C. R. Acad, Sci. Paris, 1. 328, Serle II b, p. 619-624,2000
Mecanique des f1uides/Fluid mechanics
Effet de la rugosite sur un fluide laminaire
avec conditions de fourier
YoucefAMlRATn, Blanca CLlMENT a , Enrique FERNANDEZ·CARA b, Jacques SIMON"
H
II
Laboratoire de mathernatiques appliquees, Universite Blaise-Pascal et CNRS, 63177 Aubiere cedex, France
Dpto. de Ecuaclones Diferenciales y Analisis Numerico, Universidad de Sevilla, Aptdo, 1160,41080 Sevilla,
Espagne
Courriel : amirat@ucfma.univ-bpclermonLfr ; blanca@J1umer.IJS.es ; cara(tVnumer.us.es ;
simon@uefrna.uniY-bpclermont.fr
Ｈｒ･ｾＱｊ
Ie 30 mai 2000, accepte Ie 13 j u in 2000j
Resume.
On ctudi c I'effet de la rugosire du ne paroi sur l'ccoul cmeru d'un Iluide gouverne par lcs
equation s de Stokes awe des cond ition s aux lirn ites de Fourier. On ca lcu le l'ecoulement
li mite et on donne des es timations, en fonct ion de la taille e des aspcrires, de I'teart entre
la vite sse, la pression et la train ee et leurs limitcs. Dans Ie cas particulier d'une plaque,
la train ee limit e est stricternent supericure 11. celle de la paro i lisse, contrairernent 11. ce
que do nne la condition aux limit cs de Dirichlet. © 2000 Ac aderni e tics sciences/Ed itions
scientifiq ues et rnedicalcs Elsev ier $AS
equations de Stokes f rugosite f condirions de Fourier
Effect of rugosity on tile flow ofa laminar fluid with Fourier conditions
Abstract.
The effect of //IIY asperities covering (/ wall on a ftow governed by Stokes equations
with f ou rier boundary conditions is investigated. We calculate the limit jfow and we give
estimates of the deviati ons of the drag, veloci ty field and pressure, in terms of the size oS of
the asperities. In the pa rticular case of a plat e, the limit drag is larger than the drag of the
smoot h wall, in contrast with the situatio nfound for Dirichlet boundary cond itions. c 2000
A cademic des scienccslli ditions scietuifiqucs et medicates Elsevie r SAS
Stokes equations f rugosity f Fourier boundary conditions
Abridged English version
The flow past an infinite rugose wall R E covered with periodically distributed asperities of size
investigated . T he region occupied by the fluid is:
ｾ
is
=
where T e (x' ) = , .(;1;' )( 1 + e 11 (;1;' , 1;' 1£)), the function TJ
Tj (:c', y') being periodic with respect to both
variables x ' and y'. The fluid is described by the following Stokes system and Fourier boundary conditions:
- V6.:11e + '\7p€ = 0, '\7. 1t € =
a e • 'H E + k 'l1€ = 0
{ Oe • n € + k (u - g) = I )
e
°
in O e
onR ,
on P
Note presentee par ,Evarisle SAN CH EZ-PA LE:NCIA.
st620 -7742(00)000 I6-7fF LA
© 2000 Acadernie des sciences/E ditions sc ientifiqucs et rnedicalcs
Elsevier SAS. Tous droits reserves.
619
Y. Amirat et aJ.
whe re a e is the stress tensor, ti; is the normal and k: is a friction coefficient.
More prec isely, we conside r the uniq ue solution (ue,Pe) E ( H ,;er(0.e ))3 x ｌ ｾ ･ ｲ Ｈ ｮ ･ Ｉ Ｌ whe re ｈ ［ Ｉ ｾｲ is
defined by (3), ne = {x E G e : x' E S} and 5 = (0, fd x (0, ( 2) ' The drag of the corresponding part of
wall is
T; = - 9
.!
. n.
a e • n e cis
where R e = {1:: x' : 5, 1:3 = ]"£(x' )} .
The limit flow as ｾ ---t 0 is the solution (uo, Po) E Ｈ ｈ ｾ ･ ｲ Ｈ ｮ ﾻ Ｓ x ｌ ｾ ･ ｲ ＨＡＱＩ
{
- 1/ !lUO + 'V.PO = 0,
'V. 110
ao . 11 + J(uo = 0
a o·n+k(uo-y ) =O
=0
of the following Stokes problem:
in 0
on n
onP
where 0 is the limit domain. which is bound ed on the top by the wall without asperities n .
otic c that, in the condition on R; the drag coefficient f( is different from k; this is the asymptotic effect
of rugosity. The limit drag is
T o = -9
·l
Go • n ds
Assuming that T :- W 3 ,oo(]R.2 ) , we prove (theoremc 1) that
for all sufficiently small c > O.
We also prove that U e - Uo and fi e - Po converge to zero at least as quickly as j£ in Ｈ ｈ ｉ ｾ ｣Ｈ ＰＮ ﾻ Ｓ and
ｌ ｾ Ｉ ｣Ｈ ｮ Ｉ Ｌ respectively. More precisely, we provc' that for any {) > 0 there exists C b > 0 such that
for all sufficiently small
E
> O. Here, W 6 stands for the open set
W6
= { x E ]R.3 : x ' E
5, a < ;C3 < "1"(;1;' ) - /) }
In the particular case of a nat plate covered with asperitie s. we check that the limit drag To is strictly
larger than the drag T of the associate smooth plate. More precisely, see (4), we find the following:
L Modelisatlon d'une paroi rugueuse
On considere un fluid,' dont la vitesse u = (1l 1, 1I2 : U 3 ) et la pression p satisfont les equations de Stokes
et les conditions aux limitcs de Fourier suivantcs :
- '/ c:::" 'U + 'VP = O,
a· II. + ｊＮ ｾ Ｑｉ = 0
{
a· n + J,:( 1L - g) = 0
620
\l· u=O
dans 0
sur R
sur 'P
(1)
Effet de la rugosite sur un fluide laminaire avec conditions de Fourier
=
(:1:\ ,:1:2 ) E mY , 0 < X3 < r( :l;')} est non borne et limite
Le domairn- 0 = {.1; E ]R'1 : x = (X',X3 ), x'
inferieurement par une plaque plane P et superieuremcnt par une paroi n qui suppon era lcs asp erites.
lei, u ;» 0, k > 0 et g = (g',O) sent constants et donnes el nest la norma ie unitaire exterieure a O. Lc
tcns cur des contraintes est defini par a = 2v e( 1/ ) - P I au c( u ) = ｾ Ｈ ｖＧ ｵ + I·V'U) et a . 11. est Ie vecteur de
composantes (a . n ) ; = Lj a il n)'. La fonction rest lipschitzienne, ;trictemeot positive er periodique en X I
et X2 , de periodes £1 et £2. On considere alors les solutions (-/l,p) de (I) qui sont periodiques en X I et X 2 ,
de pe riod es 1 et £2 .
e
P et R sont de type Fourier. Si le coefficient de friction k: est « grand », elles
sont, au moins formellement, des approximations des conditions dadhcrcnce usueUesu = 0 sur net 11 = 9
sur P . 11 serait plus « realiste » de supposer que le Auide satisfait les conditions de glissernent suivantcs :
Les cond itions irnposees sur
u . n = 0,
{ 'II·n =O,
(O' · n )t + k u = O
surR
(a · n )t + k (u - g) = O surP
ou (a . 11)/ est la cornposante tangentiel le de a' n. Malheureusement, on ne sait pas dernontrer un resultat
analogue au theoreme 1 lorsquc 11. et p saiisfont ces conditions.
On note S = (0 , £\) X (0, (2 ) la section de base et n = {x E Itt:l : J;' E S, 0 < X;"j < r (:I:')} la partie borneo
du domaine lirnitee par les portions de parois R = {:r: :1; ' E S, :r 3 = r (x')} et P = {x : :1;' E S, :I:3 = O} et
par 1<1 frontiere laterale imrnatericlle L = {(x', r( x' » : Xl E as}. La trainee engendree par 13 portion R de
paroi est:
T = - 9'
ro
in
>
nd s = .9 '
rk u.ds
in
On note R la paroi superieure unc fois couverte dasperires de petite taille, d'ordre E. Plus precisernent ,
donne par :
son profil ｣ｾｴ
ou la fonction T/ =
1': /: y' ) est tipschitzienne sur S2 et periodique par rapport achaque variable et :
(2)
Ceue derniere hypothes e permet de disposer un nornbre entier d'asperites dans la section de base S; elle
pourrait clre cvitee.
On note 0 Ie dornaine correspondant, (u" ,Pe) la solution de (1) dans 0 0 , Do la partie bornce de base S ,
et T" 1<1 trainee corrcspondantc. Plus exactement, on sintcrcsse aJ'unique solution telle que :
OU, pou r m
ｾ
0:
(3)
L existence et I'uni cite d'unc solution dans eet espace se dernontre par une methode variationnelle.
2. EITet de la rugosite
On s'intcrcs-e au comportement limite, quand
E
tend vers 0, de la solution
CIle; ,p,J
ei de La trainee
TE • Avec une condition aux limitcs d'adhercnce sur R-. I'cffet de la rugosite est negligeable puisque,
621
Y. Amirat et al.
d' apres [ 1], T. tend vers la trainee de Ia paro i Iisse. lei , au contraire, la limite To obten ue est distincte de la
trainee de 1'1 parol lisse. Notons :
(1 +
m.(x' . l ' ) =
, ,I}
(m) (x' ) =
ｉ ｾｉ
.i
Le coefficient de friction
par:
«
+ Ir( x' ) \7 y'1](.r', y'W + 2r(x') '\h
l\7r (x ' )12
I
i
yl)) 1/2
homogeneise » K, qui differe de k et qui depend de la position x', est donne
= k (m )
L'ecoulernent limite est I'unique solution (uo,Po) E (H \;cr(D»:J x ｌ ｾ ｣ ｲ ＨｮＩ
- 1/ 6.'11 0
{
+ \7po = 0,
+ Kuo = 0
170 ' n + keno - g)
170 '
170
\7!ll/l(X' ,
m(x', y') dy'
J(
au
,. ' ) •
l'\h(x' )12
!
\7.
'11,
n
,0
de:
U dans 0
sur R
sur P
= 2v e(tlo) - Pol. La trainee limite est:
T)
Le5 vitesses
'11"
•- 9
'k
170 •
n ds
=9
'k
I<'110 ds
et 'Uo, ayant des domaines de definition distincts, sont comparees sur le dornaine suivant :
c.;,.
= {x E 1R;1; x',. S, 0 < :D;l < .,.(x' ) - b}
Plus preciscment, on a lc resultat suivant.
TlIEOREM E 1. - On suppose r :(2), 011 ail:
Pour tout 6' > U, if existe
Cli
et
Cli
W 3 ,OO (1R 2 ) , A lars, il existe un reel C > 0 rei que, pour tout . verifiant
> 0 tels que, pour tout C < r:« veriJian! (2), on ail:
Remarque. - Le facteur geornetrique qui intervient dans Ie coefficient de trainee hornogeneise est encadrc
par:
1
:<:
'.,f:<:
r 2( x ')
ｾ
1 + l\7r (x')12 ...., (n,,. (.1, )...., ( 1 + 1 + 1\7-r(x' ) 12
Is, h
" I 1,,.2 I ) 1/2
l\7y "l(x ,Y .'. dy
Ce dernier terrne est rnajore par le rapport des surfaces des frontiercs, 11 savoir :
au B( .r'; oj designe La boule de rayon a centree en (x', 1'(.1",).
622
Effet de la rugosite sur un fluide laminaire avec conditions de Fourier
Si R. est un plan et si les asperites am toutes la mernc taille, i.c, si r ex ' ) = £3 pour lout X ' l::: S el si la
fonction '1/ ne depend pas de x' , la trainee Tit: du plan rugu eux est superieure It la trainee T du plan lisse. En
effet, alors :
· T. 'T'
I1m ,,= .L o =
,,-u
puisque (m )
t 2 k (rn) Igl2
vtl
v (l
2
+ (171)) + £:lk (m )
>
vf l l'2 k lgl
2v + £3k
=T
(4)
> 1 (sauf si ry est constante) .
Remarquc. - Des estim ations analogues a celles du theoreme J, pour I'opcratcur de Laplace avec une
condition aux lirnites de Fourier au de Neumann, sont demontrces dans [21 et [3]. voir aussi [4].
Princip e de demonstration du theoreme 1. - On travaille sur la formulation variationnelle suivarne : pour
¢ E Ｈ ｈｾ ･ ｲ Ｈ ｏ Ｌ Ｉ ｲ ｾ :
tout
On commence par et ablir deux estimations dans 0 uniformes en. D'une part une inegalite de Korn, d'ou
on deduit que Ilue: II (Hl {n.»)3 reste borne. D'aurre part, route fonction l/J E L 2 (Oc) a moyenne nullo peut
eire represe ntee par 1/J = \7 . ¢ avec ¢ E (H (Oc)):1 et :
J
(5)
Ensuiie, on xe rarnene au domaine fixe 0 par une homothetie dans la direction vcrticale, ce qui iruroduit
des coefficients oscillants. En natant avec un ｾ les fonctions transporrees, on rnontre par ､ｬＧｾ
techn iques
d'hornogencisar ion que :
OU
11 1
=
J :;j
"{I r:r',
-x' Ii.- j 8 311 0.
On obtient la valeur du coefficient de friction hornogeneisc en observant que, dans la formulation
variationnelle transportee, la contribution de la paroi rugueuse s'ecru :
et que ((I _! 1\7 . ,1' , I:'i / (I + 1\71f ))1/2 --, (m) quand e -+ O.
Awe (5), on en dcduit que :
lip, En revenant au domaine
nc • on obtient
Po11L2(p ' ｾ
C-IE
les estimations de u € el Pc annoncees. Pour la trainee, on observe
que:
Tc = k g
·l
9-
u' c
ds
et
To
= kg
·l
9-
'110
US,
done :
IT" Les details sont donnes dans {5].
7(JI ｾ
Ck lgillu c -
u o ll ( H l(w6)P
0
Remerciements. Les deuxie mc ct troisieme auteurs ont elC parLicllement finances par D.G .E.S. (Espagn c),
Projet PB98-11:-4. Le quarrieme auteur a ctc finance par IBERDROLA, en rant que Professeur Invite en Sciences
et Technologic a lLuiversite de Seville.
623
Y. Arnirat et al.
Refere nees bibliographiques
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wall with asp erit ies, Math. Methods A ppl. Sci.,
624
aparaitre .
Youcef Amirat