Notion d'énergie dans le déplacement d'un fluide.
Daniel Bernoulli à démontré la conservation de l'énergie mécanique dans l'écoulement d'un fluide incompressible parfait (isotherme, sans frottement, sans perte de fluide).
L'énergie d'un fluide en mouvement se décompose en trois parties :
- L'énergie cinétique, due à la vitesse du fluide dans la conduite :
Ec = m x v² / 2, en J
- L'énergie de pression
Ep = m x P / p, en J
- L'énergie potentielle, due à la différence de hauteur entre le centre de la veine fluide et le point de référence :
Ez = m x z x g, en J
L'énergie totale est donc égale à :
Et = m x v² / 2 + m x P / p + m x z x g

m est la masse du fluide, en kg
v est la vitesse du fluide, en m/s
P est la pression (ici, P en majuscule), en Pa
p est la masse volumique (ici, p en minuscule), en kg/m³
z est la différence de hauteur, en m
g est l'accélération de la pesanteur, en m/s²
Note : le point de référence international pour g est le BIPM à Sèvres où g vaut exactement 9,80925872 m/s². La valeur utilisée généralement en tout point de la France est 9,81 m/s². Il est malgré tout possible de connaître la valeur de g avec la formule approchée suivante :
g = 9,80602 x (1 - 2,6373 x 10^-3 x Cos(2 x Lat) + 5,9 x 10^-6 x Cos(2 x Lat)²) - 3,086 x 10^-6 x h, en m/s².
Lat étant la latitude du lieu considéré
Exemple, à Mulhouse, latitude 47,6°, g est égal à :
g = 9,80602 x (1 - 2,6373 x 10^-3 x Cos(2 x 47,6) + 5,9 x 10^-6 x Cos(2 x 47,6)²) - 3,086 x 10^-6 x 0 = 9,808364 m/s².

Imaginons un fluide parfait (viscosité nulle, totalement incompressible, isotherme) circulant dans une conduite parfaitement lisse (rugosité = 0 mm). Ce fluide circule à température et débit constant, la perte d'énergie entre deux points (1 et 2) sera égale à :
Delta_E = (m x v²₁ / 2 + m x P₁ / p + m x z₁ x g) - (m x v²₂ / 2 + m x P₂ / p + m x z₂ x g) = 0
Dans le cas d'un fluide réel, la viscosité est loin d'être nulle et les conduites ont une rugosité non négligeable ce qui provoque une perte d'énergie entre les points 1 et 2. Dans le calcul des pertes de charge la notion d'énergie mécanique n'est pas utilisée, on utilise plutôt la notion de perte de charge ou de perte de pression et dans ce cas, en divisant par la masse de fluide et l'accélération de la pesanteur on obtient une charge (pression due à une colonne de fluide) et l'équation devient :
Delta_P = (m x v² / 2 + m x P / p + m x z x g) / m / g, en mCFluide (en mètre de colonne de fluide, en hauteur)
équation que l'on peut alors écrire sous la forme :
Delta_P = v² / (2 x g) + P / (p x g) + z
Où le terme v² / (2 x g) représente la pression dynamique due à la vitesse du fluide et le terme P / (p x g) représente la pression statique appelée aussi hauteur piézométrique.
Si on effectue des mesures de pressions à l'aide du tube de Pitot (voir illustration ci-dessous) on peut connaître la vitesse du fluide et connaissant la section de la conduite, on en déduit le débit :
La pression dynamique :
P_Dyn = P_Totale - P_Statique
La vitesse :
v = (P_Dyn x 2 x g)^0,5
Le débit :
D = v x s x 3600, en m³/h
s étant la section de la conduite en m²
s = r² x Pi
r, le rayon en m
Dans les systèmes de chauffage d'aujourd'hui, systèmes en circuit fermé, la hauteur (z) de l'installation n'est pas prise en compte dans le calcul des pertes de charge car l'énergie nécessaire à l'élévation du fluide caloporteur jusqu'à l'émetteur le plus haut est fournie par l'énergie potentielle du fluide descendant ce qui s'équilibre et donc s'annule, bien que la différence de température du fluide entre le Départ et le Retour induit une différence de densité et donne un gain de pression, gain de pression qui est malgré tout négligé dans le calcul des pertes de charge quand le fluide est mis en mouvement par un circulateur ou un ventilateur.
Il en est de même pour la pression statique.




Donc, comme dit plus haut, dans un fluide réel, l'eau, l'air le fioul, etc... la rugosité et la viscosité ont une importance non négligeable dans la perte d'énergie (et par là de pression ou de hauteur de colonne de fluide, charge) et afin de connaître cette perte d'énergie, on va définir un coefficient (voir le paragraphe suivant) qui va représenter la constante de frottement.

L'énergie perdue tout au long de la conduite n'a pas disparue pour autant, elle s'est transformée en chaleur, chaleur générée par les frottements.
L'écoulement d'un fluide est un travail et ce travail est le produit de la force par la distance donc, des Newtons par des mètres (N.m) ce qui donne des Joules car 1 N.m = 1 J. En mécanique des fluides, en multipliant ce travail par le débit on obtient une puissance, la puissance étant le quotient du travail (ou de l'énergie) par le temps P = T / t.
Une force se déplaçant sur une distance de 1 mètre produit un travail de 1 N.m soit 1 J.
Petit rappel, 1 N = 1 kg.m/s², 1 Pa = 1 N/m²
Donc, P = Pa x m³/s
Soit la perte de pression en Pa multipliée par le débit en m³/s donne la puissance en W
En développant :
1 kg.m/s²/m² x 1 m³/s = 1 kg.m²/s²/m²/s = 1 kg.m²/s³ = 1 N.m/s = 1 J/s = 1 W.
Dans l'exemple plus bas, la perte de charge est de 90 Pa/m pour un débit de 0,102 m³, la puissance thermique développée par les frottements sur 1 mètre de conduite est de :
P = 90 x 0,102 = 9,18 W
Cette puissance va donc élever la température du fluide et de la conduite (en admettant que la conduite soit adiabatique, sans perte de chaleur vers l'ambiance) de :
T° = 9,18 / (102 x 983,25 x 1,163) = 0,000079 °C
L'élévation de la température au bout de 1 mètre de conduite parcourue est quasi insignifiante et pour augmenter la température de 1 °C il faudrait que la conduite mesure 12658 m de long soit une perte de charge de 1139220 Pa, 118,1 mCF.
 

Généralités.
Pour véhiculer un fluide dans une conduite, il est nécessaire d'en connaître les contraintes qui sont principalement la pression et la composition physico-chimique. Une conduite et ses assemblages, doivent pouvoir résister et à cette pression et aux agressions chimiques du fluide, si elles existes.
Qu'appelle t'on "pertes de charge" ? Tout fluide circulant dans une conduite perd de sa pression initiale (de sa charge) à chaque mètre parcouru et à chaque passage d'une singularité. Cette pression (ou charge, en colonne de fluide) peut être donnée de façon gravitationnelle ou mécaniquement. Cette perte de charge est due au frottement contre les parois de la conduite et à la forme des singularités qui créent des turbulences.
Le calcul des pertes de charge met en présence;

1) un fluide dont les caractéristiques prisent en compte sont :
- la masse volumique, p, qui est fonction de la température du fluide. Pour l'eau, elle peut être obtenue avec la formule suivante :
p = 999,8466 + 6,540815 x 10^-2 x T + -8,794978 x 10^-3 x T² + 8,624415 x 10^-5 x T³ + -8,70587 x 10^-7 x T⁴ + 6,340486 x 10^-9 x T⁵ + -2,949619 x 10^-11 x T⁶ + 7,67365 x 10^-14 x T⁷ + -8,472925 x 10^-17 x T⁸, en kg/m³
et pour l'air :
p = 1,2920625 x 273,15 / (273,15 + T), en kg/m³
T en Celsius
Note : dans les cas qui nous intéresse, on admet généralement que les fluides sont incompressibles, la variation de densité due à une augmentation de pression étant négligeable, seule la température est prise en compte.
- la viscosité cinématique, v_c (voir plus bas).

2) une conduite (tuyau) dont les caractéristiques sont :
- la section et la forme, circulaire dans le cas qui nous intéresse (Di pour le diamètre intérieur de la conduite dans l'unité correspondante)
- la rugosité absolue des parois intérieures de la conduite (voir plus bas).
Ces éléments sont liés par :
- la vitesse moyenne de circulation du fluide v, en m/s
- le nombre de Reynolds (Re, voir ci-dessous) nombre sans dimension qui joue un rôle primordial dans le calcul des pertes de charge.
 

La rugosité.
La rugosité absolue (notée , la lettre E majuscule sera pour la suite utilisée) est la moyenne entre les cavités et les bosses des aspérités de la paroi.
Valeurs pour les 3 principaux tuyaux utilisés en chauffage :
tube acier neuf : E = 0,00005 m (0,05 mm)
tube acier rouillé : E = 0,00015 m (0,15 mm)
tube cuivre neuf : E = 0,0000015 m (0,0015 mm)
tube cuivre entartré : E = 0,00005 m (0,05 mm)
tube PER : E = 0,000003 m (0,003 mm)
La rugosité absolue joue un rôle prépondérant dans le calcul des pertes de charge. On comprend aisément que l'influence de la rugosité est d'autant plus importante que le diamètre de la conduite est petit. C'est pour cette raison que dans le calcul des pertes de charge on fait intervenir la rugosité relative qui est le rapport de la rugosité absolue sur le diamètre de la conduite E_r = E / Di (dans les mêmes unités).
La valeur de la rugosité absolue change dans le temps, une conduite en acier verra sa rugosité augmenter avec l'utilisation à cause des particules qui y adhèrent et de la rouille. Quand on effectue un calcul des pertes de charge d'une installation en acier existante il est prudent de prendre une valeur pour E supérieure à celle d'un tube neuf, 0,00015 m au lieu de 0,00005 m et parfois même 0,002 m quand les conduites sont incrustées. A partir de l'exemple cité plus bas, les pertes de charge augmentent de 11,67% en utilisant du cuivre entartré ayant une rugosité absolue de 0,00005 m (0,010564 mCE contre 0,009331 mCE).
 

La viscosité.
Dans l'écoulement d'un fluide réel, les particules situées à proximité de l'axe de la veine se déplacent plus rapidement que celles situées à proximité des bords. Ce glissement des particules les unes contre les autres fait apparaître des forces de frottement internes et ces forces de frottement au sein du fluide sont des forces de viscosité. Dans le domaine de l'hydraulique, on trouve principalement deux types de viscosité, la viscosité dynamique et la viscosité cinématique.
1) La viscosité dynamique ou encore viscosité absolue, ici notée v_d, est une constante du fluide fonction de la pression et de la température, comme dit plus haut, la variation de densité due à une augmentation de pression étant négligeable, seule la température est prise en compte.
De par la loi de Newton, le coefficient de viscosité dynamique est issu de la force nécessaire pour déplacer dans un fluide un élément plan de surface S parallèlement à lui même à la vitesse uniforme v entre deux plans parallèles du fluide et séparés par la distance h (voir croquis ci-dessous).



Soit :
F = v_d x S x v / h
Donc :
v_d = (F x h) / (S x v)
Où :
F est la force en N
h la hauteur en m
S la surface en m²
v la vitesse en m/s
v_d en Pa.s, 1 Pa.s = 1 N.s/m² = 1 kg/(m.s)
La viscosité dynamique de l'eau en fonction de sa température peut être obtenue avec la formule approchée suivante :
v_d = EXP(7,490618 + -3,470498 x 10^-2 x T + 3,460671 x 10^-4 x T² + -3,830616 x 10^-6 x T³ + 3,539925 x 10^-8 x T⁴ + -2,3083 x 10^-10 x T⁵ + 9,665435 x 10^-13 x T⁶ + -2,312455 x 10^-15 x T⁷ + 2,390787 x 10^-18 x T⁸). Cette formule donne le résultat en micro Pa.s (uPa.s), diviser par 1000000 pour une valeur en Pa.s
EXP est la fonction inverse de Ln (e^x ou e^{^} sur les calculatrices)

2) La viscosité cinématique, ici notée v_c, est le rapport de la viscosité dynamique par la densité du fluide v_c = v_d / p. Dans le calcul des pertes de charge, c'est la viscosité cinématique qui intervient. Afin de ne pas avoir à faire deux calculs (v_d et p) les formules approchées ci-dessous permettent de connaître directement v_c :
Pour l'eau :
v_c = -2,2183992 x 10^-12 x T³ + 0,00051252585 x 10^-6 x T² - 0,043254681 x 10^-6 x T + 1,6993718 x 10^-6, en m²/s
Pour l'air :
v_c = 1,337125 x 10^-5 + 8,454018 x 10^-8 x T + 1,232143 x 10^-10 x T² - 3,348214 x 10^-14 x T³, en m²/s
1 m²/s = 1 kg/(m.s).kg/m³ (multiplier par 1000000 pour avoir la valeur en mm²/s)
 

Le nombre de Reynolds.
Osborne Reynolds démontra la notion de régime d'écoulement d'un fluide en mettant en relation les 3 facteurs qui en détermine la valeur. Ces facteurs sont, la vitesse, le diamètre et la viscosité cinématique.
Le nombre de Reynolds (Re) est donc obtenu de la manière suivante :
Re = v x Di / v_c, sans dimension
 

Régime d'écoulement du fluide.
La circulation d'un fluide dans une conduite peut avoir 3 types de régime, le régime laminaire, le régime turbulent et le régime transitoire.
 

	Régime laminaire. Lorsque le nombre de Reynolds est inférieur ou égal à environ 2320, on considère que le régime est laminaire et le profil des vitesses n'est pas uniforme. La vitesse est maximale au centre et diminue en allant vers la paroi pour devenir pratiquement nulle au contact de celle-ci, ceci étant dû au frottement contre les aspérités. On peut facilement imager ceci en regardant une rivière, l'eau se déplace bien plus lentement aux bords qu'au milieu. La vitesse approchée en un point donné par rapport à la vitesse moyenne et à l'axe de la conduite est obtenue avec la formule suivante : vy = 2 x vMoyenne x (1 - (y / r)2) Par conséquent, la vitesse au centre est le double de la vitesse moyenne (y = 0) et est égale à 0 contre la paroi (y = r). Les aspérités du tube n'ont que peut d'influence sur l'écoulement du fluide car aux abords de la paroi celui-ci ayant une vitesse relativement faible, les particules du fluide adhèrent aux aspérités ou les contournent sans être freinées de façon significative. Il est donc aisé de comprendre que la couche limite (en contact avec la paroi) joue le rôle d'isolant par rapport aux couches internes. Dans le cas ou un échange thermique avec l'extérieur du tube est souhaité, un plancher chauffant par exemple, il est préférable d'établir un régime turbulent, dans le cas contraire, comme une conduite dans une cave, un régime laminaire convient très bien.
	Régime turbulent. Le régime turbulent apparaît quand le nombre de Reynolds est supérieur à environ 3200 mais comme il est fonction de la rugosité relative, ReLimite peut être obtenu avec la formule approchée suivante : ReLimite = 3158 + 48000 x E / Di Dans un régime turbulent, la viscosité du fluide n'a pas une influence prépondérante par rapport à la rugosité. Dans ce type de régime, on trouve deux zones de régime, dans la partie centrale le régime est turbulent et est appelé "noyau turbulent" et à la périphérie, le régime est laminaire caractérisé par une sous-couche limite laminaire. La formule de Von Karman, pour connaître l'épaisseur de cette sous-couche laminaire, est la suivante : e = (32,5 x Di) / (Re x Cpe0,5) où Cpe est le coefficient de perte de charge (voir plus bas). Cette formule démontre que plus le nombre de Reynolds est grand, plus la sous-couche laminaire est fine et donc, le noyau turbulent grandi. Dans le régime turbulent, la conduite peut être considérée comme; - hydrauliquement rugueuse, les aspérités dépassent la sous-couche laminaire - hydrauliquement lisse, la hauteur des aspérités est inférieure à l'épaisseur de la sous-couche laminaire - hydrauliquement transitoire (si l'on peut dire), la hauteur des aspérités est parfois inférieure, parfois supérieure à la sous-couche laminaire selon les turbulences. On peur considérer qu'une conduite est hydrauliquement rugueuse quand le résultat de la formule (Re x Cpe0,5) x E / Di est supérieur à 200. Pour obtenir les autres valeurs, si nécessaire, à partir de cette limite (200) : E = 200 x Di / Cpe0,5 / Re Cpe = (200 / (E / Di) / Re)0,5 E / Di = 200 / Cpe0,5 / Re Di = E / (200 Cpe0,5 / Re) La vitesse approchée en un point donné par rapport à la vitesse moyenne et à l'axe de la conduite peut être obtenue avec la formule approchée suivante : vy = 1,2 x vMoyenne x (1 - (2 x y) / Di)1/7
	Régime transitoire ou régime intermédiaire. Le régime transitoire est un régime instable passant d'un régime à l'autre (laminaire et turbulent) sans se fixer vraiment. Il se situe approximativement entre les bornes Re = 2320 et Re = 3158 + 48000 x E / Di.

Le coefficient de perte de charge.
Le coefficient de perte de charge (noté mais représenté ici par les lettres Cpe), sans dimension, détermine les pertes de charge. L'obtention de ce coefficient est fonction des trois régimes d'écoulement.
 

	Régime laminaire. Dans le cas du régime laminaire, la rugosité de la conduite n'ayant pour ainsi dire aucune influence, la valeur du coefficient de perte de charge (Cpe) est donc proportionnelle au débit. Pour obtenir le coefficient de perte de charge qui ne dépend que du nombre de Reynolds, on utilise la formule de Hagen-Poiseuille : Cpe = 64 / Re
	Régime turbulent. Dans le cas d'un régime turbulent, le coefficient de perte de charge dépend à la fois du nombre de Reynolds et de la rugosité de la conduite. Une des formules représentant le mieux la réalité est celle dite de Colebrook puisqu'elle est la formule de référence en matière de calcul de perte de charge : 1 / RACINE(Cpe) = -2 x log10(2,51 / Re x RACINE(Cpe) + E / (3,71 x Di)) ou : 1 / Cpe0,5 = -2 x log10(2,51 / Re x Cpe0,5 + E / (3,71 x Di)) L'inconvénient de cette formule est qu'elle est à relation implicite et donc assez peu maniable car l'inconnue (Cpe) figure dans les deux membres de l'équation. Un outils informatique est fortement recommandé pour faciliter l'obtention du résultat. Le classeur Excel Itération.xls en fichier zip contient un algorithme pour la recherche du coefficient de perte de charge ainsi que les formules des calculs intermédiaires (voir plus bas). Il contient aussi un algorithme pour trouver le débit à freiner pour le réglage des boucles de plancher chauffant. Ce classeur contient des macros qui doivent être activées. Pour ce faire, aller dans le menu Outils > Macro > Sécurité... cliquer sur "Niveau de sécurité moyen" puis à l'ouverture du classeur, cliquer sur "Activer les macros". Afin de ne pas avoir recourt à la formule de Colebrook, tout en ayant un résultat suffisamment précis, on peut utiliser des résultats intermédiaires avec le procédé de calcul suivant : A = -2 x Log10((E / Di) / 3,71 + 12 / Re) B = -2 x Log10((E / Di) / 3,71 + 2,51 x A / Re) C = -2 x Log10((E / Di) / 3,71 + 2,51 x B / Re) Cpe = (A - ((A - B)2) / (A + C - (2 x B)))-2
	Régime transitoire. Comme il n'existe pas de formule de "référence" pour caractériser ce régime transitoire, Mr Le Guay propose une formule de "raccordement" entre la formule de Hagen-Poiseuille pour Re = 2320 et celle de Colebrook pour Re = 3158 + 48000 x E/Di (voir graphique ci-dessous) : Cpe = -1,292 x 10-2 + 8,88 x 10-5 x Re0,8

Pertes de charge.
Les coefficients qui représentent les pertes de charge d'une conduite sont au nombre de deux, les pertes de charge linéiques qui représentent l'usure tout au long de la conduite (dans les parties droites) symbolisées par la lettre J, qui est une constante et les pertes de charge singulières qui représentent les pertes de charge dues à la résistance locale occasionnée par les différents raccords et appareils, représenté par la lettre Z.
 

Pertes de charge linéiques (J). La formule générale pour calculer la perte de charge linéique d'une conduite est : - en mètre de colonne de fluide par mètre de conduite (mCF/m) J = Cpe / Di x v2 / (2 x g) - en Pascals par mètre de conduite (Pa/m) J = Cpe / Di x p x v2 / 2 - en millibar par mètre de conduite (mbar/m) J = Cpe / Di x p x v2 / 2 x 0,01 où : p est la masse volumique du fluide en kg/m3 pour une température donnée. g est l'accélération de la pesanteur, environ 9,81 m/s2 Pour convertir en mètre de colonne d'eau (mCE) les pertes de charge qui sont en mètre de colonne de fluide (mCF), il y a lieu de prendre en compte la masse des fluides considérés. Par convention, la masse volumique de l'eau est prise à une température de 4 °C, soit 1000 Kg/m3. La perte de charge en mètre de colonne d'eau devient : J = Cpe / Di x v2 / (2 x g) x (pf / peau), en mCE/m Le fluide considéré (pf) peut être de l'eau à une température différente de 4 °C. Pour convertir les pertes de charge en Pa, multiplier les pertes de charge en mCF par la masse volumique du fluide et l'accélération de la pesanteur : JPa = JmCF x p x g Note : pour le mètre de colonne d'eau (mCE), p = 1000 Kg/m3 car c'est la masse volumique de référence (JPa = JmCE x 1000 x g). Pour avoir J en millimètre de colonne d'eau, diviser directement par g (JmmCE = JPa / g). et l'inverse : JmCF = JPa / p / g Pour la vitesse moyenne du fluide dans la conduite : v = D / 3600 / S ou D est le débit et S la section de la conduite, dans les unités correspondantes. Pour la section : S = (Di2 x Pi) / 4 ou r2 x Pi Exemple : Une conduite en cuivre de 12 mm de diamètre intérieur (12 x 14 mm) E = 0,0000015 m Le radiateur à alimenter a une puissance de 1750 W La température moyenne de l'eau est de 60 °C Le DeltaT voulu est de 15 °C Débit : D = 1750 / (15 x 1,163 x 0,98325) = 102,02 l/h Section de la conduite : S = 0,0062 x 3,14 = 0,000113 m² Vitesse du fluide : v = 0,10202 / 3600 / 0,000113 = 0,25 m/s Viscosité cinématique : vc = -2,2183992 x 10-12 x 603 + 0,00051252585 x 10-6 x 602 - 0,043254681 x 10-6 x 60 + 1,6993718 x 10-6 = 0,0000004751 m²/s Viscosité dynamique (juste pour information) : vd = 0,0000004751 x 983,25 = 0,0004671 Pa.s (467,14 uPa.s) Nombre de Reynolds : Re = 0,25 x 0,012 / 0,0000004751 = 6314 Re limite : ReLimite = 3158 + 48000 x 0,0000015 / 0,012 = 3164 Le régime est bien turbulent puisque supérieure à 3164. coefficient de perte de charge : A = -2 x Log10((0,0000015 / 0,012) / 3,71 + 12 / 6314) = 5,4269 B = -2 x Log10((0,0000015 / 0,012) / 3,71 + 2,51 x A / 6314) = 5,3186 C = -2 x Log10((0,0000015 / 0,012) / 3,71 + 2,51 x B / 6314) = 5,3359 Cpe = (5,4269 - ((5,4269 - 5,3186)2) / (5,4269 + 5,3359 - (2 x 5,3186)))-2 = 0,03515 J = 0,03515 / 0,012 x 0,252 / (2 x 9,81) x (983,25 / 1000) = 0,009175 mCE/m (9,175 mmCE/m) en Pa : à partir de JmCE J = 0,009175 x 1000 x 9,81 = 90 Pa/m J = 0,03515 / 0,012 x 983,25 x 0,252 / 2 = 90 Pa/m en mbar : J = 0,03515 / 0,012 x 983,25 / 2 x 0,252 x 0,01 = 0,9 mbar/m La conduite est considérée comme hydrauliquement lisse : 6314 x 0,035150,5 x (0,0000015 / 0,012) = 0,148 bien inférieur à 200. J sera multiplié par la longueur du tronçon en mètre (calculer J pour chaque diamètre et débit) pour obtenir les pertes de charge linéiques totales du tronçon et ajouter les pertes de charge de chaque tronçon pour avoir les pertes de charge linéiques totales du circuit.

Pertes de charge singulières (Z). On appelle perte de charge singulière la perte de charge due à la résistance locale occasionnée par un raccord (té, coude, vanne, raccord de jonction divers, etc...) ou par un appareil (chaudière, radiateur, échangeur, etc...). Toute déformation de la veine de fluide, de changement de direction et de changement de section engendre une perte de charge singulière. Ici, 2 méthodes sont expliquées pour calculer les pertes de charge singulières, la méthode directe où chaque singularité est caractérisée par un coefficient (noté , Cs sera utilisé ici pour la suite) et la méthode par estimation du rapport J/Z. Il est assez facile de calculer les pertes de charge linéiques mais beaucoup plus complexe de calculer les pertes de charge singulières. Par exemple, dans un coude la circulation du fluide engendre des force centrifuges qui augmentent la pression sur la paroi externe de la courbe et la diminue sur la paroi interne créant ainsi une diminution de la vitesse sur l'extérieur de la courbe et de par la conservation de l'énergie, une augmentation de la vitesse dans l'intérieur de la courbe créant un tourbillon juste après le changement de direction. Il faudra attendre une longueur d'approximativement 10 diamètres pour que le flux retrouve son régime. Si à la sortie de ce coude se trouve un autre coude, la multiplication par 2 du coefficient de singularité d'un coude pris isolément n'est plus juste car la présence du second coude, selon son orientation, va augmenter de 2,5 ou même 3 fois la valeur de l'ensemble et l'ajout d'un coefficient à l'autre va induire une sous estimation de la perte de charge de ces deux singularités. La formule générale pour calculer Z est la suivante : - en mètre de colonne de fluide (mCF) Z = Cs x v2 / (2 x g) - en Pascals (Pa) Z = Cs x p x v2 / 2 - en millibar (mbar) Z = Cs x p x v2 / 2 x 0,01   Méthode directe. Il est très difficile de connaître avec suffisamment de précision les différents coefficients qui caractérisent les pertes de charge singulières. Ci-dessous sont données quelques formules pour obtenir les coefficients de certains singularités et des valeurs tabulées dans le tableau : Augmentation brusque : Cs = (1 - S2 / S1)2 Réduction brusque : Cs = 0,5 x (1 - S1 / S2) Augmentation progressive : Cs = 0,62 x (1 - (S2 / S1)2)2 Réduction progressive : Cs = 0,05 Té avec séparation des courants : Cs = 0,5 + 1 / (VLat / VCom)2 Té avec réunion des courants : Cs = 3 - 3 / (VLat / VCom) + 2 / (VLat / VCom)2 Té avec réunion des courants, branche rectiligne (2) : Cs = 0,55 / (VRec / VCom)2 + 0,45 / (VRec / VCom) - 1 Té avec réunion des courants, branche latérale (1) : Cs = (1 - 0,66 x (DiLat / DiCom)2 + 0,26 x (DiLat / DiCom)2)2 x (1 + 2 x (DiLat / DiCom)2 / (VLat / VCom) - 1 / (VLat / VCom)2) Té avec séparation des courants, branche rectiligne (2) : Cs = 0,4 x (1 / (VRec / VCom) - 1)2 Té avec séparation des courants, branche latérale (1) : Cs = 1 + 1 / (VLat / VCom)2 Où : S1 grande section et S2 petite section VRec, VLat et VCom sont les vitesses respectives DiLat et DiCom sont les diamètres respectifs Filtre à tamis cylindrique maille 0,6 mm Diamètre 3/8" : Cs = 13,2 Diamètre 1/2" : Cs = 7,2 Diamètre 3/4" : Cs = 5,8 Diamètre 1" : Cs = 4,9 Diamètre 1/1/4" : Cs = 4,7 Diamètre 1/1/2" : Cs = 4,6 Filtre à tamis cylindrique maille 0,25 mm Diamètre 3/8" : Cs = 14,7 Diamètre 1/2" : Cs = 9,2 Diamètre 3/4" : Cs = 7,4 Diamètre 1" : Cs = 7,3 Diamètre 1/1/4" : Cs = 6,2 Diamètre 1/1/2" : Cs = 6,5 Robinets de radiateur à ouverture maximale (Oventrop série standard A et RF) Diamètre 3/8" : Cs = 21 Diamètre 1/2" : Cs = 55 Diamètre 3/4" : Cs = 184 Coudes ou tés de réglage à ouverture maximale (Oventrop série Combi 4, 3 et 2) Diamètre 3/8" : Cs = 13 Diamètre 1/2" : Cs = 35 (dans l'exemple plus bas, le Cs du coude de réglage Comap grand ouvert est de 21,91) Diamètre 3/4" : Cs = 116 Vanne d'équilibrage à ouverture maximale (Oventrop série Hydrocontrol R) Diamètre 3/8" : Cs = 4,7 (Di = 12,5 mm) Diamètre 1/2" : Cs = 7 (Di = 16 mm) Diamètre 3/4" : Cs = 11 (Di = 21,6 mm) Diamètre 1" : Cs = 11 (Di = 27,2 mm) Diamètre 1/1/4" : Cs = 7 (Di = 35,9 mm) Diamètre 1/1/2" : Cs = 6,4 (Di = 41,8 mm) Vanne 3 voies (Oventrop Tri M) Diamètre 3/4" : Cs = 17 Diamètre 1" : Cs = 21 Diamètre 1/1/2" : Cs = 52 Chaudières P <= 60 kW : Cs = 1,8 P > 60 < 100 kW : Cs = 3,4 Coefficient Cs pour les radiateurs en raccordement diamètre 3/8" : L < 1 m Cs = 1,78 L >= 1 m Cs = 2,3 Coefficient Cs pour les radiateurs en raccordement diamètre 1/2" : L < 1 m Cs = 2,88 L >= 1 m Cs = 3,71 Coefficient Cs pour les radiateurs en raccordement diamètre 3/4" : L < 1 m Cs = 0,76 L >= 1 m Cs = 1,03 Les coefficients Cs des radiateurs indiqués ci-dessus ont été obtenus en partant d'un abaque constructeur indiquant les pertes de charge. En partant d'un point de référence sur cet abaque (débit et perte de charge) il est possible d'obtenir les pertes de charge pour des débit différents et de là, en extraire le coefficient Cs. Cet abaque indique les pertes de charge pour les radiateurs raccordés en diamètres 3/8", 1/2" et 3/4" et ceci pour une longueur de référence, supérieure à 1 mètre et inférieure ou égale à 1 mètre. Pour L < 1 m et le raccordement en diamètre 1/2", Z est égal à : Z = 35 x (D / 100)2, en Pa Et pour L >= 1 m, Z est égal à : Z = 45 x (D / 100)2, en Pa Où : 100 est le débit de référence, en litres/h D le débit réel, en litres/h 35 et 45 sont les pertes de charge en Pa pour un débit de 100 litres/h Exemple de calcul du Cs pour : - Radiateur : Le radiateur mesure 1,4 m et sont débit nécessaire est de 165 litres/h, la perte de charge singulière sera de : Z = 45 x (165 / 100)2 = 122,51 Pa En partant de la vitesse du fluide à l'entrée du radiateur (diamètre du raccord robinet), on peut estimer son coefficient de singularité : Section pour le raccord du robinet en diamètre 1/2" vissé dans le radiateur : S = (0,015 / 2)2 x 3,1416 = 0,000177 m2 Vitesse du fluide : v = 0,165 / 3600 / 0,000177 = 0,259 m/s Température moyenne du fluide 60 °C, masse volumique moyenne 983 kg/m3 Cs = 122,51 x 2 / (983 x 0,2592) = 3,71 Pour un radiateur ayant une longueur de 0,8 m et un débit de 90 litres/h : Z = 35 x (90 / 100)2 = 28,35 Pa Cs = 28,35 x 2 / ( 983 x 0,14152) = 2,88 - Organe d'équilibrage : 1) Prenons l'abaque de la page "Les radiateurs", on souhaite connaître le coefficient Cs pour le coude de réglage grand ouvert, on choisi un point de référence sur la ligne GO comme par exemple 200 litres/h pour 110 mmCE de perte de charge, pour 500 litres/h la perte de charge sera de : Z = 110 x (500 / 200)2 = 687,5 mmCE (6629,72 Pa) Le coefficient Cs pour la position ouverture totale est donc de : Section du raccord diamètre 1/2" 0,000177 m2 En mCE : Vitesse pour 200 litres/h, v = 0,3138 m/s Cs = 110 / 1000 x 2 x 9,81 / 0,31382 = 21,91 Vitesse pour 500 litres/h, v = 0,7846 m/s Cs = 687,5 /1000 x 2 x 9,81 / 0,78462 = 21,91 En Pa : Cs = 1060,75 x 2 / (983 x 0,31382) = 21,91 Cs = 6629,72 x 2 / (983 x 0,78462) = 21,91 Le coefficient de singularité pour la position grand ouvert est donc de 21,91, pour calculer la perte de charge il suffit de l'intégrer dans la formule générale : Z = Cs x p x v2 / 2, en Pa Par exemple, pour 350 litres/h, v = 0,5493 m/s, la perte de charge singulière sera de : Z = 21,91 x 983 x 0,54932 / 2 = 3249,26 Pa (336,95 mmCE) 2) Pour les organes de réglage comme par exemple les vannes d'équilibrage ou encore les vannes 2, 3 ou 4 voies il est possible d'obtenir le coefficient Cs à partir du coefficient Kv ou kvs (pour plus de précisions, voir la page "Accessoires" paragraphe "La vanne 2, 3 ou 4 voies"). Dans le calcul des pertes de charge de base (pertes de charge du circuit le plus défavorisé) c'est la position grand ouvert de l'organe qui est prise en compte donc le Kvs. La relation entre Cs et Kv est issue de la relation de ces deux formules : DeltaP = (D / Kv)2 x p x 100, en Pa DeltaP =  Cs x v2 / 2 x p, en Pa Où : D est le débit en m3/h Kv est le coefficient de la vanne en m3/h p est la masse volumique en kg/m3 100 pour la perte de charge en Pa (100 Pa = 1 mbar) v est la vitesse en m/s Donc, de la relation de ces deux formules, le coefficient de singularité Cs est égal à : Cs =(2 x 100) / Kv2 x (D / v)2 Cs = 200 / Kv2 x (D / v)2 Simplifions par le débit : Avec Di en m La section est égale à r2 x Pi ou (Di2 x Pi) / 4 et aussi à Pi / 4 x Di2 Cs = 200 / Kv2 x (D / (D / 3600 / (Pi / 4 x Di2)))2 Cs = 200 / Kv2 x (D / D x 3600 x (Pi / 4 x Di2))2 Cs = 200 / Kv2 x (3600 x Pi / 4 x Di2)2 Cs = 200 / Kv2 x (2827,44 x Di2)2 Cs = 200 x 2827,442 x (Di2/ Kv)2 Cs = 1,5989 x109 x (Di2/ Kv)2 Avec Di en mm Cs = 1,5989 x10-3 x (Di2/ Kv)2 Soit en arrondissant : Cs = 0,0016 x (Di2/ Kv)2 Exemple : Admettons une vanne 3 voies diamètre 1 1/4" (Di = 35,9 mm) avec un Kvs de 19,45 m3/h, le coefficient Cs est égal à : Cs = 0,0016 x (35,92/ 19,45)2 = 7,02 Attention, à chaque coefficient Kv correspond un coefficient Cs (Cs n'est pas commun à toute la plage de réglage) Diamètre des tubes en acier noir courants :   DN Pouce De (en mm) Di (en mm) 10 3/8" 17,2 12,5 15 1/2" 21,3 16 20 3/4" 26,9 21,6 25 1" 33,7 27,2 32 1 1/4" 42,4 35,9 40 1 1/2" 48,3 41,8 50 2" 60,3 53     Diamètre intérieur en mm Cuivre 10 12 14 16 20 26 30   38   Acier   12 (3/8")   15 (1/2") 20 (3/4") 26 (1")   33 (1 1/4")   40 (1 1/2") Coude 90° R < 1,5 D 1,8 1,5 1,5 1,5 1 1 1 0,8 0,8 0,8 Coude 90° R > 1,5 < 3 D 1,8 1,5 1 1 1 1 0,7 0,5 0,5 0,5 Coude 90° R > 3 D 0,8 0,7 0,7 0,5 0,42 0,42 0,42 0,42 0,42 0,42 Coude 45° R < 1,5 D 1,2 1 1 0,7 0,7 0,7 0,7 0,5 0,5 0,5 Coude 45° R > 1,5 < 3 D 1,2 1 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,3 0,3 0,3 Coude 45° R > 3 D 0,8 0,6 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,2 0,2 Clapet anti-retour à ressort - - - 6,7 7,4 6,2 - 6,2 - 6,7 Clapet anti-retour à battant - - - 3,5 3,4 2,2 - 2,2 - 2,4 Clapet anti-thermosiphon à ressort sur pompe - - - - - 8,6 - 12,6 - - Vanne à boule - - - 2,6 3,8 1,2 - 1,7 - 1 Vanne papillon - - - 6,4 6,2 1,1 - 2,3 - 3,3 Vanne à opercule - 0,4 - 0,9 0,3 0,4 - 0,7 - 0,4 Vanne à clapet - 3 - 5 5 4 - 5 - 3 Vanne de réglage - - - 19,6 12,2 12,8 - 14,2 - 14,2   Méthode par estimation du rapport J/Z. Cette méthode n'est et de loin, pas la plus précise mais elle a l'avantage d'être rapide. Dans un premier temps, effectuer le calcul des pertes de charge linéiques comme indiqué plus haut, ensuite et c'est là la partie la plus difficile, estimer le pourcentage de pertes de charge singulières par rapport aux pertes de charge linéiques. Ceci est à faire de façon tout à fait arbitraire donc, attention de ne pas sous-estimer les pertes de charge singulières par rapport aux pertes de charge linéiques. Par exemple, dans un tronçon dérivé qui alimente un radiateur (le réseau passe à proximité du radiateur), on peut estimer que la perte de charge singulière totale (coude, tés, robinet, radiateur, organe d'équilibrage) représente environ 90 à 95% des pertes de charge totales de ce tronçon. En partant de l'exemple, cité plus haut, admettons que ce radiateur soit piqué sur des conduites départ/retour et que sa longueur soit de 1,1 m, la longueur totale des conduites qui l'alimentent est de 1,2 m (coté robinet 1 m, coté coude de réglage 0,2 m) la perte de charge linéique totale est donc de : J = 90 x 1,2 = 108 Pa Les conduites sur lesquelles est piqué ce radiateur ont un diamètre de 16 x 18 mm et le débit commun est de 225 litres/h : - Perte de charge singulière du té de départ, té avec séparation des courants, donc branche latérale : Cs = 1 + 1 / (VLat / VCom)2 VCom = 0,225 / 3600 / (0,0082 x 3,1416) = 0,3108 m/s VLat = 0,10202 / 3600 / (0,0062 x 3,1416) = 0,2506 m/s Cs = 1 + 1 / (0,2506 / 0,3108)2 = 2,54 Z = 2,54 x 983,25 x 0,25062 / 2 = 78,42 Pa - Perte de charge singulière du té de retour, té avec réunion des courants, donc branche latérale : Cs = (1 - 0,66 x (0,012 / 0,016)2 + 0,26 x (0,012 / 0,016)2)2 x (1 + 2 x (0,012 / 0,016)2 / (0,2506 / 0,3108) - 1 / (0,2506 / 0,3108)2) = 0,5148 Z = 0,5148 x 983,25 x 0,25062 / 2 = 15,89 Pa - Perte de charge du coude raccordé sur le robinet : Z = 1,5 x 983,25 x 0,25062 / 2 = 46,31 Pa - Perte de charge du robinet en diamètre 1/2" : Z = 55 x 983,25 x 0,25062 / 2 = 1698,08 Pa - Perte de charge du coude de réglage en diamètre 1/2" : Z = 35 x 983,25 x 0,25062 / 2 = 1080,6 Pa - Perte de charge du radiateur : Z = 3,71 x 983,25 x 0,25062 / 2 = 114,54 Pa Les pertes de charge singulières totales sont de : Z = 78,42 + 15,89 + 46,31 + 1698,08 + 1080,6 + 114,54 = 3033,84 Pa Et les pertes de charge totales de ce radiateur s'élèvent à : DeltaP = 108 + 3033,84 = 3141,84 Pa Les pourcentages de pertes de charge pour J et Z sont respectivement de : J = 108 / 3141,84 x 100 = 3,44% Z = 3033,84 / 3141,84 x 100 = 96,56% Le rapport J/Z est donc de : J/Z = 3,44 / 96,56 = 0,0356 Donc, à partir des pertes de charge linéiques et en appliquant ce rapport, on peut estimer les pertes de charge totales : DeltaP = 108 + 108 / 0,0356 = 3141,7 Pa Maintenant, si ce radiateur est raccordé en hydraucâblé en PER diamètre 13 x 16 mm à partir d'un collecteur avec une longueur totale de tube de 10 m environ (départ/retour), le rapport sera de l'ordre de 0,25 (J 20%, Z 80%) Une idée de rapport pour certains raccordements : Partie chaudière et accessoires, on peut estimer un pourcentage J/Z de 10/90% Réseau de distribution principal, 70/30% Réseau de distribution secondaire, 60/40% Les radiateurs piqués au passage, 5/95% Le dernier radiateur en bout de circuit, 20/80% En raccordement hydraucâblé, 25/75% Circuit d'alimentation avec collecteurs pour radiateurs 45/55% Circuit d'alimentation avec collecteurs pour plancher chauffant 35/65%   Outils. Pour cette méthode, un classeur Excel est disponible en téléchargement à la page "Classeur pertes de charge J-Z"