en deux étapes illustrées par la 

figure A.2 : 

– assemblage (ou gather) : les variables conservatives stockées aux nœuds sont stockées à la cellule en 

utilisant la connectivité cellule-nœuds. 

– distribution (ou scatter) : les résidus calculés sur le volume de contrôle de la cellule sont redistribués 

aux volumes de contrôle centrés aux nœuds. 

(a) Gather 

(b) Scatter 

FIG. A.2 – Principe de la méthode cell-vertex. Elle se déroule en deux étapes : assemblage et distribution. 

La méthode cell-vertex permet d’écrire facilement des opérateurs du premier et du second ordre pour des 

maillages non-structurés. L’opérateur du premier ordre est obtenu en calculant un gradient à la cellule 

après la phase d’assemblage, et la distribution est ensuite effectuée en faisant une moyenne volumique. 

Pour obtenir l’opérateur du second ordre, il suffit de remplacer la moyenne volumique de l’opérateur du 

premier ordre par une intégration surfacique sur le bord du volume de contrôle au nœud. 

Schéma de Lax-Wendroff volumes finis 

Le schéma de Lax-Wendroff volumes finis est un schéma à une seule étape. Son intégration temporelle 

est donc de la forme de l’équation A.12. Dans cette équation, le terme convectif C k (w n ) s’écrit : 

C k (w n )= 1 V k 

∑ 

j|k∈Ω j 

V Ω j 

D k,Ω j 

C| Ω j 

(w n ) (A.23) 

230


où D k,Ω j 

est une matrice de distribution propre au schéma. Le terme C| Ω j 

(w n ) est l’opérateur de gradient 

à la cellule appliqué aux flux eulériens : 

C| Ω j 

(w n )= 1 

N d V Ω 

∑ F E i · dS i 

j i|i∈Ω j 

(A.24) 

La matrice de distribution permet d’obtenir les termes du premier et du second ordre du schéma : 

D k,Ω j 

= 1 ( 

I + n ) 

v(Ω j ) ∆t 

A Ω 

n v (Ω j ) 2N d V j · dS i (A.25) 

Ω j 

Les jacobiennes A = ∂F E /∂w des flux eulériens s’écrivent : 

⎛ 

2u 1 − βu 1 −βu 2 −βu 3 β −u 2 1 + χ 1 ... −u 2 1 + χ ⎞ 

N 0 

u 2 u 1 0 0 −u 1 u 2 ... −u 1 u 2 0 

u 3 0 u 1 0 −u 1 u 3 ... −u 1 u 3 0 

H s − βu 2 1 −βu 1 u 2 −βu 1 u 3 γ m u 1 −u 1 H s + u 1 χ 1 ... −u 1 H s + u 1 χ N 0 

A 1 = 

Y 1 0 0 0 u 1 − u 1 Y 1 ... −u 1 Y 1 0 

. 

. 

. . . 

. . . .. 

. . 

. . 

⎜ 

⎟ 

⎝ Y N 0 0 0 −u 1 Y N ... u 1 − u 1 Y N 0 ⎠ 

Ψ 0 0 0 −u 1 Ψ ... −u 1 Ψ u 1 

⎛ 

⎞ 

u 2 u 1 0 0 −u 2 u 1 ... −u 2 u 1 0 

−βu 1 2u 2 − βu 2 −βu 3 β −u 2 2 + χ 1 ... −u 2 2 + χ N 0 

0 u 3 u 2 0 −u 2 u 3 ... −u 2 u 3 0 

−βu 2 u 1 H s − βu 2 2 −βu 2 u 3 γ m u 2 −u 2 H s + u 2 χ 1 ... −u 2 H s + u 2 χ N 0 

A 2 = 

0 Y 1 0 0 u 2 − u 2 Y 1 ... −u 2 Y 1 0 

. 

. 

. . . 

. . . .. 

. . 

. . 

⎜ 

⎟ 

⎝ 0 Y N 0 0 −u 2 Y N ... u 2 − u 2 Y N 0 ⎠ 

Ψ 0 0 0 −u 2 Ψ ... −u 2 Ψ u 2 

⎛ 

⎞ 

u 3 0 u 1 0 −u 3 u 1 ... −u 3 u 1 0 

0 u 3 u 2 0 −u 3 u 2 ... −u 3 u 2 0 

−βu 1 −βu 2 2u 3 − βu 3 β −u 2 3 + χ 1 ... −u 2 3 + χ N 0 

−βu 3 u 1 −βu 3 u 2 H s − βu 2 3 γ m u 3 −u 3 H s + u 3 χ 1 ... −u 3 H s + u 3 χ N 0 

A 3 = 

0 0 Y 1 0 u 3 − u 3 Y 1 ... −u 3 Y 1 0 

. 

. 

. 

. 

. . . .. 

. . . 

⎜ 

⎟ 

⎝ 0 0 Y N 0 −u 3 Y N ... u 3 − u 3 Y N 0 ⎠ 

Ψ 0 0 0 −u 3 Ψ ... −u 3 Ψ u 3 

avec 

β = γ m − 1, χ k = r k T + β(E c − e s,k ), E c = 1 2 (u2 1 + u 2 2 + u 2 3) 

231


Schéma TTGC éléments finis 

TTGC (Colin and Rudgyard 2000) est un schéma éléments finis de type Galerkin à2étapes spécialement 

développé pour les simulations LES. Son écriture a surtout été focalisée sur la réduction de la dissipation 

numérique des plus petites échelles résolues. Les schémas éléments finis d’AVBP utilisent une 

décomposition des variables conservatives sur la base des fonctions test φ k : 

W n (x)=∑φ k (x)w n k 

k 

(A.26) 

Ces fonctions test sont linéaires pour les triangles et les tétraèdres, et bilinéaires pour tous les autres 

éléments : quadrangles, prismes, pyramides et héxaèdres. TTGC s’écrit en fonction de deux opérateurs 

du premier et du second ordre, qui sont L(W n ) et LL(W n ) : 

˜W n − W n 

∆t 

W n+1 − ˜W n 

∆t 

= −M −1[ αL(W n )+β∆t LL(W n ) ] (A.27) 

= −M −1[ L( ˜W n )+γ∆t LL(W n ) ] (A.28) 

où α = 0.49 , γ = 1/2 − α et β = 1/6 

Ces opérateurs éléments finis sont compatibles avec la méthode ”cell-vertex” en s’écrivant à partir de 

leurs homologues à la cellule : 

L k (W n ) = ∑ L k (W n ∣ 

) 

j|k∈Ω j LL k (W n ) = ∑ LL k (W n ∣ 

) 

j|k∈Ω j 

Pour les éléments linéaires, L k et LL k sont semblables aux opérateurs volumes finis du schéma de Lax- 

Wendroff. En revanche, pour les éléments bilinéaires, leur expression est beaucoup plus complexe et des 

approximations des résidus sont nécessaires 

∣ 

Ω j 

∣ 

Ω j 

A.3 Modèles LES 

A.3.1 

Modèles de turbulence 

Les modèles LES de turbulence d’AVBP sont : 

– le modèle de Smagorinsky filtré 

– le modèle WALE 

– le modèle à une équation de transport de k sgs 

Le modèle WALE est similaire au modèle de Smagorinsky à la différence près qu’il permet d’obtenir le 

bon gradient de vitesse à la paroi. Ce modèle requiert cependant que le voisinage de la paroi soit bien 

232

A.3 Modèles LES 

résolu. Il s’écrit en fonction du tenseur des gradients résolus au carré et de sa partie déviatrice : 

Θ ij = 1 2 

( ) 2 ∂ũi 

+ 1 ( ) ∂ũ 2 

j 

∂x j 2 ∂x i 

Θ D ij = Θ ij − 1 3 Θ kkδ ij 

(A.29) 

(A.30) 

et la viscosité turbulente s’exprime : 

La constante du modèle vaut C w ≃ 0,49. 

( ) 3/2 

Θ D 

ν t =(C w ∆) 2 ij ΘD ij 

5/2 ( ) 5/4 

(A.31) 

(˜S ij˜S ij) D D + Θ D ij ΘD ij 

233

injection LES - cerfacs

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