Etude des courants d’écoulement dans un tube rugueux en régime laminaire M. Benyamina, S. Watanabe, G. Touchard, H. Romat To cite this version: M. Benyamina, S. Watanabe, G. Touchard, H. Romat. Etude des courants d’écoulement dans un tube rugueux en régime laminaire. Revue de Physique Appliquee, 1987, 22 (9), pp.10751079. <10.1051/rphysap:019870022090107500>. <jpa-00245646> HAL Id: jpa-00245646 https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00245646 Submitted on 1 Jan 1987 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. 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Tout d’abord, une analyse théorique permet de déterminer les lignes de courants au voisinage immédiat des aspérités, les dimensions de celles-ci restant toujours très petites devant le diamètre intérieur de la conduite. Ces résultats conduisent dans une deuxième partie, à définir les zones de la couche diffuse qui sont entraînées par l’écoulement puis à calculer la charge convectée et à la comparer aux valeurs obtenues expérimentalement. 2014 The first part of this study relate to the laminar flow in rough circular pipes. At first in a analysis the streamlines are computed in the immediate viscinity of the roughness, being considered always very small compared to the diameter of the pipe. Taking into account this theoretical results, the region of the diffuse layer convected by the flow is settled in the second part of this study. The charge convected is then computed and compared with the experimental values obtained. Abstract. theoretical 2014 1. Introduction. La distance de la paroi du tube à l’axe est : investigations ont été faites afin de mieux comprendre le phénomène de formation et de transport de la couche diffuse dans un tube [1, 2]. Il a été montré que lors d’un écoulement d’un hydrocarbure dans un tube métallique capillaire, la rugosité des tubes joue un rôle important. Si dans le cas d’un écoulement turbulent, la charge convectée augmente avec la rugosité des tubes, c’est Plusieurs l’inverse dans le cas d’un écoulement laminaire. Ce dernier cas semblant a priori difficile à expliquer, nous avons entrepris une étude systématique de ce phénomène. 2. Etude dynamique. 2.1 GÉNÉRALITÉS. Fig. Considérons un tube muni de dont rugosités périodiques l’épaisseur reste toujours très petite comparativement au diamètre de la conduite (Fig. 1). La que : longueur - totale d’une période est noté L telle 1. 2013 [Tube’s Configuration géométrique intemal interne du tube. geometrical configuration.] 2.2 POSITION DU PROBLÈME. - Nous nous proposons d’étudier l’écoulement laminaire, stationnaire et symétrique d’un fluide incompressible dans une conduite décrite précédemment [3-5]. Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:019870022090107500 1076 2.2.1 Equations du mouvement. 2.2.2.1 Conditions 1) A la paroi. constante sur aux limites. La fonction de courant doit être paroi. On la choisit : - la La vorticité n’est pas toujours à l’avance, aussi allons l’expliciter à partir d’une relation entre 03C8 nous et w. Dans une étude réalisée avec la méthode des différences finies, Runchal et Spalding [4] supposent que la vorticité varie linéairement près de la paroi. Le domaine de calcul ayant été discrétisé en M valeurs suivant R et N valeurs suivant X (Fig. 2), ils donnent pour cette grandeur. J’exnression suivante: avec X R U V : : : : coordonnée axiale, coordonnée radiale, composante axiale de la vitesse, composante radiale de la vitesse, 03C1m : masse volumique du fluide étudié, P : pression. Les conditions a) à la aux limites sont les suivantes [3-5] : paroi avec, dans U(X,Rp) = V(X, Rp) = 0 b) symétrie (6) 2) Symétrie ce cas c) périodicité si R=O;V(X,0)=0 (7) de l’écoulement U(X, R) = U(X + L, R) V(X, R) = V(X + L, R). 03C8(x, 0) = 0 £O (x, 0) 0. 3) Périodicité de l’écoulement. 03C8(x, r) = 03C8(x + L, r) tù (x, r) w(x+L,r). (8) 2.2.2 Equations du mouvement en variables adimensionnelles. Nous avons choisi comme nouvelles variables la fonction de courant ol et la vorticité w, de plus, pour rendre les équations adimensionnelles nous choisirons les grandeurs de références suivan- Le processus itératif est initialisé par le profil de Poiseuille à l’entrée d’une période et pour la première itération. Dans ce cas, la distribution de 03C8 et de w est respectivement (Fig. 2) : tes : Distance Vitesse : : Dl = 2 RI, = qy/7TRf (qy Um étant le débit volumique), P p m U2m, Pression : Fonction de courant : .pref Vorticité : Cdref Nombre de Reynolds : Re = = Um D21, Um/D1. Um . D1/ v . système précédent (3, 4, 5, 6, 7, 8) = = Le = 0. axiale. axiale (sU)/(sR)=0 u (1, M) devient : Fig. 2. - [Domain Domaine de calcul. of solution.] 1077 2.3 MÉTHODE DE CALCUL ET RÉSULTATS OBTENUS. Pour calculer les différentes grandeurs en tous points du maillage, nous utiliserons une méthode itérative dite de sur-relaxation. Ainsi, pour un nombre de Reynolds donné, nous déterminerons les lignes de courant au voisinage immédiat de la paroi. On calcule w à partir de l’équation (9) et If à partir de l’équation (10), u et v peuvent être déduites de l’équation (11). (Ces calculs ainsi que ceux de la charge convectée, ont été effectués sur les ordinateurs du C.I.R.C.E. à Orsay.) Nous avons représenté (Fig. 3) une évolution des lignes de courant au voisinage immédiat de la paroi pour un nombre de Reynolds de 1 000. Nous voyons sur cette figure que la zone comprise entre deux aspérités n’est pratiquement pas entraînée par l’écoulement global au sein du tube. - Des expériences ont été faites avec deux tubes (l’un lisse et l’autre rugueux) en acier inoxydable de longueur 1 m et de diamètre 3 mm. Sur la figure 4, nous avons représenté l’évolution de la conductivité en fonction de la concentration ainsi que la variation de la densité volumique de charge convectée pour le tube lisse. Il apparaît que pour une concentration égale à 1 ppm, la densité volumique de charge est maximale et la courbe de conductivité présente un changement brutal de pente. Watanabe [6] a montré que ce phénomène est lié à l’association de monomères libres en agrégats que l’on nomme micelles. La concentration de 1 ppm correspond à la C.M.C. (Concentration Micellaire Critique). D’autres études plus détaillées de C.M.C. ont été faites par G. Porte et Y. Poggi [10]. Nous avons utilisé pour la suite des expériences un liquide avec une concentration de 1 ppm d’OLOA 218A de façon à ce que la charge convectée soit maximale et varie peu avec la concentration afin d’avoir des expériences reproductibles. Nous avons 3.1.2 INFLUENCE DE LA RUGOSITÉ. mesuré la densité volumique de charge convectée pour deux tubes en acier inoxydable : - premier longueur de 2 m - - le est lisse, de rayon 1,5 mm et L1 = 0,18 mm ; ; le second est rugueux : 0,42 mm ; R1 = 1,5 mm; R2 = 1,62 et de même longueur que le tube lisse. mm Axial coordinate . X Coordonnée axiale Fig. 3. - nombre de Répartition des lignes Reynolds égal à 1 000. [Streamlines for 3. Transfert de a Reynolds (mm) de courant number equal to pour un 1 000.] charge. de la couche diffuse étant proportionnelle à la racine carrée de la résistivité, il en résulte que la partie de la couche diffuse affectée par l’écoulement dans le cas d’un tube rugueux dépend fortement à la fois de la taille des aspérités et de la valeur de la résistivité du liquide. C’est pourquoi dans la première partie de notre étude expérimentale, nous avons cherché à déterminer l’influence de ce paramètre sur la charge convectée. L’épaisseur 3.1 ETUDE EXPÉRIMENTALE. Pour faire varier 3.1.1 Influence de la résistivité. la conductivité du liquide (heptane), nous avons utilisé des additifs tels que l’A.O.T., L’A.S.A.3 et l’OLOA 218A, aux concentrations suivantes : 1 0,01 ppm ; 0,1 ppm ; ppm ; 10 ppm ; 100 ppm ; 1000 ppm. Nous ne donnons ici que les résultats obtenus avec l’OLOA 218A. - a une L2 (cf. Fig. 1) = Ces tubes ont été fabriqués à partir de tubes lisses taraudés avec des tarauds spécialement usinés pour obtenir des dimensions de rugosité relativement faibles et une forme correspondant au modèle théorique. Sur la figure 5, nous avons représenté la variation de la densité volumique de charge convectée en fonction du nombre de Reynolds pour une seule valeur de la conductivité (1,28 x 10-11 0-I.m-l) correspondant à 1 ppm d’OLOA 218A. La valeur de la charge convectée pour un tube lisse et pour un nombre de Reynolds inférieur à 500 est constante, c’est-à-dire que la couche diffuse est établie pour ces nombres de Reynolds à la sortie du tube de 2 m. Pour un tube rugueux, la charge convectée est inférieure et semble tendre vers une valeur constante pour des nombres de Reynolds supérieurs à 700, alors que, l’évolution de la pression appliquée pour obtenir cet écoulement nous permet d’assurer que nous nous situons dans le domaine laminaire. Une explication de ce phénomène peut être explicitée à partir de la figure 3. En effet, pour ces nombres de Reynolds, la détermination des lignes de courant montre qu’un tourbillon se développe dans toute la cavité comprise entre deux aspérités de telle sorte que la charge convectée 1078 4. Variation de la densité volumique de charges et de la conductivité en fonction de la concentration en OLOA 218A. Fig. - [Charge density and conductivity according concentration.] to OLOA 218A provient essentiellement des zones de rétrécissement ju tube. La charge convectée dans un tube rugueux est la somme des charges convectées dans la zone de rétrécissement et dans la zone tourbillonnaire. Dans la zone de rétrécissement, l’écoulement hydrodynamique étant semblable à ce qu’il serait dans un tube liesse, nous supposerons que la charge convectée peut être calculée de la même façon, notamment, que le profil de couche diffuse pour cette zone est le même [7-9]. Cette charge également être Fig. 5. Evolution de la densité volumique de charges en fonction du nombre de Reynolds pour un tube lisse et un tube rugueux. - [Charge density in terms of Reynolds number for a smooth a rough pipe.] and convectée pour un tube lisse devrait celle obtenue pour un tube rugueux avec Re tendant vers 0. Mais l’étude de l’écoulement hydrodynamique montre que l’on doit descendre à les nombres de Reynolds inférieurs à l’unité pour ne plus avoir de tourbillons, et ce domaine étant mpossible à atteindre du point de vue expérimental, 1 est préférable de se référer au tube lisse. La somme des charges par unité de longueur dans :oute la section dans le cas du tube lisse est égale à ),8 x 10- 9 C/M (valeur calculée à partir de la densité eolumique de charge convectée : 0,645 x to- 5 C/M3) . Dans la partie tourbillonnaire du tube Tigueux, on peut admettre que la couche diffuse est iomogénéisée par les tourbillons et que par consé- 1079 quent la densité volumique de charges est constante dans cette partie. En effet, la vitesse de relaxation de la couche diffuse est de l’ordre de 2,9 x 10- 5 m/s, semble en assez (Fig. 5, courbe alors que la vitesse de recirculation calculée au sein des tourbillons est de l’ordre de 10-2 m/s. En faisant de plus, l’hypothèse en première approximation que la charge totale par unité de longueur est la même que pour la zone de rétrécissement, on trouve que la densité volumique de charges moyennes dans cette partie doit être de l’ordre de pt = 0,6 x 10- 3 CIM3. A la sortie du tourbillon, la valeur de la densité volumique de charge doit avoir une évolution semblable à ce qu’elle a dans la zone de rétrécissement mais avec une charge sur la ligne de courant pariétale à la zone de rétrécissement égale à la valeur précédente p t. 4. Conclusion. La charge convectée dans cette partie est alors calculée et on trouve : 0,25 x 10-5 CIM3. En tenant compte des surfaces respectives des zones tourbillonnaires et de rétrécissement, on obtient une charge transportée de l’ordre de 0,365 x 10- 5 C/M3ce qui bon accord avec nos expériences 3). Dans cette étude, nous avons montré que l’évolution de la charge convèctée en fonction du nombre de Reynolds pour un tube rugueux de rugosité parfaitement définis, peut être explicitée. Pour cela, il est nécessaire de calculer le profil de l’écoulement hydrodynamique dans un tel tube et de connaître l’évolution de la densité volumique de charge dans un tube lisse de même dimension. Ainsi, en s’appuyant sur une analyse approchée du phénomène, nous avons pu prévoir convenablement, dans un cas donné, la valeur expérimentale obtenue pour la charge convectée dans un tube rugueux, connaissant celle recueillie pour un tube lisse. Une étude systématique en fonction du rapport de l’épaisseur de.la couche diffuse et de la hauteur des aspérités est actuellement en cours et fera l’objet d’une prochaine publication. Bibliographie [1] [2] TOUCHARD G. and ROMAT, H., J. Electr. 12 (1982) 377-382. 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